TYTO
ALBA
ROMANAS PLEČKAITIS
Logikos pagrindai
Scanned by Cloud Dancing VILNIUS 2009
U D K 16(0.75.3) PI-47
2-oji pataisyta laida
ISBN 978-9986-16-322-0
© R o m a n a s Plečkaitis, 2004 © Eglė Jokubonytė, viršelio dizainas, 2004 © „Tyto alba", 2006
Tlirinys I SKYRIUS Logikos objektas 1. Minties loginė struktūra. Formalizacijos procesas 2. Loginiai pastovieji ir kintamieji dydžiai 3. Logikos apibrėžimas 4. Prigimtinė ir teorinė logika 5. Logikos santykis su kitais mokslais. Jos reikšmė
9 13 15 17 18
и SKYRIUS Teiginių logika 1. Teiginio samprata 2. Loginis neigimas 3. Konjunkcija 4. Prieštaravimo dėsnis Б. Disjunkcija 6. Negalimo trečiojo dėsnis 7. Implikacija 8. Ekvivalencija 9. Simbolinio žymėjimo sistemos 10. Sudėtinių teiginių neigimas 11. Teiginių formalizacija 12. Sudėtinio teiginio teisingumo reikšmės nustatymas 13. Loginių jungčių pakeitimas 14. Dvejybiškumas 15. Teiginių logikos dėsniai 16. Samprotavimų pagrindimas teiginių logikos priemonėmis 17. Loginės sekos principai 18. Išsprendžiamumas 19. Konjunkcinė normalioji forma 20. Disjunkcinė normalioji forma 21. Teiginių logikos taikymas technikoje
21 23 27 31 33 37 40 46 49 50 53 54 57 61 62 70 74 75 81 87 92
III SKYRIUS Predikatų logika SAVYBIŲ TEORIJA 1. Propozicinė funkcija, jos pavertimas teiginiu 2. Savybių teorijos alfabetas
94 100
3. Savybių teorijos dėsniai 4. Išraiškų pertvarkymas savybių teorijoje 5. Formalioji implikacija SANTYKIŲ TEORIJA 6. Santykių samprata 7. Teiginių formaIizacija 8. Veiksmai su santykiais 9. Specialios loginės santykių savybės 10. Tapatybė 11. Santykių teorijos dėsniai 12. Santykių išreiškimas savybių teorijos terminais 13. Išsprendžiamumas predikatų logikoje 14. Išplėstinė predikatų logika 15. Predikatų Iogikostaikymasfilosofijoje
103 110 112 113 116 117 122 124 127 128 129 131 132
IV SKYRIUS Loginių klasių teorija 1. Loginė klasė ir jos struktūra 2. Izomorfizmas ir homomorfizmas 3. Santykiai tarp loginių klasių 4. Veiksmai su klasėmis 5. Klasių teorijos dėsniai 6. Sąvokos, jų sudarymas 7. Sąvokų apibrėžimas
135 139 141 144 156 159 162
v SKYRIUS Daugiareikšmė logika 1. Daugiareikšmės logikos samprata 2. Trijų reikšmių logika 3. J. Lukasiewicziaus trijų reikšmių logikos sistema 4. Keturių reikšmių logika 5. Daugiareikšmės logikos prasmė
177 179 185 189 193
Vl SKYRIUS Modalinė logika 1. Modalumai 2. Loginiai ir fiziniai modalumai 3. Modalumų pakeitimas 4. Keturių reikšmių modalinė logika 5. Poriniai modalumai 6. Modalinės logikos dėsniai 7. Kartotiniai modalumai 8. Griežtosios implikacijos sistema
195 198 200 203 207 210 213 215
VI SKYRIUS Deontinė logika 1. Teiginių funkcijos 2. Normų rūšys 3. Deontinių samprotavimų pagrindimas 4. Normos struktūra ir normų logikos sistemos 5. Absoliuti normų logika 6. Minimali normų logika 7. Aukštesnės eilės normos
219 220 222 223 224 234 238
VIII SKYRIUS Vertinimų logika 1. Vertinimo struktūra 2. Gėrio rūšys 3. Vertinančiųjų samprotavimų pagrindimas 4. Absoliučių vertinimų logika 5. Aukštesnės eilės vertinimai 6. Vertinimai ir normos 7. Preferencijų logika
239 241 242 244 249 250 253
IX SKYRIUS Klausimų logika 1. Klausimo loginė struktūra 2. Klausimų rūšys 3. Atsakymai
257 259 262
χ SKYRIUS Loginė semantika 1. Sintaksė ir semantika 2. Reikšmė ir prasmė logikoje 3. Reikšmė kaip išraiškos vartojimo būdas 4. Supratimas 5. Ekstensionalas ir intensionalas 6. Galimi pasauliai 7. Analitiškumas ir sintetiškumas 8. Modelis ir interpretacija 9. Logikos antinomijos 10. Semantinė tiesos samprata 11. Kalba ir logika
264 265 275 276 277 281 283 285 287 300 302
Xl SKYRIUS Dedukcinis metodas 1. Dedukcinio metodo struktūra 2. Teiginių logika kaip dedukcinė sistema 3. Reikalavimai dedukcinei teorijai
304 306 310
XI SKYRIUS Tikimybiniai samprotavimai 1. Nededukciniai samprotavimai 2. Indukcija 3. Analogija 4. Hipotezė 5. Ikiteisminio tyrimo versija 6. Tikimybiniai nededukcinių samprotavimų pagrindai 7. Tikimybinė logika
313 316 323 330 333 342 345
XII SKYRIUS Įrodymas 1. Įrodymo struktūra 2. Pakankamo pagrindo principas 3. Įrodymų rūšys 4. Įrodymo taisyklės 5. Loginės klaidos
351 353 355 358 363
XIV SKYRIUS Senoji formalioji logika 1. Teiginiai ir jų rūšys 2. Terminų suskirstymas teiginiuose 3. Loginis kvadratas 4. Silogistika. Silogizmo struktūra 5. Silogizmo taisyklės 6. Silogizmo figūros 7. Silogizmo figūrų modai 8. Aksiominis silogistikos išdėstymas 9. Sutrumpinti ir sudėtiniai silogizmai 10. Silogistika šiuolaikinės logikos požiūriu
367 370 371 373 375 378 379 383 386 388
XV SKYRIUS Logikos istorija 1. Logika senovės Rytų šalyse 2. Antikinė logika 3. Viduramžių logika 4. Logika naujaisiais amžiais 5. Simbolinės logikos formavimasis ir raida XIX-XX amžiais 6. Logikos istorija Lietuvoje Pratimų atsakymai
395 397 404 414 417 421 427
I
SKYRIUS
Logikos objektas 1. Minties loginė struktūra. Formalizacijos procesas Logika tiria žmogaus mąstymą. Jj savaip tiria ir kiti mokslai - psichologija, filosofija, nervų sistemos fiziologija, psichiatrija. Dar nuo antikos laikų yra susiformavęs loginiu vadinamas požiūris j mąstymą. Juo sekant, mąstymas turi turinį ir formą. Mąstymo turinys tai objektų, apie kuriuos mąstome, vaizdai, sąvokos sąmonėje. Kai sakome „Šiandien aš vykstu į Kauną", tai mąstymo turinį sudaro operavimas sąmonėje objektais „aš", „ši diena", „vykti", „Kaunas". Logika atsižvelgia į mąstymo turinį, tačiau ji neturi tikslo jį tirti. Logika tiria kitą mąstymo proceso pusę - mąstymo formą. Ji tiria ne kas mąstoma, bet kaip mąstoma. Norėdami išsiaiškinti, kas yra loginė mąstymo forma, panagrinėkime šį samprotavimą: Jei šiandien pirmadienis, tai rytoj antradienis. Šiandien pirmadienis. Vadinasi, rytoj antradienis.
Teiginį „Šiandien pirmadienis" pažymėkime raide p, teiginį „Rytoj antradienis" - raide q. Gauname: Jei p, tai q.
P yraVadinasi, q yra.
Panagrinėkime dar tokį samprotavimą:
Jei moku anglų kalbą, tai galiu skaityti Hemingway'aus kūrinių originalus. Anglų kalbą moku. Vadinasi, galiu skaityti Hemingway'aus kūrinių originalus.
Teiginį „Moku anglų kalbą" pažymėję raide p, teiginį „galiu skaityti Hemingway'aus kūrinių originalus" - raide q, gauname: Jei p, tai q.
P yra. Vadinasi, q yra.
Si išraiška ir yra loginė dviejų nagrinėtų samprotavimų forma. Samprotaujant pagal šią formą, pasakomas koks nors teiginys (p) ir iš jo išplaukiantis teiginys (q). Paskui p patvirtinamas, ir tada išvadoje telieka patvirtinti q. Matome, kad ta pačia logine forma galima išreikšti įvairų turinį. Pateiktų samprotavimų turinys visiškai skirtingas: pirmajame kalbama apie savaitės dienų seką, antrajame - apie anglų kalbos mokėjimą ir literatūros skaitymą. Tačiau abiem samprotavimams bendra tai, kad jų loginė struktūra vienoda. Pagal struktūrą Jei p, tai q.
P yraVadinasi, q yra.
mes sudarome įvairiausio turinio samprotavimus, pvz.: Jei laikrodis rodo 7 vai. 30 min., aš turiu eiti j darbą. Laikrodis rodo 7 vai. 30 min. Vadinasi, aš turiu eiti j darbą.
Panagrinėkime šiuos teiginius:
2 > 1.
Priežastis sukelia pasekmę. Jonas sėdi greta Petro.
Nepaisant to, kad šie trys teiginiai savo turiniu skirtingi, jiems bendra tai, kad juose pasakomi du objektai (2 - 1, priežastis - pasekmė, Jonas - Petras) ir tarp jų nustatomas santykis (būti didesniam, sukelti, sėdėti greta). Jei objektus pažymėsime raidėmis χ ir y, o santykį - raide R, gausime išraišką χ R y.
Ši išraiška ir yra pateiktų trijų teiginių loginė struktūra. Minties loginė struktūra yra jos sudėtinių dalių sujungimo būdas, bendras skirtingo turinio mintyse. Minties loginė struktūra dar kitaip vadinama logine forma. Logika tiria priemones minčių struktūroms nustatyti, atranda minčių struktūrų dėsningumus. Minties loginė struktūra, arba loginė forma, nustatoma formalizacijos metodu. Vartojant formalizacijos metodą, įprastos natūralios kalbos žodžiai ir teiginiai užrašomi loginiais simboliais (alfabeto didžiosiomis ir mažosiomis raidėmis, įvairiais kitais simboliais), sukuriama dirbtinė kalba. Pvz., formulė χ R y yra jau loginės kalbos išraiška. Dirbtinę kalbą vartoja ne tik logika. Esant aukštam teorinio mąstymo lygiui, moksluose be dirbtinių kalbų apsieiti neįmanoma. Matematikos formulių kalba, cheminių reakcijų užrašymai - taip pat dirbtinės kalbos. Dirbtinė kalba pašalina įvairius dviprasmiškumus, lengvai galinčius atsirasti įprastoje kalboje, ji įgalina ekonomiškiausiai ir tiksliausiai reikšti tyrimų rezultatus. Dirbtinių, arba simbolinių, kalbų struktūra panaši į natūralių kalbų struktūrą. Simbolinės kalbos turi savo alfabetą, taisykles, pagal kurias iš alfabeto vienetų sudaromos formulės. Nepaisant dirbtinių kalbų reikšmės, jos tėra pagalbinė priemonė įprastai šnekamajai kalbai, nes pačias dirbtines kalbas reikia aiškinti įprasta natūralia kalba.
Kalbą sudaro dvejopo pobūdžio žodžiai. Vieni žodžiai turi siauresnę reikšmę, kiti - labai plačią. Šių pastarųjų dėka iš siauresnės reikšmės žodžių galima sudaryti teiginius. Tarkime, kad reikia nustatyti, kokius žmones vadiname broliais. Apibrėšime taip: vienas žmogus yra kito žmogaus brolis tada ir tik tada, kai jis vyriškis ir yra kas nors, kas yra jų abiejų tėvai. Šiame apibrėžime žodžiai „žmogus", „brolis", „vyriškis", „tėvai" turi kur kas siauresnę reikšmę negu visi kiti likusieji žodžiai: „vienas... yra kito... tada ir tik tada, kai jis..., ir yra kas nors, kas yra jų abiejų...". Pastarieji žodžiai turi plačiausią reikšmę, jie aptinkami įvairiuose teiginiuose. Jie yra priemonė siauresnės reikšmės žodžiams jungti į teiginį. Galima padaryti tokį palyginimą. Kai namas statomas iš plytų, tai vien tik iš plytų namo pastatyti neįmanoma, reikia skiedinio, cemento, kuris plytas surištų. Panašiai yra ir kalboje. Siauresnės reikšmės žodžiai - tai žodžiai-plytos, o plačiausios reikšmės žodžiai - tai žodžiai-cementas. Žodžiai-plytos rodo minties turinį, o žodžiai-cementas rodo minties struktūrą. Logikos tikslas - nustatyti žodžiųcemento prasmę ir jų vartojimo būdus. Pateikiame kai kuriuos žodžius, kuriuos tiria logika: tas
visi
ne
objektas
išvada
kuris
kai kurie
taip
klasė
įrodymas
vienas
yra
galbūt
požymis
tiesa
toks pat
egzistuoja
ir
santykis
klaidingumas
skirtingas
nėra
arba
samprotavimas tikėtinumas
Pratimas Nustatykite, kurie žodžiai šiame teiginyje yra žodžiai-plytos ir kurie - žodžiai-cementas: „Teta yra tėvo arba motinos sesuo".
2. Loginiai pastovieji ir kintamieji dydžiai Kai nagrinėjame kokį nors reiškinį, procesą, matome, kad tame reiškinyje ar procese esama dvejopo pobūdžio dydžių. Vieni iš jų išlieka pastovūs, nekinta, o kiti kinta. Panagrinėkime lėktuvo skridimą. Šiame reiškinyje išlieka pastovūs: keleivių skaičius, jų bagažo svoris, lėktuvo matmenys ir kt. Bet, lėktuvui skrendant, kai kurie dydžiai neišlaiko pastovios reikšmės: kinta lėktuvo atstumas nuo pakilimo ir iki nusileidimo vietos, degalų ir tepalo atsargos, kinta lėktuvo greitis, skridimo aukštis, keleivių nuotaikos ir daugelis kitų dydžių. Panašu ir logikoje. Logikos formules, kuriomis užrašomi loginiai minčių ryšiai, sudaro dvejopo pobūdžio dydžiai - pastovieji ir kintamieji. Loginiaipastovieji dydžiai yra tokie loginiai dydžiai, кипе tun griežtai apibrėžtą reikšmę ir ją išsaugo samprotavime. Loginiai pastovieji dydžiai skirstomi į tris grupes. Pirmąją loginių pastoviųjų dydžių grupę sudaro logikos terminai: teiginys, sąvoka, samprotavimas, išvada, įrodymas, požymis, klasė ir t. t. Visi logikos terminai turi griežtai apibrėžtą reikšmę, nekintančią samprotavime. Antrąją loginių pastoviųjų dydžių grupę sudaro plačiausios reikšmės žodžiai (žodžiai-cementas), kurių dėka siauresnės reikšmės žodžiai (žodžiai-plytos) jungiami į teiginius: ir, arba, jei..., tai, yra, nėra, vienas, kiekvienas, toks pat, skirtingas ir 1.1. Trečią loginių pastoviųjų dydžių grupę sudaro loginiai simboliai, žymintys tam tikrus loginius veiksmus: - , V, —>, c ir kt. Loginiai pastovieji dydžiai dar kitaip vadinami loginėmis konstantomis. Loginiai kintamieji dydžiai yra tokie loginiai dydžiai, kurie neturi griežtai apibrėžtos reikšmės; jų reikšmė samprotavime gali kisti. Loginiai kintamieji dydžiai žymimi didžiosiomis ir mažosiomis lotyniškojo alfabeto raidėmis:
Д В, С..., Χ, Y; a, b, с..., χ, у.
Loginių kintamųjų dydžių reikšmė samprotavime kinta priklausomai nuo to, kokį turinį jiems priskiriame. Išraiškoje Jei p, tai q. p teisingas. Vadinasi, q teisingas.
žodžiai „jei..., tai", „vadinasi", „teisingas" yra loginės konstantos, o p ir q yra loginiai kintamieji dydžiai, kuriems galima priskirti įvairų konkretų turinį, t. y. p ir q galima pakeisti įvairiais konkrečiais teiginiais. Išraiškoje „p ir q" žodis „ir" - loginis pastovusis dydis, o p ir q loginiai kintamieji. Išraiškos „p ir reikšmė kinta priklausomai nuo to, kokiais konkrečiais teiginiais pakeičiame p ir q. Pvz., p pakeitus teiginiu „A yra studentas", o q - teiginiu „A studijuoja teisę", gauname: „A yra studentas ir A studijuoja teisę". Pakeitus p teiginiu „Sode auga obelys", o q - teiginiu „Sode auga kriaušės", gauname: „Sode auga obelys ir kriaušės". Loginių pastoviųjų ir kintamųjų dydžių vaidmenį galima palyginti su anketa. Mausimai, suformuluoti anketoje, - pastovieji dydžiai. Tarpai, palikti anketai užpildyti, - kintamieji dydžiai, nes kiekvienas asmuo užpildo anketą savaip. Kaip anketa įgauna apibrėžtą konkretų turinį, užpildžius joje paliktas vietas, taip ir loginė formulė, loginius kintamuosius pakeitus konkrečiais teiginiais ar žodžiais, įgauna konkrečią apibrėžtą reikšmę. Įprastoje šnekamojoje kalboje nėra kintamųjų. Kintamųjų vietoje joje vartojami įvardžiai, ypač nežymimieji įvardžiai „kažkas", „kas nors", ir kt. Sakinys „Jei kas nors iš ko nors ką nors pasiskolino, tai privalu tą jam grąžinti" reiškia tą patį, ką ir sakinys „Jei χ pasiskolino z iš y, tai χ privalo asmeniui y grąžinti z". Bet sudėtingesniais atvejais, formuluojant teiginius, įvardžių nepakanka, dėl to vietoj įprastos natūralios kalbos vartojama dirbtinė kalba.
0 b Pratimai 1. Atraskite loginius pastoviuosius ir loginius kintamuosius dydžius šiose išraiškose: jei p, tai q; p arba <7; p ir ne-q. 2. Pateiktose išraiškose loginius kintamuosius dydžius pakeiskite konkrečiais teiginiais.
3. Logikos apibrėžimas Senosios graikų kalbos žodis logikos reiškia „protingas", logike „logika". Logika yra mokslas apie samprotavimo būdą. Logika tiria minčių struktūrą, minčių ryšių dėsningumus. Kadangi mintys reiškiamos kalba, tai logika tiria kalbą kaip pažinimo priemonę. Šioje knygoje daugiausia dėstoma simbolinė logika. Simboline ji vadinama todėl, kad joje plačiai vartojami simboliai, kad ji sudaryta kaip simbolių kalba. Simbolinė logika kitaip dar vadinama matematine logika dėl to, kad čia matematikos metodai perkelti į logiką. Simbolinė, arba matematinė, logika tėra skirtingi pavadinimai tos pačios logikos, kuri dar kitaip gali būti pavadinta šiuolaikine formaliąja logika. Įvardijant šiuolaikine, ji skiriama nuo ankstesniųjų antikinės, viduramžių, naujųjų amžių logikos istorinių pavidalų. Formalus logikos pobūdis reiškia tai, kad ji tiria tokius minčių ryšių dėsningumus, kurie priklauso ne nuo mąstymo turinio, o nuo mąstymo formos, nuo minčių struktūros. Panagrinėkime teiginį „Gretimoje auditorijoje yra stalas". Norint sužinoti, ar šis teiginys teisingas, reikia jį patikrinti patyrimu: užeiti į tą auditoriją ir pasižiūrėti. Galima tikėti žmogumi, pasakiusiu šį teiginį. Tos tiesos, kūnas reikia patikrinti patyrimu, vadinamos empirinėmis, arba fakto, tiesomis. Bet yra ir kitokio pobūdžio tiesų jos vadinamos loginėmis tiesomis. Norint įsitikinti, ar jos teisingos, nereikia jų patikrinti patyrimu. Teiginio „Gretimoje auditorijoje yra
stalas arba stalo joje nėra" nereikia tikrinti patyrimu. Kiekvienam aišku, kad auditorijoje arba yra stalas, arba jo nėra. Sio teiginio teisingumą suprantame iš loginių konstantų „yra", „arba", „nėra" prasmės. Tegul turime teiginius: Jei A tapatus B, tai B tapatus A. Jei bulvės maiše, o maišas vežime, tai ir bulvės vežime.
Užtenka tik suprasti šiuos teiginius, kad įsitikintume, jog jie teisingi. Visai nereikia ieškoti objektų A ir B, nereikia pilti bulvių į maišą, paskui maišo kelti į vežimą ir pan. Šių teiginių teisingumą suprantame teoriškai, jie yra loginės tiesos, jų teisingumas priklauso išimtinai nuo jų loginės formos, arba loginės struktūros. Loginės tiesos - tai teiginiai, kurių patyrimu patikrinti nereikia, jų teisingumas priklauso tik nuo jų loginės struktūros. Nustatant, ar sakinys „x patinka y" teisingas, reikia jį patikrinti patyrimu. Bet šį sakinį galima išvesti ir grynai logiškai iš patyrimu žinomų prielaidų. Tarkime, kad žinome, jog χ patinka logika, y patinka logika, χ patinka visi, kuriems patinka logika.
Tada išvada aiški: χ patinka y. Be to, gaunama dar viena išvada: χ pats sau patinka. Loginės tiesos gaunamos perdirbant pačioje žinių sistemoje esančią informaciją. Fakto tiesos surandamos įgyjant informaciją, išeinančią už esamos žinių sistemos ribų. Logikos tikslas - nustatyti logines pažinimo teisingumo sąlygas, sukurti efektyvų loginio pažinimo metodą, nustatyti priemones, įgalinančias iš vienų teiginių išvesti kitus teiginius.
Pratimas Nustatykite, kurie teiginiai empirinės tiesos ir kurie - loginės tiesos: 1. Sode augo serbentai ir agrastai. 2. Sode augo agrastai arba agrastai sode neaugo. 3. Onutė parašė raidę A. 4. Jei Onutė parašė raidę A, tai Onutė parašė pirmąją alfabeto raidę.
4. Prigimtinė ir teorinė logika Žmonės skirtingai supranta daiktus, reiškinius, tačiau visi mąsto tomis pačiomis loginėmis struktūromis. Loginis mąstymas nėra rasinio, tautinio ar klasinio pobūdžio reiškinys. Nėra skirtumo ir lyties požiūriu -vyrų ir moterų loginis mąstymas toks pats, skiriasi tik jų psichika. Loginės struktūros bendros visiems žmonėms, visi mąsto pagal tuos pačius logikos dėsnius. Logika yra bendražmogiško pobūdžio. Būdamas tas pats visiems žmonėms, loginis mąstymas egzistuoja dviem pavidalais. Pirmas pavidalas - prigimtinė logika - yra įprastas natūralus mąstymo procesas. Neuronų tinklai smegenyse ir impulsai juose sudaro loginio mąstymo fiziologinį pagrindą, kuris paveldimas. Impulsų nešamą turinį suformuoja ugdymo, mokymo, bendravimo, darbo procesai. Prigimtinė logika yra normalus žmonių mąstymas, t. y. sveikas protas. Nors sveikas protas yra galinga pažinimo priemonė, moksliniame pažinime vien tik jo veiksenos nepakanka. Būtinas antras logikos pavidalas - teorinė logika, ne tik įprasminanti sveiko proto veikseną, bet ir sukurianti tokias konstrukcijas problemoms spręsti, kurias spręsti įprastinis protas nepajėgus. Eidama išvien su sveiku protu, teorinė logika žengia toliau už jį ir nuveikia tai, ko įprastas natūralus mąstymas nuveikti negali. Teorinė logika savo objektą išskiria ne stebėdama ir aprašydama minties raiškos priemonę kalbą ir jos vartotojus, bet išplėtodama logiškai galimas, logiškai įmanomas situacijas; ji yra konstruojantis mokslas.
Loginės struktūros kyla iš patyrimo. Jos išreiškia bendriausius tikrovės bruožus, su kuriais žmonės susiduria bet kurioje praktinėje veikloje: koks nors daiktas egzistuoja arba neegzistuoja, vieni reiškiniai sąlygoja kitus reiškinius ir nėra taip, kad daiktas turėtų kokį nors požymį ir kartu jo neturėtų. Šia prasme loginės struktūros (jos specialios, ne psichinės ir ne matematinės) yra objektyvaus pobūdžio, t. y. nepriklauso nuo žmogaus norų, valios. Kurdama savas konstrukcijas, teorinė logika tobulina samprotavimo būdus, juos keisdama ir modifikuodama pratęsia sveiko proto veikseną.
5. Logikos santykis su kitais mokslais. Jos reikšmė Senovėje logika buvo vaizduojama kilnios moters (mūzos mokslo globėjos), rankoje laikančios raktus, pavidalo: logika atrakinanti duris į tiesą, atverianti kelią visiems mokslams, ji esanti pažintinis visų mokslų instrumentas. Šiuolaikiniuose moksluose, esant aukštam teorinio mąstymo lygiui, iškyla daug loginių problemų: koks yra to ar kito mokslo vartojamas samprotavimo būdas, kokios loginės priemonės gali sėkmingiausiai padėti spręsti tuos ar kitus klausimus ir pan. Tai svarbūs klausimai, nes kiekvienas mokslas, kaip ir kiekvienas paskiras žmogus, tiria savo srities reiškinius, vadovaudamasis tam tikru samprotavimo būdu, tam tikra logika. Kuo samprotavimo būdas, tas loginis tinklelis, bus geresnis, tuo sėkmingiau bus galima spręsti problemas. Cia mokslams į pagalbą ateina logika, nes turi tikslą nustatyti pačias efektyviausias logines tiesos pasiekimo priemones. Tad logika aptarnauja kitus mokslus. Šia prasme logika yra bendras metodas visiems mokslams, ji yra mokslinio mąstymo technika. Daug loginių problemų yra lingvistikoje. Pati lingvistika neturi priemonių joms išspręsti, todėl ji turi kviestis į pagalbą logiką. Gramatiškai analizuojant sakinį, būtina remtis sakinio logika. Panašiai ir lingvistinė semantika susijusi su logine semantika.
Logika glaudžiai susijusi su matematika. Ryšys čia abipusis: matematika vartoja logikos sukurtas priemones, o logika ima iš matematikos kai kuriuos jos metodus ir pagal juos plėtoja savo teorijas. Logika remiamasi teisės moksluose, ypač teisminių įrodymų teorijoje. Kas yra pats įrodymas, kaip reikia įrodyti, kas yra hipotezė, versija, kaip versija virsta įrodyta tiesa - visa tai logikos klausimai. Logika glaudžiai susijusi su filosofija. Ryšys čia taip pat abipusis. Filosofija apibendrina logikos pasiekimus, remiasi jais. Kita vertus, logikoje yra filosofinių problemų. Pastaruoju metu logikos teorijos sėkmingai taikomos ir tuose moksluose, kurie iš pirmo žvilgsnio atrodo nutolę nuo logikos. Nervų sistemos fiziologijoje prieita išvada, kad smegenų nervinių ląstelių veiklą galima aprašyti simbolinės logikos priemonėmis. Jau iš to, kad logika tiria loginius mokslų pagrindus, kad ji yra bendras metodas visiems mokslams, aiškėja logikos reikšmė. Pati didžiausia logikos vertė yra ta, kad mūsų laikais ji taikoma technikoje, kad tiesiogiai gausindama materialines ir dvasines gėrybes, tapo priešakinės technikos metodu. Automatizuojant ir telemechanizuojant gamybą, konstruojant skaičiavimo mašinas, siekiant automatizuoti įvairias protinio darbo rūšis, apsieiti be simbolinės logikos neįmanoma. Audringai besiplėtojanti kompiuterizacija atveria logikai dar platesnes taikymo perspektyvas. Loginius mąstymo veiksmus galima palyginti su šachmatų žaidimo taisyklėmis, kurios nustato, kaip leistina perkelti figūras iš vieno šachmatų lentos laukelio į kitą. Tačiau šachmatų žaidimo taisyklės tai ne šachmatų strategija, ne kombinacijų kūrimas ir realizavimas. Panašiai ir loginiai mąstymo veiksmai yra gaunamos informacijos perdirbimas (iš vienų teiginių išvedami kiti teiginiai). Tačiau loginiai mąstymo veiksmai negali nurodyti, kaip atrasti problemą, kaip ją išspręsti. Moksliniame tyrime logika būtina, tačiau būtų iliuzija manyti, kad, nežinant faktinės medžiagos, o žinant tik logiką, galima sėkmingai atrasti ir spręsti bet kurio mokslo problemas. Kodėl naudinga studijuoti logiką? Logikos studijavimas pakelia intelektinį žmogaus lygį, jo potencines intelektines galias, kaip kad
užtvankos statymas pakelia vandens lygį. Logika formuoja kritinį žmogaus požiūrį į kitų žmonių ir į savo teiginius, pažiūras, įsitikinimus. Pagal šį požiūrį, neužtenka pateikti vien tai, kas teiginį patvirtina, reikia išnagrinėti ir tai, kas teiginiui prieštarauja. Kiekvieną teiginį galima laikyti teisingu, jei jis turi pakankamą teisingumo pagrindą. Loginės klaidos turi kur kas didesnę praktinę reikšmę, negu paprastai manoma. Jos leidžia jas darančiajam laikytis sau naudingos nuomonės kiekvienu klausimu. Kiekviena griežta logiškai pagrįsta teorija padeda įveikti paplitusius prietarus. Norint samprotavimuose prieiti teisingą išvadą, reikia laikytis dviejų pagrindinių sąlygų: 1. Turi būti teisingi pradiniai samprotavimo teiginiai. 2. Samprotavimo eiga turi būti logiškai taisyklinga. Logika nurodo, kaip reikia taisyklingai mąstyti. Norint susipažinti su logikos pagrindais, nebūtina turėti kokių nors specialių žinių, pakanka bendro išsilavinimo.
II
SKYRIUS
Teiginių logika
Logikos mokslą sudaro daug teorijų. Pagrindinė logikos teorija yra teiginių logika. Dėsningumai, nustatyti teiginių logikoje, galioja ir kitose logikos teorijose. Teiginių logika yra logikos teorija, nagrinėjanti teiginių ryšius, gaunamus loginių konstantų „ne", „ir", „arba", „jei..., tai", „jei ir tik jei..., tai" dėka.
1. Teiginio samprata
Teiginiu vadinamas bet kuris sakinys, kuris yra teisingas arba klaidingas Teiginys gali turėti ir kokią nors kitą reikšmę: gali būti neapibrėžtas, tikėtinas, galimas ir pan. Tačiau teiginių logikoje teiginiai nagrinėjami kaip turintys tik dvi reikšmes - jie gali būti teisingi arba klaidingi. Teisingumas ir klaidingumas vadinami teiginio reikšmėmis. Teiginių pavyzdžiai: „Mūsų gatve važiuoja troleibusai", „Šiandien šviečia saulė". Teiginiai skiriasi nuo gramatinių sakinių. Ne visi gramatiniai sakiniai gali būti laikomi teiginiais, nes ne visi gramatiniai sakiniai gali būti teisingi arba klaidingi. Hausiamieji sakiniai nėra nei teisingi, nei klaidingi. Hausimas „Kaip jums sekasi?" nėra nei teisingas, nei klaidingas, galima kalbėti tik apie tai, ar klausimas keliamas teisingai ar neteisingai. Pvz., klausimas „Ar tiksliai Marse verčia Aristotelį?" keliamas neteisingai dėl to, kad čia numatoma: 1) Marse yra protingų būtybių; 2) jos turi Aristotelio kūrinių; 3) jos gali Aristotelio kūrinius versti. O tiesa yra tai, kad Aristotelio kūriniai Marse niekaip negalėjo atsidurti.
Skatinamieji sakiniai taip pat nėra nei teisingi, nei klaidingi, pvz.: „Paduokite man stiklinę vandens", „Eik namo", „Kaip norėčiau, kad rytoj būtų geras oras!" Šiais sakiniais reiškiamos žmogaus nuotaikos, jo jausmai ir norai. Teiginių logika į visa tai nekreipia dėmesio, šie veiksniai jai nesvarbūs. Tačiau tai nereiškia, kad negalima klausiamųjų ir skatinamųjų sakinių loginė analizė. Mausimus, komandas, vertinimus tiria atitinkamos logikos sritys, kurios bus aptartos toliau. Iš gramatinių sakinių teiginių logikoje teiginiais laikomi tiesioginiai sakiniai. Tiesioginiuose sakiniuose tvirtinama, kad yra tam tikri objektai arba jų nėra, kad tie objektai turi arba neturi tam tikrų požymių; tiesioginiuose sakiniuose nurodoma, kad yra tam tikri faktai arba jų nėra. Tokie sakiniai yra teisingi arba klaidingi, ir todėl jie yra teiginiai. Teiginių logikoje teiginys nedalomas į jokias sudėtines dalis, jis nagrinėjamas kaip vieninga nedaloma visuma. Paskirus teiginius žymėsime mažosiomis alfabeto raidėmis: p, q, r, s. Kiekvieną teiginį reikia žymėti atskira raide: teiginį „Mūsų gatve važiuoja troleibusai" žymėsime raide p, teiginį „Šiandien šviečia saulė" - raide q ir pan. Teiginius galima neigti, jungti, atskirti, išvesti iš kitų teiginių, atrasti teiginių ekvivalentumą. Šių operacijų analizė ir sudaro teiginių logiką.
Pratimas Kurie iš pateiktų sakinių teiginių logikoje laikomi teiginiais: 1. Tegul bėga mūsų upės į marias giliausias. (J. Maironis) 2. Ar tave skersvėjis perpūtė? (P. Cvirka) 3. Iš tikrųjų, kokie gražūs šitie kalnai! (A. 4. Pasveikinau draugą su gimimo diena. 5. Teisingumas yra valstybės pamatas.
Vienuolis)
2. Loginis neigimas Loginis neigimas reiškiamas žodžiais „ne", „nėra", „netiesa, kad...", „klaidinga, kad...". Teiginio „Kambaryje yra stalas" neigimas reiškiamas taip: Kambaryje nėra stalo. Netiesa, kad kambaryje yra stalas. Klaidinga, kad kambaryje yra stalas.
Visi šie teiginiai lygiavertūs. Įprastoje kalboje neigimas gali būti reiškiamas dar ir kitais žodžiais: „be", „išskyrus" ir pan. Teiginys „Jonas buvo be kepurės" lygiavertūs teiginiui „Jonas nebuvo užsidėjęs kepurės". Logikoje neigimas žymimas tam tikru simboliu - brūkšniu, kuris dedamas virš teiginio. Teiginį pažymėjus raide p, jo neigimas žymimas p ir skaitoma: ne-p; netiesa, kad p; klaidinga, kad p. Centrinė sąvoka logikoje - teisingumas. Tad kyla klausimas, koks santykis tarp pradinio teiginio p ir jo neigimo p teisingumo požiūriu. Tuo tikslu sudaroma teisingumo lentelė: P Kambaryje yra stalas. teisinga klaidinga
P Kambaryje nėra stalo. klaidinga teisinga
Kur kas trumpiau loginio neigimo teisingumo lentelė sudaroma taip:
k t
Raidės t, k lentelėje yra žodžių „teisinga" ir „klaidinga" santrumpos. Iš lentelės matome, kad jei pradinis teiginys p teisingas, tai jo
neigimas p klaidingas; o jei p klaidingas, tai p teisingas. Jei teiginys „Kambaryje yra stalas" teisingas, tai jo neigimas „Kambaryje nėra stalo" klaidingas; jei teiginys „Kambaryje yra stalas" klaidingas, tai jo neigimas „Kambaryje nėra stalo" teisingas. Teisingumo lentelės kitaip dar vadinamos teisingumo matricomis. Mes jas vadinsime tiesiog matricomis. Dvigubas neigimas lygiavertūs teigimui. Sis teiginys vadinamas dvigubo neigimo dėsniu. Užrašomas jis taip: p~p. Išnagrinėsime šią išraišką. Ją sudaro teiginys p, šio teiginio neigimas p, teiginio p neigimas p ir ženklas žymintis lygiavertumą (ekvivalenciją). p reikia suprasti taip: netiesa, kad p teisingas; netiesa, kad p klaidingas; klaidinga, kad p klaidingas. Visą išraišką p ~ p skaitome: teiginys „Netiesa, kad n e-p" lygiavertūs teiginiui p. Logikos dėsnis yra visuomet teisingas teiginys. Jei išraiška visuomet teisinga, tai, kintamuosius pakeitus konkrečiais teiginiais, gausime tiesą. Dvigubo neigimo dėsnyje kintamąjį p reikia pakeisti kokiu nors konkrečiu teiginiu, paliekant nepakitusius dvigubą neigimą ir lygiavertumo ženklą, nes jie yra loginiai pastovūs dydžiai. Pakeitę p teiginiu „Rašomoji lenta juoda", išraišką p ~ p skaitome: teiginys „Netiesa, kad rašomoji lenta nejuoda", lygiavertūs teiginiui „Rašomoji lenta juoda". Tai teisinga. Pakeitę p teiginiu „A studijuoja germanų filologiją", išraišką p ~ p skaitome: teiginys „Netiesa, kad A nestudijuoja germanų filologijos" lygiavertūs teiginiui „A studijuoja germanų filologiją". Tai taip pat teisinga. Pasirodo, kad išraiškoje p ~ p kintamąjį p galima pakeisti bet kokiu konkrečiu teiginiu, vis tiek išraiška bus teisinga. Taip yra todėl, kad ši išraiška yra logikos dėsnis. Logikos dėsniai kitaip dar vadinami bendrareikšmėmis, tapačiai teisingomis išraiškomis. Bendrareikšmė - tai visuomet teisinga išraiška. Iliustravimas pavyzdžiais dar neįrodo, kad išraiška yra logikos dėsnis. Pavyzdžiai niekad neturi įrodomosios galios, jie ne įrodo, o tik parodo, iliustruoja. Galima manyti ir taip: kur nors labai toli yra
toks teiginys, j kurį įvedus du neigimus, jie nebus ekvivalentus teigimui. Teiginių juk begalybė. Todėl dvigubo neigimo dėsnio tikrumas nustatomas ne pavyzdžiais, o teoriškai. Nustatyti, ar išraiška yra logikos dėsnis, galima grynai loginėmis priemonėmis. Reikia išraiškai sudaryti teisingumo lentelę. Dvigubo neigimo dėsnio teisingumo lentelė tokia: P
t k
P k t
P t k
P ~P t t
Teisingumo lentelę (teisingumo matricą) sudaro eilutės ir stulpeliai. Viršutinėje eilutėje žymimi visi loginiai komponentai, sudarantys išraišką. Dvigubo neigimo dėsnį sudaro: teiginys p, jo neigimas p, teiginio p neigimas p ir ekvivalencijos tarp p ir p nustatymas. Eilučių po horizontaliu brūkšniu tėra dvi, nes pradinis teiginys yra vienas teiginys p. Pirmame matricos stulpelyje pažymėta, kad teiginys p gali būti teisingas arba klaidingas. Antrame stulpelyje nustatoma p reikšmė. Iš loginio neigimo žinome, kad jei teiginys p teisingas, tai jo neigimas klaidingas, ir jei p klaidingas, tai jo neigimas teisingas. Trečiame stulpelyje nustatoma p reikšmė. Vėl reikia taikyti loginio neigimo taisyklę, nes p yra p neigimas. Taigi jei p klaidingas, tai p teisingas, ir jei p teisingas, tai p klaidingas. Paskutiniame stulpelyje nustatomas išraiškos p ~ p teisingumas. Trečiame ir pirmame stulpeliuose pažymėtos teiginių p ir p teisingumo reikšmės. Šių stulpelių pirma eilutė vienoda - reikšmė „teisinga". Skaitome: reikšmė „teisinga" ekvivalenti reikšmei „teisinga". Tai tiesa. Šitai užrašome paskutinio stulpelio pirmoje eilutėje. Trečio ir pirmo stulpelio antra eilutė taip pat vienoda - reikšmė „klaidinga". Skaitome: reikšmė „klaidinga" ekvivalenti reikšmei „klaidinga". Tai tiesa, ir šitai užrašome paskutinio stulpelio antroje eilutėje. Vadinasi, jei du teiginiai vienodi savo teisingumo reikšmėmis, tai jie ekvivalentus. Iš matricos matome, kad išraiška p ~ p visais atvejais teisinga (nors tokių atvejų čia tėra du).
Kadangi p ekvivalentu p, tai dvigubų neigimą visuomet galima nubraukti. Trigubas neigimas ekvivalentus neigimui: p ~ p. Jei teiginyje lyginis neigimų skaičius, tai juos visus galima nubraukti, nes jie ekvivalentus teigimui. Jei teiginyje nelyginis neigimų skaičius, tai jie visi ekvivalentus vienam neigimui. Loginis neigimas taikomas loginei gramatinių sakinių analizei. Tegul turime sakinį „A melavo, kad jis matė B". Šiame sakinyje išreikštos dvi mintys, ir būtų netikslu teigti, kad viena jų priklauso pagrindiniam sakiniui, o kita - šalutiniam. Tos dvi mintys šios: 1. A teigia, kad jis matė B. 2. A nematė B. Išanalizavę gauname sakinį: „A teigė, kad jis matė B, ir A nematė B".
Natūrali šnekamoji kalba ne visada pajėgia griežtai išreikšti loginius būvius. Lietuvių kalboje į teiginį įvestas vienas neigimas kartais tegali būti išsakomas dviem ar net trimis neigimo prasmę turinčiais žodžiais. Teiginyje „Nutariau nieko nedaryti" yra du tokie žodžiai, nors logiškai žodžiais „nieko nedaryti" išsakomas vienas neigimas ir teiginys užrašomas p. Anglų kalboje šiuo atveju apsieinama vienu neigiamu žodžiu to do nothing. Teiginyje „Niekas nieko nepasakė" trimis neigiamais žodžiais išsakomas vienas loginis neigimas: nėra tokio, kuris ką nors būtų pasakęs.
Pratimai 1. Pateikite šių teiginių neigimus ir nustatykite jų teisingumą: a) partijų kova yra politinė kova; b) lietuvių kalbos daiktavardžiai kaitomi giminėmis; c) logika tiria žmogaus nuotaikas. 2. Teiginį „Priešo puolimas nebuvo nelauktas" užrašykite loginiais simboliais ir nustatykite, kokiam teiginiui jis lygiavertus. 3. Išnagrinėkite teiginį „A suklydo teigdamas, kad B sakė netiesą".
3. Konjunkcija Visi teiginiai skirstomi į paprastus ir sudėtinius. Paprastu teiginiu vadinamas teiginys, kuris į jokius kitus teiginius neskaidomas. Sudėtiniu teiginiu vadinamas teiginys, sudalytas iš kelių paprastų teiginių, sujungtų loginėmis jungtimis. Loginių jungčių yra keturios: ir, arba, jei..., tai, jei ir tik jei..., tai. Šiomis jungtimis paprastus teiginius „Kambaryje yra stalas", „Prie lango stovi kėdė" jungiame j šiuos sudėtinius junginius: Kambaryje yra stalas ir prie lango stovi kėdė. Kambaryje yra stalas arba prie lango stovi kėdė. Jei kambaryje yra stalas, tai prie lango stovi kėdė. Jei ir tik jei kambaryje yra stalas, tai prie lango stovi kėdė.
Paprasto teiginio teisingumas nustatomas ne loginiu būdu, o patyrimu, stebėjimu, eksperimentu. Sudėtinio teiginio teisingumas nustatomas loginėmis priemonėmis. Sudėtinio teiginio teisingumo reikšmė priklauso nuo: a) jį sudarančių paprastų teiginių teisingumo reikšmių; b) jį sudarančių loginių jungčių pobūdžio. Konjunkcija išreiškiama jungtimi „ir". Konjunkciniu teiginiu vadinamas sudėtinis teiginys, sudarytas iškeliu paprastų teiginių, sujungtų logine jungtimi „ir". Teiginys „Šiandien šviečia saulė ir dangus giedras" yra konjunkcinis, sudarytas iš dviejų paprastų teiginių: „Šiandien šviečia saulė" (p) ir „Dangus giedras" (q). Turime: p ir q. Jungtį „ir" pažymėję simboliu „·" (tašku), gauname šią konjunkcijos formulę: P · q-
Konjunkcinj teiginį trumpiau vadinsime tiesiog konjunkcija. Teiginiai p ir q vadinami konjunkcijos nariais. Konjunkcijos narius galima sukeisti vietomis. Ar pasakysime p ir q, ar q ir p, nuo to dalyko esmė nepakis. Taigi
(p.q)~(q.
p).
Teiginys „Čia stovi stalas ir čia stovi kėdė" ekvivalentus teiginiui „Čia stovi kėdė ir čia stovi stalas". Panašiai 2 + 3 = 3 + 2. Tačiau konjunkcijos narių perstatymas ne visada įmanomas. Konjunkcijos „Numirė ir buvo palaidotas" narių perstatyti neįmanoma, perstačius („Buvo palaidotas ir numirė") pakinta teiginio prasmė. Konjunkciją gali sudaryti ne tik du, bet ir daugiau paprastų teiginių. Teiginį „Asmenys A, B, C ir D buvo patraukti baudžiamojon atsakomybėn" sudaro keturi paprasti teiginiai: „Asmuo A buvo patrauktas baudžiamojon atsakomybėn" (p), „Asmuo B buvo patrauktas baudžiamojon atsakomybėn" (g), ,Asmuo C buvo patrauktas baudžiamojon atsakomybėn" (r), „Asmuo D buvo patrauktas baudžiamojon atsakomybėn" (s). Šio teiginio struktūra: p ir q ir r ir s, t. y. p. q. r. s. Kad ir kiek paprastų teiginių sudarytų konjunkcinį teiginį, pagrindinis santykis konjunkcijoje yra santykis tarp dviejų teiginių. Antai teiginį p . q · r · s pertvarkius į (p · q) · (r . s), turėsime du konjunkcijos narius, kurių kiekvienas - vėlgi konjunkcijos teiginys. Konjunkcinio teiginio teisingumas priklauso nuo jį sudarančių paprastų teiginių teisingumo reikšmių. Nustatysime konjunkcijos teisingumo sąlygas. P Kambaryje yra stalas. teisinga teisinga klaidinga klaidinga
q Prie lango stovi kėdė. teisinga klaidinga teisinga klaidinga
p.q Kambaryje yra stalas ir prie lango stovi kėdė. teisinga klaidinga klaidinga klaidinga
Konjunkcijos matrica sudaroma taip: P t
t k k
q t k t k
p• q t k k k
Pirmuose dviejuose stulpeliuose pažymėti visi galimi paprastų teiginių p ir q teisingumo ir klaidingumo atvejai. Tokių atvejų tebus keturi: 1) p teisingas, q teisingas; 2) p teisingas, q klaidingas; 3) p klaidingas, q teisingas; 4) p klaidingas, q klaidingas. Pirma eilutė po horizontaliu brūkšniu: teiginys p teisingas, teiginys q teisingas - konjunkcija p . q teisinga. Antra eilutė: p teisingas, q klaidingas - konjunkcija p . q klaidinga. Trečia eilutė: p klaidingas, q teisingas - konjunkcija p . q klaidinga. Ketvirta eilutė: p klaidingas, q klaidingas - konjunkcija p . q klaidinga. Konjunkcijos taisyklė: konjunkcija teisinga, kai teisingi visi jos nariai. Konjunkcinis teiginys „Kambaryje yra stalas ir prie lango stovi kėdė" teisingas tik tada, kai kambaryje tikrai yra stalas ir prie lango tikrai stovi kėdė. O jei kambaryje stalas yra, tačiau prie lango kėdė nestovi, tai teiginys „Kambaryje yra stalas ir prie lango stovi kėdė" klaidingas. Matricoje šis teiginys atitinka antrą eilutę: p teisingas, q klaidingas, konjunkcija p . q klaidinga. Įprastoje kalboje konjunkcija reiškiama ne tik žodžiu „ir". Mūsų natūrali kalba turtinga. Daugeliu atvejų loginiu požiūriu jungčiai „ir" lygiaverčiai šie gramatiniai jungtukai: „o", „bet", „tačiau", „nors". Sie teiginiai savo logine reikšme lygiaverčiai: Petraitis Petraitis Petraitis Petraitis
dar dar dar dar
Vilniuje ir atostogaus gimtajame kaime. Vilniuje, o atostogaus gimtajame kaime. Vilniuje, bet atostogaus gimtajame kaime. Vilniuje, tačiau atostogaus gimtajame kaime.
Petraitis dar Vilniuje, nors atostogaus gimtajame kaime.
Visi šie teiginiai teisingi tik tada, kai teisingi juos sudarantys paprasti teiginiai, todėl šie penki teiginiai yra logiškai lygiavertūs. Pavieniais atvejais konjunkciją išreiškia žodis „kuris". Teiginys „Jis paėmė knygą, kuri gulėjo ant stalo" - konjunkcinis: „Jis paėmė knygą, ir knyga gulėjo ant stalo". Kad teiginys konjunkcinis, dažnai nurodo kablelis, pavyzdžiui: „Automobilis važiavo greitai, plente judėjimas buvo nedidelis, sankryžų beveik nepasitaikydavo". Teiginys „Ten augo medis, panašus į gluosnį" taip pat konjunkcinis: „Ten augo medis, ir jis buvo panašus į gluosnį". Dažnai konjunkciją išreiškia žodis „tik". Teiginys „Tik asmuo A padarė nusikaltimą" suprantamas taip: „Asmuo A padarė nusikaltimą (p), ir niekas kitas nusikaltimo nepadarė (q)". Šio teiginio struktūra - p -q. Konjunkciją nurodo žodis „išskyrus". Teiginį „Visi susirinkimo dalyviai balsavo už pateiktą pasiūlymą, išskyrus asmenį A", sudaro du teiginiai: „Visi kiti susirinkimo dalyviai balsavo už pateiktą pasiūlymą (p)" ir „Asmuo A už jį nebalsavo (q)". Konjunkciją taip pat išreiškia gramatiniai jungtukai „nei..., nei", „kaip..., taip", „tai..., tai", pavyzdžiui: „Nei vėjai pūtė, nei sodai ūžė" (p · q). Kad ir kokiomis kalbinėmis priemonėmis būtų išreikšta konjunkcija, visais atvejais ji teisinga tik tada, kai teisingi visi jos nariai.
i^D P r a t i m a s Teiginių logikos simboliais užrašykite šiuos teiginius: a) Jonas nei kvailas, nei tinginys; b) Monika egzaminui pasirengė, tačiau tik vidutiniškai; c) asmuo nuskendo, nors plaukti mokėjo; d) joks kitas požiūris nepriimtinas.
4. Prieštaravimo dėsnis Šis dėsnis laikomas vienu svarbesnių logikos dėsnių. Jis užrašomas formule P-P.
kuri skaitoma taip: netiesa, kad teiginys p ir jo neigimas ne-p yra kartu teisingi. Prieštaravimo dėsnis dar ir taip nusakomas: teiginys negali būti kartu teisingas ir klaidingas. Išraišką p . p sudaro teiginys p, jo neigimas p, teiginių p ir p konjunkcija, šios konjunkcijos neigimas. Išraišką p . p pradedame skaityti nuo ilgojo brūkšnio, reiškiančio p . p neigimą: netiesa, kad teiginys p ir jo neigimas ne-p yra kartu teisingi. Kadangi išraiška p . p yra logikos dėsnis, tai kintamąjį p pakeitus kokiu nors konkrečiu teiginiu, visuomet gausime tiesą. Pakeitę p teiginiu „Asmuo A mokosi universitete", išraišką skaitome: netiesa, kad teiginys „Asmuo A mokosi universitete" ir jo neigimas „Asmuo A nesimoko universitete" yra kartu teisingi. Kiekvienam aišku, kad negali būti taip, jog koks nors asmuo mokytųsi universitete ir drauge jame nesimokytų. Patikrinti, ar išraiška p . p yra logikos dėsnis, galima sudarant jai matricą: P t k
P k t
P• P k k
P-P t t
Pirmame matricos stulpelyje pažymėta, kad teiginys p gali būti teisingas arba klaidingas. Antrame stulpelyje nustatoma p reikšmė: jei p teisingas, tai p klaidingas, jei p klaidingas, tai ne-p teisingas. Trečiame stulpelyje nustatoma konjunkcijos p · p teisingumo reikšmė. Žinome, kad konjunkcija teisinga tik tada, kai teisingi visi jos nariai. Pirmoje eilutėje p teisingas, bet p klaidingas, tad kon-
junkcija p . p klaidinga. Antroje eilutėje p klaidingas, p teisingas, konjunkcija p . p taip pat klaidinga. Paskutiniame lentelės stulpelyje nustatoma p . p teisingumo reikšmė. Remiamės loginio neigimo taisykle. Kadangi p . p yra išraiškos p . p neigimas, tai kai išraiška p . p klaidinga, jos neigimas teisingas. Neigiant tai, kas klaidinga (trečio stulpelio pirma ir antra eilutė), gauname reikšmę „teisinga" (ketvirto stulpelio pirma ir antra eilutė). Taigi išraiška p . p yra visuomet teisingas teiginys. Atkreipkime dėmesį į tai, kad išraiška p . p yra visuomet klaidinga. Jei tik mintys įgaus šią formą, tiesos nerasime. Teiginys „Asmuo A mokosi universitete ir asmuo A nesimoko universitete" klaidingas. Teiginiai p ir p vadinami prieštaraujančiais. Du teiginiai vienas kitam prieštarauja, jei nėra teiginio, kuris patvirtintų juos abu. Logikoje nėra teiginio, kuris patvirtintų ir p, ir ne-p. Prieštaravimo dėsnis draudžia apie objektą mąstyti prieštaringai, jis nurodo, kad negalima suderinti teiginio ir to paties teiginio neigimo. Pagal šį dėsnį, negalima laikyti kartu teisingais tų teiginių, kurių vienas ką nors teigia apie objektą, o antras tą patį neigia. Prieštaravimo dėsnis yra vienas pagrindinių logikos dėsnių, kuriuo mes nuolat vadovaujamės samprotaudami. Kai teismas skelbia nuosprendį, teisiamasis, padaręs nusikaltimą, niekuomet negali būti pripažintas kaltu ir drauge nekaltu. Taikant teiginiams p ir p prieštaravimo dėsnį, šiuos teiginius reikia vartoti vienu ir tuo pačiu požiūriu, viena ir ta pačia prasme. Jei teiginį p vartosime vienu požiūriu, o jo neigimą p - kitu požiūriu, tai prieštaravimo dėsnis tokių teiginių atžvilgiu negalios. Pavyzdžiui, pagal prieštaravimo dėsnį, negali būti laikomi kartu teisingi teiginiai „Aš esu auditorijoje", „Aš nesu auditorijoje". Jei kas nors sako, kad vis dėlto galima būti auditorijoje (pvz., sėdėti auditorijos suole) ir kartu joje nebūti (pvz., mintyse persikelti į praeitį), tai aišku, kad čia teiginiai „Aš esu auditorijoje" ir „Aš nesu auditorijoje" vartojami skirtingomis prasmėmis. Logika reikalauja, kad samprotaujant vienas ir tas pats teiginys būtų vartojamas viena ir ta
pačia prasme. Šj reikalavimą visuomet reikia prisiminti diskusijose, sekti, ar oponentas vartoja teiginius ta pačia prasme. Prieštaravimo dėsnis yra tam tikrų realios tikrovės bruožų atspindėjimas mąstyme. Jis atspindi tą faktą, kad objektas negali kartu egzistuoti ir neegzistuoti, turėti kokių nors požymių ir tuo pačiu metu jų neturėti.
^Q
Pratimai
1. Kokią klaidą atskleidžia Sobakevičius Cičikovo samprotavime: „Jūs, rodos, esate gan protingas žmogus, turite mokslo žinių. Juk dalykas, kurį jūs parduodate, - tiesiog tuščias burbulas! Ko jis vertas? Kam reikalingas? - Na, jūs perkate, tai, vadinasi, jums reikalingas. Čičikovas prikando lūpą ir nesusigriebė, ką atsakyti." (N. Gogolis) 2. Senovės graikų filosofijos krypties - skepticizmo - šalininkai tvirtino, kad pasaulis nepažinus, kad joks teiginys logiškai nėra stipresnis arba teisingesnis už jam prieštaraujantį teiginį, kad kiekvienas teiginys ne daugiau tikras negu jam prieštaraujantis teiginys. Teiginį ir jo prieštaravimą skeptikai paskelbė lygiaverčiais. Skeptikų mokyklos įkūrėjas Pironas kartą supyko ant savo virėjo už neskaniai pagamintus pietus. Ar pagal skepticizmo principus Pironas turėjo teisę ant virėjo supykti?
5. Disjunkcija Disjunkcija reiškiama logine jungtimi „arba". Disjunkciniu teiginiu vadinamas sudėtinis teiginys, sudarytas iš kelių paprastų teiginių, sujungtų logine jungtimi „arba". Teiginys „Nusikaltimą padarė asmuo A arba nusikaltimą padarė asmuo B" yra disjunkcinis, sudarytas iš dviejų paprastų teiginių: „Nusikaltimą padarė asmuo A" (p), „Nusikaltimą padarė asmuo B" (q). Turime: p arba q.
Jungtį „arba" žymėsime simboliu V. Disjunkcijos formulė ši: pVq. Teiginys p ir teiginys q vadinami disjunkcijos nariais. Disjunkcinį teiginį trumpiau vadinsime tiesiog disjunkcija. Disjunkcijos, kaip ir konjunkcijos, narius galima sukeisti vietomis: pVq lygiavertu qVp. Paskiri disjunkcijos nariai - tai alternatyvos. Alternatyva yra vienas galimų atvejų. Teiginį pVq sudaro alternatyva p ir alternatyva q. Disjunkciją gali sudaryti ne tik du, bet ir daugiau paprastų teiginių, t. y. alternatyvų gali būti ne tik dvi, bet ir daugiau. Teiginį „Užduotį galima atlikti labai gerai arba gerai, arba patenkinamai" sudaro trys disjunkcijos nariai: „Užduotį galima atlikti labai gerai" (p), „Užduotį galima atlikti gerai" (q), „Užduotį galima atlikti patenkinamai" (r). Kad ir kiek paprastų teiginių sudarytų disjunkcinį teiginį, pagrindinis santykis disjunkcijoje yra santykis tarp dviejų teiginių. Jungtis „arba" turi dvi reikšmes - griežtąją ir silpnąją. Priklausomai nuo to skiriamos dvi disjunkcijos rūšys - griežtoji disjunkcija ir silpnoji disjunkcija. Griežtojoje disjunkcijoje iš kelių galimų atvejų įvykdomu laikomas tik vienas. Griežtoji disjunkcija žymima simboliu V. Griežtosios disjunkcijos matrica yra tokia: P
t t k k
я t k t k
pVq
k t t k
Iš matricos matome, kad griežtoji disjunkcija teisinga tada, kai teisingas tik vienas jos narys. Tarkime, kad metame į viršų monetą ir sakome: „Iškris herbas arba skaičius". Šią disjunkciją patikrinsime teisingumo lentele.
P Iškris herbas
q Iškris skaičius teisinga
teisinga teisinga klaidinga klaidinga
klaidinga teisinga klaidinga
pS/q Iškris herbas arba iškris skaičius klaidinga teisinga teisinga klaidinga
Herbas ir skaičius abu iš karto iškristi negali (reikšmė „klaidinga" paskutinio stulpelio pirmoje eilutėje). Gali būti taip, kad iškrinta herbas, o skaičius neiškrinta (reikšmė „teisinga" paskutinio stulpelio antroje eilutėje). Gali būti taip, kad herbas neiškrinta, o skaičius iškrinta (reikšmė „teisinga" paskutinio stulpelio trečioje eilutėje). Galiausiai negali būti taip, kad neiškrinta nei herbas, nei skaičius (reikšmė „klaidinga" ketvirtoje eilutėje). Teiginys „Užduotį galima atlikti labai gerai arba gerai, arba patenkinamai" yra griežtoji disjunkcija. Griežtoji disjunkcija reiškia: teisingas tik p arba tik q. Silpnojoje disjunkcijoje iš kelių galimų atvejų įvykdomu laikomas bent vienas, tačiau numatoma, kad gali būti įvykdomi ir kiti atvejai. Silpnoji disjunkcija žymima ženklu V (be taško viduryje). Silpnosios disjunkcijos matrica ši: P t t k k
Q t k t k
pMq t t t k
Tarkime, kad laikraštyje išspausdintas tokio turinio skelbimas: „Firmai reikalinga sekretorė, kalbanti angliškai arba vokiškai". Pažiūrėkime, kokie asmenys atitiks šiame teiginyje išsakytą reikalavimą. Jei kandidatė kalbės angliškai ir vokiškai, tai ji geriausiai atitiks reikalavimą (reikšmė „teisinga" paskutinio stulpelio pirmoje eilutėje). Jei ji kalba angliškai, o vokiškai nekalba, ji taip pat atitiks
skelbime nurodytą sąlygą (reikšmė „teisinga" antroje eilutėje). Jei kandidatė angliškai nekalba, o kalba vokiškai, ji irgi atitiks sąlygą (reikšmė „teisinga" trečioje eilutėje). Ojeiji nekalba nei angliškai, nei vokiškai, tai skelbimo nurodytos sąlygos neatitiks (reikšmė „klaidinga" ketvirtoje eilutėje). Silpnosios disjunkcijos taisyklė: silpnoji disjunkcija klaidinga tik tada, kai klaidingi visi jos nariai. Samprotavimuose svarbu skirti griežtąją ir silpnąją disjunkciją. Teiginį „Nusikaltimą padarė asmuo A arba asmuo B" galima suprasti dvejopai - priklausomai nuo to, kokią reikšmę priskirsime jungčiai „arba". Jei jungtį „arba" suprasime griežtąja reikšme, tai duotąjį teiginį turime suprasti taip, kad nusikaltimą padarė tik vienas kuris nors asmuo - tik A arba tik B. Jungčiai „arba" priskyrę silpnąją reikšmę, duotąjį teiginį turime suprasti taip, kad nusikaltimą padarė arba asmuo A, arba asmuo B, arba jie abu. Jei tardymo organai žino, kad nusikaltimą tikrai padarė vienas kuris nors asmenų A ir B, tačiau nežino, kuris būtent padarė, ir nežino, ar antrasis asmuo taip pat dalyvavo nusikaltime, tai teiginį „Nusikaltimą padarė asmuo A arba asmuo B" formuluoja kaip silpnosios disjunkcijos teiginį. Silpnoji disjunkcija yra bendresnio, abstraktesnio pobūdžio negu griežtoji disjunkcija. Todėl loginėse išraiškose vartojama silpnoji disjunkcija, nes logikai rūpi sukurti abstrakčius alfabetus, tinkamus vartoti įvairiuose moksluose. Disjunkcija įprastoje kalboje reiškiama ne tik jungtimi „arba", bet kartais ir kitais žodžiais. Ji gali būti reiškiama dalelytėmis „gal..., gal", pvz.: „Gal melavo seni tėvai, gal tiesą porino, o gal tikrai taip buvo." (VKrėvė) Įprastoje kalboje kartais, vartojant loginę jungtį „arba", pasireiškia psichologinio pobūdžio veiksniai. Tarkime, kad į klausimą, kada išvažiuos, mūsų pažįstamas atsako, kad jis išvažiuos šiandien arba rytoj. Vėliau sužinome, kad, prieš mums paklausiant, jis buvo nusprendęs išvažiuoti tą pačią dieną ir kaip tik tada išvažiavo. Tokiu atveju susidaro įspūdis, kad buvome sąmoningai klaidinami, ir
manome, kad musų pažįstamas sumelavo, nors vienas disjunkcijos narys pasirodė esąs teisingas.
Pratimai 1. Nustatykite, kuriuose iš pateikiamų teiginių jungtis „arba" pavartota griežtąja reikšme ir kuriuose - silpnąja reikšme: a) ši byla civilinė arba baudžiamoji; b) ar vėjužis pūtė, ar giružė ūžė, ar lendružėlė siūbavo; c) ar kur maras nugalabys, arba šaltis sustingdys, arba sargas koks suglebęs kakton buomą suvarys. (A.
Puškinas)
2. Buvo sulaikyti trys asmenys, įtariant juos padarius žmogžudystę. Buvo aišku, kad nusikaltėlis - tik vienas kuris nors iš jų trijų. Per parengtinį tardymą išaiškėjo, kad vienas sulaikytųjų - visų gerbiamas miesto pilietis, kitas žinomas apgavikas, o trečias - nežymus miesto pilietis. Jų pavardės: Braunas, Džonsas ir Smitas. Kiekvienas apklaustųjų davė parodymus. Braunas: Aš to nepadariau. Džonsas to nepadarė. Džonsas: Braunas to nepadarė. Tai padarė Smitas. Smitas: Aš to nepadariau. Tai padarė Braunas. Toliau tiriant bylą išaiškėjo, kad visų gerbiamo piliečio abu parodymai teisingi, apgavikas abu kartus sumelavo, o nežymusis pilietis vieną kartą sumelavo, o kitą kartą pasakė tiesą. Nustatykite visų gerbiamo piliečio, apgaviko ir nežymaus piliečio pavardes ir pasakykite, kuris iš jų žudikas.
6. Negalimo trečiojo dėsnis Remiantis disjunkcijos ir neigimo taisyklėmis, įrodomas svarbus logikos dėsnis, vadinamas negalimo trečiojo dėsniu. Jis užrašomas formule PVp,
kuri skaitoma taip: teiginys p teisingas arba jo neigimas ne-p teisingas - trečios galimybės nėra. Negalimo trečiojo dėsnis dar ir taip nusakomas: kiekvienas teiginys yra teisingas arba klaidingas - trečios galimybės nėra. Negalimo trečiojo dėsnis dažnai formuluojamas lotynų kalbos posakiu tertium поп datur (trečios galimybės nėra). Kadangi išraiška pVp yra logikos dėsnis, tai kintamąjį p pakeitus kokiu nors konkrečiu teiginiu, visuomet gausime tiesą. Kintamąjį p pakeitus teiginiu „Lietuvių kalba yra indoeuropietiškos kilmės", išraišką pVp skaitome: „Lietuvių kalba yra indoeuropietiškos kilmės arba lietuvių kalba yra neindoeuropietiškos kilmės". Trečios galimybės nėra. Iš šių teiginių tėra teisingas kuris nors vienas arba teiginys p, arba jo neigimas p. Remiantis loginio neigimo taisykle, nustatoma: jei p teisingas, tai jo neigimas p klaidingas; jei p klaidingas, tai jo neigimas p teisingas. Išraiškoje pVp kintamąjį p pakeitus teiginiu „Liudytojas A matė nusikaltimą", ją skaitome: „Liudytojas A matė nusikaltimą arba liudytojas A nematė nusikaltimo". Trečios galimybės nėra. Iš šių dviejų teiginių teisingas tik vienas, o antras - klaidingas. Tačiau logika negali nustatyti, kuris būtent teiginys teisingas - p ar p. Tam logika neturi priemonių. Kuris iš šių dviejų prieštaraujančių teiginių teisingas, nustato paskiri mokslai, praktika. Ar liudytojas matė nusikaltimą, ar nematė, nustato parengtinis tardymas. Logika nustato tik bendro pobūdžio taisyklę, būtent: jei turime kokį nors teiginį, tai arba jis teisingas, arba jo neigimas teisingas, trečios galimybės nėra. Negalimo trečiojo dėsnio pVp matrica tokia: P
t k
P k t
pVp
t t
Ši matrica sudaryta remiantis neigimo ir disjunkcijos taisyklėmis. Pirmame stulpelyje nurodyta, kad teiginys p gali būti teisingas arba klaidingas. Antrame stulpelyje pagal loginio neigimo taisyklę
nustatoma p reikšmė. Trečiame stulpelyje turime disjunkciją pVp. Pirmoje eilutėje nurodyta, kad vienas šios disjunkcijos narių teisingas, o kitas klaidingas. Vadinasi, disjunkcija pVp teisinga. Panašiai ir antroje eilutėje. Taigi paskutiniame stulpelyje gauname tik reikšmę „teisinga"; tai rodo, kad išraiška pVp yra logikos dėsnis. Negalimo trečiojo dėsnį galima užrašyti pavartojus ir griežtąją disjunkciją: pVp. Bet esame nurodę, kad silpnoji disjunkcija yra bendresnio pobūdžio, todėl kaip tik ji vartojama loginėse išraiškose. Kaip ir prieštaravimo dėsnis, negalimo trečiojo dėsnis yra vienas iš pagrindinių dėsnių, nuolat vartojamų samprotavimuose. Pavyzdžiui, teisiamasis kaltas arba nekaltas, trečios galimybės nėra. Negalimo trečiojo dėsnis atspindi mąstyme tą paprastą faktą, kad koks nors objektas egzistuoja arba neegzistuoja, kad jis turi kokius nors požymius arba jų neturi. Negalimo trečiojo dėsnis negalioja begalinėms aibėms. Kai baigtinėje aibėje ieškome objekto, turinčio tam tikrą savybę, tai tą objektą radę, patvirtiname p, o jo neradę, patvirtiname p. Tačiau kai aibė begalinė, situacija keičiasi. Objektą radę, patvirtiname p, o jo neradę, apie p nieko negalime pasakyti, nes begalinė aibė neperžvelgiama.
Pratimai 1. Kuriam iš pateiktų teiginių taikomas negalimo trečiojo dėsnis ir kuriam netaikomas: a) „Būti ar nebūti - štai mįslė" (W
Shakespeare)·,
b) liudytojas painiojasi parodymuose arba sąmoningai nutyli faktus. 2. Ar pritariate šiam samprotavimui: Teiginiui „Sis popierius baltas arba juodas" taikomas negalimo trečiojo dėsnis. Vienas iš dviejų - arba teisinga, kad popierius baltas, arba teisinga, kad popierius juodas. Trečios galimybės nėra.
7. Implikacija Implikacija išreiškiama logine jungtimi „jei..., tai". Ji rodo teiginio išvedimą iš kito teiginio. Implikacija yra sudėtinis teiginys, sudarytas iš dviejų paprastų teiginių, sujungtų logine jungtimi „jei..., tai". Teiginys „Jei šiandien pirmadienis, tai rytoj antradienis" yra implikacija, sudaryta iš dviejų paprastų teiginių: „Šiandien pirmadienis" (p), „Rytoj antradienis" (q). Turime: jei p, tai q. Jungtį „jei..., tai" žymėsime ženklu —>. Implikacijos formulė ši:
Pirmasis implikacijos narys p vadinamas antecedentu, o antrasis narys q - konsekventu. Išraiška p—>q skaitoma dvejopai: 1) jei p, tai q; 2) iš p seka q. Tad implikacijos prasmė ta, kad iš antecedento seka konsekventas. Pateiktas dvejopas išraiškos p ^ q skaitymas naudingas tada, kai implikacija teiginyje pasikartoja kelis kartus. Išraiška p^(q—>r) skaitoma taip: jei p, tai iš q seka r. Skliaustai parodo, kuris teiginys iš kurio teiginio seka. Jei nebūtų skliaustų, tai būtų sunku suvokti išraišką. Įprastoje šnekamojoje kalboje implikacija reiškiama įvairiais žodžiais. Jungties „jei..., tai" teiginyje gali kartais ir nebūti, tačiau teiginys turi implikacijos prasmę, pvz.: „Ką pasėjai, tą ir pjausi", „Dėsi grūdą prie grūdo - pripilsi aruodą". Jungtimi „jei..., tai" šie teiginiai reiškiami taip: „Jei tą pasėjai, tai tą ir pjausi", „Jei dėsi grūdą prie grūdo, tai pripilsi aruodą". Implikacijos yra ir šie teiginiai: „Kai žmogus visas atsiduoda melui, jį apleidžia protas ir talentas" (VBielinskis), „Norint atlikti didelius darbus, reikia būti įkvėptiems" (C. Saint Simonas). Implikaciją taip pat išreiškia žodžiai „taigi", „vadinasi" ir pan. Jungtis „jei..., tai" - sudėtingiausia iš visų loginių jungčių. Teiginio išvedimas iš kito teiginio yra sudėtingiausia loginė veiksena.
Pasaulio objektų ir jų požymių begalinė įvairovė neįgalina samprotavimus apie pasaulį apimti vienintele logine seka. Apžvelgsime svarbiausias implikacijas. Kauzalinė implikacija išreiškia priežastinį ryšį tarp reiškinių. Teiginyje „Jei trintis didėja, tai kūno judėjimo greitis mažėja" jungtis „jei..., tai" turi kauzalinės implikacijos reikšmę: iš p priežastingai seka q. Griežtoji implikacija išreiškia būtiną ryšį tarp reiškinių. Priežastiniai ryšiai taip pat būtini, tačiau ne visi būtini ryšiai yra priežastiniai. Teiginyje „Jei skaičius dalijasi iš 4, tai jis dalijasi ir iš 2", jungtis „jei..., tai" turi griežtosios implikacijos reikšmę: iš p būtinai seka q. Formalioji implikacija išreiškia ryšį tarp objekto ir jo požymio. Teiginyje „Jei χ yra žmogus, tai χ - mąstanti būtybė" pasakoma, kad jei kas nors turi požymį „būti žmogumi", tai jis turi požymį „būti mąstančia būtybe". Šiame teiginyje jungtis „jei..., tai" turi formaliosios implikacijos reikšmę. Materialioji implikacija yra pati bendriausia, pagrindinė implikacijos rūšis. Materialiojoje implikacijoje neatsižvelgiama nei į priežastinius, nei į būtinus ar kokius nors kitus ryšius. Materialiojoje implikacijoje abstrahuojamasi nuo visų prasminių ryšių ir atsižvelgiama tik į vieną faktorių - teiginių teisingumą ir klaidingumą. Formulė ir yra materialiosios implikacijos simbolinis užrašymas. Ją ir vartosime loginėse išraiškose ir, užuot sakę „materialioji implikacija", sakysime tiesiog „implikacija". Implikacijos matrica yra tokia: P t t k k
q t k
P-^q t k
t k
t t
Pirma eilutė: iš teisingo antecedento p seka teisingas konsekventas q, implikacija p—>q teisinga. Taip ir būna samprotavimuose:
kai turime teisingą teiginį p ir iš jo išvedame kitą teisingą teiginį q, tai reiškia, kad mūsų samprotavimo būdas teisingas. Antra eilutė: iš teisingo antecedento p seka klaidingas konsekventas q, implikacija p—><7 klaidinga. Jei kas nors iš teisingo teiginio išveda klaidingą teiginį, tai jam nurodoma, kad jo samprotavimo būdas klaidingas. Iš teisingo teiginio negali sekti klaidingas teiginys. Jei iš teisingų teiginių būtų galima logiškai išvesti klaidingus teiginius, tai mes vieni kitų nesuprastume. Trečia eilutė: iš klaidingo antecedento p seka teisingas konsekventas q, implikacija p—>Q teisinga. Šis implikacijos atvejis pradedantiesiems dažnai atrodo neįtikimas. Argi galima iš klaidingo teiginio logiškai išvesti teisingą teiginį? Pasirodo, galima. Logika eina išvien su sveiku protu, tačiau ji eina toliau už sveiką protą. Iš klaidingo antecedento „Vilniaus universitetas buvo įkurtas X amžiuje" (šiame amžiuje universitetų apskritai nebuvo) seka teisingas konsekventas „Vilniaus universitetas nebuvo įkurtas IX amžiuje". Iš klaidingo teiginio „M. K. Čiurlionis sukūrė operą „Faustas" seka teisingas teiginys „M. K. Čiurlionis buvo talentingas kompozitorius". Sukurti šią operą tegalėjo talentingas kompozitorius, tad visa implikacija „Jei Čiurlionis sukūrė operą „Faustas", tai Čiurlionis buvo talentingas kompozitorius" teisinga. Tegul turime samprotavimą: Akmuo maistingas. Duona iškepta iš akmens. Vadinasi, duona maistinga.
Nors šiame samprotavime prielaidos „Akmuo maistingas" ir „Duona iškepta iš akmens" klaidingos, išvada „Duona maistinga" teisinga, ir ji išvesta visiškai logiškai. Panašiai iš klaidingų prielaidų Mes negyvename Lietuvoje. Lietuva - didžiausia Europos valstybė.
seka teisinga išvada „Mes negyvename didžiausioje Europos valstybėje". Tad iš klaidingų teiginių galima išvesti teisingus teiginius, ir šiuo atveju implikacija turi būti laikoma teisinga. Žinoma, teisingų teiginių išvedimas iš klaidingų teiginių yra ne dėsningas, bet atsitiktinis reiškinys. Todėl logika negali nurodyti, kada iš klaidingų teiginių gausime teisingus teiginius. Ketvirta eilutė: iš klaidingo antecedento p seka klaidingas konsekventas q, implikacija p ^ q teisinga. Šis atvejis pradedantiesiems taip pat dažnai kelia abejonių. Tuo tarpu dalykas čia visai paprastas. Kai iš klaidingo teiginio p išvedame klaidingą teiginį <7, tai ar gerai (teisingai) samprotaujame, ar ne? Žinoma, kad gerai (teisingai). Iš klaidingų teiginių turi sekti klaidingi teiginiai. Jei žmogus laikosi klaidingų įsitikinimų, tai jie jį turi nuvesti į kitas klaidas. Trumpiau implikacijos matricą galima taip nusakyti: iš teisingo seka teisingas - implikacija teisinga; iš teisingo seka klaidingas - implikacija klaidinga; iš klaidingo seka teisingas - implikacija teisinga; iš klaidingo seka klaidingas - implikacija teisinga.
Implikacijos taisyklė: implikacija klaidinga tik tada, kai iš teisingo antecedento seka klaidingas konsekventas. Susumuojant tai, kas pasakyta implikacijos matricos trečioje ir ketvirtoje eilutėje, nustatomas svarbus dėsnis: iš klaidingo teiginio seka bet kuris kitas teiginys (teisingas arba klaidingas). Šis dėsnis užrašomas formule
kuri skaitoma taip: jei p, tai iš ne-p seka q. Kitaip tariant, jei turime teiginį p ir nustatome, kad jis klaidingas (p), tai iš p seka bet kuris kitas teiginys q. Trumpiau šis dėsnis taip nusakomas: iš klaidingo teiginio seka bet kas.
Šio dėsnio reikšmė ta, kad jis draudžia vartoti klaidingus teiginius. Jei teorijoje pasirodo klaidingas teiginys, tai iš jo galima išvesti daug kitų klaidingų teiginių. Jei kas nors vartoja klaidingus teiginius, tai jis gali įrodyti ką tik nori. Iš klaidingo teiginio, kad P. Cvirka neparašė „Frank Kruk", seka, kad jis parašė bet kurį kitą kūrinį, pavyzdžiui, „Tykųjį Doną". Istorija pateikia nemažai pavyzdžių, kaip klaidingos pažiūros, įsitikinimai atvedė į daugelį kitų klaidų. Klaidingi fašizmo teiginiai atvedė į didžiausias katastrofas žmonijos gyvenime. Susumuojant tai, kas pasakyta implikacijos matricos pirmoje ir trečioje eilutėse, nustatomas kitas dėsnis: teisingas teiginys seka iš bet kurio kito teiginio (teisingo arba klaidingo). Šis dėsnis užrašomas išraiška p—»(<7—>p), kuri skaitoma taip: jei p, tai iš q seka p. Kitaip tariant, jei turime teisingą teiginį p, tai jis seka iš bet kokio teiginio q (teisingo arba klaidingo). Tegul turime teiginį „Jei mūsų pažįstamas serga, tai mes jį aplankome". Patikrinkime šį teiginį implikacijos matrica, nustatydami, kada savo pažadą ištesėsime ir kada jo neištesėsime. Pirma eilutė: p teisingas (mūsų pažįstamas serga), q teisingas (mes jį aplankome). Implikacija „Jei mūsų pažįstamas serga, tai mes jį aplankome" teisinga, pažadas ištesėtas. Antra eilutė: p teisingas (mūsų pažįstamas serga), q klaidingas (mes jo neaplankome). Implikacija „Jei mūsų pažįstamas serga, tai mes jį aplankome" klaidinga, pažadas neištesėtas. Trečia eilutė: p klaidingas (mūsų pažįstamas neserga), q teisingas (mes jį aplankome). Implikacija „Jei mūsų pažįstamas serga, tai mes jį aplankome" teisinga, pažadas nesulaužytas. Pagal duotą pažadą nedraudžiama lankyti pažįstamo tada, kai jis neserga. Ketvirta eilutė: p klaidingas (mūsų pažįstamas neserga), q klaidingas (mes jo neaplankome). Implikacija „Jei mūsų pažįstamas serga, tai mes jį aplankome" teisinga, pažadas nesulaužytas.
Kadangi materialiojoje implikacijoje abstrahuojamasi nuo visų prasminių ryšių, antecedentas ir konsekventas nagrinėjami tik jų teisingumo požiūriu, tai materialiojoje implikacijoje jungtimi „jei..., tai" galima jungti bet kokius teiginius. Svarbu tik tai, kad tie teiginiai būtų prasmingi, nors jie gali priklausyti skirtingoms objektų sritims. Iš pirmo žvilgsnio šie teiginiai atrodo lyg ir prieštaraujantys blaiviam protui: Jei 2 + 2 = 4, tai sniegas baltas. Jei 2 + 2 = 4, tai sniegas juodas. Jei 2 + 2 = 5, tai sniegas baltas. Jei 2 + 2 = 5, tai sniegas juodas.
Šių teiginių antecedentas ir konsekventas priklauso skirtingoms objektų sritims, tačiau iš jų sudaryti teiginiai nėra kažkas beprasmiška. Trys teiginiai netgi teisingi, o klaidingas tik antras teiginys, nes jo antecedentas (2 + 2 = 4) teisingas, o konsekventas (sniegas juodas) klaidingas. Čia nereikia manyti, kad pateiktųjų implikacijų antecedentas ir konsekventas susieti kokiais nors prasminiais ryšiais. Jei atsižvelgiama tik j antecedento ir konsekvento ryšį teisingumo požiūriu, tai jungtimi „jei..., tai" galima jungti teiginius, priklausančius skirtingoms objektų sritims. Tokie atvejai pasitaiko moksluose. Netgi įprastinėje kalboje pasakome teiginių, kurie visai panašūs į pateiktuosius. Tarkime, kad studentas puikiai pasirengė egzaminui ir sako: „Jei šio egzamino neišlaikau, tai tegul prasmegsiu skradžiai į žemę". Šios implikacijos antecedentas ir konsekventas priklauso visai skirtingoms sritims, kurios susiejamos siekiant išsakyti negalimybę - egzamino neišlaikyti neįmanoma. Laikant konsekventą klaidingu, teisingoje implikacijoje turi būti laikomas klaidingu ir antecedentas. Teiginius, priklausančius skirtingoms objektų sritims, galima susieti taip pat jungtimis „ir", „arba", pavyzdžiui: „Ši rožė raudona, ir cukrus saldus".
Jungtis „jei..., tai" gali išreikšti ne tik seką, bet ir kitas jungtis. Teiginys „Jei pirmoji rašytojo knyga buvo patraukli, tai antroji jo knyga sunkiai skaitoma" yra konjunkcinis: „Pirmoji rašytojo knyga buvo patraukli ir antroji jo knyga sunkiai skaitoma".
Pratimai 1. Perskaitykite išraišką ( p ^ q ) ^ ( q - ^ r ) . 2. Konjunkcijos ir disjunkcijos narius galima sukeisti vietomis. Ar galima tai padaryti implikacijoje? 3. Iš klaidingo teiginio „2 = 1" išveskite teisingą teiginį „2 = 2". 4. Jei visi metalai yra skysčiai ir vanduo yra metalas, tai kas iš to seka? Aptarkite šį samprotavimą. 5. Aptarkite šį įrodymą. Vienas šiuolaikinės logikos kūrėjų B. Russellas kartą skaitė populiarią paskaitą apie moderniąją logiką ir jos vertę. Paskaitoje jis aiškino, kodėl visuomenė nemėgsta klaidingų teiginių - mat jais galima įrodyti ką tik nori. Vienas klausytojas pateikė B. Russellui klaidingą teiginį 2 χ 2 = 5 ir pasiūlė iš jo išvesti, kad Russellas esąs popiežius. Russellas išvedė taip: iš lygybės 2 x 2 = 5 abiejų pusių atėmus po 3, gausime, kad 1 = 2. B e t j e i 1 = 2, tai ir 2 = 1, tad popiežius ir aš esame tas pats asmuo.
8. Ekvivaiencija Du teiginiai, sujungti logine jungtimi „jei ir tik jei..., tai", vadinami logiškai ekvivalenčiais, arba lygiaverčiais. Ekvivalenciją žymėsime ženklu Išraiška
p ~q skaitoma dvejopai: 1) jei ir tik jei p, tai q; 2) p ekvivalentus (lygiavertus) q.
Teiginius „Visi konjunkcijos nariai teisingi" ir „Konjunkcija teisinga" sujungus jungtimi „jei ir tik jei..., tai", gausime ekvivalenciją: „Jei ir tik jei visi konjunkcijos nariai teisingi, tai konjunkcija teisinga". Loginės ekvivalencijos matrica tokia: P
p~q
t
q t
t
k
k
k
t
k
k
k
t
t
Pirma eilutė: p teisingas, q teisingas. Teiginys „Teisingumas ekvivalentus teisingumui" teisingas. Antra eilutė: p teisingas, q klaidingas. Teiginys „Teisingumas ekvivalentus klaidingumui" klaidingas. Trečia eilutė: p klaidingas, q teisingas. Teiginys „Klaidingumas ekvivalentus teisingumui" klaidingas. Ketvirta eilutė: p klaidingas, q klaidingas. Teiginys „Maldingumas ekvivalentus klaidingumui" teisingas. Ekvivalencijos taisyklė tokia: du teiginiai logiškai ekvivalentūs, jei jų teisingumo reikšmės vienodos (abu teisingi arba abu klaidingi). Teiginį „Jei ir tik jei mūsų pažįstamas serga, tai mes jį aplankome" patikrinkime teisingumo lentele, nustatydami, kada šį pažadą ištesėsime ir kada neištesėsime. Pirma eilutė: p teisingas (mūsų pažįstamas serga), q teisingas (mes jį aplankome). Teiginys „Jei ir tik jei mūsų pažįstamas serga, tai mes jį aplankome" teisingas, pažadas ištesėtas. Antra eilutė: p teisingas (mūsų pažįstamas serga), q klaidingas (mes jo neaplankome). Pažadas neištesėtas. Trečia eilutė: p klaidingas (mūsų pažįstamas neserga), q teisingas (mes jį aplankome). Pažadas neištesėtas, nes pasižadėjome aplankyti jį tik tuo atveju, kai jis serga. Ketvirta eilutė: p klaidingas (mūsų pažįstamas neserga), q klaidingas (mes jo neaplankome). Pažadas ištesėtas.
Matome, kad ekvivalencija skiriasi nuo implikacijos. Implikacija teisinga ir trečioje eilutėje, o ekvivalencija toje eilutėje klaidinga. Loginė ekx'ivalencija - tai implikacija abiem kryptim: (p ~ q) ~ [(p—>qf) · (q->p)]. Skaitome: teiginys „Jei ir tik jei p, tai lygiavertus teiginiui „Iš p seka q ir iš q seka p". Teiginys „Jei ir tik jei gaminys atitinka pasaulinius standartus, tai jis yra aukštos kokybės" yra implikacija abiem kryptim: „Jei gaminys atitinka pasaulinius standartus, tai jis aukštos kokybės, ir jei gaminys aukštos kokybės, tai jis atitinka pasaulinius standartus". Įprastoje kalboje ekvivalencija reiškiama įvairiais žodžių junginiais: „tik tada", „tada ir tik tada", „tik tuo atveju" ir kt. Kartais jungčiai „jei..., tai" suteikiama jungties „jei ir tik jei..., tai" reikšmė. Išnagrinėję keturias logines jungtis, sudarysime bendrą jų teisingumo lentelę. P i
q t
p •q t
PVq k
PVq t
t
p~q t
t
k
k
t
t
k
k
k
t
k
t
t
t
k
k
k
k
k
k
t
t
Ši matrica ko nors nauja nepateikia, čia tik vienoje vietoje nurodytos visų loginių jungčių teisingumo sąlygos. Konjunkcijos, disjunkcijos, implikacijos, ekvivalencijos, taip pat loginio neigimo teisingumo sąlygas būtina gerai žinoti. Jų nežinant, neįmanoma toliau studijuoti logikos kurso.
^D
Pratimas
Ar pakistų loginė teiginių prasmė, jungtį „jei..., tai" pakeitus jungtimi „jei ir tik jei..., tai": 1. Jei mokate lotynų kalbą, tai nesunkiai išmoksite italų kalbą. 2. Jei išraiška yra logikos dėsnis, tai ji visuomet teisinga.
9. Simbolinio žymėjimo sistemos Šiuolaikinę logiką kūrė daugelis mokslininkų įvairiose šalyse. Dėl to tiems patiems loginiams veiksmams žymėti jie neretai vartojo skirtingus ženklus. Pateikiame būdingiausius simbolinio žymėjimo atvejus teiginių logikoje. neigimas
Schroderis Peirce'as
P'
Peano Russellas
~P
Hilbertas
P Np
tukasiewiczius Kiti
ΊΡ
konjunkcija P
·Я
P 'Q p&q Kpq
disjunkcija implikacija
ekvivalencija
p=q
p +q p\Jq
pz)q
(P-Q)
pvq Apq
P-^q Cpq
p ~q Epq
p/\q
Patraukia dėmesį lenkų logiko J. Lukasiewicziaus sukurta vadinamoji beskliaustė simbolika. Pvz., joje išraiška p-^(pVq) užrašoma taip: CpApq. Išraiška (p ~ q) ~ [(p->q) • (q-ψ)] užrašoma EEpqKCpqCqp. Šiuolaikinėje logikos literatūroje vartojamos įvairios simbolinio žymėjimo sistemos.
jžį)
Pratimas
Išraišką (p->q) V (p · q) užrašykite įvairių simbolinio žymėjimo sistemų ženklais.
10. Sudėtinių teiginių neigimas Neigti galima ne tik paprastus, bet ir sudėtinius teiginius. Sudėtinių teiginių neigimo procedūra ta pati, kaip ir paprastų teiginių. Konjunkcijos neigimas: (netiesa, kad p ir g). Disjunkcijos neigimas: pVg (netiesa, kad p arba g). Implikacijos neigimas: p—>q (netiesa, kad iš p seka g). Ekvivalencijos neigimas: p ~ g (netiesa, kad p lygiavertus g). Panagrinėkime konjunkcijos neigimą. Tegul turime teiginį „Netiesa, kad liudytojo A ir liudytojo B parodymai teisingi". Ar tai reiškia, kad abiejų liudytojų parodymai neteisingi? Ne, nereiškia. Manyti, kad jie abu meluoja, reikštų sudaryti išraišką p . g ~ (p . q). Ją skaitome: teiginys „Netiesa, kad p ir g" ekvivalentus teiginiui „Ne-p ir ne-g"*. Tačiau išraiška p . g ~ (p • q) nėra logikos dėsnis. Tai rodo jos teisingumo lentelė: P t t k k
t k
P k k
t k
t t
q
q
p• q
p·q
k
t k k k
k
P 'Q k
t t t
k k t
t k t
p • q ~ (p · q) t k k t
Ši matrica sudaryta remiantis tuo, ką jau žinome. Turime du teiginius - p ir g. Parašome visus galimus jų teisingumo ir klaidingumo atvejus; p ir g teisingumo reikšmes išvedame remdamiesi loginiu neigimu: jei p teisingas, tai p klaidingas, ir t. t. Teiginio p . g teisingumą nustatome pagal p (pirmas stulpelis) ir g (antras stulpelis) teisingumo reikšmes. Konjunkcija teisinga tik tada, kai teisingi visi jos nariai, p · g yra p . g neigimas. Jei p . g teisingas, tai p . g klaidingas, ir 1.1. Teiginio p · g reikšmę nustatome pagal p (trečias stulpelis) ir g (ketvirtas stulpelis) teisingumo reikšmes, taikydami konjunkcijos taisyklę. Paskutiniame lentelės stulpelyje taikome ek* Išraiškos f.Tq nereikia suskliausti, nes skliaustus atstoja neigimą žymintis brūkšnys.
vivalencijos taisyklę: du teiginiai ekvivalentus, kai jų reikšmės vienodos (abu teisingi arba abu klaidingi). Tačiau teiginiai p . q ir p . q antroje ir trečioje eilutėse nevienodi savo reikšmėmis, todėl ir neekvivalentūs. Vadinasi, išraiška p · q ~ (p · q) nėra visuomet teisingas teiginys, nėra logikos dėsnis. Todėl ir teiginio „Netiesa, kad liudytojo A ir liudytojo B parodymai teisingi" negalima suprasti taip, kad jie abu sako netiesą. Šį teiginį reikia taip suprasti: liudytojas A sako netiesą arba liudytojas B sako netiesą (arba abu sako netiesą, nes silpnojoje disjunkcijoje numatoma, kad ir abu atvejai gali būti realūs). Visa tai užrašoma: P · q ~ (pVq). Šią išraišką skaitome: teiginys „Netiesa, kad p ir q" ekvivalentus teiginiui „Ne-p arba ne-q". Patikrinsime ją matrica. P t t k k
t k
P k k
t k
t t
q
q
k t k t
p •q
p• q
t k k k
k t t t
p\Jq k
p. q~ (pVq) t
t t t
t t t
Paskutiniame matricos stulpelyje yra tik reikšmė „teisinga", vadinasi, duotoji išraiška yra visuomet teisingas teiginys, logikos dėsnis. Tai reiškia, kad konjunkcijos neigimą suprantame teisingai. Panagrinėkime disjunkcijos neigimą. Teiginys „Netiesa, kad liudytojo A arba liudytojo B parodymai teisingi" reiškia ne tai, kad A sako netiesą arba B sako netiesą, bet tai, kad A sako netiesą ir B sako netiesą: (pVg) ~(p . q). Skaitome: teiginys „Netiesa, kad p arba q" ekvivalentus teiginiui ,Ne-p ir ne-q".
Išraiškos
p. q ~ (pVq), pVq ~ (p. q) vadinamos de Morgano taisyklėmis*. Skaitome pirmąją taisyklę: konjunkcijos neigimas ekvivalentus kiekvieno disjunkcijos nario neigimui. Skaitome antrąją taisyklę: disjunkcijos neigimas ekvivalentus kiekvieno konjunkcijos nario neigimui. Panagrinėkime implikacijos neigimą. Jis suprantamas taip:
p^q ~ (p . q). Skaitome: išraiška „Netiesa, kad iš p seka qf" ekvivalenti išraiškai „p ir ne-<7". Teiginys „Netiesa, kad jei atvyksi, tai mes džiaugsimės", ekvivalentus teiginiui „Atvyksi ir mes nesidžiaugsime". Jau buvo nurodyta, kad ekvivalencija yra implikacija abiem kryptimis. Ekvivalencijos neigimas reiškiamas taip:
p ~ q ~ [(p^q)^>q->p]. Skaitome: išraiška „Netiesa, kad p ekvivalentus lygiaverti išraiškai „Jei iš p seka q, tai netiesa, kad iš q seka p".
Pratimai 1. Išraišką p Vq ~ (p • q) patikrinkite teisingumo lentele. 2. Ar teiginys „Mano draugas klydo, ir aš klydau" užrašomas išraiška p • q'!
* A. de Morganas - X I X a. anglų matematikas ir logikas. A. de Morgano nustatytos taisyklės buvo pavadintos jo vardu.
Ar teisinga, kad jis ekvivalentus teiginiui „Netiesa, kad m a n o draugas sakė tiesą ir aš sakiau tiesą"? 3. Kam ekvivalentus teiginys „Netiesa, kad jei mano draugas klydo, tai aš klydau"? 4. Suprastinkite sudėtinio teiginio neigimą: „Netiesa, kad jei Platonas įkūrė Akademiją, tai, jei Aristotelis buvo Platono mokinys, tai Aristotelis nelankė Akademijos".
11. Teiginių formalizacija Remdamiesi tuo, ką žinome apie logines jungtis ir loginį neigimą, lengvai galime teiginius formalizuoti, t. y. užrašyti juos loginių simbolių kalba. Turime teiginį: „Jeigu kas iš draugų pavėluodavo maldai arba ateidavo gandai apie kokį gimnazistų pokštą, arba matydavo panelę klasės auklėtoją vėlai vakare su karininku, tai jis labai jaudindavosi ir vis kalbėdavo, kad ko nors neišeitų" (A. Čechovas). Formalizuojant teiginį, būtina nustatyti jį sudarančius paprastus teiginius ir juos jungiančias logines jungtis. Nagrinėjamojo teiginio jungtys išsidėstė taip: jei... arba... arba... tai... ir... Kiekvieną paprastą teiginį žymime skirtingu simboliu: jei p arba q, arba r, tai s ir z. Pažymėję simboliais logines jungtis, gauname išraišką (pVgVr)—>(s · z). Skliaustai parodo, iš kokių teiginių seka konsekventas s · z. Disjunkcija pavartota silpnąja reikšme, nes galimi visi trys atvejai drauge. Formalizuosime teiginį „Jei nėra įstatymo, tiesiogiai išsprendžiančio šalių ginčą, ir jei nėra normos, numatančios panašų atvejį, tai teismui suteikiama teisė šalių ginčą spręsti remiantis bendraisiais įstatymų principais ir prasme". Nustatysime paprastus teiginius: „Nėra įstatymo, tiesiogiai išsprendžiančio šalių ginčą" (p); „Nėra normos, numatančios panašų atvejį" (q); „Teismui suteikiama teisė šalių ginčą spręsti remiantis bendraisiais įstatymų principais" (r); „Teismui suteikiama teisė šalių ginčą spręsti remiantis bendrąja įsta-
tymų prasme" (s). Loginės jungtys išsidėstė taip: jei... ir..., tai... ir... Nagrinėjamojo teiginio struktūra - (p · · s). Teiginį „Jei asmuo serga psichine liga, tai jis negali atpažinti savo veiksmų arba negali kontroliuoti savo elgesio, taigi toks asmuo nepakaltinamas" sudaro keturi paprasti teiginiai ir loginės konstantos: jei..., tai... ne... arba... ne... taigi... ne. Formalizavus: [p->(ąVr)]-«.
Pratimai Formalizuokite teiginius: 1. Kai girdi samprotavimus, nepagrįstus faktais ir loginiu argumentavimu, įsitikinimus be jų protingo patvirtinimo, prieini išvadą, kad kalbiesi su dogmatiku, savo samprotavimuose besivadovaujančiu išankstine nuostata. 2. Jei netiesa tai, ką sako A, arba netiesa tai, ką sako B, tai netiesa, kad jų abiejų teiginiai yra kartu teisingi. 3. Asmuo laikomas nekaltu tol, kol jo kaltė neįrodyta įstatymais nustatyta tvarka. Iš to seka, kad neleistina spaudoje, per radiją arba televiziją skleisti žinių apie įtariamą asmenį kaip tikrą nusikaltėlį.
12. Sudėtinio teiginio teisingumo reikšmės nustatymas Kadangi sudėtinio teiginio teisingumas priklauso nuo jį sudarančių paprastų teiginių teisingumo reikšmių, tai žinant paprastų teiginių p, q, r... teisingumo reikšmes, lengvai galima nustatyti viso sudėtinio teiginio teisingumo reikšmę. Taikomos neigimo, konjunkcijos, disjunkcijos, implikacijos, ekvivalencijos taisyklės. Tarkime, kad teiginyje (p · g)—>/" teiginys p teisingas (t), q klaidingas (k) ir r klaidingas (k). Tai žinant, lengva nustatyti viso sudėtinio teiginio (p · <7)—>r teisingumo reikšmę. Pirmiausia p, q, r pakeičiame jų teisingumo reikšmėmis. Kadangi p teisingas, tai jį pa-
keičiame reikšme t (teisinga), q pakeičiame reikšme k (klaidinga), r pakeičiame taip pat reikšme k (klaidinga). Gauname:
(t • k)^k. Atliekame veiksmą, nurodytą skliaustuose. Sis veiksmas - tai konjunkcija. Vienas konjunkcijos narys klaidingas, vadinasi, konjunkcija klaidinga. Tai ir užrašome: k^k
t. nes kai iš klaidingo teiginio seka klaidingas teiginys, tai implikacija teisinga. Tad pagal turimas teisingumo reikšmes sudėtinis teiginys (p · q)—>r teisingas. Nustatysime išraiškos (p · q · p)^q teisingumo reikšmę, kai abu pradiniai teiginiai p, q klaidingi. Gauname: (k~H(
·
Taikome konjunkcijos taisyklę išraiškos daliai k · k. Kadangi abu konjunkcijos nariai klaidingi, tai konjunkcija klaidinga: (k ·
k)^k.
Taikome neigimo taisyklę. Neigiant klaidingumą, gaunama reikšmė „teisinga". (t · t) >k. Taikome konjunkcijos taisyklę skliaustuose esančiai išraiškos daliai: t^k.
Dabar telieka taikyti implikacijos taisyklę. Kai iš teisingo seka klaidingas, implikacija klaidinga: ιk. Vadinasi, išraiška (p · q • p)—>q, kai p ir q klaidingi, yra klaidinga. Išnagrinėkime šį pavyzdį. Mokytoja pasako teiginį: „Jei moksleivis nusižengs, jis bus griežčiau arba švelniau nubaustas". Šį sudėtinį teiginį sudaro trys paprasti teiginiai: „Moksleivis nusižengs" (p), „Jis bus griežčiau nubaustas" (q), „Jis bus švelniau nubaustas" (л). Turime: p^(ąVr). Kadangi šiame mokytojos teiginyje kalbama apie ateitį, tai kai ji šį teiginį pasako, jis dar nėra nei teisingas, nei klaidingas. Teisingas arba klaidingas jis taps po to, kai moksleivis nusižengs ir mokytoja jį baus arba nebaus. Tarkime, kad moksleivis nusižengė (p teisingas), mokytoja jį griežčiau nubaudė (q teisingas), vadinasi, švelniai nenubaudė (r klaidingas). Gauname:
t—>(t\/k) t->t t. Vadinasi, kai moksleivis nusižengė ir mokytoja jį griežčiau nubaudė, jos teiginys „Jei moksleivis nusižengs, jis bus griežčiau arba švelniau nubaustas" tapo teisingas. Tarkime, kad moksleivis nusižengė (p teisingas), tačiau mokytoja jo nenubaudė nei griežčiau, nei švelniau, t. y. q klaidingas ir r klaidingas. Gauname:
t-^(kVk) t->k k. Vadinasi, jei mokinys nusižengė, o mokytoja jo nenubaudė nei griežčiau, nei švelniau, minėtas jos teiginys klaidingas.
