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11.Técnica_ Juiz Universal Do

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Resumo MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO Sign up to vote on this title

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C Sugestões, críticas ou elogios podem ser e nviados através do e-mail: [email protected]

Sumário – Matemática e Raciocínio Lógico 1.

2.

3.

INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA .................................................................. .................................................................. 1.1.

Fator de Capitalização ..................................................................... ............................................................................................. ........................

1.2.

Fator de Descapitalização .................................................................... ....................................................................................... ...................

1.3.

Acréscimos e Descontos Sucessivos ....................................................................... .......................................................................

TAXAS ...................................................................... .......................................................................................................... ....................................................... ................... 2.1.

Taxa Proporcional: ................................................................... .................................................................................................. ...............................

2.2.

Taxa equivalente: equivalente:..................................................................... .................................................................................................... ...............................

2.3.

Taxa Bruta e Taxa Líquida .................................................................... ....................................................................................... ...................

2.4.

Taxa Real e Taxa Aparente ................................................................... ...................................................................................... ...................

2.5.

Taxa Nominal e Taxa Efetiva ...................................................................... ................................................................................... .............

Juros Simples e Compostos: Capitalização e Descontos .................................................. ................................................... 3.1.

Capitalização Simples e Composta ................................................................... .......................................................................... .......

3.2.

Desconto Simples e Composto ................................................................... ................................................................................ .............

3.2.1.

Desconto Comercial Simples .................................................................... ........................................................................... ........

3.2.2.

Desconto Racional Simples ....................................................................... .............................................................................. .......

3.2.3.

Desconto Comercial Composto ...................................................................... ......................................................................

3.2.4.

Desconto Racional Composto ................................................................... .......................................................................... .......

4.

Séries de Pagamento ....................................................................... ...................................................................................................... ...............................

5.

Sistemas de Amortização ................................................................. ................................................................................................ ...............................

6.

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5.1.

Sistema de Amortização Francês (SAF) .................................................................. ..................................................................

5.2.

Sistema de Amortização Constante (SAC) ............................................................... ...............................................................

Raciocínio Lógico

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C 6.8.

Quantificadores ....................................................................... ...................................................................................................... ...............................

6.9.

Lógica de Argumentação ...................................................................... ......................................................................................... ...................

6.10.

Probabilidade ....................................................................... ...................................................................................................... ...............................

EDITAL Nº 1, DE 23 DE JANEIRO DE 2014

MATEMÁTICA: 1 Juros simples e compostos: capitalização e descontos. 2 Taxas de juro nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente. 3 Planos ou sistemas d amortização de empréstimos e financiamentos. 4 Cálculo financeiro: custo real efetivo d operações de financiamento, empréstimo e investimento. 5 Números e grandez proporcionais: razões e proporções; divisão em partes proporcionais; regra de trê

porcentagem e problemas. RACIOCÍNIO LÓGICO: 1 Princípios do raciocínio lógico: conectivos lógicos; diagramas lógico lógica de argumentação; interpretação de informações de natureza matemátic probabilidade.


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C 1. INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA

1.1.Fator 1.1. Fator de Capitalização Vamos supor que um produto sofreu um aumento de 40% sobre seu valor inicial. Para sabe seu valor final temos que multiplicar o valor inicial pelo fator de capitalização que é calculad da seguinte forma: Fator de capitalização = (100 + 20)/100 = 120/100 = 1,2

Ex: Um produto custava R$ 20,00 e sofreu um aumento de 10%. Qual o valor final do produto Fator de capitalização = (100 + 10)/100 = 110/100 = 1,1 1,1x20 = 22 Valor final: R$ 22,00

1.2.Fator 1.2. Fator de Descapitalização Um produto sofreu um desconto de 30% sobre seu valor inicial. Para saber seu valor fin temos que multiplicar o valor inicial pelo fator de descapitalização que é calculado da seguin forma: Fator de capitalização = (100 - 30)/100 = 70/100 = 0,7

Ex: Um produto custava R$ 50,00 e sofreu um desconto de 5%. Qual o valor final do produto? Fator de capitalização = (100 - 5)/100 = 95/100 = 0,95 0,95x50 = 47,75 Valor final: R$ 47,75

1.3. Acréscimos e Descontos Sucessivos Um erro muito comum em questões sobre acréscimos e descontos sucessivos é o candidat somar ou subtrair os percentuais, sendo que na verdade deveria multiplicar os fatores d capitalização e descapitalização. Vamos entender com um exemplo.

