CAP´ITULO
7
´ MATRICIAL DE LAS REDES REPRESENTACI ON ´ ELECTRICAS
7.1 7.1
Intr In trodu oducc cci´ i´ on on
Las redes de Energ Ene rg´´ıa el´ectrica ectrica son definidas por medio de modelo m odeloss matem´ ma tem´aticos, aticos, que pueden ser de diferente tipo, dependiendo de la aplicaci´on on y exactitud en los resultados, as´ as´ı, los modelos mo delos podr´an an ser algebraico algebraicos, s, lineales lineales o no lineales, lineales, integrodifere integrodiferenciab nciables. les. Los medelos algebraicos algebraicos lineales pueden ser representados por medio de arreglos matriciales, expresados en funci´on de variables nodales, como son el voltaje y la corriente nodal. on de los voltajes nodales, V nodales, V N iN = Y N N × V N N expresa la corriente nodal en funci´ N = Z N N × iN expresa los voltajes nodales en funci´on on de las corrientes nodales, de la siguiente manera: iN = Y N N × V N N (Establece equilibrio de Corrientes nodales) V N N = Z N N × iN (Establece equilibrio de Voltajes nodales) La matriz [Y [Y N ısica ısica de la red) N ] (Establece la conectividad f´ La matriz [Z [Z N ectrica ectrica entre cada uno de los nodos no dos del sistema) N ] (Establece la conectividad el´
Tipos Tipo s de formaci´on on de las matrices Y Bus Bus y Z Bus Bus : • Para conformar la matriz [Y [Y N N ] se emplean los siguientes procedimientos: T – Y N N = A Y pri A (Donde: A = matriz incidencia elemento-nodo)
on de Y de Y N – Algoritmo para la conformaci´on N (No incluye acoplamientos mutuos) n
∗
Y = y (i = nodos vecinos que conectan al nodo k) kk kk
ki
i=0
∗ Y ki ( yki - elementos primitivos) ki = − yki (y ∗ Y ki existe elemen elemento to entre entre los nodos k - i) ki = 0 (Si no existe • Para conformar la matriz [Z [Z N N ] se emplea:
132
1 (Esta inversi´on on se efect´ua ua aplicando las t´ecnicas ecnicas de matrices dispersas – Z N N = [Y N N ] y los factores LDU) – Algoritmo con base en inyecciones de corriente. −
7.2
Redu duccci´ on on de Nodos (Kron)
Esta reducci´on on se lleva a cabo en arreglos matriciales en los cuales el respectivo valor nodal de la variable independiente es cero, condici´on on que es necesaria para poder hacer este tipo de reducci´on. on. Este procedimiento se aplica tanto en arreglos matriciales de la forma i N = Y N N V N N como en arreglos matriciales de la forma V N casos el procedi procedimie mient ntoo aplica aplicado do es el N = Z N N iN . En los dos casos mismo y sirve para la eliminaci´on on de nodos. Esta forma forma de reducci´ reducci´on on de nodos es utilizado en la matriz Y matriz Y Bus on de corriente Bus en los casos en que el nodo que se desee eliminar tenga una inyecci´ igual a cero, igualmente es utilizado en la matriz Z Bus Bus en los casos en que el nodo que se desee eliminar tenga un voltaje nodal igual a cero. Este procedimiento se emplea para reducci´on on de un solo nodo, cuando se trate de equivalentes de redes el´ectricas, ectricas, se emplean otros procedimientos basados en el proceso de eliminaci´on Gaussiana. Procedimiento seguido en la reducci´on on de nodos.
I
A
0
I
=
Y AA AA
Y AB AB
Y BA BA
Y BB BB
V
A
V B
= Y V + Y V 0 = Y V + Y V
A
AA AA
BA BA
AB AB
A
A
BB BB
B
B
De la ecuaci´on on 7.2 se obtiene:
V B
−1
Y V = − Y BB BB
BA BA
A
Reemplazando (7.2) en (7.1) se tendr´a: a: −1
I = Y V − Y Y Y V A
AA AA
A
AB AB
133
BB BB
BA BA
A
(7.1)
(7.2)
Al reunir variables comunes:
I A
=
− 1
Y AA AA − Y AB AB Y BB Y BA BA V A
La matriz equivalente obtenida es la siguiente:
Y AA
=
− 1
Y AA AA − Y AB AB Y BB Y BA BA
Ejemplo: En la figura 7.1 se muestra un sistema de 4 nodos y en la cual la corriente nodal en el nodo 4 es cero. Se desea entonces eliminar dicho nodo. 1
2
3
4
Figura 7.1: Red el´ ectrica ectrica de 4 nodos cuya formulaci´on on matricial es de la forma:
i i i
1 2 3
i4
Y = Y Y
11 11 21 21 31 31
Y 41 41
Y 12 12 Y 22 22 Y 32 32 Y 42 42
Y 13 13 Y 23 23 Y 33 33 Y 43 43
Y 14 14 Y 24 24 Y 34 34 Y 44 44
V V V 1 2 3
V 4
Se sabe que i4 = 0, al reemplazar se obtiene entonces:
i i i
1 2 3
0
Y = Y Y
11 11 21 21 31 31
Y 41 41
Y 12 12 Y 22 22 Y 32 32 Y 42 42
Y 13 13 Y 23 23 Y 33 33 Y 43 43
Y 14 14 Y 24 24 Y 34 34 Y 44 44
V V V 1 2 3
V 4
Si se aplica la formulacio´n descrita anteriormente se tiene:
Y = Y Y
11 11
Y AA AA
21 21 31 31
Y 12 12 Y 13 13 Y 22 22 Y 23 23 Y 32 32 Y 33 33 134
Y ; Y = Y Y 14 14
AB AB
24 24 34 34
Y BA BA =
Y
41 41
Y AA =
1 Y AB AB Y BB Y BA BA −
1 Y 44 44
Y [ = Y Y 14 14
Y
] [ Y 41 41
34 34
11 11 −
Y AA
21 21 − 31 31 −
Y 14 14 Y 41 41 Y 44 44 Y 24 24 Y 41 41 Y 44 44 Y 34 34 Y 41 41 Y 44 44
44 44
BB BB
−1 AB AB BB BA BA
−
AA AA
24 24
Y = Y Y
; Y = Y Y Y Y Y Y ] =
Y 42 42 Y 43 43
42 42
Y 12 12 − Y 22 22 − Y 32 32 −
Y 14 14 Y 41 41 Y 44 44 Y 24 24 Y 41 41 Y 44 44 Y 34 34 Y 41 41 Y 44 44
43 43
Y 14 14 Y 42 42 Y 44 44 Y 24 24 Y 42 42 Y 44 44 Y 34 34 Y 42 42 Y 44 44
Y 13 13 − Y 23 23 − Y 33 33 −
Y 14 14 Y 43 43 Y 44 44 Y 24 24 Y 43 43 Y 44 44 Y 34 34 Y 43 43 Y 44 44
Y 14 14 Y 42 42 Y 44 44 Y 24 24 Y 42 42 Y 44 44 Y 34 34 Y 42 42 Y 44 44
Y 14 14 Y 43 43 Y 44 44 Y 24 24 Y 43 43 Y 44 44 Y 34 34 Y 43 43 Y 44 44
Observe como este procedimiento es sistematizable de la siguiente manera: se considera que Y ik Y kj kj k es el nodo a eliminar y el elemento (i,j) sera modificado ⇒ Y ij nuevo = Y ijanterior − ik Y kk kk
Ejercicio: Dado el sistema mostrado a continuaci´on, on, se pide construir la matriz Y matriz Y Bus Bus . 1
2
5
3
4
Figura 7.2: Red el´ ectrica ectrica de 5 nodos L´ınea 1 − 2 1 − 3 2 − 3 2 − 4 2 − 5 3 − 4 4 − 5
R 0 , 031 6 0 , 015 2 0 , 012 1 0 , 014 0 0 , 023 0 0 , 024 6 0 , 010 2 135
X 0, 2114 0, 0944 0, 0700 0, 1250 0, 055 0, 150 0, 170
Y/ Y /2 0, 105 0, 072 0, 082 0, 096 0, 043 0, 175 0, 202
7.3 7.3
Esque Esquema mass de de orde ordenam namie ien nto nodal nodal
El ordenamiento de las ecuaciones nodales tienen por objetivo el minimizar el n´umero de nuevos nuevos elementos que puedan resultar al momento de efectuar procedimientos de inversi´on con dichas ecuaciones. Las ecuaciones mencionadas anteriormente son del tipo AX = b, en estas la variable X corresponde a la incognita y es resuelta como sigue: X = A 1 b. −
En el proceso de inversi´on on de la matriz A algunas posiciones que antes eran cero pasar´an a tomar tomar un valor difere diferent ntee de cero y son denomin denominados ados elemen elementos tos de rellen relleno. o. Con el fin de minimizar el n´umero umero de estos elementos las filas y columnas de la matriz A ser´an an ordenadas antes de ser invertida. Los primeros esquemas de ordenamiento ordenamiento para aplicaciones en Ingenier´ Ingenier´ıa El´ectrica ectrica fueron propuestos por po r W. Tinney y denominados por p or ´el el mismo como Tinney I, II I I y III respectivamente. respectivamente. En el siguiente ejemplo se muestra como el ordenamiento de los nodos afecta el proceso de inversi´on on introduciendo los denominados elementos de relleno.
