TUGAS DINAMIKA STRUKTUR CONTOH SOAL RAGAM GETAR DAN FREKUENSI NATURAL
DISUSUN OLEH : FADLI DIRGA SUBARDI 1507123772 KELAS B
PROGRAM STUDI S1 TEKNIK SIPIL FAKULTAS AKULTAS TEKNIK TEKN IK UNIVERSITAS RIAU 2018
Soal : Bangunan yang dianalisa adalah kerangka baja kaku sederhana pada Gambar 1. Berat lantai dan dinding terlihat pada gambar dan dianggap termasuk berat sruktur lainnya. Bangunan terdiri dari suatu seri kerangka dengan jarak 15 ft satu sama lainnya. Selanjutnya dianggap sifat struktur seragam sepanjang bangunan, hingga analisa yang dibuat untuk kerangka tengah dapat merupakan respons untuk seluruh bangunan. Bangunan dimodelisasikan sebagai bangunan penahan geser dan kita anggap seluruh bangunan dapat dinyatakan oleh system massa-pegas seperti Gambar 2. Berat terpusat yang merupakan berat total lantai ditambah dengan dinding dan lain sebagainya dihitung sebagai berikut : 1 ! 1"" # $" # 15 % 2" # 12.5 # 15 # 2 ! 52,5"" lb m1 ! 1$& lb. det 2'in 2 ! 5" # $" # 15 % 2" # 5 # 15 # 2 ! 25,5"" lb m2 ! && lb. det 2'in
Gambar 1. Bangunan penahan geser bertingkat dua
Gambar 2. (odel sejumlah massa ) berpegas untuk bangunan penahan geser bertingkat dua. *a+ (odel, *b+ iagram free body. arena balok dianggap kaku maka kekakuan *konstanta pegas+ untuk setiap tingkat diberikan oleh.
k =
12. E . (2 I )
L
3
dan harga kekakuan dari kolom baja adalah : 6
k 1=
12 x 30 x 1 0 x 248.6 x 2
k 2=
12 x 30 x 1 0 x 106.3 x 2
( 15 x 12 )3
=30,700 lb /¿
6
( 10 x 12 )3
= 44,300 lb /¿
ersamaan gerak system yang didapat dengan meninjau keseimbangan dinamis dari setiap massa yang bergetar bebas pada Gambar 2. adalah m1./1 % k 1.y1 ) k 2.*y2 ) y1+ ! " m2./2 % k 2.*y2 ) y1+ ! " Biasanya
persamaan
gerak
ini
diselesaikan
untuk
getaran
bebas
dengan
mensubstitusikan : y1 ! a1.sin*0t ) + ! " y2 ! a2.sin*0t ) + ! "
*1.1+
ntuk suatu perpindahan : ,dan /1 ! -a1. ω2 sin* ω t ) + ! " /2 ! -a2. ω2 sin*0t ) + ! " ntuk per3epatan. alam notasi matriks didapat : k 1 % k 2 - m1. ω2
-k 2
a1 !
k 2 - m2. ω2
-k 2
" a2
"
*1.2+ ntuk solusi non tri4ial, diperlukan determinan dari koefisien matriks sama dengan nol, yaitu : k 1 % k 2 - m1. ω2 -k 2
-k 2
!
"
k 2 - m2. ω2
*1.$+ asil perhitungan determinan memberikan persamaan kuadrat dalam besaran
2
ω
,
yaitu : m1. m2. ω 4 - ** k 1 % k 2 +. m2 % m1. k 2+. ω2 % k 1.k 2 ! "
1$& . && ω 4 - ** $"7"" % 668"" +. && % 1$& . 668"" + . ω2 % $"7"" . 668"" ! " 897& ω 4 -1",976,8"". ω2 % 1.$& # 1" 9 ! " *1.5+ kar ) akar persamaan kuadrat didapat dari persamaan rumus ab3 adalah :
−b ± √ b2− 4 ac 2a
engan nilai a,b,3 diketahui: a ! 897& b ! 1",976,8"" 3 ! 1.$& # 1" 9
*1.6+
2
ω1 =
2
ω1 =
−b ± √ b2− 4 ac 2a
−10,974,800 ± √ 10,974,8002− 4 . 8976 . 1.36 x 10 9 2 . 8976 2
ω1 ! 16" 2
ω2 ! 1"82 Sebab itu, frekuensi natural dari struktur adalah :
ω1 !
√ 140=¿ 11.8 rad'det
ω2 !
√ 1082=¿ $2.9 rad'det
atau dalam siklus per detik *spd+ f 1 !
ω1 2 π
= 11.8 =1.88 spd
ω2
f 2 !
