S O LU LU C CII O N ES ES
A LO OS S E JE J E RC R C IC I C IO IO S
Introducción Introducción
*11.4 1.4
Ejerc jercic icio ioss (pág. 9)
1.
(a) !b3
2.
(e)
(d) !b3
b3
+b
(e)
lab3
+ be
!ab4
3. (b) 12.5 12.5
(b)
Sn
+bc bk+l
abk+l
< s;
Ejerc jercic icio ioss (pág.
(e)
--
+
k
1
+ be
19) 19)
= {1, -1}, B = {1}, e = {l}, D = {2}, E = {l, -17},
1.
A
2.
F ={l, -17, -8 + y47, -8 - Y47}. A s ::: :: : A, B s ::: A, B s ::: B, B s ::: e , B s ::: E, B
s :::
F, D
s ::::: :
D, E
cierta cierta
s :::
(b) (b)
E, E
s ::::: :
s :::
F, F
cierta cierta
(e) (e)
F, e s : ::: : A, e s : ::: : B, e s : ::: : e , e s : :::: E, e F. (No (No tene tenerr en cuen cuenta ta las las incl inclus usio ione ness «pro «propi pias as »,)
falsa cierta
s :::
3. 4.
(a ( a) (a )
(d) (d)
cierta cierta
(e) (e)
falsa falsa
(f) (f)
falsa falsa
5.
0,{1 0,{1}, }, {2}, {2}, {3} {3},, {4}, {4}, {l, {l, 2}, 2}, {l, {l, 3}, 3}, {l, {l, 4}, 4}, {2, {2, 3}, 3}, {2, 4},{ 4},{3, 3, 4}, 4}, {l, {l, 2, 3}, 3}, {l, {l, 2, 4}, 4}, {l, {l, 3, 4}, 4},
{2, 3, 4}, S 6.
(a )
falsa
(g) cierta 17.
A ee
(e)
(b) (b) (h) (d) (d)
(e)
falsa (i) (i) cierta
falsa falsa si
(e)
(d) (d)
'cie 'ciert rtaa
(e)
falsa
Nc
1 4.4 Ejerc jercic icio ioss (pág. 44) 2. 3.
1 - 4 + 9 - 16 + 1 1 1 + -
2
... + (_l)nH n2 1
+ - + ... + -n 4
2
=2
- -
= ' (_l)nH(l
1
2n
n
5.
n
+
1
2n
757
+ 2 + 3 + ... + n)
(f)
falsa
Soluci Solucione oness a los ejerci ejercicio cioss
758
6.
(b) A(l) falsa
7.
nI =3
(e) (e)
Ejercic cicios ios (pág. (pág. 49) 14.7 Ejer 1. (a) (b) (b) 15 (e) (e) (a) 10 8. (b) n + 1
1
+ 2 + ... +
9. constante =2 11. 11. (a) (b) (b) falsa (a) cierta
12.
(d) (d)
170 170
n
<
(2n
+ 1)2
8
(e) (e)
288 288
36
(f)
(d) (d) falsa
(e) (e) falsa
Q. 6
(e) (e) falsa
(f) falsa
n
+1
n
1 4.9
Ejer jercicio icioss (pág.
2. (al' b2), (a2
,
3.
(b)
(a)
falsa
53)
bs), (aa, b7 ), (a4 ,
cierta
blO), (as, ba), (a6 , bs), bs), (a7 (a7 , b9), (as, (as, b4), (a9 ,
(e)
cierta
(d)
falsa
4.10 4.10 Ejerc jercic icio ioss vario varioss sobr sobree la indu inducc cción ión (pág. 54) 1. ((aa) 10 (I?) 1 (e) 7 (d) 21 (e) 68 680 2. ((b b) 17 (e) 9 (d) No
(e)
b6 ) ,
( al alO'
b1)
falsa
*1
o
5.
T I a¿
k~l
n+l
= 1;
8.
2n
9.
cier ierta si ca cada
11.
(f)
I
n
Tk~Il ak = an+ an+II . T I ak k~l ak
¿O
n ¿4
Capítu Capítulo lo 1
1.5 Ejerc jercic icio ioss (pág (pág.. 69) 69)
= -1, -f(2) = -3,f(t) ,f(t) =1-, l/f(2) =t,f(a 1. f(2) =3, =3,f(-2) -2) +b) =a +b + 1, fea) fea ) + f(b) f(b ) =a + b + 2,f(a)f(b) =ab + a + b + I = -3,f(2)fg(2) = -3,.f[g(2)] = O, 2 . .f(2 .f(2)) + g(2) = 2 ,f(2 ) - g (2 (2 ) = 4,f(2)g(2) g[.f(2)] =-2,.f(a) + g( -a) = 2 + 2a,f(t)g( -t) = (1 + t}2 3 . < p ( 0 ) = 4,
6. 7. 8. 10.
Ix l ~
2,
x
r"
O
(b) {xlO ~x ~ I} (e) {x12 ~x ~4} d) El do dominio es vacío Se cortan rtan cuan uando x = O, 1, -1 Se co cortan rtan cuan uando x = -1, -3 ax(x - 1) + 1, a arbitraric (a) p(x) = I (b) p(x) =ix(x - 1) + 1 (e) p(x) = ax (d) (d) p(x) =ax(x - 1) + b, a y b arbitrarios
Soluci Solucione oness a los ejercici ejercicios os 11.
(a) p(x) (e) p(x)
12.
(a )
(b) p(x) - x) + b, a y b arbitrarios = ax (d) p(x) = C, e arbitrario ax, a arbitrario =ax(l
¿ ( 2:) 2n
xk
(b) (b)
k~O
1.11 1.11
759 =C, c arbitrario
~>k
k=O
Ejer Ejerci cici cios os (pág.
78)
I+ ~ J
5. [nx] =
[x
k~O
1.15 1.15
Ejer Ejerci cici cios os (pág.
1.
(a)
2.
Un eje ejem mplo: lo: s(x) =~ si
5.
(b) (e) (a )
6. 7.
2
2
(b)
86)
4
L~~l k(Yk
(e)
+
6
(e) (e) 6 (d) 4 (f)-6 O ~ x < 2, s(x) = -1 si 2 ~ x ~ 5
1 - Yk) =2(21 (21 -
3 Y 2 - Y 3 - Y 5 - Y 6 - Y 7) 7)
x =1, x =~ 13
(a) f(3)
10. 11. 11.
(a) (a), (d) (d), (e)
12. 12.
(a) (a), (b) (b), (e)
=1,f(4)
= -1,f[f(3)]
= O
(b)
= 14,p = 15
P
1.26 Ejercicios (pág. 102) 1. 2. 3. 4. 5. 21. 22.
9 18 16 O 1 (a) (a)
0,% 1!. 6
(b) (b) (b) (b) c/2 c/ 2
6.
2
11.
7.
O O 6 11
8. 9. 10. O
23. p(x) = 6x - 6x2 24. p(x) = 4x + 8x2 + 3x3 27. (l (l/A) f~~~~f(x) dx si A ~ O;
(b - a)f( )f(B)
.ll8
16.
12.
18
17.
13. 14. 15.
I
18.
3
_l
3
2
1.
20.
-211/11
2.
6.
-3-
3 t/t/ 2 -
-2 -2-
+
1
12
3
3.
!
4.
4
5.
(pág. (pág. 116, 116,
4V 2
3
4 Y 2 3t12 7 .3 - -2 -
...L 12
8.
!(lO -
4Y 2)
+6
1
2592 35
56/21
si A =O .
32
3 I I
-78
19.
Capí Capítu tulo lo 2
2 . 4 Ejercicios
62
2 7
Soluci Solucione oness a los ejerci ejercicio cioss
760 -l(5v/S 9. -l .:L 10. 4 11. "37 112. 3 13.
- 3)
9V 9 V3
-
17.
(a) 9Tr/2
2.8 2.8
Ejer Ejerci ciccios ios
2.
(a )
16.
a = -2
i
=
En los los eje ejerci rcicio cios del del 1 al 13, 13, n es es un ente entero ro cual cualqu quie iera ra..
+ nn + 2nTr
(b) 2 n T r
(e)
+ tan
y 6. tan (x + y) =----1 - tan x tan y
h + 2nTr
eot (x
(d) (d)
+ I)Tr
(2 n
eot x eot
=-----+ y) =-
eot x
y -
1
+ eot y
t B = h/3
7.
A =
8.
A = C eos
e =(A2
IX ,
B = C sen
+ B2)1/2.
IX
si A2
+ B2
si A = B =O, elíjase elíjase cualquier cualquier:: 10.
e
(pág. pág. 129 129)
tan x
9.
15.
(e) -6Tr
(b) Tr/2
Observación:
iT r iT r
5
1
27
1. (b)
14.
C =2V2,
elíjasee ~ O, elíjas
IX
de mod modo que
IX
= A/C, sen
IX
= Bl C.
IX.
=5Tr/4
IX
11. C =V 2 , IX = -Tr/4 12. ! r r + nn 13. l r r + 2 nr n r rr;; t r + 2nrr 17.
(a ( a)
1 -lV3
(h)
l(V3
18.
lrr2
19.
(b)
l -~V/2
(e)
(d)
~ 21.
2V2
l + rr 3/24
22.
lrr
20.
O
23.
V3
24.
V 3 + lx + sen
25 . 26. 1
x3)/3 )/ 3
(e )
2
(f)
O
+
x
+ rr/6 si O ~
2rr/3; 2V 2V3 x ~ 2r
- 2
- lx
+ Tr/6 - sen x
+ 5rr/6 si
2 T r /3 ~ x ~
eos x - eos (x2)
27. l 2.11 2.11 5. 6. 7. 8. 2.13 2.13 1.
Ejer Ejerci cici cios os
(pág. (pág. 136) 136)
4rr 3/3
9. 8 T r 10. Tr/8 11. Tr/2 12. 2
tt
2rr 4rr Ejer Ejerci cici cios os
r r c 2b3 /3 2. Tr/2
(g) (g) O
- V2)
+2
(x6 -
1
13. 2 14. 3rr/2 15. 9rr/2
(pág. (pág. 140) 140) 3.
2rr/3
5.
4.
33rr/5
6.
rr 2/2 rr 2/4
7. rr 2 8. rr/2
tt
761
Soluciones a los ejercicios 9. 10.
37T/1O 7T/2
17.
h (; (B1
18.
(a)
2.15
11.
27TV3
12.
t
87T/5
(b)
(e)
27T
4.
a =3, b = -2
(d)
107T/3
(a2
2. 3.
/2
4.
~~
5.
2/7T
5.
3750 lb-pié 6. 50001b·pié 7. 20 000 lb-pié
425joules
8.
+
+ b2)/3
ab
t = a/V 3; =
16.
(a)
17.
(a) 7L/12
18.
(a) 2L/3
19.
(a) llL/18
20.
(a) 3L/4
21.
(a) 21LI32
(b)
22.
p(x) = x2 para
O ~ x ~ L
23.
(a)
24.
T =27Tseg;
L3 /3 (e)
6/7T
L/V3
(b) 5I}/8
(e)
(b) L4/4
(e) w(x) = x3
x2
=
(b) w(x)
x
(b)
L/2
ro . i
+ I)l/n
e = altn
(a) w(x) Las tres
(e)
V15 L/6 V2 L/2
(b) 31L4/192
(b)
(b)
L5 /5
(e)\ V62L/12
VI5 L/5
(e)
19L5 /240
(e)
da
x
V190L/20
=3LI4
3V2/2
80V3
2.19 Ejercicios (pág. 153)
+ x3 /3 + 8y3/3 + 2x2 + 8x3 /3
1. 2.
x + x2 /2 2y + 2y2
3. 4.
.~ + 2x -2x + 2x2
-
x3
+ 5x3 + 136)/15 6. x1o/5 + 2x6 /3 - x5 /5 7. x + iX 3 / 2 - % 8. H x 3 - X 3 / 2) + !(X 5 / 2 10.
21 800 lb-pié
6. 2/7T 7. 2/7T 8. 1/7T 9. i
12. 14.
9.
167T/15
Ejercicios (pág. 147)
l.
5.
a =t
Ejercicios (pág. 144) 60 lb-pié 125 joules; 0,8 metros (a) 441 joules (b)
l1.c
e 3 2 - 4V3)7Tr 3
+ 4M + B2)
1. 2. 3.
2.17
13 . 14.
(3x5
senx
tx2
+ sen (x2 )
- 2x3 /3 _
X 5 / 4)
+ x2
-
x
15.
16V3/3
16. 4a5 /5
762
Soluciones
11. tx2 12. t(x3 13. i(x6
+ cos (x2 ) cos 3x + 1)
tx
-
14.
+ cos 3x 1f + ty - tsen 2y
15
2 sen -
x
.
16. !(x 17.
»
- cos (3x2
cos 2x +
_.1. 2
2
cos x
-
x3
-
..\•
+ 1 T ) + sen x + ¡sen ±V2
18.
O, (e) P(x)
20.
(b) g(2) =2A,g(5)
a los ejercicios
2x
=t(x - [ X ] )2
- t(x
=5A
-
[x])
(e)
(d)
/~
A =O
Capítulo
3.6 1.
(pág. 169)
Ejercicios
!
5.
2t
2. -1
6. -1
3. 4
7. 1
4. 22. 23.
