Matematika SMA

BENTUK PANGKAT DAN AKAR A.

PANGKAT BULAT POSITIF #(1) a.

Definisi

Jika a bilangan real dan n bilangan bulat positif, maka :

a1n4=4 a4 ×2 a ×4a4 ....4 ×3a sebanyak n a = bilangan pokok n = pangkat (eksponen) Contoh :

1. 73 = 7 x 7 x 7 4

2 2 2 2 2 2.   = × × × 3 3 3 3 3 b.

SifatSifat-Sifat Eksponen

1. a . a = a m

2.

n

am a

= a m−n

n

2.

m

=

am bn

35

= 3 7 −5 = 3 2

3. 7 5 ,b ≠ 0

5. (a × b) m = a m × b n

B.

37

( )

3. (a m ) n = a mn a 4.   b

Contoh :

1. 123 × 125 × 12 = 12(3+5+1)

m+ n

2

= 710

4

34 3 4.   = 2 2 2

5. (2 × 3)5 = 2 5 × 35

PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL #(02) • Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m bilangan bulat positif maka : a −m =

1

atau

am

1 a −m

a = a m maka berlaku juga   b

• Jika a bilangan real dan a ≠ 0 maka a 0 = 1 Contoh :

1. 2 −3 =

1 2

3

=

1 8

−m

b =  a

m

1

2. 3

= 3 4 = 81

−4

 2 3.   5

−4

1

=

2   5

4

=

1 2

4

=

54

1 625 = 16 16 625

4. (− 23)0 = 1 0

2 5.   = 1 3

C.

PANGKAT RASIONAL #(03) Jika a bilangan real, m dan n bilangan asli dengan n ≥ 2 maka : 1.

1 an

2. a 3. a

=n a

m n

−

=

m n

n

=

am

1 n

am

Contoh :

1.

1 83

2.

55 =

3.

81 2 = 2 81 = 81 = 9

= 3 8 = 3 23 = 2

2 5

52

1

4.

16

−

1 2

=

1 1 16 2

=

1 16

=

1 4

D.

BILANGAN RASIONAL, IRASIONAL DAN BENTUK AKAR #(04)

a.

Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yanga dapat dinyatakan sebagai pecahan

a dengan a,b bilangan bulat dan b ≠ 0. b

Contoh :

1. 4 =

4 1

2. 0,13 =

13 100

3

5.

3. 0,232323 .... = b.

9 =3

4.

125 = 5

Bilangan rasional

23 99

Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan

a dengan a,b bilangan bulat dan b ≠ 0. b

Contoh :

1. 1,7320508 ......

2 , 17 , 5

2. 3. c.

3

Bilangan irrasional

7, 5 8

Bentuk Akar

Bentuk akar adalah akar suatu bilangan real positif yang hasilnya bukan bilangan rasional. Contoh :

3, 5, 8

Berikut operasional dalam bentuk akar : 1. 2. 3.

a × b = a×b

a c × b d = ab cd

a a = ,b ≠ 0 b b

4.

a c + b c = (a + b) c

5.

a c − b c = (a − b) c

Contoh :

1.

5× 3 =

5 × 3 = 15

2. 2 3 × 4 5 = 8 15

3.

3 = 5

3 5

4. 2 7 + 6 7 = (2 + 6) 7 = 8 7 5. 2 7 − 8 7 = (2 − 8) 7 = −6 7 Berikut operasional akar bentuk khusus : 1.

(a + b) + 2 ab = a + b

2.

(a + b) − 2 ab = a − b , dengan a > b

Contoh :

d.

1.

12 + 2 35 = (7 + 5) + 2 7 × 5 = 7 + 5

2.

7 − 2 1 2 = ( 4 + 3) − 2 4 × 3 = 4 − 3 = 2 − 3

3.

5 − 24 = 5 − 4 ⋅ 6 = 5 − 2 6 = (3 + 2) − 2 3 × 2 3 − 2

4.

8 + 4 3 = 8 + 2 ⋅ 2 3 = 8 + 2 4 ⋅ 3 = 8 + 2 12 = (6 + 2) + 2 6 ⋅ 2 = 6 + 2

Merasionalkan Pecahan #(05)

Merasionalkan bentuk akar adalah menjadikan penyebut pecahan bentuk akar menjadi bilangan rasional . Caranya kalikan penyebut dengan bentuk sekawannya : 1.

2.

3.

4.

5.

a

=

b c

a+ b c a− b

a b = =

c a+ b c a− b

×

b b

=

c

×

a+ b c a− b = =

a b b

×

a− b a− b a+ b a+ b

c a+ b c a− b

× ×

Contoh :

1.

2 3

=

2 3

×

3 3

=

2 3 3

=

c (a − b ) a2 − b

=

c(a + b ) a2 − b

a− b a− b a+ b a+ b

=

c( a − b ) a −b

=

c( a + b ) a−b

2.

3.

4.

5.

E.

5

=

2+ 3

3

=

4− 5 5

6+ 3

4 5− 2

5 2+ 3

3 4− 5

×

×

2− 3 2− 3

4+ 5 4+ 5

5

=

6+ 3

4

=

5− 2

×

×

=

5(2 − 3) = 5(2 − 3) = 10 − 5 3 4−3

=

3(4 + 5 ) 3(4 + 5 ) 12 + 4 5 = = 11 11 16 − 5

6− 3 6− 3

5+ 2 5+ 2

=

5( 6 − 3) 5( 6 − 3) = 6−3 3

=

4( 5 − 2 ) 4( 5 − 2 ) = 5−2 3

PERSAMAAN EKSOPONEN #(06) 1.

a f ( x ) = a p maka f ( x ) = p syarat : ( a > 0, a ≠ 1)

2.

a f ( x ) = a g ( x ) maka f ( x ) = g ( x ) syarat : ( a > 0, a ≠ 1)

3.

a f ( x ) = b f ( x ) maka f ( x ) = 0 syarat : ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, a ≠ b )

4.

5.

{h( x)} f ( x ) = {h( x)}g ( x ) , maka berlaku : a.

f ( x) = g ( x)

b.

h( x) = 1

c.

h ( x ) = 0 , syarat f ( x ) & g ( x ) > 0

d.

h ( x ) = − 1 , syarat f ( x ) & g ( x ) keduanya genap atau f ( x ) & g ( x ) keduanya ganjil

{ f ( x )}h ( x ) = {g ( x)}h ( x ) , maka berlaku : f ( x) = g ( x) h ( x ) = 0 , syarat f ( x ) & g ( x ) ≠ 0

a. b. Contoh :

1.

Diketahui 4 2 x +1 = 8 , maka nilai x nya adalah.... Pembahasan :

(2 )

4 2 x +1 = 8

2 2 x +1

2

4 x+2

=2

= 23

3

2x + 2 = 3 4x = 3 – 2 4x = 1 x=¼

2.

Nilai x yang memenuhi persamaan 5 5 x −3 = 125 x + 3 adalah..... Pembahasan :

5x − 3 = 3x + 9 5x − 3x = 9 + 3 2x = 12 x=6

5 5 x −3 = 125 x + 3

55 x −3 = (53 ) x+3 5 5 x −3 = 5 3 x + 9 3.

2 2 3 x −5 x + 6 = 5 x −5 x + 6 Carilah nilai

x yang memenuhi !

Pembahasan : 2 2 3 x −5 x + 6 = 5 x −5 x + 6

x2 − 5x + 6 = 0 ( x − 2 )( x − 3) = 0

x = 2 dan x = 3 4.

Nilai-nilai

x yang mungkin dari persamaan ( x − 2) 2 x = ( x − 2) 4 x− x

adalah.... Pembahasan :

( x − 2) 2 x = ( x − 2) 4 x − x

2

( x − 2) → kita anggap sebagai h(x)

→ kita anggap sebagai f(x) 2x 2 4x – x → kita anggap sebagai g(x) Maka berlaku : a. f ( x ) = g ( x )

2x = 4x − x 2 2x − 4x + x 2 = 0 x 2 − 2x = 0 x ( x − 2) = 0

x = 0 atau x = 2 b.

h( x) = 1

x − 2 =1 x=3 c.

h ( x ) = 0 , syarat f ( x ) & g ( x ) > 0

x−2 = 0 x=2 Masukan x = 2 ke f ( x ) & g ( x )

f ( x) = 2 x f ( 2) = 2( 2) = 6 , f ( x ) > 0 (memenuhi)

g ( x) = 4 x − x 2

2

g (3) = 4(2) − 2 2

= 8 − 4 = 4 , g ( x ) > 0 (memenuhi) Karena untuk x = 2 memenuhi syarat f ( x ) & g ( x ) > 0 maka x = 2 d.

termasuk dalam penyelesaian. h ( x ) = − 1 , syarat f ( x ) & g ( x ) keduanya genap atau f ( x ) & g ( x ) keduanya ganjil. h( x ) = −1

x − 2 = −1 x =1 Masukan x = 1 ke f ( x ) & g ( x )

f ( x) = 2 x f ( 2) = 2(1) = 2 ( genap )

g ( x) = 4 x − x 2 g (2) = 4(1) − 12 = 4 − 1 = 3 ( ganjil ) Karena untuk x = 1 ternyata f ( x ) & g ( x ) keduanya menghasilkan nilai genap dan ganjil maka x = 1 tidak termasuk dalam penyelesaian. Jadi semua nilai x yang memenuhi( himpunan penyelesaianya adalah {0,2,3} 5.

x Diberikan persamaan (2 x + 4)

2

−3 x + 2

= ( x − 1) x

2

−3 x + 2

maka nilai-nilai x

memenuhi syarat adalah.... Pembahasan :

(2 x + 4)

→ kita anggap sebagai f(x)

( x − 1)

→ kita agnngap sebagai g(x)

x 2 − 3 x + 2 → kita anggap sebagai h(x) Maka berlaku : a. f ( x ) = g ( x )

2x + 4 = x − 1 2x − x = −1 − 4 x = −5 b. h ( x ) = 0 , syarat f ( x ) & g ( x ) ≠ 0

x 2 − 3x + 2 = 0 ( x − 2 )( x − 1) = 0

x = 2 atau x = 1 Masukan x = 2 dan x = 1 kedalam f(x) dan g(x) harus memenuhi syarat f ( x ) & g ( x ) ≠ 0

Kita masukan x = 2 ke f(x) dan g(x): f ( x) = 2 x + 4

f ( 2 ) = 2 ( 2) + 4 = 8 , f(x) ≠ 0 maka memenuhi syarat. g ( x) = x − 1 g ( 2 ) = 2 − 1 = 1 , g(x) ≠ 0 maka memenuhi syarat. Karena untu x = 2 memenuhi syarat f ( x ) & g ( x ) ≠ 0 maka x = 2 adalah penyelesaian. Kita masukan x = 1 ke f(x) dan g(x): f ( x) = 2 x + 4

f (1) = 2 (1) + 4 = 6 , f(x) ≠ 0 maka memenuhi syarat. g ( x) = x − 1 g (1) = 1 − 1 = 1 , g(x) = 0 maka tidak memenuhi memenuhi syarat. Kareana untuk x = 1 tidak memenuhi syarat untuk g(x) maka x = 1 tidak termasuk dalam penyelesesaian. Maka nilai-nilai x yang merupakan penyeleseaian adalah { - 5, 2 }

F.

GRAFIK FUNGSI EKSOPONEN #(07) Fungsi eksponen adalah fungsi yang memetakan nilai x ke ax dengan bentuk umum :

f ( x ) = a x dengan syarat a > 0, x ≠ 1 Ada dua jenis bentuk grafik yaitu untuk a > 1 dan untuk 0 < a < 1

a.

Grafiks eksponen untuk

a >1

Kita punya persamaan f ( x ) = 2 x , mari kita gambar dengan menempatkan titik koordinat dengan bantuan tabel sebagai berikut : -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

y = f ( x)

1 16

1 8

1 4 Y 16

1 2

1

2

4

8

4 16

y = 2x

Nilai x semakin besar (semakin positif) maka nilai y dua kali lipat semakin besar. Nilai x semakin kecil (semakin

8

negatif) maka nilai y setengah kali lipat semakin kecil

4 2 1 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4

X

b.

Grafiks eksponen untuk

0 < a <1 x

1 Kita punya persamaan f ( x) =   , mari kita gambar dengan  2 menempatkan titik koordinat dengan bantuan tabel sebagai berikut : -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

y = f ( x)

16

8

4

2

1 2

1

1 4

1 8

4

1 16

Y 16

Nilai x semakin kecil ( semakin negatif) maka nilai y dua kali lipat semakin besar.

Nilai x semakin besar (semakin

8

positif) maka nilai y setengah kali lipat semakin kecil

4 2 1 1 2

-4 -3 -2 -1

X

3 4

dengan penggambaran dua grafik diatas maka dapat disimpulkan bahwa grafik y = a x dapat digambarkan dengan :

y = ax untuk 0 < a < 1

Y

y = ax untuk a > 1

X

SOALSOAL-SOAL LATIHAN −1

1.

 3 −1 a 3b −4   adalah… Bentuk sederhana dari  −2  2a b  A.

2a 5 3b 5

B.

3a 5 2b 5

C.

a5 6b 5

D.

6a 5 b5

E.

6b 5 a5

UN MAT IPS 2012 (A35-04)

2.

Bentuk sederhana dari

5+ 3 5− 3

adalah…

A. 4 − 2 15 B. 4 − 15 C. 4 + 15 D. 4 + 2 15 E. 8 + 2 15 UN MAT IPS 2012 (A35-05) −1

3.

 2a 5 b −5   adalah … Bentuk sederhana dari  9 −1   32a b  A. (2ab )

4

B. (2ab )

2

C. 2ab D. (2ab)

−1

.

E. (2ab)

−4

UN MAT IPS 2011 (54 – 01)

4.

Bentuk sederhana dari (5 3 + 7 2 )(6 3 − 4 2 ) adalah … A. 22 − 24 3

.

B. 146+ 22 6 C. 22 + 34 6 D. 34 + 22 6 E. 146+ 22 6 UN MAT IPS 2011 (54 – 02)

(m ) Bentuk sederhana dari

2 −2

5.

⋅ n5 = ... m −5 ⋅ n 4

A. mn B.

m n

C.

n m

m2 D. n E. m 2 n UN MAT IPS 2010 (XX-04)

6.

Hasil dari (2 2 − 6 )( 2 + 6 ) adalah... A. 2(1 − 2 ) B. 2( 2 −

2)

C. 2( 3 − 1) D. 3( 3 − 1) E. 4( 2 3 + 1) UN MAT IPS 2010 (XX-05)

7.

Nilai dari

a 2 b 3 c −1 , untuk a = 2, b = 3 dan c = 5 adalah… a − 2 bc 2

A.

81 125

B.

144 125

C.

1296 125

D.

432 125

E.

2596 125

UN MAT IPA 2012 (A35-03)

8.


(

A. −

1 − 11 + 4 10 13

B. −

11 − 1 + 4 10 13

C.

(

1 11 − 4 10 13

D. − E.

(

5 +3 2

adalah…

)

)

)

(

1 11 + 4 10 13

(

5− 2

1 − 11 + 4 10 13

) )

UN MAT IPA 2012 (A35-04)

9.

Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah… A. f ( x) = 2

x

B. f ( x) = 2

x +1

Y

C. f ( x) = 2 + 1

3

D. f ( x) = 3 + 1

2 (0,2)

x

x

E. f ( x) = 3

1

x

UN MAT IPA 2012 (A35-19)

(1,3)

-1

1

X

10.


A.

x10 z 10 12y 3

B.

z2 12 x 4 y 3

7 x 3 y −4 z −6 = ... 84x −7 y −1 z −4

x 10 y 5 C. 12z 2 y3z2 D. 12x 4 E.

x10 12 y 3 z 2

UN MAT IPA 2011 (D10-12)

11.


A.

20 + 5 15 22

B.

23 − 5 15 22

C.

20 − 5 15 − 22

D.

20 + 5 15 − 22

E.

23 + 5 15 − 22

5+2 3 5 −3 3

=…

UN MAT IPA 2011 (D10-16)

12.

Bentuk sederhana dari A. B. C. D.

. .

adalah ...

E. UN MAT IPA 2010 (D10-02)

13.


√

√

√

adalah ...

A. 12 +√2 B. -12 + 8√2 C. -12 + √2 D. -12 - √2 E. -12 - 8√2 UN MAT IPA 2010 (D10-03)

14.

Bentuk 3 24 + 2 3 ( 32 − 2 18 ) dapat disederhanakan menjadi…

6

A.

B. 2 6 C. 4 6 D. 6 6 E. 9 6 UN MAT IPA 2008 (D10-03)

15.

Bentuk sederhana dari (1 + 3 2 ) − ( 4 − A.

− 2 2 −3

B.

−2 2 +5

C.

8 2 −3

D.

8 2 +3

E.

8 2 +5

50 )

UN MAT IPA 2007 (D9-01)

16.

Jika a dan b adalah bilangan bulat positif yang memenuhi ab = 220 - 219. Maka nilai a + b adalah... A. 3 B. 7 C. 19 D. 21 E. 23 SNMPTN MATDAS 2012 (821-01)

17.

Jika n memenuhi :

25 0 , 25 x 25 0 , 25 x 25 0 , 25 x... x 25 0 , 25 = 125 , perkalian tersebut sebanyak n kali. Maka nilai dari ( n − 3)( n + 2 ) = ... A. 36 B. 32 C. 28 D. 26 E. 24 SNMPTN MAT DAS 2010 (XX-02)

18.

1 − 2 Jika 1 + 2

1 5 = a + b 5 , maka a + b = ... 1 5

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 SNMPTN MAT DAS 2008(XX-05)

19.

Dalam bentuk pangkat positif

x −2 − y −2 ( xy ) − 2

= ...

A. ( x + y)( x − y) B. − ( x + y)( x − y) C. ( x − y ) 2 D. x( x − y) E. − x( x − y) SNMPTNMAT DAS 2008 (XX-06)

3 5− x

20.

Nilai x yang memenuhi persamaan

4 8

=

1 2 2 x +1

adalah…

A. - 4 B. - 1 C. – 1/2 D. 1/4 E. 2 SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-18) 3

21.

1

1

Jika p = ( x 2 + x 2 )( x 3 − x

− 13

1

) dan q = ( x 2 + x

− 12

1

)( x − x 3 ) , maka

p = ... q

A. 3 x 3 B. x 2 C. x

D. x.3 x 3

E. x. x 2 SPMB MAT DAS 2006 (XX-01)

22.

Jika a > 0, b > 0 dan a ≠ b , maka A.

( a + b ) −1 ( a −2 − b −2 ) ( a −1 + b −1 )( ab −1 − a −1b)

−1 ( a + b) 2

B. ( a + b ) 2 C.

− ab ( a + b) 2

ab a+b E. ab D.

SPMB MAT DAS 2006(XX-02)

23.

8x

Jika

2

y

= 32 dan 4 x.2 y = 32 2 , maka x + y = ….

A. 1 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8 SPMB MAT IPA 2006 (XX-15)

( x ) 6

24.

2

x 2 ⋅ x + 1   = .... 6 x ⋅ x +1 3

A. x x + 1 B. x C. 1 D.

1 6

x2

= ...

E.

x x +1

UM UGM MAT DAS 2008 (XX-11)

25.

(

)(

5 3+ 2 3− 2 2 2− 3 A.

)3 = ....

3− 2

B. 3 3 − 2 2 C. 2 2 − 3 3 D. 3 2 − 2 3 E. 4 2 − 3 3 UM UGM MAT DAS 2007 (XX-01)

26.

Bentuk sederhana dari A.

8+ 7

B.

7+ 6

C.

8 +1

D.

5+ 2

E.

4+ 3

7 + 48 adalah ….


 −4 x y   27.


A. y B. x C. xy

2 3

   

1 2

1 6

   x y −1      7 3

     x y 3   x y −5          1 2

1 4

1 2

1 3

adalah ….

D.

x y

E.

y x


28.

Jika diketahui x dan y adalah bilangan riil dengan x > 1 dan y > 0. Jika xy = xy dan

x = x 5y , maka x2 + 3y = …. y

A. 29 B. 28 C. 27 D. 26 E. 25 SIMAK UMI MAT DAS 2012 (221-03)

29.

3 + 2 2 − 2 = .... A.

4 2

B.

3+ 2

C.

2

D. 1 E. 0 SIMAK UI MAT DAS 2009 (911-01)

30.

Jika a =

2+ 3 2− 3 dan b = maka a + b = …. 2− 3 2+ 3

A. 0 B. 1 C. 8 D. 10 E. 14 SIMAK UI MAT DAS 2009 (921-01)

LOGARITMA A.

DEFINISI #(01) Logaritma adalah kebalikan dari perpangkatan atau eksponen, berikut contohnya : 32 = 9

3

log 9 = 2

ditulis dalam logaritma

am = b

a

log b = m

syarat logaritma :

istilah logaritma

a > 0, b >0 dan a ≠ 1

a disebut bilangan pokok b disebut numerus m disebut hasil logaritma

Catatan :

1.

a

log1 = 0 berapapun bilangan pokoknya bila numerus logaritmanya 1,

maka hasilnya 0. 2.

a

log a = 1 bila besar bilangan pokok dan numerus sama, maka hasilnya 1.

3. Dalam logaritma bila bilangan pokoknya 10 biasanya tidak perlu dituliskan, misalnya

B.

10

log 5 cukup ditulis dengan log 5 .

SIFAT-SIFAT LOGARITMA #(02) 1.

a

log (b.c) = a log b + a log c

2.

a

log

3.

a

4. 5. 6.

b a = log b − a log c c

log b m = m.a log b 1 an log b = . a log b n m an log b m = . a log b n a

log b =

x x

log b log a

7.

a

8.

a

9.

log b =

b

1 log a

a

maka berlaku :

log b = x maka b log a =

1 x

log b.b log c = a log c

(a)

a logb

=b

n m a logb

maka berlaku :

(a )

m =b n

Contoh : #(03 #(03) 03)

1.

Nilai dari 2 log 48+ 5 log 75− 2 log 3− 5 log 3 adalah.... Pembahasan : 2

log 48+ 5 log 75− 2 log 3− 5 log 3 = ....

= 2 log 48− 2 log 3+ 5 log 75− 5 log 3 48 75 = 2 log + 5 log 3 3 = 2 log 16+ 5 log 25 = 4+2

=6

2.

Jika dietahui 5 log 7 = t maka nilai dari

125

log 49 adalah....

Pembahasan : 125

3

log 49=5 log 7 2

an

ingat bro :

log b m =

ma . log b n

2 5 . log 7 3 2 = t 3

=

3.

Diketahui 5 log 2 = p dan 2 log 7 = r maka nlai

14

log 20 dalam bentuk p

dan r adalah... Pembahasan : 14

log 20 = = =

2 2

log 20 log14

2

log 5.4 2 log 7.2 2

log 4+ 2 log 5

2

log 2+ 2 log 7

Ingat

a

ini bro (sifat 6) :

log b = x maka b log a = 5

log 2 = p → 2 log 5 =

1 x 1 p

1 p p = × 1+ r p 2+

=

Pembilang dan penyebut dikalikan dengan (p) agar tidak muncul

2p +1 p + rp

Jika p > 1, q > 1 dan r > 1 maka

4.

q

log

p . r log q 2 .

p

1 p

r adalah...

log

Pembahasan: q

r

log

2

p . log q .

p

log

r = log q

1 1 r 2 p 2 p . log q . log r 2

1q 1 log p. 2. r log q. p log r 2 2 1 1 = .2. .q log p. p log r . r log q. 2 2 1 1 1 = .q log q. = .(1) = 2 2 2

= jng lupain ini bro ( sifat 7 ) a

5.

log b. b log c = a log c

Bentuk sederhana dari (8)

16

log5

= ....

Pembahasan :

(8)

16

log 5

= (2 ) 3

jng lupain ini bro ( sifat 9 ) 24

log 5

(a )

3 = 5 4 atau 4 5 3

C.

n m a log b

a = 2, b = 5 m = 3, n = 4

PERSAMAAN LOGARITMA #(04) 1.

a

log f ( x ) = a log p , maka f ( x) = p

2.

a

log f ( x ) = a log g ( x ) , maka f ( x) = g ( x)

3.

a

log f ( x ) = b log f ( x ) , maka f ( x) = 1

4.

h( x)

log f ( x ) = h ( x ) log g ( x ) , maka f ( x) = g ( x)

Catatan :

Untuk persamaan seluruh persamaan logaritma berlaku syarat bilangan pokok dan numerus.

∇ log ∆ Numerus harus > 0 Bilangan pokok harus > 0 dan ≠ 1

=

m bn

Contoh :

1.

Himpunan penyelesaian dari 2 log( x + 2) + 2 log x = 3 adalah.... Pembahasan :

2

Catatan

log( x + 2) + 2 log x = 3

3 kita rubah menjadi

log( x + 2) x = 2 log 8 Jadi : 2

2

log 8

, karena 2 log 8 = 3

( x + 2) x = 8 x2 + 2x − 8 = 0

( x + 4)(x − 2) = 0

-4 dan 2 adalah HP

x = − 4 atau x = 2 sementara Untuk pengecekan syarat bil pokok dan numerus kita masukan kembali 4 dan 2 ke soal :

Untuk x = −4⇒ log(−2)+ log(−4) = 3 , x = -4 tidak memenuhi syarat bil 2

2

numerus. Untuk x = 2⇒ log(4)+ log(2) = 3 , x = 2 memenuhi syarat numerus. 2

2

Maka Hp nya {2}. 2.

Nilai x yang memenuhi 3 log( x 2 − x ) = 3 log( x + 8) adalah.... Pembahasan :

log( x 2 − x ) = 3 log( x + 8) Jadi : 3

x2 − x = x + 8 x2 − x − x − 8 = 0 x2 − 2x − 8 = 0

( x − 4)(x + 2) = 0

4 dan - 2 adalah HP sementara

x = 4 atau x = − 2 Nilai 4 dan – 2 kita masukkan ke soal kembali, harus memenuhi syarat bilangan pokok dan numerus : 3

log( x 2 − x ) = 3 log( x + 8)

Untuk x = 4⇒ log(12)= log(12) , memenuhi syarat karena bil pokok dan numerusnya positif. 3

3

Untuk x = −2⇒ log(6)= log(6) , memenuhi syarat karena bil pokok dan numerusnya positif. Maka hpnya { - 2, 4 } 3

3.

3

Himpunan penyelesaian dari 3 log( x 2 − 2 x − 14) = 7 log( x 2 − 2 x − 14) adalah.....

Pembahasan:

log( x 2 − 2 x − 14) = 7 log( x 2 − 2 x − 14) Jadi : 3

x2 − 2x −14 = 1 x2 − 2x −15 = 0 ( x − 5)( x + 3) = 0 x = 5 atau x = − 3 khusus bentuk yang seperti ini tidak perlu di cek syarat numerusnya karena pasti hasilnya akan menghasilkan 1. Maka HP nya adalah { - 3, 5 } 4.

Carilah himpunan penyelesaian dari

x−2

log( x 2 − 4 x + 3) =

x−2

log( 2 x − 5)

.Pembahasan : x−2

log( x 2 − 4 x + 3) = Jadi :

x−2

log( 2 x − 5)

x2 − 4x + 3 = 2x − 5 x2 − 4x + 3 − 2x + 5 = 0 x2 − 6x + 8 = 0 ( x − 2 )( x − 4) = 0

2 dan

4 adalah HP sementara

x = 2 atau x = 4 Nilai 2 dan 4 kita masukkan ke soal kembali untuk pengecekan bil pokok dan numerus .

Untuk x = 2⇒ log(−1)= log(−1) , x = 2 tidak memenuhi syarat bil pokok 0

0

dan numerus. Untuk x = 4⇒ log(3)= log(3) , x = 4 memenuhi syarat bil pokok dan 2

numerus. Maka hp nya {4}

2

D.

GRAFIK FUNGSI LOGARITMA #(05) Grafik bentuk Logaritma adah kebalikan dari bentuk eksponen. Berikut adalah ilustrasinya : f ( x) = 2 x

Y

(2,4)

4 3 2

g ( x ) = 2 log x

(1,2)

(4,2)

(0,1) 1

(2,1) (1,0) 1

2

3

4

Secara umum bentuk grafik logaritma adalah sebagai beriku : a.

Grafik untuk bilangan pokok a > 1

Y

f ( x ) = a log x , untuk a > 1

1 b.

X

Grafik untuk bilangan pokok 0 < a < 1

Y

f ( x ) = a log x , untuk 0 < a < 1

1

X

X

SOALSOAL-SOAL LATIHAN 1.

Diketahui log2 = p . Nilai dari log12 sama dengan… 3

A.

p+2 3

B.

1+ 2 p 3

C.

3p 1+ 2p

D.

2 p +1 3p

E.

p+2 3p

8

UNMAT IPS 2012 (A35-06)

2.

Nilai dari 9 log 25.5 log 2− 3 log 54 = ... A. B. C. D. E.

-3 -1 0 2 3

UN MAT IPS 2011(XX-06)

3.

Nilai dari

1 2

(

)

2 1 log 5×5 log 4× 2 log × 5 log 25 = ... 8

A. 24 B. 12 C. 8 D. -4 E. -12 UN MAT IPS 2010 (XX-06)

4.

Diketahui log3 = x dan log10 = y . Nilai log120 = …. 2

A.

x+ y+2 x +1

B.

x +1 x+ y+2

2

6

C.

x xy + 2

D.

xy + 2 x

E.

2 xy x +1

UNMAT IPA 2012 (A35-05)

5.

Nilai x yang memenuhi persamaan A. B. C. D. E.

1 2

1 2

log( x − 3) − log x = −1 adalah…. 2

x = -1 atau x = 3 x = 1 atau x = -3 x = 1 atau x = 3 x = 1 saja x = 3 saja

UN MAT IPA 2011 (D10-13) 3

6.

Hasil dari

log 5⋅ 5 log 9+ 8 log 2 = ... 2 log 12− 2 log 3

A. B. C. D. E. UN MAT IPA 2010 (D10-04)

7.

Diketahui log √12 + 4 = 3. Nilai 3x = ... A. 15 B. 5 C. D. E.

UN MAT IPA 2009 (D10-02)

8.

Diketahui 2 log 7 = a dan 2 log 3 = b maka nilai dari 6 log 14 adalah… A. B.

a a+b a +1 a+b

C.

a +1 b +1

D.

a a(1 + b)

E.

a +1 a(1 + b)

UN MAT IPA 2008 (D10-04)

9.

Jika 2 log 3 = a dan 3 log 5 = b , maka 15 log 20 = ... A. B.

2 a 2 + ab a(1 + b)

a 2 b +1 D. 2ab + 1 a(1 + b) E. 2 + ab

C.

UN MAT IPA 2007 (D9-02)

10.

Nilai x yang memenuhi persamaan : 2 log 2 log( 2 x + 1 + 3) = 1+ 2 log x adalah… A.

2

log 3

B.

3

log 2

C.

log

2 3

D. -1 atau 3 E. 8 atau ½ UN MAT IPA 2006 (D9-29)

11.

Penyelesaian pertidaksamaan : log( x − 4) + log( x + 8) < log(2 x + 16) adalah… A. x > 6 B. x > 8 C. 4 < x < 6 D. − 8 < x < 6 E. 6 < x < 8 UN MAT IPA 2006 (D9-30)

12.

Nilai x yang

memenuhi pertidaksamaan : 2 log x ≤ log(2 x + 5) + 2 log 2

adalah… A. B. C. D. E.

5 < x ≤ 10 2 − 2 ≤ x ≤ 10 0 < x ≤ 10 − 2 < x < 10 5 − ≤x<0 2 −

UN MAT IPA 2005 (D10-06)

13.

Jika 4log 3 = k, maka 2log 27 adalah... A.

k 6

B. k C. 6k D.

6

k

E. k6 SNMPTN MAT DAS 2012 (821-14)

14.

6(340 )( 2 log a ) + 3 41 ( 2 log a) = 3 43 , maka nilai a adalah… A. B.

1 8 1 4

C. 4 D. 8 E. 16 SNMPTN MATDAS 2011 (XX-01)

15.

Jika 7 log 2 = a dan 2 log 3 = b maka 6 log 98 = ... A. B. C. D.

a a+b a+2 b +1 a+2 a (b + 1) a +1 b+2

E.

a+2 b( a + 1)

SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-16)

16.

Jika a > 0 dan a ≠ 1 memenuhi a A. B. C. D. E.

3

4

1 =  a

−b

, maka 2 log b = ...

1/3 1/2 2/3 1 1/3 1 1/2

SPMB MAT DAS 2007 (XX-01)

17.

Jika 4 log 6 = m + 1 , maka 9 log 8 = ...

3 2m + 4 3 B. 4m + 2 3 C. 4m − 2 3 D. 2m − 4 3 E. 2m + 2 A.


18.

Jika A. B. C. D. E.

81

1 1 1 log = x log = y log , maka 2 x − 3 y = ... x y 81

-162 -81 0 81 162

SPMB MAT IPA 2006 (XX -08)

19.

Jika 2 = 2 − 3 , maka x

A. – 2 B. – ½ C. 1 D. ½

2+ 3

log 4 x = ...

E. 2 UM UGM MAT DAS 2010 (462-11)

20.

Jika

x+ y

log 2 = a dan

A.

a + 3b ab

B.

a+b 2ab

C.

a+b 4ab

D.

3a + b 2ab

E.

3a + b 4ab

x− y

log8 = b , dengan 0 < y < x, maka 4 log(x 2 − y 2 ) = ...

UM UGM MAT DAS 2010 (462-12)

21.

2x + 3y

x y Jika 2 = a dan 2 = b dengan x , y > 0, maka x + 2 y = ...

A. 3/5 B. 5/3 C. 1+ log ab ab

ab

2

2

D. 1+ log a b E.

1+ ab log ab 2

UM UGM MAT DAS 2009 (931-02) 2

22.

Jika α dan β penyelesian persamaan A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 UM UGM MAT IPA 2010 (452-14)

2

( log(

)

log 2 log( x + 7) + 1 = 2

log x + log( x − 3) 2

)

maka α+β=...

23.

Jika f ( x) =

4

log x 2 , maka f (2a) + f   = ... 4 1 − 2⋅ log x a

A. – a B. – 1 C. 0 D. 1 E. a UM UGM MAT IPA 2010 (452-15)

24.

Diketahui

a

A.

q− p 3

B.

q −2p 3

C.

q+ p 3

D.

q + 2p 3

E.

p − 2q 3

log

b a 2 a = p dan logbc = q , maka logb = .... c

UM UGM MAT IPA 2009 (XX-07)

25.

Jika

A.

2

3 2

2

B. C.

1 = 4, maka p2q = …. 4 log p + log q

1 2

D.

3

E. 4 UM UGM MAT IPA 2007 (XX-15)

x2 10000 = 2 (10 log x )−8 26. Hasil perkalian dari nilai – nilai x yang memenuhi 10000 x adalah…. A.

102

B.

103 4

C. 10

5

D. 10 E.

107

SIMAK UI MAT DAS 2012 (221-04)

27.

(

)(

) (

)(

)

Jika diketahui xyz = 26 dan 2 log x 2 log yz + 2 log y 2 log z = 10 dengan

x, y, z ≥ 0, maka

2

log 2 x + 2 log 2 y + 2 log 2 z = ....

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 SIMAK UI MAT DAS 2012 (221-14)

28.

Jika (p,q) merupakan penyelesaian dari sistem berikut : 3

log x + 2 log y = 4

3

log x 2 − 4 log 4 y 2 = 1,

( )

( )

Maka nilai p – q = …. A. 2 B. 4 C. 5 D. 9 E. 13 SIMAK UI MAT DAS 2010 (203-05)

29.

Nilai – nilai x yang memenuhi

2

1 log x − x

1 log  ≥ 0 adalah …. 2

A.

1 ≤ x ≤1 2

B.

1≤ x ≤ 2

C.

1< x ≤ 2

D.

1 ≤ x ≤ 1 atau x > 2 2

E.

1 ≤ x < 1 atau x ≥ 2 2

SIMAK UI MATDAS 2009 (911-15)

30.

3

x− y 3 log x + 2 9 log y = 3 dan log  = 0, maka x + y = ….  2 

1)

2 7

2)

−4 7

3)

−2 7

4)

4 7


PERSAMAAN KUADRAT A.

DEFINISI #(1) Persamaan kuadrat adalah sebuah persamaan yang mempunyai bentuk umum seperti berikut :

ax2 + bx + c = 0 dengan syarat a , b, c ∈ R dan a ≠ 0

B.

PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT #(2) Yang disebut penyelesaian persamaan kuadrat adalah mencari nilai - nilai yang membuat persamaan kuadrat itu menjadi nol. Nilai – nilai pembuat nol inilah yang biasa disebut dengan akar – akar. Contoh :

2 dan 3 adalah akar – akar dari persamaan x − 5x + 6 = 0 , kenapa ?. Karena : 2

2 dimasukan ke x − 5x + 6 akan menghasilkan 0 → 2

2 2 − 5.2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 3 dimasukan ke x − 5x + 6 akan menghasilkan 0 → 2

32 − 5.3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 Akar – akar persamaan kuadrat biasa disebut dengan x1dan bisa disebut dalam lambang yang lain, α dan β misalnya. Penyelesaian persamaan kuadrat ada 3 macam : c. Memfaktorkan

ax2 + bx + c = 0 dapat diuraikan ( x − x1 )(x − x2 ) = 0 Contoh :

1. Himpunan penyelesaian dari x − 7 x + 6 = 0 adalah.... 2

Pembahasan :

x 2 − 7x + 6 = 0 ( x − 1)( x − 6 ) = 0

x1= 1 atau x 2 = 6 Maka HP nya adalah {1,6} 2. Akar-akar dari 2x + 7 x − 15 = 0 adalah.... 2

Pembahasan :

2x 2 + 7 x − 15 = 0

x2 walaupun

1 ( 2 x − 3)( 2 x + 10) = 0 2 ( 2 x − 3)( x + 5) = 0 x=

3 atau x = −5 2

3 2

 

Maka HP nya adalah  ,−5 d. Melengkapkan Kuadrat Sempurna 2

2

b b c ax + bx + c = 0 dapat diubah menjadi  x +  =   − 2a  a   2a  2

Contoh :

1. Penyelesaian dari persamaan x − 6 x + 8 = 0 adalah... 2

Pembahasan :

x 2 − 6 x + 8 = 0 maka diketahui a = 1 , b = −6 , c = 8 , maka berlaku : 2

2

  −6  −6  8  x +  =   − 2 .(1)  1   2 .(1) 

( x − 3)2 = (− 3)2 − 8 ( x − 3 )2 = 9 − 8 ( x − 3) 2 = 1

( x − 3) = ± 1

x − 3 = ±1

x1 = 3 + 1 atau x2 = 3 −1 x1 = 4 atau x2 = 2 e. Rumus ABC

ax + bx + c = 0 dapat diuraikan menjadi x1,2 2

− b ± b 2 − 4ac = 2a

Contoh :

1. Himpunan penyelesaian dari 2 x − 7 x + 5 = 0 adalah.... 2

Pembahasan :

2 x 2 − 7 x + 5 = 0 maka diketahui a = 2, b = −7, c = 5 maka : x1, 2

− ( − 7 ) ± ( − 7 ) 2 − 4( 2 )(5) = 2(2)

x1, 2 =

7 ± 49 − 40 4

x1, 2 =

7 ± 49 − 40 4

7± 9 4 7±3 x1, 2 = 4 7 + 3 10 7−3 4 atau x 2 = x1 = = = 4 4 4 4 5 atau x2 = 1 x1 = 2 5  Maka HP nya adalah  , 1 2  x1,2 =

C.

JENIS - JENIS AKAR #(3) Ternyata tidak semua persamaan kuadrat mempunyai 2 akar, ada yang hanya mempunyai satu akar atau bahkan akar-akarnya tidak nyata / tidak real / irrasional / imaginer. Untuk menentukan jenis akar dari persamaan kuadarat ditentukan dengan nilai deskiriminan (D).

D = b 2 − 4ac Jenis- jenis akar tersebut adalah : a. b. c.

D > 0 ( mempunyai dua akar real berlainan) D = 0 ( mempunyai dua akar real sama/kembar) D < 0 ( akar – akarnya tidak real )

Penggabungan sifat a dan b maka : D ≥ 0 ( mempunayai akar real )

a. D > 0 ( mempunyai dua akar real berlainan) berlainan)

Diberikan persamaan kuadrat x − 7 x + 10 = 0 , ( a = 1, b = − 7, c = 10 ) mari 2

kita cek D nya :

D = b 2 − 4ac D = ( − 7 ) 2 − 4(1)(10 ) = 49 − 40

D=9

Ternyata D nya mengasilkan 9 artinya D > 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar berlainan. Sekarang mari kita cai 2 akar berlainan tersebut :

x 2 − 7 x + 10 = 0 ( x − 2)( x − 5) = 0

x1 = 2 atau x2 = 5 . Benar !!! persamaan mempunyai dua akar real berlainan yaitu 2 dan 5. b. D = 0 ( mempunyai dua akar real sama/kembar)

Sutau persamaan kuadrat x − 6 x + 9 = 0 , ( a = 1, b = − 6, c = 9 ) mari kita 2

cek D nya :

D = b 2 − 4ac D = ( −6) 2 − 4(1)(9) = 36 − 36

D=0 Ternyata D = 0 maka persamaan tersebut mempunyai akar sama/kembar. Mari kita lihat akar tersebut :

x 2 − 6x + 9 = 0 ( x − 3)( x − 3) = 0

x1 = 3 atau x2 = 3 Benar !!! persamaan mempunyai akar yang sama yaitu 3. c. D < 0 ( akar – akarnya tidak real )

Persamaan kuadrat x + 5x + 7 = 0 , ( a = 1, b = 5, c = 7 ) mari kita cek D 2

nya :

D = b 2 − 4ac D = 5 2 − 4(1)(7) = 25 − 28

D = −3 Ternyata D nya mengasilkan – 3, ini artinya D < 0 yang membuat akar – akar persamaan tersebut tida real / imaginer. Apa sih yang disebut tidak real itu ?, yuk kita cari akar-akar persamaan kuadrat tersebut untuk menngtahuinya (kita gunakan rumus ABC):

x 2 + 5x + 7 = 0 , ( a = 1, b = 5, c = 7 ) x1,2 =

− b ± b 2 − 4ac 2a

x1, 2

− 5 ± 5 2 − 4 (1)( 7 ) = 2 (1)

− 5 ± 25 − 28 2

x1, 2 = x1, 2 = x1 =

−5± −3 2

−5+ −3 2

atau x1 =

−5− −3 2

Catatan :

−3

inilah yang menyebabkan akar tersebut

disebut akarnya tidak real. bilangan dalam akar itu harus positif. Contoh : #(4)

1. Jika persamaan x − mx + 4 = 0 mempunyai akar- akar real dan berlainan, maka nilai m yang memenuhi adalah : 2

Pembahasan :

x 2 − mx + 4 = 0 , ( a = 1, b = − m , c = 4) Syarat mempunyai akar rel berlainan adalah D > 0, maka :

D>0 b 2 − 4ac > 0 ( −m ) 2 − 4(1)( 4) > 0

m 2 − 16 > 0 ( m + 4)( m − 4) > 0

m1 = −4 atau m2 = 4 −4
---

++ -4

++ 4

2. Persamaan berikut 3 x 2 + 4 x − 2 p = 0 mempunyai akar kembar, maka nilai p adalah.... Pembahasan :

3 x 2 + 4 x − 2 p = 0 , ( a = 3, b = 4, c = − 2 p ) Syarat mempunyai akar kembar D = 0, maka :

D=0 b − 4ac = 0 2

4 2 − 4(3)( −2 p ) = 0 16 + 24 p = 0 24 p = −16

− 16 24 2 p=− 3

p=

D.

OPERASI AKAR - AKAR #(5) Persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 dengan rumus ABC mempunyai akar – 2

akar : x1 =

− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac dan x 2 = maka : 2a 2a

− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac x1 + x2 = + 2a 2a x1 + x 2 =

− 2b 2a

x1 + x 2 = −

b a

c a

x1 − x 2 = ±

x1 + x 2 = − x1 . x 2 =

b a

c a

x1 − x 2 = ±

Dengan cara yang sama maka akan didapat :

x1 . x 2 =

Inget bro !!!

D a

Rumus – rumus lainnya adalah : 1.

x1 2 + x 2 2 = ( x1 + x 2 ) 2 − 2 x1 x 2

2.

x13 + x 2 3 = ( x1 + x 2 ) 3 − 3 x1 x 2 ( x1 + x 2 )

3.

x + x2 1 1 + = 1 x1 x 2 x1 . x 2

4.

x1 2 x 2 + x1 x 2 2 = x1 x 2 ( x1 + x 2 )

D a

Contoh :

1. Bila x1 dan

x2 adalah akar – akar dari x 2 + 4 x − 3 = 0 maka nilai

x13 + x 2 3 adalah.... Pembahasan :

x 2 + 4x − 3 = 0 x1 + x 2 = −

b a 4 x1 + x 2 = − 1

x1 . x 2 =

c a −3 x1 . x 2 = 1

x1 + x2 = −4

x1. x2 = −3

x13 + x 2 3 = ( x1 + x 2 ) 3 − 3 x1 x 2 ( x1 + x 2 ) = (−4) 3 − 3( −3)( −4)

= −64− 36 = −100 2. Akar – akar persamaan kuadrat x − 8x + m = 0 , adalah α dan β . Jika 2

α = 3β maka nilai m adalah..... Pembahasan :

x 2 − 8x + m = 0 dengan α = 3β b a −8 3β + β = − 1

α +β =−

4β = 8 → β = 2

c a m 6. 2 = 1

α. β =

m = 12

α = 3β α = 3( 2 ) → α = 6

E.

SIFAT AKAR - AKAR PERSAMAAN KUADRAT #(6) a. Mempunyai dua akar positif, syaratnya :

1. D ≥ 0

x1 + x2 > 0 3. x1. x2 > 0 2.

b. Mempunyai dua akar negatif, syaratnya :

1. D ≥ 0

x1 + x2 < 0 3. x1. x2 > 0

2.

c. Mempunyai dua akar berlainan tanda, syaratnya :

1. D > 0

2.

x1. x2 < 0

d. Mempunyai dua akar berlawanan, maka berlaku :

1. D > 0

2.

x1. x2 = 0

Contoh akar berlawanan adalah jika x1

= 3 , maka x2 = −3.

e. Mempunyai dua akar berkebalikan, maka berlaku :

1. D > 0

2.

x1. x2 = 1

Contoh akar berkebalikan adalah jika x1

= 5 , maka x2 = 1 . 5

Contoh :

1. Persamaan 2x − 4x + m = 0 mempunyai dua akar real berlainan dan positif. Maka nilai a adalah... 2

Pembahasan :

2x 2 − 4x + m = 0 , nilai a = 2, b = −4, c = m Syarat persamaan tersebut punya dua akar positif adalah : D>0 1.

ruas kiri dan kanan dibagi - 8.

b 2 − 4ac > 0

Pertidaksamaan bila dibagi negatif

( −4 ) 2 − 4( 2 )( m ) > 0

atau dikali negatif tandanya berubah,

16 − 8m > 0 − 8m > −16 m< 2

2.

b >0 a −4 − >0 2

2>0

x1. x2 > 0

c >0 a m >0 2

m>0

≥

menjadi

≤,

atau

.

x1 + x2 > 0 −

3.

dari

2 Tidak perlu digambar, karena tidak menganung variabel dan ini merupakan sudah merupakan pernyataan yang benar.

Kedua ruas dikali 2.

0

≤

menjadi

≥

Gabungan syarat 1, 2 dan 3 adalah :

0

2

Maka nilai m yang memenuhi adalah 0 < m < 2 2.

Suatu persamaan kuadrat 3 x 2 + ( m + 4) x − 5 = 0 mempunyai akar – akar berlawanan, maka nilai m yang memenuhi adalah.... Pembahasan : 2

3 x + (m + 4) x − 5 = 0 , a = 3, b = m + 4, c = − 5 Syarat mempunyai dua akar yang berlawanan :

x1 + x2 = 0

b =0 a (m + 4) =0 − 3 −

−m−4 = 0

−m=4 m = −4

F.

MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT BARU #(7) Jika persamaan kuadrat mempunyai akar – akar x1 dan x 2 maka cara meyusun persamaan kuadrat tersebut (ada 2 cara ) : 1. ( x − x1 )( x − x 2 ) = 0 2.

x 2 − ( x1 + x 2 ) x + x1 x 2 = 0 atau bisa ditulis x 2 − ( jumlah akar) x + (hasil kali akar ) = 0

Contoh :

1. Persamaan kudrat ayang akar – akar nya 3 dan – 4 adalah..... Pembahasan :

x1 = 3 dan x1 = − 4 , maka

Cara I :

Cara II :

( x − x1 )( x − x 2 ) = 0

x 2 − ( x1 + x 2 ) x + x1 x 2 = 0

( x − 3)( x − ( − 4 )) = 0

x 2 − (3 + ( −4)) x + 3( −4) = 0

( x − 3)( x + 4 ) = 0

x 2 − (−1) x − 12 = 0

x 2 + x −12 = 0

x 2 + x −12 = 0

2. Jika x1 dan x 2 adalah akar – akar x − 2 x − 5 = 0 maka persamaan 2

kuadrat baru yang akar – akarnya x1 + 3 dan x 2 + 3 adalah .....

Pembahasan :

Cara I :

x2 − 2x − 5 = 0 maka a = 1, b = − 2, c = − 5

b −2 =− =2 a 1 c −5 = −5 x1. x2 = = a 1

x1 + x2 = −

Penjumlahan akar baru : ( x1 + 3 ) + ( x 2 + 3 ) = x1 + x 2 + 6

= 2+6 =8 Perkalian akar baru : ( x1 + 3).( x 2 + 3 ) = x1 x 2 + 3 x1 + 3 x 2 + 9 = x1 x 2 + 3 ( x1 + x 2 ) + 9

= − 5 + 3( 2 ) + 9

= −5 + 6 + 9 = 10 Maka persamaan kuadrat tersebut :

x 2 − ( jumlah akar) x + (hasil kali akar ) = 0 x 2 − (8)x + (10 ) = 0

x 2 − 8x + 10 = 0 Cara II (Cadas) : Akar – akar barunya : x1 + 3 dan x 2 + 3 , kita misalkan

y = x + 3 maka x = y − 3 . PK lama : x − 2 x − 5 = 0 2

PK Baru : ( y − 3) 2 − 2( y − 3) − 5 = 0

y2 − 6y + 9 − 2y + 6 − 5 = 0 y 2 − 8 y + 10 = 0 atau

x 2 − 8x + 10 = 0


Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan persamaan kuadrat

− 2 x 2 + 7 x + 15 = 0 dan

x1 > x2 . Nilai 6x1+4x2 sama dengan…

A. 11 B. 14 C. 16 D. 24 E. 29 UNMAT IPS 2012 (A35-12)

2.

Diketahui x1 dan x2 akar-akar persamaan 3 x 2 − 5 x − 1 = 0 . Persamaan kuadrat yang akar-akar 3x1 dan 3x2 adalah… A. x 2 − 5 x − 9 = 0 B. x 2 − 5 x − 3 = 0 C. x 2 − 3 x − 1 = 0 D. 3 x 2 − x − 3 = 0 E. 3 x 2 − 5 x − 9 = 0 UNMAT IPS 2012 (A35-13)

3.

Akar-akar persamaan kuadrat 2 x 2 − 13 x − 7 = 0 adalah x1 dan x2. Jika x2 > x1 , Maka nilai 2x1 + 3x2 = … A. -12,5 B. -7,5 C. 12,5 D. 20 E. 22 UN MAT IPS 2011 (XX – 14)

4.

Akar-akar persamaan kuadrat 3 x 2 − x + 9 = 0 adalah x1 dan x2 . Nilai

x1 x 2 + = ... x 2 x1 53 27 3 B. − 27 A. −

1 27 3 D. 27 54 E. 27

C.

UN MAT IPS 2011 (XX – 15)

5.

Akar-akar persamaan x 2 − 2 x − 3 = 0 adalah x1 dan x 2 . Jika x1 > x 2 , maka nilai x1 − x 2 = ... A. – 4 B. – 2 C. 0 D. 2 E. 4 UN MAT IPS 2010 (XX-12)

6.

Akar-akar persamaan kuadrat x 2 − 5 x + 3 = 0 adalah α dan β . Nilai

1

α

+

1

β

= ...

A. – 5/3 B. – 3/5 C. 3/5 D. 5/3 E. 8/3 UN MAT IPS 2010 (XX-13)

7.

Persamaan kuadrat x + px + 4 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x 2 . Jika 2

x1 x22 + x12 x2 = 32 maka nilai p = …. A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 E. 8 UNMAT IPA 2012 (A35-06)

8.

Persamaan kuadrat x − (2 + 2m) x + (3m + 3) = 0 mempunyai akar-akar tidak 2

real. Batas-batas nilai m yang memenuhi adalah… A. m ≤ −1 atau m ≥ 2 B. m < −1 atau m > 2 C. m < −2 atau m > 1 D. − 1 < m < 2 E. − 2 < m < 1 UNMAT IPA 2012 (A35-07)

9.

Akar-akar persamaan 3 x 2 − 12 x + 2 = 0

adalah α dan

β . Persamaan

kuadrat yang akar-akarnya (α + 2) dan ( β + 2) adalah… A. 3 x 2 − 24 x + 38 = 0 B. 3x 2 + 24 x + 38 = 0 C. 3 x 2 − 24 x − 38 = 0 D. 3x 2 − 24 x + 24 = 0 E. 3x 2 − 24 x − 24 = 0 UN MAT IPA 2011 (D10-04)

10.

Akar-akar persamaan kudrat 2 x 2 + mx + 16 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan α , β positif, maka nilai m =…. A. -12 B. -6 C. 6 D. 8 E. 12 UN MAT IPA 2011 (D10-06)

11.

Akar-akar persamaan 2 maka nilai m adalah ... A. 3

− 6 + 2% − 1 = 0 adalah ' dan (. Jika '=2 (

B. C. D. E. UN MAT IPA 2009 (D10-04)

12.

Jika p dan q adalah akar-akar persamaan − 5 − 1 = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p + 1 dan 2 q + 1 adalah ... A. + 10 + 11 = 0 B. − 10 + 7 = 0

− 10 + 11 = 0 − 12 + 7 = 0 − 10 − 11 = 0

C. D. E.

UN MAT IPA 2009 (D10-05)

13.

Akar-akar persamaan 5, A. 6 B. 5 C. 4 D. 1 E. 0

+5

,

= 30 adalah 0 dan (, maka α + β = ⋯

UN MAT IPA 2009 (D10-37)

14.

Bila x1 dan x2 penyelesaian dari persamaan 2

2x

− 6.2 x +1 + 32 = 0 dengan

x1 > x2 , maka nilai 2x1 + x2 = ... 1 4 1 B. 2

A.

C. 4 D. 8 E. 16 UN MAT IPA 2008 (D10-07)

15.

Akar-akar persamaan 2 log 2 x − 6 .2 log x + 8 = 2 log 1 adalah x1dan x2 . Nilai

x1 + x2 = ... A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 E. 20 UN MAT IPA 2008 (D10-09)

16.

Persamaan kuadrat x − 5 x + 6 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan 2

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 − 3 dan A. x − 2 x = 0 2

B. x − 2 x + 30 = 0 2

C. x + x = 0 2

D. x + x − 30 = 0 2

E. x + x + 30 = 0 2

UN MAT IPA 2007 (D9-03)

x2 − 3

adalah…

x2 .

17.

Akar-akar persamaan 3

x1 > x2

maka nilai

2 x +1

− 28.3 x + 9 = 0 adalah x1 dan x2 . Jika

3x1 − x2 = ...

A. -5 B. -1 C. 4 D. 5 E. 7 UN MAT IPA 2007 (D9-06)

18.

Akar-akar persamaan 2.3

4x

− 20.32 x + 18 = 0 adalah x1 dan x2 dan

x1 + x2 = ... A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 UN MAT IPA 2006 (D9-28)

19.

Jika p+1 dan p-1 adalah akar-akar persamaan x2-4x+a=0 , maka nilai a adalah... A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 SNMPTN MATDAS 2012 (821-03)

20.

Jika 2 adalah satu-satunya akar persamaan kuadrat

1 2 x + bx + a = 0 , maka 4

nilai a + b adalah… A. 32 B. 2 C. 0 D. -2 E. -32 SNMPTN MAT DAS 2011 (XX-02)

21.

Persamaan x − ax − (a + 1) = 0 mempunyai akar-akar x1 > 1 dan x2 < 1 2

untuk... A. a > 0 B. a < 0

C. a ≠ − 2 D. a > − 2 E. − 2 < a < 0 SNMPTN MAT DAS 2010 (XX-03)

22.

Jika kedua akar persamaan

x 2 − bx m − 1 saling berlawanan tanda, tetapi = ax − c m +1

mempunyai nilai mutlak yang sama, maka nilai m sama dengan… A.

a+b a−b

B. cS C.

a−b a+b

D. 1/c E. 1 SNMPTN MAT DAS 2009 (XX-02)

23.

Persamaan kuadrat x 2 − ax + 1 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2 . Jika persamaan kuadrat x + ( p + 2) x + q = 0 mempunyai akar-akar 2

x2 3 , maka p = ... x1 A. − a 4 + 4a 2 − 4 B. − a 4 − 4a 2 − 4 C. a 4 − 4a 2 − 4 D. a 4 + 4a 2 − 4 E. a 4 + 4a 2 + 4 SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-02)

24.

Jumlah akar-akar persamaan | x |2 − 2 | x | − 3 = 0 sama dengan… A. -10 B. -3 C. -1 D. 0 E. 4 SNMPTN MAT IPA 2008 (XX-02)

x13 dan x2

25.

Jumlah nilai-nilai m yang mengakibatkan persamaan kuadrat mx 2 − (3m + 1) x + ( 2 m + 2 ) = 0 mempunyai akar-akar dengan perbandingan

3:4 adalah…. A. 7/6 B. 13/5 C. 11/3 D. 3/2 E. 5/6 SNMPTN MAT IPA 2008 (XX-12)

26.

Jika a 2 dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat x 2 − (b 2 − 1) x + b = 0 . Himpunan nilai a + b adalah… A. {-3,0,1,2} B. {-2,0,1,3} C. {-1,0,2,3} D. {0,1,2,3} E. {-2,-1,0,3} SNMPTN MAT IPA 2008 (XX-15)

27.

Persamaan kuadrat 4 x 2 + p = − 1 ,mempunyai akar x1 dan x2 . Jika x1 =

1 , 2

maka p ( x12 + x 2 2 ) = ...

1 2 1 −1 4 −1 1 − 2 1 − 4

A. − 1 B. C. D. E.


28.

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan (5 − 2 log x) log x = log1000, maka x12 + x 2 2 = ... A. 0 B. 10 C. 100 D. 1000 E. 1100 SPMB MAT DAS 2007 (XX-04)

29.

Jika jumlah kuadrat akar-akar real persamaan kuadrat x 2 − x − p = 0 sama dengan kuadrat jumlah kebalikan akar-akar persamaan x 2 − px − 1 = 0 , maka

p = ...

A.

2 +1

B.

2 −1

C.

2 + 1 atau − 2 + 1

D.

3 − 1 atau 3 + 1

E. 2 − 2 atau 2 +

2

SPMB MAT IPA 2007 (XX-11)

30.

Jika x1 dan x 2 akar-akar persamaan kuadrat x 2 − 3 x + 1 = 0 , maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 +

1 1 dan x2 + adalah… x1 x2

A. x 2 + 9 x − 6 = 0 B. x 2 − 6 x − 6 = 0 C. x 2 − 6 x + 9 = 0 D. x + 6 x + 9 = 0 2

E. x 2 − 6 x − 9 = 0 SPMB MAT DAS 2006 (XX-05)

31.

Jika x1 dan

x2 solusi persamaan, maka 3.9 x + 91− x = 28 , maka

x1 + x2 = ... A. – 1/2 B. 0 C. 1/2 D. 1 E. 1 ½ SPMB MAT DAS 2006 (XX-21)

32.

Syarat agar akar-akar persamaan kuadrat ( p − 2 ) x 2 + 2 px + p − 1 = 0 negatif dan berlainan adalah…. A. p > 2 B.

p < 0 atau p >

C. 0 < p <

2 3

2 3

2 < p <1 3 2 E. < p < 2 3

D.

SNMPTN MAT IPA 2006 (XX-12)

SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT A.

PERSAMAAN LINIER #(1) 1.

Persamaan linier satu variabel Bentuk umumnya :

ax + b = c 2.

dengan syarat a ≠ 0 dan a, b, c ∈ R

Persamaan linier dua variabel Bentunk umumnya :

ax + by = c dengan syarat a ≠ 0, b ≠ 0 dan a, b, c ∈ R

B.

SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL (SPLDV) Dalam penyelesaian SPLDV minimal ada dua pesamaan seperti berikut :

a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2

dengan syarat a1 , b1 , c1 , a 2 , b2 , c 2 ∈ R

Penyelesaian SPLDV dapat menggunakan beberapa metode : 1. Metode grafik

Metode ini dilakukan dengan menggambar kedua garis kemudian ditentukan titik potongnya, maka titik potong itulah himpunan penyelesaiannya. Langkah – langkah nya adalah : 1. Gambar kedua garis tersebut. 2. Jika ada titik potong maka titik potong itu himpunan penyelesaianya. 3. Jika kedua garis sejajar maka tidak mempunyai himpunan penyelesaianya. 4. Jika kedua garis berhimpit maka mempunyai himpunan penyelesian yang tak berhingga. Contoh :

1. Himpunan penyelesaian dari dua persamaan linier 2 x + 3 y = 24 dan

x − y = −3 adalah.... Pembahasan :

Untuk menggambar grafik kita cari titik potong garis dengan sumbu X dan sumbu Y. Memotong sumbu X saat Y = 0 dan memotong sumbu Y saat X = 0.

2 x + 3 y = 24 x − y = −3

X

y

(x,y)

0

8

(0,8)

12

0

(12,0)

0

3

(0,3)

0

(-3,0)

-3 Jadi kalau kita gambar menjadi : Y

x–y=-3

8

2x+3y=24

titik potong ( 3, 6 )

6 3

X

-3

2 3

12

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 3, 6 } 2. Metode subtitusi

Metode ini dilakukan dengan cara merubah variabel x kebentuk y atau sebaliknya dari sebuah persamaan, kemudian kita subitusikan kepersamaan yang lain. Contoh :

1. Carilah himpunan penyelesaian dari − 2 x + 3 y = 7 dan 3 x + y = 17 . Pembahasan :

− 2 x + 3 y = 7 ..... (1) 3 x + y = 17 ...... (2) Dari kedua persamaan yang lebih sederhana adalah persaman (2) , maka kita rubah :

3 x + y = 17 ⇔ y = −3 x + 17 Kemudian kita subtitusikan ke persamaan (1) , maka :

− 2x + 3y = 7 − 2 x + 3(−3x + 17) = 7 − 2 x − 9 x + 51 = 7 − 11x = 7 − 51 − 11x = −44 x=4 Kemudian kita subtitusikan x = 4 ke persamaan (2), mka :

y = −3 x + 17 y = −3( 4) + 17 y = −12 + 17 y = 5 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 4, 5 } 3. Metode eliminasi

Metode eliminasi adalah menghilangkan salah satu variabel x atau y. Untuk mencari nilai x kita hilangkan variabel ya dan sebaliknya, untuk lebih jelasnya kita lihat contoh berikut. Contoh :

1. Diketahui dua persamaan 3 x − 2 y = −1 dan 2 x + 5 y = 31 , maka himpunan penyelesaiannya adalah.... Pembahasan :

3 x − 2 y = −1 2 x + 5 y = 31

x2

6 x − 4 y = −2 x3 6 x + 15 y = 93 − 19 y = −95 y=5

3 x − 2 y = −1 2 x + 5 y = 31

x5 x2

15 x − 10 y = −5 4 x + 10 y = 62

19 x = 57 x=3

+

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 3, 5} 4. Metode campuran ( eliminasi - subtitusi )

Metode ini merupakan penggabungan antara metode eliminasi dan subtitusi. Untuk mencari nilai variabel pertama kita gunakan eliminasi, kemudian untuk mencari nilai variabel kedua kita gunakan subtitusi. Contoh :

3x − 4 y = −15 adalah x0 dan y0 , maka x0 + y0 = ....  2x + 3y = 7

1. Jika hasil dari  Pembahasan :

3 x − 4 y = −15 x 2 2x + 3y = 7 x3

6 x − 8 y = −30 6 x + 9 y = 21 − 17 y = −51 y=3

2x + 3 y = 7 2 x + 3(3) = 7 2x + 9 = 7 2x = 7 − 9 2 x = −2 x = −1 Jadi x0 = −1 dan y0 = 3 maka x0 + y0 = −1 + 3 = 2

C.

SISTEM PERSAMAAN LINIER TIGA VARIABEL (SPLTV)#(2) Variabel SPLTV biasanya dalam bentuk x, y dan z sehingga dalam penyelesaiannya minimal harus ada ada tiga persamaan sebagai berikut :

a1 x + b1 y + c1 z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d 2 dengan syarat a1, b1, c1, a2 , b2 , c2 , a3 , b3 , c3 ∈ R a3 x + b3 y + c3 z = d3 Penyelesaian SPLTV ini bisa dilakukan seperti dalam penyelesaian SPLDV. Cara paling mudah adalah penggabungan cara eliminasi dan subtitusi. Contoh :

1. Diberikan persamaan sebagai berikut :

3 x + 5 y − z = 10 , maka himpunan penyelesaiannya adalah... x − 3y + 4z = 7 4 x + 2 y − 5 z = −7 Pembahasan :

3 x + 5 y − z = 10 ......(1) x − 3 y + 4 z = 7 ........(2 ) 4 x + 2 y − 5 z = −7 ....(3) Eliminasi (1) dan (2) menghilangkan x : 3 x + 5 y − z = 10 x1 3 x + 5 y − z = 10

x − 3 y + 4 z = 7 x3 3x − 9 y + 12 z = 21 − 14 y − 13z = −11 ...(4) Eliminasi (2) dan (3) menghilangkan x

x − 3 y + 4 z = 7 x4 4 x − 12 y + 16 z = 28 4 x + 2 y − 5 z = −7 x1 4 x + 2 y − 5 z = −7− − 14 y + 21z = 35 ....(5)

:

Eliminasi (4) dan (5) menghilangkan y :

14 y − 13z = −11 − 14 y + 21z = 35

8 z = 24 z =3

+

14 y − 13z = −11...(4) x − 3 y + 4 z = 7....(2) 14 y − 13(3) = −11 x − 3(2) + 4(3) = 7 14 y − 39 = −11 x − 6 + 12 = 7 14 y = 39 − 11 x = 7 + 6 − 12 14 y = 28 y=2

x =1

Maka HP nya adalah {1,2,3}

D.

SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT (SPLK)#(3) Secara umum bentuk SPLK adalah sebagai berikut :

 y = ax + b (berupa garis)   y = px 2 + qx + r (berupa parabola)

, dengan syarat a, b, p, q, r ∈ R

Langakah penyelesaian SPLK adalah : 1.

Subtitusikan y = ax + b ke ke y = px 2 + qx + r sehingga terbentuklah

2.

persamaan kuadrat. Dari persamaan kuadrat tersebut kita cari akar-akarnya yaitu x1 dan x 2 .

3.

x1 dan x 2 kita subtitusikan ke y = ax + b maka didapat y1 dan y 2 , maka himpunan penyelesaiannya adalah {( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 )} .

Himpunan Penyelesaian SPLK tergantung nilai D(deskriminan) setalah dua persamaan tersebut disubtitusikan (digabungkan) : 1. 2. 3.

D > 0 , artinya garis dan parabola tersbut berpotongan di dua titik, maka mempuyai dua himpunan penyelesian. D = 0 , artinya garis dan parabola bersinggunan di satu titik, maka hanya mempunyai satu himpuan penyelesaiaan. D < 0 , artinya garis dan parabola tidak berpotongan/bersinggunan, maka tidak mempunyai himpunan penyelesaian.

Contoh :

 y = 2 x − 2 , himpunan penyelesaiaanya adalah....  y = x 2 − 2 x + 1

1. Dari persamaan 

Pembahasan

:

y = 2 x − 2 ......(1) y = x 2 − 2 x + 1 ......(2) Kita subtitusikan persamaan satu ke persamaan dua, maka :

2x − 2 = x2 − 2x +1 2x − 2 − x2 + 2x −1 = 0 − x2 + 4x − 3 = 0

x 2 -4 x + 3 = 0 ( x − 1)( x − 3) = 0 x1 = 1 atau x 2 = 3

Kita subtitusikan x1 = 1 dan x 2 = 3 kepersamaan (1) yaitu y = 2 x − 2 , maka :

x1 = 1 ⇒ y1 = 2(1) − 2 = 0 x2 = 3 ⇒ y 2 = 2(3) − 2 = 4 Maka himpunan penyelesaiannya adalah {(1,0),(3,4)}

E.

