INTRODUCCION: Ejemplo típico de curva tensióndeformación para un esfuerzo uniaxial de tracción, en un metal dúctil con comportamiento elastoplástico: el comportamiento es elástico lineal para pequeñas deformaciones (tramo recto de color azul) y presenta plasticidad a partir de cierto límite.
Este tipo de comportamiento comportamiento elasto-plástico descrito más arriba es el que se encuentra en la mayoría de metales conocidos, y también en muchos otros materiales. El comportamiento perfectamente plástico es algo menos frecuente, e implica la aparición de deformaciones irreversibles por pequeña que sea la tensión, la arcilla de modelar y la plastilina se aproximan mucho a un comportamiento perfectamente plástico. Otros materiales además presentan plasticidad con endurecimiento y necesitan esfuerzos progresivamente más grandes para aumentar su deformación plástica total. E incluso los comportamientos anteriores puden ir acompañados de efectos viscosos, que hacen que las tensiones sean mayores en casos de velocidades de deformación altas, dicho comportamiento se conoce con el nombre de visco-plasticidad. visco-plasticidad. Las causas por las que una estructura pierde su utilidad son la aparición de alguna inestabilidad, las deformaciones excesivas y la fatiga. Por lo demás, una estructura construida con un material de unas características adecuadas de ductilidad puede seguir soportando cargas crecientes pese a que en algún lugar el material haya abandonado el rango elástico. Entonces, de seguir el proceso de carga, van apareciendo más puntos donde se ha iniciado la cesión plástica, hasta que finalmente ese número de puntos es tal y se combinan de tal modo que la estructura llega al colapso o agotamiento . Esto ocurre cuando la estructura está sometida a la denominada carga última , o carga de agotamiento .
Reseña histórica: Aunque sus orígenes más remotos se remontan a mediados del siglo XIX, el mayor desarrollo y la aceptación del diseño por carga última, o diseño por agotamiento , tuvo lugar durante las últimas décadas, a consecuencia de las investigaciones llevadas a cabo desde comienzos del siglo pasado. Es conocido comúnmente como diseño plástico , por contraposición al diseño elástico , basado en la pretensión de que en ningún lugar de la estructura el material se salga del rango elástico.
La base de la moder na teoría de la plasticidad fue asentada en el siglo XIX con los trabajos de Tresca, Saint-Venant, Lévy y Bauschinger. A principios del siglo XX se hicieron algunos avances en la comprensión del fenómeno por parte de Prandtl, Von Mises y A. Reuss. En esta primera fase se introdujo el concepto de deformación irreversible, criterios de fallo, endurecimiento y plasticidad perfecta, además de la forma incremental de las ecuaciones constitutivas de la deformación plástica. Jean Claude barre de saint-venant.
Johann bauschinger.
Richard Von Mises
Ludwing prandtl.
Justo después de la Segunda Guerra Mundial aparecieron los trabajos de Prager, Drucker y Hill se logró una mayor claridad de la formulación y se estableció la convexidad de las superficies de fluencia. Poco después, a partir de 1960, se produjeron ciertos avances matemáticos en la teoría de ecuaciones en derivadas parciales y las desigualdades variacionales que resultarían ser particularmente provechosos para la teoría de la plasticidad. Esos avances probaron que el marco natural para resolver los problemas de valor inicial en sólidos elastoplásticos eran las desigualdades variacionales. La confluencia de ciertos avances en el terreno de la mecánica de sólidos y las matemáticas dieron lugar a nuevos desarrollos teóricos, de los cuales son un ejemplo los artículos de Moreau, las monografías de Duvaut y J.L. Lions y Temam.
MARCO TEORICO: El análisis plástico global tiene utilidad particular para investigar los estados causantes de un colapso real de la estructura y para hallar la resistencia a la rotura, o los estados límites máximos ( ELU ).
Análisis plástico global El comportamiento carga-deformación del acero no es infinitamente lineal. La figura 1b representa la relación tensión-deformación de un material ideal Perfectamente elástico; se sigue que la ley de Hooke se limita al campo de tensiones ≤ fy , donde fy, es la tensión de fluencia del material. Más allá, el material cede plásticamente a una tensión constante de y fy. Si la tensión se reduce en algún punto del campo plástico, el camino de vuelta es una línea recta paralela a la ley de Hooke, cuya inclinación es el módulo de elasticidad E . Tanto E como fy, y toda la relación tensión-deformación, se suponen iguales en tracción y en compresión.
