Roteiro para o dimensionamento de uma viga pré-fabricada protendida:
O intuito desse roteiro é o de prover ao aluno do INBEC, do módulo de Estruturas de Concreto Protendido I, um texto claro e objetivo em relação aos conceitos aprendidos nessa etapa do curso de Especialização em Estruturas de Concreto e Fundação. Dessa forma, será apresentado um passo-a-passo do exemplo de uma viga pré-tracionada de seção retangular simples sob um dado carregamento. São apresentados conceitos referentes ao dimensionamento no ELU; às perdas de protensão e às verificações de tensões em vazio (verificação simplificada do ELU no ato da d a protensão). Este exemplo foi elaborado com o intuito de fixar os conceitos supracitados, buscando torná-los mais claros ao aluno e que sirva de consulta para sua futura atuação profissional. Neste roteiro não serão apresentadas as etapas de verificações no Estado Limite de Serviço (objeto de estudo do módulo II – II – Estruturas Estruturas de Concreto Protendido II). Para este módulo será elaborado outro roteiro, considerando a situação de uma viga com seção composta.
PROF. M.SC. GABRIEL DA MOTTA TREVIZOLI
1-) Características geométricas, dos materiais e dos carregamentos
O roteiro inicia-se definindo os parâmetros geométricos, dos materiais e dos carregamentos atuantes na viga. Seção transversal
Carregamento atuante sobre a viga CARREGAMENTO INTENSIDADE (KN/M) VÃO (M) Peso próprio (g1) 5,00 8,0 Laje (g2) 7,50 8,0 Parede (g3) 4,20 8,0 Revestimento (g4) 3,80 8,0 Acidental (q) 9,00 8,0 Características relativas ao material f cj,peça Aço Ur (%) 25 CP190RB 75 cj,peça (MPa) 40 200000 100 f ck,peça Ep (MPa) Lpista (m) ck,peça (MPa) Idade p/ prot 7 1 dia 6 αp,i ∆l (mm) CAA 5 II αp,f f cj,peça cj,peça: resistência do concreto da peça pré-moldada na idade da efetivação da protensão; f ck,peça ck,peça: resistência característica do concreto da peça pré-moldada; αp,i: relação Ep / Ec na idade da efetivação da protensão; αp,f : relação Ep / Ec na idade de 28 dias do concreto; Aço: tipo do aço (aço para Concreto Protendido com tensão de ruptura de 1900 MPa e de Relaxação Baixa); Ep: módulo de elasticidade do aço de protensão; Idade p/ prot: idade do concreto quando ocorre a efetivação da protensão (quando a protensão passa a atuar na viga); CAA: Classe de agressividade ambiental; Ur: umidade do ambiente; Lpista: comprimento da pista de protensão na fábrica; ∆l: acomodação da ancoragem quando da protensão (fornecido pela fabricante);
Tratando-se de uma viga de seção retangular simples, calculam-se suas características geométricas.
∗ℎ ∗ ℎ 0,25 ∗ 0,8 0,20 ² 0,25 ∗ 0,8 ∗ ℎ 12 12 0,0107
Sabendo que, em uma seção retangular, a distância entre o centro de gravidade da seção até a borda superior (y s) é igual à distância até a borda inferior (y i), o módulo de rigidez à flexão (W) também será igual. Logo:
0,00,107 0, 0 2675 4
Em seguida, vamos obter os diagramas de momento fletor decorrentes de cada carregamento a cada décimo de vão (L/10). Esses esforços serão obtidos pelo FTool.
Figura 1: Divisão da viga em seções a cada décimo de vão.
