Descripción: Pensum asignatura Matemática Discreta, del Grado de Matemáticas por la UNED
Descripción: Del profesor Moquillaza
Solucionario de EjerciciosDescripción completa
programa de la materia matematica discretaDescripción completa
Descrição: conteúdo sobre matemática relacionada á informática
Appunti Ed Esercizi
LímitesDescripción completa
Descripción: Investigación sobre biopolímeros y sus principales aplicaciones
muybueno
Investigación sobre biopolímeros y sus principales aplicaciones
Descrição completa
PROBLEMAS DE MATEMÁTICA DISCRETA
IngenieriaDescripción completa
Matemática Discreta y sus Aplicaciones S.ª edición
Kenneth H. Rosen Laboratorios A T& T
Traducción: José Manuel Pérez Morales Investigador titular del CIEMAT Profesor asociado Universidad Carlos 111 de Madrid Julio Moro Carreño Titular de Universidad Departamento de Matemáticos Universidad Carlos 111 de Madrid Ana Isabel Lías Quintero Departamento de Matemático Aplicado Universidad Politécnica de Madrid Pedro Antonio Ramos Alonc Departamento de Matemáticos Universidad de Alcalá
MADRID• BUENOS AIRES• CARACAS • GUATEMALA• LISBOA • MÉXICO NUEVA YORK• PANAMÁ • SAN JUAN • SANTAFÉ DE BOGOTÁ • SANTIAGO • SAO PAULO AUCKLAND • HAMBURGO • LONDRES • MILÁN • MONTREAL •NUEVA DELHI • PARÍS SAN FRANCISCO • SIONEY • SINGAPUR • SAN LUIS• TOKIO • TORONTO
Contenido Sobre el autor ...................................................................................................................... .. Prólogo ............................................................................................... ~.................................
ix xi
La página web de ayuda ... .......... ........................ ................................. ....... ............... ...........
xix
Al estudiante ......................................................................................................................... .
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l . Los fund~mentos: lógica y demostración, conjuntos y funciones ... 1.1. Lógica ...... :........................................................................................................ l.2. Equivalencias proposicionales ......................................................................... 1.3. Predicados~' cnantificaclores ................................. ,........ ,..................... ;............ 1.4. Cuantificadores anidados ........ .. .. ....... .............................. ........... ......... ............ 1.5. Métodos de demostración................................................................................. l.6. Conjuntos ....... ,.................................................................................................. l.7. Operaciones con conjuntos ............................................................................... 1.8. Funciones ...................................... ........................................... ..... .. ..... ............. Material fin del Capíhilo ............................. ....................... ..............................
1 19 26 40 52 71
79 90 103
2. Los fundamentos: algoritmos, números enteros y matrices ............. 109 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.
Crecimiento de funcioues ................................................................................. Complejidad de algoritmos .............................................................................. Enteros y división ............................................................................................. Enteros y algoritmos ......................................................................................... 2.6. Aplicaciones de Ja teoría de números .......... .................... ................. ................ 2.7. 11atrices ............................................................................................................ Material fin deJ Capítulo ..... .............. ........ ....... ................... ..... .. .......... ..... .......
3.
Razonamiento matemático, inducción y recursividad ........................ 199 Estrategias de demostración ............................................................................. Sucesiones y sumatorios ................................................................................... Inducción matemática ....................................................................................... Definiciones recursivas e inducción estructural ............................................... Algorit1nos recursivos ............. ................ ......................... ......................... ....... Verificación de programas ............................................................................... Material fin del Capítulo ..................................................................................
4.1. Fundamentos de combinatoria ...................................................... .,.................. 4.2. Principios del palomar...................................................................................... 4.3. Permutaciones y combinaciones ............................................................ :......... 4.4. Coeficientes binomiales ............................................................................ ....... 4.5. Permutaciones y combinaciones generalizadas ..... ...................... ... ..................
279 290 297 303 31 1
3.1.
·3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.
4.
109 120 132 140 155 167 181 191
199 210 222 255
264 270
V
vi
C'o111c11ido
Generación de pemrntaciones y combinaciones ................ .. ...... .. .. .................. Material fin del Capítulo ..................................................................................
Una introducción a la probabilidad discreta ..................................................... 5.2. Teoría de la probabilidad .................................................................................. 5.3. Valor esperado y varianza ................................................................................ Material fin del Capítulo ..................................................................................
329 336 352 366
6. Técnicas avanzadas de recuer do...................................................................
373
Relaciones de recurrencia ................................................................................. Resolución ele relaciones de recurrencia .......................................................... Algoritmos de divide y vencerás y relaciones de recurrencia .......................... Funciones generatrices ..................................................................................... Principio de inclusión-exclusión ...................................................................... Aplicaciones del prir1cipio de inclusión-exclusión ........................................... Material fin del Capítulo ..................................................................................
Relaciones y sus propiedades ........................................................................... Relaciones 11-arias y sus aplicaciones ............................................................... Representación de relaciones ........................................................................... Cierre de relaciones .......................................................................................... Relaciones de equivalencia .............................................................................. Órdenes parciales ............................................................................................. Material fin del Capítulo ..................................................................................
439 ..W9 456 463 473 481 495
Gr afos.......................................................................................................................
503
Introducción a los grafos ...... ........................................................................... Terminología en teoría de grafos...................................................................... Representación de grafos e isomorfismo de grafos .......................................... Conexión ................................................ ............................................... ........... Caminos eurelianos y hamiltonianos ................................................................ Caminos de longitud mínima ........................................................................... Grafos planos ..........................................!......................................................... Coloreado de grafos ................................ ......................................................... MateriaJ fin del Capítulo ..................................................................................
Introducción a los árboles ................................................................................. Aplicaciones de los árboles .............................................................................. Recorridos en árboles ....................................................................................... Árboles generadores ................................................................. 4 ...................... Árbol generador mínimo .................................................................................. Material fin del Capítulo .. ........ .... .... ...... .................... .............. ........ ........... .....
589 601 615 628 641 646
9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5.
Contenido
10.
11.
vii
Álgebra de Boole
653
10.1. 10.2. 10.3. 10.4.
653 660 664 670 684
Funciones booleanas.... ...................................... ............ ........ ....... .................. Representación de funciones booeanas ....................... ............... ............ ........ Puertas lógicas............................................................................. .................... Minímízación de circuitos .............................................................................. Material fin del Capítulo .. .. .... .. ............... ................... .... ..... ...... .......... ... .. .. ....
Modelos de computación ................................................................................. 689 11.1. 11.2. l 1.3. 11.4. 11.5.
Lenguajes y gramáticas .................................................................... ....... .... .. . Máquinas de estado fini to con salida .................................................. ........... Máquinas de estado finito sin salida............................................................... Reconocimiento de lenguajes ........... ......................................... .... ..... ...... .... .. Máquinas de Turb1g ............ .............................. ................. ................. ........ .... Material fin del Capítulo .. .. ...... ........ .. ...... .... .. .. .. .. .... ....... .... .. ......... ..... ...........
689 700 706 713 722
729
APÉNDICES A-1.
Funciones exponencial y logarítmica ...................................................... 735
H. ROSEN es un miembro distinguido del personal técnico de .los Laboratorios AT&T en Middfotown, Nueva Jersey, Estados Unidos. Bl doctor Rosen se graduó en Matemáticas en la Universidad de Mlchigan, Ann Arbor (1972) y se doctoró en el M.I.T. (Boston) en 1976, donde escribió su tesis en el área de teoría de números bajo la dirección de Harold Stark. Antes de ingresar en los Laboratorios Bell en 1982, fue associate professor de matemáticas en la Universidad de Colorado, Boulder; la Universidad del Estado de Ohio, Columbus, y en la Universidad de Maine, Orono. Mientras trabajaba en los Laboratorios AT&T, Ken fue profesor en la Universidad de Monmouth, donde enseñó matemática discreta, teoría de codificación y seguridad en datos. El doctor Rosen ha publicado numerosos artícutos en revistas profesionales de las áreas de teoría ele números y modCiado matemático. Es autor de Jos libros de texto Elementary Number Theory muí Jts App/ications, actualmente en su cuarta edición, pnblicado por Addisoñ~ WesJcy, y Matemárica distreta y sus aplicaciones, en su quinta edición, publicado por McGraw~Hill. Ambos libros se han usado ampliamente en centenares de universidades. Es coautor de UNIX: The Complete Reference, UNIX System V Release 4: An lntroduction y Best UNIX Tips Ever, publicados por Osbome McGraw-Hill. Estos libros han vendido más de cien mil copias, con traducciones al chino, alemán, español e italiano. Ken es también editor del Handbook of Discrete and Combinatoria[ Mathematics, publicado en 2000 por CRC Press, y es supervisor de edición de la serie CRC de libros sobre matemática discreta. Ken también está interesado en la integración del software matemático en entornos profesionales y didácticos y ha trabajado en proyectos con el programa MAPLE de la empresa Waterloo en estas áreas. .En Jos Laboratorios Bell, y act uaJmente en AT&T, el doctor Rosen ha colaborado en un amplio abanico de proyectos, entre Jo.<: qne se incluyen estudios sobre investigación operativa y planificación de líneas de producción para ordenadores y equipos para comunicación de datós. Ha ayudado en la planificación de los futuros productos y servicios de AT&T en el área de multimedia, como comunicación de vídeo o reconocimiento y sintetizado de voz, así como en distribución de imágenes. Ha evaluado nuevas tecnologías para su aplicación en AT&T. Ha inventado numerosos servicios nuevos y ha registrado o tiene en proceso más de sesenta y cinco patentes. Uno de sus proyectos más interesantes está relacionado con la evaluación de tecnología para AT &T en el Centro EPCOT. ENNETH
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Prólogo l escribir este libro me he guiado por mi amplia experiencia e interés en la enseñanza de la matemática discreta. Para el estudiante. mi propósito era presentar el material de forma precisa y legible, con los concepto y técnicas en matemática discreta pre.semados y demostrados con claridad. Mi meta era mostrar la relevancia y utilidad de esta dísciplina a los estudiantes, los cuales a menudo se muestran escépticos. Quería dar a los estudiantes de ciencias de la computación toda Ja base matemática que necesiten en sus estudios. A los estudiantes de matemáticas quería ofrecerles una forma de entender los conceptos matemáticos importantes junto con una idea de por qué estos conceptos son importantes en las aplicaciones. Y quería llevar a cabo estas metas sin rebajar el material. Para el profesor, mi propósito era diseñar una herramienta did
A
Objetivos de un curso de mate1nática discreta Un curso de matemática discreta tiene más de un propósito. Los estudiantes debetían aprender un conjunto pmticular de realidades matemáticas y cómo aplicarlas; y más importante, este curso debería enseñar a fos estudiantes cómo pensar desde un punl() de vista matemfüico. Para alcanzar este objetivo, el texto enfatiza el razonrunicnto matemático y las diferentes fonnas en que se resuelven los problemas. aneo temas importantes se entrelazan en este !foro: el razonamiento maremático, el análisis combinatorio, lás estnicturas discretas, el pensamiento algorítmico y las aplicaciones y el modelado. Un curso acertado de matemática discreta debería mantener un cuidadoso equilibrio entre estos cinco temas. Razonamiento matemático: Los estudiantes deben entender el razonamiento matemático para leer, comprender y construi r argumentos matemáticos. Este texto comienza con una discusión sobre lógica matemáticaEque sirve como sustrato para posteriores discutécnica de inducción matemática se muestra a siones sobre métodos de demostración. través de variados y difer~ntcs tipos de jemplos y de una cuidadosa explicación de por qué la inducción matemálica es una té ica de demostración válida. 2. Análisis combinatorio: Cna técnica importante para resolver problemas es la capacidad de contar o enumerar objetos. La discusión sobre enumeración en esre libro comienza con las técnicas básicas de recuento. Se enfatiza el desarrollo del anáLisis combinatorio para resolver problemas de enumeración en lugar de Ja aplicación de fónnulas. 3. Estructuras discrews: Un curso de matemática discreta debería enseñar a los estudiantes cómo trabajar con estructuras discretas, que son las estructuras abstractas matemáticas usadas para representar objetos discretos y relaciones entre ellos. Estas estructura~ discretas engloban conjuntos, permutaciones, relaciones, grafos, árboles y máquinas de eslados finitos. 1.
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~¡¡
Prólogo
4.
Pensamiento algorílmico: Cierta clase de problemas se resuelve especificando un algoritmo. Una vez descrito el algoritmo. se puede implementar mediante un programa de ordenador. Las partes matemáticas de esla actividad, que incluyen la especificación del algoritmo, la verificación de que run(,;iona adecuadamente, así como el análisis de la memoria y tiempo requeridos en su ejecución, se cubren en este texto. Los algoritmos se describen usando tanto lenguaje natural como una forma de pseudocódigo fácil de entender. 5. Aplicaciones y modelado: La matemática discreta se puede aplicar en casi cualquier área concebible de estudio. En este texto hay muchas aplicaciones a ciencias de la computación y comunicación de datos, a í como aplicaciones a campos tan diversos como la química, la botánica, la zoología. la lingüística, la geografía, las ciencias empresariales e Internet. Estas aplicaciones son u~os naturales e imponantes de la matemática discreta, en ningún caso forzados. El modelado con matemática discreta es una herramienta de extrema importancia para la resoluci<Ín de problemas que los estudiantes tienen la posibilidad de desarrollar construyendo sus propios modelos en algunos de los problemas.
Cambios en la quinta edición La cuarta edición de este libro se ha milizado con éxito en más de quinientas faculcades y escuelas de Estados Unidos, docenas de universidades en Canadá y en universidades de Europa, Asia y Oceanía. Aunque la cuarta edición ha ~ ido un libro de texto muy eficaz, muchos profesores (incluyendo entre eUos a usuarios con amplia experiencia) han requerido algunos cambios destinados a hacer este libro más eficiente. He dedicaclo una cantidad significativa de tiempo y energía para satisfacer este propósito.
El resultado es una quinta edición que ofrece mucho más que la cuarta tanto a profesores como a estudiantes. Es especialmente significativo que en la quinta edición se ha mejorado la presentación de los conceptos, haciendo el libro más didáctico. Se ofrecen mejoras sustanciales en lógica, métodos de demostración y estrategias de demost:rnción para ayudar al estudiante a dominar el razonamiento matemático. Se han añadido ejemplos y explicaciones adicionales para clarificar aquellas áreas en las que el estudiante suele encontrar problemas. Nuevos problemas, tanto rutinarios como más exigentes, se han añadido a los bloques de problemas. También se han añadido aplicaciones relevantes, incluyendo muchas relacionach1s con lntemel y ciencias de la computación. La página web de apoyo se ha ampliado y ahora proporciona herramientas que el estudiante puede utililar para dominar conceptos fundamentales y explorar el mundo de la matemática discreta.
Mejora de la organización
• El tratamiento del razonamiento matemático se concentra en el Capítulo l , clesarrollándose desde la lógica proposicional y de predicados hasta l reglas ele inferencia y las técnicas básicas ele demostración. • La notación O y otras relacionadas se discuten inmedia1amen1e antes de la complejidad de algoritmos. • Las ~u(.;esiones y los sumatorios se tratan inmedia-
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lamente antes de la sección sobre ducción matemática. • Los coeficientes binomiales se trata en una sección separada. • La teoría de probabi lidades tiene un capítulo propio. • Los algoritmos de ordenación se introducen en el Capítulo 2, haciendo referencia a más algoritmos.
Lógica • Se profundiza en las implicaciones. con un tratamiento adicional de la inversa, recíproca y c.:ontrarrecíproca ele una implicación. • Se ha añadido una subsccción sobre juegos de lógica. • Los cuantificadores se tratan ahora en dos secciones.
• Se ofrecen más explicaciones sobre cómo traducir lenguaje natural y enunciados matemáticos a expresiones lógicas, y viceversa. • • La negación de cuantificadores se estudia con mayor profundidad.
Prólogo
• Se tratan la resolución y el uso de la lógica de predicados en Prolog.
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• Se describe la aplicación de la lógica a especificaciones de sistemas, un tema de interés para ingenieros de sistemas, tanto de hardware como de software.
Constru ir y entender demostraciones
• Los métodos de demostración se incluyen ahora en el Capítulo 1. lo que permite usar explícitamente este material en capítulos posteriores. • Se presentan explícirnmente demostraciones ele unicidad. • La Sección 3.1 explora con más profundidad las e~ trategias de demostración. Su tratamiento inicial se amplía a lo largo del Capítulo 1.
• El tratamiento de la inducción matemática se ha reforL.ado con explicaciones adicionales y nuevos ejemplos. • Se cubre explícitamente la inducción estructural. • En esta edición se estudia el problema de demostrar que un algoritmo recursivo está correctamente construido.
Algoritmos • Los algoritmos voraces se presentan en el Capítulo 2. • El tratamiento de algoritmos recursivos se ha extendido. • Se ha ampliado el tratamiento de las búsquedas en profundidad y en anchura. • Se analiza o discute la complejidad de un número mayor de algoritmos.
• Se ha ampliado el tratamiento de los algoritmos «divide y vencerás» y de las relaciones de recurrencia que se emplean para estudiar su complejidad. • Se han añadido los algoritmos de exponenciación modular rápida, la solución del problema del par más cercano, la codificación de Huffrnan y el algoritmo voraz para dar cambio.
A plica cioncs
• Se han añadido nuevos ejemplos de grafos, entre los que están el de la red de Internet. el de las llamadas telefónicas, el de Hollywood y los de relación y de colaboración. • Se describen las técnicas que usan los buscadores en Internet.
• Se tratan los códigos de Gray usados en K-mapas. • Se ha incrementado el tratamiento de la fon11a de Backu -Naur. • Se ha ampliado el tratamiento de las relaciones n-arias y de las bases de datos relacionales.
Teoría de nú meros, combinatoria y teor ía de probabilidades
• La teoría de números relevante para criptografía en clave pública, incluyendo pseudoprimos, números de Cannichael y tests probabilísticos de primal idacl, se cubre con mayor profundidad.
• Se ha ampliado el material sobre la conversión entre expresiones en bases cLiferentes.
Grafos y á rboles
• Se ha añadido una explicación sobre cómo construir inductivamente cubos n-dimensionales. • Se tratan con mayor detalle lao; condiciones suficientes para la existencia de circuitos de Hamilton.
Se discuten árbol¡ s de juego y estrntegias de minimax. Se presenta la cotificación de lluffman. • Las búsquedas en profundidad y en anchura reciben ahora un tratamiento más amplio.
Colecciones de pr oblemas
• Se han añadido más de seiscientos problemas. desde rutinario a muy exigentes, con un énfasis especial en nuevos problemas relncionados con la lógica y las demostraciones, incluyendo inducción.
• Se han añadido problemas para equi librar los problemas pares (sin resolver) y los impares (resueltos al final del libro).
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Prólogo
Biografías y notas históricas adicionales Se han incl uido la<; biogrnfías de Aristóteles. Shcffer. Smullyan, Ri vcst. Shami r, Adleman. Carmichacl. McCarthy y Huffman. • Se incorporan imágenes de todas las personas descritas en las biografía , excepto en algunos pocos casos.
• Muchas de las biografías que aparecían en Ja versión anterior se han ampl iado. • Se han añadido nuevas notas históricas.
La página web (www.mhhe.com/rosen) • Se han incluido enlaces a cientos de páginas en Internet. • Se incluyen ejemplos adicionales en áreas clave. • Se proporcionan ex plicaciones y demostraciones más detalladas para ciertos ejemplos. • Se ofrecen métodos de autoevaluación en temas clave, entre los que se incluyen implicaciones, cuantificado-
res, métodos de demostración, funciones, notación con la función O, inducción y problemas de recuento. • Se han incluido en el libro iconos que indican el tipo de contenido asociado en Tnternet. • Se han desarrollado demos interactivas de algoritmos fundamentales para uso integrado con el texto.
Características especiales ACCESIBILIDAD Este te>.to ha demostrado ser fáci l de leer y entender para principiantes. No es obligatorio ningún prerrequisito matemático más allá del álgebra de bachillerato para la casi totalidad del texto. Los pocos lugares del libro en que se hace referencia al cálculo diferencial o imegral se señalan explícirnmente. La mayoría de los es1u
FLEXJBJLlDAD El texto ha sido cuidadosamente diseñado para que su uso sea flexible. La dependencia de los capítulos en relación con el material previo se ha minimizado. Cada capítulo se divide en secciones de longitud aproximadamente similar y cada sección se divide en subsecciones que forman bloques naturales de material didáctico. Los profesores pueden organizar fácilmenle sus clases utilizando estos bloques. ESTILO El estilo con que se ha escrito este libro es directo y pragmático. El lenguaje matemático se usa sin excesivo formalismo ni abslracción. Se ha 1en ido cuidado en ponderar la combinación entre notación y texto en los enunciados matemálicos. AMPLlO USO EN EL AUJ.A Este libro se ha empleado en más de quinientas facultades y escuelas universitarias. y en más de cuatrocientas se ha utilizado más de una vez. La interacción con profesores y alumnos de muchas de esas instituciones ha ayudado a que esta quima edición sea una herramienta más acertada aún para la enseñanza.
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PRECISIÓN Y RIGOR MA TEMÁTlCOS Todas las definiciones y teoremas se enunciado de fonna extremadamente cuidado a, de tal fomia que los estudiantes podrán apreclar la precisión en el lenguaje y el rigor necesarios en matemáticas. Las demostraciones se desarrollan despacio; los pasos se j ustifican detalladamente. Las definiciones recursivas se explican y usan con mucha frecuencia. EJ EMPLOS TRABAJ ADOS Se presentan más de ~etccien tos ejemplos para ilustrar conceptos, relacionar diferentes materias y exponer posibles aplicaciones. En la mayoría de los ejemplos se plantea primero una pregunta: Juego se presenta Ja solución con sufi ciente grado de detalle.
APLICACIONES Las aplicaciones que se incluyen en el tex10 demuestran la utilidad de lamatemática discreta para solucionar problemas del mundo real. El texto incluye aplicaciones a una amplia variedad de áreas, entre las que se incluyen ciencias de la computación , comunicación de datos, psicología, qu ímica, ingenie1ía, lingüística, biología, empresariales e lnternet.
Prólogo
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ALGORTTMOS En matemática di creta, los re ultados se expresan a menudo con algoritmos. Por tanto, en cada capítulo del libro se presentan algunos algoritmos importantes. Estos algoritmos se form ulan haciendo uso de palabras y de una forma de pseudocódigo estructurado sencillo, que se describe y especifica en el Apéndice A.2. También se analiza a un nivel elemental la complejidad computacional de los algoritmos del texto.
INFORMACIÓN HISTÓRICA En este texto se describe de forma sucinta el sustrato de muchos temas. Se incluyen como pie ele página breves biografías ele más de sesenta matemáticos y cientificos,junto con sus fotos (o imágenes). Estas biografías incluyen infom1ación sobre las vidas, carreras y logros de estas personas que han contribuido al desarrollo de la matemática discreta. Además, se han insertado numerosos pies de página con reseñas históricas a fin de complementar la información histórica del cuerpo principal del texto. TÉRiVUNOS CLAVE Y RESULTADOS A cada capítulo le sigue una lista de los términos fundamentales. Los términos clave incluyen sólo aquellos más importante que el estudiante debería aprender, no todos los definidos en el capítulo.
PROBLEMAS Hay más de tres mil quinientos problemas en el libro. Se plantean muchos tipos de preguntas diferentes. llay un amplio suministro de problemas directos que dcsarroll:rn técnicas b:ísicas, bastantes problemas de nivel intermedio, y muchos problemas pensados para desafiar al estudiante. Se enuncian claramente y sin ambigüedades, y lodos ellos están graduados en función de su dificultad. Los bloque de problemas contienen discusiones particulares. con problemas que desarrollan conceptos nuevos, no cubiertos en el texto, que pcnniten a los estudiantes descubrir nuevas ideas a través de su propio esfuerzo. Los problemas que son más difíciles que el promedio se marcan con un asterisco simple. Aquellos que on mucho más difíciles e marcan con dos asteriscos. Los que requieren nociones de cálculo infinitesimal se marcan explícitamente. Lo que desarrollan resultados usados en el texto se identifican con el símbolo JP.- r. Al fi11a l dt:l texto :-;e incluyen respuestas a tocios los problen:ias con numeración impar. Las respuestas incluyen demostraciones en la5 que se detalla con claridad la mayoría de los pasos. CUESTIONES OE REPASO Al final de cada capítulo se proporciona un conjunto de cuestione ele repaso. Se han preparado para ayudar al alumno a concentrar su estudio en los conceptos y técnicas importantes del capítulo. Para re~ponder a estas cuestiones. los estudiantes deben desarrollar respuestas larga::;, no dar simplemente algunos cálculos o respuestas cortas. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS Cada capítulo se acompaña de un rico y variado surtido de problemas complementarios. Estos problemas son gené1icarnentc más difíciles que los que se exponen al final de cada sección. Los problemas complementarios refuerzan lo concepto. aprendidos en el capítulo e integran mmcrias diferentes de un modo más ellc.:az. EJERCICIOS DE PROGRAMA CIÓN Cada capítulo se acompaña con un conjunto ele ejercicios para desarrollar con el ordenador. Los aproximadamenre ciento cincuenta ejercicios para ordenador enlazan lo que los estudiantes han podido aprender en matemática discreta y computación. Los mátdifíciles de lo normal, bien desde el punto de vista 111a1emático o desde el de programación. se arcan con un asterisco. Los de dificultad extrema se marcan con dos asteriscos .
.
CÁ LC LO Y EXPERIM ENTACIÓN Al final ele cada capítulo se ofrece una colección de problemas pensados tanto para calcular como para experimentar. Estos problemas (aproximadamente unos cien en total) se han diseñado como complemenro a las herramientas de sofrware existentes, tales corno programas escritos por estudiantes o profesores o paquetes de cá lcu lo corno MAPLE o Mathematica. Muchos de esto problemas dan al e tudiante la oponunidad de descubrir nuevas realidades e ideas a través ele la informática. (Algunos de estos problemas se di~cuten en el libro Exploring Díscrete 1\!!athematics with MAPLE) . REDACCIÓN DE PROYECTOS A cada capítulo le sigue un paquete de proyectos propuestos al alumno. Para complcwrlos, los estudiantes necesitan consultar bibliografía matemática. Algunos efe estos proyectos son de naturaleza hist6rica y pueden involucrar búsquedas en la documentación original. Otros se han confeccionado para servir de punto de partida a otras áreas e
,,¡
Prólogo
ideas. Todos ellos se han concebido para ofrecer al estudiante ideas no tratadas con profundidad en el texto. Estos proyectos enlazan conceptos matemáticos con el proceso de redacción, mostrando al estudiante posibles áreas de estudio futuro. (Pueden encontrarse referencias sugeridas para estos proyectos en la Srudent Solutio11s Cuide).
APÉNDICES Hay dos apéndices en el texto. El primero cubre las funciones exponenciales y logarítmicas, repasando material básico usado con frecuencia a lo largo del curso. El segundo especifica el pseudocódigo utilizado en los algoritmos del lexto. LECTURAS SUGEIUDAS Al final del texto se proporciona una lista de lecturas recomendadas. lncluye libros de un nivel similar, o inferior, al de este libro. libros más difíciles, artículos ele divulgación y artículos en los que se publicaron originalmente de cubrimientos en matemática discreta.
Cómo usar este libro E te texto se ha organizado y escrito cuidadosamente como soporte de cursos de matemática discreta a varios niveles y con objetivos djferenciados. La tabla siguiente idencifica las secciones centrales y opcionales del texto. Un curso de introducción a la matemática discreta de un semestre en primer curso universitario se puede basar en las secciones centrales del libro, cubriéndose las opcionales a discreción del profesor. Un curso de introducción de dos semestres podría incluir todas las secciones opcionales junto con las centrales. Un curso con fucrt.e enfoque informático puede impartirse cubriendo todas o parte de las secciones sobre ciencias de la computación.
Los profesores que utilicen este libro pueden ajustar el nivel de dificultad de su curso eligiendo dar u omitir los ejemplos más complicados del final de las secciones, al igual que los problemas. La dependencia de cada capítulo con capítulos anteriores se muestra en el siguiente gráfico. Capítulo 1 1
Capítulo 2 1
Capítulo 3 1
Capítulo 4
-----:=:::=:::::::::::==~ --=- 1 - ~-----
Capítulo 5
Capítulo 6
Capítulo 7
Capítulo 8 1
Capítulo 9
Capítulo 1O
Capílulo 11
Agradecimientos
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Mate rial aux iliar APLICACIONES DE LA "1ATE\1ÁTI CA DISCRETA El ma1erial auxiliar, disponible en forma10 impreso y en la página web, se puede usar junto con el texto o independientemente. Contiene más de 20 capímlos (cada uno de ellos con su propia colección de problemas) escrito por profesores que han utilizado el libro. Siguiendo un fonnato similar a1 del 1exto, los capítulos de este libro se pueden emplear como texto para un curso, para un seminario o para que el estudiante desarrolle su esmdio independiente.
Agradecimientos Querría dar las gracias a los muchos profesores y alumnos universitarios que han utilizado este libro y me han proporcionado interesantes sugerencias. Sus ideas han hecho este libro mucho mejor de lo que hubiese sido sin su contribución. Quiero dar las gracias especialmente a Jcrrold Grossman y John Michaels por la revisiones técnicas de la quinta edición y por su «vista de águila», que ha ayudado a mantener el rigor ele este libro. También aprecio la ayuda que me han proporcionado aquellos que me han enviado sus comentarios a través de Internet. Doy las gracias a los revisores de esta quinta edición y las cuatro anteriores. Me han proporcionado críticas muy útiles y ánimos. Espero que esta quinta edición esté a la almra ele sus expectativas. Revisor es de la quinta edición Kcndall Atkinson, Uni1•ersity of lowa. loim City Zhaojun Bai, Unii'ersity of California, Davis Klaus Oich1clcr, University of Texas, A11s1in Sco11 íluffc u, Univeniry of New Rrunsll'ick E. Rodney Canficld, U11irersi1y o/Georgia George J. Davis, Georgia Swte University Bruce S. Elenbogen, University of M ichigan, Dearborn Jonalhan Goldstinc, Pennsylvania State Unfrersity ílrian Gray, lfoward Comm1111i1y Col/ege Jonathan Gross, Columbia Unin!rsity Jcrrold Grossman, Oakland Unil'ersiry David F. ! layes, San José State Unfrersiry
Akihiro Kanamori, Boston University Takashi Kimura, Boston Unirersiry ShuiF. Lam, California State Unit·ersiry. Long Beath Harbir Lamba, George Mason U11iversi1y Sheau Dong Lang, Universiry oj Cemral Florida Cary Lee. Grossrno/l/ Comnwnity Collep,e Stephen C. Locke, Florida Atla111ic Universiry George F. Luger, University of New Me.rico John G. Michaels, SUNY Brockporl Tbomas D. Morley,
Georg1· Teci1 Timothy . Norfolk. Sr. Univer ity o/ Akron True T. 1 cuyen, Boivling Green State Unfrersity
George Novacky. Universiry of Pittsburgh Jaroslav Opatmy, Concordia University Jonathan Pakianathan. U11il'ersity ofRochester l lalina Przymusinska, California State Polyteclmic Unii-ersity. Pomona Don Rcichman, Merar Co1111ty Community College Robert Rodman, North Carolina State University Matthew J. Saltzman, Clemson University Michael J. Schlosscr, The Ohio State Uni\·ersity Alisiair Sinclair. Unirersiry of California, Berkeley Carl H. Smith, Unfrersiry of Maryland Patrick Tan1alo. U11i1·ersiry of California, Santa Cruz
Revisiones de ediciones anteriores Eric Allcnder, Rutgers University
Stephen Andrilli, La Salle University Jack R. .Barone, Baruch College
Alfrcd E. Bonn.
Sour/Jwest Texas State U11i11('1'siry Ken W. Bosworth, Unil'ersi1y of Maryland Lois Brady, California Poly1echnic: Sta/e Universiry, San Luis Ohi.1po
Russcll Campbell, Unil·ersity o.f Northern Jowa Kevin Carolan. Marist Colfege
Tim Carroll, Bloomsburg University
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/\gradecimientos
Kit C. Chan, Bowling Green State University Allém C. Cochran, University of Arkansas Peter Collinge, Monroe Community Collcge Ron Davis, Millersville University Nachum Dershowitz, University of lllinois, Urbana-Champai8n Thomas Dowling, T!ze Ohio State University Patrick C. Fischer, Vanderbilt University Jane Fritz, University of New Brunswick Lac.lnor Gcissinger, Universiry of North Carolina Paul Gormley. Vil/anova University Laxmi N. Gupta, Rochester l nstitute of Technology Daniel Gusfield, University o.f California ar Davis XinHe, SUNY at Buffalo Arthur M. Hobbs, Texas A&M University Donald Hutchison, Clackamas Community College Kenneth Johnson, North Dakota State University David Jonah, Wayne State University W. Thomas Kiley, George Mason University Nancy Kinnersley, University of Kansas
Gary Klatt, University of Wisco11sin Nicholas Krier, Colorado State University Lawrence S. Kroll, San Francisco Srate University Robert LaveUc, lona Co/lege Yi-Hsin Liu, University of Nebraska at Omaha Gcorge Luger, Vniversity of New Mexico David S. McAllister, North Carolina State University Robert McGuigan, Westfield State Col/ege Michael Maller, Queens College Ernie Manes, University of Massachusetts Francis Masar., Glassboro State College J. M. Metzger, Unirersity of North Dakota D. R. Morrison, Unirersity of New Mexico Ho Kuen Ng, San José Sta/e University Jeffrey Nunemacher, Ohio Wesleya11 Unfrersiry Charles Parry, Virginia Polytechnic lnslitute and State University Thomas W. Parsons, Hof'ilra University Mary K. Prisco, University of Wisco11si11-Gree11 Bay Harold Reíter, University o/ North Carolina
Adrian Riskin, Northern Arizona Stme University Amy L. Rocha. San José State University .Janet Roll, Universily of Findlay Alyssa Sankey, Slippery Rock University Dinesh Sarvate, College of Charleston Steven R. Seidel, Michigan Teclmological Universi1y Douglas Shier, Clemson University Hunter S. Snevily, Universily of ldaho Daniel Sornerville, University of Massar.huselts, Bos1on Bharti Tem.kin, Texas Tech Vnivcrsity Wallace Terwilligen , Bowling Green State University Philip D. Tiu, Oglethorpe University Lisa Townsley-Kulich, lllinois Benedictine College Georgc Trapp, West Virginia University David S. Tuckcr, Midwes1ern S1ate University Thomas Upson, Roche.Her lns1i1111e ofTechnology Roman Yoronka. New Jersey lnstirute of Teclznology James Walker, University of South Carolina Anthony S. Wojcik, Michigan State University
Querría agradecer al personal de McCiraw-Hill el gran apoyo recibido a este proyecto. En particular, agradezco a Bill Bai1er, editor, su respaldo; a Robert Ross, editor ejecutivo, su apoyo y entusiasmo, y a Michcllc Munn, editora de desarrollo. su dedicación y atención. Quiero también dar las gracias al edilor de mesa, 'Wayne Yuhasz, cuya visión y capacidad ayudaron a asegurar el éxito del libro, así como a Maggie Rogers. editora espónsor de esta edición, que me ayudó a planificar e iniciar el trabajo de esta edición y con Ja que he trabajado muchos años. Quisiera ofrecer mi agradecimiento al personal encargado de la producción de esta quinta edición: Joyce Berendes, responsable de proyecto; K. Wayne Harms, diseñador; Jeff Huettman, diseñador de la página web; Laura Fullcr, coordinadora de Jos suplementos, y Mary Kittell, responsable de marketing. También doy las gracias a Georgia Kamvosoulis Medercr por depurar el texto completo; a Mary Ellen Oliver, correctora técnica, y a Paul Lorczak, que comprobaron que el manual de soluciones fuese correcto, al igual que las secciones de soluciones del libro. Corno siempre, agradezco el apoyo recibido por mis superiores en los Laboratorios AT &T. Me han proporcionado un entorno que me ha permitido desmrnllarme profesionalmente y me han provisto generosamente de los recursos necesarios para que este libro fuese un éxito Kenneth H. Rosen
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La.página web ·de ·ayuda e ha habilitado una extensa página web que se inantendrá y mejorará de forma continuada. Se púcdc bacer uso de ella de varias fonuas coino complemeqto en el estudio de la matemática discreta. La dirección de es,ta página es: www.mhhe.com/rosen, que está disponible en inglés .
S
. Desde esta página principal entontn1rás enlaces a: • El Centro_de Tnformación. ~ El Centro para el Estudiante. • El Centro para e1 Profesor.
EL CENTRO iJE INFORMACIÓN . El Centro de Información confiene información básica sobre el libro y el material auxiliar disp9uible. Siguiendo los enlaces accesibles desde el Centro.ele Información se puede obtener una visión ge'neral de !
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E.icmplos adicionales
Pasos adicionales
· Evaluación ·
• La guía de recursos de Internet Esta guía proporcim1a enlaccs,a' cientos de páginas externas de Internet que conti~ne material relevante. Puedes pinchar direCt:amente en esos enlaces o acceder a ellos mediante el númerci de la página deJ texto o pór paJabras c1ave. EstOs enlaces re llevarán a páginas de contenídc)'lúsLórico y 111a~erial bibliográfico, cuestiones y problemas, discusiones, applets, programas y otros tipos de.recursos. · • Ejemplos adicionales Puedes encontrar un gran número de ejemplos adicionales en la página web. Estos ejemplos se concentran en áreas donde el estudiante a menudo reclama material adicional. Aunque la mayqría de los ejemplos recalcan conceptos básicos, se. pueden encontrar también algunos m~ls exigentes.
• Pasos adicionales Se proporc.ionan explicaciones más profündas para;ayudar a entender algunos puntos problenüíticos del texto, en ·especial en determinadas demostraciones y ejemplos ' • Evaluaciones Puedes evaluar tu conocímíento de sjete conceptos fundamentales. Cada evaluación ·proporciona una colección de preguntas, cada u1ia con mi breve tutoría!, seguido de cuestiones de elección múltiple. Si seleccionas una respuesta Incorrecta, te proporciona ayuda para entender tu error. Usando estas evaluaciones, deberías ser capaz de diagnosticar tus cai:encias y centrarte en los métodos de solución disponibles. · . · ·
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• Demostraciones interactivas Hemos desatollado ocho demostraciones interactivas que puedes usar para explorar el funcionamiento de algoritmos importantes. Estas demostraciones se relacionan con material del texr.o . . Oesd~ el Centro para él Estudiante puedes acceder aNet TutorTM, que proporciona un tutorial interactivo. Puedes hacer preguntas relacionadas con el texto y recibir Jas respuestas en tiempo real en c1 horario regular establecido o recibir las respuestas con posterioridad. El Centro para el Estudiante también mantiene un Tablón (BulletinBoard) en el que puedes pinchar mensajes. Se pueden enviar pregu11tas y responder mensajes ele qtros estudiantes que hayan usado este recurso. q · XÍX
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La pág ina Web de ayuda
Otros recursos adicionales del Centro para el Esmdiante incluyen: • • • •
Una guía para desarrollar demostraciones. Errores comunes en matemática discreta. Recomendaciones sobre redacción de proyectos. Software MAPLE.
EL CENTRO PARA EL PROFESOR Esta parte de la página web proporciona enlaces a los recursos del Centro para el Esmdiante y el Centro de Información. así como: • • • •
Muestras de planes de estudios. Sugerencias docentes. Muestras de transparencias. Varios capítulos del libro Applicaiions of Discrete Mathematics.
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Al estudiante
•Q ué es
lajrwtemática discreta? La macernática discreta es la parte de la matemática que se dedica al estudio de los objetós discretos. (Aquí-discreto significa constituido por elementos disOntos o inconexús). Los tipos de preguntas que se resuelven haciendo uso de la matemática discret.a incluyen:
¿
• • • • • • • •
¿De cuántas formas se puede elegir una clave de acceso.a un equipo infonnárico? ¿Cuál es la probabilidad de i¡üe te toque la lotería? ¿Hay algún enlace entre dos ordenadores en una red? ¿Cuál es el camino más corto entre dos ciudades usando un sistema de transporte? ¡,Cómo se puede ordenar una lista de enteros para que se dispongan en orden creciente? ¿Cómo se puede demostrar que un algoritmo ordena corree:iamentc una lista? ¿Cómo se puede diseñar un circuito para sumar dos enteros? ¿Cnánlas direcciones váJidas de Internet existen?
Aprenderás las estructuras discretas y las técnicas necesarias para responder a preguntas como éstas. Más genéricamente, la matemática discreta se. usa siempre qt1e se cuentan o~jetos, cuando se estudian relaciones entre conjuntos finitos (o numerables) y cuando se analizan procesos con un número finito de pasos. Una razón fundamental para el crecimiento de Ja importancia de la matemática discreta es que en equipos informáticos la información se almacena y manipula de forma discreta.
¿POR QUÉ .ESTUDIAR MATEMÁTICA DISCRETA? Hay varias razones importantes para estudiar matemática discreta. P1imc10, a través de este cur:so puedes des.arrollar tu madurez en matemáticas, es decir, tu habilidad para entender y crear argumentos matemáticos. No llegarás. muy lejos en matemáticas sin estas técnicas. Segundo, la matemática discreta es la puerta <\ cursos más av
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Al estudia nte
Este texto afronta muchos temas diferentes, pero la matemática discreta es un área de estudio extremadamente diversa y amplia. Una de mis metas como autor es ayudarte a desarrollar las habilidades que necesitas para dominar el material adicional que necesitarás en tu profesión futura. PROBLEMAS Me gustaría ofrecer algunos consejos sobre cómo aprender mejor matemática discreta (y otras áreas ele ciencias de la computación y matemáticas). Aprenderás más trabajando activamente los problemas. Te sugiero que resuelvas tantos problemas como puedas. Una vez trabajados los problemas indicados por tu profesor, te animo a que resuelvas otros adicionales como los que se presentan al final ele cada sección del 1exto y en las colecciones de problemas complementarios al final ele cada capítulo. (Ten en cuenta las claves asociadas a los símbolos que preceden al problema).
Claves asociadas a los problemas Sin marca
Un problema rutinario. Un problema difícil. Un problema muy difícil. e::r Un problema que contiene un resultado usado en el texto. (Se requiere Cálculo) Un problema cuya solución requiere el uso de límites o conceplos de cálculo diferencial o integral.
* **
Lo mejor es intenta¡ los prohlemas por ti mismo antes de consultar la sección de soluciones al final del libro o completar las soluciones que te proporciona la Studem Solutions Guide [dispon.íble sólo en foglés]. Las soluciones a los problemas con numeración impar se proporcionan al final del texto. Ten en cuenta que sólo son soluciones, no la resolución completa. En particular, se omite el razonamiento reque1iclo para obtener estas respuestas. La Student Solutions Guide proporciona las soluciones completas a Jos problemas impares. Cuando llegues a un punto muerto intentando resolver un problema con número impar, te sugiero que consultes la Studen1 Solutions Guide y busques alguna pista. Cmmto más trabajo realices por ti mismo, en vez de leer o copiar las soluciones pasivamente, más aprenderás. El no dar las respuestas y soluciones a los problemas pares es intencionado; pregunta a tu profesor si tienes algún problema en alguno de ellos. RECURSOS EN INTERNKT Te animo abiertamente a que saques partido de los recursos adicionales disponibles en Jnternet, especialmente en la página de este libro: www.mllhe.com/rosen. Encontrarás ejemplos adicionales, pasos adicionales pensados para clarificar aquellas cuestiones donde los esn1cliantes suelen encontrar mayores dificultades, evaluaciones para medir cómo has entendido algunos conceptos fundamentale1', algoritmos animados para explorar algunos algoritmos básicos y un popuITí de enlaces a otras páginas a las que puedes acceder para explorar el mundo de la matemática discreta. Puedes también encontrar un tablón para discusiones con otrns estudiantes. Puedes usar este tablón para pedir ayuda a otros estudiantes o para ofrecer ideas para resolver algún problema. Aquellos estudiantes que contribuyan a resolver cuestiones se darán cuenta de que este trabajo les ayudará a ell.os mismos a dominar la materia. Tendrás incluso acceso a un servicio tutorial interactivo que puedes utilizar para recibir ayuda de tutores en tiempo real o a través de mensajes. (Por favor, sigue las indicaciones del tutor en relación al uso del trabajo hecho por otros). Para más detalles sobre la página web, mira las páginas xvii y xvfo. EL VALOR DE ESTE LIBRO Finalmente, comprendo que este libro es costoso. Mi intención es hacer de tu compra una excelente inversión. El desarrollo y depuración del lihro, el material auxiliar y la página web ele apoyo han llevado muchos años de esfuerzos. Confío en que a lamayoría de vosotros os ayude a dominar la materm1tica discreta. Incluso aunque posiblemente no cubras todos Jos capítulos durante este curso, puedes encontrarlo útil, como anteriormente otros estudiantes, cuando consultes secciones relevantes del libro en cursos superiores. La mayoría de vosotros volverá a usar este 1ibro en estud ios futuros, especialmente aquellos que continuéis estudiando o trabajando en ciencias de la computación, matemática o ingeniería. Kenneth H . Rosen
Los fundalllentos: -l ógica y·delllostración, conj1Jnto$ y funciones .
n este capíti.llo se repasan los fundamentos de la matcmatica discreta. Se cubren tres important~s temas: Jógica, conjuntos y funciones. Las reglas de Ja lógic;a ~pecifican el significado de los enunciados matemáticos. Por ejemplo, est<;tSreglas nos ayu_d~m. a entender y razonar enunciados comá «Existé u11 entero que no es ia suma de dos cuadrados» o ;títuye un ·a.rgtimento matemático cortect0, es decir, ona demostratión. Además, para aprend~r n1?ttemáticas, una persona necesi~a construir, acti~amenle argup1entos matemáticos, no.limitarse a leer una exposición. En este fapítulo explicamos córi).o completar un argumento mMemátko correcto y presentamos, herrarnientas para construir estos argtuúentos. Las demostraciones no son importantes sólo en mate- · mática~, sinp Cl) muchas partes dela~ ciencias de la.computac.ión, en~re lis-que .se incluyen verificaci_ón de pr9gramas, análisis de rnsultados de al.gor.itmos y sistemas:. deseguridad. Se han construido sisterrias de razonamiento ·automatizado que permitén a los·ordenadores constrnjí sus propi~cs demostraéi.ones. · Gran par~e d~ la matemática discreta q~á dedicada al estudio de estructuras·discretüs, las cual~s se usan pata representar objetos discretos. Muchas es.u·ucturas discretas jmportantes se co.ñstruyen utilizando conjuntos, t1ue son colecciones de objetos. Entre las estructw·as discretas constrnidas mechante conjuntos están las combinaciones, o colecciones desordenadas de objetos que se. üsan mu'cho eri recuentb; relacfones, o conjuntos de pares ordenados que representan dct?endencias entre objetos; grafos, que consisten en conjuntos de vértices y ruistas qúe conectan vértices, y máquinas de·estado finito, que se usan para modelar sistemas informáticos. El concepto de fnnci6n es extremadamente lmport
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Lógica INTRODUCCIÓN Las ·reglas de la lógica le dan un significado preciso a los enunciados matemáticos,o sentencias matemáticas. Estas réglas se usan para'distinguir entre argumentos válidos·y nó válidos. Consídcrnndo que uno de los principales objetivos de este libro es enseñar al lct tor cómo entender y construir argumento~ matemáticos correctos, empczmnos nuesllO esiudio de lamatém
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Matemática discrela y sus aplicaciones
PROPOSICIONES Nuestra discusión comienza con una introducción a la constrncción de los bloques básicos de la lógica: las proposiciones. Una proposición es una oracjón declarativa que es correcta o falsa, pero no ambas cosas a la vez.