La relación tensión-deformación ideal, aunque sólo sea un modelo matemático, se acerca mucho a la conducta del acero dulce estructural, y es también una aproximación razonable a muchos materiales continuamente endurecidos por deformación que se utilizan en ingeniería de estructuras. Suponer una plasticidad perfecta después de llegar a la tensión de fluencia, equivale a despreciar los efectos del endurecimiento por deformación y está del lado de la seguridad
Veamos una sección con área A que tenga eje de simetría y experimente una flexión en el plano de simetría (figura 5). Si el momento de flexión es pequeño, la tensión y la deformación varían linealmente a través de la anchura. Al aumentar el momento, la tensión de fluencia llega a una de las fibras superiores, y al aumentarlo más, la tensión de fluencia también llega a la fibra inferior. Si sigue aumentando el momento de flexión, la fluencia se extiende desde las fibras exteriores hacia dentro hasta que se encuentran las dos zonas de fluencia; en este estado se dice que la sección es totalmente plástica . El valor del momento máximo, llamado momento plástico, se deduce de las condiciones de equilibrio. Puesto que no hay fuerza axial, el eje neutro de la sección transversal la divide en dos áreas iguales A/2; la tracción y compresión resultantes son iguales y forman un par igual al momento máximo, o de agotamiento:
Figura 5. Distribución de tensiones en una Sección sometida a un momento flector. siendo z c y z t , respectivamente, la distancia del centroide de la zona de tensión y compresión respecto al eje neutro, en estado plenamente plástico. En una sección de doble simetría, las distancias z c y zt son iguales, así que 0,5 ∙ A∙ z es el primer Momento del área S (alrededor del eje de flexión) de media sección, y el momento de agotamiento es:
Siendo Wpl eje en cuestión. El momento flector máximo que dicha sección puede soportar sin superar Nunca la tensión de fluencia es:
siendo Wel el módulo de la sección elástica alrededor del mismo eje; el relativo aumento de resistencia que se obtiene permitiendo la fluencia total de la sección se mide por el factor de forma
que, por ejemplo, es igual a 1,5 en una sección rectangular, a 1,7 en una sección circular maciza, y varía de 1,12 a 1,18 en perfiles en I, H y U flexionados alrededor de su eje principal “yy”. Al aumentar la carga sobre una estructura se produce fluencia en algunos puntos y experimenta deformaciones elastoplásticas. Al seguir aumentando la carga la estructura alcanza un estado totalmente plástico en el que se forma un número de secciones plenamente plásticas suficiente para transformar la estructura en un mecanismo plástico (figura 6); este mecanismo se colapsa si se sigue cargando. Hay que estudiar el mecanismo de colapso y conocer la magnitud de la carga que lo ocasiona para hallar el factor de carga en el análisis. O también, si el factor de carga está especificado, puede calcularse la estructura de modo que la carga de colapso sea igual o mayor que el producto del factor de carga por la carga de servicio de referencia. El análisis plástico supone, por tanto, además del reparto de tensiones plásticas dentro de la sección (formación de rótulas plásticas), también una redistribución del momento flector suficiente para que se desarrollen todas las rótulas plásticas que hacen falta para que tenga lugar el mecanismo plástico.
Cuando se forma fluencia en una sección, su valor efectivo de rigidez a la flexión, E∙I , desciende paulatinamente (figura 7); de hecho, el módulo efectivo del material fluido es cero cuando se presume un comportamiento perfectamente plástico más allá de la fluencia, y de ahí el término de rótula plástica. Una vez que se produce esta rótula, la estructura se comporta, bajo carga adicional, como si se hubiese introducido una rótula real en la sección fluida. La aparición de la primera rótula plástica en la estructura ocasiona la reducción de la hiperestaticidad inicial en un grado ; cada rótula plástica adicional tiene el
mismo efecto. El colapso se produce cuando se han formado las suficientes rótulas plásticas para que la estructura hiperestática inicial se haga paulatinamente menos hiperestática, y finalmente, se convierta en un mecanismo.
En una estructura isostática, la ganancia de resistencia debida a la plasticidad depende del valor del factor de forma. A la estructura hiperestática le afecta el proceso de redistribución del momento. Para que una estructura pueda redistribuir tensiones dentro de la sección y entre secciones, no debe ocurrir ninguna otra forma de fallo antes del mecanismo de colapso para que pueda llegar a la carga límite.