Carregamento de peso próprio (g 1)
Carregamento de laje (g2)
Carregamento de parede (g3)
Carregamento de revestimento (g4)
Carregamento acidental (q)
Tabela resumo dos momentos fletores decorrentes de cada carregamento a cada décimo de vão (em kN.m) S1 (0,80 S2 (1,60 m) S3 (2,40 m) S4 (3,20 m) S5 (4,00 m) Peso próprio 14,4 25,6 33,6 38,4 40,0 Laje 21,6 38,4 50,4 57,6 60,0 Parede 12,1 21,5 28,2 32,3 33,6 Revestimento 10,9 19,5 25,5 29,2 30,4 Acidental 25,9 46,1 60,5 69,1 72,0
Com todas essas informações, pode-se passar para as etapas de cálculo, onde serão feitos os dimensionamentos e as verificações referentes a esta viga. Sabendo que no concreto protendido as verificações no Estado Limite de Serviço (ELS) podem ser determinantes para o dimensionamento dimensionamento da armadura longitudinal, ou seja, muitas vezes a armadura dimensionada no Estado Limite Último (ELU) não é suficiente para que as condições mínimas de durabilidade, previstas na norma, sejam atendidas, muitos engenheiros determinam a área de armadura ativa (A p) partindo-se das verificações no ELS e, depois, verificando v erificando se são suficientes para satisfazer o ELU. Neste roteiro, no entanto, a área de armadura ativa será definida considerando o ELU, ou seja, a viga trabalhando no estádio III (maiores informações sobre as hipóteses de cálculo podem ser obtidas em Estruturas em Concreto Protendido: Cálculo e Detalhamento, Carvalho, 2012).
2-) Dimensionamento da armadura longitudinal no ELU
O dimensionamento da armadura, a princípio, implica em adotar alguns parâmetros de cálculo que não são possíveis de obter enquanto não se sabe a quantidade e disposição das cordoalhas. Portanto, pode-se pode -se dizer que, nesse momento, estamos efetuando um pré-dimensionamento da armadura. Após definidos os dados definitivos, estes deverão ser confrontados com os valores estimados para obtermos, assim, o correto dimensionamento. Os parâmetros estimados são: a altura útil (d) e as perdas totais de protensão (Δσpt=∞). Em relação a altura útil, é necessário estimar a posição do centro de gravidade da armadura. Vamos considerar que teremos apenas uma camada de armadura. Para CAA II, a tabela 7.2 da NBR 6118:2014 diz que o cobrimento mínimo é de 3,5 cm.
Logo, um valor plausível para considerar o CG da armadura é de 5 cm. Portanto, sabendo que a altura total da seção é de 80 cm, a altura útil será 75 cm.
Em relação as perdas de protensão, pode-se aceitar um valor v alor de 20% como sendo plausível. Com esses parâmetros definidos, inicia-se o dimensionamento.
+ + + + 40,0 + 60,0 + 33,6+ ,6 + 30,4 + 72,0 236, 236,0 . . A partir do momento máximo, determina-se o momento de cálculo M d, considerando os majoradores de carga previstos pela NBR 8681:2003. Pode-se adotar, por opção do engenheiro, majoradores de carga considerando as ações separadamente separadamente ou em conjunto. Neste exemplo, o majorador de esforços será definido optando pelo efeito conjunto entre os carregamentos. carregamentos.
1,4 ∗ 236, 236,0 330, 330,4 . .
A partir o momento de cálculo M d, inicia-se o cálculo para a determinação da armadura de protensão (A p), por meio do uso das fórmulas e coeficientes adimensionais.
Sendo:
4 0,08 ∗ ∗ 0,75 ∗ 330, 0,25 ∗ 40000 1,4
d: altura útil da seção; Md: momento de cálculo; f cd cd: resistência de projeto à compressão do concreto; bw: largura da seção.
A partir do KMD, determina-se o valor de KX, KZ e εs, por uso da tabela.
