´ Indice 1. Recordatori Recordatorio o An´ alisis alisis de Se˜ nales 1.1. 1.1. Se˜ Sen ˜al Impulso y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 3 3 3
2. Introducci´ Introducci´ on on a la Modulaci´ on on 2.0.1. 2.0 .1. Modulac Modulaci´ i´ on AM . . . 2.1. ´Indice de Modulaci´on . . . . . 2.2. Eficiencia Energ´etica . . . . . 2.3. Detector de envolvente . . . .
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4 4 4 4 5
3. Banda lateral lateral doble con supresi´ supresi´ on de p ortadora 3.1. Demodulaci´ Demodulaci´ on de BLD-SP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Loop de Costas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 5 5
4. Banda Banda latera laterall ´ unica 4.1. Demodulaci´ Demodulaci´ on BLU
6 6
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5. Multiplexor de portadora en cuadratura
6
6. Mo dulador de banda vestigial
7
7. Frecuencia Mo dulada ´ ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.. Modulac 7.1 Modulaci´ i´ on on de A 7.1.1. 7.1 .1. Modulac Modulaci´ i´ on PM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2. 7.1 .2. Modulac Modulaci´ i´ on FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.. Modulac 7.2 Modulaci´ i´ on en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. FM de banda angosta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2. FM de banda ancha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3. Ancho Ancho de banda banda de una una transmisi transmisi´´on de FM arbitraria . . . 7.2.4. Criterio del 1 % . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.5. 7.2 .5. Ancho Ancho de band banda a para para se˜ nales arbitraria de modulaci´on FM nales 7.2.6. 7.2 .6. Modulac Modulaci´ i´ on FM de banda ancha . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.7. 7.2 .7. Demodul Demodulaci aci´ on o´n de se˜ nales FM . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. 7.2.8. 8. M´etod e todoo basa basado do en Phas Phasee -Lo Loccked loop loopss . . . . . . . . . . .
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7 7 7 7 8 8 9 9 10 10 10 10 11
8. Proceso Procesoss Estoc´ asticos 8.1. Algunas definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Transmisi´ ransmisi´ on o n de un proce proceso so esta estaci cion onar ario io a tra trav´ v´ es e s de un filtr filtroo L LTI TI 8.3. Densidad espec pectral de pot potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. 8.3.1. 1. Prop Propie ieda dade dess y algu alguna nass defi defin nicio icion nes de la DSP DSP . . . . . . . 8.4. Proceso Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1. Teorema Central del l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2. Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11 11 13 13 13 14 14 14
9. Ruido 9.1. Ruido Blanco . . . . . . . . . . . . 9.2. Ruido en banda angosta . . . . . . 9.3.. Ruido 9.3 Ruido en modul modulaci aci´ on o´n anal´ogica . . 9.3. 9.3.1. 1. Raz´ Raz´ on on se˜ nal a ruido . . . . 9.3.2. Efecto de ruido en BLD-PS
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15 15 15 16 16 17
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9.3.3. Efecto de ruido en AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 9.3.4. Efecto de ruido en FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 10.Comunicaciones Digitales en banda base 10.1. Modulaci´ on de Pulsos . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1. Muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2. Te Teorema del muestreo . . . . . . . . . . . 10.1.3. Cuantizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.4. Modulaci´ on de amplit litud de pulso lso (PAM) 10.2. Pulsos rectangulares NRZ . . . . . . . . . . . . . 10.3. Transmisi´ on de pulsos en bandabase . . . . . . . 10.3.1. Filtro adaptado . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.2. Pr Probabilid lidad de de error de de un un bit bit . . . . . . 11.Comunicaci´ on digital M-aria
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20 20 21 21 21 21 22 22 22 24 27
12.Representaci´ on equivalente en banda base 29 12.1. Transformada de Hilber bert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 12.2. Pre-Envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2
9.3.3. Efecto de ruido en AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 9.3.4. Efecto de ruido en FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 10.Comunicaciones Digitales en banda base 10.1. Modulaci´ on de Pulsos . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1. Muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2. Te Teorema del muestreo . . . . . . . . . . . 10.1.3. Cuantizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.4. Modulaci´ on de amplit litud de pulso lso (PAM) 10.2. Pulsos rectangulares NRZ . . . . . . . . . . . . . 10.3. Transmisi´ on de pulsos en bandabase . . . . . . . 10.3.1. Filtro adaptado . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.2. Pr Probabilid lidad de de error de de un un bit bit . . . . . . 11.Comunicaci´ on digital M-aria
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12.Representaci´ on equivalente en banda base 29 12.1. Transformada de Hilber bert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 12.2. Pre-Envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2
1.
Recordatorio Recordatorio An´ alisis alisis de Se˜ nales nales
1.1.
Se˜ nal Impulso y propiedades nal
Recordemos que un impulso se define como:
0 si t = 0
δ (t) = A partir de la definici´on on notamos que:
1 si t = 0
∞
δ (t) dt = dt = 1
∞
Algunas propiedades importantes del impulso son: x(t)δ (t
− t0) = x( x(t0 )δ (t − t0 )
Cedazo:
∞
x(t)δ (t
∞
− t0) dt = dt = x x((t0 )
Notar que de esta propiedad se desprende que la convoluci´on on por un impulso no afecta la se˜nal, nal, es decir, es ella misma.
1.2. 1.2.
Defini Definici cion ones es Se˜ nal nal de Energ´ Ene rg´ıa: ıa:
| ∞
E = =
x(t) 2 dt
∞
Se˜ nal nal de Potencia:
1 P P = l´ım ım T →∞ T →∞ T
1.3. 1.3.
− T 2
T 2
|
|x(t)|2 dt
Transfor ransformad mada a de Four Fourier ier
Algunas transformadas de Fourier importantes son: cos(2πf cos(2πf c t)
→ 12
δ (f c
− f ) f ) + δ (f c + f )
sen(2πf sen(2πf c t)
→
sinc(f )) (t) → sinc(f
3
2.
Introducci´ o n a la Modulaci´ on En la modulaci´on se involucran 3 se˜ nales:
• Se˜nal modulada m(t): se˜nal a transmitir, luego de modular la portadora. • Se˜nal portadora c(t): Se˜nal sinusoidal de alta frecuencia. • Se˜nal de mensaje s(t): Informaci´on a ser modulada y transmitida. La banda base se define como las se˜nales y sistemas antes de la modulaci´on. Tiene ancho de banda menor a la frecuencia de la portadora(se˜nal de mensaje). La pasa banda es despu´ es de la modualci´on (se˜ nal modulada o transmitida). 2.0.1.
Modulaci´ on AM
Se var´ıa la amplitud en torno a un valor medio. La se˜nal modulada es: s(t) = A c [1 + ka m(t)] cos(2πf c t) donde Ac es la amplitud de la portadora, m(t) es la se˜ nal de mensaje, ka es la sensibilidad de amplitud y todo lo que multiplica al coseno es la envolvente de la se˜nal. cos(2πf c t) es la portadora. Se deben cumplir ciertas condiciones en esta se˜nal: (i) ka m(t) < 1
|
|
(ii) f c
W
La condici´ on (i) asegura que que no exista sobremodulaci´on. Si es que existe habr´a inversi´ on en la envolvente y producir´a distorsi´ on. la condici´ on (ii) permite que exista la envolvente. El espectro de la se˜nal s(t) es :
Ac K a Ac δ (f c f ) + δ (f c + f ) + M (f c 2 2 El ancho de banda de la se˜nal AM se duplica, as´ı B AM = 2W . S (f ) =
2.1.
