RELACIÓN ENTRE LA ELONGACIÓN DE UN RESORTE Y LA FUERZA APLICADA

Octubre,2010

RELACIÓN ENTRE LA ELONGACIÓN DE UN RESORTE Y LA FUERZA APLICADA Resumen. Atravésdelamedicióndelaelongacióndeunresortealqueselecolocandiferentes masas,sedeterminaunarelaciónfuncionalentredichaelongaciónylafuerzaquese aplica,élmétodoutili aplica,élmétodoutilizadoparaencont zadoparaencontrardicha rardicharelacióndeapari relacióndeapariencialinea encialineal,eselde l,eselde mínimoscuadrados Introducción. Laspersonastenemosunconceptointuitivodeloqueeslafuerza,cuandopateamos unbalón estamo estamos seje ejerci rciend endo ounafuer unafuerzasobre zasobre él, y engeneral, engeneral, cuandologr cuandologramo amos sun un cambioenlaposicióndeunobjetoesresultadodelasfuerzasqueactúansobreeste; sinembargonotodaslasfuerzasgeneranmovimiento,dehecho,aunqueestemosen movimientooreposo,existeunafuerzafundamentalqueactúasobrenosotros,esta fuerzaesladegravedad.Lasfuerzaspuedenclasificarsedentrodedosampliosgrupos como fuerzasdecontactoy  fuerzasdecontactoy fuerzasdecampo.Lasfuerzasdecontacto,comosunombre  fuerzasdecampo.Lasfuerzasdecontacto,comosunombre loindica,implicanuncontactofísicoentrecuerpos,mientrasquelasfuerzasdecampo actúanatravésdelespacio,decualquiermodo,estaclasificaciónnoestanútilcomo podríapensarse,puesanivelatómicotodaslasfuerzasdecontactosonresultadode fuerzasdecampo,sinembargoaldesarrollarmodelosparafenómenosmacroscópicos esconvenienteutilizardichaclasificacióndefuerzas.Noobstantelasúnicasfuerzas  fundamentales conocid conocidas as en la natura naturalez leza a son todas todas fuerza fuerzas s de campo, campo, estas estas son la  fuerzadegravedad,fuerzaelectromagnética,fuerzafuertey  fuerzadegravedad,fuerzaelectromagnética,fuerzafuerte yfuerzadébil. IsaacNewton,unodelasmasbrillantesmatemáticosyfísicosdelahistoria,en1687 pub publicó licó sus sus desc descub ubrrimie imient nto o en su cele celeb bre obr obra “Philo “Philosop sopiae iae natura naturalis lis princip principia ia mathematica“ obien“PrincipiosMatemáticosdelaFilosofíaNatural”, obien“PrincipiosMatemáticosdelaFilosofíaNatural”, dentrodedicho textoNewtonexponesusfamosasleyes,estassonlassiguientes Todosloscuerposperseveransuestadodereposoodemovimientouniformeenlínea recta,salvoqueseveanforzadosacambiareseestadoporfuerzasimpresas. Elcambiodemovimientoesproporcionalalafuerzamotrizimpresa,ysehaceenla direccióndelalínearectaenlaqueseimprimeesafuerza. Paratodaacciónhaysiempreunareacciónopuestaeigual.Lasaccionesrecíprocasde doscuerposentresísonsiempreigualesydirigidashaciapartescontrarias. Estasleyes Estasleyes son elcimiento elcimiento delestudio delestudio deladinámica, deladinámica, lacualesla ramade ramade lafísica lafísica que que desc descri ribe be como como es que que un sist sistem ema a físi físico co evol evoluc ucio iona na con con resp respec ecto to al tiem tiempo po considerandolascausasqueocasionanloscambiosdeestadoodemovimiento.Puede deci decirs rse e que que una una de las las leye leyes s mas mas tras trasce cend nden ente tes s es la segu segund nda, a, la cuál cuál pode podemo mos s expresarentérminosmatemáticoscomo. F 

dp =

dt 













1









(1)

