Respostas matematica

C1_1A_MAT_SORO_2013_Rose 18/09/12 08:27 Página 1

Potenciação – Radiciação – Fatoração – Módulos 1 – Definição de potência

9 – O que é fatorar, fator comum e agrupamento

de expoente inteiro n

10 – Diferença de quadrados

2 – Propriedades das potências

11 – Quadrado perfeito


12 – Soma de cubos e cubo perfeito


13 – Simplificação de

5 – Definição de raiz e existência

expressões algébricas

6 – Propriedades das raízes

14 – Simplificação de

7 – Propriedades das raízes

expressões algébricas

8 – Potência de expoente

15 – Exercícios complementares 16 – Exercícios complementares

racional e racionalização Al-Khawarizmi – Pai da Álgebra As palavras algarismo e algoritmo são derivadas do seu nome.

1

Definição de potência de expoente inteiro n

1. Potência com expoente n > 1

• Potência • Fatores • Expoente

Assim:

a– n

A potência de base a, a ∈ , e expoente n natural, n > 1, é o produto de n fatores iguais a a.

ou

Representa-se com o símbolo an. Assim:

1 a– n = ––– an

an = a . a . a … a n fatores

2. Potência com expoente n = 1 É a própria base a. Assim:

a1 = a

3. Potência com a ≠ 0 e n = 0 É sempre igual a 1. Assim:

a0 = 1

4. Potência com expoente – n É o inverso da base a, com a ⫽ 0, elevado ao expoente n ou simplesmente o inverso de an.

n

1 = –– a

Observe que: –3

2 ––– 3

=

–3

2 ––– 3

1 –––– 2 –– 3

= 3

=

3

, pois 3 ––– 2

3 1 . ––– 2

3

=

3 ––– 2

3

No Portal Objetivo Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT1M101

MATEMÁTICA

1


?

Saiba mais

O processo de cisão nuclear é o que libera a enorme energia das bombas atômicas. Na cisão nuclear, um nêutron se choca contra o núcleo de um átomo de urânio. Este núcleo absorve o nêutron, desintegra-se e emite três nêutrons. Cada um dos três nêutrons volta a se chocar com outro núcleo de urânio, que por sua vez se desintegra emitindo três nêutrons e assim sucessivamente.

Observe na tabela abaixo que o número de nêutrons obtidos após cada choque é sempre uma potência de base três. Números de nêutrons emitidos após o: 1o. choque

31 = 3

2o. choque

32 = 9

3o. choque

33 = 27

14o. choque

314 = 4782969

21o. choque

321 = 10460353203

Observe, ainda, que escrever 32 é praticamente tão simples quanto escrever 9. Escrever 321, porém, é muito mais cômodo do que escrever 10 460 353 203

Utilizando a definição de potência, calcular: a) 34 b) (– 3)4 c) 33 d) (– 3)3 e) – 33 f) – 34 Resolução a) 34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81 b) (– 3)4 = (– 3) . (– 3) . (– 3) . (– 3) = 81 c) 33 = 3 . 3 . 3 = 27 d) (– 3)3 = (– 3) . (– 3) . (– 3) = – 27 e) – 33 = – 3 . 3 . 3 = – 27

f) – 34 = – 3 . 3 . 3 . 3 = – 81 Observe que – 33 = (– 3)3, mas (– 3)4 ≠ – 34

Resolução

(MODELO ENEM) – A expressão numérica 32,01 . 20,97 –––––––––––––––––– está mais próxima de (2,98)3,01 . (1,98)1,02 a) 1 d) 0,9

Nas questões de a , utilizando as definições de potência

9 1 –1 = –––– = –– = 3 3 27

c) 3– 1

b) 3 e) 9

32 . 21 32,01 . 20,97 ––––––––––––––––––– –––––––– = 2,983,01 . 1,981,02 33 . 21

Resposta: C

20 = 1

de expoente inteiro, calcular:

23 = 2 . 2 . 2 = 8

24 = 2 . 2 . 2 . 2 = 16

(– 2)3 = (– 2) . (– 2) . (– 2) = – 8

(– 2)4 = (– 2) . (– 2) . (– 2) . (– 2) = 16

(1,3)0 = 1

(2,1)1 = 2,1

MATEMÁTICA

–––12

2– 3 =

– 23 = – 2 . 2 . 2 = – 8

– 24 = – 2 . 2 . 2 . 2 = – 16

2

(– 2)0 = 1

1 ––– 2

3

1 = ––– 8

–3

= (2)3 = 8


–2

16 –––34 = –––43 = ––– 9 2

2 0 (– 5)2 – 32 + –– 3 –––––––––––––––––– é igual a 1 1 3– 2 + –– + –– 5 2

102 = 10 . 10 = 100

(MACKENZIE)

3150 a) ––––– 17

103 = 10.10.10 = 1 000

104 = 10 000

b) 90

1530 c) ––––– 73

17 d) ––––– 3150

e) – 90

RESOLUÇÃO:

0

1 10 –1 = –––

2 (– 5)2 – 32 + –– 25 – 9 + 1 17 3 –––––––––––––––––– = ––––––––––––––––– = ––––––––––––––––– = 1 1 1 10 + 18 + 45 1 1 ––– + ––– + ––– ––––––––––––– 3– 2 + –– + –– 9 5 2 90 5 2

= 0,1

10

10 – 2 = –––– = 0,01

1 10 – 3 = ––––– = 0,001 1000

17 90 = 1530 = –––––– = 17 . –––– ––––– 73 73 73 –––– 90

1

100

Resposta: C

2a4

Propriedades das potências

Sendo a e b números reais, m e n números inteiros, valem as seguintes propriedades:

1. Potências de mesma base

am

.

an

=

am + n

am –––– = am – n n a

Para dividir, mantém-se o expoente e dividem-se as bases.

an

Para multiplicar, mantém-se a base e somam-se os expoentes. Para dividir, mantém-se a base e subtraem-se os expoentes. ,a⫽0

• Produto de potências • Quociente de potências

.

bn

=

(ab)n

an a n ––– = ––– bn b

, b⫽0

Exemplos a) 23 . 33 = (2 . 3)3 = 63 = 216 4 6 64 b) –––– = ––– = 34 = 81 24 2

3. Potência de potência

Exemplos a) 23 . 22 = 23 + 2 = 25 = 32 280 b) –––– = 280 – 78 = 22 = 4 278

2. Potências de mesmo expoente Para multiplicar, mantém-se o expoente e multiplicam-se as bases.

Para calcular a potência de outra potência, mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes.

(am)n = am . n Exemplos a) (22)3 = 22 . 3 = 26 = 64 b) (a2 . b3)2 = (a2)2 . (b3)2 = a2 . 2 . b3 . 2 = a4 . b6 MATEMÁTICA

3


Observações • Se os expoentes forem inteiros negativos, as propriedades também valem. Lembrar, porém, que nestes casos as bases devem ser diferentes de zero. • As propriedades têm a finalidade de facilitar o cálculo. Não é obrigatório o seu uso. Devemos usá-las quando for conveniente.

?

Saiba mais

Se a . 10p = N > 0, com 1 ⭐ a < 10 e p inteiro, então a . 10p é a notação científica de N. A notação científica de 320, por exemplo, é 3,2 . 102. A de 0,031 é 3,1 . 10–2. Qual a notação científica do número 414 . 521?

No Portal Objetivo

Resolução 414 . 521 = (22)14 . 521 = 228 . 521 = 27 . 221 . 521 =

Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT1M102

= 128 . 1021 = 1,28 . 1023 Resposta: 1,28 . 1023

Exercícios Resolvidos – Módulos 2 a 4

(MODELO ENEM) – Quantos algarismos tem 1011? Resolução

Observação:

(MODELO ENEM) – Sabendo-se que 1,09832 é aproximadamente igual a 20, qual dos valores abaixo está mais próximo do número 56 . (1,098)192? a) 100 mil. b) 1 milhão. c) 100 milhões. d) 1 bilhão. e) 1 trilhão.

1011 = 100 000 000 000 = 100 bilhões Resposta: 12

101 = 10 tem 2 algarismos: 1 seguido de 1 zero 102 = 10 . 10 = 100 tem 3 algarismos: 1 seguido de 2 zeros 103

= 10 . 10 . 10 = 1 000 tem 4 algarismos:

1 seguido de 3 zeros

Escrever dez milhões na forma de uma

potência de 10. Resolução

Resolução 56 . (1,098)192 =

10 milhões = 10 . 1 000 000 =

De modo análogo, podemos concluir que 1011 tem 12 algarismos: “1 seguido de 11 zeros”.

= 56 . (1,09832)6 56 . (20)6 = (5 . 20)6 =

= 10 000 000 = 107 Resposta:

= 1006 = (102)6 = 1012 = 1 trilhão

107

Resposta: E

Exercícios Propostos – Módulo 2 Nas questões de a , efetue as operações indicadas, utilizando as propriedades das potências, quando você julgar conveniente.

23 . 25 = 23 + 5 = 28 = 256

22 . 26 . 2– 3 = 22 + 6 + (–3) = 25 = 32

24 : 22 = 24 – 2 = 22 = 4

4

276 –––– = 276 – 74 = 22 = 4 274

MATEMÁTICA

3– 2 ––––– = 3–2 – (– 3) = 31 = 3 3– 3

(0,2)2 . (0,5)2 = (0,2 . 0,5)2 = (0,1)2 = 0,01

(– 0,4)3 –––––––– = (0,2)3

– 0,4 ––––– 0,2

(22)3 = 22 . 3 = 26 = 64

(23)2 = 23 . 2 = 26 = 64

3

= (– 2)3 = – 8


RESOLUÇÃO:

3

22 = 28 = 256

1 1 1 – ––2 ÷ – ––2 . – ––2 4

=

– ––21 . – ––21 + ––12

=

– ––2 + ––2

2

1

23 = 29 = 512

O valor da expressão numérica (22 . 2–3 . 3–1 . 33)2 é:

81 a) ––– 4

3

9 b) ––– 4

81 c) ––– 16

16 d) ––– 81

1

7

6

1

7

6

+ 2–7 =

7

=

1 1 = – –––– + –––– = 0 128 128

Resposta: E

9 e) ––– 16

RESOLUÇÃO: 1 81 (2 –1 . 32)2 = 2 – 2 . 34 = ––– . 81 = ––– 4 4

Resposta: A

a)

(MODELO ENEM) – A terça parte de 911 é igual a b) 910 c) 921 d) 273 e) 277

311

RESOLUÇÃO: 911 322 (32)11 –––– = –––––– = –––– = 321 = (33)7 = 277 3 3 3

Resposta: E

O valor da expressão numérica

– ––2 ÷ – ––2 . – ––2 1

4

1 a) ––– 2

1

b) – 1

1

3

c) – 2

6

+ 2–7 é

d) 2

e) 0

Exercícios Propostos – Módulo 3

Sendo a e b números reais diferentes de zero, o valor de . b2)3 ––––––––– é: (a2 . b3)2 (a3

a) a2b

b) a6

c) a5

d) b4

e) ab

a)

Se a = 23, b = a2, c = 2a, o valor de 2abc é: b) 818 c) 218 d) 415

215

e) 212

RESOLUÇÃO: 3 2abc = 2 . 23 . a2 . 2a = 2 . 23 . (23)2 . 22 = 2 . 23 . 26 . 28 = 218 Resposta: C

RESOLUÇÃO: a9 . b6 ––––––– = a5 . b0 = a5 a4 . b6 Resposta: C

Dos números abaixo, o que está mais próximo de (4,01)6.(32,1)7 –––––––––––––––– é (10,03)2 .(128,1)6

a) 0,0032

(FUVEST) – O valor de (0,2)3 + (0,16)2 é: a) 0,0264 b) 0,0336 c) 0,1056 d) 0,2568 e) 0,6256

RESOLUÇÃO: 0,008 + 0,0256 = 0,0336 Resposta: B

b) 0,032

c) 0,32

d) 3,2

e) 320

RESOLUÇÃO: (4,01)6 . (32,1)7 46 . 327 (22)6 . (25)7 –––––––––––––––– ≅ ––––––––––– = ––––––––––– = 2 6 2 6 (10,03) . (128,1) 10 . (128) 102 . (27)6 212 . 235 212 + 35 – 42 25 32 = ––––––––––– = ––––––––––– = ––––– = ––––– = 0,32 102 . 242 102 100 100 Resposta: C

MATEMÁTICA

5


3–1 + 5–1 O valor de ––––––––– é: 2–1

4 a) ––– 15

1 b) ––– 2

1 c) ––– 8

16 d) ––– 15

e) 4

RESOLUÇÃO: 1 1 5+3 –– + –– ––––– 3 5 15 8 2 16 –––––––– = –––––– = ––– . –– = ––– 1 1 15 1 15 ––– ––– 2 2

(FGV) – Se x = 3200000 e y = 0,00002, então xy vale a) 0,64 b) 6,4 c) 64 d) 640 e) 6400

Resposta: D

RESOLUÇÃO: x = 3200000 = 32 . 105 y = 0,00002 = 2 . 10– 5 x . y = 32 . 105 . 2 . 10 – 5 = 64 . 100 = 64 Resposta C

10–2 . 10– 3 . 10– 4 O valor de –––––––––––––––– é: 10–1 . 10– 6

a) 1

b) 0,1

c) 0,01

d) 0,001

e) 0,0001

RESOLUÇÃO: 10– 9 1 ––––– = 10–2 = –––– = 0,01 10– 7 100 Resposta: C


Se 75x = 32, então o valor de 7–2x será

1

a) –––

2

1

b) –––

5

c) 0,2

d) 0,04

e) 0,25

RESOLUÇÃO: 75x = 32 ⇔ (7x)5 = 25 ⇔ 7x = 2 ⇔ (7x) – 2 = 2– 2 ⇔ 1 ⇔ 7 – 2x = ––– ⇔ 7– 2x = 0,25 4

Dados: distância Terra-Lua = 400.000 km 1µm = 10– 6m a) 4,5 b) 1 c) 1,5 d) a fila não chegaria à Lua e) nenhuma das alternativas anteriores. RESOLUÇÃO: 1 trilhão = 1012 ⇒ 60 trilhões = 60 . 1012 30µm = 30 . 10 –6m 400000km = 4 . 105km = 4 . 105 . 103m

comprimento da fila (em metros) n = –––––––––––––––––––––––––––––––– distância Terra-Lua (em metros)

Resposta: E

60 . 1012 . 30 . 10–6 1800 . 106 n = –––––––––––––––––– = –––––––––– 5 3 4 . 10 . 10 4 . 108 18 . 108 n = ––––––––– = 4,5 4 . 108 Resposta: A

(MODELO ENEM) – Você, vestibulando, tem cerca de 60 trilhões de células formando o seu corpo. Estas células possuem tamanhos diversos, de comprimento médio 30µm. Suponha colocarmos uma célula atrás da outra, formando uma longa fila. Esta fila seria igual a quantas vezes a distância Terra-Lua?

6

MATEMÁTICA


(MACKENZIE) – O número de algarismos do produto

49

513 é

. a) 20

b) 22

c) 18

d) 15

e) 17

RESOLUÇÃO: 49 . 513 = (22)9 . 513 = 218 . 513 = 25 . 213 . 513 = = 32 . (2 .

5)13

= 32 .

1013

= 320000000000000

(FAAP) – Em 2010, a população prevista de nosso planeta atingirá 6 bilhões e 900 milhões de habitantes. Escrevendo esse número em notação científica, temos: a) 6,9 . 1011 b) 6,9 . 1010 c) 69 . 1011 d) 69 . 1010 e) 6,9 . 109 RESOLUÇÃO: 6 bilhões e 900 milhões = 6900000000 = 69 . 108 = 6,9 . 109 Resposta: E

13 zeros O número de algarismos de 49 . 513 é 15 Resposta: D

5

Definição de raiz e existência

1. Definição

• Índice da raiz • Raiz

• a > 0 e n par (e não nulo)

Seja a um número real e n um número natural não nulo. O número x é chamado raiz enésima de a se, e somente se, elevado ao expoente n reproduz a.

O número a possui duas raízes enésimas. Estas duas raízes são simétricas. A raiz enésima positiva de a,

x é raiz enésima de a ⇔ xn = a

também chamada de raiz aritmética de a, é representada

Exemplos a) O número 7 é uma raiz quadrada de 49, pois 72 = 49 b) O número –7 é uma raiz quadrada de 49, pois (–7)2 = 49 c) O número –3 é uma raiz cúbica de –27, pois (–3)3 = –27

simétrica da primeira, é representada pelo símbolo – a.

n

pelo símbolo a . A raiz enésima negativa de a, por ser n

Exemplo O número 16 tem duas raízes quartas. A raiz quarta 4

16 e vale 2. positiva de 16 é representada pelo símbolo A raiz quarta negativa de 16 é representada pelo símbolo 4

2. Existência

– 16 e vale – 2.

Da definição, conclui-se que determinar todas as raízes enésimas de a é o mesmo que determinar todas as soluções da equação xn = a. Temos, então, os seguintes casos a examinar:

• a = 0 e n ∈ *

Assim sendo: 4

16 = 2

4

– 16 = – 2

4

± 16 = ± 2

as raízes quartas de 16 são 2 e – 2.

A única raiz enésima de zero é o próprio zero e é ren

n

0 . Logo: 0 = 0, ∀n ∈ * presentada pelo símbolo

• a < 0 e n par (e não nulo) MATEMÁTICA

7


Não existe raiz índice par de número negativo. Exemplo

b) O número – 8 tem uma única raiz cúbica, que é re3

3

– 8 e vale – 2. Logo: –8 = – 2 presentada pelo símbolo Observações n a, dizemos que: a) No símbolo é o radical; a é o radicando; n é o índice da raiz

Não existe raiz quadrada de – 4, pois não existe nenhum número real x, tal que x2 = – 4.

• a ⫽ 0 e n ímpar

b) Por convenção, na raiz quadrada, omite-se o índice. 2

O número a possui uma única raiz enésima. Esta

Escreve-se, por exemplo, 4 em lugar de 4.

raiz tem o mesmo sinal de a e é representada pelo símn

No Portal Objetivo

a. bolo Exemplos


a) O número 8 tem uma única raiz cúbica, que é re3

3

8 e vale 2. Logo: 8 =2 presentada com o símbolo

(MODELO ENEM) – Assinale a falsa. a)

25 = 5

c) ± 25 = ± 5

b) – 25 = – 5 d)

25 = ± 5

e) (– 5)2 = 25 Resolução a) Verdadeira, pois a raiz quadrada positiva de 25 é 5.

3

6+

e) Verdadeira, pois (– 5)2 = (– 5) . (– 5) = 25. Resposta: D

raiz cúbica de 227. O valor aproximado de 3

e) 5

227 é: a) 5,4 d) 6,8 Resolução

1 + 9 =

2+ 2+

6+ 6+

3) 73 = 7 . 7 . 7 = 512

2 + 4 =

3

4) 216 < 227 < 512 ⇒ 6 < 227 < 7 3

2+2=

3

=

3

5) 3

3

227 ≅ 6,1, pois 227 está muito próximo de 216

6 + 4 = 6 + 2 = 8=2

Resposta: C

Resposta: B

Nas questões de a , completar:

c) 6,1

2) 63 = 6 . 6 . 6 = 216

3

=

b) 5,9 e) 7,1

1) 53 = 5 . 5 . 5 = 125

1+3 =

3

=

a raiz quadrada positiva de 25.

d) 4

3

c) Verdadeira, pois as duas raízes quadradas de d) Falsa, pois o símbolo 25 representa apenas

c) 3

3

=

25 são 5 e – 5.

1 + 9 é

2+

a) 1 b) 2 Resolução 6+

(MODELO ENEM) – Um dos números

apresentados abaixo é o valor aproximado da 6+

numérica

b) Verdadeira, pois a raiz quadrada negativa de 25 é – 5.

(MODELO ENEM) – O valor da expressão

As raízes quadradas de 25 são 5 e – 5

O valor da expressão

3

8 = 2

–8=–2

5

0 = 0

25 = 5

4

a) 3

3

76 +

31 –

c) 2

b) 4

38 – 8 é: d) 2 2

RESOLUÇÃO:

– 25 = – 5

± 25 = ± 5

4

4

A raiz quadrada positiva de 25 é 5

=

31 –

8

A raiz quadrada negativa de 25 é – 5

MATEMÁTICA

38 – 4

8

76 +

= 4

31 –

76 + 31 – 6 = 76 + 5 = 81 = 3

Resposta: A

4

3

76 +

38 – 2 =

e) 8


(MAUÁ) – Calcule o valor da expressão: 2 1 –– – –– 3 6 (2 + 4 ) ––––––––– + 82 + 62 1 1 + –– 3

alternativas é o valor aproximado da raiz cúbica de 389. O valor 3

389 é, aproximadamente: de a) 6,9

RESOLUÇÃO:

4–1 –––––– 6 –––––––– 3+1 –––––– 3

(2 + 2) .

b) 7,3

c) 8,1

d) 8,9

e) 9,4

RESOLUÇÃO: 63 = 6 . 6 . 6 = 216 + 64 + 36 =

73 = 7 . 7 . 7 = 343 83 = 8 . 8 . 8 = 512 3

Assim: 73 < 389 < 83 ⇔ 7 < 389 < 8 ⇒

1 3 3 23 = ––– = 4 . ––– . ––– + 100 + 10 = ––– 2 4 2 2

(MODELO ENEM) – Um dos números apresentados nas

3

389 7,3

Resposta: B

Decomponha 2401 em fatores primos e em seguida calcule

4

2401 . RESOLUÇÃO: 2 401 7 343 7 49 7 7 7 1 74

4

4

2401 = 74 = 7

Propriedades das raízes

6e7

Sendo a e b números reais positivos e n um número natural não nulo, valem as seguintes propriedades:

Para multiplicar, mantém-se o índice e multiplicamse os radicandos. Para dividir, mantém-se o índice e dividem-se os radicandos. n

n

a . b = a.b

a –––– = n b

n

3

3

3

3

24

3 = 3

Calcular a raiz e em seguida a potência é o mesmo que calcular a potência e em seguida a raiz.

( a ) = a m

n

,m∈

Exemplos a)

3

4

b)

3. Raiz de potência

,b⫽0

Exemplos a) 2 . 4 = 8=2

64 = 64 = 2

m

a ––– b

3

6

3

n

n

n

Exemplos a)

1. Radicais de mesmo índice

• Raiz de raiz • Raiz de potência • Radicais de mesmo índice

3

b) 32 : 4 = 8=2

5

45 = ( 4) 3

3

= 25 = 32

2

b) 82 = ( 8 ) = 22 = 4

2. Raiz de raiz

4. Alteração do índice

Para calcular uma raiz de outra raiz, mantém-se o radicando e multiplicam-se os índices.

Multiplicar ou dividir índice e expoente por um mesmo número não altera o resultado.

n

a = m

n.m

a

n, m ∈ *

n

np

am = amp

, m ∈ , p ∈ * MATEMÁTICA

9


Exemplos 4

2

8

22 = 21 = 2 a)

4

No Portal Objetivo

4

b) 26 = 23 = 8

Observação Mantidas as respectivas restrições, as propriedades apresentadas são válidas também para a e b negativos, desde que nestes casos o índice seja ímpar.


Exercícios Resolvidos – Módulos 6 e 7 Escrever o número 768 na forma a . b,

Resolução

com {a, b} e b primo.

1)

Resolução 1)

2)

768 = 28 . 3 = 28 . 3 = 24 . 3 = 16 3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

54 = 33 . 2 = 33 . 2 = 3 . 2

3)

54 + 250 = 3 . 2 + 5 . 2 = 8 . 2

3

Resolução

54 + 250 na forma a . b com

1) mmc(3,4) = 12

4.3

3) 31 = 3

3

3

3

12

4

12

=

12

12

16 . 27 =

12

2 = 63 . 2 = 63 . 2 = 432 6

12

31. 3 = 33 = 27

2 . 3= 4)

3

12

21 = 21. 4 = 24 = 16

4

3

3

12

16 . 27 = 432

3

12

Resposta: 432

{a, b} e b primo.

3.4

3

2)

Escrever 6 2 na forma a com a ∈

3

3

Resolução

3

3

3

3

4

n

possível de n.

Resposta: 8 2

3

3

3

3

(MODELO ENEM) – Escrever 2 . 3 na

forma a, com {a, n} e para o menor valor

250 = 53 . 2 = 53 . 2 = 5 . 2

Resposta: 16 3 Escrever a expressão numérica

2)

Decompondo 768 em fatores primos

obtemos 28 . 3.

3

Resposta:

432

Exercícios Propostos – Módulo 6 Nas questões de dades:

3

3

a , completar, utilizando as proprie-

Resposta: D

3

9 . 3 = 27 = 3

20

––––– = 4 = 2 81 = 81 = 3 4

3

3

642 = ( 64 ) 8:2

8

=

2

= (4)2 = 16 4

3

3

Escrever 56 + 189 na forma de um único radical.

RESOLUÇÃO: 56 2 28 2 14 2 7 7 1 23 . 7

5

26

= 2 2 – 2 . 3 . 2 + 5 2 = 2

4

26:2 = 23 = 8

12 = 22 . 3 = 22 . 3 = 2 3

3

3

56 + 189

189 3 63 3 21 3 7 7 1 33 . 7 3

3

3

= 2 7 + 3 7 = 5 7=

3

3

3

53 . 7 = 125 . 7 = 875

(MODELO ENEM) – O número 2352 corresponde a:

7 a) 4

b) 4 21

c) 28 3

d) 28 21

e) 56 3

RESOLUÇÃO: Decompondo 2352 em fatores primos, obtemos 24 . 3 .72.

8 – 72 + 5 2 = x, logo x é igual a b) 3 2 c) 2 2 d) 2 e) 2 3

(UNIMES)

2 a) 4

RESOLUÇÃO: 2 .2 – 8 – 72 + 5 2 = x ⇒ x = 2 22 . 2 . 32 + 5 2=

10

MATEMÁTICA

= Logo, 2352 24 .3 .72 = 24 . 3 . 72 = 22 . 3 . 7 = 28 3 Resposta: C


Exercícios Propostos – Módulo 7 Nas questões de radical:

3

5 . 2 =

a , escrever na forma de um único

2.3

3.2

6

6

3

2

12

4

12

16

——– = –––––– = –––––– = 3

6

51 . 3 . 21.2 = 53 . 22 = 500

12

24

12

33

27

3

4

3

6

2 . 3 . 5 =

12

=

12

12

12

23 . 34 . 52 =

3

. . = 16 200 34

52

12

=

2 5 = 22 . 5 = 20

16 ––– 27

12

2 24 2 2 –––– = –––––––– = ––––– = ––––––– = 4 3 12 12 3 4 3

3

12

23

12

24 ––– = 3

12

3

3

16 ––– 3

4

3

(UNICAMP) – Dados os dois números positivos 3 e

4

4,

determine o maior.

=

2 2 2 = 4 . 2 2 = 8 2 =

64 . 2 =

8

RESOLUÇÃO: 3

12

12

4

12

12

3 = 34 = 81 8

128

4 = 43 = 64

3

3

⇒ o maior é

Potência de expoente racional e racionalização

1. Definição de potência de expoente racional Seja a um número real positivo, n um número natural m não nulo e ––– um número racional na forma irredutível. n m A potência de base a e expoente racional ––– é n definida por: m ––

an =

n

am

• Número racional • Raiz de potência

Exemplos 3 –– 4

a) 2

1 –– 3

4

23 =

b) 2

3

2. Racionalização Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar os radicais do denominador, sem alterá-la. Exemplos 2 2 1 1 a) –––– = –––– . –––– = –––– 2 2 2 2 3

Valem para as potências de expoente racional as mesmas propriedades válidas para as potências de expoente inteiro.

3

= 21 = 2

3

3

3 2 2 2 2 2 2 2 2 b) –––– = –––– . –––– = ––––– = ––––– = 3 3 3 3 2 4 4 2 8

MATEMÁTICA

11


?

Saiba mais

POR QUE RACIONALIZAR? 1 2 Porque é muito mais simples calcular –––– do que –––– , por exemplo. 2 2 De fato:

2 calcular –––– significa dividir 2

a)

2 ≅ 1,4142 por 2, ou seja 1,4142

1 2 ≅ 1,4142, ou seja b) calcular –––– significa dividir 1 por 2

1

2

1,4142

É óbvio que é mais fácil efetuar a primeira divisão.


2

3 + 160,25 é: O valor da expressão numérica 27 –––

a) 8

b) 9

c) 10

d) 11

e) 12

Resolução 2 2.3 2 –– –––– –– 1) 27 3 = (33) 3 = 3 3 = 32 = 9

2) 160,25 = (24)0,25 = 24 . 0,25 = 21 = 2 2 –– 3) 27 3 + 160,25 = 9 + 2 = 11

Escrever cada potência na forma de radical: 2 –– 3

a) 2

1 –– 5

b) 3

1 –– 2

c) 5

3

n 2 Escrever o número ––––– na forma a, com {a, n} e a primo. 4

8 Resolução 1o. método

4

4

4

4 2 2 . 2 . 2 2 2 2 ––––– = ––––– . ––––– = –––––––– = –––––––– = 2 4 4 4 4 2 2 16 8 8

2o. método 3

1

1 – –– –– 4 2 2 4 =24 = ––––– = ––––– = 2 2 4

8

Resposta: D

3 ––

24

(FUVEST) a) Qual a metade de 222?

3

= 22 = 4 5

RESOLUÇÃO: 222 –––– = 222 – 1 = 221 2

5

= 31 = 3

2 ––

b) Calcule 8 3 + 90,5

2

= 51 = 5

RESOLUÇÃO: 2 – –– 3

d) 2

12

3

= 2– 2 =

3

1 1 ––– = –––– 3 4 4

MATEMÁTICA

2 ––

2 ––

8 3 + 90,5 = (23) 3 + (32)0,5 = 22 + 31 = 4 + 3 = 7


��

ou

Calcule o valor numérico da expressão 1 – –– 4

3

– 8 + 16 – 兹苵苵苶

冢

–

1 – ––– 2

冣

–2

4 – –– 3

1 – –– 4

3

= 2 + (24)

1 – –– 4

–

1

冢 – ––– 2 冣

–2

+8

[(– 2)– 1]

82

3

3

2

1 –– 2

= (23 – 22)

1 –– 2

1 –– 2

= 4 = 兹苵苵 4=2

Resposta: B

4 – –– 3

+8

–2

–

3

43

RESOLUÇÃO: – 兹苵苵苶 – 8 + 16

1 –– 2

( 兹苵苵苵 – 兹苵苵苵) = [(兹苵苵4 ) – ( 兹苵苵8 ) ] 2

=

4 – –– 3

+ (23)

Nas questões �� e ��, racionalizar o denominador das seguintes frações:

= 2 + 2 –1 – (– 2)2 + 2 –4 =

1 1 32 + 8 – 64 + 1 – 23 = 2 + ––– – 4 + ––– = ––––––––––––––– = ––––– 2 16 16 16

��

2 —— 兹苶 3

RESOLUÇÃO: 2 3 2兹苵苵兹苵苵 3 –––– . –––– = ––––– 3 兹苵苵 3 兹苵苵 3

��

(MODELO ENEM) – O valor da expressão

冢4

3 –– 2

2 –– 3

–8

冣

1 –– 2

é: a) 4

4

c) 兹苶 2

b) 2

8

d) 兹苶 2

e) 兹苶 2

RESOLUÇÃO: 3 –– 2 (22)

[

–

1 2 –– –– 3 2 (23)

] =[

9

23

–

1 –– 2 22

]

[

]

= 8– 4

1 –– 2

1 –– 2

=4

��

1 ——– 5

兹苶 8

RESOLUÇÃO:

5

22 兹苵苵苵 1 1 兹苵苵苵 4 –––– = –––––– . ––––– = –––– 5 5 5 2 兹苵苵 8 兹苵苵苵 23 22 兹苵苵苵 5

= 兹苵苵 4=2

O que é fatorar, fator comum e agrupamento

1. O que é fatorar? Fatorar é transformar soma em produto. A expressão ax + ay, por exemplo, não está fatorada, pois é a soma da parcela ax com a parcela ay. A expressão a . (x + y) está fatorada, pois é o produto do fator a pelo fator (x + y). É simples verificar que ax + ay = a . (x + y). Fatorar a expressão ax + ay, portanto, é transformála no produto a . (x + y). A maneira prática de fatorar é enquadrar a expressão dada num dos seis casos típicos seguintes: fator comum, agrupamento, diferença de quadrados, quadrado perfeito, soma e diferença de cubos, cubo perfeito.

2. Fator comum A expressão ax + bx é a soma de duas parcelas. A primeira parcela a . x é o produto do fator a pelo fator x. A segunda parcela b . x é o produto do fator b pelo

• Fatorar • Fator comum • Agrupamento

fator x. Assim sendo, x é fator comum às duas parcelas. Este fator comum pode ser colocado em evidência transformando a soma no produto do fator x pelo fator (a + b).

ax + bx = x.(a + b) Observe como fazer

Exemplos a) 2m + 2n = 2 . (m + n) b) 3x + 6y = 3 . (x + 2y) c) a2b + ab2 + a2b3 = a . b . (a + b + ab2) d) 2x3 + 4x2 + 6x = 2 . x . (x2 + 2x + 3) e) 3x3 + 4x3 – 2x3 + x3 = x3 . (3 + 4 – 2 + 1) = x3 . 6 = 6x3 MATEMÁTICA

13


3. Agrupamento

Exemplos a) ax + ay + 2x + 2y = a (x + y) + 2. (x + y) =

A expressão ax + bx + ay + by é a soma de quatro parcelas e não existe nenhum fator comum às quatro. Agrupando, porém, ax + bx, podemos colocar x em evidência, e agrupando ay + by, podemos colocar y em evidência. Desta forma, a expressão será transformada em duas parcelas, e em ambas vai aparecer um novo fator comum, a + b, que pode ser novamente colocado em evidência.

= (x + y) . (a + 2) b) mn + 3m + 4n + 12 = m . (n + 3) + 4 . (n + 3) = = (n + 3) . (m + 4)

ax + bx + ay + by = (a + b).(x + y)

No Portal Objetivo

Observe como fazer ax + bx + ay + by = x.(a + b) + y.(a + b) =


= (a + b) . (x + y)

Fatorar a expressão a4 + a3 + a2

+

a3

+

a2

Fatorar a expressão ab + 2a + b + 2

Resolução

Resolução a4

=

a2

.

