Resistencia de Materiales Gamio

RESISTENCIA DE MATERIALES Teoría y aplicaciones

EDITORIAL

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Resistencia de materiales Autor: Ing. Luis Eduardo Gamio Arisnabarreta © Derechos de autor registrados: Empresa Editora Macro EIRL © Derechos de edición, arte gráfico y diagramación reservados: Empresa Editora Macro EIRL Corrección de esƟlo: Jorge Giraldo Sánchez Coordinación de arte y diseño: Alejandro Marcas León Diagramación: Judith Terrel Flores Alberto Rivas Carhuatanta Ilustración: Miguel Almeida Rojas

Edición a cargo de: © Empresa Editora Macro EIRL Av. Paseo de la República N.° 5613, Miraflores, Lima, Perú  Teléfono: (511) 748 0560 E-mail: [email protected] Página web: www.editorialmacro.com



Primera edición: julio de 2014 Tiraje: 1000 ejemplares Impresión Talleres gráficos de la Empresa Editora Macro EIRL Jr. San Agusơn N.° 612-624, Surquillo, Lima, Perú ISBN N.° 978-612-304-209-7 Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.° 2014-08668 Prohibida la reproducción parcial o total, por cualquier medio o método, de este libro sin previa autorización de la Empresa Editora Macro EIRL.

L IS E

AR O GA

IO ARISNABARRETA

Ingeniero civil egresado de la Facultad de Ingeniería Civil de la Universidad Nacional de Ingeniería, con más de veinticinco años de experiencia profesional en el área de Ingeniería Estructural. Ha trabajado en diversas empresas privadas, como Alpha Consult S. A., Salydel Ingenieros, entre otras. Actualmente se desempeña como ingeniero estructural en la Empresa Tecamb S.A. Además, ha participado en numerosos proyectos de agua potable y alcantarillado, diseñando estructuralmente reservorios, cisternas y cámaras de bombeo de gran volumen. Desde hace veintiocho años dicta los cursos de Estática y Resistencia de Materiales, en la Facultad de Ingeniería Civil de la Universidad Nacional de Ingeniería.

INTRO

I N

Este libro sale a la luz tras veintiocho años de experiencia docente en la Universidad Nacional de Ingeniería, y se basa en los apuntes de clase del curso Resistencia de Materiales. El texto contiene información conocida y también inédita, como las tablas de flechas máximas en vigas con diversos tipos de apoyo y cargas, que se logró a partir de una intensa búsqueda de información, investigación y consulta de una amplia bibliografía. El curso es obligatorio en la mayoría de las carreras de Ingeniería; según el plan curricular, se desarrolla en el tercer año de la carrera, siendo fundamental para el aprendizaje de la Ingeniería Estructural. La presente publicación contiene los siguientes temas: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Esfuerzo normal y cortante Deformación unitaria normal y cortante Deformaciones debido a carga axial Deformaciones debido al peso propio Deformaciones debido a la temperatura Esfuerzo y deformación en dos y tres direcciones Estado plano de esfuerzos Estado plano de deformaciones Esfuerzos en recipientes de pared delgada Torsión en secciones circulares y anulares Torsión en secciones macizas no circulares Torsión en secciones de pared delgada Torsión en bridas Torsión en ejes que transmiten potencia Diagramas de cortante y momento en vigas Esfuerzos por flexión en vigas Esfuerzos por corte en vigas Deformaciones en vigas: Método de integración Deformaciones en vigas: Método de área de momento Deformaciones en vigas: Método de viga conjugada Deformaciones en vigas: Método de superposición Tablas de flechas máximas en vigas Tablas de centro de gravedad de superficies planas Tablas de momento de inercia de superficies planas

Además, se incluyen 300 aplicaciones.

RESISTEN IA E

ATERIALES

Es la ciencia que estudia los materiales que son sometidos a esfuerzos, así como las deformaciones causadas por dichos esfuerzos.

Al abeto griego Es utilizado en el curso, y consta de las siguientes letras:

(Alfa) ngulo, coeficiente térmico (Beta) ngulo



(Delta) Deformación



(Épsilon) Deformación unitaria normal (Gamma) Deformación unitaria cortante, peso específico (Lambda) Constante de Lamé (Mu) Módulo de Poisson (Omega) Velocidad angular (Phi) ngulo (Pi) ngulo, número (Rho) Radio (Sigma) Esfuerzo normal



(Tau) Esfuerzo cortante



(Theta) ngulo

TI OS

E

NI A ES

(Utilizadas en diversos textos) Longitud Milímetro Centímetro Metro 1 pulgada 1pie 1 1

: mm : cm :m :1 :1

2.54 cm 12 30.48 cm

nano micro mili KILO MEGA GIGA

n m K M G

rea

(Unidades de longitud)2 Fuer a Kilogramo Libra Tonelada Newton

Es uer o (Fuer a Pascal Kilo Pascal Mega Pascal Giga Pascal kg cm2 lb pulg2 N m2

: kg : lb :T :N

1T 103 kg 1kg 9.81 N 1kN 103 N 1Kip 1KLb 103 lb

rea) : Pa : KPa : MPa : GPa

1 Pa 1N m2 1 KPa 103 N m2 1 MPa 106 N m2 1 GPa 109 N m2 1 lb pulg2 1P.s.i. 1 KLb pulg2 1K.s.i 1 lb pie2 1P.s.f. 1 KLb pie2 1 K.s.f.

10–9 10–6 10–3 103 106 109

ÍN I E

RESISTEN IA E

ATERIALES

A ÍT LO 1 ESF ER O

13

1.1 Esfuerzo normal ........................................................................................................................... 13 1.2 Esfuerzo cortante ....................................................................................................................... 14 1.3 Esfuerzo de apoyo o de aplastamiento......................................................................................... 1.4 Esfuerzos en un plano inclinado .................................................................................................. 16 1.5 Esfuerzo admisible – Factor de seguridad ................................................................................... 17 A ÍT LO 2

EFOR

A I N

NITARIA

3

2.1 Deformación ............................................................................................................................... 43 2.2 Desplazamiento .......................................................................................................................... 43 2.3 Deformación unitaria axial (Normal) .......................................................................................... 43 2.4 Deformación unitaria axial promedio .......................................................................................... 43 2.5 Variación de longitud .................................................................................................................. 43 2.6 Deformación angular (Deformación unitaria cortante) ............................................................... 44 A ÍT LO 3

ARGA AXIAL

3.1 Módulo de elasticidad (E)............................................................................................................ 58 3.2 Geometría de los pequeños desplazamientos .............................................................................. 60 3.3 Casos estáticamente indeterminados ........................................................................................... 60 3.4 Peso propio .................................................................................................................................. 61 3.4.1 Esfuerzo por peso propio ................................................................................................................61 3.4.2 Deformación por peso propio ........................................................................................................61 3.4.3 Volumen del cono ...........................................................................................................................61 3.4.4 Volumen del tronco de cono ...........................................................................................................61

3.5 Sólido de igual resistencia a la compresión ................................................................................ 62 3.6 Efecto térmico.............................................................................................................................. 63 3.6.1 Primer caso .....................................................................................................................................64 3.6.2 Segundo caso ..................................................................................................................................64 3.6.3 Método de superposición ................................................................................................................64

3.7 Coeficiente térmico ( ) ................................................................................................................ 65 A ÍT LO

ESF ER O

EFOR

A I N GENERALI A A

1 1

4.1 Material homogéneo .................................................................................................................. 151 4.2 Material isótropo........................................................................................................................ 151 4.3 Valores del módulo Poisson ....................................................................................................... 152

4.4 Variación de área........................................................................................................................ 153 4.5 Variación de volumen ............................................................................................................... 153 4.6 Módulo de compresibilidad ....................................................................................................... 154 4.7 Estado de corte puro .................................................................................................................. 154 4.8 Relación entre el esfuerzo cortante y la deformación unitaria por corte ................................... 155 4.9 Fórmulas de Lamé ..................................................................................................................... 156 4.10 Esfuerzo biaxial ....................................................................................................................... 157 4.11 Esfuerzo uniaxial ..................................................................................................................... 157 A ÍT LO

ESTA O LANO

E ESF ER OS

1 1

5.1 Variación del esfuerzo con la orientación del elemento ........................................................... 181 5.1.1 Esfuerzo en un punto.....................................................................................................................181 5.1.2 Estado inicial de esfuerzo .............................................................................................................182 5.1.3 Esfuerzos en el prisma triangular ..................................................................................................182 5.1.4 Fuerzas en el prisma triangular .....................................................................................................182 5.1.5 Diagrama de las fuerzas en un punto ............................................................................................183 5.1.6 Ubicación de los planos donde se produce el máximo y el mínimo esfuerzo normal ..................184 5.1.7 Magnitud de los esfuerzos principales .........................................................................................184 5.1.8 Ubicación de los planos donde se produce el máximo y mínimo esfuerzo cortante ....................185 5.1.9 Magnitud de los esfuerzos cortantes máximo y mínimo...............................................................185

5.2 Resumen .................................................................................................................................... 186 5.2.1 Esfuerzos en un plano arbitrario ...................................................................................................186 5.2.2 Esfuerzos principales ...................................................................................................................186 5.2.3 Esfuerzo cortante máximo en el plano ..........................................................................................186 5.2.4 Invariantes .....................................................................................................................................186 5.2.5 Convención de signos ...................................................................................................................186

5.3 Círculo de Mohr......................................................................................................................... 187 A ÍT LO

ESTA O LANO

E

EFOR

A IONES

1

6.1 Ecuaciones generales de la transformación de la deformación unitaria plana .......................... 200 6.1.1 Deformaciones en un plano arbitrario...........................................................................................200 6.1.2 Deformaciones principales............................................................................................................200 6.1.3 Deformación unitaria cortante máxima en el plano .....................................................................201 6.1.4 Círculo de Mohr ............................................................................................................................201 6.1.5 Deformaciones principales............................................................................................................201 6.1.6 Deformación cortante máxima ......................................................................................................202 6.1.7 Deformaciones en un plano arbitrario...........................................................................................202

6.2. Rosetas de deformación unitaria .............................................................................................. 202 6.2.1 Rosetas de deformación dispuestas a 45 ......................................................................................203 6.2.2 Rosetas de deformación dispuestas a 60 ......................................................................................203

A ÍT LO

RE I IENTES

E ARE

ELGA A

213

7.1 Esfuerzos en la pared del recipiente ......................................................................................... 213 7.1.1 Recipientes cilíndricos .................................................................................................................213 7.1.2 Recipientes esféricos ....................................................................................................................214

A ÍT LO

TORSI N

221

8.1 Sección circular ......................................................................................................................... 221 8.1.1 Momento polar de inercia (J) ........................................................................................................222 8.1.2 Distribución de esfuerzos de corte ................................................................................................222

8.2 Ejes de pared delgada con sección transversal cerrada ............................................................. 223 8.2.1 Hipótesis .......................................................................................................................................223 8.2.2 Esfuerzo cortante promedio ( prom.) ..........................................................................................223 8.2.3 ngulo de torsión ( ) ....................................................................................................................223 8.2.4 Flujo de corte o flujo cortante (q)..................................................................................................223

8.3 Ejes macizos de sección transversal no circular ........................................................................ 224 8.4 Acoplamiento por bridas (discos) empernadas .......................................................................... 225 8.5 Diseño de ejes de transmisión ................................................................................................... 226 A ÍT LO

F ER A EN

IGAS

2

9.1 Fuerzas internas: V, N, M. ......................................................................................................... 269 9.2 Tipos de cargas .......................................................................................................................... 269 9.3 Diagramas .................................................................................................................................. 270 9.4 Convención de signos ................................................................................................................ 270 9.5 Materiales .................................................................................................................................. 271 9.6 Secciones transversales.............................................................................................................. 271 9.7 Tipos de vigas ............................................................................................................................ 271 9.8 Relación entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flexionante................................. 272 A ÍT LO 1

ESF ER OS OR FLEXI N

ORTE EN

IGAS

2

10.1 Hipótesis .................................................................................................................................. 285 10.2 Esfuerzos por flexión en vigas ................................................................................................ 285 10.3 Diagrama de esfuerzos normales (por flexión) en la sección transversal de la viga ............... 287 10.4 Esfuerzo cortante en vigas ( ).................................................................................................. 287 10.5 Diagrama de esfuerzos cortantes ............................................................................................. 288 10.6 Nomenclatura. ......................................................................................................................... 288 10.7 Módulo de sección ................................................................................................................... 289 10.8 Limitaciones en el uso de la fórmula del esfuerzo cortante..................................................... 290 10.8.1 Introducción ................................................................................................................................290 10.8.2 Condiciones para el uso de la fórmula ........................................................................................290

10.8.3 Errores al aplicar la fórmula........................................................................................................290 10.8.4 No aplicar la fórmula ..................................................................................................................291 10.8.5 Aplicar la fórmula .......................................................................................................................291 10.8.6 Aplicaciones en la ingeniería ......................................................................................................291

A ÍT LO 11

TO O

E INTEGRA I N

32

11.1 Demostración ........................................................................................................................... 325 11.2 Convención de signos para momento ...................................................................................... 326 11.3 Convención de signos para deformaciones.............................................................................. 326 11.4 Restricciones de deformaciones en los apoyos ........................................................................ 326 11.5 Vigas con cargas simétricas ..................................................................................................... 327 11.6 Vigas con cargas no simétricas ................................................................................................ 327 A ÍT LO 12

TO O

EL REA E

O

ENTO

3 1

12.1 Teorema I ................................................................................................................................. 351 12.2 Teorema II ............................................................................................................................... 351 12.3 Demostración ........................................................................................................................... 352 12.4 rea de momento..................................................................................................................... 353 12.5 Isostatización ........................................................................................................................... 354 12.6 Elásticas – Deformadas............................................................................................................ 355 12.7 Diagrama de momentos flexionantes ....................................................................................... 357 A ÍT LO 13

TO O

IGA ON

GA A

3

13.1 Viga conjugada ........................................................................................................................ 377 13.1.1 Teorema 1 ....................................................................................................................................377 13.1.2 Teorema 2 ....................................................................................................................................377

13.2 Equivalencia de apoyos de la viga real y la viga conjugada.................................................... 377 13.3 Cargas ...................................................................................................................................... 378 A ÍT LO 1 ANEXOS

TO O

ES

ER OSI I N

3 3

Tablas de flechas máxima ................................................................................................................ 403 Tablas de centros de gravedad de superficies planas ....................................................................... 427 Tablas de momentos de inercia de superficies planas ...................................................................... 437 BIBLIOGRAFÍA

CAPÍTULO

1

ESFUER O El esfuerzo es una fuerza distribuida en una superficie.

1 1 Es uer o normal (

)

σ=

P A

La fuerza P es perpendicular al área A. = Esfuerzo promedio P

Esfuerzo normal de tracción Esfuerzo normal de compresión

La fuerza P debe estar aplicada en el centro de gravedad del área (A) para que el esfuerzo normal ( ) sea uniforme.

 Constante A=P

P = dF dF = dA

14

Resistencia de materiales

Editorial Macro

Las expresiones 1 y 2 son las coordenadas del centro de gravedad del área A .

