LOGARITMA Definisi : a
log b = c b = a c dengan a 0 ; a 1 dan b 1
a dinamakan bilangan pokok dari logaritma. Dalam hal a = e = 2,718…..maka e log b = In b (In b disebut logaritma natural ; e disebut bilangan Euler) Sifat-sifat logaritma
1.
a
log xy = x 2. a log = y 3.
a
4.
a
5.
a
a
log x + a log y ; x 0 ; y 0
a
log x -
a
log y ; x 0 ; y 0
log x n = n a log x ; x 0 p
log x = log x = a
log
p a
n
log x log a
=
log x n
1 p
log a
; a ; x 0 ; a 0 ; x 1
n
n a log x
n
6. a x = x n 7. a log a 1 ; a log1
0
Sifat persamaan Jika
a
log x a log y , maka x = y
Sifat pertidaksamaan
Jika 1. 2.
a
log x a log y , maka
x y untuk a 1 x y untuk 0 a 1
GRAFIK FUNGSI LOGARITMA
Fungsi yang berbentuk y = a log x ; a 0; a 0 dan x 0 disebut fungsi logaritma. Untuk menggambarkan grafik fungsi diatas akan dilihat dalam dua kejadian yaitu bila 0 a 1 dan bila a 1.
EKSPONEN & LUGARITMA
y = a log x dengan 0 a 1 Bentuk Bentuk y = a log x mempunyai mempunyai arti x = a y ,dengan ,dengan menggunakan menggunakan carasepert carasepertii pada fungsi eksponen, maka diperoleh sifat berikut : a. Bila y = 0 , maka x = 1, jadi grafik selalu melalui titik (1, 0) b. Bila y , maka x = lim ay 0 ini berarti garis x = 0 sebagai asimtot tegak x
c.
Bila y
-, maka x = lim ay
y
ini berarti makin kebawah grafik makin ke
kanan.
y
y 0 a 1 y= 1 (a)
a 1 y=
a
a
log x
log x x
1 (b)
x
FUNGSI KUADRAT Grafik parabola a > 0 buka atas a < 0 buka bawah Memotong sumbu -x di dua titik D > 0 Menyinggung sumbu -x D = 0 Tidak Memotong sumbu x D < 0 a>0
a>0
a>0
D>0
D=0
D<0
x x
x
x
x
x a<0
a<0
a< 0
D<0
D=0
D> 0
ax2 + bx + c definit positif maka 1. seluruh gambar diatas sumbu x 2. ax2 + bx + c > 0 untuk setiap x Syarat yang harus dipenuhi … a > 0 dan D < 0 ax2 + bx + c definit negatif 1. seluruh gambar di bawah bawah sumbu x 2 2. ax + bx + c < 0 untuk setiap x Syarat yang harus dipenuhi … a < 0 dan D < 0 Titik ekstrim grafik fungsi kuadrat (parabola) disebut juga titik puncak. (xp,y p) titik puncak xp = 2ba , y p = D4a
g
Garis g : sumbu simetri
g
x=
b 2a
y = a x2 + bx + c
Untuk a < 0, Nilai y akan ( b , D ) pada titik 2a 4 a maksimum puncak, notasi y maks maks . a<0
Irvan Dedy
y maks maks =
D 4a
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
a>0
Untuk a > 0, Nilai y akan minimum pada titik puncak, notasi y min min.
D y min min =
(
b D , ) 2a 4 a
4a
Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c dapat ditulis sebagai sebagai … 1. f(x) = a ( x x1 ) (x x2 ) dimana (x1,0) dan (x2,0) titik potong dengan sumbu-x 2. f(x) = a (x xp)2 + y p dimana (xp,y p) adalah titik puncak para bola HUBUNGAN PARABOLA DENGAN GARIS Hubungan parabola g : y = ax2 + bx + c dan garis f: y = mx + n dapat dirumuskan dirumuskan Sebagai berikut berikut 1. Subtitusi kedua persamaan ax2 + bx + c = mx + n ax2 + (b m)x + c n = 0 2. Tuliskan D = (b m)2 4 a (c n ) [D diskriminan ax2 + (b m) x + c n = 0, dengan kata lain diskriminan hasil subtitusi g dan f] 3. Dari Ds bisa diambil kesimpulan sbb D > 0 g dan f berpotongan di dua titik berbeda berbeda D = 0 g dan f bersinggungan) D < 0 g dan f tidak berpotongan. berpotongan.
Irvan Dedy
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
PERSAMAAN KUADRAT 2
Bentuk umum ax + bx + c = 0 dengan a, b, c a bilangan real dan a 0
Penyelesaian suatu persamaan disebut juga dengan akar. Ada 3 cara mencari akar persamaan kuadrat, yaitu dengan memfaktorkan, dengan melengkapi kuadrat sempurna dari bentuk umum dan dengan rumus a b c. Persisnya cara rumus abc adalah x1,2 =
b
D
2a
x1 dan x2 akar ax2 + bx + c = 0 D = b2 4ac D disebut diskriminan SIFAT OPERASI AKAR
Sifat jumlah x1 x2 Sifat kali
b a
c
x1. x2
a
Sifat pengurangan x1 x2
D a
Beberapa bentuk rumus yang dinyatakan dengan sifat diatas 1. Jumlah kuadrat akar-akar x12 + x22 = (x1 + x2)2 2x1 x2 2. Jumlah pangkat tiga akar-akar x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1 x2 (x1 + x2) 3. kuadrat selisih akar-akar (x1 x2)2 =
D a
2
(x1 x2)2 = (x1 + x2)2 4x1 x2 4. selisih kuadrat akar-akar x12 x22 = (x1 + x2) (x1 x2) 5. jumlah kebalikan akar-akar 1 + 1 =
x1
x 2
x1 x2 x1 x2
Jenis-jenis akar 1. Dua akar real berlainan 2. Dua akar kembar 3. Tidak memiliki akar real Irvan Dedy
D
>0 D = 0 D < 0 Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
4. Dua akar real D 0 5. Kedua akarnya real positif, jika (D 0 ; x1 + x2 > 0 ; x 1 x2 > 0) 6. Kedua akarnya real negatif (D 0 ; x1 + x2 < 0 ; x1 x2 > 0) 7. Kedua akar berbeda tanda, jika (D > 0 ; x1 x2 < 0) 8. Akar berlawanan tanda ( baca x1 = x2) x1 + x2 = 0 b = 0 9. Akar berkebalikan ( baca x1 = 1 ) x1 x2 = 1 c = 1 x 2
10. Kedua akar rasional D = k 2 dimana a, b, c dan k bilangan rasional. Menyusun Persamaan Kuadrat baru : Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2 adalah x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0