−
− f ) − M (f c + f )
´ Indice de Modulaci´ on
Si consideramos m(t) = Am cos(ωt), en la se˜ nal s(t) tenemos que µ = Am ka es el ´ındice de ´ modulaci´on. Este se define as´ı: µ =
AMAX AMI N AMAX + AMI N
−
donde A MAX representa el valor m´aximo de la envolvente, y A MI N el valor m´ınimo.
2.2.
Eficiencia Energ´ etica
´ De la se˜ nal s(t) podemos obtener la potencia de la se˜nal portadora y de sus bandas laterales. Estas son: A2c 2 2 2 µ Ac Bandas laterales = 4 A partir de la potencia podemos definir la eficiencia energ´etica del a se˜nal. Potencia portadora =
4
η =
µ2 2 + µ2
Podemos notar que en el mejor de los casos (µ = 1), la eficiencia es 31 . Esto dice que solo se usa un 30 % para transmitir la se˜ nal.
2.3.
Detector de envolvente
El detector de envolvente se usa para demodular la se˜nal, es el circuito m´as simple para demodular. Est´a compuesto por un diodo simple para poder rectificar la se˜nal y de un filtro pasabajos RC para obtener la se˜ nal.
3.
Banda lateral doble con supresi´ on de portadora
Se produce un cambio de fase en 180. Se quita la portadora de la se˜nal modulada, es decir, la se˜nal es s(t) = Ac m(t)cos(2πf c t). Analizando la se˜ nal en frecuencia:
Ac M (f c f ) + M (f c + f ) 2 Vemos que ya no est´a la portadora, pero sigue teniendo ancho de banda 2W . La potencia de transmisi´ on viene determinada por las bandas laterales. P = P U SB + P LSB . S (f ) =
3.1.
−
Demodulaci´ on de BLD-SP
Como debemos resolver el cambio de fase, usamos el mismo modulador BLD-SP y un filtro pasaba jos, pero para este caso asumimos que la portadora tiene la misma frecuencia que la se˜nal modulada. Haciendo esto matem´aticamente tenemos: s(t)Ac cos(2πf c t) = Ac Ao m(t)cos2 (2πf c t) = A c Ao m(t)cos2 (2πf c t) Ac Ao A c Ao m(t) + cos(4πf c t) 2 2 El termino de la derecha del sumando se elimina con un pasabajos. Claramente este es un caso muy particular, en el caso general se tiene que c(t) = A l cos(2πf c t + ϕ) y debe coincidir tanto en fase como en frecuencia. =
3.2.
Loop de Costas
Este es el caso en que el oscilador local coincide en fase con el transmisor, pero no en frecuencia. Si tenemos: s(t) = Ac cos(2πf c t)m(t) (1) La portadora ser´a en este caso c(t) = Al cos(2πf c t + ϕ), por lo tanto, al modular la se˜nal, y luego filtrarla con un pasabajos obtendremos: vo (t) =
Ac Ac cos(ϕ)m(t) 2
(2)
π Ahora notemos que si ϕ 0, entonces m(t) se puede detectar, pero si ϕ 2 , entonces no se puede detectar la se˜nal. Este caso se llama cero de cuadratura. El loop de costas usa el cero de cuadratura para adelantar o atrasar la fase del oscilador local en el sentido correcto, para re-sincronizar la portadora del receptor con la del transmisor. Para esto se usa un VCO. Cuando se tiene que ϕ 0, entonces la salida
≈
≈±
≈
5
del demodulador de fase es 21 Ac m(t), que es proporcional a la se˜ nal que queremos. El discriminador de fase, que consiste en un multiplicador seguido de un filtro pasabajos, producir´a una salida parecida a 0, debido a que la salida del demodulador en cuadratura es 0. Si tenemos variaciones peque˜nas de fase, lo que se obtendr´a a la salida del discriminador ser´a:
≈
A2c m2 (t) cos(ϕ)sin(ϕ) 4
≈ kϕ
(3)
El filtro elimina las variaciones de m 2 (t). El voltaje de entrada al VCO es positivo, por lo que se reduce la frecuencia hasta que la fase vuelva a 0.
4.
Banda lateral u ´nica
Se transmite s´olo la banda lateral superior o inferior. Es posible generar esto con el m´ etodo de discriminaci´ on en frecuencia. Este consiste de 2 etapas: 1. Producir un modulador que genere una modulaci´ on DSB-SC. 2. Hacer un filtro pasabanda que est´e designado a pasar una de las bandas laterales y eliminar la otra. La idea es eliminar la banda que no se quiera. Para esto usamos la transformada de Hilbert. As´ı la se˜nal BLU se compone de: s(t) = Ac m(t) cos(2πf c t)
± Ac ˆm(t) sin(2πf ct)
(4)
El signo positivo para m(t) ˆ indica banda lateral superior y el signo menos indica banda lateral inferior.
4.1.
Demodulaci´ on BLU
Se usa la propiedad de traslaci´on espectral.Consideramos que la frecuencia de la portadora es f c y tiene una fase ϕ. Considerando una se˜ nal como (9), tenemos que luego de multiplicar por la portadora : v(t) = s(t)Ac cos(2πf c t + ϕ) (5) As´ı , despu´es de trabajar la ecuaci´on y pasar la se˜nal por un filtro pasabajos, obtenemos: vo (t) =
Ac Ac m(t) cos(ϕ) + m(t)sin(ϕ) ˆ 2
Aplicando la transformada de Fourier, y recordando (4): Ac Ac V o (f ) = M (f ) cos(ϕ) 2
−
Ac Ac jsgn(f )sin(ϕ) = M (f )e−j sgn(f )ϕ 2
(6)
(7)
Vemos que este resultado indica que existe una distorsi´on de fase, debido al error en el oscilador local.
5.
Multiplexor de portadora en cuadratura
Est´a conformado por 2 conexiones de DSB-SC de se˜nales de mensaje independiente que ocupan el mismo ancho de banda, y a´un as´ı permite la separaci´on de las dos se˜nales de mensaje en el receptor de salida. Podemos ver el esquema en la figura siguiente. La se˜nal multiplexada se define as´ı: s(t) = A c m1 (t) cos(2πf c t) + Ac m2 (t) sin(2πf c t)
(8)
donde el primer sumando es el termino en fase y el otro es el termino en cuadratura. el ancho de banda es de 2W. 6
6.
Modulador de banda vestigial
En un VSB una banda es parcialmente suprimida y un vestigio de la otra banda lateral es transmitida para compensar esa supresi´on. Un m´ etodo general para realizar una modulaci´on VSB es usar el m´etodo de discriminaci´on en frecuencia. Primero generamos una modulaci´on de doble banda con supresi´ on de portadora y luego la pasamos por un filtro pasabanda, como se puede ver en la figura. El filtro pasabanda es un filtro que distingue la modulaci´on VSB de la modulaci´on BLU. Asumiendo que en el vestigio de la banda lateral inferior es transmitido, la respuesta en frecuencia H (f ) de la banda pasante toma la forma siguiente: Est´a normalizada para que H (f ) = 0,5 . Vemos que la parte cercana a la frecuencia de corte muestra la simetr´ıa impar. El ancho de banda es BT = W + f v , donde f v es el ancho de la banda lateral vestigial. La se˜ nal modulada es:
|
|
s(t) =
|
Ac m(t) cos(πf c t) 2
± A2c m(t) sin(2πf ct)
(9)
donde el signo positivo corresponde a una transmisi´on de un vestigio de la banda superior y el signo negativo es para una transmisi´on de la banda lateral inferior. LA se˜nal m (t) se obtiene pasando la se˜nal por un filtro donde la respuesa en frecuencia, satisface:
H Q (f ) = j H (f
− f c) − H (f + f c)
(10)
donde su rol es interferir con la componente en fase para reducir el poder de una de las bandas de la se˜nal modulada y retener un vestigio de la otra banda. Podemos notar que la modulaci´on en BLU es un caso particular de la VSB, con la banda vestigial reducida a 0. ( f v = 0)
7.
