√ n x
CALCULADA MANUALMENTE Andr´ es L. Granados M. Noviembre, 2017
ANALISIS La expansi´on en series de Taylor hasta el t´ermino de primer orden es f (x) = f (xo ) + f (xo ) ∗ (x − xo ) + 0(|x − xo |2 )
(1)
Cuando f (x) = xn , entonces f (x) = nxn−1 y resumidamente se tiene ∆f (x) ≈ nxn−1 ∆x. Esto indica que substrayendo cantidades del orden de un d´ıgito en ∆x se pueden ir obteniendo substraendos del orden de ∆f que puedan ir anulando paulatinamente la cantidad subradical, hasta convertirla en un valor despreciable en su residuo. Esto es equivalente a aplicar el m´etodo de Newton-Raphson e ir iterando de d´ıgito en d´ıgito, cada vez con mayor resoluci´on (se hallan los d´ıgitos de izquierda a derecha). ALGORITMO El algoritmo se puede resumir generalmente para la siguiente disposici´on de cifras generalizadas indicadas con letras. La cantidad subradical se divide en lotes de cifras de n d´ıgitos cada una, separadas por una tilde en cada caso. Una de las tildes necesariamente tiene que coincidir con un punto decimal de la cifra completa. Este punto decimal luego se traslada a la posici´on correspondiente de la ra´ız cuando se baje el lote de cifras despu´es del punto decimal en la cantidad subradical. El algoritmo es secuencial, pero el tercer paso se repite indefinidamente, despu´es del segundo que es similar, hasta que resuelva el n´ umero de d´ıgitos deseados. El primer paso es hallar la ra´ız del primer lote por defecto. El segundo paso es hallar el primer d´ıgito de la ra´ız, despu´es de la raız inicial y el tercer paso es hallar los d´ıgitos subsecuentes con el mismo procedimiento indicado y acumulando los siguientes d´ıgitos. Los d´ıgitos siempre se estiman por defecto y lo m´as alto posible, tal que el minuendo siempre sea mayor que el sustraendo. Si esto no ocurre a al primer intento se modula el valor hasta conseguir el o´ptimo (es decir, el m´as alto posible seg´ un se especific´o). Las siguiente expresiones algor´ıtmicas se explican por si sola √ n ABC . . . F GH . . . LM N . . . |γC1 C2 . . . γn
n.(γ)n−1 // C1 ≈ U V W . . . F/n.(γ)n−1
U V W . . . F GH . . . [(γC1 )]n − [(γ) ∗ 10]n
n.(γC1 )n−1 // C2 ≈ DKP . . . L/n.(γC1 )n−1
(2)
DKP . . . L M N . . . [(γC1 C2 )]n − [(γC1 ) ∗ 10]n XY Z . . . Los sustraendos se han expresados de la forma indicada en la expresi´on anterior, pero para simplificar los c´alculos, se expresan particularmente de forma exacta en el caso de n = 2 como [n.(γ) ∗ 10 + C1 ] ∗ C1 = [(γC1 )]n − [(γ) ∗ 10]n
[n.(γC1 ) ∗ 10 + C2 ] ∗ C2 = [(γC1 C2 )]n − [(γC1 ) ∗ 10]n
(3)
para efectos de simplificar los c´ alculos (pero los resultados son los mismos). Finalmente al obtener alg´ un resultado, deber´ıa producirse el siguiente c´ alculo de comprobaci´on (γC1 C2 . . .)n + XY Z . . . = ABC . . . F GH . . . LM N . . .