Tegul išraiškoje [p^>qV(r · s)]—>p—>(A/š) p klaidingas, q klaidingas, r teisingas, s teisingas. Gauname:
[Дл/д · —>(fVf) [Ac—>tV(t · k)]-+k-+(kvk) (kVk)-yt k^k
t. Taigi esant duotosioms paprastų teiginių teisingumo reikšmėms, visa išraiška teisinga.
Pratimai 1. Nustatykite teiginio p—>(p • q) teisingumo reikšmę, jei p klaidingas, o q teisingas. 2. Nustatykite išraiškos (pVq · p)—>q teisingumo reikšmę, jei p klaidingas ir q klaidingas. 3. Išspręskite viduramžių universitetuose teiktą logikos pratybų užduotį. Kada teiginys „Visi žmonės yra asilai arba žmonės ir asilai yra asilai" teisingas ir kada klaidingas?
13. Loginių jungčių pakeitimas Jau esame kalbėję, kad nepaisant to, kokiomis gramatinėmis priemonėmis teiginiai sujungti tarpusavyje, loginiu požiūriu jie tegali būti sujungti keturiomis loginėmis jungtimis. Tačiau pasirodo, kad vienas logines jungtis galima pakeisti kitomis. Galimi trys atvejai: a) keičiama konjunkcija ir neigimu; b) keičiama disjunkcija ir neigimu; c) keičiama implikacija ir neigimu.
Jungties ,,jei ir tik jei..., tai" nepakanka išreikšti kitoms jungtims. Panagrinėsime loginių jungčių pakeitimą konjunkcija ir neigimu. Disjunkcijos pakeitimas konjunkcija ir neigimu: (P Vq) - p - g . Skaitome: išraiška „p arba g" ekvivalenti išraiškai „Netiesa, kad ne-p ir ne-q". Teiginys „Romanas yra literatūros žanras arba novelė yra literatūros žanras" ekvivalentus teiginiui „Netiesa, kad romanas ne literatūros žanras ir novelė ne literatūros žanras". Teisingumo lentele lengvai galima įrodyti, kad išraiškos pVg ir p · g ekvivalenčios. Implikacijos pakeitimas konjunkcija ir neigimu: (p->q) - p - g . Skaitome: „Iš p seka g" ekvivalentu „Netiesa, kad p ir ne-g". Teiginys „Jei dorai gyvensi, būsi kitų gerbiamas" ekvivalentus teiginiui „Netiesa, kad dorai gyvensi ir nebūsi kitų gerbiamas". Ekvivalencijos pakeitimas konjunkcija ir neigimu: (p ~ q) ~ (p · g · g · p). Skaitome: išraiška „p ekvivalentus g" lygiaverti išraiškai „Netiesa, kad p ir ne-g, ir netiesa, kad g ir ne-p". Si formulė išvedama taip. Jau žinome, kad ekvivalencija yra implikacija abiem krytimis: (p - g) - [(p^g) · (g—>p)]. Šioje išraiškoje p—>g ir g-*p tereikia pakeisti konjunkcija ir neigimu, ir gauname ekvivalencijos pakeitimą konjunkcija ir neigimu. Apžvelgsime jungčių pakeitimą disjunkcija ir neigimu. Konjunkcijos pakeitimas disjunkcija ir neigimu: (p · g) - pVg.
Skaitome: „p ir q" lygiavertu „Netiesa, kad ne-p arba ne-q". Teiginys „Žodis „jūs" - įvardis ir žodis „mes" - įvardis" lygiavertus teiginiui „Netiesa, kad žodis „jūs" ne įvardis arba žodis „mes" ne įvardis". Implikacijos pakeitimas disjunkcija ir neigimu: (p->q) ~ (pVq). Teiginys „Jei šiandien ateisi, pavaišinsiu tave medumi" ekvivalentus teiginiui „Šiandien neateisi arba pavaišinsiu tave medumi". Įprastoje kalboje implikacijos pakeitimas disjunkcija skamba kiek neįprastai, tačiau patikrinimas matrica rodo, kad toks pakeitimas visiškai teisėtas. Ekvivalencijos pakeitimas disjunkcija ir neigimu: (p~q) ~ pVqVqVp. Skaitome: išraiška „p ekvivalentus q" lygiaverti išraiškai „Netiesa, jog netiesa, kad ne-p arba q, arba netiesa, kad ne-q arba p". Ši sudėtinga išraiška išvedama taip. Žinome, kad ekvivalencija yra implikacija abiem kryptimis. Implikaciją reikia pakeisti disjunkcija ir neigimu, o paskui konjunkciją pakeisti disjunkcija ir neigimu. Panagrinėsime loginių jungčių pakeitimą implikacija ir neigimu. Konjunkcijos pakeitimas implikacija ir neigimu: (p · q) ~ p—>q. Teiginys „Studentas A teisininkas, ir studentas B filologas" ekvivalentus teiginiui „Netiesa, kad jei studentas A teisininkas, tai studentas B ne filologas". Disjunkcijos pakeitimas implikacija ir neigimu: (pVq) ~ (p—>q).
Tarkime kad j užklausimą telefonu atsakoma, jog apie 11 vai. įstaigoje bus asmuo A arba asmuo B. Jei informacija teisinga, tai interesantas bent vieną nurodytą asmenų paskirtu laiku turi rasti. Jei vieno neras (p), tai ras kitą (q). Ekvivalencijos pakeitimas implikacija ir neigimu: (p~q) ~ (p—>q)—^apskaitome: išraiška „p ekvivalentus q" lygiaverti išraiškai „Netiesa, kad jei iš p seka q, tai iš q neseka p". Šitaip vienos loginės jungtys keičiamos kitomis. Tačiau teoriškai galima eiti dar toliau. Pasirodo, kad pakanka tik vieno loginio ženklo, kad juo būtų galima pakeisti visas jungtis. Tas ženklas vadinamas Shefferio štrichu* ir žymimas simboliu |. Išraiška p | q skaitoma: p nesuderinamas su q. Teiginys „p nesuderinamas su q" reiškia, kad p ir q negali būti kartu teisingi, t. y. p · q. Pagal de Morgano taisyklę, p · q ~ (pVq). Disjunkciją pakeitus implikacija, turime (pVq) ~ ( p ^ q ) . Vadinasi, p | q ~ p~q - (pVq) - (ρ-»φ. Šitaip iš žodžio „nesuderinant" išvedėme konjunkciją, disjunkciją ir implikaciją. Shefferio štrichas panaudojamas techninėje logikoje, kai loginius veiksmus atlieka mašinos. Neigimas ir loginės jungtys Shefferio štrichu užrašomos taip: p - (p I p). (p · q) - [(p I q) I (p I q)]. (pVq) - [(p I p) I (q I q)]. (p—>q) ~ [p I (q I q)]·
* #. M Shcffer - amerikieči ų logikas, 1913 m. nustatęs nesuderinamumo operaciją.
Nesuderinamumo operacija reiškiama šia matrica: P t
Q t
PlQ k
t
k
t
k
t
t
k
k
t
Lygiai tokia pati yra išraiškos p • q matrica bei kitų išraiškai p | q lygiaverčių teiginių matricos. Paskutinioji pateiktosios matricos eilutė nurodo, kad vienas klaidingas teiginys gali būti nesuderinamas su kitu klaidingu teiginiu. Antaijei vienas asmuo tvirtina, kad Onutė yra baigusi Filologijos fakultetą, o antrasis tvirtina, kad Onutė baigusi Teisės fakultetą, tai jie abu gali klysti, nes pavyzdžiui, Onutė gali būti baigusi Istorijos fakultetą.
Pratimai 1. Išraiškoje (p · < ? ) — • p) konjunkciją pakeiskite disjunkcija. 2. Turime išraišką ( p V q ) ^ r . Reikia: a) implikaciją pakeisti konjunkcija. G a u n a m e p V q · r. Ar tiksliai pakeista? b) implikaciją pakeisti disjunkcija. G a u n a m e pVqVr. A r tiksliai pakeista?
14. Dvejybiškumas Loginių jungčių pakeitimas rodo, jog kiekvieną teiginių logikos išraišką galima pertvarkyti taip, kad ją sudarytų tik trys operacijos: konjunkcija, disjunkcija ir neigimas. Operacijos „·" ir „V" vadinamos dvejybiškomis, t. y. konjunkcija dvejybiška disjunkcijai, ir priešingai.
Dvi išraiškos vadinamos dvejybiškomis, jei viena gaunama iš kitos, kiekvieną veiksmą pakeitus dvejybišku veiksmu. Antai išraiškos (p • q)Vr ir (pVq) · r; p · qV(r · š) ir pVq · (rVš) yra dvejybiškos. Teisingumas ir klaidingumas - taip pat dvejybiški (idualai). Nesikeičia tik neigimas - jis vadinamas savaime dvejybišku. Dvejybiškumo principas teigia: jei dvi išraiškos ekvivalenčios, tai joms dvejybiškos išraiškos taip pat ekvivalenčios. Pvz.: p · q ~ (pVq). Pagal dvejybiškumo principą gauname: pVq ~ (p · q). Arba pVq ~ (p · q). Iš to seka, kad p · q - (pVq). Visuomet teisingo teiginio dualas yra visuomet klaidingas teiginys. Antai išraiškos p · p dualas yra išraiška pVp, kuri visuomet klaidinga.
Pratimai 1. Ar iš išraiškos pVq - (p · q) pagal dvejybiškumo principą seka p · q ~ ~ (p Vq)? 2. Ar iš (pVq) · л seka (p · q)Vr?
15. Teiginių logikos dėsniai Teiginių logikos dėsnių yra labai daug. Tai rodo, kad žmogus turi be galo daug loginių priemonių tikrovei pažinti. Pateiksime kai kuriuos teiginių logikos dėsnius, turinčius svarbesnę reikšmę. Dvigubo neigimo dėsnis:
p ~ p.
Prieštaravimo dėsnis: P-PNegalimo trečiojo dėsnis:
pvp. Iš klaidingo teiginio seka bet kuris teiginys: p—KpDe Morgano taisyklės: p-q~
(pVq).
pVq ~ (p · q). Šiuos dėsnius jau esame aptarę anksčiau. Pateiksime naujų teiginių logikos dėsnių. Suprastinimo dėsniai: (p · p) ~ P-
(рУp) ~ p. Suprastinimo dėsniai įgalina išvengti tuščiažodžiavimo, betikslio tų pačių minčių kartojimo, nes kad ir kiek kartų pakartotume teiginį p, jis logiškai ekvivalentus vienam teiginiui p. Norint pabrėžti mintį, įprastoje kalboje teiginys kartais pakartojamas kelis kartus. Kai jaunuolis prisipažįsta meilėje ir sako „myliu tave", „myliu tave", „myliu tave", šie trys jo teiginiai logiškai lygiavertūs vienam „myliu tave". Kiti suprastinimo dėsniai:
(p · teisingas teiginys) ~ p. (p · klaidingas teiginys) ~ klaidinga. Sie suprastinimo dėsniai išvedami iš konjunkcijos taisyklės. Jei p reikšmės nežinome, o koks nors kitas teiginys teisingas, tai šių teiginių konjunkcija turi teiginio p reikšmę. Vadinasi, dar reikia nustatyti, teisingas ar klaidingas teiginys p. Jei teiginio p reikšmės dar nežinome, bet žinome, kad antrasis teiginys klaidingas, tai šių teiginių konjunkcija klaidinga. Tokiu atveju jau nebereikia nustatyti p reikšmės. (pV teisingas teiginys) ~ teisinga. (pV klaidingas teiginys) ~ p. (p—^teisingas teiginys) ~ teisinga. Šie suprastinimo dėsniai sudaryti remiantis disjunkcijos ir implikacijos teisingumo taisyklėmis: Išskaidymo dėsniai: p ~ [(p · q)V(p · q)]. p ~ [(pVq) · (pVq)]. Skaitome pirmąją išraišką: teiginys p ekvivalentus teiginiui „p ir q arba p ir ne-q". Skaitome antrąją išraišką: teiginys p ekvivalentus teiginiui „p arba q ir p arba ne-q". Šie dėsniai rodo, kad prie teiginio p galima tam tikru būdu prijungti bet kurį kitą teiginį nepakeičiant p teisingumo reikšmės. Teiginys „Aš einu į kiną" lygiavertus teiginiui „Aš einu į kiną ir mano draugas eina į kiną, arba aš einu į kiną ir mano draugas neina į kiną". Antruoju atveju teiginys „Aš einu į kiną" lygiavertus teiginiui „Aš einu į kiną arba mano draugas eina į kiną, ir aš einu į kiną arba mano draugas neina į kiną". Remdamiesi griežtosios disjunkcijos teisingumo taisykle, gauname dėsnį:
[(pVq) · p]—><7. Skaitome: jei gali būti teisingas tik p arba tik q ir nustatyta, kad p teisingas, tai q klaidingas. Pvz., rytoj važiuosiu j Klaipėdą traukiniu arba skrisiu lėktuvu. Nusprendžiau važiuoti traukiniu. Taigi lėktuvu neskrisiu. [(pVq) · p H q . Skaitome: jei disjunkcija pVq teisinga ir p klaidingas, tai q teisingas. Pavyzdžiui, tikrai žinome, kad mūsų pažįstamas gyvena vienoje iš dviejų gatvių - gatvėje A arba gatvėje B, tačiau nežinome, kurioje, žinome tik namo ir buto numerį. Suradome gatvėje A namą, pažymėtą tuo numeriu. Pasirodė, kad ten mūsų pažįstamas negyvena. Vadinasi, jis gyvena gatvėje B. Panašiai galima samprotauti vartojant ir silpnąją disjunkciją: [(pVq) · p]—>q. Remiantis silpnosios disjunkcijos taisykle, gaunami šie dėsniai: p-4>(pVq). q—>(pVq). Šie dėsniai abejonių nekelia. Jie teigia, kad prie teisingo teiginio disjunktyviai galima prijungti bet kurį kitą teiginį, nes silpnoji disjunkcija teisinga, jei vienas jos narys teisingas. Įvairių dėsnių galima gauti remiantis implikacijos teisingumo taisykle. Antecedento teigimo dėsnis: [(p->q) · p]—>q.
Skaitome: jei implikacija p—>q teisinga ir antecedentas p teisingas, tai konsekventas q taip pat teisingas. Pvz.: „Jei pasiūlymui pritarė dauguma susirinkimo dalyvių, tai jis buvo priimtas. Pasiūlymui pritarė dauguma susirinkimo dalyvių. Vadinasi, pasiūlymas buvo priimtas". Konsekvento neigimo dėsnis: [(p-^q) · q]—>p.
Skaitome: jei implikacija p—>q teisinga ir konsekventas q klaidingas, tai antecedentas p taip pat klaidingas. Imkime tą pačią implikaciją „Jei pasiūlymui pritarė dauguma susirinkimo dalyvių, tai jis buvo priimtas". Neigiame konsekventą „Pasiūlymas nebuvo priimtas". Iš to seka, kad turime neigti antecedentą - „Pasiūlymui nepritarė dauguma susirinkimo dalyvių". Kontrapozicijos dėsnis: (p—>q)—>(q—^pJSkaitome: jei iš p seka q, tai iš ne-q seka ne-p. Galima ir taip skaityti: jei iš p seka q, tai jei konsekventas klaidingas, klaidingas ir antecedentas. Kontrapozicijos atveju išvadoje tereikia prielaidos antecedentą ir konsekventą sukeisti vietomis ir juos abu neigti. Pvz.: „Jei teisiamasis buvo nuteistas, tai teismas nusprendė, kad jis kaltas. Iš to seka, kad jei teismas nusprendė, jog teisiamasis nekaltas, tai jis nebuvo nuteistas". Implikacijos pereinamumas: [(p^q) · (q—>/")]—>(p—>/"). Skaitome: jei iš p seka q ir iš q seka r, tai iš p seka r. „Jei plėtojasi mokslas, tai auga techninė pažanga. Jei auga techninė pažanga, tai kyla gamybos lygis. Vadinasi, jei plėtojasi mokslas, tai kyla gamybos lygis". Implikacijos pereinamumo dėsnis nu-
rodo, kad jei koks nors teiginys seka iš konsekvento, tai tas pats teiginys seka ir iš antecedento. Kartais šis dėsnis užrašomas taip: (p—>q)—>[(q—>/•)—>(p^>/j], Skaitome: jei iš p seka q, tai jei iš q seka r, tai iš p seka r. Prieštaravimo išvedimas:
(p >p) apskaitome: jei iš teiginio p seka jo neigimas ne-p, tai ne-p teisingas. Pavyzdžiui, įlipę į autobusą, manome, kad turime pinigų įsigyti bilietui. Išvertę visas kišenes, įsitikiname, kad pinigų neturime, pamiršome juos namie. Taigi pinigų neturime. Išraiška (p—>p)—>p yra svarbus teiginių logikos dėsnis. Juo remiantis, galima logiškai išspręsti vadinamąjį laisvės paradoksą. Laisvės paradoksas reiškia, kad neribota laisvė ima pati sau prieštarauti, todėl laisvę reikia apriboti. Jei teigsime, kad viskas leistina, tai leistina ir neigti teiginį, kad viskas leistina. O jei leistina neigti, kad viskas leistina, vadinasi, ne viskas leistina. Tad jei iš teiginio („viskas leistina") seka jo neigimas („ne viskas leistina"), tai tas teiginys („viskas leistina") klaidingas, o jo neigimas („ne viskas leistina") teisingas. Panašiai Sokratas paneigia Protagoro teiginį, kad kiekvienas teiginys teisingas, kad reikia tik mokėti teiginį argumentuoti, ir juo visi patikės. Jei Protagoro teiginys „Kiekvienas teiginys teisingas" yra tiesa, tai teisingas taip pat ir jo priešininkų teiginys „Ne kiekvienas teiginys teisingas". Taigi jei iš teiginio „Kiekvienas teiginys teisingas" seka jo neigimas „Ne kiekvienas teiginys teisingas", tai teisingas yra teiginys „Ne kiekvienas teiginys teisingas". Tą pačią prasmę, kaip pateiktoji, turi ir ši išraiška: (p ^P) ^PKonsekvento nepriklausomybė nuo antecedento: [(p—>q) · (p—>q)]—>q-
Skaitome: jei iš p seka q ir iš ne-p seka q, tai q teisingas. Šioje išraiškoje teigiama, kad teiginys q teisingas nepriklausomai nuo to, ar p teisingas, ar p teisingas. „Jei laimėsiu paskutinę partiją, pirmenybėse užimsiu pirmąją vietą. Jei paskutinę partiją pralaimėsiu, pirmenybėse užimsiu pirmąją vietą. Taigi pirmenybėse užimsiu pirmąją vietą" (nepriklausomai nuo to, ar paskutinę partiją laimėsiu, ar pralaimėsiu). Kas nesuderinama su konsekventą, nesuderinama ir su antecedentu:
Skaitome: jei iš p seka q, tai jei q nesuderinamas su r, tai p nesuderinama su r. Pavyzdžiui, jei asmuo studijuoja aukštojoje mokykloje, tai jis turi laikytis aukštosios mokyklos nuostatų. Iš to seka, kad jei aukštosios mokyklos nuostatai nesuderinami su amoraliu elgesiu, tai studijavimas aukštojoje mokykloje nesuderinamas su amoraliu elgesiu. Antecedentu jungimo dėsnis: [{ρ—>ή · (g->r)]-»[(pVq)->r]. Skaitome: jei iš p seka r ir iš q seka r, tai iš pVq seka r. „Jei važiuosiu į Kauną traukiniu, kelionė truks pusantros valandos. Jei važiuosiu į Kauną autobusu, kelionė taip pat truks pusantros valandos. Taigi jei važiuosiu į Kauną traukiniu arba autobusu, kelionė truks pusantros valandos". Konsekventą jungimo dėsnis: [(p->q) · (p->r)]-> [pMq · r)]. Skaitome: jei iš p seka q ir iš p seka r, tai iš p seka q ir r. „Jei nusikaltimą padarė A, tai jo bendrininkas buvo B, ir jei nusikaltimą padarė A, tai jo bendrininkas buvo C. Vadinasi, jei nusikaltimą padarė A, tai jo bendrininkai buvo B ir C".
Antecedentų ir konsekventų jungimo dėsnis:
[(p->g) • (r >s)] >[(p · r)-+(q • s)]. Skaitome: jei iš p seka q ir iš r seka s, tai iš p ir л seka q ir s. Siame dėsnyje dviejų implikacijų antecedentai ir konsekventai sujungiami konjunkcija. „Jei vakar buvo pirmadienis, tai šiandien antradienis, ir jei rytoj trečiadienis, tai poryt ketvirtadienis. Iš to seka, kad jei vakar buvo pirmadienis ir rytoj trečiadienis, tai šiandien antradienis ir poryt ketvirtadienis." Konsekventų ir antecedentų nesuderinamumo dėsnis:
[(p-x/) · (r—>s)]^(Q7S->pT7). Skaitome: jei iš p seka q ir iš r seka s, tai jei q nesuderinamas su s, tai p nesuderinamas su r . Šis dėsnis nurodo, kad jei dviejų implikacijų konsekventai nesuderinami (negali būti kartu teisingi), tai nesuderinami ir tų implikacijų antecedentai. „Jei pranešėjas kalba nuobodžiai, tai klausytojus ima miegas, ir jei pranešėjas nuolat vartoja įterptinius žodžius, tai tas klausytojus erzina. Iš to seka, kad jei netiesa, kad klausytojus ima miegas ir pranešėjo kalba juos erzina, tai netiesa, kad pranešėjas kalba nuobodžiai ir nuolat vartoja įterptinius žodžius."
Pratimai Suskirstykite teiginių logikos dėsnius į keturias klases: a) turinčius vieną kintamąjį (p); b) turinčius du kintamuosius (p, q); c) turinčius tris kintamuosius (p, q, л); d) turinčius keturis kintamuosius (p, q, r, s).
16. Samprotavimų pagrindimas teiginių logikos priemonėmis Samprotavimą sudaro trys dalys: prielaidos, išvada ir išvedimo taisyklė. Prielaidos yra pradiniai samprotavimo teiginiai. Išvada yra tas teiginys, kuris gaunamas iš prielaidų. Išvedimo taisyklė įgalina iš prielaidų padaryti išvadą. Iš tam tikrų prielaidų daroma ne bet kokia, bet tam tikra išvada. Tai padaryti įgalina toji išvedimo taisyklė, kuria remiamasi samprotavime. Išvedimo taisyklėmis būna logikos dėsniai arba kokios nors kitos taisyklės. Panagrinėkime samprotavimą: Jei mokytojas pamoką netinkamai išdėstė (p), tai mokiniai jos turinio deramai nesuvokė (q). Mokytojas pamoką išdėstė netinkamai (p). Vadinasi, mokiniai pamokos turinio deramai nesuvokė (q).
Pirmieji du teiginiai yra šio samprotavimo prielaidos, o išvada nuo jų atskirta brūkšniu. Šiame samprotavime taikomą logikos dėsnį galima surasti formalizavus samprotavimą, nustačius jo loginę struktūrą. Gauname: prielaidos išvada
p—><7P1 Vadinasi, q.
Logikos išraiškos rašomos vienoje eilutėje. Tuo tikslu prielaidas reikia sujungti konjunkcijos ženklu, o išvadą prie prielaidų prijungti implikacijos ženklu, nes išvada seka iš prielaidų. Pateikto samprotavimo loginė struktūra vienoje eilutėje užrašoma taip:
[(p—>g) · p]—>g. Ši išraiška ir yra toji išvedimo taisyklė, kuria remiamasi iš prielaidų darant išvadą (antecedento teigimo dėsnis jei antecedentas teisingas, tai teisingas ir konsekventas). Kiek prielaidų sudaro samprotavimą? Mažiausiai samprotavime turi būti bent viena prielaida. Gali būti dvi prielaidos, trys, keturios ir t. t. Turime vieną prielaidą „Jei susirinkimas pradedamas, tai kvorumas yra". Šią prielaidą sudaro du paprasti teiginiai, sujungti implikacija: p—>q. Iš šios prielaidos išvadą galima gauti pavartojus kontrapozicijos dėsnį: (p—>g)—>(g^p). Tad iš prielaidos „Jei susirinkimas pradedamas, tai kvorumas yra" seka išvada „Jei kvorumo nėra, tai susirinkimas nepradedamas". Tegul turime tris teiginius: „Automobilis labai greitai važiuoja" (p); „Gatvėse didelis judėjimas" (qr); „Gresia avarija" (r). Iš šių trijų teiginių sudarykime tokį sudėtinį teiginį: „Jei automobilis labai greitai važiuoja ir gatvėse didelis judėjimas, tai gresia avarija". Laikykime šį teiginį prielaida ir padarykime išjos išvadą. Pirmiausia nustatome, kad prielaidos loginė struktūra tokia: (p · g)—>/". Šios išraiškos daliai g—>r taikykime kontrapozicijos dėsnį. Gauname: r-H>g. Vadinasi, iš prielaidos (p · g)—>r darome išvadą (p · r ) ^ g . Sujungę prielaidą ir išvadą implikacija, gauname: [(p · <7)——>[(p · 7)—>g]. Taigi iš prielaidos „Jei automobilis labai greitai važiuoja ir gatvėse didelis judėjimas, tai gresia avarija" darome išvadą „Jei automobilis labai greitai važiuoja ir avarija negresia, tai gatvėse nėra didelio judėjimo". Reikia pažymėti, kad iš tos pačios prielaidos, taikant skirtingus logikos dėsnius, galima gauti įvairias išvadas. Iš prielaidos „Jei knyga įdomi, tai ją daugelis skaito" galima daryti įvairias išvadas. Panaudojus dėsnį „Kas nesuderinama su konsekventų, nesuderinama su antecedentų" - (p^g)-^(g · r-^p · r) - ir r pakeitus teiginiu „Knyga guli užmesta bibliotekoje", skaitome: „Iš to, kad jei knyga įdomi, tai ją daugelis skaito, seka, kad jei netiesa, kad knygą daugelis skaito ir ji guli užmesta bibliotekoje, tai netiesa, kad knyga įdomi ir ji guli užmesta bibliotekoje".
Panaudojus implikacijos pereinamumo dėsnį (p—>g)—>[(qr—>r)—> (p—>r)] ir л pakeitus teiginiu „Bibliotekai pravartu turėti kelis knygos egzempliorius", skaitome: iš prielaidos „Jei knyga įdomi, tai ją daugelis skaito" seka išvada „Iš to, kad jei knygą daugelis skaito, tai bibliotekai pravartu turėti kelis jos egzempliorius, seka, kad jei knyga įdomi, tai bibliotekai pravartu turėti kelis jos egzempliorius". Teiginių logika sėkmingai taikoma sudėtingiems klausimams, komplikuotoms situacijoms spręsti. Išnagrinėsime tokį atvejį. Tarkime, kad tam tikrą nusikaltimą galėjo padaryti tik vienas iš keturių įtariamų asmenų K, L, M, N. K teigia, kad nusikaltimą padarė L; L teigia, kad nusikaltimą padarė N; M sako, kad jis nepadarė nusikaltimo; N sako, kad jis nepadarė nusikaltimo. Kas padarė nusikaltimą, jei yra žinoma, kad tik vienas iš šių keturių teiginių teisingas? Kiekvieno asmens parodymus žymėsime atskiru simboliu: nusikaltimą padarė L (L); nusikaltimą padarė N (N); M nepadarė nusikaltimo (M); N nepadarė nusikaltimo (N). Taigi turime keturis teiginius: L, N, M, N. Tarkime, kad teisingas teiginys L (nusikaltimą padarė L). Jei teiginys L teisingas, tai, pagal sąlygą, visi kiti trys teiginiai turi būti klaidingi. Jei teiginys L teisingas, tai teiginys N (nusikaltimą padarė N) klaidingas: L—>/V. Tai atitinka sąlygą. Jei teiginys L teisingas, tai teiginys M (M nepadarė nusikaltimo) klaidingas. Tada M turime neigti (M). Žinome, kad dvigubas neigimas lygiavertus teigimui: M ~ M. Tačiau M reiškia: nusikaltimą padarė M. Išeina, kad nusikaltimą padarė dar ir antras asmuo, bet tai prieštarauja sąlygai. Vadinasi, prielaida, kad teiginys L teisingas (nusikaltimą padarė L) atkrinta. Nustatome, kad L nusikaltimo nepadarė. Tarkime, kad teisingas teiginys N (nusikaltimą padarė N). Susidaro ta pati situacija, kaip ir anksčiau pateiktoji. Jei teiginys N teisingas, tai teiginys M klaidingas. O dvigubas neigimas lygiavertus teigimui: teiginys „Netiesa, kad M nepadarė nusikaltimo" lygiavertus teiginiui „M padarė nusikaltimą". Vėl išeina, kad nusikaltimą padarė dar ir antras asmuo, o tai prieštarauja sąlygai. Taigi nustatome, kad teiginys N klaidingas ir N nusikaltimo nepadarė.
Tarkime, kad teisingas teiginys M (M nepadarė nusikaltimo). Pagal sąlygą, visi likusieji teiginiai turi būti klaidingi: teiginys L (nusikaltimą padarė L) klaidingas, vadinasi, L nepadarė nusikaltimo; teiginys N (nusikaltimą padarė N) klaidingas, vadinasi, N nepadarė nusikaltimo; teiginys Л/ (nusikaltimo N nepadarė) klaidingas, vadinasi, N padarė nusikaltimą. Gavome aiškų prieštaravimą: N nepadarė nusikaltimo ir N padarė nusikaltimą. Teiginys, iš kurio seka prieštaravimas, yra klaidingas. Vadinasi, prielaida M (M nepadarė nusikaltimo) klaidinga, ir nusikaltimą padarė M. Kad nusikaltimą padarė M, įrodo ir paskutiniojo atvejo patikrinimas. Tarkime, kad teiginys N (N nepadarė nusikaltimo) teisingas. Tada teiginys L (nusikaltimą padarė L) klaidingas, teiginys N (nusikaltimą padarė N) klaidingas, teiginys M (M nepadarė nusikaltimo) klaidingas, vadinasi, M padarė nusikaltimą.
Pratimas Pasinaudodami žiniomis iš teiginių logikos, išspręskite uždavinį. Vienoje Rytų šalyje buvo trys dievai, į kuriuos gyventojai kreipdavosi patarimų: į tiesos dievą - jis visuomet sakydavo tiesą, į melo dievą - jis visuomet meluodavo, į dievą diplomatą - jis kartais sakydavo tiesą, kartais meluodavo. Savo išvaizda visi trys dievai buvo visiškai vienodi, ir tai buvo patogu žyniams: jei pranašavimas neišsipildydavo, jie sakydavo, kad ne į tą dievą buvo kreiptasi. Kartą atsirado žmogus, kuris nutarė atpažinti dievus. Dievui, stovinčiam kairėje, jis pateikė klausimą: „Kas stovi greta tavęs?" Šis atsakė: „Greta manęs stovi tiesos dievas". Dievą, stovintį centre, paklausė: „Kas tu toks?" Šis atsakė: „Aš esu dievas diplomatas". Dievą, stovintį dešinėje, paklausė: „Kas stovi greta tavęs?" Šis atsakė: „Greta manęs stovi melo dievas". „Viskas aišku", - tarė žmogus, - aš jus atpažinau". Kaipjis atpažino dievus?
17. Loginės sekos principai Loginė seka yra taisyklingas sekmens išvedimas iš prielaidų. Sekmens (išvados) gavimą iš prielaidų reglamentuoja šie principai: 1. Teisingai išvadai gauti reikia, kad samprotavimo prielaidos būtų teisingos ir išvados gavimo iš prielaidų procesas būtų logiškai taisyklingas. Išvada paveldi prielaidų teisingumą - ji teisinga, jei prielaidos teisingos. 2. Vien loginio išvedimo proceso taisyklingumo teisingai išvadai gauti nepakanka. Reikia, kad ir prielaidos būtų teisingos, jų teisingumas nustatomas patyrimu arba teorinėmis, loginėmis priemonėmis. 3. Jei nežinoma, ar prielaidos teisingos, tai nežinoma, ar iš jų gautos išvados yra teisingos. 4. Jei logiškai taisyklingai gaunama klaidinga išvada, tai tas rodo, kad bent viena prielaida klaidinga. 5. Teisingos išvados gavimas dar nepatvirtina, kad ir prielaidos teisingos. Teisingą išvadą įmanoma atsitiktinai gauti ir iš klaidingų prielaidų. Vis dėlto, esant apibrėžtoms aplinkybėms, teisingos išvados gavimas liudija prielaidų teisingumo naudai. 6. Manyti, kad, žinant prielaidas, žinomos ir visos išvados, būtų loginė visažinystė. Visas išvadas žinoti įmanoma tik siaurose samprotavimų eilėse, antai teiginių logikoje. Logines išvedimo taisykles galima taikyti ne tik iš prielaidų gauti išvadą, bet ir atvirkščia tvarka - žinant išvadas, ieškoti prielaidų. Spragos prielaidose užpildomos atrandant trūkstamas prielaidas, reikalingas sekai. Sekos taisyklės reiškiamos tokia schema: iš prielaidų A1, A2, A3... An seka išvada С. Formulė (A1, A2, Ay..A)—>C laikoma logiškai taisyklinga, kai (A1-A2A3...A )—>C yra logikos dėsnis.
03)
Pratimas
Nustatykite sekos principų nesilaikymą šiame samprotavime: logika tiria taisyklingą mąstymą, o mąstymas yra psichinis procesas, tad logika yra psichologijos disciplina.
18. Išsprendžiamumas Visos loginės išraiškos skirstomos j tris grupes: 1. Visuomet teisingos išraiškos. Jos yra logikos dėsniai. Kai samprotavimai įgauna logikos dėsnio formą, išvada visuomet esti teisinga (esant teisingoms samprotavimo prielaidoms). 2. Visuomet klaidingos išraiškos. Jos yra logikos dėsnių neigimas. Kai samprotavimas įgauna visuomet klaidingos išraiškos formą, teisinga išvada niekuomet negaunama. 3. Kartais teisingos (atitinkamai - kartais klaidingos) išraiškos. Jos yra įvykdomos išraiškos. Kai samprotavimas įgauna šios išraiškos formą, tai gaunama teisinga arba klaidinga išvada. Kada gaunama teisinga išvada ir kada klaidinga - dėsningumo nėra. Tai priklauso nuo objektų, apie kuriuos samprotaujama. Išsprendžiamumą sudaro tai, kad atrandamas metodas nustatyti, ar turimoji išraiška yra visuomet teisinga, ar visuomet klaidinga, ar kartais teisinga (atitinkamai - kartais klaidinga). Išsprendžiamumas yra pagrindinė kiekvienos loginės teorijos problema. Kiekvienoje teorijoje nustatoma, kokios išraiškos joje laikomos bendrareikšmėmis, t. y. dėsniais. Teiginių logikoje išsprendžiamumo problemą galima spręsti keliais būdais. Išnagrinėsime du būdus: vartojant matricų metodą ir suteikiant išraiškai normaliąją formą.
Išsprendžiamumas matricų
metodu
Jau ankstesniuose skirsniuose išraiškų teisingumą nustatydavome matricomis. Panagrinėkime šį samprotavimą: Netiesa, kad teorija S teisinga ir teorija S t teisinga. Nustatyta, kad teorija S klaidinga. Vadinasi, ...
Kokia išvada seka iš šių prielaidų? Tarkime, kad kas nors samprotauja taip: jei dvi teorijos nėra abi kartu teisingos ir viena iš jų klaidinga, tai antroji teorija teisinga. Tikrinant, ar ši išvada teisinga, pirmiausia reikia samprotavimą formalizuoti. Teiginį „Teorija S teisinga" pažymėkime raide p, teiginį „Teorija S1 teisinga" - raide q. Gauname:
p ·q P Vadinasi, q. Sujunkime prielaidas konjunkcija: p · q · p. Išvadą prie prielaidų prijunkime implikacija: (p · q · p)->qf. Si išraiška ir yra nagrinėjamojo samprotavimo loginė struktūra, išvedimo taisyklė. Jos teisingumą nustatysime matrica: P t t k k
Я t k
P k k
t k
t t
p·q t k k k
p-q k
p-q-p k
t t
k t t
t
(p' q' p)^>q t t t k
Paskutiniame lentelės stulpelyje yra tiek reikšmė „teisinga", tiek reikšmė „klaidinga". Vadinasi, kalbamoji išraiška nėra logikos dėsnis, ji yra kartais teisinga ir kartais klaidinga. Tai rodo, kad sampro-
tavimui įgavus šios išraiškos formą, kartais galima gauti teisingą, o kartais - klaidingą išvadą. Iš tiesų, jei yra žinoma, kad dvi teorijos negali būti kartu teisingos ir kad viena iš jų klaidinga, tai vien tik logiškai samprotaujant negalima daryti išvados, kad antroji teorija būtinai teisinga, nes abi teorijos gali būti klaidingos. Vien tik logikos priemonėmis tokiu atveju neįmanoma nustatyti, ar antroji teorija teisinga ar neteisinga. Reikia teoriją konkrečiai tirti. Pateikto samprotavimo prielaidas pertvarkysime taip: Netiesa, kad teorija S teisinga ir teorija S1 teisinga (p · g). Nustatyta, kad teorija S teisinga (p). Vadinasi, teorija S1 klaidinga (q).
Į klausimą, ar padarėme teisingą išvadą, atsako šio samprotavimo struktūros (p · q · p)^>q patikrinimas matrica. P
Я
Я
p.q
t t k k
t k
k
t k
t k
t k t
k k
P • Я
Р-Я-Р
k
k
t t t
t k k
(P ' Я ·ΡΛ-><7
t t t t
Paskutinis matricos stulpelis rodo, kad nagrinėjamoji išraiška yra visuomet teisinga, o tai reiškia, kad išvadą padarėme teisingą. Anksčiau nagrinėjome samprotavimą: iš prielaidos „Jei automobilis labai greitai važiuoja ir gatvėse didelis judėjimas, tai gresia avarija" seka išvada „Jei automobilis labai greitai važiuoja ir avarija negresia, tai gatvėse nėra didelio judėjimo". Patikrinkime, ar teisinga padarytoji išvada. Šį samprotavimą esame užrašę išraiška [(p · qr)—>r]—>t(p · r)—>q]. Iki šiol sudarinėdavome matricas išraiškoms, kuriose būdavo daugiausia du pagrindiniai teiginiai - p ir q, pasitaikydavo dar jų neigimai. Tuo tarpu šioje išraiškoje yra trys pradiniai teiginiai p, q, r. Tad paprastų teiginių visų galimų teisingumo ir klaidin-
gumo atvejų skaičius bus gerokai didesnis. Iš viso matricoje bus 8 eilutės: P q t t t t t k t k k k k
k t t k k
r t k t k t k t k
Я r P · Я (P q)->r p-r k k t t k k t t k t t k k t k t t k t t k k k t k k t k t k t k k t k t t k t k
(p · r)^>q [(p · q»)—>/"]—>[(p · r)-»q] t t t t t t t t
t t t t t t t
Matricos paskutiniame stulpelyje yra tik reikšmė „teisinga". Vadinasi, nagrinėjamoji išraiška yra logikos dėsnis, ir padaryta išvada teisinga. Eilučių skaičius matricoje apskaičiuojamas pagal 2" = eilučių skaičius (n pradinių teiginių skaičius, o 2 žymi dvi teisingumo reikšmes teisinga ir klaidinga). Matricos patogios pateikti išsprendžiamumo problemą, kai išraiškoje nedaug paprastų teiginių. Kuo paprastų teiginių daugiau, tuo matrica darosi sudėtingesnė. Jei išraiškoje yra 4 paprasti teiginiai, tai matricą sudarys jau 16 eilučių, jei 5 - 3 2 eilutės. Sudarant matricas, kyla techniško pobūdžio sunkumų, nes lengvai galima apsirikti. Tokiu atveju išsprendžiamumo problemą galima pateikti kitu būdu - suteikiant išraiškai normaliąją formą.
Išsprendžiamumas normaliųjų
formų
metodu Kiekvieną teiginių logikos formulę galima išreikšti pavartojus tris operacijas - neigimą, konjunkciją ir disjunkciją. Normaliąją formą išraiška turės tada, kai joje bus tik neigimas,
konjunkcija ir disjunkcija. Be to, neigimas turi tekti tik paprastiems teiginiams. Suteikiant išraiškai normaliąją formą, remiamasi šiomis ekvivalencij omis: P p·q
pVq
p—>q
p-q PVq P · (q • r) pV(qVr) P · (qVr) pV(qf· r)
ekvivalentu ekvivalentu ekvivalentu ekvivalentu ekvivalentu ekvivalentu ekvivalentu ekvivalentu ekvivalentu ekvivalentu ekvivalentu
P PVq p ·q PVq p·q q' p QVp (P · qf) · r
(PVq)Vr (P · q)V(p • r) (pVq) · (pVr)
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
(1) - (5) dėsniai mums jau žinomi. Tai dvigubo neigimo dėsnis, de Morgano taisyklės, implikacijos pakeitimas disjunkcija ir neigimu, implikacijos neigimo ekvivalencija. (6) - (7) ekvivalencijos taip pat žinomos. Tai konjunkcijos ir disjunkcijos narių sukeitimas vietomis (komutatyvumas). (8) ir (9) ekvivalencijos vadinamos asociatyviniais dėsniais. Jie parodo, kaip teiginį galima įkelti arba iškelti už skliaustų. Jie visai panašūs į šiuos elementariosios matematikos veiksmus: а • (b • c) = (а • b) · с; а + (b + c) = (а + b) + c. Dėl to ir sakoma, kad su jungtimi „ir" galima atlikti veiksmą, panašų į daugybos veiksmą, o su jungtimi „arba" galima atlikti veiksmą, panašų į sudėties veiksmą. (10) ir (11) ekvivalencijos vadinamos distributyviniais dėsniais. (10) dėsnis panašus j distributyvumą elementariojoje matematikoje: a · (b + c) = (а • b) + (а • c). Konkretus (10) dėsnio pavyzdys: teiginys „Tais metais gegužės mėnuo buvo šaltas ir pūtė šiaurės vėjas arba dažnai lijo" lygiavertus teiginiui „Tais metais gegužės mėnuo buvo šaltas ir pūtė šiaurės vėjas arba tais metais gegužės mėnuo buvo šaltas ir dažnai lijo".
Kai išraiškoje yra daugiau teiginių, atsiranda šie du distributyvinių dėsnių variantai: 1. [(p . q)V(r · s)] ~ [(рУr) • (pVs) · (qVr) · (qVs)]. Matome, kad šiuo atveju distributyvinis dėsnis taikomas du kartus: \рУ(r · s)] ~ [(рУr) · (pys)] ir [qy(r • s)] ~ [(qVr) · (qVs)]. Panašiai [(pVq) · (rVs)] ~ [(p · r)V(p · s)V(q · r)V(q · s)].
2. [(p · q) · (гУв)] ~ [(p · q · r)V(p · q · s)]. Šiuo atveju teiginys p · q laikomas neskaidomu vienetu ir prie jo prijungiami teiginys r ir teiginys s. Panašiai [(pVq)V(r · s)] ~ [(pVqVr) · (pVqVs)]. O jei, pvz., turime išraišką (pVq) · (r · s), tai, pirmiausia sukeitę konjunkcijos narius vietomis, gauname (r · s) · (pVq), o paskui šiai išraiškai taikome antrąjį distributyvinio dėsnio variantą. Suteikiant išraiškoms normaliąją formą, kartais tenka remtis dar ir kitomis ekvivalencijomis. Tačiau mūsų tikslui pakanka pateiktųjų, jos laikomos pagrindinėmis. Loginėms išraiškoms galima suteikti dvi normaliąsias formas konjunkcinę normaliąją formą ir disjunkcinę normaliąją formą. Kiekviena iš šių normaliųjų formų turi savo variantus.
Pratimas Išvados teisingumą nustatykite matrica: 1. Jei lyja, tai gatvės šlapios. Nelyja, vadinasi, gatvės nešlapios. 2. Jei lyja, tai gatvės šlapios. Gatvės nešlapios. Vadinasi, nelyja. 3. A neišeina iš namų be B. Kai C išeina, tai A neišeina ir B išeina. Vadinasi, jei B neišeina, tai C neišeina.
19. Konjunkcinė normalioji forma Išraiškos konjunkcinė normalioji forma yra ekvivalenti išraiška, kuri yra paprastų disjunktyviai susietų teiginių konjunkcija. Kiekvienai išraiškai ekvivalenčiais pertvarkymais galima suteikti konjunkcinę normaliąją formą. Suteiksime tokią formą išraiškai pVqVr. Remiantis (3) ekvivalencija, pertvarkome qVr: pV(q-7). Pritaikę (11), gauname: (pVq) · (РУr). Gautoji išraiška yra konjunkcinė normalioji forma. Ji yra konjunkcinis teiginys, be to, kiekvienas konjunkcijos narys yra paprastų teiginių disjunkcija. Pavadinimo „konjunkcinė normalioji forma" santrumpa yra knf. Išnagrinėsime du knf standartinius variantus. Vienas konjunkcinės normaliosios formos variantų yra visuomet teisingas teiginys. Jei išraiškai suteikiama konjunkcinė normalioji forma, kurioje konjunkcijos nariai yra paprastų teiginių disjunkcijos ir kiekvienoje disjunkcijoje yra koks nors teiginys ir to teiginio neigimas, tai tokia išraiška yra visuomet teisinga. Natūralu, kad ne kiekvienai išraiškai galima suteikti tokią konjunkcinę normaliąją formą. Ją galima suteikti tik toms išraiškoms, kurios yra logikos dėsniai. Kalbamąją konjunkcinę normaliąją formą suteiksime išraiškai (p—>q)—KP—>p)· Remdamiesi (4) ekvivalencija, skliaustuose esančią implikaciją keičiame disjunkcija: (pVq)->(qVp). Atkreipkime dėmesį į išraišką qVp. Ji gaunama taip. Pagal (4),
implikaciją keičiant disjunkcija, reikia implikacijos ženklą pakeisti disjunkcijos ženklu ir neigti buvusios implikacijos antecedentą. Kadangi implikacijos antecedentas buvo q, tai jis įgauna dar vieną neigimą: q. Buvęs implikacijos konsekventas išlieka nepakitęs. Pritaikę (1), pašaliname dvigubą neigimą: (pVqM(qVp). Remdamiesi (4), implikaciją pakeičiame disjunkcija: pVqV(qVp). Pritaikę (3), pašaliname pVq neigimą: (p · q)V(qVp). Pašaliname dvigubą neigimą: (p · q)V(qVp). Pritaikę (11), gauname: (pVqVp) · (qVqVp). Si išraiška yra ta konjunkcinė normalioji forma, kuri yra visuomet teisingas teiginys. Ji yra konjunkcinis teiginys, be to, kiekvienas konjunkcijos narys yra paprastų teiginių disjunkcija. Kiekvienoje disjunkcijoje yra teiginys ir to teiginio neigimas. Pirmoje disjunkcijoje turime pVp, antroje - qVq. Teiginiai p Vp, qVq visuomet teisingi, jie yra atskiri negalimo trečiojo dėsnio pasireiškimai. Žinome, kad disjunkcija teisinga, jei teisingas bent vienas jos narys. Vadinasi, prie pVp ir qVq disjunktyviai galima prijungti bet kokius teiginius, vis tiek visa disjunkcija bus teisinga. Kadangi disjunkcija pVqVp teisinga ir disjunkcija qVqVp teisinga, tai šių disjunkcijų konjunkcija taip pat teisinga. Suteiksime konjunkcinę normaliąją formą išraiškai
[(p->q) · (q—>r)]—>(p—>r). Remdamiesi (4), skliaustuose esančią implikaciją pakeičiame disjunkcija: [(pVqO · (qVr)]->(pVr). Vėl implikaciją pakeičiame disjunkcija pagal (4): (pVq) • (qVr)V(pVr). Pritaikę (2), pašaliname didįjį neigimą: (pVqVqVr)V(pVr). Taikome (3): [(p · q)V(q • r)]V(pVr). Pašaliname dvigubą neigimą: [(p · q)V(q · r)]V(pVr). Laužtiniuose skliaustuose esančiai išraiškos daliai taikome (11): [(pVq) · (pVr) · (qVq) · (qVr)]V(pVr). Vėl taikome (11), prieš tai aiškumo dėlei sukeitę disjunkcijos narius vietomis pagal (7): (pVr)V[(pVq) · (pVr) · (qVq) · (qVf)]. Dabar taikome (11), t. y. prie pVr disjunktyviai prijungiame kiekvieną laužtiniuose skliaustuose esantį konjunkcijos narį: (pVrVpVq) · (pVrVpVr) · (pVrVqVq) · (pVrVqVr).
Gautoji išraiška yra konjunkcinė normalioji forma, kuri yra visuomet teisinga. Ji yra konjunkcija, kurios paskiri nariai - disjunkciniai teiginiai. Kiekvieną disjunkciją sudaro koks nors teiginys ir to teiginio neigimas. Konjunkcinė normalioji forma, kuri yra visuomet teisinga, įgalina nustatyti, ar formulė Byra formulių Ay A2, A3 ... An loginis sekmuo. Tegul turime prielaidas pVq, p. Reikia nustatyti, ar iš šių prielaidų galima išvesti sekmenį q. Tuo tikslu prielaidos sujungiamos konjunkcija, o išvada prie prielaidų prijungiama implikacijos ženklu. Gauname KpVq) · p]—>q. Šiai išraiškai suteikiame knf. Pirmiausia implikaciją keičiame disjunkcija pagal (4): (pVq) · pVq. Taikome (2): (pVqVp) Vq. Taikome (3) ir (1): [(p - q)Vp]Vq. Remdamiesi (7), disjunkcijos narius sukeičiame vietomis: qV[pV(p · q)]. Laužtiniuose skliaustuose esančiai išraiškos daliai taikome (11): qV[(pVp) · (pVq)]. Dar kartą taikome antrąjį distributyvinį dėsnį: (qVpVp) · (qVpVq).
Gautoji išraiška yra knf, kuri yra visuomet teisingas teiginys, dėl to ir teiginys q yra prielaidų (pVq) • p loginis sekmuo. Jei, prielaidas sujungus konjunkcija ir ieškomą sekmenį prie prielaidų prijungus implikacija, sudarytajai išraiškai neįmanoma suteikti knf, kuri yra visuomet teisinga, tai tas reiškia, kad duotasis teiginys iš turimųjų prielaidų logiškai neseka. Antrasis konjunkcinės normaliosios formos standartinis variantas yra tobula knf. Išraiškos tobula konjunkcinė normalioji forma yra jos konjunkcinė normalioji forma, turinti šiuos požymius: a) joje nėra dviejų vienodų konjunkcijos narių; b) nė viename konjunkcijos naryje nėra dviejų vienodų disjunkcijos narių; c) nė viename konjunkcijos naryje nėra teiginio ir kartu to teiginio neigimo; d) kiekviename konjunkcijos naryje yra visi išraiškoje esantys teiginiai, ir kiekvienas teiginys yra su neigimo ženklu arba be jo. Išsiaiškinsime šiuos tobulos knf požymius. Reikalavimą a) galima įvykdyti, remiantis suprastinimo dėsniu (p · p) ~ p. Jei, pvz., turime išraišką (pVq) · (pVq) · (pVq), tai vienas pasikartojantis konjunkcijos narys išbraukiamas. Gauname (pVq) · (pVq). Reikalavimas b) įvykdomas, remiantis suprastinimo dėsniu (pVp) ~ p. Jei turime išraišką (pVqVp) · (pVq), tai pirmajame konjunkcijos naryje pasikartojantį teiginį p išbraukiame. Gauname (pVq) • (pVq). Reikalavimas c) reiškia, kad nė viename konjunkcijos naryje neturi būti pVp formos teiginių. Tokios formos teiginys būtų visuomet teisingas. Dėl to, jei, sakysime, yra išraiška (pVqV/*) · (pVqVr) · • (pVpVr), tai trečiąjį konjunkcijos narį pVpVr reikia išbraukti. Gauname (pVqVr) · (pVqVr). Reikalavimas d) įvykdomas taip: jei kurio nors išraiškos teiginio χ konjunkcijos naryje trūksta, tai tą teiginį ir jo neigimą (χ • χ) disjunkcijos ženklu reikia prijungti prie konjunkcijos nario. Šis prijun-
girnas teisėtas remiantis išskaidymo dėsniu p ~ [(pVq) · (pVq)]. Tegu turime išraišką (pVq) · p. Ji yra knf, tačiau nėra tobula knf, nes neatitinka reikalavimo d). Remiantis išskaidymo dėsniu, prie teiginio p prijungiame trūkstamą teiginį q: (pVq) · [pV(q · q)]. Pritaikę (11), gauname: (pVq) · (pVq) · (pVq). Tobulą knf galima suteikti bet kuriai išraiškai, išskyrus visuomet teisingas. Šią formą suteiksime išraiškai (p->p) · (p-^q). Remiantis (4), implikaciją keičiame disjunkcija: (pVp) · (pVq). Gavome konjunkcinę normaliąją formą, kuri nėra tobula knf, nes neatitinka b) reikalavimo. Dėl to pasikartojantį teiginį p išbraukiame: P · (pVq)· Ši knf taip pat dar ne tobula knf, nes ji neatitinka d) reikalavimo. Dėl to prie teiginio p disjunkcijos ženklu prijungiame q · q: [pV(q · q)] · (pVq). Taikome (11): (pVq) · (pVq)] · (pVq). Gautoji išraiška vėlgi nėra tobula knf, nes ji neatitinka a) reikalavimo. Dėl to pasikartojantį konjunkcijos narį pVq išbraukiame: (pVq) · (pVq). Ši išraiška jau yra išraiškos (p->p) · (p—>q) tobula knf. Tobula knf įgalina nustatyti visus turimųjų prielaidų sekmenis. Tuo tikslu prielaidos sujungiamos konjunkcija ir gautai išraiškai suteikiama tobula knf: kiekvienas tobulos knf konjunkcijos narys ir kiek-
viena konjunkcija su bet kuriuo narių skaičiumi yra turimųjų prielaidų sekmuo. Tegul turime prielaidas p · q; p. Nustatysime jų sekmenis. Tuo tikslu išraiškai p · q · p suteiksime tobulą knf. Remiantis (2): (PVq) · p. Pagal reikalavimą d) prie teiginio p prijungiame trūkstamą narį q: (pVq) · [pV(q · q)]. Laužtiniuose skliaustuose esančiai išraiškos daliai taikome (11): (pVq) · (pVq) · (pVq). Gautoji išraiška yra tobula knf. Ji rodo, kad iš prielaidų p · q ir p išvedami 7 sekmenys: pVq; pVq; pVq; (pVq) · (pVq); (pVq) · (pVq); (pVq) · (pVq); (pVq) · (pVq) · (pVq).
Pratimai 1. Suteikite konjunkcinę normaliąją formą, kuri yra visuomet teisinga, išraiškai [(p—>q) ·
(p^q)]—>q.
2. Ar išraiška q • r yra prielaidų p—>q; p · л loginis sekmuo? 3. Suteikite tobulą knf išraiškai
[(p—>q) • (čj^r) • (7—>p)]Vp.
4. Kokie sekmenys išvedami iš prielaidų p; p—»q?
20. Disjunkcinė normalioji forma Išraiškos disjunkcinė normalioji forma yra ekvivalenti išraiška, kuri yra paprastų konjunktyviai susietų teiginių disjunkcija. Pavadinimo „disjunkcinė normalioji forma" santrumpa yra dnf.
Kekyienai teiginių logikos išraiškai ekvivalenčiais pertvarkymais galima suteikti disjunkcinę normaliąją formą. Suteiksime disjunkcinę normaliąją formą išraiškai (p—>q) · r. Taikome (4): (pVq) · r. Sukeičiame konjunkcijos narius vietomis: r · (pVq). Taikome (10):
(r • pMr • q). Gautoji išraiška yra disjunkcinė normalioji forma. Ji yra disjunkcija, kurios kiekvienas narys - konjunkcinis teiginys. Vienas disjunkcinės normaliosios formos variantų yra visuomet klaidingas teiginys. Jei išraiškai suteikiama disjunkcinė normalioji forma, kurioje disjunkcijos nariai yra paprastų teiginių konjunkcijos ir kiekvienoje konjunkcijoje yra koks nors teiginys ir to teiginio neigimas, tai tokia išraiška yra visuomet klaidinga. Panagrinėkime išraišką [(p->q) · p]->q.
Remdamiesi (5), pašaliname neigimą: [(p^q) · p] · q. Implikaciją pakeičiame disjunkcija, pritaikę (4): [(pVq) · p] · q.
Remdamiesi (10), pertvarkome laužtiniuose skliaustuose esančią išraiškos dalį: [(p · p)V(p · q)] · q. Vėl taikome (10), prieš tai aiškumo dėlei sukeisdami konjunkcijos narius vietomis:
(q · p • p)V(q · p · q). Gautoji išraiška yra toji disjunkcinė normalioji forma, kuri yra visuomet klaidinga. Ji yra disjunkcija, kiekvienas disjunkcijos narys yra paprastų teiginių konjunkcija. Be to, kiekvienoje konjunkcijoje yra koks nors teiginys ir to teiginio neigimas. Kadangi p · p yra visuomet klaidingas teiginys, tai prie jo konjunktyviai galima prijungti bet kokius kitus teiginius, vis tiek jų konjunkcija bus klaidinga (konjunkcijos klaidingumui pakanka bent vieno jos nario klaidingumo). Tą patį galima pasakyti ir apie q • q. Jei išraiškai negalima suteikti konjunkcinės normaliosios formos, kuri yra visuomet teisinga, ir negalima suteikti disjunkcinės normaliosios formos, kuri yra visuomet klaidinga, tai tokia išraiška yra kartais teisinga (atitinkamai - kartais klaidinga). Antrasis disjunkcinės normaliosios formos standartinis variantas yra tobula dnf. Išraiškos tobula disjunkcinė normalioji forma yra jos disjunkcinė normalioji forma, turinti šiuos požymius: a) joje nėra dviejų vienodų disjunkcijos narių; b) nė viename disjunkcijos naryje nėra dviejų vienodų konjunkcijos narių; c) nė viename disjunkcijos naryje nėra teiginio ir to teiginio neigimo; d) kiekviename disjunkcijos naryje yra visi išraiškoje esantys teiginiai, ir kiekvienas teiginys yra su neigimo ženklu arba be jo.
Šie reikalavimai panašūs į reikalavimus, keliamus tobulai knf. Antai išraiškoje (p · q)V(p · q)V(p · q) vieną disjunkcijos narį reikia išbraukti remiantis suprastinimo dėsniu (pVp) ~ p. Reikalavimas b) įvykdomas, remiantis suprastinimo dėsniu (p · p) ~ p. Pvz., išraiška (p · q • p)V(p · q) yra dnf, bet ne tobula, dėl to pirmajame disjunkcijos naryje pasikartojantį teiginį p reikia išbraukti: (p · q)V(p · q). Reikalavimas c) reiškia, kad tobuloje dnf negali būti p · p formos teiginių. Tokios formos teiginiai būtų visuomet klaidingi. Jei tokių teiginių pasitaiko, išbraukiamas visas disjunkcijos narys. Pvz., išraiška (p · p · q)V(p · q)V(p · q), taikant jai reikalavimą c), suprastinama išbraukiant pirmąjį disjunkcijos narį. Lieka (p · q)V(p · q). Reikalavimas d) įvykdomas panašiai kaip ir tobulos knf atveju: jei kurio nors išraiškos teiginio χ disjunkcijos naryje trūksta, tai tą teiginį ir jo neigimą, susietus disjunktyviai (xVx), konjunkcijos ženklu reikia prijungti prie to disjunkcijos nario. Toks prijungimas teisėtas remiantis išskaidymo dėsniu p ~ [(p · q)V(p · q)]. Tobulą dnf galima suteikti bet kūnai išraiškai, išskyrus visuomet klaidingas. Suteiksime šią formą išraiškai (p—>q) · (q->p)· Remiantis (4): (pVq) · (qVp). Pašaliname dvigubą neigimą: (pVq) · (qVp). Taikome (10) pirmąjį variantą: (p · q)V(p · p)V(q · q)V(q · p). Gautoji išraiška yra disjunkcinė normalioji forma, tačiau ji dar nėra tobula dnf. Ji neatitinka reikalavimo b), nes joje yra disjunkci-
jos narys q • q. Dėl to vieną teiginį q išbraukiame. Taip pat pagal reikalavimą c) reikia išbraukti disjunkcijos narį p · p. Gauname (p · q)VqV(q · p). Vykdydami reikalavimą d), prie q prijungiame trūkstamą teiginį p: (p · q)V[q · (pVp)]V(q · p). Laužtiniuose skliaustuose esančiai išraiškos daliai taikome (10): (p · q)V(q · PMq • p)V(q · p). Pagal reikalavimą a), išbraukiame pasikartojančius disjunkcijos narius ir gauname išraišką, kuri yra tobula dnf: (p · q)V(q · p). Tobula dnf parodo įvairias galimybes, kurioms esant, turimoji išraiška yra teisinga. Pateiktoji išraiška (p—>q) · (q—>p) yra teisinga dviem atvejais: kai p klaidingas ir q teisingas (p · q); kai q teisingas ir p teisingas (q · p). Šituo lengva įsitikinti, išraišką (p—>q) · ( q ^ p ) pakeitus nurodytomis teiginių p ir q teisingumo reikšmėmis: Pirmas atvejis: t • (Ar—>/c)
t-1 t.
Antras atvejis: (t->t) · (t->t)
t • {k—>t) t· t t.
^to
Pratimai
1. Suteikite disjunkcinę normaliąją formą, kuri yra visuomet klaidinga, išraiškai (p · q
• p)^>q.
2. Suteikite tobulą dnf išraiškai p— 3. Kurioms galimybėms esant išraiška p—>(p · q) • q yra teisinga?
21. Teiginių logikos taikymas technikoje Teiginių logika plačiai taikoma šiuolaikinėje technikoje konstruojant kibernetinius įrenginius, skaičiavimo mašinas. Parodysime tokio taikymo pavyzdį. Pateikta schema įgalina valdyti informaciją: praleisti vienus signalus, sulaikant antruosius, ir priešingai. įvedimas
A
įvedimas
valdymas 1 brėž.
Į išvedimą P eina signalai, patenkantys įvedimo kanalu A arba įvedimo kanalu B priklausomai nuo to, kaip veikia valdymas S1 ir S2. Kai valdymo signalas S1 praleidžia signalą, ateinantį įvedimo kanalu A, tai signalas ties B kanalu sulaikomas. Padavus valdymo signalą S2, gausime atvirkščią vaizdą. Tad šios schemos veikimas aprašomas loginėmis išraiškomis P=(A1S1)ViB-
S 2 );
P = A j J 1 - M B • S2); P = B- S2MA
• S1).
III
SKYRIUS
Predikatų logika SAVYBIŲ
TEORIJA
Yra samprotavimų, kurių išvadų negalima pagrįsti teiginių logikos priemonėmis. Pvz.: Kiekvienas Jono draugas yra Petro draugas. Martynas nėra Petro draugas. Vadinasi, Martynas nėra Jono draugas.
Šio samprotavimo loginį korektiškumą galima pagrįsti tiriant prielaidų ir išvados struktūrą. Teiginių logikoje teiginys laikomas nedaloma visuma. Tačiau loginį teiginį galima nagrinėti ir jo struktūros požiūriu, panašiai kaip gramatika nagrinėja gramatinį sakinį, surasdama sakinio dalis veiksnį, tarinį, pažyminį ir kt. Žinoma, loginio teiginio struktūra visai kitokia negu gramatinio sakinio. Predikatų logikoje teiginio sandara atvaizduoja faktą, jog tikrovėje egzistuoja objektai ir jie turi požymius. Predikatų logika yra teorija, tirianti požymio priskyrimo objektui loginę raišką. Teiginį sudaro objektas ir požymis, kuris tam objektui priskiriamas arba nepriskiriamas. Plačiausia prasme objektas yra tai, ką galima pavadinti. Požymis yra tai, kuo objektai panašūs arba kuo jie skiriasi vienas nuo kito. Teiginyje „Klaipėda yra Lietuvos uostamiestis" teiginio objektas yra Klaipėda, kuriai priskiriamas požymis „būti Lietuvos uostamiesčiu". Teiginio objektas kartais dar kitaip vadinamas subjektu, o požymiai dar kitaip vadinami predikatais.
Skiriami tokie požymiai: savybės, santykiai ir vardai (pavadinimai). Saxybe yra toks požymis, kurį galima priskirti bent vienam objektui. Savybę „būti baltam" gali turėti ir vienas objektas, pavyzdžiui, sakome: „Sniegas yra baltas", „Pienas yra baltas" ir pan. Tai prasmingi ir teisingi teiginiai. Santykis yra toks požymis, kurį galima priskirti mažiausiai dviem objektams. Požymiai „būti broliu", „būti didesniam" yra santykiai. Teiginys „Jonas Petro brolis" - prasmingas teiginys. Tuo tarpu teiginys „Jonas yra brolis" jau beprasmiškas, nes požymis „būti broliu" yra santykis, ir vienam objektui jo negalima priskirti. Dėl to, kad savybes galima priskirti vienam objektui, o santykius galima priskirti mažiausiai dviem objektams, savybės vadinamos vienviečiais predikatais, o santykiai - daugiaviečiais predikatais. Vardas taip pat yra požymis, nes vieną objektą nuo kito galima atskirti pagal jų pavadinimą. Vardai nagrinėjami ne predikatų logikoje, o loginėje semantikoje. Predikatų logika tiria savybes ir santykius. Pagal tai predikatų logika skirstoma į dvi dalis - savybių teoriją ir santykių teoriją.
1. Propozicinė funkcija, jos pavertimas teiginiu Teiginys turi propozicinės funkcijos struktūrą. Logikoje funkcija yra operacija, kiekvienam kurios nors klasės elementui sugretinanti kitos klasės elementą. Antai teiginių klasę sudaro n teiginių, o klasę „teisingumo reikšmės" sudaro du elementai - „teisinga" ir „klaidinga". Teiginių klasė gretinama su klase „teisingumo reikšmės". Funkciniai ryšiai yra ir logikoje. Vieni dydžiai logikoje kinta priklausomai nuo kitų dydžių kitimo. Tai matėme jau teiginių logikoje, kurioje sudėtinio teiginio teisingumas priklauso nuo jį sudarančių paprastų teiginių teisingumo reikšmių. Vadinasi, sudėtinio teiginio teisingumo reikšmė yra funkcija, kintanti priklausomai nuo sudėtinį teiginį sudarančių paprastų teiginių teisingumo reikšmės kitimo.
Funkciniai ryšiai predikatų logikoje reiškiasi tuo, kad predikatų logikoje teiginio teisingumas priklauso nuo to, kokiems objektams priskiriamas tam tikras požymis. Tegul turime teiginius: Pasas yra dokumentas. Diplomas yra dokumentas. Atestatas yra dokumentas.
χ yra dokumentas
Lygindami šiuos teiginius, matome, kad jie vienas nuo kito skiriasi tik savo objektais, skirtingiems objektams priskiriamas tas pats požymis, tas pats predikatas. Žodžius „pasas", „diplomas", „atestatas" pakeitę kintamuoju x, gauname išraišką χ yra dokumentas.
Ši išraiška nėra teiginys. Teiginys turi būti teisingas arba klaidingas, tuo tarpu išraiška „x yra dokumentas" nėra nei teisinga, nei klaidinga. Jei tuščiame popieriaus lape randame parašytą teiginį „Pasas yra dokumentas", tai jį laikome teisingu. Jei tuščiame popieriaus lape randame parašytą išraišką „x yra dokumentas", tai negalime pasakyti, ar ši išraiška teisinga, ar klaidinga, nes nežinome, kas yra x. Išraiška „x yra dokumentas" yra ne teiginys, bet teiginio funkcija, kuri dar kitaip vadinama propozicine funkcija (lotynų k. propositio - teiginys). Propozicine funkcija - tai funkcija, nustatanti atitikimą taip tam tikros srities objektą, kurie yra jos argumento reikšmės, ir teisingumo bei klaidingumo. Išraiškose χ yra advokatas, χ yra mokslas, χ yra aukštoji mokykla
kintamasis χ vadinamas šių funkcijų argumentu. Šių išraiškų virtimas teisingais ar klaidingais teiginiais priklauso nuo to, kokias reikšmes įgauna argumentas x. Kintamojo χ pakeitimas kokio nors objekto pavadinimu ir yra pirmasis, paprasčiausias, būdas propozicinei funkcijai paversti teiginiu. Pakeitę χ kokio nors asmens (pvz., Petraičio) pavarde, mokslo (pvz., lingvistikos) ir aukštosios mokyklos (pvz., universiteto) pavadinimais, gausime: Petraitis yra darbo teisės specialistas. Lingvistika yra mokslas. Universitetas yra aukštoji mokykla.
Tai teisingi teiginiai. Tuo tarpu χ pakeitus asmens, kuris nėra teisininkas, pavarde arba požymį „būti mokslu" priskyrus astrologijai, gautume klaidingus teiginius, pavyzdžiui, „Astrologija yra mokslas". Propozicinės funkcijos virtimas teisingu arba klaidingu teiginiu priklauso nuo to, kokiam objektui požymis priskiriamas, kitaip tariant, priklauso nuo argumento χ reikšmių. Antras būdas propozicinei funkcijai paversti teiginiu yra susiejimas kvantoriais. Terminas kvantorius kilęs iš lotynų k. žodžio quantum - „kiek". Kvantorius teiginį apibūdina kiekybiškai. Požymį galima priskirti vienam objektui („Monika B. yra mokytoja"), keliems objektams („Kai kurie žmonės - mokytojai") arba visiems kurios nors klasės objektams („Visi, dalyvaujantieji šioje konferencijoje, - mokytojai"). Kokiam objektų skaičiui požymis priskiriamas arba nepriskiriamas - tai nurodo kvantorius. Įprastoje šnekamojoje kalboje yra nemažai vadinamųjų kvantorinių žodžių: visi
nė vienas
keliolika
egzistuoja
kiekvienas bet kuris
kai kurie keli
vienintelis yra
daug be galo daug.
Kvantoriniams žodžiams priklauso ir visi kiekiniai skaitvardžiai. Šiems žodžiams reikšti logikoje pakanka dviejų pagrindinių kvantorių - egzistavimo kvantoriaus ir bendrumo kvantoriaus. Egzistavimo kvantorius žymimas simboliu Ξχ. Ženklas 3 yra anglų k. žodžio exist, vokiečių k. existieren apversta pirmoji raidė, kurios vidurinis brūkšnelis pailgintas. Simbolis 3x skaitomas taip:
yra toks (tokie) x. Egzistavimo kvantorius rašomas prieš propozicinę funkciją. Šitaip propozicinę funkciją susiejus egzistavimo kvantoriumi, ji virsta teiginiu. Propozicines funkcijas „x yra advokatas", „x yra mokslas", ,,χ yra aukštoji mokykla" susiejus egzistavimo kvantoriumi, gauname: 3x (x yra advokatas). 3x (x yra mokslas). 3x (x yra aukštoji mokykla).
Šios išraiškos skaitomos taip: Yra toks χ, kuris yra advokatas. Yra toks χ, kuris yra mokslas. Yra toks χ, kuris yra aukštoji mokykla.
Tikrai, teisininkų advokatų yra ne vienas. Daug yra mokslų, daug aukštųjų mokyklų. Tačiau pateiktose išraiškose visai nenurodyta, kokiai objektų sričiai, klasei priklauso objektas x. Todėl daug geriau išraiškas skaityti konkrečiai nurodant objektų klasę, kuriai tas požymis priskiriamas: 3x (x - teisininkas ir χ - advokatas). 3x (x - žinių sistema ir χ - mokslas). 3x (x - mokykla ir χ - aukštoji mokykla).
Vadinasi, išraiškos „x yra advokatas", „x yra mokslas", „x yra aukštoji mokykla", susiejus jas egzistavimo kvantoriumi, skaitomos taip: Yra toks χ, kuris yra teisininkas ir kuris yra advokatas. Yra toks x, kuris yra žinių sistema ir kuris yra mokslas. Yra toks χ, kuris yra mokykla ir kuris yra aukštoji mokykla.
Galima ir šių teiginių daugiskaita. „Yra tokie x, kurie yra advokatai" ir t. t. Teiginio vienaskaita ar daugiskaita priklauso nuo to, kokiam skaičiui objektų požymis priskiriamas. Egzistavimo kvantorius negali nurodyti, koks konkretus skaičius objektų turi tą požymį. Egzistavimo kvantorius tenurodo, kad yra bent vienas objektas, turįs tokį požymį, bet galbūt jų yra ir daugiau. Vadinasi, egzistavimo kvantoriumi reiškiama, kad požymį turi bent vienas arba kai kurie tos klasės objektai. Bendrumo kvantoriumi tvirtinama, kad požymį turi kiekvienas nagrinėjamosios klasės objektas. Bendrumo kvantorius žymimas simboliu V x . Ženklas V yra anglų k. žodžio all, vokiečių k. alle apversta pirmoji raidė. Simbolis V x skaitomas taip:
kiekvienas x. Bendrumo kvantorių parašius prieš propozicinę funkciją, ji virsta teiginiu. Propozicines funkcijas „x yra protaujanti būtybė", „x yra teisininkas", „x yra dokumentas" susiejus bendrumo kvantoriumi, gauname: V x (xyra protaujanti būtybė). V x (x yra teisininkas). V χ (x yra dokumentas).
Šios išraiškos skaitomos ir nurodant objektų klasę, kurios sudėtyje yra tie objektai x: protaujančios būtybės yra žmonės; būti teisi-
ninku gali, sakysime, advokatas; būti dokumentu gali, sakysime, pasas. Jei išraiška susieta bendrumo kvantoriumi, tai nurodymas objektų klasės, kurios sudėtyje yra objektai x, reiškiamas implikacija. Pateiktos išraiškos skaitomos: Kiekvienas x, jei χ žmogus, tai χ protaujanti būtybė. Kiekvienas x, jei χ advokatas, tai χ teisininkas. Kiekvienas x, jei χ pasas, tai χ dokumentas.
Propozicines funkcijas susiejus egzistavimo ar bendrumo kvantoriais, galima gauti ir klaidingus teiginius. Pavyzdžiui, išraišką „x yra dantistė" susiejus bendrumo kvantoriumi ir požymį „būti dantiste" priskyrus gydytojoms, gauname: „Kiekviena x, jei χ gydytoja, tai χ dantistė". Tai klaidinga, nes ne kiekviena gydytoja - dantistė. Panašiai klaidingas yra teiginys „Kiekvienam χ teisinga, kad χ + 2 = 5". Iš kitų kvantorių paminėtini apribojantys kvantoriai. Jie užrašomi išraiškomis
V x p w F (x), 3xp(x) F (x), kurios skaitomos taip: kiekvienas χ turi predikatą F, jei jis turi predikatą P; yra toks x, kad kai χ turi predikatą F, jis turi ir predikatą P. Skaitinis kvantorius nurodo, kad yra tikslus skaičius n tokių x, kurie turi predikatą F: 3x n F (χ). Begalybės kvantorius teigia, kad yra begalinis skaičius tokių x, kurie turi predikatą F: Bx00 F (x). Kvantoriai atlieka loginių operatorių vaidmenį. Operatoriumi logikoje vadinamas simbolis arba kombinacija simbolių, kurie, pavartoti kokioje nors loginėje formoje, sukuria naują formą. Konjunk-
cija, disjunkcija ir kitos teiginių logikos jungtys, kvantoriai - tai vis loginiai operatoriai.
^D
Pratimai
1. Susiekite propozicines funkcijas egzistavimo kvantoriumi ir perskaitykite: a) χ yra anglų kalbos būdvardis. b) χ yra vokiški skoliniai lietuvių kalboje. 2. Susiekite propozicines funkcijas bendrumo kvantoriumi ir perskaitykite: a) χ yra rašytojas. b) χ yra valstybinė įstaiga.
2. Savybių teorijos alfabetas Savybių teorijos objektus žymėsime mažosiomis raidėmis x, y, z. Savybes žymėsime didžiosiomis raidėmis F, G, H. Išraiška
F(x) skaitoma: χ turi savybę F. Atitinkamai išraiškos G (x), H (x) skaitomos: χ turi savybę G; χ turi savybę H. Išraiškos
3xF (x); VxG (x) skaitomos: yra toks x, kuris turi savybę F; kiekvienas χ turi savybę G. Teiginį „Kai kurie spaudos leidiniai yra metraščiai" formalizuosime taip. Žodis „kai kurie" reiškiamas egzistavimo kvantoriumi (3x), savybę „būti spaudos leidiniu" žymėsime raide F, savybę „būti metraščiu" - raide G. Kai išraiškoje yra egzistavimo kvantorius, savybės susiejamos konjunkcija. Gauname: 3x [F (x) · G (x)]. Skaitome: yra tokių x, kurie turi savybę F ir savybę G. Kitaip tariant, yra
tokių χ, kurie turi savybę „būti spaudos leidiniais" ir turi savybę „būti metraščiais" - tokia teiginio „Kai kurie spaudos leidiniai yra metraščiai" loginė struktūra savybių teorijos požiūriu. Teiginį „Visi parkeriai yra rašymo priemonės" formalizuosime taip. Žodis „visi" reiškiamas bendrumo kvantoriumi, savybę „būti parkeriu" žymėsime raide F, savybę „būti rašymo priemone" - raide G. Kai išraiškoje yra bendrumo kvantorius, savybės susiejamos implikacija. Gauname: V x [F (x)—>G (x)]. Skaitome: kiekvienas x, jei χ turi savybę F, tai χ turi savybę G. ICitaip tariant, kiekvienas x, jei χ turi savybę „būti parkeriu", tai χ turi savybę „būti rašymo priemone" - tokia yra teiginio „Visi parkeriai yra rašymo priemonės" loginė struktūra savybių teorijos požiūriu. Predikatų logikoje, taip pat, kaip vėliau matysime, ir kitose logikos teorijose, operuojama ir teiginių logikos veiksmais - neigimu, konjunkcija, disjunkcija, implikacija, ekvivalencija. Savybes galima neigti. Neigiant savybę, virš jos rašomas neigimo ženklas: F(x); G (x). Skaitome: χ neturi savybės F; netiesa, kad χ turi savybę G. Galima neigti ne tik savybes, bet ir kvantorius. Neigiant kvantorių, virš jo rašomas neigimo ženklas:
3x; Vx. Skaitome: netiesa, kad yra toks (tokie) x; netiesa, kad kiekvienas x. Išraiška
I x F(x) skaitoma: netiesa, kad yra toks x, kuris turi savybę F. Išraiška
V x F (x) skaitoma: netiesa, kad kiekvienas χ turi savybę F.
Panagrinėkime teiginį „Mūsų grupėje nėra nepažangių studentų". Savybę „būti mūsų grupės studentu" pažymėję raide F, savybę „būti pažangiam" - raide G, o jos neigimą „būti nepažangiam" simboliu G, susieję savybes konjunkcija, nustatome nagrinėjamo teiginio loginę struktūrą: 3x [F (χ) · G (χ)]. Skaitome: netiesa, kad yra tokių x, kurie turi savybę F ir neturi savybės G. Kitaip tariant, netiesa, kad yra tokių x, kurie turi savybę „būti mūsų grupės studentais" ir neturi savybės „būti pažangiais". Teiginys „Mirusieji nekalba" savybių teorijos priemonėmis užrašomas taip: V x [F (x)^G (x)], t. y. kiekvienas x, jei χ miręs, tai χ nekalba. Išraiškoje gali pasitaikyti ne vienas kvantorius, bet du ir daugiau kvantorių. Išraiška 3x By [F (x) V F (y)] skaitoma: yra toks χ ir yra toks y, iš kurių χ turi savybę F arba y turi savybę F. Pavyzdžiui, yra koks nors žmogus χ ir koks nors žmogus y, iš kurių χ turi savybę „būti notaru" arba y turi savybę „būti notaru". Visuomet galima rasti du žmones, kurių vienas arba kitas yra notaras. Išraiška V x F (x) · By F (y) skaitoma: kiekvienas χ turi savybę F ir yra tokių y, kurie turi savybę F. Pavyzdžiui, kiekvienas drabužis susidėvi, tačiau ir kiti daiktai susidėvi. Kvantoriaus galiojimo sritį parodo skliaustai. Išraiškoje V x [F (x)—>G (x)] bendrumo kvantorius galioja visai išraiškai, o išraiškoje V x F (x) · By F (y) bendrumo kvantorius galioja tik iki konjunkcijos ženklo. Predikatų logikos išraiškose būna trijų rūšių kintamieji. 1. Individiniai kintamieji - tai х, у z..., juos galima pakeisti paskirų objektų vardais. 2. Predikatiniai kintamieji - tai F, G, H... . Juos galime pakeisti konkrečiais predikatais (savybėmis arba santykiais). 3. Propoziciniai kintamieji - tai p, q, r... . Jie paimti iš teiginių logikos ir gali būti pakeisti konkrečiais teiginiais. Išraiškoje p—>Bx F (x) yra visų trijų rūšių kintamieji: χ - individinis, F - predikatinis, p - propozicinis kintamasis. Kintamieji x, y, z predikatų logikos išraiškose yra dvejopo po-
būdžio - suvaržyti arba laisvi. Suvaržytas kintamasis - tai tas, kuris yra kvantoriuje ir tam tikroje kvantoriaus galiojimo srityje. Laisvas kintamasis - tai tas, kurio kvantoriuje nėra. Išraiškoje V χ [F (x)—>G (y)]VG (x) kvantoriuje esantis kintamasis χ - suvaržytas; laužtiniuose skliaustuose esantis χ taip pat suvaržytas, nes jis yra kvantoriaus galiojimo srityje; y - laisvas kintamasis; paskutinysis χ - taip pat laisvas, nes jis yra už kvantoriaus galiojimo srities. Esminė kvantoriaus savybė ta, kad jis laisvus kintamuosius paverčia suvaržytais. Išraiška, kurioje nėra laisvų kintamųjų, yra teiginys, o ne propozicine funkcija. Objektai, kuriems galima priskirti tam tikrą savybę, sudaro tos savybės sritį. Pavyzdžiui, savybės „mėlynas" sritis yra visi objektai, kuriems būdinga ši spalva.
Pratimai 1. Perskaitykite išraiškas:
a) Эх [F(x) G (χ)], b) VxF (x)—>F (y). 2. Savybių teorijos simboliais užrašykite teiginius: a) Yra tokių logikos uždavinių, kurie nelengvai sprendžiami. b) Kiekviename moksle yra neišspręstų problemų. c) Laikrodis turi rodyti tikslų laiką. d) Kai kurios kalbos turi kelis būsimuosius laikus.
3. Savybių teorijos dėsniai Dėsnių savybių teorijoje yra daug. Panagrinėsime kai kuriuos iš jų. Paskirą grupę sudaro 4 dėsniai, įgalinantys vienus kvantorius pakeisti kitais. VxF (χ) ~ 3xF (x).
Skaitome: išraiška „Kiekvienas χ turi savybę F" ekvivalenti išraiškai „Netiesa, kad yra toks x, kuris neturi savybės F'. Teiginys „Kiekviena knyga turi puslapius" ekvivalentus teiginiui „Netiesa, kad yra tokia knyga, kuri neturėtų puslapių".
VxF (χ) ~ BxF (x). Skaitome: išraiška „Netiesa, kad kiekvienas χ turi savybę F' ekvivalenti išraiškai „Yra toks x, kuris neturi savybės F'. Kadangi netiesa, kad kiekvienas žmogus yra doras, tai yra žmonių, kurie nėra dori.
BxF (x) - V x F (χ). Skaitome: išraiška „Yra toks x, kuris turi savybę F' ekvivalenti išraiškai „Netiesa, kad kiekvienas χ neturi savybės F'. Kadangi yra dorų žmonių, tai netiesa, kad kiekvienas žmogus nedoras.
BxF (χ) ~ VxF (x). Skaitome: išraiška „Netiesa, kad yra toks x, kuris turi savybę F' ekvivalenti išraiškai „Kiekvienas χ neturi savybės F'. Teiginys „Netiesa, kad mūsų grupėje yra toks studentas, kuris moka estų kalbą", ekvivalentus teiginiui „Kiekvienas mūsų grupės studentas estų kalbos nemoka". Svarbus savybių teorijos dėsnis yra šis:
V x F (x)—>F (y). Skaitome: jei kiekvienas χ turi savybę F, tai savybę F turi koks nors y. Sis dėsnis yra loginis bendrų teiginių taikymo pavieniams atvejams pagrindas. Kadangi kiekvienas mūsų šalies pilietis privalo laikytis Lietuvos Respublikos įstatymų, tai jų privalo laikytis ir bet kuris pilietis, pavyzdžiui, Petraitis.
Pateiktajam artimas šis dėsnis:
F (y) > 3xF (x). Skaitome: jei koks nors objektas y turi savybę F, tai yra toks x, kuris turi savybę F. Tai reiškia, kad jei koks nors laisvai parinktas objektas y turi tam tikrą savybę, tai tą savybę turi ir koks nors objektas x, kuris priklauso tai pačiai klasei kaip ir objektas y. Pavyzdžiui, Petraitis yra darbštus, vadinasi, yra ir daugiau darbščių asmenų. Pateikiame dėsnius, nurodančius, kaip reikia kvantorius įkelti į skliaustus ir iškelti už skliaustų. Jie vadinami kvantorių išskaidymo ir jungimo dėsniais. Bendrumo kvantoriaus išskaidymas konjunkcijoje:
V x [F (x) · G Cx)] ~ [VxF (x) · V x G (x)]. Skaitome: išraiška „Kiekvienas χ turi savybę F ir savybę G" ekvivalenti išraiškai „Kiekvienas χ turi savybę F ir kiekvienas χ turi savybę G". Teiginys „Kiekviename universitete yra fakultetai ir katedros" ekvivalentus teiginiui „Kiekviename universitete yra fakultetai ir kiekviename universitete yra katedros". Kitaip išskaidomas egzistavimo kvantorius konjunkcijoje: 3x [F (x) · G (x)]—>[3xF Cx) · 3xG (x)]. Skaitome: jei yra toks x, kuris turi savybę F ir savybę G, tai yra toks χ, kuris turi savybę F, ir yra toks x, kuris turi savybę G. Palyginus su bendrumo kvantoriaus išskaidymu konjunkcijoje, skirtumas čia tas, kad tarp skliaustuose esančių išraiškų negalima rašyti ekvivalencijos ženklo. Žinome, kad ekvivalencija yra implikacija abiem kryptimis. Tačiau šioje išraiškoje iš 3xF (x) · 3xG (x) negalima išvesti 3x [F (x) · G Cx)]. Tai rodo kad ir šis pavyzdys. Yra toks sportininkas, kuris pasiekė geriausią rezultatą pasaulyje ieties
metimo rungtyje 1960 m., ir yra toks sportininkas, kuris pasiekė geriausią rezultatą pasaulyje ieties metimo rungtyje 2000 m. Tačiau būtų klaidinga teigti, kad yra toks sportininkas, kuris pasiekė geriausią rezultatą pasaulyje ieties metimo rungtyje 1960 m. ir 2000 m. Išraiškos, kuri tvirtintų bendrumo kvantoriaus išskaidymą disjunkcijoje, negali būti. Tarkime, kad grupei vaikų davėme kiekvienam po vieną vaisių - obuolį arba kriaušę. Tada iš teiginio „Kiekvienas vaikas gavo obuolį arba kriaušę" neseka teiginys „Kiekvienas vaikas gavo obuolį arba kiekvienas vaikas gavo kriaušę". Juk vieni gavo obuolius, kiti - kriaušes. Predikatų logikoje iš vienų dėsnių išvedami kiti dėsniai, remiantis dvejybiškumo principu. Konjunkcija ir disjunkcija, kvantoriai 3x ir V x vadinami dvejybiškais. Be to, dvejybiški taip pat simboliai —> ir . Ženklas <— vadinamas atvirkštine implikacija. Jei implikacijoje iš p seka q, tai atvirkštinėje implikacijoje iš q seka p. Dvejybiškumo principo esmė yra ta, kad nustatoma, jog išraiška, kurioje yra bendrumo kvantorius ir konjunkcija, ekvivalenti išraiškai, kurioje: 1) bendrumo kvantorius pakeičiamas egzistavimo kvantoriumi; 2) konjunkcija pakeičiama disjunkcija; 3) implikacija pakeičiama atvirkštine implikacija. Taikant dvejybiškumo principą bendrumo kvantoriaus išskaidymui konjunkcijoje, reikia V x pakeisti 3x, konjunkciją (·) pakeisti disjunkcija (V). Gauname egzistavimo kvantoriaus išskaidymą disjunkcijoje: Эх [F (x)VG (χ)] ~ [BxF (x)V3x G (x)]. Skaitome: išraiška „Yra toks x, kuris turi savybę F arba savybę G" ekvivalenti išraiškai „Yra toks x, kuris turi savybę F arba yra toks χ, kuris turi savybę G". Bendrumo kvantoriaus išskaidymas implikacijoje:
Vx [F (x)—>G (x)]—>[ Vx F (x)—>VxG (*)]. Skaitome: kiekvienas x, jei χ turi savybę F, tai χ turi savybę G. Iš
to seka, kad jei kiekvienas χ turi savybę F, tai kiekvienas χ turi savybę G. Šis dėsnis rodo, kad kai kuriais atvejais atsiranda tam tikras skirtumas tarp žodžių „kiekvienas" ir „visi". Panagrinėkime tokį atvejį. Tam tikras skaičius asmenų nutarė persikelti per upę, bet jų valtis kiaura. Situaciją galima taip nusakyti: kiekvienas, kuris atskirai sės į valtį [F Cx)], nuskęs kartu su ja [G (x)]. Vadinasi, jei visi kartu sės į valtį [VxF (x)], tai visi nuskęs kartu su ja [VxG (x)]. Iš tiesų, jei valtis neišlaikys vieno asmens, tai ji neišlaikys ir visų į ją susėdusiųjų. Tačiau atvirkštinė implikacija negalima. Gali būti teisinga tai, kad jei visi kartu sės į valtį, tai visi nuskęs kartu su ja. Tačiau gali būti klaidinga, kad kiekvienas, kuris atskirai sės į valtį, nuskęs kartu su ja. Išraiškos, kuri tvirtintų egzistavimo kvantoriaus išskaidymą implikacijoje, negali būti. Patyrinėsime kvantorių jungimo dėsnius. Jie nurodo, kaip kvantorius iškeliamas už skliaustų. Bendrumo kvantoriaus jungimas konjunkcijoje: [VxF (x) · VxG (χ)] ~ Vx [F (x) · G (*)]. Šis dėsnis lengvai gaunamas iš bendrumo kvantoriaus išskaidymo konjunkcijoje dėsnio, sukeitus vietomis ekvivalentes jo dalis. Išraiškos, kuri tvirtintų egzistavimo kvantoriaus jungimą konjunkcijoje, negali būti, nes egzistavimo kvantoriaus išskaidymo konjunkcijoje dėsnis suformuluotas ne kaip ekvivalencija, o kaip implikacija. Žinome, kad implikacijos antecedentas ir konsekventas negali būti sukeisti vietomis. Bendrumo kvantoriaus jungimas disjunkcijoje: [VxF (x)V VxG (x)]—>Vx [F (x)VG (*)]. Skaitome: jei kiekvienas χ turi savybę F arba kiekvienas χ turi savybę G, tai kiekvienas χ turi savybę F arba savybę G. Tarkime, kad kiekvienas mūsų grupės narys keliavo Nerimi arba kiekvienas mūsų grupės narys keliavo Nemunu. Iš čia seka,
kad kiekvienas mūsų grupės narys keliavo Nerimi arba Nemunu. Tačiau iš išraiškos V x [F (x)VG (x)] negalima išvesti išraiškos V xF (x)VV xG (x). Pavyzdžiui, teisinga tai, kad kiekvienas medis turi lapus arba spyglius. Tačiau būtų klaidinga teigti, kad kiekvienas medis turi lapus arba kiekvienas medis turi spyglius. Abu šie teiginiai klaidingi, tad ir jų disjunkcija klaidinga. Egzistavimo kvantoriaus jungimas disjunkcijoje: [3xF (x)V3x G Cx)] ~3x [F (x)VG Cx)]. Šis dėsnis vėlgi gaunamas iš egzistavimo kvantoriaus išskaidymo disjunkcijoje dėsnio, ekvivalencijos narius sukeitus vietomis. Išraiškos, kuri tvirtintų bendrumo kvantoriaus jungimą implikacijoje, negali būti, nes bendrumo kvantoriaus išskaidymas implikacijoje suformuluotas ne kaip ekvivalencija. Egzistavimo kvantoriaus jungimas implikacijoje: [3xF (x)—>3xG (x)]->3x [F (x)->G Cx)]. Skaitome: jei yra toks x, kuris turi savybę F, tai yra toks x, kuris turi savybę G. Iš to seka, jog yra toks x, kad jei χ turi savybę F, tai χ turi savybę G. Tarkime, kad yra grupė komandų - sportinių varžybų dalyvių. Jei yra komanda - varžybų dalyvė, tai yra komanda (ta ar kita), kuri laimi. Iš to seka, kad jei kažkokia komanda yra varžybų dalyvė, tai ji laimi. Visi teiginių logikos dėsniai galioja ir predikatų logikoje, todėl savybių teorijos dėsnius galima išvesti iš teiginių logikos dėsnių. Tuo tikslu teiginių logikos išraiškose kintamuosius p, q, r reikia pakeisti savybių logikos kintamaisiais F (x), G (χ), H (χ), o loginės konstantos išlieka. Išraiškoje p ~ p pakeitę p išraiška F (χ), o logines konstantas (dvigubą neigimą ir ekvivalencijos ženklą) palikę, gauname dvigubo neigimo dėsnį savybių teorijoje:
V x [F (χ) -F (χ)]. Skaitome: kiekvienam χ teisinga, jog išraiška „Netiesa, kad χ neturi savybės F' ekvivalenti išraiškai „x turi savybę F'. Pavyzdžiui, jei netiesa, kad šis objektas ne mėlynas, tai reiškia, kad šis objektas mėlynas. Išraiškoje p · p pakeitę p išraiška F (χ), o logines konstantas palikę, gauname prieštaravimo dėsnį savybių teorijoje:
Vx F (x) • F(x). Skaitome: kiekvienam χ teisinga, kad netiesa, jog χ turi savybę F ir χ neturi savybės F. Pavyzdžiui, neteisinga teigti, kad kas nors yra sveikas ir nesveikas. Toks tvirtinimas tinka kiekvienam objektui. Išraiškoje pVp pakeitę p išraiška F (x), gauname negalimo trečiojo dėsnį savybių teorijoje:
V x [F (x)VF (*)]. Skaitome: kiekvienam χ teisinga, kad χ turi savybę F arba χ neturi savybės F. Šitaip savybių teorijos dėsnius išvedant iš teiginių logikos dėsnių, prieš kiekvieną savybių teorijos dėsnį rašomas bendrumo kvantorius. Jis parodo, kad tai, kas dėsnyje teigiama, tinka kiekvienam x. Jei teiginių logikos išraiškoje yra ne vienas, o keli kintamieji, tai kiekvieną iš jų pakeičiame atskira savybių teorijos išraiška. Dėsnyje (p—>q)—>(q->p) p pakeitę F (x), q pakeitę G (x), gauname kontrapozicijos dėsnį savybių teorijoje: Vx{[F (x)—>G ( x ) M G (x)—>F (x)]}. Skaitome: kiekvienam χ teisinga, kad jei iš to, jog χ turi savybę F, seka, kad χ turi savybę G, tai iš to, kad χ neturi savybės G, seka, jog χ neturi savybės F.
Pavyzdys. Kiekvienas, jei jis chirurgas, tai jis gydytojas. Iš to seka, kad jei jis ne gydytojas, tai jis ne chirurgas. Savybių teorijos dėsniai iš teiginių logikos dėsnių išvedami ir kitokiu būdu. Teiginių logikos kintamieji p, q, r pakeičiami išraiškomis VxF (χ), VyG (y), BxF (x) ir pan. Dėsnyje (p—>q)—>(q^>p) p pakeitus išraiška VxF (χ), o q - išraiška 3yG (y), gauname: [VxF (x)—>3yG (/)]—>[3yG (y)—>VxF (x)]. Skaitome: jei kiekvienas χ turi savybę F, tai yra toks y, kuris turi savybę G. Iš to seka, kad jei netiesa, jog yra toks y, kuris turi savybę G, tai netiesa, kad kiekvienas χ turi savybę F.
i^D
Pratimai
1. Remdamiesi kvantorių pakeitimo dėsniais, nustatykite, kokiems teiginiams ekvivalentus šie teiginiai: a) Visi pasirengėme seminarui; b) Netiesa, kad visi pasirengėme seminarui. 2. Išraiškai [VxF (x) · VxG (x)]—>Vx [F(x) · G (x)] taikydami dvejybiškumą, išveskite naują dėsnį. 3. Teiginių logikos dėsnį (p—>p)—>p paverskite savybių teorijos dėsniu. 4. Išraiškų pertvarkymas savybių teorijoje Savybių teorijos išraiškos įvairiai pertvarkomos, iš vienų išraiškų išvedant kitas joms ekvivalentes išraiškas. Dėsniai Vx F (χ)-Vy F (y); Bx F (x) ~ By F (y) rodo, kad kurioje nors išraiškoje kintamąjį pakeitę kitu kintamuo-
ju, gauname jai ekvivalentę išraišką. Išraiškoje Эх [F (χ) · G (χ)] pakeitę χ kintamuoju y, gauname ekvivalentę išraišką 3y [F (y) · G (y)]. Keičiant kintamąjį kitu kintamuoju, reikia pakeitimą daryti visoje išraiškoje, kad ir kur tas kintamasis būtų. Be to, suvaržytų kintamųjų negalima pakeisti laisvais kintamaisiais ir laisvų kintamųjų - suvaržytais. Išraiškos V x [F (x)—>G (y)] negalima pertvarkyti į išraišką V x [F (x)—>G Cx)]- Pirmoje išraiškoje y laisvas kintamasis, o antroje jis pakeičiamas suvaržytu kintamuoju. Savybių teorijos išraiškas galima taip pertvarkyti, kad kvantoriai būtų iškelti prieš visus kitus išraišką sudarančius simbolius. Sakoma, kad šitaip pertvarkyta išraiška įgauna normaliąją formą. Išraiškos V x F (x)VVy G (y) normalioji forma ši: V x V y [F (y)VG (y)]. Skaitome: kiekvienam χ ir kiekvienam y teisinga, kad χ turi savybę F arba y turi savybę G. Taikant kvantorių ekvivalencijos dėsnius ir teiginių logikos dėsnius, savybių teorijos išraiškas galima taip pertvarkyti, kad neigimas tektų tik savybėms. Panagrinėkime išraišką Эх F (χ)—> Vy G (у). Skaitome: netiesa, kad jei yra toks x, kuris turi savybę F, tai kiekvienas y turi savybę G. Taikant šiai išraiškai teiginių logikos dėsnį p—>q ~ (p · q), gauname: Эх F (χ) · V y G (у). Pritaikę kvantorių ekvivalencijos dėsnį gauname:
V y G (y) ~ 3y G (y),
3 x F ( x ) - B y G {y). Gautoje išraiškoje neigimas tenka tik savybėms. Panašiai išraiškos pertvarkomos ir antroje predikatų logikos dalyje - santykių teorijoje.
Pratimai 1. Išraiškoje Эх F (χ)—>G (y) laisvą kintamąjį pakeiskite kitu kintamuoju. 2. Suteikite normaliąją formą išraiškai Эх F (x) · 3y G (y). 3. Išraišką Эх F (x)V3y G (y) pertvarkykite taip, kad neigimas tektų tik savybėms.
5. Formalioji implikacija Teiginys, turintis formą „iš to, kad χ turi predikatą F, visuomet seka, kad χ turi predikatą G", vadinamas formaliąja implikacija. Sis apibrėžimas reiškiamas išraiška V x [F (x)—>G (χ)]. Taigi formalioji implikacija reiškiama materialiąja implikacija bei bendrumo kvantoriumi ir turi šią prasmę: kiekvienas objektas, turintis predikatą F, turi ir predikatą G. Cia galima du atvejai: 1. Objektų χ klasė yra baigtinė, ir jos elementai žinomi. Tarkime, kad ant stalo guli 10 knygų. Tada teiginio „Kiekvienas x, jei χ knyga, gulinti ant stalo, tai χ parašyta lietuviškai" teisingumas nustatomas peržiūrint kiekvieną knygą. Vadinasi, šiuo atveju išraiška V x [F(x)—>G Cx)] turi konjunkcijos prasmę: [F(x^)—>G (x,)] · [F(x2)—» —>G (x2)] · [F(x3)—>G (x3)] ... [F(xn)—>G (xn)]. Ši formalioji implikacija teisinga, kai teisingi visi konjunkcijos nariai, t. y. visos atskiros implikacijos. 2. Objektų χ klasė nesuskaičiuojama. Tada formaliosios implikacijos teisingumas negali būti reiškiamas atskirų implikacijų konjunkcija. Teiginio „Kiekvienas x, jei χ gyvoji būtybė, tai χ būdinga medžiagų apykaita" teisingumas negali būti nustatytas stebint pavienius atvejus, nes tų atvejų neįmanoma suskaičiuoti.
Formalioji implikacija reikalinga formalizuoti vienam iš jungties „jei..., tai" vartojimo variantų, siekiant išreikšti prasminį antecedento ir konsekvento ryšį.
Pratimai 1. Teiginiui „Kiekvienas universitetas yra mokslo ir studijų institucija" suteikite formaliosios implikacijos prasmę. 2. Aptarkite šio teiginio teisingumo nustatymą.
SANTYKIŲ
TEORIJA
6. Santykių samprata Savybių teorijoje požymis buvo priskiriamas mažiausiai vienam objektui. Santykių teorija nagrinėja tokius požymius, kurių vienam objektui priskirti negalima. Santykius galima priskirti dviem, trims, keturiems ir daugiau objektų. Mažiausiai turi būti du objektai. Tikrovės objektų sąveikos logiškai reiškiamos santykiais. Kalboje gausu žodžių, reiškiančių santykius, pavyzdžiui: daugiau
sesuo
dovanoti
priežastingumas
lygu
senelis
sukurti
judėjimas
skirtingas
pažįstamas
matyti
diskusija
būti tarp
draugas
ginti
mainai.
Santykių teorijoje objektus žymėsime mažosiomis raidėmis x, y, z. Pačius santykius žymėsime didžiosiomis raidėmis R, S, T. Išraišką
χ Ry skaitome: tarp objektų χ ir y yra santykis R. Šią struktūrą turi teiginys „Žvejys sugavo lydeką":
χ R у Žvejys sugavo lydeką.