Octubre,2010 DondeFesloqueNewtondefineensusegundaleycomo f   f uerzamotrizimpresa uerzamotrizimpresa,pes ,pes el movimiento o momento momento lineal lineal y d/dt  es un oper operad ador or mate matemá máti tico co que que indi indica ca el camb cambio io de la magn magnit itud ud a la que que se apli aplica ca dich dicho o oper operad ador or con con resp respec ecto to al tiem tiempo po.. Apli Aplican cando do las las regl reglas as del del cálc cálcul ulo o y cons consid ider eran ando do que la masa masa a la que que se apli aplica ca la “Fuerzamotriz” permanecelacontantepodemosexpresarlosiguiente. permanecelacontantepodemosexpresarlosiguiente. F 

F 

dmv =

=

dt  ma

⇒ F 



=

m

dv dt 

















(2)

Podemosobservarquelaecuación2quela dv/dt sesustituyopor sesustituyopor a,dondea ,donde arecibeel nomb nombre re de acele acelera raci ción ón; ; de los los conc concep epto tos s estu estudi diad ados os en mecán mecánic ica a sabe sabemo mos s que la aceleraciónesunacantidadvectorialylamasaesunacantidadescalar,portantoesel productoescalar productoescalar-vecto -vectorda rdacomoresul comoresultadounvector,esporestarazónquela tadounvector,esporestarazónquela fuerza esunacantidadvectorial. Esenestepuntodondeconvieneaclararcualesladiferenciaentrelamasayelpeso, térm términ inos os que que se usan usan indi indist stin inta tame ment nte e en el voca vocabu bula lari rio o coti cotidi dian ano o pero pero que que en aspectosfísicosrepresentandoscosasdiferentes;masasoloenalgunoscasosyque convie convienenparalos nenparalos interé interés sdela dela químic química a sedefine sedefine como como lacantidaddemateriaque contieneuncuerpo,mientr contieneuncuerpo,mientrasqueel asqueel pesoporsu pesoporsu caráct caráctervect ervectori orialse alse define define comola comola  fuer  fuerza za con con la que uncuerpo uncuerpo actú actúa a sobre sobre unpunto unpunto deapoyo deapoyo,, a caus causa a de la fuerz fuerzade ade atraccióndelagravedad ,yesacausadeestadefiniciónyqueconayudadelaecuación ,yesacausadeestadefiniciónyqueconayudadelaecuación 2quepodemosreescribirelpeso(w)deunobjetocomo. w

=

mg



















(3)

donde g es la aceler aceleraci ación ón de la graved gravedad, ad, que deacue de acuerdo rdo a la medici medición ón deManu de Manuel el MenaenelInstitutodeGeofísicadelaCiudadUniversitariacorrespondeelvalorde 977927.071miligalesqueesequivalentea9.78m/s 2 [1]. RobertHooke,uncientíficocontemporáneodeNewton,desarrolloloqueactualmente se cono conoce ce como como la ley de Hook Hookee que que se expr expres esa a matem atemát átic icam amen ente te de la for forma siguiente. F s

=



−kx



(4)

donde F s es la fuer fuerza za que que ejer ejerce ce un reso resort rte e ya sea sea alarg alargad ado o o comp compri rimi mido do,, x   x  es la elon elonga gaci ción ón del del reso resort rte e con con resp respec ecto to a su esta estado do de equi equili libr brio io (x=0 (x=0) ) y k  es una cons consta tant nte e de prop propor orci cion onal alid idad ad, , posi positi tiva va, , cono conoci cida da como como cons consta tant nte e de fuer fuerza za o cons consttante ante del del reso resort rtee y se deter eterm mina experimenta ntalment ente. Se puede observar claramentequelaecuación4eslinealyquesiendo x   x laelongacióndelresortelacual laelongacióndelresortelacual puede puede variar variar y siendo siendo k  una una const constan ante te,, la pend pendie ient nte e de una una graf grafic ica a de F s vs  x  nos nos determinalaconstantedelresorte. Ya que tratam tratamos os acerca acerca de relaci relaciones ones lineal lineales es convie conviene ne repasar repasar de manera manera sencil sencilla la comoesqueseajustaunrectaaunseriedepuntosqueparecentenerunatendencia

