PÁGINA 28 MATEM MA TEM TI TICA CA – 9.° 9.° ANO
GEOMETRIA
AGORA, É COM VOCÊ
RAZÃO ENTRE SEGMENTOS A razão entre dois dois segmentos é o quociente quociente entre suas medidas, medidas, tomadas tomadas em uma mesma unidade de medida. Sejam os segmentos A C
2 cm
e
1- Determine a razão entre os segmentos AB e CD que medem, respectivamente,
a) 3 cm e 4 cm b)
:
2
me3
2
m
c) 4 cm e 8 cm
B 5 cm
d) 200 cm e 3 m
D
e) 15 cm e 10 cm A razão entre
e
será:
ou seja
A razão entre
e
será :
ou seja
f) 1 cm e
3
cm
2- Leia a figura abaixo:
A GEOMETRIA (geo: "terra“ / metria: "medida") é a área da Matemática que se dedica a questões relacionadas à forma, ao tamanho, à posição relativa entre figuras ou a propriedades do espaço.
Agora, calcule calcule a razão entre entre os segmentos: a) AB e BC b) AB e AC
c) AC e BC d) BC e AD
PÁGINA 29 MATEM TICA – 9.° ANO
AGORA, É COM VOCÊ
SEGMENTOS PROPORCIONAIS Sejam os segmentos: 2 cm
A
1- Identifique os itens cujas razões são proporcionais:
4 cm
B
E
F a)
3 cm
C
Os segmentos Observe:
6 cm
D
G
,
,
H
e
, nesta ordem, são proporcionais.
3 · 4 = 12
É só multiplicar “cruzado” e verificar se encontramos o mesmo resultado!!!
b)
c)
2
e
7
6
8 4 5
e
e
3
d)
9
9
e)
12
8
f)
9
1
5 2
e e
3
4 6
e
2 10
4 9
6 9
2- Calcule o valor de x em cada uma das proporções: a)
2 · 6 = 12
s
4
=
7
d)
2
5
s
=
2
20
Logo: b)
AB · GH = CD · EF
c)
2s
15
s+
5
=
6
e)
9
=
s
3
f)
s
s+2
s–
2
=
9 15
=
s+
6
PÁGINA 30 MATEMÁTICA – 9.° ANO
FEIXE DE RETAS PARALELAS TEOREMA
Chama-se feixe de paralelas o conjunto de mais de duas retas paralelas entre si em um mesmo plano. Sendo: a
As figuras que utilizamos, na GEOMETRIA, servem apenas de apoio para resolvermos as atividades. Na maioria das vezes, os lados não possuem as medidas que estão indicadas.
// b // c // d
a b
Se as retas de um feixe de paralelas determinam segmentos congruentes sobre a então elas transversal, determinam congruentes segmentos sobre qualquer outra transversal a esse feixe.
c d .
A reta que intercepta o feixe de retas chamamos de transversal .
t
.
Sendo que:
∆PHS ≅ ∆SJT
transversal
Então:
PS ≅ ST
(L.A.Ao.)
PÁGINA 31 MATEM TICA – 9.° ANO
TEOREMA DE TALES Um feixe de retas paralelas determina, sobre duas transversais, segmentos proporcionais.
u
m o c . s a d i v y s a i f a r g o i b . w w w
v
u
v
u
foi um filósofo grego que nasceu em Mileto, em 624 a.C. e morreu em 558 a.C. O Teorema de Tales é determinado pela intersecção entre retas paralelas e transversais que formam segmentos proporcionais. Observe o exemplo ao lado. Tales de Mileto
v
u
v
u
v
AB = 2u Então: BC = 3u MN = 2v NP = 3v
Então:
Comparando as razões, temos: http://www.youtube.com/wat ch?v=sNAEqGG4ec8
PÁGINA 32 MATEM TICA – 9.° ANO
Leia os exemplos: Proporção é a igualdade entre
Calcular o valor de x nos feixes de paralelas ( a//b//c): b)
a) a A
x
M
duas razões. Propriedade fundamental de
a x
3
A
M
b
b
B B
uma proporção: O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
4 N
N
6
6
8
9
c
c
C C
P
P
6 x -
Solução:
Solução:
AB BC
Também podemos resolver com a soma dos segmentos:
=
MN
x
NP
6
3 = 9
AB
BC
AC = 6 e MP = 12. =
MN
NP
x 6−x
=
4 8
9x = 18
8x = 4(6 - x)
18
8x = 24 – 4x
x=
9
x=2
ou
AB AC
x 6
=
=
MN MP
4 12
8x + 4x = 24 12x = 24
12x = 24
Só precisamos usar a propriedade das proporções para resolver o que está sendo proposto.