(a2

+ a + 1)

ab + 2a + b + 2 = a . (b + 2) + 1 . (b + 2) = (b + 2)(a +1)

Fatore as expressões de a :

bx – ab + x2 – ax = b(x – a) + x(x – a) = (x – a) (b + x)

ac + ad = a(c + d)

xy + 3y – 2x – 6 = x(y – 2) + 3(y – 2) = (y – 2) (x + 3)

2x2 – 3xy = x(2x – 3y)

6x2 – 4ax – 9bx + 6ab = 2x(3x – 2a) – 3b (3x – 2a) = = (3x – 2a) (2x – 3b)

36x2y2 – 48x3y4 = 12x2y2(3 – 4xy2) xy + 3y + x + 3 = x(y + 1) + 3(y + 1) = (y + 1) (x + 3)

ab + ac – b – c = b(a – 1) + c(a – 1) = (a – 1)(b + c)

ab + a + b + 1 = a(b + 1) + b + 1 = (b + 1) (a + 1)

ab + a – b – 1 = a(b + 1) – (b + 1) = (b + 1) (a – 1)

3x2 + 6x3 + 12x4 = 3x2(1 + 2x + 4x2)

10a2b3c4 – 15a3b2c4 – 30a4b3c2 = 5a2b2c2(2bc2 – 3ac2 – 6a2b)

ac + bc + ad + bd = a(c + d) + b(c + d) = (c + d)(a + b)

14

MATEMÁTICA


10

Diferença de quadrados

A diferença entre dois quadrados (a2 – b2) é igual ao produto da soma (a + b) pela diferença (a – b). Assim:

Exemplos a) 4x2 – 1 = (2x)2 – 12 = (2x + 1) . (2x – 1) b) x4 – b4 = (x2)2 – (b2)2 = (x2 + b2) . (x2 – b2) = = (x2 + b2) . (x + b) . (x – b) c) (a + 1)2 – 36 = (a + 1)2 – 62 = = [(a + 1) + 6] . [(a + 1) – 6] = (a + 7) . (a – 5)

a2 – b2 = (a + b) . (a – b) Observe a justificativa

d) 4 – (x – y)2 = 22 – (x – y)2 = [2 + (x – y)] . [2 – (x – y)] = = (2 + x – y ) . (2 – x + y)

(a + b) . (a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2

Fatorar a expressão 16a4 – 49a2

Resolução

• Soma vezes diferença (a + b) . (a – b)

2

Escreva a fração

1 –––––––––––– 3 2 – 2 3

a na forma ––– com a ∈ b

16a4 – 49a2 = a2 . (16a2 – 49) =

eb∈

= a2 . [(4a)2 – 72] = a2 . (4a + 7)(4a – 7)

Resolução 1 1 3 2 + 2 3 ––––––––––– = ––––––––––– . ––––––––––– = 3 2 – 2 3 3 2 – 2 3 3 2 + 2 3

Qual o valor de 23542 – 23532?

Resolução 23542 – 23532 = (2354 + 2353)(2354 – 2353) = = (2354 + 2353) . 1 = 4707 Resposta: 4707

2

3 + 2 )( 3 – 2 ) = ( 3) – ( 2) = 3 – 2 = 1 e) (

3 2 + 2 3 3 2 + 2 3 2 + 2 3 3 = –––––––––––––– = –––––––––––––– = –––––––––––––– (3 2)2 – (2 3)2 18 – 12 6 3 2 + 2 3 Resposta: –––––––––––– 6


Fatore as expressões de a :

x2 – y2 = (x + y) (x – y)

25x2 – 4y2 = (5x + 2y) (5x – 2y)

36m2 – 100n2 = (6m + 10n) (6m – 10n)

1 – m2n4 = (1 + mn2) (1 – mn2)

y2 – 1 = (y + 1)(y – 1)

121 – 169a2b2 = (11 + 13ab) (11 – 13ab)

y4 – 16 = (y2 + 4)(y2 – 4) = (y2 + 4) (y + 2) (y – 2)

(2x + y)2 – (x – 2y)2 =

= [(2x + y) + (x – 2y)] [(2x + y) – (x – 2y)] = = (3x – y) (x + 3y)

MATEMÁTICA

15


�� Simplifique a expressão, supondo o denominador diferente de zero. ab + a + b + 1 a(b + 1) + b + 1 ——————— = –––––––––––––––– = 2 a –1 (a + 1) (a – 1)

쐅

兹苵苵2 Racionalize o denominador da fração –––––––––– . 兹苵苵3 – 兹苵苵2

RESOLUÇÃO:

兹苵苵3 + 兹苵苵2 兹苵苵2 兹苵苵2 –––––––––– = –––––––––– . ––––––––––– = 兹苵苵3 + 兹苵苵2 兹苵苵3 – 兹苵苵2 兹苵苵3 – 兹苵苵2

(b + 1) (a + 1) b+1 = –––––––––––––– = ––––––– (a + 1) (a – 1) a–1

兹苵苵2 (兹苵苵3 + 兹苵苵2 ) 兹苵苵6 + 兹苵苵4 = ––––––––––––––– = –––––––––– = 兹苵苵 6+2 2 2 3–2 (兹苵苵3 ) – (兹苵苵2 )

11

Quadrado perfeito

• Quadrado da soma • Quadrado da diferença

O quadrado da soma de duas parcelas, (a + b)2, é igual ao quadrado da primeira parcela, a2, somado com o dobro do produto das duas parcelas, 2ab, somado com o quadrado da segunda parcela, b2.

Exemplos a) 4a2 + 4ab + b2 = (2a)2 + 2 . 2a . b + b2 = = (2a + b)2 b) 36 – 12x + x2 = 62 – 2 . 6 . x + x2 = (6 – x)2

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 O quadrado da diferença entre duas parcelas, (a – b)2, é igual ao quadrado da primeira parcela, a2, menos o dobro do produto das duas parcelas, 2ab, mais o quadrado da segunda parcela, b2.

a 2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2 Observe as justificativas (a + b)2 = (a + b).(a + b) = a2+ ab + ab + b2 = a2+ 2ab + b2

?

Saiba mais

Não confunda o quadrado da diferença, que é (a – b)2, com a diferença de quadrados, que é a2 – b2. Note que: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 a2 – b2 = (a + b) . (a – b) Note, ainda, pelo exemplo numérico, que: (5 – 2)2 = 32 = 9 52 – 22 = 25 – 4 = 21

(a – b)2 = (a – b).(a – b) = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2


��

Fatorar a expressão 49 – 14x + x2

��

Fatorar a expressão a2 + b2 – (2ab + c2)

Resolução

Resolução

49 – 14x + x2 = 72 – 2 . 7 . x + x2 = (7 – x)2

a2 + b2 – (2ab + c2) = a2 + b2 – 2ab – c2 = = (a – b)2 – c2 = [(a – b) + c] . [(a – b) – c] = (a – b + c)(a – b – c)

16

MATEMÁTICA


2) (a – 1)2 + 4a = a2 – 2a + 1 + 4a = a2 + 2a + 1 = (a + 1)2 (a + 3)2 – 4 (a + 5)(a + 1) a+5 3) ––––––––––––– = –––––––––––– = ––––––– (a – 1)2 + 4a (a + 1)2 a+1

(MODELO ENEM) – O valor da expressão algébrica (a + 3)2 – 4 ––––––––––––– para a = 135 é (a – 1)2 + 4a

Resolução

4) Para a = 135, o valor da expressão dada será: 135 + 5 140 35 ––––––––– = –––– = –––– 135 + 1 136 34

1) (a + 3)2 – 4 = (a + 3)2 – 22 = [a + 3 + 2] . [a + 3 – 2] = (a + 5).(a + 1)

Resposta: B

De a , desenvolver:

a) 1

b)

35 –––– 34

c)

34 –––– 35

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(x – y)2 = x2 – 2xy + y2

(2 – x)2 = 4 – 4x + x2

(3a – 2b)2 = 9a2 – 12ab + 4b2

d)

3 –––– 19

e)

19 –––– 8

9x4 = 3x2

x2 = x

x2 + 2xy + y2 – 1 = (x + y)2 – 1 = [(x + y) + 1][(x + y)– 1] =

= (x + y + 1)(x + y – 1)

m2 + 2m + 1 = (m + 1)2 ↓ ↓

m2 = m

16y2 = 4y

25 – 10x + x2 = (5 – x)2 ↓ ↓

25 = 5

De a , fatorar:

9x4 – 24x2y + 16y2 = (3x2 – 4y)2 ↓ ↓

Simplificar a fração, supondo o denominador diferente de zero.

1 = 1

5(x2 – 1) 5(x + 1) (x – 1) 5x2 – 5 5(x + 1) —––———— = ––––––––– = –––––––––––––– = –––––––– 2 x – 2x + 1 (x – 1)2 (x – 1)2 x– 1

4y2 + 4y + 1 = (2y + 1)2 ↓ ↓

4y2 = 2y 1=1

12

Soma de cubos e cubo perfeito

• Soma de cubos • Diferença de cubos • Cubo da soma • Cubo da diferença

1. Soma de cubos

2. Diferença de cubos

A soma de dois cubos, a3 + b3, é igual ao produto do fator (a + b) pelo fator (a2 – ab + b2).

A diferença entre dois cubos, a3 – b3, é igual ao produto do fator (a – b) pelo fator (a2 + ab + b2).

a3 + b3 = (a + b) . (a2 – ab + b2)

a3 – b3 = (a – b) . (a2 + ab + b2)

Observe a justificativa


(a + b) . (a2 – ab + b2) =

(a – b) . (a2 + ab + b2) =

= a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3 = a3 + b3

= a3 + a2b + ab2 – a2b – ab2 – b3 = a3 – b3

MATEMÁTICA

17


3. Cubo da soma

4. Cubo da diferença

O cubo da soma de duas parcelas, (a + b)3, é igual ao cubo da primeira parcela, a3, mais três vezes o quadrado da primeira pela segunda, 3 . a2 . b, mais três vezes a primeira pelo quadrado da segunda, 3 . a . b2, mais o cubo da segunda parcela, b3.

O cubo da diferença entre duas parcelas, (a – b)3, é igual ao cubo da primeira parcela, a3, menos três vezes o quadrado da primeira pela segunda, 3 . a2 . b, mais três vezes a primeira pelo quadrado da segunda, 3 . a . b2, menos o cubo da segunda parcela, b3.

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3 Observe a justificativa


(a + b)3 = (a + b) . (a + b)2 = (a + b) . (a2 + 2ab + b2) =

(a – b)3 = (a – b) . (a – b)2 = (a – b) . (a2 – 2ab + b2) =

= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 =

= a3 – 2a2b + ab2 – a2b + 2ab2 – b3 =

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

?

Saiba mais

Não confunda o cubo da soma, que é (a + b)3, com a soma de cubos, que é a3 + b3. Note que: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 a3 + b3 = (a + b) . (a2 – ab + b2) Note, ainda, pelo exemplo numérico, que: (3 + 2)3 = 53 = 125 33 + 23 = 27 + 8 = 35 De modo análogo, não confundir o cubo da diferença com a diferença de cubos. Note que: (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 a3 – b3 = (a – b) . (a2 + ab + b2)

Desenvolva a expressão (a – 1)(a2 + a + 1), usando a propriedade distributiva. Resolução (a – 1).(a2 + a + 1) = = a3 + a2 + a – a2 – a – 1 = a3 – 1

Utilizando o exercício anterior, simplificar a

a3 – 1 +a+1 Resolução

a3 – 1 (a – 1).(a2 + a + 1) ––––––––––– = ––––––––––––––––––– = a – 1 a2 + a + 1 a2 + a + 1

(a – 2)3 = a3 – 3 . a2 . 2 + 3 . a . 22 – 23 =

MATEMÁTICA

3)

= a3 – 6a2 + 12a – 8

Calcular o valor da expressão algébrica

a3 – 6a2 + 12a – 8 –––––––––––––––––– = a2 – 2a + 4 (a – 2)3 = –––––––– = a – 2 (a – 2)2

para a = 132 4) Para a = 132, o valor da expressão é

Resolução 1) a3 – 6a2 + 12a – 8 = ( a – 2)3 conforme exercício anterior.

Desenvolva a expressão (x + 1)(x2 – x + 1), usando a propriedade distributiva

18

2) a2 – 2a + 4 = (a – 2)2

Resolução:

a3 – 6a2 + 12a – 8 –––––––––––––––––– a2 – 2a + 4

expressão ––––––––––– .

a2

Desenvolver (a – 2)3

132 – 2 = 130 Resposta: 130

RESOLUÇÃO: (x + 1) . (x2 – x + 1) = x3 – x2 + x + x2 – x + 1 = x3 + 1


Utilizando o exercício anterior, e supondo x2 ≠ 1, simplifique

x3

+1

x2

–1

Utilizando o exercício anterior, simplifique a expressão

a expressão ––––––– .

8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 ––––––––––––––––––––––––––– , supondo 4x2 ≠ 9y2. (4x2 – 9y2)(4x2 + 12xy + 9y2)

RESOLUÇÃO: x3 + 1 (x + 1) . (x2 – x + 1) x2 – x + 1 ––––––– = –––––––––––––––––––– = –––––––––––– x2 – 1 (x + 1).(x – 1) x–1

RESOLUÇÃO:

8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 ––––––––––––––––––––––––––––– = (4x2 – 9y2)(4x2 + 12xy + 9y2) (2x + 3y)3 1 = ––––––––––––––––––––––––––– = –––––––––– 2 (2x + 3y).(2x – 3y).(2x + 3y) 2x – 3y

Desenvolver (2x + 3y)3

RESOLUÇÃO: (2x + 3y)3 = (2x)3 + 3 . (2x)2 . 3y + 3 . 2x . (3y)2 + (3y)3 = = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3

No Portal Objetivo

Desenvolva (a – 2b)3

RESOLUÇÃO: (a – 2b)3 = a3 – 3a2 . 2b + 3 . a . (2b)2 – (2b)3 = = a3 – 6a2b + 12ab2 – 8b3


13 e 14

Simplificação de expressões algébricas

• Fatorar • Simplificar

Lembre-se de que:

a2 – b2 = (a + b) . (a – b) 2 2 a2 + – 2ab + b = (a + – b)

ax + bx = x . (a + b) ax + bx + ay + by = (a + b) . (x + y)

Exercícios Resolvidos – Módulos 13 e 14

5a4 + 5a2 – 3a2b – 3b (MODELO ENEM) – O valor de –––––––––––––––––––––– , para 10a2 – 6b

a = 9 e b ≠ 135, é: a) 41

b) 43

Para a = 9, o valor da expressão é 92 + 1 82 –––––––– = –––– = 41 2 2 Resposta: A

c) 82

d) 123

e) 164

Resolução 5a2(a2 + 1) – 3b(a2 + 1) 5a4 + 5a2 – 3a2b – 3b –––––––––––––––––––––– = ––––––––––––––––––––––– = 10a2 – 6b 2(5a2 – 3b) (a2 + 1)(5a2 – 3b) a2 + 1 = ––––––––––––––––– = ––––––– 2 2(5a2 – 3b)

Simplificar a fração

ax – bx ————– , supondo cada denominador mx – nx

diferente de zero. Resolução ax – bx x(a – b) a–b ————– = ––––––––– = ––––––– mx – nx x(m – n) m–n

MATEMÁTICA

19


Exercícios Propostos – Módulo 13 De a , simplificar as frações, supondo cada denominador diferente de zero.

2a2b + a2b2 a2b(2 + b) 2+b ——–—––––– = ––––––––––– = –––––– 3 3 a b a a .b

a2 – b2 (a + b)(a – b) a+b ——––– = ––––––––––––– = –––––– 2 a(a – b) a – ab a

x(x + y) + 1(x + y) x2 + xy + x + y ——––––––––––– = –––––––––––––––––– = 2 (x + 1)(x – 1) x –1

3ab(1 + 5ab2) 3ab 3ab + 15a2b3 = ––––– ————––––– = ––––––––––––– 2 2x(1 + 5ab ) 2x 2x + 10ab2x

2xy – 2x2 2x(y – x) y–x ————– = –––––––––– = ––––– 2 2 2x y xy 2x y

x2(ax – 1) ax – 1 ax3 – x2 ——–—– = –––––––––– = ––––––– 2 2 x y y x y

(x + y)(x + 1) x+y = –––––––––––––– = ––––––– (x + 1)(x – 1) x–1

Exercícios Propostos – Módulo 14 De a , simplificar as frações, supondo cada denominador diferente de zero.

x2(x + 1) – y2(x + 1) x3 + x2 – xy2 – y2 –––––––––––––––––– = ––––––––––––––––––– = x(x + y) + 1 (x + y) x2 + xy + x + y

(x + 1) (x2 – y2) (x + y) (x – y) = ––––––––––––––– = ––––––––––––– = x – y (x + y) (x + 1) x+y

a2 – 2ab + b2 + 4ab (a – b)2 + 4ab ——––––––––– = ––––––––––––––––––– = 3(a + b) 3a + 3b

a2 + 2ab + b2 (a + b)2 a+b = –––––––––––––– = ––––––––– = –––––– 3(a + b) 3(a + b) 3

(x – 3)2 x–3 3(x2 – 6x + 9) 3x2 – 18x + 27 –——––––––––– = ––––––––––––– = –––––––– = ––––– x(x – 3) x 3x(x – 3) 2 3x – 9x

4x2 + 20x + 25 (2x + 5)2 2x + 5 ——––––––––––– = ––––––––––––––– = —–––––– (2x – 5)(2x + 5) 2x – 5 4x2 – 25

(MODELO ENEM) – Simplificando-se a fração

m2 + m ––––––––––––––– , obtém-se: 5m2 + 10m + 5 1 a) ––– 11

m b) ––––––––– 5(m + 1)

m+1 d) ––––––– 5m

m–1 e) ––––––– 5m

m c) –––––––– 5(m – 1)

RESOLUÇÃO: m m(m + 1) m(m + 1) m2 + m ––––––––––––––– = ––––––––––––––– = ––––––––––– = ––––––––– 2 2 5(m + 1) 5(m + 1) 5m + 10m + 5 5(m2 + 2m + 1) Resposta: B

No Portal Objetivo

20

MATEMÁTICA



15 e 16

Exercícios complementares


3) Como a > b, a + b e a – b são positivos

Resolução

Provar que (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

4) a + b > a – b

a) (x + 1)(x + 2) = x2 + 2x + x + 2 =

Resolução

5)

(a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = = (a + b)2 + 2(a + b) . c + c2 = = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 =

⇔

⇔

a + b = 11 a=6

a + b = 11 2a = 12

⇔

= x2 + 3x + 2 ⇔

a=6 b=5

Os números naturais a e b, com a > b, são

Resolução

3x – 3 ––––––––– x2 – 1

=

4(x + 2) 3(x – 1) = ––––––––––––– + ––––––––––––– = (x + 1)(x + 2) (x + 1)(x – 1)

a) Desenvolver, usando a propriedade distributiva, (x + 1)(x + 2)

tais que a2 – b2 = 11. Determinar a e b.

4x + 8 ––––––––––––– + x2 + 3x + 2

b)

Resposta: a = 6; b = 5

= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

a + b = 11 a–b=1

4 3 7 = ––––––– + ––––––– = ––––––– x+1 x+1 x+1

b) Calcular o valor da expressão

1) a2 – b2 = 11 ⇔ (a + b)(a – b) = 11 2) A única maneira de escrever 11 na forma de produto é 1 . 11 ou (–1) .(– 11)

4x + 8 3x – 3 ––––––––––– + ––––––––– , para x = 6 x2 + 3x + 2 x2 – 1

7 7 Para x = 6, temos ––––––– = ––– = 1 6+1 7


A metade de 48 + 84 é: a) 320 b) 28 + 44 8 6 d) 2 + 2 e) 17 . 211

c) 17 .

212

RESOLUÇÃO: (22)8 + (23)4 48 + 84 216 + 212 216 212 –––––––– = –––––––––––– = –––––––––– = ––––– + ––––– = 2 2 2 2 2 = 215 + 211 = 211 . (24 + 1) = 211 . 17 = 17 . 211 Resposta: E

1010 + 1020 + 1030 (UFF) – A expressão —–———————– é equivalente a: 1020 + 1030 + 1040

a) 1 +

1010

d) 1010

1010 ——– b) 2

c) 10–10

1010 – 1 e) ———–— 2

RESOLUÇÃO: 1010 . ( 1 + 1010 + 1020) 1010 ––––––––––––––––––––––– = –––––– = 1010 – 20 = 10–10 1020 . ( 1 + 1010 + 1020) 1020 Resposta: C

MATEMÁTICA

21


Sendo n um número natural, a expressão

(2n + 1

+ 2n + 2) . (3n + 2 – 3n + 1) ––––––––––––––––––––––––––––– é igual a 6n + 2 b) 3n

a) 1

c) 2n

d) 6n

e) 6

RESOLUÇÃO: (2n + 1 + 2n + 2) . (3n + 2 – 3n + 1) ––––––––––––––––––––––––––––– = 6n + 2 (2n . 2 + 2n . 22) . (3n . 32 – 3n . 31) = ––––––––––––––––––––––––––––––– = 6n . 62 2n . (2 + 22) . 3n . (32 – 3) 6n . 6 . 6 = –––––––––––––––––––––––– = ––––––––– = 1 6n . 62 6n . 62 Resposta: A

Se n ∈ e n > 1, então o valor de

n

20 –––––––––––––– será 4n + 2 + 22n + 2

4 a) ––– n n

d) 2n + 1

1 –––––––

b)

c)

n

2n 4

1 ––– 2n

1 e) ––– 4

RESOLUÇÃO: 20 –––––––––––––– = 4n + 2 + 22n + 2

n

n

=

20 –––––––––––––– = 16 . 4n + 4 . 4n

Resposta: E

4

(MODELO ENEM) – O valor de

a) 2

b) 4

c) 8

214 + 216 –––––––––– é: 26 + 28

d) 16

RESOLUÇÃO: 4

214 + 216 ––––––––– = 26 + 28

4

23 212 . (22 + 24) 8 ––––––––––––– = ––– = ––– = 4 2 2 24 . (22 + 24)

Resposta: B

22

MATEMÁTICA

e) 32

20 –––––––––––––– = 4n . 42 + 22n . 22

n

n

20 –––––––– = 20 . 4n

n

1 1 –––– = ––– 4 4n



Fatorar a2 + b2 – c2 + 2ab

RESOLUÇÃO: a2 + b2 – c2 + 2ab = a2 + 2ab + b2 – c2 = = (a + b)2 – c2 = (a + b + c)(a + b – c)

1 1 Calcular o valor de a2 + ––– , sabendo que a + ––– = 5. a a2

RESOLUÇÃO:

1 1 a + ––– = 5 ⇒ a + ––– a a

2

= 52 ⇔

1 1 1 ⇔ a2 + 2 . a . ––– + ––– = 25 ⇔ a2 + 2 + ––– = 25 ⇔ 2 a a a2 1 ⇔ a2 + ––– = 23 a2

Desenvolver (a + b + c)2

RESOLUÇÃO: (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b) . c + c2 = = a2 + b2 + 2ab + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

(MACKENZIE) – O valor de x4

y4

Os números naturais a e b, com a > b, são tais que

– –––––––––––––––––– , para x = 111 e y = 112, é x3 – x2y + xy2 – y3

a2

a) 215

RESOLUÇÃO:

b) 223

c) 1

d) – 1

e) 214

RESOLUÇÃO: x2y

a) 0

b) 1

c) 3

a2 – b2 = 7 ⇔ (a + b) . (a – b) = 7 ⇔

– + – ≠ 0, temos (x2 – y2) . (x2 + y2) x4 – y4 –––––––––––––––––– = ––––––––––––––––––– = x3 – x2y + xy2 – y3 x2(x – y) + y2(x – y)

Com

x3

– b2 = 7. O valor de a – b é:

xy2

y3

d) 4

e) 7

aa +– bb == 17

Resposta: B

(x + y) . (x – y) . (x2 + y2) = –––––––––––––––––––––––– = x + y (x – y) . (x2 + y2) Para x = 111 e y = 112, o valor da expressão é 111 + 112 = 223 Resposta: B

MATEMÁTICA

23


Conjuntos e Funções – Módulos 1 – Primeiros conceitos de conjuntos –

8 – Função sobrejetora,

Operações entre conjuntos

injetora e bijetora

2 – Primeiros conceitos de conjuntos – 9 – Funções monotônicas Operações entre conjuntos

10 – Função par, ímpar,

3 – Diagramas e número de elementos

periódica e limitada

4 – Relação binária

11 – Função composta

5 – Definição de função; domínio,

12 – Função composta

contradomínio e imagem

13 – Função inversa

6 – Como reconhecer uma função

14 – Função inversa

7 – Domínio e imagem

15 – Exercícios complementares 16 – Exercícios complementares

por meio do gráfico John Venn – (1834-1923) Diagramas de Venn

1e2

Primeiros conceitos de conjuntos – Operações entre conjuntos

1. Conceitos primitivos O conceito de conjunto é primitivo, ou seja, não definido. Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma coleção de livros são todos exemplos de conjuntos de coisas.

• Conjunto • Pertinência • Diagrama • Subconjunto • União • Intersecção

Um outro conceito fundamental é o de relação de pertinência, que nos dá um relacionamento entre um elemento e um conjunto. Se x é um elemento de um conjunto, escreveremos x ∈ A. Lê-se: “x é elemento de A” ou “x pertence a A” Se x não é um elemento de um conjunto A, escreveremos x ∉ A. Lê-se: “x não é elemento de A” ou “x não pertence a A”.

2. Notações Quanto à notação dos conjuntos, estabelecemos três formas, entre as usuais, de apresentar um conjunto. Conjuntos, como usualmente são concebidos, têm elementos. Um elemento de um conjunto pode ser uma banana, um peixe ou um livro. Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo ser elemento de algum outro conjunto. Por exemplo, uma reta é um conjunto de pontos; um feixe de retas é um conjunto em que cada elemento (reta) é também conjunto (de pontos). Em geral, indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas A, B, C, ..., X, ..., e os elementos pelas letras minúsculas a, b, c, ..., x, y, ...

24

MATEMÁTICA

Conjunto determinado pela designação de seus elementos É o caso em que o conjunto é dado pela enumeração de seus elementos. Indicamo-lo escrevendo os seus elementos entre chaves e separando-os, dois a dois, por vírgula, ou ponto e vírgula. Exemplos a) {3, 6, 7, 8} indica o conjunto formado pelos elementos: 3, 6, 7 e 8.


b) {a; b; m} indica o conjunto constituído pelos elementos: a, b e m. c) Conjunto dos números naturais é = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ...} d) Conjunto dos números inteiros é = { ..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …} e) Conjunto dos múltiplos naturais de 3, menores que 20, é {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18}


Conjunto determinado pela propriedade de seus elementos Conhecida uma propriedade P que caracterize os elementos de um conjunto A, este fica bem determinado. O termo “propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A” significa que, dado um elemento x qualquer, temos: x ∈ A, se, e somente se, x satisfaz P. x ∉ A, se e somente se, x não satisfaz P. Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem propriedade P é indicado por: {x, tal que x tem a propriedade P} Podemos substituir tal que por t. q. ou ou : . Exemplos a) {x, t. q. x é vogal} é o mesmo que {a, e, i, o, u} b) {x x é um número natural menor que 4} é o mesmo que {0, 1, 2, 3} c) {x : x é um número inteiro e x2 = x} é o mesmo que {0; 1} d) A = {x ∈ x < 4} = {0, 1, 2, 3} e) B = {x ∈ x2 – 4 = 0} = {2}

Conjunto determinado pelo diagrama de Venn-Euler O Diagrama de Venn-Euler consiste em representar o conjunto por meio de um círculo de tal forma que seus elementos, e somente eles, estejam no círculo. A figura abaixo é o Diagrama de Venn-Euler do conjunto A = {a, e, i, o, u}.

3. Conjunto vazio Seja A um conjunto. Se para todo elemento x, x ∉ A, dizemos que A é um conjunto que não possui elemen-

tos. Chamamo-lo conjunto vazio e o indicamos pela letra Ø do alfabeto norueguês.

A = Ø ⇔ ∀x, x ∉ A Exemplos a) {x ∈ x2 = 4} = {– 2; 2} b) {x ∈ x2 = 4} = {2} c) {x ∈ x2 = – 4} = Ø Observação O símbolo n(A) indica o número de elementos do conjunto A. Assim: a) A = {1, 3, 4} ⇒ n(A) = 3 b) A = Ø ⇒ n(A) = 0

4. Subconjunto ou parte Definição Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A é também elemento de B, dizemos que A é um subconjunto ou parte de B e indicamos por A B. Em símbolos:

A B ⇔ (∀x) (x ∈ A ⇒ x ∈ B) Por outro lado, A B significa que A não é um subconjunto (parte) de B. Portanto, A B se, e somente se, existe pelo menos um elemento de A que não é elemento de B. Em símbolos:

A B ⇔ (∃x) (x ∈ A e x ∉ B) Exemplos a) O conjunto A = {4; 5} é subconjunto do conjunto B = {1,2,3,4,5,6} b) {2; 4} {2, 3, 4} c) {2; 3, 4} {2; 4} d) {5; 6} {5; 6}

Relação de inclusão e relação de pertinência A definição de subconjunto nos dá um relacionamento entre dois conjuntos que recebe o nome de relação de inclusão. A relação de pertinência (∈) e a relação de inclusão () são conceitualmente muito diferentes. O símbolo ∈ relaciona elemento com conjunto. O símbolo relaciona conjunto com conjunto. Apesar disso, inclusão e pertinência se interligam da seguinte maneira:

x ∈ A ⇔ {x} A

x ∉ A ⇔ {x} A

Exemplos a) 2 ∈ {1, 2, 3} MATEMÁTICA

25


b) {1; 2} {1, 2, 3}

Propriedades

c) {5} ∈ {1, 3, {5}}

Seja A um conjunto qualquer. Valem as seguintes propriedades:

d) 4 ∈ {1, 2, 3, 4, {4}} e) {4} {1, 2, 3, 4, {4}} f) {4} ∈ {1, 2, 3, 4, {4}} g) {{4}} {1, 2, 3, 4, {4}}

5. Igualdade de conjuntos Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é igual a B e indicamos por A = B se, e somente se, A é subconjunto de B e B é também subconjunto de A. Em símbolos:

A=B⇔ABeBA Segue-se da definição que dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem os mesmos elementos. Por outro lado, A ⫽ B significa que A é diferente de B. Portanto, A ⫽ B se e somente se, A não é subconjunto de B ou B não é subconjunto de A. Em símbolos:

A ⫽ B ⇔ A B ou B A a) Demonstrar que dois conjuntos A e B são iguais equivale, segundo a definição, a demonstrar que A B e B A. b) {2, 4} = {4, 2}, pois {2, 4} {4, 2} e {4, 2} {2, 4} Isto nos mostra que a ordem dos elementos de um conjunto não deve ser levada em consideração. Em outras palavras, um conjunto fica determinado pelos elementos que ele possui e não pela ordem em que esses elementos são descritos. c) {2, 2, 2, 4} = {2, 4}, pois {2, 2, 2, 4} {2, 4} e {2, 4} {2, 2, 2, 4}. Isto nos mostra que a repetição de elementos é desnecessária. d) {a, b} = {a} ⇔ a = b

6. Conjunto das partes de um conjunto Definição Dado um conjunto A, podemos construir um novo conjunto formado por todos os subconjuntos (partes) de A. Esse novo conjunto chama-se conjunto dos subconjuntos (ou das partes) de A e é indicado por (A). Em símbolos:

(A) = {X X A} ou

X ∈ (A) ⇔ X A MATEMÁTICA

Exemplos a) A = {2, 4, 6} (A) = {Ø, {2},{4},{6},{2,4},{2,6},{4,6},A} n(A) = 3 n((A)) = 23 = 8 b) B = {3, 5} (B) = {Ø, {3}, {5}, B} n(B) = 2 n ((B)) = 22 = 4 c) C = {8} (C) = {Ø, C} n (C) = 1 n ((C)) = 21 = 2

Observe que:

26

a) A ∈ (A) b) Ø ∈ (A) c) Se A tem k elementos, então A possui 2k subconjuntos, ou seja: (A) tem 2k elementos.

d) D = Ø (D) = {Ø} n (D) = 0 n ((D)) = 20 = 1

7. Características gerais dos conjuntos ∀A; A ∉ A

∀A; A A

∀A; Ø A

∀x; x ∉ Ø

∀A; x ≠ {x}

∀A; A ≠ {A}

Ø ≠ {Ø}

{a,a} = {a}

8. Reunião ou união Dados dois conjuntos, A e B, chama-se reunião (ou união) de A e B, e indica-se por A ∪ B, ao conjunto formado pelos elementos de A ou de B. Em símbolos:

A B = {x x ∈ A ou x ∈ B}


Exemplos

Em símbolos:

a) {2, 3} {4, 5, 6} = {2, 3, 4, 5, 6}

A – B = {x x ∈ A e x ∉ B}

b) {2, 3, 4} {3, 4, 5} = {2, 3, 4, 5} c) {2, 3} {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} d) {a, b} Ø = {a, b}

9. Intersecção Dados dois conjuntos, A e B, chama-se intersecção de A e B, e indica-se por A ∩ B, ao conjunto formado pelos elementos de A e de B. Em símbolos: Exemplo Se A = {1, 3, 5, 7} e B = {1, 3, 4}, então A – B = {5, 7}

A B = {x x ∈ A e x ∈ B}

11. Complementar O conjunto B – A é também conhecido por conjunto complementar de A em relação a B e, para tal, usa-se a notação ⲩBA. Portanto:

ⲩB A = B – A = {x x ∈ B e x ∉ A} Exemplos a) {2, 3, 4} {3, 5} = {3}

Exemplos a) A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2}

b) {2, 4} {3, 5, 7} = Ø

ⲩAB = A – B = {1, 3} e ⲩBA = B – A = Ø

Observação Se A ∩ B = Ø, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {4, 5}, por exemplo, são disjuntos, pois A B = Ø.