Frecuencia Modulada
7.1.
´ Modulaci´ o n de Angulo
se describe como s(t) = Ac cos[θ(t)]
(11)
donde θ(t), es el ´angulo en funci´on de la se˜ nal de mensaje. Una se˜nal portadora se define como: θ(t) = 2πf c t + ϕo
(12)
Existen dos m´etodos para variar el ´angulo: Modulaci´ on PM y Modulaci´on FM. 7.1.1.
Modulaci´ on PM θ(t) = 2πf c t + k p m(t)
(13)
donde el primer termino del sumando es el ´angulo de la portadora y el segundo es la se˜nal que se quiere modular. La modulaci´on PM se define como: s(t) = A c cos[2πf c t + k p m(t)] 7.1.2.
(14)
Modulaci´ on FM
Forma de modulaci´on del ´angulo en que la frecuencia instant´anea f i (t) var´ıa linealmente con m(t), podemos denotarla: f i (t) = f c + kf m(t) (15) 7
donde el primer termino es la frecuencia de la portadora. Si ahora integramos respecto al tiempo y multiplicamos por 2π, tenemos:
t
θi (t) = 2πf c t + 2πk f
m(τ ) dτ
(16)
0
Podemos notar que existe una relaci´on integro diferencial entre el ´angulo y la frecuencia, es decir: f (t) =
1 dθ(t) 2π dt
(17)
t
θ(t) = 2π
f (τ ) dτ
(18)
0
Luego la se˜ nal modulada en FM es:
t
s(t) = A c cos[2πf c t + 2πkf
m(τ ) dτ ]
(19)
0
Podemos notar de (27) que una consecuencia de que θ(t) dependa de la se˜ nal de mensaje es que los cruces por cero no ocurren de manera regular. Tambi´ en se puede ver que la envolvente es constante, respecto a la modulaci´on AM. Es a veces muy dif´ıcil distinguir una de otra.
7.2.
Modulaci´ on en frecuencia
Es f´acil ver que la modulaci´on FM es un proceso no lineal. Para poder resolver este tipo de problema existen diversas maneras, las que se proponen son: FM de banda estrecha y de banda ancha. Consideremos m(t) = A m cos(2πf m t) (20) la frecuencia instant´anea de la se˜ nal FM resultante es: f (t) = f c kf Am cos(2πf m t)
(21)
de (29) podemos definir δf = kf Am , que es la desviaci´on de frecuencia. Ahora si ocupamos (26) e integramos obtenemos: f θ(t) = 2πf c t + sin(2πf m t) (22) f m
donde β = f ındice de modulaci´ on de desviaci´on de fase. Se mide en radianes. f m , y se denomina ´ finalmene la se˜ nal FM es: s(t) = A c cos[2πf c t + β sin(2πf m t)] (23) El valor de β indica los casos de modulaci´on: Si β < 1 entonces se usa FM de banda angosta Si β > 1 entonces se usa FM de banda ancha 7.2.1.
FM de banda angosta
Si ahora expandimos (31) y como estamos considerando β peque˜ no, entonces simplificando un poco y considerando que para ´angulos peque˜ no sin(θ) θ y cos(θ) 1, obtenemos: s(t) = Ac cos(2πf c t)
≈
≈
− βAc sin(2πf ct) sin(2πf mt)
(24)
vemos que la envolvente contiene amplitud residual y el angulo contiene distorsi´on arm´onica. Si expandimos (32), tendremos: β Ac [cos(2π(f c + f m )t) cos(2π(f m f c )t)] (25) 2 Notamos que esta se˜nal tiene un parecido a la se˜nal AM. Vemos que solo difieren en un signo, por lo tanto, una se˜ nal FM requiere la misma transmisi´on de ancho de banda que una AM. s(t) = A c cos(2πf c t) +
−
8
−
7.2.2.
FM de banda ancha
Nos interesa el espectro para cualquier β . En general, las se˜nales FM son no peri´odicas. Sin embargo, podemos simplificaras con representaci´on compleja. Recordando: s(t) = Re[Ac ej(2πf c t+β sin(2πf m t) ] = Re[Ac s(t)ej2πf c t ]
(26)
notamos que s(t) es una se˜nal peri´ odica en el tiempo. Si recordamos las series de Fourier, podemos representar la se˜ nal as´ı:
∞
C n ej2πf m nt
s(t) =
(27)
n=∞
donde tenemos que C n es la transformada de Fourier. Haciendo un poco de ´algebra con los coeficientes de Fourier obtenemos: Ac π j(β sin x−nx) C n = e dx (28) 2π −π esta integral se conoce como funci´on de Bessel (sin considerar Ac ) de orden n de primer tipo y de argumento β . Se denota J n (β ). Luego si reemplazamos (36) en (35) y aplicando la parte real, obtenemos: ∞
s(t) = A c
J n (β ) cos[2π(f + nf m )t]
(29)
n=∞
este resultado es una alternativa para representar una se˜nal FM de un solo tono. Aplicando la transformada de Fourier obtenemos: Ac S (f ) = 2
∞
J n (β )[δ (f
− f c − nf m) + δ (f + f c + nf m)]
n=∞
(30)
Ahora veamos un poco la funci´on de Bessel: J n (β ) = ( 1]n J −n (β )
−
β peque˜ no, entonces:
• J 0(β ) ≈ 1 • J 1(β ) ≈ β2 • J n(β ) ≈ 0, n A medida que β aumenta, el numero de arm´onicos aumenta. LA separaci´on entre ellos es de f m . Como la envolvente es constante no var´ıa con β , por lo que la potencia es: P = 7.2.3.
A2c 2
(31)
Ancho de banda de una transmisi´ on de FM arbitraria
Regla de Carson
• Si β es peque˜no el ancho de banda se representa por: BF M ≈ 2f m • Si β es grande, entonces: BF M ≈ 2∆f
(32)
(33)
Luego la regla de Carson dice que el ancho de banda de una se˜nal FM de tono puro se puede representar as´ı(β = ∆f f m ) 1 BF M 2(∆f + f m ) = 2∆f (1 + ) (34) β
≈
9
7.2.4.
Criterio del 1%
Ancho de banda de un tono puro BF M = 2kmax f m
(35)
para calcular k max se busca el k que cumpla que: J k (β ) < J min , k
∀ ≥ kmax
donde J min = 0,01J 0 (0). 7.2.5.
Ancho de banda para se˜ nales arbitraria de modulaci´ on FM
Si tenemos la se˜ nal modulante m(t) con ancho de banda [-W, W ], entonces: D =
∆f W
(36)
la ecuaci´on (44) se llama raz´on de desviaci´ on (an´alogo a β ). La regla de Carson generalizada se define: BF M = 2∆f (1 +
1 ) D
(37)
para el caso del criterio del 1 % se tiene que B F M = 2kmax W . 7.2.6.