Caso 1: Sistema sin ordenamiento nodal La figura 7.3 presenta una red de 5 nodos sin ordenamiento nodal previo. 2
3
4
1
5
Figura 7.3: Red el´ ectrica ectrica sin ordenemiento ordenemiento nodal La estructura f´ısica ısica del sistema anterior es representada representada en la siguiente matriz: 1 2 3 4 5
x x x x x x x x x x x x x x x
Al invertir la matriz anterior se observa observa que en algunas posiciones p osiciones donde antes se ten´ ten´ıa cero, aparece ahora un elemento diferente de cero. 136
En el cuadro se muestran las posiciones que en algun momento del proceso son diferentes de cero (Solo se representan las posiciones de la matriz triangular superior). 1 2 3 4 5
x x x x x * x x x x x
x x x * * * x * x
Caso 2: Sistema con ordenamiento. La figura 7.4 corresponde corresponde a la figura 7.3 despu´ despu´es es de efectuar efectuar un procedimie procedimiento nto de ordeordenamiento nodal. 3
2
4
5
1
Figura 7.4: Red el´ectrica ectrica con ordenemiento ordenemiento nodal La estructura f´ısica ısica representada representada en una matriz es como sigue: 1 2 3 4 5
x
x x x x x x x x x x x x x x
Invertida la matriz anterior las posiciones diferentes de cero son las mostradas en la matriz 1 2 3 4 5
x
x x x x x x x x x x x x x x
En este caso despu´ es es de ordenar los nodos no aparecen elementos de relleno. Este no es el caso general de las redes el´ectricas ectricas en los cuales a pesar de que se efect´ue un ordenamiento ´optimo optimo aparecer´an an elementos de relleno. Lo que se trata entonces es de minimizar el n´umero um ero de ´estos est os elementos. elementos. Un tipo de estructura especial son las redes radiales, en ´estas estas depu´es es de efectuado el ordenamiento ´optimo optimo no aparecen elementos de relleno, este concepto se extiende a cualquier tipo de red cuya estructura sea radial. 137
7.4 7.4
Fac acto tori riza zaci ci´ ´ on on triangular
Este procedimiento es frecuentemente utilizado en el estudio de sistemas de Potencia de gran escala. escala. Debido Debido al gran tama˜ no que presentan los arreglos matriciales, es necesario considerar no un m´etodo etodo efectivo efectivo para la inversi´ inversi´on on de las matric matrices. es. Este Este procedi procedimie mient ntoo es aplicado aplicado junto junto con el de las matrices dispersas, caracter´ caracter´ıstica propia de las matrices en el estudio de las redes electricas. Frecuentemente en los estudios, los par´ametros ametros y configuraci´on on estan fijos y las condiciones de operaci´on on difieren debido a cambios cambios que se presentan presentan en las fuentes fuentes externas. externas. Se aprovec aprovecha ha entonces el hecho de que las matrices permanecen invariantes y solo varia el vector independiente. Los modelos matem´aticos aticos plantea planteados dos son arregl arreglos os matric matricial iales. es. Un modelo matem´ matematico a´tico b´asico asico linealizado es: ibus = Y bus bus V bus bus , en este caso, conocido el vector de corrientes se calcula el vector de voltajes, por lo tanto es necesario invertir la matriz Y bus Esta matr matriz iz es es bus . Esta descompuesta en los factores LU facilitando su inversi´on: on: Y bus = LU bus = LU Como ejemplo se representa un sistema de 4 nodos:
Y Y L = Y
11 11 21 21 31 31
Y 41 41
(1)
Y 22 (1) (2) Y 32 Y 33 1) (2) (3) Y 42 Y 43 Y 44
Y 12 12 Y 11 11
1 U =
1
Y 13 13 Y 11 11 (1) Y 23
Y 14 14 Y 11 11 (1) Y 24
Y 22
Y 22 (2) Y 34
(1)
1
(1)
(2)
Y 33
1
Siendo las matrices L y U: factores triangulares inferior y superior de Y bus bus y con la propiedad de que el producto de estos factores es igual a Y bus bus . Al proceso de encontrar L y U se le denomina factorizaci´on. on.
