Respuestas PRAEM 2014

MINISTERIO DE EDUCACIÓN DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN GERENCIA DE SEGUIMIENTO A LA CALIDAD DEPARTAMENTO DE EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES

PROYECTO DE REFUERZO ACADÉMICO PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN MEDIA

JUSTIFICACIÓN DE LAS OPCIONES DE RESPUESTA DE LA PRUEBA DE DIAGNÓSTICO DE MATEMÁTICA

2° AÑO DE BACHILLERATO PRAEM 2014

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SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO

Número de ítem: 1 Una empresa realizó una encuesta a 275 personas del municipio de San Salvador para conocer sobre el medio donde suelen ver los anuncios publicitarios. Si el 60% dice que los ve en televisión, ¿qué cantidad de personas lo hace a través de otros medios? Opciones de respuesta: A. B. C. D.

215 165 110 40

Respuesta correcta: C Comprende que la cantidad de personas que utilizan otros medios para ver los anuncios publicitarios es el 40%, por ello realiza 0.4x275= 110 Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción: A. La selecciona aquellos estudiantes que tienen dificultades para interpretar que el 60% corresponde a la cantidad de personas que los anuncios publicitarios por televisión. Por ello realiza 275 – 60 = 215. Aunque tiene cierta idea global del proceso, no así del significado de los datos u operaciones entre ellos. B. Confunde la cantidad de personas que miran los anuncios por televisión con los que usan otro medio, por ello realiza 0.6x275 = 165. D. Comprende incorrectamente que 60% es igual a 60 personas, por ende considera que los que no utilizan la televisión para ver los anuncios publicitarios corresponde a 40. Indicador de logro: 5.12 Resuelve y explica con interés ejercicios y problemas usando la regla de tres directa.

2 Justificación de las Opciones de Respuesta de la Prueba de Diagnóstico de Matemática

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Número de ítem: 2 Un agricultor cercó un terreno que tiene forma de triángulo rectángulo. Si el lado más largo del terreno mide 37 m y otro de sus lados mide 12 m, ¿qué cantidad de alambre necesitó para cercarlo con 3 líneas de alambre?

Respuesta: __________

Respuesta correcta: Es capaz de realizar una interpretación adecuada del problema y aplica correctamente el Teorema de Pitágoras 3(( 372 122 )  37  12)  252

Calificación del ítem 2.    



1 puntos: si coloca 252 m o 252, mostrando procedimiento completo. 0.5 puntos: si coloca 84 m o 84, mostrando o no procedimiento completo. O solo coloca 252 m o 252, sin procedimiento. 0.5 puntos: si el procedimiento esta completo, pero los cálculos tienen errores. 0.3 puntos: muestra ideas sobre el teorema de Pitágoras o el perímetro o que debe multiplicar por 3.Pero no obtiene 84 m o 84. 0.0 puntos: otros procedimientos que no muestran idea alguna sobre el teorema de Pitágoras o el perímetro o que debe multiplicar por 3.

Indicador de logro: 3.25 Resuelve problemas aplicando el Teorema de Pitágoras, en cooperación con sus compañeros.


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Número de ítem: 3 ¿Qué altura tiene un edificio que proyecta una sombra de 49 m en el mismo momento que una estaca de 2 m proyecta una sombra de 1.25 m de longitud?

Opciones de respuesta: A. B. C. D.

19.6 m 49.75 m 78.4 m 122.5 m

Respuesta correcta: C Plantea adecuadamente la proporción y despeja correctamente la variable. ℎ 49 2(49) = →ℎ= = 78.4 𝑚 2 1.25 1.25 Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción. A. Tiene dificultades para despejar variables

ℎ 2

=

49 1.25

→

ℎ 2

= 39.2 → ℎ = 19.6

B. Desconoce cómo resolverlo, y realiza los cálculos: 2-1.25 =0.75→ 49 + 0.75 D. No utiliza la proporcionalidad y solo multiplica los valores dados, porque desconoce cómo aplicar la semejanza de triángulos o las situaciones referidas a ésta área. Indicador de logro: 3.19 (8° grado) Determina, explica y aplica con seguridad la semejanza de triángulos, mostrando confianza.


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Número de ítem: 4 Una compañía reporta sus pérdidas y ganancias desde el 2006 hasta el 2011, mostrando el siguiente comportamiento:

Según el gráfico, los dos años consecutivos donde se da la mayor variación en la compañía son: Opciones de respuesta: A. B. C. D.

2009 y 2010 2010 y 2011 2006 y 2011 2008 y 2009

Respuesta correcta: A Interpreta correctamente que a pesar de que del 2010 al 2011 se da un incremento significativo de 3 millones de dólares, el mayor cambio se da del 2009 al 2010, pues la empresa se recupera de una pérdida de 2 millones y llega a obtener 2 millones más en relación a sus gastos fijos, consiguiendo 4,000,000, de donde se deduce son los dos años consecutivos donde se da el mayor cambio de los ingresos totales.


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Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción: B. Realiza una adecuada lectura de la información presentada gráficamente. Pero Interpreta correctamente una parte de la información presentada, pues observa que de 2010 a 2011 se da un incremento significativo de 3 millones de dólares, que por su puesto, es uno de los mayores cambios consecutivos en los ingresos totales de la empresa, pero no logra resumir la información presentada de forma global, para darse cuenta que hay otro que lo supera. C. Interpreta incorrectamente la situación a resolver, si bien es cierto al comparar los años de 2006 y 2011 resulta un incremento de 4 millones y medio, y es uno de los más altos, interpreta incorrectamente lo solicitado, ya que el mayor incremento se le pide para dos años consecutivos. D. Muestra total desconocimiento de la situación que se le plantea. O interpreta incorrectamente la cronología del crecimiento de la compañía. Indicador de logro: 3.4 Interpreta gráficos de datos referidos a situaciones sociales, ambientales, sanitarias y deportivas, valorando su utilidad.