Modulaci´ on FM de banda ancha
Existen 2 m´etodos: M´ etodo indirecto: Se genera una se˜nal FM de banda angosta y luego la se˜nal se pasa por ´ un multiplicador de frecuencia. Este consiste en un dispositivo no lineal seguido de un filtro pasabanda. El dispositivo no lineal se representa as´ı: v(t) = a 1 u(t) + a2 u2 (t) +
·· · + anun(t)
al reemplazar una se˜ nal FM y usando trigonom´etrica para caso de n=3 se tiene: 1 3 1 a2 A2c + (a1 Ac + a1 A3c )cos(2πf c t + ϕ(t)) + a2 A2c cos(4πf c t + 2ϕ(t)) + (38) 2 4 2 vemos que todos los t´erminos son se˜nales moduladas en FM, por lo tanto, con filtro pasa banda se puede obtener la modulaci´on que se desea. v(t) =
···
M´ eto do Directo: Con un VCO se var´ıa directamente la frecuencia instant´anea. Lo malo es que ´ la estabilidad no es buena. Para eso se usa un lazo de realimentaci´on. Este se llama Phase locked loop. 7.2.7.
Demodulaci´ o n de se˜ nales FM
Si tenemos una se˜nal como (27) y la derivamos, obtenemos: dsF M (t) = dt
t
−Ac(2πf ct + 2πkf m(t)) sin(2πf ct + 2πkf
m(τ ) dτ )
(39)
0
Luego vemos que la derivada es modulada en amplitud por m(t). As´ı para demodular usamos un derivador seguido de un detector de envolvente. Si analizamos esto en frecuencia y recordando las propiedades de Fourier, tenemos: ds(t) j2πf S (f ) (40) dt y vemos que la se˜nal tiene una pendiente lineal en su pasabanda.
→
10
7.2.8.
M´ etodo basado en Phase -Locked loops
Un PLL es un VCO que se estabiliza por la realimentaci´on negativa. Si consideramos que el VCO cuando tiene entrada 0 su salida esta con un desfase de -90 y la frecuencia est´a centrada en f c . Ahora si analizamos el PLL, vemos que si:
t
r(t) = Av cos(2πf c t + 2πk v
v(τ ) dτ )
(41)
m(τ ) dτ )
(42)
0
t
s(t) = A c sin(2πf c t + 2πk f
0
Luego el error es la multiplicaci´on de s(t) y r(t) e(t) =
1 1 K m Ac Av sin(4πf c t + ϕm (t) + ϕv (t)) + km Ac Av sin(ϕm (t) + ϕv (t)) 2 2
(43)
como el loop filter es un pasabajos se elimina la componente con mayor frecuencia, luego vemos un error en la fase. Si derivamos el error de desfase y realizamos un poco de c´alculos, sabiendo que la salida es la convoluci´on entre el error y la respuesta al impulso del filtro, tendremos una expresi´on como la siguiente: ∞ dϕe dϕm = πk m kv Ac Av sin(ϕe (τ ))h(t τ ) dτ (44) dt dt −∞
−
−
e al analizar (52) vemos que si dϕ a anclado en fase, si tenemos variaciones dt = 0, entonces se dice que est´ kf de angulo peque˜nas es posible demostrar que v (t) kv m(t), que es una se˜nal proporcional a m(t).
≈
8.
Procesos Estoc´ asticos
Se dice que un proceso es estacionario si al dividir el proceso en varios intervalos de tiempo, las secciones tiene las mismas propiedades estad´ısticas. si tenemos que F X (t) es una func´on de distribuci´on conjunta de un proceso aleatorio X (t), entonces se dice que se tiene un proceso estacionario estricto si: F X (t) (x) = F X (t+τ ) (x) (45) algunas propiedades importantes para un proceso estacionario son: si k = 1, es decir, de primer orden, luego: F X (t) (x) = F X (t+τ ) (x) = F X (x) t, τ (46)
∀
si k = 2 y τ =
−t1:
F X (t
1
)X(t2 ) (x1 , x2 ) = F X (0),X(t2 −t1 (x1 , x2 )
∀t1, t2
(47)
la ecuaci´on (54) dice que la funci´on de distribuci´on conjunta de un proceso estacionario aleatorio es independiente del tiempo. La ecuaci´on (55) dice que una funci´on de distribuci´on de segundo orden depende de la diferencia de tiempo entre los instantes observados.
8.1.
Algunas definiciones Valor medio:
Valor rms:
1 x = l´ım T →∞ T
1 T →∞ T
x2 = l´ım
11
T
x(t) dt
(48)
0
T
0
x2 (t) dt
(49)
Varianza:
σx2 = (x
x2 )2
−
Media (Valor esperado):
(50)
∞
µx (t) = E[X (t)] =
xf X (x) dx
(51)
−∞
Si el proceso es estacionario en el sentido amplio se cumple: µx (t) = µ x
(52)
Autocorrelaci´ on: RX (t1 , t2 ) = E[X 1 (t1 )X 2 (t2 )] =
∞
∞
−∞
−∞
x1 x2 f X
1
(t1 ),X2 (t2 ) (x1 , x2 ) dx1 x2
(53)
si el proceso es estacionario en el sentido amplio: RX (t1 , t2 ) = RX (t2
− t1)
(54)
Algunas propiedades de la autocorrelaci´on son (X (t) estacionario):
• RX (τ ) = E[X (t + τ )X (τ )], luego se denomina valor cuadr´atico medio a: RX (0) = E[X 2 (t)]
•
RX (τ ) = RX ( τ )
−
• RX (τ ) es m´axima cuando τ = 0: |RX (τ )| ≤ RX (0) Autocovarianza: para procesos estacionarios en el sentido amplio: C X (t1 , t2 ) = E[(X (t1 )
− µx)(X (t2) − µx)] = Rx(t2 − t1) − µ2x
(55)
Correlaci´ on cruzada: RXY (t, u) = E[X (t)Y (u)]
(56)
de aqu´ı podemos obtener R XY (τ ) = RY X ( τ )
−
Se dice que un proceso es erg´odico si es un proceso estacionario y los promedios temporales de una realizaci´ on son iguales a los promedios de conjunto. El valor DC para un T aleatorio se define como: 1 µX (T ) = 2T
T
x(t) dt
(57)
(58)
−T
Luego E[µx (T )] = µ x . Las condiciones para que un proceso sea erg´odico son:
• Erg´odico en la media:
l´ım µx (T ) = µ X
T →∞
• Erg´odico en autocorrelaci´on:
l´ım RX (t, u) = RX (τ )
(59)
l´ım Var[RX (τ, T )] = 0
(60)
T →∞ T →∞
12
8.2.
Transmisi´ on de un proceso estacionario a trav´ es de un filtro LTI
A la salida del filtro tenemos que:
∞
Y (t) =
h(τ )X (t
−∞
− τ ) dτ
(61)
Veamos si se cumple la estacionariedad (estacionario en el sentido amplio ESA). Sabemos que para que el proceso sea ESA se debe cumplir (60) y (62). Luego calculamos la media usando (59): µy (t) = E[Y (t)]
∞
= E
h(τ )x(t
−∞
− τ ) dτ
∞
=
h(τ )E[x(t
−∞ ∞
=
− τ )]dτ
h(τ )µx dτ
−∞
= µx H (0) Luego la media del proceso de salida es µY (t) = E[Y (t)] = µ X H (0)
(62)
Ahora veamos si se cumple (62): Ry (t1 , t2 ) = E[Y (t1 )Y (t2 )]
∞
∞
= E
h(τ 1 )x(t1
−∞ −∞
= = Luego s´olo depende de τ = t 1
8.3.
− τ 2)h(τ 2)x(t2 − τ 2) dτ 1 dτ 2
h(τ 1 )h(τ 2 )E[x(t1
− τ 1)x(t2 − τ 2)] dτ 1 dτ 2
h(τ 1 )h(τ 2 )Rx (t1
− τ 1 − t2 + τ 2) dτ 1 dτ 2
− t2, por lo tanto, es ESA.