10. Subtração

b) A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} ⲩAB = A – B = {1} e ⲩBA = B – A = {4} Observações a) Alguns autores definem o conjunto complementar de A em B só no caso em que A B. —

Dados dois conjuntos, A e B, chama-se diferença entre A e B, e se indica por A – B, ao conjunto formado pelos elementos que são de A e não são de B.

b) Se A B, então ⲩBA = A. Simbolicamente:

—

B A ⇒ B = A – B = ⲩAB


(MODELO ENEM) – Sendo S = {3; 4; 5; 8}, assinale a afirmação falsa: a) 3 ∈ S b) 4 ∈ S c) 8 ∈ S d) {8} ∈ S e) 6 ∉ S Resolução Os únicos elementos do conjunto S são 3, 4, 5 e 8 e, portanto: a) Verdadeira, pois 3 é elemento de S b) Verdadeira, pois 4 é elemento de S c) Verdadeira, pois 8 é elemento de S d) Falsa, pois {8} não é elemento de S e) Verdadeira, pois 6 não é elemento de S Resposta: D

(MODELO ENEM) – Sendo S = {3; 4; 5; 8}, assinale a falsa: a) Ø S b) Ø ∉ S d) {3; 5} S e) {3; 6} S

c) {8} S

Obter os conjuntos A e B, sabendo que A – B = {1; 2}, B – A = {6; 7} e A B = {1; 2; 4; 6; 7} Resolução

Resolução a) Verdadeira, pois o conjunto Ø é subconjunto de qualquer conjunto. b) Verdadeira, pois Ø não é elemento de S. c) Verdadeira, pois o único elemento de {8} é também elemento de S. d) Verdadeira, pois os dois elementos de {3; 5} são também elementos de S. e) Falsa, pois 6 ∈ {3; 6} e 6 ∉ S. Resposta: E

MATEMÁTICA

27


(passageiros e tripulantes) algumas haviam passado pela Cidade do México.

Resposta: A = {1; 2; 4}; B = {4; 6; 7}

(MODELO ENEM) – Para a identificação de pacientes com sintomas de gripe influenza A, a Anvisa (Agência Nacional de Vigilância Sanitária) informou hoje que os voos procedentes de Reino Unido, Espanha e Nova Zelândia também serão inspecionados por uma equipe da agência e por médicos da Empresa Brasileira de Infraestrutura Aeroportuária (Infraero). Inicialmente, apenas os voos vindos de México, Canadá e Estados Unidos eram inspecionados. A decisão foi tomada durante reunião da Anvisa com representantes das companhias aéreas, da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac) e da Infraero, no Aeroporto Internacional de Cumbica, em Guarulhos, na Grande São Paulo. (Adaptado de: http://noticias.uol.com.br/cotidiano/2009/04/28/ult577 2u3774.jhtm, Acesso em: 09.05.2009.)

Em um voo proveniente de Miami, a Anvisa constatou que entre todas as pessoas a bordo

No diagrama, U representa o conjunto das pessoas que estavam nesse voo; P o conjunto dos passageiros; M o conjunto das pessoas que haviam passado pela Cidade do México e A o conjunto das pessoas com sintomas da gripe influenza A. Considerando verdadeiro esse diagrama, conclui-se que a região sombreada representa o conjunto das pessoas que, de modo inequívoco, são aquelas caracterizadas como a) passageiros com sintomas da gripe que não passaram pela Cidade do México. b) passageiros com sintomas da gripe que passaram pela Cidade do México.

c) tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela Cidade do México. d) tripulantes com sintomas da gripe que não passaram pela Cidade do México. e) tripulantes sem sintomas da gripe que passaram pela Cidade do México. Resolução A região sombreada tem intersecção vazia com o conjunto P (está fora do conjunto P), portanto não representa passageiros e sim tripulantes. Como essas pessoas estão dentro do conjunto M e do conjunto A, passaram pela Cidade do México e apresentam sintomas da gripe influenza A. Resposta: C

Determine os conjuntos X tais que

{1} X {1, 2, 3} Resolução O número 1 é obrigatoriamente elemento do conjunto X. Os elementos 2 e 3 podem ou não ser elementos de X. Os possíveis conjuntos são: {1}, {1; 2}, {1; 3}, {1; 2; 3}

Exercícios Propostos – Módulo 1 Sendo S = {1, 2, 3, 5, 6}, assinale (V) ou (F) conforme as sentenças sejam verdadeiras ou falsas: (0) 2 ∈ S (1) 7 ∈ S (2) 3 ∉ S (3) 0 ∉ S (4) 5 ∈ S (5) 9 ∈ S (6) 6 ∉ S (7) 8 ∈ S RESOLUÇÃO: 0) V 1) F 2) F

3) V

4) V

5) F

6) F

7) F

Sendo S = {1, 2, 3, 4, 5}, assinale (V) ou (F) conforme as sentenças sejam verdadeiras ou falsas: (0) {1, 3} S (1) {1, 6} S (2) {1, 2, 3} S (3) {1, 2, 5} S (4) {1, 2, 4} S (5) {1, 2, 3, 4, 5} S RESOLUÇÃO: 0) V 1) F

28

Dados os conjuntos A = {1, 2, 8, 9}, B = {8, 9}, C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, classifique as sentenças a seguir em verdadeiras (V) ou falsas (F): (0) B A (1) A B (2) A C (3) Ø A (4) Ø B (5) Ø C (6) 2 ∈ C (7) 2 C (8) {2} C RESOLUÇÃO: (0) V; (1) V; (2) V; (3) V; (4) V; (5) V; (6) V; (7) F; (8) V

Assinale (V) ou (F) conforme as sentenças sejam verdadeiras ou falsas: (0) {3, 5, 1} = {1, 3, 5} (1) {3, 5, 1} = {3, 5, 1, 1, 1} (2) A B e B A ⇔ A = B (3) a > b e {1,a,b} = {1,2} ⇒ a = 2 e b = 1 RESOLUÇÃO: 0) V 1) V

2) V

3) F

MATEMÁTICA

4) F

5) V

2) V

3) V



Determine todos os subconjuntos de A = {1; 2) e B = {1, 3, 5}. Escreva em seguida o conjunto das partes de A e o conjunto das partes de B.

b) ⲩS (A B) RESOLUÇÃO:

RESOLUÇÃO: Subconjuntos de A: Ø, {1}, {2}, {1;2} (A) = {Ø, {1}, {2}, {1;2}} Subconjuntos de B: Ø, {1}, {3}, {5}, {1;3}, {1;5}, {3;5}, {1;3;5} (B) = {Ø, {1}, {3}, {5}, {1;3}, {1;5}, {3;5}, {1;3;5}}

O número máximo de elementos do conjunto das partes de A = {a, b, c, d, e} é a) 16 b) 21 c) 30 d) 32 e) 64 RESOLUÇÃO: I) n(A) = 5 II) n((A)) = 25 = 32 Resposta: D

(MODELO ENEM)

O diagrama abaixo mostra a distribuição dos alunos de uma escola de Ensino Médio nos cursos optativos que são oferecidos no período da tarde:

T: curso de teatro F: curso de fotografia

D: curso de dança Dados os conjuntos S = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, A = {2, 4, 6} e

B = {4, 6, 8, 10}, determine: a) A B = {2, 4, 6, 8, 10} b) A B = {4, 6}

Note que o diagrama mostra, por exemplo, que apenas 1 aluno frequenta os três cursos ao mesmo tempo e que 31 alunos não frequentam nenhum dos cursos optativos. Deverá ser entregue um aviso por escrito a todos os alunos que frequentam mais de um curso optativo. Assim, o número de alunos que receberá o aviso é igual a: a) 30 b) 25 c) 13 d) 12 e) 9

c) A – B = {2} d) B – A = {8, 10} – e) B = ⲩSB = {2, 12}

RESOLUÇÃO: O número de alunos que frequenta mais de um curso é 6 + 4 + 2 + 1 = 13 Resposta: C

Destaque, no diagrama, o conjunto indicado: a) (A – B) (B – A) RESOLUÇÃO:

MATEMÁTICA

29


3

Diagramas e número de elementos

1. União

• União • Intersecção • Número de elementos

3. Subtração

A B = {x x ∈ A ou x ∈ B}

A – B = {x x ∈ A e x ∉ B}

4. Número de elementos

2. Intersecção A B = {x x ∈ A e x ∈ B}

Se n(A), n(B), n(A B) e n(A B) representarem o número de elementos dos conjuntos A, B, A B, A B respectivamente, então:

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B)

(MODELO ENEM) – Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos leem o jornal A, 21 leem os jornais A e B, 106 leem apenas um dos dois jornais e 66 não leem o jornal B. O valor de n é: a) 249 b) 137 c) 158 d) 127 e) 183 Resolução I) Como 56 alunos leem o jornal A e 21 leem A e B, podemos concluir que 35 leem apenas o jornal A. II) Como 106 alunos leem apenas um dos jornais e 35 leem apenas o jornal A, podemos concluir que 71 leem apenas o jornal B. III) Como 66 alunos não leem o jornal B e 35 leem apenas o jornal A, podemos concluir que 31 não leem nenhum dos dois jornais. IV) Podemos construir, portanto, o seguinte diagrama:

30

MATEMÁTICA

Assim, n = 35 + 21 + 71 + 31 = 158 Resposta: C

(MODELO ENEM) – No último clássico Corinthians x Flamengo, realizado em S.Paulo, verificou-se que só foram ao estádio paulistas e cariocas e que todos eles eram só corintianos ou só flamenguistas. Verificou-se também que, dos 100 000 torcedores, 85 000 eram corintianos, 84 000 eram paulistas e que apenas 4000 paulistas torciam para o Flamengo.

Resolução 1) Pelo enunciado, temos: Corintianos Flamenguistas Paulistas

Total

4 000

84 000

Cariocas Total

85 000

100 000

2) Desses dados, é possível completar a tabela: Corintianos Flamenguistas

Total

Pergunta-se: a) Quantos paulistas corintianos foram ao estádio? b) Quantos cariocas foram ao estádio? c) Quantos flamenguistas foram ao estádio? d) Dos cariocas que foram ao estádio, quantos eram corintianos? e) Quantos eram corintianos ou paulistas?

Paulistas

80 000

4 000

84 000

Cariocas

5 000

11 000

16 000

Total

85 000

15 000

100 000

Respostas:a) 80 000 c) 15 000 e) 89 000

b) 16 000 d) 5 000


(VUNESP) – Numa cidade com 30000 domicílios, 10000 domicílios recebem regularmente o jornal da loja de eletrodomésticos X, 8000 recebem regularmente o jornal do supermercado Y e metade do número de domicílios não recebe nenhum dos dois jornais. Determine a) o número de domicílios que recebem os dois jornais; b) o número de domicílios da cidade que recebem o jornal da loja de eletrodomésticos X e não recebem o jornal do supermercado Y.

Resposta: E

RESOLUÇÃO:

a) 10000 – n + n + 8000 – n = 15000 n = 3000 b) 10000 – n = 10000 – 3000 = 7000

(MODELO ENEM) – Em um grupo de 176 jovens, 16 praticam futebol, natação e voleibol; 24 praticam futebol e natação; 30 praticam futebol e voleibol; 22 praticam natação e voleibol; 6 praticam apenas futebol; 9 praticam apenas natação e 5 apenas voleibol. Os demais praticam outros esportes. Seja x o número de jovens desse grupo que praticam voleibol, y o daqueles que praticam futebol ou voleibol e z o número daqueles que não praticam nenhum dos três esportes citados. O valor de x + y + z é: a) 41 b) 62 c) 112 d) 153 e) 208

(MODELO ENEM) – Objetivando conhecer a preferência musical dos seus ouvintes, certa emissora de rádio realizou uma pesquisa, dando como opção 3 compositores, M, B e S. Os resultados são: Votos

RESOLUÇÃO:

Opções

27

gostam de B

34

gostam de M

40

gostam de S

16

gostam de B e M

12

gostam de B e S

14

gostam de M e S

6

gostam de B, M e S

4

não gostam de B, M e S

Considerando estes dados, é falso afirmar que a) 42 não gostam de B. b) 18 gostam de M e não gostam de B. c) 20 gostam exclusivamente de S. d) 24 gostam de exatamente dois dos compositores. e) 25 não gostam de M.

RESOLUÇÃO: I) x = 16 + 14 + 6 + 5 = 41 II) y = x + 6 + 8 = 41 + 6 + 8 = 55 III) z = 112 IV) x + y + z = 41 + 55 + 112 = 208 Resposta: E


MATEMÁTICA

31


Dados três conjuntos finitos, A, B e C, determine o número de elementos de A (B C) sabendo-se que a) A B tem 26 elementos; b) A C tem 10 elementos; c) A B C tem 7 elementos. RESOLUÇÃO:

A partir dos dados do gráfico, pode-se concluir que o número de entrevistados que habitualmente leem os jornais I e II é igual a: a) 44 b) 55 c) 63 d) 71 e) 82 RESOLUÇÃO: Representando por n o número dos entrevistados que habitualmente leem os dois jornais, temos:

n[A (B C)] = 19 + 7 + 3 = 29 Resposta: 29

(MODELO ENEM) – O gráfico mostra uma pesquisa realizada com 500 pessoas sobre o seu hábito de leitura dos jornais I ou II:

4e5

286 + 242 – n + 27 = 500 n = 286 + 242 + 27 – 500 n = 55 Resposta: B

Relação binária e def. de função; domínio, contradomínio e imagem

• Par ordenado • Produto cartesiano • Relação binária • Função

1. Par ordenado

b) Se a = b, então:

O conceito de par ordenado é primitivo. A cada elemento a e a cada elemento b está associado um único elemento indicado por (a; b) chamado par ordenado, de tal forma que se tenha:

c) {a; b} ≠ (a; b) , ∀a,b

(a; b) = (c; d) ⇔ a = c e b = d Dado o par ordenado (a; b), diz-se que a é o primeiro elemento e b é o segundo elemento do par ordenado (a; b). Observações a) Se a ≠ b, então: {a; b} = {b; a} e (a; b) ≠ (b; a)

32

MATEMÁTICA

{a; b} = {a}

e (a; b) = (b; a)

2. Produto cartesiano Dados dois conjuntos, A e B, chama-se produto cartesiano de A por B, e indica-se por AxB, ao conjunto formado por todos os pares ordenados (x; y), com x ∈ A e y ∈ B. Em símbolos:

A x B = {(x; y) x ∈ A e y ∈ B}


Exemplos Se A = {2; 3} e B = {0; 1; 2}, então: a) AxB = {(2; 0), (2; 1), (2; 2), (3; 0), (3; 1), (3; 2)} b) BxA = {(0; 2), (0; 3), (1; 2), (1; 3), (2; 2), (2; 3)} c) A2 = {(2; 2), (2; 3), (3; 2), (3; 3)} Note que: a) Se A = Ø ou B = Ø, por definição, AxB = Ø e reciprocamente. Em símbolos: A = Ø ou B = Ø ⇔ AxB = Ø b) Se A = B, em vez de AxA, escreveremos A2. c) A ≠ B ⇔ AxB ≠ BxA

3. Representação gráfica do produto cartesiano O produto cartesiano de dois conjuntos não vazios pode ser representado graficamente por diagramas de flechas ou diagramas cartesianos. Acompanhe esta representação para o caso em que A = {1,2,3}, B = {2,3} e, portanto, AxB = {(1; 2), (1; 3), (2; 2), (2; 3), (3; 2), (3; 3)}.

Diagrama de flechas Consideramos, de um lado, o conjunto A, e, de outro, o conjunto B, e representamos cada par ordenado por uma flecha, adotando a seguinte convenção: a flecha parte do primeiro elemento do par ordenado e chega ao segundo.

4. Número de elementos de um produto cartesiano Se A tem m elementos e B tem k elementos, então o número de elementos de AxB é m . k, ou seja:

n(AxB) = n(A) . n(B) = m . k Exemplo Se A = {2, 3} e B = {4, 5, 6}, então: AxB = {(2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 4), (3; 5), (3; 6)} Portanto: n(A) = 2, n(B) = 3, e n(AxB) = 2 . 3 = 6 Observação Se A ou B for infinito, então AxB será também infinito.

5. Relação binária Dados dois conjuntos, A e B, chama-se Relação Binária de A em B a qualquer subconjunto f de AxB.

f é uma relação binária de A em B ⇔ f AxB

6. Representação gráfica de uma relação Sendo a relação binária um conjunto de pares ordenados, podemos representá-la graficamente como já o fizemos com o Produto Cartesiano. Exemplo Se A = {1, 2, 4}, B = {2, 3} e f = {(x, y) ∈ AxB x < y}, então f = {(1; 2), (1; 3), (2; 3)}, e a representação gráfica pode ser pelo diagrama de flechas ou pelo diagrama cartesiano.

Diagrama cartesiano a) Tomamos dois eixos ortogonais e representamos sobre o eixo horizontal os elementos de A e sobre o eixo vertical os elementos de B. b) Traçamos, por estes elementos, paralelas aos eixos considerados. c) As intersecções dessas paralelas representam, assim, os pares ordenados de AxB.

⇒

Diagrama de flechas

Diagrama cartesiano

7. Número de relações binárias Se A e B forem dois conjuntos finitos tais que n(A) = m, n(B) = k e n(AxB) = m . k, então o número de relações binárias de A em B é igual ao número de subconjuntos de AxB. Logo:

O número de relações binárias de A em B é 2m . k Exemplo Se A = {2, 3, 8} e B = {5}, temos: a) AxB = {(2, 5), (3; 5), (8; 5)} MATEMÁTICA

33


b) n (AxB) = n (A) . n (B) = 3 . 1 = 3 c) o número de relações binárias de A em B é 23 = 8 d) as 8 relações binárias são: • f1 = Ø • f2 = {(2; 5)}

8. Definição de função Uma relação binária f de A em B, é uma função de A em B e indica-se f: A → B se, e somente se, associa cada x ∈ A com um único y ∈ B.

• f3 = {(3; 5)} • f4 = {(8; 5)} • f5 = {(2; 5), (3; 5)} • f6 = {(2; 5), (8; 5)} • f7 = {(3; 5), (8; 5)} • f8 = {(2; 5), (3; 5), (8; 5)} = AxB

?

Saiba mais

O número y é a imagem de x pela função f ou, ainda, y é o valor de f em x e escreve-se y = f(x). Exemplo Sendo f: → a função definida por f(x) = x2 – 2x,

A cada número real x corresponde um único ponto P da reta euclidiana e a cada ponto P da reta euclidiana corresponde um único número real x.

ou seja, f = {(x; y) ∈ x y = x2 – 2x}, temos:

Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos da reta e os números reais.

Assim sendo, a reta euclidiana é a representação gráfica do conjunto dos números reais. Do mesmo modo, existe uma correspondência biunívoca entre os pontos P do plano euclidiano e os pares ordenados (x;y) de x.

a) a imagem de 4 pela função f é 8, pois: f(4) = 42 – 2 . 4 = 16 – 8 = 8 b) f(2) = 22 – 2 . 2 = 4 – 4 = 0 2) = ( 2 )2 – 2 . 2 = 2 – 2 . 2 c) f( d) f(– 2) = (– 2)2 – 2 . (–2) = 4 + 4 = 8 e) f

Assim sendo, o plano euclidiano é a representação gráfica do produto cartesiano de por ou 2 e é também chamado plano cartesiano.

1 ––– 2

=

1 ––– 2

2

1 1 –3 – 2 . ––– = ––– – 1 = ––– 2 4 4

9. Domínio, contradomínio e imagem Domínio Se f é uma função de A em B, então o conjunto A é chamado domínio de f e é representado por D(f).


34

MATEMÁTICA

Assim:

D(f) = A

Contradomínio Se f é uma função de A em B, então o conjunto B é chamado contradomínio de f e é representado por CD(f).


Assim:

Exemplo Sejam A = {1, 2, 3} e B = {0, 2, 4, 6, 8} e seja f : A → B tal que f(x) = 2x • D(f) = A = {1, 2, 3}

CD(f) = B Imagem da função O conjunto de todos os elementos y de B para os quais existe, pelo menos, um elemento x de A, tal que f(x) = y, é chamado conjunto imagem de f e é indicado por Im(f).

• CD(f) = B = {0, 2, 4, 6, 8} • Im(f) = {2, 4, 6} CD(f)

Observe que:

Im(f) CD(f) Exercícios Resolvidos – Módulos 4 e 5 Os conjuntos A e B são tais que

R5 = {(1; 4); (2; 4}

{(0; 2), (0; 3), (1; 2), (2; 3)} AxB e o número de

R6 = {(1; 4); (3; 4)}

elementos de AxB é 6. Determinar:

R7 = {(2; 4); (3; 4)}

a) A

R8 = {(1; 4); (2; 4); (3; 4)} = AxB

b) B

Representar f no diagrama cartesiano.

c) os outros elementos de AxB Resolução 1) (0; 2) ∈ AxB ⇒ 0 ∈ A e 2 ∈ B (0; 3) ∈ AxB ⇒ 0 ∈ A e 3 ∈ B (1; 2) ∈ AxB ⇒ 1 ∈ A e 2 ∈ B

De

a :

Sejam A = {1; 2; 3}, B = {0; 2; 3; 4; 5; 6} e f: A → B definida por f(x) = x + 2

(2; 3) ∈ AxB ⇒ 2 ∈ A e 3 ∈ B 2) n(A) . n(B) = n(AxB) = 6 3) De (1) e (2), concluímos que A = {0; 1; 2} e B = {2; 3} 4) Os dois pares ordenados de AxB que não estão incluídos no enunciado são (1; 3) e (2; 2).

Representar f por meio de pares ordenados. Resolução f(1) = 1 + 2 = 3 ⇒ (1; 3) ∈ f f(2) = 2 + 2 = 4 ⇒ (2; 4) ∈ f f(3) = 3 + 2 = 5 ⇒ (3; 5) ∈ f Assim sendo: f = {(1; 3), (2; 4), {3; 5}}

Respostas:a) A = {0; 1; 2} b) B = {2; 3} c) (1; 3) e (2; 2)

Represente f pelo diagrama de flechas e destaque o conjunto imagem de f. Resolução

Se A = {1; 2; 3} e B = {4}, obter:

a) AxB b) o número de relações binárias de A em B c) as relações binárias de A em B Resolução a) A x B = {(1; 4), (2; 4), (3; 4)}

(MODELO ENEM) – Um vasilhame de água mineral contendo 20 litros foi colocado à disposição dos participantes de um evento. Considerando que os copos, com capacidade para 200mᐉ, eram servidos totalmente cheios, a expressão que representa a quantidade (y) de água, em mᐉ, que restou no vasilhame, em função do número (x) de copos utilizados, é a) y = 200x – 20000 b) y = 20000 – 200x c) y = 20 – 200x d) y = 200x – 20 e) y = 20x – 200 Resolução

b) O número de elementos de AxB é 3 . 1 = 3 O número de relações binárias de A em B é

1) 20 ᐉ = 20 000 mᐉ

23 = 8

2) x copos, com capacidade de 200 mᐉ cada um, representam

c) As relações binárias são os subconjuntos

(200 . x) mᐉ de água.

de AxB:

3) A quantidade y de água que restou no

R1 = Ø

D(f) = A

R2 = {(1; 4)}

CD(f) = B

R3 = {(2; 4)}

Im(f) = {3; 4; 5}

vasilhame é y = 20 000 – 200 x Resposta: B

R4 = {(3; 4)}

MATEMÁTICA

35



Dados os conjuntos A = {3, 5} e B = {– 1, 2, 4}, represente A×B e B×A: a) enumerando, um a um, seus elementos. RESOLUÇÃO: AxB = {(3, – 1), (3, 2), (3, 4), (5, – 1), (5, 2), (5, 4)} BxA = {(–1, 3), (–1, 5), (2, 3), (2, 5), (4, 3), (4, 5)}

b) pelo diagrama de flechas

Os conjuntos A e B são tais que: {(0, 2), (0, 3), (1, 2), (2, 3)} AxB. Então: a) (2, 1) ∈ AxB b) A x B tem 6 elementos c) A B = {0, 1, 2, 3} e A B = {2} d) {(1, 3), (2, 2)} AxB e) (0, 0) ∈ A x B RESOLUÇÃO: I) 0 ∈ A, 1 ∈ A, 2 ∈ A II) 2 ∈ B, 3 ∈ B III)(1;3) ∈ A×B e (2;2) ∈ A×B, então {(1;3); (2;2)} A×B Resposta: D

RESOLUÇÃO:

c) pelo diagrama cartesiano

(MODELO ENEM) – Numa escola com 1000 alunos, fez-se um estudo sobre o número de vezes que, em média, as moças e os rapazes da escola iam ao cinema por mês. Com os dados recolhidos, construiu-se a tabela que se segue. Número de idas ao cinema por mês 2 vezes

3 vezes

Moças

200

150

100

Rapazes

300

200

50

Qual dos gráficos que se seguem representa os dados da tabela?

RESOLUÇÃO:

Se o conjunto A tem 3 elementos e o conjunto B tem 4 elementos, então: a) quantos elementos tem AxB? b) quantos subconjuntos tem AxB? c) quantas relações binárias de A em B existem? RESOLUÇÃO: a) 3 . 4 = 12 b) 23 . 4 = 212 = 4.096 c) 23 . 4 = 212 = 4.096

36

1 vez

MATEMÁTICA


RESOLUÇÃO: Pela leitura da tabela e do gráfico, a correta é a alternativa C. Resposta: C

Exercícios Propostos – Módulo 5 De a : Dados os conjuntos: A = {0, 1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5} e as relações binárias R e S definidas por R = {(x; y) ∈ AxB y = 2x + 1} e S = {(x; y) ∈ AxB y = x + 1}, pede-se:

RESOLUÇÃO:

Represente R e S por meio de pares ordenados

S = {(0;1), (1;2), (2;3), (3;4)}

A relação R é uma função? Em caso afirmativo, qual é o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem?

RESOLUÇÃO: Não, pois existe x ∈ A que não se relaciona com nenhum y ∈ B.

R = {(0;1), (1;3), (2;5)}

Represente R e S pelo diagrama de flechas

A relação S é uma função? Em caso afirmativo, qual é o domínio, o contradomínio e conjunto imagem?

RESOLUÇÃO:

Represente R e S no diagrama cartesiano

RESOLUÇÃO: É FUNÇÃO: D(S) = A CD(S) = B Im(S) = {1; 2; 3; 4}

Seja f: → a função que a cada número real associa a soma do seu quadrado com o seu triplo. Determine: a) f(2) = 22 + 3 . 2 = 4 + 6 = 10

b) f(3) = 32 + 3 . 3 = 9 + 9 = 18 c) f( 2) = ( 2 )2 + 3 . 2 = 2 + 3 . 2 d) f(x) = x2 + 3x

MATEMÁTICA

37


Como reconhecer uma função

6

• Diagrama de flechas • Gráfico cartesiano

1. Pelo diagrama de flechas

(II)

Uma relação f de A em B é uma função se, e somente se, cada elemento x de A se relaciona com um único elemento y de B, o que equivale a dizer que “de cada elemento x de A parte uma única flecha.”

A = {x ∈ 0 ≤ x ≤ 3} e B = f: A → não é função, pois existe x ∈ A associado a 2 valores de B (III)

A = {x ∈ – 3 ≤ x ≤ 6} e B = f:A → não é função, pois 2 ∈ A não está associado com nenhum elemento de B

2. Pelo diagrama cartesiano Seja f uma relação binária de A em e consideremos o seu gráfico cartesiano. A relação f é uma função definida em A com valores em se, e somente se, toda reta paralela ao eixo Oy, que passa por um ponto de abcissa x ∈ A, “corta” o gráfico de f num único ponto. Portanto, a relação f de A em não é função se, e somente se, existe pelo menos uma reta paralela ao eixo Oy que passa por um ponto de abscissa x ∈ A tal que, ou intercepta o gráfico em mais de um ponto, ou não o intercepta.

(IV)

A = {x ∈ – 2 ≤ x ≤ 8} e B = f: A → não é função, pois existe x ∈ A associado a 3 valores de B

(I)

?

A = {x ∈ – 3 ≤ x ≤ 6} e B = f: A → é função

38

MATEMÁTICA

Saiba mais

No gráfico (III) a reta paralela ao eixo Oy passando pelo ponto de abscissa 2 ∈ A não intercepta o gráfico de f, logo f não é função definida em A com valores em . No entanto, se restringirmos A ao conjunto A’ = {x ∈ – 3 ≤ x < 2 ou 2 < x ≤ 6}, então a relação de A’ em é uma função.


Sejam A = {1; 2; 3}, B = {2; 4; 5; 6} e as seguintes relações binárias de A em B a) f = {(x; y) ∈ A x B y = x + 1} b) g = {(x; y) ∈ A x B y = x + 3} c) h = {(x; y) ∈ A x B y > x} h não é função, pois 2, por exemplo, se relaciona com mais de um elemento de B.

Obter f, g e h; verificar se cada uma delas é ou não função; em caso afirmativo, escrever o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem.

1, 2, 3}, represente, pelo diagrama de flechas e

Resolução

pelo diagrama cartesiano, as relações binárias

Resolução

1o. )

Dados os conjuntos A = {1, 4, 9} e B = {–1,

a) f = {(x; y) ∈ A x B y = x + 1} = {(1; 2), (3; 4)} 1o. ) f = {(x, y) ∈ AxB | y = x – 2}

2o. )

f não é função, pois 2 ∈ A não se relaciona com nenhum elemento de B.

(MODELO ENEM) – Catarina e seu filho Pedro mediram o comprimento de um palmo de suas mãos, obtendo 20 cm e 15 cm, respectivamente. Catarina mediu uma mesa obtendo 10 palmos da sua mão. Usando a mão de Pedro para medir a mesma mesa, obteremos

b) g = {(x; y) ∈ A x B y = x + 3} = {(1: 4), (2; 5), (3; 6)}

a) pouco menos de 13 palmos. b) pouco mais de 13 palmos. c) exatamente 13 palmos. 2o. ) g = {(x, y) ∈ AxB | y2 = x}

d) exatamente 14 palmos. e) exatamente 15 pulsos.

g é função de A em B; D(g) = A, CD(g) = B

Resolução

Im(g) = {4; 5; 6}

Se p for o número de palmos de Pedro, então:

200

c) h = {(x; y) ∈ A x B y > x} =

p . 15 = 10 . 20 ⇒ p = ––––– = 13,333…

15

= {(1;2), (1;4), (1;5), (1;6), (2;4), (2;5), (2;6), Resposta: B

(3;4), (3;5), (3;6)}

Os diagramas de flechas a seguir representam relações binárias de A em B. Dizer, para cada uma delas, se é ou não função. Em caso negativo, justifique. Em caso positivo, dizer qual é o o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. Não é função, pois 3 ∈ A não se relaciona com nenhum elemento de B

Não é função, pois 3 ∈ A está relacionado a dois elemento de B

MATEMÁTICA

39


É função. D=A CD = B Im = B

É função. D=A CD = B Im = {6; 8; 9}

d)

e)


Resposta: b, c, e, f

f = {(1, 0), (5, 2)}

g = {(1, 0), (3, 1), (5, 2), (5, 3)}

h = {(1, 0), (3, 2), (5, 2)}

i = {(1, 1), (3, 2), (5, 3)}

Dizer, para cada uma delas, se é ou não função. Em caso negativo, justifique. Em caso positivo, dizer qual é o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. RESOLUÇÃO: f) Não é função, pois 3 ∈ A não possui correspondente em B g) Não é função, pois 5 ∈ A possui dois correspondentes em B. h) É função. D(h) = A CD(h) = B Im(h) = {0, 2} i) É função. D(i) = A CD(i) = B Im(i) = {1, 2, 3}

MATEMÁTICA

c)


Considere os conjuntos A = {1, 3, 5} e B = {0, 1, 2, 3} e as relações binárias de A em B:

40

Quais dos gráficos podem representar funções de A em , com A ? a) b)

f)

(MODELO ENEM) – Seja n um número qualquer, inteiro e positivo. Se n é par, divida-o por 2; se n é ímpar, multiplique-o por 3 e adicione 1 ao resultado. Esse procedimento deve ser repetido até que se obtenha como resultado final o número 1. Assim, por exemplo, se n = 12, tem-se: 12 → 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 Ou seja, foram necessárias 9 passagens até obter-se o resultado 1. Nessas condições, se n = 11, o número de passagens necessárias para obter-se o resultado final 1 será a) 7 b) 8 c) 11 d) 14 e) 17

RESOLUÇÃO: 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 Resposta: D



(MODELO ENEM) – Os gráficos a seguir fornecem informações relacionadas às exportações da Zedelândia, um país que utiliza o zed como sua moeda corrente.

Qual foi o valor total (em milhões de zeds) das exportações da Zedelândia em 1998? a) 20,4 b) 25,4 c) 27,1 d) 37,9 e) 42,6 RESOLUÇÃO: Pela simples leitura do gráfico, foi 27,1. Resposta: C

7

Domínio e imagem por meio do gráfico

Um outro problema comum é o da determinação do domínio e da imagem de uma função f por meio do seu gráfico. De acordo com as definições e comentários feitos até aqui, dado o gráfico de uma função f, temos: a) D(f) é o conjunto de todas as abscissas dos pontos do eixo Ox tais que as retas verticais por eles traçadas interceptam o gráfico de f. b) Im(f) é o conjunto de todas as ordenadas dos pontos do eixo Oy tais que as retas horizontais por eles traçadas interceptam o gráfico de f. Em outras palavras: a) D(f) é o conjunto de todos os pontos do eixo Ox que são obtidos pelas projeções dos pontos do gráfico de f sobre o referido eixo. b) Im(f) é o conjunto de todos os pontos do eixo Oy que são obtidos pelas projeções dos pontos do gráfico de f sobre o referido eixo.

• Gráfico cartesiano • Projeção horizontal • Projeção vertical

Exemplos a) Na função f definida pelo gráfico abaixo, temos: • D(f) = {x ∈ – 3 ≤ x ≤ 5} • Im(f) = {y ∈ – 1 ≤ y ≤ 2}

b) Na função f definida pelo gráfico, temos: • D(f) = {x ∈ – 6 < x < 2 ou 3 ≤ x < 5} • Im(f) = {y ∈ – 2 < y < 4}

MATEMÁTICA

41


c) Na função f do gráfico, temos: • D(f) = [1; 8] • Im(f) = [2; 5]

Sejam f, g e h três relações binárias de A = [1; 6] em representadas nos gráficos seguinte:

d) Na função g do gráfico, temos: • D(g) = [– 5; 3[ ]3; 5] • Im(g) = [– 3; 2]

o gráfico em dois pontos.

O conjunto imagem é a projeção do gráfico no eixo vertical. Im(h) = [1; 5[

A relação binária g Resolução g não é função, pois 4 ∈ A não se relaciona com nenhum elemento de . A reta vertical que passa pelo ponto da abscissa 4 não encontra o gráfico de g em nenhum ponto.

A relação binária h Resolução h é função. Qualquer reta vertical que passa pelo ponto de abscissa x, com x ∈ A, encontra o gráfico de h em um e um só ponto.

a , se cada Verificar, nas questões de uma delas é função e em caso afirmativo determinar domínio, contradomínio e imagem.

