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ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN

CARLOS ALBERTO RIVEROS JEREZ

PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL ESCUELA AMBIENTAL FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA 2016

TABLA DE CONTENIDO 1.

ELEMENTOS ESTRUCTURALES Y FUNCIONES PRIMARIAS DE LAS EDIFICACIONES .......... 3

2.

TIPOS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ....................................................................................... 10

3.

ESTADOS LÍMITE Y FILOSOFÍAS DE DISEÑO ................................................................................. 23

4.

GENERALIDADES DEL CONCRETO Y EL ACERO DE REFUERZO .............................................. 32

5.

PROPIEDADES MECÁNICAS DEL CONCRETO Y EL ACERO DE REFUERZO............................ 39

6.

FLEXIÓN .................................................................................................................................................. 48

7.

CONSIDERACIONES BÁSICAS EN LA TEORÍA DE FLEXIÓN ....................................................... 65

8.

CARGAS ................................................................................................................................................... 73

9.

VIGAS SIMPLEMENTE REFORZADAS ............................................................................................... 79

10. VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS ................................................................................................ 99 11. ANÁLISIS Y DISEÑO DE VIGAS T .................................................................................................... 112 12. CORTANTE ............................................................................................................................................ 132 13. DISEÑO A CORTANTE ........................................................................................................................ 137 14. TORSIÓN ................................................................................................................................................ 156 15. ADHERENCIA Y ANCLAJE ................................................................................................................. 170 16. GANCHOS ESTÁNDAR ........................................................................................................................ 183 17. PROCEDIMIENTO DE CORTE DEL ACERO DE REFUERZO ......................................................... 193 18. LOSAS ..................................................................................................................................................... 205 19. LOSAS ARMADAS EN UNA DIRECCIÓN ......................................................................................... 207 20. LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES ..................................................................................... 226 21. COLUMNAS ........................................................................................................................................... 242 22. DIAGRAMA DE INTERACCIÓN ......................................................................................................... 255 23. COLUMNAS BIAXIALES ..................................................................................................................... 270 24. EFECTOS DE ESBELTEZ ..................................................................................................................... 276 25. CIMENTACIONES ................................................................................................................................. 285 26. DISEÑO DE ZAPATAS ......................................................................................................................... 291


Programa de Ingeniería Civil - UdeA

INTRODUCCIÓN La gran mayoría de obras civiles utilizan el hormigón como material de base para la construcción de diferentes obras, por lo tanto es importante para cualquier ingeniero civil entender la mecánica y los procedimientos de diseño de elementos en hormigón. Todas las áreas de la ingeniería civil tienen en el hormigón un material de construcción de amplio uso, en el área de aguas los sistemas de almacenamiento, conducción y tratamiento de aguas ya sea potable, industrial o sanitaria usan estructuras de hormigón, en el área de vías es común el uso del hormigón en la construcción de obras de estabilización de laderas, puentes y obras de arte menores como ser cunetas o bordillos, de igual forma en algunas zonas del país es común el uso de pavimentos rígidos cuyo material base es el hormigón y en el área de estructuras se tienen una gran cantidad de edificaciones hechas en hormigón desde viviendas de uno o dos pisos hasta edificaciones de gran altura. El presente documento enfatiza en criterios de diseño por durabilidad atendiendo requerimientos de resistencia sísmica.

Los temas tratados en este documento requieren de bases sólidas en la mecánica del medio contínuo, la resistencia de materiales y el análisis estructural. En los capítulos 1 y 2 se presentan los diferentes componentes y sistemas estructurales. Se presentan los sistemas de resistencia a cargas gravitacionales y cargas ambientales. En los capítulos 4 y 5 se presentan las propiedades de los materiales que se usan para la elaboración del concreto reforzado a saber el concreto y el acero. Los capítulos 6 y 7 presentan las consideraciones básicas que se deben considerar en el diseño a flexión, el capítulo 8 presenta las tipologías y combinaciones de cargas que se deben usar en el diseño de edificaciones, los capítulos 9, 10 y 11 presenta el diseño a flexión de elementos de concreto reforzado, los capítulos 12 al 17 presentan los criterios generales de diseño de vigas de acuerdo a la NSR-10, los capítulos 18 al 20 presentan en forma resumida el tema de losas como sistemas usados como entrepisos en edificaciones, se presentan los criterios generales de dimensionamiento dejando para cursos más avanzados el análisis y diseño de losas, los capítulos 21 al 24 presentan las cosideraciones generales en el diseño de columnas de concreto reforzado con base a la NSR-10. Finalmente, los capítulos 25 y 26 presentan en forma resumida los criterios a considerar en el diseño de cimentaciones enfatizando en el diseño de zapatas y dejando para cursos más avanzados el análisis y diseño de cimentaciones profundas.

Riveros Jerez, Carlos.Alberto

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1. ELEMENTOS ESTRUCTURALES Y FUNCIONES PRIMARIAS DE LAS EDIFICACIONES En el curso de análisis estructural se estudiaron diferentes metodologías para solucionar estructuras, estos métodos se fundamentan en que el trabajo efectuado por las cargas aplicadas se convierte en energía potencial elástica de deformación; los elementos cargados almacenan la energía en forma de deformación y una vez se descargan los elementos, la energía es liberada y la estructura regresa a su estado inicial. Al deformarse la estructura, la configuración geométrica de la estructura cargada es diferente de su configuración sin carga. La idealización estructural consiste en reducir la estructura a un modelo matemático que la represente de forma adecuada y permita evaluar su comportamiento en forma numérica ante las diferentes solicitaciones de carga; las hipótesis que se tienen son en primer punto que las deformaciones son pequeñas y el comportamiento de los elementos de la estructura es lineal y elástico. Una estructura es estable cuando es capaz de soportar cualquier sistema concebible de cargas sin presentar inestabilidad por lo que la estabilidad no depende del sistema de cargas. Para que una estructura permanezca en estabilidad estática es necesario que se cumplan las siguientes condiciones:

∑F=0 ∑M

 → Ecuación que relaciona las fuerzas

= 0  → Ecuación que relaciona los momentos

Cuando hay tres reacciones de equilibrio para una estructura en el plano, debe haber por lo menos tres reacciones independientes para impedir el desplazamiento (condición necesaria pero no suficiente para el equilibrio estático). Con base en el principio de conservación de energía se tiene el siguiente enunciado: “El trabajo efectuado por las cargas aplicadas se convierte en energía potencial de deformación elástica o energía elástica que se almacena en los elementos”. La energía de

deformación puede ser causada por: fuerza normal, fuerza cortante, momento flector, y/o momento torsor. Todo el trabajo de las fuerzas externas debe ser igual al trabajo que hacen las fuerzas internas en la estructura. Los diferentes elementos estructurales usados para representar el comportamiento de una estructura pueden ser clasificados básicamente en las siguientes tipologías: • Elemento tipo viga. • Elemento tipo columna. • Elemento tipo losa / placa. • Elemento tipo muro / diafragma.


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Elemento tipo viga: Definición: miembro sujeto básicamente a esfuerzos de flexión y cortante.

Figura 1

Propiedades elásticas:  EI    Ln 

Flexión

kb = f 

Cortante

ks =

GA L

Esfuerzo normal

σ =

My I

Esfuerzo cortante

τ =

VQ Ib

Flexión δb = F (carga, condiciones de soporte, L, E, I)


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Matriz de rigidez elemento viga:

u1u  12 EI  L3232   64EI  L2

[k ] =  −12 EI  L3232  62EI   L2

2u

6EI L EI L −6EI L EI L

u −12 EI

L 6 −EI L2 EI 12 L 6 −EI L2

3

4

EI6 L EI2 L −6 EI L EI4 L

  u1    u2  u  3   u4 

Elemento tipo columna: Definición: miembro sujetos a flexión, cortante y fuerza axial.

Figura 2


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Propiedades elásticas: EA L

Axial

ka =

Flexión

kb = f 

Cortante

ks =

 EI    Ln 

GA L

δb = F (carga, condiciones de soporte, L, E, I)

Normal

Esfuerzo cortante

τ =

VQ Ib

Esfuerzo Normal

σa =

F A

Esfuerzo Normal

σb =

My I

Matriz de rigidez elemento columna:  AE  L   0    0  [k ] =  AE −  L   0   0 

0

0

12 EI EI 6 L3 L2 6 EI E 4I L2 L 0 −

0

EI 12 EI 6 − 2 L3 L 6 EI E 2I L2 L


−

AE L

0 0 AE L

0 0

0

0 

       0 0   EI 12 EI 6  −  L3 L2  EI  − 6 2 EI 4 L L 

EI 12 EI 6 L3 L2 EI6 EI 2 − 2 L L

−

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Elemento tipo losa / placa Definición: miembro sujeto a flexión bidireccional y cortante.

Figura 3

Elemento tipo muro / d iafragma Definición: miembro sujeto a cortante.

Figura 4


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Funciones primarias de las edificaciones Una estructura bien diseñada es aquella que presta su servicio en forma adecuada y a la vez es segura ante solicitaciones de cargas ambientales sin presentar colapso. La misión principal de una estructura es dar soporte a las cargas gravitacionales en condiciones de resistencia y servicio de diseño durante: •

Uso normal de la edificación (condiciones de servicio).

•

Consideraciones máximas de cargas durante su vida útil (condiciones en las cuales se presentan condiciones máximas de cargas).

•

Cargas ambientales de variadas intensidades (eventos sísmicos, explosiones, avalanchas, inundaciones, vientos, huracanes).

Figura 5

Una estructura bien diseñada no solo es segura ante eventos sísmicos sino que garantiza que los elementos no estructurales como ser muros y pisos no sufran daño considerable a fin de garantizar la preservación de la estructura. Los daños causados a elementos no estructurales durante sismos pueden resultar extremadamente costosos y puede resultar compleja la recuperación de la estructura. Es importante entender que entre menos peso tengan estos elementos no estructurales menos probabilidades de daño sufriran durante una eventualidad sísmica.


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Las tres lógicas por la cuales una estructura es susceptible a fallar son las siguientes: •

La carga que la estructura supuestamente resiste, no se puede predecir con suficiente grado de exactitud.

•

La resistencia de los distintos componentes de la estructura no puede ser predicha con suficiente grado de exactitud.

•

La estructura entra en un grado de deterioro que causa pérdida de su capacidad para resistir cargas. Este aspecto es importante en la fase de diseño seleccionando adecuadamente los materiales que se van a usar en la construcción de la estructura, Por ejemplo en zonas costeras el uso de acero estructural debe considerar aspectos de corrosión que pueden comprometer en el corto tiempo la estabilidad de la estructura.

Provisiones para fuerzas sísmicas: Sismos de pequeña y moderada intensidad deben ser resistidos dentro del rango elástico de los componentes estructurales sin sufrir daño considerable. Fuerzas sísmicas con sus respectivas intensidades deben ser usadas en los procedimientos actuales de diseño. Exposición de la estructura a sismos de alta intensidad no deben causar colapso de la estructura o sus elementos. El sitio donde ocurra daño debe ser detectable y de fácil acceso y reparación. Los procedimientos de diseño deben garantizar que los daños sufridos por estructuras se concentren principalmente en vigas evitando la generación de daño en columnas garantizando la estabilidad estructural.

Tipos de Cargas:

Gravedad:

Laterales:

•

Muerta

•

Viento

•

Viva

•

Sismos

•

Impacto

•

Presiones laterales de suelo

•

Lluvia/granizo

•

Variación de temperatura

•

Inundaciones

•

Fuerzas centrífugas


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ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN:


2. TIPOS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN Sistemas estructurales de soporte a cargas verticales. Sistemas estructurales de soporte a cargas laterales.

Sistemas de soporte a cargas verticales: • •

Placa plana. Losa plana (con ábacos y/o capiteles).

•

Losa aligerada armada en una dirección.

•

Losa aligerada armada en dos direcciones.

Figura 6

Ventajas: •

Relativa facilidad de construcción.

•

Techos a la vista planos (reduce costos acabados).

•

Muy eficiente para alturas de entrepiso relativamente pequeñas.

•

Sistema adecuado para uso en edificaciones de luces cortas o medianas con cargas pequeñas.

Este sistema no es recomendado para zonas de amenaza sísmica intermedia y alta por los altos esfuerzos generados durante un sismo en las uniones columna placa plana llevando a una falla por punzonamiento. Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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Figura 7

Ventajas: Las mismas del sistema de placa plana y adicionalmente se tienen las siguientes: •

Aumento de la resistencia ante cargas verticales y laterales.

•

Aumento de la rigidez torsional.

•

Disminución de deflexiones en el borde de la placa.

•

Sistema adecuado para uso en edificaciones de luces cortas o medianas con cargas pequeñas.

Este sistema confina perimetralmente la estructura pero no garantiza la falla por punzonamiento de las columnas interiores por lo cual su uso es restringido en zonas de amenaza sísmica intermedia y alta.

Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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Figura 8

Ventajas: •

Aumento de la resistencia ante cargas verticales y laterales.

•

Relativa facilidad de construcción.

•


•

Sistema adecuado para uso en edificaciones de luces medianas con cargas pequeñas.

Sistema de uso común en edificaciones al garantizar una adecuada transferencia de momento entre las columnas y las vigas que conforman el entrepiso.


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Figura 9

Ventajas: •

Disminución de deflexiones en la losa.

•

Incremento de la resistencia a cortante de la losa.

•


•

Muy eficiente para alturas de entrepiso relativamente pequeñas.

•

Sistema adecuado para uso en edificaciones de luces medianas con cargas moderadas a altas.

El principal inconveniente para el uso de este sistema es constructivo, por cuanto la organización de las formaletas necesarias para conformar los ábacos y capiteles puede resultar costosa y compleja desde el punto de vista constructivo.


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Figura 10

Figura 11 Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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Ventajas: •

Luces más largas para resistir cargas mayores.

•

Reducción del peso propio de la losa debido al aligeramiento.

•

Buena resistencia a la vibración.

•

Sistema adecuado para uso en edificaciones de luces medianas a largas con cargas altas.

Este sistema presenta inconvenientes de tipo estructural para la ubicación de las instalaciones hidrosanitarias y eléctricas, las cuales atraviesan las viguetas disminuyendo su sección efectiva. Otro aspecto importante es que la loseta superior de este tipo de losa debe tener como mínimo 100 mm para ser considerada como elemento de resistencia al fuego.

Figura 12

Ventajas: •

Reducción del peso propio de la losa debido al aligeramiento.

•

Las instalaciones hidrosanitarias y eléctricas pueden ser ubicadas entre las viguetas.

•

Buena resistencia a la vibración y excelente terminado.

•

Sistema adecuado para uso en edificaciones de luces largas con cargas altas.


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Figura 13

Sistemas de Soporte a Cargas Laterales •

Generalidades del sistema pórtico.

•

Pórticos placa/losa-columna con ábacos y/o capiteles.

•

Pórticos viga-columna.

•

Sistema de muros de cortante.

•

Sistema dual.


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Figura 14

Figura 15


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Figura 16

Ventajas del sistema pórtico: •

Uso óptimo del espacio de los pisos (parqueaderos).

•

Proceso de construcción relativamente simple y del que se tiene mucha experiencia.

•

Generalmente económico para alturas inferiores a 20 pisos.

•

En Colombia, la mayoría de pórticos han sido hechos en concreto reforzado.

Desventajas del sistema pórtico: •

Generalmente, los pórticos son estructuras flexibles y su diseño es dominado por desplazamientos laterales para edificaciones con alturas superiores a 4 pisos.

•

Las luces tienen longitudes limitadas cuando se usa concreto reforzado tradicional (generalmente inferiores a 8 metros). La longitud de las luces puede ser incrementada con el uso de concreto pretensado.


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Figura 17

Figura 18


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Figura 19

Figura 20


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Figura 21


Página 21



Figura 22

Figura 23


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3. ESTADOS LÍMITE Y FILOSOFÍAS DE DISEÑO Procedimiento de diseño: Fase 1 Definición de las necesidades de los clientes y las prioridades • •

Requerimientos funcionales (colegio, industria, vivienda). Requerimientos estéticos (aspectos arquitectónicos).

•

Requerimientos de presupuesto (recursos públicos o privados, disponibilidad de los recursos).

Fase 2 Desarrollo conceptual del proyecto (ingeniería conceptual) •

Desarrollo de posibles esquemas.

•

Análisis preliminar aproximado para cada uno de los esquemas / costo para cada arreglo.

•

Selección del sistema estructural más favorable (evaluación variables ambientales).

Fase 3 Diseño del sistema individual •

El análisis estructural (basado en el diseño preliminar) Análisis de cargas y determinación de esfuerzos o fuerzas internas en términos de momentos,

•

fuerzas cortantes y fuerzas axiales. Diseño Dimensionamiento y diseño de los elementos estructurales. Planos de construcción. Especificaciones de construcción. Estética. Factibilidad de construcción. Mantenimiento.

Estados límite Condición en la cual una estructura o elemento estructural ya no es aceptable para su uso previsto. En estructuras se tienen tres estados límites: • Estado límite último. •

Estado límite de servicio.

•

Estado límite especial.


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Estado límite último •

Tiene que ver con el colapso estructural de toda o parte de la estructura (con muy poca probabilidad de ocurrencia).

•

Tiene que ver con la pérdida del equilibrio de una o todas las partes de una estructura como un cuerpo rígido (volcamiento, deslizamiento de la estructura).

•

Tiene que ver con la ruptura de los componentes críticos, causando el colapso parcial o completo (flexión, falla a cortante).

Colapso progresivo (1) Debido a una falla menor local, lo que ocasiona sobrecargas a los elementos adyacentes induciendo un colapso total de la estructura. La integridad estructural se proporciona mediante la vinculación de los elementos que componen la estructura por medio de un adecuado detallamiento

en el corte del acero de refuerzo, proporcionando vías alternativas de transmisión de cargas en caso de falla localizada. (2) Formación de un mecanismo plástico (articulaciones plásticas) en algunas zonas de la estructura haciendo que la estructura pase a ser inestable. Se prefiere que los daños se presenten en vigas ante el peligro de colapso que representa una falla inducida en una columna. (3) Inestabilidad causada por deformaciones de la estructura causando pandeo y por consiguiente incremento en los momentos de diseño de los elementos de soporte a cargas verticales. (4) Fatiga en elementos estructurales puede fracturarlos en virtud de ciclos de esfuerzos repetidos por las cargas de servicio (pueden causar colapso).

Estado límite de servicio La parte funcional de una estructura es afectada, pero el colapso no es inminente; lo cual puede generar un peligro potencial para los elementos no estructurales. Un ancho de grieta excesivo produce fugas de líquidos. La corrosión del refuerzo produce deterioro gradual de estructura. Las deflexiones excesivas en vigas causan mal funcionamiento de la maquinaria, dificultad en apertura de puertas, rompimiento de vidrios o vitrinas actuando como elementos no estructurales. Una deflexión considerable en una viga además de causar alarma visual puede generar cambios en las distribuciones de fuerzas. Las vibraciones no deseadas producen cambios en las cargas. Es importante prestar atención en los requerimientos arquitectónicos del proyecto para evitar afectaciones en el uso de la estructura, por ejemplo la localización de fluxómetros contiguos a aulas de clases puede generar la interrupción por el ruido que generan estos elementos, para esto se deben aislar mediante pasillos.


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Estado límite especial El daño y la falla son provocados por condiciones anormales como: terremotos de gran magnitud, inundaciones, deslizamientos, efectos del fuego, explosiones, colisiones vehiculares, efectos de corrosión, inestabilidad física y química a largo plazo, deterioro causado por agentes ambientales que se han tornado agresivos y que no fueron considerados en el diseño de la estructura. Es importante tener especial cuidado en la selección del tipo de estructura. Estructuras de concreto reforzado presentan un mejor comportamiento que estructuras de acero estructural desde el punto de vista de agresividad ambiental y resistencia al fuego, pero el acero estructural puede resultar muy ventajoso desde el punto de vista dinámico por su bajo peso y alta ductilidad.

Diseño en estado límite Identificar todos los posibles modos de falla. Determinar niveles aceptables de seguridad para las estructuras normales con base en las recomendaciones de los códigos de construcción vigentes. Considerar los estados límites significativos. Los elementos se deben diseñar para el estado límite último, el servicio se comprueba y el especial se debe garantizar con una adecuada selección del sistema estructural y materiales utilizados en la construcción.

Códigos de Construcción Cuando dos materiales diferentes, tales como acero y hormigón, actuando en conjunto deben ser analizados, es comprensible que el análisis del esfuerzo en un elemento de hormigón armado tiene que ser parcialmente empírico, aunque racional. Estos principios semi-racionales están siendo revisados constantemente y mejorados como resultado de la investigación teórica y experimental que se acumula. El American Concrete Institute (ACI), sirve como centro de información para estos cambios, así como principal referente de los diferentes códigos de construcción a nivel mundial.

Filosofías de diseño •

Método de esfuerzos admisibles (enfocado en condiciones de cargas de servicio).

•

Método de resistencia (enfocado en condiciones de cargas últimas).

Método de esfuerzos admisibles La seguridad en el diseño se obtiene especificando que el efecto de la carga debe producir esfuerzos que corresponden a una fracción de fy, por ejemplo 0,5. Este valor equivale a proveer un factor de


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seguridad de 2. Este método no es apropiado para el diseño de estructuras modernas debido a las siguientes limitaciones: •

El concepto de resistencia se fundamenta en el comportamiento elástico de materiales homogéneos.

•

Este método no proporciona una medida razonable del esfuerzo, el cual es una medida más fundamental de la resistencia que el esfuerzo admisible.

•

El factor de seguridad es aplicado solo a la resistencia, por lo que las cargas en este modelo son de naturaleza determinística (sin variación).

•

La selección del factor de seguridad es subjetiva y por lo tanto no proporciona una medida de confianza en términos de probabilidad de falla.

Método de resistencia El método de resistencia se considera conceptualmente más realista para establecer la seguridad estructural, en este método las cargas de servicio son incrementadas por medio de factores para obtener las cargas a las cuales la falla es considerada inminente; ésta carga es llamada carga factorizada o carga mayorada.

Resistencia Proporcionada

≥

Resistencia Requerida

Generalmente la resistencia proporcionada es levemente mayor a la resistencia requerida. La resistencia proporcionada se calcula de acuerdo con las normas y los supuestos de comportamiento prescrito por el código de construcción y la resistencia requerida se obtiene mediante la realización de un análisis estructural con cargas mayoradas. La "resistencia proporcionada" se conoce comúnmente como "resistencia última".

Provisiones de seguridad Las estructuras y elementos estructurales deben ser diseñados para resistir carga adicional por encima de lo que se espera bajo condiciones normales de uso. Hay tres razones principales por las que algún tipo de factor de seguridad es necesario en el diseño estructural. •

Variabilidad en resistencia.

•

Variabilidad en cargas.

•

Consecuencia de la falla.


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Variabilidad en resistencia •

La variabilidad de la resistencia del concreto y el refuerzo. Las condiciones ambientales influyen en la resistencia final de concretos.

•

Las diferencias entre las dimensiones de los elementos construidos en obra y los que se encuentran consignados en los planos estructurales. Este tipo de diferencias es inevitable por cuanto los procesos constructivos están sujetos a errores humanos ya sea en la etapa de ubicación de formaletas o durante el proceso de fundida de los elementos estructurales.

•

Los efectos de la simplificación hecha en la derivación de la resistencia de los elementos. Si bien en la actualidad se cuentan con herramientas computacionales de gran precisión, los modelos matemáticos usados para representar el comportamiento de los elementos estructurales nunca podrán representar la realidad.

La siguiente gráfica muestra una comparación de la medida y cálculo de los momentos de falla basados en todos los datos de vigas de hormigón armado con f'c > 2000 psi.

Figura 24

Variabilidad en cargas Distribución de frecuencias de los componentes sostenidos de las cargas vivas en las oficinas. Es posible ver como la frecuencia y la intensidad de la carga viva aumenta al aumentar el área de aplicación de esta carga.


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Figura 25

Consecuencias de la falla Una serie de factores subjetivos deben ser considerados en la determinación de un nivel aceptable de seguridad: •

La posible pérdida de vidas humanas.

•

El costo de retirar escombros con la correspondiente sustitución de la estructura y su contenido.

•

Costo para la sociedad.

•

Tipo de advertencia de la falla estructural y la existencia de rutas de carga alternativas.

•

Daño ambiental que genera el colapso de una estructura.

Margen de seguridad Las distribuciones de la resistencia y la carga se usan para obtener una probabilidad de falla de la estructura.


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Figura 26

El término Y = R – S se llama margen de seguridad. La probabilidad de falla se define como: Pf = Probabilidad de

 < 0

Y el índice de seguridad es: β=

Y σY

Figura 27


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Cargas Especificaciones Las ciudades en los Estados Unidos en general, basan sus códigos de construcción en uno de los siguientes tres códigos (después del 2000): •

International Building Code IBC.

•

Building Code Requirements for structural Concrete and Commentary ACI Committee 318, 2008.

Para las ciudades de Colombia, la norma que rigió los códigos de construcción antes del año 2010 fue: •

Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente, NSR-98, 1998.

Para las ciudades de Colombia, la norma que rige los códigos de construcción después del año 2010 es: •

Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente, NSR-10, 2010.

Cargas Muertas • El peso de toda la construcción permanente. •

Magnitud constante y ubicación fija.

Ejemplos: •

Peso de la estructura (paredes, pisos, techos, cielorrasos, escaleras).

•

Equipos de servicio fijo (HVAC, pesos de tubería, bandeja de cables).

Pueden ser inciertas: •

Espesor del pavimento.

•

Relleno de tierra sobre la estructura subterránea.

Cargas Vivas •

Cargas producidas por el uso y ocupación de la estructura.

•

Máximo de cargas que se puedan producir por el uso previsto.

•

No menos que el mínimo de carga uniformemente distribuida dada por el código.

Para el caso de bodegas se debe tomar el 25% de la carga viva para el cálculo de la masa de la estructura que se utiliza en el análisis dinámico. Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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Cargas Ambientales •

Cargas de nieve.

•

Sismo.

•

Viento.

•

Presión del suelo.

•

Estancamiento de aguas pluviales.

•

Diferenciales de temperatura.

Cargas de Construcción •

Materiales utilizados para llevar a efecto la construcción de una edificación.

•

Peso de la formaletería que soporta el peso del concreto fresco.

Uno de los aspectos que más accidentes genera en la industria de la construcción es un mal diseño de formaletería, este tipo de accidentes puede ser evitado con un adecuado cálculo de las cargas y posibles sobre cargas que se van a tener durante el tiempo del armado del refuerzo de los elementos estructurales y la fundida de los mismos, con estos datos se debe diseñar el número de apoyos requeridos para los elementos de cimbrado. Un estricto control de calidad es importante justo antes de la ejecución de labores de colocación de concreto para evitar que elementos deteriorados de las cimbras causen accidentes a los trabajadores. Es importante resaltar el concepto de contraflecha, la cual es una pequeña elevación en el centro de la luz que se le da a la cimbra donde se va a fundir la losa o viga con el objeto de compensar la flecha generada por el peso de la losa o viga al momento de decimbrar y de esta forma garantizar que la deformación de la losa sea imperceptible. Es importante resaltar que las deformaciones se clasifican en deformaciones instantáneas y a largo plazo.


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4. GENERALIDADES DEL CONCRETO Y EL ACERO DE REFUERZO Definición de Concreto Material compuesto de cemento Portland, agregado fino (arena), agregado grueso (grava / piedra), y agua con o sin otros aditivos.

Hidratación Proceso químico en el que el polvo del cemento reacciona con el agua para luego endurecerse formando una masa sólida y de esta forma uniendo los agregados entre sí.

Calor de hidratación El calor se libera durante el proceso de hidratación. En grandes masas de hormigón el calor se disipa lentamente, dando lugar al aumento de la temperatura y la expansión de volumen; más adelante hay contracción por causas de enfriamiento, debido a esto es importante el uso de medidas especiales para controlar la fisuración.

Dosificación El objetivo es lograr la mezcla con: •

Resistencia adecuada.

•

Trabajabilidad adecuada para la colocación.

•

Bajo costo.

Bajo costo •

Minimizar la cantidad de cemento.

•

Gradación buena de los materiales (disminuyendo los vacíos y por lo tanto la pasta de cemento requerida).

Relación agua-cemento (A / C) •

El aumento de A / C: mejora la plasticidad y fluidez de la mezcla.

•

El aumento de A / C: los resultados en disminución de la resistencia debido al mayor volumen de vacíos en la pasta de cemento y debido al agua libre.

•

La completa hidratación del cemento requiere A / C ~ 0,25.


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•


Necesidad de agua para humedecer la superficie total, facilitar la movilidad del agua durante la hidratación y proporcionar trabajabilidad.

•

Valor típico de A / C = 0,40-0,60

Tabla 1 Relación Típica Agua/Cemento y Resistencia a la Compresión y Flexión del Peso Normal del Concreto Probabilidad de la Resistencia del Concreto a los Relación Agua/Cemento 28 Días Compresión Galones por Saco

Litros por Saco

(94 lb.)

(50 kg)

0,35

4,0

0,4

4,5

0,44

Por el Peso

Flexión

psi

N/mm2

psi

N/mm2

17,5

6300

41

650

4,5

20,0

5800

40

610

4,2

5,0

22,0

5400

37

590

4,1

0,49

5,5

24,5

4800

33

560

3,9

0,53

6,0

26,5

4500

31

540

3,7

0,58

6,5

29,0

3900

27

500

3,5

0,62

7,0

31,0

3700

25

490

3,4

0,67 0,71

7,5 8,0

33,5 35,5

3200 2900

22 20

450 430

3,1 3,0

Las proporciones se dan por volumen o peso de cemento para arena y grava (es decir, 1:2:4) con la relación A / C especificada separadamente.

Agregados Corresponden al 70-75% del volumen de concreto endurecido. El resto corresponde a pasta de cemento endurecida, el agua no mezclada, burbujas de aire. Los agregados más densos dan mejor: •

Fuerza.

•

Resistencia a la intemperie (durabilidad). Economía.

•

Agregado fino: arena (pasa a través de una malla # 4 (4 agujeros por pulgada)). Agregado grueso: grava.


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Gradación buena •

2-3 grupos de tamaño de la arena.

•

Varios grupos de tamaño de la grava.

El tamaño máximo del agregado grueso en las estructuras de concreto reforzado: deben ajustarse a las formas y el espacio disponible entre las barras de refuerzo (NSR-10, C.3.3.2). •

1/5 de la dimensión más estrecha.

•

1/3 de la profundidad de la losa.

•

3/4 de la distancia mínima entre barras de refuerzo.

Resistencia de los agregados Agregados fuertes: cuarcita. Agregados débiles: arenisca, mármol. Resistencia intermedia: piedra caliza, granito. En el diseño de mezclas de concreto, tres requisitos principales para el concreto son de gran importancia: calidad, trabajabilidad y economía.

Calidad La calidad del hormigón se mide por su resistencia y durabilidad. Los principales factores que afectan a la resistencia del concreto, suponiendo que los agregados son de buena calidad, son la relación A/C, y la medida en que ha progresado la hidratación. La durabilidad del hormigón es la capacidad del concreto para resistir la desintegración debido procesos de congelación y descongelación, y en algunos casos debido al ataque químico o por proximidad a zonas costeras. Se debe prestar especial cuidado a una correcta selección de la relación A/C en estructuras costeras y estructuras localizadas en ambientes agresivos a fin de garantizar baja porosidad del concreto y de esta forma evitar la corrosión del acero de refuerzo. Un diseño optimizado de elementos de concreto reforzado no debe fundamentarse solamente en dimensionar con mínimos posibles las secciones de los elementos ubicando el mínimo posible de refuerzo, sino que se debe fundamentar en el uso de resistencias o relaciones agua cemento del concreto dependiendo del grado de exposición a condiciones ambientales o de riesgo de incendio, en este sentido se debe tener de presente que algunas normativas de otros países han establecido resistencias del concreto para diferentes clases de exposición a variables ambientales que distan mucho de las que comúnmente se usan en Colombia, este aspecto afecta de forma directa la durabilidad y en algunos casos compromete la seguridad de las estructuras.


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Trabajabilidad La trabajabilidad del hormigón se puede definir como la composición característica indicativa de la facilidad con que la masa de material plástico puede depositarse en su lugar definitivo, sin segregación durante la colocación, y su capacidad de adaptarse a la formaleta que conforma el elemento estructural. El uso de aditivos químicos es recomendado para evitar comprometer la resistencia del concreto.

Economía La economía tiene en cuenta el uso eficaz de los materiales, un resultado adecuado de resistencia, y facilidad de manejo y disposición del concreto. El costo de producción de concreto de buena calidad es un factor importante en el costo total de cualquier proyecto de construcción. Tabla 2. Influencia de los ingredientes en las propiedades del concreto. Ingrediente

Calidad

Trabajabilidad

Economía

Agregados

Incrementa

Disminuye

Incrementa

Cemento Portland

Incrementa

Incrementa

Disminuye

Agua

Disminuye

Incrementa

Incrementa

De W.A. Cordon, Properties, Evaluation, and Control of Engineering Materials, McGraw-Hill Book Company, New York, 1979.

Ensayo de asentamiento La trabajabilidad es medida por la prueba de asentamiento. La medida de la consistencia de la mezcla se hace con el ensayo de asentamiento de cono.


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Capa 1: Llenar 1 / 3 (25 inserciones). Capa 2: Llenar 2 / 3 (25 inserciones). Capa 3: Llenar completo (25 inserciones). Se retira el cono y se mide el asentamiento (por lo general está entre 2 y 6 pulgadas). Tabla 3: Rangos de asentamientos recomendados para las distintas clases de estructuras de hormigón. Mezcla Recomendada Para La Consistencia Del Cemento Tipo de Estructura Secciones masivas, pavimentos y pisos fundidos sobre el suelo Losas pesadas, vigas, muros Muros delgados y columnas, losas ordinarias y vigas.

Asentamiento (in.) Mínimo

Máximo

1

4

3

6

4

8

Aditivos •

Mejoran la trabajabilidad.

• •

Aceleran o retardan el fraguado y endurecimiento. Ayudan en la curación.

•

Mejoran la durabilidad.

Incorporación de aire Añadir vacíos de aire con burbujas •

Ayuda con los ciclos de congelación/descongelación, facilidad de trabajo, etc.

•

Disminuye la densidad: reduce la resistencia, pero también disminuye A / C.

Superplastificantes Incrementan la trabajabilidad por la liberación química del agua contenida en los agregados finos.

Tipos de cemento •

Tipo I: Es el más utilizado en nuestro medio, destinado a obras de hormigón en general, al que no se le exigen propiedades especiales.


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•


Tipo II: Es el que se debe usar en obras que estén expuestas a la acción moderada de sulfatos y se requiera moderado calor de hidratación, como por ejemplo canales de aguas negras.

•

Tipo III: Es el que desarrolla altas resistencias a temprana edad. Utilizado en la industria de elementos prefabricados de concreto.

•

Tipo IV: Es el que desarrolla bajo calor de hidratación. Se usa para represas y obras que posean un gran volumen de concreto.

•

Tipo V: Es el que ofrece alta resistencia a la acción de sulfatos, útil para obras que se encuentren en contacto con el medio marino

Mecanismos de falla del concreto Microfisuras por retracción Corresponde a la contracción inicial del concreto debido a la retracción por fraguado, la contracción de hidratación, y la contracción por secado.

Microfisuras por adherencia

Figura 29

Son extensiones de microfisuras de retracción, al aumentar el esfuerzo a compresión el campo de fisuramiento incrementa, la contracción de microfisuras amplía pero no se propaga en la matriz. Ocurren cuando el nivel de esfuerzos alcanza un 15-20 % de la resistencia última del concreto. Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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Figura 30

Microfisuras de matriz Son microfisuras que se producen en la matriz. Se producen cuando el nivel de esfuerzos alcanza un 30-45 % de la resistencia última del concreto. Las microfisuras de matriz comienzan el puente entre sí correspondiente a un 75%. Las microfisuras en los agregados se producen justo antes del fallo.

Figura 31


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5. PROPIEDADES MECÁNICAS DEL CONCRETO Y EL ACERO DE REFUERZO Concreto

Figura 32

La prueba de resistencia estándar generalmente utiliza una muestra cilíndrica. La prueba se hace después de 28 días para la prueba de resistencia, f’c. El concreto se sigue endureciendo con el tiempo y para un cemento Portland normal se incrementará con el tiempo aproximadamente de la siguiente forma: Tabla 3 Edad

7 Días 14 Días 28 Días 3 Meses

Relación de

0,67 0,86 Resistencia Resistencia a la compresión, f’c

1

1,17

6 Meses 1 Año 2 Años 5 Años 1,23

1,27

1,31

1,35

Por norma se define a 28 días para la resistencia de diseño Relación de Poisson, ν ν

~ 0,15 a 0,20 generalmente se usa ʋ = 0,17


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Figura 33

Figura 34

Módulo de elasticidad del concreto (Ec) Corresponde al módulo secante para un valor de esfuerzo equivalente a 0,45 f’c. NSR-10 (C.8.5.1). El módulo de elasticidad, Ec, para el concreto puede tomarse como:

wc1.5 × 0,043 f ć En MPa. Para valores de wc comprendidos entre 1440 y 2560 kg/m 3. Para concreto de densidad normal, Ec puede tomarse como 4700 f ć Donde wc = Peso (kg / m 3)


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1440 Kg/m3
f´ c

Para el peso normal del concreto:

wc ≅ 2400 Kg/m3

Deformación del concreto a máximo esfuerzo de compresión •

Para las curvas típicas de la compresión εc varía entre 0,0015-0,003.

•

Para la resistencia normal de hormigón εc ~ 0,002.

•

La máxima deformación unitaria utilizable en la fibra extrema sometida a compresión del concreto se supone igual a 0,003. NSR-10 (C.10.2.3). εcu = 0,003.

•

Usado para flexión y compresión axial.

Las curvas Esfuerzo vs Deformación para un concreto típico en compresión:

Tipos de falla a compresión

Figura 35

Hay tres modos de falla: •

El concreto falla a cortante bajo compresión axial.


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•


La separación de la muestra en piezas en forma de columna por lo que se conoce como división o fractura de columna.

•

Combinación de la falla cortante y fractura de columna.

Figura 36

Resistencia a tracción del concreto •

Resistencia a tracción ~ 8% a 15% del f´ c

•

Módulo de rotura, fr.

.

Para los cálculos de deflexión, se usa:

fr = 0,62λ fć(MPa) Para el uso de concreto de peso liviano, debe emplearse el factor de modificación λ como multiplicador de

fć en todas las ecuaciones y secciones aplicables del Título C del

Reglamento NSR-10, donde λ = 0,85 para concreto liviano de arena de peso normal y 0,75 para los otros concretos de peso liviano. Se permite la interpolación entre 0,75 y 0,85 con base en fracciones volumétricas, cuando una porción de los agregados finos de peso liviano es reemplazada por agregado fino de peso normal. Se permite la interpolación lineal entre 0.85 y 1.0 para el concreto que contiene agregado fino de peso normal y una combinación de agregados gruesos de peso normal y de peso liviano. Para el concreto de peso normal λ = 1,0 . Si se especifica la resistencia promedio a la tracción por hendimiento del concreto de peso liviano, fct, entonces:

λ=

fct ≤ 1,0 (0,56 fć )

NSR-10, C.8.6.1

Ensayo


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Figura 37

Figura 38

Acero de refuerzo


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Figura 39 • Tipos más comunes para miembros no pretensados:

Laminados en caliente, barras corrugadas. Tejidos de alambre soldado.


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Figura 40

Tabla 4: áreas, pesos, dimensiones acero de refuerzo. Designaciones, áreas, perímetros y pesos de barras estándar. Área De Diámetro

Sección Transversal

Perímetro

Unidad De Peso Por Pie

Diámetro

Área

in.

in2.

in.

lb.

mm.

mm2.

32

Barra #

Nominal

Actual

2

1/4

0,250

0,05

0,79

0,167

6,4

3

3/8

0,375

0,11

1,18

0,376

9,5

71

4

1/2

0,500

0,20

1,57

0,668

12,7

129

5

5/8

0,625

0,31

1,96

1,043

15,9

200

6

3/4

0,750

0,44

2,36

1,502

19,1

284

7

7/8

0,875

0,60

2,75

2,044

22,2

387

8

1

1,000

0,79

3,14

2,670

25,4

510

1,128

1,00

3,54

3,400

28,7

645

1,270 1,410

1,27 1,56

3,99 4,43

4,303 5,313

32,3 35,8

820 1010

1,693

2,25

5,32

7,650

43,0

1450

2,257

4,00

7,09

13,600

57,3

2580

9 10 11 14 18

1 11 2


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Tipos ASTM A615 - Especificación estándar para barras de acero deformadas. ASTM A616 – Barras para rieles de acero. ASTM A617 – Barras para ejes de acero. ASTM A706 – Barras de baja aleación de acero. Curva esfuerzo-deformación para diferentes tipos de barras de acero de refuerzo

Figura 41

Es = modulo de elasticidad del acero, el cual puede tomarse como la tangente inicial en la curva esfuerzo deformación y puede tomarse para acero de refuerzo no pre-esforzado como un valor constante de 200 GPa (NSR-10 C.8.5.2).