24.
-
1 cuando x-O.
O
13.
1
10. 11.
O 1
14.
-1
Se define f(O)
=1 para la continuidad
en O.
- O. Se define f(O)
=O para la continuidad
-O.Se definef(O)
=O para la continuidad
en O. en O.
No
30. f(x) - O cuando,x 32. f(x) -O cuandox 3.8
9.
1 8. O 12. -1 a =(sen e - bv]«: si e ,¿ O; si e =O no hay solución a menos que b =O, en cuyo caso servirá cualquier a. a = (2 cos e - b)/c2 si e r" O; si e = O no hay solución a menos que b = 2, en cuyo caso servirá cualquier a. '" + nrr, siendo n un La tangente es continua para todo valor de x excepto en x =~ entero cualquiera; la cotangente es continua para todo x excepto en x = n-tt , siendo n un entero cualquiera.
25. f(x) 28. No 29.
3
Ejercicios
(pág. 174)
1.
x2
2.
(x - 1 ) 2 , todo x
-
1, todo x
6.
-x,
7.
sen
x ¿O
V~, x
¿O
3. Ixl, todo x
8. Vsen x, 2ktr ~ x ~ (2k
4.
O,definida sólo en x =O
9.
5.
x, x ¿O
1 1.
-3
12.
V3
2 1.
10 . 13.
14. 1 x2 si x ¿O; O si x < O
J x +\/:;,
x
>
J
+
J x
x
+
V·~
+
1 )1T, k entero
O
+ v/~, x >
15.
1
17.
O
19.
1
16.
2
18.
2
20 .
2
1
O
Soluciones a los ejercicios 22.
1 si 1 ::;;
Ixl ::;;Y 3;
2
23.
x si x ~ O; O s i x
3.15
763
O en los demas valores de x.
Ejercicios (pág. 183)
y 1. g(y) =
2. g(y)
1; todo y
=Hy - 5);
todo y 3. g(y) = 1 - y; todo y y1/ 3; todo y 4. g(y) = _ 5. g(y) =y si y < 1; yy si 1 ::;;Y ::;; 16; (y/8)2 si y
>
16
3.20 Ejercicios (pág. 190) 3.
0,099 669 con error menor
que una millonésima.
Capítulo 4
4.6
Ejercicios (pág. 204)
1. reO) =1,rm =0,f'(1) = -l,r( -10) = -19 (b) O, -1 2. (a) 1, -2 (e) 3,-4
3. 4. 5. 6. 7. 8.
9.
4x + eos x 4x3 sen x + x4 eos x -1/(x + 1 )2 -2x/(x2 + .1)2 + 5x4 eos x - x5sen x 3
-1/(x
12. 13. 14. 16.
1)2
-
+ eos X)2 2x5 + 9x4 + 8x3 + 3x2 + 2x (x4 + x2 + 1)2 - 2(senx + eos x)
sen x/(2
10.
11.
+3
2x
1
senx
2
(2 - eos
x)
+ x eos 1 + x2
x
v o /3 2
(b)
- 3
seg
2x2 senx (1
+ X 2)2
(e)
-v o
píé/seg
(d)
16 pié/seg';
160 pié/seg
(f) fU ) =vot - IO t2 es un ejemplo 3x2 , donde x es la longitud de una arista 2 !X-1 /
-1
22.
17. 2Y~(1 + y~)2
18. 19.
20. 21.
,; 16T pié/seg
fX 1 / 2
-i-x-
5/ 2
tx-
1 / 2
-tx-
3 / 2
+
+ lxtx-4 / 3 _ +r 5 / 4
iX-2 / 2 -
1- x _
2y x(1 + X)2 2
+y~
23.
_ 2(1 +YX)2
26.
sec. x(1
3 / 4
+ 2 tan-
x)
764
Soluciones
a los ejercicios
x sec'' x + tan x 28. -(x-2 + 4x-3 + 9r 4) 27.
+ x2)
2(1
29.
31.
x eos x - sen x x2
1
32.
(1 _ X2)2 2(1 - 2x)
33.
30. (1 _ x + X2)2
(x ad (ex
34.
(2ax
+ b)(senx +
35.
=
d
= 1;
36.
a
37.
a=e=e=O;
(n + l)xn (x _ 1 )2 (2n 2
-
+ 2n
(b)
4.9 1.
4.
7. 8. 9.
x
+ 4x
(2x2
+
3)2
x - eos x)
1
- 1)x"+2 + (n (x _ 1)3
+
1 )2 X" -t l
-
x2 -
X
°
1, 3
-1,+
(b)
-i,
(e) -2,t (2n + 1)7T, donde n es un entero cualquiera a = -2, b =4
= 1, b = 0, e = -1 6. (a) Xl + x2 + a (b)
5.
+ e)(sen
+ d)2 (2x2 + 3)sen
Ejercicios (pág. 211)
2. (a) 3.
bx
be
d=-1
+
-
(a) n 2 x" ;3
°
= e =
b=f=2;
nxn+ l 38.
b
+ (ax2 + 1 + sen 2x
eos x)
+ eos x + sen X)2
a
~(XI
+ X2)
Tangente en(3, -3); corta la curva en (O, O) , b = -2 ,a = e = i m = -2 2 a =2e, b = _e
t,
3 2e ' b
10.
a
=
1 1.
a
= eos e,
= b
1 2e3
= sen e - e eos e
1
12.
+ 3Y ~ 2(x + y~)3' 1
3 1 + 4Y ~
+ 5x + y:i)4
Y~(l
+ y~)2'
13.
a = -4,
b =5,
14.
(a)
15 4
15.
(a) (d)
cierta (b) cierta (e) Falsa si l'(a) "'"O. El límite es 2('(a) Falsa si l'(a) "'"O. El límite es t['(a)
(b)
2
4 y~(x
, d = -2 e = -1 (e)
t
eos x
Soluciones a los ejercicios 16.
(a) D*({ + g) D*(f'
(b) (e) f(x)
= g2 D*f + f2
g)
D*({/g) D*.f(x)
=(1 + g/f)D*f
+ (1 +(/g)D*g cuando .f(x)
D*g;
= (g2
D*.f -,[2 D*g)/g4 cuando g(x) =2{(x) D.f(x)
=e para
r! O
todo x
4.12 Ejercicios (pág. 219) 1.
+ 2 sen x)
- 2 cos x(l
2. x/YI + x2 3. (2x3 - 4x) sen x2 - 2x eos x2 4. -sen 2x eos (eos 2x) 5. nsenn-1 x eos (n + I)x 6.
+ 2 sen
+
x3
6x3 eos x3
eos x eos (sen x) eos [sen (sen x)] 2 sen x( cos x sen x2 - x sen x cos x2)
7. 8.
2/(sen2 x) 16 eos 2x
9.
lO .•
sen" x2
sen32x 1 + 2x2 / __
yl+x2
11. 4(4 -
X 2)-3/2
12.
~(I 1 _
13.
-(1
14.
I+ 2Y; • r: 8v xg(xh
15.
6 + 3x + 8x2 + 4x3 + 2x4 + 3x5 (2 + x2)l/2(3 + X3)2/3
x6
16.
f'(x)
17.
x
O I 2 3
3 + X )1/3 1 _ x3
+ X 2)-3/2
=
(x
+ 4y;g(x) /----' x + g(x)
+ 1)-2;
donde g(x)
=
g'(x)
h(x)
h'(x)
O 1 2 3
-10 5 4 12
(2x
k(x)
O 1 2 3
J - + v'
=
x
+ 1)-2
k'(x)
5 12 -10 4
x
765 y g(x) no es O;
Soluciones a los ejercicios
766 18.
x
g'(x)
o
o
o
1
3 30
10 36
2
g"(x)
20.
(a) 2x('(x2) (b) [f'lsen2 x) - f'(eos2 x)] sen 2x (a) 75 em3/seg (b) 300 em3/seg
21.
400 Km/h
22. 23.
(a) 20V5piés/seg 7,2 rni/h
24.
(a)
25. 26.
e
19.
y
=1
dV/dh
(b)
(b)
(e) f'[f(x)]f'(x) (d) f'(x)f' [f(x)]f'{f[f(x)]] (e) 3x2 em3/seg
50V2 piés/seg
5/(47 T) piés/min
+
3 6 7 T =7 57 T
piés'/piés; drjdt
v«
1/(l57T)píés/seg
66 27. - em2/seg 7
28.
n = 33
29.
(a)
x
l, y
=
t
=
(b)
lV3
4.15 Ejercicios (pág. 227) 3.
6.
l,
=
e =l, e-l
(b)
o
e
+ ~h o -~ 3 ; + V x + xh + th a 10 sumo k + r ceros en [a, b] x
=
x
7.
e
V2
=
(b) (a)
(b) ftiene
2
si
2
x
> o
4.19 Ejercicios (pág. 233) 1. a)
~
b) decrece si
x <~;
crece si
2. a) ±!V3 b) f crece si [x l> h/3; c) f' crece si x > O; decrece si x < O.
x> !
e) f' crece para todo
decrece si
Ixl < iV 3
±1 b) f crece si Ixl > 1; decrece si Ixl < 1 e) decrece si x < O 4. a) 1,3 b) f crece si x < 1 o si x > 3; decrece si 1 < x 3.
x.
a)
r crece si <3
x
> O;
e) t' crece
si x > 2; decrece si x < 2 5. (a) 1 (b) f crece si x > 1; decrece si x < 1 (e) crece para todo x 6. a) ninguno b) f crece si x < O; decrece si x > O e) f' crece si x < O, o si x > O
r
767
Soluciones a los ejercicios 21/3 b) crece si x
a)
7.
e)
r
8. a)
2
f crece
< O,
f crece
b)
si x < O, o si x o si x>O
<
si x
x> 3 e)
r crece
a)
±1
9.
10.
a)
f crece
b)
o si x
si x
f crece
si x
b)
x >3
(a) in1T
1;
f
13. 14.
2; 1
Ix l >
crece si
3;
decrece
si
si 2
3
e)
Ix l < 3
r crece
un entero
4.21 Ejercicios
si
-V 3
< x < O,
3,
cualquiera.
si (2n
-
1)1T
< x < 2n1T
i)1T < x < (2 n + ~)1T crece para todo x
r
(pág. 237)
2. tLm anche, iLml1argo 3.
ancho
7.
V2L
iV2A, largo
V2A
-
= R!V2 12. r = iR, h = iH 13. r = 2R!3, h = H!3 10.
r =
h
iV2
14. h =tR, R r = 15. Un rectángulo cuya base es doble de la altura 16. Trapecio isósceles, base inferior el diámetro, base superior
17. (a) 6i,6i.~
(b)
8
+ 2V7,
2
+ 2V7,
5 - -y/7
18.
V5
19.
(a)
35 Km/h;
(b)
20YSKm/h;
669 ptas.
(e) (d)
20V?Km/h; ';5 Km/h;
792 ptas. 902 ptas.
519 ptas.
20. 1T/4
21.
pliegue =11'43.
22.
(a)
max
(b) tL
V3 cm; ángulo =arctan
= 3V3
r; min
=
o si
3,
< x < (n + i)1T; decrece si (n - t)1T < x < n1 T < (n + t)1T; decrece si (n + t)1T < x < (n + !)1T
(b) f crece para todo x crece si (2n + i)1T < x < (2 n + ~-)1T; decrece si ( 2n O (b) f crece si x > O; dec;ece si x < O (e)
r
decrece si O
+ i)1T
(2n
21/3
n1T
r crece si (n - t)1T < x (a) 2n1T (b) f crece para todo x (e) r crece si 2n1T < x < (2 n + 1)1T; decrece (a) (e) (a)
decrece
11, 12 Y 13, n representa
(e) 12.
decrece si
decrece si O
< -V3, o s i O < x < V 3 < -3 o si -3 < x < O;
En los ejercicios (b)
decrece si
r crece si ¡xl>
e)
Observación:
11.
¡xl <
si
> 3;
x
o si
> V3; decrece
O
o si
< 1,
si x
1, o si 1
> 21/3;
4r
tV 2
igual al radio
Soluciones a los ejercicios
768 23.
El rectángulo
24. 26.
V = 48';' para O :S::h A = 2(27 4 )7/2
27. m(t) =O *4.23 1.
+ 8), y por altura P(4 + 7T)/(67T + V = 417(4 + h)3/(9h) para h :? : 2
tiene por base 4P/(37T
si
<
t;
(2:?:
2;
m«() =(2 -
t
si
16)
(2:S::}
Ejercicios (pág. 245)
of
of
0'1
0'1
= 4x 3 - 8 xy2; o~ ' = 4y3 - 8x 2 y; ox 2 = 12 x 2 - 8y2; oy2 02f 0'1
ox
--
=--
oxoy
oyox
=12 y2 -
8x 2•
,
= -16xy
fx = sen (x + y) + x cos (x + y); fy = x cos (x + y); .fyy = -x sen (x + y); fxx = 2 cos (x + y) - x sen (x + y); fxy = fyx = cos (x + y) - x sen (x + y) 3. DI! = Y + y-l; Dd = x - Xy-2; Dl.1f =O; D2 .d = 2xy-3; Dl.d = D2.1.f = 1- y-2 4. fx = x(x 2 + y2)-1/2; fy = y(x 2 + y2)-1/2; .fxx = y2(X 2 + y2)-3/2; + y2)-3/2 fyy =X 2 (X 2 + y2)-3/2; fxy= fu x = -xy(x2 2.