Kai santykis yra tarp dviejų objektų, jis vadinamas dviviečiu santykiu. Tačiau yra ir tokių santykių, kurie egzistuoja tarp trijų, keturių ir daugiau objektų. Tokiu atveju sakoma, kad santykis yra trijų, keturių vietų ir 1.1. Jei savybės yra vienviečiai predikatai (požymiai), tai santykiai yra daugiaviečiai predikatai (požymiai). Teiginyje „Elektrėnai yra tarp Vilniaus ir Kauno" santykis „būti tarp" reikalauja trijų objektų. Elektrėnus pažymėję raide x, Vilnių y, Kauną - z, šį teiginį užrašome formule
R (x, y z). Skaitome: tarp objektų x, y, z yra santykis R. Žodis „duoti" taip pat reiškia trivietį santykį: kas nors kam nors duoda ką nors, pavyzdžiui, motina duoda vaikui obuolį. Terminas „mainai" - keturvietis santykis: kas nors su kuo nors keičia ką nors į ką nors. Taigi prekės pirkimas yra keturvietis santykis, kurį sudaro pirkėjas, pardavėjas, prekė ir pinigai, sumokami už prekę. Daugelis požymių, kurie anksčiau buvo laikomi savybėmis, pasirodė esą ne savybės, o santykiai. Kai sakoma, kad poelgis χ geresnis už poelgį y, tai, griežtai kalbant, toks teiginys netiksliai suformuluotas. „Būti geresniam" yra trijų vietų santykis: χ geresnis už y z požiūriu, t. y. poelgis χ geresnis už poelgį y egzistuojančių moralės normų požiūriu. Loginių santykių teorijoje pagrindinis santykis yra santykis tarp dviejų objektų, žymimas išraiška xRy. Santykių teorijoje plačiai vartojami kvantoriai. Panagrinėkime šias išraiškas: χ mokosi geriau už y. χ įveikė y.
Šios išraiškos yra ne teiginiai, o propozicines funkcijos. Santykių teorijoje iš propozicinių funkcijų teiginiai sudaromi panašiai kaip
savybių teorijoje. Paprasčiausias būdas propozicinę funkciją paversti teiginiu yra kintamųjų dydžių pakeitimas objektų vardais, pavyzdžiui: Jonas mokosi geriau už Petrą. Stipresnis jveikė silpnesnį.
Antras būdas propozicinę funkciją paversti teiginiu - susiejimas kvantoriais: Э х 3 y (x mokosi geriau už y). 3 x 3 y (x įveikė y).
Šiuos teiginius skaitome: Yra toks χ ir yra toks y, iš kurių χ mokosi geriau už y. Yra toks χ ir yra toks y, iš kurių χ įveikė y.
Tai teisingi teiginiai, nes kiekvienoje mokyklos klasėje gali būti du moksleiviai, iš kurių vienas mokosi geriau už kitą; daug yra tokių žmonių, žmonių grupių, kurių viena įveikia kitą, ir pan. Santykių teorijoje, kaip ir savybių teorijoje, propozicinės funkcijos gali būti susiejamos įvairiais kvantoriais. Išraiška V x V y (x/?y) skaitoma: kiekvienam χ ir kiekvienam y teisinga, kad tarp jų yra santykis R. Trumpiau galima taip skaityti: kiekvienas χ yra santykyje R su kiekvienu y. Išraiška 3x V y (x/?y) skaitoma: yra toks x, kuris su kiekvienu y yra santykyje R. Pavyzdžiui, yra žmonių, kurie į bet kokią kritiką reaguoja liguistai. Jei išraišką susiejantys kvantoriai vienodi, tai juos galima sukeisti vietomis. Ar parašysime 3x 3y (x/?y), ar 3y 3x (x/?y), nuo to išraiškos esmė nepasikeis. Tačiau jei išraišką susiejantys kvantoriai nevienodi, tai jų sukeisti vietomis negalima, nes, sukeitus vietomis, pakistų išraiškos prasmė.
Santykių teorijoje yra ir tokių išraiškų, kuriose ne visi kintamieji susieti kvantoriais, t. y. ne visi kintamieji suvaržyti, pasitaiko ir laisvų kintamųjų. Išraiškoje Эх (xRy) kintamasis χ suvaržytas, o y laisvas.
Pratimai 1. Kurie iš pateiktų žodžių reiškia savybes ir kurie - santykius: a) sėdėti greta; b) pažinti; c) būti jaunu specialistu. 2. Kiek objektų reikalauja šie santykiai: a) diskusija; b) vienalaikiškumas; c) suteikti; d) sukaupti. 3. Perskaitykite išraišką Vx 3y (xRy) ir χ bei y pakeiskite konkrečiais objektais, o santykį R - konkrečiu santykiu taip, kad gautumėte teisingą teiginį.
7. Teiginių formalizacija Santykių logikoje formalizuojant teiginius, pasinaudojama ir savybių teorijoje nustatytomis priemonėmis. Tegul turime teiginį „Kiekvienas žmogus daro klaidų". Jo dalinė formalizacija ši: žmogus (x) · klaidos (y)—>x daro y.
Savybę „būti žmogumi" pažymėję F, o savybę „būti klaida" pažymėję G, formalizuojame visiškai: V x 3y{[F(x) · G(y)]—>xRy}. Skaitome: kiekvienam χ yra tokie y, kad, jei χ turi savybę F ir y turi savybę G, tai tarp χ ir y yra santykis R. Teiginio „Esama asmenų, kurie nepaklūsta įstatymams" dalinė formalizacija ši: asmenys (x) · įstatymai (y)->x nepaklūsta y.
Visiška formalizacija: Эх 3y{[F(x) · G(y)]—>x/?y}. Skaitome: yra tokie χ ir yra tokie y, kad, jei χ turi savybę F ir y turi savybę G, tai tarp χ ir y nėra santykio R. Teiginio „niekas neperskaitė visų knygų" dalinė formalizacija ši: žmonės (x) · knygos (y)—>x neperskaitė y.
Visiška formalizacija: V x 3y{[F(x) · G(y)]—>xRy}. Skaitome: kiekvienam χ yra toks y, kad, jei χ turi savybę F ir y turi savybę G, tai tarp χ ir y nėra santykio R. Pratimai Formalizuokite teiginius: 1. Kai kurie tėvai neprižiūri savo vaikų. 2. Niekas nematė visų miestų.
8. Veiksmai su santykiais Su loginiais santykiais atliekami tam tikri veiksmai. Santykio
neigimas
Santykį neigiant, virš santykio rašomas neigimo ženklas. Išraišką xRy skaitome: netiesa, kad tarp χ ir y yra santykis fi; tarp χ ir y nėra santykio R. Teiginyje „Netiesa, kad teisė ir teisingumas sutampa" nurodoma, kad tarp šių objektų tokio santykio nėra.
Santykio
konversija
Kai xRy bet koks santykis, tai xRy konversija yra santykis, kuris atsiranda tarp y ir x. Santykio konversija žymima simboliu R ir reiškiama formule xRy - xRx. Santykio „x yra y vyras" konversija - tai santykis „y yra χ žmona", santykio „Medžiotojas pamatė kiškį" konversija - „Kiškis buvo medžiotojo pamatytas". Taigi jei santykį reiškiąs žodis yra veiksmažodis, tai santykio konversija reiškiama neveikiamąja rūšimi (pasyvu). Tam tikro santykio konversijos konversija yra pradinis santykis: R- R. Santykio iyx ankstesnis už y" konversija - santykis „y vėlesnis už x"; santykio „y vėlesnis už x" konversija - santykis „x ankstesnis už y". Pažymėtina, kad konversijos neigimas nieko nekeičia: R-R. Skaitome: konversijos neigimas ekvivalentus konversijos neigimui. Galima konversuoti ir santykių konjunkciją ar disjunkciją. Pvz.: KVS ~ (xfiyVxSy) ~ {yRxMySx). Tegul R žymi santykį „perskaityti", o S - santykį „parašyti". Sudarom teiginį: „x perskaitė y arba χ parašė y". Jį konversavę, gausime: „y buvo x-so perskaitytas arba y buvo x-so parašytas". Santykyje xRy visi objektai χ sudaro šio santykio sritį, o visi objektai y sudaro santykio R konversinę sritį. Santykio sritį ir konversinę sritį sudaro vienarūšiai arba nevienarūšiai objektai. Santykyje „x pažįsta y" santykio sritį ir konversinę sritį sudaro vienarūšiai objektai - žmonės. Tuo tarpu santykyje „Konstruktoriai sukūrė naują automobilį" santykio sritį sudaro žmonės, o konversinę sritį - kitos
rūšies objektai - mašinos. Santykio sritis ir konversinė sritis sudaro santykio lauką.
Santykių
sudėtis
Dviejų santykių sudėtimi nustatoma, kad tarp objektų χ ir y yra bent vienas iš santykių R, S. Santykių sudėtis žymima ženklu U . Išraiška AUS skaitoma: santykis R sudedamas su santykiu S. Detaliau santykių sudėtis reiškiama šia formule: χ Ry UxSy Santykių sudėtis suprantama taip, kad tarp objektų χ ir y yra bent vienas sudedamų santykių. Vadinasi, ženklas U čia reiškia tą patį, ką ir silpnoji disjunkcija teiginių logikoje:
(R(JS) ~ (xRyVxSy). Santykis „būti tėvais" yra santykių „būti tėvu" (R) ir „būti motina" (S) sudėtis. Tai reiškia: χ yra y tėvas arba χ yra y motina. Jei ką nors laikome χ tėvais, tai turi tas būti arba χ tėvas, arba χ motina. Santykių „būti draugu" (R) ir „būti pažįstamu" (S) sudėtis reiškia, kad χ yra y draugas arba χ yra y pažįstamas.
Santykių
daugyba
Dviejų santykių daugyba nustatoma, kad tarp objektų χ ir y yra abu santykiai R, S. Santykių daugyba žymima ženklu Π. Išraiška RnS
skaitoma: santykis R dauginamas su santykiu S. Detaliau santykių daugyba užrašoma taip: xRyPixSy. Sudauginę santykius „būti jaunesniu" (R) ir „būti draugu" (S), gauname: χ jaunesnis už y ir χ yra y draugas. Taigi ženklas Π reiškia tą patį, ką ir konjunkcija teiginių logikoje:
(ЯПS) ~ (xfiy · xSy). Sudauginę santykius „dirbti geriau" (R) ir „dirbti greičiau" (S), gauname: χ dirba geriau už y ir χ dirba greičiau už y. Pavyzdžiui, naujai sukurtos mašinos dirba geriau ir greičiau už senąsias mašinas. Santykių sudėtis ir daugyba tarpusavyje skiriasi. Sudedant du santykius, laikoma, kad tarp objektų χ ir y yra bent vienas sudedamų santykių. Dauginant du santykius, laikoma, kad tarp objektų χ ir y yra abu santykiai. Jei santykį „pažinti" sudėsime su santykiu „patikti", gausime: χ pažįsta y arba χ patinka y. Jei šiuos du santykius dauginsime, gausime: χ pažįsta y ir χ patinka y.
Santykių
kompozicija
Santykių kompozicija iš dviejų santykių sudaromas naujas sudėtinis santykis. Santykiai „brolio draugas", „motinos motina" ir pan. gaunami santykius komponuojant. Santykių kompozicija žymima taip: R/S. Santykių kompozicija - veiksmas, kuriuo nustatomas santykis tarp objektų χ ir y, remiantis jų santykiu su objektu z:
xfi/Sy ~ Bz (xfiz · zSy).
Teiginį, kad tarp χ ir y yra santykiai R ir S, užrašome: xR; Sy Tokiu atveju egzistuoja objektas z, su kuriuo χ yra santykyje R ir kuris yra santykyje S su y: xRz/zSy. Skaitome: χ yra santykyje fisuz,oz yra santykyje S su y. Tegul R reiškia „būti sūnumi", o S - „būti broliu". Tada pateiktą santykių kompozicijos formulę skaitome: χ yra z sūnus, o z yra y brolis. Vadinasi, χ yra y brolio sūnus. Sukomponavę santykius „sūnus" ir „brolis", gavome naują santykį „brolio sūnus". Tegul R reiškia „pažįstamas", o S - „bičiulis". Sukomponavę šiuos du santykius, gauname: χ yra z pažįstamas, o z yra y bičiulis; vadinasi, χ yra y bičiulio pažįstamas. Galima santykių kompozicijos konversija: xRzlzSy ~ zSy/xRz ~ ySz/zRx. Tegul R žymi santykį „būti mokytoju", S - „būti vyresniuoju draugu". Kompozicijos „x yra z mokytojas, o z yra y vyresnysis draugas" konversija bus tokia: „y yra χ mokinio jaunesnysis draugas". Tegul χ žymi Sokratą, y - Aristotelį, z - Platoną. Teiginio „Sokratas yra Platono mokytojas, o Platonas yra Aristotelio vyresnysis draugas" konversija yra teiginys „Aristotelis yra Sokrato mokinio (Platono) jaunesnysis draugas.
Pratimai 1. Suraskite santykio konversiją: „Tardytojas apžiūrėjo įvykio vietą". 2. Kaip sukomponuoti santykį „sesers duktė"? 3. Išspręskite uždavinį. Stasiui dukart daugiau metų, negu Bronius jų turės tada, kai Zigmui bus tiek, kiek Stasiui dabar. Kuris vyriausias, vidurinis ir jauniausias?
9. Specialios loginės santykių savybės Nors pasaulyje be galo daug objektų ir įvairiausių santykių tarp jų, tačiau santykiai turi tam tikrų savybių. Refleksyvumas. Refleksyviu vadinamas toks santykis, kai objektas yra tame santykyje su pačiu savimi. Refleksyvumo santykis užrašomas xRx. Lygybės, tapatybės, panašumo santykiai yra refleksyvūs, nes kiekvienas objektas lygus pats sau, tapatus pats sau ir pan. Nerefleksyviu vadinamas toks santykis, kai objektas nėra tame santykyje su pačiu savimi. Nerefleksyvumo santykis užrašomas χ Rx. Būti didesniam, jaunesniam, būti kaimynu - nerefleksyvūs santykiai, nes joks objektas negali būti didesnis už patį save, niekas negali būti savo paties kaimynas ir pan. Simetriškumas. Simetrišku vadinamas toks santykis, kai, būdamas tarp objektų χ ir y, jis yra tarp objektų y ir x. Simetriškumo santykis užrašomas x/?y—>yfix. Santykis „sėdėti greta" simetriškas, nes jei χ sėdi greta y, tai y sėdi greta x. Skirtumo santykis taip pat simetriškas: χ skiriasi nuo y, o y skiriasi nuo x. Jei santykio, kuris yra tarp objektų χ ir y, nėra tarp objektų y ir x, jis vadinamas nesimetrišku. Nesimetriškumo santykis užrašomas χfty—>yRx. Santykiai „būti motina", „būti aukštesniam" - nesimetriški: jei χ yra y motina, tai y yra χ sūnus arba duktė; jei χ aukštesnis už y, tai
y yra žemesnis už χ. Kartais negalima pasakyti, ar santykis simetriškas, ar nesimetriškas. Pavyzdžiui, jei χ myli y, tai vien logikos priemonėmis neįmanoma nustatyti, ar y myli x, ar nemyli. Tranzityvumas. Tranzityviu vadinamas toks santykis, kuris, būdamas tarp objektų χ ir y ir tarp objektų y ir z, yra taip pat tarp objektų χ ir z. Tranzityvumo santykis užrašomas (xRy • yRz)—>xRz. Santykiai „lygus", „didesnis", „ankstesnis" - tranzityvūs: jei χ įvyko anksčiau už y, o y įvyko anksčiau už z, tai χ įvyko anksčiau už z. Netranzityviu vadinamas santykis, kuris, būdamas tarp objektų χ ir y ir tarp objektų y ir z, nesti tarp objektų χ ir z. Netranzityvumo santykis užrašomas (xRy • yRz)-^x Rz. Pavyzdžiui, jei χ yra y tėvas ir y yra z tėvas, tai χ jau ne z tėvas, o senelis. Kartais vien logikos priemonėmis neįmanoma nustatyti, ar santykis tranzityvus, ar netranzityvus. Pavyzdžiui, jei χ yra y draugas, o y yra z draugas, tai dar nežinia, ar χ yra z draugas. Vienareikšmiškumas. Dažnai svarbu nustatyti kiekį objektų, tarp kurių yra kuris nors santykis. Kiekvienas turi tik vieną tėvą ir vieną motiną, tuo tarpu pastarieji gali turėti ir daugiau vaikų. Vienareikšmiu vadinamas toks santykis, kai santykyje xRy kiekvieną objektą y atitinka tik vienas objektas x. Santykis „x yra y pirmasis mokytojas" - vienareikšmis. Kiekvienas (y), pirmą kartą atėjęs į mokyklą, turi savo pirmąjį mokytoją (x). Tačiau pirmasis mokytojas turi ne vieną mokinį, o visą klasę. Vienareikšmiškumo santykis užrašomas (xRy · zRy)—>(x = z). Jei χ yra y tėvas, tai y yra χ sūnus ir χ = z, nes y tegali turėti vieną tėvą.
Abipusiai vienareikšmis santykis yra tada, kai santykyje xRy kiekvieną objektą y atitinka tik vienas objektas x, ir atvirkščiai: kiekvieną objektą χ atitinka tik vienas objektas y. Teiginyje „M. Mažvydas išleido pirmąją lietuvišką knygą" išreikštas abipusiai vienareikšmis santykis. Turimomis žiniomis, pirmąją lietuvišką knygą išleido vienas asmuo - M. Mažvydas, ir atvirkščiai: M. Mažvydas išleido vienintelę pirmąją lietuvišką knygą. Abipusio vienareikšmiškumo santykis užrašomas išraiška (xRy • xRz)~>(y = z). Yra santykių, kurie turi kelias specialias logines savybes. Skirtumo santykis yra nerefleksyvus, simetriškas, lygybės santykis refleksyvus, simetriškas, tranzityvus.
Pratimas Atlikite pratimą. Danutė, Janina, Birutė, Bronius, Domas ir Tomas kartu mokėsi universitete, ir trejas vestuves šešetas nutarė iškelti taip pat kartu. Kas ką vedė, jei žinoma, kad Tomas - Danutės brolis? Jis vyresnis už Domą. Birutė - vyriausia iš merginų. Bendras kiekvienos poros amžius visų vienodas, tačiau sutuoktinių amžius skirtingas. Domui ir Janinai kartu tiek pat metų, kiek jų turi Bronius ir Danutė.
10. Tapatybė Tapatybės santykis turi svarbią reikšmę moksluose ir įvairiose gyvenimo srityse. Tapatybę galima nagrinėti dviem požiūriais - ontologiniu* ir loginiu. Ontologiniu požiūriu nagrinėjama daiktų ir reiškinių tapatybė. Loginiu požiūriu nagrinėjama minčių tapatybė. Tiek * Ontologija - filosofijos sritis, tirianti bendriausius būties bruožus.
ontologiniam, tiek loginiam tapatybės aspektui būdingi bendri bruožai, kuriuos ir panagrinėsime. Kalboje tapatybė reiškiama įvairiai: χ tapatus y. χ toks pat kaip y. χ lygus y, ir pan.
Yra keli tapatybės dėsniai. Pagrindinis tapatybės dėsnis formuluojamas taip: χ tapatus y, jei ir tik jei χ turi kiekvieną požymį, kurį turi y, ir y turi kiekvieną požymį, kurį turi x. Kitaip tariant, χ tapatus y, jei ir tik jei visi jų požymiai bendri jiems abiem. Tapatybę pažymėję ženklu =, požymius - raide Q, pagrindinį tapatybės dėsnį užrašome taip: (X = y ) - V o [O ( X ) - O (y)].
Skaitome: χ tapatus y, jei ir tik jei kiekvieną požymį O, kai jį turi objektas x, tai jį turi objektas y, ir priešingai. Vadinasi, jei objektas χ turi kokį nors požymį, o objektas y jo neturi, tai χ skirtingas nuo y. Nesunku suprasti, kad tokių objektų, kurių visi požymiai būtų tie patys, realybėje nėra. Absoliučiai tapačių objektų negali būti dėl begalinės pasaulio įvairovės. Šiuolaikiniai fizinės realybės erdvės ir laiko modeliai įgalina individualizuoti universumo taškus (erdvės taškus apibrėžtu laiko momentu), bet kuriuos bet kurios aibės du elementus įgalina laikyti besiskiriančiais. Individuaeija nekelia abejonių nei makro-, nei mikropasaulyje. Individuaeija makropasaulyje gerai nusakoma populiariu teiginiu, kad miške nėra dviejų vienodų lapų, kiekvienas lapas nuo bet kurio kito skiriasi jau savo padėtimi erdvėje. Mikropasaulyje kiekvienas atomas (jis juk ne abstrakcija) nuo bet kurio kito atomo skiriasi koordinatėmis, impulsu ir sukiniu. Kadangi įmanoma kalbėti ne apie atskirą elementarią dalelę, o tik apie jų ansamblius, tai kiekvienas elementarių dalelių ansamblis nuo bet kurio kito tokio ansamblio skiriasi taip pat minėtomis
trimis charakteristikomis - koordinatėmis, impulsu ir sukiniu. Absoliuti tapatybė tėra abstrakcija, sudaryta atsyjant nuo tikrovės. Realiai egzistuoja ne absoliučiai, o santykinai tapatūs objektai, t. y. objektai, kuriuo nors atžvilgiu turintys tuos pačius požymius. Iš pagrindinio tapatybės dėsnio išvedamas kitas svarbus tapatybės dėsnis: kiekvienas objektas tapatus sau. Sis dėsnis užrašomas išraiška V x (x = x).
Dėl šio dėsnio buvo įvairių nuomonių. Kildavo teisėtas klausimas, kaip objektai išsaugo savo tapatybę, jei jie kinta. Nors pasaulyje tikrai visi objektai kinta, rutuliojasi, tačiau visuotiniame kitime yra santykinio pastovumo momentas. Jame objektai išsaugo savo kokybinį ir kiekybinį apibrėžtumą, t. y. jie nesiliauja buvę tuo, kuo jie yra, lieka tapatūs sau. Šio santykinio objektų pastovumo momento atsispindėjimas mąstyme yra loginis tapatybės dėsnio aspektas: kiekviena mintis tapati sau. Šis dėsnis užrašomas išraiška VA (A = A), kur A reiškia kokią nors mintį. Iš šio dėsnio seka, kad tame pačiame samprotavime sąvokos, teiginiai turi būti vartojami vienareikšmiškai. Diskusija gali būti nevaisinga todėl, kad diskutuojančios pusės neišsiaiškina, jog tuo pačiu žodžiu supranta skirtingus dalykus. Panagrinėkime šį pavyzdį. Mokinys klausia mokytoją: Ar galima bausti už tai, ko žmogus nepadarė? Mokytoja atsako, kad negalima bausti. Tada mokinys prašo jo nebausti, nes jis neatlikęs namų darbų. Mokytoja manė, kad klausdamas mokinys žodį „nepadarė" vartoja tokia prasme: „nepadarė ir neprivalėjo padaryti". Tuo tarpu mokinys, prašydamas jo nebausti, žodį „nepadarė" aiškiai vartojo tokia prasme: „nepadarė, bet privalėjo padaryti".
Pratimai 1. A r žodis „Gražina" vienareikšmiškai pavartotas: a) Gražina yra mergaitė. b) Gražina yra vardas. Kodėl antras sakinys netaisyklingai parašytas? 2. Suraskite klaidą šiame samprotavime: Pelė - graužikas. Pelė - dviskiemenis žodis. Vadinasi, kai kurie dviskiemeniai žodžiai - graužikai.
11. Santykių teorijos dėsniai Santykių teorijos dėsniai išvedami iš teiginių logikos dėsnių. Išraiškoje p ~ p pakeitę p xRy, o logines konstantas palikę, gauname dvigubo neigimo dėsnį santykių teorijoje:
V x V y (xRy ~ χRy). Skaitome: kiekvienam χ ir kiekvienam y teisinga, jog išraiška „Netiesa, kad tarp χ ir y nėra santykio /?" ekvivalenti išraiškai „Tarp χ ir y yra santykis R". Pavyzdžiui, jei netiesa, kad doktorantas neparengė disertacijos, tai šitai reiškia, kad doktorantas parengė disertaciją. Išraiškoje pVp pakeitę p xRy, gauname negalimo trečiojo dėsnį santykių teorijoje:
V x V y {xRyVχRy). Skaitome: kiekvienam χ ir kiekvienam y teisinga, kad tarp jų yra santykis R arba tarp jų santykio R nėra. Jei teiginių logikos išraiškoje yra ne vienas, o keli kintamieji, tai kiekvienas iš jų pakeičiamas atskira santykių teorijos išraiška: p pakeičiamas xRy, q pakeičiamas xSy ir 1.1. Pavyzdžiui, kontra-
pozicijos dėsnis (p—>qr)^(q—>p) santykių teorijoje reiškiamas taip: VxVy [(x/?y—>xSy)—>(xSy—»x/?y)]. Skaitome: kiekvienam χ ir kiekvienam y teisinga, kad jei tarp jų yra santykis R, tai tarp jų yra santykis S; iš to seka, kad jei tarp χ ir y nėra santykio S, tai tarp jų nėra santykio R. Pavyzdžiui, apie bet kuriuos du žmones teisinga pasakyti, kad iš to, jog jei jie broliai, tai jie giminės, seka, kad jei jie ne giminės, tai jie ne broliai. Santykių teorijos dėsniai išvedami taip pat iš savybių teorijos dėsnių, savybes pakeičiant santykiais.
Pratimas Paaiškinkite, kaip išvestos šios išraiškos:
1) VxVy [(x/?y->xffy)->xfly], 2) Vx xRy · xRy. 12. Santykių išreiškimas savybių teorijos terminais Santykiai gali būti: 1. Tarp individų, pavyzdžiui, „Panevėžys didesnis už Telšius". 2. Tarp objektų klasių, pavyzdžiui, „Mūsų sodo medžiai jaunesni negu kaimyninio sodo". 3. Tarp pačių santykių, pavyzdžiui, „Valdyti tiek pat svarbu kaip paklusti". Nors predikatų logikoje skiriame savybes (vienviečius predikatus) ir santykius (daugiaviečius predikatus), tačiau šis skirtumas ne absoliutus. Pačius santykius galima laikyti savybėmis, būtent savybėmis sutvarkytų objektų dvejetų, trejetų, ketvertų ir 1.1. Antai santykis „būti vedusiam" gali būti aiškinamas kaip savybė, kurią atitinka
sutvarkytas dvejetas - vyras, moteris. Tada predikatas „vedęs" priskiriamas vyriškiui. Tai, kad objektų dvejetas, trejetas, ketvertas ir 1.1, yra sutvarkytas duotojo santykio atžvilgiu, reiškia, jog šiuo santykiu galima susieti ne bet kokius objektus, o tik išdėstytus tam tikra eile. Pavyzdžiui, santykį „daugiau" atitinka skaičių pora 2, 1. Ji ir yra sutvarkyta šio santykio atžvilgiu. O pora 1, 2 šio santykio neatitinka, nes 1>2 - klaidinga. Panašiai santykis „būti ištekėjusiai" reiškia savybę, kurią atitinka dvejetas - moteris, vyras. Santykiai laikomi savybėmis mąstymo ekonomiškumo, t. y. mąstymo mažiausiomis sąnaudomis, sumetimu. Nors „būti gydytoju" yra santykis, jį laikant savybe sudaromas korektiškas teiginys „N yra gydytojas", kuriame kiti santykio nariai neišsakomi, lieka numanomi. Tradicinė gramatika sakinio sandarą aiškina santykių neatvaizduodama, juos laikydama savybėmis. Teiginį „Jonas vyresnis už Petrą" gramatika aiškina kaip iš veiksnio, tarinio ir papildinio susidedantį sakinį. Nors loginiu požiūriu Jonas ir Petras priklauso tam pačiam tipui, gramatika juos priskiria skirtingiems gramatiniams tipams.
13. Išsprendžiamumas predikatų logikoje Anksčiau aiškinta, kaip teiginių logikoje galimas išsprendžiamumas kiekvienos išraiškos atžvilgiu, taikant matricų metodą arba suteikus išraiškai normaliąją formą. Visai kas kita predikatų logikoje. Predikatų logikoje nėra kokio nors bendro išsprendžiamumo metodo. Nei savybių teorijoje, nei santykių teorijoje nėra bendro metodo nustatyti, ar tam tikra išraiška visuomet teisinga, ar visuomet klaidinga, ar ji kartais teisinga. To priežastis - predikatų logikos sudėtingumas. Predikatų logikoje nagrinėjami sudėtingesni loginiai veiksmai negu teiginių logikoje. Tiesa, atskirose predikatų logikos srityse egzistuoja išsprendžiamumo metodai. Tačiau sudėtingesniais
atvejais, nustatant predikatų logikos išraiškos teisingumo reikšmę, reikia daug patyrimo ir sumanumo. Pasaulis - begalybė objektų ir jų požymių, dėl to neįmanoma jų aprėpti viena logine išsprendžiamąja procedūra. Išsprendžiamumas predikatų logikoje kuriamas atskiroms objektų sritims. Predikatų logikos formulė vadinama įvykdoma kokioje nors objektų srityje, jei jos predikatinius kintamuosius F, G, R, S... pakeitus tam tikrais konkrečiais predikatais ir laisvus individinius kintamuosius χ, y, z... pakeitus tam tikrais individualiais objektais, formulė tampa teisingu teiginiu. Predikatų logikos formulė vadinama visuomet teisinga, arba bendrareikšme, kokioje nors objektų srityje, jei jos predikatinius ir individinius kintamuosius pakeitus bet kuriais tos objektų srities predikatais ir individualiais objektais, formulė tampa teisingu teiginiu. Predikatų logikos formulė vadinama visuomet teisinga, arba bendrareikšme, bet kurioje objektų srityje, jei jos predikatinius ir individinius kintamuosius pakeitus bet kuriais bet kurios objektų srities predikatais ir individualiais objektais, formulė tampa teisingu teiginiu. Pateiktuose apibrėžimuose numatoma, kad predikatų logikos formulėse nėra individualius objektus žyminčių simbolių. Išraiška ΞxF(x), žinoma, ne visuomet teisinga, ne bendrareikšmė, nes ne bet kurie konkretūs predikatai ir individualūs objektai ją paverčia teisingu teiginiu. Tuo tarpu išraiška VxF(x) · F(x) visuomet teisinga bet kurioje objektų srityje. Jei formulė Q kokioje nors srityje ne visuomet teisinga, tai Q toje srityje įvykdoma. Jei formulė Q kokioje nors srityje neįvykdoma, tai formulė Q toje srityje visuomet teisinga. Išsprendžiamumas predikatų logikoje laikomas įrodytu, jei yra metodas, kuris įgalina nustatyti, kokiose objektų srityse kiekviena formulė įvykdoma arba esti visuomet teisinga ir kokiose - ne. Efektyvi priemonė predikatų logikoje yra aksiominis dedukcinis metodas, kuris aiškinamas XI skyriuje.
Pratimai 1. Ar išraiška Эх [F (χ) · F (χ)] įvykdoma kokioje nors srityje? 2. Kokiose srityse išraiška V x V y (xfiyVxRy) yra bendrareikšmė?
14. Išplėstinė predikatų logika Predikatų logika, kurioje kvantoriai suvaržo individinius kintamuosius χ, y, z..., vadinama siaurąja predikatų logika. Aukštesnės eilės predikatų logikoje kvantoriai suvaržo propozicinius kintamuosius p, q, r... ir predikatinius kintamuosius F, G, R, S... (t. y. savybes ir santykius). Išraiška
3F3x F (x) skaitoma: yra tokia savybė F, kurią turi bent vienas x. Išraiška
3 F Vx F (x) skaitoma: yra tokia savybė F, kurią turi ne kiekvienas x. Išraiška
3F 3x [F (x) · F (x)] skaitoma: netiesa, kad yra tokia savybė, kurią χ turi ir neturi. Išraiška
VF Vx [F(x)VF(x)] skaitoma: kiekvienai savybei ir kiekvienam χ teisinga, kad χ turi savybę F arba jos neturi. Išraiška
3/? VxVy (xRy->yRx)
skaitoma: yra toks santykis, kad, jei jis yra tarp kiekvieno χ ir kiekvieno y, tai jo nėra tarp kiekvieno y ir kiekvieno x. Refleksyvumas, simetrija, tranzityvumas, kaip santykių savybės, yra predikatų predikatai. Aukštesnės eilės predikatų logikoje kvantoriai suvaržo taip pat propozicinius kintamuosius. Išraiška
V p 3q [(pVq) · skaitoma: kiekvienam teiginiui p yra toks teiginys q, kad iš šių dviejų teiginių bent vienas, ir tik vienas, yra teisingas. 15. Predikatų logikos taikymas filosofijoje Baigiant nagrinėti predikatų logiką, trumpai paliesime jos panaudojimą samprotavimams nagrinėti. Vienas pavyzdys parodys, kaip predikatų logika jgalino išspręsti problemą, dėl kurios filosofijos istorijoje daug diskutuota. Senovės graikų filosofas Zenonas Elėjietis įrodinėjo, kad, nagrinėjant kūno judėjimą, kyla prieštaravimas mąstyme. Kadangi prieštaravimų mąstyme neturi būti, tai protas negali įrodyti kūnų judėjimo. Zenonas sako, kad strėlė iš taško A pasiekia tašką B per tam tikrą laiką. Pažymėkime tą laiką t - t2. Per šį laiką strėlė turi pereiti tarpinius taškus, esančius tarp A ir B. Kiekvienu laiko t - t2 momentu strėlė turi būti kuriame nors tarpiniame taške. Tai, kad strėlė yra kuriame nors tarpiniame taške, reiškia, kad ji tuo laiko momentu (nors ir nepaprastai trumpai) yra rimties būvio, t. y. nejuda. Taigi judėjimą sudaro rimties būvių suma, o tai aiškiai klaidinga. Iš čia Zenonas daro išvadą, kad strėlės judėjimo protas negali įrodyti. Šį Zenono samprotavimą galima užrašyti predikatų logikos terminais. Įvesime šiuos žymėjimus: a - judąs kūnas (strėlė); T- bet kuris laiko t - t2 momentas; m - bet kuris erdvės taškas.
Teiginį, kad kiekvienu laiko t - t2 momentu yra toks erdvės taškas m, kuriame strėlė a turi būti, užrašome: \/T3m
(a yra taške m laiko t - t2 momentu T).
Tačiau iš to dar neseka, kad strėlė laiko tarpu t - t2 yra rimties būvio. Strėlė per laiką t - t2 būtų rimties būvio tuo atveju, jei iš teiginio „Bet kuriuo laiko t - t2 momentu T yra toks erdvės taškas m, kuriame strėlė a turi būti" būtų galima išvesti teiginį „Yra toks erdvės taškas m, kuriame strėlė a turi būti bet kuriuo laiko t - t2 momentu V . Šį antrą teiginį užrašysime 3 m V 7 (a yra taške m laiko t- t2 momentu T).
Vadinasi, Zenono įrodinėjimas, kad strėlė nejuda, būtų teisingas, jei būtų teisinga implikacija [V7"3m (a yra taške m laiko t - t2 momentu T)]—>3m\/T (a yra taške m laiko t - t2 momentu T). Tačiau kaip tik ši implikacija nėra teisinga, nėra logikos dėsnis. Iš teiginio V 7 " 3 m (a yra taške m laiko t-12 momentu T)
negalima išvesti teiginio 3/77 V r (a yra taške m laiko t - t2 momentu T).
Toks antecedento kvantorių V r 3m sukeitimas vietomis konsekvente З т У Т neleistinas. Išraiška
[Vx 3y (x/?y)]—>[3yVx (xRy)] nėra predikatų logikos dėsnis. Tačiau predikatų logikos dėsnis yra išraiška
[3yVx {xRy)] —>[Vx 3y (xRy)].
Pagal šią išraišką, nagrinėjant strėlės kelią erdvėje, tegalima pasakyti: iš teiginio „Yra toks erdvės taškas m, kuriame strėlė a turi būti bet kuriuo laiko t - t2 momentu 7" seka teiginys „Bet kuriuo laiko t - t2 momentu T yra toks erdvės taškas m, kuriame strėlė a turi būti". Tačiau iš to neseka išvada, kad strėlė laiko tarpu t - t2 yra rimties būvio. Vadinasi, Zenono Elėjiečio samprotavime, kad strėlė nejuda, slypi tiesiog loginė klaida. Pateiktas pavyzdys rodo, kokią naudą gali teigti simbolinės kalbos vartojimas vietoj įprastinės kalbos.
IV
SKYRIUS
Loginių klasių teorija 1. Loginė klasė ir jos struktūra Teiginių logika ir predikatų logika rodo, kad teiginiai gali būti nagrinėjami įvairiais požiūriais. Jei, pavyzdžiui, teiginį „Kiekvienas beržas yra medis" nagrinėsime savybių teorijos požiūriu, tai jame atrasime bendrumo kvantorių, objektą, jo savybes „būti beržu" ir „būti medžiu". Tačiau teiginį „Kiekvienas beržas yra medis" galima nagrinėti ir kitu požiūriu. Galima tirti, kokie objektai sudaro beržų ir medžių visumą, kiek tokių objektų yra, kokie jų tarpusavio santykiai. Taigi požymius galima nagrinėti kaip objektų klases, ir tai bus nagrinėjimas loginių klasių teorijos požiūriu. Loginė klasė yra visuma objektų, turinčių bendrus požymius. Petraitis, Ivanovas, Kovalskis, Šneideris, Smitas ir 1.1, sudaro loginę klasę „žmonės", nes jie visi turi bendrų požymių - yra mąstančios būtybės, gebančios gaminti vertybes. Žodžiai „miškas", „kaimas", „elektrinė" ir 1.1, sudaro loginę klasę „daiktavardžiai" dėl to, kad turi bendrą požymį - yra daikto, reiškinio pavadinimai. Teisėjai, advokatai, prokurorai, juriskonsultai ir kiti sudaro loginę klasę „teisininkai". Logikos požiūriu, pasaulio objektai egzistuoja ne kas sau, ne paskirai, bet sudaro tam tikras klases, pasaulis atrodo kaip loginių klasių visuma. Loginės klasės dar kitaip vadinamos loginėmis aibėmis. Objektai, sudarantys klasę, vadinami loginės klasės elementais. Kiekvienas atskiras daiktavardis yra klasės „daiktavardžiai" elementas, kiekvienas atskiras žmogus yra klasės „žmonės" elementas. Logines klases sudaro ne tik elementai, bet ir elementų deriniai. Elementų deriniai, sudarantys loginę klasę, vadinami poklasiais. Kla-
sę „grožinės literatūros kūriniai" sudaro ne tik „Senis ir jūra", „Metai", „Skirgaila", bet ir poklasiai - romanai, apysakos, poemos, dramos ir t. t. Ta pati klasė gali būti klase ir poklasiu. Tai priklauso nuo to, su kokia klase tą klasę lyginame. Jei laikysime, kad klasę „mokytojai" sudaro kiekvienas paskiras bet kurios mokyklos mokytojas, pavyzdžiui, Petrėnas, Jonaitytė ir kiti, tai visuma „mokytojai" yra loginė klasė. Visuma „mokytojai" yra klasė ir tuo atveju, kai ją nagrinėjame kaip susidedančią iš atskirų poklasių, pavyzdžiui, Panevėžio miesto mokytojai, Pasvalio rajono mokytojai ir pan. Jei klasę „mokytojai" nagrinėsime susieję su klase „inteligentai", tai šiuo atveju mokytojai yra klasės „inteligentai" poklasis. Klasę „inteligentai" sudaro daug poklasių - mokytojai, gydytojai, inžinieriai, mokslininkai ir kt. Taigi klasėje „inteligentai" kur kas daugiau elementų negu klasėje „mokytojai", kuri yra klasės „inteligentai" poklasis. Elementus žymėsime mažosiomis alfabeto raidėmis: X1 y, z. Klases ir poklasius žymėsime didžiosiomis raidėmis: A, B1 C. Elemento priklausymą klasei žymėsime simboliu e . Išraiška
xs A skaitoma: χ yra klasės A elementas; χ priklauso klasei A, ir pan. Teiginys „Jonaitytė yra mokytoja" loginių klasių teorijoje užrašomas išraiška xsA, kurioje χ žymi Jonaitytę, A - mokytojus, e žymi χ priklausymą klasei A. Poklasio įskyrimą į klasę žymėsime simboliu c . Išraiška AdB
skaitoma: klasė A įskiriama į klasę β; A yra klasės B poklasis. Teiginys „Mokytojai yra protinio darbo žmonės" klasių teorijoje užrašomas išraiška A c f i , kur A žymi mokytojus, o B - protinio darbo žmones. Pagal elementų skaičių klasės būna trejopos.
1. Klasės, kurias sudaro daug elementų. Tokios klasės gali turėti baigtinį ir begalinį elementų skaičių. Klasių „Valstybės - JT narės" elementai tiksliai suskaičiuojami. Klasė „Kazlų Rūdos miškų medžiai 2003 m." taip pat baigtinė, nes Kazlų Rūdos miškuose 2003 m. augo tam tikras baigtinis medžių skaičius. Žinoma, jų neįmanoma tiksliai suskaičiuoti. Wases „atomas", „taškas", „natūrinis skaičius" sudaro begalinis elementų skaičius: kadangi pasaulis begalinis, tai ir atomų skaičius begalinis; visuomet galima surasti skaičių, didesnį už be galo didelį. Žodis „daug" klasių teorijoje reiškia, kad jei klasę sudaro bent du elementai, tai toji klasė priskiriama klasėms, kurias sudaro daug elementų. Cia priskiriamos ir tos klasės, kurių elementų skaičius griežtai neapibrėžtas, pavyzdžiui, „jauni žmonės". Ką priskirti šiai klasei, daugiausia priklauso nuo paties samprotaujančio asmens. Senovės romėnai vyrus iki 30 metų laikė jaunuoliais, iki 40 metų jaunais, senais vadino nuo 60 metų. Kiti tokių klasių pavyzdžiai: „gabūs", „geri", „gražūs" ir kt. 2. Klasės, kurias sudaro vienas elementas. Klasę „aukščiausia kalnų viršūnė Europoje" sudaro vienas objektas - Monblanas, klasę „pirmasis kosmonautas" - vienintelis asmuo. Klasės, kurias sudaro vienas elementas, gramatiškai gali būti formuluojamos ir daugiskaita, pavyzdžiui: „asmenys, pirmą kartą skridę kosminiu laivu". Kadangi tokių asmenų tebuvo vienas, tai šią klasę sudaro vienas elementas. Panašūs formulavimai daugiskaita leistini ir yra teisėti, ypač tais atvejais, kai dar nežinoma, kiek elementų sudaro klasę. 3. Klasės, kurios neturi nė vieno elemento. Tokios klasės vadinamos nulinėmis, arba tuščiomis. „Amžinasis variklis", „bevaikės motinos sūnus", „didžiausias iš lygiųjų" - tai nulinės klasės, nes jose mąstomų objektų tikrovėje nėra. Nulinės yra ir mitų bei prietarų sąvokos - „burtai", „laumė" ir kt. Nulinės klasės dažnai vadinamos fikcijomis, klaidingomis sąvokomis. Logikoje nulinė klasė žymima simboliu 0. Nulinę klasę galima apibrėžti kaip klasę, kurios kiekvienas elementas įskiriamas ir neįskiriamas į klasę A:
V x (χ e A • χ e A). Pagal prieštaravimo dėsnį, klasė, kurios kiekvienas elementas būtų įskiriamas į ją ir neįskiriamas, negalima, taigi tokia klasė neturi elementų. Nulinę klasę galima suprasti ir kaip klasę objektų, kurie netapatūs patys sau (tuo pačiu tokia klasė neturi elementų, nes kiekvienas objektas tapatus pats sau). Nulinių klasių nereikia painioti su idealizuotais objektais, tokiais kaip „absoliučiai kietas kūnas", „absoliučiai juodas kūnas", „taškas" ir kt. Nors realioje tikrovėje tokių objektų ir nėra, tačiau yra šių idealizuotų objektų realūs prototipai: egzistuoja kieti kūnai, juodi kūnai, taškai ir pan. Tokie idealizuoti objektai gaunami idealizavimo proceso metu, ir jie turi mokslinę vertę. Visiška priešingybė nulinei klasei yra universalioji klasė. Ją sudaro visi objektai tos srities, kurią turime galvoje, spręsdami vienus ar kitus klausimus. Kai operuojame kokia nors klase, ji visuomet mąstoma tam tikroje objektų srityje, arba universaliojoje klasėje. Operuojant klase „dramos kūriniai", ši klasė vartojama objektų srityje „grožinės literatūros kūriniai"; operuojant klase „civilinis ieškinys", ši klasė vartojama objektų srityje „civilinės teisės aktas" arba „teisinis aktas". Objektų sritis (universalioji klasė), kurios ribose samprotaujama, gali plėstis arba siaurėti. Universalioji klasė žymima skaičiumi 1.
Pratimai Suskirstykite klases pagal elementų skaičių: 1. Turistų sąskrydžio dalyviai. 2. Prokurorai, kurie kartu yra advokatai. 3. Rašytojai, parašę knygą „Aukštųjų Šimonių likimas". 4. Rašytojai, parašę knygą „Dvylika kėdžių".
2. Izomorfizmas ir homomorfizmas Izomorfizmas (graikų k. isos - vienodas, morphe - forma) ir homomorfizmas (graikų k. homoios - panašus) yra svarbūs klasių ir santykių požymiai. Jei tarp klasės A elementų ir klasės B elementų nustatytas toks atitikimas, kad kiekvieną klasės A elementą atitinka tik vienas klasės B elementas ir kiekvieną santykį klasėje A atitinka tik vienas santykis klasėje B, o kiekvieną klasės B elementą atitinka tik vienas klasės A elementas ir kiekvieną santykį klasėje B atitinka tik vienas santykis klasėje A, tai toks atitikimas vadinamas abipusiai vienareikšmiu, arba izomorfiniu, atitikimu. Jei lankoje auga 5 medžiai ir ganosi 5 avys ir prie kiekvieno medžio pririšta po avį, tai lankoje augančių medžių klasė ir besiganančių avių klasė yra izomorfinės. Kiekvieną medį atitinka viena ir tik viena avis, kiekvieną avį atitinka vienas ir tik vienas medis, ir erdvinius santykius tarp medžių atitinka erdviniai santykiai tarp avių. Jei salėje visos kėdės užimtos, niekas nesėdi ant dviejų kėdžių ir nėra nė vieno stovinčio klausytojo, tai kėdžių klasė ir klausytojų klasė yra izomorfinės. Kiti izomorfizmo pavyzdžiai: santykis tarp vietovės ir tos vietovės žemėlapio, tarp radijo aparato ir jo schemos, tarp fotografuojamo objekto ir fotografijos, tarp įmonės darbininkų ir tarnautojų kolektyvo ir jų sąrašo buhalterijoje, kuriame nurodytas darbo užmokestis. Izomorfizmas - svarbi bendramokslinė sąvoka, nurodanti, kad dviejų sistemų struktūros tam tikru požiūriu vienodos. Muzikos kūriniai užrašomi panaudojant santykių izomorfizmą. Pavyzdžiui, santykis, atsirandantis tarp dviejų natų, kurių pirmoji parašyta žemiau antrosios, yra izomorfinis santykiui, atsirandančiam tarp dviejų tonų, kurių pirmasis yra žemesnis už antrąjį. Santykis tarp simfonijos ir jos įrašo plokštelėje taip pat izomorfinis. Matome, kad izomorfizmas susijęs ne su visomis objektų savybėmis ir santykiais, o tik su kai kuriais. Kitais požymiais objektai gali skirtis. Dvi klasės gali būti izomorfinės vienais požymiais ir neizomorfinės kitais požymiais.
Izomorfizmo sąvokos apibendrinimas yra homomorfizmas. Homomorfizmas - tai nepilnas izomorfizmas, t. y. atitikimo vienareikšmiškumas tik viena kryptimi: kiekvieną klasės A elementą atitinka tik vienas klasės B elementas ir kiekvieną santykį klasėje A atitinka tik vienas santykis klasėje B. Tarkime, kad turime grupę žmonių (4 asmenis), gyvenusių įvairų amžių: pirmasis gyveno 84, antrasis - 83, trečiasis - 82 ir ketvirtasis 81 metus. Atitinkama jų amžiaus skaitinė išraiška yra 84>83>82>81. Asmenų gyventų metų didėjimo santykis su tą didėjimą išreiškiančių skaičių santykiu yra ne izomorfinis, bet homomorfinis. Juk santykį 84>83>82>81 atitinka ne tik minėtieji keturi, bet ir kiti asmenys, taip pat įvairūs kiti objektai. Jei klasės A objektams x, y, z... įvykdomas šios klasės santykis R, tai klasės B objektams x', y', z'... įvykdomas B klasės santykis R', atitinkantis santykį R. Klasės B objektai ir santykiai vadinami klasės A objektų ir santykių homomorfiniu atvaizdu. Kadangi kiekvienas izomorfizmas kartu yra ir homomorfizmas, bet ne priešingai, tai nurodytą sąlygą turi tenkinti ir izomorfizmas. Homomorfinis originalo atvaizdas yra nepilnas, apytikris originalo struktūros pavaizdavimas. Antai hidroelektrinės modelis yra homomorfinis būsimojo originalo pavaizdavimas. Homomorfizmo sąvoka išreiškia atitikimo santykį tarp tikrovės ir jos pažinimo, aprašymo tais ar kitais terminais. Jei teorija teisinga, tai jos teiginius atitinka faktai, realiai esantys tikrovėje. Kita vertus, atrasti faktai fiksuojami teorijos teiginiais. Betgi pasaulio pažinimo pilnumas ir tikslumas visuomet yra santykiniai, dėl to atitikimas tarp realaus pasaulio objektų ir jų atvaizdų mąstyme yra homomorfinis. Izomorfizmo ir homomorfizmo sąvokų paskirtis - pertvarkyti apie objektus gaunamą informaciją (kurioje kartu su esminiais požymiais būna ir neesminių, antraeilių, požymių), suteikiant jai glaustą ir patogią formą.
^D
Pratimas
Ar izomorfinės šios klasės: 1. Buto kambariai, buto langai. 2. Dešinės rankos pirštai, kairės rankos pirštai.
3. Santykiai tarp loginių klasių Tarp loginių klasių gali būti keturių rūšių santykiai.
Lygiareikšmiškumo
santykis
Lygiareikšmiškumo santykis yra tada, kai dvi klasės turi tuos pačius elementus. Tarp klasės „termometrai" ir klasės „prietaisai temperatūrai matuoti" yra lygiareikšmiškumo santykis, nes abi klases sudaro tie patys elementai. Lygiareikšmiškumo santykis yra ir tarp klasių „dėdės" ir „tėvo arba motinos broliai", „zuikiai" ir „kiškiai". Santykiai tarp klasių grafiškai vaizduojami skritulinėmis schemomis. Kiekviena klasė vaizduojama atskiru skrituliu. Lygiareikšmiškumo santykis pavaizduotas 2 brėž. Brėžinys rodo, kad klasė A ir klasė B visiškai sutampa, jos turi tuos pačius elementus. Tai užrašoma išraiška A = B. Tai reiškia: AczB · B
Subordinacijos
santykis
Subordinacijos santykis yra tada, kai viena klasė sudaro dalį kitos klasės.
Grafiškai subordinacijos santykis pavaizduotas 3 brėž. Brėžinys rodo, kad klasė A įskiriama į в klasę B. Tai užrašoma išraiška A(zB. Klasę „advokatai" pažymėję raide A, klasę „teisininkai" - B, matome, kad tarp šių klasių yra subordinacijos santykis. Subordinacijos 3 brėž. santykyje visi klasės A elementai yra ir klasės B elementai (visi advokatai yra teisininkai), tačiau ne visi klasės B elementai yra klasės A elementai (ne visi teisininkai - advokatai). Taigi, esant subordinacijos santykiui, siauresnės apimties klasė įskiriama į platesnės apimties klasę. Subordinacijos santykis yra ir tarp šių klasių: „literatūra" ir „menas", „papeikimas" ir „bausmė".
Sankirtos
santykis
Sankirtos santykis yra tada, kai vienos klasės dalis sudaro dalį kitos klasės. Grafiškai šis santykis pavaizduotas 4 brėž. Iš brėžinio matome, kad dalis klasės A elementų yra ir klasės B 4 brėž. elementai. Savo ruožtu dalis klasės B elementų yra ir klasės A elementai. Užbrūkšniuota paviršiaus dalis ir yra tie elementai, kurie bendri klasei A ir klasei B. Sankirtos santykis yra tarp klasių „studentai" ir „turistai". Dalis studentų - turistai ir dalis turistų - studentai. Sankirtos santykis yra ir tarp klasių „poetai" ir „prozaikai". Kai kurie poetai rašo ir proza, kai kurie prozaikai yra ir poetai. Sankirtoje esančios klasės turi dalį bendrų elementų. Sankirtos santykis užrašomas išraiška Bx (xeA · xe B).
Nuošalės
santykis
Nuošalės santykis yra tada, kai dvi klasės neturi jokių bendrų elementų. Grafiškai nuošalės san"X tykis pavaizduotas 5 brėž. / \ Brėžinys rodo, kad nė I R I vienas klasės A elementas nėra klasės B elementas ir nė vienas klasės B elementas nėra klasės A ele5 brėž. mentas. Nuošalės santykis yra tarp klasių „sonetai" ir „novelės": nė vienas sonetas nėra novelė, ir jokia novelė nėra sonetas. Nuošalės santykis yra tarp klasių „valstiečiai" ir „tarnautojai", „bakalauro darbai iš germanų filologijos" ir „bakalauro darbai iš dabartinės lietuvių kalbos sintaksės". Nuošalės santykis užrašomas išraiška Зх (xeA • xe B). Jį galima užrašyti ir taip: V x (хеД—>xeB). Tokios yra keturios santykių tarp klasių rūšys, iš kurių susidaro įvairūs santykiai tarp trijų klasių. Santykį tarp klasių „advokatai" (A), „prokurorai" (β), „teisininkai" (O vaizduoja 6 brėž. Jis rodo, kad tarp klasių Л ir C yra subordinacijos santykis (visi advokatai yra teisininkai), tarp klasių B ir C - taip pat subordinacijos santykis (visi prokurorai yra teisininkai), o tarp klasių Л ir β yra nuošalės santykis (nė vienas advokatas nėra prokuroras, ir nė vienas prokuroras nėra advokatas). 6 brėž. pavaizduotas santykis tarp trijų klasių vadinamas koordinacijos santykiu. Sio loginio santykio pagrindu sudaryti tokie terminai, kaip „koordinacinis komitetas", „darbo koordinavimas" ir pan. Kai kalbama
apie darbo koordinavimą, turima galvoje, kad yra tam tikrų organizacijų, žinybų, jmonių ir pan., kurių kiekvienas darbas pajungtas (subordinuotas) tam tikram bendram tikslui. Santykius tarp klasių „mokytojai" (A), „gydytojai (β), „vairuojantys automobilius" (O vaizduoja 7 brėž. Tarkime, kad visi kongreso dalyviai kalba angliškai {A), dalis jų kalba vokiškai (β), dalis kalba prancūziškai (C), dalis kalba vokiškai ir prancūziškai (D), o kalbantys totoriškai 7 brėž. (E) - ne kongreso dalyviai. Sudarome brėžinį.
Θ 8 brėž.
Pratimas Pavaizduokite grafiškai santykius tarp klasių: 1. Universiteto choras (A), kamerinis orkestras (β), meno kolektyvas (C). 2. Mokytojai (A), užsienio kalbų mokytojai {B), automobilio vairuotojai (C).
4. Veiksmai su klasėmis Su loginėmis klasėmis atliekami tam tikri veiksmai: klases galima neigti, sudėti, dauginti, atimti, apibendrinti, susiaurinti, skirstyti.
Klasės
neigimas
Klasės neigimu vadinamas veiksmas, kuriuo iš klasės A gaunama klasė пе-Д. Kaip ir teiginių logikoje, klasės neigimas žymimas brūkšneliu, kuris rašomas virš raidės A. Wases „filologai" neigimas yra klasė „nefilologai", klasės „vadovėliai" neigimas - klasės „nevadovėliai". Grafiškai klasės neigimą vaizduoja 9 brėž. Skritulys žymi klasę A, o užbrūkšniuotas paviršius - klasę 9 brėž ne-A Visas stačiakampio plotas - tai universali klasė. Sudėjus klasę ir jos neigimą, gaunama universali klasė: A+A=I.
Skaičius 1 žymi universaliąją klasę. Iš tiesų, filologai + nefilologai = visos specialybės,
nes klasę „nefilologai" sudaro visų specialybių žmonės, išskyrus filologus. Klasės neigimas kartais dar vadinamas klasės papildymu. Taip vadinama todėl, kad klasės neigimas klasę papildo iki universaliosios klasės. Dvigubas klasės neigimas ekvivalentus pradinei klasei: A-A. Sakysime, turime klasę „laikraščiai". Ją neigdami, gauname klasę „nelaikraščiai". Neigdami klasę „nelaikraščiai", gauname: „ne-
tiesa, kad nelaikraščiai" (arba „ne nelaikraščiai"), t. y. gauname A. Visa tai ekvivalentu pradinei klasei „laikraščiai".
Klasių
sudėtis
Dviejų klasių sudėtimi vadinamas veiksmas, kuriuo gaunama nauja klasė, ir šią naują klasę sudaro visi abiejų pradinių klasių elementai. Sudėję klasę „berniukai" ir klasę „mergaitės", gausime naują klasę, kurią sudarys visi berniukai ir visos mergaitės. Klasių sudėtis žymima simboliu U. AUB.
Išraiška skaitoma: klasė A sudedama su klase B. Sudėti galima klases, esančias bet kokiuose santykiuose. Sudėjus subordinacijos santykyje esančias klases „kultūros įstaigos" ir „muziejai", gaunama nauja klasė, kurią sudaro visos kultūros įstaigos ir visi muziejai. Sudėjus nuošalės santykyje esančias klases „stalai" ir „kėdės", gaunama nauja klasė, kurią sudaro visi stalai ir visos kėdės. Klasių sudėtis atitinka teiginių logikos jungtį „arba". Iš tiesų, kai sudedama klasė A ir klasė B, tai kiekvienas naujai gaunamos klasės elementas priklauso arba klasei A, arba klasei B. Tai užrašoma formule
И U β) - V x (xeAVxeB). Sudėjus klases „universitetai", „akademijos", „aukštosios technikos mokyklos" ir kt., gaunama nauja klasė „aukštosios mokyklos". Kiekviena aukštoji mokykla yra universitetas arba akademija, arba aukštoji technikos mokykla ir 1.1.
Klasių
daugyba
Klasių daugyba yra bendrų elementų suradimas dauginamose klasėse.
Panagrinėkime, kaip sudaroma klasė „ištikimi draugai". Grafiškai jos sudarymą vaizduoja 10 brėž. Šią klasę sudaro tie žmonės, kurie kartu yra ir draugai, ir ištikimi žmonės. Taigi klasė „ištikimi draugai" sudaryta pavartojus klasių daugybos veiksmą. Sudauginus nuošalės santykyje esančias klases, gaunama nulinė klasė. Taip yra todėl, kad nuošalės santykyje esančios klasės neturi bendrų elementų. Dauginant klases „rugiai" ir „kviečiai", turėtume surasti tokius varpinius augalus, kurie yra ir rugiai, ir kviečiai. Tačiau tokių varpinių augalų nėra. Dauginti galima ne tik dvi, bet ir daugiau klasių. Sudauginus klases „mokslininkai", „teisininkai", „habilituoti daktarai", gaunama nauja 10 brėž. klasė, kurią sudaro visi tie mokslininkai, kurie kartu yra ir teisininkai, ir habilituoti daktarai. Kitaip tariant, gaunama klasė „mokslininkai - teisės habilituoti daktarai". Klasių daugybą nesunku atskirti nuo klasių sudėties. Sudėjus klases „studentai" ir „sportininkai", gaunama nauja klasė, kurią sudaro visi studentai ir visi sportininkai. Šias klases sudauginus, gaunama nauja klasė, kurią sudaro tik tie studentai, kurie kartu yra ir sportininkai, ir tik tie sportininkai, kurie kartu yra ir studentai. Kitaip tariant, gaunama klasė „studentai-sportininkai". Šis skirtumas tarp klasių sudėties ir daugybos matomas ir iš brėžinio:
Klasių daugyba žymima ženklu Π. Išraiška АПВ skaitoma: klasės A ir B sudauginamos. Klasių daugyba atitinka jungtį „ir". Sudauginus klases A ir B, kiekvienas naujai gautos klasės elementas priklauso ir klasei A, ir klasei B. Tai užrašoma formule
(АΓ\B) ~Vx(xeA·
xe B). Klasės
atimtis
Masės atimtimi vadinamas veiksmas, kuriuo iš vienos klasės išskiriami elementai, sudarantys kitą klasę. Iš klasės „tarnautojai" išskyrę tarnautojus, turinčius 10 metų darbo stažą, gauname klasę „tarnautojai, neturintys 10 metų darbo stažo". Grafiškai ši klasės atimtis pavaizduota 12 brėž. Klasė „tarnautojai" pažymėta raide Л, klasė „turintys 10 metų darbo stažą" - raide B. Tarp šių klasių yra sankirtos santykis: kai kurie tarnautojai turi 10 metų darbo stažą, kai kurie, turintys 10 metų darbo stažą, yra tarnautojai. Užbrūkš12 brėž. niuota brėžinio paviršiaus dalis yra dviejų klasių atimties veiksmo rezultatas: klasė tarnautojų, neturinčių 10 metų darbo stažo. Klasės atimtį užrašysime formule A—B. Masės atimties rezultatas yra klasė tokių elementų, kurių kiekvienas priklauso klasei A ir nė vienas nepriklauso klasei B.
Įprastoje kalboje klasių atimtis reiškiama įvairiai, pavyzdžiui: visi tarnautojai, išskyrus turinčius 10 metų darbo stažą; visi tarnautojai be tų, kurie turi 10 metų darbo stažą; visi tarnautojai, tik ne tie, kurie turi 10 metų darbo stažą, ir pan. Tegul turime klases: „padaręs žalą kitiems" (A), „privalo žalą atlyginti" (B). Grafiškai
13 brėž.
Pradedame klasės atimties veiksmą: padaręs žalą sąmonei nefunkcionuojant arba netekęs galimybės išreikšti savo valią, nėra už žalą atsakingas.
14 brėž.
Iš klasės A išskirtas jai nepriklausantis plotas B. Tvirtinimas „padaręs žalą alkoholio arba narkotikų paveiktas, turi žalą atlyginti" - reikalauja iš klasės B išskirti tam tikrą plotą:
15 brėž.
Tvirtinimas „nebent alkoholio arba narkotikų buvo paveiktas ne savo valia" - reikalauja iš A išskirti tam tikrą plotą:
16 brėž.
K l a s ė s a p i b e n d r i n i m a s ir s u s i a u r i n i m a s Klasės apibendrinimas - tai veiksmas, kuriuo išplečiama klasės apimtis. Grafiškai klasės apibendrinimas pavaizduotas 17 brėž. Masę A apibendrinant, ji laikoma poklasiu ir įskiriama į kokią nors klasę B. Pavyzdžiui, klasės „eglės" apibendrinimas yra klasė „spygliuočiai medžiai". Šią klasę vėl galima apibendrinti surandant platesnę klasę - „medžiai". Galima apibendrinti ir klasę „medžiai", įskyrus ją į klasę „augalai". Tačiau apibendrinimas negali būti beribis. Apibendrinimo riba plačiausios apimties klasės. Jos vadinamos kategorijomis ir turi filosofinę-loginę reikšmę, pavyzdžiui, objektas, požymis, judėjimas,
skirtumas, veiksmas, galimybė ir 1.1. Kuo klasė platesnė, tuo ji abstraktesnė. Kategorijos - tai abstrakčiausios sąvokos. Klasės susiaurinimas - atvirkščias klasės apibendrinimui veiksmas, kuriuo sumažinama klasės apimtis. Klasė „literatūros kūriniai" susiaurinama pereinant prie jos poklasio, pavyzdžiui, „XX a. literatūros kūriniai". Šią klasę vėl galima siaurinti surandant jos poklasį „XX a. romanai", ir pan. Susiaurinimo riba - klasės elementas. Pasakius „romanas „Širdies nerimas", toliau siaurinti neįmanoma. Mąstymo procese nuolat tenka naudoti klasės apibendrinimo ir susiaurinimo veiksmus. Kai kalbama apie kokio nors grožinės literatūros kūrinio autorių, tai kartu mąstoma, kad jis rašytojas, o jei jis rašytojas, tai kartu ir menininkas, ir pan. Kai teisėsaugos organus pasiekia signalas apie kontrabandą stambiu mastu, tai reiškinį tiriant, klasė „kontrabanda stambiu mastu" siaurinama, įgyja apibrėžtą reikšmę nustačius kontrabandos turinį.
Klasės
skirstymas
Wases skirstymas yra klasės padalijimas į poklasius remiantis tam tikru pagrindu. Kiekvieną skirstymą sudaro: a) skirstomoji klasė, pavyzdžiui, mokslo sritys; b) skirstymo nariai - tai poklasiai, gauti skirstant duotąją klasę: humanitariniai, socialiniai, fiziniai, biomedicininiai, technologijos mokslai. Mokslų pobūdžio kitimas yra tas požymis, pagal kurį skiriamos penkios mokslų sritys. c) skirstymo pagrindas - tai požymis, kuriuo remiantis skirstoma.
Masės skirstymo nereikia painioti su paprastu visumos skaidymu į dalis. Pasakymas, kad universitetą sudaro istorijos, filologijos, teisės, ekonomikos, medicinos ir kiti fakultetai, yra ne klasės skirstymas, bet paprastas visumos skaidymas j dalis. Norint klasės skirstymą atskirti nuo visumos skaidymo j dalis, reikia skirstomąją klasę ir gautus narius susieti žodžiu „kiekvienas". Pavyzdžiui, sakome, kad lietuviai - tai žemaičiai, suvalkiečiai, dzūkai ir kiti. Patikrinsime, ar čia klasės skirstymas, ar tik paprastas visumos skaidymas j dalis. Sakome: „kiekvienas žemaitis - lietuvis", „kiekvienas dzūkas - lietuvis" ir 1.1. Tai teisingi teiginiai, vadinasi, šiuo atveju turime klasės skirstymą. Tuo tarpu teiginiai „kiekvienas filologijos fakultetas yra universitetas", „kiekvienas teisės fakultetas yra universitetas" - klaidingi. Vadinasi, kai sakome, kad universitetą sudaro atskiri fakultetai, tai tik visumą skaidome į dalis. Yra dvi skirstymo rūšys: 1. Skirstymas pagal požymio kitimą. Si skirstymo rūšis labiausiai paplitusi. Pavyzdžiui, pasikėsinimai į piliečių asmeninę nuosavybę skirstomi į vagystę, apiplėšimą ir kt. Šitaip skirstoma pagal pasikėsinimo būdo kitimą. Kintant studijuojamų dalykų pobūdžiui, susidaro poklasiai: studentai matematikai, chemikai, filologai, teisininkai ir 1.1. Skirstymas pagal požymio kitimą užrašomas taip: Л ее (S l Ufi 2 Ufi 3 ...), KM A yra skirstomoji klasė, o BV B2, B^ - skirstymo nariai. 2. Skirstymas pagal požymio buvimą ar nebuvimą. Ši skirstymo rūšis dar kitaip vadinama dichotominiu skirstymu. Klasė čia skirstoma j du poklasius. Visi vieno poklasio elementai turi kokį nors požymį, o kito poklasio - jo neturi. Pavyzdžiui, visus žodžius galima skirstyti į daiktavardžius ir nedaiktavardžius. Nedaiktavardžius vėl galima skirstyti į būdvardžius ir nebūdvardžius, ir 1.1. Ši skirstymo rūšis užrašoma taip: A = (BUB).
Kartais dichotomiškai į du poklasius skirstyti neįmanoma, pavyzdžiui, laukinių žvėrių negalima skirstyti į raguotuosius ir neraguotuosius. Taip skirstant, briedžiai patektų į abu poklasius - jų patinai turi ragus, o patelės neturi. Skirstant reikia laikytis šių taisyklių: 1. Skirstymas tun būti tolygus. Tai reiškia, kad tarp skirstymo narių ir skirstomosios klasės turi būti lygiareikšmiškumo santykis. Pažeidus šią taisyklę, padaromos dvi klaidos: a) nepilnas skirstymas. Šiuo atveju nenurodomi visi skirstymo nariai. Pastatų skirstymas į pastatytus iš plytų, gelžbetonio blokų ir medžio - nepilnas, pastatai statomi ir iš kitų medžiagų; b) skirstymas su nereikalingais nariais. Ši klaida padaroma, kai knygos skirstomos į vadovėlius, nevadovėlius ir grožinės literatūros kūrinius. Poklasis „grožinės literatūros kūriniai" - nereikalingas narys, jis įskiriamas į nevadovėlius. 2. Skirstyti reikia vienu pagrindu. Gyventojų skirstymas į miesto, kaimo, pilnamečius ir nepilnamečius - netaisyklingas, skirstoma dviem pagrindais - pagal gyvenamą vietą ir amžių. Šį skirstymą galima padaryti taisyklingą atskyrus skirstymo pagrindus: a) gyventojai skirstomi į miesto ir kaimo gyventojus; b) gyventojai skirstomi į pilnamečius ir nepilnamečius. 3. Skirstymo nariai turi vienas kitą šalinti. Tai reiškia, kad tarp gautų poklasių turi būti nuošalės santykis, bet kuris paskiras elementas turi priklausyti tik vienam kuriam nors poklasiui. Ši taisyklė susijusi su taisykle, teigiančia, kad skirstymas turi būti atliktas vienu pagrindu. Kai šios taisyklės nesilaikoma, skirstymo nariai nešalina vienas kito. Skirstant gyventojus į miesto, kaimo, pilnamečius ir nepilnamečius, kiekvienas gyventojas patenka į du poklasius, o to neturi būti. 4. Skirstymas turi būti nenutrūkstamas. Reikia palaipsniui klasę skirstyti į artimiausius ją sudarančius poklasius. Pavyzdžiui, būtų netikslu sakinio dalis skirstyti į veiksnį, tarinį ir antrininkes sakinio dalis. Čia praleista klasė „pagrindinės sakinio dalys".
Atskiras klasių skirstymo atvejis yra klasifikacija. Klasifikacijayra toks skirstymas, kuriame objektai suskirstomi į klases taip, kad kiekviena klasė kitų klasių atžvilgiu užima pastovią apibrėžtą vietą. Kiekviena klasifikacija yra kartu ir skirstymas, tačiau ne kiekvienas skirstymas yra klasifikacija. Masifikacijos tikslas - susisteminti žinias, todėl jai būdingas santykinai pastovus pobūdis. Moksluose klasifikacijos reiškiamos lentelėmis, diagramomis, schemomis, sąrašais, katalogais. Pavyzdžiui, automobilių klasifikaciją galima pavaizduoti tokia schema:
16 brėž.
Pasitelkus dar kitus klasifikacinius požymius (klasifikacinio skirstymo pagrindus), išskiriami lengvųjų ir krovininių automobilių bei autobusų įvairūs poklasiai. Kadangi klasifikacija yra paskira klasių skirstymo forma, tai jai tinka visos klasių skirstymo taisyklės. Skiriamos kelios klasifikacijų rūšys: Pagalbinė klasifikacija - sudaroma siekiant lengviausiai surasti objektus tarp kitų objektų. Pavardžių suskirstymas alfabeto tvarka lankomumo žurnale, atlyginimo lape yra pagalbinė klasifikacija. Čia klasifikacijos pagrindas - neesminis požymis. Pavyzdžiui, jei sąraše pirmasis yra Alionis, tai šitai dar nieko nesako apie jo, kaip asmens,
savybes. Anksčiau bibliotekose knygos buvo klasifikuojamos pagal formatą: mažiausio formato knygos atsidurdavo skyriuje A, didesnio - skyriuje B, dar didesnio - skyriuje C ir 1.1. Knygos formatas neesminis knygos požymis. Natūralioji klasifikacija - tai objektų skirstymas j klases, remiantis esminiais jų požymiais. Augalų sistematika botanikoje, gyvūnų klasifikacija zoologijoje, periodinė elementų sistema chemijoje, genealoginė ir morfologinė kalbų klasifikacijos - tai natūraliosios klasifikacijos. Natūralioji yra ir baudžiamajame kodekse pateikiama nusikaltimų klasifikacija. Kiekviena nusikaltimų rūšis turi pastovią tiksliai apibrėžtą vietą bendroje nusikaltimų klasifikacijoje. Informatikoje (t. y. moksle, tiriančiame mokslinės informacijos savybes, jos kūrimo, pertvarkymo, perteikimo ir panaudojimo dėsningumus) vartojamos tokios klasifikacijos: Alfabetinė klasifikacija - sudaroma pagal raidžių seką tame ar kitame alfabete, pvz., abėcėlinis knygų katalogas. Dešimtainė klasifikacija - kai visi klasifikuojami objektai skirstomi j 10 klasių, kurių kiekviena skirstoma j ne daugiau kaip 10 poklasių. Linijinė klasifikacija - klasifikuojamų objektų išdėstymas hierarchine tvarka: nuo aukštesnių klasių palaipsniui prie žemesnių klasių. Dalykinė klasifikacija - medžiagos išdėstymas pagal tiriamųjų objektų pobūdį. Kadangi tikrovė labai sudėtinga, tai kartais klasifikacija tegali pateikti apytikrį, neišsamų vaizdą. Gilėjant pažinimui, mokslinės klasifikacijos darosi išsamesnės. Klasifikacija - svarbi mokslinio tyrimo priemonė, susisteminanti žinias apie tikrovę, padedanti nustatyti objektų tarpusavio ryšius, surasti dėsningumus tarp objektų. Pagaliau klasifikacija padeda objektus geriau įsiminti. Svarbus klasifikacijų vaidmuo mūsų laikais, kai moksliniai ir ekonominiai rodikliai labai priklauso nuo gerai sutvarkytos informacijos. Steigiamos informacinės tarnybos, kurios apdoroja, klasifikuoja naują medžiagą.
Pratimai 1. Ar tiesa, kad: a) sudėję klases „saulėtos dienos" ir „vėjuotos dienos", gausime klasę „dienos, kurios yra ir saulėtos, ir vėjuotos"; b) šias klases sudauginę, gausime klasę „visos saulėtos ir vėjuotos dienos"? 2. Ar taisyklingai skirstoma: a) Pavasaris būna ankstyvas ir vėlyvas; b) Pietus sudarė trys patiekalai: daržovių sriuba, bifšteksas, obuolių kompotas. 3. Išspręskite X I X a. anglų logiko J. Venno uždavinį. Finansų draugijos valdybos nariai yra arba tik obligacijų savininkai, arba tik akcijų savininkai. Visi obligacijų savininkai yra valdybos nariai. Nurodykite visas klases, kurias galima sudaryti remiantis pateikta sąlyga.
5. Klasių teorijos dėsniai Pateiksime kai kuriuos svarbesnius klasių teorijos dėsnius. Dėsnį A c 7 skaitome: kiekviena klasė yra universaliosios klasės poklasis. Pavyzdžiui, klasė „ministerijos" yra universaliosios klasės „valdymo įstaigos" poklasis. Dėsnį χeO
skaitome: joks objektas nėra nulinės klasės elementas. Nulinę klasę apibrėžėme kaip klasę, neturinčią elementų. Vadinasi, jei egzistuoja koks nors dalykas x, tai jis negali priklausyti jokiai nulinei klasei.
Dėsnį ( A c S ) - [ V x ( х е А ^ х е В)] skaitome: išraiška „Masė A įskiriama į klasę Bu ekvivalenti išraiškai „Kiekvienas objektas, jei jis yra klasės A elementas, tai jis yra ir klasės B elementas". Šį dėsnį jau žinome - tai simbolinis subordinacijos santykio užrašymas. Iš tiesų, kai teigiama, kad papeikimas yra bausmė, tai šis teiginys reiškia: kiekvieną x, jei jį priskiriame klasei „papeikimas", tai jį priskiriame klasei „bausmė". Visi teiginių logikos dėsniai galioja ir klasių teorijoje. Klasių teorijoje jie pasireiškia specifiškai, kaip sakoma, teiginių logika interpretuojama klasių teorijoje. Masių teorijos dėsniai išvedami iš teiginių logikos dėsnių keliais būdais. Pirmas būdas - tai teiginių logikos kintamųjų p, q, r pakeitimas klasių teorijos išraiškomis xeA,
xe B, xe C.
Prieštaravimo dėsnyje p · p pakeitę p išraiška xeA, gauname prieštaravimo dėsnį klasių teorijoje:
VxxeA · xeA. Skaitome: netiesa, kad kiekvienas objektas χ yra klasės A elementas ir nėra klasės A elementas. Nėra tokių objektų, kurie būtų klasės A elementai ir kartu nebūtų jos elementai. Pavyzdžiui, nėra tokio dokumento, kuris būtų aukštojo mokslo baigimo diplomas ir kartu nebūtų aukštojo mokslo baigimo diplomas. Tokie „dokumentai" tegali būti vaizduotės padarinys, ir jie sudaro nulinę klasę. Negalimo trečiojo dėsnis pVp klasių teorijoje reiškiamas taip: V x (xeA VxeA). Skaitome: kiekvienas objektas χ yra klasės A elementas arba nėra jos elementas.
Kiekvienas dokumentas yra aukštojo mokslo baigimo diplomas arba nėra aukštojo mokslo baigimo diplomas. Iš teiginių logikos dėsnių klasių teorijos dėsniai išvedami kitu būdu, remiantis klasių teorijos veiksmų atitikimu teiginių logikos operacijas. Wasiu daugyba atitinka konjunkciją, klasių sudėtis - disjunkciją, ir 1.1. Atitikimą tarp klasių teorijos ir teiginių logikos rodo ši lentelė: teiginių logika
klasių teorija
P
A
P 'Q p\Jq
ADB A\J B AczB A=B
p~q
Teiginių logikos implikacijos pereinamumo dėsnį [(p—>q) · • (q->r)]^>(p—>r) paversime klasių teorijos dėsniu. Tuo tikslu teiginius p, q, r pakeisime klasėmis A1 B1 C, skliaustuose esančią implikaciją pakeisime klasių įskyrimo ženklu, o tarp skliaustų esančią konjunkciją ir implikaciją paliksime. Gauname: [И c B) • (B c С)]—»(Д c C). Skaitome: jei klasė A įskiriama į klasę B ir klasė B įskiriama į klasę C, tai klasė A įskiriama į klasę C. Klasė „dramos teatro aktoriai" įskiriama į klasę „aktoriai", o klasė „aktoriai" įskiriama į klasę „menininkai atlikėjai". Vadinasi, klasė „dramos teatro aktoriai" įskiriama į klasę „menininkai atlikėjai".
j^D
Pratimai
1. Pagal kokį klasių teorijos dėsnį sudarytas teiginys „Centas - ne nulis"? 2. Pateikiamus teiginius užrašykite klasių teorijos simboliais ir nustatykite gautų išraiškų atitikmenį teiginių logikos dėsniams:
a) Jei prūsai buvo baltų gentys, tai nebaltų gentys nebuvo prūsai; b) Degtinė - alkoholinis gėrimas. Degtinė - sveikatai kenksmingas gėrimas. Vadinasi, degtinė - alkoholinis ir sveikatai kenksmingas gėrimas.
6. Sąvokos, jų sudarymas Ligi šiol logines klases analizavome apimties požiūriu, būtent: kiek elementų sudaro klasę, kaip klasę sudaro poklasiai, kokie santykiai gali būti tarp klasių ir kt. Tačiau loginę klasę galima nagrinėti ir turinio požiūriu, aiškinant klasę sudarančių objektų požymius. Tokiu atveju vietoj termino klasė vartojamas terminas sąvoka. Sąvoka yra mąstymo forma, išreiškianti esminius ir bendruosius objektų požymius. Esminiais objekto požymiais vadinama tokia grupė požymių, kurių kiekvienas skyrium objektui būtinas, o visi kartu yra pakankami, kad jų dėka tam tikrą objektą būtų galima atskirti nuo jam gretimų objektų. Neesminiais objekto požymiais laikomi tokie požymiai, kuriuos objektas gali turėti arba neturėti, tačiau, jų neturėdamas, objektas nesiliauja buvęs tuo, kuo jis yra. Tarp esminių ir neesminių požymių nėra griežtos ribos. Vienu požiūriu požymiai gali būti esminiai, o kitu požiūriu tie patys požymiai gali būti neesminiai. Tai, kad koks nors asmuo rašo kaire ranka, yra neesminis jo požymis. Tačiau įtarus jį parašo suklastojimu, tiriant jo braižą, grafologijos ekspertui minėtas požymis jau darosi esminis. Bendrieji požymiai būdingi visiems tam tikros klasės objektams. Kokia nors objektų grupė ir sudaro klasę todėl, kad jiems visiems būdingi tam tikri bendri požymiai. Esminiai ir bendrieji požymiai sudaro sąvokos turinį. Sąvokų struktūra išreiškiama predikatų logikos priemonėmis. Sąvokai būdinga propozicinės funkcijos struktūra:
F (χ) - struktura sąvokų, išreiškiančių savybes; R (χ, у ...) - struktūra sąvokų, išreiškiančių santykius. Propozicinės funkcijos struktūra sąvokoms būdinga dėl to, kad, būdamos predikatais, sąvokos atlieka funkcijų vaidmenį. Paimkime sąvoką „ežeras". Si sąvoka žymi ne daugelį ežerų, bet neapibrėžtą ežerą, kurį nors klasės „ežerai" elementą. Taigi „ežeras" tai toks χ, kuris yra klasės „ežerai" elementas. Koks nors objektas χ gali būti pavadintas ežeru tik tada, kai teiginys „x yra ežeras" teisingas. Ši išraiška nustato atitikimą tarp objektų, kuriems ji gali būti taikoma, ir teisingumo bei klaidingumo. Antai sąvoka „ežeras" žymi Aisetą, nes teiginys „Aisetas yra ežeras" - teisingas. Kai sąvokos, išreiškiančios savybes ir santykius, priskiriamos objektams kaip predikatai, tada ir sudaromi teisingi arba klaidingi teiginiai. Tad sąvokos - ne kokie nors statiški pasaulio objektų atvaizdai. Jas mes nuolat lyginame su tikrove. Sąvokos dalyvauja sudarant teiginius, kuriuos nuolat tikriname, vertiname teisingumo požiūriu. Sąvokos sudaromos abstrakcijos procese. Abstrakcijos procesas tai atsyjimas mintyse nuo objektų kai kurių požymių ir kariu mus dominančią požymių išskyrimas. Kadangi sąvokose mąstomi esminiai ir bendrieji objektų požymiai, tai nuo neesminių bei atsitiktinių tenka atsyti. Sąvokoje „žmogus" mąstomi ne lietuviui ar estui būdingi požymiai, o tik tie, kurie būdingi bet kuriam žmogui, t. y. žmogui apskritai, būtent gebėjimas kurti vertybes, sąmoninga veikla ir kt. Skiriamos kelios abstrakcijų rūšys. Tapatinimo abstrakcija yra atsyjimas nuo objektų nepanašių, besiskiriančių požymių ir kartu vienodų, tapačių požymių išskyrimas. Šioje abstrakcijoje nustatoma, kad objektai turi bendrų požymių, vadinasi, kai kuriais požymiais jie tapatūs. Dėl to ir galima sukurti sąvoką tokių objektų, kurie turės dalį vienodų, tapačių požymių. O nuo tų požymių, kuriais objektai skiriasi, atsyjama, kitaip tariant, abstrahuojamasi. Antai yra nemaža žmonių, kurie kairiąja ranka
atlieka darbus, kitų žmonių atliekamus dešiniąja ranka. Išskyrus šj požymį, sudaroma sąvoka „kairiarankiai". Izoliuojanti abstrakcija - tai požymio atskyrimas nuo objekto ir kitų to objekto požymių. Egzistuoja balti, tvirti daiktai. Šiuos požymius atskyrę nuo daiktų ir kitų daiktų požymių, sudarome sąvokas „baltumas", „tvirtumas". Matydami verdant vandenį, sudarome sąvoką „virimas". Atskira abstrakcijos rūšis yra idealizacija. Jos dėka mąstyme sukuriami objektai, kurių negalima sukurti patyrimu. Jie vadinami idealizuotais objektais. Antai geometrija vaizduoja tobulas figūras - tieses, apskritimus, trikampius ir kt. Tačiau realioje tikrovėje tokių tobulų figūrų nėra, kiekvienas realus kvadratas šiek tiek skirsis nuo to kvadrato, kurį vaizduoja geometrija. Neįmanoma nubrėžti tokios tobulos tiesės, kuri mąstoma geometrijoje, kiekviena realiai brėžiama tiesė visada yra šiek tiek kreivė. Geometrinės figūros - tai realioje tikrovėje egzistuojančių figūrų kraštutinis, ribinis atvejis. Panašiai idealizuotas objektas yra sąvoka „aktuali begalybė". Aktuali begalybė - tai begalinė visuma, kurios kūrimas užbaigtas ir kurios visi elementai pateikiami iš karto. Pavyzdžiui, geometrinė figūra gali būti analizuojama kaip begalinė taškų visuma (aibė), laiko tarpas - kaip begalinė momentų visuma, galima kalbėti apie visą natūrinių skaičių seką. Betgi aktualios begalybės sąvoka yra aiškiai idealizuoto pobūdžio: iš principo niekada ir jokiomis priemonėmis neįmanoma sukurti begalybės objektų, atlikti begalybės veiksmų. Šioje sąvokoje begalybė laikoma aktualia duota, baigtine. Idealizuoti objektai kuriami taip: 1) tolydžiai keičiamos sąlygos, kuriomis egzistuoja tiriamas objektas; 2) dėl to tam tikros tiriamo objekto savybės taip pat tolydžiai kinta; 3) tarę, kad sąlygų poveikis tiriamajam objektui lygus nuliui, sukuriame mąstyme tam tikrą idealizuotą objektą. Antai žinome, kad kuo mažesnė trintis judančio kūno kelyje, tuo ilgiau jis judės. Tarę, kad judančio kūno trintis visiškai neveikia, sukursime mąstyme idealizuotą objektą - kūną, kuris, išjudintas iš vietos, judėtų be galo. Šitaip sukuriama sąvoka „inercija", t. y. kū-
no savybė išsaugoti tiesiaeigj tolydų judėjimą, kai išorinių poveikių nėra. Mokslinis pažinimas be idealizacijos neįmanomas. Sąvokų apibrėžtumas ir tikslumas visuomet susijęs su tikrovės „sugrubinimu". ICita vertus, akivaizdi ir idealizacijos nauda: vartojant idealizuotus objektus, galima juos tiksliai apskaičiuoti ir apskaičiavimus perkelti į praktiką - pritaikyti inžinerinėse techninėse konstrukcijose bei kitose gamybos srityse. Nemaža idealizacijų yra moksluose, tiriančiuose privalėjimus, tai, kas turėtų būti. Juose formuluojamos idealios taisyklės: asmuo privalo dorai gyventi; kiekvienas pilietis privalo laikytis įstatymų; nė vienas nusikaltimas neturi likti neišaiškintas; neturi būti nubaustas nė vienas nekaltas žmogus ir kt. Moksle skiriami įvairūs sąvokų abstrakcijos lygmenys. Vienos sąvokos esti abstrakcijų abstrakcijos, aukštesnio lygmens abstrakcijos. Antai, kuriant nervų sistemos ir psichinės veiklos kibernetinius modelius, buvo sukurtos tokios sąvokos, kaip „formalus neuronas", „koduojantis mechanizmas" ir kt.
7. Sąvokų apibrėžimas
Sąvokos apibrėžimo
samprata
Sąvokos turinį atskleidžia loginis veiksmas, vadinamas sąvokos apibrėžimu. Dar kitaip sąvokos apibrėžimas vadinamas definicija (lotynų k. žodis definitio reiškia „apibrėžimas"). Apibrėžimas yra loginis veiksmas, kuriuo: a) nustatomi kriterijai tiriamajam objektui atskirti nuo kitų objektų, nurodant jo specifiką; b) nustatoma vartojamos arba įvedamos kalbinės išraiškos reikšmė. Apibrėžime nurodoma, kaip objektą išskirti iš kitų objektų tarpo, kaip jį naudoti, kaip konstruoti ir pan. Kadangi mokslinio tyrimo rezultatai reiškiami sąvokomis, tai apibrėžimą galima aiškinti kaip veiksmą, glaustai išreiškiantį sąvokų turinį. Pateiktoji apibrėžimo samprata - ne vienintelė. Kokias proce-
dūras laikyti apibrėžiamosiomis, priklauso nuo mokslo pobūdžio, tyrimo tikslų. Dažniausiai apibrėžimas suprantamas taip: Apibrėžimas yra veiksmas, taip atskleidžiantis esminius objekto požymius, kad apibrėžiamasis objektas atskiriamas nuo gretimų objektų. Ši apibrėžimo samprata kelia du tikslus: 1. Atskleisti esminius apibrėžiamojo objekto požymius. 2. Apibrėžiamąjį objektą atskirti nuo visų gretimų objektų. Pasakę, kad paminklas yra meno kūrinys, skirtas įamžinti asmenis arba įvykius, nurodome esminius paminklo požymius ir tuo pačiu atskiriame paminklą nuo tų meno kūrinių, kurie nėra paminklai. Vadinasi, esminius objekto požymius reikia nurodyti ne bet kaip, o taip, kad, juos nurodę, apibrėžiamąjį objektą atskirtume nuo visų gretimų objektų. Tačiau formalizuotose logikos ir matematikos teorijose objektų atskyrimas pagal jų esminius ir neesminius požymius neturi prasmės, nes šiose teorijose vartojami objektai, kuriuose esmė jau atskirta nuo neesminių požymių. Kiekvienas mokslas formuluoja savųjų sąvokų apibrėžimus, tačiau visi mokslai naudojasi logine apibrėžimo teorija, loginėmis sąvokų apibrėžimo priemonėmis. Apibrėžimą sudaro trys dalys: 1. Apibrėžiamoji išraiška - tai sąvoka, kuri apibrėžiama. 2. Apibrėžiančioji išraiška - sąvokos, kuriomis apibrėžiama. 3. Jungiančioji išraiška - ji nustato ryšį tarp apibrėžiamosios ir apibrėžiančiosios sąvokų. Jungiančioji išraiška reiškiama žodžiais „yra", „reiškia", „žymi", „vadinama", „tas pat, kas" ir kt. Apibrėžiamoji Loginė klasė
išraiška
Jungiančioji yra
išraiška
Apibrėžiančioji
išraiška
visuma objektų, turinčių bendrus požymius.
Vyriausybe
vadinama
aukščiausioji valstybės vykdomoji valdžia.
Kartais apibrėžiamoji išraiška apima ne tik apibrėžiamą sąvoką, bet dar ir kitas sąvokas, apibūdinančias kontekstą, kuriame apibrėžiamoji sąvoka sutinkama. Pavyzdžiui, sąvoka „neaprėžtai didėjantis dydis" apibrėžiama taip: dydis χ nagrinėjamajame procese vadinamas neaprėžtai didėjančiu, jei, kad ir kokį didelį teigiamą skaičių A bepaimtume, tame procese ateis toks momentas, po kurio jau visuomet x>A. Mokslinėje literatūroje, kai norima parodyti, jog objektas apibrėžiamas, kartais vartojama speciali išraiškos priemonė. Tai išraiška =Df, kur Df yra žodžio definitio santrumpa, pvz.: Opera =Df dainuojamas vaidinimas pritariant orkestrui.
Apibrėžimų
rūšys
Būdų sąvokoms apibrėžti yra nemažai. Kartais sąvokos nepavyksta apibrėžti dėl to, kad vartojamas ne tas apibrėžimo būdas. Aptarsime kelias labiausiai paplitusias apibrėžimų rūšis. Apibrėžimas gimine ir rūšiniu skirtumu. Tai viena labiausiai paplitusių apibrėžimo rūšių. Šitaip šią apibrėžimo rūšį pavadino dar senovės logikai. Giminėmis jie vadino klases, o rūšimis - poklasius. Vartojant šiuolaikinę terminiją, apibrėžimą gimine ir rūšiniu skirtumu galėtume vadinti apibrėžimu klase ir skirtumu tarp poklasių. Tačiau iš pagarbos tradicijai tebevartojamas senasis šios apibrėžimo rūšies pavadinimas. Tarkime, kad reikia apibrėžti, koks muzikos ansamblis vadinamas kvartetu. Tuo tikslu sąvoką „kvartetas" laikome poklasiu (rūšimi) ir ieškome klasės (giminės), į kurią kvartetą būtų galima įskirti. Tokia klasė yra „muzikos ansamblis". Tad kvartetas yra muzikos ansamblis. Tačiau muzikos ansamblių yra pačių įvairiausių, dėl to reikia nurodyti, kuo kvartetas skiriasi nuo visų kitų muzikos ansamblių - nuo kvinteto, okteto, choro ir pan. Šis nurodymas ir bus vadinamasis rūšinis skirtumas - kvartetas nuo kitų muzikos ansamblių skiriasi tuo, kad jį sudaro keturi atlikėjai. Tačiau sąvoka „kvar-
tetas" turi dar ir kitą prasmę - kvartetu vadinamas ir tam tikras muzikos kūrinys. Muzikos kūrinių yra įvairių, todėl reikia nurodyti, kuo kvartetas skiriasi nuo kitų muzikos kūrinių: kvartetas parašytas keturių atlikėjų ansambliui, tai kūrinys, parašytas keturiems balsams arba instrumentams. Išsamus sąvokos „kvartetas" apibrėžimas šis: kvartetas yra keturių atlikėjų muzikos ansamblis arba muzikos kūrinys šiam ansambliui. Panagrinėkime logikos apibrėžimą: logika yra mokslas apie samprotavimo būdą. Šiame apibrėžime logika laikoma poklasiu (rūšimi) ir įskiriama į klasę (giminę) „mokslas". Tad logika yra mokslas. Tačiau mokslų yra daug, todėl reikia nurodyti, kuo logika skiriasi nuo kitų mokslų. Logika tiria samprotavimo būdą, kuris yra jos rūšinis skirtumas. Ostensinis apibrėžimas (lotynų k. ostendere - „parodyti"). Apibrėžiamoji sąvoka visuomet esti išreikšta žodžiu, terminu. Tuo tarpu apibrėžiančioj i dalis gali būti tiek žodis, tiek ir realus objektas. Ostensinis apibrėžimas yra žodžio reikšmės nustatymas, betarpiškai nurodant objektą, kurį žodis žymi. Šie apibrėžimai vartojami pradiniu kalbos mokymosi laikotarpiu. Pavyzdžiui, vaikas žodžio „kėdė" reikšmę įsimena suaugusiesiems tariant šį žodį ir parodant objektą, kurį jis žymi. Ostensiniais apibrėžimais tenka naudotis mokantis svetimų kalbų, ypač patekus į aplinką, kurioje mūsų gimtoji kalba nesuprantama. Nors ostensiniai apibrėžimai teikia informaciją tik apie apibrėžiamosios sąvokos apimtį, tačiau jie svarbūs pažinimui - jų pagrindu vyksta tas pradinis sąvokų kaupimas, be kurio pažinimas būtų neįmanomas. Kita vertus, moksluose pasitaiko sąvokų, kurias apibrėžti tegalima egzempliariškai, t. y. nurodant objektą, kuris sąvokoje mąstomas. Nominaliniai ir realiniai apibrėžimai. Visi apibrėžimai skirstomi į nominalinius ir realinius. Nominaliniu apibrėžimu nustatoma vartojamos arba įvedamos kalbinės išraiškos reikšmė. Nominalinių apibrėžimų struktūra tokia:
terminu „..." vadinama... žodis „..." reiškia... ženklas „..." žymi... ir pan. Pavyzdžiui, vietoj aprašymo „sudėtinis teiginys, sudarytas iš kelių paprastų teiginių, sujungtų jungtimi „arba", įvedamas terminas disjunkcija. Tada disjunkcijos apibrėžimas yra nominalinis: disjunkcija vadinamas sudėtinis teiginys, sudarytas iš kelių paprastų teiginių, sujungtų jungtimi „arba". Apibrėžimai „Ženklas c žymi klasių įskyrimo santykį", „Sinkopė yra terminas, žymintis trumpo balsio iškritimą viduriniame skiemenyje" taip pat nominaliniai. Moksluose dažnai tenka įvesti naujus terminus, simbolius, nustatyti jų reikšmę, todėl nominaliniai apibrėžimai plačiai vartojami. Realinis apibrėžimas atskleidžia ne vartojamos arba įvedamos kalbinės išraiškos reikšmę, bet paties apibrėžiamojo objekto specifinius požymius. Mūsų pateikti apibrėžimo gimine ir rūšiniu skirtumu pavyzdžiai yra realiniai apibrėžimai. Visus realinius apibrėžimus galima paversti nominaliniais. Realinį apibrėžimą „Logikos dėsnis yra visuomet teisingas teiginys" pavertę nominaliniu, gausime: „Terminu „logikos dėsnis" vadinamas visuomet teisingas teiginys". Nominalinius apibrėžimus galima pertvarkyti į realinius, pavyzdžiui: „Sinkopė yra trumpo balsio iškritimas viduriniame skiemenyje". Tačiau apibrėžiant tikrovėje neegzistuojančius objektus, vartojami nominaliniai apibrėžimai. Pavyzdžiui, velnio apibrėžimas yra nominalinis: žodžiu „velnias" žymima tikrovėje neegzistuojanti būtybė, tariamai sukelianti pasaulyje esantį blogį ir pan. Taip pat nominaliniai tegali būti santrumpų apibrėžimai, pavyzdžiui: raidės VUB reiškia žodžius „Vilniaus universiteto biblioteka". Operacinis apibrėžimas. Sis apibrėžimas dažniausiai vartojamas eksperimentiniuose moksluose, kur svarbią reikšmę turi matavimai.
Apibrėžimas, nurodantis veiksmus (operacijas), kuriuos objektas atitinka, vadinamas operaciniu apibrėžimu. Operacinį apibrėžimą sudaro trys dalys: Q1 - patikrinamoji operacija; Q2 - patikrinamosios operacijos rezultatas; Q3 - apibrėžiamoji sąvoka. Sudaroma ši operacinio apibrėžimo formulė:
Q1 (χ)->[
χ yra magnetas, o geležinių daiktų nepritraukia, nes jie, pavyzdžiui, jam per sunkūs, magnetas per silpnas. Tuo tarpu ekvivalencijos ženklas formulėje numato, kad visais atvejais, jei kūnas - magnetas, jis turi pritraukti geležinius daiktus. Todėl kartais reikia vartoti silpnesnę operacinio apibrėžimo formulę:
Q1 (X)-MQ2 (X)^Q 3 W]. Skaitome: jei objektui χ įvykdoma patikrinamoji operacija, tai jei yra tam tikras patikrinamosios operacijos rezultatas, objektas χ yra tas ir tas. Pateiktoji formulė įgalina apibrėžti sąvoką „magnetas": jei χ priartinsime prie geležinių daiktų, tai jei χ pritraukia geležinius daiktus, χ yra magnetas. Prisiminkime, kad implikacija teisinga ir tada, kai antecedentas klaidingas. Vadinasi, jei kūnas nepritraukia geležinių daiktų, nes jie jam per sunkūs, jis vis dėlto gali būti magnetas. Operaciniai apibrėžimai įgalina pašalinti (eliminuoti) nepagrįstai į mokslą įvestus objektus - neįmanoma nurodyti operacijų, kurių dėka tie objektai galėtų būti sukonstruoti. Objektas, „toliausiai nuo Žemės nutolęs dangaus kūnas", nepagrindžiamas, nes to nuotolio neįmanoma išmatuoti. Iš operacinių apibrėžimų analizės seka išvada, kad apibrėžiamoji sąvoka turi prasmę tik toje srityje, kurioje realizuojamos atitinkamos operacijos. Antai sąvoka „kūno ilgis" gali būti apibrėžiama aprašant veiksmus su matavimo vienetu, pavyzdžiui, metru. Tačiau toks ilgio supratimas negali būti priimtas matuojant astronominius nuotolius. Dažnai vartojamas genetinis apibrėžimas. Genetiniame apibrėžime objekto specifika nustatoma nurodant, kaip objektas atsiranda arba kaip yra sukuriamas. Daugelis objektų apibrėžiami nurodant jų atsiradimo, sukūrimo būdą, pagaminimo instrukciją. Pavyzdžiui, atmosferiniai krituliai yra skysto bei kieto pavidalo vanduo, krintantis iš debesų arba susidarantis betarpiškai žemės paviršiuje ir ant žemės objektų, kon-
densuojantis ore esantiems vandens garams. Genetinis ir šis apibrėžimas: karinis maršas yra organizuotas kariuomenės išrikiavimas kolonomis, turint tikslą pasiekti nustatytą rajoną. Indukcinis apibrėžimas. Tai genetinio apibrėžimo atmaina, paplitusi formalizuotose mokslo teorijose. Indukciniu vadinamas apibrėžimas, įgalinantis iš kai kurių pradinių teorijos objektų, pritaikius jiems tam tikras taisykles, sudaryti naujus teorijos objektus. Indukciniame apibrėžime skiriamos dvi dalys: a) vadinamieji tiesioginiai punktai - jais nustatoma tam tikra objektų sritis, nurodant, pagal kokias taisykles iš pradinių objektų sudaromi nauji objektai; b) netiesioginiais punktais nurodoma, kad jokių kitų objektų, išskyrus apibrėžiamus tiesioginiais punktais, nėra. Indukciniu būdu apibrėšime sąvoką „teiginių logikos formulė": a) paprastas teiginys p, q, r ... yra formulė; b) jei p formulė, tai p, p · q, pMq, p^q, p ~ q taip pat formulės; c) jokių kitų formulių, išskyrus nustatytas punktais a) ir b), nėra. Deskripcinis (aprašomasis) apibrėžimas įgalina apibrėžti individualius objektus. Deskripcinis - tai apibrėžimas, pavartojant jota-operatorių. Jota-operatorius reiškiamas išraiška г χ (kur г yra apversta graikiškoji raidė ι - jota), kuri skaitoma: „tas x". Visas deskripcijos pavidalas: \xQ (x). Skaitome: tas x, kuris turi predikatą Q. Šia deskripcija galima apibrėžti individualius objektus, pavyzdžiui: Vilnius yra tas miestas, kuris yra Lietuvos sostinė. Wilhelmas Wundtas yra tas mokslininkas, kuris įkūrė pirmąją pasaulyje eksperimentinės psichologijos laboratoriją. χ yra tas asmuo, kuris šioje byloje buvo išteisintas.