Densidad espectral de potencia
Caracterizaci´ on de los procesos estacionarios en el dominio de la frecuencia. La densidad espectral de potencia se define as´ı:
∞
S X (f ) =
RX (τ )e−j2πf τ dτ
(63)
−∞
Podemos notar que la densidad espectral de potencia es la transformada de Fourier de la autocorrelaci´ on. 8.3.1.
Propiedades y algunas definiciones de la DSP
∞ • S X (0) = −∞ RX (τ ) dτ ∞ • RX (0) = −∞ S X (τ ) dτ • S X (f ) ≥ 0 • S X (−f ) = S X (f )
13
• pX (f ) =
S x (f ) al S x (f ) df
∞ −∞
normalizar la DSP se comporta como una funci´on de probabilidad.
La DSP para la salida del filtro es
S Y (f ) = H (f ) 2 S X (f )
|
(64)
|
Esta resultado sale de sacar la FT a la funci´on de autocorrelaci´on de la salida del filtro y luego hacer un cambio de variable, de tal manera de que se obtengan 3 exponenciales complejas, y as´ı obtener la FT directamente. La DSP cruzada se define as´ı:
∞
S XY (f ) =
−∞
8.4.
RXY (τ )e−j2πf τ dτ = S Y∗ X
(65)
Proceso Gaussiano
La funci´on de densidad de probabilidad de un proceso gaussiano se define como: f X (x) =
1 exp 2πσx
√
−
(x
− µx)2 2σx2
(66)
Luego la funci´on de probabilidad conjunta es:
−
1 x µx F x (x) = P (X < x) = 1 + erf 2 2σx2
(67)
donde erf(x) es la funci´on de error. Un par de propiedades que ser´an importante respecto a esta funci´on son: erf( x) =
−erf(x) erfc(x) = 1 − erf(x) −
donde erfc(x) es la funci´on de error complementaria Se dice que una distribuci´on gaussiana est´a normalizada cuando se reemplaza en la ecuaci´on (75) µ = 0 y σ = 1. 8.4.1.
Teorema Central del l´ımite
Si se tienen variables x 1 (t) independientes e identicamente distribuidas entonces N
V n =
√
1 Y i N i=1
(68)
Si se tiene que E[X i ] = 0 y Var[X i ] = 1, entonces se dice que l´ım V n
N →∞
8.4.2.
∼ N (0, 1)
(69)
Algunas propiedades
si la entrada al filtro es un proceso gaussiano, entonces la salida tambi´ena ser´a un proceso gaussiano. Si un proceso gaussiano es estacionario, entonces el proceso es estrictamente estacionario. Si las variables aleatorioa gaussianas no est´an correlacionadas, entonces son estad´ısticamente indepentiendes. Si son variables independientes son siempre no correlacionadas, pero al rev´es no siempre se cumple. 14
9.
Ruido
El ruido generado por el movimiento de los electrones en un semiconductor se define como ruido t´ermico. El valor cuadr´atico medio del voltaje de ruido t´ ermico es: E[V 2 ] = 4kT R∆f
(70)
donde R es resistencia, T es temperatura en Kelvin, ∆f es el ancho de banda y k es la constante de Boltzman (1,38 10−23 ). La corriente de ruido t´ermico se escribe as´ı:
·
E[I 2 ] =
4kT ∆f R
(71)
Luego la potencia m´axima de ruido t´ ermico para una resistencia R es: I 2 E[ ]R = kT ∆f 2
9.1.
(72)
Ruido Blanco
Como se vio anteriormente el ruido se genera como el movimiento aleatorio de los electrones, luego se puede definir la DSP del ruido aleatorio como: S ηT (f ) =
2Rh f e
||
(73)
h|f | kT −1
donde k es la ct de boltzman y h es la cte de planck. Para frecuencias menor a 10 1 2Hz la DSP se aproxima a S ηT (f ) 2kT R. Se puede notar que la DSP es una cte para este rango de frecuencias luego N 0 S W (f ) = (74) 2 De la ecuaci´on anterior se puede obtener la autocorrelaci´on:
≈
RW (τ ) =
N 0 δ (τ ) 2
(75)
Si queremos caracterizar el ruido blanco, entonces debemos trabajar en un intervalo de tiempo limitado, para eso usamos un filtro pasa bajos ideal. Para este caso la autocorrelaci´on y la DSP del ruido blanco se definen, respectivamente: RN (τ ) = N 0 Bsinc(2Bτ ) (76) S N (f ) =
9.2.
· f 2B
N 0 2
(77)
Ruido en banda angosta
Existen dos maneras de representar el ruido en banda angosta: 1) Componente en fase y cuadratura: representares al ruido como n(t) y asumiremos que tiene un ancho de banda de B T = 2B centrado en f c . La representaci´on de 1) es la siguiente: n(t) = n I (t) cos(2πf c t)
− nQ(t) sin(2πf ct)
(78)
donde nI y nQ son se˜ nales pasabaja. Para recuperar la se˜nal se usa el diagrama de bloque que se ve en la figura 1:
15
Figura 1: recuperaci´ on de las se˜nales
Algunas propiedades son:
• nI y n Q tiene media cero. • si n(t) ∼ Normal entonces n I y n Q tambi´en. • si n(t) es estacionario entonces n I y n Q tambi´en. • nI y n Q tienen la misma densidad espectral que tiene relaci´on con n(t): S n (f ) = S n (f ) = S N (f − f c ) + S N (f + f c ), −B ≤ f ≤ B (79) • nI y n Q tienen la misma varianza que n(t). • La DSP cruzada entre n I y n Q es puramente imaginaria. • si n(t) es gaussiana y su DSP es sim´etrica respecto a f c, entonces n I y n Q son estad´ısticaI
Q
mente independientes.
2) Envolvente y fase: Esta forma de representar al ruido se define as´ı: n(t) = r(t)cos(2πf c t + ϕ(t)) donde r(t) =
9.3.
(80) n (t)
nI (t)2 + nQ (t)2 es la envolvente de n(t) y ϕ(t) = arctan( nQI (t) ) es la fase.
Ruido en modulaci´ on anal´ ogica
El modelo del receptor con ruido general se puede ver en la figura 2:
Figura 2: Receptor
El demodulador va a depender del tipo de modulaci´on. El ancho de banda es lo suficientemente ancho para dejar pasar s´olo a la se˜ nal sin distorsi´on. 9.3.1.
Raz´ on se˜ nal a ruido
Al a salida del filtro pasabanda el ruido filtrado se puede ver as´ı:
16
Figura 3: Ruido filtrado la potencia del ruido filtrado se puede deducir de la figura 3, y su valor es N 0 BT . Al la salida del filtro tendremos que: x(t) = s(t) + n(t) (81) La raz´on se˜ nal a ruido se define como La raz´ on entre la potencia promedio de la se˜ nal modulada s(t) on se˜ nal a ruido a la entrada del receptor se define asi y la potencia promedio del ruido filtrado . La raz´ : (SN R)c y la de la salida del recepctor: ( SN R)o . Para hacer comparar las se˜nales se usa: (SN R)o (SN R)c
(82)
Luego podemos ver los siguientes casos:
• Si (SN R)o > (SN R)c entonces la modulaci´on pasabanda mejora la SNR, por lo tanto, es mejor. • Si (SN R)o = (SN R)c entonces la modulaci´on pasabanda no mejora ni empeora. • Si Si (SN R)o < (SN R)c entonces la modulaci´on pasabanda empeora. 9.3.2.
