¿Qué es la demostración matemática?

¿Qué es la demostración matemática?  Juan Carlos Ponce Campuzano  [email protected]

UQ 5 de febrero de 2015

1

La demostración es un ídolo ante el cual el matemático se tortura a sí mismo.

Sir Arthur Stanley Eddington

3

Contenido 1. La necesida necesidad d de de demos demostrar trar

7

2. Demostra Demostración ción matemátic matemática a

8

3. El método método axiomá axiomátic tico o

11

4. Conjet Conjetura urass

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4.1. Conjetura de Golbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.2. Conjetura de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. Tipos de demostra demostración ción

15

5.1. 5.1. Demo Demost stra raci ción ón por por cont contra radi dicc cció ión n o redu reducc cció ión n al absu absurrdo . . . . . . . .

15

5.2. Demostración por inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

5.3. 5.3. Demo Demost stra raci ción ón con con ejem ejempl plos os y cont contra ra-e -eje jemp mplo loss . . . . . . . . . . . . . .

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6. Fundamen Fundamentació tación n de la matemática matemática a través través de la demostrac demostración ión

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7. Coment Comentario arioss finales finales

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Apéndice

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A. Demostración Euclidiana

28

Referencias

33

5

1. La nece necesi sida dad d de demo demost stra rarr Observa Observa los siguientes siguientes triángulos: triángulos:

Figura 1:

Para cada triángulo se ha realizado la medición de sus ángulos internos con un instrumento de gran precisión, en este caso un programa llamado GeoGebra. Como puedes observar, en el triángulo ABC AB C  tenemos que α  =  47.33◦ β  =  67.79◦ y γ  =  64.89◦

Al sumar los ángulos obtenemos α + β + γ  =  47.33◦ + 67.79◦ + 64.89◦ =  180.01◦

Por otra parte, al sumar los ángulos δ =  98.8◦ ,  =  42.54◦ y ζ  =  38.67◦  del triángulo

D FE , obtenemos δ +  + ζ  =  98.8◦ + 42.54◦ + 38.67◦ =  180.01◦

Si trazamos otro triángulo diferente y medimos sus ángulos internos, el resultado de la suma de estos será cercano a 180 ◦   salvo algunas décimas de diferencia. Con  base en esto, podríamos afirmar que:  La suma de los ángulos internos de un triángulo

cualquiera es  180 ◦ , más o menos una pequeña diferencia en los decimales. 7

Es posible trazar más triángulos con la finalidad de medir los ángulos internos y verificar que se cumple la afirmación anterior. Sin embargo, es suficiente hacer una cantidad finita de casos para convencernos. De hecho, podemos establecer la siguiente  Conjetura:  18 0◦ . La suma de los ángulos internos de un triángulo cualquiera es igual a  180 La conjetura anterior se puede sustentar por la evidencia empírica que se obtiene al medir los ángulos internos y, posteriormente, sumarlos. Esta es una estrategia para  justificar la conjetura y difícilmente encontraremos un ejemplo que la contradiga. En este punto surge la pregunta: ¿Tendríamos que verificar esta Conjetura para todos y cada uno de los posibles triángulos que se pueden dibujar?

La respuesta es no. En matemáticas es posible realizar una comprobación que no dependa de la evidencia empírica. Este tipo de comprobación la podemos llamar demostración matemática  o  formal  o simplemente  demostración .

2. Demo Demostr strac ació ión n matem matemáti ática ca En la antigüedad, la evidencia empírica era suficiente para demostrar un hecho. Podemos utilizar la palabra Justificación para referirnos a una comprobación con base en la evidencia empírica. Actualmente, la justificación sigue siendo parte de la vida cotidiana en las pequeñas o grandes sociedades, sin embargo, con el desarrollo de las ciencias y en particular de las matemáticas, la justificación de algún hecho ha evolucionado en términos de la comprobación axiomática que ha dado lugar a la Demostración matemática . Como ejemplo, veamos a continuación una demostración

del siguiente:

ángulos internos de un triángulo triángulo es igual a  180 ◦ . Teorema 2.1. La suma de los ángulos 8

Sea ABC AB C  un triángulo cualquiera con ángulos internos α, β  y  γ , como se muestra en la Figura:

Figura 2:

Tracemos una recta  l  que pase por el vértice  B , paralela al lado AC , y prolonguemos los lados de los triángulos (Figura 3 (Figura  3). ).