Ex: Um produto sofreu um acréscimo de 30% sobre seu valor, após um mês houve um desconto de 40% e após mais um mês outro acréscimo de 10%. Assim o valor do produto em  relação ao preço inicial é: Sign up to vote on this title a) 20% maior  Useful  Not useful b) 30% maior c) Não alterou o preço

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C 2.1.Taxa 2.1.Taxa Proporcional: É calculada em regime de capitalização simples: Apenas divide ou multiplica a taxa de juros. Por exemplo, se temos uma taxa ao mês e procuramos uma taxa ao ano, multiplica-se a taxa por 12, já que um ano tem 12 meses. Ex: Qual a taxa de juros mensal proporcional a 36% ao ano. 36/12 = 3% ao mês Ex: Qual a taxa de juros semestral proporcional a 5% ao trimestre? Como um semestre tem dois trimestres: 5x2 = 10% ao semestre 2.2.Taxa 2.2.Taxa equivalente: equivalente: É calculada em regime de capitalização composta: Composta por 3 passos: 1- Transforma a taxa de juros em unitária e soma 1 (100%) 2- Eleva a taxa ao período de capitalização 3- Identifica a taxa correspondente Ex: Qual a taxa de juros ao trimestre equivalente a 20% ao mês? Passo 1: 20% = 0,2 0,2 + 1 = 1,2 Passo 2: (1,2)3 = 1,728 Passo 3: 72,8% ao trimestre 2.3.Taxa 2.3. Taxa Bruta e Taxa Líquida Taxa Bruta: Bruta: estão inclusos tributações e encargos. Taxa líquida: líquida: está livre desses descontos

Ex: Um investimento proporciona um retorno de 0,8% em um mês. Supondo que foi cobrad 30% sobre o ganho devido ao imposto de renda, qual foi o seu ganho líquido? Tx líquida = 0,8% x 0,7 (fator de descapitalização) = 0,56  A taxa líquida do investido foi de 0,63% Sign up to vote on this title

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2.4.Taxa 2.4. Taxa Real e Taxa Aparente O cálculo da taxa real tem como objetivo descontar a inflação do ganho aparente.

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C 2.5.Taxa 2.5. Taxa Nominal e Taxa Efetiva Taxa nominal: Quando o prazo difere da capitalização estamos diante de uma taxa nominal. Ex: 30% ao ano/mês (30% ao ano com capitalização mensal).

Taxa efetiva: Quando o prazo é igual da capitalização. Representa a verdadeira taxa cobrada. Ex: 30% ao ano/ano (30% ao ano com capitalização anual). Para simplificar abreviamos da seguinte maneira: 30% ao ano. Para encontrar a taxa efetiva a partir da taxa nominal fazemos um cálculo através de tax proporcional.

1º caso

Taxa nominal 24% ao ano/mês

2º caso

5% ao bimestre/ano

Taxa proporcional---------- 24/12 meses = 2 Taxa proporcional---------- 5x 6 bimestres = 30

Taxa efetiva 2% ao mês/mês 30% ao ano/ano

Se quisermos saber qual é a taxa efetiva anual do 1º caso, faz-se o cálculo de tax equivalentes. Taxa efetiva mensal Taca efetiva anual 2% ao mês Taxa equivalente---------- 26,82% ao ano 12 (1,02) Ex: (Transpetro – 2011) A taxa efetiva anual de juros correspondente à taxa nominal de 12% a ano capitalizada mensalmente é? 12% ano/mês Taxa proporcional---------proporcional---------- 1% mês/mês (1,01)12 = 1,12677 A taxa efetiva anual é de 12,68%