SISTEM PERSAMAAN KUADRAT (SPK) #(4) Sistem persamaan SPK ini secara umum bisa ditulis :

 y = ax 2 + bx 2 + c , dengan syarat a, b, c, p, q, r ∈ R   y = px 2 + qx + r Langkah penyelesaiannya adalah : 1. 2.

Subtitusikan persamaan satu ke persamaan yang lain. Cari akar – akar dari hasil punggabungan persamaan kuadrat tersebut yaitu x1 dan x 2

3.

x1 dan x 2 disubtitusikan ke salah satu persamaan kuadrat maka didapat y1 dan y 2 , maka himpunan penyelesaiannya adalah {( x1 , y 2 ), ( x 2 , y 2 )}

Sifat – sifat penyelesaiannya SPK setelah dua persamaan digabungkan adalah : 1. D > 0, artinya kedua parabola berpotongan di dua titik , maka SPK tersebut mempunyai dua himpunan penyelesaian. 2. D = 0, artinya kedua parabola bersinggungan di satu titik, maka SPK tersebut mempunyai satu himpunan penyelesaian.

3. D < 0, artinya kedua parabola tidak berpotongan/bersinggunan, maka SPK tersebut tidak mempunyai himpunan penyelesaian. Contoh :

 y = 2 x 2 + 2 x − 3

1. Diberikan persamaan 

 y = x 2 + 3x − 1

, maka himpunan

penyelesaiannya adalah..... Pembahasan :

y = 2 x 2 + 2 x − 3 .....(1) y = x 2 + 3 x − 1.....(2) Kita subtitusikan persamaan satu ke persamaan duan, maka :

2 x 2 + 2 x − 3 = x 2 + 3x − 1 2 x 2 + 2 x − 3 − x 2 − 3x + 1 = 0 x2 − x − 2 = 0 ( x + 1)( x − 2) = 0 x1 = −1 atau x2 = 2 Kita subtitusikan x1 = −1 dan x 2 = 2 ke persamaan (2) yaitu

y = x 2 + 3 x − 1 maka :

x1 = −1 ⇒ y1 = (−1) 2 + 3(−1) − 1 = 1 − 3 − 1 = −3 x2 = 2 ⇒ y 2 = (2) 2 + 3(2) − 1 = 4 + 6 − 1 = 9 Maka himpunan penyelesaiannya adalah {(-1, -3), (2, 9)}


Ditentukan x1 dan y1 memenuhi sistem persamaan linier 3x+4y=24 dan x+2y=10. Nilai dari

1 x1 + 2 y1 = ... 2

A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 E. 14 UNMAT IPS 2012(A35-15)

2.

Wati membeli 4 donat dan 2 coklat seharga Rp6.000,00, Tari membeli 3 donat dan 4 coklat dengan harga Rp10.000,00. JIka Andi membeli sebuah donat dan sebuah coklat dengan membayar Rp5.000,00, maka kembalian Andi adalah… A. Rp2.200,00 B. Rp2.400,00 C. Rp2.600,00 D. Rp2.800,00 E. Rp4.600,00 UNMAT IPS 2012(A35-16)

3.

1 1  x + y = 10 Nilai x yang memenuhi sistem persamaan  adalah… 5 3  − = 26  x y 2 3 1 − 6 1 7 1 2 3 4

A. − B. C. D. E.

UN MAT IPS 2011 (XX-09)

4.

Diketahui m dan n merupakan penyelesaian dari sistem persamaan

3x + 2 y = 17 . Nilai dari m + n =....  2 x + 3 y = 8 A. 9 B. 8 C. 7 D. 8 E. 5 UN MAT IPS 2010 (XX-15)

5.

Pak Temon bekerja dengan perhitungan 4 hari lembur dan 2 hari tidak lembur serta mendapat gaji Rp740.000,00 sedangkan Pak Abdel bekerja 2 hari lembur dan 3 hari tidak lembur dengan gaji Rp550.000,00. Jika Pak Eko bekerja dengan perhitungan lembur selama lima hari , maka gaji yang ditermia Pak Eko adalah.. A. Rp450.000,00 B. Rp650.000,00 C. Rp700.000,00 D. Rp750.000,00 E. Rp1.000.000,00 UN MAT IPS 2010 (XX-16)

6.

Bimo membeli 3 bungkus kecap manis, 1 bungkus kecap asin, dan 2 bungkus kecap ikan ia membayar Rp 20.000,00. Santi membeli 1 bungkus kecap manis, 2 bungkus kecap asin, dan 1 bungkus ikan harus membayar sebesar Rp 12.500,00. Dan Darmin membeli 2 bungkus kecap manis, 1 bungkus kecap asin, dan 2 bungkus kecap ikan harus membayar sebesar Rp 16.000,00. Jika Tamara membeli 1 bungkus kecap manis, 1 bungkus kecap asin dan 1 bungkus kecap ikan maka ia harus membayar…. A. Rp 11.500,00 B. Rp 12.000,00 C. Rp 12.500,00 D. Rp 13.000,00 E. Rp 14.000,00

UN MAT IPA 2012 (A35-08)

7.

Harga 2 koper dan 5 tas adalah Rp.600.000,00 sedangkan harga 3 koper dan 2 tas yang sama adalah Rp. 570.000,00. Harga sebuah koper dab 2 tas adalah ... A. Rp240.000,00 B. Rp270.000,00 C. Rp330.000,00 D. Rp390.000,00 E. Rp400.000,00 UN MAT IPA 2010 (D10-12)

8.

Uang Adinda Rp40.000,00 lebih banyak dari uang Binary ditambah dua kali uang Cindy. Jumlah uang Adinda, Binary dan Cindy Rp200.000,00, selisih uang Binary dan Cindy Rp10.000, 00. Jumlah uang Adinda dan Binary ... A. Rp122.000, 00 B. Rp126.000, 00 C. Rp156.000, 00 D. Rp162.000, 00 E. Rp172.000, 00 UN MAT IPA 2009 (D10-24)

9.

10.

Perbandingan umur Ali dan Badu 6 tahun yang lalu adalah 5:6. Hasil kali umur keduanya sekarang adalah 1.512. Umur Ali sekarang adalah… A. 30 tahun B. 35 tahun C. 36 tahun D. 38 tahun E. 42 tahun UN MAT IPA 2008 (D10-10) Pada toko buku “Murah”, Adi membeli 4 buku, 2 pulpen dan 3 pensil dengan harga Rp.26.000. Bima membeli 3 buku, 3 pulpen dan 1 pensil dengan harga Rp.21.500. Citra membeli 3 buku dan 1 pensil dengan harga Rp.12.500. Jika Dina membeli 2 pulpen dan 2 pensil, maka ia harus membayar… A. Rp.5.000 B. Rp.6.500 C. Rp.10.000 D. Rp.11.000 E. Rp.13.000 UN MAT IPA 2008 (D10-13)

11.

Ani, Nia dan Ina pergi bersama-sama ke toko buah. Ani membeli 2 kg apel, 2 kg anggur dan 1 kg jeruk dengan harga Rp.67.000. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur dan 1 kg jeruk dengan harga Rp61.000. Ina 1 kg apel, 3 kg anggur dan 2 kg jeruk dengan harga Rp.80.000. Harga 1 kg apel, 1 kg anggur dan 4 kg jeruk seluruhnya adalah… A. Rp.37.000

B. Rp.44.000 C. Rp.51.000 D. Rp.55.000 E. Rp.58.000 UN MAT IPA 2007 (D9-09)

12.

Sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan luas 180m2. Jika perbandingan panjang dan lebarnya sama dengan 5 berbanding 4, maka panjang diagonal bidang tanah tersebut adalah… A. 9 m B.

3 41 m

C.

6 41 m

D. 9 41 m E. 81m UN MAT IPA 2006 (D10-01)

13.

Suatu area berbentuk persegi panjang, di tengahnya terdapat kolam renang berbentuk persegi panjang yang luasnya 180 m2. Selisih panjang dan lebar kolam adalah 3m. Disekeliling kolam renang dibuat jalan selebar 2m. Maka luas jalan tersebut adalah… A. 24 m2 B. 54 m2 C. 68 m2 D. 108 m2 E. 124 m2 UN MAT IPA 2006 (D10-02)

14.

Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk dan 1 kg anggur adalah Rp.70.000 dan harga 1kg mangga, 2kg jeruk dan 2 kg anggur adalah Rp.90.000. Jika harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk dan 3 kg anggur Rp.130.000 maka harga 1 kg jeruk adalah… A. Rp. 5.000 B. Rp. 7.500 C. Rp.10.000 D. Rp.12.000 E. Rp.15.000 UN MAT IPA 2006 (D10-03)

15.

Tujuh tahun yang lalu umur ayah sama dengan 6 kali umur Budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur ayah sama dengan 5 kali umur Budi ditambah 9 tahun. Umur ayah sekarang adalah…. A. 39 tahun B. 43 tahun C. 49 tahun D. 54 tahun

E. 78 tahun UN MAT IPA 2005 (D10-03)

16.

Jika 2x – z = 2, x + 2y = 4 dan y + z = 1, maka nilai 3x + 4y + z adalah... A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8 SNMPTN MAT DAS 2012 (821-05)

17.

 x+ y =3  Sistem persamaan linier  − x + 3 y = 1 mempunyai penyelesaian. Jika ax + 4by = 4 

a + 2b adalah… A. 4 B. 2 C. 0 D. -1 E. -2 SNMPTN MAT DAS 2011 (XX-06)

18.

Karyawan pada suatu perusahaan dibedakan menjadi tiga golongan. Karyawan golongan A akan memperoleh gaji per bulan sebesar sepertiga dari gaji karyawan gologan B, sedangkan karyawan golongan C dibayar per bulan sebersar setengah dari gaji karyawan golongan B. Penghasilan karyawan golongan C selama 4 bulan akan sama dengan penghasilan karyawan golongan A selama… A.

8 bulan 3

B. 3 bulan C. 4 bulan D.

14 bulan 3

E. 6 bulan SNMPTN MAT DAS 2011 (XX-12)

19.

Jika Penyelesaian sistem persamaan (x,y)=(0,0) saja. Maka nilai a 2 − 4a + 3 = .... A. 0 B. 1

(a − 2) x + y = 0 , tidak hanya   x + (a − 2) y = 0

C. 4 D. 9 E. 16 SNMPTN MAT DAS 2010 (XX-07)

20.

Diketahui a dan b adalah dua bilangan bulat positif yang memenuhi

1 1 13 + = . Nilai ab ( a + b) adalah… a b 36 A. 368 B. 448 C. 468 D. 49 E. 36 SNMPTN MAT IPA 2010 (XX-05)

21.

Pak Rahman mempunyai sekantong permen yang akan dibagikan kepada anak-anak. Jika tiap anak diberi 2 permen, maka di dalam kantong masih tersisa 4 permen. Namun, bila tiap anak diberi 3 permen, akan ada 2 anak yang tidak mendapat permen dan 1 anak mendapat 2 permen. Jika x menyatakan banyak permen dalam kantong dan y menyatakan banyak anak, maka sistem persamaan yang mewakili masalah diatas adalah….

x + 4 = 2 y x − 7 = 3y

A. 

x − 4 = 3y x + 7 = 2 y

B. 

x − 4 = 3 y  x+7 = y

C. 

 x+4= y x − 7 = 2 y

D. 

x − 4 = 2 y x + 7 = 3y

E. 


22.

 px + qy = 8 memiliki penyelesaian (x,y)=(2,4), maka 3x − qy = 38

Jika sistem persamaan  nilai p adalah…

A. 40 B. 22,5 C. 21,5 D. 20 E. 8 SNMPTN MAT DAS 2009 (XX-10)

23.

Garis ax + by + c = 0 melalui titik A(,1,-2), B(-5,2) dan C(10,-8), maka

a + b + c = ... A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. 11 SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-03)

24.

Jika x = a, y = b dan z = c adalah penyelesaian dari sistem persamaan linier

x+ y=3 x+z =4 y+z =5 Maka nilai a 2 + b 2 + c 2 sama dengan…. A. 6 B. 9 C. 11 D. 14 E. 19 SNMPTN MAT IPA 2008 (XX-06)

25.

Agung mempunyai satu bundel tiket piala dunia untuk dijual. Pada hari pertama terjual sepuluh lembar tiket, hari kedua terjual setengah dari tiket yang tersisa, dan pada hari ketiga terjual 5 lembar tiket. Jika tersisa 2 lembar tiket, maka banyaknya tiket dalam satu bundel adalah… A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 E. 24

26.

Jika (a,b,c) adalah solusi sistem persamaan liniar


 x + y + 2z = 9   2 x + 4 y − 3z = 1 3 x + 6 y − 5 z = 0  Maka a+b+c =… A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 10 SPMB MAT DAS 2007 (XX-07)

27.

Salah satu nilai x yang memenuhi sistem persamaan xy + y = 0 dan 2

x − 2 y = 3 adalah... A. – 1 B. 0 C. 1 D. 2 E. 4 UM UGM MAT DAS 2010 (462-13)

28.

Jika x dan y memenuhi

y x 5 + = dan x – 3y = 1 maka 5x + 5y = ... x y 2

A. – 15 atau – 3 B. – 3 atau – 3/5 C. – 3 atau 15 D. 3 atau 3/5 E. 3 atau 15 UM UGM MATDAS 2010 (462-14)

29.

Jika garis (a+b)x + 2by = 2 dan garis ax – (b – 3a)y = -4 berpotongan di ( 1, 1), maka a+ b = ... A. – 2 B. – 1 C. 0 D. 1 E. 2 UM UGM MAT DAS 2009 (931-06)

30.

Agar ketiga garis 3x + 2y + 4 = 0, x – 3y + 5 = 0, dan 2x + (m+1)y – 1 = 0 berpotongan di satu titik maka nilai m haruslah.... A. -3 B. 2 C. 3 D. 4 E. 6 UM UGM MAT DAS 2008 (XX-07)

FUNGSI KUADRAT A.

DEFINISI #(1) Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat tertinggi variabelnya adalah dua. Bentuk Umumnya :

y = f ( x ) = ax 2 + bx + c dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0

B.

SKETSA GRAFIK titik puncak

Y

sumbu simetri

titik potong sumbu Y

X

titik potong sumbu X

C.

CARA MENGGAMBAR SKETSA GRAFIK #(2) Langkah menggambar sketsa garafik adalah : 1. Menentukan titik potong dengan sumbu X 2. Menentukan titik potong dengan sumbu Y 3. Menentukan sumbu simetri 4. Menentukan titik puncak 5. Menambahkan titik-titik lain Contoh :

Buatlah sketsa grafik dari fungsi kuadrat y = x 2 − 2 x − 3 . Pembahasan :

1. Menentukan titik potong dengan sumbu X

y = x2 − 2x − 3

0 = ( x + 1)( x − 3)

Grafik memotong sumbu X saat Y = 0

x = −1 atau x = 3 titik potong dengan sumbu X adalah (-1,0) dan (3,0) 2. Menentukan titik potong dengan sumbu Y

y = x2 − 2x − 3

Grafik memotong sumbu Y saat X = 0

y = 0 2 − 2( 0) − 3

y = −3 titik potong dengan sumbu Y adalah (0, - 3) 3. Menentukan sumbu simetri Rumus sumbu simetri adalah : x s = −

b 2a

y = x 2 − 2 x − 3 maka a = 1, b = −2, c = −3

b 2a −2 xs = − 2 .1

xs = −

xs = 1 4. Menentukan titik puncak Titik puncak ( x p , y p ) , dengan x p = −

b D dan y p = − 2a 4a

y = x 2 − 2 x − 3 maka a = 1, b = −2, c = −3

b 2a −2 xp = − 2(1)

xp = −

2 2 xp =1 xp =

b 2 − 4ac D = − yp = − 4a 4a

yp = −

(−2) 2 − 4(1)(−3) 4 + 12 16 =− =− 4(1) 4 4

y p = −4

Maka titik puncaknya (1,-4) 5. Menambakan titik – titik lain Langkah ini sebenarnya hanya untuk memperhalus gambar grafik, misalnya kita ambil empat titik lain sembarang : Untuk fungsi y = x 2 − 2 x − 3 x kita masukan x bernilai -2, 0 , 2 dan 4 x

y Koordinat

-2 5 (-2,5)

0 -3 (0,-3)

2 -3 (2,-3)

4 5 (4,5)

Maka gambar grafiknya adalah : Y (-2,5)

(4,5)

(-1,0)

(3,0)

(0,-3)

X

(2,-3) (1,-4)

D.

SIFAT - SIFAT FUNGSIKUADRAT #(3) Dari fungsi kuadrat y = ax 2 + bx + c , kita akan melihat sifat-sifat a,b, c dan D fungsi tersebut : 1.

SifatSifat-sifat nilai a

a. b.

a > 0 , kurva terbuka keatas (senyum) a < 0 , kurva terbuka kebawah (cemberut) a>0 a<0

2.

SifatSifat-sifat nilai b

a.

b.

Jika a > 0 : puncak di kiri sumbu Y maka b > 0 puncak di kanan sumbu Y maka b < 0 puncak tepat di sumbu Y maka b = 0 Jika a < 0 : puncak di kanan sumbu Y maka b > 0 puncak di kiri sumbu Y maka b < 0 puncak tepat di sumbu Y maka b = 0

Cadas (cara cerdas) : a.b > 0 puncak di kiri sumbu Y a.b < 0 puncak di kanan sumbu Y a..b = 0 puncak tepat di sumbu Y

untuk a > 0 sb-

untuk a < 0 sbb>0

b>0

b=0

b=0

b<0 3.

b<0

SifatSifat-sifat nilai c

Untuk mengetahui nilai c lihat titik potong grafik dengan sumbu Y : a. b. c.

c > 0, jika titik potong kurva dengan sumbu Y di atas sumbu X ( Y positif) c < 0, jika titik potong kurva dengan sumbu Y di bawah sumbu X ( Y negatif) c = 0, jika titik potong kurva dengan sumbu Y tepat di titik pusat(0,0) Y

Y

Y

c>0

c<0 4.

x

x

x

c=0

sifatsifat-sifat nilai D

a. b. c. a>0 D>0

a<0 D>0

D > 0, grafik memotong sumbu X di dua titik D = 0, grafik menyinggung sumbu X disatu titik D < 0, grafik tidak memotong ataupun menyinggung sumbu X a>0 D=0

a>0 D<0

bentuk a>0 dan D<0 membuat nilai Y

sb- X sb- X a<0 D=0

a<0 D<0

selalu positif (DEFINIT POFITIF)

bentuk a<0 dan D<0 membuat nilai Y selalu negatif (DEFINIT NEGATIF)

Contoh :

1. Fungsi kuadrat y = ax 2 + bx + c dengan gambar sebagai berikut : Y

X Tentukanlah tanda-tanda nilai a, b, c dan D nya ! Pembahasan :

Y

X •

Tanda a , karena membuka kebawah (cemberut) maka a < 0

•

Tanda b, puncak dikiri sumbuk X maka a.b > 0 (positif). Karena a < 0 (negatif) , agar perkalian a.b menghasilkan nilai positif maka b < 0 (negatif)

•

Tanda c, karena grafik memotong sumbu Y dibagian atas (sumbu Y positif) maka c > 0

•

Tanda D, karenan grafik memotong sumbu X memotong di dua titik maka D>0 Jadi hasilnya a < 0, b < 0 , c > 0 dan D > 0

E.

MENENTUKAN PERSAMAAN FUNGSI KUADRAT #(4) a.

Diketahui dua titik potong dengan sumbu X dan satu titik lain

y = a( x − x1)( x − x2 ) Contoh :

1. Diketahui suatu fungsi kuadrat memotong sumbu X di (2,0) dan (3,0) serta melalui titik (1,2) maka persamaan itu adalah :

Pembahasan :

y = a ( x − x1 )( x − x 2 ) melalui (2,0) dan (3,0) jadi x1 = 2 dan x 2 = 3 , maka :

y = a( x − 2)( x − 3) , dan titik tersebut melalui (1,2) , kita subtitusian x=1 dan y = 2, maka :

2 = a (1 − 2)(2 − 3) 2 = a ( −1)(−2)

y = 1( x 2 − 5 x + 6)

2 = 2a a =1 b.

y = a ( x − 2)( x − 3) y = x 2 − 5x + 6

Diketahui sebuah titik singgung dengan sumbu X dan satu titik lain

y = a ( x − x1 ) 2 Contoh :

Suatu fungsi kuadrat menyinggung sumbu x di titik (3,0) dan melalui titik lain (2,2), maka persamaan fungsi tersebut adalah.... Pembahasan :

y = a ( x − x1 ) 2 , y = a ( x − 3) 2 ,

menyinggung (3,0) jadi x1 = 3 , maka :

karena grafik melalui (2,2) jasi x = 2 dan y = 2 maka : y = a( x − 3) 2

2 = a ( 2 − 3) 2

y = 2( x 2 − 6 x + 9)

2 = a ( −1) 2

y = 2 x 2 − 12x + 18

a=2 c.

Diketahui titik puncak dan satu titik lain

y = a( x − x p ) 2 + y p , dengan puncak

(x p , y p )

Contoh :

Y

1. Perhatikan grafik fungsi berikut !

(1,4

Maka persamaan garafiknya adalah...

3

Pembahasan :

X

puncak (1,4) jadi x p = 1 dan y p = 4 maka :

y = a( x − x p ) 2 + y p y = a ( x − 1) 2 + 4 3 = a (0 − 1) 2 + 4 3=a + 4 a = −1 , jadi : Melaui (0,3) jadi x = 0, y =3 maka : y = −1( x 2 − 2 x + 1) + 4 y = −x 2 + 2x + 3 d.

Diketahui 3 titik sembarang

y = ax 2 + bx + c Contoh :

Persamaan sutau fungsi kuadrat melaui titik A(2,11) , B(1,4) dan C(2,7) adalah.... 2 melaui A(2,11)

11 = a (2) + b( 2) + c

11 = 4a + 2b + c ....... (1)

Pembahasan :

y = ax 2 + bx + c

melaui B(1,4)

4 = a (1) 2 + b(1) + c 4 = a + b + c ....... (2)

melaui C(-2,7)

7 = a ( − 2) 2 + b ( − 2) + c 7 = 4a − 2b + c ....... (3)

Eliminasi (1) dan (2) :

Eliminasi (1) dan (3) :

4a + 2b + c = 11

4a + 2b + c = 11

a+b+c = 4

-

3a + b = 7 ... (4)

4a − 2b + c = 7 4b = 4 b =1

-

3a + b = 7 karena b = 1 3a + 1 = 7 3a = 6 a=2 a + b + c = 4.....(1) 2 +1+ c = 4 c =1 Karena a = 2, b = 1 dan c = 1, maka y = ax 2 + bx + c adalah :

y = 2x 2 + x + 1

SOAL – SOAL LATIHAN 1.

Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y = 2 x 2 + 3 x − 2 dengan sumbu-X dan sumbu-Y berturut-turut adalah.. A. (0,1/2), (2,0) dan (0,-2) B. (0, -1/2), (2,0) dan (0,2) C. (1/2,0), (-2,0) dan (0,-2) D. (1/2,0), (2,0) dan (0,-2) E. (-1/2,0) , (-2,0) dan (0,-2) UNMAT IPS 2012 (A35-07)

2.

Koordinat titik balik grafik fungsi y = 18 − 6 x − x 2 adalah… A. (3,27) B. (3,-27) C. (-3,27) D. (-3,-9) E. (-3,9) UNMAT IPS 2012 (A35-08)

3.

Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (-1,4) dan melalui titik (0,3) adalah… A. y = − x 2 + 2 x − 3 B. y = − x 2 + 2 x + 3 C. y = − x 2 − 2 x + 3 D. y = − x 2 − 2 x − 5 E. y = − x 2 − 2 x + 5 UNMAT IPS 2012 (A35-09)

4.

Persamaan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat y = 5 x 2 − 20 x + 1 A. B. C. D. E.

x=4 x=2 x = −2 x = −3 x = −4


5.

Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y = 3 x 2 − x − 2 dengan sumbu X dan Y adalah… 2 A. (-1,0), ( ,0) dan (0,2) 3 2 B. (− ,0) ,(1,0) dan (0,-2) 3 3 2 C. (− ,0) ,(1,0) dan ( 0,− ) 2 3 3 D. (− ,0) ,(-1,0) dan (0,-1) 2 3 E. ( ,0) ,(1,0) dan (0,3) 2 UN MAT IPS 2011 (XX-04)

6.

Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (1,0) dan (3,0) serta melalui titik (-1,-16) adalah… A. y = 2 x 2 − 8 x + 6 B. y = x 2 + 4 x − 21 C. y = x 2 + 4 x − 5 D. y = −2 x 2 + 8 x − 6 E. y = −2 x 2 + 4 x − 10 UN MAT IPS 2011 (XX – 11)

7.

Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (1,0) dan (3,0) serta melalui titik (-1,-16) adalah… A. y = 2 x 2 − 8 x + 6 B. y = x 2 + 4 x − 21 C. y = x 2 + 4 x − 5 D. y = −2 x 2 + 8 x − 6 E. y = −2 x 2 + 4 x − 10 UN MAT IPS 2011 (XX-12)

8.

Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat f ( x ) = ( x − 1)2 − 4 dengan sumbu X adalah.... A. (1,0) dan (3,0) B. (0,1) dan (0,3) C. (-1,0) dan (3,0) D. (0,-1) dan (0,3)

E. (-1,0) dan (-3,0) UN MAT IPS 2010 (XX-07)

9.

Koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat yang persamaanya

y = ( x − 6 )(x + 2) adalah... A. (-2,0) B. (-1,-7) C. (1,-15) D. (2,-16) E. (3,-24) UN MAT IPS 2010 (XX-08)

10.

Persamaan grafik fungsi kuadrat mempunyai titik ekstrim (-1,4) dan melalui (0,3) adalah... A. y = − x 2 + 2 x − 3 B. y = − x 2 + 2 x + 3 C. y = − x 2 − 2 x + 3 D. y = − x 2 − 2 x − 5 E. y = − x 2 − 2 x + 5 UN MAT IPS 2010 (XX-09)

11.

Grafik y = px 2 + ( p + 2) x − p + 4 memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah… A. p < −2 atau p > −

2 5

2 atau p > 2 5 C. p < 2 atau p > 10 B. p <

D. E.

2 < p<2 5 2 < p < 10

UN MAT IPA 2011 (D10-07)

12.

Grafik fungsi kuadrat f(x) = yang memenuhi adalah ... A. -4 B. -3 C. 0

+ 5 + 4 menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b

D. 3 E. 4 UN MAT IPA 2011 (D10-05)

13.

Jika grafik fungsi 67 8 = + 9 + 5 menyinggung garis 2x + y = 1 dan p > 0. Maka nilai p yang memenuhi adalah ... A. – 6 B. – 4 C. – 2 D. 2 E. 4 UN MAT IPA 2009 (D10-03)

14.

Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum (1,2) dan melalui titik (2,3) adalah… A. y = x 2 − 2 x + 1 B. y = x 2 − 2 x + 3 C. y = x 2 + 2 x − 1 D. y = x 2 + 2 x + 1 E. y = x 2 − 2 x − 3 UN MAT IPA 2008(D10-05)

15.

Perhatikan gambar! 4

-1

1

3

Gambar tersebut adalah grafik fungsi kuadrat…. A. y = x 2 + 2 x + 3 B. y = x 2 − 2 x − 3 C. y = − x 2 + 2 x − 3 D. y = − x 2 − 2 x + 3 E. y = − x 2 + 2 x + 3 UN MAT IPA 2007 (D9-04)

16.

Jika f adalah fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titi (1,0), (4,0) dan (0,-4) maka nilai f(7) adalah... A. -16

B. -17 C. -18 D. -19 E. -20 SNMPTN MATDAS 2012 (821-08)

17.

Jika grafik fungsi kuadrat

f ( x) = ax 2 + bx + c dengan titik puncak (5,-

4)memotong sumbu-X positif dan sumbu-X negatif, maka… A. a − c > 0 B. a + c < 0 C. a + c = 0 D. a + c > 0 E. a − c < 0 SNMPTN MATDAS 2011 (XX-05)

18.

Persamaan f ( x ) = x 2 + ax mempunyai grafik seperti berikut

Grafik fungsi g ( x ) = x 2 − ax + 5 adalah…. A.

D.

B.

E.

C. SNMPTN MAT DAS 2010 (XX-04)

19.

Grafik fungsi f ( x ) = x 2 − 6 x + 7 dapat diperoleh dengan cara menggeser grafik fungsi f ( x ) = x 2 kearah… A. Kanan sumbu X sejauh 2 satuan dan ke arah bawah sumbu Y sejauh 3 satuan B. Kiri sumbu X sejauh 3 satuan dan ke arah atas sumbu Y sejauh 2 satuan C. Kanan sumbu X sejauh 3 satuan dan ke arah bawah sumbu Y sejauh 2 satuan

D. Kanan sumbu X sejauh 6 satuan dan ke arah bawah sumbu Y sejauh 7 satuan E. Kiri sumbu X sejauh 2 satuan dan ke arah atas sumbu Y sejauh 3 satuan SNMPTN MAT DAS 2009 (XX-06)

20.

Fungsi kuadrat y = ax 2 + x + a definit negatif untuk konstata a yang memenuhi…

1 1 atau a > 2 2 1 1 −
A. a < − B. C. D. E.


21.

Garis g melalui titik (8,28) dan memotong parabola y = 3 x 2 + x − 10 di titik A dan B. Jika A(2,4) dan B(x,y), maka nilai x+y=… A. -6 B. -7 C. -8 D. -9 E. 10 SPMB MAT DAS 2006 (XX-03)

22.

Grafik fungsi kuadrat y = f(x) mempunyai puncak (-1,8) dan memotong sumbu X di (x1,0) dan (x2,0). Jika x1.x2 = -3, maka grafik tersebut memotong sumbu Y di... A. (0, - 10) B. (0, -2) C. (0, 4) D. (0, 6) E. (0, 10) UM UGM MAT IPA 2010 (462-07)

23.

Jika garis g melalui titik P(-2,1) dan memotong y = x 2 − 4 x + 3 di titik Q(x,y) dan R(4,3) maka y – 5x = ... A. – 1/3

B. – 1/9 C. 1/9 D. 1/3 E. 2/3 UM UGM MAT DAS 2008 (XX-04)

24.

Grafik fungsi f ( x ) = (3 − m ) x 2 + (1 − m ) x − 2 m memotong sumbu Y di titik A dan mempunyai sumbu simetri garis x = -1. Gradien garis yang melalui puncak kurva dan titik A adalah... A. -3 B. -2 C. 0 D. 1 E. 2 UM UGM MAT IPA 2009 (XX-06)

25.

Sebuah garis h yang melalui titik asal memotong kurva 2y = 3x2 – 2x + 1 di dua titik di mana jumlah nilai x- nya adalah 10, maka gradien dari garis h adalah …. A. -1 B.

3 2

C. 6 D. 14 E. 15 SIMAK UI MAT DAS 2012 (221-01)

PERTIDAKSAMAAN A.

SIFAT - SIFAT #(1) 1. 2.

Jika Jika a. b. c. d.

a > b maka b < a a > b maka berlaku : a+c >b+c a−c >b−c a b a ⋅ k > b ⋅ k dan dengan k > 0 > k k a b a ⋅ k < b ⋅ k dan dengan k < 0 < k k

e. a > b dengan n bilangan ganjil 3. Jika a > b > 0 maka berlaku : n

a. b. 4. Jika a. b. 5. Jika 6. Jika

B.

n

an > bn 1 1 < a b a > b dan c > d maka berlaku : a+c >b+d a−c >b−d a > b dan c > d maka a ⋅ c > b ⋅ d a > 0 dan b < 0 maka ab < 0

CARA PENGGABARAN PERTIDAKSAMAAN DI GARIS BILANGAN #(2) Berikut adalah beberapa contohnya : 1. x. < a

→ artinya

a

2.

x≥b

dalam penyelesaian

→artinya

b

3.

a

a

b

b termasuk dalam

penyelesaian

x < a atau x ≥ b

4. a < x ≤ b

a tidak termasuk

b

C.

PERTIDAKSAMAAN LINIER #(3) Langkah penyelesaian pertidaksamaan linier adalah 1. Letakkan semua bilangan yang mengandung variabel di ruas kiri dan bilangan yang tidak mengandung variabel di sebelah kanan. 2. Sederhanakan, sehingga koefisien variable disebelah kiri menjadi satu. Contoh :

1. Himpunan penyelesaian dari 4 x + 8 > 2 x + 2 adalah.... Pembahasan :

4x + 8 > 2x + 2 4x − 2x > 2 − 8 2 x > −6 x > −3 Jadi HP nya adalah {x | x > −3} 2. Himpunan penyelesaian dari 3x + 18 ≤ 5 x + 30 adalah... Pembahasan :

3 x + 18 ≤ 5 x + 30 3 x − 5 x ≤ 30 − 18 − 2 x ≤ 12 x ≤ −6 Jadi HP nya adalah {x | x ≤ −6} 3. Hasil dari pertidaksamaan 3x − 4 < x − 2 < 4 − x adalah.... Pembahasan :

3x − 4 < x − 2 < 4 − x bisa dipisah menjadi 3x − 4 < x − 2 dan x − 2 < 4 − x , maka :

3x − 4 < x − 2 3x − x < −2 + 4 2x < 2 x <1

dan

1

x−2< 4− x x+ x < 4+2 2x < 6 x<3

3

Jika digabungkan menjadi :

1 3 Daerah yang terkena arsiran dua kali adalah x < 1 maka HP nya { x < 1 }

D.

PERTIDAKSAMAAN KUADRAT #(4) Langkah penyelesaiannya adalah : 1. Jadikan ruas kanan menjadi nol 2. Faktorkan/cari pembuat nol dari fungsi sebelah kiri 3. Letakkan pembuat nol dalam garis bilangan dan tentukan daerah +(positif) dan – (negatif) 4. Tentukan daerah himpunan penyelesaiana, bila pertidaksamaanya berupa > atau ≥ maka daerah hasilnya adalah daerah + (positif), dan jika pertidaksamaannya berupa < atau ≤ maka daerah penyelesaiannya adalah daerah – (negatif). Cara menentukan daerah + (positif) dan – (negatif) bisal dilakukan dengan salah satu cara berikut : 1. Pilih salah satu bilangan di daerah tersebut, kemudian kemudian nilai tersebut dimasukkan ke fungsi , jika hasil + (positif) maka daerah tersebut daerah + (positif) dan jika hasilnya – (negatif) maka daerah tersebut adalah daerah negatif. 2. Lihat koefisien dari pangkat pertiggi fungsi, jika koefisiennya + (positif) maka daerah tersebut daerah + (positif), dan jika koefisiennya negatif maka daerah tersebut adalah daerah – (negatif). Contoh :

1. Himpunan penyelesaian dari x 2 − x − 6 < 0 adalah.... Pembahasan :

Kita masukan sebuah nilai, misalnya

4. Kita

masukan 4 ke

x2 − x − 6 < 0

x 2 − x − 6 ⇒ 4 2 − 4 − 6 = 16 − 4 − 6 = 6 ,

( x − 3)( x + 2) < 0

karena 6 adalah +, maka daerah tersebut +.

x = 3 atau x = −2

Daerah berikutnya adalah selang seling dan +

---

+++ -2

+++ 3

HP nya adalah { - 2 < x < 3 }

. Atau bisa dilihat dari

x 2 (koefisien

x2 − x − 6

karena

pangkat tertingginya) positif,

maka daerah yang paling kanan adalah + (positif). Berikutnya selang seling + dan - .

Karena di soal yang ditanyakan adalah “ < ”, maka daerah yang diarsir adalah daerah – (negatif).

E.

PERTIDAKSAMAAN PANGKAT TINGGI #(5) Cara penyelesaian pertidaksamaan pangkat tinggi pada dasarnya sama seperti pertidaksamaan kuadrat. Contoh :

1. Carilah himpunan penyelesaian dari x − 6 x + 8 x ≥ 0 . 3

2

Pembahasan :

x 3 − 6 x 2 + 8x ≥ 0 x( x 2 − 6 x + 8) ≥ 0 x( x − 2)( x − 4) ≥ 0 x = 0∪ x = 2∪ x = 4 ---

+++

---

+++

0 4 2 HP nya adalah { 0 ≤ x ≤ 2 atau x ≥ 4 } 2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ( x − 2)( x 2 + x − 6) < 0 adalah... Pembahasan :

( x − 2)( x 2 + x − 6) < 0

Dikasih pembatas (air mancur) karena

( x − 2)( x + 3)( x − 2) < 0

ada akar kembar yaitu x = 2 .

x = 2 ∪ x = −3 ∪ x = 2

Jumlah air mancur sesuai jumlah akar

---

+++ -3

---

kembarnya.

+++

2

Maka HP nya adalah { x < - 3 }

F.

PERTIDAKSAMAAN PECAHAN #(6) Langkah – langkah penyelesaiannya adalah : 1. Pindahkan semua ke ruas kiri, sehingga ruas kanan menjadi nol 2. Sederhanakan ruas kiri 3. Faktorkan bentuk ruas kiri 4. Tentukan pembuat nol nya * 5. Tuliskan nilai – nilai tersebut pada garis bilangan 6. Tentukan tanda +/- pada setiap interval 7. Tentukan daerah himpunan penyelesaiaanya *nilai pembuat nol dari penyebut tidak termasuk dalam himpunan penyelesaian.

Contoh :

1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

2x + 2 ≤ 1 adalah.... x−3

Pembahasan :

2x + 2 ≤1 x−3 2x + 2 −1 ≤ 0 x−3 2x + 2 x − 3 − ≤0 x−3 x−3 , artinya -5 masuk 2x + 2 − x + 3 ≤0 x−3 x+5 +++ ≤0 --x−3 -5 Pembuat nol x = −5 dan x = 3

dalam HP karena soal “ ≤ ”

+++ 3

3 pembuat nol tetapi tidak termasuk

Jadi HP nya {−5 ≤ x < 3}

dalalm HP karena penyebut tidak boleh o.

2. Carilah himpunan penyelesaian

x+4 x − 8x + 7 2

>0 !

Pembahasan :

x+4

>0 x − 8x + 7 x+4 >0 ( x − 1)( x − 7 ) 2

Pembuat nol x = −4, x = 1 dan x = 7 HP nya adalah {−4 < x < 1 atau x > 7} 3. Himpunan penyelesaian dari Pembahasan :

3 5 ≤ x−7 x+3 3 5 − ≤0 x−7 x+3

---

+++ -4

3 5 adalah... ≤ x−7 x+3

--1

+++ 7

3( x + 3) − 5( x − 7 ) ≤0 ( x − 7 )( x + 3) 3 x + 9 − 5 x + 35 ≤0 ( x − 7)( x + 3) − 2 x + 44 ≤0 ( x − 7 )( x + 3) − 2( x − 22 ) ≤0 ( x − 7 )( x + 3)

+++ -3

Pembuat nol x = 22, x = 7, x = −3

---

+++ 7

--22

HP nya adalah {−3 < x < 7 atau x ≥ 22}

G.

PERTIDAKSAMAAN BENTUK AKAR #(7) Langkah penyelesaian bentuk akar adalah : 1. Tentukan syarat akar, yaitu nilai di dalam akar harus ≥ 0 2. Kuadratkan kedua ruas sehinga akarnya hilang 3. Pindahkan keruas kiri semua 4. Tentukan nilai-nilai pembuat nol 5. Letakkan nilai pembuat nol di garis bilangan 6. Tentukan daerah penyelesaian ( digabung dengan syarat akar, lihat nomor 1 ) Contoh :

1. Penyelesaian dari Pembahasan :

2 x − 6 > 4 adalah...

2x − 6 > 4 Syarat 1 (syarat akar) :

2x − 6 ≥ 0 2x ≥ 6 x≥3 Syarat 2 :

(

2x − 6 > 4

)2

2x − 6 > 42 2 x − 6 > 16 2 x > 16 + 6

3

2 x > 22 x > 11

11

Penggabungan syarat (1) dan (2) : 3

HP nya adalah { x > 11 }

11

x + 2 > 2x − 6 !

2. Carilah himpunan penyelesaian dari Pembahasan :

x + 2 > 2x − 6 Syarat 1 ( syarat akar ) :

x+2≥0 x ≥ −2

-2

Syarat 2 ( syarat akar ) :

2x − 6 ≥ 0 2x ≥ 6 x≥3

3

Syarat 3 :

x + 2 > 2x − 6

(

x+2

)2 > (

2x − 6

)2

x + 2 > 2x − 6 x − 2 x > −6 − 2 − x > −8 x<8

8

Penggabungan syarat 1,2 dan 3 : Daerah HP adalah daera yang terkena arsiran tiga kali yaitu {2 ≤ x < 8}

-3

2

8

Daerah yg terkena arsiran 3 kali.

H.

PERTIDAKSAMAAN BENTUK MUTLAK #(8) Sifat dalam pertidaksaan harga mutlaka adalah : 1.

f ( x ) < k maka penyelesaiannya adalah − k < f ( x ) < k

2.

f ( x ) > k maka penyelesaiannya adalah f ( x) < −k atau f ( x) > k

3.

f ( x ) > g ( x ) maka penyelesaiannya adalah f 2 ( x) > g 2 ( x)

Contoh :

1. Penyelesaian dari 2 x − 3 < 7 adalah.... Pembahasan :

2x − 3 < 7

− 7 < 2x − 3 < 7 − 7 + 3 < 2x < 3 + 7 − 4 < 2 x < 10 −2< x<5 Maka HP nya adala { − 2 < x < 5 } 2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x 2 + 5 x + 3 ≥ 3 adalah.... Pembahasan :

x 2 + 5 x + 3 ≤ 3 , maka penyelesaiannya :

x 2 + 5 x + 3 ≤ −3 x 2 + 5x + 3 + 3 ≤ 0 x 2 + 5x + 6 ≤ 0 ( x + 2)( x + 3) ≤ 0 x = −2 ∪ x = −3 ++ + -3

---

++ -2 +

atau

x 2 + 5x + 3 ≥ 3 x 2 + 5x + 3 − 3 ≥ 0 x 2 + 5x ≥ 0 x( x + 5) ≥ 0 x = 0 ∪ x = −5 ++ + -5

---

Maka HP nya adalah {−3 ≤ x ≤ −2 atau − 5 ≤ x ≤ 0} 3. Nilai x yang memenuhi 3 x − 4 < 2 x − 1 adalah.... Pembahasan :

3x − 4 < 2 x − 1 (3 x − 4) 2 < (2 x − 1) 2

9 x 2 − 24 x + 16 < 4 x 2 − 4 x + 1

++ 0+

9 x 2 − 4 x 2 − 24 x + 4 x + 16 − 1 < 0 5 x 2 − 20 x 2 + 15 < 0 x 2 − 4x + 3 < 0 ( x − 1)( x − 3) < 0 x = 1∪ x = 3 Maka HP nya adalah {1 < x < 3}

++ +

--1

3

++ +


Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x 2 − 8 x + 12 ≤ 0 adalah… A.

{ x | −6 ≤ x ≤ −2}

B.

{ x | −2 ≤ x ≤ 6}

C. { x | − 6 ≤ x ≤ 2} D. { x | 2 ≤ x ≤ 6} E.

{ x | 1 ≤ x ≤ 12}

UNMAT IPS 2012 (A35-14)

2.

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan − 2 x 2 + 11x − 5 ≥ 0 adalah… A. B. C. D. E.

1 {x | x ≤ −5 atau x ≥ − , x ∈ R} 2 1 {x | −5 ≤ x ≤ − , x ∈ R} 2 1 { x | − ≤ x ≤ 5, x ∈ R} 2 1 { x | x ≤ atau x ≥ 5, x ∈ R} 2 1 { x | ≤ x ≤ 5, x ∈ R} 2


3.

Himpunan penyelesaian dari x − 10 x + 21 < 0, x ∈ R adalah... 2

A.

{x | x < 3 atau x > 7; x ∈ R}

B.

{x | x < −7 atau x > 3; x ∈ R}

C. {x | −7 < x < 3; x ∈ R} D. {x | −3 < x < 7 x ∈ R} E.

{x | 3 < x < 7 x ∈ R}


4.

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3 2 x +1 + 9 − 28.3 x > 0 , x ∈ R adalah… A. x > -1 atau x > 2 B. x< - 1 atau x < 2 C. x< 1 atau x > 2 D. x< -1 atau x > 2

E. x> -1 atau x < -2 UN MAT IPA 2012 (A35-18)

5.

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen :

9

2x−4

A.

 1  ≥   27 

x2 −4

{ x | −2 ≤ x ≤

adalah…

10 } 3

10 ≤ x ≤ 2} 3 10 C. { x | x ≤ − atau x ≥ 2} 3 10 D. {x | x ≤ −2atau x ≥ } 3 10 E. { x | − ≤ x ≤ −2} 3 B.

{x | −

UN MAT IPA 2008 (D10-08)

6.

Semua nilai x yang memenuhi (x + 3) (x – 1) ≤ ( x – 1) adalah... A. 1 ≤ x ≤ 3 B. x ≤ -2 atau x ≥ -1 C. -3 ≤ x ≤ -1 D. -2 ≥ x atau x ≥ 3 E. -1 ≥ x atau x ≥ 3 SNMPTN MAT DAS 2012 (821-06)

7.

x2 − x + 3 ≤ 0 adalah… Semua nilai x yang memenuhi (2 x 2 − 5 x − 3)( x 2 + 1) 1 A. − < x < 3 2 1 B. − 3 ≤ x < 2 1 C. x ≤ − atau x > 3 2 1 D. x < − atau x > 3 2 1 E. x < −3 atau x ≥ 3

SNMPTN MATDAS 2011 (XX-07)

8.

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan A.

x <1

B.

x > −1

C.

−1 ≤ x < 1

D.

x < − 1 atau − 1 < x < 1

E.

x < − 1 atau x > 1

x +1 x adalah.. > x +1 x −1


9.

Jika p < −3 dan q > 5 , maka nilai q − p = ... A. Lebih besar daripada 9 B. Lebih besar daripada 7 C. Lebih kecil daripada 8 D. Lebih kecil daripada 2 E. Lebih kecil daripada -2 SNMPTN MAT DAS 2010 (XX-14)

10.

Diketahui x < −3 . Bentuk yang setara dengan 1 − 1 + 3x adalah… A.

3x

B.

− 3x

C.

2 − 3x

D.

− 2 + 3x

E.

− 2 − 3x


11.

Bentuk | 5 − 5 x |< 5 setara dengan A.

− 5 <| 5 x − 5 |

B.

| x − 1 |< 1

C.

5x − 5 < 5

D.

5x − 5 > −5

E.

0 < 5 − 5x < 5


12.

Jika a, b ≥ 0 , maka pernyataan dibawah ini yang benar adalah….

a+b 2

A.

ab ≤

B.

ab ≤ b a ab ab ≤ 2

C. D.

ab ≥ a b

E.

ab ≤ ab


13.

Solusi pertaksamaan

( x − 2)( x 2 + x − 6)

x 2 + x − 20 A. x < −5 atau − 3 < x < 2 B. x < −3 atau 2 < x < 4 C. − 5 < x < −3 atau x > 2 D. − 5 < x < −3 atau x > 4 E. − 3 < x < 2 atau x > 4

> 0 adalah…


14.

Solusi pertaksamaan A. B. C. D. E.

2x2 + x − 3 6x2 + x − 1

< 0 adalah…

1 < x <1 2 1 − 1 < x < atau x > 1 2 1 1 − 2 3 −


15.

Nilai-nilai x yang memenuhi pertaksamaan | x − 2 |≥ A. B. C. D. E.

− ∞ < x ≤ −2 ∪ 2 ≤ x < 10 − ∞ < x ≤ −2 ∪ 2 ≤ x < ∞ − ∞ < x < −2 ∪ 8 ≤ x < ∞ − 10 ≤ x ≤ −2 ∪ 8 ≤ x < ∞ − 10 ≤ x ≤ 2 ∪ 8 ≤ x < ∞


2 x + 20 adalah…

16.

Grafik y = A. B. C. D. E.

3 − 2 x terletak di atas garis y = x untuk x yang memenuhi… x

x < −1 −1 < x < 1 x < −1 atau x > 1 x < −1 atau 0 < x < 1 − 1 < x < 0 atau x > 1


17.

Solusi pertaksamaan 2 x 2 + 3x − 9 ≤ 0 yang bukan solusi pertaksamaan

2 x 2 − x − 10 ≥ 0 adalah… A. − 3 < x < −2 1 B. − 3 ≤ x ≤ 1 2 1 1 C. 1 ≤ x < 2 2 2 1 D. − 2 < x ≤ 1 2 1 E. x ≤ −2 atau x ≥ 2 2 SPMB MAT DAS 2006 (XX-12)

18.

Jika 0 ≤ x ≤ π , maka himpunan penyelesaian pertaksamaan

cos x − sin 2 x < 0 adalah…

A.

 π π x < x <  2  6

B.

π   5π  π  < x <π  x < x <  U x 2  6  6 

C.

 π π x < x <  3  4

D.

π   5π  π  < x ≤π  x < x <  U x 3  6  6 

E.

π   5π  π  < x ≤π  x < x <  U x 2  6  6 


19.

Himpunan penylesaian dari A.

{x | x ≥ −1}

B.

4  x | x ≥  3 

C.

5  x | x ≤  2 

D.

5  x | x ≥  2 

E.

 4 x | ≤ x ≤  3

2 x + 2 − 6 x − 8 ≥ 0 adalah...

5  2

UM UGM MAT DAS 2010 (462-16)

20.

Pertaksamaan

4 x 1 ≤ mempunyai penyelesaian... 2 x +3 x

A.

1≤ x ≤ 3

B.

1 ≤ x ≤ 3 atau x ≥ 3

C.

x ≤ 1 atau x ≥ 3

D.

0 < x ≤ 1 atau x ≥ 3

E.

0 ≤ x ≤ 1 atau x ≥ 3

UM UGM MAT DAS 2009 (931-07)

21.

Nilai semua x positif yang memenuhi a log 2 x ≥ 8 + 2⋅ a log x , dengan bilangan a > 1, adalah.... A.

a2 ≤ x ≤ a4

B.

x ≤ a 2 atau x ≥ a 4

C.

x≤

1 atau x ≥ a 2 4 a

D.

x≤

1 atau x ≥ a 4 2 a

E.

x ≤ −2 atau x ≥ 4


22.

Pertaksamaan

x−2 < 1 dapat ditulis sebagai 4 x + a > b dengan nilai a dan 2x + 3

b berturut-turut adalah.... A. 7 dan 13 B. 13 dan 7 C. 6 dan 13 D. 13 dan – 6 E. -13 dan 7 UM UGM MAT IPA 2009 (XX-04)

23.

Pertidaksamaan 3 x

2

 1  ≥   27 

−3 x + k

2 x −2 x 2

mempunyai penyelesaian − 1 ≤ x ≤

8 , 5

jika k =.... A. 4 B.

–4

C. 12 D. – 8 E. 8 UM UGM MAT IPA 2008 (XX-05)

24.

Jika persamaan x2 - 4x + k – 1 = 0 mempunyai akar-akar real α dan β, maka nilai k yang memenuhi

1

α

2

+

1

β2

A.

k < − 17 atau k > 17

B.

k < − 17 atau 17 < k < 5

C.

k < − 18 atau k > 18

D.

k < − 18 atau 18 < k < 5

E.

< 1 adalah...

17 < k < 5


25.

Semua nilai x yang memenuhi pertaksamaan x 2 + 2 x − 3 > 0 dan 6 − x > 3 x adalah.... A.

x < −3 atau 0 ≤ x <

3 2

3 2

B.

x<

C.

x < −3 atau 1 < x <

D.

x < −3 atau x >

E.

0< x<

3 2

3 2

3 2


26.

Nilai – nilai x yang memenuhi x − 2 ≤ 1 − 2 x adalah …. A. Semua bilangan riil

1 2

B.

x ≥ −1 atau x ≤

C.

−1 ≤ x ≤ 1

D.

x ≤ −1 atau x ≥ 1

E.

x≤

1 atau x ≥ 1 2

SIMAK UI MAT IPA 2012 (521-03)

27.

Bilangan bulat terkecil yang memenuhi pertidaksamaan

 1     32   

2x

 2  <  x −5   2

3

1 adalah …. 8

A. –9 B. -8 C. -7 D. 6 E. 7 SIMAK UI MAT DAS 2010 (203-08)

28.

3 x 2 − 3x + 2 1 2

A.

x>

B.

x>2

<

5 x2 − 4x + 3

, benar untuk ….

C.

x>3

D.

1 < x<3 2

E.

2< x<3

SIMAK UI MATDAS 2009 (911-07)

29.

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan A. B. C. D. E.

{x x ≤ −1 atau x ≥ 1  2

{x x ≥ 1 atau x ≤ −1} {x x ≤ −1} {x − 1 ≤ x ≤ 1}  1   x ≤ x ≤ 1  2 


x 2 − 1 ≤ 3 x 2 + x − 2 adalah .

TRIGONOMETRI A.

PERBANDINGAN TRIGONO #(1) a. Perbandingan Trigono Dalam Segitiga Siku –siku sisi miring

sisi depan terhadap

r

α

y sisi samping terhadap

α

α

x

sin α =

y (depan) = r (miring )

cos α =

x ( samping ) = r (miring )

tan α =

y (depan) = x ( samping )

Catatan : tan

kebalikanya

cos ecα =

kebalikanya kebalikanya

1 r (miring ) = = sin α y (depan)

sec α =

1 r (miring ) = = sin α x ( samping )

cot α =

1 x ( samping) = = tan α y (depan)

α juga bisa didefinisikan sebagai : tan α =

sin α cos α

Contoh :

1. Jika diketahui cos α =

5 , maka nilai sin α dan tan α adalah.... 13

Pembahasan :

cos α =

5 (depan) = 13 (miring )

Nilai y didapat dari : depan 12 = sin α = miring 13 tan α =

depan 12 = samping 5

y = 132 − 5 2 = 169 − 25 = 144 y = 12

r=13 y=12 α x=5

2. Diketahui tan β = k , maka nilai sec β adalah... Pembahasan :

k depan tan β = k bisa ditulis tan β = = 1 samping

sec β =

miring k2 +1 = = k 2 +1 samping 1

r= k 2 + 1 y=k

β x=1

b. Sudut – sudut Istimewa

#(2)

0o

30o

45o

60o

Sin αo

0

1 2

Cos αo

1

1 2 2 1 2 2

1 3 2 1 2

Tan αo

0

1

3

c. Kuadran

1 3 2 1 3 3

90o 1 0 ~

#(3) 90o Kuadran I

Kuadran II

kuadran I (0 o < α < 90 o )

semua +

sin +

kuadran II (90 o < α < 180 o ) 0o atau 360o kuadran III (180 o < α < 270 o )

180o tan +

cos +

Kuadran IV

Kuadran III

Kuadran :

kuadran IV (270 o < α < 360 o )

270o

y →(+) r −x cos α = → ( −) r y tan α = → ( −) −x

y →(+) r x cosα = → ( + ) r y tanα = → ( + ) x sinα =

sinα =

90o y r

180o

r α α

-x

α α

r −y sin α = → (−) r −x cos α = → (−) r −y tanα = →(+) −x

0o atau 360o x

r -y 270o

−y → ( −) r x cosα = → ( + ) r −y tan α = → ( −) x

sin α =

d. Sudut Berelasi

#(4)

Sudut berelasi menjelaskan hubungan nilai – nilai trigono antara sudut satu dengan sudut yang lain dalam sebuah kuadran. Berikut akan dijelaskan secara penjabaranya sekaligus diberi teknik penghitungan secara mudahnya. 1. Sudut Berelasi Kuadran I Berikut akan dibahas hubungan sudut α dan (90 – α) , dengan α sudut lancip(0< α< 90 ). 90o

Kesimpulan :

sin α = cos(90 − α )

y

cos α = sin(90 − α )

r

tan α = cot(90 − α )

(90-α) α

o

180

0o

x 270o

y r x cos α = r y tan α = x

sin α =

y r x sin(90 − α ) = r y tan(90 − α ) = x cos( 90 − α ) =

perhatikan perhatikan perhatikan

Contoh :

1. Nilai dari

cos 20 o + cos 40 o sin 70 o + sin 50 o

adalah....

Pembahasan :

cos 20 o + cos 40 o sin 70 o + sin 50 o

=

sin 70 o + sin 50 o sin 70 o + sin 50 o

=1

2. Sudut Berelasi Kuadran II Berikut akan dibahas hubungan sudut (90 + α) dan (180 – α) , dengan α sudut lancip (0 < α < 90) . 90

90

garis h

garis h

y

y

β

r (180-α) 180

α

0

-x

180

α

cos(180 − α ) = cos α =

−x r

tan(180 − α ) = tan α =

y −x

0 270

Besar sudut garis h terhdap sumbu X positif adalah (180 – α) atau α terhadap sumbu X negatif.

y r

β

-x

270

sin(180 − α ) = sin α =

(90+ β )

r

Besar sudut garis h terhdap sumbu X positif adalah (90+ β ) atau α terhadap sumbu X negatif.

y r −x cos(90 + β ) = cosα = sin β = r y tan(90 + β ) = tan α = cot β = −x sin(90 + β ) = sin α = cos β =

Jadi bisa disimpulkan menjadi :

3.

sin(180 − α ) = sin α

sin(90 + β ) = cos β

cos(180 − α ) = − cos α

cos(90 + β ) = − sin β

tan(180 − α ) = − tan α

tan(90 + β ) = − tan β

Sudut Berelasi Kuadran III Dengan cara yang sama seperti pada kuadran II, maka pada kuadran III didapat :

sin(180 + α ) = − sin α

sin(270 − β ) = − cos β

cos(180 + α ) = − cos α

cos(270 − β ) = − sin β

tan(180 + α ) = tan α

tan(270 − β ) = tan β

4. Sudut Berelasi Kuadran IV Seperti pada cara sebelumnya pada kuadran IV maka didapat :

sin(360 − α ) = − sin α

sin(270 + β ) = − cos β

cos(360 − α ) = cos α

cos(270 + β ) = sin β

tan(360 − α ) = − tan α

tan(270 − β ) = − tan β

5. Sudut berelasi lebih dari 360o Untuk sudut yang lebih dari 360o artinya sudut itu sudah berputar lebih dari satu putaran, maka berlaku :

sin(n ⋅ 360 + α ) = sin α

n adalah bilangan bulat positif.

cos(n ⋅ 360 + α ) = cos α tan(n ⋅ 360 + α ) = tan α

Kesimpulan dari seluruh hubungan sudut berelasi diatas, dapat disederhanakan sebagai berikut : Catatan Penting :

sin(n ⋅ 180 + α ) = ± sin α cos(n ⋅ 180 + α ) = ± cos α

dengan n bilangan bulat positif, n = 1, 2, 3, ...... tanda positif/negatif tergantung letak kuadran.

tan(n ⋅ 180 + α ) = ± tan α

sin(n ⋅ 90 + α ) = ± cos α

dengan n bilangan bulat positif ganjil, n = 1, 3, 5, ....

cos(n ⋅ 90 + α ) = ± sin α

tanda positif/negatif tergantung letak kuadran.

tan(n ⋅ 90 + α ) = ± cot α Contoh :

1. Berapakah nilai dari : a. cos150o b. tan 240o c. sin 330o Pembahasan :

a. cos 150 o = cos( 180 − 30 )

= − cos 30o 1 =− 3 2

1500 berada dikuadran II, maka nilai cos nya negatif (-)

Atau bisa diselesaikan dengan cara : cos 150 o = cos( 90 + 60 )

= − sin 60o 1 =− 3 2 b. tan 240 o = tan(180 + 60 )

= tan 60o

240

0

berada dikuadran III,

maka nilai tan nya positif (+)

= 3 o

c. sin 330 = sin( 360 − 30 )

= − sin 30o 1 =− 2 2. Nilai dari dari :

330

0

berada dikuadran IV,

maka nilai sin nya negatif (-)

a. tan 750o b. sin1230o Pembahasan :

a. tan 750 o = tan (2 .360 + 30 )

= tan 30o 1 = 2 b. sin 1230 o = tan( 3 .360 + 150 )

= tan 150o = tan(180 − 30) = − tan 30

=− e. Sudut Negatif

1 3 3

#(5)

Sudut positif artinya sudut itu perputaranya berlawanan arah dengan jarum jam. Sudut negatif artinya sudut itu perputaranya searah dengan jarum jam. Dalam sudut negatif berlaku : sin( −α ) = − sin α cos( −α ) = cos α tan( −α ) = − tan α

searah jarum jam

α -α

berlawan arah jarum jam

B.

SATUAN UKURAN SUDUT #(6) a. Derajat dan Radian

Satuan sudut yang biasa dipakai dalah derajat dan radian. π radian = 180 o

, jika π ≈ 3,14 atau π ≈

22 , maka : 7

180 o

1 radian =

π

1 radian =

180o 3,14

1 radian = 57 ,3 o

180o = π radian π 1o = radian 180 3,14 1o = radian 180 1o = 0,017 radian Contoh :

1. Rubahlah bentuk

2 π dalam bentuk derajat ! 3

Pembahasan :

Bentuk ditulis

2 2 π artinya π radian. ( ket 3 3

: ‘radian’ sering kali tidak

). Jadi untuk merubah bentuk derajat dengan cara merubah

π menjadi 180o atau dikali dengan

180 o

π

jadi:

2 2 π = ⋅ 180o = 120o 3 3 2. Rubahlah bentuk 150 o dalam bentuk π radian ! Pembahasan :

Untuk merubah betuk derajat ke π radian adalah dengan dikali 1 π. dengan 180 1 5 150 o = 150o ⋅ π= π 180 6

b. Derajat, menit dan detik

Satuan sudut bisa juga dinyatakan dalam bentuk menit(’) dan detik (’’). 1o = 60’ (menit) atau 1’ =

1 60 o

1o = 3600’’ (detik) atau 1’’ =

1 3600o

Contoh :

1. Rubahlah bentuk berikut 30o 30’ 36’’ menjadi bentuk derajat ! Pembahasan : 1 1 o 30o 30’ 36’’ = (30 + 30. +36 ) 60 3600 = (30 + 0,5 + 0,01)o = 30,51o

C.

KOORDIAT KUTUB DAN KOORDINAT KARTESIUS #(7) P

y

P dalam koordinat kartesius : P( x , y ) P dalam koordinat kutub :

r

P( r ,

αo )

α x a. Merubah koordinat kartesius P(x, y) ke koordinat kutub P(r,

α

r = x2 + y2

tan α =

y x

Contoh:

1. Rubahlah koordinat kartesius berikut menjadi koornat kutub : a. (3, 3 3 ) b. (−1, 3 )

)

Pembahasan :

a. Dari koordinat kartesius (3, 3 3 ) , maka x = 3, y = 3 3

r = x 2 + y 2 = 3 2 + (3 3 ) 2 = 9 + 27 = 36 = 6 y 3 3 o = = 3 , maka α = 60 x 3 Jadi hasilnya (6, 60o) tan α =

b. Dari koordinat kartesius (−1, 3 ) , maka x = −1, y = 3

r = x 2 + y 2 = (−1) 2 + ( 3 ) 2 = 1 + 3 = 4 = 2 tan α =

y 3 o = = − 3 , maka α = 120 x −1

Jadi hasilnya ( 2 , 120 o ) b. Merubah koordinat kutub P(r,

α

) ke koordinat kartesius P(x , y)

x = r ⋅ cos α y = r ⋅ sin α Contoh :

1. Rubah bentuk koordinat kutub berikut menjadi koordinat kartesius a. (4, 30o)

2 3

b. (8, π ) Pembahasan :

a. Koordinat kutub (4, 30o), maka r = 4, dan α = 30o

1 3=2 3 2 1 y = r ⋅ sin α = 4 ⋅ sin 30 o = 4 ⋅ = 2 2

x = r ⋅ cos α = 4 ⋅ cos 30 o = 4 ⋅

Jadi hasilnya ( 2 3 , 2 )

2 3

b. Koordinat kutub (8, π ) , maka r = 8, dan α =

1 x = r ⋅ cos α = 8 ⋅ cos 120 o = 8 ⋅ ( − ) = −4 2 1 y = r ⋅ sin α = 8 ⋅ sin 120 o = 8 ⋅ 3=4 3 2 Jadi hasilnya (− 4 , 4 3 )

2 2 π = .180 o = 120 o 3 3

D.

RUMUS IDENTITAS #(8) Rumus – rumus identitas dalam trigonometri adalah : 1.

sin

2

x + cos

2

sin 2 x = 1 − cos 2 x

y =1

cos 2 x = 1 − sin 2 x

2.

1 + tan 2 x = sec 2 x

tan 2 x = sec 2 x − 1

3.

1 + cot 2 x = cos ec 2 x

cot 2 x = cos ec 2 x − 1

Contoh :

1. Bentuk sederhana dari (sin − 1)(1 + tan x) adalah.... 2

2

Pembahasan :

(sin2 − 1)(1 + tan2 x) = −(1 − sin2 x)(sec2 x) = − cos 2 x ⋅

1 cos 2 x

= −1 2. Buktikan

1 cos 2 x

− tan 2 x = 1 !.

Pembahasan :

1 2

cos x

− tan 2 x = 1

sec 2 x − tan 2 x = 1

(1+ tan x)− tan 2

E.

2

x =1 1=1

PERSAMAAN TRIGONOMETRI #(9) Rumus – rumus dalam persamaan trigono adalah : 1. sin x = sin α

x = α + k.360 atau x = (180 − α ) + k .360 , dengan k ∈ bilangan bulat 2. cos x = cos α x = α + k.360 atau x = −α + k .360 , dengan k ∈ bilangan bulat 3. tan x = tanα

x = α + k.180

Contoh :

1. Himpunan penyelesaian dari sin x =

1 3 , untuk 0 ≤ x ≤ 360 o adalah... 2

Pembahasan :

sin x =

1 3 2

sin x = sin 60 o o x = 60 o + k .360 atau x = (180 − 60) + k.360

k =0 k =1

x = 60 o + k .360 x = 60 o + 0 x = 60 o x = 60 o + 360 o x = 420 o

atau x = 120 o + k .360 atau x = 120 o + 0 atau x = 120 o

x = 120 o + 360 o atau x = 480 o

o

o

masuk dalam HP

o

Maka himpunan penyelesaian {60 ,120 } 2. Himpunan penyelesaian dari cos 3 x −

o

420 dan 480 tidak

atau

karena

0 ≤ x ≤ 360 o

1 2 = 0 , untuk 0 ≤ x ≤ 180 o 2


1 2=0 2 1 cos 3 x = 2 2 cos 3 x −

cos 3 x = cos 45 o 3x = 45 o + k .360 o atau 3 x = −45 o + k .360 o x = 15 o + k .120 o atau x = −15 o + k .120 o k =0 x = 15 o + 0 atau x = −15o + 0 x = 15 o atau x = −15 o o o 255 dan 235 tidak k =1 x = 15 o + 120 o atau x = −15 o + 120 o masuk dalam HP karena x = 135 o atau x = 105 o 0 ≤ x ≤ 180 o k =2 x = 15 o + 240 o atau x = −15 o + 240 o x = 255 o atau x = 235 o o

o

o

Maka himpunan penyelesaiannya adalah {15 ,105 ,135 } 3. Himpunan penyelesaian dari tan( 2 x − 30) =

0 o ≤ x ≤ 360 o adalah...

1 3 , untuk nilai 3

Pembahasan :

tan( 2 x − 30) =

1 3 3

tan(2x − 30) = tan 30o 2 x − 30 o = 30 o + k .180 o 2 x = 60 o + k .180 o x = 30 o + k .90 o

k =0

x = 30 o + 0 x = 30 o

k =1

x = 30 o + 90 o x = 120 o

k =2

x = 30 o + 180 o x = 210 o

k =3

x = 30 o + 270 o x = 300o

k =4

x = 30 o + 360 o x = 390o o

o

o

o

Maka himpunan penyelesaiannya {30 ,120 ,210 ,300 }

F.