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Máquina ensayo de barras de acero Figura 42

En la NTC 2289 se definen unos valores mínimos de resistencia y porcentaje de alargamiento que deben cumplir los especímenes ensayados:

Requisitos de tracción (NTC 2289). La NTC 2289 define cual debe ser la composición química de los aceros de refuerzo, una de las verificaciones que se debe hacer es un chequeo de los porcentajes de los componentes del acero con base a la siguiente tabla. Por lo general esta verificación se hace una vez se haya cumplido con los valores mínimos de resistencia y deformación. Es de obligatorio cumplimiento garantizar un acero de refuerzo no solo en términos de resistencia sino de su composición química

Porcentajes máximos de los componentes químicos del acero de refuerzo Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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6. FLEXIÓN Localización del acero de refuerzo

Figura 43

Figura 44


Página 48



Figura 45

Figura 46


Página 49



Figura 47

Esfuerzo flector en vigas La viga es un elemento estructural diseñado para soportar principalmente momentos flectores y cortantes. Una viga debe ser definida como columna si existiera una fuerza de compresión considerable.

C=T M = C*(jd) M = T*(jd) El esfuerzo en un bloque es definido como:

σ = (M × y) / I

Sxx = I / (y max) La ecuación para el módulo Sxx para el cálculo del esfuerzo de compresión máxima.


Página 50



Figura 48


Página 51



Figura 49

Cinco estados de esfuerzos en el concreto al incrementarse la carga aplicada Estado de carga #1: No hay cargas externas, solo el peso propio.

Figura 50


Página 52



Estado de carga #2: La carga externa aplicada sobre la viga hace que las fibras inferiores extremas tengan un esfuerzo equivalente al módulo de rotura del concreto fr. La sección de concreto entera es efectiva, las barras de acero en el lado de tensión tienen la misma deformación que la del concreto ubicado alrededor de las barras de refuerzo.

Estado de carga #3: La resistencia a la tracción del hormigón excede la equivalente al módulo de rotura fr y por consiguiente se desarrollan fisuras. El eje neutro se desplaza hacia arriba y las fisuras se extienden hasta el eje neutro. El concreto pierde resistencia a la tracción y el acero comienza a trabajar eficazmente resistiendo la carga de tensión total.

Estado de carga #4: El esfuerzo en el concreto en la fibra extrema superior se comporta en el rango lineal para posteriormente sobrepasar el valor de 0,45 f´ c y pasar a un comportamiento no lineal del material.

Estado de carga #5: Falla de la viga.


Página 53



Figura 52

Figura 53


Página 54



El diagrama momento-curvatura muestra los cinco estados de la viga. El diagrama es del ángulo de curvatura, φ , φ=

ε

y

=

(σ E ) y

(M y I )   E  φ=

y

M φ= EI La primera viga falla a cortante y la segunda viga falla a momento flector.

Figura 54

Tipos de fallas por flexión de una viga de concreto reforzado: El acero alcanza el esfuerzo de fluencia antes de que el concreto alcance su máximo valor esfuerzo (condición de falla sub-reforzada).

Figura 55


Página 55



El acero alcanza su esfuerzo de fluencia al mismo tiempo que el hormigón alcanza su máximo valor esfuerzo y deformación (condición de falla balanceada).

Figura 56

El concreto alcanza su máximo valor esfuerzo y deformación antes que el acero alcance su esfuerzo de fluencia (condición de fallan sobre-reforzada).

Figura 57


Página 56



Análisis de vigas en condiciones de cargas de servicio

Ec – Módulo de Elasticidad - Concreto Es – Módulo de Elasticidad - Acero As – Área del Acero d – Distancia al acero b – Ancho h – Alto n – Relación Modular

n=

Es Ec

Propiedades de la Mecánica de Materiales Centroide

Momento de Inercia

y=∑

yi Ai

∑ Ai

I = ∑ I i + ∑ ( yi − y ) Ai 2

Sección no fisurada

Figura 58


Página 57



Tabla 5 Área

yi

yiA

I

2

3

-yyi

(y

2 i -y)

A

2

Concreto

bh

h/2

bh /2

bh /12

(h/2-y)

(h/2-y) bh

Acero

(n-1)As

d

d(n-1)As

---

(d-y)

(d-y)2(n-1)As

2

y A bh + ( n − 1) Asd y=∑ i i = 2 ∑ Ai bh + ( n − 1) As I = +∑ I i

∑− ( yi) = y + A−i 2

2

bh 3  h  +− −y(( )) bh 12  2 

d

y

2

n 1 As

Sección fisurada Para una sección fisurada el concreto esta en compresión y el acero está en tensión. La deformación en la viga es lineal.

Figura 59

1 C = yb f c 2 T = As × fs Condición de equilibrio


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T =C

1 As × fs = yb fc 2  yb  fs =   fc  2 As  Usando la Ley de Hooke f = Eε  yb  Es ε s =  →= cε c E  2 As 

ε c  Es   2 A s  =   ε s  Ec   yb 

2 nA s yb

Sin embargo, este es un problema indeterminado para encontrar

y . Se debe utilizar la condición de

compatibilidad de deformaciones.

Figura 60

Usando la condición de compatibilidad de deformaciones.

εs

d −y y

=

εc

⇒

εc

dε sy

=

y −

Se sustituye en la primera ecuación. Se sustituye para la relación de deformación

y 2nAs = d −y yb Reorganizar la ecuación en una ecuación de segundo grado

2 s  2nAs   nA  y − b d = 0 b    

y2 + 

Utilizar una relación de áreas de concreto y acero Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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As ρ = → + y 2 −2 n ρ d =y

2nρ d 2

bd

0

Modificar la ecuación para definir una relación adimensional.  y  d 

2

 

+ 2nρ

y − 2n ρ = 0 d

Usando la fórmula cuadrática 2

 y  −2nρ ± ( 2nρ ) + 8nρ  = 2 d  2 y  d  = ( nρ ) + 2nρ − nρ   Resolver para el centroide multiplicando el resultado por d . El momento de inercia es definido usando el teorema de los ejes paralelos

Figura 61

I = ∑ I i + ∑ ( yi − y ) Ai 2

2

by 3 y 2 I = +  + −by ( d y ) nAs 12  2  by 3 2 I= + ( d − y ) nAs 3


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EJEMPLO 1 Considere una viga rectangular simplemente reforzada con un área de acero de refuerzo A s . Determinar la ubicación del centroide y el momento de inercia para la sección mostrada en la figura, considerando los casos de sección no fisurada y fisurada. Compare los resultados.

(C.8.5.2)

Es = 200000 MPa Ec = 25000 MPa d = 340mm b = 300mm h = 400mm

Usar 4 barras Nº7 para el acero de refuerzo. Una barra Nº7 tiene un área de 387 mm2, entonces 4Nº7 corresponde a 1548 mm2. Se tiene la relación modular, n =

Es 200000MPa = =8 Ec 25000 Mpa

Sección no fisurada

bh2 +−×(n× A 1) d s y= 2 bh +n−×( A1) s 2

300 mm =

bh3 h I = + −  +y − bh −( d )y( 12  2 


×mm (400 +−×

)2

×

2 × 300 mm +−× 400 mm 2

(8 mm 1) mm 1548

2

340 = 212mm

(8mm1) 1548

2

)n 1 As

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2

I=

mm ) 3  400 mm 300 mm × (400  + − × 211, × 6+mm − 300 mm× − 400 mm ( 340 mm 211,(6))mm 12 2  

2

8 1 1548 mm 2

I = 1794795564 mm 4 Sección fisurada

ρ = As =

2

1548mm = 0,0152 bd 300mm × 340 mm

2 y ( nρ   = () n ρ+ −2n=ρ × d 

2

() +8×× 0, 0152 ( )− ×

)2 =8 0, 0152

8 0, 0152

0,3863

y = 0,3863 ×= d × 0,3863 = 340mm 131mm by 3 2 I = +− = ( d y ) nAs 3 I = 765751065 mm 4

3

mm ) 300 mm × (131,35 2 +− ×× ( 340 mm 131,35mm ) 8 1548mm 2 3

Se puede observar que el centroide cambia de 212 mm a 131 mm y el momento de inercia se reduce de 1794795564 mm4 a 765751065 mm 4. El centroide disminuye en un 38% y el momento de inercia en un 57%. La sección fisurada pierde más de la mitad de su resistencia srcinal.

EJEMPLO 2 Determinar la distribución de esfuerzos para los siguientes momentos Mu 1= 75 KN-m y Mu 2= 125 KN-m.

Es = 200000 MPa Ec = 25000 MPa d = 590 mm b = 300 mm h = 650 mm As = 1548 mm2 Riveros Jerez, Carlos Alberto.

Página 62


Relación modular, n =


Es 200000MPa = =8 Ec 25000 Mpa

Para agregado grueso de srcen ígneo se tiene  Ec  =   4700 

f´ c = 

2

Ec = 4700 fć (C.8.5.1)

2

 25000  = 4700 →  28, 29 MPa  

28MPa

El módulo de rotura, fr, se define de la siguiente forma (NSR-10 C.9-10)

fr = 0,62× λ fć fr = 0,62 ×× 1 = 28 3,28MPa Tensiones elásticas sección no fisurada

bh2 300 mm ×mm (650 )2 +× −(n dA 1) s × +× − × (8 mm1) mm 1548 2 590 2 y= 2 = bh +n−(× A1) s mm × 300 mm +−× 650 (8mm1) 1548 2 bh3 I= + 12 I=

2

h  +y − bh −( d 2 

−

300 mm × 650mm +) ( 12

)y(

2

= 339mm

)n 1 As

3

2

− mm× 339 × mm+ − 300 mm ×−×650 mm  6502 

( 590 mm 339()mm )

2

81

1548 mm 2

I = 7586523836mm4 Concreto a compresión

fcc =

m ( 75KN −m ) × 0,339 = 3,35MPa −3 4 7,586 ×10 m

Concreto a tracción

fct =

0,650 m 0,339 − −) m ( 75KN)(m −3 4 7,586 ×10 m

= 3,07 MPa < fr

La suposición de que el concreto se encuentra en la zona de tensiones elásticas correspondiente a una sección no fisurada es correcta.

Tensiones elásticas sección fisurada

ρ=

As 1548mm2 = = 0,0087 bd 300mm × 590 mm


Página 63


2 y ( nρ  d  = () n ρ+ −2n=ρ ×  


2

)( +8××0,0087 ( )− ×

)2 8= 0,0087

8 0,0087

0,31

y = ×0,31= ×d 0,31 =590mm 183mm 3

300mm × (183mm ) by 3 2 2 + − ×× ( 590mm 183mm) 8 1548mm2 I = +− ( d= y ) nAs 3 3 I = 2664245916 mm4 Concreto a compresión

fcc =

m (125KN −m ) × 0,183 = < =8,59MPa 0,45 fć 12,6MPa 2,664 ×10−3 m4

La suposición de que el concreto se encuentra en la zona de tensiones elásticas correspondiente a una sección fisurada es correcta. Esfuerzo en el acero

yb  0,183m × 0,3m  fs =  =  fc  × = −3 2  8,59MPa 152,32MPa  2 As   21× ,5481× 0 m 


Página 64



7. CONSIDERACIONES BÁSICAS EN LA TEORÍA DE FLEXIÓN •

Las secciones planas continúan siendo planas antes y después de la aplicación de la carga. Este enunciado no es cierto para vigas de gran altura h> 4b.

•

La deformación en el acero de refuerzo es igual a la deformación en el concreto medidas al mismo nivel.

•

El esfuerzo en el concreto y en el acero de refuerzo puede ser calculado de las equivalencias en deformación de las curvas σ −ε del concreto y el acero.

Supuestos adicionales para el diseño (con el fin de simplificar) •

Resistencia a la tracción del concreto no se considera para el cálculo de resistencia a la flexión.

•

El concreto se asume que falla en compresión cuando: ε c (deformación concreto) = ε cu (estado límite) ε c (deformación concreto) = 0,003

NSR-10 C.10.2 Suposiciones de diseño C.10.2.3 La máxima deformación unitaria utilizable en la fibra extrema sometida a compresión del concreto se supone igual a 0,003. La relación

σ −ε para el concreto puede ser asumida que tiene cualquier forma, siempre y cuando

los resultados permitan obtener un valor aceptable de la resistencia.

Figura 62


Página 65


La fuerza de compresión se modela como


Cc =kk1 f´ c 3 cb ×

en la posición

x=k 2 c×

Figura 63

Los coeficientes de compresión de los esfuerzos en el bloque dados por las siguientes figuras:

Figura 64

k3 es la relación de máximo esfuerzo para f´ c en la zona a compresión de una viga para la resistencia del cilindro, f´ c (0,85 es el valor típico para un concreto común).


Página 66



La zona de compresión se modela con un bloque de esfuerzo equivalente.

Figura 65

La distribución rectangular equivalente de esfuerzos para el concreto tiene lo que se conoce como coeficiente β1 , que es la proporción del promedio que incluye la distribución de esfuerzos. β1 = 0,85 para f´ c ≤ 28 MPa β1 =0,85− ×0, 05

 f´ c − 28  ≥ 7  0, 65

Requisitos para el análisis de vigas de concreto reforzado •

Esfuerzo – compatibilidad de deformación El esfuerzo en un punto en la viga debe corresponder a la tensión en el punto simétrico.

•

Equilibrio Las fuerzas internas se balancean con las fuerzas externas.

Figura 66


Página 67



Condición de equilibrio

∑ Fx = 0

⇒

∑M =0

⇒

T=C As × f=s 0,85×f´ ×c a b a T  d −  = Mn 2 

Figura 67

Resistencia de la sección a flexión

T = As × fs C = 0,85f´ ca×b × As × fs a= 0,85 fć × b

Mn = T ( Momento del brazo) a Mn = As × fs  d −  2 

Se debe confirmar εs > ε y εy =

c= εs =

σy

Es a β1

(d − c) εc > εy c


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EJEMPLO 3 Determinar la ubicación del eje neutro y el momento de diseño para la viga rectangular mostrada en la figura.

fć = 28 MPa fy = 420 MPa b = 300 mm d = 440 mm h = 500 mm Usar 4 Nº7 para el acero de refuerzo, As = 1548 mm2. β1 =

0,85 para f´ c ≤ 28 M Pa (C.10.2.7.3)

Principio de equilibrio, asumiendo fluencia del acero se tiene:

C =T 0,85 fć × b× =a ×As fy As × fy 420MPa ×1548mm2 = = 91mm a= 0,85 × ×fć b × 0,85× 28MPa 300mm El eje neutro se encuentra ubicado a:

c=

a β1

=

91mm = 107mm 0,85

Revisión si el acero de refuerzo ha alcanzado la fluencia:

εy =

fy 420MPa = = 0,0021 Es 200000 MPa

mm 440 mm − 107  dc−  ε s =  × = 0,003  × =

  0,003 0,0093 107 mm   0,0093 > 0,0021 fluencia del acerode refuerzo. Este valor debe ser superior a 0,005.  c 

a Mn ×= A−=s ×fy  d  2

0,091m  256,5 KN m (1,5481 0−3 m 2 −) (=420000  KPa−) 0,44 m 2






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EJEMPLO 4

Para la viga mostrada en la figura con f´ c = 41MPa, fy = 420MPa y d = 640mm. Determinar el área de acero para la condición balanceada de la sección sombreada, la cual muestra el área de concreto a compresión, determinar el momento nominal resistente de la sección y la ubicación del eje neutro. Determinar el área de concreto:

Ac =150mm × 100 + mm× 300 = mm 80mm 39000mm2 Por condición de equilibrio se tiene:

C =T × ×f´=Ac× c 0,85 × KPa = C = 0,85 41000 m 0,039KN2 1359 0,85 × fć × Ac 1359 KN × × cc f´s A ⇒=A = = × = As × f=y 0,85 3, 236 10−3 m2 3236 mm2 fy 420000KPa Determinar el centroide de la zona de compresión del concreto:

y=

∑ yi Ai ∑ Ai

=

150 mm

× 100 mm × mm +50 ×mm 300 × mm 80 mm 140 150 mm × 100 mm + 300 mm × 80 mm

= 105 mm

Momento resistente de la sección:

= m −0,105 m Mn = T−(=)d y ×(1359−KN )0,64


727,1KN m

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Determinar la ubicación del eje neutro:

 fć− 28 β1 = 0,85 − × 0,05  = − × 7



c=

a β1

=

  0,85 = 0,05  



41 − 28 7

180 mm = 237 mm 0,76

0,76 (C.10.2.7.3) c 237 mm = = 0,37 d 640 mm

EJEMPLO 5 Determinar el momento último que resiste la sección mostrada en la figura

fć = 28MPa fy = 420MPa As = 4 × ( 510mm 2 ) = 2040mm 2

Verificación cuantía mínima ρ=

As 2040 mm2 = bd 300mm × 540 mm

= 0,126

fć 1, 4 28 1, 4 = ≥ 4 fy fy 4 × 420 420 = 0,0031 ≥ 0,0033 →> ρ ρ min

ρmin = ≥ ρmin

Equilibrio de fuerzas

T =C As × f=y 0,85 × × f´ c Ac × 2040 mm 2 × 420 MPa A s fy = = 3600 mm 2 Ac = 0,85 × f´ c 0,85 × 28 Mpa = mm 15000 mm 2 A1 =×2 75× mm 100 A2 =−A=c A1 36000 − mm 2= 15000 mm 2 21000 mm 2 A2 21000 mm 2 →= =x = 70 mm A2 = bx 300 mm b Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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Ubicación eje neutro a = 100mm + 70 mm = 170 mm

c=

170mm = 200mm 0,85

Verificación falla tensión

c d

=

200 mm =

< → = 0,370 0,375

φ 0,9

540 mm

Determinar el centroide de la zona a compresión del concreto y A 27× mm 5 × 100 mm × + mm50 × mm × 70 mm300 mm 135 y=∑ i i = 27× 5 mm 100 × + ×mm 70 mm 300 mm ∑ Ai

= 99,6 mm

Momento resistente Mn = ×A×s − =fy (×d y )× 2,04 10×−3 m2 −420000 = KPa− (0,54 m 0,1m) 377KN m

Mu = φ M=n × 0,9 −377 KN m Mu = 339,3KN − m


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8. CARGAS

Provisiones de seguridad Las estructuras y los elementos estructurales deben siempre ser diseñados para llevar algo de carga de reserva por encima de lo que se espera bajo condiciones normales de uso. Hay tres razones principales por las que algún tipo de factor de seguridad es necesario en el diseño estructural. •

Las consecuencias de la falla.

•

La variabilidad en la carga.

•

La variabilidad en la resistencia.

Especificaciones Las ciudades en los EE.UU. por lo general basan sus códigos de construcción en uno de los 3 códigos modelo: •

Uniform Building Code.

•

Basic Building Code (BOCA).

•

Standard Building Code.

Estos códigos se han consolidado en el 2000 International Building Code. Las cargas en estos códigos se basan principalmente en el documento ASCE Minimum Design Loads for Buildings and Other Structures, las cuales han sido actualizadas para ASCE 7-02.

En Colombia a nivel de normativa tenemos: •

Código Colombiano de Construcciones Sismo-resistentes : Decreto 1400 de 1984.

•

Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo-resistente NSR-98.

•

Reglamento Colombiano de Construcciones Sismo-resistente NSR-10.

Las variaciones de carga se tienen en cuenta mediante el uso de una serie de "factores de carga" para determinar la carga última.


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NSR-10 Capítulo B.2 — COMBINACIONES DE CARGA B.2.2 — NOMENCLATURA D=

carga muerta consistente en:

(a) peso propio del elemento. (b) peso de todos los materiales de construcción incorporados a la edificación y que son permanentemente soportados por el elemento, incluyendo muros y particiones divisorias de espacios. (c) peso del equipo permanente.

E=

fuerzas sísmicas reducidas de diseño (E = F s/ R) que se emplean para diseñar los

miembros estructurales.

F=

cargas debidas al peso y presión de fluidos con densidades bien definidas y alturas máximas

controlables.

G=

carga debida al granizo, sin tener en cuenta la contribución del empozamiento.

L=

cargas vivas debidas al uso y ocupación de la edificación, incluyendo cargas debidas a

objetos móviles, particiones que se pueden cambiar de sitio. L incluye cualquier reducción que se permita. Si se toma en cuenta la resistencia a cargas de impacto este efecto debe tenerse en cuenta en la carga viva L.

Le =

carga de empozamiento de agua.

Lr =

carga viva sobre la cubierta.

H=

cargas debidas al empuje lateral del suelo, de agua freática o de materiales almacenados con

restricción horizontal.

T=

fuerzas y efectos causados por efectos acumulados de variación de temperatura, retracción

de fraguado, flujo plástico, cambios de humedad, asentamiento diferencial o combinación de varios de estos efectos.

W =

carga de viento.


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B.2.4 — COMBINACIONES DE CARGAS MAYORADAS USANDO EL MÉTODO DE RESISTENCIA B.2.4.1 — APLICABILIDAD — Las combinaciones de carga y factores de carga dados en la sección B.2.4.2 deben ser usados en todos los materiales estructurales permitidos por el reglamento de diseño del material, con la excepción de aquellos casos en que el Reglamento indique explícitamente que deba realizarse el diseño utilizando el método de los esfuerzos de trabajo. Caso en el cual se deben utilizar las combinaciones de la sección B.2.3.1.

Nota Importante: Las combinaciones de carga dadas en B.2.4.2 contienen factores de cargas menores que los que prescribía el Reglamento NSR-98, pero al mismo tiempo para cada uno de los materiales estructurales en esta nueva versión del Reglamento (NSR-10) se han prescrito valores de los coeficientes de reducción de resistencia, φ , menores que los que contenía el Reglamento NSR-98, siendo los nuevos valores concordantes con la probabilidad de falla estructural que limita el Reglamento. Por lo tanto es incorrecto, e inseguro, utilizar las nuevas ecuaciones de combinación de carga de B.2.4.2 con los valores de los coeficientes de reducción de resistencia, φ , que contenía la NSR-98.

B.2.4.2 — COMBINACIONES BÁSICAS — El diseño de las estructuras, sus componentes y cimentaciones debe hacerse de tal forma que sus resistencias de diseño igualen o excedan los efectos producidos por las cargas mayoradas en las siguientes combinaciones: 1.4 (D+F)

(B.2.4-1)

1.2 (D+F+T) + 1.6 (L+H) 0.5 (Lr ó G ó Le)

(B.2.4-2)

1.2D+1.6 (Lr ó G ó Le) + (L ó 0.8W)

(B.2.4-3)

1.2D+1.6W+1.0L+0.5 (Lr ó G ó Le)

(B.2.4-4)

1.2D+1.0E+1.0L

(B.2.4-5)

0.9D+1.6W+1.6H

(B.2.4-6)

0.9D+1.0E+1.6H

(B.2.4-7)

Las ecuaciones más generales de la carga última que van a ser más utilizadas en este libro son: U = 1.4D U = 1.2D + 1.6L

RESISTENCIA Los factores de carga van a generar la carga última, que se utiliza en el diseño y análisis de los elementos estructurales. Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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Mu = φ Mn

Mu - Momento Último Mn - Momento Nominal φ - Factor de Reducción de Resistencia El factor de reducción de la resistencia, φ , varía de miembro a miembro, dependiendo si está en tensión o compresión o dependiendo también del tipo de miembro.

Tres posibilidades en el comportamiento inelástico de vigas de concreto reforzado •

Falla a compresión.

•

Falla a tensión.

•

Falla balanceada.

Falla a compresión El acero entra en fluencia después de que se presenta la falla en el concreto. Se trata de un fallo repentino (frágil). La viga es conocida como una viga sobrereforzada.

Figura 68

Falla a tensión El acero entra en fluencia antes de que falle el concreto. El concreto se aplasta en un fallo de compresión secundaria. La viga es conocida como una viga subreforzada.


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Figura 69

Falla balanceada El acero entra en fluencia al mismo tiempo que el concreto falla. La viga es conocida como una viga

en condición balanceada.

Figura 70

La falla a tensión de la viga subreforzada es la más conveniente. Es un tipo de falla que permite soportar carga adicional antes de la falla y por su ductilidad puede ser visualmente apreciada antes del colapso de la viga.


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Figura 71


Página 78



9. VIGAS SIMPLEMENTE REFORZADAS Cuantía balanceada

ρbal = Valor único cuando se presentan simultáneamente las siguientes condiciones:

εc = 0,003yεs =ε y Usando la relación de triángulos semejantes:

εy 0,003 cb = d − cb

Figura 72

La ecuación puede ser rescrita para encontrar

cb

0,003d − 0,003cb =by ε bc ⇒ c (y0,003 + ε ) = 0,003d c 0,003d 0,003 cb = ⇒ b= d 0 , 003 + ε 0 , 003 +εy ( ) y ( ) cb  0,003   Es  600   = = d  ( 0,003 + ε y )   Es  ( 600 + fy ) Ecuación de momento nominal

⇒ 0,85f´ ×cb× a= A× f s As × fy a= 0,85 fć × b a  Mn = As × fy  d −  2 

C =T


y

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Cuantía Mínima ρmín (NSR-10) C.10.5 — Refuerzo mínimo en elementos sometidos a flexión C.10.5.1 — En toda sección de un elemento sometido a flexión cuando por análisis se requiera refuerzo de tracción, excepto lo establecido en C.10.5.2, C.10.5.3 y C.10.5.4, el As proporcionado no debe ser menor que el obtenido por medio de:

AS ,min =

Pero no menor a

1,4bw

0,25 fć bwd fy

(C.10-3)

d fy

C.10.5.2 — Para los elementos estáticamente determinados con el ala en tracción, As no debe ser menor que el valor dado por la ecuación (C.10-3) remplazando bw por 2bw o el ancho del ala, el que sea menor.

C.10.5.3 — Los requisitos de C.10.5.1 y C.10.5.2 no necesitan ser aplicados si en cada sección el As proporcionado es al menos un tercio superior al requerido por análisis.

Determinación del coeficiente de reducción de resistencia

Figura 73


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Factores de reducción de resistencia NSR-10 — C.9.3 — Resistencia de diseño •

Tensión Axial

•

Compresión axial

•

φ = 0.90

Miembro con refuerzo en espiral

φ = 0.75

Otros miembros de refuerzo

φ = 0.65

Cortante y torsión

φ = 0.75

NSR-10 Limitaciones relacionadas con la relación de refuerzo, ρ La selección del acero será determinado por el límite inferior de la siguiente forma:

As(min) =

0,25 fć bw d fy

≥

1, 4bw d fy

f´ c & f y son en M Pa

Valor muy pequeño para As

( M n < M cr )

ε s es muy grande (grandes deflexiones) Cuando la viga se agrieta ( M n > M cr ) la viga falla inmediatamente porque ( M n < M cr )

Requisitos adicionales para el valor de cuantía mínima Si el A s (suministrado) ≥

4 A s (requerido por diseño) 3

Basado en el análisis, entonces el As (min) es no requerido. NSR-10 C.10.5.3 φ Mn ≥ 4 3 Mu


Para el A s (suministrado)

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Procedimiento de diseño para vigas simplemente reforzadas 1. Ubicación del refuerzo Ubicar el refuerzo donde ocurre fisuramiento (región del concreto sometida a tracción). Los esfuerzos de tracción en el concreto pueden ser debidos a: a) Flexión b) Carga axial c) Retracción de fraguado.

2. Aspectos constructivos La formaletería es costosa, por esto es necesario y recomendable tratar de volver a utilizarla en varios pisos. Se deben uniformizar las dimensiones de las vigas y de los elementos estructurales. La formaletería no viene en dimensiones intermedias diferentes a múltiplos de 50 mm y 100 mm.

3. Alturas o espesores de las vigas TABLA C.9.5(a) – Alturas o espesores mínimos de vigas no preesforzadas o losas reforzadas en una dirección a menos que se calculen las deflexiones Simplemente apoyados Elementos Losas macizas en una dirección Vigas o losas nervadas en una dirección

Espesor mínimo, h

Con un extremo continuo

Ambos extremos continuos

En voladizo

Elementos que NO soporten o estén ligados a divisiones u otro tipo de elementos susceptibles de dañarse debido a deflexiones grandes

20 16

24 18. 5

28 21

10 8

NOTAS: Los valores dados en esta tabla se deben usar directamente en elementos de concreto de peso normal y refuerzo grado 420 MPa. Para otras condiciones, los valores deben modificarse como sigue: (a) Para concreto liviano estructural con densidad wc dentro del rango de 1440 a 1840 kg/m3, los valores de la tabla deben multiplicarse por (1,65-0,0003wc), pero no menos de 1.09. (b) Para fy distinto de 420 Mpa, los valores de esta tabla deben multiplicarse por ( 0,4 + fy/700)


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Las dimensiones de la viga de sección transversal “b” y “h” son por lo general en múltiplos de 50mm o 100mm para facilidad de encofrado. Las relaciones mostradas en la figura 78 son recomendaciones con base a un mayor momento de inercia y nada tienen que ver con la NSR-10.

Figura 74

4. Recubrimiento del acero de refuerzo El recubrimiento es igual a la dimensión entre la superficie de la losa o viga y el refuerzo.

¿Por qué es necesario el recubrimiento? a) Para adherir el refuerzo al concreto. b) Para proteger el refuerzo contra la corrosión. c) Para proteger el refuerzo contra el fuego (los excesos de calentamiento provocan pérdida de la resistencia). d) Los recubrimientos adicionales utilizados en talleres, fábricas, etc. dan cuenta del control para la abrasión y el desgaste.

NSR-10 C.7.7 — Protección de concreto para el refuerzo C.7.7.1 — Concreto construido en sitio (no preesforzado). A menos que en C.7.7.6 ó C.7.7.8 se exija un recubrimiento mayor de concreto, el recubrimiento especificado para el refuerzo no debe ser menor que lo siguiente:


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Recubrimiento de concreto, mm

(a) Concreto colocado contra el suelo y expuesto permanentemente a él: 75 mm (b) Concreto expuesto a suelo o a la intemperie: Barras No. 6 (3/4”) ó 20M (20 mm) a No. 18 (2-1/4”) ó 55M (55 mm):

50 mm Barras No. 5 (5/8”) ó 16M (16 mm), alambre MW200 ó MD200 (16 mm de diámetro) y menores

40 mm (c) Concreto no expuesto a la intemperie ni en contacto con el suelo: Losas, muros, viguetas: Barras No. 14 (1-3/4”) ó 45M (45 mm) y No. 18 (2-1/4”) ó 55M (55 mm)

40 mm Barras No. 11 (1-3/8”) ó 36M (36 mm) y menores

20 mm Vigas, columnas: Armadura principal, estribos, espirales 40 mm Cáscaras y placas plegadas: Barra No. 6 (3/4”) ó 20M (20 mm) y mayores

20 mm Barras No. 5 (5/8”) ó 16M (16 mm), alambres MW200 ó MD200 (16 mm de diámetro) y menores

13 mm 5. Límites del espaciamiento del refuerzo NSR-10 C.7.6 — Límites del espaciamiento del refuerzo C.7.6.1 — La distancia libre mínima entre barras paralelas de una capa debe ser db , pero no menor de 25 mm. Véase también C.3.3.2.


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C.7.6.2 — Cuando el refuerzo paralelo se coloque en dos o más capas, las barras de las capas superiores deben colocarse exactamente sobre las de las capas inferiores, con una distancia libre entre capas no menor de 25 mm.

C.7.6.3 — En elementos a compresión reforzados con espirales o estribos, la distancia libre entre barras longitudinales no debe ser menor de

1,5 db, ni de 40 mm. Véase también C.3.3.2. C.7.6.4 — La limitación de distancia libre entre barras también se debe aplicar a la distancia libre entre un empalme por traslapo y los empalmes o barras adyacentes.

C.7.6.5 — En muros y losas, exceptuando las losas nervadas, la separación del refuerzo principal por flexión no debe ser mayor de 3 veces el espesor del muro o de la losa, ni de 450 mm, excepto que en secciones críticas de losas en dos direcciones no debe exceder 2 veces el espesor de la losa (véase el Capítulo C.13). Cuando se trate de refuerzo de temperatura en losas la separación máxima no debe exceder 5 veces el espesor de la losa ni 450 mm (véase C.7.12).

Dimensiones mínimas de recubrimiento del acero de refuerzo Interior de la viga

Figura 75


Página 85



Disposición inadecuada del acero de refuerzo

Figura 76

C.3.3 — Agregados C.3.3.1 — Los agregados para concreto deben cumplir con una de las siguientes normas: (a) Agregado de peso normal: NTC 174 (ASTM C33), (b) Agregado liviano: NTC 4045 (ASTM C330). Se permite el uso de agregados que han demostrado a través de ensayos o por experiencias prácticas que producen concreto de resistencia y durabilidad adecuadas, siempre y cuando sean aprobados por el Supervisor Técnico.

C.3.3.2 — El tamaño máximo nominal del agregado grueso no debe ser superior a: (a) 1/5 de la menor separación entre los lados del encofrado, ni a (b) 1/3 de la altura de la losa, ni a (c) 3/4 del espaciamiento mínimo libre entre las barras o alambres individuales de refuerzo, paquetes de barras, tendones individuales, paquetes de tendones o ductos. Estas limitaciones se pueden omitir si a juicio del profesional facultado para diseñar la trabajabilidad y los métodos de compactación son tales que el concreto se puede colocar sin la formación de hormigueros, vacíos o segregación en la mezcla.


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Figura 77

EJEMPLO 6 Para la viga mostrada en la figura determinar si la viga cumple con las disposiciones de la NSR-10. En la primera parte considerar una viga que no tiene condiciones de exposición ambiental a agentes agresivos ni se encuentra localizada cerca a zonas costeras para lo cual se selecciona en concreto con f’c = 21MPa. Analizar la misma viga si es una viga en contacto directo con agua de mar por lo que

se tiene un f’c = 41MPa.

fć = 21MPa fy = 420MPa As = 2550mm2


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Cuantía de la viga ρ=

As 2550 mm2 = bd ( 350mm)( 390 mm )

= 0,0187

Cuantía mínima

fć 1, 4 21 MPa 1, 4 ≥ ⇒ = 0,0027 ≥ = 0,0033( C.10.5) fy 4 fy 4 × 420 MPa 420 ρmín = 0,0033 ⇒ 0,0187 > 0,003 cumple ρmín =

Localización eje neutro

As × fy 420 MPa × 2550 mm2 = = 171mm 0,85 × ×fć b × 0,85× 21MPa 350 mm a 171mm c= = = 201mm β1 0,85 c 201mm = = 0,52 ∴ la viga noes subreforzada d 390 mm a=

La deformación en el acero de refuerzo es:  d c−  ε s =  × = 0, 003  c 

mm 390 mm − 201 × =  201 mm 

  0, 003 

0, 0028

La viga está trabajando en la zona de transición cerca a la zona de compresión ϕ=0,65 la relación c/d es mayor a 0,375 por lo tanto es recomendable rediseñar la viga. La otra opción es diseñar la viga calculando el valor correspondiente al coeficiente de reducción de resistencia, lo cual implicaría una viga trabajando en la zona de transición, lo cual no es muy recomendable.

Para el caso f’c = 41MPa

ρ=

As

=

2550mm2

= 0,0187

bd 350mm × 390 mm

Cuantía mínima


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fć 1, 4 41MPa 1, 4 ≥ ⇒ = 0,0038 ≥ = 0,0033 4 fy fy 4 × ( 420MPa) 420 ρmín = 0,0038 ⇒ 0,0187 > 0,0038 cumple ρmín =

Localización del eje neutro

420 MPa × 2550mm 2 As × fy = = a 0,85 × ×f´ c b × 0,85× 41MPa 350mm = 88mm 88mm = 116 mm 0,76 c 116 mm = = 0,297 d 390 mm

c=

a

β1

=

La deformación del acero es:

 d c−  ε s =   × = 0,003  c



mm −116 390  mm =  ×116 mm 

0,003 0,0071

La viga está ubicada en la zona de tensión ( φ =0,9). Esta segunda conformación de viga corresponde a un diseño de acuerdo con la NSR-10.

EJEMPLO 7 Determinar el valor de L que causa que la sección alcance φMn WD = 15 KN/m WL = 20 KN/m

(incluye peso de la viga)

d = 440 mm

3 No. 8

L=?

fć = 21MPa

fy = 420MPa

b = 300 mm

Notas aclaratorias: • Utilizar concreto f’c=21 MPa y acero de refuerzo fy=420 MPa. La viga no tiene condiciones de exposición ambiental a agentes agresivos ni se encuentra localizada cerca a zonas costeras. • La carga muerta distribuida WD y la carga viva distribuida W L se aplican en toda la longitud de la viga simplemente apoyada Riveros Jerez, Carlos Alberto.

Página 89



 = 3×510 = 1530  = 1,53 ×10  Por lo tanto se obtiene el siguiente valor de cuantía

 = 0,0116   =  = 3001530  ×440  Se verifica el cumplimiento de la cuantía mínima:

C.10.5.1. En toda sección de un elemento sometido a flexión cuando por análisis se requiera refuerzo de tracción, excepto lo establecido en C.10.5.2, C.10.5.3 Y C.10.5.4, el proporcionado no debe ser menor que el obtenido por medio de:

Pero no menor a ;

./ *-

!

,

",#$% = &.'(*-)*+  / 

Entonces;

7 =)4+:9=≥0,1,0:402?= 4×420 ;0,210033@>> ≥ 4201,4 ≥ 7 7 = 0,0033  A 7 @ 0,0116 A 0,0033

Por lo tanto se cumple la cuantía mínima ya que , Por equilibrio de fuerzas

B =C  ×: = 0,85  +9 ×> × D > = 0,85×+9 :× > = 120  > = 0,1530 85×21> ×420×300 Localización eje neutro:


Página 90


C.10.2.7.3. Para 28 MPa,

G

*EF G

entre 17 y 28 MPa, el factor


G

se debe tomar como 0.85. Para

*EF

superior a

se debe disminuir en forma lineal a razón de 0.05 por cada 7MPa de aumento sobre 28

MPa. Sin embargo

no debe ser menor de 0.65 entonces,

H = 0,85

Luego por C.10.2.7.1 se determina el eje neutro:

Verificación falla tensión

9 = H> = 1200,85 = 141,18  = 141 

9 = 141440  = 0,32 < 0,3?5 D I = 0,J La viga está ubicada en la zona de tensión ( φ =0,9). Deformaciones en el acero de refuerzo

 N9 440 N141 KL = M 9 O×0,003 = M 141 O×0,003 = 0,00? P = I 7 = 0,J ×  ×: Q N >2R

Momento resistente


Página 91



P = I 7 = 0,J ×1,53 ×10  ×420 > ×M0,44  N 0,122 O = P = 21J,?? ST N = 220 ST N Momento producido por cargas externas

UV: = 1,2 W X1,6Y = 1,2 ×15 ST X1,6 ×20 ST = 50 ST

P = UV:8×Y

Entonces:

ST N = 5,J3  YVZ = [U8V:P = [8×220 50 ST Verificación de condiciones de servicio h=L/16=370 mm< 500 mm.

EJEMPLO 8 La viga mostrada en la figura forma parte de la superestructura de un puente peatonal ubicado dentro de un centro comercial por lo cual no tiene exposición ambiental, esta viga cubre una luz de 12 metros en condición simplemente apoyada y soporta además de su peso propio, una carga muerta correspondiente a la plataforma donde transitan los peatones y barandas de 2 KN/ m2 y una carga viva de 5 KN/m2. Determinar el momento generado sobre la viga por las cargas externas y el momento resistente de la viga en la condición c/d=0.375.

Notas aclaratorias: •

Utilizar concreto f’c=28 MPa y acero de refuerzo fy=420 MPa.


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Viga simplemente apoyada:


\ = 16Y = 12000 16 = ?50

El cálculo del recubrimiento se hace con base a las condiciones de exposición de la viga, en este caso corresponde a una viga interior por lo cual se toma 40 mm de recubrimiento libre:

 = \ N ]^_9`â a=_bcd?50 a^_N60 Xae_c^d= 6J0_fcâd Td.3X10 g Se determina el peso de la viga de la siguiente manera:

h = 600 X21200×?50 = 6?5000  = 0,6?5   Volumen de la viga:

ih = j ×Y = 0,6 ?5 ×12 = 8,1   Finalmente, se puede obtener el peso de la viga:

Uj = ij ×_bfa> _ 9db9^_cd

Según la NSR-10 en su Tabla B.3.2-1 (Masas de los materiales), se tiene una densidad para el concreto reforzado de 2400 (kg/m 3), tomando la aceleración de la gravedad como 10m/seg2 se tiene una densidad de 24KN/m3.

Uj = 8,1   ×24 ST = 1J4,4 ST

Carga Muerta

Carga Viva

ST = 15,5 ST Uk = Wk XUj = 2 ST X 1,1J4,2 4×12 Uk = 15,5 ST ×1,2 = 18,6 ST   Ul = 5 ST ×1,2  = 6 ST

Por B.2.4.2. Se obtiene la carga mayorada Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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UV: = 1,2 Uk X 1,6 Ul = 1,2 ×M18,6 STO X1,6 ×M6 STO = 31,J2 ST Por lo tanto el momento último por efecto de cargas externas es:

ST  P = UV:8×Y = 31,J2  8×]12g = 5?4,56 ST N 

La segunda parte del análisis implica la determinación del momento resistente de la viga en la condición c/d=0.375.

nm = 0,3?5@ 9 = 0,3?5 ×6J0 = 258,?5 = 25J C.10.2.7.3. Para *EF entre 17 y 28 MPa, el factor G se debe tomar como 0.85. Para *EF superior a 28 MPa, G se debe disminuir en forma lineal a razón de 0.05 por cada 7MPa de aumento sobre 28 MPa. Sin embargo G no debe ser menor de 0.65. H = 0,85 fa  + o p 28 > Entonces; > = H ×> = 0,85 ×25J = 220,15  = 220 Obtención del área a compresión del concreto:

1024  X1200   o=  2 ×220XtQ=88 244640×220  R×2u×Q = 0,24  13 ×220R ]1024 ×220g×110 2 s  q r   qr = s  = 1024 ×220 X2× 12 ]88 ×220g Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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qr = 10?,1  = 10? Ahora, por equilibrio de fuerzas;

C =B 0,85 +9 ×m =  ×: ×244640 = 13862,J3  = 0,01386  L = 0,85 +:9 ×m = 0,85×28 > 420 > Momento Último Resistente

P = I7 = I× L ×: ×] Nqrg = 0,J ×]13862,J3 g]420 >gM6J0 N 10? 2 O P = 3335,3 8 ST N P = 5?6,56 ST N p PvwLL = 3335,3 8 ST N La viga está en la capacidad de resistir aproximadamente 7 veces más que lo requerido por cargas externas, es importante resaltar que la gran mayoría de elementos estructurales que se encuentran construidos trabajan en este rango, el cual es forzado por el cumplimiento de condiciones de servicio en el dimensionamiento de los elementos estructurales. Las dimensiones mínimas por condiciones de servicio son en la gran mayoría de los casos mayores a las requeridas por condiciones de resistencia llevando a un diseño más conservador de los elementos de concreto reforzado e introduciendo de esta forma un factor de seguridad adicional en el diseño de estructuras de concreto reforzado. En puentes es de especial cuidado el control de deflexiones por las luces grandes que generalmente manejan, por lo general al ser estructuras simplemente apoyadas se deben diseñar los apoyos adecuadamente de acuerdo al código de puentes. Una mala selección del espesor de la viga puede llevar a condiciones visuales indeseables por valores altos de deflexión de la viga. En edificaciones altas deflexiones en vigas pueden llevar a rompimiento de divisiones o mal funcionamiento de puertas y ventanas.