A relação binária f Resolução f não é função, pois ao número 4 ∈ A estão associadas duas imagens distintas. A reta vertical que passa pelo ponto de abscissa 4 encontra

Considere o gráfico da função f.

e) Na função h do gráfico, temos: • D(h) = [– 4; 6] • Im(h) = [– 3; 4]

O domínio de h é a projeção do gráfico sobre o eixo horizontal. D(h) = [1; 6] O contradomínio de h é

(MODELO ENEM) – Analisando os custos e as vendas da produção artesanal de ovos de Páscoa, Cristina fez a seguinte relação: • Despesas fixas de R$ 2 400,00 e R$ 3,60 por ovo produzido. Se x for o número de unidades, então a expressão do custo é 2 400 + 3,60x • Cada ovo é vendido por R$ 10,00; assim, a expressão da venda é 10x. Se Cristina produziu e vendeu 400 ovos de Páscoa, seu lucro será: a) R$ 100,00 b) R$ 160,00 c) R$ 220,00 d) R$ 410,00 e) R$ 520,00 Resolução • O custo em reais, para produzir 400 ovos é 2400 + 3,60 . 400 = 3 840 • A receita, em reais, pela venda dos 400 ovos é 10 . 400 = 4 000 • O lucro, em reais, será 4 000 – 3 840 = 160 Resposta: B

a) determine f(3) c) qual é o domínio de f? e) resolva a equação f(x) = 2. RESOLUÇÃO: a) 3 b) – 2 c) D(f) = {x ∈ – 3 ≤ x ≤ 3} d) Im(f) = {y ∈ – 2 ≤ y ≤ 3} e) f(x) = 2 x=1 V = {1}

42

MATEMÁTICA

b) qual é a imagem de –3? d) qual é a imagem de f?


(CESUPA) – A função y = f(x) é representada graficamente

RESOLUÇÃO:

por

Pela análise do gráfico, encontre a) Dom(f) b) Im(f) c) f(3) RESOLUÇÃO: a) D(f) = ]– 2; 4] c) f(3) = 4

d) x f(x) = 0

D(f) = A CD(f) = B Im(f) = { – 1; 1; 3; 5}

b) Im(f) = [0;4] d) f(x) = 0 ⇒ x = 0

Considere o gráfico da função f, a seguir:

Dados os conjuntos

A = {–2, –1, 0, 1} e B = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, e a função f: A → B, definida por f(x) = 2x + 3: a) complete a tabela; b) construa o gráfico de f; c) obtenha o domínio, o contradomínio e a imagem de f. x

f(x)

(x; f(x))

–2

–1

(– 2; – 1)

–1

1

(– 1; 1)

0

3

(0; 3)

1

5

(1; 5)

a) determine f(0). c) qual é o domínio de f? e) resolva a equação f(x) = 2.

b) qual é a imagem de – 3? d) qual é a imagem de f?

RESOLUÇÃO: a) – 1 b) – 1 c) D(f) = [– 3, – 1] [0, 4[ d) Im(f) = [– 1, 2] e) f(x) = 2 x=–1 V = {– 1}


MATEMÁTICA

43


8

Função sobrejetora, injetora e bijetora

1. Função sobrejetora Uma função f : A → B é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem é igual ao contradomínio B.

• Função sobrejetora • Função injetora • Função bijetora • Gráfico cartesino

Pelo diagrama de flechas, uma função é injetora se, e somente se, cada elemento de B é atingido por, no máximo, uma flecha.

f : A → B é sobrejetora ⇔ Im(f) = CD(f) = B Pelo diagrama de flechas, uma função é sobrejetora se, e somente se, todo elemento de B é atingido por pelo menos uma flecha.

Pelo gráfico cartesiano, uma função é injetora se, e somente se, qualquer reta horizontal intercepta o gráfico, no máximo, uma vez.

Pelo gráfico cartesiano, uma função é sobrejetora → se, e somente se, a projeção do gráfico sobre o eixo Oy é o contradomínio.

3. Função bijetora Uma função f : A → B é bijetora se, e somente se, f é sobrejetora e injetora. A função f : [1; 3] → [3; 5], definida por f(x) = x + 2, é uma função bijetora.

2. Função injetora Uma função f : A → B é injetora se, e somente se, elementos distintos de A têm imagens distintas em B.

f : A → B é injetora ⇔ (x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2))

44

MATEMÁTICA


Verificar se a função apresentada é sobrejetora, injetora ou bijetora, nas questões de

a .

f: + → , definida por f(x) = x2

Resolução A função é injetora, pois qualquer reta horizontal encontra o gráfico no máximo em um ponto. Não é sobrejetora, pois Im(f) = + ≠ Resposta: só injetora

g: → +, definida por g(x) = x2

consiste em aplicar uma corrente elétrica intensa na parede torácica do paciente em um intervalo de tempo da ordem de milissegundos. O gráfico seguinte representa, de forma genérica, o comportamento da corrente aplicada no peito dos pacientes em função do tempo. De acordo com o gráfico, o comportamento da corrente I, com – 40 ≤ I ≤ 100, aplicada no peito dos pacientes, em função do tempo t, com 0 ≤ t ≤ 8, caracteriza uma função a) só injetora. b) só sobrejetora. c) bijetora. d) nem injetora, nem sobrejetora.

Resolução g não é injetora, pois existem retas horizontais que encontram o gráfico em mais de um ponto. g é sobrejetora, pois Im(g) = +

(MODELO ENEM) – Embora o Brasil tenha uma das maiores jazidas de sal do mundo, sua produção anual, em milhões de toneladas, ainda é inferior à da Alemanha, à da Austrália, à do Canadá, à da China, à dos EUA, à da França, à da Índia e à do México. O gráfico a seguir mostra a produção de sal nesses países, no ano 2000.

Resposta: só sobrejetora

Resolução 1) Não é injetora, pois uma reta horizontal de ordenada 4, por exemplo, encontra o gráfico em 2 pontos. 2) Não é sobrejetora, pois o – 30, por exemplo, não é imagem de nenhum t pertencente ao intervalo [0; 8]. Resposta: D

h: + → +, definida por h(x) = x2

Resolução É injetora, pois qualquer reta horizontal encontra o gráfico no máximo uma vez. Também é sobrejetora, pois Im(h) = +

Resposta: h é bijetora

Considerando esses principais países produtores, a melhor aproximação do percentual de participação do Brasil, na produção mundial de sal, em 2000, foi de: a) 4% b) 5% c) 6% d) 8% e) 11%

ᐉ: → , definida por ᐉ(x) = x2

Resolução

Pelos motivos dos exercícios anteriores, ᐉ não é injetora, nem sobrejetora.

Resolução 1) A produção total, em milhões de toneladas, é 6 + 16 + 9 + 13 + 30 + 43 + 7 + 15 + 9 = 148 2) Desse total, o Brasil participa com 6 milhões de toneladas, que representa 4% da produção mundial, pois 6 ––– 148

Resposta: nem sobrejetora e nem injetora (MODELO ENEM) – Um desfibrilador é um equipamento utilizado em pacientes durante parada cardiorrespiratória com objetivo de restabelecer ou reorganizar o ritmo cardíaco. O seu funcionamento

≅

6 4 ––– = ––– = 4% 150 100

Resposta: A

MATEMÁTICA

45


Os diagramas de flechas abaixo representam relações binárias. Pede-se para cada relação binária: I) diga se é ou não função; II) em caso afirmativo, verifique se a função é sobrejetora, injetora ou bijetora. a)

b)

b)

RESOLUÇÃO: É uma função apenas injetora. Não é função.

Não é função.

c) c)

d)

Função não sobrejetora nem injetora.

e)

Apenas sobrejetora. RESOLUÇÃO: É uma função bijetora.

f)

Apenas injetora.

Bijetora.

Sejam A e B subconjuntos de . A seguir, são dados gráficos de relações binárias de A em B. Pede-se para cada um: I) diga se é ou não função de A em B; II) em caso afirmativo, verifique se a função é sobrejetora, injetora ou bijetora.

As funções f e g, de contradomínio , são definidas pelos gráficos cartesianos. Determine, para cada uma, o domínio e o conjunto imagem. Classifique-as, em seguida, em sobrejetoras, injetoras ou bijetoras. a)

a)

RESOLUÇÃO: É uma função apenas sobrejetora.

46

MATEMÁTICA

RESOLUÇÃO: D(f) = [1; 4[ Im(f) = [1; 4] – {3} ≠ f é injetora f não é sobrejetora


b)

(MODELO ENEM) – Como resultado do aquecimento da Terra, algumas geleiras estão derretendo. Doze anos depois do desaparecimento das geleiras, pequenas plantas chamadas liquens começaram a crescer nas pedras. Cada líquen cresce de forma mais ou menos circular. A relação entre o diâmetro desse circulo e a idade do líquen pode ser calculada, aproximat – 12, para t ≥ 12. Nessa damente, pela fórmula d = 7,0 . fórmula, d representa o diâmetro do líquen em milímetros e t representa o número de anos passados depois do desaparecimento das geleiras. O diâmetro do líquen, em milímetros, 16 anos após o derretimento do gelo será:

RESOLUÇÃO: D(g) = Im(g) = g é sobrejetora g não é injetora

a) 9,0

b) 10,5

c) 12,0

d) 14,0

e) 15,5

RESOLUÇÃO: Para t = 16 e d = 7,0 . t – 12, temos 16 – 12 = 7,0 . 4 = 7,0 . 2 = 14,0 d = 7,0 . Resposta: D


9

Funções monotônicas

1. Função estritamente crescente Uma função f : [a; b] → é estritamente crescente em [a; b] se, e somente se,

• Estritamente crescente • Estritamente decrescente • Função constante

x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2); ∀x1, x2 ∈ [a; b]

x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2); ∀x1, x2 ∈ [a; b]

Exemplos a) A função f : → tal que f(x) = x + 2 é estritamente crescente.

2. Função estritamente decrescente Uma função f : [a; b] → é estritamente decrescente em [a; b] se, e somente se,

MATEMÁTICA

47


b) A função f : → tal que f(x) = – 2x + 3 é estritamente decrescente.

5. Função decrescente (não crescente) Uma função f : [a; b] → é decrescente em [a; b] se, e somente se,

x1 < x2 ⇒ f(x1) ⭓ f(x2); ∀x1, x2 ∈ [a; b]

3. Função constante Uma função f : [a; b] → é constante em [a; b] se, e somente se,

f(x1) = f(x2); ∀x1, x2 ∈ [a; b]

Exemplos a) A função f: → tal que f(x) =

2x – 2, se x ≥ 3 4, se x < 3

é crescente.

4. Função crescente (não decrescente) Uma função f : [a; b] → é crescente em [a; b] se, e somente se,

x1 < x2 ⇒ f(x1) ⭐ f(x2); ∀x1, x2 ∈ [a; b] b) A função f: → tal que f(x) = é decrescente.

48

MATEMÁTICA

4,se x > –1

–2x+ 2,se x ≤ –1


, utilize a função f

Nos exercícios e representada no gráfico.

f(0) = 2; f(2) = 4

O gráfico seguinte representa, de forma genérica, o comportamento da corrente aplicada no peito dos pacientes em função do tempo.

A falsa, portanto, é a alternativa d. Resposta: D

Estude a monotonicidade da função f nos intervalos: a) [– 1; 4]

b) [4; 8]

c) [8; 10]

d) [2; 8]

Resolução

a) b) c) d) e)

(MODELO ENEM) – Assinale a falsa.

f(4) ≥ f(x) para todo x entre – 1 e 11 f(x) = 3 para todo x entre 6 e 8 f(5) > f(10) f(0) = 11 f(2) = 4

Resolução Pela leitura do gráfico, podemos concluir que: f(4) = 6; f(x) ≤ 6, ∀x ∈ [ – 1; 11]; f(5) > 5; f(10) = 2;

Pela leitura do gráfico, podemos concluir que a) f é estritamente crescente no intervalo [1; 4] b) f é decrescente no intervalo [4; 8] c) f é estritamente decrescente no intervalo [8; 10] d) f não é monotônica no intervalo [2; 8]

(MODELO ENEM) – Um desfibrilador é um equipamento utilizado em pacientes durante parada cardiorrespiratória com objetivo de restabelecer ou reorganizar o ritmo cardíaco. O seu funcionamento consiste em aplicar uma corrente elétrica intensa na parede torácica do paciente em um intervalo de tempo da ordem de milissegundos.

Seja f : [a, b] → uma função cujo gráfico é dado abaixo:

Nas questões

De acordo com o gráfico, a contar do instante em que se inicia o pulso elétrico, a corrente elétrica atinge o valor máximo após a) 0,1 ms b) 1,4 ms c) 3,9 ms d) 5,2 ms e) 7,2 ms Resolução A corrente elétrica atinge o máximo valor 1,4 ms após o início do pulso. Resposta: B

e , esboce o gráfico de cada função e

classifique-a quanto à monotonicidade.

f : → tal que f(x) = 2x + 3

Complete, classificando a função quanto à monotonicidade. estritamente crescente

a) Em [a, m], f é .................................................................... RESOLUÇÃO: constante

b) Em [m, n], f é .................................................................... estritamente decrescente

c) Em [n, p], f é ...................................................................... estritamente decrescente

d) Em [q, b], f é ...................................................................... crescente

e) Em [a, n], f é ......................................................................

estritamente crescente

decrescente

f) Em [m, b], f é ......................................................................

MATEMÁTICA

49


f : [0; 10] → tal que f(x) =

x + 2, para 0 ≤ x < 2 4, para 2 ≤ x < 6 – 2x + 16, para 6 ≤ x ≤ 10

(MODELO ENEM) – Um desfibrilador é um equipamento utilizado em pacientes durante parada cardiorrespiratória com objetivo de restabelecer ou reorganizar o ritmo cardíaco. O seu funcionamento consiste em aplicar uma corrente elétrica intensa na parede torácica do paciente em um intervalo de tempo da ordem de milissegundos. O gráfico seguinte representa, de forma genérica, o comportamento da corrente aplicada no peito dos pacientes em função do tempo.

RESOLUÇÃO:

Em [0, 2], f é estritamente crescente. Em [2, 6], f é constante. Em [6, 10], f é estritamente decrescente. Em [0, 6], f é crescente. Em [2, 10], f é decrescente.

(PUC-BA) – O gráfico seguinte é da função f(x). De acordo com o gráfico, a contar do instante em que se inicia o pulso elétrico, a corrente elétrica inverte o seu sentido após a) 0,1 ms b) 1,4 ms c) 3,9 ms d) 5,2 ms e) 7,2 ms RESOLUÇÃO: A corrente elétrica inverte o seu sentido após 3,9 ms. Resposta: C

A sentença verdadeira é: a) f(1) = 1; b) o domínio de f(x) é {x ∈ x ≠ 0}; c) o conjunto imagem de f(x) é {y ∈ y > 0}; d) f(x) é estritamente decrescente para 0 < x < 1; e) f(x) é crescente para x > 0. RESOLUÇÃO: a) Falsa, pois f(1) = 0 b) Falsa, pois D(f) = c) Falsa, pois Im(f) = {y ∈ y ≥ 0} d) Verdadeira e) Falsa, pois para 0 < x < 1 f é decresccente Resposta: D

50

MATEMÁTICA



10

Função par, ímpar, periódica e limitada

• Gráfico cartesiano

1. Função par a) Uma função f : A → é par se, e somente se, f(– x) = f(x) para todo x de A. Simbolicamente

f : A → é par ⇔ f(– x) = f(x), ∀x ∈ A b) Decorre da definição que uma função f : A → é par se, e somente se, seu gráfico cartesiano é simétrico → em relação ao eixo Oy.

2. Função ímpar a) Uma função f : A → é ímpar se, e somente se, f(– x) = – f(x) para todo x de A. Simbolicamente

f : A → é ímpar ⇔ f(– x) = – f(x), ∀x ∈ A

4. Função limitada a) Uma função f : A → é limitada superiormente se, e somente se, existe b ∈ tal que f(x) ≤ b, para todo x em A.

b) Decorre da definição que uma função f : A → é ímpar se, e somente se, seu gráfico cartesiano é simétrico em relação à origem.

b) Uma função f : A → é limitada inferiormente se, e somente se, existe a ∈ tal que f(x) ≥ a, para todo x em A.

3. Função periódica a) Uma função f : A → é periódica se, e somente se, existe p ∈ * tal que f(x + p) = f(x), para todo x em A. b) Se f(x + p) = f(x) para todo x em A, então

f(x) = f(x + p) = f(x + 2p) = ... = f(x + kp) para todo x ∈ A e k ∈ *. c) Se f : A → é uma função periódica, então o menor valor estritamente positivo de p chama-se período de f e é indicado por P(f).

c) Uma função f : A → é limitada se, e somente se, f é limitada inferiormente e superiormente. MATEMÁTICA

51


Simbolicamente

f : A → é limitada ⇔ ⇔ ∃a, b ∈ a ≤ f(x) ≤ b, ∀x ∈ A d) Decorre da definição que uma função f : A → é limitada se o seu gráfico cartesiano está inteiramente contido em uma faixa horizontal.

Provar que a função f: → , definida por f(x) = x3 – 2x, é ímpar. Resolução f(– x) = (– x)3 – 2(– x) = – x3 + 2x =

se segue fornece informação sobre as zonas do corpo onde as lesões provocadas por mochilas são mais frequentes.

= – (x3 – 2x) = – f(x)

(MODELO ENEM) – Assinale a falsa. A função f: → , definida por f(x) = x2 – 1 é a) par b) limitada inferiormente c) estritamente decrescente no intervalo ]– ∞; 0] d) estritamente crescente no intervalo [0; + ∞[ e) é periódica Resolução O gráfico de f é:

Marta e suas amigas começaram a construir, cada uma, um gráfico de barras que traduzisse a mesma informação deste gráfico circular. A seguir, é possível observar esses cinco gráficos. Assinale o que corresponde ao gráfico circular apresentado.

Resolução Pelo gráfico circular, temos: 1) Mãos, punhos e cotovelos = ombros e a) Verdadeira, f(– x) = (–

x)2

x2

costas

– 1 = – 1 = f(x) b) Verdadeira, pois f(x) ≥ – 1, ∀x ∈ c) Verdadeira, pela leitura do gráfico. d) Verdadeira, pela leitura do gráfico. e) f não periódica. Resposta: E (MODELO ENEM) – O gráfico circular que

2) Cabeça e face < ombros e costas 3) Cabeça e face > outros 4) Pés e tornozelos < outros Logo: Alternativa B

Seja a função f : → definida por f(x) = x2.

a) Prove que f é par.

RESOLUÇÃO: Seja a ∈ f(a) = a2 f(– a) = (– a)2 = a2

52

MATEMÁTICA

⇒ f(a) = f(– a)


b) Esboce o gráfico de f. RESOLUÇÃO: b)

Seja a função f : → cuja representação gráfica é a seguinte:

Verificando que a função é periódica, determine o período de f.

Seja a função f : → definida por f(x) = x3

RESOLUÇÃO: f é uma função periódica e P(f) = 2.

a) Prove que f é ímpar. RESOLUÇÃO: a) Seja a ∈ f(a) = a3 f(– a) = (– a)3 = – a3

⇒ f(– a) = – f(a)

Seja a função f : → definida por f(x) = x + 1. Esboce o gráfico de f e por meio de contraexemplos justifique que ela não é par nem ímpar.

b) Esboce o gráfico de f.

RESOLUÇÃO: f(1) = 2 f(– 1) = 0 f(1) ≠ f(– 1) Não é par. – f(1) ≠ f(– 1) Não é ímpar.

RESOLUÇÃO:

Para a função f do exercício , é falso afirmar que:

a) Im(f) = b) c) d) e)

f(1) = 2 f não é periódica f é limitada f é estritamente crescente

RESOLUÇÃO: Resposta: D

MATEMÁTICA

53


(MODELO ENEM) – O gráfico refere-se às temperaturas de uma determinada cidade, nos 11 primeiros dias do mês de dezembro.

Ao observar esse gráfico, você pode notar que, em alguns dias do mês de dezembro, ocorreram temperaturas negativas, e, em outros, temperaturas positivas. De acordo com o gráfico, a maior temperatura do período considerado, em graus Celsius, foi: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 RESOLUÇÃO: A maior temperatura do período aconteceu no 5o. dia e o valor, em graus Celsius, foi 10. Resposta: C


11 e 12

Função composta

Dadas as funções f : A → B e g : B → C, chama-se função composta das funções g e f à função h : A → C tal que h(x) = g[f(x)]. É representada por gof (lê-se:g bola f).

A função h : A → C, composta de g e f, definida por h(x) = gof(x) é tal que:

h(x) = (gof) (x) = g[f(x)]

f(2) = 3 e g(3) = 12 ⇒ h(2) = (gof) (2) = g[f(2)] = g(3) = 12

por f(x) = x + 1 e g(x) = 5x – 3.

f(1) = 2 e g(2) = 7 ⇒ h(1) = (gof) (1) = g[f(1)] = g(2) = 7

f(3) = 4 e g(4) = 17 ⇒ h(3) = (gof) (3) = g[f(3)] = g(4) = 17

Observação A imagem de um elemento qualquer x de A por meio da função composta gof é determinada em duas etapas: a primeira transforma o elemento x de A no elemento f(x) de B e a segunda transforma o elemento f(x) de B no elemento g[f(x)] de C. Exemplos a) Sejam os conjuntos A = {1; 2; 3}, B = {2; 3; 4} e C = {7; 12; 17} e as funções f : A → B e g : B → C definidas

54

MATEMÁTICA


b) Sejam f e g duas funções de em , definidas por f(x) = 3x + 1 e g(x) = 2x + 4.

h(x) = g[f(x)] = g[3x + 1] = = 2(3x + 1) + 4 = 6x + 6

A sentença que define a função h : → tal que h(x) = (gof)(x) é h(x) = 6x + 6, pois:


Dadas as funções f e g, de em ,

definidas por f(x) = 3x + 2 e g(x) = x2 – 3, calcule:

= (3x + 1) – 3, se 3x + 1 ≤ 4 2(3x + 1), se 3x + 1 > 4

⇒

⇒ (fog)(x) = 3x – 2, se x ≤ 1 6x + 2, se x > 1

a) (fog)(x) b) (gof)(x)

Resposta: A

Resolução

a) (fog)(x) = f[g(x)] = f(x2 – 3) = = 3(x2 – 3) + 2 = 3x2 – 7 b) (gof)(x) = g[f(x)] = g[3x + 2] = (3x + 2)2 – 3 = = 9x2 + 12x + 4 – 3 = 9x2 + 12x + 1 Respostas: a) (fog)(x) = 3x2 – 7 b) (gof)(x) = 9x2 + 12x + 1

Resolução

Sejam f e g duas funções de em , tais x – 3, se x ≤ 4 que f(x) = e g(x) = 3x + 1. 2x, se x > 4

Então, (fog)(x) é igual a: a)

3x6x –+ 2,2, sese xx ≤>11

b)

c)

6x – 2, se x ≤ 4 d) 3x + 2, se x > 4

e)

3x6x +– 2,2, sese xx >≤ 11

3x + 2, se x ≤ 4 6x – 2, se x > 4

Sejam f e g duas funções de em , tais que (gof)(x) = 2x + 4 e f(x) = x + 1. A sentença que define a função g é: a) g(x) = x + 2 b) g(x) = 2x – 2 c) g(x) = 2x + 2 d) g(x) = x – 2 e) g(x) = 4x – 2

3x6x –+ 2,2, sese xx ≤>44

Resolução (fog)(x) = f[g(x)] = f(3x + 1) =

1) (gof)(x) = g[f(x)] 2) Se g(x) = 2 . x + 2, então g[f(x)] = 2 . f(x) + 2 3) (gof)(x) = 2 . f(x) + 2 = 2x + 4 ⇔ ⇔ 2f(x) = 2x + 2 ⇒ f(x) = x + 1 Resposta: A

O desenvolvimento da gestação de uma determinada criança, que nasceu com 40 semanas, 50,6 cm de altura e com 3 446 gramas de massa, foi modelado, a partir da 20a. semana, aproximadamente, pelas funções matemáticas h(t) = 1,5t – 9,4 e

1) (gof) = g[f(x)] = g(x + 1) = 2x + 4 2) Fazendo x + 1 = α, resulta x = α – 1 3) g(x + 1) = 2x + 4 ⇒ g(α) = 2(α – 1) + 4 ⇔ ⇔ g(α) = 2α + 2 ⇒ g(x) = 2x + 2 Resposta: C

Sejam f e g duas funções de em , tais que (gof)(x) = 2x + 4 e g(x) = 2x + 2. A sentença que define a função f é: a) f(x) = x + 1 b) f(x) = x – 1 c) f(x) = 2x – 1 d) f(x) = 2x + 2 e) f(x) = x + 2

p(t) = 3,8t2 – 72t + 246, em que t indica o tempo em semanas, t ≥ 20, h(t) a altura em centímetros e p(t) a massa em gramas. Admitindo o modelo matemático, determine quantos gramas tinha o feto quando sua altura era 35,6 cm. a) 1506 b) 1720 c) 1840 d) 2120 e) 2480 Resolução h(t) = 1,5t – 9,4 = 35,6 ⇔ t = 30 p(30) = 3,8 . 302 – 72 . 30 + 246 = 1506 Resposta: A

Resolução


Considere os conjuntos A = {1; 2; 3}, B = {4; 5; 6} e

b) Represente as funções f e g pelo diagrama de flechas.

C = {13; 16; 19} e as funções f : A → B tal que f(x) = x + 3 g : B → C tal que g(x) = 3x + 1 a) Complete: 4

13

5

16

6

19

x = 1 ⇒ f(1) = .......... ⇒ g[f(1)] = ..........

RESOLUÇÃO:

x = 2 ⇒ f(2) = .......... ⇒ g[f(2)] = .......... x = 3 ⇒ f(3) = .......... ⇒ g[f(3)] = ..........

MATEMÁTICA

55


c) Represente a função h : A → C tal que h(x) = g[f(x)] pelo diagrama de flechas.

Considere as funções f e g de em tais que

f(x) = 3x + 1 e g(x) = x – 2. Determine: a) g[f(1)] = g(4) = 2 b) g[f(2)] = g(7) = 5 c) g[f(x)] = g(3x + 1) = 3x + 1 – 2 = 3x – 1 d) f[g(1)] = f(– 1) = – 2

RESOLUÇÃO:

e) f[g(2)] = f(0) = 1 f) f[g(x)] = f(x – 2) = 3(x – 2) + 1 = 3x – 5

Considere as funções reais f e g definidas por f(x) = x + 2 e g(x) = x2, para todo x real. Determine:

h(1) = g[f(1)] = 13

a)

(fog)(x) = f[g(x)] = f(x2) = x2 + 2

b)

(gof)(x) = g[f(x)] = g(x + 2) = (x + 2)2 = x2 + 4x + 4

c)

(fof)(x) = f[f(x)] = f(x + 2) = x + 2 + 2 = x + 4

d)

(gog)(x) = g[g(x)] = g(x2) = (x2)2 = x4

h(2) = g[f(2)] = 16 h(3) = g[f(3)] = 19

Exercícios Propostos – Módulo 12 Nas questões de a , dadas as funções f : → tal que f(x) = x2 e g : → tal que g(x) = x + 3, determine:

(fog) (x) =

RESOLUÇÃO: (fog)(x) = f[g(x)] = f(x + 3) = (x + 3)2 = x2 + 6x + 9

(gof) (x) =

RESOLUÇÃO: (gof) = g[f(x)] = g(x2) = x2 + 3


56

MATEMÁTICA


Com respeito à função f: → , cujo gráfico está representado abaixo, é correto afirmar:

(fof) (x) =

RESOLUÇÃO: (fof)(x) = f[f(x)] = f(x2) = (x2)2 = x4

(gog) (x) =

RESOLUÇÃO: (gog)(x) = g[g(x)] = g(x + 3) = x + 3 + 3 = x + 6

a) (fof)(– 2) = 1

b) (fof)(– 1) = 2

d) (fof)(– 1) = 0

e) f(– 2) = 1

c) (fof)(– 2) = – 1

RESOLUÇÃO: I) f(– 2) = – 1 II) f(– 1) = 0

As funções f e g, de em , são tais que f(x) = 2x – 3 e (fog) (x) = 2x – 7. Determine g(x).

III) f(0) = 2 IV) (fof)(– 2) = f(f(– 2)) = f(– 1) = 0 V) (fof)(– 1) = f(f(– 1)) = f(0) = 2

RESOLUÇÃO: (fog)(x) = 2x – 7 f[g(x)] = 2x – 7 2 . g(x) – 3 = 2x – 7 2 . g(x) = 2x – 4 g(x) = x – 2

13 e 14

Resposta: B

Função inversa

1. Definição Seja f : A → B uma função bijetora. A função f –1 : B → A é a inversa de f se, e somente se:

f –1(b) = a, ∀b ∈ B f(a) = b; ∀a ∈ A Observe que: a) A função inversa f –1 desfaz o que a função f fez. b) A = D(f) = CD(f –1) e B = D(f –1) = CD(f) c) f é inversível ⇔ f é bijetora.

• Gráficos de f e f – 1

d) (fof –1)(x) = x, ∀x ∈ B e (f –1of)(x) = x, ∀x ∈ A

2. Gráficos de f e f –1 De acordo com a definição, temos:

(a; b) ∈ f ⇔ (b; a) ∈ f –1 Os gráficos de f e f –1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (1 o. e 3 o. ), cuja equação é y = x.

MATEMÁTICA

57


3. Como obter a função inversa A definição sugere uma regra prática para obter a sentença que define a inversa, que consiste em: Regra prática

?

Saiba mais

f(1) = 2 . 1 + 3 = 5

b)

f(2) = 2 . 2 + 3 = 7

Substituir f(x) por y

y = 2x + 3

Trocar x por y e y por x

x = 2y + 3 x = 2y + 3 ⇔ 2y = x – 3 ⇔

x–3 Se f(x) = 2x + 3 e f–1(x) = ––––– , então: 2

a)

Exemplo

“Isolar” o y

x–3 ⇔ y = –––––– 2 x–3 f –1(x) = –––––– 2

Substituir y por f –1(x)

5–3 f–1(5) = ––––– = 1 2

A

inversa

da função f : → definida por

f(x) = 2x + 3 é, pois, a função f –1 : → definida por

7–3 f–1(7) = ––––– = 2 2

x–3 f –1(x) = ––––– . 2


Obter a função inversa de f: → definida por f(x) = 2x – 4 Resolução a) substituir f(x) por y: y = 2x – 4 b) trocar x por y e y por x: x = 2y – 4 c) “isolar” o y: x = 2y – 4 ⇔ x+4 ⇔ 2y = x + 4 ⇔ y = –––––– 2 d) substituir y por

f –1(x):

f – 1(x)

Esboçar, no mesmo sistema de coordena-

5) f: [– 3; 1] → [– 2; 6] e f –1: [– 2; 6] → [– 3; 1]

das, o gráfico da função f: [– 3; 1] → B e da sua

6) Os gráficos de f e f –1 são simétricos em

inversa f –1: B → [– 3; 1], sendo f(x) = 2x + 4 Resolução 1)

relação à bissetriz do 1o. e do 3o. quadrante. 7) Os gráficos de f e f –1 são:

3) + 4 = – 2 f(–f(1)3)= =2 2(– .1+4=6

2) O gráfico de f é:

x+4 = –––––– 2

x+4 Resposta: f – 1(x) = –––––– 2

Obter a função inversa de f: → definida por f(x) = 2x + 4 Resolução f(x) = 2x + 4 ⇒ y = 2x + 4 ⇒ x = 2y + 4 ⇒

x–4 ⇒ 2y = x – 4 ⇒ y = ––––––– ⇒ 2 x–4 ⇒ f – 1(x) = ––––––– 2 Resposta:

58

f – 1(x)

x–4 = ––––––– 2

MATEMÁTICA

3) B = [– 2; 6] x–4 4) f – 1(x) = –––––– conforme o exercício (2) 2

(MODELO ENEM) – Para produzir um número x de peças, com x natural, uma empresa deve investir R$ 200 000,00 em máquinas e além disso, gastar R$ 0,50 na produção de cada peça. Nessas condições, o custo y, em reais, para a produção das x peças é uma função definida por:


A despesa de uma peça é R$ 0,50 e, portanto, para produzir as x peças, gasta-se, ainda, 0,5 . x reais.

a) y = 200 000 + 0,5 b) y = 200 000 x

Assim: y = 200 000 + 0,5x ⇔

x c) y = ––– + 200 000 2 d) y = 200 000 – 0,5x 200 000 + x e) y = ––––––––––––– 2 Resolução A despesa fixa é R$ 200 000,00 para adquirir as máquinas.

x ⇔ y = ––– + 200 000 2 Resposta: C

(MODELO ENEM) – Com relação ao exercício anterior, com R$ 205 000,00, quantas peças serão produzidas? a) 10 000 b) 20 000 c) 50 000

d) 80 000

e) 100 000

Resolução x Para y = 205 000 e y = ––– + 200 000, temos: 2 x 205 000 = ––– + 200 000 ⇔ 2 x ⇔ ––– = 5 000 ⇔ x = 10 000 2 Resposta: A

Exercícios Propostos – Módulo 13 Nas questões de a , determine f –1 e esboce os gráficos

f : → tal que f(x) = 4x

de f e f –1 no mesmo sistema de coordenadas.

f : → tal que f(x) = x – 2

RESOLUÇÃO: y = 4x RESOLUÇÃO: y=x–2 x=y–2 y=x+2

x = 4y x y = ––– 4

Logo, f–1(x) = x + 2

x Logo, f–1(x) = ––– 4


MATEMÁTICA

59


f : → tal que f(x) = 2x – 1

f: [0; 4] → [– 2; 6] tal que f(x) = 2x – 2

RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: y = 2x – 1 x = 2y – 1 2y = x + 1 x+1 y = –––––– 2

y = 2x – 2 x = 2y – 2 2y = x + 2 x+2 y = –––––– 2

x+1 Logo, f–1(x) = –––––– 2

Logo, f–1:[– 2; 6] → [0; 4] x+2 tal que f–1(x) = –––––– 2

Exercícios Propostos – Módulo 14 O ponto A(1; 3) pertence ao gráfico de f(x) = 2x + b. Determine f – 1(x). RESOLUÇÃO: I) f(x) = 2x + b e A(1; 3) ∈ f, então: 3 = 2 . 1 + b ⇔ b = 1 ⇔ f(x) = 2x + 1 II) f(x) = 2x + 1 y = 2x + 1 x = 2y + 1 2y = x – 1 x–1 x–1 y = ––––– , logo, f–1(x) = ––––– 2 2

60

MATEMÁTICA


A função f: A → B, com A e B , definida por

1 1 f(x) = –––––– é inversível. Calcular f –1 ––– . 7 x+1 RESOLUÇÃO: f–1(b) = a ⇔ f(a) = b 1 1 = –– ⇔ a + 1 = 7 ⇔ a = 6 = a ⇔ f(a) = –––17 ⇔ ––––– a+1 7

1 f–1 ––– 7

=6

1 Logo, f–1 ––– 7

(MODELO ENEM) – Texto para as questões e . Foi feita uma pesquisa numa cidade que está organizada em 100 bairros tendo em média 400 habitantes cada um. Foram selecionados 10% dos bairros, representados no gráfico por A, B, C, D, E, F, G, H, I e J e 10% dos habitantes de cada bairro. Considere que o índice de otimismo das pessoas pesquisadas representa, em cada bairro, o de todas as pessoas do mesmo bairro. Considere ainda que o índice de otimismo é a razão entre o número de otimistas e total de habitantes.