Irvan Dedy
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
PERTIDAKSAMAAN Sifat-sifat - a > b ac > bc untuk c > 0 - a > b ac < bc untuk c < 0 - a > b a + c > b + c untuk c R - ab > 0 maka a/b > 0 - ab < 0 maka a/b < 0 - Jika a > b dan b > c maka a > c 2 - a > 0 untuk setiap a R Harga mutlak
-
x x
x x 2
untuk x 0 untuk x 0
- x a maka – a < x < a - x a maka x < – a atau x > a - x y x > y (x – y)(x + y) > 0 2
2
- x y x < y (x – y)(x + y) < 0 2
2
Irasional
- { f ( x ) a, a 0}
f ( x) a
2
f ( x) 0
g ( x ) f ( x) g ( x )
f ( x) 0
g ( x ) 0
-
f ( x)
-
f ( x) h( x) f ( x ) h( x) f ( x) 0 h( x) 0
Irvan Dedy
2
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
TRIGONOMETRI DE MI SA cosx = MI DE tanx = SA sinx = MI
DE
x
SA
sec x = csc x = cot x =
1 cos x 1 sin x 1 tan x
KUADRAN II
I
sin = +
semua +
II
II
tan = +
Sudut Istimewa o o 0 30 1 0 sin 2
cos
1
1 2
3
tan
0
1 3
3
45
o
60
1 2
2
1 2
1 2
2
1
o
3
cos = +
o
90 1
1 2
0
3
-
Identitas 2 2 1. sin x + cos x = 1 2 2 2. sin x = 1 cos x 2 2 3. cos x = 1 sin x sin x 4. tan x = cos x cos x 5. cot x = sin x
6. sec x = 7. csc x =
1 cos x 1
sin x 2 8. sec x = tan x + 1 2 2 9. csc x = cot x + 1 2
Aturan Segitiga 1. Aturan sinus pada segitiga ABC a
b
c
sin A sin B sin C 2. Aturan cosinus pada segitiga ABC 2 2 2 a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C 3. Luas segitiga ABC L = ½ . bc sin A = ½ . ac sin B = ½ . ab sin C L= Irvan Dedy
s ( s a )( s b)( s c )
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
s = ½ (a + b + c) Rumus Trigonometri 1. 2. 3. 4.
sin ( + ) = sin cos + cos sin sin ( ) = sin cos cos sin cos ( + ) = cos cos sin sin cos ( ) = cos cos + sin sin
5.
tan ( + ) =
6.
tan ( ) =
7. 8.
sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos2 sin2 cos 2 = 2cos2 1 cos 2 = 1 2sin2
9.
tan 2 =
tan tan 1 tan tan tan tan 1 tan tan
10. sin2 =
1 2
12 cos 2
11. cos2 =
1 2
12 cos 2
12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
sin 3 = 3sin 4sin3 cos 3 = 4cos3 3cos 2sin cos = sin (+) + sin () 2cos sin = sin (+) sin () 2 cos cos = cos (+) + cos () –2sin cos = cos (+) cos () sin + sin = 2 sin 12 (+) cos 12 ()
19. sin sin = 2 cos
1 2
(+) sin
20. cos + cos = 2cos
1 2
(+) cos
21. cos cos = 2 sin
2tan
1 2
1 2
(+) sin
1 2
() () 1 2
()
1 tan 2
Bentuk a cos x + b sin x
1. a cos x + b sin x = k cos (x) k=
a 2 b 2 dan tan =
b a
2. y = a cos x + b sin x + c ymax = k + c dan ymin = k + c 3. Agar acos x + bsin x = c bisa diselesaikan maka
a
2
b2 c2
Persamaan trigonometri
1. sin x = sin o x = + n. 360 o o x = 180 – + n. 360 2. cos x = cos o x = + n. 360 3. tan x = tan o x = + n.180
Irvan Dedy
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
LOGIKA MATEMATIKA 1.
Pernyataan
Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Pernyataan dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya p, q, r dan seterusnya. Pernyataan dibedakan menjadi: 1. Pernyataan Tunggal, yaitu penrnyataan yang mengandung satu gagasan. 2. Pernyataan Majemuk, yaitu pernyataan yang mengandung dua gagasan atau lebih. Dapat pula dikatakan bahwa pernyataan majemuk adalah gabungan dua atau lebih pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata gabungan logika. 2.
Pernyataan Berkuantor 2.1
Pernyataan Berkuantor Universal (umum) Pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan yang memuat kata semua atau setiap. Notasi: p dibaca semua/setiap.
Contoh: 1) Semua siswa ingin lulus ujian 2) Setiap bilangan genap habis dibagi 2 2.2
3.
Pernyataan Berkuantor Eksistensial (Khusus) Pernyataan berkontur eksistensial adalah pernyataan yang memuat kata ada atau beberapa. Notasi: p dibaca ada /beberapa p.
Contoh: (1). Ada ikan bernafas dengan paru-paru (2). Beberapa siswa hari ini tidak hadir Pernyataan Majemuk 3.1
Konjungsi Konjungsi dari dua pernyataan tunggal p dan q adalah “p dan q” yang dibaca “p dan q” Tabel kebenaran Konjungsi: p B B S S
Irvan Dedy
q B S B S
p q B S S S
Dari tabel dapat disimpulkan bahwa p q bernilai benar apabila p benar, q benar. Selain dari itu p q bernilai salah.
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
3.2
Disjungsi Disjungsi dari dua pernyataan tunggal p dan q adalah “p q ” yang dibaca “p atau q”.
Tabel Kebenaran Disjungsi: p B B S S 3.3
q B S B S
p
q
B B B S
Dari tabel dapat disimpulkan bahwa: p q bernilai benar apabila salah satu pernyataan tunggalnya benar. Selain dari itu p q bernilai salah.
Implikasi (Pernyataan Bersyarat) Implikasi dari dua pernyataan tunggal p dan q adalah “p q” yang dibaca: 1) jika p maka q 3) p syarat cukup bagi q 2) q hanya jika p 4) q syarat perlu bagi p
Tabel Kebenaran Implikasi: p B B S S
3.4
q B S B S
p
q
B S B B
Dari tabel dapat disimpulkan bahwa: p q bernilai benar untuk semua keadaan, kecuali apabila p benar dan q salah.