Ejemplo: Determinar los factores LU para un sistema de 4 nodos. 1 1 Y 2 Y 3 Y
2 Y 12 12 Y 22 22 Y 32 32 Y 42 42
11 11
Y barra barra =
21 21 31 31
4
Y 41 41
3 Y 13 13 Y 23 23 Y 33 33 Y 43 43
4 Y 14 14 Y 24 24 Y 34 34 Y 44 44
Primer paso: 1 1 1 2 0 3 0 4 0
2
3
Y 12 12 Y 11 11 (1) Y 22 (1) Y 32 (1) Y 42
Y 13 13 Y 11 11 (1) Y 23 (1) Y 33 (1) Y 43
138
4 Y 14 14 Y 11 11 (1) Y 24 (1) Y 34 (1) Y 44
Y 12 12 Y 11 11
1 U =
Y Y L = Y
11 11 21 21 31 31
Y 41 41
Y 13 13
Y 14 14
Y 11 11
Y 11 11
Segundo paso: 1
1 2 3 31 31
Y 41 41
4
(1)
Y 23
Y 24
Y 22 (2) Y 33 (2) Y 43
Y 22 (2) Y 34 (2) Y 44
(1)
0 0
(1)
Y 12 12 Y 11 11
1 U =
11 11 21 21
3 (1)
1
4
Y Y L = Y
2
(1) Y 22 (1) Y 31 (1) Y 42
1
Y 13 13
Y 14 14
Y 11 11
Y 11 11
Y 23
Y 24
Y 22
Y 22
(1) (1)
(1) (1)
Tercer paso: 1
2
1 2 3
1
4
Y Y L = Y
11 11 21 21 31 31
Y 41 41
(1)
Y 22 (1) (2) Y 32 Y 33 (1) (2) Y 42 Y 43
3
0
4
(2)
Y 34
(2)
Y 33 (3) Y 44
1 U =
Cuarto paso: 1 2 3 4
1
2
3
4
1 139
Y 12 12 Y 11 11
1
Y 13 13 Y 11 11 (1) Y 23
Y 14 14 Y 11 11 (1) Y 24
Y 22
Y 22 (2) Y 34
(1)
1
(1)
(2)
Y 33
Y Y L = Y
11 11 21 21 31 31
Y 41 41
(1)
Y 22 (1) Y 32 (1) Y 42
(2)
Y 33 (2) (3) Y 43 Y 44
1 U =
Y 12 12 Y 11 11
1
Y 13 13 Y 11 11 (1) Y 23
Y 14 14 Y 11 11 (1) Y 24
Y 22
Y 22 (2) Y 34
(1)
1
(1)
(2)
Y 33
1
Procedimiento de soluci´on on LU V = I LUV U V = X ( X (Suponer) Suponer ) LX = I ( I (Se determina X ) ) U V = X ( X (Se determina V ) Si Y Si Y Bus etrica etrica (como es el caso de los sistemas el´ectricos) ectricos) ⇒ L = U T D Bus es sim´ T D: Matriz diagonal que contiene los elementos de la diagonal de L ⇒ Y Barra B arra = U DU
7.5 7.5
Desc Descom ompos posic ici´ i´ on on de Cholesky
Frecuentemente los sistemas son representados mediante modelos lineales, un ejemplo de ello es el flujo de carga DC , o mediante modelos no lineales que posteriormente son linealizados al rededor de un punto de operaci´on, on, como es el caso del flujo de carga A.C., resuelto con el m´etodo etodo de Newton Raphson. Raphso n. Los modelos lineales planteados en forma matricial son expresados as´ as´ı: [B ] · [θ [θ] = [P ] P ]
(7.3)
La soluci´ soluci´ on de la variable de estado [θ on [ θ] es encontrada mediante el producto de la inversa de la matriz [B [B] por el vector P . P . La inversa de la matriz es posible si el sistema de ecuaciones es linealmente linealmente independiente. independiente. [θ ] = [ B ]
1
−
[P ]] · [P
(7.4)
La inversa de una matriz tiene un elevado costo computacional llevando en cuenta el gran n´umero umero de operaciones y requerimiento de memoria. Entre las soluciones a este inconveniente estan el ordenamiento de las ecuaciones, el almacenamiento compacto de la informaci´on on y los procedimientos de descomposici´on. on. Estos ultimos u ´ ltimos consisten en almacenar en matrices triangulares los registros de memoria de la inversa de la matriz. • Triangular superior (eliminaci´on on progresiva)
140
• Triangular inferior (eliminaci´on on regresiva)
Existen m´ultiples ultiples esquemas de factorizaci´on on entre ellos se destacan dos para aplicaciones en inge in geni nier´ er´ıa ıa el´ectr ectric icaa la descomposici´ la descomposici´ on LDU y la descomposici´ on de Cholesky . El primero tiene un car´acter acter general y se obtiene registrando sistem´aticamente aticamente los c´alculos alculos del proceso de eliminaci´on on gausiana. El segundo procedimiento es m´as as r´apido apido y eficiente computacionalmente pero requiere que la matriz tenga algunas propiedades particulares a saber: Sim´´etri et rica ca • Sim • Semi-definida positiva.
Se dice que una matriz [B [ B ] es semidefinida positiva cuando: [X ]T · [B [B ] · [X ] > 0 =0 > 0 ∀ xi
(7.5)
Esta propiedad la cumple la matriz [B [ B ] que es utilizada en la soluci´on on del flujo DC. El objetiv ob jetivoo es descomponer descomponer la matriz matriz [B [ B ] como el producto de una matriz triangular inferior T [C ] por su transpuesta [C [C ] donde todos los elementos de la diagonal son positivos.
B B ... B
21
B12 · · · B1N B22 · · · B1N .. .
N 1 N 1
BN 2 N 2 · · · BN N
11
C = C ... C
11 11 21 21
C 22 22
N 1 N 1
C N N 2 · · · C N N
C
11 11
·
C 12 12 · · · C 1N C 22 22 · · · C 1N .. . C N N
(7.6)
Modo de soluci´on: on: 1/2 B11 = C 11 11 · C 11 11 de donde es posible encontrar C 11 11 = (B11 )
Los siguientes elementos de la columna 1 pueden ser encontrados de forma an´aloga: aloga: = C 21 + C 22 B21 = B 12 = C 21 · C 11 11 + C 22 · (0) de donde C 21 21 =
B21 C 11 11
= C 31 + C 32 + C 33 donde C 31 B31 = B 13 = C 31 · C 11 11 + C 32 · (0) + C 33 · (0) de donde C 31 =
B31 C 11 11
El proceso continua de igual forma para los elementos de las columnas 2,3,...N.
Ejemplo: En la figura 7.5 se muestra muestra un sistema de 5 barras y en el cual el nodo no do 5 se asume como slack.
141
x=1/18
x = 1/25
2 P = -0.7 [pu]
1
P = 1 [pu]
P = 1.2 [pu]
x = 1/12 x = 1/18
5
3 P = -0.7 [pu] x=1/28
x = 1/15 4
P = -0.7 [pu]
Figura 7.5: Red el´ ectrica ectrica de 5 nodos Se desea calcular los ´angulos angulos usando un modelo de flujo de carga D carga DC C . Para ello se requiere construir la matriz [B [ B ] y descomponerla usando el m´etodo etodo de factorizaci´on on de Ch Chole olesk sky y. Finalmente a partir de las matrices triangulares es posible obtener los ´angulos sin recurrir a la inversa directamente. El proceso de factorizaci´on on es como sigue:
25 −25 0 0 0 −18 −25 61 0 0 4 9 28 0 −18 28 2 8 61
C = C . ..