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Gabarito 1 – d; 2 - c; 3 – c; 4 – c 3. Juros Simples e Compostos: Capitalização e Descontos 3.1.Capitalização 3.1. Capitalização Simples e Composta

Em juros simples os juros são cobrados sobre o valor do empréstimo (capital). Em juros composto os juros são cobrados sobre o valor do saldo devedor (capital + juros d período anterior). Ex: Maria realizou um empréstimo de R$ 100,00, a uma taxa de juros de 10% ao mês. Qual  up to vote on this title valor pago por Maria se ela quitou a dívida 5 meses após Sign o empréstimo?  Useful  Not useful Se for juros simples: Mês Juros cobrado Saldo devedor 1 10% de 100 10 reais 100 10 110 reais 

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C 3 4 5

10% de 121 = 12,10 reais 10% de 133,10 = 13,31 reais 10% de 146,41 = 14,64 reais

121 + 12,10 = 133,10 reais 133,10 + 13,31 = 146,41 146,41 + 14,64 = 161,05

Assim Maria terá que pagar 150 reais se for cobrado juros simples e 161,05 se for cobrad juros compostos. Fórmulas: Juros Simples Cálculo dos juros: J=C×i×t 



Onde: J: juros M: montante C: Capital Juros Compostos Cálculo dos juros: J=M-C

Cálculo do Montante M = C × (1+ i×t)

I: taxa de juros T: prazo



Cálculo do Montante M = C × (1+ i) t

Aplicação da fórmula Ex: Considere um empréstimo, a juros compostos, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8 meses taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante? (1,1) 8 = 2,144 Sem fórmula: (1,1)8 = 2,144  2,144 – 1  1,144  114,4% 100mil × 1,144 = 114.400 reais de juros 100 mil + 114,4 mil = R$ 214.400,00  Com fórmula: t

M = C × (1+ i) M = 100.000 (1,1)8 M = 214.400,00


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C M = 6050 J=M-C J = 6050 – 5000 = R$ 1050,00 3.2.Desconto 3.2. Desconto Simples e Composto 3.2.1. Desconto Comercial Simples Também conhecido como desconto bancário e desconto por fora. O desconto é calculado sobre o valor nominal do título (Valor de face ou futuro)

Ex: Considere um título cujo valor nominal seja R$ 10.000,00. Calcule o desconto comerci simples a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 3 meses antes da data d vencimento, a uma taxa de desconto de 5% ao mês. 3×5 = 15%  100 – 15 = 85% 10.000 × 0,85 = 8.500 Valor atual = R$ 8.500,00

10.000 × 0,15 = 1.500 Desconto = R$ 1.500,00

3.2.2. Desconto Racional Simples Também conhecido como desconto verdadeiro e desconto por dentro. (O desconto é calculado sobre o valor atual do título (valor (val or presente).

Ex: Considere um título cujo valor nominal seja R$ 10.000,00. Calcule o desconto racion simples a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 3 meses antes da data d vencimento, a uma taxa de desconto de 5% ao mês.

3×5 = 15% Desconto = 10.000 - 8.695,65 Regra de três D = 1304,35 10.000 ---- 115% X ---- 100% X = 8.695,65 Valor atual: R$ 8.695,65  O valor do desconto depende do valor atual então é preciso calcular Sign up primeiro to vote on this title o valor atu para depois achar o desconto.  Useful  Not useful 3.2.3. Desconto Comercial Composto

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C Calculado sobre o valor atual do título (valor presente).