Logo: KMD = 0,08; KX = 0,1238; KZ = 0,9505; εs (deformação da armadura provocado pelo carregamento) = 10‰. 10‰. Sabendo que:
0,1238 < 0,45
Portanto, garante-se o comportamento dúctil da viga no ELU (item 14.6.4.3 da NBR6118:2014). Verificada a posição da L.N., parte-se para a etapa de definir a deformação de pré-alongamento da armadura de protensão. Sabe-se que, no ELU, a deformação da armadura (ε (εt) é composta pela deformação decorrente do carregamento (ε ( εs) somada à deformação decorrente da protensão, chamada de pré-alongamento ( εp). A deformação provocada pelo carregamento (ε (εs) foi definido acima. Resta saber qual a deformação de pré-alongamento e, para isso, é necessário saber qual a tensão atuante na armadura decorrente da atividade da protensão no tempo infinito, ou seja, a tensão inicial de protensão descontadas suas perdas totais. As perdas foram estimadas em 20%, logo, deve-se definir qual a tensão de protensão inicial. Para evitar que ocorra ruptura, escoamento ou relaxação não linear da armadura de protensão e que também não haja a possibilidade de danos na ancoragem por esforço muito elevado, a norma estabelece valores máximos para evitar estes problemas. Os valores limites por ocasião da operação de protensão:
Armadura pré-tracionada
Por ocasião da aplicação da força N p, a tensão σ pi da armadura de protensão na saída do aparelho de tração deve respeitar os limites normativos: Obs: quando não for fornecido o valor característico de escoamento do aço, considerar f pyk pyk = 0,9 f ptk ptk. Em que: f pyk pyk: valor característico de escoamento do aço;
f ptk ptk: valor característico da resistência a tração do aço.
Para o aço CP190 RB e pré-tração:
0,77∗ 0,77∗1900 1463 ≤ {0,85∗ 0,85∗0,9∗1900 1453,5
O menor dos valores será adotado, a fim de se evitar qualquer problema tais quais os elencados anteriormente. anteriormente. Portanto: σpi = 1453,5 MPa Estimadas as perdas totais de protensão em 20%, define-se a tensão na armadura no tempo infinito:
,=∞ ∗ 1− 1− ∆, 1453, 1453,5 ∗ 1− 1 − 0,20 20 1162, 1162,8080 Obtidas as tensões de protensão com as respectivas perdas de protensão, determina-se o valor da deformação do aço para o tempo infinito, por meio da tabela do Vasconcelos que relaciona os valores de tensão e deformação específica do aço de protensão.
Como não há um valor exato de deformação específica para a tensão de 1162,80 MPa, é executada uma interpolação.
Resolvendo:
5,25 6,794 1025 1162,8 1314 6,794−5,25 − 5,2525 1314−1025 1162,8−1025 5,986 ‰
Sabendo os valores de deformação decorrentes do carregamento ( εs) e de préalongamento (ε (εp), sabe-se qual será a deformação da armadura quando esta estiver trabalhando no ELU.
Assim sendo:
+ 5,986+10 15,986 ‰ A partir da deformação específica de 15,986 ‰, por meio da mesma tabela, é possível determinar a tensão necessária para causar tal alongamento no aço.
15,00 15,986 17,50 1507 1517 17,50−15,00 15,986−15,00 1517 1517 −15 − 150707 −15 − 150707 1511
Portanto, essa é a tensão máxima na qual a armadura de protensão estará submetida. Assim, é possível determinar a área de aço e, consequentemente, a quantidade de cordoalhas.
330,4 3,1 ² ∗ ∗ 0,75∗0,9505∗151,1
Pensando em uma cordoalha c ordoalha de 12,7 mm (1/2”) Área ≈ 1cm², 1cm², adotam-se 4 cordoalhas (4φ12,7).