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EJEMPLO 9 Diseñar la sección rectangular para los valores de cargas y cuantías presentadas en la figura. El peso de la viga no está incluido. Mostrar los esquemas de la sección transversal incluyendo la organización de las barras de refuerzo y sus espaciamientos. Asumir densidad del concreto de viga presenta condiciones de exposición exterior por lo que se debe seleccionar un

: = 420 >

23,+ 5 ST  9 = 28 >

, la y

.

Para la condición balanceada.

Cx = 600X 600 : D Cx = 600X 600 :  = 600X420 600  = 0,5J > = 0,85+9: × ×  = 0,85:+9 >x = x0,×85 ×+9 : @ Cx = >Hx >x = H]0,5Jg ]0,5420Jg×0,>85 × 28 >= 0,0284 0,85× x = H]0,5Jg×0, ×85×28> = :  = 0,5 x = 0,5 ×0,0284 = 0,0142 > = 0,85E:9 = 0,0,0142]420>g 85 ]28 >g @ > = 0,25 C.10.2.7.3.

H = 0.85 fa  +o p 28 > Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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Por


C.10.2.7.1.

> = H 9 = 0,85 9 = 0,25 9 = 0,0,2855 = 0,2J4 I = 0,J

Viga localizada en la zona de tensión Momento último provocado por fuerzas externas:

UV: = 1,2W X1,6Y P = 1,6 ×50ST ×3 XM1,2 × 6 ST X1,6×10 STO×]6g×]3gX1,2 ×  ×\ ×M23,5 ST O]6g]3g = yz = {(|,{ }~N#X(&|,{ ×/×• = {(|,{}~N#X(&|,{ ×/× ]X&,&{# g

C.9.2.1.

Momento resistente de la viga

P = I7 , I = 0,J ]€_a‚bƒ„… 9>^†> >a>g 7 =  × × × : Q N >2R = 0,0142 × × ×420>M N 0,225O = 5218,5   ST P = 0,J M5218,5  ST O = 46J6,65 ST  \7 = Y8 = 68 = 0,?5  = ?50 \ ‡ 1,5  D  = \ = ?50= 500 1,5 1,5

Según NSR-10 . Tabla C.9.5 (a). El espesor mínimo para una viga en voladizo es:

Las condiciones de exposición implican el uso de un recubrimiento libre de 50 mm y con base a

una selección preliminar de barras de refuerzo No. 8 se tienen los siguientes valores para el cálculo de la altura efectiva:

\ = ?50 Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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 = ?50 N ]50]^_9`âa_bcd a25 ^_ C.?.?.1]ggX12.? ]_fcâd >^^> Td.4 g X25 ]>^^> Td.8 gX 2 g = 650 = 0,65  = 500 = 0,5  ST P =65?, 6ST N X50?, 6  ×0,5 × ]0,?5g = 84?,J 5 ST N P = 46J6,65 ST  ×]0,5g×]0,65g = JJ2,1? ST N P A P D d_bcd ˆ_fafc_bc_ _ > ‰a†> A d_bcd Šcad ‹^d‰d9>d ‹d^ `_^Œ>f.   =  × × = 0,0142×500 ×650 = 4615  Como

Determinar

10 varillas No.8

 = 10 ×510  = 5100 Diámetro barras No 8= 25,4 mm Recubrimiento libre= 50 mm Espaciamiento entre barras = 30 mm

7 = Wae_c^d >^^>f ×5X2×^_9`âa_bcd X4×_f‹>9a>a_bcd _bc^_ >^^>f < 500 = 


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10. VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS Efecto de la adición de refuerzo a compresión sobre la resistencia de una viga Menos concreto es necesitado para resistir la C y por lo tanto el eje neutro se mueve hacia arriba. T =A s f× Cy ; T =

Figura 78

Viga simplemente reforzada

 C =C M × fs−d y  c ; =nA 

a1  2 

Viga doblemente reforzada

C =C +c CM′s ;=A ×n f d−s

 

y

a2  2 

y ( a2 < a1 ) Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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Razones para la provisión de refuerzo a compresión •

Reducción de las deflexiones por carga sostenida.

•

Ductilidad del hormigón en la zona de compresión.

•

Transferencia de carga al acero de compresión.

•

Reducción del esfuerzo en el concreto.

•

Menos deflexión por carga sostenida.

Fig 5-14 Efecto del refuerzo a compresión en las deflexiones por carga sostenida (MacGregor).

Figura 79

Aumento de la ductilidad Reducido el esfuerzo en el bloque se incrementa la deformación en el acero y se obtiene mayor curvatura.


Página 100



Fig 5-15 Efecto del refuerzo a compresión sobre la resistencia y la ductilidad de las vigas sub-reforzadas (MacGregor).

ρ > ρbal

Figura 80

Cambia el modo de falla de compresión a tensión Cuando ρ

> ρbal

ρ − ρ´

Facilidad de construcción Las barras de las esquinas son por lo general usadas para sostener y anclar los estribos.

Efecto de la adición de refuerzo a compresión Comparar la distribución de deformaciones en dos vigas con el mismo As


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Figura 81

Sección 1

T = As × fs T =C =c1 0,85 f´ b×=ac× As × fs c1 = 0,85 fć × b × β1

× f´×b0,85 cc×

β1

1

Sección 2

T = As × fs T = C ′ + Cc1 = A×s′+ fs′ 0,85 × fć × b a2 = A×s′ + fs′ 0,85× f´ ×c × b β1 c2

c2 =

As ×sf −s As′ × f ′ 0,85 fć × b × β1

Además de que As refuerza la zona de compresión de modo que es necesario menos concreto para resistir un determinado valor de T. El eje neutro asciende

(c2 < c 1)


y ε s incrementa (εs2 > εs1)

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Cuatro posibles modos de falla •

Subreforzado

Caso 1: Acero a tensión y compresión fluyen. Caso 2: Sólo el acero a tensión fluye. •

Sobrereforzado

Caso 3: Sólo el acero a compresión fluye. Caso 4: Falla del concreto. Análisis de secciones rectangulares doblemente reforzadas Comprobación de compatibilidad de deformaciones: asumir ε 's usando triángulos semejantes ε s′

d( c −c ' )

=

0,003

⇒

c

ε s′ =

( c − d ' ) × 0, 003

Figura 82

T C= Cc′ + s′ a ⇒ c=

=

( As − As′ ) fy 0,85 fć × b

a β1 ′

c = ( As − As ) fy β1 ( 0,85 fć × b ) c=


( ρ − ρ ' ) d fy β1 ( 0,85 fć )

Página 103



La deformación en el acero de compresión es:

 

ε s′ = 1 −

d′  ×ε c  cu

 

β1 ( 0,85 fć ) d ′ 





ε s′ = 1 −

 × 0,003 ( ρ − ρ ') d fy 

Figura 83

Verificación: εy =

fy Es   

ε s′ =  1 −

β1 ( 0,85 fć ) d ′ 

 × 0,003

( ρ − ρ ') d fy 

ε s′ ≥ ε y

 β1 ( 0,85 fć ) d ′  fy  1 − ( ρ − ρ ') d fy  × 0, 003 ≥ 200000    β1 ( 0,85 fć ) d ′  600  ( ρ − ρ ') ≥    y y 

df

  600 − f 

Si la afirmación es verdadera, entonces:

a Mn = ( A−s As′ ) −fy +d × − As′ fy ( d d ′) 2  Riveros Jerez, Carlos Alberto.

Página 104



De otro modo la deformación en el acero de compresión es:

fs = Eεs Calcular el esfuerzo en el acero de compresión.



fs′ = 200000 −× 1 

β1 ( 0,85 fć ) d ′  ×  0,003 ( ρ − ρ ') d fy 

Volver atrás y calcular el equilibrio con f s’

T = C c′ + Cs′ ⇒ a=

c=

( A s × yf

−s As ′ × f

′

)

0,85 f´ c × b

a β1

Iterar hasta que el valor de c se ajuste para el f s

d′ fs = 1 −  600  c Volver atrás y calcular la capacidad de momento de la viga

a  Mn = (s As−fsy A ′′ −f +)  ds −′′ A f ( d d ′) 2 


Página 105



Procedimiento de diseño de vigas doblemente reforzadas: A. Procedimiento cuando las dimensiones de la sección son conocidas

1. Calcular el valor para el diseño de momento, Mu. 2. Calcular d, dado que h es conocida. d ≈h − 60mm d ≈h − 90mm

Para una sola capa de refuerzo (barras de refuerzo No. 6 o inferiores). Para dos capas de refuerzo (barras de refuerzo No. 6 o inferiores).

3. Estimar el valor de c , el cual provocará una deformación, εt > 0,005 y encontrar el área As1 d

para una sección simplemente reforzada. Calcular c de d.

4. Determinar la capacidad de momento nominal proporcionado por As1

0,85 fć × b × a fy a Mf1 = As1 × fy  d − 1  2  As1 =

5. Encontrar la capacidad de momento nominal que debe ser proporcionada y que debe soportar A s′

∆M =

Mu φ

− Mf1

Si ∆M ≤ 0 , el acero de compresión no se requiere para resistir

Mu φ

Si ∆M > 0 , diríjase al paso 6.

Nota: Utilice φ = 0 ,9 para flexión sin carga axial, que dependerá de la deformación en el acero de tracción. NSR-10 Cap. 9.3.

6. Determine A s ′ requerido para resistir ∆M Asumir (ε s ' ≥ ε y )


Página 106



As′( requerido) =

∆M ( d − d)(′ )fy

7. Calcular la tracción total para el refuerzo requerido = A(s1 +) As ′ requerido As( requerido )

8. Seleccione las barras de refuerzo para A s (proporcionado) ≥

A s (requerido)

Confirme que las barras se ajustarán dentro de la sección transversal.

9. Confirme que ε 's ≥ εy , Si no regrese al paso 6 y sustituir fs′ = Es ε´s por fy para obtener el valor correcto de As′( requerido)

10. Calcular el momento Mn para las dimensiones de la sección y el refuerzo seleccionado. Comprobar la resistencia φ M n ≥ M u Mantener sobredimensionado en un 10%.

11. Comprobar si ρ siempre está dentro de los límites permitidos.


Página 107



EJEMPLO 10 Determinar el momento nominal Mn para la sección mostrada en la figura considerando el acero de refuerzo a compresión. La viga hace parte de una estructura de almacenamiento de agua potable por lo que se debe seleccionar como mínimo f’c = 28MPa.

fć = 28 MPa fy = 420 MPa h = 450 mm d = 390 mm d ' = 60 mm b = 300 mm = mm 2 568 mm 2 As′ = 2 N º=×6 2 284 As = 4 N º=×7 4 387 = mm 2 1548 mm2

Determinar valores de cuantía

As 1548 mm2 ρ = bd = 300mm × 390 mm = 0,0132 As ′ 568mm2 ρ'= = = 0,0049 bd 300mm × 390 mm Determinar el valor de cuantía efectiva ef

= −ρ = ρ ' 0,0132 − = 0,0049 0,0083

Verificación cuantía mínima

fć 1, 4 28 MPa 1, 4 ≥ ⇒ = 0,0031 ≥ = 0,0033 4 fy fy 4 × 420 MPa 420 ρ > ρmín ⇒ 0,0132 > 0,0033 cumple ρmín =

Determinación cuantía mínima para viga simplemente reforzada

 fć d '  ( 600  0,85 × 0,852 ( ) β 0,85 )  × 8 × 60 ( ρ − ρ ') ≥  1     ≥   d × f − × − y 600 420 390    420     0,0083 ≥ 0,0247 no cumple

600 600 420

El acero de refuerzo a compresión no ha alcanzado la fluencia. Riveros Jerez, Carlos Alberto.

Página 108



Utilizar procedimiento iterativo para determinar f s

 β ( 0,85 fć ) d ' 

( 600 − fs′ ) =  ( ρ1 − ρ ') × d × fy  × 600

  β f´ d  0,85   c ' ( ) ( ) 0,85 × 0,85 × 28 × 60 fs′ = −600 1 1 = − 600 1= ρ − × × ρ × × 0,0083 390 420 ( ') d f y  

64,32 MPa

Primera iteración: c=

A s ×−×fy A s ′ fs ′ × 1548 mm − 2 420 × MPa 568 mm 2 64, 32 MPa = = 101 mm 0,85 × ×f´× c β1 b 0,85 × × × 28 MPa 0,85 300 mm

fs ′ = ×E s= ε 's



60 mm  0, 003 244 MPa 101 mm 

200000 ×− MPa× = 1 

Segunda iteración: c=

As ×−×fy As ′ fs ′ × 1548 mm − 2 420 × MPa 568 mm 2 244 MPa = = 84 mm 0,85 × ×f´×c β1 b × 0,852 × × 8 MPa 0,85 300 mm

fs = ×E s= ε 's



200000 ×− MPa×  1= 

60 mm  0, 003 171 MPa 84 mm 

Tercera iteración: A s ×−×fy A s ′ fs ′ × 1548 mm − 2 420 × MPa 568 mm 2 171 MPa c= = = 91 mm 0,85 × ×f´×c β1 b × 0,852 × × 8 MPa 0,85 300 mm fs ′ = ×E s= ε 's

 60 mm  200000 ×− MPa×  1=  0, 003 204 MPa  91 mm 

Cuarta iteración:

c=

− 2 420 × MPa 568 mm 2 204 MPa As ×−×fy As ′ fs ′ × 1548 mm = = 88 mm × × 8 MPa 0,85 300 mm 0,85 × ×f´×c β1 b × 0,852

fs ′ = ×Es= ε 's

 60 mm  ×− MPa×  1 = 200000 0, 003 191 MPa 88 mm  



Quinta iteración: − 2 420 × MPa 568 mm 2 191 MPa As ×−y×f s sA ′ f ′ × 1548 mm = 89 mm c = 0,85 × ×f´×c β1 b = × 0,852 × × 8 MPa 0,85 300 mm

fs ′ = ×Es= ε 's



×− MPa×  1 = 200000



60 mm  0, 003 196 MPa 89 mm 

Tomar fs’ = 196MPa y c = 89mm.


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Determinar momento nominal a′ ′  − A 2 

 

Mn =s( A× −sfsy× A ′ ′− f +)s s×d

f ( d d ')  

Mn =×( (1,548 10−3 m 2−×) ( 420000 KPa ) ( 0,568 − 10−3 m 2+) (196000 KPa ) )  0,39

,568(0 10 ×

−3

m2 ) ( 196000

0,85 × 0,089m   2 

KPa − )(0,39 m 0,06 )m

Mn = 226,5 KN − m

EJEMPLO 11 Determinar el momento máximo y su correspondiente momento nominal para la sección mostrada en la figura. La zona a compresión se encuentra en la parte superior. Determinar el refuerzo requerido en la zona a tracción. La viga forma parte de una estructura de transporte de aguas industriales por lo que f’c = 41MPa.

fć = 41MPa fy = 420 MPa  fć− 28 β1 = 0,85 − × 0,05  = − × 

7


 

 

0,85 = 0,05 

41 − 28 7

0,76

Página 110



Condición viga subreforzada

 ε cu

 =× d   ε cu + ε s 

c=

0,003   × = mm 540 mm  0,005 + 0,003  

a = cβ=1 ×0,76 mm =203

203

mm154

Verificación fluencia acero a compresión ε cu × (c − d )

0,0 03 × (203 − 60) 203 fy 420 εs ' = ≥ 0, 0021 = = → 0, 0021 Es 200000 εs ' =

c

=

cumple

Momento aportado por el refuerzo superior Ms ′ =×A−s ′= ×fy ( d d ') ( 900 10 −6 m 2−) ( 420000 = KPa −)( 0,54) 0, 06 m 181KN

m

Momento aportado por el bloque a compresión a  Mc = 0,85 f´×c ×AC−1 − d × ×0,85 − fć AC 2 ( d 0,137 ) 2  

Mc = 0,85 × ×41000 × 0, 6− −0,154× 0,54 × 0,154− 0,85 −41000 0, 44 ( 0,154 0,12 0,54) 0,137 )( 2   Mc = 1281 KN − m Momento último que resiste la sección. Mn = Mc + Ms '

Mn = 1281 + = 181 1462 − KN m Mu = φ M=n × 0,9 1462 − KN m Mu = 1316 KN − m Condición de equilibrio ×) a 120 ) As ′ fy As × =fy 0,85 fć (×(−600 ) −a +( 440

As =

0,85 × ×41 (×( 600− )154( − 440)+ 154 × 120 ) ( 900 420 ) = 7326 mm 2 420


Página 111



11. ANÁLISIS Y DISEÑO DE VIGAS T

Figura 84


Página 112



Si el eje neutro desciende, dentro del espesor de la losa se analiza la viga como una viga rectangular, de lo contrario como una viga T.

Figura 86

Ancho de ala efectivo Las partes cercanas a las almas son más altamente esforzadas que las áreas fuera del alma.

Figura 87


Página 113



Ancho Efectivo be be es el ancho que es esforzado de manera uniforme para dar la misma fuerza de compresión que se desarrolla actualmente en la zona de compresión de ancho b(actual).

Figura 88

NSR-10 C.8.12 — Sistemas de vigas T C.8.12.1 — En la construcción de vigas T, el ala y el alma deben construirse monolíticamente o, de lo contrario, deben estar efectivamente unidas entre sí.

C.8.12.2 — El ancho efectivo de la losa usada como ala de las vigas T no debe exceder 1/4 de la luz de la viga, y el ancho sobresaliente efectivo del ala a cada lado del alma no debe exceder:

(a) 8 veces el espesor de losa, y (b) la mitad de la distancia libre a la siguiente alma


Página 114



L 4 be ≤ 16hf + bw be ≤ bactual be ≤

C.8.12.3 — Para vigas que tengan losa a un solo lado, el ancho sobresaliente efectivo del ala no debe exceder:

(a) 1/12 de la luz de la viga, (b) 6 veces el espesor de la losa, y (c) la mitad de la distancia libre a la siguiente alma.

L +b 12 w be ≤ 6hf + bw be ≤ bactual= + bw× 0,5 ( distancia libre a la siguiente alma) be ≤

C.8.12.4 — En vigas aisladas, en las que solamente se utilice la forma T para proporcionar con el ala un área adicional de compresión, el ala debe tener un espesor no menor de 1/2 del ancho del alma, y un ancho efectivo no mayor de 4 veces el ancho del alma.

bw 2 be ≤ 4bw hf ≥

C.8.12.5 — Cuando el refuerzo principal de flexión en una losa que se considere como ala de una viga T (excluyendo las viguetas) sea paralelo a la viga, se debe disponer de refuerzo perpendicular a la viga en la parte superior de la losa de acuerdo con lo siguiente:

C.8.12.5.1 — El refuerzo transversal se debe diseñar para resistir la carga mayorada que actúa sobre el ala suponiendo que ésta trabaja en voladizo. Para vigas aisladas debe considerarse el ancho total del ala. Para otros tipos de vigas T, sólo es necesario considerar el ancho sobresaliente efectivo del ala.

C.8.12.5.2 — El espaciamiento del refuerzo transversal no debe exceder de 5 veces el espesor de la losa ni de 450 mm.


Página 115



Varias geometrías posibles de vigas T

Figura 89

Análisis de vigas T Caso 1:

a ≤ hf

Asumir εs ≥ ε y ⇒ fs = fy La viga se comporta en condición sub-reforzada. Comprobar

a ≤ hf


Página 116



Equilibrio

T =C ⇒a =

As × fy 0,85fć × be

Figura 90

εs ≥ ε y

c=

a β1

 d −c  ε cu ≥ ε y  c 

εs = 

Figura 91


Página 117



Calcular Mn

a Mn = As × fy  d −   2

Caso 2:

a > hf Cf = 0,85f´ ×cb− b( ×h w ) Cw = 0,85f´ bc ×a w × T = As × fy

f

Figura 92

Asf =

0,85 fć × ( b − bw ) × hf fy

Las aletas son consideradas como de compresión de acero equivalente

T =C fC+ wa⇒ =


( As − Asf ) fy 0,85 fć × bw

Página 118



Figura 93

Confirmar

a > hf a c=

β1

 d −c  ε cu ≥ 0,005  c 

εs = 

Confirmar ϖ =ρ

hcf =≤

fy f´ c 1,18ϖ d ó ha d≤= β1

1,18

f

ϖ

Determinar los momentos nominales

M n = M n1 + Mn2 a  M n1 = ( A s − Asf ) fy  d −  2  M n2 = Asf fy  d − hf  2 



La definición de Mn1 y Mn2 para la viga T están dados como: Riveros Jerez, Carlos Alberto.

Página 119



Figura 94

El momento último Mu para la viga T está dado como:

Mu = φMn φ = 0,9

Procedimiento de diseño vigas T •

Determinar el valor del momento de diseño, Mu.

•

Suponga que el valor de la sección resultante será la tensión controlada ε t ≥

0,005 de

manera que pueda tomarse φ = 0, 9 •

Calcular d, ya que h es conocida.

d ≈h − 60mm

Para una capa de refuerzo (barras de refuerzo No. 6 o menores).

d ≈h − 90mm

Para dos capas de refuerzo (barras de refuerzo No. 6 o menores).

•

Determinar el ancho efectivo del ala, be

•

Comprobar si la capacidad requerida del momento nominal se puede proporcionar con la compresión en el ala solamente.

Cf1 = 0,85f´ b×c ×h

e

f

M = y −C d hf1

f1

( / 2f

)

Si Mu > φ Mf1 → Necesita utilizar el alma por debajo de los rebordes. Vaya al paso 4. Riveros Jerez, Carlos Alberto.

Página 120



Si Mu ≤ φ Mf1 → Utilice el procedimiento de diseño para vigas rectangulares. b=b

e

NOTA:

 a  d- 2 =095d  

•

φ = 0, 9 Para flexión sin carga axial.

Encontrar la capacidad de momento nominal proporcionada por los rebordes sobresalientes solamente (sin incluir ancho del alma). Para una sección en forma de T

Cf = 0,85f´ bc (be −h w )

f

Mf = Cf ( d − hf / 2) •

Encontrar la capacidad de momento nominal que debe ser proporcionada por el alma.

Mw = •

Mu φ

− Mf

Calcular la profundidad del bloque de compresión, mediante la resolución de la siguiente ecuación para a.

M w = Cw ( d − a / 2) M w = 0,85 fć × bw × a ( d − a / 2) •

Encontrar el área de refuerzo requerida, A s (req)

Asf = Cf / fy Asw = Cw / fy , donde Cw = 0,85 fć × bw × a As( requerido) = Asf + Asw •

Seleccione las barras de refuerzo para A s (proporcionado)

≥

A s (requerido)

Confirme que las barras se ajustarán dentro de la sección transversal. Puede ser necesario cambiar los tamaños de barras para ajustar el acero en una capa e incluso para ir a dos capas de acero, en estos casos es necesario recalcular la altuda efectiva “d”. •

Calcular el actual Mu para las dimensiones de la sección y el refuerzo seleccionado. Verificar la resistencia φ M n ≥ M u mantener el sobre-diseño en un 10%

•

Comprobar si el As proporcionado está dentro de los límites permitidos. A s (proporcionado) ≥ A s (m inim o)


Página 121



Limitaciones en el refuerzo de vigas T Límites inferiores •

Alma de la viga T a compresión (parte inferior):

ρ min

•

   = = mayor entre  bw d  

As

f´ c 4 fy

1, 4 fy

Zona de ancho efectivo a compresión (parte superior):

 fć b d  2 fy w    fć As(min) = menor entre  be d  mayor entre  4 fy    1, 4 b d   fy e  •

Si A s (proporcionado)

≥

4 A (requerido) s 3

Basado en el análisis entonces

As(min)no es requerido.

φ Mn ≥

4 M u para A s (proporcionado) 3

Nota: Confrontar con NSR-10 C.10.5.3 Requerimientos adicionales para vigas T cuando las alas se encuentran sometidas a esfuerzos de tracción NSR-10 C.10.6 — Distribución del refuerzo de flexión en vigas y losas en una dirección C.10.6.6 — Cuando las alas de las vigas T están en tracción, parte del refuerzo de tracción por flexión debe distribuirse sobre un ancho efectivo del ala como se define en C.8.12 o un ancho igual a 1/10 de la luz, el que sea menor. Si el ancho efectivo del ala excede de 1/10 de la luz, se debe colocar algún refuerzo longitudinal en las zonas más externas del ala. be (compresión ) >


1 10

Página 122



EJEMPLO 12 Determinar el momento nominal y el momento último de la viga mostrada en la figura.

be = 1400mm t =h f = 75 mm bactual = 2200mm d = 440 mm As = 5733mm2 fy = 345 MPa fć = 21 MPa bw = 300 mm L = 5600mm Verificar be

L 5600 mm = = 1400 mm (C.8.12.2) 4 4 be ≤ 16 h +bf = ×w (16mm + 75 =mm ) 300 mm 1500 be b≤ actual = 2200 mm

be ≤

Determinar la cuantía del refuerzo ρ y verificar que es mayor que ρmín . ρ=

ρ mín

As 5733mm2 = bdw mm × 440 mm 300

= 0,0434

1, 4 1, 4 = = 0,0041 fy 345 fć 21 = = 0,0033 4 fy 43× 45

mínρ

= 0,0041

0,0434 > 0,0041 cumple sección trabajando con refuerzo mínimo Determinar ω , verificar que el valor de c es mayor hf.


Página 123



fy 5733 mm2 345MPa × = 0,153 fć 1400mm × 440mm 21MPa 1,18ϖ d 1,18 × 0,153 × 440mm hc f ≤ = mm ⇒ 75 ≤ mm = 93, 4 β1 0,85 h f a≤ = 1,18 d ϖmm⇒ 75 ≤ × 1,18× 0,153 mm= 440 mm 79, 4

ϖ = ρ=

As f =

0,85 × fć ( be − bw ) h f 0,85MPa × 21 = fy

× (mm 1400

   se analiza como viga T  

− 300mm ) 75mm

345MPa

= 4268mm2

Determinar el valor de c y verificar la deformación unitaria en el acero, εs.

a=

( As )− (As f

× fy

0,85 ×× fć bw a c = = 111mm

=

MPa 5733) mm2 − 4268mm 2 × 345 × 0,85 × 21MPa 300mm

= 94mm

β1

 440 mm  d  1= 0,003 −  = > 1 0,003 0,0089 0,005 c   111 mm 

ε s = −

El acero fluye en la zona de tracción. Determinar los componentes de momento a Mn1 = ( As − As f ) fy  d −  2   × 7331 − × 0 −3 m 2 4, 2681 0 −3 m 2 )−( 345000 = KPa − )  0, 44 m Mn1 = ( 5, 

Mn 2 = ( A s f )

0,094 m  199 KN m 2 

h   fy  d − f  2 

0,075 m  593KN m 2  + KN − m = 593−KN m 792 KN m Mn = M+n1 =Mn2 −199 Mu = φ Mn = 0,9 ( 792 KN −m ) = 713 KN m−  Mn2 = (×4, 2681 0−3 m 2 ) ( 345000 KPa − )= 0, − 44 m 


Página 124



EJEMPLO 13 Determinar el ancho efectivo para la viga de borde y efectuar el análisis. Utilizar 4Nº8 para determinar el momento último. El sistema estructural mostrado en la figura no hace parte del sistema de resistencia sísmica por lo que se permite el uso de un acero importado con un fy=345 MPa. y no tiene condiciones de exposición ambiental (recubierto con piso y cielo raso) se permite el uso de un concreto f`c=21 MPa.

fy = 345 MPa fć = 21MPa As = 2040 mm 2 Columnas ( 300mm × 300mm )

Determinar be

L 6000mm be ≤ + b= w + =mm300 mm 800 12 12 be ≤h6 +bf = × w ( 6mm + 200 =mm ) 300 mm 1500 bbe ≤ actual b =+ ×w ( 0,5luz = libre × ( 300= ) mm0,54 mm 700 )_+ mm Riveros Jerez, Carlos Alberto.

2650 Página 125



Se selecciona be= 800mm Verificación de ρmín ρ=

As 2040mm2 = bdw 300 mm × 340 mm ρ mín

= 0,02

1, 4 = 1, 4 = 0,0041 fy 350 f´ c 21 = = 0,0033 4 fy 43× 45

mínρ

= 0,0041

Cumple

Determinar ω y verificar que el valor de c es mayor que hf.

fy 2040 mm2 345MPa × = 0,123 fć 800mm × 340 mm 21MPa 1,18ϖ d 1,18 × 0,123 × 340mm hc f ≤ = mm⇒ 200 ≤ mm = 58 β1 0,85 h f a≤ = 1,18 d ϖ m ⇒ m 200 ≤ × 1,18 × 0,123 mm= 340 mm 49,3

ϖ = ρ=

   No cumple.  

No cumple, efectuar análisis como viga rectangular. Determinar el valor de c y verificar la deformación unitaria en el acero, εs.

As × fy 2040mm2 × 345MPa = = 49mm 0,85 × ×fć b × 0,85× 21MPa 800mm a 49mm c= = = 58mm β1 0,85  d  340mm ε s = −   1=0,003 −  = > 1 0,003 0,0146 0,005  c   58mm a=

El acero fluye en la zona de tracción.

a 0,041 m   Mn =×−A=s ×fy  d = − ) 0,34m ( 2, 041 0 −3 m 2−) ( 345000  KPa 2 2     Mu = φ M=n × 0,9 −225 = KN −m 203KN m


225 KN m

Página 126



EJEMPLO 14 Un sistema de entrepiso en concreto consta de vigas T paralelas y simplemente apoyadas, espaciadas 5000 mm entre centros y con luces entre apoyos de 10000 mm. La losa con espesor de 200 mm esta vaciada monolíticamente con las almas de las vigas T que tienen un ancho b w=400mm y una altura total medida de la parte superior de la losa, igual a h=800mm. La altura efectiva se tomará 75mm menor que la altura total. Además de su propio peso cada viga T debe sostener una carga muerta de 4KN/m2 y una carga viva de 10KN/m2. El sistema estructural mostrado en la figura no presenta condiciones de exposición ambiental por lo que se seleccionan como resistencias de los materiales f’c=21MPa y fy=420MPa. Determinar el área de acero requerida a tensión y seleccione las varillas de acero correspondientes.

Determinación peso de la viga

⇒

V = ( ( 5000 × +(200 m L ) ) × × ) 600 V400

= 12, 4

3

Wviga = ( 24 KNm / )(3 m12, ) 4 3KN= 298 Carga muerta

WD = KN (4 m /

2

 298KN  =m 9,96 KN  5m ×10m 

)+

WD = 9,96KN m/ m2 × 5 =KN 49,8 m

/

/

2

( distribuida )

Carga viva

WL = 10KN m/ 2 m × 5 =KN 50 m /


( distribuida)

Página 127



Carga mayorada: Wmay = 1,2W D + 1,6 LW

Wmay = (×1,2 49,8 KN ( +m)×/

=KNm 50 ) 1,6

/ KNm 139,76

Determinación de Mu W × L2 (139,76 KN m /)( m ) 10 = = − Mu = may

8

Determinación de

be

/

2

1747 KN m

8

L 10000mm be ≤ = = 2500mm 4 4 be ≤ 16 h +bf= ×w (162 + mm 00 = mm ) 400 mm 3600 be ≤b = 5000 mm be = 2500mm Verificación Momento aletas C f 1 ==0,85 × ×f´ bch e f 0,85KPa = m )( m2,5 ( 21000 )(

0, 2 )KN

8925

hf  0,2   − =KN )  0,725 − m 5578KN m  ( 8925 2 2    Mu = 1747 KN −≤ ×m =0,9 5578 − 5020 KN m ⇒ Utilizar procedimiento viga rectangular 

M f 1 = ×C−f 1 =  d

As =

Mu

a=

As × fy

a 0,85 × fć × be  φ fy  d −  2   Suponer a = 100 mm (primer tanteo) As = 6847 mm 2 a = 64 mm Suponer a = 64 mm (segundo tanteo) As = 6669 mm 2 a = 63 mm Suponer a = 63 mm (tercer tanteo) As = 6664 mm 2 a = 63 mm Utilizar 10 varillas Nº10 Verificación c = 74 mm = <0,102 → 0,3 75 ok d 725 mm Verificación ancho mínimo (refuerzo dos filas) para 5 varillas Nº10 y tamaño de agregado ¾” se requieren 360mm < 400mm Riveros Jerez, Carlos Alberto.



cumple. Página 128



EJEMPLO 15 La viga mostrada en la figura da soporte a una cubierta con su respectiva canal, se debe dimensionar la viga, determinar el refuerzo inferior y el momento máximo que resiste la viga mostrada en la figura.

Notas aclaratorias: • Utilizar concreto f’c=35 MPa y acero de refuerzo fy=420 MPa. La viga debe ser diseñadas por condiciones de exposición ambiental. • La distancia de la fibra extrema a compresión al centroide del refuerzo a compresión es 60 mm.

*EF G G

C.10.2.7.3. Para 28 MPa,

entre 17 y 28 MPa, el factor

G

se debe tomar como 0.85. Para

*EF

superior a

se debe disminuir en forma lineal a razón de 0.05 por cada 7MPa de aumento sobre 28

MPa. Sin embargo

no debe ser menor de 0.65.

Entonces,

H = 0.85N0.05 t +o ?N28u = 0,85N0,05 M 35N28?O = 0,8 ≥ 0.65. C.8.12.3. Para vigas que tengan losa a un solo lado, el ancho sobresaliente efectivo del ala no debe exceder:

(a) 1/12 de la luz de la viga, Riveros Jerez, Carlos Alberto.

Página 129



(b) 6 veces el espesor de la losa, y (c) la mitad de la distancia libre a la siguiente alma.

Es decir, de (b) se tiene;

De donde; De donde

’ = 25 \Ž ≥ xx’ ‘ = “””“” w p 6\Ž X  ‡ \ N60 ]1 9>‹> ^_`_^Œdg  ‡ \ NJ0 ]2 9>‹>f ^_`_^Œdg  = \ N^_9`âa_bcd = 600 N60 = 540 9 = 0,3?5 9 = 0,3?5 × = 0,3?5×540 = 202,5 > = H 9 = 0,8 ×202,5 = 162 

Asumiendo ;

Por

C.10.2.7.1.

Verificando la fluencia del acero:

9 NKLE + = 0,0903 @bcdb9_f,K L+ = 0,003 9 N9 Riveros Jerez, Carlos Alberto.

+ Página 130


Como


= 0,003 M202,5202,5N60  O = 0,0021 p 0,3?5 \Ž7 = 25  ,bcdb9_f f_ cd>, \ Ž = 200 \Ž = 200 A > = 162

Se analiza como viga rectangular. Por equilibrio de fuerzas

C+ X C = B + : X0,85+9 ×> × =  L: L = + : X 0,85: +9 ×> × = 800  ×420> X0,84205×35>> ×162 ×500  = 653?,5  = 0,00654  I = 0,J D €_aP ‚=bƒ„I…79>^†> a> P = 0,J ]–: N+:—Q N >2RX+:] N+gg = 0,J]]653?,5 ×420 > N800 ×420>gM540 N 162 O 2 X800  ×420> ]540  N60g P = 0,J ×126?,35ST N P = 1140,6 2 ST N


Página 131



12. CORTANTE

Figura 95

Distribución de los esfuerzos distribuidos a través de la sección transversal τ=

VQ Ib

El esfuerzo cortante actuando en una viga rectangular

Figura 96

La ecuación del esfuerzo cortante de una viga rectangular viene dada por: Riveros Jerez, Carlos Alberto.

Página 132


τ=


VQ Ib

bh 3 −Momento de Inercia 12 bh h bh 2 Q max =   ×  = 8  2   4 3 V  τ max = ×   = 1,5 τ ave 2  bh  I=

Nota: El máximo cortante se produce primero en el eje neutro. La distribución ideal de esfuerzo cortante se puede describir como:

Figura 97


Página 133



Una descripción realista de la distribución de esfuerzos cortantes se muestra de la siguiente forma:

Figura 98

El esfuerzo cortante que actúa a lo largo de la viga puede ser descrito con un bloque de esfuerzo:

Figura 99

Usando el círculo de Mohr, el bloque de esfuerzo puede ser utilizado para encontrar el cortante máximo. Riveros Jerez, Carlos Alberto.

Página 134



Agrietamiento inclinado de vigas de concreto reforzado Patrones típicos de grietas para una viga de altura considerable

Figura 100

Las fisuras por flexión y cortante comienzan como una fisura por flexión y se propagan debido al esfuerzo cortante. Las fisuras por flexión en vigas son verticales, perpendicular al eje neutro.

Figura 101


Página 135



Para una viga profunda las grietas se presentan como: Fisuras generadas por esfuerzo cortante: Inclinadas en diagonal, interceptándose la fisura con las barras longitudinales más las verticales o las de refuerzo inclinado.

Figura 102

Las fisuras a cortante fallan en dos formas principalmente:


Página 136



13. DISEÑO A CORTANTE

Cuando no se usan estribos:

vcz -

Resistencia Total = vcz + vay + vd

Cortante en la zona de compresión

vay - Trabazón en el agregado

vd -

Fuerza de dovela en las barras longitudinales.

Nota:

vcz Incrementa de

V V a bd by

Figura 104

Factores que intervienen en la resistencia del concreto al esfuerzo cortante (sin refuerzo a cortante) •

La resistencia del concreto a la tracción afecta la generación de fisuras diagonales.

•

Relación de refuerzo longitudinal, ρw

ρw =

As bw d

(Restringe las grietas)


Página 137


Para 0,00075 ≤≤ρw •


≅ 0,0025: Vc × 0,17λ f´ bcd

w

Relación luz de aplicación de la carga que genera esfuerzos cortantes versus altura efectiva de la viga, a / d … M / (Vd) a ≤ 2 ⇒ Un diseño a cortante más detallado es requerido d a d > 2 ⇒ Esta relación tiene poco efecto

Figura 105 •

El aumento en el tamaño de la viga lleva por lo general a un incremento en la profundidad de la viga reduciendo el esfuerzo cortante en fisuras inclinadas.

•

Fuerzas axiales Tensión Axial:

Reduce las cargas en las fisuras inclinadas

Compresión Axial: Incrementa las cargas en las fisuras inclinadas.

Función y determinación de la resistencia del refuerzo a cortante El refuerzo a cortante es proporcionado para asegurar que la capacidad a flexión en viga sea completamente desarrollada, garantizando un modo de falla a flexión en condición de viga subreforzada, pues la falla por cortante es frágil. Actúa como "pinzas" para impedir la ampliación de las fisuras generadas por cortante. El refuerzo a cortante debe anclarse adecuadamente a fin de desarrollar el esfuerzo de fluencia para el cual es diseñado. Riveros Jerez, Carlos Alberto.

Página 138



Refuerzo a cortante Estribos

Vs =

Av × fy × d ( sin α + cosα ) s

α = 90 o ⇒ V s =

Av × fy × d s


Página 139



Barras inclinadas

Vs =

Av × fy × d ( sin α + cosα ) s

α = 45 o ⇒ V s =

1,41 Av × fy × d s

Figura 107


Página 140



Procedimiento de diseño • Determinar Vu • Determinar φ Vc • Verificar φ Vc

En caso afirmativo, se requiere refuerzo a cortante (ir al paso 4) En caso negativo. Cumple. 1 V u ≥ φV c → En caso afirmativo, se requiere refuerzo a cortante (ir al paso 4) 2 En caso negativo. Cumple. • Si

1 φV c ≤ V u ≤ φV c → Ubicar refuerzo mínimo 2

Av( min ) = 0,062 fć

bw s ( 0,35bw s ) ≤ f yt f yt

También: s max ≤

d ≤ 600 mm 2

(C.11.4.5.1 )

• Si V u ≥ φ V c , → calular V s (req'd) Vu n≤Vφ V V=c sφ + φ

⇒ φVs V=u Vc− φVs ⇒ V c=

Vu φ

−

Verificar

Vs ≤ 0,66 f´bdc

w

(C.11.4.7.9 )

Nota: Si cumple OK, sino cumple hay que rediseñar. • Resolver para el espaciamiento de estribos requerido (resistencia) Suponiendo estribos # 3, # 4 ó

# 5.

s ≤ Av f ytd Vs

De la ecuación C.11-15

• Verifique requisito mínimo de acero (Ec. C.11-14)

smax =

Av ytf yt f ≤ 0,062 f´ cbw 0,35bw


Página 141



• Verifique requisito espaciamiento máximo (C.11.4.5)

d f´bd c s → ≤≤ 600max mm w 2 d Si Vs ≥0,33 f´bd c s → w ≤≤ max mm 300 4 Nota: Si Vs ,66 ≥0 f´ bdc w ( Ilegal)

0,33Si Vs ≤

Use el espaciamiento más pequeño.