Ex: Considere um título cujo valor nominal seja R$ 10.000,00. Calcule o desconto racion composto a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 2 meses antes da data d vencimento, a uma taxa de desconto de 10% ao mês. (1,1)2 = 1,21 Regra de três 10.000 ---- 121% X ---- 100% X = 8.264,46 Desconto = 10.000 - 8.264,46 = 1735,53 Exercícios


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C 1 – c; 2 – c; 3 – c; 4 – b 4. Séries de Pagamento - Série póstecipada: não existe entrada

- Série antecipada: existe entrada

5. Sistemas de Amortização 5.1.Sistema 5.1. Sistema de Amortização Francês (SAF) Conhecido também como PRICE Características: Parcelas constantes Juros crescentes Amortizações crescentes Saldo devedor decrescente    


 - Cálculo da prestação utilizando o capital P = C× ((1 + i) t × i)

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C I: taxa de juros t: tempo

J: juros A: amortização

Ex: Um cliente fez um empréstimo de R$ 10.000 para pagar em 5 prestações mensais iguai sendo que a primeira parcela tem seu vencimento 30 dias após a data da contratação. A tax de juros é de 10% ao mês. Calcule o valor da prestação, os juros e a cota de amortização d cada mês. Série póstecipada C = 10.000 t = 5 meses i = 0,1 Dica: vá calculando e colocando os resultados na tabela para ficar mais fácil de visualizar. N Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 0 ------------10.000 1 2640,18 1000 1640,18 8359,82 2 2640,18 835,98 1804,2 6555,62 3 2640,18 655,56 1984,62 4571 4 2640,18 2387,92 5 2640,18 13,47 t 5 P = C× ((1 + i) × i) = 10.000 × ((1 + o,1) × 0,1) = 2640,18 ((1 + i)t – 1) ((1 + 0,1)5 – 1) R$ 10.000 × 1,1 = 11.000 Ou seja, na data do pagamento da 1ª parcela, o saldo devedor do cliente será 11 mil. - Saldo devedor após o pagamento da 1ª parcela: R$ 11.000 – 2640,18 = 8.359,82 Juros = 11.000 – 10.000 = 1.000 A = P – J = 2.640,18 – 1.000 = 1640,18 - Saldo devedor no pagamento da 2ª parcela: R$ 8.359,82 × 1,1 = 9.195, 80 J = 9.195, 80 - 8.359,82 = 835,98


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C

Ex: Um cliente financiou uma motocicleta no valor de R$ 10.000 com uma entrada e mais du parcelas, sendo a primeira a vencer 30 dias após a compra. A taxa de juros é de 10% ao mê qual o valor da prestação? Sistema antecipado (com entrada)

P = C× ((1 + i) t × i) = 10.000 × ((1 + o,1) 3 × 0,1) = 4.021,10 ((1 + i)t – 1) ((1 + 0,1)3 – 1) R$ 4021,10 ---- 110% X ---- 100% X = R$ 3.655,54

 A entrada não leva juros então desconta o valor do juros.

5.2.Sistema 5.2. Sistema de Amortização Constante (SAC) Características: Amortização constante Parcelas decrescentes Juros decrescentes Saldo devedor decrescente    

- Cálculo da Prestação P=A+J - Cálculo da Amortização A = C/t

Ex: Um cliente fez um empréstimo no valor de R$ 10.000,00 para pagar em 5 prestaçõ mensais. A taxa de juros é de 10% ao mês. Calcule o valor da prestação e os jurose cota d Sign up to vote on this title amortização de cada mês considerando que o banco utiliza o Sistema de Amortizaçã  Useful  Not useful Constante (SAC). A = C/t = 10.000/5 = 2.000

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C P1 = A + J = 2.000 + 1.000 = 3.000 J2 = SD1 × i J2 = 8000 × 0,1 = 800 P2 = 2000 + 800 = 2800 E assim por diante N 0 1 2 3 4 5