3-) Cálculo das perdas de protensão
Feito o pré-dimensionamento pré-dimensionamento da armadura, devemos, agora, calcular as perdas de protensão para confirmar se os valores estimados estão coerentes e se há necessidade de recalcular a armadura ativa. No caso da pré-tração, as perdas de protensão são as seguintes: Perdas imediatas: Perda por deformação da ancoragem; perda pela relaxação do aço
até a efetivação da protensão; perda pela deformação imediata do concreto. Perdas diferidas: Perda pela retração do concreto; perda pela fluência do concreto;
perda por relaxação do aço. As perdas imediatas ocorrem em situações distintas. Portanto, deve-se descontá-las descontá-las da tensão inicial de protensão (σ pi) quando da sua ocorrência. Já as perdas diferidas, como ocorrem de forma concomitante, são calculadas considerando a tensão de protensão descontadas as perdas imediatas (chamada de tensão de protensão no tempo zero ou em vazio - σp,t=0). Como calculado anteriormente, a tensão inicial de protensão (σ pi) é de 1453,5 MPa. 3.1-) Perda por deformação da ancoragem
Essa perda ocorre por causa de uma leve acomodação da ancoragem no instante após o estiramento da armadura. Quando a armadura é ancorada no anteparo rígido na extremidade da pista, ocorre um pequeno encurtamento nas cordoalhas e, consequentemente, gera uma perda de protensão. Essa perda ocorre de forma uniforme ao longo das cordoalhas. O valor da deformação da ancoragem é fornecida pela fabricante dos componentes. Nesse exercício exercício irá se considerar um valor de 6 mm. Sabendo que a pista de protensão possui 100 m de comprimento:
Onde:
0,6 0,00006 ∆ 10000
Δl: valor da acomodação da ancoragem fornecido pelo fabricante; L: comprimento da pista de protensão; ε: deformação relativa provocado pela encurtamento da cordoalha.
∆, ∗ 0,00006 0006 ∗200 ∗ 200000 000 12 Onde: Δσdef,anc: perda de protensão por deformação da ancoragem; ε: deformação relativa provocado pela encurtamento da cordoalha; Ep: módulo de elasticidade do aço de protensão.
Logo:
, − ∆, 1453, 1453,5 − 12 1441, 1441,5 3.2-) Perda por relaxação da armadura até a efetivação da protensão
A relaxação da armadura é um efeito que ocorre no aço quando solicitado sob altas tensão. Quando este se encontra tracionado, há uma tendência natural de perder tensão. Na pré-tração, esse efeito ocorre em dois momentos: 1-) quando a cordoalha esta estirada na pista de protensão antes de sua solidarização com o concreto, e 2-) a partir do momento em que a armadura passa a atuar junto ao concreto. Nesse exemplo, consideramos que a armadura ficou estirada durante 1 dia antes da liberação da protensão (situação em que a armadura passa a atuar na viga). Logo, calcula-se a perda por relaxação decorrente nesse intervalo de tempo.
Onde:
441,5 0,76 11900
R: relação entre a tensão atuando na armadura e sua tensão de ruptura;
Sabendo qual essa relação, pode-se obter o bter o valor do coeficiente Ψ 1000 definido pela tabela 8.4 da NBR 6118:2014:
Para cordoalhas do tipo RB, efetua-se uma interpolação entre os falores de 0,7 f ptk ptk e 0,8 f ptk ptk.
0,7 0,76 0,8 2,5 3,5 0,8−0,7 0,76−0,7 3,5−2,5 − 2,5 3,1 , , − − 1 − 0 , ∗ 41,67 3,1 ∗ 41,67 1,77 % ∆, , ∗ , 1441,5∗0,0177 25,5 , , − ∆, 1441, 1441,5 − 25,5 1416 1416
Para 1 dia de relaxação:
Logo:
3.3-) Perda por deformação imediata do concreto
No momento em que a protensão passa a atuar na viga, ocorre uma deformação de encurtamento, provocado pela compressão do elemento. Como a armadura está aderida ao concreto, esse encurtamento ocorre, também, na armadura. A definição dessa perda é obtida pela seguinte equação:
∗ ∗ , , ∗ + − Onde: αp,i: relação Ep / Ec na idade da efetivação da protensão (dado no enunciado do exercício);
Np: força de protensão; ep: excentricidade entre a força de protensão e o centro de gravidade da seção de concreto; Mg1: momento fletor do peso próprio da viga; A: área da seção transversal da viga; I: momento de inércia da seção transversal da viga.
Como se pode observar na equação, a perda por deformação do concreto ocorre de forma variada, dependendo do momento fletor de peso próprio atuando na seção. Como estamos analisando a seção do meio do vão, a perda de protensão será de: Inicia-se pelo cálculo da força de protensão. No instante em que a protensão passa a atuar na viga, sua tensão é de 1416 MPa, conforme encontrado após a perda por relaxação inicial. Como estamos utilizando 4 cordoalhas de 12,7 mm (A p = 4 cm²).