5.
fyy =6x 2 y COS (x 2 y3) - 9X 4 y 4 sen(x 2 y 3); .fXY = fyx = 6xy2 COS (x 2 y3) - 6X 3 y 5 sen (X 2 y 3)
6.
fxy
= fyx
(Pf
7. oxoy
= 6 cos
(2x - 3y) cos [cos (2x - 3y)]
0'1 =oyox
+ y)(x
= -2(x
+ 6sen2
(2x -
0'1 .
0'1
- y)-3;
ox 2 =4y(x
- y)-3;
8. fxx =-3xy2(X 2 + y2)-5/2; fuu = -x(x 2 f xv = fyx =y(2x 2 - y2)(X 2 + y2)-5/2
- 2 y 2)(X2
+ y2)-5/2;
Capítulo 5 5.5
Ejercicios (pág. 254)
2. 3.
i(b4 - a4) !(b S - aS) t(b 5 - a 5 )
4
~ (b2
5.
(b - a)
~.
V2(b3/2 - a3 / 2) t(b 5 / 2 - a S /2 ) - 2(b 3 /2 - a 3 /2 ) ~(b 4/3 - a4/3 - b 2 /3 + a2/3)
1.
.
7. 8.
9. 10.
!(b6 9(b7 / 3
a2 )
-
2
+ 6(a 2 + !(b 4
-
(~
+ f(b 3/2
b
-~)
a
- a 3 /2 )
2(b - a)
+ 2b ~(~ -~) 2 a2 + ~(b2 +
3(cos b - cos a) a7 / 3) - 5(senb -sen a)
a6 )
-
-
- b2) - a 4 ) - (b 2 - a2 ) -
-
14. f(!17) =~17; !'(!17) =2 - 17 15 . .f(t) = -sen t ; e = 17/3 16. f(O = sen t - 1; e = O 17. f(x) = 2X 15; e = -t 1 8. p(x ) =3 + ~x + !x 2
- a 2) 7(b1 / 2 _ a 1 / 2 )
3y) sen [cos (2x -
oy2 =4x(x
- y)-3
3y)]
769
Soluciones a los ejercicios 19. r(1) =2; J '" (1) =5 20. (a) (1 + X 2)-3 (b) 2x(l
2X 13 21.
1
22.
(a)
+ x4)-3
3x20
+ x8
+ X12
I
-
16
(b)
I +~V2
(e)
(36)1/3
(d)
(d)
-7T 2
A
23. fea) =a(3 - eos a)l/t 24.
(a)
-7T
(b)
25. 26.
(a) (a)
28.
(d) Un ejemplo es f(x) = 1 + x + x2 para'x ¿O,f(x) (a) implica IX y ó; (b) implica IX ; (e) implica IX (e) implica IX, ,5 , Y E.
5.8
Ejercicios (pág. 264)
7T- k ninguna
I - 7T
(e)
O
(e)
k
(e)·~ + (7T- D ( t - 1) (d) x + x2 (e) un ejemplo es f(x) =
(b) (b)
37T/2 ~(t - 1) + ( 1 T ninguna
DCt -
= l/O - x) para x ~ O y
í
y; (d) implica
IX
1. 1(2x + 1)3/2 + C (15)(1 + 3X)5/2 -
2.
4.
ji
5.
-
6.
1cos"
7.
~(z - 1)7/3 + i(z -
8. -i 9. 10. 11.
4(x2 + 2x + 2)2
eos xn
e
x - eos x +
1)4/3 +
e
V3 1
3 + eos x
2(eos 2 - eos 3)
+C
ese" x + C
g -
e 12.
1
+c
2
---= + e veosx
5.10
Ejercicios (pág. 269)
1.
sen x - x eos x + C
13. ---+C n
14. -}VI -x6 + e 15. W + t)9/4 - f(1 + t)5/4 16. x(x2 + 1)-1/2 + e 17. }o(8x3 + 27)5/3 + e 18.
~(senx - eos X)2/3
19.
2VI
20.
-t(x
2. 2x sen x + 2 eos x - x2 eos x + C 3. x3senx + 3x2eosx:6xsenx - 6cosx + e 4. -x3eosx + 3x2senx + 6xeosx - 6senx + C 5. 6.
isen2x + e sen 2x - tx eos 2x +
t
e
15. (b) (51T/32)a
6
17.
!(3V31
+ V3
18. tan x -x; 19. -cotx -x; 20. (a) n =4
-
11.35)
itan3x
-tanx 3
-1eot x
(b) 2
+x +cotx +x
+
1)2/2
VI+"?
- 1)2/5 +
+ +
e
e e
+
e
y
,5 ;
Soluciones a los ejercicios
770
*5.11
Ejercicios de repaso (pág. 272)
1.
gUd(O) =O
2.
6x5
6.
3
+
15x4
-
O S k S
si
lOx3
+
n -
=n!
1; g
1
7. !ll 9. Y =16x2/9
10. (b) ['(O)
=O
11. 12.
-~ cos 5x 1(1 + X 2)3/2
13.
-310/20
14.
37/8281
+
3 2 5
sen5x - tx cos 5x
15. lo(1 + X 5)6 16. 1/265650 17. cos! - cos 1 18. [12(x - 1)1/2 - 24] sen (x -
1)1/4 - 4[(x -
1)3/4 - 6(x - 1)1/4] cos (x - 1)1/4
19. lsen2 x2
+
20. -i(1
3cos'' X)3/2
b =J.¡
22.
a =9,
23.
1\' H, tU, Uf
24. lax13 + tx12
26. 3
+ l\xll
2 7 .~ (~+ _1__ 2 34. 35.
2
+
7T
2
A)
(a) p(x) = -x2 (a) P1(x) =x Pix)
+x - 1 t; P2(x)
=x4 -
2x3
+ x2
=x2 -
l ·o;
••
x + t; P3(x) =x3 - tx2 P5(x) =x5 - jx4 + i X3 -
+ tx; tx
Capítulo 6 (j.9
1. 2.
Ejercicios (pág. 289) (a)
(b)
1
(a)
(b)
O
3.
crece si O
4.
(2x)/(1
5.
x/O
+ b)/(l + ab)
(a e
-
1
e
+
1
(e2
(e)
< x < e, decrece
+ x2)
+ x2)
(d)
4 si x
>
e;
.:... 1)2
4e2
convexa 10.
n(x
> e3 / 2 , cóncava + VI + x2)n
12.
VI + x2 1/[2(1 + V x + 1)] log (x + V x2 + 1)
13.
1/(a - bx2)
14.
2 sen (log x)
11.
2
6. x/(x - 4) 7. 1/(x log x) 8. (2/x) + 1/(x log x) 9. x/(x4 -1)
si x
si O
< x < e3/2
Soluciones a los ejercicios 15.
-l/(x log2 x)
16. 18.
12 + 3xl + e 2 x log 1 x l - 2x log Ixl + 2x ~X2 log ix2 + e
1 9.
~x2log2lxl
20. 21.
3 log [sen.e]
17.
ilog
Ix l -
- ix2log
+ ix 2 + e
Ixl
xn+l
+ 1 log
n
+e
+e
xn+l 22.
771
laxl - (n
+
1)2
+e
si
n;6
ilog2 laxl + e
-1;
si
n = -1
3
x
23.
3 " (log 1 x l - ilog I x l + i) + e
24. 25.
log [log -2
26.
i( -2 + log Ix lh lt
2
xl + e +
log
Ix l + e
4
x
27..
3 4. 35.
3 6.
6.17
" 4 lo g 3 lx[
- 1 36X4log21 x l
+
3 3 2x 4lo g I xl -
Ejercicios (pág. 304)
3e 3x - 1 x2 2. 8x é x2 3. _2xeeY:X
5.
+e
4lo gx 3 + 3logx. a.log a
1.
4.
X4
1 ~ 8
2 X log 2 7. 21+ x2 x log 2 8. (cos x)e"· x 6.
9. -(sen 2X)e"OS2 X 10. 1
2Y!; el/X
11. eXee x
7
12.
13. e X(x - 1) + e + 1) + e 14. -e-X(x 15. e X (x 2 - 2x + 2) + e 16. -ie- 2X (x 2 + x + Ü + 17. 2(Y!;
- l)e YX
+e
+
log x
28. (log x)X ( log log x
eX
18. -i(x 2 + 1)e - + 19. b =ea, a arbitrario 21. xX (l + log x)
e
22.
+ axaa"(log
+ (log X)2J +
"
X2
24. aaxaa-l + axa-1a xa log a 25. 1/[x log x log (log x)] 26. eX(l + e2 X ) -1/2 27. xxxxx[~
eXee ee
x )
IO~
23.
a)2
1
+
4(e X
(l
e
+ 2x + 2x 2 )e X2
+ e- X )-2
77 2
Soluciones a los ejercicios
29.
2x-l+1og
30.
(lag X)X-l x1+log x [x - 2(lag X)2
31.
(senx)l+C08X [eat 2 x -lag ( senx)]
32.
x-2 +l/ X(1 54x
lag x
x
+x
lag x lag (lag x)] - (cos x)1+'''x [tan" x -
lag
(ca s x)]
x
si
- lag x)
+ 4x3 + 2x4 _ X)2/3(3 + X)5/3
36x2
-
33. 3(1 _ x)2(3
6.19 Ejercicios (pág. 308) 16. 17. 18. 19. 20.
5
3 3
"4
senh x
-ª-Z .
=
5 1 2'
12 25
Ejercicios (pág. 314) 1
13. 14
---
V4 • /
x2
+ 2x
vi
15.
16.
17.
18.
---Ixl Vx2
x2
-
leas
V~ 2(1 1 1
si
+ x)
19. serr' x
Ix -
11 I
20.
+x + x6 2x x2)
si
+ x2 ) x + senx
2(1
cos ----Vsen2x
22.
----
23.
1/(1
24.
------
x ~ O
27.
[x l VI -x
Vi -
x arcsen ~
30.
arcsen
x
+e +
V2
I
+e
si
2
+ x2)
k1T
si
x
si
O
x (areeas 4
--------2x V x 3x
< x < (k + t)1 T
< I x l <
I
x ~ 1
4x
(1 - X2)2
29.
+ i)1T
x ~ (k
I
21.
25.
+
+ eas 4
x~O
4
Ixl (1
< V 2
x ~ (k + V1T, k entero
si
xl
si
si Ix l >
1
-
cos x
sen 2x
s i I xl < 2
1
.
= }~
t i
6.22 12.
eosh x
X 2)3
s i Ix l < 1
I
si
1 arceas (1/V/~)
+
(1
+ 2x2) arcsen (1 -
X 2)5/2
x
x
>
1
Soluciones a los ejercicios
31.
x 1 - aretan -
32.
)ab arctanj
a
a
2
+e
a
----
laJV -ab
J ~ x ) log
33.
2x-1 2 V7 aretan V7
34.
H(I
35.
x3 -
3
+ x)
37.
(1
38.
(aretan \/:;)2
39.
Harcsen x
+ x\/
+ 1)e'"'('(:lll
47.
• /__
2v 1 + x2
1 lb
ab
x
vlb!
> o; +e
x
x
x] .--
v' 1
9
X)2
Ix -
2.
~ lag
+ ~lag (1 + x2) + e
+ e
42.
x ) 1( - aretan x - -2 2 1 +x
43.
aretan eX
+e
44.
~ log (1
+C
45.
x /--a arcsen - - \ a2
46.
2(b - ti) I 1 arcsen
- \/:;
1 - x2 )
+e
J : = ; +
3.
-
+ lag [x + 5 1 + e I (>; + 2)4 1)(x + W + e
3(x 1_ 1)
+ ~lag
I: : ~ I
+
C
x + lag I x ; x _+12) I + e 3
4.~X2
_
3
5. 6. 7.
8.
3
Ix + 11 - (2x + 1)2 + 2x + 1 + e 21ag Ix - 11 + lag (x + x + 1) + e lag
2
x + k aretan x - .~aretan (xj2) 21ag ¡ x l - lag I x + 11 + e
+C
+c
+e
+ e-2x) a
lV(x - a)(b
21
I (x;
< o
+ e
- x2
6.25 Ejercicios (pág. 326) lag
ab
+e
x aretan x
-
- al (b - a)arcsen
1.
si
+e
+e
40. --= = = = -2\/1 + x2 41.
vial -
aretan \/:;
1 )e'If('t:lll
(x -
si
_
+ x2) aretan x 2 + x2
+ x2)(aretan
(x
+e
IV ~ + x v T b T I
areeos x - --
36.~(I
773
b-a
- x) [2x - (a
areeot e" -
e -
x
x2
Jx - a -b-a
+
+
C
+e
+ b)] + e
C
774
Soluciones a los ejercicios I
9.
lag
Ix l - t lag
10.
2 9x 4(x
1 + 50x + 68 2)(x W glag + + +
11.
1+ lag
I
1)
+ 2(x2 +
I (x
t lag I x 2
13 .
x + ~ lag
14.
lag Ix - 21 -
1 1 - lag
4 x _ 2
+e
1
-x
17.
ilag
18
.l lag •
I x + 1 1 - ~
I : ~ ~ 1 (x -
lag
1)2
+
I
lag
I x l + -2--1 + e
20.
l 4x
I + 4x2 + 8Ilag
21.
lag.