1 2 Es uer o cortante σ=

P A

La fuerza P es paralela al área A. El esfuerzo es promedio en toda la sección.

orte simple

Sección 1 - 1

orte doble

Sección 2 - 2

Ing. Luis Gamio

Capítulo 1: Es uer o

Otra forma: Superficie analizada: Superficie lateral del cilindro

1 3 Es uer o de apo o o de aplastamiento

Corte 1 -1

d = diámetro de pasador

15

16


Editorial Macro

El esfuerzo de apoyo tiene la característica de producirse cuando hay 2 superficies en contacto, y debido a las fuerzas actuantes una de las superficies se apoya en la otra. Entre 1 columna y 2 zapata, el área común de contacto es:

Entre 2 zapata y 3 suelo, el área común de contacto es A2

1

Es uer os en un plano inclinado

Con relación al plano inclinado: Esfuerzo normal Esfuerzo cortante

Ing. Luis Gamio


Reemplazando las expresiones 3, 4 y 5 en 1 y 2:

Esfuerzo normal

Esfuerzo cortante

Observación:

1)

 máximo

2)  máximo

1

Es uer o admisible

F.S. = Factor de seguridad

Factor de seguridad

F.S.

1

= Esfuerzo último, esfuerzo de rotura o esfuerzo final. = Esfuerzo admisible  Es el máximo esfuerzo al que debe ser sometido un material, asegurándose así un desempeño seguro.

Los factores de seguridad están especificados en las normas de diseño.

17

18


Problema 1 La barra rígida EFG está soportada por la armadura mostrada. Determinar el área de la sección transversal del elemento AE y DE, para la cual el esfuerzo normal en el elemento es de 15000 lb pulg2

Solución: Diagrama de cuerpo libre

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Ing. Luis Gamio


Problema 2 Un tubo de acero de 300 mm de diámetro exterior y de espesor de pared de 8 mm, es sometido a una carga axial P = 250 kN. Hallar el esfuerzo normal y tangencial a la soldadura en el punto A.

Solución:

Corte 1-1:

Sección transversal

19

20


Problema 3 La resistencia a la rotura del cable BD es 100 kN. • Hallar F.S. con respecto a la falla del cable para la carga dada. • Si el esfuerzo admisible en el cable es 55 kN cm2, hallar el área del cable.

Solución : D.C.L.

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Ing. Luis Gamio


Problema 4 Se emplea un pasador en C de 10 mm y en B y D de 12 mm de diámetro. El esfuerzo cortante final es de 100 MPa en todas las conexiones, y el esfuerzo normal final de las barras articuladas BD es de 250 MPa. Hallar la carga para la cual el factor de seguridad es 3.0

Solución: Conexiones :

En B y D corte doble En C corte doble

Diagrama de cuerpo libre:

21

22


Problema 5

Si la fuerza en la barra AB es 27 kN, hallar: A) “d” del pasador si = 100 MPa B) “b” si

normal

= 120 MPa

C) Esfuerzo de apoyo en la barra AB

Solución:

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Ing. Luis Gamio

Problema 6 Hallar la longitud AB, para la cual el esfuerzo normal máximo es mínimo. Luego, hallar el valor del esfuerzo normal máximo. latón: 8500 kg m3

Solución:


23

24


Problema 7 El esfuerzo normal último que soporta la barra AB es 450 MPa, si se utiliza un factor de seguridad de 3.5. Determinar el área que debe darse a la barra AB.

Solución: Diagrama de cuerpo libre (D.C.L) de la barra BE.

Factor de conversión:

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Ing. Luis Gamio


Problema 8 Una columna corta debe soportar una carga de 80 000 kg. El esfuerzo de rotura es de 2 500 kg cm2. Usar un factor de seguridad de 5 y encontrar el espesor de e que debe darse a la columna. Sección transversal de la columna:

Solución:

25

26


Problema 9 Hallar el máximo valor de P (admisible)

Solución:

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Ing. Luis Gamio


Problema 10 Las 2 porciones del elemento AB están pegadas a lo largo de un plano que forma un ángulo a con la horizontal. Si los esfuerzos finales en la junta son u= 17 MPa y u= 9 MPa, hallar el intervalo de valores de entre los cuales el factor de seguridad es por lo menos igual a 3.0

Solución:

27

28


Problema 11 La palanca acodada mostrada en la figura está en equilibrio. Si el diámetro del pasador en “D” es de 2.5 cm, determinar el diámetro de la barra AB, si el esfuerzo normal en AB es los 4 3 del esfuerzo de corte en “D”.

Solución: D.C.L.

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Ing. Luis Gamio

Problema 12 Se tiene 3 bloques circulares que resisten un esfuerzo de aplastamiento de  = 1600 kg cm2 (igual que el apoyo inferior), y un esfuerzo de corte de = 800 kg cm2. Hallar las dimensiones mínimas: d, d1, d2, t1, t2 cuando se somete a los bloques a una carga axial de 20 T.

Solución:


29

30


Esfuerzos de corte: En el bloque intermedio

En el bloque inferior

Problema 13 La arandela tiene un diámetro interior de 1”. Calcular su diámetro exterior “d” si el esfuerzo de apoyo promedio entre la arandela y la madera no debe exceder de

La varilla está sometida a un esfuerzo normal de:

Solución:

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Ing. Luis Gamio

Problema 14 Calcular las áreas de las secciones transversales de los elementos elásticos del sistema mostrado.

= 2000 kg cm2 (Esfuerzo admisible)

Solución: D.C.L.


31

32


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Problema 15 Calcular la sección del cable CD (cm2)

Solución:

D.C.L.

BE

Ing. Luis Gamio

Problema 16

Solución:


33

34


2. 2.17 2.17 3.88 3.10 3.10 1.328 2.213 4.87 4.87 0.672 3.616 0

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Ing. Luis Gamio


Problema 17 Se aplican 3 fuerzas al mecanismo de la figura, cada una de magnitud P = 4 kN. Determinar el área transversal de la parte uniforme de la barra BE, para la cual el esfuerzo normal es de 100 MPa.

Solución: D.C.L. P C

D VD

V 0.10 m

D.C.L.

0.15 m

35

36


Problema 18 Hallar el área de cada varilla. Esfuerzo admisible :

Módulo de elasticidad E:

Solución: Nudo:

Nudo:

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Ing. Luis Gamio


Problema 19 El pasador en C es sometido a un = 703.1 kg cm2. Calcular su sección. El tirante AB se encuentra sometido a un = 1556.82 kg cm2. Calcular su sección.

Soporte: C

Solución:

37

38


Problema 20 La barra rígida EFG está soportada por el sistema mostrado. Sabiendo que el elemento CG es una barra sólida circular de 0.75 pulgadas de diámetro; determinar el esfuerzo normal en CG.

Solución: D.C.L.

Nudo:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

D.C.L. BARRA EG

Problema 21

Calcular el área de la varilla BC = 1 000 kg cm2

Solución:


39

40


Problema 22

Solución:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Problema 23

Determinar la posición “d” de la carga de 6 kN, para que el esfuerzo normal promedio en ambas barras sea el mismo. Solución:

D.C.L.

(1) en (2):


41

CAPÍTULO

2

DEFORMACIÓN UNITARIA 2 1 e ormación (δ) Es el cambio en forma y tamaño de un cuerpo cuando se le aplican fuerzas.

2 2 espla amiento Es una magnitud vectorial que se usa para medir el movimiento de una partícula o punto de una posición a otra.

2 3 e ormación unitaria axial (Normal) ( ) Es el alargamiento o acortamiento de un segmento de línea por unidad de longitud.

2

e ormación unitaria axial promedio ( )

Se obtiene al dividir la deformación axial entre la longitud original de la barra

.

es adimensional. Se expresa como una relación de longitudes: pulg pulg, mm mm.

2

ariación de longitud (

)

En ingeniería, la mayoría de los diseños presentan aplicaciones para las cuales se permiten deformaciones muy pequeñas.

44


2

Editorial Macro

e ormación angular ( e ormación unitaria cortante) ( )

Es el cambio en el ángulo que ocurre entre dos segmentos de línea que originalmente eran perpendiculares entre sí. ( γ)

Radianes

γ=

π − θ 2

• Las deformaciones unitarias axiales o normales causan un cambio en el volumen de un cuerpo. • Las deformaciones unitarias cortantes o deformaciones angulares causan un cambio en la forma del cuerpo.

Ing. Luis Gamio

Capítulo 2:

e ormación unitaria

Problema 24 A) Calcular el esfuerzo promedio de tensión en el cable (MPa). B) Si el cable se reduce en 5.1 mm, calcular la deformación unitaria promedio.

Solución:

D.C.L.

45

46


Editorial Macro

Problema 25 La placa triangular está empotrada en su base y su vértice A recibe un desplazamiento horizontal de 5 mm. Determinar: a) La deformación unitaria promedio a lo largo del eje X1

X1

b) La deformación unitaria promedio a lo largo del eje X

X

c)

XY

Solución:

c)

Ing. Luis Gamio

Capítulo 2:

Problema 26 Las esquinas de la placa cuadrada reciben los desplazamientos indicados. Determinar las deformaciones unitarias normales promedio X  Y a lo largo de los ejes X e Y. Adicionalmente calcular:

Solución:

AB


47

48


Problema 27 El alambre está sometido a una deformación unitaria normal, definida por:

El alambre tiene una longitud inicial L. Determinar el incremento en su longitud y la deformación unitaria promedio. Solución:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Problema 28 La placa rectangular está sometida a la deformación mostrada por las líneas punteadas. Determinar la deformación unitaria cortante promedio XY de la placa. Además, calcular:

Solución:

Capítulo 2:


49

50


Editorial Macro

Problema 29 La pieza de caucho es inicialmente rectangular y está sometida a la deformación mostrada por las líneas punteadas. Determinar: a) La deformación unitaria cortante promedio XY

b) La deformación unitaria normal promedio a lo largo del lado AD y de la diagonal DB.

Solución:

en (1)

B

Ing. Luis Gamio

Problema 30 El material se distorsiona y toma la forma indicada por las líneas punteadas. Determinar: a)

Deformación unitaria normal X a lo largo de X Deformación unitaria normal Y a lo largo de Y Deformación unitaria cortante XY Deformación unitaria normal a lo largo de la línea BE

b) c) d) e) f)

AD CF

Solución:

c)

d)

Capítulo 2:


51

52


Problema 31 La carga no uniforme genera una deformación unitaria normal en la barra que se expresa como X = Kx2, donde K es una constante. Determinar: a) El desplazamiento del extremo B b) La deformación unitaria normal promedio en la barra

Solución: a)

b)

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Ing. Luis Gamio

Capítulo 2:


Problema 32 La carga no uniforme genera una deformación unitaria normal en la barra, que se expresa como

, donde K es una constante.

Determinar: a) El desplazamiento del centro C. b) La deformación unitaria normal promedio en toda la barra.

Solución: a)

b)

53

54


Editorial Macro

Problema 33 Se encontró que unos ejes mutuamente perpendiculares entre sí, en un miembro libre de esfuerzo, estaban orientados a 89.92 cuando el miembro se sujetó a esfuerzos. Determinar la deformación angular asociada con estos ejes en el miembro sujeto a esfuerzos. Solución:

Problema 34 Una placa triangular delgada se deforma uniformemente, tal como se muestra en la figura. Determinar la deformación angular en P.

Solución: Sin deformación

Con deformación

Ing. Luis Gamio

Problema 35 La placa de acero rígida A está sostenida por 3 varillas; después de aplicar la carga P, la deformación unitaria axial en la varilla C es 900 pulg pulg. Determinar: a) b)

B

si hay un espacio libre de 0.006 pulg en las B conexiones entre A y B antes de aplicar la carga.

Solución: a)

b)

Capítulo 2:


55

CAPÍTULO

CARGA AXIAL

Se tiene una varilla de longitud L y una sección transversal A sometida a una carga P en su extremo inferior.

Y

L

X

A

3

X

La carga axial P (en dirección de un eje) genera esfuerzos normales en las secciones perpendiculares a la carga P. (secciones transversales) En el corte x - x

P

La carga P genera deformación en el cuerpo en dirección de la carga

L

Deformación unitaria normal promedio:

δ

P Experimentalmente se ha determinado una relación constante dentro de un cierto rango de valores entre el y la . Entre O y A es constante la tan

E Módulo de elasticidad del material. (unidades de esfuerzo) El punto A es el límite de proporcionalidad.

De las ecuaciones 1, 2 y 3 se deduce:

58


Editorial Macro

En conclusión la carga axial produce esfuerzos normales deformaciones .

 los que a su vez generan

Si el cuerpo está compuesto de varios materiales (varía E), tiene secciones transversales diferentes (varía A) o está sometido a cargas constantes o variables en diferentes puntos, la ecuación (4) adopta las formas siguientes:

31

ódulo de elasticidad (E) Material

E (GPa)

Acero estructural Aluminio forjado Latón Bronce

200 73 100 100

Los valores pueden variar ampliamente; sin embargo, se puede obtener información más precisa de los fabricantes.

zona elástica

zona plástica

DIAGRAMA: ESFUER O – DEFORMACIÓN NORMAL UNITARIA

Ing. Luis Gamio

Capítulo 3: Carga axial

L.P = Límite de proporcionalidad: Es el punto donde se produce el máximo esfuerzo durante el ensayo de tracción simple, de modo que el esfuerzo sea función lineal de la deformación.

L.E = Límite elástico: Es el punto donde se produce el máximo esfuerzo durante un ensayo de tracción simple, de modo que no haya deformación permanente o residual cuando se suprime totalmente la carga. y = Esfuerzo de Fluencia: Un ligero aumento en el esfuerzo más allá del límite elástico es el esfuerzo que causa una deformación permanente del material, este comportamiento se llama fluencia.

ona elástica: Es la región del gráfico Esfuerzo – Deformación que va desde el origen hasta el límite elástico.

ona plástica: Es la región del gráfico Esfuerzo – Deformación que va desde el límite elástico hasta el punto de rotura o fractura.

aterial d ctil: (Acero, Aluminio) Tiene un alargamiento a tracción relativamente grande hasta llegar al punto de rotura. Aproximadamente 0.05 cm cm.

aterial rágil: (Concreto) Tiene un alargamiento a tracción relativamente pequeño hasta llegar al punto de rotura, aproximadamente 0.05 cm cm.

59

60


Editorial Macro

3 2 Geometr a de los pe ue os despla amientos

C

A

α α

A A

B D B D

Si es pequeño, AB y BD son de magnitud despreciable; entonces se traza la perpendicular en vez del arco de circunferencia para ubicar la posición final de la barra CA. Esta simplificación nos lleva a plantear geometrías sencillas donde se relacionan las deformaciones.

3 3 asos estáticamente indeterminados 1. Cierto tipo de problemas se resuelven utilizando ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas interiores; estos son problemas estáticamente determinados. 2. Existen problemas donde no se pueden obtener las fuerzas interiores utilizando solo las ecuaciones de equilibrio; adicionalmente, hay que obtener relaciones entre deformaciones utilizando la geometría. Estos problemas se denominan estáticamente indeterminados o hiperestáticos. 3. Otro tipo de problemas hiperestáticos se resuelven por el método de superposición, que consiste en considerar separadamente las deformaciones causadas por las cargas dadas y las causadas por la reacción que causa la hiperestaticidad. Luego, se suman o superponen los resultados obteniendo así el valor de la reacción. Conocida la reacción se pueden calcular esfuerzos y deformaciones.

Ing. Luis Gamio

3


eso propio

3.4.1 Esfuerzo por peso propio

1

1

3.4.2 Deformación por peso propio

3.4.3 Volumen del cono r

r

r2

h

3.4.4 Volumen del tronco de cono R R h

r

r

61

62

3


Editorial Macro

Sólido de igual resistencia a la compresión

“En cualquier sección transversal el esfuerzo normal es el mismo”

D.C.L.