2 π
= 32.9 5.24 spd
2 π
2 π
dan perioda naturalnya,
T 1 =
1
T 2 =
1
f 1
f 2
= =
1 1.88 1 5.24
= 0.532 det =0.191 det
alam menyelesaikan persamaan *1.2+ guna mendapatkan amplitude a 1 dan a2, perlu diperhatikan baha dengan menyamakan determinan pada persamaan *1.$+ dengan nol maka jumlah persamaan yang bebas *independent equations+ akan berkurang satu. ;adi dalam proses penyelesaian selanjutnya, ssitem dengan dua persamaan akan berkurang menjadi satu persamaan bebas *independent equation+.
k
¿
−m1 ω2 ¿ 1 +k 2 ¿ a ¿ ¿
ω1 ! 11.8 rad'det dan didapat,
k
¿ ¿ ¿
2
30700 a1 + 44800 a 1− 136 . 11.8 a1− 44800 a2=0
¿
55,960 a11−44,300 a21= 0
*1.&+
ω1
pada persamaan ini karena pada kondisi selanjutnya ada dua besaran yang tak
diketahui dalam satu persamaan, maka persamaan *1.&+ dapat diselesaikan untuk mendapatkan hanya harga relati4e dari a2 1 terhadap a1 1. arga relatif ini dikenal sebagai pola normal *normal mode+ atau pola perubahan bentuk *modal shape+ sesuai dengan penggunaan frekuensi yang pertama. ntuk 3ontoh ini, persamaan *1.&+ memberikan 56063.36 a 11 44300 a 21
=1.263
Biasanya pola normal *normal mode+ ditentukan dengan menentukan satu satuan harga untuk salahs satu amplitude, jadi untuk pola *mode+ pertama ditentukan a1
1
sama
dengan satu satuan, yaitu :
a1 1 ! 1.""" a2 1 ! 1.2&$ *1.7+ engan 3ara yang sama, substitusikan frekuensi natural yang kedua,
ω2 ! $2.9
rad'det ke dalam persamaan *1.2+, didapat pola normal *normal mode+ yang kedua seperti : a1 1 ! 1.""" a2 1 ! -1.&29 erlu di3atat baha meskipun hanya didapatkan rasio a1 gerak mungkin didapat dari kondisi aal.
*1.8+ 1
dan a2 1, amplitude dari
Sekarang kita dapat dua kemungkinan gerak harmonis dari struktur sedemikian rupa, dimana semua massa bergerak dengan fasa tertentu pada frekuensi yang sama.
ω1 ataupun
ω2 . Seperti gerak sistem tak teredam, hal ini disebut normal atau pola natural dari getaran *natural mode of vibration+. erubahan bentuk * shape+ *untuk 3ontoh ini a 2 1 ' a 1 1 dan a2 2 dan a1 2+ disebut pola normal perubahan bentuk *normal mode shapes+ atau pola sederhana perubahan bentuk (simply modal shape)sesuai frekuensi natural
ω1 dan
ω2 . edua pola
yang didapat pada 3ontoh ini yang digambarkan pada *gambar $+.
Gambar $. ola normal. *a+ ola pertama, *b+ ola kedua
ω1 ω2 (¿ t −∝2 )
(¿ t − )+ C ' a sin ¿ ' y ( t ) =C a sin ¿ ∝
1
1
2
1
12
11
ω1 ω2 (¿ t −∝2 )
*1".19+
(¿ t − 1)+ C 2 a22 sin ¿ ' y 2 ( t ) = C 1 a21 sin ¿ ∝
'
ntuk sistem berderajad-kebebasan-dua , kondisi aalnya adalah :
y 1 ( 0 )= y 01
y´ 1 ( 0 )= y´ 01
y 2 ( 0 )= y 02
y´ 2 ( 0 )= y´ 02
(enamakan kembali konstanta )konstanta , didapat:
*1".2"+
y 1 ( t ) =C 1 a11 sin ω1 t + C 2 a11 cos ω 1 t + C 3 a12 sin ω2 t + C 4 a12 cos ω2 t y 1 ( t ) =C 1 a21 sin ω 1 t + C 2 a21 cos ω1 t + C 3 a22 sin ω 2 t + C 4 a22 cos ω2 t imana
C 1 ,
C 2 ,
C 3 ,
*1".21+
C 4 adalah konstanta integrasi yang baru. (aka didapat
persamaan berikut:
y 01=C 2 a11 %
C 4 a12
y 02=C 2 a21 %
C 4 a22
*1".22+
e3epatan pada saat t ! " pada persamaan *1".21+ didapat :
y´ 01=ω 1 C 1 a11 %
ω2 C 3 a 12
y´ 02=ω 1 C 1 a 21 %
ω2 C 3 a 22
*1".2$+ Solusi dari kedua persamaan ini memungkinkan dinyatakan gerak sistem dalam besaran dua pola getaran, dimana tiap pola men3apai frekuensi tertentu dan benar-benar tak berhubungan sama lainnya , serta amplitudo dan fasa yang ditentukan dengan kondisi aal.