/-,-vi + x2
22.
i lag
23.
I x2 + xV2 . / • r lag 4v 2 x2 - xv 2
25. 26.
27.
28. 29.
+e
e
19.
24.
e
Ixl - t lag Ix + 2 1 + e
2(X: _ 1)
x2+x+1
3
+ I)(x + 2)16/ (x + 3)17 +e
*
15 .2 -- - arctan (x - 2 )+ 4 lag
+e
Ix l + e Ix - 2 1 - lag Ix + 3 1 + e
12 .
16.
1)
I x + II + e
x+
-
+
2
(x
x
+
Ix l
I(x -
I)/(x
X
I x-x-- 2 1
+e
+ arctan
x
+ 1 )1
-
+e
t · arctan
x
+e
xV2 I +I +. r arctan -- 2 I - x + I 2v 2 (x2 + 2x + 2)-1 + arctan (x + 1) + e -x/(x5 + x + 1) + e 1 1 + 3 tan (x/2) V 5 arctan V5 +e • / __2 arctan vI - a2
I -------:--
Va2
x -
-
(J I --
,1
I + cos lag --------a
1
tV 2 arctan (V2
+
+e
X) + e
a tan 2 a
+ V a2 l + a cos x
x
tan x)
+e
I sen x
I + e
775
Soluciones a los ejercicios
Ü
30. :b aretan 31 .
-
x )
tan
+ C
eos x +C x + b eos x)
-.-----
a(a.sen
32. ( 7 T /4 ) - llog 2 33.
lxV3
34.
-V3
35.
- x2 + ~ arcsen 2 -x
./--
+C .r
v 3 - x2
-
v 3 log
(V 3
36. V x2 + x + llog (2V 37. lxv~ + ·~Iog(x 38. V x2 + x + 1 - llog 39. 40.
(;3 )
+ C
+v/l)
2
_x
+C
x
x2 + x + 2x + 1) + C
vx
+
+ 5) + C (2x + 1 + 2v'-x-2 -+-x-+-I) 2
+ C
log (2x + 1 + 2V x2 + 1) + C -
V2 -x
x
-x2
+
V2
4 """
log
(V2
-x
x
_x
2
V2)
- 4 """
+ 1) + C
(2x
- arcsen \-3-
6.26 Ejercicios de repaso (pág. 328) 1. f(x)
+ fO/x)
2.
f(x)
=log
4.
1
5.
(a)
6.
(a)
=lO og X)2
V3/(2 + cos x)
7
(b)
1 ~
x ~ 1
(e)
1
V =
F(ax)
4
+ 2) + 1)(x +
7T(4x·
-----
1 x(x
- F(a);
2)
dx
F(x) - ~
+ e;
xe'!" - e - FG)
7. (a) No existe tal función (b) _2 x lag 2 (e) lx ± 1 (e) 2 9. (a) g(3x) = 3e2X g(x) (b) g(nx) = ne(n-l)Xg(x)
(d)
siendo g una función periódica con período a. 12. (a) -Ae-a (b) lA (e) A + 1 - le (d) e lag 2 - A 13. (b) Co + nC 1 + n(n - l)c2 + n(n - 1)(n - 2)c3
10. f(x)
=bxiag(x),
m
1n
¿ > k X k , entonces f(n)(o) = ¿ k ! ( ; ) C k
(e) Sip(x)
=
k~O
16.
(a) ix2(x (b)
(e)
k~O
+ Ixl)
x - ! x 3 s i Ix l ~ 1; 1 - e-X
(d) x
si
si x ~ O; eX - 1
Ix l ~
1; lx3 + ~~ 3
Ix l + ~~ s i Ix l > 1 6x
x-lx
3
x
si x < O si
Ix l >
1
C = 2
776
Soluciones a los ejercicios
+
17. f(x) 18. (a)
W -
19. 20.
lag 3 - 2 lag 2 (b) cierta (b) falsa
=V(2x
(a) (a)
25. (d) 27.
28.
I)/T r
e-2t )
(b) !Tr(1
dt =n!e- x(
(xe- ttn
Jo
=2Vl
-
(b) f(t) (e) fU )
=t - !t2 =t - it
(d) f(t)
=t
3
en
si
= -2
I
~Tr[l - e-2t (2t
No existe ningún x real (e) cierta (d) falsa si x
+
1)]
(d)
Tr
i:~)
eX si
t
+!
si
>
O
O ~ t ~ 1
+t
si [r] ~ 1 t ~ O; f(t) =el -
..!!;(k - 1)! lo k 2 ¿
(e)
b
g
k=1
29. 30.
(e)
k=O
(a) f(t)
(b)
e-4t )
-
1
si
t
>O
= log 2
g(y) = -eY ; todoy (b) constante =i
Capítulo 7
7.8 Ejercicios (pág. 348) 55V2 672
8.
(b)
9.
0.9461
7.11 1. 2.
+ R ,
+ R,
donde
IR I
donde
< 2 . 10-4
x
!x
2 log2 2 1 + log 2 + eos 1 + (eos 1 - sen 1)(x - 1 ) - l(2sen
4.
a
5.
-i
6. 7.
a/b
= O,
~ 3 -i
x 3
x2 -
-
b
6
x 4
5 9 x 5
2
120
+- - -
= 1, e =
1
+ eos I)(x
-
1)2 + i(sen 1 - 3 eos 1)(x -
6
x
+-
8
-!
10. 11.
1 1
12.
log a/log b I
8. 13. "3 I 14. ! 9. "2 30. a = 2; límite =l 33. feO ) =O; /,(0) = O; reO)
1.
< 2 . 10-4
Ejercicios (pág. 356)
3. x -
7.13
IR I ~
V2 7680
15. 16. 17.
l
18. 19.
I
20. 21.
6
-1 -1
22. 23. 24.
"6
=4; límite
-2 i loga J. 6
l/e e3
=e2
Ejercicios (pág. 362)
\4
2. -2
3. 4.
t -i
5.
6.
(a/W
i
25. 26. 27. 28. 29.
-e/2
e- I / 2 el/6 I
2 1 2
1)3
Soluciones 7.
I/V~
9. 10.
8. -2
-}
13.
6 cuando x --. O; 4/7T cuando x --. 7T/2
14. 15. 16.
; b = ~a = -3 a = 4; b = 1 (a) T(x)
17.
tE/L
=
lsen x
tan }x -
O
8.
2.
1
9. 10.
-}
22.
+00 1
17. 18.
I
25.
19.
e
26.
log 2
20. 21.
I
27.
2
l/e
28.
11.
5.
r4
1
12.
O O
6.
1 O
13.
t
14.
O
e =1; límite =!V 3 (e) (b) 11,55 años
15.
Ejercicios (pág. 381)
y
y y y
16.
y
17.
y
18.
=4
7. Y
eos x - 2 cos- x
1 2
1
e =l; límite =t
+ C)/senx =(V 2 e 2X + e2 x = 1/(x 2
=(x3 = 1/(x2
(a) y
=
x
-
(a)
+
_
I ( +;:1 )
= :2
X
(C - e-
I
8.
y
=sen x
9.
y
=(;
10.
Y
=xT(x)
.
-)
~ r
+ C/senx
= ( x + x ~
2
+
c)
+ Cx = I + log x
11. {(x) 12. Sólo la función
=(x
dada
e X )2
2 - e-X)
X)2
+ x - x2logx) ( e X + e 2- X )1/2 _2x
ce3 x
20.
e2/u
11,67 años
4. Y = x2 - 2 + 2e- x2/2 5. x =¿'e 2t + je- t 14.
e'
1
1. y=e3 X_e2 X
6.
23. 24.
2
Capítulo 8
3.
(e)
O I -1
I/Vb
8.5
- "~sen x
b2 )/(a2b2)
-
15. 16.
e/2
4.
32.
12.
l(a2
Ejercicios (pág. 371)
1.
30.
n(n
2k
7.17
7. 29.
= ~x
(b) S(x)
+ 1)/2
1I.
At eos kt
18.
3.
77 7
a los ejerctctos
e 3x y = .e
+
(b)
y =-
2 b + 2 1 siendo C = -b - 1
( e X + e2 - X ) " 1/2
(e) y2
2x
e3x
(b)
Y =3x e
+ -
2C C
senh
=-x-
siendo
x
b - 1 C = b + 2
778
Soluciones
a los ejercicios
8.7. Ejercicios (pág. 390) 1.
100(1 - 2-1/16)
2.
Cuatro veces la cantidad
3. (a)
T =(lag n)/k
4.
256(1 - e-I / H )
6.
v
7.
(e)
--+
=4,2 por ciento
inicial
(b)
si
=(b -
w(r)
O ::;;{ ::;; 10;
{)/(b - a) 16 + 166e 20 -21 si
t
>
10
vi mg/k 1
54,5 min
(d)
+ (600
T =IOk [1
+ (l400k
- r)k
- l)e-kl]
8. 55° 9.
8,85 Kg
10. 13.
24,81 Kg Para la ecuación
15 .
x =
16. 17.
(a) (a)
18.
dxldt
M [l
(8.20), x
para la ecuación
(8.22),
!X
=
Mk
- M J / /( II ) d l l) J - I
+exp(
200 Millones 0,026 por a ño =kx(1
= xoe',(I-lul;
(b)
217 Millones (b) 0,011 por año; 260 Millones x =xoek(I-,¡I'W; curva (d)
- ar);
450 Millones
8.14 Ejercicios (pág. 401) l. 2.
3. 4.
+ c2e-2X y =cl eos 2x + C2 y =Cl + c 2e 4X V =C1 + c2 e-
Y
6. Y 7. y
=cle2X
sen 2x
ü
•
¡ -
5. 11.
Y =eJ"(cl eas \' 2x
12.
y =-eas
13.
Y
=1
y
+ c sen \
9.
y
10.
y
+ c2e-:l
b
=:2 é(o'--I) + :2 e,d/-II,
donde
a
= 2
¡ ¡ -
=eJ'(c1 eos =,.,-J'(c1 =e'(c1
2
+ \
G2 - ;I c -
nnl];
5, b
- \
k = n2 7T 2 ; fi.(x) (b) Na (e)
2 0.
(a) (b )
(e) (d) (e)
8.17 l.
Y 2: y
= Csen
(n
y" - y =O y" - 41' + 4y =O f + y' + ~y =O y" + 4y =O y" - y =O
Ejercicios (pág. 408) =cleJ ' =clex
+ c2e- x + c2 -
=
1,2,3, si k - ; I c - O la condición es n-x
=
-
x
2x - x2
-
1x3
... ) al
-
+ C 2 sen.v) 2x + c2sen 2x)
=eJ:(c 1 eos x
14. V =2e-2J"(eos x + sen x) 15. ~I(X) = ~e2J"-"sen5x; v(x) = ~e-2x-"sen3x 16. II(X) =6(e4X - e-X)/5; ¡{x) =e" _ e-o x 17. 19.
J '
+ c2x) + c2 x)
15)
(5x -
a
2x)
2
- ~e-3J"/2
y
8.
=c1e"
5
Soluciones a los ejercicios 3. 4. 5.
+ c 2 + lx 3 =eJ'(c¡ cos ,iÍx + c 2 sen vix) - 287 + ~x + *x 2 + - ir x a =c¡e x + c 2 e4X + }2 + tx + ¡'x 2 =e¡e 2X + e 2e- 3J ' - /2 + tx - x 2 - tx 3 =(c¡ + tX)e2X + e 2 e- 2X y =e¡ cos 2x + c2 sen2x + ie-2x y =c¡e2J + (e 2 + -1-x)ex y =c¡e 2J' + c 2 e X + te2 x =c¡e-X
Y y y 6. y 7. y 8. 9.
10 .
11. 12. 13. 14. 15. 16.
y=c¡e,2X+(e2++x)eX +-!e2X y =(c¡ + c 2 x + -li-xa)e X + x + 2 Y =(e¡ + e2 x - lag Ix\)e- X y =c¡sen x + (c¡ + lag [ese x + cot xl) cos x - 2 Y =e¡e x + ~2e-x + (eX - e-X) lag (1 + eX) - xe" - 1 Y =(c¡ + tx)ex + !e- X + e2 e- 2X - - t - i(e X + e- 2X ) lag (1 + eX)
17.
(el + c2 x)e-3X Y ={ (a + bx)e-3X
18.
Y
19.
20.
y =(c¡~x)eas3x y =(e¡-~x)easx
21 .
y
22. 23. 24. 25. 8.19
si x < I a x
+ ~ si =c¡é x + e 2 e- 3X + t xe3x
y =clcas2x
2,
I ~ x :S 2
+(c2 -ls)sen3x +c2 senx
+ (c2 + ~x)sen
=c¡ cos x
>
x
+ 5senx +c2 sen2x +xeasx y =e¡ cos 2x + c 2 sen 2x + x sen x - ! cos x y =c¡ + c2é x -~e2X(3 sen x + cos x) y =Cl sen xv-l- c2 cos x + lo e 2X (3 sen 3x - cos 3x) Ejercicios (pág. 414)
l. 2.
2V2
3.
4.