x=2
x=2
PÁGINA 33 MATEMÁTICA – 9.° ANO
AGORA,
É COM VOCÊ
c)
a
2
a)
x
b
1- Determine o valor de x nos seguintes feixes de paralelas ( a//b//c):
4
a
3
x
8
c
b
10
15
c
d)
a
b
20
b) a x
5
4
b
4 10 c
8
x
c
PÁGINA 34 MATEMÁTICA – 9.° ANO
2- Determine o valor de x nos seguintes feixes de paralelas (a//b//c):
a)
c) a
a
b b
12
x+4
3
c
6
10 c
4
d)
b)
a
b
c
3x + 1
a
6
x
2x - 2
b
8 c
x
7
4
7
8
PÁGINA 35 MATEMÁTICA – 9.° ANO
TEOREMA DE TALES NOS TRIÂNGULOS AGORA,
Toda reta paralela (neste caso s) a um dos lados de um triângulo ( BC ) determina, sobre os outros dois lados ( AB e AC ), segmentos proporcionais (AM, MB, AN, NC).
É COM VOCÊ 1- Calcule o valor de x, sabendo que MN // BC :
Observe o exemplo:
a)
A
A
r
2
x
M Se as retas r , s e t são paralelas, então, M
s
N
AM
MB
=
N
6
4
AN NC
B
C
t
B
C
b) 2 M
Calcule o valor de x, sabendo que MN // BC:
A
A 3 N
Solução: x
AM
6
MB
M 2
N
=
AN
x
NC
2
=
6
3x = 12
3 x=4
B
C
3x
4x + 1
3
B
C
PÁGINA 36 MATEMÁTICA – 9.° ANO
2- Calcule o valor de x, sabendo que MN// BC:
a)
A c) 6
12 M
N
3
x
C
B N
d)
b) A
C x
4
14
N x+4
M 3 B
N x
C
B
5
M 12
A
PÁGINA 37 MATEMÁTICA – 9.° ANO
3- Na figura DE//BC, o valor de x é:
A
(A) 4. 1- Na figura, sendo a//b//c, o valor de x é:
(A) 2. a
(B) 4.
D
(C) 6.
3x
4x + 1
x-3
x
(B) 5.
(D) 7.
E
x+2
-2
b
(C) 6. 3
B
2
C
c
(D) 8.
4- Sendo a//b//c, o valor de x na figura é:
(A) 3. 2- Na figura, o valor de x é:
(B) 5.
(A) 20.
(C) 10.
x
6
8
(B) 18. (D) 12.
12
4
(C) 16.
x
(D) 14. 8
12
a
b c
PÁGINA 38 MATEMÁTICA – 9.° ANO
5- A figura, apresentada abaixo, apresenta dois terrenos (A) e (B). As divisas laterais são perpendiculares à rua das Flores. Quais as medidas da frente de cada um desses terrenos que estão voltados para a rua das Pedras, sabendo que a frente total para essa rua é de 30 metros? (A) 10 e 20 metros.
x
Rua das Flores 10 m
(B) 12 e 18 metros.
7- Leia a figura:
A
15 m
6m
B
(C) 14 e 16 metros.
.
Clip art
(D) 15 metros cada. O valor de x, na figura, é de
6- As alturas de dois postes estão, entre si, na razã o o menor tem 6 metros, o maior terá
. Se
.
4m 12 m
(A) 18 metros.
(B) 20 metros.
(C) 24 metros.
(D) 30 metros.
(A) 4,8 metros. (B) 7 metros.
8- A maquete do National Stadium’s (Estádio Nacional de Tókio) foi confeccionada na razão 1:200. Se a altura dessa maquete é de 18 cm, qual é a altura do National Stadium’s em metros?
(C) 7,5 metros. (D) 8 metros.
Clip art
(A) 18. (B) 20. (C) 30. (D) 36. http://www.japantimes.co.jp/
PÁGINA 39 MATEMÁTICA – 9.° ANO
SEMELHANÇA DE FIGURAS Duas figuras são semelhantes se tiverem a mesma forma e mantiverem a proporção das suas medidas (não importando o tamanho): Exemplos: h t t p : / / b r a s i l e s c o l a . u o l . c o m . b r /
ClipArt
ClipArt
A ampliação de uma foto é semelhante à foto original. Dois mapas da América do Sul com dimensões diferentes são semelhantes.
Dois quadrados são sempre semelhantes.
Dois círculos são sempre semelhantes.
