Raselov paradoks Miloš Jovanović
[email protected] [email protected] | www.milosjovanovic.com www.milosjovanovic.com
Predmet: Diskretna matematika Nastavnik: Doc. dr Ivana Kostić-Kovačević
Sadržaj prezentacije • Bertrand Rasel • Paradoks – Kako je nastao ovaj paradoks? – Suština Raselovog paradoksa – Paradoks berberina (primer 1) – Paradoks biblioteke (primer 2)
• Kriza matematike • Pojam klase • Aksiomatska teorija skupova
Miloš Jovanović - Raselov paradoks
BERTRAND RASEL BERTRAND ARTHUR WILLIAM RUSSELL, 3RD EARL RUSSELL
Bertrand Rasel Bertrand Arthur William Russell, 3rd Earl Russell
Bertrand Rasel Bertrand Arthur William Russell, 3rd Earl Russell
• Bertrand Rasel (18. maj 1872, UK — 2. februar 1970, UK) je bio britanski filozof, logičar i matematičar, dobitnik Nobelove nagrade za književnost 1950. godine. • U matematici je poznat po Raselovom paradoksu koji je ukazao na propuste u Kantorovoj naivnoj teoriji skupova.
Bertrand Rasel Bertrand Arthur William Russell, 3rd Earl Russell
• Potiče iz plemićke porodice. Rano je ostao bez roditelja, a o njemu i njegovom bratu se brinuo njihov deda, inače predsednik britanske vlade 40-ih godina 19. veka. • 1894. se oženio Amerikankom Alis Smit a kum mu je bio poznati filozof Džon Stjuart Mil, poznat po idejama hijerarhije, liberalizma i induktivne logike. Rasel nije bio uvek veran bračnom životu i njihov brak je završen razvodom 1911. godine.
Bertrand Rasel Bertrand Arthur William Russell, 3rd Earl Russell
• Studirao je filozofiju i logiku na Univerzitetu Kembridž od 1890. godine. • Postao je član Triniti koledža 1908. godine a 1920. je putovao u Rusiju i posle toga predavao u Pekingu filozofiju godinu dana. • 1921. godine, kada je izgubio profesorski posao, oženio se Dorom Rasel sa kojom je imao sina Džona i ćerku Ketrin. Tada se snalazio tako što je pisao knjige iz oblasti fizike, etike i obrazovanja za laike.
Bertrand Rasel Bertrand Arthur William Russell, 3rd Earl Russell
• Supruga Dora ga je izneverila u preljubi sa jednim američkim novinarom i Rasel se 1936. oženio po treći put. Nova supruga mu se zvala Patriša, bila je oksfordski student. Sa njom je imao jednog sina po imenu Konrad. • U proleće 1939. preselio se u Santa Barbaru i predavao na univerzitetu Kalifornija u Los Anđelesu i vrlo kratko na Siti koledžu u Njujorku. U Britaniju se vratio 1944. i ponovo je predavao na Triniti koledžu.
Bertrand Rasel Bertrand Arthur William Russell, 3rd Earl Russell
• 1952. u osamdesetoj godini, ponovo se razveo i oženio četvrti put suprugom Edit, koju je poznavao još od 1925. godine. • Napisao je tri toma svoje autobiografije krajem 1960-ih godina i preminuo je 2. februara 1970. u Velsu u 98. godini. • Poznat je i kao osnivač i vođa poznatog „Prekog suda― u kome su bili osuđivani svi zločini SAD u vijetnamskom ratu tokom 50-ih i 60-ih godina dvadesetog veka.
Miloš Jovanović - Raselov paradoks
PARADOKS
Paradoks paradoks spada u 10 najvećih matematičkih zagonetki i zadataka koji zbunjuju razum. • Kantorova teorija skupova sa kraja 19. veka nije bila u potpunosti zasnovana aksiomatski (na temeljnim istinama koje se ne dokazuju) pa se zato nazivala naivna teorija skupova. • Međutim, ona je u sebi implicitno sadržala nekoliko aksioma od kojih je jedan bio da za svako svojstvo možemo formirati skup svih elemenata koji imaju to svojstvo. • Raselov
Paradoks • Polazeći od ovog aksioma Rasel je oko 1902. konstruisao paradoks, po njemu nazvan Raselov paradoks koji je oborio naivnu teoriju skupova. • Taj paradoks se može iskazati na više načina i postoje razne interpretacije Raselovog paradoksa: – Paradoks berberina – Paradoks biblioteke – ...
Kako je nastao ovaj paradoks? •
Džordž Kantor (1845 – 1918) tvorac naivne teorije skupova, uveo je pojmove prebrojive i neprebrojive beskonačnosti (skup prirodnih brojeva je prebrojivo beskonačan, a skup realnih brojeva neprebrojivo beskonačan).