Prestação --3000 2800 2600 2400 2200

Juros --1000 800 600 400 200

Amortização ---2000 2000 2000 2000 2000

Saldo Devedor 10000 8000 6000 4000 2000 0

Ex: Uma família financiou 100% de um imóvel no valor de R$ 60.000,00 para pagamento em 2 anos com o SAC. A taxa de juros é de 1% ao mês. Calcule o valor da 51ª parcela. Para o cálculo dos juros da parcela 51ª é necessário saber o valor do saldo devedor após pagamento de uma parcela anterios, a 50ª. A = C/t = 60000/240 = 250,00 SD50 = 60000 – (50 × 250) = 47.500 J51 = SD50 × i = 47.500 × 0,01 = 475,00 P51 = A + J 51 = 250 + 474 = 725,00


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3. (BB – 2014, ESCRITURÁRIO) Um cliente contraiu um empréstimo, junto a um banco, no val de R$ 20.000,00, a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, com prazo de 2 trimestre contados a partir da liberação dos recursos. O cliente quitou a dívida exatamente no final d prazo determinado, não pagando nenhum valor antes disso. Qual o valor dos juros pagos pe cliente na data da quitação dessa dívida? (A) R$ 2.500,00 (B) R$ 1.250,00 (C) R$ 1.640,00 (D) R$ 5.300,00 (E) R$ 2.650,00

4. (BB – 2014, ESCRITURÁRIO) Uma empresa contraiu um financiamento para a aquisição d um terreno junto a uma instituição financeira, no valor de dois milhões de reais, a uma taxa d 10% a.a., para ser pago em 4 prestações anuais, sucessivas e postecipadas. A partir da previsã de receitas, o diretor financeiro propôs o seguinte plano de amortização da dívida: Ano 1 – Amortização de 10% do valor do empréstimo;  Sign up to vote on this title Ano 2 – Amortização de 20% do valor do empréstimo; Ano 3 – Amortização de 30% do valor do empréstimo;  Useful  Not useful Ano 4 – Amortização de 40% do valor do empréstimo. Considerando as informações apresentadas, os valores, em milhares de reais, das prestaçõe

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C 1º) ~ (negação) 2º) ^ (conjunção: e) 3º) v (disjunção: ou) 4º) v (disjunção exclusiva: ou) 4º)  (condicional: se, então) 5º) ↔ (bicondicional: se e somente se)

PROPOSIÇÃO: Denomina-se proposição a toda frase declarativa à qual se possa atribu somente um de dois valores lógicos lóg icos possíveis: verdadeiro verdadeiro ou falso. falso . São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas: A capital do Brasil é Brasília. 23 > 10 Existe um número ímpar menor que dois. Não são proposições: 1) frases interrogativas: “Qual é o seu telefone?” 2) frases exclamativas: “Que menina bonita!” 3) frases imperativas: “Trabalhe mais.” 4) frases optativas: “Vá com Deus.” 5) frases sem verbo: “O livro de Augusto.”

6) sentenças abertas (o valor lógico da sentença depende do valor (do nome) atribuído variável): “x é maior que 3”; “x+y = 3”; “Z é a capital do Brasil”. 6.1. Construção da Tabela Verdade - Negação ~A As seguintes frases são equivalentes entre si: Lógica não é fácil. Não é verdade que Lógica é fácil. É falso que Lógica é fácil. Não é o caso que Lógica é fácil. A V F

~A F V


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 Useful  Not useful - Conjunção A^B Ex: Vou à Igreja e ao mercado Dica: pense como se fosse uma promessa. Se você for em apenas um dos lugares ou em

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C A V V F F

B V F V F

AvB V V V F

- Disjunção exclusiva AvB Ex: Ou a camisa dele é verde ou a calça é azul. Para que a sentença seja verdadeira uma das proposições tem que ser verdadeira mas nã ambas. A B AvB V V F V F V F V V F F F - Condicional A B Ex: Se chove então fico molhado A B AB V V V V F F F V V F F V Se chove então fico molhado (V) Se chove então não fico molhado (F) Se não chove então fico molhado (V) Se não chove então não fico molhado (V) Ou seja, A é condição suficiente para que B ocorra e B é condição necessária para que ocorra. -Bicondicional A↔B Uma proposição bicondicional "A se e somente se B" equivale à proposição composta: “se A então B e se B então A”, ou seja, “A ↔ B “ é a mesma coisa que “ (A  B) e (B  A) “