RUMUS-RUMUS SEGITIGA DALAM TRIGONO a. Aturan Sinus

#(10) C

A

a b c = = sin A sin B sin C

a

b

c

B

Aturan sinus dipakai jika diketahui : 1. Dua sudut dan satu sisi, atau 2. Dua sisi dan satu sudut ( sudut tersebut bukan sudut apit ) Contoh :

1. Jika diketahui segitiga ABC dengan ∠A = 120 o , ∠B = 30 o dan a = 8 . Tentukanlah panjang b dan c !

Pembahasan :

Karena ∠A = 120 o , ∠B = 30 o maka ∠C = 30 o

a b c = = sin A sin B sin C 8 b = sin 120 o sin 30 8 sin 120 b=

b=

o

sin 120

1 3 2

b=

8

b=

8 3 3

⋅

o

a=8

30 o 120 o

⋅ sin 30 o = b

8

8

C

30 o

A

B

⋅ sin 30 o

1 2 dirasionalkan

b=

3

b. Aturan Cosinus

8 3 8 3 × = 3 3 3

#(11)

C

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos A

a

b

b 2 = a 2 + c 2 − 2ac ⋅ cos B c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos C

A

cos A =

b2 + c2 − a2 2bc

cos B =

a2 + c2 − b2 2ac

cos C =

a2 + b2 − c2 2ab

B

c

Aturan cosinus dipakai jika diketahui : 1. Diketahui dua sisi dan satu sudut apit 2. Diketahui ketiga sisi Contoh :

1. Diketahui segitiga ABC dengan b = 5, c = 8 dan ∠A = 60 o , maka panjang sisi a adalah....

C

Pembahasan :

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos A a = 5 + 8 − 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ cos 60 1 a 2 = 25 + 64 − 80 ⋅ 2 2

2

2

a=....

b =5

o

60o A

c=8

B

a 2 = 89 − 40 = 49 a = ±7 karena yang ditanyakan adalah panjang a, dan panjang itu harus bernilai positif, maka a = 7 2. Jika diketahui segitiga PQR dengan panjang masing-masing sisinya 6, 8 dan 10, maka nilai cosinus sudut terbesar adalah.... P Pembahasan :

Sudut terbesar terletak di hadapan sisi terpanjang, maka sudut terbesarnya adalah sudut P.

R

p= 10

cos P =

q 2 + r 2 − p 2 8 2 + 6 2 − 32 64 + 36 − 100 = = 2qr 2⋅8⋅6 96

cos P =

0 =0 96

c. Luas Segitga

r=6

q =8

Q

#(12)

1. Diketahui alas dan tinggi t

t

L=

a

1 ⋅a⋅t 2

a Catatan : Hubungan alas dan tinggi harus saling tegak lurus

2. Diketahui dua sisi dan satu sudut apit C

a

b

A

c

1 ⋅ a ⋅ b ⋅ sin C 2 1 L = ⋅ a ⋅ c ⋅ sin B 2 1 L = ⋅ b ⋅ c ⋅ sin A 2 L=

B

Contoh :

1. Sebuah segitiga ABC dengan b = 4 cm, c = 5cm dan ∠A = 45 o , maka luasnya adalah...

Pembahasan :

C

1 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin A 2 1 L = ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ sin 45 o 2 1 2 L = 10 ⋅ 2 L=

a

b

A

B

c

L = 5 2 cm 2 3. Diketahui tiga sudut dan satu sisi C

a

b

A

B

c

L=

a 2 sin B sin C 2 sin A

L=

b 2 sin A sin C 2 sin B

L=

c 2 sin A sin B 2 sin C

Contoh :

1. Pada segitiga ABC diketahui ∠A = 120 o , ∠B = 30 o dan a = 4 cm. Maka luas segita tersebut adalah... Pembahasan :

Diketahui a = 4 cm, ∠A = 120 o dan ∠B = 30 o maka ∠C = 30 o

L=

L=

a 2 sin B sin C 2 sin A

4 2 sin 30o sin 30o 2 sin 120o

1 1 16 ⋅ ⋅ 2 2 = 4 L= 1 3 2⋅ 3 2 4 L= 3 3 4. Diketahui panjang seluruh sisinya C

L = s(s − a)(s − b)(s − c)

a

b

Dengan s adalah setengah keliling : A

c

B

s=

1 (a + b + c) 2

Contoh :

1. Suatau segitiga dengan sisi – sisi nya 5 cm, 6 cm dan 7 cm. Maka luas segitiganya adalah.... Pembahasan :

s=

1 1 1 ( a + b + c ) = (5 + 6 + 7 ) = (18) = 9 2 2 2

L = s(s − a)(s − b)(s − c) = 9(9 − 5)(9 − 6)(9 − 7) = 9⋅ 4⋅3⋅ 2 = 36 ⋅ 6 =6 6 5. Luas segi n beraturan

 360 o L = nr sin  n 1 2

r

2

  

n = banyaknya jumlah sisi r = jari-jari lingkaran Contoh :

1. Segi 12 beraturan dengan jari – jari lingkarannya adalah 2 cm. Maka luas 12 beraturan tersebut adalah.... Pembahasan :

n = 12, r = 2 cm

L=

1 2  360 o nr sin  2  n

L=

 360 o 1 × 12 × 2 2 × sin  2  12

L = 6 × 4 × sin 30 o 1 L = 6×4× 2 2 L = 12cm

     

d. JariJari- jari Lingakaran

1. Jari – jari lingakaran dalam segitiga C

rd =

b

L∆ABC , atau s

a

rd =

rd

(s − a)(s − b)(s − c) s

A

c 2. Jari – jari lingkaran luar segitiga C b rl A

rl

a rl

B

rl =

a b c = = 2 sin A 2 sin B 2 sin A , atau

rl =

abc abc = 4L∆ ABC 4 (s − a)(s − b)(s − c)

c B 3. Jari – jari lingkaran singgung

rb

C

ra = s. tan

b

ra

a A

c

rc

B

1 rc = s. tan C 2

rc =

ra =

s(s − a)(s − b)(s − c) L∆ABC = s−c s−c

s(s − a)(s − b)(s − c) L∆ABC = s−a s−a

rb = s. tan

rb =

1 A 2

1 B 2

s(s − a)(s − b)(s − c) L∆ABC = s −b s −b

G.

GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI #(13)

a. Grafik Fungsi Sin x

Catatan :

1. Bentuk dasar Bentuk dasar y = f ( x ) = sin x :

1 gelombang = 1 gunung + 1

•

lembah

Y

Periode = besar sudut yang

•

dibutuhkan untuk menembuhkan

y = sin x

1

satu gelombang Frekuensi = banyaknya

•

gelombang dalam 360o 90o

180o

270o

X

360o

-1

Dari grafik tersebut didapat : 1. Nilai maksimum 1, dan nilai minimum -1 2. Amplitudo (max – min) = ( 1 – (-1)) = 2 3. Periode = 360o = 2π 2. Bentuk umum fungsi sin x adalah :

y = a sin( kx ± b )

, dengan a,b dan k adalah bilangan real serta a

≠ 0, k ≠ 0 Dari bentuk umum tersebut bisa didapat : 1. Maksimum a , dan minimum − a

Bila k negatif kita rubah ke positif untuk mempermudah

2. Amplitudo = 2a

penyelesian. Ingat bentuk:

360 o sin( − x ) = − sin x !!! 3. Periode = k 3. Cara menggambar grafik Langkah menggambar grafik sin adalah sebagai berikut :

y = sin x

bentuk dasar , periodenya:

y = sin kx

periodenya :

y = sin( kx ± b )

y = a sin( kx ± b )

2π

2π 360 o = k k

b k b sebesar k

Jika (+) geser kurva kekiri sebesar Jika (-) geser kurva kekanan

perbesar kurva maks menjadi |a| dan min -|a|

Contoh :

1. Gambar perbsamaan kurya dari y = 2 sin 3 x untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah... Pembahasan :

Y

y = sin x

1

Langkah I

y = sin x 90o

Maksimum = 1 Minimum = - 1 Periode = 2π = 360

180o

270

X

360o

o

-1

o Y

Langkah II

y = sin 3 x

60o

150o o 120o 180

210o

330o 270o o 240o 300 360o

X

-1 Y

y = 2 sin 3 x

Langkah III

2

y = 2 sin 3 x

1

Maks dan min menjadi : Maksimum = a = 2 = 2 Minimum = − a = − 2 = −2

90o

30o

Periode menjadi:

2π 2π 360o = = = 120o k 3 3

y = sin 3 x

1

90o

30o 60o

150o o 120o 180

210o

330o 270o o 240o 300 360o

X

-1 -2

2. Grafik kurva dari persamaan y = 2 sin( 2 x + 90 ) untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah..... Pembahasan : Y

Langka I kita:lewati (dianggap sudah paham)

Langkah II y = sin 2 x Maksimum = 1 Minimum = - 1

2π 360o = = 180o Periode = 2 2

y = sin 2 x

1

90

-1

o

180

o

270o

360

o

X

Y

Langkah III y = sin( 2 x + 90 )

y = sin(2 x + 90)

1

Grafik digeser ke kiri sebesar:

b 90o = = 45o k 2

90

o

180o

270

o

360o

X

-1 Y

y = 2 sin(2 x + 90)

2

Langkah IV y = 2 sin( 2 x + 90 )

1

Maks dan min menjadi Maksimum = a = 2 = 2 Minimum = − a = − 2 = −2

90o

270o

180o

360o

-1 -2

b. rafik Fungsi Cos x 1.

#(14)

Bentuk Dasar Bentuk dasar y = f ( x ) = cos x :

y = cos x

Y 1

90o

180o

270o

360o

X

-1

Dari grafik tersebut didapat : 1. Nilai maksimum 1, dan nilai minimum -1 2. Amplitudo (max – min) = ( 1 – (-1)) = 2 o

3. Periode = 360 =

2π

2. Bentuk umum fungsi cos x adalah :

y = a cos( kx ± b )

dengan a,b dan k adalah bilangan real serta a ≠

0, k ≠0 Dari bentuk umum tersebut bisa didapat : 1. Maksimum a , dan minimum − a

Bila k negatif kita rubah ke

2. Amplitudo = 2a

positif untuk mempermudah

360o 3. Periode = k

penyelesian. Ingat bentuk:

cos( − x ) = cos x

!!!

X

3. Cara menggambar grafik Langkah menggambar grafik cos adalah sebagai berikut : y = cos x


y = cos kx

periodenya :

y = cos( kx ± b )


2π

2π 360 o = k k

Jika (+) geser kurva kekiri

sebesar

b kb

Jika (-) geser kurva kekanan sebesar

k

perbesar kurva maks menjadi maks |a| dan min -|a|

Contoh :

1. Diberikan persamaan y = 2 cos 3 x , maka bentuk grafik untuk

0 ≤ x ≤ 360 adalah.... Pembahasan : Langkah I y = cos x Maksimum = 1 Minimum = - 1 Periode = 2π = 360 o

y = cos x

Y 1

90o

Y

360o

X

y = cos 3 x

1

Periode menjadi :

Langkah III y = 2 cos 3 x

270o

-1

Langkah II y = cos 3 x

2π 2π 360o = = = 120o k 3 3

180o

o 30o 90o 270o 330 210o 150o o o 120o 180o 60 240 360o 300o

X

-1

y = 2 cos 3 x

Y 2

Maks dan min menjadi : Maksimum = a = − 2 = 2

1 30

Minimum = − a = − 2 = −2 -1 -2

o

90o 60o

o 270o 330o 210 150o o o 120o 180o 240o 360 300

X

2. Bentuk grafik dari persamaan y = 3 cos( 2 x − 90 ) untuk 0 ≤ x ≤ 360 Y

adalah.... Pembahsaan :

y = cos 2 x

1

Langkah II y = cos 2 x

45

o

135 90

315o

215o

o

180

o

o

270

o

360o

X

Periode menjadi :

2π 2π 360o = = = 180o k 2 2 Langkah III y = cos( 2 x − 90 )

-1

Y

y = cos( 2 x − 90 )

1

Grafik digeser ke kanan sebesar: 45o

b 90o = = 45o k 2 Langkah IV y = 3 cos( 2 x − 90 )

-1

Maks dan min menjadi :

3

315o

215o

135o

270o

180o

90o

X

360o

Y

Maksimum = a = 3 = 3

2

Minimum = − a = − 3 = −3

1

y = 3 cos( 2 x − 90 )

45o 90o

-1 -2 -3

315o

215o

135o 180

o

270o

360o

X

c. Grafik Fungsi Tan x 1.

#(15)

Bentuk dasar Bentuk dasar y = f ( x ) = tan x : Y

3

1 120o135o 45o 60o 90o -

180o

270o

360o

X

-1 3

Dari grafik tersebut didapat : 1. Nilai maksimum ~, dan nilai minimum - ~ 2. Amplitudo (max – min) = ( ~ – (- ~) = ~ o 3. Periode = 180 = π 2.

Bentuk umum fungsi tan x dengan a,b dan k adalah bilangan real serta a y = a tan( kx ± b ) ≠ 0, k ≠0 Dari bentuk umum tersebut bisa didapat : 1. Maksimum selalu ~, dan minimum - ~ 2. Amplitudo selalu ~

Bila k negatif kita rubah ke positif untuk mempermudah penyelesian. Ingat bentuk:

180 o 3. Periode = k 3.

tan( − x ) = − tan x

!!!

Cara menggambar grafik Langkah menggambar grafik cos adalah sebagai berikut :

y = tan x


y = tan kx

periodenya :

y = tan( kx ± b )


π k

=

π

180 o k

Jika (+) geser kurva kekiri

sebesar

b kb

Jika (-) geser kurva kekanan sebesar

k

perbesar kurva sebesar/diperkecil a kali setiap nilai x nya.

Contoh :

1. Untuk

0 ≤ x ≤ 360 , maka entuk grafik dari y = tan 2 x Y


Langkah I y = tan x

3 1

Maksimum = ~ Minimum = - ~

120o 135o o o 45 60 90o

o

X

o

270

180o

360

-1

Periode = π = 180 o

-

3

Y

Langkah II y = tan 2 x 3

Periode menjadi :

π

π

1

o

135o

45o

225 o

360o

270

180o

X

-1 -

3

0 ≤ x ≤ 360

2. Gambar grafik dari y = 2 tan( x + 90 ) dengan Y

Pembahsan :

Langkah I y = tan x

3 1

Maksimum = ~ Minimum = - ~ Periode = π = 180

o

225o

90o

22,5o 30o

180 = = = 90 o k 2 2

o

120 o 45o 60 90o

o -

Langkah III y = 2 tan( x + 90 )

X

360o

3

Y

Periode tetap = π = 180 o Grafik digeser kekiri sebesar :

b 90 = = 90o k 1

270o

180o

-1

Langkah II y = tan( x + 90 )

o

135o

3 1

o

X o

-90

30

o

45

o

o 90 135 150 o

o

180

270o

o

360

-1 -

3

Y

2 3 2

X

Setiap nilai y dikali 2 dari sebelumnya untuk setiap nilai x nya.

o o 30 45

-2 -2

3

90o

135o 150o 180o

270o

o

360

H.

RUMUS – RUMUS TRIGONOMETRI a. Rumus Jumlah dan Selisih Sudut

1. 2. 3. 4.

#(16)

sin( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B sin( A − B ) = sin A cos B − cos A sin B cos( A + B ) = cos A cos B − sin A sin B cos( A − B ) = cos A cos B + sin A sin B

tan A + tan B 1 − tan A tan B tan A − tan B tan( A − B ) = 1 + tan A tan B tan( A + B ) =

5. 6.

Contoh :

1. Berapakah nilai dari

sin 15 o = ....

Pembahasan :

sin 15 o = sin( 45 − 30 )

= sin 45 cos 30 − cos 45 sin 30 1 1 1 1 = 2⋅ 3− 2⋅ 2 2 2 2 1 1 = 6− 2 4 4 1 = ( 6 − 2) 4 o 2. Nilai cos 105 adalah... Pembahasan :

cos 105 o = cos( 60 + 45 )

= cos 60 cos 45 − sin 60 sin 45 1 1 1 1 = ⋅ 2− 3⋅ 2 2 2 2 2 1 1 = 2− 6 4 4 1 = ( 2 − 6) 4 1 3 3. Jika diketahui tan x = dan sin y = , maka nilai tan( x − y ) = .... 2 5

Pembahasan :

3 1 3 ( depan ) tan y = dan sin y = = 5 4 2 5 ( miring ) 3 y tan x − tan y tan( x − y ) = 4 1 + tan x tan y 1 3 2 3 1 − − − 1 8 2 = 2 4 = 4 4 = 4 =− × =− 11 1 3 8 3 4 11 11 1+ ⋅ + 2 4 8 8 8

tan x =

b. Rumus Sudut Rangkap

#(17)

Rumus – rumus sudut rangkap ini didapat dari penurunan rumus jumlah sudut sebelumnya, maka didapat rumus sudut rangkap sebagai berikut : 1.

sin 2 A = 2 sin A cos A

2.

cos 2 A = cos 2 A − sin 2 A = 2 cos 2 A − 1

3.

= 1− 2 sin 2A 2 tan A tan 2 A = 1 − tan 2 A

4.

sin 3 A = 3 sin A − 4 sin 2 A

5.

cos 3 A = 4 cos 2 − 3 cos A

c. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus

#(18)

1.

2 sin A cos B = sin( A + B ) + sin( A − B )

2.

2 cos A sin B = sin( A + B ) − sin( A − B )

3.

2 cos A cos B = cos( A + B ) + cos( A − B )

4.

− 2 sin A sin B = cos( A + B ) − cos( A − B )

d. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinusdan Kosinus

1. 2. 3. 4.

1 1 ( A + B ) cos ( A − B ) 2 2 1 1 sin A − sin B = 2 cos ( A + B ) sin ( A − B ) 2 2 1 1 cos A + cos B = 2 cos ( A + B ) cos ( A − B ) 2 2 1 1 cos A − cos B = −2 sin ( A + B ) sin ( A − B ) 2 2 sin A + sin B = 2 sin

#(19)


Keliling suatu segienam beraturan adalah 72 cm. Luas segienam tersebut adalah…. A. 432 3 cm2 B. 432 cm2 C. 216 3 cm2 D.

216 2

cm2

E. 216 cm2 UN MAT IPA 2012 (A35-26)

2.

Jika A + B = A.

1 4

B.

1 2

C.

3 4

π 3

dan cos A. cos B =

5 , maka cos( A − B ) = …. 8

D. 1 E.

5 4

UN MAT IPA 2012 (A35-27)

3.

Himpunan penyelesaian persamaan cos2x-3cosx+2=0 untuk adalah…

 π 3  , π ,2π   2 2 

A. 0,

 π 5  , π ,2π   3 3 

B. 0,

 π 3  , π ,2π   3 2 

C. 0,

3   π ,π , π  2   2

D. 0,

0 ≤ x ≤ 2π

 π  , π ,2π   2 

E. 0,

UN MAT IPA 2012 (A35-28)

4.

Nilai dari sin 75o – sin 165o adalah… A.

1 2 4

B.

1 3 4

C.

1 6 4

D.

1 2 2

E.

1 6 2

UN MAT IPA 2012 (A35-29)

5.

Himpunan adalah…. A. 45 0 ,120 0

{ B. {45 C. {60 D. {60 E. {60

0

,135 0

0

,135 0

0

,120 0

0

,180 0

penyelesaian

persamaan

cos 2 x + cos x = 0, 0 0 ≤ x ≤ 180 0

} } } } }

UN MAT IPA 2011 (D10-08)

6.

Dalam suatu lingkaran yang berjari-jari 8 cm, dibuat segi-8 beraturan. Panjang sisi segi-8 tersebut adalah… A.

128 − 64 3 cm

B.

128 − 64 2 cm

C.

128 − 16 2 cm

D.

128 + 16 2 cm

E.

128 + 16 3 cm

UN MAT IPA 2011 (D10-09)

7.

Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF. Panjang AB = 4 cm, BC = 6 cm, AC = 2 7 cm, dan CF = 8cm. Volume prisma tersebut adalah… A. 96 3 cm3

B. 96 2 cm3 C. 96 cm3 D. 48 3 cm3 E. 48 2 cm3 UN MAT IPA 2011 (D10-22)

8.

Diketahui ( A + B ) =

π 3

dan sin A. sin B =

1 . Nilai dari cos( A − B ) = ... 4

A. -1 B. −

1 2

1 2 3 D. 4

C.

E. 1 UN MAT IPA 2011 (D10-27)

9.

cos 140 0 − cos 100 0 = ... sin 140 0 − sin 100 0 − 3 1 − 3 2 1 − 3 3 1 3 3

Nilai A. B. C. D. E.

3

UN MAT IPA 2011 (D10-32)

10.

Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah ... A. 192 :% B. 172 :% C. 162 :% D. 148 :% E. 144 :% UN MAT IPA 2010 (D10-23)

11.

Diberikan Prisma tegak lurus segitiga ABC.DEF dengan panjang rusuk AB = 6 cm, BC = 3√7, dan AC = 3 cm. Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah .. A. 55 √2 :%

D B. C. D. E.

60 √2 :% 75 √3 :% 90 √3 :% 120 √3 :%

A

UN MAT IPA 2010 (D10-24)

12.

Himpunan penyelesaian persamaan 2 :;< < 2@ adalah ... B

B

A. A , B

B. A , B

B

B

B

C. A ,

D. A , E. A

B

C

B

,

C C

B

F E E

C B − 3 cos + 1 = 0 untuk 0 <

C

C

UN MAT IPA 2010 (D10-25)

13.

DEF7 G ∝8I DEF 7 G ∝8I G ∝8I JKD 7 G ∝8I

Hasil dari JKD7 A. −√3

= ...

B. − √3

C. √3 D. 1 E. √3

14.

UN MAT IPA 2010 (D10-26) B

Diketahui (A+B) = dan sin A sin B = . Nilai dari cos (A - B) = ... A. -1 B. − C. D. E. 1 UN MAT IPA 2010 (D10-27)

15.

Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah ... A. 192 :% B. 172 :% C. 162 :% D. 148 :% E. 144 :% UN MAT IPA 2009 (D10-06)

16.

Diketahui prisma segitiga tegak ABC. DEF. Panjang rusuk-rusuk alas AB = 5 cm, BC = 7 cm dan AC = 8 cm. Panjang rusuk tegak 10 cm. Volume prisma tersebut adalah ... A. 100 :% B. 100 √3:% C. 175 :% D. 200 :% E. 200√12 :% UN MAT IPA 2009 (D10-07)

17.

Hinpunan penyelesaian persamaan
18.

diketahui sin ' = √13, ' sudut lancip. Nilai cos 2 ' = ⋯ A. -1 B. −

C. − D. −

E. 1

UN MAT IPA 2009 (D10-12)

19.

Dalam suatu segitiga ABC diketahui cos ∠R = sin ∠ T=...

dan cos ∠S =

. Nilai

A. B. C. −

D. − E. −

UN MAT IPA 2009 (D10-23)

20.

Diketahui segitiga MAB dengan AB = 300 cm, sudut MAB = 600 dan ABM = 750. Maka AM=.. A. 150 (1 +

3 )cm

B. 150 ( 2 +

3 )cm

C. 150 (3 +

3 )cm

D. 150 ( 2 +

6 )cm

E. 150 ( 3 +

6 )cm

UN MAT IPA 2008 (D10-27)

21.

Jika

tanα = 1 dan tan β =

1 dengan α dan β sudut lancip, maka 3

sin(α − β ) = ... A. B. C. D. E.

2 5 3 1 5 5 1 2 2 5 1 5

UN MAT IPA 2008 (D10-28)

22.

Nilai dari

cos 50 0 + cos 40 0 sin 50 0 + sin 40 0

adalah…

A. 1 B.

1 2

2

C. 0 D. −

1 3 2

E. -1 UN MAT IPA 2008 (D10-29)

23.

Himpunan penyelesain persamaan : cos 2 x o + 7 sin x o − 4 = 0,0 ≤ x ≤ 360 adalah… A. {240,300} B. {210,330} C. {120,240} D. {60,120} E. {30,150} UN MAT IPA 2008 (D10-30)

24.

Diketahui A dan B adalah titik-titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut ACB=450. Jika jarak CB=p meter dan CA=2p 2 meter, maka panjang terowongan itu adalah… A. p 5 meter B. p 17 meter C. 3 2 meter D. 4p meter E. 5p meter UN MAT IPA 2007 (D9-20)

25.

Nilai dari cos 40 + cos 80 + cos160 = ... 0

0

0

1 2 2 1 B. − 2

A. −

C. 0

1 2 1 2 E. 2

D.

UN MAT IPA 2007 (D9-21)

26.

Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan arah 0440 sejauh 50 km. Kemudian berlayar lagi dengan arah 1040 sejauh 40 km ke pelabuhan C. Jarak pelabuhan A ke C adalah… A. 10 95 km B. 10 91 km C. 10 85 km D. 10 71 km E. 10 61 km UN MAT IPA 2006 (D9-05)

27.

Nilai sin 105 o + cos 15 o = ...

1 (− 6 − 2 ) 2 1 B. ( 3 − 2 ) 2 A.

1 ( 6 − 2) 2 1 D. ( 3 + 2 ) 2 1 E. ( 6 + 2 ) 2 C.

UN MAT IPA 2006 (D9-10)

28.

Keliling segitiga ABC pada gambar adalah 8cm. Panjang sisi AB=… A. 4 2 cm B. ( 4 − 4 2 )cm C. ( 4 − 2 2 ) cm

C

D. (8 − 2 2 ) cm E. (8 − 4 2 ) cm

A

B

UN MAT IPA 2005 (D10-01)

29.

Sebuah kapal berlayar ke arah timur sejauh 30 mil. Kemudian kapal melanjutkan perjalanan dengan arah 0300 sejauh 60 mil. Jarak kapal terhadap posisi saat kapal berangkat adalah… A. 10 37mil B. 30 7mil C. 30 5 + 2 2 mil D. 30 5 + 2 3 mil E. 30 5 − 2 3 mil UN MAT IPA 2005 (D10-04)

30.

o

Nilai dari tan 165 = ... A. 1 −

3

B. − 1 +

3

C. − 2 + 3 D. 2 −

3

E. 2 +

3

UN MAT IPA 2005 (D10-05)

31.

Nilai x yang memenuhi persamaan 2 3 cos 2 x o − 2 sin x o cos x o − 1 − 3 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah… A. 45,105,225,285

B. 45,135,225,315 C. 15,105,195,285 D. 15,135,195,315 E. 15,225,295,315 UN MAT

32.

IPA 2005 (D10-11)

(cos x + sin x )2 (cos x − sin x )2 A.

1 1 − cos 2 x

B.

1 1 − sin 2 x

C.

1 + cos 2 x 1 − cos 2 x

D.

1 + 2 sin x 1 − 2 sin x

E.

1 + sin 2 x 1 − sin 2 x

= ...

SNMPTN MAT IPA 2012 (831-04)

33.

Nilai cos x – sin x > 0, jika... A. π/7 < x < 5π/4 B. π/6 < x < 3π/2 C. π/5 < x < 7π/5 D. π/5 < x < 8π/5 E. 7π/5 < x < 8π/5 SNMPTN MAT IPA 2012 (831-08)

34.

Diberikan persamaan cos x =

a − 1,5 . Banyak bilangan bulat a sehingga 2 − 0,5a

persamaan tersebut mempunyai penyelesaian adalah... A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 6 SNMPTN MAT IPA 2012 (831-09)

35.

Nilai A. 2 B.

2 0 2 0 2 0 2 0 cos ( 30 ) + cos ( 40 ) + cos ( 50 ) + cos ( 60 ) adalah…

3 2

C. 1 D.

1 2

E. 0 SNMPTN MAT DAS 2011 (XX-08)

36.

sin 35 0 cos 40 0 − cos 35 0 sin 40 0 = ... A. cos 5 0 B. sin 5 0 C. cos 95 0 D. cos 75 0 E. sin 75 0 SNMPTN MAT IPA 2011 (XX-04)

37.

Jika 0
3 2 1 C. 2

B.

D. 0 E. -1 SNMPTN MAT IPA 2011 (XX-07)

38.

Jika 0 ≤ x ≤ 2π dan 0 ≤ y ≤ 2π memenuhi persamaan sin( x + y ) = sin y. cos x maka nilai cos y. sin x = ... A. -1 B. – ½ C. 0 D. ½ E. 1 SNMPTN MAT DAS 2010 (XX-12)



39.

  = tan x ,  2   4 + sin x 

Jika F 

6

π ≤ x ≤ 2π , maka F(3)=..

A. 0 B. 1 C. π / 2 D. π E. 2π SNMPTN MAT IPA 2009 (XX-12)

40.

Jika sin θ + cosθ = 1 / 2 , maka sin 3 θ + cos3 θ = ... A. 1/2 B. 3/4 C. 9/16 D. 5/8 E. 11/16 SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-08)

41.

Jika BC=16, AC=10 dan luas ∆ABC = 40 3 , maka panjang AB=… A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 E. 15 SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-09)

42.

Untuk 0 ≤ x ≤ 12 maka nilai x yang memenuhi pertidak samaan cos

πx 6

≥

adalah… A. 0 ≤ x ≤ 3 atau 6 ≤ x ≤ 9 B. 0 ≤ x ≤ 3 atau 6 ≤ x ≤ 12 C. 2 ≤ x ≤ 4 atau 8 ≤ x ≤ 10 D. 1 ≤ x ≤ 3 atau 9 ≤ x ≤ 11 E. 0 ≤ x ≤ 2 atau 10 ≤ x ≤ 12 SNMPTN MAT IPA 2008 (XX-07)

43.

Jika cos a =

2 1 3π π untuk untuk < a < 2π , dan sin b = < a < π , maka 3 3 2 2

sin( a + b) = ... tga + tgb A. −

1 7 9

1 7 9 1 C. − 3 4 B.

1 2

1 3 4 1 E. 2 6

D.


44.

Diketahui segitiga ABC denga AB=1 cm, BC=2 cm, dan AC= k cm. Jika α adalah sudut ACB, maka nilai-nilai k yang memenuhi cos α <

3 2 3 B. 2 1 C. 2 1 D. 2 A.

7 adalah… 8

E. 0 < k <

3 2


45.

Dalam ∆ABC ,jika D pada AB sehingga CD ⊥ AB , BC = a , ∠ CAB = 60 o , ∠ ABC = 45 o maka AD=….

A. B. C. D. E.

1 6 1 3 1 3 1 3 1 6

2a 3a 2a 6a 6a


46.

Jumlah semua sudut α ,0 ≤ α ≤ adalah…

3 π 5 1 B. 1 π 2

A.

1 π , yang memenuhi sin 3α = cos 2α 2

4 5 1 D. 4 π 2 1 E. 6 π 2

C. 2 π


47.

Jika 0 ≤ x ≤ 8 , maka nilai-nilai x yang memenuhi pertaksamaan

A. B. C. D. E.

πx

πx

> 0 adalah… 4 2 2 < x < 4 atau 4 < x < 6 0 < x < 2 atau 6 < x < 8 1 < x < 3 atau 4 < x < 6 0 < x < 4 atau 5 < x < 6 0 < x < 4 atau 4 < x < 6

sin

. sin


48.

Diketahui 0 ≤ a ≤

cos a + cos b =

π 2

dan 0 ≤ b ≤

π 2

. Jika sin a − sin b =

4 , maka sin( a + b) = ... 5

3 2 5 B. 4

A.

C. 1

1 5 1 E. 3 2 D.


49.

Jika sudut lancip α memenuhi sin α =

1  tan π − α  + 3 cos α = ... 2  A. 3 2 − 3 B. 3 2 + 3 C.

6+ 2

D.

6− 2

1 3 , maka 3

3 dan 5

3+

E.

2

SPMB MAT DAS 2006 (XX -08)

50.

Jika tan x = − A. − 1 B. −

2 5 sin x + 6 cos x , maka = ... 3 2 cos x − 3 sin x

1 6

1 3

C. 1

2 3 1 E. 2

D.


51.

Diketahui x dan y sudut lacip dan x − y =

x + y = ... A. B. C.

π 3

π 2

π

6 2π D. 3 E. π SNMPTN MAT IPA 2006 (XX-09)

π 6

. Jika

tan x = 3 tan y , maka

LOGIKA MATEMATIKA A.

KALIMAT #(1) Dalam logika matematika kita akan banyak bicara tentang kalimat, sedangkan kalimat dalam logika ada beberapa macam yaitu kalimat terbuka, kalimat tertutup (pernyataan) dan bukan pernyataan. a. Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum bisa diketahui nilai benar atau salahnya. Kalimat terbuka juga biasanya masih mengandung variabel. Contoh :

1. x adalah bilangan prima keterangan :

kalimat ini belum bisa ditentukan nilai benar atau salahnya tergantung nilai x 2. x + 2 = 5 keterangan :

kalimat ini juga belum diketahui benar atau salahnya. Jika x kita ganti dengan 3 maka kalimat ini menjadi benar, tetapi kalo kita ganti kita ganti dengan angka yang lain jadi salah. b. Kalimat Tertutup (pernyataan)

Kalimat tertutup adalah kalimat yang sudah bisa ditentukan nilai benar atau salahnya. Contoh :

1. Jakarta adalah ibu kota Indonesia. keterangan :

Ini adalah pernyataan dan bernilai benar, karena ini adalah fakta yang ada. 2. Setiap segi tiga siku – siku maka pati segi tiga tersebut sama kaki. keterangan :

Ini adalah pernyataan dan bernilai salah, karena segi tiga siku-siku belum tentu sama kaki. 3. Jika x adalah bilangan cacah maka x2 ≥ 0 keterangan :

Ini adalah pernyataan yang bernilai benar, karena bilangan cacah dimulai dari 0, maka hasil kuadratanya pasti akan lebih besar atau sama dengan 0. c. Kalimat Bukan pernyataan

Kalimta bukan pernyataan adalah kalimat yang tidak bisa ditentukan nilai benar/salahnya atau mengandung pengertian relatif

Contoh :

1. Kota jakarta jauh keterangan :

kalimat ini adalah relatif, karena jauh atau dekat adalah hal yang relatif. 2. Apakah kamu suka makan nasi ? keterangan :

kalimat ini mengandung tanya tanya, jadi tidak bisa diketahui benar/salah nya.

B.

NEGASI / INGKARAN / LAWAN #(2) Negasi dari suatu pernyataan adalah kebalikan dari pernyataan tersebut. Jika suatu pernyataan bernilai benar maka negasi dari pernyataan tersebut pernilai salah. Jika suatu kalimat dilambangkan p maka negasinya ditulis ~p. p

~p

~(~p) = p

B

S

B

S

B

S

Contoh :

1. p = 3 bilangan ganjil ~p = 3 bukan bilangan ganjil 2. ~q = x bukan bilangan cacah ~(~q) = q = x bilangan cacah 3. r = x > 3 ~r = x ≤ 3

C.

PERNYATAAN BERKUANTOR #(3) Kalimat berkuantor adalah kalimat mengandung kuantitas atau jumlah, seperti semua, seluruh, setiap, beberapa dan sebagainya. Ada dua jenis kuantor : 1. Kuantor universal, dilambangkan ∀ dibaca semua, seluruh, setiap atau tanpa kecuali. ∀( x) P ( x) dibaca semua nilai x mempunyai sifat x Contoh :

1. Semua siswa rajin belajar 2. Setiap ibu rumah tangga rajin memasak 2. Kuantor eksistensial, dilambangkan ∃ dibaca beberapa, ada, terdapat, sekurang-kurangnya. ∀( x) P ( x) dibaca semua nilai x mempunyai sifat x Contoh :

1. ada siswa rajin belajar 2. beberapa ibu rumah tangga rajin memasak

Negasi Kalimat Berkuantor

1. ~ (∀( x ) P ( x ) ) = ∃( x ) ~ P ( x) Contoh :

p = semua pelajar berjuang meraih prestasi ~p = ada pelajar tidak berjuang meraih prestasi 2. ~ (∃( x ) P ( x ) ) = ∀( x ) ~ P ( x ) Contoh :

p = beberapa kambing menyukai rumput ~p = setiap kambing tidak menyukai rumput

D.

PERNYATAAN MAJEMUK #(4) Pernyataan majemuk adalah suatu pernyataan yang dibentuk oleh penggabungan beberapa kalimat tunggal dengan menggunakan kata penghubung. Kata penghubung dalam matematika adalah disjungsi (atau), disjungsi (dan), implikasi (maka) dan biimplikasi (jika dan hanya jika). Istilah

Lambang

Kata penghubung

Disjungsi

∨

..... atau .....

konjungsi

∧

..... dan ....

Implikasi

⇒

jika .... maka ....

biimplikasi

⇔

.... jika dan hanya jika ....

a. Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang merupakan gabungan dua pernyataan atau lebih dengan kata penhubung “atau” dan disimbolkan “ ∨ ”. Pernyataan “ p ∨ q ” dibaca “p atau q” .

P

q

∨

B

B

B

B

S

B

S

B

B

S

S

S

qqqq

p∨q:

pppp

Tabel kebenaran

Catatan : disjungsi akan bernilai salah jika kedua pernyataannya bernilai salah, atau disjungsi akan bernilai benar jika salah satunya pernyataannya bernilai benar. Contoh :

1. Nilai kebenaran dari kalimat “2 x 7 = 10 atau 7 adalah bilangan prima “ adalah.... Pembahasan :

“2 x 7 = 10 atau 7 adalah bilangan prima “ B

S

Jadi S ∨ B = B, maka nilai kebenaranya adalah B (benar) b. Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang merupakan gabungan dari dua pernyataan atau lebih dengankata penghubung “dan” dan disimbolkan dengan “ ∧ ”. Pernyataan “ p ∧ q ” dibaca “p dan q”. Tabel kebenaran

p∧q

:

P

Q

p∧q

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

Catatan : konjungsi akan bernilai benar jika kedua pernyataannya bernilai benar, atau konjungsi akan bernilai salah jika minimal satunya pernyataannya bernilai salah. Contoh :

1. Nilai kebenaran dai pernyataan “ 23 > 2x3 dan jumlah sudut dalam segitia adalah 180o “. Pembahasan :

“ 23 < 2x3 dan jumlah sudut dalam segitia adalah 180o “. B S Jadi S ∧ B = S, maka nilai kebenaranya adalah S (salah) c. Implikasi

Implikasi adalah pernyataan majemuk yang merupakan gabungan dua kalimat atau lebih dengan kata penghubung “jika....maka....” disimbolkan “⇒ ” Pernyataan “p ⇒ q” dibaja “ jika p maka q “

p = disebut antisenden dan q = disebut konsekuen Tabel kebenaran

p⇒q

:

P

q

p⇒ q

B

B

B

B

S

S

S

B

B

S

S

B

Catatan : implikasi akan bernilai salah jika antisenden benar dan konsekuennya salah. Contoh :

1. Nilai kebenaran dari “ jika 25 = 10 maka 55 = 25 “ adalah.... Pembahsan : “ jika 25 = 10 maka 55 = 25 “ S S Jadi S ⇒ S = B, maka nilai kebenarannya adalah B (benar) d. Biimplikasi

Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang merupakan gabungan dari dua pernyataan dengan kata penghubung “ .... jika dan hanya jika ......” disimbolkan “ .... ⇔ ... “ . Pernyataan “ p ⇔ q “ dibaca “ p jika dan hanya jika q “ . Biimpikasi ini sesungguhnya penggabungan dua implikasi , maka : p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) Tabel kebenaran

p ⇔q:

p

q

p⇔ q

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

B

Catatan : Biimplikasi akan bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai sama ( B ⇔ B atau S ⇔ S ) Contoh :

1. Nilai kebenaran dari “ 2 adalah satu-satunya bilangan prima yang bernilai genap jika dan hanya jika 23 = 6 “ adalah...

Pembahasan : 3

“ 2 adalah satu-satunya bila prima yang bernilai genap jika dan hanya jika 2 = 6 “

S

B Jadi B ⇔ S = S, maka nilai kebenarannya adalah S (salah)

E.

OPERASI PERNYATAAN MAJEMUK #(5) a. Komutatif

p ∧q ≡ q∧p p∨ q ≡ q∨p

b. Asosiatif

(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) c. Distributif

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) d. Absorbsi

p ∨ (q ∧ p) ≡ p p ∧ (q ∨ p) ≡ p

F.

EKUIVALANSI #(6) Pernyataan ekuivalen adalah duan pernyataan atau lebih yang mempunyai nilai kebenaran sama. Ada dua pernyataan ekuivalen yang paling sering digunakan yaitu : a. p

⇒q ≡ ~

p

∨q

Berikut adalah pembuktian kalau pernyataan p ⇒ q ekuivalen dengan

~p∨q : P B B S S

q B S B S

p⇒q B S B B

p B B S S

~p S S B B

q B S B S

~p ∨ q B S B B

Bernilai kebenaran sama

Proses yang perlu dilakukan dalam merubah p ⇒ q menjadi ~ p ∨ q adalah 1. antisenden (p) berubah menjadi negasinya (~p), atau sebaliknya dari p berubah menjadi ~p.

2. impilkasi ( ⇒ ) berubah menjadi konjungsi ( ∨ ), atau sebaliknya dari ∨ berubah menjadi ⇒ . 3. Konsekuen (q) tidak berubah. Contoh :

1. ~ p ⇒ q ≡ p ∨ q 2. ~ p ⇒~ q ≡ p∨ ~ q 3. ~ p∨ ~ q ≡ p ⇒~ q b. p ⇒ q

≡

~q ⇒ ~p

Berikut adalah pembuktian kalau pernyataan p ⇒ q ekuivalen dengan

~ q ⇒~ p : p

q

p⇒ q

p

~p

q

~q

~q ⇒ ~p

B

B

B

B

S

B

S

B

B

S

S

B

S

S

B

S

S

B

B

S

B

B

S

B

S

S

B

S

B

S

B

B

Bernilai kebenaran sama

Proses yang perlu dilakukan untuk merubah p ⇒ q menjadi ~ q ⇒~ p adalah : 1. tukarkan posisi antisenden(p) dengan konsekuen (q) 2. negasikan antesenden dan konsekuen setelah dipertukarkan Contoh :

1. ~ p ⇒ q ≡~ q ⇒ p 2. ~ p ⇒~ q ≡ q ⇒ p 3. q ⇒~ p ≡ p ⇒~ q

G.

INGKARAN / NEGASI KALIMAT MAJEMUK #(7) a. Ingkaran Disjungsi

Pernyataan disjungsi ( ∨ ) bila diingkarkan menjadi ( ∧ )

~ (p ∨ q) ≡~ p∧ ~ q Contoh :

1. ~ (~ p ∨ q) ≡ p∧ ~ q 2. ~ (~ p∨ ~ q) ≡ p ∧ q

b. Ingkaran Konjungsi

Pernyataan konjungsi ( ∧ ) bila diingkarkan menjadi ( ∨ )

~ (p ∧ q) ≡~ p∨ ~ q Contoh :

1. ~ (p ∧ q) ≡ ~ p∨ ~ q 2. ~ (p∧ ~ q) ≡ ~ p ∧ q c. Ingakaran Implikasi

Implikasi tidak bisa diingkarkan secara langsung, harus dirubah dulu menjadi bentuk disjungsi lebih dahulu baru bisa dilakukan proses ingkaran. ~ (p ⇒ q) ≡ ~ (~ p ∨ q)

≡ p∧ ~ q

Ingat ekuivalensi :

p ⇒ q ≡~ p ∨ q

Jadi :

~ (p ⇒ q) ≡ p∧ ~ q Contoh :

1. ~ (~ p ⇒ q) ≡ ~ (p ∨ q) ≡ ~ p∧ ~ q 2. ~ (~ p ⇒~ q) ≡ ~ (p∨ ~ q) ≡ ~ p ∧ q d. Ingkaran Biimplikasi

Proses ingkaran biimplikasi adalah sebagai berikut : ~ (p ⇔ q) ≡ ~ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ≡ ~ ((~ p ∨ q) ∧ (~ q ∨ p))

Ingat bentuk biimplikasi :

≡ (p∧ ~ q) ∨ (q∧ ~ p)

p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

Jadi :

~ (p ⇔ q) ≡ (p∧ ~ q) ∨ (q∧ ~ p)

Ingat ekuivalensi :

p ⇒ q ≡~ p ∨ q

Contoh :

1. ~ (~ p ⇔ q) ≡ ~ ((~ p ⇒ q) ∧ (q ⇒~ p)) ≡~ ((p ∨ q) ∧ (~ q∨ ~ p)) ≡ (~ p∧ ~ q) ∨ (q ∧ p) 2. ~ (~ p ⇔~ q) ≡ ~ ((~ p ⇒~ q) ∧ (~ q ⇒~ p)) ≡~ ((p∨ ~ q) ∧ (q∨ ~ p)) ≡ (~ p ∧ q) ∨ (~ q ∧ p)

H.

TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI Tautologi adalah kalimat majemuk yang selalu bernilai benar untuk seluruh kemungkinannya. Kontradiksi adalah kalimat majemuk yang selalu bernilai salah untuk seluruh kemungkinannya. P

q

~p

p ∧ ~q

( p ∧ ~q) ⇒ p

B

B

S

S

B

B

S

B

B

B

S

B

S

S

B

S

S

B

S

B

( p ∧ ~q) ⇒ p

merupakan tautologi

karena nilai kebenaranya selalu benar

I.

P

~p

q

~p ∧ q

B

S

B

S

p ∧ (~ p ∧ q) S

B

S

S

S

S

S

B

B

B

S

S

B

S

S

S

KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI#(8) Dari sebuah implikasi “ p ⇒ q ” dapat dilakukan operasi konvers, invers dan kontraposisi Konvers

q⇒ p

Tukarkan posisi antisenden dan konsekuen

Invers

p⇒q

~ p ⇒~ q

Negasikan antisenden dan konsekuenya

Kontraposisi

~ q ⇒~ p

Tukarkan posisi antisenden dan konsekuen kemudian negasikan kedua ruas

Contoh :

1. Invers dari pernyataan “ (p ∨ q) ⇒ r ” adalah.... Pembahasan :

(p ∨ q) ⇒ r ≡ ~ (p ∨ q) ⇒ ~ r ≡ (~ p∧ ~ q) ⇒ ~ r 2. Kontraposisi dari kalimat “ jika saya optimis maka saya sukses “ adalah..... Pembahasan :

“ jika saya optimis maka saya sukses “

p

q

Jadi p ⇒ q kontra posisinya adalah ~ q ⇒~ p , kalau dit tulis dalam kalimat menjadi : “ jika saya tidak sukses maka saya tidak optimis “

J.

PENARIKAN KESIMPULAN #(9) Dalam matematika ada beberapa cara dalam menarik kesimpulan yaitu modus ponen, modus tollens, dan silogisme. a. Modus Ponens

p⇒q

... premis 1

p

... premis 2

∴ q

.... kesimpulan

Contoh :

1. Penarikan kesimpulan dari : jika hari hujan maka Jakarta banjir hari hujan ∴ ...... Pembahasan :

Misalkan : p = hari hujan, dan q = Jakarta banjir, maka : p⇒q

p ∴ q Jadi kesimpulanya adalah q = Jakarta banjir

2. Penarikan kesimpulan dari : Jika Rudi tidak makan nasi maka Rudi masih merasa lapar Rudi tidak makan nasi ∴ ...... Pembahasan :

Misalkan : ~p = Rudi tidak makan nasi, dan q = Rudi masih merasa lapar, maka : ~p⇒ q ~p ∴ q Jadi kesimpulannya adalah q = “Rudi masih merasa lapar “ b. Modus Tollens

p ⇒ q .... premis 1 ~q ∴ ~p

.... premis 2 .... kesimpulan

Contoh

: 1. Penarikan kesimpulan dari : Jika Andi berpikir positif maka masalah cepat selesai masalah tidak cepat selesai ∴ ....... Pembahasan :

Misalkan p = Andi berpikir positif, dan q = masalah cepat selesai, maka : p⇒q ~q ∴ ~p Jadi kesimpulannya adalah ~p = “ Andi tidak berpikir positif ” 2. Hasil dari premis-premis berikut adalah: saya bekerja keras atau saya opotimis maka saya akan sukses saya tidak sukses ∴........ Misalkan p ∨ q = saya bekerja keras atau saya potimis, dan r = saya

sukses

(p ∨ q) ⇒ r ~r ∴ ~ (p ∨ q)

Jadi kesimpulananya ~ (p ∨ q) ≡~ p∧ ~ q = “saya tidak bekerja keras dan saya tidak opitimis”. c. Silogisme

p ⇒ q .... premis 1 q ⇒ r .... premis 2 ∴ p ⇒ r .... kesimpulan Contoh :

1. Hasil dari penarikan kesimpulan berikut adalah... jika saya rajin bersedekah maka rezeki saya makain banyak jika rezeki makin banyak maka saya makin bahagia ∴ ...... Pembahasan :

Misalkan p = saya rajin bersedekah, q = rezeki saya makin banyak, dan r = saya makin bahagia, maka : p⇒q q⇒r ∴p ⇒ r

Jadi kesimpulanya p ⇒ q = “jika saya rajin bersedekah maka saya makin bahagia “ 2. Diberikan 2 premis seperti berikut : ~p∨ q q⇒r ∴ ..... Maka kesimpulannya adalah... Pembahasan :

~p∨ q q⇒r

Ingat

benutk ekuivalensi:

p ⇒ q ≡~ p ∨ q

∴ ..... Maka bisa dirubah menjadi : p⇒q

q⇒r ∴ p⇒r

Jadi kesimpulannya p ⇒ q

3. Dari ketiga premis berikut : premis 1: ~ p ∨ q premis 2 : ~ r ⇒~ q premis 3 : ~ r

∴..... Kesimpulannya adalah.... Pembahasan :

premis 1: ~ p ∨ q premis 2 : ~ r ⇒~ q premis 3 : ~ r ∴..... Maka dirubah menjadi : p⇒q q⇒r ~r ∴..... Maka dirubah lagi menjadi : p⇒r ~r ∴~ p Jadi kesimpulannya adalah ~ p

Ingat

benutk ekuivalensi:

p ⇒ q ≡~ p ∨ q , dan q ⇒ r ≡~ r ⇒~ q

Ini adalah bentuk silogisme :

p⇒q q⇒r ∴ p⇒r


Ingkaran pernyataan “Pada hari Senin siswa SMAN memakai sepatu hitam dan atribut lengkap” adalah… A. Pada hari Senin siswa SMAN tidak memakai sepatu hitam atau tidak memaki atribut lengkap B. Selain hari Senin siswa SMAN memakai sepatu hitam atau atribut lengkap C. Pada hari senin siswa SMAN sepatu hitam dan tidak memakai atribut langkap D. Pada hari Senin siswa SMAN tidak memakai sepatu hitam dan atribut lengkap E. Selain hari Senin siswa SMAN tidak memakai sepatu hitam dan memaki atribut lengkap UN MAT IPS 2012 (A35-01)

2.

Diketahui p dan q suatu pernyataan. Pernyataan yang setara dengan

p ⇒ ( p ∨ ~ q ) adalah… A. ~ p ⇒ (~ p ∨ q ) B. ~ p ⇒ (~ p ∧ q ) C. ~ p ⇒ (~ p ∨ ~ q ) D. (~ p ∧ q ) ⇒ ~ p E. (~ p ∨ q ) ⇒ ~ p UN MAT IPS 2012 (A35-02)

3.

Diketahui premis-premis : Premis P1: Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun. Premis P2: Jika permintaan barang turun, maka produksi barang turun. Kesimpulan yang sah dari kedua premis tersebut adalah…. A. Jika harga barang naik, maka produksi barang turun. B. Jika harga barang tidak naik, maka produksi barang tidak turun. C. Jika produksi barang tidak turun, maka harga barang naik. D. Harga barang tidak naik dan produksi barang turun. E. Produksi barang tidak turun dan harga barang naik. UN MAT IPS 2012 (A35-03)

4.

Nilai kebenaran pernyataan majemuk (~ p ⇒ q )∨ ~ q pada tabel berikut adalah… A. SBSB B. BBBS C. BSBB D. BBBB E. BBSS

p

q

B B S S

B S B S

(~ p ⇒ q )∨ ~ q … … … …


5.

Diketahui premis-premis : (1) Jika semua warga negara membayar pajak, maka banyak fasilitas umum dapat dibangun. (2) Tidak banyak fasilitas umum dapat dibangun. Kesimpulan yang sah dari kedua premis di atas adalah… A. Semua warga negara tidak membayar pajak B. Ada warga negara tidak membayar pajak C. Semua warga negara membayar pajak D. Semua warga negara membayar pajak dan tidak banyak fasilitas umum dapat dibangun E. Semua warga negara tidak membayar pajak atau banyak fasilitas umum dapat dibangun UN MAT IPS 2011 (XX-07)

6.

Ingkaran dari pernyataan: “18 habis dibagi 2 atau 9” adalah … A. 18 tidak habis dibagi 2 dan tidak habis dibagi 9 B. 18 tidak habis dibagi 2 dan 9 C. 18 tidak habis dibagi 2 dan habis dibagi 9 D. 2 dan 9 membagi habis 18 E. 18 tidak habis dibagi 2 atau 9 UN MAT IPS 2011 (XX-08)

7.

Nilai kebenaran yang tepat untuk pernyataan ( p ∧ q ) ⇒ ~ p adalah... A. SBSB B. SSSB C. SSBB D. SSBB E. BBBB


8.

Negasi dari pernyataan “ Jika ulangan tidak jadi maka semua murid bersuka ria “ adalah... A. Ulangan tidak jadi dan semua murid tidak bersuka ria B. Ulangan tidak jadi dan semua murid bersuka ria

C. Ualngan tidak jadi dan ada murid tidak bersuka ria D. Ulangan jadi dan semua murid bersuka ria E. Ulangan jadi dan semua murid tidak bersuka ria UN MAT IPS 2010 (XX-02)

9.

Diketahui beberapa premis berikut : Premis 1 : Jika Rini naik kelas dan ranking satu maka ia berlibur ke Bali. Premis 2 : Rini tidak berlibur di Bali. A. Rini naik kelas dan tidak ranking satu B. Rini naik kelas maupun rangking satu C. Rini naik kelas atau tidak rangking satu D. Rini tidak naik kelas atau tidak rangking satu E. Rini tidak naik kelas tetapi ranking satu UN MAT IPS 2010 (XX-03)

10.

Diketahui premis-premis berikut : Premis I : Jika hari ini hujan maka saya tidak pergi. Premis II : Jika saya tidak pergi maka saya nonton sepak bola. Kesimpulan yang sah dari penarikan kedua premis tersebut adalah…. A. Jika hujan maka saya tidak jadi nonton sepak bola. B. Jika hari ini hujan maka saya nonton sepak bola. C. Hari hujan dan saya nonton sepak bola. D. Saya tidak nonton sepak bola atau hari tidak hujan. E. Hari tidak hujan, saya tidak pergi tetapi saya nonton sepak bola. UN MAT IPA 2012 (A35-01)

11.

Negasi dari pernyataan “ Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar dengan rajin” adalah… A. Ada ujian sekolah dan semua siswa tidak belajar dengan rajin. B. Ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajar dengan rajin. C. Ada ujian sekolah dan ada siswa yang belajar dengan rajin. D. Tidak ada ujian sekolah dan semua siswa belajar dengan rajin. E. Tidak ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajar dengan rajin. UN MAT IPA 2012 (A35-02)

12.

Diketahui premis-premis: (1) Jika hari hujan, maka ibu memakai payung.

(2) Ibu tidak memakai payung Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah… A. Hari tidak hujan B. Hari ujan C. Ibu memakai payung D. Hari hujan dan Ibu memakai payung E. Hari tidak hujan dan Ibu memakai payung UN MAT IPA 2011 (D10-10)

13.

Diberikan premis-premis sebagai berikut: Premis I :Jika harga BBM naik,maka harga bahan pokok naik. Premis II:Jika harga bahan pokok naik maka semua orang tidak senang. Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah ... A. Harga BBM tidak naik. B. Jika harga bahan pokok naik, maka ada orang tidak senang. C. Harga bahan pokok naik atau ada orang tidak senang. D. Jika semua orang tidak senang, maka harga BBM naik. E. Harga BBM naik dan ada orang senang. UN MAT IPA 2010 (D10-01)

14.

Perhatikan premis-premis berikut! i) Jika saya giat belajar maka saya bias meraih juara. ii) Jika saya bias meraih juara maka saya boleh ikut bertanding. Ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas adalah... A. B. C. D. E.

Saya giat belajar dan dan saya tidak boleh ikut bertanding. Saya giat belajar atau saya tidak boleh iku bertanding. Saya giat belajar maka saya bisa meraih juara. Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut bertanding. Saya ikut bertanding maka saya giat belajar.

UN MAT IPA 2009 (D10-01)

15.

Ingkaran dari pernyataan “Berapa bilangan prima adalah bilangan genap “adalah…. A. Semua bilangan prima adalah bilangan genap B. Semua bilangan prima bukan bilangan genap C. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap D. Beberapa bilangan genap bukan bilangan prima E. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima UN MAT IPA 2008 (D10-01)

16.

Diketahui premis-premis i) Jika Badu rajin belajar dan patuh pada orang tua, maka Ayah membelikan bola basket. ii) Ayah tidak membelikan bola basket.

Kesimpulan yang sah adalah…. A. Badu rajin belajar dan Badu patuh pada orang tua B. Badu tidak rajin belajar dan Badu tidak patuh pada orang tua C. Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orang tua D. Badu tidak rajin belajar dan Badu patuh pada orang tua E. Badu rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orang tua UN MAT IPA 2008 (D10-02)

17.

Diketahui pernyataan: i) Jika hari panas, maka Ani memakai topi ii) Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung iii) Ani tidak memakai payung Kesimpulan yang sah adalah…. A. Hari panas B. Hari tidak panas C. Ani memakai topi D. Hari panas dan Ani memakai topi E. Hari tidak panas dan Ani memakai topi UN MAT IPA 2007 (D9-17)

18.

Dari argumentasi berikut : i) Jika ibu tidak pergi maka adik senang ii) Jika adik senang maka ia tersenyum Kesimpulan yang sah adalah…. A. Ibu tidak pergi atau tidak tersenyum B. Ibu pergi dan adik tidak terseyum C. Ibu pergi atau adik tidak tersenyum D. Ibu tidak pergi dan adik tersenyum E. Ibu pergi atau adik tersenyum UN MAT IPA 2006 (D10-04)

19.

Diketahui premis-premis berikut : 1. Jika Budi rajin belajar maka ia menjadi pandai. 2. Jika Budi menjadi pandai maka ia lulus ujian. 3. Budik tidak lulus ujian Kesimpulan yang sah adalah… A. Budi menjadi pandai B. Budi rajin belajar C. Budi lulus ujian D. Budi tidak pandai E. Budi tidak rajin belajar UN MAT IPA 2005 (D10-30)

20.

Kontraposisi dari (~ p ⇒ q ) ⇒ (~ p ∨ q ) dalah… A. ( p ∧ q ) ⇒ ( p ⇒ ~ q )

B. ( p ⇒ ~ q ) ⇒ ( p ⇒ ~ q ) C. ( p ⇒ ~ q ) ⇒ ( p ⇒ q ) D. (~ p ⇒ ~ q ) ⇒ ( p ∧ ~ q ) E. ( p ∧ ~ q ) ⇒ (~ p ∧ ~ q ) UN 2005 IPA P2

21.

Diketahui argumentasi :

p⇒q ~ p I. ∴~ q

p⇒q ~q∨r II. ∴ p ⇒ r

p⇒q p⇒r III. ∴ q ⇒ r

Argumentasi yang sah adalah…. A. I saja B. II saja C. III saja D. I dan II saja E. II dan III saja UAN 2005 IPA P2

22.

Diketahui premis-preimis berikut ini : 1. Jika Budi lulus ujian, maka Budi kuliah di perguruan tinggi 2. Jika Budi kuliah di perguruan tinggi, maka Budi jadi sarjana 3. Budi tidak jadi sarjana Kesimpulan yang sah dari ketiga premis di atas adalah… A. Budi kuliah di perguruan tinggi B. Nilai Budi tidak baik C. Budi tidak mempunyai biaya D. Budi tidak lulus ujian E. Budi bekerja di suatu perusahaan UAN 2003

p∨q 23.

Penarikan kesimpulan dari premis-premis : ~ q

∴ .....

kesimpulannya adalah…

A.

p

B.

~ p

C.

q

D. ~ ( p ∨ q ) E.

~q

UAN 2003

~ p⇒q 24.

Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi berikut q ⇒ r

∴ ..... adalah… A.

p∧r

B.

~ p∨r

C.

p∧ ~ r

D.

~ p∧r

E.

p∨r

UN 2002

25.

~ p adalah negasi dari p , maka kesimpulan dari pernyataanpernyataan: p ⇒~ q dan q∨ ~ r adalah… A. r ∨ p B. r ∧ p C. ~ p∨ ~ r D. r ∨ ~ q Jika

E. ~ q ⇒ p SNMPTN MAT DAS 2011 (XX-11)

26.

Pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran sama dengan pernyataan : “Jika bilangan ganjil sama dengan bilangan genap, maka 1+2 bilangan ganjil” adalah…. A. “Bilangan ganjil sama dengan bilangan genap dan 1+2 bilangan genap” B. “Jika 1+2 bilangan ganjil, maka bilangan ganjil sama dengan bilangan genap” C. “Jika bilangan ganjil sama dengan bilangan genap, maka 1+2 bilangan genap”

D. “Bilangan ganjil sama dengan bilangan genap dan 1+2 bilangan ganjil” E. “Jika bilangan ganjil tidak sama dengan bilangan genap maka 1+2 bilangan genap” SNMPTN MAT DAS 2010 (XX-01)

27.

Diketahui tiga pernyataan sebagai berikut : P: Jakarta ada di pulau Bali Q: 2 adalah bilangan prima R: Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil. Pernyataan majemuk di bawah ini bernilai benar adalah…. A. (~ P ∨ Q) ∧ R B. (~ Q∨ ~ R) ∧ (~ Q ∨ P) C. ( P∧ ~ Q) ∧ (Q∨ ~ R) D. ~ P ⇒ R E. ~ R∧ ~ (Q ∧ R) SNMPTN MAT DAS 2009 (XX-07)

28.

Nilai x yang menyebabkan pernyataan “Jika x + x = 6 maka x + 3 x < 9 ” 2

2

bernilai salah adalah… A. -3 B. -2 C. 1 D. 2 E. 6 UMPTN 2001

29.

Jika pernyataan p bernilai salah dan q bernilai benar, maka pernyataan berikut yang bernilai salah adalah… A.

p∨q

B.

p⇒q

C.

~ p ⇒~ q

D.

~ p∧q

E.

~ p∨ ~ q

UMPTN 1992

30.

Nilai kebenaran dari A.

p⇒q

B.

~ p ⇒~ q

C.

q ⇒~ p

D.

p ⇒~ q

E. ~ ( p ⇒ q) UMPTN 1990

p∧ ~ q

ekuivalen(setara) dengan nilai kebenaran dari :

DIMENSI TIGA A.

KUBUS #(1) 1. Diagolan bidang Cotoh diagonal bidang adalah AC, BG, FH dan seterusnya. Panjang diagonal bidang = a 2 2. Diagonal ruang Contoh diagonal ruang adalah AG, BH dan seterusnya. Panjang diagongal

H

G

E

F D

A

C

a

ruang = a 3

B.

KEDUDUKAN TITIK, GARIS DAN BIDANG #(2) a. Kedudukan Titik Terhadap Garis

1. Titik P terletak pada garis h jik garis h melalui titik P P h 2. Titik P diluar garis h jika garis h tidak melalui titik P P h b. Kedudukan Titik Terhadap Bidang

1. Titik P di bidang α jika bidang α melalui titik P. P α 2. Titik P diluar bidang α jika bidang α tidak melaui titik P. P

α

B

c. Kedudukan Garis Terhadap Garis

1. Garis g dan h berhimpit jika semua titik pada garis g terletak pada garis h, dan sebaliknya. g=h 2. Garis g dan h berpotongan jika memiliki satu titik potong. g h

titik potong

3. Garis g dan h sejajar jika kedua garis tersebut tidak punya titik potong. g h 4. Garis g dan h bersilangan jika kedua garis tersebut tidak berpotongan, tidak sejajar dan tidak dalam bidang yang sama. g

β

h α d. Kedudukan Garis Terhadap Bidang

1. Garis g terletak pada bidang α jika paling sedikit dua titik garis g terletak pada bidanga α . g α 2. Garis g sejajar dengan bidang α jika terdapat garis pada bidang α yang sejajar dengan gaeris g. g

α

3. Garis g menembus bidang α jika garis g tidak terletak pada bidang α dan tidak sejajar dengan bidang α. Atau garis g pasti mempunyai titik tembus terhadap bidang α. g titik tembus

α

e. Kedudukan Bidang Terhadap Bidang

1. Bidang α dan β berhimpit jika kedua bidang tersebut punya daerah persekutuan. daerah persekutuan

α

β 2. Bidang α dan β sejajar jika kedua bidan tersebut tidak mempunyai titik/garis/bidang persekutuan.

h

β

g α 3. Bidang α dan β berpotongan jika kedua bidang tersebut tidak sejajar. B AB adalah garis perpotongan

β

bidang

α A

α dan β

C.

PROYEKSI#(3) a. Proyeksi Titik

1. Proyeksi titik ke garis Proyeksi titik P ke garis h adalah menarik garis tegak lurus dari titik P ke garis h. P

P’

h Titik P’ hasil proyeksi titik P

2. Proyeksi titik ke bidang Proyeksi titik P ke bidang α adalah menarik garis tegak lurus dari titik P P ke bidang α.

P’ α

Titik P’ hasil proyeksi titik P

b. Proseksi Garis

1. Proyeksi garis ke garis Proyeksi dari garis AB ke garis CD tarik ujung-ujung garis AB ke garis CD dengan garis tegak lurus. B proyeksi AB adalah A’B’

A

C A’

B’

D

2. Proyeksi garis ke bidang Proyeksi dari garis AB ke bidang α adalah tarik ujung-ujung garis AB kebidang α dengan garis tegak lurus. B A

garis AB berada diluar bidang proyeksi AB adalah A’B’

α

A’

B’

α

B garis AB menembus bidang

α,

jadi titik A=A’ proyeksi AB adalah AB’

B’

A

α

B garis AB tegak lurus bidang jadi proyeksi AB pada

α

D.

adalah garis AB

A

α.

α

itu sendiri.

proyeksi AB adalah titik A saja.

JARAK TITIK, GARIS DAN BIDANG DALAM D3 #(4) a. Jarak Antar Dua Titik

B

Bila diketahui sisi mendatar dan sisi tegak, maka jarak titik A dan B adalah :

y A

AB = x 2 + y 2

x

Bila diketahui koordinat titik A dan B, maka B(x2,y2) jarak titik A dan B adalah :

AB = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2

A(x1,y1)

b. Jarak Titik ke Garis

Jarak titik P ke garis h sama dengan jarak titik P ke hasil proyeksinya(P’) yaitu PP’. P PP’ adalah jarak titik P ke garis h

P’

h

c. Jarak Titik ke Bidang

Jarak titik P ke bidang α sama dengan jarak titik P ke hasil proyeksinya(P’) yaitu PP’. P PP’ adalah jarak titik P ke garis α

P’ α d. Jarak Dua Garis Sejajar

Mencari jarak garis g dan garis h dengan cara membuat garis lain yang memotong tegak lurus garis g dan h, titik potong itulah jarak garis g dan h. l A g AB adalah jarak garis g dan h

B

h

e. Jarak Antara Garis dan Bidang yang Sejajar

Mencari jarak garis g ke bidang α dengan cara menarik sebuah titik dari garis g ke bidang α, sehingga garis tersebut tegak lurus dengan garis g dan bidang α. P

g PP’ adalah jarak garis g ke bidang

α

P’ α f. Jarak Dua Bidang yang Sejajar

Untuk mencari jarak dua bidang α dan β adalah dengan cara membuat garis yang menembus secara tegak lurus pada bidang tersebut.

β

Q PQ adalah jarak bidang

P α

α dan β

Contoh :

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 6 cm. Maka jarak titik A ke garis EC adalah.... Pembahasan :

H

Tarik titik proyeksi A ke EC (misalkan titik itu adalah P). Maka jarak A ke EC adalah panjang garis AP. Terlihat segitiga ACP sebagai berikut : E

G

E

F P D

6 3

P

A

6 C

A

L∆ =

C

6 2

6

B

Ingat Bro !!! AC = diagonal bidang = a CE = diagonal bidang = a

2 3

Keterangan :

1 at 2

alas (a) dan tinggi(t) harus tegak lurus.

1 1 L∆ AEC = AC ⋅ AE = EC ⋅ AP 2 2 6 2 ⋅ 6 = 6 3 ⋅ AP

Jadi jika alasnya AC maka tingginya AE. Dan jika alasnya EC maka tingginya AP

6 2 = AP 3 AP =

6 2 3 × 3 3

AP =

E.

6 6 = 2 6 cm 3

SUDUT -SUDUT DALAM D3 #(5) a. Sudut Antara Garis dan Bidang

Lihat gambar berikut, garis AB menembus bidang α di A dan B’ adalah proyeksi titik B. Maka sudut antara garis AB dan bidang α adalah B ∠BAB' = θ .

