Revisión Bibliográfica del Modelo de Histéresis de Takeda

Revisión Bibliográfica del Modelo de Histéresis de Takeda Bibliographic Bibliographic Review of the Takeda Hysteresis Model Bejarano Cordoba Jhordan Alejandro 1 1

Ingeniero Civil de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, estudiante de Maestría en Ingeniería Estructural del Instituto Tecnológico de Santo Domingo, ingeniero calculista en Diseño y Soluciones en Ingeniería Estructural S.A.S.

RESUMEN El presente trabajo se enfoca en la revisión bibliográfica del modelo de histéresis de Takeda, Sozen y Nielsen, desarrollado en el año de 1970. Dicho modelo ha sido ampliamente utilizado dado que recrea de manera adecuada el comportamiento no lineal de estructuras de concreto reforzado, pues considera el cambio de rigidez y disipación de dichas estructuras cuando son sometidas a cargas cíclicas. Palabras clave: Análisis No Lineal, Histéresis, Cargas Cíclicas, Estructuras, Concreto Reforzado, Disipación de Energía, Rigidez, Carga de Agrietamiento, Comportamiento Elástico, Comportamiento Plástico.

ABSTRACT This work focuses on the bibliographic review of the Takeda, Sozen and Nielsen Hysteresis Model, which was developed in the year 1970. This model has been widely used since it adequately recreates the nonlinear behavior of reinforced concrete structures, considering the change of stiffness and dissipation of these structures when subjected to cyclic loads. Keywords: Nonlinear Analysis, Hysteresis, Cyclic Loads, Structures, Reinforced Concrete, Energy Dissipation, Stiffness, Craking Load, Elastic Behavior, Plastic Behavior.

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INTRODUCCIÓN

Para el estudio y análisis de la respuesta sísmica inelástica de estructuras, es necesaria la implementación de modelos histeréticos que recreen de manera adecuada su comportamiento no lineal cal someterse a cargas cíclicas. Dichos modelos histeréticos son la representación representación gráfica de la relación existente entre la fuerza y la deformación de un miembro estructural. Los diversos sucesos sísmicos y ensayos de laboratorio, han demostrado que las curvas de histéresis varían de acuerdo a la sección del elemento estructural, su material, entre otros aspectos importantes. Es importante mencionar que la relación fuerza – deformación de una unidad de análisis estructural estudiado en ensayos de laboratorio, debe ser

idealizado dentro de un modelo histerético. Es necesario implementar diferentes modelos histeréticos para diferentes elementos estructurales considerados en un mismo análisis como, por ejemplo, un modelo constitutivo de materiales para un análisis por el método de elementos finitos, un modelo de histéresis de resorte rotacional para modelar un miembro de un componente, un modelo de histéresis de corte basal – deriva para recrear el comportamiento de una masa – resorte. De manera general, los modelos histeréticos se obtienen a partir de numerosos ensayos de laboratorio, en donde se hacen mediciones de la resistencia y la deformación de los miembros ensayados. Los modelos histeréticos deben ser capaces de expresar la resistencia y la deformación de un miembro, sometido a cualquier historia de cargas, que pueden ser de tipo cíclico (carga y descarga). Se reconoce como curva primaria a la gráfica fuerza – deformación de un miembro que se ve sometido ante cargas incrementales monotónicas. Normalmente, para elementos de concreto reforzado, dicha curva se representa por una relación trilineal con cambios de rigidez en las zonas de agrietamiento por flexión y fluencia del acero de refuerzo longitudinal. Para una descripción más clara de las gráficas de histéresis, es necesario definir los siguientes conceptos: Carga: Caso en donde el valor absoluto de la fuerza o deformación, aumenta en la curva primaria. Descarga: Caso en el que el valor absoluto de la fuerza o deformación, disminuye después de la carga o recarga. Recarga: Caso en el que el valor absoluto de la fuerza o deformación, aumenta después de la descarga, antes de que el punto de respuesta toque el trazado de la curva primaria. Ilustración 1. Gráfica fuerza vs. deformación