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Número de ítem: 5 Un estudiante ha realizado seis evaluaciones en matemática y su media es 6.8. Si en otras dos pruebas obtiene 6.4 y 9.6, el nuevo valor de la media será Opciones de respuesta: A. B. C. D.

7.1 7.4 7.6 8.0

Respuesta correcta: A El estudiante para resolver esta situación debe comprender el concepto de media aritmética y además como calcularlo, para el caso le dicen que con seis evaluaciones su valor promedio es 6.8, entonces el alumno comprende que ha acumulado 6.8*6=40.8 puntos, y que con las dos últimas evaluaciones logra acumular 16 puntos más, haciéndose un total de 40.8+16=56.8 puntos, y que por lo tanto el valor promedio será 56.8/8= 7.1 Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción. B. El estudiante comete el error de calcular la media aritmética de las últimas dos evaluaciones (8) y promediarlo con el valor que le habían mencionado anteriormente (6.8) obteniendo un nuevo valor promedio de 7.4. C. El estudiante sabe como calcular la media aritmética, pero no comprende que el dato de 6.8, es un valor que representa una media de 6 datos o evaluaciones, por lo anterior el estudiante calcula el valor promedio de tres evaluaciones (6.8+6.4+9.6)/3, resultándole 7.6. D. Sabe estimar el valor promedio, pero confunde que le piden el valor promedio pero de ocho evaluaciones, mientras que determinó el valor de la media de las dos evaluaciones últimas. Indicador de logro: 5.2 Resuelve problemas aplicando e interpretando la media aritmética para datos no agrupados


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Número de ítem: 6 A una fiesta asistieron 46 personas distribuidas según edades, de la siguiente forma: Cantidad de personas 8 25 13

Edad 30 12 8

La media aritmética de la edad de las personas asistentes al evento es Opciones de respuesta: A. B. C. D.

15.33 16 14 16.67

Respuesta correcta: C El estudiante comprende el valor medio es aquel que reproduce una suma igual que los datos originales, solamente que debe percatarse que para esta situación hay 8 personas con 30 años, es decir han acumulado 240 años, los de 12 años han acumulado 300 años y los de 8 años han acumulado 104 años, por todo hay acumulado 644 años entre las 46 personas. Asi, 14, representa el valor la edad media de los asistentes al evento. Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción: A. El alumno calcula un valor medio pero de la cantidad de personas en cada grupo de edad. Para el caso, 46÷3 = 15.33 B. En este caso el alumno tiene la idea que para obtener un valor medio debe sumar los datos y dividirlo por la cantidad de datos considerados, pero deben ser del mismo tipo, mientras que él considera cantidades de personas y los años y los suma sin distinguir que son de distinto tipo. (50 + 46)÷ 6 = 16 D. El alumno en este caso entiende la idea de edad promedio, pero procede como si hubiera una persona de 30 años, otra de 12 años y otra de 8 años. Determinando que la edad promedio es 16.67 Indicador de logro: 5.5 Resuelve problemas, con perseverancia y autonomía, aplicando la media aritmética ponderada (1°)


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Número de ítem: 7 Una puerta de forma rectangular tiene como área la expresión 6𝑥 2 − 7𝑥 − 3. Si se sabe que la longitud de la base está dada por 2𝑥 − 3, ¿cuál de las siguientes expresiones algebraicas representa la longitud de la altura?

Opciones de respuesta: A. 6𝑥 2 − 9𝑥 B. 6𝑥 2 − 5𝑥 − 6 C. 12𝑥 3 − 32𝑥 2 + 15𝑥 + 9 D. 3𝑥 + 1 Respuesta correcta: D Realiza una adecuada interpretación del problema aplicando correctamente la división de polinomios. O aplica la descomposición factorial trinomio de la forma ax² -bx + c, determinando el factor desconocido Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción: A. Desconoce el proceso de la división y resta en lugar de dividir, o desconoce el uso del algoritmo para determinar el lado del rectángulo conociendo el área y la base. 6x² -7x -3 – (2x-3) = 6x² -7x -3 –2x+3 = 6x² -9x B. Desconoce el proceso de la división y suma en lugar de dividir 6x² -7x -3 + (2x-3) = 6x² -7x -3 +2x-3 = 6x² -5x-6 C. Multiplica en lugar de dividir, probablemente porque la asocia a la idea de área de un rectángulo. Indicador de logro: 2.29 Resuelve problemas de aplicación usando la división de polinomios, en colaboración de sus compañeros.


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Número de ítem: 8 ¿Cuál es la solución de la ecuación

𝟓𝒙−𝟒 𝟐

= 𝟐𝒙 − 𝟑 ?

Opciones de respuesta: A. −2 B.

1 3

C. 1 D. −

10 9

Respuesta correcta: A Para resolver esta situación debe manejar perfectamente el algoritmo de resolución de ecuaciones:

5x  4  2x  3 2 5 x  4  2(2 x  3) 5x  4  4 x  6 5x  4 x  4  6 x  2 Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción: B. El alumno en este caso, por equivocación o desconocimiento, obvia el denominador, luego procede trasponiendo y agrupando términos semejantes quedando el valor de la variable indicado directamente.