EJEMPLO 1 Todas las siguientes oraciones declaralivas son proposiciones: l. Bruselas es Ja capital de Ja Unión Europea. 2. Toronto es 1a capital de Canadá. 3. 1 + 1 =2. 4. 2 + 2 =3.
Las proposiciones 1 y 3 son correctas, mientras que la 2 y 4 son falsas. En el siguiente ejemplo damos algunas oraciones que no son proposiciones.
EJEMPLO 2 Considera las siguientes oraciones: 1. ¿Qué hora es? 2. Lee esto con atención. 3. x+ 1=2. 4.
x+y=z.
Las frases 1 y 2 no son proposiciones porque no son declarativas. Las frases 3 y 4 no son proposiciones porque no son ni verdaderas ni falsas, ya que no se les han asignado valores a las vruiables. En la Sección 1.3 se verán varias fonnas de crear proposiciones a partir de frases de este tipo. ~ Para denotar proposiciones usamos letras, al igual que usamos letras para denotar variables.
Por convenio, las letras que se utilizan para denotar proposiciones son p. q, r, s, . .. El valor de verdad de una proposición es verdadero, y se denota por V, si es una proposición verdadera, o falso, denotado por F, si es una proposición fal sa. El área de la lógica que lrata de proposiciones se llama cáJculo pr oposicional o lógica p roposicional. Fue desan·ollada sistemá1icarnen1e por primera vez por el filósofo griego Aristóteles hace más de dos mil trescientos años. Prestamos ahora nuestra atención a los métodos para producir proposiciones nuevas a partir de las ya existentes. Estos métodos fueron estudiados por el matemático inglés George Boole en 1854 en su libro Las leyes del pensamiento. Muchos enunciados matemáticos se construyen combinando una o más proposiciones. Las nuevas proposiciones, llamadas fórmulas o proposiciones compuestas, se forman a partir de las existentes usando operadores lógicos.
Eolaces,
ARISTÓTELES (384 a.C.-322 a.C.) Aristóteles nació en Es1argira, Macedonia, al norte de Grecia. Su padre fue médico personal
Los fundamen1os: lógica y demos1ración, conjumos y funciones 3
DEFINICIÓN 1
Sea p una proposición. El enunciado «No se cumple p» es otra proposición, llamada la 11egaci6n de p. La negación de p se denota mediante -ip. La proposición -ip se lee «no p».
EJ EMPLO 3
Obtén la negación del enunciado «Hoy es viernes» y exprésala del modo más simple posible.
Eje11.1 1,>los adiélonáh:s
Solución: La negación es «No se cumple que hoy es viernes». Esta negación se puede expresar rmis simplemente por «lloy no es viernes»
o «No es viernes hoy». Tabla l . La tabla de verdad para Ja negación de una proposición. p
-ip
V
F
F
V
DEFI~ICIÓN 2
Observación: Hablando estrictamente, las oraciones re lacionadas con tiempos variables como la del Ejemplo 3 no son proposiciones. a no ser que se asuma un tiempo fijo. Esto mismo es válido para lugares variables, a no ser que se fije un lugar dc1crr11inatlu, y para p1u110111bres, a 110 ~er que se asuma una persona en particular. Una ta bla de verda d muestra las relaciones entre los valores de verdad de propos iciones. LL5 tablas de verdad son especialmente valiosas a la hora de determinar los valores de verdad ele proposiciones construidas a partir de proposiciones más simples. La Tabla l muestra los dos posibles valores de verdad de una proposición p y los corrcspondjentes valores de verdad de su negación 'f.J. La negación de una proposición se puede considerar como el resultado de ap licar el operador negación sobre una proposición. El ope rador negación construye una nueva proposición a partir de Ja propos ición individual ex istente. /\hora introduciremos los operadores lóg icos que se usan para form ar nuevas pro posic iones a partir de dos o rnélS proposiciones ya creadas. Esos operadores lógicos se llaman también conecti vos lógicos.
Sean p y q proposiciones. La proposición «p y q», denotada por p /\ q, es la proposición que es verdadera cuando tanto p como q son verdaderas y falsa en cualquier otro caso. La proposición p /\ q se llama conjuncisn de p y q.
La tabla de verdad para p /\ q se muestra en la Tabla 2. Observa que hay cuatro filas en esta tabla de verdad, una fila por cada rosihlc combinación de valores de verdad para las proposiciones p y q.
EJ EM PLO 4
Obtén la conjunción de las proposiciones p y q en el caso en que pes el enunciado «Hoy es viernes» y q es «Hoy llueve)>.
Solución: La conjunción de esta~ proposiciones, p /\ q, es el enunciado «Hoy es viernes y hoy llueve». La proposición es verdadera los viernes con lluvia y es fal sa cualquier día que no sea viernes y los viernes que no llueve. ~
-'
\lat~mática
discreta y sus aplicaciones
Tabla 2. Tabla de verdad de la conjunción de do~ proposiciones.
p
q
p /\ q
p
q
pvq
y y
V F y F
V
V V
V
F F F
F F
V
V V V F
F F
DEFINICIÓN 3
Tabla 3. Tabla de verdad de la disyum.:ión de dos proposiciones.
F F
Sean p y q proposiciones. La proposición «p o q», denotada por p v q, es la proposición que es falsa cuando tanto p como q son falsas y verdadera en cualquier otro caso. La proposición p v q se llama disyunc(ón de p y q.
La tabla de verdad para p v q se muestra en la Tabla 3. El uso del conectivo lógico o en una disyunción se asocia al significado en sentido inclusivo de la palabra o •. Una disyunción es verdadera cuando aJ menos una de las dos proposiciones es verdadera. Por ejemplo, el o en sentido inclusivo se emplea en el enunciado: «Los estudiantes que hayan cursado cálculo o ciencias de la computación pueden matricularse en esta clase.» Con esta frase se quiere decir que los estudiantes que han cursado bien dk:ulo o bien ciencias de la computación pueden matricularse en la clase. así como los estudiantes que han cursado ambas asignaturas. Por otra parte, estamos usando el o exclusivo cuando decimos: «Los estudiantes que hayan cursado cálculo o ciencias de la computación. pero no ambos, pueden matricularse en esta cla e». Ahora se quiere expresar que aquellos que hayan cursado tanto cálculo como ciencias de la computación no pueden matricularse. Sólo pueden hacerlo aquellos que hayan cursado exactamente una de las dos asignaturas. De forma similar, cuando en un menú de restaurante vemos «Se sirve sopa o ensalada como entrante», casi siempre se quiere decir que los clientes pueden tomar bien sopa o bien ensalada, pero no ambos. Por tanto, éste es un uso exclusivo no inclusivo de la disyunción o. EJEMPLO 5 ¿Cuál es la disyunción de las proposiciones p y q en el caso en que p y q ean las proposiciones del Ejemplo4?
F.nlaces
GF.O RGE ROOLE (l815-1864í Gcorge Boole. hijo de un zapatero. nació en Lincoln, Inglaterra. en noviembre de 1815. Debido a la difícil situación llnanciera de su familia, Boole tuvo que sacrillcarsc cdudndose a sí mismo al mi!.rno ricmpo que mantenía a su familia. No obstante, llegó a ser uno de los más importantes matemáticos de su época. Aunque consideró '1:1ccr cnrrcrn como sacerdote, decidió dedicarse a la enseñanza y pronto montó su propia escuela. En su preparación para dar clases de matemáticas. Boole--insa1isfecho con Jos libros de texto del momento- decidió leer los trabajos de los grande~ matemáticos. Mientras leía los artículos del g.ran matcmálico francés Lagrange, Boole realizó descubrimientos en el cálculo de variaciones, la rama del análisis que trata de la búsqueda de curv:is y superficies que optimi z¡¡n e ic11 0~ parámelrns. En 1848 publicó rhe Mathematical Analys1s of f,Qgic, la primera de sus contribuciones a la lógica simbólica. En 1849 íuc nombrado profesor de matcmá1icas en el Queen's College de Cork. Irlanda. F.n 1854 publicó The La11·s of T/10111(/11. su trahajo más fmnoso. En .este libro BooJ.: presenta lo que actualmente se conoce como Álgebra de 8 00/e en su honor. Boole escnbió texto~ sobre ecuaciones d1fcr.:nciales y ecuaciones en diferencias que se usaron en Gran Bretaña hasta finales del siglo Xt>.. Boole se casó en 1855; su mujer era la sobrina del profesor de griego en el Queen 's Collegc. En 1864, Bixalc muri6 de neumonía, que contrajo cOfl"ll resullado de mantener el compromiso de dar una conferencia incluso a pesar rlc que estaba complctamenle empapado a causa de una tormenta.
*
NOTA DEL TRADUll'OI< . La conjunción o puede también usarse con los significados «es decir», «esto es» u «O más hicn». Estos sentidos se descartan en el texto.
Los fundamemos: lógica y
S
Sol11ci6n: La disyunción ele p y q. p v q. es el enunciado «Hoy es viernes u hoy llueve». Esta proposición es verdadera cualquier día que sea viernes o llueva (incluidos los viernes que llueve). Es sólo fa lsa los días que ni son viernes ni llueve. ~
Ej emplos adicionales
DEFINICIÓN 4
Como se señaló previamente, el u o del conectivo lógico o en una disyunción corresponde a uno de lo dos st:ntidos de la palabra o, a saber. el modo inclu ivo. Por tanto, una disyunción e'i verdadera cuando al menos una de las dos proposiciones en ella es verdadera. A veces usamos el o en sentido exclusivo. Cuando se usa el o en sentido exclusivo para conectar dos proposicione p y q, obtenemos la proposición «p o q (pero no ambos)». Esta proposición es verdadera cuando pes verdadera y q fa lsa y cuando p es falsa y q verdadera. Es falsa cuando tanto p como q son fabas y cuando ambas son verdaderas. -
Sean p y q proposiciones. El conectivo lógico o exclusivo de p y q, denotaaa por p EB q, es la proposición que es verdadera cuando exactmnente una de las proposiciones p y q es verdadera y es falsa en cualquier otro caso. La tabla de verdad para el o exclusivo de dos proposiciones se mue traen la Tabla 4.
Tabla 4. Tabla de verdad para el
o exclusivo de dos proposiciones.
Tabla S. Tabla de verdad tic la implicación p -t q.
p(f)q
p
q
p-7 q
V
F
V V
V
V
F
F
I·
F F
V
V V
p
q
V V
F
V
V V
F
F
F
r
IMPLICACIONES Vamos a discutir otras formas importantes ele combinar las proposiciones.
DEFINICIÓN 5 Evaluación
Sean p y q proposiciones. La implicaci6n p -7 q es la proposición que es falsa cuando pes verdadera y q es fa lsa y verdadera en cualquier otro caso. En esta implicación p se llama liíp61esís (o antecedente o premisa) y q se llama tesis o conclusión (o consecuencia).
La tabla de verdad para la implicación p -7 q se muestra en la Tabla 5. La implicación a veces se denomina declaración condicional. Debido a que las implicaciones desempeñan un papel esencial en el razonamiento matemático, exbten muchas fonnas de expresar p -7 q. Encontrarás muchas de cJlas, si no todas. entre las sigu ientes expresiones: «Si p. q»
«p implica q» «p sólo si q»
«p es suficiente para q» «r¡ si p»
«q siempre que p»
«q cuando p»
«q es necesario para p»
«una condición necesaria para pes q»
«q se deduce de p»
«si p. entonces q» Ejemplos adicionales
«una condición suficiente para q es p»
6 Mmema11ca 1.hscre1a y sus aplicaciones
La implicación p ~ q es falsa sólo en el caso de que p sea verdadera y q sea falsa. Es verdadera cuando tanto p como q son verdaderas y cuando pes falsa (no importa el valor de verdad de q). Una fom1a útil de entender el valor de verdad de una implicación es pensar en una obligación o en un comrato. Por ejemplo, la promesa que muchos políticos hacen para ser votados es: «Si soy elegido, bajaré los impuestos». Si el político es elegido, los votantes esperarían del político que bajase los impuestos. Pero si el político no es elegido, entonces los votantes no esperarán que esa persona baje los impuestos, aunque pueda inJluir lo suficiente para conseguir que los que ostentan el cargo correspondiente bajen los impuestos. Sólo cuando el político es elegido y no baja los impuestos, pueden sus votantes decir que el político ha roto su promesa electoral. El último escenario corresponde al caso en que p es verdadera, pero q es falsa: por tanto, p ~ q es falsa. De fonna parecida, considera una afirmación en la que un profesor dice: «Si consigues el ciento por ciento de la puntuación en el examen final, sacarás un sobresaliente». Si consigues completar correctamente el ciento por ciento de las preguntas, entonces podrías esperar sacar un 10. Si no consigues el ciento por ciento, puedes o no sacar un sobresaliente dependiendo de otros factores. En cualquier caso, si completas el ciento por ciento, pero el profesor no te pone un sobresaliente. te sentirás engañado. Mucha gente encuentra confuso el hecho de que «p sólo si q» exprese lo mismo que «si p entonce~ q». Para recordar esto, ten en cuenta que «p sólo si q» dice que p no puede ser verdadera cuando q no es verdadera. Esto es, el enunciado es falso si p es verdadera, pero q es falsa. Cuando p es falsa, q puede ser hien verdadera o bien falsa, porque la afirmación no dice nada acerca del valor de verdad de q. Un error>eomún de la gente es pensar que «Q sólo si p» es una forma de expresar p ~ q. En cualquier caso. estos enunciados tienen valores de verdad distintos cuando p y q toman diferemes valores de verdad. La fonna en la que hemos definido la implicación es más general que el significado de la implicación en el lenguaje corriente. Por ejemplo. la implicación «Si hoy hace sol, entonces iremos a la playa» es una implicación usada comúnmenle, ya que hay una relación entre la hipótesis y la conclusión. Además, esta implicación se consi
.
es verdadera para todos los días excepto los viernes. incluso aunque 2 + 3 =6 sea falsa. No utilizamos estas dos últimas implicaciones en lenguaje natural (excepto quizá en algún sarcasmo), ya que no hay relación entre Ja hipótesis y la conclusión en ninguna de ellas. En los razonamientos ma1emáticos consideramos la implicación de una forma más general que en lenguaje nuluraL El concepto matemático de implicación es independiente de Ja relación causa-efecto entre hipótesis y conclusión. Nuestra definición de implicación especifica los valores de verdad; no se basa en el uso del lenguaje. l ,a constmcción si-entonces se usa en muchos lenguajes de programación ele forma diferente que en lógica. La mayoría de los lenguajes de programación contienen sentencias como if p then S, donde pes uPia proposición y S un segmento de programa (una o más ~entencias sintácti• camen1c bien construidas que deben ser ejecutadas). Cuando la ejecución del programa encuentra tal scnlcncia, se ejecuta S si pes verdadera, pero S no se ejecuta si p es falsa. como se ilustra en el Ejemplo 6.
1
Los fundamentos: lógica y demo~tración. conjuntos y funci ones
7
EJEMPLO 6 ¿Cuál es el valor de la variable x iras la sentencia if 2 + 2 = 4 then x := x + J si x = O ames de llegar a la sentencia? (El símbolo := corresponde a la asignación. La semcncia x := x + l significa que ax se le asigna el valor x + 1). Solución: Como 2 + 2 = 4 es verdadera, se ejecuta la sentencia de asignación x := x + 1. Por tanto, x toma el valor O+ 1 =1 tras la sentencia. ~
RECÍPROCA, CONTRARRECÍPROCA E INVERSA Hay algunas implicaciones relacionadas con p ~ q que pueden formarse a partir de ella. La proposición q ~ p se llama recíproca de p ~ q. La contra rrecíproca de p ~ q es • q ~ ..., p. La proposición • p ~ • q es la inversa dep ~ q. La contrarrecíproca ..., q ~ ..., p de una implicación p ~ q ücne la misma tabla de verdad que p ~ q. Para verlo, ten en cuenta que la contrarredproca es falsa sólo cuando • p es falsa y .., q es verdadera, esto es, sólo cuando pes verdadera y q falsa. Por otra parte, ni la recíproca. q ~ p, ni la inversa,..., p ~ • q. tienen los mismos valores de verdad que p ~ q para todos los posibles valores de p y q. Para ver esto, observa que cuando pes verdadera y q falsa, Ja implicación original (directa) es falsa, pero la recíproca y la inversa son ambas verdaderas. Cuando dos fónnulas tienen siempre los mismos valores de verdad las llamamos equivalentes, de tal fonna que una implicación y su contrarrecíproca son cqujvalentes. La recíproca y la inversn de una implicación Lambién son equivalentes. como el lector podrá verificar. (Estudiaremos las proposiciones equiv a lcn1e~ en la Sección l.2). Uno de los errores más comunes en lógica es suponer que la recíproca o la inversa son equivalentes a la implicación directa. llustraremos el uso de las implicaciones en el Ejemplo 7. EJ EMPLO 7 ¿Cuáles son las contrarrecíproca, recíproca e inversa de la implicación Ejemplos adicionales
«El equipo local gana siempre que llueve»? Solución: Corno «q siempre que p» es una fonna de expresar la implicación p original se puede reescribir como
~ q.
la atinnación
«Si llueve, entonces el equipo local gana». Consecuentemente, la contrarrecíproca de esta implicación es «Si el equipo local no gana, no llueve». La recíproca es «Si el equipo local gana, entonces llueve». La inversa es
1
«Si no llueve. entonces el equipo local no gana». S61o el contrarrecíproco es equivalente a la afirmación original. Ahora presentru11os ot ra forma de combinar proposiciones.
DEFIN ICiéN 6
Sean p y q proposiciones. La bicondicionai, o doble implicació11, p H q es la proposición que es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores de verdad y falsa en los otros casos.
8
\latemfüica discreta ) ~u~ aplicaciones
Tabla 6. Tabla c.l c verdad de Ja bicondic ional p H q.
p
q
V V
V
V
F
F
V F
F V
F
F
pHq
La tabla de verdad para p H q se muestra en la Tabla 6. Ob crva que Ja doble implicación es verdadera precisamente cuando las implicaciones p ~ q y q ~ p son verdaderas. Debido a esto, la 1e1111í nología
«psi, y sólo si, q»
se usa para esla bicondicional y simbólicamente se escribe combinando los símbolos fomias en las que comúnmente se expresap H q:
~
y f-. Hay
0 1ras
«pes necesario y suficiente para q» «si p. entonces q. y recíprocamente» «p sii q». La úllima forma de expresar la doble implicación usa In abreviatura «síi» para «Si, y sólo si». Observa que p H q tiene exactamente los mismos valore de verdad que (p ~ q) A (q ~ p).
E.JE:VIPLO 8 Sea p la afimiación «Puedes tomar el vuelo» y sea q la afim1ación «Compras un billete». Entonces, p H q es el enunciado u~ii~:~ri!Y;s
«Puedes lomar el vuelo si , y sólo si. compras el billelc». Esta afirmación es vcrdndera si p y q son ambas verdaderas o ambas falsas. e to cs. si compras un billete y puede~ tomar el vuelo o si no compras el billete y no puedes tomar el vuelo. Es faba cuando p y q tienen valores de verdad opuestos, es decir. cuando no compras el billete. pero puedes tomar el vuelo (consigues un vuelo gratis. por <.:jcmplo). y cuando com pras el billete y no puedes tomar el vuelo (la línea aérea te deja en tierra). .. La construcción «si, y sólo si» empicada en las dobles implicaciones raramente se usa en lenguaje natural. De hecho. las bicondicionales se expresan a menudo usando las construcciones «si. entonces» o «sólo si». La otra parte del «si . y sólo si» es implícita. Por ejemplo. consideremos la afirmación en el lenguaje natural «Si acabas tu comida. puedes tomar postre». Lo que realmente quiere decir es «Puedes tomar postre si. y sólo si. acabas ILI comida». Esta última afirmación e equivalente desde el pu1110 de vista lógico a las dos afi rmaciones «Si acabas tu comida, entonces puedes lomar postre» y «Puedes lomar postre sólo si acabas tu comida». Debido a la imprecisi ón del lenguat natural. necesitamos hacer una suposición ~¡ en una sentencia condicional en lenguaje cotidiano seamos incluir implícitamente su recíproco. Como la precisión es c~encia l en las matemáticas la lógica. siempre distinguiremos entre Ja sentencia condicional p ~ q y la sentencia bicondicional p H q.
PRECEDENCIA DE OPERADORES LÓGICOS Podemos constniir fónnulas usando el operador negación y los operadores lógicos definidos hasta el momento. Generalmcnie, utilizaremos paréntesis para e~pcc ifica r el orden en el que deben aplicarse los operadores lógicos en unaofómrnla. Por ejemplo, (p v q) /\ (..., r) es la conjunción de p v q y ..., ,., Sin embargo, para reducir el número de paréntesis, especificamos que el operador negación se nplica antes que los operadores lógicos. Esto significa que el operador negación..., p /\ q es la conjunción de ..., p y q. es decir.(-. p) /\ q. no la negación de Ja conjunción de p y q. es decir. ..., (p /\ q).
Los fundame111os : lógica y demostración. conjuntos y func io nes
Tabla 7. Prct:cdencia de los opcradores lógicos. Operador Pri:udenoa
...,
1
/\
2
V
3
~
4
H
5
9
Ocra regla general de precedencia es que el operador conjunción precede siempre al operador disyunción, de tal fonna que p /\ q v r significa (p /\ q) v r y no p /\ (q v r). Debido a que es1a regla es difícil de recordar. en el texto continuaremos usando paréntesis para que quede c laro el orden utilizado en los operadores conju nción y disyunción. Finalmente, es una regla aceptada que Jos operadores condicional ~ y bicondicional H tienen precedencia inferior que los operadores conjunción y disyunción./\ y v . Consecuentemente, p v q ~ r es lo mismo que (p v q) ~ r. Usaremos paréntesis cuando el orden de los operadores condicional y bicondicional se deba tener en cuenta, aunque el operador condicional tiene precedencia sobre el bicondicional. La Tabla 7 muestra los niveles de precedencia de los operadores lógicos-,,/\, v, ~y H .
TRADUCCIÓN DE FRASES DEL LENGUAJE NATURAL
Ej~rnpl<>S
atliclonale.s
Hay muchas razones para traducir frases del lenguaje natural a expres iones con vaiiables proposicionales y conectivos lógicos. Todos los lenguajes del ser humano son a menudo ambiguos. Trasladar frases a expresiones lógicas trae consigo evitar estas ambigüedades. Ten en cuenta que puede que esto conlleve hacer un conjunto de supo iciones razonables basadas en el sentido que se le dé a la frase. Por otra parte, una vez que hemos traducido frases del lenguaje natural a expresiones lógicas, podemos analizar estas expresiones lógicas para detenninar sus valores de verdad, las podemos manipular y podemos usar las reglas de inferencia (que se discutin1n en la Sección 1.5) para razonar sobre ellas. El paso del lenguaje na111ra l al lenguaje fonm1l se conoce como forma· lización. Para iluslrar el proceso de formalizar, consideraremos los Ejemplos 9 y 10.
E.JE:VfPLO 9 ¿Cuál es la fonnalización de la siguiente frase?: «Puedes acceder a Jntemet desde el campus sólo si estudias ciencias de la comrutación o no eres alumno de primero». Solución: Hay muchas fonnas de formalizar e. ta frase. Aunque es posible represeniar la frase mediante una variable proposicional simple. como p, no sería útil para analizar su significado ora-
zonar con ella. Así, utilizaremos variables proposicionales para repre entar cada parte de la oración y determinar los conectivos lógicos aprop.iados entre ellas. En pa11icular, representaremos las frases «Puedes acceder a Tntemel desde el campus», «Es1udias ciencias de la wmputación» y «Eres alumno de primero» por a, e y f, respectivamente. Considerando que «sólo si» es una forma de expresar una implicación, la frase se puede representar como
a -7 (e v -ij). EJEMPLO 10 ¿Cómo se puede formalizar In siguiente frase?: «No puedes montar en la montaña nisa si mides menos de l .20 metros, a no ser que seas mayor de dieciséis años».
1
Solución: De nuevo, hay mucha fom1as de formalilar esta frase. La más simple. pero menos útil. es representarla mediante una variable proposicional simple, como p. Aunque no es incorrecto. no sería eficiente para tratar de analizarla o razonar con ella. Lo más apropiado es usar variables proposicionak:s para representar pnrtes de esa frase y dc<.:idir los conectivos 16girns entre ellas. En particular, si representamos por q, r y s, respectivamente, las frases «Puedes montar en la montafía nrsa», «Mides menos ele 1,20 metros» y «Eres mayor de dieciséis años». respectivarnenle, Ja frase se puede forma lizar como (r /\ -, s) -7 .., o
q.
Por supuesto, hay otras formas de representar la frase inicial mediante expresiones lóg icas, pero la que hemos usado se ajusta a nuestras necesidades. ~
IO
l\la1cmú1ica discreta y ~u~ aplicac.1011c~
ESPECU'ICACIONES DE SISTEMA Traducir oraciones del lenguaje natural, como el español, a expresiones lógicas es una parte esencial de Ja especificación tanto de sistemas hardware como soflware. Los ingenieros de software y de sistemas reciben los requerimientos en lenguaje natural y producen especificaciones precisas y sin ambigüedades que pueden usarse como base para desarroUo de sistemas. El Ejemplo 11 muestra cómo se pueden utilizar las variables proposicionales en este proce o.
EJEMPLO 11 Expresa la e pccífieación «La respuesta automa1izada no se puede enviar cuando el sistema de archivos está lleno>> Fjemplos adi
Solución: Una forma posible de traducir esto es denotar como p a «La respuesta automatizada se puede enviar» y corno q a «El sistema de archivos está lleno». Entonces,..., p representa a «No se cumple 4ue la respuesta automa1izada se pueda enviar», lo que se puede expresar como «La respuesta automalizada no se puede enviar». Consecuentemente, nuestra especificación se puede representar mediante la implicación q --7..., p. ~
Las especificaciones de sistema no deberían contener requerimientos que puedan entrar en conflicto. Si así fuese. no habría fonna de desarrollar un sistema que cumpliese todas las especificaciones. Consecuentemente, las expresiones proposicionales que representan esas especificaciones necesitan er consistentes. Esto es. debe haber una asignación de valores de verdad a las variables de las expresiones que haga a todas las expresiones verdaderas. E.JEl\1 PLO 12 Determina si est:is especificaciones de sis1emas son consistentes:
«El mensaje de diagnóstico se almacena en un buffer o se vuelve a transmitir». «El mensaje de diagnóstico no se almacena en el buffen>. «Si el mensaje de diagnóstico se almacena en el buffer, entonces se vuelve a transmitir».
1.,j1•m11los ndicionales
Sol11ció11: Para determinar si estas eApresiones son consistentes, primero las expresamos usando variables prnpo icionales. Denotemos a «El men aje de diagnóstico se almacena en un buffer» como p y «El mensaje se vuelve a transmitir» como q. Las especificaciones se pueden escribir entonces como p v q,..., p y p --7 q. Una asignación de vnlores de verdad que haga a las tres especificaciones verdaderas debe hacer p falsa para hacer..., p verdadera. Como queremos que p v q sea verdadera, pero p debe ser falsa, q debe ser verdadera. Como p --7 q es verdadera cuando p es falsa y q verdadera. concluimos que estas especificaciones son consistentes, ya que las tres son verdaderas cuando pes falsa y q verdadera. Podríamos haber llegado a la misma conclusión usando una tabla de verdad para examinar las cuatro posibles asignaciones de valores de verdad a p y q. ~
EJE¡\1PLO 13 ¿Siguen siendo consistentes las especificaciones de sistema del Ejemplo 12 si se añade la especificación «El mensaje de djagnóstjco no se vuelve a transmitir»? Solución: Por los raziamientos del Ejemplo 12, las tres especificaciones de ese ejemplo son verdaderas sólo en el cas de que p sea falsa y e¡ verdadera. Sin embargo, esta nueva especificación es ..., q, que es falsa cuan lo q es verdadera. Consecuentemente, estas cuatro especificaciones son inconsisr.entcs. ~
BÚSQUEDAS BOOLEANAS Enlaces
Los conectivos lógicos tienen un amplio campo de aplicación en las bú quedas en grandes colecciones de infonnación como. por ejemplo, lo índices de páginas web. Como estas búsquedas emplean técnicas de lógica proposicional. se dfnominan búsquedas booleanas. En las bú~quecla~ booleanas se usa la conexión AND para emparejar datos almacenados gue contengan los dos 1érminos de búsqueda, la conex ión OR se usa para emparejar uno o ambos términos de la búsqueda y la conexión NOT (a veces escrita AND NO'/) se usa para excluir un término
Los funclnmcnlOs: lógica y demostración. conjunlOS y ru nciones
Ejemplos adicionales
11
parlicular de búsqueda. Cuando se utilizan búsquedas booleanas para localizar información de potencial interés, se requiere con frecuencia una planificación detallada de cómo emplear los conectivos. El Ejemplo 14 ilustra cómo llevar a cabo búsquedas booleanas.
EJEMPLO 14 Búsquedas en páginas web. La mayoría de los programas de búsqueda en la web emplean técnicas de búsqueda booleana, las cuales nos pueden ayudar a encontrar páginas web sobre temas pa1ticulares. Por ejemplo, usando una búsqueda booleana para encontrar páginas web sobre una univer idad en Nueva York. podemos buscar páginas que concuerden con NUEVA AND YORK AND UNIVERSIDAD. El resultado de esta búsqueda incluirá aquellas páginas que contengan las tres palabras UEVA, YORK y UNIVERSIDAD. incluirá todas las páginas ele interés junto con otras acerca ele alguna nueva universidad en York (Inglaterra). Posteriormente, para encontrar páginas que traten de una universidad en neva York o Boslon, podemos buscar páginas que concuerden con (NUEVA AND YORK OR BOSTON) A/l/D UNIVERSIDAD. (Nota : Aquí el operador i\ND tiene precedencia sobre el operador OR). El resultado e.le esta búsqueda incluirá todas las páginas que contengan Ja palabra UN LVERSIDAD y bien las palabras NUEV /\y YORK o la palabra DOSTON. De nuevo, aparecerán páginas no deseada•>. Finalmente. para encontrar páginas web que traten de una universidad en York (y no en Nueva York), debemos mirar las páginas que concuerdan con YORK y UNTVERSIDAD, pero como el resultado incluirá páginas acerca de alguna universidad en ueva York. así como en York. se debería buscar aquellas páginas que concuerden con (YORK AND UN!YERSlDAD) NOT NUEVA. El resultado de esta búsqueda incluye páginas que contienen tanto la· palabra YORK como UNIVERSIDAD. pero no contienen la palabra UEV A. ~
JUEGOS DE LÓG lCA
Enlaces
Aquello~ juegos que se pueden resolver usando el razonamiento lógico se conocen como juegos lógicos. Resolver juegos lógicos es una excelente forma de practicar con las reglas de la lógica. Hay programas de ordenador diseñados para desarrollar razonamiento lógico que a menudo utilizan juegos de lógica para ilu trar sus capacidades. Mucha gente se divierte resolviendo juegos de lógica que se publican en libros y revistas como actividad recreativa. Discutiremos en este apartado dos juegos de lógica. Empezamos con uno que fut:: planteado inicialmente por Raymond Smullyan, un maestro de los juegos de lógica, que ha publicado m¡h ele una docena de libros con interesantes juegos relacionados con el razonamiento lógico.
EJEMPLO 15 En [Sm78] Smullyan planteó muchos juegos lógicos acerca ele una isla con dos clases ele habiEjemplo> adicionales
l
tantes: caballeros, que siempre dicen la verdad, y sus opuestos, villanos. que siempre mienten. Te encuentras a dos personas, A y B. ¿Qué son A y 8 si A dice «Bes un caballero» y B dice «Lo dos somos de clases opuestas»?
Solución: Sean p y q la afirmaciones de que A e un caballero y Bes un caballero, respectivamente, de tal forma que -. p y-. q son las afirmaciones de que A e!:. un villano y Bes un villano. respectivamente. • Consideramos primero lapo ibilidad de que A es un caballero: ésta es la afirmación de que pes verdadera. Si A es un caballero, entonces dice la verdad cuando dice que Bes un caballero; por tanto, q es verclaclera, y 1\ y B son de Ja misma clase. Sin embargo, si Bes un caballero, entonces la afirmación de B de que A y 8 son ele clases opuestas, la afinnación (p /\ -. q) v (..., p" q) tendría que ser verdadera, lo que no se cumple, porque A y B son ambos caballeros. Consecuentemente. podemos concluir que A no es un caballero. es deci r, pes fa lsa. Si A es un villano, como Lodo lo que dice e falso, la afirmación de 1\ de que B es un caballero, es decir, que q es verdadera, es una mentira, lo que significa que q es falsa y Bes también un villano. Además. si Bes un vil lano, la afirmación de B de que A y B son de clases opuestas es una mentira. lo qu~ e consistente con que tanto J\ como 8 sean villano . Concluimos. por tanto, que A y B son villanos. ~
12
~ ht1.:rná1ica
discreta y ws aplicaciones
Tabl
o o l 1
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o
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Planteamos más juegos de lógica de Smullyan sobre caballeros y villanos en los Problemas 5 l-55 al final de la sección. A continuación, planteamos un juego de lógica conocido como el juego de los chicos con barro para el caso de dos chicos. EJ EMPLO 16 Un padre le dice a sus dos hijos, un chico y una chica, que jueguen en el jardín sin ensuciarse. Sin embargo. jugando, los dos se manchan la frente de barro. Cuando los chicos acaban de jugar, su padre dice «Al menos uno de vosotros se ha manchado la frente de barro» y entonces le pide a los chicos tjue respondan «S í» o «NO» a la pregunta: (<¿Sabes si tienes la frente manchada de barro?». El padre hace la pregunta dos veces. ¿Qué responderán los chicos cada vez que el padre hace la pregunta suponiendo que un chico puede ver si su hennano o hermana se ha manchado la frente, pero no puede verse Ja suya? Suponemos que los chicos son honestos y que responden simultáneamente a cada pregunta. Solución: Seas la afinnación de que el hijo se ha manchado Ja fren te y sea d la afirmación de que
la hija se ha manchado la frente. Cuando el padre dice que al menos uno de los dos chicos se ha manchado la freme estü afirmando que la d1~yunción s v des verdadera. Ambos chicos responderán «No» la primera vez que se les hace la pregunta porque cada uno sólo ve biHTo en la frente del otro. Esto es. el hijo sabe que des verdadera. pero no sabe si s es verdadera, y la hija sabe que s es verdadera, pero no sabe si des verdadera. Una vez que el hijo ha respondido «No» a la primera pregunta, la hija puede detem1inar que d debe ser verdadera. Esto es así porque cuando se hace la prímera pregunta, el hijo sabe que s v d es verdadera, pero no puede determinar sis es verdadera. Usando esta información, la hija puede concluir que d debe ser verdadera, ya que si d fuese fal~a, el hijo podría haber razonado que debido a que s v d es verdadera, entonces s debe ser verdadera, y él habría respondido «S í» a la primera pregunta. El hijo puede razonar de la misma fonna para determinar que s debe ser verdadera. De aquí se sigue que la respuesta de ambos chicos es «Sí» a la segunda pregunta. ~
RA YMO 'O SMULLYAN (nacido en 1 919~ Raymond .Smullyn n abandonó ~us cs1udio~ de bachillerato. Quería c~tudiar lo que realmenle le interesaba y no el progra a oficial de estudios de bachillerato. Tras intentarlo en vanas universidades. plaza en la Universidad de Chi go en 1955. Pagó ~u~ estudios haciendo tn1cos de magia en fiestas y clubes. Se doc1oró en Lógica en 1959 en Princeton. s ndo e~1 udian1e de Alonzo Church. Tras graduarse en Princeton, cnsefió matemáticas en el Danmoulh Collcge, la U11ivcrs1 ad de Prince1011. la U11iversidad Yeshi va y la Cily Uni versiiy de Nueva York. lngre~ó en el depanamcnto de filosofía de la Univcr~idad de Indiana en 1981. donde es ahora profesor emérito. Smullyan ha escrito muchos libros de lógica recreativa y matemáticas. incluyendo Satán. Caiuor y el /11ft11ito: ~ Cómo se titula este libro?. ;.La dama o el ligre?: Alicia en el país de lo~ Jlll!gos di' lógica; Burlarse del pájaro h11rló11: Indeciso para siempre, y El al'erlijo de Slierezade: .!11e¡;os lógi.-11s a¡Jasicn111111cs, ar11i1111os y modernos. Debido a lo apasionante de sus juegos de lógica, lo entretenido y lo mucho que invitan a prnsar. es considerado como el Le'' is Carroll actual. Srnullyan ha escrito también v:irios libros :ice rea de la aplicación de l:i lógica deductiva al :ijedre1, tre~ colecciones de ensayos filosóficos y :1forismos y va rios libros avanzados ~obre lógica matemática y teoría de conjuntos. Está paniculanncnte intcrc~ado en Ja au1 orreferencia y ha trabajado en extender algunos de los re~ullados de G~dd que mucs1ro n que es imposible escribir un programa de ordenador que pueda resolver todos Jos problcm:is de las m:uemáticas. Está también particularmeme inlcrc~ado en explicar ideas de lógica matemática al públic& general. Srnullyan es un músico con talento y a menudo 1oca el piano con su mujer. concenis1:1 de piano. Una de sus aficiones es hacer 1cle~copios. Tmnhién se interesa en óp1il:a y csiéreo fotografía. Afinna que «nunca he ten ido conflictos en tre Ja enseñanza y la investigación corno algunas persona~. porque yo. mientras enseño. hago investigación». con~iguió una
Enlaces
Los funda mentos: lógica y demos1racíón, conjuntos y !unciones
lJ
LÓGICA Y OPERACIONES CON RITS Bit
Valor
1-erdad V
1
o
F
Enlaccs
DEF INICIÓN 7
EJ EMPLO 17
Los ordenadores n.:prcsentan la información usando biis. Un bil tiene dos valores posibles: O (cero)
y 1 (uno). El significado ele la palabra bit viene ele la expresión inglesa bi11ary digit. ya que ceros y unos son los dígitos usados en las representaciones binarias de los números. El famo-;o esradístico John Tukcy inrrodujo esta terminología en 1946. Un bit se puede utili1.ar para representar un valor de verdad, ya que dos son los valores de verdad: verdadero y falso. Como se suele hacer, usaremos el bit 1 para representar el valor verdadero y Opara el falso; esto cs. l representa V (verdadero) y O representa F (fa lso). Una variable se llama variable booleana si su valor es verdadero o falso. Por cons iguiente, una variable booleana se puede representar u :'lndo un bit. Las operaciones con bits en el ordenador se corresponden con los conectivos lógicos. Reemplazando el valor verdadero por 1 y el valor falso por O en las tablas de verdad de los operadore /\ . v y $ . se obtienen las tabla presentada en la Tabla 8 para las correspondientes operaciones con bits. Utilizaremos las expresiones OR. 1W D y XOR para los operadores /\, v y Et). respectivamente, como se hace en vari os lenguajes de programación. A menudo se representa infonnación usando cadenas de bits, que son sucesiones de ceros y unos. En este ca o. se pueden utilizar operaciones sobre cadenas de bits para manipular esta informac ión.
Una cadena de bits es una sucesión de cero o más bits. la longitud de esta cadena es el número de bits
10 10 10011 es una cadena de bits de longi1ud nueve.
Podemos extender las operaciones con bits a cadenas de bits. Definimos las operaciones bit OR. 1lND y XOR de dos cadenas de la misma longitud como aquellas operaciones cuyo resultado es una nueva cadena cuyos bits son el resultado de aplicar las operaciones OR. 11ND y XOR a los correspondientes bits de cada una de las dos cadenas. Usamos los símbolos v , " y Et) para representar las operaciones bits correspond ientes. ilustramos el uso de estas operaciones con cadenas de bits en el Ejemplo 18.
EJEMPLO 18 Aplica las operaciones bits OR, AND y XOR a las cadenas 01 101 1 0 110 y l l 000 1 11 01. (Aquí. y a lo largo de todo el texto. las cadenas de bits se dividirán en grupos de cuatro bits para fac il itar su lectura).
Eol:Kt">
J OJIN WJLOER T UKEY (19 15-2000) TuJ..ey, nacido en Ncw 13cdfortl, \1 assachuse11 ~. Eswdos u nirlo-,, fue hijo único. Sus padres. ambos profesores. decidieren que una educacíón en casa desarrollaría m..-jor 'u potencial. Su educación for mal empezó en la Urúversidad de Brown. donde estudió ma1emíllica y química. Se graduó cn qu1111ica en In l lmvcrsidad de Brown y continuó su~ c~tudios en Ja Universidad de Prince1on, cambi:u1rincc m. Cuando estalló la Segunda Guerra 'vfundial. se enroló en la Oficina para lnvesrigación en el Control de Incendio~. d nde empezó a trabajar en C'>ladíq ica. Tuke) :,e interesó por la im estigación en cs1adi,11ca e impresionó a \'arios csrndísti s impor1a111es con su capacidad. En 19.15. al concluir la guerra, voh 10 a Pri nceton como profesor de estadística, y rnmh ién consiguió 11n puesto e11 los Laboratorios 1\ T&T Bell. Fundó el Depanamento de EsradíMica en Pri nceton en t 966, ~ic11tlu su primer rt:sponsablc. l lízo muchas contribuciones irn pon anrcs en d t\rca de la cstatlístíca. inrlu ye ntlo amílisis de va rinn7;1. estimación de espec1ros oc 1;eries rem pora le~ . inferencia sobre lo~ valnn:s de un co11j111110 de parámetros en un expcrimcnto único y lilosofía de la e\ladística. Sin embargo. por lo que es más conocido es por ~u mYenc1ón. JUnto con J. W Cooley. de la tmn~ fonnada rápida de Fouricr. Tukey conrribuyó con su perspicacia y C\pcrie11cia al Comué Asesor Presidencial para la Ciencia de fa1aclos Unídos. r:uc presidente de varios comités im portantes par:1medio runbicn1e, educación y salud y productos químicos. También participó en comítés de trabajo en dc~annc nuclear. Recibió mm:ho~ premios, entre ellos la Medalla 1acional de la Ciencia.
RESE." A IDSTÓRICA Se sugóneron olrns palabra5 para denominar al díg110 binario. incluyendo bmit) bigit. que no llegaron 41 aceptarse universalmente. La adoi:ción cic la palabra hi1 puede deber/te a que 1ienc signíficado por sí mi~ma como palabra en inglés. Paru conocer cómo se acuñó In palabra hit. véa~c el número de abri l de J 98 1de la rcvi ~ta /\ 1111als of the l fütory ofCompwing.
J4
Ma1emá1ica cfüacta y
'>ll~
;1plicaciones
Solución: Los resultados de las operaciones bit OR. AND y XOR se obtienen aplicando los operadores OR. AND y XOR a los correspondientes bit. Esto nos da 01 1011 0110 11 0001 J 101
11 1011 111 J 01 OOOJ OJOO 10 1010 IOJ l
operación OR operación AND
operación XOR
Problemas l. ¿Cuále~ de esras frases ¡;on proposiciones? ¿Cuál es el
valor de verdad de aquellas que son proposiciones? a) 13oston es la capi1al de Massachusetts. b) Buenos Aires es la c:ipi1al de Argentina.
6. Sean p y q los enunciados «La elección se decide» y «Se han contado los votos», respectivamente. Expresa cada una de las siguientes fórmulas en lenguaje natural. a ) •p
=5. 5 + 7 = 10.
d) q ~ p g) pHq
e) 2 + 3
d) e) X+ 2 = 11. 1) Responde a esta pregunta. g) r +y= y+ \ para todo par de números reales x e y.
7. Sean p y q los enunciados p: fatamos bajo cero. q: Nieva.
2. ¿Cuáles de las siguientes son proposiciones? ¿Cuál es d valor de "\Crdad de aquellas que son proposiciones?
facribe los enunciados r.iguicntes usando p, q y conectivos lógicos:
a) No pa1>ar. b) ¿Qué hora es? e) No hay moscas en Maine. d) -l + x = 5. C) X+ 1 = 5 ~i .\ = 1. f) X+ y =y+ Z si X= z.
a) E ramo bajo cero y nieva. b) Estamos bajo cero, pero no nieva. e) o estamo~ bajo cero y no nieva. d) Bien estamos bajo cero o bien nieva (o ambas cosas). e) Si estamos hajo cero, entonces también nieva.
O Estamos bajo cero o nieva, pero no nieva si estamos bajo cero.
3. ¿Cuál es la negación de cada uno de estos enunciados? a) l loy es jueves. b) No hay polución en Nueva Jersey. c) 2 + 1 = 3. d) El verano de Veracruz es cálido y soleado.
g) Que estemos bajo cero es necesario y suficiente para
que nieve. 8. Sean p. q y r los enunciados
p: Tienes fiebre. q: Suspendes el examen final. r: Aprueb;1s el curso.
4. Sean p y q los enunciados
p: Compr~ un billete de lotería esta semana.
Expresa cada una de las siguientes fórmulas en lenguaje natural.
q: Gané el bote de un millón de euros del viernes
Expresa cada una de lac; siguien1es fórmulas en lenguaje natural. a) •p d) p /\ q g) •p /\-, q
b) pvq e) pHq h ) •p V ( p M/)
1
e) p~q f) •p ~ -.q
a)....,
b) pM¡ e) -.q ~ p h) •p/\(pvq)
p ~q b) -.q H r q ~ •r d) p V<¡ V/" (p ~ ..,,.) v (q ~ •r) (p /\ q) V (-.q /\/")
9. Sean p y q los enunciados
p: Conduces a más de 100 km por hora. q: Te multan por exceso de velocidad.