O índice de otimismo das pessoas do bairro C é 3x – 1 A função f: R – {2} → – {a}, definida por f(x) = ––––––– é x–2 inversível e f –1: – {a} → – {2} é a sua inversa. Determine

f–1(x) e a.

a) 80%

b) 84,5%

d) 88%

e) 89,5%

c) 87,5%

RESOLUÇÃO: O número de pessoas de cada bairro que foram pesquisadas é 10% . 400 = 40. O número de otimistas do bairro C é 35.

RESOLUÇÃO:

35 O índice de otimismo no bairro C é ––– = 0,875 = 87,5% 40

3x – 1 f(x) = ––––––– x–2

Resposta: C

3y – 1 x = ––––––– y–2 xy – 2x = 3y – 1 xy – 3y = 2x – 1

y(x – 3) = 2x – 1

pesquisados é

2x – 1 2x – 1 y = ––––––– , logo, f–1(x) = ––––––– x–3 x–3 3x – 1 Sendo f: R – {2} → – {a} definida por f(x) = ––––––– x–2 2x – 1 e f–1: R – {a} → – {2} definida por f–1(x) = ––––––– , temos a = 3. x–3

O menor índice de otimismo das pessoas dos 10 bairros

a) 25%

b) 30%

d) 38%

e) 40%

c) 35%

RESOLUÇÃO: O menor número de otimismo, entre os pesquisados, é do bairro D. Apenas 10 são otimistas. Para esse bairro, o índice de otimismo é 10 ––– = 0,25 = 25% 40 Resposta: A

MATEMÁTICA

61


Exercícios complementares

15 e 16


(MODELO ENEM) – Seja f(n) uma função definida para

todo n inteiro tal que

f(2) = 2 f(p + q) = f(p).f(q) em que p e q são

II) No triângulo retângulo da figura, pelo Teorema de Pitágoras, 3 temos: (f(2))2 + 12 = 22 ⇔ (f(2))2 = 3 ⇒ f(2) = Resposta: E

inteiros. O valor de f(0) é: a) – 1

b) 0

c) 1

2 d)

e) 2

RESOLUÇÃO: Como f(2) = 2 e f(p + q) = f(p) . f(q) para p e q inteiros, fazendo p = 0 e q = 2, temos f(0 + 2) = f(0) . f(2) ⇔ f(2) = f(0) . f(2) ⇔ 2 = f(0) . 2 ⇔ f(0) = 1 Resposta: C

(MODELO ENEM) – O gráfico abaixo apresenta os investimentos anuais em transportes, em bilhões de dólares, feitos pelo governo de um certo país, nos anos indicados.

(MODELO ENEM) – A semicircunferência na figura abaixo tem centro em (3,0), uma extremidade em (1;0) e é o gráfico de uma função f. De acordo com esse gráfico, é verdade que o investimento do governo desse país, em transportes, a) diminui, por ano, uma média de 1 bilhão de dólares. b) vem crescendo na década de 1990. c) em 1994, foi menor que a décima parte do que foi investido em 1990. d) em 1994, foi o dobro do que foi investido em 1990. e) em 1991 e 1992, totalizou 3,8 bilhões de dólares. Podemos afirmar que f(2) é igual a: a) 1 b) 2 c) 1,5 RESOLUÇÃO: I) O raio da circunferência é 2.

62

MATEMÁTICA

d) 1,7

e) 3

RESOLUÇÃO: Resposta: C


O gráfico abaixo mostra a evolução da produção de biodiesel no mundo, no período 1991-2002, em milhares de toneladas por ano.

(ENEM) – A obsidiana é uma pedra de origem vulcânica que, em contato com a umidade do ar, fixa água em sua superfície formando uma camada hidratada. A espessura da camada hidratada aumenta de acordo com o tempo de permanência no ar, propriedade que pode ser utilizada para medir sua idade. O gráfico abaixo mostra como varia a espessura da camada hidratada, em mícrons (1 mícron = 1 milésimo de milímetro), em função da idade da obsidiana.

(Adaptado de Acesso em junho 2004.)

A partir das informações do gráfico, assinale a afirmativa correta. a) A produção em 2002 foi o dobro da produção de 1999. b) Se a variação da produção de biodiesel de 2001 a 2002 se mantiver constante nos anos seguintes, a produção de biodiesel em 2004 será 2.200.000 toneladas. c) Se a produção de biodiesel, em mil toneladas, no período 2000-2002, for representada por uma função real y = f(x), sendo y a produção de biodiesel no ano x, então f(x) = 400x – 800.000. d) A produção em 2002 superou a de 1991 em mais de 1.400.000 toneladas. e) Houve queda na produção no período 1997-1999.

Com base no gráfico, pode-se concluir que a espessura da camada hidratada de uma obsidiana a) é diretamente proporcional à sua idade. b) dobra a cada 10 000 anos. c) aumenta mais rapidamente quando a pedra é mais jovem. d) aumenta mais rapidamente quando a pedra é mais velha. e) a partir de 100 000 anos não aumenta mais. RESOLUÇÃO: Resposta: C

RESOLUÇÃO: Resposta: D

Exercícios Propostos – Módulo 16 O custo C de enviar um pacote pesando P kg (P inteiro) é de R$ 0,10 para o primeiro quilograma e de R$ 0,03 por quilograma adicional. A sentença que estabelece esse custo é: a) C = 0,10 + 0,03P b) C = 0,10P + 0,03 c) C = 0,10 + 0,03(P – 1) d) C = 0,09 + 0,03P e) C = 0,10(P – 1) – 0,07 RESOLUÇÃO: Resposta: C

Um vendedor tem um salário fixo mensal de R$ 300,00 e uma comissão de 7% sobre o total de x reais de suas vendas no mês. Seu salário mensal total, em reais, pode ser expresso por a) 300 + 7x b) 300 + 0,07x c) 307 + x d) 300,07x e) 307x RESOLUÇÃO: Resposta: B

MATEMÁTICA

63


Sabe-se que, nos pulmões, o ar atinge a temperatura do corpo e que, ao ser exalado, tem temperatura inferior à do corpo, já que é resfriado nas paredes do nariz. Por meio de medições realizadas em um laboratório, foi obtida a função TE = 8,5 + 0,75 . TA, 12° ≤ TA ≤ 30°, em que TE e TA representa, respectivamente, a temperatura do ar exalado e a do ambiente. Calcule a) a temperatura do ambiente quando TE = 25°C; b) o maior valor que pode ser obtido para TE. RESOLUÇÃO: Sendo todas as temperaturas em °C, temos: TE = 8,5 + 0,75 . TA a) Para TE = 25, temos: 25 = 8,5 + 0,75 . TA 16,5 TA = –––––– 0,75

Numa certa localidade, os usuários pagam, à Companhia Telefônica, um valor mensal fixo de R$ 40,00 pelo uso da linha telefônica e pelo uso de, no máximo, 90 impulsos mensais. Esta mesma companhia cobra, ainda, R$ 0,30 por cada impulso que ultrapassar a cota mensal dos 90 impulsos não cobrados. Pedem-se: a) a sentença que permite calcular o valor V, cobrado mensalmente, em reais, em função do número i de impulsos utilizados no mês; b) o gráfico de V em função de i; c) o valor da conta telefônica, em reais, de um usuário que gastou, num determinado mês, apenas 70 impulsos; d) o valor da conta telefônica, em reais, de um usuário que gastou, num determinado mês, 240 impulsos. RESOLUÇÃO: a) A sentença que permite calcular V é: V(i) = 40, para 0 ≤ i ≤ 90 V(i) = 40 + 0,30 (i – 90), para i > 90

TA = 22

⇔

b) Como 12° ≤ TA ≤ 30°, TE será máximo para TA = 30, então: TE = 8,5 + 0,75 . 30 = 8,5 + 22,5 = 31

V(i) = 40, para 0 ≤ i ≤ 90 V(i) = 13 + 0,3i , para i > 90

b)

Respostas: a) 22°C b) 31°C

c) V(70) = 40 d) V(240) = 13 + 0,3 . 240 = 85

64

MATEMÁTICA

⇔


EXERCÍCIOS-TAREFAS

Módulo 1 – Definição de potência de expoente inteiro n

(UNICAMP) a) Calcule as seguintes potências: a = 33, b = (– 2)3, c = 3–2 e d = (– 2)– 3. b) Escreva os números a, b, c e d em ordem crescente.

Calcule as potências a seguir, utilizando a definição:

(FUVEST) – O valor de (0,2)3 + (0,16)2 é:

a) 52

b) (– 5)2

a) 0,0264

b) 0,0336

c) – 52

d) (– 5)3

d) 0,2568

e) 0,6256

e) – 53

3 f) –– 4

FRENTE 1

0

–2

2 g) –– 3

1 h) – –– 3

Módulo 2 – Propriedades das potências

Simplifique as expressões numéricas a seguir, escrevendoas na forma de uma única potência:

–4

Calcule as seguintes potências de base 10:

a) 102

b) 105

c) 10– 2

d) 10– 5

Calcule as potências a seguir, escrevendo o resultado na forma de número decimal: a) (0,3)2

b) (0,03)2

c) (0,5)3

d) (0,01)4

2–3 + 3–1 O valor de ––––––––––––––– é: –3 1 20 + 21 + –– 2 1 c) ––– 24

b) 24

a) 25 . 2– 2

b) 26 . 2

c) 241 ÷ 236

d) (0,2)2 . (1,5)2

e) (0,4)4 ÷ (0,02)4

f) 252 ÷ 52

(24)5 g) –––––– (42)4

h) (35)4 . (92)3

Simplifique as expressões a seguir, escrevendo-as na forma

an, sendo a um número real maior que zero e n um número inteiro:

a) 1

1 e) –– 8

d) 8

a) (a4)3

b) (a3)4

4

3

c) a3

d) a4

Indique qual das igualdades abaixo é verdadeira.

e) [(a– 2)2]3

f) [(a3)3]3

a) 110 = 0 d) 80 = 1

g) (a3)3

b) a0 = a e) 2– 3 = – 8

c) a1 = 1

5

3

h) (a23) 5

(– 1)0 + (– 6) : (– 2) – 24 é a) 20 b) – 12 d) 12 e) 10

c) 19.5

(UEL) – Efetuando-se 3

2

5 a) – ––– 4

1

–2

será: a) 1

a) 1

c) 5

75 d) ––– 8

49 e) ––– 4

3–1 + 5–1 O valor de ––––––––– é 2–1

4 a) ––– 15

1 b) –– 2

(24)5

[(0,06) ]

b) 6

c) 16

d) 60

e) 62

1 c) –– 8

b) 2

c) 4

d) 8

e) 16

52n + 3 O valor de ––––––– , sendo n um número natural, é: 25n + 1 a) 1

[(0,06)2]3

A metade de 2100 dividida pelo dobro de 448 é igual a:

5 . –– obtém-se 2

23 b) ––– 8

2

2 Se a = ––––– ÷ 256 e b = ––––––––– então o valor de a ÷ b 32


––2 + ––2

c) 0,1056

b) 5

c) 5n

d) 25

e) 25n

Simplificando a expressão [29 : (22 . 2)3] – 3 obtém-se 16 d) ––– 15

e) 4

a) 236

b) 2– 30

c) 2– 6

d) 1

MATEMÁTICA

1 e) –– 3

65


Estima-se que a nave New Horizons, a mais rápida já construída pela NASA, levaria 400.000 anos para ir da Terra até o GL 581c. Então, é CORRETO afirmar que, para tanto, essa nave teria de desenvolver uma velocidade média compreendida entre a) 15,0 km/s e 15,25 km/s. b) 15,25 km/s e 15,50 km/s. c) 15,50 km/s e 15,75 km/s. d) 15,75 km/s e 16,0 km/s.

(FATEC) – Das três sentenças abaixo: I. 2x + 3 = 2x . 23 II. (25)x = 52x III. 2x + 3x = 5x a) semente a I é verdadeira; b) somente a II é verdadeira; c) somente a III é verdadeira; d) somente a II é falsa; e) somente a III é falsa.

(FUVEST) – O valor da expressão 1 1 1 – –– – –– 6 3 –––––––––––––––––– é: 1 1 2 3 –– + –– + –– 6 2 2

Assinalar a falsa:

a) Se x2 = 4 então x6 = 64. b) Se

x6

= 64 então x = 2.

3

3

c) (22) < 22 d) Se e)

10x

2n + 2

= 0,2 então 2n

+

=5.

102x

= 0,04.

7 b) –– 8

c) – 2n + 1

d) 1 – 2n

7 e) –– 4


Se x = a2, y = ax2, z = xy e xyz = an, com a ∈ * e a ≠ 1,

qual o valor de n?

0,00001 . (0,01)2 . 1000 (VUNESP) – Se m = –––––––––––––––––––– , então: 0,001

a)

m = 0,1

b) m = (0,1)2

(0,1)4

d)

m=

O valor de 3 . 210 + 5 . 210 é:

a) 210

b) 211

e) m =

c) m = (0,1)3

(0,1)5

c) 212

d) 213

e) 8 . 220

3 b) –– 4

7 c) –– 6

3 d) –– 5

O valor de 3 . 105 + 2 . 106 é: a) 32 . 105 b) 23 . 105 d) 23 . 106 e) 5 . 106

c) 32 . 106

Sendo x = (22)3, y = 223 e z = 232, escrevendo o produto x . y . z na forma 2n, qual o valor de n?

(FUVEST) – Dos números abaixo, o que está mais próximo

(5,2)4 . (10,3)3 de –––––––––––––– é (9,9)2 a) 0,625

b) 6,25

c) 62,5

d) 625

e) 6250

(MACKENZIE) – Considere a seqüência de afirmações: I) 745 . 10– 4 = 0,745 II) (– 2)n = –2n, para todo n natural III) (– a2)3 = (– a3)2, para todo a real não nulo. Associando (V) ou (F) a cada afirmação, nesta ordem, conforme seja verdadeira ou falsa, tem-se: a) (F, V, V) b) (F, V, F) c) (F, F, V) d) (V, V, V) e) (F, F, F)

d) 62 .

10– 5

b) 8 . 10–5 e) 2,6 .

Se 2x = 3, então o valor de 4– 2x será igual a: 1 1 a) – 81 b) 81 c) –– d) – –– 9 9

c) 62 . 10– 4

10 – 5

Dê a notação científica nos seguintes casos: a) 0,002 b) 0,0132 c) 12500

d) 310000000

Quando multiplicamos um número inteiro n, estritamente

A informação armazenada em computadores tem como unidade de medida o byte. Seus múltiplos são os kilobyte, que equivale a 210 bytes, e o megabyte, 210 kilobytes. Assim, um arquivo de tamanho 2 megabytes equivale exatamente a: a) 2 000 bytes b) 2 000 kilobytes c) 210 kilobytes d) 211 bytes e) 221 bytes

positivo, por (0,02)– 2 esse número n fica: a) multiplicado por 4 milésimos. b) dividido por 2 500. c) subtraído de 2 500. d) multiplicado por 2 500. e) dividido por 4 centésimos.

(UFMG) – Recentemente, alguns cientistas anunciaram a descoberta do GL 581c, um novo planeta localizado a 20,5 anos-luz da Terra. Sabe-se que ano-luz é a distância percorrida pela luz, a uma velocidade de 3,0 . 108 m/s, durante um ano.

MATEMÁTICA

1 e) ––– 81

O valor de 6 . 10– 4 + 2 . 10– 5 é:

a) 8 . 10– 4

66

3 e) – –– 5


1 a) –– 2

2n

2n + 4 – 2 . 2n Simplificando a expressão –––––––––––– , obtém-se: 2 . 2n + 3

1 a) –– 8

Quantos algarismos tem o número natural 24 . 108?

O número de algarismos do número natural 231 . 526 é: a) 20 b) 27 c) 28 d) 29 e) 43


(CEFET-BA) – Se 53a = 64, o valor de 5–a é: a) – 1/4 b) 1/40 c) 1/20 d) 1/8

O valor de

27 a) ––– 32

2

8 b) –– 9 2

4 a) –– 3

.

é

3 b) –– 4

4

3 d) –– 4

64 e) ––– 81

3

9 d) ––– 16

3

Sabendo-se que 1,09242 é aproximadamente igual a 40,

podemos concluir que 1,092210 . 252 está mais próximo de a) 64 bilhões

b) 64 trilhões

c) 64 milhões

d) 120 milhões

b) 50

c) 100

2 e) –– 3 a) 6

e) 200

Calculando 503 . 23 é

a) 10

16 c) ––– 9

e) 0

O valor da expressão 502 + 1202 é a) 130 b) 169 c) 170 d) 190

obtém-se

6 d) –– 7

3 c) –– 5

b) 6

(UNIP) – O valor de –––––––––––––––––– é:

a) 1

3

––3

– 27 (– 2)2 +

9 c) ––– 16

Calculando –– 4 3

9 –– 8

.

e) 1/4

2

2 –– 3

3

9 – – 8 + (0,41)0

d) 200

e) 1000

(FEBA) – O valor de 32 + 14 + 1 + 9 é: b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

(LAVRAS) – O valor da expressão 10–2 . [(–3)2 – (–2)3] :

3

– 0,001 é:

e) 120 bilhões

a) – 0,1 d) 0,1

(JUIZ DE FORA) – O valor da expressão:

Calculando 813 . 2519 obtém-se

a) 2 . 1026

b) 2 . 1022

d) 2 . 1038

e) 2 . 1040

c) 2 . 1035

b) – 1,7 e) 1,7

c) – 17

{(– 2)3 + [(– 2)2 – 3 + (– 3). 49] : [ 256 : (– 4)]} : (– 3), é:

13 b) ––– 3

a) 2

–3 d) ––– 2

c) – 1

e) 1

Módulo 6 – Propriedades das raízes Módulo 5 – Definição de raiz e existência

Calcular:

a) 81

b) – 81

3

3

64 d) g) 0

f) – 64

h) –9

3

3

8

8

3

c) 64 = 4

4

3

121 a) –––– 12

101 b) –––– 12

41 c) ––– 4

Calcule o valor de

Calcule o valor da expressão:

81 + 9 + 32

5

5

A = 512 – 144 + 0 + – 243 +

a) 2

c) 192

5

31

1 – ––– – –1 32

3

b) 108

O valor da expressão b) 0

c) 1

7+

3

d)

8 . a4, sendo a > 0

Simplificando 5 12 + 4 27 obtemos:

3 a) 12

b) 25 3

d) 22 3

e) 18 3

3

c) 8 3

(PUC) – A expressão 8 – 18 + 2 2 é igual a:

5 + 6 + 9 é:

a) 2

b) 12

d) 3

d) – 8

e) 6

e) – 2

49 d) ––– 6

Simplificar:

5

3 4

4

O resultado da soma 2–1 + 2–1 + 4 –1 + 4 + 27 + 256 é:

a) 48

17

3

e) 26 = 23

e) 16 = ± 4

Justifique:

9

5

d) 2 = 25

7 = 7

b) – 49 = – 7

– 64 = – 4 d)

3

b) 32 : 2 = 16 = 4

Justifique:

Assinale a alternativa falsa:

49 = 7 a)

Assinale a alternativa falsa:

2 . 32 = 64 = 8 a) c)

3

e) – 64

3

c) ± 81

c) – 3 2

MATEMÁTICA

67


(UEMT) – O número 2 352 corresponde a:

7 a) 4

b) 4 21

21 d) 28

e) 56 3

c) 28 3

(PUC) – A expressão com radicais 8 – 18 + 2 2 é igual

b) 12

c) – 3 2

Escrever a expressão 2

d) – 8

(ALFENAS) – Calculando a . 6

a)

1 ––– a

b) 34 2

3 d) 5

e) 2 2

c) 8 2

81 b) ––– 2

c) 729

729 e) ––– 2

d) 243

8

d) a

c) a– 1

10

6

6

b) 8

6

c) 9

d) 72

5

5

a2 1 ––– a

5

a3

b)

10

5

c) a

d)

a3

10

e) a

Módulo 8 – Potência de expoente racional e racionalização

c) 288

10

e) 6

Sendo a um número real estritamente positivo, o valor da

a expressão ––––– é: 3 a 3

a a)

6

c) a

3

d) a

e) a2

Escrevendo 2 3 na forma de um único radical, obtemos:

4

8

b) 12

6

4

c) 12

d) 12

b) 0,7

–2

10 c) ––– 9 1/2 –1/2

(UnB) – A expressão (2

a) 2

4

)

1 c) –––– 2

b) 2

4

e) 24

2 2 2 na forma de um único radical,

Escrevendo

3 Efetuando-se 1 – 2 – –– 5

a) – 0,3

5

b) a

6 a)

O valor de 8

a)

4

2 –– 3

1 ––

. 5 –2 + 4 2 obtém-se: 4 d) ––– 3

6

8

a) 128

b) 128

6

6

c) 8

d) 32

e) 2,7

equivale a: 1 d) –––– 4 2

e) 1

d) 8

e) 8

+ 40,5 é:

b) 10

c) 6

obtemos: 8

e) 32

(GV) – O valor de

2 2 –– 2 2 – –– –– . 8 3 – –– .8 3 é: 3 3

Assinale a falsa:

3 < 7 a)

4

3

a) 1

3

4

b) 7 < 7

3

2 < 7 c)

d) 2 < 3

8

28 < 21 e) Justifique:

68

8

e) 144

a ––––– resulta igual a

a)

10

b) 144

81 d)

6

a–1

5

10

4

e)

Escrevendo 2 . 3 na forma de um único radical, obtemos:

32 a)

obtém-se:

Sendo a um número real estritamente positiva, a expressão

10

Módulo 7 – Propriedades das raízes

–1

3

a) 6

(FAMECA) – Simplificando-se o radical

243 a) –––– 2

–1

se

313 + 312 ––––––––– , obtém-se: 25 : 23

–1

Escrevendo 2 . 3 na forma de um único radical obtém-

6

b) 4a–1

a a a

(UNIFOR) – A expressão 18 + 50 é equivalente a:

17 a) 2

na forma de um único

radical.

a: a) 2

2 2 3

MATEMÁTICA

b) – 1

c) 2,5

d) 0

e) 8

Racionalizar o denominador das seguintes frações:

1 a) –––– 2

2 b) ––––– 3

10 c) ––––– 2


3 Racionalize o denominador da fração ––––– 7

32

a) 2

2 pode ser representado por 1 –– 3 1 ––

d) 2 8

b) 2

1 –– 6

c) 2

Simplifique as frações dadas a seguir, sabendo que os seus denominadores são diferentes de zero. x3 + x2 + x + 1 b) ––––––––––––– x2 + 1

ab + ac a) –––––––– b+c x3 – 2x2 + 3x – 6 c) ––––––––––––––– x2 + 3

3 –– 4

1 ––

e) 216

Racionalizando o denominador da fração

2

673 + 672 + 68 O valor da expressão ––––––––––––––– é 672 + 1

a) 1

b) 67

c) 68

d) 4489

e) 4490

––––– obtém-se 3

2 3

3

a) 2

b) 4

3

2

2 2 e) ––––––– 3

A expressão ––––– + ––––– resulta igual a 2 3

3 + 2 a)

b) 6

d) 2 3 + 3 2

e) 2 2 + 3 3

625 a) –––– 4

625 b) –––– 3

625 d) –––– 3

625 e) –––– 2

3

2

a6 + a4 + a2 + 1 Para a = 5, a expressão ––––––––––––––– resulta a 3 + a2 + a + 1

c) ––––– 3

2 d) ––––– 3

2

3

313 c) –––– 3

Um dos fatores de a2 + ab – 2a – 2b é (a + b). O outro fator

é a) a – 2 d) a

b) a + 2 e) b

c) – 2

c) 5

x Simplificando a expressão ––––––––––– obtém-se x2 x + –––––– x2 – 1

Módulo 9 – O que é fatorar, fator comum e agrupamento

x a) ––––– x–1

x2 – 1 b) ––––––––– x2 + x + 1

Fatore as seguintes expressões: a) x . y + x . z

d) x2 – 2x + 1

x2 – 1 e) ––––––––– 2 x +x+2

b) 3x + 6y + 12z c) 6m3n + 15m2n2 – 3m2n3

c) 1

Fatorando-se a expressão x7 + x5 + 1 obtém-se (x2 + 1). A.

Então

Fatore as seguintes expressões:

a) xz + yz + xt + yt b) ax – ay + x – y c) 3xy – xz – 3ay + az

b) A = x5 + 1

d) A = x5 + 3

e) A = x5 + 4

Fatorando x3 – x2 + x – 1 obtemos: a) (x – 1) (x2 + 1) b) (x + 1) (x2 + 1) d) (x – 1) (x2 – 1)

c) A = x5 + 2

(FUVEST) – O valor da expressão a3 – 3a2x2y2, para a = 10,

x=2ey=1é a) 100 b) 50

Fatorando ab + a – b – 1 obtemos: a) (a + 1) (b + 1) b) (a – 1) (b – 1) c) (a – 1) (b + 1) d) (a + 1) (b – 1) e) (a + b) (a – 1)

c) (x + 1) (x2 – 1) e) (x – 1) (x + 1)2

a) A = x5

c) 250

d) – 150

e) – 200

Módulo 10 – Diferença de quadrados


a) x2 – y2

b) x2 – 16

c) 25 – 4a2b2

Fatorando a expressão 64 – 9a4b2 obtemos:

a) (8 + 3ab)(8 – 3ab)

b) (8 + 3a2b2)(8 – 3a2b2)

c) (8 + 3ab2)(8 – 3ab2)

d) (8 + 3a2b)(8 – 3a2b)

e) (8 + ab)(8 – ab)

MATEMÁTICA

69


a3 – ab2 Simplificando a expressão –––––––– , supondo a2 + ab ≠ 0, a2 + ab obtemos:

a) a2 – ab

b) a – b

a–b d) ––––– a

a+b e) ––––– a

b) (x2 + 4) (x + 2) (x – 2)

c) (x2 + 4) (x – 2)

d) (x + 2) (x – 2) (x – 4)

e) (x + 4) (x – 4)

1 : 1 – ––– , supondo x2

x ∈ – {0; 1; – 1}, obtemos: x+1 a) ––––– x

x–1 c) ––––– x

x b) ––––– x–1 x–1 e) ––––– x+1

x d) ––––– x+1

a) (x + 1)2 d) (2 – x)2

a) (x2 + 2) (x2 – 2)

A expressão (x + 3)2 – 4(x + 3) + 4 é igual a: b) (x – 1)2 e) x2

c) (x + 3)2

c) a + b

Fatorando a expressão x4 – 16 obtemos:

1 Simplificando 1 – –– x

1 Fatore: x2 – x + –– 4

9 – x2 Simplificando-se a expressão ––––––––––– , com x ≠ 3, 2 x – 6x + 9 obtém-se: x+3 3+x x–3 a) ––––– b) ––––– c) –––––– x+3 3–x x–3

3–x d) ––––– 3+x

e) 1

a3 + a2b Simplificando-se a expressão ––––––––––––– , supondo 2 a + 2ab + b2

a + b ≠ 0, obtém-se: a a) –––––– a+b

a2 b) –––––– a+b

1+b d) –––––– a+b

1+a e) –––––– a+b

a+b c) –––––– a

9 Racionalizando o denominador da fração ––––––––– , 7–1 2 obtém-se: 7 + 1) 9(2 a) –––––––––– 14

7+1 2 b) –––––––– 27

7+1 2 d) –––––––– 3

7+1 e) 2

7+1 2 c) –––––––– 9

Fatorando a expressão 20x2 – 45y2 obtém-se

a) 5(2x + 3y)(2x – 3y)

b) (4x + 5y)(4x – 5y)

c) 5(4x + 5y)

d) (20 + x)(45 – y)

ax2 – 2a2x + a3 Simplificando a fração ––––––––––––––– (a ≠ 0 e x ≠ a) ax – a2

obtém-se a) x + a d) – a – x

b) x – a e) a2 – x

c) a – x

x2 – 4 Simplificando a fração ––––––––––– , para x ≠ 2, o resulx2 – 4x + 4 tado é

1 a) ––– 4x

1 b) – ––– 4x

x+2 d) –––––– x–2

x–2 e) –––––– x+2

x c) –––––– x–2

e) 20(x2 – 45y2)

A fatoração de 64a2 – b16 resulta igual a

a) (8a – b4)(8a + b4)

b) (8a + b8)(8a – b8)

c) (32a – b8)(32a + b8)

d) (32a – b4)(32a + b4)

e) (8a + b8)(8a + b8)

O número x = 6752 – 6742 resulta a) 2700 b) 2698 d) 1349 e) 1350

c) 1139

Módulo 11 – Quadrado perfeito

Desenvolver:

a)

(2a – b)2

b) (a + 3b)2

c)

x2

70

– 10x + 25

MATEMÁTICA

a3 – 5a2 – a + 5 A fração –––––––––––––––– , para a ≠ 1 e a ≠ – 1, resulta a2 – 1

a) a + 1 d) a2 + 1 c) (3a – 4b)2


a) x2 + 4x + 4

a4 – 18a2 + 81 Sendo a ≠ 3 e a ≠ – 3, a expressão ––––––––––––– resulta a2 – 9 igual a a) (a + 3)(a – 3) b) (a + 3)2 c) (a – 3)2 2 d) a + 9 e) (a + 3)

b) x2 – 6x + 9 d) 4a2 + 12ab + 9b2

b) a – 5 e) a2 – 1

c) a – 1

A expressão a2 + b2 + 2ab – c2 é igual a a) (a + b + c)(a + b – c) b) (a – b + c)(a – b – c) c) (a + b + c)(a + b + c) d) (a + b + c) e) (a – b – c)


a) 5

6 b) 5 +

6 d)

e) 1 + 6

Módulo 13 – Simplificação de expressões algébricas

Desenvolvendo ( 3 + 2)2 obtém-se c) 5 + 2 6

6 + 5 )2 – ( 6 – 5)2 ( A expressão –––––––––––––––––––––– é igual a 30

a) 4

b) 8

1 e) ––– 4

1 d) ––– 2

c) 2 30

Módulo 12 – Soma de cubos e cubo perfeito

Desenvolva a expressão (a – b).(a2 + ab + b2), usando a

a2 + a Simplificando –––––– , supondo a ≠ – 1,obtemos: 2a + 2

a+1 a) –––––– 2

a b) –– 2

a–1 d) ––––– 2

e) a

a–1 c) ––––– a

a3 + a2b Simplificando –––––––––––– , supondo a ≠ – b, obtemos: a2 + 2ab + b2

propriedade distributiva.

a a) ––––– a+b

a2 b) ––––– a–b

a2 d) ––––– a+b

a2 e) ––––– 2 a –b

Utilizando o resultado anterior, pode-se concluir que a fração a3 – b3 –––––––––––– , para a = 93 e b = 92, é igual a: a2 + ab + b2

a) 0

b) 185

c) 121

81 d) –––– 2

e) 1

x2 + 2xy + y2 Simplificar a expressão ––––––––––––– , supondo seu x2 – y2

denominador diferente de zero. Desenvolva (a + 3)(a2 – 3a + 9), usando a propriedade

distributiva.