= e, m = Y =3 eas 41TX
5.
e =(y~ + v~)l/2
±14Ü1T A
6. y
k,
{3
=
oc -
! 1 T
= !V6, y" = -12y = -4V6
3"' siendo 1TX
7. Y = -A sen 8.
¡
I(t) =
9. (a)
sen t
sen
t
+ 1 si
1/(21TV2) 2
10. r(t) =igt 11. r(t) = ct
+
-
A positivo
- eos t si
t;;:: (b)
O:S t :S 21T,
21T
R
ct + c(t -
<2
¡) log (1 -
c (i - t) lo g ( 1 - ~ )
:)
779
Soluciones a los ejercicios
78 0 WVo
log 12. r(t) =k
W W
kt
_
8.22 Ejercicios (pág. 421) l.
y'
2.
y'
+ li =O + 2y =O
7.
+y
xy'
5.
2xy'
11. 12. 14. 15.
(x -
(x2 9. y'
3. yy' - x =O
4.
(x2 -
6.
8.
=O
- y =O
(x2 - y2 - I )y ' - 2xy (x2 + 2xy - y2 - 2)y'
I)y'
1)y' -
xy
2xy
=O
=O
4)1' - Y =O
-
+y
Vl
10.
y2 -
tan x =O x2 y'
-
+ y2 +
I =O
=O
+ x2 +
2 =O x + y = -1 es a la vez una curva integral y una isoclina y = Cx + C2; envolvente: y = -lx2 - y2 -
2xy
8.24 Ejercicios (pág. 424)
:ix 4 +
l. 2.
y3
3.
y(C
+
4.
Y -
2 =C(y -
=
eos x =Cel/e"s y lag
5. 11.
y2+2~=C
12. 13.
x2 -
14. 15. 16.
6. Y =C(x - 1 )eX 7. aretan y + aresen x =C 8. (1 + y2)(I + x2) =Cx2 9. y4(X + 2) =C(x - 2) 10. 1 + y2 =Cx2ex2
C
(y
Ix +
+ !)e-2y
11)
=l
1)e X
=eX(eos x - sen x)
1 =C(y2
+
+
C
1)
[(x) =2e x-1
+1 ='-lag (1 + x2)
[(x) [(x)
=V5x2
[(x)
= ±1; [(x)
=sen (x
+
C) ; también,
aquellas funciones
continuas
cuyas gráficas
pueden obtenerse uniendo porciones de las curvas y = sen (x + e) con porciones de las rectas y = ±1. Uno de tales ejemplos es ¡(x) = - 1 para x :5 O, ¡(x) = sen (x - ~1T) para 0:5 x :5 3'17", ¡(x) =1 para x ~ 3'17" 17. [(x)
=C
18.
= AeX/c
[(x)
19. [(x) 20. f(x)
=O =O
8.26 Ejercicios (pág. 429)
+ y2
2.
x2
3.
y =x log ¡Cxl x2 + y2 =Cx4
4. 5.
9.
y2 =C(x2 + y2)3 x2 + 2Cy =C2,
6. 7. y(Cx2 8.
=C
-
x
aretan -
y
10
C
>O
11.
1) = x
+
log
Iy l
.
=C
y
X
x
y
- - -.
y3
+ log -
x
=C
tan L=CeX 2x
(x
+ y)3
=CX4y4
781
Soluciones a los ejercicios 8.28 Ejercicios de repaso (pág. 434)
+
4.
2x2
+ y2
=C
5.
2 y2 - x2
=C
6.
y2
12.
Y
=
X
15.
19.
I =O
= ceo.
21TR 2 yh ~
Y
= -
+ y2
=C2-1
C(x
+ y) + 2
=
o [(x)
17. Y = -6x2
Cxl /(2n)
so .s
18.
=O
2x log x
16. Y = l( ; b l -e:- l)
= Cx", o [(x) = CXI/fl
Y =; x3
(x - C)2 x2 + y2 -
10. 11.
+C 1
6
y2 - log (sen 2 x) = C
8. 9.
= - kxlogx
13. [(x) 14. [(x)
= C
7. xy
3x - 2y =C 2. x2 - y2 =C 3. x2 + y2 - Cx 1.
+ 5x +
=
3 2e - 3
I
seg
x
+2 seg, siendo R el radio de la base y h la altura del cono
u
20. Y =e" 21.
22.
I=
m
-!x
= -1;
+
y 10g lrl 2
23. (a) a = O,b = t 24. (b) Y =é'" - e-",3/3 25. (a) I/(t + 1) gramos 26. 27.
[l -
> O, o I= y 2 =te- 2'" + C (b) [(x) = 2X I / 2
CX- I / 2 para x
t(2 - V2)t]2
en t años
(b)
-!x
para todo x
I gramos"! años"!
2 + V2 años (b) 365(1 - e-2 ,65t) defunciones
gramos en t años
(a) 365e-2•65t ciudadanos
en t años
28. 6,96 rni/seg = 25056mi/h 29. (a)
Mínimo relativo en
30. (b)
Mínimo
(e)
O
(b)
a =¡,b ='!9!L
(d)
en t años
i
t
Capítulo 9
9".6 Ejercicios (pág. 445) 1.
(a) 2i (g) O
(b)
(h)
-i 1+i
(e)
t - ti
(d)
18
+i
(e)
-~
+!i
(f)
I
+
i
2. (a) V2 (b) 5 (e) (d) (e) V2 (f) V 65 3. (a) r = 2,0 = l1T (b) r =3,0 = -!1T (e) r = 1,0 = 1T ¡(d) r = 1,0 =0 (e) r = 2V3, O = 51T/6 (f) r = 1, O = l I T (g) r = 2V2, O = t 1 T (i) r = tV2, O = -b (j) r = l,O = -í1T (h) r = 2V2, O = -t1T 4. (a) y =O, x arbitrario (b) x > O, y =O (e) Todo x y todo Y (d) x =O, o y =O, x arbitrario (e) x = 1, Y = O (f) x = 1,Y = O y arbitrario;
Soluciones a los ejercicios
78 2 9.10
Ejercicios
1. (a)
(pág. 453)
(b)
V2
(g)
(e)
-2i
i (h)-i O, x arbitrario
y =
-3
(d)
x
=y = O
x
(l
+ i)/\/2
+
1 )7 T , siendo n un
= O, Y = (2 n
(a)
3.
entero cualquiera (d) x =1, Y =!1 T + 2n1T, siendo n un entero cualquiera (b) z =2n7Ti, siendo n un entero cualquiera
6.
Ck =!(a_k
10.
ib_k ) para k = 1,2,
lV3 + li, -!V3 + ti,
(e)
(e)
(f)
2.
+
(b)
1+ i
(e)
1
... , n
i
a + bj, -a - bi, -b + ai, b - ai, siendo a = lJ2 + V 2 y b = a - bi, -a + bi, b + ai, -b - ai, siendo a y b los de (d) + arg (Z 2) ~ tt 1, «r", e -U (e) 7 T < arg(zl)
(d) (e) 11.
(a)
13.
B = AI(b - w2
lJ2 - \/2
+ awi) Capítulo 10
10.4 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
Ejercicios (a) (a) (a) (a) (a)
(pág. 467)
Converge Converge
( b) O
12.
(b)
13.
-1
14.
Divergente
!-
15.
( b) O
16.
( b) O
17. 18.
(b)
Converge Converge
(a) Divergente ( a ) Converge
19. 20. 21.
(a) Divergente (a) Converge (a) Divergente
( b)
( a ) Converge
( b) O
(a) Converge ( a ) Converge (a) Converge (a) Divergente (a) Converge ( a ) Divergente (a) Converge (a) Divergente
( b) (b)
t O
( b) O ( b) O ( b) O ( b ) e2 ( b) O ( b) O
1 /E 1 /E l/E Y]«
23.
N>
24. 25.
N>
27.
N> V2/E
28.
N>
34.
e)
N> 26. N>
22.
(a) Converge (a) Converge (a) Converge
log E log (9/10) Sea
Sn
=b
~
a ~f
(
a
+kb
~
a)
y definamos
t. del
mismo
modo
como
una
k= O
suma de 1 a n, Las dos sucesiones {s.} 10.9 22.
Ejercicios
(a)
1
(pág. 477) (b)
2e -
3
(e)
e +
1
y {t.} convergen
hacia la integral Jgj{x)dx.
Soluciones a los ejercicios 23.
(b)
5
24.
(a)
Idéntica
*10.10 1. 2. 3.
4. 5.
(b)
No idéntica
Ejercicios sobre desarrollos
(e)
783
No idéntica
(d)
Idéntica
decimales (pág. 479)
t i! ~ ¡¡, º. lA
l
10.14
Ejercicios
l. 2. 3.
Divergente Convergente Convergente
4. 5. 6.
Convergente Convergente Convergente
.7. 15.
Convergente Convergente
16. 17. 18.
Convergente Convergente Convergente
10.16
(pág. 486)
8. Convergente 9. Divergente 10. Convergente 11. Divergente 12. 13. 14. para s
>
Convergente Divergente Convergente
1; divergente para s ~ 1
Ejercicios (pág. 490)
1.
Convergente
2.
3.
Convergente Convergente
4.
Divergente
7. 8. 9. 10.
Divergente Convergente Convergente Divergente
5.
Divergente
11.
Convergente
6.
Divergente Convergente Convergente
12.
Divergente
13. 14. 10.20
si
o < r < 1,
o cuando x
= k:«, k
entero cualquiera
Ejercicios (pág. 499)
l. 2. 3.
Condicionalmente Condicionalmente Divergente para s convergente para
4. 5. 6. 7. 8. 9.
Absolutamente Absolutamente Absolutamente Divergente Divergente Divergente
convergente convergente :-:;O; condicionalmente s > 1
convergente convergente convervente
convergente 10. 11. 12. 13. 14. 15.
para
O
< s ~ 1: absolutamente
Condicionalmente Absolutamente Divergente Absolutamente Absolutamente Divergente
convergente convergente convergente convergente
Soluciones a los eiercicios
784 16.
Absolutamente
convergente
17.
Absolutamente
convergente
18. 19.
Absolutamente convergente Condicionalmente convergente
20.
Condicionalmente
25.
Divergente
21. 22. 23. 24.
convergente convergente
convergente
para s S O; condicionalmente
convergente
Divergente Condicionalmente Divergente Condicionalmente
para
s
>
convergente
paraO
< s SI;
absolutamente
1
z ""
Absolutamente
convergente
38.
Todo
27. 28.
Absolutamente Divergente Absolutamente
convergente convergente
39. 40. 41.
Todoz Todo z "" O q ue satisfaga O S [z -
Absolutamente
convergente
Absolutamente
convergente
42. 43.
Todo z "" -1 que satisfaga j2z Todo z =x + iy con x ¿O
32.
Absolutamente
convergente
Todo
33. 34.
z=O
44. 45.
Todo z
46.
35. 36.
Todo z que satisfaga Todo z
37 .
Todo z excepto
29. 30. 31.
10.22
Iz l
<
47.
3
48.
1 que satisfaga
!zl
26.
I z l < e-l/SS
z que satisfaga
Todo z que satisfaga Todo z "" O
Ix - k l Ix - kl
12 +
S 1
lI S l
+ 31
>I [2 + Ilz l > l l/z l
S rr/4, k entero cualquiera S rr/6, k entero cualquiera
enteros negativos
Ejercicios de repaso (pág. 506)
1.
(a)
O
2.
(b) (a)
I; el límite es Osi e < 1; el límite es 1 si e =1; diverge si e Converge si e s I (b) el mayor de los dos "números a y b
3.
ta l + !a 2
4.
!O + V 5)
5.
O
7.
Divergente
8. 9.
Convergente Convergente
10.
Divergente
11. 14. 15 .
Divergente e S 3 a ¿3
17.
Cuando
10.24
si s
a ¿ -1,
< t; divergente
el límite es
a a
>
1
si s ¿t
+1 . + 2'
cuando
a S - L el límite es O
Ejercicios (pág. 513)
1. Divergente 2. 3. 4. 5.
S l
Convergente Convergente Convergente Convergente
6. 7.
Convergente Convergente
8.
Convergente
9.
Divergente
10.
Convergente
si s
> 1;
divergente .si s S l
Soluciones a los ejercicios 11. 12.
e= e=
.~; la integral tiene el valor .~; la integral tiene el valor
ilogi ilog ~. 3
13.
e = ~'/2; la
14.
a =b =2e - 2
15.
a=l;
V2 log V
integral tiene el valor
_ 2
V3
b = I_
7T
16. 17.
(b) (e)
Divergen Diverge
ambas
Capítulo
11. 7
Ejercicios (pág. 526)
1. 2.
r = 2; convergente r = 2; convergente
para z para
3.
r = 2; convergente
para
1
para 5. r = ~; convergente para 6. r = e; convergente para 7. r = 1; convergente para 8. r =+ ce
4.
9. 10.
r = ~; convergente
<2
1
Iz l S 2, z Iz + 3 1 S Iz l S t
Iz l
Iz l
Iz
r = 4; convergente
para
[ z l < 4
r =
para
/z l <
1; convergente
;.é
2
2, z
;.é
-1
S 1
1
11 . 1'=1 12. 13 . 14.
15.
16.
r =l/e r = + OC ! si a = k 7 T , k entero; r =e-a
r = 1 si a
r =max (a, b) r =min O /a, l/b)
11.13 Ejercicios (pág. 536) 1.
2. 3. 4.