S. Sean p y q los enunciados «Está penni1ido nadar en Ja costa de Nueva Jersey» y «Se han divisado tiburones cerca de la cosla», respectivamente. Expresa cada una de las siguien1es fóm1ulas en leng11ojc natural. d) p ~ -.q g) pH..,q
a) e) e) 1)
t) -.pvq f) •p ~ • q
Escribe los enunciados siguientes usando p, q y conectivos lógicos. 0 •
a) No conduces a más de 100 km por hora. b) Conduces a más de 100 km por hora, pero no te multan por exceso de velocidad.
Los fu ndamentos: lógica y demostración, conjuntos y funciones
e) Te multarán por exceso de velocidad s i conduces a más de 100 km por hora. d) Si no conduces a más de IOO km por hora no te multarán por exceso de velocidad. e) Conducir a más de 100 km por hora es suficie nte para q ue te multen por exceso de velocidad. f) Te multan por exceso de velocidad. pero no conduces a 1rnís de 100 km por hora. g) Siempre que te multan por exceso de velocidad conduces a más de 100 km por hora.
12. Detem1ina si estas bicondicionales son verdaderas o falsa~.
a) 2 + 2 = 4 si, y sólo s i, 1 + l = 2. =2 si, y sólo si, 2 + 3 =4. e) Es invierno si, y scílo s i, no es primavera, verano u otoño. d) 1 + l = 3 s i, y sólo si, los cerdos vuelan. e) O> l si, y sólo si, 2 > l.
b) 1 + l
13. De termina si estas implicaciones son verdaderas o falsas .
=
= 2, entonces 2 + 2 S. Si 1 +1 = 3,cntonces2+2 = 4. Si J + 1 3, entonces 2 + 2 = S. Si Jos cerdos vuelan, emonccs l + 1 = 3. Si l + 1 3 , entonces Dios existe. f) Si l + 1 3, entonces los cerdos vuelan. g) Si l + 1 = 2, entonces los cerdos vuelan. h) Si 2 + 2 = 4, entonces 1 + 2 = 3. a) Si l + l
10. Sean p, q y r los enunciados p: Tienes un 1Oen el examen final. q: Haces todos los problemas del libro. r: Tienes un 1Oen esta asignatura. Expresa estos enunciados usando p , q, r y conectivos lógicos. a) Tienes un JO en el examen final , pero no haces todos los problemas del libro. b) Tienes un 10 en el examen f!nal, haces todos los problemas del libro y tienes un 10 en esta asignatura. e) Para tener un 1Oen esta asignatura es necesario tener un 1Oen el examen final. d) Tienes un 10 en el examen final, pero no haces todos los problema~ del libro; no obstante, tienes un 1Oen esta asignatura. e) Tene r un 1O en el examen final y hacer todos los problemas del li bro es suficie nte para tener un 10 en esta asignatura. 1) Tendrás un 10 en esta asignatu ra si, y sólo si, tienes un l Oen el examen final o haces todos los problemas del l ibro.
l l. Sean p, q y r los enunciados
p: Se han visto osos pardos por la zona. q: Es seguro caminar por el sendero. r: Las bayas del sendero es tán maduras. Expresa estos enunciados usando p, q. r y conectivos lógicos.
a) Las bayas del sendero est<Ín maduras, pero no se hdn visto osos pardos por la zona. b) No se han visto osos pardos por la zona y es seguro caminar por el sendero, pero bayas del sendero están maduras. e) Si l~s bayas del sendero. está~ rn~duras , es seg.uro cam1rnu· por el sendero s1, y so s1, no se ha n visto osos pardos por la zona. d) No es seguro caminar por el sendero, pero no se han vislo osos pardos por la zona y las bayas del sendero están maduras. e) Para que sea seguro caminar por el sendero, es necesario, pero no suficiente, que las bayas del sendero no estén maduras y que no se hayan visto osos pardos por la zona. f) No es seguro caminar por el sendero cuando se han visto osos pardos por la zona y fas bayas del sendero están maduras.
II·
15
b) e) d) e)
= = =
14. Detennina en cada una de estas frases si el o es inclusivo o exclus ivo. Razona tu respuesta.
a) Se requiere experiencia con Java o C++. b) La comida incluye ensalada o sopa. e) Para entrar en este país necesitas pasaporte o tarjeta de votante. e) Publica o perece. 15. Di qué significan cada una de estas frases en los casos en que el o es inclusivo (es decir, una disyunción) o bien exclus ivo. ¡,Cuál crees que es el significado q ue se q uiere expresar realmente en cada caso?
a) Para matricularte en matemática discre ta debes haber c ursado una as igna tura ele cálculo o alguna asignatura de infom1áüca. b) Cuando te compras un vehíc ulo de marca Acme, te devuelven 2 000 $en efectivo o el 2% del préstamo solicitado. e) La cena para dos incluye dos platos de la columna A o tres de la columna B. d) El colegio se ciem1 si caen más de 50 cm de nieve o si el viento helado baja de - 20 º C.
16. Esc1ibe cada uno de estos enunciados de la forma «si p, entonces q». (Indicación: Básate e n la lista ele formas comunes de expresar una implicación proporcio nada e n • esta sección).
a) Es necesario lavar el coche del jefe para ascender. b) Viento del sur implica des hielo en primavera. e) Una cond ición suficiente para que la garan1'Ía sea válida es que hayas comprado el o rdenador hace menos de un año. d) A Guillenno siempre se Je pilla cuando hace trampas. e) Puedes acceder a la página web si pagas una cuota de suscripción. f) Ser elegido es consecuencia de conocer a la gente adecuada. g) Caro! se marea siempre que monta e n una barca.
16
1
\1:11cm:í11ca discrc1:1 y \US aplicaciom.·~
17. Escrihe cada uno de e\lo~ enunciados de la fonna «si p, en1onccs q». (!11dicatiá11: Básate en la li~ta de fom1as comunes de expresar una implicación propon.:ionad;1 en esta sección). a) Nieva siempre que el viento sopla del noreste. h) El maruano florecerá si el tiempo se mamiene cálido dura111e una .,emana. e) Que los Pistons ganen el cam¡x-onato implica que vencieron a los Lakcrs. d) Es necesario :melar 12 km para lleg;1r a la cima del pico. e) Pro juega bien. e) Que consigas el lrahajo implica que tienes las mejores credenciales. f) La playa se erosiona siempre que azo1a una tonnenta. g) Es nccl'sario 1ener una cla\'C válida para at.:ccdcr al servidor.
19. Escribe cada uno de estos enunci;:do~ de la fonna «psi, y ~ólo si.
21. Enuncia la recíproca, contrarrecíproca e inversa de cada una de estas implicaciones. a) Si nieva hoy. esquiaré mañana. h) Voy .1 clase siempre que vaya a haber un control. e) Cn entero po~itivo es primo si, y sólo si. no tiene otro<. di\ isores más que 1 y él mi~mo.
22. Enuncia Ja recíproca, contrarrccíproca e inversa de cada una de estas implicaciones. a) Si llueve esta noche, me quedaré en casa. b) Voy a l:i playa siempre que el día amanezca soleado. e) Cuando me acuesto tarde, es necesario que duerma hasta mediodía.
23. Construye las tablas de verdad para cada una de estas fórmulas. aJ e) e) 1)
p/\-.p b) pv-.p (pv-.q)-.c:,q d) (pvq)-)(p/\q) (p ~ q) H (-.q ~ -.p) (p--) q) ~ (q ~ p)
2-t Construye las tablas de verdad para cada una de estas fórmula~.
a ) p-4""'fl b) pH-.p e) p(f)(µvq) d ) (p/\q)-)(p v q) e) (q -4 -.p) H (p H q) 1) (p H q) $ (p H -.q)
25. Construye las tahlas de verdad ele cada una de estas fórmulas. ~ (p $ q) b) (p(f)q) >(p/\q) e) (p V <¡) $ (}> /\ q)
a) ípvq)
el) (p H q) $ (-.p H q) e) (p H q) $ (-.p H..,,.) f) (pff)q) ~ (p$-.q)
26. Construye las rnblas de verdad para cada una de estas fórmulas. b ) p@~ e) p (fJ ""(/ d) ..,P (f) -.q e) (p $ q) V (p $ -.q) 1) (p Ee l/) /\ (jJ Ee •q)
a) p(f)p
27. Construye las tibias de verdad para cncla una de estas fórmula~.
a) p -) ""V¡ b) -ip C) (jJ -) q) V (-.p - > q)
H
q
el) (jJ ~ q) /\ (-.p--) q) e) (p H t¡) V(-./> H q) 1) (•p H -.q) H (J> H q)
28. Construye hL'i tahlas de \"Crdad para cada una ele fórmulas. a) (p v q) v r c) (p/\q)vr e) (p V q) /\ 1/'
b) (pvq)/\r d ) (p/\(¡)/\r f) (p/\q)v -.r
esta~
I·
, Los fundamentos: lógica y demostrac1ón, conjuntos y funciones
29. Construye fórmu las. a) b) e) d)
la~
tablas de verdad para cada una de
esta~
p 4 (•qv r) •p ~ (<¡4 r)
(p 4 q)v('P 4 r)
(p 4 q) /\ (•p 4 r) e) (p H q) V (•q H r) f) (•p H -iq) H (q H r)
ción? 4
q)
r) 4S.
31. Construye la tabla de verdad de la fónnula (p
H
q) H
(rHs).
32. ¿Cuál es el valor de x tras cjeculfir las siguienles 1>entencias en ordenador si t = 1 antes de que se llegase a ella'? a) b) e) d) e)
37. El valor de verdad de la disyunción de dos proposiciones en lógica difusa es el máximo de los valores de verdad de las dos proposiciones. ¿Cuál el valor de verdad de las frases «Alfredo es1á fe liz o Juan está fe liz» y «Alfredo no está feliz o Juan no está feliz»?
*38. ¡,Es la sentencia «fa.ta afirmación es falsa» una proposi-
JO. Construye la tabla de verdad de la fórmula ((p 4
17
if 1 + 2 = 3 then " := x + 1 if (1 + 1 = 3) OR (2 + 2 = 3) then x := x + 1 if (2 + 3 = 5) ANO (3 + 4 :: 7) then X:= X+ 1 if ( 1 + l =2) XOR (1 + 2 = 3) thcn x := x + 1 if x < 2 then x := x + 1
33. Determina el resultado de ejecutar las operaciones bits OR, AND y XOR con cada uno ele los siguientes pares de cadenas de bi1s: a ) 1O1 111O, O1O000 1 b) 1111 0000, 10 10 IOJO e) 00011 1 000 1,100100 1000 d ) 11 111 J 111 l. 00 0000 0000
34. Evalúa las siguientes expresiones:
*39. La sentencia 11-ésima de una lista de 100 scn1encias es «Exactamente n de las sen1encias de esta lisia son falsas». a) ¡,Qué conclusiones se pueden derivar de est:is sen tencias? b) Responde el apartado (a) si la senlencia 11-ésima es «AJ menos n de las sentencias de la li~ia son falsas». e) Responde el apartado (b) suponiendo que la lista contiene 99 sentencias.
40. Una antigua leyenda siciliana dice que el barbero de una remota ciudad, a la que sólo se puede llegar a través ele un peligroso camino ele montaña. afeita a aquellas personas, y sólo a aquellas persona . que no se afei1an a sí mismas. ¿Puede existir tal barbero?
41. Cada uno de los habitantes de una aldea remota dice siempre la verdad o siempn: miente. Un aldeano siempre dará un «Sí» o « o» por respuesrn a las prcgunia<; ele lo!> !Uri:.ia~. Supón que eres un 1uris1a que visita la zona y cncuen1ras una bifurcación en el cmnino. Una dirección conduce a las minas que quiere~ visitar. La otra dirección conduce a la jungla profunda. Gn aldeano se encuen!ra en la bifurcación del camino. ¿Qué pregunta debes hacerle al aldeano para averiguar la dirección co1Tecta?
a) 1 1000A(OIO!lvl 1011)
b) (O 1111/\1010l )v01000 c) (01010E9 1 I Oll )EB01000 d) ( ) l 011 V 0 ) () J0) A ( 1 000 ) V
)
1() l J)
La lógica d ifusa o borrosa se usa e n inteligencia artificial. En lógica difusa, una propo~ i ción 1iene un valor de verdad que es un número comprendido entre O y l, ambos inc luidos. llna proposición con un valor de verdad O es falsa y con un valor 1 es verdadera. Los valores enlre O y 1 indican grados de verdad. Por ejemplo. el valor de verdad 0,8 se puede asignar a la sentencia «Alfredo está feli7.», ya 4ue Alfrfdo está fe liz la mayor parte del tiempo, y el valor de vcrd· 0.4 se asignará a la sentencia «Juan está feliz» cuando Jua esté feli7 un poco menos de la mitad del liempo. 35. El valor de verdad de la negación de una proposición en lógica difusa es 1 menos el valor de verdad de la proposición. ¿Cuáles son los valores de verdad de la~ afinnaciones «Alfredo no cst<í fe li7.» y «Juan no es1á feliz>>? 36. El valor de verdad en lógica difusa de la conjunción de dos proposiciones es el mínimo de los valores de verdad de las dos. ¿Cuál el valor de verdad de las frases «Alfredo y Juan es1án felices» y «Ni /\lfredo ni Jt1an están felices»?
.t2. Un explorador es capturado por un grupo de caníbalc~. Hay dos clases de caníbales: aquellos que siempre dicen la verdad y <1q11ellos que siempre mienten. Lo!> caníbales se cenarán al explorador a menos que éste pueda de1erminar sí un caníbal en particular dice siempre la verdad o siempre miente. Al explorador le permiten que haga exactamente una pregunta a nno ele los caníb:iles. a) Explica por qué la pregunta «¿Eres un mentiroso?» no va a funcionar. b) Encuenrra una pregun1a que el explor:idor pueda usar para determinar si el caníbal dice siempn~ Ja verdad o siempre mierne. ..J3. Expresa las siguientes especificaciones de sistema milízando las propo:.iciones p, «El mensaje es revisado para buscar algún virus», y q, «El uicnsaje fue enviado desde un sisiema desconocido». julllo con conectivos lógicos. a) «El mensaje se revisa para buscar algún virus siempre que haya sido enviado desde un si~tema desconocido». b) «El mensaje fue enviado desde un sis.tema desconocido. pero no se revisó para buscar ningún virus». e) º«fa necesario revisar d men~aje p:ira buscar algún vi rus siempre que haya sido enviado desde un sisicma desconocido».
18 \ latcmáuca di<>Crern y S\15 aplicaciones
el ) «Cuando el mensaje no sea enviado desde un sis1ema desconocido no :-.e ;cvi~a para lml>car ningún' irus».
.t.t. Expresa l:is ~iguienlcs e<:pecificacionc-; de ~i<;lema usando las proposiciones p. «El usuario iniroducc una clave válida»; q. «Se pennile el m;ccso>), y r, «El usu~1 rio ha pagado la cuOla de acce:.o>). junio con coneclivos lógicos. «El usuario ha pagado la cuota de acceso, pero no introduce una clave válida». bJ «Se permite el acceso :-.1cmpre que el usuario haya pagado la cuota de acceso e introdu1,ca una clave válida». c) «Se niega el acce~o :-.i el usuario no ha pagado la cuoia de acceso». d) «Si el usuario no ha introducido una clave válida. pero ha pagado la cuOla de acceso, entonces se permite el acceso''· a)
.tS. ¿Son consis1emes las siguie111es especificaciones de sistema? «El sistema está en estado mulliusuario si, y sólo si, es1á orerando normalmente. Si el sistema está openmdo normalmenle, el kernel es1<1 funcionando. El kernel no es1á funcionando o el sistema está en modo de interrupción. Si el sistema no está en cs1ado multiusuario. en1onccs está en mod0 de in1em1pción. El sistema no está en modo de intcnupci6n». .t6. ¿Son consi~tentes las siguien rc·~ <'srwci liciicioncs de sis1ema? «Cuando el soflirnrc• del sistema se actualiza. los usuario~ no pueden acceder al sistema de archivos. Si los usuarios pueden acceder al sistema de archivos. pueden grabar íid1eros 1111evos. S i los usumfos no pueden grabar licheros nuevos. el 5offlt'are del !>istema no se está ac1ualÍlando». 47. ¿Son consislcntes las siguientes especificaciones desiste-
ma? «El routcr puede enviar paque1es al sis1crna remoto sólo si soporta el nuevo esracio de direcciones. Para que el rower \Oporte el nuevo espacio de direcciones es necesario que se haya instalado la última actualización del sofamre. El ro11ter puede enviar payuetes al sis1crna más remolo si se ha ins1alado Ja úhima actualización del software. El router no soporta el nuevo csracio de direcciones». .t8. ¿Son consislentes las 'igu1cntes especificaciones de sistema? «Si el sistema de archivos no está hloqueado, entonces se pondrán en cola los mensajes nuevos. Si el sistema de archivos no está bloqucauo. entonces el sistema funcio11a correctamente. y recírrocamente. Sí los mensa· jes nuevos no se ponen en cola. entonces se enviarán al buffer de mensajes. Si el c;istema de archivos no se bloquea, e111onces se enviarán mensajes nuevos al buffer de mensajes. No se enviarán mensajes nuevos al buffer de mensajes>).
50. ¿Qué búsqueda booleana habría que u~ar para buscar página~ web sobre :.endcri~mo en Virginia del Norte? ¿Y cuál ~i bu~ca<; páginas web :-.obre senderismo en Virginia. pero 11<' en Virginia del Norte?
Los problemas 51 -55 eslán relacionados con la isla de los caballeros y villanos inventada por Smullyan. donde los caballeros ~.empre dicen la verdad y los villanos siempre mienten. Te encuentras a dos personas. A y B. Detennina, si es posible. qué son A y Ben 1...id,1 rr~1hle111a. Si no puedes determinar qu~ son eslih personas. ¡,puedes deducir alguna conclusión? 51. A dice «Al menos uno de nosotros es un villano» y B no dice nada.
52. 1\ die<: «Los dos somos caballeros» y B dice «A es un villano,,. 53. A dice «Yo soy un villano o B es un caballero» y B no dice nada. 54. Tanto A como B dicen «Yo soy un caballero».
SS. A dice «Ambos somos villanos» y B no dice nada. Los problemas 56-6 1 son juegos de lógica que se pueden resolver fonnalizando previamente y razonando a partir ele ellos usando las tablas de verdad .
56. La policía tiene tres sospechosos del asesinato del señor Cooper: e l señor Smi 1h, e l señor Jo nes y el señor Williams. Cada uno de ellos declara que no m.:116 a Cooper. Smith declara además que Cooper era amigo de Jones y que Williams no lo apreciaba. Jones también declara que él no conocía a Cooper y 4ue estaba fuera de la ciudad c:uando Cooper fue asesinado. Williamt. declara también 4ue vio a Smith y Jones con Cooper el día del asesinato y que Smith o Jones debió matar a Coopcr. ¿Puedes detenninar quién lo mató si a) uno de los tres hombres es culpable, los dos inocentes dicen la verdad, pero las declaraciones del culpable pueden ser o no verdad?; b ) los inocentes no mien1en? 57. A Steve le gustaría cleterm~ar quién cobra más entre
tres de sus colega<; haciendo so de dos hechos. Primero, sabe que si Fred no es el m jor pagado de los tres, entonces lo es Janice. Segundo, sabe que si Janicc no es la peor pagada, entonces Maggie es la que más cobra. ¿Es posible de1cm1inar el orden de los salarios de Fred. Jru1ice y Maggie a panir de lo que sabe S1eve'! Si es a~í, ¿quién es el/la que cobra más y el/la que cobra meno~? Explic<• tu respuesta.
58. Cinco amigos tienen acceso a una sala de chat. ¿Es po:.ible .t9. ¿Qué bú~queda booleana habría que usar rara buscar página~ web sobre alguna playa en Nueva Jersey? ¡,Y cuál para encontrar alguna plnya en la isla de Jersey en el canal de la Mancha?
detenninar quién es1;í chateando si se conoce la siguict111e infom1ación? Bien Kevin o l;Icather, o :imbos, están chateando. Bien Randy o Vijay, pero 110 ambos, están chmcando. Si Abby está chaieando, también lo está Randy.
Los fundamentos: lógica y dcmos1ración. conjuntos y funciones
Vijay y Kcvin están chateando. o bien ambos, o bien ninguno. Si l leather está chateando, entonces también lo están Abby y Kevin. Explica tu razonamiento.
59. Un detec1ive ha to m:ido declaración a cuatro testigos de un crime n. De las declaraciones concluye que si el mayordomo d ice la verdad, también lo hace e l cocinero: e l cocinero y el jardinero no pueden ambos dec ir la verd:id; el jardinero y el empleado de mantenimiento no cs1án mintiendo ambos, y si e l empleado de rnantenirnien10 dice Ja \"erdad. entonces el cocinero mienic. Para cada uno de los testigos. ¿puede e l detective determinar s i miente o dice la verdad? Explica 1u razonamiento.
60. Cuatro amigos han sido identificados como sospechosos de acceso no autorizado a un s istema infom1ático. Por e llo han declarado a las autoridades que investigan e l hecho. Alicia dijo que «Lo hizo Carlos». Juan dijo «Yo no Jo hice>>. Carlos elijo que «Diana lo hizo». Diana dijo que «Carlos mintió c uando dijo que yo lo hice». a) Si las autoridades saben además que exactmnente uno solo de ellos decía la verdad, ¿quién lo hizo? Explica tu razonamien to. b) Si las autoridades saben también que exactamente uno solo de ellos mentía, ¡,quién lo hizo? Explic:t tu razonamiento.
19
*6 1. Res uelve este famol.o juego de lógica atri buido a Albert Einstc.in y conocido como e l juego ele la cebra. Cinco hombres de diferentes nacio nalidades y con trabajos distintos viven en casas consecutivas de una misma calle. Las casas están pintada~ de colores diferentes. Los hombres tienen animales de compaiiía disti ntos y 1ambién son diferentes sus bebidas favoritas. Determina quién es el dueño de la cebra y quién e:. aquel cuya bebida favorita es e l agua mineral (una de las bebidas favoritas) dadas las s iguientes pistas: e l inglés vive en la ca-.a roja: el c.~pañol tiene un perro; el japonés es pintor; e l itali:u10 bebe 1é: e l noruego vive e n la primera casa a la izquierda; la casa verde eslá a la derecha de la blanca; el fotógrafo cría caracoles; el diplomático vive en la casa amarilla; el de la casa del medio toma leche: el dueño de la casa verde torna c afé; la casa del noruego está pegada a la azul; el violinista torna zumo de nanmja; el zorro está en una casa contigua a la del médico: el caballo está en una casa contigua a la del diplomático. (lndicati6n: Ha7. una tabla donde las rilas representen hombres y las columnas el color de sus casas, sus trabajos, sus animales y sus bebidas favoritas. Usa ra?onarnicn1os lógicos para detcrrninar las cn1radas correctas en la tabla).
Equivalen cias proposicionales INTRODUCCIÓN Un tipo importante de paso utilirndo en argumentos matemáticos es Ja sustitución de una sentencia por otra de igual valor de verdad. Así, en la construcción de argumentos matemáticos se emplean con frecuencia métodos que producen proposiciones con el mismo valor de verdad que una fórrnula dada. Comenzaremos nuestra discusión con un:t clasificación de las fórmulas según sus posibles valores de verdad.
DEFINICIÓN 1
Una fórmu la que es siempre verdadera, no importa los valores de verdad de las proposiciones que la componen. se denomina za111oltía. Una fó1mula que es siempre falsa se denomina conrradi_cción. F~oalmc~te. una proposici, que no es ni una tautología ni una contradicción se dcnomma contmgencia.
Las tautologías y las contradicc iones s on impor tantes e n el rnz.onamie nto matc m:ílico. El s i-
guiente ejemplo ilustra estos ti pos de proposiciones.
EJEMPLO J Podemos construir ejemplos de tautologías y contradicciones usando sólo una proposición. Considera las tablas de verdad de p v -.p y p A -ip mostradas en la Tabla 1. Como p v -ip es siempre verdadera. es una tautología. Como p A """'fJ es siempre falsa. ~ una contradicción. ~
20
Matemática discreta y sus aplicaciones
EQUIVAL ENCIAS LÓGICAS Demo
DEFINICIÓN 2
Las fórmulas que tienen los mismos valores de verdad en todos los casos posibles se llaman lógicamente equivalentes. Podemos también definir esta noción como sigue.
Se dice que las proposiciones p y q son lóglcamente equivalentes sip H q es una tautología, . La notación p = q denota que p y q son lógicamente equivalentes.
Nota: El símbolo = no es un conectivo lógico, puesto que p =q no es una fórmula, sino la afirmación de que p ~ q es una tautología. El símbolo <:::> se usa en ocasiones en lugar de = para denotar una equivalencia lógica.
Ejemplos a
Una forma de determinar si dos proposiciones son equivalentes es utilizar una tabla de verdad. En particular, las proposiciones p y q son equivalentes si, y sólo si, las columnas que dan sus valores de verdad coinciden. Los siguientes ejemplos ílustran este método.
EJ EM PLO 2 Muestra que -.(p v q) y -.p /\ -.q son lógicamente equivalenres. Esta equivalencia es una de las leyes de De Morgan para proposiciones. llamadas así por el matemático inglés Augustus de Morgan, de mediados del siglo XIX. Solución: Las tablas de verdad para estas proposiciones se muestran en la Tabla 2. Como los valores de verdad de las proposiciones •(p v q) y •p ,1.., ·q concuerdan para todas las combinaciones posibles de valores de verdad para p y q. se sigue que -{p v q) H (•p /\ --iq) es una tautología y es~
tm; proposiciones son lógic:imente equivalentes.
T a bla l . Ejemplos de una tautología y una cont raclicción. p
-ip
V F
p v -ip
p /\ -ip
F
V
V
V
f F
Tabla 2. Tablas de verdad para -i(p v q) y -ip /\ -iq. p
q
pv q
V V
V
F
V
V V V
F F F
F
F
F
V
F
-i(p
V
q)
-ip
-.q
-ip /\ -iq
F
F V F V
F F
F V V
Tabla 3. T
q
-ip
•p v q
p -4 q
V
V
F
F V
F F
F
F
V F V V
y
V
V V
F V V
F
V
Lo' fundamentos: lógica y demostración. conj untos y funciones
EJ EMPLO 3
Muestra que las proposiciones p
~
21
q y --ip v q son lógicamente equivalentes.
Solución: Constrnimos Ja tablas de verdad para estas fónnulas en la Tabla 3. Como lo valores de verdad de las proposiciones --ip v q y p ~ q concuerdan, estas proposiciones son lógicamente equivulcnt.es. ~ EJ EMPLO 4
Muestra que las proposiciones p v (q /\ r) y (p v q) /\ (p v r) son lógicamente equivalentes. Es la ley distribwira de la disyunción sobre la conjunción.
Solución: Construimos las labias de verdad para estas fórmulas en Ja Tabla 4. Como los valores de verdad de las proposiciones p v (q" r) y (p v q) /\ (p v r) concuerdan, estas fó1mulas son lógicamente equivalentes. ~ Observación: Una tabla de verdad para una fónnula dependiente de tres proposiciones diferentes requiere ocho filas, una para cada posible combinación de los valores de verdad de las tres pro-
posiciones. En general, se requieren 2" filas si una fórmula depende den proposiciones. La Tabla 5 contiene algunas equivalencias imponantes·. En estas equivalencias. V denota cualquier proposición que es siempre verdadera y F denota cualquier proposición que es siempre falsa. Mostrnmos rambién algunas equivalencias útiles para fónnulas que involucran implicaciones y dobles implicaciones en las Tablas 6 y 7. respectivamente. En los problemas al final de la sección se pide al lector que verifique las equivalencias de las Tablas 5-7. La ley a ociativa para la disyunción muestra que la expresión p v q v r está bien <.ldinida en el sentido de que no importa si tomarnos primero la disyunción de p y q y luego Ja (fü,yunción de p v q con r, o si primero tomamos la disyunción de q y r y luego la disyunción de p y q v r. De forma similar, la expresión p /\ q /\ r está bien definida. Extendiendo este rn:wrnuniento, se sigue que p 1 v p 2 v ... v p n y p 1 A ¡>2 /\ ... A Pr. están hi<>n definidas siempre que p 1, Pr .... P. sean proposi~io nes. Adcmá , ten en cuenta que las Jeye de De Morgan se generalizan a -i(p, V Pi V ... V P)
=(-ip l /\ -ip2/\ ... /\ --ip)
•(pi l\ P 2 /\ ... v P)
= (--ip, v -p2 v ... v--ipJ
y
(Los métodos para demostrar estas identidades se verán en la Sección 3.3).
E.i=plo,, rttlidonales
Las equivalencias lógicas de la Tabla 5, así como cualquier otra que se haya establecido (como las mostradas en las Tablas 6 y 7), e pueden usar para construir equivalencias lógicas adicionales. Ello se debe a que una proposición en una fórmula se puede su tituir por otra que sea lógicamente equivalente sin alterar el valor de verdad de la fónnula. E ta técnica se ilustra en los .Ejemplos 5 y 6, donde también se utiliza el hecho de que si p y q son lógicamente equivalentes y q y r también, entonces p y r son lógicamente equivalen les (véase el Problema 50).
Tabla 4. Una demostración de que p v (q Ar) y (p v q) A (J p
q
V V
V V F
V V F F F F
r: V V
F F
,.
(/ A /'
pv(r¡ A r)
V F 1F
V V V V
V
V F F
F
F
V F F F
V
F V F V F
v r) son lógicarne111e equivalente<;.
vq V V V V V V
F F·
•
pv r
(pvq)A(pvr)
V V
V V V
V
V V
V V
F
F
V
F
F
F
' Estas identidades son un caso es pecial de las iclcntida
22
Ma1emá1ica discreta y sus aplicaciones
Tabla 5. Equivalencias lógicas.
Eq11irnle11cia
Nomhre
PA V = p
Leyes de idcn1 idad
pv F =p pv V= V
l ,eyes de dominación
pA F :: F pvp::p pAp::p
Leyes 1dempo1enres
•(•p)=p
Ley de la doble negación
pvq=qvp /) /\q::q/\p
Leyes conrnu1arivas
=
(p V q) V r p V (q V r) (p/\q) /\T ::p /\ (q /\ r)
Leyes asociativas
p V (q /\ r) =(p V q) /\ (p V r) p /\ (q v r) (p /\ q) v (p /\ r)
Leyes distributivas
--.(p /\ q) =. •p V •q
Leyes de De Morgan
=
--.(p V
Q) = •p /\ •Q
p V(p Aq) = fJ (J A(pvq):p
Leyes de absorción
p ·.¡ •p = V p /\ •p E F
Ley e~ de lll~ga¡; i611
Tabla 6. Equivalencias lógicas relacionadac; con implicacione~.
Tabla 7. Equivalencias lógicas relacionadas con implicaciones.
q) /\ (p-'> r) r) /\ (q-'> r) q) v (p -'> r) r) v (q-'> r)
• (p Hq)= p
H
•q
=p-'> (q /\ r ) =(p v q)-'> r =p -'> (q v r)
=(p /\(/) -'> r
AUGllSTUS DE ~ I O R Gr\ '(1806-1871) Augu,1ui. Je f\lorgan nació en la Tndia, donde i.u padre fue rnronel del ejército. La familia De Morgan se mudó a 1JJgla1erra cuando Augw-tus 1cnía \ictc meses. Asistió a colegios pnvados, donde desiló un
Enla~eo;
gran interés por In'> 111cucmá1icas en su primera adole:.c1·ncia. DI! \forgn n esludió en el Tri nily Collegc, en Cambrid . graduánrtose en 1827. Aunque consideró matricular;c en medicina o derecho, decidió hacer su can·cra en rna1cmáticas. Co siguió una plaza en el Univc rsi1y Collcgc de Londres en 1828. pero abandonó cnando el Collcge rechazó a un profesor ami suyo sin argumentar razón alguna. No obsramc, rclrnnó ci.1c rucslo en 1836 cuando su sucesor murió. permaneciendo hasta 1866. fue un notable profesor que anteponfo prim:ipius mbrc 1écnicas. En1re sus es1udian1es se cueruan muchos 111a1emCtticos famosos, cnrre ello~ Ada Augusta, condesa de Lovelacf, 4uc fue colaboradora de Charle:. Babln1ge en su trabajo sobre máquinas de calcular (en la página 23 encontrarás nota' b1l>liogr:íticas sobre Ada Augu~ta). De Morgan advinió a la conde~a de Lovclace contra su ded1c:ición excesiva a las m21cmálicas. ¡ya que podría interferir con su capacidad de engendrar! De Morgan fue un e~critor extremadamente proliJO. Escribió más de mil anículo:. en rná.\ de quince re\ istas. Del\ lorgan también escribió libros de texto sobre mucho~ temas. entre los que se incluyen lógica. probabilidad, cálculo y álgebra. En 1838 pre~ntó lo que qui1á sea la primera e"1;plicac1ó11 clara de una imponante técnica de demostración conocida como ind11aió11111atP11uí1ica (rfc<;criia en la Sección ~.3 de eMe lthro), un té1mino que él acuñó. Inventó noiaciones que le a) udaron a demo<.trar equivalencias proposicionales. como l a~ leyes que 'e nombraron en MI honor. En 1842 presentó lo que qu izá fue ha,1a la fecha la defin ición más precisa dt' lími1e y desarrolló algunos criterios para la convergencia de series in0 fi nitas. TamlJién se interesó por la histori a de las ma1emá1icas y escribió las biografías de New1on y 1!alley. En 1837 se c:1s1í con Sophia Frend. quien escribió ~u biografía en 1882. La iavestigaci6n. la cscri111ra y la docencia le dejaron poco 1icmpo para su familia o virla social. En nia!quh caso, ~obresal ió por su amabilidad. humor y amplios conocimientos.
Lo'> fundamen10~: lógica y demosrrac1ón. conjuntos y funciones
23
EJEMPLOS Justifica que las proposiciones -i(p v (• p A q)) y -.p /\ •q son lógicamente equivalentes. Soluci611: Podríamos utili7ar una tabla de verdad para mostrar que estas fórmulas son equivalentes. En VC7. de ello. estableceremos la equivalencia desarrollando una serie de equivalencias lógicas intennedias usando una de las equivalencias de la Tabla 5 cada vez. comenzando con •(p v (-ip /\ q)) y finalizando con 'P /\ •q. Tenemos las siguientes equivalencias: -i(p V (-ip /\ q)) =: -ip /\ -i(-ip /\ q) =: -ip /\ [-i(-ip) V -iq)) =•pA{pV-iq) =: (-ip Ap) V (--.p /\ •q)
=F
V
(-...p /\ -iq)
=(•p /\ -...q) V F =-.p /\ -.q
por la segunda ley de De Morgan por la primera ley de De Morgan por la ley de la doble negación por la segunda ley distributiva puesto que •p /\ p = F por Ja ley conmutativa para la disyunción por la ley de identidad para F
Consecuentemente, •(p v (•p /\ q)) y •p /\ -...q son lógicamente equivalentes.
EJEMPLO 6 Muestra que (p /\ q) -t (p v q) es una tautología. Solución: Para mostrar que esta senrencia es una tautología. usaremos equivalencias lógicas para demostrar que es lógicamente equivalente a V. (Nora: Se podría haber hecho también mediante una rabia de verdad).
=: (-ip V p) V (•q V q)
por el Ejemplo 3 por la primera ley de De Morgan por las leyes asociativa y conmutativa para la dis-
: Vv V
por el Ejemplo 1 y la ley conmutativa para la dis-
(p /\ q) -t (p V q): •(p /\<¡)V (p V q) : (-...¡>V -...q) V (p V q)
yunción
.
y unción
por la ley de dominación
F.nlaces
~
Se puede usar una tabla de verdad para determinar si una fórmula es una tautología. Esta tabla se puede construir a mano para una propo ición con un número reducido de variables, pero cuando el número de variables crece, el método manual se vuelve impracticable. Por ejemplo, hay más de 220 = 1048576 filas en la rnbla de verd ad de una proposición de veinte variables. Claramente, se necesi ta la ayuda de un ordenador si querernos determinar ele esta forma si la fórmula de 20 variables es una tautología. Pero cuando hay mil variables, ¿puede un ordenador determinar en un plazo de tiempo razonable si una fórmula es una tautología? Revisar cada una de las 21000 (un número con más de trescientas cifra ) combinacione de valores de verdad no puede hacerse en un ordenador ni en billones de años. Además, no se conoce ningún otro procedimiento que pueda seguir un ordenador para detem1inar en un plazo razonabk tic tiempo si una f6rmula con un número tan grande de variables es una tautología. Contestaremos a preguntas como éstas en el Capítulo 2. cuandI estudiemos la complejidad de algoritmos.
ADA AUGUSTA, <.:ONOESA UE LOVELACE (1815-1852) Ada Augusta fue la única hija del mairimonio de l famoso poeta Lord Byron y Annabella Millbanke, los cuales se separaron cuando Ada 1enía un mes. La crió su madre, que potenció su talento intelectual. fue educada por los ma1emáticos William Frcnd y Augustus de \forgan. En 1838 se casó con Lord King. más iarde nombrado conde de Lovelacc. Ada Augusw con1inuó sus cs1udios de matcm;í1icas rrns su matrimonio, ayudando a Charles Babbage en su trabajo sobre una de la~ prirnt:ras máquinas calculadoras, llamada la máquina analítica. En sus escritos se encljlc!nlra la más completa descripción de esta máquina. Tras 1845, ella y Babbage lrabajarun junto,? en el d~Mrollo ele un sis1cma para predecir carreras de caballos. Lamentahlc111cnte, su sistema no funcionó bien. dejando a Ada impor1an tes deudas hasta su muerte. El lenguaje ele programación Ada se nombró así en honor a la condesa de Lovelnce.
2-t
~latemática discreta
y sus aplicaciones
Problemas t. Utili1:i rnblas de verdad para verificar las sigui ente~
11.
equiv:ilencias. b) d) f) 2. Demuestra que • (•p) e) p /\ F = F e) p v p = p
pv F =p pv V = V P /\ P=P y p son lógicamente equiva-
le ntes. J. Usa t;1blas de verdad para vcrific:ir las leyes conmutativas. a) p v q : qvp b) p /\ q=q /\ p
-t. UtiliL:i tablas de verdad para verificar las leyes asociativas. a) (p V q) V,.= p V (q V r) b) (p /\{/) /\ r p /\ (q /\/·)
=
5. Usa una tabla de verdad para verificar la ley distributiva. p/\(q V r) =(p/\q) V (p/\ r)
6. Usa una tabla de verdad para verifi<.:ar la equivalencia.
=• p
V
'C/
7. Demuestra, empleando tablas de verdad. que cada una
de estas implicaciones es una tautología. a) (p /\ q) -t p e) •JI -t (p -t q)
e) <(p -tq)-tp
b) p -t (p V q) d ) (p /\ q) -t (p -t r¡) f) -.(p -t q)~·q
8. Demuestra. empleando tabla~ de verdad, que cada una de esta\ implicaciones es una iautología. a) ,...,/) /\ (p V q)) -t q b ) [(p -t q) /\ ( q ~ r)] -t (p -t r) e) [p /\ (p ·} q) l 4
9. DemucMra, sin utilizar rabias de verdad. que cada una
de las implicaciones del Problema 7 es una 1autología. 10. Demuestra, sin utilizar tablas
Enlac~
Je verciacl para verificar las leyes de ab-
sorción.
a) PI\ V :p
•(p /\ q)
u~¡, la~ idbla~
a) pv(p/\q)=.p
b) p/\(pvq) = P
12. Detennina si (--.p /\ (p
~
q)) -t -.e¡ es o no una tauto-
logía.
13. Determina si (...,q /\(}J-> q)) ~ -ip es o no una tautología. 14. Demuestra que p fo+ q y (p /\ q) v (-ip /\ -iq) son equivalentes. 15. Demuestra que (p -t q) 4 r )' p > (q -t r) no son equi valentes. 16. Demuestra que p -> q y ...,q -> •p son lógicamente equiva lente~.
17 . Demuestra que •p H q y p H -.e¡ son lógicamente cqui-
H q son lógicamente equiv;ilcntes. DemuC!>lra que (p -t q) /\ (p ~ r) y p -t (q /\ r ) son lógicamente equivalentes. Demuestra que (p-> r) /\ (q -t r) y (p v q) - >r son lógicamente equivalentes. Oemues1ra que (p-> q) v (p -t r) y p ~ (q v r) son lógicamenie equivalentes. Demuestra que (p ~ r) v (q -t r) y (p /\ q) -t r son 16gicmHcntc equivalentes. Dem11C!>tra que -ip -t (q -> r) y q -t (p v r) son lógicamente equivalentes. Dcmuesira que p H q y (p -> q) /\ (q -t p) son lógicamt!nlc equivalentes. Demucsira que p H q y ...,p H -iq son lógicamente equivalcntcs.1
HE:-iRY MAURICE S H EFF ER (1883-196.t) H~nry \.1auri cc Sheffer, nacido al oe~te de Ucrania de padres judíos. emigró a Esiados Unidos en 1892 con sus padres y hc rman0s. Es tudió en la íloston Latin School antes de entraren Harvard. don de completó su licenc iatura en 1905. su tesis de maes1rfa en 1907 y su doctorado en filosofía en 1908. Tras mantener un pues 10 pos1doc1oral en Harvard. Henry viajó a Europa con una beca. Al voh•er a Estados Unidos. se convirtió en un nómada académico. estando un año en cada una de e~lil' Uni,•ersidades: Washington. Comell, \ilinnesota. Missouri y el Ci1y College de Nueva Yori.... En 1916 volvió a Har,..1rd 1..01110 profesor titula1 dd depanamento de filosofía. Pennancció en Harvard hasia que se retiró en 1952. En 1913 introdujo lo que se cunOCt' w111u la <-bl1rra de S h~ ITcr» (en inglés, Jite Sheffer stroke), que se dio a conocer e n la edición de 1925 de los Prinripia Ma1hema1itn ele Whi teheacl y Russell. En esta misma edición, Russell escribió 14uc Sheffer había inventado un poteme método que pod ría ser usado p.ira simplificar los Principia. Debido a este cornt:nt;lfio. Shcffer ~e wnvinió en un rmstt:rio pu nerviosismo e irritabilidad. Aunque muy querido. era bas1an1e solitario. Se hizo famoso por una ocurrencia que dijo cuando se retiró: « Los viejos profc\ores nunca mueren, simplemente se 'uelven emérito\" . Sheffer acuñó el 1t!n11ino de «algebra de Boole" (tema del Cap11ulo 10 de este lcxto). &tuvo casado durante un corto es pacio de tiempo y vivió dura111c la mayor parte de su ú'.timo período en pequeñas lwbitac iones de un hote l llenas de s us libros de lógica y un vasto ''rchivo de troc it.os de pape l que u~aba p:1ra escribir s us ideas. Lamentableme nte, Sheffer s ufri ó depresión severa durante las do~ tíltimas décadas de su vida.
1
Los fundamentos: lógica) d1::mos1raci611. conjuntos y funcione\
27. Demuestra que •(p H q) y p H -iq son lógicamenle equivalentes. 28. Demuestra que (p v q) /\ (-.p v r) -? (q v r) es una tlutología. 29. Demuestra que (p -? q) /\ (q -? r) -? (p -? r) l'S una tautología.
25
*39. Demuestra que -, y v forman una colección funcionalmente completa de conectivos lógicos.
La proposición d ual de una f6nnu la que contiene sólo los operadores lógicos v, "y-, es la proposición que se obtiene al sustituir cada v por /\.cada /\ por v, cada V por F y cada F por V. La dual de la proposición s ~e denota comos'.
Los problemas siguientes e~tfü1 relacionados con los operadores lógicos NAND) NOR. La proposición p NAND q e<; verdadera cuando p o q. o ambas, son fal!>a~. y es falsa cuando tanto p corno q so11 verdaderas. La proposición p NOR q es verdadera cuando rnmo p como q son falsas, y es falsa en cualquier otro caso. Las proposiciones p N/\ND <¡y p NOR q se denotan por p 1q y p l q, respectivamente. (Los operadores 1y J, se llaman barrn de Sheffer y fl echa de Pcirce por H . .\1. Sheffcr y C. S. Pcirce. respectivamente).
30. Halla la proposición dual de cada una de estas proposi-
40. Construye una tabla de verd;id para el operador lógico
ciones. a) P /\ -..q /\ ...,,. c) (p v F) /\ (q v V)
31. Demuestra que (s'
f
b) (¡J/\Cf/\r)vs
34.
35.
1• 36.
1q
es lógicamente equ ivalente a
-i(JJ /\ q).
=s
32. Demuestra que las equivalencias lógicas de la Tabla 5,
**33.
NANO. 41. De111ucstra que p
excepto la ley de la doble 11cgación, se pueden agrupar en pares de proposiciones duales. ¿Por qué las duales de dos fórmulas equivalemcs que coniiem:n sólo los operadores /\, v y ..., son también equivalentes? Encuentra una fórmula en función de las proposiciones p, q y r que sea n:rdm.lcra cuando p y q ~ean venladeras y r sea falsa. pero que sea falsa en cualquier oiro caso. (l11dicació11 : Usa la conjunción de cada proposición o su negación). Encuentra una fónnula en fu11ción de las proposiciones p, q y r que sea verdadera cuando exactamente dos de las proposicionesµ, q y r 1.can verdaderas y falsas en cualquier otro caso. (111dicació11: Forma una dbyunción de conjunciones. Incluye una conjunción para cada combinación de valores para los cuales la proposición sea verdadera. Cada co11ju11ción debería incluir cada una de las tres proposicionc1> o sus negaciones). Supón que se especifica una tabla de verdad den vanables. Demuestra que una fórmula con esta Labia de verdad se puede fonnar haciendo la disyunción de las conjunciones de las variables o ~us negaciones. incluyenJo una co11junción por cada combinación de valores para los que la fórmu la sea verdadera. La fónnula resultante se dice qut: está en for ma normal disyuntiva.
42. Construye la tabla de verdad del operador lógico NOR. 43. Demuestra que p J, q es lógicamente equivalente a -.(p V q).
44. En este problema mostraremos que { ! 1 es una colec-
ción funcionalmente completa de operadores lógicos. n) Demuestra que p J, q es lógicamente equivalente a -.p. h) Demuestra que (p J, q) l (p l. q) es lógicamente equivalente a p v q. e) Concluye de las partes (a) y (b) y el Prohlema 39
*45. 46. 47. 48. *49.
SO.
51.
Una colección de conectivos lógico<; se llama funcionalmente completa si cada una de las fórmulas es lógicamente equivalente a una fórmula que es función sólo de estos conectivos lógicos. 37. Demuestra que -., /\ y V fomHlll una cok:cci6n funcionalmente completa de conectivos lógirns. (111dica ció11: Usa el hecho de que toda proposición es lógicamente equivalente a una en fonna normal disyunti\a. como se muestra en el Problema 36). *38. Demuestra que ..., y v forman una colección funcionalmcnle completa de conectivos lógicos. llndicaci611: Usa primero las leyes de De Morgan para mostrar que p v q es equivalente a -t{-.p" -.q)l
52.