2

Octubre,2010 lineal.Lapendienteylaordenadaalaorigendedicharectasecalculandeacuerdoa lassiguientesdosecuaciones. n

∑ m

i

=

 x i y i ui2

1

=

n

n

1

n

yi

∑u −∑u ∑u i

1

=

2

2

2

i

i i

i

i

1

=

1

=

⎛n x ⎞  x i 1 ∑ u ∑ u − ⎜∑ u i ⎟ ⎝i i ⎠ i i i i n

n

2

2

2

1

∑ b

2

2

1

=

n

xi

1

=

ui2

n

n

xi

2

i

x i2

2

i

1

=

i

2

i i

1

=

n ⎛ n  x ⎞ x i ⎜∑ ⎟ − ∑ i ⎝ i ui ⎠ i ui

2

2

1

=

n

yi

∑u −∑u ∑ u 2

1

=

=

i

 x i y i

1

=

=

n

1

=

(5,6)

1

∑u i

2

i

1

=

2

i

Elmétodoutilizadoparadeterminarlapendiente( m)ylaordenadaalorigen( b)esel ajustepormínimoscuadrados,donde x  ajustepormínimoscuadrados,donde  x isonlasabscisas,y  sonlasabscisas,y isonlasordenadasyu sonlasordenadasyui son las incert incertidu idumbr mbres es combin combinadas adas asocia asociadas das a cada cada medici medición ón y   y i, no se consi conside dera ran n las las ince incert rtid idum umbr bres es con con resp respec ecto to a las las absc abscis isas as pues pues se supo supone ne se tien tiene e una una mayo mayor r precisiónenlalasmediciones x  precisiónenlalasmediciones  x i.Dadoque . Dadoquem my bsedeterminarondeacuerdoadatos experimentalesresultaaparentequesedebendetenerunaincertidumbreasociada,la cualsecalculadeacuerdoconlassiguienteecuaciones. 2

um

=

 N 

ub

2

(7)

Δ'

u

2

u

2

∑ x Δ'

=

2

(8)

i

donde n

∑x

 N

Δ'

i 1 n =

=

n

∑ x ∑ x i

i 1

n

i =

2

N

∑x

⎛ ⎞ − ⎜∑ x ⎟ ⎝ ⎠ n

2 i

i 1 =

i

2













(9)

i 1 =

i

i 1

=

=

y u

2

n

1

=

∑ ( y  N  − 2 i

i − mx i − b)

2

(10)

1

=

Unavezdeterminadalapendiente( m)ysuincertidumbreasociada( um);laordenal Unavezdeterminadalapendiente(m origen(b)ysuincertidumbreasociada( ub),esconvenientesaberquetanconfiablees nuestromodelo,yunbuenparám nuestromodelo,yunbuenparámetroquenospermi etroquenospermitedeterm tedeterminarquetanóptim inarquetanóptimaes aes laecuaciónobtenidacomomodeloeselcoeficienteR2ysedeterminacomo

⎛  y y ( x ) ⎞ 2 ∑⎜⎜ u2i − u2 i ⎟⎟ i i 1⎝ i ⎠ 1− 2 __ ⎞ n ⎛ ∑⎜⎜ y iu−2 y ⎟⎟ i 1 ⎝ i ⎠ n

 R

2

=

=

(11)