θ α

A

B’

b. Sudut Antara Garis Bersilangan

Garis g dan h saling bersilangan, untuk mencari sudut g dan h, geser salah satu garis sehingga berpotongan, maka titik potong itulah sudut antara g g garis g dan h. garis h digeser ke g

h’

θ

h α

α

c. Sudut Antara Dua Bidang

Garis l adalah gari perpotongan bidang α dan β . Tarik garis di bidang α yang tegak lurus dengan garis l (kita sebut garis g) dan tarik garis di bidang β yang tegak lurus dengan garis l (kita sebut garis h). Perpotongan garis g dan h itulah sudut antara bidang α dan β . h

β

l θ g

Contoh :

α

1. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jika T adalah tengah-tengah bidang atap. Jika AT dan alas membentuk sudut θ maka nilai cos θ adalah.... H G Pembahasan : T T E

F

4 4

θ A

2 2

T’

AC diagonal bidang = a 2 = 4 2

1 AT’ = AC = 2 2 2

samping 2 2 1 3 = = × miring 2 6 3 3

C

C T’ A

AT = ( 2 2 ) 2 + 4 2 = 8 + 16 = 24 = 2 6

cosθ =

D

4

B

1 3 3

cos θ =

2. Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Sudut yang dibentuk antara bidang AFH dan CFH adalah θ, maka nilai sinθ adalah...... Pembahsaan :

H

T

G

T

θ

E

1θ 2

2 6

F

1θ 2

2 6

4 D

4

C

4

T’

C

4 2

T’ A

2 2

2 2 A

B

sin 12 θ =

depan AT ' 2 2 1 1 = = = = 3 miring AT 2 6 3 3

cos 12 θ =

samping TT ' 4 2 1 = = = = 6 miring AT 2 6 6 3

sin θ = 2 sin 12 θ cos 12 θ

1 1 2 = 2⋅ 3⋅ 6= 18 3 3 9 2 = 2 3

Ingat Bro !!! Sin2A = 2sinA.cosA

F.

IRISAN BANGUN RUANG #(6) Bidang irisan adalah sebuah bidang yang sisinya memotong bidang bangun ruang sehingga membagi dua bangun ruang tersebut. Untuk memperjelas berikut contohnya. Contoh :

1. Diberikan kubus ABCD.EFGH. Titik P, Q dan R adalah titik tengah dari AE, BC dan CG. Maka bentuk bidang irisan yang terbentuk adalah... Pembahasan :

Langkahnya adalah : 1. Buat garis melalui QR dan perpanjangan garis FG sehinga kita medapat titik potong X 2. Perpanjang garis FB sehingga berpotongan dengan garis yang melelui QR di Y 3. Perpanjang garis YP sehingga berpotongan dengan perpanjangan garis FE di Z. 4. Hubungkan titik X dan Z. 5. Maka terbentuk segitiga XYZ yang memotong bidang-bidang kubus di PQRSTU. 6. PQRSTU (segi enam) itulah yang berupakan bidang irisan kubus.

X S

H Z

G

T E P

R

F D

C Q

A

U

B Y


Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Jarak titik E terhadap bidang BDG adalah… A.

2 2 cm

B.

2 3 cm

C.

3 2 cm

D.

4 2 cm

E.

4 3 cm

UN MAT IPA 2012 (A35-24)

2.

Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut AE dan bidang AFH adalah α. Nilai sin α = … A.

1 2 2

B.

1 3 2

C.

1 3 3

D.

2 3 3

E.

3 3 4

UN MAT IPA 2012 (A35-25)

3.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah… A.

4 6 cm

B.

4 5 cm

C.

4 3 cm

D. 4 2 cm E. 4 cm UN MAT IPA 2011(D10-26)

4.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Kosinus sudut antara garis GC dan bidang BDG adalah…

A. B. C. D. E.

1 3 1 2 1 2 1 3 1 3

6 3 2 3 2

UN MAT IPA 2011 (D10-33)

5.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm dan T adalah titik tengah CG. Jarak titik E ke BT adalah ... A. B. C. D.

U

√5 :% √5 :%

√5 cm

√10 :%

E. 5√5 cm

UN MAT IPA 2010 (D10-21)

6.

Diketahui kubus ABCD.EFGH. Nilai kosinus sudut antara Cf dan bidang ACH adalah ... A. B. C. D.

√3 √3 √3 √3

E. √3

UN MAT IPA 2010 (D10-22)

7.

Diberikan Prisma tegak lurus segitiga ABC.DEF dengan panjang rusuk AB = 6cm, BC = 3√7, dan AC = 3cm. Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah ... D F A. 55 √2 :% E B. 60 √2 :% C. 75 √3 :% A C D. 90 √3 :% E. 120 √3 :% B UN MAT IPA 2010 (D10-24)

8.

Diketahui kubus ABCD. DEFGH, panjang rusuj kubus 12 cm. Titik P terletak pada perpanjangan rusuk DC sehingga CP : DP = 1 : 3. Jarak titik P dengan bidang BDHF adalah ... A. 6√2 :% B. 9√2 :% C. 12√2 :% D. 16√2 :% E. 18√2 :% UN MAT IPA2009 (D10-08)

9.

Balok ABCD. EFGH dengan panjang AB = BC = 3 cm dan AE = 5 cm. P terletak pada AD sehingga AP : PD = 1 : 2 dan Q pada FG sehingga FQ : QG = 2 : 1. Jika 0 adalah sudut PQ dengan ABCD, maka tan 0 = ... A. B. C. D. E.

√5

G

√5

√10 √14 √35

UN MAT IPA 2009 (D10-09)

10.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H dan garis AC adalah… A.

8 3 cm

B.

8 2 cm

C.

4 6 cm

D.

4 3 cm

E.

4 2 cm

UN MAT IPA 2008 (D10-25)

11.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm .Jika sudut antara diagonal AG dan bidang alas ABCD adalah α , maka sin α adalah… A. B. C. D.

1 3 2 1 2 2 1 3 3 1 2

E.

1 2 3

UN MAT IPA 2008 (D10-26)

12.

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH! H G E

F D

A

C B

6 3cm Jarak ACH ke EGB adalah... A.

4 3 cm

B. 2 3 cm C. 4cm D. 6cm E. 12cm UN MAT IPA 2007 (D9-18)

13.

Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH. Besar sudut yang dibentuk oleh garis BG bidang BDHF adalah…. A.

90o

B.

60o

C.

45o

D.

30o

E.

15o

UN MAT IPA 2007 (D9-19)

14.

Diketahui kubus ABCD.EFGH. Dari pernyataan berikut : (1) AH dan BE berpotongan (2) AD adalah proyeksi AH pada bidang ABCD (3) DF tegak lurus bidang ACH (4) AG dan DF bersilangan Yang benar adalah nomor…. A. (1) dan (2) saja B. (2) dan (3) saja C. (3) dan (4) saja D. (1) dan (3) saja E. (2) dan (4) saja

UN MAT IPA 2006 (D10-06)

15.

Diketahui bidang empat beraturan ABCD dengan panjang rusuk 8 cm. Kosinus sudut antara bidang ABC dan bidang ABD adalah…. A. B. C. D. E.

1 3 1 2 1 3 3 2 3 1 3 2

UN MAT IPA 2006 (D10-07)

16.

Pada kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk a satuan, terdapat bola luar dinyatakan B1 dan bola dalam dinyatakan B2 . Perbandingan volume B1 dan

B2 adalah… A.

3 3 :1

B.

2 3 :1

3 :1 D. 3 : 1 E. 2 : 1

C.

UN MAT IPA 2005 (D10-26)

17.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk AD dengan AT=1cm. Jarak A pada BT adalah…. A. B. C. D. E.

1 cm 2 1 3cm 3 1 3cm 2 1cm 2 3cm 3

UN MAT IPA 2005 (D10-27)

3cm dan titik T pada

18.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik P dan Q masingmasing terletak pada pertengaha CG dan HG. Sudut antara BD dan bidang BPQE adalah α , maka nilai tanα = ...

3 2 8 3 2 B. 4 A.

C.

2

D.

3 2 2

E.

2 2

UN MAT IPA 2005 (D10-28)

19.

Diberikan limas T.ABC dengan AB = AC = BC = 12 dan TA = TB = TC = 10. Jarak dari titik T ke bidang ABC adalah... A.

2 13

B.

13

C. 8 D.

5 3

E.

4 3


20.

Prisma tegak segitiga sama sisi ABC.DEF dengan panjang AB=s dan AD=t. Jika titik G terletak di tengah-tengah sisi EF, maka panjang AG adalah… A.

3 t 2 − s2 4

B.

3 t 2 + s2 4

C.

t 2 + s2

D.

t 2 − s2

E.

1 t 2 + s2 4


21.

Balok ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk AB=4 cm, BC=3 cm dan AE=3 cm. Bidang AFH memotong balok menjadi 2 bagian dengan perbandingan volumenya adalah… A. 1:3 B. 2:3 C. 3:5 D. 1:5 E. 1:6 SNMPTN MAT DAS 2010 (XX-11)

22.

Kubus ABCD.EFGH panjang sisinya 1 dm. Titik P pada BC dengan |PC|=t dm. Titik Q adalah proyeksi A pada DP dan R adalah proyeksi Q pada bidang EFGH. Luas segitiga AQR adalah…. dm2. A.

B. C.

D. E.

1 2 t 2 +1 2 t 2 +1

1 t2 +1 t 2 −1 2 1+ t 2


23.

Diberikan balok ABCD.EFGH dengan AB=2 BC=2AE=2 cm. Panjang AH adalah… A. ½ cm B. 1 cm C. 2 cm D. 2 cm E.

3 cm


24.

Suatu limas beraturan T.PQRS dengan TP=TQ=TR=TS= 21 cm dan PQRS adalah suatu persegi dengan panjang sisi 6 cm. Besar sudut antar bidang TQR dan bidang alas sama dengan… A. 30o

B. C. D. E.

45o 60o 75o 90o


25.

Diketahui kubus ABCD.EFGH yang mempunyai panjang rusuk 1 cm. Jarak D ke bidang EBG sama dengan… A. B. C. D. E.

1 2 2 3 3 4 5 6 6 7

3 cm 3 cm 3 cm 3 cm 3 cm


26.

Diberikan ABCD.EFGH. Perbandingan luas permukaan kubus ABCD.EFGH dengan limas H.ACF adalah… A.

5 :2

B.

2: 3

C.

3: 2

D.

2 :1

E.

3 :1


27.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jika titik P pada CG dan titik Q pada DH dan CP=DQ= 1 cm, maka bidang PQEF mengiris kubus tersebut menjadi dua bagian.Volume bagian yang lebih besar adalah… A. 36 cm3 B. 38 cm3 C. 40 cm3 D. 42 cm3 E. 44 cm3 SNMPTN MAT IPA 2006 (XX-02)

28.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjak rusuk a, titik P pada perpanjangan DH sehingga DP=2DH. Jika jarak titik F ke bidang PAC adalah....

A.

2a 3

B.

1 a 2 2

C.

1 a 3 2

D. A E.

3a 2

UM UGM MAT IPA 2010 (452-08)

29.

Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk AB adalah a. Jika α adalah sudut antara bidang TAB dan ABCD dengan

sin α =

3 , maka panjang rusuk TA adalah... 5

A.

a 8

44

B.

a 8

42

C.

a 41 10

D.

a 41 9

E.

a 41 8


30.

Pada kubus ABCD.EFGH , P pada EG sehingga EP = 3PG. Jika jarak E ke AP adalah a , maka rusuk kubus tersebut adalah... A.

a 15 3

B.

4a 3

C.

a 17 3

D.

a 2

E.

a 5 2


STATISTIKA A.

DATA TUNGGAL #(1) Jika diberikan data tunggal seperti berikut : x1 , x 2 , x 3, .......... .......... ......, x n Dari data tersebut dapat diperoleh unsur-unsur statistika berupa : a. Rata – rata (mean)

n

∑ xi

x + x 2 + x3 + ........ + x n atau ditulis dengan x = i =1 x= 1 n n b. Modus (Mo)

Modus adalah data yang sering muncul atau mempunyai frekuensi terbanyak. c. Median (Me)

Median adalah data yang terletak di tengah setelah data tersebut diurutkan.

M e = x( n+1 ) 2

d. Jangkauan (J)

Jangkauan adalah selisih data terbesar dengan data terkecil.

J = x maks − x min e. Kuartil (Q)

Kuartil adalah data-data yang membagi seluruh data menjadi 4 bagian, setelah data tersebut diurutkan. Berikut ilustrasinya : bagian I

x1

bagian III

bagian II

Q2

Q1

Keterangan : x1 = data terkecil

bagian IV

xn

Q3

Q 2 = Me (median)

x n = data gerbesar

Catatan : Jika n ganjil

Q1 = kuartil 1 atau kuartil bawah Q2 = kuartil 2 atau kuartil tengah

Qi = X i 4

Jika n genap

Q3 = kuartil 3 atau kuartil atas Operasi – operasi yang berhubungan kuartil adalah :

( n +1)

Qi = X 1 4

(i × n + 2 )

1. Jangkuan kuartil

J k = Q3 − Q1 2. Simpangan kuartil ( Jangkuan semi interkuartil)

1 S k = (Q3 − Q1 ) 2 f. Simpangan Rata –rata (SR)

n

∑ xi − x SR =

i =1

n

g. Ragam (Varians)

n

∑ ( xi − x ) 2 S=

i =1

atau S = S B 2

n

h. Simpangan Baku (SB)

n

∑ ( xi − x ) 2 SB =

i =1

n

atau

SB =

S

Contoh :

1. Dari hasil pendataan umur dalam sebuah kelompok dalam tahun adalah sebagai berikut : 6, 1, 3, 8, 9, 10, 3,12, 3, 15. Carilah unsur – unsur dari data statistik tersebut ! Pembahasan :

a. Rata – rata :

x=

6 + 1 + 3 + 8 + 9 + 10 + 3 + 12 + 3 + 15 70 = =7 10 10

b. Modus (Mo) : Mo = 3 c. Median (Me): Data setelah diurutkan : 1, 3, 3, 3, 6, 8, 9, 10, 12, 15

M e = x( n +1 ) 2

= x( 10+1 ) = x5,5 2

6+8 = 2 =7

Letak median antara 6 dan 8. Jadi

Me =

6+8 =7 2

d. Jangkuan (J)

J = x maks − x min

J = 15 − 1 = 14 e. Quartil (Q) Setelah data diurutkan : 1, 3, 3, 3, 6, 8, 9, 10, 12, 15

Q1 = 3

Q3 = 10 6+8 Q2 = =7 2

Kalau dikerjakan dengan rumus, karena n genap (n=10) maka :

Qi = X 1 4

(i×n+ 2)

Q1 = X 1 4

Q2 = X 1 4

Q3 = X 1 4

( n + 2)

= X1 4

= X1

( 2 n + 2) ( 3n + 2 )

(10+ 2)

4

= X1 4

= X3 = 3

( 20 + 2) (30 + 2)

= X 5,5 = 7 = X 8 = 10

J k = Q3 − Q1 = 10 − 3 = 7

Sk =

1 1 (Q3 − Q1 ) = (7) = 3,5 2 2

f. Simpangangan rata – rata (SR) n

∑ xi − x SR =

i =1

n 1 − 7 + 3 − 7 + 3 − 7 + 3 − 7 + 6 − 7 + 8 − 7 + 9 − 7 + 10 − 7 + 12 − 7 + 15 − 7

SR =

10

SR =

6 + 4 + 4 + 4 + 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 38 = = 3,8 10 10

g. Ragam (varian) n

∑ ( xi − x ) 2 S= S

=

i =1

(1 − 7 )

n 2

+ (3 − 7)

2

+ (3 − 7 )

2

+ (3 − 7)

2

+ (6 − 7)

2

+ (8 − 7 ) 10

2

+ (9 − 7)

2

+ (10 − 7 )

2

+ (12 − 7 )

2

+ (15 − 7 )

2

S=

36 + 16 + 16 + 16 + 1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 188 = = 18,8 10 10

h. Simpangan Baku (SB) n

∑ ( xi − x ) 2 SB =

SB =

i =1

n

atau

SB =

S

S = 18,8 = 4,3

2. Terdapat data nilai matematika 5 orang anak sebagi berikut : a, 4, 3, t, 9 . Jika rata – rata kelas tersebut adalah 6 dan nilai selisih a dan t (t > a) adalah 2 maka berapakahan nilai t... ? Pembahasan :

x=

B.

a +4+3+t +9 =6 5 a + t + 16 = 30 a + t = 14

t + a = 14 t−a = 2 + 2t = 16 t =8

DATA TUNGGAL DENGAN FREKUENSI #(2) Data tunggal dengan frekuensi ini seperti halnya data tunggal akan tetapi data – data yang sama kita tulis dalam bentuk frekuensi. Berikut adalah contoh data berat badan disebuah kelas 1 SD ditulis dalam bentuk tabel frekuensi : 24, 22, 25, 25, 21, 23, 24, 23, 22, 24, 21, 22, 23, 21, 21, 22, 25, 24, 23, 24. Berat (Kg) 21 22 23 24 25

Frekuensi 4 4 4 5 3

xi

fi

x1 x2

f1 f2

... ...

... ...

xn

fn

Unsur – unsur statistikanya pada dasarnya tidak jauh beda dengan data tunggal tanpa frekuensi. Perbedaannya dalam bagian ini dikelompokkan dengan jumlah frekuansi, berikut yang unsur-unsur statistik yang sedikit mengalami perubahan.

a. Rata – rata (mean)

n

∑ f i xi x=

i =1

n

b. Simpangan Rata –rata (SR)

n

∑ f i xi − x i =1

SR =

n

c. Ragam (Varians)

n

∑ f i ( xi − x ) 2 i =1

S=

n

d. Simpangan Baku (SB)

n

∑ f i ( xi − x ) 2 SB =

i =1

n

Contoh :

1. Tabel berikut menyajikan jumlah mobil yang dimilki oleh sekelompok orang . Jml Mobil 4 5 6 7 8

Jml orang 4 4 4 5 3

Carilah unsur – unsur statistikanya ! Pembahasan :

xi

fi

fk

f i ⋅ xi

3 4 5 6 7

4 4 3 6 3

4 8 11 17 20

12 16 15 36 21 f i x i = 100

∑f

i

= 20

∑

f i xi − x 4|3-5|=8 4|4-5|=4 3|5-5|=0 6|6-5|=6 3|7-5|=6 ∑ f i xi − x = 24

f i ( xi − x ) 2 4(3-5)2=16 4(4-5)2=4 3(5-5)2=0 6(6-5)2=6 3(7-5)2=12 ∑ f i ( xi − x ) =38

a. Rata – rata n

∑ f i xi x=

i =1

=

n

100 =5 20

b. Modus (Mo) Mo = 6 ( karena nilai 6 frekuensinya paling banyak yaitu 6, maka 6 adalah modusnya) c. Median (Me)

M e = x( n +1 ) = x( 20+1 ) = x10,5 = 5 2

2

d. Jangkuan (J)

J = x maks − x min

J = 7−3= 4 e. Quartil (Q)

Qi = X 1

(i × n + 2 )

4

Q1 = X 1

( n + 2)

4

Q2 = X 1 4

Q3 = X 1 4

= X1 4

= X1

( 2 n + 2) ( 3n + 2 )

( 20 + 2)

4

= X1 4

= X 5,5 = 4

( 40 + 2) ( 60 + 2)

= X 10,5 = 5 = X 15,5 = 6

f. Simpangan Rata-rata (SR) n

∑ f i xi − x SR =

i =1

=

n

24 = 1,2 20

g. Ragam (varian) n

∑ f i ( xi − x ) 2 S=

i =1

=

n

38 = 1,9 20

h. Simpangan Baku (SB) n

∑ f i ( xi − x ) 2 SB = SB =

i =1

n S = 1,9 = 1,38

atau

SB =

S

C.

DATA DALAM BENTUK INTERVAL #(3) Interval

Nilai Tengah

ai − bi

Frekuens i fi

a1 − b1 a 2 − b2

f1 f2

x1 x2

..... .....

..... .....

..... .....

a n − bn

fn

xn

( xi )

Interval Frekuensi 1-5 4 6 - 10 4 11 - 15 4 16 - 20 5 21 - 25 3

Keterangan : Interval/kelas ke – i = ai − bi

Contoh : Interval ke – 2 = 6 – 10

Batas bawah kelas ke – i = a i

Batas bawah kelas ke – 2 = 6

Batas atas kelas ke – i = b i

Batas atas kelas ke – 2 = 10

Tepi bawah kelas ke – i = a i − 0 ,5

Tepi bawah kelas ke-2 = 6 - 0,5 =5,5

Tepi atas kelas Tepi atas kelas ke – i = b i + 0 ,5 Panjang kelas (C) = tepi atas – tepi bawahPanjang kelas =

Nilai tengah xi =

ai + bi 2

x=

x=

Catatan :

∑ f i ⋅ xi

n=∑f

n

Interval 1-5 6 - 10 11 - 15 16 - 20 21 - 25

255 = 12,75 20

2. Cara Simpangan Rata-rata

x = xs

∑f +

i

⋅ di

n

x s = rata – rata sementara d i = xi − x

− 105 20 x = 18 − 5,25 = 12,75 x = 18 +

ke – 2 = 10+0,5 =10,5 10,5 – 5,5 = 5

Nilai tengah kelas ke-2 =

a. Rata – rata (mean)

1. Cara Langsung

Nilai Tengah 3 8 13 18 23

fi

xi

f i .xi

4 4 4 5 3

3 8 13 18 23

12 32 52 90 69

∑ f i = 20

Interval

fi

1-5

4

6 - 10

4

11 - 15 16 - 20 21 - 25

4 5 3

6 + 10 =8 2

∑ f i ⋅ x i = 255

xi

di

fi ⋅ di

3

15 10 -5 0 5

-60

8 13 18 23

Rata-rata sementara xs=18, diambil dari dari frekuensi

-40 -20 0 15

3. Cara Coding

 ∑ f i ⋅ ki  ⋅C x = xs +    n   k i = ...., -2, -1, 0, 1, 2,... C = Panjanga kelas

 − 21  x = 18 +  ⋅5  20  x = 18 + (− 1,05) ⋅ 5 x = 18 − 5,25 = 12,75 b. Modus (Mo)

Interva l 1-5 6 - 10 11 - 15 16 - 20 21 - 25

fi

xi

ki

fi ⋅ ki

4 4 4 5 3

3 8 13 18 23

-3 -2 -1 0 1

-12 -8 -4 0 3

∑ f i = 20

∑ f i ⋅ k i = −21

0 dimulai dari xs

#(4)

d1 M o = Tb + ⋅C d1 + d 2

Interval

fi

1-5

4

6 - 10 Tb = Tepi bawah kelas modus d1 = selisih f modus dengan f sebelumnya 11 - 15 d2 = selisih f modus dengan f sesudahnya 16 - 20

4 4

21 - 25

3

d1 = 5 – 4 = 1

5

d2 = 5 – 3 = 2

1 M o = 15,5 + ⋅5 1+ 2 1 M o = 15,5 + ⋅ 5 3

Letak modus karena f nya

M o = 15,5 + 1,7 = 17,2

Tb = 16 – 0,5 = 15,5

c. Median (Me)

M e = Tb +

terbesar.

#(5) 1n− 2

f ks

f me

⋅C

n = jumlah data fks = frekuensi komulatif sebelum letak median fme = frekuensi median

10 − 8 M e = 10,5 + ⋅5 4 2 M e = 10,5 + ⋅ 5 4 M e = 10,5 + 2,5 = 13

Interval 1-5 6 - 10 11 - 15 16 - 20 21 - 25

fi

fk

4 4 4 5 3

4 8 12 17 20

n = 20

letak median.

fks = 8

fme = 4

dengan Tb = 11-0,5 = 10,5 Ket : Fk(frekuensi komulatif) yaitu jumlah frekuensi dg frekuensi-frekuensi seblumnya.

d. Quartil

#(6)

Qi = Tb +

n − f ks ⋅C f Qi

i 4

Interval 1-5 6 - 10 11 - 15 16 - 20 21 - 25

fks = frekuensi komulatif fQi

sebelum letak kuartil = frekuensi kuartil

Q1 = 5,5 +

⋅5 4 5−4 1 ⋅ 5 = 5,5 + .5 = 5,5 + 4 4

4 4 4 5 3

4 8 12 17 20

n = 20

fk1 = 4 fk2 = 8 fk3 = 12

letak kuartil 2 letak kuartil 1

= 5,5 + 1,25 = 6,75

Q2 = 10,5 +

fk

letak kuartil 3

1 .20 − 4 4

2 .20 − 8 4

fi

⋅5

Ket: letak kuartil 1 di 1 n, 4 letak kuartil 2 di 2 n, 4 letak kuartil 3 di 3 n

4 10 − 8 2 = 10,5 + ⋅ 5 = 10,5 + .5 4 4

4

= 10,5 + 2,5 = 13 Q3 = 15,5 +

3 4

.20 − 12 ⋅5 5

= 15,5 + 15 − 12 = = 15,5 + 3 = 18,25

D.

RATA- RATA GABUNGAN #(7) Rata- rata gabungan digunakan untuk mencari rata-rata yang terdiri minimal 2 kelompok. xg =

na ⋅ x a +nb ⋅ xb na + nb

Ket :

xg =

rata – rata gabungan

xa =

rata – rata kelompok a ,

na =

jumlah anggota kelompok a

xb =

rata – rata kelompok b,

nb =

jumlah anggota kelompok b

Contoh :

1. Kelas 11A dengan jumlah siswa 30 orang rata-rata nilai matematikanya 60, sedangkan kelas11B yang jumlah siswanya 35 orang rata-rata nilai matematikanya 64. Jika kedua kelas digabungkan maka nilai rata-rata gabungannya adalah.... Pembahasan :

n a = 30 , x a = 60 nb = 35 , x b = 64 , x g = ..... ?

xg =

na ⋅x a +nb ⋅ xb 30 ⋅ 60 + 35 ⋅ 64 1800 + 2240 4040 = = = = 62,15 na + nb 30 + 35 65 65

2. Rata – rata berat badan 5 orang anak adalah 42 kg. Jika ada Badu dan Budi masuk ikut bergabung maka rata-rata berat badan 7 orang anak jadi 45 kg. Berapakah rata-rata berat badan Badu dan Budi ? Pembahasan :

n a = 5 , x a = 42 n b = 2 , x g = 45 , xb = .... ?

xg =

na ⋅x a +nb ⋅ xb na + nb

5 ⋅ 42 + 2 xb 5+2 210 + 2 xb 45 = 7 315 = 210 + 2 xb 45 =

105 = 2 xb xb = 52,5 kg

nb = 2

karena kelompok

kedua ada 2 orang yaitu Badu dan Budi.


Diagram lingkaran di samping adalah hasil perhitungan suara dalam pemilukada di TPS 10. Jika yang hadir berjumlah 540 orang, pemenangnya memperoleh suara terbanyak sama dengan … PS II 20%

A. 162 orang B. 176 orang

PS III 30%

C. 183 orang

PS I 15% Gugur 10%

D. 187 orang PS IV

E. 189 orang UNMAT IPS 2012 (A35-35)

2.

Dari 150 pasien yang datang di

Frekuensi

x

bali pengobatan penyakit yang

35

diderita disajikan dalam diagram di samping.

Presentase

25

jumlah

25

penderita kudis dan hipertensi sama dengan…

15 10

A. 25%

Kudis

Hipertensi

UNMAT IPS 2012 (A35-36)

Histogram berikut adalah data tinggi sejumlah siswa dalam cm. Median data tersebut adalah…

f 15

A. 47,5 B.

46,5

C.

45,5

8

7

5

3

2

UNMAT IPS 2012 (E81-37)

52,5

49,5

46,5

43,5

43,5

40,5

E.

37,5

D. 44,5 34,5

3.

Diabetes M

E. 60%

Dispepsia

D. 50%

Ashma

C. 45%

Paringitis

B. 30%

4.

Data disamping adalah data skor hasil ulangan matematika kelas XII IPS suatu SMA. Modus dari data pada tabel adalah… A. 36,75 B. 37,25 C. 38,00 D. 38,50 E. 39,25

Skor 21 – 25 26 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45 46 – 50

Frekuensi 5 8 12 18 16 5

UNMAT IPS 2012 (A35-38)

5.

Diketahui data 6,7,7,7,8,8,9,9,9,10. Nilai simpangan rata-rata data tersebut adalah… A. 5,4 B. 2,0 C. 1,4 D. 1,0 E. 0,6 UNMAT IPS 2012 (A35-39)

6.

Ragam dari data 5,6,7,8,6,4 adalah… A. 1,00 B. 1,33 C. 1,50 D. 1,67 E. 1,83 UNMAT IPS 2012 (A35-40)

7.

Simpangan baku data 6,4,5,6,5,7,8,7 adalah.. A. B. C. D. E.

1 4 1 2 1 3 1 2

3 3 6 6

2 6

UNMAT IPS 2011 (XX-37)

8.

Modus dari data tabel distribusi frekuensi berikut adalah… A. 34,50 B. 35,50 C. 35,75 D. 36,25 E. 36,50 UNMAT IPS 2011 (XX-38)

9.

Panjang Daun(mm) 10-19 20-29 30-39 40-49 50-59

frekuensi

Diagram berikut menyatakan jumlah anggota keluarga dari 50 siswa. Banyaknya siswa yang mempunyai jumlah anggota keluarga 5 orang adalah…. A. 13 siswa B. 14 siswa C. 15 siswa D. 16 siswa E. 17 siswa

p 12 11 9

4 Jumlah anggota keluarga 3

4

6

7

12

Rata-rata dari data yang disajikan dengan histrogram berikut adalah… A. 41,375 B. 42,150 C. 43,125 D. 43,135 E. 44,250 UNMAT IPS 2011 (XX-40)

11.

5

frekuensi


10.

Frekuensi 6 13 19 15 7

9 7 5 4

3

29,5 34,5 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5

Data yang diberikan dalam tabel frekuensi sebagai berikut : Kelas

Frekuensi

20 – 29

3

30 – 39

7

40 – 49

8

50 – 59

12

60 – 69

9

70 – 79

6

80 – 89

5

Nilai modus dari data pada tabel adalah…

Berat badan

A.

49,5 −

40 7

B.

49,5 −

36 7

C.

49,5 +

36 7

D.

49,5 +

40 7

E.

49,5 +

48 7

UN MAT IPA 2012 (A35-38)

12.

Modus dari data pada tabel berikut adalah… A. B. C. D. E.

3 ⋅5 4 3 20,5 + ⋅5 25 3 20,5 + ⋅ 5 7 3 20,5 − ⋅ 5 4 3 20,5 − ⋅ 5 7 20,5 +

Ukuran 1-5 6 - 10 11 - 15 16 - 20 21 - 25 26 - 30 31 - 35

ƒ 3 17 18 22 25 21 4

UN MAT IPA 2011 (D10-34)

13.

Data yang diberikan dalam table frekuensi sebagai berikut : Nilai Frekuensi 20-29 3 30-39 7 40-49 8 50-59 12 60-69 9 70-79 6 80-89 5 Modus dari data pada tabel adalah ... A. 49,5 −

G

B. 49,5 − C. 49,5 + D. 49,5 +

G

E. 49,5 + UN MAT IPA 2010 (D10-37)

14.

Perhatikanlah table distribusi nilai ulangan matematika berikut ini! NO NILAI FREKUENSI 1 11 – 20 2 2. 21 – 30 5 3. 31 – 40 8 4. 41 – 50 3 5. 51 – 60 1 Modus dari data pada table adalah A. 33, 75 B. 34, 00 C. 34, 25 D. 34, 50 E. 34, 75 UN MAT IPA 2009 (D10-14)

15.

Perhatikan tabel berikut ! Berat Badan Frekuensi 50-54 4 55-59 6 60-64 8 65-69 10 70-74 8 75-79 4 Kuartil atas dari data tabel diatas adalah… A. 69,50 B. 70,00 C. 70,50 D. 70,75 E. 71,00 UN MAT IPA 2008 (D10-39)

16.

Perhatikan tabel berikut ! Berat(kg) Frekuensi 31-36 4 37-42 6 43-48 9 49-54 14 55-60 10 61-66 5 67-72 2 Modus data pada tabel tersebut adalah… A. 49,06 kg

B. C. D. E.

50,20 kg 50,70 kg 51,33 kg 51,83 kg

UN MAT IPA 2007 (D9-30)

17.

Perhatikan gambar berikut ! frekuensi 1 8 6 4

49,5 54,5 59,5 64,5 69,5 74,5 79,5

Berat badan (kg)

Berat badan siswa pada suatu kelas disajikan dengan histogram seperti pada gambar. Rataan berat badan tersebut adalah…. A. 64,5 kg B. 65 kg C. 65,5 kg D. 66 kg E. 66,5 kg UN MAT IPA 2006 (D10-08)

18.

Nilai rataan pada diagram adalah…. frekuensi 18 12 9 6 5

10,5 15,5 20,5 25,5 30,5 35,5

A. B. C. D. E.

23 25 26 28 30

UN MAT IPA 2005 (D10-08)

Berat badan (kg)

19.

Jika diagram batang ini memperlihatkan frekuensi kumulatif hasil tes matematika siswa kelas XII, maka presentase siswa yang memperoleh nilai 8 adalah...

Frekuensi kumulatif

30 25 20 15 10 5 0

2

3

4

5 6 7 Nilai Siswa

8

9

1 0

A. 12 % B. 15% C. 20% D. 22% E. 80% SNMPTN MAT DAS 2012 (821-07)

20.

Ani telah mengikuti tes matematika sebanyak n kali. Pada tes berikutnya ia memperoleh nilai 83 sehingga nilai rata-rata Ani adalah 80. Tetapi, jika nilai tes tersebut adalah 67, maka rata-rata-ratanya adalah 76. Nilai n adalah... A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 SNMPTN MAT DAS 2012 (821-15)

21.

Diagram berikut menunjukkan persentase kelulusan siswa tiga sekolah selama empat tahun.

Presentasi Kelulusan

Sekolah A Sekolah B Sekolah C

Tahun 1 Tahun 2 Tahun 3 Tahun 4

Berdasarkan diagram di atas, pernyataan berikut yang benar adalah… A. Rata-rata presentase kelulusan sekolah B terbaik B. Presentase kelulusan sekolah B selalu berada diposisi kedua C. Presentase kelulusan sekolah B selalu lebih baik daripada sekolah A D. Presentase kelulusan sekolah C selalu lebih baik daripada sekolah B E. Presentase kelulusan sekolah B selalu lebihbaik daripada tahun sebelumnya SNMPTN MAT DAS 2011 (XX-09)

22.

Distribusi frekuensi usia pekerja pada perusahaan A dan B diberikan pada tabel berikut : Usia (tahun) 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 Total

Banyak Pekerja Perusahaan A Perusahaan B 7 1 26 8 15 1 2 32 0 8 50 50

Berdasarkan data pada tabel tersebut, kesimpulan yang tidak benar adalah….. A. Rata-rata, median dan modus usia pekerja perusahaan A masing-masing lebih rendah daripada rata-rata,median dan modus usia pekerja perusahaan B. B. Rata-rata usia pekerja perusahaan A lebih kecil daripada median usia pekerja perusahaan B C. Modus usia pekerja perusahaan A lebih kecil daripada median usia pekerja perusahaan B D. Median usia pekerja perusahaan A lebih kecil daripada rata-rata usia pekerja perusahaan B E. Rata-rata, median dan modus usia pekerja kedua perusahaan terletak pada kelas interval yang sama SNMPTN MAT DAS 2010 (XX-13)

23.

Dari tabel hasil ujian matematika berikut. Jika nilai rata-ratanya adalah 6, maka x=…. A. 0 B. 5 Nilai Ujian 4 5 6 8 10 C. 10 Frekuensi 20 40 70 x 10 D. 15 E. 20 SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-24)

24.

Jika data 2,a,a,3,4,6 mempunyai rataan c . Dan data 2,c,c,4,6,2,1 mempunyai rataan 2a, maka nilai c adalah… A. 3 B. 2,5 C. 2 D. 1,5 E. 1 SPMB MAT DAS 2007 (XX-14)

25.

Dalam suatu ujian, perbandingan banyaknya peserta pria dan wanita adalah 6:5. Diketahui 3 peserta pria dan 1peserta wanita tidak lulus. Jika perbandingan jumlah peserta pria dan wanita yang lulus ujian adalah 9:8, maka jumlah peserta yang lulus adalah… A. 26 B. 30 C. 51 D. 54 E. 55 SPMB MAT IPA 2007 (XX-09)

26.

Berat rata-rata sepuluh siswa adalah 60 kg. Salah seorang diantaranya diganti oleh Andi sehingga berat rata-ratanya menjadi 60,5 kg. Jika berat Andi 62 kg, maka berat siswa yang diganti adalah… A. 57 B. 56 C. 55 D. 54 E. 53 SNMPTN MAT DAS 2006 (XX-24)

27.

Amin telah mengikuti tes sebanyak 8 kali dari 12 kali tes yang ada dengan nilai rata-rata 6,5. Jika untuk seluruh tes , Amin ingin mendapat rata-rata nilai minimal 7, maka untuk 4 tes yang tersisa Amin harus mendapat nlai rata-rata minimal. A. 7,9 B. 9

C. 8,1 D. 8,2 E. 8,5 UM UGM MAT DAS 2010 (462-01)

28.

Nilai rata-rata tes matematika suatu kelas yang terdiri dari 42 siswa dalah 6,3 dengan jangkuan 4. Jika satu nilai terendah dan satu nilai tertinggi tidak diikut sertakan, maka rata-ratanya menjadi 6,25. Nilai terendah tes tersebut adalah.... A. 5 B. 5,03 C. 5,3 D. 5,05 E. 5,5 UM UGM MAT DAS 2009 (931-16)

29.

Tiga kelas A, B dan C berturut-turut terdiri dari 15 siswa, 10 siswa dan 25 siswa. Rata-rata nilai gabungan dari ketiga kelas 58,6. Jika rata-rata nilai kelas A dan C berturut-turut 62 dan 60, maka rata-rata nilai kelas B adalah..... A. 50 B. 56 C. 61 D. 63 E. 65 UM UGM MAT DAS 2008 (XX-12)

PELUANG A.

PENCACAHAN a. Pengisian Tempat #(1)

Jika sebuah kejadian dapat terjadi sebanjak m kemungkinan dan kejadian lain sebanyak n kemungkinan maka seluruh kejadian terjadi sembanyak mxn. Contoh :

1. Jika Neng Amel akan melakaukan perjalan dari kota Bandung ke Surabaya melalui Semarang. Jika Bandung – Semarang ada 3 pilihan rute jalan dan Semarang – Surabaya ada 4 pilihan rute jalan. Maka : a. Berapa cara perjalanan Amel dari Bandung Surabaya. b. Berapa cara perjalan rute perjalanan pulang pergi Bandung – Surabaya, dengan syarat jalan yang sudah lilalui saat pergi tidak boleh dialalui lagi. Pembahasan :

a. Cara pergi : 3

4

3 x 4 = 12

Bandung

X

b. Cara pergi : 12 Cara pulang : Bandung

3

2

Surabaya

Semarang

X Semarang

Surabaya

3x2=6

Cara pergi – pulang (PP) = 12 x 6 = 72 cara. 2. Disediakan bilangan : 2, 3, 4, 5, 6, 7. Dari bilangan tersebuat buatlah bilangan tiga digit : a. Tiga digit bebas (tanpa syarat ) b. Tiga digit beda ( tidak boleh ada angka berulang) c. Tiga digit > 500 dan beda d. Tiga digit genap dan beda Pembahasan :

a. Tiga digit bebas (tanpa syarat ) 6

6

6

6 x 6 x 6 = 216

dipakai kembali.

b. Tiga digit beda 6

5

semua angka dapat

4

6 x 5 x 4 = 120

angka yang sudah dipakai tidak boleh dipakai lagi.

c. Tiga digit > 500 dan beda 3

5

4

3 x 5 x 4 = 60

paling depan ada 3 kemungkinan yaitu angka : 5, 6, 7

d. Tiga digit genap dan beda 5

4

3

5 x 4 x 3 = 120 bilangan terakhir ada 3 kemungkinan angka genap yaitu : 2, 4, 6

3. Ada 3 wanita dan 2 pria akan foto duduk berjajar dengan syarat pria harus diposisi paling pinggir. Ada berapa cara mereka duduk ? Pembahasan : 2 x 3 x 2 x 1 x 1 = 12 2 3 2 1 1 pria

wanita

pria

b. Permutasi #(2)

1. Faktorial

n ! = n × (n − 1) × (n − 2) × ...... × 3 × 2 × 1 Bisa ditulis juga sepertiberikut :

Syarat :

n ! = n × (n − 1) × (n − 2)!

n≥0

Ketentuan :

Contoh :

0!= 1

5!= 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 5!= 5 × 4!= 120 4!= 4 × 3 × 2 × 1 10! 10 × 9 × 8 × 7! = = 10 × 9 × 8 = 720 7! 7! 2. Permutasi dengan semua unsur beda Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang bebeda dengan memperhatikan urutan. Jadi susunan AB tidak sama dengan BA ( AB ≠ BA). Permutasi r unsur dari n unsur adalah :

Prn =

n! ( n − r )!

Dengan n

≥

r

penulisan permutasi : Prn = n Pr = P( n,r )

Contoh :

1. Nilai dari : a. P310 b. P28 Pembahasan :

a. P310 =

10! (10 − 3)!

10! 7! 10 × 9 × 8 × 7! = 7! = 10 × 9 × 8 =

= 720

b. P28 =

8! (8 − 2)!

8! 8 × 7 × 6! = = 6! 6! = 8×7 = 56

CADAS :

P28

artinya 8 turun 2 kali.

P28

= 8 × 7 = 56

2. Dari huruf –huruf : S, I, B, E, J, O akan disusun tulisan yang terdiri dari 4 huruf yang berbeda. Maka ada berapa susunan kata yang mungkin ada ? Pembahasan :

n=6,r=4 CADAS : 6! P46 = P26 = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 (6 − 4)! 6! = 4! 6 × 5 × 4! = 2! = 6×5× 4×3 = 360 3. Jika ada 10 orang calon ketua OSIS dan wakil ketua OSIS, maka ada berapa cara untuk memilih mereka ? Pembahsan :

n = 10 , r = 2

CADAS : P210 = 10 × 9

= 90

10! (10 − 2)! 10! = 8! 10 × 9 × 8! = 8! = 10 × 9

P210 =

= 90

3. Permutasi dengan beberapa unsur sama Banyaknya permutasi n unsur jika terdapat k1 unsur sama, k2 unsur sama,.... kn unsur sama.

P=

n! k1!k 2 !......k n !

Contoh :

1.

Dari susunan huruf : MATEMATIKA, ada berapa kemungkinan susunan huruf yang mungkin dari huruf-huruf tersebut ? Pembahasan :

n = 10 k1 = 2 ( jumlah huruf M ) k2 = 3 ( jumlah huruf A ) k2 = 2 ( jumlah huruf T ) 10! 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3! P= = = 151200 2!⋅3!⋅2! ( 2 × 1) ⋅ 3!.( 2 × 1) Banyaknya permutasi r unsur dari n unsur dan terdapat k1 unsur sama, k2 unsur sama,.... kn unsur sama.

P=

n! (n − r )!k1!k 2 !......k n !

Contoh :

1.

Dari susunan huruf : MATEMATIKA. Akan disususn 5 huruf, ada berapa kemungkinan susunan huruf yang mungkin dari huruf-huruf tersebut ? n = 10 r=5 k1 = 2 ( jumlah huruf M ) k2 = 3 ( jumlah huruf A ) k2 = 2 ( jumlah huruf T )

P=

10! 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5! = = 1260 (10 − 5)!2!⋅3!⋅2! 5!( 2 × 1) ⋅ (3 × 2 × 1).( 2 × 1)

4. Permutasi sikilis (melingkar) Banyak permutasi n unsur yang disusun melingkar .

P = (n − 1)! Contoh :

1.

Dari 4 pria dan 2 wanita akan duduk melingkar dengan ketentuan : a. Mereka duduk tanpa syarat b. Wanita selalu duduk berdampingan Pembahasan :

a. n = 6 ( 4 pria + 2 wanita)

P = (6 − 1)!= 5!= 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 b. n = 5 ( 4 pria + 1 kelompok wanita (2 wanita))

P = (5 − 1)!= 4!= 4 × 3 × 2 × 1 = 24 P

P

P P W

W

Ingat kelompok wanita juga punya susunan 2 P2 = 2 Jadi totalnyan adalah 24 x 2 = 48 cara duduk. c. Kombinasi #(3)

Kombinasi adalah susunan unsur-unsur yang bebeda dengan tidak memperhatikan urutan. Jadi susunan AB sama dengan BA ( AB = BA). Kombinasi r unsur dari n unsur adalah :

C rn

n! = ( n − r )!⋅r!

penulisan kombinasi : Dengan n

Contoh :

1. Penyelesaian dari : a.

C310

b.

C810

≥

r

C rn = n C r = C( n,r ) Dalam kombinasi berlaku: Crn = C(nn−r )

c.

( n +1) C n

= 10 , n = ...

Pembahasan :

10! (10 − 3)!⋅3!

a. C 310 =

10! 7!⋅3! 10 × 9 × 8 × 7! = 7!.(3 × 2 × 1) 10 × 9 × 8 = 3 × 2 ×1 = 120 =

b. C 810 =

10! (10 − 8)!⋅2!

10! 8!⋅2! 10 × 9 × 8! = 8!.(2 × 1) 10 × 9 = 2 ×1 = 45 c. ( n +1) C n = 10 =

CADAS :

C 310 artinya 10 turun 3 kali , dan dibagi 3 turun sampai 1

P310 =

10 × 9 × 8 = 120 3 × 2 ×1

CADAS : C 810 = C 10 2

=

10 × 9 = 45 2 ×1

( n + 1)! = 10 (( n + 1) − n )! n! ( n + 1).n! = 10 (1)! n!

(n + 1). = 10 1 n + 1 = 10 n=9 2. Seorang guru olah raga akan memilihi 2 siswa untuk pasangan ganda badminton dari 10 siswa yang mencalonkan diri. Ada berapa cara guru tersebut untuk memilih pasangan ganda yang mungkin ? Pembahasan :

n = 10, r = 2

10! 10! = = 2!(10 − 2)! 2!⋅8!

C

10 2

=

10 × 9 × 8! 10 × 9 = = 45 (2 × 1) ⋅ 8! 2 × 1

CADAS :

C 210 =

10 × 9 = 45 2 ×1

B.

PENGGUNAAN KOMIBNASI DALAM BINOMIUN NEWTON #(4) Segitiga Pascal : n=0

0C0

1

n=1

1

n=2

1

n=3

1

n=4

1

n=5

1

2

1

3 4

5

1C0

1

3 6

10

2C0

1

3C0

4 10

1 5

4C0

1

5C0

1C1 2C1

3C1 4C1

5C1

2C2 3C2

4C2

5C2

3C3 3C3

5C3

Ekuivalen dengan : (a + b)0 =

1

1

(a + b) =

1a + 1b

2

(a + b) =

1a2 + 2ab +1b2

(a + b)3=

1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3

(a + b)4=

1a4 + 4a3b + 6a2 b2 + 4ab3 + 1b4

(a + b)5=

1a5 + 5a4b + 10a3 b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5

Jadi bentuk umumnya :

( a + b) n =

n

Suku ke - k = n C r

∑ n C r ⋅ a n−r b r

⋅ a n−r b r

r =0 Contoh :

suku ke-k , maka r = k-1

1. Hasil dari (a + b)3 adalah.... Pembahasan :

( a + b ) 3 = 3 C 0 ⋅ a 3− 0 b 0 + 3 C 1 ⋅ a 3−1b 1 + 3 C 2 ⋅ a 3− 2 b 2 + 3 C 3 ⋅ a 3− 3 b 3

= 1a3b0

+

3 a 2b 1

= 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3 2. Suku ke- 3 dari ( 2x + y )8 adalah.... Pembahasan :

( 2x + y )8 suku ke-3

n = 8, r=2

suku ke – k = = n C r ⋅ a n − r b r suku ke-3 = 8 C 2 ⋅( 2 x ) 8− 2 ⋅ y 2

= 28 ⋅ ( 2 x ) 6 ⋅ y 2

+

3a 1 b 2

+ 1 a0 b3

5C4

4C4 5C5

= 28 ⋅ ( 64 x 6 ) ⋅ y 2 = 1792 x 6 y 2

C.

PELUANG SEBUAH KEJADIAN #(5) Peluang sebuah kejadian adalah perbandingan antara kejadian yang diharapkan dengan seluruh kejadian yang mungkin terjadi.

P ( A) =

n ( A) n(S )

,dengan n(A) ≤ n(S)

P(A) = peluang kejadian A n(A) = banyaknya kemungkinan kejadian A n(S) = banyaknya seluruh kemungkinan yang bisa terjadi/ banyaknya ruang sampel. Catatan : 0

≤ P(A) ≤ 1

P(A) =0, artinya kejadian mustahil terjadi P(1) = 1 artinya kejadian pasti terjadi Contoh :

1. Sebuah dadu dilambungkan sekali, peluang muncul mata dadu genap adalah ? Pembahasan :

n(A) = 3 ( angka genap dalam dadu : 2, 4, 6) n(S) = 6 ( seluruh angka dalam dadu : 1, 2, 3, 4, 5, 6 ) n ( A) 3 1 P ( A) = = = n(S ) 6 2 2. Seorang ibu akan melahirkan seorang anak, peluang seorang ibu tersebut akan melahirkan anak laki – laki atau perempuan adalah ? n(A) = 2 ( bisa laki-laki atau bisa perempuan) n(S) = 2 ( laki–laki dan perempuan) n ( A) 2 P ( A) = = =1 n( S ) 2

D.

PELUANG KOMPLEMEN SEBUAH KEKADIAN #(6) Peluang komplemen sebuah kejadian A adalah peluang selain kejadian A atau ditulis P’(A).

P ' ( A) = 1 − P ( A)

Contoh :

1. Peluang Andi lulus dalam tes masuk perguruan tinggi adalah 0,56. Maka peluang Anda gagal dalam tes tersebut adalah ? Pembahasan :

P(A) = 0,56 ( peluang Andi lulus) P’(A) = 1 – 0,56 = 0,44 (peluang Andi gagal )

E.

FREKUENSI HARAPAN SUATU KEJADIAN #(7) Frekuensi harapan adalah perkalian antara peluang sebuah kejadian dengan banyaknya percobaan yang dilakukan.

F ( A) = n ⋅ P ( A) F(A) = frekuensi harapan kejadian A n = banyaknya percobaan P(A) = pelualang kejadian A

Contoh :

1. Sepuluh kartu yang bernomor 1 s/d 10 dikocok secara acak. Jika akan diambil sebuah kartu lalu dikembalikan lagi. Pengambilan gersebut dilakukan sebanyak 100 kali, maka frekuensi harapan terambilnya kartu bernomor prima adalah.... Pembahasan :

n(A) = 7 ( bilangan prima : 2, 3, 5, 7) n(S) = 10 ( kartu berangka : 1, 2, 3, .... 10) n = 100 ( banyak percoban )

P( A) =

n( A) 4 2 = = n( S ) 10 5

F(A) = n P(A) F(A) = 100.

F.

2 = 40 5

KEJADIAN MAJEMUK #(8) a. Kejadian Saling Lepas

Kejadian A dan B saling lepas jika kejadian A dan B tidak bisa terjadi bersama. Kalo digambarkanadalah sebagai berikut. S B A

A∩ B =φ

Peluangnya adalah :

P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B) Contoh :

1. Dua buah dadu dilambungkan bersama, peluang muncul jumlah kedua mata dadu 8 atau 10 adalah.... Pembahasan :

n(A) = 5 → jml mata dadu 8 : {(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)} n(B) = 3 → jml mata dadu 10 : {(4,6),(5,5),(6,4)} n(S) = 36

Dadu 1

Dadu 2 1

2

3

4

5

6

1

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

2

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6) (3,6)

3

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

4

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

5

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,5)

6

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B) =

5 3 8 2 + = = 36 36 36 9

b. Kejadian Tidak Saling Lepas

Kejadian A dan B tidak saling lepas jika kejadian A dan B bisa terjadi bersama. Kalo digambarkanadalah sebagai berikut. S A

B

A∩ B ≠φ P ( A ∪ B ) = P ( A) + P( B) − P( A ∩ B)

Contoh :

1. Dalam setumpuk set kartu bridge akan diambil sebuah kartu, peluang terambil kartu berwar merah atau as adalah..... Pembahasan :

n(A) = 26 ( jumlah kartu warna merah ) n(B) = 4 ( jumlah kartu as )

n( A ∩ B ) = 2 ( jumlah kartu as dan merah ) n(S) = 52 ( jumlah seluruh kartu bridge )

P ( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P ( A ∩ B) 26 4 2 + − 52 52 52 28 7 = = 52 13

=

c. Kejadian Saling Bebas (Beruntun)

Kejadian berurutan A dan B dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B. Peluangnya adalah :

P ( A ∩ B) = P ( A) × P ( B ) P ( A ∩ B) = pelualang kejadian A dan B secara berurutan Contoh :

1. Dalam sebuah kantong terdapat 4 bola merah dan 3 bola kuning. Dari dalam kantong akan diambil 2 bola satu persatu, bola yang sudah diambil dikembalikan lagi ke kantong. Peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola kuning pada pengambilan kedua adalah ? Pembahasan :

n(A) = 4 ( jml bola merah ) n(B) = 3 ( jml bola kuning ) n(S) = 7 ( jml seluruh bola )

P ( A ∩ B) = P ( A) × P ( B ) =

4 3 12 × = 7 7 21

d. Kejadian Tidak Saling Bebas (Beruntun)

Kejadian berurutan A dan B dikatakan tidak saling bebas jika kejadian A mempegaruhi kejadian B. Peluangnya adalah :

P ( A ∩ B ) = P ( A) × P ( B | A) P ( B | A) = pelualang kejadian B setelah kejadian A Contoh :

1. Dalam sebuah kantong terdapat 4 bola merah dan 3 bola kuning. Dari dalam kantong akan diambil 2 bola satu persatu, bola yang sudah diambil tidak dikembalikan lagi ke kantong. Peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola kuning pada pengambilan kedua adalah ?

Pembahasan :

n(A) = 4 ( jml bola merah ) , n( S A ) = 7 ( jml seluruh bola saat awal ) n(B) = 3 ( jml bola kuning ), n( S B ) = 7 ( jml seluruh bola setelah diambil 1 bola)

P ( A ∩ B ) = P ( A) × P ( B | A)

=

n( A) n( B ) × n( S A ) n( S B )

=

4 3 12 2 × = = 7 6 42 7


Dari angka-angka 3,4,5,6 dan 7 akan dibuat bilangan terdiri dari empat angka berlainan. Banyaknya bilangan kurang dari 6.000 yang dbapat dibuat adalah… A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 E. 96 UN MAT IPS 2012 (A35-31)

2.

Dari 7 orang pengurus suatu ekstrakurikuler akan dipilih seorang ketua, wakil ketua , sekretaris, bendahara dan humas. Banyak cara pemilihan pengurus adalah… A. 2.100 B. 2.500 C. 2.520 D. 4.200 E. 8.400 UN MAT IPS 2012 (A35-32)

3.

Dua dadu di lempar undi bersama-sama satu kali. Peluang jumlah mata kedua dadu yang muncul habis dibagi 5 adalah… A.

2 36

B.

4 36

C.

5 36

D.

7 36

E.

8 36

UN MAT IPS 2012 (A35-33)

4.

Suatu percobaan lempar undi tiga mata uang logam sebanyak 200 kali. Frekuensi harapan munculnya dua sisi gambar dan satu sisi angka adalah… A. 50 B. 60 C. 75 D. 100 E. 125 UN MAT IPS 2012 (A35-34)

5.

Dari angka 1,2,3,4 dan 7 akan dibentuk bilangan yang terdiri dari tiga angka berbeda. Banyak bilangan berbeda yang dapat dibentuk dengan nilai masingmasing kurang dari 400 adalah… A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 E. 84 UNMAT IPS 2011 (XX-29)

6.

Banyak cara memasang 5 bendera dari negara yang berbeda disusun dalam satu baris adalah…. A. 20 B. 24 C. 69 D. 120 E. 132 UNMAT IPS 2011 (XX-31)

7.

Dari 20 kuntum bunga mawar akan diambil 15 kuntum secara acak. Banyak cara pengambilan ada… A. 15.504 B. 12.434 C. 93.024 D. 4.896 E. 816 UNMAT IPS 2011 (XX-32)

8.

Kotak I berisi 4 bola biru dan 3 bola kuning. Kotak II berisi 2 bola biru dan 5 bola merah. Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola secara acak. Peluang terambilnya kedua bola berlainan warna adalah… A. B.

6 49 15 49

C. D. E.

20 49 21 49 41 49


9.

Pada percobaan lempar undi 3 keping uang loga bersama-sama sebanyak 600 kali, frekuensi harapan muncul paling sedikit dua gambar adalah… A. 500 B. 400 C. 300 D. 200 E. 100 UNMAT IPS 2011 (XX-35)

10.

Dalam sebuah keluarga yang terdiri dari Ayah, Ibu dan 5 anaknya akan makan bersama duduk mengelilingi meja bundar. Jika Ayah dan Ibu duduknya

selalu

berdampingan,

maka

banyak

cara

mereka

duduk

mengelilingi meja bundar tersebut ada… A. 120 B. 240 C. 720 D. 1.020 E. 5.040 UN MAT IPA 2012 (A35-29)

11.

Dua buah dadu dilempar undi bersamaan senbayak satu kali. Peluang kedua mata dadu yang muncul tidak ada yang sama adalah… A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

E.

5 6

UN MAT IPA 2012 (A35-30)

12.

Seorang siswa diwajibkan mengerjakan 8 soal dari sepuluh soal, tetapi nomor 1 sampi dengan 4 wajib dikerjakan. Banyaknya pilihan yang harus diambil siswa tersebut ada … A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 E. 30 UN MAT IPA 2011 (D10-15)

13.

Dari dalam kantong yang berisi 8 kelereng merah dan 10 kelereng putih. Akan diambil 2 kelereng sekaligus secara acak. Peluang yang terambil 2 kelereng putih adalah…

20 153 28 B. 153 45 C. 153 56 D. 153 90 E. 153

A.

UN MAT IPA 2011 (D10-20)

14.

Dari 7 siswa di kelas, akan dipilih pengurus kelas yang terdiri dari seorang ketua kelas, seorang sekretaris dan seorang bendahara. Banyak susunan pengurus kelas yang dapat dibentuk dengan tidak boleh ada jabatan rangkap adalah ... A. 42 cara B. 45 cara C. 60 cara D. 70 cara E. 210 cara UN MAT IPA 2010 (D10-38)

15.

Seorang siswa diminta mengerjakan 8 dari 10 soal ulangan, tetapi nomor 1 sampai dengan nomor 5 harus dikerjakan. Banyak pilihan yang dapat diselesaikan siswa tersebut adalah ... A. 4 cara B. 5 cara

C. 6 cara D. 10 cara E. 20 cara UN MAT IPA 2010 (D10-39)

16.

Pada percobaan lempar undi 2 buah dadu, peluang mata dadu yang muncul berjumlah 7 atau 10 adalah ... A. B. C. D.

U

E.

G

UN MAT IPA 2010 (D10-40)

17.

Dibuah sekelas di SMA Y, terdiri dari 30 orang siswa. Pada kelas tersebut akan di pilih 3 orang sebagai pengurus kelas yang menjabat sebagai ketua kelas, wakil ketua kelas dan sekretaris. Banyaknya cara memilih yang mungkin terjadi adalah ... A. 24, 360 B. 24. 630 C. 42.360 D. 42.630 E. 46.230 UN MAT IPA 2009 (D10-15)

18.

Dari seperangkat kartu bridge diambil dua kartu sekaligus secara acak. Peluang yang terambil dua kartu King adalah ... A. B. C. D. E. UN MAT IPA 2009 (D10-16)

19.

Dua buah dadu dilempar undi secara bersamaan sebanyak satu kali. Peluang kejadian muncul jumlah mata dadu 9 atau 11 adalah… A. 1/2 B. 1/4 C. 1/6 D. 1/8 E. 1/12 UN MAT IPA 2008 (D10-40)

20.

Dalam kantong I terdapat 5 kelereng merah dan 3 kelereng putih, dalam kantong II terdapat 4 kelereng merah dan 6 kelereng hitam. Dari setiap kantong diambil satu kelereng secara acak. Peluang terambilnya kelerang putih dari kantong I dan kelereng hitam dari kantong II adalah… A. B. C. D. E.

39 40 9 13 1 2 9 20 9 40

UN MAT IPA 2007 (D9-29)

21.

A,B,C dan D akan berfoto bersama berdampingan.

Peluang A dan B selalu

berdampingan adalah… A. B. C. D. E.

1 12 1 6 1 3 1 2 2 3

UN MAT IPA 2006 (D10-09)

22.

Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola biru dan 3 bola kuning. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus secara acak. Peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola biru adalah…. A. 1/10 B. 5/36 C. 1/6 D. 2/11 E. 4/11 UN MAT IPA 2005 (D10-07)

23.

Enam orang berpergian dengan dua mobil milik dua orang diantara mereka. Masing-masing mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan kapasitas masingmasing mobil adalah 4 orang termasuk pengemudi. Banyak cara penyusun penumpang di kedua mobil tersebut adalah... A. 10 B. 14 C. 24 D. 54 E. 96 SNMPTN MAT IPA 2012 (821-06)

24.

Dalam kotak terdapat 3 bola biru, 4 bola merah, dan 2 bola putih. Jika diambil 7 bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil dua kali banyak bola putih yang terambil adalah... A.

1 24

B.

1 12

C.

1 6

D.

3 14

E.

1 8


25.

Delapan titik terletak pada bidang datar sehingga tidak ada tiga titik yang segaris. Banyak segitiga yang dapat dibuat dengan titik-titik sudut dari titik-titik tersebut adalah… A. 56 B. 58 C. 64 D. 84 E. 96 SNMPTN MAT IPA 2011 (XX-08)

26.

Panitia jalan sehat akan membuat kupon bernomor yang terdiri atas 4 angka yang disusun oleh angka-angka 0,1,3,5 dan 7. Jika angka pertama atau terakhir tidak 0, maka banyak kupon yang dapat dibuat adalah….

A. B. C. D. E.

600 605 610 620 625


27.

Sejumlah siswa terdiri dari atas 5 putra dan 5 putri membentuk panitia yang terdiri atas 4 orang siswa. Peluang panita tersebut memuat paling banyak 2 siswa putri adalah…. A. 16/21 B. 11/37 C. 23/42 D. 31/42 E. 35/42 SNMPTN MAT IPA 2010 (XX-14)

28.

Dalam suatu kotak terdapat 100 bola serupa yang bernomor 1,2,3,……,100. Jika dipilih satu bola secara acak, maka peluang terambilnya bola dengan nomor yang habis dibagi 5, tetapi tidak habis dibagi 3 adalah… A. 3/25 B. 7/50 C. 4/25 D. 9/50 E. 2/5 SNMPTN MAT DAS 2009(XX-04)

29.

Suatu tim bulu tangkis terdiri atas 5 anggota. Akan ditentukan 2 orang untuk bermain tunggal dan 2 pasang untuk bermain ganda. Jika peraturan yang dipakai bahwa pemain tunggal boleh bermain ganda sekali, maka banyak pilihan yang bisa dibentuk adalah… A. 240 B. 120 C. 80 D. 60 E. 30 SNMPTN MAT DAS 2009 (XX-09)

30.

Suatu panitia yang terdiri dari 4 orang dengan rincian, seorang sebagai ketua,seorang sebagai sekretaris, dan dua orang sebagai anggota(kedua anggota tidak dibedakan) dakan dipilih dari 3 pria dan 3 wanita. Jika ketua panitia harus wanita dan sekretaris harus pria, maka banyak susunan panita berbeda yng bisa dibentuk adalah… A. 36 B. 54 C. 72 D. 90 E. 108 SNMPTN MAT DAS 2009 (XX-15)

31.

Pada percobaan melempar dua buah dadu sekaligus, peluang munculnya jumlah mata dadu tidak lebih dari 6 adalah… A. 5/18 B. 1/3 C. 5/12 D. 1/2 E. 2/3

32.

Tiga siswa dan tiga siswi duduk berjajar pada sebuah bangku. Jika yang menempati pinggir bangku harus siswa, maka banyaknya susunan posisi duduk yang mungkin adalah…. A. 6 B. 24 C. 120 D. 144 E. 720



33.

Dalam sebuah ruangan pertemuan terdapat enam pasang suami istri. Jika dipilih dua orang secara acak dari ruangan tersebut, maka peluang terpilihnya dua orang tersebut suami istri adalah… A. 1/11 B. 2/11 C. 3/11 D. 5/11 E. 6/11 SPMB MAT DAS 2007(XX-18)

34.

Dalam babak penyisihan suatu turnamen, 25 pecatur satu sama lain bertanding satu kali. Banyaknya pertandingan yang terjadi adalah…. A. 150

B. C. D. E.

180 200 270 300


LINGKARAN A.

DEFINISI #(1) Lingkaran adalah tempat kedudukan titik – titik yang berjarak sama dengan titik tertentu. Titik tertentu tersebut adalah pusat lingkaran (P), sedangkan jarak titik-titik yang sama ke titik tertentu tersebut adalah jari – jari (r). r

Unsur utama dalam lingkaran adalah : pusat(P pusat(P)) dan jari jari-jari(r)

O

B.

PESAMAAN LINGKARAN #(2) a. Lingkaran Pusat (0,0)

Penjelasan : Rumus jarak 2 titik :

Y r

K(x,y)

O(0,0)

X

d = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 Maka dalam lingkaran disamping berlaku :

d = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 = r Persamaannya :

x2 + y2 = r2 Pusat (P) = (0,0) Jari – jari (r) = r

( x − 0) 2 + ( y − 0) 2 = r x2 + y2 = r x2 + y2 = r 2

b. Persamaan Lingakaran Pusat (a,b) Penjelasan :

Y

Maka dalam lingkaran disamping berlaku :

P(x,y)

r

d = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 = r

(a,b)

( x − a) 2 + ( y − b) 2 = r ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2

X Persamaannya :

( x − a ) + ( y − b) = r 2

2

2

Atau kalo diuraikan kembali jadi :

( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2 x 2 − 2ax + a 2 + y 2 − 2by + b 2 = r 2

Pusat (P) = (a,b) Jari – jari (r) = r

x 2 + y 2 − 2ax − 2by + a 2 + b 2 − r 2 = 0 x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0

x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0

− A −B ,  2   2

Pusat (P) = 

Jari – jari (r) =

1 2 1 2 A + B − C atau r = 4 4

pusat 2 − C

Contoh :

1. Persamaan lingkaran dengan pusat (2, -3) dengan jari – jari 4 adalah.... Pembahasan :

P = (a,b) = (2,-3) r=4

( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2 ( x − 2) 2 + ( y − ( −3)) 2 = 4 2 ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16 atau diuraikan menjadi bentuk : x 2 + y 2 − 4x + 6 y − 3 = 0 2. Carilah bentuk pusat dan jari jari persamaan linkgakran :

x2 + y 2 − 6x + 2 y − 3 = 0 Pembahasan :

x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 x2 + y 2 − 6x + 2 y − 3 = 0

A = -6, B = 2, C = -3

 − A − B   − (−6) − 2  , , =  = (3,−1) 2   2 2   2

Pusat (P) = 

pusat 2 − C = 3 2 + 12 − ( −3) = 9 + 1 + 3 = 13

Jari – jari (r) =

3. Persamaan lingkaran dengan pusat (-1, 2) dan melalui (4, 5) adalah.... Pembahasan :

P = (a,b) = (-1,2) r = ....

( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2 ( x − ( −1)) + ( y − 2) = r 2

2

(-1,2) 2

( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 = r 2 Melaui (4, 5) maka :

(4,5)

( 4 + 1) 2 + (5 − 2) 2 = r 2

25 + 9 = r 2 34 = r 2 ( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 = 34

C.