53.
que 1J.¡ es una colección funcionalmente completa de opcr:idores lógicos. Encuentra una proposición equivalente a p-? q usando sólo el operador lógico l Demuestra que \ 1 } e<; una colección funcionalmente completa de operadores lógicos. Demuestra que p 1q y q 1p '>on equivalentes. Demuestra que p 1(q1r)y(J11q) 1r no son equivalentes, por lo que el operador lógico 1 no es asociativo. ¡,Cuántas tablas de verdad diferentes de fórmulas que relacionen las proposiciones p y q exisLen? Demuestra que si p. q y r son fórmulas tales que p y q son lógicamente equivalentes y que q y r son lógicamente equivalentes. entonces p y r son lógicamente equivalentes. La siguiente frase se ha tomado de una especificación tk un sistema de telefonía : «Si la b:ise de datos del directorio está abierta. e l r~onitor se pone en estado cerrado si el sisLema no e~ í en estado inicial». La especificación es complicada le entender, pues involucra dos implicaciones. Encuen . a una especificación equivaknte, más fácil de entender, que incluya disyunciones o negaciones, pero no implicaciones. ¡,De cuánlas formas las disyunciones p v -iq , -.p v q, q v r, q v -.r. -iq v -.,. se pueden hacer verdaderas simultáneamente mediante la asignación de valores de \Crdad a p, q y r'? ¿De cu;ínl
daderas simultáneamente mediante la asignación de valores de verdad a p. q, r y s'?
26
Ma1emá11ca 1focre1a y sus aplicac1ones
Se dice que una fó1mula es sntisfacible si existe alf:,'llna asignación de valores de verdad para la.s variables de la proposición que la hacen verdadera 54. ¿Cuáles de estas fóm1u las son satisfacibles? a) ( p V q V .... r) /\ ( p V .., q V .., s) /\ (p v ...,,. v--is) /\ (-ip v-iq v -i.1') /\ (p v q v -.s) b ) (-ipv-.qvr)/'\(•p v q v-.s)A(?V -.q V -.s) /\ (-.p V ..,,. v • s) /\ (p V q V -.¡) /\
e) (p v q v r) 1\(p v -iq v -is)/\ (q v-.rv s) /\ (-ipv rv s) /\ (-.p ve¡ v -.s) /\ (p v -.q V -.r) /\ (-ip V """'
SS. Explica cómo puede usarse un algoritmo que determine si una fónmila es o no satisfacibl e para dctenninar si una fóm1ula c.s o no una tautología. (/m/irnc ión: Considera -.p, donde p c.s la proposición que se examina).
(p v •r v -.s)
1.3 Predicados y cuantificadores INTROD UCCIÓN A menudo, en matemáticas y programas de ordenndor se encuentran enunciados en Jos que se incluyen variables, como «X> 3)), «X= y+ 3>> )' «X + y = :».
Estos enunciados no on ni verdaderos ni falsos si no se especifican Jos valores de las variables. En esta secci6n discutiremos las maneras en que las proposiciones pueden producir tales enunciados. El enunciado «X es mayor que 3» tiene dos partes. La primera parte. la variable x, es el suje10 tlt.:I enunciado. La segunda pane -el predicado, «es mayor que 3>)-- hace referencia a una propiedad que puede tener el sujeto. Podemos denotar el enunciado «X es mayor que 3» por P(x), donde P denota el predicado «es mayor que J;> y x es la variable. La sentencia P(x) se dice también que es el valor de la función proposicional P en x. Una vez que se le haya asignado un valor a la variable x , la sentencia P(x) se convierte en una proposición y tiene un valor de verdad. Considera el Ejemplo 1.
EJEMPLO 1 P(x) denota el enunciado «X> 3». ¿Cu<íks son los valores de verdad de P(4) y P(2)?
Soluci611: Obtenemos la sentencin P(4) haciendo x =4 en el enunciado «X> 3>). Por tanto, P(4), que es el enunciado «4 > 3». es verdadero. Sin embargo. P(2 ). el enunciado «2 > 3>), es falso. ~ Podemos también tener sentencias que induyan más de una variable. Por ejemplo, considera el enunciado <
EJEMPLO 2 Q(x , y) denota el enunciado «X= y+ 3». ¿Cuáles son los valores de verdad de las proposiciones Q(J, 2) y Q(3, O)? F.j•mplos adirionale~
Solución: Para obtener Q(l , 2) hacemos x = 1 e y= 2 en la sentencia Q(x, y). Por tanto, Q(l, 2) es el enunciado « 1 = 2 + 3», que es fal so. La sentencia Q(3. 0) es el enunciado «3 =O+ 3». que es verdadera. ~ De forma similar, podemos denotar corno R(x, y. z) el enunciado «X+ y= nen valores a las variables x, y y z, esta sentencia tendrá una tabla de verdad.
Z>).
Cuando se asig-
EJ E 'IPLO 3 ¿Cuáles son los valores de verdad de las proposiciones R( 1, 2, 3) y R(O. O. 1)? Solución: La proposición R(l , 2, 3) se obtiene haciendo x = 1, y= 2 y z = 3 en la senlencia R ~t, y, z). Vemos que R( 1, 2, 3) es el enunciado« 1 + 2 = 3>). que es verdadero. También se ve que R(O, O, 1), el enunciado «O+ O= 1» , es falso. ~
Los
fundamento~:
lógica y demo~rrnci0n , conjuntos y funciones
27
En general. una sentencia qut:: incluye las n variables x1• x 2, ••.• x,, se puede denotar corno P(xt, xr ....
xJ
Una sentencia de la forma P(.\ t' X;, .. .• x,,) es el valor de la función proposicional P en la n-tupla (x 1, x2 , ••• , x,,). P se llama también un predicado. Como muesLra el Ejemplo -t la funciones proposicionales se usan en programa<; de ordenador.
EJ EMPLO 4 Considera la sentencia jf X> othen X: = X+ l.
Cuando c1 programa llegn a esta línea, el valor de la variable x en este punto de la ejecución se inserta en P(x), que es «X> O». Si P(.\) es verdadera para este valor de x, la sentencia de asignación x : =x + 1 se ejecuta, por lo que el valor de x e incrementa en 1. Si P(x) e falsa para este valor de x, la sentencia de asignación no se ejecuta. por lo que el valor de x no cambia. ~
CUANTIFICADORES
f,valimd6n
Cuando a todas las variables de una función proposicional se le han asignado valores. la sentencia resultante se convierte en una proposición con un cieno valor de verdad. No obstante. hay otra forma importante, llamada cuantificación, de crear una proposición a partir de una runción proposicional. Se discutirán en este apanado dos tipos de cuantificación, a saber, cuantificación universal y cuantificación existencial. El área de la lógica que trata con predicados y cuantificadores se llama cálculo de predicados o lógica de primer orden. Muchas sentenci:ls matemálicas imponen que una propiedad es verdadera para tocios los valores de una variable en un dominio particular, llamado el universo de discurso o dominio. Tales sentencias se expresan utilizando un cunnl ificador universal. La cuantificación universal de una función proposicional es la proposición que afinna que P(x) es verdadera para todos los -.afores de x en cJ dominio. El dominio esp1xifica los posibles valores de la variable x. E L CUANTIFICA DOR liN IVER SAL
CH ARLES Sr\ 'Dl.:H.S PEI RCE (1839- 1914) Ytuchos consideran a Charles Peirce el intekcto m:h vcr.;átil ) original de fatados Unidos. ac ió en Cambridge, Massachuscus. Su padre, Beujamin Peirce, era profesor de matemáticas y filosofía natural en 1-l:lrvard. Pcirce estudió en l larvard ( 1855-1859). grad uándose en letras en esta Univer~idad y en química en la Lawrence Sc1entific School ( 1863). Su padre le animó a seguir una cam:rn en ciencias. pero a dtgtó estudiar lógica y metodología ci.:ntífica. I:n 1861 , Peircc se hizo ayudante del Servicio de Guardacostas de Estados Unidos, co11 el obje1ivo de entender mejor la metodología científica. Es1e trabajo le eximió del servicio mili1ar duran1 e la guerra civil. Mientra~ trabajaba para la Guardia Costera, Pcirce desarrolló tmbajo$ sobre astronomía) geodc~ia. Hi10 contribucione~ e5encialcs al di!-
1
28 Ma1emá1ica discreta y sus aplic.:acíones
DEFINICIÓN l
La cuantificación universa/ de P(x) es !a proposición «P(x) es verdadera para todos los valores x del dominio».
La notación Vx P(x)
denora Ja cuantificación universal de P(;.). Aquí llamaremos aJ símbolo V el cua ntificador universal. La proposición Vx P(x) se lee como «para todo x P(x)». «para cada x P (x)» o «para cualquier x P(x)». Ilustraremo el uso del cuantificador universal en lo~ Ejemplos 5- 1O.
EJEMPLO 5 Sea P(x) el enunciado «X + 1 >X». ¿Cuál es el valor de verdad de la cuantificación Vx P (x). donde el dominio consiste en todos los números reales? Ejemplos adiciona les.
Solución: Como P(x) es verdadera para tocio número real x, la cuantificación VxP(x)
es verdadera
EJEMPLO 6 Sea Q(.r) el enunciado «X< 2». ¿Cmíl es el valor de verdad de la cuantificación 'VxQ(x), donde el dominio consiste en todos los números reales? Solución: Q(x) no es verdadera para todo número real x. Por ejemplo, Q(3) es falsa. Por tanto. 'Vx Q(x)
es falsa Cuando todos los elementos del dominio se pueden enumerar --escribiéndolos, por ejemplo. como x 1, x 2, •• •, x11- , se sigue que la cuantificación univer al Vx P(x) es lo mismo que la conjunción P (x 1)
/\ P (x2) /\ • • • /\
P(x0 ) ,
puesto que esta conj unción es verdadera si, y sólo si, P(x 1), P(x2),
EJ EMPLO 7
••• ,
P(x) son todas verdaderas.
¿Cuál es el vaJor de verdad de Vx P(x), donde P(x) es el enunciado
puesto que el dominio consiste en los enteros l. 2. 3 y 4. Como P (4), la sentencia «42 < 10», es falsa. se sigue que Vx P(x) es falsa ~
EJEMPLO 8 ¿Qué significa la sentencia 'ílx T(x) si T(x) es el enunciado «.x tiene un padre y una madre» y el dominio consiste en toda la gente'! Solución: La sentencia Vx P(x) significa que toda persona x tiene un padre y una madre. La sen-
tencia se puede expresar en lenguaje natural como «Toda persona tiene dos padres». La sentencia es verdadera texccpto para seres clonados, si los hay). ~
EJEMPLO 9
¿Cuál es el valor de verdad de Vx (. \.i ~ x) si el dominio consiste en todos los números reales y cuál es el valor de verdad si el dominio son todos los enteros?
Lo\ fundamentos: lógica y demostración. conjuntos y funciones
29
Solución: Ten en cuenta que .\.;¡ 2:: x si, y sólo si . .r2 - x =.r (x - 1) 2:: O. Consecuentemente, x 2 2:: x si, y sólo si. x SO o x 2:: 1). Se c;igue que 'ílx (.r2 ;::: r) es falsa si el dominio consi te en todos los números
reales (ya que la desigualdad es falsa para los números reales x tales que O< .\< 1). Sin embargo, si el dominio consisle en los en1eros 'ílx (x2 2:: x) es verdadera por no haber enteros x tales que O< x < l. ~ Para moslrar que una sentencia de la forma Vx P(x) es falsa, donde P(x) es una función proposicional, sólo necesitamos encontrar un valor de x del dominio para el cual P(x) sea falsa. Es1e valor de x se llama contraejemplo de la sentencia Vx P(x). EJ EMPLO 10 Supón que P(x) es «x2 > Ü». Para mostrar que la sentencia Vx P(x) es falsa cuando el dominio sea todos Jos enteros, daremos un conLraejemplo. Vemos que x = Oes un c.:ontracjemplo. ya que x2 =O cuando x =O, por lo que no e mayor que Ocuando x =O. ~
Buscar contraejemplos de sentencias que contienen al cuantificador universal es una actividad importante en el estudio de las matemáticas, como veremos en las secciones siguientes. EL CUANTIFl CADOR EXISTENCIAL Muchas sentencias matemáticas afinnan que hay un elemento con una cierta propiedad. Tales sentencias se expresan mediante cuantificadores exjstenciales. Con un cuantificador existencial formamos una proposición que es verdadera si y sólo si P(x) es verdadera para al menos un valor de x en el dominio. DEFINICIÓN 2
La cuanti[tcación existencial de P(x) es la proposición «Existe un elemento x en el dominio tal que P(x) es verdadera». Usamos la notación
3x P(x)
para la cuantificación existencial de P(x). El símbolo 3 se denomina cuantificador existencial. La cuantificación existencial '3.r P(x) se Ice como «Hay un x tal que P(x)». «Hay al menos un x 1al que P(x)>>
o «Para algún x P(x)». Ilustramos el uso del cuantificador existencial en los Ejemplos 11- l 3. EJEMPLO 11 Sea P(x) el enunciado «X> 3». ¿Cuál es el valor de verdad de la cuantilicación 3x P(x), donde el dominio consiste en tocios los números reales? Ejrn1plos adiciooalcs
Solución: Como «X> 3» es verdadero, por ejemplo. para .\ P(x). es decir, 3x P(x). es verdadera.
r
=4. la cuantificación exi!>tencial de
EJ EMPLO 12 Sea Q(x) el enunciado «X= x + I .'>. ¿Cuál es el valor ele verdad de la cuanLiricación 3x Q(x), dfde el dominio consiste en todos los números reales? Solución: Como Q(x) es fa lsa para todo número real r. la cuantificación existencial de Q(x). que ~ es 3x Q(x), es falsa.
Cuando todos los elementos del dominio se pueden enumerar, escribiéndolos, por ejemplo. como x ,. xr .... xn. la cuantificación exi tencial 3.x P(x) es lo mismo que la disyunción P (x1) v P(x2) v · · · v P(x).
puesto que esta disyunción es verdadera si, y sólo si, al menos uno de P(.A), P(x2) dadera.
, .. .,
P(x,.) es vh-
30 1\la1cmá1ica di~creta y ~ul> aplicaciones
Tabla l. Cuantificadores. Sen1e11cio Vx P(x) 3x P(Á)
¿Cuándo es verdadera? P(x)
es verdadera para iodo x
Hay un x para el que P(x) es verdadera
¡,Cuándo es falsa?
Hay un r para el que P(x) e~ falsa P(x) es fal~a para todo x
EJEMPLO 13 ¿Cuál es el valor de verdad de 3x P(x). donde P(.r) es el enunciado <<.r > 1O» y el clomin io consiste en los enteros positivos menores o iguales que 4? Solución: Como el dominio es {L 2. 3. 4}. la proposición 3x P(x) es lo mismo que la disyunción P(l) V P(2) v P(3) v P(4) .
Como P(4), que es el enunciado «42 > 1Ü» es verdadera, se sigue que .3x P(x) es verdadera.
~
En la Tabla 1 se resume el signi ficado de los cuantificadores universales y existenciales. Cuando se quiere detcnninar el valor de verdad de una cuantificación, a veces es útil reali:Lar una búsqueda sobre todos los posibles valores del dominio. Supongamos que hay n objetos en el dominio de la variable x. Para cletenninar si \:;/x P(x) es verdadera, podemos barrer los n valores de x y ver si P(x) es verdadera para todos ellos. Si encontramos un valor de x para el cual P(x) es falsa, habremos demostrado que \:;/x P(x) es falsa. En ca. o contrario, \:;/.r P(x) es verdadera. Para ver si .3.r P(x) es verdadera, barremos los /1 posibles de x buscando algún valor para el cual P(x) sea verdadera. Si encontramos uno. entonces 3x P(x) es vc1 dadera. Si no encontramos tal valor de .;1, habremos detenninado que 3x P(x) es falsa. (Observa que este procedimiento de bú queda no puede ser aplicado si e l dominio se compone de infinito clcmemos. Aun así, sigue siendo una fom1a útil de trabajar con cuantificador~s).
VARlABLES IJGADAS Cuando un cuantificador se usa sobre Ja variable ro cuando asignamos un valor a esta variable, decimos que la vaiiable aparece ligada. Una variable que no aparece ligada por un cuantificador o fijada a un valor particular, se dice que es libre. Todas las variables que aparecen en una función proposicional deben ser ligadas para convertirla en proposición. Esto se puede hacer utilizando una combinación de cuanti ficadores univer!>ales, cuantificadores existenciales y asignación de valores. La parte de una expresión lógica a la cual se aplica el cuantificador se llama ámbito de e<;te cuantificador. Consecuentemente, una variable es libre si está fu era del ámbito de tocios los cuantificadores en Ja fónnula. EJEM PI .O H
En la sentencia .3..r Q(x, y), la variable x está ligada por el cuantificador existencial .3..\, pero Ja variable y es libre porque no está ligada a un cuantificador y no se le asigna valor alguno a esta variable. En la sentencia .3x (P(x) /\ Q(x)) v \:;/x R(x) tocias las variables están ligadas. El ámbito del primer cuantificador, .3..r, es la expresión P(x) /\ Q(x) porque .3..r se aplica sólo a P (x) /\ Q(x) y no al resto de la senrencia. De fo nna similar, el ámbito del egundo cuantificador, \:;/r. es la expresión R(x). Es decir, el cuantificador existencial liga la variable x en P(x) /\ Q(x) y el cuantificador universa] \:;/x Jiga la variable x en l?(x). Observa que podíamos haber escrito nuestra sentencia u:sanc.lo dos variables diferentes x e y como .3x (P(x) 1\ Q(x)) v \;/y R(y), porque los ámbitos ele los dos cuantificadores no se solapan. El lector debería prestar atención cuando se utilice la misma letra para representar variables ligadas por diferentes cuantificadore~ con ámbitos que no se solapan. ~
Los fundamentos: ló!!ica y dcrno!>tra(·ión. conjuntos} funciones
31
NEGACIONES A menudo hace falta considerar la negación de una expresión cuantificada. Por ejemplo, consideremos la negación del enunciado «Todos los estudiantes de la clase han cursado una asignatura de cálculo». Esta sentencia es una cuantificación universal de la forma Vx P(x),
donde P(x) es la sentencia «X ha cursado una asignatura de cálculo». La negación de esta sentencia es «No se cumple que todos los estudiantes de la rlasc hayan cursado una asignatura de cálculo». Esto es equivalente a «llay al menos un estudiante en la clase que no ha cur ado una asignatura de cálculo». Y esto es simplemente la cum11ificación existencial de Ja negación de Ja función proposicional original, es decir, 3x -,P(x).
Este ejemplo ilustra la siguiente equivalencia -,\fx P(x)
t::j1•mplos adiciona les
= 3x -,f(x).
Supongamos que queremos negar una cuantificación existencial. Por ejemplo. considera la proposición «Hay un estudiante ..:n Ja clase que ha cursado una asignatura de cálculo>>. Ésta es una cuantificación existencial 3x Q(x),
donde Q(.\) es el predicado «X ha cursado una asignatura de cálculo». La negación de esta sentencia es la proposición «No se cumple que haya un estudiante en la clase que haya cur ado una asignatura de cálculo». Esto ce; eq11iv;ilen1e n « inguno de Jos estudiantes de Ja clase ha cur:,ado una asignatura de cfüculo», que es justamente la cuanti!icación universal de la negación de la función proposicional original. Sería t:quivalente, en lenguaje poco común, a «Para todo esludianre se cumple que no ha cursado un curso de cálculo», o ex presado con cuantificadores. Vx -iQ(x).
Este ejemplo ilustra la equivalencia .,3x Q(x) = Vx .,Q.) /\ · · · /\ P(x,,)}, equivalente a -iP(.' ) v -.P(x2) v · · · v .,P(.>.) por lns leyes de De Morgan. Esto es lo mismo que 3x -iP(x). De forma análoga, .,::¡ r P(x) es lo mismo que -.(PC'') v P(x2 ) v · · · v P(x)), equivalente a -,JJ(:i) /\ -,P(.' ) /\ · · · /\ -,P(x,,) por las leyes de De Morgan, lo que equivale a Vx -,f(x).
Ilustramos Ja negación de la5 sentencias cuantificadas en lo. Ejemplos 15 y 16. Tabla 2. Ncgaci<>n de cuantificndore.s. Ne~ación
Fórmula eq11i1·a/e11te
¿C11á11tlo es 1•erdwlera la negación? ¿Cuándo es falsa?
-dx P(x)
'ilx •P(x)
Para cada x. P( 1) es falsa
Hay un .\ para el que P(:r:) es \"erdadera
•Vx P(x)
3x -.P(x)
Hay un r pnra e l que P(x) es falsa
P(x) es verdadera para
cada x
32
Matemática discreta y sus aplicaciones
EJEMPLO 15 ¿Cuáles son las negaciones ele los enunciados «Hay un político honesto» y «Todos los esrndounidenses comen hamburguesas»? Solución: Denotemos como H(x) a «X es honesto». La sentencia «Ilay un político honesto» se representa por 3.x H(x), donde el dominio consiste en todos los políticos. La negación de la sentencia es -,3.x H(x), lo que equivale a Vx .,¡ J(x). Esta negación se puede expresar como «Todo político
Ejemplos adicionales
es deshonesto». (Nota: En lenguaje natural, la frase «Los políticos son deshonestos» puede ser ambigua. A veces, esta frase se utiliza para expresar que «No todos los políticos son honestos». Por eso no utilizamos esta frase para expresar la negación). Sea C(x) eJ enunciado <
EJEMPLO 16 ¿Cuáles son las negaciones ele las c;entencias Vx (.~ > x) y 3.x (x2 =2)? Solución: La negación de Vx (x2 > x) es la sentencia -Nx (x2 > x), que es equivalente a 3x .,(x2 > x).
Esto se puede reescribir de la forma .3x (x2 ~ x). La negación de 3x (x2 =2) es .,=u- (x2 =2). equivalente a Vx .,(_x2 =2). La expresión anterior se puede reescribir como Vx (x2 -::t: 2). Los valores de verdad ele estas sentencias dependen del dominio. ~
TRADUCCIÓN DE ORACIONES EN LENGUAJE NATURAL A LENGUAJE FORMAL Traducir frases del lenguaje natural a expresiones lógicas es una tarea crucial en matemáticas. programación lógica, inteligencia ar1ificial, ingeniería del software y muchas otras dbciplinas. Comenzarnos estudiando es1a cuestión en la Sección l.1 , donde utilizamos fórmulas para expresar afirmaciones en expresiones lógicas. En aquelJa discusión evitamos a propósito afirmaciones cuya traducción requiJiese predicados y cuantificadores. Fonnaliznr expresiones del lenguaje natural en expresiones lógicas se hace más complejo cuando se necesitan cuantificadores. Adermís. puede haber diferentes formas de traducir una frase particular. (En consecuencia, no hay un «libro de recetas» que se pueda seguir paso a paso). Utilizaremos algunos ejemplos para ilustrar cómo se formalizan afinnaciones del lenguaje natural en lógica de predicados. El objetivo es producir expresione lógicas simples y útiles. En esta sección nos limitamos a frases que pueden ser traducidas a fórmulas usando un solo cuantificador. En la siguiente sección veremos frases más complicadas que requieren múltiples cuantificadores.
EJEMPLO 17 Expresa la frase «Tocio estudiante ele esta clase ha estudiado cálculo» u1ilizando predicados y cuantificadores. Ejemplos adiciormlvs
Solución: Primero, reescribimos la sentencia, de tal forma que podamos identificar con claridad
los cuantificadores que debemos emplear. 1laciéndolo. obtenemos: «Para lodo csrudian te de esta clase, ese estudiante ha estudiado cálculo». Luego introducimos la variable .\. de 1al forma que nuestra sentencia se convierte en «Para todo estudiante x ele esta clase, x ha es1udiado cálculo». Continuando. introducimos el predicado C(.r). que es el enunciado «X ha est udiado cálculo». Por consiguiente, si el dominio de x consiste en los estudiantes de Ja cJase, podemos traducir nuestra frase como Vx C(x). No obstante, hay otras opciones correctas: ~e pueden considerar diferentes dominios o diferentes predicados. La opción que seleccionemos dependerá del razonamiento que queramos realizar a continuación. Por ejemplo, podemos estar interesados en un grupo de persona:-. más amplio
1
Los fundamentos: lógica y demostración, conjuntos y funciones
33
que el de esa clase en panicular. Si cambiamos el dominio. tom;u1do el conjunto de todas las personas, habremos de expresar nuestro enunciado como «Para toda persona x, si la persona x es un estudiante ele esta clase. entonces x ha estudiado cálculo». Si S(x) representa el predicado de que la persona x está en la cla e. nuestra sentencia se puede expresar como Vx (S(x)-) C(x)). [¡ Cuidarlo! ¡Nuestra sentencia no puede expresarse como Vx (S(x) /\ C(x)), puesto que esta sentencia afirmaría que todas las personas son estudiantes de la clase y han estudiado cálculo!]. Finalmente, cuando estamos interesados en los estudios de una persona, aparte del cc\lculo, podríamos preferir usar un cuantificador ele dos variables Q(x, y) para la frase «el estudiante x ha estudiado la asignatura y». Así. podríamos reemplazar C(x) por Q(x, cá lculo) en las clos opciones que hemos elegido para obtener 'ef.x Q(x. cálculo) o 't:fx (S(x)-) Q(x, cálculo)). ~ En el Ejemplo 17 mostramos difere ntes formas ele ex presar la misma sentencia usando predicados y cuantificadores. No obstante, siempre adoptaremos la opción más sencilla que sea adecuada para nuestro razonamiento po terior.
EJEMPLO 18 Formaliza las frases «Algún estudiante de esta clase ha visitado Méx ico» y «Todo estud iante de esta clase ha visitado bien Méx ico o bien Argentina». Solución: La frase «Algún estudiante ele esta clase ha visitado México» significa que
«Hay un estudiante en esta clase que tiene como atributo que ese estudiante ha visitado México». Podemos introducir una variable x, de tal forma que nuestra frase se convierte en «Hay un estudiante x en esta clase que tiene como atributo que x ha vis itado México». introducimos el predicado M(x), que es el enunciado «X ha visitado México». Si el dominio para x consiste en los estudiantes de esta clase, se puede traducir esta primera frase como 3.\ M(x). No obstante, si estamos interesados en otras personas además de las ele la clase, tomarnos la frase de forma ligeramente diferente. Nuestra frase se puede expresar como «Hay una persona x que tiene corno atributo que x es un estudiante de esta clase y que x ha visitado Méx ico». En este caso, el dominio para la variable x es todas las personas. lntroclucimos el predicado S(x), «X es un estudiante de esta clase». uestra solución se convierte en 3x (S(x) /\ M(x)). ya que la frase hace referencia a una persona x que es e tudiante de la clase y que ha visitado México. [¡Cuidado! Nueslra sentencia no puede expresarse como :Jx (S(x) -) M(x)), la cual es coITecta cuando tocios en la clase han visitado Méx ico l. De forma similar, la segunda frase -;e puede expresar como <(Para todo x en Ja clase, x tiene como atributo que x ha visitado México o x ha visitado Argentina». (Ten en cuenta que estamos asunúendo el o inclusivo, no el exclu ivo). Sea C(x) la sentencia «X ha visitado Argentina». Siguiendo el razonamiento anterior. vemos que sí el dominio de x consiste en los estudiantes de la clase. esta segunda sentencia se puede expresar Vx (C(x) v M(x)). Sin embargo, si el dom inio de x consiste en toda.<; las personas. la frase -;e puede expresar como «Para toda persona x, si x es un estudiante ele esta clase. entonces x ha visitado México o x ha visitado Argentina». En este caso. la sentencia se puede expresar como "ilx (S(x)
~
(C(x) v M(x))).
En lugar de utilizar los pred icados M(x) y C(x) para representar que x ha visitado México y que x ha visitado Argentina, respectivamente, podríamos haber usado un predicado de dos variables V(x, y) para representar «X ha visitado el país y». En este caso. V(x, Méx ico) y V(x, Argentina)
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Matemá1 ica discn.:1a y sus aplicaciones
tendrían el mismo significado que M(x) y C(x) y podrían reemplazarlas en nuestras respuestas. Si estamos trabajando con muchas frases relacionadas con gente que visita diferentes países. podríamos preferir la opción de un predicado de do!) variables. En otros casos. por simplicidad. nos quedaríamos con los predicado~ de una variable M(x) y C(x) ~
EJEMPLOS DE LEWIS CARROLL Lewis Carroll (seudónimo de C. L. Dodgson), el autor de Alicia en el país de las maravillas. es también autor de varios trabajos sobre lógica simbólica. Sus libros contienen muchos ejemplos de rawnamiento que usan cuantificadores. Los ejemplos 19 y 20 provienen de su libro.
Lógica simbólica. En el bloque de problemas al final de esta secc ión se dan más ejemplos de ese libro. Estos ejemplos ilustran cómo utiliz
1
Ten en cuenta que la segunda sentencia no se puede e~crib i r como 3x (P(x) ~ • R(x)). La razón es que P(x) ~ -i/?(.r) es verdadera siempre que x no sea un león, por lo que 3x (P(x) ~ • R(x)) es verdadera mientras haya al menos una criatura que no sea un león, incluso si todo león toma café. De forma similar, la tercera sentencia no puede escribirse corno
3.\' (Q(x)
~ -,f? (x)).
EJEMPLO 20 Considera estas frases. de las cuales las tres primeras son premisa y la cuarta es una conclusión válida. «Todos los colibríes tienen el plumaje de vivos colores». «No hay pájaros grandes que liben néctar». «Los pájaros que no liban néctar tienen el plumaje de colores pálidos». «Los colibríes son pequeños». CH A RL ES J.t;TWJDGE DODGSO'.'i (1832-1898) Conocemos a Charle~ Dodgson como Le11ü Carro//, seudónimo 4uc u1ilu6 en M•~ e~n ito~ de lógica. IJodg:.on. hiJ\) de un déngo. fue d tercero de once hermanos, iodos ellos 1arta111udos. :\o se sentía cómodo en presencia de adultos y se
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Los fundamcr11os: lógic:i } demos1rac16n. conjumos y funciones
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Sean P(x). Q(x). R(x) y S(x) los enunciados «X e un colibrí». «x es grande». «x liba néctar» y «x tiene el plumaje de vjvos colores» respectivamente. Asumiendo que el dominio es el conjunto de todos los pájaros, expresa las sentencias dd argumento usando cuantificadores y P(,\), Q(x), R(x) y S(x).
Solución: Podemos expre ar las sentencias del argumento como Vx (P(x) ~ S(x)). -ax (Q(x) " R(x)).
Vx (...,R(x)
~
-iS(x)).
Vx (P(x) ~ -,Q(x)).
(Ten en cuenta que hemos asumido que «pequeño» es lo mismo que «no grande» y que «plumaje de colores pálidos» es lo mismo que «plumaje con colores no vivos». Para mostrar que la cuarta sentencia es una conclusión válida ele las tres primeras, necesitamos utilizar reglas de inferencia que se describirán en la Sección 1.5). ~
PROGRAMACIÓN LÓGICA F.nlacc.s ,
Algunos lenguajes de programación han sido diseñados para razonar haciendo uso de las reglas de Ja lógica de predicados. Prolog (que proviene de Programación en ÍÓ,!?ica), desarrollado en los años setenta por informáticos que trabajaban en el área de inteligencia artificial, es un ejemplo de este importante tipo de lenguajes. Los programas en Prolog incluyen un conjunto de declaraciones basadas en dos tipos de sentencias, hechos y reglas. Los hechos en Prolog definen predicados especificando los elementos que satisfacen esos predicados. Las reglas en Prolog se emplean para definir nuevos predicados utilizando aquellos ya definidos por los hechos. El Ejemplo 21 ilustra estas nociones.
EJRMPLO 21 Considera un programa en Prolog que parte ele unos hechos que especifica el profesor de cada asignatura y en qué asignaturas están matricul ados los alumnos. El programa hace uso de esto · hechos para responder preguntas relacionadas con los profesores de un alumno en parti cular. Este programa podría utilizar los predicados profesor(p. a) y matricu/ado(e. a) para representar que el profesor p es el profesor de la asignatura a y que el estudiante e está matriculado en la asignatura a, respectivamente. Por ejemplo, los hechos en Prol og de tal programa podrían incluir: profesor(chan , mate273) profesor(patel, ec222) profesor(grossman, cc3Jl) matriculado(kevin, maLe2 73} rnatriculado(juana, ec222) matriculado(juana, cc3J1} matriculado(kiko, mate273) matriculado(kiko, cc301)
(Se han utili:.Gnclo letras minúsculas porque Prolog considera que los nombres que empiezan por una mayúscula son variables). Un nuevo predicado enseña(p. e), que represema que el profesor p da clase al estudiante e, se puede definir haciendo uso de Ja regla en Prolog: enseña(P, E) :- profesor(P, Al, rnatriculado(E, Al
que significa que ense1ía(p. e) es verdadero si exi re una asignatura a tal que el profesor pes el profesor de la asignarurn a y el estudiante e está matriculado en la asignatura a. (Ten en cuenta que la coma se usa en Prolog para represen tar una conj unción de predicados. Análogamente, el punto y coma se usa para disyunción de predicados).
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Matcmát ica
discr~ta
y sus aplicaciones
El Prolog responde preguntas util izando hechos y reglas dadas. Por ejemplo, empleando los hechos y reglas anteriores, la pregunta ?matriculado (kevin, mate273)
genera la respuesta yes
ya que el hecho m01ricu/ado(kevin, mate273) se proporcionó como entrada. La pregunta ?matriculado (X, matc273)
produce la respuesta kevin kiko
Para producir esta respuesta, el Prolog detcnnina todos los posi bles valores de X para los quematriculado(X, mate273) se ha incluido entre los hechos. De forma similar. para encontrar los pro-
fesores que dan clase de las asignaturas en las que está matriculada Juana, se usa la pregunta ?enseña(X, juana)
que produce patel grossman
Problemas J.
Denotemo~ por P(:r) la sentencia «.r ~ 4». ¿Cuáles son los valore<; de wrdad siguientes?
a) P(O)
b) P(4)
c) P(6)
2. Denotemos por P(x) la sentencia «la palabra r co111ie11c la letra a». ¿Cuáles son los valores de verdad siguientes? a) P(naranja)
e) ?(verdadero)
b) ?(limón) d) ?(falsa)
6. Sea N(x) la se111cncia «X ha visitado Alemauia», domle el dominio de x consiste en todos los estudiantes de tu clase. Expresa cada una de estas cuan1ificaciom:s en lenguaje natural: a) 3.x N(x) b ) 'rfx N(x) e) -i3xN(x) d)
3.x -iN(x)
e) -i'r/x N(.\)
f ) 'rfx •N(x)
7. Traduce estas sentencias a lenguaje natural. donde C(.l) es «x es un cómico» y F(.l) es «.x es divertido» y el dominio
consiste en todas las personas. 3. Denotemos por Q(x. y) la scniencia «.t es la capital de y». ¿Cuáles son los valores de verdad siguientes? a) Q(Francia, París) b) Q(Bolivia, Tegucigalpa)
-j
F(x)) F(x))
b ) 'rfx (C(x) /\ F(x))
d) 3.x (C(x) /\ F(x))
en todas los :111imales.
-t Declara el valor de x tras ejecutar la sentencia if P(x) then «X>
cuando se llega a esta sentencia es: a)x=O b)x = l S. Sea P(x) la sentencia
-j
c) 3x (C(x)
8. Traduce estas sen1encias a lenguaje natural, donde R(.-\ ) es «X es un conejo» y H(x) es «X salla» y el dominio consiste
c) Q(Honduras, La Paz) d) Q(Colombia, Cartagena)
,\ := l. donde P(x) es la sentencia
a) 'r/.\ (C(x)
a) 'r/.\ (R(x) - j H(x)) e) 3x (R(x) -1 ll(x))
b) 'rf l(R(.l) " H(:x)) Jx (R(x) /\ ll(x))
d)
1» si el valor de ,\
9. Sea P (:r) la sentencia <~.r habla ru~O» y Q(.\)
c)x = 2
«X asiMc a más de cinco horas de clase al día», donde el dominio de x consiste en todos los estudiantes. Expresa las siguientes cuantificaciones en lenguaje natural: a) 3.r P(x) b) Vr P(x) e) 3x-iP(x) d) Vr-iP(x)
«X conoce el lenguaje de programación C++». Expresa cada una de las siguientes sentencias en término:. de P(x), Q(x). cuantificadores y conectivos lógicos. El dominio para los cuantificadores consiste en todos los estudiantes de tu facultad
a) J lay un estudiante en tu facultad que habla ruso y co-
noce C++. b) Hay un estudiante ell tu facultad que habla ru:;o pero que no conoce C++.
Los fundamentos: lógica y demostración. conjuntos y funciones
c) Todos los estudian1es de tu facultad hablan ruso o l'O· noccn C++. d) Ningún estudiante de tu facultad habla ruso o conoce
b) V.\ P(x) e) -.3x P(.\)
e) 1\ -.P(x) f ) -.\:/.\ P(x)
18. Supón que el dominio de la función proposicional Q(.1) consistc en los en1eros - 2, -1, O, 1 y 2. Escribe cada una
C++.
1O. Sea C(.x) la sentencia «.x 1iene un gato» D(x), «x tiene tlJJ perro» . y F(x),
a ) 1t P(x) d ) Vx-.P(x)
37
tiene un Mrnster». Expresa cada una de las siguientes sentencias en términos de C(x), D(x). F(x). cuantificadores y conectivos lógicos. El dominio para lo cuantificadores consiste en todos los esrudiantes de ru cla>e. «X
a) Un estudiante de tu clase tiene un gato, un perro y un hámster. b) Todos los estudiante~ de tu c:léL'ic tienen un gato, un perro o un hámster. c) Algún estudiante de tu dasc tiene un gato y un hámster, pero no un perro. d) Ningún estudiante dt; tu c:lase tiene un gato, un perro y un hárnster. e) Para cada uno de los tres animales, gatos. perros y hámstcres, hay un e:-.tudiante de tu clase que tiene uno de esos animales como ma cota. 11. Sea P(x) la sentencia «X= t 2». Si el dominio consiste en
todos los enteros, ¿cuáles son los valores de verdad? a) P(O) d) P(-1)
b) !'( 1) e) JxP(x)
c) P(2) f) 'r:/x P(x)
12. Sea Q(x) la sentencia «. 1 + 1 > 2.n'. Si el dominio consiste
en 10dos los entero&. ¿cuáles son estos valores de verdad? a) Q(O) el ) 3x Q(x) f) "ífx -.Q(x)
b ) Q(-1)
e) "íf\ Q(.r)
e) Q( 1) f) 3x -.Q(.\)
=
h) 311 (2n 311) d) 'r:/n (n 2 ~ n)
14. Detemúna el valor de verdad de cada una de las siguiente:-. sente11cias si el dominio consiste en todos los números rc
h) 1t (x' < Ai ) d) "íf.\ (2t > x)
IS. Detennina el valor de verdad de cada una de las siguientes
sentencias si el dominio consiste en todos los enteros. a) 'r:/11 (nt ~ O) e) Vn (n2 ~ n)
b) 3n(n2 =2) d) 3n (112 < 0)
16. Determina el valor de verdad de cada una de las siguientes <;entcncias si el dominio con:.istc en todos lo:. 11ú111c10:. reales. a) 1r (x! = 2) b) 3x (.r2 =-1) e) Vx(_\-l +2~ l)
a) 3.x P(x) d ) 'ílx •P(x)
b) Vx P(x)
e) 1r -.P(x)
e) -.3,\ P(.1)
f) -.'r:/.\ P(.1)
19. Supón que el dominio de la función proposicional P(.\) consiste en los enteros 1, 2. 3, -1 y 5. Expresa las siguiente!'
sentencias sin usar cuantificadores, sólo disyunciones. conjunciones y negaciones. a) 3x P(x) b) "i/x P(x) e) P(x) el) -.'r/x P(x) e) 'r:/x ((x 3) -) P(x)) v 3x -.P(x)
-ax
*
20. Supón que el dominio de la función proposicional P(x) consiste en los enteros -5. -3, -1, 1. 3 y 5. Expresa lac; siguientes sentencias sin usar cuantificadores, sólo disyunciones, conjunciones y negaciones. a) 3x P(x) b ) 'r:/x P(x) e) \ix ((x* 1)-) P(x)) d) 3x ((x ~O) l\f(x)) e) 3x (•P(x)) /\ \ix ((x < 0)-) F(x))
21. Traduce de dos fomws cada una de estas frases a expresione.s lógicas utilizando predicados. cuantificadores y co nectivos lógicos. En primer lugar, el dominio consist irá en los estudiantes de tu cla5e. y en segundo lugar. ser:í el conjunto de todas las pasonas. a) Alguicn de tu cla)>C habla hindú.
13. Determina el valor de verdad de cada una de las siguientes s.cniencias si el dominio consiste en todos los enteros. a) Vn (n + 1 > n) c) 311 (n =- n)
de esas proposidoncs usando disyunciones, conjunciones y negaciones.
el) 'r:/x (x2 ~ x)
17. Supón que el dominio de la función proposicional P(.1)
consiste en los enteros O. l. 2, 3 y 4. Escribe cada una de esas proposiciones usando disyunciones, conjunciones y negaciones.
b ) Todos en tu clase son amigablcs.
c) Hay una perc;ona en tu clase que no nació en Santiago. d) Un est udiante de 1ll clase ha visto una película. e) Ningún estudiante de tu clase ha cursado una asignatura de programación lógica. 22. Traduce de do~ fonna~ cada una de estas frases a expre-
siones lógicas usando predicados. cuantificadores ) co nectivos lógicos. En primer lugar. el dominio con:>istirá en los estudiantes de tu cla e. y en segundo lugar. conc;istirá en toda la gente. a) Todos en tu clase tienen un teléfono móvil. b) Alguien en tu clase ha visto una película exiranjcra. e) Hay una persona en 1u elnse que no sabe nadar.
el) Todos los es111diflntes ele 1u clase saben resolver ecuaciones de segundo grado. e) Algún estudiante de clase no quiere ser rico.
23. Trnduce cada una de esias frasee; a expresiones lógicas usando predicado~. cuantificadores y conectirns lógicos. a) b) e) d) e)
Nadie es perfecto. >lo todo el mundo es perfecto. Todos tus amigos son perfectos. Cada uno de tu~ amigos es perfecto. Todo el mundo e5 1u amigo y es perfc(;tO. f) No todo el mundo es !u amigo o alguien no es perfec10.
38 Matemática discreta y sus aplic:?ciones
24. Traduce cada una de estas frases a expresiones lógicas de tres fonnas diferentes variando el dominio y usando predicado~
con una y con do~ variables.
a) Alguien de tu facultad ha visitado Uznekistán.
b) c) d) e)
Hay un caballo que puede sumar. Todo koala puede trepar. Ningún mono puede hablar francés. Hay un cerdo que puede nad:ir y pescar peces.
b) Todos en tu clase han estudiado ciílcu lo y C++.
c) Nadie en tu facultad tiene una bicicleta y una moto. d) l lay una persona en tu facultad que no es feliz. e) Todos en tu clase han nacido en el siglo XX. 25. Traduce cada una de estas frases a expresiones lógie3s de tres formas diferentes variando el dominio y utilizando predicados con una y con dos variables.
a) Un estudiante de tu escuela ha vivido en La Rioja. b ) Hay un estudiante de 111 facultad que no habla hjndú. c) Un estudiante de tu fa<.:ullad sabe Java, Prolog y C++. d) A todo el mundo en 1u facultad le gusta la comida italiana. e) Alguien de tu clase no juega al hockey.
26. Traduce cada una de estas frases a expresiones lógicas u~ando
predicados. cuantificadores y conectivos lógicos.
a) Alguien no está en el lugar correcto. b) Todas las herramientas están en el lugar correcto y están en excelentes condiciones. e) Todo está en el lugar correc10 y en excelen1es condiciones. d) Nada está en el lugar correcto y en excelentes condiciones. e) Una de tus herramientas no está en el Jugar correcto, pero está en excelentes condiciones. 27. Expresa cada una de e.<,la\ fra..,e ... utililando operadore:>. predicados y cuamificadores. a) Algunas propo:.icione~ son 1au1ologías. b) La negación de una <.:ontradicción es una tau1ología. e) La disyunción de dos contingencias puede ser una 1autología. d) La conjunción de dos tautologías es una tautología. 28. Supón que el dominio de la función proposicional P(x, y) consiste en pares x e y. donde x es 1, 2 o 3 e y es l. 2 o 3. Escribe estas proposiciones usando disyunciones y conjunciones. a) 3.x P(x, 3) e) 3y -,f (2, y)
b ) VvP(l,y) d ) Vx -.P(x, 2)
29. Supón que el dominio de Q(x . y, z) consiste en ternas x, y, :, donde x =O, 1 o 2, y = O o l y z = O o l. Escri be esrns proposiciones usando disyunciones y conjun<.:iones. a) Vv Q(O,y, 0) b) 3x Q(.r, 1, 1) c) 3: ...,Q(O, O,:) d) Jx -.Q(x, O, 1) 30. Expresa cada una de estas frases utili1ando cuantificaclore~. Luego forma la negación de las ~cntencia de tal forma que ninguna negación quede a la ir.quierda del cuantificador. Más tarde, expresa Ja negación en lenguaje natural. (No uses simplemente las palabras «No se cum ple que ... »).
a) Todos los perros tienen pulgas.
31. Expresa cada una de estas frases utilizando cuantifi<.:adorcs. Luego fonna la negación de las sentencia de tal forma que ninguna negación quede a la i;:quierda del cuantificador. Más tarde, expresa Ja negación en lcngm~e natural. ( o uses simplemente las palabras « 'o se da el caso de que ... »). a) Algunos perros viejos pueden aprender trucos nuevos.
b) Ningún conejo sabe cálcu lo. c) Todos los p
cidad. b ) Todas las películas suecas son ~crias. e) adie puede mantener un sccn:to. d) Hay alguien en esta clase que no tiene buena actitud.