Ubicación del cortante máximo para el diseño a cortante de vigas Miembros no pretensados Secciones ubicadas a menos de una distancia d de la cara del apoyo pueden ser diseñados para el cortante, Vu, que corresponde al calculado a una distancia d.

Figura 108

La compresión lleva la carga directamente en el apoyo. Cuando: •

La reacción en el apoyo introduce compresión en las zonas extremas del miembro. Ninguna carga concentrada ocurre a d de la cara de apoyo.

Figura 109


Página 142



EJEMPLO 16 Debe proyectarse una viga rectangular para soportar una fuerza cortante mayorada de 140 KN. No se usa refuerzo a cortante. Por condiciones de exposición ambiental usar f’c = 28MPa ¿Cuáles deben ser las dimensiones mínimas de la viga?

Vu = 140 KN Vu ϑu = φ × b×wd

=

140 KN 0,75 × b× d w

Determinar el valor de fuerza cortante para la cual no se requiere refuerzo ϑu =

ϑC

2

⇒ ϑ=C ××0,17 = ×× λ

f´ c= 0,171

28− MP a

0,89 MPa (C.11 3)

Igualando las dos expresiones se tiene ϑc

2

=

140 KN 0,75××dbw

Tomando

⇒

0,89 ×KPa 103 KN140 2 ×140 2 = ⇒ bdw × = m mm = 419476 2 ××db 0,75 w×× 0,75 0,89 103

bw = 600mm

2

y d = 700mm.


Página 143



EJEMPLO 17 Diseñar el refuerzo transversal de la viga mostrada en la figura. ¿Qué parte de la viga requiere refuerzo a cortante? La viga hace parte de un sistema de entrepiso sin ningún tipo de exposición ambiental.

•

Cortante en el apoyo V u ap =

•

100 × 5, 5 = 27 5 KN 2

Esfuerzo crítico en el concreto

ϑC = 0,17 ×× = λ ×× fć •

= 0,171

− 0,78MPa (C.11 3) 21MPa

Diagrama de esfuerzos cortantes

0,275 MN = 4,21 MPa 0, 75 × 0,3 × 0, 29 0,245 MN ϑu = = 3,75 MPa 0, 75 × 0,3 × 0, 29 ϑu =

2750 mm Ld 1 = ⇒ Ld 1 = 2495 mm 4, 21MPa 4, 21 − 0, 39 2750 mm Ld 2 ⇒ Ld 2 = 2240 mm = 4, 21MPa 4.21 − 0, 78

Se requieren estribos hasta una distancia de 2495mm.


Página 144



EJEMPLO 18 Diseñar el refuerzo transversal de la viga mostrada en la figura de acuerdo a las fuerzas cortantes indicadas. La viga por ser de cubierta presenta condiciones de exposición ambiental y estará en contacto directo con el agua por lo que f’c=28MPa y fy=420 MPa.

1. DISEÑO VIGA SOPORTE IZQUIERDO • Determinar valor de la fuerza cortante a una distancia “d” de la cara de la columna.

V1d = 426 KN −120 KN m / m( 0,34 )KN = 385,2 ϑu1d =

0,385MN = 3,77MPa 0,75 × 0,4 × 0,34

Esfuerzo crítico en el concreto ϑc = 0,17 ×× λ= ×fć= 0,17 1 C

d

28 − 0,899MPa (C.11 3)

ϑu1 ≥ ϑ ⇒ 3,77 MPa > 0,899 s MPa → Determinar ϑ ϑs = ϑ ud 1 c − ϑ = 2,87 MPa

Seleccionando estribos cerrados diámetro 1/2” tres ramas

Av = 387mm2 fy =420 MPa Av × fy 387 mm 2 × MPa 420 s= = = 141mm ϑs × bw 2,87MPa × 400 mm Verificación de requerimientos mínimos (C.11.4.5) a)

S max =

Av × fy fy 387 × 420 ⇒ mm =m1239 ≤ 0,062×× bw fć 0,35 × bw×× 0,062 400 28


≤

420 =3 0,35 × 400

Página 145


b)

×= 0,33× fć ⇒ 0,33


− = MPa 0,89MPa 2,88MPa (C.11.4.5.3) 28> 1,75MPa 3,77

No cumple por lo cual hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad y verificar espaciamiento máximo. S=

141 ≅ 71mm 2

d S max ≤ 4 ≤ 300 mm

71 ⇒mm

≤ 85m m ≤ 300 mm

→ Usa r el menor valor

Colocar 5 estribos ϕ ½” tres ramas c/71 mm • Determinar el valor de la fuerza cortante a una distancia “2d” de la cara de la columna.

− V2d = 426 KN

ϑu2d =

KN 120m

/×= ( 0,34 2)KN344, 4

0,344MN = 3,37MPa 0,75× 0,4m× 0,34m

Seleccionando estribos cerrados diámetro 1/2” tres ramas.

Av = 387mm2 fy =420 MPa Av × fy mm 387 2MPa × 420 s= = − MPa MPa 3,37 (ϑud2) −(×c ϑ w b ) × 0,89

mm 400

= 163mm

Verificación requerimientos mínimos (C.11.4.5)

a) S max =

Av × fy fy 387 × 420 ⇒ mm =m1239 ≤ 0,062 × bw× f´ c 0,35 × bw 0,062 × 400 × 28

×= b) 0,33× fć ⇒ 0,33

≤

420 =3 0,35 × 400

− = MPa 0,89MPa 2,48MPa (C.11.4.5.3) 28> 1,75MPa 3,37

No cumple por lo cual hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad y verificar espaciamiento máximo.


Página 146


S=

163 ≅ 82 mm 2

S max ≤

N=


d ≤ 300 mm m m ⇒ 82 4

mm ≤ 85 m m ≤ 300

→ Usar el menor valor

2d − ( 57× 1) − 50 82

Colocar 4 estribos diámetro 1/2” tres ramas c/82 mm • Determinar el valor de la fuerza cortante a una distancia “3d” de la cara de la columna.

V3 d = 426 KN − ϑu 3 d

KN m =×/ ( 0,34 3KN 120 ) 303, 6 0,303 MN = = 2,97 MPa 0, 75 × 0, 4 m × 0,34 m

Seleccionando estribos cerrados ϕ=1/2” tres ramas

Av = 387mm2 fy =420 MPa Av × fy mm × 420 387 2MPa s= = ϑ − × ϑ b − MPa × MPa 2,97 0,89 ( ud3) (c w )

mm 400

= 195mm


a) S max =

Av × fy fy 387 × 420 ⇒ mm =m1239 ≤ 0,35 b × 0,062×× bw fć × 0,062 400 28 w×

×= b) 0,33× fć ⇒ 0,33

≤

420 =3 0,35 × 400

− = MPa 0,89MPa 2,08MPa (C.11.4.5.3) 28> 1,75MPa 2,97


19 5 ≅ 97 mm 2

S max ≤

d ≤ 300 mm 4

⇒mm 97

≤ 85m m≤ 300 mm

N = 3d− ×( 48−)2(×85 )−57 1 50




→ Usar el menor valor.

4 estribos diámetro 1/2” tres ramas c/85 mm.

Página 147



• Determinar el valor de la fuerza cortante a una distancia “4d” de la cara de la columna.

V4 d = 426 KN − ϑu 4 d

120m =×/ ( 0, 34 KN 4 ) 263 KN 0,263 MN = = 2,58 MPa 0, 75 × 0, 4 m × 0,34 m

Seleccionando estribos cerrados diámetro 3/8” tres ramas

A = 213mm2 fy =420 MPa v Av × fy mm 213 2MPa × 420 = s= − 2,58MPa MPa (ϑud3) −(×c ϑ w b ) × 0,89

= 132mm

mm 400


a) S max =

Av × fy fy 213 × 420 ⇒ mm m ≤ = 682 0,062×× bw fć 0,35 × bw×× 0,062 400 28

×= b) 0,33× fć ⇒ 0,33

≤

420 =3 0,35 × 400

− = MPa 0,89MPa 1,69MPa (C.11.4.5.3) 28> 1,75MPa 2,58

Cumple por lo cual no hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad, verificar espaciamiento máximo. d S max ≤ 2 ≤ 600 mm

N=

132 ⇒mm

≤ 170 mm≤ 600 mm

4d− ×( 48−)5(× −48 ) ( × 2 )− 57 1 50 132



Usar el menor valor.

3 estribos φ 3/8” tres ramas c/132 mm.

• Determinar el valor de la fuerza cortante a una distancia “5d” de la cara de la columna.

V5d = 426 KN − ϑu 5d

KN 120m =/× ( 0,34 5KN ) 222 0,222 MN = = 2,17MPa 0,75 × ( 0, 4m )( 0,34 )m

Seleccionando estribos cerrados diámetro 3/8” dos ramas

Av = 142mm2 fy =420 MPa Av × fy mm 142 2MPa × 420 s= = − MPa (ϑud3) −(×c ϑ w b ) × 0,89 2,17MPa


= 116mm

mm 400

Página 148



Verificación requerimientos mínimos (C.11.4.5).

a) S max =

Av × fy fy 142 × 420 ⇒ mm m ≤ = 455 0,35 b × w×× 0,062 400 28 0,062×× bw fć

×= b) 0,33× fć ⇒ 0,33

≤

420 =3 0,35 × 400

− = MPa 0,89MPa 1,28MPa (C.11.4.5.3) 28> 1,75MPa 2,17

Cumple por lo cual no hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad, verificar espaciamiento máximo. S max ≤

N=

d ≤ 600 mm 2

⇒mm 116

mm ≤ 170 mm≤ 600

→ Usar el menor valor.

5d− ×(31 −32)× (−4 ×85 − ) 5 71 50 ) ( − ×4) ( 82 116



2 estribos ϕ 3/8” dos ramas

c/116mm. • Determinar el valor de la fuerza cortante a una distancia “6d” de la cara de la columna.

− V6d = 426 KN

ϑu6d

KN 120m

/=× ( 0,34 6)KN181.2

0,181MN = 0,75× 0,4m× 0,34m = 1,77MPa

Seleccionando estribos cerrados diámetro 3/8” dos ramas

Av = 142mm2 fy =420 MPa Av × fy mm × 420 142 2MPa s= = − 1,77MPa MPa (ϑud3) −×(c ϑ w b ) × 0,89

400 mm

= 169mm

Por requerimientos mínimos colocar estribos ϕ 3/8” c/170mm para el resto de la viga hasta el punto de cortante cero. 2. DISEÑO VIGA SOPORTE DERECHO • Determinar valor de la fuerza cortante a una distancia “d” de la cara de la columna.

V1d = 489,9 KN −KN = 449,1 120m / ( 0,34)KN 0,449MN ϑu1d = = 4,4MPa 0,75× 0,4 × 0,34 Seleccionando estribos cerrados diámetro 1/2” tres ramas


Página 149



Av = 387mm2 fy =420 MPa Av × fy mm 387 2MPa × 420 s= = MPa (ϑud1) −×c( ϑ w b −4, 4MPa ) × 0,89

= 116mm

400 mm

Verificación de requerimientos mínimos (C.11.4.5) Av × fy fy 387 × 420 ⇒ a) S max = mm =m1239 ≤ 0,062×× bw fć 0,35 × bw×× 0,062 400 28

×= b) 0,33× fć ⇒ 0,33

≤

420 =3 0,35 × 400

− = MPa 0,89MPa 3,50MPa (C.11.4.5.3) 28 > 1,75MPa 4,4

No cumple por lo cual hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad y verificar espaciamiento máximo Este valor se aproxima al valor obtenido por 0,66 × fć = 3, 49 . S=

11 6 ≅ 58 mm 2

S max ≤

d ≤ 300 mm 4

⇒mm 58

mm ≤ 85 m m ≤ 300

Colocar 6 estribos diámetro 1/2” tres ramas c/58mm.

• Determinar valor de la fuerza cortante a una distancia “2d” de la cara de la columna.

V2d = 489,9 KN − KN 120 m =×/ ( 0,34 2KN ) 408,3 0,408MN ϑu 2d = = 4MPa 0,75 × 0,4 × 0,34 Seleccionando estribos cerrados diámetro 1/2” tres ramas

Av = 387mm2 s=

fy =420 MPa

2 Av × fy 387 M 420 mm ×Pa = 400 MPa mm (ϑud1 ) −c×(ϑ w b − 4MPa ) × 0,89


= 131mm

Página 150



Verificación de requerimientos mínimos (C.11.4.5)

a) S max =

Av × fy fy 387 × 420 ⇒ mm =m1239 ≤ 0,35 b × 0,062×× bw fć × 0,062 400 28 w×

≤

420 =3 0,35 × 400

b) 0,33× fć ⇒ 0,33 × = 28 >1,75−MPa =4MPa 0,89MPa 3,11MPa (C.11.4.5.3) No cumple por lo cual hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad y verificar espaciamiento máximo. S=

131 ≅ 66 mm 2

S max ≤

N=

d ≤ 300 mm 4

⇒mm 66

mm ≤ 85 m m ≤ 300

2d − ( 65× 8) − 50 = 5  Colocar 5 estribos diámetro 1/2” tres ramas c/66mm. 66


V3d = 489,9 KN KN 120 m =×/ ( 0,34 3KN − ) 367,5 0,367MN ϑu3d = 0,75 × 0,4m × 0,34m = 3,6MPa Seleccionando estribos cerrados diámetro 1/2” tres ramas

Av = 387mm2 s=

fy =420 MPa

Av × fy 387 2MPa mm × 420 = MPa (ϑud3) −c×( ϑ w b −3,6MPa ) × 0,89

400 mm

= 150 mm


a) S max =

Av × fy fy 387 × 420 ⇒ mm =m1239 ≤ 0,062×× bw fć 0,35 × bw×× 0,062 400 28

×= b) 0,33× fć ⇒ 0,33

≤

420 =3 0,35 × 400

− = MPa 0,89MPa 2,71MPa (C.11.4.5.3) 28 > 1,75MPa 3,6

No cumple por lo cual hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad y verificar el espaciamiento máximo.


Página 151


S=

15 0 ≅ 75 mm 2

S max ≤

N=


d ≤ 300 mm 4

⇒mm 75

mm ≤ 85 m m ≤ 300

3d − ( 56 × )−6( × )65 − 8 50 = 4  Colocar 4 estribos diámetro 1/2” tres ramas c/75mm. 75


V4d = 489,9 KN − KN 120 m =×/ ( 0,34 4KN ) 326,7 0,326MN ϑu 4d = = 3,2MPa 0,75 × 0,4m × 0,34m Seleccionando estribos cerrados diámetro 1/2” tres ramas

Av = 387mm2 s=

fy =420 MPa

Av × fy 387 2MPa mm × 420 = MPa (ϑud4) −c×( ϑ w b −3, 2MPa ) × 0,89

400 mm

= 176 mm


a) S max =

Av × fy fy ⇒ 387 × 420 mm =m1239 ≤ 0,062×× bw fć 0,35 × bw×× 0,062 400 28

×= b) 0,33× fć ⇒ 0,33

≤

420 = 3 0,35 × 400

− = MPa 0,89MPa 2,31MPa (C.11.4.5.3) 28 > 1,75MPa 3,2

No cumple por lo cual hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad y verificar el espaciamiento máximo. S=

17 6 ≅ 88 mm 2

S max ≤

N=

d ≤ 300 mm 4

⇒mm 88

mm ≤ 85 m m ≤ 300

4d− ×( 47−)5(× −56 ) ( × 6 )− 65 8 50

c/85mm.


= 4  Colocar 4 estribos ϕ ½” tres ramas

85

Página 152




V5d = 489,9 KN − KN 120 m =×/ ( 0,34 5KN ) 285,9 0,286MN ϑu5d = = 2,8MPa 0,75 × 0,4m × 0,34m Seleccionando estribos cerrados diámetro 1/2” dos ramas 2

Av = 258mm s=

fy =420 MPa

Av × fy 258 2MPa mm × 420 = MPa (ϑud5) −c×( ϑ w b −2,8MPa ) × 0,89

= 142 mm

400 mm


a) S max =

Av × fy fy 258 × 420 ≤ ⇒ mm m= 826 0,35 × b 0,062×× bw fć × 0,062 400 28 w×

×= b) 0,33× fć ⇒ 0,33

≤

420 =3 0,35 × 400

− = MPa 0,89MPa 1,91MPa (C.11.4.5.3) 28 > 1,75MPa 2,8


142 ≅ 71mm 2

S max ≤

N=

d ≤ 300 mm 4

⇒mm 71

≤ 85 m m ≤ 300 mm

5d− ×( 48−)5(× −47 ) ( × 5 )−( ×56) −6 71

65 8 50

=5

Colocar 5 estribos diámetro 1/2” dos ramas c/71mm. • Determinar valor de la fuerza cortante a una distancia “6d” de la cara de la columna.

V6d = 489,9 KN KN 120 m =×/ ( 0,34 6KN − ) 245,1 0,245MN ϑu 6d = = 2,4 MPa 0,75 × 0, 4m × 0,34m Seleccionando estribos cerrados diámetro 3/8” dos ramas

Av = 142mm2 Riveros Jerez, Carlos Alberto.

fy =420 MPa Página 153


s=


Av × fy 142 2MPa mm × 420 = MPa −2, 4MPa (ϑud5) −×c( ϑ w b ) × 0,89

= 99 mm

mm 400


a) S max =

Av × fy fy 258 × 420 ≤ ⇒ mm m= 826 0,062×× bw fć 0,35 × bw×× 0,062 400 28

×= b) 0,33× fć ⇒ 0,33

≤

420 =3 0,35 × 400

− = MPa 0,89MPa 1,51MPa (C.11.4.5.3) 28 > 1,75MPa 2,4

Cumple por lo cual no hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad, verificar S max ≤

N=

d ≤ 600 mm 2

⇒mm 99

mm ≤ 170 mm≤ 600

6d− ×( 57−)1(× −48 × ) (−5 × )56− 6 ) ( ×5 )−( 47 99

espaciamiento máximo.

65 8 50

=4

Colocar 4 estribos diámetro 1/2” dos ramas c/99mm.


V7d = 489,9 KN − KN m =×/ ( 0,34 7KN 120 ) 204,3 0,204MN ϑu 7d = = 2MPa 0,75 × 0,4m × 0,34m Seleccionando estribos cerrados diámetro 3/8” dos ramas

Av = 142mm2 s=

fy =420 MPa

2 Av × fy 142 M 420 mm ×Pa = MPa (ϑud5 ) −c×(ϑ w b − 2MPa ) × 0,89

400 mm

= 134 mm

Verificación de requerimientos mínimos (C.11.4.5):

a) S max =

Av × fy fy 142 × 420 ⇒ mm m ≤ = 455 0,062×× bw fć 0,35 × bw×× 0,062 400 28

≤

420 =3 0,35 × 400

× = 28 >1,75−MPa =2MPa 0.89MPa 1,11MPa (C.11.4.5.3) b) 0,33× fć ⇒ 0,33 Cumple por lo cual no hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad, verificar espaciamiento máximo. Riveros Jerez, Carlos Alberto.

Página 154


S max ≤

N=

d ≤ 600 mm 2


⇒mm 134

≤ 170 mm≤ 600 mm

7d− ×( 49−)9(× −57 × )− ) ( × 1 )−( 48 (5 × )47 (− ×5) −56 6 134

65 8 50

=2

Colocar 2 estribos diámetro 1/2” dos ramas c/134mm. • Determinar valor de la fuerza cortante a una distancia “8d” de la cara de la columna.

120 V7d = 489,9 KN − KN m =×/ ( 0,34 8KN ) 163,5 0,164MN ϑu 7 d = = 1,61MPa 0,75 × 0, 4m × 0,34m Seleccionando estribos cerrados diámetro 3/8” dos ramas

Av = 142mm2 s=

fy =420 MPa

Av × fy 142 2MPa mm × 420 = −1, 61 MPa MPa (ϑud5) −(×c ϑ w b ) × 0,89

= 207 mm

400 mm


a) S max =

Av × fy

0,062×× bw ×= b) 0,33× fć ⇒ 0,33

≤

fć

142 × 420 mm m = 455 0,35 × bw×× 0,062 400 28 fy

⇒

≤

420

=3

0,35 × 400

− = MPa 0.89MPa 0,72MPa (C.11.4.5.3) 28> 1,75MPa 1,61

Cumple por lo cual no hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad, verificar espaciamiento máximo. S max ≤

d ≤ 600 mm 2

⇒ mm 207

mm ≤ 170 mm≤ 600

.

Para el resto de la viga colocar estribos diámetro 3/8” dos ramas c/170mm.


Página 155



14. TORSIÓN Distribución de esfuerzos sobre una sección transversal sujeta a torsión

Figura 110

Máximo esfuerzo cortante, τ max

τ max = η

Τ

x2 y

Donde = Factor de forma

Τ = Momento torsor x, y= Dimensiones de la sección transversal El factor de forma es diferente para los casos lineales y no lineales. Riveros Jerez, Carlos Alberto.

Página 156



Modo de falla: La falla a torsión del concreto simple se produce de repente con una fisura de tracción inclinada en una de las caras más amplias, entonces se extiende en las caras estrechas. El aplastamiento del concreto se produce en la cara opuesta más amplia.

Resistencia a la torsión, Τ

del concreto simple. up

Varias teorías se han presentado para el cálculo de resistencia a la torsión del hormigón simple incluyendo teorías plásticas, elásticas, y de flexión oblicua. •

Flexión Oblicua

Figura 111

= Momento torsor aplicado

M, Ttw

= Son los momentos de flexión y torsión respectivamente sobre el plano de π 4

T 2 b = 2y M=

S=

(

σt =

2 y ) x2 6 M = S

Tup

=

x2 y

3 32Tu p = 2 x y 2

2 2

x y

3

Donde,

Tu p = Torsión última de hormigón simple, cuando σ alcanza a σt Riveros Jerez, Carlos Alberto.

Página 157



x2 y σ 3 t σ t = 0.85 fr ≈ 0.85 ( 0,62λ fć ) = 0,527λ fć Tu p =

Tcr =

x2 y 0,527c λf´ 3

= 0,176 u cyxf´ λT 2

=

p

Resistencia a la torsión contribuida por el acero Considere el sistema que consiste en estribos de acero longitudinal y transversal.

x1, y1 Son las

dimensiones del armazón de acero como se muestra en la figura:

Figura 112 • Momento torsional con respecto al eje vertical delos estribos

T s1 =A( f tα 1 xs )

y1 s

1

Donde,

At

Área de un brazo de estribo

f s Esfuerzo en esa sección s

Espaciamientos estribos

• Momento torsional con respecto al eje horizontal de los estribos

T s 2 =A( ftα 2 y s )

x1 s

1

• Momento torsional total Riveros Jerez, Carlos Alberto.

Página 158



At fs x y (α + α ) s 1 1 1 2 A fs Ts = t x1 y1α t s Ts =

αt = Determinado experimentalmente Concepto de diseño • Capacidad de torsión máxima total, Tu

Tu = Tc + Ts Donde,

Tc = Capacidad a torsión contribuida por el concreto. Ts = Capacidad a torsión contribuida por el acero

Tc = β Tu p ( β ≈ 0,4) Por lo tanto

Tc = 0,8 f´xcy

2

El coeficiente β representa la reducción en la resistencia a la torsión proporcionada por el concreto después de la fisuración. Tras la formación de fisuras el esfuerzo del concreto y la deformación son parcialmente transferidos al acero. La rigidez y la resistencia del sistema dependerán de la cantidad de refuerzo transversal y longitudinal. • La falla final puede ser en uno de los siguientes caminos:

Subreforzada: Tanto el acero longitudinal y transversal fallan antes.

Sobrereforzada: El concreto es aplastado antes de que entre en acción el acero.

Parcialmente sobre o sub -reforzada


Página 159



Para elementos subreforzados αt es independiente de la relación de acero:

Figura 113 • Sugerencia del código

αt = 0,66 + 0,33

y1 ≤ 1,50 x1

Funciones del refuerzo longitudinal • Anclar los estribos, especialmente en las esquinas. • Controla la ampliación de la fisura.

Condición Subrefuerzada Al ≤ 2 At

x1 + y1 s

Donde,

Al

Volumen por longitud de acero longitudinal

El acero entra en fluencia.

Torsión combinada con flexión - Torsión combinada con cortante En general el cortante existe al mismo tiempo con la flexión. La existencia de cortante reducirá la capacidad de resistir en torsión. Así, es necesario considerar el caso de la torsión combinada con cortante. •

Para vigas con refuerzo transversal Torsión pura:

Tu = Tc + Ts

Cortante puro:

Vu = Vc + Vs


Página 160



Figura 114 • Diseño para torsión

Igual interacción como en los miembros sin refuerzo transversal. • Exceso de torque

Más allá de lo resistido por el concreto, la misma cantidad de refuerzo se proporciona en los miembros sujetos a torsión más cortante como serían requeridos para los miembros puramente torsionales. Este refuerzo torsional se añade al que se requiere para llevar a momentos de flexión y cortante. T u ≤Tφn T=cφTs( + ) Donde

Tu Factor de torque φ Factor de capacidad de reducción para torsión = 0.75

Tn Resistencia nominal para la torsión Tc Momento de torsión soportado por el hormigón Ts Momento de torsión soportado por el acero To

Tc =

2

 To   V c      Vo   T c 

2

1+ 

Donde 2

To = 0,8 f xy 'c c Vo = 2 f´ bd

Torsión pura Cortante puro

To x 2 y 0,4 = 0,4 = Vo bd C T Riveros Jerez, Carlos Alberto.

Página 161


CT =


bd x2 y

Suponer Vc Vu = Tc Tu

De tal manera que

0,8 f´ c x 2 y

Tc =

 0,4 Vu



1+ 

  CT Tu 

Ts =

α t At fy

yx s

2 f´ cbd

Vc =

2



1 +  2,5CT 

V

s=

1 1

Tu Vu 

2

Av fyd s

Tu = φTc( Ts + Tn) = φ Tu − φTc Ts = φ

sT ( uT− φ c)

sTs

At =

y

=

αt f x1 y1 •

y

αtφ f x1 y1

Ts ≤ 4Tc se requiere para asegurar fluencia del acero primero.

• La separación mínima de los estribos de torsión

4(x1 + y1)ó12in

Condición que debe cumplirse para no considerar efectos de torsión • Los efectos torsionales pueden despreciarse si n

Tu < 0,5φ f´ xc ∑ y(

2 i

i

)

i=1

Donde n

( xi 2 yi ) ∑ i 1

Suma de los pequeños rectángulos para formas irregulares.

=


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Secciones Huecas

Figura 115

x • Cuando h > , considerar la sección transversal en forma de sólido. 4 • Cuando

x x asumirlo como sólido, pero multiplicar ≤h≤ 10 4

• Cuando h <

 h

∑( x2 y) por  4 x 

x , se considera como una sección de pared delgada. Compruebe si hay 10

inestabilidad (pandeo local). 

Formulación general del post-agrietamiento comportamiento de flexión, cortante, y tensión interacción en vigas R / C.



Discusión de las aplicaciones: los sistemas de carriles-guía de hormigón de monorriel de levitación magnética y la infraestructura de transporte.



Ejemplo de diseño: cortante y torsión.

Procedimiento de diseño de elementos sometidos a torsión según la NSR-10 1. Determinar los diagramas de cortante, momento y torsión. 2. Determinar las dimensiones de la viga, las cuales deben ser adecuadas para resistir los momentos de flexión y además que cumplan con los límites máximos permitidos para control de deflexión. 3. Determinar si la torsión debe ser considerada C.11.5 (a) en elementos no preesforzados:

 Acp2    Pcp 

Tu ≤ φ 0,083λ fć  


Página 163



(b) en elementos preesforzados:

 Acp2  f 1+ cp  Pcp  0,33λ fć  

Tu ≤ φ0,083λ fć 

(c) en elementos no preesforzados sometidos a tracción axial o fuerzas de compresión:

Nu Tu ≤ φ 0,083λ fć  Acp  1 + 0,33Ag λ fć  Pcp  2

4. Verificar si la sección transversal del elemento es adecuada C.11.5.3.1. Las dimensiones de la sección transversal deben ser tales: (a) en secciones sólidas: 2

2

 Vu  TuPh  Vc ≤φ  + 0,66 fć    +  2 A1,7 0h db  dbw   w (b) en secciones huecas:  Vu   TuPh   +  2

bd

w

 

A1,7



oh

w

Vc

≤φ 

bd

+ 0,66 fć



5. Determinar el refuerzo requerido por flexión y el área de refuerzo requerido por cortante. El área del refuerzo por cortante debe expresarse en términos de Av/s (área de acero de estribo por unidad de longitud). Este valor debe ser combinado con el área del refuerzo de estribos requeridos por torsión. Nota: verificar requisitos para diseño a cortante según la NSR-10.

Av Vs Vu , Vs = −Vc = s fyd φ 6.

Determinar el área del acero para estribos requerido por torsión en términos de At/s

At Tu = s 2φA f0 Cot θ yt Donde A0 debe determinarse por análisis, excepto que se permite tomar A 0 igual a 0.85 A 0h; θ no debe tomarse menor a 30° ni mayor que 60°, se permite usar: (a) θ = 45° en elementos no preesforzados o con un preesforzado con una fuerza efectiva de preesforzado no menor a un 40por ciento de la resistencia a tracción del refuerzo longitudinal.


Página 164



7. Combine el área de acero requerida para cortante y torsión y seleccione el diámetro de las barras de refuerzo. Exprese At/s en términos de Av/s. Para un estribo con dos ramas tenemos:

Av  A    2A (total) =   v +  t s  s   s El espaciamiento del refuerzo transversal por torsión no debe exceder el menor valor entre Ph/8, ni 300 mm. 8. Verificar el área de acero mínimo de estribos cerrados

0,35bw  Av  2 At  s +  s ≥ f    yt 9. Determinar el área de refuerzo longitudinal por torsión

AL =

At  f yt p s h  fy

 2  cot θ 

Donde θ tiene el mismo valor utilizado en (6) y A t/s el valor calculado en (6). El área mínima total de refuerzo longitudinal para torsión debe calcularse como:

AL min =

0,42 cpfć A  Atyt f −   ph fy fy  s 

Donde ALmin no puede ser menor que cero, a A t/s no debe tomarse menor que 0,175bw/fyt. El refuerzo longitudinal por torsión debe distribuirse uniformemente alrededor del perímetro de la sección transversal 10. Este paso es opcional. Se permite reducir el área de refuerzo longitudinal para torsión en la zona de compresión por flexión en una cantidad igual a Mu/ (0,9dfy). 11. Combinar el refuerzo longitudinal por flexión y torsión y seleccionar el diámetro de las barras de refuerzo.


Página 165



EJEMPLO 19 Diseñar la viga mostrada en la figura. Esta viga forma parte de una estructura interior sin exposición a la interperie. f c′ = 21 MPa fy = 420 MPa (Referencia longitudinal)

240MPa (Referencia transversal) Mu = 250KN − m Vu = 200KN Tu = 20KN m−

• Determinar si la torsión debe ser considerada

 Acp2   Pcp   

Tu ≤ φ × 0,083× λ fć 

( C.11.5.2.2)

Acp = 0,3 × 0,65 = 0,195m2 Pcp = 2 ( 0,3 + 0,65) = 1,9m  0,195 2  21 =  −<  − 5, KN m71KN m  1, 9 

T u ≤ 0, ×75 0, × 0831 × × ,0

20

No se pueden despreciar los efectos de la torsión • Verificar si la sección del elemento es adecuada

 Vu  bwd×

2

2

 Tu × Ph   +  ≤ φ A 1,7  0h2bd 

Vc w×

+ 0,66 fć

V c = 0,17 λcfb d′ × w × x = 300 − 2 ( 40 ) = 220 mm y = 650 − 2 ( 40 ) = 570 mm A0 h = 0, 57 × 0,2 2 = 0,1254 m 2 Ph = 2 ( 0, 57 + 0, 22 ) = 1, 58 m


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 200 ×103    300 ×590

2

+


2

20 ×106 × 1580 ≤ 1, 7 ×125400 2

×+0,75 ( 0,17

21 0, 66 21 )

1,64N / mm2 ≤ 2,85N / mm2 →Cumple • Determinar el refuerzo requerido por flexión

 a Mu = φ A×s fy− d →2=

As =

As fy a 0,85 ×fć × b

(1)

Mu

(2)

a  φ fy  d −  2 

Solucionando por iteraciones: Asumimos viga rectangular b = 500mm con a = 80mm

As =

250 ×10002 0,9 × 420000  0,59 − 

a=

Reemplazando en (2)

250 ×10002 0,057  0,9 × 420000  0,59 − 2  

= 1178mm 2 Reemplazando en (2)

1178 × 420 = 55mm 0,85 × 21× 500

As =

a=

= 1203mm 2

1203× 420 = 57mm 0,85 × 21× 500

As =

a=

0,08  2 

250 ×10002 0,055  0,9 × 420000  0,59 − 2  

= 1176 mm2 Reemplazando en (2)

1176 × 420 = 55mm 0,85 × 21× 500

Cumple con el valor de c/d en zona segura. Seleccionamos 2 No 7 + 2 No 6 área = 1342 m m 2

bmin = 230mm <500 mm →cumple • Determinar el área de refuerzo por cortante


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Vu = 200 KN =Vφ (V c + s ) Vc = 0,17df´ bλ Vs =

Vu φ

×c × =w × ×0,17 × × 1,0

21 0,3KN0,59 ⇒ 137,89

− Vc

200 Vs = − = 137,89 KN 128, < 78 × × ×0, 33 = 21 0,→ 3 0,59 KN 1000 267, 67 0,75

S=

Av × fy × d Av Vs 128,78 0,909 ⇒ = = =mm mm Vs S f d y × 240000 × 0,59

2

cumple

/

• Determinar el área de acero para estribos requerido por torsión.

Tu 20 Tn = = = 26,67 m −KN φ 0,75

At Tn = s 2 A0 × f yt

A0 = 0,85A=0h × 0,85= 0,1254 0,10659m2 At 26,67 ×106 = = 0,5213mm2 / mm s 2 ×106590 × 240 • Determinar área acero combinada por cortante y torsión.

AV A (total ) = +V s s

2 At +×0, 909 = 2 0, 5213 1, 9516 mmmm2 / s

=

Seleccionar estribos No. 3 de dos ramas

s=

AV = 142mm2

142 = 73mm 1,9516

Verificar NSR − 10 P 1580 s ≤ =h=
300

Cumple

Área mínima de estribos

AV 2 At += 1,9516> mm=2 mm / ss fy •

b 0,35→w

2 mm mm 0,4375 /

cumple

T

Determinar el área del refuerzo longitudinal por torsión:

AL =

At  f yt   240  P = ×0, 5213 × = 1580   S h  fy   420 


471mm 2

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0,42 fć Acp  AT yt f  0, 42 21 × 195000 240   −= ×× 0,5213 1580   S  Ph  fy   420 fy      420  = 423mm2

AL min = AL min

At / = = 0,5213 mm>2 mm S •

bw 0,175 → 0,2187 mm mm2 / f yt

cumple

El máximo espaciamiento entre las barras de refuerzo longitudinal es de 300mm. Se divide en 3 áreas iguales para ser colocadas en la parte superior, inferior y en la mitad de la altura de la sección de la viga.

As =

AL 471mm2 = = 157mm2 (2 barras N05) 3 3

Las barras longitudinales deben tener un diámetro de al menos 0,042 veces el espaciamiento entre estribos, pero no menos de diámetro

N03.

0, 042 × 73 m m = 3m m

Verificación

bmin =130mm < 300 mm →Cumple.


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15. ADHERENCIA Y ANCLAJE Las fuerzas desarrolladas en la viga por la carga aplicada de forma perpendicular a su eje neutro se pueden apreciar en la siguiente figura:

Figura 116

Fuerzas en las barras de refuerzo El esfuerzo de adherencia proporciona un mecanismo de transferencia de fuerzas entre el concreto y el refuerzo.

Figura 117


Página 170



Condición de equilibrio para la barra de refuerzo

∑ F = 0 ⇒ T − Fuerza de adherencia ⇒

π d

4

⇒ ld =

2 b

=0

fy − π d b lb µ = 0 f yd b 4µ

µ = Esfuerzo de adherencia

Coeficiente de fricción≈ k fć

k = f (φbar ) Nota: El esfuerzo de adherencia es cero en las fisuras. Fuentes de transferencia por adherencia •

La adhesión entre el concreto y refuerzo.

•

Fricción.

•

Trabazón mecánica.

La concentración de esfuerzos en bordes causa la ocurrencia de agrietamiento.

Nota: Estas propiedades se pierden rápidamente cuando el concreto es sometido a tracción. Fuerza de interacción entre el acero y el hormigón.

Figura 118

La separación generada por las grietas ocasiona la pérdida de la transferencia de adherencia. El refuerzo se puede utilizar para restringir estas fisuras.


Página 171



La distribución de esfuerzos dentro de una viga se ve afectada por: •

Distancia mínima al borde y el espaciamiento de las barras.

•

Resistencia a la tracción del hormigón.

•

El esfuerzo de adherencia promedio a lo largo de las barras (Aumento de esfuerzo de adherencia da lugar a mayor fuerza de cuña).

El fisuramiento generado por fuerzas de adherencia puede ser clasificado en tres tipos: en el primer caso se tiene un recubrimiento inferior mayor al lateral, por lo cual la fisura se propagará predominantemente en dirección horizontal, en el segundo caso se da cuando los dos recubrimientos, lateral e inferior son iguales, la dirección predominante es en cualquiera de los dos sentidos y dependerá de factores locales como la ubicación de agregados gruesos que impidan la propagación de la fisura, finalmente cuando el recubrimiento inferior es menor al lateral las fisuras se propagarán predominantemente en dirección vertical.

Figura 119


Página 172



El fisuramiento del hormigón se produce a lo largo de las barras, ya sea en planos verticales como en la figura (a) o en un plano horizontal como en la figura (b). Tal división viene en gran parte de la acción de acuñamiento cuando el corrugado de la barra deformada genera fuerza en el hormigón. El tipo de fisuramiento horizontal frecuentemente comienza con una fisura diagonal. La acción de dovela incrementa la tendencia al fisuramiento. Esto indica que las fisuras generadas por cortante y las generadas por flexión están a menudo estrechamente relacionadas entre sí.

Figura 121

Expresiones de código para determinar la longitud de desarrollo de barras en tracción Longitud de desarrollo

ld

Se define como la menor longitud de la barra en la que el esfuerzo de la barra puede incrementar de cero a la resistencia a la fluencia, fy. La longitud de desarrollo

ld

es utilizada debido a que los

esfuerzos de adherencia, µ, varían a lo largo de un barra sometida a tensión.


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Figura 122

NSR-10 - CAPITULO C.12 LONGITUDES DE DESARROLLO Y EMPALMES DEL REFUERZO C.12.1 — Desarrollo del refuerzo — Generalidades C.12.1.1 — La tracción o comprensión calculada en el refuerzo de cada sección de elementos de concreto estructural debe ser desarrollada hacia cada lado de dicha sección mediante una longitud embebida en el concreto por medio de gancho, barra corrugada con cabeza o dispositivo mecánico, o una combinación de ellos. Los ganchos y barras corrugadas con cabeza no se deben emplear para desarrollar barras en compresión.

C.12.1.2 — Los valores de

fć usados en este Capítulo no deben exceder de 8.3 MPa.

C.12.1.3 — Además de los requisitos establecidos en este Capítulo que afectan el detalle del refuerzo, se deben cumplir los requisitos de integridad estructural de C.7.13.


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C.12.2 — Desarrollo de barras corrugadas y de alambres corrugados a tracción C.12.2.1 — La longitud de desarrollo para barras corrugadas y alambre corrugado en tracción, ld , debe determinarse a partir de C.12.2.2 ó C.12.2.3, con los factores de modificación de C.12.2.4 y C.12.2.5, pero

ld

no debe ser menor que 300 mm.

C.12.2.2 — Para barras corrugadas o alambres corrugados, Espaciamiento y recubrimiento

ld

debe ser:

Barras No. 6 (3/4”)

Barras No. 7 (7/8”)

ó 20M (20 mm) o

ó 22M (22 mm) y

menores y

mayores

alambres corrugados

Espaciamiento libre entre barras o alambres que están siendo empalmados o desarrolladas no menor que db , recubrimiento libre no menor que db , y estribos a lo largo de ld no menos que el mínimo del Título C del Reglamento NSR-10 o espaciamiento libre entre barras o alambres que están siendo desarrolladas o empalmadas no menor a 2db y

 fyψ tψ e    db  2,1λ fć 

 fyψ tψ e    db  1,7λ fć 

 fyψ tψ e    db  1,4λ fć 

 fyψ tψ eλ    db  1,1λ fć 

recubrimiento libre no menor a db

Otros casos

C.12.2.3 — Para barras corrugadas y alambres corrugados

    ld =  fyψ tψ eψ s  db  c + K tr    1,1λ fć  b    db   


ld

debe ser:

(C.12-1)

Página 175



  En donde el término  cb + K tr  no debe tomarse mayor a 2.5 y  db 

K tr =

40 Atr s×n

(C.12-2)

En donde n es el número de barras o alambres que se empalman o desarrollan dentro del plano de hendimiento. Se puede usar Ktr = 0 como una simplificación de diseño aún si hay refuerzo transversal presente.