RUMUS-RUMUS PENTING DALAM LINGKARAN #(3) a. Titik Tengah Antara 2 Titik

 x + x 2 y1 + y 2  T = 1 ,  2   2

A

( x1 , y1 )

T //

B //

( x2 , y2 )

b. Jarak Titik ke Garis

d = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

d

( x1 , y1 )

( x2 , y2 )

Contoh :

1. Persamaan lingkaran yang ujung-ujung diameternya melalui (5, 4) dan (-3, 6). Maka persamaan lingkaranya adalah....

Pembahasan :

 x + x2 y1 + y 2  P= 1 ,  2   2 5 −3 4 + 6 = ,  2   2

(-3,6) (x2,y2)

P (5,4)

(x1,y1)

= (1,5) Panjang diameter(D) dari (-3,6) sampai (5,4) maka :

D = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 = ( −3 − 5) 2 + (6 − 4) 2 = ( −8) 2 + ( 2) 2 = 64 + 4 = 68 = 2 17

Catatan :

r = 17

D = 2r atau r = ½ D

r 2 = 17 L ≡ ( x − a) 2 + ( y − b) = r 2 ( x − 1) 2 + ( y − 5) 2 = 17 c. Jarak Titik ke Titik

d=

(x1,y1)

ax1 + by1 + c

d

a2 + b2 ax + by + c = 0

Contoh :

1. Suatu lingkaran dengan pusat di A(3,2) dan disinggung oleh garis 3 x + 4 y − 27 = 0 . Maka persamaan lingkaran tersebut adalah... Pembahasan :

r=d = r= =

ax1 + by1 + c a2 + b2 3(3) + 4( 2) − 27 32 + 4 2

9 + 8 − 27 9 + 16

=

− 10 =2 5

L ≡ ( x − a) 2 + ( y − b) 2 = r 2 ( x − 3) 2 + ( y − 2) 2 = 4

(x1,y1) (3, 2) r

3 x + 4 y − 27 = 0

D.

KEDUDUKAN TITIK TERHADAP LINGKARAN #(4) Berikut adalah kedutukan titik A terhadap lingkaran

x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 . Titik A di dalam lingkaran 2 2 x1 + y1 + Ax1 + By1 + C < 0

A(x1,y1)

atau ( x1 − a ) 2 + ( y1 − b) 2 < r 2

Titik A pada lingkaran 2 2 x1 + y1 + Ax1 + By1 + C > 0

A(x1,y1) atau ( x1 − a ) 2 + ( y1 − b ) 2 > r 2

Titik A di luar lingkaran 2 2 x1 + y1 + Ax1 + By1 + C = 0

A(x1,y1) atau ( x1 − a ) 2 + ( y1 − b ) 2 = r 2

Contoh :

1. Kedudukan titik T(1,2) terhadap llingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 5 y − 10 = 0 adalah.... Pembahasan :

x 2 + y 2 − 4 x + 5 y − 10 = 0 → T(1,2), maka : 12 + 2 2 − 4(1) + 5( 2) − 10 ? 0

1 + 4 − 4 + 10 − 10 ? 0 1? 0 1 >0 Maka titik T(1,2) berada diluar lingkaran. 2. Kedudukan titik K(2,-3) terhadap lingkaran ( x − 3) 2 + ( y + 2) 2 = 10 adalah... Pembahasan :

( x − 3) 2 + ( y + 2) 2 = 10 → K(2,-3)

( 2 − 3) 2 + ( −3 + 2 ) 2 ? 10 12 + ( −1) 2 ? 10

2 ? 10 2 < 10 Maka titik K(2,-3) berada didalam lingkaran.

E.

KEDUDUKAN GARIS TERHADAP LINGKARAN #(5) Untuk mengetahui hubungan garis dan lingkaran ditentukan dengan deskriminan D ( D = b 2 − 4 ac ) . memotong lingkaran

menyinggung lingkaran

D>0

D=0

tidak memotong/menyinggung

D<0

Contoh :

1. Kedudukan garis y = 2 x + 3 terhadap lingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 3 y + 5 = 0 adalah... Pembahasan :

y = 2x + 3 x 2 + y 2 − 2x + 3y + 5 = 0

Subtitusikan y garis ke y lingkaran

x 2 + (2 x + 3) 2 − 2 x + 3(2 x + 3) + 5 = 0

x 2 + 4 x 2 + 12x + 9 − 2 x + 6 x + 9 + 5 = 0 5x 2 + 16x + 23 = 0 → a = 5, b = 16, c = 23 D = b 2 − 4 ac = (16) 2 − 4(5)( 23)

= 256 − 460 = −144 Karena D = -144 < 0 maka garis tersebut tidak memotong/menyinggung lingkaran.

F.

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN a. Diketahui Titik Singgungnya #(6) Persamaan Garis Singgung (PGS) lingkaran jika diketahi titik singgungnya bentuknya sebagai berikut : x2 + y2 = r2

pgs : x1 x+ y1 y = r2

(x1,y1) 2 2 2 ( x − a ) + ( y − b) = r

pgs : (x1-a)(x-a)+(y1-a)(y-a) = r2

(x1,y1)

x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0

pgs : x1x+ y1y + A2 (x1+x) +

B 2

(y1+y)+C=0

(x1,y1) Contoh :

1. Persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 10 di titik (1,3) adalah... Pembahasan :

x 2 + y 2 = 10 → melalui titik (1, 3)

pgs : x1 x + y1 y = r 2 1x + 3 y = 10

(x1,y1)

x + 3 y = 10 2. Persamaan garis singgung lingkaran ( x − 2 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 5 di titik (3,-2) adalah... Pembahasan :

( x − 2 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 5 → melalui titik (3,-2)

pgs : ( x1 − a )( x − a ) + ( y1 − b )( y − b ) = r 2 ( x1 − 2 )( x − 2) + ( y1 + 4 )( y + 4) = 5

(3 − 2)( x − 2) + (−2 + 4)( y + 4) = 5 1( x − 2) + 2( y + 4) = 5

(x1,y1)

x − 2 + 2y + 8 = 5 x + 2 y = −1 3. Persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 5 = 0 di titik (2,1) adalah... Pembahasan :

x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 5 = 0 → melalui titik (2,1) x1 x + y1 y + A2 ( x1 + x ) + B2 ( y1 + y ) + c = 0

(x1,y1)

2 x + 1 y − 22 ( 2 + x ) + 42 (1 + y ) − 5 = 0

2 x + y − (2 + x) + 2(1 + y ) − 5 = 0 2x + y − 2 − x + 2 + 2 y − 5 = 0 x + 3y − 5 = 0 b. Diketahui Gradien Garis Singgungnya

#(7)

2 2 2 x +y =r

gradien = m

pgs : y = mx ± r m 2 + 1

( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 atau x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0

gradien = m

pgs : y − b = m( x − a) ± r m 2 + 1

Contoh :

1. Persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 5 dengan gradien garis 2 adalah... Pembahasan :

x 2 + y 2 = 5 , m = 2, r = 5

y = mx ± r m 2 + 1 y = 2x ± 5 ⋅ 22 + 1 y = 2x ± 5 ⋅ 5

y = 2 x ± 5 , jadi pgs nya adalah : y = 2 x + 5 atau y = 2 x − 5 2. Persamaan garis singgung lingkaran ( x + 2 ) 2 + ( y − 3) 2 = 2 dengan gradien -2 adalah... Pembahasan :

( x − a) 2 + ( y − b) 2 = r 2

( x + 2 ) 2 + ( y − 3) 2 = 2 , jadi a = -2, b = 3, r =

2 dan m = -2

y − b = m( x − a) ± r m 2 + 1 y − 3 = −2 ( x + 2 ) ± 2 ( −2 ) 2 + 1 y − 3 = −2 x − 4 ± 2 5 y = −2 x − 4 + 3 ± 10 y = −2 x − 4 + 3 ± 10 y = −2 x − 1 ± 10 , jadi pgs nya adalah : y = −2 x − 1 + 10 atau y = −2 x − 1 − 10

3. Garis singgung lingkaran x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 3 = 0 dengan gradien 3 adalah... Pembahasan :

x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 3 = 0 , A = 4, B = -6, C = 3

(

)

(

)

− ( −6 ) Pusat (P) = −2A , −2B = −24 , 2 = (− 2,3) jadi a = -2 , b = 3

r=

pusat 2 − C = ( −2) 2 + 3 2 − 3 = 4 + 9 − 3 = 10

m=3 pgs: y − b = m( x − a) ± r m 2 + 1

y − 3 = 3( x − (−2)) ± 10 3 2 + 1 y − 3 = 3( x + 2) ± 10 10

y = 3x + 6 + 3 ± 10 y = 3x + 9 ± 10 , jadi pgs nya : y = 3x + 9 + 10 y = 3x + 19

atau y = 3x + 9 − 10

y = 3x − 1

c. Diketahui Titik di Luar Lingkaran

#(8)

Jika diketahui titik P(x1,y1) di luar lingkaran maka ada dua garis singgung yang bisa dibuat dari titik tersebut, seperti berikut : y − y1 = m1 ( x − x1 ) P(x1,y1) y − y1 = m2 ( x − x1 )

Maka langkah penyelesaiannya adalah : 1. Buat persamaan garis yang melalui titk P(x1,y1) dengam gradien m(belum diketahui). Dengan rumus y − y1 = m( x − x1 ) . 2. Subtitusikan persamaan garis tersebut ke persamaan lingkaran. 3. Dari persamaan lingkaran kita selesaikan dengan deskriminan ( D = 0 ), karena garis menyinggung lingkaran maka akan didapat nilai m. 4. Masukan m (gradien) garis yang di dapat pada persamaan gari di langkah 1. Contoh :

1. Dari titik T(0,10) akan dibuat garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 10 , maka persamaan garis singgung yang terjadi adalah... Pembahasan :

Langka 1 : T (0,10) dan gradien m y − y1 = m( x − x1 )

y − 10 = m( x − 0) y = mx + 10 Langkah 2 : x 2 + y 2 = 10 x 2 + ( mx + 10 ) 2 = 10

x 2 + m 2 x 2 + 20mx + 100 = 10 ( m 2 + 1) x 2 + 20 mx + 90 = 0 , maka A = m 2 + 1, B = 20 m, C = 90

Langkah 3 : D=0 B − 4 AC = 0 2

2

( 20 m ) − 4 ( m 2 + 1)( 90 ) = 0

400m 2 − 360m 2 − 360 = 0

T(0,10)

40m 2 = 360 m2 = 9 m = ± 9 = ±3 , jadi m1 = 3 atau m 2 = −3

Langkah 4 : y = mx + 10 , maka untuk m1 = 3 atau m 2 = −3 , didapat : y = 3 x + 10 atau y = −3x + 10


Lingkaran L ≡ ( x + 1)2 + ( y − 3 )2 = 9 memotong garis y=3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara antara lingkaran dan garis tersebut adalah… A. x = 2 dan x = -4 B. x = 2 dan x = -2 C. x = -2 dan x = 4 D. x = -2 dan x = -4 E. x = 8 dan x = -10 UN MAT IPA 2012 (A35-10)

2.

Persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 = 0 di titik (7,1) adalah … A. 3 x − 4 y − 41 = 0 B. C. D. E.

4 x + 3 y − 55 = 0 4 x − 5 y − 53 = 0 4 x + 3 y − 31 = 0 4 x − 3 y − 40 = 0

UN MAT IPA 2011 (D10-17)

3.

Salah satu garis singgung lingkaran garis 2x – y + 7 = 0 adalah ... A. 2x – y – 10 = 0 B. 2x – y + 10 = 10 C. 2x + y +10 = 0 D. x – 2y - 10 = 0 E. x – 2y + 10 = 0

+ V − 6 − 2V + 5 = 0 yang sejajar

UN MAT IPA 2010 (D10-08)

4.

Lingkaran W = 7 + 18 + 7V − 38 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ... A. x = 2 dan x = -4 B. x = 2 dan x = -2 C. x = -2 dan x = 4 D. x = -2 dan x = -4 E. x = 8 dan x = -10 UN MAT IPA 2009 (D10-11)

5.

Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik A(-2,-1) pada lingkaran

x 2 + y 2 + 12 x − 6 y + 13 = 0 adalah… A. B. C. D. E.

− 2x − y − 5 = 0 x − y +1 = 0 x + 2y + 4 = 0 3x − 2 y + 4 = 0 2x − y + 3 = 0

UN MAT IPA 2008 (D10-11)

6.

Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran

( x − 2 ) 2 + ( y + 1) 2 = 13 di titik yang berabsis -1 adalah…

3x − 2 y − 3 = 0 B. 3 x − 2 y − 5 = 0 C. 3 x + 2 y − 9 = 0 D. 3 x + 2 y + 9 = 0 E. 3x + 2 y + 5 = 0

A.

UN MAT IPA 2007 (D9-07)

7.

Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 − 2 x − 6 y − 7 = 0 di titik yang berabsis 5 adalah… A. 4 x − y − 18 = 0

4x − y + 4 = 0 C. 4 x − y + 10 = 0 D. 4 x + y − 4 = 0 E. 4 x + y − 15 = 0 B.

UN MAT IPA 2006 (D10-11)

8.

Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 2 x − 4 y − 4 = 0 , serta menyinggung sumbu X negatif dan sumbu Y negatif adalah… A.

x2 + y2 + 4x + 4 y + 4 = 0

B.

x2 + y2 + 4x + 4 y + 8 = 0

C.

x2 + y2 + 2x + 2 y + 4 = 0

D.

x2 + y2 − 4x − 4 y + 4 = 0

E.

x2 + y2 − 2x − 2 y + 4 = 0

UN MAT IPA 2006 (D10-13)

9.

Persamaan lingkaran yang berpusat di (1,4) dan menyinggung garis 3 x − 4 y − 2 = 0 adalah…

A.

x 2 + y 2 + 3x − 4 y − 2 = 0

B.

x2 + y2 − 4x − 6 y − 3 = 0

C.

x2 + y2 + 2x + 8y − 8 = 0

D.

x2 + y2 − 2x − 8y + 8 = 0

E.

x 2 + y 2 + 2 x + 8 y − 16 = 0

UN MAT IPA 2005 (D10-09)

10.

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 25 tegak lurus garis 2 y − x + 3 = 0 adalah…

C.

1 y=− x+ 2 1 5 y = x− 2 2 y = 2x − 5

D.

y = −2 x + 5 5

E.

y = 2x + 5 5

A. B.

5 5 2 5 5

UN MAT IPA 2005 (D10-10)

11.

Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 - 2x - 6y + 1 = 0 tegak lurus garis 3x –y = 0 adalah... A.

y − 3 = − 3( x − 1) ± 3 10

B.

y − 3 = − 3( x − 1) ± 10

C.

1 y − 3 = − ( x − 1) ± 10 3

D.

1 y − 3 = − ( x − 1) ± 3 10 3

E.

1 y − 3 = − ( x − 1) ± 9 10 3

UAN 2004 (IPA, P3)

12.

Diketahui sebuah lingkaran melalui titik O(0,0), A(0,8), dan B(6,0). Persamaan garis singgung pada lingakaran tesebut di titik A adalah... A. 3x – 4y – 32 = 0 B. 3x – 4y + 32 = 0 C. 3x + 4y – 32 = 0

D. 4x + 3y – 32 = 0 E. 4x - 3y + 32 = 0 UAN 2003

13.

Salah satu garis singgung yang bersudut 120o terhadap sumbu X positif pada lingkararan dengan ujung diameter di titik (7,6) dan (1,-2) adalah... A.

y = − x 3 + 4 3 + 12

B.

y = −x 3 − 4 3 + 8

C.

y = −x 3 + 4 3 + 8

D.

y = −x 3 − 4 3 − 8

E.

y = − x 3 + 4 3 + 22

UAN 2003

14.

Titik (a,b) adalah pusat lingkaran x2 + y2 - 2x + 4y + 1 = 0 jadi 2a + b = .... A. 0 B. 2 C. 3 D. -1 E. -3 UAN 2002 (IPA, P2)

15.

Diketahui lingkaran x2 + y2 - 2px + q = 0 berjari-jari 2. Garis x – y = 0 akan menyinggung lingkaran tersebut bila nilai p yang positif sama dengan... A.

2 2

B. 4 C.

4 2

D. 8 E.

6 2

UAN 2002(IPA, P4)

16.

Jarak antara titik pusat lingkaran x2 - 4x + y2 + 4 = 0 dari sumbu Y adalah... A. 3 B. 2 ½ C. 2 D. 1 ½

E. 1 UAN 2002

17.

Salah satu persamaan garis singgung dari titik(0,2) pada lingkaran x2 + y2 = 1 adalah... A.

y= x 3−2

B.

y = x 3 +1

C.

y = −x 3 − 2

D.

y = −x 3 + 2

E.

y = −x 3 +1

EBTANAS 2001

18.

Lingkaran (x – 3)2+ (y – 4)2= 25 memotong sumbu-X di titik A dan B. Jika P adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka cos < APB= .... A.

7 25

B.

8 25

C.

12 25

D.

16 25

E.

18 25


19.

Lingkaran (x + 6)2+(y + 1)2= 25 menyinggung garis y = 4 dititik... A. (-6,4) B. (6,4) C. (-1,4) D. (1,4) E. (5,4) SNMPTN MAT IPA 2012 (831-12)

20.

Diberikan lingkaran dengan persamaan ( x + 5 ) 2 + ( y − 12 ) 2 = 14 2 . Jarak minimal titik pada lingkaran tersebut ke titik asal adalah…

A. 14 B.

3

C. 2 D. 1 E.

1 2


21.

Jika lingkaran x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 berpusat di (1,-1) menyinggung garis A. B. C. D. E.

y = x , maka nilai a + b + c adalah…

0 1 2 3 4


22.

Jika lingkaran x2 + y2 + 6x + 6y + c = 0 menyinggung garis x = 2, maka nilai c adalah... A. -7 B. -6 C. 0 D. 6 E. 12 SPMB 2005

23.

Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x2 + y2 - 4x + 6y - 17 = 0 dan menyinggung garis

3x – 4y + 7 = 0 mempunyai persamaan...

A. (x – 2)2 + (y + 3)2= 25 B. (x – 2)2 + (y + 3)2= 16 C. (x + 2)2 + (y - 3)2= 25 D. (x + 2)2 + (y - 3)2= 16 E. (x - 4)2 + (y + 6)2= 25 SPMB 2002

24.

Syarat agar garis ax + y = 0 menyinggung lingkaran dengan pusat ( - 1, 3) dan jari-jari 1 adalah a = ... A. 3/2 B. 4/3

C. 3/4 D. 2/3 E. 1/4 UM UGM MAT IPA 2010 (452-06)

25.

Lingkaran dengan titik pusat (a,b) menyinggung sumbu x dan garis y = x, jika jari –jari |b| adan.... A.

a − ( 2 + 1)b = 0

B.

a − ( 2 − 1)b = 0

C.

( 2 + 1) a − b = 0

D.

( 2 − 1) a − b = 0

E.

a − 2b = 0


26.

Diketahui sebuah lingkaran L ≡ x 2 + y 2 + y − 24 = 0 . Jika melalui titik P(1,6) dibuat garis singgung pada L, maka jarak dari P ke titik singgung tadi adalah …. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 UM UGM MAT IPA 2004 (XX-01)

27.

Lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 6 y + 6 = 0 mempunyai kekhususan sebagai berikut : 1. Menyinggung y = 0 2. Menyinggung x = 0 3. Berpusat di O (0,0) 4. Titik pusatnya terletak pada x – y = 0 UM UGM MAT IPA 2003 (XX-01)

SUKU BANYAK A.

PENGERTIAN SUKU BANYAK #(1) Bentuk umum suku banyak adalah : a n x n + a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 + .... + a 2 x 2 + a1 x + a 0 Keterangan :

a n , a n −1 , a n −2 ,....., a 2 , a1 , a 0 adalah koefisien variabel x. x n , x n −1 , x n − 2 ,......, x 2 , x adalah variabel dengan tertinggi n.

B.

MENCARI NILAI SUKU BANYAK #(2) a. Metode Subtitusi Contoh :

1. Diberikan suku banyak f ( x ) = 2 x 3 + 4 x 2 − 6 x + 8 , maka nilai dari f (2) adalah.... Pembahasan :

f ( x) = 2 x 3 + 4 x 2 − 6 x + 8

f (2) = 2( 2) 3 + 4(2) 2 − 6(2) + 8 = 16 + 16 − 12 + 8 = 28 b. Metode Horner/Bagan/Skema Contoh :

1. Diberikan suku banyak f ( x ) = 2 x 3 + 4 x 2 − 6 x + 8 , maka nilai suku banyak untuk x = 2 adalah... Pembahasan :

f ( x ) = 2 x 3 + 4 x 2 − 6 x + 8 , koefisien variabelnya adalah 2, 4, -6, dan 8

x3 2 x=2

×2

2

x2 4 + 4 8

x1 -6 + ×2

16 10

x0 8 + ×2

20

28

Jadi hasilnya adalah 28. 2. Suatu suku banyak g ( x ) = 5 x 4 + 3 x 2 + 44 x + 5 , maka nilai g(-3) adalah... Pembahasan :

g ( x ) = 5 x 4 + 3 x 2 − 20 x + 5 , koefisien vareabelnya adalah 5, 0, 3, 44, 5

x4 5

x3 0 + -15

x = -3 × −3

x2 3 + × −3

-15 5 Jadi hasilnya adalah 305.

C.

45

x1 44 + × −3

48

-144

x0 5 + × −3

-100

300

305

PEMBAGIAN SUKU BANYAK a. Metode Menurun #(3) Contoh :

1. Suatu suku banyak f ( x ) = 3 x 4 + 5 x 3 − 6 x 2 + 2 x − 6 dibagi dengan x + 3 , maka hasil dan sisanya adalah... Pembahasan :

3 x 3 − 4 x 2 + 6 x − 16 x + 3 3x 4 + 5 x 3 − 6 x 2 + 2 x − 6 3x 4 + 9 x 3 − 3

− 4x − 6x

2

− 4 x 3 − 12 x 2 6x 2 + 2x

hasil bagi

catatan: Proses pembagian berhenti jika yang dibagi berderajat lebih rendah dari pembaginya.

6 x 2 + 18 x − − 16 x − 6 − 16 x − 48 42

sisa

Jadi hasil suku banyak f(x) dibagi x + 3 mempunyai hasil 3 x 3 − 4 x 2 + 6 x − 16 dan sisa 42.

2. g ( x ) = 4 x 4 + 2 x 3 + 2 x + 10 dibagi x 2 − x − 3 sisanya adalah.... Pembahasan :

g ( x ) = 4 x 4 + 2 x 3 + 2 x + 10 bisa ditulis menjadi g ( x ) = 4 x 4 + 2 x 3 + 0 x 2 + 2 x + 10 .

4 x 2 + 6 x + 18 x 2 − x − 3 4 x 4 + 2 x 3 + 0 x 2 + 2 x + 10

hasil bagi

4 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 − 6 x 3 + 12 x 2 + 2 x 6 x 3 − 6 x 2 − 18 x − 18 x 2 + 20 x + 10 18 x 2 − 18 x − 54 −

sisa

38 x + 64

Jadi hasi suku banyak g(x) dibagi oleh x 2 − x − 3 mempunyai hasil 4 x 2 + 6 x + 18 dan sisa 38 x + 64 . b. Metode Horner

#(4)

Contoh :

1. Suatu suku banyak f ( x ) = 3 x 4 + 5 x 3 − 6 x 2 + 2 x − 6 dibagi dengan x + 3 , maka hasil dan sisanya adalah... Pembahasan :

Dari pembagi x + 3 , didapat pemubat nolnya x + 3= 0, maka x = -3. x4 x3 x2 x1 x0 -6 -6 5 3 2 + + + + x = -3 -9 12 × −3 -18 48 × −3 × −3 × −3 3 x3

6 x1

-4 x2

-16 x

42

sisa

0

hasil bagi

Mempunyai hasil 3 x 3 − 4 x 2 + 6 x − 16 dan sisa 42. c. Metode Horner Kino

#(5)

Metode ini digunakan jika pembaginya berupa fungsi tidak linier. Contoh :

1. Suatu suku banyak g ( x ) = 4 x 4 + 2 x 3 + 2 x + 10 dibagi x 2 − x − 3 , maka hasil dan sisanya adalah... Pembahasan :

g ( x ) = 4 x 4 + 2 x 3 + 2 x + 10 bisa ditulis g ( x ) = 4 x 4 + 2 x 3 + 0 x 2 + 2 x + 10 .

Pembagi x 2 − x − 3 kita ‘nol’ kan x 2 − x − 3 = 0 maka : x 2 = x + 3 → koefiesien : 1 dan 3.

x4 4

x3 2 +

3 1

×1

×3

×1

4

+ 6 18 x0

6 x1

4 x2

x2 0 + 12

x1 2 + ×3 18 + × 1 18

x0 10 ×3

64 0

38 x

x

1

hasil bagi

+ 54

sisa

Jadi hasilnya adalah 4 x 2 + 6 x + 18 maka 38 x + 64 .

D.

TEOREMA SISA a. Penjelasan Dasar

#(6)

Dalam pembagian suku banyak ada empat unsur penting yaitu : suku banyak F(x), pembagi P(x), Hasil H(x) dan sisa S(x). Jika dituliskan dalam satu kesatuan menjadi : Ilustrasi dengan angka : 13 dibagi 2 adalah hasilnyaa 5 sisa 3. Jadi : 13

=

2 . 5

suku banyak

+ 3 hasil

sisa

pembagi

F(x) = P(x) H(x) + S(x) pembagi suku banyak

hasil

sisa

Jika sisa nya nol, S(x) = 0 maka : F(x) habis dibagi P(x) P(x) faktor dari F(x) Derajat pangkat tertinggi dari sisa satu lebihkecil dari derajat pangkat tertinggi dari pembagi : Pangakat Tertinggi Pembagi xn x3 x2 x

Pangkat Tertinggi Sisa xn-1 x2 x k

konstanta

b. Pencarian Sisa Dengan Teorema Sisa

Dari persamaan berikut : F(x) = P(x) H(x) + S(x) Misalnya kita menganti pembagi P(x) dengan (x - A) maka : F(x) = (x - A) H(x) + S(x) Kita akan mencari sisa S(x) jadi kita akan hilangkan H(x) nya denan cara mensubtitusi x = A. Maka didapat : F(A) = (A - A) H(A) + S(A) F(A) = 0.H(A) + S(A) F(A) = S(A) Dari persamaan diatas dapat disimpulkan : sisa = F(A) Contoh :

dengan A adalah pembuat nol dari pembagi.

#(7)

1. Suatu suku banyak f ( x ) = 3 x 4 − 5 x 3 + 2 x + 5 dibagi dengan x − 2 maka sisanya adalah.... Pembahasan :

x − 2 → pembuat nolnya x = 2 , maka sisanya : f ( x) = 3x 4 − 5 x 3 + 2 x + 5

Sisa = F(A) Sisa = F(2) = 3( 2 ) 4 − 5 ( 2 ) 3 + 2 ( 2 ) + 5

= 48 − 40 + 4 + 5 = 17 2. Jika fungsi suku banyak 2 x 47 − 4 x 71 + 3 x 2012 − 7 k habis dibagi oleh ( x + 1) maka berapkah nilai k tersebut...... Pembahasan :

Karena habis dibagi, maka pembagian tersebut memberikan sisa 0. x + 1 → pembuat nolnya x = −1 , maka :

f ( x) = 2 x 47 − 4 x 71 + 3 x 2012 − 7 k Sisa = F(A) = F(-1) = 0

catatan :

2 ( − 1) 47 − 4 ( − 1) 71 + 3( − 1) 2012 − 7 k = 0

2(−1) − 4(−1) + 3(1) − 7 k = 0

− 2 + 4 + 3 − 7k = 0 5 − 7k = 0 5 = 7k k=

5 7

(-1)

genap

= 1

(-1)

ganjil

= -1

3. Suatu suku banyak bila dibagi dengan x − 2 menghasilkan sisa 10 dan bila dibagi dengan x + 3 bersisa -5. Maka berapakah sisa suku banyak tersebut jika dibagi dengan x 2 + x − 6 ? Pembahasan:

Ingat karena pangkat pembagi

f ( x) → ( x − 2) → 10

2

x maka sisanya adalah x.

f ( 2 ) = 10

f ( x ) → ( x + 3) → −5

CADAS :

f ( − 3 ) = −5

f ( x ) → ( x + x − 3) → ax + b

f ( 2) = 10

f ( x) → ( x − 2)( x + 3) → ax + b

f ( −3) = −5

2

5 y = 15 x + 20 y = 3x + 4

Eliminasi : Sisa = F(A) = ax + b f (2) = 2a + b = 10 f (−3) = −3a + b = −5 5a

-10 - (-30) = 20 → ( 2, 10) → ( −3, − 5) −

sisa

= 15 a=3

2a + b = 10 2(3) + b = 10 6 + b = 10 b=4 Jadi sisanya adalah :

3x + 4

E.

TEOREMA FAKTOR DAN AKAR #(8) a. Pengertian Faktor dan Akar

Suatu nilai merupakan faktor dari suatu fungsi jika fungsi dibagi dengan nilai tersebut tidak mempunyai sisa (sisa = 0). Ilustrasi dengan angka : 12 dibagi 2 adalah hasilnyaa 6 sisa 0. Jadi : 12

=

2 . 6

+ 0

faktor faktor

sisa sisa=0

F(x) = P(x) H(x) + S(x) hasil=faktor pembagi=faktor

Atau bisa dikatakan (x – a) merupakan faktor dari f(x) jika f (a) = 0. Dan nilai a disebut akar. Berikut ilustrasinya : F(x) = (x – a)(x – b)(x - c)

a, b, c adalah akar dari F(x).

faktor b. Cara Mencari Faktor dan Akar

Bila diketahui suku banyak : f ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 + .... + a 2 x 2 + a1 x + a 0

1. Tentukan faktor bulat positif a 0 (kita namakan p) dan tentukan faktor bulat positif a n (kita namakan q). 2. Kita tentukan kombinasikan p dan q dengan k = ±

p . q

3. Masukan k ke f(x), jika f(k)=0 maka k adalah salah satu akarnya dan (x – k) adalah satu faktornya. Contoh :

1. Carilah akar dan faktor dari suku banyak x 4 + 2 x 3 + 5 x 2 + x − 10 . Pembahasan :

Langkah 1 : x 4 + 2 x 3 + 5 x 2 + x − 10 → a n = 1 dan a0 = −10

p = 1, q = 1, 2, 5, 10 Langkah 2 : p k = ± = 1,−1,2,−2,5,−5,10,−10 q

Langkah 3 : f (1) = (1) 4 + 3(1) 3 + 5 (1) 2 + 1 − 10 = 1 + 3 + 5 + 1 − 10 = 0

karena f(1)=0 maka x = 1 adalah akar dan (x – 1) adalah faktor. f ( − 1) = ( − 1) 4 + 3( − 1) 3 + 5 ( − 1) 2 − 1 − 10 = 1 − 3 + 5 − 1 − 10 = − 8 ≠ 0

Karena f (−1) ≠ 0 maka x = - 1 bukan akar. f ( 2 ) = ( 2 ) 4 + 3( 2 ) 3 + 5( 2 ) 2 + 2 − 10 = 16 + 24 + 20 + 2 − 10 = 52 ≠ 0

Karena f ( 2) ≠ 0 maka x = 2 bukan akar. f ( − 2 ) = ( − 2 ) 4 + 3( − 2 ) 3 + 5( − 2 ) 2 − 2 − 10 = 16 − 24 + 20 − 2 − 10 = 0

karena f(-2)=0 maka x = -2 adalah akar dan (x +2) adalah faktor. Kita sudah mendapatkan 2 faktor (x – 1) dan (x + 2) kalo kita kalikan 2 ( x − 1)( x + 2 ) = x 2 + x − 2 . Maka x + x − 2 juga merupakan faktor. Untuk

mencari faktor lain bisa dilakukan dengan membagi suku banyak dengan x 2 + x − 2 .

x 2 + 2x + 5 x 2 + x − 2 x 4 + 3 x 3 + 5 x 2 + x − 10

hasil bagi

x 4 + x3 − 2x 2 − 2x 3 + 7 x 2 + x 2x 3 + 2x 2 − 4x − 5 x 2 + 5 x − 10 5 x 2 + 5 x − 10 − 0 Jadi x 4 + 3 x 3 + 5 x 2 + x − 10 = ( x − 1)( x + 2 )( x 2 + 2 x + 5) Maka akar- akarnya :1 dan -2 dan faktornya : ( x − 1) , ( x + 2) dan ( x 2 + 2 x + 5) .

F.

OPERASI AKAR #(9)

Tidak mapu difaktorkan lagi karena nilai D <0

1. Bentuk : ax + bx + c b x1 + x2 = − a c x1 ⋅ x 2 = a 2

2. Bentuk : ax 3 + bx 2 + cx + d b x1 + x 2 + x3 = − a c x1 ⋅ x 2 + x1 ⋅ x3 + x 2 ⋅ x3 = a d x1 ⋅ x 2 ⋅ x3 = − a 3. Bentuk : ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e b x1 + x2 + x3 + x 4 = − a

c a d x1 ⋅ x 2 ⋅ x3 + x1 ⋅ x 2 ⋅ x 4 + x1 ⋅ x3 ⋅ x4 + x 2 ⋅ x3 ⋅ x 4 = − a e x1 ⋅ x 2 ⋅ x3 ⋅ x 4 = a

x1 ⋅ x 2 + x1 ⋅ x3 + x1 ⋅ x 4 + x 2 ⋅ x3 + x 2 ⋅ x 4 + x3 ⋅ x 4 =

Contoh :

1. Diketahui 2 x 3 + 4 x 2 − 4 x + k mempunyai dua akar yang saling berlawanan, maka nilai k adalah... Pembahasan :

2x3 + 4x 2 − 4x + k

x1

berkebalikan, maka x1 = - x2 b x2 a x3 4 − x 2 + x 2 + x3 = − 2 x3 = −2 , jadi salah satu akarnya adala x = -2, maka f(-2) = 0

x1 + x 2 + x3 = −

f ( x) = 2 x 3 + 4 x 2 − 4 x + k

f(-2) = 0 f ( − 2 ) = 2( − 2 ) 3 + 4 ( − 2 ) 2 − 4 ( − 2 ) + k = 0

− 16 + 16 + 8 + k = 0 8+k =0 k = −8

SOAL – SOAL LATIHAN

1.

(

)

Suku banyak berderajat 3, jika dibagi x 2 + x − 2 bersisa (2 x − 1) , jika dibagi

(x

2

)

+ x − 3 bersisa (3 x − 3) . Suku banyak tersebut adalah…

A.

x3 − x 2 − 2x − 3

B.

x3 − x 2 − 2x + 3

C.

x3 − x 2 + 2x + 3

D.

x3 − 2x 2 − x + 2

E.

x3 − 2x 2 + x − 2

UN MAT IPA 2012 (A35-10)

2.

Diketahui suku banyak P ( x ) = 2 x 4 + ax 3 − 3 x 2 + 5 x + b . Jika P(x) dibagi (x-1) sisa 11, dibagi (x+1) sisa -1, maka nilai (2a+b)=…... A. 13 B. 10 C. 8 D. 7 E. 6 UN MAT IPA 2011 (D10-02)

3.

Diketahui (x-2) dan (x-1) adalah faktor-faktor dari suku banyak 3 2 P ( x ) = x + ax − 13 x + b , Jika akar-akar persamaan suku banyak tersebut adalah x1,x2 dan x3, untuk x1 > x 2 > x 3 , maka nilai x1 − x 2 − x 3 = ... A. B. C. D. E.

8 6 3 2 -4

UN MAT IPA 2011 (D10-03)

4.

Suku banyak +2 − 9 + X, jika dibagi (2x - 4) bersisa 16 dan jika dibagi (x + 2) bersisa 20. Nilai dari 2p + q = ... A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 E. 21

UN MAT IPA 2010 (D10-11)

5.

Suku banyak f(x) dibagi (x-2) sisa 1, dibagi (x + 3) sisa -8. Suku banyak g(x) dibagi (x - 2) sisa 9, dibagi (x + 3) sisa 2. Jika h(x)=f(x).g(x), maka sisa + − 6 adalah ... pembagian h(x) dibagi

A. B. C. D. E.

7x – 1 6x – 1 5x – 1 4x – 1 3x – 1

UN MAT IPA 2009 (D10-18)

6.

Salah satu faktor suku banyak

P( x) = x 4 − 15x 2 − 10x + n adalah ( x + 2) .

Faktor lainnya adalah.. A. x − 4 B. x + 4 C. x + 6 D. x − 6 E. x − 8 UN MAT IPA 2008 (D10-12)

7.

Jika f (x ) dibagi dengan ( x − 2) sisanya 24, sedangkan f (x ) dibagi (2x-3) sisanya 20. Jika f (x ) dibagi dengan ( x − 2)(2 x − 3) sisanya adalah… A. B. C. D. E.

8x+8 8x-8 -8x+8 -8x-8 -8x+6

UN MAT IPA 2007 (D9-08)

8.

Jika 2x3 – 5x2 – kx + 18 dibagi x – 1 mempunyai sisa 5, maka nilai k adalah... A. -15 B. -10 C. 0 D. 5 E. 10 SNMPTN MAT IPA 2012 (831-13)

9.

Diberikan suku banyak p(x) = ax2 + bx + 1. Jika a dan b dipilih secara acak dari selang [0,3], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah... A. 1 B. 3/4 C. 2/4 D. 1/4 E. 0


10.

Diketahui suku banyak f (x ) bersisa -2 bila dibagi (x+1), bersisa 3 bila dibagi (x-2). Suku banyak g (x) bersisa 3 bila dibagi (x+1) dan bersisa 2 bila dibagi (x-2). Jika h( x) = f ( x).g ( x) maka sisa h(x) bila dibagi x 2 − x − 2 adalah… A. B. C. D. E.

4x-2 3x-2 3x+2 4x+2 5x-2


11.

Suku banyak yang akarnya A.

x 4 − 14 x 2 + 9

B.

x 4 − 14 x 2 − 9

C.

x 4 + 14 x 2 + 9

D.

x 4 − 14 x 2 + 89

E.

x 4 + 14 x 2 + 89

2 − 5 adalah…


12.

Salah satu faktor suku banyak x 3 + kx 2 + x − 3 adalah x − 1 . Faktor yang lain adalah… A.

x 2 + 3x + 3

B.

x2 + x − 3

C.

x 2 + 3x − 3

D.

x2 + 2x + 3

E.

x2 − 7 x + 3


13.

Nilai m + n yang mengakibatkan x 4 − 6ax3 + 8a 2 x 2 −ma3 x + na 4 habis dibagi ( x − a ) 2 adalah…

A. B. C. D. E.

2 1 0 -1 -2


14.

Jika suku banyak 2 x 3 − px 2 + qx + 6 dan 2 x 3 + 3 x 2 − 4 x − 1 , mempunyai sisa sama apabila dibagi oleh x + 1 , maka nilai p + q = ... A. B. C. D. E.

-2 -1 0 1 2


15.

Diketahui p ( x ) = ax 5 + bx − 1 dengan a dan b adalah konstan. Jika p(x) dibagai (x-2006) bersisa 3, maka bila p(x) dibagi dengan (x+2006) akan bersisa… A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 E. -5 SPMB MAT IPA 2006 (XX-14)

16.

Jika a dan b adalah sisa hasil pembagian f(x) = x3 – 4x + 1 dan g(x) = 2x3 + 5x2 – 8 oleh x + 2, maka sisa hasil pembagian f(x) – g(x) oleh (x – a – b) adalah.... A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 UM UGM MAT IPA 2008 (XX-07)

17.

Suku banyak berderajat tiga p ( x ) = x 3 + 2 x 2 + mx + n dibagi dengan x2 – 4x + 3 mempunyai sisa 3x + 2, maka nilai n = …. A. -20 B. -16 C. 10 D. 16 E. 20 UM UGM MAT IPA 2007 (XX-11)

18.

Diketahui f(x) suku banyak derajat tiga dengan koefisien x3 sama dengan 1, yang habis dibagi ( x − 3 ) dan ( x + 1) . Jika f(4) = 30, maka f(2) = …. A. -8

B. -7 C. -12 D. 0 E. 7 UM UGM MAT IPA 2006 (XX-15)

19.

Misalkan f ( x ) = ( x − 3 )3 + ( x − 2 )2 + ( x − 1). maka sisa dari pembagian f(x+2) oleh x2 - 1 adalah …. A. -2 + 5x B.

-9 + 14x

C.

5 – 2x

D. 14 – 9x E.

11 + 19x


20.

Jika sisa pembagian suku banyak f(x), dengan x, x - 1 dan x + 2 berturut – turut adalah 2, 3 dan 4, maka sisa pembagian suku banyak f (x) dengan x3 + x2 – 2x adalah …. A.

1 2 − x2 − x − 2 3 3

B.

1 2 2 x + x+2 3 3

C.

1 2 2 x + 2x − 3 3

D.

2 2 1 x − x−2 3 3

E.

2 2 1 x + x+2 3 3


21.

Jumlah solusi riil dari persamaan x 5 − 4 x 4 − 2 x 3 + 39 x 2 − 54 x = 0 adalah …. A. -4 B. -1 C. 0

D. 1 E. 4 SIMAK UI MAT IPA 2010 (506-03)

22.

Diketahui P ( x ) = ax 5 + bx − 1 , dengan a dan b konstan. Jika P(x) dibagi dengan (x - 2010) bersisa 6. Jika P(x) dibagi dengan (x + 2010) akan bersisa …. A. -8 B. -2 C. -1 D. 1 E. 8 SIMAK UI MAT IPA 2010 (507-03)

23.

Pada pembagian suku banyak 81 x 3 + 9 x 2 − 9 x + 4 dengan (3x − p ) diperoleh sisa 3p3 + 2. Jumlah nilai - nilai p yang memenuhi adalah …. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 SIMAK UI MAT IPA 2010 (508-03)

24.

Jika suku banyak ax3 + 2x2 + 5x + b dibagi (x2 – 1) menghasilkan sisa (6x + 5) maka a + 3b sama dengan …. A. 15 B. 12 C. 10 D. 8 E. 5 SIMAK UI MAT IPA 2009 (914-01)

25.

Jika suku banyak f(x) habis dibagi oleh (x-1), maka sisa pembagian f(x) oleh (x-1)(x+1) adalah …. A.

− f (− 1) (1 + x ) 2

B.

− f (− 1) (1 − x ) 2

C.

f (− 1) (1 + x ) 2

D.

f (− 1) (1 − x ) 2

E.

f (− 1) ( x − 1) 2


FUNGSI KOMPISISI & INVERS A.

FUNGSI #(1) Fungsi atau pemetaan A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B dengan notasi f : A → B . A

B

catatan :

a b c d

1 2 3 4 5

Domain tidak boleh ‘selingkuh’ dan tidak boleh ‘jomblo’

A

B

A

B

a b

1 2 3

a b c

1

SALAH SALAH a ‘selingkuh’ b ‘jomblo’ 3

A adalah daerah asal (domain) dinotasikan Df , contoh : a, b, c, d B adalah daerah kawan (kodomain) dinotasikan Kf, contoh : 1, 2, 3, 4, 5 Daerah hasil (range) dinotasika Rf , contoh : 1, 2, 3, 4 Contoh :

1. Diantara himpunan pasangan berurutan berikut manakah yang merupakan pemetaan... a. {(a,1),(b,3),(c,5),(b,4)} b. {(b,3),(a,4),(c,1),(d,5)} c. {(a,2),(a,3),(b,5),(d,3)} d. {(a,4),(b,2),(c,1),(b,6)} e. {(a,5),(b,4),(c,1),(b,5)} Pembahasan :

Yang merupakan pemataan/fungsi adalah obsi (b) karena tidak ada yang anggota yang ‘selingkuh’. 2. Diantar gambar berikut manakah yang termasuk fungsi pmetaan.... a. d. a P a P b q b q c r c r b.

a b c

P q r

c.

a b c

P q r

e.

a b c

P q r

Pembahasan :

Yang merupakan pemtaan adalah opsi (b) karena tida ada anggota bagian kiri (daerah asal) yang ‘selingkuh’ atau ‘jomblo’.

B.

JENIS - JENIS FUNGSI #(2)

Y

a. Fungsi Konstan

Adalah fungsi yang memetakan setiap bilangan real ke nilaikonstan, misalnya f ( x) = 2 . Berapappun nilai

f(x) = 2

2

X

x nya haslinya selalu 2. Y

b. Fungsi Identitas

f(x) = x

Adalah fungsi yang memetakkan setiap bilangan dengan dirinya sendiri, misalnya f ( x) = x .

2 1

X

1 2

c. Funsgsi Mutlak

Y

Adalah fungsi yang selalu memberikan hasil positif berapapun nilai yang dipetakkan.  x, jika x ≥ 0 f ( x) = x =  − x, jika x < 0

f(x) = | x |

X

d. Fungsi Genap

Adalah fungsi yang mempunyai sifat f (− x) = f ( x) . Grafiknya akan simetris dengan sumbu Y. Contoh :

f ( x) = x 2 + 2

Y

f (2) = (2) 2 + 2 = 4 + 2 = 6

f(x) = x2+2

f ( − 2) = ( −2 ) + 2 = 4 + 2 = 6 2

6

f(x) adalah fungsi genap -2

karena membuat f(-2) = f(2).

X

2

e. Fungsi Ganjil

Adalah fungsi yang mempunyai sifat f ( − x) = − f ( x) . Grafiknya akan simetris dengan O(0,0)

Y

Contoh :

f(x) = x3

27

f ( x) = x 3 f ( 3) = 3 3 = 27 f ( − 3) = ( − 3) 3 = − 27 f(x) adalah fungsi ganjil karena membuat f(-3) = -f(3).

3

3

-27

X

C.

SIFAT - SIFAT FUNGSI #(3) a. Fungsi Injektif

Setiap anggota A memilki tepat satu pasangan di B. A B 1 2 3

a b

b. Fungsi Surjektif ( Fungsi Onto)

Setiap anggota B memilki pasangan di A. A B 1

a b c

2

c. Fungsi Bijektif ( Korespondensi satusatu-satu)

Adalah gabungan fungsi injektif dan fungsi surjektif. Jadi setiap anggota A dipasangkan degan tepat satu anggota B dan setiap anggota B tepat punya satu pasangan dari anggota A. A B 1 2 3

a b c

D.

OPERASI ALJABAR FUNGSI #(4) 1. ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) 2. ( f − g )( x) = f ( x) − g ( x) 3. (k × f )( x) = k ⋅ f ( x) , k adalah konstanta. 4. ( f × g )( x) = f ( x) × g ( x)

f  f ( x) 5.  ( x) = , dengan g ( x ) ≠ 0 g ( x) g 6. f

E.

m

( x ) = [ f ( x ) ]m

FUNGSI KOMPOSISI #(5) a. Pengertian Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi adalah penggabungan beberapai fungsi menjadi satu. A

g

f x

C

B

f(x)

h= go f

g(f(x))

h = g o f bisa dulis juga dengan h( x) = ( g o f )( x) atau h( x) = g ( f ( x )) contoh

A

C

B g(x)=x2

f(x)= x+2

3

25

5

h = g o f =(x+2)2 b. Penyelesaian fungsi Komposisi

1. Mencari gabungan fungsi. Contoh :

Berikut diberikan f ( x ) = x 2 + 2 x − 4 , g ( x) = x + 2 , h( x) = 3 x maka nilai : a. ( f o g )(x) b. ( g o f )(x) c. ( h o g o f )( x ) d. ( f o g o h)(1) Pembahasan :

a. ( f o g )( x) = f ( g ( x))

= f ( x + 2)

catatan :

( f o g )( x) ≠ ( g o f )( x)

= ( x + 2 ) 2 + 2( x + 2 ) − 4

= x 2 + 4x + 4 + 2x + 4 − 4 = x 2 + 6x + 4 b. ( g o f )( x) = g ( f ( x)) = g ( x 2 + 2 x − 4) = ( x 2 + 2 x − 4) + 2

= x 2 + 2x − 2 c. (h o g o f )( x ) = h( g ( f ( x)) = h( x 2 + 2 x − 2) = 3( x 2 + 2 x − 2 )

= 3x 2 + 6 x − 6 d. ( f o g o h)( x) = f ( g ( h( x))

= f (3x + 2)

CADAS

( f o g o h ) (1) = 31

= (3 x + 2 ) 2 + 2 (3 x + 2 ) − 4

= 9 x 2 + 12 x + 4 + 6 x + 4 − 4

= 9 x 2 + 18x + 4

3 5 31

( f o g o h )(1) = 9 (1) 2 + 18 (1) + 4 = 9 + 18 + 4

= 31 2. Mencari fungsi sebelah kanan. #(6) Misalnya diketahui ( f o g )( x ) dan f (x) , yang ditanyakan fungsi sebelah kanan yaitu g (x ) . Contoh :

Diketahui ( f o g )( x ) = 6 x 2 + 4 x − 5 , f ( x) = 2 x + 1 maka g (x ) adalah... Pembahasan:

( f o g )( x ) = 6 x 2 + 4 x − 5 f ( g ( x )) = 6 x 2 + 4 x − 5 2 g ( x) + 1 = 6 x 2 + 4 x − 5 2 g ( x) = 6 x 2 + 4 x − 5 − 1 2 g ( x) = 6 x 2 + 4 x − 6 g ( x) = 3x 2 + 2 x − 3

3. Mencari fungsi sebelah kiri #(7) Contoh

:

Diketahui ( f o g )( x ) = x 2 + 4 x + 5 dan g ( x) = x + 1 , maka nilai f (x) adalah.... Pembahasan : ( f o g )( x ) = x 2 + 4 x + 5 f ( g ( x )) = x 2 + 4 x + 5 f ( x + 1) = x + 4 x + 5 2

f ( x + 1) = ( x + 1) x

2

2

ubah sebelah kanan ke bentuk (x+1)

+ 2x + 4

+ 2x + 1 2

f (x + 1) = ( x + 1) + 2( x + 1) + 2 2x + 2

f (x + 1) = ( x + 1) + 2( x + 1) + 2 2

f ( g ( x )) = g ( x ) 2 + 2 g ( x ) + 2 f ( x) = x 2 + 2 x + 2

F.

FUNGSI INVERS #(8) a. Pengertian Fungsi Invers

Fungsi invers adalah fungsi kebalikan dari fungsi tersebut. f(a) = b

A a

B

A contoh

1 2 3

b f -1 (b) =a

catatan:

B

f(x) = x + 4

5 6 7

f (a) = b

f -1 (x) = x - 4

f-1(b) = a

b. Cara Mencari Invers

Jika y merupakan fungsi dari x, maka inversnya adalah x merupakan fungsi y. Contoh :

1. Fungsi invers dai f ( x) = 3 x + 5 adalah... Pembahasan : f ( x) = 3 x + 5

y = 3x + 5

CADAS :

f ( x) = 3 x + 5

y fungsi dari x

f

y − 5 = 3x

y −5 =x 3 y −5 x= 3 x−5 f −1 ( x) = 3

−1

x−5 ( x) = 3

( + ) ↔ ( −) (×) ↔ (÷)

x fungsi dari y

2. Jika f -1(x) adalah invers dari f(x). Dengan f ( x) =

3x + 5 maka f -1(x) 2x − 6

adalah... Pembahasan :

3x + 5 2x − 6 3x + 5 y= 2x − 6 y(2 x − 6) = 3x + 5 f ( x) =

2 xy − 6 y = 3x + 5 2 xy − 3x = 6 y + 5 x( 2 y − 3) = 6 y + 5

CADAS :

f ( x) =

ax + b − dx + b ⇒ f −1 ( x) = cx + d cx − a

f ( x) =

3x + 5 6x + 5 ⇒ f −1 ( x) = 2x − 6 2x − 3

x=

6y + 5 2y − 3

6x + 5 f −1 ( x) = 2x − 3 3.

Jika diketahui f ( x ) = 3 x +1 , maka nilai dari f

−1

( 27 ) adalah....

Pembahasan : f ( x ) = 3 x +1 y=3

CADAS :

x +1

log y = log 3

f ( x) = 3 x +1

catatan: x +1

f −1(27) = x ,

log y = ( x + 1) log 3

f (a) = b

x =...?

f-1(b) = a

3 x +1 = 27

log y = ( x + 1) log 3

3 x +1 = 33

3

log y = x + 1

3

log( y ) − 1 = x ⇔ x = 3 log( y ) − 1

∴x +1= 3 ⇔ x = 2

f − 1 ( x ) = 3 log( x ) − 1 f − 1 ( 27 ) = 3 log( 27 ) − 1 = 3 − 1

=2 c. Operasi Invers

1.

#(9)

( f −1 ( x))−1 = f ( x)

2. ( f o g ) − 1 ( x ) = ( g − 1 o f

−1

)( x )

3. ( f o g o h ) − 1 ( x ) = ( h − 1 o g − 1 o f

−1

)( x )

d. Fungsi Identitas

Fungsi Identitas biasa dilambangkan I(x). Atau fungsi identitas bisa ditulis I ( x) = x . Sifat – sifat fungsi identitas adalah : 1. ( I o f )( x) = f ( x) 2. ( f o I )( x) = f ( x) 3. ( f o f 4. ( f

−1

−1

)( x ) = I ( x )

o f )( x ) = I ( x )

e. Mencari Sebuah Fungsi Dengan Invers

Diketahui sebuah fungsi komposisi ( f o g )( x) = h( x) maka bagai mana mencari f (x) ataupun g (x ) nya, berikut adalah prosesnya .

( f o g )( x) = h( x) , g ( x) = .... ( f o g )( x) = h( x)

( f − 1 o f o g )( x ) = ( f −1 o h )( x )

CADAS :

( I o g )( x ) = ( f − 1 o h )( x )

Fungsi yang dipindah ruas jadi

( g )( x ) = ( f − 1 o h )( x )

inversnya. Posisi fungsi tidak berubah posisi kanan/kiri nya.

Dengan begitu dapat disimpullkan : 1. ( f o g )( x) = h( x) , g ( x) = .... ?

( f o g )( x) = h( x) g ( x ) = ( f − 1 o h )( x )

( g )( x ) = ( f − 1 o h )( x )

2. ( f o g )( x) = h( x) , h( x) = .... ? ( f )( x ) = ( h o g − 1 )( x )

( f o g )( x) = h( x) f ( x ) = ( h o g − 1 )( x )

Contoh :

1. Suatu fungsi komposisi ( f o g )( x ) = 4 x 2 + 2 x − 1 dengan g ( x ) = 2 x − 3 maka nilai f (x) nya adalah... Pembahasan :

( f o g )( x ) = 4 x 2 + 2 x − 1 h(x)

Catatan : -1

untuk mencari g (x) kita gunakan CADAS.

( f o g )( x) = h( x)

g ( x) = 2 x + 3

f ( x ) = ( h o g − 1 )( x )

 x + 3 f ( x) = h( g −1 ( x)) = h   2 

g

−1

( + ) ↔ ( −)

x+3 ( x) = 2

(×) ↔ (÷)

2

 x + 3  x + 3 f ( x) = 4  + 2  −1  2   2   x 2 + 6x + 9   + x + 3 −1 f ( x) = 4   4   f ( x) = x 2 + 6 x + 9 + x + 3 − 1 f ( x ) = x 2 + 7 x + 11

2. Diberikan fungsi komposisi ( f o g )( x) =

2x + 1 dengan f ( x) = x + 5 maka x+3

nilai g (x ) nya adalah.... Pembahasan :

2x + 1 x+3 ( f o g )( x) = h( x) ( f o g )( x) =

Catatan : h(x)

-1

untuk mencari f (x) kita gunakan CADAS.

f ( x) = x + 5

g ( x ) = ( f − 1 o h )( x ) g ( x ) = f − 1 ( h ( x ))

f

−1

( x) = x − 5

( + ) ↔ ( −)

 2x + 1  g ( x) = f −1    x+3   2x + 1  g ( x) =  −5  x+3   2 x + 1  5( x + 3) g ( x) =  −  x + 3  ( x + 3)

2 x + 1 − 5 x − 15 x+3 − 3x − 14 g ( x) = x+3

g ( x) =


Diketahui fungsi f ( x) = Nilai dari f

−1

3x + 2 , x ≠ 5 dan f x −5

−1

( x ) adalah invers dari f ( x ) .

(4) = ...

A. 24 B. 22 C. 11 D. -3 E. -14 UNMAT IPS 2012 (A35-11)

2.

Diketahui f ( x ) = − A. B. C. D. E.

2 − 3x . Jika f −1 adalah invers dari f , maka f 2

−1

( x ) = ...

2 (1 + x ) 3 2 (1 − x) 3 3 (1 + x ) 2 3 − ( x − 1) 2 2 − ( x + 1) 3


3.

Diketahui fungsi f : R → R , g : R → R yang dinyatakan f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 dan g ( x) = x − 2 komposisi fungsi yang dirumuskan sebagai ( f o g )( x) = ... A. x 2 − 6 x + 5 B. x 2 − 6 x − 3 C. x 2 − 2 x + 6 D. x 2 − 2 x + 2 E. x 2 − 2 x − 5 UN MAT IPS 2010 (XX-10)

4.

Diketahui fungsi f ( x ) =

3x − 4 5 , x ≠ − , invers dari f adalah f 2x + 5 2

−1

( x ) = ...

A.

5x − 4 3 ;x ≠ − 2x + 3 2

B.

− 3x − 4 5 ;x ≠ 2x − 5 2

C.

4x − 3 2 ;x ≠ − 5x + 2 5

D.

5x − 2 3 ;x ≠ 4x − 3 4

E.

− 5x − 4 3 ;x ≠ 2x − 3 2


5.

Diketahui fungsi

g ( x) = x + 1 dan

f ( x ) = x 2 + x − 1 . Komposisi fungsi

( f o g )( x) = …. A. x 2 +3 x + 3 B. x 2 +3x + 2 C. x 2 −3 x + 1 D. x 2 +3 x − 1 E. x 2 +3 x + 1 UN MAT IPA 2012 (A35-11)

6.

f ( x) = 2 x + 5 dengan g ( x ) = A. B. C. D. E.

7x + 2 , x ≠ −4 x+4 2x + 3 , x ≠ −4 x+4 2x + 2 , x ≠ −4 x+4 7 x + 18 , x ≠ −4 x+4 7 x + 22 , x ≠ −4 x+4

UN MAT IPA 2011 (D10-01)

x −1 , x ≠ −4 , maka nilai ( f o g )( x ) = ... x+4

7.

Perhatikan gambar! Persamaan grafik fungsi inversnya adalah… Y A. y = 3 x B. y =

1 3

x

y = alogx

1

(1,0)

C. y = 3 x

1 D. y = 2

8 X

0

x

-3

E. y = 2 x UN MAT IPA 2011 (D10-35)

8.

Diketahui fungsi f(x) = 3x + 2 dan g ( x) = ( g o f )(−1) = ...

x+3 , x ≠ 12 . Nilai komposisi fungsi 2x − 1

A. -1 B. − U

C. − D. E.

U UN MAT IPA 2010 (D10-09)

9.

Diketahui fungsi f(x) = maka nilai 6 A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 E. 10

,

,

,

≠ 3, jika nilai 6

7 8 merupakan invers dari f(x),

(-3) adalah ...

UN MAT IPA 2010 (D10-10)

10.

Perhatikan grafik fungsi eksponen berikut! Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah .. A. y = 2 log x B. y = -2 log x C. y = log D. y = log

E. y = log

UN MAT IPA 2010 (D10-18)

y V = 2,

0

x

11.

Diketahui 67 8 = + 4 − 5 dan Z7 8 = 2 − 1. Hasil dari fungsi komposisi Z ᵒ6 7 8adalah ...

A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 E. 2

+8 +8 +8 +4 +4

− 11 −6 −9 −6 −9

UN MAT IPA 2009 (D10-17)

12.

Perhatikan grafik fungsi eksponen! Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah ... y

V = 0,

8 4 2

0

1 2 3

x

A. 2 log x B. -2 log x C. log

D. log

E. log

UN MAT IPA 2009 (D10-36)

13.

Invers dari fungsi f ( x ) = A. B. C. D. E.

3x − 2 8 , x ≠ − adalah 5x + 8 5

− 8x + 2 5x − 3 8x − 2 5x + 3 8x − 2 3 + 5x 8x + 2 3 − 5x − 8x + 2 3 − 5x

UN MAT IPA 2008 (D10-06)

f − 1 ( x ) = ...

14.

Diketahui fungsi f dan

g

yang dirumuskan oleh f ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 6 dan

g ( x ) = 2 x − 1 . Jika nilai ( f o g )( x) = 101 , maka nilai x yang memenuhi adalah…

2 3

A. 3 dan − 2

2 3

B. − 3 dan

2

3 dan 2 11 2 D. − 3 dan − 2 3 3 E. − dan − 2 11 C.

UN MAT IPA 2007 (D9-05)

15.

Jika f(x) = ax + 3, a ≠ 0, dan f -1(f -1(9))= 3, maka nilai a2 + a + 1 adalah.. A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 E. 3 SNMPT MAT DAS 2012 (821-09)

16.

Jika f ( x) = x + 2 dan g ( x) =

x , maka nilai ( g −1 o f )( 4) adalah… x+5

A. -8 B. -6 C. -2 D. 4 E. 6 SNMPTN MAT DAS 2011 (XX-10)

17.

Jika g ( x − 2 ) = 2 x − 3 dan ( f o g )( x − 2 ) = 4 x 2 − 8 x + 3 , maka f ( −3) = .... A. -3 B. 0 C. 3 D. 12 E. 15


18.

Diberikan fungsi f memenuhi persamaan 3 f (− x) + f ( x − 3) = x + 3 untuk setiap bilangan real x . Nilai 8 f (−3) adalah… A. 24 B. 21 C. 20 D. 16 E. 15 SNMPTN MAT IPA 2009 (XX-08)

19.

f (2 x + 4) = x dan g (3 − x) = x , maka nilai f ( g (1)) + g ( f (2)) sama dengan… A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 SNMPTN MAT IPA 2008 (XX-05)

20.

Jika f ( x ) =

x + 1 dan g ( x ) =

1 2

x −1

, maka daerah asal fungsi komposisi

( g o f )( x) adalah… A. − ∞ < x < ∞ B. x > −1 C. x < 0 atau x > 0 D. − 1 < x < 0 atau x > 0 E. x < 0 atau x > 1 SPMB MAT DAS 2007 (XX-21)

21.

1− x untuk setiap bilangan real x ≠ 0 . Jika g : R → R x adalah suatu fungsi sehingga ( g o f )( x) = 2 x + 1 , maka fungsi invers

Diketahui f ( x ) =

g − 1 ( x ) = ...

x−3 x +1 x−3 B. x −1 x +1 C. x−3 x−3 D. 1− x A.

E.

x −1 3− x


22.

Jika f ( x) =

A.

1 x+3

B.

1 x−2

1 x2 − 2

dan ( f o g )(x) =

1 x 2 + 6x + 7

maka g ( x + 2) = ...

C. x – 2 D. x + 3 E. x + 5 UM UGM MAT DAS 2010 (462 – 02)

23.

Diketahui f ( x) = 2 x − 1 dan g ( x ) =

5x . Jika h adalah fungsi sehingga x +1

( g o h)( x) = x − 2 , maka (h o f )( x) = ... A.

2x − 3 2x + 8

B.

2x − 3 − 2x + 6

C.

2x − 3 2x − 8

D.

2x − 3 − 2x + 8

E.

2x − 3 − 2x − 8

UM UGM MAT DAS 2009 (931-17)

24.

Misalkan f : R → R dan g : R → R, f ( x ) = x + 2 dan

( g o f )(x ) = 2 x 2 + 4 x − 6 . Misalkan juga x1 dan x2 adalah akar – akar dari g ( x ) = 0, maka x1+2x2 =…. 1. 0 2. 1 3. 3

4. 5 SIMAK UI MAT DAS 2012 (221-18)

25.

Fungsi f : R → R dan g : R → R didefinisikan sebagai f ( x ) = 2 3 x − 1 dan

g ( x ) = 4 ( x + 2 )3 . Jika f

−1

(

)

adalah invers dari f, maka f −1 o g ( x ) = ….

A. 2 log 3 2 x B. 2 log (2 x )3 C. 2 log (2 x + 4 ) D. 2 log 2 x E. 2 log (2 x + 2 ) SIMAK UI MAT DAS 2010 (203-13)

26.

Jika f ( x ) =

x x −1 , g (x) = dengan x ≠ −1, x ≠ 0 maka ( f o g )− 1 ( x ) x +1 x

adalah …. A.

1− x 1 ,x ≠ 1− 2x 2

B.

−1 ,x ≠ 0 x

C.

1− 2x ,x ≠1 1− x

D.

1 ,x ≠ 0 x

E.

1+ x 1 ,x ≠ − 1 + 2x 2


27.

Jika f ( x + 1) = 2 x dan A. x2 – 1 B. x2 – 2 C. x2 + 2x D. x2 + 2x -1

(f

o g )( x + 1) = 2 x 2 + 4 x − 2 , maka g(x) = ….

E. x2 + 2x – 2 SIMAK UI MAT DAS 2009 (911-13)

28.

f

−1

dan g − 1 berturut – turut menyatakan invers dari fungsi f dan g. Jika

( f −1 o g −1 )(x ) = 2 x − 4 dan g (x) = 2xx−+31 , x ≠ − 12 maka nilai f(2) sama dengan …. A. −

5 4

B. −

6 5

C. −

4 5

D. −

6 7

E. 0 SIMAK UI MAT DAS 2009 (921-12)

LIMIT A.

PENGERTIAN LIMIT #(1) a. Pengertian Limit

Limit fungsi didefinisikan sebagai :

Lim f ( x) = L

x →a

yang berarti x mendekati a ( tetapi x ≠ a ), maka f(x) mendekati L. Contoh :

1. Nilai Lim(2 x + 4) adalah.. x→3

Pembahasan :

Lim(2 x + 4) = 2(3) + 4 = 10 , jadi untuk x yang mendekati 3 maka hasilnya x→3

akan mendekati 10. x2 − 4 adalah... x→2 x − 2

2. Nilai Lim

Pembahasan :

0 x2 − 4 22 − 4 0 adalah bentuk tak tentu, maka limit = = , nilai 0 2−2 0 x→ 2 x − 2 tersebut harus kita ‘ulik’ agar menghasilkan nilai yang tentu. Lim

( x + 2)(x − 2) x2 − 4 = Lim ( x − 2) x→2 x − 2 x→2 Lim

= Lim( x + 2) x→2

=2+2 =4 catatan :

f ( x) =

x2 − 4 x−2

0 0 (tak tentu) f (0) =

Lim f ( x) = 4

x→0

( terdifinisi)

f (0) ≠ Lim f ( x) x→0

b. Bentuk Tentu dan Tak Tentu

Beberapa bentuk tentu : a =k b 0 =0 k k =~ 0

Beberapa bentuk tak tentu : 0 0

00 ~ ~ ~ − ~

k =0 ~ ~ =~ k ~+~=~ (~) k = ~ dengan k>0

k (~) = ~

B.

TEOREMA LIMIT #(2) Lim k = k

x →a

Lim{ f ( x) + g ( x)} = Lim f ( x) + Lim g ( x)

x →a

x →a

x →a

Lim{ f ( x) − g ( x)} = Lim f ( x) − Lim g ( x)

x →a

x →a

x →a

Lim{ f ( x) ⋅ g ( x)} = Lim f ( x) ⋅ Lim g ( x)

x →a

x →a

x→a

Lim k ⋅ f ( x) = k ⋅ Lim f ( x)

x →a

x→a

Lim f ( x) f ( x) x → a Lim = Lim g ( x) x → a g ( x) x→a

  Lim{ f ( x)}n =  Lim f ( x) x →a  x →a 

n

Lim n f ( x ) = n Lim f ( x ) , denga f ( x ) ≥ 0 untuk n genap.

x→a

C.

x→a

LIMIT ALJABAR a. Limit Fungsi x

a

#(3)

Penyelesaian bentuk limit bisa dilakukan dengan beberapa cara : 1. Subtitusi langsung → bila langsung menghasilkan nilai tertentu (bukan nilai tak tentu)

2. Pemfaktoran → biasanya bila bentuknya kuadrat / pangkat 3. Perkalian bentuk sekawan → biasanya bentuk akar Contoh :

3x 2 − 4 x = .... x →0 x + 4

1. Lim

Pembahasan :

3 x 2 − 4 x 3(0) 2 − 4(0) 0 − 0 0 = = = =0 0+4 4 4 x →0 x + 4 Lim

2. Lim

x→−3

x 2 − x − 12 x2 − 9

= .....

Pembahasan :

Lim

x→−3

x 2 − x − 12 2

x −9

( x + 3)(x − 4) x→−3 ( x + 3)(x − 3)

= Lim

( x − 4) x → −3 ( x − 3)

= Lim

−3−4 −7 = −3−3 −6 7 = 6 =

3. Lim x→2

x2 − 4 x +7 −3

= ....

Pembahasan :

Lim

x→2

x2 − 4

= Lim

x2 − 4

x + 7 − 3 x→2 x + 7 − 3

×

x+7 +3 x+7 +3

( x 2 − 4)( x + 7 + 3) ( x + 7) − 9 x→2

= Lim

( x + 2)( x − 2)( x + 7 + 3) x−2 x →2

= Lim

= Lim ( x + 2)( x + 7 + 3) x→2

= Lim (2 + 2)( 2 + 7 + 3) = (4)(3 + 3) = 24 x →2

4. Limit Fungsi x

~

f ( x) x→ ~ g ( x ) #(4) Untuk bentuk ini cara penyelesaiannya adalah membagi dengan pangkat tertinggi. Atau bisa dilakukan dengan CADAS(cara cerdas)nya.

