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Ejemplo #03: Obtener caudales y presiones en cada tubería y nudos de la red respectivamente, elegir diámetro de las tuberías adecuadas. El sistema de agua potable mostrado está abastecido por dos reservorios como se muestra.
Solución: El primer paso es dividir el sistema en una serie de elementos finitos identificando sus puntos extremos como “nudos”, una tubería debe estar plenamente identificada en la red por su nudo inicial y final estableciendo implícitamente la dirección del flujo del caudal en la tubería. Se debe enumerar nudos y tubería como se muestra.
Donde: -
Número de tuberías
-
Numeración de nudos
-
Dirección flujo de caudal.
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Abastecimiento de Agua Potable Y Alcantarillado Análisis y Diseño de Redes de Agua Potable Método del Gradiente Hidráulico Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos
2.0 Argumentos 2.1 Definiendo la Red (RED)
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4
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7
2
7
350
254
0
2.2 Cota Topográfica del terreno (CT) [msnm] !I
2
2.3 Demanda en nudos(Qd) [lt/s] J#
2.4 Rugosidad absoluta de la tubería [m]
1
K + L4LM 9L
1
1 2
500 530
1 2
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3
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3
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4
470
4
50
5
470
5
40
6
470
6
60
=
2.5 Viscocidad cinemática [m2/s] ν
M
949B 9L
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2.6 Reservorios que abastecen a la red (RSV)
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2
1
1
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2
2
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2.7 Definiendo bombas en la red (BMB)
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Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
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3. Proceso de cálculo
Para realizar el cálculo de presiones y caudales en la red, es necesario el siguiente planteamiento de matrices y vectores teniendo en ceunta que: Número de nudos de cota piezométrica desconocida: NN rows( CT)
rows( RSV)
NN
4
Número de tuberías (tramos) NT rows( RED)
NT 7
Número de nudos de cota piezométrica conocida NS rows( RSV)
NS
2
3.1 Resultados generales
Todas las matrices obtenidas en esta sección se mantienen constante en todo el procedimeinto de diseño. 3.1.1 Obteniendo la matriz de conectividad total (At), su dimensión es NT*(NN+NS) asociada a ca uno de los nudos de la red, con solo dos elementos diferentes de cero en la i-ésima fila
"-1" en la columna correspondiente al nodo inicial del tramo i "1" en la columna correspondiente al nodo final del tramo i
At
for i 1 NT ni
REDi 1
nf
REDi 2 1 i ni
At
1 i nf
At
1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 At 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 1 0 0 1
At
de la matriz At se obtiene las matrices A12 y A10.
3.1.2 Matriz de conectividad A12 asociada a cada uno de los nudos de la red de cota piezométrica Comentaros:
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Los nudos de cota piezométrica desconocida son(NCPD):
NCPD submatrix( NODE rows(RSV)
1 rows( NODE) 1 1 )
3 4 NCPD 5 6
y la matriz A12 resulta: A12
A12
NCPD1 1 At
1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 A12 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0
for n 2 rows( NCPD) i
NCPDn 1
A12
augment A12 At i
A12
su traspuesta es A21:
T
A21 A12
1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 A21 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0
3.1.3 Matriz topológica tramo a nodo, que asocia a las tuberías con los nodos de cota piezométrica conocida(Los reservorios) de dimensión NT*NS Los nudos de cota piezométrica conocida son(NCPC): 1
NCPC RSV NCPC
1 2
la matriz A10 resulta:
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A10
A10
NCPC1 1 At
if rows( NCPC)
2
for n 2 rows( NCPC) i
NCPCn 1
A10
augment A10 At i
A10 A10
1 0 0 0 0 0 A10 0 0 0 0 0 0 0 1
A10 es la matriz topológica tramo a nodo, para los NS nodos de cota piezométrica conocida, su dimensión es NT*NS con un valor igual a -1 en las filas correspondientes a los tramos conectados los reservorios(Nudos de cota piezométrica conocida) 3.1.4 Vector de Cotas piezométricas fijas, cuya dimensión es NS*1 2