Deskripciniuose apibrėžimuose iš anksto numatoma, kad deskripciją atitinka vienintelis objektas. Taigi, kad trečiasis iš pateiktųjų apibrėžimų būtų teisingas, privaloma, jog nurodytoje byloje būtų išteisintas vienintelis asmuo. Tačiau ar galima taikyti deskripcinį apibrėžimą objektams, kurių egzistavimas neįrodytas, ir deskripciniais apibrėžimais įvesti juos į mokslą? Objekto, kurio egzistavimas neįrodytas, deskripciją leistina vartoti konstruktyvia prasme, t. y. nurodant efektyvų būdą objektui sukurti. Tad jei objektas neegzistuoja, bet yra efektyvių priemonių jam sukurti, tai jį galima deskripciniu apibrėžimu įvesti į mokslą. Sakysime, numatytos pastatyti įmonės šiuo metu dar nėra. Tačiau numatyta priemonių įmonei sukurti - skiriama finansinių lėšų, darbo jėgos, statybinių medžiagų ir kt. Dėl to objekto (įmonės) deskripciją figūruoja teisėtai. Objektus, kurių egzistavimas neįrodytas, deskripciniais apibrėžimais galima įvesti į mokslą ir tuo atveju, kai įrodoma, jog prielaida, kad toks objektas egzistuoja, nesukelia prieštaravimų. Žinoma, tokio objekto pobūdis - hipotetinis. Taip pat tokius objektus galima įvesti vadinamąja Hilberto prasme* . Pasak Hilberto, objektus, kurių egzistavimas neįrodytas, į teoriją galima įvesti hipotetiškai, pavartojus epsilon-operatorių ε (epsilon - graikiškosios raidės ε pavadinimas). Sis operatorius reiškia: „jei toks objektas egzistuoja". Šitaip įvedant į teoriją objektus, nekyla nesusipratimų, nes vartojant objektą, kurio egzistavimas neįrodytas, visuomet turima galvoje išlyga „jei toks objektas egzistuoja". Jei objekto, kurio egzistavimas neįrodytas, įvedimas į teoriją sukelia prieštaravimą, tai tas rodo, kad toks objektas neegzistuoja. Jei į biologijos mokslą įvesime objektą „gyvybinė jėga" ta prasme, kaip jis suprantamas vitalizme (gyvybinė jėga - nematerialus pradas, nulemiantis gyvybines funkcijas), tai biologijos moksle atsiras daugybė prieštaravimų, jis neatitiks faktų, ims prieštarauti kitiems * D. Hilbertas (1862-1943) - vokiečių matematikas ir logikas.
mokslams. Visa tai įtikina, kad objektas „gyvybinė jėga" neegzistuoja. Hilbertas nustatė vadinamąją ε-teoremą (epsilon-teoremą): jei, įrodydami kokią nors teoremą, naudojamės objektu, įvestu ε-simboliu, ir jei šiam įrodymui galima surasti kitą įrodymą, kuriame ε-simbolis nefigūruoja, tai tas reiškia, kad objektas, įvestas ε-simboliu, yra teisėtas ir juo galima naudotis.
Apibrėžimo
požymiai
Svarbiausiais apibrėžimo požymiais laikytina: kūrybiškumas, konstruktyvumas, teisingumas. Kūrybiškumas. Kūrybinis apibrėžimo pobūdis reiškiasi įvairiai: a) įvestas į teoriją naujas apibrėžimas taip pertvarko pačią teoriją, kad joje pasidaro įrodoma ir paaiškinama tai, ko nebuvo galima įrodyti ir paaiškinti neįvedus apibrėžimo; b) įvedus į teoriją apibrėžimą, kai kurie teorijos teiginiai gali tapti klaidingi (ir jų reikia atsisakyti) būtent dėl to naujai įvesto apibrėžimo; c) įvedus apibrėžimus pakinta principai, kuriais teorija remiasi, kitaip tariant, pakinta teorijos bazė; d) įvesti apibrėžimai verčia kurti, konstruoti naujus teorijos objektus, pakinta pati tyrėjo veikla. Vadinasi, dėl kūrybinio apibrėžimų pobūdžio teorija iš esmės išplečiama. Vis dėlto kūrybiškumas būdingas ne visiems apibrėžimams. Konstniktyvumas. Apibrėžimas nekonstruktyvus tada, kai jame vartojamos negriežtos, netikslios sąvokos, kurias galima įvairiai aiškinti. Teisingumas. Teisingai apibrėžti teorijos sąvokas gali tik atitinkamos mokslo srities specialistas. Bet pažymėtina, kad teisingumo požymis daliai apibrėžimų nepriskirtinas. Nei teisingi, nei klaidingi yra tie nominaliniai apibrėžimai, kurie išreiškia susitarimus. Tarkime, kad atrastas objektas, išaiškintos jos savybės ir jam pavadinti parenkamas terminas: tą ir tą objektą žymėsime tuo ir tuo terminu.
Betgi termino parinkimas yra susitarimo dalykas - juk galima susitarti priimti ir kitą terminą objektui pavadinti.
Apibrėžimo
taisyklės
Kad sąvokų apibrėžimai būtų logiškai nepriekaištingi, reikia laikytis tam tikrų apibrėžimo taisyklių. 1. Pakeičiamu/no taisyklė: apibrėžiamąją ir apibrėžiančiąją išraiškas galima pakeisti vieną kita. Apibrėžiamąją išraišką pažymėję Dfd (lotynų k. definiendum - apibrėžiamasis), o apibrėžiančiąją išraišką - Dfn (lotynų k. definiens - apibrėžiantysis), pakeičiamumo taisyklę užrašome
Dfd = Dfn. Apibrėžime „Valia yra gebėjimas pasirinkti veiklos tikslą ir suaktyvinti vidines pastangas, būtinas jam įgyvendinti", sąvoka „valia" yra apibrėžiamoji (Dfd), o „gebėjimas pasirinkti veiklos tikslą ir suaktyvinti vidines pastangas, būtinas jam įgyvendinti" - apibrėžiančiosios sąvokos (Dfn). Abiejose apibrėžimo dalyse kalbama apie tą patį objektą - valią, vadinasi, tarp jų yra lygiareikšmiškumo santykis. Dėl to galima pasakyti: gebėjimas pasirinkti veiklos tikslą ir suaktyvinti vidines pastangas, būtinas jam įgyvendinti, yra valia (Dfn = Dfd). Nesilaikant nurodytos taisyklės galima padaryti dvi klaidas: a) Per platus apibrėžimas. Jei logiką apibrėžtume taip, kad ji yra mokslas apie mąstymą, tai toks apibrėžimas būtų per platus ir nenusakantis logikos specifikos. Juk mąstymą taip pat tiria psichologija, nervų sistemos fiziologija, filosofija ir kiti mokslai. b) Per siauras apibrėžimas. Jei logiką apibrėžtume taip, kad ji yra mokslas apie teiginius, tai toks apibrėžimas būtų per siauras. Logika tiria ne tik teiginius, bet ir predikatus, klases, įrodymus ir kt. 2. Vienareikšmiškumo taisyklė: vienos teorijosribosekiekvieną apibrėžiantįjį (Dfn) turi atitikti tik vienas apibrėžiamasis (Dfd). Bet kuri
apibrėžiančioji išraiška (Dfn) turi tikti tik vienintelei apibrėžiamajai išraiškai (Dfd). Kitaip tariant, sudarytu apibrėžimu galima apibrėžti tik vieną objektą. Kita vertus, tą pačią sąvoką galima apibrėžti įvairiai, t. y. apibrėžiamajai daliai (Dfd) galima sudaryti ne vieną, bet kelias apibrėžiančiąsias dalis (Dfn), pavyzdžiui: kvadratas yra stačiakampis lygiomis kraštinėmis; kvadratas yra rombas, kurio kampai lygūs; kvadratas yra lygiagretainis, kurio kraštinės lygios ir kampai statūs. Iš kelių teisingų apibrėžimų pasirenkamas tas, kurį patogiausia vartoti. 3. Apibrėžime neturi būti rato. Ratas apibrėžime - loginė klaida, dar kitaip vadinama ydinguoju ratu (circulus vitiosus). Rato klaida apibrėžime gali pasireikšti dvejopai: a) Apibrėžiamoji ir apibrėžiančioji sąvokos yra tos pačios. Jei apibrėžiamąją sąvoką pažymėsime raide A, tai ši klaida įgauna formą A apibrėžiama sąvoka A. Ši klaida padaryta apibrėžime „Tinginys - tai žmogus, kuris tingi". Toks apibrėžimas nelogiškas, nes tinginys apibrėžiamas tingėjimu, t. y. sąvoka, kurią reikia apibrėžti. Klaida „A apibrėžiama sąvoka A" vadinama tautologija, arba to paties objekto apibrėžimu juo pačiu (idem per idem). Tautologija yra šis deskripcinis apibrėžimas: Plungės ketvirtoji vidurinė mokykla yra ta mokykla Plungėje, kurios numeris keturi. Apibrėžiančiojoje išraiškoje gali būti sąvokų, savo turiniu giminingų apibrėžiamajai sąvokai, tačiau tos sąvokos turi būti apibrėžtos anksčiau; b) Kai objektas apibrėžiamas sąvoka, kuri pati tampa aiški tik apibrėžiamosios sąvokos dėka. Ši klaida įgauna formą: A apibrėžiama sąvoka S, o S apibrėžiama sąvoka A. Abu rato klaidos atvejai yra šie apibrėžimai: „Garbingas žmogus yra asmuo, kuriam būdingas garbingas elgesys" ir „Garbingas elgesys yra elgesys garbingo žmogaus".
Kai sąvoka A apibrėžiama sąvoka B, tai sąvoką B reikia apibrėžti ne sąvoka A, bet kuria nors kita sąvoka, pavyzdžiui, C. C savo ruožtu apibrėžiama sąvoka D ir 1.1. Tačiau žengimo į begalybę išvengiama, nes yra apibrėžimo ribos. Kiekvienoje teorijoje yra pradinės sąvokos, kurios toje teorijoje neapibrėžiamos, o jomis apibrėžiamos kitos teorijos sąvokos. Pradinės sąvokos gali būti aiškios intuityviai, patikrintos praktika, gali būti perimtos iš kitų teorijų, kuriose jos jau buvo apibrėžtos. Antai sąvokų „teiginys", „samprotavimas", „įrodymas" psichologija neapibrėžia - jos perimtos iš logikos ir logikoje buvo apibrėžtos. Tuo tarpu šios sąvokos figūruoja įvairių psichologijos sąvokų apibrėžimuose. 4. Apibrėžimas turi būti griežtas ir tikslus. Griežtumas reiškia, kad apibrėžimas turi atskleisti objekto specifiką, išryškindamas esminius objekto požymius; kad apibrėžimas turi įgalinti sėkmingai spręsti problemą; kad apibrėžime negali būti sąvokų, kurios pačios dar nėra apibrėžtos. Ši taisyklė reiškia, kad apibrėžimuose sąvokas reikia vartoti tikslia reikšme, kad neleistini vaizdingi palyginimai, metaforiški posakiai ir pan. Tokie pasakymai, kaip „Senatvė yra gyvenimo saulėlydis", „Patyrimas - didžiausias mokytojas" tėra vaizdingi palyginimai, o ne apibrėžimai. Pasakymas „Veterinaras yra gydytojas, kuriam pacientai niekad nepaduoda rankos" tėra šmaikštavimas. Londonas romane „Martynas Idenas" rašo, kad kritikai yra žmonės, kuriems nepavyko tapti rašytojais. Toks pasakymas nėra apibrėžimas. Tiesa, grožinės literatūros priemonių vartojimas gali pateikti ir išsamesnę, tikslesnę objekto sampratą. Rašytojas W. Thackeray žmones, vadinamus snobais, taip apibūdina: snobai yra žmonės, nuolankiai žvelgiantys aukštyn ir su panieka - žemyn. Čia literatūrinėmis priemonėmis nusakoma snobo esmė: jis lankstosi socialinės padėties atžvilgiu aukštesniems už jį, trokšta turėti tai, ką jie turi, niekina socialinės padėties atžvilgiu žemesnius. Kai kurie objektai apibrėžiami neigiamai - nurodant, kas objektui nebūdinga, pavyzdžiui: taškas (geometrijoje) yra tai, kas neturi dalių; panelė yra netekėjusi moteris. Tačiau neigiami apibrėžimai sudaro nedidelę apibrėžimų dalį. Ne tiek rūpi, kas objektui nebūdinga, kiek tai, kas jam būdinga.
Apibrėžimų
reikšmė
Moksle apibrėžimai itin svarbūs. Kiekvieno mokslo sąvokos apibrėžiamos siekiant suteikti sąvokoms tikslią reikšmę. Be to, apibrėžimai glaustai nurodo esminius objektų požymius. Apibrėžimų glaustumas, trumpumas įgalina juos lengvai įsiminti. Pasklaidę enciklopedijas ir dalykinius žodynus, matome, kad objekto aprašas pradedamas objekto apibrėžimu. Apibrėžimai svarbūs kuriant mokslinę terminiją. Sudarant terminą, būtina nustatyti sąvokos, kuriai pavadinti terminas sukuriamas, tikslią vietą tarp kitų sąvokų. O tai tegalima padaryti tiksliai fiksuojant sąvokos turinį, t. y. tiksliai sąvoką apibrėžiant. Terminų ydos dažnai atsiranda dėl to, kad sąvoka, kurią terminas žymi, buvo apibrėžta netiksliai. Apibrėžimai sugriežtina, patikslina sąvokas. Jie yra ilgų, sudėtingų aprašymų sutrumpinimo ir naujų terminų įvedimo priemonė, naujų tiesų gavimo priemonė. Pradinių teorijos sąvokų apibrėžimai žymiu mastu nulemia patį teorijos turinį. Antai euklidinėje geometrijoje remiamasi tokia lygiagretumo samprata, kad plokštumoje per tašką A, esantį už tiesės a, galima išvesti tik vieną tiesę, nekertančią tiesės a. Priėmus kitokią lygiagretumo sampratą (per tašką A galima išvesti kiek norima tiesių, nekertančių tiesės a), gaunama neeuklidinė geometrija. Tačiau apibrėžimas negali nurodyti visų esminių objekto požymių. Nurodomi tik tie esminiai objekto požymiai, kurie apibrėžiamąjį objektą skiria nuo gretimų objektų. Politinėje ekonomikoje prekė apibrėžiama taip: prekė yra darbo produktas, skirtas parduoti ir tenkinantis kurį nors žmogaus poreikį. Tačiau tai ne visi esminiai prekės požymiai. Prekė turi vertę, yra abstraktaus ir konkretaus darbo produktas ir kt. Tačiau visų esminių požymių apibrėžime neįmanoma nurodyti, nes tai būtų ne apibrėžimas, o aprašymas. Jis būtų ištęstas, užimtų daug vietos, tuo tarpu apibrėžimus patogu vartoti dėl jų trumpumo, glaustumo. Vadinasi, apibrėžimų trūkumas tas, kad jie negali atskleisti visų
esminių apibrėžiamojo objekto požymių. Visuomet reikia turėti galvoje šią silpnąją apibrėžimų pusę ir nereikia jų absoliutinti. Be to, nereikia stengtis apibrėžti paprasčiausių objektų, pavyzdžiui, buitinės paskirties daiktų, nes juos visi supranta vienodai. Kai objektą dėl jo sudėtingumo tiksliai apibrėžti sunku, reikia eiti kitu keliu: objekto specifika atskleidžiama analizuojant jo struktūrą, nustatant jo santykius su kitais objektais. Antai gana sunku pateikti intuicijos apibrėžimą. Tačiau intuicijos sampratą galima turėti išsiaiškinus paskiras intuicijos apraiškas: intuicija kaip gebėjimas sintetinti, kaip gebėjimas tiksliai įvertinti problemą, kaip išradingumas, įkvėpimas ir kt. Aprašymas, apibūdinimas, charakteristika, struktūros atskleidimas - tai būdai, pakeičiantys apibrėžimą.
Pratimai 1. Nustatykite apibrėžimų rūšis: a) Jei žodį pavartosime sakinyje, tai jei žodis nusako tariniu išreikšto veiksmo ar būvio priežastį, jis yra priežasties aplinkybė. b) Terminu „hedonizmas" vadinama etikos teorija, laikanti malonumą aukščiausiu gėriu, o malonumų siekimą - elgesio principu. 2. Ar logiški šie apibrėžimai: a) Galimybė yra tai, kas gali įvykti. b) Notaras yra asmuo, dirbantis valstybinėje įstaigoje notaru. c) Teiginys p sistemoje S teisingas, jei ir tik jei sistemoje ne-S jis klaidingas, o teiginys p sistemoje ne-S klaidingas, jei ir tik jei sistemoje Sjis teisingas. d) Astronomija yra mokslas apie Visatos materijos judėjimą?
V SKYRIUS
Daugiareikšmė logika 1. Daugiareikšmės logikos samprata Nagrinėtose logikos teorijose - teiginių logikoje, predikatų logikoje, loginių klasių teorijoje - laikomasi požiūrio, kad kiekvienas teiginys, sudarytas šiose teorijose, yra teisingas arba klaidingas. Logika, kurioje kiekvienas teiginys yra teisingas arba klaidingas, vadinama dvireikšme logika. Kyla klausimas, ar teiginiai gali nebūti nei teisingi, nei klaidingi, bet turėti kokias nors kitas reikšmes. Atsakymas į šį klausimą teigiamas: yra teiginių, kurie nėra nei teisingi, nei klaidingi. Daugelis ateities įvykius išreiškiančių teiginių nėra nei teisingi, nei klaidingi tuo metu, kada jie pasakomi. Teiginiai „Manau, kad sutiksiu gatvėje pažįstamą", „Rytoj lis", „Nors varžovai ir stiprūs, bet Lietuvos futbolininkai juos įveiks" nėra nei teisingi, nei klaidingi jų pasakymo metu. Pažįstamą galima sutikti, bet galima ir nesutikti; rytoj gali lyti, bet gali ir nelyti; mūsų futbolininkai gali varžovams ir pralaimėti. Panašūs ateities įvykius numatantys teiginiai teisingais arba klaidingais tampa tada, kai tai, kas jais pasakoma, įvyksta arba neįvyksta tikrovėje. Tačiau ne visi ateities įvykius numatantys teiginiai nėra nei teisingi, nei klaidingi. Jei ateities įvykį numatantis teiginys tiesiogiai seka iš mokslo dėsnio, tai jis teisingas ir jo pasakymo metu. Daug teiginių, kurie jų pasakymo metu nėra nei teisingi, nei klaidingi, būna nukreipti ir į praeitį. Tardymo organai, aiškindami įvykusį nusikaltimą, sudaro spėjimą apie nusikaltimo pobūdį. Šis spėjimas, kai jis sudarytas, dar nėra teisingas; jis kruopščiai tikrinamas ir tik po patikrinimo pasitvirtina arba nepasitvirtina. Panašių su praeitimi susijusių spėjimų gausu archeologijoje, istorijoje, filologijoje.
Vadinasi, spėjimus išreiškiantys teiginiai nėra nei teisingi, nei klaidingi, šie teiginiai jų pasakymo metu tėra tikėtini, neapibrėžti, galimi. Logika, kurioje teiginiai, be teisingumo ir klaidingumo reikšmių, įgauna ir kitas reikšmes (gali būti tikėtini, neapibrėžti, galimi ir pan.), vadinama daugiareikšme logika. Daugiareikšmė logika negriauna dvireikšmės logikos. Tie dėsningumai, kurie buvo nustatyti dvireikšmėje logikoje, išlieka ir daugiareikšmėje logikoje, nors ne visi. Daugiareikšmėje logikoje atsisakoma negalimo trečiojo dėsnio, jis čia negalioja. Negalimo trečiojo dėsnis teigia, kad tam tikroje sistemoje kiekvienas teiginys teisingas arba klaidingas, trečios galimybės nėra. Tuo tarpu daugiareikšmėje logikoje, be teisingumo ir klaidingumo, teiginiams priskiriamos ir kitos reikšmės. Vadinasi, negalimo trečiojo dėsnio daugiareikšmėje logikoje tenka atsisakyti (tiesa, ne visose daugiareikšmės logikos sistemose). Kita vertus, daugiareikšmėje logikoje atsiranda kai kurių naujų dėsningumų, kurių dvireikšmėje logikoje nebuvo. Bet, kartojame, daugiareikšmė logika negriauna dvireikšmės, ji yra dvireikšmės logikos apibendrinimas. Yra įvairių daugiareikšmės logikos sistemų, kuriose vartojamos trys, keturios, penkios ir daugiau reikšmių. Apskritai sakoma, kad daugiareikšmė logika yra n reikšmių logika.
^ta
Pratimai
Kurie teiginiai priklauso dvireikšmei ir kurie - daugiareikšmei logikai: 1. Šiandien šilta. 2. Ši žiema bus šilta. 3. Galimas daiktas, kad Ž e m ę yra aplankę ateiviai iš kitų planetų.
2. Trijų reikšmių logika Trijų reikšmių logika - paprasčiausia daugiareikšmės logikos sistema. Joje teiginys gali įgauti vieną iš trijų reikšmių - būti teisingas, būti klaidingas, įgauti kokią nors trečią reikšmę (būti tikėtinas, neapibrėžtas ir pan.). Sakysime, kad toji trečioji reikšmė mūsų sistemoje yra reikšmė „tikėtina", ir ją žymėsime skaičiumi 3. Išnagrinėsime, kaip trijų reikšmių logikoje apibrėžiamos pagrindinės teiginių logikos operacijos - neigimas, konjunkcija, disjunkcija, implikacija, ekvivalencija. Loginis neigimas trijų reikšmių logikoje apibrėžiamas šia matrica: P t k 3
P k t 3
Kai teiginys p teisingas, tai p klaidingas, o kai p klaidingas, tai p teisingas. Tai žinome iš dvireikšmės logikos. Paskutinė lentelės eilutė nurodo, kad jei teiginys turi trečią reikšmę, tai jo neigimas taip pat turi trečią reikšmę. Tarkime, kad kas nors sako: „Laimėsiu loterijoje automobilį". Šis jo teiginys turi trečią reikšmę, yra tikėtinas. Jei kas nors neigia šį teiginį, sakydamas „Nelaimėsite loterijoje automobilio", tai šis teiginys taip pat turi trečią reikšmę, tėra tikėtinas. Konjunkcija trijų reikšmių logikoje apibrėžiama šia matrica: P t t t k k k 3 3 3
q t k 3 t k 3 t k 3
p•q t k 3 k k k 3 k 3
Jau buvo nurodyta, kad daugiareikšmė logika yra dvireikšmės logikos apibendrinimas. Loginių jungčių taisyklės, galiojusios dvireikšmėje logikoje, galioja ir daugiareikšmėje, tame tarpe ir trijų reikšmių logikoje. Vadinasi, sudarant neigimo ir loginių jungčių teisingumo lenteles trijų reikšmių logikoje, reikia įtraukti ir šių veiksmų reikšmes dvireikšmėje logikoje. Iš pateiktos konjunkcijos teisingumo lentelės matome, kad jos pirma, antra, ketvirta ir penkta eilutės mums jau žinomos - tai konjunkcijos teisingumo sąlygos dvireikšmėje logikoje. Žinome, kad dvireikšmėje logikoje konjunkcija teisinga tik tada, kai teisingi visi jos nariai. Si konjunkcijos taisyklė galioja ir daugiareikšmėje logikoje. Panagrinėkime trečią eilutę: p teisingas, q tikėtinas, konjunkcija p · q tikėtina. Tarkime, kad turime loterijos bilietą (p teisingas) ir sakome, kad tikimės loterijoje ką nors laimėti (q tikėtinas). Tada visa konjunkcija „Turiu loterijos bilietą ir ką nors loterijoje laimėsiu" yra tikėtina. Ši konjunkcija negali būti klaidinga, nes žinome, kad konjunkcija klaidinga, jei bent vienas jos narys klaidingas. Tuo tarpu pateiktoje konjunkcijoje nėra nė vieno klaidingo nario. Šeštoje eilutėje p klaidingas, q tikėtinas, konjunkcija p · q klaidinga. Jei kas nors sako „Turiu loterijos bilietą ir ką nors loterijoje laimėsiu", o mes žinome, kad loterijos bilieto jis neturi (p klaidingas), tai jis nieko ir negali laimėti, jo pasakytas konjunktyvus teiginys klaidingas. Paskutinėje eilutėje p tikėtinas, q tikėtinas, konjunkcija p · q tikėtina. Tarkime, kad kas nors sako: „Nusipirksiu loterijos bilietą (p tikėtinas, nes kalbama apie ateitį) ir ką nors laimėsiu loterijoje (q tikėtinas)". Visa konjunkcija tikėtina. Ji negali būti teisinga, nes abu jos nariai ne teisingi, o tikėtini. Ji negali būti klaidinga, nes nėra nė vieno klaidingo nario. Septinta eilutė atitinka trečią eilutę (tik konjunkcijos nariai sukeisti vietomis), o aštunta eilutė atitinka šeštą. Disjunkcija trijų reikšmių logikoje apibrėžiama šia matrica:
P t t t k k k 3 3 3
Я t k 3 t k 3 t k 3
pMq t t t t k 3 t 3 3
Pirmą, antrą, ketvirtą ir penktą eilutes jau žinome - tai disjunkcijos teisingumo sąlygos dvireikšmėje logikoje. Dvireikšmėje logikoje disjunkcija klaidinga tik tada, kai klaidingi visi jos nariai. Jei bent vienas disjunkcijos narys teisingas, tai disjunkcija teisinga. Ši disjunkcijos taisyklė galioja ir trijų reikšmių logikoje, tai matyti iš pateiktos lentelės. Trečioje eilutėje p teisingas, q tikėtinas, disjunkcija pVq teisinga, nes vienas jos narys teisingas. Tas pat ir septintoje eilutėje. Šeštoje eilutėje p klaidingas, q tikėtinas, disjunkcija pVq tikėtina. Šiuo atveju disjunkcija negali būti klaidinga, nes vienas jos narys ne klaidingas, o tikėtinas. Tas pat ir aštuntoje eilutėje. Devintoje eilutėje p tikėtinas, q tikėtinas, disjunkcija pVq tikėtina. Kadangi nėra nė vieno teisingo nario, tai disjunkcija negali būti teisinga. Ji negali būti klaidinga, nes abu disjunkcijos nariai ne klaidingi, o tikėtini. Implikacija trijų reikšmių logikoje apibrėžiama šia matrica: P t t t k k k 3 3 3
я t k 3 t k 3 t k 3
P-^q t k 3 t t t t 3 t
Pirma, antra, ketvirta ir penkta eilutės - tai implikacijos teisingumo sąlygos dvireikšmėje logikoje. Likusios eilutės sudarytos taip pat remiantis implikacijos taisykle dvireikšmėje logikoje. Trečia eilutė: p teisingas, q tikėtinas, implikacija p—>q tikėtina. Dvireikšmėje logikoje implikacija klaidinga tik tuo atveju, kai iš teisingo antecedento seka klaidingas konsekventas. Si taisyklė galioja ir trijų reikšmių logikoje. Jei iš teisingo antecedento seka konsekventas, turintis trečią reikšmę (tikėtinas), tai visa implikacija turi trečią reikšmę (tikėtina). Orų prognozės - tai samprotavimai, atitinkantys lentelės trečią eilutę. Orų prognozės sudaromos remiantis teisingais duomenimis - pranešimais iš meteorologinių stočių apie esamą orų būklę ir kt. Tačiau, turėdami teisingus duomenis, darbuotojai iš jų tegali išvesti prognozę, kuri kartais ir nepasitvirtina. Taip yra dėl daugelio priežasčių: ne visi duomenys apie orus būna žinomi, pats orų kitimas priklauso nuo daugelio faktorių, tarp kurių gali taip pat būti dar tiksliai nenustatyti orų kitimo dėsningumai, ir kt. Šešta eilutė: p klaidingas, q turi trečią reikšmę (tikėtina), implikacija p—>qr teisinga. Šis atvejis remiasi dvireikšmės logikos dėsniu: „Iš klaidingo teiginio seka bet kuris teiginys". Jei dvireikšmėje logikoje iš klaidingo antecedento galima išvesti teisingą konsekventą, tai tuo labiau iš klaidingo antecedento galima išvesti tikėtiną konsekventą. Septinta eilutė: p turi trečią reikšmę (tikėtina), q teisingas, implikacija p—>q teisinga. Čia remiamasi dvireikšmės logikos taisykle, kad teisingą konsekventą galima išvesti ir iš klaidingo antecedento. Trijų reikšmių logikoje teisingas konsekventas seka iš tikėtino antecedento. Jei teisingą teiginį galima išvesti iš klaidingo teiginio, tai tuo labiau teisingą teiginį galima išvesti iš tikėtino teiginio. Aštunta eilutė: p turi trečią reikšmę (tikėtina), q klaidingas, implikacija p—>q turi trečią reikšmę (tikėtina). Šiuo atveju implikacijos negalima laikyti klaidinga, nes implikacija klaidinga tik tada, kai iš teisingo antecedento seka klaidingas konsekventas. Šiuo at-
veju klaidingas konsekventas seka ne iš teisingo, bet iš tikėtino antecedento, todėl ir implikacija tikėtina. Paskutinė eilutė nurodo, kad kai iš trečią reikšmę turinčio (tikėtino) p seka trečią reikšmę turintis (tikėtinas) q, implikacija P ^ q teisinga. Iš tiesų, jei iš tikėtino teiginio išvedame tikėtiną teiginį, tai toks samprotavimo būdas logiškas, teisingas. Implikacijos „Jei šiandien dirbsiu skaitykloje, tai tikriausiai sutiksiu pažįstamą A" antecedentas ir konsekventas tikėtini teiginiai, visa implikacija teisinga. Ekvivalencija trijų reikšmių logikoje apibrėžiama šia matrica: P t t t k k k 3 3 3
q t k 3 t k 3 t k 3
p~q t k 3 k t 3 3 3 t
Dvireikšmėje logikoje teiginys p ~ q teisingas tik tada, kai jį sudarantys teiginiai p ir q savo reikšmėmis vienodi - abu teisingi arba abu klaidingi. Ši taisyklė galioja ir trijų reikšmių logikoje. Matricos pirmoje, penktoje ir devintoje eilutėse abu teiginiai savo reikšmėmis vienodi. Pateiktas loginių jungčių teisingumo sąlygas trijų reikšmių logikoje sujungsime į vieną matricą. Be to, atskirsime jungčių teisingumo sąlygas dvireikšmėje logikoje, tuo išryškindami naujoves, kurias įneša trijų reikšmių logika.
P •οι Γ >E tO V OJ
-V
—
>
σι о^
"D j
t t k k t
^ω \
3 k 3 3
q t k t k
p•я t k k k
PVq
3 t 3 k 3
3 3 k k 3
t t t k
P—>9 t k
p~q t k
t t
k t
t
3
t 3
t t 3 t
3 3 3 3 t
3 3
Žinant loginių jungčių teisingumo sąlygas trijų reikšmių logikoje, lengva nustatyti, kurie dvireikšmės logikos dėsniai galioja ar negalioja trijų reikšmių logikoje. Įrodysime, kodėl negalimo trečiojo dėsnis trijų reikšmių logikoje negalioja. Išraiškai pVp sudarome matricą: P t k 3
P k t 3
PVp t t 3
Matome, kad išraiška pVp ne visuomet teisinga. Galima sakyti, kad trijų reikšmių logikoje galioja negalimo ketvirtojo dėsnis. Pagal šį dėsnį, teiginys „Jonas rytoj po pietų bus namuose" yra teisingas ar klaidingas arba nei teisingas, nei klaidingas, tad ketvirtos galimybės nėra. Trireikšmėje logikoje negalioja ir kai kurie kiti dvireikšmės logikos dėsniai, pavyzdžiui, antecedento teigimas, reiškiamas išraiška [(p—>q) · p]->qf. Šiai išraiškai sudarysime matricą:
P t t t k k k 3 3 3
q t k 3 t k 3 t k 3
t k 3 t t t t 3 t
(P^q) • P l(p—>ę) • pHq t t k t 3 t k t k t k t 3 t 3 3 3 t
Paskutiniame matricos stulpelyje yra trečioji reikšmė, vadinasi, ši išraiška nėra dėsnis trireikšmėje logikoje. Dėsnis daugiareikšmėje logikoje suprantamas taip pat kaip ir dvireikšmėje logikoje: dėsnis yra visuomet teisingas teiginys (išraiška).
Pratimai 1. Nustatykite teiginių teisingumo reikšmę: a) Į šį koncertą bilieto negausite. b) Įsigijau fotoaparatą ir tapsiu geru fotografu. c) Savo eilėraščius išsiųsiu „Metams" arba jaunimo žurnalui. d) Jei A liudys melagingai, jis turės už tai atsakyti. 2. Ar išraiška KpVq) • p]—>q yra trireikšmės logikos dėsnis?
3. J. tukasiewicziaus trijų reikšmių logikos sistema Pirmąją daugiareikšmės logikos sistemą sukūrė lenkų logikas J. Lukasiewiczius. Išdėstyta trireikšmė logika ir yra tokia sistema, tik Lukasiewiczius kitaip žymėjo teisingumo reikšmes. Jo sistemoje vartojamas skaitinis teisingumo reikšmių žymėjimas: teisingumas žymimas 1, klaidingumas - O, o trečioji reikšmė - 1/г. Jos išdėstomos
taip: 1, Vi, O, kur У2 yra kuri nors tarpinė reikšmė tarp kraštinių reikšmių - teisingumo ir klaidingumo. Toks žymėjimas įgalina apskaičiuoti teiginio skaitinę teisingumo reikšmę. Neigimas reiškiamas šia matrica: P 1 Vl 0
P 0 Vl 1
Neigimas apibrėžiamas taip: P = I-PPavyzdžiui, jei p = 1, tai p = 1 - 1 = 0; jei p = 2I51 taip = 1 - 2Z5=3Z5Loginių jungčių matricas sudarysime pavartodami naują matricų kūrimo būdą, kuris teisingumo reikšmes išdėsto glausčiau, kompaktiškiau. Konjunkcijos matrica: \ <7 p \
1
Vl
0
1
1
0
Vl
Vl
Vl Vi
0
0
0
0 0
Pirmame matricos stulpelyje žymimos teiginio p teisingumo reikšmės, o eilutėje virš horizontalaus brūkšnio - teiginio q teisingumo reikšmės. Konjunkcijos teisingumo sąlygos apibrėžiamos taip:
p · q= min (p, q). Tai reiškia, kad konjunkcijos teisingumo reikšmė lygi mažesniajai iš p ir q teisingumo reikšmių („min" yra lotynų k. žodžio minimus - „mažiausias" - santrumpa).
Panagrinėkime pirmą matricos eilutę: p = 1, q = 1, tada 1 · 1 = min (1, 1) = 1. p = 1, q = V2, tada I-Vz = min (1, V2) = V2. p = 1, q = O, tada 1 · O = min (1, 0) = 0.
Tarkime, kad p = 1/4, q = 3A. Tada VA · 3A = min {VA, 3A) = VA. Disjunkcijos matrica: \ Q P \ 1
Vi 0
1
Vi
1 1 1
1
0 1
V2 V2
0
Disjunkcijos teisingumo sąlygos apibrėžiamos taip:
pVq = max (p, q). Tai reiškia, kad disjunkcijos teisingumo reikšmė lygi didesniajai iš p ir q teisingumo reikšmių („max" yra lotynų k. žodžio maximus „didžiausias" - santrumpa). Panagrinėkime antrąją matricos eilutę: p = V2, q = 1, tada 1 AVI = max (½, 1) = 1.
p = V2, q = V2, tada V2W2 = max (½, Vi) = V2. p = V2, q = O, tada V2VO = max (½, 0) = 1/г.
Tarkime, kad p = 2/3, q = V3. Tada V3VV3 = max (%, V3) = Implikacijos matrica:
p\ 1 Уг 0
1
V2
0
1 1 1
V2 1 1
0 V2 1
Implikacijos teisingumo sąlygų apibrėžimas toks:
p-^q = min (1,1 - p + q). Tai reiškia, kad implikacijos teisingumo reikšmė lygi mažesniajai iš 1 ir 1 - p + q teisingumo reikšmių. Pvz., jei p = 3I1, q = 2I1, tai p^q = 3/7->2/7 = min (1, 1 - % + %) = = min (1, 4 / 7 + 2I1) = min (1, 6 I 1 ) = 6Ir Implikacijos teisingumo reikšmei apskaičiuoti galima pasinaudoti ir kitais apibrėžimais: P ^ q = 1, jei p < q , t. y. implikacija teisinga, jei p mažesnis už q arba lygus q. Tai akivaizdžiai rodo paskutinė matricos eilutė: kai p lygus O, o q lygus 1 arba 1/2, arba O, implikacija įgauna reikšmę 1 (teisinga).
p^q = 1 - p + q, jei p > q, t. y. implikacijos teisingumo reikšmė lygi 1 - p + q, kai p didesnis už q. Ekvivalencijos matrica: \Q P\ 1 1 /2 O
1
Vi
O
1 '/2 O
Vl
O '/2 1
1 '/2
Kadangi ekvivalencija yra implikacija abiem kryptimis, tai jos teisingumo sąlygos taip ir apibrėžiamos:
p ~ q = min [min (1,1 - p + q) · min (1, 1 - q + p)], t. y. pirmiausia nustatoma p-^q reikšmė, paskui >p, o galiausiai nustatoma šių abiejų implikacijų konjunkcijos teisingumo reikšmė.
Tarkime, kad p = V5, q = V5. Tada p ~ q = min [min (1, 1 -2Zs + + /5) · min (1, 1 - V5 + V5)] = min [min (1, 6/5) · min (1, V5)] = = min (1, %) = V5. 3
Matome, kad Lukasiewicziaus sistemoje išlieka tie patys loginių jungčių apibrėžimai, kurie priimti dvireikšmėje logikoje. Pratimai 1. Išraiškoje p—>(pVq) p = 2I5, q = V5. Kokia visos išraiškos teisingumo reikšmė? 2. Išraiškoje (p->q) · (p->r) p = 2Zy q = 1, r = V3. Kokia visos išraiškos teisingumo reikšmė? 4. Keturių reikšmių logika Keturių reikšmių logika kuriama matricą dauginimo metodu, kurio esmė tokia: dvireikšmės logikos matricą dauginant iš jos pačios, gaunama nauja matrica. Toji nauja matrica gaunama tokiu būdu. Teisingumą pažymėjus 1, o klaidingumą - O, padauginame reikšmę 1 iš 1 ir O, o reikšmę O - taip pat iš 1 ir O, šitaip sudarydami reikšmių 1 ir O sutvarkytas poras: 1 1,1
O 1,0
0,1
0,0
Šios poros ir bus naujos matricos elementai. Porą 1,1 sudaro du kartus pavartota teisingumo reikšmė, porą 1,0- teisingumas ir klaidingumas, porą 0,1 - klaidingumas ir teisingumas, porą 0,0 - du kartus pavartota klaidingumo reikšmė. Patogumo dėlei žymėjimus trumpinsime: porą porą porą porą
1,1 1,0 0,1 0,0
žymėsime žymėsime žymėsime žymėsime
1; 2; 3; 0.
Tad 1 = teisinga, O = klaidinga, o 2 ir 3 - papildomi teisingumo ir klaidingumo ženklai, tarpinės reikšmės tarp teisingumo ir klaidingumo (2 - arčiau teisingumo, 3 - arčiau klaidingumo). Šitaip sudarytoje keturių reikšmių logikoje galioja visi dvireikšmės logikos pricipai. Neigimo matrica: P 1,1 1,0 0,1 0,0
P 1 2
P 0,0 0,1
3 0
1,0 1,1
P 0 3 2 1
Matome, kad kiekvienoje šios matricos eilutėje reikia du kartus taikyti dvireikšmės logikos neigimo taisyklę. Kairiojoje matricoje teiginio p reikšmės pirmąjį narį gauname neigdami p pirmąjį narį; p antrąjį narį gauname neigdami p antrąjį narį. Dešinioji matrica tėra kairiosios matricos teisingumo reikšmių pernumeravimas. Panagrinėkime antrąją jos eilutę. Joje tvirtinama, kad antrosios reikšmės neigimas lygus (lygiavertis) trečiajai reikšmei. Tai galima taip išreikšti: 2 = 1,0 = 0,1 =3. Trečios reikšmės neigimas lygus antrajai reikšmei: 3 = 0,1 = 1,0 = 2. Dvireikšmės logikos taisyklių dvigubu taikymu paremtos ir sudėtinių teiginių teisingumą apibrėžiančios matricos. Konjunkcijos matrica: \ Q P\ 1,1 1,0 0,1 0,0
1,1
1,0
0,1
0,0
1,1 1,0 0,1 0,0
1,0
0,1 0,0 0,1
0,0 0,0 0,0 0,0
1,0 0,0 0,0
0,0
P\ 1 2 3 0
1
2
3
0
1 2 3
2 2
3 0
0 0
3 0
0 0 0
0
0
Pavyzdžiui, jei teiginys p turi 2-ą reikšmę, o teiginys q - 3-ią reikšmę, tai p ir q konjunkcijos teisingumo reikšmė lygi 0, t. y. klaidin-
gumui: 2 · 3 = 1,0 · 0,1 = 0,0 = 0. Taigi, žinant dvireikšmės logikos taisykles, žinomi ir jungčių apibrėžimai keturių reikšmių logikoje. Teisingumo reikšmes 1, 2, 3, 0 belieka išskaidyti į poras ir taip gauti dvireikšmės logikos matricų elementus. Disjunkcijos matrica: \q P\ 1,1 1,0 0,1 0,0
1,1
1,0
0,1
0,0
1,1 1,1
1,1 1,0
1,1
1,1 1,0
1,1 1,1 0,1 0,1
1,1 1,0 0,1 0,0
1,1
p\ 1 2 3 0
1
2
3
1
1
1 1 1
2 1 2
1 1 3 3
0 1 2 3 0
Pavyzdžiui, jei teiginys p turi 3-ią reikšmę, o teiginys q - 2-ą, tai jų disjunkcijos teisingumo reikšmė lygi 1, t. y. teisingumui; 3V2 = = 0,1V1,0 = 1,1 = 1. Implikacijos matrica: 4
N7 p\ 1,1 1,0 0,1 0,0
VP 7\
1
2
3
0
0,1
1 2
1 1
2 1
1,0 1,1
3 0
1 1
2 1
3 3 1 1
0 3 2 1
1,1
1,0
0,1
0,0
1,1 1,1 1,1 1,1
1,0 1,1 1,0 1,1
0,1 0,1
0,0
1,1 1,1
Pavyzdžiui, jei teiginys p teisingas, o teiginys q turi 3-ią reikšmę, tai p—>q turės 3-ią reikšmę: 1 ->3 = 1,1 ->0,1 = 0,1 = 3. Jei p turi 3-ią reikšmę, o q - 2-ą, tai p—>q turės 2-ą reikšmę: 3—>2 = 0,1 —>1,0 = 1,0 = 2. Ekvivalencijos matrica: 1,1 P\ 1,1 1,1 1,0 1,0 0,1 0,1 0,0 0,0
1,0
0,1
0,0
1,0 1,1
0,1 0,0
0,0
0,0
1,1 1,0
0,1
\
q
1
2
3
0
0,1 1,0
p\ 1 2 3
1 2
2 1
3
1,1
0
0
0 3
3 0 1 2
0 3 2 1
Tarkime, kad išraiškoje p—>q—>(qVr) teiginys p klaidingas, q turi 2-ą reikšmę, r - 3-ią reikšmę. Lengva nustatyti visos išraiškos teisingumo reikšmę: б^ч>2—>(2V3). 0,0->1,0->(Ū>V0,1).
Vi->(o,ivo,i). 0,0->0,1. 1,1. 1.
Šioje keturių reikšmių logikos sistemoje galioja visi dvireikšmės logikos dėsniai, tame tarpe prieštaravimo ir negalimo trečiojo dėsniai: P 1
P 0 3 2 1
2 3 0
P •P 0 0 0
P P 1 1 1
0
1
P 1
P 0
2 3 0
3 2 1
pvp 1 1 1 1
Vadinasi, galima ir tokia daugiareikšmė logika, kurioje nebūtinai atmetami dvireikšmės logikos principai. Tokią daugiareikšmę logiką reikia suprasti kaip dvireikšmės logikos principų daugiareikšmį išreiškimą. Matricų dauginimo metodu iš keturių reikšmių logikos galima gauti aštuonių reikšmių logiką. Keturių reikšmių logikos matricos padauginamos iš dvireikšmės logikos matricų - kiekvieną 1, 2, 3, O reikšmę reikia padauginti iš 1 (teisingumo) ir O (klaidingumo): 1 1,1 1
2 1,0 2
3 2,1 3
2,0 4
3,1 5
0 3,0 6
0,1 7
0,0 0
Aštuonių reikšmių logikoje 2 reikšmė žymi porą 1,0; 3 reikšmė porą 2,1; 4 reikšmė - porą 2,0 ir 1.1. Matome, kad, pvz., poroje 2,1
pirmasis narys 2 yra keturių reikšmių logikos elementas, o antrasis narys - 1 dvireikšmės logikos elementas. Aštuonių reikšmių logikos matricos kuriamos ta pačia procedūra kaip ir keturių reikšmių logikos matricos. Pavyzdžiui, neigimo matrica yra ši: P 1,1 1,0 2,1 2,0 3,1 3,0 0,1 0,0
P 0,0
P 1 2
P 0 7
3 4
2,1 1,0
5 6 7
6 5 4 3 2
1,1
0
1
0,1 3,0 3,1 2,0
Aštuonių reikšmių logikos matricas padauginus iš dvireikšmės logikos matricų, gaunama šešiolikos reikšmių logika; pastarosios matricas vėl dauginant iš dvireikšmės logikos matricų, gaunama 32-ų reikšmių logika ir 1.1. - šitaip galima gauti n reikšmių logiką.
^D
Pratimai
1. Išraiškoje p->(pVq) teiginys p turi 3-ią reikšmę, q - 2-ą reikšmę. Nustatykite visos išraiškos teisingumo reikšmę. 2. Sudarykite konjunkcijos matricą aštuonių reikšmių logikoje.
5. Daugiareikšmės logikos prasmė Be nagrinėtųjų, yra ir kitokių daugiareikšmės logikos sistemų. Labiausiai yra išplėtota daugiareikšmė teiginių logika. Kuriama ir daugiareikšmė predikatų logika, nors jos sukūrimas yra sudėtinga problema.
Daugiareikšmė logika taikoma technikoje ir kai kuriuose moksluose, pavyzdžiui, kvantinėje mechanikoje, kurioje dvireikšmės logikos priemonėmis neįmanoma aprašyti dydžių parametrų. Buvo mėginta apsieiti be daugiareikšmės logikos, redukuoti ją į dvireikšmę. Tačiau įrodyta, kad tokia redukcija neįmanoma. Matėme, kad daugiareikšmė logika neprieštarauja dvireikšmei, ji daugiausia plėtojama kaip dvireikšmės logikos apibendrinimas, jos galimybių išplėtimas. Neprieštaravimą dvireikšmei logikai reikia taip suprasti. Prieštaravimo ir negalimo trečiojo dėsniai yra universalūs dvireikšmės logikos principai. Jei būtų įmanoma sukurti tokią daugiareikšmę logiką, kurioje būtų teisingi šių dėsnių neigimai, tai tokia daugiareikšmė logika iš tikrųjų prieštarautų dvireikšmei. Betgi įrodyta, kad sukurti tokios loginės sistemos neįmanoma. Dėsnių p · p ir pVp neigimai bet kurioje n reikšmių logikos sistemoje nebus dėsniai. Jie nėra dėsniai ir nagrinėtoje trireikšmėje logikoje. Tai rodo matricos: P 1 V2
0
P 0 1 /2 1
P •P 0
P 1
P 0
pVp 1
pVp 0
Vz
Vz
V2
Vz
Vz
0
0
1
1
0
Dvireikšmė logika vadinama klasikine, o daugiareikšmės logikos sistemos vadinamos neklasikinėmis logikomis. Daugiareikšmės logikos sukūrimas rodo, kad logikos dėsniai ne aprioriniai, nepriklausantys nuo patyrimo, o konstruojami. Materiali tikrovė plastiška, ją galima keisti. Panašiai plastiškas ir mąstymo apie tikrovę būdas - jis keičiamas, koreguojamas. Vienų logikos dėsnių galima atsisakyti ir konstruoti naujus priklausomai nuo objektų srities, kurioje samprotaujama. Logikos dėsniai yra ne pastovūs reguliuojantieji principai, o galimos koreguoti hipotezės. Ateityje gali tekti logiką vėl radikaliai pertvarkyti randant efektyvesnes sekos, įrodymų ir kitų operacijų procedūras. Logikos teorijos yra tai, kas ateityje gali būti pertvarkoma. Tikrovės pažinime susidūrę su sunkumais, mokslai kelia logikai naujas užduotis tobulėti, keistis kaip pažinimo instrumentui.
VI
S K Y R I U S
Modalinė logika
Modalinė logika yra viena iš daugiareikšmės logikos sistemų. Modalinė logika yra logikos sritis, tirianti modalumus (reiškiamus žodžiais „būtina", „galima", atsitiktina" ir jų neigimais), šių modalumų pagrindu sudaranti skaičiavimus ir tirianti tų skaičiavimų sa\ybes.
1. Modalumai Modalinė logika tiria 6 modalumus: būtina, nebūtina, galima, negalima, atsitiktina, neatsitiktina. Moksle ir kasdienėje kalboje jie dažnai vartojami, todėl reikia nustatyti loginę šių terminų prasmę, jų vartojimą. Modalumas yra tvirtinimo sustiprinimas arba susilpninimas. Tvirtinimą sustiprina modalumas būtina. Į teiginį „Žemėje yra vulkanų" įvedus modalumą būtina, tvirtinimas sustiprinamas: „Žemėje būtinai yra vulkanų", „Žemėje vulkanai būtini". Tvirtinimą susilpnina modalumas galima. Į teiginį „Šiandien lis" įvedus modalumą galima, tvirtinimas susilpninamas: „Galimas daiktas, kad šiandien lis", „Šiandien gali lyti", „Šiandien galbūt lis". Modaliniu teiginiu vadinsime teiginį, kuriame yra bent vienas modalumas. Modalinių teiginių pavyzdžiai: „Visuomenei būtina turėti aukštos kvalifikacijos specialistų", „Galimas daiktas, kad po trejų metų baigsiu studijas", „Fašistinė Vokietija karą pralaimėjo neatsitiktinai".
Modalumus žymėsime šiais simboliais: būtinumą - raide N (pirmoji raidė anglų k. žodžio necessity, vokiečių k. Notwendigkeit - „būtinumas"), nebūtinumą - N, galimybę raide M (pirmoji raidė vokiečių k. žodžio Moglichkeit - „galimybė"), negalimybę - simboliu M, atsitiktinumą - raide C (pirmoji raidė anglų k. žodžio contingency - „atsitiktinumas"), neatsitiktinumą žymėsime simboliu C. Pačius teiginius žymėsime taip pat kaip ir teiginių logikoje p, q, r. Išraiškas su modalumais skaitome: Np - teiginys p būtinas, Np - teiginys p nebūtinas, Mp - teiginys p galimas, Mp - teiginys p negalimas, Cp - teiginys p atsitiktinis, Cp - teiginys p neatsitiktinis.
Čia reikia įsidėmėti vieną aplinkybę. Modalumai susiję ne su pačiais teiginiais, bet su šiais teiginiais nusakomais būviais. Pavyzdžiui, išraiška Mp nereiškia, kad teiginys p negalimas, šioje išraiškoje kalbama ne apie teiginį, o apie būvį, nusakomą teiginiu p. Teiginyje „Negalima sukurti amžinojo variklio" kalbama ne apie tai, kad teiginys „Amžinojo variklio sukūrimas" negalimas (tokį teiginį juk galima pasakyti), o apie realius procesus, neleidžiančius sukurti amžinojo variklio. Tačiau patogumo, trumpumo sumetimais, užuot sakius „Teiginiu p nusakomas būvis negalimas", tiesiog sakoma „Teiginys p negalimas" arba „p negalimas". Tai pasakytina apie visus modalinius teiginius. Į teiginį modalumas įvedamas dvejopai. 1. Modalumas taikomas visam teiginiui. Į teiginį „Kiekvienas žmogus mąsto" įvedus būtinumą, gauname: „Būtina, kad kiekvienas žmogus mąsto". 2. Modalumas taikomas tik teiginio predikatui. Pavyzdžiui, „Kiekvienas žmogus būtinai mąsto".
Abiem atvejais teiginio teisingumas nepakito. Tačiau kitais atvejais jis gali ir pakisti. Paimkime teiginį „Kas stebimas kaip sėdintis, tas sėdi". Jį užrašius predikatų logikos išraiška, gauname V x [F(x)—>G(x)], t. y. „Kiekvienas, jei jis stebimas kaip sėdintis, tai jis sėdi". Įvedus modalumą „būtina" pirmuoju būdu, sudarome teisingą teiginį „Būtina, kad kas stebimas kaip sėdintis, tas sėdi":
Λ/Vx [F(x)—>G(x)]. Modalumą „būtina" taikant tik predikatui, sudarome teiginį „Kas stebimas kaip sėdintis, tas būtinai sėdi":
V x [F(x)^NG(x)]. Šiuo atveju teiginys gali būti ir klaidingas, jei asmuo sėdi atsitiktinai. Teiginių „Būtina, kad sėdintysis sėdi" ir „Sėdintysis būtinai sėdi" teisingumo reikšmė skirtinga. Mes aiškinsimės modalinę teiginių logiką, t. y. kai modalumas taikomas teiginiui, o ne predikatui. Pažinimo teorijoje būtini teiginiai vadinami apodiktiniais (apodeiktikos graikų k. - įtikinantis), galimi teiginiai vadinami probleminiais, o nemodaliniai tikrumą išsakantys teiginiai vadinami asertoriniais (assero lotynų k. - tvirtinu, teigiu).
Pratimas Šiuos teiginius užrašykite modalinės logikos simboliais: 1. Nebūtina, kad vyriškis teatre dėvėtų tamsų kostiumą. 2. Būtina už aukštesnės kvalifikacijos reikalaujantį darbą geriau atlyginti.
2. Loginiai ir fiziniai modalumai Kalboje modaliniai terminai vartojami loginio arba fizinio modalumo prasme. Loginių ir fizinių modalumų skyrimas remiasi tiesų skirstymu į logines ir fakto tiesas. Loginis modalumas yra teiginio sampratos būdas. Loginiais modalumais reiškiami loginiai ryšiai, logikos dėsniai ir iš jų išvedami teiginiai. Taip pat loginiai modalumai išreiškia matematikos tiesas ir iš jų išvedamus teiginius. Loginė galimybė - tai loginio prieštaravimo nebuvimas. Kiekvienas teiginys logiškai galimas, jei jis neprieštaringas. Teiginys „Galimas daiktas, kad Labanoro girioje veisiasi liūtai" logiškai galimas. Negalimas būtų tik teiginys, kad toje girioje liūtai veisiasi ir nesiveisia, nes tai būtų prieštaringas p · p formos teiginys. Loginis būtinumas išreiškia logikos dėsnius ir iš jų išvedamus teiginius. Kiekvienas teiginys, išreikštas logikos dėsnio forma, yra logiškai būtinas. Pavyzdžiui, toks yra teiginys „Si gėlė tulpė arba ne tulpė", nes jis išreikštas negalimo trečiojo dėsnio forma - pVp. Kitaip tariant, teiginys logiškai būtinas, jei ir tik jei jo teisingumas remiasi grynai loginiais pagrindais; teiginys logiškai būtinas, jei ir tik jei jis logiškai teisingas. Fizinis modalumas yra objekto egzistavimo ar proceso tėkmės būdas. Fiziniais modalumais reiškiami ne loginiai ryšiai, ne logikos dėsniai, o dėsniai, pagrįsti gamtos ir visuomenės priežastiniais ryšiais. Fiziniai modalumai išreiškia gamtos bei visuomenės dėsnius ir iš jų išvedamus teiginius. Fiziniai modalumai dar kitaip vadinami kauzaliniais modalumais. Loginiai ir fiziniai modalumai tarpusavyje santykiauja taip: 1. Kiekvienas teiginys, kuris galimas fizine prasme, galimas taip pat ir logiškai, tačiau ne visuomet priešingai. Teiginyje „Galimas daiktas, kad XXI amžiuje kosmonautai pabuvos Marse", išreikšta fizinė galimybė, kartu šis teiginys galimas ir logiškai. Tuo tarpu teiginys „Galimas daiktas, kad Labanoro girioje veisiasi liūtai" galimas tik logiškai, o fizine prasme jis klaidingas.
Loginės ir fizinės galimybės santykį galima išreikšti taip: (pLq)—>(p—»q), kur ženklas 1 žymi kauzalinę implikaciją („Iš p priežastingai seka q"). Šią išraišką skaitome: jei iš p priežastingai seka q, tai iš p logiškai seka q. Kauzalinės implikacijos teisingumo sąlygos nustatomos patyrimu, loginių teisingumo taisyklių ši implikacija neturi. Tai rodo ir jos matrica: P
q
t t k
t k
k
t k
p±q n k n n
Raidė n šioje matricoje yra žodžio „neapibrėžta" santrumpa. Matome, kad kauzalinėje implikacijoje, žinant, jog antecedentas ir konsekventas teisingi, dar neaišku, ar teiginys „Iš antecedento priežastingai seka konsekventas" bus teisingas. Panašiai yra ir paskutinėse dviejose matricos eilutėse. Kauzalinę implikaciją galima tik falsifikuoti (t. y. nustatyti jos klaidingumo sąlygas), bet ne verifikuoti (t. y. nustatyti jos teisingumo sąlygas): implikacija „Iš p priežastingai seka q" yra klaidinga, kai p teisingas, o q klaidingas. Kitais atvejais p_Lq lieka neapibrėžta. Jei teiginys negalimas logiškai, tai jis negalimas ir fizine prasme. Logiškai negalimas - tai prieštaringas teiginys, o prieštaringas būvis negali būti fiziškai realizuojamas. 2. Kiekvienas teiginys, kuriame išreikštas loginis būtinumas, būtinas ir fizine prasme, tačiau ne visuomet priešingai. Teiginys „Ši gėlė tulpė arba ne tulpė" būtinas ir logine, ir fizine prasme. Tuo tarpu teiginys „Būtina, kad, esant nuliui laipsnių, ledas tirptų" būtinas tik fizine prasme, kaip išreiškiantis vieną iš gamtos dėsnių. Tačiau šis teiginys neišreiškia loginio būtinumo, logikos
dėsnio. Jis suformuluotas ne logikos dėsnio forma, bet implikacija. Kaip žinome, išraiška p—>q nėra visuomet teisinga.
Pratimai 1. Koks būtinumas reiškiamas teiginiu: „Būtina, kad nė vienas nusikaltimas neliktų neišaiškintas"? 2. Kokio modalumo prasmę turi teiginys „Neįmanoma, kad koks nors objektas turėtų požymį ir kartu jo neturėtų"?
3. Modalumų pakeitimas Vienus modalumus galima pakeisti kitais jiems ekvivalenčiais modalumais. Pateikiame pakeitimo lentelę: modalumai
būtina
galima
būtina
Np
Mp
nebūtina
Np
Mp
galima
Np
Mp
negalima
Np
Mp
atsitiktina
Np-Np
Mp • Mp
neatsitiktina
Np\/Np
MpMMp
Panagrinėsime, kaip ši lentelė sudaryta. Pirmame stulpelyje išvardyti visi šeši modalumai. Antrame stulpelyje visi modaliniai terminai išreikšti modalumu „būtina", o trečiame stulpelyje - modalumu „galima". Pirmo stulpelio pirmoje eilutėje nurodytas modalumas „būtina". Trečio stulpelio pirmoje eilutėje jis pakeičiamas modalumu „galima". Gauname išraišką:
Np ~ Mp. Skaitome: išraiška „p būtinas" ekvivalenti išraiškai „ne-p negalimas".
Teiginys: „Dirbti būtina" lygiavertus teiginiui „Nedirbti negalima". Antroje eilutėje pakeičiamas modalumas „nebūtina". Gauname
Np ~ Mp. Skaitome: išraiška „p nebūtinas" ekvivalenti išraiškai „ne-p galimas". Teiginys „Nebūtina atostogauti Palangoje" lygiavertus teiginiui „Galima atostogauti ne Palangoje". Trečioje eilutėje nurodytas modalumas „galima". Trečiame stulpelyje pažymėta, kad teiginys galimas, o antrame stulpelyje nurodyta, kaip modalumas „galima" pakeičiamas modalumu „būtina". Gauname:
Mp ~ Np. Skaitome: išraiška „p galimas" ekvivalenti išraiškai „ne-p nebūtinas". Teiginys „Galima atostogauti Palangoje" lygiavertus teiginiui „Nebūtina atostogauti ne Palangoje". Ketvirtoje eilutėje pakeičiamas modalumas „negalima":
Mp ~ Np. Skaitome: išraiška „p negalimas" ekvivalenti išraiškai „ne-p būtinas". Teiginys „Negalima leisti plisti branduoliniam ginklui" lygiavertus teiginiui „Būtina neleisti plisti branduoliniam ginklui". Penktoje eilutėje nurodoma, kad atsitiktinumą galima išreikšti dvejopai - pavartojus modalumą „būtina" ir pavartojus modalumą „galima". Dažniausiai atsitiktinumas suprantamas kaip abipusė galimybė - tai, kas gali įvykti, bet gali ir neįvykti. Tokią atsitiktinumo sampratą nurodo trečio stulpelio penktos eilutės išraiška Cp ~ (Mp • Mp).
Skaitome: išraiška „p atsitiktinis" ekvivalenti išraiškai „p galimas ir ne-p galimas". Kai sakome, kad pažįstamą gatvėje sutikome atsitiktinai, tai toks teiginys reiškia, kad pažįstamą galėjome sutikti ir galėjome nesutikti. Atsitiktinumo reiškimas modalumu „būtina" nurodytas antro stulpelio penktoje eilutėje: Cp ~ (Np • Np). Skaitome: išraiška „p atsitiktinis" ekvivalenti išraiškai „ne-p nebūtinas ir p nebūtinas". Pasakius, kad koks nors reiškinys nebūtinai neįvyksta ir nebūtinai įvyksta, nusakomas reiškinio atsitiktinis pobūdis. Išraiška Cp ~ (Λ/ρ · Np) lengvai išvedama iš išraiškos Cp ~ (Mp · • Mp). Tereikia pastarojoje išraiškoje Mp pakeisti Np ir Mp pakeisti Np. Paskutinėje lentelės eilutėje nurodoma, kad neatsitiktinumą taip pat galima reikšti dvejopai. Dažniausiai neatsitiktinumas reiškiamas modalumu „būtina" (antro stulpelio paskutinė eilutė): Cp ~ (Λ/pVA/p). Skaitome: išraiška „p neatsitiktinis" ekvivalenti išraiškai „p būtinas arba ne-p būtinas". Kai sakoma, kad koks nors reiškinys neatsitiktinai įvyksta, tai reiškia, kad tas reiškinys būtinai įvyksta arba būtinai neįvyksta. Neatsitiktinumo reiškimas modalumu „galima": Cp ~ (MpVMp). Skaitome: išraiška „p neatsitiktinis" ekvivalenti išraiškai „ne-p negalimas arba p negalimas". Išraiška Cp ~ (MpVMp) lengvai išvedama iš išraiškos Cp ~ ~ (/VpV/Vp). Tereikia Np pakeisti Mp ir Np pakeisti Mp.
Šnekamojoje ir mokslinėje kalboje neretai vieni modalumai pakeičiami kitais. Pateiktoji lentelė šiuos pakeitimus tiksliai apibrėžia. Modalumų pakeitimo lentelė sudaryta remiantis visai paprastu principu. Keičiant Np, vietoj N rašome M, vietoj p rašome p, ir telieka nustatyti, ar reikia M neigti. Šitai nustatome sveiku protu: žinoma, M reikia neigti. Pavyzdžiui, jei koks nors reiškinys būtinai įvyksta, tai negalima, kad jis neįvyktų. Tad gauname: Np ~ Mp. Keičiant Λ/ρ, vietoj N rašome M, vietoj p rašome p, ir vėl telieka nustatyti, ar reikia neigti M. Sveikai samprotaujant, aišku, kad M šiuo atveju neigti nereikia. Juk jei reiškinys nebūtinai įvyksta, tai gali būti, kad jis neįvyks. Taigi Np ~ Mp. Panašiai pakeičiami ir galimybės bei negalimybės modalumai. Išraiškų įsiminti nereikia, reikia tik žinoti pakeitimo procedūrą, ir, sveikai samprotaujant, vieni modalumai lengvai pakeičiami kitais.
Pratimas VI skyriaus 1 skirsnio pratimų nurodytuose modaliniuose teiginiuose pakeiskite modalumus.
4. Keturių reikšmių modalinė logika Modalinės logikos sistemų yra įvairių. Dvireikšme logika modalinės logikos neįmanoma išreikšti, dėl toji kuriama kaip daugiareikšmė logika. Tokia modalinė logika neprieštarauja dvireikšmei logikai, ji ją išsaugo. Modalinės logikos sistemos skirstomos į grupes pagal tai, koks veiksmas jose laikomas pagrindiniu loginio išvedimo (loginės sekos) veiksmu. Vienose sistemose tokio išvedimo veiksmu laikoma materialioji implikacija (jos daugiareikšmiai variantai), kitose sistemose - kitos implikacijos rūšys. Modalinės logikos sistemą, kurioje pagrindiniu loginio išvedimo
veiksmu laikomi materialiosios implikacijos daugiareikšmiai variantai, sukūrė J. Lukasiewiczius. Apžvelgsime J. Lukasiewicziaus keturių reikšmių modalinę logiką. Si modalinės logikos sistema kuriama jau nagrinėtos keturių reikšmių logikos pagrindu. Joje modaliniai teiginiai įgauna keturias reikšmes: 1 (teisinga), 2 (tarpinė reikšmė), 3 (tarpinė reikšmė) ir O (klaidinga). Keturių reikšmių modalinė logika kuriama matricų būdu. Iš visų modalumų vienas modalumas apibrėžiamas be įrodymo, jo matrica postuluojama, paskui, remiantis šia matrica, kuriamos likusių modalumų matricos. Tokiu pradiniu modalumu laikoma galimybė. Ji apibrėžiama taip:
M (a, b) = (a, b-»b). Šioje išraiškoje M žymi galimybę, a ir b žymi teisingumo reikšmes: a žymi pirmąjį teisingumo reikšmių poros narį, b - antrąjį. Pavyzdžiui, jei turime porą 1,0, tai a žymi 1, o b žymi 0. Teiginys p gali įgauti 4 reikšmes, tad galimybės matrica bus keturių eilučių. Pirma eilutė: p = 1 = 1,1. M (a, b) = (a, b->b). M (1,1) = (1,1—>1) =1,1 = 1. Antra eilutė: p = 2 = 1,0. M (a, b) = (a, b->b). M (1,0) = (1,0->0) = 1,1 = 1. Trečia eilutė: p = 3 = 0,1. M (a, b) = (a, b->b). M (0,1) = (0,1—>1) = 0,1 = 3. Ketvirta eilutė: p = 0 = 0,0. M (a, b) = (a, b->b). M (0,0) = (0,0^0) = 0,1 = 3.
Pagal gautąsias eilutes sudarome matricą: P 1 2 3 0
Mp 1 1 3 3
Pirma eilutė: kai teiginys p teisingas, tai tvirtinimas „Teiginys p galimas" taip pat teisingas. Antra eilutė: kai teiginys p turi antrą reikšmę, tai tvirtinimas „Teiginys p galimas" yra teisingas.
Trečia eilutė: kai teiginys p turi trečią reikšmę, tai tvirtinimas „Teiginys p galimas" įgauna trečią reikšmę. Ketvirta eilutė: kai teiginys p klaidingas, tai tvirtinimas „Teiginys p galimas" turi trečią reikšmę. Įsidėmėtina, kad kai p klaidingas, išraiška Mp nelaikoma klaidinga. Taip yra dėl to, kad klaidingumas - istoriškai kintanti sąvoka. Daug teiginių, kurie anksčiau buvo laikomi klaidingais (pavyzdžiui, heliocentrinė sistema), pasirodė esantys teisingi. Iš galimybės matricos, atlikus neigimo veiksmą, gaunama negalimybės matrica: P 1 2 3 0
Mp 0 0 2 2
Kai p teisingas, tai tvirtinimas „Teiginys p negalimas" yra klaidingas; kai p turi antrą reikšmę, tai tvirtinimas „Teiginys p negalimas" yra klaidingas, ir 1.1. Būtinumo matrica nustatoma žinant, kad Np ~ Mp: Mp
P 1
P 0
2 3 0
3 2
3 3 1
1
1
Mp 2 2 0 0
Tai ir yra butinumo matrica: P 1 2 3 0
Np 2 2 0 0
Taigi, kai p teisingas, tai tvirtinimas „Teiginys p būtinas" įgauna antrą reikšmę, ir 1.1. Iš būtinumo matricos, atlikus neigimo veiksmą, gaunama nebūtinumo matrica: Np 3 3 1 1
P 1 2 3 0
Turint visų keturių pagrindinių modalumų - galimybės, negalimybės, būtinumo ir nebūtinumo - matricas, išsprendžiamumas modalinėje logikoje įrodomas, t. y. nustatoma, kurios modalinės logikos išraiškos yra visuomet teisingos (bendrareikšmės). Tegul turime išraišką Λ/ρ—>/V7p. Skaitome: jei p būtinas, tai p galimas. Jau intuityviai (sveiku protu) suvokiama, kad ši išraiška yra dėsnis (ji tvirtina: kas būtina, tas galima). Tai patvirtina ir jos matrica:
2
Np 2 2
Mp 1 1
3 0
0 0
3 3
P 1
Np^fMp 1 1 1 1
Tuo tarpu išraiška p—>Λ/ρ nėra modalinės logikos dėsnis: P 1 2 3 0
Np 2 2 0 0
p—>Np 2 1 2 1
Taigi išraiška, tvirtinanti, kad jei teiginys p teisingas, tai jis būtinas, nėra bendrareikšmė. Iš tiesų, ne viskas, kas teisinga, yra būti-
na. Teisingumo pagrindas gali buti ir atsitiktinis, kaip kad laimėjimų loterijoje. Pratimai Matricomis nustatykite išraiškų teisingumo reikšmę. 1.
Mp-^Mp.
2.
Mp^Np.
5. Poriniai modalumai Pateiktos modalumų matricos vis dėlto nėra pakankamai tobulos. Jomis remiantis, neįmanoma išreikšti įprasto atsitiktinumo supratimo, t. y. negalima pagrįsti išraiškos Mp · Mp. Mp
Mp
Mp · Mp
1
3
3
3
1
3
3
2
3
1
3
1
3
1
3
P 1
P 0
2 3 0
Matome, kad atsitiktinumas visuomet įgauna trečią reikšmę, jis niekuomet nesti teisingas, o tai neatitinka įprastinės atsitiktinumo sampratos. Norint išreikšti šią sampratą, reikia įvesti naujus modalumų variantus. Aptariamoje keturių reikšmių modalinėje logikoje galimybė, būtinumas ir atsitiktinumas turi po du variantus: yra dvi galimybės, du būtinumai ir du atsitiktinumai. Šie variantai gaunami tokiu būdu. Žinome, kad keturių reikšmių logikoje sudaromos teisingumo reikšmių poros: 1,1; 1,0; 0,1; 0,0. Šios poros atitinkamai pažymimos 1, 2, 3, 0. Betgi toks žymėjimas - visiškai konvencialus, žymėti galima ir kitokiais skaičiais bei simboliais. Sudarant porinius modalumus, reikšmė „2" ir reikšmė „3" su-
keičiamos vietomis: vietoj 2 dabar visur rašoma 3, vietoj 3 - 2 . Taigi gauname: 1,1 = 1; 1,0 = 3; 0,1 = 2; 0,0 = 0. Aptartos modalumų matricos buvo reiškiamos taip: P 1 2
Mp 1 1
3 0
3 3
Np 2 2 0
Mp 0
Np 3
0 2
3 1
0
2
1
Naujų, šiems modalumams porinių, modalumų matricos yra šios: P 1 3 2 0
M'p
N'p
Μ·ρ
1 1 2 2
3 3 0 0
0 0 3 3
N'p 2 2 1 1
Čia M', N', M', N' žymi antrąjį, porinį M, N, M1 N modalumą. Matome, kad šių modalumų matricos gaunamos M1 N1 M, N matricose 2 ir 3 reikšmes visur sukeitus vietomis. Naujoje matricoje antrą ir trečią eilutes sukeitę vietomis, gausime: P 1 2 3
M'p
N'p
1 2 1
0
2
3 0 3 0
M'p 0 3 0 3
N'p 2 1 2 1
Skirtumas tarp M ir M', tarp N ir N' (atitinkamai ir tarp jų neigimų) nėra realus, jis atsiranda tik dėl skirtingo žymėjimo. Jei M ir N žymi galimybę ir būtinumą, tai M' ir N' taip pat žymi galimybę ir būtinumą, ir tarp šių dviejų galimybės ir būtinumo variantų nėra
jokio realaus skirtumo. Jie panašūs j dvynius, kurių negalima atskirti, kai juos matai atskirai, bet kurie tuoj pat laikomi dviem žmonėmis, kai matomi kartu. Vis dėlto šie modalumai reiškiasi skirtingai, kai jie esti toje pačioje formulėje. Metant monetą, gali iškristi herbas arba skaičius; kitaip tariant, galimas herbo iškritimas ir gali būti, kad herbas neiškris. Abu teiginius mes linkę laikyti teisingais. Bet jie negali būti abu teisingi, jei pirmoji galimybė žymima taip pat kaip ir antroji. Pirmoji galimybė tiek pat teisinga, kiek ir antroji, bet iš to neseka, kad ji turi būti pažymėta lygiai taip pat. Herbo iškritimo galimybė skirtinga nuo jo neiškritimo galimybės. Dėl to vieną jų reikia žymėti vienaip - M, o antrą kitaip - M'. Taigi galimi du atsitiktinumai.
1 .Cp-(Mp-
M'p).
Sio atsitiktinumo matrica tokia: P 1
P 0
2
3 2 1
3 0
Mp 1 1
M'p 2 1
3 3
2 1
Mp • M'p 2 1 0 3
Atkreipkime dėmesį, kaip išvedama M'p teisingumo reikšmė. Pirma eilutė: p klaidingas, tai Mp įgauna reikšmę 3, o poriniame modalume M'p vietoj 3 rašome 2. Antra eilutė: p turi reikšmę 3, dėl to ją reikia pakeisti reikšme 2. Kai p = 2, tai Mp = 1. Kadangi nėra porinio teisingumo ar klaidingumo, tai reikšmė 1 išlieka ir teiginiui M'p. Trečia eilutė: p turi reikšmę 2, dėl to ją reikia pakeisti reikšme 3. Kai p = 3, tai Mp = 3, dėl to porinėje galimybėje M'p reikšmė 3 pakeičiama reikšme 2. Ketvirta eilutė: p teisingas, teiginys Mp taip pat teisingas, ši reikšmė išlieka ir išraiškoje M'p. 2. C'p ~ (M'p • Mp).
P 1
P 0
M'p
Mp
M'p • Mp
1
3
3
2
3
2
3
0
3
2
1
1
1
0
1
2
1
2
Šitaip išreikšti, atsitiktinumai jau atitinka įprastą jų supratimą jie gali pasitvirtinti, nepasitvirtinti, įgauti reikšmes, tarpines tarp teisingumo ir klaidingumo. Jiems galioja prieštaravimo ir negalimo trečiojo dėsniai:
Cp • C'p. Skaitome: joks teiginys negali būti C atsitiktinis ir C' atsitiktinis. CpVC'p. Skaitome: teiginys yra C atsitiktinis arba C' atsitiktinis. Atsitiktinumo neigimas reiškiamas taip: Cp ~ C'p; C'p ~ Cpl t. y. Cp ~ (MpMN'p) ir C'p ~ (M'pVA/p). Tai reiškia, kad atsitiktinumo neigimas yra negalimybė arba būtinumas.
Pratimas Sudarykite matricą išraiškai
MpMN'p.
6. Modalinės logikos dėsniai Anksčiau pateikti modalumų pakeitimai yra modalinės logikos dėsniai. Dar nurodysime kai kuriuos kitus svarbius jos dėsnius.
Np-^p. Skaitome: jei p būtinas, tai p teisingas. Iš teiginio „Būtina, kad kiekviena kalba turi savo gramatiką" seka teisingas teiginys „Kiekviena kalba turi savo gramatiką". p^Mp. Skaitome: jei p teisingas, tai p galimas. Iš tiesų, jei koks nors teiginys teisingas, tai jis tuo pačiu ir galimas. Teiginys „Kiekvienas dažniausiai pats apsisprendžia pasirinkdamas profesiją" teisingas. Iš to seka, kad pasirenkant profesiją dažniausiai galima pačiam apsispręsti. Mp->p. Skaitome: jei p negalimas, tai teisingas ne-p. Iš teiginio „Negalima veiksmažodžių linksniuoti" išvedame teisingą teiginį „Veiksmažodžiai nelinksniuojami". Išraiškos
M (p -q)~ (Mp- Mq): N (p-q)~ (Np- Nq) parodo, kad jei konjunkcija galima (būtina), tai galimas (būtinas) kiekvienas jos narys. Išraiškos
M (p · q) ~ (MpMMq); N (pVq) ~ (Np • Nq) ir kiti jų atitikmenys yra de Morgano taisyklės modalinėje logikoje. Pavyzdžiui, teiginys „Petraičiui nebūtina į darbą vykti autobusu arba troleibusu" ekvivalentus teiginiui „Petraičiui nebūtina į darbą vykti autobusu ir Petraičiui nebūtina į darbą vykti troleibusu".
(Np • Nq)-^(p^q).
Skaitome: jei p būtinas ir q būtinas, tai iš p seka q. Kitaip tariant, iš būtino teiginio seka būtinas teiginys. Tačiau šį formulavimą būtų netikslu užrašyti išraiška Np^>Nq - ji nebūtų dėsnis. Panašūs dėsnių formulavimai užrašomi savitai: pirmiausia nurodomi modaliniai teiginiai, paskui - jų seka. (Λ/ρ · Mq)^>p^q. Skaitome: jei p būtinas ir q negalimas, tai iš p neseka q. (p · Mq)->[(p—>q)—>Mp]. Skaitome: jei iš teiginio p seka negalimas teiginys q, tai pats teiginys p negalimas. (p · M q U [ ( p ^ q ) ^ N p ] . Skaitome: jei iš teiginio p neigimo seka negalimas teiginys q, tai teiginys p būtinas. Daug modalinės logikos dėsnių išvedama iš teiginių logikos dėsnių. Dvigubo neigimo dėsnis p ~ p modalinėje logikoje reiškiamas taip:
Mp ~ Mp. Skaitome: išraiška „Netiesa, kad p negalimas" ekvivalenti išraiškai „p galimas". Teiginys „Netiesa, kad negalima išvengti karų šiuolaikinėje epochoje" ekvivalentus teiginiui „Galima išvengti karų šiuolaikinėje epochoje". Dvigubo neigimo dėsnis reiškiamas ir terminu „būtina":
Np ~ Np. Skaitome: išraiška „Netiesa, kad p nebūtinas" ekvivalenti išraiškai „p būtinas". Teiginių logikos dėsnyje (p—>p)—>p pakeitę p išraiška Mp, gauname modalinės logikos dėsnį:
(/Wp->Mp)—>/Wp.
Skaitome: jei iš to, kad p galimas, seka, kad p negalimas, tai p negalimas. Jei iš pradžių kokį nors reiškinį laikome galimu, o paskui prieiname išvadą, kad jis negalimas, tai ši išvada teisinga.
Pratimai 1. Nustatykite išraiškų teisingumo reikšmę:
a) Л/р^р; b) NpMMp. 2. Užrašykite simboliais šį formulavimą: iš teisingo teiginio neseka negalimas teiginys.
7. Kartotiniai modalumai Teiginyje gali būti ne vienas, o keli modalumai. Teiginyje „Galimas daiktas, kad automobilio avarijos buvo išvengta atsitiktinai" yra du modalumai. Šis teiginys užrašomas išraiška MCp, kuri skaitoma taip: galima, kad teiginys p atsitiktinis. Teoriškai teiginyje gali būti n modalumų. Išraiška NMNp skaitoma: būtina, jog negalima, kad p būtinas; išraiška MNMCp - negalima, kad būtina, jog galima, kad p atsitiktinis. Matome, kad kuo teiginyje daugiau modalumų, tuo sunkiau jį suprasti. Praktiškai šnekamojoje ir mokslinėje kalboje teiginyje tevartojami vienas arba du modalumai. Kartotiniai - tai modalumai, kimų objektas yra kiti modalumai. Išraiška NNp (būtina, kad p būtinas) skiriasi nuo Np. Išraiška NNp teigia ne apie p, o apie Λ/ρ, ji tvirtina, kad būvis Np būtinas. Panašiai išraiškoje MNp (galima, kad p nebūtinas) M tvirtina, kad būvis Np galimas. Modalumus galima aiškinti kaip predikatus. Išraiškoje Np gali-
ma N aiškinti kaip būvio, nusakomo teiginiu p, predikatą - to būvio požymis tas, kad būvis būtinas. Išraiškoje MNp galimybė laikoma predikatu, priskiriamu ne būviui, o būtinumui, t. y. galimybė čia aukštesnio laipsnio modalumas, lyginant su būtinumu. Išraiškoje MMNp pirmasis modalumas - negalimybė - dar aukštesnio laipsnio negu du likusieji modalumai, ir 1.1. Vienose modalinės logikos sistemose laikomasi požiūrio, kad yra baigtinis, ribotas modalumų skaičius. Jose nustatoma, kokie modalumai yra nepriklausomi, o visi kiti modalumai (kad ir kiek jų teiginyje būtų) pasirodo esą ekvivalentus šiems nepriklausomiems modalumams. Tokia yra anksčiau aptartoji keturių reikšmių modalinė logika. Ją sudaro 4 nepriklausomi modalumai - M, N1 M, N1 o visi kartotiniai modalumai įgauna vieno iš jų teisingumo reikšmę. Antai išraiška NNp ekvivalenti išraiškai Np. Tai rodo matrica: P 1
Np 2
2 3 0
2 0 0
NNp 2 2 0 0
Išraiškos NMNp teisingumo reikšmė ta pati, kaip ir nepriklausomo modalumo M: P 1 2 3 0
Np 2 2 0 0
Np 3 3 1 1
MNp 3 3 1
NMNp 0 0 2
1
2
Jei kokia nors išraiška Q yra logikos dėsnis, tai išraiška NQ (būtina, kad O yra logikos dėsnis) aptartoje keturių reikšmių modalinėje logikoje taip pat yra dėsnis. Tačiau kitoms modalinės logikos sistemoms išraiška NQ nepriimtina, t. y. joms nepriimtinas principas, kad būtinumą galima ra-
šyti prieš logikos dėsnį žyminčią išraišką. Pavyzdžiui, jose išraiškos pVp ir N (pVp) laikomos skirtingomis: pVp tvirtina, kad yra tam tikras būvis arba jo nėra; N (pVp) tvirtina, kad būtina, jog tas būvis yra arba jo nėra. Tokiose sistemose Np skiriasi nuo NNp, atitinkamai NNp neekvivalenti NNNp ir t. t., nepriklausomų modalumų skaičius jose neaprėžtas, begalinis.
Pratimas Nustatykite, kokiems nepriklausomiems modalumams ekvivalenčios šios išraiškos:
1. NMp. 2. MNMp. 8. Griežtosios implikacijos sistema Tai viena modalinės logikos sistemų, sukurta amerikiečių logiko C. I. Lewiso (1883-1964). Kaip žinome, implikacija vadinama operacija, kurią atitinka jungtis „jei..., tai". Dvireikšmėje logikoje vartojama materialioji implikacija, kuri teiginius aiškina tik jų teisingumo ir klaidingumo požiūriu. Tačiau pasirodo, kad materialioji implikacija neišreiškia kai kurių svarbių jungties „jei..., tai" vartojimo įprastoje kalboje ypatybių. Pasirodo, kad materialioji implikacija nėra visuotinis loginės sekos išreiškimas. Čia atkreiptinas dėmesys į du momentus: 1. Įprastoje kalboje implikacijos antecedentas ir konsekventas būna susiję prasminiu ryšiu. Materialioji implikacija nepaiso prasminio ryšio. Ji laiko teisingu kad ir teiginį „Jei dvejybiškumo principas teisingas, tai Nemunas įteka į Kuršių marias". Visai suprantama, kad buvo imta ieškoti, kaip sukurti implikaciją, kuri atitiktų jungties „jei..., tai" vartojimą įprastoje kalboje, t. y. išreikštų antecedento ir konsekvento prasminį ryšį. Tokios paieškos reikalingos mašininio vertimo
ir kitoms problemoms spręsti, kada reikia atsižvelgti ne tik į teiginių teisingumą ir klaidingumą, bet ir j jų prasminius ryšius. 2. Kad materialioji implikacija ne visai išreiškia jungties „jei..., tai" vartojimą Įprastoje kalboje, rodo ir tokie su ja susiję neįprasti teiginiai (vadinamieji materialiosios implikacijos paradoksai), antai „iš klaidingo teiginio seka bet kuris kitas teiginys", „teisingas teiginys seka iš bet kurio kito teiginio". Tad aišku, kad materialioji implikacija nėra visuotinė loginė seka. Implikacijos, kuriose siekiama išreikšti antecedento ir konsekvento prasminį ryšį, buvo pavadintos griežtosiomis implikacijomis. Kadangi nėra tikslaus apibrėžimo, ką reiškia antecedento ir konsekvento prasminis ryšys, tai šio ryšio kriterijumi paprastai laikomas nurodytų materialiosios implikacijos neįprastų teiginių (paradoksų) pašalinimas. Pirmąją tokią implikaciją sukūrė C. I. Lewisas. Griežtajai implikacijai žymėti vartojamas ženklas -<, o išraiška p-<<7 skaitoma: būtina, kad iš p seka q. Tad griežtąją implikaciją Lewisas apibrėžė taip: p ^ q = Df būtina, kad iš p seka q, t. y. (p-< q) ~ N (p^q). Vadinasi, griežtoji implikacija yra būtina materialioji implikacija. Palyginsime materialiąją ir griežtąją implikacijas: q t
p->q
t t
k
k
k
P
t
n
k
t
t
n
k
k
t
n
Matome, kad griežtoji implikacija matricos neturi, raidė n yra žodžio „neapibrėžta" santrumpa. Griežtosios (lygiai kaip ir kauzalinės) implikacijos teisingumo sąlygų nustatyti dvireikšmės logikos priemonėmis neįmanoma.
Lygindami griežtąją ir materialiąją implikacijas, nustatome: (p -< q) -< (p—>q), t. y. jei teiginys teisingas griežtosios implikacijos prasme, tai jis teisingas ir materialiosios implikacijos prasme, tačiau ne priešingai. Tad griežtoji implikacija yra siauresnė negu materialioji, jos tvirtinimai griežtesni. Griežtoji implikacija reiškiama ir pavartojus modalumą „negalima": (p -< q) ~ Mp—>q arba (p
Šie teiginiai ne visiškai atitinka įprastus loginio samprotavimo būdus, dėl to griežtoji implikacija nėra pakankamai tiksli, adekvati
loginės sekos išraiška. Nė vienos iš C. I. Lewiso modalinių sistemų negalima laikyti adekvačia loginės sekos teorija. Loginės sekos kaip teiginių (antecedento ir konsekvento) sąsajos pagal jų turinį derama eksplikacija vadinama relevantine logine seka (relevance anglų k. tinkamumas). Tokios loginės sekos paieškos tęsiamos.
iž-D
Pratimas
Palyginkite kauzalinę ir griežtąją implikaciją. Ar bus teisinga: 1. (p -< g)-»(p±q).
2. (plq)Mp
VII
SKYRIUS
Deontinė logika 1. Teiginių funkcijos Vieni teiginiai tik aprašo, kiti paliepia, treti vertina, ketvirtais išsakomos psichikos būsenos. Tad teiginiai atlieka bent keturias funkcijas. 1. Deskripcinė yra aprašomoji funkcija. Deskripciniais teiginiais išsakoma, kokia tikrovė yra arba nėra. Teiginys „Dailininkas nutapė paveikslą" deskripcinis, jis konstatuoja tikrovės fragmentą. Deskripcinė funkcija įgalina teiginius laikyti teisingais, klaidingais, tikėtinais ir pan. 2. Preskripcinė funkcija nustato, kad kas nors yra privaloma, draudžiama, leidžiama daryti (praescribere lotynų k. - paliepti). Teiginiai „Draudžiama kėsintis į svetimą nuosavybę", „Leidžiama litus keisti į užsienio valiutą", „Privaloma laikytis įstatymų" yra preskripciniai. 3. Vertinančiąja funkcija išsakoma skonis, preferencijos, nuostatos, pagyrimas, peikimas ir kt. Kas nors laikomas geru, puikiu, vidutinišku, nevykusiu, blogu ir pan. Teiginiu „Blogai darei vogdamas pinigus" vertinamas pinigų vogimas. Kartu nurodomas ir pats vogimo faktas, taigi teiginys atlieka ir deskripcinę funkciją. 4. Ekspresine funkcija išreiškiami jausmai, išgyvenimai, nuotaikos ir pan., pavyzdžiui: „Perskaityta knyga žaviuosi", „Bjauru klausytis melo". Ekspresinę teiginių funkciją aiškina psichologija. Deontinė logika tiria preskripcinę teiginių funkciją (deon graikų k. - priedermė, pareiga). Deontinė logika yra teorija, tirianti normų savybes ir ją raišką samprotavimuose.
Deontinė logika dar kitaip vadinama normų logika. Ji yra modalinės logikos šaka. Normatyviniai operatoriai privaloma, draudžiama ir kiti laikomi deontiniais modalumais.
Pratimas Pateiktame tekste išskirkite deskripcijas, preskripcijas, vertinimus ir ekspresijas. Vakar sutikau S. Jį mėgstu, jis simpatiškas. Turime bendrų verslo reikalų. Jo principas - versle privalu laikytis duoto žodžio. Jis - dalykiškas ir sąžiningas partneris.
2. Normų rūšys Norma yra nuostata, reguliuojanti elgesį bei veiką. Skiriamos trys normų rūšys: taisyklės, komandos ir pagrindinės normos: 1. Taisyklės. Taisyklių yra įvairių: lošimų ir žaidimų, gramatikos, logikos, matematikos, mokslų metodologijos, eismo, etikos (pavyzdžiui, gero elgesio) taisyklės ir kt. Žaidimų (lošimų) taisyklės nustato, kokie veiksmai žaidime (lošime) leistini ir kokie veiksmai draudžiami, taigi jos apibrėžia žaidimą (lošimą). Kalbą bei raštą reglamentuoja natūralių kalbų gramatikos taisyklės, loginiuose ir matematiniuose skaičiavimuose yra savitos simbolių vartojimo taisyklės. Apskritai tariant, taisyklės standartizuoja veiklą. 2. Komandos. Šiai normų grupei priklauso direktyvos, instrukcijos, reikalavimai, perspėjimai, įsakymai, pagaliau komandos tiesiogine prasme (pavyzdžiui, „Žengte marš!"). Šioms normoms būdinga tai, kad jose yra normos autoritetas - asmuo arba grupė asmenų, formuluojanti normos vykdymą. Tas, kam norma adresuota, vadinamas normos subjektu. Normos autoritetas turi tikslą nuteikti normos subjektą atitinkamai elgtis. Kad subjektas normą žinotų,
autoritetas ją praneša; kad norma būtų vykdoma, autoritetas nurodo sankciją, grasinimą nubausti už normos nevykdymą. Beje, sankcijos numatomos ir už taisyklių nesilaikymą. Tai akivaizdu sportiniuose žaidimuose. 3. Pagrindinės normos. Tai moralės ir teisės normos: moralės principai, įpročiai ir papročiai, teisės direktyvos ir valstybės jstatymai. Antai įpročiai yra asmens elgesio reguliatoriai, jie apibūdinami tendencija panašiomis aplinkybėmis daryti panašius veiksmus. Papročius galima laikyti visuomeniniais įpročiais. Moralės ir teisės normos reguliuoja, standartizuoja elgesį bei veiklą visuomenėje. Šiose normose taip pat yra normos autoritetas ir normos subjektas. Tačiau moralės normų nereikia išdėstyti, parašyti, jų autoritetas - tų normų besilaikanti visuomenė, jos papročiai. Bausmė už papročių nesilaikymą skirtinga nuo bausmės už teisės nuostatų ir valstybės įstatymų nesilaikymą. Ji būna išreiškiama visuomeninio pasmerkimo forma. Pavyzdžiui, jei kas nors apsispręstų su niekuo nesisveikinti, tai greitai ir kiti su juo nesisveikintų, asmuo pasijustų izoliuotas nuo aplinkinių, netektų draugų ir pažįstamų. Atsisakius laikytis atgyvenusių papročių, prisijungiama prie tų socialinių grupių, kurios įtvirtina pažangias moralės normas. Kalboje normos reiškiamos imperatyvu, t. y. liepiamosios nuosakos sakiniais. Šia forma reiškiamos komandos, pavyzdžiui: „Ramiai!", „Nelipk į stulpą - užmuš!". Paplitusi normų reiškimo forma - jų reiškimas deontiniais sakiniais, t. y. sakiniais, kuriuose vartojami deontiniai terminai „privaloma", „draudžiama", „leidžiama" ir kiti, pavyzdžiui: „Pašaliniams įeiti griežtai draudžiama", „Liudytojas privalo sakyti tik tiesą", „Būtinos savigynos atveju leidžiama sužaloti užpuoliką". Normos kalboje reiškiamos ir geidžiamąja nuosaka. Antai normai „Želdinius mindžioti draudžiama" parenkama mandagi išreiškimo forma „Nemindžiokite želdinių".
Pratimai Kokiai normų rūšiai priskirtinos šios normos: 1. Vaikai privalo rūpintis nusenusiais tėvais. 2. Laukti autobuso, troleibuso, tramvajaus, automobilio, taksi leidžiama tik įlipimo-išlipimo aikštelėse, o ten, kur jų nėra - ant šaligatvio arba kelkraščio. 3. Saugokis traukinio!
3. Deontinių samprotavimų pagrindimas Pažintine prasme normos nėra nei teisingos, nei klaidingos. Jos tegali būti naudingos, patogios, efektyvios ar neefektyvios. Normos keičiamos, siekiama jas paversti vis efektyvesnėmis. Logika bendra visiems žmonėms, o normos įvairiose visuomenėse skiriasi. Neatrasta nė vienos moralės norma, kuri būtų galiojusi visose istoriškai žinomose visuomenėse. Teisingumo ir klaidingumo sąvokos gali būti pavartotos pagrindžiant normas. Antai privalėjimą nemeluoti galima pagrįsti klaidingumo sąvoka: būtų klaidinga, jei meluočiau (tačiau atsižvelgiant į atvejus, kai tiesos nesakymas pateisinamas). Normos apibūdinamos ne terminais „teisinga", „klaidinga", o kitais terminais - galiojimo, deramumo. Norma galioja, ji derama arba nederama. Kai norma laikoma teisinga, tai terminas „teisinga" turi ne loginio, o socialinio ar moralinio teisingumo reikšmę. Nepaisant to, kad normos logiškai nėra nei teisingos, nei klaidingos, normas išsakantys teiginiai sudaromi ir vartojami logiškai, jie būna prielaidos ir išvada samprotavimuose, pavyzdžiui: Privalote atlikti pareigas. Tai daryti - jūsų pareiga. Vadinasi, tai darykite.
Samprotavimai normų srityje logiški. Taip išplečiama loginės sekos samprata: išvada logiškai gaunama iš prielaidų ir tada, kai prielaidos neapibūdinamos teisingumo reikšme. Tad galima normų loginė analizė, nustatanti normų loginę struktūrą ir priemones iš vienų deontinių teiginių (prielaidų) gauti kitus deontinius teiginius (išvadas). Si analizė reikšminga teisės mokslų ir etikos srityse. Normos pagrindžiamos jas išvedant iš principų. Keblumų atsiranda pagrindžiant pačius principus.
Pratimai 1. Nurodykite samprotavimo pagrindimą: Vykdykite savo pažadus. Tai - jūsų pažadas. Vadinasi, vykdykite tai. 2. Kokia reikšme terminas „teisinga" vartojamas teiginyje „Priimtą įstatymą Seimo opozicinės partijos laikė neteisingu"?
4. Normos struktūra ir normų logikos sistemos Normą sudaro keturios dalys: 1. Normos turinys - veiksmas, kuris privalomas, draudžiamas ar leidžiamas daryti. 2. Normos taikymo sąlygos - nurodymas situacijos, kuriai esant normos numatytą veiksmą galima realizuoti. 3. Normos subjektas - asmuo arba grupė asmenų, kuriems norma adresuota. 4. Normos pobūdis reiškia, kad norma įpareigoja, leidžia arba draudžia daryti veiksmą. Tarkime, kad kelių eismo taisyklių ženklas nurodo: visoms transporto priemonėms draudžiama sukti į kairę nuo 8 iki 18 valandos. Šios normos struktūra tokia:
normos normos normos normos
subjektas - visos transporto priemonės; pobūdis - draudimas; turinys - posūkis j kairę; taikymo sąlygos - nuo 8 iki 18 vai.
Įvairios deontinės logikos sistemos skiriasi priklausomai nuo to, į kuriuos normos elementus jose atsižvelgiama. Normos turinys ir normos pobūdis išreiškiamas kiekvienoje sistemoje. Tačiau galima nekreipti dėmesio j normos taikymo sąlygas ir normos subjektą, laikyti, kad normos taikymo sąlygos visur tos pačios ir tas pats subjektas. Tada normų logika yra paprasta ir kartu gana abstrakti teorija. Tokios sistemos vadinamos absoliučiomis. Santykinės normų logikos sistemos mažiau abstrakčios, jose atsižvelgiama j normos taikymo sąlygas, „p draudžiamas situacijoje a", „p leidžiamas situacijoje a" ir panašiai yra santykinės normų logikos išraiškos, pavyzdžiui: „Stojamuosius egzaminus j aukštąją mokyklą leidžiama laikyti tik asmenims, turintiems vidurinio mokslo baigimo pažymėjimą". Sukurtos ir tokios normų logikos sistemos, kuriose atsižvelgiama į trečiąją normos dalį - jose įvairias normas vykdo įvairūs subjektai. Nors ta pačia normų logikos sistema galima reikšti įvairias normų rūšis, vis dėlto vienos sistemos geriau tinka reikšti taisykles bei komandas, kitos - pagrindines normas. 5. Absoliuti normų logika
Norminiai
veiksmai
Apžvelgsime vieną absoliučią normų logikos sistemą. Joje atliekami veiksmai skirstomi į tris pagrindines grupes. Tai veiksmai: kuriuos privaloma daryti; kurių privaloma nedaryti; kuriuos galima daryti ir galima nedaryti.
Veiksmai, kuriuos privaloma daryti, vadinami teigiamais veiksmais. Pavyzdžiui, kiekvienas privalo rūpintis savo vaikais, senais tėvais, laikytis tam tikrų elgesio taisyklių ir 1.1. Apskritai kalbant, privaloma atlikti pareigas. Veiksmai, kurią privaloma nedaryti, vadinami neigiamais veiksmais. Vėlavimas j darbą, kitų žmonių skriaudimas, nesąžiningumas ir daug kitų veiksmų yra tokie, kurių kiekvienas privalo nedaryti. Apskritai kalbant, privaloma nedaryti to, kas prieštarautų pareigoms. Veiksmai, kuriuos galima daryti ir galima nedaryti, vadinami neutraliais veiksmais. Šie veiksmai rodo subjektyvią laisvę, savarankišką apsisprendimą. Pavyzdžiui, galima savo butą keisti į kitą butą, bet jei turimas butas jums geras, galite jo nekeisti; galima parduoti savo nuosavybę, bet galima jos ir neparduoti. Specialybę pasirenkame vadovaudamiesi savo subjektyvia laisve. Jei asmuo sako, kad jis nori pasišvęsti mokslui, tai šiam jo ketinimui kliūčių nedaroma, leidžiama jam pabandyti. Panagrinėkime tokį veiksmą, kaip teatro aplankymas. Šį veiksmą sudaro visi trys pagrindiniai norminiai veiksmai. Eidami į teatrą, privalome nusipirkti bilietą, paltus, apsiaustus privalome palikti rūbinėje. Ko privalome nedaryti? Privalome nerūkyti spektaklio metu, garsiai nekalbėti, netrukdyti kitiems žiūrovams. Ką galima daryti ir ko galima nedaryti? Galima ateiti 5 minutes anksčiau, bet galima ateiti anksčiau ir 10 minučių, galima per pertrauką pasivaikščioti fojė, bet galima to ir nedaryti - galima likti žiūrovų salėje, pastovėti fojė, užsukti į bufetą. Be nurodytų trijų pagrindinių veiksmų, yra du išvestiniai norminiai veiksmai. Tai veiksmai, kuriuos turima teisė daryti; kurių turima teisė nedaryti.
Hausytojai turi teisę pateikti lektoriui klausimą, mūsų šalyje kiekvienas turi teisę į darbą, poilsį, aprūpinimą senatvėje ir kt. Daug veiksmų turime teisę nedaryti. Kiekvienas turi teisę savo santaupų
nelaikyti banke. Jis gali santaupas išleisti pirkdamas įvairius daiktus, gali santaupas laikyti namuose. Nėra teisės priversti santaupas laikyti banke. Tačiau banko patarnavimais klientui patogu naudotis. Tad iš viso yra penki norminiai veiksmai. Tai veiksmai, kuriuos privaloma daryti; kurių privaloma nedaryti; kuriuos galima daryti ir galima nedaryti; kuriuos turima teisė daryti; kurių turima teisė nedaryti.
Norminius teiginius žymėsime taip. Normos subjektą žymėsime x, veiksmą - a (pirmoji graikiškojo alfabeto raidė alfa). Žodį „privaloma" žymėsime raide 1/1/. Išraišką
Wxa skaitome: χ privalo daryti veiksmą α Išraišką
Wxa skaitome: χ privalo nedaryti veiksmo α Raide M modalinėje logikoje žymėjome galimybę. Normų logikoje galimybė suprantama kiek kitaip negu modalinėje logikoje. Galimybė čia suprantama kaip galimybė abiem kryptimis, kaip abipusė galimybė, dėl tojai žymėti prie raidės M dar pridėsime žvaigždutę. Išraišką
M*xa skaitome: χ gali daryti ir gali nedaryti veiksmo a. Operatorių „turima teisė" pažymėję raide T, išraišką
Txa skaitome: χ turi teisę daryti veiksmą a.