5x  4  2x  3 2 5x  4  2 x  3 5x  2x  4  3 3x  1 x

1 3


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C. El alumno procede multiplicando por el mcm, pero al multiplicar el monomio por el polinomio comete el error que solo multiplica por el primer término del polinomio, el segundo ya no lo efectúa, luego procede trasponiendo y agrupando términos semejantes en los miembros:

5x  4  2x  3 2 5x  4  4 x  3 5x  4 x  4  3 x 1

D. El alumno multiplica por el mcm, efectúa muy bien la multiplicación de monomio por polinomio, pero en la transposición de término no toma en cuenta que debe cambiar de signo, luego despejar la variable:

5x  4  2x  3 2 5 x  4  2(2 x  3) 5x  4  4 x  6 5 x  4 x  4  6 9 x  10 10 x 9

Indicador de logro: 9.5 Soluciona con seguridad ecuaciones de primer grado con una incógnita, con y sin productos indicados. (8º grado).


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Número de ítem: 9 La media aritmética de dos números enteros consecutivos es 8.5. El sucesor del mayor de los dos números enteros es Opciones de respuesta: A. B. C. D.

8 9 10 18

Respuesta correcta: C El alumno debe plantear una variable de la que desea encontrar un valor particular de acuerdo a condiciones dadas, para el caso habla de dos números enteros consecutivos cuya media aritmética es 8.5, quedando planteada y resuelta la situación de la manera siguiente:

x es un número x  1 el número consecutivo x  x 1  8.5 plantea la condición de igualdad 2 2 x  1  17 2 x  16 x8 x  1 es el número consecutivo x 1  9 el sucesordel mayor de los números consecutivo es 10

Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción. El alumno demuestra en este caso que sabe plantear la ecuación, la resuelve, pero se queda con el número original, no se percata que le piden de los dos números consecutivos el sucesor pero del número mayor, por eso procede así


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x es un número x  1 el número consecutivo x  x 1  8.5 plantea la condición de igualdad 2 2 x  1  17 2 x  16 x8 B. El alumno demuestra en este caso que sabe plantear la ecuación, la resuelve, pero confunde la indicación porque lo que hace es encontrar cuál de los dos números es el mayor, no encontró el sucesor de ese número mayor, es decir,

x es un número x  1 el número consecutivo x  x 1  8.5 plantea la condición de igualdad 2 2 x  1  17 2 x  16 x8 x  1 es el número consecutivo x 1  9 D. El alumno plantea la ecuación y la resuelve parcialmente, no logra dejar la incógnita sola, como se muestra:

x es un número x  1 el número consecutivo x  x 1  8.5 plantea la condición de igualdad 2 2 x  1  17 2 x  17  1  18

Indicador de logro: 9.6 Resuelve problemas utilizando ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita, en colaboración de sus compañeros.


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Número de ítem: 10 En una fiesta de San Valentín llegaron a una discoteca 700 estudiantes entre señoritas y caballeros. Cada señorita pagó $2 y cada caballero $4 y se recaudaron $1800, ¿cuántas señoritas y cuántos caballeros llegaron a la discoteca?

Respuesta: _____ señoritas y _______ caballeros. Respuesta correcta: Plantea y resuelve de forma correcta el sistema de ecuaciones, aplicando uno de los métodos de solución: Sean x: número de señoritas y: número de caballeros 1) x + y = 700 2) 2x + 4y = 1800

x + 2y = 900

x =900- 2y (ecuación 3)

Sustituyendo en (1) x + y = 700 se tiene que (900- 2y) + y = 700 o y= 200 Ahora, sustituyendo en (3) x =900- 2y, se tiene que x =900- 2(200) = 900 – 400 o x = 500 Significa que a la discoteca llegaron 500 señoritas y 200 caballeros.

Calificación del ítem 10 o o o o o

1 puntos: si coloca 500 señoritas y 200 caballeros en los espacios asignados, mostrando procedimiento completo. 0.5 puntos: coloca 200 señoritas y 500 caballeros en los espacios asignados, mostrando procedimiento completo. 0.5 puntos: Plantea correctamente el sistema, pero comete errores en los cálculos. 0.3 puntos: Muestra ideas de construir un sistema, pero lo hace incorrectamente. 0.0 puntos: otros procedimientos que no muestran idea alguna sobre un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas,

Indicador de logro: 2.14, 2.16, 2.18 (9º Grado): Resuelve con seguridad un sistema de ecuaciones lineales aplicando cualquiera de los métodos (Sustitución, igualación, reducción).


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Número de ítem: 11 Para la ecuación 5𝑥 + 3𝑥 2 = 2, las soluciones son: Opciones de respuesta: A. { 𝑥1 = 0.531 y 𝑥2 = -1.131 } B. {𝑥1 =

1 3

y 𝑥2 = −2}

C. { 𝑥1 = − D. {𝑥1 =

3 5

2 3

y 𝑥2 = -1 } 5 2

y 𝑥2 = − }

Respuesta correcta: B B. Utilizó correctamente la fórmula general o factoró y despejó correctamente la variable. a= 3, b= 5 y c= - 2

 (5)  (5)2  4(3)(2) = 2(3)

 5  49 = 6

 51  7 , 3 𝑦 −2 6

Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción: A. Desconoce que hay que igualar a cero la ecuación y ordenar los términos, por eso considera que a= 5, b= 3 y c= 2 C. Domina casi la totalidad del algoritmo, sin embargo erróneamente considera que c= 2, posiblemente desconoce que el signo del término independiente de incluirse, por eso considera que los valores de a, b y c son: a= 3, b= 5 y c= - 2 D. Posiblemente desconoce o confunde el algoritmo para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática con el de determinar el vértice de una parábola, por eso realiza cocientes entre los coeficientes de la ecuación. Indicador de logro: 5.8 (9°grado) Calcula las soluciones para ecuaciones cuadráticas, aplicando la fórmula general con orden y seguridad.