5. Bentuk Lim

CADAS :

Lim

m > n maka hasilnnya ~ m < n maka hasilnnya 0 a n = m maka hasilnnya p

ax m + bx m −1 + cx m − 2 + .....

x→~

px n + qx n −1 + rx n − 2 + ....

m dan n adalah pangkat tertinggi pembilang dan penyebut Contoh :

1. Lim

x →~

2x3 + 4x 2 + 6x − 1 2

2x − 4x + 3

= ....

Pembahasan :

#Cabi (cara biasa)

2x3 + 4x 2 + 6x − 1 Lim = ... x→~ 2x 2 − 4x + 3 2x 3 4x 2 6x 1 + 3 + 3 − 3 3 x x x x = Lim 2 x→ ~ 2x 4x 3 − 3 + 3 3 x x x 4 6 1 2+ + − 2 x x x3 = Lim 4 3 x →~ 2 − + 2 x x x3

4 6 1 2+ + 2 − 3 ~ ~ ~ = 2 4 3 − + ~ ~2 ~3 2+0+0−0 2 = = 0−0+0 0 =~

CADAS

Lim

2x3 + 4x2 + 6x −1

x →~ karena

2x 2 − 4x + 3 m

pembilang)

(pangkat >

n

tertinggi penyebut)

Ingat bro !!!

k

=0 (~) k = ~ dan ~

=~

tertiggi (pangkat

5x 3 + x 2

2. Lim

x →~ 2 x 4

− 4 x 2 + 3x

= .....

Pembahasan :

CADAS

#Cabi

5x 3 + x 2 =0 Lim 5x 3 + x 2 Lim 4 x →~ 2 x 4 − 4 x 2 + 3 x 2 x→ ~ 2 x − 4 x + 3x karena m (pangkat tertiggi 5x 3 x 2 pembilang) < n (pangkat + 4 4 x = Lim 4 x tertinggi penyebut) x→~ 2 x 4 x 2 3x − + 4 x4 x4 x 5 1 + x x2 = Lim 4 3 x →~ 2− + 2 x x3 5 1 + 2 0+0 0 = ~ ~ = = =0 4 3 2−0+0 2 2− 2 + 3 ~ ~

3. Lim

3x 3 + 2 x 2 − 5

x →~

2x 3 + 5x 2

= ......

Pembahasan :

#Cabi

3x 3 + 2 x 2 − 5 Lim = ... x→~ 2 x 3 + 5x 2 3x 3 2 x 2 5 + 3 − 3 3 = Lim x 3 x 2 x x→~ 2x 5x + 3 3 x x 2 5 3+ − x x3 = Lim 5 x →~ 2+ x 2 5 3+ − 3 ~ ~ = 3+0−0 = 3 = 5 2+0 2 2+ ~

CADAS

Lim

3x 3 + 2 x 2 − 5

x →~ karena

2 x + 5x

=

3

2

m

(pangkat

pembilang)

=

n

tertinggi penyebut)

3 2 tertiggi (pangkat

6. Bentuk Lim ( f ( x) − g ( x) ) x →~

#(5) Untuk bentuk ini langkanya adalah dikalikan dengan bentuk sewakan, setelah menjadi pencahan (ada pembilang dan penyebut) kemudian dibagi dengan pangkat tertinggi. Atau bisa menggunakan CADAS nya. CADAS :

Lim  ax 2 + bx + c − x→ ~ 

a > p maka hasilnnya ~ a < p maka hasilnnya -~

px + qx + c   2

a = p maka hasilnnya

Contoh :

1.

Lim 3 x 2 + 4 x − 1 − x 2 + 6 x + 2 = ...

x →~

Pembahasan : # Cabi : Lim 3 x x→ ~

2

+ 4x − 1 −

= Lim 3 x x→ ~

= Lim

x →~

= Lim

x →~

2

x

2

+ 4x − 1 −

x

x →~

2

3x

+ 6x + 2 ×

3x

2

2

+ 4x − 1 +

x

2

+ 4x − 1 +

x

2

(3x + 4 x − 1) − ( x + 6 x + 2) 3x 2 + 4 x − 1 + x 2 + 6 x + 2 2x2 − 2x − 3

÷ x2

2 3x 2 + 4 x − 1 + x 2 + 6 x + 2 ÷ x

2x 2 = Lim

+ 6 x + 2 = ...

x 3x 2

4x x

4

−

−

2x

1

+

4

x

2

−

3 x2

x2 4

+

6x 4

+

2

x x x x4 2 3 2− − x x2 = Lim x →~ 3 4 1 1 6 2 + − + + + 2 3 4 2 3 x x x x x x4 2 3 2− − ~ ~2 = 3 4 1 1 6 2 + − + + + 2 3 4 2 3 ~ ~ ~ ~ ~ ~4 x

4

+

2

2

+ 6x + 2

2

+ 6x + 2

b−q 2 a

=

2−0−0 0+0−0 + 0+0+0

=

2 =~ 0

CADAS :

Lim 3 x 2 + 4 x − 1 − x 2 + 6 x + 2 = ~ ( karena a > p )

x →~

a=3,b=4,c=-1 dan p=1, b=6, c=2

2.

Lim x 2 + 4 x − 1 − x 2 + 8 x + 5 = ....

x →~

Pembahasan :

Untuk menggunakan ‘cabi’ langkahnya seperti pada nomor sebelumnya. CADAS

Lim x 2 + 4 x − 1 − x 2 + 8 x + 5 =

x →~

3.

b−q 2 a

=

4 −8 2 1

=

−4 = −2 2

Lim 4 x 2 − 7 x − 3 − 2 x + 3 = ....

x →~

Pembahasan :

Lim 4 x 2 − 7 x − 3 − ( 2 x − 3) = Lim 4 x 2 − 7 x − 3 − ( 2 x − 3) 2

x →~

x →~

= Lim 4 x 2 − 7 x − 3 − 4 x 2 − 12 x + 9 x →~

=

D.

b−q 2 a

− 7 − (−12)

=

2 4

=

5 4

LIMIT TRIGONOMETRI #(6) Bentuk limit trigono Lim f (x) dengan f(x) x→ a

adalah fungsi trigono. Rumus dasar : sin x x = Lim =1 1. Lim x→0 x x → 0 sin x 2.

tan x x = Lim =1 x →0 x x → 0 tan x

2.

Bila hasil nilai dari sin atau tangen tersebut nol maka sin atau tangen tersebut bisa di coret/diabaikan.

1. Lim

sin 4 x

x →0 5x

4x 4 = Lim = x→0 5x 5

Lim

Rumu pengembangannya : 1.

CADAS :

sin ax ax a = Lim = x → 0 bx x → 0 sin bx b tan ax tan ax a Lim = Lim = b x → 0 bx x → 0 bx Lim

Lim x→2

tan( x

= Lim

2

− 4)

x−2 2 ( x − 4)

2. x→0 x − 2 = Lim x→0

( x − 2)( x + 2) ( x − 2)

= Lim ( x + 2) = 0 + 2 = 2 →

3.

sin ax tan ax a = Lim = b x → 0 tan bx x → 0 sin bx Lim

Contoh :

5 x sin 2 2 x

1. Nilai dari Lim

x→ 0 tan 2 4 x. sin 3 x.

adalah...

Pembahasan : # Cabi :

CADAS : 2

5 x sin 2 x = .... x → 0 tan 2 4 x. sin 3 x. 5 x sin 2 x. sin 2 x = Lim x → 0 tan 4 x. tan 4 x. sin 3 x. 5 x sin 2 x sin 2 x x = Lim x → 0 tan 4 x tan 4 x 3 x sin 3 x Lim

5 x sin 2 2 x

Lim

x →0

= Lim

2

x →0

tan 4 x. sin 3 x. =

5 x sin 2 x. sin 2 x tan 4 x. tan 4 x. sin 3 x.

5 x.2 x.2 x 5 = 4 x.4 x.3 x 12

5x sin 2 x sin 2 x x ⋅ Lim ⋅ Lim ⋅ Lim x → 0 tan 4 x x → 0 tan 4 x x → 0 x x → 0 sin 3 x 5 2 21 = ⋅ ⋅ 4 4 13 5 = 12

= Lim

2. Nilai dari Lim

cos 2 x − 1 4x 2

x →0

adalah...

2 cos 2 x = 1 − 2 sin x

Pembahasan : # Cabi :

Lim

x →0

cos 2 x − 1 4x 2

= Lim

x→0

= Lim

(1 − 2 sin 2 x) − 1 4x2 2

− 2 sin x

4x2 − 2 sin x sin x = Lim 4x x x→0 − 2 sin x sin x = Lim Lim 4 x x →0 x x →0 −2 1 = .1 = − 4 2 x →0

inget bro !!!

CADAS : Lim

x →0

− 2 sin 2 x 2

4x .

= Lim

− 2 sin x. sin x

4x 2 . − 2.x.x − 1 = = 2 4x 2

x→0

E.

TEOREMA L’HOPITAL #(7) Teori L’Hospital adalah penggunaan turunan/deferensial dalam penyelesaiaannya.

Jika Lim x→a

f (a) 0 = g (a) 0

Jika Lim

f ' (a ) 0 ≠ g ' (a) 0

jika Lim

f ' (a ) 0 = g ' (a) 0

x→ a

x→ a

Contoh :

1.

SELESAI

Lim x→ a

f ( x) f ' ' (a) = Lim x → a g ( x) g ' ' (a)

Catatan :

x 2 + x − 12 = ... Lim x →3 2x − 6

untuk menggunakan teori

Pembahasan :

turunan, ok!

L’Hospital, bro

x 2 + x − 12 T 2 x + 1 − 0 M 2(3) + 1 7 = Lim = = 2 2 x →3 2 x − 6 x→3 2 − 0 Lim

2.

4x + 1 − 3 = ... x → 2 3x − 6 Lim

Pembahasan :

4 4x + 1 − 3 = 2 4x + 1 3−0 x → 2 3x − 6 T

Lim

−0

4

2 2 4( 2) + 1 (3) 2 = = = 3 3 9 M

baca dulu bab


8 x 2 + 14 x − 4 = ... x → −2 2x + 4

Nilai lim A. -9 B. -7 C. 0 D. 7 E. 10

UN MAT IPS 2012 (A35-25)

2.

(

)

lim 9 x 2 + 6x + 2 − (3x − 5) = ... x→∞

A. -4 B. -3 C. 3 D. 4 E. 6 UN MAT IPS 2012 (A35 – 26)

3.

3 x 2 − 14 x + 8 = ... x→ 4 x 2 − 3x − 4 4 2 1 2 -2 -4

Nilai lim A. B. C. D. E.


4.

(

)

Nilai lim (5x − 1) − 25x + 5x − 7 = ... x→∞

A. B. C. D.

3 2 2 3 1 2 −

1 2

2

E.

−

3 2


5.

2 − x +1 =… x →3 x−3

Nilai lim A. – ¼ B. – ½ C. 1 D. 2 E. 4

UN MAT IPA 2012 (A35-30)

6.

Nilai lim x →0

x tan x = ... 1 − cos 2 x

A. – ½ B. 0 C. ½ D. 1 E. 2 UN MAT IPA 2012 (A35-31)

7.

Nilai lim x→ 4

A. B. C. D. E.

( x − 4) x −2

= ...

0 4 8 12 16

UN MAT IPA 2011 (D10-19)

8.

Nilai lim x→0

A. B. C.

1 8 1 6 1 4

1 − cos 2 x = ... 2 x. sin 2 x

1 2

D.

E. 1 UN MAT IPA 2011 (D10-25)

9.

Nilai lim x→2

x 2 − 8 x + 12 = ... x2 − 4

A. – 4 B. – 1 C. 0 D. 1 E. 4 UN MAT IPA 2010 (XX-26)

10.

x 2 − 2x − 1 = ... x→ 2 3 x 2 + 6 x − 1

Nilai lim A. – 1

B. – 1/3 C. 0 D. 1/3 E. 1 UN MAT IPA 2010 (XX-27)

11.


]^_

,→G √

, , – √

,

= ...

-2 0 1 2 4

UN MAT IPA 2010 (D10-28)

12.

Nilai

]^_ DEF , DEF , , ,→G

=⋯

A. 1 B. C. D. E.

UN MAT IPA 2010 (D10-29)

13.

`M% →3 √ -8 -6 4 6 8


G

,

U , 7,

=⋯

8

UN MAT IPA 2009 (D10-19)

14.

Nilai A. −

`M% √25 →~

B. − C.

U G U G

− 9 − 16 − 5 + 3 = ⋯

G U G

D.

E. ~

UN MAT IPA 2009 (D10-20)

15.

`M% →1 A. -2 B. -1

Nilai

,

DEF ,7,

.b^c 7,

8

8

=⋯

C. −

D. − E. 0

UN MAT IPA 2009 (D10-21)

x3 − 4x = ... 16. Nilai dari lim x →2 x − 2 A. B. C. D. E.

32 16 8 4 2

UN MAT IPA 2008 (D10-31)

17.

x2 − x − 6 = ... x→3 4 − 5x + 1

Nilai lim A. B. C. D. E.

-8 -6 1 2

∞

UN MAT IPA 2007 (D9-22)

18.


1 − cos 2 x = ... x → 0 x. tan( 1 x) 2 lim

-4 -2 1 2 4

UN MAT IPA 2007 (D9-23)

19.

cos 2 x = .... π cos x − sin x x→

Nilai lim

4

A. 0 B.

1 2 2

C. 1 D. E.

2

∞

UN MAT IPA 2006 (D9-14)

20.

Nilai dari A. B. C. D. E.

lim

x →0

4x = ... 1 − 2x − 1 + 2x

-2 0 1 2 4

UN MAT IPA 2005 (D10-19)

21.

Nilai dari A. B. C. D. E.

lim

sin 3x − sin 3x.cos 2 x

x →0

2 x3

1/2 2/3 3/2 2 3

UN MAT IPA 2005 (D10-20)

22.

lim x →0

1 − cos 2 x = ... π  2 x tan  x +  4 

A. - 1

= ...

B. 0 C. 1 D.

2 2

E.

3


23.

4x adalah… x →0 sin 2 x

Nilai lim

2

A. B. 1 C. ½ D. ¼ E. 0


24.

3x + x x − 4 = ... x →1 x −1 lim

A. B. C. D. E.

6 7 8 9 10


25.

1 − 2 sin x cos x = ... 1 sin x − cos x x→ π lim 4

A.

12

B.

12 2

C. 1 D. 0 E. -1 SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-11)

26.

lim

( x − 1)( x + 1)

x →1

A. 0 B. 1 C. 2

x −1

= ...

D. 4 E. 8 SNMPTN MAT DAS 2007 (XX-20)

27.

4( x − π ) cos 2 x

lim x→

π 2

A. B. C. D. E.

π

π (π − 2 x ) tan( x − )

= ...

2

-2 -1 0 1 2


28.

x ( x − 7)

lim

x− 7

x →7

= ...

A. 14 B. 7 C.

2 7

D.

7

1 7 2 -

E.


29.

lim

tan(1 − x)

x →1

A. B. C. D. E.

x3 −1

= ...

1/3 – 1/3 1 -1 1/2


30.

x 2 4 − x3 lim = ... x →0 cos x − cos 3x A. B. C. D. E.

-3/2 -1/2 0 1/2 3/2


TURUNAN/ DEFERENSIAL A.

PENGERTIAN TURUNAN #(1) Turunan f(x) adalah f’(x) ( dibaca f aksen x ) didefiniksan sebagai :

Y y=f(x) f(x+h)

f ( x + h) − f ( x ) h h→0 Laju perubahan f(x) / turunan f(x) untuk x = a adalah : f ' ( x) = Lim

↑ ∆f ↓ f(x)

←h→

f ( a + h) − f ( a ) h h →0

f ' ( a) = Lim

X x+h Penulisan turunan bisa dituliskan dalam beberapa notasi : x

f ' ( x) atau y' atau

df ( x) dy atau . dx dx

Contoh :

1. Jika diketahui f ( x ) = x 2 + 3 x maka nilai f’(x) dan f’(2) adalah.... Pembahasan :

f ( x + h) − f ( x ) h h→0

f ' ( x) = Lim

= Lim

(( x + h) 2 + 3( x + h) ) − ( x 2 + 3x)

h→0

h

x + 2 xh + h + 3 x + 3h − x 2 − 3 x h h→0

= Lim

2

2

2 xh + h 2 + 3h = Lim 2 x + h + 3 = 2 x + 0 + 3 h h→0 h→0 f ' ( x) = 2 x + 3 = Lim

f ' ( 2) = 2( 2) + 3 = 7 f ( x − 2 p ) − f ( x) dalam bentuk f’(x) 3p p →0

2. Nyataka bentuk Lim Pembahasan :

f ( x − 2 p) − f ( x ) f ( x + −2 p) − f ( x) = Lim 3 (− 2 p ) 3p p→0 p→0 Lim

( −2 )

=

1

( )

f ( x + −2 p) − f ( x) − 2p

Lim

3 p→0 −2

=−

2 f ( x + −2 p ) − f ( x ) ⋅ Lim 3 − 2 p →0 − 2p

f ( x + h) − f ( x ) 2 = − ⋅ Lim 3 h→0 h 2 = − f ' ( x) 3

B.

TURUAN ALJABAR Dalam prakteknya untuk mencari turunan sebuah fungsi tidak selamanya harus menggunakan limit, kita gunakan rumus-rumus yang sudah disediakan.

#(2)

a. Rumus Dasar Turunan Aljabar

1. f ( x) = k maka f ' ( x) = 0 2. f ( x) = ax maka f ' ( x) = a 3. f ( x ) = ax n maka f ' ( x ) = anx n −1

Contoh :

1. Nilai f ( x) = 4 maka f ' ( x) = 0 2. Nilai f ( x) = 3x maka f ' ( x) = 3 3. Nilai f ( x ) = 2 x 4 maka f ' ( x ) = 8 x 3 4. Nilai f ( x ) = 2 x 5 − 5 x 2 + 10 maka f ' ( x ) = 10 x 4 − 10 x 5. Nilai f ( x) = 2 x x + x −

2

Pembahasan :

f ( x) = 2 x x + x − 1

1

= 2 xx 2 + x 2 −

2

x

2 1

x2 112

= 2x

1

−1

+ x 2 − 2x 2 1 −11 1 −1 f ' ( x) = 3 x 2 + x 2 + x 2 2 1 1 1 = 3x 2 + 1 + 1 1 2x 2 x 2

x

maka nilai f’(x) adalah...

=3 x +

1 2 x

+

b. Turunan Berantai

1 x x

#(3)

Digunakan saat dalam sebuah fungsi terdapat fungsi lagi.

f ( x) = g (h( x )) maka f ' ( x) = g ' (h( x)) ⋅ h' ( x) , atau f ( x ) = {u ( x )}n maka f ' ( x ) = n{u ( x )}n −1 ⋅ u ' ( x ) Contoh :

1. f ( x ) = ( 3 x + 2 ) 4 maka nilai f’(x) adalah.... Pembahasan :

f ( x ) = (3 x + 2 ) 4 f ' ( x ) = 4 ( 3 x + 2 ) 3 ⋅ ( 3) = 12 ( 3 x + 2 ) 3

2. f ( x) = 6 x 2 + 4 maka f ' ( x) = .... Pembahasan : 1

f ' ( x) = 6( x 2 + 4) 2 = 3( x 2 + 4) =

− 12

(2x)

6x x2 + 4

c. Rumus Perkalian dan Pembagian Turunan

#(4)

1. f ( x) = u ( x) ⋅ v( x ) maka f ' ( x) = u ' ( x) ⋅ v( x) + u ( x)v' ( x) 2. f ( x) =

u ( x) u ' ( x )v ( x ) − u ( x )v ' ( x ) maka f ' ( x ) = v( x) v 2 ( x)

Contoh :

1. f ( x) = (2 x + 3)(5 x − 2) maka nilai f’(x) = ..... Pembahasan :

f ( x) = (2 x + 3)(5 x − 2) u v f ' ( x) = 2(5 x − 2) + (2 x + 3)(5) = 10x − 4 + 10x + 15 = 20x + 11 u u’ v v’

2. f ( x ) = ( 2 x 2 + 3) 3 (5 x − 2 ) maka nilai f’(x) = ..... Pembahasan :

f ( x ) = ( 2 x 2 + 3) 3 ( 5 x − 2 ) f ' ( x ) = 3( 2ux 2 + 3) 2 ( 4vx )( 5 x − 2 ) + ( 2 x 2 + 3) 3 5

u’

u

v

v’

= 12 x (5 x − 2 )( 2 x 2 + 3) 2 + 5 ( 2 x 2 + 3)

3x + 4 3. f ( x) = 2 x − 5 , maka nilai f’(x) = ..... Pembahasan :

CADAS :

3x + 4 u f ( x) = 2x − 5 v

f ( x) =

u’ v

u v’ 3(2 x − 5) − (3x + 4)2

f ' ( x) =

=

f ' ( x) =

(2 x − 5) 2 v2 6 x − 15 − 6 x − 8 (2 x − 5) 2 − 23

=

(2 x − 5) 2

2x2 + 4x f ( x ) = 4. 3 x + 4 , maka nilai f’(x) = .... Pembahasan :

f ( x) =

f ( x) =

2x 2 + 4x u v 3x + 4 u’ v

u 2

v’

( 4 x + 4)(3x + 4) − (2 x + 4 x)3

=

(3x + 4) 2 v2 6 x 2 + 16 x + 16 (3x + 4) 2

ax + b ad − bc → f ' ( x) = cx + d (cx + d ) 2 3x + 4 − 15 − 8 → f ' ( x) = 2x − 5 ( 2 x − 5) 2 − 23 = ( 2 x − 5) 2

C.

TURUAN TRIGONOMETRI#(5) a. Rumusumus- rumus Turunan Trigonometri

1. f ( x) = sin x → f ' ( x) = cos x 2. f ( x) = cos x → f ' ( x) = − sin x 3. f ( x ) = tan x → f ' ( x ) = sec 2 x 4. f ( x ) = cot x → f ' ( x ) = − csc 2 x 5. f ( x ) = sec x → f ' ( x) = sec x ⋅ tan x 6. f ( x) = csc x → f ' ( x) = − csc x ⋅ cot x Atau bisa ditulis dalam bentuk berikut : 1. f ( x) = sin(ax + b) → f ' ( x) = a cos(ax + b) 2. f ( x) = cos(ax + b) → f ' ( x) = − a sin( ax + b) 3. f ( x ) = tan( ax + b ) → f ' ( x ) = a sec 2 ( ax + b ) 4. f ( x ) = cot( ax + b ) → f ' ( x ) = − a csc 2 ( ax + b ) 5. f ( x) = sec(ax + b) → f ' ( x) = a sec(ax + b) ⋅ tan(ax + b) 6. f ( x) = csc x( ax + b) → f ' ( x) = −a csc(ax + b) cot(ax + b) Contoh :

1. y = 3 cos( 4 x + 5) maka y’ = .... Pembahasan :

y = 3 cos( 4 x + 5)

y ' = 3 ⋅ −4 cos(4 x + 5) = −12 cos(4 x + 5) 2. f ( x ) = 2 sin( 2 x 2 + 4 x ) maka f’(x) = .... Pembahasan : 2 f ( x ) = 2 sin( 2 x 2 + 4 x ) , misal u = 2 x + 4 x

CADAS :

f ( x) = 2 sin(2 x 2 + 4 x)

f ' ( x) = 2 sin(2 x 2 + 4 x) ⋅ (4 x + 4)

f ( x) = 2 sin u

= (8 x + 8) sin(2 x 2 + 4 x)

f ' ( x) = 2 cos u ⋅ u ' f ' ( x ) = 2 cos( 2 x 2 + 4 x ) • ( 4 x + 4 ) f ' ( x ) = (8 x + 8) cos( 2 x 2 + 4 x )

3. f ( x ) = 2 cos 3 ( 2 x 2 + 4 x ) maka f’(x) = .... Pembahasan : 2 f ( x ) = 2 cos 3 ( 2 x 2 + 4 x ) , misal u = 2 x + 4 x → u' = 4 x + 4

f ( x ) = 2 cos 3 u , misal t = cos u → t ' = − sinu ⋅ u' f ( x ) = 2t 3

f ' ( x ) = 6t 2 ⋅ t '

= 6 cos 2 u ⋅ − sin u ⋅ u ' = 6 cos 2 ( 2 x 2 + 4 x ) ⋅ − sin( 2 x 2 + 4 x ) ⋅ ( 4 x + 4 ) = − ( 24 x + 24 ) cos 2 ( 2 x 2 + 4 x ) sin( 2 x 2 + 4 x ) CADAS :

f ( x ) = 2 cos 3 ( 2 x 2 + 4 x )

f ' ( x) = 6 cos 2 (2 x 2 + 4 x) ⋅ − sin(2 x 2 + 4 x) ⋅ (4 x + 4) = −(24 x + 24) cos 2 ( 2 x 2 + 4 x) sin(2 x 2 + 4 x)

D.

PENGGUNAAN TURUNAN a. Mencari Gradien Garis Singgung

#(6)

Gradien garis sejajar :

y = f(x)

m1 m2

m =f ’(x1)

m1 = m2

Gradien garis tegak lurus: m1 ⋅ m2 = −1 m1 atau

(x1, y1)

m2 = −

PGS → y − y1 = m( x − x1 )

m2

Gradien garis singgung pada kurva adalah : m =f ’(x1)

Dengan f(x) adalah persamaan kurva dan x1 adalah absis (x) dari titik singgungnya. Contoh :

1. Persamaan garis singgung kurva f ( x ) = x 2 + 4 x − 12 di titik ( 2,3) adalah... Pembahasan :

gambar ilustrasi:

f ( x) = x 2 + 4 x − 12

2

f ( x ) = x + 4 x − 12 f ' ( x) = 2 x + 4

m = f ' ( 2) = 2(2) + 4 = 8 y − y1 = m( x − x1 )

y − 3 = 8( x − 2) y = 8 x − 16 + 3 PGS : y = 8 x − 13

(2,3) (x1,y1)

PGS..... ?

1 m1

2. Persamaan garis singgung kurva f ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 3 yang tegak lurus dengan garis 4 y + 2 x + 8 = 0 adalah.... Pembahasan :

4 y + 2x + 8 = 0 4 y = −2 x − 8

f ( x) = 3x 2 − 4 x + 3

f ' ( x) = 6 x − 4

y = − 12 x − 2 ∴ m1 = − 12 ,

m = f ' ( x1 ) = 6 x1 − 4

m1 ⊥ m 2 → m 2 = 2

m 2 = f ' ( x1 ) = 6 x1 − 4 = 2 6 x1 = 6

gambar ilustrasi:

f ( x) = 3x 2 − 4 x + 3

x1 = 1 y1 = f (1) = 3 − 4 + 3 = 2 y1 = 2 ∴ ( x1 , y1 ) = (1,2) y − 2 = m ( x − 1) y − 2 = 2( x − 1)

(x1,y1)

y = 2x − 2 + 2 PGS: y = 2 x

4 y + 2x + 8 = 0

PGS..... ?

b. Fungsi naik, turun, maks, min, belok

titik maks(stasioner) daerah naik

daerah naik

#(7) y=f(x)

y=f(x)

titik belok (stasioner)

daerah turun titik min(stasioner)

f’(x) > 0 maka fungsi naik f’’(x0) > 0 maka stationer minimum f’(x) < 0 maka fungsi naik f’(x)= 0 maka fungsi stasioner

f’’(x0) < 0 maka stationer maksimum f’’(x0) = 0 maka stationer belok

x0=akar-akar f’(x)

Bila daigambarkan dalam garis bilangan : naik

turun

naik naik

+++

--x1

x1 absis ttk maks

+++ x2 x2 abis titik min

+++

naik

turun

+++

---

x1 x1 absis ttk belok

turun

--x1

x1 absis ttk belok

Contoh :

1. Fungsi f ( x) = 1 x 3 − 8 x 2 turun pada interval berapa dan tentukan jenis 3

stationernya....

#(8)

CARA II

Pembahasan : CARA I

1 3 x = 16 x 3 f ' ( x) = x 2 − 16 = 0 f ( x) =

f ( x) = 1 x 3 − 16 x 3

f ' ( x) < 0

( x + 4)( x − 4) = 0

x 2 − 16 < 0 ( x − 4)( x + 4) < 0

x = −4 atau x = 4

+++ --- +++

f(x) turun pada − 4 < x < 4

-4

4

+

-

+

-4

4 Turun pada : -4 < x < 4, Naik pada : x < -4 atau x>4 Statisoner(Maks) : di x = -4 Stationer (Min) : di x = 4

f ( x ) = 1 x 3 − 16 x 3

f ' ( x) = x 2 − 16 = 0

( x + 4)( x − 4) = 0 x1 = −4 atau x = 4 f ' ' ( x) = 2 x f ' ' (−4) = −8 , - 8 adalah negatif ( -8<0), maka di x = -4 mencapai maksimum f ' ' ( 4) = 8 ,

8 adalah positif (8>0) , maka di x = 4 mencapai

minimum 2. Titik-titik stationer dan interval naik/turun/belok dari fungsi f ( x ) = 1 x 4 − 4 x 3 + 2 x 2 adalah... #(9) 4

3

Pembahasan :

f ( x) = 1 x 4 − 4 x 3 + 2 x 2 4

3

f '( x) = x − 4 x 2 + 4 x = 0 3

x ( x 2 − 4 x + 4) = 0

x( x − 2)( x − 2) = 0 turun pada x < 0 naik pada pada x >0 titik minimum (0,0) titik belok ( 2 , 43 )

---

+++ 0 min

+++ 2 belok f ( 2 ) = 14 16 − 43 8 + 8 = 43

f ( 0 ) = 14 0 − 43 0 + 0 = 0

3. Selembar karton persegi panjang dengan ukuran 8cm x 5cm. Dipotong keempat sudutnya dengan bentuk persegi dengan sisi x. Dari bangun tersebut akan dibuat kotak, maka volume maksimumnya adalah....#(10)

Pembahasan : 8 x

x x

x

x

5 - 2x 5 - 2x

5 x

x

x

8 - 2x

x

8 - 2x

V ( x) = p × l × t = (8 − 2 x)(5 − 2 x) x = ( 40 − 16 x − 10 x + 4 x 2 ) x = ( 4 x 2 − 26 x + 40 ) x

= 4 x 3 − 26 x 2 + 40 x V ' ( x ) = 12 x 2 − 52 x + 40 = 0

3 x 2 − 13 x + 10 = 0 (3 x − 10)( x − 1) = 0

x = 10 3

+++ --- +++

atau x = 1

1

V ( x) = (8 − 2 x)(5 − 2 x) x

10 3

maks

V (1) = (8 − 2)(5 − 2)(1) = (6)(3)(1) = 18 cm 3 c. Fungsi Jarak, Kecepata dan Percepatan #(11) T

T

s (t ) → v (t ) → a (t )

atau

v(t ) = s' (t ) , a(t ) = v' (t ) , a = s' ' (t )

Contoh :

1. Diketahui fungsi jarak dalam t (waktu) s(t ) = 1 t 3 − 4t 2 + 12t , maka carilah 3 ! a. Kecepatan benda saat t = 1 b. Percepatan benda saat t = 2 c. Kapan benda berhenti ? Pembahasan :

a. s(t ) = 1 t 3 − 4t 2 + 12t 3 v (t ) = s ' (t ) = t 2 − 8t + 12

kecepatan saat t = 1 v (t ) = t 2 − 8t + 12 v (1) = 12 − 8(1) + 12 = 1 − 8 + 12 = 5

b. v (t ) = t 2 − 8t + 12 a (t ) = v' (t ) = 2t − 8 percepatan saat t = 2 a (t ) = 2t − 8

a (2) = 2(2) − 8 = 4 − 8 = −4 c. Benda berhenti saat kecepatannya nol v (t ) = t 2 − 8t + 12 = 0

(t − 2)(t − 6) = 0

t = 2 atau t = 6 Benda tersebut berhenti saat t = 2 atau t = 6 .


Turunan pertama dari y = ( 4 x + 3) 5 adalah y’ =…. A.

20( 4 x + 3) 4

B.

5( 4 x + 3) 4

C.

( 4 x + 3) 4

D.

4 (4 x + 3) 4 6

E.

1 (4 x + 3) 4 5

UN MAT IPS 2012 (A35-27)

2.

Untuk memproduksi x unit barang perhari diperlukan biaya (2x32.100x2+600.000x) rupiah. Biaya produksi akan menjadi minimum jika produksi maksimal perhari sebanyak…. A. 50 unit B. 100 unit C. 150 unit D. 200 unit E. 500 unit UN MAT IPS 2012 (A35-28)

3.

Diketahui f ( x ) = (3 x 2 − 5 ) 4 . Jika f ' adalah turunan pertama f , maka

f ' ( x ) = ... A.

4 x (3 x 2 − 5 ) 3

B.

6 x (3 x 2 − 5 ) 3

C. 12 x (3 x 2 − 5 ) 3 D.

24 x (3 x 2 − 5) 3

E.

48 x (3 x 2 − 5) 3


4.

Untuk memproduksi suatu barang diperlukan biaya produksi yang dinyatakan dengan fungsi B ( x ) = 2 x 2 − 180 x + 2500 dalam ribuan rupiah. Agar biaya minimum maka harus diproduksi barang sebanyak… A. 30 B. 45

C. 60 D. 90 E. 135 UN MAT IPS 2011 (XX-28)

5.

Grafik fungsi f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 15 turun dalam interval… A. x < -3 atau x > 1 B. x< -1 atau x > 3 C. x< -3 atau x > -1 D. -1 < x < 3 E. 1 < x <3 UN MAT IPS 2011 (XX-30)

6.

Sebuah segitiga dibatasi oleh x + 2y =4, sumbu X dan sumbu Y. Dari sebuah titik pada garis itu dibuat garis-garis tegak lurus pada sumbu X dan sumbu Y sehingga membentuk subah persegi panjang seperti pada gambar berikut. Y diarsir adalah… Luas maksimum daerah persegi panjang yang A. ¼ satuan luas B. ½ satuan luas

(x,y)

C. 1 satuan luas D. 2 satuan luas E. 3 satuan luas

X

0

x+ 2y=4

UN MAT IPA 2012 (A35-32)

7.

Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya sebesar 9000 + 1000 x + 10 x 2 rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut

(

)

habis terjual dengan harga Rp.5.000, 00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah… A. Rp.149.000,00 B. Rp.249.000,00 C. Rp.391.000,00 D. Rp.609.000,00 E. Rp.757.000,00 UN MAT IPA 2011 (D10-31)

8.

Koordinat titik potong garis singgung yang melalui titik −1, − , dengan sumbu y adalah ...

A. (0, -4)

B. (0, − ) C. D.

0,

0,

U

U

pada kurva y =

E. 70, 88

UN MAT IPA 2010(D10-30)

9.

Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar (9.000 + 1.000x + 10 )rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah ... A. Rp149.000,00 B. Rp249.000,00 C. Rp391.000,00 D. Rp609.000,00 E. Rp757.000,00 UN MAT IPA 2010 (D10-31)

10.

Garis l menyinggung kurva V = √ di titik yang berabsis 4. Titik potong garis l dengan sumbu X adalah ... A. (4, 0) B. (-4, 0) C. (12, 0) D. (-6, 0) E. (6, 0) UN MAT IPA 2009 (D10-22)

11.

Seorang petani menyemprot obat pembasmi hama pada tanamannya. Reaksi obat tersebut t jam setelah disemprotkan dinyatakan dengan rumus 67 8 = 15d − d . Reaksi maksimum tercapai setelah ... A. 3 jam B. 5 jam C. 10 jam D. 15 jam E. 30 jam UN MAT IPA 2009 (D10-23)

12.

Turunan pertama dari y = A.

B.

C.

D.

cos x

(sin x + cos x )2 1

(sin x + cos x)2 2

(sin x + cos x)2 sin x − cos x

(sin x + cos x)2

sin x adalah y '= .... sin x + cos x

E.

2 sin x cos x

(sin x + cos x)2

UN MAT IPA 2008 (D10-32)

x2 + 3 13. Diketahui f ( x) = . Jika f ' ( x) menyatakan turunan f (x) , maka 2x + 1 f (0) + 2 f ' (0) = ... A. B. C. D. E.

-10 -9 -7 -5 -3

UN MAT IPA 2008 (D10-33)

14.

Sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya persegi, mempunyai volume 4 m3 terbuat dari selembar karton. Agar karton yang diperlukan sedikit mungkin, maka ukuran panjang, lebar dan tinggi kotak tersebut adalah… A. 2m, 1m, 2m B. 2m, 2m, 1m C. 1m, 2m, 2m D. 4m, 1m, 1m E. 1m, 1m, 4m UN MAT IPA 2008 (D10-34)

15.

2 Jika f ( x ) = sin ( 2 x + π ) , maka nilai f ' (0) = ... 6

A. 2 3 B. 2

3

C. D. E.

1 2 1 2

3 2

UN MAT IPA 2007 (D9-24)

16.

Perhatikan gambar! Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapi maksimum jika koordinat titik M adalah…. Y A. ( 2,5) 5 B.

5 (2, ) 2

M(x,y) 4

X

2 (2, ) 5 5 D. ( ,2) 2 2 E. ( ,2) 5

C.

UN MAT IPA 2007 (D9-26)

17.

Turunan pertama dari f ( x ) = sin 4 (3 x 2 − 2 ) adalah f ' ( x) = .... A.

2 sin 2 (3 x 2 − 2 ) sin( 6 x 2 − 4 )

B.

12 x sin 2 ( 3 x 2 − 2 ) sin( 6 x 2 − 4 )

C. 12 x sin 2 ( 3 x 2 − 2 ) cos( 6 x 2 − 4 ) D.

24 x sin 3 ( 3 x 2 − 2 ) cos 2 ( 3 x 2 − 2 )

E.

24 x sin 3 ( 3 x 2 − 2 ) cos( 3 x 2 − 2 ) U

UN MAT IPA 2006 (D9-14)

18.

Persamaan garis singgung kurva y = 3 5 + x di titik dengan absis 3 adalah…

x − 12 y + 21 = 0 B. x − 12 y + 23 = 0 C. x − 12 y + 27 = 0 D. x − 12 y + 34 = 0 E. x − 12 y + 38 = 0 A.

UN MAT IPA 2006 (D9-15)

19.

Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya

(4 x − 160 +

2000 ) ribu rupiah perhari. Biaya minimum penyelesaian x

pekerjaan tersebut adalah… A. Rp. 200.000 B. Rp.400.000 C. Rp.560.000 D. Rp.600.000 E. Rp.800.000 UN MAT IPA 2006 (D9-16)

20.

Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar. Agar luasnya maksimum, panjang kerangka (p) tersebut adalah… A. 16 m l B. 18 m C. 20 m l p

D. 22 m E. 24 m UNMAT IPA 2005 (D10-02)

21.

Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x

 

jam, dengan biaya perjam  4 x − 800 +

120   ratus ribu rupiah. Agar biaya x 

minimum, produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu… A. 40 jam B. 60 jam C. 100 jam D. 120 jam E. 150 jam UN MAT IPA 2005 (D10-21)

22.

Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan rumus x = f (t ) =

3t + 1 ( x

dalam meter dan t dalam detik). Kecepatan partikel tersebut pada saat t=8 detik adalah… A. B. C. D. E.

3 m / det 10 3 m / det 5 3 m / det 2 3m / det 5m / det

UN MAT IPA 2005 (D10-22)

23.

Turunan dari A. B. C. D. E.

F ( x) = 3 cos2 (3x 2 + 5x) adalah

−1 2 cos 3 (3 x 2 + 5 x) sin(3x 2 + 5 x) 3 −1 2 (6 x + 5 x) cos 3 (3x 2 + 5 x) 3 −1 2 − cos 3 (3 x 2 + 5 x) sin(3x 2 + 5 x) 3 2 − (6 x + 5) tan(3 x 2 + 5 x)3 cos 2 (3 x 2 + 5 x) 3 2 (6 x + 5) tan(3 x 2 + 5 x)3 cos 2 (3 x 2 + 5 x) 3

UN MAT IPA 2005 (D10-23)

24.

Grafik fungsi f(x)= ax3 - bx2 + cx + 12 naik, jika A.

b2 – 4ac < 0 dan a > 0

B. b2 – 4ac < 0 dan a < 0 C. b2 – 3ac > 0 dan a < 0 D. b2 – 3ac < 0 dan a > 0 E. b2 – 3ac < 0 dan a < 0 SNMPTN MAT IPA 2012 (831-10)

25.

Diberikan kurva y = x 3 + 2 x 2 − x + 5 . Jika garis singgung kurva di titik ( a, b ) sejajar dengan garis y − 3 x − 4 = 0 , maka nilai b yang mungkin adalah adalah… A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 E. 7 SNMPTN MAT IPA 2011 (XX-11)

26.

Grafik y = f ' ( x ) ditunjukkan pada gambar berikut Y=f’(x)

-2

2 -1

Pernyataan yang benar adalah… A. Fungsi f mempunyai titik minimum (0,-1) B. Fungsi f naik pada interval (0, ∞) C. Titik minimum lokal f terjadi di x= -2 D. Fungsi f bernilai positif pada selah ( −∞,−2) E. Titik minimum lokal f terjadi di x=2 SNMPTN MAT IPA 2011 (XX-12)

27.

Bola dengan diameter 8 cm seluruhnya terdapat dalam kerucut tegak terbalik. Tinggi kerucut dengan volume terkecil yang mungkin adalah.. A. 12 B. 12 2 C. 16 D. 16 2

E. 18 SNMPTN MAT IPA 2011 (XX-14)

28.

Luas daerah persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah kurva

1 y = x 2 dan y = 5 adalah… 3 A.

6 5

B.

16 5 3

C.

17 5 3

D.

19 5 3

E.

20 5 3


29.

Jika nilai maksimum f ( x ) = x +

2 p − 3 x adalah 5/4, maka nilai p adalah…

A. 1 B. 2/3 C. ¾ D. 3/2 E. 2 SNMPTN MAT IPA 2010 (XX-12)

30.

Diketahui selembar seng dengan panjang 80 cm dan lebar 30 cm. Jika panjang dan lebarnya dipotong dengan ukuran sama sehingga luas seng menjadi 275 cm2, maka panjang dan lebarnya harus dipotong…… cm. A. 30 B. 25 C. 24 D. 20 E. 15 SNMPTN MAT IPA 2010 (XX-13)

31.

2 Jika (a, b) adalah titik minimum grafik fungsi f ( x) = 7 − 25 − x , maka nilai

a 2 + b 2 adalah… A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 E. 13 SNMPTN MAT DAS 2009 (XX-12)

32.

Diketahui fungsi f dan g dengan f ( x ) = x 2 + 4 x + 1 dan g ' ( x ) = 10 − x 2 dengan g’ menyatakan turunan pertama dari g. Nilai turunan pertama g o f di

x = 0 adalah… A. B. C. D. E.

3 6 9 12 15


33.

Jika f (3x + 2) = x x + 1 dan f ' adalah turunan dari f , maka nilai

12 f ' (11) = ... A. B. C. D. E.

9 11 12 14 15


34.

12 dalam selang 0 < x < 2π mencapai nilai 1 − 2 cos 2 x 4x maksimum a pada beberapa titik x i . Nilai terbesar dari a + i adalah…

Fungsi f ( x) =

π

A. B. C. D. E.

13 15 16 18 20


35.

Parabola y = 2 x 2 − 16 x + 24 memotong sumbu y di titik A. Jika garis singgung di titik A pada parabola memotong sumbu x titik (a,0), maka nilai a adalah…

A. B. C. D. E.

-1 ½ -1 1½ 2 2½


36.

Volume balok terbesar yang luas semua bidang sisinya 96 cm2 dan alasnya persegi adalah… A. 54 cm3 B. 64 cm3 C. 74 cm3 D. 84 cm3 E. 94 cm3 SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-07)

37.

Garis g menyinggung kurva y = sin x + cos x di titik yang absisnya 1 2 π maka garis g memotong sumbu y di titik… A. (0,1 2 π ) B. (0,1) C. (0,1 − 1 2 π ) D.

(0,1 + 1 2 π )

E.

(0, π )


38.

Nilai minimum dari fungsi y = ( x − 3) x A. B. C. D. E.

-2 -1 0 1 2


39.

Turunan pertama dari fungsi y = A.

B.

C.

−1 (cos x + sin x) 2 −2 (cos x + sin x) 2 −3 (cos x + sin x) 2

cos x − sin x adalah… cos x + sin x

D. E.

−1 cos 2 x + sin 2 x −2 cos 2 x − sin 2 x


40.

Diketahui fungsi-fungsi f dan g dengan f ( g ( x )) = x 2 − 3 x untuk setiap bilangan real x . Jika g (1) = 2, f ' (1) = f (1) ,dan g ' (1) = f (1) , maka g ' (1) = ... A. B. C. D. E.

2 1 0 -1 -3


41.

Perhatikan kurva y = ax + bx 2 , a dan b konstan. Jika garis singgung kurva ini pada titik(1,0) sejajar dengan garis 2 x − y + 3 = 0 , maka a + 3b sama dengan… A. -2 B. 2 C. 4 D. 6 E. 8 SNMPTN MAT IPA 2008 (XX-14)

42.

Sebuah bilangan dikalikan 2, kemudian dikurangi 16 dan setelah itu dikalikan bilangan semula. Jika hasil akhirnya adalah P, maka nilai minimum dari P tercapai bilamana bilangan semula adalah… A. -4 B. 0 C. 4 D. 8 E. 32 SPMB MAT DAS 2007 (XX-02)

43.

Suatu proyek dapat dikerjakan selama p hari, dengan biaya setiap harinya 1500 (4 p + − 40) juta rupiah. Jika biaya minimum proyek tersebut adalah R p juta rupiah, maka R=… A. 750 B. 940 C. 1170 D. 1400 E. 1750 SPMB MAT DAS 2007 (XX-24)

44.

Jika f ( x) =

2x + 1 x2 − 3

, maka turunan pertama dari fungsi f di -3 adalah

f ' (−3) = ... A.

−1

B.

−

C. D. E.

1 2

5 6 2 − 3 1 − 2 1 − 3


45.

Jika garis singgung di titik (1,2) pada parabola y = ax 2 + bx + 4 memiliki persamaan y = −6 x + 8 , maka nilai a dan b berturut-turut adalah… A. B. C. D. E.

2 dan -4 -4 dan 2 -2 dan 0 2 dan -10 4 dan -6


46.

Grafik y = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 7 turun untuk x yag memenuhi A. B. C. D. E.

x<2 −1 < x < 2 − 3 < x < −1 x < −1 atau x > 2 x < −3 atau x > 1


47.

f ( x + 2 p) − f ( x) = ... 2p p →0

Jika f ( x ) = sin 2 3 x , maka nilai lim A. B.

2 cos 3x 2 sin 3x

C. D.

6 sin 2 x

E.

6 cos 2 x

6 sin 3x. cos 3x


48.

Dari kawat yang panjangnya 500 meter akan dibuat kerangka balok yang salah satu rusuknya 25 meter. Jika volume baloknya maksimum, maka panjang dua rusuk yang lain adalah…. A. 10 m dan 90 m B. 15 m dan 85 m C. 25 m dan 75 m D. 40 m dan 60 m E. 50 m dan 50 m SPMB MAT DAS 2006 (XX -14)

49.

Jika

α

dan β berturut-turut merupakan sudut lancip yang dibentuk oleh

sumbu X dengan garis singgung y = x 2 − 4 x − 5 di titik dengan absis -1 dan 3, maka tan( β − α ) = ... A. B. C. D. E.

-4/13 4/13 -8/11 8/11 4/11


50.

2 Melalui titik (1, − 3 ) dibuat garis singgung pada parabola y = 1 x absis 4

kedua titik singgungnya adalah…. A. -3 dan -1 B. -3 dan 1 C. -1 dan 1 D. -1 dan 3 E. 1 dan 3 SPMB MAT IPA 2006 (XX-13)

4

INTEGRAL / ANTI TURUNAN A.

INTEGRAL TAK TENTU a. Integral Dasar #(1)

∫ ax

n

dx = na+1 x n+1 + C

,

untuk n ≠ − 1

∫ a dx = ax + C Sifat – sifat dalam operasi integral : 1. 2.

∫ k ⋅ f ( x) dx = k ∫ f ( x) dx ∫ f ( x) ± g ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx

Contoh :

1. 2. 3. 4.

∫ 3x dx = 53 x + C 2 2 3 3 ∫ 12 x dx = 12 ∫ x dx = 12 13 x + C = 16 x + C ∫ 2 dx = 2x + C 2 ∫ 3x + 4 x + x6 dx = .... 4

5

2

Pembahasan :

∫

1

3x 2 + 4 x + 62 dx = 3x 2 + 4 x 2 + 6 x −2 dx

∫

x

3

= 33 x 3 + 4 31 x 2 + −61 x −1 + C 2 3

= x 3 + 83 x 2 − 6 x −1 + C

= x 3 + 83 x x − 6x + C

5.

∫

x( x 2 + 3x − 4) x

dx = ...

Pembahasan :

∫

x( x 2 + 3x − 4) x

dx =

∫

∫

( x 3 + 3 x 2 − 4 x) 1 x2

5

3

1

∫

3 2 dx = ( x + 3x − 4 x) x

= x 2 + 3x 2 − 4x 2 dx

− 12

dx

7

5

3

= 71 x 2 + 53 x 2 − 34 x 2 + C 2

2

2

= 72 x 3 x + 65 x 2 x − 83 x x + C b. Integral Bentuk Ln (Logaritma Natural) #(2)

1

∫ x dx = ln x + C Contoh : 1.

2.

2

2 1

2

∫ 3x dx = 3 ∫ x dx = 3 ln x + C ∫

2x 2 + 4x − 3 dx = 2 x + 4 − 3x dx = x 2 + 4 x − 3 ln x + C x

∫

c. Hubungan Integral dan Turunan #(3) turunan

f (x ) f ( x) =

integral

f ' ( x)

∫ f ' ( x) dx dan

turunan

f ''( x)

integral

f ' ( x) =

atau bisa ditulis :

∫ f ' ' ( x) dx

Contoh :

1. Jika diketahui f ' ( x ) = 10 x 4 + 2 x + 4 dan f (1) = 10 , maka persamaan f ( x) adalah.... Pembahasan :

∫ f ' ( x) dx = ∫ 10 x 4 + 2 x + 4 dx = 10 x 5 + 22 x 2 + 4 x + C 5

f ( x) =

= 2x5 + x 2 + 4x + C f (1) = 2 + 1 + 4 + C = 10 7 + C = 10 ⇔ C = 3 f ( x) = 2 x + x 2 + 4 x + 3 5

2. Jika diketahui gradien garis singgung sebuah kurva adalah 2 x + 3 dan kurva tersebut melalui titik (2,3). Maka persamaan kurva tersebut adalah... Pembahasan :

y' = 2 x + 3

∫ = ∫ 2 x + 3 dx = x 2 + 3x + C

y = y' dx

catatan :

Gradien = m = y’ = 2x + 3

y = x 2 + 3 x + C , melaui (2,3) 3 = 2 2 + 3( 2 ) + C

3 = 10 + C ⇔ C = − 7 y = x 2 + 3x − 7

B.

INTEGRAL SUBTITUSI #(4) Integral ini dengan cara mensubtitusi/mengganti sebagain unsur integral sehingga integral tersebut menjadi bentuk baku. Contoh :

1.

∫ 4 x( x

2

+ 3) 5 dx = ....

misal :

Pembahasan :

x2 + 3 = u du 2x = dx

∫ 4 x( x + 3) dx = .... = ∫ 4 x ⋅ u 5 du 2x = ∫ 2u 5 dx 2

5

2 x dx = du

dx =

= 62 u 6 + C

du 2x

= 13 ( x 2 + 3) 5 + C CADAS Integral

∫ 4x

( x 2 + 3) 5 dx =

Tetap Turun

4x 1

∫ 2x ⋅ 6 (x

2

+ 3) 6 + C

1 = ( x 2 + 3) 6 + C 3

Inget : Tetap Turun Integral (TTIn) In

2.

x +1

∫

x 2 + 2x + 5

= ...

Pembahasan :

x +1

∫

x2 + 2x + 5

= ... misal :

∫

= ( x + 1)(x 2 + 2 x + 5)

∫

= ( x + 1) ⋅ u

− 12

− 12

du 2( x + 1)

dx

x 2 + 2x + 5 = u du 2x + 2 = dx 2( x + 1) dx = du

dx =

du 2( x + 1)

− = 12 u 2 du 1

∫

1

= 12 11 u 2 + C 2

= 12 12 u + C = x 2 + 2x + 5 + C CADAS : Integral

∫

x +1 x + 2x + 5 2

∫

= ( x + 1)(x 2 + 2 x + 5) Tetap

− 12

dx

Turun

=

1 ( x + 1) 1 2 ⋅ ( x + 2 x + 5) 2 + C 2 x + 2 12

=

1 12 2 ( x + 2 x + 5) 2 + C 21

= x 2 + 2x + 5 + C 3.

∫ 2 x( x + 1) dx = .... 3

misal :

x +1 = u ⇔ x = u − 1

Pembahasan:

∫ 2 x( x + 1) dx = .... ∫ 2(u − 1)u du = ∫ 2u 3

3

Catatan :

1= 4

− 2u 3 du

du dx

dx = du

2 2 = u5 − u4 + C 5 4 2 1 = ( x + 1)5 − ( x + 1) 4 + C 5 2

Cadas digunakan hanya jika bagian yang dimisalkan mempunyai pangkat 1 lebih besar dari yang tidak dimisalkan.

C.

INTEGRAL PARSIAL #(5) Bentuk integral parsial :

∫ u dv = u ⋅ v − ∫ v du Contoh :

1.

∫ 3x(2 x + 1)

3

dx = ....

Pembahasan :

∫ 3x(2 x + 1) u

3

dx = ....

dv

misal :

u = 3x

dv = ( 2 x + 1) 3 dx

du =3 dx

v=

11 (2 x + 1) 4 24 1 v = (2 x + 1) 4 8

du = 3dx

∫ 3x(2x + 1) dx = u ⋅ v − ∫ v du 3

1 1 = (3x) (2 x + 1) 4 − (2 x + 1) 4 3dx 8 8 1 3 = (3x) (2 x + 1) 4 − ( 2 x + 1) 4 dx 8 8 3 311 = x(2 x + 1) 4 − (2 x + 1) 5 + C 8 825 3 3 = x(2 x + 1) 4 − (2 x + 1) 5 + C 8 80

∫

TURUNKAN

CADAS :

3x

( 2 x + 1) 3

3

1 1 ( 2 x + 1) 4 = 1 ( 2 x + 1) 4 24 8 1 1 1 ( 2 x + 1)5 = 1 ( 2 x + 1)5 825 80

0

3 3 = x(2 x + 1) 4 − (2 x + 1)5 + C 8 80

+ -

INTEGRALKAN

∫

D.

INTEGRAL TRIGONOMETRI a. Integral Trigonometri Dasar #(6)

Rumus – rumus dasar integral trigonometri adalah : 1. 2. 3. 4. 5. 6.

∫ sin x dx = − cos x + C ∫ cos x dx = sin x + C 2 ∫ sec x dx = tan x + C 2 ∫ cos ec x dx = − cot x + C ∫ sec x tan x dx = sec x + C ∫ csc x cot x dx = − csc x + C

Inget ini bro !!! (di bab turunan)

1. f ( x) = sin x → f ' ( x) = cos x 2. f ( x ) = cos x → f ' ( x) = − sin x 3. f ( x ) = tan x → f ' ( x ) = sec 2 x 4. f ( x ) = cot x → f ' ( x ) = − csc 2 x 5. f ( x ) = sec x → f ' ( x) = sec x ⋅ tan x 6. f ( x) = csc x → f ' ( x) = − csc x ⋅ cot x

Atau bisa ditulis dalam bentuk berikut :

1

1.

∫ sin(ax + b) dx = − a cos(ax + b) + C

2.

∫ cos(ax + b) dx = a sin(ax + b) + C

3.

∫ sec

4.

∫

5.

∫

6. 1.

∫

1

1 tan(ax + b) + C a 1 cos ec 2 (ax + b) dx = − cot(ax + b) + C a 1 sec(ax + b) tan(ax + b) dx = sec(ax + b) + C a 1 csc(ax + b) cot(ax + b) dx = − csc(ax + b) + C a 2

(ax + b) dx =

Contoh :

2

1.

∫ 2 sin(3x + 4) dx = 2 ⋅ − 13 cos(3x + 4) + C = − 3 cos(3x + 4) + C

2.

∫ 3 cos 4x dx = 4 sin 4x + C

3.

∫ csc(2 x − 1) cot(2 x − 1)dx = − 2 csc(2 x − 1) + C

3

1

b. Integral Trigono Dengan Rumus Trigono #(7)

Berikut adalah rumus – rumus yang sering digunakan dalam penyelesaian integral trigonometri : Rumus – rumus identitas dalam trigonometri adalah : 1.

sin

2

x + cos

2

sin 2 x + cos 2 x = 1

x =1

cos 2 x = 1 − sin 2 x tan 2 x = sec 2 x − 1

2.

1 + tan 2 x = sec 2 x

3.

1 + cot 2 x = cos ec 2 x

cot 2 x = cos ec 2 x − 1

Rumus perkalian :

Rumus sudut rangkap :

1. 2 sin A cos B = sin( A + B ) + sin( A − B )

1. sin 2 A = 2 sin A cos A

2. 2 cos A sin B = sin( A + B ) − sin( A − B )

2. cos 2 A = cos 2 A − sin 2 A 1 1 3. sin 2 A = − cos 2 A 2 2 1 1 4. cos 2 A = + cos 2 A 2 2

3. 2 cos A cos B = cos( A + B ) + cos( A − B ) 4. − 2 sin A sin B = cos( A + B ) − cos( A − B ) Contoh :

2 3x dx = 2(1 − sec 2 3x)dx = 2 − 2 sec 2 3x dx = 2 x − tan 3x + C 3 1 1 1 11 1 1 sin 2 2 x dx = − cos 4 x dx = x − sin 4 x + C = x − sin 4 x + C 2 2 2 24 2 8

1.

∫ 2 tan

2.

∫ ∫ ∫ 3 cos 4 x cos 2 x dx = ....

3.

2

∫

∫

Pembahasan :

3

∫ 3 cos 4x cos 2x dx = 2 ∫ 2 cos 4 x cos 2 x dx 3 cos( 4 x + 2 x) + cos(4 x − 2 x) dx 2 3 = cos 6 x + cos 2 x dx 2 31 1  =  sin 6 x + sin 2 x  + C 26 2  =

∫

∫

1 3 = sin 6 x + sin 2 x + C 4 4

c. Integral Trigono Dengan Subtitusi #(8)

Seperti pada subtitusi pada integral ini juga ada bagian dari fungsi yang diganti/dimisalkan. Contoh :

1.

∫ 4x ⋅ sin(x

+ 3) dx = ....

2

misal :

x2 + 3 = u du 2x = dx du dx = 2x

Pembahasan :

∫ 4 x ⋅ sin( x

du

. ∫ 2x = ∫ 2 sin u du

2

+ 3) dx = 4 x sin u

= −2 cosu + C = − 2 cos( x 2 + 3 ) + C

CADAS : Integral

∫ 4x ⋅ sin(x Tetap

2.

2

+ 3)dx =

Turun

∫ sin 2x ⋅ cos

3

4x cos( x 2 + 3) + C = − 2 cos( x 2 + 3) + C 2x

2 x dx = ....

Pembahasan :

∫ sin 2x ⋅ cos

3

misal :

∫

2 x dx = sin 2 x ⋅ u 3

du − 2 sin 2 x

1 = − u 3du 2 11 4 =− u +C 24 1 = − cos 4 2 x + C 8

∫

CADAS :

cos2x = u − 2 sin 2 x = dx =

du dx

du − 2 sin 2 x

Integral

sin 2 x 1

2 x ⋅ cos 2 xdx = cos ∫ sin − 2 sin 2 x 4 Tetap Turun 3

3.

∫ 3sec

2

4

1 2 x + C = − cos 4 2 x + C 8

x ⋅ tan 4 x dx = ....

misal :

Pembahasan :

∫ 3sec

2

tan x = u

∫

x ⋅ tan 4 x dx = 3 sec2 x ⋅ u 4

∫

= 3u du 4

du 2

sec x

du dx du

sec2 x =

dx =

sec2 x

3 = u5 + C 5 3 = tan 5 x + C 5 CADAS : Integral

∫

3 sec2 x ⋅ tan 4 xdx = Tetap

Turun

3 sec 2 x 1 5 3 ⋅ tan x + C = tan 5 x + C 2 5 sec x 5

d. Integral Trigono Dengan Parsial #(9) Contoh :

Pembahasan :

∫ 2 x ⋅ cos 3x dx = .... misal :

u = 2x du =2 dx

dv = cos3x dx 1 v = sin 3x 3

2x 2

cos3x 1 sin 3 x 3 1 . − 1 cos 3 x 3 3

0

=

du = 2dx

+ = − 1 cos 3 x 9

2 2 sin 3x + cos 3x + C 3 9

∫ 2 x ⋅ cos 3x dx = uv − ∫ vdu 1 1 = 2 x ⋅ sin 3x − sin 3x ⋅ 2dx 3 3 2 2 = x sin 3x − sin 3x dx 3 3 2 2 1 = x sin 3x − ⋅ − cos 3x + C 3 3 3 2 2 = x sin 3x + cos 3x + C 3 9

∫

∫

Pembahasan :

∫

x 2 sin x dx = ....

= − x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C

CADAS :

x2 2x 2 0

sin x

− cos x

− sin x cos x

+ +

INTEGRALKAN

∫

x 2 sin x dx = ....

TURUNKAN

2.

= − x cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C 2

INTEGRALKAN

∫ 2 x ⋅ cos 3x dx = ....

TURUNKAN

1.

CADAS :

E.

INTEGRAL SUBTITUSI TRIGONOMETRI #(10) Ini adalah materi pengayaan, untuk lebih mendalamnya akan dibahas di Kalkulus saat kalian kuliah nanti. Bentuk subtitusi trigonometri : Bentuk

Subtitusi

Hasil

x = a tanθ

a secθ

x = a secθ

a tanθ

x = a sinθ

a2 − x2 a2 + x2 x2 − a2

a cosθ

Contoh :

1.

dx

∫

9−x

= ....

2

Pembahasan :

3 2 − x 2 → x = 3 sin θ

9 − x2 =

3 2 − x 2 = 3 cos θ

x = 3 sin θ ⇔

dx

∫

9 − x2

=

3 cosθ dθ = 3 dθ 3 cos

∫

= 3θ + C = 3 arcsin

F.

x +C 3

INTEGRAL FUNGSI EKSPONEN #(11)

∫e

x

dx = e x + C

Contoh :

1.

∫ 2e

3x

dx = ....

Pembahasan :

∫

2eu

du 2 u = e du 3 3 2 = eu + C 3 2 = e3 x + C 3

∫

x = 3sinθ sin θ =

dx = 3 cos θ dθ dx = 3 cos θ dθ

∫

misal :

misal :

3x = u du dx du dx = 3

3=

x 3

θ = arcsin

x 3

G.

INTEGRAL TENTU #(12) Integral tentu didefinisikan dengan : b

∫a f ( x)dx = F (b) − F (a) 1.

dengan f ( x) = F ' ( x) . Contoh :

4

∫2 2 x + 3 dx = .... Pembahasan :

4

∫2 2 x + 3 dx = x

(

2

]

4

+ 3x 2

)(

= 42 + 3(4) − 22 + 3(2)

)

= (16 + 12) − (4 + 12) = 28 − 16 = 12 π

2.

∫0 (sin x + cos 2 x)dx = .... 2

Pembahasan : π

∫0

2

(sin x + cos 2 x)dx = − cos x + 12 sin 2 x

(

]0 π

2

)

= − cos π2 + 12 sin π − (− cos 0 + 12 sin 0) = (0 + 0 ) − (−1 + 0) =1

H.

INTEGRAL LUAS Berikut bentuk-bentuk daerah arsiran : #(13) Y

Y

a

f(x)

b

X f(x)

I a

L=

f(x)

X

b

b

∫a f ( x)dx

a

Y

L=−

b

∫a

L=

a

b b

∫a atas − bawah b L = ∫ f ( x) − g ( x) dx a L=

X

b

c

∫a f ( x)dx − ∫b f ( x) dx

Y f(x)

g(x)

f(x) g(x ) X

c

L = LI + LII

f ( x)dx

Y

Y

b II

f(x)

I I II a

c

b

b

b c

L = LI + LII

L = L I + L II L=

a

X

II

c

∫a f ( x) dx + ∫b g ( x )dx

L=

b

g(x )

X

c

∫a g ( x ) − f ( x)dx + ∫b f ( x) − g ( x)dx

CADAS

Bentuk Khusus :

a b

b

a

b

b a

a

a

b

b

L = 23 ab

a

a

a

L = 13 ab

b

b

Contoh :

1. Luas daerah yang diarsir dari grafik berikut adalah.... Pembahasan :

L=

1 2

∫0 x

= 13 x 3

− 2 x + 1 dx 2

−x +x

]

Y

f ( x) = x 2 − 2 x + 1

1

1

0 X

1  =  − 1 + 1 − (0 − 0 + 0 ) 3  

0

1

Cadas :

= 13

L = 13 ab = 13 (1)(1) = 13

2. Luas daerah yang dibatasi sumbu x, y = x 2 − 4 x + 3 dan 0 ≤ x ≤ 2 adalah.... Pembahasan :

# gambar kurva Y

y = x 2 − 4x + 3

f ( x) = x 2 − 4 x + 3

0 = ( x − 1)( x − 3)

x = 1 atau x = 3

I

Kurva melaui (1,0) dan (3,0) Dan membuka keatas #menghitung luas L = LI + LII

L=

1 2

∫0 x

− 4 x + 3 dx −

= 13 x 3 − 2 x 2 + 3x

]

1

0

2 2

∫1 x −

0

2 1

II

− 4 x + 3 dx 1 x3 3

(

− 2 x 2 + 3x

]

2 1

= ( 13 − 2 + 3) − ( 0 − 0 + 0 ) − ( 83 − 8 + 6 ) − ( 13 − 2 + 3)

() (

)

= 43 − 23 − 43 = 43 + 23 = 63 = 2

)

3

X

#(14)

3. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 − 6 x + 9 dan garis y = x − 1 adalah....

Y

Pembahasan :

y1 = x 2 − 6 x + 9

y2 = x − 1

# gambar kurva

y = x 2 − 6x + 9 0 5

1 2

0 = x 2 − 6x + 9 0 = ( x − 3)( x − 3)

X

-1

x = 3 atau x = 3

CADAS

Kurva membuka keatas dan menyinggung (3,0)

y1 = y2 x 2 − 6x + 9 = x − 1

# gambar garis y = x −1

x 2 − 7 x + 10 = 0 D = b 2 − 4ac

Saat x = 0 maka y = −1 → (0,−1) Saat y = 0 maka x = 1 → (1,0)

= (−7) 2 − 4(1)(10) = 49 − 40 = 9

# titik potong y1 = y2

L=

D D

9 9 9(3) 9 = = = 6 2 6a2 6(1)2

x 2 − 6x + 9 = x − 1 x 2 − 7 x + 10 = 0 ( x − 2)( x − 5) = 0

x = 2 atau x = 5 # menghitung luas

L= =

5

∫2 ( x − 1) − ( x 5

∫2 − x

2

2

− 6 x + 9)dx

+ 7 x − 10 dx

= − 13 x3 + 72 x 2 − 10x

]

5 2

( 3 2 ) (3 2 ) = (−250 + 525−300 ) − (−16 +84 −120 ) = ( ) − ( ) = 6 6 = − 125 + 175 − 50 − − 8 + 28 − 20

− 25 6

− 52 6

27 6

= 92

#(15)

4. Luas dari daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 , garis y = − x + 2 serta sumbu X adalah... Pembahasan :

# gambar kurva y = x2

menyinggung (0,0) membuka keatas # gambar garis y = −x + 2 Saat x = 0 , maka y = 2 → (0,2) Saat y = 0 , maka x = 2 → (2,0) # cari titik potong y1 = y 2

= 13 x 3

] +− 1

0

() (

X

2

x + 2 dx

1 x2 2

)

+ 2x

] = ( − 0) + ((−2 + 4) − (− 2

1 3

1

1 2

+ 2)

)

= 13 + 2 − 32 = 12 + 13 = 56

I.