Efecto de ruido en BLD-PS
Recordemos la modulaci´on de BLD-PS. La se˜nal modulada se representa as´ı: s(t) = Ac m(t) cos(2πf c t)
(83)
Luego el receptor se ve as´ı:
Figura 4: Receptor para BLD-PS La potencia de la se˜nal de mensaje m(t) es:
W
P =
S W (f ) df
(84)
−W
como m(t) y la portadora son independiente, la potencia a la salida del filtro pasabanda ser´a: P x =
A2c P m 2
(85)
Ahora sabemos que la potencia del ruido filtrado es N o W , luego tendremos que: A2c P m (SN R)c,BLD = 2W N o 17
(86)
Ahora si queremos obtener la se˜nal de salida, consideramos al ruido como la ecuaci´on (85), y con un poco de ´algebra obtenemos que a la salida del detector coherente: y(t) =
1 (Ac m(t) + nI (t)) 2
(87)
As´ı obtenemos que la raz´on se˜ nal a ruido de la salida del receptor es: A2c P m 2W N o
(88)
(SN R)o,BLD =1 (SN R)c,BLD
(89)
(SN R)o = si hacemos la divisi´on (89), obtenemos:
notemos que para el caso de BLU ser´a el mismo resultado, ya que como el eliminar una banda lateral afecta a la entrada y la salida, el efecto final ser´a el mismo. 9.3.3.
Efecto de ruido en AM
El receptor de AM se representa por la figura 5:
Figura 5: Receptor para AM
Recordemos que una se˜nal modulada en AM se representa por la siguiente se˜nal: s(t) = A c [1 + ka m(t)] cos(2πf c t)
(90)
Luego es f´acil ver que su potencia es: P =
A2c (1 + ka2 P m ) 2
(91)
tomando la potencia del ruido, tendremos que la raz´on se˜ nal a ruido de la entrada del demodulador es: (SN R)c,AM =
A2c (1 + ka2 P m ) 2W N o
(92)
si escribimos el ruido por medio de envolvente y fase, tendremos que la se˜nal que sale del detector de envolvente es: y(t) = [(Ac (1 + ka m(t)) + nI (t))2 + nQ (t)2 ] (93) 1 2
vemos que este resultado es dif´ıcil de analizar, pero si consideramos que la potencia de la portadora es mucho mayor que la potencia de ruido, y si despreciamos el termino DC ( Ac ), ya que no tiene influencia alguna con la se˜nal de mensaje, entonces podemos aproximar (100): y(t)
≈ Ackam(t) + nI (t) 18
(94)
As´ı la raz´ on se˜ nal a ruido del a salida del receptor es: A2c ka2 P m 2W N o
(SN R)o,AM =
(95)
entonces la raz´on entre la entrada y la salida ser´a: (SN R)o,AM ka2 P m = (SN R)c,AM 1 + ka2 P m
(96)
notamos que este termino es menor que 1, por lo que, tiene peor desempe˜no que BLD-PS y BLU. 9.3.4.
Efecto de ruido en FM
El recepto de FM se ve en la figura 6:
Figura 6: Receptor para FM El discriminador est´a compuesto por: 1) Diferenciador de una respuesta en frecuencia puramente imaginaria. 2) Discriminador Recordemos que una se˜nal modulada en FM se representa por:
t
s(t) = A c cos(2πf c t + 2πkf
m(τ ) dτ )
(97)
0
si hacemos ϕ(t) = 2πk f
t 0 m(τ ) dτ ,
entonces tendremos que: s(t) = A c cos(2πf c t + ϕ(t))
(98)
como hay un limitador de amplitud, entonces no nos preocupamos de la envolvente. Luego nos preocupamos s´olo de la fase. La fase est´a dada por: θ(t) = ϕ(t) + arctan si consideramos Ac puede aproximar:
r(t)sin(ψ(t) ϕ(t)) Ac + r(t) cos(ψ(t) ϕ(t))
−
−
(99)
|r(t)| y reemplazamos nuevamente ϕ(t), entonces la ecuacion anterior se
t
θ(t)
≈ 2πkf
m(τ ) dτ +
0
r(t) sin(ψ(t) Ac
− ϕ(t))
(100)
as´ı a la salida del discriminador tendremos: 1 dθ(t) d v(t) = = k f m(t) + 2π dt dt
r(t) sin(ψ(t) Ac
− ϕ(t))
si consideramos que la resta de ´angulos distribuye uniformemente, entonces: d dt
r(t) sin(ψ(t)) Ac 19
(101)
(102)
pero n Q (t) = r(t)sin(ψ(t)), entonces: d dt
1 nQ (t) 2π Ac
(103)
esta ecuaci´on nos dice que el ruido aditivo que se encuentra a la salida del discriminador, s´olo queda determinado por la amplitud de la portadora, y la componente en cuadratura. As´ı, despu´ es del filtro 2 tendremos kf m(t), luego la potencia es P = kf P m . Ahora para obtener la potencia del ruido recordemos la propiedades de Fourier, tendremos que la respuesta en frecuencia del filtro es H (f ) = f 2 /A2c , as´ı aplicando (73), la DSP del ruido ser´ a: S No (f ) =
N o f 2 A2c
(104)
As´ı aplicando (91), la potencia del ruido es: P =
2N o W 3 3A2c
luego la raz´on de la salida ser´a: (SN R)o,FM =
2 3A2c kf P m 2N o W 3
(106)
A2c 2N o W
(107)
y la de entrada ser´a: (SN R)c,FM = As´ı,
(105)
3kf 2 P m (SN R)o,FM = (SN R)c,FM W 2
(108)
Notamos que la raz´on entre la se˜nal de entrada y la de salida, permite manejar el ancho de banda de la se˜ nal.
10.
Comunicaciones Digitales en banda base
En comunicaciones digitales se transforman se˜nales anal´ ogicas a digitales. Para esto se emplean las siguientes etapas: Muestreo, cuantizaci´on y codificaci´on, y finalmente transmisi´on en bandabase. Pese a ser un proceso digital, su transmisi´on por medio del canal debe ser mediante se˜nales anal´ ogicas.
10.1.
Modulaci´ on de Pulsos
La idea de la modulaci´on de pulsos se puede ver en la figura:
Figura 7: modulaci´ on de pulsos
20
10.1.1.
Muestreo
Para muestrear la se˜nal anal´ ogica se usa un tren de impulsos, estos se representan as´ı: ∞
g(t) =
g(nT s )δ (t
n=−∞
− nT s )
(109)
donde T s es el per´ıodo de muestreo. Su representaci´ on en Fourier es: ∞
G(f ) = f s
G(f
n=−∞
− nf s)
(110)
donde f s es la frecuencia de muestreo. 10.1.2.
Teorema del muestreo
El per´ıodo de muestreo debe cumplir con la siguiente condici´on:
≤ 2f 1s
T
(111)
y si f s = 1/T s = 2f m , entonces se llama tasa de nyquist. Esta es la m´ınima tasa posible para recuperar la se˜ nal correctamente. Si se usa una menor, se produce el fen´omeno llamado .aliasing”. 10.1.3.
Cuantizaci´ on
Es el mapeo de muestras de una forma de onda de amplitud continua a un conjunto discreto de amplitudes. Claramente esto produce error. La raz´ on se˜ nal a ruido de cuantizaci´on es:
S N
q
V p2 = 2 = 3L2 σ
(112)
Cada muestra cuantizada se codifica en un codeword de l bits donde L es el numero de niveles de cuantizaci´ on, l = log2 L. 10.1.4.