Ix l < 1; l/O + x Ix l < 3; 1/(3 - x)
2)
Ix l <
1;
x/O -
X)2
Ixl < 1; -x/O + X)2 1
5.
Ix l < ~;
6.
-lsx
7.
-2
8.
Todo x; e-
S x
1
+ 2x +
log
O + 2x) 2x.
-logO-2x)
< 2; x3
2
x
x
2
- arctan -
;.é
k7 T
11
785
Soluciones a los ejercicios
786 9.
Todo
r 3(eX
x;
e X -- I
10
.
1 - x - !x2) si x
-
x
-
x
s i Todo x ; (x - 1)2
22.
-~
23.
ao
l : lsix ' 2
4V2,
al
a2
=O ,
5V2.
=
- 2) 2)(n + 1) an para
2.
a
3. 4.
Todo x Todo x
5. 6. 7.
Todo x; a =l,b =0 Todo x; f(x) =ex2 Todo x; f(x) =eX - x - 1 Todo x; f(x) =eos 2x Todo x; f(x) = x + senh 3x
=
n+2
(n (n
+
+ 4)(n + 2)(n +
12.
y = 1 + x + x2 +
13.
Y
14.
Y =ix2
= x
a3
n ~ O; f(x)
=
3)
.
1) a" para
2 3x
=1 -
= 2x
n ~ O; f(x)
10
-
3 3 x
+ ... + ix4 + /4X7 + ""l"ftoxlO + ... + 112XS + o~oX8 + 88700XIl + ...
:s
(1
+~
=C O
~X3
3n
(2 . 3)(5 . 6) ...
x
1) . (3n)]
[(3n -
+ C1( 17 .
llv2
a4
=O ,
+ 3)(n
1.
1 6 . Y
=1
(pág. 542)
Ejercicios (n an+2 =(n
8. 9.
O si x =O
V 2 2 97 =
11.16
;é
;é O,
y =co (
+
1 •
¿
co
(_1)n x2n)
---n = 1 2' 4, .. (2n)
ª;
18.
al = -1,
19.
as =O ,
20.
(e)
V2 = 1,4142135623
21.
(b)
V3
a2 =O,
a3 =
7 a6 = - -8' ;f(x) .
+cI f(x)
sen x =--
=1,732050807568877
X
¿co
x
)
+~
=(x
+
7)'
~ ~ ' ~ ; ; n ) ' + 1 ) ] ) (3/1
(_1)n+lx2n~1
n~l
(3' 4)(6'
_
1 ·3 ... (2n - 1)
+ l)e-2X
eos x - 1 2
X
si x ~ O ; feO) = ~ ; f(1T) = -2/1T 2
787
Soluciones a los ejercicios Capítulo
12.4
12
Ejercicios (pág. 551)
1. 5. 6. 7.
(a) (5,0,9) I(b) (-3,6,3) (e) (3, -1,4) (d) (-7,24,21) x = }(3c1 - c2 ), Y = ~ (2 C2 - CI) (a) (x + z, x + y + z, x + y) (e) x = 2, Y = 1, z = -1 (a) (x + 2z, x + y + z, x + y + z) (b) Un ejemplo: x = -2, y=4, z=2 8. (a) (x+z,x+y+z,x+y,y) (e) x=-I, 12. Las diagonales de un paralelógramo se cortan en su punto medio. 12.8
Ejercicios
1. (a) 2.
(a)
(pág. 558)
-6
(b)
(e)
2
6
(A' B)C =(21,28, -35)
(d) A(B' C)
=(30,60,
°
(d) (b)
(e) 4 A' (B + C)
(e) Aj(B'
- 105)
5. 6. 7.
Un ejemplo: (1, -5, -3) Un ejemplo: x = -2, Y = 1 D =Ó(22, -1, ID) C = t( -1, -2,2),
8.
C = IVI, 2, 3, 4, 5),
9. (a) 10. (a) (d) 11.
(a) (d)
5
V74 (b) VI4 (1, -1) o (-1,1) (b, -a)
(e) (b)
(b)
(d) (1,2) y
V53 (d) (1,1) o (-1,
y
V14 (-2, (e)
V42(-5,-4,-I)
Y B, C 13. (a) (2, -1)
2
(A
+ B)
=
z
=
I
. C =72
4 --7)
( 15'
= -
-
15'
15,
-7)
88' 55 5 -1)
1
-1,5)
1
12. A
1 -5
33'
(e)
Y
(0,0, O)
(e)
(3,2) o (-3,
-2)
o ( -b, a)
1
• /_(4, v42
7
IT' 44'
D = (
C)
=64
(e)
D, C
y
Y (-2,1)
1
-3,1)
(e) ;=(1,0,1) V2
1 ,/_(-1,-5,4) v42
Y E (b) (2,1)
E, D
Y (-2,
-1)
(e)
(1,2)
y (-1,
-2)
(-1, -2)
14. 15.
Un ejemplo: C = (8,1,1) Un ejemplo: C = (1, -5, -3) 16. P = H-<3,4), Q = 22S( -4,3) 17. P = W, 1, 1, 1), Q = ~(-3, -1,1,3) 18.
1
±V 2 (0,1,1)
20. La suma de los cuadrados de los lados de un paralelógramo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales. 22.
4; 12V2
Soluciones a los ejercicios
788
23.
C = rr(l, 2, 3,4,5),
24.
C
12.11 1.
= fA,
D
Ejercicios
D
=
1(
TI
7 2 -5 10, 2'"3'""4'
= B - fA, siendo
-14) -5-
= {A . B)/(A . A)
f
(pág. 563)
1 1B 9
2.
lB
3.
(a)
5. 6.
O, ?-rr/8
8. 9.
" 1 T /6
6 3 -2
" 7 ' 7'
(b)
7
3 -2 ) ( 67'7'7
63~ ) ( 7 ' 7 '7
y
V¡~,V
6 4 1
O
14. 17.
b) La ecuación es válida para x e y cualesquiera solución es x = y = O Todas excepto b). e) Todas excepto el teorema 12.4 a).
18.
a)
10.
si eos
e = 1;
si cos
e ~
1 la única
Todas
Ejercicios (pág. 571)
12.15
1. (a)
x
(d)
=y =
t
(b) x =
-t,
y =
t
(e)
x
= 4, Y = -1
x =1, Y =6
t.
y = i 2. x = 3. x = 3, Y = -4 7. Todas t ~ O 9. (e) 7; - 4(i + j) 10. (b) j = B - A, k =Hc - B) (e) !05A - 14B + 5C) 11. {A}, {B}, {C}, {D}, {A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {C, D} 12.
(a) (d)
Independiente (b) Un ejemplo]; D = A (e) Un ejemplo: E Eligiendo renemos X =2A E =(O, O, O, 1), B 3E
13 .
(e)
t =O, V2,
14. 17. 18.
(a) {(I, 0,1, O), (0,1, 0,1), (2, O, - 1, O)} (b) El conjunto {(O, 1, 1), (1,1,1), (0,1, O)}, {(O, 1, 1), (1,1,1), (O, O, I)} {(I, 1, 1, 1), (0,1,1,1), (O, 0,1,1), (O, O, O, l)}, (0,1, O, O), (O, 0,1, O)} {el, 1, 1, 1), (0,1,1,1),
19. L(U) 20.
'=
-V2 dado
(e) El conjunto
.. , ErJ,
B
={El
+ E 2 , E 2 + E n> ... , E n _ l + En> En + El}
Ejercicios (pág. 575) (a) (f)
-1
dade
L(T) ':: L(S)
Un ejemplo 1 : A ={El"
12.17 1.
e +
+
= (O, O, 0,1)
- i
2 - i
(b)
(g)
-1 -i
+
i
(h)
(e) -1
1 - i
+ 2i
(d) -1 (i)
-3
- 2i
+
i
(e)
(j)
2i
-1- i
Soluciones a los ejercicios 2. Un ejemplo: 8.
T rl3
9.
3A - B
(1
+
i, -5
78 9
- 3i, 1 - 3i)
+ 2e Capítulo
13
13.5 Ejercicios (pág. 584) I. 2,
(b), (d),
3. 4.
(e), (d), (b), (e),
(a)
Y (e)
y
(e) y y
(e) (f)
5. (a) No
(b) No (e) No 6. A, B, e, D, F están alineados 7. Se cortan en (5, 9, 13) 8. (b) No 9.
(a)
912
+ 8t + 9
(b)
lV65
13.8 Ejercicios (pág. 590) I. (e) 2.
y
(a), (b),
(e)
y
(e)
(a) x = 1 + t, (b) x = s + t, 4. (a) (1,2, O) Y 6. (a), (b), y (e) 3.
7. (a) (b)
y = 2 + s + t, z = 1 + 41 y = 1 + s, z = s + 4t (2, -3, -3) (b) M ={(l, 2, O) + s(l, 1,2) x - 2y + z = -3
(O,-2, -1) y (-1, -2,2) M ={(O, -2, -':1) + s( -1, O, 3)
(a), (b)
13 .
x -
y
y (e)
1)}
+ t(3, 3, 6)}
8. Dos ejemplos: (-5,2,6) y (-14,3,17) 9. (a) Si (b)Dos ejemplos: (1,0, -1) 10. (-2,~, - ~') 1I.
+ 1 ( -2,4,
y (-1,0,1)
No
1 =-
13.11 Ejercicios (pág. 597) 1. (a) (e)
(-2,3, -1) (b) (4, -5,3) (e) (4, -4,2) (8,3, -7) (g) (-2,-8,-12) (f) (10, 11,5) (i) (-2,0,4) 1 1 2. (a) (b) ± . / _ ±. /_ (-4,3, 1) (-41, -18,7) v 26 v 2054 3. (a)
12'"
(b)~V35
(e)
4. 8; + j -2k
6. (b) 9. (a)
cos e es negativo (e) una solución es B =-;
(d)
(8, 10,4) (h) (2, -2, O)
1
(e)
± V 6 (1,2,1)
tV 3 VS - 3k
(b)
i - j -k es la única solución
Soluciones a los ejercicios
790 11.
(a)
Tres posibilidades;
=
D
+ B - e =(-2,2, 8V3; -tV3
D = A
12. -4; 13.14
Ejercicios
1.
(a)
2.
O,
96
B
+ e-
O)
(b)
A
= (O, O, 2),
D
=
A
+ e-
B
=
(4, -2,2),
tV 6
(pág. 602) (b)
(e)
27
-84
V2, -V2
3. 2 6.
(2b -
-3;
+ 2j + 5k
14;
(b)
2
15. 17 .
(b)
=
V2005/41 1, Y = -1,
=
1, Y = -1, 1, Y = 4, z
1i.
18.
19.
x x x
=
13.17
Ejercicios
1. (a) 2. (a)
1);
+ bj +
(a)
Z
=2
Z
=2
(b) -7x+2y-2z=0 (b) -7, -í, í (e)
(1,2, -2)
x
(b)
6.lOx-3y-7z+17=0 7. Dos ángulos; 'Tr/3
+ 2y + 9z + 55
x
N =(1, 3, -2)
(e)
(e) x + 3y - 2z + 19
13.
1 . 1 -
=2
(e)
- 2z =5
t =1
(d)
2x
=O
(7, -8, -3)
v 122
15. 17.
X(t)
=(1,2,3)
19.
(b)
P = -n(5, -14,2)
+ t(l, -2,1)
Ejercicios (pág. 615)
13.21 3. 4.
r =ed/(1 - e sen 8); e =1, d =2
5.
e =
d =6
6.
e =!, e =2,
d
7. 8. e
t,
=
2,
=6
d =1 d = 2
t
1)
+ V 2
x - y + z =2 (j, O , t)
14.
+ 2y
+ t(4, -3,
(b)
+ V2y + z
¡
=O
=(2, 1, ~3)
x 12. 6
-7x + 2y - 2z = -9 (e) (d) (-¡, -V, V'-)
Y 2'Tr/3
X(t)
11.
-ti + fj
9/V14
H -V 6
(b) 5. (a)
(b)
(pág. 607)
(-7,2,-2)
4.
y e arbitrarios
= 1
(t, ¡, -1) 3. 3x - y + 2z = -5;
8. 9. 10.
ck, siendob
r = -ed/(1
+ e sen 8)
+ 3y + 2z +
15 =O
Soluciones
= 4 r = 25/(10 + 3 cos (j + 4sen(j) r = 25/(5 + 4 cos (j + 3sen (j) 11. r = 1/(cos 8 + sen (j + ¡V2), r = 1/(cos (j + sen 8 - ¡V2) 12. d = iV2, 13. (a) r = 1,5 x 108/(1 + cos 8); 7,5 X 107 Km (b) r = 5 x 107/(1 - cos 8);
9. 10.
e = 1, d = 5, d = 5,
791
a los ejercicios
2.5
d
107 Km
X
13.24 Ejercicios (pág. 621)
e= t Centroen(0,0);focosen(±8,0); vértices en (±IO,O); Centro en (O,O); focos en (O, ±8); vértices en (O, ± 10); e = t Centro en (2, -3); focos en (2 ±V7, ~3);vértices en (6, -3),(-2, -3); e =t Centro en (0,0); focos en(±~,O); vértices en (±~,O); Centro en (O,O); focos en ( ±V3/6, O); vértices en (±V3/3, O); e = i Centro en (-1, -2); focos ene -1,1), (-1, -5); vértices en (-1,3), (-1, 7. 7x2 + 16y2 = 7 1. 2. 3. 4. 5. 6.