Išraišką
Txa skaitome: χ turi teisę nedaryti veiksmo a.
Neigimo
reiškimas
Neigimas normų logikoje reiškiamas įvairiai: 1. Neigimas tenka visam norminiam teiginiui. Išraišką
Wxa skaitome: netiesa, kad χ privalo daryti veiksmą a. Pavyzdžiui, „Netiesa, kad Jonas privalo atlikti šį darbą". Viso norminio teiginio neigimas yra abstraktaus pobūdžio. 2. Neigimas tenka operatoriams „privaloma", „turima teisė". Išraiškas
Wxa] Txa skaitome: χ neprivalo daryti veiksmo a; χ neturi teisės daryti veiksmo a. 3. Neigimas tenka žodžiui „daryti", pavyzdžiui, „privaloma nedaryti", „turima teisė nedaryti". Tai reiškiama išraiškomis
Wxa; Txa. Neigimų, nurodytų antrame ir trečiame atvejuose, nereikia painioti. Nereikia manyti, kad jie reiškia tą patį. Norma „turima teisė nedaryti" skiriasi nuo normos „neturima teisės daiyti". Teiginys „Turiu teisę per atostogas neskaityti mokslinių knygų" teisingas, o teiginys „Neturiu teisės per atostogas skaityti mokslinių knygų" klaidingas, nes nėra tokios normos, kuri draustų per atostogas skaityti mokslines knygas.
Norminių teiginių teisingumo sąlygos Norminių teiginių teisingumo sąlygos reiškiamos šia matrica: Norminiai veiksmai
Norminiai teiginiai Wxa
Wx a
M*xa
Txa
Txa
privaloma
daryti
t
k
k
t
k
privaloma
nedaryti
k
t
k
k
t
k
k
t
t
t
galima daryti ir galima
nedaryti
Kairėje matricos pusėje nurodyti trys pagrindiniai norminiai veiksmai, o dešinėje - norminiai teiginiai. Pirmoje eilutėje nurodytas veiksmas, kurį privalome daryti. Tarkime, kad tai veiksmas „privalome laikytis įstatymų". Tada teiginys „Privalome laikytis įstatymų" - teisingas, teiginys „Privalome įstatymų nesilaikyti" - klaidingas, teiginys „Galime įstatymų laikytis ir galime nesilaikyti" klaidingas, teiginys „Turime teisę laikytis įstatymų" - teisingas, teiginys „Turime teisę įstatymų nesilaikyti" - klaidingas. Antroje eilutėje nurodytas veiksmas, kurio privalome nedaryti. Tarkime, kad tai veiksmas „privalome netingėti". Tada teiginys „Privalome tingėti" - klaidingas, „Privalome netingėti" - teisingas, „Galime tingėti ir galime netingėti" - klaidingas, „Turime teisę tingėti" klaidingas, „Turime teisę netingėti" - teisingas. Trečioje eilutėje nurodytas veiksmas, kurį galima daryti ir galima nedaryti. Sakysime, kad tai veiksmas „galiu po darbo eiti pasivaikščioti ir galiu neiti pasivaikščioti". Tada teiginys „Privalau po darbo eiti pasivaikščioti" - klaidingas, „Privalau po darbo neiti pasivaikščioti" taip pat klaidingas, „Galiu po darbo eiti pasivaikščioti ir galiu neiti pasivaikščioti" - teisingas, „Turiu teisę po darbo eiti pasivaikščioti" - teisingas, „Turiu teisę po darbo neiti pasivaikščioti" - taip pat teisingas. Vadinasi, norminio teiginio teisingumas nustatomas pagal tai, koks yra norminis veiksmas ir ką apie jį teigia norminis teiginys. Jei yra veiksmas, kurį privalome daryti, ir norminis teiginys teigia, kad tą veiksmą privalome daryti, tai norminis teiginys - teisingas; jei
norminis teiginys teigia, kad to veiksmo privalome nedaryti, tai toks norminis teiginys - klaidingas, ir 1.1. Trumpumo dėlei teigiamą, privalomą daryti veiksmą žymėsime ženklu 1 *; neigiamą, privalomą nedaryti veiksmo - ženklu O*; neutralų, galimą daryti ir galimą nedaryti veiksmą - ženklu У2*. Išnagrinėsime norminių teiginių teisingumo sąlygas tuo atveju, kai neigimas tenka operatoriams „privaloma", „turima teisė". Sudarome matricą:
1* 0* 1/2*
Wxa
Txa
k
k
t
t
t
k
Pirmoje matricos eilutėje nurodytas veiksmas, kurį privalome daryti. Tarkime, kad tai veiksmas „dirbti profesionaliai". Tada teiginys „Neprivalome dirbti profesionaliai" - klaidingas, teiginys „Neturime teisės dirbti profesionaliai" - taip pat klaidingas. Antroje eilutėje nurodytas veiksmas, kurio privalome nedaryti. Tarkime, kad tai veiksmas „praleidinėti seminarus". Tada teiginys „Neprivalome praleidinėti seminarų" - teisingas, teiginys „Neturime teisės praleidinėti seminarų" - taip pat teisingas. Trečioje eilutėje nurodytas veiksmas, kurį galima daryti ir galima nedaryti. Tarkime, kad tai veiksmas „pirkti televizorių". Tada teiginys „Neprivalau pirkti televizoriaus" - teisingas, teiginys „Neturiu teisės pirkti televizoriaus" - klaidingas. Palyginę abi matricas, nustatome, kad teiginių Wxa (x neprivalo daryti veiksmo a) ir Txa (x turi teisę nedaryti veiksmo a) matricos vienodos. Vadinasi, šie teiginiai ekvivalentus:
Wxa ~ Txa. Taip pat matome, kad teiginio Txa (x neturi teisės daryti veiksmą a) ir teiginio Wxa (x privalo nedaryti veiksmo a) matricos vienodos, šie teiginiai taip pat ekvivalentus:
Txa ~ Wxa.
V e i k s m ų „ t u r i m a t e i s ė d a r y t i " ir „turima teisė nedaryti" samprata 1. Veiksmas „turima teisė daryti" suprantamas remiantis veiksmu „privaloma daryti":
Wxa-^Txa. Skaitome: jei χ privalo daryti veiksmą a, tai χ turi teisę daryti veiksmą a. Ši išraiška rodo, kad turime teisę daryti tai, ką privalome daryti. Ką reiškia, kad turime teisę į mokslą? Šią teisę reikia suprasti taip: jei privalome mokytis, tai turime teisę mokytis. Šiuolaikinė visuomenė be mokslo neįsivaizduojama, visuomenės nariai privalo būti išsimokslinę, todėl ir yra teisė į mokslą. Kai sakoma, kad turime teisę į poilsį, tai šią teisę reikia suprasti taip: niekas negali dirbti kiaurą parą, reikalingas poilsis atstatyti išeikvotai fizinei ir dvasinei energijai, žmogus privalo ilsėtis. Jei privalome ilsėtis, tai ir turime teisę ilsėtis. Matrica įrodoma, kad išraiška Wxa-^Txa yra normų logikos dėsnis. Wxa
Txa
Wxa->Txa
1*
t
t
t
0*
k
k
t
1/2*
k
t
t
2. Veiksmas „turima teisė daryti" suprantamas, remiantis veiksmu „galima daryti ir galima nedaryti".
M* xa—>7xoc. Skaitome: jei χ gali daryti ir gali nedaryti veiksmo a, tai χ turi teisę daryti veiksmą a. Pavyzdžiui, jei galiu eiti į koncertą filharmonijoje ir galiu į jį neiti, tai turiu teisę eiti į koncertą filharmonijoje. Teisė klausytis filharmonijoje koncerto neginčytina.
Kad išraiška M*χα—>Txa yra normų logikos dėsnis, rodo jos matrica: M*x a
Txa
M*xa—> Txa
1*
k
t
t
0*
k
k
t
Vl*
t
t
t
Panašiai dvejopai suprantamas ir veiksmas „turima teisė nedaryti": Wxa—>Txa. M*
χο.—ϊΤχα.
Šias išraiškas skaitome: jei χ privalo nedaryti veiksmo a, tai χ turi teisę nedaryti veiksmo a; jei χ gali daryti ir gali nedaryti veiksmo a, tai χ turi teisę nedaryti veiksmo a. Pavyzdžiui, jei galiu eiti j koncertą filharmonijoje ir galiu į jį neiti, tai turiu teisę neiti į koncertą filharmonijoje. Logika negali nurodyti, kokius konkrečius veiksmus privalome daryti, kokių konkrečių veiksmų privalome nedaryti ir kokius konkrečius veiksmus galime daryti ir galime nedaryti. Tai ne logikos, bet kitų mokslų, socialinio patyrimo reikalas. Logika nustato tik bendras taisykles: jei kurį nors veiksmą privalome daryti, tai jį turime teisę daryti, ir kt.
Dėsniai Aptartos išraiškos yra absoliučios normų logikos dėsniai. Apžvelgsime dar kitus dėsnius. 7χα->7χα. Skaitome: jei χ neturi teisės daryti veiksmo a, tai χ turi teisę nedaryti veiksmo a.
Šis dėsnis reiškia tą patį, ką ir dėsnis Wxa-^Txa, nes buvo parodyta, kad teiginys Txa ekvivalentus teiginiui Wxa. Txa—>Txa. Skaitome: jei χ neturi teisės nedaryti veiksmo a, tai χ turi teisę daryti veiksmą a. Šis dėsnis reiškia tą patį, ką ir dėsnis Wxa->Txa, nes Txa ekvivalentu Wxa.
M*xa ~ (Txa · Txa). Skaitome: teiginys „x gali daryti ir gali nedaryti veiksmo a" ekvivalentus teiginiui „x turi teisę daryti veiksmą α ir χ turi teisę nedaryti veiksmo a". Teiginys „Onutė gali tekėti už Jono ir gali už Jono netekėti" ekvivalentus teiginiui „Onutė turi teisę tekėti už Jono ir Onutė turi teisę už Jono netekėti". Kadangi Txa ~ Wxa, tai šį dėsnį galima taip pertvarkyti:
M*xo. ~ (Txa · Wxa). Skaitome: teiginys „x gali daryti ir gali nedaryti veiksmo a" ekvivalentus teiginiui „x turi teisę daryti veiksmą α ir χ neprivalo daryti veiksmo a". Teiginys „Onutė gali tekėti už Jono ir gali už Jono netekėti" ekvivalentus teiginiui „Onutė turi teisę tekėti už Jono ir neprivalo už jo tekėti".
Wxa.—>M*xa. Skaitome: jei χ privalo daryti veiksmą a, tai netiesa, kad χ gali daryti ir gali nedaryti veiksmo a. Pavyzdžiui, privalome gerbti vyresniuosius. Iš čia seka, kad neteisinga teigti, jog vyresniuosius galime gerbti ir galime jų negerbti.
TxaVTxa.
Skaitome: χ turi teisę daryti veiksmą α arba χ turi teisę nedaryti veiksmo a. Pavyzdžiui, dekanatas turi teisę pristatyti studentą A stipendijai gauti arba tokios teisės neturi. Pažymėsime, kad išraiška WxaS/Wxa nėra dėsnis. Šioje išraiškoje teigiama, kad kokį nors veiksmą privaloma daryti arba privaloma jo nedaryti. Tačiau žinome, kad yra dar ir trečia veiksmų grupė - veiksmai, kuriuos galima daryti ir galima nedaryti. Kad minėtoji išraiška nėra logikos dėsnis, įrodo ir jos matrica.
1*
Wxa
Wxa
t
k
WxaMWxa t
O*
k
t
t
Vi*
k
k
k
Paskutiniame matricos stulpelyje yra ir reikšmė „klaidinga", vadinasi, pateiktoji išraiška nėra bendrareikšmė.
Pratimai 1. Kokiai norminių veiksmų grupei priskirtini šie veiksmai: a) reikia daryti. b) nebūtina daryti. 2. A r teiginys „Jei χ turi teisę daryti veiksmą a , tai χ turi teisę nedaryti veiksmo a " yra dėsnis? 3. Ar teisingai samprotaujama: a) Jei privalau daryti veiksmą, tai turiu teisę jį daryti. Iš to seka, kad jei neturiu teisės veiksmo daryti, tai neprivalau jo daryti. b) Jei netiesa, kad χ gali daryti ir gali nedaryti veiksmo a , tai χ privalo daryti veiksmą a .
6. Minimali normų logika Absoliuti normų logika vadinama minimalia, kai joje vartojamos ribotos, minimalios formalizavimo priemonės: simboliai, žymintys normatyvinius operatorius „privaloma", „draudžiama" ir kt., teiginiai p, q, r bei teiginių logikos jungtys. Minimalioje absoliučioje deontinėje logikoje vartojami šie norminiai operatoriai: privaloma, leidžiama, indiferentiška, draudžiama, taip pat jų neigimai. Operatorių „privaloma" žymėsime O (pirmoji raidė anglų k. žodžio obligatory - „privalomas"); operatorių „leidžiamas" - P (pirmoji raidė anglų k. žodžio permit - „leisti"); „indiferentiška" - I; „draudžiama" - F (pirmoji raidė anglų k. žodžio forbid - „drausti"). Išraiškas su norminiais operatoriais skaitome: Op - privaloma, Pp - leidžiama, Ip - indiferentiška, Fp - draudžiama. Šie teiginiai nusako būvius, kurių realizavimas atitinka žmogaus galimybių ribas. Išraiška Op neteigia, kad teiginys p privalomas. Ji teigia, kad privalomas veiksmas, realizuojantis teiginiu p nusakomą būvį. Išraiška Fp teigia, kad nedraudžiamas veiksmas, realizuojantis teiginiu p nusakomą būvį. Panašiai suprantamos ir kitos minimalios normų logikos išraiškos. Apžvelgsime operatorių O1 P, I, F apibrėžimus. Terminą „leidžiama" laikydami pradiniu, šioje sistemoje neapibrėžiamu, juo apibrėšime kitus tris operatorius. Op ~ Pp. Skaitome: išraiška „p privaloma" ekvivalenti išraiškai „ne-p neleidžiama". Teiginys „Privaloma tausoti valstybės turtą" ekvivalentus teiginiui „Valstybės turto netausoti neleidžiama".
Fp - Pp. Skaitome: išraiška „p draudžiama" ekvivalenti išraiškai „p neleidžiama". Teiginys „Nepilnamečiams parduoti rūkalus draudžiama" ekvivalentus teiginiui „Nepilnamečiams parduoti rūkalus neleidžiama".
Ip ~ (Pp • Pp). Skaitome: išraiška „p indiferentiška" ekvivalenti išraiškai „leidžiama p ir leidžiama ne-p". Operatoriumi „draudžiama" apibrėšime privalėjimą, leidimą, neutralumą ir jų neigimus.
Op - Fp. Op-Fp. Pp - Fp. Pp-Fp. Ip ~ (Fp • Fp). Ip - (FpVFp). Pateiksime kai kuriuos kitus minimalios normų logikos dėsnius.
Op-^Pp. Skaitome: jei p privaloma, tai p leidžiama. Kiekvieną veiksmą, kurį privaloma atlikti, kartu ir leidžiama atlikti. Pp - (OpV/p). Skaitome: išraiška „p leidžiama" ekvivalenti išraiškai „p privaloma arba p indiferentiška". Op^Tp. Skaitome: jei p privaloma, tai p neindiferentiška.
Jei veiksmą privalome daryti, tai neteisinga tvirtinti, kad esame tam veiksmui indiferentiški. Panašiai aiškintina ir išraiška
Op • Op. Skaitome: netiesa, kad p privaloma ir ne-p privaloma. Šis dėsnis išreiškia norminį neprieštaringumą, kaip ir dėsnis Op · Fpl kurį skaitome: joks veiksmas nėra kartu privalomas ir draudžiamas. Fp-Pp Skaitome: joks veiksmas nėra kartu draudžiamas ir leidžiamas. Fp · Pp pripažinimas įteisintų savivalę, anarchiją ir nihilizmą.
0(p-q)~(0p
· Oq).
Skaitome: jei konjunkcija privaloma, tai privalomas kiekvienas jos narys. F (pVqr) ~ (Fp · Fq). Skaitome: išraiška „draudžiama p arba q" ekvivalenti išraiškai „draudžiama p ir draudžiama Nesunku pastebėti atitikimą tarp minimalios normų logikos ir absoliučios normų logikos. Žodį „atitinka" pažymėję ženklu =, nustatome šį abiejų sistemų operatorių panašumą: privaloma ~ privaloma daryti; leidžiama = turima teisė daryti; indiferentiška ~ galima daryti ir galima nedaryti; draudžiama = privaloma nedaryti.
Tad išraiškos Op, Ppl lp, Fp gali būti apibrėžiamos tomis pačiomis absoliučios normų logikos matricomis:
Op
Pp
1* 0*
t
t
Ip k
Fp k
k
k
k
t
Vl*
k
t
t
k
Sudarysime matricą išraiškai
1* 0* Vi*
Fp^(OpVIp).
Fp t
Op t
Ip k
OpVIp t
t
k
k
k
k
t
t
k
t
t
t
Fp^(OpVIp)
Matrica rodo, kad išraiška yra deontinės logikos dėsnis. Kita vertus, lengva pastebėti, kad normų logikos operatoriai atitinka modalinėje logikoje tiriamus modalumus: privaloma = būtina; leidžiama = galima; indiferentiška = atsitiktina; draudžiama = negalima.
Pateiksime pavyzdžių. „Privaloma nesitaikstyti su trūkumais" = „Būtina nesitaikstyti su trūkumais". „Garsiniai signalai gyvenvietėse draudžiami. Išimties tvarka leidžiama duoti garsinį signalą siekiant išvengti kelių transporto įvykio" = „Garsiniai signalai gyvenvietėse negalimi. Išimties tvarka galima duoti garsinį signalą siekiant išvengti kelių transporto įvykio". iŽ-Л P r a t i m a i 1. Ar išraiškos a) Ip ~ (Op • Fp); b) Pp->/p yra minimalios normų logikos dėsniai? 2. Išraišką M*xa ~ (Txa • Wxa) užrašykite minimalios normų logikos simboliais.
7. Aukštesnės eilės normos Norma yra aukštesnės eilės, kai ji apibudina ne buvį, bet kitą normą.
POp skaitoma: leidžiama, kad būvis p būtų privalomas. Pvz., aukščiausia teisinė valdžia leidžia išleisti normą, kad tam tikrą veiką padarius privaloma; antai leidžiama, kad komendanto valanda taptų privaloma.
OOp skaitome: privaloma, kad būvis p privalomas. Pavyzdžiui, aukščiausia valdžia įsako, kad tam tikras mokesčių padidinimas taptų privalomas.
Op-^PPp skaitome: jei p privaloma, tai neleidžiama, kad būtų leidžiama nep. Pavyzdžiui, įstatymų leidėjas, nustatęs, kad norma - privaloma, neleidžia, kad būtų išleista jai prieštaraujanti norma.
OPp skaitome: privaloma, kad būtų leidžiama ne-p. Antai privaloma leisti išsakyti ir priešingą požiūrį.
^D
Pratimai
1. Ar išraiška FOPp tiksliai skaitoma: draudžiama, kad būtų privaloma neleisti p? 2. Formalizuokite teiginį „Uždraudusi tam tikrą veiką, valdžia neleidžia, kad toji veika taptų laisvai pasirenkama".
VIII
SKYRIUS
Vertinimų logika
Vertinančiaisiais teiginiais reiškiami žmogaus vertinimai: ką jis laiko gėriu, blogiu, kam yra indiferentiškas, pavyzdžiui: „Sudedama baidarė - geras daiktas", „Jonaitis elgiasi blogai", „Daryti A naudingiau, negu daryti B". Vertinimų logika yra logikos sritis, tirianti vertinimų (išsakomų žodžiais „geras", „blogas", „indiferentiškas" irkt.) reiškimą samprotavimuose. Vertinimų logika yra modalinės logikos šaka, vertinimus išreiškiantys žodžiai vadinami aksiologiniais modalumais, arba aksiologiniais operatoriais (graikų k. axios - vertingas). Pati vertinimų logika dar kitaip vadinama formaliąja aksiologija. Loginių santykių nustatymas tarp aksiologinių operatorių „geras", „blogas", „indiferentiškas", „geriau", „taip pat blogai" ir kitų yra pagrindinis vertinimų logikos uždavinys.
1. Vertinimo struktūra Vertinimą sudaro keturios dalys: 1. Vertinimo subjektas yra asmuo arba klasė asmenų, kurie vertina. Formalizuojant vertinimą, vertinimo subjektas nenurodomas. Logikos simboliais jį išreikšti nėra reikalo, nes postuluojama (t. y. iš anksto priimama), kad visame samprotavime figūruoja tas pats vertinantis subjektas. Vadinasi, nors vertinimai yra reliatyvūs (kas gera vieniems, kitiems gali nebūti gera), visus vertinimus priskyrus tam pačiam subjektui, reliatyvumas pašalinamas. 2. Vertinimo objektai - tai tie objektai, kuriems vertinimai skiriami. Teiginyje „Spektaklis gerai pastatytas" vertinamas spektaklis,
teiginyje „Geriau eiti pėsčiomis negu važiuoti troleibusu" vertinamas būdas pasiekti tam tikrą vietą. Vertinimo objektai ne visuomet būna akivaizdūs. Teiginyje „50 000 litų - geras daiktas automobiliui įsigyti" pirmiausia vertinami ne pinigai, o automobilis. Be to, pinigai vertinami kaip priemonė ne bet kokiam, o geram automobiliui įsigyti. Taigi A geras tiek, kiek geras B ir kiek A įgalina įsigyti B. Moralinių vertinimų objektus išskirti yra kur kas sudėtingiau. Čia vertinami veiksmai, veiksmų motyvai, ketinimai, apsisprendimai, jausmai, charakteriai, atitinkamai besielgiantys ir jausmus bei valios aktus išgyvenantys asmenys. Nepaisant to, kiekviename vertinime yra jo objektas, nors jį kartais būna nelengva nustatyti. 3. Vertinimo pobūdis nurodo, kaip vertinama. Pagal tai vertinimai skirstomi į absoliučius ir palyginamuosius. Absoliutūs vertinimai reiškiami terminais geras - indiferentiškas - blogas; gerai - indiferentiškai - blogai.
Palyginamieji vertinimai reiškiami terminais geriau - lygiavertiškai - blogiau.
Vertinančiosios sąvokos sudaro ir kitokius tripletus, pavyzdžiui, susidedančius iš dviejų absoliučių vertinančiųjų terminų ir vieno palyginamojo: gerai - geriau - blogai.
Tokiais tripletais galima išreikšti ir estetines vertybes: gražu - indiferentiška - bjauru.
„Gražu" atitinka sąvoką „estetiškai gerai", „bjauru" - „estetiškai blogai". Įprastoje kalboje gausu vertinimus išreiškiančių žodžių:
puikus
neblogas
naudingas
teigiamas
nekoks
girtinas
pusėtinas
niekam tikęs
peiktinas
vidutinis
nenaudingas
kokybiškas
ir kt. Loginėje vertinimų teorijoje jie prilyginami tam tikroms standartinėms išraiškoms. 4. Vertinimo pagrindas yra požiūris, kuriuo vertinama, t. y. tie argumentai, kurie verčia subjektą ką nors girti, peikti, būti indiferentiškam.
0tū
P r a t ii m a s
Nustatykite vertinimo objektą, pobūdį ir pagrindą teiginyje „Žiemos sportas - puiki priemonė sveikatai stiprinti".
2. Gėrio rūšys Gėrio sąvoka vartojama bent šešiomis skirtingomis prasmėmis. Instrumentinis gėris priskiriamas apyvokos reikmenims, įrankiams, instrumentams. Pavyzdžiui, sakoma: „Šis laikrodis - geras", „N markės užraktai niekam tikę". Techninis gėris taikomas apibūdinti gebėjimui, meistriškumui. Techninis gėris reiškia gebėjimą sėkmingai atlikti kokią nors veiklą, būti geru specialistu. Sakoma: „gera mokytoja", „blogas siuvėjas", „vidutinis aktorius". Medicininis gėris - tai gera kūno organų ir protinių gebėjimų būklė. Sakoma: „geros akys", „gera atmintis", „gera vaizduotė". Utilitarinis gėris nusako objektų naudingumą ar nenaudingumą. „Geras planas", „geros naujienos" - tai utilitariniai vertinimai. Hedonistinis gėris sutampa su tuo, kas įprastoje kalboje reiškiama žodžiais „malonu", „malonumas". Sakoma: „geri pietūs", „blogas oras", „gera maudyklė".
Gėris, taikomas žmogaus charakteriui ir elgesiui, apibūdina žmogaus psichines savybes ir jų išraišką elgesyje. Sakoma: „geri norai", „geras poelgis", „gera valia".
Pratimas Nustatykite, apie kokią gėrio rūšį kalbama: 1. Geras kvapas. 2. Gera dėžė. 3. Geras sumanymas. 4. Geras rašytojas. 3. Vertinančiųjų samprotavimų pagrindimas Ar vertinančiuosius teiginius galima laikyti teisingais ir klaidingais? Šiuo klausimu nėra vieningos nuomonės. Jį sprendžiant, reikia išsiaiškinti, kokias funkcijas atlieka vertinimus išreiškiantys žodžiai „geras", „blogas" ir kt. Pasirodo, jie atlieka dvi pagrindines funkcijas. Tai: 1. Ekspresinė funkcija. Įvairiomis vertinančiomis sąvokomis reiškiamas pasitenkinimas, nepasitenkinimas, malonumas, kančia, skonis ir kt. Sakoma: „man patinka", „esu pasipiktinęs", „man vis tiek" ir 1.1. Tokie vertinimai ne deskriptyvūs, jie išreiškia psichines būsenas, kurios individualiai kinta. Vertinimai, kuriuose vertinančios sąvokos atlieka ekspresinę funkciją, nėra nei teisingi, nei klaidingi. 2. Atitikimo funkcija. Ji reiškia, kad vertinančios sąvokos apibūdina vertinamų objektų santykį su tam tikrais pavyzdžiais, standartais. Kai sakoma „Šie batai geri", „Petraitis yra geras studentas", „N yra nekultūringas žmogus", tai šiais vertinimais reiškiama ne tik subjektyvi nuomonė, bet ir tam tikras apibūdinimas, lyginimas su atitinkamais standartais. Yra gerų batų, gero studento, nekultūringo žmogaus standartai. Daugelis logikų mano, kad vertinimai, kuriuose vertinančios sąvokos atlieka atitikimo funkciją, gali būti teisingi arba klaidingi. Teiginys „Petraitis yra geras studentas" tei-
singas, jei ir tik jei Petraitis yra studentas ir atitinka reikalavimus, keliamus geriems studentams. Teiginys „Šie batai geri" klaidingas, jei ir tik jei šie batai neatitinka gerų batų standarto, t. y. neatitinka reikalavimų, keliamų geriems batams. Tačiau ne visiems objektams yra aiškūs standartai. Be to, ne visi standartai yra visuotiniai, vienose epochose ir šalyse - vieni standartai, kitose - jau kiti. Geru karvedžiu dabar laikome tą, kuris, be kitų privalumų, moka suklaidinti priešą, smogti jam nelauktą smūgj. Tačiau senovės Romoje gero karvedžio samprata buvo kitokia. Romėnų karo vadas Liucijus Marcijus, kariaudamas su Makedonijos karaliumi Persėju, norėdamas laimėti laiko, pradėjo taikos derybas. Karalius sutiko keletui dienų padaryti paliaubas, tuo romėnams suteikdamas galimybę atsigauti, susitvarkyti ir sumušti jo paties kariuomenę. Tačiau Romos senatoriai pasmerkė Marcijaus gudrumą, laikydami, kad jo veiksmai prieštarauja karo nuostatams, skelbusiems, kad priešininką reikia įveikti narsa, o ne jviliojimu j spąstus ir naktiniais užpuolimais, ne apgaulingu bėgimu ir nelauktu smūgiu.
Vertinimai pagrindžiami ir empiriniu žinojimu. Medicinai atskleidus rūkymo žalą sveikatai, požiūris, kad rūkymas esąs gėris arba neutralus reiškinys, buvo paneigtas, rūkymas laikomas blogo skonio išraiška. Vis dėlto net tada, kai vertinimai nėra nei aiškiai teisingi, nei aiškiai klaidingi, jie gali būti samprotavimo prielaidomis ir iš jų galima daryti logiškas išvadas. Taip išplečiama loginės sekos samprata: loginę seką gali sudaryti ir teiginiai, neapibūdinami teisingumo ar klaidingumo požiūriu.
Pratimas Ar priskirtina teisingumo bei klaidingumo reikšmė šiems teiginiams: 1. Džiazo muzikos negaliu pakęsti. 2. Lentvario kilimų fabriko kilimai - geri. 3. Jonaitis yra aukštos kvalifikacijos specialistas.
4. Absoliučių vertinimų logika Įvairios vertinimų loginės sistemos tarpusavyje skiriasi jose vartojamomis vertinančiosiomis sąvokomis (aksiologiniais operatoriais). Absoliučioje vertinimų logikoje vartojami šie operatoriai: geras gerai gėris -
indiferentiškas indiferentiškai indiferentiškumas
-
blogas; blogai; blogis.
Juos žymėsime šiomis raidėmis: „geras", „gerai", „gėris" - G; „indiferentiškas", „indiferentiškai", „indiferentiškumas" - /; „blogas", „blogai", blogis" - H. Indiferentiška - tai nei gera, nei bloga. Absoliučios vertinimų logikos pagrindas - dvireikšmė teiginių logika. Teiginiais p, q, r absoliučioje vertinimų logikoje nusakomi kokie nors būviai, jie paskui vertinami - laikomi gerais, indiferentiškais arba blogais. Gp skaitoma: p geras (gėris); Ip skaitoma: p indiferentiškas (indiferentiškumas); Hp skaitoma: p blogas (blogis).
Tad išraiška Gp teigia ne tai, kad teiginys p yra gėris; ši išraiška tvirtina, kad gėris yra tam tikras būvis, nusakomas teiginiu p. Vertinimų logikos operatoriai susiję ne su teiginiais, prieš kuriuos jie rašomi, o su šiuos teiginius nusakomais būviais. Šiuo požiūriu vertinimų logika nesiskiria nuo kitų modalinės logikos sričių.
Sistema
GH
Šioje sistemoje vartojami du operatoriai: geras - blogas; gerai - blogai; gėris - blogis.
Gėris - tai teigiama vertybė, blogis - neigiama vertybė. Kaip apibrėžti G ir ΗΊ Pasirodo, kad nėra bendro šių operatorių apibrėžimo. Gėrį reikia diferencijuoti skiriant jo rūšis. Kai kurioms gėrio rūšims tinka šis apibrėžimas:
Gp ~ Hp. Skaitome: būvis yra geras, jei ir tik jei priešingas būvis yra blogas. Toks gėrio apibrėžimas tinka, pavyzdžiui, techniniam gėriui, kai gėris suprantamas kaip mokėjimas kažką daryti, o blogis - kaip nemokėjimas to daryti. Mokėjimas plaukti yra gėris, ypač laivui skęstant. Užsienio kalbų mokėjimas yra gėris visais atvejais. Šią sampratą išreiškia ir apibrėžimas Gp ~ Hp. Skaitome: būvis yra geras, jei ir tik jei jis nėra blogas. Panašiai blogis gali būti apibrėžtas operatoriumi „gėris":
Hp ~ Gp. Skaitome: būvis yra blogas, jei ir tik jei jam priešingas būvis yra geras.
Hp ~ Gp. Skaitome: būvis yra blogas, jei ir tik jei jis nėra geras. Tačiau daugeliui gėrio rūšių šie apibrėžimai netinka, nes jose tarp gėrio ir blogio yra tarpinės grandys. Iš išraiškos Gp ne visuomet seka Hp, t. y. jei kas nors nėra gera, tai ne visuomet tai laikoma blogiu. Hedonistiniame gėryje malonumų nebuvimas dar nėra kančia. Jei lenktynių arklys nėra geras, tai iš to dar neseka, kad jis blogas - arklys gali būti vidutinis. Panašiai iš išraiškos Hp ne visuomet seka Gp, t. y. jei kas nors nėra bloga, tai ne visuomet tai yra gera. Jei slidės nėra blogos, tai iš to dar neseka, kad jos geros - slidės gali būti vidutiniškos kokybės.
Apžvelgsime kitas svarbesnes sistemos GH išraiškas. Gp->Gp. Skaitome: jei būvis geras, tai jam priešingas būvis nėra geras. Šioje išraiškoje implikaciją pakeitę konjunkcija, gausime: Gp · Gp. Pašalinę dvigubą neigimą, gausime prieštaravimo dėsnį vertinimų logikoje: Gp · Gp. Skaitome: netiesa, kad būvis ir jam priešingas būvis kartu yra geri. Pvz., vienas asmuo tvirtina, kad koks nors būvis yra geras - Gp, kitas asmuo tvirtina Gp, t. y. kad priešingas būvis geras. Tačiau tas pats asmuo negali tvirtinti Gp ir Gp. Visose sistemos GH išraiškose, kuriose yra operatorius G, jis gali būti pakeistas operatoriumi H. Tai padarę pateiktoje išraiškoje, gausime:
Hp · Hp. Skaitome: netiesa, kad būvis ir jam priešingas būvis kartu yra blogi. Gp · Hp. Skaitome: joks būvis nėra kartu geras ir blogas. (Gp • Gq)->G (p · q). Skaitome: jei būvis p geras ir būvis q geras, tai šių būvių konjunkcija taip pat gera. [Gp · G(p-4>q)]—>Gq. Skaitome: jei p geras ir gerai, kad iš p seka q, tai q geras.
Išvedant vertinimų logikos išraiškas iš teiginių logikos, kartais kyla sunkumų dėl jų aiškinimo. Antai teiginių logikos išraiška p->(qf—>p) tvirtina: teisingas teiginys seka iš bet kurio kito teiginio. Vertinimų logikoje ji įgytų tokį pavidalą: Gp^G(q—>p). Skaitome: jei p geras, tai gerai, kad jei q, tai p. Šios išraiškos priėmimas ar nepriėmimas priklausys nuo to, kaip suprasime išraišką „gerai, kad jei q, tai p", t. y. G(q—>p). Jei ją aiškinsime taip, kad būvis q geras, nes jis įgalina pasiekti p, tai išraišką G p ^ G { q ^ p ) turėtume skaityti taip: jei p geras, tai geras kiekvienas būvis, vedantis į p atsiradimą. Tokio tvirtinimo negalima priimti, jis būtų principo „tikslas pateisina priemones" loginis įteisinimas.
Sistema
GHI
Šioje sistemoje vartojami trys operatoriai: geras gerai -
indiferentiškas indiferentiškai
-
blogas; blogai;
gėris
indiferentiškumas
-
blogis.
-
Indiferentiškumas reiškia, kad asmuo būviui yra abejingas, neutralus, būvio jis nelaiko nei teigiama vertybe (gėriu), nei neigiama vertybe (blogiu).
Ip ~ (Gp · Hp). Skaitome: būvis indiferentiškas, jei ir tik jei jis nėra geras ir nėra blogas. Jei kas nors rūkymo nelaiko nei gėriu, nei blogiu, tai rūkymą vertina indiferentiškai. Kai būvis vertinamas indiferentiškai, tai priešingas būvis taip pat vertinamas indiferentiškai. Pavyzdžiui, kas abejingas rūkymui, tas abejingas ir nerūkymui, taigi:
Ip ~ Ip.
Susipažinsime su kitomis svarbesnėmis sistemos GHI išraiškomis. GpVHpV Ip. Skaitome: kiekvienas būvis yra geras arba blogas, arba indiferentiškas.
Gp^(HpVIp). Skaitome: jei būvis nėra geras, tai jis yra blogas arba indiferentiškas.
Hp^(GpVIp). Skaitome: jei būvis nėra blogas, tai jis yra geras arba indiferentiškas.
Tp^(GpVHp). Skaitome: jei būvis nėra indiferentiškas, tai jis yra geras arba blogas. Gp-^/p. Skaitome: jei būvis geras, tai jis nėra indiferentiškas. I
(q->p)^lp.
Skaitome: jei indiferentiška, kad iš būvio q seka būvis p, tai būvis p indiferentiškas. I (p->q)-»/p. Skaitome: jei indiferentiška, kad iš būvio ne-p seka būvis q, tai būvis p indiferentiškas. Pavyzdžiui, jei kas nors abejingas (indiferentiškas) gydytojo nurodymams, kad, nesilaikant režimo, jo liga pasunkės, tai jis indiferentiškas nurodymams laikytis režimo.
Vertinimų logika, pradėta intensyviai tirti nuo XX a. vidurio, tebesiformuoja. Joje esama diskusinių ir neišspręstų problemų. Tačiau loginė vertinimų analizė rodo, kad neteisinga manyti, jog vertinimai nepriklauso racionalių samprotavimų sričiai, kad jie alogiški. Vertinimų loginė analizė naudinga mokslui ir praktinei veiklai. Ja gali naudotis psichologai, sociologai ir filosofai. Ja remiantis, galima numatyti pavienių žmonių ir socialinių grupių elgesį. Žinoma, vertinimų logika negali pakeisti etikos, sociologijos ar psichologijos. Ji tik padeda šiems mokslams tiksliau reikšti samprotavimus, sugriežtina vartojamas sąvokas ir įrodymus.
Pratimai 1. Formalizuokite šiuos teiginius: a) Prieštaringas būvis negali būti geras. b) Jei būvis indiferentiškas, tai netiesa, kad jis yra geras arba blogas. 2. Ar išraiškos a) lp—>Hp\ b) Ip-^Gp
yra vertinimų logikos dėsniai?
5. Aukštesnės eilės vertinimai Aukštesnės eilės yra vertinimas, kurio objektas - kitas vertinimas.
GGp skaitome: gerai, kad p geras.
GHp skaitome: gerai, kad p blogas. Asmuo būvį p vertina neigiamai ir yra įsitikinęs, kad jo išsakytas būvio p vertinimas yra pozityvus (ati-
tinka posakį „Taip jam ir reikia", t. y. gerai, kad jam taip blogai atsitiko). Gp^HGp skaitome: jei p nėra geras, tai blogai, kad p nėra geras. HGHp skaitome: blogai, jog gerai, kad p blogas. Šią išraišką galima taip aiškinti: išsakomas asmens neigiamas požiūris į teigiamą vertinimą savo paties konstatuoto blogo p būvio, t. y. asmuo savo vertinimo „gerai, kad p blogas" atsisako.
03)
Pratimas
Formalizuokite vertinimus: 1. Blogai, kad p blogas. 2. Gerai, kad p nėra blogas.
6. Vertinimai ir normos Esama išraiškų, kuriomis išsakoma ir normos, ir vertinimai. Tokios yra idealios taisyklės, pavyzdžiui: Laikrodis turi rodyti tikslų laiką. Karys turi būti narsus. Nė vienas nekaltas neturi būti nuteistas.
Tikslinės normos nurodo tai, kas privalu, gali ar negali būti daroma pasiekti tam tikram rezultatui, pavyzdžiui: Jei norite A, turite daryti B.
Vertinimai ir normos susipina. Išraiška Fp^Gp skaitoma: jei p draudžiamas, tai p nėra geras.
Op^Hp skaitoma: jei p privalomas, tai p nėra blogas. Gp · Fp skaitoma: netiesa, kad p geras ir p draudžiamas. Į klausimą, kas labiau pamatinis - normos ar vertinimai, - galimi trys atsakymai: 1. Vertinimai yra labiau pamatiniai. Normos išgaunamos iš vertinimų, normos kuriamos vertinimų pagrindu. Kad kas nors būtų privaloma, jis turi būti laikomas gėriu: Gp-^Op. Vis dėlto ši išraiška ne visuomet galioja. Tik kai kurie geri būviai yra privalomi, kiti geri būviai yra tik gėris, bet nėra privalomi. Tad išraiška Vp (Gp^Op) (kiekvienas p, jei p geras, tai p privalomas) nepasitvirtina, ji nėra visuotinai galiojanti. Pasitvirtina išraiška 3p (Gp • Op). Nepasitvirtina ir išraiška
Vp (Hp^Fp)l t. y. kad kiekvienas blogas būvis draudžiamas. Kadangi viso blogio
visuomenėje pašalinti neįmanoma, tai visuomenė, būdama pakankamai stipri, kartu yra atlaidi, leidžia nežymų blogį. Visuomeniniuose ir privačiuose santykiuose blogio leidimas dar grindžiamas „mažesnio blogio principu": mažesnis blogis leidžiamas siekiant išvengti didesnio blogio, kurio įveika pareikalautų didesnių sąnaudų negu mažesnio blogio sukeliama žala. Tad pasitvirtina išraiška
Bp (Hp • Fp). 2. Normos yra labiau pamatinės negu vertinimai. Pareiga, privalėjimai ir draudimai labiau pamatiniai, jie lemia vertinimus. Vis dėlto išraiška V p (Op->Gp) (kiekvienas p, jei p privalomas, tai p geras) nepasitvirtina. Ne kiekvienas privalomas būvis yra geras. Diktatoriniame režime valstybę valdančios klikos priimti įstatymai paverčiami privalomais, tačiau jie daugiausia nėra gėris. 3. Normos ir vertinimai vienodai pamatiniai. Sis požiūris įtikimiausias. Gėris ir privalėjimas nesutampa: ne kiekvienas privalėjimas yra gėris, ne kiekvienas gėris yra privalomas. Geras poelgis gali būti ne privalomas, o tik girtinas. Gp-^(OpVip) skaitome: jei p geras, tai jis privalomas arba girtinas (L - lotynų k. žodžio laudabilis, anglų k. žodžio laudable - „girtinas" pirmoji raidė). Draudimas ir blogis taip pat nesutampa, draudžiamas ne kiekvienas blogis. Blogio pakanta eksplikuojama išraiška
Hp^(FpVEp)l kuri skaitoma: jei p blogas, tai jis draudžiamas arba atleistinas (E anglų k. žodžio excusable - „atleistinas" pirmoji raidė).
Esama veiksmų, kurie tik smerkiami. Smerktinas yra veiksmas, kurį atlikti būtų blogis ir nebūtų nei gėris, nei blogis jo neatlikti: Cp ~ [Hp • (Gp · Hp)]. Šioje išraiškoje Cp skaitoma: p smerktina (C - anglų k. žodžio condemn - „smerkti" pirmoji raidė). Tad būvis gali būti privalomas arba draudžiamas, arba girtinas, arba atleistinas, arba smerktinas: OpV FpV LpV EpV Cp.
i^D
Pratimai
1. Pagrįskite požiūrį, kad normos ir vertinimai vienodai pamatiniai. 2. Aptarkite požiūrį, kad žinojimo, jog atliekamas veiksmas yra geras, blogas ar neutralus, nepakanka nustatant veiksmo norminį statusą. 3. Ar teiginys „Ne kiekvienas gėris yra privalomas" užrašomas Vp (Gp—Юр)?
7. Preferencijų logika Preferencija yra pirmenybės teikimas. Preferencijų logika tiria palyginamuosius vertinimus. Pagrindinė jos išraiška yra χ vertesnis už y, ji užrašoma xPy (raidė P - anglų k. žodžio preference pirmoji raidė). xPy skaitoma: χ ne vertesnis už y.
Preferencija yra nerefleksyvus ir nesimetrinis santykis:
xPx; xPy—>yPx. Objektas nėra už save vertesnis; jei χ vertesnis už y, tai y nėra vertesnis už x. Preferencijai būdinga tranzityvumas:
{xPy • yPz)~>xPz. Jei χ vertesnis už y ir y vertesnis už z, tai χ vertesnis už z.
xly skaitoma: χ nesiskiria nuo y (indifferentia lotynų k. - „nesiskyrimas"). Tai reiškia, kad χ nėra vertesnis už y ir y nėra vertesnis už x:
xly ~ {xPy · yPx). Nesiskyrimas yra refleksyvus, simetriškas ir tranzityvus santykis: x/x;
x/y—>y/x; (x/y · y/z)—>xlz. Išraiška (xPy · xlz)->zPy skaitoma: jei χ vertesnis už y ir χ nesiskiria nuo z, tai z vertesnis už y. Panašiai (xPy · ylz)^>xPz. Remiantis preferencija, gėris apibrėžiamas taip:
Gp ~ pPp. Skaitome: būvis p geras, jei ir tik jei jis vertesnis už savo priešybę ne-p. Atitinkamai apibrėžiamas ir blogis:
Hp ~ p Pp.
Skaitome: būvis p blogas, jei ir tik jei būvio nebuvimas vertesnis už jo buvimą. Sie apibrėžimai sukelia keblumų, nes yra gėrio ir blogio laipsniai. Antai egzamino išlaikymas žemiausia atestacija asmeniui gali būti geriau negu egzamino neišlaikymas, o išlaikymas aukšta atestacija yra dar geriau. Gėrio laipsnis nusakomas pilnumo sąvoka, o laipsnių išsidėstymas vaizduojamas taip. Tegul turime būvį, kurį sudaro vienodos vertės komponentai p, q, r. Pagal jų dalyvavimą būvyje galimi šie atvejai: 1. 2. 3. 4.
P P P P
q
5. 6. 7.
P P
q
P P
q
8.
q q q q q
r r r r r r r r
Pirmas būvis vertesnis už antrą, o antras vertesnis už ketvirtą. Aštuntas būvis visiškai blogas, jo nesudaro nė vienas iš privalomų komponentų. Tačiau ar antras būvis vertesnis už penktą? Jie abu vienodai nepilni, tad jų vertė vienoda. Antras, trečias ir penktas kaip nepilni gėriai gali būti vienodai vertingi tarus, kad p, q, r nelygūs, nėra vienodai vertingi. Preferencijos kinta laikui bėgant. Senovės romėnų pasaulio vertybes - didžiavimąsi, jėgą, stiprybę, neapykantą priešams, kerštą krikščionybė pakeitė nusižeminimu, nuolankumu, meile, gailestingumu, atlaidumu. Esama ir nuo laiko nepriklausančių preferencijų. Antai apsišvietimas visuomet geriau negu tamsumas, demokratija visuomet geriau negu totalitarizmas, žmogaus teisių gynimas visuomet geriau negu jų trypimas, visuomenės gerovė visuomet geriau negu skurdas.
^D
Pratimai
1. Kodėl nepriimtina išraiška (xPy • xPz)—>yPzl 2. Ar priimtina išraiška H p ^ p P p ? 3. Ar priimtina, kad Lp vertesnis už Cp?
IX
S K Y R I U S
Klausimų logika
Klausimų logika yra teorija, tirianti klausimų ir atsakymų į juos pagrindimą bei raišką. Hausimai ir atsakymai į juos įmanomi tada, kai klausiantysis ir atsakantysis vartoja kalbą, pakankamą komunikacijai. Klausimų logika atskleidžia šia kalba reiškiamų klausimų ir atsakymų loginį pagrindimą.
1. Klausimo loginė struktūra Klausimas yra sakinys, kuriuo nurodoma turimų žinių kuriuo nors požiūriu nepakankamumas ir reikalingumas žinias papildyti atsakymu. Moksle ir socialinėje veikoje klausimai dažnai formuluojami problemų pavidalu. Problema yra uždavinys, kylantis tikslingoje veikloje ir reikalaujantis teorinio arba praktinio sprendimo. Pats klausimas teisingumo reikšmės neturi. Teisingas arba klaidingas, arba tikėtinas tegali būti atsakymas į klausimą. Hausimas nėra teiginys. Hausimai būna įvairūs. Tačiau visi logiškai tvarkingai suformuluoti klausimai būna sudaryti pagal tam tikrą formalų standartą, vadinamą interogatyvu (lotynų k. interrogare - klausti). Interogatyvas formaliai atvaizduoja klausimą, jis yra klausimo loginė forma. Klausimą sudaro: - klausiamasis operatorius, žymimas ženklu „?" ir reiškiamas klausiamaisiais žodžiais ar, kur, kada, kaip, kodėl ir 1.1.; - klausimo bazė - visuma teisingų teiginių, būtinų klausimą pagrindžiant. Hausimo bazė yra klausimo prielaida.
Klausimo „Kas parašė „Skirgailą"?" bazę sudaro teiginiai: yra kūrinys, pavadintas „Skirgaila", ir yra šį kūrinį parašęs asmuo. Klausimo „Kuriame Lietuvos rajone yra Siesarčio ežeras?" bazę sudaro teiginiai: yra ežeras, vadinamas Siesarčiu, ir yra Lietuvos administraciniai vienetai - rajonai. Kadangi į klausimą tikimasi atsakymo, tai susidaro interogatyvas: klausiamasis operatorius - klausimo bazė - atsakymas.
Interogatyvas formalizuojamas teiginių ir predikatų logikos, o esant reikalui, ir kitų teorijų priemonėmis. Tegul turime klausimą: Kada suiro Sovietų Sąjunga?
Jame išsakytą teiginį „Sovietų Sąjunga suiro" pažymėję p, klausiamąjį operatorių „kada" pažymėję klaustuku, gauname: ?p. Hausime „Ar Aristotelis buvo filosofas ir gamtininkas?" Teiginį „Aristotelis buvo filosofas" pažymėję p r teiginį „Aristotelis buvo gamtininkas" pažymėję p 2 , sudarome išraišką ? (P1 · P2)Kai klausiamieji operatoriai keli, jie visi pavaizduojami. Klausimas „Kas, kur ir kada išrado geležinkelį?" užrašomas išraiška (?*, · ?*2 • ? x 3 ) Pkurioje p žymi teiginį „Geležinkelis išrastas, ?x1f?px2,?x3, žymi klausiamuosius operatorius „kas", „kur", „kada". Kai reikia pavaizduoti klausimo bazę, ji eksplikuojama predikatų logikos priemonėmis. Hausimo „Kas parašė „Skirgailą"?" bazė eksplikuojama taip:
З х (χ yra rašytojas); 3 x (x yra drama „Skirgaila"); χ parašė y.
Rašytojui, dramai ir parašymui žymėti įvedę simbolius F, G, R, gauname:
3x F{x) By G (y) • xRy.
Pratimai 1. Nustatykite klausimų struktūrą: a) Ar Alytus didesnis miestas už Uteną? b) Koks akmuo Lietuvoje didžiausias? 2. Formalizuokite klausimą „Kas, kur ir kada išrado kiną?"
2. Klausimų rūšys Turinio požiūriu (pagal tai, ko klausiama) yra du klausimų tipai tikslinantys ir papildantys klausimai. Tikslinančiais klausimais tikslinamas kurių nors teiginių teisingumas. Šie klausimai dar kitaip vadinami ar-klausimais, jų klausiamasis operatorius - žodis ar: ar teisinga, kad... ar tikrai...
Atsakymas į tikslinantį klausimą išsakomas žodžiais taip, ne. Į klausimą Ar Kolumbas pirmasis atrado Ameriką?
galimi du atsakymai:
Taip, pirmasis atrado Kolumbas. Ne, pirmasis atrado ne Kolumbas, bet vikingai.
Papildantys - tai klausimai, j kuriuos atsakant pradines žinias reikia papildyti nauja informacija. Klausiamasis operatorius reiškiamas žodžiais kas, kur, koks, kaip, kodėl ir t. t. Koks miestas yra Brazilijos sostinė? Kada baigėsi Antrasis pasaulinis karas? Kaip atlikote užduotį?
Šios srities kebliausi yra kodėl-klausimai. Pagal struktūrą klausimai būna paprasti ir sudėtiniai. Paprastas - tai klausimas, kuriame nėra kitų klausimų ir siekiama nustatyti vieno teiginio teisingumą. Ar tikrai Nevėžis ilgesnis už Dubysą? -
klausiama tik dėl vieno teiginio „Nevėžis ilgesnis už Dubysą". Sudėtinis - tai klausimas, kurį sudaro keli paprasti klausimai. Pastarieji gali būti jungiami konjunktyviai, disjunktyviai, implikacija. Ar teisinga, kad didžiausias Lietuvos ežeras yra Drūkšiai, antras pagal dydį - Dysnai, o trečias - Dusia?
Šis konjunkcinis klausimas užrašomas taip: ?(p, · p 2 · p 3 ). Ar buvote Švedijoje arba Norvegijoje?
Šis disjunkcinis klausimas užrašomas taip: ПрУР2). Implikaciniame klausime dažniausiai klausiama dėl konsekvento, pavyzdžiui:
Jei išeinate, ar imate skėtj?
P1-^P2Galima klausti ir dėl antecedento, pavyzdžiui: Ar reikia skaityti šias knygas, kad išlaikyčiau egzaminą?
- 7 P 1 ^P 2 Hausimai dar būna korektiški ir nekorektiški. Korektiško klausimo bazę sudaro teisingi teiginiai. O klausimas Ar dabartinis Suomijos karalius barzdotas? -
nekorektiškas, nes Suomijoje nėra karaliaus. Nekorektiško klausimo bazę sudaro klaidingi teiginiai. Nekorektiškas yra prieštaringas klausimas, jį net vadina kvailu klausimu, pavyzdžiui: Kuris pats didžiausias iš šių lygiųjų?
Neaiškūs tie klausimai, kurie yra per mažai turiningi; jais neišsakoma, ką norima sužinoti. Klausimas Kas yra tas asmuo, kuris jūsų kaimynas? -
neturiningas, nes neaišku, ką norima sužinoti apie asmenį. Klausimas tikslus tada, kai aiškiai apibrėžiama, ką laikyti atsakymu į klausimą. Norint gauti tikslų atsakymą, reikia tiksliai klausti.
jžj)
Pratimai
Nustatykite klausimų rūšis: 1. Ar skaitote poeziją? 2. Kada įkurtas Vilniaus universitetas? 3. Kas atsitinka su skysčiu, jei keliama jo temperatūra ir mažinamas slėgis? 4. Ar skaitėte apie Saudo Arabijos prezidentą?
3. Atsakymai Atsakymas yra teiginys, papildantis klausimu nurodomą žinių trūkumą. Atsakymas priklauso nuo klausimo. Antai į konjunkeinį klausimą Ar I. Newtonas buvo mokslininkas ir menininkas?
atsakymas taip pat konjunkcinis: I. Newtonas buvo mokslininkas ir nebuvo menininkas. Sritis, kurioje aptinkamas atsakymas, vadinama paieškų sritimi. Tikslinančiame paprastame klausime (kai reikia atsakyti „taip" arba „ne") paieškų sritis yra pVp ir pasirenkama vienas iš disjunktų. Klausiant Ar vandens užšalimo temperatūra pagal Fahrenheitą yra 32°?
atsakymas toks: taip, ji yra 32°; ne, ji nėra 32°. Atsakant į sudėtinį klausimą, paieškų sritis platėja. Klausimą Ar teisinga, kad jei asmuo gyvena VU bendrabutyje (p,), tai jis VU studentas (p2) ir atvykęs j Vilnių iš kitur (p3)?
sudaro du klausimai: ?(p,-+p2) · ?(P1-^P3). Paieškų sritis: Kp 1 ^p 2 ) Vp 1 ^p 2 ] · [(P 1 ^P 3 ) Vp1-^p3]. Atsakant į papildančius klausimus, ieškoma nežinomojo - asmens, vietos, laiko, priežasčių ir t. t. Atsakant į klausimą „Kada įvyko Žalgirio mūšis?" ieškoma laiko. Atsakant į klausimą „Kas šiuo metu yra Lenkijos Respublikos prezidentas?" ieškoma asmens tarp Lenkijos Respublikos pilietybę turinčių politikų.
Atsakymai būna informatyvūs ir neinformatyvūs. Informatyvus yra atsakymas, kuris nėra klausimo sekmuo. Informatyvus - tai tiesioginis išsamus atsakymas. Neinformatyvus atsakymas yra klausimo sekmuo, jis pratęsia klausimą. Į klausimą „Ar Napoleonas laimėjo Borodino mūšį?" atsakius „Napoleonas vadovavo prancūzų pajėgoms Borodino mūšyje", atsakymas neinformatyvus. Panašiai į klausimą „Kas yra dėžėje?" atsakymas „Dėžėje kažkas yra" taip pat neinformatyvus. Į klausimą „Ar banginis žuvis?" atsakymas „Banginis žinduolis" neinformatyvus, netiesioginis, nes vėl reikia klausti, ar žinduoliai gali būti žuvys. Atsakymai dar būna pilni ir daliniai. Į klausimą Ar įvykį matė asmuo A arba asmuo Bl
atsakymas „Įvykį matė A" dalinis. Pilnas atsakymas būtų (A • B) V (A • B) V (β · A) V (A • B), t. y. įvykį matė A ir įvykį matė B arba įvykį matė A ir nematė B ir t. t. Pilnumo nereikalaujama, kai atsakymų klasė yra pakankamai didelė ir neįmanoma nurodyti visų alternatyvų. Prieštaringas atsakymas laikomas kvailu. Antai į klausimą „Kuri iš ant suoliuko sėdinčių trijų damų jums pažįstama?" atsakymas „Toji vidurinė iš krašto" - kvailas. Panašiai į klausimą „Kaip karvedys sutriuškino priešą?" atsakymas, kad sutriuškino priešą su visa kariauna pasidavęs priešui į nelaisvę, taip pat kvailas. Atsakant replika (trumpu atkirčiu, prieštaravimu), tai nėra tiesioginis informatyvus atsakymas. Pratimai Aptarkite atsakymus: 1. Koks jausmas jus apima kalnuose? Apima kažkoks jausmas. 2. Kokios naujos valstybės Europoje susikūrė po Pirmojo pasaulinio karo? Susikūrė Lietuvos, Latvijos ir Estijos respublikos. 3. Ar aiškinu klaidingai? Bet iš klaidų mokomės.
X
SKYRIUS
Loginė semantika 1. Sintaksė ir semantika Loginės išraiškos tiriamos dviem požiūriais - sintaksiniu ir semantiniu. Terminas sintaksė kilęs iš senosios graikų kalbos žodžio syntaxis sudarymas. Dirbtinių kalbų sintaksė aiškina kalbos vienetų sudarymą ir jų vartojimą. Sintaksėje neatsižvelgiama į pragmatinius ir semantinius kalbos išraiškų santykius, t. y. neatsižvelgiama į jų vaidmenį visuomeniniame žmogaus gyvenime ir į tai, kokius objektus išraiškos žymi. Dirbtinių kalbų sintaksė kalbos išraiškas tiria formaliu požiūriu: nustato taisykles, pagal kurias kalbos vienetai sudaromi ir vartojami. Loginė sintaksė tina grynai formaliąją loginių sistemų pusę, t. y. nustato taisykles loginėms išraiškoms sudaryti ir jas vartoti. Loginė sintaksė šias taisykles nustato neatsižvelgdama į tai, ką loginėmis išraiškomis galima išreikšti. Ligi šiol logikos teoriją daugiausia aiškinomės loginės sintaksės požiūriu. Pavyzdžiui, teiginių logikoje nekreipėme dėmesio į teiginio vaidmenį gyvenime, neanalizavome jo turinio, teiginius žymėjome raidėmis, apibrėžėme operacijas su teiginiais ir jas žymėjome atitinkamais simboliais, nustatėme procedūras, pagal kurias iš vienų išraiškų išvedamos kitos išraiškos. Terminas semantika kilęs iš senosios graikų kalbos žodžio semantikos (žymintis, reikšminis). Lingvistinė semantika tiria natūralios kalbos vienetų reikšmę, sisteminius ryšius ir reikšmių kitimą. Ji remiasi logine semantika. Loginė semantika yra teorija, tirianti loginių išraiškų reikšmę bei prasmę ir su tuo susijusią problematiką. Pagrindinės loginės seman-
tikos problemos yra reikšmės ir prasmės, supratimo, ekstensionalo ir intensionalo, analitiškumo ir sintetiškumo, antinomijų, semantinės tiesos ir kt.
2. Reikšmė ir prasmė logikoje Esama įvairių reikšmės ir prasmės teorijų. Susipažinsime su šiuolaikinės loginės semantikos pradininko vokiečių logiko ir matematiko G. Frege teorija. Ji yra referencinė (anglų k. žodis reference - „nurodymas") ir remiasi prielaida, kad kalbos išraiškos nurodo nekalbos objektus; jos žymi daiktus, reiškinius. Referencinė teorija teigia: už kalbos išraiškų yra tikrovė, kurią išraiškos žymi. Reikšmę ir prasmę turi vardai ir teiginiai. Objektai (daiktai, reiškiniai) turi savo vardus (pavadinimus).
V a r d o r e i k š m ė ir p r a s m ė Vardas - tai kalbos išraiška, žyminti objektą ar objektų klasę. Vardu žymimas objektas (objektų klasė) vadinamas vardo denotatu. Žodžiu „Trakai" žymime tam tikrą miestą. Sis žodis ir yra to miesto vardas, arba pavadinimas. Logikoje įprasta vartoti ne terminą „pavadinimas", bet terminą „vardas". Vardai skirstomi į tikrinius, arba vieninius, vardus ir bendruosius vardus. Tikrinis vardas - tai žodis, žymintis paskirą objektą. Vardas „Trakai" - tikrinis. Bendrasis vardas - tai žodis, žymintis objektų klasę. Vardai „miestas", „rašytojas" - bendrieji. Tikriniai ir bendrieji vardai logikoje ne visada atitinka gramatinių daiktavardžių skirstymą į tikrinius ir bendrinius. Vardas „žmonija" logikoje laikomas vieniniu vardu, jis yra visos žmonių klasės tikrinis vardas, nes apibūdina klasę „žmonės" kaip vieną objektą. Vardo „žmonija" negalima priskirti paskiram žmogui, negalima pasakyti, kad, pavyzdžiui, „Petraitis yra žmonija". Šį vardą galima priskirti tik visai
žmonių klasei. Tuo tarpu vardas „žmogus" - bendrasis vardas, jį galima priskirti tik kiekvienam klasės elementui, bet ne visai žmonių klasei, pavyzdžiui: „Petraitis yra žmogus". Vardai logikoje skirstomi įpaprastus ir sudėtinius. Paprastas - tai vardas, neturintis dalių, turinčių savarankišką prasmę. Sudėtinis tai vardas, sudarytas iš paprastų vardų. Vardas „Trakų pilis" - sudėtinis, jį sudaro du paprasti vardai: „Trakai" ir „pilis". Vardas turi reikšmę ir prasmę. Tai vaizduojama vadinamuoju semantiniu trikampiu: vardas
19 brėž.
Vardo reikšmė yra ta, kad vardu žymimas koks nors objektas. Kitaip tariant, vardo reikšmė yra santykis tarp vardo ir vardo denotato. Sis santykis yra žymėjimo santykis - vardu žymime kokį nors objektą. Vardo „kalnas" reikšmė yra ta, kad šiuo vardu žymime tam tikro dydžio žemės paviršiaus iškilimus. Vardo „Gedimino kalnas" reikšmė yra ta, kad šiuo sudėtiniu vardu žymime tam tikrą kalvą Vilniaus mieste. Vardo prasmė yra informacija, kurią galima pateikti apie vardo objektą. Kitaip tariant, vardo prasmė yra vardo denotato sąvoka. Kadangi sąvoka išreiškia esminius objekto požymius, tai šių požymių nurodymas ir yra informacija, kurią galima pateikti apie vardo objektą. Vardo „kalnas" prasmė yra informacija, kurią galima pateikti apie kalną: kalnas yra tam tikras žemės paviršiaus iškilimas, kalnai susidarė istoriškai, jie netolygiai išsidėstę žemėje ir 1.1. Vardo „Gedimino kalnas" prasmė yra informacija, kurią galima pateikti apie Gedimino kalną: šis kalnas yra Neries ir Vilnelės santakoje, jis vadinamas Lietuvos didžiojo kunigaikščio Gedimi-
no vardu, ant jo buvo pastatyta pilis, šiuo metu kalne yra pilies liekanos ir 1.1. Išraiškos prasmė yra būdas, kuriuo duota išraiškos reikšmė. Prasmė - tai objekto aspektai, jame išskirti pagal pasirinktą požiūrį. Tad vardo prasmė yra vardu žymimo objekto suvokimas kuriuo nors požiūriu. Prasmėje glūdi galimas objekto matymas. Vilnius skirtingai įsivaizduojamas į jį žvelgiant nuo Tauro kalno, iš Gedimino pilies bokšto, iš televizijos bokšto. Aptarsime svarbiausias vardo reikšmės ir prasmės sąsajas. 1. Jei vardą suprantame, tai reiškia, kad žinome jo prasmę, t. y. pagrindinę informaciją, kuri glūdi varde. Kai sakome, kad suprantame logikos terminą disjunkcija, tai reiškia, kad įgijome šias žinias: disjunkcija yra sudėtinis teiginys, sudarytas iš kelių paprastų teiginių, sujungtų logine jungtimi „arba"; disjunkcija yra griežtoji ir silpnoji, ir 1.1. 2. Vardo prasmė lemia vardo reikšmę. Kiekvienas objektas yra tam tikra požymių visuma. Kai nustatome objekto požymius, tai reiškia, kad turime žinių, informacijos apie objektą. Jei žinome objekto požymius, tai žinome vardo, kuriuo objektas pavadintas, prasmę, galime spręsti, kurie objektai gali būti tuo vardu pavadinti, pažymėti. 3. Ta pati vardo reikšmė gali būti nusakyta skirtingomis prasmėmis. Tai reiškia, kad objektą (denotatą) galima apibūdinti įvairiais požiūriais. K. Donelaitis apibūdinamas šiais požymiais: lietuvių literatūros klasikas, rašytojas, sukūręs poemą „Metai", pastorius, gyvenęs Tolminkiemyje ir kt. 4. Jei žinome vardo prasmę, tai dar nereiškia, kad žinome ir vardo denotatą, t. y. tą objektą, kurį vardas žymi. Yra vardų, kurie turi prasmę, bet neturi denotato. Loginių klasių teorijoje tokie vardai vadinami nulinėmis klasėmis. Vardai pasaulinė dvasia, aukso kalnas neturi denotato, realioje tikrovėje tokių objektų nėra. Tačiau šiuos vardus suprantame, žinome juose slypinčią informaciją, taigi žinome jų prasmę. 5. Sudėtinio vardo prasmę lemia jį sudarančių paprastų vardų prasmė ir pobūdis tų taisyklių, pagal kurias sudėtinis vardas suda-
rytas. Sudėtinio vardo „gyvenamųjų namų statybos bendrovė" prasmė priklauso nuo to, kaip suprantame vardus „gyvenamasis namas", „statyba", „bendrovė". Sudėtinio vardo prasmė pakinta, jei pakinta kurio nors jj sudarančio paprasto vardo prasmė. 6. Sudėtinio vardo reikšmę lemia jį sudarančių paprastų vardų reikšmė. Sudėtinis vardas neturi reikšmės, jei bent vienas jį sudarančių paprastų vardų neturi reikšmės. Sudėtinis vardas „užburtas paukštis" neturi reikšmės, nes, nors vardas „paukštis" turi reikšmę, tačiau jos neturi vardas „užburtas". Gali būti ir taip, kad kiekvienas sudėtinį vardą sudarantis paprastas vardas turi reikšmę, tačiau visas sudėtinis vardas reikšmės neturi, pavyzdžiui, „apskritas kvadratas", „didžiausias iš lygiųjų" ir pan. Vardas „dvidešimties metrų žmogus" neturi reikšmės, nes tokių žmonių tikrovėje nėra, tačiau visos šio vardo sudėtinės dalys turi reikšmę: gerai žinome, kas yra dvidešimt metrų ir kas yra žmogus. Apie panašius vardus sakoma, kad jie sudaryti logiškai netaisyklingai, nesilaikant vardų sudarymo loginių principų. Tokių vardų svarbiausias bruožas - prieštaringumas: apskritas kvadratas kartu apskritas ir neapskritas, didžiausias iš lygiųjų kartu lygus kitiems ir nelygus, nes jis didesnis už kitus. Norint nustatyti, ar vardas turi reikšmę, jis vartojamas kaip predikatas propozicinėje funkcijoje. Pavyzdžiui, vardo „vaisiai" propozicinė funkcija yra „χ yra vaisiai". Egzistuoja daug objektų (vardų), kurie šią funkciją pavers teisingu teiginiu, pavyzdžiui, „obuoliai yra vaisiai", „kriaušės yra vaisiai" ir 1.1. Vardui „pasaulinė dvasia" propozicinė funkcija - „x yra pasaulinė dvasia". Nerasime nė vieno objekto, kuris šią funkciją paverstų teisingu teiginiu.
T e i g i n i o r e i k š m ė ir p r a s m ė Teiginio reikšmė yra jo teisingumas arba klaidingumas (arba kuri nors kita reikšmė daugiareikšmės logikos atveju). Teisingumas, klaidingumas ar kuri nors kita reikšmė yra abstraktūs objektai. Kodėl, pavyzdžiui, sakoma, kad išraiškos p · q ir pVq turi tą pačią reikšmę?
Todėl, kad jos vienodos teisingumo požiūriu, jų teisingumo matricos sutampa, taigi p · q ~ (pVq). Teiginio prasmė - tai teiginio turinys, jame išreikšta mintis. Si teiginyje išreikšta mintis vadinama sprendiniu, ir ji lieka invariantu (nekinta) verčiant į kitas kalbas. Teiginiai „Aš dirbu", „I work", „Ich arbeite", „Io Iavoro", pasakyti skirtingomis kalbomis, išreiškia tą pačią mintį, tą patį sprendinį, todėl jie visi turi tą pačią prasmę. Išraiškos turi tą pačią prasmę, kai jų turinys tas pats. Išraiškų 1+4=1+4 1+4=4+1 1+4=3+2
turinys ne tas pats: pirmoje nustatoma loginė tapatybė, antroje algebrinė lygybė, trečioje - aritmetinė lygybė. Visos šešios reikšmės ir prasmės sąsajos, nustatytos vardams, tinka ir teiginiams. Teiginio prasmės žinojimas dar nereiškia, kad žinoma ir jo reikšmė, arba, kitaip tariant, kad teiginys teisingas ar klaidingas. Galioja ir ši taisyklė: teiginio prasmė lemia teiginio reikšmę. Iš tiesų, teiginio teisingumas ar klaidingumas priklauso nuo to, kokią mintį norime juo išreikšti. Sudėtinio teiginio reikšmę lemia jį sudarančių paprastų teiginių reikšmė - sudėtinio teiginio teisingumas nustatomas pagal jį sudarančių paprastų teiginių teisingumo reikšmes. Skiriamos keturios pagrindinės reikšmės: teisingumas, klaidingumas, pseudoreikšmė ir beprasmybė. Šių reikšmių išsidėstymas grafiškai vaizduojamas taip:
20 brėž.
Logika skiria empirines tiesas ir logines tiesas. Šis skirtumas aptartas I skyriaus 3 skirsnyje. Čia tik priminsime, kad empirinė tiesa nustatoma patyrimu. Jei patyrimu nustatoma, kad teiginys atitinka tikrovę, tai jis yra empirinė tiesa. O jei patyrimu nustatoma, kad teiginys neatitinka tikrovės, tai jis turi faktinio klaidingumo reikšmę. Norint sužinoti teiginio „Jonaitis išlaikė egzaminą" reikšmę, reikia jį patikrinti: paklausti paties Jonaičio, patikrinti egzaminų žiniaraštį ir pan. Jei žiniaraštis rodo, kad Jonaitis egzaminą išlaikė, tai teiginys „Jonaitis išlaikė egzaminą" faktiškai teisingas. Jei žiniaraštis rodo, kad Jonaitis egzamino neišlaikė, tai teiginys „Jonaitis išlaikė egzaminą" faktiškai klaidingas. Loginis teisingumas ir loginis klaidingumas - tai reikšmės, kurioms nustatyti pakanka atitinkamos loginės sistemos priemonių. Žinome, kad teiginiai gali būti teisingi vien dėl savo loginės struktūros. Teiginio „Jonaitis išlaikė egzaminą arba egzamino neišlaikė" teisingumui nustatyti nereikia patikrinimo patyrimu, pakanka logikos priemonių. Šis teiginys teisingas vien dėl savo loginės struktūros pVp. Tokios struktūros teiginiai visuomet teisingi dviejų reikšmių logikoje. Teiginys „Jonaitis išlaikė egzaminą ir neišlaikė egzamino" logiškai klaidingas. Jis klaidingas vien dėl savo loginės struktūros p · p. Struktūros p · p teiginiai visuomet klaidingi. Loginio teisingumo reikšmę turi visuomet teisingos išraiškos ir jomis išreikšti konkretūs teiginiai. Loginio klaidingumo reikšmę turi visuomet klaidingos išraiškos ir jomis išreikšti konkretūs teiginiai. Pseudoreikšmė - tai netikroji teiginio reikšmė. Pseudoteiginius sukuria subjektyvi žmogaus nuomonė, jie nėra nei teisingi, nei klaidingi. Tegul turime teiginį „Odisėjas buvo išmestas į Itakės krantą giliai miegąs". Teisingasjis ar klaidingas? Nesunku suvokti, kad kalbėti apie šio teiginio teisingumą ar klaidingumą netenka. Jei toks Odisėjas, kokį jį nupiešė Homeras, niekuomet negyveno, tai neturi vertės klausimas, teisinga ar klaidinga tai, kad jis buvo išmestas į Itakės krantą giliai įmigęs. Šis teiginys yra pseudoteiginys. Tačiau jis turi prasmę (senovės graikams jis turėjo ir tikrąją reikšmę: jie tikėjo Odisėjo realumu), nes gerai suprantame, kas juo norima pa-
sakyti. Tad jei teiginys turi prasmę, tai ją suvokiame anksčiau, negu nustatome, koks yra tas teiginys teisingumo požiūriu. Panašiai ir teiginys „Žaltys, atsigręžęs j Eglę, prašneko žmogaus balsu" yra pseudoteiginys, tačiau jį suprantame, jo prasmę žinome. Jei netenka kalbėti apie pseudoteiginio teisingumą ar klaidingumą, tai natūralu, kad pseudoteiginio neigimas taip pat yra pseudoteiginys. Pagrindinė pseudoteiginių sudarymo priežastis tokia. Jei teiginyje pavartotas vardas neturi reikšmės, t. y. nežymi realiai egzistuojančio objekto, ir jei tuo vardu pažymėtam objektui priskiriamas koks nors požymis, tai apie tokio teiginio teisingumą ar klaidingumą kalbėti netenka. Vardai, nežymintys objektų, kurie realiai egzistuoja ar kuriuos galima sukurti, vadinami tariamais vardais. Toks, pavyzdžiui, yra vardas „Odisėjas". Mokslo teiginiuose tariamų vardų neturi būti. Kai pasakomi teiginiai, kuriuose figūruoja tam tikrų objektų vardai, tai patys tie objektai turi egzistuoti arba turi būti nurodytas efektyvus būdas tiems objektams sukurti. Kyla klausimas, kokius teiginius galima išvesti iš pseudoteiginių. Pirmiausia iš vienų pseudoteiginių seka kiti pseudoteiginiai ir iš pseudoteiginių - klaidingi teiginiai. Tačiau iš pseudoteiginių galima išvesti ir teisingus teiginius. Nagrinėjant implikaciją, buvo parodyta, kaip iš klaidingų teiginių galima išvesti teisingą teiginį. Panašiai vietoj klaidingų teiginių galima imti pseudoteiginius: Ragana yra sena. Ragana yra moteris.
Logiškai seka teisinga išvada „Esama senų moterų". Tariamų vardų išvadoje nėra. Žinoma, teisingo teiginio išvedimas iš pseudoteiginių yra toks pat atsitiktinumas, kaip ir teisingo teiginio išvedimas iš klaidingų teiginių. Nuo pseudoreikšmės reikia skirti reikšmę „beprasmybė". Beprasmiškais teiginiais dažnai laikomi teiginiai, kurie yra aiškiai klaidingi, prieštarauja sveikam protui ir mokslui. Pavyzdžiui, sakoma, kad
teiginys „Žemė nejuda" - absurdiškas. Tačiau loginės semantikos požiūriu teiginių, net jei jie ir aiškiai klaidingi, absurdiškais pavadinti negalima. Absurdiškais juos galima vadinti tik pragmatiniu požiūriu. Pragmatiniu požiūriu teiginys arba klausimas, jei jo kėlimas visiškai bergždžias, laikomas beprasmišku, pavyzdžiui: „Koks vidutinis svoris tų asmenų Šiauliuose, kurių telefono numeris baigiasi skaičiumi 3?", „1911 m. Šiauliuose buvo 6 gyventojai". Pragmatiniu požiūriu beprasmiškais laikomi ir logiškai prieštaringi teiginiai, nes tokių teiginių tvirtinimas - bergždžias dalykas, pavyzdžiui: „Asmenys A ir B kiekvienas vieneriais metais senesnis už kitą". Šios rūšies teiginiai, kad ir tušti, vis dėlto loginės semantikos požiūriu yra prasmingi. Mes suprantame, kas jais norima pasakyti, pagaliau tik prasmingus teiginius galima skirstyti j vaisingus ir nevaisingus. Loginėje semantikoje beprasmiškais vadinami teiginiai, kurių neįmanoma suprasti. Sintaksinę beprasmybę sudaro: - savavališkas garsų, ženklų rinkinys, nepriklausantis duotajai kalbai, antai hankamankabudibaba; - netaisyklingai sudarytos išraiškos. Sakinys „Elektrėnai yra tarp Vilniaus", išraiškos (pVq)—>; (a - b) + logikoje ir algebroje laikomos neprasmingomis, nes jos neužbaigtos. Netaisyklingai sudaryta ir išraiška p—>Vq. Sakinys „Atėjo vasara" korektiškas, o sakinys „Atėjo arba vasara" - beprasmis, netaisyklingai sudarytas. Jungtimi „arba" susieti galima teiginius, o ne vardus; - nesuderinamumas išraiškoje. Sakinys „Aš užvakar važiuosiu rytoj" neprasmingas, jame nesuderinti laikai. Sintaksinis prasmingumas apibrėžiamas taip: kurios nors kalbos išraiška yra prasminga, jei ir tik jei ji priklauso kalbai kaip taisyklingai sudarytas jos žodyno vienetas arba ji yra sudėtinė, sudaryta pagal toje kalboje priimtas išraiškų sudarymo ir išvedimo taisykles. Semantinę beprasmybę sudaro išraiškos arba jos dalių nedarna, iškreipus išraiškos prasmę, ją ėmus vartoti už jos reikšmių srities.
Sakiniai Lygiašoniai trikampiai yra lengvabūdiški. Tikėtina spinta skaito neteisingą nišą.
neprasmingi: trikampiui nepriklauso požymis „būti lengvabūdiškam", spintai nepriklauso tikėtinumas ir skaitymas. Trikampiai ir lengvabūdiškumas, spinta ir tikėtinumas priklauso skirtingiems semantiniams laukams. Dvi išraiškos yra to paties semantinio lauko, kai jomis aprašomas tas pats nekalbinės tikrovės aspektas. Teiginys „Jonas geria kumpį" klaidingas, tačiau prasmingas: „gerti" ir „kumpis" priklauso tam pačiam semantiniam laukui - maistui ir maitinimuisi. O sakinys „Cezaris yra pirminis skaičius" - neprasmingas, jį sudarantys žodžiai priklauso skirtingiems semantiniams laukams. Būti pirminiu skaičiumi yra skaičių, o ne žmonių savybė. Nustatant semantinį prasmingumą, kriterijus yra išraiškos teisingumas. Kalba išreiškia žinias apie pasaulį. Kalbos vartotojai siekia, kad šios žinios būtų teisingos. Nustatant semantinį prasmingumą, būtina atsižvelgti į nekalbinę tikrovę - pasaulį, jo daiktus ir procesus. Semantiskai prasmingas yra teiginys, kuris suderinamas su kalbos vartotojo žiniomis apie pasaulį ir įgyja interpretaciją vartojamoje kalboje, t. y. tuo teiginiu galima teisingai ar kuria nors kita pripažinta logine reikšme mąstyti kurį nors tikrovės fragmentą. Ką galima mąstyti ir konstruoti sakiniu „Suketverinimas geria laukimą"? Jis neprasmingas, nesuderinamas su žiniomis apie pasaulį, su juo nieko nenuveiksi. Sakinys „Aš žinau, kad tu žinai, jog aš žinau, kad tu žinai" (jį galima tęsti ir tęsti) nelogiškas: nenurodoma, kas žinoma, operuojama tik „žinau", „žinai". Vienas žino, kad kitas kai ką žino, o antrasis žino tik tiek, kad pirmasis žino. Abu tik teigia apie vienas kito žinojimą. Nenurodyti už žinojimo esantį objektą yra nelogiškumas. Filosofijoje beprasmybė tapatinama su absurdu. Metafizinį absurdą kaip pasaulio beprasmybę vaizduoja filosofinė ir grožinė literatūra: pasaulis žmogui nesuprantamas, jam svetimas ir priešiš-
kas (S. Kierkegaardas); pasaulyje nėra prasmės, absurdas kyla iš žmogaus proto ir neprotingo pasaulio tylėjimo susidūrimo (A. Camus); blogis pasaulyje neįveikiamas, jis triumfuoja, nelieka prasmės gyventi (F. Dostojevskis); dėl žmogui nesuprantamų priežasčių socialinė tikrovė, kurioje jis veikia, jį sunaikina (F. Kafka). Loginėje semantikoje absurdu laikoma vidiniai prieštaringa išraiška - tokia, kuri telpa į p · p; Bx [F(x) · F(x)], pavyzdžiui, apskritas kvadratas, didžiausias iš lygiųjų. Absurdas yra prasminga išraiška. Jei ji būtų nesuprantama, nebūtų įmanoma įžvelgti jos prieštaringumo. Prieštaringa išraiška visuomet klaidinga. Visuomet klaidinga išraiška yra prasminga - jei ji nebūtų prasminga, nebūtų įmanoma nustatyti jos klaidingumo. Neprasmingumo sutaurinimas - tai jo nobilitacija. Nobilituota beprasmybė tampa pozityviu, kuriančiuoju veiksniu, praturtinančiu kalbą. Be šios nobilitacijos nebūtų įmanoma poetinė kalba, nuskurstų proza reiškiama grožinė literatūra, tam tikru mastu nuskurstų ir mokslo kalba. Neprasmingumo nobilitacija įvyksta suteikiant prasmę, ir tai atlieka žymus literatas, filosofas, įvairių generacijų eiliniai kalbos vartotojai, žiniasklaida. Kalbos išraiškos įgyja prasmingumą, kai joms suteikiama perkeltinė prasmė, pavyzdžiui: „Jonas - tai bent galva", „Iš balos kėlėsi sausas" (išsisuko), „Sugautas už rankos" (sugautas vagiant). Tautos turi nemažai tų pačių idiomų. Antai nemalonumų sukėlimas išsakomas: pakišti kam nors koją; podstawic komu nogę; jemandem ein Bein stellen; donnerun crocen-jambe.
Pratimai 1. Kurie vardai paprasti, sudėtiniai, turi denotatą, neturi denotato: a) kosminė valia, b) optimizmas, c) netikras optimizmas, d) stiklo kalnas?
2. Nustatykite teiginių reikšmę: a) 1964 m. Lietuvoje televizijos dar nebuvo. b) Orfėjas, atsisukdamas vidury kelio ir pažiūrėdamas j žmoną, visiems laikams prarado savo Euridikę. c) Jei netiesa, kad A yra prokuroras ir turi teisę pareikšti protestą dėl teismo nuosprendžio, tai A ne prokuroras arba A neturi teisės pareikšti protesto dėl teismo nuosprendžio. d) Pūtė keturkampis apvalus vėjas.
3. Reikšmė kaip išraiškos vartojimo būdas G. Frege sukurtos reikšmės teorijos pagrindinė sąvoka - teisingumas. Ši teorija kalbos ir nekalbinės tikrovės sąryšį vaizduoja taip: kalba - atitikimas - daiktinė tikrovė,
t. y. kalbos komponentai atitinka daiktinės tikrovės komponentus. Teorija susiduria su sunkumais, aiškindama teiginio reikšmę teisingumą kaip tikrovės komponentą. Kai ši teorija teigia, kad teiginiams būdinga žymėjimas, tai teorijos oponentai teisingumo ir klaidingumo kaip abstrakčių objektų, kuriuos esą teiginiai žymi, egzistavimo nepripažįsta, jų egzistavimo teigimą laiko platonizmu. Teiginio reikšme reikėtų laikyti ne teisingumą, o teisingumo sąlygų nurodymą. Be to, Frege teorija apeina kalbos vartotojo nuostatas, nusiteikimus, siekius ir tikslus. Kalbos išraiškos ne tik žymi, jos perteikia pritarimą, atmetimą, abejojimą, paliepimą, pageidavimą ir t. t. Į šiuos veiksnius atsižvelgia kitos reikšmės teorijos, viena jų - reikšmės kaip išraiškos vartojimo būdo teorija. Jos kūrėjas yra Vienoje gimęs ir Keimbridžo universitete dėstęs filosofas L. Wittgensteinas (1889-1951). Teorijos pagrindą sudaro ne prielaida, kad už kalbos išraiškų yra nekalbinė tikrovė, kurią kalbos išraiškos žymi. Jį sudaro ne žymėjimo sąvoka, bet sąvoka vartojimas. Kalbos išraiškos pri-
lyginamos įrankiams, o išraiškų reikšmė prilyginama įrankių atliekamoms funkcijoms. Išraiškos reikšmę sukimą jos vartojimo kalboje būdas. Žinoti išraiškos reikšmę - tai žinoti kaip išraišką vartoti, t. y. žinoti, kokiomis sąlygomis išraiškos vartojimas taisyklingas ir kada jis netaisyklingas. Teiginys ką nors reiškia, kai egzistuoja būdas jį vartoti, kai žinoma, kaip teiginį verifikuoti. Išraiška turi reikšmę, kai žinomas jos verifikavimo (teisingumo sąlygų nustatymo) būdas. Vartojimas kalboje yra sudėtinga veiksena, joje dalyvauja įvairūs kalbinės komunikacijos dalyviai su savo nuostatomis ir tikslais, kalbiniame bendravime siekiama tvirtinti, skatinti, sveikinti, pageidauti, dėkoti, leisti, drausti, įsakyti ir 1.1. Tiriama, kaip funkcionuoja kalba kaip visuma, ką kalbantysis žino, kai jis moka vartoti kalbą. Esama dar kitokių reikšmės teorijų. Reikšmės teorijos, kuriose centrinė sąvoka - teisingumas, ir jai alternatyvios teorijos, kuriose centrinė sąvoka - vartojimas, teisingumo sąlygų nurodymas, reikalingų atlikti veiksmų bei operacijų nurodymas (pavyzdžiui, komandos atveju - atlikti tai, ką komanda paliepia) ir kt., visos viena kitą papildo. Kiekviena iš jų nuveikia tiek, kiek leidžia jos principai ir kitos vartojamos sąvokinės priemonės. Šiuolaikinę reikšmės teoriją sudaro prasmės bei referencijos koncepcijos (centrinė dalis) ir veiksenos koncepcija. Pastaroji aiškina, kaip kalbos aktais tvirtinama, abejojama, klausiama, prašoma, įsakoma ir t. t., nustato vieningą metodą iš centrine dalimi apibrėžto teiginio savybių išvesti visus kitus teiginio vartojimo aspektus.
4. Supratimas Supratimas yra prasmės žinojimas. Supratimas - būtina, nors ne vienintelė, teiginio teisingumo sąlyga. 1. Išraiška suprantama, kai deramai į išraišką reaguojama. Sakinį „Paduokite knygą" supranta tas, kuris, paprašytas paduoti knygą, ją paduoda. 2. Išraiška suprantama, kai, žinant tik jos dalį, pajėgiama ją tęsti
ir užbaigti. Išraišką (a + b)2 supranta tas, kuris pajėgia nusakyti, kad (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. 3. Išraiška suprantama, kai pajėgiama ją verifikuoti - nustatyti, kad ji teisinga, klaidinga arba turi kitą reikšmę, t. y. kai pajėgiama nustatyti jos teisingumo sąlygas. 4. Išraiška suprantama, kai, ja remiantis, galima tam tikra veika. Teiginys „Visi piliečiai privalo gerbti šalies įstatymus" inicijuoja veikai - laikytis įstatymų. O kokiai veikai gali skatinti sakinys „Kvadratinės lygtys dalyvauja arklių lenktynėse"? Pasiųsti kvadratinėms lygtims kvietimą atvykti į lenktynes ar pastatyti tribūną, iš kurios kvadratinės lygtys stebėtų lenktynes? Tokia veiksena neįmanoma. 5. Vardas suprantamas, kai įmanoma įsivaizduoti vardo objektą. Antai ne visi buvome Londone, tačiau pajėgiame jį įsivaizduoti remdamiesi turimomis žiniomis. Kartais įsivaizduoti įmanoma ir pakankamai abstrakčius objektus. Pavyzdžiui, socialinį teisingumą galima perteikti nuosprendį skelbiančio teisėjo vaizdiniu. Intuityviai įsivaizduojant aukšto lygmens abstrakcijas, atsiranda keblumų, dažnai toks įsivaizdavimas būna neįmanomas. 6. Išraiškos pripažinimas dar neliudija, kad išraiška suprantama. Galima teiginio nesuprasti, bet juo tikėti remiantis autoritetu - tarus, kad tą teiginį supranta autoritetas.
Pratimai 1. Ar asmuo turi logikos dėsnio sampratą, jei nežino nė vieno būdo dėsnį verifikuoti? 2. Ar suklydimas ir nesupratimas sutampa?
5. Ekstensionalas ir intensionalas Ekstensionalas ir intensionalas - tai du metodai tirti formalizuotas ir natūralias kalbas (extensio lotynų k. žodis - plėtimasis, intensio įtampa).
Ekstensionalumas yra formalizuotų ir natūralių kalbų sa\ybė, įgalinanti abstrahuotis nuo išraiškų prasmės ir jas vartoti pagal jų reikšmę bei apimtį. Teiginio ekstensionalas yra jo reikšmė - teisingumas, klaidingumas ar kuri nors kita reikšmė. Predikatų logikos išraiškos ekstensionalas yra klasė individų, kuriems išraiška įvykdoma. Vartojant ekstensionalo metodą, į teiginio prasmę - teiginyje išsakytą mintį neatsižvelgiama, nuo jos abstrahuojamasi, paisoma tik teiginio teisingumo reikšmės. Ekstensionalumas būdingas tiek visai kalbai, tiek kalbą sudarančioms išraiškoms. Išraiškos vadinamos ekstensionaliomis, kai jas galima pakeisti bet kuriomis tą patį objektą žyminčiomis išraiškomis. Kalba vadinama ekstensionalia, kai jos išraiškoms galioja pakeitimas lygiais dydžiais: jei du dydžiai A ir B lygūs, tai kiekviename teisingame teiginyje, kuriame pasitaiko A ir B, vieną jų galima pakeisti kitu neprarandant teisingumo. Teiginių logikos išraišką p · q visuomet galima pakeisti ekvivalenčia išraiška pVq. Teisingumo neprarandama ir vienas jungtis pakeičiant kitomis jungtimis. Teiginių logika yra ekstensionali. Ekstensionali yra ir predikatų logika, joje pakeitimas lygiu dydžiu galioja nekliudomai. 3x F(x) visuomet galima pakeisti Vx F(x) ir pan. Jei dvi išraiškos ekvivalenčios, tai jų ekstensionalas tas pats; p · q ir pVq teisingumo reikšmė matricoje sutampa. Jei predikatų logikos išraiškos P ir Q ekvivalenčios, tai jas įvykdo tie patys individai.
Kai P - Q, tai Vx [P(x) ~ Q(x)].
Ekstensionalumas įgalina sinonimiją. Sinonimai - tai vardai, kurių ekstensionalas tas pats. Sinonimiją logikoje - lygiareikšmiškumo santykis tarp dviejų ir daugiau išraiškų. Sinonimiją yra natūralių ir dirbtinių kalbų (formalizuotų, iš dalies formalizuotų) viena pagrindinių savybių. Sinonimines išraiškas galima pakeisti vieną kita neiškreipiant teiginio loginės reikšmės - teisingumo. Intensionalumas yra kalbų savybė, neleidžianti abstrahuotis nuo išraiškų prasmės, nuo jų turinio ir jas vartoti tik apimties požiūriu. Intensionalas yra išraiškos turinys, jos prasmė. Intensionalumas neleidžia abstrahuotis nuo sąvokos turinio, nuo teiginyje išsakytos minties (sprendinio) turinio.
Intensionalioms kalboms negalioja pakeitimas lygiais dydžiais, ne visuomet leidžiama sinonimija. Tegul turime teiginį „Moksleivis Jonaitis paklausė, ar Rabatas yra Maroko sostinė". Jame vardą „Maroko sostinė" pakeiskime jam lygiareikšmiu vardu „Rabatas". Gausime teiginį „Moksleivis Jonaitis paklausė, ar Rabatas yra Rabatas". Vargu ar moksleivis galėtų taip klausti, vargu ar jis abejotų, kad Rabatas yra Rabatas. Šiame kontekste figūruoja netiesioginės kalbos sakinys, jį sukuria intensionalas „paklausė", lygiareikšmių vardų tiesioginis pakeitimas iškreipia teiginio prasmę. Paimkime teiginį „Asmuo tiki, kad Venera yra Vakarė žvaigždė". Kadangi Venera sinonimiškai dar vadinama Aušrine žvaigžde (matoma Saulei tekant), tai vardą „Vakarė žvaigždė" pakeitę vardu „Aušrinė žvaigždė", išsakome teiginį „Asmuo tiki, kad Venera yra Aušrinė žvaigždė". Tačiau toks pakeitimas gali iškreipti teiginio teisingumą - asmuo gali nežinoti, kad Venera vadinama ir Aušrine žvaigžde. Kalbų intensionalumo reiškinį atradę senovės graikų logikai (stoikai) jį iliustravo Aischilo „Orestėjoje" perpasakojamu mitu. Orestas ir Elektra, brolis ir sesuo, išsiskyrė dar vaikystėje. Po daugelio metų grįžusio subrendusio, išoriškai pasikeitusio Oresto Elektra neatpažįsta, nors žino, kad turi brolį Orestą. Tad Orestas = asmuo, stovintis priešais Elektrą.
Sudarome sakinį Elektra žino, kad χ yra jos brolis.
Pakeitę χ vardu „Orestas", gauname teisingą teiginį „Elektra žino, kad Orestas yra jos brolis". Pakeitę χ lygiareikšmiu vardu „asmuo, stovintis priešais Elektrą", gauname klaidingą teiginį „Elektra žino, kad priešais ją stovintis asmuo yra jos brolis". Intensionalumą sudaro savitas minties krypsmas į objektą. Intensionalios kalbos požymis tas, kad joje vartojamos natūralios kalbos šios išraiškos:
manau abejoju
esu įsitikinęs būgštauju
žinau siekiu
klausiu ketinu
prašau noriu
tikiuosi
jaučiu
išgyvenu
tikiu
ir kt.
Sie žodžiai vadinami intensionalais, jie sukuria teiginyje prasmę, į kurią neatsižvelgti neįmanoma. Tiriant intensionalų vartojimą, sukurta kognityvinė logika („žinau" ir jam artimų intensionalų tyrimas), religijos logika (intensionalo „tikiu" tyrimas), komandų logika (intensionalo „liepiu" tyrimas) ir kitos teorijos. Jos vaizduoja ne tai, kas pažįstama, kuo tikima, kam liepiama, bet vaizduoja kaip pažįstama, kaip tikima, kaip liepiama, t. y. tiria intensionalais sukeliamus samprotavimų būdus. Ekstensionali kalba paprastesnė už intensionalią, tačiau intensionalios kalbos galimybės didesnės. Anksčiau manyta, kad intensionalai esą migloti ir paslaptingi, jie esą neprieinamos loginei analizei psichinės būsenos. Šis požiūris pasirodė esąs netikslus. Nuo XX a. antrosios pusės intensionalios logikos konstruojamos ekstensionalios logikos priemonėmis, kurios papildomos ar modifikuojamos ir pritaikomos intensionalumui reikšti, atrandamos intensionalų vartojimo taisyklės. Tegul turime samprotavimą χ nori, kad būtų B. χ žino, kad, jei nebus A, tai nebus B. Vadinasi, χ turi siekti, kad būtų A.
Šiame samprotavime vartojami trys intensionalai: „nori" (jį pažymėkime raide N), „žino" (pažymėkime raide Ž), „siekia" (pažymėkime raide S). Sudarome šią samprotavimo formalizaciją:
NxB. Žx(A—>5).
SxA. Užrašius viena eilute: [NxB · ZxCA->B)]->SxA
Pratimai 1. Teiginyje „Kopernikas manė, kad tai, kas matoma kaip Saulės judėjimas, susidaro dėl Ž e m ė s judėjimo", vardą „Kopernikas" pakeiskite lygiareikšmiu vardu ir aptarkite teiginio teisingumą. 2. A r teiginyje „Jonaitis žino, kad Edisonas yra elektros lemputės išradėjas" galima vardą „Edisonas" pakeisti taip: „elektros skaitiklio išradėjas"?
6. Galimi pasauliai Terminas galimi pasauliai loginėje semantikoje vartojamas ne astronomijos priemonėmis fiksuojamoms kosmosą sudarančioms sistemoms žymėti. Semantikoje šis terminas suprantamas ne ontiškai, bet pažintine prasme kaip kitas realaus pasaulio matymas. Galimų pasaulių teorija yra semantinė priemonė analizuoti intensionalius kontekstus, prasminį kalbos išraiškų turinį. Kalbos vartotojai nuolat atsiduria Įvairiose situacijose (galimuose pasauliuose), jas atitinka jų pažiūros, įsitikinimai, siekiai, abejonės ir t. t. Galimi pasauliai gali būti empiriškai apčiuopiami, jie, tarkime, gali būti namai ar knygos, t. y. gali būti tikrovės išraiška, tačiau sukurti kaip kitas jos matymas. Galimi pasauliai yra konstrukcija, kuriama turint tikslą geriau pažinti realų pasaulį - tą, kuriame gyvename. Galimi pasauliai yra tikrumu pasižyminčios alternatyvos realiam pasauliui. Galimi pasauliai - tai bet kuri įmanoma dalykų padėtis, ne tik reali, bet ir norima, numanoma, pageidaujama, tikėtina, laukiama. Tikrovėje žmonės ima dėmesin daugiau negu vieną galimą įvykių seką. Dalykų padėtis būna viena, tačiau asmenys įvairiai ją aiškina, sukuria skirtingas jos interpretacijas. Galimi pasauliai yra bet kuri logiškai įmanoma (neprieštaringai mąstoma) objektų tvarka. Galimi pasauliai - tai proto konstrukcija, ja mąstoma neprieštaringas objektų būvis sąvokinių priemonių srityje. Kaip proto konstrukcija, galimi pasauliai turi būti suderinami su kokiu nors žinojimu ar tikėjimu.
Galimų pasaulių konstruktas susijęs su tiesos sąvoka, juo tikslinamas teiginio teisingumas: teiginys gali būti teisingas kai kuriuose pasauliuose, visuose galimuose pasauliuose ir nebūti teisingas nė viename pasaulyje. Atpažįstant tą patį objektą įvairiuose pasauliuose, jis gali pasirodyti vienodai visuose arba vienodai tik kai kuriuose pasauliuose, o kituose pasauliuose gali pasirodyti skirtingai. Yra klasė teiginių, kurie teisingi visuose galimuose pasauliuose. Tai logikos dėsniai ir iš jų išvedami teiginiai, jie logiškai būtini. Išraiška logiškai būtina pasaulyje Wv jei ji teisinga kiekviename pasaulyje, galimame 1/1/, atžvilgiu. Logiškai galimi teiginiai teisingi tik kai kuriuose pasauliuose. Natūralios kalbos teiginiai nurodo ne tik tai, kas yra pasaulyje, bet nurodo ir tai, kas buvo, bus arba galėtų būti. Realus pasaulis laikomas vienu iš galimų pasaulių - tuo, kuris yra, kuriame egzistuoja realūs objektai su jų savybėmis ir santykiais. Laikoma, kad kiti pasauliai kaip kita dalykų padėtis galėtų būti realizuojami kita įvykių tėkme. Kita įvykių tėkmė išsakoma kontrfaktiniais teiginiais (contra lotynų k. žodis - prieš, factum - įvykis). Kalbiškai jie išsakomi sąlyginiais tariamosios nuosakos sakiniais: jei būtų..., tai būtų...
Antai jei dykumose būtų pakankamai vandens, tai dykumos tiktų gyventi. Kontrfaktinių teiginių teisingumas matricomis neapibrėžiamas. Jų teisingumo sąlygos nusakomos taip. Teiginyje jei būtų p, tai būtų q
tarp antecedento ir konsekvento nustatomas prasminis ryšys - tiek loginis, tiek fizinis (priežastinis). Kontrfaktinis teiginys teisingas, kai jo konsekventas išvedamas iš antecedento pagal kurį nors dėsnį. Čia kyla du keblumai: a) konsekventas dažniausiai seka ne vien iš antecedento, bet ir iš kitų sąlygų. Teiginio „Jei pasodintume šios veislės obelį, tai ji gau-
siai derėtų" teisingumui dar reikia kitų veiksnių - obels priežiūros, tręšimo, palankių klimato sąlygų; b) nelengva atrasti konsekvento išvedimą pagal dėsnį, nustatyti, kad išvedama ne pagal tikėtiną, o pagal būtiną mąstymo vyksmą.
7. Analitiškumas ir sintetiškumas Filosofijos istorijoje analitinio ir sintetinio žinojimo problema išsakyta keleriopai. Esąs - tikras, būtinas idėjų žinojimas ir atsitiktinių dalykų žinojimas, besiremiantis jusliniu patyrimu (Platonas); - esmės žinojimas ir žinojimas to, kas esmės neteikia (scholastika); - būtinas loginių tiesų žinojimas ir atsitiktinis empirinių tiesų, teisingų tik kai kuriuose pasauliuose, žinojimas (Leibnizas); - teiginiai, kurių predikatas glūdi subjekto sąvokoje, jų teisingumas nustatomas analizuojant subjekto sąvoką, nesiremiant patyrimu, ir teiginiai, kurių predikatas neišgaunamas iš subjekto sąvokos (Kantas); - teiginiai, pripažįstami dėl konvencijos, ir patyrimu grindžiami teiginiai (konvencializmo atstovai). Klausimą, kaip atpažinti būtinas ir atsitiktines, logines ir patyrimu grindžiamas tiesas sprendžia ir šiuolaikinė logika. Analitiškumas ir sintetiškumas - tai kurios nors logiškai sut\>arkytos formalizuotos žinią sistemos teiginių savybės, nusakančios būdą, kuriuo nustatomas teiginių teisingumas. Analitiškumas ir sintetiškumas būdingi ne atskirai paimtiems teiginiams, bet kurios nors semantinės sistemos rėmuose paimtiems teiginiams. Analitiniai yra tie teiginiai, kurių teisingumas nustatomas vien tik turimos semantinės sistemos priemonėmis. Teisingumas apibrėžiamas semantinės sistemos taisyklėmis. Analitiniai yra visi logiškai teisingi teiginiai. Jų teisingumas gali būti nustatomas skirtingai. Tegul turime teiginius:
Popierius yra baltas arba nebaltas; Jei Jonas viengungis, tai jis nevedęs.
