Óptica I
Experiência II – Determinação da distância focal de lentes delgadas
FATEC – SP
Professor: Valdemar Bellintani
Aluno: Rodolfo Curci Puraca
Data: 2/04/2012
PÇA. CEL. FERNANDO PRESTES 30 – BOM RETIRO – SÃO PAULO – SP
Resumo O objetivo deste relatório é determinar a distância focal de lentes delgadas por três diferentes métodos, o método de Bessel, da autocolimação e da associação de lentes. A metodologia usada no relatório foi fazer os métodos e depois compará-los entre si, por meio do cálculo do erro percentual, qual dos métodos era o mais preciso para a determinação da distância focal. Concluiu-se no relatório que o método da autocolimação é o método mais preciso, pois é necessário fazer menos ajustes para encontrar o foco da lente, diminuindo a propagação do erro. O método de Bessel como se têm que achar os dois focos da lente, a imprecisão causada ao focar a imagem do objeto estudado, aumenta o erro percentual e deste modo aumenta a imprecisão do método.
Lista de Tabelas Tabela 1: Dados do método de Bessel............................................................................ 15 Tabela 2: Desvio Padrão da lente de +100...................................................................... 16 Tabela 3: Desvio Padrão da lente de +200...................................................................... 17 Tabela 4: Desvio Padrão da lente de +300...................................................................... 17 Tabela 5: Erros percentuais do método de Bessel.......................................................... 18 Tabela 6: Dados do método da autocolimação............................................................... 19 Tabela 7: Erros percentuais do método da autocolimação............................................19 Tabela 8: Resultados do método da associação de lentes ..............................................20
Lista de Figuras
Figura 1: Raios paralelos ao eixo principal ............................................................................ 7 Figura 2: Esquematização de um raio de luz numa lente convergente............................9 Figura 3: Esquematização da formação da imagem por uma lente convergente..........11 Figura 4: Figura 4: Esquematização do método de Bessel..............................................12 Figura 5: Esquematização do método da autocolimação...............................................13 Figura 6: Visualização do método da autocolimação......................................................14 Figura 7: Esquematização do método da associação de lentes ......................................14
Lista de Abreviaturas e Siglas
distância focal (f) distância do objeto em relação ao centro óptico (p) distância da imagem em relação ao centro óptico (p’)
tamanho da imagem (i) tamanho do objeto (o) aumento da lente (A) vergência da lente (V) raio da esfera matriz da lente na face 1 (R 1) raio da esfera matriz da lente na face 2 (R 2) índice de refração da lente (n)
média aritmética do foco ( ) desvio padrão do foco ( erro percentual (Er %)
)
Conteúdo 1 Objetivos ............................................................................................................................... 7 2
Materiais Utilizados .............................................................................................................. 7
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Introdução Teórica ................................................................................................................ 7
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Métodos .............................................................................................................................. 12
5
Resultados ........................................................................................................................... 15
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Discussão............................................................................................................................. 20
7
Conclusão ............................................................................................................................ 20
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Referências.......................................................................................................................... 21
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1 Objetivos O objetivo deste relatório é determinar a distância focal de lentes delgadas por três diferentes métodos. O primeiro é o método de Bessel, o segundo método é o da autocolimação e o último método é o método da associação para lentes divergentes.
2 Materiais Utilizados Foram utilizados para a medição da distância focal pelos três métodos diferentes os seguintes materiais: banco óptico, fonte de alimentação para a lâmpada, lâmpada alógena, suporte de três pontos ajustáveis, vidro despolido, placa metálica com fenda em formato de F, espelho plano, anteparo, trena, suporte de três pontos ajustáveis, lentes de +100, +200, +300, +400 e uma lente de -400.
3 Introdução Teórica As lentes são formadas por materiais translúcidos e refringentes de tal forma que pelo menos uma das faces onde a luz passa não é plana, mas sim curva e tendo um raio de curvatura. Deste modo a parte não plana de uma lente faz parte de uma grande esfera com um raio de curvatura. Quando um raio incide no plano da lente paralelamente ao eixo principal da lente o prolongamento do raio incide no foco da lente, como mostrado na figura 1.
Figura 1: raios paralelos ao eixo principal
Quando o raio de luz sai do foco da lente, ele é desviado pela lente, saindo paralelamente ao eixo principal da lente.
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As lentes sempre têm dois focos um a esquerda e o outro a direita do centro óptico, como mostrado na figura 1, f1 e f2 os dois focos e O o centro óptico. A distância entre o foco e o centro óptico é chamada de distância focal. A distância focal pode ser calculada de acordo com a distância do objeto à lente, isto é chamado de p e a distância entre a imagem do objeto e o centro óptico, chamado de p’, através da equação de Gauss, que usa a semelhança de triângulos para ser deduzida a equação 1.