, ∗ 141, 141,6 ∗ 4 566, 566,4 Obs.: A tensão σ rel,ini estava, a princípio, em MPa. Seu valor foi dividido por 10 para alterar sua unidade para kN/cm². E, quanto a excentricidade, excentricidade, sabendo que o centro de gravidade da armadura está a 5 cm da borda inferior, sua distância até o centro de gravidade da peça é de 35 cm.
Finalmente:
40∗0,35 566, 4 566,4∗0,35 , 7 ∗ 0,2 + 0,0107 − 0,0107 56056,5 56,1 ,= , − ∆, 1416− 1416 − 56,1 1359, 1359,9 Logo:
E assim define-se a tensão no tempo zero (ou em vazio) que será utilizada para as verificações em vazio.
Agora, iniciam-se os cálculos das perdas diferidas de protensão. Essas perdas ocorrem ao longo do tempo em função de diversos parâmetros: temperatura do ambiente; umidade do ambiente; idade da protensão; características geométricas da seção; esforços de protensão. A tensão de referência para seus cálculos será a tensão no tempo zero, previamente calculada (σ p,t=0). Para o cálculo da retração e da fluência, utiliza-se a tabela 8.2 da NBR 6118:2014, como uma forma mais simplificada para o cálculo dessas perdas.
3.4-) Perda por retração
A retração é a variação volumétrica do concreto que tende a reduzir seu volume. Dentre outras coisas, ocorre pela saída de água que não reagiu com o cimento. Alguns parâmetros que interferem com este fenômeno são: temperatura ambiente; umidade do ambiente; geometria da seção e a plasticidade do concreto.
Sendo um processo que interfere no concreto, sua perda é uniforme para todas as seções. Aqui, seu cálculo será realizado por meio da tabela disponibilizada na NBR6118:2014. Para obter os dados d ados da tabela, é necessário n ecessário calcular a espessura fictícia da seção.
2 ∗ 2∗0,2∗0,8 0,19 2∗0,2+0,8
Onde:
Ac: área da seção transversal; u: perímetro da seção em contato com o ar (aqui se considerou que todo o perímetro está em contato com o ar).
Encontrado o valor de espessura fictícia, entra-se na tabela na coluna correspondente a 75% de umidade média do ambiente e para uma idade de 5 dias da inserção da protensão (dados do exercício). Aproximando o valor de espessura fictícia de 0,19 m para 0,20 m, o valor da deformação específica (εcs(t,t0)) é de -0,36 -0,36 ‰. E, com esse valor, encontra-se a perda por retração.
∆çã ∗ , 200000 200000 ∗0, ∗ 0,00036 0036 72 3.5-) Perda por fluência
De forma simplificada, a fluência ocorre como consequência de uma ação introduzida em um determinado momento e que se mantém aplicada ao longo do tempo, como é o caso da protensão atuando de forma contínua no concreto. A fluência varia de seção para seção, e seu cálculo implica em definir o coeficiente de fluência ( que na retração.
Onde:
∞, 2 ∗ 2∗0,2∗0,8 0,19 2∗0,2+0,8
) na tabela 8.2 da NBR 6118:2014, de forma semelhante
Ac: área da seção transversal; u: perímetro da seção em contato com o ar (aqui se considerou que todo o perímetro está em contato com o ar).
Encontrado o valor de espessura fictícia, entra-se na tabela na coluna correspondente a 75% de umidade média do ambiente e para uma idade de 5 dias da inserção da protensão (dados do exercício). Aproximando o valor de espessura fictícia de 0,19 m para 0,20 m, o valor do coeficiente de fluência (
∞,
) é de 2,8.
Em seguida, é preciso definir qual a tensão no concreto na altura do centro de gravidade da armadura considerando os carregamentos permanentes. permanentes.