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Número de ítem: 12 ¿Cuál es el conjunto solución de la desigualdad 2𝑥 + 3 ≤ 3𝑥 + 7? Opciones de respuesta: A. B. C. D.

𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

∈ℝ∕𝑥 ∈ℝ∕𝑥 ∈ℝ∕𝑥 ∈ℝ∕𝑥

≤4 ≤ −4 ≥4 ≥ −4

Respuesta correcta: D Opera correctamente las propiedades de orden si a < b, entonces a + c < b + c, si a < b y c > 0, entonces ac < bc, y si a < b y c < 0, entonces ac > bc. de la siguiente manera: 2𝑥 + 3 ≤ 3𝑥 + 7 2𝑥 + 3 − 3 ≤ 3𝑥 + 7 − 3 2𝑥 ≤ 3𝑥 + 4 2𝑥 − 3𝑥 ≤ 3𝑥 − 3𝑥 + 4 −𝑥 ≤ 4 −1 −𝑥 ≥ −1 4 𝑥 ≥ −4 Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción: A. Aunque aplica correctamente que si a < b, entonces a + c < b + c, tiene dificultades para reducir términos semejantes porque en 2𝑥 − 3𝑥 ≤ 3𝑥 − 3𝑥 + 4 , en lugar de 2𝑥 − 3𝑥 = −𝑥 , concluye que es sólo “x”, lo cual es incorrecto, por eso concluye que 𝑥 ≤ 4. B. Aplica incorrectamente la propiedad que si a < b y c < 0, entonces ac > bc, aunque a diferencia del grupo anterior opera correctamente 2𝑥 − 3𝑥 ≤ 3𝑥 − 3𝑥 + 4, obteniendo −𝑥 ≤ 4. Confunde el resolver una desigualdad con una ecuación. Es decir, −𝑥 ≤ 4 lo deja como, 𝑥 ≤ −4 el cual es un desconocimiento de las propiedades de las desigualdades. C. Conoce la propiedad para cambiar el signo de expresiones como −𝑥 ≤ 4, olvida que -1 también debe multiplicarse por 4, por ello concluye que 𝑥 ≥ 4. Indicador de logro: 7.6 Utiliza las propiedades de orden de las desigualdades, con seguridad, en la solución de ejercicios.


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Número de ítem: 13 Para la desigualdad 𝑥 2 − 4𝑥 − 12 ≥ 0, su conjunto solución es Opciones de respuesta: A. B. C. D.

−∞, −3 𝑈 4, +∞ −∞, −4 𝑈 3, +∞ −∞, 3 𝑈 4, +∞ −∞, −2 𝑈 6, +∞

Respuesta correcta: D El estudiante comprende el procedimiento para resolver una desigualdad cuadrática. Reconoce que debe efectuar la factorización del trinomio y que en cada factor debe buscarse un número que lo haga cero. Luego construye un cuadro de variación de signos. Tiene muy claro que cuando el signo de una desigualdad es ≤ 𝑜 ≥ los corchetes deben ir cerrados. Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción: A. El estudiante que llega a esta opción, conoce como resolver una desigualdad cuadrática, pero no tiene claro el proceso de factorización del trinomio. Por ejemplo = (x – 4)(x -3), luego x – 4 = 0, x = 4 y también x - 3 = 0, x = 3. Además presenta dificultades con la ubicación de los corchetes, no identifica cuando van abiertos o cerrados. B. Desconoce cómo se factoriza trinomios de la forma x² + bx + c, sólo considera el término independiente, es decir, -12= -4(3) C. El estudiante comprende el procedimiento para resolver una desigualdad cuadrática, pero comete error al ubicar los corchetes, confunde cuando un intervalo es abierto o cerrado o la posición de los corchetes para tal caso. Indicador de logro: 7.11 Resuelve con seguridad, ejercicios y/ o problemas utilizando desigualdades cuadráticas con una variable.


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Número de ítem: 14 ¿Cuál de los siguientes pares ordenados corresponde al punto de intersección de f x = 3 y g x = 2𝑥 − 1?


3, −1 3,1 3,5 2,3

Respuesta correcta: D Identifica Correctamente que g(x) = f(x) = y, así que realiza la igualación 3 = 2𝑥 − 1 determinando que 𝑥 = 2 . Con esto puede determinar la ordenada, evaluando en g ó f. Por ejemplo, g(2)= 2(2) -1 = 4-1=3, concluyendo que 2,3 corresponde al punto de intersección.

Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción: A. No analiza o desconoce cómo determinar el punto de intercepción entre las funciones. O puede estar generalizando que los términos independientes de una función al cortar el eje de las “y”, ambos deben formar el punto de intercepción (3,-1), es decir, olvida que ambos son ordenadas. B. Estos estudiantes a diferencia del grupo anterior, desconoce que g(x) es -1 y no 1. También es posible que notan que sólo hay dos valores que no tienen variable, por ello las elijen cómo punto de intersección. C. Confunden a f(x) con la abscisa, cuando en realidad es la ordenada, posiblemente porque desconocen la interpretación de f(x). Por eso consideran que “ese supuesto valor de x” debe sustituirse o evaluarse en g(x) para obtener el valor de la ordenada, g(3) =5.