33. l lalla un coniraejemplo, si es posible, a estas sentencias univcrs<1lmente cuantificada:., donde d doirúnio para melas las variables consiste en todos los enteros. a) Vx (x~ ~x) e) V'\'(x = 1)
b) \ix (x > O v x < 0)
3.t. Halla un concracjemplo, si es posible, a estas sentencias cuantificadas universalmente, donde el dominio para todas las variables consiste en todos los números reales. a) \ix(x2 ,tx) e) Vx( lx l >O) 35. Expresa cada una de estas :.entcncias usando predicados y cunntificadores. a) Un pasajero de una aerolínea es considerado viajero elite si vuela más de 40000 k.m al año o toma más de 25 vuelos durante un año b) Un hombre se clasifica para el maratón ~i su mejor tiempo es inferior a tres horas y una mujer se clasifica para el maratón si su mejor tiempo es inferior a tres horas y media. e) Un estud iante debe dar al menos 60 horas de clase en el curso, o al menos 45 horas de clase en el curso, y es<.: ribir una tesina y que obtenga una punwación no inferior a notable ea todas las asignaturas requeridas para recibir la graduación. d ) Hay un estudiante que ha recibido más de 21 horas de clase en un semestre y ha sacado una media de sobresaliente. Los problema.~ 36-40 tratan de trnducciones emrc especificaciones de sistema y expresiones lógicas con cuantificadores.
Lo5 fundamentos: lógica y demostración, conjuntos y funciones
36. Traduce estas especificaciones de sistema a lenguaje natural. donde el predicado S(x, y) es «.x está en estado y» y donde los dominios para x e y consisten en todos los sistemas y todos los posihles estados, respectivamente. a) b) e) d) e)
37. Traduce estas especificaciones de sistema a lenguaje natural. donde F(p) es «La impresora p está fuera de servicio», B(p) es «La impresora p está ocupada», L(]) es «El trabajo de impresión j se ha perdido» y Q(j) es «El trabajo de impresión j está en cola». a) b) e) d)
3p (F(p) A B(p)) ~ 3.i l(j) Vp B(p) ~ 3j QU) 3) (Q(j) A L(J)) ~ 3p F(p) (Vp B(p) A Vj Q(¡)) ~ 3j L(J)
.t 1. Determina si Vx (P( r) ~ Q(x)) y Vx P(x) nen el mismo valor de verdad. 42. Muestra que Vx (P(x) /\ Q(l)) el mismo valor de ve rdad.
~ Vx
.W
Q(x) 11e-
y 'dx P(x) /\ Vx Q(x) tienen
43. Muestra que 3x (P(x) v Q(x)) y 3x P(x) v 3x Q(x) 1ienen e l mismo valor de verdad.
.t.t. Establece estas equivalencia~ lógicas, donde A es una proposición sin cuantificadores. a) (Vx (P(x)) v r\ ='V r (P(.\) v A) b) (3x (P(x)) V A= 31 (P(x) V A)
45. Establece estas equi valencias lógicas, donde A es una proposición s in cuaniificadores.
a) (Vx(P(x))AA:Vx(P(x)AA) b) (3.x(P{x))AA=3x(P{.t)AA)
46. Muestra que T/x P(,\) v '
lógicamente equivalentes.
usando predicados, cuantificadores y conectivos lógicos.
a) Cuando hay menos de 30 megabytes libres en un disco duro se envía un mensaje de aviso a todos los usuarios. b) o se pueden abrir d ireclOrios en el s istema de archivos y no se pueden cerrar ficheros si se ha de1ec1ado un error de sistema. e) No se puede hacer unu copia de seguridad del sistema de archivos si hay un u uario en ese momento conectado. d ) Se puede proporcionar vídeo a petición del cliente cuando hay al menoc; 8 megabytes de memoria disponible y la veloci
39. Ex presa cada una de estas especificaciones de sistema usando predicados, cu;int ificadorcs y conectivos lógicos. a) Se puede guardar al menos un mensaje de correo si hay un disco con más de 1Okilo bytes de espacio 1ibrc. b ) Siempre que haya una alerta activa. se transmitirán to· dos los mensajes en cola. c) El monitor de diagnóstico vigila el estado de todos los sistemas menos el de la consola central. d ) Se le envía una factura a cada participante en la conferencia a quien el responsable no haya puesto en una li-;ta especial.
40. Expresa cada u1ia de estas especificacione::s de s istema uti-
.t7. Muestra que 3.r P(x) "3x Q(x) y 3.x (P(x) A Q(x)) no son lógicamente cquivalenres. 48. La notación 3!x P(x) denota la proposición «Existe un único x tal que P(x) es verdadera». Si e l dominio consisle en todos los cn1eros, ¿cuáles son lo<> v11lores de verdad? a) 3!x(x> 1) c) 3!x (x + 3 = 2x)
b) 3!x(x2 = 1) el) 3!x(x=x+ 1)
.t9. ¿Cuáles son los valores de verdad de estas sentencias'!
a) 3!x P(x) ~ 3.r P(.r). b) Vx P(x) ~ 3!x P(x). c) 3 !x •P(x) ~ ..,\:;f,\ P(x)
SO. Escrihe 3!x P(x). donde e l dominio consiste en los enlcros 1, 2 y 3, en ténninos de negaciones, conjunciones y disyunciones.
51. Dados los hechos Prolog del Ejemplo 21. ¿cuál será el resultado de estas pregunta~ en Prolog?
a) ?profesor(chan, rr.ate273) b) ?profesor(patel, cc301) e) ?rnatriculado(X, cc301) d) ?matriculado (kiko, Y) e) ?enseña(grossman. Y)
lizando predicados, cuantilicadores y conectivos lógicos. a) Todos Jos usuarios tienen acceso al buzón de correo
electrónico. b ) Cualquiera del grupo puede acceder al sistema de bu-
zón de correo electrónico si el sistema de archivos está bloqueado. c) El cortafuegos está en estado de diagnóstico sólo si .:1 servidor proxy esi:í e n estado de d iagnóslico. d ) Al me nos un router está funcionando normalme nte si la velocidad de transfere nc ia está entre 100 kbrs y 500 kbps y el proxy no está en modo de diag nóstico.
52. Dados los hechos Prolog de l Ejemplo 21, ¿cuál será el resultado de estas prC'gunlas en Prolog? a) ?matriculado (kevin, cc222) b) ?matriculado lkiko, mate273) e) ?profesor (grossrnan, X) el) ?profesor (X, cc301) e) ?enseña(X, kevin)
53. Supón que se utilizan hechos Prolog para definir el predicado madre(J\11, Y) y padre(P, X), que representan que M
40
Matcmárica discreta y sus aplicaciones
es la madre de Y y Pes el padre de X, respectivamente. Obtén una regla Prolog para definir el predicado her111a11os(X, Y). que significa que X e Y son hennanos (esto es, tienen la misma madre y el mismo padre). 54. Supón que utilizan hechos Prolog para definir el predicado 111adre(M. Y) y padre(P. X), que representan que M es la m:idre de Y y Pes el padre de X, respectivamente. Obtén una regla Prolog para definir el predicado abuelo(X, Y). que significa que X es el abuelo de Y. (/11dicació11: Putdes escribir una disyunción en Prolog bien usando un punto y coma para separar predicados o bien poniendo estos predicados en líneas separadas). Los
problema.~
55-58 se basan en pregunta$ del libro Lógica
simbólira, de Lewis Carroll. 55. Sean P(x), Q(x) y R(x) las afirmaciones «X es un profesor», «X es ignorante» y «X es inepto», respectivamente. Expresa cada una de las siguientes sentencias utilizando cuantificadores, conectivos lógicos y P(x), Q(x) y R(x), donde el dominio consiste en toda Ja gente. a) 1 o hay profesores ignorante~. b) Toda la gente ignorante es inepta. e)
o hay profesores ineptos. ~igue (c) de (a) y (b)? Si no es así, ¿existe una conclusión correcta?
d) ¿Se
56. Sean P(x) . Q(x) y R(x) las afinnaciones «X es una explicación dara», «X es satisfactoria» y «1 es una excusa». respecti\'ameme. Suponemos que el dominio para x es todo texto en español. Expresa cada una de las sigui.:ntes sentencias usando cuantificadores. conectivos lógicos y P(x). Q(.1) y R(x).
a)
Todas las explicaciones claras son satisfactorias.
b) Algunas excusa5 no son satisfactorias.
e) Algunas excusas no son explicaciones claras. "'d ) ¿Se sigue (e) de (a) y (b)'? Si no es así, ¿existe una conclusión correcta? 57. Sean P(x), Q(x), R(x) y S(x) las afirmaciones «x es un bebé». «X es lógico». «X es capaz de dominar a un cocodrilo» y «.res despreciado». respectivamente. Suponemos que el dominio para x es toda la gente. Expresa cada una de las siguientes sentencias usando cuantificadores, conectivos lógicos y P(x), Q(x). R(x) y S(x). a) Los bebés son ilógicos. b) Nad ie que pueda dominar a un cocodrilo es despre-
ciado. e) Las personas ilógicas son despreciadas. d ) Los bebés no pueden dominar a un cocodrilo. *e) ¿Se sigue (d) de (a), (b) y (c)? Si no es así, ¿existe
una conclusión correcta? 58. Sc:in P(x), Q(x), R(x) y S(x) las afinnaciones «X es un pato», « X es un ave de mi corral», «X es un oficial» y «.t quiere bailar un vals», respeclivamente. Expresa cada una de las siguientes sentencias usando cuantificadores, conectivos lógicos y P(x), Q(x) , R(x) y S(x). <1 ) b) e) d) ~ e)
Ningún pato quiere bailar un vals. Ningún oficial rechaza b~1i l ar un vals. Todas las aves de mi corral son patos. Las aves de mi corral no son oficiales. ¿Se sigue (d) de (a), (b) y (c)? Si no es así, ¿exi!>tc una conclusión correcta?
1.4 Cuantificadores anidados INTRODUCCIÓN En la Sección 1.3 definimos los cuantificadores universal y ex istencial y mostramos cómo se pueden usar en Ja construcción de sentencias matemáticas. También explicamos cómo se pueden utilizar para fonnalizar frases en lenguaje natural, convirtiéndolas en expre iones lógicas. En esta sección estudiaremos cuantificadores anidados, que son cuantificadores que se localizan dentro del rango de aplicación de otros cuantificadores, como en la sentencia Vx3y (x +y = 0). Los cuantifi cadores anidados se usan tanto en matemáticas como en ciencias de la computación. Aunque a veces pueden ser difíc iles ele entender, las reglas que ya hemos estudiado en la Sección 1.3 nos ayudarán a trabajar con ellos.
FORMALIZACIÓN DE SENTENCIAS CON CUANTIFICADORES ANJDADOS En muchos contextos aparecen complicadas expresiones que hacen uso de cuanti ficadores. Para entender estas sentencias con muchos cuaJ1lilicadores, debemos desenmarañar el significado de cada cuantificador y predicado que aparecen. Esto se ilustra en el Ejemplo 1.
Los fundamenlos: lógica y demostración. conjuntos y funcione'
41
EJEMPLO 1 Supongamos que el dominio de las variables reales x e y consiste en todos los números reales. La sentencia Pasos adicionales
Vx\/y (x + y
= y + x)
afirma que x +y =y+ x para todo par de números reales x e y. Es la ley conmutativa para Ja suma ele números reales. De la misma forma. la sentencia
Vx3y (x + y = 0) afirma que para cada número real x hay un real y tal que x + y =O. Esto declara que tocio número real tiene un inverso para Ja suma. Análogamente, la sentencia Ejemplos adiciona les
\/x\/y\/z (.\
+ (J' + z) = (x +y) + z)
es Ja ley asociativa para la suma de números reales.
EJEMPLO 2 Traduce a lenguaje natural la sentencia \/x' 0) /\ (y< 0)
~ (xy < 0)),
donde el dominio para ambas variables consiste en los números reales. Esta sentencia afirma que para todo par de números reales x e y, si x >O e y< O. entonces xy
Solución:
Las expresiones con cuantificadores anidados que formulan sentencias en lengu<~je rrnturnl pueden ser muy complicadas. El primer paso para traducir esas expresiones es escribir qué expresan los cuantificadores y predicado de la expresión. El siguiente paso es expresar el significaüo en una frase sencilla. Este proceso se ilustra en los Ejemplos 3 y 4.
EJEMPLO 3 Traduce la entencia \/x (C(x) v 3y (C(y) /\ F(x , y)))
a lenguaje natural, donde C(x) es «X tiene un ordenador». F(x, y) es «x e y son amigos» y el dominio ianto para x como y consiste en todos los estudiantes de tu facu ltad. La sentencia afirma que para cada estudiante x de tu facultad, x tiene un ordenador o hay un estudiante y tal que y tiene un ordenador y x e y son amigos. En otras palabras. todo estu.,.. diante de tu facultad tiene un ordenador o un amigo que tiene uno.
Soluci6n:
EJEMPLO 4 Traduce la sentencia 3x\/y\/z ((F(x, y)/\ F(x, z) /\(y :F.:)) -7 -.F(y. : )) a lenguaje natural, donde F(a . b) significa que a y b son amigos. El dominio parax. y y: consiste en todos los estudiantes de tu facultad. Primero examinamos la expresión (F(x, y)/\ F(x. z) /\(y :;t: z)) -7 -iF(y. z). Esta expresión dice que si los estudiantes x e y son amigos, los estudiantes .\ y:: son amigos y, además, y y z no son l::l misma persona. entonces y y: no son amigos. Se sig ue que la sentencia origina l, triplcmente cuantificada, dice que hay un estudiante x tal que para todos los estudiantes y y todos los estudiantes z que son diferentes de y. i x e y son amigos y x y= también son amigos. entonces y y:: no son amigos. En otras palabras. hay un estudiante para el cual se cumple que sus amigo no son amigo entre sí. .,..
Solución:
42
Yl3tcmática discreta y sus aplic3cioncs
FORMALIZACIÓN DE SENTENCIAS EN EXPRESIONES LÓGICAS En Ja Sección 1.3 vimos cómo se podían utilizar los cuantificadores para fom1alizar frases en expresiones lógicas. Sin embargo, evitamos sentencias cuya formaliz ación requi1iese el uso de cuantificadores anidados. Nos ocupamos ahora de estas sentencias.
EJEM PLO 5 Expresa la sentencia «Si una persona es del sexo femenino y tiene un hijo, esta persona es lamadre de alguien» como una expresión lógica que involucre predicados. cuantificadores -cuyo dominio es el conjunto de todas las personas- y conectivos lógicos. Solución: La frase anterior se puede expresar como «Para toda persona x, si la persona x es del sexo femenino y la persona x tiene un hijo, entonces existe una persona y tal que Ja persona x es madre de la persona y». Introducimos los predicados F(x) para representar «X es del sexo femcitino», P(x) para representar «x tiene un hijo» y M(x, y) para representar «X es madre de y» . La fra-
se original se puede expresar como \1'x ((F(x) /\ P(x))
--7
.3y M(x, y)).
Podemos desplazar .3y hacia la izquierda, puesto que y no aparece en F(x) /\ P(x), para obtener una expresión equivalente \1'x.3y ((F(x) /\ P(x)) --7 M(x, y)).
EJEMPLO 6 Expresa la sentencfa «Cada persona tiene exactamente un arnjgo preferido» como una expresión lógica que involucre predicados, cuantificadores -cuyo dominio es el conjunto de todas tas personas- y conectivos lógicos. Solución: La frase anterior se puede expresar como «Para cada persona x. la persona x tiene exac-
tamente un amigo preferido». Introduciendo el cuantificador universal, se ve que la sentencia es la misma que «'v'x (la persona x tiene exactamente un amigo preferido)», donde el dominio consiste en tocia la gente. Decir que x tiene exactamente un amigo preferido significa que hay una persona y que es el mejor amigo de x, y además, que para toda persona 2, si z no es Ja persona y. entonces z no es el mejor amigo de x. Cuando introducimos el predicado B(x, y) como «y es el mejor nmigo de x», la sentencia que afirma que x tiene exactamente un amigo preferido se puede representar como .3y (B(x, y)/\ 'v'z ((z :f. y)
--7
-.B(x, :))).
Consecuentemente, nuestra sentencia original se puede expresar como \1'x3y (B(x, y)/\ 'efz ((::f. y)
--7
-.B(x. ;:))).
(Ten en cuenta que podemos escribir esta sentencia como \1'x.3!y B(x. y), donde .3! es el «cuantificador de unicidad» definido en el Problema 48 de la Sección l.3. De cualquier fonna, el «cuantificador ele unicidad» no es realmente un cuantificador; más bien es un recurso para expresar ciertas sentencias que se pueden expresar usando los cuantificadores \1' y .3. El «cuar1lificador de unicidad» 3! se puede considerar una macro). ~
EJEMPLO 7 Emplea cuantificadores para expresar la sentencia «Hay una mujer que ha viajado en un vuelo en cada una de las líneas aéreas del mundo». Solución: Sea P(w,j) «W ha viajado en f» y Q(f, a) «fes un vuelo de la línea a¿rea a». Podemos expresar Ja sentencia como 3w"r/a3f(P(w,f) /\ Q(f, a)),
donde los dominios para w,f y a consisten en todas las mujeres del mundo, iodos los vuelos y tocias las líneas aéreas. respectivamente.
Los fundamentos: lógica y demostración, conjuntos y funciones 43
La sentencia se podría haber expresado también como 3wVa3fR(w,f, a),
donde R(w,.f, a) es «w ha viajado en el vuelo f de la lfuea aérea a». Aunque esta expresión es más compacta, oscurece un tanto las relaciones entre las variables. Por ello, la primera solución puede ser preferible. ~ Las sentencias matemáticas expresadas en lenguaje natural se pueden formalizar en expresiones lógicas, como muestran los Ejemplos 8- l O.
EJEMPLO 8 Fornrnliza la afirmación «La suma de dos enteros positivos es positiva» en una expresión lógica J'¡L~oS'
adkfonales
Solución: Para fonnali zar la afirmación, primero la reescribimos para evidenciar los cuantificadores implicados: «Para cada dos enteros positivos, la suma de estos enteros es positiva». Luego introducirnos las variables x e y para obtener «Para todos los enteros positivos x e y, x +y es positivo». Por consiguiente, podemos expresar esta afi rmación como VxVy
(~:r
> 0) /\(y> 0)
-7
(x +y> 0)),
donde el dominio para ambas variables consiste en todos los enteros.
EJEMPLO 9 Formaliza la afinnación «Todo número real, excepto el cero, tiene un inverso para el producto». fücolplPS
adicionales ,
Solución: Primero reescribimos la frase como «Para todo número real x, excepto el cero, x tiene un inverso para el producto». Esta sentencia se puede reescribir de nuevo como «Para todo número real x, si x *O, entonces existe un número real y tal que xy = 1» . Esto se puede expresar como
Vx ((x :;t: O)
~ 3y
(xy = 1)).
Un ejemplo que te puede resultar familiar es el concepto de límite, que es importante en Cálculo.
EJEMPLO 10 (Se requiere Cálculo) Enuncia la definición de límite usando cuantificadores. Solución: Recordamos que la sentencia límf(x) =L X-? a
significa que para todo número real E> O, existe un número real 8 >O tal que 1/(x) - L 1< E siempre que O< 1x - a 1< 8. Esta definición ele límite se puede escribir en ténninos de cuantificadores como
Vi::38Vx(O < lx - al < 0 -7 lf'(x)-LI
Ve> O38 >O Vx (O< ~1"- al < b -7 lf(x) - L I
NEGACIÓN DE CUANTIFICADORES ANIDADOS Las sentencias con varios cuantificadores anidados se pueden negar aplicando sucesivamente las reglas de negación de las sentencias que contienen un único cuantificador. Esto se ilustra en los Ejemplos 11-13.
-t~
Matcm<Ítica discreta y sus aplicaciones
EJEMPLO 1 l EJrmplos a.Jidori:rles
EJEMPLO U
Expresa la negación de Ja sentencia \ix3y (xy = 1) de tal fonna que ninguna negación preceda al cuantificador. Solución: Aplicando sucesivamente las reglas para negar sentencias cuantificadas dadas en la Tabla 2 de la Sección 1.3, podemos mover la negación en -Nx3y (xy = 1) dentro de todos los cuantificadores. Encontramos que • \ix3y (xy = 1) es equivalente a 3xo3y (xy = 1), que es equivalente a 3x\iy •(xy = 1). Como -i(xy =1) se puede expresar más simplemente como xy-¡; 1, concluimos que nuestra sentencia negada se puede expresar como 3x'l7'y (xy "i: 1). ~ u~a
cuantificadores para expresar la sentencia « 'o existe ninguna mujer que haya viajado en un vuelo de cada una de las líneas aéreas del mundo».
Solución: La afirmación anterior es la negación de la sentencia «Hay una mujer que ha viajado en un vuelo de cada línea aérea del mundo» del Ejemplo 7. Por el Ejemplo 7, nuestra sentencia se puede expresar como • 3w'l7'a3/ (P(w,f) /\. (Q(f, a)), donde P(w,f) es «W ha viajado en/» y Q
Utiliza cuantificadores y predicados para expresar el hecho de que el lím, "' f(x) no ex iste. Solución: Decir ttue el lím t ->o /(x) no existe significa que para lodos los números reales l. lím\ '-' /(x) "i: L. Usando el Ejemplo 10. la sentencia lím, ._. ª j(x) "i: L se puede ex presar com<'
•11
• Ve> O 38 > O Vr (0 < lx-al < 8 ~ [j{x) - LI< E). Aplicando sucesivamente las reglas de la negación de expresiones cuantificadas, con-;truimos esta secuencia de sentencias equivalentes •VE > O38 > OVx(O < lx -a l < 8 ~ lf(x)- LI< E) 3E> 0 · 38> O Vx(O < lx-al < 8 ~ lf(x)-L[ O '17'8 >O -..\ix(O < lx-al < 8 ~ 1/(x)- LI O \7'8 >O 3x •(O < lx- a 1<8 ~ l/(x) - L 1 O\io >O 3.r(O < 1r - al <8 A l/(r)-LI ~ f).
=
¡
=
Usumos la equivalencia •(p ~ q) p A • q en el úllirno paso. Debido a que la sentencia lím, , 11 j(x) no existe, significa que.para iodos los números reales L. lírnr ; q /(.\)"#L. la sentencia se puede exp.·rcsar como VL3t: > O '17'8 > O 3x (O < 1x - a 1 < 8 /\ lf(x) - L 1~ E). Esta última sentencia afirma que para cada número real L hay un número real e> O ial que para todo número real 8 > Oexiste un número real x tal que O< l.r - a 1< () y 1/(x) - l I ~ E. ~
EL ORDEN DE LOS CUANTIFICADORES o
0
Ejl'rnplos aclidonalcs
Muchas sentencias matemáticas usan cuantificaciones múltiples de fun ciones proposicionales con más de una variable. Es fundamental tener en cuenta que el orden de los cuantificadores es importante, a no ser que todos los cuantificadores sean universales o existenciales. Este ht!cho se iJus-
Los fundamemos: lógica y demoslrdción. conjuntos y funciones
.is
traen los Ejemplos 14- 16. En cada uno de estos ejemplos el dominio de las variables consiste en wdos los números reales.
EJEM PLO 14 Sea />(x, y) la sentencia «X + y= y+ x». ¿Cuál es el valor de verdad de la cuantificación Vx\Jy P(x, y)? Solución: La cuantificación
Vx\Jy P(x, y)
denota la proposición «Para todo número real x y todo número real y, x + y= y+ X». Como P(x, y) es verdadera para todo los números reaJes x e y, la proposición Vx'\/y P(x, y) es verdadera. <1111
EJEMPLO 15 Sea Q(x, y) la sentencia «X+ y= 0». ¿Cuál es c1 valor de verdad ele las cuantificaciones 3y\Jx Q(x, y) y Vx3y Q(x, y)? Solución: La cuantificación
3y\Jx Q(x, y)
denota la proposición «Hay un número real y t:il que para todo número real x, Q(x,y)». Parn cada y elegido, hay un único valor de x para el cual x + y= O. Como no hay un número real y tal que x +y= Opara todos los números reales x, la sentencia 3yVx Q(x, y) es falsa. La cuantificación 'v'x3y Q(x, y)
denota la proposición «Para todo número real x hay un número real y tal que Q(.\. y)». Dado un número real x, se puede hnl lar un número real y tal que x +y = O: a saber, y =- x. Por 1anto, la sentencia Vx3y Q(x. y) es verdadera. <1111 El Ejemplo 15 ilustra que el orden en que aparecen los cuantificadores es import ante. Las sentencias 3y\ix P(x, y) y Vx3y P(x, y) no son lógicamente equivalentes. La sentencia 3yVx P(x, y) es verdadera si, y sólo si, hay un y que hace P(x, y) verdadera para todo x. Por tanto, para que esta entencia sea verdadera, debe haber un valor particular de y para el cual P(x. y) es verdadera, si n importar el valor que se elija de x. Por otra parte, V x3y P(.\, y) e!'> verdadera. si. y sólo si, para tocio valor de x hay un valor de y para el cual P(x, y) es verdadera. Por tanto. para que esta cntencia sea verdadera, no importa la elección de x. debe haber un valor de y (posiblemente dependiente del valor que se escoja para x) para el cual P(x, y) es verdadera. En otrac; palabras. en el segundo caso y puede depender de x, mientras que en el primer caso y es una consiante independiente de x. De estas observaciones se sigue que si 3yVx P (x, y) es verdadera, entonces 'v'x3y P(x, y) debe ser también verdadera. Sin embargo. si Vx3y P(x, y) es venlildera, no es necesario que JyVx P(x, y) ca también verdadera. (Véanse los Problemas complementarios 14 y 16 al final del capítulo).
PE'.'ISANDO EN LOS CUANTlfl('ADORES COMO BUC LE Al trabajar con cuantificadores de más de una variable es útil a veces pensar en ténninos de bucles anidados. (Por supue ro, si hay un número infinito de elementos en el dominio de alguna variable. no podemos cerrar un bucle para todos los valores. A pesar de ello. esta forma de pensar sigue siendo útil). Por ejemplo. para ver si Vx'v'y P(x, y) es verdadera, recorremos en un bucle Lodas las variables x, y para cada x recorremos en un segundo bucle todos valores de y. Si encontramos que P(x. y) es verdadera para todos los valores ele x e y, hemos detcnninado que Vx'v'y P(x, y) es verdadera. Si, por el contrario, encontrarnos algún valor de x para el cual hay un valor de y lal que P(x, y) resulta ser falsa. hemos demostrado que VxVy P(x, y) es fa lsa.
46 Matemática discreta y sus aplicaciones
Tabla l . Cuantificadores de dos variables. Sentencia
¿Cuándo es rerdadera?
¿Cuándo es falsa ?
VxVy P(x,y) VyVx P(.\, y)
P(x, y) es verdadera para todo par .A. y
Hay un par x, y para el cual P(x, y) es falsa
Vx3y P(x,y)
Para todo x hay un y para el cual P(x, y) es verdadera
Hay un \'tal que P(x, y) ec; falsa para para todo y
3.xVy P(x, y)
Hay un x para el cuaJ P(x, y) es verdadera para todo y
P(x. y) es falsa
3.x3y P(x, y) 3y3x P(x. y)
Hay un par x, y para el cual P(x, y) es verdadera
Para todo .x hay un y para el cual P(x, y) es falsa para todo par x, y
De forma similar, para detenninar si \7'x3y P(x, y) es verdadera, recorremos en un bucle todos los valores de x. Para cada x, recorremos en un bucle los valores de y hasta que encontramos un y para el cual P(x, y) es verdadera. Si para todos los x encontramos tal valor de y, entonces 'v'x3y P(x, y) es verdadera; si para algún x no encontramos un valor de y con esa propiedad, entonces Vx3y P(x, y) es falsa. Para ver si 3x'v'y P(x, y) es verdadera, recorremos los valores de x en un bucle hasta que encontramos un x para el cual P(x, y) es siempre verdadera cuando recorremos en un bucle todos los valores de y. Una vez encontrado tal valor de x. sabemos que 3x'v'y P(x, y) es verdadera. Si no encontramos nunca un x como ése. entonces sabremos que 3x'v'y P(x, y) es falsa. Finalmente, para saber si 3x3y P(x, y) es verdadera, reco1Temos en un bucle los valores de x, y para cada valor de x recorremos los valores de y hasta que encontremos un x para el cual haya un y que verifique que P(x, y) sea verdadera.
La Tabla 1 resume los significados de las diferentes cuantificaciones posible con do variables. También son comunes las cuantificaciones de más de dos variables, como ilustra el Ejemplo 16.
EJEMPLO 16 Sea Q(x, y, z) la senLencia «x + y =z». ¿Cuáles son los valores de verdad de Jas sentencias Vx'v'y3z Q(x, y, z) y 3z'v'x'v'y Q(x, y, z)? Solución: Supongamos que asignamos valores ax e y. En1onces, ex iste un número real z tal que x
+y= z. Por consiguiente, la cuanlificación 'v'x'v'y3z Q(.\, y, z)
que es la sentencia
.
«Para todos los números reales x e y hay un número real z tal que x + y=:»,
1
es verdadera. El orden de la cuantificación aquí importa, ya que 3z'v'x'v'y Q(x, y, z),
es la sentencia «Hay un número real z Lal que para todos los números reales x e y se cumple que x +y= z», la cual es falsa. ya que ningún valor de z satisface la ecuación x +y= z para todos los valores de XC~
~
Los fundamentos: lógica y demostración. conjuntos y funciones
-t7
Problemas l. Traduce estas sentencias a lenguaje natural, donde el dominio para todas las variables es el conjunto de 101; números reales. a) Vx3y (x
números reales. a) 3xVy (xy =y) b) VxVy(((x~O)A(yO))
e) VxVy3z (x =y + z)
3. Sea Q(x, y) la sentencia <
b) 3xVy Q(x, y) d) 3yVx Q(x, y) 1) VxVy Q(x, y)
7. Supongamos que mediante la sentencia T(x. y) queremos expresar que al estudiante x le gusta la cocina del país y, donde el dominio para x consiste en todos los estudiantes de tu facultad y para y consiste en todos los países con cultura culinaria propia. Expresa cada una de estas cuantificaciones en lenguaje natural. a} •T(Abdallah 1J ussein, japonesa) b) 3x T(.y, coreana)/\ Vx T(x, mexicana) e) 3y (T(Monique Arsenault, y) v T(Jay Johnson, y)) d) VxVz3y ((x:t= z)-) •(T(x, y)/\ T(z, y))) e) 3x3zVy (T(x, y) H T(z, y))
f) VxV:3y (T(x, y) H T(z, y))
8. Sea Q(x, y) la sentencia «el estudiante x ha participado en el concurso y». Expresa cada una de estas sentencias en términos de Q(x, y), cuantificadores y conectivos lógicos, donde el dominio para x consiste en todos los estudiantes de tu facultad y para y consiste en todos los concursos de televisión.
4. Sea P(x, y) la sentencia «el estudiante x está matricu larlo en la asignatura y». donde el dominio para x son los
a) Hay un estudiante en tu facultad que ha participado
estudiantes de tu clase y e l de y consiste en todas las asignaturas de ingeniería infonnática. Expresa cada una de estas cuantificaciones en lenguaje natural.
b) Ningún estudiante de tu facultad ha participado ni.mea en un concurso de televisión. e) Hay un eswdiame en tu facultad que ha participado
a) 3x3y P(x, y) e} Vx3y P(x, y) e) Vy3x P(x, y)
b) 3xVy P(x, y) d) 3yVx P(x, y) 1) VxVy P(x, y)
S. Supongamos que mediante la sentencia W(x, y) quere-
mos expresar que el estudiante x ha visitado la página web y. donde el dominio para x consiste en todos los estudiantes de tu facultad y para y consiste en todas las páginas web. Expresa cada una de estas cuantificaciones en lenguaje natural. a) IV(Sarah Smi1h, www.an.com) b) 3x W(x, www.imdb.org) e) 3y W(José Orez, y) d) 3y (W(Ashok Puri, y)/\ W(Cindy Yoon, y)) e) 3yVz (y :t= (David Belcher) /\ (W(David Bclcher, z) ~ W(y, z))) f) 3x3yVz ((x :t= y)/\ (W(x. z) H W(y, z)))
6. Supongamos que mediante la sentencia C(x, y) queremos expresar que el es1udianli.! x st: ha matriculado en la asignatura y, donde el dominio para x consisie en todos lo
estudiantes de tu facultad y para y consiste en todas la~ asignaturas impartida~ en ingeniería informá1ica. Expresa cada una de es1as cuantificaciones en lenguaje na1urnl. ad C(Randy Goldbcrg. CC 252) b) 3x C(x, Ma1e 695) e) 3y C(Carol Sitea, y) d) 3.r (C(x, Mate 222) A C(x, CC 252)
en un concurso de televisión.
en los concursos «50 x 15» y «Pasa Palabra». d) Cada concurso de televisión ha tenido un estudiante de tu facultad como participante. e) Al menos dos estudiantes de tu facultad han participado en el concurso de tckvisión «50 x 15».
9. Sea L(x, y) la sentencia «X quiere a y», donde el dominio tanto para x como para y consiste en todas las personas del mundo. Usa cuamificadores para expresar cada una de las siguientes sentencias. a) Todo el mundo quiere a Jaime. b) Todo el mundo quiere a alguien. e) Hay alguien a quien todo el mundo quiere. d ) Nadie quiere a todo el mundo. .e) Hay alguien a quien Lidia no quiere. f) Ilay alguien a quien no Je quiere nadie. g) Hay exactamente una persona a quien todo el mundo quiere. h) Hay exactamente dos personas a quienes Lidia quiere. i) Todo el mundo ~e quiere a sí mismo. j ) Hay alguien que no quiere a los que están a su lado. JO. Sea F(x, y) la sentencia «X puede engañar a y», donde el dominio tanto para x como para y consiste en todas las personas del mundo. Utiliza cuantificadores para expresar cada una de las siguientes se111encias. a) Todo el mundo puede engañar a Fred. b) Evelyn puede engañar a todo el mundo.
48
Y!arernática discreta y .sos aplicnciones
e) Todo el mundo puede engañar a alguien. o hay nadie que pueda engañar a todo el mundo. e) Todo el mundo puede ser engañado por alguien. f} Nadie pu<.:dc engañar a Frcd y a Jeny (a los d0s). g) :--Jancy puede engañar a exactamente dos personas. h) Hay exactamente una persona a quien todo el mundo puede engañar. i) aclie puede engañarse a sí mismo. j) llay alguien que puede engañar a exactamente una de las personas que están a su lado.
d)
11. Sea S(x) el predicado «X es un estudiante», F(x) el predicado «X es un profesor» y A(x, y) el predicado «.r ha hecho una pregunta a y», donde el dominio consiste en todas las personas de tu facultad. Usa cuantificadores par:i expresar cada una de las siguientes sentencias. a) Luis ha hecho una pregunta al profesor Michaels. b) Todos los cs1udian1es le han hecho una pregunta al profesor Gross. c) Todos los profesores bien han hecho una pregunta al profesor Miller o bien han sido preguntados por el profesor Millcr. d) Alg1ín eMudiante no ha hecho una pregunta a ninguno de los profesores. e) Ilay un profesor al que ningún estudiante ha hed10 nunca una pregunta. f) Algún estudiante ha hecho una pregunta a cada 11no de los profc~ores. g) Hay un profesor que ha hecho una pregunta a cada uno de los otros profesores. h) Algún ei.tudiantc no ha sido preguntado nunca por un profesor. «.X tiene conexión a Internet» y la sentencia «..\ e y han chateado en Internet», donde el dominio de las variables x e y consiste en todo~ los estudiantes de 1u cla~e. Uliliza cuantificadores para expn::sar cada una de las siguientes sentencias.
12. Sea f(x) la sentencia C~r, y)
a) Jaime no tiene conexión a Internet.
b) Raquel no ha chateado en Tntemet con Chelsea. c) Jan y Sharon nunca han chateado en Internet. d) Nadie di.: Ja clase ha chateado con Bob. e) Susana ha chateado con todos excepto con Bob. f) Alguien de lu tase no tiene conexión n Internet. g) No todos los d tu clase tienen conexión a Internet. b) Exactamente n estudiante de tu clase tiene conexión a Internet. i) Todos exceplü un e~ludiante de tu clase tienen conexión a Internet. j ) Todo~ 'º' l'~ tudia111es de tu clase que tienen co nex1ón a Internet han chateado al menos con otro estudiante el<.: tu clase. k) Alguien en tu clase tiene conexión a Internet, pero no ha chatendo con ningún otro estudiante. 1) Hay dos eMucliantes en tu clase que no lt.in chateado entre ellos en rntcrnet. m) Hay un estudiante en tu clase que ha chateado con cada uno de los estudiantes de tu clase.
n) I lay al menos do~ estudiantes de tu clase que no han chateado con la misma persona de tu clase. o) Hay dos estudiantes de tu clase que entre ambos han chateado con todos los estudiantes de la clase. 13. Sea M(x, y) «X ha enviado a y mensaje~ por correo electrónico» y T(x, y) «X ha telefoneado a)'». donde el do-
minio consiste en tO<.los los estudiantes de tu clase. Usa cuantificadores para expresar cada una de las siguientes ,,l!nlencias. (Supón que t odo~ los mensajes enviados fueron recibidos .... que no es lo que siempre sucede). a) Carmen nunca ha enviado un mensaje por correo electrónico a Kiko. b) Arlene nunca ha enviado un mensaje por correo electrónico o telefoneado a Sara. e) José nunca ha recibido un mensaje por correo electrónico de Débora. d ) Todos los estudiantes de tu clase han enviado un mensaje por coJTco electrónico a Ken. e) Nadie de tu clase ha telefoneado a Nina. t) TO<.lo el mundo en tu clase ha telefoneado a Avi o le ha enviado un mensaje por coJTeo electrónico. g) Jlay un estudiante en tu cla_<,e que ha enviado a cada uno de los demás un mensaje por com.~o electrónico. h) llay un estudiante en tu clase que ha enviado un mensaje por correo electrónico o ha telefoneado a cada uno de los demás. i) Hay dos estlldiantcs en tu c lase que se han enviado mutuamente un mensaje por correo electrónico. j ) J lay un estudiante que se ha enviado a sí mismo un mensaje por conco electrónico. k') Hay un estudiante en tu clase que no ha recihiclo un mensaje por correo electrónico de ningún otro estudiante de la clase ni tampoco ha sido telefoneado por otro estudiante. 1) Todos los estudiantes de la clase bien han recibido un mensaje por correo electrónico de otro estudiante de la cla~e o bien han sido telefoneados por ocro estudiante de la clase. rn ) Hay al menos dos estudiantes en tu clase tales que uno ha enviado al otro un mensaje por correo electrónico y el segundo ha telefoneado al primero. n) Hay dos cstudi<111lcs <.: n tu clase que entre ambos hien han enviado un mensaje por correo electrónico o bien han telefoneado a cada uno de los demás miembros de la clase. l.i. l 'tiliza cuantificadores y predicados con más de una varil'lble para expresar las siguientes afirmaciones. a) J lay un estudiante en esta clase que habla hindú.
b) Todo cs1udian1c de esta clase practica algún deporte. e) Algún estudiante de esta clase ha vi~itado Alaska, pero no ha visitado Mfaico. d) Todos l o~ estudiant<.:s de esta clase han aprendido al menos un lenguaje de programación. e) Hay un estudiante de esta clase qm: <,e ha maniculado en todas las asignaturas que ofrece uno de los departamentos de tu facultad.
Los fundamentos: lógica y dcmostrnción, conjuntos y funciones
f) Algún estudiante de esta clase es de la misma ciudad que exactamente otro estudiante de la clase. g) Todo estudiante de la clase ha chateado con al menos otro estudiante en al menos un grupo de cha l. LS. Usa cuantificadores y predicados con más de una variable para expresar las siguientes afirmaciones. a) Todo estudiante de ingeniería informática necesita
un curso de matemática discreta. b) Hay un estudiante en esta clase que tiene un ordenador personal. e) Todo estudiante de esta clase ha cursado al menos una asigna111ra de ciencias de la computación. d) Hay un esnicliante en esta clase que ha cursado al menos una asignatura de ciencias ele la computación. e) Todo estudiante de esta clase ha estado en todos los edificios del campus. f) Hay un esn1diante en esta clase que ha estado en todas las habitaciones de al menos un edificio del campus. g) Todo estudiante de esta clase ha estado al menos en una habitación de cada edificio del campus.
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b) Se puede obtener la dirección de correo elecrrónico de cada usuario siempre que la carpeta contenga al menos un mensaje enviado por cada usuario del sistema. e) Para cada violación de la seguridad hay al menos un mecanismo que puede detectar esrn violación si, y sólo si, hay un proceso que no ha sido afectado. d) Hay al menos dos mtas que conectan cada dos terminales de la red. e) Nadie conoce la clave de acceso de todos los usuarios del sistema, excepto el administrador.
19. Expresa cada una de las siguientes sentencias usando operadores matemáticos y lógicos, predicados y cuantificadores. El dominio consiste en todos los enteros. a) La suma de dos enteros negativos es negativa. b) La diferencia de enteros positivos no es necesariamente posiliva. e) La suma de los cuadrados de dos enteros es mayor o igual que el cuadrado de su suma. d) El valor absoluto del producto de dos enteros es el producto de sus valores absolulOs.
20. Expresa cada una de las siguientes sentencias usando 16. En un aula se reúnen los siguientes estudiantes: un estudiante de matemáticas de primer curso, 12 estudiantes de matemáticas de segundo curso, 15 eswdiantes de ingeniería informática de segundo curso, 2 estudiantes de matemá1icas de tercer curso, 2 estudian1es de ciencias de la computación de tercer curso y un estudiru1te de ciencias ele la computación de cuarto curso. Expresa cada una ele estas sentencias en términos de cuantificadores y determina su valor de verdad.
operadores matemáticos y lógicos, predicados y cuantificadores. El dominio consiste en todos los enteros. a) El producto de dos enteros negativos es positivo. b) El valor medio de dos enteros positivos es positivo. e) La diferencia de dos enteros negativos no e~ necesariamente negativa. el) El valor absoluto de la suma de dos enteros no es mayor que la suma de los valores absolutos de estos enteros.
a) Hay un estudiante en el aula que es de tercer curso.
b) Todo estudiante del aula es de ingeniería informática. e) Hay un estudiante en el aula que ni es de matemáticas ni es de tercer curso. d) Todo estudiante en el aula es bien de segundo curso o estudiante de ingeniería infom1álica. e) Hay una titulación tal que en el aula se encuentra un estudiante de cada año de estudio de esa titulación.
17. Expresa cada una de las siguientes especificaciones de sistema usando predicados, cuantificadores y conectivos lógicos. según proceda. a) Todo usuario tiene exactamente un buzón de correo. b) Hay un proceso que continúa su ejecución para todos los casos de error sólo si el kernel limciona correctamente. e) Todos los usuarios de la red del campus pueden acceder a todas las página web cuyas direcciones terminen e n .edu *d) Hay exaclamcnte dos sis1emas que monit0rizan todos los servidores remotos. 18. Expresa cada una de las siguientes especificaciones de sistema usando predicados, cuantificadores y conectivos / . , o d 1og1cos, segun procc a. a) Al menos una consola debe ser accesible durante cada condición de fallo.
21. Usa predicados, cuantificadores, conectivos lógicos y operadores rnatcrnfücos para expresar la sentencia que dice que todo entero positivo es la suma de los cuadrados de cuatro enteros. 22. Usa predicados, cuantificadores, conectivos lógicos y operadores matemáticos para expresar la sentencia que dice que hay un entero positivo que no l!S la suma de tres cuadrados. 23. Expresa cada una de las siguientes sentencias usando predicados, cuantificadores y operadores matemáticos y lógicos. a) El producto de dos reales negativos es positivo. b) La diferencia entre un número real y él mismo es cero. e) Todo real positivo tiene exactamente dos raíces cuadradas. d) Un real negativo no tiene raíces reales. 24. Traduce cada una de estas cuantificaciones anidadas a una frase en lenguaje natural que exprese una afirmación matemática. El dominio en cada caso consiste en todos los números reales. a) 3x\1y (x + y= y) b) \1.xVy (((x ~ 0) /\(y< O))-? (x- y> 0))
50
J\la1c111á1ica discreta y sus aplicaciones
e) 3.t.3y (((x ~ 0) /\(y~ O))/\ (x - y > 0)) d ) Vx\/y ((x -t; O)" (y-t; 0)) H (.ry "#O))
31. Expresa la negación de cada una de estas sentencias de 1al fonna que todos los símbolos de negación precedan inmediatamente a predicados.