=

3

Octubre,2010

Desarrolloexperimental. Enunsoporteuniversalsecolocaunapinzadetresdedosyenellasecolocadeforma verticalunresorte,conunflexómetrosemidelalongitudinicialdelresorte.Sepesa unarondanaen unarondanaenunabalanza unabalanzagranatari granataria(SETRA, a(SETRA,modelo5000L) modelo5000L)seregistra,secoloca seregistra,secoloca enelresorteylamasageneraunaelongaciónenelresorte,semidelalongitudfinal delresorte.Larondanainicialconotrarondanaadicionalsepesanjuntasysecolocan enelresorte,semidenuevamentelalongitudfinal enelresorte,semidenuevame ntelalongitudfinaldel delresor resorteyse teyse registra,serepite registra,serepite esteproceso14vecesmas. Resultados. En la tabl tabla a 1, se mues muestr tran an las las cant cantid idad ades es de las las medi medici cione ones s efec efectu tuad adas as tanto tanto de la masa masa coloca colocada daen en el resort resorte e así como como la longitu longitud d del resort resorte e cuando cuando sostie sostiene nedic dicha ha masa,adicionalm masa,adicionalmenteseagregan enteseagreganlosvaloresdelpesoylaelongación. losvaloresdelpesoylaelongación.Enla Enla tabla2se muestranlosprimeroscálculosdelassumasnecesariasparaladeterminacióndela pendienteylaordenadaalorigen.Latabla3muestraloscálculosdelasuma(yi-mxipara la dete determ rmin inaci ación ón de u2. En la Tabl Tabla a 4 se hace hace una una comp compar araci ación ón entre entre los los b)2 para result resultado ados s obteni obtenidos dos y los datos datos experi experimen mental tales. es. Se determ determina ina la ecuaci ecuación ón 13 que corr corres espo pond nde e a la rela relaci ción ón que que exis existe te entr entre e la elong elongac ació ión n y el peso peso que que sopo soport rta a el resorte,finalmentesedeterminalaconstantedelelresorteutilizado. Masa kg ( 1x10-5 kg) 0.00 5.90 11.96 17.09 23.03 28.94 34.90 40.73 46.81 52.00 57.90 62.37 68.20 73.09 78.25 83.92

Peso Longitud del Resorte Elongación -5 N ( 1x10 N) cm ( .1 cm) cm ( .2 cm) 0.0000 0.0577 0.1170 0.1671 0.2252 0.2830 0.3413 0.3983 0.4578 0.5086 0.5663 0.6100 0.6670 0.7148 0.7653 0.8207

7.3 7.7 7.9 8.1 8.3 8.6 8.8 9.1 9.3 9.6 9.8 9.9 10.3 10.5 10.7 10.9

0.0 0.4 0.6 0.8 1.0 1.3 1.5 1.8 2.0 2.3 2.5 2.6 3.0 3.2 3.4 3.6

Tabla 1.- Las cantidades de las mediciones de las masa colocada y la longitud del resorte. Lospesosreportadosenlatabla1,fueroncalculadosdeacuerdoalaecuación3,con unvalordeg=9.78m/s 2elcualcorrespondealvalordelaaceleracióndelagravedad registradoenCiudadUniversitaria.Laelongaciónsedeterminócomoladiferenciaque existe existe entre entre lalongituddel lalongituddel resort resorte e cuandose cuandose le aplica aplica una fuerza fuerza,, y lalongituddel lalongituddel resorteensuestadodeequilibrio,matemáticamenteseexpresacomo. Δl 

=

(12)

l  − l 0

4

Octubre,2010 Laincertid Laincertidumb umbreque reque seasocia a laelongació laelongación n esde ±.2cm, .2 cm, puestoque puestoque cuandose cuandose suma suman n o se rest restan an dos dos medi medici cion ones es que que cont contie iene nen n ince incert rtid idum umbr bre, e, se suma suman n las las incertidumbresabsolutasparaobtenerlaincertidumbreabsolutadelresultado. l y

ul ul

0.0000 0.0577 0.1170 0.1671 0.2252 0.2830 0.3413 0.3983 0.4578 0.5086 0.5663 0.6100 0.6670 0.7148 0.7653 0.8207

0.0 0.4 0.6 0.8 1.0 1.3 1.5 1.8 2.0 2.3 2.5 2.6 3.0 3.2 3.4 3.6

1.00E-05 1.00E-05 1.00E-05 1.00E-05 1.00E-05 1.00E-05 1.00E-05 1.00E-05 1.00E-05 1.00E-05 1.00E-05 1.00E-05 1.00E-05 1.00E-05 1.00E-05 1.00E-05