11 11 21 21
C 22 22
C N 1 N 1 C N N 2 · · · C N N
C
11 11
·
C 12 12 · · · C 1N C 22 22 · · · C 1N .. . C N N
(7.7)
Los Lo s t´ermin erm inos os cij se calculan igualando los t´erminos erminos de la matriz del lado izquierdo con los t´erminos erminos resultantes del lado derecho y lo cual es obtenido siguiendo el siguiente procedimiento:
142
25 −25 0 0 61 0 −18 49 −18 61
= = = = = = = = = =
C 11 11 · C 11 11 C 11 11 · C 21 21 C 11 11 · C 31 31 C 11 11 · C 41 41 + C 22 C 21 21 · C 21 21 + C 22 · C 22 22 + C + C 31 C 32 31 · C 21 21 32 · C 22 22 + C 42 C 41 41 · C 21 21 + C 42 · C 22 22 · + C + · + C 33 C 31 C C C 31 31 31 32 32 32 32 + C 33 · C 33 33 + C 32 + C 33 C 31 31 · C 41 41 + C 32 · C 42 42 + C 33 · C 43 43 + C 42 + C 43 + C 44 C 41 41 · C 41 41 + C 42 · C 42 42 + C 43 · C 43 43 + C 44 · C 44 44
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
C 11 11 C 21 21 C 31 31 C 41 41 C 22 22 C 32 32 C 42 42 C 31 31 C 43 43 C 44 44
= 5 = −5 = 0 = 0 = 6 = 0 = 0 = 0 = −4 = 6
(7.8)
para encontrar los ´angulos angulos se procede a la eliminaci´on on progresiva: [P ] [C ]T · [θ [θ] P ] = [C ] · [C
(7.9)
[U ] = [C ]T · [θ]
(7.10)
[P ] [U ]] P ] = [C ] · [U
(7.11)
definiendo
se tiene
[U ] =
6 25 1 12 1 10
−
19 120
−
(7.12)
de igual forma se puede obtener el vector de ´angulos [θ [θ]:
[U ] =
0, 000694 0, 029360 0.026389 0, 048694
−
−
143
(7.13)
La factorizaci´on on de Cholesky presenta un menor esfuerzo computacional frente a la factorizaci´on on LDU. No obstante su aplicaci´on on est´a restringida a matrices sim´etricas etricas y semi definidas positivas. Como es caracter´ıstico ıstico en los sistemas el´ectricos ectricos la matriz [ B ] presenta pre senta caracter´ cara cter´ısticas ıst icas de disdis persidad persi dad que en conjunto conju nto con la l a t´ecnica ecnica de factorizaci´ factori zaci´on on triangular pueden acelerar los c´alculos alculos y disminuir los requerimientos de memoria computacional. Se dice que una matriz es dispersa cuando la mayor parte de sus elementos son cero. El grado de dispersidad puede ser representado por medio de un valor que relacione la cantidad de elementos con valor cero con respecto a la cantidad total de elementos. En grandes sistemas de potencia el grado de dispersidad es mayor al 95 % aumentado a medida que aumenta el sistema de tamano. Existen m´ultiples ultiples t´ecnicas ecnicas de dispersidad, las cuales deben cumplir tres principios b´asicos: • Minimizar la cantidad de datos almacenados (requerimientos de memoria) • Minimizar el n´ umero de operaciones realizadas (Tiempo de c´alculo) umero • Preservar la dispersidad.
La filosof´ filosof´ıa base es almacenar s´ olo olo los elemen elementos tos no nu nulos los de la matriz matriz,, estos estos eleme element ntos os pueden ser reunidos en un conjunto de vectores que contengan la informaci´on necesaria para ubicar la posici´on on del elemento elemento en la matriz as´ as´ı como el dato mismo. El uso de uno u otro esquema de dispersidad depende del problema en particular y de caracter´ cara cter´ısticas ısti cas tales tal es como: co mo: S imetrr´ıa de la matriz. mat riz. • Simet • Necesidad de alterar la estructura de la matriz. • Necesidad de memoria o velocidad de c´alculo. alculo.
Para hacer m´as as eficiente un programa de flujo de carga deben utilizarce de forma combinada las t´ecnicas ecnicas de dispersidad, ordenamiento ordenamiento nodal y factorizaci´on on triangular. triangular.
7.6
C´ alcu a lculo lo de la matr matriz iz Z BU median nte el proceso proceso de BU S media factorizaci´ on on LDU
Se pueden calcular f´acilmente acilmente conforme se necesiten los elementos de Z Bus as´ı por ejemplo, Bus , as´ aplicaciones en corto circuito en el nodo m, en el que s´olo se requiere de la columna m de la matriz Z matriz Z Bus Bus . 144
Z Z ... m Z .. . . .. n Z 1 2 .. .
11 11 21 21
m1
n1
· · · Z 1m Z 12 12 · · · Z 2m Z 22 22 .. .. . ··· . Z m2 · · · Z mm mm .. .. . ··· . Z n2 · · · Z nm nm
· · · Z 1m · · · Z 2n
.. ··· . · · · Z mn mn .. ··· . · · · Z nn nn
0 Z 0 Z ... = ... 1... Z ... 0 Z
1m 2m
mm mm
nm nm
El producto: producto: Y Bus = I (matriz (matriz identidad) Bus ∗ Z Bus Bus = I
Y Bus Bus ∗ Z Bus Bus
0 0 ... = Y ...1 m 0
(m) Bus Bus .Z Bus
0 0 .. . = ...1 m 0
Si L y U fueron calculadas seg´un un fue explicado anteriormente,
(m)
LUZ LU Z Bus
0 0 .. . = ...1 m 0
Ejemplo: Se desean desean calcular los elemen elementos tos de la columna columna 3 de la matriz Z matriz Z Bus Bus de un sistema de 4 nodos.
L L L
11 21 31
L41
L22 L32 L33 L42 L43 L44
1
u12 u13 u14 1 u23 u24 1 u34 1
Z Z Z
13 13 23 23 33 33
Z 43 43
0 = 0 1 0
3 Este vector columna Z bus puede ser resuelto en 2 etapas en la siguiente forma:
L L L
11 21 31
L41
X 0 X = 0 X 1 1
L22 L32 L33 L42 L43 L44 145
2 3
X 4
0
Al resolver: X 1 = 0 , X 2 = 0 , X 3 =
l L33
, X 4 = − L44L43L33 ∗
1
u12 u13 u14 1 u23 u24 1 u34 1
Z Z Z
13 13 23 23 33 33
Z 43 43
X = X X 1 2 3
X 4
Al resolver: = X 4 , Z 33 = X 3 − u34 Z 43 Z 43 43 = X 33 = X 43 Si solo requiere estos elementos detiene el proceso, caso contrario contin´ua el c´alculo. alculo. = X 2 − u23 Z 33 Z 23 23 = X 33 = X 3 − u24 Z 43 43 = X 1 − u12 Z 23 Z 13 13 = X 23 − u13 Z 33 33 − u14 Z 43 43 En algunas aplicaciones es necesario el c´alculo alcu lo de d e t´erminos ermi nos del tip t ipoo (Z ( Z im im −Z in in ) que involucran restas de las columnas m y n de Z bus bus
(m−n)
LUZ LU Z Barra
(m−n)
Donde: Z Bus
7.7 7.7
(m)
0 ... +1 m ... = −1 n ... 0
(n)
= Z Bus − Z Bus
Corr Correc eccci´ on o n de la Y Bus por efectos mutuos Bus por
El an´alisis alisis se extiende a 2 ramas mutuamente acopladas que son parte de una red m´as grande, pero que no est´an an acopladas a ninguna otra rama. La impedancia impedancia Z a ⇒ conectada entre (m) y (n) La impedancia impedancia Z b ⇒ conectada entre (p) y (q) Estan acopladas acopla das a trav´es es de Z de Z M M
V Z a
V b
=
a
Z M M 146
Z M M Z b
i a
ib
Caidas de voltaje debido a las corrientes de rama. (ia e ib entran por los terminales se˜nalados nalados con punto)
Z
Z M M Z b
a
Z M M
1
−
1
=
2 Z a Z b − Z M
Y
a
Y M M
Y M M Y b
m
Y
Z b −Z M M = −Z M Z a M
a
Y M M
Va
Y M M Y b
V i a
V b
a
=
ib
p
YM
ia
im
ib
Ya
Yb
ip
Vb
n
q
in
iq
Figura 7.6: Correcci´on on por efectos mutuos en la Y la Y Bus Bus
m
V V a
V b
=
m
V p
i i i
m n
p
iq
Se conoce que:
V
−
n
V q
=
m = n p q
Y
a
Y M M
n
p
V V 0 V V = A V 1 V
1 −1 0 0
1 0 −1 0 0 1 0 −1 Y M M Y b
q
0 1 −
m
n
n
p
p
V q
V q
i = A i = A i i a
T
b
a
V b
=
a b
V i 147
m
a
ib
V Y Y V i A V = i Y Y V V Y Y V i A A V = A i Y Y V Y Y V V ii A A V = i Y Y V i Y Y Y Y V i m n Y Y Y Y V i = p Y Y Y Y V i m
a
M M
n
a
M M
b
p
b
q
m
T
a
M M
n
M M
b
p
a
T
b
q
−
M M
n
n
M M
b
p
p
q
q
q
−
a
M M
−Y M M
m
a
T
a
m
a a