Onde:
(∑ + ∗ ) ∗ ∗ , + −
Np: força de protensão no tempo zero; ep: excentricidade entre a força de protensão e o centro de gravidade da seção de concreto; ΣMg: somatório dos momentos fletores decorrentes de ações permanentes; Mq: momento fletor decorrente da ação acidental; Ψ2: coeficiente de combinação de ações quase permanente (considerado para edifícios comerciais – comerciais – 0,4); 0,4); A: área da seção transversal da viga; I: momento de inércia da seção transversal da viga
Inicia-se pelo cálculo da força de protensão. Considerando a tensão no tempo zero (σp,t=0) de 1341,6 MPa e como estamos utilizando 4 cordoalhas de 12,7 mm (A p = 4 cm²).
,= ∗ 135,99∗ 99 ∗ 4 543, 543,96 Obs.: A tensão estava, a princípio, em MPa. Seu valor foi dividido por 10 para alterar sua unidade para kN/cm². E, quanto a excentricidade, esta não alterou, seu centro de gravidade está a 5 cm da borda inferior, sua distância até o centro de gravidade da peça é, portanto, de 35 cm. Logo:
40+60+33,6+30,4+0,4∗72 ∗ 0,35 543, 9 6 543, 9 6∗0, 3 5 35 , 0,2 + 0,0107 − 0,0107 2640,8 2,64 E, finalmente, a perda por fluência será de:
∆ê , ∗ , ∗ ∞, 5∗5 ∗ 2,64∗ 64 ∗ 2,8 37, 37,0 Onde:
αp,f : relação Ep / Ec na idade de 28 dias do concreto (dado no enunciado do exercício);
3.4-) Perda por relaxação total da armadura
Como já explicado, na pré-tração a relaxação é calculada em dois momentos: no intervalo de dias entre o estiramento da armadura e a aplicação da protensão, e após essa etapa, até que a perda por relaxação se estabilize (considerado um intervalo de tempo “infinito”). Agora será calculado essa segunda situação:
Onde:
9 0,716 1359, 1900
R: relação entre a tensão atuando na armadura e sua tensão de ruptura;
Sabendo qual essa relação, pode-se pode- se obter o valor do coeficiente Ψ 1000 definido pela tabela 8.4 da NBR 6118:2014:
Para cordoalhas do tipo RB, efetua-se uma interpolação entre os falores de 0,7 f ptk ptk e 0,8 f ptk ptk.
0,7 0,716 0,8 2,5 3,5 0,8−0,7 0,716−0,7 3,5−2,5 − 2,5 2,66 ∞, 2,2,5 ∗ 2,5 ∗ 2,6666 6,6,65 %
Para um intervalor de tempo “infinito” de relaxação:
∆, ,= ∗ ∞, 1359,9∗0,0665 90,4 ∆ ∆çã + ∆ê + ∆, 72,0 + 37, 37,0 + 90, 90,4 199, 199,4 Portanto, as perdas diferidas totais foram:
E a tensão de protensão no tempo infinit o (σp,t=∞ p,t=∞), utilizado para as verificações em serviço e para o dimensionamento dimensionamento no ELU, será de:
,=∞ ,= − ∆ 1359,9−199,4 1160,5 5 1−0,80 0,20 20% ∆, 11 − ,=∞ 1 − 1160, 1453,5 A perda total de protensão foi de:
As perdas de protensão foram iguais à estimada. Se o resultado fosse diferente, diferente, o engenheiro poderia efetuar o dimensionamento da armadura ativa novamente para ter certeza se a quantidade de cordoalhas adotadas é o suficiente para satisfazer a seção. Se, nesse caso, o dimensionamento resultar em uma quantidade diferente de cordoalhas (para mais ou para menos), torna-se necessário recalcular as perdas de protensão com o novo arranjo de armadura.