C.12.2.4 — Los factores a usar en las expresiones para la longitud de desarrollo de barras y alambres corrugados en tracción en C.12.2 son los siguientes:

(a) Cuando para el refuerzo horizontal se colocan más 300 mm de concreto fresco debajo de la longitud de desarrollo o un empalme, ψ t = 1.3 . Otras situaciones ψ t = 1.0

(b) Barras o alambres con recubrimiento epóxico con menos de 3d b de recubrimiento, o separación libre menor de 6d b , ψe = 1.5 . Para todas las otras barras o alambres con recubrimiento epóxico,

ψ e = 1.2 . Refuerzo sin recubrimiento y refuerzo recubierto con cinc (galvanizado), ψ e = 1.0 . No obstante, el producto ψ tψ e no necesita ser mayor de 1.7. (c) Para barras No. 6 (3/4”) ó 20M (20 mm) o menores y alambres corrugados, ψs = 0.8 . Para barras No. 7 (7/8”) ó 22M (22 mm) y mayores, ψ s = 1.0 . (d) Donde se use concreto liviano, λ no debe exceder de 0.75 a menos que se especifique fct (véase C.8.6.1). Donde se use concreto de peso normal, λ = 1.0.

C.12.2.5 — Refuerzo en exceso Se permite reducir

ld

en ( As requerido) / ( As suministrado) cuando el refuerzo en un elemento

sometido a flexión excede el requerido por análisis, excepto cuando se requiere específicamente anclaje o desarrollo para fy o el refuerzo sea diseñado según C.21.2.1.6.

C.12.3 — Desarrollo de barras corrugadas y alambres corrugados a compresión Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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C.12.3.1 — La longitud de desarrollo para barras corrugadas y alambre a compresión, calcular a partir de C.12.3.2 y de los factores de modificación de C.12.3.3, pero

ldc , se debe

ldc no debe ser menor

de 200 mm.

C.12.3.2 — Para las barras corrugadas y alambres corrugados,

ldc debe tomarse como el mayor entre

 0,24 fy    db y ( 0,043 fy ) db , donde λ se toma como indica C.12.2.4 (d) y la constante 0.043 tiene  λ fć  la unidad de mm2/N

C.12.3.3 — Se permite multiplicar la longitud

ldc en 12.3.2 por los siguientes factores:

a) El refuerzo excede lo requerido por el análisis (As Requerido)/(As Proporcionado) b) El refuerzo está confinado por una espiral cuya barra tiene un diámetro no menor de 6 mm y no más que 100 mm de paso o dentro de estribos No. 13 de acuerdo con C.7.10.5, y espaciadas a distancias no mayores que 100 mm medidos entre centros………………………………………0.75

EJEMPLO 20 Para una viga de concreto reforzado, con una altura efectiva de 540 mm y un ancho de 300 mm, reforzada con 5 varillas No. 6 y recubrimientos del refuerzo medidos a centro de barra de 60 mm, determinar la longitud de desarrollo de las barras. La viga se encuentra simplemente apoyada y no presenta exposición a condiciones ambientales.

fć = 21MPa fy = 420MPa Verificación de las condiciones de recubrimiento de concreto. Para barras de diámetro ¾”, d b = 19mm. Recubrimiento libre = 60mm-10mm = 50mm > db


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Separación libre entre barras

S=

b − 2 × recubrimiento =− d N º Espacios

b

300mm − ( 2 × 60mm ) mmmm d 19 −= > 4

26

b

Las barras están confinadas por estribos Nº 3, por lo tanto se cumplen las condiciones de la ecuación.

ld d

= = 1,0

fyψtψ e 2,1×λ fć

b

= 1,0

)

(C.12.2.4)

Refuerzo sin recubrimiento epóxico

= fć21 = 4,6 < 8,3 MPa ld 420×1,0×1,0 = = 44 db 2,1×1× 21 Por lo tanto

Ld db

C.12.1.2 (

MPa

)

ld = 44×19 mm = 836 mm

Para el caso general tenemos ( Ktr = 0 )

=

(

Refuerzo colocado parte inferior (C.12.2.4) viga

ψt

ψe

C.12.2.2

f

setyψ

ψψ

(C.12.2.3)

(C.12.2.3)

 c + Ktr 

1,1× λ fć  db = ψ1,0 = ψ t e = 0,8 ψs



(C.12.2.4)

(C.1 Barras Nº 6 o menores

2.2.4)

C = dimensión del espaciamiento o recubrimiento del refuerzo

.

Menor distancia desde el centro de la barra a la superficie más cercana del concreto, C1 o la mitad de la separación centro a centro de las barras que se desarrollan, C2.

c1 = 60mm  b×− 2 60  ×− 300 2 60  c  ⇒ 2 = 0,5 ×  mm  = 23 ° 4 N espacios    

c 2 = 0,5 

c = 23mm si  c + Ktr  < 1,5 usar 1,5 ⇒ 23 = 1, 21 ⇒ 1,5 19  db  ld 420 × 1×1× 0,8 = = 44 ⇒ ld = 44 × 19 = 836mm db 1,1× 1× 21 × 1,5


Página 178



EJEMPLO 21 Solucionar el ejemplo anterior si las barras están recubiertas por epóxico y el As requerido para el análisis es 1200mm2.

ld fyψtψ e = d b 2,1× λ fć

= 1,0

ψt ψe

= 1,5

Refuerzo colocado parte inferior viga (C.12.2.4) Refuerzo con recubrimiento epóxico

f´=c 21 = 4,6 MPa < 8,3 MPa

( C.12.2.2 ) (C.12.2.4) C.12.1.2 (

)

As req 1200 mm 2 Rs = = = 0,85 As sum 1420 mm 2 l 420×0,85×1,0×1,5 = d = 56 db 2,1×1× 21 Por lo tanto

ld = 56×19 mm = 1064 mm

Desarrollo de barras - secciones críticas Miembros sometidos a flexión Las secciones críticas para el desarrollo del refuerzo en elementos sometidos a flexión son: •

Puntos de máximo esfuerzo.

•

Puntos donde las barras son cortadas.

•

Cara del apoyo.

•

En los puntos de inflexión en donde el momento cambia de signo.

Secciones críticas para el refuerzo de momento negativo Tres secciones son críticas para el refuerzo de momento negativo:

Sección 1: Se encuentra en la cara del apoyo, cuando tanto el momento negativo como el esfuerzo presentan sus valores máximos. Dos longitudes de desarrollo, X 1 y X2 deben ser revisadas y chequeadas.


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Figura 123

Sección 2: Es la sección donde parte de la barra de refuerzo negativo puede ser terminada. Para desarrollar la fuerza de tensión total, las barras deben extenderse a una distancia X2 antes de que puedan ser terminadas. Una vez que parte de las barras se terminan las barras restantes desarrollan el esfuerzo máximo.

Sección 3: Es un punto de inflexión. Las barras se extenderán a una distancia X 3 más allá de la sección 3: X 3 debe ser igual o mayor que la profundidad efectiva d, 12d b ó 1/16 de la luz libre, el que sea mayor. Por lo menos 1/3 del refuerzo total previsto para el momento negativo en el apoyo se extenderá a una distancia X3 más allá del punto de inflexión.


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Secciones críticas para el refuerzo de momento positivo Sección 4: Localizada donde el momento máximo positivo y esfuerzos son máximos. Dos longitudes de desarrollo X1 y X2 tienen que ser chequeadas. La longitud X 1 es la longitud de desarrollo

ld

especificada por la NSR-10 C.12.11. La longitud X2 es igual o mayor que la profundidad efectiva d, 12db.

Sección 5: Es donde parte de las barras de refuerzo positivo pueden ser cortadas. Para desarrollar la fuerza de tensión total, las barras deben extenderse a una distancia X 2. Las barras restantes tendrán un esfuerzo máximo debido a la terminación de parte de las barras. En la cara de la sección de apoyo 1, por lo menos 1/4 del refuerzo de momento positivo en miembros continuos deben llevarse a lo largo de la misma cara del miembro en el apoyo, de acuerdo con la NSR-10 C.12.11.1. Para vigas simplemente apoyadas por lo menos 1/3 del refuerzo debe llevarse y anclarse en el apoyo.

Sección 6: Es en los límites de los puntos de inflexión; de acuerdo al capítulo C.12.11.3 de la NSR-10.

Longitud de desarrollo para barras en compresión NSR-10 C.12.3 — Desarrollo de barras corrugadas y alambres corrugados a compresión C.12.3.1 — La longitud de desarrollo para barras corrugadas y alambre a compresión, calcular a partir de C.12.3.2 y de los factores de modificación de C.12.3.3, pero

ldc , se debe

ldc no debe ser menor

de 200 mm.

C.12.3.2 — Para las barras corrugadas y alambres corrugados,

ldc debe tomarse como el mayor entre

 0,24 fy    db y ( 0,043 fy ) db , donde λ se toma como indica C.12.2.4 (d) y la constante 0.043 tiene  λ fć  la unidad de mm2/N Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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C.12.3.3 — Se permite multiplicar la longitud


ldc en 12.3.2 por los siguientes factores:

a) El refuerzo excede lo requerido por el análisis (As Requerido)/(As Proporcionado) b) El refuerzo está confinado por una espiral cuya barra tiene un diámetro no menor de 6 mm y no más que 100 mm de paso o dentro de estribos No. 13 de acuerdo con C.7.10.5, y espaciadas a distancias no mayores que 100 mm medidos entre centros …………………………................... 0.75

Nota:

ldc < ld

Generalmente porque:

• Es favorecido por el efecto de compresión en el apoyo. • El debilitamiento producido por la generación de las grietas de tracción por flexión no afecta a

las barras en compresión.

C.12.4 — Desarrollo de paquetes de barras C.12.4.1 — La longitud de desarrollo de cada barra individual dentro de un paquete de barras sometido a tracción o a comprensión, debe ser aquella de la barra individual aumentada un 20 por ciento para un paquete de 3 barras y en un 33 por ciento para un paquete de 4 barras.

C.12.4.2 — Para determinar los valores adecuados de espaciamiento y recubrimiento en C.12.2.2, así como el parámetro de confinamiento en C.12.2.3 y el factor ψe en C.12.2.4(b), un paquete de barras debe ser tratado como una sola barra de un diámetro derivado del área total equivalente y con un centroide que coincide con el del paquete de barras.


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16. GANCHOS ESTÁNDAR Un gancho se utiliza al final de una barra cuando su longitud de empotramiento recta es menor que la longitud de desarrollo en condición de barra recta requerida. El diámetro mínimo de curvatura, medida en el interior de la barra principal de un gancho estándar D es:

Figura 124

La distribución de esfuerzos para un gancho de 90° bajo una fuerza P se muestra en la siguiente figura:


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NSR-10 CAPÍTULO C.7 — DETALLES DEL REFUERZO C.7.1 — Ganchos estándar El término “gancho estándar” se emplea en el Título C del Reglamento NSR-10 con uno de los siguientes significados:

C.7.1.1 — Doblez de 180º más una extensión de 4db, pero no menor de 65 mm en el extremo libre de la barra.

C.7.1.2 — Doblez de 90º más una extensión de 12db en el extremo libre de la barra. C.7.1.3 — Para estribos y ganchos de estribo (a) Barra No. 5 (5/8”) ó 16M (16 mm) y menores, doblez de 90º más 6db de extensión en el extremo libre de la barra, ó (b) Barra No. 6 (3/4”) ó 20M (20 mm), No. 7 (7/8”) ó 22M (22 mm), y No. 8 (1”) ó 25M (25 mm), doblez de 90º más extensión de 12db en el extremo libre de la barra, ó (c) Barra No. 8 (1”) ó 25M (25 mm) y menor, doblez de 135º más extensión de 6db en el extremo libre de la barra.

C.7.1.4 — En los estribos de confinamiento requeridos en el Capítulo C.21 en estructuras de capacidad de disipación de energía moderada (DMO) y especial (DES), para construcción sismo resistente, deben emplearse ganchos sísmicos con un doblez de 135º o más, con una extensión de 6db pero no menor de 75 mm, que abraza el refuerzo longitudinal del elemento y se proyecta hacia el interior de la sección del elemento. En los ganchos suplementarios el doblez en los extremos debe ser un gancho sísmico de 135º, o más, con una extensión de 6db, pero no menor de 75 mm, y se permite que en uno de los extremos se utilice un gancho de 90º, o más, con una extensión de 6db. Los ganchos sísmicos están definidos en C.2.2


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Los ganchos resisten a tracción por esfuerzos de adherencia en la superficie de la barra.

Figura 126

Ganchos estándar para anclaje a tracción El uso de ganchos estándar para anclaje a tracción: Los ganchos proporcionan un anclaje adicional cuando hay insuficiente longitud disponible para desarrollar una barra.

Nota: A los ganchos no se les permiten el refuerzo de compresión desarrollado. Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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C.12.5 — Desarrollo de ganchos estándar en tracción C.12.5.1 — La longitud de desarrollo para barras corrugadas en tracción que terminen en un gancho estándar (véase C.7.1), l dh se debe calcular de C.12.5.2 y los factores de modificación de C.12.5.3, pero l dh no debe ser menor que el mayor de

8db y 150 mm.

C.12.5.2 — Para las barras corrugadas, l dh debe ser 0,24 ψ e f y /

(

λ

f´ c d b con ψe igual a 0.75

)

para concreto con agregados livianos. Para otros casos, ψe y λ deben tomarse igual a 1.0.

C.12.5.3 — La longitud l d h en C.12.5.2 se puede multiplicar por los siguientes factores cuando corresponda: a) Para ganchos de barras No. 36 y menores, con recubrimiento lateral (normal al plano del gancho) no menor de 65 mm, y para ganchos de 90º, con recubrimiento en la extensión de la barra más allá del gancho no menor de 50 mm…….................................................................................0.7 b) Para ganchos de 90º de barras No. 36 y menores que se encuentran confinados por estribos perpendiculares a la barra que se está desarrollando, espaciados a lo largo de l dh a no más de

3db ; o bien, rodeado con estribos paralelos a la barra que se está desarrollando y espaciados a no más de 3db a lo largo de la longitud de desarrollo del extremo del gancho más el doblez ....... 0.8 c) Para ganchos de 180º de barra No. 11 (1-3/8”) o 36M (36 mm) y menores que se encuentran confinados con estribos perpendiculares a la barra que se está desarrollando, espaciados a no más de

3db a lo largo de l dh

.......................................................................................................0.8

d) Cuando no se requiera específicamente anclaje o longitud de desarrollo para

f y , y se dispone

de una cuantía de refuerzo mayor a la requerida por análisis. ( As requerido) /( As proporcionado). En C.12.5.3 (b) y C.12.5.3(c), db es el diámetro de la barra del gancho, y el primer estribo debe confinar la parte doblada del gancho, a una distancia menor a 2db del borde externo del gancho. C.12.5.4 — Para barras que son desarrolladas mediante un gancho estándar en extremos discontinuos de elementos con recubrimiento sobre el gancho de menos de 65 mm en ambos lados y en el borde superior (o inferior), la barra con el gancho se debe confinar con estribos, perpendicular a


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la barra en desarrollo, espaciados en no más de 3db a lo largo de l d h . El primer estribo debe confinar la parte doblada del gancho dentro de 2d b del exterior del doblez, donde d b es el diámetro de la barra con gancho. En este caso, no deben aplicarse los factores de C.12.5.3. (b) y (c).

C.12.5.5 — Los ganchos no deben considerarse efectivos para el desarrollo de barras en comprensión.

Figura 127

Diseño de ganchos estándar para anclaje a tracción Longitud de desarrollo para barras enganchadas,

ldh = ldh × Multiplicadores Cuando, ldh ≥ d8 lb y

dh

≥ mm 150

La longitud de desarrollo básica para barras enganchadas =

ldh

Cuando fy = 420 MPa

 0,24ψ e fy   db c λ f´  

ldh = 


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Condiciones

Multiplicadores

Recubrimiento de concreto para ganchos de 180° para barras N° 11 o menores.

Recubrimiento Lateral

≥

0,7

65 mm.

(Normal plano gancho)

Recubrimiento de concreto para ganchos de 90°

para

barras

N°

Recubrimiento Lateral

≥

11

o

menores.

65 mm. 0,7

Recubrimiento en la extensión de la barra más allá del gancho.

Recubrimiento Extensión

≥

50 mm.

Estribos Para barras N° 11 o menores

0,8

Gancho con estribos verticales u horizontales espaciados a lo largo de

ld h

a una distancia

no superior a 3db cuando db es diámetro de la barra enganchada. No importa si es de 90° ó 180° Exceso de refuerzo Donde el anclaje o desarrollo para fy no se

( As requerido) / ( As suministrado)

especifica requerida.


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EJEMPLO 22 Determinar la longitud de desarrollo requerido para las barras Nº8 superiores de la viga de voladizo que se une la columna, si las barras son rectas y con ganchos de 90º y 180º. Las barras están confinadas por estribos Nº3 espaciados a 150mm en toda la longitud de la viga en voladizo. La viga no presenta condiciones de exposición ambiental.

• Barras rectas

Verificación de las condiciones de recubrimiento del concreto. Para barras de diámetro 1” d b=25mm.

Recubrimiento libre = 7−0mm 13 =mm> 57mm d

b

Separación libre entre barras:

b − 2 × recubrimiento N º espacios

= db −

300mm − ( 27× mm 0 ) 25 mmd 28 − = > mm 3

b

Las barras están confinadas por estribos Nº3, por lo tanto se cumplen las condiciones de la ecuación.

ld fyψ tψ e = d b 1,7 ×l f´ c

( Para barras Nº8 )

(C.12.2.2)

Determinación factores (C.12.2.4) Refuerzo colocado parte inferior viga con más de 300 mm de concreto = 1,3

ψt

= 1,0 Refuerzo sin recubrimiento epóxico ld 420×1,3×1,0 d b = 1,7 ×1× 21 = 70 Por lo tanto ld 0× =7 25 mm1750 = mm

ψe


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Verificación longitud de desarrollo de las barras en el voladizo.

ld + recubrimmiento lateral<1400mm mm No cumple 1750mm + 50mm < 1400 • Barras con ganchos 90º y

ldhb = 0,24×lf× f´ c ψ e = 0,24×420×1 1× 21 = 22 b lhb = 22× 25mm= 550mm > 8d =b 200mm Ninguna modificación aplica por lo tanto l dh=50 5 mm 55 0 mm + 50 mm < 1400 mm → Cumple

(C.12.5.2) (C.12.5.3)

Verificación longitud del gancho

12db +d3+db ≤

b

mm 400 −×

−mm − ( 2 70

)

25mm 19mm 2 2

400mm ≤ 238mm No cumple,luego no es posible colocarel gancho de 90º en la viga. • Barras con ganchos 180º

lhb 0,24×f× y ψ e 0,24×420×1 = 22 (C.12.5.2) = = db 1× 21 l fć lhb = 22× 25 mm = 550 mm >8 db =200 mm Ninguna modificación aplica por lo tanto l dh= 550mm (C.12.5.3) Verificación longitud del gancho

6db +d+bd=

b

mm ≤ 200

→ mm 238

cumple

Se puede usar ganchos a 180° con un ldh =550 mm de los cuales 200mm deben ir en el gancho. Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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EJEMPLO 23 Determinar el anclaje de las barras en la columna de acuerdo a la figura. La columna forma parte de una estructura ubicada en una zona de amenaza sísmica alta y por lo tanto resiste cargas laterales. La viga no presenta condiciones de exposición ambiental.

fć = 21MPa fy = 420MPa • Longitud de desarrollo básico para barras de gancho

ldh×l =hb

factores ≥ donde l hbdl≥y

b

8 mm hb

150

ldhb = 0,24 × fy ×ψ e = 0, 24 × 420 × 1 = 22 (C.12.5.2) λ fć 1× 21 b 550 lhb = 22 × 25 mm = mm • Verificación recubrimiento concreto

Recubrimiento lateral: 50mm<65mm No cumple Recubrimientogancho 50mm • Verificación de estribos

70mm <=d3 b→ 75 mm cumple = usar factor 0,8 (C.12.5.3) ldh = 550 mm × 0,8 =mm 440 Longitud anclaje disponible de la columna

lac = 400 − 50 mm =mm 350 Las barras Nº8 no alcanzan a desarrollar ldh dentro de la columna. Como la viga hace parte de estructura ubicada en zona de amenaza sísmica alta y resiste cargas laterales, las barras Nº8 deben anclarse de tal forma que puedan desarrollar fy en la cara de los Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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apoyos. Lo ideal en este caso es redimensionar los elementos estructurales o disminuir el diámetro de las barras longitudinales, pero en este caso es imposible por lo cual se plantea el siguiente procedimiento:

ld fyψ tψ e = (C.12.2.2) ( Para barras ≥ Nº 6 ) d b 1, 7 × λ fć Factores (C.12.2.4) ψ t = 1,3 → Refuerzo colocado parte inferior viga con más de 300mm de concreto ψ e =1,0 → Refuerzo sin recubrimiento epóxico ld 420 ×1,3 ×1,0 = = 70 d b 1,7 × 1× 21 Entonces ld0 =725 × mm1750 = mm π d = π d(3)=b ( × π 3mm =) 25 m m236

Esta solución implica aspectos constructivos para lograr ubicar el gancho del refuerzo dentro de la columna.


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17. PROCEDIMIENTO DE CORTE DEL ACERO DE REFUERZO Puntos de corte de barras ¿Por qué se deben ubicar puntos de corte para el acero de refuerzo? Por aspectos económicos.

Figura 128

Factores que afectan la localización de los puntos de corte del acero d e refuerzo • Las barras no son necesarias para resistir las fuerzas de tracción o las barras restantes son

adecuadas (determinado por los diagramas de cortante y momento). • Las barras deben extenderse a cada lado de la sección para desarrollar fuerza de la barra en esa

sección. • Las mayores concentraciones de esfuerzo ocurren cuando las barras de tensión son cortadas en

las regiones de cortante moderado a alto, esto conduce a la formación de fisuras. • Los requisitos del código de construcción especificados (buenas prácticas). • Las incertidumbres en las cargas (consideraciones sísmicas).

Mantener puntos de corte a un mínimo con el propósito de simplificar el diseño y construcción.


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Determinación de la ubicación de puntos de corte a flexión Dada una viga simplemente apoyada con una carga distribuida.

Figura 129

NRS-10 C.12.10 — Desarrollo del refuerzo de flexión — Generalidades C.12.10.3 — El refuerzo se debe extender más allá del punto en el que ya no es necesario para resistir flexión por una distancia igual a d ó 12db, la que sea mayor, excepto en los apoyos de vigas simplemente apoyadas y en el extremo libre de voladizos.


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Figura 130


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Procedimiento general - puntos de corte de barras • Determinar los puntos de corte teóricos de flexión y el diagrama de momentos. • Extraer las barras para satisfacer los requerimientos de la NSR-10 (C.7.13, C.12.1, C.12.10,

C.12.11 y C.12.12) • Diseñar estribos adicionales para los puntos donde las barras son cortadas en la zona de tensión a

flexión (C.12.10.5)

Reglas generales para el corte de barras Todas las barras Regla 1. Las barras deben extender el largo de d o 12 d b más allá de los puntos de corte a la flexión, excepto en los apoyos o los extremos de los voladizos (C.12.10.3).

Regla 2. Las barras deben extenderse por lo menos ld desde el punto esfuerzo máximo de la barra o desde los puntos de corte de flexión de barras adyacentes (C.12.10.2 C.12.10.4 y C.12.12.2).

Barras – Momento positivo Regla 3. Integridad estructural Soportes simples Por lo menos un tercio de la parte del refuerzo del momento positivo se debe extender 150 mm en los soportes (C.12.11.1).

Vigas interiores continuas con estribos cerrados Al menos una cuarta parte del refuerzo de momento positivo se debe extender 150 mm en el soporte (C.12.11.1 y C.7.13.2.3). Al menos una cuarta parte del refuerzo de momento positivo debe ser continuo o se debe empalmar cerca del apoyo con un empalme a tensión clase A y en apoyos no continuos debe ser terminada con un gancho estándar. (C.7.13.2.3).


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Vigas continuas perimetrales Al menos una cuarta parte del refuerzo momento positivo requerido en el centro de la luz se hará continuo alrededor del perímetro de la losa y debe ser confinado por estribos cerrados o estribos con ganchos de 135 grados alrededor de barras superiores. La continuidad del refuerzo, puede ser proporcionada por el empalme de refuerzo inferior o cerca del apoyo con empalmes a tensión clase A (C.7.13.2.3).

Vigas que forman parte de un marco que es parte del sistema primario de resistencia a carga lateral del edificio Este refuerzo debe estar anclado para desarrollar la resistencia a la fluencia especificada fy, en la cara del soporte (C.12.11.2)

Regla 4. Los Estribos En el punto de momento positivo de inflexión y en los apoyos simples, el refuerzo de momento positivo debe satisfacer la siguiente ecuación (C.12.11.3). Un aumento del 30% en el valor de Mn/Vu se permitirá cuando los extremos de refuerzo están confinados por la reacción de compresión (generalmente cierto para soportes simples). ld ≤

Mn +l Vu a

Barras - Momento Negativo Regla 5. El refuerzo de momento negativo debe estar anclado en o a través de columnas de soporte o de los miembros que dan apoyo a la viga ( C.12.12.1).

Regla 6. Integridad Estructural Vigas Interiores Por lo menos un tercio del refuerzo de momento negativo se debe extender por el mayor de d, 12 db o (ln / 16) más allá del punto de inflexión de momento negativo (C.12.12.3). Además de la regla satisfactoria anterior, una sexta parte del refuerzo de negativo que se precisa en el apoyo debe ser continuo en la mitad del tramo. Esto puede lograrse por medio de un empalme a tensión clase A en la mitad del tramo (C.7.13.2.2). Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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Consideraciones adicionales Vigas con capacidad moderada de disipación de energía (DMO) (C.21.3.4) C.21.3.4.1. El ancho del elemento, b w, no debe ser menor que 200 mm. C.21.3.4.2. La excentricidad respecto a la columna que le da apoyo no puede ser mayor que el 25% del ancho del apoyo medido en la dirección perpendicular a la dirección del eje longitudinal de la viga.

C.21.3.4.3. En cualquier sección de la viga el refuerzo superior e inferior no debe tener una cuantía, ρmin, inferior la que se obtiene con la ecuación C.10-3, ni debe exceder 0,025. Debe haber al menos

dos barras continuas con diámetro igual o superior a Nº 4 (1/2”) ó 12M (12 mm), tanto arriba como abajo.

C.21.3.4.4. La resistencia a momento positivo en la cara del nudo no debe ser menor que un tercio de la resistencia a momento negativo proporcionada en esa misma cara del nudo. La resistencia a momento negativo o positivo, en cualquier sección a lo largo de la longitud del elemento, no debe ser menor de un quinto de la resistencia máxima a momento proporcionada en la cara de cualquiera de los nudos.

C.21.3.4.5. No se permiten empalmes por traslapo dentro de los nudos. Diagramas de momento de resistencia La resistencia de una viga es una función de su profundidad, d, ancho, b, y el área de acero, As. Es una práctica común cortar las barras de acero donde ya no son necesarias para resistir los esfuerzos de flexión. En vigas continuas de momento positivo las barras de acero pueden ser dobladas por lo general a 45 °, para proporcionar un refuerzo a la tracción de los momentos negativos sobre el soporte. La capacidad de momento nominal de una viga de hormigón sub-reforzado es:

a Mn = As × fy d −   2 Donde

a=

As × fy 0,85fć × b


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La resistencia al momento último de una barra, Mnb es:

a Mnb = Abs × fy d −   2 Donde

Abs

es el área de la barra.

La intersección de las líneas de momento de resistencia con el diagrama de momentos de flexión generado por cargas externas indica los puntos teóricos donde cada barra puede ser terminada.

Empalme de barras ¿Por qué necesitamos los empalmes de barras? Para tramos largos cuando los diámetros comerciales no permiten cubrir estas distancias en un solo tramo.

Tipos de empalmes • Empalmado y soldado (debe desarrollar 125% de la resistencia a la fluencia). • Conectores mecánicos, (debe desarrollar 125% de la resistencia a la fluencia). • Unión de empalmes.

Empalme de traslapo a tensión Tipos de empalmes • Empalme con contacto. • Empalme sin contacto.

Distancia Distancia

p p

150 mm. Longitud del empalme.

La longitud de empalme es la distancia que las dos barras se superponen.

NRS-10 C.12.15 — Empalmes de alambres y barras corrugadas a tracción. C.12.15.1 — La longitud mínima del empalme por traslapo en tracción debe ser la requerida para empalmes por traslapo Clases A o B, pero no menor que 300 mm, donde: Empalme por traslapo Clase A Empalme por traslapo Clase B Donde

ld

1,0 ld 1,3 ld

se calcula de acuerdo con C.12.2 para desarrollar fy, pero sin los 300 mm mínimos de

C.12.2.1 y sin el factor de modificación de C.12.2.5. Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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C.12.15.2 — Los empalmes por traslapo de alambres y barras corrugadas sometidas a tracción deben ser empalmes por traslapo Clase B, excepto que se admiten empalmes por traslapo de Clase A cuando:

(a)el área de refuerzo proporcionada es al menos el doble que la requerido por análisis a todo lo largo del empalme por traslapo y

(b) la mitad, o menos, del refuerzo total está empalmado dentro de la longitud de empalme por traslapo requerido.

C.12.15.3 — Cuando se empalman por traslapo barras de diferente diámetro en tracción, la longitud del empalme por traslapo debe ser el mayor valor entre el

ld

de la barra de mayor tamaño y el valor

de la longitud del empalme en tracción de la barra de diámetro menor.

C.12.15.4 — Los empalmes soldados o mecánicos utilizados donde el área de refuerzo proporcionada es menor del doble de la requerida por el análisis, deben cumplir con los requisitos de C.12.14.3.2 o de C.12.14.3.4.

C.12.15.5 — Los empalmes soldados o mecánicos que no cumplen con los requisitos de C.12.14.3.2 ó C.12.14.3.4 se permiten para barras No. 5 (5/8”) ó 16M (16 mm) o menores si cumplen con C.12.15.5.1. a C.12.15.5.3: C.12.15.5.1 — Los empalmes deben estar escalonados cuando menos 600 mm.

C.12.15.5.2 — Al calcular las fuerzas de tracción que pueden ser desarrolladas en cada sección, el esfuerzo en el refuerzo empalmado debe tomarse como la resistencia especificada del empalme, pero no mayor que fy. El esfuerzo en el refuerzo no empalmado debe tomarse como fy veces la relación entre la menor longitud anclada más allá de la sección y

ld , pero no mayor que fy.

C.12.15.5.3 — La fuerza de tracción total que puede ser desarrollada en cada sección debe ser de al menos el doble que la requerida por el análisis, y al menos 140 MPa veces el área total del refuerzo proporcionado.

C.12.15.6 — Los empalmes en elementos de amarre en tracción se deben hacer con un empalme soldado o mecánico completo, de acuerdo con C.12.14.3.2 ó C.12.14.3.4, y los empalmes en las barras adyacentes deben estar escalonados por lo menos a 750 mm.

C.12.16 — Empalmes de barras corrugadas a compresión


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C.12.16.1 — La longitud de un empalme por traslapo en compresión debe ser de 0.071fy db , para fy igual a 420 MPa o menor, o (0.13fy − 24)db para fy mayor que 420 MPa, pero no debe ser menor que 300 mm. Para f’c menor que 21 MPa, la longitud del empalme por traslapo debe incrementarse en 1/3.

EJEMPLO 24 Para la viga simplemente apoyada mostrada en la figura. Determine la localización de los puntos de corte de barras. No considerar el peso de la viga ni afectaciones por exposición a intemperie.

fć = 21MPa fy = 420MPa

Diagrama de momentos.


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Determinar la ubicación del eje neutro para el momento máximo

As × f=y 0,85×f´×c a b ⇒ a = a=

( 4 × 510mm 2 ) × 420MPa

A s × fy 0,85 fć × b

= 137 mm

0,85 × 21MPa × 350 mm a 137 mm c= = = 161mm β1 0,85 c 161mm = = 0,374 ≤ →=0,375 d 430 mm

φ

0,9

Determinar momento nominal máximo que resiste la viga.

a 0,137 Mn = × As −fy=d× × × ( 4 510 10 −−6 ) 420000 0, 43 2 2    Mn = 309,73 KN − m Verificación capacidad viga

=n 0,9 ( 309,73 − =KN m−≥) 279−KN → m 275KN m Mu = φ M

OK

Determinar el momento último de una barra Nº8. a 0,137  Mubarra = φ As × f−y=× 0,9 ( 510−10 −6 ) (420000 − KN m ) 0, 43  d× 2 2   

Mubarra = 70 KN − m Por lo tanto tenemos Mu (1 barra) = 70 KN-m Mu (3 barras) = 209,25 KN-m


Mu (2 barras) = 139,5 KN-m Mu (4 barras) = 279 KN-m

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Determinar longitud de desarrollo

ld fyψ tψ e = db 1,7 × λ fć

(C.12.2.2) ( Para barras ≥ Nº 6 )

Determinación factores(C.12.2.4) ψ t = 1,0 → Refuerzo colocado parte inferior viga sin más de 300mm de concreto. ψ e = 1,0 →

Refuerzo sin recubrimiento epóxico.

ld 420 × 1, 0 × 1, 0 = = 54 db 1, 7 21 Por lo tanto ld4=5 25× mm 1350 = mm

Determinar punto en el diagrama de momentos correspondiente al momento aportado por 3Nº8. • Extremo izquierdo

M)( x =+Mo−( m) x 1,5 = 275 −160 m= = 57,5 2

∴Mo

160

Ahora se iguala el momento que soportan 3 barrasN°8 con esta ecuación para saber a que distancia se cortarían teóricamente las barras en el extremo izquierdo.

) x − 1,5 M)( x = 160 +( 57,5 209,25 − 160 + 1,5 = 2,36m x= 57,5 • Extremo derecho

M) ( x = 275(+ 57,5 ) x −3,5 Ahora se iguala el momento que soportan 3 barrasN°8 con esta ecuación para saber a que distancia se cortarían teóricamente las barras en el extremo derecho.

209,25 = 275 − 57,5 ( x − 3,5) 209,25 − 275 x= + 3,5 = 4,64m −57,5 Puntos de corte de la primera barra La mayor entre d y 12d b  la = 430mm Extremo izquierdo  2, 36 m − 0, 43 m = 1, 93 m Extremo derecho



4, 64 m + 0, 43 m = 5, 07 m

5,07-1,93=3,14 esta es la longitud de la barra cortada y tiene que ser mayor que 2ld=2700 mm por lo que cumple Riveros Jerez, Carlos Alberto.

Página 203



Determinar punto en el diagrama de momentos correspondiente al momento aportado por 2Nº8.

M ( x) = m () x 160 − 0 m= = 106,7 1,5 M ()x = 106,7 () x • Extremo izquierdo

139,35 = 106,7 ( x ) → x = 1,31m • Extremo derecho

− 106,7 −→ = ) 139,35 = 160 ( x 5,5

x 5,69m

Puntos de corte de la segunda barra Extremo izquierdo Extremo derecho

1, 31m − 0, 43 m = 0, 88 m

 

5, 69 m + 0, 43 m = 6,12 m

Verificación corte de varillas consecutivas

2,36 − 0,88 ≥ ld ⇒ 1, 48 ≥l 6,12 − 4,64 ≥ ld ⇒ 1, 48 ≥l

d

= 1,35 Cumple →

d

= 1,35 Cumple →

Según el C.12.11.1 al menos 1/3 del refuerzo para el momento positivo en elementos simplemente apoyados debe extenderse dentro del apoyo. Por lo tanto no se pueden efectuar más cortes, las restantes 2Nº8 deben llevarse a los apoyos. Verificación empotramiento de los apoyos

ld ≤

1,3× Mn 1,3×139,35 + la ⇒ + 0 = 1,69 (C.12.11.3) Vu 107,5

Lo anterior se cumple


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18.

LOSAS

Clasificación Sistemas de soporte a cargas verticales • Placa plana • Losa plana (con ábacos y/o capiteles) • Losa aligerada armada en una dirección • Losa aligerada armada en dos direcciones

Un sistema de losas puede tener pórticos cargueros y/o pórticos sísmicos.

Comportamiento • Losa en una dirección

Figura 131

Principio de franja unitaria Se asume que una franja unitaria cortada de tal forma que forme ángulos rectos con las vigas de apoyo, puede ser considerada como una viga rectangular de ancho unitario con altura h igual al espesor de la losa y una luz lx. Esta simplificación en la cual se toma una franja unitaria se debe apoyar en la suposición una relación de Poisson igual a cero.

Figura 132


Página 205



• Losa en dos direcciones

Principio de compatibilidad de deformaciones: δl = δ s δδδ =

ls

=δ s

⇒

5× w × sls 4 × ×wll l5 ; = 384 × EI 384EI ×

4

= δl

ws + wl = w total ws ×l s 4 w= l l ×

4

ws ll = ws w +l sl l l

⇒

4

4

4

ws l l ⇒ l ls + w total

=

4

4

+

l

4

wl l4 = 4s 4 wtotal ls +l l Suponer: 4

ll w l = 1 ⇒s l = ls w total ll l ll ls

w

= 2 ⇒s

w

l

s

l

16 4w l s l 16

=

ll

total

w l1 ⇒ + w l2l total

4

l s = 4

4

4

4

=

16 s + w l 17l

s

Es importante resaltar sí

= s

4

s

+

4

=

1 2

4

⇒ total

= s

s

4

4

+ 161

=

1 7

ll ls > 2 , es mejor tomar la losa con un comportamiento en una sola

dirección. La relación entre luces es lo que define si el comportamiento es en una o dos direcciones.

Figura 133


Página 206


19.


LOSAS ARMADAS EN UNA DIRECCIÓN

Conceptos generales Alternancia de cargas

Debido a la naturaleza variable de la carga viva, en algunos casos cuando la carga viva es considerable en magnitud con respecto a la carga muerta, es necesario hacer un análisis de alternancia de cargas. Es posible realizar este análisis utilizando líneas de influencia.

Figura 134

Formación de rotulas plásticas

Las viguetas no forman parte del sistema de resistencia sísmica de la edificación. La vigueta debe diseñarse para estas consideraciones, pero a la vez debe controlar fisuramiento en la unión vigavigueta, en las condiciones de servicio, es decir, la vigueta debe comportarse como simplemente apoyada pero con cierto momento para evitar la fisuramiento, el cual de llegarse a presentar puede resultar muy costoso si afecta pisos y acabados. Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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Diseño losas en una dirección (C.13.1.6) Una losa se considera que trabaja en una dirección cuando se cumple una de las siguientes condiciones: •

Cuando tiene dos bordes libres, sin apoyo vertical, y tiene vigas o muros, en los otros dos bordes opuestos aproximadamente paralelos. C.13.1.6.1.

•

Cuando el panel de losa tiene forma aproximadamente rectangular con apoyo vertical en sus cuatro lados, con una relación de la luz larga a la luz corta mayor que 2. C.13.1.6.2.

•

Cuando una losa nervada tiene sus nervios principalmente en una dirección. C.13.1.6.3.

Dimensionamiento Para determinar el espesor de una losa armada en una dirección se puede efectuar un análisis de deflexiones o utilizar los valores dados en la tabla C.9.5(a). TABLA C.9.5(a) – Alturas o espesores mínimos de vigas no preesforzadas o losas reforzadas en una dirección a menos que se calculen las deflexiones Espesor mínimo, h Simplemente apoyados Elementos Losas macizas en una dirección Vigas o losas nervadas en una dirección

Con un extremo continuo

Ambos extremos continuos

En voladizo

Elementos que NO soporten o estén ligados a divisiones u otro tipo de elementos susceptibles de dañarse debido a deflexiones grandes

20 16

24 18. 5

28 21

10 8

NOTAS: Los valores dados en esta tabla se deben usar directamente en elementos de concreto de peso normal y refuerzo grado 420 MPa. Para otras condiciones, los valores deben modificarse como sigue: (c) Para concreto liviano estructural con densidad wc dentro del rango de 1440 a 1840 kg/m 3, los valores de la tabla deben multiplicarse por (1.65-0.0003wc), pero no menos de 1.09. (d) Para fy distinto de 420 Mpa, los valores de esta tabla deben multiplicarse por (0.4 + fy/700)


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Determinación cargas de diseño •

Las cargas de los elementos no estructurales se deben obtener con base a lo planteado en el título B de la NSR-10.

•

Se deben realizar análisis completos usando las densidades, volúmenes y pesos de los elementos no estructurales.

•

Realizar análisis por cargas mínimas.

•

Seleccionar las cargas vivas según el tipo de uso u ocupación (tabla B.4.2.1-1) recordando que estos valores son las cargas vivas mínimas. En bodegas es usual y recomendado tomar como carga muerta adicional el 25% de la carga viva.

Refuerzo longitudinal de la losa C.13.3 •

El área de refuerzo en cada dirección para sistemas de losas en dos direcciones debe determinarse a partir de los momentos en las secciones críticas, pero no debe ser menor que la requerida en C.7.12.2.1. C.13.3.1.

•

El espaciamiento del refuerzo en las secciones críticas no debe exceder de 2 veces el espesor de la losa, excepto para aquellas porciones de la superficie de la losa nervadas o celulares. El refuerzo de la losa localizado sobre los espacios celulares debe colocarse como se requiere en C.7.12. C.13.3.2.