•
Kantorova naivna teorija skupova uvodi osnovne pojmove skupa (članovi, podskup, jednakost, unija, presek, komplement...) i pojam preslikavanja „1 na 1― među prebrojivim skupovima. Najveća mana ove teorije bila je što uvedeni pojmovi (i; ako onda; za svaki...) nisu bili precizno definisani, pa ih je bilo moguće različito tumačiti. Slobodnim tumačenjem mnogi matematičari postavili su razne paradokse od kojih je najpoznatiji Raselov paradoks. Tačnije, nemački matematičar Gotlob Frege je pokušavši da preformuliše Kantorovu teoriju skupova, napisao svoj „Osnovni zakon 5― u kom Rasel pronalazi kontradikciju iz koje proizilazi ovaj čuveni paradoks oko 1902. godine.
•
•
Suština Raselovog paradoksa • Ako za svako svojstvo postoji skup svih objekata koji zadovoljavaju to svojstvo onda to isto važi i za svojstvo „skup ne pripada sam sebi―. Ovo svojstvo je prirodno jer je vrlo teško naći skup koji pripada sam sebi. Označimo sa X skup objekata za koje važi ovo svojstvo. Da li X pripada sam sebi? Ako pripada onda znači da zadovoljava svojstvo „skup ne pripada sam sebi― što je kontradikcija. Ako ne pripada sam sebi onda će da zadovolji traženo svojstvo pa će baš da pripada sebi, što je opet kontradikcija. • Neka je V skup svih skupova S koji ne element, odnosno:
sadrže sebe kao
Suština Raselovog paradoksa • Suština paradoksa proizilazi iz definicije da se može formirati skup elemenata takvih da imaju jednu zajedničku osobinu. • Ako za osobinu uzmemo „elementi skupa ne sadrže sami sebe―, i formiramo takve skupove, zatim formiramo skup svih takvih skupova postavlja se pitanje da li će taj skup sadržati samoga sebe?
Paradoks berberina (primer 1) • Ova verzija Raselovog paradoksa govori o gradu sa jednim muškim berberinom koji svakog dana brije one muškarce koji ne briju sami sebe, i nikog drugog. Da li berberin brije samog sebe? • Po ovom scenariju ispada da se berberin brije ako i samo ako ne brije sebe! Rasel je shvatio da mora da izmeni teoriju skupova kako bi izbegao ovakvu konfuziju (kontradikciju). Jedan od načina da se obori ovaj paradoks sastojao bi se u tome da jednostavno kažemo da takav berberin ne postoji. Uprkos tome, matematičari Kurt Gedel i Alan Turing otkrili su da je Raselova teorija korisna za proučavanje različitih grana matematike i obrade informacija.
Paradoks biblioteke (primer 2) • Postoje katalozi knjiga iz biblioteke. Ti katalozi se takođe smatraju za knjige. Neki katalozi sadrže sebe, a neki ne (u katalogu). Možemo posmatrati jedan novi katalog u koji su popisani svi katalozi koji ne sadrže sebe. Da li ovaj katalog sadrži sam sebe? Ponovo će oba slučaja analiziranja dovesti do kontradikcije.
Kriza matematike • Do pojave ovog paradoksa verovalo se u matematičke nepobitnost istine i teorije skupova. Posle neprotivurečnost Raselovog paradoksa usledila je i serija drugih paradoksa od kojih je najznačajniji Rišarov paradoks. Njihovom pojavom matematička građevina je bila ozbiljno uzdrmana do samih temelja i pretila je opasnost da se sruši. Kriza matematike je rešavana pojavom novih pravaca (logicizam, intuicionalizam, formalizam).
Pojam klase • Jedno od mogućih prevazilaženja Raselovog paradoksa je da se skup svih skupova ne smatra za skup, nego za klasu (klasa je ovde uopštenje pojma skupa). Ovaj pojam definisao je takođe Bertrand Rasel 1908. godine.
Aksiomatska teorija skupova • Iste godine nemački matematičar Ernst Zermelo objavljuje prvu aksiomatsku teoriju skupova iz koje kasnije nastaje Zermelo-Frenkel teorija skupova. • Zermelo-Frenkel teorija skupova je danas standardna forma aksiomatske teorije skupova. • Napisana je logikom prvog nedvosmisleni formalni jezik.
reda,
koristeći
Literatura •
Doc. dr Ivana Kostić -Kovačević, Diskretna matematika ,
• • • • • • •
Univerzitet Singidunum, Beograd, 2010. http://plato.stanford.edu/entries/russell-paradox/ http://sr.wikipedia.org/wiki/ Бертранд_Расел http://sr.wikipedia.org/wiki/ Џон_Стјуарт_Мил http://sr.wikipedia.org/wiki/Раселов_парадокс http://www.b92.net/zivot/nauka.php?yyyy=2010&mm=06 &dd=22&nav_id=440569 http://www.viser.edu.rs/download.php?id=6729 http://www.youtube.com/watch?v=KdK0SDrm_24
Miloš Jovanović - Raselov paradoks
KRAJ, HVALA NA PAŽNJI!