Ekivalensi (Biimplikasi) Ekivalensi dari dua pernyataan tunggal p dan q adalah “p q” yang dibaca: 1) p jika dan hanya jika q 2) p syarat cukup dan perlu dibagi q 3) q syarat cukup dan perlu dibagi p p q ( p q ) ( q p )
Tabel Kebenaran Ekivalensi: p B B S S 4.
q B S B S
p
q
B S S B
Dari tabel dapat disimpulkan bahwa: p q bernilai benar apabila nilai kebenaran pernyataan tunggalnya sama selain dari itu salah.
Negasi 4.1
Irvan Dedy
Negasi dari Pernyataan Tunggal Negasi dari per nyataan p ditulis ~p dan dibaca: Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
1) 2) 3)
Tidak p Bukan p Tidak benar p
Tabel kebenaran: p B S 4.2
~p S B
Negasi dari Pernyataan B erkuantor p : semua x adalah y p : ada x adalah y ~p : ada x tidak y ~p : semua x tidak y
Contoh: 1) p : Semua siswa hadir di kelas ini ~p : Ada siswa tidak hadir di kelas ini 2) p : Semua bilangan prima adalah ganjil ~p : Ada bilangan prima yang tidak ganjil 3) p : Ada bilangan prima yang negatif ~p : Semua bilangan prima tidak negatif 4) p : Ada harga x sehingga x < 7 ~p : semua x berlaku x 7 4.3
Negasi dari Pernyataan Majemuk 4.3.1 Negasi dari Konjugasi ~(p q) ~p ~q 4.3.2 Negasi dari Diskonjugasi ~(p q) ~p ~q 4.3.3 Negasi dai Implikasi ~(p q) p ~q 4.3.4 Negasi dari Ekivalensi ~(p q) ~[(p q) (q p)] ~(p q) (q p) p ~q q ~p
5.
Variasi Pernyataan Bersyarat
Dari implikasi p q dapat dibuat tiga buah pernyataan bersyarat lainnya yaitu invers, konvers, dan kontraposisi. Implikasi : p q Konvers : q p
Irvan Dedy
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
Invers : ~ p ~q
Kontraposisi : ~q ~p
Tabel kebenaran p B B S S
q B S B S
~p S S B B
~q S B S B
p
q
~p
B S B B
~q
q
B B S B
p
~q
B B S B
~p
B S B B
Dari tabel terlihat bahwa: 1) Implikasi ekivalen dengan kontraposisi: p q ~q ~p 2) Invers ekivalen dengan konvers ~p ~q q p Contoh: Implikasi : Jika kamu rajin belajar, maka kamu sukses Invers : Jika kamu tidak rajin, maka kamu tidak sukses Konvers : Jika kamu sukses, maka kamu rajin Kontraposisi: Jika kamu tidak sukses, maka kamu tidak rajin 6.
Tautologi dan Kontradiksi
Tautologi adalah pernyataan yang selalu benar Contoh : p ~p p B S 7.
~p S B
p
~p B B
Kontradiksi adalah pernyataan yang selalu salah Contoh : p ~p p
~p
B S
S B
p
~p
S S
Sifat operasi Logika 7.1 Sifat Idempoten (1). p p p (2). p p p 7.2 Sifat Komutatif (1). p q q p (2). p q q p 7.3 Sifat Assosiatif (1). p (q r) (p q) r (2). p (q r) (p q) r
Irvan Dedy
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
7.4 Sifat Distributif (1). p (q r) (p q) r (2). p (q r) (p q) r 7.5 Sifat I dentitas (1). p t t (2). p k p t : tautologi k : kontradiksi 7.6 Sifat Komplemen (1). p ~p t (2). p ~p k (3). ~(~p) p
(3). p t p (4). p k k
(4). ~t = k (5). ~k = t
7.7 Sifat Idempoten (1). p~(p q) ~p ~q (2). ~(p q) ~p ~q 7.8 Sifat Implikasi p q ~q p p q
8.
Penarikan Kesimpulan 8.1
Modus Ponens p q … premis 1 p ... premis 2 q ...
8.2
kesimpulan
Modus Tollens p q … premis 1 ~ q ... premis 2 ~ p ...
8.3
kesimpulan
Silogisme p q … premis 1 q r ... premis 2 p r ...
Irvan Dedy
kesimpulan
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
DIMENSI TIGA
1. Kedudukan titik dan garis dalam ruang Aksioma : Melalui dua titik tertentu hanya dapat dibuat sebuah garis tertentu 2. Kedudukan titik dan bidang dalam ruang Aksioma : melalui tiga titik yang tidak segaris hanya dapat dibuat sebuah bidang 3. Kedudukan dua garis dalam ruang Jika diketahui 2 garis l dan m, maka kedudukan l dan m adalah … (i) berpotongan jika l dan m mempunyai satu titik persekutuan (ii) sejajar, jika garis l dan m hanya pada satu bidang dan tidak mempunyai titik sekutu (iii) bersilangan jika garis l dan m tidak sebidang 4. Kedudukan garis dan bidang dalam ruang (i) garis l terletak pada bidang α jika setiap titik pada l juga terletak pada bidang α (ii) garis l menembus bidang α jika garis l dan bidang α hanya mempunyai satu titik sekutu. (iii) garis l dan bidang α sejajar jika garis l dan bidang α tidak mempunyai titik sakutu 5. Kedudukan dua bidang dalam ruang Jika diketahui bidang α dan β maka kedudukan bidang tersebut adalah … (i) Sejajar, jika kedua bidang tidak mempunyai titik sekutu (ii) Berpotongan, jika kedua bidang α dan β itu bersekutu tepat pada satu garis. 6. Sudut antara dua bidang g α
C
m β h
(i) tentukan garis potong antara bidang α dan bidang β (garis m) (ii) tentukan titik sembarang pada garis m (misalnya titik C) (iii) tarik garis g yang terletak pada bidang α, m dan melalui C (iv) tarik garis h yang terletak pada bidang β, m dan melalui C (v) sudut yang dicari (sudut ) adalah sudut antara garis g dan h
Irvan Dedy
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
7.
