REPASO DEL CAPÍTULO 7 En los problemas 1 y 2 utilice la definición de la transformada de Laplace para encontrar
1. = 2, , 0 ≤ ≥< 11
ℒ .
Solución:
0 , 0 ≤ < 2 <4 2. = 10,, 2 ≤ ≥4
Solución:
En los problemas 3 a 24 complete los espacios en blanco o conteste verdadero o falso.
3. Si
no es continua por tramos en Solución:
4. La función Solución:
5.
=
0,∞
, entonces
ℒ
no existirá. _______
no es de orden exponencial. ____
= / + 4
no es la transformada de Laplace de una función que es continua por tramos y de orden exponencial. _______ Solución:
6. Si
ℒ = ℒ = y
Solución:
. ℒ−− =__________
Solución:
. ℒ− =__________
Solución:
. ℒ 22 =__________
Solución:
, entonces
ℒ− =
. _______
. ℒ− 2 =__________ Solución:
. ℒ 2 =__________ Solución:
. ℒ 2 =__________ Solución:
. ℒ− {20 }=__________ Solución:
1 }=__________ . ℒ− {31 Solución:
. ℒ− {51 }=__________ Solución:
. ℒ− { 15}=__________ Solución:
=__________ . ℒ− 10+29 Solución:
− − . ℒ =__________ Solución:
. ℒ− {+ + −}=__________ Solución:
. ℒ− { +1 }=__________ Solución:
. ℒ−− >__________ Solución:
. ℒ =, ℒ = __________ Solución:
. ℒ = >0, ℒ = __________ Solución:
. ℒ∫ =________ ℒ ∫ =________ Solución:
En los problemas 25 a 28, use la función escalón unitario para determinar una ecuación para cada gráfica en términos de la función , cuya gráfica se presenta en la figura 7.R.1.
=
FIGURA 7.R.1 Gráfica para los problemas 25 a 28. 25.
FIGURA 7.R.2 Gráfica para los problemas 25 . Solución:
26.
FIGURA 7.R.3 Gráfica para los problemas 26 Solución:
27.
FIGURA 7.R.4 Gráfica para los problemas 27 Solución:
28.
FIGURA 7.R.5 Gráfica para los problemas 28
Solución:
En los problemas 29 a 32 exprese y .
ℒ
en términos de funciones escalón unitario. Encuentre
29.
FIGURA 7.R.6 Gráfica para el problema 29. Solución:
30.
FIGURA 7.R.7 Gráfica para el problema 30. Solución:
31.
FIGURA 7.R.8 Gráfica para el problema 31. Solución:
ℒ
32.
FIGURA 7.R.9 Gráfica para el problema 32. Solución:
En los problemas 33 a 38, use la transformada de Laplace para resolver la ecuación dada.
. 2 +=, 0 =0, 0 =5 Solución:
. 8 +20=, 0 =0, 0 =0 Solución:
. +6 +5=2, 0=1, 0=0 Solución:
. 5=, ={ 0, , 0≤<1 ≥1 , 0=1 Solución:
37. =cos+∫cos , Solución:
38. ∫ =6 Solución:
0=1
En los problemas 39 y 40, use la transformada de Laplace para resolver cada sistema.
39.4+ += =0 0 =1, 0 =2 Solución:
40.2′′+′′= + = 0=0, 0=0, 0=0, 0=0 Solución:
41. La corriente
en un circuito
en serie se puede determinar de la ecuación integral
1 + ∫ =, =10 Ω, =0.5 =2 +.
donde es el voltaje aplicado. Determine Solución:
cuando
42. Un circuito en serie contiene un inductor, un resistor y un capacitor para el cual
10 Ω =0.01 y
, respectivamente. El voltaje
={10,0, 0≤≥5<5
se aplica al circuito. Determine la carga instantánea . Solución:
0 =0
en el capacitor para
= ℎ,=
>0 0 =0 si
=0
43. Una viga en voladizo uniforme de longitud está empotrada en su extremo izquierdo (
Solución:
)y si la carga por unidad de longitud se
= 2 [2 +( 2)( 2)].
libre en su extremo derecho. Encuentre la deflexión determina por
y
44. Cuando una viga uniforme se apoya mediante una base elástica, la ecuación diferencial para su deflexión
es
+=. +4= , = =1
donde es el módulo de la base es la fuerza restauradora de la base que actúa en dirección opuesta a la de la carga . Vea la figura 7.R.10. Por conveniencia algebraica suponga que la ecuación diferencial se escribe como
=/4/
donde . Suponga que y . Encuentre la deflexión de una viga que está apoyada en una base elástica cuando a) la viga está apoyada simplemente en ambos extremos y una carga constante se distribuye uniformemente a lo largo de su longitud, b) la viga está empotrada en ambos extremos y es una carga concentrada aplicada en
=/2.
[Sugerencia: En ambas partes de este problema, use los elementos 35 y 36 de la tabla de transformadas de Laplace del apéndice III].
FIGURA 7.R.10 Viga sobre la base elástica del problema 44. Solución:
45. a) Suponga que dos péndulos idénticos están acoplados por medio de un resorte con
constante. Véase la figura 7.R.11. Bajo las mismas suposiciones hechas en el análisis anterior al ejemplo 3 de la sección 7.6, se puede demostrar que cuando los ángulos de desplazamiento y son pequeños, el sistema de ecuaciones diferenciales lineales que describen el movimiento es
+ = + = .
0=0,0= 0= , = /, =/ 0 =0,0 =, 0 =0 0 = , 0=, 0=0,0=, 0=0
Utilice la transformada de Laplace para resolver el sistema cuando donde y son constantes. Por conveniencia, sea
, 0 =0,
.
b) Use la solución del inciso a) para analizar el movimiento de los péndulos acoplados en el caso especial cuando las condiciones iniciales son Cuando las condiciones iniciales son
FIGURA 7.R.11 Péndulos acoplados del problema 45. Solución:
.
.