Σ

l/ul2 y/u l2

w2 /ul2 x^2/ul2

w l/ul2 xy/u l2

1/ul2 1/ul2

0 0 577020000 4000000000 1169688000 6000000000 1671402000 8000000000 2252334000 10000000000 2830332000 13000000000 3413220000 15000000000 3983394000 18000000000 4578018000 20000000000 5085600000 23000000000 5662620000 25000000000 6099786000 26000000000 6669960000 30000000000 7148202000 32000000000 7652850000 34000000000 8207376000 36000000000

0 33295208.04 33295208.04 136817001.7 279358464.6 507300844.8 507300844.8 801077923 1165007077 1586742776 2095824881 2586332736 3206526526 3720738925 4448836640 5109679183 5856611312 6736102081

0 230808000 701812800 1337121600 2252334000 3679431600 5119830000 7170109200 9156036000 11696880000 14156550000 15859443600 20009880000 22874246400 26019690000 29546553600

10000000000 10000000000 10000000000 10000000000 10000000000 10000000000 10000000000 10000000000 10000000000 10000000000 10000000000 10000000000 10000000000 10000000000 10000000000 10000000000

67001802000

38270251579 1.69811E+11

w/ul2 x/ul2

W X

3E+11

1.6E+11

Tabla 2.- Se muestran los primeros cálculos para la determinación de la pendiente y la ordenada al origen Sust Sustit ituy uyénd éndos ose e los los valo valore res s de las las suma sumas s en la tabl tabla a 2 en las las ecua ecuaci cione ones s 5 y 6, se dete determ rmin inan an los los valo valore res s de la pendi pendient ente e y la orde ordenad nada a al orig origen en obte obteni niénd éndos ose e los los siguientesresultados.

m=4.326304137 b=0.063311418

Elongación 4,0

     )    m    c 3,0      (    n      ó      i    c 2,0    a    g    n 1,0    o      l     E

E=4,326w+0,063

Grafico 1.- Se muestra una gráfica con los puntos experimentales y la función determinada

0,0 0,0000

0,2000

0,4000

0,6000

0,8000

Peso(N)

5

1,0000

Octubre,2010 Sinembargo,aúnrestaelcálculodelasincertidumbresasociadasalapendienteyla ordenadaalorigen. xi 0.0000 0.0577 0.1170 0.1671 0.2252 0.2830 0.3413 0.3983 0.4578 0.5086 0.5663 0.6100 0.6670 0.7148 0.7653 0.8207

yi

(yi-mxi-b)2

0 0.4 0.6 0.8 1 1.3 1.5 1.8 2 2.3 2.5 2.6 3 3.2 3.4 3.6

0.004008336 0.007578082 0.000939176 0.000184668 0.001424278 0.000148861 0.001597937 0.000178254 0.001927319 0.001332495 0.000172477 0.010457999 0.002607229 0.001950017 0.00066734 0.000198018

0.035372484 Σ Tabla 3.- Se muestra el cálculo de la suma de (y i-mxi-b)2 que se utilizara para la determinación de u2.

LasumaobtenidaenlaTabla3,sesustituyeenlaecuación10yseobtieneelvalor para para u2 que corres correspon ponde dea a 0.002526606 , para para determ determina inar r el valorde valorde ’seusola ecuación9yseobtuvoelsiguientevalor 16.33998781. Sustituyendolosvaloresde u2y ’enlasecuaciones7y8,yaplicandoraízcuadradasedeterminanlosvaloresde laincertidumbredelapendienteylaordenadaalorigen.

um=0.049739669  ub=0.02432616 Por Por tant tanto o pode podemo mos s expr expres esar ar que que la rect recta a que que mejo mejor r se ajus ajusta ta al grup grupo o de dato datos s experimentaleses

l(w)=4.326304137( 0.049739669)w+0.063311418( 0.02432616 )(13) Tambiénestafunciónpuedeexpresarsedeotraformaendondeenlugardecolocar las las ince incert rtid idum umbr bre e abso absolu lutas tas se colo coloca can n las las incer incerti tidu dumb mbre res s rela relati tiva vas, s, queda quedand ndo o la funcióndelasiguienteforma.

l(w)=4.326304137( 1.15%)w+0.063311418( 38.42%)

(14)

Notequelaincertidumbrerelativaobtenidapara besconsiderablementegrande,esto sedebeaquelaincertidumbreabsolutaasociadaa bestambiéncercanaalvalorde estambiéncercanaalvalordeb b yasuvezb yasuvezbescercanoacero(aunquedehechodeberíadesercero).