−
M M
−
−
M M
m
m
M M
n
n
b
p
p
Y b
V q
iq
M M
M M
b
Y M M
−Y b
−
m
n
YM p
q
Figura 7.7: Correcci´on on por efectos mutuos en la Y la Y Bus Bus
7.8
M´ etodo etodo manual manual par para a la constr construcc ucci´ i´ on o n de la matriz Z Bus Bus
Este Est e m´etodo eto do est´ est ´a basado en inyecciones de corriente nodal y es explicado de la siguiente forma: Se inyecta una corriente en un nodo y se calculan los voltajes de cada nodo de la red respecto a 148
un nodo seleccionado como referencia. Esta inyecci´on on de corriente nodal produce una variaci´on on de voltaje nodal, la relaci´on on de las variaciones de voltaje y de corriente nodal inyectada es i i expresado de la siguiente manera: ∂E = ∆∆E . ∂i j ij La expresi´on on anterior corresponde a los t´erminos erminos Z ij asico asico ij de la matriz Z bus bus , concepto b´ aplicado en este procedimiento. El concepto se aplica entonces de la siguiente forma: Al inyectar una corriente de 1 amperio en el nodo j, se presenta una elevaci´on o n de tensi´on o n en todos los nodos del sistema, que es interpretado de la siguiente manera: Z ij ij = Z ji ji =
∆E i 1
Constr struir uir la matriz matriz Z bus Ejemplo: Con bus para el sistema mostrado en la figura 7.8, utilizando para esto el m´etodo etodo de inyecci´on on de corriente. El m´etodo etodo inicia inyectando inyectando una corriente de 1 amperio en el nodo 1 y calculando los voltajes respecto a tierra de cada uno de los nodos. Al aplicar la relaci´on del voltaje nodal calculado y la inyecci´on on de corriente de 1 amperio en el nodo 1 se determinan los elementos de la columna (fila) 1 de la matriz Z Bus Bus . El proceso continua inyectando la fuente de corriente de 1 amperio en todos los nodos y calcul calculand andoo los voltajes voltajes respect respectoo a tierra tierra en todos los nodos de la red. red. Al establecer la relaci´on on Voltaje de barra / corriente de barra se determina Z Barra B arra
1
2 1Ω
1Ω
1Ω 1Ω
3
4
1Ω
0
Figura 7.8: Red el´ectrica ectrica Determinaci´ on on de los elementos (Z ( Z 11 11 , Z 21 21 , Z 31 31 , Z 41 41 ) de la matriz Z bus bus inyectando una corriente de 1 A en el nodo (1). 149
1
2
1/4 A
1/4 A
3/4 A
1A
1/4 A
3
4
1A
0
Figura 7.9: Red el´ectrica ectrica con inyecci´on on de corriente en el nodo 1 V 1 = V 2 = V 3 = V 4 =
1 34 V 1 12 V 1V 1 14 V
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Z 11 11 = Z 21 21 = Z 31 31 = Z 41 41 =
1 34 Ω 1 12 Ω 1Ω 1 14 Ω
Determinaci´ on on de los elementos (Z ( Z 12 12 , Z 22 22 , Z 32 32 , Z 42 42 ) de la matriz Z bus bus inyectando una corriente de 1 A en el nodo (2).
1
2
1/2 A
1/2 A
1/2 A
1/2 A
3
1A
4
1A
0
Figura 7.10: Red el´ectrica ectrica con inyecci´on on de corriente en el nodo 2 150
V 1 = V 2 = V 3 = V 4 =
1 12 V 2V 1V 1 12 V
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Z 12 12 = Z 22 22 = Z 32 32 = Z 42 42 =
1 12 Ω 2Ω 1Ω 1 12 Ω
Determinaci´ on on de los elementos (Z ( Z 13 13 , Z 23 23 , Z 33 33 , Z 43 43 ) de la matriz Z bus bus inyectando una corriente de 1 A en el nodo (3).
1
2
3
1A
4
1A
0
Figura 7.11: Red el´ectrica ectrica con inyecci´on on de corriente en el nodo 3 V 1 = V 2 = V 3 = V 4 =
1V 1V 1V 1V
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Z 13 13 = Z 23 23 = Z 33 33 = Z 43 43 =
1Ω 1Ω 1Ω 1Ω
Determinaci´ on on de los elementos (Z ( Z 14 14 , Z 24 24 , Z 34 34 , Z 44 44 ) de la matriz Z bus bus inyectando una corriente de 1 A en el nodo (4). V 1 = V 2 = V 3 = V 4 =
1 14 V 1 12 V 1V 1 34 V
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Z 14 14 = Z 24 24 = Z 34 34 = Z 44 44 =
1 14 Ω 1 12 V Ω 1Ω 1 34 Ω
Resultado del procedimiento de la formaci´on on de la matriz Z matriz Z bus emplea ndo el m´etodo eto do basad ba sadoo bus empleando en inyecciones de corriente: 151
1
2
1/4 A
1/4 A
1/4 A
3/4 A
3
4
1A 1A
0
Figura 7.12: Red el´ectrica ectrica con inyecci´on on de corriente en el nodo 4
1 2 Z Bus Bus = 3 4
3 4 1 2
1 1 1
1 14
1 12 2 1 1 12
1 1 14 1 1 12 1 1 1 1 34
Caracter´ısticas ısticas de la Matriz Z bus resultados anteriores anteriores se concluy concluyen en bus : Con base en los resultados las siguientes caracter´ısticas ısticas • Concepto b´asico: asico: Z ij ij =
∆E i ∆ij
• M Mat atriz riz sim´ si m´etrica etr ica • Matriz dominante • Matriz NO Dispersa • Matriz compleja (real e imaginaria) • Necesita de la referencia para su construcci´on on
7.9 7.9
Algo Algori ritm tmo o par para a la form formac aci´ i´ on o n de la Z Bus Bus
Este algoritmo se fundamen fundamenta ta en el m´etodo etodo inyecc inyecciones iones de corrien corriente. te. En este se inyecta inyecta una corriente en el nodo (i) y se miden voltajes nodales que resultan de esta inyecci´on en todos 152
los nodos del sistema, la relaci´on on voltaje nodal/corriente nodal representa los elementos de la matriz Z matriz Z bus bus . Para su sistematizaci´on on se establece un procedimiento de forma ordenada con varias reglas b´asicas asicas que deber´an an ser cumplidas durante el desarrollo del mismo y son las siguientes: • La matriz Z matriz Z bus a conformada paso a paso por lo cual los elementos son instalados uno bus ser´
a la vez, el proceso termina cuando todos los elementos de la red hayan sido instalados. Respecto al elemento elemento que va a ser instalado podr p odr´´ıan presentarse dos situaciones: Que el elemento sea radial (no cierre malla), que el elemento sea un enlace (cierre malla). Cada alternativa de estos tendr´a su propio desarrollo. Adem´ as de lo anterior se deber´a contemplar la posibilidad de que el elemento a instalar as est´ e acoplado con alguno(s) de los elementos elementos previamente previamente ensamblados. • El primer elemento instalado deber´a estar conectado a referencia. Esto con el fin de que
al inyectar la corriente en cualquier nodo se tenga retorno a tierra. • En la medida en que se instalan elementos deber´a observarse que no se presenten sistemas
aislados, aislados, quiere decir que la red instalada instalada en todo momento momento no deber´a presentar zonas no conectadas. • Cada vez que se instala un nuevo elemento deber´a conformarse la matriz Z primitiva con
los elementos previamente instalados, incluido adem´as as el elemento a instalar, con esta se obtendr´ a la matriz Y primitiva. Aqui se deber´a tener especial cuidado en la inversi´on on de la matriz Z primitiva, particionando la matriz en elementos acoplados y no acoplados para facilitar el proceso de inversi´on. on. • Al instalar un elemento se determina si el mismo es del tipo radial o enlace y si posee
acoplamientos con elementos previamente ensamblados, a fin de establecer la ecuaci´on correpondiente. Seguidamente se desarrollan los procedimientos para estos dos tipos de elementos.