25. Traduce cada una de eslas cuanlificaciones anidadas a una frase en lenguaje natural que exprese una afirmación matemática. El dominio en cada caso consiste en todos los número~ reales. a) 3.x\fy (xy =y) b) Vx\/y (((x 0)) e) 3x3y ((x1>y)11. (x
26. Sea Q(x. y) la sentencia <~x +y =x - y». Si el dominio para amb
b)Q(2,0)
el) 3x Q(x, 2)
e) 3x3y Q(x, y)
c)VyQ(l,y) f) V'x3y Q(x, y)
g) 3yVx Q(x. y) h) V'y3x Q(x, y) i) V'xVy Q(x, y)
27. Determina el valor de verdad de cada una de estas sen-
tencias si el dominio de lodas junto de lOdos los enteros. a) Vn3m (112 < m) b) e) \::/113m (n + m =O) el) e) 3n3m (n1 + m 2 = 5)
las variables es el con-
3nVm (11 < rn2) 3n'
n
= =
=
=
28. Determina el valor de verdad de cada una de estas sentencias si el dominio de luda~ las variables es el conjunto de lOdos los números reales. a) Vx3y(.x2 =y) b ) V13y(x = y2) e) 3x'v'y (xy= O) d) 3x3y (x +Y* y +x) e) V.x (x :t: O ~ 3y (xy = l )) f) 3xVy (y ::1; O~ xy 1) g) V.x3y (x +y =l) h) 3x3y (x + 2y = 2 /\ 2x + 4y = 5) i) Vx3y (x +y= 2 /\ 2x - y= 1)
=
j) Vx'v'y3z (z =(x + y)/2)
29. Supón que el dominio de la función proposicional P(x, v) consiste en los pares .1 e yldonde x es 1, 2 o 3 e y e.s .1. 2 o 3. E~cnb~ estas prop siciones usando disyunciones y conjunciones. a) \::/x\::/y P(x, y) e) 3x'
b) 3x3y !' . . y) d ) Vy3x P(x, y)
30. Reescribe cada una de las siguientes senrencias de tal fonna que las negaciones aparezcan sólo dentro de lo~ predicados (es decir, de tal fomrn que ninguna nega<.:ión eslé fuera de un cuantificador o de una ex presión con coneclivos lógicos). a) e) d) e)
..,3y3x P(x, y) b) -,\fx3y P(x, y) ..,3y (Q(.)') /\ Vx -,R(x. y)) ..,3y (3x R(x, y) v Vx S(x, y)) -i3y (Vx3z T(x, y, z) v 3.x\1'z U(x, y, z))
a) b) e) d)
\ix3y\fz T(x, y, z)
\1'x3y P(x, y) v \1'r3y Q(x, y) \1'x3y (P(x. y) A 3: R(x, y, z)) \1'x3y (P(,1, y)~ Q(x, y))
32. Expresa las negaciones de cada una de es1as sentencias de raJ fonna que todos los símbolos de negación precedan inmedialnmentc a predicados. a) 3z\fy\::/xT(x, y, z) b) 3x3y J>(x, y)/\ \1'x\1'y Q(x, y) e) 3x3y (Q(x, y) H Q(y, x)) d) Vy3x3z (T(x, y, z) v Q(x, y)) 33. Reescribe cada una de las siguientes sentencias de tal fonna que las negaciones aparezcan sólo dentro de los predicados (es decir, de tal forma que ninguna negación esté fuera de un euantiJicador o de una expresión con conectivos lógicos). a) -,\1'x\1'y P(x, y) b) -,\fy3x P(x. y ) e) -,\fy\::/x P(x, y) v Q(.x, y)) d ) ..,(3x3y -iP(x, y)/\ VxV'y Q(x. y)) e) -i'v'x(3y\::/z P(x, y, z) /\ 3Ny P(x, y. z))
34. Expresa cada una de esta!> sentencias u1ilizando cuanlificadores. Posteriormente, forma la negación de la sentencia de tal forma que ninguna negación esté a la i7quierda de un cuantificador. Finalmente. expresa la negación en lenguaje natural. (No te limites a usar la expn::-.ión « 10 se cumple que... »). a) Nadie ha perd ido más de 1.000 euros jugando a la iotería. b) Hay un estudiante en esta clase que ha chateado con exactamente otro estudiante de la clase. e) Ningún es1udiante de la clase ha enviado mensajes de correo electrónico a exactamente dos estudianrcs de la clase. d) Algún es1udiante ha resuelto todos los problemas de este libro. e) Ningún estudiante ha resuelto al menos un problema de cada sección de este libro. 35. Expresa cada una de estas sentencias usando cuanlificadores. Pos1eriormente, fo1ma la negación de la sen- • 1encia de tal forma que ninguna negación esté a la izquierda de un cuantificador. Finalmente, expresa la negación en lenguaje natural. (No te limites a utilizar la ex presión «No se cumple que ...»). a) Cada es1udiante de esra clase ha cursado exact
Los fundamentos: lógica y demostración. conjunws y funciones
36. Expresa las negaciones de estas proposiciones utilizando cuan1ificadores y en lenguaje natural. a) A lodos lo:. cstudian1es de Ja clase les gustan l:;s matemáticas. b) !lay un C!>lUdiante en esta clase que nunca ha vi!>lo un ordenador. e) Hay un estudiante en esta clase que ha cursado tod&s las asignaturas de matemáticas de la licenciatura. el) Hay un estudiante en esta clase que ha estado en al menos una habi1ación de cada edilicio del campus. 37. Encuentra un contrat:jemplo, si es posible, de estas sen-
tencias univcrsalmentt: cuantificadas, donde el dominio de todas las variables consiste en todos los enteros.
cial o el cuantificador universal. y P(x 1• ••• , ,, )es un predicado que no involucra ningún cuantificador. Por ejemplo. 3x\fy (P( 1. y) " Q(y)J está en íomia rrene.1 nonnal. mientras que 3.1 P(x) v 'r:/x Q(.r) no (ya que no iodos los cuantificadores se presentan al principio). Toda sentencia formada con variable!> proposicionales. predicado~ y los valores V y F. utilizando conectivos lógicos y cuantificadores, es equivalente a una sentencia en fom1a normal prenl'\. El problema 47 pide demostrar este hecho. *46. Po11 estas sentencias en fonna nonnai prenex. (Indicación: Usa las equivalcnci
a) 'r:/x'r:/y(x2 =y2-7x=y) b) V'x3y(y2=x) e) V'xV'y(xy"C.x)
38. Encuentra un contraejemplo, si es posible, de es1as sentencias universalmente cuantilicadas, donde el dominio de 1odas las variables consiste en todos los enteros. a) V'v3y(x= l/y) e) V..\ V'y (x2 et y 1)
b) \fr3y(y2 - x< 100)
39. U1ili1a cuantificadores para expresar la propiedad asociativa para el producto de números reales.
40. Utiliza cuantificadores para expresar la ley distributiva del pro
(.t)'
=
a) lo!> reales no nulos,
l>) los enteros no nulos.
e) los reales positivos.
.:J2. Dc1enni11a el v;ilor ele verdad de la sentencia 3.x'r:/y (x :::; y2) si el dominio es
51
**47. Muestra cómo se puede transfonnar una sentencia arbitraria en una sentencia en fon11a nonnal prenex que sea equivalente a la sentencia dada. ~8.
Un número real ..\ es cota superior de un conjunto S de números reale si .1 es mayor o igual que todo número de S. El número real x se dice que es el supremo de un conjunto S de números reales si x es una cota superior y 1 e<> menor o igual que toda cota superior de S. Si este valor existe. es único. a) l hilizando cuamificadores. expresa el hecho de que
\ es una cota superior de S. b ) Utilizando cuantificadores. expresa el hecho de que res el supremo de S.
*49. Expresa la cuantificación 3!x P(x) usando cuamificaciones universales, existenciales y operadores lógicos. La semencia lím. ,.. a11 = L significa que para todo número
rcnl positivo€ hay un entero positivo N tal que 1ª• - L 1
< € siempre que n > N.
a) los reales positivos,
b) los enteros, e) los reales no nulos.
50. (Se requiere Cálculo). Utiliza cuantificadores para ex-
pre nr la sentencia lín\ ,_ª• =L. 43. Muestra que las dos <;enlencias • 3x'v'y P(x. y) y V'x3y -.P(x. y) tienen el mismo valor de verdad.
~
uestra
cnv)
que 'Vx P(x) V 'Vx Q(x) y 'ílx\fy V Q(l')) son gicamen1e equivalentes. (La nueva variable y se emplea ara combinar los cuantificadores correctamen1e).
*45. a) Muestra que 'ílx P(.\) " 3x Q(x) es equivalente a Vx3y (P(.\) " Q(y)).
b) Muestra que 'r:/x P(x) v 3x Q(x) es equivalente a Vx3y (P(.1) v Q(y)). Una semencia está en forma normal prenex (PNF) si, y sólo si, es de la forma
Q.x1Ql2 •• • Q,r/(xl' x2,o.. ., x,), donde éada Q;, i = l, 2, ... , k, es bien el cuantificador cxis1en-
51. (Se requiere Cálculo). Utiliza cuantificadores para expresar la sentencia lím,, ,.. an no e),.is1e. 52. (Se requiere Cálculo). ªutiliza cuan1ificadores para expresar la siguiente clclinición: una sucesión {a les una
~ucesión de Cauchy si para todo número real ~>O hay un entero positivo N tal que la - a 1
de en1ero:, po:,i1ivo~ 11y111,
m.;; N . ,; > N.
53. (Se requiere Cálculo). Utiliza cuantificadores y conectivos lógicos para expresar esta definición: un número l . es el límite super ior dt: una sucesión {a 1 si para todo número real E > O. a > L - e ¡)ara infi~itos valores den y a.> f, +e l.ólo "para un número finilo de va-
lores den.
52
\1atcmática di~ac:ta y >us aplicacione'
1.5 Mé todos de dc1nostración INTRODUCCIÓN
Enlaces
Dos importan1es cues1iones que aparecen en el estudio de las matemáticas son: (1) ¿cuándo es correcto un argumento matemático?. y (2) ¿qué métodos se pueden utili¿ar para construir argumentos matemáticos? Esta sección ayudan\ a resolver estas dos preguntas describiendo varios tipos de argumentos rna1emáticos. correctos e incorrectos. Un teorema es una sentencia que e puede verificar que es verdadera. (A veces a los teoremas se les llama proposiciones. !tecitos o res11/1ados). Demostramos que un 1eorema es verdadero mediante una secuencia de semencias que constituyen un argumento llamado demostración. Para construir demostraciones se neccsiian métodos para derivar sentencias nuevas a partir de las conocidas. Las sentencias que se utilizan en una demostración pueden incluir axiomas o postulados, que son suposiciones que subyacen a las estructuras matemáticas, hipótesis del teorema o teoremas demostrados previamente. Las reglas de inferencia, que son los medios usados para deducir conclusiones a partir de otras afi rmaciones. enlazan los pasos de una demostración. En esta sección hablaremos sobre las reglas de inferencia. lo que ayudará a clarificar cómo construir una demostración correcta. Describiremos también algunas fonnas frecuentes de raLOnamiento incorrecto. que llamaremos falacias. Presentaremos varios métodos que se utilizan comúnmente para demostrar teoremas. El término lema o corolario se emplea para cierto tipo de teoremas. Un lema es un teorema sencillo utilizado en la demostración Je otros teoremas. Demostraciones complicadas son a veces más fáciles de cn1ender haciendo uso de lemas, los cuales se demuestran por separado. Un corolario es una proposición que se puede esiablecer directamente a partir de un teorema que ya ha sido demostrado. Una conjetura es una c111encia cuyo valor de verdad es de conocido. Cuando se encuentra una clemostración para una conjetura, ésta se convierte en teorema. Muchas veces las conjeturas resultan ser falsas, por lo que no llegan a ser teoremas Los métodos ele demostración que se desc1iben en este capítulo son importantes no sólo porque se usan para demostrar teoremas matemáticos. sino por sus muchas aplicaciones en ciencia<; ele la computación. Entre ellas, podemos ci1ar la verificación ele que un programa de ordenador es correcto, establecer si un sistema opera1i,·o es seguro. hacer inferencias en el área de la inteligencia artificial o mostrnr que las especificaciones de un sistema son consistentes. Por consiguiente, entender las técni<.:as que se utilizan en las demostraciont!s es esencial tanto en las matemáticas como en las ciencias ele la computación.
REGLAS DE INFERENCIA Vamos a introducir en este apa11ado las reglas de inferencia para lógica proposicional. Estas reglas justifican los pasos dados para demostrar que a partir ele una serie de hipótesis se llega de fonna lógica a una conclusión. Lafautología (p /\ (p ~ q)) ~ q es la base ele la regla de inferencia llamada modus ponens. Esta lé tología se escribe de la forma siguiente p p~q
:.q
Ejemplos adicionales
Usando esta notación. las hipótesis se escriben en una columna y la conclusión debajo de una barra horizontal . (El símbolo :. denota «por tanto» o «luego»). El modus ponens declara que si tanto una implicación como sus hipótesis son verdaderas, entonces la conclusión de esta implicación es verdadera. o
EJEMPLO 1 Supongamos que la implic~ción «Si nieva hoy . .iremos a esquiar» y la hipótesis «está nevando hoy» son verdaderas. Enlonces, por el modus pvnens, se sigue que la conclusión «iremos a esquiar» es verdadera. ~
1
Los
EH~MPLO
fund:1mcn10~:
lógica y demostración. conjuntos y funciones
53
2 Supongamos qne Ja implicación «Si n es mayor que :1, entonces n2 es mayor que 9» es verdadera. Por tanto, sin es mayor que 3, por el modus ponens, se sigue que n2 es mayor que 9. ~ La Tabla 1 muestra un listado de las reglas de inferencia más importantes. En los problemas de la Sección 1.2 podemos enconirar verificaciones de estas reglas. Aquí daremos algunos ejemplos de argumentos que utilizan estas reglas de inferencias.
EJEMPLO 3 Di en qué regla de inferencia se basa el argumento siguiente: «Ahora estamos bajo cero. Por tanto, bien estamos bajo cero o bien llueve ahora».
Solución: Sea p la proposición «Ahora estamos bajo cero» y q «Llueve ahora». Entonces. este argumento es de Ja forma p
:.p v q
Este argumento utiliza la regla de adición.
EJEMPLO 4 Di en qué regla de inferencia se basa el argumento siguiente: «Estamos bajo cero y llueve. Por tanto, estamos bajo cero».
Solución: Sea p la proposición «Estarnos bajo cero» y q «Llueve». Entonces, este argumento es de la forma p /\ q
:.p
Este argumento utiliza la regla de simplificación. Tabla l . Reglas de inferenc ia.
Regla de inferencia
Tautologfa
!!___ :.p vq
p
p /\ q :.p
(p /\ q) ~ p
p
~
Nombre
(pvq)
((p) /\ (q))
~
Adición
Simplilicación
(p /\ q)
Conjunción o ley de combinación
q -:.p /\ Q p
[p /\ (p ~ q)] ~ q
Modus ponens
[oq /\(p~q) J ~ ·p
Modus 1olle11s
p~q
:.q --
1:. •p "•
p~q
p ~q
[(p ~ q) /\ (q-} r)) -} (p
~
r)
.
Silogismo hipoté tico
q-} r :. p -} r pvq •p
[(p V q) /\ -.p]
~
q
Silogismo disyuntivo
:.q lo
pvq --.p v r
:. c¡Yr
o [(p v q) /\ (•p /\ r)J ~ (q v r)
Ley de resolución
5-'
J\laternática
E.J E\llPLO 5 Di en qué regla de inferencia se basa el argumento siguiente:
«Si llueve hoy, entonces hoy no haremos una barbacoa. Si no hacemos una barbacoa hoy, haremos una barbacoa mañana. Por tanto. si llueve hoy, haremos una barbacoa mañana». Solución: Sean p Ja proposición «Llut:ve ahora», q «lloy no haremos una barbacoa» y r «Haremos una barbacoa mañana». Entonces, cslc argumento e de la forma p-7q q-7 r
:.p -7 r
Por ianto, este argumento es un silogismo hipotético.
ARG UMENTOS VÁLIDOS Se dice que un argumento deductivo es correcto si siempre que todas las hipótesis son verdaderas. la conclusión también lo es. Consecuentemente, mostrar que q se deduce lógicamente de las hipótesis p 1• p2 , ••• ,P. es lo mismo que mostrar que la implicación (p 1 /\p 2 /\···/\fJ)-7q n
es verdadera. Cuando toda5 las propo iciones utilizadas en un argumento correcto son verdaderas, se llega a una conclusión correcta. No obstante, un argumento correcto puede conducir a una conclusión incorrecta si se utilizan una o más proposiciones falsas en el argumenlO. Por ejemplo, «Si
fi > t, en tal caso ( fi.)
2
>
(t/. Sabemos que J2 > f: por consiguiente,
2
(br =2>(t) =t»es un argumento correcro basado en el modus ronens. Sin embargo. la conclusión de este argu-
z.
f':j(·mplos ¡1didonale.~
mento es falsa. porque 2 < Se ha usado en el argumento la proposición falsa «.fi. > 1». lo que significa que la conclusión de este argumento puede ser falsa. Cuando hay muchas premisas, a menudo se necesitan varias reglas de inferencia para demostrar que un argumento es correcto. Esto se ilustra en los ejemplos siguiente , donde se muestra paso a paso cómo se llega de un argumento a otro, razonando ex plícitamente cada paso que se ha dado. Estos ejemplos muestran también cómo se pueden analizar argumentos en lenguaje natural utilizando reglas ele inferencia.
EJ EM PL06 Muestra que las hipótesis «Esta tarde no hace sol y hace más frío que ayer», «frcmos a nadar sólo si hace sol», «Si no vamos a nadar, ciaremos un paseo en canoa» y «Si damos un paseo en canoa, estaremos en casa para la puesta de sol» conducen a la conclusión «Estaremos en casa para la puesta de sol». Solución: Sea p la proposición «Est:l
J
de hace sol», q la proposición «Hace más frío que ayer»,
r la proposición «lremos a nadar», s latroposición «ciaremos un paseo en canoa» y / la proposición «Estaremos en casa para la puesta de sol». Entonces. las hipótesis se pueden expresar como •p /\ q, r -7 p . ..,,. -7 s y s ~ t. La conclusión es implemente l. [En el caso de la segunda hipótesis. se recuerda que una de las fomrns de expresa1 r -7 p recogida en la págin<1 5. Sección l. 1, es «r sólo si p», que es la forma de la hipótesis «Iremos a nadar sólo si hace sol]. Construimos un argumento para mostrar que nuestras hipótesis conducen a la conclusión de!'Cada como sigue. Paso l. -ip /\ q
2. • p 3. r -7 p
Razonamiento l Iipótesis Simplificaci6n usando el paso I Hipótesis
Los fundamemos: lógica y demos1rac1ón, conjumos y funciones
4. ...,,. 5. ...,,. 6. s
EJEMPLO 7
SS
Modus IOl/ens usando los pasos 2 y 3 ~
7.
S~l
8.
f
s
Hipótesis Modus ponens usando los pasos 4 y 5 Hipótesis Modus ponens usando los pasos 6 y 7
~
Muestra que las hipótesis «Si me mandas un mensaje por correo electrónico. entonces acabaré de e cribir el programa». «Si no me mandas un mensaje por correo electrónico. me iré a la cama temprano» y «Si me voy a la cama temprano, me levantaré descansado» llevan a Ja conclusión ((Si no acabo ele escribir el programa, me levantaré descansado».
Solución: Sea p la proposición (
Razonamiento Hipótesis Contrnrrecíproco del paso 1 Hip61esis Silogismo hipotético usando los pasos 2 y 3 Hipóte!.is Silogismo hipotético usando los pasos 4 y 5.
RESOLUCIÓN F:nlaces
Se han desarrollado programas de ordenador que automatizan tareas de razonamiento y demostraciones ele teoremas. Muchos de estos programas hacen uso de una regla de inferencia conocida como resolución. Esta regla de inferencia se basa en la tautología ((p
V
q) /\ (-.p V r))
~
(q V r).
(La comprobación de que esta semencia es una tautología se trató en el Problema 28 de Ja Sección 1.2). La disyunción fina l en la regla ele resolución, q v r, se llama resolvente. Cuando se cumple que q =r en esta taut.ología, tenemos que (p v q) /\ (-.p v q) ~ q. Además. cuando r =F, obtenemos que (p v q) "(-.p) ~ q (puesto que q v F = q), lo cual es la tautología en la que se basa el silogismo disyuntivo.
EJEMPLOS Utiliza Ja regla ele resolución para mostrar que las hipóresis «Jaime est<1 cs4uiando o no nieva» y «Nieva o Beatriz está jugando al hockey» implican que «Jaime está esquiando o Beatriz está jugando al hockey». f.jemplos adicionales
La
la
Solución: p la proposición «Nieva», q proposición «Jaime está esquiando» y r Ja proposición «Beat1z eslá j ugando al hockey». Podemos representar las hipótesis como -.p v q y p v r, respectivamente. Ulilizando Ja regla de resolución, se obtiene Ja proposición q v r, es decir, «Jaime está esquiando o Beatriz está jugando al hockey». ~ La regla de resolución desempeña un importante papel en lenguajes de programación basados en las reglas de la lógica. como el Prolog (donde se aplica la regla de resolución sobre sentencias cuantificadas). Además, se puede usar para construir sistemas automáticos de demostración ele teoremas. Para construir cierno. traciones en lógica proposicional utilizando Ja regla de resolución como única regla de inferencia, la hipótesi y la conclusión deben ser expresadas como cláusulas, donde una cláusula es una disyu~ción de variables o negación de estas variables. Podernos sustituir una sentencia en lógica proposicional que no sea una cláusula por una o más sentencias equivalentes que se
56
Y1~11emá1 ica discrcia y sus aplicac iones
Como p v (q /\ r) = (p v q) /\ (p v r), podemos sustituir la senLencia individual p v (q /\ r) por Ja conjunción de las dos sentencias (p v q) y (p v r), cada una de las cuales e. una cláusula. Podemos susti1uir una cntencia de la forma -.(p v q) por la conjunción de las dos sentencias -.p y -.q (que son cláusulas). puesto que por las leyes de De Morgan •(p ve¡) = -.p /\ •q. p v (q /\ r).
Podemos también reemplazar una implicación p EJEMPLO 9
~q
por la disyunción equivalente -.p v q.
Muestra que las hipótesis (p /\ q) v r y r ~ s implican la conclusión p v s. Sofurión: Podemos reescribir la hipótesis (p /\ q) v r como dos cláusulas, p v r y q v r. Podemos reemplazar también r ~ s por la cláusula equivalente •r v s. Utilizando las dos cláusulas p v r y .,,. v s. podernos usar la regla de rc~olución para concluir p v s. ~
FALACIAS Enlace.
Hay varias falacias muy frecuente que surgen de razonamientos incorrecto . Estas falacias se asemejan a reglas de inferencia, pero se basan en contingencias, no en tautologías. Mostraremos en este apartado la distinción entre razonamientos co1Tectos e incorrectos. La proposición [(p ~ q) "qj ~ p no es una talllología, ya que es falsa cuando pes falsa y q es verdadera. No obstante, hay muchos argumentos incorrectos que tratan esta proposición como si fuese una tautología. Este tipo de razonamiento incon-ecto se denomina falacia de afirmar la conclusión.
EJEMPLO 10 ¿Es correcto el argumento siguiente? Si haces tocio~ los problemas de este libro, aprenderás matemática discreta. Tú has aprendido matematica discreta. Por tanto, hiciste tocios los problemas de este libro.
Soluci6n: Sea p la proposición «Hiciste tO
Solución: Es posible que aprendas matemática discreJ incluso si no haces todos los problemas del libro. Este argumento incorrecto es de la forma p ~ ~y -.p implica oq, que es un ejemplo de falacia de negación de la hipótesis ~
REGLAS DE INFERENCIA PARA SENTENCIAS CUANTIFICADAS Hemos hablado de reglas de inferencia para proposiciones. Ahora describiremos algunas reglas de inferencia importantes para sentencias que involucran cuantificadores. Estas reglas de infercncia se usan con frecuencia en los argumentos matemáticos. a veces sin menciOIQarlas explícitameme. Particularización universal es la regla de inferencia que se utiliza para concluir que P(c) es verdadera, donde e es un miembro particular del dominio. dada la premisa 'ílx. P(x). Se utiliza la
Los fundamentos: lógica y demostración, conjuntos y funciones 57
pai1icularización universal cuando se concluye de la sentencia «Todas las mujeres son sabias» que «Lisa es sabia». donde Lisa es un miembro del dominio de todas lm; mujeres. Generalización universal es la regla de inferencia que declara que Vx P(x) es verdadera. dada la premisa de que P(c) es verdadera para todos los elementos e del dominio. Utili7amos la generalización universal cuando mostramo5 que Vx P(x) es verdadera tomando un elemento arbitrario e del dominio y mostrando que P(<) es verdadera. El elemento e seleccionado debe ser un elemento arbitrario del dominio y no uno e ·pccífico. La generalización universal se usa implícitamente en muchas demostraciones matemáticas: rara vez se menciona explícitamente. Particularización existencial es la regla que nos pennite concluir que hay un elemento e ~n el dominio para el cual P(c) es verdadera si sabemos que 3x P(x) es verdadera. Aquí no podemos seleccionar un valor arbitrario ele e, sino que deber ser un e para el cual sea verdadera. Generalmente, no tenemos conocimiento de qué r es, sólo de que éste existe. Como existe, le podemos ciar un nombre y continuar nuestro aJgumcnro. Generalización existencial es la regla de inferencia que se util iza para conclui r que :Jx P(x) es verdadera cuando se conoce un elemento particu lar e con P(c) verdadera. Esto es, si conocemos un elemento e del dominio para el cual P(t) es verdadera, sabemos que :Jx P(x) es verdadera. Resumimos estas reglas de inferencia en la Tabla 2. Ilustraremos cómo se utiliza una de esras reglas de inferencia para sentencias cuantificadas en el Ejemplo 12. EJEMPLO 12 Muestra que las premisas «Todo el mundo en la clase de matemática discreta está matriculado en ingeniería informática» y «María es una estudiante de esta clase» implican la conclusión «María está matriculada en ingeniería informática». Ejemplos adicionales
Solución: Sean D(x) «X está en la clase de matemática discreta» y C(x) «X está matriculado en ingeniería informática». Entonce:,, Ja;; premi:,a~ ~u11 'V.\ (D(.\) -7 C(.\)) y D(Maria). La conclusión·es
C(María). Se pueden usar los siguientes pasos parn establecer la conclusión a partir de las premisas: Paso l. \fx (D(x)--) C(x)) 2. D(María) --) C(María) 3. D(María) 4. C(María)
Ra7.onamiento Premisa Particulariz.ación universal de (1) Prem isa Modus ponens usando (2) y (3)
EJEMPLO J3 Muestra que las premisas «Un estudiante de csla clase no ha leído el libro» y «Todo el mundo en esta clase aprobó el primer examen» impl ican la conclusión «Alguien que aprobó el primer examen no ha leído el libro».
Tabla 2. Reglas de inft rencia para sentencias cuantificadas.
Regla de inferencia Vx P(x)
:.~ P(c)
para un e arbitrnrio
:. ~x P(x)
3.x P(x~ :. P(c) para algún elemento e
Nombre Particularización universal Gcncrali¿ación universal Particularización ex i!>tcn<.:ial V
P(c) ~ara algún elemt011to e :. 3x P(x)
Generalización cxislcntin l
58 Ma1cmáiica discreta y sus
~pl icaciont'S
Solución: Sean C(x) «X es de esta clase)). R(x) «X ha leído el libro» y P(x) «X ha aprobado el primer examen». Las premisas son 3x (C(x) /\ -iB(x)) y Vx (C(x) ~ P(x)). La conclusión es 3x (P(x) A -iB(x)). Los pasos siguientes csiablecen la conclusión a partir de las premisas.
Razonamiento Premisa ParticulariLación exi~1encial de ( 1) Simplificación de (2) Premisa Particularización universal de (4) Modus ponens usando (3) y (5) Simplific
Observación: Los argumentos matemáticos a menudo incluyen pasos donde se utilizan reglas de inferencia tanto para proposiciones como para cuantificadores. Por ejemplo, la particularización w1iversal y el modus po11e11s se usan a menudo juntos. Cuando estas reglas de inferencia se combinan, la hipótesis Vx (P(x) -7 Q(x)) y P(c), donde e es del dominio. muestra que la conclusión Q(c) es verdadera.
Ejempi~ adicionales
Obsenación: Muchos teoremas en matemática discreta enuncian que una propiedad se cumple para todos Los elementos de un conjunto en concreto, como el conjunto de los números enteros o los reales. Aunque el enunciado preciso de tales teoremas requiere incluir el cuantificador univcn,al. por convención se omhe. Por ejemplo, la senrencia «Si x >y, donde x e y son números reales positivos. entonce x2 > y2» significa realmente «Para todos los reales positivos x e y, <;i x > y. entonces x 2 > y2». Además. cuando se demuestran teoremas de este tipo, se utiliw a menudo la ley de generalización universal sin mencionarlo explícitamente. F.I primer paso de la demostración consiste en elegir un elemento genérico del dominio. Pasos posteriores muestran que este elemen10 cumple la propiedad en cuestión. La generalización universal implica que el teorema se cumple parn todos los miembros del dominio. En las siguientes explicaciones adop1arcmos las convenciones usuales y no mencionaremos explícitamente el uso de la cuantificación y Ja generalización universales. No obstante, debería entenderse siempre cuándo se aplica esta regla de inferencia de modo implícito.
MÉTODOS PARA DEMOSTRAR TEOREMAS Evat11a(·ió1t
Ejemplos adicional•~
Demostrar teoremas es a veces muy difícil, por lo que necesitamos todas las herramientas disponibles que nos puedan ayudar. Presentarnos nhora una batería de métodos diferentes de demostración. Estos métodos deberían convertirse en parte de tu repertorio para demo trar teoremas. Dado que muchos teoremas son implicaciones, las técnicas para demostrar implicaciones son importan1es. Recuerda que p ~ q es verdadera a no ser que p sea verdadera y q falsa. Ten en cuenta que cuando se demuestra la sentencia p -7 q. sólo hace f'
DEMOSTRACIONES OIRECTAS La implicación p -7 q se puede demostrar viendo que si p es verdadera, entonces q debe ser verdadera 1ambién. E. lO pone de manifies10 que la combinación p verd
DEFINICIÓN l
El emero n es par si existe un entero k tal que 11 = 2k y es imptilr si existe un entero k tal que n =2k + 1. (Observa que un número entero es bien par o bien impar).
Los funda mentos: lógica y demostración, conjuntos y funciones
59
EJ EM PLO 14 Da una demostrnción directa del teorema «Si n es un entero impar, entonces n 2 es un entero impar». Solución: Suponemos que la hipótesis de esta implicación es verdadera, es decir, que n es impar. Entonces, n = 2k + 1, donde k es un entero. Se sigue que n2 =(2k + 1)2 =4k2 + 4k + 1 =2(2k2 + 2k) + 1. Por tanto, n2 es un número .impar (es una unidad mayor que el doble de un entero). ~
DEl\llOSTR ACIONES INDIR ECTAS
Ejemplos adicionales
EJ EMPLO IS
Como la implicación p -7 q es equivalente a su contrarrecíproca, ..,q ~ -ip, la implicación p -7 q se puede demostrar viendo que su contrarrecíproca es verdadera. La conlrarrecíproca se suele demostrar directamente, pero se puede utilizar cualquier otra técnica. Un argumento de este tipo se llama demostración indirecta. Da una demostración directa del teorema «Si 3n + 2 es impar, entonces n es impar». Solución: Supongamos que Ja conclusión de esta implicación es falsa, es decir, que n es par. Entonces, n =2k para algún entero k. Se sigue que 3n + 2 = 3(2k) + 2 =6k + 2 = 2(3k + 1), por lo que 3n + 2 es par (por ser múltiplo ele 2). Como la negación de la conclusión implica que la hipótesis es falsa, Ja impl icación original es verdadera. ~
Supongamos que la hipótesis p de una implicación p -7 q es falsa. Enronces, la implicación p ~ q es verdadera, porque la sentencia tiene la f01ma F ~ V o F -7 F, y por tanto es verdadera. Consecuentemente, s i se puede demostrar que p es falsa, entonces se puede dar una demostración, llamada demostración vacua, de la implicación p ~ q. Las demostraciones vacuas se utilizan para establecer casos especiales de teoremas que enuncian que una implicación es verdadera para todos los enteros positivos [esto es, un teorema del tipo Vn P(n) donde P(n) es una función proposicional]. Las técnicas de demostración para teoremas de esta clase se discutirán en la Sección 3.3.
DEMOSTRACIONES V A CU AS Y TRIVI ALES
EJ EMPLO 16 Muest.ra que la proposición P(O) es verdadera, donde P(n) es la función proposicional «S in > 1 es impar, entonces n 2 > n». Solución: Ten en cuenta que la proposición P(O) es la implicación «Si O> l, entonces 02 >O». Corno la hipótesis O> l es falsa, Ja implicación P(O) es automáticamente verdadera. ~ Observación: El hecho de que la conclusión de esta implicación, 02 > O, sea falsa es irrelevante para el valor de verdad de esta implicación, porque está garantizado que una implicación con una hipótesis falsa es verdadera. Supongamos que la conclusión q ele una implicación p -7 q es verdadera. Entonces, p ~ q es verdadera, puesto que la sentencia tiene la fonna V -7 V o F - > V, lo cual es cie110. Por tanto, s i se puede ver que q es verdadera, entonces se puede dar una demostración, llamada d emostración trivial, de p -7 q. Las demostraciores triviales son impo11antes para casos especiales de teoremas (véase la discusión sobre la técnica ·e demostración por casos) y en inducción matemática, que veremos en la Sección 3.3.
EJ EMPLO 17
Sea P(n) «Si a y b son enteros positivos, a 2 b, entonces a" 2 h"». Muestra que la proposición P(O) es verdadera. Solución: La proposición P(O) es «Si a 2 b. entonces a 0 2 bº». Como a0 =bº = L la conclusión de P(O) es verdadera. Por tanto, P(O) es verdadera. Éste es un ejemplo de una demostración trivial. Nota que la hipótesis, que es la sentencia «a 2 h», no se necesitó en Ja demostración. ~ UN POCO DE ESTRATEGIA PARA HACER DEMt)STRACIONES Hemos descrito tanto las demostraciones directas confo indirectas y hemos proporcionado ejemplos ele cómo se utilizan; sin embargo, cuando nos enfrentamos a un teorema que debemos demostrar, ¿qué método
60 Matemárica discreta y sus aplicaciones
E.j~m¡>los
a(licionales
DEFINICIÓN 2
deheremos usar? Primero evalúa si una demostración directa parece eficaz. Desarrolla las definiciones dadas en las hipóte!lis. Luego comienza a razonar haciendo uso de ellas, junto con los axiomas y los teoremas disponibles. Si no parece que conduzca a ningún sitio, intema lo mismo con una dcmostrnción indirecta. Recuerda que en una demostración indirecta se asume que la conclusión de la implicación es falsa y se uliliza una demostración directa para demostrar que se deduce que la hipótesis debe ser falsa. A veces, cuando no hay una forma obvia de conseguir una de~ mostración directa, una demostración indirecta puede funcionar. Ilustramos esta estrategia en los Ejemplos 18 y 19. Antes de presentar los siguientes ejemplos, necesitamos una definición.
El número real res racional si existen dos enteros p y q, q .,¡.:O; tales que r =plq. Un número real que no es racional se llama irracional.
EJEMPLO 18 Demuestra que la suma de dos números racionales es un número racional. Solución: Primero intentamos una demostración directa. Para empezar, supongamos que r y s son números racionales. De la definición de número racional se sigue que hay dos enteros p y q, q .,¡.:O, tales que r =p/q, y otros dos enteros t y u, u* O, iales que s = t /u. ¿Se puede usar esta información para mostrar que r +ses racional? El paso siguiente obvio es sumar r = p/q y s = 1/11 para obtener p t pu+qt r+s= - +-= . q u qu
Como q *O y u* O, se sigue que qu *O. Por cousiguiente, hemos expresado r + s como la razón ele dos enteros, pu+ qt y qu, donde qu *O. Esto significa que r +ses racional. Nuestro intento por encontrar una demostración directa ha tenido éxito. ~
EJEMPLO 19 Demuestra que si n es un entero y n 2 es i111par, entonces n es impar. Solución: Primero intentamos una demostración directa. Supongamos que n es un entero y n2 es impar. Entonces, existe un entero k tal que 11 2 =2k + 1. ¿Se puede utilizar esta información para demostrar que n es impar? No parece haber un camino obvio para mostrar que n es impar porque las soluciones paran son de la forma n =±..J2k + 1. lo cual no es muy útil. Como el intento de dar una demostración directa no parece tener éxito, intentamos la demostración indirecta. Tomamos como hipótesis que n no es impar. Como todo entero que no es impar es par, n es par. Esto implica que existe un k tal que n = 2k. Para demostrar el teorema, necesitamos mostrar que esra hipótesis impjjca la conclusión ele que n2 no es impar, es decir, ele que 2 11 es par. ¿Podemos usar la ecuación n =2k para llegar a esto? Elevando ambos miembros al cuadrado, ohtenemos 112 = 4k1 = 2(2k2), lo que implica que n2 es Lambién par, ya que n 2 = 2t, donde 2 1 =2k . Hemos tenido éxito en el intento ~e encontrar una demostraeiólindirecta. ....
DEMOSTRACIONES POR REDUCCION AL ABSURDO Hay otr, formas de demostración que no son ni Ja directa ni la indirecta. Presentamos ahora varias técnicas adicionales ele demostración. Supongamos que se puede encontrar una contradicción q tal que -.p --t q sea verdadera, esto es. -ip --t Fes verdadera. Entonces la proposición -.p tiene que ser falsa. Por tanto, p debe ser verdadera. Esta técnica se utiliza cuando podemos encontrar una contradicción, como por ejemplo r /\ -,,.,de tal forma que es posible mostrar que la implicación -.p --t (r /\-ir) sea verdadera. Un argumento ele este tipo se llama demostración por reducción al absurdo. Vamos a dar ahora tres ejemplos de demostraciones por reducción al absurdo. El primero es un ejemplo de la aplicación del principio del palomar, una técnica de combinatoria que se ved en profundidad en la Sección 4.2. º
Los fundamentos: lógi<:a y dernos1raci6n, conjumos y funciones
61
EJEMPLO 20 Muestra que al menos cuatro de Cdda 22 días deben caer en el mismo día de Ja semana. Solución: Se:1 p la proposición «Al menos cuatro de los 22 días elcgjdos caen en el mismo día ele Ej<·mplos adidonales
Ja semana». Supongamos que ...,p es verdadera. Entonces, como mucho, tres de estos 22 días corresponden al mismo día de la semana. Como hay siete días de la semana, esto implica que como mucho se podrían haber elegido 21 dfrL<;, puesto que eres son los que, a lo más, pueden ser un día pa11iculnr de Ja semana. Esto es una contradicción. ~
EJEMPLO 21 Muestra que .fi. es irracional dando una demo tración por reducción al absurdo. ,)'ofución: Sea p Ja proposición «f2 es irracional». Supongamos que ...,P es verdadera. Enlonces, \Í2. es racional. Mostraremos que esto conduce a una contradicción. Bajo la suposición de que -J2 es racional, existirán dos en1eros a y b de tal fonna que -J2 =a/b. donde a y b no tienen factores comLines (de tal fonna que no hay una fracción equivalente a a/b con número más pequeños). Como \Í2. =a/b, cuando ambos miembros de Ja ecuación se elevan al cuadrado. se sigue que
2 = a2/b2•
Por lanto, 2b2 = a 2•
Esto significa que a2 es par. por lo que a e!> par. Además, como a es par, a= 2c para algún entero c. Así.
2b 2 = 4c2• por lo que IJ2
= 2c2.
Esto significa que b2 es par. Por tan10. b debe ser par l> es verdadera. ~ Una cierno tración indirecta de una implicación se puede reescribir como una demostración por reducción al absurdo. En una demostración indirecta mostramos que p -7 q es verdadera utilitando una demostración di recta para ver que -iq -7 ...,pes verdadera. Esto es, en una prueba indirecta de p -7 q suponemo que •q e verdadera para mostrar que ...,P debe serlo. Para reescribir una demostración indirecta ele p -7 q como una demostración por reducción al absurdo, suponemos que tanto p como -iq son verdaderas. Entonces usamos los pasos de la prueba directa ...,q -7 ...,p para mostrar que -ip debe ser verdadera también. Esto conduce a la con1radicción p /\ ...,p, completando la demostración por reducción al absurdo. El Ejemplo 22 ilustra cómo una demostración de una implicación se puede reescribir como una demostración por reducción al absurdo. llJ E!\f PLO 22
Da una
demo~iración por reducción al al>1urdo di 1co1oma «Si 3n + 2 es impar, entonces
Solución: Asumimos que 3n + 2 es impar y que
11
es impar».
11 no es impar, es decir, 11 es par. Siguiendo los mismos pasos que en la solución del Ejemplo 15 (una demostración indirecia de este teorema), podernos mostrar que si /1 es par. entonces 311 + 2 es par. Esto contradice la suposicíón de que 3n + 2 es impar. completando la demostración. ~
UEMOSTRAC IÓN POR CASOS (p,
V
P2 V
... V
Para demoslrar una implicación ele In forma
P) -7 q
se puede utilizar la tautología l(p 1 V p 2 V
.. . V
p)-7 q]
H
((p 1 ~ q) /\ (p 1 ~ q) /\ ... /\ (p,, ~ q)]
62
Matemática discreta y sus aplicaciones
ejemplo~
adicionales
como regla de inferencia. Esto muestra que la implicación original con una hipótesis construida mediante una disyunción de las proposiciones p 1, p 2, •••• Pn se puede demostrar demostrando individualmente cada una ele las /1 implicaciones p, -7 q. i =1. 2 ..... n. Tal argumento se denomina una demostración por casos. A veces para demostrar que una implicación p -7 q C!> verdadera, es conveniente usar una disyunción de proposiciones p 1 v p2 v ... v p11 en lugar de una sola proposición p como hipótesis de la implicación. donde p y p 1 v p7 v ... v P,. son equivalentes. Considera el Ejemplo 23.
EJEMPLO 23 Utiliza una demostración por casos para ver que 1xy1=lx11 y l. donde x e y son números reales. (Recuerda que lx ¡.el valor absoluto de x. es igual a \"cuando .\ 2 Oe igual a -x cuando x ~ 0). Solución: Sea p «X e y son números reales» y sea q «j .\)' 1=lx 11 y I». Ten en cuenta que pes equivalente ap 1v p 2 v p 3v p~, dondep 1es <
p4 ~ q. (Hemos considerado estos cuatro casos porque son una elección apropiada para poder elimi nar el signo del producto dentro de cada caso). Vemos que pi -7 q porque xy ~ Ocuando x 2 Oe y 2 O. por lo que ~ryl = ,\y = 1x11 y l. Para ver que p 2 ~ q, ten en cuenta que si x 2 O e y < O. entonces xy SO, por lo que ¡,ty 1 =- xy =.r( y)= lxl lyl. (Aquí, como y < O. tenemos que IY1 =- y). Para ver que p3 ~ q. seguimos el mismo razonamiento que en el caso anterior, cambiando x por y, y viceversa. Para ver que p4 ~ q, ten en cuenta que cuando x O. Por tanto, ~ryl =xy = (- x)(- y) = 1rl IJ l. Esto completa la demostración. ..,.. Di;: MOSTRACIONES POR EQUIVALENCIA Para demostrar un teorema que viene dado por una bicondicional, esto es. una doble implicación de la forma p H q. donde p y q son proposiciones, se puede usar la tautología (p H q) H [(p ~ q) /\ (q - >p)l.
Esto es, la proposición «p si. y sólo si. q» se puede demostrar si se demuestran las dos implicaciones «si p, entonces q» y «si q. entonces p ».
EJ EMPLO 24 Demuestra el teorema «F.l entero 11 es impar si. y sólo si. n2 es impar».
Ejem pi~ adicionttlc?>
Solución: Este teorema tiene la forma «psi, y sólo si, q», donde pes «n es impar» y q es «n 2 es impar». Para demostrar este teorema, necesitamos mostrar que p ~ q y q ~ p son verdaderas. Ya hemo demostrado que p -7 q y que q -7 p son verdaderas (Ejemplos 14 y 19, respectiva..... mente). Como p -7 q y q -7 p son verdaderas, hemos demostrado que el teorema se cumple.
A veces. un reorema enuncia que ,·arias proposiciones p 1• Pr .... Pn son equivalentes. Tales teoremas se pueden reescribir como
~
µ 1 Hp,H ... Hp ,
Jo cual decla-ra que las 11nproposiciones tienen los mismos valores de verdad y, por tant , que para todo i yj, 1 s i S j s 11, p 1 y pi son equivalentes. Una forma de clcmo.strar estas equival 1cias mutuas es empicar la tautología [p 1 H p 2 H ... H
P,,1 H [(p 1 -7 P2)
/\
(p 2 -7
P) /\ ··· /\ (JJ
11
-7
P 1)l
Esto indica que si las implicaciones p 1 -7 p 2• p2 -7 p , • ... , Pn ~ Pi se pueden mostrar que son verdaderas, entonces las proposiciones p 1, p2• ••• • pn son todas equivalentes. Esto es mucho 1rn1s eficiente que probar P; ~ p para i-¡:. j, 1 Sis 11 y l Sj ~ n. Cuando demostramos que un grupo ele sente~cias son equivalentes. podemos establecer cualquier cadena de implicaciones que elijamos, ya que a través de Ja cadena es pos ibl~ ir de una a orra cualesquiera. Por ejemplo, podemos ver que p 1, p 2 y p3 son equivalentes mostrando que Pi ~ p 3, P3 ~ P2 YP2 -7 P1·
Los Cundamemos: lógica y demostración. conjuntos y funciones 63
EJEMPLO 25 Muestra que estas sentencias son equivalentes: p 1: n es un entero par p,: n - J es un entero impar p; : n2 es un entero par
Solución: Mostraremos que estas tres sentencias son equivalentes viendo que las implicaciones que p 1 __, p 2, p 2 __, p 3 y p 3 __, p 1 son verdaderas. Hacemos una demostración directa para p 1 __, p2. Supongamos que n es par. Entonces, n = 2k para algún entero k. Por tanto, n - 1 =2k - 1 =2(k - 1) + 1. Esto significa que n - 1 es impar, pues se puede poner de la forma 2m + J. donde mes el entero k - 1. Daremos también una prueba directa de que p2 ~ p3 • Supongamos ahora que n - 1 es impar. Entonces, n -1 = 2k + 1 para algún entero k. Por tanto, n = 2k + 2, por lo que n2 = (2k + 2)2 =4k2 + 8k + 4 = 2(2k2 + 4k + 2). Esto significa que n2 es el doble del entero 2k2 + 4k + 2, y por tanto, par. Para demostrar p 3 --? p 1 utilizamos una demostración indirecta. Esto es, demostramos que si n no es par, entonces n2 no es par. Esto es lo mismo que demostrar que sin es impar, n2 es impar, lo cual se ha hecho ya en el Ejemplo 14. Esto completa la demostración. ~
. ~I'EOREMAS Y CUANTIFICADORES Muchos teoremas se enuncian haciendo uso de proposiciones y cuantificadores. Se pueden utilizar varios métodos p~u-a demostrar teoremas que son cuantificaciones. Aquí describimos algunos de los m«ís importantes.
. Ejemplos adiciónalcs
DEMOSTRACIONES DE EX ISTENC IA Muchos teoremas afinnan la existencia ele un tipo particular de objetos. Un teorema de este tipo es una proposición de la forma .3x P(x), donde Pes un predicado. Una demostración ele una proposición de la forma .3x P(x) se llama demostración de existencia. Hay varias fonnas de demostrar un teorema de este tipo. A veces puede darse una demostración del tipo 3x P(x) encontrando un cJcmento a ta! que P(a) sea verdadera. Tal demostraci6n de existencia se llama constructi va. También es posible dar una demostración ele existencia que sea no constructiva. Esto es, no encontramos el elemento a tal que P(a) es verdadera, sino que demostramos que 3x P(x) es verdadera de alguna otra f01ma. Un método común para dar una demostraci6n no construct iva de existencia es utiUzar una demostración por reducción al absurdo y mostrar que la negación de Ja cuantificación existencial implica una contradicción. El concepto de demostración constructiva se ilustra en el Ejemplo 26.
EJEMPL026 Una demostraciún constructiva ele existencia. Demuestra que hay un entero positivo que se puede poner ele dos fom1as diferentes como suma de cubos de enteros positivos.
Solución: Tras considerables cálculos (haciendo uso, por ejemplo, ele un prognui1a ele ordenador), encontramos que
1729= 103 + 9 3 = 123 + 13.
l
Como hemos encontsado un entero positivo que puede e cribi rse como la suma de cubos ele dos formas cliferen tes, la demostración está conseguida
EJEMPLO 27
Una demostración no constructiva de existencia. Muestra que existen dos números irracionales x e y tales que x' es racional.
-../2 es irracional.
