Sistema OR de reglas de inferencia proposicionales proposicionales
Dres. Raúl Armando Orayen Flores y Pedro Arturo Ramos Villegas
I. R EGLA EGLA AUXILIAR 1.
Doble Negación (DN ) φ
φ
↔
Lectura: Lectura: Un fórmula equivale a su doble negación. Utilidad : Introduce o elimina por pares la pares la conectiva negación. Gracias a ello potencia el empleo de todas las reglas que incluyen negaciones: SD, SD, MT , Tr , De M , IM y EM . EGLAS DE IMPLICACIÓN PARA LA CONJUNCIÓN Y LA DISYUNCIÓN II. R EGLAS
1.
Conjunción (Conj )
3.
φ
φ
ψ
φ
ψ
Utilidad : Introduce la conectiva conjunción (siempre y cuando se tengan previamente ambas formulas).
ψ
Utilidad : Introduce la conectiva disyunción. (Las fórmulas que aparezcan en la conclusión de un argumento y no en las premisas, se pueden introducir introducir por Ad por Ad .) .)
Simplificación (Simp ) φ
φ
Lectura: Lectura: De una fórmula se deduce ella en disyunción con cualquier fórmula fórmula (incluida ella misma).
Lectura: Lectura: De dos fórmulas se deduce su conjunción.
2.
Adición (Ad )
4.
Silogismo Disyuntivo ( SD ) φ
ψ
ψ
φ
φ
Lectura: Lectura: De una conjunción se deduce su primer conyunto.
ψ
Lectura: Lectura: De una disyunción y su primer disyunto negado se deduce su segundo disyunto.
Utilidad : Elimina la conectiva conjunción a favor del primer conyunto.
Utilidad : Elimina la conectiva disyunción a favor del segundo disyunto.
III. R EGLAS EGLAS DE IMPLICACIÓN PARA EL CONDICIONAL 5.
Modus Ponens Ponens ( ( MP MP ) φ
ψ
φ
7.
ψ
Silogismo Hipotético ((SH SH ) φ
Lectura: Lectura: De un condicional y su antecedente se deduce su consecuente.
Utilidad : Elimina la conectiva condicional a favor del consecuente. 6.
φ
χ
Lectura: Lectura: De dos condicionales, tales que el consecuente de uno coincida con el antecedente del otro, se deduce un condicional con el antecedente del primero y el consecuente del segundo condicionales mencionados.
Modus Tollens ( Tollens ( MT MT ) φ
ψ
ψ χ
ψ
ψ
Utilidad : Elimina material repetido, pero no la conectiva condicional, en el antecedente y el consecuente de un par de condicionales.
φ
Lectura: Lectura: De un condicional y su consecuente negado se deduce su antecedente negado. Utilidad : Elimina la conectiva condicional a favor del antecedente negado.
IV. R EGLAS EGLAS DE EQUIVALENCIA PARA LA CONJUNCIÓN Y LA DISYUNCIÓN (POTENCIAN EL EMPLEO DE LAS REGLAS DEL GRUPO II) 8.
Conmutación (Conm (Conm)) (φ ψ ) ↔ (ψ φ) (φ ψ ) ↔ (ψ φ)
[φ (ψ χ )] )] ↔ [(φ ψ ) χ ] Lectura: Lectura: Una disyunción (conjunción) de tres miembros con el segundo y el tercer miembros asociados equivale a otra disyunción (conjunción) con los mismos tres miembros en el mismo orden, pero ahora con el primero y el segundo miembros asociados.
Lectura: Lectura: Una disyunción (conjunción) (conjunción) equivale a otra disyunción (conjunción) cuyos disyuntos (conyuntos) figuran invertidos respecto de aquélla.
Utilidad : Permite mover paréntesis y no disyuntos (conyuntos) en un fórmula. Juntas, Conm y Asoc Asoc permiten acomodar a discreción miembros y paréntesis en disyunciones (conjunciones), con lo cual potencian el empleo de las reglas del grupo II.
Utilidad : Al permitir invertir disyuntos (conyuntos) potencia el empleo de las reglas del grupo II. 9.
Asociación ( Asoc) Asoc) [φ (ψ χ )] )] ↔ [(φ ψ ) χ ]
1
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10.
Dres. Raúl Armando Orayen Flores y Pedro Arturo Ramos Villegas
Idempotencia ( Idem) φ ↔ (φ φ) φ ↔ (φ φ)
Lectura: Una disyunción (conjunción) cuyo segundo miembro es una conjunción (disyunción) equivale a una conjunción (disyunción) de disyunciones (conjunciones), cuyos primeros disyuntos (conyuntos) son el primer disyunto (conyunto) del primer miembro de la equivalencia y cuyos segundos disyuntos (conyuntos) son los conyuntos (disyuntos) del primer miembro de la equivalencia en el orden en que aparecieron.
Lectura: Un fórmula equivale a sí misma en disyunción (conjunción). Utilidad : Permite introducir o eliminar disyuntos (conyuntos) repetidos. Juntas, Conm, Asoc e Idem permiten tanto acomodar a discreción miembros y paréntesis en disyunciones (conjunciones), como introducir o eliminar miembros repetidos en ellas. 11.