Para que se permita el análisis plástico deben cumplirse las siguientes condiciones:
Que el acero tenga una ductilidad adecuada para que pueda desarrollarse la resistencia plástica de los perfiles Que una vez formada la rótula plástica, sea capaz de girar a un momento bastante constante de Mp (figura 7), Que la rótula plástica tenga la suficiente capacidad rotatoria, sin pandeo local ni lateral, para permitir la formación del mecanismo de colapso y la correspondiente redistribución de momentos (figura 7). Que la carga de la estructura sea predominantemente estática para que un ciclo de fatiga corto (sacudida) no ocasione un fallo.
Para cumplir estas condiciones, hay que poner límites al tipo de acero y a las proporciones de las barras y secciones transversales . Actualmente se permite el cálculo plástico para las clases corrientes de acero dulce, mientras que para otras clases se requiere una longitud
mínima de la parte horizontal del diagrama de fluencia y una relación mínima entre la resistencia máxima a la tracción y la tensión de fluencia (endurecimiento por deformación). Las proporciones del ala y el alma de las barras que tengan rótulas plásticas deben sujetarse a ciertos límites, que son más estrictos para aceros de clase más alta. Como la fluencia reduce mucho la rigidez, las barras que tienen rótulas plásticas son especialmente proclives a ser inestables; por lo tanto, los límites de esbeltez de tales elementos estructurales es muy estricto y obliga a arriostrarlos lateralmente, sobre todo donde están las rótulas plásticas. Lo anterior supone que la resistencia a la rotura por flexión de un perfil se define solamente por su momento plástico. Sin embargo, la carga axial y la fuerza de cizalla también tienen efecto. En una estructura sometida a cargas especificadas cuya magnitud aumenta hasta la rotura, la secuencia de formación de rótulas es fija. No obstante, factores tales como el asentamiento,
variación de la resistencia del material de las barras, tensiones residuales, efectos térmicos, etc., pueden cambiar la secuencia, pero no lo bastante para afectar la carga de colapso plástico; éste es de hecho estáticamente determinado y no depende de imperfecciones estructurales de ningún tipo. El análisis plástico se funda en la conducta alineal del material, incluso si los efectos de segundo orden son despreciables. Los métodos de análisis a mano se valen de los teoremas fundamentales del cálculo plástico, que suelen despreciar las curvaturas elásticas respecto a las plásticas, y concentran las deformaciones plásticas donde hay rótulas plásticas. Sus métodos son por lo tanto rígido-plásticos (figura 1c).
informáticos Los métodos dependen menos de idealizaciones y son así más realistas en cuanto a las curvaturas y deformaciones causadas por la relación tensión-deformación del material. Estos métodos se llaman elastoplásticos y se distinguen del método plástico perfecto, caracterizado por un parte horizontal de la curva de fluencia infinita (figura 1c) o por la leve pendiente de la zona de fluencia (figura 1d)
o por el campo de deformación-endurecimiento que sigue a la parte horizontal de la curva de longitud limitada (figura 1e).
O bien se pueden adoptar relaciones aún más precisas; los refinados programas de elementos finitos actuales permiten extender la fluencia y se valen del concepto de zonas plásticas en vez del de rótulas plásticas. El análisis plástico de segundo orden requiere en general trabajar con programas informáticos, pero la carga de colapso de pórticos arriostrados de varias plantas se puede hallar con las fórmulas de Merchant-Rankine que tienen en cuenta de manera muy sencilla la acción recíproca del pandeo elástico y la fluencia. Conviene destacar que por ser el análisis plástico esencialmente alineal, el principio de superposición no es aplicable.
Plasticidad en los metales: En los metales, la plasticidad frecuentemente aparece relacionada con el desplazamiento de dislocaciones en el interior del material. Los metales usualmente están formados por cristales con planos razonablemente bien alineados dentro de cada cristal, aunque siempre existen algunas dislocaciones y planos atómicos incompletos. A partir de un cierto valor de la tensión esas dislocaciones sufren desplazamientos, que constituyen transformaciones irreversibles que absorben energía y cuyas deformaciones asociadas no se recuperan cuando desaparece el esfuerzo.