4-) Verificação do ELU em vazio (verificação de tensão na seção)
Sabendo qual a armadura a ser utilizada e calculadas as perdas de protensão, inicia-se a etapa de verificações de tensão da seção transversal, iniciando no tempo zero (deve ser feito, também, no tempo infinito, mas isso é assunto para o módulo II do curso). Nessa verificação, considera-se considera- se a tensão de protensão no tempo zero (σ p,t=0), apenas o carregamento de peso próprio e a resistência f cj do concreto (na idade da efetivação da protensão). Para o estado limite em vazio deve-se atender:
− 1,2 × + 0,7 × Obs: o sinal negativo indica tração e o positivo indica compressão. f cjcj = resistência resistência à compressão do concreto, em j dias; f ctj ctj = resistência à tração do concreto, em j dias. Sendo:
0,3 × 0,3 × √ 2525 2,56 Desse modo:
− 1,1,2 × 2,56 −3,08 −3080 −3080 / + 0,0,7 × 25 +17,5 +175 +1750000 /
²
²
Os valores limites encontrados acima, devem ser comparados com as tensões no estado em vazio e satisfazer a seguinte condição:
Sendo:
−3080 /² ≤ ≤ 17500 /² /²
Na parte superior da viga:
+ − ∗ +
σp,t=0 = 1359,9 MPa (imediatamente após liberar a protensão, porém ainda na pista de concretagem) concretagem)
,= 135,99 4 543,96 6∗0,35 + 40 −2902 / + 543,0,296 − 543,0,092675 0,02675 > −3080 /! + + ∗ − 6∗0,35 − 40 + 543,0,296 + 543,0,092675 0,02675 ! +8342 < 17500 /
²
Na parte inferior da viga:
Portanto os limites de -3080 kN/m² e +17500 não são ultrapassados pelas tensões no estado em vazio. Portanto, OK!!! Apesar das tensões estarem dentro dos limites, como ocorreu tensão de tração na borda superior, de acordo com a norma deve-se dimensionar uma armadura passiva, no estádio II, para controle dessa tensão. Portanto:
Por semelhança de triângulos, encontra-se a posição da linha neutra:
80 → 20,6 2902 2902+8342
Agora é possível calcular a força resultante decorrente da tensão de tração:
∗ 2 ∗ 290902 ∗ 0,2206 ∗ 0,25 74,7
E, finalmente, sabendo que essa força de tração não pode provocar na armadura passiva tensões superiores a 250 MPa (no caso de barras nervuradas), calcula-se a área de A s:
25 7254,7 2,99 ²
Totalizando 4φ10mm 4φ10mm (As = 3,2 cm²).
Portanto, a verificação no meio do vão (S5) está verificada. Resta, em seguida, verificar as outras seções. Costuma-se analisar seções a cada décimo de vão. Tratando-se de uma viga simétrica e com carregamento simétrico, basta verificar as seções S1 até a S5.
Obs.: Fazemos fazer uma simplificação nesse momento. Como um dos parâmetros para calcular as perdas por deformação imediata do concreto e a perda por fluência é o momento fletor atuante na seção, pode-se concluir que elas serão diferentes para cada décimo de vão da viga. Portanto, o correto dimensionamento deve ser feito considerando as perdas de protensão em cada seção. Neste exemplo, no entanto, vamos considerar que as perdas em cada seção são as mesmas já calculadas (meio do vão – ou ou seção S5).
Abaixo reproduzimos parte da tabela de momentos fletores decorrentes de cada carregamento em cada seção (como vamos verificar em vazio, somente nos convém os dados de peso próprio). Ela está presente no início do exercício quando estávamos obtendo as características geométricas e de carregamento.