7.9.1 7.9.1
Elemen Elemento to radia radiall sin acoplami acoplamien ento to mutuo mutuo
Este Este nu nuev evoo elemen elemento to sera sera instal instalado ado entre entre un nodo existe existe y un nuevo nuevo nodo. Po Porr lo tanto, tanto, al ser instalado este nuevo elemento en el sistema, la matriz Z bus bus es ampliada en una fila y una columna, correspondiente al nuevo nodo. El proceso por medio del cual se determinan los nuevos elementos (fila y columna) de la matriz Z matriz Z bus on. on. bus es descrito a continuaci´ Procedimiento para instalar el elemento (p-q) en el sistema, siendo p un nodo previamente instalado y q el nuevo nodo. 153
1
2
Sistema Electrico ’ con k nodos odos previamente instalados
i
1 p.u.
p
q
Ypq
+
1 p.u.
+
Vp
Vq
- -
k
Figura 7.13: Instalaci´on on del elemento radial p-q sin acoplamiento mutuo
Los elementos de la nueva fila y nueva columna son denominados como elementos de la diagonal y fuera de la diagonal. As´ As´ı se determinan las ecuaciones para los elementos elementos de la Z la Z Bus Bus de la diagonal y fuera de la diagonal de la siguiente manera: • Elementos fuera de la diagonal
Se inyecta inyecta una corriente corriente de 1 p.u. en el nodo i y se procede pro cede as´ as´ı: Suma de voltajes en la nueva rama ensamblada: V q − V p = 0 ⇒ V q = V p p Por definici´on on se conoce que: Z qi qi =
V q ii
y Z pi pi =
V p ii
Entonces se concluye que: Z qi qi = Z pi • Elemento de la diagonal
Se inyecta inyecta una corriente corriente de 1 p.u. en el nodo q y se procede as´ as´ı: Suma de voltajes en la nueva rama ensamblada: V q −
1 Y pq pq
Al despejar el voltaje del nodo q se obtiene: V q = V p + Por definici´on on se sabe que: Z qq qq =
V q iq
y Z pq pq =
− V p = 0
1 Y pq pq
V p iq
Al dividir la ecuaci´on on de voltaje nodal por la corriente nodal q se tiene:
154
V q iq
=
V p iq
+
1 Y pq pq
Entonces se concluye que: Z qq qq = Z pq +
1 Y pq pq
Seguidamente se muestra la estructura de la matriz Z bus bus despues de que a sido instalado el nuevo elemento (p-q). p 1 2 .. .
Z 11 11 Z 21 21 .. .
Z 12 12 Z 22 22 .. .
Z bus bus = p .. .
Z p1 p1 .. .
k q
Z k1 Z q1
q ··· ···
Z p2 p2 .. .
Z 1 p Z 2 p .. ··· . · · · Z pp .. ··· .
Z k2 Z q2
··· ···
Z kp kp Z qp qp
··· ···
··· ···
Z 1k Z 2k .. ··· . · · · Z pk .. ··· .
Z 1q Z 2q .. .
Z kk kk Z qk qk
Z kq kq Z qq qq
Z pq .. .
Ejemplo: Emplea Emplearr el algoritm algoritmoo para para la formaci´ formaci´ on o n de la matriz Z bus bus para elementos radiales y sin acoplamiento mutuo, para el sistema radial de 5 nodos mostrado en la figura 7.14 0
1Ω
1
1Ω
1Ω
2
3
1Ω
1Ω
4
5
Figura 7.14: Red radial de 5 nodos El resultado que se obtiene de aplicar el algoritmo para la formaci´on de la matriz Z matriz Z bus bus es el siguiente: 0 1 2 Z bus bus = 3 4 5
0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 155
0 1 2 1 2 1
0 1 1 2 1 2
0 1 2 1 3 1
0 1 1 2 1 3
7.9.2 7.9.2
Eleme Elemen nto de enlace enlace sin acop acoplam lamien iento to mutu mutuo o
Este es el procedimiento que se sigue en la instalaci´on de elementos elementos identific identificados ados con los nodos (p-q) en el sistema, siendo p y q nodos previamente instalados. 1
2
Sistema Electrico ’ con k nodos odos previamente instalados
i
1 p.u.
p
L
1 p.u.
+
eL q
k
Figura 7.15: Instalaci´on on del elemento de enlace p-q sin acoplamiento mutuo • Elementos fuera de la diagonal
Se inyecta una corriente de 1 p.u. en el nodo i y se procede: Suma de voltajes en el elemento adicionado: (1) V p − V L = 0 V L − eL − V q = 0 (2) Al sustituir (1) en (2) se obtiene la siguiente ecuaci´on: V p − eL − V q = 0 ⇒ e L = V = V p p − V q Por definici´on on se tiene: Z lili =
el , pi = V iip ii Z pi
y Z qi qi =
V q ii
Al dividir los voltajes nodales por la corriente inyectada en i se obtiene: Entonces se concluiye que: Z lili = Z = Z pi pi − Z qi qi • Elementos de la diagonal
Se inyecta una corriente de 1 p.u. en el nodo l y se procede: 156
eL ii
=
V p ii
−
V q ii
Suma de voltajes en el elemento adicionado: − V L = 0 (1) V p + Y 1pq pq V L − eL − V q = 0 (2)
Al sustituir (1) en (2) se obtiene la siguiente ecuaci´on: V p +
l Y pq pq
− eL − V q = 0 ⇒ eL = V p − V q +
Por definici´on on se tiene: Z llll =
el , pl = V ilp il Z pl
1 Y pq pq
y Z ql ql =
V q il
Al dividir los voltajes nodales por la corriente inyectada en l se obtiene: el il
=
V p il
−
V q il
+
1 Y pq pq
Entonces se concluye que: Z llll = Z pl − Z ql ql +
1 Y pq pq
Representaci´on on de la matriz Z bus adicionarr un enlace enlace.. El nodo (l ( l) es un nodo ficticio bus al adiciona que ser´a eliminado utilizando el proceso de reducci´on on de Kron. 1 Z 11 11 Z 21 21 .. .
2 Z 12 12 Z 22 22 .. .
p . Z bus bus = .. q .. .
Z p1 p1 .. .
Z p2 p2 .. .
Z q1 .. .
Z q2 .. .
k l
Z k1 Z l1
Z k2 Z l2
1 2 .. .
p Z 1 p Z 2 p .. .
··· ··· ··· ···
Z pp .. .
··· ···
Z qp qp .. .
··· ··· ···
Z kp kp Z lp lp
··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
q Z 1q Z 2q .. . Z pq .. . Z qq qq .. . Z kq kq Z lq lq
··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
Z 1k Z 2k .. .
l Z 1l Z 2l .. .
Z pk .. .
Z pl .. .
Z qk qk .. .
Z ql ql .. .