Desenvolva (a + 3)3

Utilizando as questões

e podemos concluir que o

a3 + 9a2 + 27a + 27 valor da expressão –––––––––––––––––– , para a = 9, é: a4 + 3a3 + 27a + 81 1 a) –– 3

4 b) –– 9

7 c) ––– 12

13 d) ––– 79

4 e) ––– 21

(x + y)3 – 2y(x + y)2 , supondo x ≠ y e Simplificando ––––––––––––––––––– x2 – y2

x ≠ – y, obtemos: (x + y)2 a) ––––––– x–y

x2 + y2 b) ––––––– x–y

d) x + y

e) x – y


Desenvolva:

a) (x + y)3

b) (2x – y)3

3 e b = 2 – 3, é: a = 2 +

c) (3x + 2)3

d) (x + 4)(x2 – 4x + 16)

a) 0

x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 Simplificando a expressão –––––––––––––––––– , para x ≠ y, x2 – 2xy + y2 obtém-se a) (x + y)2 b) (x – y)2 c) (x + y) d) (x – y) e) x + 2y

A diferença entre o cubo da soma e a soma dos cubos de

dois números inteiros a e b resulta a) 3(a + b) b) 3ab d) 3(a – b) e) 3ab(a – b)

a c) ––––– a–b

3(a + b) d) –––––––––– 2ab

b) (x2 + 1)

(x2

e) (x3 + 2)

– 1)

3ab(a + b) c) –––––––––– 2

ab , para ÷ –––––– a–b

d) 4

e) 6

x4 + 2x2 + 1 –––––––––––– , obtém-se x2 + 1 c) (x – 1)

x6 – 3x4 + 3x2 – 1 , para x = 11, é O valor da expressão ––––––––––––––––– x4 – 2x2 + 1

a) 170

(a + b)3 – (a3 + b3) –––––––––––––––––– , é igual a (a + b)2 – (a2 + b2) a) 3(a + b)

a) (x + 1) d)

a2b3 + a3b2 –––––––––––– a2 – b2

c) 2

Simplificando a expressão

c) 3ab(a + b)

Supondo o denominador da fração diferente de zero, então

3(a + b) b) ––––––– 2 3 e) ––– 2

b) 1

x2 + y2 c) ––––––– x+y

b) 150

c) 145

d) 140

e) 120

x3 – 27 A fração –––––––––– , para x ≠ 3, resulta igual a x2 – 6x + 9

x2 + 3x + 9 a) –––––––––– x–3

b) x – 3

x2 d) ––––––– x–3

x3 e) ––––––– x–3

1 c) ––––––– x–3

MATEMÁTICA

71


Sendo x ≠ y e x ≠ – y, a expressão x2 – 2xy + y2 x+y ––––––––––––– : ––––––––––––– x–y x2 + 2xy + y2

a) x2 + y2 d) (x –

Sendo a, b e c três números reais estritamente positivos com a2 + b2 + c2 = 122 e ab + ac + bc = 101, então o valor de a+b+cé a) 13 b) 15 c) 18 d) 21 e) 24

b) (x + y)2

y)2

c) x2 – y2

Sugestão: utilize a igualdade (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)

e) x + y


( 2 + 3 + 5)2 O valor da expressão ––––––––––––––––––––––– é 6 + 10 + 15 ) 10 + 2(

a–b a+b a+b O valor da expressão –––––– – ––––– . ––––– para a = 31,7 a+b 2ab a–b e b = 11,7, é:

a) 1

a) 0,1

a) 3x2y

b) 3(x + y)

d) 6x2y

e) 6x2y + 2y3

b) 0,2

c) 1

e) 20

a2 b2 ––– + ––– + 2, supondo a > 0 e b > 0, é: 2 a2 b

a+b a) ––––– ab

(a + b)2 b) ––––––– ab

d) (a + b)2

e) a + b + 2

c)

4 b) –– 3

c) 1

d) 1,2

a+b ––––– ab

b) 3 + 3 e) 0

e) 0,2

c) 2

3

e) 2xy 3

3

3

3

Se os parênteses da expressão ( 3 – 2 )( 9 + 6 + 4)

forem eliminados, o resultado será a) 3

b) 2

c) 1

d) 0

a)

22n

Se 75x = 243 então o valor 49x é

3 c) –– 2

4 d) –– 3

b) 3

3 e) –– 5

7 d) –– 8

c) 2

c) 9

d) 27

e) 81

x y –– – –– y x , obtém-se: Simplificando a expressão –––––––––––– 1 – –– 1 –– y x

x – y a) ––––––––– xy

b) x – y

x + y d)

e) x – y

Observações: x > 0,

Se a e b são dois números reais tais que a + b = 8 e ab = 8, 1 1 resulta igual a então a soma ––– + ––– a2 b2 3 b) –– 4

b) 2n + 1

xy c) –––––– x+y

y > 0 e x ≠ y.

e) – 1

2 a) –– 3

c) 3xy(x + y)

2n + 2n + 1 + 2n + 2 O valor de –––––––––––––––––– , com n natural, é: 2n + 3

d) 2x

8 e) –– 3

1 1 Se x + ––– = 5, sendo x ∈ , então x2 + ––– resulta igual a x x2

3

(MACKENZIE) – Qual o valor de (0,005)2 . 0,000075 –––––––––––––––––– 10

:

1 – –– 3 – 4 5.10 .2

72

b) 23

c) 21

MATEMÁTICA

d) 20

e) 18

––––––––––– ? 1 – –– 3

3

(FATEC) – Se x e y são números reais tais que x = (0,25)0,25 e y = 16– 0,125, é verdade que a) x = y

b) x > y

2 c) xy = 2

d) x – y é um número irracional a) 25

e) 5

a) 1

c) 6 + 3

x3 + y3 x3 – y3 Simplificando a expressão ––––––– – ––––––– , para x ≠ y e x–y x+y x ≠ – y, obtém-se b) 1

d) 4

Simplificando a expressão (x + y)3 – (x – y)3 obtém-se:

a) 0

c) 3

Segundo os cientistas, todas as estrelas da Via Láctea encontram-se numa extensão E de apenas 100 000 anos-luz. Se um ano-luz mede cerca de 9 trilhões e 500 bilhões de quilômetros, então a extensão E é de cerca de a) 9,5 . 1013 km b) 9,5 . 1014 km c) 9,5 . 1015 km d) 9,5 . 1016 km e) 9,5 . 1017 km

2

6 + 3 )2 ( A expressão –––––––––––– resulta 9 + 6 2

a) 6+3 d) 1

b) 2

Módulo 15 – Exercícios complementares

ab + a + b + 1 O valor de ––––––––––––– , para a = 17,4 e b = 11, é: ab – a + b – 1

3 a) –– 4

d) 2

Uma expressão equivalente a

2+

e) x + y é um número racional não inteiro


(MACKENZIE) – Qualquer que seja x não nulo, tal que

x+1 x–1 ––––– – ––––– x–1 x+1 é sempre igual a x ≠ 1, a expressão ––––––––––––––– 1 1 ––––– – ––––– x+1 x–1 1 a) ––– b) 2x c) x + 2 d) 1 e) 2 x

(PASUSP) – As células da bactéria Echerichia coli tem formato cilíndrico, com 8 . 10–7 metros de diâmetro. O diâmetro de um fio de cabelo é de aproximadamente 1 . 10– 4 metros. Dividindo-se o diâmetro de um fio de cabelo pelo diâmetro de uma célula de Escherichia coli, obtém-se como resultado a) 125 b) 250 c) 500 d) 1000 e) 8000

(UFSM) – O resultado da subtração b – 1 – 9b – 9 é:

a) 2

b–1 b) – 2

b–1 d) 2

e) – 2

b) 16 2

c) 20

d) 32

0,2 . 0,3 b) ––––––––– 3,2 – 2,0

(UNICID) – O valor da expressão 1

12

1

b) – 0,011 e) 0,11

c) – 0, 0011

1 1 Se x – –– = 3 então o valor de x2 + ––– será: x x2 a) 7 b) 9 c) 11 d) 15 e) 17

17 a) ––– 6

23 b) ––– 6

2 b) ––– 3

c) a2 + 1

b) 2a + 1 e) a2

(FEBA) – Sabe-se que a + b = ab = 10, então o valor de

a b –– + –– é: b a c) 8

d) 16

e) 20

Lembrando que o quadrado de uma soma é igual a soma de todos os quadrados, mais todos os duplos produtos, desenvolva: a) (a – b – c)2

b) (a + b + c + d)2

c) (m + n + p)2

(UNIMEP) – Se m + n + p = 6, mnp = 2 e mn + mp + np = 11, podemos dizer que o valor de m2 + n2 + p2 –––––––––––– é: mnp a) 22

b) 7

c) 18

3

2

27 c) ––– 6

34 d) ––– 6

43 e) ––– 6

d) 3

e) 1

1 d) ––– 4

1 c) ––– 3

(UNIP) – Simplificando a expressão numérica

(

)

2 3 17 — + — : ––– 3 4 2 ––––––––––––––––, obtemos: 2–1 + 2–2 2 a) –– 9

3 b) –– 4

1 c) –– 9

1 d) –– 6

4 e) –– 3

FRENTE 2

(FAMECA) – Dado que x = a + x–1, a expressão x2 + x – 2 é igual a:

b) 4

2

1 1 + ––––––– 1 1 – –– 5 (UnB) – A expressão –––––––––––––– é equivalente a: 3 – 1 + ––––––– 1 1 + –– 5

a) 2

3

é:

3 a) ––– 2


24 e) ––– 5

– 30. –– + –– . –– + 70 7+ ––5 : ––– 35 2 4 3

e) 64

xy – x2 ––––––– , para x = –0,1 e y = 0,01, é: y

a) a2 + 2 d) 2a – 1

(FUVEST) – Calcule:

1 1 a) ––– – –– 6 10

(MACKENZIE) – O valor numérico de

a) – 0,11 d) 0,011

c) 8b – 8

(CEFET-BA) – Se y = 16 e x = 1,25, o valor de yx é: 2 a)

4 1 2 Efetuando-se 2 – –– – 3 . –– : –– , 3 9 5 obtém-se: 1 4 19 a) –– b) – –– c) 3 d) ––– 9 5 5

Módulo 1 – Primeiros conceitos de conjuntos – Operações entre conjuntos

Seja A o conjunto dos números naturais maiores que 3 e menores que 11 e seja B o conjunto formado pelos elementos de A que são pares. Represente os conjuntos A e B simbolicamente: a) enumerando, um a um, os seus elementos (forma tabular); b) caracterizando seus elementos por uma propriedade.

Considere as afirmações abaixo:

I. 2 {2; 5; 7}

II. {2} ∈ {0; 1; 2; 3; ...}

III. 3 ∈ {2; 3; 4}

IV. {2; 1} {1; 2}

Escolha a alternativa correta: a) Somente I, II, III são verdadeiras. b) Somente III e IV são verdadeiras. c) Somente IV é verdadeira. d) Somente I e IV são verdadeiras. e) Todas são verdadeiras.

MATEMÁTICA

73


Se A é um conjunto e Ø é o conjunto vazio, é falso afirmar

que: a) ∀A, A A

b) ∀A, Ø A

d) ∀A, A ∈ A

e) Ø ≠ {Ø}

c) ∀A, A ≠ {A}

(PUC) – Para os conjuntos A = {a} e B = {a, {A}} podemos

afirmar: a) B A

b) A = B

d) a = A

e) {A} ∈ B

Dados os conjuntos A = {1; 3; 4; 6}, B = {3; 4; 5; 7} e C = {4; 5; 6; 8} pede-se: a) A B b) A B c) A C d) A C e) A B C f) A B C g) (A B) C

c) A ∈ B

(UNIFOR) – Sejam A, B e C três conjuntos não disjuntos. Das figuras abaixo, aquela cuja região em destaque representa o conjunto (A B) – C é

(LONDRINA) – Sendo A = {φ, a, {b}} com {b} ≠ a ≠ b ≠ φ,

então: a) {φ, {b}} A

b) {φ, b} A

d) {a, b} A

e) {{a}; {b}} A

c) {φ, {a}} A

Considere os conjuntos A = {3; 6; 9; 12; 15} e B = {5; 10; 15; 20; 25; 30}. É correto afirmar que: a) A B b) B A c) 6 ∈ A d) {6} ∈ A e) {30} ∈ B Seja o conjunto A = {3; {5; 6}; 8}. Podemos afirmar que a) {5} ∈ A b) {6} ∈ A c) {8} ∈ A d) {5; 6} ∈ A e) {3} ∈ A

Um conjunto A tem seis elementos distintos. O número de subconjuntos de A é a) 16 b) 24 c) 32 d) 48 e) 64

(FEI) – Se n é o número de subconjuntos não vazios do conjunto formado pelos múltiplos estritamente positivos de 5, menores do que 40, então o valor de n é a) 127 b) 125 c) 124 d) 120 e) 110

(FATEC) – Sendo A = {2; 3; 6; 9; 13} e B = {ab a ∈ A e b ∈ A e a ≠ b}, o número de elementos de B que são pares é a) 5 b) 8 c) 10 d) 12 e) 13

Módulo 2 – Primeiros conceitos de conjuntos – Operações entre conjuntos

Considere o conjunto A = {1; 2; 3}.

a) Construa todos os subconjuntos de A. b) Escreva o conjunto das partes de A.

Sendo A = {1; 2; 3; 5; 7; 8} e B = {2; 3; 7}, então o complemento de B em A é a) Ø b) {8} c) {8; 9; 10} d) {9; 10; 11} e) {1; 5; 8} Se A e B são dois conjuntos tais que A – B = {1; 2}, B – A = {5; 6; 7} e A B = {3; 4} então o número de subconjuntos de A B é a) 16 b) 32 c) 64 d) 128 e) 256

Se A e B são dois conjuntos tais que A B = B, podemos afirmar que a) B ∈ A b) A ∈ B c) B A d) A B e) A = Ø Se A e B são dois conjuntos e A B = B, então a) A B b) A = B c) A B = B d) A ≠ Ø e) B A Considere, no diagrama, os conjuntos A, B e C. A região hachurada corresponde ao conjunto

Sejam os conjuntos: S = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, A = {1, 3, 5} e B = {3, 5, 7, 9}. Pode-se afirmar que: a) A B = {3, 5}

b) A B = {1, 3, 5, 7, 9}

c) A – B = {7, 9} – e) B = ⲩSB = {1; 11}

d) B – A = {1}

Se A = {1, 2}, B = {1, 3} e C = {1, 3, 4}, então:

a) A B = {1, 3}

b) A B = {1, 2}

c) A – B = Ø

d) B – C = Ø

e) A (B – C) = B

74

MATEMÁTICA

a) (A B) (A C) c) (A B) (A C) e) C (A B)

b) (B C) (B A) d) (B (A C)


Módulo 3 – Diagramas e número de elementos

Em uma escola os alunos devem estudar uma língua que pode ser o francês ou o inglês. Se quiserem poderão estudar as duas. Sabendo que: – há apenas 50 alunos que estudam francês e inglês; – há só 130 alunos alunos estudando inglês; – o total de alunos da escola é 300; determine quantos alunos estudam francês. Os conjuntos A e B possuem, respectivamente, 7 e 9 elementos. Se n(A B) for o número de elementos de A B e n(A B) o número de elementos de A B, então: a) n(A B) > 9 b) n(A B) = 16 c) n(A B) = 7 d) 2 ≤ n(A B) ≤ 9 e) 9 ≤ n(A B) ≤ 16

Supondo que A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A B = {4,5} e A – B = {1, 2, 3} conclui-se que B é: a) {6, 7, 8} b) {4, 5, 6, 7, 8} c) {1, 2, 3, 4} d) {4, 5} e) Ø

(VUNESP) – Uma população utiliza 3 marcas diferentes de detergentes: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado colheram-se os resultados tabelados a seguir

(ITAJUBÁ) – Dos 80 alunos de uma turma, 15 foram reprovados em Matemática, 11 em Física e 10 em Química. Oito alunos foram reprovados simultaneamente em Matemática e Física, seis em Matemática e Química e quatro em Física e Química. Sabendo que 3 alunos foram reprovados nas três disciplinas, determine quantos alunos não foram reprovados em nenhuma dessas disciplinas.

(FEI) – Dadas as premissas “Todo os corintianos são fanáticos” e “Existem fanáticos inteligentes” pode-se tirar a conclusão seguinte a) existem corintianos inteligentes b) todo corintiano é inteligente c) nenhum corintiano é inteligente d) todo inteligente é corintiano e) não se pode tirar conclusão Módulo 4 – Relação binária e definição de função; domínio, contradomínio e imagem

Sejam os conjuntos A = {2; 4} e B = {1; 2; 3}. Represente A x B e B x A: a) enumerando, um a um seus elementos; b) graficamente, por diagramas de flechas; c) graficamente, por um diagrama cartesiano.

Marcas

Número de Consumidores

A

109

B

203

C

162

Sejam A = {5} e B = {3, 7}. A alternativa que contém todas as relações binárias de A em B é:

AeB

25

a) {(5; 3)}, {(5; 7)} e {(5; 3), (5; 7)}

AeC

28

b) {(5; 3)} e {(5; 7)}

BeC

41

A, B e C

5

Nenhuma delas

115

Quantas pessoas consomem: a) só a marca A? b) só a marca B? c) só a marca C?

(UFU) – Num grupo de estudantes, 80% estudam Inglês, 40% estudam Francês e 10% não estudam nenhuma destas duas línguas. Nesse grupo, a porcentagem de alunos que estudam ambas as línguas é: a) 25% b) 50% c) 15% d) 33% e) 30%

Dados os conjuntos A = {0; 1; 2} e B = {3}, determine A x B e em seguida construa todos os subconjuntos de A x B (relações binárias de A em B).

c) Ø, {(5; 3)} e {(5; 7)} d) Ø, {(5; 3)}, {(5; 7)} e A × B e) Ø, {(3; 5)}, {(7; 5)} e A × B

Sejam A e B dois conjuntos finitos tais que n(A×B) = 6 e os pares (2;1), (2;5) e (3;4) pertencem a A×B. É correto afirmar que: a) A = {1; 4; 5} b) B = {2; 3} c) A = {1; 2; 3} d) B = {4; 5} e) A B = Ø Obs.: n(A×B) significa “o número de elementos do conjunto A×B”. Para as questões e considere as alternativas

Numa classe com quarenta alunos, sendo dezoito rapazes, trinta obtiveram nota maior ou igual a 7 em Matemática. Se apenas duas meninas não conseguiram nota igual ou acima de sete, nessa disciplina, podemos dizer que os rapazes com nota inferior a sete em Matemática são em número de a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 MATEMÁTICA

75


A = {2,4}, B = {1,3,5} e f = {(x,y) ∈ A×B y = x – 1}

Seja o conjunto dos números naturais e f : → a

função definida por

f(n) =

Dados os conjuntos A = {1; 2; 3} e B = {2; 3}, a melhor representação de A × B, no plano cartesiano é

Determine: a) f(2) b) f(3)

Dados os conjuntos A = {x ∈ 1 ≤ x ≤ 3} e

B = {x ∈ 2 ≤ x ≤ 3} a melhor representação de A×B, no plano cartesiano é

n ––, se n for par 2 n+1 ––––––, se n for ímpar 2 c) f(31)

d) f(2p), sendo p ∈

Sendo A = {0; 1; 2} e B = {3; 4; 5}, considere a relação binária

f = {(x; y) ∈ A×B y ≥ x + 4}. O número de elementos de f é a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

Considerando os conjuntos A = {1; 2; 3} e B = {3; 6; 11; 12}

Dados os conjuntos A = {1; 2; 3; 4} e B = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, represente em um diagrama de flehas as relações

e a relação binária f = {(x; y) ∈ A × B / y = x2 + 2} podemos

a) f = {(x; y) ∈ A×B y = x + 1}

nessa ordem, é: a) 1 b) 5

b) g = {(x; y) ∈ A×B y = x2}

afirmar que a diferença entre o maior e o menor valor de y, c) 6

d) 8

e) 9

c) h = {(x; y) ∈ A×B x + y = 7}

Módulo 6 – Como reconhecer uma função

Módulo 5 – Relação binária e definição de função; domínio, contradomínio e imagem

Os diagramas de flechas dados representam relações binárias. Pede-se, para cada uma: a) dizer se é ou não uma função; b) em caso afirmativo, determinar o Domínio, o Contradomínio e o Conjunto Imagem da mesma.

Nas questões e , represente cada uma das relações binárias de A em B através do diagrama de flechas e também no plano cartesiano. Verifique, em cada caso, se é ou não função e, em caso afirmativo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem.

76

A = {2,4}, B = {1,3,5} e f = {( x,y) ∈ A×B x > y}

MATEMÁTICA


Módulo 7 – Domínio e imagem por meio do gráfico

(UNEMAT) – Observe os gráficos abaixo:

Os gráficos apresentados nas questões , e representam relações binárias de A em B. Verficar, em cada caso, se representa uma função de A em B. Em caso afirmativo, determinar o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem.

Podemos afirmar que: a) todos os gráficos representam funções;

b) os gráficos I, III e IV representam funções; c) apenas o gráfico V não representa função; d) os gráficos I, II, III e IV representam funções; e) apenas o gráfico II não representa função.

(VUNESP) – Definamos f : → por

f(n + 1) = 2 f(0) = 1

f(n)

. Então:

a) f(3) = 8

b) f(3) = 9

d) f(3) = 16

e) f(3) = 32

c) f(3) = 12

(FUVEST) – As funções f e g são dadas por

4 3 1 . f(x) = –– x – 1 e g(x) = –– x + a. Sabe-se que f(0) – g(0) = –– 3 5 3 O valor de f(3) – 3g a) 0

––5 é:

b) 1

1

c) 2

Os gráficos das questões e representam funções de A em , com A . Determinar, em cada caso, o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem.

d) 3

e) 4

1 Se f(x) = 2x3, então f(0), f(– 1), f(2), f(– 2) e – f – –– 2

são,

respectivamente, iguais a 1 a) 2; 2; 3; – 4; – –– 3

1 b) 0; – 6; 16; – 16; –– 3

1 c) 0; – 2; 16; – 16; –– 4

1 d) 2; – 2; 2; – 2; – –– 3

1 e) 0; 2; 16; 16; –– 4

Se f é uma função de em tal que f(2) = 2 e f(p + q) = f(p) . f(q) para todo p e q do seu domínio, então o valor de f(0) é a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

MATEMÁTICA

77


O gráfico representa a função f: A → , com A .

O gráfico representa a função f: → , definida por

f(x) =

– x + 1, se x ≤ 1 x – 1, se x ≥ 1

Através da análise do gráfico, encontre: a) D(f)

b) Im(f)

c) f( – 4)

d) f(–1)

e) f(2)

f) {x ∈ D(f) f(x) = 0} A análise desse gráfico permite concluir que: a) f(1) = 1

b) f é apenas injetora c) f é apenas sobrejetora d) f é bijetora e) f não é injetora nem sobjetora.

Considere as funções f, g e h, de em cujos gráficos

estão esboçados a seguir Na figura temos o gráfico de uma função f, definida para todo x ∈ tal que 0 ≤ x ≤ 10. Calculando f(0) + f(3) + f(4) + f(5) + f(7) + f(10) obtém-se a) 20

b) 22

c) 23

d) 24

e) 25

Módulo 8 – Função sobrejetora, injetora e bijetora

Os diagramas abaixo representam funções de A em B. Classifique cada uma em: apenas injetora, apenas sobrejetora, bijetora, não sobrejetora nem injetora.

É correto afirmar que a) f é injetora b) g é bijetora c) h é injetora d) f é sobrejetora e) h é sobrejetora

78

MATEMÁTICA


Módulo 9 – Funções monotônicas Os gráficos das funções apresentadas, nas questões de

f: ]1;+∞[ → definida por f (x) = 2x + 2

f: → definida por

a

, são retas ou subconjuntos de retas. Lembrando que um

reta, ou subconjunto de reta, fica determinada por dois pontos distintos, construa, em cada caso, o gráfico de f e classifique-a quanto à monotonicidade.

f:[–3; 2] → definida por f(x) = x + 2

f (x) =

– 2x + 2, se x ≤ – 1 4, se – 1 ≤ x ≤ 1 2x + 2, se x ≥ 1

f: → definida por f(x) = – 2x + 4

Considere a função f: [– 1; 8] → , dada pelo gráfico

f:]–1;1] → definida por f(x) = 4

Qual das afirmações seguintes é verdadeira? a) f é crescente em seu domínio b) f é crescente em [0; 8] c) f é constante em [4; 8] d) f é decrescente em [0; 8] e) f é constante em ]3; 8[

MATEMÁTICA

79


Módulo 10 – Função par, ímpar, periódica e limitada

A função f: → tem o gráfico dado a seguir

Das funções abaixo, todas de * → , a única que é par é:

1 a) f (x) = ––– x2

b) f (x) = x3

c) f (x) = x

1 d) f (x) = ––– x

e) f (x) = 4x

É correto afirmar que a) f não é periódica

Se f: → é uma função par e f(2) = 3 então:

b) f não é limitada

a) f(0) = 1

c) f é periódica e seu período é 1

b) f(1) + f(– 1) = 5

d) f é periódica e seu período é 2

c) f(– 2) = – 3

e) f é periódica e seu período é 3

d) f(– 2) + f(2) = 0 e) f(2) – f(– 2) = 0

Seja a função f: → cuja representação gráfica é a seguinte:

Módulo 11 – Função composta

Considere as funções f e g de em definidas por

f(x) = 2x + 1 e g(x) = x – 1. Calcule: a) (fog) (1) b) (gof) (1)

Considere as funções reais f e g tais que: f(x) = x3 + 1 e g(x) = x – 2. Calcule: a) (fog) (0) b) (gof) (0) c) (fof) (1) d) (gog) (1)

a) Diga se f é ou não periódica. Em caso afirmativo, determine

f(n) =

o período de f. b) Diga se é ou não limitada.

Seja a função f:[1, 7] → definida por:

f(x) =

x – 2; se 1 ≤ x < 4 – x + 6; se 4 ≤ x ≤ 7

(CEFET-BA) – Seja f : → a função definida por:

n ––, se n é par 2 n + 1, se n é ímpar

O valor de f(f(f(12))) é: a) 1 b) 2

c) 3

d) 4

e) 6

2 Se f(x) = ––––– , ∀x ≠ 1, então 8f[f(2)] vale: x–1

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Esboce o gráfico de f, determine o conjunto-imagem e verifique se é:

a) limitada

a) 0

Sendo f(x) = 3x – 2, o valor de f(f(f(1))) é b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

b) periódica

Para f(x) = 3x – 2, o valor de f(f(f(2))) é

c) par ou ímpar

a) 2

b) 6

c) 12

d) 20

e) 28

Se f: → é definida por

f(n) = 2n + 3 se n ≤ 10 e f(n) = 3n – 7 se n > 10 então, f(9) + f(10) + f(11) vale a) 69 b) 70 c) 71

d) 72

e) 73

Considere as funções de em dadas por f(x) = x2 – x + 1 e g(x) = 3x – 1. Obtenha:

80

MATEMÁTICA

a) (fof)(1)

b) (fof)(2)

c) (fog)(1)

d) (fog)(2)

e) (gof)(1)

f) (gof)(2)

g) (gog)(1)

h) (gog)(2)


Considere a função f: [– 4; 4] → [0; 4], dada pelo gráfico abaixo e responda as questões , e .


Considere as funções f e g de em definidas por

f(x) = x – 1 e g(x) = x2 + x. Determine: a) (fof)(x)

b) (gog)(x)

(MACKENZIE) – Sejam f e g duas funções definidas em R, com valores em , tais que f(x) = 3x – 1 e g(x) = x2. Então, (gof)(x) é igual a: a) 9x2 – 6x + 1 b) 3x2 – 1 c) 5x2 – 3x – 1 e) 9x2 – 6x – 1 d) 3x2 – 6x + 1

1 Se a função real f é definida por f(x) = ––––– para todo x+2 1 x > 0 então f ––– é igual a: x

O valor de f(f(2)) resulta a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

O valor de f(f(– 2)) é a) 0

b) 1

c) 2

1 – 2x a) –––––– x

2+x b) –––––– 2

2x – 3 d) –––––– x

x e) –––––– 2x + 1

d) 3

e) 4

d) 3

e) 4

c) x + 2

As funções f e g, ambas de em , são tais que f(x) = 3x – 6 e (fog) (x) = x + 4. Determine a sentença que define a função g.

Calculando f(f(f(2))) obtém-se a) 0

b) 1

c) 2

Para as questões , e considere as funções f: A → B e g: B → A dadas pelos diagramas de flechas a seguir

a) x

b) x + 1

x d) –––––– x+1

e) x – 1

a) 0

b) 1

d) 3

e) 4

c) x2 + 2x – 3

d) x2 – 2x + 3

2x2

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

O valor de (fog)(x), sendo x ∈ {3; 4; 5; 6; 7}

a) x d) 2x

b) x + 1 e) 2x + 3

c) x – 1

– 3x

1 Para f(x) = –––––– , x ≠ – 3 temos (fof)(x) igual a x+3

x a) –––––– x+3

x+3 b) –––––– x + 10

x+3 d) ––––––– 3x + 8

3x + 10 e) ––––––– x+3

O valor de (fog)(3) é

a) 0

c) 2

Sendo f(x) = 2x – 3 e g(x) = x2, então (fog)(x) é dada por b) 4x2 – 12x + 9

O valor de (fog)(4) é

x–1 c) –––––– x+1

a) 2x2 – 3 e)

x+1 (FEI) – Se f(x) = –––––– então (fof)(x) é igual a: x–1

x+5 Sendo f(x) = 2x – 5 e g(x) = –––––– , então (gof)(x) é igual a 2

a) 1

x+3 c) ––––––– 3x + 10

b) 2

c) x – 1

d) x

e) 2x

Sendo f(x) = 3x + 2 e (fog)(x) = 12x – 1, então g(x) é dada por

a) 9x – 3

b) 4x – 1

d) 5x – 2

e) 3x + 1

c) 3x – 4

MATEMÁTICA

81


Se g(x) = x – 5 e (fog)(x) = 2x – 7, então f(x) resulta igual a

a) 2x – 2

b) 2x – 5

d) x + 2

e) 2x + 3

c) 2x – 3

1 f: * → * definida por f (x) = ––– x

Sendo f uma função bijetora, então a única proposição falsa

Módulo 13 – Função inversa Nas questões de f –1

a , determine a sentença que define

e em seguida esboce os gráficos de f e f –1 no mesmo

sistema de coordenadas cartesianas.

f: → definida por f (x) = x + 1

é: x a) se f(x) = ––– então f–1(x) = 3x 3 b) se f(x) = x + 1 então f–1(x) = x – 1 x c) se f(x) = 3x – 2 então f–1(x) = ––– – 2 3

x+2 d) se f(x) = 3x – 2 então f–1(x) = ––––– 3 f: → definida por f (x) = 2x – 1

1 1 e) se f(x) = ––– então f–1(x) = ––– x x

Considere a função f: → , em que f(x) = 2x – 7. A função

f – 1, inversa de f, é tal que a) f – 1 não existe

x b) f – 1(x) = –– + 7 2

c) f –1(x) = 2x + 7

x+7 d) f – 1(x) = ––––– 2

x+2 e) f – 1(x) = ––––– 7

f: [–2;1] → [–3;3] definida por f(x) = 2x + 1

Módulo 14 – Função inversa

A função f:[– 1; 1] → [0;4] é definida por f(x) = 2x + 2. Obter

f –1

e construir o gráfico de f e f –1 no mesmo sistema de

coordenadas.

82

MATEMÁTICA


As funções f, g e h, de em , são definidas por f(x) = x + 3,

g(x) = 2x + 1 e h(x) = (gof)(x). Obter a sentença que define h– 1.


1–x Se g(x) = 1 – x e (fog)(x) = ––––– , com x ≠ 0, então x

vale:

4 f ––– 3 3x + 2 Seja f : – {– 3} → – {a}, definida por f(x) = ––––––– , uma x+3 função inversível. O valor de a é:

a) 3

b) – 3

c) 2

d) – 2

1 e) ––– 3

1 b) ––– 4

a) 1

1

f(x) = –––––– , sendo x ≠ – 1, então f – 1(x) é dada por

1 d) – ––– 4

e) – 4

As funções f e g, ambas de em , são definidas por

f (x) = Se a função real f é definida por

c) 4

x – 3, se x ≤ 4 e g (x) = 3x + 1 2x, se x > 4

Determine (fog) (x).

x+1

1 a) ––– – 1 x

1 b) ––– + 1 x

d) 1 – x

1 e) –––––– x+1

c) x + 1

A figura apresenta o gráfico de uma função

f: [– 3; + ∞[ → . O total de elementos x tais que f[f(x)] = 2 é:

Uma função f: → tem o gráfico dado a seguir

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

O gráfico que melhor representa a sua função inversa é

Em uma empresa foi feito um acordo salarial: durante 12

meses consecutivos, os salários brutos mensais sofrerão um acréscimo em relação ao salário bruto do mês anterior. Esse acréscimo será o mesmo em todos os meses e corresponde a 2% do salário bruto atual do trabalhador. Um trabalhador recebe atualmente um salário bruto mensal de R$ 300,00. Ao receber o último acréscimo salarial, seu salário bruto mensal será de a) R$ 324,00 b) R$ 348,00 c) R$ 372,00 d) R$ 380,00 e) R$ 390,00

2

(UNIFOR) – Na relação y = 90 . 3– 0,5x , y representa o número de alunos cuja nota difere x pontos da média (que foi 4,0) em certo exame vestibular. Nessas condições, quantos alunos obtiveram 2 pontos acima da média nesse exame?

MATEMÁTICA

83


A função bijetora, de em *+, cujo gráfico é dado a seguir, intercepta o gráfico da sua função inversa em

a) b) c) d) e)

um único ponto dois pontos distintos três pontos distintos quatro pontos distintos cinco pontos distintos

Seja f: → a função que associa a todo número natural par o resutado 3 e a todo número natural ímpar o dobro do seu valor. Então a soma f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) resulta igual a a) 13

b) 14

c) 15

d) 16

e) 17

(UNIFOR) – Seja a função f, de R em R, representada no gráfico abaixo.

Pergunta-se: a) Qual a relação entre a quantidade Q de dinheiro arrecadado em reais, e o número x de passageiros embarcados? b) Quanto arrecadará a empresa se só viajarem 50 passageiros? c) Quantos passageiros viajarão se a empresa só conseguir arrecadar 96000 reais?

(UNIFOR) – Numa certa localidade, os usuários pagam à Companhia Telefônica R$ 0,50 por impulso telefônico e R$ 500,00 mensais pela assinatura de cada linha telefônica. A Companhia Telefônica não cobra dos usuários os primeiros 90 impulsos feitos no mês. A expressão que permite calcular o valor P(x), em reais, a ser pago mensalmente pelo uso de uma linha telefônica, por mais de 90 impulsos, em função do número x de impulsos dados nesse mês, é a) P(x) = 500 + 0,5x b) P(x) = 410 + 0,5x c) P(x) = 455 + x d) P(x) = 455 + 0,5x e) P(x) = 500 + 90x

v2 v A fórmula d = –––– + ––– permite calcular a distância 10 250

mínima d que um automóvel ainda percorre após o motorista decidir parar, quando sua velocidade é v (d dada em metros, v em quilômetros por hora). Quantos metros, no mínimo, percorrerá um automóvel a 100km/h após o motorista decidir brecar? a) 10

É correto afirmar que a) o conjunto imagem de f é o intervalo ]– 1, + ∞[ b) f é negativa, para todo x ∈ e x < 3 c) f é crescente, para todo x ∈ d) f é bijetora e) f é par


Uma empresa aérea reserva passagens para um grupo de 100 pessoas. A empresa cobrará 2000 reais de cada passageiro embarcado e 400 reais de cada passageiro que não embarcar.