(x
8.
+W
16
(y - 4)2
+-9-
(x + 3)2
9. 10.
9 (x
9
25
13. 14. 15. 16. 17. 18.
16
+
16
= 1
9
= 1 1)2
(y -
+ -4-
= 1
Centro en (0,0); focos en(±2V41,0); vértices en (±IO,O); e =V41/5 Centro en (0,0); focos en(O, ±2V41); vértices en (O, ±10); e =V41/5 Centroen(-3,3);focl.S en(-3 ±V5,3); vértices en (-1,3),(-5,3); e =V5/2 e = 5/4 Centro en (O,O); focos en(±5,0); vértices en (±4,0); Centro en (O,O); focos en(O, ±3); vértices en (O, ±2); e =t Centro en (1, -2); focos en(1 ±V13, -2); vértices ent(3, -2),(-1, -2);e =iV13 x2
y2
19.
4 " - 12
20.
y2 -
x 2 =1
x2
y2 16 = 1
= 1
21.
"4 -
22.
(y - 4 )2 -
(x
27
+ 1)2 3
8(y + 3)2
23.
= 1
(y + 2)2
(x - 2)2
12.
e=
+ (y - 2)2 = 1
(x - 8)2
11.
-7);
(y - 4)2
+
+ 4)2
e =V7/4
=1
5(x - 2)2
-
27
= 1
i
Soluciones
792
a los ejercicios
24. ±V\3 25.
4x2 - y2 =11
26. 21.
Vértice en (O, O); Vértice en (O, O);
directriz x =2; eje y =O directriz x = -i; eje y = O
28. 29. 30.
Vértice en (t, 1); Vértice en (O, O); Vértice en (O, O);
directriz directriz directriz
x = -~;
eje y = 1 eje x = O eje x =O
31.
y = - ~; y =2; t); directrizjy = -.lf; Vértice en (-2, -
32. 33.
x2 =-y y2 =8x
34. 35. 36.
(x
37. 38.
+ 4)2
+
(y
> O,
B
1.
ibh
5.
167T
10. 15.
+ 40x + 20y
-
100 =O
+ V5)B
A =l(l
6. (a) t (b) 1. X2/ \2 + y2/16 9.
- 1)
Ejercicios varios sobre cónicas (pág. 623)
3.
8.
i) + i)
-
(x - i - J 2 =2(y (y - 3)2 =-8(x x2 - 4xy + 4/
13.25
= -2
- 3)
=-8(y
1)2 =5(x
eje x
(e)
27T
4 8 7 T /5
=1
x2 - 2xy + y2 - 2x - 2y =1 y2 - 4x2 - 4y + 4x =O
+ 2);
e =V2/(p Y =Cx2 ,
(a) (b)
C
¡¡6
focos en (V2, O) y O
(-V2,
O)
(b)
6x2 -
3l
=4
16. (4,8) 11.
(a) x =ta
18.
(x -
% ) 2 + (y
21 pq 2 =4a3
(b) -
t) 2
t
=
Capítulo
14.4
14
Ejercicios (pág. 632) 3t 2
+ 4t 3);
= (1, 2t,
2.
r(t)
=(-sen
3.
F(/)
4. 5.
F(t) = (2et , 3et ); F"(t) = (2et , 3et ) F'(t) =(serfh t, 2 cosh 2t, _3e-3t); F"(t) =(cosh 1, 4 senh 2t, ge-3t) F'(t) =(2t/(I + t 2), 1/(1 + t 2 ), -2//(1 + t 2» ; + 12 ) 2, (612 - 2)/(1 + (2 )3 ) F"(t) =((2 - 2t 2 )/(I + t 2)2 , -2t/(I
6.
F"(t)
t, sen2t, 2 eos 2t, sec2 r): F"(t) =(-cos = ((1- 12)-1/2, -(1 - (2)-1/2); F"(/) = (1(1
8 . (t,¡,e -I)
9.
(1
= (O, 2, 6t,
12t 2)
1. r(t)
-tV2, tV2, log tV2)
t,2 cos 2t,-4 2)-'3/2, -/(1
+(
sen2t, 2 sec" ttan t) 2)-3/2)
+(
79 3
Soluciones a los ejercicios
10.
l+e
l+e)
( log -2-
, 1 - log -2-
11. 0,e-2,1-2/e)
12.
O
15.
G'(t) =F(t)
20. 22. 23.
F(t) = /¡t 3 A + it 2 B + te + D {6 + 3 log 3)A = r(!) A, F(3) = F(x) =eX(x + 1)A - eA
x r(t)
14.7 Ejercicios (pág. 641)
+ 6tj + (3 + 3t 2)k; a(t) = -6t; + 6j + 6tk; v(t) = 3V2. O + t 2) t i + eos t j + e'k ; a(t) = -eos t i - sen t j + e'k ; v(t) = O + e2t )l/2 v(t) = 3(eos t - t sen t); + 3(sent + t eos 1)j + 4k; a(t) = -3(2 sen t + t eos t); + 3(2 eos t - t sen t)j; v(t) =(9t 2 + 25)1/2
1. v(t) 2. e(r) 3.
= (3 = -sen
3t 2);
t
4.
v(t)
= O - eos 1); + sentj + 2 eos 2. k;
5.
v(t)
= Sti + 6t 2 j +
6.
v(t)=;+eostj+sentk;
3k;
a(t)
a(t)
= 6; + 12tj;
= sent i + eos
t tj - sen 2.k;
v(t)
= 2
= 6t 2 + 3
v(t)
a(t)=-sentj+eostk;
v(t)=V2.
9. A = abor', B = a2w3 11. (b) 8ét/eos2 e
15. (a) x(t) 16.
= 4 eos
2t,
y(!)
= 3sen 2t
(b)
x2 /16
+ y219 = 1
3T/4
14.9 Ejercicios (pág. 646) 1. (a) 2.
3.
4. 5.
T
= -toV2 (-3; + 4j + 5k);
(a)
T = -O
(b)
a =O
(a) (a) (a)
N =
-~; - ti
+ e2")-1/2j + e"O + é")-1/2k;
= 12V2 T + 6N O + é"); + e2"j + erk N =-------(1 + e2")1/2(1 + 2é")l/2 (b)
+ e2")-1/2[e 2"T + (1 + 2e2")1/2N] T = ~; + ~k; N = j (b) a = 6N T =;; N = -iV2 (j + k); (b) a = V2 N (b) T = 1(2; + 2j + k); N = W + 2j - 2k) T = iV2; + ti + ik; N = -iV2j + iV2 k
a
a
=
12T
+ 6N = N
6. (a) (b) a 9. Contraejemplo para b) y d): movimiento sobre una hélice 11. Un ejemplo: r(t) =2fe2t eos t dt i + 2fe2t sent dt ] + e2t k; v(t) forma un ángulo constante con k, pero a(t) nunca es cero ni paralelo a v(t) 12. (a)
Contraria a las agujas del reloj 13. x /3 + y2 /4 =1 y2 = g - 4x 14. y2 = 4x; 15. (b) IIA IIII B II sen () 2
14.13 Ejercicios (pág. 655)
1. 2.
8a
V2.(é -
1)
(b)
3
(e)
21T /V 3
79 4
Soluciones a los ejercicios
3.
21 T 2 a
4.
4(a3 -
b3)/(ab)
5. 2a( eosh
f
1)
T -
veosh
-
.r V 2 a log
(V 2
eosh (T/2) 1
•
+ I
v w ;;h T )
+v 2
6. 2V21T
7. 50
V 2 log (1 + \12) 9 . 1 0 1 1 V~ (tI 10. S~v1 + (g'(yW dy 8.
to)
26V13 - 16 11. 27
e)
f
1
13.
(a)
J o V 1 + e d x
14.
(e)
esenh-
2x
19. v(r) = 1
14.15
2
2 + ( 2 dt
1
2 e
= keosh
16. [(x)
(b)
c ) ,
+
(~
+ 2t;
=
O [(x)
3 unidades
k
de tiempo
Ejercicios (pág. 659)
1. (1)
(2) (1 + 2e2rr )l!2(1
-/5
+ e2rr )-3/2
(3)
265
1V2
(4)
(5) -;}i
(6)
i
1 3.
IIBllsen
(j
4. (a) x = z 7. K =lIa ll/llvl1 2
1,
10.
b a = Vértice en
11.
(a)
12.
V2i + V2j
9.
= 2; se cortan en (O, O)
-l eos
(j
+ 1eos2(j
A
5t 2
«(r) =i1 T -
(b) v(t)
B =5 sen 5t 2
i
+ 5 eos
5t 2 j
14.19 Ejercicios (pág. 665) 1. v(r) = u ; 2. (a) v(t) 3.
+ tu e ;
=
u;
a(t) = -tu r tU e + k; a(r)
+
+
(b) arccosv" 2/(2 (b) i1T - t
+ 2u e ; = -
= (2 + t 2 )(I + t 2 )-3/2 + 2u e ; K(t) = (t4 + 5t 2 + 8)1/2(2 +
K(t) tu ;
t 2 )-3/2
t 2)
5. 32 6.
VI (b) L(e) =--a(O) =1 T
+ e2 e
(e 2rrC
-
1)
si e r6 O; L(O) =2 1 T .
e4rrc
-
a(c)=-4-e-
1
si e #- O ;
795
Soluciones a los ejercicios 2
+
log + 1)112 + !
(7T
7.
(a) 3rr/16
8.
!7 T (7 T 2
9.
V2 (e"
(b)
iV3log
+
V
7T
2
(2
+
+
1)
V3)
1)
-
10. 4 11. 8 (0 2
+ 1)3/2/(0 2 +
(a)
15.
r = 'oe-8 colo; blanco en el origen, a es el ángulo, O < a < '1 T , determinado
16.
17.
2)
V2 e8
13.
(b)
(e)!v
2
+
V2
(d)
!V2
punto de partida del cohete r = '0' ( J = O; por v y -r; para O < a < '1 T /2 el camino es una espiral para la que r ~ O cuando ( J crece indefinidamente; para a = '1 T /2 es una circunferencia en torno al origen; para '1 T /2 < a < '1 T es una espiral para la que r crece indefinidamente cuando ( J crece indefinidamente. Tómese como eje x positivo la recta que va desde la posición observada a cuatro millas de distancia a la base de lanzamiento. Continúese a lo largo de esta recta tres millas (para evitar la posibilidad de que el proyectil vuelva a la base) y después se sigue la espiral r = p 8/V R log V x2
+ y 2 + aretan (y/x)
=C
14.21 Ejercicios de repaso (pág. 671) 1.
tan
+ tan"
=tan e/(2
O(
O)
3. (e/m 2,2e/m)
- x o ) + clm; Y - Yo =m(x - x o ) - cné; 6. (Yl - Yo)(Y - Yo) = 2e(x + Xl (Xl - xo)(Y - Y o) =2(Yl - Yo)(x 7. (a') (O,!) 4.
8
.
(a) (b)
y - Yo
=m(x
(b) EscribirQ
=(O, b(x».
En cualquier
otro caso /b(x)1
I+ e ,= --
I cuando e
2
tangente en Ix¿ + e/m 2 ,yo + 2e/m) tangente en (x o + 2em, Yo .+ em 2 ) 2x o); xIY = 2J ¡x - XIY l; - x o ) - ( Xl - XO)(Yl - Yo)
si ·f"(O )
--+ -
2
--+
--+
~ O entonces b(x) --+f(O)
+ 00 cuando
x
--+
I cuando X 1"(0)
+ --
O.
O
13. (2,1), (-2, -1) 14.
hl2
15.
3x2 - y2 =3a2•
21.
(a) feO)
=
(b) feO)
=CeO/ Vk2 -1, donde
(e) [(O)
= (2/k) sec
A(,) ,
I
+ -
,3
k sen (e
+
36a
C ),
(e
+
o feO) C),
=
k
k 2 > I o feO) = 2/k Capítulo 15
15.5 Ejercicios (pág. 680) 1.
si
2.
si
3.
si
4.
si
--+
O.
79 6
Soluciones a los ejercicios
5. No 6. si 7. si 8. si 9. si 10.
13. si 14. No 15. si 16. si 17. si 18. si 19. si 20. si
si
11. No 12. si 31. (a) No
(b)
No
No
(e)
15.9 Ejercicios (pág. 686) 1. si 5. si 2 6. No 2 2. si 7. No 3. 2 si 8. No 4. si 2 17. si dim =1 + kn si n es par, 18. 19.
si si
20.
No
21.
(a)
23.
(a)
dim =kn si n es par, k + 1
~(n
(d)
21.
si
22. 23. 24. 25. 26. 27. 28.
si
ll.
+
+ 1) si
si
No si si si
No
9. 10.