Peso próprio
S1 (0,80 14,4
S2 (1,60 m) 25,6
S3 (2,40 m) 33,6
S4 (3,20 m) 38,4
S5 (4,00 m) 40,0
Com ela, podemos calcular as tensões na borda superior e inferior, em vazio, em suas respectivas seções. Seu cálculo é feito da mesma forma que já apresentado no tópico sobre verificações em vazio. A tabela abaixo apresenta esses resultados: Borda Superior Inferior
S1 (0,80 -3859 9299
S2 (1,60 m) -3440 8880
S3 (2,40 m) -3141 8581
S4 (3,20 m) -2962 8402
S5 (4,00 m) -2902 8342
Lembrando que os limites de tensão são de -3080 kN/m² de tração e 17500 kN/m² de compressão. Portanto, as tensões nas bordas superiores nas seções S1, S2 e S3 estariam excedendo esses limites (a protensão está gerando uma tensão de tração muito elevada naquelas seções – local – local onde se costuma ter problemas de tração em vigas pré-tracionadas devido ao baixo momento fletor do peso próprio). Dentre as soluções cabíveis para este caso, sugere-se promover o isolamento de cordoalhas até a seção S3. O isolamento de cordoalhas é feito quando revestimos determinado trecho da armadura (no caso, até a seção S3) com um material que impeça a aderência entre o concreto e a armadura (esse material pode ser um simples tubo plástico e liso ou uma fita isolante – cada – cada fábrica tem sua própria solução). Dessa forma, naquela trecho a armadura não transmite esforços ao concreto, reduzindo a força de protensão e, consequentemente, consequentemente, as tensões nas bordas da viga. Com uma planilha de cálculo, a verificação de quantas cordoalhas devem ser isoladas fica simples, basta ir testando quantas cordoalhas são suficientes para satisfazer o excesso de tensão e verificar os resultados. Podemos, também, descobrir por meios matemáticos. Utilizando as mesmas equações de equilíbrio de tensão, podemos fazer a seguinte manipulação algébrica:
+ − ∗ +
+ + ∗ − ,= ∗ ,= ∗ ∗ , 13135,99 ∗ 1,00 ∗ 135,99 ∗
Para cordoalhas de diâmetro de 12,7 mm, A p,unit = 1,00 cm².
Onde: Ap,unit: é a área de armadura ativa de cada cordoalha; n: é o número de cordoalhas.
135, 135,99∗ 99 ∗ ∗ 0,3535 + ≥ −3080 135,99∗ − 0,2 0,02675 0,02675 135, 135,99∗ 99 ∗ ∗ 0,3535 − ≤ 17500 135,99∗ + 0,2 0,02675 0,02675
Montamos uma inequação de 1° grau cuja incógnita é o número de cordoalhas e inserimos a informação do limite de tensão. - Para a seção S1 (mais crítica):
135, 135,99∗ 99 ∗ ∗ 0,3535 + 14,4 ≥ −3080 135,99∗ − 0,2 0,02675 0,02675 ≤ 3,3 ℎ
Concluindo, é necessário utilizar menos que 3,3 cordoalhas para impedir que a tensão de tração na borda superior exceda o limite permitido. Com 3 cordoalhas, portanto, essa seção estaria verificada. No entanto, é importante fazer uma ressalva nesse caso. É importante que o arranjo das cordoalhas mantenha certa simetria e, como nossa viga está dimensionada com 4 cordoalhas, isolar apenas 1 pode tornar o arranjo assimétrico. Portanto, nesse caso, recomenda-se que 2 cordoalhas sejam isoladas até a seção S3, de forma a garantir que não surjam esforços não previstos decorrentes da assimetria. Obs.: No início desse roteiro, dissemos que há duas formas de dimensionar a armadura ativa: 1-) partindo do dimensionamento no ELU e verificando as condições em vazio e em serviço (situação que este roteiro adota), adot a), e 2-) partindo das verificações de tensão e, em seguida, verificando no ELU. Essa segunda forma de definir a quantidade de armadura ativa (A p) nada mais é do que utilizar essas inequações de
equilíbrio de tensões e deixar como incógnita a quantidade de armadura. Assim, para cada verificação, teríamos um intervalo de A p que satisfaria a equação. Propomos um exercício: resolva essa viga novamente, mas, ao invés de começar dimensionando a armadura no ELU, comece pelas verificações em vazio.
Desconsiderando, então, a ação de 2 cordoalhas (por meio do isolamento), as tensões nas bordas inferior e superior ficam da seguinte forma: Borda S1 (0,80 S2 (1,60 m) S3 (2,40 m) S4 (3,20 m) Superior -1660 -1242 -943 -2902 Inferior 4380 3962 3662 8268 Com todas as seções satisfeitas em relação às tensões!
S5 (4,00 m) -2843 8209
Este módulo do curso encerra-se por aqui. Ainda é necessário verificar as condições no Estado Limite de Serviço, assunto esse do módulo II.