Z kk kk Z lk lk
Z kl kl Z llll
on de la matriz Z matriz Z bus Ejemplo: Emplear el algoritmo para la formaci´on bus con elementos radiales y de enlace y sin acoplamiento mutuo, para el sistema enmallado de 4 nodos mostrado en la figura 7.16 El orden en el cual han sido adicionados adicionados los elementos elementos es el siguiente: siguiente: (0-3), (0-3), (3-1), (1-2), (3-4) y (2-4). La siguiente matriz Z Bus Bus es presentada al momento de ser adicionado el elemento (2-4), que como se observa esta cerrando una malla y es llamado enlace. La adici´on de este elemento genera un nodo ficticio (l ( l), tal como se muestra en la matriz.
3 1 2 4 l
1 1 1 1 0
1 2 2 1 1
1 2 3 1 2
157
l 1 0 1 1 1 2 2 -1 -1 -1 4
1
2 1Ω
1Ω
1Ω 1Ω
3
4
1Ω
0
Figura 7.16: Red enmallada de 4 nodos Al eliminar el nodo ficticio (l (l) se obtiene: 3 1 2 4
1 1 1 1 34 1 1 12 1 1 14
1 1 12 2 1 12
1 1 14 1 12 1 34
Reordenando los nodos se obtiene la siguiente matriz, que es similar a la obtenida por el m´etodo etodo manual de inyecciones de corriente. 1 2 3 4
1 34 1 12 1 1 14
1 12 2 1 1 12
1 1 14 1 1 12 1 1 1 1 34
Pasos para el ensamblaje de la Matriz Z bus bus • Ordenar Ordenar los elemen elementos tos tal que produzcan produzcan un circuito circuito conectado. conectado. (Tener (Tener especial cuidado
en el agrupamiento de acoples mutuos sucesivos) • Iniciar con un elemento conectado a referencia. • Antes de ensamblar un nuevo elemento, verificar si tiene acoples mutuos con otros ele-
mentos e identificar identificar cuales de esos acoples son con l´ıneas previamente previamente ensambladas. • Construir la matriz [z] primitiva, para obtener [y] primitiva. • Determinar D eterminar tipo de l´ınea ınea a ensamblar. ensa mblar.
158
– radial sin acople – malla sin acople – radial con acople mutuo – malla con acople mutuo Pasos para obtener la matriz Y pq,rs ([y] primitiva) • Conformar la matriz z primitiva con los elementos previamente ensamblados (incluyendo
el que se ensamblar´a con sus correspondientes acoplamientos mutuos). • Invertir la [z] primitiva prim itiva encontrada en el punto p unto anterior, para determinar determ inar as´ı la [y] primitiva pr imitiva • Extraer de esta el vector pq (En este se encuentran los acoplamientos mutuos y valor
propio de pq). • Cada vez que se incorpora un nuevo elemento a la matriz Z bus bus , se repite el proceso; el
tama˜ no de la [z] primitiva crece en tama˜no no no en la medida en que avanza el proceso Nota: Y pq,r s: (Matriz (Matriz admitancia admitancia de acoplamien acoplamiento to entre entre el elemen elemento to pq y los elementos elementos rs previamente previamente ensamblados).
7.9.3 7.9.3
Eleme Elemen nto rad radial ial con acopl acoplami amien ento to mutuo utuo
Como se mencionara anteriormente, al instalar un elemento radial, la matriz Z bus bus crece en una fila y una columna. En este caso se requiere conocer el valor de los acoplamientos mutuos con los elementos previamente previamente instalados. As´ As´ı que se conforma la matriz Z matriz Z primitiva primitiva e invierte, para determinar la matriz y matriz y primitiva . Al observar en la matriz y matriz y primitiva la columna correspondiente al elemento que sera instalado, se podr´a conocer con que elementos previamente instalados existe acoplamiento mutuo. Procedimiento para instalar el elemento (p-q) en el sistema, siendo p un nodo previamente instalado y q el nuevo nodo. • Elementos fuera de la diagonal
Se inyecta una corriente de 1 p.u. en el nodo i y se procede: Sumar voltajes en la nueva rama ensamblada: V q −
Y pq,rs pq,rs (V r −V s ) Y pq pq
− V p = 0 ⇒ V q = V p p +
Por definici´on on se tiene: Z qi qi =
Y pq,rs pq,rs (V r −V s ) Y pq pq
V q V p V r , Z pi pi = ii , Z ri ri = ii ii
y Z si si =
V s ii
Al dividir la ecuaci´on on de voltaje nodal por la corriente nodal i se tiene: V q ii
=
V p ii
+
Y pq,rs pq,rs (V r −V s ) Y pq pq ii
159
1
2
Sistema Electrico ’ con con k nodo nodoss previamente instalados
i
r
Yrs
1 p.u.
p
s
+ Ypq-rs
q
Ypq
1 p.u.
+
Vp
Vq
- -
k
Figura 7.17: Instalaci´on on del elemento radial p-q con acoplamiento mutuo Entonces se concluye que: Z qi qi = Z pi + i pq
Y pq,rs pq,rs (Z ri ri −Z si si ) Y pq pq
= Y pq,rs rs = Y pq,rs (V r − V s )
−
V pq
rs =
−
Y pq,rs pq,rs (V r −V s ) Y pq pq
• Elemento de la diagonal
Se inyecta corriente de 1 p.u. en el nodo q y se tiene: Suma de voltajes en la nueva rama ensamblada: V q −
1 Y pq pq
−
Y pq,rs pq,rs (V r −V s ) Y pq pq
− V p = 0
Al despejar el voltaje del nodo q se obtiene: V q = V p p +
1 Y pq pq
+
Y pq,rs pq,rs (V r −V s ) Y pq pq
Por definici´on on se tiene: Z qq qq =
V q , iq
Z pq =
V p , rq iq Z rq
=
V r iq
y Z sq sq =
V s iq
Al dividir la ecuaci´on on de voltaje nodal por la corriente nodal q se tiene: V q iq
=
V p iq
+
1 Y pq pq
+
Y pq,rs pq,rs (V r −V s ) Y pq pq iq
Entonces se concluye que: Z qq qq = Z pq +
1 Y pq pq
+
Y pq,rs pq,rs (Z rq rq −Z sq sq ) Y pq pq
ormar la matriz Z bus Ejemplo: Formar bus para el sistema radial de 5 nodos con acoplamientos mutuos mostrada en la figura 7.18 160
0
1Ω
1
1Ω
1Ω
2
3
1Ω
0.25
Ω
1Ω
4
5
Figura 7.18: Red radial de 5 nodos con acoplamientos mutuos Los siguintes son los resultados obtenidos de la conformaci´on on de la matriz Z matriz Z Bus Bus con base en el sistema radial con acoplamientos mutuos mostrada en la figura 7.18 0 1 2 Z bus bus = 3 4 5
7.9.4 7.9.4
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
0.00 1.00 2.00 1.00 2.00 1.00
0.00 1.00 1.00 2.00 1.00 2.00
0.00 1.00 2.00 1.00 3.00 1.25
0.00 1.00 1.00 2.00 1.25 3.00
Eleme Elemen nto de de enl enlace ace con acopla acoplamie mien nto mutu mutuo o
Procedimiento para instalar el elemento (p-q) en el sistema, siendo p y q nodos previamente instalados, y dicho elemento con acoplamiento mutuo con elementos previamente instalados. • Elementos fuera de la diagonal
Se inyecta una corriente de 1 p.u. en el nodo i y se obtiene: Suma de voltajes en el elemento adicionado: pq,rs (V r V s ) − V l = 0 (1) V p + Y pq,rs Y pq pq (2) V l − el − V q = 0 −
Al sustituir (1) en (2) se obtiene la siguiente ecuaci´on: V p +
Y pq,rs pq,rs (V r −V s ) Y pq pq
− el − V q = 0 ⇒ e l = V p p − V q +
Por definici´on on se conoce que: Z lili =
Y pq,rs pq,rs (V r −V s ) Y pq pq
el V r , pi = V iip , Z ri ri = ii ii Z pi
y Z si si =
V s ii
Al dividir los voltajes nodales por la corriente inyectada en i se obtiene: eL ii
=
V p ii
−
V q ii
+
Y pq,rs pq,rs (V r −V s ) Y pq pq ii
Entonces se concluye que: Z lili = Z = Z pi pi − Z qi qi + 161
Y pq,rs pq,rs (Z ri ri −Z si si ) Y pq pq
1
2
Sistema Electrico ’ con k nodos previamente instalados
i
r
Yrs
1 p.u.
p
s
Ypq
Ypq-rs
L
1 p.u.