Equação 1: Equação de Gauss Para a equação de Gauss ser usada da forma correta, necessita de uma convenção de sinais para as distâncias p e p’. O p sempre será positivo pois é o objeto e assim está localizado na região real da lente, já p’ pode estar lo calizado na região real (p’>0) ou pode estar localizado na parte virtual, sendo assim será uma imagem virtual (p’<0).
A ampliação da lente pode ser definida pela relação entre tamanho da imagem (i) e tamanho do objeto (o) ou da relação entre a distância do objeto (p) e a distância da imagem (p’) ao centro óptico, conforme a equação 2.
Equação 2: Aumento da lente A vergência da lente é como se fosse a potência da lente, sua unidade de medida é a dioptria (di) e é dada conforme a equação 3.
Equação 3: Vergência da lente
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A demonstração da dedução da fórmula da vergência, chamada também como equação dos fabricantes de lentes é feita da seguinte forma, dada a figura 2.
Figura 2: Esquematização de um raio de luz numa lente convergente Considerando que: C1 é o centro do raio 1, C 2 é o centro do raio 2, AO é o raio óptico analisado, h a distância entre o eixo óptico e o raio óptico analisado, A é o ponto de incidência do raio óptico AO em relação á normal, D é o ponto que o raio óptico emerge, β1 é o ângulo que o raio óptico emerge em relação com a normal à segunda face, F é o ponto focal da lente e P é o ponto em que se cruza o prolongamento da reta AO com a reta DF. Aplicando a lei de Snell Descarte, sendo o índice de refração do ar igual a 1, tem-se: Face 1: Face 2:
Da figura 2 nos triângulos (ADI), (C2C1I) e (C2FD) têm-se as relações angulares:
;
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Também se tem a relação angular:
( )
Estas relações resultam em:
Do triângulo (FPJ) tem-se a relação:
Considerando que h é muito menor que o raio de curvatura da lente, pode-se aproximar os ângulos dos senos e das tangentes igualando-os aos seus respectivos valores. Deste modo a equação de Snell Descartes fica deste modo:
Face 1:
Face 2:
E assim tem-se que:
Como foi considerado h muito menor que R 1 e R2, têm-se que:
̅
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Considerando
̅ ̅ ( ) igual a h, resulta na equação 4.
Equação 4: Equação dos fabricantes de lentes Na demonstração da dedução da fórmula de Gauss, tem-se como a esquematização, a figura 3. O ponto P é uma fonte de luz que está a uma distância maior que a distância focal da lente.
Figura 3: Esquematização da formação da imagem por uma lente convergente Pela semelhança de triângulos (EPF 0, F0OB), (PAB, AOFi) e (FiDP,ABP’) tem -se que:
̅̅ ̅̅ ̅̅ → ̅̅ ̅ ̅̅ →
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Desta relação encontra-se a equação de Gauss equação 2.
Equação 2: Equação de Guss
4 Métodos No procedimento do método Bessel para a determinação da distancia focal é esquematizado na figura 4
Figura 4: Esquematização do método de Bessel De acordo com a figura 4, L é a lâmpada alógena, C é o condensador e V 1 é o vidro despolido. Este arranjo é usado para iluminar a placa metálica com a fenda em formato de F, denominada na figura 4 de F. As distâncias Lx e Ly são as distâncias na qual se focaliza a imagem do objeto no anteparo A, pois a lente é colocada em duas posições X e Y. A lente projeta as imagens em X e em Y se e somente se d>4f. A distância S é a diferença das distâncias Lx e Ly. O procedimento do método Bessel é feito da seguinte forma: a lente de distância focal de +100, é colocada no suporte de três pontos ajustáveis a uma certa distância da placa metálica com fenda em formato F, logo, pelo anteparo ajusta-se para o ponto onde a imagem de F é focalizada, fazendo-se a medição Lx. Sem mexer no anteparo move-se o suporte com a lente de +100 para frente, para focalizar novamente o F no anteparo, então é feita a medida de Ly.
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Pela equação 3, calcula-se a distância focal da lente.
Equação 3: Distância focal pelo método de Bessel Este procedimento foi feito três vezes, tendo como objetivo diminuir o erro, para cada lente estudada, que foram as lentes de +100, +200 e +300, depois de encontrada a distancia focal fez-se o erro percentual. A esquematização do método da autocolimação é mostrada na figura 5.