84

MATEMÁTICA

b) 30

c) 50

d) 70

e) 90

(UNESP) – A unidade usual de medida para a energia contida nos alimentos é kcal (quilocaloria). Uma fórmula aproximada para o consumo diário de energia (em kcal) para meninos entre 15 e 18 anos é dada pela função f(h) = 17.h, onde h indica a altura em cm e, para meninas nessa mesma faixa de idade, pela função g(h) = (15,3).h. Paulo, usando a fórmula para meninos, calculou seu consumo diário de energia e obteve 2 975 kcal. Sabendo-se que Paulo é 5 cm mais alto que sua namorada Carla (e que ambos têm idade entre 15 e 18 anos), o consumo diário de energia para Carla, de acordo com a fórmula, em kcal, é: a) 2 501

b) 2 601

d) 2 875

e) 2 970

c) 2 770


RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS-TAREFAS FRENTE 1

a) 52 = 5 . 5 = 25

e) – 53 = – 5 . 5 . 5 = – 125

Resposta: D

5)2

52

= (– 5) . (– 5) = 25

= – 5 . 5 = – 25

0

f)

––4

g)

h)

3

2 –– 3

3– 1 +

b = (– 2)3 = – 8 1 c = 3–2 = –– 9

–4

1 d = (– 2)–3 = – –– 8

= (– 3)4 = (– 3).(– 3).(– 3).(– 3) = 81

a) 102 = 10 . 10 = 100 b) 105 = 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 100 000 1 1 c) 10– 2 = ––––– = –––– = 0,01 100 102

5–1

a) a = 33 = 27

9 1 1 = –––––– = –––– = –– 4 4 2 2 –– –– 9 3

– ––3 1

=1

–2

1 1 b) – 8 < – –– < –– < 27 9 8 b
(0,2)3 + (0,16)2 = 0,008 + 0,0256 = 0,0336 Resposta: B

1 1 d) 10– 5 = ––––– = –––––––– = 0,00001 10– 5 100 000

Módulo 2 – Propriedades das potências a)

(0,3)2

= 0,3 . 0,3 = 0,09

b) (0,03)2 = 0,03 . 0,03 = 0,0009

5 9 5 . –– = –– + 4 . –– = 2 4 2

d) (– 5)3 = (– 5) . (– 5) . (– 5) = – 125

c)–

–2

5+3 1 1 –––––– –– + –– 15 3 5 16 2 8 ––––––––– = ––––––––– = –––––––– = –––– . –– = ––– 15 1 15 1 1 2– 1 –– –– 2 2

b) (–

2

49 9 + 40 9 = –– + 10 = –––––––– = ––– 4 4 4 Resposta: E

Módulo 1 – Definição de potência de expoente inteiro n

––32 + ––12

a) 25 . 2 – 2 = 25 + (– 2) = 23

c) (0,5)3 = 0,5 . 0,5 . 0,5 = 0,125

b) 26 . 2 = 26 + 1 = 27

d) (0,01)4 = 0,01 . 0,01 . 0,01 . 0,01 = 0,00000001

c) 241 ÷ 236 = 241 – 36 = 25 d) (0,2)2 . (1,5)2 = (0,2 . 1,5)2 = (0,3)2

1 1 ––– + –– 2– 3 + 3– 1 23 3 –––––––––––––––– = –––––––––– = –3 1 + 2 + 23 1 20 + 21 + –– 2

e) (0,4)4 ÷ (0,02)4 = (0,4 ÷ 0,02)4 = 204 f) 252 ÷ 52 = (25 ÷ 5)2 = 52

(24)5 220 220 220 g) ––––– = –––– = ––––– = –––– = 220–16 = 24 (42)4 48 (22)8 216

11 1 1 –– + –– ––– 1 24 8 3 = –––––––––– = ––––– = ––– 24 11 1+2+8

h) (35)4 . (92)3 = 320 . 96 = 320 . (32)6 = = 320 . 312 = 320 + 12 = 332

Resposta: C

a) 110 = 1 (F)

b) a0 = 1 (F)

c) a1 = a (F)

d) 80 = 1 (V)

1 e) 2 – 3 = –– (F) 8

a) (a4)3 = a4.3 = a12 b) (a3)4 = a3.4 = a12 4

c) a3 = a3.3.3.3 = a81 3 d) a4 = a4.4.4.4 = a64 3

e) f)

Resposta: D

[(a– 2)2] = [a– 2.2]3 = [a– 4]3 = a– 4 .3 = a– 12 3 [(a3)3] = [a3.3]3 = [a9]3 = a9.3 = a27 33

(–

1)0

+ (– 6) : (– 2) –

Resposta: B

24

= 1 + 3 – 16 = – 12

g) (a3)

= (a3)3.3.3 = (a3)27 = a3.27 = a81

5

h)

[(a23)

= (a2.2.2)5 = (a8)5 = a8 . 5 = a40

MATEMÁTICA

85


5

232 22 I) a = ––––– ÷ 256 = ––––– ÷ 28 = 4 5 (2 ) 220 = 212 ÷ 28 = 24 = 16 [(0,06)2]3 (0,06)6 II) b = ––––––––– = –––––––– =1 (0,06)6 [(0,06)3]2


x . y . z = an ⇔ a2 . a5 . a7 = an ⇔ ⇔ a2 + 5 + 7 = an ⇔ a14 = an ⇔ n = 14

III) a ÷ b = 16 ÷ 1 = 16 Resposta: C

10– 5 – 4 + 3 10–6 ⇔ m = ––––––––– ⇔ m = ––––– ⇔ 10–3 10–3

II) O dobro de 448 é

⇔ m = 10–6 – (–3) ⇔ m = 10–3 ⇔ m = (10–1)3 ⇔ m = (0,1)3

2 . 448 = 2(22)48 = 2 . 22 . 48 = 21 . 296 = 21 + 96 = 297 III) A metade de 2100 dividida pelo dobro de 299 448 é ––––– = 299 – 97 = 22 = 4 297

Resposta: C

3 . 210 + 5 . 210 = (3 + 5) . 210 = = 8 . 210 = 23 . 210 = 23 + 10 = 213

Resposta: C

Resposta: D

52n + 3 52n + 3 52n + 3 ––––––– = ––––––– = ––––––– = 5 25n + 1 (52)n + 1 52n + 2

3 . 105 + 2 . 106 = 3 . 105 + 2 . 101 + 5 = = 3 . 105 + 2 . 101 . 105 = (3 + 2 . 101) .105 = 23 . 105 Resposta: B

Resposta: B

0,00001 . (0,01)2 . 1000 m = –––––––––––––––––––––– ⇔ 0,001 10–5 . (10–2)2 . 103 10–5 . 10–4 . 103 ⇔ m = –––––––––––––––– ⇔ m = –––––––––––––– ⇔ –3 10 10–3

I) A metade de 2100 é 2100 2100 ––––– = ––––– = 2100 – 1 = 299 2 21

x = a2 y = a . x2 = a . (a2)2 = a . a4 = a1+ 4 = a5 z = x . y = a 2 . a5 = a2 + 5 = a7

6 . 10–4 + 2 . 10–5 = 60 . 10–1 . 10–4 + 2 . 10–5 = = 60 . 10–5 + 2 . 10–5 = (60 + 2) . 10–5 = 62 . 10–5

[29 : (22 . 2)3]– 3 = [29 : (23)3]– 3 = [29 : 29]– 3 = 1– 3 = 1

Resposta: D

Resposta: D

II) 211 kilobytes = 211 . 210 bytes = 221 bytes

I) Verdadeira, pois 2x + 3 = 2x . 23

Assim, de (I) e (II), concluímos que 2 megabytes = 221

II) Verdadeira, pois (25)x = (52)x = 52x

bytes. Resposta: E

III) Falsa, pois para x = 2 por exemplo, tem-se 22 + 32 = 52 ⇔ 13 = 25 Resposta: E

a) Verdadeira, pois x2 = 4 ⇒ (x2)3 = 43 ⇒ x6 = 64 3

= 15,375 . 103 m/s = 15,375 km/s Resposta: B

c) Verdadeira, pois (22)3 = 26 e 22 = 28 e 26 < 28 d) Verdadeira, pois 10x = 0,2 ⇒ (10x)2 = 0,22 ⇒ 102x = 0,04 e) Verdadeira, pois 2n + 2 + 2n = 2n . 22 + 2n = = 4 . 2n + 2n = 5 . 2n Resposta: B

2n

2n .

24

–2. –2. ––––––––––––– = ––––––––––––– = 2 . 2n + 3 2 . 2n . 23 7 16 . 2n – 2 . 2n 14 = ––––––––––––– = ––– = –– n 8 16 . 2 16 Resposta: B

86

2n

MATEMÁTICA

De acordo com os dados do enunciado, a velocidade média da nave New Horizons deverá ser de aproximadamente 20,5 . 3 . 108 61,5 . 108 –––––––––––– ––––––––– m/s = m/s = 4 . 105 4 . 105

b) Falsa, pois x6 = 64 ⇒ x = 2 ou x = – 2

2n + 4

I) 2 megabytes = 2 . 210 kilobytes = 211 kilobytes

1–2 1 1 1 – –– – –– 1 – –––––– 6 3 6 –––––––––––––––– = –––––––––––––– = 2 1 1 3 1+3 2 3 –– + –– + –– –––––– + –– 6 2 2 6 2

7 1 ––– 1 + ––– 6 6 = ––––––––––––– = –––––––––––– = 2 4 3 2 3 ––– + ––– ––– + ––– 3 2 9 2


7 ––– 6 3 7 18 = ––––––––––– = ––– . ––– = ––– 5 6 35 8 + 27 –––––––– 18

53a = 64 ⇒ (5a)3 = 43 ⇒ 5a = 4 ⇒ 1 ⇒ (5a)– 1 = 4– 1 ⇒ 5– a = –– 4 Resposta: E

Resposta: D

x = (22)3 = 26 3 y = 22 = 28 ⇒ 2 z = 23 = 29

9 . –– 8

2

2 = –– 3

2

32 . ––– 23

2

=

22 34 32 9 = ––– . ––– = ––– = ––– 2 6 4 3 2 2 16

⇒ x . y . z = 26 . 28 . 29 = 26 + 8 + 9 = 223 = 2n ⇒ n = 23 Resposta: n = 23

2

2 –– 3

Aproximando 5,2 para 5, 10,3 para 10 e 9,9 para 10 a expressão resulta 54 . 103 –––––––– = 625 . 10 = 6250 102 Resposta: E

Resposta: C

2

3

3 –– 4

4 . –– 3

4 32 26 22 . ––– = ––– = ––– = ––– 24 33 3 3

Resposta: A

1,092210 . 252 = (1,09242)5 . (52)2 405 . 54 = = 404 . 54 . 40 = (200)4 . 40 =

= (2 . 102)4 . 22 . 10 = 24 . 22 . 108 . 10 = I) Falsa, pois 745 . 10– 4 = 0,0745 II) Falsa, pois (–

2)n

=–

2n

= 26 . 109 = 64 bilhões Resposta: A

para n ímpar

III) Falsa, pois (– a2)3 = – a6 e (– a3)2 = a6 Resposta: E


Módulo 5 – Definição de raiz e existência

4–2x = (22)–2x = 22 . (–2x) = 2–4x = (2x)– 4 = 1 1 = (3)–4 = ––– = ––– 34 81 Resposta: E a) 0,002 = 2 .

a) 81 = 9, pois 92 = 81 81 = – 9 b) – 81 = ± 9 c) ± 3

10–3

d) 64 = 4, pois 43 = 64

b) 0,0132 = 1,32 . 10–2 c) 12 500 = 1,25 .

813 . 2519 = (23)13 . (52)19 = 239 . 538 = = 238 . 538 . 2 = 1038 . 2 = 2 . 1038 Resposta: D

3

e) – 64 = – 4

104

3

f) – 64 = – 4, pois (–4)3 = –64

d) 310 000 000 = 3,1 . 108

3

1 n(0,02)–2 = n . ––––– 0,02

=n.

=n.

2

1 ––––––– 2 ––––– 100

–9 não está definida em ou –9 ∉ h)

=

=n.

(50)2

n

n

= 2500 . n

enésima negativa de a é representada por – a, temos:

16 = 4; – 16 = – 4 e ± 16 = ± 4.

Resposta: D

Lembrando que para a > 0 e n par e não nulo, a raiz enésima positiva de a é representada por a e a raiz

2

100 –––– 2

2

g) 0 = 0, pois 03 = 0

Resposta: E 24 . 108 = 16 . 108 = 1 600 000 000, portanto, o número tem 10 algarismos. O número 231 . 526 tem 28 algarismos, pois 231 . 526 = 25 . 226 . 526 = 25 . (2 . 5)26 = = 32 . 1026 = 32000.........0 26 zeros Resposta: C

4

I) 81 = 3, pois 34 = 81 9 = 3, pois 32 = 9 II) 5

III) 32 = 2, pois 25 = 32 Logo: 3

81 + 9 + 32 = 3+3+2= 4

5

3

3

= 8 = 2, pois 23 = 8

MATEMÁTICA

87


17

9

5

5

A = 512 – 144 + 0 + –243 +

1 – ––– 32

31

– –1 ⇔

2 + 2 + 1 + 8 + 12 + 16 41 = ––––––––––––––––––––––– = ––– 4 4

1 ⇔ A = 2 – 12 + 0 – 3 – –– + 1 ⇔ 2

Resposta: C

a) 48 = 24 . 3 = 24 . 3 = 22 . 3 = 4 3 3

3

5

5

108 = b) 3

5+ 6+3=

3

d) 3

=

7+

3

5+ 9 =

7+

3

I)

5

5

5

3

3

3

3

9 – –8 + (0,41)0

3 – (– 2) + 1 3 + 2 + 1 6 –––––––––––––––– = ––––––––––– = ––––––––– = –– = 6 3 4–3 1 4 + (– 3) –27 (– 2)2 +

Resposta: B

5 12 = 5 22 . 3 = 5 22 . 3 = 5 . 2 . 3 = 10 3

Resposta: D

8 – 18 + 2 2 = 4 . 2 – 9 . 2 + 2 2= = 4 . 2 – 9 . 2 + 2 2 = 2 2 – 3 2 + 2 2 = 2

502 + 1202 = 2500 + 14400 = 2 . 102 = 13 . 10 = 130 = 16900 = 13

Resposta: A

2352 = 24 . 3 . 72 = 22 . 7 . 3 = 28 3 Resposta: C

Resposta: A 3

3 . 23 = 50 . 2 = 100

50

Resposta: C

8 – 18 + 2 2 = 22 . 2 – 2 . 32 + 2 2= 2 – 3 2 + 2 2 = 2 = 2 Resposta: A

32 + 14 + 1 + 9 = =

32 + 14 + 2 =

32 + 14 + 1 + 3 =

32 + 4 = 36 = 6

18 + 50 = 2 . 32 + 2 . 52 = 3 2 + 5 2 = 8 2 Resposta: C

Resposta: A 3

10–2 . [(– 3)2 – (– 2)3] : – 0,001 = 3

= 10– 2 . [9 + 8] : – 10 – 3 =

313 + 312 –––––––––– = 25 : 23

17 – 10 17 = 10– 2 . 17 : (– 10– 1) = ––– . ––––– = – ––– = – 1,7 2 10 1 10 Resposta: B

312 . 3 + 312 ––––––––––– = 22

4 . 312 ––––––– = 36 = 729 22

=

Resposta: C {(– 2)3 + [(– 2)2 – 3 + (– 3) . 49] : [ 256 : (– 4)]} : (– 3) = = {(– 8 + [4 – 3 + (– 3 . 7)] : [16 : (– 4)]} : (– 3) =


= {– 8 + [1 – 21] : [– 4]} : (– 3) = – 8 + [– 20] : [– 4]} : (– 3) = = {– 8 + 5} : (– 3) = – 3 : (– 3) = 1 Resposta: E

I) 2= 5


7 = 3

2.3

6

7 = 7

Resposta: C

88

3

8 . a4 = 23 . a3 . a = 23 . a3 . a = 2a a

12 + 4 27 = 10 3 + 12 3 = (10 + 12) 3 = 22 3 Assim, 5

3

5

25 . 2 . 3 = 25 . 2 . 3 = 2 6

II) 4 27 = 4 32 . 3 = 4 32 . 3 = 4 . 3 . 3 = 12 3

Resposta: D

3

3

5+3 =

7 + 8 = 7 + 2 = 9=3

=

3

4 33 . 22 = 33 . 22 = 3

192 = 26 . 3 = c)

3

5+ 6+ 9 = 7+

7+

4

1 1 1 = –– + –– + –– + 2 + 3 + 4 = 2 2 4

1 ⇔ A = 2 – 12 + 0 + (–3) + – –– – (–1) ⇔ 2

– 24 – 1 1 25 ⇔ A = –12 – –– ⇔ A = ––––––– ⇔ A = – ––– 2 2 2

3

2–1 + 2–1 + 4–1 + 4 + 27 + 256 =

MATEMÁTICA

3= II)

5.2

10

2.5

10

25 = 32 32 = 9

5

10

10

10

2 . 3 = 32 . 9 = 288 III) Resposta: C


3.2

6

2.3

6

Módulo 8 – Potência de expoente racional e racionalização

I) a = a3 = a3 3

II) a = a2 = a2 6

6 6 a a3 III) ––––– = ––––– = ––– = a 2 6 a a 3 a2

a3

. 5–2 + 4

1 –– 2

2

2.2

1

1

1

1

1

–– – –– – –– . –– – –– 1 = 1 2 2 2 = 2 2 2 = 2 4 = –––– –––– 1 ––

24

2 2 2 = 22 . 2 2 = 8 2= 82 . 2 = =

2.2.2

8

64 . 2 = 128

3

c) verdadeiro, pois

d) verdadeiro, pois

e) falso, pois

12

3

12

3

=4

1 –– 2

= 4=2

+ 40,5 = 4 + 2 = 6

Resposta: C

12

12

7 = 74 = 2401 3

12

I) 8

12

2 = 24 = 16 4

12

II) 8

12

3 = 33 = 27

6<8 28 > 21

2 –– 3

= (23)

2 – –– 3

2 –– 3

= (23)

=2

2 – –– 3

6 –– 3

=2

= 22 = 4 6 – –– 3

1 = 2–2 = –– 4

2

2

– –– –– 2 2 3 3 III) –– . 8 = – –– . 8 3 3

28 > 21 6

8

2 2 1 8 1 15 = –– . 4 – –– . –– = –– – –– = ––– = 2,5 3 3 4 3 6 6

2 2 = 2 . 2 2= 3

2 –– 3

3

= 82 = 64 = 4

2 = 23 = 8

Resposta: E

2

2 –– 3

40,5

III) 8

7 < 7 b) verdadeiro, pois 4 > 3 ⇔ 4

I) 8 II)

a) verdadeiro, pois 3 < 7 ⇔ 3 < 7 4

4

2

Resposta: D

Resposta: B

4

2 3 = 22 . 3 = 22 . 3 = 12

Resposta: C

2

+ 4 =

1 5 = 1 – 2 – –– . –– 3 5

Resposta: C

I) 2 = 22 II)

–2

25 1 17 10 1 =1 – 2 – ––– . ––– +2 = 1 – 2 – –– + 2 = 3 – ––– = –– 9 9 25 9 9

Resposta: D

3 1 – 2 – –– 5

Resposta: C

3

2

4

=

29 . 2 = 210 = 25 = 32

Resposta: 32

a

a– 1 . a–1 .

a– 1 =

a2 . a– 1 . a–1 .

2 2 3 6 b) ––– = ––– . ––– = ––– 3 3 3 3

a– 1 =

10 10 2 10 . 2 2 c) ––– = ––– . ––– = ––––––– = 5 2 2 2 2

8

a2 . a– 1 = a

a 2 . a– 1 . a– 1 =

=

Resposta: D

3

6

6

6

6

2 . 3 = 23 . 32 = 8 . 9 = 72 Resposta: D

1 1 2 2 a) ––– = ––– . ––– = ––– 2 2 2 2

7

7

7 7 35 3 3 . 35 3 ––––– = ––––– . –––––– = –––––––– = 35 = 243 7 7 7 3 35 32 32

10

10 10 a5 a5 = a ––– –––––– = –––––– = 4 10 5 a 4 2 a a

a

Resposta: E

2 = 2=2 8

1 –– 8

Resposta: D

MATEMÁTICA

89


3

3

3

3 22 2 2 4 2 4 2 4 ––––– = ––––– . ––––– = –––––– = ––––– = 3 3 3 3 2 2 3 2 2 2 2

54 + 1 626 313 (a2 + 1)(a4 + 1) a4 + 1 ––––––– = ––––– = ––––– ––––––– = –––––––––––––– = = 2 5 + 1 6 3 (a + 1)(a + 1) a +1

Resposta: B

2 2 3 3 2 3 2 3 2 + 3 ––––– . ––––– + ––––– . ––––– = ––––– + ––––– = 2 3 2 3 2 3

a4(a2 + 1) + (a2 + 1) a6 + a4 + a2 + 1 = –––––––––––––––––– = –––––––––––––– a2(a + 1) + (a + 1) a3 + a2 + a1 + 1

Resposta: C

a2 + ab – 2a – 2b = a(a + b) – 2(a + b) = (a + b)(a – 2) Resposta: A

x x –––––––––––– = –––––––––––– = x3 + x + x2 x2 x + –––––– ––––––––––– x2 – 1 x2 – 1

Resposta: A

Módulo 9 – O que é fatorar, fator comum e agrupamento

a)xy + xz = x(y + z) b) 3x + 6y + 12z = 3 . (x + 2y + 4z) c)6m3n + 15m2n2 – 3m2n3 = 3m2n . (2m + 5n – n2)

x3 – x x2 – 1 x(x2 – 1) = –––––––––––– = –––––––––––– = ––––––––– 3 2 2 2 x +x +x x(x + x + 1) x + x+ 1 Resposta: B

a) xz + yz + xt + yt = z . (x + y) + t . (x + y) = (x + y) (z + t) b) ax – ay + x – y = a(x – y) + 1 . (x – y) = (a + 1) (x – y) c) 3xy – xz – 3ay + az = x . (3y – z) – a(3y – z) = = (x – a) (3y – z)

ab + a – b – 1 = a(b + 1) – 1 . (b + 1) = (b + 1) . (a – 1) Resposta: C x3 – x2 + x – 1 = x2 (x – 1) + 1 . (x – 1) = (x – 1) . (x2 + 1) Resposta: A

x7 + x5 + x2 + 1 = x5(x2 + 1) + (x2 + 1) = = (x2 + 1)(x5 + 1) = (x2 + 1) . A ⇒ A = x5 + 1 Resposta: B a3 – 3a2x2y2 = a2(a – 3x2y2) = = 102 . (10 – 3 . 22 . 12) = 100 . (10 – 12) = = 100 . (– 2) = – 200 Resposta: E

Módulo 10 – Diferença de quadrados

a) x2 – y2 = (x + y) (x – y) b) x2 – 16 = x2 – 42 = (x + 4) (x – 4)

a)

ab + ac a(b + c) –––––––– = –––––––– = a b+c b+c

x2(x + 1) + (x + 1) x3 + x2 + x + 1 b) ––––––––––––– = ––––––––––––––––– = 2 x +1 x2 + 1 (x + 1)(x2 + 1) = ––––––––––––– =x+1 x2 + 1

c) 25 – 4a2b2 = 52 – (2ab)2 = (5 + 2ab) (5 – 2ab)

673 + 672 + 67 + 1 673 + 672 + 68 ––––––––––––––– = –––––––––––––––––– = 672 + 1 672 + 1

Supondo a2 + ab ≠ 0, temos: a . (a + b) (a – b) a (a2 – b2) a3 – ab2 ––––––– = ––––––––– = ––––––––––––––– = a – b 2 a (a + b) a + ab a (a + b)

x2(x – 2) + 3(x – 2) x3 – 2x2 + 3x – 6 c) –––––––––––––––– = ––––––––––––––––– = 2 x +3 x2 + 3 (x – 1)(x2 + 3) = ––––––––––––– =x–2 x2 + 3

64 – 9a4b2 = (8 + 3a2b) (8 – 3a2b) Resposta: D

Resposta: B

x4 – 16 = (x2)2 – 42 = (x2 + 4) (x2 – 4) = = (x2 + 4) (x2 – 22) = (x2 + 4) (x + 2) (x – 2) Resposta: B Supondo x ≠ 0, x ≠ 1, x ≠ – 1, tem: 1 x–1 x –1 = ––––– ÷ –––––– = 1 – ––x1 ÷ 1 – ––– x x x 2

2

(67 + 1)(672 + 1) 672(67 + 1) + (67 + 1) = –––––––––––––––– = = ––––––––––––––––––––– 2 67 + 1 672 + 1

x–1 (x – 1) (x + 1) = –––––– ÷ ––––––––––––– = x x2

= 67 + 1 = 68

x–1 x2 x = ––––– . ––––––––––––– = ––––– x (x – 1) (x + 1) x+1

Resposta: C

Resposta: D

90

MATEMÁTICA

2


9 9 7+1 2 ––––––– = ––––––– . –––––––– = 7–1 2 2 7–1 7+1 2

Resposta: A

7 + 1) 9 . (2 7 + 1) 9 . (2 = ––––––––––– = ––––––––––– = 28 – 1 7)2 – 12 (2

9 . (2 7 + 1) 2 7+1 = ––––––––––– = ––––––– 27 3

Resposta: B

20x2 – 45y2 = 5(4x2 – 9y2) = = 5 . [(2x)2 – (3y)2] = 5(2x + 3y)(2x – 3y) Resposta: A

64a2 – b16 = (8a)2 – (b8)2 = (8a + b8)(8a – b8) Resposta: B

6752

6742

x= – Resposta: D

a2 + b2 + 2ab – c2 = (a + b)2 – c2 = = (a + b + c)(a + b – c) Resposta: A ( 3 + 2)2 = ( 3)2 + 2 . 3 . 2 + ( 2)2 = = 3 + 2 6 + 2 = 5 + 2 6 Resposta: C

= (675 + 674)(675 – 674) = 1349 . 1 = 1349

Módulo 11 – Quadrado perfeito

a3 – 5a2 – a + 5 a2 (a – 5) – (a – 5) –––––––––––––– = ––––––––––––––– = 2 a –1 a2 – 1 (a – 5)(a2 – 1) = ––––––––––––– =a–5 a2 – 1

Resposta: D

(a2 – 9)2 a4 – 18a2 + 81 –––––––––––––– = –––––––– = a2 – 9 = (a + 3)(a – 3) 2 a2 – 9 a –9

( 6 + 5 )2 – ( 6 – 5 )2 –––––––––––––––––––––––– =

30

[( 6)2 +2 6 5 +( 5)2] – [( 6)2 –2 6 5 +( 5)2] = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = 30

a) (2a – b)2 = (2a)2 – 2 . 2a . b + b2 = 4a2 – 4ab + b2 b) (a + 3b)2 = a2 + 2 . a . 3b + (3b)2 = a2 + 6ab + 9b2 c) (3a – 4b)2 = (3a)2 – 2 . 3a . 4b + (4b)2 = = 9a2 – 24ab + 16b2

6 + 2 30 + 5 – 6 + 2 30 – 5 4 30 = ––––––––––––––––––––––––––– = ––––––– = 4

30

a) x2 + 4x + 4 = x2 + 2.x.2 + 22 = (x + 2)2 b) x2 – 6x + 9 = x2 – 2.x.3 + 32 = (x – 3)2 c) x2 – 10x + 25 = x2 – 2.x.5 + 52 = (x – 5)2 d) 4a2 + 12ab + 9b2 = (2a)2 + 2 . 2a.3b + (3b)2 = (2a + 3b)2 (x + 3)2 – 4 (x + 3) + 4 = (x + 3)2 – 2 (x + 3) . 2 + 22 = = [(x + 3) – 2]2 = (x + 1)2 Resposta: A x2

2

1 1 1 – x + –– = x2 – 2 . x . –– + –– 2 2 4

1 = x – –– 2

2

30

Resposta: A

Módulo 12 – Soma de cubos e cubo perfeito

(a – b) . (a2 + ab + b2) = = a3 + a2b + ab2 – ba2 – ab2 – b3 = a3 – b3

a3 – b3 (a – b) . (a2 + ab + b2) ––––––––––– –––––––––––––––––––– = = a2 + ab + b2 (a2 + ab + b2) = a – b = 93 – 92 = 1

9– (3 – x) . (3 + x) 3+x –––––––––– = –––––––––––––– = ––––– 2 2 (3 – x) 3–x x – 6x + 9 Resposta: C

Resposta: E

x2

a2 . (a + b) a3 + a2b a2 ––––– –––––––––––– ––––––– ––– = = a+b a2 + 2ab + b2 (a + b)2

Resposta: B

ax2 – 2a2x + a3 a(x2 – 2ax + a2) (x – a)2 –––––––––––––– ––––––– –––––––––––––– = = =x–a ax – a2 x – a) a (x – a) Resposta: B

x+2 x2 – 4 (x + 2)(x – 2) –––––––––––– = –––––––––––––– = ––––––– 2 x–2 x – 4x + 4 (x – 2)2

(a + 3) . (a2 – 3a + 9) = = a3 – 3a2 + 9a + 3a2 – 9a + 27 = a3 + 27 (a + 3)3 = (a + 3) . (a + 3) . (a + 3) = = (a2 + 3a + 3a + 9) . (a + 3) = = (a2 + 6a + 9) . (a + 3) = = a3 + 3a2 + 6a2 + 18a + 9a + 27 = = a3 + 9a2 + 27a + 27

(a + 3)3 a3 + 9a2 + 27a + 27 –––––––––––––––––––– = ––––––––––––––––––––––– = 4 3 3 a . (a + 3) + 27 . (a + 3) a + 3a + 27a + 81 (a + 3)3 (a + 3)3 = –––––––––––––––– = –––––––––––––––––––––––––– = (a + 3) . [(a + 3) . (a2 – 3a + 9)] (a + 3) . (a3 + 27)

Resposta: D

MATEMÁTICA

91


(a + 3)3 a+3 = –––––––––––––––––––– = –––––––––– 2 2 2 (a + 3) . (a – 3a + 9) a – 3a + 9

Supondo x ≠ y e x ≠ – y, obtemos: (x + y)2 . [(x + y) – 2y] (x + y)3 – 2y (x + y)2 –––––––––––––––––– = ––––––––––––––––––– = 2 2 x –y (x + y) . (x – y)

Para a = 9, temos:

9+3 12 4 –––––––––––– = ––– = ––– 2 9 –3.9+9 63 21

(x + y)2 . (x – y) = –––––––––––––– = x + y (x + y) . (x – y)

Resposta: E

Resposta: D

a) b) c) d)

x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 27x3 + 54x2 + 36x + 8 (x + 4) . (x2 – 4x + 16) = = x3 – 4x2 + 16x + 4x2 – 16x + 64 = x3 + 64

x3

3x2y

3xy2

y3

a2 . b2 (a – b) = –––––– . –––––– = a . b (a – b) ab 3 e b = 2 – 3, temos: Para a = 2 + 3) . (2 – 3) = 4 – 3 = 1 (2 +

y)3

– + – (x – –––––––––––––––––––– = ––––––––– = x – y x2 – 2xy + y2 (x – y)2

a2 . b2 . (b + a) a2b3 + a3b2 ab ab –––––––––– ––––––––––––– ––––– ÷ = ÷ ––––– = 2 2 a –b (a + b) . (a – b) a–b a–b

Resposta: B

Resposta: D x4 + 2x2 + 1 (x2 + 1)2 –––––––––––– = –––––––– = x2 + 1 2 x +1 x2 + 1

(a + b)3 – (a3 – b3) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 – b3 =

Resposta: B

= 3a2b + 3ab2 = 3ab(a + b) Resposta: C (a + b)3 – (a3 + b3) ––––––––––––––––– = (a + b)2 – (a2 + b2)

=

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 – b3) –––––––––––––––––––––––––––– a2 + 2ab + b2 – a2 – b2

= x2 – 1 = 112 – 1 = 121 – 1 = 120 Resposta: E =

(x – 3)(x2 + 3x + 9) x2 + 3x + 9 = ––––––––––– = –––––––––––––––––– (x – 3)2 x–3

Resposta: B


Resposta: A x – 2xy + y x+y = ––––––––––––– : –––––––––––– x–y x + 2xy + y 2

Supondo a ≠ –1, temos:

2

2

2

x+y (x – y)2 x+y = –––––––– : –––––––– = (x – y) : –––––––– = (x – y) (x + y)2 (x + y)2

a2 + a a . (a + 1) a –––––– = ––––––––– = –– 2a + 2 2 . (a + 1) 2

= (x – y)(x + y) = x2 – y2 Resposta: C

Resposta: B

x3 – 27 x3 – 33 ––––––––––– –––––––– = = x2 – 6x + 9 (x – 3)2

3a2b + 3ab2 3ab(a + b) 3(a + b) = –––––––––– = ––––––––– = ––––––– 2ab 2ab 2

x6 – 3x4 + 3x2 – 1 (x2 – 1)3 –––––––––––––––– –––––––– = = x4 – 2x2 + 1 (x2 – 1)2

Supondo a ≠ –b, temos: a2 . (a + b) a3 + a2b a2 a2 . (a + b) ––––– ––––––––––––– ––––––––– ––––––––––––– = = = a+b a2 + 2ab + b2 (a + b)2 (a + b) . (a + b)

Resposta: D

Supondo x ≠ y e x ≠ –y, temos: x2 + 2xy + y2 (x + y)2 –––––––––––– ––––––––––––– = = x2 – y2 (x + y) . (x – y) (x + y) . (x + y) x+y = –––––––––––––– = ––––– (x + y) . (x – y) x–y

92

MATEMÁTICA


– ––––– . ––––– a – b a + b a+b

a–b

a+b –––––– = 2ab

=

. –––––– = –––––––––––––––– (a – b) . (a + b)

2ab

=

= ––––––––––––––––––––––––––

. ––––– (a – b) . (a + b) 2ab

(a + b)2 – (a – b)2

a+b

(a2 + 2ab + b2) – (a2 – 2ab + b2)

a+b


3

Para a = 31,7 e b = 11,7, temos: 2 2 1 –––––––––– = ––– = ––– = 0,1 31,7 – 11,7 20 10

Resposta: C

Resposta: B

Para a > 0 e b > 0, temos: a4 + b4 + 2a2b2 –––––––––––––– = a2b2

a2 b2 ––– + ––– + 2 = 2 + 2 a2 b

2+

(a + b)2 a2 + 2ab + b2 = ––––––––––––– = –––––– ab ab

2

=5 ⇒ 2

Resposta: B

Resposta: B

1 x + –– x

1 1 ⇒ x2 + ––– = 25 – 2 ⇒ x2 + ––– = 23 x2 x2

a2 + b2 (a2 + b2)2 ––––––––– = 2 + –––––– = ab a2b2

=2+

1 x + ––– = 5 ⇒ x

1 1 1 ⇒ x2 + 2x . ––– + ––– = 25 ⇒ x2 + 2 + ––– = 25 ⇒ x2 x x2

a4 + 2a2b2 + b4 ––––––––––––– = a2b2

=2+

1 1 a2 + b2 (a + b)2 – 2ab 82 – 2,8 ––– + ––– = ––––––– = ––––––––––––– = –––––––– = 2 2 2 2 2 2 a b a b a b 82 64 – 16 48 3 = –––––––– = –––– = ––– 64 64 4

Resposta: A

3

3 )3 – ( 2 )3 = 3 – 2 = 1 a3 – b3 = (

4ab (a + b) 2 = ––––––––––––– . –––––– = ––––– (a – b) . (a + b) 2ab a–b

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) ⇒ a2 + b2 + c2 = 122 ab + ac + bc = 101

⇒ (a + b + c)2 = 122 + 2 . 101 ⇒

ab + a + b + 1 a . (b + 1) + (b + 1) ––––––––––––– = –––––––––––––––– = ab – a + b – 1 a . (b – 1) + (b – 1)

⇒ (a + b + c)2 = 122 + 202 ⇒ ⇒ (a + b + c)2 = 324 ⇒ a + b + c = 18

(b + 1) . (a + 1) b+1 = ––––––––––––– = ––––– (b – 1) . (a + 1) b–1

Resposta: C

Para a = 17,4 e b = 11, temos: 12 11 + 1 –––––– = ––– = 1,2 10 11 – 1

( 2 + 3 + 5)2 –––––––––––––––––––––––– = 10 + 2( 6 + 10 + 15 ) ( 2)2+( 3)2+( 5)2+2.( 2. 3+ 2. 5+ 3. 5)

Resposta: D

= –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = 10 + 2( 6 + 10 + 15 )

( 6 )2 + 2 . 6 . 3 + ( 3)2 6 + 3 )2 ( –––––––––– = ––––––––––––––––––––––––– = 9 + 6 2 9 + 6 2

2 + 3 + 5 + 2.( 6 + 10 + 15 )

= ––––––––––––––––––––––––––––– = 10 + 2( 6 + 10 + 15 )

2 . 32 9 + 2 . 2 9 + 6 18 + 3 6 + 2 = ––––––––––––– = –––––––––––––– = ––––––––– = 1 9 + 6 2 9 + 6 2 9 + 6 2 Resposta: D

10 + 2( 6 + 10 + 15 )

= ––––––––––––––––––––––– = 1 10 + 2( 6 + 10 + 15 )

Resposta: A

x 3 – y3 x3 + y3 –––––––– – –––––––– = x–y x+y

= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 – x3 + 3x2y – 3xy2 + y3 = 6x2y + 2y3

(x + y)(x2 – xy + y (x – y)(x2 + xy + y2 = –––––––––––––––––– – –––––––––––––––––– = (x – y) (x + y) = (x2 + xy + y2) – (x2 – xy + y2) = =

x2

+ xy +

y2

–

x2

+ xy –

y2

= 2xy

Resposta: E

3

3

3

3

3

( 3 – 2)( 9 + 6 + 4) 3

(x + y)3 – (x – y)3 = = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) =

3

Para a = 3 e b = 2 a expressão dada é da forma (a – b)(a2 + ab + b2) e resulta igual a

Resposta: E

Módulo 15 – Exercícios Complementares

I) Um ano-luz: 9 trilhões e 500 bilhões de quilômetros = 9.500.000.000.000 km = 9,5 . 1012 km

II) E = 100.000 anos-luz = = 105 anos-luz = 105 . (9,5 . 1012 km) = = 9,5 . 1012+5 km = 9,5 . 1017 km Resposta: E

MATEMÁTICA

93


2n + 2n . 2 + 2n . 22 2n + 2n+1 + 2n+2 –––––––––––––– –––––––––––––––––– = = 2n+3 2n . 23

x = (0,25)0,25 =

( ) 25 ––––– 100 125 – –––– 100

2n . (1 + 2 + 22) 1+2+4 7 = ––––––––––––––– = ––––––––– = –– 2n . 23 8 8

y = 16– 0,125 = (24)

25 –––– 100

=

() 1 –– 4

1 – ––– 8

= (24)

1 ––– 4

=2

1 ––– 4

= (2 – 2)

=2

1 – ––– 2

1 – ––– 2

Resposta: D Resposta: A

75x ⇔

= 243 ⇔

(7x)2

=

(7x)5 ⇔

32

=

(3)5

(72)x

⇔

7x

=3⇔

= 9 ⇔ 49x = 9

Resposta: C

x y x y x–y –– – –– ––– – ––– ––––– y x xy y x ––––––––––– = ––––––––– = ––––––––– = 1 –– – y

1 –– x

(x2 + 2x + 1) – (x2 – 2x + 1) = ––––––––––––––––––––––––– = x–1+x+1

x – y ––––––– xy

1 1 ––– – ––– y x

x2 + 2x + 1 – x2 + 2x – 1 4x = ––––––––––––––––––––––––– = –––––– = 2 2x 2x

x–y x–y x + y = ––––––– = ––––––– . ––––––– = x + y x – y x – y

Resposta: E

(x – y) . (x + y) = ––––––––––––––– = x + y x–y

=

(0,005)2 . 0,000075 ––––––––––––––––––– 10

3

1 – ––

÷

(5 . 10–3)2 . (3 . 52 . 10–6) ––––––––––––––––––––––– 10

5 . 10–4 . 2 3 ––––––––––– 1 – –– 3 3

b – 1 – 9b – 9 = b – 1 – 9(b – 1) = = b – 1 – 3 b – 1 = – 2 b–1 Resposta: B

=

125

÷

1 5 . 10–4 . ––– 1 ÷ ––––––––––––– 1 –––– 1

=

––

33

=

=

52 . 10–6 . 3 . 52 . 10–6 –––––––––––––––––––– 10

1 5 . 10–4 . –––– 3 2 –––––––––––––– 1 ––– 3 3

÷

3

= 5 . 10–4 .