INTEGRAL VOLUME Y

y = f(x) Y

x=f(y) b

b

a

X

a X

L =π

b 2 y dx a

∫

y2 = − x + 2

= 13 (1)(1) + 12 (1)(1) = 13 + 12 = 56

# luas daerah L = L I + L II

∫

1

L = L I + L II = 13 ab + 12 alas ⋅ tinggi

x = −2 atau x = 1

∫

II

I CADAS:

x2 + x − 2 = 0 ( x + 2)( x − 1) = 0

1 2 2 x dx + − 0 1

1

0

x2 = − x + 2

L=

y1 = x 2

Y

2

L =π

b 2 x dy a

∫

Y

x2=f(y) x1=f(y) y1 = f(x) b

y2 = g(x)

a a

X

b b

∫a atas − bawah b L = π ∫ y12 − y 2 2 dx a L =π

2

2

Contoh :

b

∫a kanan − kiri b L = π ∫ x12 − x2 2 dy a L =π

2

2

1. Daerah yang dibatasi oleh y = x 2 , sumbu X dan x = 1 diputar 360o terhadap sumbu X , maka volume yang terjadi adalah... Pembahasan :

# gambar kurva y = x2

Menyinggung (0,0) dan membuka keatas. #menghitung volum

V =π

1 2

∫0 y

dx

1 4 2 2 ( ) x dx = π ∫0 ∫0 x dx 1 = π [15 x 5 ] = π [15 − 0] 0

=π

y = x2

Y

1

0

X

1

= 15 π

2. Daerah yang dibatasi oleh x + y = 2 dan y = 1 diputar mengelilingi sumbu Y maka volume yang terbentuk adalah.... Pembahasan :

# gambar garis x+ y=2

Y

x+ y =2

2

Saat x = 0 maka y = 2 → (0,2) Saat y = 0 maka x = 2 → (2,0) # menghitung volume x + y = 2 → x = −y + 2

L =π

2 2

∫1 x

dy

1 0

2

X

L =π

2

∫1 (− y + 2)

[

2

dy = π

]

2 = π 13 y3 − 2 y 2 + 4 y

=π

[(

8 3

= 1π 3

) (

−8+8 −

1 3

1

2 2

∫1 y

− 4 y + 4 dy

)] [(3 ) (3 )]

−2+4 =π 8 − 7

SOALSOAL-SOAL LATIHAN

∫ (3x 2

1.

Nilai dari

−1

2

)

+ 4x − 1 dx = ...

A. 20 B. 16 C. 14 D. 12 E. 10 UN MAT IPS 2012 (A35-29)

2.

Luas daerah yang dibatsi oleh kurva y = 2 x 2 − 4 x + 4 , sumbu X, dan

− 1 ≤ x ≤ 3 adalah… A.

5

1 satuan luas 3

B.

6

2 satuan luas 3

C. 18

2 satuan luas 3

D.

23

1 satuan luas 3

E.

20

2 satuan luas 3

UN MAT IPS 2012 (A35-30)

∫ (2 x 3

3.

Nilai dari

1

A.

27

1 3

B.

27

1 2

C.

37

1 3

D.

37

1 2

2

)

+ 4 x − 3 dx = …

E.

51

1 3

UN MAT IPA 2012 (A35 – 33) 1

π

3

4.

Nilai dari

∫0 (sin 2 x + 3 cos x )dx = …

A.

3 +2 3 4

B.

3 +3 3 4

C.

1 1+ 2 3 4

D.

2 1+ 2 3 4

E.

3 1+ 2 3 4

(

)

(

)

(

)

UN MAT IPA 2012 (A35 – 34)

5.

Hasil dari

∫

2x 2 7

(2 x

3

−5

)

5

(

)

+C

(

)

+C

(

)

+C

(

)

+C

(

)

+C

A.

37 2x3 − 5 7

B.

66 2x3 − 5 7

C.

67 2x3 − 5 7

D.

77 2x3 − 5 6

E.

72 2x3 − 5 6

3

7

6

2

7

dx = ….

UN MAT IPA 2012 (A35 – 35)

6.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2-4x+3 dan y = x-1 adalah… A.

41 satuan luas 6

B.

19 satuan luas 3

C.

9 satuan luas 2

D.

8 satuan luas 3

E.

11 satuan luas 6

UN MAT IPA 2012 (A35 – 36)

7.

Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2 dengan y=2x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o adalah… A.

2π satuan volume

B.

3

1 π satuan volume 15

C.

4


D. 12


E.


14

UN MAT IPA 2012 (A35 – 37)

8.

Hasil dari A. B. C. D. E.

∫ cos

4

2 x. sin 2 xdx = ...

1 sin 5 2 x + c 10 1 − cos 5 2 x + c 10 1 − cos 5 2 x + c 5 1 cos 5 2 x + c 5 1 sin 5 2 x + c 10 −

UN MAT IPA 2011 (D10-23)

9.

Luas daerah yang dibatasi kurva y = 4 − x 2 , y = − x + 2 dan 0 ≤ x ≤ 2 , adalah… A. B. C. D. E.

8 satuan luas 3 10 satuan luas 3 14 satuan luas 3 16 satuan luas 3 26 satuan luas 3

UN MAT IPA 2011 (D10-36)

10.

Volume benda putar yang terjadi jika dareah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 , garis y = 2 x dan di kuadran I diputar 3600 terhadap sumbu X adalah…

20 π satuan volume 15 30 B. π satuan volume 15 54 C. π satuan volume 15 64 D. π satuan volume 15 144 E. π satuan volume 15

A.

UN MAT IPA 2011 (D10-37) 4

11.

Hasil

∫ (− x 2

A. B. C. D. E.

38 3 26 3 20 3 16 3 4 3

2

+ 6 x − 8)dx = ...

UN MAT IPA 2011 (D10-38) π

12.

∫ (sin 3x + cos x)dx = ...

Hasil

0

A. B. C. D. E.

10 3 8 3 4 3 2 3 4 − 3

UN MAT IPA 2011 (D10-39)

13.

Hasil A. B. C. D. E.

∫

2 1 3 2 3 1 2 3 2

2x + 3 3x + 9x − 1 2

dx = ...

3x 2 + 9 x − 1 + C

3x 2 + 9 x − 1 + C 3x 2 + 9 x − 1 + C 3x 2 + 9 x − 1 + C 3x 2 + 9 x − 1 + C

UN MAT IPA 2011 (D10-40)

14.

Nilai dari e 2 73 + 48f = ⋯ A. B. C. D. E.

88 84 56 48 46

UN MAT IPA 2010 (D10-32)

15.

Hasil dari e sin

− @ cos

A. −2 cos7 − 2@8 + :

B. − cos7 − 2@8 + : C.

cos7 − 2@8 + :

−@ f =⋯

D. cos7 − 2@8 + : E. 2 cos7 − 2@8 + :

UN MAT IPA 2010 (D10-33)

16.

B

eG 72 sin cos 8 f = ⋯ A. -1 B. − √3 C. D. E. 1

√3

UN MAT IPA 2010 (D10-34)

17.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4adalah ... A. 6 satuan luas

, V = 3 , sumbu Y, dan x = 2

B. 5 <0dg0N `g0<

C. 5 <0dg0N `g0<

D. 3 <0dg0N `g0< E. 2 <0dg0N `g0< UN MAT IPA 2010 (D10-35)

18.

Volum benda putar yang terjadi jika daerah ayng dibatasi oleh kurva y = garis y = 2x di kuadran / diputar 360G terhadap sumbu X adalah ... A.

G

B.

G

@ <0dg0N h;`g% @ <0dg0N h;`g% @ <0dg0N h;`g%

C.

@ <0dg0N h;`g%

D.

@ <0dg0N h;`g%

E.

UN MAT IPA 2010 (D10-36)

19.

Hasil dari e76 A. B. C. D. E.

i7

−

− 4 8i7

− 18 + T

i7

−

− 18 + T

i7

−

− 18 + T

i7

i7

−

−

−

− 18 + T − 18 + T

UN MAT IPA 2009 (D10-31)

20.

Hasil dari e sin 3 cos f = ⋯ A. − cos 4 − cos 2 + T

− 18 f = ⋯

,

B.

cos 4 + cos 2 + T

C. − cos 4 − cos 2 + T D.

cos 4 + cos 2 + T

E. −4 cos 4 − 2 cos 2 + T 21.

UN MAT IPA 2009 (D10-32) j

Diketahui dari e 7 − 18 f = 2 , Nilai p yang memenuhi adalah ... A. 1 B. 1

C. 3 D. 6 E. 9 UN MAT IPA 2009 (D10-33)

22.

Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dengan ...

4 3

1 A. eG 73 −

8 f

B. eG 7 + 3 8 f − eG

C. eG 7 + 3 8 − eG D. eG 7 + 3 − E. eG 7 + 3 −

f

2

f

8 f + e 7

8 f + e 74 −

UN MAT IPA 2009 (D10-34)

23.

8 f

8 f

Perhatikan gambar diarsir di bawah! Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu Y, maka volume benda putar yang terjadi adalah A. 6 @ <0dg0N h;`g%k B. 8 @ <0dg0N h;`g%k

C. 13 @ <0dg0N h;`g%k

D. 15 @ <0dg0N h;`g%k

y= 2

x

E. 25 @ <0dg0N h;`g%k UN MAT IPA 2009 (D10-35)

4

24.

Hasil

∫x

2

1

A. B. C. D. E.

x

dx = ...

-12 -4 -3 2 3/2

UN MAT IPA 2008 (D10-35)

25.

Hasil dari

2

∫ cos

x.sin x.dx adalah…

1 cos 3 x + C 3 1 B. − cos 3 x + C 3 1 C. − sin 3 x + C 3 1 D. sin 3 x + C 3 A.

E.

3 sin 3 x + C

UN MAT IPA 2008 (D10-36)

26.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = − x 2 + 4 x , sumbu X, garis dan A. B. C. D. E.

x = 3 adalah… 2 satuan luas 3 1 5 satuan luas 3 1 7 satuan luas 3 1 9 satuan luas 3 2 10 satuan luas 3 3

UN MAT IPA 2008 (D10-37)

x =1

27.

Volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva

x − y 2 + 1 = 0 , − 1 ≤ x ≤ 4 dan sumbu X , diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600 adalah… A. B. C. D. E.

1 8 π satuan volume 2 1 9 π satuan volume 2 1 11 π satuan volume 2 1 12 π satuan volume 2 1 13 π satuan volume 2

UN MAT IPA 2008 (D10-38)

3

28.

Diketahui

∫ (3 x

2

+ 2 x + 1)dx = 25 . Nilai

a

A. B. C. D. E.

1 a = ... 2

-4 -2 -1 1 2

UN MAT IPA2007 (D9-25)

29.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan garis x + y = 6 adalah… A. 54 satuan luas B. 32 satuan luas C.

20 56 satuan luas

D. 18 satuan luas E.

10 23 satuan luas

UN MAT IPA 2007 (D9-27)

30.

Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = − x 2 + 4 dan

y = −2 x + 4 diputar 360 0 mengelilingi sumbu Y adalah… A. 8π satuan volume 13 π satuan volume B. 2 C. 4π satuan volume

8 π satuan volume 3 5 π satuan volume E. 4 D.

UN MAT IPA 2007 (D9-28)

π

31.

Nilai

∫ sin 2 x.cos x.dx = ... 0

A. B. C. D. E.

4 3 1 − 3 1 3 2 3 4 3 −

UN MAT IPA 2006 (D10-17)

32.

Volume benda putar yang terjadi, jika daerah antara kurva y = x 2 + 1 dan

y = x + 3 , diputar mengelilingi sumbu X adalah… A. B. C. D. E.

67 π satuan volume 5 107 π satuan volume 5 117 π satuan volume 5 133 π satuan volume 5 183 π satuan volume 5

UN MAT IPA 2006 (D10-18)

33.

Perhatikan gambar berikut! x=3 y=x2-4x+3

y=-x2+6x-5

A.

2 satuan luas 3

B. 3 satuan luas C.

5 13 satuan luas

D.

6 23 satuan luas

E. 9 satuan luas UN MAT IPA 2006 (D10-19)

1

34.

Hasil dari

∫ 3x

3 x 2 + 1dx = ...

0

A. B. C. D. E.

7/2 8/3 7/3 4/3 2/3

UN MAT IPA 2005 (D10-18)

35.

Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah… A.

4 12

B.

5 16

C.

5 56

D.

13 16

E.

30 16

UN MAT IPA 2005 (D10-24)

5

-1

1 -1

5

36.

Hasil dari A. B. C. D. E.

5

∫ cos

x.dx = ...

1 − cos 6 x.sin x + C 6 1 cos 6 x. sin x + C 6 2 1 − sin x + sin 3 x + sin 5 x + C 3 5 2 1 sin x − sin 3 x + sin 5 x + C 3 5 2 1 sin x + sin 3 x + sin 5 x + C 3 5

UN MAT IPA 2005 (D10-25)

37.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, y = 1, dan x = 2 adalah...

∫ (1 − x )dx 2

A.

2

−1

∫ (x

2

− 1 dx

)

∫ (x

2

− 1 dx

2

B.

−1

)

2

C.

1

∫ (1 − x )dx 1

D.

2

−1

∫ (x

)

2

E.

2

− 1 dx

0


38.

Luas daerah di bawah y = − x 2 + 8 x , diatas y = 6 x − 24 , dan terletak di kuadran I adalah… 4

A.

B.

∫ (− x

6

2

+ 8 x ) dx + ∫ ( x 2 − 2 x − 24) dx

0

4

4

6

0

4

2 2 ∫ (− x + 8 x)dx + ∫ (− x + 2 x + 24)dx

6

C.

8

2 2 ∫ (− x + 8 x)dx + ∫ (− x + 2 x + 24)dx 0

6

6

D.

E.

8

∫ (6 x − 24)dx + ∫ (− x 4

6

4

6

∫ (6 x − 24)dx + ∫ (− x 0

2

+ 8 x ) dx

2

+ 8 x ) dx

4


39.

Integral yang menyatakan daerah kurva y =

x , x + y − 6 = 0 dan sumbu X

adalah … 6

A.

B.

9

∫

x dx + ∫ ( x − 6)dx

0

6

4

9

∫

x dx − ∫ ( x − 6) dx

0

4

4

C.

9

x dx + ∫ ( x − 6)dx

∫ 0

4

4

D.

E.

6

x dx − ∫ ( x − 6) dx

∫ 0

4

4

6

∫

x dx + ∫ ( x − 6)dx

0

4


1/ 2

40.

x dx disubtitusikan 1− x

∫

Jika

0 1/ 2

A.

∫ sin

2

x dx

0 1/ 2

B.

∫

0

sin 2 y dy cos y

π /4

C.

2

∫ sin 0

2

x dx

x = sin y , maka menghasilkan…

π /4

∫ sin

D.

2

y dy

0

π /6

E.

∫ sin

2

2

x dx

0 SNMPTN MAT IPA 2009 (XX-04)

41.

Jika f ( x ) = x 2 , maka luas yang dibatasi kurva y = 4 − f ( x), y = 4 − f ( x − 4) dan garis y = 4 adalah… A. B. C. D. E.

12 16/3 5 4 11/3


42.

Luas daerah yang dibatasi oleh y = 2 sin x, x =

π 2

,x =

3π dan sumbu x sama 2

dengan… A. 1 satuan luas B. 2 satuan luas C. 3 satuan luas D. 4 satuan luas E. 5 satuan luas SNMPTN MAT IPA 2008 (XX-03)

43.

Luas daerah dibatasi oleh grafik fungsi-fungsi y = sin x, y = cos x dan sumbu X untuk 0 ≤ x ≤ A.

2 −1

B.

2− 2

C.

2 2

π 2

adalah…

D. 2 2 − 1 E. 2 SPMB MAT IPA 2007 (XX-08)

3

44.

15∫ x x − 2dx = ... 2

A. 18 B. 20 C. 22

D. 24 E. 2 SPMB MAT IPA 2006 (XX-07)

PROGRAM LINIER A.

SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER Pertidaksamaan linier adalah pertidaksamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu, gabungan dua atau lebih pertidaksamaan linier disebut sistem pertidaksamaan linier. Berikut adalah contohnya :

B.

Pertidaksamaan Linier 2x + 3y ≤ 4

Persamaan linier 2x + 3y = 4

− 5x + 6 y > 2

x − 2 y = −5

x≥0

y=3

y < −2

x=0

DASAR-DASAR YANG PERLU DIKUASAI a. Membuat Persamaan Garis Memotong Sumbu X dan sumbu Y

Y

ax + by = ab

a

a adalah absis tipot dengan sumbu Y b adalah absis tipot dengan sumbu X

X

b Contoh :

Y

Y 5

4

3 ⇒ 4 x + 3 y = 12

X

X

X

-2 ⇒ 5 x − 2 y = −10

4

-2

-3 Y ⇒ −3 x − 2 y = 6

X

-5 Y ⇒ −5 x + 4 y = −20

b. Membuat Persamaan Garis Melalui 2 Titik

( x2 , y2 )

y − y1 x − x1 = y 2 − y1 x 2 − x1

( x1 , y1 ) Contoh :

CADAS :

20 − 3 = 17

(5,1)

(5 , 1) (3 , 4)

(3,4) y − y1 x − x1 = y 2 − y1 x 2 − x1

2 y = −3x + 17 3x + 2 y = 17

y −4 x−3 = 1− 4 5 − 3 y −4 x−3 = −3 2 2 y − 8 = −3 x + 9 3 x + 2 y = 17 c. Menggambar Persamaan Garis

Untuk menggambar persamaan garis lurus adalah dengan cara mencari titik potong dengan sumbu X dan Y nya, kemudian kita buat garis melalui dua titik tersebut. Contoh :

Y

y =0→ x=6 1. 2 x + 4 y = 12

3

x=0→ y =3 6

2. 3x − 5 y = 15

y =0→ x=5

5 -3

x = 0 → y = −3

Y

Y

3.

x = 4 dan y = −2

4

X y=-2

-2 y=4

X X

C.

SISTEM PERITDAKSAMAAN LINIER a. Menentukan Daerah Penyelesaian / HP

Untuk menentukan daerah arsiran dengan titik uji dapat dilakukan dengan : 1. Gambar garis tersebut. 2. Ambil sebuah titik uji, dan subtitusikan titik uji tersebut ke pertidaksamaan. 3. Jika memberikan nilai benar maka daerah tersebut daerah penyelesaian, jika tidak maka daerah diseberangnya yang merupakan daerah penyelesaian. Atau bisa dilakukan tanpa titik uji, caranya : Dengan c > 0 , ax + by ≤ c , daerah arsiran di daerah yang terdapat (0,0) Dengan c > 0 , ax + by ≥ c , daerah arsiran di daerah yang tidak terdapat titik (0,0) Contoh :

1. Himpunan penyelesaian dari : 2 x + 3 y ≥ 24 adalah.... Pembahasan :

# gambar garis: 2 x + 3 y = 24

y = 0 → x = 12

8

x =0→ y =8 # uji titik Titik uji (0,0) ⇒ 2 x + 3 y ≥ 24

12

0 + 0 ≥ 24 (salah), maka daerah arsiran ada disebrangnya.

2. Himpunan penyelesaian dari 3 x − 2 y ≤ 12 adalah... Pembahasan :

# gambar garis :

3 x − 2 y = 12

y =0→ x=4

(0,0) 4

x = 0 → y = −6 3x − 2 y

≤ 12

-6 Daerah yang yg terdapat titik (0,0)

b. Daerah – daerah Kuadran

Dalam bidang kartesius terdpat 4 kudran yang dibedakan seperti berikut : Y+

Kuadran II x≤0 y≥0

Kuadran I x≥0 y≥0

X−

X+

Kuadran III x≤0 y≤0

c. Sistem Pertidaksamaan Linier

Kuadran IV x≥0 y≤0 Y−

Sistem pertidaksamaan linier ini artinya gabungan dari beberapa pertidaksamaan linier. Contoh :

1. Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut : Y 4 y − 2 x ≤ 4 4 x + 3 y ≤ 12 4   x ≥ 0  y ≥ 0 adalah....

1

Pembahasan :

y = 0 → x = −2 4 y − 2x = 4 4 y − 2x ≤ 4

-2

x = 0 → y =1

3

Daerah penyelesaian

Daerah yang yg terdapat titik (0,0)

4 x + 3 y = 12 4 x + 3 y ≤ 12

y =0→ x=3 x=0→ y=4 Daerah yang yg terdapat titik (0,0)

x ≥ 0  kuadaran I y ≥ 0

X

Y

2. Daerah yang diarsir pada gambar berikut menunjukkan himpunan penyelesaian dari berberapa pertidaksamaan linier. Carilah pertidaksamaan – pertidaksamaan tersebut !.

5 3

(0,0)

2

4

X

Pembahasan :

Jadi sistem pertidaksamaannya adalah... Y

5 x + 2 y = 10

5

3 x + 2 y = 12

3

(0,0)

5 x + 2 y ≤ 10 3x + 4 y ≤ 12

2

4

X

dikuadran I (karena (0,0) termasuk daerahnya). (karena (0,0) termasuk daerahnya).

x≥0 y≥0

D.

NILAI OPTIMUM DARI FUNGSI OBJEKTIF Fungsi objektif adalah bentuk f ( x, y ) = ax + by atau z = ax + by yang akan dicari nilai optimumnya (masksimum/minimum). a. Dengan Subtitusi Titik Pojok

Dilakukan dengan mensubtitusikan titik-titik pojok daerah arsiran ke fungsi objektif. Contoh :

1. Nilai maksimum dan minimum dari daerah disamping dengan fungsi objektif f ( x, y ) = 2 x + 3 y adalah.... Pembahasan :

f ( x, y ) = 2 x + 3 y f (0,0) = 0 + 0 = 0

Y (3,7)

(0,3) (5,3) (0,0)

X (4,0)

f (4,0) = 8 + 0 = 8 f (5,3) = 10 + 9 = 19 f (3,7) = 6 + 21 = 27 f (0,3) = 0 + 9 = 9 Maka nilai maksimumnya 27 dan nillai minimumnya 0.

b. Dengan Garis Selidik

Bila fungsi objektif f ( x, y ) = ax + by maka garis selidiknya ax + by = k , dengan k ∈ R . Titik yang terkena paling awal/akhir dari garis selidik dialah Y titik optimumnya. Contoh :

D(3,7)

1. Nilai optimum dari gambar disamping dengan fungsi objektif f ( x, y ) = 2 x + 3 y adalah...

C(5,3)

Pembahasan :

2

Garis selidik :

2x + 3 y = 6

E(0,3)

y =0→ x=3

A(0,0)

3

B(4,0)

x=0→ y=2

X

aris selidik: 2x+3y=k

Titik awal dan terakhir yang terkena garis selidik adalah titik A dan D, maka dititik itulah terjadi nilai optimum.

f ( x, y ) = 2 x + 3 y Untuk titik A(0,0)

f (0,0) = 2(0) + 3(0) = 0 + 0 = 0 (minimum) Untuk titik D(3,7)

f (3,7) = 2(3) + 3(7) = 6 + 21 = 27 (maksimum)

E.

PEMODELAN MATEMATIKA Pemodelan matematika adalah penerjemahan dari kendala-kendala dalam sebuah kejadian kedalam bentuk sistem pertidaksamaan linier. Setelah mendapat model matematikanya maka bisa dicari nilai-nilai optimumnya. Contoh :

1. Mas Bejoo akan mengangkut 20 sapi dan 12 domba dengan dengan truk dan pickup. Setiap truk mampu mengangkut 4 sapi dan 2 doomba dan pickup mampu mengankut 2 sapi dan 3 domba untuk sekali angkutnya. Biaya angkut truk Rp.1.000.000 dan biaya angkut pickup Rp.450.000. Carilah : a. Model matematikanya b. Biaya minimum untuk mengankut ternak c. Jumlah truk dan pickup agar biaya angkutnya minimum Pembahasan :

a. Mencari model matematika Jumlah truk = x Jumlah pickup = y

Truk Pickup Total Sapi 4(x) 2(y) 20 Domba 2(x) 3(y) 12 Biaya 1.000.000(x) 450.000(x) Y Maka model matematikanya adalah : 4 x + 2 y ≥ 20 ⇒ 2 x + y ≥ 10 B(0,10) 2 x + 3 y ≥ 12 10 x≥0 y≥0

f ( x, y ) = 1.000.000 x + 450.000 y b. Mencari biaya minimum

2 x + y ≥ 10

C

x = 0 → y = 10

5

y =0→ x=5

daerah yg tdk terdapat titik (0,0)

2 x + 3 y ≥ 12

4

x=0→ y=4 y =0→ x=6

Cari titik potong C : 2 x + 3 y = 12 2 x + y = 10 − 2y = 2 → y = 1

daerah yg tidak terdapat titik (0,0)

x=41

f ( x, y ) = 1.000.000 x + 450.000 y f (6,0) = 6.000.000 + 0 = 6.000.000

X 6 A(6,0)

2

Maka titik C ( 4 1 ,1) . 2

f (0,10) = 0 + 4.500.000 = 4.500.000 f (4 1 ,1) = 4.500.00 + 450.000 = 4.950.000 2

Jadi biaya minimumnya adalah Rp.4.500.000 c. Jumlah truk dan pickup agar minimum Nilai minimum dicapai dititik B(0,10) artinya 0 truk dan 10 pickup.


Daerah yang diarsir pada gambar merupakan daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier. Nilai minimum f(x,y)=4x+3y yang memenuhi Y

daerah yang diarsir adalah… A. 36

30

B. 60 C. 66

12

D. 90 15

E. 96

24

X

UNMAT IPS 2012 (A35 – 17)

2.

Tempat parker seluas 600 m2 mampu menampung 58 bus dan mobil. Tiap mobil membutuhkan tempat seluas 6 m2 dan bus 24 m2. Biaya parker tiap mobil Rp2.000,00 dan bus Rp3.500,00. Beberapa hasil dari biaya parker maksimum, jika tempat parker penuh ? A. Rp87.500,00 B. Rp116.000,00 C. Rp137.000,00 D. Rp163.000,00 E. Rp203.000,00 UNMAT IPS 2012 (A35 – 18)

3.

Nilai maksimum f ( x, y ) = 5 x + 4 y yang memenuhi pertidaksamaan

x + y ≤ 8, x + 2 y ≤ 12, x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah… A. 24 B. 32 C. 36 D. 40 E. 60 UNMAT IPS 2011 (XX – 10)

4.

Nilai minimum fungsi obyektif f ( x, y ) = 3 x + 2 y dari daerah yang diarsir pada gambar adalah… A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9 UNMAT IPS 2011 (XX – 16)

Y

4

3

X 2

3

5.

Seorang peternak ikan hias memiliki 20 kolam untuk memelihara ikan koki dan ikan koi. Setiap kolam dapat menampung ikan koki saja sebanyak 24 ekor, atau ikan koi saja sebanyak 36 ekor. Jumlah ikan yang direncanakan akan dipelihara tidak lebih dari 600 ekor. Jika banyak kolam berisi ikan koki adalah x, dan banyak kolam berisi ikan koi adalah y, maka model matematika untuk masalah ini adalah… A. x + y ≥ 20,3 x + 2 y ≤ 50, x ≥ 0, y ≥ 0 B. x + y ≥ 20,2 x + 3 y ≤ 50, x ≥ 0, y ≥ 0 C. x + y ≤ 20,2 x + 3 y ≤ 50, x ≥ 0, y ≥ 0 D. x + y ≤ 20,2 x + 3 y ≥ 50, x ≥ 0, y ≥ 0 E. x + y ≤ 20,3 x + 2 y ≥ 50, x ≥ 0, y ≥ 0 UNMAT IPS 2011 (XX-22)

6.

Seorang ibu memproduksi dua jenis keripik pisang, yaitu rasa coklat dan rasa keju. Setiap kilogram keripik rasa coklat membutuhkan modal Rp.10.000,00 , sedangkan keripik rasa keju membutuhkan modal Rp.15.000,00 per kilogram. Modal yang dimiliki ibu tersebut Rp.500.000,00. Tiap hari hanya bisa memproduksi paling banyak 40 kilogram. Keuntungan tiap kilogram keripik pisang rasa coklat adalah Rp.2.500,00 dan keripik rasa keju Rp.3.000,00 per kilogram. Keuntungan terbesar yang dapat diperoleh ibu tersebut adalah…. A. Rp.110.000,00 B. Rp.100.000,00 C. Rp.99.000,00 D. Rp.89.000,00 E. Rp.85.000,00 UNMAT IPS 2011 (XX-34)

7.

Perhatikan gambar ! Nilai maksimum f ( x, y ) = 60 x + 30 y untuk (x,y) pada daerah diarsir adalah... A. 200 B. 180 C. 120 D. 110 E. 80 UN MAT IPS 2010 (XX-17)

8.

Tempat parkir seluaa 600m2 dan hanya mampu menampung 58 kendaraan jenis bus dan mobil. Tiap mobil membutuhkan tempat seluas 6m2 dan bus

24m2. Biaya parkir tiap mobil Rp2.000,00 dan bus Rp3.500,00. Berapa hasi dari biaya parkir maksimum, jika tempat parkir penuh ? A. Rp87.500,00 B. Rp116.000,00 C. Rp137.000,00 D. Rp163.000,00 E. Rp203.000,00 UN MAT IPS 2010 (XX-18)

9.

Penjahit “Hidah Pantes” akan membuat pakian wanita dan pria. Untuk membuat pakaian wanita diperlukan bahan bergaris 2 m dan bahan polos 1 m. Untuk membuat pakaian pria diperlukan bahan bergaris 1 m dan bahan polos 2 m. Penjahit hanya memiliki persediaan bahan bergaris dan bahan polos sebanyak 36 m dan 30 m. Jika pakaian wanita dijual dengan harga Rp150.000,00 dan pakaian pria dengan harga Rp100.000,00 maka pendapatan maksimum yang didapat adalah… A. Rp2.700.000,00 B. Rp2.900.000,00 C. Rp3.700.000,00 D. Rp3.900.000,00 E. Rp4.100.000,00 UN MAT IPA 2012 (A35-12)

10.

Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet tiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam sehari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp.4.000,00 perbiji dan tablet II Rp.8.000,00 perbiji, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet perhari adalah… A. Rp.12.000,00 B. Rp.14.000,00 C. Rp.16.000,00 D. Rp.18.000,00 E. Rp.20.000,00 UN MAT IPA 2011 (D10-31)

11.

Sebuah perusahaan memproduksi barang dengan 2 model yang dikerjakan dengan dua mesin yaitu mesin A dan mesin B. Produksi model 1 dikerjakan dengan mesin A selama 2 jam dan mesin B selama 1 jam. Produksi model II dikerjakan dengan mesin A selama 1 jam dan mesin B selama 5 jam. Waktu

kerja mesin A dan B berturut-turut adalah 12 jam perhari dan 15 jam perhari. Keuntungan penjualan produksi model I sebesar Rp40.000,00 per unit dan model II Rp10.000,00 per unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah ... A. Rp120.000,00 B. Rp220.000,00 C. Rp240.000,00 D. Rp300.000,00 E. Rp600.000,00 UN MAT IPA 2010 (D10-13)

12.

Menjelang hari raya Idhul Adha. Pak Mahmud hendak berjualan sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Jawa Tengah berturut-turut Rp9. 000.000, 00 dan Rp8.000.000, 00. Modal yang ia dimiliki adalah Rp124.000.000, 00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Jakarta dengan harga berturut-turut Rp10.300.000, 00 dan Rp9.200.000, 00. Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih dari 15 ekor. Agar mencapai keuntungan yang maksimum, maka banyak sapi dan kerbau yang harus dibeli Pak Mahmud... A. 11 sapi dan 4 kerbau B. 4 sapi dan 11 kerbau C. 13 sapi dan 2 kerbau D. 0 sapi dan 15 kerbau E. 7 sapi dan 8 kerbau UN MAT IPA 2009 (D10-25)

13.

Daerah yang diarsir pada gambar merupakan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier. Nilai maksimum dari A. 88 B. 94 C. 102 D. 106 E. 196 UN MAT IPA 2008 (D10-14)

14.

f ( x, y ) = 7 x + 6 y adalah…

20 15 12

18

Seorang pembuat kue mempunyai 4 kg gula dan 9 kg tepung. Untuk membuat sebuah kue jenis A dibutuhkan 20 gram gula dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat kue jenis B dibutuhkan 20 gram gula dan 40 gram tepung. Jika kue A dijual dengan harga Rp.4000/buah dan kue B dijual dengan harga Rp.3.000/buah, maka pendapatan maksimum yang dapat diperoleh oleh pembuat kue tersebut adalah… A. Rp.600.000 B. Rp.650.000 C. Rp.700.000 D. Rp.750.000 E. Rp.800.000

UN MAT IPA 2008 (D10-15)

15.

Luas daerah parkir 1.760m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4m2 dan mobil besar 20m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp.1000/jam dan mobil besar Rp.2000/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum parkir itu adalah… A. Rp.176.000 B. Rp.200.000 C. Rp.260.000 D. Rp.300.000 E. Rp.340.000 UN MAT IPA 2007 (D9-11)

16.

Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan grobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp.8.000/kg dan pisang Rp.6.000/kg . Modal yang tersedia Rp.1.200.000 dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp.9.200.000/kg dan pisang Rp.7.000/kg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah…. A. Rp.150.000 B. Rp.180.000 C. Rp.192.000 D. Rp.204.000 E. Rp.216.000 UN MAT IPA 2006 (D10-20)

17.

Tanah seluas 10.000m2 akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan 100m2 dan tipe B diperlukan 75m2 . Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp.6.000.000/unit dan tipe B Rp.4.000.000/unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumah tersebut adalah… A. Rp.550.000.000 B. Rp.600.000.000 C. Rp.700.000.000 D. Rp.800.000.000 E. Rp.900.000.000 UN MAT IPA 2005 (D10-29)

18.

Nilai maksimum fungsi objektif (tujuan) f(x,y) = 3x + 2y dengan kendala x + 2y ≤ 12, x ≥ 2 dan y ≥ 1 adalah... A. 16 B. 18 C. 32 D. 36

E. 38 SNMPTN MAT DAS 2012 (821-11)

19.

Fungsi f ( x, y) = cx + 4 y dengan kendala 2 x + y ≥ 10, x + 2 y ≥ 8, x ≥ 0, y ≥ 0 mencapai minimum di (4,2), jika…. A. c ≤ −8 atau c ≥ −2 B. c ≤ 2 atau c ≥ 8 C. − 2 ≤ c ≤ 8 D. 2 ≤ c ≤ 8 E. 2 ≤ c ≤ 10 SNMPTN MAT DAS 2011 (XX-04)

20.

Suatu fungsi f ( x , y ) = 5000 − x − y dengan syarat

x ≥ 0, y ≥ 0, x − 2 y + 2 ≥ 0, 2 x + y − 6 ≥ 0 , maka … A. Fungsi f mempunyai nilai minimum dan nilai maksimum B. Fungsi f tidak mempunyai nilai minimum maupun nilai maksimum C. Fungsi f mempunyai nila minimum dan tidak mempunyai nilai maksimum D. Fungsi f mempunyai nilai maksimum dan tidak mempunyai nilai minimum E. Nilai minimum dan nilai maksimum fungsi f tidak dapat ditentukan SNMPTN MAT DAS 2010 (XX-10)

21.

Nilai maksimum dari P = 2 x + 3 y pada daerah

3x + y ≥ 9,3x + 2 y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 adalah… A. 6 B. 12 C. 13 D. 18 E. 27 SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-01)

22.

Untuk membuat barang A diperlukan 6 jam kerja mesin I dan 4 jam kerja mesin II. Sedangkan untuk barang B diperlukan 4 jam kerja mesin I dan 8 jam kerja mesin II. Setiap hari kedua mesin tersebut bekerja tidak lebih dari 18 jam. Jika setiap hari dapat dihasilkan x barang A dan y barang B, maka model matematikanya adalah… A. 6 x + 4 y ≤ 18,2 x + 8 y ≤ 18, x ≥ 0, y ≥ 0 B. 3x + 2 y ≤ 9,2 x + 4 y ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0 C. 2 x + 3 y ≤ 9,4 x + 2 y ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0 D. 3x + 4 y ≤ 9,2 x + 2 y ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0 E. 2 x + 3 y ≤ 9,2 x + 4 y ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0 SPMB MAT DAS 2007 (XX-12)

23.

Nilai minimum f ( x, y) = 3 + 4 x − 5 y untuk x dan y yang memenuhi

− x + y ≤1 x + 2y ≥ 5 2 x + y ≤ 10 adalah... A. – 19 B. – 6 C. – 5 D. – 3 E. 23 UGM MAT DAS 2010 (462-17)

24.

Nilai maksimum untuk z = 6x + 3y – 2 yang memenuhi sistem pertaksamaan

x + 2y ≤ 4 x− y≤2 x + y ≥1 x ≥ 0, y ≥ 0 adalah.... A. 4 B. 10 C. 13 D. 16 E. 19 UM UGM MAT DAS 2009 (931-08)

25.

Agar fungsi f(x,y) = ax+ 4y dengan kendala x + y ≥ 12 , x + 2 y ≥ 16 , x ≥ 0 ,

y ≥ 0 mencapai minimum hanya di titik (8,4), maka nilai konstanta a ygn memenuhi adalah... A. 2 < a < 4 B. 4 < a < 6 C. 4< a < 8 D. -4 < a < -2 E. -8 < a < -4 UM UGM MAT DAS 2008 (XX-06)

26.

Nilai minimum dari z = 6x +9y yang memenuhi syarat 4 x + y ≥ 20 ,

x + y ≤ 20 , x + y ≥ 10 , x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah.. A. 40 B. 50 C. 60 D. 80 E. 120 UM UGM MAT DAS 2008 (XX-20)

27.

Y

8 6 4

0

X 4

9

12

Nilai minimum fungsi f(x,y) = 500x + 1000y pada daerah yang diarsir adalah …. A. 8.000 B. 6.000 C. 5.750 D. 5.000 E. 4.500 SIMAK UI MAT DAS 2010 (203-06)

MATRIKS A.

NOTASI DAN ISTILAH DALAM MATRIKS #(1) Matriks adalah peulisan sekumpulan bilangan-bilangan dalam bentuk baris dan kolom. Biasanya dilambangkan dalam huruf besar.

 a11 a12 a 21 a 22 A=  .... ....  a m1 a m2

.... a1n  .... a 2n  .... ....   .... a mn 

baris ke-1 baris ke-2

kolom ke-2 kolom ke-1 a11 = artinya elemen baris ke - 1 dan kolom ke - 1 a12 = artinya elemen baris ke - 1 dan kolom ke - 2 a 22 = artinya elemen baris ke - 2 dan kolom ke - 2 a mn = artinya elemen baris ke - m dan kolom ke - n a. Ordo (ukuran Matriks)

Ordo adalah ukuran matriks yang ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom. Jika banyak barisnya m dan banyak kolomnya n maka ordo matriks tersebut adalah m × n . Atau bisa ditulis Am×n . Berikut adalah contoh-contohnya :

1 3 4  A2×3 =    2 7 3

,

2 baris dan 3 kolom

B1×3 = [3 10 4] , 1 baris dan 3 kolom (disebut jg matriks baris)

4 C 3×1 =  3   − 1 3 baris dan 1 kolom (disebut jg matriks kolom)

2 4 0 A3×3 =  − 1 3 9   7 8 − 3 3 baris dan 3 kolom (disebut jg matriks persegi) b. Transpose Matriks

A t adalah transpose matriks A, artinya baris yang di matriks A menjadi kolom di matrisk A t dan kolom di matriks A menjadi baris di matriks A t .

Berikut adalah contoh-contohnya :  2 − 5  2 4 − 7 K =  4 3  → K t =   − 5 3 8   − 7 8 

3 10  3 5 A= → At =   , 5 8  10 8  2 B = [2 3 4] → B =  3  4 t

B.

OPERASI MATRIKS #(2) a. Matriks Sama

Dua matriks dikatakan sama jika ordo kedua matriks sama dan nilai setiap elemenya juga sama. Contoh :

− 4  −1 a − 2b − 4 1. Jika matriks A =  dan B =  adalah matriks yang  7   2a + b 7   8 sama, maka nilai a + b adalah... Pembahasan :

A=B

− 4 a − 2b − 4  −1 2a + b 7  =  8 7     a − 2b = −1× 2 2a − 4b = −2 2a + b = 8 × 1 2a + b = 8

−

− 5b = −10 → b = 2 a=3 Maka nilai a + b = 5 b. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Dua matriks bisa dijumlahkan atau dikurangkan jika kedua matriks tersebut mempunyai ordo yang sama. Cara menjumlahkan/mengurangkan matriks adalah dengan menjumlahkan/mengurangkan elemen-elemen yang seletak. Contoh :

2   2 0 x  4 2     1. M = − 3 9 , N = 2 y − 2 dan P = 7 7  , Jika berlaku M + N = P  8 1  z 1 6 5  maka nilai x + y + z = ... Pembahasan :

M +N =P 2   4 2  2 0  x − 3 9 + 2 y − 2 = 7 7        8 1  z 5  1 6 ⇒ x + 2= 4→x = 2 ⇒ 2y − 3 = 7

 x + 2 2  4 2 2 y − 3 7  = 7 7       z + 8 6 1 6

2 y = 10 → y = 5

x+ y+ z =2+5−7=0

⇒ z + 8 = 1 → z = −7

c. Perkalian Matriks dengan Konstanta

a b  ka kb  k =  dengan k adalah konstanta.  c d   kc kd  Contoh :

x  3 1 2 = 6 1. 2   maka nilai x dan y adalah...  y − 1 12 3 4 Pembahasan :

x  3 1 2 2 = 6    y − 1 12 3 4 2 x   6 12   6 2 y − 2 24 = 18 24    

⇒ 2x = 12 → x = 6 ⇒ 2 y − 2 = 18 2 y = 20 → y = 10 Maka nilai x = 6 dan y =10 d. Perkalian dua Matriks

#(3)

Dua matriks bisa dikalikan jika jumlah kolom pada matriks pertama dengan jumlah baris pada matriks kedua. Berikut gambaranya :

Am×n ⋅

Bn× p = Cm× p

harus sama Contoh :

1. A3×2 ⋅ B2×5 = C 3×5 2. P1×3 ⋅ B3×4 = C1×4

3. M 2×3 ⋅ N 2×5 = .... ? → tidak memenuhi syarat . Berikut adalah cara mengalikan dua matriks :

 a11 a12  b11 b12 b13   a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23  =  a   21 a22  b21 b22 b23  a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23  Contoh

:

 2 4 4 7 7 dan B =  1. Jika diketahui A =    maka hasil dari A × B − 1 5 1 − 2 3  adalah... Pembahasan :

 2 4 4 7 7  (2)(4) + (4)(1) (2)(7) + (4)(−2) (2)(7) + (4)(3)  − 1 5 1 − 2 3 = (−1)(4) + (5)(1) (−1)(7) + (5)(−2) (−1)(7) + (5)(3)      14 − 8 14 + 12   8+4 =  − 4 + 5 − 7 − 10 − 7 + 15 12 6 26 =   1 − 17 8  Dalam perkalian matriks berlaku sifat – sifat : 1. AB ≠ BA (tidak berlaku sifat komutatif, bila ada hanya untuk matrik tertentu aja) 2. A ⋅ ( B ⋅ C ) = ( A ⋅ B) ⋅ C (berlaku sifat asosiatif) 3. A( B + C ) = AB + AC (berlaku sifat distributif)

( A + B )C = AC + BC 4.

1 0 A⋅ I = A dengan I adalah matriks identitas, I =   I ⋅ A= A 0 1 

5. ( A ⋅ B ) t = B t ⋅ A t 6. Jika A adalah matrik persegi , maka :

A2 = A ⋅ A A3 = A ⋅ A 2 A 4 = A ⋅ A3 ..... A n = A ⋅ A n−1

Contoh :

1. Jika diketahui ( M + N ) 2 maka pernyataan yang benar kecuali.... A. ( M + N )( M + N ) B. M 2 + MN + NM + N 2 C. M 2 + 2 MN + N 2 D. MM + MN + NM + NN E. M ( M + N ) + N ( M + N ) Pembahasan :

( M + N ) 2 = ( M + N )( M + N ) → jawaban a betul

= M ( M + N ) + N ( M + N ) → jawaban e betul

= MM + MN + NM + NN → jawaban d betul = M 2 + MN + NM + N 2 → jawaban b betul = M 2 + 2 MN + N 2 → jawaban c salah, karena MN ≠ NM

Jadi jawabanya adalah c . 4 7 2. Diketahui A =   dan I adalah matriks identitas, maka nilai dari 7 1  A 2 + 2 AI + I = .... Pembahasan :

A 2 + 2 AI + I = AA + 2 A + I

4 7  4 =  7 1 7 16 + 49 =  28 + 7

7 4 7 1 0 +2 + 1 7 1 0 1 28 + 7  8 14 1 0 + + 49 + 1 14 2  0 1 65 35  8 14 1 0 = + +  35 50 14 2  0 1 74 49 =  49 53

C.

DETERMINAN DAN INVERS #(4) a. Determinan Matriks 2 x 2

a b  A=  maka c d 

det A = A = ad − bc

Contoh :

6 2  1. Determinan dari matriks A =   adalah... 3 − 2 Pembahasan :

6 2  A=  , det A = 6( −2) − 2(3) = −12 − 6 = −18 3 − 2 b. Determinan Matriks 3 x 3

 a11 A =  a 21  a31

a12 a 22 a32

a13  a 23  a33 

Dengan metode Sarrus, maka nailai terminan matriks A adalah... a11 a12 det A = a 21 a 22 a31 a32

(-) (-) (-) a13 a11 a12 a 23 a 21 a 22 a33 a31 a32

(+) (+) (+) det A = (a11a 22 a33 + a12 a 23 a31 + a13 a 21a32 ) − (a31a 22 a13 + a32 a 23 a11 + a33 a 21a12 ) Contoh :

 2 3 1 1. Dari matrks A = 0 4 5 maka det A = .... 3 − 2 1 Pembahasan :

2 A= 0

3 4

1 2 5 0

3 4

3 −2 1 3 −2

det A = (8 + 45 + 0) − (12 − 20 + 0) = 53 − (−8) = 61 c. Invers Matriks

Jika dua matrik dikalikan hasilnya adalah matrik identitas, maka keuda matrik tersebut saling invers. −1 −1 A ⋅ B = I maka A = B atau B = A

Berikut adalah cara menginverskan sebuah matriks : a b  A=  , maka : Catatan : c d  Sebuah matriks A, jika det A=0 maka  d − b 1 disebut matriks singular dan matriks A −1 =   ad − bc − c a  tersebut tidak punya invers. dengan ad − bc ≠ 0

Contoh

:

4 1  −1 1. A =   maka nilai A = .... 9 2   Pembahasan :

A −1 = =

1  2 − 1   8 − 9 − 9 4   2 − 1 1  2 − 1 − 9 4  = −1− 9 4  −1    

− 2 1  =   9 − 4  2 x + 1 4 2. Matriks M =   tidak punya invers, maka nilai x adalah....  x − 2 3 Pembahasan :

 2 x + 1 4 M =   x − 2 3 M tidak punya invers maka det M = 0

detM = 0 3(2 x + 1) − 4( x − 2) = 0

6x + 3 − 4x + 8 = 0 2x + 11 = 0 2x = −11 x = −5,5 Sifat- sifat invers adalah : 1. A ⋅ A −1 = I atau A −1 A = I 2. ( A ⋅ B ) − 1 = B − 1 ⋅ A − 1 atau ( A ⋅ B ⋅ C ) − 1 = C −1 ⋅ B −1 ⋅ A − 1

Contoh :

1. Bentuk sederhana dari BA ( B + A − 1 ) B − 1 = .... Pembahasan :

BA ( B + A −1 ) B − 1 = ( BAB + BAA − 1 ) B −1 = ( BAB + BI ) B − 1 = ( BAB + B ) B − 1

= BABB −1 + BB −1 = BAI + I = BA + I D.

PENYELESAIAN PERSAMAAN MATRIKS

A⋅ X = B ,

X = .... ?

X = A −1 ⋅ B

Catatan : Ingat di matriks tidak ada pembagian. Sebuah matriks

X ⋅ A = B, X = ..... ? X = B ⋅ A −1

#(5)

saat dipindah ruas jadi inversnya. Dan

ingat posisi tidak berubah, bila awalnya ada disebelah kiri maka saat dipindah ruas juga tetap berada disebalah kiri.

Contoh :

2 3 4 7 1. Diketahui A =  , B=   . Jika AX = B maka matriks X 1 1  7 1  adalah.... Pembahasan :

AX = B

X = A−1B 7−3   4 − 21 − 17 4  1  1 − 3 4 7  X = = −1 = −       2 − 3  − 1 2  7 1  − 4 + 14 − 7 + 2  10 − 5  17 − 4 =  − 10 5  6 4   4 2  2. Diketahui P  =  . Maka matriks P adalah....  2 1  8 6  Pembahasan :

6 4   4 2  P =   2 1  8 6  A P⋅ A = B

B

P = B ⋅ A−1  4 2 1  1 − 4 P=    8 6  6 − 8  − 2 6  1  4 2   1 − 4 1  4 − 4 − 16 + 12  1  0 − 4 = 8 6 − 2 6  = − 8 − 12 − 32 + 36 = − − 4 4  −2 2 2     0 2  =  2 − 2

E.

PENYELESAIAN PERSAMAAN LINIER #(6) a. Persamaan Linier 2 Variabel Variabel

Jika diberikan persamaan linier sebagai berikut : ax + by = p dinyatakan dalam matriks :  cx + dy = q

a b   x   p  c d   y  =  q  . ⇒      Dy Dx x= dan y = D D

D=

a

b

c

d

,

Dx =

p b q

d

, Dy =

a

p

c

q

Contoh :

 5 x − y = −2 1. Suatu persamaan linier :  . Berapakah nilai x dan y yang − 4 x + 2 y = 10 memenuhinya...? Pembahasan :

 5 x − y = −2  − 4 x + 2 y = 10

D=

 5 − 1  x  − 2 ⇒    =   − 4 2   y   10 

−1 = 10 − 4 = 6 −4 2

Dx = Dy =

5

− 2 −1 = −4 − (−10) = 6 10 2 −2 = 50 − 8 = 42 − 4 10 5

x=

y=

Dx 6 = =1 D 6

Dy D

=

42 =7 6

b. Persamaan Linier 3 Variabel

 a1 x + b1 y + c1 z = p1  a 2 x + b2 y + c2 z = p 2 dinyatakan dalam bentuk matriks : a x + b y + c z = p 3 3 3  3

 a1 a  2  a3

b1 b2 b2

c1   x   p1  c 2   y  =  p 2  c3   z   p3 

a1 D = a2

b1 b2

a3

b2

a1 Dz = a2 a3

c1 p1 c2 , D x = p2 c3 p3

b1 b2

p1 p2

b2

p3

b1 b2 b2

x=

c1 a1 c2 , D y = a2 c3 a3

p1 p2

c1 c2 ,

p2

c3

Dy Dx D , y= , z= z D D D

Contoh :

x + y + z = 6  1. Sistem persamaan linier : 2 x + y + z = 7 . Maka penyelesaiannya  x + 3 y + z = 10 


1 1 1  x   6  2 1 1  y  =  7       1 3 1  z  10 1 1 D= 2 1 1 3 6 Dx = 7 10

(-) (-) (-) 1 1 1 1 2 1 = (1 + 1 + 6) − (1 + 3 + 2) = 8 − 6 = 2 1 1 3 (+)(+)(+) 1 1 6 1 1 1 7 1 = (6 + 10 + 21) − (10 + 18 + 7) = 37 − 35 = 2 3 1 10 3

1 6 1 Dy = 2 7 1 1 10 1

1 2

1 1 6 Dz = 2 1 7 1 3 10

1 1 2 1 = (10 + 7 + 36) − (6 + 21 + 20) = 53 − 47 = 6

x=

Dx 2 = = 1, D 2

6 7 = (7 + 6 + 20) − (7 + 10 + 12) = 33 − 29 = 4

1 10

1 3

y=

Dy D

=

D 4 6 = 2, z = z = = 3 2 D 2


 2x + 1 5   5 y + 3 5 1  , B =   , C =   dan CT 1 x + 1 1 1 5 2      

Diketahui matriks A = 

adalah transpose dari matrik C. Nilai (3x+2y) yang memenuhi pesamaan A+B=2CT adalah… A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 E. 3 UN MAT IPS 2012 (A35-19)

2.

1 − 2  3 − 4  2 − 5  , B =   , C =   , dan 3 4  5 −1 12 10 


D = 3 A + B − C . Determinan matriks D=…

A. -6 B. -4 C. 6 D. 10 E. 14 UN MAT IPS 2012 (A35-20)

3.

 4 3 5 2  dan B =   . Invers matriks AB adalah  2 2 3 1

Diketahui matriks A =  (AB)-1 = …. A.

1  − 6 11    2  16 − 29

B.

1  29 11   2  16 6 

C.

1  29 11  −  2  16 6 

D.

1  6 11   −  2 16 29

E.

1  − 6 11   −  2  16 − 29 

UN MAT IPS 2012 (A35-21)

4.

4 2 − x − 1  10 7 ,B =  , dan C =     . Jika 3A-B = y  x 1 3 − 9 2

Diketahui matriks A = 

C, maka nilai x + y = …. A. -3 B. -2 C. -1 D. 1 E. 3 UN MAT IPS 2011(XX-19)

5.

 4 − 3  7 18 X =   adalah… − 1 5  − 6 21

Matriks X yang memenuhi 

 1 − 1 − 6 9    − 1 9  B.    1 − 6  1 9 C.   − 1 6

A.

D.

E.

1 − 9 1 − 6   − 6 9  1 1  


6.

− 5 3 1 − 1 dan B =    . Invers matriks AB adalah − 2 1 1 − 3

Diketahui matriks A =  (AB)-1=…

A.

 1  2  1 −  2

 − 2  1 

B.

 1 − 2  1   2

 − 2  1 

C.

1   2 2   1 − 1 −  2 

D.

1   2 − 2  1  − 1  2  

E.

1   1 2   1 2 −  2 


7.

3 − 2  4 3 4 10 , B = C = dan  − 2 − 1 9 12 . Nilai determinan dari 4 − 1    

Diktahui A = 

(AB-C) adalah… A. -7 B. -5 C. 2 D. 3 E. 12 UN MAT IPS 2011(XX-36)

8.

5  x y 0   1 1  , Q =   dan R =   . Jika P + Q = 5R,  5x x − y   5 2y  4 1

Diketahui P = 

maka nilai x.y = .... A. 6 B. 5 C. -5 D. -6 E. -14 UN MAT IPS 2010 (XX-19)

9.

 2 1  3 2  dan B =   . Nilai determinan  4 5 6 1

Diketahui matriks-matriks A =  matriks 2A – 3B adalah... A. 5 B. – 45 C. – 65 D. – 75 E. – 85 UN MAT IPS 2010 (XX-20)

10.

1 2 3 5 , dan B =    . Jika C = A – B, maka invers 5 6 6 7

Diketahui matriks A = 

matriks C adalah C −1 = ... A.

1 − 3 1 2   

B.

 1 3 − 1 2  

C.

− 1 − 3  1 − 2  

D.

 1 − 3 − 1 2   

E.

1 3 1 2  


11.

1 2 4 3 A=    . Maka matriks A=... 3 4 2 1

Diketahui persamaan matriks 

A.

− 6 − 5 5 4  

B.

− 5 − 6 4 5  

C.

1 0 0 1  

D.

0 1 1 0  

E.

2 − 1  2

−1  − 1 12 


12.

Diketahui

matrik

3 y   x 5  , B =   A =   5 − 1  − 3 6

dan

 − 3 − 1  , Jika C =   y 9

 8 5x   , maka nilai x + 2xy + y adalah… A + B − C =   − x − 4 A. 8 B. 12 C. 18 D. 20 E. 22 UN MAT IPA 2012 (A35-13)

13.

 5 − 2  2 − 1   1 0    =   . Nilai x-y =… 9 − 4 x x + y 0 1     

Diketahui persamaan matriks  A. B. C. D. E.

5 2 15 2 19 2 22 2 23 2

UN MAT IPA 2011(D10-11)

14.

 3 2  − 3 − 1  dan B =   . Jika AT= transpose 0 5  − 17 0 


matriks A dan AX=B+AT, maka determinan matriks X adalah…

A. B. C. D. E.

-5 -1 1 5 8

UN MAT IPA 2011 (D10-24)

−5 4 4 l −5 2 2 Perbandingan nilai x dan y adalah ... A. 3 :1 B. 1 : 3 C. 2 : 1 D. 1 :2 E. 1 : 1 UN MAT IPA 2010 (D10-14)

15.

Diketahui persamaan matriks

16.

Diketahui

matrik

R+S−T = A. B. C. D. E.

8 12 18 20 22

8 −

R=

3 5

−1 0 2 m= . V−1 −16 5

V 5 ,S = −3 6 −1

dan

5 , maka nilai x + 2xy + y adalah ... −4

−3 −1 T=l m. V 9

Jika

UN MAT IPA 2009 (D10-26)

17.

 a 4   2 b   1 − 3  0 1   +   =    Nilai − 1 c d − 3 3 4 1 0       

Diketahui persamaan matriks 

a + b + c + d = ... A. B. C. D. E.

-7 -5 1 3 7

UN MAT IPA 2008 (D10-16)

18.

 2 5 5 4  dan Q =   . Jika P − 1 adalah invers dari 3 1 1

Diketahui matriks P =  1

P dan Q − 1 adalah invers dari Q. Maka determinan dari P − 1Q − 1 adalah… A. 223 B. 1 C. -1

D. -10 E. -223 UN MAT IPA 2008 (D10-17)

19.

 2 − 1 x + y , B =  1 4   3

Diketahui matrik A = 

2 7 2  dan   . Apabila y 3 1  

B − A = C t dan C t = Transpose matriks C, maka nilai x. y = ... A. B. C. D. E.

10 15 20 25 30

UN MAT IPA 2007 (D9-10)

20.

 3 0  x − 1  0 − 1 t , B =   dan C =   , A 2 5 y 1 − 15 5       t adalah transpose dari A. Jika A .B=C maka nilai 2 x + y = ...


A. B. C. D. E.

-4 -1 1 5 7

UN MAT IPA 2006 (D10-23)

21.

1 2  4 3  X =   adalah… 3 4  2 1

Matriks berordo (2x2) yang memenuhi 

 − 6 − 5   5 4    5 − 6  B.  4 5 

A.

− 6   4  4 D.  − 3  12 E.   − 10 C.

− 5  5  − 2  1  10   − 8 

UN MAT IPA 2005 (D10-14)

22.

1 − 3  2 0  5 3  , B =   dan C =   , maka determinan AB – C 0   1 1  2 1

Jika A =  1 adalah.. A. -5 B. -4 C. 5 D. 6 E. 7

SNMPTN MAT DAS 2012 (821-04)

23.

 2  1  1   0

 4  0  6  2

Jika A adalah matriks 2x2 yang memenuhi A  =   dan A  =   ,

 4 2  adalah… 2 3  

maka hasil kali A

1  0 2 B.  0

0  2 

2  0 0 D.  2

0  1 

A.

C.

E.

0  2 

1  0 

 0 2   1 0

UN MAT DAS 2011 (XX-11)

24.

b  a b  a  =   , Maka c d  − a + c −b + d 

Jika M adalah matriks sehingga Mx determinan matriks M adalah… A. 1 B. -1 C. 0 D. -2


25.

 3 2  1 − 4  mempunyai hubungan dengan matrik B =   . Jika 4 1 − 2 3    

Matrik A = 

 5

matrik C =  − 3

− 3  dan matrik D mempunyai hubungan serupa seperti A 2 

dengan B, maka matrik C+D adalah… A.

 2 3    3 5

B.

 0 7   7 0

C.

 0 − 7   − 7 0 

D.

7 0    0 7

E.

7 7    0 0


26.

 1 2  2 − 1 , B =    − 2 0 − 2 3 

Transpos dari matrik A ditulis AT. Jika matrik A = 

dan X memenuhi AT=B+X, maka invers dari X adalah… A.

B.

C.

D.

1 −3 1    7  − 4 − 1 1  1 1   3  − 4 3 1  1 1   4  − 4 − 3 1  1 2   9  − 1 3 

E.

1  −1 −1   2  4 − 2 


27.

 1 − 1  1 0  dan I =   , maka − P 4 + 2 P 3 + 3P 2 + 4 I = ...  2 − 1  0 1

Jika P =  A. B. C. D. E.

–P P 2P -2P I


28.

2 1   1 0  dan I =   Bilangan λ yang memenuhi 0 − 1 0 1    

Diketahui matrik A = 

| A − λI |= 0 adalah… A. B. C. D. E.

-1 atau 0 1 atau 3 -1 atau 2 2 atau 3 -1 atau 3


29.

 a 1+ a 1 b  adalah A−1 =   maka konstanta b 0 a   0 1

Jika invers dari A =  adalah A. -4 B. -2 C. -1 D. 0 E. 1


30.

 2 x + 1 x − 1  , maka jumlah semua nilai x sehingga det A=27 3 x  

Jika A =  adalah… A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5


31.

 1 1 2  1 2 − 1 T  dan BT =   , B  2 −1 1  −1 1 2 

Diketahui matriks-matriks A = 

menyatakan transpos matriks B. Jika det( 2 AB ) = k . det(( AB ) − 1 ) , maka k =… A. B. C. D. E.

2 3 12 24 36


32.

1 2   4 1 , B =   dan matriks C memenuhi AC=B, maka det 1 3 1 3    

Jika A =  C=…. A. 1 B. 6 C. 9 D. 11 E. 12


33.

a b  bx a   dan B =   , maka jumlah kuadrat semua akar b x b x    

Jika A = 

persamaan det A = det B adalah… 2

A.

a   − 2( a − b ) b 2

b B.   − 2( a − b ) a 2

a C.   − 2(b − a ) b 2

b   − 2(b − a ) a b − 2(b − a ) E. a D.


BARISAN DAN DERET A.

NOTASI SIIGMA #(1) Notasi Sigma adalah sebuah notasi yang digunakan untuk menuliskan satu penjumlahan yang beraturan secara ringkas. Bentuk umumnya adalah sebagaiberikut : n

∑ U i = U1 + U 2 + U 3 + ..... + U n i =1

Contoh : 4

∑ (i + 4) = (1 + 4) + (2 + 4) + (3 + 4) + (4 + 4) = 5 + 6 + 7 + 8 = 26 i =1

Sifat – sifat notasi sigma : n

1.

∑

K = nK , (dengan K adalah konstanta) contoh :

i =1 n

2.

∑ i =1

4.

KU i = K

n

∑ i =1

i =1

i =1

n

n

n

∑ (U i − Vi ) = ∑ U i − ∑ Vi i =1

∑ U = ∑U

i =1

i

i =1

i+2

i =3

∑

i =k

contoh :

n+ 2

∑ U i = ∑U i − 2 k

contoh :

n −2

n

8.

contoh :

n

i = m +1

n

i =3

contoh :

i =1

∑U i + ∑U i = ∑U i i =1

7.

n

i =1

n

contoh :

i =5

Ui =Uk

∑

5

∑ (i + 2)

3(i + 2) = 3

i =1

n

m

6.

5

contoh :

Ui

∑ (U i + Vi ) = ∑ U i + ∑ Vi i =1

5.

∑ 6 = 4(6) = 24 i =1

n

3.

4

i =1

3

3

3

i =1

i =1

i =1

3

3

3

i =1

i =1

i =1

∑ (3i + 7i ) = ∑ 3i + ∑ 7i ∑ (3i + 7i ) = ∑ 3i + ∑ 7i 3

5

5

i =1

∑ 5i + ∑ 5i = ∑ 5i i =1

i =4

8

6

i =3

i =1

8

10

i =3

i =5

∑ 4i = ∑ 4(i + 2) ∑ 4i = ∑ 4(i − 2) 5

contoh :

∑i + 3 = 5 + 3 = 8 i =5

Contoh :

1. Suatu barisan 5 + 7 + 9 + 11+ 13 dapat ditulis dalam bentuk sigma..... Pembahasan :

U 1 = 5 = 2(1) + 3 U 2 = 7 = 2( 2) + 3

...... U 5 = 13 = 2(5) + 3 U i = 2(i ) + 3 5

Jadi penulisan dalam bentuk sigmanya :

∑ (2i + 3) i =1

∑ (i 2 + 3i ) = .... 4

2. Nilai dari

i =2

Pembahasan :

∑ (i 2 + 3i ) = ∑ i 2 + 3∑ i 4

4

4

i =2

i =2

i =2

= ( 2 + 3 + 4 2 ) + 3( 2 + 3 + 4 ) 2

2

= (4 + 9 + 16) + 3(9)

= 29 + 27 = 56

B.

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA a. UnsurUnsur-unsur Dalam Barisan/Deret Aritmatika

#(2)

Barisan aritmatika adalah suatu barisan angka jika selisih suku yang berututan selalu sama. Berikut adalah contohnya : 2 ↓

5 ↓

8 ↓

11 ↓

14 ↓

.....

a ↓

a + b a + 2b a + 3b a + 4b .... ↓ ↓ ↓ ↓

U1 U 2 U 3 U 4 U 5 U1 U 2 U3 U4 U5 Unsur-unsur dalam barisan/deret aritmatika : Suku pertama (a) Unsur terpenting dalam a = U1 deret aritmatika : a, b dan n Beda (b)

b = U n − U n−1 Contoh :

b = U5 − U 4 b = U 2 − U1 Suku Ke-n (U n ) U n = a + (n − 1)b

Untuk contoh data diatas : b = U 2 − U1 = 5 − 2 = 3

Untuk contoh data diatas : U 4 = 11 U 5 = 14 U 20 = a + 19b = 2 + 19(3) = 59

Contoh :

U 9 = a + 8b U12 = a + 11b

Jumlah n suku pertama ( S n ) S n = n2 [2 a + ( n − 1)b ]

atau

S n = n2 [a + U n ]

Untuk contoh data diatas : S1 = 2 S2 = 2 + 5 = 8 S 3 = 2 + 5 + 8 = 15

S 20 = 20 [2a + 19b] 2 = 10[4 + 27] = 10(31) = 310 Hubungan Undan Sn

CADAS :

Jika S n = An 2 + Bn , maka :

U n = S n − S n −1

Un = S n '− A

b = 2A

Contoh :

U 4 = S 4 − S3 U 9 = S 9 − S8 Contoh :

1. Suatu barisan aritmatika suku ke tujuh dan suku ke duabelasnya adalah 23 dan 38. Maka jumlah sepuluh suku pertamanya adalah.... ? Pembahasan :

U 7 = 23 , U 12 = 38 , S10 = ..... ? U12 = a + 11b = 38

U 7 = a + 6b = 23 − 5b = 15 → b = 3 Sn =

n 2

[2 a + ( n − 1)b ]

a =5

S 10 = 10 [2 (5) + 9 (3) ] = 5(10 + 27 ) = 5(37 ) = 185 2

2. Jika diketahui rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah S n = 3n 2 + 4 n maka suku ke sepuluhnya adalah.... ? Pembahasan :

S n = 3n 2 + 4 n

CADAS :

S 1 = 3(1) 2 + 4 (1) = 7

S n = An 2 + Bn

S 2 = 3(2) 2 + 4(2)

Un = S n '− A

= 12 + 8 = 20 Jadi diperoleh : a = U 1 = S1 = 7

S n = 3n 2 + 4 n

Un = 6n + 4 − 3 Un = 6n + 1

U 2 = S 2 − S1 = 20 − 7 = 13 b = U 2 − U 1 = 13 − 7 = 6

U10 = 6(10) + 1 = 61

Maka : U 10 = a + 9b = 7 + 9(6) = 7 + 54 = 61 b. Sisipan Barisan/Deret Aritmatika

U1

U2

berlaku :

disisipi k bilangan

#(3) b' =

b k +1

b’ = beda baru k = banyaknya sisipan

Contoh :

1. Jika antara bilangan 10 dan 20 disisipi 4 bilangan maka deret aritmatika yang baru adalah... Pembahasan :

k=4 b = U 2 − U 1 = 20 − 10 = 10 b 10 10 = = =2 Beda baru, b' = k +1 4 +1 5 Maka deret yang barunya adalah 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 c. Suku Tengah

2 ↓

5 ↓

8 ↓

U1 U 2

Ut =

#(4) 11 ↓

14 ↓

.......