Fuente: Modelos de histéresis - Otani

Los modelos histeréticos se plantean a partir de ensayos de laboratorio, en donde se miden las fuerzas aplicadas a un miembro estructural o estructura, junto con los desplazamientos causados por dichas fuerzas. De manera general, las características de un modelo histerético se basan en las siguientes características: (a) Cambio de rigidez debido a los puntos de agrietamiento por flexión del concreto, y los puntos de fluencia del acero de refuerzo longitudinal. (b) cuando se obtiene una segunda deflexión con la máxima amplitud, la rigidez del elemento en el segundo ciclo es notablemente menor que la rigidez del elemento en el primer ciclo, aunque la fuerza en el desplazamiento pico es, en su esencia, la misma. La pérdida de rigidez es producto de la fisuración durante los ciclos de carga y también debido al efecto Bauschinger (el límite de proporcionalidad entre el cargue y descargue, es diferente). (c) El promedio de rigidez de pico a pico de un ciclo completo, disminuye junto con el máximo desplazamiento. (d) Las características histeréticas del concreto reforzado, dependen de la historia de carga y (e) La fuerza en la deflexión pico es casi igual en dos ciclos sucesivos en un miembro dominado por flexión. Debido a que las gráficas de los ciclos de histéresis dependen de la historia de carga, las propiedades estructurales del elemento, entre otras características, es difícil formular un modelo histerético general. En consecuencia, se han desarrollado varios modelos de histéresis, unos con formulaciones sencillas y otros con muchas reglas o normas histeréticas y aunque se requiere mayor memoria de almacenamiento entre más reglas tenga un modelo, no implica necesariamente más tiempos de ejecución, dado que existen tramos que pueden ser simplificados matemáticamente. Existen varios tipos de modelos histeréticos. A continuación se indicarán los modelos clásicos: Modelo Bilineal: El comportamiento no lineal del elemento se representa por medio de dos líneas principalmente. Una línea recrea el comportamiento elástico del elemento, mientras que la otra línea, representa el comportamiento inelástico y con rigidez degradada del mismo. Se han desarrollado varios tipos de modelos, como el elasto-plástico, el modelo bilineal y el modelo bilineal degradado. Ilustración 2. Modelo histerético bilineal

Fuente: Modelos de histéresis – Otani

Modelo Ramberg – Osgood (1943): Asimismo, se ha desarrollado otro tipo de modelo histerético que recrea de manera adecuada el comportamiento no lineal del metal, llamado Modelo de Ramberg – Osgood. Varios autores han presentado propuestas que modifican el modelo original de Ramberg – Osgood, introduciendo términos a las ecuaciones que implican un mejor comportamiento del modelo al compararlo con el comportamiento real de los elementos ensayados. Ilustración 3. Modelo de Ramberg - Osgood.

Fuente: Modelos de histéresis – Otani Modelo Trilineal Degradante: Es un modelo histerético que simula de manera adecuada el comportamiento del concreto reforzado sometido ante cargas flexionantes. La curva primaria se forma principalmente por 3 líneas, cada una presenta una característica de rigidez particular, siendo los puntos de inflexión el agrietamiento del concreto y la fluencia del acero de refuerzo longitudinal. Ilustración 4. Modelo trilineal degradante


Al igual que los otros métodos, el modelo trilineal degradante ha presentado propuestas de autores que modifican las ecuaciones originales logrando mayores correlaciones con los comportamientos reales de las estructuras, como por ejemplo Nomura (1976). Ilustración 5. Modelo de Nomura

Fuente: Modelos de histéresis – Otani Modelo Degradante de Clough: Este modelo, desarrollado por Clough y Johnson (1966), muestra de manera adecuada el comportamiento histerético del concreto armado en las zonas de los nudos de una estructura. En 1976, Mahin y Bertero modificaron el modelo inicial, para asignarle una mayor precisión en uno de los puntos de inflexión de la gráfica. Ilustración 6. Modelo de Clough y Bertero


Modelo de Takeda: Desarrollado por Takeda, Sozen y Nielsen (1970), es ampliamente utilizado por representar de manera adecuada el comportamiento no lineal de estructuras de concreto armado. Su desarrollo implica la implementación de varias condiciones para un funcionamiento adecuado. El modelo consiste en una curva envolvente trilineal bajo cargas monotónicas, una para cada sentido de carga, con cambios de pendiente en los puntos de agrietamiento y fluencia. A continuación, se hace un énfasis especial en este tipo de modelo histerético. 2