Pirmo teiginio (jis išsakytas pagal negalimo trečiojo dėsnį) analitiškumas yra ekstensionalus - tai teisingumas pagal reikšmę, apibrėžiamas dvireikšmės logikos matrica. Antro teiginio analitiškumas yra intensionalus, t. y. pagal prasmę. Šio teiginio teisingumui nustatyti reikia įvesti reikšmės postulatą - sąlygą, kurią reikia priimti terminams suteikiant deramą prasmę ir sudarant teisingą teiginį. Reikšmės postulatas yra teiginys, suteikiantis analitinio teiginio terminams prasmę, reikalingą pripažinti, kad teiginys būtų teisingas. Norint suprasti terminą „viengungis" reikia juo mąstyti požymį „būti nevedusiam". Kiekvienas viengungis yra nevedęs vyriškis: viengungis ξ nevedęs. Norint suprasti žodį „kranklys", reikia mąstyti krankliui būdingus požymius: būti didžiausiu varnų šeimos paukščiu ir būti juodam. Taigi kranklys yra didžiausias varnų šeimos juodas paukštis. Loginės išraiškos analitiškai teisingos būna ekstensionaliai arba intensionaliai. Analitiškai ekstensionaliai teisingi yra visi logikos (taip pat matematikos) dėsniai ir visi keitiniai dėsniuose, pavyzdžiui: py p p ~p
Vx [F(x) V F(x)]; VxVy (xRy ~ χ Ry).
Analitiškai intensionaliai teisingi yra teiginiai, kurie teisingi semantinės konvencijos (sutarimo) dėl neloginių terminų žymėjimo pagrindu. Teiginys „Centimetras lygus V 1 0 0 metro" analitinis kalboje K, jei šioje kalboje priimta semantinė konvencija, nustatanti, kad terminas „centimetras" žymi tokį ilgį, kuris lygus vienai šimtajai metro. „Centimetras", „metras" - tai neloginiai terminai. Sintetiniai yra teiginiai, kurių teisingumą nustatant, be turimos semantinės sistemos taisyklių, dar reikia remtis kitais duomenimis, patyrimu. Tenka remtis duomenimis, kurie yra už turimos semantinės sistemos ribų.
Analitiškumas ir sintetiškumas nusakomi ir pavartojus interpretacijos sąvoką: kurios nors sistemos teiginys analitiškai teisingas, kai jis teisingas visose tos sistemos interpretacijose; teiginys sintetiškai teisingas, kai jis teisingas tik kai kuriose sistemos interpretacijose. Analitiškumas ir sintetiškumas nėra žinių sistemos teiginių absoliučios savybės. Pereinant iš vienos kalbos (semantinės sistemos) į kitą kalbą, kai kurie buvę sintetiniai teiginiai gali virsti analitiniais. Teiginiai tampa analitiniais formuojantis tam tikrai žinojimo sistemai, jie įsitvirtina tos sistemos kalbos struktūroje. Už tokios sistemos ribų analitiškumas ir sintetiškumas neįmanomi.
jžb
Pratimai
Nustatykite, kurie teiginiai analitiniai ekstensionaliai, analitiniai intensionaliai ir kurie sintetiniai: 1. Netiesa, kad asmuo A studijuoja universitete. 2. Netiesa, kad asmuo A studijuoja universitete ir universitete nestudijuoja. 3. Didžiosios Britanijos svarą sterlingų seniau sudarė 20 šilingų arba 240 pensų, o nuo 1971 m. jį sudaro 100 naujųjų pensų. 4. Jei p privalomas, tai ne-p neleidžiamas.
8. Modelis ir interpretacija Terminas „modelis" (prancūzų k. žodis modele - pavyzdys) yra daugiareikšmis. Modeliu vadinamas kokio nors serijinio gaminio pavyzdys, standartas (pvz., drabužių modelis); dailėje ir skulptūroje modeliu vadinamas vaizduojamas objektas (žmogus ar gamta), o sukurtas paveikslas ar skulptūra - to modelio atvaizdavimu. Moksle terminas „modelis" suprantamas plačiausia prasme: Modelis yra objekto arba objektų sistemos sąlyginis vaizdas (schema, aprašymas, atvaizdavimas ir pan.).
Antai gaublys yra Žemės rutulio, fotografija - vietovės ar asmens sąlyginis vaizdas. Logikos priemonėmis aprašius smegenų neuronų veiklą, sukuriamas smegenų veiklos loginis modelis. Modelis apima ne visas, bet tik esmines originalo savybes. Modeliavimas yra pažinimo objektų tyrimas, kai naudojami tų objektų modeliai. Žinios, gautos kuriant ir analizuojant modelius, perkeliamos į originalą - modeliuojamą objektą. Statant laivus, hidroelektrines, analizuojami jų modeliai, kuriuos tiriant sprendžiama apie būsimo laivo ar hidroelektrinės savybes. Tad modeliavimas įgalina numatyti reiškinius. Skiriamos įvairios modeliavimo rūšys. Plačiausia prasme skiriamas daiktinis ir ženklinis modeliavimas. Daiktiniu vadinamas modeliavimas, tiriantis modelius, atgaminančius pagrindines geometrines, fizines, dinamines ir funkcines originalo charakteristikas. Ženklinio modeliavimo modeliai yra įvairaus pobūdžio ženklų deriniai - formulės, schemos, grafikai, brėžiniai ir kt. Svarbiausia ženklinio modeliavimo rūšis yra matematinis-loginis modeliavimas. Jis kuria modelius, besiskiriančius nuo originalo savo fiziniu pobūdžiu. Kita vertus, jie aprašomi tomis pačiomis matematinėmis-loginėmis priemonėmis, kaip ir originalas. Sie modeliai vadinami formaliais, juos sudaro ženklų sekos, ir jie kuriami kaip matematiniai-loginiai skaičiavimai. Logikos teorijos - ne savitikslės, jos taikomos moksluose ir technikoje. Suradus logikos teoriją atitinkančius objektus, sakoma, kad surastas jos modelis. Logikos teoriją realizavus techninėse konstrukcijose, tos konstrukcijos ir sudaro loginės teorijos modelį. Jei loginėje išraiškoje kintamuosius pakeitus kokiais nors konkrečiais objektais (tiksliau sakant, tų objektų vardais), ta išraiška tampa teisinga, tai sakoma, kad tie objektai šią išraišką įvykdo. Antai klasių teorijos išraišką AaB įvykdo objektai „galvos smegenys" (A) ir „smegenys" (B), o neįvykdo objektai „galvos smegenys" ir „nugaros smegenys". Lotynų k. žodis interpretatio reiškia „aiškinimas". Interpretacija
yra reikšmių (prasmių) visuma, vienu ar kitu būdu suteikiama kokios nors gamtamokslinės ar formalizuotos teorijos elementams. Formalizuotą teoriją sudaro simboliai, formulės, išraiškos. Kai sakoma, kad formalizuota teorija interpretuojama, tai reiškia, kad jos išraiškos ir formulės įgauna tam tikrą reikšmę (prasmę). Interpretacijos sąvoką galima apibrėžti remiantis modelio sąvoka: kokios nors teorijos ar sistemos interpretacija yra tos teorijos ar sistemos modelio suradimas arba sukūrimas. Ta pati teorija gali turėti kelias interpretacijas. Antai teiginių logikos išraiškos vartojamos kibernetikoje, relinėse-kontaktinėse schemose ir kitose techninėse konstrukcijose. Jei kokios nors teorijos T teiginiai išlieka teisingi, kai juos sudarantiems terminams suteikiama prasmė, paimta iš kitos teorijos 7", tai teorija T yra interpretuojama teorijoje Ty Teorijos 7" teiginiai turi atitikmenis teorijoje Ty Išvados, gautos teorijoje T, gali būti automatiškai perkeliamos į tas teorijas, kuriose teorija 7 yra interpretuojama.
9. Logikos antinomijos Terminas „antinomija" yra senosios graikų kalbos žodis, reiškiąs „prieštaravimas įstatyme". Logikoje antinomijomis vadinama tam tikra prieštaravimų rūšis. Pateiksime antinomijų pavyzdžių. Tarkime, kad studentas sudaro visų kuklių studentų sąrašą. Ar tas studentas turi save įtraukti į šį sąrašą, ar neturi? Jei jis save įtrauks į kuklių studentų sąrašą, vadinasi, jis nekuklus ir neturi būti tame sąraše. O jei jis savęs neįtrauks į kuklių studentų sąrašą, vadinasi, jis kuklus ir turi būti sąraše. Gavome prieštaravimą. Tarę, kad studentas įtrauks save į sąrašą, priėjome išvadą, kad jis neturi savęs įtraukti į sąrašą. Tarę, kad studentas neįtrauks savęs į sąrašą, priėjome išvadą, kad jis turi save įtraukti į sąrašą. Tarkime, kad stačiakampyje įrašytas vienintelis teiginys:
Teiginys, įrašytas šiame stačiakampyje, klaidingas.
Kyla klausimas, ar teisingas tas stačiakampyje įrašytas teiginys, ar klaidingas. Jei jis teisingas (p), tai kadangi jis pats apie save teigia, kad jis klaidingas, jis klaidingas (p). O jei tas stačiakampyje įrašytas teiginys klaidingas (p), tai tada jis teisingas (p), nes pagal dvigubo neigimo dėsnį teiginys „Netiesa, kad teiginys, įrašytas šiame stačiakampyje, klaidingas" ekvivalentus teiginiui „Teiginys, įrašytas šiame stačiakampyje, teisingas". Tarę, kad stačiakampyje įrašytas teiginys teisingas, priėjome išvadą, kad jis klaidingas; tarę, kad tas teiginys klaidingas, priėjome išvadą, kad jis teisingas. Logikos antinomija yra samprotavimas, įrodantis tiek kokio nors teiginio teisingumą, tiek ir klaidingumą (kitaip tariant, įrodantis teiginį ir to teiginio neigimą). Antinomiją sudarantys teiginiai prieštaringi, dėl to negalima priimti nė vieno iš jų, nors kiekvienas jų logiškai pagrindžiamas. Logikos antinomijos skirstomos į dvi rūšis - klasių teorijos antinomijas ir semantines antinomijas.
Klasių teorijos
antinomijos
Antinomijos dar kitaip vadinamos paradoksais. Senosios graikų kalbos žodis paradoxes reiškia „keistas", „nelauktas", „neįprastas". „Paradokso" terminas suprantamas dvejopai: 1. Kasdieniame gyvenime pažiūros, teiginiai vadinami paradoksaliais, jei jie neįprasti, neatitinka įprastų pažiūrų, labai originalūs, nors jie gali būti teisingi. Kai žodis „paradoksas" vartojamas šia reikšme, tai jis nereiškia loginio prieštaravimo. 2. Logikoje „paradoksų" terminu vadinamos klasių teorijos ir semantinės antinomijos. Pateiksime paradoksų pavyzdžių.
Kaimo kirpėjas skuta tuos ir tik tuos savo kaimo gyventojus, kurie patys nesiskuta. Ar jis skuta pats save? Jei tarsime, kad kaimo kirpėjas skutasi, tai iš to seka, kad jis turi nesiskųsti, nes jis skuta tik tuos kaimo gyventojus, kurie patys nesiskuta. O jei tarsime, kad jis nesiskuta, tai iš to seka, kad jis turi skustis, nes jis skuta kaip tik tuos, kurie patys nesiskuta. Tad tas kirpėjas kartu save skuta ir neskuta. Kitaip tariant, jis priklauso klasei žmonių, kurie patys skutasi, ir priklauso klasei žmonių, kurie patys nesiskuta. Šiuo kirpėjo paradoksu B. Russellas, vienas iš simbolinės logikos kūrėjų, populiariai išdėstė savo garsųjį paradoksą, atrastą klasių teorijoje. To paradokso esmė yra tokia. Žinome, kad kuri nors klasė A gali būti įskiriama į kitą klasę B. Tokiu atveju klasė A yra klasės B elementas. Kyla klausimas, ar kuri nors klasė gali būti įskirta į pačią save, t. y. ar kuri nors klasė yra pačios savęs elementas. Pavyzdžiui, klasė „žmonės" nėra pačios savęs elementas. Klasę „žmonės" sudaro tik žmonės, o žmonių klasė nėra žmogus. Į klasę „dviračiai" tegalima įskirti dviračius. Tačiau į klasę „dviračiai" negalima įskirti pačios dviračių klasės, nes dviračių loginė klasė - tai ne dviratis. Vadinasi, klasė „dviračiai" nėra pačios savęs elementas. Klasės, kurių negalima įskirti į jas pačias ir kurios negali būti savo pačių elementai, vadinamos normaliomis. Tačiau yra ir tokių klasių, kurios nėra normalios - tai klasės, kurias galima įskirti į jas pačias, kurios gali būti savo pačių elementai. Klasė „ne žmonės" nėra normali. Į šią klasę įskiriami visi tie objektai, kurie nėra žmonės. Bet pati klasė „ne žmonės" taip pat ne žmogus. Vadinasi, klasę „ne žmonės" galima įskirti į ją pačią. Panašiai ir klasė „ne dviračiai" nėra normali. Ne dviračiams priklauso ir pati klasė „ne dviračiai". Kitas pavyzdys. Klasė „visų klasių klasė" nėra normali, nes šioje klasėje telpa ir ji pati, į klasę „visų klasių klasė" įskiriama ir visų klasių klasė. Dabar panagrinėkime klasę „normalios klasės". Pažymėkime ją simboliu No. Šią klasę sudaro visos normalios klasės. Kyla klausimas, ar klasė „normalios klasės" pati normali, ar ne, t. y. ar Noe No, ar Noe No. Jei klasė „normalios klasės" yra normali, tai ji neįski-
riama į ją pačią: Noe No. Bet jei klasė „normalios klasės" nepriklauso normalioms klasėms, tai klasė „normalios klasės" nėra normali. Tarę, kad No normali, priėjome išvadą, kad No nėra normali. Tarkime, kad klasė „normalios klasės" nėra normali. Tada ši klasė įskiriama j ją pačią: Noe No. Vadinasi, klasė „normalios klasės" priklauso normalioms klasėms. Tarę, kad No nėra normali, priėjome išvadą, kad No normali. Šis B. Russello atrastas paradoksas buvo vienas iš tų dramatiškų momentų, kuriuos yra išgyvenęs mokslas. Klasių teorija nustojo buvusi aiški. Netrukus buvo atskleista ir daugiau panašių paradoksų. Aibių teorijos kūrėjas G. Cantoras atrado jo vardu vadinamą paradoksą. Tvirtinama, kad bet kurios aibės A visų poaibių skaičius yra skaitlingesnis už pačią aibę - aibė viena, o poaibių mažiausiai dvi. Paimkime visų aibių aibę U. Ji jau dėl savo pobūdžio skaitlingiausia, apima visas aibes kaip savo elementus. Tačiau dėl ankstesnio tvirtinimo aibės U visų poaibių aibė yra skaitlingesnė už visų aibių aibę. Taigi visų aibių aibė tarp aibių yra skaitlingiausia ir nėra skaitlingiausia. Šiuo paradoksu atskleista, kad sąvoka „visų aibių aibė" yra prieštaringa, kad nereglamentuotas žodžio „visi" vartojimas sukuria prieštaravimą. Klasių teorijos paradoksų esmė ta, kad tarus, jog objektas χ priklauso klasei A, prieinama išvada, kad objektas χ nepriklauso klasei A\ tarus, kad objektas χ nepriklauso klasei A, prieinama išvada, kad objektas χ priklauso klasei A. Tai užrašoma išraiška xeA
~
xeA.
Klasių teorijos paradoksus galima išreikšti ir kitais terminais predikatų logikos terminais. Panagrinėkime šį paradoksą. Pavadinkime sąvoką predikatyvia, kai jai pačiai tinka joje mąstomas požymis. Pavyzdžiui, sąvoka „abstraktumas" pati yra abstrakti, vadinasi, sąvoka „abstraktumas" - predikatyvi. Sąvoka „trumpas" taip pat predikatyvi, nes žodis „trumpas" pats yra trumpas. Jei sąvokoje mąstomo požymio pačiai sąvokai negalima priskirti, tokią sąvoką pava-
dinkime nepredikatyvia. Pavyzdžiui, sąvoka „dorybė" nėra dorybė, vadinasi, sąvoka „dorybė" nepredikatyvi. Sąvoka „ilgas" taip pat nepredikatyvi, nes žodis „ilgas" nėra ilgas. Sąvoka „ligotas" irgi nepredikatyvi, nes žodis „ligotas" pats nėra ligotas. Dabar panagrinėkime sąvoką „nepredikatyvumas". Pagal negalimo trečiojo dėsnį sąvoka „nepredikatyvumas" yra arba predikatyvi, arba nepredikatyvi. Tarkime, kad ji predikatyvi. Bet predikatyvia ką tik pavadinome sąvoką, kuriai pačiai tinka joje mąstomas požymis. Sąvokoje „nepredikatyvumas" mąstomas požymis „būti nepredikatyvia", vadinasi, ši sąvoka nepredikatyvi. Dabar tarkime, kad sąvoka „nepredikatyvumas" yra nepredikatyvi. Pagal anksčiau priimtus predikatyvumo ir nepredikatyvumo apibrėžimus išeina, kad ši sąvoka predikatyvi, nes joje mąstomas požymis tinka jai pačiai. Taigi abi prielaidos prieštaringos. Tarę, kad sąvoka „nepredikatyvumas" predikatyvi, priėjome išvadą, kad ji nepredikatyvi; tarę, kad ši sąvoka nepredikatyvi, priėjome išdavą, kad ji predikatyvi. Norint antinomijas pašalinti, reikia situaciją, kurioje jos atsiranda, tam tikru būdu apdoroti. Klasių teorijos paradoksų pašalinimas - nelengvas darbas. Jiems pašalinti nėra kokio nors vieno universalaus metodo. Vieniems paradoksams pašalinti tinka vienas metodas, kitiems - kitas. Efektyvus metodas paradoksams pašalinti yra loginių tipų metodas. B. Russello sukurta loginių tipų teorija yra klasių ir predikatų skaičiavimo sistema, apimanti įvairių rūšių, eilių, laipsnių kintamuosius ir nustatanti griežtus sistemos objektų vartojimo kriterijus ir apribojimus. Klasės, jų elementai, predikatai imami tik tam tikros hierarchijos rėmuose. Nustatomi šie objektų loginiai tipai: 1. Individai. Individas, arba elementas, yra kiekvienas paskiras kurios nors klasės objektas. Pavyzdžiui, kiekviena paskira gėlė yra gėlių klasės individas, kiekvienas paskiras žodis yra žodžių klasės individas. 2. Klasės, arba individualių objektų savybės. Pavyzdžiui, „gėlės" tai klasė, „būti raudonam" - savybė. Kadangi individų savybes galima traktuoti kaip klases, tai klasės ir savybės sudaro vieną tipą.
3. Santykiai tarp individualių objektų. Pavyzdžiui, „didesnis", „pažįstamas", „draugas" ir pan. 4. Klasių savybės. Pavyzdžiui, elementų (individų) skaičius klasėje - tai klasės savybė. 5. Santykių savybės·, refleksyvumas, simetrija, tranzityvumas ir pan. 6. Santykiai tarp klasių: lygiareikšmiškumas, subordinacija, izomorfizmas ir pan. Toliau tęsiant skirstymą, nustatomi vis sudėtingesni loginiai tipai. Be to, kiekviename tipe gali būti skiriamos detalesnės objektų rūšys. Loginių tipų metodas reikalauja, kad mes savo teiginiuose diferencijuotume objektus, kad kalbėtume ne apskritai apie objektus, bet apie tam tikro tipo objektus, ne apskritai apie klasę, bet apie tam tikrų objektų klasę. Loginių tipų hierarchijoje tipo „visų klasių klasė" nėra, taip pat nėra tipo „klasė kaip savęs elementas". Klasės elementu gali būti tik individas arba kita klasė. Tad visų klasių klasės paradoksą ir B. Russello normaliosios klasės paradoksą loginių tipų teorija pašalina kaip logiškai nekorektiškus. Atskirame loginiame tipe skiriama eilės, laipsniai. Pavyzdžiui, aiškinantis savybių tipą, pirmiausia išskiriami individai, t. y. paskiri objektai, kurie nėra savybės. Jie sudaro nulinį laipsnį. Individų savybės sudaro pirmą laipsnį, individų savybių savybės - antrą laipsnį ir 1.1. Paskiri stalai, paskiros gėlės yra individai; „keturkampis", „raudonas" yra pirmo laipsnio savybės; „erdvinė savybė", „spalva" - tai antro laipsnio savybės ir t. t. Tipų metodas reikalauja, kad pirmo laipsnio savybę būtų galima priskirti tik individams, pavyzdžiui, būtų galima pasakyti: „Šis stalas - keturkampis", „Ši gėlė nėra raudona". Šie teiginiai gali būti teisingi arba klaidingi, bet abiem atvejais jie prasmingi. Pirmo laipsnio savybės negalima priskirti pirmo laipsnio arba aukštesnio laipsnio savybei. Priešingu atveju gaunami prasmės neturintys teiginiai, pavyzdžiui, „Keturkampis yra raudona", „Spalva yra raudona". Antro laipsnio savybę galima priskirti tik pirmo laipsnio savybei, pavyzdžiui, „Keturkampis yra erdvinė savy-
bė", „Raudona yra spalva". Antro laipsnio savybės negalima priskirti individams, antro ir aukštesnio laipsnio savybėms, nes priskyrus gaunami beprasmiški teiginiai: „Šis stalas yra erdvinė savybė", „Ši rožė yra spalva", „Erdvinė savybė yra spalva" ir pan. Taigi pagal loginių tipų metodą n laipsnio savybę galima priskirti tik n-1 laipsniui. Neskiriant loginių tipų, nereglamentuotai vartojant žodžius visi, kiekvienas, nė vienas, atsiranda paradoksų. Per daug universali sistema turi būti logiškai prieštaringa. Panagrinėkime posakį „Nėra taisyklės be išimties". Kadangi šis posakis pats yra taisyklė, tai ir jam yra išimtis, vadinasi, yra taisyklių, neturinčių išimties. Šitaip neskiriant loginių tipų, atsiranda prieštaravimas. Tuo tarpu pagal loginių tipų metodą reikia skirti pačią taisyklę nuo to, kam ta taisyklė taikoma. Taisyklė „Nėra taisyklės be išimties" taikoma visoms kitoms taisyklėms išskyrus ją pačią. Taisyklės yra vienas loginis tipas, o teiginiai apie taisykles - kitas loginis tipas. Kaip pirmo laipsnio savybės nebuvo galima priskirti pirmo laipsnio savybei, taip ir teiginio apie taisykles negalima taikyti jam pačiam. Vadinasi, norint posakį „Kiekviena taisyklė turi išimtį" teisingai suprasti, reikia žodį „kiekviena" apriboti. Kadangi taisyklių yra įvairių, tai klasę „visos taisyklės" reikia skirstyti į siauresnes klases, surasti klasių tipus ir posakį „Nėra taisyklės be išimties" taikyti kokios nors rūšies taisyklių klasei. Antikiniai skeptikai tvirtino, kad nieko negalima pažinti. Neskiriant loginių tipų, pasirodo, kad skeptikų teiginys „Nieko negalima pažinti" logiškai netaisyklingai sudarytas, yra tiesiog beprasmybė. Jei nieko negalima pažinti, tai negalima pažinti ir teiginio „Nieko negalima pažinti", nežinia, ar šis teiginys teisingas, ar klaidingas. Kad šis skeptikų teiginys įgautų prasmę, būtina apriboti žodį „visi", t. y. būtina apriboti objektus, kurių atžvilgiu teigiamas nepažinimas, išskirti loginius tipus. Skeptikų teiginio „Nieko negalima pažinti" nereikia taikyti pačiam šiam teiginiui. Taigi paradoksai pašalinami apribojant, patikslinant sąvokas. Iš pateiktų klasių teorijos paradoksų lengvai išsprendžiamas tik studento, sudarančio sąrašą visų kuklių studentų, paradoksas. Reikia
patikslinti sąvoką „kuklus". Ar žmogus kuklus, ar ne - tai turi spręsti ne tiek jis pats, kiek kiti. Klausimą, ar jis turi būti kuklių studentų sąraše, tas studentas turi pavesti spręsti kitiems.
Semantinės
antinomijos
Kaip ir klasių teorijos paradoksai, semantinės antinomijos yra prieštaringos situacijos, kuriose įrodomas tiek kokio nors teiginio teisingumas, tiek ir jo klaidingumas. Tačiau semantinėse antinomijose prieštaringos situacijos sukuriamos ne klasių logikos pagrindu. Pateiksime antinomijų pavyzdžių. Jau senovėje buvo žinoma „Melagio" antinomija. Tarkime, kad koks nors asmuo per 1 valandą pasakė tik vieną teiginį „Aš meluoju". Ar teisingas šis jo teiginys? Jei tarsime, kad jis teisingas, tai, kadangi pats teiginys apie save teigia, kad jis klaidingas, teiginys klaidingas: teisinga, kad p klaidingas = p klaidingas. Jei tarsime, kad teiginys „Aš meluoju" klaidingas, tai reiškia, kad tas asmuo nemeluoja, jis sako tiesą, vadinasi, jo teiginys „Aš meluoju" teisingas: klaidinga, kad p klaidingas = p teisingas. Tarę, kad teiginys „Aš meluoju" teisingas, priėjome išvadą, kad jis klaidingas; tarę, kad šis teiginys klaidingas, priėjome išvadą, kad jis teisingas: p teisingas —> p klaidingas. p klaidingas —> p teisingas.
Kaip tik toks yra semantinių antinomijų pobūdis, ir tai užrašoma išraiška
(p->p) · p->p. Buvo žinomas ir kitas „Melagio" antinomijos variantas. Kretos filosofas Epimenidas (VI a. pr. Kr.) apie savo tautiečius taip yra pasakęs: „Visi kretiečiai - melagiai". Bet kretietis ir pats Epimenidas. Jei Epimenido teiginys „Visi kretiečiai - melagiai" teisingas,
tai, kadangi ir pats Epimenidas kretietis, jis meluoja, vadinasi, jo teiginys „Visi kretiečiai - melagiai" klaidingas. Jei Epimenido teiginys klaidingas, tai kretiečiai ne melagiai, ne melagis ir Epimenidas, vadinasi, jo teiginys „Visi kretiečiai - melagiai" teisingas. Viduramžių logikai suformulavo antinomiją: Aš neturiu pinigų ir tik turintis pinigų sako tiesą. Jei šis teiginys teisingas, tai pinigų neturiu ir sakau netiesą (nes tik turintis pinigų sako tiesą), kad pinigų neturiu. Taigi pinigų turiu. Jei teiginys klaidingas, tai pinigų turiu ir sakau tiesą, kad pinigų neturiu. Taigi pinigų neturiu. Antinomija siekia įrodyti prieštaringumą: pinigų turiu ir pinigų neturiu.
Panagrinėkime šią antinomiją. Tarkime, kad tuščiame popieriaus lape užrašyti trys teiginiai: Teiginys p teigia: teiginys q klaidingas. Teiginys q teigia: teiginys r klaidingas. Teiginys r teigia: teiginys p klaidingas.
Popieriaus lape daugiau nieko neužrašyta. Reikia nustatyti, ar teiginiai p, q, r teisingi, ar klaidingi. Tarkime, kad teiginys p teisingas. Kadangi p teigia, kad teiginys q klaidingas, tai q klaidingas. Jei q klaidingas, tai r teisingas, nes q teigia, kad teiginys r klaidingas. Kai r teisingas, tai p klaidingas, nes r teigia, kad teiginys p klaidingas. Tarę, kad teiginys p teisingas, priėjome išvadą, kad jis klaidingas. Tarkime, kad teiginys p klaidingas. Kai p klaidingas, tai q teisingas, nes p teigia, kad teiginys q klaidingas. Jei q teisingas, tai r klaidingas, nes q teigia, kad teiginys r klaidingas. Jei r klaidingas, tai p teisingas, nes r teigia, kad teiginys p klaidingas. Tarę, kad teiginys p klaidingas, priėjome išvadą, kad jis teisingas. Tokia pat prieštaringa situacija susidaro ir nagrinėjant teiginius q, r. Semantinė antinomija yra ir pateiktas įrašas stačiakampyje: „Teiginys, įrašytas šiame stačiakampyje, klaidingas".
Nustatysime semantinių antinomijų atsiradimo priežastis ir jų pašalinimo būdus. Semantinės antinomijos atsiranda tada, kai objektinė kalba suplakama su metakalba (senosios graikų k. žodis meta reiškia „po", „už"). Objektinė kalba yra kalba, kurios teiginiais nusakomi objektai, esantys už kalbos. Toji kalba, kuria pasakoma apie objektinę kalbą, vadinama metakalba. Teiginiai „Rūkymas kenkia sveikatai", „Turizmas nepadeda pažinti gimtojo krašto" yra objektinės kalbos teiginiai, jais nustatomas santykis tarp tikrovės objektų - rūkymo ir sveikatos, turizmo ir gimtojo krašto pažinimo. O sakiniai „Teiginys 'rūkymas kenkia sveikatai' teisingas", „Teiginys 'turizmas nepadeda pažinti gimtojo krašto' klaidingas" yra metakalbos teiginiai. Terminai „teisinga", „klaidinga" yra metakalbos terminai. Šiuos terminus taikome kitos kalbos - objektinės - teiginiams. Teiginys p ir teiginys „p teisingas" negali priklausyti tai pačiai kalbai. Atskyrus objektinę kalbą ir metakalbą, semantinės antinomijos pašalinamos. „Melagio" antinomija išsprendžiama nurodant, kad teiginys „Aš meluoju" pats savaime be kitų teiginių neturi prasmės. Šis teiginys yra metakalbos teiginys, nurodantis, kad kažkoks kitas teiginys yra klaidingas. Tačiau per valandą laiko jokių kitų teiginių nebuvo pasakyta. Tuomet teiginys „Aš meluoju" nelogiškas. Panašiai nelogiškas ir teiginys „Teiginys, įrašytas šiame stačiakampyje, klaidingas". Jis yra metakalbos teiginys, teigiantis, kad koks nors stačiakampyje įrašytas teiginys klaidingas. Tačiau jokių kitų teiginių stačiakampyje neįrašyta. Taigi stačiakampyje įrašytas metakalbos teiginys teigia apie save patį, o tai yra nelogiška. Teiginys apie save negali teigti nei teisingumo, nei klaidingumo. Tai atliekama kitais teiginiais. Sudėtingesnė yra antinomija, kurią sudaro teiginiai p, q, r. Teiginys p teigia apie teiginį q, o teiginys q teigia apie teiginį r. Tokiu atveju r turi būti objektinės kalbos teiginys, q - metakalbos teigi-
nys, o p - metametakalbos* teiginys. Tačiau r visai nėra objektinės kalbos teiginys, jis teigia apie teiginį p. Tad ši antinomija pašalinama nurodant, kad joje yra rato klaida. Epimenido paradoksas išsprendžiamas taip. Visi melagiai suskirstomi į du tipus. Pirmojo tipo melagiai kartais sako tiesą, antrojo tipo melagiai visada meluoja. Laikysime, kad Epimenido teiginyje „Visi kretiečiai - melagiai" kretiečiai yra antro tipo melagiai. Pažymėkime šį teiginį raide p ir tarkime, kad jis teisingas, t. y. kretiečiai visuomet meluoja. Tačiau kadangi ir pats Epimenidas kretietis, tai jis meluoja. Vadinasi, jo teiginys „Visi kretiečiai - melagiai" klaidingas (p). Tarę, kad Epimenido teiginys teisingas, priėjome išvadą, kad jis klaidingas. Gavome prieštaravimą: p—>p. O teiginių logikos dėsnis (p—>p)—>p teigia, kad jei iš teiginio p seka teiginys ne-p, tai teiginys ne-p teisingas. Vadinasi, Epimenido teiginys „Visi kretiečiai - melagiai" klaidingas, ir teisingas yra teiginys „Netiesa, kad visi kretiečiai melagiai". Taigi prielaida, kad visi kretiečiai yra antro tipo melagiai (visada meluojantys), atkrinta. O tai reiškia, kad yra kretiečių, kurie yra pirmo tipo melagiai, t. y. jie kartais sako tiesą. Norint ką nors pagaminti, reikia panaudoti įrankius. Norint įrankį perdirbti, priderinti, reikia panaudoti kitus įrankius, o ne jį patį. Panašiai ir pažinime - daiktų pažinimą reikia atskirti nuo pažinimo proceso pažinimo. Daiktų pažinimas išreiškiamas teorija, o teorijos pažinimas - tai metateorija, t. y. mokslas apie teoriją. Tiriant kurį nors tikrovės fragmentą, sukuriama to fragmento teorija. Tačiau rūpi, kad būtų tiriama efektyviais instrumentais. Tiriant, kaip funkcionuoja teorijoje vartojamos sąvokos, principai, įrodymo priemonės ir t. t., sukuriamas teorijos tyrimas - metateorija. Teorijai pažinti sukuriamos metateorinės priemonės. Matematika tiria realaus pasaulio ir abstrakčių logiškai įmanomų objektų kiekybinius santykius ir erdvines formas. Tiriant pačios matematikos pagrindimą ir jos teorijas, sukuriama metamatematika. Panašiai ir kituose moksluose. * Kalba, nagrinėjanti metakalbą, vadinama metametakalba.
Antinomijos pašalinamos atskleidžiant jų atsiradimo priežastis, tiriant vartojamų sąvokų, principų ar procedūrų leistinumą ir prielaidų pagrįstumą. Jei kokio nors konteksto teiginys p pasirodo esąs toks, kad (p—>p) · (p—>p), t. y. tame kontekste atsiranda prieštaravimas, tai analizuojamas turinys tų aiškiai išreikštų arba numanomų prielaidų, kuriomis remiantis kuriamas kontekstas ir kurios dabar atrodo įtartinos. Jei pasirodo, kad išraiška (p—>p) · ( p ^ p ) seka iš prielaidos z, t. y. z—>[(p—>p) · (p—»p)], tai išeina, kad prielaida z klaidinga. Sakysime, jei prielaida z reiškia, kad tie objektai, apie kuriuos kalbama teiginyje p, yra pakankamai fiksuoti, kad apie juos būtų galima samprotauti pagal tapatybės dėsnį, tai, antinomiją šalinant, gaunama išvada, kad tiriamiesiems objektams tapatybės dėsnis nepritaikomas. Arba, pavyzdžiui, jei prielaidoje z numanoma egzistuojant tam tikrą objektą ir, jį įvedus, atsiranda prieštaravimas (p—>p) · (p—>p), tai antinomijos išsprendimas reiškia to prielaidoje z numanomo objekto neegzistavimo įrodymą. Patyrinėkime šią antinomiją. Keliautojas pakliuvo į žmogėdrų rankas. Šie jam pasiūlė pasakyti kokį nors teiginį. Jei tas teiginys bus teisingas, tai žmogėdros keliautoją iškeps, o jei teiginys bus klaidingas, tai jie keliautoją išvirs. Įžvalgus keliautojas suprato, kad šitaip suformuluota sąlyga teikia progą sukurti prieštaringą situaciją, ir jis žmogėdroms pasakė: „Jūs mane išvirsite". Jei šis jo teiginys teisingas, tai žmogėdros keliautoją turi iškepti. Betgi iškepti jie negali, nes laiko teisingu teiginį, kad keliautojas bus išvirtas. Keliautojo pasakytą teiginį laikydami klaidingu, žmogėdros ir vėl atsiduria prieštaringoje situacijoje: iškepti negali, nes keliautojas pasakė klaidingą teiginį; negali ir išvirti, nes teiginį „Jūs mane išvirsite" laiko klaidingu. Išeitis čia tokia: jei žmogėdros nori keliautoją sudoroti, tai turi jam uždrausti pasakyti teiginį „Jūs mane išvirsite". Taigi jų sąlyga turėtų būti taip formuluojama: jei keliautojo pasakytas teiginys bus teisingas, tai keliautoją iškeps; jei tas teiginys bus klaidingas, tai keliautoją išvirs, ir keliautojas negali pasakyti teiginio „Jūs mane išvirsite". Logikos antinomijos - ne žaismingos beprasmybės. Tokie prieštaravimai iškyla moksluose, net ir tokiame griežtame moksle kaip
matematika. Logikos antinomijos atsiranda ne dėl subjektyvių žmogaus klaidų. Jas sukelia objektyvios priežastys, glūdinčios pažinimo procese. Jos rodo, kad mąstymo turinį reikia tikslinti, kad vartojamos procedūros yra nepakankamos ir jas reikia tobulinti atrandant mąstymo turinio ir jo loginės formos deramą išraišką.
Pratimai Išnagrinėkite antinomijas ir nurodykite, kaip jas galima pašalinti. 1. Dvireikšmėje logikoje kiekvienas teiginys teisingas arba klaidingas. Bet šis tvirtinimas, kuris yra negalimo trečiojo dėsnis, logikos tiesa, pats yra teiginys. Vadinasi, šis tvirtinimas yra teisingas arba klaidingas. 2. Jonas sako: „Pirmasis Petro pasakytas teiginys teisingas". Petras sako: „Paskutinysis Jono pasakytas teiginys klaidingas". Pirmasis Jono ir paskutinysis Petro teiginiai yra kaip tik tie, kurie čia pateikti. Kuris jų teisus? 3. Bibliotekininkas sudaro bibliografiją visų tų bibliografijų, esančių bibliotekoje, į kurias jos pačios neįtrauktos. Ar bibliotekininkas į šią sudaromą bibliografiją turi įtraukti ir ją pačią? 4. Dar senovėje buvo žinoma vadinamoji „Krokodilo" antinomija. Krokodilas pagrobė iš motinos vaiką. Motina maldavo vaiką grąžinti. Krokodilas atsakė vaiką grąžinsiąs tik tada, kai motina atspėsianti, ką jis ketina su vaiku daryti. Motina pasakė: „Tu man vaiko negrąžinsi". Krokodilas tarė: „Vaiko netekai, nes tiesą pasakei arba netiesą. Jei sakydama, kad aš, krokodilas, tau vaiko negrąžinsiu, pasakei tiesą, tai vaiko neatiduosiu pagal tavo pačios žodžius. O jei tavo pasakytas teiginys klaidingas, tai vaikas lieka man pagal mano pareikštą sąlygą". Motina į tai atsakiusi: „Privalai vaiką grąžinti. Jei mano pasakytas teiginys teisingas, tai privalai vaiką atiduoti pagal tavo pareikštą sąlygą. O jei m a n o teiginys: „Tu man vaiko negrąžinsi" klaidingas, tai vis tiek turi man vaiką grąžinti, nes, jei negrąžintum, nebūtų tiesa tai, ką pasakiau".
10. Semantinė tiesos samprata Tiesos problemą tiria filosofija. Klasikinė tiesos samprata teigia, kad tiesa yra minties atitikimas tikrovę. Tačiau ši filosofinė tiesos samprata nenurodo, kaip reikia suprasti, kad mintis atitinka tikrovę: ar tas atitikimas yra panašumas, vienodumas, tapatybė ar dar kas nors. Kitaip negu filosofijoje tiesos problema keliama logikoje. Logikai rūpi kalba, kuria mintys reiškiamos. Logika sudaro formalizuotą kalbą mintims reikšti. Įvairios logikos teorijos, sistemos yra formalizuotos kalbos mintims reikšti. Formalizuotose kalbose plačiai vartojama teisingumo sąvoka, todėl kyla klausimas, kokį teiginį laikome teisingu logikoje, t. y. kokį teiginį laikome teisingu teiginiu formalizuotose kalbose. Vadinasi, tiesą galima suprasti logikos požiūriu, ir tai vadinama semantine tiesos samprata. Semantinės tiesos sampratos tikslas - sukurti procedūrą, įgalinančią grynai formaliais metodais atsakyti į klausimą, kuris teiginys formalizuotose logikos kalbose vadinamas teisingu teiginiu. Iš visų tiesos požymių semantinė tiesos samprata atsižvelgia tik į vieną - į požymį „būti teisingu teiginiu". Sudaroma ši semantinio tiesos apibrėžimo schema: „p" yra teisingas teiginys, jei ir tik jei p.
Šiame formulavime raide p žymimas koks nors teiginys apie tikrovę, o raide p žymimas teiginio p pavadinimas. Jungtis „jei ir tik jei" nustato ekvivalenciją tarp teiginio ir teiginio pavadinimo. Tegul p žymi teiginį „Dabar sninga". Tada pagal semantinį tiesos apibrėžimą šio teiginio teisingumas suprantamas taip: teiginys „Dabar sninga" teisingas, jei ir tik jei dabar sninga. Tegul p žymi teiginį „1975 m. Vilniaus-Kauno geležinkelio linija buvo elektrifikuota". Pagal semantinį tiesos apibrėžimą šio teiginio teisingumas suprantamas taip: teiginys „1975 m. Vilniaus-Kauno geležinkelio linija buvo elektrifikuota" teisingas, jei ir tik jei 1975 m. Vilniaus-Kauno geležinkelio linija buvo elektrifikuota.
Panašiai formuluojamas ir klaidingo teiginio apibrėžimas: „p" yra klaidingas teiginys, jei ir tik jei ne-p.
Pavyzdžiui, teiginys „Dabar sninga" klaidingas, jei ir tik jei dabar nesninga. Teiginio teisingumas priklauso ir nuo kalbos, kurios terminais teiginys suformuluotas, ir nuo tos kalbos taisyklių. Kokia nors išraiška vienoje semantinėje sistemoje (formalizuotoje kalboje) gali būti teisinga, o kitoje jau gali nepasitvirtinti. Todėl požymį „būti teisingu teiginiu" semantinė tiesos samprata patikslina taip: „būti teisingu teiginiu konkrečioje formalizuotoje kalboje". Pateiktas formulavimas „p" yra teisingas teiginys, jei ir tik jei p
išreiškia bendrą semantinę tiesos sampratą, kuri yra pagrindas tiesos sampratai atskirose semantinėse sistemose (formalizuotose kalbose) formuluoti. Semantinė tiesos samprata nustato atitikimą tarp metakalbos teiginio „p" ir objektinės kalbos teiginio p: metakalbos teiginį galima pervesti į objektinės kalbos teiginį, tarp jų nustačius abipusiai vienareikšmį atitikimą, t. y. „p" teisinga - p; p ~ „p" teisinga.
Tad teiginio tvirtinimas metakalboje ekvivalentus teiginio priėmimui objektinėje kalboje. Kai tvirtiname teiginį, tai tuo pačiu jį laikome teisingu. Tvirtinimas reiškia, kad teiginys užfiksuotas pagal sistemos taisykles, įgalinančias tokią fiksaciją. Semantinė tiesos samprata pašalina termino „atitikimas" neapibrėžtumą: abipusiai vienareikšmis atitikimas yra metakalbos teiginio pervedimas į objektinės kalbos teiginį ir atvirkščiai. Tokia samprata naudinga formalizuotose kalbose, kurios reikalingos tiriant loginius mokslų pagrindus, informacines kalbas.
Semantinė tiesos samprata atitinka klasikinę tiesos sampratą teiginys teisingas tada, kai jis teigia tai, kas yra tikrovėje. Tik semantinė tiesos samprata yra ne tiek naujų tiesos požymių atskleidimas, kiek jau turimos tiesos sampratos formalizaeija, galimybių tiesos sąvoką eksplikuoti formalia procedūra paieškos.
Pratimas Nustatykite teiginio „Romanų kalbos formavosi lotynų liaudies kalbos tarmių pagrindu" teisingumą, pavartodami semantinį tiesos apibrėžimą.
11. Kalba ir logika Amerikiečių mokslininkas N. Chomsky (g. 1928 m.) sukūrė įtakingiausią kalbos ir logikos santykio teoriją, reikšmingą savo filosofinėmis išvadomis. Si teorija kalbai ir mąstymui priskiria vyraujantį vaidmenį žmogaus kultūrinėje ir pažintinėje veiksenoje, juos laiko svarbiausiais pažinimui ir kultūrai formuoti. Teorija teigia, kad žmogus turi mechanizmą, įgalinantį konstruoti ir suprasti naujas sąvokas, teiginius, samprotavimus. Kalbą sudaro giluminės ir paviršiaus struktūros. Giluminės struktūros pasiskirsčiusios mąstyme ir konstruoja sakinius. Išorinės struktūros atsiranda giluminėms struktūroms transformuojantis į kalbos išreiškimo lygmenį išsakant konkrečius sakinius. Giluminę struktūrą sudaro bazinės sintaksinės taisyklės - paprasčiausios pradinės loginės operacijos, iš kurių susidaro visi kiti teiginiai. Giluminė struktūra valdo kalbos sintaksę ir semantiką, o paviršiaus struktūra valdo fonologiją - ištarimą. Tad kalbos vartotojas turi dvi sistemas - giluminių struktūrų sąlygotą kompetenciją logiškai mąstyti ir paviršiaus struktūros sąlygotą kalbos akto atlikimą, kalbėjimą. Giluminė struktūra nepriklausoma nuo paviršiaus struktūros - nuo kalbėjimo. Giluminė struk-
tūra įgimta, jau nuo gimimo žmogus užprogramuotas logikai ir kalbai. Kalbos giluminės struktūros tapačios loginėms struktūroms. Loginės struktūros kartu yra kalbos giluminės struktūros, jos įgimtos visiems žmonėms. Kalbos skiriasi tik paviršiaus struktūromis kalbos aktų atlikimu, kalbėjimu. Loginė mąstymo struktūra bendra visiems žmonėms, jos bazėje susikuria kalbos ir kitos pažinimo sistemos. Pažįstama pagal logikos dėsnius. Kultūra paveikia tik kalbos paviršių, kalba nėra kultūros rodiklis. Kalba ir kultūra nėra vienintelės pažinimo sąlygos. Įmanoma peržengti kalbinius barjerus, kalbos gramatiką sugriežtinti. Matematikos ir logikos sukūrimas rodo kalbinio sąlygotumo įveiką logika ir matematika galioja visiems, visose kultūrose.
XI
S K Y R I U S
Dedukcinis metodas Lotynų k. žodis deductio reiškia išvedimą. Dedukcija yra išvadų gavimas iš prielaidų pagal logikos dėsnius. Ligi šiol logikos kurse vartojome dedukcinį samprotavimo būdą; pagal logikos dėsnius iš vienų teiginių (prielaidų) išvesdavome kitus teiginius (išvadas). Dedukciniuose samprotavimuose iš teisingų prielaidų visuomet turime gauti teisingą išvadą. Logika tiria mokslo mąstymo būdą, kaip vieni teiginiai išvedami iš kitų teiginių. Šiuolaikiniai mokslai negali apsiriboti paprastomis pažinimo priemonėmis. Daugelyje mokslų, vadinamų dedukciniais, taikoma sudėtinga pažinimo priemonė - dedukcinis metodas. Šio metodo struktūrą, jo sudarymą ir taikymą nagrinėja logika, tuo suteikdama esminę paramą kitiems mokslams.
1. Dedukcinio metodo struktūra Teorija, kurioje taikomas dedukcinis metodas, vadinama dedukcine teorija. Dedukcinė teorija - tai sąvokų ir teiginių sistema, turinti šiuos požymius: 1. Visi dedukcinės teorijos teiginiai teisingi. 2. Dedukcinėje teorijoje nedidelis skaičius teiginių priimama be įrodymo, o iš jų pagal iš anksto nustatytas logikos taisykles išvedami kiti dedukcinės teorijos teiginiai. 3. Dedukcinėje teorijoje nedidelis skaičius sąvokų neapibrėžiama, ir šiomis neapibrėžiamomis sąvokomis apibrėžiamos visos kitos dedukcinės teorijos sąvokos. Panagrinėsime šiuos dedukcinės teorijos požymius.
Pirmasis požymis labai reikšmingas. Kadangi mokslas ieško tiesos, o dedukcinėje teorijoje visi teiginiai teisingi, tai, atrodo, mokslai turėtų siekti savo teorijas kurti deduktyviai. Tačiau ne kiekvieną mokslo discipliną galima sudaryti deduktyviai. Dedukcinis metodas taikomas logikoje, matematikoje, kai kuriuose teoriniuose gamtos moksluose. Šių mokslų sąvokos pakankamai stabilios, kad joms būtų galima taikyti dedukcinio metodo reikalavimus. Tačiau daugelyje mokslų dedukcinis metodas nepritaikomas, pavyzdžiui, zoologijoje, botanikoje, socialiniuose moksluose. Šiaip ar taip, dedukcinis metodas taikomas vis naujose disciplinose, naujose teorijose, pavyzdžiui, struktūrinėje lingvistikoje. Antrasis dedukcinės teorijos požymis tas, kad šioje teorijoje nedidelis skaičius teiginių priimama be įrodymo. Šie pradiniai teorijos teiginiai, kurie laikomi teisingais be įrodymo, vadinami aksiomomis. Dėl to ir dedukcinis metodas kitaip dar vadinamas aksiominiu metodu. Pradiniai teiginiai - aksiomos - iš kokių nors kitų teiginių neišvedami. Tačiau iš aksiomų išvedami kiti tos teorijos teiginiai. Teiginiai iš aksiomų išvedami pagal iš anksto nustatytas logikos taisykles. Vadinasi, deduktyviai kuriant kokią nors mokslo teoriją, remiamasi: 1) konkrečia tos mokslo teorijos medžiaga; 2) logika, nes iš tos teorijos aksiomų teiginiai išvedami pagal logikos dėsnius. Klausimas, kodėl pradiniai teiginiai-aksiomos laikomi teisingais, sprendžiamas taip. Kadangi iš aksiomų išvedami teiginiai pasitvirtina, tai reikia laikyti teisingomis ir pačias aksiomas. Trečiasis dedukcinės teorijos požymis nurodo, kad nedidelis skaičius šios teorijos sąvokų joje neapibrėžiama. Neapibrėžiamos sąvokos - tai sąvokos, esančios aksiomose, t. y. tie terminai, kuriais suformuluotos aksiomos. Iš sąvokų apibrėžimo teorijos žinome, kad sąvoka A apibrėžiama sąvoka B, o sąvoka B apibrėžiama sąvoka C ir t. t. Tačiau šis procesas negali būti nepabaigiamas, esama tokių sąvokų, kurios yra pradinės, kitomis sąvokomis neapibrėžiamos, tai sąvokos, esančios pačiose aksiomose. Šiomis sąvokomis apibrėžiamos visos kitos dedukcinės teorijos sąvokos.
Sudarant kurią nors mokslo teoriją dedukciniu metodu, kai kurie tos teorijos teiginiai laikomi aksiomomis (jose esančios sąvokos neapibrėžiamos) ir iš aksiomų pagal iš anksto nustatytas logikos taisykles išvedami kiti jos teiginiai.
2. Teiginių logika kaip dedukcinė sistema Pagrindinę logikos teoriją - teiginių logiką - galima sudaryti deduktyviai. Pirmiausia reikia nustatyti, kokios teiginių logikos išraiškos laikomos aksiomomis. Šiuo atveju yra pasirinkimo laisvė. Aksiomomis galima laikyti didesnį ar mažesnį išraiškų skaičių, vienokias ar kitokias išraiškas. Galima pasirinkti aksiomų sistemą, kurią sudaro 11 arba 4, arba 3 aksiomos ir pan. Kiekvieną dedukcinės sistemos teoremą galima išvesti iš bet kurios tos sistemos aksiomą grupės. Deduktyviai sudarydami teiginių logiką, naudosimės J. Lukasiewicziaus nustatyta aksiomų sistema, kurią sudaro trys aksiomos. Patogumo dėlei aksiomas numeruosime: Ay (p->q)-»[(q->r)-»(p-»r)]. A2: (p >p) >p. A3: Šias išraiškas teiginių logikoje esame aptarę. Pirmoji aksioma yra implikacijos pereinamumo dėsnis, antroji - prieštaravimo išvedimas, trečioji - dėsnis „iš klaidingo teiginio seka bet kuris teiginys". Neapibrėžiamomis sąvokomis laikomos tos, kurios yra aksiomose, būtent neigimas ir implikacija. Taigi pateiktoje aksiomatikoje tėra dvi neapibrėžiamos sąvokos. Dabar reikia nustatyti taisykles, įgalinančias iš pateiktų aksiomų išvesti visas kitas teiginių logikos išraiškas. Tokių taisyklių yra trys.
Pakeitimo taisyklė: kiekvieną loginėje išraiškoje esant j kintamąjį galima pakeisti bet kuriuo kitu kintamuoju arba bet kuria kita išraiška. Šį pakeitimą reikia atlikti visoje išraiškoje, t. y. visur, kur tik keičiamas kintamasis yra. Jei pirmoje aksiomoje kurį nors kintamąjį pakeisime kitu kintamuoju, tai nuo to išraiškos esmė nepakis. Kintamąjį r pakeitę z, gauname: (p—>q)—i>[(q^>z)^(p^>z)]. Galima kintamąjį pakeisti net ištisa išraiška: r pakeiskime išraiška r · z. Gauname: (p—>q)—> ^ t t ( C 7 - K r - Z ) M p - K r . z)]}. Pakeitimo ekvivalenčia išraiška taisyklė: kiekvieną išraišką galima pakeisti jai ekvivalenčia išraiška. Kadangi naudojamoje aksiomatikoje pasitaiko tik viena jungtis implikacija, tai kitas jungtis teks išvesti iš implikacijos, taikant šias pakeitimo ekvivalenčia išraiška taisykles:
Ey (p · q) ~ р=Щ. E2: (pVq) ~ (p->q). E3: (p ~ q) ~ (p->q)^q->p. Šias išraiškas esame aptarę nagrinėdami vienų loginių jungčių pakeitimą kitomis. Taisyklės sunumeruotos, raidė E - pirmoji žodžio „ekvivalentu" raidė. Išvados taisyklė: jei A yra teisingas teorijos teiginys ir jei iš A seka B, tai B taip pat yra teisingas tos teorijos teiginys. Vadinasi: A teisingas. A-^B. B teisingas.
Ši išraiška buvo aptarta teiginių logikoje. Ji teigia, kad iš teisingo antecedento logiškai seka teisingas konsekventas. Iš tiesų, jei koks nors teorijos teiginys teisingas, tai iš jo logiškai išvestas kitas teiginys taip pat turi būti teisingas. Nustatę aksiomas ir teiginių išvedimo iš aksiomų taisykles, parodysime, kaip teiginiai išvedami iš aksiomų.
1. Ekvivalencijoje E2 (pVq) ~ (p—>q) q pakeisime p: (pVp) ~ (p >p). Aksiomoje >42 (p ^P) ^P išraišką p ^ p pakeisime jai ekvivalenčia išraiška pVp: (pVp)—>p. Gautoji išraiška yra vienas iš suprastinimo dėsnių. 2. Aksiomoje A3 išraiškai p^>q taikome pakeitimo ekvivalenčia išraiška taisyklę E2: p->(p->q), p^(pVq). Gavome išraišką, teigiančią, kad prie teisingo teiginio galima disjunktyviai prijungti bet kurį kitą teiginį. 3. Aksiomoje Αλ kintamąjį q keisime išraiška p—>qr, o r keisime q: (p—>q)->[(qH>r)—>(p—»/")],
Gautai išraiškai taikome išvados taisyklę, nes antecedentas p—>(p—>q) teisingas - tai aksioma A3. Vadinasi, iš teisingo antecedento logiškai išvestas konsekventas [(p^q)^q]—>(p—>q) taip pat teisingas. Pagal išvados taisyklę, teisingą antecedentą galima nubraukti. Parodysime, kaip taikoma išvados taisyklė.
p—Kp->g) teisinga. [p^(p—>q)]—>{[(p^q)—>q]—>(p—>q)}· [ ( p ^ q ) ^ q ] ^ ( p - > q ) teisinga.
A teisingas. A^B. B teisingas.
Tad, taikydami išvados taisyklę, gavome teisingą teiginį [(p^q)^q]—>(p->q). Šiame teiginyje q keisime p. Gauname:
[(p-*p)->p]-Kp->p). Gautai išraiškai taikome išvados taisyklę, nes antecedentas (p^>p)—>p teisingas - tai aksioma Ar Tada teisingas ir konsekventas p—>p: ( p ^ p ) ^ p teisinga. [(p-»p)-»p]->(p->p). p—>p teisinga.
A teisingas. A—>B.
B teisingas.
Taigi, nubraukę teisingą antecedentą, gavome išraišką p^p. Ši išraiška yra tapatybės dėsnis teiginių logikoje. 4. Gautoje išraiškoje p—>p pakeisime p teiginiu p: p^p. Taisyklėje E2 q keisime p: (pVq) - (p->q).
(pVp) ~ (p—>p). Kadangi gautoji išraiška teigia, kad pVp ekvivalentu p—>p, tai šį ekvivalentumą galima taikyti išvestai išraiškai p ^ p ir vietoj jos rašyti pVp. Gautoji išraiška yra negalimo trečiojo dėsnis.
Šitaip iš pateiktų trijų aksiomų, taikant nurodytas išvedimo taisykles, galima išvesti visas kitas teiginių logikos išraiškas. Panašiai aksiomiškai sudaroma predikatų logika, loginių klasių teorija ir kitos logikos teorijos, ir tada jos vadinamos dedukcinėmis sistemomis, arba loginiais skaičiavimais. Teiginių išvedimas iš aksiomų nelengvas darbas, reikalaujantis įgudimo ir sumanumo.
Pratimas Pakartokite išraiškų p—>(pVq) ir p—>p išvedimą.
3. Reikalavimai dedukcinei teorijai Dedukcinė teorija aiškinama dviem požiūriais - sintaksiniu ir semantiniu. Dedukcinės teorijos sintaksinis tyrimas reiškia, kad kalba formalizuojama, ji aiškinama kaip sistema formalių teiginių, susietų tarpusavyje pagal tam tikras formalias taisykles. Sintaksiniu požiūriu dedukcinė teorija suprantama kaip visuma kurios nors kalbos ženklų ir išraiškų, kurie nagrinėjami tik kaip grafiniai ženklai, sutvarkyti pagal bendras kalbos sudarymo ir loginio išvedimo taisykles. Sintaksiniu požiūriu aiškinant dedukcinę teoriją, neatsižvelgiama į tai, kokius objektus ji išreiškia, kokiai objektų sričiai ji gali būti taikoma. Tokia yra, pavyzdžiui, teiginių logika. Sudaryta deduktyviai, teiginių logika yra formali kalba, abstraktus alfabetas. Dedukcinės teorijos semantinis tyrimas išaiškina, kokius objektus ji išreiškia, kokiai objektų sričiai ji taikoma. Suradus objektus, kuriems dedukcinė sistema taikoma, sakoma, kad surasta tos sistemos interpretacija. Visos teoremos, įrodytos remiantis kuria nors aksiomų sistema, yra teisingos kiekvienoje tos sistemos interpretacijoje. Dedukcinei teorijai keliami trys pagrindiniai reikalavimai:
1. Aksiomų nepriklausomumas. Aksiomos turi būti nepriklausomos viena nuo kitos, t. y. jos turi būti parinktos taip, kad bet kurios aksiomos nebūtų galima išvesti iš kitų aksiomų. Jei kuri nors aksioma nėra nepriklausoma, tai reiškia, kad ji bereikalinga, ją galima išvesti iš kitų tos teorijos aksiomų. Bereikalingos aksiomos buvimas apsunkina dedukcinės teorijos neprieštaringumo įrodymą. 2. Neprieštaringumas. Dedukcinė teorija turi būti neprieštaringa, t. y. tokia, kad iš jos aksiomų nebūtų galima išvesti kokio nors teiginio ir to teiginio neigimo. Toks neprieštaringumas vadinamas sintaksiniu neprieštaringumu. Jei iš dedukcinės teorijos aksiomų galima išvesti teiginį p ir jo neigimą p, tai ji yra prieštaringa. Išeina, kad p teisingas ir p teisingas. Bet žinome, kad prieštaravimo dėsnis neleidžia laikyti kartu teisingais teiginių p ir ne-p. Prieštaringoje teorijoje nėra skirtumo tarp tiesos ir klaidingumo, joje galima įrodyti bet kuriuos teiginius. Neprieštaringumo reikalavimas - pats svarbiausias reikalavimas, keliamas dedukcinei teorijai. Kita neprieštaringumo samprata yra semantinis neprieštaringumas: teorija yra semantiškai neprieštaringa, jei ji turi bent vieną modelį, t. y. tam tikrą objektų sritį, kurioje ši teorija įvykdoma. 3. Pilnumas. Dedukcinė teorija laikoma pilna, jei kiekvieną joje suformuluotą teiginį galima įrodyti arba paneigti. Teiginio įrodymas dedukcinėje teorijoje - tai jo išvedimas iš aksiomų arba iš jau įrodytų teoremų. Teiginio paneigimas - to teiginio neigimo išvedimas. Jei dedukcinė teorija pilna, tai kiekvieną teiginį, suformuluotą tos teorijos terminais, galima išvesti išjos aksiomų (arba iš jau įrodytų teoremų) arba iš jų galima išvesti to teiginio neigimą. Teorijos pilnumas yra kiek mažesnės reikšmės negu neprieštaringumas, nes ir nepilna teorija gali teikti daug duomenų apie joje tiriamus objektus. Teiginių logika, kaip nesudėtinga dedukcinė sistema, yra pilna. Kiekvieną teiginių logikos išraišką galima išvesti iš aksiomų, tuo
įrodant jos teisingumą, arba įrodyti, kad ji neišvedama iš jų (t. y. kad ji klaidinga). Tačiau ne kiekviena dedukcinė teorija yra pilna. Jei dedukcinė teorija yra sudėtinga, tai ji nepilna. Dedukcinės teorijos nepilnumas reiškia, kad joje galima suformuluoti teisingų teiginių, kurių negalima išvesti iš jos aksiomų. Deduktyviai sudaryta aritmetikos teorija jau nepilna. Atsiradus neišvedamiems iš aksiomų teisingiems teiginiams, aksiomatiką galima pertvarkyti, praplėsti taip, kad tuos anksčiau neišvedamus teiginius būtų galima iš aksiomų išvesti. Tačiau ir taip pertvarkyta aksiomatika neužtikrina visų tiesų gavimo - atsiranda naujų teisingų teiginių, neišvedamų iš tam tikros teorijos aksiomų. Vadinasi, jei dedukcinė teorija pakankamai sudėtinga, išplėtota, tai išjos aksiomų negalima išvesti visų tos teorijos teiginių. Tai 1931 metais įrodė austrų logikas K. Godelis, ir šis jo įrodymas vadinamaspirmąja Godelio teorema. Ši teorema turi svarbią pažintinę reikšmę. Ji parodo, kad mokslo neįmanoma išreikšti tik deduktyviai, kad negalima visiška mąstymo proceso formalizacija. Formali sistema neišsemia teorijos. Teorijoje esama tokių pradinių prielaidų, kurios aiškiai neformuluojamos, jomis remiamasi intuityviai. Lieka ir tam tikro neapibrėžtumo interpretuojant formalios sistemos alfabetą. Godelio teorema rodo, kad, kuriant sąvokines konstrukcijas, susiduriama su problemomis, kurios neišsprendžiamos anksčiau sukurtais metodais. Ne mažiau svarbią pažintinę reikšmę turi ir antroji Godelio teorema, susijusi su neprieštaringumu. Ši teorema teigia: formalios teorijos neprieštaringumo neįmanoma įrodyti tos pačios teorijos priemonėmis. Iš tiesų, jei teorijos neprieštaringumą imtume įrodinėti tos pačios teorijos priemonėmis, tai įrodyme susidarytų ratas. Teorija deduktyviai sudaroma tada, kai ji jau pakankamai ištirta, išplėtota. Siekiant tiksliai ir griežtai išreikšti teorijos teiginius, ji sudaroma deduktyviai, vienus jos teiginius laikant aksiomomis ir iš jų logiškai išvedant kitus teiginius. Tačiau dedukcinė teorija tėra vienas iš mokslinio pažinimo organizavimo metodų.
XII
S K Y R I U S
Tikimybiniai samprotavimai 1. Nededukciniai samprotavimai Jau buvo nurodyta, kad dedukcija yra išvadų gavimas iš prielaidų pagal logikos dėsnius. Dedukciniame samprotavime iš teisingų prielaidų turime gauti teisingą išvadą. Kyla klausimas, ar visuomet iš teisingų prielaidų gaunama teisinga išvada. Pasirodo, kad ne visuomet. Yra tokių samprotavimų, kurių prielaidos teisingos, tačiau iš jų negalima išvesti teisingos išvados. Tegalima išvesti tikėtiną išvadą. Tokie samprotavimai vadinami nededukciniais. Nededukciniu vadinamas samprotavimas, kuriuo iš teisingą prielaidų tegalima išvesti tikėtiną išvadą. Konkrečiais pavyzdžiais palyginsime dedukcinį ir nededukcinį samprotavimus.
Dedukcija 1. Kiekvienas kvadratas yra stačiakampis. Visi stačiakampiai yra lygiagretainiai. Vadinasi, kiekvienas kvadratas yra lygiagretainis. 2. Jei namas 9 aukštų, tai jame yra liftas. Šis namas 9 aukštų. Vadinasi, šiame name yra liftas.
Gauname:
P ^ q teisingas teiginys, p teisingas. Vadinasi, q teisingas.
Nededukcija 1. N mokslinio tyrimo institute dirba 100 asmenų. ¾ sudaro mokslo darbuotojai. Asmuo A dirba šiame mokslinio tyrimo institute. Vadinasi, tikėtina, kad A yra mokslo darbuotojas. 2. Jei namas 9 aukštų, tai jame yra liftas. Šiame name yra liftas. Vadinasi, tikėtina, kad šis namas 9 aukštų.
Gauname: p—>q teisingas teiginys. q teisingas. Vadinasi, p tikėtinas.
Pirmame dedukcijos pavyzdyje iš teisingų prielaidų gaunama teisinga išvada, remiantis klasių teorijos dėsningumais. Klasė „kvadratai" (A) įskiriama j klasę „stačiakampiai" (β), o klasė „stačiakampiai" (B) įskiriama į klasę „lygiagretainiai" (O· Iš čia seka, kad klasė „kvadratai" (A) įskiriama į klasę „lygiagretainiai" (C). Gauname: [(AczB) · (ScC)]->(AcC)· Ši išraiška yra klasių teorijos dėsnis ir ja remiamasi pateiktame samprotavime. Pirmame nededukcijos pavyzdyje numatoma, kad prielaidos teisingos, tačiau iš jų tegalima daryti tikėtiną išvadą. Jei kategoriškai tvirtintume, kad asmuo A yra mokslo darbuotojas, tai toks tvirtinimas būtų nepagrįstas, iš pateiktų prielaidų jis neseka. Asmuo A gali būti doktorantas, administracijos darbuotojas ir pan. Vadinasi,
išvadai „A yra mokslo darbuotojas" daryti trūksta duomenų, iš pateiktų duomenų galima tik spėti, kad jis - mokslo darbuotojas. Antrame dedukcijos pavyzdyje pirma prielaida „Jei namas 9 aukštų, tai jame yra liftas" - teisinga implikacija. Antroje prielaidoje patvirtinamas implikacijos antecedentas - „Šis namas 9 aukštų". Išvadoje patvirtinamas implikacijos konsekventas - „Šiame name yra liftas". Ši išvada gaunama remiantis teiginių logikos dėsniu, kad jei visa implikacija teisinga ir jei jos antecedentas teisingas, tai teisingas ir jos konsekventas. Antrame nededukcijos pavyzdyje pirma prielaida - ta pati teisinga implikacija. Antroje prielaidoje patvirtinamas konsekventas - „Šiame name yra liftas". Tačiau iš to, kad name yra liftas, dar neseka, kad namas - 9-ių aukštų. Namas gali būti ir 8-ių, ir 12-os aukštų, ir pan. Taigi, jei implikacija teisinga ir jei jos konsekventas teisingas, tai iš to dar neseka, kad ir antecedentas teisingas. Antecedentas tėra tikėtinas, galima tik spėti, kad jis teisingas. Tikėtina išvada turi būti patikrinta. Reikia surinkti daugiau duomenų apie asmenį A, kad būtų galima tiksliai nustatyti jo pareigas tame institute; norint sužinoti, kiek namas, kuriame yra liftas, turi aukštų, reikia pasižiūrėti arba kitų paklausti. Visa tai yra faktinis patikrinimas. Tuo tarpu dedukcijos išvada patikrinama kitaip, faktinis patikrinimas čia netinka. Dedukcijos išvada patikrinama nustatant, ar samprotavimo loginė struktūra yra logikos dėsnis. Jei ji yra logikos dėsnis, tai išvada teisinga. Kitaip tariant, čia nagrinėjama išsprendžiamumo problema. Mąstymo praktikoje dedukciniai ir nededukciniai samprotavimai reiškiasi ne izoliuotai, o vienybėje, jie vienas kitą papildo. Pavyzdžiui, reikalaujama, kad dedukcijos prielaidos būtų teisingos. Tačiau dedukcijos prielaidų teisingumas dažnai negali būti įrodytas deduktyviai. Iš kur žinome, kad prielaida „Visi žmonės mirtingi" teisinga? Šio teiginio teisingumą dar galima įrodyti deduktyviai: visi žmonės - gyvos būtybės, o visos gyvos būtybės mirtingos. Tačiau iš kur žinome, kad teiginys „Visos gyvos būtybės mirtingos" teisingas? Juk kiekvieno gyvūno neįmanoma patikrinti. Šio teigi-
nio teisingumo neįmanoma įrodyti nei dedukciniais, nei vien tik nededukciniais samprotavimais, jo teisingumas įrodomas vartojant abu šiuos samprotavimo būdus. Pagrindiniai nededukciniai, tikimybiniai samprotavimo būdai yra indukcija, analogija ir hipotezė.
0Q
Pratimai
Kuris samprotavimas dedukcinis ir kuris - nededukcinis: 1. Jei nuspausiu jungiklį, elektros šviesa kambaryje užges. Elektros šviesa kambaryje užgeso. Vadinasi, nuspaudžiau jungiklį. 2. Netiesa, kad liudytojas anksčiau pažinojo teisiamąjį arba jis yra teisiamojo giminė. Iš to seka, kad liudytojas anksčiau nepažinojo teisiamojo ir jis nėra teisiamojo giminė.
2. Indukcija Lotynų k. žodis induetio reiškia įvedimą. Dažnai samprotavimų prielaidos būna bendro pobūdžio teiginiai, t. y. teiginiai apie visus klasės objektus, pavyzdžiui: „Kiekvienos bibliotekai priklausančios knygos 17 puslapyje yra bibliotekos antspaudas". Mokslo dėsniai taip pat teigia apie visus klasės objektus, pavyzdžiui: „Dvireikšmėje logikoje kiekvienas teiginys teisingas arba klaidingas, tad trečios galimybės nėra". Kyla klausimas, kaip gaunami tokie bendro pobūdžio teiginiai. Bendro pobūdžio teiginiai gaunami ištyrus (stebėjimu, eksperimentu) pavienius atvejus, nustačius, kad paskiri klasės objektai turi tam tikrą savybę, ir padarius apibendrinančią išvadą - tą savybę turi visi tos klasės objektai. Pavartę atskiras bibliotekos knygas, ma-
tome, kad jų 17 puslapyje yra bibliotekos antspaudas. Tuo remdamiesi, darome išvadą, kad kiekvienos bibliotekai priklausančios knygos 17 puslapyje yra bibliotekos antspaudas. Panašūs apibendrinimai daromi remiantis indukciniu samprotavimo būdu. Indukcija yra toks samprotavimo būdas, kai, ištyrus paskirus klasės objektus ir nustačius, kad jie turi tam tikrą savybę, daroma išvada, kad tą savybę turi visi tos klasės objektai. Tad indukcinio samprotavimo išraiška ši: Ξχ F(x)—>Vx F(x), t. y. iš to, kad yra kurios nors klasės objektai, turintys savybę F, išvedama, kad kiekvienas tos klasės objektas turi savybę F. Indukcinis samprotavimas reikalingas pateisinimo. 1. Ontinis (būtiškasis) pateisinimas nurodo, kad tikrovės procesai ne visi atsitiktiniai, daug procesų reguliarūs, kartojasi, yra dėsningi. Indukciškai samprotaujant, svarbu aptikti reguliarumą, taisyklingumą. 2. Biologinis pateisinimas grindžiamas tikrovę pralenkiančia veiksena. Egzistuodamas kintančioje aplinkoje, organizmas sukuria ateities laukimo nervinį modelį, įgalinantį bendrais bruožais numatyti būsimus įvykius ir į juos atitinkamai reaguoti. 3. Loginį pažintinį pateisinimą sudaro sukūrimas procedūrų, įgalinančių padidinti indukcijos išvados tikėtinumo laipsnį ir jį kreipti teisingumo linkme. 4. Pragmatinis pateisinimas teigia, kad be loginės indukcijos apsieiti neįmanoma. Apibendrinant galima teigti, jog indukcijos išvada pateisinama, kai ji gaunama pagal duotojoje samprotavimų srityje priimtas taisykles, įgalinančias indukciją. Esama įvairių požiūrių į pačių taisyklių pobūdį. Indukcijos išvada gali būti teisinga, bet gali būti ir klaidinga. Todėl, apskritai kalbant, indukcijos išvada yra tikėtina. Indukcija yra tikimybinis samprotavimo būdas. Nuo kitų nededukcinių sampro-
tavimų indukcija skiriasi tuo, kad jos išvada yra apibendrinančio pobūdžio.
Indukcijos
rūšys
Skiriamos pilnoji ir nepilnoji indukcija. Pilnoji indukcija yra tada, kai išvada apie visus klasės objektus daroma remiantis kiekvieno tos klasės objekto ištyrimu. Tarkime, kad šeimą sudaro keturi asmenys: tėvai, duktė ir sūnus. Motina baigusi aukštąjį mokslą. Tėvas baigęs Duktė baigusi Sūnus baigęs Vadinasi, visi šeimos nariai baigę aukštąjį mokslą.
Pilnosios indukcijos schema yra tokia: Objektas X1 turi savybę F.
Objektai x,, x2, xy.. x n sudaro klasę A. Vadinasi, kiekvienas klasės A objektas turi savybę F.
Pilnosios indukcijos išvada visuomet teisinga, jei tiksliai ištiriami visi klasės objektai. Todėl pilnoji indukcija nėra tikroji indukcija, faktiškai ji yra dedukcija. Pilnoji indukcija tik savo forma - samprotavimo eiga nuo teiginių apie paskirus objektus prie apibendrinančios išvados - primena indukciją. Pilnoji indukcija taikoma ne tik tada, kai klasę sudaro palyginti nedidelis objektų skaičius, bet kartais ir tada, kai klasę sudaro didelis objektų skaičius. Patikrinimai, revizijos neretai grindžiami pil-
nosios indukcijos principu, ypač finansų srityje, kur apskaičiuojama tiksliai iki cento. Šiuo atveju pilnosios indukcijos išvados teisingumas priklauso nuo patikrinimo tikslumo. Eksperimentiniuose ir aprašomuosiuose moksluose tiriant klases, kurias sudaro pakankamai didelis arba neapibrėžtas objektų skaičius, vartojama nepilnoji indukcija. Nepilnoji indukcija yra tada, kai ištiriami tik kai kurie klasės objektai ir nustatoma, kad jie turi tam tikrą savybę, o paskui daroma išvada, kad tą savybę turi visi tos klasės objektai. Žodis „tirti" asmenuojamas, „mokyti" „dirbti" „matyti" „galvoti" Pateikti žodžiai - veiksmažodžiai. Vadinasi, tikėtina, kad visi veiksmažodžiai asmenuojami.
Nepilnosios indukcijos schema tokia: Objektas X1 turi savybę F. U » " u
X3
U
U
Objektai X1, x2, X3... nesudaro visos klasės. Vadinasi, tikėtina, kad kiekvienas klasės A objektas turi savybę F.
Apibendrinančią išvadą nepilnojoje indukcijoje galima daryti todėl, kad tiriami panašūs objektai. Visi pateiktame pavyzdyje išskaičiuoti žodžiai panašūs tuo, kad jie veiksmažodžiai. Nustačius, kad kai kurie veiksmažodžiai turi savybę „būti asmenuojami", daroma apibendrinanti išvada: tikėtina, kad visi veiksmažodžiai asmenuojami. Nepilnoji indukcija yra dvejopa - populiarioji ir mokslinė.
Populiarioji indukcija yra indukcija paprastai išvardijant, nesuradus prieštaraujančio atvejo. Populiariąja vadinama tokia nepilnoji indukcija, kai išvada, jog visi tam tikros klasės objektai turi tam tikrą savybę, daroma remiantis tuo, kad tarp ištirtų kai kurių tos klasės objektų nebuvo surastas toks objektas, kuris tos savybės neturėtų. Populiariosios indukcijos išvada tikėtina. Jei prieštaraujančio atvejo nebuvo surasta, tai dar nereiškia, kad jo iš viso nėra. Galimas daiktas, kad tarp neištirtų objektų yra tokių, kurie neturi konstatuojamos savybės. Tarkime, kad ant stalo guli 20 knygų. Pirmoji knyga Antroji „ Trečioji „ Ketvirtoji „ Penktoji „
- grožinės literatūros kūrinys. - „ - „ - „ - „
Šeštoji „ - „ Vadinasi, tikėtina, kad visos ant stalo gulinčios knygos yra grožinės literatūros kūriniai.
Patikrinus 6 knygas, dar nėra tvirto pagrindo teigti, kad visos ant stalo gulinčios knygos yra grožinės literatūros kūriniai. Vadinasi, kuo daugiau objektų ištiriama, tuo didesnis populiariosios indukcijos išvados tikėtinumas. Patikrinus 17 knygų, išvada bus daug labiau tikėtina negu išvada, padaryta remiantis 6 knygų patikrinimu. Tačiau ir 17 knygų patikrinus, išvada vis tiek tėra tikėtina, nes tarp nepatikrintų 3 knygų gali būti tokia, kuri nėra grožinės literatūros kūrinys. Populiarioje indukcijoje galima klaida, vadinama skubotu apibendrinimu. Ši klaida atsiranda tada, kai apibendrinanti išvada daroma netiksliai arba per mažai ištyrus objektus. Skuboto apibendrinimo klaidą daro lengvatikiai žmonės, kai jie nekritiškai priima teiginius, atsižvelgdami tik j tai, kas teiginį patvirtina, ir neieško
teiginiui prieštaraujančių faktų arba juos ignoruoja. Anksčiau europiečiai, stebėdami tik baltas gulbes, apibendrino, kad visos gulbės baltos. Atradus Australiją, joje aptikta juodų gulbių. Indukcija, vartojama kartu su dedukcija, vadinama moksline indukcija. Priklausomai nuo dedukcijos vaidmens skiriami keli mokslinės indukcijos variantai: 1. Indukcija atrenkant atvejus, kuriuose negalimi atsitiktiniai apibendrinimai. Čia dedukcijos vaidmuo reiškiasi tuo, kad iš anksto sudaroma objektų tyrimo programa. Nepilnosios indukcijos principu atliekami sociologiniai tyrimai. Visuomenės apklausos rengiamos respondentus atrenkant pagal daugelį kriterijų, o gautus duomenis apdorojant pagal pripažintas procedūras. Tai įgalina išvengti atsitiktinių išvadų, nors pati socialoginė prognozė lieka tikėtino pobūdžio. 2. Indukcija, kurios išvada patikrinama dedukcija. Teiginys „Visos gyvos būtybės mirtingos" iš pradžių buvo išvestas populiariąja indukcija. Žmonės matė, kad gyvos būtybės miršta. Ši išvada buvo pagrįsta deduktyviai: mokslas įrodė, kad gyvajam pasauliui mirtingumas - būtinas požymis, kad tai - gyvosios gamtos dėsnis. Kai teiginys „Visi lietuvių kalbos veiksmažodžiai asmenuojami" grindžiamas tik tuo, kad, nors ir kiek veiksmažodžių imtume, visus bus galima asmenuoti, tai šis teiginys išvedamas remiantis populiariąja indukcija. O kai šis teiginys pagrindžiamas deduktyviai, tai įrodoma, kad asmenavimas yra būtina kiekvieno veiksmažodžio savybė, kad tai kalbos dėsningumas. Tai jau mokslinė indukcija. Deduktyviai pagrįsta indukcijos išvada yra teisinga. Šiuo atveju ištirtų objektų skaičius neturi lemiamos reikšmės.
Indukcija ikiteisminiame
tyrime
Ikiteisminis tyrimas prasideda faktų tyrimu. Nusikaltimai palieka pėdsakus, žymes, jų suradimas yra pradinė medžiaga tyrimui. Ši
medžiaga būna įvairi ir priklauso nuo nusikaltimo pobūdžio. Tokie faktai, kaip nusikaltimą mačiusio liudytojo parodymai, įrankių, kuriais buvo padarytas nusikaltimas, radimas nusikaltimo vietoje, yra pradinė medžiaga, turinti svarbią įrodomąją reikšmę. Kadangi nusikaltėliai paprastai stengiasi naikinti nusikaltimo pėdsakus, nepalikti jų, tai pradinė medžiaga paprastai būna nežymi. Šiuo atveju ja gali būti tokie faktai, kaip nusikaltimo vietoje rasta nuorūka, saga, drabužių skiautelė ir pan. Tokios pradinės medžiagos įrodomoji reikšmė yra silpna, mažai tikėtina. Ikiteisminio tyrimo tikslas - surasti kuo daugiau svarbios įrodomosios reikšmės faktų. Visa pradinė medžiaga - turimi faktai - kruopščiai analizuojama nustatant kiekvieno fakto reikšmę nusikaltime ir faktų tarpusavio ryšį. Pagal turimus faktus - nusikaltimo pėdsakus - atkuriamos nusikaltimo aplinkybės: asmuo, padaręs nusikaltimą, jo padarymo būdai, motyvai ir 1.1. Ikiteisminio tyrimo procese indukcija vartojama nustatant priežastinį turimų faktų ryšį su nusikaltimu. Kiekvienas paskiras faktas apibūdina nusikaltimą tam tikru požiūriu. Ištyrus pavienius faktus, indukcijos dėka daroma apibendrinanti išvada: visi turimi faktai yra įrodymo medžiaga. Tai pilnosios indukcijos išvada. Jos teisingumas priklauso nuo analizės tikslumo: ar tikrai kiekvienas paskiras faktas yra įrodymo medžiaga.
Pratimai 1. Kuriuo samprotavimo būdu daroma išvada: „Jis buvo įžymus tuo, kad visada, net kai labai gražu, eidavo į orą tik su kaliošais ir skėčiu ir būtinai su šiltu vatiniu paltu. Ir skėtis jo buvo įmautėj, ir laikrodis - pilko zamšo įmautėj, ir kai išsiimdavo peiliuką pieštukui pasismailinti, tai ir jo peiliukas būdavo įmautėlėj; ir veidas, rodės, taip pat buvo įmautėj, nes jis visą laiką jį slapstė, pasistatęs apykaklę. Jis nešiojo tamsius akinius, megztinį, vaikščiojo ausis užsikišęs vata, o kai sėsdavo į vežiko bričką, tai liepdavo pakelti viršų. Vienu žodžiu, buvo matyti to žmo-
gaus nuolatinis ir neįveikiamas stengimasis apsupti save kiautu, sudaryti sau, taip sakant, futliarą, kuris atskirtų jį nuo visų kitų, apgintų nuo išorinių įtakų".
(A. Čechovas)
2. Kokią išvadą galima padaryti iš šių prielaidų: 8 metų Mozartas sukūrė pirmąją savo simfoniją. 17 metų Jeanne d'Arc vadovavo kariuomenei, išlaisvinusiai Orleaną. 17 metų N. Wieneris tapo filosofijos daktaru (matematinės logikos srityje). 18 metų Puškinas pradėjo rašyti „Ruslaną ir Liudmilą". 29 metų Vasco da Gama atrado kelią į Indiją. 36 metų Sklodowska-Curie atrado radį. 50 metų Darwinas išleido „Rūšių atsiradimą". 58 metų Verdis sukūrė muziką operai „Aida". 72 metų Kantas sukūrė veikalą „Papročių metafizika". 89 metų Mikelandželas sukūrė žymius meno kūrinius.
3. Analogija Senosios graikų kalbos žodis analogia reiškia taisyklingą santykį tarp objektų, jų proporciją ir atitikimą. Analogija yra toks samprotavimas, kai iš dviejų objektų sutapimo vienais požymiais daroma išvada, kad tie objektai sutampa ir kitais požymiais. Analogijos schema tokia: Objektas χ turi požymius a, b, c, d. Objektasyturi požymius a, b, c. Vadinasi, tikėtina, kad objektas y turi požymį d.
Pateiktoji analogijos samprata vadinama struktūrine analogija ji nustato dviejų objektų struktūrų panašumą. Tačiau ši samprata ne vienintelė, yra įvairios samprotavimų pagal analogiją rūšys. Antai jei yra dvi įvykių klasės A ir β ir jei žinome, kad, nors ir kur būtų
stebimos šios dvi klasės, yra pagrindo įvykį A laikyti įvykio B priežastimi, tad jei stebime A, bet nėra būdo nustatyti, ar B yra, ar ne, manome, kad turbūt B vis dėlto yra. Ir panašiai - jei stebime β, о Л buvimas ar nebuvimas negali būti nustatytas, vis dėlto turime pagrindo manyti, kad yra ir A. Mes apsiribosime struktūrinės analogijos nagrinėjimu. Analogijos, kaip nededukcinio samprotavimo, išvada - tikėtina. Nustačius, kad du objektai panašūs vienais požymiais, dar negalima daryti būtinos išvados, kad jie panašūs ir kitais požymiais. Sakysime, esame skaitę daug rašytojo N knygų, ir visos patiko. Rašytojas N parašė naują knygą. Darome išvadą: tikėtina, kad ir naujoji rašytojo N knyga mums patiks.
Analogijos išvados
patikrinimas
Kadangi analogijos išvada tikėtina, tai galima kalbėti apie jos tikėtinumo laipsnį. Veiksniai, nuo kurių priklauso analogijos išvados tikėtinumas, tokie: 1. Požymių, bendrų lyginamiems objektams, reikšmingumas. Samprotaujant pagal analogiją, bendri lyginamųjų objektų požymiai turi būti esminiai, tipiški nagrinėjamuoju požiūriu. 2. Lyginamiems objektams bendrų esminių požymių skaičius. Kuo daugiau objektai χ ir y turės esminių bendrų požymių, tuo analogijos išvada bus labiau tikėtina. 3. Perkeliamas požymis turi būti to paties tipo, kaip ir bendri objektų požymiai. Pavyzdžiui, žinant, kad dvi medžių rūšys turi esminius bendrus požymius a, b, c ir kad vienos medžių rūšies vaisiai turi požymį d, pagal analogiją daroma išvada, kad tą požymį d turi ir kitos medžių rūšies vaisiai. Tokia analogija galima todėl, kad perkeliamas požymis d yra to paties tipo kaip ir požymiai a, b, c, šioje analogijoje kalbama apie biologinius augalų požymius. Analogijos išvada patikrinama dvejopai. Geriausias analogijos patikrinimas - betarpiškas suradimas to, ką teigia analogijos išva-
da. Tačiau toks betarpiškas suradimas ne visuomet {manomas, ne visuomet objektai prieinami betarpiškam patikrinimui. Todėl kitas analogijos patikrinimo būdas yra dedukcinis analogijos išvados patikrinimas. Šiuo atveju analizuojamas požymių a, b, c ryšio su požymiu d pobūdis. Jei pavyksta nustatyti, kad tarp požymių a, b, c ir požymio d yra būtinas ryšys, tai seka išvada, kad, kur yra požymiai a, b, c, ten būtinai turi būti ir požymis d. Kadangi objektai χ ir y abu turi požymius a, b, c, o objektas χ dar turi požymį d, tai požymį d privalo turėti ir objektas y. Pavyzdžiui, žinome, kad žodžio procesas vidurinis skiemuo kirčiuojamas trumpąja priegaide - procesas. Jei tokį šio žodžio kirčiavimą grįsime tuo, kad taip kirčiuojami ir į jį panašūs žodžiai (pavyzdžiui, ekscesas ir kt.), tai bus išvada pagal analogiją. O gramatinės taisyklės nurodymas yra dedukcinis šios analogijos išvados patikrinimas.
Klaidos
analogijoje
Pirmoji analogijos klaida padaroma tada, kai lyginami objektai neturi bendrų esminių požymių. Objektasxturi požymius a, b, c, d. Objektas y Objektas y turi požymį d?
Ši analogijos klaida grubi, retai tepasitaikanti. Pateiksime pavyzdį. 494 metais pr. Kr. Romos plebėjai, nepakeldami patricijų išnaudojimo, apleido miestą, pasitraukė už trijų mylių nuo Romos ir ten be patricijų įsirengė stovyklą. Likusius mieste patricijus apėmė baimė, kad liaudis gali ir pačią Romą užpulti. Jie pasiuntė iškalbingą senatorių Menenijų Agripą nuraminti plebėjų ir prikalbinti juos grįžti į miestą. Atvykęs į plebėjų stovyklą, Menenijus Agripa taip įrodinėjo būtinumą susitaikyti. Kartą, kalbėjo jis, žmogaus kūno dalys, nepakeldamos pilvo nepasotinamumo, sukilo:
rankos atsisakė nešti maistą j burną, burna atsisakė maistą priimti, dantys kramtyti. Bet, užuot pilvą badu numarinusios, pačios kūno dalys galutinai save išsekino. Supratusios savo neprotingumą, jos vėl ėmė vykdyti pareigas. Šitaip, dėstė senatorius, ir valstybėje atsitiks tas pat, jei valstybės piliečiai atsisakys savo natūralių pareigų. Sakoma, kad Menenijui Agripai šia analogija pavyko įtikinti plebėjus grįžti atgal į miestą. Tačiau analogija čia aiškiai klaidinga. Žmogaus organizmas ir valstybė - objektai, neturintys bendrų požymių, būtinų analogijos išvadai.
Kita analogijos klaida. Pavyzdžiui, nustatoma, kad objektai χ ir y turi bendrus požymius a, b, c. Objektas χ turi dar požymį d, o objektas y turi požymį n. Pasirodo, kad požymis n nesuderinamas su požymiu d. Tuo tarpu daroma išvada, kad objektas y vis dėlto turi požymį d. Šios klaidos schema: Objektasxturi požymius a, b, c, d. Objektasyturi požymius a, b, c ir požymį n. Be to, n—>d. Objektasyturi požymį d?
Ši klaida atsiranda dėl to, kad nežinoma arba ignoruojama, jog požymis n nesuderinamas su požymiu d, kad jei objektas turi požymį л, tai jam jau negalima priskirti požymio d. Šios rūšies klaidą daro socialdarvinistai. Tarp gyvūnų ir žmonių tikrai nemažai bendrų požymių. Kadangi gyvūnų pasaulyje vyksta natūralioji atranka ir kova už būvį, tai pagal analogiją daroma išvada, kad šitai reiškiasi ir visuomenėje. Ši išvada klaidinga todėl, kad į visuomenės gyvenimą mechaniškai perkeliami biologiniai dėsningumai ir ignoruojama, jog visuomenėje yra veiksnys, nesuderinamas su natūraliąja atranka ir kova už būvį. Tas veiksnys - sąmoninga žmonių veikla. Visuomenėje vyksta kova, tačiau tai ne kova už būvį, bet ideologijų ir partijų kova, nacionalinio išsivadavimo kova, kova už gyvenimo sąlygų pagerinimą ir kt.
Analogijų vaidmuo
moksle
Moksle analogijos plačiai taikomos, jos - viena iš mokslo pažangos sąlygų. Analoginiu mąstymu vadovaujamasi tiriant organizmų veiksenos principus panaudojimo technikoje požiūriu. Kibernetinės mašinos buvo sukurtos pagal analogiją su gyvaisiais organizmais. Kadangi organizmas yra pati save reguliuojanti sistema, tai kilo mintis sukurti ir save reguliuojančias mašinas, kurioms betarpiškas žmogaus valdymas nereikalingas. Tokių mašinų šiandien yra daug, ir jos vis tobulinamos. Vis dėlto nereikia užmiršti, kad analogija tėra pradinė tyrimų stadija, kad analogija - tai dar ne įrodymas. Patikrinus analogijos išvada kartais būna ir klaidinga. Pirmosios idėjos apie lėktuvą kilo pagal analogiją su paukščio skrydžiu: lėktuvu buvo įsivaizduojamas aparatas, kuriame sėdintis žmogus tam tikrais prietaisais judina aparato sparnus, dėl to aparatas skrenda. Tačiau ši analogija pasirodė klaidinga. Atskirai reikia aptarti istorines analogijas. Istorinės analogijos galimos, tačiau jos ribotos. Ribotos todėl, kad istorijos reiškiniai vyksta skirtingomis sąlygomis, skirtingose epochose. Šį istorinių analogijų ribotumą pažymėję Renesanso epochos politikos teoretikai nurodė, kad iš istorinių praeities faktų analizės daromos atsargios išvados savo meto įvykiams. Nors iš istorijos galima pasimokyti ir dera gerbti praeitį, tačiau reikia paklusti dabarčiai ir priimti įvykius tokius, kokie jie yra. Naujoje epochoje gyvenama ne antikinio pasaulio sąlygomis, tenka taikytis prie nuolat kintančių aplinkybių.
Analogija teisminiuose
įrodymuose
Ikiteisminio tyrimo procese konkretus nusikaltimas lyginamas su anksčiau tirtais nusikaltimais, paskiri jo faktai lyginami su faktais, pasireiškusiais kitose bylose. Tokio lyginimo tikslas - surasti
faktų panašumus ir skirtingumus. Dažnai šis lyginimas įgalina daryti išvadą pagal analogiją. Taikant analogiją, laikomasi logikos nustatytų analogijos išvados tikėtinumo sąlygų: panašūs dviejų nusikaltimų požymiai turi būti esminiai, to paties tipo, reikia jų surasti kuo daugiau, tarp lyginamų reiškinių neturi būti esminių skirtumų. Nusikaltėlis, padarydamas kelis tos pačios rūšies nusikaltimus, paprastai juos padaro tuo pačiu būdu. Lyginant kelių nusikaltimų padarymo būdus, suradus jų esminių požymių panašumą, pagal analogiją daroma išvada, kad tuos nusikaltimus padarė tas pats asmuo. Įsilaužus į Šiaulių ir Utenos apskrityse esančias stačiatikių cerkves, iš jų buvo pagrobti kryžiai. Vienodas įsilaužimo būdas ir vagystės pobūdis tardymui siūlė išvadą, kad į cerkves įsilaužė tie patys asmenys.
Kadangi analogijos išvada tikėtina, tai pagal analogiją padarytos išvados negali būti laikomos neginčijamu įrodymu byloje. Pavyzdžiui, ankstesnis teistumas, anksčiau padarytas panašus nusikaltimas dar nėra pakankamas pagrindas išvadai, kad tas asmuo kaltas, padaręs naują nusikaltimą. Teismo nuosprendis privalo remtis ne spėjimais, tikėtinais teiginiais, bet teisingais teiginiais, nurodančiais tikrai įvykusius faktus. Apeliacinis teismas nuosprendžių, padarytų remiantis spėjimais, tikėtinais teiginiais, nepatvirtina, grąžina bylą peržiūrėti iš naujo arba tardymui papildyti. Dažniausiai analogija pateikia tikėtinus atsakymus į klausimus: kas padarė nusikaltimą, kur ieškoti nusikaltėlio, kaip nusikaltėlis prasiskverbė į nusikaltimo vietą, kur ieškoti pagrobtų vertybių, kokie gali būti nusikaltimo motyvai ir pan. Analogijos išvada tampa pagrindu versijai sukurti. Ne visose teisės srityse leidžiama vartoti analogiją. Analogija draudžiama baudžiamojoje teisėje. Paprasčiausiai juridinę išvadą galima taip suprasti: veika A —> teisės norma B.
Tai ir yra įstatymas: veikai A taikoma teisės norma B. Taikant įstatymą, konkreti veika Av A2, A3 ir 1.1, turi būti tokia, kad ją būtų galima įskirti į veikos A klasę, laikyti ją klasės A elementu. Juridinės išvados schema šiuo atveju tokia: Veikai A taikoma teisės norma B. Veika A1 įskiriama j veikos A klasę. Vadinasi, veikai A1 taikoma teisės norma B.
Tuo tarpu išvadoje pagal analogiją veikos A* negalima tiesiogiai įskirti į veikos A klasę, nes veikai* tik panaši į A. Juridinės išvados schema pagal analogiją: Veikai A taikoma teisės norma B. Veika A* panaši j A. Vadinasi, veikai A* taikoma teisės norma B.
Baudžiamojoje teisėje analogija draudžiama todėl, kad įstatyme turi būti tiksliai nurodyta, už kokią veiką ir kaip bausti. Leidimas vartoti analogiją baudžiamojoje teisėje sukelia teisėtumo pažeidimus.
Pratimas Ar pagrįstos šios analogijos: 1. Kritikas pasakė savo nuomonę apie knygą perskaitęs vos vieną tos knygos puslapį. Kai jam dėl to buvo padaryta priekaištų, jis atsakė: „Jei aš noriu nustatyti vyno skonį statinėje, nejaugi turiu išgerti visą statinę? Pakanka vienos taurelės, kad galėtume jį įvertinti". 2. Buvo apiplėštas sandėlis, į kurį nusikaltėliai įsibrovė išardę mūrinę sandėlio sieną. Nusikaltimo išaiškinti nepavyko. Po kiek laiko kitame mieste nusikaltimo vietoje buvo sulaikyta grupė asmenų, mėginusių įsilaužti į sandėlį išardžius sieną. Si aplinkybė leido daryti išvadą, kad sulaikyti asmenys gali būti susiję su kitame mieste anksčiau įvykdytu minėtu neišaiškintu nusikaltimu.
4. Hipotezė Mokslas nesitenkina tik faktų rinkimu, jų konstatavimu. Jis aiškina faktus, atskleidžia jų esmę, kitimo dėsningumus. Mokslo teorijos turi tikslą aiškinti tikrovę - gamtos ir visuomenės gyvenimo reiškinius. Tačiau teorijos atsiranda ne iš karto. Iš pradžių randasi hipotezės, ir tik po to, kai hipotezės patikrinamos, įrodomos, jos tampa mokslinėmis teorijomis. Tiesa, neretai ir hipotezės vadinamos teorijomis, tačiau aišku, kad hipotezė dar nėra įrodyta teorija. Moksle ir gyvenime didelę reikšmę turi abejojimo ir kriticizmo principai. Šie principai reikalauja, kad teorijas ir teiginius laikytume teisingais tik tada, kai jie moksliškai įrodyti. Kol teorijos ir teiginiai neįrodyti, jų teisingumu abejojama, ir jie laikomi hipotezėmis. Senosios graikų kalbos žodis hypothesis reiškia spėjimą. Hipotezė yra moksliškai pagrįstas naujų dėsnių, objektą, jų struktūrą bei rysią ir kt. numatymas. Ne kiekvieną numatymą galima laikyti hipoteze. Hipotezėmis negalima laikyti savavališkų spėjimų, fantastinių prasimanymų. Moksliškai pagrįstas yra numatymas, atitinkąs šiuos reikalavimus: 1. Hipotezė neturi prieštarauti esamoms mokslinėms žinioms. Tačiau jei stebimų reiškinių neįmanoma kitaip paaiškinti, sukuriamos hipotezės, kurios toms žinioms prieštarauja. Tada teiginiai, anksčiau laikyti teisingais, peržiūrimi. Taip sukuriamos fundamentalios mokslo hipotezės. 1900 m. M. Planckas sukūrė kvantų hipotezę, teigusią, kad egzistuoja diskrečios energijos porcijos - kvantai. Ši hipotezė prieštaravo tuometinės fizikos pažiūroms, tačiau greitai buvo nustatytas jos teisingumas ir atitinkamai peržiūrėtos senosios pažiūros. 2. Hipotezė turi būti tokia, kad ją būtų galima patikrinti. Ji patikrinama išvedant iš jos sekmenis, tie sekmenys patikrinami praktika, eksperimentu. Jei iš hipotezės išvestų sekmenų negalima patikrinti, tai dar nereiškia, kad hipotezę reikia atmesti. Skiriamas dvejopos hipotezės patikrinimas - praktinis ir principinis. Praktinis patikrinimas - tai hipotezės patikrinimas turimomis mokslo ir techni-
kos priemonėmis. Principinis hipotezės patikrinimas reiškia, kad hipotezę apskritai galima patikrinti - jei ne dabar, tai vėliau, pagilėjus pažinimui. Pavyzdžiui, hipotezė, teigianti, kad Marse egzistuoja gyvybė, ilgą laiką negalėjo būti patikrinta, nes tam nebuvo priemonių. Ši hipotezė tikrinama mūsų laikais, sukūrus kosminius aparatus. Vadinasi, jei hipotezės negalima patikrinti turimomis mokslo ir technikos priemonėmis, tai dar nereiškia, kad ją reikia atmesti. Tikimasi, kad ją bus galima patikrinti vėliau, labiau išsirutuliojus mokslui ir technikai. Vis dėlto tokios hipotezės, kurių negalima patikrinti turimomis mokslo ir technikos priemonėmis, keliamos atsargiai. 3. Hipotezė turi būti kuo paprastesnė. Hipotezės paprastumas nereiškia jos supaprastinimo. Hipotezių ir mokslo teorijų paprastumas yra objektyvaus pobūdžio. Hipotezės ar teorijos paprastumas reiškia, kad joje nėra dirbtinių konstrukcijų, savavališkų prielaidų, kurios supainiotų hipotezę ar teoriją. 4. Hipotezė turi būti produktyvi. Iš dviejų hipotezių, vienodai gerai aiškinančių tam tikrą reiškinį, priimama ta, kuri paaiškina ne tik tą, bet ir kitus reiškinius ir gali būti taikoma platesnei reiškinių sričiai aiškinti. Hipotezės produktyvumas reiškia ir naujų faktų numatymą. Mokslo hipotezės turi ne tik aiškinamąją, bet ir euristinę reikšmę. Tad produktyvesnė yra toji hipotezė, kuri bendresnio pobūdžio, plačiau paaiškina ir daugiau numato. Hipotezė sukuriama turimų žinių pagrindu. Ji yra teiginys, kurio dar negalima tiesiogiai pagrįsti patyrimu ir stebėti jame mąstomo objekto. Pagrindas priimti hipotezę yra tas, kad, remiantis turimomis žiniomis ir hipoteze, galima paaiškinti tam tikrus stebimus faktus ir numatyti naujus, o be tos hipotezės tie faktai nepaaiškinami ir nenumatomi. Stipresnė yra toji hipotezė, kuriai patvirtinti šansai didesni. Hipotezės stiprumas matuojamas keliais veiksniais: 1. Hipotezės monopolija. Jei tam tikroje situacijoje laukiama, kad įvyks vienintelis reiškinys, tai toks laukimas monopolinis. Kai reiškiniui aiškinti sukuriama vienintelė hipotezė, tai ji stipri, alter-
natyvių hipotezių nėra. Kuo hipotezė artimesnė monopolinei, tuo mažiau reikia žinių jai patvirtinti. Monopolinė hipotezė moksle laikoma nepageidautina, net pavojinga, siekiama kurti alternatyvias hipotezes. 2. Pažintiniu veiksniu matuojant, siekiama hipotezę įskirti į platesnę hipotezių ir įsitikinimų sistemą, kuria duotoji hipotezė remiasi. Hipotezė tuo stipresnė savo atsiradimo ir patvirtinimo prasme, kuo labiau ji atitinka kitas hipotezes ir įsitikinimus. 3. Matuojant motyvaciniu veiksniu, nustatoma, jog iš hipotezės kyla visuomenei naudingi padariniai. Kuo hipotezė reikšmingesnė žmonių veikai, tuo ji stipresnė. Tokia hipotezė lengviau atsiranda, lengviau patvirtinama ir sunkiau paneigiama. Hipotezių kūrimas - sunkiausia mokslinio darbo dalis. Patikrinti jau sukurtą hipotezę, nustatyti jos teisingumo laipsnį lengviau, negu sukurti hipotezę, kuri pasitvirtintų. Iki šiol nėra sistemos, kaip išrasti hipotezes pagal iš anksto nustatytas taisykles. Įrodyta, kad tokia sistema ir negali būti sukurta. Mokslinėje kūryboje plačiai reiškiasi žemiau sąmonės slenksčio vykstantys intuiciniai procesai. Skiriamos įvairios hipotezių rūšys. Vienos hipotezės aiškina sistemos ir ją sudarančių elementų struktūrą, kitos numato priežastinius, funkcinius ir kitokius ryšius, konstatuoja dėsningumo buvimą, trečios - naujų objektų buvimą ir kt. Darbo hipotezė - tai numatymas, sukuriamas pradinėje tyrimų stadijoje, kai trūksta medžiagos tikslesniam numatymui. Darbo hipotezė yra daugiau sąlyginė prielaida, tačiau tai nereiškia, kad ji fikcija. Priešingai, darbo hipotezė kuriama pagal reikalavimus, keliamus visoms hipotezėms. Tačiau faktų trūkumas leidžia sukurti tik nepakankamai pagrįstą, preliminarinį numatymą, vadinamą darbo hipoteze ir taikomą pradinėje tyrimų stadijoje. Tyrimo procese darbo hipotezė tikslinama, ji virsta pagrįstu numatymu arba atmetama kaip nepasitvirtinusi. Dažnai tam pačiam reiškiniui aiškinti sukuriami keli numatymai, jie vadinami versijomis (lotynų k. veršio - „atmaina"). Versija yra vienas iš galimų reiškinio aiškinimo variantų.