 A sentença apenas será verdadeira se as duas proposições verdadeiras Sign forem up to vote on this titleou se as dua forem falsas.  Useful  Not useful A B A↔B V V V

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C V V V F F F F

V F F V V F F

F V F V F V F

V F V F V F V

V V V F V F V

V F F F V F F

6.3.Tautologia 6.3. Tautologia Quando a coluna de resultados da tabela verdade for tudo V. A B A^B V V V V F F F V F F F F 6.4.Contradição 6.4. Contradição Quando a coluna de resultados da tabela for tudo F. A B ~B (A↔~B) V V F F V F V V F V F V F F V F

V F F V V V F

AvB V V V F

(A^B)( AvB) V V V V

A^B V F F F

(A↔~B)^( A

F F F F

6.5.Contingência 6.5. Contingência Quando não for nem tautologia, nem contradição. A coluna de resultados da tabela tem tant resultados F quanto V. A B A^B A↔( A^B) V V V V V F F F F V F V F F F V 6.6.Negação 6.6. Negação Proposição Negação da proposição Algum Nenhum  Sign up to vote on this title Nenhum Algum  Useful  Not useful Todo Algum.. não.. Algum.. não.. Todo Ex:’’Algum carro é veloz’’ / ‘’nenhum carro é veloz’’

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C TABELA DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA ~(p^q) ------  ~p v ~q ~(~q) ------  p ~(pvq) ------  ~p ^~q p^q ------  q^p pvq ------  qvp pvp ------  p p^p ------  p pvqvr ------  (pvq)v r p^q^r ------  (p^q)^r p^(qvr) ------  (p^q)v(p^r) pv(q^r) ------  (pvq)^(pvr) 6.7.Diagramas 6.7. Diagramas lógicos

Todo A é B = todo elemento de A também é elemento de B. Nenhum A é B = A e B não tem elementos em comum. Algum A é B = o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Algum A não é B = o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjun B. Proposição Todo A é B

Diagrama

Nenhum A éB

Algum A é B


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C Algum A não é B

6.8. Quantificadores Quantificador Universal

Significado para todo, para cada, qualquer que seja

Existencial

existe pelo menos um, existe um, existe, para algum

Negação dos Quantificadores:

6.9.Lógica 6.9. Lógica de Argumentação

Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de proposições iniciais redund em uma outra proposição final, que será consequência das primeiras! Dito de outra forma, argumento é a relação que associa um conjunto de proposiçõe p1, p2, ... pn , chamadas premissas do argumento, a uma proposição c, chamada de conclusã do argumento. No lugar dos termos premissa e conclusão podem ser também usados o correspondentes hipótese e tese, respectivamente.

Dizemos que um argumento é válido quando a sua conclusão é uma consequência obrigatór do seu conjunto de premissas.  Dizemos que um argumento é inválido quando inválido quando a verdade das nãotitle é suficiente pa Sign uppremissas to vote on this garantir a verdade da conclusão.  Useful  Not useful

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C

3) (MPE/RR 2008 CESPE) Considere as seguintes seg uintes proposições. A: Jorge briga com sua namorada Sílvia. B: Sílvia vai ao teatro. Julgue os itens seguintes. 1. Nesse caso, ¬(A B) é a proposição C: “Se Jorge não briga com sua namorada Sílvi então Sílvia não vai ao teatro”.

~(AB) = (A ^ ~B) Jorge briga com Silvia e Silvia não vai ao teatro O item é falso

2. Independentemente das valorações V ou F para A e B, a expressão ¬(Av

correspondente à proposição C: “Jorge não briga com sua namorada Sílvia e Sílvia nã vai ao teatro”.

~(AvB) = ~A ^ ~B O item é verdadeiro. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Agora é com você: 4) (TRT 17ª Região Téc Jud 2009 CESPE) Julgue os itens a seguir.