DESARROLLO TEÓRICO DEL TEMA 1. Condición: La carga de agrietamiento, Pcr, no se ha excedido en una dirección. La carga se revierte desde una carga P en la otra dirección. La carga P es menor que la carga de fluencia Py. 2. Condición: Una carga P1 se alcanza en una dirección sobre la curva primaria, tal que P1 es mayor que la carga Pcr, pero menor que la carga de fluencia Py. Luego, la carga se devuelve a -P2 siendo P2>P1. 3. Condición: Una carga P1 es alcanzada en una dirección tal que P1 es mayor que Pcr, pero no mayor que la carga de fluencia Py. Luego la carga se devuelve a -P3, tal que P3>P1. 4. Condición: Ocurren uno o más ciclos de carga. Regla: Para construir la curva de carga, se conecta el punto con carga cero con el punto del ciclo previo, si ese punto se encuentra en la curva primaria o en una línea dirigida a un punto de la curva primaria. Si el ciclo de carga anterior no contiene tal punto, se debe ir al ciclo anterior y continuar el proceso hasta que se encuentre tal punto. Posteriormente, se conecta este punto hasta el punto de carga cero. Excepción: Si no se ha alcanzado el punto de fluencia y si el punto de carga cero se encuentra dentro de la proyección horizontal de la curva primara para esa dirección e carga, se conecta el punto de carga cero con el punto de fluencia para obtener la pendiente de carga. 5. Condición: Se supera el punto de fluencia Py en una dirección. Regla: La curva de descarga sigue la pendiente dada por la siguiente ecuación:

6. Condición: La carga de fluencia se supera en una dirección, pero la carga de agrietamiento no se supera en la dirección opuesta

Regla: La descarga sigue la regla 5. La carga en la otra dirección continúa como una extensión de la línea de descarga hasta la carga de agrietamiento. Luego, la curva de carga se dirige punto de fluencia. 7. Condición: Se han producido uno o más ciclos de carga. Regla: Si el cuarto de ciclo inmediatamente anterior se mantiene a un lado del eje de carga cero, se descarga en la proporción basada en la regla 2, 3 y 5, el que gobierne en la historia de carga anterior. SI el cuarto de ciclo inmediatamente anterior cruza el eje de carga, se descarga el 70% de la proporción basada en la regla 2, 3 o 5, el que gobierne en la historia de carga anterior, pero no en la pendiente más plana que la pendiente de carga inmediatamente anterior. El modelo de Takeda es ampliamente utilizado, puesto que incluye cambios de rigidez en los puntos de agrietamiento por flexión y fluencia, las normas de histéresis para lazos de histéresis internos dentro de un lazo exterior y la degradación de la rigidez de descarga con deformación. El punto de respuesta se mueve hacia un pico de un lazo de histéresis externo. La rigidez de descarga Kr después de la fluencia, viene dada por:

Ilustración 7. Modelo de Takeda


Por medio del modelo de Takeda, es posible calcular un índice de disipación de energía histerética, el cual se expresa como:

Es importante señalar que la expresión es válida para factores de ductilidad mayores a la unidad. Es posible implementar el modelo de Takeda para simular el comportamiento de un piso de una estructura simplificada, mediante la simplificación de las reglas de histéresis antes de la fluencia. 3

CONCLUSIONES a) Los modelos histeréticos son muy buenas opciones para estudiar el comportamiento no lineal de elementos o estructuras sometidos a cargas cíclicas. b) Los modelos histeréticos se determinan a partir ensayos de laboratorio en donde se hacen mediciones de fuerzas aplicadas y desplazamientos presentados. c) Debido a que las gráficas de los ciclos histeréticos dependen de muchos factores como lo son la geometría, el material, la historia de carga, etc., es difícil implementar un modelo histerético general o universal, lo que hace necesaria la implementación de modelos histeréticos para grupos de casos que contienen características en común. d) El modelo de Takeda es una muy buena opción en la modelación de estructuras de concreto reforzado, dado que contiene reglas que condicionan el trazado de la gráfica histerética, y considera la pérdida de rigidez en puntos

de agrietamiento y fluencia, siendo una situación comparable con la realidad del concreto reforzado. e) Existen diversos autores que han modificado el modelo de Takeda, haciendo simplificaciones que resuleven de manera práctica problemas como por ejemplo aquellos de masa resorte. 4

REFERENCIAS

“Reinforced Concrete Response to Simulated Earthquakes," Journal, Structural Division, ASCE, Vol. 96, No. ST12, 1970, pp. 2557-2573. Takeda, T. M.A. Sozen and N. N. Nielsen,

Otani, S., and M. A. Sozen, "Behavior

of Multistory Reinforced Concrete Frames During Earthquakes," Structural Research Series No. 392, Civil Engineering Studies, University of Illinois, Urbana, 1972

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