P x

A A + dA

dx

Sección transversal genérica Sección transversal en la base

Ing. Luis Gamio


Volúmen P

w

R

3

E ecto t rmico Cuando se presentan variaciones de temperatura los materiales sufren deformaciones.

t se expresa comúnmente en: Grados Celsius C o grados Fahrenheit F

63

64


Editorial Macro

3.6.1 Primer caso Se tiene una varilla libremente apoyada y se le somete a un incremento de temperatura por la cual la varilla se dilata sin que nada se lo impida. (No hay esfuerzo)

Experimentalmente se determinó:

3.6.2 Segundo caso: Se tiene una varilla fija a 2 apoyos rígidos (A y B) y se incrementa la temperatura.

Α

E, A, α

Β

L

3.6.3 Método de superposición:

P

P Α

L Posición final

Β

Deformación por temperatura Deformación por carga axial

Ing. Luis Gamio


Primero se retiró un apoyo, dejando que se deforme libremente por temperatura ( ). Al tratar de dilatarse, los apoyos se lo impiden, generándose la fuerza P. Por ello, se calcula la deformación debido a la carga axial; como no se movió la varilla, ambas deformaciones son iguales. Esto nos permite calcular la fuerza P y el esfuerzo normal que se generó, debido a que no se pudo deformar la varilla.

3

oeficiente t rmico ( ) Material Acero estructural Aluminio forjado Latón Bronce

(10-6 F) 6.6 12.5 9.8 9.4

(10-6 C) 11.9 22.5 17.6 16.9

Los valores pueden variar ampliamente; sin embargo, se puede obtener información más precisa de los fabricantes.

65

66


Problema 36 Calcular el diagrama de esfuerzos normales.

A = 1m2

Solución:

Diagrama de : compresión

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


67

Problema 37 Calcular el diagrama de esfuerzos normales. A = 1 m2

Solución: 6

T

q = 1.5 T/m

x 1

1 V1

X

6

T

4

T

2

q = 1.5 T/m 2

V2

6

T

4

T

6

T

q = 1.5 T/m

X 3 V3

3

68


Diagrama de :

Editorial Macro

Compresión

Tracción

6 9

0

–

2m 4m

V (T/m2)

17

14

6m

8 5

Problema 38 Hallar “x” para que los puntos B y E se pongan en contacto. (E = 200 GPa)

D

I = 2 mm

0.25 m

X

C

20 kg

A

B

1.5 mm

E 0.08 m

0.32 m

Solución:

D.C.L: FCD

20 kg X

A

B

C 0.08 m

0.32 m

Ing. Luis Gamio


Deformaciones: 0.08

0.32 G CD

0.0015 m

Problema 39 Un bloque de espesor constante “t” tiene una densidad . Calcular la deformación total debida al peso propio.

b

t

b/2

Solución:

b/4

b/2

b/4 y

1

x

AX

1

x

"

b/2

VX

AX W

x A = b t/2

69

70


Problema 40

Calcular:

Solución:

D.C.L:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


71

72


Editorial Macro

Problema 41 La barra rígida AB tiene 1000 kg de masa, y pende de 2 cables de área 400 m2. Determinar la magnitud de P y su ubicación. Los esfuerzos en los cables AC y BD tienen un límite de 100 MPa y 50 MPa respectivamente.

Solución: D.C.L:

Ing. Luis Gamio


Problema 42 Diseñar el cable y el soporte de madera y determinar el desplazamiento del punto B.

Solución:

= 36.87

= 53.13

73

74


Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Problema 43 El bloque de concreto tiene un peso de 400 kg y A= 103 cm2. El bloque está suspendido de un cable de acero (E = 2 x 106 kg cm2) y A = 0.5 cm2. a) Determinar los desplazamientos de los puntos 1 y 2. E concreto = 2 x 105 kg cm2. b) Dibujar el diagrama de esfuerzo normal. Solución:


75

76


Problema 44 Determinar la deformación total de la columna de concreto si:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Solución:


77

78


Editorial Macro

Problema 45 Hallar el valor máximo de

Solución:

de tal manera que se cumplan las siguientes condiciones:

Ing. Luis Gamio


Problema 46 Calcular la deformación total del tronco de cono.

P = 20 T = 2300 kg m3 E = 0.18 x 106 kg cm2

Solución:

d = 2m D=4m

79

80


Corte 1-1

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


Problema 47 Hallar el valor de P1 para que el desplazamiento del punto R sea 0.3 mm hacia la derecha. E A1 A2 A3 P2 P3

= 200 GPa = 5 cm2 = 10 cm2 = 15 cm2 = 60 kN = 120 kN

Solución:

Corte 1-1:

Corte 2-2:

Corte 3

3:

Nota: El sentido de los esfuerzos ha sido asumido, dado que se desconoce la magnitud de P1.

81

82


Editorial Macro

Problema 48 En la figura mostrada hallar la relación entre P1 y P2 de tal manera que el desplazamiento vertical en C sea cero.

Solución: D.C.L.

Corte: 1-1:

Corte: 2-2:

Ing. Luis Gamio


Reemplazando en (3) las relaciones dadas inicialmente:

Problema 49 Para el sistema que se muestra en la figura, encontrar el desplazamiento del punto C. E = 30 x 10 6 lb pulg2 Diámetros de los troncos de cono: Diámetro mayor: 1 pulg Diámetro menor: pulg

Solución:

(Por ser el mismo volúmen y la carga el doble)

83

84


Editorial Macro

Problema 50 La fuerza P hace descender el brazo rígido,y los puntos D y E son articulaciones de pasador sin fricción. Cuando el brazo rígido ACD está horizontal, la abertura en el punto F es 0.1”. Determinar la deformación unitaria en la varilla BC, cuando la abertura es 0.2 pulg.

Solución: Cuando la abertura es 0.2 pulg el punto G se desplaza 0.1 pulg hacia la izquierda. Deformaciones:

Ing. Luis Gamio


Problema 51 E = 2000 x 103 kg cm.2 = 2000 kg m3

2 x 107 kg m2

Calcular la deformación total del cuerpo formado por un cilindro y un cono debido a su peso propio.

Solución:

85

86


Problema 52 E= 2x 106 kg cm2 = 2500 kg m3

2x 1010 kg m2

Calcular la deformación total del tronco de cono debido a su peso propio.

Solución:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


Problema 53 Barra de acero A = 250 mm2 E = 200 GPa a) Calcular P1 (kN) si el extremo inferior “D” de la barra no se debe desplazar verticalmente cuando se aplican las cargas, ( D = 0). b) Calcular P1 (kN) cuando

Solución:

D

=

0.2 mm

87

88


Editorial Macro

Problema 54 Hallar X para que la carga P aplicada haga que la barra se mantenga horizontal. P=10,000 libras.

Acero

Solución:

Deformaciones:

Cobre

L:

Ing. Luis Gamio

Problema 55 Calcular: 1) La deformación total 2) El desplazamiento horizontal del punto A E = 10 6 kg cm2 A1 = 36 cm2 A2 = 6.4 cm2

Solución:


89

90


Problema 56

A

=?

Solución: D.C.L.

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Problema 57 Calcular el desplazamiento vertical de “C”. Ambas varillas:

Solución: D.C.L.

Deformaciones:


91

92


Editorial Macro

Problema 58 Hallar el desplazamiento del punto A.

Solución: Carga distribuida

Ing. Luis Gamio


Corte 1-1:

Corte 2-2:

De manera similar se realizan los 3 cortes siguientes:

Los cinco esfuerzos serán de tracción; por lo tanto, las deformaciones serán alargamientos.

93

94


Problema 59

Hallar la relación del área de acero y la del aluminio si las longitudes se van a deformar igual.

Solución: D.C.L.

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


Problema 60 Determinar el valor de P, de manera que la barra rígida quede en posición horizontal.

Solución: D.C.L.

Por equilibrio:

Por deformaciones:

95

96


Editorial Macro

Problema 61 La varilla ABC está sometida a una carga = 30 000 lb y una carga P si E = 30 x 106 lb pulg2. Hallar: a) La magnitud de P necesaria para que la deflexión de A sea cero. b) La deflexión del punto B.

Solución:

Corte 1-1:

Corte 2-2:

Ecuaciones (2) y (3) en (1): P = 4,576 Lb.

Ing. Luis Gamio

Problema 62 Dos barras que se suponen absolutamente rígidas están articuladas en A y en D, y separadas en C mediante un rodillo. En B una varilla de acero ayuda a soportar la carga de 50 kN. Hallar el desplazamiento vertical del rodillo situado en C. Varilla:

Solución: D.C.L.

Deformaciones:


97

98


Problema 63 AB y CD son barras rígidas. Determinar P Máximo si las barras pueden moverse verticalmente un máximo de 5 mm. Aluminio

Acero

E = 70 GPa L = 2m A = 500 M2

200 GPa 2m 300 m2

Solución: D.C.L. CD:

Deformaciones

acero

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Problema 64

Determinar el alargamiento de la barra cónica debido a su peso propio.

Solución:


99

100


Problema 65 Un tubo de aluminio de 1.20 m de longitud y 1100 mm2 de sección, descansa en un soporte fijo en A. La varilla de acero BC es de 15 mm de diámetro, cuelga de una placa rígida que descansa sobre el tubo en B, sabiendo que el módulo de elasticidad es de 200 GPa para el acero y de 70 GPa para el aluminio. Hallar la deflexión de C cuando: P= 60 kN.

Solución:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


Problema 66 La barra rígida está en posición horizontal antes de aplicar la carga. P. Si P = 50 kN Determine el movimiento vertical del punto C. Acero L=3m A = 300 m2 E = 200 GPa Solución:

Deformaciones:

Aluminio 4m 500 m2 70 GPa

101

102


Problema 67 Determinar el desplazamiento vertical de la rótula en C.

Solución: D.C.L.

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Gráfico de deformaciones:

Problema 68 Calcular los esfuerzos normales en el núcleo de acero y en las placas de aluminio.

Solución:


103

Ing. Luis Gamio

Problema 70 Una viga rígida de peso despreciable está articulada en O y sujeta mediante dos varillas de igual E, A. Determinar la carga en cada varilla si P = 30 kN.

Solución: D.C.L.

Deformaciones:


105

106


Problema 71 Hallar el desplazamiento vertical del punto P.

Solución: D.C.L.:

Desplazamientos:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Problema 72 La barra rígida AB de peso despreciable está articulada en 0 y fija a las varillas de aluminio y de acero. Hay un claro = 4 mm entre la punta inferior de la varilla de aluminio y su articulación en D. Calcular el esfuerzo en la varilla de acero, cuando la punta inferior de la varilla de aluminio se articula en el apoyo D. EAC= 200 GPa EAL= 70 GPa Solución:

Deformaciones:


107

108


Problema 73 Determinar la parte de la carga que soporta cada varilla.

Solución: Equilibrio de la barra:

Deformaciones:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


Problema 74 Hallar el esfuerzo en las varillas 1,2 y 3 cuando se une al extremo inferior de la varilla 2 a la barra rígida. Todas las varillas tienen A = 2cm2, E = 2 x 106 kg cm2 Considerar

Solución:

= 0.2 cm

109

110


Editorial Macro

Deformaciones

− − − (2) En el gráfico se cumple:

Resolviendo (1), (2) y (3):

Problema 75 Dada las varillas DB y EC con:

Solución:

Por estática

Ing. Luis Gamio

Deformaciones:

Problema 76 La longitud del conjunto mostrado disminuye en 0.40 mm cuando se le aplica una fuerza axial, por medio de placas rígidas en los extremos. Hallar: a) La magnitud de la fuerza aplicada. b) El esfuerzo correspondiente en el

núcleo de latón. Solución:


111

112


Deformaciones

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Problema 77 Para el sistema mostrado en la figura no hay deformación en las barras verticales antes de aplicar la carga P. Después de aplicar la carga P, la deformación axial en la barra A es 0.0036 . Determinar la deformación axial que se produce en la barra B y el valor de la fuerza P.

Solución: Por equilibrio:

Deformaciones:


113

114


Problema 78 Determinar el esfuerzo normal en cada varilla y el desplazamiento vertical del punto de aplicación de la carga.

Solución: Diagrama de cuerpo libre:

Deformaciones:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


115

Problema 79 Determinar el esfuerzo en cada cable y la desviación vertical del punto B

D E

e Ac

140 cm

ro

Co

180 cm

bre

B A

2T 1.5

C

0.9

1T 0.6 m

Solución: D.C.L. FCO A

D

E

FAC

180

2T 1.5

0.9

Deformaciones: Co br D e

G CO

G D

ero Ac

G AC

E G

E

1T 0.6 m

300 D 240

320

400 E 240

116


2.4

Editorial Macro

0.6

G

Gȕ

Problema 80

x

Determinar el valor mínimo de X , de manera que no se superen los siguientes esfuerzos:

1

1800 kg cm

2

1200 kg cm

A1

= 2 cm

A2

= 1 cm

6T

2

4m

E

E1 = E2 = 2 x 106 kg cm

A 3m 3m

D 1

4m

Solución: D.C.L. A

E

6T

F2

D

3m X

F1 4m

2m

Ing. Luis Gamio


117

Problema 81 La barra rígida pesa 2 T m y las barras elásticas tienen el mismo E = 2 x 106 kg cm . Calcular P máximo si el esfuerzo admisible es 3000 kg cm .

1

3

2

Solución: D.C.L. F1 1m

B

B

1.5

F3

F2 1/2

10000 kg

1m

1m

P

118


Editorial Macro

Deformaciones:

Problema 82 La plancha rígida pesa 104 libras y se apoya en 3 barras colocadas simétricamente. Determinar los esfuerzos en las barras. Bronce

Acero

A = 3 pulg E = 15 x 106 psi  = 3 pies

4 30 x 106 3

Solución: D.C.L. 10 4 lbs. B 1 FB 1

pie

1 FA

pie

FB 2

Ing. Luis Gamio

Deformaciones:

Problema 83 Las 3 barras son de acero E = 30 x 104 lb pulg y tienen el mismo diámetro. Si el esfuerzo normal no debe exceder de 20000 lb pulg en las barras, calcular el diámetro mínimo que se debe usar en las barras.

Solución: D.C.L.

Deformaciones:


119

120


Editorial Macro

Problema 84 Determinar el esfuerzo en la barra de acero y en el aluminio, una vez que se haya aplicado la carga central. P = 400 kN

= 0.1 mm

Aluminio

Acero

L = 250 mm A = 120 mm = 70 GPa

249.9 2400 200

Solución: D.C.L.

Deformaciones: Posición inicial

0.1 mm G AL

G AC

G AL

P. final

Ing. Luis Gamio


121

De (2):

De (1) y (3):

Problema 85 Calcular la longitud de la barra de bronce de manera que la fuerza total en cada barra de acero sea el doble de la que soporta aquella. Acero

Bronce

A = 6 cm2 E = 2.1 x 106 kg cm2 L= 1m

9 cm2 8.4 x 105 kg cm2 ?

Solución:

D.C.L.

2F

F a

a 20 T

Deformaciones:

2F

A c e r o

a

B r o n c e

a

20 T

A c e r o

122


Editorial Macro

Problema 86 Determinar el rango de valores de “x” de manera que las 3 varillas de acero no sufran tensión. L1 = L2 = L3 = L A1

= A2 = A3 = A

E1

= E2 = E3 = E

Solución: D.C.L.

− − −(1)

∑

M1 − − −(2)

Deformaciones: Primer caso:

Segundo caso:

Ing. Luis Gamio


123

Problema 87 Determinar W si:

Cable de acero 3m A

Madera

D

'

Acero

Madera

4m

Solución: D.C.L.