Utilidad : De izquierda a derecha Dist permite distribuir una disyunción (conjunción) en una conjunción (disyunción) y de derecha a izquierda permite sacar el factor común de una conjunción (disyunción) de disyunciones (conjunciones). Al permitir hacer esto, Dist también permite “aplicarles” Simp a los equivalentes de ciertas disyunciones y SD a los equivalentes de ciertas conjunciones.
Distribución ( Dist ) [φ (ψ χ )] ↔ [(φ ψ ) (φ χ )] [φ (ψ χ )] ↔ [(φ ψ ) (φ χ )]
V. R EGLAS DE EQUIVALENCIA PARA EL CONDICIONAL (POTENCIAN EL EMPLEO DE LAS REGLAS DEL GRUPO III) 12.
Transposición (Tr ) (φ ψ ) ↔ (ψ φ)
14.
Lectura: Un condicional equivale a otro condicional cuyos miembros figuran invertidos y negados respecto de aquél.
Lectura: Un condicional con conjunción en consecuente equivale a una conjunción de condicionales, cuyos antecedentes son el del primer condicional y cuyos consecuentes son los conyuntos de la conjunción mencionada en el orden en el que aparecieron.
Utilidad : Potencia el empleo de las reglas que incluyen condicionales, eventualmente con el auxilio de DN : MP , MT , SH , Exp, IM y EM .
13.
Composición para conjunción y disyunción ( Comp) [φ (ψ χ )] ↔ [(φ ψ ) (φ χ )] [(φ ψ ) χ ] ↔ [(φ χ ) (ψ χ )]
Lectura: Un condicional con disyunción en antecedente equivale a una conjunción de condicionales, cuyos antecedentes son los disyuntos de la disyunción mencionada en el orden en el que aparecieron y cuyos consecuentes son el consecuente del primer condicional.
Exportación ( Exp) [(φ ψ ) χ )] ↔ [φ (ψ χ )]
Lectura: Un condicional con conjunción en antecedente equivale a otro condicional con condicional en consecuente, cuyos antecedentes son, respectivamente, el primero y segundo conyuntos de aquella conjunción y cuyo último consecuente es idéntico al del primer condicional mencionado.
Utilidad : Potencia el empleo de las reglas que incluyen condicionales, eventualmente con el auxilio de DN : MP , MT , SH , Exp, IM y EM .
Utilidad : Potencia el empleo de las reglas que incluyen condicionales: MP , MT , SH , IM y EM .
VI. R EGLAS DE TRADUCCIÓN (AYUDAN A DEDUCIR CONCLUSIONES SI LAS REGLAS PARA LAS CONECTIVAS DE LAS PREMISAS NO BASTAN) 15.
Teoremas de De Morgan ( De M ) (φ ψ ) ↔ (φ ψ ) (φ ψ ) ↔ (φ ψ )
17.
Lectura: La negación de una conjunción (disyunción) equivale a la disyunción (conjunción) de sus conyuntos (disyuntos) negados.
Lectura: Un bicondicional equivale a una conjunción de condicionales, tales que el antecedente del primero es el primer miembro del bicondicional y su consecuente, el segundo miembro, mientras que el otro condicional tiene esos mismos miembros pero invertidos.
Utilidad: Permiten traducir cualquier conjunción a disyunción y viceversa, eventualmente con el auxilio de DN . 16.
Equivalencia Material ( EM ) (φ ψ ) ↔ [(φ ψ ) (ψ φ)] (φ ψ ) ↔ [(φ ψ ) (φ ψ )]
Implicación Material ( IM ) (φ ψ ) ↔ (φ ψ ) (φ ψ ) ↔ (φ ψ )
Lectura: Un bicondicional equivale a la disyunción de dos conjunciones entre los miembros del bicondicional, los cuales figuran tal cual en la primera conjunción y en la segunda figura cada uno negado.
Lectura: Un condicional equivale a la disyunción de su antecedente negado con su consecuente.
Utilidad : EM es la única regla del sistema para el manejo de bicondicionales; de ahí que cuando se requiera “desarmar” un bicondicional (i. e., traducirlo en términos de otras conectivas) para hacer operaciones lógicas con él debe usarse EM .
Lectura: Un condicional equivale a la negación de la conjunción de su antecedente con su consecuente negado. Utilidad : Permite traducir cualquier condicional a disyunción, o conjunción, y viceversa, eventualmente con el auxilio de DN .
VII. R EGLA PARA EL MANEJO DE TAUTOLOGÍAS Y CONTRADICCIONES 18.
Ley Expansiva Fundamental ( LEF ) φ ↔ [(φ ψ ) (φ ψ )] φ ↔ [(φ ψ ) (φ ψ )]
disyuntos (conyuntos) son una fórmula cualquiera y su negación, en ese orden. Utilidad : Sirve para demostrar que una tautología se deduce de cualquier fórmula y que de una contradicción se deduce cualquier fórmula.
Lectura: Una fórmula equivale a una conjunción (disyunción) de disyunciones (conjunciones), tales que sus primeros disyuntos (conyuntos) son la fórmula mencionada y sus segundos
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