Sudut antara garis dan bidang P m
T
D α
(i) cari titik tembus garis m dengan bidang (titik T) (ii) cari titik ujung garis (titik P) (iii)proyeksikan titik P pada bidang sehingga diperoleh titik D (iv) sudut yang dicari adalah sudut yang dibentuk garis m dan TD
Irvan Dedy
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
STATISTIKA Ukuran Pemusatan
1. Rata-rata (Mean)
x
xi
n
2. Median = nilai tengah setelah data diurutkan 3. Modus = nilai yang paling sering muncul 4. Kuartil = nilai perempat setelah data diurutkan Q1 = kuartil bawah Q2 = median Q3 = kuartil atas Jika seluruh data dikali dengan n maka ukuran pemusatan akan dikali n Jika seluruh data dibagi dengan n maka ukuran pemusatan akan dibagi n Jika seluruh data ditambah dengan n maka ukuran pemusatan akan ditambah n Jika seluruh data dikurang dengan n maka ukuran pemusatan akan dikurang n Ukuran Penyebaran
1. Jangkauan = data terbesar – data terkecil 2. simpangan rata-rata = 3. simpangan baku =
xi x n
(x i x)2 n
4. jangkauan kuartil = Q3 – Q1 5. simpangan kuartil = 12 ( Q3 – Q1) Jika seluruh data dikali dengan n maka ukuran penyebaran akan dikali n Jika seluruh data dibagi dengan n maka ukuran penyebaran akan dibagi n Jika seluruh data ditambah dengan n maka ukuran penyebaran tidak berubah Jika seluruh data dikurang dengan n maka ukuran penyebaran tidak berubah Data Berkelompok x
f i .x i
xs
f
f i .d i f
d 1 Modus T b d d I 2 1 1 n f k Median T b 2 f M
1 n f k Q 1 T b 4 f Q1 3 n f k Q 3 T b 4 f Q 3
Irvan Dedy
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
LINGKARAN Persamaan Lingkaran Persamaan Lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari R x
Persamaan Lingkaran dengan pusat Persamaan umum Lingkaran 2 x Pusat
1 2
A,
1 2
y
2
y
2
R
2
dan berjari-jari R
(a, b)
( x a ) 2
2
( y
b)
2
2
R
C 0
Ax By
B R
1 4
A
2
1
4 B
Persamaan Garis Singgung 2 Persamaaan garis singgung pada lingkaran x
2
C
y
y mx R 1 m
Persamaan garis singgung pada lingkaran
x2
y2
R
2
dengan gradien m
2
( y b) 2
b m( x a ) R 1 m x1. x y1. y
R
Persamaaan garis singgung pada lingkaran ( x a ) 2 m y
2
2
R dengan gradien
2
dan melalui (x1 , y1 )
R 2
2
Persamaan garis singgung pada lingkaran ( x a )
2
( y b)
2
2
R dan melalui
( x1 , y1 ) ( x1
a )( x
a ) ( y1
Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2
b)( y y
2
b) R
2
Ax By
C 0 dan melalui
(x1 , y1 )
x1 x y1 y 12 A( x x1 ) 12 B ( y y1 ) C 0
Persamaan garis singgung yang ditarik dari titik
(x1 , y1 )
dengan
(x1 , y1 )
(x2, y2) g2 x2 + y2 = R 2 g3 (x3, y3) g p
Langkah-langkah : Tentukan garis polar (g p) dengan persamaan x1. x y1. y
Subtitusikan g p ke persamaan x 2
Persamaan garis singgungnya adalah g 2 : x2 . x y2 . y
Irvan Dedy
y
2
R
2
R
2
sehingga diperoleh ( x2 , y2 ) dan ( x3 , y3 )
2
R dan g 3 : x3 . x y3 . y
R
2
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
SUKU BANYAK
Bentuk umum n n1 n2 anx + an1x + an2x +.... +a1x+ao
Teorema sisa 1. Jika suku banyak f(x) dibagi oleh x a maka sisanya adalah f(a) 2. Jika suku banyak f(x) dibagi oleh ax b maka sisanya adalah f
b a
3. Suku banyak f(x) dibagi oleh (x a )(x b) maka sisanya adalah x q dengan f ( a ) f (b) af (b) bf ( a ) p dan q ab a b 4. Jika suku banyak f(x) dibagi oleh g(x) dan hasil baginya adalah h(x) maka f(x) = g(x).h(x) + sisa derajat f(x) = derajat g(x) + derajat h(x) jika g(x) fungsi linear maka sisa berupa konstanta jika g(x) polinom berderajat n maka sisa merupakan polinom dengan derajat maksimum n – 1
Teorema faktor Jika f(x) suatu suku banyak , maka f(h)=0 jika dan hanya jika x – h merupkan faktor dari f(x)
Menentukan akar-akar rasional suku bnayak Jika f(x) suku banyak maka x – h faktor dari f(x) jika dan hanya jika h adalah akar dari f(x) = 0 Algoritma menentukan akar-akar 1. Jika ao = 0 maka x = 0 merupakan akar dari f(x) = 0, jika tidak lakukan langkah 2 2. Selidiki apakah jumlah koefisien-koefisien f(x) = 0 Jika ya, maka x = 1 merupakan akar dari f(x) = 0 Jika tidak, lakukan langkah 3 3. Periksa apakah jumlah koefisien-koefisien berpangkat genap sama dengan koefisien-koefiien berpangkat ganjil Jika ya, maka x = −1 merupakan akar dari f(x) = 0 Jika tidak lakukan langkah 4 4. Tentukan faktor-faktor dari ao (ao 0), lakukan langkah coba-coba
Irvan Dedy
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
PELUANG Kaidah pencacahan
1. n! = n (n – 1)(n – 2)(n – 3) ….. 3.2.1 2. Permuasi n! Pr n ( n r )! Permutasi siklis = (n – 1)! Permutasi dengan p, q, r unsure sama =
n! p!q! r !