Indicador de logro: 9.3 Resuelve ejercicios y/o problemas aplicando las funciones constantes, con seguridad.


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Número de ítem: 15

En la siguiente figura, ¿cuál es el área de la región sombreada?


1.57 cm2 4.71 cm2 28.27 cm2 180 cm2

Respuesta correcta: B B. Aplica la fórmula sustituyendo los datos y efectúa correctamente las operaciones indicadas. 𝐴 =

𝜋𝑟 2 𝜃 360°

Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción: A. Aplica la fórmula sustituyendo los datos y efectúa las operaciones indicadas olvidando desarrollar la potencia (3cm)2 y multiplica: 𝜋 x 3cm x 60/360 C. Aplica la fórmula del área del círculo y no la del sector circular, confundiendo las fórmulas. A = 𝜋(3 cm)2 D. Desconoce la fórmula, considera la idea elemental de área, 60 x 3 = 180. Indicador de logro: 5.10: Determina, explica y usa con seguridad la fórmula para el cálculo del área de un sector circular.


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Número de ítem: 16 ¿De cuál de los triángulos mostrados se obtiene que la sec 

5 ? 2

Opciones de respuesta:

Respuesta correcta: A El alumno comprende que la razón proporcionada involucra a la hipotenusa y al cateto adyacente al ángulo dado, por lo tanto escoge el triángulo del literal A, ya que tiene los dos lados mencionados. Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción: B. Comprende que la razón proporcionada involucra a la hipotenusa, pero confunde que el cateto que le proporcionan es el opuesto al ángulo, lo cual no es correcto para la razón dada, ya que necesitaba el cateto adyacente al ángulo dado. C. El alumno no comprende que en este caso no le proporcionan el valor de la hipotenusa, sino sólo de los catetos, así que este triángulo no puede ser, ya que la razón proporcionada debe necesariamente considerar la hipotenusa. D. El alumno no comprende que este triángulo no es posible que se pueda construir ya que nunca la hipotenusa será menor que cualquiera de los catetos. Indicador de logro: 1.2 Soluciona ejercicios de razones trigonométricas con seguridad.


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Número de ítem: 17 Encontrar el valor del ángulo  del triángulo mostrado

Opciones de respuesta: A. 25° B. 36.87° C. 48.59° D. 41.43° Respuesta correcta: B El alumno comprende que para resolver la situación planteada debe plantear una razón trigonométrica, en la cual involucre el ángulo que se pide determinar. Para el caso 3 3 tan A   A  tan 1    A  36 .87 . 4 4 Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción. A. El alumno no sabe como determinar el ángulo, pero le es familiar aplicar el teorema de Pitágoras, resultándole un valor de 25 para el cuadrado de la hipotenusa, lo cual le cumple con la opción de respuesta que le proponen, evidentemente no comprende que le proporciona la fórmula del teorema de Pitágoras. C. El alumno comprende que para resolver la situación debe plantear una razón trigonométrica particular, en la cual involucre el ángulo que se pide determinar. Pero la razón trigonométrica no es la adecuada 3 3 senA   A  sen 1    A  48 .59 . 4 4 D. El alumno no tiene claridad cómo encontrar el ángulo, así que lo determina aplicando proporcionalidad, ya que entre los dos ángulos deben sumar 90°, y la dos lados suman 7, entonces aplicando una regla de tres supone que a 90° le corresponde 7, por lo tanto a 4 le debe corresponder un valor que le queda como incógnita para el que resuelve y determina que es 51.43°, pero coloca 41.43°. Indicador de logro: 1.2 Soluciona ejercicios de razones trigonométricas con seguridad.


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Número de ítem: 18 Un hombre de 1.75 m de estatura observa la parte alta de un poste de 18.25 m de altura, con un ángulo de elevación de 30°. La distancia horizontal que hay entre el hombre y el poste es

30°


28.58 50.00 31.61 33.00

m m m m

Respuesta correcta: A Plantea un triángulo rectángulo con las condiciones dadas (el ángulo de elevación, la altura del edificio descontando la altura del hombre: 18.25 -1.75 = 16.50), posteriormente plantea la razón trigonométrica que le involucre el ángulo y el lado dado. Considerando la distancia entre el hombre y el edificio como un lado desconocido del triángulo, pero que se puede determinar a partir de la razón trigonométrica planteada.

tan 30 

16.5 16.5 a  a  28.58 a tan 30


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Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción: B. El alumno se limita a sumar toda cantidad que se le presenta. C. El alumno plantea bien la razón trigonométrica que le proporciona la distancia que separa a la persona del edificio, pero no toma en cuenta que debió descontar la altura de la persona de la altura dada del edificio (18.25 - 1.75) D. El alumno al diseñar el triángulo y plantear la razón trigonométrica, calcula correctamente la altura que debe utilizar, pero la razón utilizada (sen 30°) no es la correcta, ya que estaría proporcionando la distancia desde la parte superior del edificio hasta la persona que observaba el edificio. Mientras que la distancia al edificio es considerada desde la persona hasta la parte baja del edificio. Indicador de logro: 1.8 Resuelve problemas con confianza elevación.

utilizando el ángulo de


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Número de ítem: 19 A partir del siguiente gráfico, ¿cuál es el dominio y el recorrido de la función

𝑓(𝑥) ?

Calificación del ítem 19. 