6

Octubre,2010 Laformaenlaquese Laformaenlaquesecalcul calcularonlasincer aronlasincertidum tidumbresrela bresrelativas tivasenlapendiente( enlapendiente(m m)yla ordenadaalorigen(b ordenadaalorigen(b)fueronlassiguientes. %u

m

m =

(15)

× 100%

u

m

% ub

b =

ub

(16)

× 100%

Serealizaunacomparaciónnuméricaentrelosdatosobtenidosaplicandolaecuación 13ylosresultadosregistradosexperimentalmente,tambiénsecalculaelporcentaje deerrordemododequeseobserveladiferenciaporcentualqueexisteentredichos conjuntosdedatos. Peso

Elongación

Elongación Función

 y ( x i ) − y i

0.00000 0.05770 0.11697 0.16714 0.22523 0.28303 0.34132 0.39834 0.45780 0.50856 0.56626 0.60998 0.66700 0.71482 0.76529 0.82074

0.0 0.4 0.6 0.8 1.0 1.0 1.3 1.5 1.5 1.8 2.0 2.0 2.3 2.5 2.5 2.6 3.0 3.2 3.4 3.6 3.6

0.0633 0.3129 0.5694 0.7864 1.0377 1.2878 1.5400 1.7866 2.0439 2.2635 2.5131 2.7023 2.9489 3.1558 3.3742 3.6141

1 -0.278168359 -0.053825876 -0.017280084 0.036367127 -0.009474209 0.025957707 -0.007472755 0.021479139 -0.016126973 0.005225768 0.03784395 -0.017315051 -0.013992782 -0.007656088 0.003893639

 y ( x i )

% 100% -27.8% -5.4% -1.7% 3.6% -0.9% 2.6% -0.7% 2.1% -1.6% 0.5% 3.8% -1.7% -1.4% -0.8% 0.4%

Tabla 4.- Comparación entre los resultados de la función y los resultados experimentales Pese Pese a que se obtien obtienen en para para alguno algunos s valore valores s un porcent porcentaje aje de error error bastant bastante e alto, alto, podemosutilizarelcoeficientedeR2paradeterminarquetanconfiableeselmodelo; medianteelusodelaecuación11determinamoselvalordeR2.

R2=0.9981529 ElvalorobtenidoparaR2escercano1locualgarantizalaeficienciadelmodelo. Podríamospensarquelapendientedelaecuación13eslaconstantedelresorte,sin embargoestonoesdeltodociertopuestoquelaelongaciónseexpresaenfuncióndel peso,portantolaconstantedelresorteseríaelinversodelapendientelapendiente delaecuación13.

k resorte resorte=23.11441749 N/m

7

Octubre,2010

Conclusiones. Seobtienequelarelacióndeexisteentrelaelongacióndeunresorte,yunafuerzaque seleaplica(pesodelasrondanas)esdirectamenteproporcionalylineal,ademásde queenungraficodeelongación-peso,elinversodelapendientedelaecuacióndela rectaquemejorseajustaalosdatosexperimentaleseslaconstantedelresorte. Bibliografía. [1]http://www.smf.mx/boletin/2005/Abr-05/Placeres.html [1]http://www.smf.mx/boletin/2005/Abr-05/Placeres.html FísicaParaCienciaseIngenieríaVol. Vol.1. 1.,7ªEdición,D.F. ,7ªEdición,D.F. SERWAY, SERWAY, RaymondA. RaymondA. FísicaParaCienciaseIngeniería México,CengageLearning,2008,pp.100,101,173,ApéndiceB,sección8. http://depa.pquim.unam.mx/amyd/archivero/incert_param_6907.pdf  http://depa.pquim.unam.mx/amyd/archivero/Histog_Ajustes_11229.pdf 

8