(4)
a considerarse finalmente. Este c´alculo en que la ra´ız se comprueba elev´ andola al exponente n y debe dar aproximadamente la cantidad subradical salvo por el residuo (XY Z), el cual se estila que es de valor muy peque˜ no. 1
EJEMPLOS Se muestran dos ejemplos a manera de mostrar con ejercicios los procedimientos antes descritos. Los ejemplos son la ra´ız cuadrada de dos y la ra´ız c´ ubica de 3. En cada caso se utiliz´ o el procedimiento m´ as indicado seg´ un se mostro en la expresi´on (3). La tabla 1. muestra la ra´ız cuadrada de dos con ocho cifras significativas. La columna izquierda de la derecha permite estimar los d´ıgitos dividiendo los diferentes residuos (con s´ olamente un d´ıgito del bloque nuevo recien bajado) entre los primeros valores, exceptuando los dos u ´ltimos repertidos a ambos lados de la multiplicaci´ on, que son justamente los valores de los d´ıgitos buscados en cada caso. La columna central-izquierda del lado derecho de la tabla 1 se ha formado en cada etapa de los dobles de los d´ıgitos de la ra´ız, como se indica en la relaciones (3) y subsecuentes para el caso de la ra´ız cuadrada. Del lado derecho de la misma columna aparecen en cada etapa el d´ıgito nuevo multiplicado por el mismo. Se observan en el ejemplo la secuencia 4, 1, 4, 2, 1, 3 y 5, que son los siguientes d´ıgitos secuenciales de la ra´ız cuadrada luego del punto (ver arriba a la derecha). Estos d´ıgitos se obtienen tentativamente al dividir los minuendos con la primera cifra del u ´ltimo lote bajado, entre el doble de la cifra con los d´ıgitos ya encontrados anteriormente. Luego se pueden modular uno por arriba o uno por debajo, hasta obtener el mayor sustraendo posible. El resultado son los diferentes sustraendos mostardos en el extremo a la derecha y colocados sobre las barras horizontales del lado izquierdo. Finalmente, resulta que 1.41421352 + 1, 7641775 × 10−7 = 2.00000000000000, como se indica en (4). Tabla 1. C´alculo de la ra´ız cuadrada de 2. √ 2.00000000000000
1.4142135 24 × 4 281 × 1 2824 × 4 28282 × 2 282841 × 1 2828423 × 3 28284265 × 5
1 100 96 400 281 11900 11296 60400 56564 383600 282841 10075900 8485269 159063100 141421325
= 96 = 281 = 11296 = 56564 = 282841 = 8485269 = 141421325
1.7641775 × 10−7 La tabla 2 muestra la ra´ız c´ ubica de tres con siete cifras cignificativas. Este ejemplo presenta una dificultad levemente mayor por la cantidad de c´ alculo involucrado. En el ejemplo, se han mostrado todos los resultados parciales necesarios para completar la comprensi´ on del ejemplo completamente. Se muestran los valores de los sustraendos y los estimados de los diferentes d´ıgitos, mostrando su valor final en cada caso, seg´ un se explic´ o anteriormente. La primera columna de la derecha contiene los valores de los denominadores de la segunda columna, mientras que los numeradores son son los minuendos con la primera cifra del u ´ltimo lote bajado. La columna de abajo y a la derecha son los resultados de los diferentes sustraendos colocados sobre las barras horizontales del lado izquierdo. Finalmente, resulta que 1.4422493 +3.558860000000×10−6 = 3.000000000000000000, como se indica en (4). 2
Tabla 2. C´alculo de la ra´ız c´ ubica de 3. √ 3 3.000000000000000000
1.442249 3(1)2
1
C1 = 20/3 ≈ 4
2
2000
3(14)
C2 = 2560/588 ≈ 4
1744
3(144)2
C3 = 140160/62208 ≈ 2
256000 241984 14016000 12458888 1557112000 1247791450 309320550000 249599820000
3(1442)2
C4 = 15571120/6238092 ≈ 2
2
3(14422)
2
C5 = 3093205500/623982252 ≈ 4
3(144224)
C6 = 597207300000/62401686528 ≈ 9
143 − 103 =
1744
3
3
144 − 140 = 12243 − 14403 =
241984 12458888
59720730000000
144222 − 144203 =
1247791450
56161870000000
1442243 − 1442203 =
249599820000
14422493 − 14422403 =
56161870000000
3.558860000000 × 10−6
BIBLIOGRAFIA [1] Granados M., Andr´es L. M´ etodos Num´ ericos. Editorial Digiter´ıa, 2016. [2] https://es.wikipedia.org/wiki/C´ alculo de la ra´ız cuadrada [3] https://en.wikipedia.org/wiki/Methods of computing square roots
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