•

El refuerzo para momento positivo perpendicular a un borde discontinuo debe prolongarse hasta el borde de la losa y tener una longitud embebida recta o en gancho, de por lo menos 150 mm en las vigas, muros o columnas perimetrales. C.13.3.3

•

El refuerzo para momento negativo perpendicular a un borde discontinuo debe doblarse, formar ganchos o anclarse en las vigas, muros o columnas perimetrales, para que desarrolle su capacidad a tracción en la cara del apoyo, de acuerdo con las disposiciones del Capítulo C.12. C.13.3.4

•

Cuando la losa no esté apoyada en una viga perimetral o muro en un borde discontinuo, o cuando la losa se proyecte en voladizo más allá del apoyo, se permite el anclaje del refuerzo dentro de la losa. C.13.3.5

•

En muros y losas excepto las nervadas la separación del refuerzo principal por flexión no debe ser mayor a 3 veces el espesor del muro o losa ni menor que 450mm C.7.6.5


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Refuerzo por temperatura C.7.12 El refuerzo por contracción y temperatura debe colocarse debido a efectos de retracción que se generan a medida que la pasta de cemento se endurece provocando esfuerzos de tracción en el concreto de la losa, estos esfuerzos son conocidos como esfuerzos de retracción que generan fisuramiento en el concreto. •

En losas estructurales donde el refuerzo a flexión se extiende en una sola dirección, se debe colocar refuerzo normal al refuerzo a flexión para resistir los esfuerzos debidos a retracción y temperatura. C.7.12.1

•

El refuerzo de retracción y temperatura debe proveerse de acuerdo con C.7.12.2 ó C.7.12.3. C.7.12.1.1

•

Cuando los movimientos por retracción y temperatura están restringidos de manera significativa, deben considerarse los requisitos de C.8.2.4 y C.9.2.3. C.7.12.1.2

•

El refuerzo corrugado, que cumpla con C.3.5.3, empleado como refuerzo de retracción y temperatura debe colocarse de acuerdo con lo siguiente C.7.12.2:

•

La cuantía de refuerzo de retracción y temperatura debe ser al menos igual a los valores dados a continuación, pero no menos que 0.0014 C.7.12.2.1: (a) En losas donde se empleen barras corrugadas Grado 280 o 350 = 0.0020 (b) En losas donde se empleen barras corrugadas Grado 420 o refuerzo electrosoldado de alambre=0.0018 (c) En losas donde se utilice refuerzo de una resistencia a la fluencia mayor que 420 MPa, medida a una deformación unitaria de 0.35 por ciento 0.0018 x420/fy

•

El refuerzo de retracción y temperatura no debe colocarse con una separación mayor de 5 veces el espesor de la losa ni de 450 mm. C.7.12.2.2

•

En todas las secciones donde se requiera, el refuerzo por retracción y temperatura debe ser capaz de desarrollar fy en tracción de acuerdo con el Capítulo C.12. C.7.12.2.3


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Requisitos adicionales - Protección del refuerzo C.7.7 •

Recubrimiento de refuerzo si la losa esta contra el suelo o a la intemperie debe ser como mínimo 75mm C.7.7.1.

•

Si las barras del refuerzo son menores que la número 11 el recubrimiento debe ser como mínimo 20 mm.

•

Para barras mayores que numero 11 el recubrimiento debe ser como mínimo 40 mm.

•

El corte del refuerzo en losas y viguetas se realiza igual al de una viga que no forma parte del sistema de resistencia sísmica de la edificación.

Losas armadas en una dirección •

Losas macizas: estas losas se usan en el diseño de escaleras o en entrepisos y cubiertas correspondientes a luces muy pequeñas, ya que en luces considerables se generan altos costos, otro aspecto es que aumentan en forma considerable la masa de la estructura. También son muy usadas para ubicar cargas concentradas como tanques de almacenamiento de agua potable. Para el análisis y diseño de este tipo de losas se usa el método de franja unitaria, en el cual se toma una franja de la losa como una viga y se diseña a flexión, siendo una viga de poco peralte con un ancho b, para el diseño supuesto unitario, de espesor h y altura efectiva d. En la norma NSR-10 en el titulo E.5 se proporcionan procedimientos simplificados para el dimensionamiento y cálculo de este tipo de losas.

•

Losas aligeradas: logran reducción de la masa del entrepiso suprimiendo parte del concreto con ayuda de elementos de menor peso. Si la losa aligerada lleva loseta inferior debe cumplir con las disposiciones de la NSR-10 y como mínimo se debe reforzar con alambrón cada 300 mm en ambas direcciones o con malla de gallinero con ojo de 25 mm y tener un espesor mínimo de 20 mm y máximo de 30 mm. E.5.1.5. La placa superior debe cumplir con los requerimientos de la NSR-10 y se puede diseñar a flexión y cortante asumiendo que la loseta es una viga doblemente empotrada con una luz libre igual al ancho del aligeramiento.

Dimensionamiento de viguetas •

Los nervios principales y los nervios transversales o riostras, de losas nervadas en una dirección, no pueden tenerse en cuenta para efectos de rigidez ante fuerzas horizontales del sistema de resistencia sísmica. El elemento, paralelo a la viguetería, que enlaza las columnas, debe cumplir


Página 211



los requisitos para vigas dados en el Capítulo C.21 y su rigidez puede tenerse en cuenta en el análisis ante cargas horizontales. •

El ancho de las nervaduras no debe ser menor de 100 mm en su parte superior y su ancho promedio no puede ser menor de 80 mm; y debe tener una altura no mayor de 5 veces su ancho promedio. C.8.13.2.

•

Para losas nervadas en una dirección, la separación máxima entre nervios, medida centro a centro, no puede ser mayor que 2.5 veces el espesor total de la losa, sin exceder 1.20 m. Para losas nervadas en dos direcciones, la separación máxima entre nervios, medida centro a centro, no puede ser mayor que 3.5 veces el espesor total de la losa, sin exceder 1.50 m. C.8.13.3

•

Cuando se trate de losas nervadas en una dirección, deben colocarse viguetas transversales de repartición con una separación libre máxima de 10 veces el espesor total de la losa, sin exceder 4.0 m. C.8.13.3.1

•

Estas viguetas transversales de repartición deben diseñarse, a flexión y a cortante, de tal manera que sean capaces de transportar la carga total (muerta más viva) de cada nervio a los dos nervios adyacentes. C.8.13.3.2

•

En el diseño de los elementos donde se apoyen estas viguetas transversales de repartición debe considerarse el efecto de la carga que puedan transportar considerando una carga aferente equivalente al doble de la carga total que lleva un nervio típico principal. C.8.13.3.3

•

Las losas nervadas que no cumplan con las limitaciones de C.8.13.1 a C.8.13.3, deben diseñarse como losas y vigas. C.8.13.4

•

Cuando se empleen aligeramientos fabricados con arcilla cocida u concreto que tengan una resistencia unitaria a la compresión por lo menos igual al f’c de las viguetas: C.8.13.5

•

Se permite incluir la pared vertical del elemento de aligeramiento que está en contacto con la vigueta en los cálculos de resistencia al cortante y momento negativo. Ninguna otra parte de los aligeramientos debe incluirse en los cálculos de resistencia. C.8.13.5.1.

•

La porción vaciada en sitio de la loseta superior debe tener al menos 45 mm de espesor, pero ésta no debe ser menor de 1/20 de la distancia libre entre los nervios. El espesor de la losa de concreto vaciada en sitio sobre aligeramientos permanentes de concreto, de arcilla cocida, o plaquetas


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prefabricadas, la parte vaciada en sitio del espesor mínimo de la loseta superior puede reducirse a 40 mm. C.8.13.5.2 •

Cuando se utilicen encofrados o aligeramientos removibles que no cumplan con C.8.13.5: El espesor de la losa no debe ser menor que 1/12 de la distancia libre entre las nervaduras, ni menor de 50 mm. C.8.13.6.1

•

La losa debe llevar refuerzo perpendicular a las viguetas que cumpla lo requerido por flexión, considerando las concentraciones de carga, si las hay, pero no menor que el que se estipula en C.7.12. C.8.13.6.2

•

Cuando en la losa se coloquen ductos o tuberías embebidas según lo permitido en C.6.3, el espesor en cualquier punto de ésta debe ser al menos 25 mm mayor que la altura total del ducto o tubería. Tales ductos o tuberías no deben afectar significativamente la resistencia del sistema. C.8.13.7.

Análisis para losas en una dirección •

Se permite diseñar un sistema de losas mediante cualquier procedimiento que satisfaga las condiciones de equilibrio y compatibilidad geométrica, si se demuestra que la resistencia de diseño en cada sección es por lo menos igual a la resistencia requerida en C.9.2 y C.9.3, y se cumplen todas las condiciones de funcionamiento incluyendo los límites especificados para las deflexiones. C.13.5.1

•

El diseño para cargas gravitacionales de sistema de losas, incluyendo la losa y las vigas (cuando las hay) entre apoyos, y las columnas de apoyo o muros que formen pórticos ortogonales, se puede hacer mediante el Método de diseño directo de C.13.6 o el Método del Pórtico Equivalente de C.13.7. C.13.5.1.1

•

La losa y las vigas (si las hay) entre los apoyos deben diseñarse para los momentos mayorados dominantes en cada sección.C.13.5.2

•

Cuando la carga gravitacional, viento, sismo u otras fuerzas laterales causen transferencia de momento entre la losa y la columna, una fracción del momento no balanceado debe ser transferida por flexión, de acuerdo con C.13.5.3.2 y C.13.5.3.3. C.13.5.3

•

El diseño para la transmisión de carga desde la losa a los muros y columnas de apoyo por medio de cortante y torsión debe estar de acuerdo con el Capítulo C.11. C.13.5.4.


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Análisis aproximado para losas en una dirección C.13.5.5 •

Las losas que trabajan en una dirección, macizas o aligeradas, construidas monolíticamente con sus apoyos, pueden analizarse como losas continuas sobre apoyos simples, con luces iguales a las luces libres de la losa y despreciando el ancho de las vigas y su efecto torsional. C.13.5.5.1

•

En lugar de un análisis detallado, en las losas en una dirección pueden utilizarse los siguientes momentos y cortantes aproximados en lugar de un método más exacto de análisis, siempre y cuando se cumplan los siguientes requisitos: C.13.5.5.3 (a) Haya dos o más vanos, (b) Los vanos son aproximadamente iguales, sin que el mayor de los vanos adyacentes exceda en más de 20 por ciento al menor, (c) Las cargas estén uniformemente distribuidas, (d) La carga viva no mayorada L no exceda en 3 veces la carga muerta no mayorada D, (e) Los elementos sean prismáticos.

Metodología de los coeficientes de cortante y momento de acuerdo a la ACI 2 Mu = Cm u(W n l )

 Wuln    2 

Vu = Cv 

Wu

Carga viva y muerta total mayorada por unidad de longitud

Cm

Coeficiente de momento

Cv

Coeficiente de cortante

ln

Longitud del tramo abierto para el tramo en cuestión para -

Mu

en la cara interior del

soporte exterior, + M y V u

ln

u

Promedio de la longitud tramo abierto para tramos adyacentes para -

M u en los soportes

interiores.


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Para el cálculo de los momentos negativos, ln se toma como el promedio de las luces libres de los vanos adyacentes. Momento positivo Vanos extremos El extremo discontinuo no está restringido…....................................................................... w u l 2n / 11 El extremo discontinuo es monolítico con el apoyo…....................................................... w u l 2n / 1 4 Vanos interiores......................................................................................................................... w u l 2n / 16

Momento negativo en la cara exterior del primer apoyo interior Dos vanos..................................................................................................................................... w u l 2n / 9 Más de dos vanos....................................................................................................................... w u l 2n / 10

Momento negativo en las demás caras de apoyos interiores..................................................... w u l 2n / 11 Momento negativo en la cara de todos los apoyos para: Losas con luces que no excedan de 3 m, y vigas en las cuales la relación entre la suma de las rigideces de las columnas y la rigidez de la viga, exceda de 8 en cada extremo del vano............................................................................................................................................ w u l 2n / 12

Momento negativo en la cara interior de los apoyos exteriores para los elementos construidos monolíticamente con sus apoyos Cuando el apoyo es una viga de borde.. ... .. ... .. ... .. .. ... ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... . w u l 2n / 24 2

Cuando el apoyo es una columna............................................................................................. w u l n / 1 6 Cortante en elementos extremos en la cara del primer apoyo interior................................ 1.15w u l n / 2 Cortante en la cara de todos los demás apoyos ......................................................................... w u l n / 2

EJEMPLO 25 Determinar los momentos de diseño de una losa de entrepiso que se va a construir para una vivienda de uso residencial con particiones en mampostería, la losa se encuentra apoyada sobre muros de mampostería con un espesor de 150 mm, estos muros se encuentran separados entre sí 3200 mm, fć= 21MPa y fy= 420MPa.

Dimensionamiento losa h=

3200 mm 0,= 2 16

m del tipo de vigu eta má s crítico (C. 9.5( a))


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Se usará una losa aligerada de 200 mm de espesor con aligeramiento en ladrillos de arcilla huecos de

150 × 200 × 400 mm, peso promedio de cada ladrillo es 10 kg y una placa superior con un espesor de 50 mm.

Verificación del espesor y separación de las viguetas C.8.13.2 y C.8.13.3 h = 200 mm≤× 51 =00 mm

500 mm

b = 100mm ≥ 100 mm s =m 500m ≤ ×2,5 =h × 2,5= mm 200 m m500 s = 500mm ≤ 1200 mm Verificación del espesor de la placa superior C.8.13.5.2

t = 50 mm ≥ 40 mm s 400 mm t = 50mm ≥ l = = 20 mm 20 20 Determinación de las cargas Elementos no estructurales tabla B.3.4.3-1. Cuando la altura de entrepiso es igual o inferior a 3 m y la losa tiene un uso residencial las cargas son: 2

Muros =3 KNm

2

Pisos =1,6 KNm

Peso losa: peso loseta + peso vigueta + peso ladrillos

= 0,05×24 = 0,12 KN m 2 Peso vigueta = 0,1×0,15×2 4/0,5=0,07 2 KN m 2 ; Peso ladrillos = 2×5×0,1=1 KN m 2 ; Peso losa = 0,12+0,07 2+1 = 1,192 KN m 2 Peso loseta

Carga viva = 1,8 KN m 2

(Tabla B.4.2.1-1)

Car ga última, Wu = 1,2×(3+1,6+1,192)+1, 6×1,8m=KN9,8

2

Con una separación de 500 mm la carga linealmente distribuida sobre las viguetas es:

Wu × 0,5 = 4,9 KNm Momento máximo negativo en los extremos apoyados en los muros C.13.5.5.3 M=

W ×l 2 =2,1 K N - m 24 2

Momento máximo positivo M = W × l =6,3 KN - m 8


Página 216



EJEMPLO 26 Diseñar la losa armada en una dirección de la planta estructural mostrada en la figura 5 sobre la cual actúa una carga viva en los balcones de 5 KN/m 2 y en los interiores de 1,8 KN/m2, las columnas están dimensionadas con una sección cuadrada de 250 mm, la estructura se encuentra ubicada en una zona de amenaza sísmica intermedia y por ser un sistema de entrepiso no presenta exposición ambiental. fć= 21MPa y fy= 420MPa.

Nota: Longitud máxima de barras 9 m.

El espesor de la losa está dado por los valores de la tabla C.9.5-(a) de la NSR-10. h = (4,05-0,25)/18,5 = 205,4 mm, el espesor de la losa se tomará de 250 mm.

Características de la losa • Ladrillo de (200 x 200 x 400) mm. • Viguetas de 100 x 250 mm separadas cada 500 mm desde ejes. • Placa superior de 50 mm con varillas N° 2 cada 300 mm.

Verificación del espesor y separación de las viguetas C.8.13.2 y C.8.13.3

h = 250 mm≤×

5 =100 mm


mm 500 Página 217


b = 100mm ≥ 100 mm s = 500mm≤ × 2,5 ×h s = 500 mm ≤ 1200 mm

=2,5 = mm 250


mm625

Verificación del espesor de la placa superior C.8.13.5.2

t = 50mm ≥ mm 40 t = mm 50

≥ sl = 400 mmmm = 20

20

20

Distribución de viguetas

Cargas sobre las viguetas Carga muerta Viguetas: en cada m2 de losa caben 2 viguetas.

 Wvigueta = 1×m ×0,1×m 0,2m × 24= 

KN  2 KN 0,96 2 m3  1m2 m

Ladrillo: el ladrillo usado pesa 10 Kg y caben 10 ladrillos por m 2.

7,76

KN m2

m  × 10 s 2   Vol  Kg 10  Wladrillo =  ×  ×= 2  10 1,00KN 2 Vol m 1    m  


Página 218



Placa superior: se usa concreto reforzado. Wplaca = 0,05m × 24

KN KN = 1, 20 2 m3 m

Se toma una carga de 3,00 KN/m 2 para muros y 1,60 KN/m 2 para pisos asumiendo altura entrepiso menor de 3 metros.

Carga viva Tabla B.4.2.2-1. NSR-10 (uso residencial) KN m2

Balcones.

5

Interiores.

1,8

Carga última balcón.

KN KN Wub = 1,2 × 7,76+ ×2 1,6 = 5 2 m m

KN 17,31

Carga última interior.

KN KN Wui = 1,×2 7,76+ × 2 1,6 = 1,8 2 m m

KN 12,19

Carga por vigueta; están separadas cada 0,5 m desde ejes.

m2 m2

Interior

Balcón

Wub = 17,31 × 0,5 = 8,66

KN m2

KN m

KN Wui = 12,19 × 0,5 = 6,096 m

Vigueta tipo I Alternancia de cargas vivas C.8.11.2 a. Carga muerta y carga viva mayoradas en todos los vanos.

b. Carga muerta mayorada en todos los vanos con la carga viva mayorada en dos vanos adyacentes.


Página 219



c. Carga muerta mayorada en todos los vanos con la carga viva mayorada en vanos alternados.

Diseño del refuerzo a flexión Vigueta I Caso a

Momentos máximos M(KN-m)+ M(KN-m)5,9 8,6 5,5 7,4 4,9 9,0 9,2 5,7 4,9 6,9 6,8 7,5

b

c

As + = 91mm 2 As − = 125 mm2 2

× × Asmin = 0,0033 100 mm= 210mm

2

70 mm

Utilizar 1 varilla N° 4

As =129mm2 para momento positivo.

Utilizar 1 varilla N° 4

As =129mm2 para momento negativo.


Página 220



Verificación longitud de desarrollo para viguetas C.7.13.2.1 En la construcción con viguetas, como se define en C.8.13.1 a C.8.13.3, al menos una barra de la parte inferior debe ser continua o debe empalmarse por traslapo con un empalme por traslapo de tracción Clase B, o un empalme mecánico o soldado que cumpla con C.12.14.3, y en los apoyos no continuos debe ser anclado para desarrollar fy en la cara del apoyo usando un gancho estándar que cumpla con C.12.5 o una barra corrugada con cabeza que cumpla con C.12.6. • Longitud de desarrollo

 fyψ tψ e  ld =  ( Para barras ≤ Nº 6 )  db (C.12.2.2)  2,1× λ fć 

ld =

420 ×1×1 ×12,7 = 555 mm 2,1×1× 21

• Empalme por traslapo Clase B (C.12.15.1)

1,3ld

Traslapo 1, 3 × 555 mm = 721, mm 5

Diseño de refuerzo de fisuramiento Para evitar fisuraciones en los apoyos discontinuos se coloca un refuerzo calculado a partir de un momento para una viga simplemente apoyada con una carga distribuida. • Apoyo izquierdo

Mu =

Wu × l 2 = 24

8, 66

KN 2 × (1 m ) m = − 24

0, 4 KN m

As = 6 mm2 Utilizar 1 varilla N° 2

As = 32mm2

Longitud de desarrollo

ld =

420 ×1×1 × 6,4 = 280 mm 2,1×1× 21

Longitud de desarrollo básica para barras enganchadas

 0,24ψefy   0,24 ×1× 420  ldh =   d = b  ×= ≥= 6,4 mmd 141 mm λ f´ c  1× 21    ldh = 141 mm ≥ 150 mm Riveros Jerez, Carlos Alberto.

8

52

Página 221


Utilizar


ldh = 150mm

• Apoyo derecho

Wu × l 2 Mu = = 24

8, 66

KN 2 × (3 m ) m = − 24

3,25 KN m

As = 41mm2 Utilizar 1 varilla N° 3

As = 71mm2

Longitud de desarrollo

ld =

420 ×1×1 × 9,5 = 415 mm 2,1×1× 21

Longitud de desarrollo básica para barras enganchadas

 0,24ψefy   0,24 ×1× 420  ldh =   d = b  ×= ≥= 9,5 mmd 209 mm  1× 21   λ fć  ldh = 209mm ≥ 150 mm

8

76

Nota: Utilizar multiplicadores cuando sea necesario. M(KN-m)+

0

0

Anclaje

Sección

6,8

91

crítica 10,7

M(KN-m)-

As(mm2)+

Puntos(m)

9,2 0

Varillas

As(mm2)-

Varillas

As (fis.) 1 N° 2

1N° 4 125

1N°4

Anclaje

1 N° 3

Cortante Estribos de 3/8” cada 105 mm, en la luz del extremo de 1 m se coloca en toda la longitud.


Página 222



Vigueta tipo II M(KN-m)+

0

0

Anclaje

Sección

4,5

59

crítica 10,7

M(KN-m)-

As(mm2)+

Puntos(m)

6,3 0

Varillas

As(mm2)-

Varillas

As (fis.) 1 N° 2

1N° 4 84

1N°4

Anclaje

1 N° 3



Página 223



Vigueta tipo III Puntos(m)

M(KN-m)+

As(mm2)+

0

0

Anclaje

6,9

92

0

Anclaje

Sección crítica 3

Varillas

As (mm2) (fis.) 29

Varillas 1 N° 2

1N° 4 29

1 N° 2

Cortante Estribos de 3/8” cada 105 mm

Vigueta tipo IV M(KN-m)+

0

0

Anclaje

Sección

5,6

74

crítica 4,4

M(KN-m)-

As(mm2)+

Puntos(m)

7,1 0

Varillas

As(mm2)-

Varillas

As (fis.) 1 N° 2

1N° 4 95

1N°4

Anclaje

1 N° 3



Página 224



Vigueta tipo V M(KN-m)+

0

0

Anclaje

Sección

3,8

42

crítica 6,15

M(KN-m)-

As(mm2)+

Puntos(m)

5,2 0

Varillas

As(mm2)-

Varillas

As (fis.) 1 N° 2

1N° 4 69

1N°4

Anclaje

1 N° 2

Cortante Estribos de 3/8” cada 105 mm, en la luz del extremo de 1 m se ponen en toda la longitud.

Desarrollo de barras para As-: las barras deben tener una longitud embebida más allá del punto de inflexión, no menor que d , 12db ó ln/16 , la que sea mayor.(C.12.12.3). Las fuerzas de cortantes críticas se obtienen en las secciones críticas a cortante. Las viguetas no hacen parte del sistema de resistencia sísmica, el espaciamiento se compara con d/2= (210 mm)/2= 105 mm en toda la longitud.


Página 225


20.


LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES

Comparación del comportamiento de los sistemas de losas en una y dos direcciones • Las losas en una dirección llevan la carga en una dirección. • Las losas en dos direcciones llevan la carga en dos direcciones.

Figura 135

• Las losas en una y dos direcciones llevan la carga en dos direcciones.


Página 226



• Las losas en una dirección poseen una relación de: lado largo/lado corto > 2,0

Figura 137


Página 227



Figura 138

• La luz óptima para un sistema de losa maciza unidireccional sobre vigas es de 3 m a 5 m.

Se puede utilizar para luces mayores con costos relativamente más altos y mayores deflexiones. • La luz óptima para un sistema de losa aligerada unidireccional es de 5 m a 8 m.

El encofrado es relativamente costoso

ws

Carga tomada por la dirección corta

wl

Carga tomada por la dirección larga

δA =δB

5ws A4 5wl B4 = 384EI 384EI ws B 4 = wl A4

BPara 2A =

⇒16ws =

wl

Para B / A> 2, diseñar como losa unidireccional


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Figura 139

Diseño de losas en dos direcciones Equilibrio estático para losas en dos direcciones

Figura 140

Analogía de la losa bidireccional para planchas y vigas de piso Sección A-A Momento por unidad de ancho de longitud en las planchas

⇒ M = wl1

2

8

Momento total

⇒ M f = ( wl1 )

l22 8


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Carga uniforme para cada viga ⇒

w l1 2

Sección B-B Momento en una viga

 wl1  l22 ⇒ Mlb =  2  8 Momento total en ambas vigas

⇒ M = ( wl1 )

l22 8

La carga completa se trasladó de Este a Oeste por las planchas y luego fue trasladado de Norte a Sur por las vigas; lo mismo es verdad para una losa bidireccional o cualquier otro sistema de piso.

Conceptos generales de diseño Método directo de diseño Limitado a los sistemas de losa para cargas uniformemente distribuidas y apoyadas sobre columnas equidistantes. El método utiliza un conjunto de coeficientes para determinar el momento del diseño en las secciones críticas. El sistema de losa bidireccional que no cumpla con las limitaciones de la NSR-10 debe ser analizado siguiendo procedimientos más precisos.

Método del pórtico equivalente Un edificio de tres dimensiones se divide en una serie de dos dimensiones de pórticos equivalentes por el corte de la construcción a lo largo de las líneas a mitad de la luz entre las columnas. Los pórticos resultantes se consideran por separado en las direcciones longitudinales y transversales del edificio y son tratados planta por planta.


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Figura 141. Sección equivalente longitudinal y transversal

Figura 142. Elevación del pórtico


Página 231



Figura 143. Vista en perspectiva

Métodos de análisis Análisis elástico La losa de hormigón puede ser tratada como una placa elástica. Se puede utilizar el método de Timoshenko para analizar la estructura. Análisis de elementos finitos.

Análisis plástico El método por rendimiento utilizado para determinar el estado límite de la losa considerando líneas de influencia.

El método de bandas, donde la losa se divide en franjas y la carga sobre la losa se distribuye en dos direcciones ortogonales y las bandas se analizan como vigas.

El análisis óptimo presenta métodos para minimizar el refuerzo basado en el análisis plástico. Análisis no lineal Simula la verdadera carga-deformación característica de una losa de hormigón armado con el método de elementos finitos que toma en consideración la no linealidad de la relación esfuerzo-deformación de los miembros individuales.


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Columnas y bandas intermedias La losa se descompone en columna y bandas intermedias para el análisis.

Figura 144

Espesor de losa mínimo para e l diseño de losas bidireccionales (NSR-10) C.9.5.3 — Elementos reforzados en dos direcciones (no preesforzados) C.9.5.3.1 — Debe emplearse la sección C.9.5.3 para definir el espesor mínimo de losas u otros elementos reforzados en dos direcciones diseñados de acuerdo con las disposiciones del Capítulo C.13 y que se ajusten a los requisitos de C.13.6.1.2. El espesor de las losas sin vigas interiores que se extiendan entre los apoyos en todos sentidos debe satisfacer los requisitos de C.9.5.3.2 ó C.9.5.3.4. El espesor de las losas con vigas que se extiendan entre los apoyos en todos sentidos debe satisfacer los requisitos de una de C.9.5.3.3 ó C.9.5.3.4.


Página 233



TABLA C.9.5 (b) — Deflexión máxima admisible Tipo de elemento Cubiertas planas que no soporten ni estén ligadas a elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños debido a deflexiones grandes. Entrepisos que no soporten ni estén ligados a elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños debido a deflexiones grandes. Sistema de entrepiso o cubierta que soporte o esté ligado a elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños debido a deflexiones grandes. Sistema de entrepiso o cubierta que soporte o esté ligado a elementos no estructurales no susceptibles de sufrir daños debido a deflexiones grandes.

calculada

Deflexión considerada

Límite de

Deflexión inmediata debida a la carga viva, L

l/180*

Deflexión inmediata debida a la carga viva,

l/360

L La parte de la deflexión total que ocurre después de la unión de los elementos no estructurales (la suma de la deflexión a largo plazo debida a todas las cargas permanentes, y la deflexión inmediata debida a cualquier carga viva adicional)†

l/480‡

l/240§

* Este límite no tiene por objeto constituirse en un resguardo contra el empozamiento de aguas. Este último se debe verificar mediante cálculos de deflexiones adecuados, incluyendo las deflexiones debidas al agua estancada, y considerando los efectos a largo plazo de todas las cargas permanentes, la contraflecha, las tolerancias de construcción y la confiabilidad en las medidas tomadas para el drenaje. † Las deflexiones a largo plazo deben determinarse de acuerdo con C.9.5.2.5 ó C.9.5.4.3, pero se pueden reducir en la cantidad de deflexión calculada que ocurra antes de unir los elementos no estructurales. Esta cantidad se determina basándose en datos de ingeniería aceptables correspondiente a las característica tiempodeflexión de elementos similares a los que se están considerando. ‡ Este límite se puede exceder si se toman medidas adecuadas para prevenir daños en elementos apoyados o unidos. § Pero no mayor que la tolerancia establecida para los elementos no estructurales. Este límite se puede exceder si se proporciona una contraflecha de modo que la deflexión total menos la contraflecha no exceda dicho límite.

C.9.5.3.2 — El espesor mínimo de las losas sin vigas interiores que se extiendan entre los apoyos y que tienen una relación entre lados no mayor que 2, debe cumplir con lo requerido en la tabla C.9.5(c) y no debe ser inferior que los siguientes valores: (a) Losas sin ábacos como se definen en C.13.2.5125 mm (b) Losas con ábacos como se definen en C.13.2.5100 mm

C.9.5.3.3 — El espesor mínimo h para losas con vigas que se extienden entre los apoyos en todos los lados debe ser: (a) Para

α fm

igual o menor que 0.2, se aplican las disposiciones de C.9.5.3.2.


Página 234


(b) Para

αfm


mayor que 0.2 pero no mayor que 2.0, h no debe ser menor que:

fy  1400   h= 365+ β α ( fm− 0.2 ) 

l n  0.8 +

(C.9-12)

Pero no menor que 125 mm. (c) Para 

αfm

mayor que 2.0, h no debe ser menor que:

fy  1400  36 + 9β

l n  0.8 +

h=



(C.9-13)

Y no menor que 90 mm. (d) En bordes discontinuos debe disponerse una viga de borde que tenga una relación de rigidez αf no

menor de 0.80, o bien aumentar el espesor mínimo requerido por las ecuaciones (C.9-

12) ó (C.9-13), por lo menos un 10 por ciento en el panel que tenga un borde discontinuo.

TABLA C.9.5(c) - Espesores mínimos de losas sin vigas interiores* Sin ábacos ‡

fy , MPa †

Paneles exteriores Sin

vigas de borde

280 420 520

Con ábacos ‡

Paneles interiores

Con vigas de borde§

Paneles exteriores

Paneles interiores

Con Sin vigas de vigas de borde borde§

ln

ln

ln

ln

ln

ln

33

36

36

36

40

40

ln

ln

ln

ln

ln

ln

30

33

33

33

36

36

ln

ln

ln

ln

ln

ln

28

31

31

31

34

34

* Para construcción en dos direcciones, ln, es la luz libre en la dirección larga, medida entre caras de los apoyos en losas sin vigas y entre caras de las vigas, para losas con vigas u otros apoyos en otros casos. †Para fy entre los valores dados en la tabla, el espesor mínimo debe obtenerse por interpolación lineal. ‡ Ábaco, como se define en C.13.2.5. Riveros Jerez, Carlos Alberto.

Página 235



§ Losas con vigas entre las columnas a lo largo de los bordes exteriores. El valor de αf para la viga de borde no debe ser menor que 0.8.

El término ln en (b) y (c) corresponde a la luz libre en la dirección larga medida cara a cara de las vigas. El término ᵦ en (b) y (c) corresponde a la relación de la luz libre en la dirección larga a la luz libre en la dirección corta de la losa.

C.9.5.3.4 — Puede utilizarse espesores de losas menores que los mínimos requeridos en C.9.5.3.1, C.9.5.3.2 y C.9.5.3.3 cuando las deflexiones calculadas no exceden los límites de la tabla C.9.5(b). Las deflexiones deben calcularse tomando en cuenta el tamaño y la forma del panel, las condiciones de apoyo y la naturaleza de las restricciones en los bordes de la losa. El módulo de elasticidad del concreto, Ec, debe ser el especificado en C.8.5.1. El momento de inercia efectivo, Ie, debe ser el obtenido por medio de la ecuación (C.9-8); se permite emplear otros valores si los resultados del cálculo de la deflexión concuerdan razonablemente con los resultados de ensayos de alcance apropiado. La deflexión adicional a largo plazo debe calcularse de acuerdo con C.9.5.2.5.

Definición de relación de rigidez viga-losa, Α Las cuentas para el efecto la rigidez de las vigas situadas a lo largo del borde del piso, reduce las desviaciones del panel adyacente a las vigas.

α=

Rigidez a la flexión de la viga Rigidez a la flexión de la losa

α=

4Ecb I b / l Ecb I b = 4Ecs I s / l Ecs I s

Ecb =

Módulo de elasticidad de la viga de concreto

Esb =

Módulo de elasticidad de la losa de concreto

Ib =

Momento de inercia de la viga no fisurada

Is =

Momento de inercia de la losa no fisurada

Con anchura delimitada lateralmente por línea central de los paneles adyacentes a cada lado de la viga. Riveros Jerez, Carlos Alberto.

Página 236



Viga y secciones de la losa para determinar α

Figura 145

Figura 146


Página 237



Figura 147

Definición de la viga de sección transversal. Los gráficos pueden ser utilizados para calcular α

Losas sin ábacos

hmin = 120mm

Losas con ábacos

hmin = 100 mm

EJEMPLO 27 El sistema de losa esa compuesto por placas y vigas en dos direcciones soportadas en columnas de 450 mm x 450 mm. Determinar el mínimo espesor de losa requerido para el sistema.

Usar

fć = 28 MPa y fy = 420 MPa


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Sección A-A Se asume h = 150 mm

x y h=

<4

mm h < 4 ⇒ 300 300mm < 4 (150mm )

450 mm -150mm = 300 mm

300mm < 600mm → Cumple be = 450 + 2 ( 300 ) = 1050 mm b< b⇒ h

050 450

8 150

e

w

+8

1 < +( × ) 1050 < 1650 →Cumple

(150)( 1050 )( )75( +)(450)( 300 ) 300 = 179mm 150 1050 450 300 + ( )( ) ( )( )

y=

Para α largo =

(1050)( )150 + 12

Ib

3

+

( 450 )( 300 ) × (1050+××150 1042 ) 12

3

( 450 300 1212 )

Ib = 4987807500 mm4 = 4988×106 mm4 3

Is =

( 5000)( )150 = 1406 ×106 mm4 12

α largo =

EIb 4988 ×106 = 3,55 = EI s 1406 ×106

Para αcorto 3

I=

( 6000)( )150 = 1688 ×106 mm4 12

α corto =

EIb 4988 ×106 = = 2,95 EI s 1688 ×106

αm1 = αlargo + αcorto = 3,55 + 2,95 = 3,25

2

2

Sección B-B

y=

( 700)( 150 )( )75( +)(300)( 400) 300 = 195 mm ( 700)( 150 ) ( + )(300 ) 400


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Para α largo 3

Ib =

( 400)( 450 ) ( 300 )( 150 ) + ×( 400 × + 4503 02 ) + × × 12 12

3

(3001 501 202 )

Ib = 4217×106 mm4 3

( 2500)( 150 ) = 703 ×106 mm4 I = 12 s

α largo =

EI b 4217 ×106 = = 6,0 EI s 703 ×106

Para αcorto 3

Is =

( 3000)( )150 = 844 ×106 mm4 12

α corto =

EIb 4217 ×106 = =5 EI s 844 ×106

Coeficiente β

llargo β= = lcorto

6000-2  450   2  = 1,22  450  5000-2    2 

αm =

2, 95 + 2, 95 + 3, 55 + 6, 0 4

αm = 3,86


Página 240



αm =

2, 95 + 3, 55 + 3, 55 + 5, 0 4

αm = 3,76

αm =

2, 95 + 3, 55 + 5, 0 + 6, 0 4

αm = 4,375 Espesor mínimo para

αm > 2

450 400 − − = 6000 5575 mm 2 2 420   fy   l n  0,8 +   55750 ,8 +  1400 1400     h= = mm = 131 mm 36 + 9 β 36 + ( 9 × 1, 22 ) ln =

> 90

El espesor mínimo de la losa requerido es de 131 mm, por aspectos constructivos se selecciona un espesor de losa h=150 mm.


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21. COLUMNAS Análisis y diseño de columnas cortas Columna corta • Miembro estructural vertical. • Transmite cargas de compresión axial con o sin momento. • Transmite cargas de pisos y techos a la cimentación.

Espiral

Estribos Figura 148


Página 242



Configuración del refuerzo transversal: • Estribos

Aproximadamente el 95% de todas las columnas de los edificios poseen una configuración del refuerzo en estribos. La esencia de la presencia de estribos en columnas es para restringir los efectos de pandeo localizado en las barras longitudinales y así proporcionar confinamiento al núcleo • Espiral

Recientes investigaciones han mostrado la bondad de este tipo de refuerzo transversal en columnas, conformando un elemento más dúctil y menos propenso a sufrir pandeo local de barras longitudinales durante eventos sísmicos.

Comportamiento elástico de columnas Un análisis elástico utilizando el método de sección transformada sería: Para carga concentrada, P

fc =

P l Ac + nAst

Esfuerzo uniforme sobre la sección

fs = n fc

n=E /E s

c

Ac

Área del concreto

As

Área del acero

El cambio en la deformación del concreto con respecto al tiempo afecta y afectará los esfuerzos en el concreto y en el acero como se muestra en la siguiente figura:

Esfuerzo en el concreto

Figura 149


Página 243



Esfuerzo en el acero

Figura 150

Un análisis elástico en columnas no funciona pues los efectos de deformación y retracción afectan la deformación en el concreto como se muestra en la siguiente figura:

Figura 151

Dentro del comportamiento elástico hay que tener en cuenta la deformación y la retracción de fraguado del concreto, por lo tanto es imposible calcular las deformaciones en el acero y en el concreto utilizando un análisis elástico. Por lo tanto, no es posible calcular las deformaciones reales en una columna de concreto reforzado para todas las cargas que actúan a través del tiempo. Como resultado, el método de esfuerzos admisibles, procedimiento fundamentado en un análisis elástico se encontró que era inaceptable.

Las columnas de hormigón armado han sido diseñadas por el método de resistencia desde 1940.


Página 244



Comportamiento, capacidad nominal y de diseño bajo cargas axiales concéntricas • Comportamiento inicial hasta la carga nominal – Columnas con estribos y con espiral.

Figura 152

Figura 153

P0 = 0,85f´ ×Ac − ( A+g A sft )

st y

Ag = bh Área bruta.

Ast

Área longitudinal del acero.

f´ c

Resistencia a la compresión de concreto.

fy

Resistencia a la fluencia del acero.


Página 245



Factor que depende de las condiciones de curado consolidación de la columna.

0,85

• Máxima Capacidad Nominal Para Diseño

Pn( max ) = rP0 Factor de reducción que tiene en cuenta efectos accidentales por flexión.

r

r = 0,75

Espiral

Estribos C.10.3.6.1

r = 0, 8

• Requerimientos para el acero longitudinal, Ast

ρg =

Ast Ag

NRS-10 C.10.9 — Límites del refuerzo de elementos a compresión (columnas)

Ast , para elementos no compuestos a compresión que 0,04Ag . Para estructuras con capacidad de

C.10.9.1 — El área de refuerzo longitudinal, no debe ser menor que

0,01Ag ni mayor

disipación de energía moderada (DMO) y especial (DES) en el Capítulo C.21 se restringe el área máxima admisible.

0,01 ≤ ρg ≤ 0,04 C.10.9.2 — El número mínimo de barras longitudinales en elementos sometidos a compresión debe ser de 4 para barras dentro de estribos circulares o rectangulares, 3 para barras dentro de estribos triangulares y 6 para barras rodeadas por espirales, que cumplan con C.10.9.3. C.10.9.3 — La cuantía volumétrica del refuerzo en espiral, ρs , no debe ser menor que el valor dado por:  Ag  f´ c ρ s = 0, 45  − 1 A c  h  f yt Donde el valor de

fyt a usar en la ecuación (C.10-5) no debe ser mayor de 700 MPa. Para fyt

mayor de 420 MPa, no deben usarse empalmes por traslapo de acuerdo con C.7.10.4.5(a). Requerimientos de refuerzo para estribos l aterales

C.7.10.5 — Estribos Los estribos para elementos sometidos a compresión deben cumplir con lo siguiente: C.7.10.5.1 — Todas las barras no preesforzadas deben estar confinadas por medio de estribos transversales de por lo menos diámetro No. 3 (3/8”) ó 10M (10 mm), para barras longitudinales No. 10 (1-1/4”) ó 32M (32 mm) o menores; y diámetro No. 4 (1/2”) ó 12M Riveros Jerez, Carlos Alberto.

Página 246



(12 mm) como mínimo, para barras longitudinales No. 11 (1-3/8”) ó 36M (36 mm), No. 14 (13/4”) ó 45M (45 mm) y No. 18 (2-1/4”) ó 55M (55 mm) y paquetes de barras. En estructuras de capacidad de disipación de energía mínima (DMI) se permiten estribos de barra Nº 2 (1/4") ó 6M(6 mm) cuando las columnas soportan únicamente uno o dos pisos.

C.7.10.5.2 — El espaciamiento vertical de los estribos no debe exceder 16 diámetros de barra longitudinal, 48 diámetros de barra o alambre de los estribos, o la menor dimensión del elemento sometido a compresión. C.7.10.5.3 — Los estribos deben disponerse de tal forma que cada barra longitudinal de esquina y barra alterna tenga apoyo lateral proporcionado por la esquina de un estribo con un ángulo interior no mayor de 135º, y ninguna barra longitudinal debe estar separada a más de 150 mm libres de una barra apoyada lateralmente. Cuando las barras longitudinales estén localizadas alrededor del perímetro de un círculo, se permite el uso de un estribo circular completo.