Figura 3:

Consideremos los ángulos δ y    como se muestra en la Figura 3, que junto con el ángulo β  forman un ángulo llano, es decir, un ángulo de 180 ◦ . De esta manera, tenemos que δ + β  +   =  180 ◦ 9

Ahora, dado que la recta l  es paralela al lado AC , entonces los ángulos α y δ son iguales, por ser ángulos alternos internos. Lo mismo sucede con los ángulos γ y  (Figura 3 (Figura  3). ). En otras palabras  α  =  δ y  γ  =   . De lo anterior podemos deducir que

 18 0◦ α + β  + γ  =  180

Por lo tanto, hemos demostrado que la suma de los ángulos internos de un triángulo cualquiera es igual a 180 ◦ . Este tipo de demostración se debe principalmente a los griegos (siglo VII a. C.) y su mayor expositor es el famoso Euclides con su libro  Los Elementos1 [6]. Los griegos consideraron a las matemáticas como un cuerpo de conocimiento absoluto en donde los hechos matemáticos se establecían para cada caso sin excepción. La verdad de un hecho matemático debía establecerse, o comprobarse, no sólo por medio de la observación precisa o por la evidencia empírica. Los griegos tenían que evitar una situación en la que la validez de los resultados dependía de la experiencia, la intuición o suposiciones implícitas de cualquier individuo. La Geometría, por ejemplo, debía basarse en un número relativamente pequeño de los proposiciones fundamentales (conocidos como axiomas) que pueden ser fácilmente aceptados y todas las demás proposiciones deben ser demostradas a partir de estos axiomas mediante la aplicación de las leyes del razonamiento lógico. El enfoque axiomático de Euclides no sólo es de importancia histórica. Se convirtió en la idea central de las matemáticas que se desarrollaron posteriormente e incluso en las matemáticas actuales. Las estructuras matemáticas modernas se describen a menudo a través del método axiomático.

1 Para

ver otro ejemplo de demostración Euclidiana, ver Apéndice A Apéndice  A..

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3. El méto método do axiom axiomát ático ico El método axiomático, en su forma actual, consiste en realizar ciertas afirmaciones  básicas acerca de un grupo de conceptos matemáticos, usando algunos términos técnicos indefinidos o conceptos primitivos y algunos términos de la lógica clásica. Por regla general no se describen las significaciones de los términos lógicos, ni se formulan reglas acerca de su uso, ni los métodos disponibles para demostrar los teoremas. Las afirmaciones básicas se llaman axiomas o postulados, éstos describen relaciones entre las entidades indefinidas y las propiedades que las caracterizan. Los postulados o axiomas son proposiciones no definitorias ni demostradas. Dentro de un sistema axiomático se supone que pueden emplearse las reglas de la lógica clásica sobre la contradicción y el  Principio del tercero excluido2 para demostrar demostrar teoremas a partir de los axiomas. Una vez que se han establecido los términos técnicos indefinidos y los postulados, la teoría entera se encuentra determinada; en el sentido de que toda ella se puede derivar de los postulados, es decir, todo término de la teoría es definible a partir de los términos indefinidos, y toda proposición de la teoría es deducible, mediante argumentos lógicos, de los postulados. Lo anterior significa que una vez formulados los postulados de una teoría, cualquier otra proposición de la teoría tiene que demostrarse exclusivamente por deducción lógica a partir de los postulados. El carácter deductivo de la demostración matemática es la base de la certeza matemática, la demostración rigurosa de un teorema establece una comprensión condicional de que la proposición es verdadera siempre que sean verdaderos los postulados; la demostración de una proposición matemática significa que la proposición se deriva 2 El  principio

del tercero excluido, propuesto y formalizado por Aristóteles, también llamado  principio del tercero excluso o en latín  principium tertii exclusi, es un principio de lógica clásica según el cual la disyunción de una proposición y su negación es siempre verdadera.