94

2–– 3

÷

Módulo 16 – Exercícios Complementares

÷

2

––––––––––– = 1 3 3 . 5 . 10–4

MATEMÁTICA

2

( )

1 1 x – –– = 3 ⇒ x – –– x x

1 1 = 32 ⇒ x2 – 2 . x . –– + ––– =9⇒ x x2

1 1 1 ⇒ x2 – 2 + ––– = 9 ⇒ x2 + ––– = 9 + 2 ⇒ x2 + ––– = 11 x2 x2 x2

3

5 . 10–4 . 3 ––––––––––– = 3 2

3

.

Resposta: A

x(y – x) xy – x2 – 0,1[0,01 – (– 0,1)] ––––––––– = ––––––––– = –––––––––––––––––––– = y y 0,01 – 0,1 . (0,01 + 0,1) = ––––––––––––––––– = – (0,01 + 0,1) = – 0,11 0,1

=

53 . 5 . 3 . 10–12 ––––––––––––––– 10

3

5 –––

–––– y = 16 4 ⇒ yx = 161,25 = (24)100 = (24) = 25 = 32 x = 1,25

Resposta: D

–– 23

3

1 . 10– 4 1 –––––––– = ––– . 10– 4 (– 7) = 0,125 . 103 = 125 – 7 8 . 10 8 Resposta: A

Resposta: D 3

(x + 1)2 – (x – 1)2 x+1 x–1 –––––––––––––––––– –––––– – –––––– (x – 1)(x + 1) x–1 x+1 –––––––––––––––– = ––––––––––––––––––––– = 1 1 (x – 1)2 + (x + 1) –––––– + –––––– –––––––––––––––––– x+1 x–1 (x + 1)(x – 1)

Resposta: C

x = a + x–1 ⇔ x – x–1 = a ⇔ (x – x–1)2 = a2 ⇔ ⇔ x2 – 2 . x . x–1 + (x–1)2 = a2 ⇔ x2 – 2 + x–2 = a2 ⇔ ⇔ x2 + x–2 = a2 + 2 Resposta: A


a2 + b2 a b I) –– + –– = ––––––– ab b a

aab+=b 10= 10 ⇒ (aab+=b)10 = 10 a + b + 2ab = 100 ⇒ ⇒ ab = 10 2

⇒

a2

b2

+ a b 80 –– + –– = ––––––– = ––– = 8 ab b a 10

a)(a – b – c)2 = [a + (– b) + (– c)]2 = + 2 . a . (– c) + 2 . (– b) . (– c) = = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2ac + 2bc

b) (a + b + c + d)2 = a2 + b2 + b2 + c2 + d2 + + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd c) (m + n + p)2 = m2 + n2 + p2 + 2mn + 2mp + 2np

mn + mp + np = 11 ⇔ 2mn + 2mp + 2n = 2 . 11 ⇔ m2 + n2 + p2 + 2mn + 2mp + 2np = 36

2mn + 2mp + 2np = 22

m2

⇔

35 + 1

12

9

8

1 1 1 + ––––––– 1 + –––––– 5–1 1 ––––– 1 – –– 5 5 –––––––––––––– = –––––––––––––– = 3 3 – 1 + ––––––– – 1 + –––––– 5+1 1 ––––– 1 + –– 5 5

Resposta: A

n2

p2

+ + 14 –––––––––––– = ––– = 7 mnp 2

(

) )

2 4 –– – 3 . –– 5 9

(

1 : ––– = 2 – 3

1 6 – 20 = 2 – ––––––– : ––– = 2 – 15 3

( (

2 4 –– – –– 5 3

)

)

– 14 –––––– 15

2 3 17 8+9 2 ––– + ––– : –––– –––––– . –––– 3 4 2 12 17 ––––––––––––––––––– –––––––––––––––– =

2– 1 + 2– 2

1 1 ––– + ––– 2 4

=

1 –– 1 4 4 2 6 = –––––––––– = –– . –– = ––– = –– 6 3 18 9 2+1 –––––––– 4

Resposta: B 1 : ––– = 3

Resposta: A .3=

– 42 30 + 42 72 24 = 2 – –––– = –––––––– = –––– = –––– 15 15 15 5 Resposta: E

0

9 6 6 3 = ––– . ––– = ––– = ––– 4 9 4 2

II) Como mnp = 2, temos:

2–

– 15 + ––– . ––– + 1 = –––––– : ––– 5 35 16 27

2 –– 3

(m + n + p)2 = 62

⇔ m2 + n2 + p2 = 14

=

.

5 4+5 1 + ––– –––––– 4 4 = ––––––––––– = ––––––––––– = – 6 + 15 15 ––––––––– – 1 + –––– 6 6

m+n+p=6

⇔

+7 = 3 –– 4

+

Resposta: E

= a2 + (– b)2 + (– c)2 + 2 . a . (– b) +

⇔

3

1 30 . –– 2

126 – 90 + 1 + 6 43 = –––––––––––––– = ––– 6 6

Resposta: C

I)

2

–

36 35 1 1 = ––– . ––– – 15 + ––– + 1 = 21 – 15 + ––– + 1 = 5 12 6 6

III) De (I) e (II), temos:

12

2

⇒ a2 + b2 + 2 . 10 = 100 ⇒ a2 + b2 = 80

1

2

II)

2

– 7 + –––5 : ––– 35

1 1 3–5 –2 1 a) ––– – ––– = ––––– = –––– = – ––– 10 6 30 30 15 0,2 . 0,3 0,06 6 1 b) –––––––– = ––––– = ––––– = ––– = 0,05 3,2 – 2,0 1,2 120 20

FRENTE 2 Módulo 1 – Primeiros conceitos de conjuntos – Operações entre conjuntos

a) A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} B = {4, 6, 8, 10} b) A = {x ∈ 3 < x < 11} = {x ∈ 4 ⭐ x ⭐ 10} B = {x ∈ 3 < x < 11 e x é par} = = {x ∈ 4 ⭐ x ⭐ 10 e x é par}

MATEMÁTICA

95


(I) É falsa, pois 2 ∈ {2; 5; 7}.

(II) É falsa, pois {2} {0; 1; 2; 3; ...}. (III)É verdadeira, pois 3 é elemento de {2; 3; 4}. (IV)É verdadeira, pois 2 ∈ {1; 2} e 1 ∈ {1; 2}. Observe que {2; 1} {1; 2} e {1; 2} {2; 1} e, portanto {2; 1} = {1; 2}. Resposta: B

A afirmação falsa é a (d), pois A ∉ A, ∀A. Resposta: D

a) B A é falso, pois {A} ∉ A. b) A = B é falso, pois B A, como foi visto no item (a). c) A ∈ B é falso, pois os elementos de B são a e {A}. d) a = A é falso, pois A = {a}. e) {A} ∈ B é verdadeiro. Resposta: E

Como A = {1; 3; 5}, B = {3; 5; 7; 9} e S = {1; 3; 5; 7; 9; 11} a) A B = {1; 3; 5; 7; 9} b) A B = {3; 5} c) A – B = {1} d) B – A = {7; 9} e) CSB = B = S – B = {1;11} Resposta: E

Como A = {1; 2}, B = {1; 3} e C = {1; 3; 4}, temos: a) A B = {1; 2; 3} b) A B = {1} c) A – B = {2} d) B – C = Ø e) A (B – C) = A Ø = A Resposta: D a) {1, 3, 4, 5, 6, 7} d) {4, 6} f) {4}

I)

b) {3, 4} c) {1, 3, 4, 5, 6, 8} e) {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8} g) {4, 5, 6}

(A B):

a) {Ø; {b}} A, pois Ø ∈ A e {b} ∈ A b) {Ø; b} A, pois b ∉ A c) {Ø; {a}} A, pois {a} ∉ A d) {a;b} A, pois b ∉ A e) {{a};{b}} A, pois {a} ∉ A

II) (A B) – C:

Resposta: A

a) falsa pois, por exemplo, 3 ∈ A e, 3 ∉ B b) falsa, pois por exemplo, 5 ∈ B e 5 ∉ A c) verdadeira, 6 ∈ A d) falsa, pois 6 ∈ A e não { 6 } ∈ A e) falsa, pois 30 ∈ B e não { 30 } ∈ B Resposta: C Os elementos de A são: 3, {5; 6} e 8. Resposta: D

Resposta: A

O complemento de B em A é o conjuto

ⲩAB = A – B = {1; 5; 8} Resposta: E

De acordo com o enunciado temos o seguinte diagrama

O número de subconjuntos de A é dado por 26 = 64. Resposta: E O conjunto dos múltiplos estritamente positivos de 5, menores do que 40, é A = {5; 10; 15; 20; 25; 30; 35}. Como A tem 7 elementos ele possui: um total de 27 = 128 subconjuntos dos quais um deles é o conjunto vazio. Portanto, n = 128 – 1 = 127 Resposta: A Os elementos de B que são pares são 23, 26, 29, 213, 62, 63, 69, e 613 num total de oito valores. Resposta: B

Logo, A B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} e o número de subconjuntos de A B é 27 = 128. Resposta: D

Se A B = B, então todos os elementos de B são, também, elementos de A e então, B A.

Módulo 2 – Primeiros conceitos de conjuntos – operações entre conjuntos

a) Os subconjuntos de A são: Ø; {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3} e {1, 2, 3}. b) (A) = {Ø; {1}; {2}; {3}; {1;2}; {1;3}; {2;3}; {1,2,3}}.

96

MATEMÁTICA

Resposta: C


Se A B = B, então todos os elementos de A são, também, elementos de B e, então A B.

a) 61 pessoas consomem só a marca A. Resposta: A

b) 142 pessoas consomem só a marca B.

c) 98 pessoas consomem só a marca C.

Assim, (80 – x) + x + (40 – x) + 10 = 100 ⇔ x = 30 Resposta: E

Resposta: C

Módulo 3 – Diagramas e número de elementos

n(I) = 130 n(F I) = 50 n(F I) = 300 n(F I) = n(F) + n(I) – n(F I)

O diagrama correspondente é rapazes

meninas

com nota ≥ 7

18 – 8 = 10

22 – 2 = 20

30

com nota < 7

10 – 2 = 8

2

10

18

40 – 8 = 22

⇒

⇒ 300 = n(F) + 130 – 50 ⇔ ⇔ n(F) = 300 – 130 + 50 = 220

De acordo com o texto, temos o seguinte diagrama, em porcentagem, sendo I o conjunto dos que estudam inglês e F o conjunto dos que estudam francês

Como n(A) = 7 e n(B)= 9 temos: 0 ⭐ n(A B) ⭐ 7 e 9 ⭐ n(A B) ⭐ 16 Resposta: E I) A B = {4; 5} ⇒

Resposta: E

Sejam M o conjunto dos alunos reprovados em Matemática, F reprovados em Física e Q em Química. O diagrama correspondente às informações do enunciado é

II) A – B = {1; 2; 3} ⇒

III) De (I) e (II) e A B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} temos:

Assim sendo: B = {4; 5; 6; 7; 8} Resposta: B

MATEMÁTICA

97


Completando, resulta

c)

Portanto, x + 4 + 2 + 3 + 5 + 3 + 3 + 1 = 80 ⇔ x = 59 Resposta: 59

Considere os conjuntos C dos corintianos, F dos Fanáticos e I dos inteligentes. “Todos os corintianos são fanáticos” significa que C F. “Existem fanáticos inteligentes’ significa que F I ≠ Ø. Os diagramas possíveis são

Se A = {0; 1; 2} e B = {3}, então A × B = {(0; 3), (1;3); (2; 3)} Ø, {(0, 3)}, {(1, 3)}, {(2, 3)}, {(0, 3), (1, 3)}, {(0, 3), (2, 3)}, {(1, 3), (2, 3)} e {(0, 3), (1, 3), (2, 3)} Sendo A×B = {(5;3); (5;7)} as relações binárias de A em B são: Ø, {(5;3)}, {(5;7)}, {(5;3),(5;7)} Resposta: D

Se (2;1), (2;5) e (3;4) pertencem a A×B, então 2 ∈ A, 3 ∈ A, 1 ∈ B, 4 ∈ B e 5 ∈ B. Como n(A×B) = 6, concluímos que A = {2;3} e B = {1;4;5} e, portanto, A B = Ø. Resposta: E

De (I): nenhum corintiano é inteligente De (II): existem corintianos inteligentes De (III) e (IV): todo corintiano é inteligente. Resposta: E

Módulo 4 – Relação binária e definição de função; domínio, contradomínio e imagem

98

Resposta: A

Resposta: C x

y=x+1

1 2 3 4

2 ∉B 3 4 5

x

y = x2

1 2 3 4

1 ∉B 4 9 16 ∉ B

Se A = {2;4} e B = {1;2;3}, então: a) A x B = {(2;1), (2;2), (2;3), (4;1), (4;2), (4;3)} B x A = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4)} b)

MATEMÁTICA


x

y=7–x

1 2 3 4

6 5 4 3

Para x = 1 resulta y = 12 + 2 = 3 Para x = 2 resulta y = 22 + 2 = 6 Para x = 3 resulta y = 32 + 2 = 11 A diferença entre o maior e o menor valor de y é 11 – 3 = 8. Resposta: D

Módulo 6 – Como reconhecer uma função Módulo 5 – Relação binária e definição de função; domínio, contradomínio e imagem

Não é função.

a)1

b) 2

g não é função i é uma função D(i) = A CD(i) = B Im(i) = {1,2}

B f(1) = f(0 + 1) = 2f(0) = 21 = 2 f(2) = f(1 + 1) = 2f(1) = 22 = 4 f(3) = f(2 + 1) = 2f(2) = 24 = 16 Resposta: D

3 f(x) = ––x – 1 5 4 g(x) = ––x + a 3

4 1 1 f(0) – g(0) = –– ⇔ – 1– a = –– ⇔ a = – –– 3 3 3

É função. D(f) = A CD(f) = B Im(f) = {1;3}

f não é função h é uma função D(h) = A CD(h) = B Im(h) = {1, 2, 3} j é uma função D(j) = A CD(j) = B Im(j) = {0} l não é uma função

4 9 3 Logo, f(3) = –– . 3 – 1 = –– – 1 = –– 5 5 5 c) 16

1 g –– 5

d) p

Lembrando que y ≥ x + 4 ⇔ y – x ≥ 4 temos o seguinte diagrama

= ––3 . ––5 – ––3 = 4

1

4

=

1 Assim, f(3) – 3g –– 5

4 – 16 = –– – 3 . ––––– 5 15

16 4 – 20 –––––– = – ––– 15 15

=4 = –––––––– 15 12 + 48

Resposta: E

f(0) = 2 . 03 = 0 f(– 1) = 2 . (– 1)3 = – 2 f(2) = 2 . 23 = 16 f(– 2) = 2 . (– 2)3 = – 16 1 1 – f – –– = – 2 . – –– 2 2

Portanto, f = {(0; 4 ); ( 0; 5); (1; 5)} que é um conjunto com 3 elementos. Resposta: D

=–2.

– ––8 = 1

3

=

1 –– 4

Resposta: C

MATEMÁTICA

99


Como f(p + q) = f(p) . f(q) temos f(0 + 2) = f(0) . f(2) ⇔ f(2) = f(0) . f(2) Portanto, 2 = f(0) . 2 ⇔ f(0) = 1 Resposta: B

Módulo 7 – Domínio e imagem por meio do gráfico

É função. D(f) = A = [1;4] CD(f) = B = [1;3] Im(f) = [2;3] Não é função.

estritamente decrescente

É função. D(h) = A = [1;4] CD(h) = B = [1;3] Im(h) = [1;2[ {3}

D = ]– 2; 1] [2;4], CD = , Im = [1;4]

D = [– 4; 4], CD = , Im = [– 3; 4[

a) [– 4;5[ d)– 2

b) ]– 3; 4[ e) 2

c) – 2 f) {– 2; 1; 3}

Da leitura do gráfico obtém-se f(0) = 2, f(3) = 4, f(4) = 4, f(5) = 4, f(7) = 8 e f(10) = 0. Então, f(0) + f(3) + f(4) + f(5) + f(7) + f(10) = = 2 + 4 + 4 + 4 + 8 + 0 = 22 Resposta: B

constante

Módulo 8 – Função sobrejetora, injetora e bijetora

a) Função sobrejetora (apenas) b)Função não sobrejetora, nem injetora c) Função injetora (apenas)


d)Função bijetora

Resposta: E

Resposta:B

Módulo 9 – Funções monotônicas

não é monotônica


100

MATEMÁTICA

Resposta: C


Módulo 10 – Função, par, ímpar, periódica e limitada

12 f(f(f(12))) = f f ––– 2

= f(3) = 3 + 1 = 4 Resposta: D

1 f(x) = ––– x2 1 1 f(–x) = ––––– = ––– 2 x2 (–x)

( ( ))

⇒ f(–x) = f(x) ⇒ f é par

Resposta: A

f é par f(2) = 3

=

1 1 a) f é periódica e o período é –– , pois –– 2 2 1 é o menor número real, tal que f x + –– = f(x), ∀ x ∈ 2

(

)

b)f é limitada (inferiormente e superiormente).

a) é limitada b)não é periódica c) não é par nem ímpar

Im(f) = [0; 1] ⇒ f é limitada f(x) = f(x + 3) para todo x ∈ → f é periódica de período 3. Obs.: f(x) = f(x + 3) = f(x + 6) = f(x + 9) = = f(x + 3K), k ∈ . Resposta: E


Se f e g de em forem definidas por f(x) = 2x + 1 e g(x) = x – 1, então: a) (fog) (1) = f[g(1)] = f(0) = 1 b)(gof) (1) = g[f(1)] = g(3) = 2 a) (fog) (0) = f[g(0)] = f[–2] = (–2)3 + 1 = –7 b)(gof) (0) = g[f(0)] = g[1] = 1 – 2 = –1 c) (fof) (1) = f[f(1)] = f(2) = 23 + 1 = 9 d)(gog) (1) = g[g(1)] = g[–1] = –1 –2 = –3 Se f: → for definida por: n ––, se n é par f(n) = 2

então:

n + 1, se n é ímpar

[ ]

2 8 . f ––––– 2–1

= 8 . f[2] =

2 8.2=4 8 . ––––– = 2–1

Resposta: D

Resposta: E

2 Se f(x) = ––––– , ∀ x ≠ 1, então: x–1

8f[f(2)] =

⇒ f(–2) = 3 ⇒ f(2) – f(–2) = 0

()

6 = f(f(6)) = f –– = 2

f(x) = 3x – 2 ⇒ f(1) = 3 . 1 – 2 = 1 Logo, f (f(f(1))) = f (f(1)) = f(1) = 1 Resposta: B f(x) = 3x – 2 f(f(f(2))) = f(f(4)) = f(10) = 28 Resposta: E f(9) = 2. 9 + 3 = 21 f(10) = 2. 10 + 3 = 23 f(11) = 3.11 - 7= 26 f(9) + f(10) + f(11) = 21 +23 + 26 = 70 Resposta: B a) (fof) (1) = f(f(1)) = f(1) = 1 b)(fof) (2) = f(f(2)) = f(3) = 7 c) (fog) (1) = f(g(1)) = f(2) = 3 d)(fog) (2) = f(g(2)) = f(5) = 21 e)(gof) (1) = g(f(1)) = g(1) = 2 f) (gof) (2) = g(f(2)) = g(3) = 8 g)(gog) (1) = g(g(1)) = g(2) = 5 h)(gog) (2) = g(g(2)) = g(5) = 14

f(2) = 0 ⇒ f(f(2)) = f(0) = 4 Resposta: E

f(– 2) = 2 ⇒ f(f(– 2)) = f(2) = 0 Resposta: A

f(2) = 0 ⇒ f(f(2))) = f(f(0)) f(0) = 4 ⇒ f(f(0)) = f(4) = 4 Resposta: E

(fog) (4) = f(g(4)) = f(1) = 4 Resposta: E

(fog) (3) = f(g(3)) = f(0) = 3 Resposta: D (fog) (3) = f(g(3)) = f(0) = 3 (fog) (4) = f(g(4)) = f(1) = 4 (fog) (5) = f(g(5)) = f(2) = 5

MATEMÁTICA

101


(fog) (6) = f(g(6)) = f(3) = 6 (fog) (7) = f(g(7)) = f(4) = 7 Resposta: A


⇒ 3g(x) + 2 = 12x – 1 ⇒ 3g(x) = 12x – 3 ⇒ g(x) = 4x – 1 Resposta: B

a) (fof) (x) = f(f(x)) = f(x – 1) = x – 1 – 1 = x – 2 b)(gog) (x) = g(g(x)) = g(x2 + x) = (x2 + x)2 + (x2 + x) = = x4 + 2 . x2 . x + x2 + x2 + x = x4 + 2x3 + 2x2 + x (gof)(x) = g(f(x)) = g(3x – 1) = (3x – 1)2 = 9x2 – 6x + 1 Resposta: A

(fog) (x) = 12x – 1 ⇒ f(g(x)) = 12x – 1 ⇒

(fog) (x) = 2x – 7 ⇒ f[g(x)] = 2x – 7 ⇒ f(x – 5 ) = 2x – 7 Para x – 5 = a ⇔ x = a + 5 resulta f(a) = 2 (a + 5 ) – 7 ⇒ f(a) = 2a + 10 – 7 ⇒ f(a) = 2a + 3 Logo, f(x) = 2x + 3 Resposta: E

Módulo 13 – Função Inversa

()

1 1 1 x f –– = –––––– = –––––– = –––––– x 1 + 2x 1 2x + 1 –––––– –– + 2 x x Resposta: E

(fog) (x) = x + 4 f(g(x)) = x + 4 3 . g(x) – 6 = x + 4 3 . g(x) = x + 10

I) f(x) = x + 1 ⇒ y = x + 1 II) x = y + 1 ⇒ y = x – 1 III) f –1(x) = x – 1

x + 10 g(x) = –––––– 3

x+1 Se f(x) = ––––– , então: x–1

[ ]

x+1 (fof) (x) = f[f(x)] = f ––––– = x–1 x+1+x–1 x+1 ––––––––––– ––––– + 1 x–1 x–1 = ––––––––– = –––––––––––– = x+1–x+1 x+1 ––––––––––– ––––– – 1 x–1 x–1 I) f(x) = 2x – 1 ⇒ y = 2x – 1

2x ––––– x–1 x–1 2x = –––––– = ––––– . ––––– = x 2 2 x–1 ––––– x–1 Resposta: A

(fog) (x) = f[g(x)] = 2. g(x) – 3 = 2x2 – 3 Resposta: A

x+1 II) x = 2y – 1 ⇒ 2y = x + 1 ⇒ y = ––––– 2 x+1 III) f –1(x) = ––––– 2

1 (fof) (x) = f [f(x)] = ––––––– = f(x) + 3 x+3 1 1 = ––––––––––––– = ––––––––––––– = ––––––– 3x + 10 1 1 + 3x + 9 ––––––– + 3 ––––––––––– x+3 x+3 Resposta: C

f(x) + 5 2x 2x – 5 + 5 (gof) (x) = g [f(x)] = –––––––– = ––––––––– = –––– = x 2 2 2 Resposta: D

102

MATEMÁTICA

I) f(x) = 2x + 1 ⇒ y = 2x + 1 x–1 II) x = 2y + 1 ⇒ 2y = x – 1 ⇒ y = ––––– 2 x–1 III) f–1(x) = ––––– e f –1: [–3; 3] → [–2; 1] 2


I) h(x) = (gof) (x) = g[f(x)] = g[x + 3] = = 2 (x + 3) + 1 = 2x + 7 II) h(x) = 2x + 7 ⇒ y = 2x + 7 ⇒ ⇒ x = 2y + 7 ⇔ 2y = x – 7 ⇔ x–7 x–7 ⇔ y = ––––– ⇒ h–1(x) = ––––– 2 2

1 1 I) f(x) = –– ⇒ y = –– x x

f–1: – {a} → – {3}

1 1 II) x = –– ⇒ x . y = 1 ⇒ y = –– x y

3x + 2 3x + 2 II) f(x) = –––––– ⇒ y = –––––– ⇒ x+3 x+3

1 III) f–1(x) = –– x

3y + 2 ⇒ x = –––––– ⇔ xy + 3x = 3y + 2 ⇔ y+3

y x x a) Verdadeira, pois: f(x) = –– ⇒ y = –– ⇒ x = –– ⇒ 3 3 3 ⇒ y = 3x ⇒

f–1(x)

⇔ xy – 3y = 2 – 3x ⇔ (x – 3) y = 2 – 3x ⇔

= 3x

2 – 3x 2 – 3x ⇔ y = –––––– ⇒ f–1(x) = –––––– x–3 x–3

b)Verdadeira, pois: f(x) = x + 1 ⇒ y = x + 1 ⇒ x = y + 1 ⇒ ⇒ y = x – 1 ⇒ f–1(x) = x – 1

III) O domínio de f–1 é – {3}, pois

c) Falsa, pois: f(x) = 3x – 2 ⇒ y = 3x – 2 ⇒

x – 3 ≠ 0 e, portanto, a = 3

x+2 ⇒ x = 3y – 2 ⇒ 3y = x + 2 ⇒ y = ––––– ⇒ 3 2 x x+2 ⇒ f–1(x) = –––––– = –– + –– 3 3 3

I) f: – {–3} → – {a}

Resposta: A

d)Verdadeira de acordo com o item (c).

1 1 f(x) = ––––– ⇒ y = ––––– x+1 x+1 Substituindo x por y e y por x obtém-se

e)Verdadeira, pois: 1 x = ––––– ⇔xy + x = 1 ⇔ xy = 1 – x ⇔ y+1

1 1 1 1 1 f(x) = –– ⇒ y = –– ⇒ x = –– ⇒ y = –– ⇒ f–1(x) = –– y x x x x

x 1 1 1–x ⇔ y = ––––– ⇔ y = ––– – ––– ⇔ y = ––– – 1 x x x x

Resposta: C

f(x) = 2x – 7 ⇔ y = 2x – 7

Resposta: A

Substituindo y por x e x por y resulta x+7 x = 2y – 7 ⇔ 2y = x + 7 ⇒ y = –––––– 2 x+7 Logo, f –1 (x) = –––––– 2

Lembrando que os gráficos de f e f-1 são simétricos em relação à reta y = x (bissetriz dos quadrantes ímpares resulta.

Resposta: D

Módulo 14 – Função inversa

f(x) = 2x + 2 ⇒ y = 2x + 2 ⇒ x = 2y + 2 ⇔ 2y = x – 2 x–2 x–2 ⇔ y = ––––– ⇒ f–1(x) = ––––– 2 2

Resposta: C

MATEMÁTICA

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Esboçando os gráficos de f e f –1 num mesmo sistema de coordenadas tem-se

4 1 4 I) g(x) = 1 – x = –– ⇒ –x = –– – 1 ⇒ x = – –– 3 3 3 1 II)Para x = – –– , temos: 3

1 1 – – –– 1 3 1 (fog) – –– = ––––––––– ⇔ f g – –– 3 1 3 – –– 3

1 ⇔ f 1 – – –– 3

1 1 + –– 3 = –––––– ⇔ 1 – –– 3

4 –– 4 3 = ––––– ⇔ f –– 3 1 – –– 3

Resposta: A

=–4

f(0) = 3, f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 6, f(4) = 3, f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) =

Resposta: E

= 3 + 2 + 3 + 6 + 3 = 17 Resposta: E

(fog)(x) = f(g(x)) = f(3x + 1) ⇒ ⇒ (fog)(x) =

+ 1) – 3, se (3x + 1) ≤ 4 2(3x. (3x + 1), se (3x + 1) > 4

⇒ (fog)(x) =

– 2, se x ≤ 1 3x 6x + 2, se x > 1

⇒

Resposta: A


a) Os passageiros que embarcaram pagarão 2000 reais cada um; os 100 – x que não embarcaram, pagarão 400 reais cada. A quantidade de dinheiro arrecadado (Q) em função de x é: Q(x) = 2000 . x + 400 . (100 – x) ⇔ ⇔ Q(x) = 2000 . x + 40.000 – 400x ⇔ ⇔ Q(x) = 1600x + 40.000 b)Para x = 50, temos: Q(50) = 1600 . 50 + 40.000 ⇔ Q(50) = 120.000 (em reais) c) Q(x) = 96.000 ⇒ 1600x + 40.000 = 96.000 ⇔ ⇔ 1600x = 56.000 ⇔ x = 35 passageiros

Para x > 90, temos: P(x) = 500 + 0,50 . (x – 90)

Se f[f(x)] = 2 ⇒ f(x) = 0, o que se verifica para três valores de x que são – 3, – 2 e 2. Resposta: D

P(x) = 500 + 0,5 . x – 45 P(x) = 455 + 0,5 . x Resposta: D

De acordo com o enunciado, após 12 meses consecutivos de acréscimos, o novo salário S desse trabalhador será: S = R$ 300,00 + 12 . 2% . R$ 300,00 S = R$ 300,00 + 12 . R$ 6,00 S = R$ 372,00 Resposta: C

2

y = 90 . 3–0,5 . x = 90 . 3–0,5 . 2 = 1 = 90 . 3–0,5 . 4 = 90 . 3–2 = 90 . –– = 10 alunos 9

V2 V d = –––– + ––– 1002 100 250 10 ⇒ d = ––––– + ––––– ⇒ 250 10 V = 100 10000 250

⇒ d = ––––––– + 10 ⇒ d = 40 + 10 ⇒ d = 50 Resposta: C

Para x = 2, temos: 2

Para Paulo tem-se f(h) = 2975 ⇒ ⇒ 17h = 2975 ⇒ h = 175, isto é, a altura de Paulo 175 cm. Logo, Carla mede 175 cm – 5 cm = 170 cm de altura. Logo, como g(h) = (15,3). h temos que g (170) = 15,3 . 170 = 2601 em kcal. Resposta: B

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Respostas matematica

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