+
eL q
k
Figura 7.19: Instalaci´on on del elemento de enlace p-q con acoplamiento mutuo • Elemento de la diagonal
Se inyecta una corriente de 1 p.u. en el nodo l y se obtiene: Suma de voltajes en el elemento adicionado: pq,rs (V r + Y pq,rs V p + Y 1pq Y pq pq pq V l − el − V q = 0
V s )
−
− V l = 0 (1)
(2)
Al sustituir (1) en (2) se obtiene la siguiente ecuaci´on: V p +
l Y pq pq
+
Y pq,rs pq,rs (V r −V s ) Y pq pq
− el − V q = 0 ⇒ e l = V = V p p − V q +
Por definici´on on se conoce que: Z llll =
1 Y pq pq
V p el V r , Z pl pl = il , Z rl rl = il il
+
Y pq,rs pq,rs (V r −V s ) Y pq pq
y Z rl rl =
V r il
Al dividir los voltajes nodales por la corriente inyectada en l se obtiene: el il
=
V p il
−
V q il
+
1 Y pq pq
+
Y pq,rs pq,rs (V r −V s ) Y pq pq il
Entonces se concluye que: Z llll = Z pl − Z ql ql +
162
1 Y pq pq
+
Y pq,rs pq,rs (Z rl rl −Z sl sl ) Y pq pq
7.1 7.10
Modi Modific ficac aci´ i´ on on de la matriz Z bus bus
La matriz Z matriz Z bus a ser modificada y esto depende depende del tipo de estudio estudio que se efect´ efect´ue. ue. Estudios bus podr´ como el de contingencias requieren de constantes alteraciones en la Z Bus Bus . En general en el estudio de los sistemas el´ ectricos ectricos existen una serie de situaciones que requieren de la modificaci´on on de sus estructuras. estructura s. Entre las modificacion mod ificaciones es mas empleadas empleada s en el an´alisis alisis de las redes el´ectricas ectricas se tienen: • Adicionar elementos. • Eliminaci´ on on de elementos • Cambio de impedancia. • Cambio del nodo de referencia
Para el caso de eliminaci´on o n de elementos de la matriz Z Bus conecta una l´ınea con Bus , se conecta impedancia impedancia negativa. negativa. El valor de esta impedancia impedancia debe ser igual al valor que se desee desee eliminar. Dicha impedancia deber´a ser conectada entre los no dos en los cuales se conecta la l´ l´ınea a eliminar. En la matriz impedancia de acople [z] (primitiva) se adicionan los mismos acoples que ten´ ten´ıa dicha l´ınea antes de la eliminaci´ eliminaci ´on. on.
Ejercicio: Conformar Conformar la matriz impedancia impedancia de barra Z bus bus para el sistema mostrado en la figura 7.20. En el cuadro siguiente se presentan los datos de dicho sistema. 3
4 3
2
5
(1)
1
(2)
4
1
2 Referencia
Figura 7.20: Red el´ectrica ectrica de 4 nodos 163
Datos del sistema Propia Mutua # del del eleme element ntoo Con Conexi exion on Impedan Impedancia cia Conex Conexi´ i´on on Impedancia Impedancia 1 1-2(1) 0.6 4 1-2(2) 0.4 1-2(1) 0.2 2 1-3 0.5 1-2(1) 0.2 3 3-4 0.5 5 2-4 0.2 Con base en la informaci´on on anterior, seguir el siguiente procedimiento: a. Formar la matriz impedancia Z bus bus b. Modificar la matriz impedancia obtenida en el punto anterior as´ as´ı: Adicione un nuevo elemento de la barra 2 a la barra 4 con una impedancia de 0.3 y acoplado con el elemento 5 con una impedancia mutua de 0.1 c. Modifique Modifique la matriz impedancia impedancia obtenida obtenida en b. removien removiendo do el nuevo nuevo elemen elemento to conectado conectado entre 2 y 4.
7.11 7.11
Transfor ransformac macione ioness sin variaci ariaci´ on ´ on de Potencia
Las p´erdidas erdidas de potencia poten cia en una red de energ´ energ´ıa el´ectrica ectrica son descritas como sigue: + ...... + + V S L = V 1 i1 + ...... V n in ∗
∗
Las mismas escritas en forma vectorial son: = V T I S L = V
∗
Nota: V e I vectores que contienen valores nodales Sup´ ongase que se transforman las corrientes nodales ongase I = C I nueva nueva Los voltajes de barra son entonces escritos as´ as´ı: V = Z barra barra I y V nueva nueva = Z barra( nueva barra(nueva) nueva) I nueva Se aplica el concepto invarianza en potencia de la siguiente manera: T T S L = (Z barra barra I ) I = I Z barra barraI ∗
164
∗
Se reemplaza: I = C I nueva nueva T S L = (C I nueva nueva) Z barra barra (C I nueva nueva)
∗
T = I nueva S L = I C T Z barra barra C I nueva ∗
∗
T = I nueva S L = I Z barra( barra(nueva) nueva) I nueva ∗
T Z barra( barra C barra(nueva) nueva) = C Z barra
∗
T T = V nueva S L = I nueva Z barra( I nueva barra(nueva) nueva) I nueva = V ∗
∗
= V T C I nueva = (C T V ) )T I nueva S L = V ∗
∗
∗
∗
= C T V V nueva nueva = C ∗
T Z barra( barra(nueva) nueva) = C Z barra barra C
∗
Ejemplo: Dado un sistema se desea cambiar el nodo de referencia.
i1
1
3
i3
Z bus bus i2
2
4
i4
Figura 7.21: Red El´ectrica ectrica de 4 nodos Se aplica la primera ley de Kirchhoff: in + i + i1 + i + i2 + i + i3 + i + i4 = 0 Si se cambia la referencia a (4), entonces i 4 ya no es independiente porque se puede expresar en t´erminos erminos de las l as otras cuatro corrientes. i4 = − i1 − i2 − i3 − in
i i i
1 2 3
i4
=
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 −1 −1 −1 −1 165
i i i
1 2 3
in
por in que aparece en el nuevo vector i1 , i2 , i3 permanecen como al principio, i 4 se reemplaza por i de corrientes inueva La nueva matriz Z matriz Z bus expre sadaa as´ı: ı: Z bus = C T Z bus bus es expresad bus = C bus C
Z bus( bus(nueva) nueva)
1 0 = 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0
−1 −1 −1 −1
Z Z Z
11 11 21 21 31 31
Z 41 41
Z 12 12 Z 22 22 Z 32 32 Z 42 42
166
Z 13 13 Z 23 23 Z 33 33 Z 43 43
Z 14 14 Z 24 24 Z 34 34 Z 44 44
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 −1 −1 −1 −1