1 puntos: si coloca correctamente las dos respuestas. Dominio:

3, +∞

y

Recorrido:

−∞, 2



0.5 punto: si coloca correctamente solo uno de los datos.



0 puntos: si ninguna de las respuestas es correcta.

Indicador de logro: 4.12 Identifica y explica el dominio y recorrido de las funciones, de manera correcta y con autonomía.


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Número de ítem: 20 ¿En cuál figura están ubicados correctamente los puntos A(-2,0), B(3,0) y C(2,-3)?

Opciones de respuesta:

Respuesta correcta: B El estudiante identifica correctamente la ubicación de los puntos A (-2, 0), B (3, 0) y C (2, -3). Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción: A. Ubica correctamente el punto A (-2, 0), pero B (3, 0) lo confunde con (0,3) y C (2, -3) lo ubica correctamente. C. Confunde al ubicar los puntos (-2, 0) con (0,-2) y (0, 3) lo ubica correctamente. D. Confunde A (-2, 0) con (0,-2), y B (3, 0) con (0,3), únicamente ubica correctamente a C (2, -3) Indicador de logro: 4.2 Grafica pares ordenados en el plano cartesiano, con orden y aseo.


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Número de ítem: 21 Si f ( x)  x  3 y h( x)  x  4 , ¿cuál es el valor de 2

3 f (1)  5h2 ?

Opciones de respuesta: A. 24 B. 30 C. 36 D. − 6

Respuesta correcta: A El estudiante debe poder encontrar el valor de la imagen bajo cualquier regla de correspondencia para un determinado valor de “x”, para el caso interpretar





5h(2)  5(2)  4  52  4  56  30

3 f (1)  3  1  3  31  3  3 2  6 2

Luego efectuar la suma indicada que en este caso resulta 24. Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción. B. El estudiante evidencia que puede encontrar la imagen bajo una regla de correspondencia para un valor de “x”, su error está en haberlo encontrado sólo para el término 5h2  , determinando un valor de 30 , no tomó en consideración el término 3

f (1) . C. El estudiante evidencia poder encontrar la imagen bajo una regla de correspondencia para un valor de “x”. Su error está en la dificultad de aplicar ley de signos al multiplicar cantidades de distinto signo:





3 f (1)  3  1  3  31  3  3 2 6 2

Que sumada con el 30 de la otra expresión le resulta 36.


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D. El estudiante evidencia que puede encontrar la imagen bajo una regla de correspondencia para un valor de “x”, su error está en haberlo encontrado sólo para el término 3 f (1) , determinando un valor de  6 , no tomó en consideración el término

5h2  . Indicador de logro: 4.8 Interpreta las propiedades de las funciones y valora su importancia y utilidad al resolver diferentes situaciones.


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Número de ítem: 22

Distancia recorrida

Observa la siguiente gráfica que representa una situación que le ocurrió a Luisa, una estudiante de primer año de bachillerato, en el recorrido de su casa al instituto.

¿A cuál de las siguientes historias corresponde el gráfico?

Opciones de respuesta: A. Salí corriendo de la casa y luego empecé a caminar, posteriormente a correr. B. Salí corriendo de la casa y luego me detuve. C. Salí corriendo de la casa porque era tarde, corrí todo el tiempo. D. Salí corriendo de la casa; me detuve un momento y continué corriendo. Respuesta correcta: D El estudiante comprende el gráfico, interpreta sus diferentes trazos, en el primero observa que a medida que transcurre el tiempo al correr se distancia de su casa, en el segundo se mantiene a la misma distancia de su casa, es porque se detuvo, luego se sigue distanciando de su casa, es porque Luisa continuaba corriendo con rumbo al instituto. Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción: A. El estudiante tiene dificultad para interpretar los diferentes trazos de la gráfica ya que comete el error de no considerar que hubo un momento en que se detuvo, considera que en todo momento estuvo en movimiento, ya sea corriendo o caminando. B. El estudiante no interpreta adecuadamente la gráfica ya que no consideró que luego que se detuvo continuó corriendo. C. El estudiante no interpreta adecuadamente la gráfica, ya que no considera que hubo un momento donde el estudiante se detiene, sino que cree que en todo momento estuvo corriendo. Indicador de logro: 4.10 Interpreta, plantea y resuelve con confianza funciones reales de variable real a fenómenos de la cotidianeidad.


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Número de ítem: 23 Una empresa ofrece el siguiente plan para teléfonos: “Pagar $0.08 por cada uno de los primeros 30 minutos y adicional”.

$0.05 por cada minuto

La ecuación que permite determinar la cantidad a pagar por una persona que gasta más de 30 minutos es Opciones de respuesta: A. C(x) = 0.08 (30) + 0.05 (x - 30). B. C(x) = 0.08 (30) + 0.05 (30-x). C. C(x) = 0.08 (30) + 0.05 (x). D. C(x) = 0.08 + 0.05 (x). Respuesta correcta: A Identifica de forma correcta la relación entre las variables y selecciona la respuesta correcta: C(x): costo, x: número de minutos utilizados C(x) = 0.08 (30) + 0.05 (x-30). Interpreta que los primeros 30 minutos tienen un costo fijo de $0.08 por cada minuto y el resto un costo variable de $0.05 que dependerá de los minutos utilizados Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción: B. Toma los 8 centavos ($0.08) para cada uno de los primeros 30 minutos, como un pago fijo y los $0.05 como un costo variable, pero resta al contrario (a 30 le resta el número de minutos “x”), esto se debe a que desconoce la función que tiene el factor (30-x), el cuál generará resultados negativos en el gasto, lo cual es contradictorio, porque es un servicio a pagar. C. El estudiante identifica de forma correcta el costo fijo por cada uno de los primeros 30 minutos y el costo variable de $0.05, pero olvida restar los primeros 30 minutos que ya pagó a $ 0.08, o desconoce que al aceptar los factores 0.05 (x) como válidos cae en contradicción con las condiciones del planteamiento. Porque en la practica 0.08 (30) sería un recargo al consumo. D. Solamente ve el precio a pagar de 0.08 y lo toma como el total a pagar por los 30 minutos; identifica el costo variable para “x”, (el total de minutos utilizados). Lo que implicaría no sabe interpretar ni las condiciones de la situación ni los elementos de la expresión dada. Indicador de logro: 9.5 (1º Año Bach). Resuelve ejercicios y/o problemas aplicando las funciones lineales.