3. Kombinasi n n! n C r r r !(n r )! n n n n Binomial Newton : (a b) n a n a n 1 .b a n 2 .b 2 ... .b n 0 1 2 n
Peluang Suatu Kejadian
1. Peluang =
banyaknya hasil yang mungkin muncul banyaknya seluruh hasil yang muncul
2. Kisaran nilai peluang A adalah 0 P( A) 1 P ( A) P ( A ) 1 c
3. Frekuensi harapan hasil A = n P( A) n = banyaknya percobaan Kejadian Majemuk
1. P(AB) = P(A) + P(B) + P(AB) 2. Kejadian saling lepas : P(AB) = P(A) + P(B) 3. Kejadian saling bebas : P(AB) =P(A)P(B)
Irvan Dedy
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Produk Cartesius : dari A dan B adalah A x B = { (x,y) x A dan x B, A dan B himpunan tak kosong } Sifat : 1. A x B B x A 2. Jika n(A) = n1 dan n(B) = n2, maka n(A x B) = n1 . n2 Relasi : Relasi dari A ke B adalah himpunan bagian dari A x B (R adalah relasi jika R A x B). Sifat : Jika n(A) = n1 dan n(B) = n2, maka banyak relasi dari A ke B atau dari B ke A ada 2 n .n 1 1
2
Fungsi : Fungsi dari A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap elemen A dengan satu elemen B. Sifat : Jika n(A) = n1 dan n(B) = n2, maka banyak fungsi yang dapat dibuat dari A ke B ada n2 n fungsi. 1
A
x
B
f
y
Domain, Kodomain dan Range Fungsi dari A ke B dinotasikan dengan f : A B Jika x A dan y B, maka: f : x y atau y = f(x) Bentuk y = f(x) disebut a t u r a n f u n g s i . Dalam hal ini x disebut v a r i a b e l b e b a s dan y disebut v a r i a b el t a k b eb a s. Dapat pula dikatakan y p e t a ( b a y a n g a n ) d a r i x . Domain (Daerah asal) Fungsi Df = { x y terdefinisi }= A Kodomain (Daerah kawan) adalah K f = B Range (Daerah hasil) adalah R f = { y y = f(x), x Df } Operasi Aljabar pada Fungsi 1) Jumlah fungsi f(x) dan g(x) ditulis : (f + g) (x) = f(x) + g(x) 2) Selisih fungsi f(x) dengan g(x) ditulis : (f – g)(x) = f(x) – g(x) 3) Hasil kali fungsi f(x) dengan konstanta k ditulis : Irvan Dedy
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
(k f)(x) = k f(x) 4) hasil bagi fungsi f(x) dengan g(x) ditulis : (f . g)(x)= f(x) . g(x) 5) Hasil bagi fungsi f(x) dengan g(x) ditulis :
f f (x) (x) g g (x)
6) Perpangkatan fungsi f(x) dengan n ditulis :
f n ( x )
f (x )n
Definisi : Jika fungsi f dan g memenuhi R f Dg maka komposisi dari g dan f, ditulis g o f (berarti f dilanjutkan g) dengan aturan : g o f (x) = g( f (x)). Domain : D g Range
:
f
R g f
x f ( x ) D g D f z z g(R f D g ) R g
Sifat: 1. Tidak komutatif: f o g g o f 2. Assosiatif: ( f o g ) o h = f o (g o h) 3. Terdapat unsur identitas yaitu fungsi I(x) = x sehingga foI=Iof=I Fungsi Invers
Definisi : Jika fungsi f : A B diitentukan dengan aturan y = f(x), maka invers dari f adalah f 1 : B A dengan aturan x = f 1 (y). f 1 bisa berupa fungsi atau relasi (bukan fungsi) Dalam hal f 1 berupa fungsi maka f 1 dinamakan f u n g s i i n v e r s f 1 bisa berupa fungsi atau relasi (bukan fungsi) Dalam hal f 1 berupa fungsi maka f 1 dinamakan f u n g s i i n v e r s
Irvan Dedy
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
Teorema: 1. Fungsi f 1 merupakan fungsi bijektif (satu-satu kepada) 2. Grafik fungsi f (x) dengan f 1(x) simetris terhadap garis y = x Sifat : 1. f o f 1 = f 1 o f = I 2. (f o g)1 = g1 o f 1 3. f o g = h f = h o g 1 4. f o g = h g = f 1 o h
Irvan Dedy
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
LIMIT FUNGSI lim x a
f(x) = L artinya nilai f(x) akan mendekati L untuk nilai x mendekati a.
Fungsi f(x) kontinu di x = a jika lim f(x) = f(a) x a
Berikut sedikit ilustrasi tentang masalah limit dan kekontinuan suatu fungsi. Bisa kita lihat, nilai Lim f(x) belum tentu sama dengan nilai f(a). x a
L
L
a a Lim f(x) = L
Lim f(x) = L
x a
x a
f(a) = L f(x) kontinu di a
f(a) tidak terdefinisi f(x) tidak kontinu di a
a Lim f(x) tidak ada
x a
f(a) tidak terdefinisi f(x) tidak kontinu di
Operasi pada limit 1. Lim [ f(x) + g(x) ] =
Lim
x a
x a
f(x) + Lim g(x) x a
2. Lim [ f(x) g(x) ] = Lim f(x) Lim g(x) x a
xa
3. Lim [ C f(x) ] = C x a
4. Lim [ f(x) g(x) ] =
Lim f(x) x a
x a
5. Lim f(x) = x a
g(x)
xa
Lim f(x), C konstanta x a
Lim f(x) x a
Lim g(x)
, dengan
x a
Lim
g(x)
Lim
g(x) 0
x a
x a
6. Lim [ f(x) ]n = [ Lim f(x)]n x a
Bentuk tak tentu Bentuk Limit bentuk
Bentuk
0 0
x a
, , , 0
0 0
f(x) Lim g(x) x a
dimana f(a) = 0 dan g(a) = 0 disebut bentuk
0 0
. Bentuk ini diselesaikan
dengan cara … Metode pencoretan: f(x) dan g(x) akan mempunyai faktor yang sama, bentuk ini diselesaikan dengan pencoretan faktor yang sama tersebut.
Irvan Dedy
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
Metode L’hopital f ( x )
lim bentuk 0 0 xa g ( x ) f ( x )
f ( x )
maka lim g x = lim g x ( ) ( ) xa xa Limit bentuk ax bx n
lim
x
n 1
px qx m
...
m 1
0 jika n m pa jika n m jika n m
Limit bentuk Bentuk umum : Cara penyelesaian :
Kalikan dengan bentuk sekawan (Baca : f ( x ) + g(x) ) f ( x) g(x)
Lim x
menjadi bentuk
Lim x
f(x)
g(x)
f(x)
. Selesaikan
g(x)
=
Lim x
f(x) g(x) f(x) g(x)
(Lihat sebelumnya)
a 1x 2 bx c a 2 x 2 px q = 1.