2
Considera el número -...Fi..; . Si es racional, hemos encontrado dos nümeros x e v con x-" racional: x = .fi e y= -J2. Por otra parte. si ..¡? , ~ ..[i (;::\ Q • ( ~ fi ),.,12 ..)2 -~es~irracional, entonces podemos hacer x =-.. í 2 e y:;;: '12, de tal forma que x' = "12 =
Solución: Por el Ejemplo 21 sabemos que
..)2('1 2·v2) = -/i2
=2 .
64
Matemática discreta y ,us aplicaciones
Esta demostrnción es un ejemplo de demostración no constructiva de existencia, porque no hemos encontrado dos números x c y tale'> que x'· es racional. Más bien hemos demo...trado que 2
bien el par x =fi,, y= -12. o bien x =....;2." ,y = "12 uno de ellos tiene las propiedades deseadas, pero ¡no sabemos cuál de estos dos pares es el que buscamos! ~ DEMOSTRACIONES OE l JNICTDAD Algunos reoremas afimum la existencia ele un único elemento con una propiedad particular. En mras palabras. estos teoremas afinnan que hay exactamente un elemento con esta propiedad. Para demostrar una sentencia de este tipo, necesitamos mostrar que existe un elemento con esta pr0piedad y que ningún otro elemento cumple esta propiedad. Las dos partes de una demostración unicidad son:
Existencia: Mostrarnos que existe un elemento x con la propiedad deseada. Unicidad: Mostramos que si y:;:. x. entonces y no tiene la propiedad deseada. Observación: Mostrar que existe un únil.:o elemento x tal que P(x) es lo mismo que demostrar la sentencia 3x (P(x) "\/y (y~ x-? -.P(J))).
EJEMPLO 28 Muestra que todo entero tiene un único inverso respecto Ja suma. Esto cs. muestra que si pes un entero, entonces existe un único entero q tal que p + q =O. Ejemplos adicion:iles
Ejemplos adicionales
EJ EMPLO 29
Solución: Si pes un entero, encontramos que p + q =O cuando q = - p. Como q es también entero, por consiguiente. existe un entero q tal que p + q =O. Para mostrar que dado el entero p , el entero q tal que p + q =Oes único, supongamos que r es un entero tal que r :f. q y p + r =O. Así. p + q = p + r. Sustrayendo p de ambos lados de Ja ecuación, se sigue que q = r, lo que contradice la suposición de que q :f. r. Por tanto, hay un único en~ tero q tnl que p + q =O. CONT RAEJEMPLOS En Ja Sección 1.3 menc ionamos que .. e podía ver que una sentencia de la forma 'ilx P(x) es folsa si podemos encontrar un contraejemplo. esto es, un ejemplo x para el cual P(x) es fa Isa. Cuando nos encontramos una sentenci a de la forma 'llx P(x) y bien creemos que es falsa o bien se nos resisten todos los intentos para enconrrar una demostración, buscamos un contrncjemplo. llustramos la caza de un contraejemplo en el Ejemplo 29. Muestra que la sentencia «Todo entero positivo es la suma de los cuadrados de tres enteros» es falsa.
Solurión: Podemos mostrar que esta sentencia es falsa si encontra1nos un contraejemplo. Esto es, Ja sentcn<.:ia es falsa si podemos mostrar que hay un entero pa11icular que no es la suma de los cuadrados de tres enteros. Para buscar un contra~jemp l o, intentamos escribir Joi. sucesivos entero'\ positivos como suma de tres cuadrados. Encontramos que 1 =02 + 02 + 12 , 2 =02 + 12 + 12 , 3 =12 + 12 + 12. 4 =02 + 02 + 22 , 5 =02 + 12 + 22 , 6 = 12 + 12 + 22 • pero no podemos encontrar una forma para escribir 7 como la suma de tres cuadrados. Para demostrar que no hay tres cuadrados que su men 7. ten en cuenta que podemos utilizar sólo aquellos cuadrados que no exceden de 7, a sabe1~ O, 1 y 4. Como no hay tres términos escogidos entre O, 1 o 4 cuyos cuadrados sumen 7. se sigu que 7 es un contraejemplo. Concluimos que la sentencia «Todo entero positivo es la suma de lo .... cuadrados de tres enteros» es fal sa.
F:nlaccs
Un error común consiste en asumir que uno o más ejemplos establecen la verdad de una sentencia. No importa los ejemplos que se encuentren que hagan P(x) verdadern, la cuantificación universal Vx P(x) puede ser falsa. Considera el Ejemplo 30.
l\OTA lflSTÓRICA Cuando el malemático inglés G. H. l lardy visitó al prodigio hindú Ram:rnujan en el hospi1al donde estaba conva1ec1ente. Hardy ~eñaló que el 1729, el número del taxi que había tomado, era bastante insulso. Ramanujrut le replicó: «No, es un nú mero muy intere~antc: es el mímero más pequeño que se puede expresar como Ja suma de cubos de dos fonna~ diferentes». (Véanse los Prohkmas suplementario\ del Capítulo 3 para la~ biografías de Hardy y Ramanujan).
Lo~ fundat11en10~:
lógica y demostración. conjumos y funciones
65
EJ EMPLO 30 ¿Es verdad que todo entero positivo es la suma de J8 potencias cuartas de enteros? En oLras palabras. ¿es un teorema la sentencia 'i/11 P(n). donde P(n) es la sentencia «n se puede escribir como la suma de 18 potencias cuartas de enteros» y d dominio consiste en todos los enteros positivos? Solución: Para detenninar si
se puede escribir como la suma de 18 po1encias cuartas de emeros. deberíamos empezar examinando si 11 es la suma de 18 potencias cuartas de emeros para los enteros positivos más pequeños. Como las potencias cuartas de cilleros son O, l, 16, 81, ... , si podemos seleccionar 18 tém1inos de estos números que sumen 11, entonces /1 es una suma de 18 potencias cuartas. Podemos mostrar que todcis Jos enteros positivos hasta 78 se puede escribir como la suma de 18 potencias cuartas. (Los detalles se dejan al cuidado del lector). Sin embargo, si decidiéramos que esto es suficiente, habríamos llegado a una conclusión errónea. La sentencia inicial no es ~ correcta porque 79 no es suma ele 18 potern.:ias cuartas (corno el lector podría verificar). /1
ERRORES EN DEMOSTRACIONES JJay mucho fallos comunes en la construcción de demostraciones. Describiremos brevemente algunos ele ellos aquí. Entre los fallos más generalizados están las equivocaciones en arirmética y álgebra básica. Incluso matemáticos profesionales cometen tales errores. especialmente cuando trabajan con fórmulas complejas. Siempre que utilices cálculos complejos, deberías revisarlos tan cuidadosamcme como sea posible. (Sería interesante que repasases algunos aspectos problemáticos del álgebra básica. especialmente antes de estudiar la Sección 3.3). Cada paso de una demostración matemática dehe ser correcto y la conclusión debe deducirse lógicamcmc de Jos pasos que la preceden. luchas equivocaciones resultan de introducir pasos que no se han deducido lógicamente de lo · anteriores. Esto se ilustra en los Ejemplos 31-33.
EJEMPLO 3 1 ¡,Dónde está el error en Ja famosa «demostración» upue ~ta de que 1 = 2? «Demostración»: Considerarnos los siguientes pa os, donde a y b son dos enteros positivos
iguales. Paso 1. 2. 3. 4. 5.
Razona miento
a= b
Dado Mulliplicando ambos lados de ( 1) por a Restando b2 a nrnbos lados de (2) (a - b) (a + b) = b(a - /J) Factorizando ambos lados de (3) a+ h =h Dividiendo ambos lados de (4) por a - b 6. 2b = b Reemplazando a por ben (5), porque a= b, y simplificando 7. 2= 1 Dividiendo ambos lados de (6) por b a 2 =ab a2 - h2 =ab - b2
So/11ció11: Todos los pasos son válido excepto uno. el paso 5, donde dividimos ambos lados por a b. El error está en que a - bes igual a cero. La división de arn~ miembros de una ecuación
por la misma cantidad es válida siempre que esta cantidad no sea ce{°.
~
EJEi\IPLO 32 ¿,Dónde está el error en esta «demostración»? «Teorema»: Si n 2 es positivo, entonces /1 es positivo. «Demostración»: Supongmnos que
11 2
es positivo. Corno la implicación «Si n es positivo. entonces n es positivo» es verdadera, concluimos que 11 es positivo. 2
So/11ció11: Sea P(n) «n es positivo» y Q(11)
«11 2 es
positivo». Entonces nuestra hipótesis es Q(n). La sentencia «Sin es positivo, entonces es positivo» es la sc111encia V n (P(n) -7 Q(n)). D~ la hipótesis Q(n) y la sentencia Vn (P(n) -7 Q(n)) no podemos concluir P(11), porque no estamos empleando una regla de inferencia válida. De hecho, éste es un ejemplo de la falacia de la afirmación 11 2
66
l\latemát ica di screta y sus aplicaciones
de la conclusión. Se puede poner un con1raejemplo con n = - l , para el cual n 2 = 1 es entero positivo, pero n es negativo ~ EJE~IPLO
33
¿Dónde está el error en esta
«Teorema»: Si n no es positivo. entonces 112 no es positivo. (Esto es contrarrecíproco del «lcorema» del Ejemplo 32). «Demostración»: Supongamos que 11 no es positivo. Como la implicación «Si tonces 112 es positivo» es verdadera, concluimos que n2 no es posi1ivo.
/1
es positivo, en-
Solución: Sean P(n) y Q(n) del Ejemplo 32. Entonces nuestra hipótesis es -iP(n) y la sentencia «Si n es positivo, entonces n2 es positivo» es la sentencia rf 11 (P(n) ~ Q(n)). De la hipóresis -.P(n) y Ja
sentencia Vn (P(11) ~ Q(n)) no podemos conclui r -.Q(n), porque no utilizamos una regla de inferencia correcta. De hecho, esto es un ejemplo de la fa lacia de negar Ja hipótesis. Puede ciarse un contraejemplo para /1 = - l. como en el Ejemplo 32. ~ Un error común consistente en hacer suposiciones no garanti7adas puede darse en las demostraciones por casos, en las cuales a veces no se consideran todos los casos. Esto se ilustra en el Ejemplo 34.
EJEM PLO 34 ¿Dónde está el error en esta «demostración»? «Teorema»: Si x es un número real. entonces x2 es un real positivo. «Demostración»: Sea p 1 «X es positivo». p1 «X es negati vo» y q «.i-2 es positivo». Para mostrar que p 1 ~ q. ten en cuenta que cuando x es posítivo. x 2 ec; riositivo, ri11esto que el riroduc10 de dos números positivos (x y .\) reales es un real positivo. Para mostrar que p 2 ~ q. se puede ver que cuando x es negativo, .t1 es po-;itivo, ya que el producto de dos números negativos. x y x. es positivo. Esto completa la demos1ración. Solución: El problema de la solución que hemos dacio es que hemos olvidado el caso en que x sea igual a O. Cuando x =O, x~ =O. no es positivo. por lo que el teorema es falso. Si pes «X es un número real», enronces podemos demostrar resultados donde pes la hipótesis con tres casos p 1• p 2 y Py donde p 1 es «X es positivo», p2 es « X es negativo» y p3 es«.\= Ü», por la equivalencia p H P, V P2 V P3· ~ Finalmente, discutirnos brevemente un tipo de error especialmente desafortunado. Muchos argumentos correctos se basan en una falacia ]amada petición de principio. Esta fa lacia se presenta cuando uno o más pasos de una demostración se basan en la veracidad de la sentencia que se está demoslnrnclo. En otras palabras, esta fa lacia surge cuando se demuestra una sentencia usando en la demostración la misma sentencia o una sentencia equivalente a cUa. Es por lo que e ta falacia también se conoce como razonamiento circular. E.TEM PLO 35 ¿Es correclo el siguiente argumento? Supues:amente, demuestra que n es par siempre que n2 sea par. Supongamos que 11" es par. Entonces, 11 2 =2k para algún entero k. Sean =21 para algún entero/. Esto muestra que 11 es par. Solución: Este argumen10 es incon·cc10. La sentencia «Sean= 21 para algún entero I» se utiliza en la clcmos1ración. No se ha dacio ningún argumento que demuestre que n se puede escribir como 2/ para algún entero/. Esto es un ra7onamiento circular porque la sen1encia es equivalente a la sentencia que se quiere demostrar. e~to es, «n es par». Por supuesto, el resultado es correcto: sólo el método de dcmos1ración es incorrec10. ~ Cometer errores en las demostraciones es parte del proceso ele aprendizaje. Cuando cometes un fallo y otra persona Jo encuentra, deberías analizar cuidadosamente por qué le equivocasle y
1
f.o,
fundamemo~:
lógica y dcmo\tr:idón. conjuntos y funciones 67
asegurarte de que no cometes el mismo fa llo de nuevo. lncluso Jos matemáticos profesionales cometen errores en sus demo:-.traciones. No poca demostradones incorrectas de resultados importantes han confundido a la gente durante muchos años ante de que los sutiles errores conten idos en ellas fueran encontrados.
SÓLO EL COMIENZO J lcmos presentado algunos métodos para demostrar teoremas. Observa que no se ha dado ningún algoritmo para demostrar teoremas: ni siquiera se ha mencionado. Un resultado de gran calado es que no existe tal algoritmo. Hay mucho teoremas cuyas demostraciones son fácilcl> ele cncontrnr trabajando directamente con las hipótc is y las defmic ione~ de los ténninos del teorema. Jo obsiantc. a vece~ c!> difícil demostrar un teorema sin hacer un uso inteligente de demostraciones indirectas por reducción al absurdo o por alguna otra técnica. Construir demostraciones es un arte que sólo se puede aprender a través de la experiencia, que consiste en escribir las demostraciones, hacerlas revisar. leer yanalizar demostraciones hecha por otros. etc. Presentamos más ejemplos de demostraciones en el resto de este capítulo y en el Capítulo 2. En el Capítulo 3 seguiremos viendo algo del arte y la estrategia de demostrar teoremas y trabajar con conjeturas, introduciendo varias técnicas de demostración importantes entre las que se incluye el principio de inducción, que se puede utilizar para demostrar resultados que se cumplen para enteros positivos. En el Capítulo 4 prcscntamo!> la noción de demostraciones combinatorias.
Problemas l. Qué reglas de inferencia se u:-an en los siguientes argumentos?
a) Alicia estudia matemática¡;, Por tanto. Alicia estudia bien matemáticas o bien ingeniería infonnática. h) Jcrry estudia ma1emáticas e ingeniería infom1á 1ica. Por tanto. Jerry estudia ma1emá1icas. e) Si llueve, se cierra la piscina. Llueve: por lanto. está ceJTada. d) Si nieva hoy, se cerrará la universidad. La universidad no está cerrada hoy. Por tanto. no nieva hoy. e) Si voy a nadar. entonces estaré al sol dema-.iado tiempo. Si e. toy al sol demasiado tiempo, me quemaré. Por tanto, si voy a nadar me quemaré. 2. ¿Qué regla~ de inferencia se usan en los siguientes argumentos? a)
b)
e)
d,
e)
Los canguros viven en Aus1ralia y son mar:,upiales. Por tanto, l o~ canguros son 111arsupiales Estamos a más de 40 ºC hoy o la polut:ión es peligrosa. Es1amos a menos de 40 ºC hoy. Por wnto, la polución es peligrosa. Linda es una excelente nadadora. Si Linda e' una excelente nadadora, entonces puede trabajar como salvavidas. Por 1anto. Linda puede lntbétjar como salvavidas. Susana 1rabajará en una compañía de informá1ica e"e verano. Por tanto. e~1e verano Susana lrabajará en una compañía de infonná1ica o deambulará por la playa. Si 1rabajo toda la noche. podré resolver iodos los problemas. Si puedo resolver iodos los problemas. en-
lcnderé la asignaturn. Por tanto, si trabajo toda la noche, emonces entenderé la asignatura. 3. Construye un argumenlo u1i li.wnclo reglas J e inferencia para mostrar que las hipótesis «Randy crahaja duro», «Si Randy trabaja duro. será un chico soso». «Si Randy es un chico soso. no conseguirá el 1rabajo» implican la conclusión «Randy 110 conseguirá el trabajo». ""· Construye un argumcmo u1 ili1ando reglas de inferencia para mostrar que las hipó1e~il> «Si no llueve o ~i no hace niebla, entonce!> ¡,e celebrará la competición de barcos y se hará una demostración de los 1>alvavidas», «Si ~e celebra la compe1it:i6n de barcos, se entregará un trofeo» y «El trofeo no se ha entregado» implican la conclusión «Llovió». 5. ¿Qué regla de inferencia se utiltLa e1e~1c famoso argumento? «Todos los hombre \(m rnort les. Sócrates e~ un hombre. Por H111to, Sócrates e:. morta ».
6. ¡,Qué regla de inferencia se usa en este argu111en10? «Ningún hombre es una isla. Manhanan es una isla. Por tanto. 'lanhattan no e' un homhre ». 7. Para cada uno de estos conj un1os de premisas, ¿qué conclusión o conclusiones s;;: put'de11 deducir? Explica las reglas de inferencia u1ilizad:l\ para ob1ener cada conclusión a pan ir de las premisas. a) <
68
~1a1cmá11ca
aplicaciones
b) «Si ceno comidas picantes, entonces rengo sueño<;
ha visto nunca el océano. Por tanio, alguien que vive
e>.traños». «Tengo sueños extraños si truena por la noche». «No he tenido sueños extraños». «Soy bien inteligen1e o bien afortunado». « o soy afortunado». «Si soy afortunado, me tocnrá la lotería». «Todo estudiante de ingeniería informfüica tiene un ordenador». «Ralph no tiene ordenador>). «Ana tiene un ordenador». «Lo que es bueno para las empre:-as, lo es para ni país». «Lo que es bueno para tu país es bueno para ti». «Lo que es bueno para las empresas es que consumas compulsivamenle». «Todos los roedores roen su comida». «Los ratones son roedores». <
a meno-; de 100 km del océano no ha \ isto nunca el
e)
d)
e)
t)
8. Para cada una de estas premisas, ¿qué conclusión o conclusiones relevantes se pueden derivar? Explica las reglas de inferencia usadas para obtener cada conclusión. a) «Si juego al hockey, entonces estoy dolorido al día siguiente». «Uso la bañera de hidromasaje si estoy dolorido». «No usé la piscina de hidromasaje». b ) «Si trabajo, está !'.oleado o nublado a rachas». «Trabajé el último lunes o el último viernes». «El manes no e~wvo soleado». «No cswvo nublado a rachas r l viernes». e) «Tod01' los insectos tienen seis patas». «Las libélulas son inc;cc1os». «Las arañas no tienen seis patas». «La' arañas se comen a las libélulas». d ) «Todos los estudiantes tienen una cuenta de lntcrnet ». « Homer no tiene una cuenta de Internet». «Maggic tiene una cuenta de Internet». e) «Toda la comida sana no sabe bien». «El tofu es sano». «Tú sólo comes lo que sabe bien». «Tú no comes tofu». «Las hamburguesas grasientas no "ºn sanas». f) «Estoy soñando o e~toy alucinado». «No ..:stoy soñamlo». «Si estoy alucinando. veo elefantes corriendo por la carretera».
océano».
10. Para cada uno tic e/>tos argumentos. explica qué regla~ de inferencia se han usado en cada paso. a) Linda, una estudiante de esta cla~c. tiene un descapotable rojo. A todos los que liencn un descapotable rojo les han multado alguna ve¿ por exceso de velocidad. Por tanto. a alguien en esta clase le han multado por exceso de velocidad». b ) «Cada uno de los cinco compañero~ de habitación, Melisa. Aarón. Ralph, Vanesa y Kiko. han cursado la asignawra de ma1emática discreta. Todos los estudiantes que han cursado la asignalllra de matemática discreta pueden cursar la asignatura de algoritmos. Por rnmo, los cinco compañeros de habitación pueden cur ar la asignatura de algoritmos el año que viene». e) «Todas las películas producidas por John Sayles son maravillosas. John Sayles produjo una película sobre los mineros del carbón. Por tanto, hay una magnflica película sobre los mineros del carbón». d) «1-Iay alguien en la clase que ha vi~itado Francia. Todos los que van a !·rancia visitan el Louvrc. Por tanto. alguien en esta clase ha visitado el Louvre». l l. Para cada uno de estos argumentos determina si es
correcto o incorrecto y explica por qué. a ) Todos los estudiantes de la clase entienden lógica. Xavicr es un estudiante de la cla'ie. Por tanto, Xavicr entiende lógica. b) Todos los estudinntes de ingeniería informática cursan matemática discreta. Natacha cursa matemática discreta. Por tanto. ;\atacha es e::.wdiante de ingeniería informática. c) A t(){Jos los loros les gusia la fruta. Mi pájaro no es 1111 loro. Por tanio. a mi pájaro no le gusta la fruta. d) Los que comen vegetales todos los días están sanos. Linda no está sana. Por tanto. Linda no come vegetalec; todos los días.
9. Para cada uno de estos argumentos, explica qué reglas de inferencia se han utilizado en cada paso
12. Para cada uno de estos argumentos determina si son correctos o incorrectos y expl ica por qué.
a ) «Domingo, un estudiante de esta clase, sabe progra-
a ) Todos los que han pasado por la universidad han vivi-
mar en JA VA. Todos los que saben programar en JA VA pueden conseguir trabajos bien remunerados. Por tanto, alguie::n en esta clase puede conseguir 11n trabajo bien remunerado». b) «A alguien de tu clase le gusta observar las balle nas. Todas las per-;ona\ a la-; que les gu~ta observar las ballenas se preO<'upan por la co111aminación del océano. Por tanto. hay una persona en esta clase que se preocupa por Ja contaminación del océano». e) «Cada uno de los 93 estudiantes de la clase tiene un ordenador. Todos los que tienen un ordenador pueden uttli7ar un editor de te.::< lo. Por tanto, Zacarías, un estudiante de la clase. puede utilizar un editor de texto» d) «Todo el mundo en Santo Domingo vive a menos de 100 km del océano. Alguien en Santo Domingo no
do en una residencia. :vtia no ha vivido en una residencia. Por tanto, Mía no ha pasado por la universidad. b) Los automóviles descapotables son divertidos de conducir. El automóvil de Isaac no es descapotable. Por tamo, el automóvil de Isaac no es divertido de con
Los fundamcnros: lógica y dcmo,trnc1óo, conjunros y funciones 69
de inferencia utilizada? Si no lo cs. ¡,qué error lógico ocurre? a) Si n es un número real tal que n > l . entonces 111 > 1. Supongamos que n2 > 1. Entonces n > l. b) El número log 2 3 es irracional si no es la razón de dos enteros. Por tamo. como log2 3 no se puede escribir en la forma a/b donde a y b son enteros. es irracionJ I. e) Si n es un número n:al y n > 3, entonces 111 > 9. Supongamos que 112 $ 9. Entonces. n $ 3. d) Si n es un número real y n > 2. entonces 112 > 4. Supongamos que n $ 2. Entonces, 112 $ 4. 14. Determina si estos argumentos son correctos. 1
a) «Si x es irracional, entonces x es irracional. Por tanto, si x es im1cional, se sigue que 1'.1 es irracional». b) «Si x2 es im1cional , entonces x es irrac ional. El número x = n 2 es irracional. Por tanto, el número x =1t es irracional». 15. ¿Qué esiá equivocado en e~te argumento? Sea ll(x) «X está feliz». Dada la premisa 3x H(x) . concluimos que H(Lola). Por tanto, Lola eMá fcliL.
16. ¿Qué está equivocado en este argumento? Sea S(x. y)«.\ es más bajo que)'». Dada la premisa 3s S(s, Max). se sigue que S(Max. Max). Rntonces, por generalización de existencia, se sigue que 3x S(x. x), por lo que alguien es más bajo que él mismo.
17. Demuestra la propo ición P((l), donde P(nl es la proposición «Sin es un entero positivo mayor que 1. entonces 11 1 > n». ¿Qué tipo de democ;1ración has empicado? 18. Demuestra la proposición P( 1), donde P(n) es la proposición «Sin es un ('ntcro posi1ivo. cntonces 112 ~ //)). ¿,Qué lipo de demoslración has utilizado?
19. Sea P(n) la proposición «Si u y b son números reales positivos, entonces (a + b)• >a"+ b"». Demuestra que P(I) es verdadera. ¡,Qu~ tipo de demostración has usado? 20. Demuestra que el cuadrado de un número par es un nú mero par utilizando: a) Una demostración directa. b) Una demostración indirecta. e) Una demostración por redut:ción al absurdo. 21. Demuestra que si /1 es un entero y tonces /1 es par usando:
n3
+ 5 es impar, en-
a) Una demostración indirecta. b) Una demostración por reducción al absurdo. 22. Demuestra que sin es un entero y 3n + 2 es par. entonces n es par usando: a) Una demos1ración indirct:La. h) Una demostración por red ucción al absurdo. 23. Demuestra que la suma de dos impares es par.
24. IA:mucstra que el producto de dos números impares es impar. 25. Demues1ra que la suma de un número irracional y un número racional es un número irracional utiliLando una demostración por reducción al absurdo. 26. Demuestra que el producto de dos números racionales es racional. 27. Demuestra que se cumple. o que no. que el producto de
dos númerolt irracionales es irracional. 28. Demuestra que se cumple, o que no. que el producto de un número racional no nulo y un irracional es irracional. 29. Demuestra que si x es irracional, l /x también lo es.
30. Demuestra que si x es racional y x :t: O, l/x iambién lo es. 3 l. Demuestra que 1Ode cualquier grupo de 64 días que e escojan deben corre ponderal mismo día de la semana. 32. Demuestra que 3 de cualquier grupo de 25 día~ que se escojan deben corresponder al mismo mes del año.
33. Muestra que si x e y son nú1m:ros reales, entonces max(x. y) + rnin(x, y)=..\+ y. (!11dicació11: Usa una demostración por casos. siendo los dos casos x:;:: y y x
Utiliza una demostración por casos para mo~ 1 rar que min(a. min(b, e)) - min(min(a. b). e) siempre que a.by e sean números reale~.
35. Demuestra la de igualdad tr iangular , que afirma que !>i x e y son números reales, entonces 1x1 + 1y1 ~ l x ¡. y 1 (donde lx 1 representa el valor absoluto de x, que es igual ax para x ~O y es igual a - x para x
Demuestra que si m~ = 112 si. y sólo si, m =no /11 = -
~l .
Demuestra que se cumple. o que no. que si m y 11 son enteros tales que mn = 1, entonces bien m =1 y 11 = 1 o bien m =- 1 y /1 = - 1.
11.
42. Demuestra que estas tres sentencias son equivalentes, donde a y b son números reales: (i) a es menor que b; (ii) el valor medio de a y hes mayor que a, y (iii) el ºvalor medio de a y b es meoor que b.
70
Matemática discreta y su~ :iplicaciones
43. Demuestra que estas tres sentencias son equivalentes: (i) 3.1 + 2 es un número par, (i1) x + 5 es un entero impar, y (iii) ..1 2 es un entero par.
55. Supongamos que a y b son enteros impares. a t:- b. Mues-
44. Demuestra que esta~ tres ~entcncias son equivalentes: (i) x es racional; (i1) x/2 es racional, y (iii) 3x - 1 es ra-
entero n tal que Ja distancia entre r y n es menor que
tra que exis1e un único entero e tal que la-el = lb -e l. 56. Muestra que sir e~ un número irracional. hay un único
57.
cional. 45. Demuestra que estas tres sentencias son equivalentes: (1) x es irracional; (ii) 3x + 2 es irracional. y (iii) x/2 es
irracional. 46. ;,Es correcto este rnzonamiento para encontrar l~ soluciones
de la ecuación ~2x2 - 1 = x? (1). Se da ~2x 2 - l = x; (2) 2x2 - 1 =)."-,elevando al cuadrado ambos ténninos de (/); (3) x2 - 1 =O, restando).,,. a ambos lados de (2); (4) (x - l )(x + 1) =O, factori zando la parte izquierda de (3); (5) x = 1 o x = - 1. ya que i.i ab = O implica que bien a= Oo bien b = O.
47. ¿Son correctos estos pasos dados para encontrar las soluciones de la ecuación Jx + 3 = 3- x? (1) Se parte de ,~1- 3 =3 - x: (2) x + 3 =x - 6x + 9, elevando al cuadrado ambos lados de(/); (3) O= x2 - 7x + 6, restando .x+ 3 a ambos ténninos de (2): (4) O = (x - 1)(x - 6). factorizando la parte derecha de (3); (5) x = 1 o x =6, ya que si ab = O implicn que bien a= Oo bien b = O. 2
48. Demuestra que hay un entero positivo que es igual a la
suma de los enteros positivos menores o iguales que él. ¿Es tu demo<>Lración constructiva o no constructiva''
49. Demuestra que hay cien enteros consecutivos que no son cuadrados perfectos. ¿Es tu demostración constructiva o no constructiva?
i;2•
Muc~tra
que si /1 es un entero impar. entonces exis1e un único entero k tal que 11 es la suma de k - 2 y k + 3.
58. Demuestra que dado un número real x cxi¡,ten dos únicos números 11 y e tal que x = /1 + E. 11 es un entero y O::; e < 1. 59. Demuestra que dado un número real x existen dos únicos números 11 y E tal que x = 11 - e. 11 es un entero y O::; e< 1.
60. Usa la regla de resolución para mostrar que las hipótesis «A llen es un mal chico o Hillary es una buena chica» y «Allen es un buen chico o David está contento» implican la conclusión «Hillary es una buena chica o David está contento». 61. Utiliza la regla de resolución para mostrnr que las hipótesi~ «No llueve o Yvette tiene un paraguas». «Yvetle no tiene un paraguas o ella no se moja» y «Llueve o Yvette no se moja» implican la conclusión« Yvettc no se moja>>.
=
62. Mucsrra que las equivalencias p /\ '!' F se pueden derivar utilizando la regla de resolución junto con el hecho de que ui1<1 i111plicación con hipótesis falsa es correcta. (111dicació11: Sea q =r = f' cuando ~e use la regla de re::solución). 63.
u~a la regla de resolución para demo~trar que la fórmu la \P v q) /\ (-.p v q) /\ (p v -iq) /\ (...,p v •q) no se cumple.
64. Demuestra l(Ue se l:umple, o que no, que si a y b son números racionales, entonce~ ob también lo e~.
50. Demuestra que bien 2 · 1osoo + 15 o bien 2 · 1OIOO + 16 no es cuadrado perfecto. ¿Es tu demostración constructiva o no conc;tructiva?
65. Demuestra que se cumple, o que no, que hay un mímero
51. Demuestra que hay un par de enteros positivos consecutivo~ tales que uno es un cuadrado perfecto y el otro un cubo perfecto.
66. Muestra que puede verse que las proposiciones Pi· p,. p~ y p. son equivalentes demostrando que p 1 H p4 , Pi H p 3 y Pi H p, son verdaderas.
52. Demuestra que el producto de dos de los números 65 i001 - smu + 3m, 79i212 - 92399 + 221101 y 2444'13 - 5s1
67. ~ lue!.tra que puede verse que las proposiciones p., p 2, p 3, p. y p, son equivalentes demostrando que Pi ~p., p 1 4 p,. PJ ~Pi' Pi 4 p~ y p 5 4 p 3 son verdaderas.
-es negativo. ¿Es ru demostración con~tmctiva o no constnrctiva? (Indicación: ¡No intentes evaluar estos números!). 53. Demuestra que cada una de las siguientes c;entcncias se pueden utilizar para expresar el hecho de que hay un único elemento x tal que P(x) es verdadera. [Ten en cuenta que. por el Problema 48 de la Sección 1.3, ésta es la sentencia 3! P(x)]. a) :hVy (P(\') H ' - y) b) 3.1 P(:r) /\ Vx'r/y (P(r)" P(J•) 4 x =y) c) ]r (P(x) "Vy (l'(y) 4 .1 =y))
54. Demuestra que si a, h y e son números reales y a t:- O. entonces existe una solución única para la ecuación ax+ b = c.
racional x y un irracional y tales que xY es irracional.
68. D..:muestra que un tahlero de ajedrez de 8 X 8 casillas se puede cubrir completamente empleando fichas de dominó (piezas de 1 x 2 casillas). *69. Demuestra que es imposible cubrir un tahlero de ajedrez de 8 x 8 casillas con dos casillas quitadas en dos esquinas opuestas utilizando fichas de dominó. *70. El Problema de Lógica, tomado de WFF'N PROOF: The Gume ofModem Logic, usa estas dos supo~iciones: 1. «La lógicn e~ difícil o a pocos csnidiantcs les gusta la lógica».
Los fundamc111os: lógica y derno~lrnción. conju1110~ y funciones
2. «Si las ma1emá1icas son fáciJes. emonces la lógica no es difícil». Formalizando estos dos enunciados a semencias con variables proposicionales y coneclivos lógicos, cletcrrnina cuáles de estas conclusiones son válidas para estas suposiciones. a) Que las matemá1ica~ no son f
círculo, en cualquier orden, existen tres enteros en pcsiciones conscculivas alrededor del círculo que tienen una suma mayor o igual que 17.
71
73. Demuestra que si n es un cniero. estas cumro scn1cnc1a~ son equi,alenies: (i) /1 es par. (i1) n + 1 es impar. (IÍi) 311 + 1 es impar, (ii·) 311 es p
74. Demuestra que estas cuatro scnlencias son equivalc111cs: (i) 112 es impar, (ii) 1 - n es par. (iii) n' es impar, (iv) 112 + 1 es par.
75. ¿Qué reglas de inferencia se utilizan para establecer la conclusión del argumento de Lewis Carroll descrito en el Ejemplo 19 de la Sección 1.3?
76. ¿Qué reglas de inferencia se u1iliLan para esrablecer la conclusión del argumento de Lcwis Carroll descrito en el Ejemplo 20 de la Sección 1.3? *77. Determina si este argurnl.!nlo, tomado de Backhouse l Ba86]. es correcto.
Si Supermán fuese capaz y quisiese prevenir el crimen, lo haría. Si Supcrmán no fuese capaz de prevenir el crimen, sería débil; si no quisiese prevenir el crimen. sería maJevolente. Supermán no previene el crimen. Si Supcnnán existiese, ni ~ería débil ni malevolente. Por tan10, Supennán no exisie.
1.6 Conjun tos INTRODUCCIÓN En este libro estudiaremos una grnn vnricclad de estructuras discretas. Éstas incluyen relaciones, que consisten en pares ordennclos de elementos; combinaciones, que son colecciones desordenadas de elementos, y grafos, que son conjuntos de vértices y aristas que conectan vértices. Además, ilustraremos cómo se utilizan estas y otras cstrncturas discretas en el modelado y la resolución de problemas. En particular, se describinín muchos ejemplos del uso de estructuras discretas en almacenamiento. comunicación y manipulación de datos. En esta sección estudiamos Ja estructura di creta fundamental, sobre la que se construyen todas las dermis: el conjunto. Los conjuntos se utilizan para agrupar objetos. Generalmente, los objetos de un conjunto tienen propiedades similares. Por ejemplo, todos los estudiantes que están matriculados en 1u facultad fomian un conjunto. De la misma forma. todos los estudiantes matriculados en la asignatura de matemática discreta en cualquier facu ltad fonnan un conjunto. Además, aquellos alumnos de matemática discreta matriculados en tu facultad forman otm conjunto que puede formarse 1omanclo Jos elementos comunes de las dos primeras colecciones. El lengu:lje de los conjuntos es un medio para estudiar tales colecciones de fomrn organizada. A continuación proporcionamos una definición de conjunto.
DEFINICIÓN 1
Enlaces
Un conjunto es una colección desordenada de objetos.
Observa que el término objeto se ha utilizado sin especificar qué cs. Esta definición ele conjunto como una colección de objetos, basada en Ja noción i111uitiva de lo que es un objeto, fue establecida por pri mera vez por el matemático alemán Georg Cantor en 1895. La teoría que resulta de estn de-
72 l\latemática discreta y sus aplicaciones
finición intuitiva de conj umo conduce a paradojas, o inconsistencias lógicas. como el filósofo inglés Bertrand Russell mostró en 1902 (en el Problema 30 se describe una de esta~ paradojas). Estas inconsistencias lógicas se pueden evitar construyendo la teoría de conjuntos con suposiciones básicas. llamadas axiomas. En este texto segu iremos la versión original de Cantor de la teoría de conjuntos, conocida como la teoría naif de conju ntos, sin desarrollar una versión axiomática, puesto que Lodos los conjuntos que consideraremos -;e pueden tratar consistenteme111e usando la teoría original de Cantor. Tras este prefünbulo, comenzamos con nuestra discusión sobre conjuntos
DEFINI CI ÓN 2
Los objetos de un conjunto se llaman también elementos o miembros cid conjunto. Se dice que un conjunto contiene a sus elementos.
Hay varias formas de describir un conjunto. Una es enumerar Lodos los miembros del conjunto cuando esto sea posible. Para ello utilizamos una notación en la que codos los miembros se enumeran entre llaves. Por ejemplo. la notación 1a, b, e, d} representa el conjunto con los cuatro elementos a. b, e y d. EJ EMPLO 1
El wnjunto ele las vocales del alfabeto se puede escri bir como V = {a, e, i, o, 11) .
EJ EM PLO 2 El conjunto de los enteros positivos impares menores que 10 se puede expresar como I 7,9}. EJ E;\11'LO 3
= f l, 3. 5, ~
Aunque los conjuntos se suelen usar para agrupar elementos con propiedades comunes, no hay nada que impida a un conjunto tener elementos no relacionados. Por ejemplo, 1u. 2. Alfredo, Sevilla} es el conjunto que contiene Jos cuatro clemcn1os a, 2. Alfredo y Sevilla. ~ A veces, la nornción con llaves se u1iliza para describir un wnjunto sin enumerar todos sus miembros. Sólo se enumera algunos de ellos y usamos tres puntos suspensivos ( ... ) para representar los demás cuando el patrón general de los elcmcmos es obvio.
EJ EMPLO 4
El conjunto de enteros positivos menores que 100 se puede denotar como {1, 2, 3, .... 99).
~
Los siguientes conjuntos. escritos en negrita, cksempeñan un importante papel en matemática discreta: N Z
= 1O, 1. 2, 3, ... }, el conjunto de los números naturales. = 1... , -2, - 1, O, 1, 2... . }. el conjunto de los enteros.
z· = 11, 2, 3, . .. 1. el conjunto de los enteros positivos.
Q = lp/q l pe Z, q e Z, q -::t O}. el conjunto de los números r acionales. R, el conjunto de los números r eales.
Enlnccs
GEORG CANTOR (1845· 1918) Georg C.intor nació en San 1>c1ersburgo. Rusia, donde su padre fue un próspero comerciante. Cantor desarrolló su interés por las rnatcmá1icas en la adolescencia. Come111.ó sus estudios universi tarios en Zurich en 1862. pero cuando su padre murió abandonó esta ciudad. Continuó sus estudios en la Universidad ele Berlín en 1863 como di<;eípulo de los eminentes matemáticos Weierstrass. Kummer y Kroneckt>r. l:>t-fendió su u:~i~ doctoral. que trataba sobre teoría de números. Pn 1867. Tomó poses1on de una plaza ele rrofesor en la Universidad de Halle en 11!69. donde con1inuó ha~ta su muerte. Cantor es considerado el fundador ele lu icoría de conjuntos. Sus aportaciones en este área induycn el de~cubrimiento de que el conjunto de números reales es no nurncrablc. Son notorias sus contribuciones al análisis. Canror t:imbién se interesó por la filosofía y escribió trahajm rclac1onando su teona de conjuntos con la merafísica. Se caw en 1874 y tuvo c.:inco hijos. El buen ánirro de su 111ujer compenso su temperamento melancólico. Aunque recibió una b'Tan herencia de MI p;1dre. fue mal pagado como profesor. } para mitigar e~to, intentó con<.eguir un puesto mejor remunerado .:n la Universidad de Berlín. Su solicitud fue bloqueada por Kroncckl'r, quien no estaba de acuerdo con los puntos de visrn de Cantor ~ohrc In 1coría ele conjunros. Cantor suf'rió una enfermed
Los fundamentos: lógk
73
(1 lay que tener en cuenta que algunas personas no consideran el Ocorno un número natural. por lo que tienes que prestar cuidado al término ntíml'ro 11a111ral cuando trabajes con otro libros). Muchas sentencias matemát.icas declaran que dos colecciones de objetos especificadas ele forma diferente son realmen1e el mismo conjun to. ecesirnmos por ello aclarar qué entendemos con que dos conjuntos sean iguales.
DEFINI CIÓN 3
EJEMPLO 5
ª~~~~~
Dos conjuntos son iguales si, y s61o si, tienen los mismos elementos.
Los conjuntos {1, 3, 5} y { 3, 5, 1} son iguale~. puesto que tienen los mismos elementos. Observa que el orden en el que se listan los elementos de un conjunto no importa . Ten en cuenta también que no importa que un elemento se liste más de una vez. por lo que j I, 3. 3, 3, 5. 5. 5, 5 ) es el mismo conjunto que 11. 3, 5) . puesto que ambos tienen los mismos elcrnemos. ~ Otra forma de describi r un conjunto es usando la notación ele construcción de conjuntos. Caracterizamos todos los elementos del conjunto declarando la propiedad o propiedades que deben 1ener sus miembros. Por ejemplo. el conjunto O de todos los enteros impares menores que 10 se puede escribir como
O= (x 1x es un entero positivo menor que 1O}. Generalmente utilizarnos esta notación cuando es imposible enumerar tocios los elementos del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los números reales se puede escribir como R = lx 1x es un número real J.
Los conjuntos se pueden representar también gráficamente mediante diagramas de Venn, llamados así por el matemático inglés John Venn, quien intrcxlujo esta representación en 1881. En los cliagramas ele Yenn, el l:o11ju11to uniYen;al U, e l cual contiene todos los objetos bajo consideración. se representa por un rectángulo. Dentro del rectángulo se utilizan círculos u 01ras figuras geométricas para representar conjunto . A veces c;e emplean puntos para representar elementos partirnlarcs del conjunto. Los diagramas de Venn se usan a menudo para indicar relaciones entre conjuntos. En el siguiente ejemplo mostraremos cómo se puede utilizar 1111 diagrnma de Venn. EJEMPLO 6
Dibuja un diagrama de Venn qu:: represeme 11, el conjunto de las \'Ocale-.. (}
Figura l. Diagrama de Ycnn para el conjunto de las rncalc~ BERTRAND RUSSELL (1872- 1970) Ben rand Russell nnció en una prominente familia inglt>sa activa en d movim1en10 progresista y con un fuerte compromiso con Ja lihertad. Quedó huérfano a cdnd temprann y fue puesto bnjo el cuidado ele sus abuelos p:Hcrnos, que le educaron en casa. Ingresó en el Tri nity Collc¡?c. Cambridge. en J 890. ctondc destacó en ma-
temáticas y ciencias morales. Consiguió una beca con su trabajo !>Obre los fundamento!> de la geometría En 19 IO, el Trin11y Collegc le nombró profesor de lógica y filosofía de las matemalicas. Russell luchó por causas progrcsbtas duran le 1oda su vida. Sostu' o fuene~ con viccione~ pacifistas y sus protestas contrn la Piimera Guerra Mundial le condujl.!ro11 a dimil ir de ~u plaw en el Trinity Collegc. Esluvo en prisión durante seis meses en 1918 d..:bido a un anículo que escribi6 que fue etiquetado de ~dicio>o. Rus5ell Juch6 por el ~ufragio de la mujer en Gran .Bre1aña. En 196 t. a la edad de ochenta ) mtC\ e años. fue a ta drcel por o;cgunda \'CZ por W\ protesta~ 3 fo, or del de:.am1e nuclear. El gran tr.1ba30 de Russell fut: et desarrollo de principio:. que pudiesen ser usados como funrlamcntos parJ todas las m:i 1cmn1icas. Su trabajo más famoso es Principia Mm'1emu1u·a, escrito con Alfrcd North Whi1ehead. en el que ~e intentan de ducir rod as la~ matemáticas u1i li7.andu rn conju1110 de axiomas primarios. Escribió muchos libros sobre filosofía. tísica y ~us ideas políticas. Russell gano el premio :\obcl de Litcraturn en 1950.
7.:¡
l\fotcmfüica <.lbcreta y sus aplic~ciones
Solución: Dibujarnos un rectángulo para indicar el conjunto universal U, el conjunto de las 28
lclras del alfabeto. Dentro del rectángulo dibujamos un círculo para reprcscnlai V. Dentro de este círcu lo indicamos los elementos de \1 con puntos (véase la Figura 1) . ~ Ahora presentaremos la nota<.:icín que se utiliza para describir la pertenencia a un conjunto. Escribimos que a E A para denotar que a es un elemento del conjunto A. La notación a rt. /\ expresa que a no es miembro del conjunto A. (Generalmente, se usan letras minús<.:ulas para denotar elementos de conjuntos). Hay un conj unto especial que no tiene elementos. Este conjunto se llama conj unto vacío o conju nto nulo, y se denota por 0. El conjunto vacío también se puede denotar por { } (esto cs. representamos el conjunto vacío por un par de llaves que encierran todos los elementos del conjunto). A menudo, un conj unto de elementos con determinadas propiedades resulta ser el conj unto vacío. Por ejemplo, el conjunto de todos los enteros positivos que son mayores que sus cuadrados es el conjunto vacío. Un error que se cornete a menudo consiste en confundir el conjunto vacío 0 con el conj unto { 0 ), que es un conjunto unitar io. e!.to es. un conjunto con un solo elemento. ¡El único elemento del conjunto {01es el conjunto vacío! OEFI'llICIÓN 4
El conjunto A se dice que es subconjunto de B si, y sólo si. todo elemento de A es también un elemento de 8. Usamos la notación A k lJ para indicar que A es un subconjunto de B. Vemos que A Vx (xEA
~
8 si, y sólo si, la cuantificación
-7XE
R)
es verdadera. Por ejemplo. el conjunto de enteros positivos imparc menores que 10 es un subconjunto del conjunto de los cn1eros po i1ivos menores que 1O. El conjunto de todos Jos estudiantes de ingenie1ía informática de tu facultad es un subconjunto del conj unio de tocios los estudiantes de tu universidad. El Teorema 1 muestra que todo :-.ubcon~umo no vacío de S tiene al menos
TEOREMA l
Para cualquier conjunto S, (i) 0 k
sy
(ii) s ~ s.