U3 U4 U5

a + Un 2

atau

Uteng =

Dari contoh data diatas : U + U 5 2 + 14 U3 = 1 = =8 2 2 U + U 4 5 + 11 U3 = 2 = =8 2 2

UPingki + UPingkan 2 Keterangan :

Ut = suku tengah Uteng = suku tengah Upingki = suku pinggir kiri Upingkan = suku pinggir kanan

Juga dapat dirumuskan : Sn = n ×Ut

Dari contoh data diatas : S 5 = 5 × 8 = 40 Contoh :

1. Diberikan suatu barisan : 3,7,11,...............163,167,171. Maka suku tengahnya.... Pembahasan :

Uteng =

C.

UPingki + UPingkan 3 + 171 174 = = = 87 2 2 2

BARISAN DAN DERET GEOMETRI a. UnsurUnsur-unsur unsur Dalam Barisan/Deret Geometri

#(5)

Suatu barisan dikatakan barisan geometri jika perbadingan dua suku yang berurutan selalu tetap, berikut contohnya :

a

ar

ar 2

ar 3

ar 4

↓

↓

↓

↓

↓

U1 U 2 U 3 U1 U 2 U 3 U 4 U 5 Unsur-unsur dalam barisan/deret geometri : Suku pertama (a) Rasio (r)

U4

U5

1 ↓

2 ↓

r=

4 ↓

8 ↓

Un U n −1

Contoh :

r=

U2 U1

r=

U 22 U 21

Suku ke-n (Un) U n = ar Contoh

n −1

:

U 5 = ar 4 U 77 = ar 76

16 ↓

.....

....

Untuk contoh data diatas : U 2 r= 2 = =2 U1 1

Untuk contoh data diatas : U 10 = ar 9 = (1)( 2 9 ) = (1)( 512 ) = 512

Jumlah n suku pertama (Sn) Sn =

a (r n − 1) r −1

Sn =

atau

a (1 − r n ) 1− r

untuk r < 1

untuk r > 1 Untuk contoh data diatas : S9 =

(1)(2 9 − 1) (1)(512 − 1) = = (1)(511) = 511 2 −1 1

Contoh :

1. Suku kelima dan suku kedelapan suatu barisan geometri berturut-turut adalah 48 dan 384. Suku keduanya barisan tersebut adalah.... Pembahasan :

U 5 = 48 , U 8 = 384 , U 4 = ..... ?

U 8 ar 7 384 = = U 5 ar 4 48 r3 = 8 → r = 2 U 5 = 48 ⇔ ar 4 = 48 a ( 2 4 ) = 48

a (16) = 48 → a = 3 U 2 = ar = (3)(2) = 6

2. Diketahui (t + 1), (t − 1), (t − 5) membentuk barisan geometri, maka nilai t nya adalah.... Pembahasan :

r=

U 2 U3 = U1 U 2

t −1 t − 5 = t +1 t −1 (t − 1)(t − 1) = (t + 1)(t − 5) t 2 − 2t + 1 = t 2 − 4t − 5

4t − 2t = −5 − 1 2t = −6 t = −3

b. Sisipan Barisan/Deret Geometri

U1

U2

berlaku :

disisipi k bilangan

Contoh :

1. Diantara bilangan

1 4

#(6)

r ' = k +1 r

r’ = rasio baru k = banyaknya sisipan

dan 8 disisipi 4 bilangan, maka rasio yang baru


k = 4 , r = UU2 = 8 = 32 1 1

k +1

4

r=

4 +1 32

c. Suku Tengah

#(7)

r' =

1 ↓

2 ↓

4 ↓

U1 U 2 Ut =

8 ↓

= 5 32 = 2

16 ↓

.......

U3 U4 U5 a ×U n

atau

Uteng = Upingki × Upingkan

Dari contoh data diatas : U 3 = U 1 × U 5 = 1 × 16 = 4 U4 = U3 ×U5 =

4 × 16 =

64 = 8

Contoh : 1. Jika diketahui barisan : 3, 6, 12,......, 768. Maka suku tengahnya adalah.... Pembahasan :

Uteng = Upingki × Upingkan

= 2 × 768 = 2304

= 48

D.

DERET GEOMETRI TAK HINGGA ( KONVERGEN ) #(8) Deret geometri tak hingga disini adalah deret geometeri dengan n → ∞ , jumlah sukunya sebanyak tak hingga, dengan syarat deret tersebut mengecil. Seperti contoh berikut : 1 1 1 8 + 4 + 2 + 1 + + + + ..... konvergen ( bisa dihitung jumlah tak hingganya ) 2 4 8 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + ..... divergen ( tidak bisa dihitung jumlah tak hingganya)

Syarat deret konvergen : −1< r <1

Jumlah tak hingga (jumlah seluruh deret) adalah :

S∞ =

a 1− r

Contoh :

1. Suatu deret tak hingga : ( x − 2 ), ( x − 2 ) 2 , ( x − 2 ) 3 ,..... agar deret tersebut konvergen, maka nilai x yang memenuhi adalah... Pembahasan :

U ( x − 2) 2 r= 2 = =x−2 U1 ( x − 2) Syarat : − 1 < r < 1 ⇔ −1 < x − 2 < 1 −1 + 2 < x − 2 + 2 <1 + 2 1< x < 3 Jadi x yang memenuhi adalah 1 < x < 3

(semua ruas ditambah 2)

2. Suatu bola dari ketingian 10 meter jatuh ketanah, kemudian memantul kembali dengan ketinggian 54 dari ketinggian sebelumnya, begitu terus menerus hingga bola berhenti. Maka berapa meterkah jarak yang ditempuh oleh bola tersebut... Pembahasan :

r = 45 awal = 10m 4 5

× 10 = 8

Lintasan naik

4 5

× 8 = 6,4

Lintasan naik

Lintasan naik = Lintasan Turun = S ∞ =

a = 1− r

8 1−

4 5

=

8 1 5

= 40

Seluruh Lintasan = Awal + Lintasan naik + Lintasan turun = Awal + 2. Lintasan naik = 10 + 2(40)= 10 + 80 CADAS :

= 90 m

n+m Lintasan = awal ×   n−m 5+ 4 Lintasan = 10 ×   5− 4 = 10 × 9 = 90 m

E.

dengan r =

m n

dengan r = 4/5

INDUKSI MATEMATIKA #(9) Induksi matematika adalah metode untuk membuktikan suatu pernyataan yang berhunbungan dengan deret adalah benar. Langkahnya adalah : 1. Tunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1 2. Jika pernyataan tersebut benar untuk n = k maka pernyataan tersebut juga harus benar untuk n = k + 1 Contoh :

1. Buktikan bahwa : 2 + 4 + 6 + .... + 2n = n 2 + n . Pembahasan :

Untuk n = 1 maka : 2n = 2(1) = 2 benar ! Unuk n = k

n 2 + n ⇒ k 2 + k ( kita anggap benar) Untuk n = k+1 kita harus buktikan hasilnya ( k + 1) 2 + ( k + 1)

2 + 4 + 6 + .... + 2k = k 2 + k 2 + 4 + 6 + .... + 2k + 2(k + 1) = ( k + 1) 2 + ( k + 1) k 2 + k + 2( k + 1) = ( k + 1) 2 + ( k + 1)

k 2 + k + 2k + +2 = ( k + 1) 2 + ( k + 1) ( k 2 + 2 k + 1) + ( k + 1) = ( k + 1) 2 + ( k + 1) ( k + 1) 2 + ( k + 1) = ( k + 1) 2 + ( k + 1) , terbukti !. Karena pernyataan diatas benar untuk n = k dan untuk n = k +1, maka pernyataan diatas berlaku untuk semua n bilangan asli.


Dari suatu deret aritmatika diketahui suku ke-6 adalah 17 dan suku ke-10 adalah 33. Jumlah tiga puluh suku pertama deret itu adalah… A. 1.650 B. 1.710 C. 3.300 D. 4.280 E. 5.300 UN MAT IPS 2012 (A35-22)

2.

Suatu barisan geometri mempunyai suku ke-2 sama dengan 8 dan suku ke-5 sama dengan 64. Suku ke-7 barisan tersebut adalah… A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 E. 512 UN MAT IPS 2012 (A35-23)

3.

Seseorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmatika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperolehnya. Jika permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah… A. 60 buah B. 65 buah C. 70 buah D. 75 buah E. 80 buah UN MAT IPS 2012 (A35-24)

4.

Jumlah n suku pertama deret arimatika dinyatakan dengan S n = n 2 + 5 n . Suku ke-20 dari deret aritmatika tersebut adalah… A. 44 B. 42 C. 40

D. 38 E. 36 UN MAT IPA 2012 (A35-20)

5.

Sebuah pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar 1.960 unit. Tiap tahun produksi turun sebesar 120 unit sampai tahun ke-16. Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-16 adalah… A. 45.760 B. 45.000 C. 16.960 D. 16.000 E. 9.760 UN MAT IPA 2012 (A35-21)

6.

Barisan geometri dengan U7 = 384 rasio = 2. Suku ke-10 barisan tersebut adalah… A. 1.920 B. 3.072 C. 4.052 D. 4.608 E. 6.144 UN MAT IPA 2012 (A35-22)

7.

Suku ketiga dan suku ketujuh suatu deret geometri berturut-turut 16 dan 256. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah… A. 500 B. 504 C. 508 D. 512 E. 516 UN MAT IPA 2012 (A35-23)

8.

Suku ke-4 dan ke-9 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 110 dan 150. Suku ke-30 barisan aritmatika tersebut adalah… A. 308 B. 318 C. 326 D. 344

E. 354 UN MAT IPA 2011 (D10-05)

9.

Pada suatu hari Pak Ahmad, Pak Badrun dan Pak Yadi panen jeruk. Hasil kebun Pak Yadi lebih sedikit 15 kg dari hasil kebun Pak Ahmad dan lebih banyak 15 kg dari hasil kebun Pak Badrun. Jika Jumlah hasil panen ketiga kebun itu 225 kg, maka hasil panen Pak Ahmad adalah… A. 90 kg B. 80 kg C. 75 kg D. 70 kg E. 60 kg UN MAT IPA 2011 (D10-28)

10.

Seorang penjual daging pada bulan Januari dapat menjual 120 kg, bulan Februari 130 kg, Maret dan seterusnya selama 10 bulan selalu bertambah 10 kg dari bulan sebelumnya. Jumlah daging yang terjual selama selama 10 bulan ada… A. 1.050 kg B. 1.200 kg C. 1.350 kg D. 1.650 kg E. 1.750 kg UN MAT IPA 2011 (D10-29)

11.

Diketahui barisan aritmetika dengan nc adalah suku ke-n. Jika n + n n G = 165, maka n U = ⋯ A. 10 B. 19 C. 28, 5 D. 55 E. 82,5

+

UN MAT IPA 2010 (D10-19)

12.

Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika dengan beda tiga. Jika suku kedua dikurangi 1, maka terbentuklah barisan geometri dengan jumlah 14. Rasio barisan tersebut adalah ... A. 4 B. 2 C. D. −

E. −2

UN MAT IPA 2010 (D10-20)

13.

Diketahui suatu barisan aritmetika dengan n + nU + n = 75. Suku tengah barisan tersebut adalah 68 dan banyak sukunya 43, maka n = ⋯ A. 218

B. C. D. E.

208 134 132 131

UN MAT IPA 2009 (D10-38)

14.

Jumlah tiga bilangan barisan aritmetika adalah 45. Jika suku kedua dikurangi 1 dan suku ketiga ditambahkan 5, maka barisan tersebut menjadi barisan geometri. Rasio barisan geometri tersebut ... A. B. C. D. 2 E. 3

15.

UN MAT IPA 2009 (D10-39)

Diketahui segitiga ABC siku-siku sana kaki seperti pada gambar. Jumlah semua panjang sisi miring RT + RS + SS S S + S S + … adalah . . A. 187√2 + 18 B. 12 √2 + 1 C. 187√2 + 18 D. 12√2 + 18 E. 6√2 + 6

UN MAT IPA 2009 (D10-40)

16.

Diketahui suke ke-3 dan suku ke-6 suatu deret aritmatika berturut-turut adalah 8 dan 17. Jumlah delapan suku pertama deret tersesebut sama dengan… A. 100 B. 110 C. 140 D. 160 E. 180 UN MAT IPA 2008(D10-22)

17.

Seutas tali dipotong menjadi 52 bagian yang masing-masing potongan membentuk deret aritmatika. Bila potongan tali terpendek adalah 3 cm dan yang terpanjang adalah 105 cm, maka panjang tali semula adalah… A. 5.460 cm B. 2.808 cm C. 2.730 cm D. 1.352 cm E. 808 cm UN MAT IPA 2008(D10-23)

18.

Diketahui deret geometri dengan suku pertama 6 dan suku keempat adalah 48 cm. Jumlah enam suku pertama tersebut adalah…

A. B. C. D. E.

368 369 378 379 384

UN MAT IPA 2008(D10-24)

19.

Dari suatu barisan aritmatika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah…. A. 840 B. 660 C. 640 D. 630 E. 315 UN MAT IPA 2007 (D9-15)

20.

Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp.80.000.000 Setiap tahun nilai jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ? A. Rp.20.000.000 B. Rp.25.312.500 C. Rp.33.750.000 D. Rp.35.000.000 E. Rp.45.000.000 UN MAT IPA 2007 (D9-16)

21.

Seorang itu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmatika. Semakin usia anak semakin banyak permen yang diperolehnya. Jika permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah… A. 60 buah B. 65 buah C. 70 buah D. 75 buah E. 80 buah UN MAT IPA 2006 (D10-21)

22.

Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah…. A. 65 m B. 70 m C. 75 m D. 77 m E. 80 m UN MAT IPA 2006 (D10-22)

23.

Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian panjang dan panjang masing-masing potongan membentuk barisan geometeri. Jika panjang potongan tali

terpendek sama dengan 6 cm dan panjang potongan tali terpanjang sama dengan 384 cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah… A. 378 cm B. 390 cm C. 570 cm D. 762 cm E. 1.530 cm UN MAT IPA 2005 (D10-12)

24.

Seorang anak menabung disuatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp.50.000, bulan kedua Rp.55.000, bulan ketiga Rp.60.000 dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah… A. Rp.1.315.000 B. Rp.1.320.000 C. Rp.2.040.000 D. Rp.2.580.000 E. Rp.2.640.000 UN MAT IPA 2005 (D10-13)

25.

Setiap awal tahun Budi menyimpan modal sebesar Rp.1.000.000 pada suatu bank dengan bunga majemuk 15% pertahun. Jumlah modal tersebut setelah akhir tahun kelima adalah… A.

Rp .1 .000 .000 (1,15 ) 5

B.

Rp.1.000.000

(1,155 − 1) 0,15

(1,154 − 1) C. Rp.1.000.000 0,15 (1,155 − 1) D. Rp.1.150.000 0,15 E.

Rp.1.150.000

(1,154 − 1) 0,15

UN MAT IPA 2005 (D10-17)

26.

Agar tiga bilangan a + 2, a - 3, a - 4 merupakan barisan aritmatika, maka suku kedua harus ditambah dengan... A. -3 B. -2 C. -1 D. 1

E. 2 SNMPTN MAT DAS 2012 (821-10)

27.

Jika suku pertama barisan aritmatika adalah -2 dengan beda 3, Sn adalah jumlah n suku pertama deret aritmatika tersebut, dan Sn+2 – Sn = 65, maka nilai n adalah... A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 E. 15 SNMPTN MAT DAS 2012 (821-13)

28.

Tiga bilangan bulat positif membentuk barisan aritmatika dengan beda 16. Jika bilangan yang terkecil ditambah 7 dan bilangan yang terbesar ditambah 2, maka diperoleh barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah… A. 56 B. 54 C. 52 D. 50 E. 48 SNMPTN MAT DAS 2011 (XX-13)

29.

Jika jumlah 10 suku pertama suatu deret aritmatika adalah 220 dan jumlah 2 suku berturut-turut berikutnya adalah -4, maka jumlah 2 suku pertama deret itu adalah… A. 36 B. 40 C. 44 D. 72 E. 76 SNMPTN MAT DAS 2011 (XX-15)

30.

Jika -6, a, b, c, d, e, f, g, 18 merupakan barisan aritmatika, maka nilai a + d + g = …. A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 E. 36 SNMPTN MAT DAS2010 (XX-09)

31.

Jumlah 50 suku pertama : log 5 + log 55 + log 605 + log 6655 + … adalah… A.

log( 25 25111225 )

B.

log( 5 25111225 )

C.

log( 2751150 )

D. 1150 log(5) E.

log( 551150 )


32.

Diketahui barisan dengan suku pertama u1=15 dan memenuhi

u n − u n −1 = 2n + 3 , n ≥ 2 . Nilai u50 + u 2 adalah… A. 2688 B. 2710 C. 2732 D. 2755 E. 2762 SNMPTN MAT IPA 2010 (XX-15)

33.

Seorang berjalan dengan kecepatan 12km/jam selama 1 jam pertama. Pada jam kedua kecepatan berkurang jadi sepertiganya, demikian juga pada jam berikutnya kecepatan menjadi sepertiga dari sebelumnya. Jarak yang terjauh yang dapat ditempuh orang itu selama perjalanan adalah…. A. Tak berhingga B. 36 km C. 32 km D. 26 km E. 18 km SNMPTN MAT DAS 2009 (XX-11)

34.

Jika jumlah 101 bilangan kelipatan tiga yang berurutan adalah 18180, maka jumlah tiga bilangan terkecil pertama dari bilangan-bilangan tersebut adalah…. A. 99 B. 90 C. 81 D. 72


35.

Sejak tahun 2000 terjadi penurunan pengiriman surat melaui kantor pos. Setiap tahunya banyak surat yang dikirim berkurang sebesar 1/5 dari banyak surat yang dikirim pada tahun sebelumnya. Jika pada tahun 2000 dikirim sekitar 1 juta surat,maka jumlah surat yang dikirim selama kurun waktu 20002004 adalah…. A. 2101/625 juta surat B. 369/125 juta surat C. 2100/625 juta surat D. 365/125 juta surat E. 360/125 juta surat SNMPTN MAT DAS 2009 (XX-14)

36.

Misalkan U n menyatakan suku ke-n suatu barisan geometri. Jika diketahui

U 5 = 12 dan log U 4 + log U 5 − log U 6 = log 3 , maka nilai U 4 adalah… A. B. C. D. E.

12 10 8 6 4


37.

Jika 2 p + q,6 p + q dan 14 p + q adalah tiga suku deret geometri yang berurutan, maka rasio deretnya adalah… A. 1/2 B. 1/3 C. 2/3 D. 2 E. 3 SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-15)

38.

Adi selalu membelanjakan 1/3 bagian dari uang yang masih dimilikinya dan ia tidak mempunyai penghasilan lagi. Jika pada saat belanja terakhir sisanya kurang dari 32/243 uang semula, maka paling sedikit Adi sudah membelanjakan uangnya… A. 4 kali B. 5 kali C. 7 kali D. 10 kali

E. 14 kali SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-17)

39.

Jumlah n suku pertama deret : 5

A.

B.

C.

D.

E.

1 b b2 log + 5 log + 5 log + ... adalah… a a a 5

5

5

5

5

log

log

log

log

log

n n −1 2 (b )

an n n 2 (b ) n a2 n n −1 2 (b ) n a2 n n −1 2 (b )

a 2n n n 2 (b )

a 2n


40.

Deret geometri tak hingga : (log( x − 5)) 2 + (log( x − 5)) 3 + (log( x − 5)) 4 + ...

Mempunyai jumlah untuk x yang memenuhi… A. − 1 < x < 1 B. 4 < x < 6 C. 5 < x < 6

5,1 < x < 6 E. 5,1 < x < 15

D.


41.

Persamaan kuadrat x 2 − 6 x + a = 0 mempunyai akar x1 dan x2 . Jika x1 , x2 dan x1 + x2 adalah tiga suku pertama deret aritmatika maka konstanta a = ... A. 2 B. 4

C. 6 D. 8 E. 10 SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-23)

42.

Diketahui x1 dan x2 merupakan akar-akar x 2 + 5 x + a = 0 dengan x1 dan x2 keduanya tidak sama dengan nol. Jika x1 , 2x2 dan − 3 x1 x2 masingmasing merupakan suku pertama,suku kedua dan suku ketiga dari deret geometri dengan rasio positif, maka nilai a sama dengan… A. -6 B. 2 C. 6 D. -6 atau 6 E. 2 atau 3 SNMPTN MAT IPA 2008 (XX-04)

43.

Suku ke-n suatu barisan geometri adalah U n . Jika u1 = k , u 2 = 3k dan u3 = 8k + 4 , maka u5=.. A. B. C. D. E.

81 162 324 648 864


44.

Panjang sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika. Jika keliling segitiga tersebut adalah 72, maka luasnya adalah… A. 216 B. 363 C. 364 D. 383 E. 432 SPMB MAT DAS 2007 (XX-11)

45.

1 a  , jika bilangan positif 1, a, c membentuk barisan b c  geometri berjumlah 13 dan bilangan 1, b, c membentuk barisan aritmatika,

Pada matriks A = 

maka det A = … A. 17 B. 6 C. -1 D. -6 E. -22 SPMB MAT DAS 2007 (XX-22)

46.

Jika u1 , u1 ,..., u 7 membentuk barisan geometri u 3 = 12 dan

log u1 + log u 2 + .... + log u 7 = 7 log 3 maka u 5 = .... A. B. C. D. E.

log 3 16 3 3/4 1/2


47.

Misalkan f ' ( x) menyatakan turunan pertama dari fungsi f ( x) = jika f ' ( 2) dan

x2 , x ≠ 3, 3− x

f ' ( 4) adalah suku pertama dan kedua suatu deret geometri 2

tak berhingga, maka jumlah deret tersebut adalah…. A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 E. 40 SPMB MAT IPA 2007 (XX-02)

48.

Tiga bilangan merupakan suku-suku deret aritmatika. Jika suku pertama dikurangi 2 dan suku ketiga ditambah 6, maka barisan menjadi barisan geometri dengan rasio 2. Hasil kali ketiga bilangan pada barisan geometri tersebut adalah… A. 128 B. 240 C. 256 D. 480 E. 512 SPMB MAT IPA 2007(XX-15)

49.

Tabungan seseorang pada bulan ke-n selalu dua kali tabungan pada bulan ke-(n-1), n ≥ 2 . Jika tabungan awalnya Rp. 1 juta dan setelah satu tahun menjadi Rp. p juta, maka p memenuhi A. 1000
50.

Jika jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah S n = 2n + 3n , maka beda deretnya adalah… A. 2 2

B. C. D. E.

3 4 5 6


51.

Pada deret geometri u1 + u 2 + ..... jika u1 = x

−2

, u 5 = x 2 dan u 9 = 64 , maka

u 7 = ... A. -16 B. 1/2 C. 8 D. 16 E. 32 SPMB MAT DAS 2006 (XX-22) 52.

Bilangan y log( x − 1), y log( x + 1), y log( 3 x − 1) merupakan tiga suku deret aritmatika yang berurutan. Jika jumlah tiga bilangan itu adalah 6, maka x + y =… A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 SNMPTN MAT DAS 2006 (XX-23)

53.

Si A kuliah pada perguruan tinggi selama 8 semester. Besar SPP yang harus dibayar pada setiap semesternya adalah Rp.200.000 lebih besar dari SPP semester sebelumnya. Jika pada semester ke-8 dia membayar Rp.2.400.000, maka total SPP yang dibayar selama 8 semester adalah… A. Rp.12.800.000 B. Rp.13.000.000 C. Rp.13.200.000 D. Rp.13.400.000 E. Rp.13.600.000 SPMB MAT IPA 2006 (XX-03)

54.

Jumlah deret suatu geometri tak hingga dengan suku pertama a dan rasio r dengan 0 < r <1 adalah S. Jika suku pertama tetap dan rasio berbah menjadi (1- r), maka jumlahnya menjadi…. A. B. C.

1 S (1 − ) r S r 1 S ( − r) r

D. E.

S 1− r 1 S ( − 1) r


VEKTOR A.

PENGERTIAN VEKTOR #(1) Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah. B A

v AB = a

v

Ruas garis AB adalah adalah vektor AB atau bisa ditulis sebagai vektor a .

B.

VEKTOR 2D DAN 3D #(2) Vektor bisa terletak pada bidang 2 dimensi yaitu sumbu x dan y , bisa juga terletak pada bidang 3 dimensi yaitu sumbu x, sumbu y dan sumbu z. a. Dalam Dimensi 2 (dalam bidang)

Y

B( x2 , y2 ) A( x1, y1) Q(5,7) P(2,3) X

x  x  AB = B − A =  2  −  1   y2   y1 

x  x  BA = A − B =  1  −  2   y1   y 2  Maka AB = − BA

5   2 3  PQ = Q − P =   −   =   = (3,4) = 3iˆ + 4 ˆj 7 3  4  2 5  − 3  QP = P − Q =   −   =   = (−3,−4) = −3iˆ − 4 ˆj 3  7  − 4

QP = − PQ

b. Dalam Dimensi 3 (dalam ruang)

Y

B( x 2 , y 2 , z 2 )

A( x1, y1 , z1 )

P (2,3,1)

Q(4,5,7)

X

 x 2   x1      AB = B − A =  y 2  −  y1  z  z   2  1

 x1   x2      BA = A − B =  y1  −  y 2  z  z   1  2 Maka AB = − BA

Z

 4  2  2       PQ = Q − P =  5  −  3  =  2  = (2,2,6) = 2iˆ + 2 ˆj + 6kˆ  7  1   6       

QP = − PQ

 2  4  − 2       QP = P − Q =  3  −  5  =  − 2  = (−2,−2,−6) = −2iˆ − 2 ˆj − 6kˆ 1   7   − 6        c. Panjang Vektor

v v v v Jika a = (a1 , a2 ) atau a = (a1, a2 , a3 ) maka panjang vektor a ( ditulis a ) v a = a12 + a 2 2

adalah

v a = a12 + a 2 2 + a3 2

atau

:

Contoh :

v v 1. Vektor a = (3,4) maka panjang vektor a adalah... Pembahasan :

v a = 32 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5

v

2. Titik A(2,1,3) dan B(4,6,-4). u mewakili vektor AB maka panjang vektor v u adalah... Pembahasan :

 4   2  2        v u = AB = B − A =  6  − 1  =  5   − 4 3   − 7       v u = 2 2 + 5 2 + (−7) 2 = 4 + 25 + 49 = 78 d. Vektor Satuan

w v a Vektor satuan a adalah v . a Contoh :

v v 1. Jika u = (−4,3) maka vektor satuan u adalah... Pembahasan :

v u vektor satuan u = v = u

(−4,3) (−4) 2 + 32

=

(−4,3) 16 + 9

=

(−4,3) 25

=

(−4,3)  4 3  = − ,  5  5 5

C.

OPERASI VEKTOR#(3) a. Operasi Geometris (gambar)

1. Penjumlahan Cara Segitiga

v a

v a

v b

v b

v v a+b

Cara Jajaran genjang

v b

v a

v a

Cara Poligon

v a

v b

v a v c

v b

v c v d

v v v v a +b +c +d

v d

v −b

2. Pengurangan

v a

v v a+b

v b

v b

v v a −b

v a

3. Perkalian skalar

v 2b

v b v − 2b

Contoh :

3

v v 1. Jika ABCDEFadalah segi enam beraturan dengan AB = u dan AF = v .

v

v

Nyatakn vektor AC dalam bentuk u dan v . Pembahasan :

D

E F

C

v v A

v u

O

F

C

v v B

D

E

A

v u

B

AC = AB + BO + OC AC = AB + AF + AB v v v = u +v +u v v = 2u + v

BO = AF OC = AB

Catatan : Vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama.

b. Operasi Aljabar (komponen)

1. Penjumlahan v v a = (a1, a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 )  a1 + b1   v v  a + b =  a 2 + b2  = ( a1 + b1 , a 2 + b2 , a3 + b3 ) a + b  3  3 Contoh :

v v a = (3,2,−4) dan b = ( 2,5,8) v v a + b = (3 + 2,2 + 5,−4 + 8) = (5,7,4)

2. Pengurangan v v a = (a1, a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 )  a1 − b1   v v  a − b =  a 2 − b2  = ( a1 − b1 , a 2 − b2 , a3 − b3 ) a −b   3 3 Contoh :

v v a = (5,6,8) dan b = ( 2,1,2) v v a − b = (5 − 2,6 − 1,8 − 2) = (3,5,6)

3. Perkalian dengan konstanta  a1   ka1      v ka = k  a 2  =  ka 2  = ( ka1 , ka 2 , ka3 )  a   ka   3  3 Contoh :

v v a = (2,5,−3) maka 2a = 2(2,5,−3) = (4,10,−6)

D.

PERBANDINGAN VEKTOR a. Titik Segaris ( Kolinier)

#(4)

B

A

AC = k AB C

Contoh :

1. Diketahui A( 2,1,3) , B ( 4, r , s ) dan C (8,6,9) . Jika A,B dan C segaris maka nilai r dan s nya adalah....

Pembahasan :

# 2k = 6 ⇒ k = 3 # (r − 1)k = 5

AC = k AB ⇒ C − A = k ( B − A)

8 − 2  4 − 2      6 −1  = k r −1  9 − 3 s −3    

(r − 1)3 = 5

( s − 3)3 = 6

s −3 = 2 s =5

5 3 5 r = +1 3 8 r= 3

r −1 =

 6   2k       5  =  (r − 1)k   6   ( s − 3)k     

b. Titik/Vektor Pembagi Dalam Bentuk Koordinat

m

# ( s − 3)k = 6

#(5)

n

P= P

A

B

mB + nA m+n

Kalo dilihat sebagai perbandingan maka :

AP : PB = m : n AB : BP = ( m + n) : − n Contoh :

1. Jika P membagi ruas garis R(0, -4, 5) dan S(0,1,5) didalam dengan perbandingan 3 : 2, maka koordinat titik P adalah... Pembahasan : 3 2

RP : PS = 3 : 2 R

P

S

3S + 2 R 3+ 2 2(0,−4,5) + 3(0,1,5) (0,−8,10) + (0,3,15) (0,−5,25) = = = 5 5 5 = (0,−1,5)

R=

2. Jika diketahui P membagi A(2,3,1) dan B(8,-3,7) dengan perbandingan 2 : -1, maka koordinat titik P adalah... Pembahasan :

AP : PB = 2 : −1

2

P=

2 B + (−1) A 2 + (−1)

A

P

B

2(8,−3,7) + (−1)(2,3,1) 1 = (16,−6,14) + (−2,−3,−1) =

-1 2

-1

= (14,−9,13) A

P

B

c. Dalam Bentuk Vektor

A

m

P n

v a

v v v mb + n a p= m+n

B

v p

v b O

Contoh :

1. Perhatikan gambar disamping, jika

A

v a = 5iˆ + 2 ˆj + 4 kˆ dan v b = − 3iˆ + 4 ˆj + 2 kˆ . Maka vektor

P

v a

v p

v p = ....

B

v b

Pembahasan :

O Karena P membagi ruas garis AB sama panjang, maka :

AP : PB = 1: 1

v v v v v 1b + 1a b + a p= = 1+1 2

(−3,4,2) + (5,2,4) (2,6,6) = = (1,3,3) 2 2 v v p = (1,3,3) atau p = iˆ + 3 ˆj + 3kˆ =

E.

PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR #(6) v a

θ

v b v v Jika a = (a1, a2 , a3 ) dan b = (b1 , b2 , b3 ) maka : s v a ⋅ b = a1 ⋅ b1 + a 2 ⋅ b2 + a3 ⋅ b3

Catatan :

vv a.b > 0, jika 0 < θ < 90 o vv a.b < 0, jika 90 o < θ < 180o vv v v a.b = a b , jika θ = 0 o vv v v a.b = − a b , jika θ = 180 o vv v v a.b = 0, jika θ = 0 o atau a ⊥ b

atau s v s v a ⋅ b = a ⋅ b cos θ

Dari rumus perkalian tersebut, maka untuk mencari sudut antara dua vektor adalah : v v a ⋅b cosθ = v v ab Sifat dalam perkalian skalar dua vektor adalah : v v v v 1. a ⋅ b = b ⋅ a v v v v v v v 2. a (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c 3. av ⋅ av = av 2 4. ( a + b) 2 = a + b + 2 a b cosθ 2

2

5. ( a − b) 2 = a + b − 2 a b cosθ 2

2

Contoh :

1. Diketahui P(3,2,1), Q(1,0,4) dan R(−2,2,3) maka hasil dari PQ ⋅ PR = .... Pembahasan :

PQ = Q − P = (1,0, 4) − (3,2,1) = ( −2, −2,3) PR = R − P = ( −2,2,3) − (3, 2,1) = ( −5,0, 2) PQ ⋅ PR = ( −2,−2,3) ⋅ ( −5,0, 2) = ( −2)(5) + ( −2)(0) + (3)( 2) = −10 + 0 + 6 = −4

v v v v 2. Jika sudut antara vektor a dan b adalah 45o . a = 4 dan b = 2 maka v

v

nilai dari ( a + b ) 2 = .... Pembahasan :

(a + b) 2 = a + b + 2 a b cosθ 2

2

= 4 2 + 2 2 + 2( 4)( 2) cos 45 o = 16 + 4 + 16 ⋅ 12 2

= 20 + 8 2 v v 3. Diberikan u = 2i + 3 j − k dan v = −3i + j + 2k , jika sudut antara dua vektor tersebut adalah θ maka nilai cosθ dan sinθ adalah.... Pembahasan :

v v u = (2,3,−1) dan v = (−3,1,2) v v a ⋅b (2,3,−1)(−3,1,2) −6+3−2 cosθ = v v = = 4 + 9 +1 ⋅ 9 +1+ 4 ab 2 2 + 32 + (−1) 2 ⋅ (−3) 2 + 12 + 2 2

−5

=

14 14 −5 cosθ = ( 90o < θ < 180o ) 14

cosθ =

− 5 samping = miring 14

171 14

sin θ =

14 171

θ 5

171 tan θ = − (nilai tan di 90o < θ < 180o negatif (-)) 5

F.

PROYEKSI VEKTOR #(7) v v Jika sebuah vektor a diproyeksikan ke vektor b maka akan didapat sebuah v vektor hasil proyeksi yang searah vektor b . v v Berikut diberikan gambaran proyeksi vektor a ke vektor b yang hasilnya v adalah vektor c .

v a

θ

v b

v c

1. Proyeksi Skalar

v v v a ⋅b c = v b

Mengasilkan skalar ( panjang vektor

v c)

2. Vektor Proyeksi ( ortogonal) v v v a ⋅b v c = v ⋅b 2 b Contoh :

v

Mengasilkan vektor ( persamaan vektor

v

v c)

1. Vektor a = 2 iˆ + 3 ˆj + 4 kˆ diproyeksikan ke b = 2iˆ − 2 ˆj + kˆ menghasilkan

v

v

vektor c . Maka panjang dan persamaan vektor c adalah... Pembahasan :

v # panjang vektor c v v (2,3,4)(2,−2,1) 4−6+4 2 2 v a ⋅b c = v = = = = 4 + 4 +1 9 3 b 2 2 + ( −2) 2 + 12

v

# persamaan vektor c v v ( 2,3,4)( 2,−2,1) v a ⋅b v c = v ⋅b = 2  2 2 + ( −2) 2 + 12 b   4−6+4 (2,−2,1) = 4 + 4 +1 v 2 c = (2,−2,1) atau 9

v 4 −4 2 c = , ,  atau 9 9 9 v 4 −4 ˆ 2 ˆ c = iˆ + j+ k 9 9 9

  

2

⋅ ( 2,−2,1)

SOALSOAL-SOAL LATIHAN →

1.

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

Diketahui vektor a = i + 2 j − x k , b = 3 i − 2 j + k dan c = 2 i + j + 2 k . Jika →

→

→

→

→

→

a tegak lurus c maka ( a + b ).(a − c ) adalah…

A. – 4 B. -2 C. 0 D. 2 E. 4 UN MAT IPA 2012 (A35-14)

2.

r r r r r r r Diketahui vektor a = 4 i + 2 j + 2 k dan b = 3i + 3 j . Besar sudut antara vektor

r r a dan b adalah… A. 300 B. 450 C. 600 D. 900 E. 1200 UN MAT IPA 2012 (A35-15)

3.

r r r r r r r r Diketahui vektor a = 9 i − 2 j + 4 k dan b = 2 i + 2 j + k . Proyek orthogonal

r

r

vektor a pada b adalah… A.

− 4i − 4 j − 2k

B.

2i + 2 j + 4k

C.

4i + 4 j + 2 k

D.

8i + 8 j + 4k

E.

18i − 4 j + 8k

UN MAT IPA 2012 (A35-16)

4.

Diketahui titik A(5,1,3), B(2,-1,-1) dan C(4,2,-4). Besar sudut ABC = … A. π B.

π

2

C. D.

π 3

π 6

E. 0 UN MAT IPA 2011 (D10-14) →

5.

Diketahui vektor a = 4i − 2 j + 2k →

→

dan vektor b = 2i − 6 j + 4k . Proyeksi →

vektor orthogonal vektor a pada vektor b adalah… A. i − j + k

i − 3 j + 2k C. i − 4 j + 4k D. 2i − j + k E. 6i − 8 j + 6k

B.

UN MAT IPA 2011 (D10-21)

6.

Diketahui koordinat A(0, 0, 0), B(-1, 1, 0), dan C(1, -2, 2). Jika sudut antara st dan st adalah ∝ maka cos ∝ = ... qr

qu

√2

A. B. C. 0 D. -

E. - √2

UN MAT IPA 2010 (D10-15)

7.

Diketahui titik A(3, 2,-1), B(2, 1, 0) dan C(-1, 2,3). Jika st wakil vector → qr

dan st wakil → maka proyeksi vector → pada → adalah ... qu

w

→ + → +→

A.

^

B. → + →

x

v

v

w

y

y

–^

C. 4(→ + →) ^

y

D. 4 → + → + → ^

x

y

E. 8 → + → + → ^

x

y

UN MAT IPA 2010 (D10-16)

8.

Diketahui balok ABCD. EFGH dengan koordinat titik sudut A(3, 0,0), C(0, √7, ||||||} dan z~ |||||} 0), D(0, 0, 0), F(3, √7, 4) dan H(0,0, 4). Besar sudut antara vector z{ adalah ...

A. B. C. D. E.

15G 30G 45G 60G 90G

UN MAT IPA 2009 (D10-27)

9.

|||||} wakil vector Diketahui koordinat A(-4, 2, 3), B(7, 8, -1) dan C(1, 0, 7). Jika RS |||||} wakil vektor h} maka proyeksi g g |}, RT |} dan h} adalah ...

A. 3•} − €} +

B. 3√5•} − €} + C.

U

•|}

75•} − 2€} + 4•|} 8

D. E.

•|}

U

75•} − 2€} + 4•|} 8 75•} − 2€} + 4•|} 8

UN MAT IPA 2009 (D10-28)

10.

v v v v v v v v v v v Jika vektor ( a + b ) tegak lurus c , maka nilai 2t=….

v

v

v

v

Diketahui vektor a = 2t i − j + 3 k , b = − t i + 2 j − 5 k dan c = 3t i + t j + k . A. B. C. D. E.

-2 atau 4/3 2 atau 4/3 2 atau – 4/3 3 atau 2 -3 atau 2

UN MAT IPA 2008 (D10-18)

 − 2  x v   v   v 11. Diketahui vektor a =  3  dan b =  0  . Jika panjang proyeksi vektor a  4   3     v 4 pada b adalah , maka salah satu nilai x adalah…. 5

A. B. C. D. E.

6 4 2 -4 -6

UN MAT IPA

12.

2008 (D10-19)

Diketahui segitiga PQR dengan P(0,1,4),Q(2,-3,2) dan R(-1,0,2). Besar sudut PQR=… A. 1200 B. 900 C. 600

D. 450 E. 300 UN MAT IPA 2007 (D9-12)

13.

Diketahui segitiga ABC, dengan A(0,0,0),B(2,2,0) dan C(0,2,2). Proyeksi →

→

ortogonal AB pada AC adalah… A. B. C. D. E.

v v j +k v v i + j v v −i + j v v 1v i + j− k 2 1v v − i−j 2

UN MAT IPA 2007 (D9-13)

14.

v 2 , | b |=

v

Diketahui | a |=

v v a dan b adalah…

A.

45o

B.

60o

v

v

9 dan | a + b |= 5 , Besar sudut antara vektor

C. 120 o D. 135 o E.

150 o

UN MAT IPA 2006 (D10-24)

15.

v v v v v v v v v v v v v v v c = 4 i − 3 j + 5 k . Panjang proyeksi vektor ( a + b ) pada c adalah…

Diketahui vektor a = 3i − 4 j − 4 k , b = 2 i − j + 3 k dan

A.

3 2

B.

4 2

C.

5 2

D.

6 2

E.

7 2

UN MAT IPA 2006 (D10-25)

16.

Diketahui A(1,2,3), B(3,3,1) dan C(7,5,-3). Jika A,B dan C segaris (kolinier), →

→

perbandingan AB : BC = ... A. 1:2 B. 2:1 C. 2:5

D. 5:7 E. 7:5 UN MAT IPA 2005 (D10-15)

17.

r

r

Diketahui vektor u dan vektor v membentuk sudut θ. Jika panjang proyeksi

r r r u pada v sama dengan panjang dua kali panjang v , maka perbandingan r r panjang u terhadap panjang v adalah... A. 1 : 2 cos θ B.

2 : cos θ

C. 2cos θ : 1 D. 1 : cos θ E. cos θ : 2 SNMPTN MAT IPA 2012 (831-01) →

18.

→

→

→

Diketahui u = (a,−2,−1) dan v = (a, a,−1) . Jika vektor u tegak lurus pada v maka nilai a adalah… A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 E. 3 SNMPTN MAT IPA 2011 (XX-01) →

19.

→

→

→

Vektor u = 4i + bj + ck tegak lurus w = 2i − 2 j + 3k dan | u |= 2 | w | maka nilai b memenuhi… A.

13b 2 − 32b + 404 = 0

B.

13b 2 + 32b − 404 = 0

C. 13b 2 − 32b − 404 = 0 D. 13b 2 + 32b + 404 = 0 E.

3b 2 − 10b + 402 = 0

SNMPTN MAT IPA 2011 (XX-10) →

20.

→

Diketahui vektor u = (1,−3a + 1,2) dan v = (a 3 − 3a 2 ,3,0) dengan − 2 < a < 4 . →

→

Nilai maksimum u • v adalah… A. 27 B. 8 C. 3 D. 1

E. -24 SNMPTN MAT IPA 2011 (XX-15)

21.

r r

r

r

r

Diketahui a, b dan c vektor dalama dimensi-3. Jika diketahui a ⊥ b dan

r r r r r r a ⊥ (b + 2c ) , maka nilai a • (2b − c ) =… A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 E. 4 SNMPTN MAT IPA 2010 (XX-04)

22.

Diketahui segitiga ABC. Titik P di tengah AC, dan Q tengah BC sehingga

r

r

r

BQ=QC. Jika AB = c , AC = b , BC = a , maka PQ=…. A. B. C. D. E.

1 r r (−a + b ) 2 1 r r (a − b ) 2 1 r r (−a + c ) 2 1 r r (−b + c ) 2 1 r r (b − c ) 2


23.

r

r

r

r

r

r

r

r

Diberikan vektor-vektor a = x i − 3 xj + 6 yk dan b = (1 − y )i + 3 j − (1 + x ) k

r

v

v

v

dengan x >0. Jika a dan b sejajar, maka a + 3b = ... A.

v 0

v v v − 7i + 21 j + 21k v v v C. i − 3 j − 3k v v v D. 2i + 3 j − 3k v v E. − 6i − 24 k B.


24.

Vektor u = ( x, y,1) sejajar v = (−1,3, z ) . Jika u tegak lurus (3, -2, 3) maka y = A. 3

B. 1 C. 1/3 D.

– 1/3

E. – 1 UM UGM MAT IPA 2010 (452-07)

25.

Vektor w merupakan vektor proyeksi tegak lurus (a, 1 – a, a) pada vektor (-1, - 1, 1). Jika panjang w adalah

2 3 , maka diantara nilai a berikut ini yang 3

memenuhi adalah... A. -3 B. -2 C. 3 D. 2 E. 1 UM UGM MAT IPA 2009 (XX-02)

26.

r

r

r

Diketahui vektor – vektor a = (2, 2, z ), b = (− 8, y , −5 ), c = ( x , 4 y , 4 ) dan

r r r r d = (2 x , 22 − z ,8 ) . Jika vektor a tegak lurus dengan vektor b dan vektor c r sejajar dengan d , maka y + z = …. A. 5 B. -1 C. 2 D. 1 E. -5 UM UGM MAT IPA 2007 (XX-01) →

27.

r

→

r

Dalam segitiga ABC, AB = a , AC = b . Jika titik G adalah titik berat segitiga →

ABC, maka AG = ... A. B.

1 r r (a + b ) 6 1 r r (a + b ) 4

C. D. E.

1 r r (a + b ) 3 2 r r (a + b ) 3 3 r r (a + b ) 4


 4  4 r r  r    28. Diketahui a = − 12 dan b = 2 , dan vektor c merupakan proyeksi      − 6  − 4 2 r   r r orthogonal vektor a terhadap b . Jika vektor d = 1 memiliki panjang yang    x  r sama dengan vektor c , maka nilai x adalah …. A.

13 3

B.

17 3

C.

19 3

D.

23 3

E.

29 3


TRANSFORMASI GEOMETRI A.

PENGERTIAN TRANSFORMASI #(1) Proses transformasi adalah proses perubahan dari satu keadaan menjadi keadaan baru. Bentuk umumnya adalah :

B' = T • B B = Benda ( keadaan awal ), bisa berupa titik atau garis. B ‘ = Bayangan ( keadaan akhir ) T = Transformasi Sedangkan jenis-jenis transformasi adalah : 1. Translasi (pergeseran) 2. Dilatasi (perkalian) 3. Refleksi (pencerminan) 4. Rotasi 5. Dengan Sebuah Matriks

B.

TRANSLASI #(2) Translasi adalah suatu proses transformasi yang memindahkan benda(titik/garis) dengan jarak tertentu. Bentuk umumnya adalah :  x'   a   x    =   +   ' atau B = T + B  y'  b   y  Contoh :

7  1. Sebuah titik (3, 5) ditransli oleh   , maka bayanganya adalah...  − 4 Pembahasan :

7  B = (3,5) dan T =    − 4

B' = T + B  7   3 B ' =   +    − 4   5 10  B ' =   1 

 2 2. Sebuah garis 2 y + 3 x = 8 ditranslasi oleh   . Bayangan garis tersebut 1  adalah... Pembahasan :

 2 g : 2 y + 3x = 8 , T =   , g ' = .... ? 1   x'   a   x    =   +    y'  b   y   x '   2   x   x'   2 + x    =   +   ⇒   =    y '  1   y   y '  1 + y  g : 2 y + 3x = 8

x' = 2 + x x = x'−2

y' = 1 + y y = y'−1

g ' : 2( y '−1) + 3( x'−2) = 8 2 y '− 2 + 3 x '− 6 = 8 2 y '+ 3 x '− 8 = 8 2 y '+3 x' = 16 atau bisa dihilangkan tanda ‘(aksen) nya, jadi : g ' : 2 y + 3 x = 16

C.

DILATASI #(3) Dilatasi adalah proses transformasi yang mengubah jarak suatu titik dengan faktor pengali tertentu dan terhadap titik tertentu. Notasi dilatis adalah [ P , k ] dengan P adalah pusat dan k adalah faktor pengali. Contoh :

1. [O,2] artinya dilatasi dengan pusat O(0,0) dengan pengali 2. 2. [(2,3),4] artinya dilatasi dengan pusat (2,3) dengan pengali 4. a.

Dilatasi dengan pusat O(0,0)

Bentu umumnya adalah :

B' = k ⋅ B

atau

 x'  x   = k ⋅    y'   y

atau

 x'   k 0   x    =   ⋅    y'   0 k   y 

Contoh :

3. Titik H(2,3) didilatasi sebesar [O,5] . Maka bayanganya adalah... Pembahasan :

H' = k ⋅ H H ' = 5(2,3) = (10,15) 4. Garis h : 2 x − 4 y = 3 didilatasi dengan pusat O(0,0) dengan faktor skala 2, bayangan yang terbentuk adalah...

Pembahasan :

h : 2x − 4 y = 3

 x'   x   x'   2 x    = 2 ⋅   ⇒   =    y'   y   y'   2 y 

x' = 2 x

y' = 2 y

x = 12 x'

y = 12 y'

1  1  h': 2 x '  − 4 y '  = 3 2  2  x'−2 y ' = 3 x − 2y = 3 b. Dilatasi dengan pusat A(a,b)

Bentu umumnya adalah :

 x'−a   x − a   = k ⋅    y '−b   y − b

atau

 x'   x − a a   = k ⋅   +    y'   y − b b 

Contoh :

1. Bayangan yang terbentuk jika titik R(2,3) didilatasi dengan faktor skala 2 dan dengan pusat (1,2) adalah... Pembahasan :

R(2,3) , pusat (1,2), faktor skala = -2, R’=... ?  x'   2 − 1  1    = −2 ⋅   +    y'   3 − 2  2

1  1   − 2  1  = −2  +   =   +    2  2  − 4  2  −1  =    − 2 Jadi R’(-1,-2) 2. Bayangan dari garis x + y = 12 oleh dilatasi [P,2] dengan P(0,3) adalah.... Pembahasan :

g : x + y = 12 , pusat (0,3), faktor skala 2 , g’=....  x'−a   x − a   = k ⋅    y '−b   y − b  x '−0   x − 0   = 2 ⋅    y '−3   y − 3

 x'   2 x    =    y '−3   2 y − 6 

x' = 2 x

y '−3 = 2 y − 6

x = 12 x'

y '+3 = 2 y ⇒ y =

y '+3 2

g : x + y = 12

y '+3 = 12 2 x'+ y'+3 = 24

g ': 12 x'+

x'+ y ' = 21 Jadi g : x + y = 21

D.

REFLEKSI #(4) a. Refleksi Terhadap Sumbu X

Y

Yang berubah adalah y nya : : Mx A( x , y )   → A' ( x, − y )

A( x , y )

y

X

x

Dalam bentuk matriks :

-y

A' ( x,− y)

 x '   1 0  x    =     y '   0 − 1 y 

Contoh :

1. P (3, 4) Mx  → P ' (3,−4) 2. P ( −2,−8) Mx  → P ' ( − 2,8) Mx 3. g : 3 x + 2 y = 4 → g ': 3x − 2 y = 4

b. Refreksi Terhadap Sumbu Y

A' (− x, y)

Y

Yang berubah adalah x nya : : My A( x, y )  → A' (− x, y )

A( x , y )

y -x

x

X

Contoh :

1. P (5,6) My  → P ' ( −5,6) 2. P ( −5,−4) My  → P ' (5, −4) 3.

My

g : −3 x − 5 y = 1   → g ': 3 x − 5 y = 1


 x '   − 1 0  x    =     y '   0 1  y 

c. Refleksi Terhadap Y=X Y

x dan y saling bertukar : M

=x A( x, y ) y  → A' ( y , x)

y=x

A( x , y )


A' ( y, x)

 x'   0 1  x    =     y '   1 0  y 

X

Contoh : =x 1. P (3,−5) My  → P ' ( −5,3) My = x 2. g : − 4 x + 5 y = 10   → g ' : − 4 y + 5 x = 10

d. Refleksi Terhadap Y=Y=-X

x dan y saling bertukar dan berganti tanda :

Y

M

=− x A( x, y ) y → A' (− y,− x)

A( x , y )


A' (− y ,− x)

 x'   0 − 1 x    =     y '   − 1 0  y 

X

Contoh : My = − x 1. P (3,−5)  → P ' (5, −3)

2.

My = − x g : − 4 x + 5 y = 10   → g ' : −4 ( − y ) + 5( − x ) = 10 maka g ' : 4 y − 5 x = 10

e. Refleksi Terhadap Titik Pusat Y

x dan y berganti tanda : M

o A( x , y )    → A' ( − x , − y )

A( x , y ) X


 x'   − 1 0  x    =     y '   0 − 1 y 

A' (− x,− y ) Contoh : My = − x 1. P (10,−7 )  → P ' ( −10,7 )

2.

My = − x

g : 3 x − 2 y = 23   → g ' : − 3 x + 2 y = 23

f. Refleksi Terhadap Garis x = h

yang berubah x nya saja : = h → A' (2h − x, y ) A( x, y ) x M

A(2h − x, y )

A( x , y )

x=h Contoh :

= 4 → A' (2(4) − 3, 2) = A' (5,2) 1. A(3,2) x M

g. Refleksi Terhadap Garsi y = k

yang berubah y nya saja : My = k

A( x , y )    → A' ( x, 2 k − y )

A( x , y ) y=k A' ( x,2 k − y ) Contoh :

M y =3

→ A' (5, 2(3) − 7) = A' (5,−1) 1. A(5,7)  h. Refleksi Terhadap Garsi y = k

x dan y berubah semua :

A( x , y )

M ( h, k )

A( x , y )   → A' ( 2 h − x , 2 k − y )

( h, k )

A' (2h − x,2k − y ) Contoh :

M (1,2)

1. A(6,3) → A' (2(1) − 6, 2(2) − 3) = A' (−4,1)

E.

ROTASI #(5) A’

A’ didapat dari A diputar sebesar θ derajat. Diputar berlawanan arah jurum jam,

Pusat

θ θ

sudutnya bernilai positif.

A A’ didapat dari A diputar sebesar − θ derajat. A’

Diputar searah jarum jam, sudutnya bernilai negatif.

a. Rotasi Dengan Pusat O(0,0)

Rotasi dengan pusat (0,0) dengan sudut θ bisa dinotasikan dengan [O, θ ] . Bentuk matriksnya adalah :

 x'   cos θ   =   y '   sin θ

− sin θ  x    cos θ  y 

Catatan :

sin θ Cos θ

90o 1 0

-90o -1 0

180o 0 -1

- 180o 0 -1

270o -1 0

-270o 1 0

Contoh :

1. Titik A(1,−7) dirotasikan dengan sudut 90o searah jarum jam. Maka bayangan titik A adalah.... Pembahasan :

 x'   cos θ   =   y '   sin θ

− sin θ  x    , θ = -90o karena seraah jaru jam. cos θ  y 

 x'   cos(−90o ) − sin(−90o ) 1    =   o o   y '   sin(−90 ) cos(−90 )  − 7   x'   0 1 1   0 − 7   − 7    =    =   =    y'   − 1 0  − 7   − 1 + 0   − 1  Maka A’(-7, - 1) 2. Garis 2 x − 3 y = 5 dirotasikan 270 o berlawanan arah jarum jam. Maka bayangan garis tersebut adalah... Pembahasan :

 x'   cos θ   =   y '   sin θ

− sin θ  x    , θ = 270o karena berlawanan arah jarum jam. cos θ  y 

 x'   cos 270o   = o  y '   sin 270

− sin 270o  x    cos 270o  y 

 x'   0 1  x   0 + y   y    =    =   =    y '   − 1 0  y   − x + 0   − x  x' = y  x'   y    =   y' = − x → x = − y'  y'   − x  h : 2x − 3y = 5

h' : 2(− y ' ) − 3 x' = 5 h' : −2 y − 3x = 5 b. Rotasi Dengan Pusat P(a,b)

Bentuk matriksnya adalah :

 x'−a   cos θ   =   y '−b   sin θ

− sin θ  x − a    cos θ  y − b 

atau

 x'   cos θ   =   y '   sin θ

− sin θ  x − a   a   +  cos θ  y − b   b 

Contoh :

1. Titik K(2,-4) dirotasi sebesar 45o dengan pusat (1,3). Maka K’ adalah... Pembahasan :

 x'   cos θ   =   y '   sin θ

− sin θ  x − a   a   +  cos θ  y − b   b 

 x'   cos 45o   = o  y '   sin 45

 x'   12 2   = 1  y'   2 2

− sin 45o  2 − 1  1    +   cos 45o  − 4 − 3   3 

− 12 2 1  1   +  1 2  − 7   3  2    

7 1  x'   2 2 + 2 2  1     =   +   =   y '   12 2 − 72 2   3  

(12 + 72 ) (12 − 72 )

2  1   4 2  1   +     +  3  =  2     − 3 2   3 

 x'   4 2 + 1    =  y '   − 3 3 + 3  Jadi K ' ( 4 2 + 1,−3 3 + 3) 2. Kurva y = x 2 + 2 x − 1 dirotasikan searah jarum jam sebesar 270o dengan pusat (2,1). Bayangan kurva tersebut adalah.... Pembahasan :

 x'−a   cos θ   =   y '−b   sin θ

− sin θ  x − a    cos θ  y − b 

 x'−2   cos(−270o ) − sin(−270o )  x − 2    =   o o   y '−1  sin(−270 ) cos(−270 )  y − 1 

 x'−2   0 − 1 x − 2   0( x − 2) − 1( y − 1)   − y + 1   =    =   =   y ' − 1 1 0 y − 1 1 ( x − 2 ) + 0 ( y − 1 ) x − 2         

 x'−2   − y + 1   =   y ' − 1 x − 2    

x '−2 = − y + 1 y = − x ' +2 + 1 y = − x ' +3

y '− 1 = x − 2 y '− 1 + 2 = x x = y '+ 1

h : y = x 2 + 2x − 1

h' : − x'+3 = ( y '+1) 2 + 2( y '+1) − 1 − x '+3 = y ' 2 +2 y '+1 + 2 y '+2 − 1 − x ' = y ' 2 +4 y '−1 x = −y2 − 4y +1

F.

TRANSFORMASI DENGAN SUATU MATRIKS #(6) Dalam transformasi bentuk ini matriks sudah disediakan. Bentuk matriksnya :

 x'   a b  x    =     y '   c d  y 

atau

 x 1  d − b  x'    =     y  ad − bc  − c a  y ' 

Contoh :

 2 3  adalah... 1. Bayangan titik (5,2) ditransformasikan oleh matriks   − 4 5 Pembahasan :

 x'   a b  x    =     y '   c d  y   x'   2 3  5  10 + 6  16    =    =   =    y '   − 4 5  2   − 20 + 10   − 10  Maka bayanganya adalah (16, -10) 2 2. Garis x + 2 y = 6 ditransformasikan oleh matriks  1 bayangannya adalah... Pembahasan :

 x 1  d − b  x'    =     y  ad − bc  − c a  y '   x 1  4 − 6  x'  1  4 x'−6 y '    =    =    y  8 − 6  − 1 2  y '  2  − x'+2 y '  x = 2 x'−3 y'  x   2 x'−3 y '    = 1 y = − 12 x'+ y'  y   − 2 x'+ y ' 

6  . Maka 4 

g : x + 2y = 6

(

)

g : 2 x '− 3 y '+ 2 − 12 x '+ y ' = 6

2 x'−3 y'− x'+2 y ' = 6 x− y =6

G.

KOMPOSISI TRANSFORMASI #(7) Komposisi transformasi adalah gabungan dari beberapa konfirmasi . Sebuah benda ditransformasi oleh T1 dan dilanjutkan oleh transformasi T2 maka komposisi/ gabungan transformasi tersebut adalah T = T2 o T1 . Bentuk umumnya adalah : B ' = Tn o ..... o T2 o T1 o B Contoh :

1. Suatu titik A (1,2) di rotasikan +90o dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu X, maka bayangan dari titik A adalah... Pembahasan :

 cos 90o T1 =   sin 90o 

− sin 90o   0 − 1  =  cos 90o   1 0 

→ rotasi +90o

1 0   → pencerminan terhadap sumbu X T2 =   0 − 1 A' = T2 o T1 o A  1 0  0 − 11     A' =   0 − 1 1 0  2   0 − 11   − 2    =   A' =   − 1 0  2   − 1  Maka A’(-2,-1) 3 2. B(2,5) ditranslasikan sebesar   , kemudian ditransformasi dengan 5 2 matriks  1

3  B’ = .... 4 

Pembahasan :

 3  2 3  T1 =   dan T2 =   5  1 4 B ' = T2 o T1 + B

 2 3 3  2  o   +   B' =   1 4 5 5   2 3  5  10 + 30   40    =   =   B' =   1 4 10   5 + 40   45  Maka B’(40,45) 3. Suatu garis 2 x + 3 y = 2 di cerminkan terhadap garis y = x dan dilanjutkan dengan rotasi 90o searah jarum jam, maka bayangannya adalah.... Pembahasan :

0 1  T1 =  1 0

→ pencerminan terhadap y=x

 cos(−90o ) − sin(−90o )   0 1  =  T2 =   sin(−90o ) cos(−90o )   − 1 0    g ' = T2 o T1 o g  x'   0 1  0 1  x   1 0  x    =     =     y '   − 1 0  1 0  y   0 − 1 y   x'   x    =    y'   − y  g ': 2 x + 3 y = 2

x' = x y' = − y → y = − y'

g ' : 2( x ' ) + 3(− y ' ) = 2 g ': 2 x − 3 y = 2

→ rotasi -90o


Persamaan bayangan lingkaran x + y = 4 bila dicerminkan terhadap x=2 2

2

 − 3  adalah… 4  

dilanjutkan dengan translasi  A.

x 2 + y 2 − 2x − 8 y + 13 = 0

B.

x 2 + y 2 + 2x − 8 y + 13 = 0

C.

x 2 + y 2 − 2x + 8 y + 13 = 0

D.

x 2 + y 2 + 2x + 8 y + 13 = 0

E.

x 2 + y 2 + 8x − 2 y + 13 = 0

UN MAT IPA 2012 (A35-17)

2.

Persamaan bayangan garis y = 2x – 3 yang direfleksikan terhadap garis y = -x dan dilanjutkan garis y = x adalah ... A. 2y + x + 3 = 0 B. y + 2x – 3 = 0 C. y – 2x – 3 = 0 D. 2y + x – 3 = 0 E. 2y – x – 3 = 0 UNMAT IPA 2010 (D10-17)

3.

Bayangan sumbu 2x – y – 6 = 0 jika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan rotasi pusat 0 sejauh 90G adalah ... A. 2x + y – 6 = 0 B. x + 2y – 6 = 0 C. x – 2y – 6 = 0 D. x + 2y + 6 = 0 E. x – 2y + 6 = 0 UN MAT IPA 2009 (D10-29)

4.

titik A’(3, 4) dan B’(1, 6) merupakan bayangan titik A(2, 3) dan B(-4, 1) oleh 0 1 0 5 transformasi ‚ = yang diteruskan ‚ = . Bila koordinat peta −1 1 0 1 titik C oleh transformasi ‚ ; ‚ adalah C’(-5, -6), maka koordinat titik C adalah A. (4, 5) B. (4, -5) C. (-4, -5) D. (-5, 4) E. (5, 4) UN MAT IPA 2009 (D10-30)

5.

Persamaan bayangan parabola y = x 2 + 4 karena rotasi dengan pusat O(0,0) sejauh 1800 adalah… A.

x = y2 + 4

B.

x = −y2 + 4

C.

x = − y2 − 4

D.

y = −x2 − 4

E.

y = x2 + 4

UN MAT IPA 2008 (D10-20)

6.

Persamaan bayangan garis

4 y + 3x − 2 = 0 oleh transformasi yang  0 − 1  dilanjutkan matriks 1 1 

bersesuaian dengan matriks 

1 1     1 − 1

adalah… A. 8x + 7 y − 4 = 0

8x + 7 y − 2 = 0 C. x − 2 y − 2 = 0 D. x + 2 y − 2 = 0 E. 5x + 2 y − 2 = 0 B.

UN MAT IPA 2008 (D10-21)

7.

Bayangan kurva y = x − 3 jika dicerminan terhadap sumbu X dilanjutkan 2

dengan dilatasi pusat O(0,0) dan faktor skala 2 adalah… A. B. C. D. E.

1 y = x 2 +6 2 1 y = x 2 −6 2 1 y = x 2 −3 2 1 y = 6 − x2 2 1 y = 3 − x2 2

UN MAT IPA 2007 (D9-14)

8.

Persamaan bayangan garis 4 x − y + 5 = 0 oleh transformasi yang

 2 0  dilanjutkan pencerminan terhadap  − 1 3

bersesuaian dengan matriks  sumbu Y adalah… A. 3 x + 2 y − 30 = 0

6 x + 12 y − 5 = 0 C. 7 x + 3 y + 30 = 0 D. 11x + 2 y − 30 = 0 E. 11x − 2 y + 30 = 0 B.

UN MAT IPA 2006 (D10-27)

9.

Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat O bersudut

π 2

, dilanjutkan

dilatasi [0,2] adalah x = 2 + y − y 2 . Persamaan kurva tersebut adalah… A. B. C.

1 y = − x2 − x + 4 2 1 y = − x2 + x − 4 2 1 y = − x2 + x + 4 2

D.

y = −2 x 2 + x + 1

E.

y = 2x2 − x − 1

UN MAT IPA 2005 (D10-16)

10.

Persamaan bayangan garis y= – 6 x + 3 karena transformasi oleh matriks

1  2   kemudian dilanjutkan dengan matriks  −1 − 2 A. x + 2y + 3 = 0 B. x + 2y – 3 = 0 C. 8x – 19y + 3 = 0 D. 13x + 11y + 9 = 0 E. 13x + 11y – 9 = 0 UN 2005 IPA (P2)

0 2    adalah... 1 − 2

11.

 5 3  dan T2 adalah T1 adalah transformasi bersesuaian dengan matriks   − 1 2  1 − 3  . Bayangan A(m,n) transformasi yang bersesuaian dengan matriks  − 2 4  oleh transformasi T1 o T2 adalah (-9,7). Nilai m+n sama dengan .... A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8 UN 2004 IPA (P3)

12.

T1 adalah transformasi rotasi pusat O dan sudut putar 90o. T2 adalah transformasi pencerminan terhadap garis y = -x . Bila koordinat peta titik A oleh transformasi T1 o T2 adalah A’(8,-6), maka koordinat titik A adalah... A. (-6,-8) B. (-6,8) C. (6,8) D. (8,6) E. (10,8) UN 2004

13.

r

Vektor x dicerminkan terhadap garis y = x, Kemudian hasilnya diputar

r

terhadap titik asal O sebesar θ > 0 searah jarum jam, menghasilkan vektor y .

r

r

Jika y =A x , maka matriks A = ... A.

 cosθ − sin θ 

sin θ  0 1 cosθ  1 0

B.

0 1 cosθ 1 0  sin θ  

C.

cosθ  sin θ 

D.

 cosθ − sin θ 

− sin θ  cosθ 

− sin θ  0 1 cosθ  1 0 sin θ   0 − 1 cosθ  − 1 0 

E.

1 0   cosθ 0 − 1 − sin θ  

sin θ  cosθ 


14.

Parabola y = x2 – 6x + 8 digeser ke kanan sejauh 2 satuan searah dengan sumbu X dan digeser ke bawah sejauh 3 satuan. Jika parabola hasil pergeseran memotong sumbu X di x1 dan x2 maka x1 + x2 = .... A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 E. 12 SPMB 2005

15.

Diketahui lingkaran L berpusat di titik

(-2,3) dan melalui titik (1,5). Jika

o

lingkaran L diputar 90 terhadap titik O(0,0) searah jarum jam, kemudian digeser ke bawah sejauh 5 satuan, maka persamaan lingkaran L yang dihasilkan adalah.... A. x2+ y2 – 6x + 6y + 5 = 0 B. x2+ y2 – 6x + 6y – 5 = 0 C. x2+ y2 + 6x – 6y + 5 = 0 D. x2+ y2 + 6x – 6y – 5 = 0 E. x2+ y2 – 6x + 5y = 0 SPMB 2004

16.

Matriks yang menyatakan perputaran sebesar π/3 terhadap O dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y + x = 0 adalah....  3 A. – ½   1

B.

 3 ½   1

1  − 3  1  3 

 1 C. – ½   3

− 3  1 

 1 D. ½  − 3

3  1 

− 3 1  E. – ½  − 3   1 SPMB 2003

17.

Matriks transformasi yang mewakili pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dengan rotasi 90o berlawanan arah jarum jam dengan pusat O adalah …. A.

1 0    0 −1  

B.

 0 − 1    −1 0 

C.

0 1   1 0

D.

 −1 0   0 1  

E.

 −1 0     0 − 1


18.

 a − 3  mentransformasikan titik (5, 1) ke titik (7, -12) dan − 4 b 

Jika matriks 

inversnya mentransformasikan titik P ke titik (1,0) maka koordinat titik P adalah …. A. (2, -4) B. (2, 4) C. (-2, 4) D. (-2, -4) E. (1, 3) UM UGM MAT IPA 2005 (XX-04)

19.

Bayangan kurva y = sin x oleh refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan dengan dilatasi berpusat di O (0,0) dan faktor skala ½ adalah kurva …. A. y = sin 2x

B. y = ½ sin x C. y = sin x cos x D. y = -sin x cos x E. y = -sin 2x UM UGM MAT IPA 2003 (XX-03)

Matematika SMA

Recommend Documents