FAC

D 4m

A

2m Fma

W

Deformaciones:

G AC

D D

G ma + 0.1 cm

GAC

Gma 0.1 D

kg

3m

2m

W

124


Editorial Macro

Problema 88 Una barra rígida AD es soportada en A por un soporte rígido y en B,C y D por resortes cuyas constantes son KB = 1 250 kg cm. KC = 715 kg cm, KD = 535 kg cm Si se aplica una carga de 6 000 kg. en C, calcular las reacciones en B, C y D. 6000 kg

Solución: D.C.L.

A

1250 XB a

Deformaciones:

535 XD

715 XC a

a

Ing. Luis Gamio

Problema 89 Un cilindro circular recto de hierro fundido de 3” de diámetro, se coloca concéntricamente dentro de un tubo de acero de 15” de diámetro interior y 16” de diámetro exterior, y el espacio entre ellos se rellena con concreto. Determinar los esfuerzos en cada material, debido a una carga axial de 600 000 libras.

Solución:


125

126


Editorial Macro

Problema 90 Una barra rígida de peso despreciable está articulada de un extremo, y suspendida de una varilla de acero y una de bronce. Cuánto vale la carga máxima P que puede aplicarse sin exceder un esfuerzo en el acero de 120 MN m y en el bronce de 70 MN m ? Acero

Bronce

Solución:

Sí

Ing. Luis Gamio


Problema 91 Se tiene una barra rígida AB sometida a una carga de 50 kN y sostenida por una varilla de aluminio y otra de acero. Si se incrementa la temperatura en 40 C, hallar los esfuerzos en el aluminio y en el acero. Aluminio

Acero

A = 900 mm E = 70 x 109N m = 23 x 10 -6 C L=3m

600 2 x 1011 11.7 x 10-6 4

Solución: D.C.L.

Deformaciones:

127

128


Editorial Macro

Problema 92 Hallar los esfuerzos normales del poste de concreto mostrado en la figura, generados en el acero y en el concreto por un ascenso de temperatura de 90 F. 5´

Dicho poste está reforzado con 6 barras de 7 8” c u. acero

= 6.5 x 10

concreto

Poste de concreto

F

6

= 5.5 x 10

6

Eacero = 30 x 10

F

pulg2

6

10´´

Econcreto = 3.6 x 106 pulg2

Solución: acero

concreto GP

Deformaciones:

AC

GT

AC

GP CO GT CO

Acero

Concreto

Nivel final Nivel inicial

10´´

Ing. Luis Gamio


Problema 93 Calcular: a) La fuerza de compresión en las barras mostradas, después de un aumento de temperatura de 200 F. b) El cambio correspondiente de longitud de la barra de aluminio. Acero

Solución: Deformaciones:

Bronce

129

130


Editorial Macro

Problema 94 El casco de aluminio de la ilustración está completamente adherido al núcleo de latón, y el conjunto no está esforzado a 15 C. Considerando solo las deformaciones axiales, hallar el esfuerzo en el aluminio cuando la temperatura llega a 195 C.

Latón E = 105 GPa = 19 x 10-6

Aluminio C

70 GPa x 10-6 C

Solución: Deformaciones:

Aluminio

Latón

Como el aluminio tiende a deformarse más que el latón, surge una fuerza interna P que hace que se deformen igual ambos materiales (están completamente adheridos).

Ing. Luis Gamio


Problema 95 Para t0 = 20 C Existe un = 0.5 mm Hallar: a) La temperatura a la cual el

acero =

150 MPa Aluminio

b) La longitud final de la varilla de acero.

A = 2 x 103 mm E = 70 GPa = 23 x 10 -6 C Solución:

G P1 G t1

1 G t2 G P2

B)

'1

'2 Posición final

2

Acero 800mm2 190 GPa 18 x 10-6 C

131

132


Problema 96 El sistema mostrado en la figura se mantiene en dicha posición a 15 F. Si luego se coloca la carga P = 3 x 104 lbs y la temperatura aumenta a 55 F, calcular el esfuerzo en la barra B y C. = 2 x 10-3 pulgadas.

Aluminio E = 30 x 106 lb pulg = 6.5 x 10-6 F A = 2” x 2”

Solución:

Deformaciones:

Acero 10 x 106 13 x 10-6 1.5 x 1.0

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


Problema 97 A una temperatura de 20 C hay un =0.2mm entre el extremo inferior de la barra de bronce y la losa rígida suspendida de las 2 barras de acero. Determinar el esfuerzo en cada barra cuando la tf=100 C. Bronce A = 600 mm2 E = 83 GPa = 18.9 x 10-6 C Solución: D.C.L.

Deformaciones:

Acero 400 200 11.7x 10-6

133

134


Problema 98 Si la barra rígida AB se mantiene en posición horizontal a determinada temperatura, calcular la relación de áreas de las varillas para que la barra AB se mantenga horizontal a cualquier temperatura. Aluminio

Solución: Por condición del problema:

D.C.L.

Acero

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


Problema 99 La temperatura de los 3 cables aumenta 14 C. Hallar el esfuerzo en cada cable y la posición de la carga aplicada para que la viga permanezca en horizontal. Acero

Solución: D.C.L.

Deformaciones:

Bronce

Cobre

135

136


Editorial Macro

Problema 100 A)Si t0= 20 C y tf = 120 C, hallar los esfuerzos en las varillas 1 y 2. A

B)Si t0 = 20 C. A qué temperatura quedará la varilla 2, exenta de esfuerzo? Varillas 1 y 2

10 T 1

3m

A = 20 cm2 = 12 x 10-6 C E = 2 x 106 kg cm2

2m

2

2m

Solución: A)

D.C.L.

10 000 kg Deformaciones:

B)

kg

1m

Ing. Luis Gamio


137

Problema 101 Determinar la variación de temperatura que debe experimentar el sistema para que la barra de bronce alcance un esfuerzo de 600 kg cm2. Bronce

Acero

A = 12 cm2 E = 8.4 x 105 kg cm2 = 1.89 x 10-5 C

4 2.1 x 106 1.17 x 10-5

Solución:

D.C.L. FBR A

F

FAC T

10 1.0

2.5

Deformaciones:

1.25

Acero 1m

Bronce

A

T

10 1.0

2.5m

1.25 m

3m

138


Problema 102 Hallar la relación entre los coeficientes de dilación 1 y 2 para que la estructura sometida a un aumento de temperatura “ t” no engendre esfuerzos de origen térmico.

Solución : Condición del problema:

    Las deformaciones serán por temperatura únicamente.

Deformaciones:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


Problema 103 Si al elemento AB se le incrementa la temperatura desde 60 F hasta 104 F, mientras que la temperatura del elemento AC permanece en 60 F. ué esfuerzos se inducen en ellos, suponiendo que se conservan rectos? = 6 x 10-6 F E = 30 x 106 lb pulg2 A = 2 pulg2

Solución:

Deformaciones: A1 : Posición final del punto A

Equilibrio en el nudo A

139

140


Editorial Macro

Problema 104 ué variación de temperatura se requerirá para que el punto F no varíe su posición según la vertical más de 0.075”, estando sometido simultáneamente a la acción de P = 20 000 lbs? Considerar la barra BC rígida y FG rígida. I A (pulg2)

II 2

0.5

E (lb pulg )

30 10

2

6.5

( F)

15

6

10-6

9.2 10-6

Solución: Suponemos

( )

D.C.L. F2 F

36´´

36´´ 20000

B 12´´ E FB

Deformaciones:

F2

106

G FG

12´´ C FC

Ing. Luis Gamio


Condición del problema:

Problema 105 Diámetro de las 3 varillas: 1 8”. Con qué aumento de temperatura t ( F), el peso W es soportado solo por las varillas de acero?

1´

A c e r o

Acero

A l u 1´ m i n i o

1´

1´

800 lb = W Solución: D.C.L. 400 lb

400 lb 1´

1´ 800 lb

Deformaciones:

A c e 1´ r o

141

142


Editorial Macro

Problema 106 Un tubo de aluminio tiene una longitud de 60 m a una temperatura de 18 C. Un tubo de acero adyacente, a la misma temperatura es 5 mm mayor que la longitud del tubo de aluminio. A qué temperatura la diferencia de longitud de los 2 tubos será de 15 mm? al

= 23 x 10-6 C

ac

= 12 x 10-6 C

Solución:

Ing. Luis Gamio


Problema 107 t= 30 C FAC = ? FAL = ?

Aluminio

D.C.L.

Deformaciones:

Acero

143

144


Problema 108 Las 3 barras son de Acero A – 36. E = 29 x 103 klb pulg2 y forman una armadura conectada por pasadores. Si esta se construye cuando t1 = 50 F, determinar la fuerza en cada barra cuando t2 = 110 F.

= 6.6 x 10-6 F A = 2 pulg2

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


Solución: Por equilibrio en A:

 

Gt + GF 2 2 Gt - GF 1 1

A D

145

146


Editorial Macro

Problema 109 Calcular t de manera que la varilla de bronce alcance un esfuerzo normal de 600 kg cm2 en tensión.

Solución: D.C.L. 6000 kg A

2m

2

FA

2m 10000

Deformaciones: Suposición ( )

La temperatura disminuye en esa magnitud.

Ing. Luis Gamio


Problema 110 La barra de plástico es sometida a un incremento uniforme de temperatura de 30 C. E = 6 GPa = 100 x 10-6 C Calcular: a) La fuerza de compresión P (kN). b) El esfuerzo de compresión c (MPa) máximo. c) El desplazamiento c del punto C (mm).

Solución:

147

148


Editorial Macro

Problema 111 Una barra metálica se coloca entre soportes rígidos a la temperatura ambiente 68 F. Calcular los esfuerzos normal y cortante sobre la sección inclinada “pq” si la temperatura se incrementa a 200 F. Para la barra: = 6.5 x 10-6 F E = 30 x 106 psi

Solución: Superposición de efectos:

Ing. Luis Gamio


149

Problema 112 El sistema se encuentra a 18 C. Determinar el esfuerzo en cada barra si la temperatura se eleva a 50 C.

Solución: D.C.L.:

Deformaciones:

Acero

Aluminio

= 1.17 x 10-5 C A = 20 cm2 E = 2 x 106 kg cm2

2.34 x 10-5 C 20 cm2 7 x 105 kg cm2

150


Editorial Macro

CAPÍTULO

4

ESFUER O Y DEFORMACIÓN GENERALI ADA 1

aterial homog neo

Tiene las mismas propiedades elásticas (E, ) en todos los puntos del cuerpo.

2

aterial isótropo

Tiene las mismas propiedades elásticas en todas las direcciones en cada punto del cuerpo.

I

II

III

Para el caso I consideramos como eje longitudinal el eje donde está aplicado el esfuerzo, que en este caso es “X”.

Deformación unitaria longitudinal

Experimentalmente se ha encontrado una relación entre las deformaciones longitudinales y transversales. T

= Deformación unitaria transversal Módulo de Poisson, tiene un valor numérico único para un material particular que sea homogéneo e isótropo.

Para el caso I

152


x

Editorial Macro

y

z

I II

III

Deformaciones unitarias totales en cada eje:

A estas expresiones se les conoce como la Ley Generalizada de Hooke, y son válidas si el principio de superposición es aplicable, lo cual requiere una respuesta lineal elástica del material y las deformaciones deben ser pequeñas.

3 alores del módulo oisson ( ) Material Hierro fundido Concreto Plástico Acero estructural Aluminio

Ing. Luis Gamio


ariación de área ( A)

ariación de volumen (

)

de ormación generali ada

153

154


Editorial Macro

Observación Deformación volumétrica o cambio de volumen por unidad de volumen. La variación de área y de volumen se producen debido a las deformaciones generadas por los esfuerzos normales.

ódulo de compresibilidad ( )

Un cuerpo sometido a presión hidrostática uniforme:

Haciendo:

Si

Módulo de Compresibilidad o módulo volumétrico

el material sería incompresible (material ideal, no existe).

Si ( =0) el material puede ser estirado en una dirección sin contracción lateral (material ideal, no existe).

Estado de corte puro Y

Espesor pequeño unitario = 1

Ing. Luis Gamio



D.C.L: OAB

De (1): Para que

Relación entre el es uer o cortante ( ) por corte ( )

la de ormación unitaria

De la ley generalizada de Hooke:

El elemento ABCD está en estado de corte puro.

155

156


Editorial Macro

Simplificando: Llamando

Módulo de rigidez o Módulo de elasticidad al cortante.

Fórmulas de Lam En la ley generalizada de Hooke, se tienen las deformaciones unitarias en función de los esfuerzos normales; en las fórmulas de Lamé, se tienen los esfuerzos normales en función de las deformaciones unitarias.

Ing. Luis Gamio



Multiplicando la ecuación (4) por

Fórmulas de Lamé

1 Es uer o biaxial En el plano la ley generalizada de Hooke se simplifica:

11 Es uer o uniaxial

157

158


Editorial Macro

Problema 113

Calcular: d = ? Dato: E,

Solución:

Problema 114 Calcular: Dato: E, b

=?

Solución:

NOTA: b es negativo con lo cual sale positivo.

Ing. Luis Gamio

Problema 115

Sección:

a= 10 mm

Solución:



159

160


Editorial Macro

Problema 116

Calcular:

Solución:

Problema 117 Hallar las fuerzas que actúan en las caras del prisma recto.

Sección:

Ing. Luis Gamio

Solución:



161

162


Editorial Macro

Problema 118 La barra tiene: L = 3 m; di = 30 mm. Está hecha de aleación de aluminio E = 73 GPa = 1 3. Si la barra se alarga 7 mm, cuánto se reduce el diámetro (mm)? cuál es la carga P (kN)? Solución:

Problema 119 Un tramo de tubería de acero de 2 m de longitud y 273 mm de diámetro exterior, con un espesor de pared de 12.5 mm es utilizado como columna corta y debe soportar una carga axial centrada de 1.2 MN. Sabiendo que E=200 GPa y = 0.30. Determinar: a) El cambio de longitud de la tubería b) El cambio en el diámetro exterior de la tubería c) El cambio en el espesor de la misma Solución:

1.2 MN Y X Z

Ing. Luis Gamio

a)

b)

c)



163

164


Problema 120 Una placa de aluminio está sometida a una carga axial que produce un esfuerzo normal . Sabiendo que antes de la carga se trazó una línea con pendiente 2:1. Determinar la pendiente de la línea cuando = 18 KLb pulg2. Para el aluminio, use E= 10 x 106 lb pulg2 y = 0.33.

Solución:

Problema 121 El bloque de la figura es de una aleación de magnesio, para la cual E = 50 GPa. y = 1 3 Hallar: a) La magnitud y , para la cual el cambio de altura del bloque será cero b) El cambio correspondiente en el área de la cara ABCD c) El cambio correspondiente en el volumen del bloque

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Solución: a)

b)

c)



165

166


Problema 122 Se muestra un dispositivo para comprimir un bloque cúbico de concreto. Hallar el valor de “P” que originará una disminución volumétrica de 0.05 cm3. Todas las varillas son de acero. Bloque E= 2 x 105 kg cm2, u bloque = 1 5. Lado del cubo = 10 cm.

Solución:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio



167

Problema 123 Una carga axial de 45.36 toneladas se va aplicando lentamente a una barra de sección rectangular de 2.54 cm x 10.16 cm y 228.6 cm de longitud. Cuando se encuentra cargada los 10.16 cm de uno de los lados de sección miden 10.1564 cm y la longitud ha aumentado en 0.2286 cm. Calcular u y E.