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Número de ítem: 24 Una recta pasa por el punto (3,-1) y tiene pendiente 2. Marca en el plano otro punto por el que pase la recta. Además, escribe las coordenadas de dicho punto en el espacio asignado.

5 4 3 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-1 -2 -3 -4 -5 -6

Calificación del ítem 24. 



1 punto: Si coloca uno de los puntos remarcados en el plano y su correcta escritura en el lugar asignado ya sea en notación (x , y) o x= , y= . Pueden ser cualquiera de las siguientes coordenadas (4,1), (5,3), (6,5), (2,-3), (1,-5), (0,-7), y su respectiva marcación en el plano cartesiano. 0 puntos: que sólo considere una coordenada para el caso 4, 5, 6, 2, 1, 0 como abscisa “x” o bien como 1, 3, 5, -3, -5, -7 como ordenada “y”. O que sólo ubique un punto en el plano en un lugar correcto o incorrecto.

Indicador de logro: 9.5 Resuelve ejercicios y/o problemas aplicando las funciones lineales.


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Número de ítem: 25 De las siguientes gráficas, la que corresponde a 𝐟 𝐱 = −𝟐𝐱 − 𝟏 es Opciones de respuesta:

A.

C.

B.

D.


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Respuesta correcta: B B. Comprende muy bien que dos puntos determinan una recta por ello sabe que para graficar 𝐟 𝐱 = −𝟐𝐱 − 𝟏 debe evaluar para dos valores de “x” cualesquiera. Por principio, evalúa para x =0, obteniendo y= -1. Y x =1, obteniendo y= - 3. Determinado que la opción B es la correcta. Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción. : A. Posiblemente todavía no diferencia entre los tipos de funciones, y cómo inferir o determinar su bosquejo con unos pocos puntos. C. Es posible que no sepa que dos puntos determinan una recta o interpreta incorrectamente los elementos de la función. Aunque la pendiente es negativa, no se intercepta con el eje “y” en -1. D. No comprende que dos puntos determinan una recta o ni el signo del coeficiente de la variable “x” ni del valor independiente (intercepto). Indicador de logro: 4.11 Grafica funciones de R en R y funciones en notación de funciones.


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Número de ítem: 26 La inversa de la función g x = 6x + 5 es

Opciones de respuesta: A. g(x)−1 = −6x − 5 B. g(x)−1 = x − 11 C. g(x)−1 = 6 x − 5 D. g(x)−1 =

x−5 6

Respuesta correcta: D D. Procede correctamente para determinar la función inversa de una función: g x = 6x + 5 x = 6g −1 + 5 x − 5 = 6g −1 x−5 6

= g −1 o g −1 =

x−5 6

Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción. : A. Confunde la inversa de una función con el opuesto de un número. B. Desconoce al algoritmo para la inversa de una función, por eso suma los datos observados. Además, puede que el término “inversa” lo asocie con el signo negativo. C. Conoce cómo determinar la función inversa de una función; sin embargo, tiene dificultades para despejar una variable en una ecuación, un factor lo pasa a multiplicar cuando tiene que pasarlo a dividir, así: g x = 6x + 5 x = 6g −1 + 5 x − 5 = 6g −1 6 x − 5 = g −1 Indicador de logro: 9.16 Resuelve ejercicios y/o problemas aplicando, con confianza, la función inversa.


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Número de ítem: 27 El gerente de una empresa de alimentos desea saber qué tanto varían los pesos de las bolsas de cereal (en gramos), que empacan en una determinada presentación. Decide para ello tomar al azar una muestra de 5 bolsas y pesarlas. Las medidas obtenidas fueron las siguientes: {490, 500, 510, 515 y 520}. ¿Cuál es el valor de la varianza muestral?

Respuesta correcta: ________gramos al cuadrado

Respuesta correcta: B Sabe que debe obtener la media de la muestra {490, 500, 510, 515 y 520} la cual 𝑥 = 507, luego utiliza 𝑆 2 =

x i −x 2 𝑛 −1

obteniendo que 𝑆 2 =

580 5−1

= 145 .

Calificación del ítem 27 o o o o o

1 puntos: si coloca 145 gramos al cuadrado o 145 en los espacios asignados, mostrando procedimiento completo. 0.5 puntos: confunde la varianza muestral con la varianza poblacional. Por ello coloca 116 o 116 gramos cuadrados 0.5 puntos: Calculo la varianza muestral, pero comete errores en los cálculos. . 0.3 puntos: Calcula la media aritmética o la mediana o la desviación típica, por ello escribe 507 o 510. 0.0 puntos: otros procedimientos incorrectos no descritos anteriormente.