b p
untuk a = a1 = a2 2 a 2. untuk a1 > a2 3. untuk a1 < a2
Limit fungsi trigonometri Untuk x 0 Nilai dari sinx x tan x x 2 1 2 cos x 1 x sec x 1 + 1 x 2
tan x sin x
Irvan Dedy
2
1 2
x
3
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
TURUNAN
Definisi : Turunan pertama dari fungsi y = f (x) didefinisikan sebagai berikut : dy f ( x p) f ( x ) f ‘ (x) = y’ = lim dx p 0 p
RUMUS-RUMUS TURUNAN
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Jika y = c ( konstanta ) , maka y’ = 0 n n-1 Jika y = x , maka y’ = n.x Jika y = sin x , maka y’ = cos x Jika y = cos x , maka y’ = –sin x 2 Jika y = tan x , maka y’ = sec x 2 Jika y = cot x maka y’ = – csc x Jika y = sec x maka y’ = secx tan x Jika y = cscx maka y’ = – csc x.cot x Jika y = ln x , maka y’ = 1 x
x
x
10. Jika y = e , maka y’ = e SIFAT-SIFAT TURUNAN
1. Jika y = u ± v , maka y’ = u’ ± v’ 2. Jika y = u . v , maka y’ = u’.v + u.v’ 3. Jika y = u , maka y’ = u '.v 2u.v'
v
v
n
n-1
4. Jika y = u , maka y’ = n. u . u’ 5. Jika y = f ( u ) , maka y’ = f ’ ( u ) . u’ 6. Jika y = f ( t ) dan t = g (x) , maka dy dx
dy dt
.
dt dx
PENGGUNAAN TURUNAN
1. 2. 3. 4. 5.
f ’ (x ) = 0 didapat titik kritis f ’ (x) > 0 f (x) naik f ‘ (x) < 0 f (x) turun f ‘ (x) = 0 dan f “ (x) < 0 didapat titik ekstrim maksimum f ‘ (x) = 0 dan f ” (x) > 0 didapat titik ekstrim minimum
Irvan Dedy
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
INTEGRAL Jika f(x) adalah fungsi yang differensiabel maka f ' ( x) dx adalah f ( x) c
A. Rumus Dasar 1 x n dx 1.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
n 1
1 x
dx
x
x n 1 c
dengan
n 1
1 dx ln x c
sin xdx cos x c cos xdx sin x c sec 2 xdx tan x c csc 2 xdx cot x c sec x. tan xdx sec x c csc x. cot xdx csc x c
B. Integral tentu Jika f ( x )dx g( x ) c maka b
b
a
a
f ( x)dx g(x )
g( b) g (a )
C. Sifat-sifat integral 1. f ( x ) g( x ) dx f ( x )dx g( x )dx 3.
f (x ) g( x) dx f (x)dx g( x)dx kf ( x)dx k f ( x )dx
4.
f ( x )dx f ( x )dx
2.
b
a
a
b
b
c
c
a
b
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
5.
a
f (x)dx 0
6.
a
y = f(x)
D. Menghitung luas daerah y = f(x) a
b b
L=
f ( x)dx a
Irvan Dedy
a
y = g(x)
b x y = f(x)
x
x=a
x=b
b b
L= f ( x )dx
L=
f ( x) g( x )dx a
a
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
E.
Volume Benda Putar y
y = f(x) a
b
x
b
x = f(y) b
b
v = y 2 dx
a
2 v = x dy a
a
F
Integral Parsial
udv uv vdu
Irvan Dedy
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
PROGRAM LINEAR Programing Linier Programing
: :
Alokasi sumber-sumber yang terbatas untuk memenuhi tujuan tertentu. Programing yang menyangkut masalah-masalah dimana hubungan antara variable-variabelnya semua linier.
Beberapa pengertian matematik yang akan dijumpai pada masalah program linier antara lain : 1. Konstrain, yaitu syarat-syarat kondisi yang berhubungan dengan sumbernya. 2. Fungsi Tujuan atau Fungsi Obyektif atau Fungsi Sasaran, yaitu suatu fungsi yang berbentuk Z = C 1 x 1 + C 2 x 2 + C 3 x 3 +………….+ C n x n dimana xi 0 untuk setiap i = 1, 2, 3
3. 4.
…..n. C 1 , C 2 , C 3 ,……. C n biasanya disebut koefisien biaya. Jawab Feasible, yaitu jawab yang memenuhi syarat-syarat yang diberikan. Jawab Infeasible, yaitu jawab yang tidak memenuhi syarat-syarat yang diberikan.
Tujuan dari program linier adalah memaksimalkan atau meminimalkan fungsi obyektif yang berbentuk linier dengan syarat-syarat linier. Pada umumnya model matematik dari bentuk program linier dalam dimensi dua (pada bidang) adalah : Memaksimalkan atau meminimalkan fungsi tujuan Z = C 1 x 1 + C 2 x 2 dengan syarat : K1
a 1 x 1 + a 2 x 2
d
K2
b 1 x 1 + b 2 x 2
d
x1
0
1 2
dan x 2 0
Titik Ekstrim Titik ekstrim adalah suatu titik yang terletak pada daerah jawab sedemikian rupa sehingga fungsi obyektif akan mencapai harga ekstrim di titik tersebut. Contoh : 1.
Maksimalkan fungsi tujuan yang berbentuk Z = 5x 1 + 3x 2 dengan syarat : K1
K2
3x 1 + 5x 2 5x 1 + 2x 2 x1
0
15 10
dan x 2 0
Jawab : Kita tentukan dulu daerah jawabannya (daerah feasible) pada bidang XOY (bidang yang di bangun oleh x1 dan x2), maka daerah jawab adalah OABC dan garis putus-putus adalah garis fungsi tujuan. Terlihat garis-garis yang dibangun oleh fungsi tujuan dan mempunyai kedudukan yang paling tinggi 20 45 adalah garis yang melalui titik B ( , ). Ini 19 19
berarti bahwa Z = 5x 1 + 3x 2 mencapai harga maksimal di titik B. Akibatnya didapat 20 45 3. 12,37 Zmaks 5. 19 19
x2 5
5x 1 + 2x 2 = 10 K2
C 3
3x 1 + 5x2 = 15 K1
B
A 0
2
5
x1
2.
Maksimalkan fungsi tujuan Z = 2,5 x + y dengan syarat : K1
3x + 5y 15
K2
5x + 2y 10
x2
x 0 dan y 0
5
Jawab : Ternyata fungsi tujuan z = 2,5 x + y berimpit dengan garis 5x + 2y = 10, akibatnya
Z maks
5x1 + 2x 2 = 10 K2
C 3
3x1 + 5x 2 = 15 K1
B
5 A 0
3.
2
5
Maksimalkan z = 2x + 2y dengan syarat : K1
y
x y 1
K 2 x
2y
K1
x1 K2
4
x 0 ; y 0 2
Dari gambar diatas kita dapatkan x ~ dan y ~. Dalam hal ini jawab tak terbatas. Dengan kata lain fungsi sasaran tidak mempunyai harga maksimal.