5. Ikiteisminio tyrimo versija Tiriant nusikaltimus, sukuriamos kelios hipotezės, skirtingai aiškinančios nusikaltimą. Šios hipotezės vadinamos versijomis. Ikiteisminio tyrimo versija yra vienas iš galimų numatymų, aiškinančių paskiras nusikaltimo aplinkybes arba visą nusikaltimą. Šios versijos skirstomos į bendrąsias ir atskirąsias. Bendroji versija - tai numatymas, aiškinantis visą nusikaltimą. Ikiteisminio tyrimo uždavinys - nustatyti nusikaltimą, jame dalyvavusius asmenis ir jų kaltės laipsnį. Versija, aiškinanti kiekvieno asmens kaltę padarytame nusikaltime, yra bendroji, nes ji aiškina visas esmines nusikaltimo aplinkybes: koks nusikaltimas padarytas, kas jį padarė, kada padarė, kokiomis priemonėmis, kokie nusikaltimo motyvai ir kt. Atskiroji versija - tai numatymas, aiškinantis paskiras nusikaltimo puses, paskiras aplinkybes. Asmenų, padariusių nusikaltimą, jų kaltės dydžio nustatymas vadinamas svarbiausiuoju faktu. Jį nustatyti galima tik aiškinant paskirus nusikaltimo faktus, paskiras nusikaltimo puses ir aplinkybes. Tiriant nusikaltimą, tyrėjams paprastai iš pradžių daug paskirų faktų nežinoma arba mažai žinoma. Reikia tuos nusikaltimo faktus išaiškinti kuriant versijas. Kam priklauso daiktai, rasti nusikaltimo vietoje, kokiais įrankiais ir priemonėmis padarytas nusikaltimas, kur paslėpti pagrobti daiktai, kada įvyko nusikaltimas - tai klausimai, kuriems išspręsti kuriamos paskiros versijos. Pavyzdžiui, galima spėti, kad pagrobti daiktai paslėpti įtariamo asmens namuose. Tačiau tai ne vienintelė versija. Galimos ir kitos versijos: daiktai paslėpti pas jo bendrininkus arba nuošalioje vietoje, arba jau parduoti ir pan. Labai svarbu nustatyti, kiek asmenų dalyvavo nusikaltime, kaip pasireiškė kiekvieno iš jų dalyvavimas. Čia taip pat kuriamos versijos priklausomai nuo nusikaltimo pobūdžio. Versija - tai procesas, kurį sudaro dvi dalys - versijos sukūrimas ir versijos patikrinimas.
Versijos
sukurimas
Versija sukuriama ištyrus nusikaltimo medžiagą. Nusikaltimas palieka pėdsakus, ir pagal juos tyrėjai atkuria visą nusikaltimo vaizdą. Nusikaltimo medžiagos tyrimą sudaro du etapai - faktų analizė ir faktų sintezė. 1. Faktų analizė. Kadangi nusikaltėlis stengiasi nepalikti pėdsakų, tai faktų, kuriuos ištyrus būtų galima sukurti juos aiškinančią versiją, paprastai būna nedaug. Tyrėjų uždavinys - juos surasti. Faktai - nusikaltimo pėdsakai - randami įvairiais metodais. Tai nusikaltimo vietos apžiūra, liudytojų ir įtariamų asmenų apklausa, dokumentų tyrimas, krata, eksperimentas, mokslo bei technikos priemonės ir kt. Tiriant faktus, kiekvienu atveju nustatoma, ar surastas faktas susijęs su nusikaltimu. Tai nelengva tiksliai nustatyti, neretai nusikaltimo medžiagai priskiriami ir tokie duomenys, kurie, kaip vėliau paaiškėja, neturi ryšio su nusikaltimu. Ištyrus paskirus faktus, daromas indukcinis apibendrinimas: visi surasti faktai susiję su nusikaltimu, visi jie yra įrodymo medžiaga. Užvenčio-Kuršėnų kelyje pil. R. partrenkė pravažiuojantis motociklas ir sužeidė. Reikėjo apžiūrėti motociklus, galėjusius pil. R. sužeidimo metu važiuoti nurodytu keliu. Apžiūrint vieną motociklą, jo priekabos sparno įtrūkime buvo rastas siūlas. Klausimą, ar rastas siūlas susijęs su nusikaltimu, turėjo išspręsti techninės-laboratorinės priemonės. Tas siūlas ir pil. R. kelnės buvo nusiųstos į Lietuvos teismo ekspertizės centrą Vilniuje. Atliktas mikroskopinis tyrimas nustatė, kad rastas ant motociklo siūlas pagal pluošto rūšį (medvilnė), medvilnės subrendimo laipsnį, spalvą, storį sutampa su pil. R. kelnių medžiagos ataudų siūlais. Tas siūlas ir pil. R. kelnių ataudų siūlai taip pat buvo vienodai užteršti. Galutinai suformuluoti kategorišką išvadą, kad ant motociklo rastas siūlas buvo išplėštas iš pil. R. kelnių, padėjo dar ir ta aplinkybė, kad siūlo ilgis buvo lygus ataudų ilgiui kelnių įplyšimo srityje, kad tame įplyšime trūko vieno siūlo ir kad toje vietoje nuplėšimo pobūdis atitiko ant motociklo rasto siūlo nuplėšimo pobūdį.
2. Faktų sintezė. Nustačius faktus, reikia juos sintetinti - surasti faktų tarpusavio sąryšį. Vieni faktai rodo objektyvią nusikaltimo pusę, kiti - subjektyvų nusikaltėlio elgesį nusikaltimo metu, jo požiūrį į nusikaltimą. Visi šie faktai turi būti nagrinėjami ne izoliuotai vienas nuo kito, bet tarpusavyje susiję. Nors nusikaltimai panašūs, nusikaltimas yra individualus reiškinys, kiekviename nusikaltime yra specifinių, individualių požymių. Specifinių ryšių tarp faktų nustatymas - būtina sąlyga versijai sukurti. Pažymėkime faktus raidėmis a, b, c. Tai, kad vienas faktas susijęs su kitu faktu, žymėkime ženklu +->. Tada faktų tarpusavio sąryšis reiškiamas taip: a+->b+->c. Nustačius faktų tarpusavio sąryšį, sukuriama versija, aiškinanti tuos faktus. Vadinasi, žinant faktus, sprendžiama apie tų faktų atsiradimo priežastį, apie priežastį, sukėlusią faktus a +^b+->c. Loginė versijos sukūrimo forma yra tokia: (Priežastis /4)—>(faktai a+^b+^c). Faktai а+->Ь-н>с nustatyti. Vadinasi, priežastis A tikėtina.
Matome, kad versijos sukūrimo loginė forma - išraiška [(p—>qf) · • c/]—>p. Priežastis A atitinka antecedentą p, faktai а -н>Ь -t->c atitinka konsekventą q. Antroje prielaidoje teigiama, kad konsekventas q teisingas (faktai a+^b-^c nustatyti). Iš tokių prielaidų seka, kad priežastis A tikėtina. Jei konsekventas teisingas, tai iš to dar neseka, kad ir antecedentas turi būti teisingas. Išraiška [(p—>qr) · qr]—>p nėra logikos dėsnis, ji kartais teisinga, kartais klaidinga. Vadinasi, nustačius faktus a+->b-^c, priežastis A tėra tikėtina. Mat gali paaiškėti, kad faktai a-+->b-»->c seka ne iš priežasties A, bet iš kurios nors kitos priežasties. Įrodymo uždavinys - tikėtiną išvadą paversti teisinga arba įrodyti jos nepagrįstumą. Svarbu iškelti visas galimas pagrįstas versijas. Būtų klaidinga laikytis tik tos versijos, kurią turimi faktai leidžia laikyti labiausiai tikėtina. Jei turimi faktai versiją daro mažai tikėtiną arba net jei ji iš
tų faktų neseka, tačiau jiems neprieštarauja, tai versija privalo figūruoti tyrimo procese. Gali būti surasta naujų faktų, kurie tą anksčiau mažai tikėtiną versiją patvirtins. Loginė visų galimų pagrįstų versijų forma - disjunkcinis teiginys:
versija A 1 V versija A2 V versija A3. Susidūrus su nenatūralios mirties atveju, iškyla kelios versijos: a) tyčinis nužudymas; b) savižudybė; c) nelaimingas atsitikimas ir kt. Jei, pavyzdžiui, dvi pastarosios versijos nepasitvirtina, tai priklausomai nuo atvejo pobūdžio gali būti iškeltos šios tyčinio nužudymo versijos: a) apiplėšimo tikslu; b) iš keršto; c) siekiant nuslėpti kitą nusikaltimą; d) iš chuliganiškų paskatų ir kt. Tačiau nereikia kelti versijų formaliai. Pavyzdžiui, sudegus pastatui, viena iš gaisro priežasčių galėjo būti elektros tinklo netvarkingumas. Tačiau jei pastate elektros tinklo iš viso nebuvo, tai tokia versija savaime atkrinta. Reikia kelti ne abstrakčias, o konkrečias galimybes, pagrįstas versijas. Žinoma, sukurti visas galimas versijas nelengvas darbas, jis reikalauja iš tardytojo daug kruopštumo ir sumanumo.
Versijos
patikrinimas
Sukūrus versiją, ji patikrinama. Versiją patikrinus, ji įrodoma (nustatomas jos teisingumas) arba paneigiama (nustatomas jos klaidingumas). Kadangi, aiškinant nusikaltimą, turi būti sukurtos visos galimos versijos, tai būtina jas visas patikrinti. Jei įrodomas kurios nors versijos teisingumas, tai tuo jos patikrinimas dar nesibaigia. Reikia įrodyti, kad kitos iškeltos versijos klaidingos. Pavyzdžiui, įrodžius, kad nusikaltimą padarė asmuo A, reikia dar įrodyti, kad to nusikaltimo nepadarė kiti įtariami asmenys. Taigi versijos patikrinimas yra vieningas vienos versijos įrodymo ir kitų versijų paneigimo procesas.
Loginis versijos patikrinimo metodas yra: a) dedukcinių sekmenų išvedimas iš spėjamosios priežasties; b) tų sekmenų palyginimas su turimais faktais. Deduktyviai išvedant sekmenis iš spėjamosios priežasties, samprotaujama taip: Priežastis A tokia, kad, be faktų э о Ы с , ji visuomet dar sukelia faktus d+^e. Tiriamojoje byloje spėjama egzistuojant priežastį A. Vadinasi, be faktų а+->£н->с, dar turi būti faktai d+->e.
Deduktyviai iš versijos išvesti sekmenys yra ne kas kita, kaip teiginiai apie naujus faktus. Šių teiginių (deduktyviai išvestų sekmenų) teisingumas nustatomas lyginant juos su jau turimais faktais ir, tai atlikus, versija arba paneigiama, arba įrodoma. Aptarsime versijos paneigimą. Jei iš versijos deduktyviai išvesti sekmenys prieštarauja turimiems faktams, tai toji versija klaidinga ir ją reikia atmesti. Versija ,4—>sekmenys. Sekmenys klaidingi. Vadinasi, versija A klaidinga.
Čia samprotaujama pagal teiginių logikos dėsnį [(p—>q) · q]—>p, teigiantį, kad jei konsekventas klaidingas, tai klaidingas ir implikacijos antecedentas. J. buvo nuteistas už tai, kad iš keturių asmenų reikalavo sutartoje vietoje perduoti jam įvairias pinigų sumas. 1992 m. birželio 14 d. kito asmens B. buto duryse J. taip pat paliko raštelį, reikalaudamas pinigų. Neįvykdžius reikalavimo, grasino susidoroti su B. ir jo mažamečiais vaikais, padegti butą. Negavęs reikalaujamos sumos, J. 1992 m. birželio 22 d. benzinu apipylė B. buto duris ir jas padegė. Gaisro įvykio vietos apžiūros metu nustatyta, kad B. bute gaisro židinys buvo įėjimo į butą durys. Gaisro metu B. mirė nuo apdegimo, o mažamečiai du jo vaikai - nuo apsinuodijimo anglies
dvideginiu, apdegė B. žmona (apysunkis kūno sužalojimas). Sudegė buto baldai ir kitas turtas. J. kaltė padarius nurodytus nusikaltimus įrodyta jo daliniu prisipažinimu ir liudytojų parodymais, rašteliais, rašytais teisiamojo ranka, jo sulaikymo su pinigais, prievartavimo būdu gautais iš S., protokolu ir kitais įrodymais. Ikiteisminio tyrimo metu J. tvirtino, kad padegdamas B. buto duris, tragiškos baigties, tai yra ką nors nužudyti nenorėjęs. Tačiau bylos aplinkybės paneigė šią jo versiją. J. naktį apipylė benzinu ir padegė įėjimo į butą duris, žinodamas, kad bute miega B. šeima, mažamečiai vaikai. B. butas yra penktame aukšte ir be pašalinės pagalbos išsigelbėti šokant pro langą praktiškai neįmanoma. Tai rodo, kad J. numatė padarinius ir sąmoningai leido jiems kilti, t. y. veikdamas tyčia, nužudė B. ir du mažamečius vaikus, sužalojo B. žmoną. Tai padarė iš savanaudiškų paskatų ir itin žiauriai.
Versijas paneigiant, reikia skirti du atvejus: a) kai jos prieštarauja faktams ir b) kai faktai jų nepatvirtina. Jei iš versijos deduktyviai išvestų sekmenų turimi faktai nepatvirtina, tai dar nereiškia, kad toji versija klaidinga. Sekmenys gali nepasitvirtinti todėl, kad dar nesurasti faktai, kurie juos patvirtintų. Tuo tarpu jei iš versijos deduktyviai išvesti sekmenys prieštarauja turimiems faktams, tai versija visuomet klaidinga. Tyrėjo uždavinys paneigiant versiją - mokėti iš jos išvesti sekmenis ir surasti jiems prieštaraujančius faktus. Kartais rasti tokius faktus padeda eksperimentas. Išnagrinėsime versijos teisingumo įrodymą. Anksčiau buvo nurodyta, kad versija išaiškinama tikrinant išjos išvestus sekmenis. Jei iš versijos deduktyviai išvesti sekmenys pasitvirtina, tai versija tampa gana tikėtina. Kuo daugiau tokių sekmenų pasitvirtina, tuo versija darosi įtikimesnė. Bet kad virstų tikra tiesa, versija dar turi būti įrodyta tam tikrais įrodymo būdais. Yra du versijos įrodymo būdai: 1. Betarpiškas ieškomą objektą suradimas. Suradus objektus, dėl kurių buvo sukurta versija, žinoma, klausimas laikomas išspręstu versija įrodyta. Šis versijos įrodymo būdas taikomas atskirosioms ver-
sijoms įrodyti: surasti nusikaltimo įrankius, paslėptą lavoną, pagrobtus daiktus, pinigus, surasti kraujo ar kitokias dėmes rūbuose ir kt. Lazdijų rajone pervažiuodama Lietuvos Respublikos valstybinę sieną, T. panaudojo suklastotą dokumentą - užsienio pasą. Tai nustačius, kilo įtarimas, kad T. gali vežti kontrabandą. Detaliai apžiūrėjus jos automobilį, rasta 2491,27 g aukso.
2. Loginis versijos įrodymas. Šiuo atveju versijos teisingumu įsitikinama tarpiškai. Betarpiškai surasti ieškomų objektų neįmanoma, nes jie jau buvę, dabar jų nėra arba nors ir yra, tačiau betarpiškam suvokimui jie neprieinami. Loginiu versijos įrodymo būdu įrodomos versijos apie nusikaltimo padarymo būdą, nusikaltimo motyvus, nusikaltėlio subjektyvų požiūrį į nusikaltimą, nusikaltėlio bendrininkus ir kt. Yra du loginio versijos įrodymo būdai - netiesioginis įrodymas ir tiesioginis įrodymas. a) Netiesioginis versijos įrodymas. Versija įrodoma netiesiogiai, paneigiant visas klaidingas versijas. Likusi viena nepaneigta versija laikoma teisinga. Vieną iš šio netiesioginio versijos įrodymo prielaidų sudaro nustatymas visų galimų versijų ir jų sujungimas disjunkcija. Antroje prielaidoje paneigiamos visos versijos, išskyrus vieną. Išvadoje teigiama, kad toji vienintelė nepaneigta versija teisinga. Versija A1 arba versija A2, arba versija A3 teisinga. Versijos A2 ir A4 klaidingos. Vadinasi, versija A1 teisinga.
Šiame netiesioginiame versijos įrodyme samprotaujama pagal teiginių logikos dėsnį [(pVq) · Šis netiesioginis versijos įrodymo būdas dar kitaip vadinamas išskirties metodu (išskiriamos visos klaidingos versijos) ir vartojamas tiek bendrosioms, tiek atskirosioms versijoms įrodyti. Įrodymas išskirties metodu teisingas tada,
kai sukuriamos visos galimos ir paneigiamos visos klaidingos versijos. Tačiau šias sąlygas įvykdyti ne visuomet pavyksta. Kartais sunku sukurti visas galimas versijas. Be to, kai pavyksta sukurti visas galimas versijas ir paneigti visas klaidingas versijas, tai likusi teisinga versija būna daug kuo neaiški. Pavyzdžiui, nustačius, kad nusikaltimą padarė asmuo A arba asmuo B, ir įrodžius, kad B nepadarė nusikaltimo, daroma išvada, kad nusikaltimą padarė A. Tačiau lieka neaišku, kaip nusikaltimas buvo padarytas, kokiais motyvais, su kieno pagalba ir 1.1. Visa tai rodo, kad netiesioginį versijos įrodymą reikia papildyti tiesioginiu įrodymu. Kitas netiesioginio versijos įrodymo būdas vadinamas įrodymu prieštaros būdu. Jis reiškiamas teiginių logikos dėsniu p—>[(p—><7) ·
>p)]·
Paaiškinsime šio dėsnio vartojimą versijai įrodyti. Įrodant versijos p teisingumą, tariama, kad ji klaidinga, kad teisinga yra versija p. Paskui iš versijos p išvedamas sekmuo q. Toliau įrodoma, kad q klaidingas. Žinome, kad jei iš versijos seka klaidingi sekmenys, tai pati versija klaidinga. Kadangi iš versijos p seka klaidingas sekmuo, tai versija p klaidinga, ir yra teisinga versija p. Šis įrodymo būdas sėkmingai vartojamas atskirosioms versijoms įrodyti. Pavyzdžiui, įtariamas asmuo tvirtina, kad jis nusikaltimo metu nebuvo toje vietoje, kur įvyko nusikaltimas. Tariama, kad tai tiesa, ir iš to seka, kad tuo metu, kai buvo įvykdytas nusikaltimas, jis buvo kur nors kitur. Tačiau liudytojai ir visi turimi faktai rodo, kad nusikaltimo metu įtariamas asmuo nebuvo ten, kur jis nurodo, o buvo nusikaltimo vietoje. Vadinasi, versija, kad jis nebuvo nusikaltimo vietoje, klaidinga, teisinga yra versija, kad jis buvo nusikaltimo vietoje. b) Tiesioginis versijos įrodymas. Versija įrodoma tiesiogiai, išvedant iš spėjamosios priežasties gausius ir įvairiapusius sekmenis, kuriuos patvirtina nauji faktai. Jei sekmenys, išvesti iš spėjamosios priežasties, pasitvirtina, tai dar nereiškia, kad spėjamoji priežastis įrodyta. Jie gali sekti iš kitos
priežasties, o mes, pavyzdžiui, klaidingai manome, kad jie seka iš mūsų nustatytosios priežasties. Kyla klausimas, kaip įrodyti, kad jie seka tik iš vienos priežasties. Tai įrodoma taip. Pirmiausia iš spėjamosios priežasties išvedama kuo daugiau sekmenų. Antra, išvedami ne bet kokie sekmenys, bet įvairiapusiški, vienas kitą sąlygojantys. Kaip visuma, jie turi nepakartojamus, individualius požymius, rodančius, kad juos galėjo sukelti tik tam tikra priežastis. Trečia, šie sekmenys patvirtinami faktais. Kadangi visas nusikaltimas atkuriamas pagal nusikaltimo pėdsakus, tai, šiuos reikalavimus įvykdžius, tarp nusikaltimo pėdsakų ir spėjamosios priežasties nustatomas ekvivalencijos santykis:
spėjamoji priežastis A ~ nusikaltimo pėdsakai. Žinome, kad ekvivalencija yra implikacija abiem kryptimis: (p ~ q) ~ [(p—>q) · {q—>p)]. Tai reiškia, kad spėjamoji priežastis A paliko tam tikrus pėdsakus, ir, iš kitos pusės, tam tikri nusikaltimo pėdsakai rodo, kad juos paliko spėjamoji priežastis A. Šitaip spėjamoji priežastis A tampa logiškai įrodyta, ir tada ji vadinama ne spėjamąja, bet nusikaltimo priežastimi. Visame versijos įrodymo procese pamatinis reikalavimas yra įrodymo neprieštaringumas ir pakankamumas. Byloje esančių prieštaravimų nepašalinus ir nevisapusiškai ištyrus įrodymus, susikuria tik tikėtinumas, kuriuo teismo nuosprendis negali būti grindžiamas. Pakeistais teisme nukentėjusiojo parodymais rėmėsi Klaipėdos apygardos teismas, 1995 m. liepos 10 d. nuosprendyje išteisindamas G. dėl nukentėjusiojo U. turto prievartavimo. Atliekant ikiteisminį tyrimą nukentėjusysis parodė, kad dėl jo turtinių reikalų su juo kalbėjosi jo geras pažįstamas G., kuriam jis vėliau ir perdavė reikalaujamus pinigus, tuo metu įvykio vietoje buvę dar trys jo pažįstami asmenys. Teisme nukentėjusysis ėmė teigti, kad teisiamasis nesąs jo pažįstamas G., ir teismas jo parodymais patikėjo. Lietuvos apeliacinio teismo Baudžiamųjų bylų skyriaus kolegija Klaipėdos apygardos prokuratūros apeliacinį skundą atmetė. Apygardos teismo nuo-
sprendis ir Apeliacinio teismo nutartis panaikinti Lietuvos Aukščiausiojo Teismo Baudžiamųjų bylų skyriaus kolegijos 1996 m. sausio 25 d. nutartimi, išnagrinėjus bylą pagal Lietuvos generalinio prokuroro kasacinį skundą. Byla grąžinta apygardos teismui nagrinėti iš naujo, nes teismas nepilnai ir nevisapusiškai ištyrė įrodymus, neapklausė kelių liudytojų, paviršutiniškai apklausė liudytoją M., nepašalino prieštaravimų jo parodymuose ir neįvertino parodymų pakeitimo priežasčių.
6. Tikimybiniai nededukcinių samprotavimų pagrindai Žinome, kad nededukcinių samprotavimų (indukcijos, analogijos, hipotezės) išvados yra tikėtino pobūdžio. Norint tai gerai suprasti, reikia nagrinėti pačią tikimybės sąvoką. Moksle ir kasdieniame gyvenime dažnai susiduriama su reiškiniais, apie kuriuos sakoma, kad jie gali įvykti, bet gali ir neįvykti. Sakoma „mažai tikėtina", „labai tikėtina", „nėra jokios tikimybės" ir pan. Pavyzdžiui, medicina teigia, kad yra didesnė tikimybė, jog vyresnio amžiaus tėvams gims daugiau mergaičių. Į klausimą, ar yra kokia nors tikimybė, kad vanduo inde, laikomame karštoje krosnyje, virs ledu, atsakoma, kad šiuo atveju tikimybė lygi nuliui, t. y. vanduo šiuo atveju niekuomet nevirs ledu. Tikimybė yra atsitiktinio įvykio galimybės skaitinė charakteristika. Kai sakoma, kad koks nors reiškinys tikėtinas, tai netvirtinama, kad tas reiškinys būtinai įvyks. Manoma, kad, galimas daiktas, tas reiškinys įvyks. Kai arklių lenktynėse statoma už kurį nors arklį, tai visai nemanoma, kad tas arklys būtinai laimės prizą. Galima kalbėti tik apie didesnę ar mažesnę laimėjimo tikimybę, įvertinti šansus už ir prieš. Moksle tikimybės sąvoka suprantama dvejopai: 1. Tikimybė, apibūdinanti masinius atsitiktinius reiškinius; 2. Tikimybė kaip teiginio patvirtinimo laipsnis. 1. Tikimybė, apibūdinanti masinius atsitiktinius reiškinius. Masiniais atsitiktiniais reiškiniais vadinami reiškiniai, kurie labai daug kartų gali įvykti, bet gali ir neįvykti. Herbo arba skaičiaus iškriti-
mas metant monetą, tam tikro taškų skaičiaus iškritimas metant lošimo kauliuką, kulkos pataikymas j taikinį, lietaus iškritimas, tam tikros lyties kūdikio gimimas, broko atsiradimas masinėje produkcijoje - tai masinių atsitiktinių reiškinių pavyzdžiai. Šie reiškiniai ne paskiri, ne vieniniai todėl, kad mesti monetą, lošimo kauliuką, šaudyti į taikinius galima labai daug kartų. Daug įmonių kasdien pagamina daug masinės produkcijos ir t. t. Natūralu, kad galima kalbėti apie masinių atsitiktinių reiškinių įvykimo dažnumą: kaip dažnai, metant monetą, iškris herbas ir t. t. Patyrimas rodo, kad masinių reiškinių įvykimui būdingas tam tikras pastovumas, tam tikras pastovus dažnumas. Masinių reiškinių įvykimas turi tendenciją grupuotis apie tam tikrą skaičių P (pirmoji lotynų k. žodžio probabilis - „tikėtinas" raidė), retais atvejais nuo šio skaičiaus kiek nors žymiau nutolstant. Šis skaičius P ir laikomas kiekybiniu tikimybės išreiškimu, jis parodo reiškinio įvykimo galimybės laipsnį. Kokio nors masinio atsitiktinio reiškinio tikimybė reiškiama formule
P(A) = ~ ,
kur
P (A) - reiškinio A tikimybė, m - reiškinio įvykimo atvejų skaičius, n - bandymų skaičius, - santykinis reiškinio įvykimo dažnumas.
2001 m. Lietuvoje gimė 31546 kūdikiai. Berniukų gimė 16 139, mergaičių - 15 407. Skaičių 16 139 vadinsime berniukų gimimo dažnumu, oskaičių 15 407-mergaičiųgimimo dažnumu. Dydį ^ Ц = 0,512... vadinsime santykiniu berniukų gimimo dažnumu (vadinasi, tikimybė gimti berniukui buvo lygi maždaug 0,512), o dydį j j ^ r = 0,488... vadinsime santykiniu mergaičių gimimo dažnumu (tikimybė gimti mergaitei buvo lygi maždaug 0,488). Tikimybė, apibūdinanti masinius atsitiktinius reiškinius, vadinama statistine tikimybe.
2. Tikimybė kaip teiginio patvirtinimo laipsnis. Šiuo atveju kiekvienas tikėtinas teiginys laikomas hipoteze. Tikėtinas teiginys (hipotezė) patikrinamas patyrimo - stebėjimo, eksperimento - duomenimis. Keliamas uždavinys nustatyti, kokiu mastu turimos žinios (patyrimo duomenys) patvirtina duotąją hipotezę. Tikėtiną teiginį (hipotezę) pažymėję raide h, patyrimo duomenis (turimas žinias) - raide e, hipotezės h patvirtinimo laipsnį turimomis žiniomis pažymėję raide P, hipotezės h patvirtinimo laipsnio dydį - raide r, gauname formulę:
P (h, e) = r. Skaitome: hipotezės h patvirtinimo laipsnis P, remiantis turimomis žiniomis e, yra r. Kai sakoma „Tikimybė, kad rytoj lis, yra didelė", tai pagal pateiktą formulę šis teiginys suprantamas taip: hipotezės „Rytoj lis" (h) tikimybė, arba patvirtinimo laipsnis (P), remiantis turimomis žiniomis (e), yra didelis {r). 0Ц)
Pratimai
1. Kortų malką sudaro 36 kortos. Kokiayra tikimybė, kad pirmoji ištraukta iš malkos korta bus tūzas? 2. Kai Kolumbas ir jo bendrakeleiviai plaukė į vakarus per nežinomą vandenyną, kiekvieną kartą, pamatę paukščius, jie džiaugsmingai juos sveikindavo. Jie laikė paukščius ženklu, rodančiu, kad netoliese yra žemė. Nors jiems ne kartą teko nusivilti, tačiau jų samprotavimo būdas buvo visiškai logiškas: Kai laivas arti žemės, dažnai matome paukščius. Kai laivas toli nuo žemės, paukščius matome rečiau. Dabar mes matome paukščius. Vadinasi, ... Išnagrinėkite šį pavyzdį pagal formulę P (h, e) - r ir darykite išvadą.
7. Tikimybinė logika Tikimybine logika vadiname loginę teoriją, kurioje teiginiai, be teisingumo ir klaidingumo, įgauna ir tarpines tarp teisingumo ir klaidingumo reikšmes, vadinamas teiginių tikėtinumo laipsniais, pati'irtinimo laipsniais ir pan. Teisingo teiginio reikšmę pažymėję skaičiumi 1, klaidingo - skaičiumi O, matome, kad tarp 1 ir O išsidėsto tarpinės reikšmės, pavyzdžiui: 1, 3/4, 1/2, 1/4, 0. Šiuo atveju teiginys įgauna vieną iš nurodytų penkių reikšmių. Kai teiginio p reikšmė lygi 1, tai teiginys p teisingas. Kai p = 3A, tai labiau tikėtina, kad teiginys p teisingas, o ne klaidingas, bet jis nebūtinai teisingas. Kai p = 1/2, tai vienodai tikėtina, kad teiginys p yra teisingas arba klaidingas. Kai p = tai labiau tikėtina, kad teiginys p klaidingas, o ne teisingas, bet jis nebūtinai klaidingas. Kai p = 0, tai teiginys p klaidingas. Tikimybinė logika yra viena iš daugiareikšmės logikos sistemų. Nuo kitų daugiareikšmės logikos sistemų ji skiriasi štai kuo. Kitos daugiareikšmės logikos sistemos operuoja diskretinėmis teisingumo reikšmėmis, t. y. teisingumo reikšmių skaičius jose tiksliai apibrėžtas. Tuo tarpu tikimybinėje logikoje operuojama nediskretinėmis teisingumo reikšmėmis, t. y. teisingumo reikšmių skaičius čia negali būti tiksliai apibrėžtas. Tarp 1 (teisingumo) ir 0 (klaidingumo) gali išsidėstyti įvairios kitos reikšmės, pvz.: 1•' 1V I 6/ 8' 5/ 8' 4/ 8' У 8' 2I 8' V 8'0 Tikimybinėje logikoje teisingumas ir klaidingumas yra kraštutiniai atvejai, teisingumas - tai tikrumas, klaidingumas - tai negalimybė.
Yra kelios tikimybinės logikos teorijos, tačiau jos visos remiasi arba statistinės tikimybės (tikimybės, apibūdinančios masinius atsitiktinius reiškinius) samprata, arba tikimybės kaip teiginio patvirtinimo laipsnio samprata. Apžvelgsime tikimybinės logikos teoriją, kuri remiasi tikimybės kaip teiginio patvirtinimo laipsnio samprata. Žinome, kad kiekvienas mokslo teiginys, kol jis nėra patikrintas, laikomas hipoteze. Hipotezės patikrinimas tikimybinės logikos metodais yra procedūra, kuria, remiantis turimomis žiniomis (patyrimo duomenimis), nustatomas hipotezės patvirtinimo laipsnis. Šiuo atveju tarp turimų žinių e ir hipotezės h yra tam tikras loginis santykis. Jei hipotezė logiškai seka iš jau turimų žinių (patyrimo duomenų), tai hipotezė teisinga tiek, kiek teisingos turimos žinios. Vadinasi, šiuo atveju hipotezė turimų žinių atžvilgiu įgauna reikšmę 1, t. y. ji teisinga, tikra. Jei hipotezė turimoms žinioms prieštarauja, tai ji klaidinga tiek, kiek teisingos turimos žinios. Šiuo atveju hipotezė turimų žinių atžvilgiu įgauna reikšmę O, t. y. ji klaidinga, negalima. Visais kitais atvejais hipotezė įgauna tarpinę reikšmę tarp 1 ir O, ir tuo atveju kalbama apie tai, kokiu laipsniu turimos žinios patvirtina hipotezę. Formulė P {h, e) = r rodo, kad patvirtinimo laipsnis P yra dydis, kuris priklauso nuo h ir nuo e. Tai reiškia, kad hipotezės h patvirtinimo laipsnis P priklauso ne tik nuo pačios hipotezės h, bet ir nuo turimų žinių (patyrimo duomenų) e, kuriomis remiantis, hipotezė h gali būti įvairiai patvirtinta. Jei hipotezės h tikimybė, remiantis turimomis žiniomis e, lygi r, tai h tikimybė, remiantis turimomis žiniomis e, lygi 1 - r. Tarkime, kad mieste N trečdalis gyventojų turi nuosavą sodą. Mums reikia nuvykti į miestą N ir susitikti su nepažįstamu asmeniu A. Kokia hipotezės, kad asmuo A neturi nuosavo sodo (h), tikimybė? Kadangi žinoma tik tiek, kad sodą turi trečdalis miesto gyventojų, tai hipotezės, kad tas asmuo turi sodą, tikimybė lygi V3. Hipotezės, kad jis neturi sodo, tikimybė lygi 1 - V3, t. y. 2 I y Panagrinėkime hipotezės patvirtinimo procesą. Mokslininkas tu-
rimų žinių pagrindu sukuria hipotezę. Tai, kiek turimos žinios e patvirtina hipotezę h, vadinama pradiniu hipotezės patvirtinimo laipsniu ir užrašoma
P (h, e). Mokslininkas toliau ieško duomenų, kurie h patvirtintų. Jis daro tyrimus, kurie hipotezę gali patvirtinti arba paneigti. Teigiamas tyrimo rezultatas, t. y. rezultatas, kuris hipotezę patvirtina, žymimas raide i. Sis teigiamas tyrimo rezultatas vadinamas reiškinio / stebėjimu. Mokslininkas samprotauja taip: jei mano hipotezė teisinga, tai turėčiau stebėti reiškinį i. Tarkime, kad mokslininkas stebi reiškinį /. Ar i gavimas įrodo, kad jo hipotezė teisinga? Ne, dar neįrodo. Iš mokslininko samprotavimo prielaidų Jei hipotezė h teisinga, tai turėčiau stebėti reiškinį i. Reiškinį i stebiu
dar neseka išvada, kad hipotezė h teisinga. Jei tokia išvada būtų padaryta, tai samprotavimo loginė struktūra būtų išraiška [(p—>qr) · q]—>p, kuri nėra logikos dėsnis. Vadinasi, iš mokslininko prielaidų seka kitokia išvada: Jei hipotezė h teisinga, tai turėčiau stebėti reiškinį /. Reiškinį i stebiu. Vadinasi, hipotezė h yra labiau patvirtinta, negu ji buvo patvirtinta iki i gavimo.
Hipotezės h patvirtinimas stebimu reiškiniu i vadinamas aposterioriniu hipotezės patvirtinimo laipsniu. Tai užrašoma formule
P (h, e- i), kuri nurodo, kad hipotezės h patvirtinimo laipsnis P priklauso nuo turimų žinių e ir stebimo reiškinio i. Tikimybinė logika kaip tik
tiria hipotezės patvirtinimą pagal tai, koks yra ryšys tarp pradinio ir aposteriorinio hipotezės patvirtinimo. Kadangi pats stebimas reiškinys yra susijęs su hipoteze, tai galima nustatyti ir reiškinio / tikimybės laipsnį. Reiškinio / tikimybės laipsnis reiškiamas formule
P d, e • h), kuri teigia, kad reiškinio / tikimybės laipsnis P priklauso nuo turimų žinių e ir nuo hipotezės h. Stebimo reiškinio / tikimybė trumpiau vadinama stebėjimo tikimybe. Būtina nustatyti dar vieną dydį - reiškinio i tikimybės laipsnį nepriklausomai nuo hipotezės h. Šis dydis reiškiamas formule
P (', e), kuri nurodo, kad reiškinio / tikimybės laipsnis P priklauso nuo turimų žinių e. Reiškinio i tikimybės laipsnis, nepriklausantis nuo hipotezės h, o priklausantis tik nuo turimų žinių e, vadinamas stebėjimo laukimu. Dabar jau turime visus keturis reikalingus dydžius: P P P P
(h, e) - pradinis hipotezės patvirtinimas; {h, e i) - aposteriorinis hipotezės patvirtinimas; (i, e • h) - stebėjimo tikimybė; (/, e) - stebėjimo laukimas.
Pateiksime formulę, nustatančią aposteriorinį hipotezės patvirtinimo laipsnį:
P (h, e i) =
P{h, e) X PŲ, e h) P(i, e)
Skaitome: aposteriorinis hipotezės patvirtinimas tiesiog proporcingas pradinio hipotezės patvirtinimo ir stebėjimo tikimybės sandaugai ir atvirkščiai proporcingas stebėjimo laukimui.
Tarkime, kad h yra gydytojo spėjimas, jog ligonis χ serga liga L. Šiuo atveju e yra turimos žinios apie ligą i, jos simptomus, taip pat ir tai, kad ligonio χ atveju ligos L simptomai pasireiškia. Tačiau vien tų simptomų nepakanka tiksliai diagnozei nustatyti. Gydytojas nusprendžia padaryti kraujo analizę. Teigiamą kraujo analizės rezultatą, t. y. rezultatą, kurio laukiama, kai sergama liga L, pažymėsime raide /'. Gydytojas sprendžia klausimą: kokiu laipsniu turimos žinios e ir teigiamas kraujo analizės rezultatas i patvirtina spėjimą h, kad ligonis χ serga liga L. Šiuo atveju operuojama tokiais dydžiais: 1. Pradinis hipotezės patvirtinimas P (h, e): spėjimo h (ligonis χ serga liga L) patvirtinimas turimomis žiniomis e (žinios apie ligą L ir tai, kad ligonio χ atveju ligos L simptomai pasireiškia). 2. Apostenorinis hipotezės patx'irtinimas P {h, e • i): spėjimo h (ligonis χ serga liga L) patvirtinimas turimomis žiniomis e ir teigiamu kraujo analizės rezultatu /. 3. Stebėjimo tikimybė P (i, e • h): teigiamo kraujo analizės rezultato i tikimybės patvirtinimas turimomis žiniomis e (žinios apie ligą L ir tai, kad ligonio χ atveju ligos L simptomai pasireiškia) ir spėjimu h (ligonis χ serga liga L). 4. Stebėjimo laukimas P [i, e): teigiamo kraujo analizės rezultato / patvirtinimas tik turimomis žiniomis e. Pasinaudojus formule _
_
P {h, e i) =
P(h, e) χ P(i, e • h) —— , PU1 e)
nustatoma, kad spėjimo h (ligonis χ serga liga L) tikimybės laipsnis priklausomai nuo turimų žinių e ir teigiamo kraujo analizės rezultato i tiesiog proporcingas pradinio spėjimo patvirtinimo P {h, e) ir stebėjimo tikimybės P (i, e • h) sandaugai ir atvirkščiai proporcingas stebėjimo laukimui P [i, e). Tai reiškia, kad teigiamas kraujo analizės rezultatas i spėjimą, kad ligonis χ serga liga L, patvirtina tuo labiau, kuo rečiau / pasitaiko tarp gyventojų. Jei teigiamas kraujo analizės rezultatas / gaunamas tik ligos L atveju, tai, gavus rezultatą /, spėjimas, kad ligonis χ serga liga L, įrodytas.
Reikia pažymėti, kad tikimybinė logika negali pakeisti konkrečių tyrimų, nustatančių, kiek ta ar kita hipotezė patikima. Tikimybinė logika nustato tuos samprotavimo būdus, kurie vartojami tiriant tikimybinius reiškinius.
XIII
S K Y R I U S
Įrodymas 1. Įrodymo struktūra Įrodymas yra kurio nors teiginio teisingumo nustatymas, remiantis kitais teiginiais, kurių teisingumas jau žinomas. Moksle įrodomi ne tik paskiri teiginiai, bet ir ištisos teorijos. Siuo atveju kalbama apie visos teorijos teisingumo nustatymą, remiantis kitomis žinomomis teisingomis teorijomis, eksperimentu, visuomenine gamybine praktika ir pan. Kiekvieną įrodymą sudaro trys dalys: a) įrodymo tezė (arba įrodymo išvada); b) įrodymo argumentai (arba įrodymo pagrindas, prielaidos); c) įrodymo būdas (arba įrodymo demonstravimas). Tezė yra tas teiginys, kurį reikia įrodyti. Argumentai yra tie teiginiai, kuriais remiantis įrodoma tezė. Įrodymo būdas yra loginis tezės išvedimo iš argumentų procesas. Tezė atsako į klausimą, kas įrodoma, argumentai - kuo remiantis tezė įrodoma, o įrodymo būdas - kaip tezė įrodoma. Vadinasi, kiekvieno įrodymo loginė struktūra yra ta, kad iš argumentų loginiu samprotavimu išvedama tezė:
argumentai—>tezė. Logika formuluoja tam tikrus reikalavimus tezei ir argumentams, kurių reikia laikytis, kad įrodymas būtų logiškas. Tačiau daugiausia logika tiria įrodymo būdus. Žinome, kad logika yra mokslas apie samprotavimo būdą, ji pateikia priemones tezei iš argumentų išvesti. Kiekvienas mokslas turi savo tezes ir argumentus, tačiau vi-
suose moksluose vartojamos logikos nustatytos priemonės tezėms iš argumentų išvesti. Įrodymo būdas yra argumentų ir tezės sąryšio nustatymas, argumentų sutvarkymas taip, kad iš jų sektų tezė. Panagrinėkime konkretų įrodymą, nustatydami jo sudėtines dalis - tezę, argumentus, įrodymo būdą. Jonaitis nesveikas. Tai rodo pakilusi temperatūra. Jei jis būtų sveikas, tai jo temperatūra svyruotų apie 36,5°. Jo temperatūra - 38,5°. Be to, jis blogai jaučiasi. Jei jis būtų sveikas, jis negalėtų taip jaustis. Šio įrodymo tezė - teiginys „Jonaitis nesveikas". Argumentai visi kiti teiginiai, t. y. sveikų žmonių kūno temperatūra, Jonaičio temperatūra, jo bloga savijauta ir tai, kad sveiki žmonės negali taip jaustis. Įrodymo būdas - tai loginė struktūra, pagal kurią samprotaujama. Įrodymo loginę struktūrą surandame ją formalizuodami. Jei Jonaitis būtų sveikas (p), tai jo temperatūra svyruotų apie 36,5° (q). Jei Jonaitis būtų sveikas (p), jis negalėtų blogai jaustis (r). Jonaičio temperatūra 38,5° (g). Jonaitis blogai jaučiasi (r). Vadinasi, Jonaitis nesveikas (p).
Gauname loginę struktūrą, kuri ir yra tezės „Jonaitis nesveikas" įrodymo būdas: (p->q) · (p—>7)
q-r. Vadinasi, p.
Matome, kad pateikto įrodymo būdo struktūra yra teiginių logikos dėsnis [(p—>qr) · q]—>p, teigiantis, kad jei implikacija teisinga ir jos konsekventas klaidingas, tai turi būti klaidingas ir antecedentas. Pateiktame įrodyme šis dėsnis pavartotas du kartus: [(p—>qr) · q]—>p, ir [(p >f) · r] >p. Įrodymo būdo sudėtingumą lemia tezės pobūdis. Sudėtingose mokslo teorijose vartojami ir sudėtingi įrodymo būdai. Nesudėtingai tezei įrodyti kartais pakanka paprasto įrodymo būdo.
jž-D
Pratimas
Suraskite tezę, argumentą ir įrodymo būdą: Jei diskusijoje bus įrodyta, kad A pažiūra klaidinga, tai A turės savo pažiūros atsisakyti. Jei bus įrodyta, kad A pažiūra teisinga, tai savo pažiūros turės atsisakyti A oponentai. Diskusijoje bus įrodytas A pažiūros klaidingumas arba teisingumas. Vadinasi, A arba jo oponentai turės atsisakyti savo pažiūros.
2. Pakankamo pagrindo principas Įrodymas remiasi vadinamuoju pakankamo pagrindo principu, kuris formuluojamas taip: teiginys laikomas teisingu tada, kai jis įrodytas (pagrįstas) ta prasme, kad pateiktas pakankamas to teiginio teisingumo pagrindas. Dėstytojo paskaitoje studentai išgirsta daug anksčiau jiems nežinomų teiginių ir teorijų. Studentas turi teisę abejoti tų teiginių teisingumu, kol dėstytojas jų neįrodo, nepagrindžia. Kai pateikiamas pakankamas teiginio teisingumo pagrindas, teiginys laikomas įrodytu, ir juo abejoti nereikia. Teiginio pakankamas pagrindas yra visuma teisingu teiginių, iš kurių pagrindžiamasis teiginys seka logiškai. Įrodant pagrindžiamasis teiginys vadinamas teze. Pakankamas tezės pagrindas yra tie argumentai, kurie tezę padaro teisingą, iš kurių ji logiškai seka. Taigi pakankamo pagrindo principas reikalauja, kad mūsų teiginiai būtų argumentuoti. Pakankamą kurio nors teiginio pagrindą sudaro dvejopo pobūdžio argumentai: būtini argumentai ir pakankami argumentai. Kartais būna taip, kad teiginys grindžiamas būtinais, bet nepakankamais argumentais. Sokratas teigė, kad gėris yra teisingas pažinimas. Šią tezę argumentavo tuo, kad visos blogybės kyla iš nežinojimo, kad žmonės sąmoningai blogio nedaro. Jei žmogus žinosiąs, kas yra teisingumas, blogis ir 1.1., tai jis darysiąs tik gera. Sie Sokrato argumentai verti dėmesio. Gyvenime neretai blogis tikrai
kyla iš nežinojimo, kaip aiškino Sokratas. Tačiau vien tik nepažinimu negalima paaiškinti viso gyvenime pasitaikančio blogio. Sokrato argumentai yra būtini, bet nepakankami. Kai teiginys grindžiamas būtinais ir pakankamais argumentais, tai jie yra pakankamas teiginio teisingumo pagrindas. Tačiau kartais teiginys gali būti grindžiamas nebūtinais, bet pakankamais argumentais. Nebūtini, bet pakankami argumentai yra pakankamas teiginio teisingumo pagrindas. Pavyzdžiui, matricos sudarymas teiginių logikos išraiškai yra nebūtinas, bet pakankamas argumentas nustatyti, ar toji išraiška yra teiginių logikos dėsnis. Tai galima nustatyti ir kitais būdais, nebūtinai matrica, pavyzdžiui, suteikiant išraiškai normaliąją formą. Tačiau matricos visiškai pakanka nustatyti, ar toji išraiška yra teiginių logikos dėsnis. Reikia pažymėti ir tam tikrą pakankamo pagrindo principo ribotumą. Sis principas tinka dedukciniams samprotavimams ir netinka nededukciniams, t. y. tokiems, kai iš teisingų prielaidų išvedama tikėtina išvada. Mokslas yra ne tik teisingų, bet ir tikėtinų žinių visuma. Nepaisant šio ribotumo, pakankamo pagrindo principas yra racionalaus pobūdžio. Jis reikalauja pagrįsti teiginius, neleidžia daryti bet kokių išvadų, reikalauja aklai netikėti, protingai patvirtinti teiginius. Pakankamo pagrindo principas išreiškia kriticizmą.
Pratimai Ar pakankamas pagrindas tezėms yra šie argumentai: 1. Sis žmogus lietuvis, nes jis lietuviškai kalba be jokio akcento. 2. Neturi teisės mokyti kitus dorai gyventi tas, kuris pats nedorai gyvena, nes jo žodžiai neatitiktų jo darbų. 3. Kokia mokykla, tokia ir visuomenė. Mokykloje ugdoma jaunuomenė, tad kokią ją išugdys, tokia bus ir visuomenė. Priešingai, kokia visuomenė, tokia ir mokykla. Visuomenė pirmesnė už mokyklą - ji sukūrė tokią mokyklą, kokią įstengė sukurti savais ištekliais, taigi mokykla negali determinuoti visuomenės.
3. Įrodymų rūšys Įrodymai skirstomi į rūšis pagal įrodymo tikslą ir pagal įrodymo būdą. Pagal įrodymo tikslą jie būna dvejopi. Jei nustatomas tezės teisingumas, tai toks įrodymas vadinamas tiesiog įrodymu, o jei nustatomas jos klaidingumas, tai toks įrodymas vadinamas paneigimu. Panagrinėkime tezės paneigimo būdus. 1. Argumentų paneigimas. Tezei įrodyti pateikiami argumentai. Argumentus paneigiant įrodoma, kad jie klaidingi. Tokiu atveju turime teisę pačios tezės nelaikyti teisinga. Jei vartojami klaidingi argumentai, tai jais galima bet ką įrodyti. Turime reikalauti, kad būtų pateikti teisingi argumentai, o jei įrodantis asmuo to negali padaryti, tai turime teisę jo tezės nepriimti, nelaikyti jos teisinga. Tačiau ne kiekvienu atveju, paneigus argumentus, bus paneigta ir tezė. Gali būti taip, kad kas nors pasako teisingą tezę, tačiau nemoka jos įrodyti ir pateikia klaidingus argumentus. Žinome, kad argumentai ir tezė susieti implikacijos ryšiu. Jei antecedentas (argumentai) klaidingas, tai dar nereiškia, kad teisingoje implikacijoje ir konsekventas (tezė) klaidingas. Teisingas teiginys kartais seka ir iš klaidingo teiginio. Tarkime, kad tezę „Marsas turi palydovus" kas nors įrodo taip: „Visos Saulės sistemos planetos turi palydovus, o Marsas - Saulės sistemos planeta. Vadinasi, Marsas turi palydovus". Tačiau argumentas „Visos Saulės sistemos planetos turi palydovus" - klaidingas, nes ne visos Saulės sistemos planetos turi palydovus. Nepaisant argumento klaidingumo, tezė teisinga. 2. Įrodymo būdo paneigimas. Paneigiant įrodymo būdą, nustatoma, kad iš pateiktų argumentų tezė logiškai neseka. Nurodoma, kad iš pateiktų argumentų seka ne nagrinėjamoji, o kuri nors kita tezė. Įrodymo būdo paneigimas yra silpniausias paneigimas. Asmuo gali pasakyti teisingą tezę, tik nemokėti jos įrodyti, nesurasti argumentų arba nemokėti argumentų sutvarkyti taip, kad iš jų logiškai sektų tezė.
3. Išvedamų iš tezės sekmenų paneigimas. Tai pats efektyviausias tezės paneigimo būdas. Jei nustatoma, kad teiginys (sekmuo), išvestas iš tezės, klaidingas, tai ir pati tezė klaidinga. Iš teisingos tezės negali sekti klaidingi sekmenys. Tezę pažymėję raide p, iš jos išvestą sekmenį - raide q, šį tezės paneigimą užrašome: p->q. q klaidingas. Vadinasi, p klaidingas.
Užrašę tai vienoje eilutėje, gauname teiginių logikos dėsnį: [(p—>p. Paneigimu remiasi kritika. Kritikuojant kieno nors pažiūras, įrodoma, kad jos klaidingos. Tačiau kritika turi būti konstruktyvi. Tai reiškia, kad, įrodžius kieno nors teiginių klaidingumą, dar reikia įrodyti jiems priešingų teiginių teisingumą. Kritika konstruktyvi tada, kai ne tik nustatoma, kad klausimas sprendžiamas neteisingai, bet ir parodoma, kaip reikia teisingai klausimą spręsti. Pagal įrodymo būdą įrodymai skirstomi į tiesioginius ir netiesioginius įrodymus. Tiesioginis įrodymas yra tada, kai tezė išvedama iš pateiktų argumentų. Jei argumentai teisingi, tai iš jų pagal logikos dėsnius išvesta tezė taip pat turi būti teisinga. Tezė „Baigdamas aukštąją mokyklą (ne užsienio kalbų fakultetą), privalau gerai mokėti kelias pagrindines užsienio kalbas" išvedama iš teisingų argumentų: „Aukštoji mokykla rengia aukštos kvalifikacijos specialistus. Aukštos kvalifikacijos specialistas privalo gerai mokėti kelias pagrindines užsienio kalbas. Mano pareiga - tapti aukštos kvalifikacijos specialistu". Tai tiesioginio įrodymo pavyzdys. Netiesioginiame įrodyme tezės teisingumas nustatomas įrodant tezei prieštaraujančių teiginių klaidingumą.
Kai įrodoma, kad tezei prieštaraujantis teiginys klaidingas, tai iš to seka, kad įrodomoji tezė teisinga. Apžvelgsime du netiesioginio įrodymo variantus: 1. Visų klaidingų atvejų paneigimas. Siame netiesioginiame įrodyme pirmiausia nurodomi visi galimi atvejai - visos galimos tezės, tarpusavyje sujungtos disjunkcija. Yra žinoma, kad viena iš tezių teisinga, tačiau nežinoma, kuri. Tada įrodoma, kad visos tezės klaidingos, išskyrus vieną, ir ta likusi nepaneigta tezė turi būti teisinga. Čia samprotaujama pagal teiginių logikos dėsnį KpVq) · >p. Sis netiesioginis įrodymas teisingas tada, kai nurodomos visos galimos tezės ir paneigiamos visos klaidingos tezės. Šiuos reikalavimus ne visuomet pavyksta įvykdyti. A. Čechovas apysakoje „Drama medžioklėje" aprašo teismo klaidą, padarytą todėl, kad nebuvo iškeltos visos galimos versijos. Buvo samprotaujama taip: Olga arba pati nusižudė, arba ją nužudė čigonai, arba grafo pasamdytas žmogus, arba nužudė jos vyras. Tardymas parodė, kad Olga pati nenusižudė, jos nenužudė nei čigonai, nei grafo pasamdytas žmogus. Vadinasi, Olgą nužudė jos vyras.
Tačiau išvada buvo klaidinga. Teismo klaida įvyko todėl, kad nebuvo iškelta versija, jog žudikas - pats tardytojas. 2. Prieštaros būdas. Šis netiesioginio įrodymo variantas reiškiamas teiginių logikos dėsniu p—>[(p—>p)]· Tezės p teisingumas įrodomas taip. Tariama, kad ji klaidinga ir teisinga jai prieštaraujanti tezė p. Paskui iš tezės p išvedamas sekmuo q. Toliau įrodoma, kad q klaidingas. Tada turi būti klaidinga ir tezė p, o tezė p teisinga.
03)
Pratimai
1. Studentų A, B ir C paklausė, ar jie studijavo logiką. Jie atsakė taip: a) jei A studijavo, tai studijavo B; b) netiesa, kad jei C studijavo, tai studijavo B. Kas iš jų studijavo logiką? 2. Nuvargę nuo ginčų ir vasaros kaitros, trys senovės graikų filosofai prigulė po Akademijos sodo medžiu truputį pailsėti ir užsnūdo. Kol jie snaudė, juokdariai anglimi ištepė jiems kaktas. Prabudę ir pažvelgę vienas į kitą, visi linksmai nusiteikė ir pradėjo juoktis, tačiau tai nė vieno nejaudino, nes kiekvienam atrodė natūralu, kad du kiti juokiasi vienas iš kito. Staiga visi trys nustojo juoktis, nes kiekvienas suprato, kad jo kakta taip pat ištepta. Kaip jie samprotavo?
4. Įrodymo taisyklės Kad įrodymas būtų logiškas, reikia laikytis tam tikrų taisyklių. Kadangi įrodymą sudaro trys dalys, tai yra taisyklės tezei, argumentams ir įrodymo būdui. Įrodymo tezės taisyklė: tezė turi būti tiksliai apibrėžta ir išlikti ta pati įrodymo procese. Reikalavimas tiksliai apibrėžti tezę visiškai aiškus. Reikia aiškiai žinoti, ką norima įrodyti. Tačiau kartais pasitaiko, kad, klausantis pranešėjo, lieka neaišku, ką jis norėjo įrodyti, nes savo tezės pranešėjas nebuvo tiksliai suformulavęs. Reikalavimas, kad tezė įrodymo procese turi išlikti ta pati, reiškia, kad įrodomos tezės negalima pakeisti kita teze. Tezės pakeitimo klaida pasireiškia įvairiai. 1. Įrodoma ne pasakytoji tezė, bet visai kita. Iš pateiktų argumentų seka kita tezė, o ne ta, kuri įrodinėjama. Vienas asmuo pasakė įrodysiąs, kad 2 paėmus 3 kartus, bus ne 6, bet 4. Jis paėmė degtuką ir paprašė įdėmiai sekti jo samprotavimą.
- Perlaužę degtuką pusiau, - tarė jis, - turėsime vieną kartą 2. Padarę tą patį su viena degtuko puse, antrą kartą turėsime 2. Pagaliau, perlaužę antrą degtuko pusę, trečią kartą turėsime 2. Taigi, imdami tris kartus po du, gavome 4, o ne 6. Lengvai galima nustatyti šiame samprotavime padarytą tezės pakeitimo klaidą. 2. Apeliavimo „į žmogų " (argumentum ad hominem) panaudojimas. Šiuo atveju apeliuojama į tezę pateikusio asmens savybes. Nurodoma, kad, pavyzdžiui, jis rimtas mokslininkas, jo darbai plačiai žinomi, taigi reikia jo išsakyta teze tikėti. Arba priešingai: siūloma netikėti teze, nes ją pateikęs žmogus nesubrendęs, kartais meluoja ir pan. Tokie įrodymai logikoje neleistini. Logika pripažįsta tik vieną įrodymą - tiesos požiūriu (ad viritatem), t. y. pačios tezės tyrimą nepriklausomai nuo ją pateikusio asmens savybių. Apeliavimo „į žmogų" klaida yra ir tada, kai įrodoma ne iš esmės, o remiantis citatomis iš mokslo autoritetų veikalų. Šiuo atveju sakoma, kad tai atsidavimo autoritetui klaida. Citatos, kad ir iš žymaus mokslininko veikalo, tezės neįrodo. Jos tegali būti pagalbinis argumentas tada, kai tezė jau iš esmės įrodyta. Loginė klaida yra toks galvojimo būdas, kai sakoma, kad tezė teisinga todėl, jog ją pateikė kažkoks mokslo klasikas. Neklystančių žmonių nėra, ir tezė teisinga visai ne todėl, kad ją pateikė žymus mokslininkas. Ji teisinga todėl, kad logiškai seka iš tam tikrų argumentų. Žinoma, tai nereiškia, kad įrodyme nereikia remtis žymių mokslininkų darbais. Priešingai, jais reikia remtis, tačiau tai turi būti daroma su saiku, protingai, logiškai. Reikiajais ne tikėti, bet savarankiškai nagrinėti jų iškeltų tezių įrodymus - argumentavimą, įrodymo būdą. Galima pateikti ir citatų, ypač tada, kai vargu ar galima tiksliau argumentuoti, negu argumentuoja tas mokslininkas. Šiuo atveju atsidavimo autoritetui klaidos nebus. Pasitikėjimas autoritetais, įrodymas ištraukomis iš jų veikalų klestėjo viduramžiais. Aristotelį laikė didžiausiu autoritetu moksle ir pagarbiai vadino Mokytoju. Lemiamą reikšmę turėjo ne tikrovės tyrimas, bet tai, kas pasakyta Aristotelio veikaluose. Argumentas
„Mokytojas pasakė" scholastikoje tapo svariausias. Tik vėlyvaisiais viduramžiais imta ieškoti ir Aristotelio suklydimų. Autoritetų kvestionavimą tęsė naujieji amžiai. Nors mūsų laikai yra autoritetų erozijos amžius, racionaliai įprasmintas rėmimasis autoritetu egzistuoja. Autoritetas yra asmens ar grupės asmenų galia pakreipti norima linkme kitų asmenų mąstyseną bei veiką. Kas tokios galios neturi, tas nėra autoritetas. Autoritetas vaikams būna tėvai, piliečiams - valstybės valdžia, tikintiesiems - bažnyčia ir pan. 3. Tezė gali būti pakeista vadinamuoju apeliavimu „į publiką" (ad populum). Šiuo atveju tezė įrodinėjama ne pagal logikos reikalavimus, bet, loginį argumentavimą pakeitus emociniu argumentavimu, daromas poveikis žmonių jausmams, siekiant sukelti simpatiją, pritarimą vienam dalykui ir nepritarimą kitam. Taip apeliuojant ne į protą, bet į jausmus, siekiama, kad kiti patikėtų vienų tezių teisingumu ir kitų klaidingumu, kaip to nori kalbėtojas. Apeliavime „į publiką" meistrai buvo antikiniai oratoriai. Romos oratorius ir filosofas Seneka, turėdamas keliasdešimties milijonų kapitalą, gražbyliavo, kad turtas - didžiausia nelaimė, kvietė turtuolius išdalyti turtus visuomenei, pats neatiduodamas nė vieno grašio. Nepaisant to, Seneka turėjo daug mokinių ir sekėjų, nes savo filosofines pažiūras mokėjo dėstyti įtaigiai. Teismo procese apeliavimo „į publiką" klaida neretai pasireiškia ten, kur yra prisiekusiųjų teismas. Tiek kaltinančioji pusė - prokuroras, - tiek ir gynimas - advokatas - neretai vartoja įvairias priemones prisiekusiųjų jausmams paveikti, nuteikti juos kaltinamojo naudai arba nenaudai. Teisėjui tenka pareiga neleisti emociškai paveikti prisiekusiuosius. Tačiau sunku klausytis tokio kalbėtojo, kuris mintis reiškia sausai, nuobodžiai, kurio žodžiai neveikia klausytojų jausmų. Emocinis argumentavimas viešosiose kalbose ne tik leistinas, bet ir būtinas. Geras kalbėtojas moka sukelti klausytojų juoką ir išspausti ašarą. Tačiau emocinis argumentavimas leidžiamas tik tiesos įrodymo ribose.
Apžvelgsime argumentą taisykles. 1. Argumentai tun būti teisingi ir pakankamas pagrindas tezei. Reikalavimas, kad argumentai būtų teisingi, yra visiškai aiškus. Haidingais argumentais galima įrodyti bet kurią tezę. Klaidingų argumentų pateikimas vadinamas pagrindine klaida (error fundamentalis). Tiesa, žinome, kad teisingą išvadą (tezę) kartais galima gauti ir iš klaidingų prielaidų (argumentų). Tačiau tai visiškai atsitiktinis reiškinys. Pateiksime pavyzdį, kai tezė įrodinėjama klaidingais argumentais. Kalifas Omaras Aleksandrijos mokslininkams pareiškė: „Jei jūsų knygos sutinka su Koranu, tai jos nereikalingos, o jei jūsų knygos nesutinka su Koranu, tai jos žalingos. Bet jos sutinka arba nesutinka su Koranu. Taigi jūsų knygos nereikalingos arba žalingos". Reikalavimas, kad argumentai būtų pakankamas pagrindas tezei, reiškia, kad pateiktų argumentų turi visiškai pakakti nustatant tezės teisingumą. Kai pateiktų tezės naudai argumentų dar nepakanka įrodyti, kad tezė teisinga, reikia pateikti papildomų argumentų. Kartais pasitaiko, kad pateikti argumentai per platūs, per daug bendri tezei įrodyti. Šiuo atveju sakoma, kad įrodoma per daug, todėl tezė lieka neįrodyta („kas per daug įrodo, tas nieko neįrodo"). Pavyzdžiui, įrodinėjant savižudybės neleistinumą, argumentas, kad žmogus neturi teisės netekti to, ko jis pats sau nesuteikė, aiškiai per platus. Tada išeina, kad negalima kirptis nagų, plaukų, neturime teisės parduoti paveldėto turto ir pan. 2. Argumentų teisingumas turi būti įrodytas nepriklausomai nuo tezės. Nesilaikant šios taisyklės, gaunama rato klaida: tezė įrodoma tam tikrais argumentais, o tų argumentų teisingumas įrodomas remiantis pačia teze. Įrodymo būdo taisyklė: Įrodymo būdas turi būti logiškas, t. y. tezė iš argumentų turi būti išvedama laikantis logikos reikalavimų. Jei, įrodant tezę, logikos reikalavimų nesilaikoma, tezė iš argumentų išvedama ne pagal logikos dėsnius, gaunama klaida, vadina-
ma „neseka" (поп sequitur). Ši klaida reiškia, kad tezė iš argumentų logiškai neišplaukia, o tik dirbtinai išvedama. Panagrinėkime samprotavimą: Jei benzinas baigėsi, tai automobilis sustos. Benzinas nesibaigė. Vadinasi, automobilis nesustos.
Nors šio įrodymo argumentai teisingi, tačiau išvada iš jų logiškai neseka. Automobilis gali sustoti dėl įvairių gedimų ir pan. Tezė „Automobilis nesustos" iš pateiktų argumentų neseka todėl, kad tezės įrodymo būdas nėra logikos dėsnis. Šį samprotavimą atitinka išraiška [(p^>q) · kuri nėra visuomet teisinga.
^D
Pratimai
1. Aptarkite šį argumentavimą. Balsuokite už mūsų partiją. Jos programa puiki, numatanti realias priemones pašalinti iš visuomenės gyvenimo visas didžiausias negeroves. Programos patikimumu abejoti neverta, ją kūrė garbingi asmenys, pripažinti politikai. 2. Senovės graikų filosofas Protagoras turėjo mokinį Euatlą, kurį mokė, kaip teismuose laimėti bylas. Mokestis už mokslą buvo paskirstytas dviem terminais taip, kad antrąją mokesčio dalį Euatlas turėjo sumokėti po to, kai bus laimėjęs pirmąją bylą. Baigęs mokytis, Euatlas bylų nevedė ir antrosios užmokesčio dalies nemokėjo. Tada Protagoras padavė Euatlą į teismą ir teisme kreipėsi į jį šiais žodžiais: „Jei tu bylą laimėsi, tai turėsi sumokėti man pagal mūsų susitarimą. Jei šią bylą pralaimėsi, tai turėsi sumokėti pagal teisėjų nuosprendį. Šią bylą tu laimėsi arba pralaimėsi, vadinasi, vis tiek turėsi sumokėti man priklausančią sumą". Euatlas atsakė priešingai: „Jei šią bylą aš laimėsiu, man nereiks mokėti pagal teisėjų nuosprendį. Jei šią bylą pralaimėsiu, man nereiks mokėti pagal mūsų susitarimą. Žinoma, šią bylą aš laimėsiu arba pralaimėsiu, vadinasi, Protagorai, man nereikės mokėti pinigų, kurių tu reikalauji". Kaip išspręsti jų ginčą?
5. Loginės klaidos Vieni nukrypimai nuo mąstymo logiškumo yra minties turinio klaidos: klaidingų ar tik tikėtinų teiginių laikymas teisingais, neįrodytų teiginių pateikimas kaip įrodytų, neprasmingų sakinių laikymas prasmingais, nepakankamo pagrindo laikymas pakankamu. Kiti nukrypimai nuo logiškumo yra fomialios klaidos, susijusios su netaisyklingumais samprotavimo būde: skuboto apibendrinimo, ydingojo rato, analogijos, tezės pakeitimo, sekos klaidos ir kt. Pagal klaidų kilmės netyčinį ar tyčinį pobūdį, loginės klaidos būna paralogizmai ir sofizmai. Paralogizmasyra loginė klaida, padaroma netyčia, neapgalvotai arba ir iš anksto apgalvotai, tačiau neturint tikslo ką nors apgauti. Kartais netyčia padaroma loginių klaidų. Jų priežastis gali būti nepakankama loginė mąstymo kultūra. Be to, kai įrodymai ir samprotavimai sudėtingi, kartais galima apsirikti. Pavyzdžiui, tezė kartais išvedama iš tokių argumentų, kurie tai tezei nėra pakankamas pagrindas, nors įrodinėjąs asmuo įsitikinęs, kad tie argumentai yra pakankamas pagrindas; arba samprotavimą atitinka išraiška, kuri nėra logikos dėsnis, ir pan. Kartais loginė klaida padaroma iš anksto apgalvotai. Kai kurie uždaviniai būna sudaryti taip, kad juose sąmoningai padaroma klaida, ir siūloma tą klaidą surasti. Šiuo atveju neturima tikslo ką nors apgauti, ir tokia klaida yra paralogizmas. Tarkime, kad kalbasi A ir B: A: Suraskite klaidą šiame mano samprotavime. Tas, kuris vadina jus žmogumi, sako tiesą. Tas, kuris vadina jus kvailiu, tas vadina jus žmogumi. Vadinasi, tas, kuris vadina jus kvailiu, tas sako tiesą. B: Klaidą jūsų samprotavime surasti nesunku. Jūsų prielaida „Tas, kuris vadina mane žmogumi, sako tiesą", žinoma, teisinga. Teisinga ir antra prielaida „Tas, kuris vadina mane kvailiu, tas vadina mane žmogumi". Tačiau išvada „Tas, kuris vadina mane kvailiu, tas sako tiesą" klaidinga. Ji klaidinga ne todėl, kad aš nelaikau savęs kvailiu. Ji logiškai neseka iš pateiktų
prielaidų. Panagrinėkime jūsų samprotavimą klasių teorijos požiūriu. Turime dvi klases - „žmonės" ir „kvailiai". Tarp jų subordinacijos santykis: klasė „kvailiai" yra klasės „žmonės" poklasis. Iš to, kad esu žmogus, visai neseka, kad turiu būti poklasyje „kvailiai". Klasę „žmonės" sudaro dar ir kiti poklasiai - „išminčiai", „vidutiniškų gebėjimų žmonės" ir pan. Man atrodo, kad priklausau klasei žmonių, turinčių vidutiniškus gebėjimus.
Sofizmasyra sąmoningai sudarytas klaidingas samprotavimas, kuris pateikiamas kaip teisingas. Žodis sophia senojoje graikų kalboje reiškia išmintį (sophistes „meistras"). Tačiau šiandien šiuo žodžiu suprantame ne išmintį, o pseudoišmintį. Truputis istorijos padės suprasti, kodėl taip įvyko. V a. pr. Kr. viduryje graikų filosofijoje atsirado kryptis - sofistai. Sofistai buvo senovės Graikijos švietėjai. Jie buvo ne tik filosofai, bet ir mokytojai, auklėtojai, jie mokė jaunuomenę ir suaugusiuosius. Suaugusiuosius rengė pilietiniam gyvenimui. Tuometinės Graikijos demokratinėse valstybėse siekta, kad piliečiai kurį laiką eitų valstybines pareigas - būtų policininkai, mokesčių inspektoriai, prekyviečių prižiūrėtojai ir t. t. Kadangi piliečių daug, o valstybinių tarnybų mažai, tai valstybines pareigas jie eidavo trumpai, vis keisdavosi. Teisminiuose procesuose nebuvo nei prokurorų, nei advokatų, kaltinti ir gintis reikėjo pačiam, ir to pamokydavo sofistai. To meto Graikijos demokratinėse valstybėse teisėjai buvo renkami. Kadangi jie buvo renkami trumpam laikui, tai neretai prastai žinojo įstatymus. Norint laimėti procesą, sofistų gražbylystė turėjo didesnę reikšmę negu geras įstatymų žinojimas. Sofistai mokė iškalbos meno - retorikos, meno vesti ginčą eristikos, mokėjimo įrodyti savo teiginius - dialektikos, be to, dar etikos, filosofijos, teisės. Žinoma, mokė už atlygį, dalis sofistų pralobo. Pradėję logikos tyrimus, kai kurie jų, žinoję iškalbos, įtikinimo galią, ėmė teigti, kad įmanoma įrodyti bet kurį teiginį, tik reikia mokėti įrodyti. Tokia teorija, kuri galėtų įrodyti, kad bet kuris teiginys teisingas, neįmanoma, ir todėl sofistų įrodymai virto žaidimu sąvokomis, jų teorija išsigimė. Šie sofistai buvo sofistai ta
prasme, kaip ir šiandien suprantame šį žodį: jie buvo intelektualiniai apgavikai. Sofizmai būdavo sudaromi nevienareikšmiškai vartojant sąvokas, teiginius. Vienoje prielaidoje sąvoka vartojama viena reikšme, o kitoje prielaidoje ta pati sąvoka būdavo vartojama jau kita reikšme. Pavyzdžiui, sofizmas „ragai": Tai, ko jūs nepametėt, turite. Jūs nepametėt ragų. Vadinasi, turite ragus.
Sio sofizmo antroje prielaidoje sąvoka „nepametėt" vartojama visiškai netiksliai. Negalima pamesti to, ko niekada neturėjome. Žmogus niekada neturėjo ragų, tad sakyti, kad jis jų nepametė, beprasmiška. Panašiai beprasmiška sakyti kam nors, kad jis nepametė 1 ООО ООО litų, jei jis tiek pinigų niekuomet neturėjo. Kitas sofizmo pavyzdys. Tarkime, kad A siūlo B laimėti tris litus, jei į kiekvieną klausimą jis atsakys „trys degtukai". A pateikia du nereikšmingus klausimus, o paskui klausia, ar B nori trijų litų, ar trijų degtukų. Pagal susitarimą B atsako, kaip ir anksčiau, - trijų degtukų. „Tai štai ir imk tris degtukus", - sako A. Sofizmai skirstomi į individualius ir socialinius. Individualūs yra sofizmai, kuriais paskiras asmuo siekia apgauti, suklaidinti kitą asmenį. Socialiniai yra sofizmai, kuriais siekiama suklaidinti žmonių grupę, visuomenę, pavyzdžiui, neįvykdyti rinkiminiai pažadai, pseudomokslinės teorijos ir pan. Yra žmonių, kurie arba visai nenori dirbti, arba nori dirbti kuo mažiau ir imti iš visuomenės kuo daugiau. Yra žmonių, kurie siekia pagrobti visuomenės sukurtas gėrybes, nori gyventi kitų darbo sąskaita, eina nusikaltimų keliu. Tokie žmonės turi savo „teorijas", jomis teisina savo elgesį. Jų samprotavimai yra socialiniai sofizmai. Socialinius sofizmus kuria partijos, savo rinkiminėse programose žadėdamos nuveikti tai, ko, kaip žino, nenuveiks. Partijoms rūpi grupiniai interesai, kurie ne visada sutampa su tautos interesais. Socialinius sofizmus kuria ir valsty-
bės valdžia, kai ji nuslepia nuo visuomenės tai, ką visuomenė privalo žinoti. Sofizmai tęsiasi per visą žmonijos istoriją. Visuomenė be socialinių sofizmų neįmanoma. Sofizmai visuomenėje - tai faktas, rodantis, kad šio reiškinio visuomenė negali išvengti. Sofizmai - tai susvetimėjimo visuomenėje loginė išraiška. Blogis susikuria tada, kai socialiniai sofizmai nedemaskuojami, kai sudaromos sąlygos jiems plisti ir jie tampa gyvenimo norma.
Pratimas Suraskite klaidas sofizme: Aristofanas pjesėje „Debesys" vaizduoja, kaip prasiskolinęs senis Strepsiadas siunčia savo sūnų Feidipidą į sofistų mokyklą mokytis gražbylystės, kad paskui atsikratytų kreditorių. Sūnus išmoksta sofistikos, grįžta namo, ir tėvas, jo pamokytas, atsikrato kreditorių. Tačiau sūnaus mokslas atsigręžia ir prieš tėvą. Kartą jiedu susiginčijo dėl poezijos, sūnus tėvą primušė ir taip teisino savo poelgį: Feidipidas Pirmiausia klausiu: ar manęs nemušdavai dar vaiko? Strepsiadas Na taip, nes rūpinausi tavim, darydavau tau gera. Feidipidas Sakyk, o kas čia blogo bus, jei tau aš kailį persiu, Norėdamas gera padaryt, - juk mušam tik iš meilės! Kodėl kentėjau aš smūgius, o tu nenori kęsti? Kad laisvas tu? Juk aš taip pat esu užgimęs laisvas! Vaikai tai verkia, tėvas ar neturi verkt? Sakysi, kaipgi vaikas bus ir nemuštas,
neverkęs?
Aš atsakysiu tau į tai: „Juk senis - dukart vaikas", Tad seniems dera net daugiau raudoti nei mažiesiems, Nes jiems daryt klaidas mažiau pritinka kaip
jaunimui!
XIV SKYRIUS
Senoji formalioji logika
Senoji formalioji logika atsirado dar senovės Graikijoje. Ją labiausiai išplėtojo Aristotelis. Kiek pakitusi, Aristotelio logika išsilaikė iki pat XIX a. vidurio, kai buvo sukurta simbolinė logika, kuri ir yra šiuolaikinė formalioji logika. Pastaroji perėmė iš senosios formaliosios logikos tai, kas joje buvo vertinga, naujai sukurtais metodais išsprendė problemas, kurias senoji logika sprendė ribotai arba buvo bejėgė išspręsti, iškėlė naujas problemas. Pagrindinės senosios logikos teorijos - teiginių teorija ir silogistika.
1. Teiginiai ir jų rūšys Senoji logika visus teiginius laikė atributyviais, t. y. tokiais, kuriuose objektui priskiriama arba nepriskiriama kokia nors savybė (atributas). Teiginio objektas buvo vadinamas subjektu, jo savybė - predikatu. Jungtis „yra" arba „nėra" nurodydavo, kad subjektas turi kokį nors požymį arba jo neturi. Tad teiginį sudaro trys dalys - subjektas, predikatas ir jungtis. Subjektas žymimas raide S, predikatas raide P, jungtis reiškiama žodžiais yra, nėra. Jungtis teiginiuose gali būti praleidžiama, nepasakoma. Teiginyje „Europa yra žemynas" sąvoka „Europa" - subjektas (S), sąvoka „žemynas" - predikatas (P), jungtis - žodis „yra". Šio teiginio struktūra S yra P.
Teiginiai skirstomi keliais pagrindais. Pagal kokybę teiginiai yra teigiamieji ir neigiamieji.
Teigiamieji teiginiai nurodo, kad objektas turi kokią nors savybę (predikatą). Šių teiginių struktūra S yra P.
Neigiamuosiuose teiginiuose nurodoma, kad objektas neturi kokios nors savybės. Jų struktūra S nėra P.
Pagal kiekybę teiginiai skirstomi j vieninius, dalinius ir bendruosius. Vieniniai teiginiai yra tokie, kuriuose predikatas priskiriamas arba nepriskiriamas vienam objektui. Teiginys „Puntukas - vienas iš didžiausių akmenų Lietuvoje" - vieninis, nes savybė „būti vienam iš didžiausių akmenų Lietuvoje" priskiriama vienam objektui - Puntukui. Vieninių teiginių struktūra S yra P;
S nėra P.
Daliniuose teiginiuose predikatas priskiriamas arba nepriskiriamas kai kuriems kurios nors klasės objektams. Teiginys „Kai kurie žmonės yra literatūros kritikai" - dalinis. Dalinių teiginių struktūra Kai kurie S yra P; Kai kurie S nėra P.
Bendraisiais teiginiais vadinami tokie, kuriuose predikatas priskiriamas arba nepriskiriamas kiekvienam kurios nors klasės objektui. Pavyzdžiui, „Visose valstybėse yra vyriausybė". Bendrųjų teiginių struktūra Visi S yra P; Nė vienas S nėra P.
Jungiant teiginių skirstymą pagal kiekybę ir kokybę, gaunamos šios teiginių rūšys: 1. BendH teigiamieji teiginiai. Jie kartu yra ir bendri, ir teigiami. Jų struktūra -
Visi S yra P.
Pavyzdžiui, „Visi grybai - sporiniai augalai". Bendri teigiamieji teiginiai žymimi raide a (lotynų k. žodžio affirmo - „teigiu" pirmoji balsė). 2. Bendri neigiamieji teiginiai. Jie kartu yra ir bendri, ir neigiami. Jų struktūra Nė vienas S nėra P.
Pavyzdžiui, „Nė vienas mūsų kurso studentas neturi įsiskolinimo". Bendri neigiamieji teiginiai žymimi raide e (lotynų k. žodžio nego - „neigiu" pirmoji balsė). 3. Daliniai teigiamieji teiginiai. Jie kartu yra ir daliniai, ir teigiami. Jų struktūra Kai kurie Syra P.
Pavyzdžiui, „Kai kurie lengvaatlečiai - bėgikai". Daliniai teigiamieji teiginiai žymimi raide i (žodžio affirmo antroji balsė). 4. Daliniai neigiamieji teiginiai. Jie kartu yra ir daliniai, ir neigiami. Jų struktūra Kai kurie S nėra P.
Pavyzdžiui, „Kai kurie lengvaatlečiai - ne bėgikai". Daliniai neigiamieji teiginiai žymimi raide o (žodžio nego antroji balsė). Vieniniai teigiamieji teiginiai prilyginami bendriems teigiamiesiems teiginiams ir žymimi raide a. Toks prilyginimas galimas todėl, kad tiek vieniniuose teigiamuosiuose, tiek bendruose teigiamuosiuose teiginiuose predikatas priskiriamas visiems klasės objektams. Vieniniuose teiginiuose tą klasę sudaro tik vienas objektas, bendruose didesnis objektų skaičius. Atitinkamai vieniniai neigiamieji teiginiai prilyginami bendriems neigiamiesiems teiginiams. Taigi, skirstant teiginius pagal kiekybę ir kokybę, gaunamos 4 teiginių rūšys:
bendri teigiamieji: Visi S yra P (a); bendri neigiamieji: Nė vienas S nėra P (e); daliniai teigiamieji: Kai kurie S yra P (/); daliniai neigiamieji: Kai kurie S nėra P (o);
Pratimas Nustatykite teiginio rūšį: 1. Šiltųjų kraštų augalai neauga taigoje. 2. Keliolika mūsų grupės studentų vasarą praleido Norvegijoje.
2. Terminų suskirstymas teiginiuose Subjektas ir predikatas vadinami teiginio terminais. Terminų suskirstymas teiginiuose yra žinojimas, koks yra subjekto ir predikato santykis teiginiuose apimties požiūriu. Išanalizavus teiginio struktūrą, nustatoma, kokiu mastu subjekto apimtis įskiriama j predikato apimtį ir predikato apimtis įskiriama į subjekto apimtį. Terminas vadinamas suskirstytu, jei jo apimtis visiškai įskiriama į kito termino apimtį arba visiškai iš jos išskiriama. Terminas vadinamas nesuskirstytu, jei jo apimtis tik iš dalies įskiriama į kito termino apimtį arba išskiriama iš jos. Bendruose teigiamuosiuose teiginiuose subjektas suskirstytas, o predikatas nesuskirstytas. Tarp subjekto ir predikato čia yra subordinacijos santykis. Kai sakoma „Žemuogės yra saldžios", tai klasė „žemuogės" visiškai įskiriama į klasę „saldūs objektai". Tačiau P apimtis tik iš dalies įskiriama į S apimtį: be žemuogių, yra daug kitų saldžių uogų, vaisių ir pan. Bendruose neigiamuosiuose teiginiuose subjektas ir predikatas abu suskirstyti. Tarp S ir P čia yra nuošalės santykis: nė vienas klasės S elementas neįskiriamas į klasę P, ir priešingai. Daliniuose teigiamuosiuose teiginiuose subjektas ir predikatas
abu nesuskirstyti. Dalis klasės S elementų įskiriama į klasę P, ir dalis klasės P elementų įskiriama į klasę S. Daliniuose neigiamuosiuose teiginiuose subjektas nesuskirstytas, o predikatas suskirstytas. Dalis klasės S elementų išskiriama iš klasės P, ir nė vienas klasės P elementas neįskiriamas į klasę S. Reziumuosime terminų suskirstymo taisykles: subjektas suskirstytas bendruosiuose teiginiuose (a, e); subjektas nesuskirstytas daliniuose teiginiuose (/, o); predikatas suskirstytas neigiamuosiuose teiginiuose (e, o); predikatas nesuskirstytas teigiamuosiuose teiginiuose (a, i);
Pratimas Nustatykite terminų suskirstymą teiginiuose, pateiktuose 1 skirsnio pratime.
3. Loginis kvadratas Loginis kvadratas yra priemonė, nustatanti santykius tarp teiginių a, e, /, o teisingumo požiūriu. Loginis kvadratas vaizduojamas šia schema: Priešingieji Visi S yra P i"
Nė vienas S nėra P (e)
(U
oD C
O J2 D СЛ
Kai kurie S nėra P (o)
Kai kurie S yra P (i) Popriešingieji
20 brėž.
Prieštaravimo santykis. Šis santykis yra tarp teiginių a ir o, e ir i. Jei vienas iš prieštaraujančių teiginių teisingas, tai antrasis klaidingas, ir, priešingai - jei vienas iš prieštaraujančių teiginių klaidingas, tai antrasis teisingas. Jei a teisingas, tai o klaidingas; Jei a klaidingas, tai o teisingas ir 1.1.
Pavyzdžiui, dalinis teigiamasis teiginys „Kai kurie žodžiai - vienskiemeniai" teisingas, jam prieštaraujantis bendras neigiamasis teiginys „Nė vienas žodis nėra vienskiemenis" klaidingas. Priešingumo santykis. Šis santykis yra tarp teiginių a ir e. Priešingi teiginiai negali būti kartu teisingi; jei vienas iš priešingų teiginių teisingas, tai antrasis klaidingas. Bet jei vienas iš priešingų teiginių klaidingas, tai antrasis neapibrėžtas (jis gali būti teisingas arba klaidingas priklausomai nuo objektų, kurie tame teiginyje mąstomi). Jei a teisingas, tai e klaidingas; Jei a klaidingas, tai e neapibrėžtas.
Jei teiginys „Visi moksleiviai išsprendė uždavinį" klaidingas, tai teiginys „Nė vienas moksleivis neišsprendė uždavinio" neapibrėžtas, nes neaišku, ar jie visi neišsprendė, ar tik kai kurie. Subordinacijos santykis. Subordinacijos santykis yra tarp teiginių a ir /', e ir o. Jei subordinuojantieji teiginiai a ir e teisingi, tai subordinuotieji teiginiai i ir o taip pat teisingi. Jei savybę turi (neturi) visi tam tikros klasės objektai, tai ją turi (neturi) ir kai kurie tos klasės objektai. Jei subordinuojantieji teiginiai a ir e klaidingi, tai subordinuotieji teiginiai / ir o neapibrėžti. Kartais jie būna teisingi, o kartais būna klaidingi - tai priklauso nuo objektų, kurie tuose teiginiuose mąstomi. Teiginys „Visi banginiai - žuvys" (a) klaidingas, teiginys „Kai kurie banginiai - žuvys" (i) taip pat klaidingas. Teiginys „Visi grybai nuodingi" (a) klaidingas, teiginys „Kai kurie grybai nuodingi" (i) teisingas.
Jei subordinuotieji teiginiai i ir o teisingi, tai subordinuojantieji teiginiai a ir e neapibrėžti. Žinant, kad savybę turi (neturi) kai kurie klasės objektai, lieka neaišku, ar tą savybę turi (neturi) visi tos klasės objektai. Jei teiginiai / ir o klaidingi, tai teiginiai a ir e taip pat klaidingi. Popriešingumo santykis. Popriešingumo santykis yra tarp teiginių / ir o. Jei vienas iš šių teiginių teisingas, tai antrasis neapibrėžtas. Tai įrodoma remiantis prieštaravimo ir subordinacijos santykiais. Jei i teisingas, tai jam prieštaraujantis e klaidingas; jei e klaidingas, tai o neapibrėžtas. Vadinasi, jei i teisingas, tai o neapibrėžtas. Jei vienas iš teiginių i ir o klaidingas, tai antrasis teisingas. Tai taip pat įrodoma remiantis prieštaravimo ir subordinacijos santykiais. Jei / klaidingas, tai jam prieštaraujantis e teisingas; jei e teisingas, tai subordinuotas o taip pat teisingas. Vadinasi, jei / klaidingas, tai o teisingas. Panašiai įrodoma, kad jei o klaidingas, tai i teisingas. Pratimas Jei teiginys a teisingas, tai kokie bus teiginiai e, o, /? 4. Silogistika. Silogizmo struktūra Silogistika - pagrindinė senosios logikos teorija, nustatanti priemones išvadoms iš prielaidų gauti. Kaip ir bet kurį samprotavimą, silogizmą sudaro trys dalys: prielaidos, išvada ir logikos taisyklė, įgalinanti iš tam tikrų prielaidų daryti tam tikrą išvadą. Silogizmo prielaidos ir išvada yra a, e, /', o tipo teiginiai. Silogizmo prielaidos vadinamos premisomis. Silogizmą sudaro dvi premisos ir viena išvada, pavyzdžiui: Kiekvienas nusikaltimas yra įstatymų pažeidimas. Apiplėšimas - nusikaltimas. Vadinasi, apiplėšimas yra įstatymų pažeidimas.
Sąvokos, sudarančios silogizmo premisas, vadinamos silogizmo terminais. Kiekviename silogizme yra trys terminai. Terminas, einantis išvados subjektu, vadinamas mažuoju terminu ir žymimas raide S. Terminas, einantis išvados predikatu, vadinamas didžiuoju terminu ir žymimas raide P. Mažasis ir didysis terminai vadinami kraštiniais terminais. Terminas, esąs abiejose premisose ir nesąs išvadoje, vadinamas viduriniuoju terminu ir žymimas raide M. Pateiktame pavyzdyje sąvoka „apiplėšimas" yra išvados subjektas, todėl ji - mažasis terminas (S). Sąvoka „įstatymų pažeidimas" yra išvados predikatas, todėl ji - didysis terminas (P). Sąvoka „nusikaltimas" pasikartoja premisose ir jos nėra išvadoje, todėl ji - vidurinysis terminas (M). Vidurinysis terminas susieja mažąjį ir didįjį terminus premisose. Atlikęs šį vaidmenį, vidurinysis terminas išvadoje išnyksta. Silogizmasyra dedukcinis samprotavimas, kuriame nustatomas ryšys tarp kraštinių terminų išvadoje, remiantis jų santykiu su viduriniu terminu premisose. (Syllogismos graikų k. - samprotavimas.) Premisa, kurios sudėtyje yra didysis terminas, vadinama didžiąja premisa. Premisa, kurios sudėtyje yra mažasis terminas, vadinama mažąja premisa. Silogizme didžioji premisa gali sekti po mažosios, tačiau didžioji premisa paprastai būna pirmoje vietoje. Tegul turime premisas: Kai kurios gėlės nekvepia. Visos gėlės - augalai.
Darant išvadą, pirmiausia reikia nustatyti vidurinįjį terminą. Žinome, kad vidurinysis - tai terminas, kuris pasikartoja abiejose premisose. Tai sąvoka „gėlės". Vadinasi, išvadoje šios sąvokos jau nebus. Išvadą sudarys sąvokos „augalai" ir „nekvepia", taip pat žodžiai, nurodantys sprendinio kiekybę ir kokybę. Gauname išvadą „Kai kurie augalai nekvepia". Užrašysime šį silogizmą: Kai kurios gėlės (M) nekvepia (P). Visos gėlės (M) - augalai (S). Vadinasi, kai kurie augalai (S) nekvepia (P).
Kyla klausimas, kodėl iš pateiktų premisų padarėme kaip tik šią, o ne kitą išvadą, kodėl, pavyzdžiui, nepadarėme išvados „Kai kurie augalai kvepia"? Į šį klausimą atsakoma taip. Kaip ir kiekviename samprotavime, silogizme iš tam tikrų premisų išvedama ne bet kokia, o tik tam tikra išvada. Tą išvadą įgalina padaryti silogizmo taisyklės.
^tb
Pratimas
Nustatykite silogizmo terminus ir padarykite išvadą: Visi mokytojai - auklėtojai. Jonaitytė - mokytoja. Vadinasi,...
5. Silogizmo taisyklės Silogizmo taisyklės skirstomos į terminų taisykles ir premisų taisykles.
Terminų
taisyklės
1. Kiekviename silogizme turi būti tik trys terminai - mažasis, didysis ir vidurinysis. Turint tik du terminus, išvados negalima gauti, nes nėra trečio termino, kuris tuos du terminus susietų. Negalima gauti išvados turint daugiau negu tris terminus. Terminų suketverinimas yra klaida, atsirandanti tada, kai vidurinysis terminas vienoje premisoje vartojamas viena reikšme, o antroje premisoje - kita reikšme. Premisose Kelmai raunami mašinomis. Šis jaunuolis - kelmas yra keturi terminai, nes žodis „kelmas" pavartotas dviem skirtingomis reikšmėmis. Todėl iš šių premisų kokia nors išvada neseka.
2. Vidurinysis terminas turi buti suskirstytas bent vienoje premisoje. Iš premisų Profesoriai moka kelias užsienio kalbas. Kai kurie studentai moka kelias užsienio kalbas
neseka jokia išvada. Vidurinysis terminas „moka kelias užsienio kalbas" yra abiejų premisų predikatas, o predikatas teigiamuosiuose teiginiuose nesuskirstytas. 3. Terminas, nesuskirstytas premisoje, negali būti suskirstytas išvadoje. Silogizme Visi studentai (M) laiko egzaminus (P). Petraitis (S) - ne studentas (M). Vadinasi, Petraitis (S) nelaiko egzaminų (P)
išvada neseka iš pateiktų premisų. Silogizmas netaisyklingai sudarytas todėl, kad terminas „laikyti egzaminus" premisoje nesuskirstytas (kaip teigiamojo teiginio predikatas), o išvadoje šis terminas jau suskirstytas (kaip neigiamojo teiginio predikatas). Kad išvada neseka iš pateiktų prielaidų, galima įrodyti skritulinėmis schemomis. Klasė „studentai" (M) įskiriama į klasę „laikantieji egzaminus" (P). Petraitis (S) neįskiriamas į klasę „studentai" (M). Tačiau iš to dar neaišku, ar Petraitis (S) įskiriamas į klasę „laikantieji egzaminus" (P), ar neįskiriamas. Galimi du atvejai:
Premisų
taisyklės
1. Iš dviejų dalinių premisų negalima daryti jokios išvados. Jei iš dalinių premisų Kai kurie ežerai - žuvingi. Kai kurie ežerai - užpelkėję
padarytume išvadą, kad „Kai kurie užpelkėję ežerai žuvingi", tai tokia išvada būtų klaidinga ir prieštarautų tikrovei. 2. Jei viena premisa dalinė, tai ir išvada dalinė. Visi angliavandeniliai yra organiniai junginiai. Kai kurie angliavandeniliai - dujos. Vadinasi, kai kurios dujos yra organiniai junginiai.
Kai viena iš premisų dalinė, tai vidurinysis terminas apima tik dalį kurio nors kraštinio termino, o todėl ir išvada dalinė. 3. Iš dviejų neigiamų premisų negalima daryti jokios išvados. Iš premisų Dialektologija nėra gamtos mokslas. Statistika - ne dialektologija
neseka jokia išvada. Silogizme vidurinysis terminas turi susieti kraštinius terminus, tačiau jei abi premisos neigiamos, tai vidurinysis terminas ne susieja, o išskiria kraštinius terminus. 4. Jei viena premisų neigiama, tai ir išvada neigiama. Pavyzdys: Nė viena mokslinė teorija (P) neturi būti grindžiama nepatikrinamomis prielaidomis (M). Kai kurios pažiūros (S) grindžiamos nepatikrinamomis prielaidomis (M). Vadinasi, kai kurios pažiūros (S) nėra mokslinės (P).
Kai viena premisa neigiama, tai vidurinis terminas premisose visiškai arba iš dalies atskiriamas nuo kurio nors kraštinio termi-
no. Dėl to išvadoje kraštiniai terminai visiškai arba iš dalies išskiriami. 5. Jei abi premisos teigiamos, tai negalima daryti neigiamos išvados. Teigiamose premisose vidurinysis terminas įskiria vieną kraštinį terminą į kitą. Iš teigiamų premisų darant neigiamą išvadą, vidurinysis terminas išvadoje jau išskirtų kraštinius terminus. Pratimas Kodėl neseka išvada: Kai kurie nusikaltimai lieka neišaiškinti. Kai kurios logikos problemos - neišaiškintos. Vadinasi, ...
6. Silogizmo figūros Silogizmo figūromis vadinamos silogizmo formos, skiriamos pagal viduriniojo termino padėtį premisose. Yra keturios silogizmo figūros. Pirmojoje figūroje vidurinysis terminas yra didžiosios premisos subjektas ir mažosios premisos predikatas. Antrojoje figūroje vidurinysis terminas yra abiejų premisų predikatas. Trečiojoje figūroje vidurinysis terminas yra abiejų premisų subjektas. Ketvirtojoje figūroje vidurinysis terminas yra didžiosios premisos predikatas ir mažosios premisos subjektas. Viduriniojo termino išsidėstymas silogizmo figūrose vaizduojamas šiomis schemomis: I figūra
Il f i g ū r a
M M
Ml-
22 brėž.
III f i g ū r a
P S
IV f i g ū r a
Šiose schemose viršutinė horizontali linija vaizduoja didžiąją premisą, apatinė linija - mažąją premisą. Vidurinysis terminas premisose sujungtas pasvira arba statmena linija. Išvada schemose nepavaizduota, nes ji visose figūrose vienoda: S—P. Nustatysime silogizmo figūrą: Draugas (P) nepaliks nelaimėje (M). Jis (S) mane paliko nelaimėje (M). Vadinasi, jis (S) man ne draugas (P).
Šiame silogizme vidurinysis terminas yra abiejų premisų predikatas, tad silogizmas sudarytas pagal antrąją figūrą.
0Ώ
Pratimas
Nustatykite silogizmo figūrą: Pingvinai neskraido. Pingvinai yra paukščiai. Vadinasi, kai kurie paukščiai neskraido.
7. Silogizmo figūrų modai Silogizmo figūrų modai - tai silogizmo figūrų atvejai, besiskiriantys premisų ir išvados ryšio kiekybe ir kokybe. Žinome, kad silogizmo premisas sudaro keturių rūšių teiginiai: bendri teigiamieji (a), bendri neigiamieji (e), daliniai teigiamieji (i) ir daliniai neigiamieji (o). Priklausomai nuo to, kurie iš šių keturių teiginių sudaro premisas, skiriami silogizmo modai. Pavyzdžiui, gali būti taip, kad premisos ir išvada yra bendri teigiamieji teiginiai. Tada turime modą a a a. Pirmoji raidė žymi didžiąją premisą, antroji raidė - mažąją ir trečioji raidė - išvadą. Silogizmą sudaro trys teiginiai - dvi premisos ir išvada. Vadinasi, 3 4 = 64, t. y. galima gauti 64 teiginių a, e, i, o kombinacijas:
ааа а eа а iа аоа e аа
ааe аee аie аоe eаe
а аι аei аii аоi eаi
аао аeо аiо аоо eао
ir 1.1. Tačiau ne visi iš 64 teoriškai galimų modų yra logiškai teisėti, ne visi pateikia teisingas išvadas. Daug modų neatitinka silogizmo taisyklių. Pavyzdžiui, modas a a e netaisyklingas, nes abi jo premisos - bendri teigiamieji teiginiai, o išvada - bendras neigiamasis teiginys. Tuo tarpu silogizmo taisyklė teigia, kad iš teigiamų premisų negalima daryti neigiamos išvados. Modas a e a taip pat netaisyklingas, prieštarauja silogizmo taisyklei, teigiančiai, kad jei viena premisa neigiama, tai ir išvada neigiama. Galiausiai pasirodo, kad iš 64 teoriškai galimų modų 45 neatitinka silogizmo taisyklių. Lieka 19 taisyklingų modų, t. y. tokių, kurių išvada teisinga. Šie 19 taisyklingų modų pasiskirsto keturiose silogizmo figūrose. Norint nustatyti, kurie modai priklauso kuriai figūrai, reikia žinoti specialias kiekvienos figūros taisykles. Pirmosios figūros taisyklės: 1. Didžioji premisa bendra (bendras teigiamasis arba bendras neigiamasis teiginys). 2. Mažoji premisa teigiama (bendras arba dalinis teiginys, bet visuomet teigiamasis). Taikant šias taisykles 19 taisyklingų modų, nustatoma, kad pirmajai figūrai priklauso šie modai: aaa
ea e
аii
e i o.