Cálculo plástico en estructura metálica: El cálculo plástico se refiere al cálculo de esfuerzos, tensiones y deformaciones en ingeniería estructural de elementos que tienen un comportamiento plástico. A diferencia de los mecanismos que deben operar de manera reversible las estructuras estáticas pueden ser proyectadas para trabajar por encima del dominio elástico, lográndose con ello un aprovechamiento más completo de su capacidad resistente. Esto se debe a que una vez rebasado el dominio elástico de reversibilidad, algunos materiales de construcción siguen teniendo capacidad para resistir esfuerzos mayores, por endurecimiento cinemático, aún a costa de sufrir transformaciones internas irreversibles. En estructura metálica el cálculo plástico consiste básicamente en identificar los puntos de aparición de rótulas plásticas o regiones de plastificación que una vez completamente plastificadas se convierten en articulaciones, llamadas "rótulas de plastificación". Para encontrar para qué valor de la carga se forma una rótula plástica se representa la estructura por una estructura elástica lineal donde todas las rótulas de plastificación ya formadas se han substituido por articulaciones. La aparición de rótulas de plastificación reduce el grado de hiperestaticidad ampliando el número de grados de libertad. Cuando aparece el suficiente número de rótulas plásticas la estructura se convierte en un mecanismo, y la configuración del mismo da el mecanismo de colapso de la estructura. El cálculo plástico es especialmente útil en estructuras hiperestáticas con condiciones de enlaces redundantes. El cálculo plástico incluye la identificación de los modos de colapso por formación de rótulas plásticas, y la carga necesaria para la plastificación de todas las rótulas. La carga última plástica es el valor a partir del cual la estructura queda convertida en mecanismo por plastificación de la última rótula.
En una estructura con una única carga aplicada cuasiestáticamente la primera rótula de plastificación se habrá acabado de formar cuando el momento máximo iguale el momento plástico, para calcularlo se considera una carga arbitraria de ensayo aplicada en el mismo punto que la carga original y se calculan los momentos flectores en todos los puntos en función de dicha carga , entonces la carga de formación de la primera rótula P R, 1se calcula simplemente como:
Donde: , son respectivamente el momento plástico, el momento resistente plástico y la tensión de fluencia. Una vez identificada la primera rótula, se prosigue calculando una estructura como la original pero en la que el punto de formación de la rótula de plastificación se ha sustituido por una articulación, se considera una nueva carga de ensayo, se ve en qué otro punto se da ahora el momento máximo y se determina que carga se necesita para que el nuevo punto, teniendo en cuenta el momento flector total que ya tenía en la fase anterior, para que el momento iguale al momento plástico:
El procedimiento anterior es generalizable al caso de varias cargas P 1, ...,P n que se incrementan cuasiestáticamente de manera uniparamétrica P i = P i (λ). En el caso más general en que cada carga varía independientemente, el estado final dependerá de qué cargas aumenten más rápidamente por lo que la resistencia última en régimen plástico sólo puede determinarse si se especifica la variación de todas las cargas en el tiempo: P i = P i (t ).
APLICACIONES DEL METODO PLASTICO: El método plástico se aplica especialmente a las estructuras de acero, aunque también puede utilizarse, en las condiciones debidas, para estructuras de aluminio, hormigón armado y hormigón pretensado.
Nos interesa ahora generalizar los criterios de localizaciones de las articulaciones plásticas y, así admitiremos que las articulaciones plásticas pueden formarse en: a. Los empotramientos, los nudos rígidos y las uniones articuladas donde concurran dos o más elementos. b. Los apoyos intermedios de las vigas continuas. c. Los puntos de aplicación de las cargas concentradas. d. Bajo cargas distribuidas, a partir de los puntos donde el momento flector es máximo. Cuando se considera la formación de un mecanismo de colapso a estos puntos habrá que añadir las posibles articulaciones constructivas (la diferencia entre una articulación articulación constructiva en que en esta el momento el momento flector es nulo y la primera soporta el momento plástico de la sección.)