1
1
4
4.
x
Tentukan harga maksimal dari fungsi tujuan z = 3x – 2y dengan syarat : K1
K2
x + y 1
y
2x + 2y 4 x 0 dan y 0 2
Jawab : Pada persoalaan ini kita dapatkan bahwa tidak ada daerah yang memenuhi syarat yang diberikan. Akibatnya tak ada harga x dan y yang memenuhi fungsi tujuan.
K2 1 0
5.
K1 1
2
x
Seorang penjaja buah-buahan yag menggunakan gerobak, menjual apel dan pisang. Harga pembelian apel Rp. 1000,00 tiap kg dan pisang Rp. 400,00 tiap kg. Modalnya hanya Rp. 250.000,00 serta daya tampung gerobak tidak lebih dari 400 kg. Jika keuntungan tiap kg apel dua kali keuntungan tiap kg pisang, maka untuk memperoleh keuntungan sebesar mungkin, pedagang tersebut harus membeli berapa kg apel dan berapa kg pisang. Jawab : Misalkan bahwa banyaknya apel yang harus dibeli x kg, dan pisang y kg. Maka model matematikanya adalah : Fungsi tujuan :
z = p x + ½p y ; p
Dengan syarat :
K1
1000 x + 400 y 250.000
K2
x+y
400
x 0 ; y 0
keuntungan
tiap kg apel
625
O A B C
K1
C 400
y 0 0 250 400
z = p (x + ½ y) 0 250 p 275 p 250 p
B Terlihat dari tabel diatas bahwa Zmaks
K2
250
O
275 p. Jadi
banyaknya apel yang harus dibeli adalah 150 kg dan pisang 250 kg.
A
6.
x 0 250 150 0
400
Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas tempat duduk tak lebih dari 48 orang yang terbagi dalam kelas utama dan kelas ekonomi. Selain itu mampu membawa bagasi maksimal seberat 1440 kg. Setiap penumpang kelas utama dapat membawa bagasi tak lebih dari 60 kg sedangkan untuk kelas ekonomi maksimal 20 kg. Apabila biaya (harga kasrcis) untuk kelas utama dan kelas ekonomi masing-masing adalah Rp. 100.000,00 dan Rp. 50.000,00 perorang, tentukan banyaknya penumpang tiap-tiap kelas agar hasil penjualan karcis terbesar. Jawab : Misalkan banyaknya penumpang kelas utama x orang dan kelas ekonomi y orang, maka didapat model matematika sebagai berikut : Fungsi tujuan
:
z = 100.000 x + 50.000 y
Syarat batas
:
K1
x
K2
60x
+ y 48 + 20y
72 C
1440
48
B
x 0 ; y 0 K2
O A B C
x 0 24 12 0
y 0 0 36 48
z 0 2.400.000 3.000.000 2.400.000
K1 A
0
24
48
Agar hasil penjualan karcis mencapai angka terbesar maka jumlah penumpang kelas utama harus 12 orang sedangkan kelas ekonomi 36 orang.
MATRIKS Bentuk umum suatu matriks adalah : A=
a 11 a 21 :: a m1
a 12
::::
a 1n
a 22
::::
a 2 n
::
::::
::
a m2
::::
a mn
Matriks A diatas memuat m baris dan n kolom, disebut berordo m x n. Transpos suatu matriks t
Transpose suatu matriks A ditulis A adalah matriks dengan menukar elemen-elemen pada baris A dengan elemen-elemen pada kolomnya Kesamaan dua matriks A = B 1. Ordo A = Ordo B 2. elemen-elemen yang seletak nilainya Operasi Jumlah C = A + B 1. Ordo C = Ordo A = Ordo B 2. ci,j = ai,j + bi,j; i baris dan j kolom Sifat operasi penjumlahan 1. Komutatif : A + B = B + A 2. Asosiatif : (A + B ) + C = A + (B + C) 3. Ada matriks 0 sehingga A + 0 = 0 + A = A 4. Ada matriks A sehingga A + (A) = 0 t t t 5. (A+ B) = A + B Definisi A B = A + ( B) Catatan Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya 0. Matriks A diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan 1. Perkalian dengan konstanta C = k A 1. k bilangan real, A dan C matriks berordo sama 2. ci,j = k ai,j; i baris dan j kolom Sifat perkalian dengan konstanta p dan q bilangan real, A dan B matriks, maka (p + q) A = p A + q A p ( A + B) = p A + p B p (q A ) = ( p q) A Operasi Kali C = A B 1. Cm x n = A mxp Bpxn Irvan Dedy
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
2. cij = ai1 b1 j + ai2 b2 j + … + aip bpj Sifat-sifat operasi kali 1. Tidak komutatif: A B B A 2. Asosiatif: (A B) C = A (B C) 3. Distributif A (B + C) = A B + AC 4. Ada matriks Identitas sehingga A I = I A = A 5. Jika A B = 0, belum tentu A = 0 atau B = 0 6. Jika A B = A C maka belum tentu B = C t t t 7. (A . B) = B A Catatan Matriks Identitas adalah matriks ordo n x n (atau bujursangkar) yang semua elemen diagonal a11 = a22 = …= ann = 1 dan elemen lainnya nol Determinan Determinan matriks A ditulis sebagai det(A) atau A.