Imkime silogizmą: Visi dvireikšmės logikos teiginiai (M) yra teisingi arba klaidingi (P). Ši išraiška (S) - dvireikšmės logikos teiginys (M). Vadinasi, ši išraiška (S) yra teisinga arba klaidinga (P).
Šis silogizmas sudarytas pagal pirmąją figūrą, nes vidurinis terminas yra didžiosios premisos subjektas ir mažosios premisos predikatas. Didžioji premisa - bendras teigiamasis teiginys (a), mažoji premisa - vieninis teigiamasis teiginys, tačiau žinome, kad vieniniai teiginiai prilyginami bendriesiems. Vadinasi, mažoji premisa yra a tipo teiginys. Išvada taip pat a tipo teiginys. Taigi pateiktojo silogizmo modas yra a a a. Antrosios figūros taisyklės: 1. Didžioji premisa bendra. 2. Viena iš premisų neigiama. Pagal šias taisykles nustatoma, kad antrajai figūrai priklauso šie modai: eаe
аee
eiо
а o o.
Panagrinėkime silogizmą: Visi nusikaltimai (P) yra visuomenei pavojinga veika (M). Ši veika (S) nėra visuomenei pavojinga (M). Vadinasi, ši veika (S) nėra nusikaltimas (P).
Šis silogizmas sudarytas pagal antrąją figūrą. Didžioji premisa bendras teigiamasis teiginys, mažoji - bendras neigiamasis teiginys, išvada - taip pat bendras neigiamasis teiginys. Taigi pateiktojo silogizmo modas yra a e e. Kadangi antrosios figūros išvada visuomet neigiama, tai, samprotaujant pagal antrąją figūrą, nustatoma, kad objektas neturi kokios nors savybės. Trečiosiosfigūrostaisyklės: 1. Mažoji premisa teigiama. 2. Išvada - dalinis teiginys. Pagal šias taisykles nustatoma, kad trečiajai figūrai priklauso šie modai: ааi
iаi
аii
eао
оаo
e i o.
Silogizmas Visos Saulės sistemos planetos (M) skrieja apie Saulę (P). Visos Saulės sistemos planetos (M) - dangaus kūnai (S). Vadinasi, kai kurie dangaus kūnai (S) skrieja apie Saulę (P)
sudarytas pagal trečiąją figūrą, jo modas a a i. Ketvirtosiosfigūrostaisyklės: 1. Jei didžioji premisa teigiama, tai mažoji premisa bendra. 2. Jei viena iš premisų neigiama, tai didžioji premisa bendra. Ketvirtosios figūros modai šie: ааi
аee
iаi
eаo
e i o.
Ketvirtoji figūra yra kiek dirbtinio pobūdžio. Tai rodo šis silogizmas: Kai kurie studentai (P) laiką leidžia veltui (M). Visi, leidžiantieji laiką veltui (M), yra nerūpestingi žmonės (S). Vadinasi, kai kurie nerūpestingi žmonės (S) yra studentai (P).
Šio silogizmo modas / a /. Nesunku pastebėti, kad stipresnė būtų išvada „Kai kurie studentai yra nerūpestingi žmonės". Tokią išvadą galima gauti sukeitus silogizmo premisas vietomis. Pasirodo, kad sukeitus silogizmo premisas vietomis, ketvirtoji figūra talpinama j pirmąją. Viduramžių scholastai, norėdami modus lengviau įsiminti, kiekvienam modui sukūrė pavadinimą. Pavyzdžiui, pirmosios figūros modą e a e pavadino Celarent, modą a a a pavadino Barbara ir 1.1. Šių pavadinimų negalima išversti į kurią nors kalbą, jie - dirbtinės konstrukcijos. Balsės juose žymi teiginius. Mode Barbara yra trys balsės a, vadinasi, čia modas a a a; iš modo Celarent balsių nustatoma, kad tai modas e a e. Šiuose pavadinimuose turi reikšmę ir priebalsiai. Viršutinėje eilutėje pateiksime silogizmo modus, o apatinėje scholastų sukurtus jų pavadinimus.
a aa
ea e
a 11
eιo
Bįrbara
Celarėnt
Dark
Ferio
eae
aee
eio
aoo
Cėsare aai
Camestrės iai
Festino
aii
eao
Baroco oao
Djrapti
Disamks
Datksi
Feljpton
Bocardo
aai
aee
iai
eao
e io
Brjmantip
Camenės
Dimarks
Fesjpo
Freskson
eio Ferison
Pratimas Sudarykite silogizmą, nustatykite jo figūrą ir modą.
8. Aksiominis silogistikos išdėstymas Silogistikos kūrėjas Aristotelis ją išdėstė savitai aksiomiškai. Aksiomomis laikė pirmos figūros visus keturis modus. Si figūra esanti tobuliausia, teikia visų keturių rūšių išvadas: a, e, /, o. Aristotelis nustatė procedūrą, kaip likusių trijų figūrų modus redukuoti į I figūros modus - nustatė taisykles, įgalinančias II, III ir IV figūros modams suteikti I figūros modų pavidalą. Šias taisykles viduramžių logikai modų pavadinimuose žymėjo priebalsiais. 1. Didžioji raidė žymi, į kurį I figūros modą redukuojama. Pavyzdžiui, B a r o c o redukuojamas į B a r b a r a , C e s a r e - į C e l a r e n t, D a t i s i - į D a r i i, F e s t i n o - į F e r i o ir 1.1. Visi silogizmo modų pavadinimai prasideda raidėmis B, C, D, F. 2. Raidė s žymi paprastą sukeitimą (conversio simplex - žodžio simplex pirmoji raidė). Šis sukeitimas - tai silogizmo terminų perstatymas, pavyzdžiui: Nė vienas M nėra P - Nė vienas P nėra M. Kai kurie M nėra P - Kai kurie P nėra M.
Po balsės esanti raidė s rodo, kad balse žymimo teiginio terminus reikia perstatyti. Imkime II figūros modą C e s a r e: Nė vienas P nėra M.
p
,M
s
'/и
Visi S yra M. Nė vienas S nėra P.
Didžiojoje premisoje P ir M sukeitę vietomis, gauname I figūros modą C e l a r e n t : Nė vienas M nėra P. Visi S yra M. Nė vienas S nėra P.
3. Raidė p žymi dalinį sukeitimą (conversio particularism ji - žodžio particularis pirmoji raidė). Dalinis sukeitimas yra premisos terminų perstatymas apribojant termino kiekybę: Visi P yra M - Kai kurie M yra P. Visi S yra M - Kai kurie M yra S.
Po balsės esanti raidė p rodo, kad balse žymimo teiginio terminus reikia sukeisti vietomis apribojant termino kiekybę. Imkime III figūros modą F e 1 a p t o n: Nė vienas M nėra P.
м
Visi M yra S. Kai kurie S nėra P.
.. M
Mažojoje premisoje atlikę dalinį sukeitimą, gauname I figūros modą F e r i o: Nė vienas M nėra P. Kai kurie S yra M. Kai kurie S nėra P.
4. Tarp balsių esanti raidė m žymi premisų perstatymą (metathesis praemissarum, ji - pirmoji žodžio metathesis raidė). Ji rodo, kad mažąją premisą reikia talpinti vietoj didžiosios premisos ir didžiąją vietoj mažosios. Imkime IV figūros modą D i m a r i s: Kai kurie Pyra M. Visi M yra S. Kai kurie S yra P.
Premisas perstačius, gaunamas I figūros modas D a r i i: Visi M yra S. Kai kurie Pyra M. Kai kurie Syra P.
5. Po balsės esanti raidė c žymi redukciją prieštaros būdu (reductio ad contradictionem, ji - žodžio contradictio pirmoji raidė). Raidė c žymi, kad reikia prieštarauti gautai išvadai ir sudarytą prieštaravimą talpinti vietoj premisos. Imkime III figūros modą B o c a r d o: Kai kurie M nėra P. Visi M yra S. Kai kurie S nėra P.
M
м
Tarkime, kad išvada „Kai kurie S nėra P' klaidinga, o teisinga yra „Visi S yra P". Šį teiginį padarykime ankstesnio silogizmo didžiąja premisa (nes c stovi po o). Gauname: Visi S yra P. Visi M yra S. Visi M yra P.
Gavome I figūros modą B a r b a r a , kuriame S - vidurinysis terminas. Tačiau išvada „Visi M yra P' prieštarauja anksčiau pripa-
žintai teisingai premisai „Kai kurie M nėra P'. Tad „Visi M yra P ' klaidinga. Vadinasi, modas B o c a r d o taisyklingas, teikia teisingą išvadą.
Pratimas Suteikite modo F e r i o pavidalą I I figūros modui F e s t i n o.
9. Sutrumpinti ir sudėtiniai silogizmai Sutrumpintas silogizmas vadinamas entimema (en tymo graikų k. sąmonėje). Entimema yra silogizmas, kuriame neišsakoma kuri nors premisa arba išvada. Laikoma, kad neišsakytoji silogizmo dalis numanoma. Entimemoje Visi studentai laiko egzaminus, taigi mes laikome egzaminus
neišsakyta numanoma mažoji premisa „Mes - studentai". Entimemoje Mes studentai, taigi mes laikome egzaminus
neišsakyta didžioji premisa. Sudėtinis silogizmas vadinamas polisilogizmu. Polisilogizmas yra sudėtinis silogizmas, kuriame vieno silogizmo išvada daroma kito silogizmo premisa. Pateikiamame polisilogizme vieno silogizmo išvada daroma kito silogizmo didžiąja premisa: Organizmai maitinasi.
B-A
Gyvūnai - organizmai.
C-B
Gyvūnai maitinasi.
C-A
Gyvūnai maitinasi. Stuburiniai - gyvūnai.
C-A D-C
Stuburiniai maitinasi.
D-A
Stuburiniai maitinasi.
D-A
Liūtai - stuburiniai. Liūtai maitinasi.
E-D E -A
O šiame polisilogizme vieno silogizmo išvada daroma kito silogizmo mažąja premisa: Stuburiniai - gyvūnai. Liūtai - stuburiniai. Liūtai - gyvūnai.
A-B C-A C-B
Gyvūnai - organizmai. Liūtai - gyvūnai. Liūtai - organizmai.
B-D C-B C-D
Organizmai žūsta. Liūtai - organizmai. Liūtai žūsta.
D-E C-D C-E
Sontas (soros graikų k. - krūva) yra sutrumpintas silogizmas, kuriame praleidžiama kiekvieno silogizmo didžioji arba mažoji premisa ir tarpinės išvados, pateikiant tik paskutinę išvadą. Kvadratai yra stačiakampiai. Stačiakampiai yra lygiagretainiai. Lygiagretainiai yra geometrinės figūros. Geometrinės figūros braižomos. Kvadratai braižomi.
A-B B-C C-D D-E A-E
Epicheirema (epicheireo graikų k. - daryti išvadą) yra sudėtinis silogizmas, kurio prielaidos entimemos. Epicheiremos išraiška:
A yra B, nes A yra С [С yra В]. D yra A, nes D yra E [E yra А]. D yra B. Melas yra smerktinas, nes melas sukelia nepasitikėjimą visuomenėje [kas sukelia nepasitikėjimą visuomenėje, smerktina]. Veidmainystė yra melas, nes veidmainystė yra sąmoningas tiesos iškreipimas [sąmoningas tiesos iškreipimas yra melas]. Veidmainystė smerktina.
Pratimas Iš pateiktų silogizmų sudarykite soritą.
10. Silogistika šiuolaikinės logikos požiūriu Šiuolaikinės formaliosios logikos požiūriu silogistika yra gana ribota samprotavimų teorija. Silogistinės schemos aprašo nedidelę samprotavimų dalį, be to, netobula pati aprašymo technika. Šiuolaikinė formalioji logika neturi panašių trūkumų. Silogistiką šiuolaikinės logikos požiūriu galima aiškinti dvejopai klasių teorijos požiūriu ir savybių teorijos požiūriu.
Silogistika klasių teorijos
požiūriu
Klasių teorijos požiūriu silogistika faktiškai buvo aiškinama ir anksčiau. Terminais S1 P, M buvo žymimos klasės ir nustatomi santykiai tarp jų - viena klasė įskiriama (visiškai ar iš dalies) į kitą klasę arba iš jos išskiriama (pilnai arba dalinai). Kiekvieną silogizmą galima pavaizduoti grafiškai - skritulinėmis schemomis, vartojamomis klasių teorijoje. Taip pat silogizmus galima išreikšti klasių teorijos formulėmis. Silogizme
Visi M yra P. Visi S yra M. Vadinasi, visi S yra P.
žod[yra pakeitus klasių teorijos simboliu c , žyminčiu vienos klasės įskyrimą j kitą klasę, premisas sujungus konjunkcija, o išvadą prie premisų prijungus implikacija, gauname klasių teorijos išraišką [(/WcP) · (ScM)H(ScP). Skaitome: jei klasė M įskiriama į klasę P ir klasė S įskiriama į klasę M, tai klasė S įskiriama į klasę P. Silogistiką reikia suprasti kaip bandymą nustatyti kai kuriuos klasių teorijos dėsningumus. Skritulinėmis schemomis silogizmo terminų kaip klasių santykiai vaizduojami taip: III figūros modas D i s a m i s Kai kurie M yra P. Visi M yra S. Kai kurie 5 yra P.
vaizduojamas taip:
23 brėž.
Užbrūkšniuota dalis rodo tuščias klases, neapimamas modu i а i. Šiame mode nekalbama apie tokius, kurie M • S · P, M • S • P.
24 brėž.
Silogistika savybių teorijos
požiuriu
Silogistikoje operuojama teiginiais, kuriuose objektui priskiriama arba nepriskiriama savybė. Šiuolaikinėje savybių teorijoje teiginiai suprantami kitaip. Jie turi ne subjektinę-predikatinę, bet propozicinės funkcijos struktūrą, vartojami kvantoriai. Šiuolaikinė logika savybių teoriją išplėtojo kur kas labiau ir tiksliau, negu tai padarė silogistika. Silogistika laikoma nedideliu savybių teorijos fragmentu. Be to, antroji predikatų logikos dalis yra santykių teorija. Senoji logika, priskirdama visiems teiginiams subjektinę-predikatinę struktūrą, santykių netyrė. Silogistiką aiškinant savybių teorijos požiūriu, teiginiai a, e, i, o pakeičiami savybių teorijos išraiškomis. Visi S yra P pakeičiama Vx [S (x)—>P(x)]. Nė vienas S nėra P pakeičiama Vx [S (x)—>P(x)]. Kai kurie S yra P pakeičiama Bx [S (x) · P(x)]. Kai kurie S nėra P pakeičiama Эх [S (χ) · P(x)].
Silogizmas Visi M yra P. Visi M yra S. Vadinasi, kai kurie S yra P
savybių teorijos terminais reiškiamas taip: { V x [M (x)^P(x)]
V x [M (xH5(x)]}—>Ξχ [S (χ) · P(x)].
Skaitome: kiekvienas x, jei χ turi savybę M1 tai χ turi savybę P, ir kiekvienas x, jei χ turi savybę M, tai χ turi savybę S. Iš čia seka, kad yra tokie x, kurie turi savybę S ir savybę P.
Modernus aksiominis silogistikos išdėstymas Aksiominiu metodu moderniai silogistiką išdėstė J. Lukasiewiczius. Jo išdėstyme vartojama ši simbolika: - silogizmus sudarantys bendri teigiamieji, bendri neigiamieji, daliniai teigiamieji, daliniai neigiamieji teiginiai žymimi A1 E, I, O; - kraštinis terminas S žymimas a, vidurinis terminas M žymimas b, kraštinis terminas P žymimas c (taip žymima patogumo sumetimais). Aab skaitoma: visi a yra b; Eab: nė vienas a nėra b; lab: kai kurie a yra b; Oab: kai kurie a nėra b.
Nustatomos šios aksiomos:
A1 : A2:
Aaa. Iaa.
A3 : (Abc •
Aab)^>Aac.
A 4 : CAbc • lba)—>lac.
Tad A 3 yra modas AAA (B a r b a r a), A 4 yra modas All (D a t i s i). Nustatomos šios modų išvedimo iš aksiomų taisyklės: 1. Pakeitimo taisyklė. 2. Išvados taisyklė: jei p teisingas ir iš p seka q, tai q teisingas. Pagalbinė teorija - teiginių logika. Nustatomos trys teiginių skaičiavimo aksiomos:
A 5 : (p—>[(q—»r)—»(p—»r)]. A6 : (p-^p)^p. A7 : p— Apžvelgsime I figūros modo All išvedimą, t. y. išraiškos (Abc • •
lab)^>lac.
Pasinaudojame anksčiau išvesta teiginių logikos išraiška [(p · q)—>r]—>{(s—>[(p · s)-»r]}. Išraiškos kintamieji pakeičiami (ženklas /) taip, kad implikacijos antecedentas (p · qr)—>r įgautų ketvirtos aksiomos pavidalą. p / Abc; q / /Ьа; л / /ас. Gauname [(/Abc · /ba)-»/ac]->{(s-»/ba)-»[(Abc · s)->/ac]}. (Abe · /ba)^/ac teisinga kaip A 4 . Pagal išvados taisyklę teisinga ir (s^lba)-*[(Abc
•
s)->/ac].
Šioje išraiškoje s pakeitus lab, gauname (/ab—>/ba)—>[(/Abc · /ab)-»/ac]. teisingas kaip anksčiau išvestas teiginys (ir šiaip jau suprantamas teiginys: jei kai kurie a yra b, tai kai kurie b yra a). Pagal išvados taisyklę teisinga ir Iab^>lba
(.Abc • /ab)-»/ac. Ši išraiška ir yra modas All ( D a r i i). Apžvelgsime Iab^lba įrodymą. Pasinaudojame iš pagalbinių aksiomų išvestu teiginiu [(p • q)—»r]—»[p—»r)]. Išraiškos kintamuosius keičiame taip, kad antecedentas (p · q)— įgautų ketvirtos aksiomos pavidalą: p / Abcl
q / Iba; r / lac.
Gauname
[(Abe • /Ъа)->/ас]-»[АЪс->(/Ьа->/ас)]. (Abe • lba)-^lac
teisinga kaip A4. Pagal išvados taisyklę teisinga ir
AbcMIba^Iac). Išraiškai Abc suteiksime pirmos aksiomos pavidalą. Tuo tikslu b I a] e I a] a I b. Aaa^>{lab^lba).
Ааа teisinga kaip A r Tad teisinga ir Iab^lba.
Apžvelgsime modo AOO išvedimą iš aksiomų. Pasinaudojame iš pagalbinių aksiomų išvestu teiginiu
[(p · c?)—>r]—>[(p ·
r)-*q].
Išraiškos daliai (p · qr)—>r suteiksime trečios aksiomos pavidalą. Tuo tikslu p / Abe; q / Aab', r / Aae.
Gauname [(Abe
• AabUAae]^[(Abe
{Abe • Aab)—>Aae
ga ir (Abe
•
Aae)^Aab.
b /с) c / b . (.Aeb •
Aab)^Aae.
•
AaeUAab].
teisinga kaip A3. Pagal išvados taisyklę teisin-
A keičiame ekvivalenčių О: (,Acb •
Oab)^Oac.
Tai ir yra modas AOO (B a r o c o).
Pratimas Silogizmą Nė vienas M nėra P. Visi S yra M. Vadinasi, nė vienas S nėra P užrašykite klasių teorijos ir savybių teorijos simboliais.
XV
SKYRIUS
Logikos istorija 1. Logika senovės Rytų šalyse Mokslai atsirado vergovinėje visuomenėje. Jų atsiradimą sąlygojo vergovinės visuomenės gamybos būdas, gyvenimo poreikiai. Žemdirbystės, amatų plėtojimasis, prekyba su kitomis šalimis jūrų keliais, miestų augimas reikalavo turėti teisingų žinių apie pasaulį. Teisingos žinios prieštaravo tuometiniam mitologiniam mąstymo būdui, atsirado mokslai ir filosofija. Nagrinėjant logikos atsiradimą, pažymėtini du laikotarpiai: 1. Mokslo atsiradimo laikotarpis, kai logikos, kaip paskiros mokslo šakos, dar nebuvo. 2. Logikos atsiradimo laikotarpis. Pirmasis laikotarpis - logikos priešistorė. Pirmiau atsirado kiti mokslai, o paskui logika. Žmogus mąstymu tyrė jį supantį išorinį pasaulį. Atėjo laikas, kai žmogus ėmė tirti pačias pasaulio pažinimo priemones. Viena iš jų ir yra samprotavimo būdas - loginis mąstymas. Buvo siekiama turėti kuo tobulesnes pažinimo priemones, kad jos padėtų geriau pažinti pasaulį ir šį pažinimą taikyti visuomenės poreikiams. Logikai atsirasti turėjo reikšmės visuomeninis žmonių gyvenimas. Vykstant politiniams ir teisiniams ginčams, vis daugiau dėmesio pradedama skirti pačiam samprotavimo būdui. Logika atsirado iš praktinių ir teorinių žmogaus veiklos tikslų. Be gamtos mokslų, logikai didelę įtaką darė filosofija. Logika atsirado ir plėtojosi filosofijos prieglobstyje. Logika buvo savarankiškai kuriama trijose šalyse - Kinijoje, Indijoje ir Graikijoje.
Kinijoje logika atsirado VI a. pr. Kr. Politinių ir teisinių ginčų įtakoje imta koreguoti pačią ginčų terminiją, nustatinėti logines vienų teiginių išvedimo iš kitų teiginių priemones. Labiau negu Kinijoje logika plėtojosi senovės Indijoje. Kaip ir kitose šalyse, Indijoje logikos atsiradimą skatino mokslų kūrimasis ir viešosios diskusijos. Didelę įtaką logikai darė indų filosofija. IVV amžiais ima formuotis logikos teorijos, loginės mokyklos. Indų logika savitai sprendė tas pačias problemas, kurios buvo sprendžiamos ir senovės Graikijoje. Teiginių logikos indai nesukūrė, nors kai kuriuos teiginių logikos dėsningumus žinojo: buvo sukurta neigimo teorija, nustatytas dvigubo neigimo dėsnis. Indų logikai kūrė klasių ir predikatų logikos užuomazgas, savitas išvadų gavimo iš prielaidų teorijas. Buvo sukurta penkianario samprotavimo teorija, pagal kurią samprotavimą sudaro šios dalys: tezė, pagrindimas, pavyzdys, pritaikymas, išvada. Tezė: kalne dega. Pagrindimas: nes kalne rūksta. Pavyzdys: visur, kur rūksta, yra ugnis, kaip kad virtuvės židinyje. Pritaikymas: dabar kalne rūksta. Išvada: kalne dega.
Indų logikoje yra loginių santykių užuomazgos, formaliosios implikacijos teorija. Kintamieji dydžiai nebuvo vartojami, reiškėsi tendencija tirti mąstymą daugiau turinio, o ne formos požiūriu. Vis dėlto indų logika buvo aukšto lygio, ir jos pasiekimai verti dėmesio.
2. Antikinė logika
Antikinės logikos
atsiradimas
Mokslai ir filosofija senovės Graikijoje atsirado VI a. pr. Kr. Spartus amatų plėtojimasis, prekyba su kitomis šalimis skatino miestųvalstybių augimą. Atsiskyrus protiniam darbui nuo fizinio, turtingesnieji turėjo daug laisvo laiko, kurio dalį galėjo skirti moksliniams tyrimams. Perėmę kai kuriuos Egipto, Babilonijos, Persijos ir kitų senovės Rytų šalių mokslo pasiekimus, graikai plėtojo mokslus - aritmetiką, geometriją, astronomiją, praktinę mediciną, kūrė filosofiją ir logikos teoriją. Vieni pirmųjų logikos problemas atrado Elėjos mokyklos atstovai. Si mokykla atsirado VI a. pr. Kr. pabaigoje vakarinėse graikų kolonijose - toje Pietinės Italijos dalyje, kuri buvo vadinama Elėja. Žymiausias Elėjos mokyklos atstovas - Zenonas Elėjietis (apie 490-430 m.). Jis plėtojo logines samprotavimų priemones. Sukūrė aporijas, kurios esą neišsprendžiami prieštaravimai. Pagrindinė aporijų mintis buvo ta, kad, įrodant judėjimo ir aibės egzistavimą, susikuria prieštaravimai, o prieštaravimų mąstyme neturi būti. Zenonas Elėjietis savo įrodymus grindė sekos principu, teigiančiu, kad, jei iš p seka klaidingas teiginys, tai pats teiginys p klaidingas. Logiką kaip įrodymo ir diskusijų metodą, atskleidžiant prieštaravimus mąstyme ir juos pašalinant, graikai vadino dialektika. Ją plėtojo Sokratas (469-399 m.), atskleisdamas prieštaravimus oponento samprotavimuose. Iš savo oponentų teiginių Sokratas išvesdavo sekmenis, parodydamas, kad tie sekmenys prieštarauja kitiems teiginiams, t. y. kad oponentai prieštarauja patys sau. Savitas Sokrato metodo bruožas buvo klausinėjimas. Jis nepateikdavo tiesos iš karto, aiškiai suformuluotos, bet vartojo indukcinį samprotavimo būdą: nagrinėdavo pavienius atvejus, paskirus pavyzdžius, o paskui darydavo apibendrinančią išvadą.
Platonas (427-347 m.) taip pat vartojo dar kuklias logines priemones: giminės - rūšies abstrakciją, skirstymo, jungimo operacijas. Tačiau Platonas turėjo aiškią dedukcijos sampratą, kurią perėmė iš pitagorikų, laikomų dedukcijos atradėjais. Vartodamas dedukcinius įrodymo metodus, Platonas rodė, kad mokslas remiasi hipotetinėmis prielaidomis, o iš prielaidų išvedami sekmenys laikomi teisingais, kai pavyksta įrodyti jų atitikimą pradinėms prielaidoms. Dialektika ir esanti mokslas, aiškinantis išvadų gavimo iš prielaidų galimybę. Pradinių prielaidų teisingumas garantuoja iš jų gaunamų išvadų teisingumą taisyklingai mąstant. Panašiai kaip dangaus šviesuliai juda be klaidų, taip ir mąstyme susidaro formos, neleidžiančios suklysti, protas neklystamai regi tiesą - tuo Platonas formulavo mąstymo pagal visuomet teisingą išraišką užuomazgą. Mąstymas pagal tokią išraišką sukuria prote akivaizdumą. Logika net labiau negu matematika atitiko Platono mokslui keliamus reikalavimus. Aflkstyvuoju laikotarpiu ties logikos problematika susitelkė sofistai. Tvirtindami, kad tiesos kriterijaus nėra, tėra manymas ir tikėtinumas, sofistai mokė, kaip palenkti kitus, juos įtikinti ir priversti patikėti. Kadangi ankstyvuoju laikotarpiu normalaus mokslo nebuvo (jį vėliau sukūrė Aristotelis), tai mokslines problemas kėlė aporijų, sofizmų, paradoksų pavidalu. Kai kurie anksčiau sofizmais laikyti samprotavimai šiandien laikomi paradoksais. Pirmąją logikos teoriją sukūrė Aristotelis.
Aristotelio logikos
teorija
Aristotelis (384-322 m.) gimė Trakijoje, Stageiros mieste. Jo tėvas buvo žymus to meto gydytojas. Atvykęs į Atėnus, Aristotelis įstojo į Platono mokyklą - Akademiją - ir joje išbuvo 20 metų. Platonui mirus, Aristotelis pasitraukė iš Akademijos ir, Makedonijos karaliaus Pilypo pakviestas, auklėjo jo sūnų Aleksandrą Makedonietį. Kai Aleksandras tapo valdovu, Aristotelis grįžo į Atėnus ir įsteigė
savo mokyklą - Likėjų. Aleksandrui Makedoniečiui mirus ir imperijai suskilus, prasidėjus antimakedoniniam judėjimui, Aristotelis pasitraukė iš Atėnų į kitą miestą, kur netrukus mirė. Aristotelis parašė daug veikalų iš įvairių mokslo sričių, sukurdamas enciklopedinę žinių sistemą. Veikalus, skirtus logikai, vėlesnieji Aristotelio komentatoriai sujungė ir pavadino „Organonas" („Pažinimo įrankis"). „Organoną" sudaro šie veikalai: „Kategorijos", „Pirmoji analitika", „Antroji analitika" (terminu „analitika" jis vadino logiką), „Topika", „Apie aiškinimą", „Apie sofistinius paneigimus". Be to, logikos problemų yra ir kituose Aristotelio veikaluose, ypač knygoje „Metafizika". Logiką Aristotelis laikė pažinimo priemone, visų mokslų metodu. Jis gerai pagrindė logikos statusą: yra specialūs mąstymo būviai - ne psichiniai, o loginiai būviai. Jie rodo ne mąstymo turinį, bet mąstymo formą. Esama mąstymo struktūrų, kurios taisyklingos ir teikia teisingą išvadą nepriklausomai nuo mąstymo turinio. Tokių struktūrų nustatymas - pagrindinė logikos užduotis. Svarbiausioji Aristotelio logikos dalis yra silogistika. Jos sukūrimas - didelis Aristotelio nuopelnas. Silogistiką sudarė deduktyviai-aksiomiškai. Aristotelis kaip dedukcinio-aksiominio metodo kūrėjas buvo suprastas tik mūsų laikais. Vėlesni Aristotelio sekėjai jo idėjų nesuprato, net patį silogizmą aiškino ne taip kaip Aristotelis. Aristotelis sukūrė modalinės logikos teoriją, nagrinėdamas teiginius, kuriuose yra terminai būtina, galima ir jų neigimai. Modalinę logiką jis aiškino silogistikos pagrindu, nustatė daug modalinių silogizmų, pateikiančių teisingas išvadas. Didelis Aristotelio nuopelnas tas, kad jis ėmė vartoti logikoje kintamuosius dydžius, t. y. vietoj konkrečių žodžių ir teiginių ėmė vartoti raides. „Iš tikrųjų, jei A priskiriamas visiems B, o B priskiriamas visiems C, tai A būtinai priskiriamas visiems C", - rašė Aristotelis. Tad Aristotelis yra formalizacijos metodo logikoje pradininkas. Tik šį metodą taikė ribotai, loginių operacijų simboliais nežymėjo.
Aristotelis suformulavo prieštaravimo ir negalimo trečiojo dėsnius, nustatė, kad iš teisingų prielaidų neseka klaidinga išvada. Nors jis tyrė neigimą, žinojo konjunkciją, disjunkciją, implikaciją, tačiau šias logines jungtis tyrė nepakankamai, teiginių logikos nesukūrė. Pagrindinė to priežastis buvo visų teiginių aiškinimas subjektinėspredikatinės struktūros požiūriu. Visus samprotavimus Aristotelis talpino j silogistiką, kuri vis dėlto buvo ribota pažinimo priemonė. Nepaisant trūkumų, Aristotelio sukurta logikos teorija - grandiozinis dalykas tiems laikams. Aristotelis sukūrė ištisą formaliosios logikos sistemą - logikos istorijoje ligi tol nieko panašaus nėra buvę. Aristotelio logikos įtaką vėlesniems laikams sunku pervertinti - jis buvo laikomas didžiausiu autoritetu antikoje ir viduramžiais.
Megariečių-stoikų
mokykla
Megaros mokykla atsirado elėjiečių ir Sokrato pažiūrų įtakoje. Ją įkūrė kilęs iš Megaros miesto Euklidas Megarietis (apie 430-360 m.). Kiti žymesni Megaros mokyklos atstovai buvo Eubulidas ir Filonas Megarietis (IV a. pr. Kr.). Megaros mokykla gyvavo palyginti neilgai - iki III a. pr. Kr. pabaigos. Tuo metu klestėjo kita filosofinė mokykla - stoikai, kurie logikoje plėtojo panašias idėjas kaip ir megariečiai. Stoikų mokyklą įkūrė Zenonas Stoikas (apie 336-264 m.). Jis gimė Kipro saloje pirklio šeimoje. Atvykęs į Atėnus, susižavėjo filosofija ir iš pradžių įstojo į Megaros mokyklą, paskui - į platonikų Akademiją. Apie 300 m. pr. Kr. jis Atėnuose įkūrė savo mokyklą - Stoją. Taip buvo vadinamas portikas Atėnuose, kur rinkdavosi Zenono mokiniai. Stoikai skelbė rūsčius ir konservatyvius moralės principus. Jų idealas - išminčius, ramiai pakeliantis gyvenimo negandas ir taip pat ramiai, abejingai pasitinkantis sėkmę. Zenono Stoiko pažiūras susistemino ir toliau plėtojo Chrisipas (apie 280-206 m.), žymus tuometinis logikas ir mokslininkas. Jis parašė apie 700 traktatų, kurių nė vienas neišliko. Apie Chrisipą buvo sakoma, kad jei dievams rūpėtų dialektika, tai jie vartotų Chrisipo dialektiką.
Kadangi megariečiai ir stoikai plėtojo panašias idėjas logikoje, be to, stoikai perėmė kai kurias idėjas iš megariečių, tai kalbama apie megariečių-stoikų mokyklą. Deja, megariečių ir stoikų kūriniai neišliko, apie jų įdomias ir reikšmingas teorijas žinome tik iš kitų antikinių autorių veikalų. Stoikai pirmieji pavartojo terminą logika. Reikšmingiausias megariečių-stoikų mokyklos nuopelnas tas, kad jie sukūrė teiginių logikos pagrindus. Jie nustatė loginius ryšius tarp teiginių, laikydami teiginį nedaloma visuma, neskaidydami jo į subjektą ir predikatą. Jie ištyrė loginį neigimą ir nustatė dvigubo neigimo dėsnį. Visus teiginius suskirstė į paprastus ir sudėtinius, pažymėdami, kad sudėtinius teiginius sudaro paprasti teiginiai, sujungti loginėmis jungtimis „ir", „arba", „jei..., tai". Buvo nustatyta, kad sudėtinio teiginio teisingumas priklauso nuo paprastų teiginių teisingumo. Konjunkcijos ir disjunkcijos teisingumą jie apibrėžė lygiai taip, kaip jis apibrėžiamas ir dabartinėje logikoje. Buvo nustatytos kelios implikacijos rūšys. Filonas Megarietis apibrėžė implikacijos teisingumo sąlygas lygiai taip pat, kaip ir šiuo metu apibrėžiama materialioji implikacija. Megariečiai ir stoikai žinojo ir ekvivalenciją. Jie nevartojo formalizacijos metodo, nevartojo loginių formulių, logikos dėsnius formulavo įprasta kalba. Jų žodinius formulavimus išreiškę loginėmis formulėmis, matome, kad megariečiai-stoikai žinojo kai kuriuos teiginių logikos dėsnius. Pavyzdžiui: Jei pirmasis, tai antrasis. Pirmasis yra. Vadinasi, yra antrasis.
Žodžiai „pirmasis", „antrasis" yra ne kas kita, kaip kintamieji, tik megariečiai ir stoikai juos žymi ne raidėmis, bet žodžiais. Sis formulavimas dabar užrašomas taip: [(p—>Q) · p]—><7-
Megariečiai ir stoikai žinojo išraiškas, kurios dabar užrašomos taip:
E(p—><7) ·
( p ^ q · p]->g-
[(pVq) · p]^q. KpVq) · q]->p.
(pVq) ~ (p—>q). Pažymėtina, kad stoikai teiginių logiką sudarė deduktyviai-aksiomiškai. Kai kurias iš pateiktų išraiškų jie laikė aksiomomis ir iš jų išvesdavo kitas teiginių logikos išraiškas. Stoikai dar žinojo šias išraiškas:
{[(P · q)->r] • (s^p)U[(q [(p^qr) · [(q • r)^s]}^[(p
• s) >л].
·
Žinodami, kad jei teisingos implikacijos konsekventas klaidingas, tai klaidingas ir jos antecedentas, stoikai nustatė: „Jei pirmasis ir antrasis, tai trečiasis; dabar nėra trečiojo, bet yra pirmasis; vadinasi, nėra antrojo" -
{[(p · qUr] • (p · 7)}^q. „Jei pirmasis ir antrasis, tai trečiasis; bet trečiojo nėra; vadinasi, nėra pirmojo ir antrojo" {[(p • q U r ] • r}->p^q. „Jei pirmasis, tai antrasis; jei pirmasis, tai ne antrasis; vadinasi, ne pirmasis" · (p >q)] >p. Kitas megariečių-stoikų nuopelnas - logikos antinomijų tyrimas. Antinomijas atskleidė megariečiai. Megarietis Eubulidas suformu-
Iavo „Melagio" antinomiją, kuri antikinėje logikoje buvo įvairiai reiškiama: 1. Kretietis Epimenidas pasakė: „Visi kretiečiai - melagiai". Teisingas ar klaidingas šis jo teiginys, jei kretietis ir pats Epimenidas? 2. Kai aš meluoju ir sakau, kad meluoju, tai meluoju ar sakau tiesą? 3. Tas, kuris sako „aš meluoju", meluoja ir kartu sako tiesą.
Buvo ir kitokių šios antinomijos formulavimų. Antikos logikai ieškojo priemonių jai išspręsti. Vienas iš jų - Filitas iš Koso - dėl šios antinomijos net mirė. Ant jo kapo akmens užrašyta: „Keleivi, aš esu Filitas, mane numarino „Melagio" argumentas ir gilūs naktiniai apmąstymai". Atrodo, kad Chrisipas išsprendė šią antinomiją, nurodydamas, kad teiginys „Aš meluoju" be sąryšio su kitais teiginiais nėra nei teisingas, nei klaidingas, jis net ne teiginys, o beprasmiškas garsas. Taigi Chrisipo sprendimas visiškai artimas šios antinomijos sprendimui dabartinėje logikoje. Megaros-stoikų mokyklos pasiekimai - antikinės logikos viršūnė. Jų sukurta teiginių logikos teorija reikšmingesnė negu Aristotelio silogizmai.
K o m e n t a t o r i ų ir v a d o v ė l i ų
laikotarpis
Šis laikotarpis truko ilgai - nuo II a. pr. Kr. iki VI a. pradžios. Greta Atėnų atsiranda nauji mokslo centrai - Aleksandrija ir Roma. Užkariaudami graikų valstybes, romėnai perėmė graikų dvasinę kultūrą - mokslą, filosofiją, logiką. Minėtas laikotarpis - nekūrybiškas logikoje. Naujų problemų, naujų metodų tuo metu beveik nekilo. Studijuojami Aristotelio ir megariečių-stoikų veikalai, rašomi jų komentarai, vadovėliai, kuriuose maža savarankiškos kūrybinės minties. Žymesnių logikos teorijų nebuvo sukurta. Iš komentatorių ir vadovėlių laikotarpio autorių reikia pažymėti Aleksandrą Afrodisietį (II a. pabaiga-III a. pradžia), dėsčiusį Atė-
nuose ir parašiusį komentarus Aristotelio veikalams. Kitas žymesnis autorius-PorfiHjas (232/233-304), parašęs įvadą Aristotelio veikalui „Kategorijos". Siame „Įvade" nagrinėjamos penkios sąvokos: giminė, rūšis, skiriamasis požymis, savybinis požymis, atsitiktinis požymis, kurios, pasak jo, būtinos norint suprasti Aristotelio kategorijas. Porfirijo komentarai buvo reikšmingi viduramžiais, aiškinant bendrąsias sąvokas. Lotyniškąją logikos terminiją kūrė Boethius (apie 480-524), žymus ostgotų karaliaus Teodoriko rūmų dvariškis. Boethius išvertė į lotynų kalbą Porfirijo „Įvadą", daugelį Aristotelio veikalų, parašė jiems komentarus, vartojo loginio kvadrato schemą, tyrė silogistiką ir teiginių logiką.
3. Viduramžių logika V-VI a. Vakarų Europoje ant antikinės graikų ir romėnų kultūros griuvėsių ėmė formuotis viduramžių kultūra. Viešpataujanti ideologija feodalizmo laikotarpiu Europoje buvo krikščionybė. Filosofija buvo reikalinga pagrindžiant krikščioniškąjį tikėjimą. Panašiems tikslams tarnavo ir logika. Viduramžių logika vadinama scholastine (schole - mokykla), nes buvo dėstoma tuometinėse mokyklose.
V i d u r a m ž i ų l o g i k o s l a i k o t a r p i a i ir jų problematika Viduramžių logika skirstoma į tris laikotarpius: senąją logiką (Iogica vetus), naująją logiką (logica nova) ir moderniąją logiką (logica modernorum). Senoji logika - tai loginė ankstyvosios scholastikos teorija, egzistavusi nuo VIII a. iki XII a. vidurio. Šiuo laikotarpiu scholastika žinojo tik du Aristotelio logikos veikalus, ir tai ne pačius svarbiau-
sius. Todėl, be Aristotelio „Kategorijų", traktato „Apie aiškinimą", buvo remiamasi komentatorinio laikotarpio atstovų veikalais Porfirijo „Įvadu", Boetijaus traktatais. Nutrūkus tradicijai, disponuojant menku praeities paveldu, logikos mokslas kūrėsi sunkiai. Senoji logika menkai tyrė mąstymo būdo klausimus, pagrindinį dėmesį skirdama filosofinėms logikos problemoms, kurių svarbiausios buvo dvi: 1) universalijų (bendrųjų sąvokų) klausimas; 2) logikos santykio su teologija klausimas. Antikoje ir viduramžiais klasės buvo vadinamos giminėmis, poklasiai - rūšimis, o giminės ir rūšys viduramžiais buvo vadinamos universalijomis. Dingstis pradėti šimtmečius trukusius ginčus dėl universalijų buvo trys klausimai, kuriuos Porfirijus iškėlė savo „Įvade": 1) kaip egzistuoja giminės ir rūšys - savarankiškai ar tik mintyse; 2) jei jos egzistuoja, tai ar jos kūniškos, ar nekūniškos; 3) ar giminės ir rūšys egzistuoja savarankiškai, ar jutimiškai pažįstamuose daiktuose ir kartu su jais. Dėl universalijų įsiliepsnodavo tokie ginčai, kad priešingas puses kartais tekdavo atskirti pertvara. Atmetus tuščius, formalius scholastų ginčus smulkiais ir nereikšmingais klausimais, pasirodo, kad ginčas dėl universalijų - tai ginčas dėl labai svarbios problemos - dėl mąstymo santykio su būtimi: ar universalijos pirminės daiktų atžvilgiu, ar daiktai pirminiai universalijų atžvilgiu. Vieni scholastai šį klausimą sprendė idealistiškai, laikydami, kad universalijos egzistuoja savarankiškai, nepriklausomai nuo daiktų. Jie teigė, kad universalijos, kaip abstrakčios esmės, egzistuoja realiai, kaip ir materialūs dalykai (universalia sunt realia). Todėl jie buvo vadinami realistais. Pagrindinis realistų argumentas buvo tas, kad žodžiai turi reikšmę, jie žymi objektus. Tuo tarpu tokie žodžiai, kaip „baltumas", „tvirtumas", „keturi" ir pan., kokių nors konkrečių daiktų nežymi. Realistai teigė, kad jei šiuos žodžius vartojame, tai pasaulyje egzistuoja kažkas, ką šie žodžiai žymi. Pasak jų, tas „kažkas" ir yra universalijos, kaip abstrakčios esmės, nepriklausančios nuo daiktų, esą baltumas, tvirtumas yra savarankiškai egzistuojančios esmės - universalijos. Realistai teigė, kad universalijos esančios pirminės daiktų atžvilgiu.
Realistų priešininkai - nominalistai - teigė, kad universalijos tėra vardai (universalia sunt nomina). Jie atmetė realistų pažiūrą, kad yra abstrakčių esmių, egzistuojančių nepriklausomai nuo daiktų. Pasak nominalistų, realiai egzistuoja tik jutimiškai galimi pažinti daiktai, o universalijos, kaip nežyminčios jokių konkrečių daiktų, tėra sąlyginiai pavadinimai. Nominalistai samprotavo taip. Imkime žodį „akmuo". Ką šis žodis žymi? Realiai egzistuoja tik paskiri konkretūs akmenys, tačiau akmens apskritai nėra, negalima parodyti akmens apskritai, todėl žodis „akmuo" tėra sąlyginis pavadinimas, vardas. Nominalizmas skatino tirti konkretybę, materialią tikrovę. Šiuolaikiniu požiūriu diskusija dėl universalijų yra sistemų tyrimo užuomazga. Nebrandus analizuoti tikrovę, viduramžių mokslininkai pastangas kreipė kita linkme - siekė apimti pasaulį visumoje, teigė universalijas kaip visumos išraiškos schemas. Visumos išraiškos schemas kuria ir šiuolaikinė sistemų teorija. Universalijų ir sistemų pamatinis požymis tas pats - visumą sudarančių dalių vienovė. Kita senosios logikos problema - logikos santykis su teologija. Kilo ginčas tarp vadinamųjų dialektikų ir antidialektikų. Pirmieji svarbiausiu autoritetu laikė logiką, teigė, kad tikėjimo teiginius reikia analizuoti logikos požiūriu. Su šia pažangia pažiūra kovojo antidialektikai, skelbę tikėjimo viršenybę logikai - žmogaus logika neturinti pretenduoti aiškinti tikėjimo paslaptis. Vienas žymesniųjų senosios logikos atstovų - Pjeras Abelaras (Pierre Abelard, 1079-1142). Universalijų klausimu laikėsi nuosaikaus nominalizmo. Jis teigė, kad universalijos nėra nieko nereiškiantys žodžiai, kad jos yra mąstymo produktas - konceptas. Ši pažiūra vadinama konceptualizmu. Teigė proto teisę laisvai mąstyti. Abejotinais atvejais mąstymas turįs spręsti savarankiškai. Naujoji logika - laikotarpis nuo XII a. vidurio iki XIII a. pabaigos. Šiuo laikotarpiu sparčiai augo miestai, plėtėsi amatininkiška bei cechinė gamyba, plėtojosi prekyba ir piniginiai mainai. Gyvenimo pakilimas reikalavo apsišvietusių žmonių. Tuo tikslu steigiami universitetai, iš jų ypač pagarsėjo Paryžiaus ir Oksfordo. Kryžiaus
karų metu europiečiai susipažino su Rytų šalių kultūra. Scholastai susipažino su arabų ir Bizantijos logikų, kurie gerai žinojo Aristotelį, veikalais. Iš arabų ir graikų kalbų buvo išversti į lotynų kalbą Aristotelio veikalai. Tai buvo didžiulės reikšmės įvykis, nes ankstyvoji scholastika težinojo kelis Aristotelio veikalus. Aristotelis tapo didžiausiu scholastikos autoritetu. Scholastai siekė plėtoti Aristotelio logiką, nors ir ne visuomet sėkmingai. Pavyzdžiui, scholastų silogizmai skyrėsi nuo Aristotelio silogizmų, nes jie nesuprato silogistikos kaip dedukcinės-aksiominės teorijos. O svarbiausia, jie ne tik neplėtojo Aristotelio veikaluose buvusių formalizacijos proceso idėjų, bet atsisakė formalizacijos, beveik nevartojo loginių kintamųjų (alfabeto raidžių), loginius ryšius siekė perteikti įprasta šnekamąja kalba. Naujoje logikoje atsirado naujų teorijų. Supozicijos teorija nagrinėjo termino ir tuo terminu žymimo objekto santykį. Imama tirti teiginių logika: neigimas, loginės jungtys, nustatomos kai kurios visuomet teisingos išraiškos. Vienas žemesnių naujosios logikos atstovų yra Petras Ispanas (apie 1205-1277), gimęs Lisabonoje ir miręs, būdamas popiežiumi Jonu XXI. Jo veikalas Summulae logicales ištisus tris šimtmečius tarnavo kaip logikos vadovėlis. Jame buvo dėstoma supozicijos teorija. Iš teiginių logikos dėsnių Petras Ispanas žinojo šias išraiškas:
(p · q)->p. p—>(pVq]. p~q ~ (pVq],
QVp ~ (p · q). Petras Ispanas - viduramžių topologas, paveiktas antikos topoIogo Aristotelio. Panašiai kaip šiuolaikinė tipologija tiria bendriausias geometrinių figūrų savybes, kurios nekinta darant bet kurias figūrų transformacijas, taip ir žymusis viduramžių logikas, orientuodamasis į Aristotelio veikalo „Topika" idėjas, aiškina įrodymo argumentų šaltinius, nepriklausančius nuo įrodymo turinio. Jis nu-
stato: įrodymo išeities taškas yra tas elementas, kuriuo remiasi atitinkamas argumentas, kad įrodytų duotąją problemą. Vardija dvidešimt vieną įrodymo išeities tašką: kylantį iš prieštaravimo, panašumo, proporcijos ir 1.1. Trečias viduramžių logikos laikotarpis - modernioji logika (nuo XIV a. pradžios iki viduramžių pabaigos) - žymių naujų problemų neiškėlė, tačiau išplėtojo senąsias problemas, sukūrė tokias teorijas, kad teisėtai yra laikoma didžiausiu viduramžių logikos pasiekimu. Ypač buvo išplėtota teiginių logika, semantinių antinomijų teorija. Buvo sukurtas traktatas „Apie seką" - vienų teiginių išvedimo iš kitų teiginių teorija. Williamas Ockhamas (apie 1285-1349) - žymus viduramžių logikas. Gimęs Anglijoje, jis baigė Oksfordo universitetą ir jame dėstė. Nominalisto Ockhamo skelbti kriticizmas ir skepticizmas buvo vienas iš šaltinių, idėjiškai parengusių Renesanso epochą. Ockhamas domėjosi visomis tuometinės logikos problemomis: tyrė terminų savybes, silogistiką, kūrė loginės semantikos pagrindus, žinojo apie trisdešimt teiginių logikos dėsnių, sudėtingų išraiškų net su keturiais kintamaisiais, pavyzdžiui:
[(P · q)->r]->{(s-»r)->[(s · q)->p]}. Ockhamo idėjų įtakoje atsirado kryptis - okamistai (arba terminis tai). Žymūs viduramžių logikos trečiojo laikotarpio atstovai buvo Žanas Buridanas (Joannes Buridanus, apie 1295-1356), dėstęs Paryžiaus universitete, bei jo mokinys Albertas Saksas (Albertus de Saxonia, 1316-1390). Apžvelgsime viduramžių logikos pasiekimus.
Teiginių
logika
Scholastinė teiginių logika - megariečių-stoikų mokyklos pažiūrų tęsinys. Šiandien nėra visiškai aišku, kiek viduramžių logika rėmėsi
megariečių-stoikų pažiūromis. Gali būti, kad teiginių logika viduramžiais buvo atrasta iš naujo remiantis kai kuriomis Aristotelio „Topikos" vietomis, kur nagrinėjami nesilogistiniai samprotavimai. Teiginių logikos idėjų daugiausia yra traktate „Apie seką". Loginės sekos sąvoką viduramžių logikai labai ištobulino. Pateiksime jų nustatytus teiginių logikos dėsnius: [ ( p — · p]—><7[(pVq) · p]—>q. Šiuos dėsnius žinojo jau megariečiai-stoikai. (p · φ—>p—>č/· q->(p^>q). Antroji išraiška teigia, kad teisingas teiginys seka iš bet kurio kito teiginio. (p->q)->(q->p). ( p — > ( p
· q)].
Pirmoji išraiška - kontrapozicijos dėsnis. Išraiškos su trim kintamaisiais: [p · (p^Q) · (q->r)]^r. [(p—>qr) · (с/—>r)]—>(p—>r). K q ^ r ) · (p—> (p—>л). Paskutinės dvi išraiškos tėra implikacijos pereinamumo modifikacijos. [(p · >[r—>(pVq)]. [(p · q)^r]^[(p • ~r)~>q]. [(p · q)—>r]—>[(qr · 7)->p].
Šių išraiškų konsekventas išvestas pavartojus kontrapozicijos dėsnį.
(p—>9)—>[(p · r)->(q · r)]. (iD->qf)->(q^7->p^7).
Pirmoji išraiška - formulavimo „Ką galima prijungti prie antecedento, tą galima prijungti prie konsekvento" užrašymas. Antroji išraiška - formulavimo „Kas nesiderina su konsekventu, tas nesiderina su antecedentu" užrašymas. Trečioji išraiška buvo formuluojama taip: „Iš ko seka antecedentas, iš to paties seka konsekventas". Ketvirtoji: „Kas neseka iš antecedento, tas neseka iš konsekvento". Išraiška su keturiais kintamaisiais:
(p-*7)-K[(q · r)-«]-»[(p · rUs]}. Predikatų logikos
užuomazga
Predikatų logikos pradmenis kūrė jau Petras Ispanas, tyręs kvantorinių žodžių („kiekvienas", „nė vienas", „koks nors" ir kt.) vartojimą. Loginiame kvadrate jis išdėstė predikatų logikos išraiškas, šiuolaikiškai užrašomas taip:
a : Vx F(x); e : Vx F(x); i: Эх F(x); o : 3x F(x). Pagal loginio kvadrato taisykles išvedama:
Vx F(x) ~3xF(x);
V x F(x) - Э х F(x)·, 3 χ F(x) -Vx F(X); 3 χ F(x) -Vx F(x)] Vx F(x) -> Эх F(x) ir kt.
Žinota ir kai kurie kiti kvantorių vartojimai. Antai žinota, kad iš Vx [F(x)V(x)] neišvedama Vx F ( x ) W x G(x).
Modalinė
logika
Remdamiesi Aristotelio modalinės logikos teorija, viduramžių logikai ją toliau plėtojo, nustatydami nemaža modalinės logikos dėsnių: - jei teiginys teisingas, tai jis galimas; - jei teiginys klaidingas, tai galimas jam prieštaraujantis teiginys; - jei teiginys būtinas, tai jis teisingas; - iš negalimo seka bet kas ir 1.1. Modalinius teiginius loginiame kvadrate išdėstę Л/р(а); Np(e); Mp(i); Mp(o), išvesdavo išraiškas:
Np ~ Mp; Np ~ Mp; Mp ~ Np ; Mp ~ Np ir kt. Nevartojant formalizacijos, loginis kvadratas tapo viena pagrindinių priemonių gauti išvadas. Ši išvedimo priemonė buvo gerai įprasminta, tik ji - ribota, įgalinanti išvesti palyginti nedaug bendrareikšmių išraiškų.
Loginė
semantika
Visi žodžiai buvo skirstomi j dvi rūšis: turinčius siauresnę reikšmę („stalas", „baltas") ir turinčius plačiausią reikšmę („ir", „arba", „ne", „kiekvienas" ir 1.1.). Tarp pastarųjų ir buvo ieškoma to, kas dabar vadinama loginiais pastoviais dydžiais (konstantomis). Tirdami šiuos žodžius, siekdami nustatyti jų reikšmę ir vartojimo būdą, viduram-
žių logikai neišvengiamai susidūrė su loginės semantikos problemomis. Jau supozicijos teorija buvo loginės semantikos užuomazga. Nagrinėjant santykį tarp žodžio ir tuo žodžiu žymimo objekto, atsiranda įvairios žodžio reikšmės. Teiginyje „Akmuo yra kietas" žodis „akmuo" žymi patį daiktą, o teiginyje „Akmuo" yra dviskiemenis žodis", žodis „akmuo" žymi žodį. Buvo nustatomi įvairūs supozicijos atvejai. Viduramžiais buvo išplėtota semantinių antinomijų teorija. Ją dėstė specialiame traktate, pavadintame Insolubilia (neišsprendžiamumas, neišsprendžiami teiginiai). Buvo sukurta daug antinomijų, pateiktos daugiau ar mažiau efektyvios priemonės joms išspręsti. Buridanas nagrinėja antinomiją: foliante rašoma: „Teiginys, įrašytas šiame foliante, klaidingas". Tame foliante daugiau jokių teiginių nėra. Teisingas šis teiginys ar klaidingas? Nemaža antinomijų sukūrė Albertas Saksas. Pavyzdžiui, turime teiginį „Žmogus yra asilas arba tam tikra disjunkcija klaidinga". Šis teiginys pats yra disjunkcija ir, tarkime, kad daugiau jokių disjunkcinių teiginių neturime. Teisingas šis teiginys ar klaidingas? Viduramžių logikai pateikė keliolika variantų antinomijoms išspręsti. Kai kurie jų buvo iš naujo atrasti XX amžiuje, pavyzdžiui, antinomijos, atsirandančios dėl ydingojo rato klaidos.
Mąstymo proceso mašinizavimo
idėjos
Pirmoji loginė mašina buvo sukurta XIII a. Jos autorius - Raimundas Lullas (Lullius, Ramon Lull, apie 1232-1316), Katalonijos poetas, mokslininkas ir misionierius. Veikale Лгу magna („Didysis menas") jis išdėstė teorinius principus savo loginės mašinos, kurią, be to, sukūrė praktiškai. Mašiną sudarė keli koncentriški skrituliai, kuriuose tam tikra tvarka buvo išdėstytas mašinos alfabetas - subjektai ir predikatai. Štai vieno skritulio schema:
25 brėž.
Viršutinėje skritulio juostoje išdėstytos alfabeto raidės, po jų eina 9 subjektai, o po jų - 9 predikatai. Skritulio viduje įbrėžtos linijos nurodo visus galimus terminų derinius. Mašina veikė pagal silogistikos principus. Mechaniškai sukant skritulius, tarp terminų atsirasdavo įvairūs santykiai. Kai kurie jų buvo taisyklingi silogizmai. Buvo galima surasti įvairius vieno subjekto predikatus ir, priešingai, surasti įvairius vieno predikato subjektus. Lullo mašina buvo gana primityvi, jos galimybės ribotos, tačiau svarbi pati loginės mašinos idėja. Si tiesiog revoliucinės reikšmės idėja ir bandymas ją realizuoti yra vienas žymiausių viduramžių logikos pasiekimų, deramai suprastas ir įvertintas tik mūsų laikais. Nepaisant trūkumų, viduramžių logika - didelis žingsnis į priekį palyginti su antikine logika. Scholastinė logika - tai nauja formaliosios logikos forma. Deja, viduramžių logikos pasiekimai vėlesniais laikais buvo pamiršti, deramai neįvertinti ir kartais virsdavo net pajuokos objektu.
4. Logika naujaisiais amžiais Viduramžius pakeitę naujieji laikai apibūdinami mokslo autoriteto augimu. Besiformuojančiam kapitalistiniam gamybos būdui scholastinė filosofija ėmė kliudyti. Reikėjo filosofijos, kurios mąstymo metodas skatintų mokslinius tyrimus, nes jie tobulino techniką ir gamybą. Naujųjų amžių filosofai viduramžių paveldą neigė nihilistiškai. Nepripažinę scholastikos, nepripažino ir jos loginės teorijos, joje įžvelgė ne realią reikšmę turinčias problemas, o keistenybes. To priežastys kelios. Viena iš jų ta, kad viduramžių logika nebuvo taikoma tuometiniuose moksluose. Patys mokslai dar tik kūrėsi, todėl negalėjo pakankamai stimuliuoti logikos plėtros. Kita vertus, viduramžių logika turėjo rimtų trūkumų: ji per daug rėmėsi autoritetais, neretai joje vyko ginčai nereikšmingais klausimais ir kt. Nevartodama formalizacijos, XV a. viduramžių logika pasiekė ribą, kurios jau negalėjo peržengti. Jos raida sustojo. Nepajėgiant sukurti deramos mąstymo būdo teorijos, naujaisiais amžiais logikoje prasidėjo nuosmukis: problematika menkėjo, buvo suplakti loginiai ir psichiniai būviai, logika ėmė virsti psichologizuota pažinimo teorija. Vienas iš centrinių logikoje tapo mokslinio pažinimo metodų tyrimas.
F. B a c o n a s - i n d u k c i n ė s l o g i k o s
kūrėjas
Francis Baconas (1561-1626) buvo ne tik mokslininkas, bet ir politikas, vienu metu - lordas kancleris. Nukentėjęs dėl savo politinės veiklos, F. Baconas iš politinio gyvenimo pasitraukė ir pasišventė mokslui. Veikale „Naujasis Organonas" F. Baconas teigė, kad mokslas ir jo metodai privalo turėti praktinį pobūdį, kad gamtą reikia tirti ne stebint, ne kontempliuojant, bet atliekant eksperimentą. Viena iš priežasčių, neleidusių tuometiniam mokslui užvaldyti gamtos, F. Baconas laikė netikusį mąstymo metodą. Jis kritikavo scholastiką už
jos metodą: scholastai pirma paskelbdavo teiginį, o paskui ieškodavo faktų, kurie tą teiginį patvirtintų. Jei tikrovėje tokių faktų nebūdavo, jų buvo galima rasti tikėjimo dogmose ir autoritetų veikaluose. F. Baconas nurodė, kad toks galvojimo būdas - nemokslinis. Teiginiai turi būti išvedami iš faktų: pirma reikia tirti, analizuoti tikrovę, faktus, o paskui daryti apibendrinančias išvadas. Mokslinio mąstymo metodas turi būti indukcija. Viduramžiais indukcija beveik nebuvo vartojama, todėl F. Bacono kvietimas analizuoti tikrovę, samprotauti induktyviai buvo pažangus. Tačiau F. Bacono indukcinis metodas buvo vienašališkas todėl, kad jis nepakankamai pabrėžė hipotezių reikšmę. Jis manė, kad paprastas faktų sutvarkymas teisingas hipotezes padarys akivaizdžias, bet tai retai atsitinka. Dedukcijos vaidmuo moksle gerokai didesnis, negu manė F. Baconas.
R. D e s c a r t e s - n a u j o m ą s t y m o metodo kūrėjas Renė Descartes (1596-1650) - žymus prancūzų mokslininkas ir filosofas. Lotyniškoje literatūroje jis dar kitaip vadinamas Renatus Cartesius. R. Descartes buvo originalus mąstytojas, nutraukęs ryšius su scholastika, ne kartą ją kandžiai išjuokęs. Ypač jis pasisakė prieš lankstymąsi autoritetams ir, kviesdamas jais abejoti, kūrė sveiko kriticizmo principus. Tiesos kriterijus - ne autoritetų raštai, o protas. Panašiai kaip F. Baconas, R. Descartes kūrė naują mąstymo metodą. Jis nustatė taisykles, kuriomis turi vadovautis protas: jokio teiginio nelaikyti teisingu, kol jis aiškiai nepažintas tiek, kad juo jau negalima abejoti; kiekvieną sunkiai analizuojamą dalyką dalyti į tiek dalių, kiek būtina jam įveikti; mąstyti tvarkingai, pradedant nuo paprasčiausių ir lengviausiai suprantamų dalykų ir laipsniškai pereinant prie sudėtingiausių pažinimo dalykų; visada daryti nuodugnius apibendrinimus ir išsamias apžvalgas, įsitikinus, kad nieko
nepraleista. Vis dėlto tai ne loginio metodo, o didaktikos taisyklės. R. Descartes išsakė visuotinio loginio-matematinio metodo mokslo problemoms spręsti galimybę. R. Descartes, kaip ir F. Baconas, nesugebėjo įvertinti viduramžių logikos pasiekimų.
G. L e i b n i z a s - s i m b o l i n ė s pradininkas
logikos
Gottfiiedas Wilhelmas Leibnizas (1646-1716) gimė Leipcige. Gavęs gerą išsilavinimą, jis anksti subrendo kaip mokslininkas. Dar keturiolikamečiui jam kilo mintis, kad logiką reikėtų matematizuoti, o dvidešimtmetis G. W. Leibnizas, baigdamas universitetą, filosofijos magistro laipsnio darbe „Apie kombinatorinį meną" išsakė logines idėjas, kurioms liko ištikimas visą gyvenimą. Baigęs mokslus, stojo valstybinėn tarnybon ir kartu dirbo mokslinį darbą: patobulino skaičiavimo mašiną, nusakė pagrindinę garo mašinos idėją, tobulino metalurgiją, tyrė žemės istoriją. Matematikoje nepriklausomai nuo Newtono atrado diferencialinį ir integralinį skaičiavimą. Leibnizas buvo enciklopedinio išsimokslinimo žmogus: visur, kur dirbo, išreiškė gilias mokslines idėjas. Leibnizas deramai įvertino viduramžių logikos pasiekimus. Jo loginių pažiūrų formavimuisi lemiamą reikšmę turėjo Lullo idėjos apie samprotavimo mašinizavimą ir naujaisiais amžiais išsakyta galimybė sukurti visuotinę kalbą mokslo problemoms spręsti. Tuo metu matematikoje pradėtos vartoti alfabeto raidės, žymėjusios kintamuosius. Leibnizas tai pritaikė ir logikai. Jis gerai suprato, kad simbolių dėka galima ne tik perteikti mintis, bet ir palengvinti paties mąstymo proceso vaizdavimą. Leibnizas sukūrė teoriją, kurią pavadino visuotine charakteristika (characteristica universalis). Tai turėjo būti visuotinė pasaulinė logikos kalba. Ją sudaro paprasčiausi vienetai - elementarios sąvokos, žymimos simboliais. Jungdamiesi tarpusavyje, paprasti vienetai sudaro samprotavimus, kurie reiškiami formulėmis, loginėmis
lygtimis. Be to, visuotinėje logikos kalboje yra taisyklių, nurodančių, kaip operuoti loginiais simboliais ir formulėmis, kaip iš vienų formulių išvesti kitas. Leibnizas suprato, kokie sunkumai kyla realizuojant jo idėjas: ne visų mokslų sąvokos taip aiškiai ir tiksliai apibrėžtos, kaip matematikos, sunku nustatyti pačias paprasčiausias mokslo sąvokas. Tačiau jis buvo pasiryžęs įveikti sunkumus, kūrė loginį aparatą - „kombinatorinį meną", turėjusį turiningą mąstymą pakeisti formaliu loginiu skaičiavimu. Leibnizas kūrė loginio skaičiavimo sistemas, plėtojo klasių teoriją, predikatų logiką, jau buvo užsiminęs apie tikimybių logiką. Leibnizas manė, kad jo sukurtoji teorija įgalins išspręsti bet kurią mokslo problemą, kad išnyks ginčai tarp mokslininkų. Užuot ginčijęsi, mokslininkai paims rašymo priemones ir loginiais skaičiavimais nustatys, kuris iš jų teisus. Įrodyta, kad tokia visuotinė teorija, kokią norėjo sukurti Leibnizas, negalima. Neįmanoma sukurti tokios visuotinės logikos kalbos, kuri turiningą mąstymą redukuotų į formalų loginį-matematinį skaičiavimą. Nepaisant to, platus simbolinės logikos taikymas technikoje ir šiuolaikiniuose moksluose rodo Leibnizo idėjų didingumą. Jo idėjos, susijusios su logikos matematizavimu, loginių skaičiavimo sistemų kūrimu, visiškai pasitvirtino. Leibnizo sekėjai tyrėjo idėjas, tik jis ne visus savo kūrinius buvo paskelbęs.
5. Simbolinės logikos formavimasis ir raida XIX-XX amžiais XIX a. mokslo netenkino senosios logikos teorijos. Mokslo plėtra atitinkamai stimuliavo ir mąstymo būdo plėtrą. XIX a. viduryje buvo sukurta simbolinė logika, turėjusi išspręsti mokslams iškilusias logines problemas. Simbolinę logiką sukūrė matematikai, perkėlę matematikos metodus į logiką. Tai bandė padaryti Londono matematikas Augustas
de Morganas (1806-1878). Jis išdėstė teiginių logikos ir klasių teorijos elementus, taip pat pateikė loginių santykių teoriją. Vienas iš žymiausių simbolinės logikos kūrėjų yra George Boole (1815-1864). Gimęs amatininko šeimoje, jis savarankiškai išstudijavo matematiką ir kitus mokslus, gavo matematikos dėstytojo vietą viename Airijos koledže. 1854 m. jis išleido pagrindinį savo veikalą „Mąstymo dėsnių tyrimas", kurio išeities taškas yra analogija tarp algebros ir logikos. Aritmetikos veiksmus - sudėtį, daugybą, atimtį G. Boole pritaikė klasių teorijai, kurią laikė pagrindine teorija. Išraiškas χ + y = y + χ.
χ • (y + z) = (x · y) + (x • z) ir pan. G. Boole laikė logikos dėsniais. De Morgano ir G. Boole idėjas jų bendraamžiai ne visai suprato, jų teorijas laikė dirbtinėmis. Iš tiesų loginė jų teorijose vartojamų veiksmų prasmė buvo ne visai aiški. Boole idėjas gilino ir tobulino vokiečių matematikas Ernstas Schroderis (1841-1902). Naujas etapas simbolinės logikos istorijoje prasideda XIX a. pabaigoje Jenos universiteto matematiko Gottlobo Frege (1848-1925) darbais. G. Frege pateikta simbolinės logikos sistema jau buvo labai artima dabartiniam simbolinės logikos pavidalui. Jo sistemą sudarė teiginių logika ir predikatų logika. Jis ėmė sistemingai vartoti kvantorius, sukūrė propozicinės funkcijos sąvoką, teiginių logiką sudarė deduktyviai, aksiomomis laikydamas šiuos teiginius:
p->(q->p). [p—>(9—>r)]—>[(p—>9)—>(p—>r)]· [p->(q->r)]->[q->(p->r)]. (p—>q)^(q—>p)· P^PP^P-
Iš šių teiginių pagal nustatytas taisykles išvesdavo kitas teiginių logikos išraiškas. G. Frege aksiomatika vėliau buvo patobulinta. G. Frege yra vienas iš loginės semantikos kūrėjų. Jis tyrė vardų ir teiginių reikšmę, įrodė, jog būtina įvesti į logiką prasmės sąvoką. G. Frege kūrė logicizmą - matematikos pagrindų kryptį, teigusią, kad matematika pagrindžiama ją visą redukuojant į logiką, ir šiuo požiūriu matematika esanti logikos dalis. Logicizmą grindė dviem principais: visas matematikos sąvokas galima apibrėžti loginėmis sąvokomis; visus matematikos teiginius (aksiomas, apibrėžimus, kitus teiginius) galima išvesti iš logikos aksiomų ir apibrėžimų logine dedukcija. Tačiau logicizmo programa susidūrė su rimtais sunkumais, galiausiai pasirodė, kad ji neįgyvendinama. G. Frege dar nežinojo daugiareikšmės logikos, jo kurtoji logika - dvireikšmė. Todėl jis manė, kad loginiai mąstymo dėsniai visur tie patys, nevarijuoja, tad esą įmanoma sukurti logines sistemas, galiojančias visoms kalboms. Deja, G. Frege teorijos tuo metu nebuvo deramai įvertintos. Mat jis vartojo sudėtingą ir neįprastą simboliką, kuri atbaidydavo skaitytojus, pavyzdžiui: konjunkcija
implikacija
ι
в A
1
1
disjunkcija
в A
I
B 1
A
Reikšmingi buvo amerikiečių filosofo Charles Peiree (1839-1911) darbai. Jis sukūrė teisingumo matricų metodą, buvo semiotikos pradininkas. Kaip ir G. Frege, Ch. Peirce yra vienas iš loginės semantikos kūrėjų. Jo idėjas ištiko toks pat likimas kaip ir Frege idėjas jos buvo deramai įvertintos tik po jo mirties. Nuo 1910 m. prasideda naujausias simbolinės logikos laikotarpis. 1910-1913 metais anglų matematikas ir filosofas Bertrandas Russellas (1872-1970) kartu su Alfredu Northu Whiteheadu (1861-1947) išleidžia veikalą „Principia Mathematical skirtą simbolinei logikai
ir jos taikymui matematikoje, jo sukonstruotam logicizmui įgyvendinti. Deramai įvertinęs G. Frege idėjas, Russellas atsisako Frege simbolikos ir vartoja šiuos simbolius: teiginius žymi raidėmis p, q, r, neigimą - ženklu konjunkciją - tašku, disjunkciją - simboliu V, egzistavimo kvantorių - ženklu 3 ir kt. Russellas aiškina pagrindines logikos teorijas, atskleidžia klasių teorijos paradoksus ir sukuria loginių tipų teoriją jiems išspręsti. Naujomis teorijomis logiką praturtino Lvovo-Varšuvos mokykla lenkų logikos ir filosofijos mokykla, egzistavusi Lvove ir Varšuvoje tarp Pirmojo ir Antrojo pasaulinių karų. Vienas žymiausių jos atstovų/anai Lukasiewiczius (1878-1956) 1920 m. sukuria daugiareikšmę logiką. Sis atradimas įgalino kurti įvairias daugiareikšmes logikos sistemas. Lukasiewiczius sukuria daugiareikšmę modalinę logiką. Kitas mokyklos atstovas Alfredas Tarskis (1902-1989) tyrė matematiką ir loginę semantiką, veikale „Tiesos samprata formalizuotose kalbose" išdėstė semantinę tiesos koncepciją. Lvovo-Varšuvos mokykla - lenkų logikos aukso amžius. Svarbius atradimus padarė austrų logikas Kurtas Godelis (19061978). Svarbią pažintinę reikšmę turi jo sukurtos teoremos - formalių sistemų nepilnumo, jų neprieštaringumo įrodymo. Dirbtinio intelekto teorijos ir mašininio vertimo poreikiai reikalavo naujos lingvistikos, tiksliai išreiškiančios kalbos ir jos vienetų vartojimą. Praktika parodė, kad kalbų aprašymas tradicinės lingvistikos priemonėmis mažai tinka mašininiam vertimui. Sukurta matematinė lingvistika, kalbą tirianti matematikos ir logikos metodais. Ja remiantis, įmanomi vertimo algoritmai, vertimas automatizuojamas, moderniais metodais sprendžiama pagrindinė vertimo problema - prasmės išsaugojimas. Čia kyla nemažai svarbių loginės semantikos problemų. Originalias loginės semantikos, tikimybinės logikos teorijas sukūrė Rudolfas Carnapas (1891-1970), Vienos, Prahos ir JAV universitetų profesorius. Nuo XX a. vidurio imta kurti intensionalios logikos - deontinė, vertinimų, religijos ir kt. Čia vaisingai darbuojasi suomių loginė mokykla, kurios atstovas Georgas Henrikas von Wrightas (g. 1916) sukūrė reikšmingas deontinės logikos ir veiklos teorijas.
Mūsų laikais simbolinei logikai tenka svarbus vaidmuo ne tik tiriant loginius mokslų pagrindus, bet ir taikant ją šiuolaikinėje technikoje. Simbolinė logika vartojama kompiuteriams projektuoti, jų darbui analizuoti. Norint taikyti logiką šiuolaikinėje technikoje, reikia plėtoti logikos teoriją. Sukūrus logines mašinas, klausimas „kaip mes mąstome", iškilęs dar senovėje, jgavo ne tik teorinę, bet ir praktinę reikšmę. Viena simbolinė logika negali atsakyti į šį klausimą. Tačiau galima tikėtis, kad jungtinės logikos, matematikos, lingvistikos, kibernetikos, aukštosios nervinės veiklos fiziologijos, psichologijos ir kitų mokslų pastangos įgalins išspręsti šią įdomią ir svarbią problemą.
6. Logikos istorija Lietuvoje Su logikos mokslu pirmiausia susipažino tie Lietuvos bajorų ir pasiturinčių miestiečių sūnūs, kurie po Lietuvos krikšto studijavo Centrinės ir Vakarų Europos universitetuose. Nuo XIV a. pabaigos studentai iš Lietuvos užsienio universitetuose studijuodavo vėlyvųjų viduramžių logines teorijas. Kol Lietuvos mokyklose nebuvo filosofijos studijų, logikos mokslui užsimegzti nebuvo sąlygų.
Scholastinė logika (XVI a. pradžia-XVIII a. pirmoji pusė) Scholastinė logika - ilgiausiai trukęs logikos raidos Lietuvoje laikotarpis. Galimas daiktas, kad jau XIV a. pabaigoje prie Vilniaus katedros įsteigus mokyklą, joje buvo dėstoma logikos pradmenys, reikalingi iškalbos menui. O mokyklą su filosofijos ir teologijos studijomis 1507 m. Vilniuje savo vienuolyne įkūrė dominikonai. Joje buvo lavinami kandidatai į vienuolius. Kad taptų vienuolijos nariais, jie turėjo baigti filosofijos ir teologijos studijas. Pirmoji filosofijos disciplina buvo logika.
Pasauliečius moksluose lavino j Lietuvą pakviesta Jėzaus Draugija, turėjusi įveikti reformaciją. 1570 m. Vilniuje jėzuitai įsteigė aukštesniąją mokyklą - kolegiją, kurioje 1571 m. atidarė filosofijos klasę, tais metais ėmė dėstyti logiką, rengti logikos disputus ir spausdinti jų tezes. Logikos studijomis garsėjo 1579 m. įkurtas Vilniaus universitetas, jo filosofijos fakultete buvo dėstoma logika, fizika, metafizika ir etika. Logikos mokė Kauno ir Kražių jėzuitų kolegijos, vienuolijų mokyklos Vilniuje, Kaune, Raseiniuose, Paparčiuose, Seinuose, kolegijos ir vienuolijų mokyklos Lietuvos Didžiosios Kunigaikštystės žemėse - Gardine, Minske, Slucke, Naugarduke, Nesvyžiuje, Pinske, Polocke, Vitebske ir kitur. Logikos taip pat mokė Vilniaus ir Kėdainių reformatų mokyklos. Vilniaus universiteto studentai gynė logikos tezes filosofijos bakalauro ir magistro laipsniams įgyti. Jie aiškino aristotelinę logiką interpretuodami scholastikos įžymybes, rėmėsi Petro Ispano ir viduramžių moderniosios logikos pasiekimais. Logikos kursą sudarė dvi dalys. Pirmoje dalyje, vadintoje dialektika, buvo aiškinamos sąvokos, teiginiai, samprotavimai, loginė seka, įrodymas, o antroje dalyje, vadintoje racionaliąja filosofija, - pažinimo teorija. Perėmusi viduramžių logikos pasiekimus, scholastinė logika Lietuvoje tiksliai apibrėžė teiginių logikos operacijas - neigimą, konjunkciją, disjunkciją, implikaciją, ekvivalenciją, įprastine kalba formulavo išraiškas P~PPP-
pVp. (P · Pp—>(pVq). PrQ ~ (pVp). pVq - (p · g), (p- q) ~ pVq. (pVq) ~ p • q. (p-^g)-^(g-^p).
p—>(p—>q).
[(p->q) · (q->r)]->(p->r). (p->q)-»[(p · /*)—>(q · r)]. (p^q)->(qT7->p^r).
ir t. t. Aiškino loginės sekos principus, predikatų logikos, klasių teorijos užuomazgas, tyrė modalinę logiką, o loginėje semantikoje dėstė referencinę reikšmės teoriją, tyrė semantines antinomijas. Išvedimuose plačiai taikė loginį kvadratą. Diskutuodami dėl universalijų pobūdžio ir jas pateikdami kaip visumos išraiškos schemas, dėstė sistemų tyrimo užuomazgas. Veikalu „Logika" išgarsėjo Vilniaus universiteto profesorius Martynas Smigleckis (1563-1618). Išleistas 1618 m. Vokietijoje, veikalas susilaukė dar trijų leidimų Oksforde, tapo populiarus tuometiniuose universitetuose. Aukšto lygio logikos paskaitas Vilniaus universitete skaitė žemaitis Aleksandras Čirskis (1626-1679), plačiai aiškinęs loginę seką, modalinę logiką, tyręs semantines antinomijas.
Naujųjų amžių logikos recepcija (XVIII a. antroji pusė-ΧΙΧ a.) XVIII a. viduryje scholastinė filosofija netenkino Lenkijos-Lietuvos valstybės valdančiųjų sluoksnių, ji buvo per daug atitrūkusi nuo gyvenimo. Plintant Apšvietos idėjoms, švietimas buvo laikomas veiksniu, galinčiu stabdyti politinį ir ekonominį krašto smukimą. Švietimas pertvarkomas - scholastika žlunga, į mokyklas įžengia naujųjų amžių gamtos mokslai ir naujoji filosofija. Logikos paskaitos Vilniaus universitete, kolegijose ir vienuolynų mokyklose sumodernėjo. Aiškinamos Bacono, Descartes'o, Locke'o, Leibnizo ir jo pažiūrų sekėjo Ch. Wolffo teorijos. Logika pateikiama kaip pažinimo mokslas, tiriantis pažinimo principus, tiesą ir jos kriterijus, tiesos paieškų metodus. Abiejų Tautų Respublikos mokyklose paplito Vilniaus universiteto profesoriaus
žemaičio Benedikto Dobševičiaus (1722- po 1794 m.) veikalas „Logikos paskaitos" (Praelectiones logieae), kuriame autorius teigia dekartiškąją įgimtų idėjų pažiūrą ir dekartiškąjį intuicionizmą kaip tiesioginę aiškią įžvalgą protu. Mokyklose aptariamas Leibnizo siekis sukurti pasaulinę logikos kalbą, Leibnizo loginė kombinatorika. Pažangiausi profesoriai jaunuomenę supažindino su loginio skaičiavimo, formalių sistemų ir kitomis notavoriškomis idėjomis, kurias taikyti tuo metu nebuvo prielaidų, nebuvo mokslo ir technikos deramos plėtros. Naujųjų amžių logikos teorijos parengė dirvą Apšvietos epochos Lietuvoje loginėms idėjoms. Ši epocha galutinai sužlugdė scholastiką, panaikino lotynų kalbos kaip mokslo kalbos monopolį. Vilniaus pijorų kolegijos profesorius Kazimieras Narbutas (1738-1807), bendravęs su prancūzų švietėjais, 1769 m. Vilniuje išleido pirmą logikos darbą, parašytą ne lotynų, o lenkų kalba. „Logika, arba mąstymo ir daiktų apgalvojimo mokslas" buvo skirtas plačiajai visuomenei. Šiame darbe skelbiama samprotavimų laisvė, pabrėžiamas sveiko proto vaidmuo. Pirmą kartą logika iš mokyklų sienų išėjo į gyvenimą. Veikale logika pristatoma kaip tiesos paieškų metodas. Naujųjų amžių logikos maniera diktavo Lietuvos mokyklose logikos virsmą psichologizuota pažinimo teorija. Scholastinės logikos pažangios idėjos neperimamos, pamirštamos. Švietimą supasaulietinusios Edukacinės komisijos prašomas žymus prancūzų švietėjas Etieneas Bonnot de Condillaeas (1715-1780) parašė ir 1780 m. išleido logikos vadovėlį Lenkijos ir Lietuvos mokykloms „Logika, arba Mąstymo meno raidos pradai". Išverstas į lenkų kalbą, jis 1802 m. buvo išleistas Vilniuje. Jame atsisakoma tradicinės problematikos, visą dėmesį skiriant analitiniam metodui ir pažinimo kilmei iš juslinio patyrimo duomenų aiškinti. Logiką kaip psichologizuotą pažinimo teoriją pristatė XIX a. Vilniaus universitete darbavęsi filosofijos profesoriai Johanas Heinrichas Abiehtas (1762-1816) ir Angelas Daugirdas (1776-1835). Filosofines logikos problemas J. H. Abichtas aiškino psichologizuotu kantizmu, o A. Daugirdas -
škotų filosofijos pabrėžtais visuotiniais sveiko proto principais. Kai kurias vertingas logikos idėjas išsakė Vilniaus universiteto gamtininkai, tyrę tikimybinius samprotavimus. 1832 m. Vilniaus universitetą uždarius, logika tebebuvo dėstoma gimnazijose.
Modernioji
logika
Lietuvos Respublikoje susirūpinta mokomosios literatūros gimtąja kalba leidimu. Pirmąją logikos knygą lietuvių kalba - vadovėlį kunigų seminarijai ir gimnazijoms „Logika" - 1919 m. išleido Aleksandras Dambrauskas-Jakštas (1860-1938). Jame dėstoma senoji formalioji logika, užsimenama ir apie moderniąją logiką. Sis darbas buvo reikšmingas lietuviškosios logikos terminijos plėtrai, kai kurie autoriaus pasiūlyti logikos terminai tebevartojami ir dabar. Vosylius Sezemanas (1884-1963), dėstydamas Lietuvos universitete, 1929 m. išleido mokomąją knygą „Logika". Joje aiškino tradicinę logiką. Jis tyrė filosofines logikos problemas, parašė darbą apie logikos paradoksus. Lietuvos universitete pradėta tirti moderniosios logikos problematika, nusakant matematinės logikos objektą, metodus ir tikslus. Moderniosios logikos problemas aptarė Lietuvos universiteto matematikai. Naujoji logika buvo metodas tirti matematikos pagrindų problemas, šalinti aibių teorijos paradoksus. Universiteto matematikai aptarė matematikos pagrindų kryptis - logicizmą, formalizmą, intuicionizmą ir jų vartojamas logines priemones. Okupacijos metais ideologija moderniąją logiką net įtraukė į juodąjį sąrašą kartu su kai kuriomis kitomis perspektyviomis mokslo kryptimis. Šiam nihilistiniam požiūriui žlugus, susidarė sąlygos reikštis kūrybinei iniciatyvai. Centralizuotų visoms Sovietų Sąjungos aukštosioms mokykloms skirtų atsilikusių logikos programų nepaisyta, Vilniaus universitete buvo įvestas moderniosios logikos dėstymas, išleistos jos mokomosios knygos. Imta tirti loginė semantika
ir kita perspektyvi šiuolaikinės logikos problematika. Lietuvos mokslų akademijos Matematikos ir kibernetikos institute buvo tiriamos matematinių įrodymų problemos, plėtojami tyrimai toje matematinės logikos srityje, kuri susijusi su informacinių ir valdymo sistemų kūrimu. Lietuvos logikai skaitė pranešimus pasauliniuose logikos, metodologijos ir mokslo filosofijos kongresuose. Atkūrus nepriklausomybę, modernioji logika dėstoma Lietuvos Respublikos universitetuose ir kitose aukštosiose mokyklose, plėtojami tyrimai.
Pratimų atsakymai
I SKYRIUS 1.
Žodžiai-cementas - „yra", „arba".
2. 1. p, q - loginiai kintamieji. 3. 1 ir 3 - empirinės tiesos, 2 ir 4 - loginės tiesos.
II S K Y R I U S 1.
3, 4 ir 5 - loginiai teiginiai.
2.
1. „Netiesa, kad...". 2. p ~ p. „Priešo puolimo buvo laukiama". 3. A teigė, kad B sakė netiesą, ir A suklydo.
p • q; b) c) p • q; d) p · q.
3.
a)
4.
1. Nesilaiko prieštaravimo dėsnio. 2. Ne.
5.
1. b) silpnoji disjunkcija. 2. Tarkime, kad nusikaltimą padarė Braunas. Tada pirmas Brauno parodymas klaidingas, o antras teisingas. Džonsas sumelavo abu kartus, o Smitas abu kartus pasakė tiesą. Tai atitinka sąlygą. Tarus, kad nusikaltimą padarė Džonsas, išeina, kad visi trys vieną kartą sakė tiesą, o antrą kartą melavo. Tai neatitinka sąlygos. Neatitinka sąlygos ir prielaida, kad nusikaltimą padarė Smitas. Nustačius, kad kaltas Braunas, paaiškėja, kad jis - nežymusis pilietis, Džonsas - apgavikas, Smitas visų gerbiamas miesto pilietis.
6.
1. a) taip; b) ne. 2. Arba abu teiginiai klaidingi, jei popierius, pavyzdžiui, žalias.
7.
1. Jei iš p seka q, tai iš q seka r. 2. Ne. 3. Kadangi išraiška 2 - 1 laikoma lygybe, tai abi jos puses galima pakeisti vienu ir tuo pačiu skaičiumi. 4. Vanduo skystis. Teisinga išvada gaunama iš klaidingų prielaidų. 5. Logiškas.
8.
1. Pakistų. 2. Nepakistų.
10. 2. Taip. Jis ekvivalentus teiginiui „Netiesa, kad mano draugas sakė tiesą arba aš sakiau tiesą". 3. M a n o draugas klydo, ir aš neklydau. 4. 11. l . ( p
~ q
p•
(p q • r) ~ (p · q • r).
r)->s.
2. ( p V q ) ^ p ~ q . 3. ( ą ^ p ) ^ r V s V i . 12. 1. Teisingas. 2. Klaidinga. 3. (Visi žmonės yra asilai arba žmonės) ir (asilai yra asilai) - teisinga. (Visi žmonės yra asilai) ir (asilai yra asilai) - klaidinga. 13. 2. a) Ne, turi būti (pVq) · r; b) taip. 14. l.Taip. 2. Ne. 16. Jei tiesos dievas stovėtų kairėje, tai jis sakytų, kad greta jo stovi arba melo dievas, arba dievas-diplomatas. Tačiau jis taip nesako. Vadinasi, kairėje - ne tiesos dievas. Jei tiesos dievas būtų centre, tai jis taip ir sakytų. Centre stovintysis taip nesako, vadinasi, jis - ne tiesos dievas. Taigi tiesos dievas stovi dešinėje. Kadangi jis visuomet sako tiesą, tai greta jo stovi melo dievas, o dievas-diplomatas stovi kairėje. 17. Netiksli antra prielaida. 18. 1. Ne visuomet teisinga. 2. Visuomet teisinga. 3. Visuomet teisinga. 19. 1. (pVpVq) · (pVqVq) · (qVpVq) · (qVqVq). 2. Taip. 3. (Λ/pVg) · (rVpVq).
4. pVq; pVq; pVq; (pVq · pVq); (pVq) · (pVq); (pVq) · (pVq); (pVq) · (pVq) • (pVq).
20. 1 . ( p p q ) V ( p q q ) . 2. (p · q) V (q · p). 3. Kai p teisingas ir q teisingas.
Ill 1.
SKYRIUS
l . a ) Yra toks χ, kuris yra žodis ir anglų kalbos būdvardis; b) yra tokie x, kurie yra žodžiai ir kurie yra vokiški skoliniai lietuvių kalboje. 2. a) Kiekvienas x, jei x yra, pavyzdžiui, dramaturgas, tai χ yra rašytojas; b) kiekvienas x, jei x yra, pavyzdžiui, ministerija, tai χ yra valstybinė įstaiga.
2. 1. a) Netiesa, kad yra toks x, kuris turi savybę F ir neturi savybės G; b) jei kiekvienas χ turi savybę F, tai y turi savybę F. 2. a) 3x[F(x) • G(x)];
b) V x [F(x)^G(x)];
c) V x [F(x)-^G(x)]; d) 3x[F(x) · G(x)]. 3.
l . a ) Netiesa, kad yra tokių, kurie seminarui nepasirengė; b) yra tokių, kurie seminarui nepasirengė. 2. Эх [F(x)VG(x)]—>[3xF(x)V3xG(x)]. 3. V x [[F(X)^FMUF(X)).
4. 1. Эх
F(x)->G(z).
2. ЗхЗу [F(x) · G(y)]. 3. VxF(x) VyG(y). 5. 1. Kiekvienas x, jei χ universitetas, tai χ mokslo ir studijų institucija. 2. Teiginys teisingas, kai teisingos visos jį sudarančios implikacijos. 6. 1. a) ir b) santykiai. 2. a), b) ir c) - trijų, d) - dviejų objektų. 7. 1. ЭхЭу UF(x) • G(y)]—>x/?y}. 2.Vx3y{[F(x) •
G(y)]->xRy}.
8. 1. Įvykio vieta buvo tardytojo apžiūrėta. 2. χ yra z duktė, o z yra y sesuo. 3. Stasys vyriausias, Zigmas vidurinysis, Bronius jauniausias.
9.
Tomas negali vesti Danutės, nes ji jo sesuo; jis negali vesti Birutės, nes ji vyriausia iš mergaičių (antraip bendras visų porų amžius nebūtų vienodas). Vadinasi, Tomas vedė Janiną. Pagal sąlygą, D o m o + Janinos metai = Broniaus ir Danutės metams. Tačiau Janina iš šios poros jau iškrinta, o Domui Birutė negali būti pora, nes ji vyriausia. Vadinasi, Domas vedė Danutę, o Bronius - Birutę.
10. 1. Ne. Antrame sakinyje žodį „Gražina" reikia rašyti su kabutėmis. 2. Pirmoje prielaidoje kalbama apie realų gyvūną, antroje - apie žodžio savybę. 11. 1. Iš ( p ^ p ) - > p . 2. Iš p · p. 13. 1. Neįvykdoma jokioje srityje. 2. Bendrareikšmė bet kurioje srityje, kurioje galioja pVp.
IV S K Y R I U S 1.
1 ir 4 - daug elementų, 2 - nulinė klasė, 3 - vienas elementas.
2.
1. Taip, jei kiekviename kambaryje yra tik vienas langas ir daugiau niekur langų nėra. 2. Taip.
4.
1. a) ne, gausime b) veiksmo rezultatą; b) ne, gausime a) veiksmo rezultatą. 2. a) praleistas skirstymo narys „normalus"; b) visumos skaidymas į dalis.
3. Klasę „finansų draugijos valdybos nariai" žymėsime r a i d e i , klasę „obligacijų savininkai" - raide B, klasę „akcijų savininkai" - raide C. Patogumo dėlei sudarysime dvi schemas:
W
f
3
A
2
į
\
J
1
\
B
Pirmas brėžinio plotas žymi tuos obligacijų savininkus, kurie nėra
\ V narius, 4 \ Уkurie б yra \ y obligacivaldybos nariai. Antras plotas žymi valdybos jų savininkai, bet ne akcijų savininkai. Trečias plotas žymi valdybos narius, kurie nėra nei obligacijų, nei akcijų savininkai. Ketvirtas plotas žymi tuos valdybos narius, kurie yra akcijų savininkai, bet neturi obli27 brėž. gacijų. Penktas plotas žymi valdybos narius, kurie yra ir obligacijų, ir akcijų savininkai. Šeštas plotas žymi tuos obligacijų ir akcijų savininkus, kurie nėra valdybos nariai. Septintas plotas žymi tuos akcijų savininkus, kurie nėra valdybos nariai ir neturi obligacijų. 5.
1.ХЁ0. 2. a) (/AcS)^(SoA). Atitinka (p^>q)-*(q^>p). b)
7.
[(AaB) • (бсС)МДс(бПС)]. Atitinka [(p->q) • (p-^r)]-Ąp->(q • r)].
1. a) operacinis; b) nominalinis. 2. a), b) ir c) - rato klaida, d) per siauras.
V
SKYRIUS
1.
2 ir 3 - daugiareikšmei logikai.
2.
1. d) teisingas, likusieji tikėtini. 2. Ne.
3. 4.
1. Lygi 1. 2. Lygi V3. 1. Lygil. 2.
\ Q p \
1
2
3
4
5
6
7
0
3 4 3 4
4 4 4 4
5 6 7 0
7 0 7
0 0 0
7 0 7 0
0 0 0 0
5 6 7
6 6 0 0 6
0 7 0 7 0
0 0 0 0 0
1
1
2
2 3 4
2 3 4
2 4
5 6 7 0
5
4 6
6 7
6 0 0
0
6 0 0
0
V l S K Y R I US 1.
1. Np. 2. Np.
2.
1. Fizinis. 2. Loginė negalimybė. 3. 1. Gali vyriškis teatre nedėvėti tamsaus kostiumo. 2. Negalima už aukštesnės kvalifikacijos reikalaujantį darbą geriau neatlyginti. 4. 1. Ne dėsnis. 2. Dėsnis.
6.
P 1 2 3
Mp
Mp
1 1 3
0 0 2
0
3
2
l.a) ne dėsnis; b) dėsnis. 2. (p · Mq)^p=^q.
N'p 3 0 3 0
MpMN'p 3 0 1 2
7.
1. M p . 2. Np.
8.
1. Taip. 2. Ne visuomet.
VII 2.
SKYRIUS
1. Pagrindinė norma. 2. Taisyklė. 3. Komanda.
3.
2. Socialine reikšme.
5.
1. a) privaloma daryti; b) turima teisė daryti. 2. Ne. 3. a) taip; b) ne, yra dar viena galimybė - x t o veiksmo privalo nedaryti.
6.
1. a) taip; b) ne. 2. Ip ~ (Pp · Op).
7.
1. Taip. 2. PlFp.
VIII 1.
SKYRIUS
Pirmasis vertinimo objektas - sveikata. Žiemos sportas vertinamas kaip priemonė. Vertinimo pobūdis reiškiamas absoliučiu vertinimu. Vertinimo pagrindas - sveikatingumo argumentas.
2.
1. Hedonistinis. 2. Instrumentinis. 3. Utilitarinis. 4. Techninis.
3.
1. Ne. 2. Taip. 3. Taip.
4.
1. a) G(p · p); b) / p ^ G p V H p . 2. a) taip; b) ne.
5.
1. HHp.
6.
3. Taip.
2. GHp. 7.
1. y ir z gali būti vienodos vertės. 2. Taip. 3. Taip.
IX S K Y R I U S 1.
2. (?x, · Ix2 • Ix3) p.
2.
1. Tikslinantis. 2. Papildantis. 3. Implikacinis. 4. Nekorektiškas.
3.
1. Neinformatyvus. 2. Nepilnas. 3. Replika.
X SKYRIUS 2.
1. a) sudėtinis, neturi denotato; b) paprastas, turi denotatą; c) sudėtinis, turi denotatą; d) sudėtinis, neturi denotato. 2. a) faktiškai klaidingas; b) pseudoteiginys; c) logiškai teisingas; d) absurdas.
4.
1. Neturi. 2. Ne.
5.
1. Pakeitus vardu „Torūnės astronomas", teiginys lieka teisingas. 2. Ne.
7.
1. Sintetinis. 2 ir 4 analitiniai ekstensionaliai. 3. Analitinis intensionaliai.
9.
1. Reikia apriboti žodį „kiekvienas". Negalimo trečiojo dėsnis netaikomas jam pačiam.
2. Tėra metakalbos teiginiai; rato klaida. 3. Panašus į „kirpėjo" paradoksą. 4. Uždrausti motinai pasakyti teiginį „Tu man vaiko negrąžinsi". 10. Teiginys „Romanų kalbos formavosi lotynų liaudies kalbos tarmių pagrindu" teisingas, jei ir tik jei romanų kalbos formavosi lotynų liaudies kalbos tarmių pagrindu.
XII 1.
1. Nededukcija.
2.
1. Populiarioji indukcija.
SKYRIUS
2. Gebėjimai pasireiškia ir išlieka įvairiame amžiuje. 3.
1. Nepagrįsta, lyginami objektai neturi bendrų esminių požymių. 2. Pagrįsta.
6.
LV 36 = V9. 2. Tikimybė, kad esame arti žemės, didesnė.
XIII 1.
SKYRIUS
Tezė: A arba jo oponentai turės atsisakyti savo pažiūros. Argumentai likusieji teiginiai. Įrodymo būdas - išraiška {[(p—>q) · (p—>r)\ • (pVp)}—» -KqVr).
2.
1. Ne. 2. Taip. 3. Antras pagrindimas svaresnis.
3.
1. Studijavo C. Įrodoma taip. Formalizavę atsakymus, gauname teiginius: A—>B ir C—>β. Iš sudėtinių teiginių neigimo žinome, kad išraiška C—ϊΒ ekvivalenti išraiškai C · B. Vadinasi, B logikos nestudijavo. Šią išvadą taikome pirmajam atsakymui: jei A-^B ir B klaidingas, tai pagal konsekvento neigimo dėsnį A taip pat klaidingas: [{A—>B) • β]—>A Vadinasi, A logikos taip pat nestudijavo. 2. A samprotavo taip: „Kiekvienas iš mūsų gali manyti, kad jo veidas švarus. B įsitikinęs, kad jo veidas švarus, ir juokiasi iš ištepto C veido.
Tačiau jei B matytų, kad mano veidas švarus, jį būtų nustebinęs C juokas, nes tokiu atveju C neturėtų priežasties juoktis. Tačiau B nenustebęs, vadinasi, jis gali manyti, kad C juokiasi iš manęs. Taigi mano veidas išteptas". Panašiai samprotavo ir kiti du išminčiai. 4.
1. Apeliuojama į žmogų. 2. Sutartis prieštaringa, neįmanoma kartu įvykdyti ir sutarties, ir teismo nuosprendžio, kad ir kieno naudai būtų paskelbtas nuosprendis. Nesilaikoma tapatybės dėsnio reikalavimo - Euatlas pasirodo kaip advokatas ir kaip atsakovas. Ginčą įmanoma išspręsti nepriklausomai nuo pastarosios situacijos dviem teismo procesais. Teismas tegali remtis sutartimi. Pirmame procese teismas atmeta Protagoro ieškinį, nes Euatlasjokios bylos dar nelaimėjo. Paskui Protagoras vėl teikia ieškinį, teigdamas, kad savo pirmąjį procesą Euatlasjau laimėjo. Teismas Protagoro ieškinį tenkina ir Protagoras gauna uždirbtąjį honorarą.
5.
Nepagrįsta analogija.
Xlll 1.
SKYRIUS
1. Bendras neigiamasis. 2. Dalinis teigiamasis.
2.
1. S ir P abu suskirstyti. 2. S ir P abu nesuskirstyti.
3.
e klaidingas, o klaidingas, i teisingas.
4.
Išvada „Jonaitytė (S) - auklėtoja (P)", „mokytojai" - vidurinysis terminas.
5.
Abi premisos neigiamos.
6.
Trečioji figūra.
Lietuvos universitetuose, akademijose ir kolegijose logika d ė s t o m a kaip privaloma arba pasirenkamoji disciplina. Šis leidinys pirmiausia skiriamas humanitarinių ir socialinių mokslų visų specialybių studentams, j u o gali naudotis kiekvienas, norintis susipažinti su šiuolaikine logika.
Romanas Plečkaitis LOGIKOS PAGRINDAI Viršelio dailininkė Eglė Jokubonytė SL 1689. 2009 09 10. 16,22 apsk. 1.1. Išleido „Tyto alba", J. Jasinskio g. 10, LT-Ol 112 Vilnius, tel. 2497453
[email protected] Spausdino U A B „Aušra", Vytauto pr. 23, LT-44352 Kaunas Užsakymas 875
Ši knyga - studijų vadovas, pateikiantis šiuolaikinės logikos pagrindus. Aiškinamos pamatinės logikos teorijos: teiginių, predikatų klasių logika, apibrėžimo teorija, daugiareikšmė, modalinė, deontinė logika ir kt. Plačiai dėstoma loginė semantika. Aiškinama dedukcinis metodas ir tikimybiniai samprotavimai. Logikos istorijos apybraižoje pasakojama apie svarbiausius šio mokslo raidos tarpsnius ir šiuolaikinės logikos susiformavimą. Skiriama įvairių specialybių studentams. Šiuolaikinė logika išdėstyta taip, kad ją be specialaus pasirengimo gali studijuoti kiekvienas, norintis susipažinti su jos pagrindais.
I S B N 978-9986-16-:•322-0 TYTOQALBA
www.tytoalba.lt