Modulaci´ on de amplitud de pulso (PAM)
Es la forma m´as f´acil y simple. Los pulsos pueden ser rectangulares o de otra forma apropiada. Una se˜nal PAM se puede representar por: ∞
sP AM (t) =
m(nT s )
n=−∞
− · t
nT s τ
(113)
En la figura siguiente se puede ver una se˜nal PAM, donde la se˜nal punteada es la se˜ nal de mensaje, y los pulsos rectangulares son la se˜nal PAM
Figura 8: se˜ nal PAM
21
Es posible demostras que sP AM (t) = m(t)
10.2.
∗ (t)
(114)
Pulsos rectangulares NRZ
Los pulsos rectangulares non-return to zero se definen de la siguiente forma. Sea b n = 0, 1, 0, 0, 1,... la secuencia del mensaje binario, entonces matem´aticamente: ∞
s(t) =
− − − sbn (t
nT )
n=−∞
=
( 1)bn
t
n
(n + 21 )T T
En la figura se puede ver su representaci´on
Figura 9: Representaci´on para 0 y 1
10.3. 10.3.1.
Transmisi´ on de pulsos en bandabase Filtro adaptado
La figura 10 muestra un modelo del receptor
Figura 10: modelo de receptor
Queremos maximizar la raz´o n se˜ nal a ruido porque nos da a la salida una forma de limitar el ruido para determinar con mayor facilidad los niveles de salida, es decir, que tenga el menor ruido posible.As´ı como tambi´en queremos minimizar la probabilidad de error. A la salida del receptor se conecta un estimador que en base a ciertos par´ametros toma decisiones para rearmar la se˜n al. A la salida se tendr´a un estimado de la se˜nal original, que ser´a la mejor aproximaci´on a la se˜ nal de entrada y(t). La salida del filtro se compone por 2 se˜nales: y(t) = go (t) + n(t) 22
(115)
donde g o es una se˜nal parecida a g (t), no necesariamente la misma. Aqu´ı suponemos que g o (t) y n(t) no esta correlacionados. Una manera de describir los requerimientos que se necesita, es decir que la potencia de la se˜nal go (t) medida en t = T sea lo mayor posible respecto a la potencia promedio del ruido. En otras palabras, esto es lo mismo que maximiar la raz´on se˜ nal a ruido de la salida, es decir:
|go(t)|2
(SN R)y =
N o 2
E[n(t)2 ]
∞
(116)
Para encontrar como debe ser el filtro, se usa que go (t) 2 = −∞ Go (f )ejωT df 2 , E[n(t)2 ] = ∞ H (f ) 2 df y la desigualdad de schwartz. Con esto se llega a que: −∞
|
|
|
∞
hopt (t) = k
|
|
G∗ (f )e−jω(T −t) df
|
(117)
−∞
si tambi´en consideramos que g(t) es real, entonces finalmente hopt (t) = k g(T
· − t)
(118)
Esta ecuaci´ on nos dice que el filtro est´a relacionado con la se˜nal g(t), pero con un retardo. Se llama filtro adaptado porque tiene la misma respuesta al impulso que la se˜nal. Propiedades del Filtro adaptado Si la se˜ nal de entrada al filtro es s(t), y la salida es z (t)
• Z (f ) = |S (f )|2e−j2πf T • z(t) = Rs (t − T ) → z(T ) = Rs(0) = E s • max N S T = N E /2
o
El receptor ´optimo se puede separar en:
Figura 11: Receptor ´optimo: Filtro adaptado 1) La respuesta al impulso de los filtros adaptados siempre es: h0 (t) = s 0 (T
− t) h1 (t) = s 1 (T − t)
(119)
x0 (t) = (s(t) + w(t)) ho (t)
(121)
(120)
2) Muestro en T :
∗ x1 (t) = (s(t) + w(t)) ∗ h1 (t)
(122)
Para este receptor se tiene los siguiente supuesto: los puslos son NRZ, se desprecia AWGN, y se transmite en 0. 23
Para el c´alculo de las constante se usa C i =
−
T
1 2
0
s2i (t) dt
(123)
2
donde i = 0, 1. Por ejemplo para pulsos NRZ C o = C 1 = A2T Hay que notar que con pulsos NRZ x1 (t)=-x0 (t) y c 1 = c 0 . Una version simplificada del receptor ´optimo se puede ver en la figura siguiente:
−
Figura 12: Receptor ´otimo simplificado
Veamos un ejemplo. Sea s(t) un pulso NRZ, luego al pasar por el filtro adaptado: x(t) = s(t) h(t)
∗ − − − − − − − − − − − ∗ − − ∧ − ∞
=
s(t
τ )h(τ ) dτ
−∞ ∞
=
s
t
bn
( 1)
(n + 21 )T T
τ
(n + 21 )T T
τ
τ
−∞ n=1 s
=
( 1)bn
n=1 s
=
( 1)bn
n=1 s
=
( 1)bn
n=1
∞
t
τ
−∞
t
t
(n + 21 )T T
t
1 2 T
T
1 2 T
T
dτ
dτ
1 2 T
T
(n + 1)T T
Gr´aficamente esto se ve as´ı: 10.3.2.
Probabilidad de error de un bit
Como se ha visto, a las se˜ nales se les agrega ruido, por lo que, queremos saber qu´e pasa en presencia de ´este y cu´al es la probabilidad de que en vez de que se transmita un 0 se tenga un 1. Analicemos la probabilidad de error. Tenemos 2 tipos de errores posibles: Dado que se transmite un 0, se tenga un 1 (D0 1), y dado que se transmite un 1 se tenga un cero ( D1 0). Luego la probabilidad de error de un bit es 1 1 P b = P (D0 1) + P (D1 0) (124) 2 2
|
|
|
24
|
donde P (D0 1) = P (D1 0). Supongamos que se transmiten pulsos rectangulares NRZ y se tiene un Rx simplificado. Luego
|
|
∗ ∗ − − −
x(T ) = (s0 (t) + w(t)) ho (t)
t=T
= so (t) ho (t)
∗
= A2 T + A
+ w(t) ho (t)
t=T ∞
t=T
w(τ )ho (t
τ ) dτ
−∞
= A2 T + A
∞
T
w(τ )
−∞
= A2 T + A
τ T
t=T 1 2 T
dτ
T
w(τ ) dτ
0
Ahora que tenemos x(τ ) y como sabemos que es un P.E, luego tambi´ en es un Proceso gaussiano, luego calculamos su media y varianza. µx(T )|0
= E[x(τ ) 0]
|
= E A2 T + A
T
w(τ ) dτ
0
T
2
= A T + A
E[w(τ )] dτ
0
= A2 T
Usando x 1 (t)=-x0 (t) obtenemos f´acilmente que µ x(T )|1 = 2 σx(T )|0
− | − − µx(T ) )2 0
= E (x(T )
T
= E (A2 T + A T T
= E A2
w(τ 1 )w(τ 2 )dτ 1 dτ 2
0
E[w(τ 1 )w(τ 2 )]dτ 1 dτ 2
0
= A = = = 2 Para el otro caso σx(T )|0 = siguiente
0
T T
2
2
− A2T )2
w(τ ) dτ
0
= A
−A2T . Ahora calculamos la varianza
0
T T
Rw (τ 1 0 0 T T 2
N 0 A 2
δ (τ 1
0
τ 2 )dτ 1 dτ 2 τ 2 )dτ 1 dτ 2
0
N 0 A2 T 1dτ 2 0 N 0 A2 T 2
N 0 A2 T . 2
As´ı se se transmite un 0, la distribuci´ on para x(T ) 0 es la
|
25
Figura 13: Distribuci´ on de x(τ )
As´ı usando el hecho de que se trata de un proceso Gaussiano, obtenemos P (D1 0) =
|
=
P (D0 1) = 1
|
=
1 2
− √ − − √ −
A2 T
1 1 + erfc 2 2
0
1 2
AT N 0 T
1 erf 2
2 N A 2 0
1 1 + erfc 2 2
1 erf 2
2
T
0 + A2 T 2
2 N A 2 0
AT N o T
T
Sabemos que P (D1 0) = P (D0 1) = P b . Luego reemplazando lo anterior en (132) y usando la segunda propiedad de la funci´on erf(x) tenemos, finalmente, que la probabilidad de error de un bit es:
|
|
P b = donde
A2 T N 0
1 erfc 2
A2 T N 0
es la SNR y A 2 T es la energ´ıa. Comentarios:
1) Figura de receptor
Figura 14:
P (D1 0) = P (x0 (T ) + c0 < x1 (T ) + c1 0) = P (x0 (T )
|
|
2) E b =energ´ıa media por bit= p0 E 0 + p1 E 1 = A 2 T 3) P b =
1 2 erfc
Eb N 0
, donde E b /N 0 es la SNR por bit. 26
− x1(T ) + c0 − c1 < 0|0)
(125)
4)
1 2 erfc(x)
es una funci´on de probabilidad acumulada complementaria (Figura 14). En el filtro adaptado, la variable aleatoria antes de suma la constante es de varianza m´ınima.