Ho RSV Ho
500 530
3.1.5 Vector de consumo, de dimensión NN*1 En este vector no interviene los nudos de cota piezométrica conocida.
q
submatrix( Qd rows( RSV)
1 rows( Qd) 1 1 )
1000
3.1.6 matriz identidad, de dimensión NT*NT
0.04 0.05 q 0.04 0.06
en m3/s
3.1.7 matriz diagonal M, de dimensión NT*NT
I identity ( NT) Ndw 2 I
1 0 0 I 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
2 0 0 Ndw 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0
0 0 0 0 2
los elementos de la diagonal principal son iguales al coeficiente "m", que depende de qué ecuación para la pérdida de carga se esté utilizando, en este caso utilizaré la de Darcy-Weisbach, para lo cual m=2 Comentaros:
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3.1.6 Ordenando el coeficiente de las ecuaciones para cada tubería BOMB
f ( x y)
0
BOMB
matrix( NT 3 f )
for i 1 rows(BMB) t
BMBi 1
BOMB
BMBi 2
BOMB
BMBi 3
t 1 t 2
BMBi 4 t 3
BOMB
0 0 0 BOMB 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
BOMB
3.2 Valores iniciales para las iteraciones.
3.2.1 Caudales que circulan en cada tubería f ( x y ) 0.2 Q matrix( rows( RED) 1 f ) T
Q
( 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 )
3.2.2 Diámetro de la tuberías [m] 4
D
T
D
RED
1000
( 0.254 0.203 0.203 0.203 0.203 0.203 0.254 )
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
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4. Proceso Iterativo:
El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnext para cada nueva iteración cambiando de signo si alguno resultase negativo
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4. Proceso Iterativo:
El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnext para cada nueva iteración cambiando de signo si alguno resultase negativo
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4. Proceso Iterativo:
El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnext para cada nueva iteración cambiando de signo si alguno resultase negativo
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4. Proceso Iterativo:
El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnext para cada nueva iteración cambiando de signo si alguno resultase negativo
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Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
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Abastecimiento de Agua Potable Y Alcantarillado Análisis y Diseño de Redes de Agua Potable Método del Gradiente Hidráulico Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
4. Proceso Iterativo:
El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnext para cada nueva iteración cambiando de signo si alguno resultase negativo
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Abastecimiento de Agua Potable Y Alcantarillado Análisis y Diseño de Redes de Agua Potable Método del Gradiente Hidráulico Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
4. Proceso Iterativo:
El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnext para cada nueva iteración cambiando de signo si alguno resultase negativo
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5. Ordenado Resultados Programa que Corrige H y Q con los argumentos establecidos en el capítulo 3, culmina cuando la norma del vector es menor a 0.0001
H Q
f (x y)
0.2
Qan
matrix( NT 1 f )
DQ
Qan
H Qan Q Qan
0.0001
while DQ
for i 1 NT 4 Qan Re
i 1
π D
ν
i 1
fa
0.01
fa
root
1
2 log
fa
k s
3.7 D
2.51
Re fa
fa
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0.08262686 fa RED
i 3
α
Di 1 8 Qan
β 9.807 π
5
i 1
2
Di 1
4
REDi 5 2
Qani 1 BOMBi 2 Qani 1 BOMBi 3
γ BOMB
i 1
A11
α Qani 1 i i
H
1
A21 Ndw
1
Q I Ndw
2 1
A11
β
Qan
1
1
A12
i 1
1
Qan Ndw
γ
A11
1
A21 Ndw
Qan A11
1
A10 Ho q A21 Qan
1
( A12 H A10 Ho)
( Q Qan ) Qan Q DQ
H Q Universidad Nacional San Cristóbal de Huamanga Escuela Profesional de Ingeniería civil
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Los caudales resultantes(que circulan) en cada tubería son(en litros/s): El signo negativo indica el flujo del caudal en sentido contrario al supuesto inicialmente. T
1000 Q
3
170 69.744 60.256 6.982 17.238 22.762 1.16 10
Las cotas piezométricas en cada nudo son(en metros):
T
Hf augment Ho
HT
Hf ( 500 530 489.627 483.724 483.858 483.161 )
Las presiones en los puntos son(en metros): T
P Hf CT P
( 0 0 19.627 13.724 13.858 13.161 )
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