1. A =
a 11 a 12 a 21 a 22 a 11
2. A = a 21
A=a11 a22 a12 a21 a 13 a 23
a 12 a 22
a 31 a 32
a 33
A=a11 aa 22 32
a 23 a 33
a12 aa 21 31
a 23 a 33
+a13
a 21
a 22
a 31
a 32
Cara lain adalah dengan metode Sorrus
A =
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a12 a21 a22 a31 a32
= (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) Sifat det (A B) = det(A) det (B) det (A + B) det(A) + det(B) n A ordo nxn det(k A) = k det(A) t det (A ) = det(A) 1 det ( A ) = det1 A Invers Matriks 1 Invers dari matriks A ditulis A dan didefinisikan sebagai berikut
A invers A 1
1. A matriks ordo n x n 2. A A = A A = I 1
Irvan Dedy
1
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
A=
a c
A1 = d b
1 A
d b c a
Sifat Invers matriks 1 1 1. A = B B = A 1 1 2. (A ) = A 1 1 1 3. (A B ) = B A 1 A B = C A = C B 1 A B = C B = A C
Ketiga kalimat berikut mempunyai pengertian sama 1. A singular 2. A tidak punya invers 3. det A = 0
Irvan Dedy
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
VEKTOR Vektor adalah besaran yang mempunyai arah. Dilukiskan sebagai panah. Vektor dengan titik pangkal A(a x,ay, a z) dan titik ujung B(b x, b y, b z) dinotasikan dengan
b x a x AB . AB = b y a y b z a z
B (ax, ay, az)
A(a x,ay,az)
cara menuliskan vektor, yaitu …
a
a1
= a2 = (a1, a2, a3) = a1 ˆi + a2 jˆ + a3 k ˆ
a3
Misalkan a = (a1, a2, a3) Notasi : | a | (baca panjang vektor a ) |a |
Definisi :
2
=
a1
a2 2 a32
Ciri vektor adalah panjang dan arah vektor tersebut . Sebuah vektor tidak tergantung pangkal dan ujungnya, boleh digeser selama tidak merubah arah dan panjangnya a
=
b
a b arah a dan b
Vektor dengan titik pangkal O(0, 0, 0) disebut vektor posisi Perhatikan gambar A
z
B O x
a
=
OA
adalah vektor posisi titik A
=
OB
adalah vektor posisi titik B
b
Maka
AB
=
b
a
operasi pada vektor Secara analitik (aljabar)
Irvan Dedy
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
Misalkan
a
= (a1, a2, a3),
Maka
b
= (b1, b2, b3) a , k bilangan real
+
a
b
= (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)
k
a
= (k a 1, k a2, k a3)
Berikut ini adalah sifat-sifat penjumlahan vektor
1.
Komutatif :
a
+
2.
b
=
Assosiatif : ( a +
b
b
+
a
) + C = a + ( b + C )
3. Ada unsur identitas yaitu 0 = (0, 0, 0) se hingga
4. Ada vektor a sehingga
a
+( a ) =
a
+
0
=
0
+
a
=
a
0
Operasi pada vektor Secara geometri
Aturan Jajaran Genjang
a
a + b
b
Titik pangkal a dan b harus sama. Lukiskan jajaran genjang. a + b adalah vektor diagonal. Aturan segitiga
a
R
+ b
b
P
Q
a
U jung a menjadi pangkal a + b = PQ + QR = PR
b
Vektor 0 dapat dilukiskan sebagai sebuah titik. Vektor 0 tidak mempunyai arah. gambaran lebih jauh vekto r a adalah Misalkan a = PQ = (a1, a2, a3) Maka a
Q
a
Q
a
P P
= QP = (a1, a2, a3)
Irvan Dedy
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
b sejajar ( segaris) dengan a k a b k a , k suatu konstanta
a
b
a
k a , k > 0
sejajar dengan
b
a
k a , k < 0
= k b
searah dengan b a = k b , k > 0 a berlawanan arah dengan b a = k b , k < 0
a
a
=
, b = TQ , C = PQ : QR = m : n
TP
Maka n b = m n
m
P
TR
Q
R
b
a
n C
T
a
+
m
mn
C
Perkalian titik | | cos a . b = | a | b
a
b
Misalkan a = (a1, a2, a3 ), b = (b1 , b2, b3) Maka berlaku … a b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
= ( a , b ) cos =
a b | a | | b |
=
a 1 b1 a 2 b 2 a 3 b 3 | a | | b |
Sifat-sifat 1. a b = b a 2. a ( b + C ) = a b + a C 3. a a = a 2 4. a tegak lurus b a b = 0 Proyeksi suatu vektor pada vektor yang lain
Vektor C adalah proyeksi vektor
a
pada vektor b . Rumusan C dan
| c|
sebagai berikut …
a
a.b
c
b
a.b
C
c
b
2
b
b
Irvan Dedy
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
TRANSFORMASI
Jika titik (x, y) ditransformasikan oleh matriks M sehingga memiliki bayangan (x’, y’) maka berlaku x x' M y y ' MATRIKS TRANSFORMASI Matriks pencerminan
1
0
terhadap sumbu x
1
0
1 0 terhadap sumbu y 0 1 0 1 terhadap garis y = x 1 0 0 1 terhadap garis y = - x 1 0 Matriks Rotasi 0 1 R90 o 1 0
1 0 R180 o 0 1
Dilatasi faktor skala k
0 1 R270 o 1 0
cos R sin
sin cos
k 0 0 k
Rotasi terhadap titik (a, b) x a x 'a R y b y ' b R = matriks rotasi Dilatasi terhadap titik (a, b) dengan faktor skala k k 0 x a x'a
0 k y b y ' b
Pencerminan terhadap garis
1 m 2 2 1 m 2m 1 m 2
Irvan Dedy
y mx n
yang melalui (a, b)
x a x'a 1 m 2 1 m y b y 'b 1 m 2 2m
2
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
BARISAN DAN DERET Un = Sn Sn1 Un = Suku ke n Sn = Jumlah n suku pertama
berlaku untuk setiap deret
Deret aritmatika u2 – u1 = u3 – u2 = un – un – 1 Un = a + (n1) b n n Sn = (a U n ) = 2a (n 1)b 2 2 U Un Suku tengah Ut = 1 2 a = suku awal b = beda = un – un – 1 ut = suku tengah b Sisipan b’ = k 1 b' = beda baru k = banyak sisipan
Deret Geometri u2 u1
u3 u2
un un 1
n1
Un = ar a(r n 1) a(1 r n ) Sn = r 1 1 r Suku tengah Ut = U1U n a = suku awal r = rasio =
un u n 1
Sisipan r ' k 1 r r' = rasio baru k = banyak sisipan
Deret Geometri tak hingga S
a
1 r
Irvan Dedy
syarat
1 r 1
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
EKSPONEN PANGKAT TAK SEBENARNYA
Definisi
n
1.
a,.a, a………...a = a
2.
a = 1 untuk setiap a 0
3.
a
4.
a
5.
n buah
0
a
n
1
=
1 2n
untuk setiap a 0
n
=
n
a untuk setiap a 0 dan n genap positif
n
=
n
a untuk setiap a bila n ganjil positif
1
Sifat-sifat
a. b.
n
m
a .a =a an
mn
= an m dengan a 0
m
a
c.
(a n ) m = a mn
d.
a m / n =
e.
(a.b)
f.
a b
n
n
am
= a n .b n
n
an bn
; b 0
Sifat Persamaan
1.
2.
x
Jika a = a x
y
dengan a 0 dan a 1, maka : x = y
x
Jika a = b dengan a = b atau x = 0 untuk setiap a ; b 0
Sifat Pertidaksamaan x
y
Jika a a dengan a 0, maka 1. x y untuk a 1 2. x y untuk 0 a 1
Irvan Dedy
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