Hn'
No
13. 14. 15. 16.
si si si si
"
n
12. n 1) si n es impar
si
"
si
"
si si
n n n
n
n es impar
dim = 3 (b) dim = 3 (e) dim = 2 si a ~ O Y b ~ O, el conjunto es independiente,
(d) dim = 2 dim =3; si a ó b es cero, el con-
junto es dependiente; dim = 2 (b) independiente, dim = 2 (e) si a ~ O, indepen" diente, dim =3; si a =O,dependiente, dim =2 (d) independiente; dim =3 (g) independiente (e) dependiente; dim = 2 (f) independiente dim =2 dim = 2 (h) dependiente;
= 2 (i) independiente;
dim
=
dim
2
(j) independiente;
15.12 Ejercicios (pág. 694) 1. (a)
No
8.
(a)
~Ve2 + 1
10.
(b)
11.
(e)
(n
(b)
No
+ 1)(2n + 6n
(e)
No
No
(e)
si
b ( x _ e2 : 1 ) , b arbitrario
(b) g(x) = 1)
a
+1
n
2 -b +-
(d) g(t) = a(1 -~t),
43
(d)
12. (a) No (b) No 13. (e) 1 (d) e2 - 1 14. (e) n!/2 n+l
(e)
(e) g(t)
=a
('
2n
t -];-
a arbitrario
No
(d)
No
15.16 Ejercicios (pág. 706) 1. (a) y (b) 2. (a)~V2(1, (b)
h/6 (1, -2,1) }V3 (1,1,1), 1,0,0), [¡V6(-I, 1,2,0), ~\/3(1, -1,1,3)
_
}V3 (1,1, 0,1),
6. § -11og2 3
I
_/-
'v 42
(1, -2,6,1)
+ 1 )'
, a arbitrario
dim
= 2
Soluciones a los ejercicios 7.
e~ -
l
3 1) +-x; e 8. -He • e 9. 10.
7T
-
l -7e-~
2senx
t-tx
Capítulo
16.4
Ejercicios
1.
Lineal;
2.
Lineal;
3.
Lineal; Lineal;
4. 5.
797
6.
No lineal No lineal
7.
No lineal
16
(pág. 714) dimensión dimensión dimensión dimensión
del del del del
núcleo O , rango 2 núcleo 0, rango 2 núcleo 1, rango l núcleo 1 , rango l
dimensión
del núcleo 0,
dimensión
del núcleo
8. No lineal 9. 10.
11.
Lineal; Lineal; Lineal; Lineal; No lineal
rango 2
dimensión dimensión
0, rango 2 del núcleo 0, rango 2 del núcleo 0, rango 2
12. 13. 14. 15 .
Lineal ; No lineal
dimensión
del núcleo 0, rango 2
It> .
Lineal;
dimensión
del núcleo
17 . 18.
Lineal; Lineal;
dimensión dimensión
del núcleo 1, rango 2 del núcleo 0, rango 3
19.
No lineal
20.
No lineal
21.
No lineal N o lineal Lineal;
dimensión
del núcleo
1, rango 2
24.
Lineal;
dimensión
del núcleo
0, rango n
25.
Lineal;
dimensión
del núcleo
1, rango infinito
26.
Lineal;
27.
Lineal;
dimensión dimensión
del núcleo infinita, rango 2 del núcleo 2, rango infinito
22. 23.
O , rango 3
+1
N(T) es el conjunto de las sucesiones constantes; T(V) es el conjunto de las sucesiones con límite O f) Si 29. d) {1, cos x, sen x} es una base para T(V); dim T(V) = 3 e) N(T) = S T(f)=cf siendo c,.
Soluciones
798 16.8
a los ejercicios
Ejercicios (pág. 723)
3. 4.
si si
5.
No
y =u y = -v
x =v, x =u,
No 7 . No si ; 8. 9. No 10. si 11. si si 12. si 13. 6.
14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 25. 26.
No si si si
x = log u, x
=
+ u), y =~(v - 11) + 1 1 ), y = H2v - 1 1 )
= 1 (v x = w, y = v, X
z
= u
Y =~v, z =1w x = /l, y = D, Z = W - u - v x = u - 1, Y = v - 1, Z = w + 1 x = 11 - 1, Y = v - 2, Z = w - 3 si si x = u, Y = v - 11, Z = W - v si ; x = Hu - v + w), y = He - w + 11); Z = 4(w - u + v) (S + T)2 =S2 + ST + TS + T2; (S + Tl =Sa + TS2 + STS + S2T + ST2 + TST + T2S + ]"3 (TS)(x,y, (a) (ST)(x,y, z) =(x + y + z, x + y, x); z ) =(z. z + y, z + y + .v): (ST - TS)(x,y, z) = (x + y, x - z ; -y - z ): S2(X,y, z) = (x.y, z}: T2(X,y, z) =(x, 2x + y, 3x + 2y + z); (ST)2(X,y, z) =(3x + 2y + z, 2x + 2y + z ; x + y + z): (TS)2(X,y, z) =(x + y + z, x + 2y + 2z, x + 2y + Jz ): (ST - TS)2 =(2x + y - z, x + 2y + z , -x + y + 2z); (b) S-I(U, v, w) = (w, v , u); T-I(u, V, w) = (u, v - u, IV - e): v, w) =(w, v -
(a)
=
Dp(x)
=
(TD)p(x) (T2 D2 -
-2x
(DT
=8 -
192x
=ax2
+ b,
(a)
= 2; = 2 +
Sp(x)
(T2S2)p(X)
=-x2
(RST)p(x) (b) N(R)
=2 = {p
S(V)
=
(d)
(TS)"
V;
+ y);
+ 24x2;
(e) p(x) (ST)p(x)
r): (TS¡-I(II,
(T -
V,
1\') =(1\' -
y.
[f(x,
z) =(O , O , O ) si n ¿3 3 - 2x + l2x2; Tp(x) = 3x - 2x2
D2T2)p(X)
Rp(x)
w, u -
z) =(O , x, x
(T -l)(x,y,
(T -l)"(x,y,
32.
Y = v - 1
x =u,
(e)
31.
1,
u -
x = ~(v
(ST)-l(U,
28.
Y = log v
3x -
y
a
I p(O)
!v(T)
=
= 1-
R;
(b) p(x) x
+
x2;
= O}; S"]""
+
=
=
R( V) T(V)
=
{p
2
+
u, u)
= 3 -
2x
+
2
12x
2 36x ;
cualquiera
(d Todo p de V í
2
a
3x -
x2
x3;
(TS)2[1(X)
3x -
x2
+ x3;
(TRS)p(x)
2x
3x
-
x
(e)
+
=
constante}; N(S)
= {p 1 p(O) = O ]
+
4x
;
+ +
I p es
=
-
12x3; (DT)p(x)
=ax , (/ un escalar
Tpt x¡
(TS)p(x)
(S2T2)p(X)
{O};
= 3 -
TD)p(x)
V
z) =(O . O , x):
b escalares cualesquiera
= 3 x2 + x3;
+ x3;
-
!I,
r -v =
x~:
{p
= ]x = 3x;
I P es
x
2
+ xa ;
constante}.
S
= 1
T no es uno a uno en V porque
aplica toda sucesión constante
en la misma sucesión.
799
Soluciones a los ejercicios 16.12 1.
2.
Ejercicios
(pág. 732)
La matriz identidad 1 = (/l¡k), siendo /l¡k = 1 si j = k, Y /l,k = O si jr6k La matriz cero O =(a¡k). en la que cada elemento ajk=O. e) La matriz (CI)jk), siendo (')jk) la matriz identidad de la parte a)
a) b)
(a)
O
[~ ~]
1
[~ ~]
(b)
1
3.
(a)
+ 7j,
-5i
O
9i - 12j
[ ~ -~l[~~] [-~~l[~~ J
(e)
(b)
4.
5.
6
7.
(a)
9.
10.
+ 4j + 4k;
dimensión
[- ¡
O
O
O
1
O
O
O
1
:]
-t] [~~ J 7
'
"4
del núcleo O, rango 3
(b)
15
(a) T(4i -j+ k) =(O, -2);
[~
-~]
O
(5, O, -1);
dimensión
(e)
el =i,
= i
(a) (-1,
-3,
-1);
dimensión
(d) el
(a)
e2
=~
[-~
l; - ~ - ~ ] (e)
8.
3i
l:
(e)
1
+ j,
el =i,
e2
w l = (1, 0,1),
(a)
el - e2;
dimensión
i,
=k,
W l
0''''"
=(1, 0,1),
W 2
del núcleo O, rango 2
1 1 . [ O1 - 1O] , [ - 1 0-1 O ]
(b)
w 2 = (O, O, 2),
O,
"",O
2
li
[~
_~]
W2
=(1,
-1)
- i]
w 3 = (O, 1, O)
(b)
=(O, 1, O),
(b)
[~
w l =(1, 1),
=i,
e3
del núcleo O, rango 2
dimensión del
(e)
e2
del núcleo 1, rango 2 (b)
[:
:]
w 3 =(O, 0,1)
~]
(e)
a
=5,
b =4
Soluciones a los ejercicios
800
12.
[~
a a , a tJ 1
13.
[~
16.
17.
[~
~J
[a
-IJ
[-1
-1
1
1
-:J
[~
a
[~
a a a
-:J [~ ~ J
a a
14.
15.
l~~] a a a
al
1
a a
a a a
a]
1 [- ~
a-l
a
a
-1
-1
1
a a
a
a a
2 -1
a
-~ ] -1
[~-:} [~-~]
18. [2 3
19. (a)
-3} 2
[-5 -12] 12-5
[ ~ ] [~ ~ ] ~ ] r~ a a 1 a a 2 a a
(e)
] ~ ] r~ r~ r~ a a a
20. Elíjase (x3 , x2 ,
de
a a a 2 a a a a
a
a 4 a a a a
(b)
a
-1
(d)
1
TD
es
[6 a a a] a 2 a a
-2
a a
X,
(e)
1) como base para
a a l a a 4 a a
V, y (x2 , x) como
(f)
a a a a
-8
a a a
-4 ~ ]
base para W. Entonces la matriz
801
Soluciones a los ejercicios 16.16
1.
Ejercicios (pág. 740)
+C
B
=[~
:J ,
~ ~ AB =[ _
6 -5
~l [~ ~ la
AC =[~
2.
(a)
3.
(a)
CA=
= 9,
b
e
= 1,
[ -2a
(b)
-7
(b)
d=5
6.
An
7.
An =
[cos
8.
An
[1
: ], a a
5
(b)
3
12 -27
-5
5
30
_ 3C) =[
14
-2 8 ] 28
y
b arbitrarios
-2b
[-: -1 ~ ] [-: ~] 14
(a)
A(2B
-28
8
-2
4.
-8 ,
BA =
-30
b arbitrarios
= 6,
2 ] [= 4 7 1 :
-~ :l
~],
-~
4 -16
y
a
[~
1
= 1,
b
= 6,
e
= O,
d
= -2
-4 ] 24 O
= [~
nO -senno] nO sennO
=
cos
1 )]
n n(n:
O
1
n
O O
~J
9 . [-1 O ~ 10.
[a e
11.
(b)
b],
[~
~ ] , siendo' a arbitrario
1 2 . [ 1 O ] , [- 1 O
1
cualquiera
13. C =
a
b
siendo es una solución y e arbitrarios y -a cualquiera de la ecuación a2 =-be
O
O ] , Y [ ae b ] ,
siendo
-a
de la ecuación a2 =1 - be
[ 1 2 5 \ 3 ] , 8
-1
7
D
=
[3 4 3 1 4 9 ] \3
2 5 4
b Y e arbitrarios
y a es una solución
Soluciones a los ejercicios
802 14. (b) (e)
+ B)2
(A
= A2
+ AB +
+
BA
B2;
(A
+
B)(A
-
B) = A2
+
BA
-
AB
-
B2
Para aquellos que conmutan
16.20 Ejercicios (pág. 752) (x, y, z) =(f,
1. 2.
Ninguna 3. (x, y, z) 4. (x,y,z) 5. (x,y, z,
-f,-t)
solución =(1,
-1, O) + t( -3,4,1)
=(1, -1,0) +t(-3,4,
1)
O , O ) + t(1, 1 4,5 , O ) 6. (x,y, z, u) =(1, 8, O, -4) + t(2, 7, 3, O) 7 . (x, y, z, u, v) =t 1( - 1 ,1 , O , O , O ) + t 2( - 1, O , 3 , - 3,1 ) 8. (x,y, z, u) =(1 , 1 , 1 , - 1 ) + t 1( -1 ,3 ,7 , O ) + ti4, 9 , O , 7 ) 9. (x, y, z) =(t,t, O) + t(5, 1, -3) 1 0. (a) (x, y, z, u) =(1 ,6 ,3 , O ) + t 1(4, 1 1,7 , O ) + tlO, O , 0,1) (x, y, z, u) =(-fr,4, (b) O ) + t(4, -11,7,22) u) =( 1 ,1 ,
n,
12.
[-~
-~
-3
5
4
J
[= r ~
13.
16.
16.21
4.
-:]
O
1
O
O
O
O
1
O
O
1
O
O
O
O
O
O
O
O
2
9
O
-3
O
1
O
O
~2
1
O
1
O
O
O
O
-3
Ejercicios
varios
[ OO O0 J ' [_O1 01J ' cualquiera
-1
-1 1
sobre matrices
Y
l - a c
de la ecuación
(pág.
754)
J
b 1 _ a ,donde
cuadrática
a2
b y e son arbitrarios -
a
+ be =
O.
y a es una
solución