C.21.3.5. Columnas con capacidad moderada de disipación de energía (DMO) C.21.3.5.1. La dimensión menor de la sección transversal, medida en una línea recta que pasa a través del centroide geométrico, no debe ser menor de 250 mm. Las columnas en forma de T, C o I pueden tener una dimensión mínima de 0,20 m pero su área no puede ser menor de 0,0625 m². C.21.3.5.2. El área de refuerzo longitudinal, Ast, no debe ser menor que 0,01Ag ni mayor que 0,04Ag. C.21.3.5.3. Los empalmes mecánicos deben cumplir C.21.1.6 y los empalmes soldados deben cumplir Losyempalmes por traslapo permitenenúnicamente longitud C.21.1.7. del elemento deben diseñarse como se empalmes tracción. en la mitad central de la

C.21.3.5.6. En ambos extremos del elemento debe proporcionarse estribos cerrados de confinamiento con un espaciamiento de S0 por una longitud L0, medida desde la cara del nudo. El espaciamiento S0 no debe exceder el menor de (a), (b), (c) y (d): (a) Ocho veces el diámetro de la barra longitudinal confinada de menor diámetro. (b) 16 veces el diámetro de la barra del estribo cerrado de confinamiento. (c) Un tercio de la menor dimensión de la sección transversal de la columna. (d) 150 mm. La longitud L0, no debe ser menor que la mayor entre (e), (f) y (g): (e) Una sexta parte de la luz libre de la columna. (f) La mayor dimensión de la sección transversal de la columna. (g) 500 mm.

C.21.3.5.7. El área total de la sección transversal del refuerzo de estribos cerrados de confinamiento rectangulares, Ash, colocados en la longitud L0 no debe ser menor que la requerida por las ecuaciones (C.21-2) y (C.21-3). Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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A s h = 0, 20 ×

 sbc f´ c  Ag − 1  f yt  A c h 

ó

sb f´ c Ash = 0,06 c f yt C.21.3.5.10. El primer estribo cerrado de confinamiento debe estar situado a no más de S0/2 de la cara Este requisito que elmprimer estribo debe ubicarse a una distancia, medida desdedel la nudo. cara del nudo, igual establece a S 0/2 = 0,035 en columnas o 0,05 m en vigas.

C.21.3.5.11. Fuera de la longitud L 0, deben colocarse estribos de confinamiento con la misma disposición, diámetro de barra y resistencia a la fluencia, fyt, con un espaciamiento centro a centro que no debe ser mayor que 2 veces el espaciamiento utilizado en la longitud L 0. Ejemplos de configuraciones de estribos en columnas


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Página 249



Requerimientos de refuerzo para estribos en espiral NSR-10 C.7.10 — Refuerzo transversal para elementos a compresión C.7.10.4 — Espirales El refuerzo en espiral para elementos a compresión debe cumplir con C.10.9.3 y lo siguiente:

C.7.10.4.1 — Las espirales deben consistir en barras o alambres continuos espaciados uniformemente, con un tamaño y disposición que permitan su manejo y colocación sin distorsión de las dimensiones de diseño.

C.7.10.4.2 — Para elementos construidos en obra, el diámetro de barra utilizada en espirales no debe ser menor de 10 mm.

C.7.10.4.3 — El espaciamiento libre entre hélices de la espiral no debe exceder de 75 mm ni ser menor de 25 mm. Véase también C.3.3.2.

C.7.10.4.4 — El anclaje de la espiral debe consistir en 1.5 vueltas adicionales de la barra o alambre en cada extremo de la espiral.

Relación del refuerzo en espiral, ρs


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Figura 155

ρs =

Volumen del Espiral 4 Asp = Volumen del Núcleo Dc s

ρs =

Asp π Dc 1 4 π D c2s

ρs = 0,45 × −Ag× 1  fć  f  A



c

 

yt



Donde

Asp =

Ac =

Área de sección transversal del refuerzo en espiral

π Dc2

Dc =

4

= Área central

Diámetro central. Borde exterior al borde exterior de la espiral.

s =

Espaciamiento del acero en espiral (centro a centro)

f yt =

Resistencia a la fluencia del acero en espiral (

p

420 MPa)

Diseño de columnas para cargas axiales concéntricas Requerimientos de resistencia general NRS-10 C.9.3 — Resistencia de diseño C.9.3.1 — La resistencia de diseño proporcionada por un elemento, sus conexiones con otros elementos, así como sus secciones transversales, en términos de flexión, carga axial, cortante y torsión, deben tomarse como la resistencia nominal calculada de acuerdo con los requisitos y suposiciones del Título C del Reglamento NSR-10, multiplicada por los factores φ de reducción de resistencia dados en C.9.3.2, C.9.3.4. y C.9.3.5.

C.9.3.2 — El factor de reducción de resistencia, φ , debe ser el dado en C.9.3.2.1 a C.9.3.2.7. C.9.3.2.1 — Secciones controladas por tracción como se define en 10.3.4…...… 0.90 (Véase también C.9.3.2.7). Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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C.9.3.2.2 — Secciones controladas por compresión como se definen en C.10.3.3: (a)

Elementos con refuerzo en espiral según C.10.9.3…………….………….. 0.75

(b)

Otros elementos reforzados. …………………………………………….…. 0.65

Para las secciones en las que la deformación unitaria neta a la tracción en el acero extremo en tracción en el estado de resistencia nominal, ε t , se encuentra entre los límites para secciones controladas por compresión y las secciones controladas por tracción, se permite que φ aumente linealmente desde el valor correspondiente a las secciones controladas por compresión hasta 0.90, en la medida que ε t aumente desde el límite de deformación unitaria controlado por compresión hasta 0.005. En forma alternativa, cuando se usa el Apéndice C-B, para elementos en los cuales fy no exceda 420 MPa, con refuerzo simétrico, y cuando (d - d´ )/ h

no es menor de 0,70, se permite

aumentar φ linealmente hasta 0.90, en la medida que φ Pn disminuye desde

0,10 fćAg hasta

cero. Para otros elementos reforzados φ puede incrementarse linealmente a 0.90 en la medida que φ Pn disminuye desde

0,10 fćAg ó φ Pn , el que sea menor, hasta cero.

Expresiones para el diseño de columnas ρg =

Ast Ag

0,01 ≤ ρg ≤ 0,04

P φ n= r Aφ  gf´( 0,85 cA s+) f− (

4244 3  14  Concreto

φ Pn = φA r

g

f´0,85 c + −f

c ≥f´ ut ) y P0,85  144 42444 3

Acero

ρ gc≥u(f´ y 0,85 P



) 

Cuando ρg es conocido o asumido:

Ag ≥

Pu φ r 0,85 f´ c + ρf g ( y −f´0,85 c ) 

Cuando

Ast ≥

Ag es conocido o asumido:

 Pu  1 − Ag ( 0,85 fć )  ( fy − 0,85 fć )  φ r 


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EJEMPLO 28 Diseño de columna corta para carga axial concéntrica.

Pdl = 750KN Pll; = 1500 KN Pw ; KN = 300 fć = 28MPa fy =420 MPa Diseñar una columna cuadrada con ρg = 0,03 y seleccionar el refuerzo longitudinal transversal. Determinar la carga

Pu = 1, 2 Pdl + 1,6 llP Pu = 1,2 × 750 KN+ × 1,6 KN 1500 Pu = 3300 KN PuP= 1, 2 dlP+1, P 0 ll +1, 6w Pu = 1,2 ( 750 KN ) ( + 1,0 )KN 1500 ( Pu = 2880 KN

1,6 300 ) +KN

Chequear la compresión o tensión en la columna

Pu = 0 ,9Pdl − 1,6Pw Pu0,9 = ×750 KN− ×1,6 300 KN ( KN ( ) ) Pu = 195 Para una columna cuadrada r = 0,75; φ = 0,65 y ρg = 0,03 Pu Ag ≥ f´ c + ρf g ( y −f´0,85 c ) ) φ r ( 0,85 Ag ≥ 189689 mm 2

Ag = b2 ⇒ b = 435 mm ⇒ b = 450 mm 2

Para una columna cuadrada As = ρ g Ag = 0, 03 ( 450 mm ) = 6075 mm 2

Ast ≥

 Pu  1  φ r − 0,85 fć × Ag  f f´ y − c 0,85 ( ) 

Ast ≥ 4922 mm 2 Usar 8 #9; As = 8 × 645mm 2 = 5160mm 2 t

(

)

Chequear Po

P0 = 0, f85´ Ac ( Ag −s At )fsy+

t

P0 = 6864 KN φ Pn = rP φ =0 ×, 0 65 , × 0 75 KN 6864 φ Pn = 3346KN > 3300 KNOK Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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Usar estribo #3 y calcular el espaciamiento

b − # db − 2 ( recubrimiento + estribo d ) ( # barras − 1) 450mm − 3(29mm ) − 2 ( 40 mm +mm 10 s= 2 s = 132mm < 150 mmOK s=

)

Diseño del estribo

 16 d b =162 ( 9mm ) =464 mm  s ≤  d48 estribo =48mm 10 mm ( ) =480  menor 50 b ó d =4 mm 

    

s → espaciamientoestribos

Usar estribo #3 con 450mm de espaciamiento en la columna.


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22. DIAGRAMA DE INTERACCIÓN Comportamiento bajo cargas combinadas de flexión y axial Generalmente el momento está representado por la carga axial de excentricidad

Figura 156

La interacción entre el diagrama de carga axial y el momento (envolvente de falla).

Figura 157

Nota: Cualquier combinación de P y M fuera de la envolvente provocará la falla. Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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Diagrama de interacción de carga axial y el momento.

Figura 158

Fuerzas de acción resultante en el centroide (h / 2 en este caso) P n =C s1C +T c −s2 1 424 3

La co mpre nsión es positiva

Momento en el centro geométrico

h    ah  h  ×s1−  2 +d1c× −C+  2× 2− Ts2 Mn = C

d2 2

Columnas en tracción pura La sección está completamente agrietada (sin capacidad axial de resistencia en el concreto). Deformación uniforme ≥

−εy

N

Pn(Tracción) = ∑ − Asi × fy i =1

Columnas Factor de reducción de resistencia , φ , NSR-10 • Tracción axial, y tracción axial con flexión.

φ = 0,9

• Compresión axial y compresión axial con flexión.

Miembros con refuerzo en espiral

φ = 0,75

Otros miembros reforzados

φ = 0,65

Excepto para valores bajos de compresión axial, φ puede ser aumentado de la siguiente manera: Cuando f y ≤ 420 MPa


y el refuerzo es simétrico y

( h − d ′ − ds ) > 0,70 h

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ds


Distancia desde la fibra de tracción extrema al centroide del refuerzo a tracción.

Entonces φ puede aumentar linealmente hasta 0,9 φ Pn decrece de 0,10 fć a cero.

Figura 159

Diseño de columnas para carga combinada de flexión y axial (columna corta) Seleccionar la sección transversal y el refuerzo para resistir la carga axial y momento.

Tipos de columnas • Columna reforzada con espiral - Más eficiente para e/h <0,1 , pero más costosa la

formación y la espiral. • Columna reforzada con estribos – Barras en cuatro caras usadas cuando e/h < 0,2

y para

flexión biaxial

Procedimiento General El diagrama de interacción para una columna se construye utilizando una serie de valores para

Pn y Mn. El gráfico muestra la envolvente fuera del problema. Procedimiento general para la construcción de diagramas de interacción • Calcular P0 y determinar el máximo Pu en compresión. • Seleccione un valor de c. • Calcular el esfuerzo en los componentes de acero.

Calcular las fuerzas en el acero y el concreto, CC, CS1 y Ts. Determinar el valor Pu. Calcular el Mu alrededor del centro. Calcular el brazo del momento, e = Mn / Pn • Repetir con una serie de valores de c. Riveros Jerez, Carlos Alberto.

Página 257



• Obtener el valor de máxima tensión. • Graficar Pu versus Mu • Determinar φ Pn y φ M n

Encontrar el nivel de compresión máxima. Tener presente que el valor de φ variará linealmente desde 0,65 hasta 0,9 para los valores de deformación, para el caso de columnas con estribos. El componente de la tensión será φ = 0,9

EJEMPLO 29 Considerar una columna cuadrada (500mm x 500mm) reforzada con 8 barras #10 y f´ c = 28 MPa y fy = 420 MP a . Se especifica una distancia desde la cara externa de la columna al eje del refuerzo longitudinal de 66 mm. Dibujar el diagrama de interacción.

La deformación última del concreto εcu y el acero ε y :

ε cu = 0,003 εy =

fs 420 = = 0,0021 Ey 200000

Se hallan las áreas del acero

Ast

y de la sección

Ag :

Ast = 8 × 819mm = 6552mm2 Ag = (500mm)2 = 250000mm2 Carga

P0 :

P0 = 0,85f´ Ac ( Ag − fAst ) +

y st

P0 = 0,85 × ×28 MPa − ( 250000 + ×mm) 6552 P0 = 8546 KN Riveros Jerez, Carlos Alberto.

2

MPa 420

mm 6552

2

Página 258



Columna con estribos r = 0.75, en espiral r = 0.8, Carga nominal Pn:

Pn =rP ,75 × KN 0 = 0 8546 Pn = 6409,4KN Determinar la localización del punto de balance

cb , este se puede encontrar usando semejanza

de triángulos.

cb 434mm = 0,0 03 0,0 03 + 0,0 021  0,003  ⇒ cb =   × 434mm  0,0051  cb = 255,3 mm Determinar el esfuerzo del acero

 cb − 66mm  − 66 mm mm  255,3  ε cu =  c 256,8 mm  b  

ε S1 = 

  × 0,003 

ε S 1 = 0,00222

 cb − 250mm  − mm mm 250  255,3  ε cu =  c 255,3 mm  b  

εS2 = 

  × 0,003 

ε S 2 = 0,00006

 434mm − cb   434 − 255,3 mm   ε cu =   × 0,003 cb  255,3mm   

εS3 = 

ε S 3 = 0,00210

f S 1 = ES ε S 1 = 200000MPa × 0, 00222 f S 1 = 444MPa ⇒420 MPa → compresión f S 2 = ES ε S 2 = 200000 MPa × 0, 00006 f = 12, 46MPa → compresión S2 f S 3 = ES ε S 3 = 200000 MPa × 0, 00210 f S 34= 20MPa → tensión Calcular las fuerzas en la columna

CC = 0,85f´ ×bc× ×=c×β1


×MPa28× mm × 500 0,85

mm 255,3 0,85

Página 259



CC = 2582,4KN →compresión 2 0,85 CS1 =A Sf1 (− S1 )×f´ = (c 3 mm819 − ×MPa )420 CS1 = 973,5KN →compresión 2 2 819− ×MPa 12, CS 2 =A Sf 2 (− =S 2 )×f´0,85 ( c mm ) 46 CS 2 = −18,58KN →compresión 2 819 420 TS 3 =A f S 3 =S×3 3 mm × MPa TS 3 = 1031,88 KN → ten sión

Pn = 2582,4 KN KN − + −973,5 n P = 2505,44KN

KN 18,58

0,85 28 MPa 0,85 28 MPa

KN 1031,88

Calcular el momento cerca del centro

ah h    h M = CC − + −CS+1  −d1  TS 3 d3 2  2 2   2  mm  500mm 0,852× 55,3  M = 2582,4KN − +− 2   2 500mm   +1031,88KN  434mm − 2   M = 365,4KN −+ m − 179,1 + KN− m 189,9KN M KN m = 734,4 −

mm500  973,5  KN 2 

66mm

m

Un solo punto del diagrama de interacción (2505,44KN, 734,4KN-m). La excentricidad del punto está definida como

M 734,4KN − m e == = = 0,293 m mm P 2505,44KN

293

Ahora seleccionar una serie de puntos adicionales seleccionando valores de c. Seleccionar c=d=434mm.

Determinar el esfuerzo del acero,

mm 434 mm mm − 66  c − 66   ε cu =  × 0,003  c 434 mm    ε S 1 = 0, 00254 ⇒ f S 1 = 508,8 MPa → 420 MPa compresión ε S1 = 

mm 434 mm − mm 250  c − 250   ε cu =  × 0,003  434 c mm    = 0,00127 ⇒ f S 2 = 254,38MPa → compresión

εS2 =   εS2

εS3 = 0 Riveros Jerez, Carlos Alberto.

Página 260



Calcular las fuerzas en la columna

CC = 0,85 fcb ×'× ×=c × β1 CC = 4390KN

MPa × 0,85 m28 × m×

500 mm0,85 434

CS1 =A fS1 ( −S1 f)0,85 c ×= ' ( ×mm 3 819− MPa ×2 ) 420 CS1 = 973,5 KN

MPa 0,85 28

CS 2 =A fS 2 (−S 2 )fc0,85 ×= (' ×mm2 819 − MPa ×2 )254,38 MPa0.85 28 CS 2 = 377,7 KN

Ts =A=f s s× 3 819 mm × Ts = 0KN

2

MPa 0

P n = 4390 KN + 973, KN5 P n = 5741 KN

+ KN 377, 7


h a h M = CC − + −CS 1 d1  2 2   2 mm 500mm 0,85 ×434 M = 4390 KN − + 2 −  2   M = 467 KN − m

mm 500  973,5  KN 2 

66mm

Un solo punto del diagrama de interacción (5741KN, 467KN-m). La excentricidad del punto está definida como: M e == P

46 7 KN − m mm = = 0,m0813 5741 KN

81

Hay un punto especial el cual representa el límite de la zona controlada por compresión, en la cual se tiene el siguiente dato según el método de los esfuerzos límites.

c = 0,6 → = c × 0,6 d= × dt

t

0,6= mm 434

mm 260,4

Seleccionar c=260,4mm

Determinar el esfuerzo del acero

mm  mm4 mm − 66  260,   c − 66  ε cu =   × 0,003 c 260,4 mm     ε S 1 = 0, 00224 ⇒ f S 1 = 447,9 MPa → 420MPa compresión ε S1 = 

mm  mm4 mm − 250  260,  c − 250  ε cu =  c 260,4 mm   

εS2 = 


  × 0,003  Página 261



εS 2 = 0,00012 ⇒ fS 2 = 23,96MPa c 434 mm − 260.4 mm  434mm  −  εy =  −  434 mm mm − 260.4  434mm  c  = 0, 0021 ⇒ f S 3 = 420 MPa → tensión

( 0,0021 )

ε S3 =  ε S3


CC = 0,85 fcb ×'× ×c= × β1

MPa × 0,85 28 ×mm ×

500

CC = 2634 KN CS1 =A fS 1 ( −S 1 f)0,85 c ×= ' ( ×mm × 2 ) 420 3 819−MPa CS1 = 973,5 KN

MPa0,85 28

CS 2 =A fS 2 ( −S 2 f)c0,85 ×= '( ×mm2 819− MPa ×2 )23,96 CS 2 = 0, 27 KN 819 Ts =Af= s ×s 3 mm × Ts = 1032 KN

2

mm 0,85 260, 4

MPa0,85 28

420 MPa

973, + KN5 − Pn = +2634 KN Pn = 2576 KN

0, 26 KN

KN1032

Calcular el momento cerca del centro ah h h M = CC − + −CS−1  −d1  TS d3 2  2 2   2  mm mm500  500mm 0,852× 60,4   M = 2634 − KN  + − 973,5  KN 2  2  2  500mm   +1032KN  434mm − 2   M = 736KN − m

66mm

Un solo punto del diagrama de interacción (2576KN, 736KN-m). La excentricidad del punto está definida como: M e == P

736 KN − m = KN = 0,m2857 mm 2576

286

Hay un punto especial el cual representa el límite de la zona controlada por tensión, en la cual se tiene el siguiente dato según el método de los esfuerzos límites.

c = 0,375 →= c ×0,375 = d× dt


t

0.375 = mm434 m

m 162,75

Página 262



Seleccionar c=162,75mm

Determinar el esfuerzo del acero

mm  75 mm − 66  162,mm  c − 66  ε cu =  c 162,75 mm    ε S 1 = 0, 00178 ⇒ f S 1 = 356, 68MPa ε S1 = 

  × 0,003 

mm 75 mm − 250  162,   c 162,75 mm  ε cu =   × 0,003 = −0, 00161 ⇒ f S 2 = 321, 66 MPa → tensión mm  c − 250

ε S 2 =  εS2

434 m − 260,4 mm  m  434mmc−   ε y =  434mm − 260, 4mm  × 0,0021  434mm − c    = 0, 0021 ⇒ f S 3 = 420 MPa → tensión

εS3 =  εS3


CC = 0,85 fcb ×'c× ×= × β1 MPa × mm × 500 mm × 0,85 28 0,85 162, 75 CC = 1646,2 KN 2 CS1 =A fS1 (− S1 )fc0,85 ×= (' ×mm3 819 − MPa × 356,68 MPa0,85 28 ) CS1 = 817,9 KN TS 2 =A f S 2 =S×2 2 mm × 819 TS 2 = 526,99 KN TS 3 =A f S 3 =S×3 3 mm × 819 TS 3 = 1031,94KN

Pn = 1646,KN 2+ Pn = 905,3 KN

2

MPa 321,66

2

MPa 420

−817,9 KN −

526,88 KN

KN 1031,94


 ah  h    h M = CC − + −CS−1  −d1  TS d3 2  2 2   2  − M = 1646,2KN − 500mm +0,851× 62,75 KNmm500 817,9  2 mm 2  2   500mm   +1031,94KN  434mm − 2   M = 297,7KN −+ m 150,5 −+ KN− m 189,9KN m M = 638,1KN − m


66mm

Página 263



Un solo punto del diagrama de interacción (905.3KN; 638.1 KN-m). La excentricidad del punto está definida como:

M e == P

638,1KN − m = = 0,7048 m mm 905,3KN

705

Seleccionar c=153mm.

Determinar el esfuerzo del acero ε S 1 =  c − 66 mm  

− 66 × 0,003 mm  153mm c  ε cu = 153 mm ε S 1 = 0, 00171 ⇒ f S 1 = 341,18 MPa → compresión



m m mm − mm 153 250  c − 250  ε cu =  × 0,003 c    153mm = − 0, 00190 ⇒ f S 2 = 380,39 MPa → tensión

εS2 =   εS2

mm − 153mm   434mm −c   434 ε y =   × 0,0021  434 mm − c   434mm − 153mm  = 0, 0021 ⇒ f S 3 = 420 MPa → tensión

εS3 =  εS3


CC = 0,85 fcb ×'× ×=c × β1 CC = 1547,6 KN

×0,85 m28 × m× MPa

500 mm 0,851 53

×= (' ×mm3 819 − MPa ×2 )341,18 MPa0,85 28 CS 1 =A fS1 (− S1 f)c0,85 CS 1 = 779,8 KN 2 TS 2 =A f S 2 =S×2 2mm × MPa 819 380,39 TS 2 = 623,08 KN 2 TS 3 =A f S 3 =×S 3 3 mm × MPa 819 420 TS 3 = 1031,94 KN Pn = 1547,6 KN KN − 623,08 KN + −779,8 Pn = 672,4KN

Calcular el momento cerca del centro  ah  h    h M = CC − + −CS+1  −d1  TS d3  2 2   2  mm  500mm 0,85 ×153 M = 1547,6 KN − + 2 −  2  

 

+ 1031,94 KN  434mm − Riveros Jerez, Carlos Alberto.

KN 1031,94

2 mm 500  779,8  KN 2 

66mm

500mm  2  Página 264



M = 286,3 + 143,5 + 189,9 M = 619,6KN − m Un solo punto del diagrama de interacción (672.4KN, 619.6KN-m). La excentricidad del punto está definida como

M e == P

619,6KN − m = = 0,9216 m mm 672,4KN

922

La máxima tensión en la columna

Pn =A ×sf =×y 8 mm 819 × Pn = 2751,84KN

2

MPa 420

Punto 1 2 3 4 5

c (mm) 0 434 260,4 255,3 162,75

P(KN) n 6409 5741,1 2575,7 2505,4 905,3

67

153 0

672,4 -2751,84

M (KN.m) n 0 466,9 736 734,4 638,1 619,6 0

e (mm) 0 81 286 293 705 922

Diagrama de interacción 8000

6000

4000 ) N K ( 2000 n P

0 0

100

200

300

400

500

600

700

800

-2000

-4000

Mn (KN.m)


Página 265



Los datos anteriores deben ser afectados por el coeficiente de reducción de resistencia φ cuyo valor depende de la zona en la que se encuentre el elemento (compresión, transición o tensión).

Punto

c (mm)

Pn (KN)

Mn (KN.m)

φ

φ Pn (KN)

φ Mn (KN.m)

1 2 3 4 5 6 7

0 434 260,4 255,3 162,75 153 0

6409,4 5741,1 2575,7 2505,4 905,3 672,4 -2751,8

0 466,9 736 734,4 638,1 619,6 0

0,65 0,65 0,65 0,66 0,9 0,9 0,9

4166,13,05 3731,72 1674,21 1653,56 814,77 605,16 -2476,66

0 303,49 478,40 484,70 574,29 557,64 0

e (mm) 0 81 286 293 705 922

Diagrama de interacción 5000 4000 3000 ) 2000 N K ( 1000 n P

0 0

100

200

300

400

500

600

700

-1000 -2000 -3000

Mn (KN.m)


Página 266



Diseño de columnas para carga combinada de flexión y axial (columna corta) Columna con estribos - Barras en dos caras (más alejado del eje de flexión) - Más eficiente cuando e / h> 0,2 - Forma rectangular incrementa la eficiencia

Empalmes -Normalmente, las barras longitudinales empalmadas justo por encima de cada planta. (No sísmicas). -Tipo de estribo que depende del estado de esfuerzo (C.12.17)

Para todas las barras en compresión Use estribos a compresión (C.12.16) 0 ≤ f s ≤ 0, 5 f y Sobre la cara a tracción Estribo a tracción Clase A

Barras de empalme <1/2 Clase B Barras de empalme >1/2 Estribo a tracción Clase B

f s > 0, 5 f y

Revisión cortante en columnas Recordar (Compresión Axial)



Vc = 0,17 1 + 

Nu   λdf´b c 14Ag 

V u > 0, 5φV c

w

C.11-4

Si

Las sujeciones deben satisfacer a C.7.10

Recordar 0,01 ≤ ρ ≤ 0,04

NSR-10 C.10.8 — Dimensiones de diseño para elementos a compresión (columnas) C.10.8.1 — Elementos en compresión aislados con espirales múltiples Los límites exteriores de la sección transversal efectiva de un elemento en compresión, con dos o más espirales entrelazados, debe tomarse a una distancia fuera de los límites extremos de los espirales igual al recubrimiento mínimo del concreto requerido en C.7.7.

C.10.8.2 — Elementos en compresión construidos monolíticamente con muros


Página 267



Los límites exteriores de la sección transversal efectiva de un elemento en compresión con espirales o estribos, construido monolíticamente con un muro o pilar de concreto, no deben tomarse a más de 40 mm fuera de la espiral o estribos de dicho elemento.

C.10.8.3 — Elementos en compresión de sección circular equivalente En lugar de utilizar el área bruta para el diseño de un elemento sometido a compresión de sección transversal cuadrada, octogonal o de otra forma geométrica, se permite utilizar una sección circular con diámetro igual a la menor dimensión lateral de la sección real. El área bruta considerada, las cuantías requeridas de refuerzo y la resistencia de diseño deben basarse en dicha sección circular.

C.10.8.4 — Límites de la sección Para un elemento a compresión que tenga una sección transversal mayor que la requerida por las consideraciones de carga, se permite emplear un área efectiva reducida

Ag , no menor que la mitad

del área total, con el fin de determinar el refuerzo mínimo y la resistencia. Esta disposición no se aplica en elementos (pórticos resistentes a momento o muros estructurales) con capacidad de disipación de energía moderada (DMO) o especial (DES) diseñados de acuerdo con el Capítulo C.21.

Diagramas de interacción adimensionales

Pn fćAg

versus

Mn fćAgh

ó

Kn =

Pn versus R fćAg

n

=

Pne fćAg h

Procedimiento de diseño de columnas usando diagramas de interacción adimensionales • Calcular los factores de carga Pu , Mu y e para las combinaciones de carga pertinentes • Seleccionar caso potencialmente crítico • Utilice un estimativo de h para determinar γ h , e / h para el casa crítico • Usar diagramas de interacción adimensionales

Leer

Pn fćAg

Para el cálculo requerido Ag =


Pu × fć  φ Pn     fć × Ag  Página 268


• Determinar


Ag = b × h

• Si las dimensiones son significativamente diferentes de los estimados (paso 3), calcular (e / h)

y rehacer los pasos 4 y 5. Revisar

Ag si es necesario.

• Determinar

Ast = ρ Ag

• Utilizando las dimensiones reales y tamaños de barras para comprobar todas las

combinaciones de carga (utilizar los gráficos o exactamente los diagrama de interacción). • Diseño de refuerzo lateral.

La utilización de estos diagramas de interacción adimensionales dependerá del manual o la referencia usada para determinar los parámetros adimensionales.


Página 269



23. COLUMNAS BIAXIALES Carga axial y flexión biaxial

Figura 160

Momentos de flexión biaxial M x=P e× M y=P e×

y x

Figura 161


Página 270



Métodos de análisis aproximados Utilizando la superficie de falla



1    Pn,ex ,ey 

S2  La ordenada 1 sobre la superficie Pn

S2

se aproxima por la ordenada 1 sobre el plano Pn

1   . El plano S2 es definido por los puntos A, B y C. P n ,e x ,ey   

S'2 

Figura 162

P0 =

Resistencia a la carga axial bajo compresión axial pura (Corresponde al punto C)

P0x =

Resistencia a la carga axial bajo excentricidad uniaxial, (Corresponde al punto B)

P0y =

Mnx=M n=0y

Mnx =Pe n

ey

y

Resistencia a la carga axial bajo excentricidad uniaxial,

ex

(Corresponde al punto A) Riveros Jerez, Carlos Alberto.

Página 271



P,u M u ,yM u x P u , P ue x, P eu y

Diseño de

Figura 163

1 1 11 1 ≈ = + − PnP n 'P P0x P 0y 0 1 ⇒ Pn ≈ 1 + 1 −1 P0x P 0y 0P

Pn =

Resistencia nominal de carga axial a excentricidades, casos cuando Pn ≥ 0,1fÁc

ex y e y limitados a los

g

Procedimiento de análisis: Método de Bresler

1111 ≅ + PnP P P0x

Fórmula:

− 0y

0

Pasos: • Calcular

P0

• Calcular

P0y

( Pn parae =e, xe

• Calcular

P0x

( Pn parae x =0, e =e y )

• Calcular

Pn

x

= 0 )

(de la fórmula de Bresler)

P u ≤ φ P n Donde, φ = 0,65 (columna reforzada con estribos)


Página 272



EJEMPLO 30 La sección de una columna corta es (400 mm x 600mm) y esta reforzada con 8 barras #10. Determinar la carga última permitida en la sección φ Pn con las consideraciones: d’=64mm,

ex = 200mm y ey = 300mm .Usar

f´ c = 28 MPa y fy = 420 MP a

Calcular la carga P0, a compresión sin los momentos.

Ast = 8 × 819mm2 = 6552mm2 P0 = 0,85f´ Ac ( Ag − Astf) + st y P0 = 0,85 × × 28 MPa

2

−( 240000 mm+

× mm 6552

2

2 420 )mm6552M Pa

P0 = 8308KN P n rP = = 0 × 0 , 7 5 =8K3N 08

KN 6231

Calcular Pnx empezando con el término ey verificando que la compresión controla. Chequear para

ey = 300 mm≤ d=0,6×

0,6 = mm 536

321,6 mm

Calcular la carga nominal, Pnx y asumir que el segundo acero a compresión no contribuye.

Pn =C C+C+ C S1 −TS 2 Los componentes de la ecuación de equilibrio son: 2

C S 1 = 2457 mm

0,85 28 ) × = MPa (−420

973, 5 KN

2

T = 2457 mm f × s  d   fs = −× 1 200000 0, × MPa = −×  003  c  

536 mm 1 c

600 MPa

Usar semejanza de triángulos para encontrar el esfuerzo en el acero, f s Calcular el momento cerca del acero a tensión:

β1c  Pen C ' = dC − + C d− d ( 2  S1 

')

Donde

e ' = 236mm + 300 mm =mm 536 Pn ( 536 c m )mm ( = 7616 ) 536 ( m−+ c 0,4 9KN )−73,5m m 536mm

64

El resultado de la ecuación es:

Pn = 7616c −5,68c2 +459,5 Combinando las dos ecuaciones y solucionando para Pn usando una solución iterativa:

2457f Pn = 7616 +c 973,5 −KN × mm Riveros Jerez, Carlos Alberto.

2

s Página 273



Pn = 7616c −5,68c2 +459,5 Igualando y despejando fs

fs = 0,21+ 0,0023c2  536  − 1 × 600  c 

fs = 

Combinando las dos ecuaciones y resolviendo para c usando una técnica iterativa.

536  0,21 + 0,0023=c2−  × 1 600  c  Pn = 7616 +c 973,5 −KN × mm 2457f 2 s Pn = 7616 × 353,82 + mm − 973,5 KN× 2457 mm Pn = 1936KN

2 MPa 309

Entonces

Pnx =1936KN Empezar con el término ex y asumir que la compresión controla.

ex = 64 mm≤ d=0,6×

=mm 0,6 336

mm 201,6

Calcular la carga nominal, Pny y asumir que el segundo acero a compresión no contribuye.

Pn =C C+C+ C S1 −TS 2 Los componentes de la ecuación de equilibrio son:

CC = 0,85 × 28 MPa × ×mm 600 = c 0,8 c 11424 2

CS 1 = 2457 mm

× = MPa 0,85 28 ) (−420

KN 973,5

2

T = 2457 mm f ( s ) d  fs = −× 1 200000 × MPa =  c 

−× 0, 003



336 mm 1 c

600 MPa

Usar semejanza de triángulos para encontrar el esfuerzo en el acero, fs. Calcular el momento cerca del acero a tensión: β1c  Pen C ' = dC − + C ') d− d S1 (



2 

Donde

e ' = 136mm + 200 mm = mm 336 Pn ( 336 mm) = c11424 c + ×0, 4) ( × ) −(336

−973,5

336 64

El resultado de la ecuación es: Riveros Jerez, Carlos Alberto.

Página 274



Pn = 11424c −13,6c2 + 788 Combinando las dos ecuaciones y solucionando para Pn usando una solución iterativa

Pn =11424 +c 973,5 −KN × mm 2457f 2 Pn = 11424c −13,6c + 788

2

s

Igualando una ecuación a la otra y despejando fs 2

fs = 0,075 + 0,0055c

 336mm  −1 × 600MPa  c 

fs = 

Combinando las dos ecuaciones y resolviendo para “c” usando una técnica iterativa.

336mm  0,075 + 0,0055=c2  −× 1 600  c  Pn = 11424 c +973,5 KN

−mm f 2457

Pn = 11424 × 227,7 + mm − K 973,5 N× Pn = 1901,1KN

2

( s)

mm 2457

2

MPa 285,37

Entonces Pny = 1901,1KN Calculando la carga nominal

1111 = + − Pn Pn Pxn Pn y 0 1 1 1 1 = + − Pn 1936 1901,1 6231 72 P ⇒P = u = φ× n 0, 65KN Pn = 1133, KN = 1133, 72 KN


736,9

Página 275



24. EFECTOS DE ESBELTEZ Columna larga Columna cargada excéntricamente con pasador al principio y al final de esta. Deflexión lateral

M = P ×( e +

)∆

Deflexión por cargas

Figura 164


Página 276



∆o = Deflexión de primer orden, debido a Mo ∆a = Deflexión de segundo orden, debido a Po OA - curva de momento final OB - curva para el máximo Momento de la columna (a la mitad de altura) NSR-10

C.10.10 — Efectos de esbeltez en elementos a compresión C.10.10.1 — Se permite ignorar los efectos de esbeltez en los siguientes casos: a) en elementos sometidos a compresión no arriostrados contra desplazamientos laterales cuando: kl u ≤ 22 r

(C.10-6)

b) en elementos a compresión arriostrados contra desplazamientos laterales cuando:  M1  klu r ≤ 34 − 12  M 2 

Donde el término

(C.10-7)

M1/M2 es positivo si la columna está flectada en curvatura simple y negativo

si el elemento tiene curvatura doble. Se permite considerar los elementos a compresión como arriostrados contra desplazamientos laterales cuando los elementos de arriostramiento tienen una rigidez total que restringe los movimientos laterales de ese piso de al menos doce veces la rigidez bruta de las columnas dentro del piso.

C.10.10.1.1 — La longitud no apoyada lateralmente de un elemento en compresión,

lu , debe

tomarse como la distancia libre entre losas de piso, vigas u otros elementos capaces de proporcionar apoyo lateral en la dirección que se está considerando. Cuando existan capiteles o cartelas en las columnas,

lu

debe medirse hasta el extremo inferior del capitel o cartela en el

plano considerado.

C.10.10.1.2 — Se puede tomar el radio de giro, r, igual a 0.3 veces la dimensión total de la sección en la dirección en la cual se está considerando la estabilidad para el caso de elementos


Página 277



rectangulares y 0.25 veces el diámetro para elementos circulares en compresión. Para otras formas, se permite calcular r para la sección bruta de concreto.

k = Factor de longitud efectiva (en función de las restricciones finales). Marcos arriostrados

0, 5 ≤ k ≤ 1, 0

Marcos no arriostrados

1, 0 ≤ k ≤ ∞

Relación de esbeltez Relación de esbeltez para columnas

a) Conexión Simple – no resistente a momento b) Conexión empotrada – resistente a momento


Página 278



Relación de esbeltez para columnas en pórticos con desplazamiento lateral

Figura 166


Página 279



Relación de esbeltez para columnas en pórticos sin desplazamiento lateral

Figura 167


Página 280


lu =


La altura de la columna sin apoyo desde la parte superior del piso hasta la parte inferior de las vigas o losas en el piso Radio de giro

r =

r=

I A

r = 0 , 3 × ( Prof undi dad tot al de col umnas recta ngul ares )

r = 0.25× ( Profundidad total decolumnas circulares)

NSR-10 (C.10.10.1.2)

M1/M2 = Relación de los momentos en los dos extremos de las columnas Donde

M2 > M1

(Con un rango de -1 a 1)

Figura 168

Curvatura Simple


Página 281



Figura 169

Curvatura Doble

M1  = 0,5 M2 

 Suele ser conservador (Marcos no arriostrados)  k = 1,0 

M1 /M2 ≥ −0,5

Marcos no balanceados

Nota: El código define que:

M1 ≥ −0,5 (Marcos no arriostrados) M2 Rango posible de kl u ⇒ de 22 a 40 r

Factor de magnificación en marcos no arriostrados Si los efectos de esbeltez deben ser considerados, la magnificación del factor para el marco no arriostrado, δns , causará un aumento en la magnitud del momento de diseño.


Página 282



Mc = δnsM2 Donde δ ns =

Cm  Pu  1−    0,75 Pc 

≥ 1, 0

Los componentes de la ecuación para una carga de pandeo de Euler para una columna con apoyo fijo al extremo. Pc =

π 2 EI

( kl u )

2

Y la rigidez, EI es tomada como

EI =

0, 2IE IEc g + 1 + βd

IE

s se

⇒ EI {

conservativamente

=

0,4 c g 1 + βd

Un factor de coeficiente que relaciona el diagrama de momento real con el diagrama de momento uniforme equivalente. Para los miembros sin cargas transversales se toma la ecuación (10-16):  M1   ≥ 0, 4  M2 

C m = 0, 6 + 0, 4 

Para otras condiciones, como los miembros con cargas transversales entre apoyos,

Cm = 1,0

El valor mínimo permitido de M2 es:

M 2,min = Pu (15 + 0,03h) Donde 15 y h están en milímetros. Para los elementos en que M 2,min , excede a M2 , el valor de Cm en la ecuación (10-16) debe ser igual a 1.0, ó estar basado en la relación de los momentos calculados en los extremos, M1 M2 .

EJEMPLO 31 Una columna de sección cuadrada de 400 mm x 400 mm y reforzada con estribos está sometida a la acción de dos momentos en sus extremos M 1=100 KN-m y M2=120 KN-m, en condición de curvatura simple. La carga última actuando en la columna es Pu=400 KN formando parte esta columna de un pórtico arriostrado contra desplazamiento lateral. Si lu es igual a 5 m, k=1.0, fy= 420 MPa y fć=28 MPa, determinar el momento de diseño de la columna. Asumir PD=200 KN. Riveros Jerez, Carlos Alberto.