1. A proposição “Carlos é juiz e é muito competente” tem como negação a proposição “Carlo não é juiz nem é mui to competente”. 2. A proposição “A Constituição brasileira é moderna ou precisa ser refeita” será V quando proposição “A Constituição brasileira não é moderna nem precisa ser refeita” for F, e vic

versa. 5) (PC/ES 2010 Cespe) A negação da proposição (Pv~Q)^R é (~PvQ)^(~R). 6) (MPE Tocantins/2006/CESPE) Julgue o item it em subseqüente.

1. A proposição P: “Ser honesto é condição necessária para um cidadão ser admitido n serviço público” é corretamente simbolizada na forma A  B, em que A representa “s honesto” e B representa “para um cidadão ser admitido no serviço público”.

7) (Assembléia Leg./CE 2011 Cespe) Julgue o item a seguir. 1. A proposição “Os cartões pré-pagos são uma evolução dos cartões tradicionais,  po Sign up to vote on this title

podem ser usados, por exemplo, pelo público jovem” é equivalente a “Se podem s

 Usefulpré-pagos  Not useful usados, por exemplo, pelo público jovem, então os cartões são uma evoluçã dos cartões tradicionais”.

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C 

Permutação

Ex: Quantos números de três algarismos (sem repeti-los) podemos formar com os algarismo 1, 2 e 3?

3 possibilidades x 2 possibilidades x 1 possibilidade = 6 possibilidades = 3.2.1! = 6



Arranjo simples

Ex: Quantos números de dois algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? Obs: Lembre-se que 12 é diferente de 21, ou seja, a ordem importa.


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Podemos formar 72 números diferentes de 2 algarismos. algar ismos.

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C Existem 10 possibilidades de formar as duplas. DICA: Memorize bem isso: Usamos Arranjos quando a ordem importa. Usamos Combinação quando a ordem não importa.

Probabilidade Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade ocorrer um evento A é:

União de Eventos Considere A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, temos:


Eventos Mutuamente Exclusivos

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C _ _ _ _ _ _  A6,4 = 360 3 7  A4,2 = 12 P = 12/360 = 1/30

Usamos o arranjo para calcular a probabilidade porque, neste caso, a ordem importa, po 341897 é diferente de 314897, por exemplo.

Ex: Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Ao pegar 3 parafuso ao acaso, qual é a probabilidade de que pelo menos dois sejam defeituosos? Então 2 ou 3 são defeituosos.

Chamando de “D” o evento “2 são defeituosos” e de “B” o evento “3 “ 3 são defeituosos” , temos

C=DUB p(C) = p(D) + p(B)

2 com defeito

1 sem defeito

todos p(B) = C5,3 = 10 = 0,00005 C50,3 19600 P(C) = 0,02296 + 0,00005 = 0,02301

Exercícios 1) Uma urna contém 6 bolas: duas brancas e quatro pretas. Retiram-se quatro bola sempre com reposição de cada bola antes de retirar a seguinte. A probabilidade de s a primeira e a terceira serem brancas é: a) 1/81 b) 16/81  Sign up to vote on this title c) 4/81  Useful  Not useful d) 24/81 e) 2/81

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3) Retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de s obter um rei ou uma dama?

4) Jogam-se dois dados “honestos” de seis faces, numeradas de 1 a 6, e lê -se o núme de cada uma das duas faces voltadas para cima. Calcular a probabilidade de sere obtidos dois números ímpares ou dois números iguais? i guais? Gabarito: 1 – c; 2 - 1/3; 3 – 2/13; 4 – 1/3


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C Referências: 1. www.cursoagoraeupasso.com.br Aplicações, Editora Parma. 2002. 2. Dante, L. R. Contexto e Aplicações, Públi cos 3. Nova – Apostilas para Concursos Públicos 4. www.acasadoconcurseiro.com.br 5. www.somatematica.com.br


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Resumão Matemática e Raciocínio Lógico (CAIXA)(1)

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