45.36

2.54 cm 10.16 cm 228.6 cm Solución:

T

168


Problema 124 Hallar los esfuerzos en las direcciones x,y,z. E = 2 x 105 kg cm2 =15 Considerar 2 casos cuando: A) B)

= 0.04 mm = 0.004 mm

PLANTA

Solución: A)

Comprobación

ELEVACIÓN

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

B)

Problema 125 Un cuerpo prismático de acero está sometido a esfuerzos normales, tal como se ve en la figura. Si E = 2 x 106 kg cm2 y u = 1 4. Calcular las longitudes finales de sus lados.

Solución:



169

170


Problema 126 Un círculo de diámetro 200 mm está grabado sobre una placa de latón. Dimensiones de la placa 400 x 400 x 20 mm. E = 100 GPa u = 0.34 Calcular: a) b)

ac bd

Solución:

c) t d) V

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Problema 127 Dos bloques de caucho están pegados a soportes rígidos y a una placa móvil AB. Sabiendo que una fuerza P = 7000 lb origina una deflexión = 0.125 pulg. Hallar el módulo de rigidez del caucho.

Solución:

Para deformaciones pequeñas:

Deformación de corte:

Módulo de rigidez:



171

172


Problema 128 Una unidad aislante de vibración consta de 2 bloques de caucho adheridos a la platina AB y a soportes rígidos. Para el tipo de caucho utilizado. adm = 1.5 MPa G = 18 MPa Sabiendo que una carga vertical P = 27 kN debe producir una deflexión vertical de 2 mm de la platina AB. Hallar las dimensiones mínimas “a” y “b” de los bloques.

Solución:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Problema 129 El paralelepípedo rectangular ABCD está sometido a fuerzas aplicadas en los centros de gravedad de sus caras. E = 2x 106 kg cm2 = Hallas las nuevas dimensiones.

Solución:



173

174


Problema 130 Una barra prismática de sección recta A y longitud fija en extremo, cuelga verticalmente por la acción de su peso y de una fuerza de tracción P aplicada en el otro extremo. Calcular el aumento de volumen de la barra, si se dan: E, u, .

Solución:

y

=

z

=0

V0 = Al ---(1)

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


Problema 131 Un cubo de hierro fundido de lado a = 3” se prueba en un laboratorio sometiéndolo a esfuerzo triaxial. Los extensómetros muestran que las deformaciones unitarias son:

Solución:


175

176


Editorial Macro

Problema 132 Una barra de plástico acrílico tiene un diámetro de 15 mm. Calcular: Variación de su longitud Variación de su diámetro E = 2.7 GPa = 0.4 Solución: A

B

Problema 133 En el ensayo de un cilindro de hormigón a la compresión, el diámetro original d=15.24 cm resultó aumentado en 0.00127 cm y la longitud original l = 30.48 cm disminuyó en 0.02794 cm, bajo una carga total de compresión P = 23587 kg. Calcular los valores de “E” y “ ”.

P

Z

"

Y X d

Ing. Luis Gamio



177

Solución:

Problema 134 Una varilla tiene 10 mm de radio. Se somete a una carga axial de 15 N tal que la deformación unitaria axial es x = 2.75 x 10-6. Determinar el módulo de elasticidad (GPa) y la variación de su diámetro (mm); considerar = 0.23 Solución:

Factor de conversión

Factor de conversión

178


Problema 135 Bajo la acción de las fuerzas cortantes V, las losas se desplazan verticalmente en relación con la otra. =1m h = 100 m t = 12 mm

a) Cuál es la deformación unitaria cortante promedio de la resina epóxica? b) Cuál es la magnitud de las fuerzas V (kN) si G = 960 MPa? Solución:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio



179

Problema 136 Una esfera sólida de acero: E = 210 GPa, P tal que su volumen se reduce en 0.4 .

= 0.3 está sometida a una presión hidrostática

Calcular: a) La presión P ( MPa) b) Módulo volumétrico de elasticidad K (GPa) para el acero. Solución:

CAPÍTULO

5

ESTADO PLANO DE ESFUER OS 1 ariación del es uer o con la orientación del elemento

Para el mismo punto, los esfuerzos varían con la orientación que tenga el plano.

El objetivo es determinar en qué planos se presentan los esfuerzos máximos, y calcular sus magnitudes.

5.1.1 Esfuerzo en un punto

182


5.1.2 Estado inicial de esfuerzo

5.1.3 Esfuerzos en el prisma triangular

5.1.4 Fuerzas en el prisma triangular

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

5.1.5 Diagrama de las fuerzas en un punto

Capítulo 5: Estado plano de esfuerzos

183

184


Editorial Macro

5.1.6 Ubicación de los planos donde se producen el máximo y el mínimo esfuerzo normal En la ecuación (1)

5.1.7 Magnitud de los esfuerzos principales Son esfuerzos normales a los planos principales y el esfuerzo cortante es nulo. De la ecuación (3)

Ing. Luis Gamio

Capítulo 5: Estado plano de es uer os

5.1.8 Ubicación de los planos donde se producen el máximo y mínimo esfuerzo cortante En la ecuación (2):

Comparando la ecuación (3) con la ecuación (5):

5.1.9 Magnitud de los esfuerzos cortantes máximo y mínimo De la ecuación (5)

Ecuación (6 )

A) Invariantes

B) Fórmula alternativa

185

186


2 Resumen 5.2.1 Esfuerzos en un plano arbitrario

5.2.2 Esfuerzos principales

5.2.3 Esfuerzo cortante máximo en el plano

5.2.4 Invariantes

5.2.5 Convención de signos

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

3

rculo de


ohr

Se une A y B con una recta que cruza al eje horizontal en G (centro del círculo). AB es el diámetro del círculo. Los puntos C y D indican los esfuerzos principales ( = 0) Los puntos E y F indican los esfuerzos cortantes máximo y mínimo.

187

188


Editorial Macro

Problema 137 En un punto en una placa delgada se presenta el siguiente estado de esfuerzos. Calcular los esfuerzos normal y cortante en el plano AB.

Solución: Esfuerzos

reas

Fuerzas

Ing. Luis Gamio


Problema 138 Los esfuerzos mostrados actúan en un punto sobre la superficie de un eje circular que está sujeto a un momento de torsión T. Calcular los esfuerzos normal y cortante en el plano AB

Solución: Esfuerzos

Fuerzas

reas

189

190


Problema 139

Determinar los componentes del esfuerzo que actúan sobre el plano inclinado AB y sobre un plano perpendicular a AB.

Solución:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


Problema 140 Para el estado plano de esfuerzos conoce el esfuerzo principal mínimo: - 70 kg cm2. Calcular: X, el esfuerzo principal máximo, máximo

Solución:

se

191

192


Editorial Macro

Problema 141 Un punto sobre una placa delgada está sometido a los dos estados sucesivos de esfuerzo mostrados. Determine el estado de esfuerzo resultante representado sobre el elemento orientado, tal como se muestra a la derecha:

Solución:

En fórmula 2:

Conclusión:

Ing. Luis Gamio

Problema 142

Un elemento en esfuerzo plano está sujeto a los esfuerzos mostrados. Determinar los esfuerzos principales y mostrarlos en un diagrama.

Solución:


193

194


Problema 143

Un elemento en esfuerzo plano está sujeto a los esfuerzos mostrados. Determinar los esfuerzos cortantes máximos y mostrarlos en un diagrama.

Solución:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Problema 144

Resolver el problema 142 por el círculo de Mohr.

Solución:


195

196


Problema 145

Resolver el problema 143 por el círculo de Mohr.

Solución:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Problema 146

Solución:


197

CAPÍTULO

6

ESTADO PLANO DE DEFORMACIONES

El estado general de deformación unitaria en un punto de un cuerpo está representado por una combinación de tres componentes de deformación normal: x, y, z y tres componentes de deformación cortante xy, xz, yz. Estas seis componentes tienden a deformar cada una de las caras de un elemento del material y, al igual que el esfuerzo, los componentes de las deformaciones normal y cortante en el punto variarán de acuerdo con la orientación del elemento. En general, un elemento deformado en el plano se encuentra sometido a 2 componentes de deformación normal x, y y a un componente de deformación cortante xy.

Deformación normal

x

Deformación normal

y

“Las deformaciones normales son el producto de cambios de longitud del elemento”

“La deformación cortante es el producto de la rotación relativa de dos lados adyacentes del elemento” Los ingenieros deben transformar estos datos con el fin de obtener los componentes de la deformación en otras direcciones.

200


Editorial Macro

1 Ecuaciones generales de la trans ormación de la de ormación unitaria plana • Convención de signos

En el análisis de la deformación unitaria plana es importante establecer ecuaciones de transformación que puedan utilizarse para determinar las componentes x1, y1 de la deformación normal y cortante en un punto, siempre que se conozcan las componentes x, y de la deformación. Las deformaciones normales x, y son ( ) si generan alargamientos en los ejes x,y. La deformación cortante xy es ( ) si el ángulo interno AOB resulta menor de 90 .

6.1.1 Deformaciones en un plano arbitrario

6.1.2 Deformaciones principales

Ing. Luis Gamio

Capítulo 6: Estado plano de de ormaciones

6.1.3 Deformación unitaria cortante máxima en el plano

6.1.4 Círculo de Mohr Suposiciones:

, y,

x

x

, ,

xy 2

( )

y

antihorario ( )

6.1.5 Deformaciones principales (E,D)

201

202


Editorial Macro

6.1.6 Deformación cortante máxima (F,G)

6.1.7 Deformaciones en un plano arbitrario (H,I)

2 Rosetas de de ormación unitaria Las deformaciones normales en un punto de la superficie de un cuerpo se determina mediante tres medidores de deformación de resistencia eléctrica (que consiste en una malla de alambre u hoja metálica), dispuestos según un patrón específico; esta forma se conoce como roseta de deformación.

aso general

tili ando la ecuación (1)

Al resolver las 3 ecuaciones se encuentra

, y,

x

.

xy

Ing. Luis Gamio


203

6.2.1 Rosetas de deformación dispuestas a 45 En la ecuación (1)

6.2.2 Rosetas de deformación dispuestas a 60 En la ecuación (1) c b

120° 60°

x a

204


Editorial Macro

Problema 147 El estado de deformación en el punto tiene los siguientes componentes: x

= – 200 (10-6)

y

= – 650 (10-6)

xy

= – 175 (10-6)

Determinar las deformaciones en el plano, equivalentes sobre un elemento orientado según un ángulo = 20 , en sentido antihorario, desde la posición original. Solución:

Ing. Luis Gamio


Problema 148 El estado de deformación en el punto tiene los siguientes componentes: = 850 (10-6) = 480 (10-6) y = 650 (10-6) xy X

Determinar: • Deformaciones principales en el plano • Deformación cortante máxima en el plano • La deformación normal promedio Solución:

205

206

De (8)


prom

= 665(10-6)

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


Problema 149 Resolver el problema147 por el círculo de Mohr.

Solución:

207

208


Problema 150 Resolver el problema 148 por el círculo de Mohr. Solución:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


209

Problema 151 Las deformaciones unitarias sobre la superficie de un dispositivo experimental de aluminio puro (E = 70 GPa; u = 0.33) se midieron por medio de extensómetros donde:

Solución:

210


Problema 152 Un elemento en esfuerzo plano está sometido a los esfuerzos mostrados. El material es aluminio. E= 10 000 Ksi u= 0.33 Calcular: a) Deformaciones unitarias para un elemento orientado a un ángulo = 30 . b) Deformaciones unitarias principales. c) Deformaciones unitarias cortantes máximas. Solución:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


Problema 153 Se usó la roseta para obtener datos de las deformaciones unitarias normales en un punto sobre la superficie libre de una parte de la máquina.

Determinar las componentes de deformación unitaria x, y, xy, en el punto, las deformaciones unitarias principales y la deformación angular máxima. Solución:

211

212


Editorial Macro

Problema 154 Se usó la roseta para obtener datos de deformaciones unitarias normales en un punto sobre la superficie libre de una parte de la máquina. a

= 875 u

b

= 700 u

c

= -350 u

Determinar las componentes de deformación unitaria x, y, xy en el punto, las deformaciones unitarias principales y la deformación angular máxima. Solución:

CAPÍTULO

7

RECIPIENTES DE PARED DELGADA

• Pared delgada se refiere a un recipiente con una relación de radio interior a espesor de pared de 10 o más:

• La distribución del esfuerzo a través del espesor “t” de la pared no variará de manera significativa; por ello, se supondrá constante. (el esfuerzo es de tracción). • La presión dentro del recipiente es la presión manométrica interna desarrollada por el gas o fluido contenido, puede ser constante o variar de manera continua.

1 Es uer os en la pared del recipiente 7.1.1 Recipientes cilíndricos Presión interior: P

SECCIÓN A-A

214


Editorial Macro

SECCIÓN B-B

7.1.2 Recipientes esféricos Presión interior: p

C-C

Ing. Luis Gamio

Capítulo 7: Recipientes de pared delgada

215

Problema 155 Cuál será la máxima presión interna a la que puede estar sometido el depósito totalmente cerrado, el cual contiene un gas en su interior, sin exceder el esfuerzo indicado?

Solución: 1 corte

2 corte

3 corte

216


Editorial Macro

Problema 156 La porción cilíndrica del tanque compresor de aire comprimido se ha fabricado con una placa de 0.25” de espesor, a lo largo de una hélice, que forma un ángulo = 30 con la horizontal. Sabiendo que el esfuerzo normal admisible en la soldadura es de 10500 psi, determinar la mayor presión manométrica que puede usarse en el tanque. Solución:

Problema 157 Un tanque esférico para gas tiene un radio interno r = 1.5 m. Determinar el espesor requerido “t” si la presión interna será P = 300 KPa y el esfuerzo normal máximo no debe exceder de 12 MPa. Solución:

Unidades:

Ing. Luis Gamio


Problema 158 = 1 000 kg m3 = 13 600 kg m3 mercurio agua

Recipiente cilíndrico izado t = 1 cm espesor de pared ri = 25 cm radio interior • Calcular los esfuerzos circunferencial y longitudinal en los puntos A, B, C de la pared.

Solución:

217

218


Editorial Macro

Problema 159 Un tanque esférico a presión va a fabricarse de acero con 0.5” de espesor, y está sometido a una presión interna P = 200 psi. Determinar el radio exterior si el esfuerzo normal máximo no debe de exceder de 15 K.s.i. Solución:

Unidades

Problema 160 La tubería de gas está soportada cada 20 por silletas de concreto que la mantienen fija al piso. Determinar el esfuerzo longitudinal y circunferencial en la tubería, si la temperatura se eleva 60 F respecto a la temperatura a la que fue instalada. El gas en la tubería se encuentra a una presión de 600 lb pulg2, diámetro interior 20” y espesor 0.25”. El material es acero A – 36. α = 6.6 × 10−6 /º F E = 29 × 103Ksi

Solución:

Ing. Luis Gamio


219

Problema 161 La tubería de extremos abiertos tiene un diámetro interior de 4” y un espesor de 0.2”. a) Determinar los esfuerzos en las paredes del tubo cuando en él fluye agua con una presión de 60 p.s.i. b) Si el flujo de agua se detiene debido al cierre de una válvula, determinar los esfuerzos en las paredes del tubo. (presión = 60 p.s.i.)

Solución:

Problema 162 La tapa de un recipiente a presión se fabrica uniendo con pegamento la placa circular al extremo del recipiente. La presión interna es 450 KPa. Determinar el esfuerzo cortante promedio en el pegamento y los esfuerzos en la pared del recipiente.