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lógicamente de los postulados de la teoría. Una verdad matemática es irrefutablemente cierta porque carece de contenido empírico o factual. Una vez formulado un sistema de axiomas y de conceptos indefinidos, se procede a observar qué afirmaciones quedan implicadas, o pueden demostrarse o deducirse a partir del sistema. Una característica necesaria de un sistema axiomático es su consistencia, es decir, que los axiomas de un mismo sistema no se contradigan unos a otros. También es importante, pero no necesario, que los axiomas sean independientes, esto es, que un postulado de un sistema axiomático no pueda deducirse del resto de los postulados del sistema. Jean Cavaillès menciona además otra característica de un sistema axiomático, esta es, la saturación: “un sistema es saturado si la adjunción de todo nuevo axioma, independiente independiente de los precedentes, precedentes, hace que el sistema sistema sea contradictorio” contradictorio” [4 [4, p. 80].

4. Con Conjetu jetura rass A pesar de que la demostración ha formado parte esencial en el desarrollo de las matemáticas, los matemáticos algunas veces suelen tomar por verdadera una proposición (o afirmación) que no ha sido demostrada. Cuando una proposición no ha sido demostrada formalmente, se le denomina comúnmente Conjetura. Las conjeturas a menudo desempeñan un papel importante en el desarrollo de las matemáticas. Pueden surgir de la experimentación y observación que realizan los matemáticos en distintos contextos, tal y como lo hacen otros científicos. En ese caso, la conjetura forma parte de la naturaleza de una generalización. Los matemáticos pueden considerar una afirmación como verdadera para todos los casos porque han visto que es consistente para muchos casos y nunca han encontrado un caso para el cual no es cierto.

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Las conjeturas a veces veces resultan ser ciertas y otras veces veces se ha demostrado su falsedad. falsedad. Pero hay algunas conjeturas bien conocidas que se han resistido a los esfuerzos de los matemáticos para demostrarlas o incluso no se ha encontrado un argumento lógico formal para refutarlas. Un ejemplo de ello es la famosa conjetura de Goldbach.

4.1. 4.1.

Conje Conjetur tura a de Golbac Golbach h

En 1742 el matemático prusiano Christian Goldbach (1690-1764) escribió una carta al matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), comentando que “todo entero n mayor que 2 es la suma de dos números primos.” Euler estaba convencido de la veracidad de esta afirmación, aunque no fue capaz de demostrarla. Conjetura de Golbach:  Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos

números primos. Algunos ejemplos de la anterior conjetura son: 2  + 2 = 4, 5 + 3 =   8, 11 + 3 = 14, 7 + 3  =  10. Han pasado ya poco más de 270 años y nadie ha resulto esta conjetura. No se ha podido demostrar su validez ni su falsedad. Aunque existen algunas esperanzas pues actualmente actualmente existen matemáticos matemáticos profesionales profesionales enfocados enfocados en demostrar demostrar la conjetura, conjetura, tal es el caso del peruano Harald Andrés Helfgott quien, recientemente, hizo pública 3 una demostración de la conjetura débil de Goldbach a mediados de Mayo 2013: Conjetura débil de Golbach:  Todo número impar mayor que 5 puede expresarse como

suma de tres números primos. Se puede tener acceso a la demostración de Helfgott en el sitio  arXiv4 . Actualmente Actualmente se encuentra en revisión por expertos matemáticos. 3 Para 4 Sitio

mayores detalles al respecto consultar: [ consultar:  [10 10,,  11  11]]. auspiciado por la Universidad Cornell y por la   National Science Foundation.   Básicamente, es un archivo para

 borradores electrónicos de artículos científicos en el campo de las matemáticas, física, informática, biología cuantitativa, cuantitativa, entre otros temas: http://arxiv.org http://arxiv.org/ /

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4.2. 4.2.