Indicador de logro: 8.5 Calcula, con seguridad, la varianza poblacional y la varianza muestral para datos no agrupados y agrupados


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Número de ítem: 28 En una fábrica, el sueldo medio de los empleados es de $100 semanales con una desviación típica de $15. Con el propósito de disminuir el impacto de la crisis económica en los empleados, éstos recibieron un incremento general de $20 en su sueldo. ¿Cuál de las proposiciones siguientes es verdadera respecto de la desviación típica?


La nueva desviación típica será de $45. La nueva desviación típica será de $35. La nueva desviación típica será de $15. La nueva desviación típica será de $18.

Respuesta correcta: C conoce la propiedad que si a todos los datos de una distribución se le aumenta en una cantidad constante, la desviación típica no se ve alterada. Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción. A. no diferencia datos de media y desviación típica, lo que sabe hacer es calcular la media aritmética de los datos que él observa. B. desconoce el significado de media y desviación típica, considera que son la misma cosa, aplicando la propiedad de la media aritmética que si a todos los datos de una distribución se les incrementa en la misma cantidad, la media aritmética queda aumentada en la misma cantidad, por lo anterior el estudiante suma $15 con $20 resultándole $35. D. aplica una propiedad adecuada, aunque parte de una interpretación incorrecta de la información: como se dice que hay un aumento de $20 en la media, lo cual interpreta como un aumento de un 20%, lo cual es incorrecto ya que aumentarle $20 a cada uno, es muy diferente a aumentarle el 20% a cada uno. Partiendo que el aumento fue de 20% a cada uno, la desviación típica quedará aumentada en un 20%, es decir $15 + 20%($15) = $18. Indicador de logro: 8.10 Resuelve problemas de aplicación de las propiedades de la desviación típica a situaciones reales.


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Número de ítem: 29 En un concurso de “comer pupusas” participaron 11 personas, quienes comieron respectivamente, las siguientes cantidades: 18, 15, 75, 50, 25, 35, 52, 40, 30, 25, 32 ¿Cuántas pupusas se come la persona que se ubica en el cuartil tres (Q3) ?

Opciones de respuesta: A. 30 B. 50 C. 25 D. 75 Respuesta correcta: B B. El estudiante interpreta correctamente que debe calcular el cuartil 3 y realiza el procedimiento correcto: ordena los valores, determina la posición y luego el valor de dicha medida: 18, 15, 75, 50, 25, 35, 52, 40, 30, 25, 32 Ordenados: 15, 18, 25, 25, 30, 32, 35, 40, 50, 52, 75 3 (

n 1 11 1 )=3( ) = 9º posición. Valor del Q3 =50 pupusas. 4 4

Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción. : A. El estudiante comprende que debe calcular el tercer cuartil, encuentra correctamente la posición, pero olvida ordenar los datos: 18, 15, 75, 50, 25, 35, 52, 40, 30, 25, 32 3 

n 1 11 1 =3( ) = 9º posición. Valor de Q3 = 30 pupusas 4 4

C. Ordena los datos y determina la posición pero del primer cuartil, ya que interpreta equivocadamente lo que se le pide: 18, 15, 75, 50, 25, 35, 52, 40, 30, 25, 32 1 

n 1 11 1 =1( ) = 3º posición. Q1 = 25 pupusas. 4 4

D. Interpreta equivocadamente lo que se le pide y calcula la posición del primer cuartil; comete también el error de no ordenar los datos:18, 15, 75, 50, 25, 35, 52, 40, 30, 25, 32 1(

n 1 11 1 ) = 1( ) = 3º posición. Q1 = 75 pupusas. 4 4

Indicador de logro: 6.6 (1º Año Bach.) Resuelve, con seguridad, problemas que requieran de cuartiles, deciles y percentiles.


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Número de ítem: 30 En el departamento de Ahuachapán se tomó el peso de 100 estudiantes de primer año de bachillerato y se asoció la escala percentilar para diferentes valores de la variable, tal como se muestra a continuación: Peso ( en libras) 96

Percentil 2

102 111

5 10

118 132

25 50

140

80

165

96

De las siguientes proposiciones, ¿cuál es la correcta de acuerdo con la información presentada? Opciones de respuesta: A. El mayor peso fue de 165 libras. B. El menor peso de los estudiantes fue de 96 libras. C. El 10%de los estudiantes pesan 111 libras o menos. D. El 80% de los estudiantes pesan más de 140 libras. Respuesta correcta: C El estudiante en este caso interpreta adecuadamente el concepto de percentil como el porcentaje de observaciones menores o iguales que el valor de la variable, para el caso se tiene el percentil 10 asociado al peso de 111 libras, lo cual indica que un 10% de los alumnos pesan 111 libras o menos. Justificación de la respuesta del ítem y de las opciones. Posibles causas por las que los estudiantes seleccionaron una opción. A. El estudiante no comprende que la información que le da el percentil 96 asociado al peso de 165 libras establece que hay un 4% de personas con pesos mayores a 165 libras, el únicamente se fija en el mayor peso que indica la tabla. B. El estudiante no interpreta que la información que le da el percentil 2 asociado al peso de 96 libras establece que hay un 2% de personas con pesos menores a 96 libras, el únicamente interpreta el peso más bajo que observa.


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D. El estudiante confunde el percentil con el porcentaje de observaciones que está por arriba cuando lo correcto es el porcentaje de observaciones por debajo. Para el caso presentado un 80% de los estudiantes pesan 140 libras o menos, mientras el considera que un 80% pesa 140 libras o más. Indicador de logro: 6.5 Interpreta percentiles a partir de la escala percentilar


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