220


Editorial Macro

Solución: En la pared P= 450 kpa r= 225 mm t1 = 20 mm

En el pegamento r = 225 mm P = 450 KPa

CAPÍTULO

8

TORSIÓN 1 Sección circular

(3) en (5):

Ecuación del giro

(3) en (6): Ecuación del esfuerzo cortante

G = Módulo de rigidez (F L2) = Esfuerzo de corte (F L2)

= ngulo de giro (radianes)

= Radio de la sección, (L) p = 0 (mínimo), es variable. T = Momento de torsión (F x L) J = Momento polar de inercia de la sección (L4)

222


Editorial Macro

8.1.1 Momento polar de inercia (J)

“Sección circular”

“Sección anular”

8.1.2 Distribución de esfuerzos de corte

máximo

=

mínimo

“Sección circular”

máximo

mínimo

= =

“Sección anular”

de

=0

Ing. Luis Gamio

Capítulo 8: orsión

223

2 E es de pared delgada con sección transversal cerrada 8.2.1 Hipótesis 1) El espesor “t” de pared es pequeño en comparación con otras dimensiones de la sección transversal; el espesor “t” no necesita ser uniforme a lo largo de la periferia de la pared. 2) No hay cambios bruscos en el espesor que puedan dar como resultado una concentración de esfuerzos. 3) La periferia es contínua; es decir, no hay cortes en la sección. 4) El momento torsional está en el plano transversal. 5) No hay pandeo.

8.2.2 Esfuerzo cortante promedio ( prom.)

8.2.3 ngulo de torsión ( )

8.2.4 Flujo de corte o flujo cortante (q)

t Am S G T L q

= espesor de la pared donde se calcula el prom. = área media encerrada por la línea central del espesor de la pared = perímetro del área media = módulo de rigidez = torsión = longitud del eje = fuerza cortante por unidad de longitud (en la sección transversal)

224


Editorial Macro

3 E es maci os de sección transversal no circular El esfuerzo cortante máximo se presenta en un punto de la sección transversal que esté menos distante del eje central. • Cuadrado

máximo

• Triángulo equilátero

• Elipse

• Rectángulo

a Lado largo b Lado corto c1, c2 Coeficientes

Nota: Para valores intermedios de a b se puede interpolar.

ab 1.0 1.2 1.5 1.75 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 6.0 8.0 10.0

C1 0.208 0.219 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.291 0.299 0.307 0.313 0.333

C2 0.141 0.166 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.291 0.299 0.307 0.313 0.333

Ing. Luis Gamio


225

Acoplamiento por bridas (discos) empernadas Se unen los extremos de 2 ejes mediante bridas.

Los pernos están dispuestos en circunferencias interiores.

n = número de pernos A = sección transversal del perno Para dos grupos concéntricos de pernos:

Las deformaciones angulares en los pernos son proporcionales a sus distancias al centro del eje.

De la ley del Hooke:

Para pernos de igual material G1 = G2

226


Editorial Macro

ise o de e es de transmisión Los ejes de transmisión están sometidos a torsión. De acuerdo al material elegido, se debe dimensionar la sección transversal del eje, de manera que no se exceda el esfuerzo cortante admisible. Potencia P=T Velocidad angular

(1) =2 f

(2)

en (1)

La ecuación (4) permite dimensionar la sección transversal del eje.

Unidades utilizadas: radianes seg f frecuencia de rotación seg -1 , R.P.M., Hertz. R.P.M. revolución por minuto

P

Watts (W) Kilowatts (kW) Nm seg Caballos de fuerza (Hp) Caballo vapor ( Cv)

Ing. Luis Gamio


Problema 163

La barra tiene un diámetro de 0.5” y un peso de 5 lb pie. Calcular el esfuerzo cortante máximo en “B” AD es vertical

Solución:

Problema 164 El eje sólido tiene un ahusamiento lineal. Obtener una ecuación que dé el esfuerzo cortante máximo en una posición X.

Solución: Semejanza de

s:

227

228


Semejanza de

s:

(1) en (2)

Problema 165 El contorno del eje está definido por la ecuación eax Módulo de elasticidad al cortante: G Calcular el ángulo de torsión del extremo “A” con respecto al extremo “B”.

Solución:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Problema 166

Calcular la constante “K” y el A B

Solución:


229

230


Problema 167

Solución: Diagrama de torsión (kg x m)

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Problema 168 El punto “A” se mueve (0.54 ) ” en la dirección indicada por T. Si G = 30 x 106 lb pulg2, determinar: A)El momento torsor T B)El máximo esfuerzo de corte

Solución: A)

B)

Diagrama de torsiones


231

232


Editorial Macro

Problema 169

Calcular el giro en A A

=?

Solución:

Semejanza de

s:

Ing. Luis Gamio


Problema 170 Calcular el giro en A en el eje cónico macizo de acero . G = 8.4 x 105 kg cm2 T = 27000 kg x cm d1 = 15cm d2 = 5cm l = 50cm

Solución: Semejanza de

s:

Semejanza de

s:

233

234


Editorial Macro

Problema 171 El árbol compuesto mostrado es sometido a un momento de torsión T que actúa en el extremo izquierdo. Gacero = 11 x 106 lb pulg2 Galuminio = 4 x 106 lb pulg2 Determinar el ángulo de rotación del extremo izquierdo, si no se deben sobrepasar los siguientes esfuerzos admisibles: Solución:

Diámetro acero = 2.25” Diámetro aluminio = 3”

Ing. Luis Gamio


Problema 172

Calcular:

Solución:

máximo

235

236


Editorial Macro

Problema 173 Calcular

máx

en el acero y en el aluminio.

Acero

Aluminio

  cm G = 8.4 x 10 kg cm 5

Solución:

2

8 2.8 x 105

Ing. Luis Gamio


Problema 174 Los cilindros sólidos AB y BC están unidos en B y conectados a soportes fijos en A y C. Si: Gacero = 11 x 106 lb pulg2 Glatón = 6 x 106 lb pulg2 Diámetro latón = 2” Diámetro acero = 1.5” Determinar el esfuerzo cortante máximo en el latón y en el acero. Solución: D.C.L. Por equilibrio: TA Por deformaciones:

C

 

C

 

A

AB

TC = TB = 12.5

C A = C B

B A = 0

(1)

(2)

Rptas.

237

238


Editorial Macro

Problema 175

G, J Calcular: máx = ? C= ? Solución:

D.M.T.= ?

D.C.L.

TA

D.M.T. (kg x cm)

TB = T1

T2 = 36 000 kg cm

Ing. Luis Gamio

Problema 176 Hallar las reacciones en los apoyos A y F. G = 8.4 x 105 kg cm2 Diámetro1 = 4 cm Diámetro2 = 6 cm Diámetro3 = 2 cm

Solución:


239

240


Editorial Macro

Problema 177 AC CB

Sección maciza circular Sección anular Radio exter. = 5cm Radio inter. = 4cm

A qué distancia “X” (mm) del extremo izquierdo de la barra se debe aplicar un mto. de torsión TO para que las reacciones en “A” y “B” sean iguales? Solución:

D.C.L.

D.M.T.

Módulo de rigidez = G

Ing. Luis Gamio


241

Problema 178 El eje se mantiene rígidamente fijado por sus extremos; la sección1 es de aluminio, la sección 2 es cobre, la sección 3 es acero. Las 3 secciones están firmemente unidas entre sí. Calcular la torsión en cada sección. Diámetro 5.1cm

Solución: D.C.L.

D.M.T.

D.M.T. (kg x cm)

242


Problema 179 Un tubo de 3 mm de espesor tiene una forma elíptica. Hallar el momento torsionante que producirá en el tubo un esfuerzo cortante de 60MN m2

Solución:

rea a considerar: (Elipse)

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Problema 180

Un momento de torsión T = 90N.m se aplica al árbol hueco. Hallar los esfuerzos cortantes en a y b.

Solución: Pto. a

rea media

Pto. b


243

244


Editorial Macro

Problema 181 Determinar el par de torsión T que puede aplicarse al tubo rectangular, si el esfuerzo cortante promedio no debe exceder de 12 Ksi. Espesor del tubo 0.125 pulg.

4''

T

Calcular el flujo de corte (lb pulg)

2'' Solución:

lb

Problema 182 Se aplica un par de torsión “T” a un tubo de pared delgada con sección transversal en forma de hexágono regular, con espesor de pared “t” y longitud “b” en cada lado. Obtener una fórmula para el esfuerzo cortante “ ” y el ángulo de torsión por unidad de longitud “ ”.

Ing. Luis Gamio

Solución: R=b Am = 2.598 b2

S = 6b

Problema 183 Cómo varía el ángulo de torsión por unidad de longitud en el tubo de pared delgada con la razón = a b, si la longitud total Lm de la línea media de la sección transversal y el par “T” permanecen constantes?

Solución:


245

246


Problema 184 El tubo de pared delgada está hecho de plástico con espesor de pared de 5mm. Determinar el esfuerzo cortante promedio en los puntos “A” y “B” (en MPa), cuando el tubo está sometido al par de torsión T = 500 Nm.

Solución:

Factor de conversión a MPa : 100 = 1

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


247

Problema 185 Se aplica una torsión T= 300 N x m a cada una de las barras. Si dimensión “d” requerida para cada barra.

Solución: a

b

c

adm

= 60 MPa, calcular la

248


Editorial Macro

Problema 186 Determinar en qué cantidad se incrementa el esfuerzo cortante máximo en un eje con sección elíptica, respecto a un eje con sección circular. Ambos ejes resisten la misma torsión.

Solución:

Problema 187 El eje de plástico tiene una sección transversal elíptica. Determinar el esfuerzo cortante en el punto A (MPa) ,y el ángulo de torsión en el extremo B. G = 15 GPa

Ing. Luis Gamio

Solución: D.M.T. (Nx m)

Problema 188 El eje de aluminio está empotrado en sus extremos A y B. Determinar las reacciones en los empotramientos. La sección transversal es cuadrada de 2” x 2”. Calcular el giro en C. Gal = 3.8 x 103 ksi


249

250


Solución:

Problema 189 El árbol CD está hecho de una barra de 2.75 pulgadas de diámetro, y está conectado al árbol AB de 2 pulgadas de diámetro. Si el esfuerzo cortante admisible es de 8 000 lb pulg2 para cada árbol, hallar el momento máximo de torsión T que puede aplicarse en AB.

B = 1.75” C = 5.25” Solución:

Editorial Macro

D.M.T. (lb x pie)

Ing. Luis Gamio


Determinación de la nueva fuerza F: F1

Problema 190 Tres árboles sólidos de diámetro 3 4 están conectados tal como se muestra en la figura. Si A) B)

hallar: El ángulo de rotación del extremo “A” del árbol AB : El ángulo de rotación del extremo “E” del árbol EF :

A E

251

252


Editorial Macro

Solución:

TA

.

B

R

Las ruedas B, C y F recorren igual distancia.

Ing. Luis Gamio


253

Problema 191 Determinar el esfuerzo normal en el cable, el esfuerzo cortante máximo en el eje CA y el ángulo de giro de “A” con respecto a “C”.

Solución:

T

254


Editorial Macro

Problema 192 Determinar el esfuerzo normal en la varilla II y el esfuerzo cortante máximo en el eje I

Eje: G = 0.4E Diámetro = 10cm Varilla: E Diámetro = 2cm

Solución:

T ( g x cm)

Ing. Luis Gamio

Problema 193 Determinar el esfuerzo normal en la varilla II y el esfuerzo cortante máximo en la barra I.

Diámetro de la barra I = 2 cm Solución:

iagrama de torsiones


255

256


Editorial Macro

Problema 194 El eje AC está fijo a la pared sobre “C”, y el extremo izquierdo “A” rota un ángulo de 0.012 radianes antes que los pernos proporcionen la rigidez adecuada. Determinar el valor máximo de T si el esfuerzo de corte no debe ser mayor de 7 kip pulg2 Diámetro del eje: 6” G = 4 000 kip pulg2 Solución: D.C.L.

D.M.T.

Por equilibrio: T = TA TC - - - (1) Por condición del problema:

Ing. Luis Gamio

Problema 195 Seis remaches de 20 mm de diámetro sujetan la placa a una base rígida. A) Determinar el esfuerzo cortante medio en cada remache, roducido por las fuerzas de 40 kN aplicado como se indica. B) ué fuerzas adicionales P podrían aplicarse sin que el esfuerzo cortante sobrepase el valor de 60 Mn m2? Solución: A)

B)


257

258


Editorial Macro

Problema 196 Un acoplamiento por medio de bridas tiene 6 pernos de 10 mm de diámetro situados en una circunferencia de 300 mm de diámetro, y 4 pernos del mismo diámetro (10 mm) en otro círculo concéntrico de 200 m de diámetro. ué par torsor puede transmitir sin que el esfuerzo cortante exceda de 60 MPa en los pernos?

r= 100 mm R = 150 mm

Solución:

Ing. Luis Gamio


259

Problema 197 El árbol ABC gira a 600 r.p.m. y es accionado mediante un engranaje en el extremo “A”. En “B”, una polea absorbe 2 3 de la potencia y el resto es absorbido en “C”. El tramo AB tiene un diámetro de 100 mm y BC de 75 mm. Si el esfuerzo cortante máximo que se origina en BC es de 40 MPa, determinar la potencia transmitida en kilovatios y el esfuerzo cortante máximo en AB.

Solución:

D.M.T. (N x M)

260


Editorial Macro

Problema 198 Un eje de transmisión de potencia está hecho de acero, y tiene diámetros de 2” y 3” en cada uno de sus tramos izquierdo y derecho respectivamente. Un motor de 50 Hp le comunica una velocidad de 360 r.p.m., transmitiendo en A: 10 Hp y en C: 40 Hp. Determinar el ángulo de torsión del elemento C con relación al elemento A.

Solución:

D.M.T.

Ing. Luis Gamio


261

Problema 199 El sistema de ejes de acero mostrado está sometido a un movimiento de rotación con velocidad de 315 r.p.m., comunicada por un motor ubicado en C de 100 Hp. Determinar el mínimo diámetro necesario para cada tramo del sistema, sabiendo que el esfuerzo cortante en ninguno de ellos debe exceder de 8 000 lb pulg2. La potencia del motor se deriva de la siguiente manera: 20

en A; 50

en B; 20

Solución:

D.M.T. (lb x pulg x 10-3)

en D y 10

en E.

262


Editorial Macro

Problema 200 Usando un esfuerzo cortante admisible de 5 000 lb pulg2, diseñar un árbol sólido para transmitir 0.5 hp a 1725 r.p.m.

Solución:

Ing. Luis Gamio


263

Problema 201 Diseñar un árbol sólido de acero para transmitir 0.375 kW a una velocidad de 29 Hz, si el esfuerzo cortante no debe pasar de 35 MPa.

Solución:

264


Editorial Macro

Problema 202 Un árbol que consta de un tubo de acero de 50 mm de diámetro exterior transmite 100 kW de potencia, a una frecuencia de 40 Hz. Hallar el espesor requerido para que el esfuerzo cortante no exceda de 60 MPa.

Solución:

Ing. Luis Gamio


Problema 203 Sabiendo que el esfuerzo cortante admisible del acero es de 7 500 lb pulg2, hallar: a) El diámetro mínimo admisible de un árbol que puede transmitir 15 Hp a 2 000 r.p.m. b) El ángulo de torsión correspondiente para:

Solución: a)

b)

265

266


Editorial Macro

Problema 204 Mientras el árbol de acero (cuya sección transversal se muestra) rota a 120 r.p.m., una medida estroboscópica indica que el ángulo de torsión es 2 en una longitud de 4 m. Si G = 80 GPa, determinar la potencia transmitida.