Figura 5: Esquematização do método da autocolimação Na esquematização da figura 5, L é a lâmpada alógena, C é o condensador, V 1 é o vidro despolido, F é a placa metálica com fenda em formato de F e P é um espelho plano. Para a medição da distância focal pelo método da autocolimação, coloca-se a lente a ser estudada entre f e P, achando-se o foco da imagem na placa metálica, pois quando a lente está posicionada de forma que a distância focal f é a distancia de F à lente, o raio óptico sairá da fenda, passará pela lente, sendo refletida pelo espelho, retornará para lente e irá formar a imagem F invertida na placa metálica, formando a imagem mostrada na figura 6.
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Figura 6: Visualização do método da autocolimação Este procedimento foi feito para as lentes de +100, +200 e +400. Com os resultados fez-se o erro percentual. A esquematização para o método da associação é mostrada na figura 7.
Figura 7: Esquematização do método da associação de lentes O procedimento tomado foi fixar a lente convergente 1 (+200) na distância p1 de aproximadamente 400 mm da placa metálica com fenda em F. Depois foi achado o foco da imagem no anteparo A e medido p’1. Após a medição colocou -se a lente divergente 2 de -400 a uma distância e de aproximadamente 250 mm da lente 1 e foi colocado o anteparo A focalizando a imagem e mediu-se a distância p’2. Após o procedimento calculou-se p2 que é a diferença entre p1 e a distância e.
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5 Resultados No método de Bessel os resultados coletados são mostrados na tabela 1.
+100 +100 +100 +200 +200 +200 +300 +300 +300
d (mm) 1420 1235 1110 1245 1545 1210 1675 1575 1560
s (mm) 1125 1060 840 855 980 585 535 480 470
Lx (mm) 1280 1215 1000 1165 1290 925 1415 1370 1355
Ly (mm) 155 155 160 310 310 340 880 890 885
Tabela 1: Dados do método de Bessel Foram calculados os focos das lentes de +100, +200 e +300, usando a equação 3. Para a lente de +100.
Para lente de +200.
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Para alente de +300.
Depois tirou-se a média dos focos e calculou-se o desvio padrão, para as lentes +100, +200, +300. Para a lente de +100.
132,2 81,3 118,6
|| || | | ∑
Tabela 2: Desvio Padrão da lente de +100
√ →
462,25 864,36 62,41 1389,02
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Para a lente de +200
164,5 230,8 231,8
|| || | | ∑
1980,25 475,24 519,84 2975,33
Tabela 3: Desvio Padrão da lente +200
√ → Para a lente de +300
376 357,2 354,6
|| | | | | 12,6 8,0
∑
Tabela 4: Desvio padrão da lente de +300
179,56 158,76 64,00 402,32
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√ → Após calcular o desvio padrão, calculou-se o erro percentual. Para a lente de +100
|| Para a lente de +200
|| Para a lente de +300
|| Na tabela 5, mostram-se os erros percentuais para cada lente. Lente +100 +200 +300
10,7% 4,5% 20,9%
Tabela 5: Erros percentuais do método de Bessel
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No método da autocolimação coletaram-se os resultados mostrados na tabela 6. Lentes Distância focal (f’) (mm) +100 100 +200 230 +400 410 Tabela 6: Dados do método da autocolimação Com os resultados das medições da distância focal das lentes, calculou-se o erro percentual para cada lente. Para a lente de +100
| | Para a lente de +200
|| Para a lente de +400
| | Na tabela 7 são mostrados os erros percentuais do método da autocolimação. Lentes +100 +200 +400
0% 15% 2,5%
Tabela 7: Erros percentuais do método da autocolimação
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No método da associação de lentes calculou-se a distância p 2.
Na tabela 8 mostram-se os resultados obtidos no método da associação. Lente -400
p1 p’1 e p2 400 515 250 265 Tabela 8: Resultados do método da associação de lentes
p’2
480
6 Discussão O método de Bessel ficou com um erro percentual maior que o método da autocolimação. Isto foi causado porque ao encontrar o primeiro foco, já existe uma incerteza, mas ao encontrar o segundo foco da lente, esta incerteza aumenta, já que é difícil de distinguir quando está ou não está focado. No método da autocolimação existe somente um ajuste, pois este já conta como um ajuste dos dois focos, então a incerteza no ajuste fica menor, ocasionando menor erro percentual.
7 Conclusão Este relatório obteve com base nos resultados de erro percentual que o método da autocolimação é mais preciso que o método de Bessel, já que tem que se fazerem menos ajustes para se determinar o foco, diminuindo a margem de incerteza de cada ajuste.
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8 Referências HALLIDAY, RENICK, WALKER, Jearl. Óptica e Física Moderna, Fundamentos da Física. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 416 p.