Figura 15: gr´afico de erfc(x)
11.
Comunicaci´ on digital M-aria
En una comunicaci´on M-aria hay M s´ımbolos posibles, cada uno representa a una log 2 (M )-tupla de bits. Por ejemplo un sistema 4-ario cada se˜nal tiene log2 (4) = 2 bits. El receptos ´otimo M-ario se ve en la figura
Figura 16: Receptor ´optimo M-ario
Ahora hace m´as sentido comenzar a usar filtro normalizados.
Figura 17: Filtro normalizado
Supongamos que se transmite un 3. Luego P (D1 3) > P (D0 3) > P (D2 3)
|
|
27
|
Figura 18: Distribuci´on de las probabilidades ´ La manera m´as conveniente para determinar la prob de error es usar c´ asigna odigo de Grey . Este log2 (M )-tuplas de bits para s´ımbolos adyacentes que difieren siempre en 1 bit. M −1
P (x(T )
∈ Rm) · P (m)
m=0
(126)
Figura 19: Como sabemos que distribuye normal, entonces:
P +
= 1
−
√ √ √ √ − √ √
=
1 2
=
1 erfc 2
1 1 + erf 2 2
A T 2 N 0 /2
1 A T erf 2 N 0 A T N 0
Es claro que P + = P − . As´ı: P s =
P s
= = =
P + P + + P − P −
si si si
m = 0 1 m M m = M 1
≤ ≤ − 2 −
1 (M 1)P + + (M M 2(M 1) P + M M 1 A2 T erfc M N 0
− 1)P −
−
−
−
28
Ahora veamos cu´al es la energ´ıa E s media de un s´ımbolo M-PAM. La energ´ıa se define as´ı:
M −1
√
1 E s = Am A T M m=0 Esto implica que
2
= ... =
A2 T (M 2 3
− 1)
(127)
3E s M 2 1 E s = E b logs (M ) 3log2 (M )E b A2 T = M 2 1 A2 T =
−
−
As´ı tenemos que P s es: P s =
M 1 erfc M
−
De (136) y (134) tenemos
3log2 (M )E b (M 2 1)N 0
−
(128)
log2 (M )
P s
=
P (b bits en error)
b=1
≈ P (1 bits en error)
log2 (M )
=
P (n-esimo bit en error)
n=1
P b
=
1 log2 (M )
log2 (M )
n=1
log2 (M )
log2 (M )P b
=
P (n-esimo bit en error)
P (n-esimo bit en error)
n=1
P s = log2 (M )P b As´ı tenemos P b =
1 P s log2 (M )
Por lo tanto (M-PAM) P b =
12.
M 1 erfc M log 2 (M )
−
3log2 (M )E b (M 2 1)N 0
−
(129)
Representaci´ on equivalente en banda base
La idea es evitar trabajar con las convoluciones de cos(wt) y sen(wt) para as´ı hacer m´as simple la matem´atica
12.1.
Transformada de Hilbert
Se usa para separar se˜nales seg´ un su contenido en frecuencia. Este proceso se llama discriminador de frecuencia o tambi´en se puede separar por fase, para que as´ı sea m´as f´acil separarlas. Cuando se desfasa en 90 las se˜ nales, la funci´ on resultante se denomina Transformada de Hilbert. Podemos definir la HT de la siguiente manera: 1 ∞ g(τ ) gˆ(t) = dτ (130) π −∞ t τ
±
29
−
donde podemos notar que (1) se puede reescribir como: gˆ(t) = g(t)
∗ π1
(131)
donde la inversa de (1) es: g(t) =
−gˆ(t)
(132)
Luego a partir de la transformada de Hilbert podemos ver su espectro en frecuencia usando la transformada de Fourier: ˆ G(f ) = jsgn(f )G(f ) (133)
−
De (4) podemos notar que para frecuencias positivas se produce un desfase de -90 y para frecuencias negativas se produce una de +90. Es posible deducir algunas cosas de la transformada de Hilbert: Es una operaci´on lineal. Es un filtro que va de t a t, es decir, trabaja s´olo en el tiempo.
|S (f )| = |S (ˆf )| 12.2.
Pre-Envolvente
Sea s(t) una se˜ nal real arbitraria, luego s+ (t) = s(t)
ˆ − j s(t)
(134)
Se define como la pre-envolvente positiva. La parte real e imaginaria del espectro de la se˜nal se puede ver en la figura
Figura 20: Parte real e imaginaria de S + (f )
Es claro que S + (f ) =
2S (f ) S (0) 0
si si si
f > 0 f = 0 f < 0
Figura 21: S + (f )
Supongamos que ahora s(t) es se˜ nal pasabanda, es decir, concentra su energ´ıa en torno a un ancho 2W al rededor de f c , con f c W
30
Figura 22: Representaci´on se˜ nal pasabanda
Dado que s(t) es una se˜nal real pasabanda, podemos decir que s+ (t) = 2˜ s(t)ej2πf c t
(135)
Adem´ as notamos que s+ (t) = s(t) + j sˆ(t) =
R[s+ (t)]
= s(t)
(136)
La relaci´on que xiste entre sˆ(t) y s(t) es s(t) =
√
R[
j2πf c t
2˜s(t)e
]=R
√
2(sI (t) + js Q (t))(cos(2πf c t) + jsen(2πf c t))
donde s˜(t) = s I (t) + js Q (t) es la envolvente compleja de la se˜nal en banda base. As´ı s(t) =
√
2sI (t) cos(2πf c t)
−
√
2sQ (t)sen(2πf c t)
(137)
(138)
Para demodular basta hacer lo siguiente: Para recuperar la componente en fase basta con modular por un coseno sincronizado en frecuencia y luego pasar la se˜nal por un filtro pasa-bajos s(t) cos(2πf c t) = sI (t) + sI (t)cos(4πf c t) = sI (t)
·
− sQ(t)sen(4πf ct)
Para recuperar la componente en cuadratura basta con modular por un seno y luego pasar la se˜ nal por un pasa-bajos s(t) sen(2πf c t) = sI (t)sen(4πf c t) + sQ (t) + sQ (t)cos(4πf ct) = sQ (t)
·
En la figura se puede ver el diagrama en bloques del transmisor y receptor
31