Solución:

Ing. Luis Gamio

Problema 205 Un motor impulsa un eje de transmisión mediante un engranaje (tal como se indica en la figura), para que gire a 630 r.p.m transmitiendo una potencia de 120 Hp. Una potencia de 30 Hp se entrega a una máquina en el extremo de la derecha y una potencia de 90 Hp se transmite por el de la izquierda. Seleccionar para esta aplicación un eje circular macizo de diámetro uniforme. El esfuerzo cortante admisible es 5 750 lb pulg2. Solución:

D.M.T. (lb x pulg)


267

268


Editorial Macro

Problema 206 Un motor impulsa un eje de transmisión mediante un engranaje (tal como se indica en la figura) para que gire a 180 r.p.m., transmitiendo una potencia de 30 Hp. Una potencia de 5 Hp se transmite al engranaje B. Una potencia de 15 Hp se transmite al engranaje D. Una potencia de 10 Hp se transmite al engranaje E. El diámetro del eje de transmisión macizo es 2 pulgadas. Determinar el esfuerzo cortante actuante en: AB, BC, CD y DE.

Solución:

D.M.T. (lb x pulg)

CAPÍTULO

9

FUER AS EN VIGAS

Las vigas son elementos de una estructura cuyo fin es soportar cargas a lo largo de su eje longitudinal. En general soportan cargas de techos.

1 Fuer as internas:

N

V N M

Fuerza cortante Fuerza normal o axial Momento flexionante

V

Es generada por las fuerzas perpendiculares al eje longitudinal del elemento.

N

Generadas por las fuerzas paralelas al eje longitudinal del elemento.

M

Es generado por las fuerzas perpendiculares al eje longitudinal del elemento y los momentos.

2 Tipos de cargas

270


Editorial Macro

3 iagramas En todo diagrama se debe indicar:

D.F.C. (V) (T)

• Tipo de diagrama • Unidades • Signos • Distancias • Magnitudes

D.F.N. (N) (T)

D.M.F. (M) (Txm.)

onvención de signos

i = izquierda

d = derecha

Ing. Luis Gamio

Capítulo 9: uer as en igas

ateriales • Acero • Madera • Concreto armado

Secciones transversales Son secciones perpendiculares al eje longitudinal de la viga.

“VIGA CHATA” “VIGA PERALTADA”

Tipos de vigas

A En voladizo

B Simplemente apoyada (S.A.)

S.A. con 1 voladizo

S.A. con 2 voladizos

E Con rótula

271

272


Editorial Macro

F Apoyada – empotrada

G Doblemente empotrada

Continua

• Vigas isostáticas: A a E • Vigas hiperestáticas: F a H

Relación entre carga distribuida uer a cortante flexionante

momento

Las ecuaciones 1 y 2 nos permiten calcular las expresiones generales de la fuerza cortante, y el momento flexionante en vigas con cargas distribuidas con cualquier ley de variación.

Ing. Luis Gamio

Problema 207 Dibujar diagramas de V y M

Solución:


273

274


V (T)

M (Txm)

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Problema 208

Dibujar diagramas de V y M

Solución:


275

276


Problema 209 Dibujar diagramas de V y M.

Solución: D.C.L.

V

M

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Problema 210 Dibujar diagramas de fuerza cortante y momento flexionante en la viga mencionada.

Solución:


277

278


Editorial Macro

Problema 211

Dibujar diagramas de V y M.

Solución:

Rótula

Ing. Luis Gamio


Problema 212


Solución:

k

279

280


Editorial Macro

Problema 213


Solución:

V

L

L/2 -

0.63WOL

0.44WOL 0.12WOL M L/2

0.40WOL

2

L

2

Ing. Luis Gamio


Problema 214


Solución:

Cálculos previos:

281

282



Solución:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Problema 216 Dibujar diagramas de V y M.

Solución:


283

CAPÍTULO

ESFUER OS POR FLEXIÓN Y CORTE EN VIGAS 1 1

10

ipótesis

La teoría se deduce en base a las siguientes hipótesis: 1) El material es elástico, homogéneo e isotrópico, y el esfuerzo producido está por debajo del límite de proporcionalidad. 2) El material tiene igual módulo de elasticidad en tracción y compresión. 3) Las secciones planas del elemento antes de la deformación continúan planas después de la deformación. 4) La relación entre los esfuerzos y deformaciones obedece la Ley de Hooke ( = E). 5) La viga está sometida a cargas, actuando en un plano de simetría, o cuya resultante pase por dicho plano.

1 2 Es uer os por flexión en vigas ( )

286


Editorial Macro

ac bd ef ( )

Acorta su longitud Crece su longitud No varía de longitud Radio de curvatura

Ing. Luis Gamio

Capítulo 10: Es uer os por exión

corte en igas

287

1 3 iagrama de es uer os normales (por flexión) en la sección transversal de la viga

C = Centro de gravedad

1

Es uer o cortante en vigas ( ) De los diagramas de fuerza cortante y momento flector en vigas:

Figura 1

Figura 2

En la figura 1 ( 1 ), debido a que el momento en la cara izquierda del elemento es 2 menor que en la cara derecha del mismo elemento; en consecuencia T2 T1 . (T

fuerza)

Por ello, en la figura 2 aparece una fuerza de corte dirigida hacia la izquierda para producir el equilibrio del elemento (F = tdx).

288


1

iagrama de es uer os cortantes

1

Editorial Macro

Nomenclatura (F x L) M (F) V (F L2) (F L2) (L) Y (L4) I (L) t (L3)

C S.T.

Momento en la sección considerada Fuerza cortante en la sección considerada Esfuerzo normal por flexión Esfuerzo cortante Distancia del centro de gravedad de la sección hasta el nivel analizado Momento de inercia de la sección con respecto al eje neutro Espesor efectivo de la sección en el nivel analizado Momento estático (área x distancia). El área se considera desde el borde de la sección (superior o inferior), hasta el nivel analizado. La distancia se considera entre el C.G. de toda la sección y el C.G. del área considerada. Centro de gravedad Sección transversal

Ing. Luis Gamio

1

ódulo de sección

Sección: Rectangular

ircular maci a

ircular hueca o tubular

Triangular


corte en igas

289

290

1


Editorial Macro

Limitaciones en el uso de la órmula del es uer o cortante

10.8.1 Introducción La determinación de la distribución del esfuerzo cortante en la sección transversal de una viga exige generalmente métodos avanzados de análisis o el uso de soluciones numéricas (teoría de la elasticidad, elementos finitos).

10.8.2 Condiciones para el uso de la fórmula • Debe usarse en miembros prismáticos rectos, de material homogéneo con comportamiento elástico lineal. • La fuerza cortante interna “V” debe estar dirigida a lo largo de un eje de simetría de la sección. • Los bordes de la sección deben ser paralelos al eje de simetría. • Las deflexiones en las vigas deben ser pequeñas. • Los esfuerzos cortantes deben ser uniformes a través del ancho “t” de la sección. • La viga no debe ser ahusada.

10.8.3 Errores al aplicar la fórmula Al calcular el esfuerzo cortante promedio al nivel del eje neutro, el valor obtenido es menor que el esfuerzo cortante máximo calculado con métodos avanzados de análisis. Casos: • Sección cuadrada: error 12.6 • Sección circular: error 5 • Sección rectangular: bh

máximo

promedio

Error

0.25 0.5

1.008 1.033

0.8 3.3

2 4 6 10 20 50

1.396 1.988 2.582 3.77 6.74 15.65

39.6 98.8 158.2 277 574 1465

Ing. Luis Gamio


corte en igas

291

10.8.4 No aplicar la fórmula Conduce a errores grandes, ya que los resultados no son confiables. • Sección triangular • Sección semicircular • Sección plana • En puntos donde cambia el espesor efectivo “t” porque hay concentración de esfuerzos. • En la unión patín – alma en secciones “I”, y en el patín.

10.8.5 Aplicar la fórmula • Sección rectangular si h

b

• Sección circular y anular solo en el eje neutro • Sección “I” en el alma

10.8.6 Aplicaciones en la ingeniería Los ingenieros mayormente tienen que calcular el esfuerzo cortante máximo promedio que se desarrolla en el eje neutro; en consecuencia, el resultado se aproxima al esfuerzo cortante máximo verdadero.

292


Problema 217 kg kg kg

Solución:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


corte en igas

293

294


Editorial Macro

Problema 218 Dibujar el diagrama de esfuerzo cortante de una viga de sección rectangular.

Solución:

Y

Cálculos:

Ing. Luis Gamio


Problema 219 La fuerza cortante en la sección de la viga es 1 560 kg. Dibujar el diagrama de esfuerzos cortantes.

=V

Solución:

It

corte en igas

295

296


Problema 220 Dibujar el diagrama de esfuerzos normales.

Solución:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


corte en igas

Problema 221 CyD

Rótulas

Sección

Solución:

297

298


Editorial Macro

kg

Problema 222 Sección

Calcular Wmáx sin exceder:

Ing. Luis Gamio

Solución:


corte en igas

299

300


Editorial Macro

Problema 223

Sección

La viga de madera está construida por 3 tablones encolados, cada uno de 5 cm x 10 cm.

.

Solución:

Ing. Luis Gamio


Problema 224 Dibujar el diagrama de esfuerzos cortantes. V = 3 000 kg

Solución:

corte en igas

301

302


Editorial Macro

Ing. Luis Gamio



Solución:

corte en igas

303

304


Tensión

Compresión

Corte

Problema 226 Calcular máximo y

Solución:

máximo:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


corte en igas

305

Fig.

A (cm2)

y

Ay

1

30 (60) = 1 800

40

72 000

2

50 (10) = 500 2300

5

2 500 74 500

306


Editorial Macro

Problema 227

Calcular W máximo sin exceder.

Solución:

Ing. Luis Gamio


Problema 228 La sección de la viga está sometida a una fuerza cortante V = 30 kN. Calcular la fuerza cortante resistida por el alma.

Solución:

corte en igas

307

308


Editorial Macro

Problema 229 Calcular Pmáximo sin exceder los esfuerzos dados. Sección

=100 kg cm2 = 8 kg cm2 Solución:

máximo

Ing. Luis Gamio


corte en igas

Problema 230

Determinar la fuerza cortante resultante que actúa sobre el segmento AB. La fuerza cortante que actúa en la sección es V = 35 KLb.

Solución: Centro ide: A

Y

AY

8

8 = 64

10

640

6

2 = 12 76

3

36 676

y = 8.89 t=2 V = 35 KLb

309

310


Editorial Macro

Problema 231 Calcular los valores máximos de “X” y “P” que pueden aplicarse simultáneamente, si 84 kg cm2

Sección:

Solución:

kg

Ing. Luis Gamio


corte en igas

Problema 232

Solución:

kg

311

312


Problema 233 a = 0.6m L = 1m *Calcular P si: σ = 10MPa Solución:

máximo máximo

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


corte en igas

313

Problema 234 Sección Calcular b =? si los esfuerzos normales en la parte superior e inferior de la viga están en la relación 3:1 Momento actuante: M

Solución:

Fig

A

Y

AY

314


Editorial Macro

Problema 235

Solución: Fig

A

Y

AY

150 t

37.5

5625 t

180 t 330 t

2t2 2t2

t2

90 t2 2t3 5625 t 90t2 t3

Ing. Luis Gamio

Problema 236

Solución:


corte en igas

315

316


Editorial Macro

Problema 237

Sección

Solución: Q 10

b c1 c

20

Ing. Luis Gamio


corte en igas

Problema 238 Ubicar la posición y determinar el valor del esfuerzo cortante máximo. V = Fuerza cortante

Solución:

Sección

317

318


Editorial Macro

Problema 239 Determinar la fuerza cortante vertical resistida por el patín de la viga T, cuando está sometida a una fuerza cortante vertical V = 10 KLb.

4

6´´

4

3 6

Solución:

Centroide:

14

A

Y

AY

3 = 42

7.5

315

3 y = 5.423

Ing. Luis Gamio


Problema 240

Solución:

kN

máx

máx

kN

máx

máx máx máx

kN kN

kN kN

kN kN

corte en igas

319

320


Problema 241

Calcular el máximo y su ubicación. La viga en dicha sección es sometida a una fuerza cortante V.

Solución:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


corte en igas

Problema 242 máximo

Sección q=6.5 kN m

Solución:

máximo

máximo

321

322


Editorial Macro

Problema 243 Sección:

Solución: kN

kN kN

Problema 244 Una viga está sometida a momento flexionante M.

Solución:

Ing. Luis Gamio

álculo del Fig.


G (

corte en igas

) A

Y

AY

323

324


Editorial Macro


Solución:

CAPÍTULO

MÉTODO DE INTEGRACIÓN 11 1 emostración

y y1 1 De esfuerzos por flexión en vigas:

 flecha, deflexión  giro, pendiente radio de curvatura curvatura ,

11

326


Editorial Macro

11 2 onvención de signos para momento Izquierda a derecha

-

Derecha a izquierda

11 3 onvención de signos para de ormaciones Flecha (y): Giro (y ) ( ):

11

- horario

antihorario

Restricciones de de ormaciones en los apo os Rodillo

Apoyo empotrado

Apoyo móvil yA=0 Apoyo fijo

-

Ing. Luis Gamio

11

Capítulo 11: Método de integración

327

igas con cargas sim tricas

asos 1 a : Flecha máxima en el centro de luz. aso : Se compara la flecha del centro de luz con la flecha en los extremos de los volados, y se obtiene la flecha máxima.

11

igas con cargas no sim tricas

La flecha máxima no se produce en el centro de luz, se calcula la ubicación con los métodos aplicados para deformaciones en vigas.

328


Problema 246

Solución:

C2= 0

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


Solución:


329

330


De 1 y 2:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio



Solución:

Cálculos:

331

332


Problema 249 Calcular la flecha en A.

Solución:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Problema 250 Calcular “q” si la flecha en el punto de aplicación de la carga concentrada es nula. EI = cte.

Solución:


333

334


Editorial Macro

Problema 251 Calcular: Ymáxima = ? ; YA1 = ? EI = cte.

Solución:

, ,

Ing. Luis Gamio

Problema 252

Calcular: YD = ?

Solución:


335

336


Problema 253 Calcular: RA = ?

Solución:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Problema 254 Calcular: YM XIMA = ? EI = cte.

Solución:


337

338


Problema 255 Determinar la reacción en A.

Solución:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


Problema 256 Determinar la reacción en B y A. Dibujar diagramas de V y M. EI = constante

Solución:

D.C.L.

339

340


Editorial Macro

Problema 257 Calcular la ubicación y valor de la flecha máxima.

Sección:

Solución:

x

Ecuación

3 3.10 3.09

33.735 35.597 35.409

Valor 35.549

35.549 x = 3.10 se acerca más. 35.549

x = 3.10m

Ing. Luis Gamio


Problema 258 Calcular P EI = cte.

Solución:

= ? si la flecha en A y B son iguales.

341

342


Problema 259 Calcular I si Y no excede de 1 400 de la luz. Dibujar el diagrama de momentos.

Solución:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

M(lb x pie)

Problema 260

Solución:


343

344


Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


Problema 261 La viga en voladizo está sometida a un momento uniformemente distribuido de intensidad “m” por distancia unitaria a lo largo del eje de la viga. Calcular la flecha y el giro en “B”. EI = Rigidez constante

Solución:

345

346


Problema 262 La viga tiene un soporte guiado en “B”, el cual permite movimiento vertical pero ninguna rotación. Calcular la flecha en “B”.

Solución: D.C.L.