Para abordar el análisis plástico de vigas continuas y pórticos se presentas las siguientes hipótesis: 1. La estructura se conserva estable hasta que alcanza la carga ultima; ósea no se presentan fenómenos de pandeo durante el proceso de carga. 2. Pueden despreciarse los efectos de las fuerzas axiales y cortantes sobre el momento plástico M p. 3. El proceso de carga es proporcional, de tal modo que en cada instante la relación entre cargas se mantiene constante. 4. Las uniones son capaces de transmitir íntegramente el momento plástico, es decir las uniones proporcionan una continuidad completa. Una vez conocidos los lugares donde pueden formarse las articulaciones plásticas, y por tanto el número N de ellas, deseamos determinar el número m de mecanismos de colapso que esas articulaciones pueden generar. Recordemos una vez más que grado de hiperestaticidad H de un sistema de cuerpos es la diferencia entre el número de incógnitas que se deben conocer para determinar por completo las fuerzas reactivas externas e internas al sistema, menos el número de ecuaciones que las condiciones universales de equilibrio permiten escribir.
EJEMPLO: La viga representada en la figura 3.1a es isostática, o sea, de grado de hiperestaticidad H = 0, pues en ella el número de incógnitas que debemos conocer para determinar las reacciones es de dos, y dos son las ecuaciones de equilibrio. Según los criterios admitidos, hay posibilidad de articulación plástica bajo cada carga, es decir N =2. Por otra parte, es evidente que los mecanismos de colapso son los dos indicados en la misma figura 3.1a; o sea, se cumple que m = N - H . Si el apoyo simple izquierdo de esa viga se sustituye por un empotramiento (fig. 3.1b), habremos introducido una incógnita más en las reacciones y entonces será H = 1, pero el número de articulaciones posibles, según los criterios admitidos,
habrá aumentado en uno, es decir, será N = 3. En esa misma viga observamos que el número m de mecanismos son dos, tal como se representa en la misma figura. Aquí también se cumple m = N - H . En las tres vigas representadas a continuación en la misma figura 3.1 se comprueba que se cumple la relación m = N – H
Así, por ejemplo, en la viga de la figura 3.1e es N = 4 y H = 2, con lo que m = 2. Se ve que por cada grado de aumento de la hiperestaticidad, aparece la posibilidad de una nueva articulación plástica, pero el número de mecanismos no varía mientras no variemos la carga. Si en cada una de las vigas de las figura 3.1 añadimos una carga puntual, aumentamos en uno el valor de N pero el grado de hiperestaticidad H sigue siendo el mismo, con lo que m = 3. Conviene aclarar que la relación (3.1), debida a Neal y Symmonds, se corresponde con el hecho de que cada mecanismo está ligado a unas condiciones de equilibrio independientes, y se dice que tal mecanismo es “independiente” o “elemental”. No es válida para vigas con tramos de secciones diferentes, ni para pórticos u otras estructuras con uniones acarteladas.
Si una estructura se agota cuando en la misma se forma un número suficiente de articulaciones plásticas, en el preciso instante en que se forme la última de esas articulaciones hemos de admitir que se cumplen las tres condiciones siguientes: 1) Condición de equilibrio: la estructura en conjunto cumple las condiciones universales de equilibrio, y también las cumple cada una de las partes que pueda suponerse que integran la estructura. 2) Condición del momento plástico: en ninguna sección de la estructura puede el momento flector ser mayor que el momento plástico M P correspondiente a esa sección. 3) Condición del mecanismo: la carga alcanza su valor último cuando se forma el mecanismo de colapso.
Ventajas del diseño plástico: a. La estructura puede ser analizada a partir de un esquema más claro y concreto que permita llegar a una solución más racional. b. Se obtiene una notable simplificación de los cálculos y una cierta economía de los materiales.
Desventajas del diseño plástico: a. Para aplicar el cálculo plástico para otras clases de acero se requiere una longitud mínima de la parte horizontal del diagrama de fluencia y una relación mínima entre la resistencia máxima a la tracción y a la tensión de fluencia (endurecimiento por deformación). b. Como la fluencia reduce mucho la rigidez las barras que tienen rotulas plásticas son especialmente proclives a ser inestables.
Conclusiones del diseño plástico:
El análisis plástico se funda en la conducta alineal del material, incluso si los efectos de segundo orden son despreciables.
Los métodos elastoplásticos se distinguen del método plástico perfecto, por una parte horizontal de la curva de fluencia finita o por la leve pendiente de la zona de fluencia o por el ca mpo de deformación− endurecimiento.
El análisis plástico global tiene la utilidad particular para investigar los estados causantes de un colapso real de la estructura y para hallar la resistencia a la rotura o los estados límites máximos.
BIBLIOGRAFIA:
Análisis plástico De estructuras. M. R. Dalmau - J. Vilardell «http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Plasticidad.