Página 283



Verificar si deben ser considerados los efectos de esbeltez:

r = 0,3 × ( Profundidad total de columna rectangular) r= 0,3 × 400 mm =mm 120 kl u 1,0 × 5000 mm = = 41,67 r 120 mm M  100  34 − 12  =1− 34 =12   24  120   M2 

Como

M  kl u > 34 − 12  1  r  M2 

Se deben considerar los efectos de esbeltez M 2,min = +P u (15 0, = 03 h+) ×P u=(15 0, × 03 400) =

400 − KN 0, 027 m 10,8 KN

m

como M 2,min < M 2 cumple

Ec = 4700f´

Ig =

c = 4700

MPa 28 = 24870

bh3 0,44 = = 0,002133m4 12 12

0,4 Ec I g EI = =1 + β d

0, 4 × 24870000 KPa × 0,002133 m − KN 1 + 200 KN=/ 400

4

2

mKN 14146

Determinación de la carga crítica Pc =

π 2 EI

( kl) u (

2

=

π 2 × 14146

1,)0 × 5, 0

= 5585 KN

2

M   100  C m = 0, + 6 0, 4 = + 1  0, 6= 0, ≥4   120   M2 

=δ ns

=

Cm

 Pu  1−     0,75 Pc

0,93 400 0,75 × 5585

=≥  1− 

0, 93 0, 4

1,03 1,0

Momento de diseño de la columna

Mc = δnsM=2 ×1,03 = 120 − 123,6KN m


Página 284



25. CIMENTACIONES Por lo general las losas reciben las cargas generadas por los elementos no estructurales y las cargas generadas por uso de la estructura transmitiendo estas cargas a las vigas que delimitan las losas, a su vez los esfuerzos generados en las vigas son transmitidos a las columnas o muros que finalmente se apoyan en el suelo de fundación de la estructura. Los elementos utilizados para realizar la transferencia de cargas entre columnas o muros al suelo de fundación reciben el nombre de cimentación. Antes de comprender el funcionamiento de las cimentaciones de estructuras de concreto reforzado es importante comprender los aspectos generales que rigen el comportamiento de suelos o rocas que se usan como soporte de una estructura, este tema debe ser tratado en el curso de cimentaciones por lo que en el presente documento solo se mencionarán los aspectos relevantes dentro del diseño de los elementos de concreto reforzado de cimentación. El suelo de cimentación debe tener la capacidad de recibir las cargas provenientes de la estructura sin exceder la capacidad portante del suelo. No es suficiente que el suelo sea resistente sino que además los asentamientos inducidos por las cargas aplicadas al suelo de fundación no superen los máximos permisibles buscando que los esfuerzos sobre el suelo se apliquen lo más uniformemente posible para evitar asentamientos diferenciales, los cuales pueden inducir esfuerzos adicionales a los generados por las cargas transmitidas de la estructura al suelo de fundación. Adicionalmente a estos dos aspectos, el suelo de fundación debe tener la capacidad de resistir esfuerzos generados por cargas ambientales de variada intensidad para evitar el colapso de la estructura.

Existe una gran número de tipos de cimentaciones por lo que es una gran responsabilidad la adecuada selección del tipo de cimentación de una estructura, aspectos relacionados con el tipo de estructura, el sistema estructural empleado, las condiciones del suelo de cimentación, estructuras colindantes, tecnología disponible en el lugar de localización de la estructura, nivel freático y otros aspectos deben ser considerados para una adecuada selección del tipo de cimentación. Es importante resaltar que en suelos agresivos debe darse especial cuidado a la durabilidad del concreto. Arcillas expansivas presentan una variación alta de volumen según su contenido de humedad, este tipo de suelo debe en lo posible evitarse como suelo de fundación buscando estratos de suelo más competentes. Una adecuada exploración de terreno debe incluir entre otros más datos, la profundidad de la capa freática, estudio detallado de los diferentes estratos del suelo indicando su espesor, características mecánicas (compresión simple, ensayo triaxial, etc.) y características químicas (sulfatos, carbonatos, etc.) La interacción suelo estructura ha cobrado recientemente gran importancia para lo cual se requieren estudios adicionales a los mencionados relacionados con las propiedades del suelo a fin Riveros Jerez, Carlos Alberto.

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de determinar en la forma más aproximadamente posible los efectos de interacción suelo estructura necesarios para optimizar el diseño de la estructura y considerar los efectos inducidos sobre el suelo de fundación por la estructura bajo el efecto de cargas ambientales. Las cimentaciones de concreto reforzado pueden ser clasificadas en dos tipologías: superficiales y profundas.

Cimentaciones superficiales: Las cimentaciones superficiales generalmente se usan cuando es suelo presenta buenas propiedades mecánicas y químicas a profundidades no mayores a los 4 m. Para edificaciones de baja altura cimentadas sobre suelos de muy buena resistencia se utilizan zapatas, que son ensanchamientos de la sección de la columna en la parte de contacto con el suelo de cimentación, las cimentaciones superficiales definidas como zapatas pueden ser céntricas, medianeras, esquineras, combinadas o corridas. Para edificaciones de mayor altura con el fin de evitar el traslapo de las zapatas se utilizan losas de cimentación que consiste en una losa sobre la cual se apoyan las columnas o muros y que generalmente abarca la totalidad del área que ocupa la edificación. Generalmente se usan en edificaciones que no abarcan un área extensa sino que predominan en altura, deben tener un espesor mínimo de 30 cm, pero se recomiendan espesores no inferiores a los 50 cm y van hasta los 120 cm. Uno de los problemas que presenta este tipo de cimentación es la localización de las tuberías de desagüe dado que deben ubicarse embebidas dentro de la losa de cimentación lo cual puede causar problemas futuros de deterioro de las tuberías o daño por rompimiento de tuberías lo cual resulta bastante costoso y complejo de reparar y que en algunos casos puede causar corrosión del acero de refuerzo de la losa de cimentación. El coeficiente de balastro es un parámetro importante en la determinación de los parámetros de diseño de la losa de cimentación. Es de obligatorio cumplimiento enlazar las zapatas con vigas centradoras o vigas de atado para contrarestar posibles asentamientos diferenciales y garantizar una respuesta adecuada ante solicitaciones de cargas ambientales.

Las cimentaciones profundas se usan cuando las propiedades mecánicas y químicas del suelo son bajas, otros aspectos que pueden influir en la selección de este tipo de cimentación tienen que ver con niveles freáticos muy altos, capas superficiales de terrenos con variaciones volumétricas considerables por efecto de cambio de la humedad, y en casos de cimentaciones de edificios de altura considerable o en zonas de ladera donde se generan fuerzas de tracción en la cimentación a fin de garantizar su estabilidad.


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Cimentaciones profundas: Las cimentaciones profundas se clasifican en pilotes y pilas. Los pilotes se consideran como elementos tipo columnas que se encuentran hincadas o fundidas dentro de las capas del suelo de fundación, su característica principal es que presentan una sección transversal es pequeña con respecto a la altura. Por las limitaciones de carga de un pilote individual, frecuentemente es necesario utilizar varios elementos para un mismo apoyo de la estructura, este es caso se requiere de un elemento de enlace entre la columna y el grupo de pilotes llamado comúnmente encepado. Dependiendo de las características del suelo los pilotes pueden trabajar por transmisión de cargas en la punta, a este tipo de pilote se le conoce como pilote columna y el otro tipo de pilote es el que trabaja por fricción en el fuste el cual se conoce comúnmente como pilote flotante.

En algunos casos se tienen pilotes trabajando por punta y por fricción en el fuste. Según el procedimiento de construcción los pilotes se clasifican en pilotes de desplazamiento y pilotes de extracción. Los pilotes de desplazamiento se clasifican a su vez en pilotes hincados prefabricados y pilotes hincados mediante tubería y fundidos in situ. Los pilotes de extracción son aquellos que se construyen una vez se realiza la perforación mediante una barrena o hélice, su uso solo debe ser considerado en suelos donde no se presenten niveles freáticos que afecten las excavaciones. Tambien se usan pilotes con camisa perdida o recuperable dependiendo de las condiciones del suelo, en estos casos se introduce una tubería que sirve de camisa al pilote. En la actualidad se han desarollado un gran número de procedimientos de pilotaje, los cuales deben ser evaluados bajo criterios de seguridad. Los micropilotes se recomiendan en casos de reforzamiento estructural de edificaciones existentes donde las áreas disponibles limitan el uso de pilotes, debe darse especial cuidado a la falla de estos elementos ante eventos sísmicos por efectos de la gran esbeltez que presentan y la baja resistencia a cortante, adicionalmente al tener secciones tan reducidas que oscilan entre los 10 y 15 cm impidien dar cumplimiento al refuerzo mínimo de acuerdo a lo estipulado en la tabla C.15.11-1 de la NSR-10

Finalmente, el uso de pilas como sistema de cimentación, generalmente se emplea en conjunto con un elemento por apoyo. Las pilas están asociadas a cargas muy altas, a condiciones del suelo superficialmente desfavorables y a condiciones aceptables en los estratos profundos del suelo, a donde se transmitirán las cargas de la estructura. Las pilas siempre son pre-excavadas y vaciadas in situ.


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Vigas de cimentación: Las vigas de cimentación son los elementos estructurales que se emplean para amarrar estructuras de cimentación tales como zapatas, encepados, pilas y que tienen como funciones principales la reducción de asentamientos diferenciales, soporte a momentos generados por excentricidades de cargas, y mejorar el comportamiento sísmico de la estructura. Presentan otras funciones secundarias como ser el arriostramiento en laderas, la disminución de la esbeltez en columnas, y aporte en estabilización de zapatas medianeras. Las vigas de fundación se pueden diseñar bajo dos criterios: Criterio 1: Diseñar la viga de fundación para que tome los momentos y la zapata solo la carga axial.

Criterio 2: Diseñar la zapata para que atienda el momento biaxial. La viga se diseña sólo para carga axial. Las vigas de fundación deben resistir en tensión o compresión una fuerza no menor de (A.3.6.4.2 – Vigas de amarre en la cimentación – NSR-10):

C oT = 0,25 A Pa

u

Aa:

Coeficiente que representa la aceleración horizontal pico efectiva, para diseño, dado en A.2.2 – NSR-10.

Pu :

Valor de la fuerza axial mayorada o carga última correspondiente a la

columna

más

cargada (comparando las dos fuerzas axiales a las cuales están sometidas las dos columnas unidas por la viga de amarre). En el caso de Medellín con el nuevo código Aa = 0.15, luego:

C o T = 0,0375Pu En la mayoría de los casos prácticos la fuerza a compresión o tensión puede ser soportada por la viga con refuerzo mínimo (C.10.9 – Límite del refuerzo de elementos a compresión – NSR-10):

As,min = 0,01Ag Ag:

Área bruta de la sección, expresada en m m 2 .

Suponiendo una viga

de 300 mm × 300mm , tenemos Ag = 90000 mm 2.


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As,min = 0,01× 90000mm2 = 900mm2 As,min ≈ 4 φ 3 4 ′′ =1136 mm2 Supóngase que la viga está sometida a una carga de compresión C. De acuerdo con C.10.3.6.2 de la NSR-10, la resistencia de diseño a fuerza axial de un elemento no pre-esforzado, reforzado con estribos cerrados, sometido a compresión, está dada por la expresión: C = 0, 75φ  0,85 cA f A′ (g A f −st ϕ:

)y+st



Coeficiente de reducción de resistencia, que para elementos reforzados con estribos cerrados es igual a 0.65 (C.9.3.2.2).

f'c:

Resistencia nominal del concreto a la compresión, expresada en MPa. Supóngase f‘c=21Mpa.

Ag:

Área bruta de la sección, expresada en mm2. Suponiendo una viga de 300mmx300mm, tenemos Ag=90000mm2.

Ast:

Área total de refuerzo longitudinal, expresada en mm2. Para el caso Ast=1136mm2.

fy:

Resistencia nominal a la fluencia del acero de refuerzo, expresada en MPa. Supóngase fy = 420 Mpa.

C = 0, 75φ  0,85 cfA A′ ( gfA−

st

) +y st

 

C = ×0, 75 ×0, 65 × × 0,85 −21 (+90000 × 1136 ) 420 1136  C = 1005879,4N2 =ton 101 Pu = 101 0,0 375 = 2693 ton Para una carga superior a 2693 toneladas se debería aumentar la sección de la viga. Supóngase que la viga ahora está sometida a una carga de tensión T. En este caso, la resistencia de diseño a fuerza axial de la viga (despreciando la resistencia a tracción del concreto), está dada por la expresión:

T = 0,90 f y Ast T = 0,90 × ×420 =1136 429408 N T = 43ton Pu = 43 0,0375 = 1147 ton


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La viga reforzada de 300 × 300mm, funciona adecuadamente siempre y cuando, la fuerza axial (Pu) que actúa sobre la columna más cargada no sea superior a 1147 toneladas, equivalente a la carga gravitacional que sobre esta columna transmitiría un edificio de aproximadamente 30 pisos.

Dimensiones mínimas El artículo C.15.13.3 de la NSR-10 establece las dimensiones mínimas para las vigas de cimentación.

Mayor dimensión de la viga de fundación Estructuras con capacidad de disipación de energía (DES)

>=L/20

Estructuras con capacidad moderada de disipación de energía (DMO)

>=L/30

Estructuras con capacidad mínima de disipación de energía (DMI)

>=L/40

En Medellín (DMO) por ejemplo, la máxima dimensión de una viga de amarre de 6 m de longitud sería mínimo L/30 = 6000/30 = 200 mm. Esta viga, con una dimensión mínima de 100 mm, podría eventualmente desaparecer como elemento viga al quedar embebida en la losa de piso; situación que obliga a diseñar la zapata por flexión biaxial.

Refuerzo longitudinal El artículo C.15.13.2 de la NSR-10 establece lo siguiente acerca del refuerzo longitudinal. Las vigas de amarre sobre el terreno que enlacen dados o zapatas deben tener refuerzo longitudinal continuo, el cual debe ser capaz de desarrollar fy por medio de anclaje en la columna exterior del vano final. Las varillas de 3/4” en nuestro ejemplo pasan de una zapata a otra con el fin de garantizar el trabajo de tensión.

Refuerzo transversal El artículo C.15.13.4 de la NSR-10 establece lo siguiente acerca del refuerzo transversal. Deben colocarse estribos cerrados en toda su longitud, con una separación que no exceda la mitad de la menor dimensión de la sección ó 300 mm. Las vigas de amarre que resistan momentos flectores provenientes de columnas deben cumplir los requisitos de separación y cantidad de refuerzo transversal que fije el Reglamento para el nivel de capacidad de disipación de energía en el rango inelástico del sistema de resistencia sísmica. Para la viga mínima de 300 mm x 300 mm, la separación será entonces de 150 mm.


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26. DISEÑO DE ZAPATAS

Para la localización de las secciones críticas de momento, cortante y desarrollo del refuerzo de las zapatas, en columnas o pedestales de concreto no cuadrados, la NSR 10 en su artículo C.15.3, permite, por simplicidad, trabajar con columnas o pedestales cuadrados equivalentes en área.

Figura 170

Para el diseño de una zapata concéntrica se deben tener en cuenta los siguientes pasos: i.

Obtener la carga de servicio P

ii.

Determinar el ancho de la zapata

iii.

Suponer espesor h de la zapata

iv.

Revisar punzonamiento o cortante bidireccional.

v.

Revisar cortante unidireccional

vi.

Revisar el momento para calcular el acero de refuerzo

vii.

Revisar el aplastamiento

viii.

Detalles de refuerzo

i.

Obtener la carga de servicio Ps: se desmayora la carga última Pu obtenida en el análisis estructural.

a.

Dividiendo la carga por el factor de seguridad FG (1.5 para estructuras de concreto, 1.4 para estructuras de acero).


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b.


Calcularla con cargas de servicio. Ps = Pu F G

P se compara con la capacidad admisible qa (Calculada a partir de qu). Por medio de la siguiente expresión válida para suelos cohesivos.

γ qu =c N c +D qa =

f

cN c +γ Df Fs

c:

Cohesión del suelo (ton/m 2)

Nc:

Factor de capacidad de carga

γ :

Peso unitario de la masa del suelo (ton/m3)

Df:

Profundidad de desplante de la zapata (m)

Fs:

Factor de seguridad

ii.

Determinar el ancho B de la zapata: Para ello se emplea la expresión:

B = Ps qa iii.

Suponer espesor h de la zapata: La NSR-10 expresa:

a.

dmin > 150 mm para zapatas apoyadas en suelo, dmin > 300 mm para zapatas apoyadas en pilotes (C.15.7).

b.

El recubrimiento mínimo debe ser de 75 mm cuando la zapata este apoyada en terreno natural (C.7.7.1(a)).

c.

El recubrimiento mínimo debe ser 50 mm para barras No. 6 a No. 18 y 40 mm para barras No.5 y menores, cuando estén expuestas a suelo de relleno o a la intemperie (C.7.7.1 (b)).

De acuerdo a lo anterior el espesor mínimo de una zapata será 190 mm (150 mm + 40 mm).

iv.

Revisar punzonamiento o cortante bidireccional: Es el efecto en que la zapata trata de fallar en forma piramidal debido a la carga transmitida por la columna


(C.11.11.2 – NSR-10).

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Figura 171

En la práctica se trabaja con una sección crítica perpendicular al plano de distancia d/2 de la columna o placa.

iv.

Revisar punzonamiento o cortante bidireccional: Para el caso supuesto de zapata cuadrada, el esfuerzo cortante bidireccional será:

ν up =

2 d b2 )+ d Pu ( B − (b1 + )( 2 B 2 (b1 + d + b2 + d ) d

)

Pu:

Carga última que se trasfiere a la zapata por la columna o pedestal

B: h:

Ancho de la zapata (mm) Distancia desde la fibra extrema a compresión hasta el centroide del refuerzo a tracción (mm, d = h - recubrimiento)

b1:

Lado corto de la columna o pedestal (mm)

b2:

Lado largo de la columna o pedestal (mm)


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De acuerdo al artículo C.11.11.2.1 de la NSR-10 se debe cumplir lo siguiente:

  2 df ′ Vc = 0,17  1 +  λcb  β   α d  Vup
0

′

0

Vc:

Resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto.

f’c:

Resistencia nominal del concreto expresada en MPa

d:

Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del refuerzo longitudinal a tracción (mm)

b0 :

Perímetro de la sección crítica a cortante para losas y zapatas.

β:

Relación de la dimensión larga a corta de la columna.

αs : Constante usada para calcular el cortante en losas y zapatas. 40 para columnas interiores, 30 para columnas de borde, 20 para columnas de esquina. λ:

Factor de modificación que tiene en cuenta las propiedades mecánicas del concreto de

v.

Revisar cortante unidireccional: Se refiere al comportamiento de la zapata como un

peso liviano relativa a los concretos de peso normal de igual resistencia a la compresión. elemento viga (C.11.11.1.1 – NSR-10).

Para el caso supuesto de zapata cuadrada el cortante unidireccional estará dado por:

B b  B b1 B  −−1 d −− d Pu  2 2  Pu 2 2 ν ud = 2 = 2 B Bd B d Y debe cumplirse que:

Vud
= 0,17λfwcbd′

bw :

Ancho del alma o diámetro de la sección circular (mm).

vi.

Revisar el momento para calcular el acero de refuerzo: El momento máximo mayorado para una zapata aislada debe calcularse pasando un plano vertical a través de la zapata y calculando el momento de las fuerzas que actúan sobre el área total de la zapata que quede


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a un lado de dicho plano vertical (C.15.4.2). Para las secciones críticas localizadas como se indica a continuación: a)

En la cara de la columna, pedestal o muro, para zapatas que soporten una columna, pedestal o muro de concreto.

Figura 172

b)

En el punto medio entre el eje central y el borde del muro para zapatas que soporten muros de albañilería (Figura A).

c)

En el punto medio entre la cara de la columna y el borde de la platina de base de acero, para zapatas que soporten una columna con platina de acero de base (Figura B).

El momento mayorado máximo será igual al momento de las fuerzas que actúan sobre la totalidad del área de la zapata, en un lado de ese plano vertical. Se puede expresar entonces:

Mu =

Pu B  B  b1 − =− B 2 2  2  2

2

Pu B b1 2B 2 2

2

Figura 173


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De acuerdo con los artículos C.15.4.3 y C15.4.4, el refuerzo resultante debe repartirse uniformemente a todo lo ancho de la zapata, con excepción del refuerzo transversal de zapata rectangulares, en donde una banda central de ancho igual al menor de la zapata debe tener uniformemente repartida una porción del refuerzo total dada por la ecuación:

γs =

Refuerzo en el ancho de la banda 2 = Refuerzo total en la dirección corta β +1

Donde:

β=

Longitud larga Longitud corta

Banda central: γs As

(1 − γ s ) As

Fuera de la banda central: •

En cualquier caso, el refuerzo a flexión debe tener una cuantía mínima de 0,0020 en ambas direcciones.

•

En el evento en que la zapata pueda quedar sometida a solicitaciones de tensión, debe considerarse un refuerzo para flexión en su parte superior (o parrilla de acero superior), en la cuantía requerida o mínima y revisarse el acero que pasa a la columna a tensión.

vii. Revisar el aplastamiento: Se suele considerar que la presión de compresión que transmite la columna o pedestal se va disipando con el espesor h de la zapata, a razón de 2 horizontal por 1 vertical, desde el área A1 en su cara superior (área de contacto columna o pedestal – zapata), hasta el área A2 en su cara inferior. La capacidad de carga por aplastamiento debe ser tal que: Pu < φ 0, 85 cA f ′A A1 (

2


1

)

AA ∴

2

1

≤2

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Figura 174

Diseño de zapatas – zapatas medianeras Las zapatas medianeras son aquellas que soportan una columna dispuesta de tal forma que una de sus caras coincida con el borde de la zapata. La necesidad de su uso es muy frecuente debido a las limitaciones de colindancia con las edificaciones adyacentes.

Figura 175

Existen varias teorías expuestas por algunos autores para modelar y resolver el problema de zapatas medianeras.


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Caso de carga axial de valores bajos Enrique Kerpel hace las siguientes recomendaciones: El equilibrio exige que la resultante de las presiones sobre el terreno sea igual y opuesta a la carga vertical que actúa sobre la columna. Como la zapata no es simétrica con respecto a la columna y la condición anterior debe cumplirse de todas maneras, es evidente que se deben tener presiones mayores del lado al lado de la columna, o sea que no habrá reacción uniforme. No se toma en cuenta el peso propio de la zapata.

Figura 176

Para el predimensionamiento se tienen en cuanta las siguientes expresiones: B=

3 b 2 2

qmin =

P  6e  1− =0 BL  B 

qmax =

P  6e  1− =q BL  B  a

Para que qmin = 0, se debe cumplir que e = B/6. Remplazando este valor en la expresión de q max y despejando L se obtiene:

L=

2P Bqa

Zapatas Alargadas


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Caso de carga axial de valores medios Análisis de zapata medianera con viga aérea, recomendado por José Calavera. Este autor supone que bajo la cimentación existe una distribución de presiones uniforme o linealmente variable, y realiza el análisis de cada una de ellas de la siguiente manera: • Zapata medianera con distribución uniforme de presiones y reacción mediante viga aérea.

∑ Fy = 0 ⇒P N+R ∑ MO = 0 ⇒ T=

=

Pb2 NB + + 2 2

+T −( C+

RB h )=

2

M

0

PB −2 ( b− 2 )M 2 (C + h )

Figura 177 • Zapata medianera con distribución variable de presiones y reacción mediante viga aérea. Se

considera efecto de reacción lineal no uniforme con mayor intensidad en el vértice de la zapata. Se requiere ecuación de deformación para resolver el problema (ISE)

Figura 178


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Figura 179

Figura 180 δ0 = δ1 = αs =

α = c

q ma x K qmin K q max − q min KB

(Tc + M ) λ 2C 2

3EIc

λ : Coeficiente que depende del grado de empotramiento de la columna. λ = 1 para

articulación. λ = 0,75 para empotramiento. Ic:

Inercia de la columna.

E:

Modulo de elasticidad de la columna.

K:

Modulo de reacción del suelo o módulo de balasto.


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Igualando los giros de las zapatas y la columna se obtiene:

Tc λC2 q2 q − = max 3EI c KB

min

∑ Fy = 0 ⇒PN R+

=

∑M0 = 0 ⇒ T +(+C ) h(+

=

( qmax + qmin ) BL 2

1 NB − ) Pb2 2

( q+max = − 2qmin ) B2 L M 0 6

Resolviendo las ecuaciones anteriores se obtiene:

B − b2  −M  2  T=  K λ 2C 2 3  BL C h+ + 36EI  c   P 

P K λC2 B 2 + T ≤ qa BL 6 EIc

qmax =

B − b2  −M  2  T= K λ 2C 2 3  BL C h+ + 36EI  c   P 

P K λC2 B2 − T >0 BL 6EIc

qmin =

Debido a que los resultados obtenidos mediante la aplicación de esta expresión son inferiores a los obtenidos mediante un análisis de Interacción suelo estructura, se recomienda, para el cálculo del acero de refuerzo de la viga, duplicar este valor. El valor del coeficiente de balasto K está dado por la expresión: K =

f

kl

0,67

Donde:

b 1 + 0,50   L  f= 1,5


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kl =


Es B (1 − µ 2 )

Es: Modulo de elasticidad del suelo. Es=1/mv (mv: Modulo de compresibilidad obtenido en el ensayo de consolidación). µ: Relación de Poisson. Para suelos arcillosos = 0.35, para suelos arenosos= 0.25.

Caso de carga axial de valores altos En este caso se recomienda el uso de una viga de enlace resistente a momentos conectada a una zapata concéntrica.

EJEMPLO 32 Diseñar una zapata concéntrica que soporta una columna interior de 300x400mm, con los siguientes datos:

f'c = 21MPa fy = 420 MPa Ps = 344 K N q a = 100 KPa

b1 = 300mm b2 = 400mm Determinar ancho de la zapata Se procede a dimensionar una zapata cuadrada de lado B que permita sostener la estructura. Esta dimensión se calcula de la forma: B=

PS q a = ( 344/ 100 )m = 1, 85 m

Suponer espesor h de la zapata Se supone un espesor de 250mm y el recubrimiento del acero es 75 mm. − =75 d = 250mm mm >

175 → mm

150 c umple mm

.

Revisar punzonamiento o corte bidireccional Pu = 1,P5

s

= NK 516


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Como es el caso de una zapata cuadrada, asumiendo que debajo de ella se presenta una reacción uniforme del suelo dada por q u = Pu2 = 1, 51 KNm / B

2

, el esfuerzo cortante bidireccional

i`xn

está dado por:

υubd =

2 d b2 )+ d Pu ( B − (b1 + )( 2 B 2 (b1 + d + b2 + d ) d

b1 = 300mm b2 = 400mm

)

Dimensiones de la columna.

Pu = Carga última que baja por la columna (mayorada).

d = 175 mm Profundidad efectiva del refuerzo para un recubrimiento de 80 mm. (d debe ser mayor que 150mm) cumple. La expresión anterior queda planteada de la siguiente manera: 2

υ ubd =

2 2 Pu ( B − ( b + d ) ) 516 (1,85 − ( 0, 3 + 0,175 ) (0, 4 + 0,175) ) KN = = 2 2 B (4d (b + d )) 1,85 2 × ( 0,+4 +0,×3 2 × 0,175 ) 0,175 m 2

υ ubd = 1292, 03kPa ≈ 1, 29MPa

Se debe cumplir que

 2 f ′c = MPa  +  λ 1,95 β  c  α d  υup ≤ 0,083  S + 2  λ f ′c = 2,03 MPa  b0 

,170 1

0,33λ f ′c = 1,51 Mpa Parámetros •

β c = 4 0 0/ 3 0 0 = 1, 3 3

•

f c′ = 21MPa

• α S = 4 0 , columna interior •

b0 = 2b(b+1 +d 2 =2m ) 2,1

•

λ =1


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Al cumplir estos requisitos significa que la zapata no falla por punzonamiento, la columna no se separa de la zapata.

Revisar cortante unidireccional Para el presente caso de una zapata cuadrada el cortante unidireccional Vu está dado por la ud

ecuación:

υuud

 B b  Pu  2 −2 d = 2 = B d

1,85 0,3  516− − 2 2 0,175 KN = ≈ 516,9 KPa 0,52MPa 1,852 0,175 m2

Se debe cumplir que υuud = 0,52 Mpa ≤

0,17 = fλ c

′ 0, 78 → MPa

. cumple

.

Finalmente, las dimensiones de la zapata son: B=L=1,85 m h=250 mm

Revisar el momento para calcular el acero de refuerzo La sección crítica en una zapata en la cual se calcula el momento mayorado máximo se determina pasando un plano vertical justo en la cara de la columna si la columna es de concreto. El momento mayorado máximo es igual al momento de las fuerzas que actúan en toda el área de la zapata y se expresa como: 2

Mu =

516  1,85 0,3  − =−  KN − m 83,76 KN m 21× ,85  2 2 

Diseño refuerzo Para que el acero entre en fluencia se tiene que garantizar que el comportamiento de la franja esté controlado por la tensión, es decir, c ≤ 0,375 y el coeficiente de reducción de resistencia d se puede tomar como φ = 0,9 . Aplicando el principio de equilibrio de fuerzas, T = C

a Mu = φ As × fy  d −   2


y

a=

As × fy 0,85f c′ × b

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Iterando se obtiene:


As =1330,5mm2

y a = 16,9 m m

c d = 0,114

Se escogen 7 No. 5 con un As = 1400 mm 2 Cuantía:=ρ = AS => 1400 →0,0 043 0,0 02 b × d 1850 × 175

cumple .

Verificar longitud de desarrollo:

Ld = fy ×ψ t ×ψ e × db = 694 mm → cumple. 2,1 f ' c Cumple la longitud de desarrollo, para ambos lados no es necesario utilizar gancho. El refuerzo anteriormente calculado debe ubicarse sobre todo el ancho para cada una de las dos direcciones con un espaciamiento de:

S=

B − # barras × db − 2 ( recub.) 1850 − × 7 −15,9 × 2 75 = = 265 mm # barras−1 7 −1

Revisar aplastamiento

A1 = b1 × b2 = 0,12m2 A2 = (+b1 2)(h+ b2=) 2h

0,72m2

A2 0,72 = = 2, 44 ≥ 2 , se toma 2 dado que es el máximo admisible. 0,12 A1 φ Pn = φf 0,85 cA =′ Pu = 5 1 K 6≤N=

Pφ

A2 A1

1

n

mm ( 0,12 10 6

0,85 ×( =21) ( 0,)65( )Mpa 2→7 8 4KN, 6

c u mp le

2

KN ) ( 2 ) 2784, 6

.

Solo se requiere pedestal para cubrir con un recubrimiento dentro del suelo, lo cual se cumple con 50 mm más que la columna a cada lado.


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Detallamiento del refuerzo

EJEMPLO 33 Diseñar una zapata de lindero que soporta una columna de 400mm x 400 mm para los siguientes datos: PD = 220 KN PL = 330 KN qa = 250KPa f ' c = 21MPa fy = 420MPa desplante = 1,2mm

PS =P +P =330) KN550 D = l + (220 KN

f y = 420 MPa

qa = 250KPa

f ' c = 21 MPa

b = 400mm

C = 0, 5 m

Determinar dimensiones de la zapata Para dimensionar la zapata se utiliza la expresión dada por Meyerhof:

qmax =

PS ≤q 2 ( B − 2e ) L a

• Para este caso como no existen momentos aplicados a la columna e = 0


Página 306



• La relación más eficiente para zapatas medianeras con viga aérea es 2,

L =2 B

Sustituyendo lo anterior en la ecuación, se obtiene: B≥

PS = 2 qa

550 = 1,05 m 2 × 250

Se asume B = 1, 8 m y L = 3, 6 m

Suponer espesor h de la zapata Se supone un espesor de h=600mm y el recubrimiento del acero es 75 mm, por lo cual d = 525 mm

Tensión en la viga aérea y presiones máximas y mínimas ejercidas por el suelo a la cara inferior de la zapata Según J. Calavera estas están dadas por las siguientes ecuaciones:

B − b2  2  Ts = k λ 2c 2 c h+ + BL 36 EI C PS  

3

qs max =

PS kλ 2c2 B + T ≤q BL 6EIC S a

qs min =

PS kλ 2c2 B − T >0 BL 6EIC s

Donde: •

λ = 0,75 conexión viga columna empotrada

•

−3 K = 8, 5 × 1 0 N mm

•

E = 4700 fc ´ = 21538 MPa

•

1 3 6 4 I C = 12 lb = 2133,3 × 10 mm Momento de inercia de la columna.

3

coeficiente de Balasto (Supuesto)

mm / =N 21538

2

Módulo de elasticidad del concreto.

Sustituyendo estos valores en las expresiones anteriores, se obtiene:


Página 307



1800mm − 400mm   2  N  2 2  −3 )( 500 ) mm  8,5 ×10 3  ( 0,75 mm   + mm(1800mm () N 36  21538 2  ( 2133,3 ×106 mm4 ) mm   550KN  

Ts =

500mm + mm 600

Ts =

3

3600 )

385000KN − mm = 345,24KN 500mm + 600mm +15,17 mm 

qs max

 550000 N = + (1800mm )( 3600 )mm

N  2 2 500 ( 0, ) 75 ( )( mm ) 1800mm mm3  ( 345240 N ) N  6 4 6  21538 2  ( 2133,3 × 10 mm ) mm  

8,5 × 10−3

qs max = 0, 0848 MPa + 0,00269 MPa q ≤ qs max = 87,57KPa ≤ 250 KPa

ok→ . 

qs min

 550000 N = − (1800mm )( 3600 )mm

Los valores de q s

max

y qs

q u m a x = 1, q5

ms a x

P a3 6 = 1K 3 1,

q u m in = 1, q5

ms in

= 1P2Ka3,1 6

N  2 2 500 ( 0,75 ) ( )( mm ) 1800mm mm 3  ( 345240 N ) N  6  21538 2133,3 ×106 mm 4 mm 2  (  )

8,5 × 10 −3

qs min = 0, 0848 MPa − 0,00269 MPa qs min = 82,18KPa ≥ KPa 0

a

≥0

→ cumple .

m in

para estado último de carga son:

Cortante por punzonamiento (cortante bidireccional) Las cargas mayoradas son:

Pu = 1,2 P + D×P 1,6 KN) × = × +L (1,2 × 220 =KN 1,6 330

792

Esfuerzo en la sección critica

qd = qu max − 2

u

qu max − qu min B


d  b2 + 2  Página 308


qd = 131,36 KPa 2

−

u


131,36 KPa − 123,16 0,52 KPa  m  m 0, 4 + 1,8m 2  

qd = 128,35 KPa 2

u

La fuerza total por punzonamiento que hace la columna sobre la placa es:

VupP= − u

qu max + q d u  bd2 +b×( +2

2 Vup =−792



d 



)  

1



2 

131,36 + 128,35  0,52    + ×(+0, 40 ,52 )  0, 4 2 2    

Vup = 713,15KN El esfuerzo cortante por punzonamiento es: υ up =

Vup b0 d

Donde:

d b b=d + b+ +2 = m  2, 24 0 1 2 ( )  2  Se obtiene que: υup =

713150 N ( 2240 mm () × )520mm

υup = 0,61 MPa Se debe de cumplir que:

υup

  2  2 = 1 0,17 1 +  λ =f ′c + 0,17 12 1 2,33 MPa β  1     ′ + =  30 ×20,52 Sea,083 ≤0 1 21 MPa 3, 41 +2α S d =c fλ0,083   2,24   b0    ×× 1= 21 1,51 MPa 0,33λ f ′c= 0,33 

Donde:


Página 309



columna cuadrada

•

βc = 1

•

f c′ = 21 MPa

• α s = 30 , columna de borde •

λ = 1 , concreto de peso normal

•

b0 = 2,24m

Al cumplir estos requisitos significa que la zapata no falla por punzonamiento, la columna no se separa de la zapata.

Cortante Unidireccional en sentido longitudinal (L) q udq = + u min

q u max − q u min Bb−−d [ B

]

131,36 −123,16 −− [1,8 0,4 0,52] 1,8

qud = 123,16 + q ud = 127,17

2

KN m2

La fuerza cortante en el sentido longitudinal es: Vud = q u min + qudBb[ dL − 2 Vud =

2

− ]

123,16 + 127,17 × − − [1,×8 0, 4 0, 52 ] 3, 6 2

Vud = 396,52KN El esfuerzo cortante es: υud =

Vud Ld

υud =

396520 N ( 3600 mm () × )520mm

=υ
0,21 Mpa =

0,17f c→ '

0,78 MPa

cumple

.

Cortante Unidireccional en sentido transversal (B) La fuerza cortante en sentido transversal es:


Página 310



Vud =

 qu min + qu max  ( L − b1 ) −dB  2 2  

Vud =

 123,16 + 131,36  ( 3, 6 − 0, 4 ) − 0,52 5  1,8  2 2  

V u d = 247,39

KN

El esfuerzo a cortante es: υud =

Vud Bd

υud =

247390 N 1800 mm ( () × )520mm

=υud

0,26 < MPa=

0,17f → c '

0,78 MPa

cumple

.

Finalmente las dimensiones de la zapata son:

B = 1,8 m L = 3,6 m h = 0,6 m Refuerzo en sentido longitudinal o largo 2

 qu min + qu max  Lv  2 B 2  

Mu =  Donde: Lv =

L b1 − = 1,6 m 2 2

Entonces 2

 123,16 + 131,36  1,6  2 (1,8 ) 2  

Mu = 

M u = 293,21 K N − m

Aplicando el principio de equilibrio de fuerzas, T = C

a  Mu = φ As × fy  d −  2 

y

a=

A s × fy 0,85 f c′ × b

Iterando se obtiene: A s = 1506 mm 2 y a = 19,7 mm Se escogen 8 No. 5 con un As = 1600 mm


c d = 0,044

2

Página 311



1600 > 1800 × 525

Cuantía:=ρ = A s b×d

0,0 017

=

0,0 02, usar cuantía mínima

As = ρmin×× =b d ×0,002 × 1800 = 525 1890 mm2 Entonces se escogen finalmente 7 No. 6 con un As = 1988 mm 2 Verificar longitud de desarrollo:

Ld =

fy ×ψ t ×ψ e × db

= 834 mm

→ cumple.

2,1 f ' c

Cumple la longitud de desarrollo, no es necesario utilizar gancho. Para el espaciamiento, se usa la fórmula:

S=

B − # barras × db − 2 ( recub.) = 253mm # barras−1

El refuerzo en la dirección larga debe distribuirse uniformemente a todo lo ancho de la zapata con una separación de 253 mm.

Refuerzo en sentido transversal o corto qufq =

u min

+

q u max − q u min bB [ − B

quf = 123,16 +

2

]

131,36 −123,16 [1,8 − 0,4] 1,8

quf = 129,54 KPa  L2  q Mu = qu min  v +  uf 2  

−qu min  L2v 

2

L   3 

Donde:

Lv = B −b2 =1,4 m Entonces:





2







2



+  129,54 2− 123,16  1,4 Mu = 123,16  1,4   3  3,6  2   M u = 442,01 K N − m

Aplicando el principio de equilibrio de fuerzas, T = C

 a Mu = φ As × fy  d −   2 Riveros Jerez, Carlos Alberto.

y

a=

A s × fy 0,85 f c′ × b

Página 312



Iterando se obtiene: A s = 2260 mm 2 y a = 14,7 mm Se escogen 8 No. 6 con un A s = 2272 mm Cuantía:=ρ = A s b×d

2272 > 3600 × 525

=

c d = 0,033

2

0,0 012 0,0 02

Se debe tomar cuantía mínima.

525 3780 mm2 As = ρmin×× =b d ×0,002 × 3600 = 2

s

Se escogen 10 No. 7 con un

A = 3870mm

Verificar longitud de desarrollo:

Ld =

fy ×ψ t ×ψ e × db = 1197 mm → cumple. 1, 7 f ' c

Cumple la longitud de desarrollo, no es necesario utilizar gancho. Para el refuerzo en la dirección más corta de la zapata, una porción del refuerzo total obtenido debe distribuirse uniformemente sobre una faja centrada sobre el eje de la columna de igual longitud a la del lado corto de la zapata. Se tiene que:

Refuerzo en el ancho de la faja 2 =

Refuerzo totalen la dirección corta β +1 Donde β = 2 → relación entre el lado largo y el lado corto de la zapata.

Refuerzo en el ancho de la faja = Refuerzo en el ancho d e la faja =

2 β +1

Refuerzo total en la dirección corta

2 mm (3870 2 +1

2

mm ) = 2580

2

El refuerzo en el ancho de la faja, distribuido uniformemente se logra con 7 No. 7 espaciadas a 274 mm. S=

B − # barras × d b = 274 mm # barras − 1 2

Refuerzo p or fuera del ancho de la faja

= 3870 m m −2709 m m

2

2

= mm 1161

El refuerzo por fuera de la faja equivale a 3 No. 7, pero para garantizar simetría se ubicarán dos barras No. 7. Por lo cual se debe colocar dos barras por fuera de la faja central, dos a cada lado, entre el borde de la faja y el borde de la zapata.


Página 313



Chequear aplastamiento 2

A1 = b 2 = ( 0, 4 m ) = 0,16 m 2

A2 = ( b+ 2)×h( + )=b h

1,6 m2

A2 1,6 = = 3,16 ≥ 2 , se toma 2 dado que es el máximo admisible. 0,16 A1 φ Pn = φf 0,85 cA =′ Pu = 792K≤N=

A A21

1

Pφ

n

6

×( = MPa ( 0,)65( )0,85 21 )

3712,8 → KN

cu m p le

mm ( 0,16 10

2

KN ) ( 2 ) 3712,8

.

Detalles del refuerzo

10 No 7 @ 183 mm


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AGRADECIMIENTOS El autor expresa sus más profundos agradecimientos al Profesor Eric W. Sandt, Departamento de Ingeniería Civil, Universidad Texas A&M, por su amabilidad en permitirme usar como referencia su material de clase del curso Structural Concrete Design.

BIBLIOGRAFÍA

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Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica, AIS. Normas Colombianas de diseño y Construcción Sismo Resistente: NSR-10.

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Kerpel, Enrique, Unigracon, 1978, Concreto II.

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McCormac, Jack C., and Brown, Russell. Design of Reinforced Concrete, 8ª Edición. Wiley, 2009.

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Wight, James, and MacGregor, James. Reinforced Concrete: Mechanics and Design, 5ª Edición. Pearson Education, 2009.

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Winter, George. Proyecto de Estructuras de Hormigón, Reverte, reimpreso 2002, 1986.


Página 315

REIMPRESO ESTRUCTURAS HORMIGÓN 2016 (1).pdf

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