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Problema 263

Calcular la deflexión en “B y en “C”.

Solución:


347

348


Problema 264 Calcular giros en “A” y “B” y flecha en “C”. EI = rigidez constante

Solución:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


Problema 265 máximo

= y1máximo = ?

Y máxima = ?

Solución:

349

350


Editorial Macro

CAPÍTULO

MÉTODO DEL REA DE MOMENTO

12

12 1 ( ) Teorema I El ángulo entre las tangentes trazadas a la elástica en dos puntos “A” y “B”, es igual al área del diagrama de momentos reducidos entre estos dos puntos.

12 2 (t) Teorema II La desviación tangencial (distancia vertical) de un punto “B” en la elástica con relación a la tangente trazada a la elástica en el punto “A”. es igual al área del diagrama de momentos reducidos entre estos dos puntos: multiplicado por la distancia horizontal entre el punto “B” y el centro de gravedad del área considerada.

352


12.3 Demostración

Editorial Macro

Y

U

Q X

C

D D.M.R. M/EI

+

C

D XD XC

C Tan

D

D

TCD

Ta

nC

Ing. Luis Gamio

12

Capítulo 12: Método del rea de momento

rea de momento C

Centro de gravedad

RECT NGULO

TRI NGULO

SEMI - PAR BOLA DE GRADO n

SEMI - PAR BOLA DE GRADO n

y

x

c

h x

b

353

354

12


Editorial Macro

Isostati ación

Isostatizar es proporcionarle a una viga hiperestática, una configuración isostática, con el fin de obtener diagramas de momentos flectores, cuyas áreas y centros de gravedad (formados en estos diagramas) sean simples de determinar. 1) Forma: Como viga en voladizo

1

D.M.R. M

Pb EI

VA=(a b) EI

Pb EI 2 M D.M.R.

MA

MA EI

VA(a b) EI 2) Forma: Como viga simplemente apoyada

Ing. Luis Gamio


D.M.R

12

Elásticas

2

e ormadas

355

356


Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

12


iagrama de momentos flexionantes

357

358


Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


Problema 266 Calcular la flecha y giro en “A”.

Solución: D.M.R.

Problema 267 Calcular flecha y giro en “A”.

Elástica

359

360


Editorial Macro

Solución: Elástica

D.M.R.

Problema 268 es la YC cuando n = 1 Hallar n, para la cual Yc = 1

Solución:

D.M.R.

1

Ing. Luis Gamio

2

D.M.R.

Problema 269


361

362


Solución:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Problema 270

Calcular: A

=?

YC =?

Solución:


363

364


DMR x Partes

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


365

366


Editorial Macro

Problema 271 Calcular giro en A y B flecha en C .

Solución:

D.M.R Elástica

Ing. Luis Gamio


Problema 272 Calcular:

EI=cte.

RA=? A

=?

Solución: Isostatizando:

L

367

368


Editorial Macro

Problema 273 Calcular reacciones en “A” y “B” y dibujar diagrama de momentos.

Solución: D.M.R. x partes

M

Elástica

tB A=0

Ing. Luis Gamio


Problema 274 Calcular las reacciones en A y B, y dibujar el diagrama de momentos.

Solución: Isostatizando

DMR x partes

369

370


Editorial Macro

De (1):

Problema 275 EI = cte. Calcular reacciones en A y B y dibujar diagramas V y M.

Solución: Elástica A

B

Ing. Luis Gamio

D.M.R. x partes


371

372


Editorial Macro

Problema 276 EI = cte. Calcular la flecha en el centro de la luz.

Solución:

Semejanza de triángulos:

Ing. Luis Gamio

Problema 277

Calcular la flecha máxima (mm)

Solución: Elástica

D.M.R.


373

374


Editorial Macro

Problema 278 Calcular: A

= ? y la flecha en el centro de luz.

Solución:

Ver rea caso 4 Semi-Parábola

Ing. Luis Gamio


Problema 279 Calcular: máxima

=?

Ymáxima = ?

Solución:

D.M.R

Por simetría de cargas:

Elástica

375

376


Editorial Macro

Problema 280 Calcular: máximo

=?

Ymáximo = ?

Solución: D.M.R.

Elástica:

CAPÍTULO

MÉTODO VIGA CONJUGADA

13

13 1 iga con ugada Es una viga de igual longitud que la viga real, cargada por el Diagrama de Momento Reducido (D.M.R), correspondiente a las cargas aplicadas en la viga real. La viga conjugada siempre es una viga isostática, en algunos casos aparenta ser inestable, pero la naturaleza de las cargas la hacen estable.

13.1.1 Teorema 1: La fuerza cortante en una sección de la viga conjugada, es el giro en la viga real en dicha sección.

13.1.2 Teorema 2: El momento (debido a la flexión) en una sección de la viga conjugada, es la flecha en la viga real en dicha sección. V.R. V.C f V M

= Viga real = Viga conjugada = Giro = Flecha = Fuerza cortante = Momento flexionante

13 2 E uivalencia de apo os de la viga real

la viga con ugada

378


Editorial Macro

13 3 argas Si el diagrama de momentos es positivo, la carga en la viga conjugada se considera hacia abajo; si el diagrama de momentos es negativo, la carga en la viga conjugada se considera hacia arriba. Convención de signos V( ) V(-) M( ) M(-)

horario anti horario f hacia abajo f hacia arriba

E emplos: iga real 1 2

3

4

5

6

7

iga con ugada

Ing. Luis Gamio

Capítulo 13: Método iga con ugada

Problema 281 Calcular: fC y

D

EI = cte.

Solución: V.C:

D.M.R por partes en la viga real:

379

380


Editorial Macro

Problema 282 Calcular:

D

y fC EI = cte.

Solución: D.M.R por partes:

V.C:

Ing. Luis Gamio

Problema 283 Calcular : EI = cte. =? D fC = ? fB = ? Solución:

D.M.R.

V.C:


381

382


Editorial Macro

Problema 284 Calcular: =? fC = ? D

EI = Constante Solución:

D.M.R. por partes:

V.C

Ing. Luis Gamio


Problema 285 Calcular: Ubicación y valor de la flecha máxima máximo

=? EI = Cte.

Solución: M B= 0

D.M.R.

VC:

MB= 0

383

384


Problema 286 D, E Rótulas EI = cte. Calcular giros en la rótula D y flecha en C.

Solución:

D.M.R.

V.C

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


385

386


Problema 287 EI = cte. Calcular: fC = ? =? Di =? Dd Solución: 1

D.C.L V.R

2 D.M.R

3 V.C

Giros en la rótula.

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

4

D.C.L V.C

Problema 288 • Calcular la flecha en el centro de la luz. • Calcular la flecha máxima.

Solución: D.M.R


387

388


Editorial Macro

CL

Ing. Luis Gamio

Problema 289 Calcular la flecha en “C” y el giro en “D” EI= Cte.

Solución:

D.M.R.

VC:


389

390


Problema 290 C rótula EI= cte. Calcular: =? A fD = ? fE = ? Solución:

V.C.

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


Problema 291 • Calcular reacciones en “A”. • Calcular el giro en “C”. • Dibujar el diagrama de momentos flexionantes. Solución:

D.M.R. por partes:

Isostatizando:

391

392

V.C:


Editorial Macro

Ing. Luis Gamio


Problema 292 EI = cte Calcular: Reacciones en A fC = ? =? D

Solución: D.M.R. por partes:

V.C.:

Isostatizando:

393

394


Editorial Macro

De (1) y (2): Cargas:

CAPÍTULO

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

14

1. Si se tiene una viga sometida a diversas cargas y se quiere calcular la flecha o el giro en una sección de la viga, o una reacción hiperestática, entonces se puede hacer el cálculo considerando el efecto de cada carga por separado, y luego se superponen los efectos. 2. Los resultados no difieren mayormente de la realidad, debido a que las deformaciones son pequeñas (los esfuerzos están dentro del rango elástico). No existe mayor diferencia entre la posición inicial de las cargas y la posición final de las mismas después de la deformación (en la posición de equilibrio). 3. En los problemas que se muestran en este capítulo se usará la tabla de flechas máximas. 4. De no usarse la tabla indicada, se puede aplicar cualquiera de los métodos para el cálculo de deformaciones en vigas (integración, área de momento, etc.), aplicarlos sucesivamente para cada carga por separado y luego superponer los efectos.

Problema 293 Calcular la reacción vertical en “A”. Dibujar diagramas de V y M.

Solución: Superposición de efectos: de vigas en voladizo. Caso 1

De tablas:

Caso 8

396


V

M

Problema 294 Calcular la reacción vertical en “A”. Luego dibujar el diagrama de momentos.

Solución: Superposición de efectos: de vigas en voladizo.

De tablas

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Capítulo 14: Método de superposición

Problema 295 Calcular la flecha en “C”

Solución: Superposición de efectos: de vigas en voladizo Caso 1

De tablas

Caso 2

397

398


Editorial Macro

Problema 296 Calcular la reacción vertical en “B”, en “A” y en “C”. Dibujar diagramas de V y M.

Solución: Superposición de efectos: Caso 1

De tablas: vigas simplemente apoyadas.

Caso 5

Ing. Luis Gamio

Problema 297 Calcular YB = ? Dibujar diagrama de momentos.

Solución: Superposición de efectos: De tablas viga en voladizo

Caso 1

Caso 3


399

400


Problema 298 Calcular la flecha en C. YC = ?

Solución: Superponiendo efectos De tablas: viga simplemente apoyada. Caso 1

Caso 2

Caso 3

Sumando efectos:

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Problema 299 La viga en voladizo tiene una extensión BCD unida a su extremo libre. Calcular:

Solución:

Superponiendo efectos: De tablas: viga en voladizo.


401

402


Problema 300 EI = 2.1 x 106 Kip.pulg2 Calcular la flecha en B.

Solución: Superponiendo efectos. De tablas: viga en voladizo.

Caso 6

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Anexos

403

ANEXO 1 Tablas de flechas máximas Contiene: A. Viga en voladizo B. Viga simplemente apoyada C. Viga doblemente empotrada D. Viga apoyada – empotrada E. Viga continua F. Viga apoyada con un voladizo G. Viga apoyada con dos volados H. Viga empotrada – apoyada con un voladizo • En las vigas en voladizo la flecha máxima se da en el extremo libre del voladizo. • En las vigas con cargas simétricas que son vigas simplemente apoyadas o doblemente empotradas, la flecha máxima se da en el centro de luz. • En los demás casos se puede observar como se indica la posición X, donde se da la flecha máxima y el valor de la flecha.

Flecha máxima (δ) Considerar en todas las vigas: EI A. Viga en voladizo

404


Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Anexos

405

406


Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Anexos

W 17 "/2

"/2

δ=

Wa 3 (5 − a ) 120EI

407

408


Editorial Macro

δ=

11W 4 120EI

δ=

121W 4 1920EI

Ing. Luis Gamio

Anexos

δ=

δ=

Wb ⎡ 17 b3 + 270a 2 b + 540a 3 ⎤ ⎣ ⎦ 3240EI

W (b − a ) ⎡ (5a 2 + 10ab + 15b 2 ) − (a 3 + 2a 2 b + 3ab 2 + 4b3 ) ⎤ ⎣ ⎦ 120EI

δ=

29W 4 960EI

δ=

(11W1 + 4 W2 ) 4 120EI

409

410


Editorial Macro

δ = 0.04795

δ = 0.1089

W 4 EI

δ = 0.07385

δ=

13W 4 180EI

W 4 EI

W 4 EI

Ing. Luis Gamio

Anexos

δ=

19 W 4 360EI

δ=

P 3 48EI

δ=

Pa (3 2 − 4a 2 ) 24EI

Flecha máxima (δ) B. Viga simplemente apoyada

δ = 0.06415

M 2 ; (x = 0.4226) EI

411

412


Editorial Macro

δ=

M 2 8EI

δ=

5W 4 384EI

δ = 0.006563

W 4 EI

δ = 0.006522

W 4 EI

(x = 0.4598)

(x = 0.5193)

Ing. Luis Gamio

Anexos

δ=

W 4 120EI

δ=

3W 4 640EI

δ=

P a X

b

"

W 4

π4 EI

413

414


Editorial Macro

P a

b X "

δ=

W a 2 (3 2 − 2a 2 ) 48EI

δ=

W (5 4 − 24 2 a 2 + 16a 4 ) 384EI

δ=

9 P 3 256EI

Ing. Luis Gamio

Anexos

δ=

61W 4 5760EI

δ=

5M 2 72EI

δ=

23P3 648EI

δ=

(5n 4 − 4n 2 − 1)P3 384n 3EI

n → impar

415

416


Editorial Macro

δ=

19P3 384EI

δ=

(5n 2 − 4)P3 384nEI

n → par

Flecha máxima (δ) C. Viga doblemente empotrada

δ=

P 3 192EI

δ=

W 4 384EI

Ing. Luis Gamio

Anexos

δ=

7 W 4 3840EI

δ = 0.0013085 (x = 0.5247)

W 4 EI

δ=

Wa 3 ( − a) 24EI

δ=

1P3 192EI

417

418


Editorial Macro

δ=

P3 ⎡ 3a 2 a 3 ⎤ − ⎥ ⎢ 6EI ⎢⎣ 4 2 3 ⎦⎥

δ=

41P3 5184EI

δ=

P 3 96EI

Ing. Luis Gamio

Anexos

P

P

P

P

11

δ= " /8

" /4

" /4

" /4

" /8

P 3 96EI

419

420


Flecha máxima (δ) D. Viga apoyada - empotrada

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Anexos

421

422


Flecha máxima (δ) E. Viga continua

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Anexos

423

424


Flecha máxima (δ) F. Viga apoyada con 1 voladizo

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Flecha máxima (δ) G. Viga apoyada con dos voladizos

Anexos

425

426


Flecha máxima (δ) H. Viga empotrada - Apoyada con 1 voladizo

Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Anexos

ANEXO 2 Tablas de centros de gravedad de superficies planas

427

428


Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Anexos

429

430


Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Anexos

431

432


Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Anexos

433

434


Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Anexos

435

436


Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Anexos

ANEXO 3 Tablas de momentos de inercia de superficies planas

437

438


Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Anexos

s

s s s

c

439

c c

s s s

440


Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Anexos

441

442


Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Anexos

443

444


Editorial Macro

Ing. Luis Gamio

Anexos

445

BIBLIOGRAFÍA • Bedford, A. y Liechti, K. (2002). Mecánica de materiales. México: Prentice Hall. • Beer, F.; Johnston E. y De Wolf, J. (2003). Mecánica de materiales. 4ta ed. México: Mc Graw Hill. • Cernica, J. (1968). Resistencia de materiales. México: CECSA. • Gere, J. (2002). Mecánica de materiales. México: Thomson. • Hibbeler, R. (2006). Mecánica de materiales. 6ta ed. México: Pearson. Prentice Hall. • Higdon, A.; Ohlsen, E. y Stiles, W. (1966). Mecánica aplicada a la resistencia de materiales. México: CECSA. • Miroliubov, I. (1978). Problemas de resistencia de materiales. Moscú: MIR. • Popov, E. y Balan, T. (2000). Mecánica de sólidos. 2da ed. México: Pearson. • Pytel, A. y Singer, F. (2004). Resistencia de materiales. México: Alfa Omega. • Riley, W.; Sturges, L. y Morris, D. (2001). Mecánica de materiales. México: Limusa. • Sloane, A. (1966). Resistencia de materiales. México: UTEHA. • Timoshenko, S. (1980). Resistencia de materiales. Madrid: Espasa Calpe.

Impreso en los talleres gráficos de

Resistencia de Materiales Gamio

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