Dem ostración : Demostraremos (i) y dejaremos la demoslración de (ii) como ejercicio. Sea S un conjunto. Para cierno lrar que 0 k S debemos demostrar que 'ilx (xE {) -7 xES) es
verdadera. Como el conjunto vacío no contiene elementos, se sigue que x E Ues siempre falsa. Por tanto. la implicación x E (1 -7 xE Ses siempre verdadera. porque la hipótesis es siempre fal sa (y una implicación con hipótesis fa lsa es verdadera) . Así, 'ilx (x E 0 -7 x ES) es verdadera. lo que completa la demostración de (i). Ob~erva que esto es un ejemplo de demostración vacua. ~
*
Cuando queremos enfatizar que A es un fübconjunto de B, pero que A 8, escribimos A C 8 y decimos que A es un subconjunto propio de B. Los diagramas de Venn se pueden utilizar para JOHN YENN (1834-1?23) John Ven.n nació en una fami lia del Londres suburbano que dt:stacaba por su filantropía. Estudió en Londres y obtuvo su graduación en matemáticas en el Caius College, Cambridge. en 1857. Posteriormente fue elegido para un puesto en este College, donde e~tuvo ha~ta 'u muerte. Se ordenó clérigo en 1859, y tras un breve período de
F.nl;iccs
trabajo religioso. volvió a Cambridge, donrle ~e dedicó a la é tica. Además de por su 1rabajo mntcmáti co, Venn se interesó por la his1oria y escribió mucho acerca <.le su College y su familia. El libro de Vcnn Lógica simbólica clárifica ideas prcscntadal> originalmente por Boole. En este libro presenta un desarrollo sistemático de un método que utiliza figuras ge:>métricas, conocido como diagramas de l'enn. l loy día estos diagramas son una hcrrannenla primorrlia1 para annlizar argJmemos lógicos e iJu:,trar re l acione~ cmre conjuntos. Adiciona lmen1e :i su trabajo sobre lógica simbólica. Venn hizo co111ribuciones ¡¡ la teoría de probabilidades descri tas en su libro sobre eMa materia. texto ampliamente utilizado.
Los fundamenios: lógica y demostración. conjuntos y funciones
75
mostrar que un conjunto A es un subconjunto del conjunto B. Dibujamos el conjunto universal U corno un rectángulo. Dentro de este rectángulo dibujamos un círculo que coITesponda a B. Como A es un subconjunto de B, dibujamDs el cfrculo correspondiente a A dentro del círculo de B. Esta relación se muestra en la Figura 2. Una forma de mostrar que dos conjuntos tienen Jos mismos elementos es mostrar que cada conjunto es subconjunto del otrn. En ?Iras palabras, si podemos rnost.rar que A y B cumplen que A ~By que B ~A, entonces A== B. Este es un método útil de ver que dos conjuntos son iguales. Esto es, A= B, donde A y 8 son conjuntos, si, y sólo si, Vx (x E A ~ x E 8) y '\lx (.x E B ~ x E A), o de fonna equivalente, si, y sólo si, Vx (x E AH x E B). Los conjuntos pueden tener otros conjuntos como elementos. Por ejemplo, podemos definir los conjuntos {0. {a}, {b}, {a, b ) y {x 1 x es un subconjunto del conjunto ¡a. b J }. Observa que estos dos conjuntos son iguales. Los conjuntos se usan con mucha frecuencia en problemas de recuento. Para tales aplicaciones necesitamos definir el tamaño ele los conjuntos. ,
DEFINICIÓN 5
,,
'
Sea. S un conjunto. Si hay exactamente n elementos distintos en S, donde n es un entero no negativo, decimos que Ses un conjunto finito y n es el caniinal de S. El cardinal de S se denota por 1 S J. .
EJEMPLO 7 Sea A el conjunto de los enteros positivos impares menores que 10. Entonces, 1A1=5.
~
EJEM PLO 8 Sea Sel conjunto de las letras del alfabeto español. Entonces. 1 S 1=28.
~
[NOTA DEL TRADUCTOR: El alfabeto español se compone de las 26 letras del alfabeto inter-
nacional inglés utilizado típicamente en ciencias de la computación más las letras ch y ñ].
~
EJEMPLO 9 Como el conjunto vacío no tiene elementos, se sigue que ll~I = O. DEFINICIÓN 6
Un conjunto se dice que es infinito si no es finito.
EJEMPLO 10 El conjunto ele los enteros positivos es infinito. · ·Ej<:.mplos ádicionalcs
Del cardinal de conjuntos infmüos hablaremos en Ja Sección 3.2. En esa sección discutiremos qué significa que un conjunto sea numerable y mostraremos que ciertas clases de conjuntos son numerables y otras no.
RL CONJUNTO DE LAS PARTES DE UN CONJUNTO En muchos problemas debemos probar tocias las combinaciones posibles de elementos de un conjunto para ver si sar.isfacen una propiedad determ inada. Para considerar todas estas combina-
u
.Figura 2. Diagrama de Venn que muestra que A es un subconjunto de B.
76
Matemática disc:rela y sus aplicaciones
cienes de clemcn1os ele un conjunto S, con 1ruimos un nuevo conjunto cuyos elementos son iodos los posibles subconjuntos de S.
DEFINIC I ÓN 7
F,.JE MPLO 11
Dado un conjunto S, el conjunto de las partes de Ses el conjunto de tocios los subconjuntos de S. El conjunto de las partes ele S se denota por P(S).
¿Cuál es el conjunto de las partes del conjunto {O, l, 2}?
Solución: El conjunto de las partes P( {O, 1, 2}) es el conjunto de los s ubconjuntos de {O. l. 2}. Por tanto, P ({O, J, 2})
={0, (O}, { I }, (2}. {O, J }, {O. 2}. {l. 2). {O, 1, 21 J.
Observa que el conjunto vacío y el propio conjunto son miembros de l conjunto de las partes.
..._
EJ EMPLO 12 ¿Cuál es e l conjunto de las partes del conjunto vacío? ¿Cuá l es el conjunto de las partes de {fJ}?
Solución: El conjunto de las partes del conjunto vacío tiene exactamente un subconjunto: él mismo. Por tanto,
P(0) ={0}. El conjunto {O} tiene exactamente dos subconjuntos, a saber. 0 y el propio conjunto 10 ). Por tanto. P({0}) = {0.{ 0 } }.
S i un conjunto tie nen elementos, e ntonces e l conju11to d t: las partes del conjunto tie ne 2n elementos. Demostraremo'> este hecho de varias fonnas diferentes en secciones posteriores del libro.
PRODUCTO CARTESIANO El orden de los e lcmenlos e n una colección puede ser importante. Como los e lementos de un conjunto están desordenados, neces itamos una estructura diferente para representar colecciones o rdenadas. Esto nos lo proporcionan las u -tu plas orde nadas.
DEFI!'\ICION 8
La n-tupla ordenada (a 1, a2 , ... , a) es la colección ordenada en la que a 1 es su primer elemento, a2 el segundo, ... y a11 el elemento n-és imo.
Decimos que dos n-tuplas ordenadas son iguales si, y sólo si, cada par correspondiente de sus e lementos es i1wal. En otras palabras. (a 1• ª" .... a)= (b 1• b,, .... b) si. y sólo si, aI =b,I para i = 1, 2. ._ rt 'n .. ., n. En particular, las 2-tupJas se llaman pa r es o rdenados. Los pares ordenados (a, b) y (e, d) son iguales si, y sólo si, a= e y b =d. Observa que (a, b) y (b. a) no son iguales a no ser que a= b. Muchas de las estructuras discretas que estudiaremos en capítulos po!:>lcriores e basan en la noción de producro carresiano de conjunto~ (llamado así por René Descartes). Definimos primero el producto cartesiano de dos conjuntos.
DEFINI CIÓN 9
Sean A y B conjuntos. El producto cartesiano de A y B, denotado por Ax 8, es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) donde a E A y b E B. Por tanto. ¡\X B
={(a, b) 1ae A /\bE B}.
Los fundamentos: lógica y demostración. conjuntos y funciones
77
EJEMPLO 13 Sea A el conjunto de todos los estudiantes de una universidad , y sea B el conjunto de todas las asignaturas ofertadas en la universidad. ¿Cufü es el producto cartesiano A x B?
Solución: El producto cartesiano Ax B consiste en lodos los pares ordenados de la forma (a . b), donde a es un estudiante de la universidad y bes una asignatura ofertada en la universidad. El conjunto Ax B se puede utilizar para representar todas las posibles matriculaciones de estudiantes en asignaturas en la universidad. ~
EJEMPLO 14 ¿Cm1l es el producto cartesiano deA = { 1, 21 yB ={ a, b, e}? Solución: El producto cartesiano A x B es Ax B
Una relación del conjunto A en el conjunto R es un subconjunto R del producto car1esiano A x B. Los elementos de R son pares ordenados, donde el primer elemento pertenece a A y el segundo a B. Por ejemplo, R =1(a, O), (a, 1), (a, 3), (b, J), (b, 2). (e, 0), (e, 3) J es una relación del conjunto 1a, h, e} en el conjunto 1O, l , 2, 3 \. Estudiaremos en profundidad las relaciones en el Capítulo 7. Los productos cartesianos A x B y B x A no son iguales, a no ser que A = 0 o B = 0 (de tal forma que A x B =0) o a no ser que A= B (véase el Problema 26, al fin al de esta sección). Ilustramos esto en el Ejemplo 15.
EJEMPLO 15 Demuestra que el producto cartesiano B x A no es igual al producto cartesiano Ax B, donde A y B son los conjuntos del Ejemplo J4.
Solución: El producto cartesiano l3 x A es B x A = {(a. ! ), (a . 2), (h, 1), (b. 2), (e, l ), (e, 2)},
que no es igual al conjunto A x B hallado en el Ejemplo 14. Podemos también definir el producto cartesiano de más de dos conjunt.os.
DEFINICIÓN 10
El producto cartesiano de los conjuntos ,\.,12, •. •,A", denotado por 111 x A2 x .. . xA.n.' es el coojunlo de n-mplas (a 1, a 2, •.•, a11) . donde aj pertenece a Aj, para i = l, 2, ... , n, En otras palabras,
A 1 x Af x ... x A,,=· l (a 1, a2,
Enlaces
•• • ,
a) 1a; E A, para i = 1, 2, ... , n}.
RENÉ UESCA RTES (1596-1650) René Desca r1.e s rrnc ió en el se no de un familia noble cerca de Tours, Francia. a más de 300 km al suroeste de París. Fue el tercer hij o de la primera mujer de su padre: su madre fallec ió pocos días después de s u nacimiento. Debido a la débil salud de René, su padre, juez de prov incias, pe rdonó las c lases fonnnles de s u hijo. hasta que a la edad de ocho años entró en el colegio jesuita de La Fleche. El director de l colegio se encariñe> con él y Je permitía estar en cama hasta tarde debido a s u débi l salud. Desde entonces. Descartes pasó las mañanas en la cama. Él consideraba esos momenros como sus horas m~s productivas para pensar. Descartes abandone> el coleg io en 1612, trasladándose a París, donde t:stuvo dos ¡u·1os estudiando matemáticas. Cons ig ui6 !,'Taduarse en leyes en 1616 por la Universidad de Poitiers. A los d iec ioc ho años. Descartes se desencantó de los estudios y decidió ver mundo. Se tras ladcí a Parí~ , donde se hi zo un jugador de éxito. S in embargo, a l crecer, se cansó de esa v ida y se mudú al barrio de Saint-Ge nmlin, donde se dedicó a l est udio de las matemfüicas. Cuando sus ami gos jugadores Je encontraron, decidió abandonar Francia y hacer carrera militar. Sin em bargo, nunca entró en combate. Un día, mientras se resguardaba del frío en una hubitación sobrecalenwda de un campamento mil itar. wvo varios sueños febriles que le revelaron su carrera futu ra como ma temático y filósofo. Tra~ acabar su carrera mili tar, viajó por Europa. M1ís tarde, permaueció varios ailos e n París. donde estudió matemá ticas y filosofía y construye> instrumentos 6pticos. Descartes dec idió tras ladarse a llolanda, donde estuvo veinte años moviéndose por el pa ís . .llevando a cabo su trabajo más impona nte. Durante este 1iempo escribió v11rios libros, inc luyendo el Discurso, su obra más famo~a.. que corniene s us contribuciones a la geometría analítica. Hizo rnmbién contribuciones fundamentales a la filosofía. En 1649, Descartes fue invitado por la reina Cristina a visitarla a su corte de Suecia para ser su tutor e n e l csmdio ele la filosofía. Aunque e ra reac io a viv ir en lo que él llamó la «tierra <.l e o5os entre rocas y hielo». finalmente aceptó la invitación y se trasladó a Suel:ia. Lamentablemente. el invierno de l 649- L650 f1.Je ex tremadamente duro . Descanes enfermó íle neumonía y murió a mitad de febrero.
78 J\fatemátit:a discreta y sus aplicaciones
EJEMPLO 16 ¿,Cuál es el producto cartesiano de A X B X e, donde A= 10. 1}, B = l l. 2) y e= 10. 1, 21? Solución: El producto cartesiano A x R x C consiste en todas las temas ordenadas (a. b, e), donde a E A, h E R y e E C. Por tanto. Ax B x C = {(0, 1, 0), (0, 1, l ), (0, 1, 2), (0. 2, 0), (0, 2, 1), (0, 2, 2), (1, 1, 0), (l, l. J), (L l,2),(l.2,0).(1,2, 1), (1. 2.2)} . ~
USO DE NOTAC IÓN DE CONJUNTOS CON CUANTIFICADORES A veces especificamos explícitamente en la notación el dominio de una sentencia. En particular, Y:Jx ES P(x) denota la cuantificación universal de P(x), donde el dominio es el conjunto S. De forma similar. 3x ES P(x) denota la cuantificación existencial de P(x), donde el dominio es S.
E.TEMPLO 17 ¿Qué significan las sentencias Y:/x E R (x2 ~ 0) y 3x E Z (x2 = I)? Solución: L'l sentencia Y:Jx E R (.r;::: 0) afirma que para todo número real x, x2;::: O. Esta sentencia se
puede expresar como «El cuadrado de todo número real es no negativo». Es una sentencia verdadera. La sentencia 3x E 'l (x2 = 1) afirma que existe un entero x tal que x 2 = l. Esta sentencia se puede expresar como «Existe un entero cuyo cuadrado es l». También es una sentencia verdadera, puesto que x = 1 lo cumple (y x =- 1). ~
Problemas l. Enumera Jos miembros de estos conjuntos. a) 1r1 x es un número real positivo tal que ,.i = I} b) {' 1x es un número entero positivo menor que 121 e) {x 1x es el cuadrado de un entero y x < 1001 d) {x 1x es un número entero tal que _,.i =2 l 2. Usa la notación de construcción de conjuntos para dar una descripción de cada uno de estos conjuntos. a) {0, 3, 6, 9, 12}
6. Para cada conjunto del Problema 5, determina si {21 es o no elemento suyo. 7. De1em1ina si cada una de estas sentencias es verdadera o fal!>a. a) OE 0
b) Oe {01
e) f 01e0 e) (01 E {01
d) oc {01 f) {0} C {O}
g)
101 k {0)
b) {- 3.-2,-1,0,1,2,3} e) (m, n.
o. pi
8. Detemüna si cada una de estas sentencias es verdadera o falsa.
3. Determina si cada uno de estos pares de conjuntos son iguales. a) (1,3,3,3,5,5,S,5,5} . {5,3. ll b) 1{I) ). 11, { 111 e) 0. {0)
4. Supongamos que J\ = (2, 4, 6}, 8 = (2, 6), C = {4, 6) y D = {4, 6, 81. Detennina cuáles de estos conjuntos son
subconjuntos de cuiíles. 5. Para cada uno de los siguientes conjuntos. determina si 2 es o no elemento suyo. a) {x e R 1xes11n entero mayor que 1} b) {.\e R 1x es el cuadrado de un entero 1 e) (2. (2})
b) Oe {0, {01) a) fle {O} d) { 0) E ( {0} I C) { 0 J E { 0) e) {01e{O,1011 f) 1t0} l e t0, 1o11 g) {{0}JC{(0}.{0}J
9. Detem1ina c;i cada una de estas sentencias es verdadera o fal ~a.
a) xe {xlS d) {xle({xllc,
b) {.\lk;{x} e) 0 k(X}
e) {xi
E
{xi
f) O lx)
10. Utiliza un diagrama de Yenn para ilustrar la relación A C ByB ~C.
d) ((2,{{21)
11. Supongamos que A.By C son conjuntos tales que A k; B y 8 ~ C. Demuc~tra que¡\ ~ C.
e) ( (21.{2. (2)) 1 1) { 1{2}11
12. Encuentra dos conjuntos A y B tales que A e By A
~ B.
Los fundamemos: lógica y demostración. conjuntos) funciones
13. ¿Cuál es el cardinal de estos conjuntos? b) {{al} d) /a, {a) ,
a) {a} c) {a, {a) l
/a,
2-t Sean A= a) e)
{a} l I
H. ¿Cuál es el cardinal de estos conjuntos? a)
e)
0 10, 101}
b) /01 d) {0, 10). /fl, {0}))
b) {a, bl
e)
26. Demuestra que /\ x B 7: B x A, para conjuntos A y B no
vacíos, a no er que A =B.
10. /l'.I) l
27. Traduce es1as cuantificaciones a lenguaje natural y de-
1ermina su valor de verdud.
16. ¿Se puede concluir que A= B si A y 13 son iguales sitienen el mismo conjunto de panes?
a) 'r/x E R (.r e) 'r/x E Z (x2
17. ¿Cuántos elementos tienen estos conjuntos? a) P( {a, b. 1a, b} 1)
d) \;/x E
las partes de algún conjunto
19. Sean A=
fa. b. c. di
a) AxB
y B =/y, z). Obtén
b) BxA
20. ¿Cuál es el producto cartesiauo A x /J, donde A es el conjunto de asignaturas impanidas por el departamento de matemáticas de una universidad y B son los profesores del departamento de ma1emtíticas de esta universidad?
e, donde A e.sel conjunto de líneos aéreas y B y C son el conjunto de todas las capitales europeas?
21. ¿Cuál es el producto cartesiano A X B X
22. Supongamos que¡\ x B = O. donde A y B son conjuntos. ¿Qué se puede concluir?
> O)
b) 3x E Z (x2 = 2) d) 3.r E R (x1 = \)
=-
18. Dcicnnina si alguno de estos conjuntos es el conjunto de b) {0, {a} J d) /0. {a}, {b} , /a , b))
1)
a) 3x E R (x3 1) b) 3.x E Z (x+ 1 >x) e) \;/x E Z (x - 1 e Z )
e) P(P(0))
e) {0, {a), {0, a) 1
*
28. Traduce estas cuantificaciones a lenguaje natural y delennina su valor de verdad.
b) P(f 0, a. fa), 1{a} l})
a) O
{O. 1J. Obtén
b) C X R X A d) /J X lJ X B
25. ¿Cuántos elementos d.istintos tiene Ax B si A tiene m elementos y B tiene 11?
15. Oblén el conjunto de las partes de estos conjuntos a) {a)
la. b. el. B = lx. yl y C =
A X 8 XC e X AXB
79
z (.r e
Z)
*29. Demuestra que los pan:s ordenados (a, b) se pueden definir en ténninos de conjuntos como / 1a), la, b l}. (/n· dimción: Demuestra en primer lugar que l I a J, ¡a, b / l = lle}. le. d) l si. y sólo si. a= e y h= d).
* 30. En este problema se presema la paradoja d e Rui;scll. Sea Sel conjunto que contiene a un conjunto x si el conjunto x no pcncnccc a sí mismo. es decir. S = lx 1.\ e \). a) Demuestra que la suposición de que Ses un miembro de S conduce a una contrndicción. b ) Demuestra que la supos ición de que S no es un miembro de S conduce a una contradicción. De las panes (a) y (b) se sigue que S no se puede definir de la forma que se hizo. Esta paradoja se puede evitar restringiendo los tipos de elementos pcnnitidos en los conjuntos. *31. Describe un procedimiento para enumerar todos los sub-
23. Sea A un conjunto. Muestra que 0 x A= A x 0 =0.
conjuntos de un conjunto finito.
Operaciones con conjuntos
t:n1ms
DEFINl CIÓN J
Dos conjuntos se pueden com binar de muchas maneras dife rentes. Por ejemplo, comenzando con el conjunto de los estudiantes de matemáticas y los estudiantes de ingeniería infonrnítica de tu universidad, podernos formar el conjumo de Jos estudiantes de matemáticas o ele ingeniería informática, el conjunto de que estudian a la vez matemáticas e ingeniería infonnática, el conjunto de los que no estudian matemáticas, e tc.
Sean .A y B conjuntos. La unión de los conjuntos A y B, denotada por 11 U B, es el conjunto que contiene aquellos elementos que están bie n enA o bien en B, o e n ambos.
80
Matemática discrew y sus aplicaciones
u
(/
El área sombreada es A U B
Figura l. Diagrama de Venn que represenia la unión de A y 8.
El área sombreada es A
nB
Figura 2. Diagrama de Venn que representa la imersección de A y B.
Un elemento x pertenece a la unión de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece a A o x pertenece a B. Esto nos dice que AUB={xjxEAvxEBJ.
El diagrama de Vcnn mostrado en Ja Figura 1 representa la unión de los conjuntos A y B. El área sombreada que está bien dentJO del círculo que representa a A o bien dentro del círculo que representa a Bes el área que representa a la unión de A y B. Damos ahora algunos ejemplos de unión de conjuntos. EJ EMPLO l
La unión de los conjuntos 11, 3, 5} y { 1, 2, 3} es el conjunlo 11. 2, 3, 5); esto es, ( 1, 3, 5} U 11. 2, 31 = 11. 2. 3, 51. ~
EJEMPLO 2
La unión del conjunto de los estudiantes de tu universidad matnculados en matemáticas y el conjunto de los estudiantes de tu universidad matriculados en ingeniería infom1ática son aquel los que están matriculados en alguna de estas dos carreras, o en ambas. _,..
DEFINICl ÓI' 2
Sean A)' 8 conjuntos. La imersecci6n de los conjuntos A y B, denotada por/\ junto que contiene aquellos elementos que están tanto en A como en n.
n B, es el con-
Un elemento x perlenece a la intersección de Jos conjuntos A y B si. y sólo si, x pertenece a A y .\ pertenece a B. Esto nos dice que A
n B ={x i rE AAXE
8).
El diagrama de Venn mo trado en Ja Figura 2 representa la intersección de los conjuntos A y n. El área sombreada que está dentro de Jos círcu los que representan/\ y Bes el área que represc111a Ja intersección ele A y B. Vamos a dar ahora algunos ejemplos de Ja intersección de conjuntos. EJ EMPLO 3 La intersección de Jos conjunto<: {l. 3, 5} y {1, 2. 3} es el conjunto 11. 3}; esto es, { l, 3, 5) n { l. 2, 3} = 11, 31. ~ EJEMPLO 4
DEFINICIÓN 3
La intersección del conjunto de los estudiantes de tu universidad matriculados en matemáticas y el conjunto de Jos estudiantes de tu universidad matriculados en ingeniería informática son aquellos que están matriculados en ambas carreras a ln vez. ~ Se dice que dos conjuntos son disjuntos si su intersección es el conjunto vacío.
EJEMPLO 5 Sea A= 11. 3. 5. 7. 9) y B = 12. 4. 6. 8, 10). Como A n B =O. A y B son disjuntos.
Los fundamentos: lógica y demo<.1ración. conjumos) funciones
81
A veces cs1amos inleresados en enconlrar el cardinal de la unión de conjuntos. Para encontrar el número de elementos de la unión ele dos conjuntos finitos A y 8 , len en cuenta que 1A 1+ 1B 1 cuenta exactamenle una vez cada elemento que está en A, pero no en B. o que está en B. pero no en A, y exactamente dos veces cada elemento que está tanto en A como en B. Por tamo, si el número de elementos que está tanto en A como en B se sustrae de 1A 1+ 1B ¡. contaremos los elementos de A n 8 sólo una vez. Por 1an10,
1AUB1=IA1+1B1 - 1An B1. La generalización de este resultado a uniones de un número arbilrario de conjunlos se llama pr incipio de inclusión-exclusión. El principio de inclusión-exclusión es una técnica muy importan1e utilizada en los problemas de enumeración. Veremos este principio y otras técnicas de recuento en detalle en los Capítulos 4 y 6. Hay otras formas importantes de combinar conjuntos.
DEFINICIÓN 4
Sean A y B conjuntos. La diferencia de los conjuntos A y B, denotada por A - B, es el conjunlo que contiene aquellos elementos que eslán en A, pero no en R. La diforencia de A y 8 se Llama también el compleme111ario de B con resperto a A.
Un elemento x pertenece a la diferencia de A y B si, y sólo si, x E A y x e B. Esto nos el ice que A - 8= { xlxe A Axe B).
El diagrama de Venn moslrado en la Figura 3 representa la diferencia de los conjuntos A y B. El área ombreada que está dentro ckl círcuJo que rcpresema ar\ y fuera del círculo que reprc, cnta a Bes el área que representa a A B. Vamos a dar ahora alguno ejemplos de la diferencia ele conjuntos. EJEM PLO 6 La cliferencia de {l. 3. 5} y { 1, 2, 3 } es el conjunto 15 J: esto es, { I, 3, 5} l 1, 2, 3} = 151. Esto es disrinto de la diferencia de { 1, 2. 3} y 11 , 3, 5}, que es el conjunro {2} . ....
EJ EMPLO 7 La diferencia del conjumo de los estudiantes de 1u universidad matriculados en ingeniería informá1ica y el conjunto de los estudiantes de tu universidad matriculados en matemáticas es el conjunto de aquellos estudiantes matriculados en ingeniería informática que no están a la vez. matri_,.. culados en matemáticas. Una vez especificado el conjunto universal U, podemos definir el conjunto complementario.
DEFINICIÓN S
Sea U cl conjunto universal. El conjunto complementario ele A, denotado por A, es el complementario de 11 con respecto a U. En otras palabras, el complementario del conjunto A es U - A. ~n elemento pertenece a A si. y sólo si. x e A. Eslo nos dice que
A = f.\ 1x e A }. En la Figura 4, el área sombreada fuera del círculo que representa J\ es el área que repre enta ;\. Damos ahora algunos ejemplos del complementario de un conjunt o.
EJEMPLO 8 Sea A = 1a, e, i. o, u} (donde el conjunto universal es el abecedario). Entonces,/\= 1b, e, ch, d.f. _g . ~1,j. k, /, m, n, 11, p . q. r. s,
t.\', 11'.
x, y. z} .
~
EJ EMPLO 9 Sea A el conjunto de los en1ero~ positivos mayore que 10 (el conjunto universal es el conjun10 de todos los enteros positivos). En1onces, A= {1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9, 1O}. ~
82 Marernática discreta y sus aplicaciones
u
El área sombreada represen/a A-B
El ár ea sombreada represe111a a A
Figura 3. Diagrama de Venn que represcnla la diferencia de A y B.
Figura 4. Diagrama de Venn que representa el complementario de A.
Tabla l . Identidades entre conjuntos. Identidad
Nombre
A U0=A AnU=A
Leyes de identidad
AU U=U A n0 =0
Leyes de dominación
A UA=A
Leyes idempolenles
A nA=A (A) = A
Ley de c.:omplcmentación
AUB=BUA AnB=BnA
Leyes conmutativas
A U (B U C) = (A U B) U C A n (B n C) = (A n B) n
Leyes asociaüvas
A n (B u C) = (A n B) u (A n C) A u (B n C) = (A u B) n (A u C)
Leyes distributi vas
AUB = Anlf AnB = AUB
Leyes de De Morgan
A U (A n 8 ) =A A n (A U B) = A
Leyes de absorción
A UA =U AnA=0
Leyes de complemenlo
e
IDENTIDADES DE CONJUNTOS
Ejem¡>los
adicionales
La Tabla 1 contiene las identidades más importantes entre conjuntos. Demostraremos algunas ele esas identidades uti lizando tres métodos diferentes. Se presentan estos métodos para evidenciar que a menudo un problema se puede afrontar de varias maneras. Las demostraciones del resto de ellas se dejan como ejercicios. El lector podrá notar la similitud entre estas identidades y las equivalencias lógicas presentadas en la Sección 1.2. De hecho, las identidades entre conjuntos se pueden demostrar directamente a partir de las equivalencias lógicas correspondientes. Además, ambas son casos especiales ele identidades que se cumplen en el álgebra de Boole (comentada en el Capítulo 10). Una fonna de demostrar que dos conjuntos son iguales es mostrar que tm conjunto es subcor~junto del otro, y viceversa. Ilustramos este tipo de demostración estableciendo la segunda ley de De Morgan.
EJEMPLO 10 Demuestra que A
n B =A U 8.
Los fundamentos: lógica y demostración, conjuntos y funciones
83
Solución: Demostraremos que los dos conjuntos son iguales mostrando que cada uno es subconjunto del otro.
Primero supongamos que X EA n B. Por definición ele complementario, X E A n B. Por definición de la intersección, •((x E A)/\ (x E B)) es verdadera. Aplicando las leyes de De Morgan (ele Ja lógica), vemos que •(x E A) o --(x E B). Por tanto, por Ja definición de la negación, x e A o x e B. Por definición del complementario, x E A o x E B. Por la definición ele unión, se sigue quex E A U B. Esto demuestra que A n B ~ A U B. Ahora supongamos que x E A U B. Por definición de unión, x E A o x E B. Usando la definición de complementario, vernos que x e A o x ~ B. Por consiguiente, •(x E A) v •(x E B) es verdadera. Aplicando las leyes de De Morgan (de la lógica), se concluye que -{(x E A)/\ (x E 8)) es verdadera. Por la definición de intersección, se sigue que •(x E A n B) es verdadera. Uti 1izamos la definición de complementario para ver que x E A n B, lo que muestra que A U B ~A n B. Como se ha mostrado que cada conjunto es subconjunto del otro, los dos conjuntos son iguales y la identidad queda demostrada. ~
EJEMPLO 11 Usa la notación ele construcción de conjuntos y las equivalencias lógicas para mostrar que A n B
=AUB. Solución: La siguiente cadena de igualdades proporciona una demostración de esta identidad:
AnB={xlxeAnB) = \x 1 -i(x E (A n B))) = 1x 1 -.(x E A /\ x E B) ) = lx 1 x ~ Av x e B) =lx l xEJvxeB} ={x l xEAUHJ
= AUB Observa que en la cuarta igualdad de la cadena se ha utilizado la segunda ley de De Morgan para equivalencias lógicas. ~ Demostrar una identidad de conjuntos con más de dos conjuntos mostrando guc cada uno es subconjunto del otro requiere a menudo seguir los posibles casos diferentes, corno se ilustra en el Ejemplo 12 para Ja demostración ele una de las leyes distributivas para conjuntos.
EJEMPLO 12 Demuestrn que A n (BU C) =(A n 8) U (A n C) para todo conjunto A, By C. Solución: Demostraremos esta identidad mostrando que cada lado de la igualdad es un subconjunto del otro lado. Supongamos que X E A n (B u C). Entonces X E A yX E (B u C). Por la definición de unión, se sigue que x E r1 y x E B o x E C (o ambas). Por tanto, sabemos que x E A y x E B o que x E A y X E C. Por la definición de intersección, se sigue que X E A n B o X E A n C. Usando la definición de unión, se concluye que X E (A n B) u (A n C). Por tanto, A n (B u C) ~ (A n B) u (A n C). Ahora s'Upongamos que X E (A n B) u (A n C). Entonces, según la definición de unión, X E A n B o X E A n c. Según Ja definición de intersección, se sigue que X E A y X E B, o que.\'. E A y x E C. De esto vemos que x E A y que x E B o x E C. Por tanto, por la definición de unión, vemos que x E A yx E B U C. Además, según la definición de intersección, se sigue que x E A n (B U C'). Concluimos que (A n B) U (A n C) CA n (B U C). Esto completa Ja demostración de la identidad. ~
Las identidades entre conjuntos se pueden demostrar utilizando tablas de pertenencia. Consideramos cada combinación de conjuntos a ta que puede pertenecer un elemento y verificarnos que los elementos de una misma combinación de conjuntos pertenecen a ambos conjuntos de la identidad. Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa un 1. Para indicar que el elemento no está en el conjunto se usa un O. (El lector podrá observar la similitud entre tablas de pertenencia y tablas de verdad).
84 \lla1emá1ica discreta y sus aplicacionc\
Ta bla 2. Una tabla de pertenencia para la propiedad distributiva.
B
A
J
1
1 1 1
1
o o
o o o o
1 1
o o
e
B UC
A n (BU C)
AnB
AnC
(A n B) u (A n C)
1
1 1 1
1 1 1
1 1
o
1
1
1
1
o 1
o
o
l
1 1
o 1 o
o o o o o o
o o o o o
1
o
EJEMPLO J3 Utiliza una tabla de pertenencia para mostrar que A
1
o o o
o o o o o
o o
n (8 U C) = (A n 8 ) U (A n C).
Solución: La tabla de pertenencia para es:as combinaciones de conjuntos se muestra en la Tabla 2. Esta tabla 1jene ocho filas. Como las columnas para /\ n (B U C) y (A n B) U (A n C) son las mismas, la identidad es válida. ~
Se pueden establecer identidades adicionales entre conjuntos utiljzando las que ya hemos demostrado. Considera el Ejemplo 14.
EJEMPLO 14 Sean A, By C conjuntos. Muestra que A
u (B n r) =(E u
B)
n .4 .
Sol11ció11: Tenemos A
u (B n C) =X n enn C) =X n (Bu l) =(Bu E) n A =(Cu B) n A
por la primera ley de De Morgan por la segunda ley de De Morgan por la ley conmutativa para la intersección por Ja ley conmutativa para la unión
UNIONES E INTERSECCIONES GENEl~ALIZADAS Como la unión e intersección de conjuntos satisfacen Ja ley asociativa, los conjuntos A U B U C y A n B n C están correctamente definidos para los conjuntos A.By C. Ten en cuenta que A U B U C contiene aquellos elementos que están en al menos uno de los conjuntos A, B y C, y que A n B n C contiene aquellos elementos que cst<ín tanto en A como en B como en C. Estas combinacione!. de los tres conjuntos r\, By C se muestran en la Figura 5.
u
u
(a) El area sombreada r.:prescnta a A U B U C
Figura 5. Unión e intersección de A.By C.
•h) El ;írca ~ombrcada representa a A
n BnC
Los fundamentos: lógica y demo~1raci6n. conjun1os y funciones 85
EJEMPLO IS Sean A= 10, 2. 4, 6, 8}, B = 10, 1, 2, 3, 4l y C = 10, 3. 6, 9). ¿Cuáles son/\ U R U C y A n 8 n C?
Solución: El conjunto A U B U C contiene aquellos elementos de al menos uno de los conjuntos A, B o C. Por tanto. A U 8 U C = 10, 1, 2, 3, 4. 6, 8, 9).
n B n C contiene todos los elementos que están a la vez en A, en B yen C. Por
El conjunto A tanto, An8
n C ={O}.
Podemos también considerar uniones e intersecciones de un número arbitrario de conjuntos según se ve en las siguientes definiciones. La unión de una colección de conjuntos es el conjunto que contiene aquellos elementos que son miembros de al menos uno de Jos conjuntos de la colección.
DEFINIC IÓN 6
Usamos la notación
" A 1U A2 U··· U An = LJA,. i=I
para denotar la unión de los conjuntos A 1, 112,
... ,
1\ ,,.
La intersección de una colección de conjuntos es el conjunto q111~ contien~ aqu~llo<: <'lemcntos que son miembros de todos los conjuntos de Ja colección.
DEFINIC IÓN 7
Utilizamo la notación AlnA2n ... n A,, =
" A, íl i=I
para denotar Ja intersección de los conjuntos A 1, 112, generalizadas con el Ejemplo 16.
••• ,
A,,. Tlustramos las uniones e intersecciones
EJElVI PLO 16 Sea A1 =li. i + l. i + 2.. .. }. Entonces. n
"
i=I
i=I
11
n
LJA, = LJ[i, i+l,i+2,. .. }=\ I, 2, 3... .) y
ílA, =íl!i, i + 1, i + 2... .1=·11,n+ l. 11 + 2, ... 1. i 1
1
1
REPRESENTACIÓN DE CO NJ UNTOS EN UN ORDENADOR l lay varias formas de representar conjuntos en un ordenador. Una forma es almacennr l o~ elementos de un conjunto de manera desordenada. Sin embargo, si se hace así. las operaciones para calcular la unión, intersección o la diferencia serían demasiado costosas en tiempo, puesto que estas operaciones requerirían largos procesos de btísquccla de elementos. Presentarnos un método para almacenar elementos utilizando una ordenación arbit.raria de los elementos del conjunto
86
Matemática discreta y sus aplicaciones
universal. Este método de representación de conjunros simplifica el cálculo en operaciones entre conjunros. Supong~1 mos que el conjunro universal U es finito (y de tamaño razonable, de tal forma que el número de clcmenros de U no sea más grande que la memoria del ordenador utiliznclo). Primero especificamos un orden arbitrario para los elementos de U. Por ejemplo, a 1• a2, ••• , an. Representamos un subconjunto A de U mediante la cadena de bits de longitud /1 en Ja que el bit i-ésimo es 1 si a; perrenece a A y Osi no pertenece. El Ejemplo 17 ilustra esta técnica.
EJEM PLO 17 Sea U = { 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8. 9, 1OJ. Damos Jos elementos de U ordenados de forma creciente. es uecir, a,= i. ¿Qué cadena de bits representa el subconjunto de todos los números impares en U?¿ Y el conjunto ele los números pares en U? ¿Y el subconjunto de los elementos de U que son menores o iguales que 5?
Solución: La cadena de bits que representa el conjunto de Jos impares en U, es decir, { 1, 3, 5, 7, 9), tiene un bit igual a 1 en las posiciones primera, tercera, quinta, séptima y novena y cero en las demtís. Es decir,
10 1010 1010. (Partirnos esta cadena de longitud 1Oen bloques de cuatro para hacerla fácil de leer, puesto que una cadena continuada de 10 bits se lee con dificultad). De forma similar, representamos el subconjunto de todos los enteros pares en U ({2. 4, 6, 8, JO}) por la cadena 01 0101 0101. El conjunto de los enteros de U menores o iguales que 5, es decir, {1, 2, 3, 4, 5}, se representa por la cadena 11 1110 0000.
Utilizando cadenas de bits como representación de conjuntos es rncil encontrar complementarios, uniones, intersecciones y diferencias de conjuntos. Para encontrar Ja cadena de bits asociada al complementario de un conjunto, simplemente cambiamos cada 1 por un Oy cada Opor un 1, puesro que x e A si, y sólo si, x ~A. Observa que si asociamos a cada bit un valor de verdad. asot:iando al 1 el valor de verdadero y al Oel de fal so, entonces esta operación corresponde a reemplanr cada bit por su negación.
EJEMPLO 18 Hemos visto que Ja cadena de bits para el conjunto { l, 3, 5, 7, 9}, con el conjunto universal igual a { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, lOI, es
JO 101 0 1010. ¡,Cuál es la cadena de bits que representa al complementario de este conjunto?
Solución: La cadena de bits del complementm-io de este conjunto se obtiene reempla:t.ando los ceros por unos, y viceversa. Esto nos da la cadena
1
01 0101 0 101 ,
que corresponde al conjunto {2, 4. 6, 8, 1O} . Para obtener las cadenas de bi1s que represcnran la unión y la inter ccción de dos conjuntos realizamos operaciones booleanas sobre los bits de las cadenas que representan a los dos conjuntos. El bit de Ja posición i-ésima de Ja cadena de bits de la unión es 1 si el bit i-ésimo de una de las dos cadenas es 1 y Ocuando ambos son O. Por tanto, Ja cadena de bits para la unión es el resultado de aplicar la operación bit OR a las cnclenas de bits ele los dos conjuntos. El bir i-ésimo de la cadena de bits de Ja intersección es 1 si los bits de la posición i-ési ma de las cadenas de bits 0 de los dos conjuntos es l y Ocuando uno de lo dos, o ambos, es O. Así, la cadena de bits para Ja intersección es el resu ltado de aplicar la operación bit AND a las cadenas de bits de los dos conj untos.
Los fundamentos: lógica y demostración, conjuntos y funciones
E JE MPLO 19
87
Las cadenas de bits para los conjuntos { I, 2. 3, 4, 5) y { 1, 3, 5, 7, 9} son, respectivamente, 11 lJ 10 0000 y 10 1()1 O 1010. Usa cadenas de bits para encontrar la unión y la intersección de estos conjuntos.
Solución: La cadena ele bits para la unión de los dos conjuntos es
11lllOOOOOv1010101010= 1111101010, que corresponde al conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}. La cadena de bits para la intersección de estos conjuntos es J1 11100000 A10 1010 1010 = 10 1010 0000,
que corresponde al conjunto {1, 3. 5).
Problemas l. Sea A el conjunto de los estudiantes que vive a 2 km de la facultad y sea B el conjunto de los estudiantes que van andando a clase. Describe a los estudiantes de estos conjuntos.
a) A n B e) A-8
b) A UB d) B - A
2. Supongamos que A es el conjunto de estudiantes de segundo curso de tu facultad y Bel conjunto de estudiantes de matemática discreta de tu facultad . Expresa estos conjuntos en términos de A y B. a) El conj unto de estudiantes de segundo curso matriculados en matemática discreta en tu facultad. b) El conjunto de estudiantes de segundo curso nomatriculados en matemática discreta en tu facu ltad. e) El conjunto de estudiantes de tu facultad que bien son de segundo curso o bien están matriculados en matemática discreta. d) El conjunto de estudiantes de tu facultad que bien no son de segundo curso o bien no están matriculados e n matemática discreta.
3. Sea A = {l , 2, 3, 4, 5} y B = {O, 3, 6). Obtén
a) A u B e) A - B 4. Sea A=
b) A n B d) 8 -A
b) A n B d) B - A
5. Sea A un conjunto. Demuestra que A= A. 6. Sea A un conjunto. Demuestra que
a) A U 0 = A e) A U A = A e) A -0 J\ g) /\ n u = /\
=
=
b) A n 0 0 d) A n A = J\ f) AUU = U h) 0-A = 0
7. Sean A y B dos conjuntos. Demuestra que
a) A U B = 8UA
yB conjuntos. Demuestra q ue J\ U (A n B) = A.
9. Sean A y B conjuntos. Demuestra que A n (J\ U B) = A. 10. Halla los conjuntos A y B si A-8 = {l, 5, 7, 8}, B - A (2, lOJ y A nB = (3,6, 9).
=
11. Demuestra que si A y B son conjuntos, entonces A U B
=
Xnii a) mostrando que cada lado de la igualdad es subconjunto del otro, b) utilizando una labia de pertenencia.
12. Sean A y B conjuntos. Demuestra que a) (A n B) ~A b) A~ (A u 8) e) A - 8 ~A el) A n (B - A)= 0 e) AU(B -A) = A U B 13. Demuestrn que si A, 8 y C son conjuntos, entonces
Ans
n e =X u .B u c.
a) mostrando que cada lado es s ubconjunto del otro, b) utilizando una tabla de pertenencia.
14. Sean A, By C conjuntos. Demuestra que
/a, b, e, d, e} y B = (a, b, e, d, e,J, g, h}. Obtén
a) A u B e) A-8
8. Sean J\
b) An8 =B n A
a) b) e) d) e)
(A U B) ~ (A U B U C) (A n B n C) ~(A n B ) (A - B) -
C~ A - C
(A - C) n (e - B) = 0 (B - A) U (C - A.) = (8 U C) - A
IS. Demuestra que si A y B son conjuntos, entonces A - B =
A ns.
J6. Demuestra que si A yR son conjuntos, e ntonces (A U (A n B) = A. 17. Sean A, B y C conjun tos. Demuestra que
a) A u (B b) A n cB e) A u (B
u C) = (A u B) u e n C) = (A n 8) n e n C) = (A u B) n (A u C)
n 8)
88 \1atemática discreta y sus aplicaciones
18. Sean A, B y C conjuntos. Demuestra que (A - B ) - C = (A
*36. Demuestra que si/\, By C son conjuntos, entonces
e
20. Dibuja diagramas de Yenn para cada una de estas combinaciones de los conjuntos A.B y C.
n
3-t. Si A, B. C y D son conjuntos, ¿se verifica que (A a:> B) e (C E9 D)::: (A E9 C) $ (B $ D)?
11
a)
=
LJA¡ ,._,
i- 1
*38. Sea A,= { . .. , -2, -1 , O. 1, .... i}. Halla n
n
22. ¡.Se puede concluir que A= B si A, 8 y C son conjuntos tales que a) A
u e= B u C?
b) A n e= B n C?
23. Sean A y B subconjuntos del conjunto universal U. Muestra que A ~ B si. y sólo si, B ~X.
a)
LJA; ;
b) ílA,
,_,
1
39. Sean A, los conjuntos de todas las cadenas de bits no vacías (esto es, cadenas de biLs de longitud al menos uno) de longitud menor o igual que i. Calcula 11
11
La diferencia simétrica de A y B. denoiada por A Et> B, es el conj unto que contiene aquellos c lerneutos que bien están en A o bien están de B, pero no en ambos. 24. Halla la diferencia simétrica de { 1, 3. 5 J y 11. 2. 3} 25. Describe la diferencia simétrica de los estudiantes de matemáticas de tu universidad y los estudiantes de ingeniería infom1ática de tu universidad.
a)
LJ A,. ,_,
b) ílA;
.JO. Supongamos que el conjunto univeri;al e<> U = {1, 2. 3, 4, 5. 6, 7. 8. 9, 10}. Expresa cada uno de estos conjuntos con cadenas de bits donde el bit i-ésimo de la cadena es 1 si / está en el conjunto y O si no lo esta. a) {3,
-t. 5}
b) {1. 3,6,10}
c) {2.3.4.7,8,9}
41. Considerando el mismo conjunto universal que en el pro26. Dibuja un diagrama de Ycnn de la diferencia simétrica de dos conjuntos A y B.
blema anterior, determina el conjunto especificado para cada una de estas cadenas de bits.
27. Demuestra que A E!1 B = (A U /J) - (i\
a) 1111001111 e) 1O00000001
n 8).
28. Demuestra que A $ B =(A - 8) U (8 -A). 29. Demuestra que si A es un ~ubconjunto del conjunto universal U, entonces H)
~$A= 0_
c)
$ U =A
r
bJ A$ 0 =A d) A Et> A= U
h) 010 111 1000
.J2. ¿Qué subconjuntos del conjunto universal representan estas cadenas de bits'! a) la cadena con todos O b) la cadena con todos 1. 43. ¿Cuál es la cadena de bits correspondienle a la diferencia de dos conjuntos?
30. Demuestra que si A y IJ son conjuntos, entonces a) AeB=BEt>A
b) (AE9lJ)E98=A
31. ¿Qué se puede decir de los conjuntos A y 8 si A$ B = A? *32. Determina si la diferencia siméLrica es asociativa: esto es. <;i A , 8 y C son conjuntos, ¿se cumple que A e (B e C) =
*33.