Conje Conjetur tura a de Fermat Fermat

En 1637, Pierre de Fermat (1601-1665) conjeturó que: Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos  bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla. Se puede parafrasear lo anterior en lenguaje matemático moderno: Si n  es un número entero mayor mayor que 2, entonces no existen números enteros

x, y  y  z , tales que se cumpla la igualdad: xn + yn + zn . Actualmente ha dejado de ser una conjetura porque, en 1995, el matemático inglés Andrew Wiles demostró que efectivamente era cierto lo que Fermat había conjeturado. Hoy en día se le conoce como el  Último Teorema de Fermat , o  Teorema de Fermat-

Wiles, y es uno de los teoremas más famosos en la historia de la matemática. Wiles, en un artículo de 98 páginas publicado en  Annals of mathematics5, demostró el caso semiestable del  Teorema de Taniyama-Shimura , anteriormente una conjetura, que engarza las formas modulares y las curvas elípticas. De este trabajo, combinado con las ideas del matemático alemán Gerhard Frey y con el  Teorema de Ribet, se desprende la demostración del Último Teorema de Fermat6 [14 14]. ].

5 Actualmente 6 Consultar

http://math.stanford.edu/~lekhen ford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf g/flt/wiles.pdf se puede consultar en línea el trabajo de Wiles: http://math.stan [1 [1]  para una reseña histórica y análisis de la demostración de Wiles.

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5. Tipos ipos de demo demost stra raci ción ón Hay técnicas bien establecidas para la construcción de una demostración. La más común es un argumento  directo   que comienza con una lista de hechos e hipótesis aceptadas para proseguir después con el uso de la regla lógica conocida como modus

 ponens  para llegar a la conclusión deseada. Sin embargo, hay otros tipos que son de uso frecuente. frecuente. 5.1. Demostra Demostración ción por contradic contradicción ción o reducci reducción ón al absurdo absurdo

Este tipo de argumento, a menudo llamado indirecto  se basa en la regla lógica  modus

tollens o  reductio ad absurdum . Supongamos que queremos demostrar que A  implica B. Comenzamos la discusión al afirmar que B  no es cierto y luego vamos a mostrar que  A  o alguna otra hipótesis conocida debe fallar. Un ejemplo clásico es el siguiente:

√  Ejemplo: 2  es irracional. Como bien sabemos existen diferentes tipos de números o conjuntos de números. Tenemos por ejemplo, los números naturales N, enteros Z, racionales Q, irracionales I. Todos los anteriores, en conjunto, se denominan números reales y se expresan con

el símbolo R. En particular, un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción ba , donde a  y  b  son enteros, con b  diferente de cero, y donde esta fracción es irreducible. Algunos ejemplos de este tipo de números son:

√  √  √  Las raíces cuadradas de números primos: 2, 3, 5, etc.  ≈  ≈ 3.1415....

La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro: π  La constante de Euler:  e

≈ 2.7182...

Regresando Regresando a nuestro nuestro ejemplo, la proposición proposición que deseamos demostrar es la siguiente: 15

√  Proposición. 2 es irracional.7 Como podemos apreciar, apreciar, la proposición anterior no tiene la forma A  implica  B  ( A

B), pero es posible establecerla de esta manera. Esto es, Proposición. Si x es un número real tal que x 2 =  2 , entonces x =

⇒

√ 2 es irracional.

√   Para demostrar que  x = 2 es irracional, procederemos de tal mane-

Demostración.

ra que en el proceso encontraremos alguna contradicción.

√  √  Supongamos que x = 2 no es irracional. Es decir, x = 2 es racional. Entonces √  supongamos que x = 2 puede ser escrito como una fracción irreducible, es decir, √  se puede escribir de la siguiente forma x = 2 = p , donde p y q  son enteros cuyo q

máximo común divisor es 1. De aquí deducimos lo siguiente 2 =

 p 

2

q

2q 2 = p 2 Entonces, dado que 2q2 = p2 , se tiene que p y q  deben ser pares, lo cual contradice nuestra suposición del máximo común divisor entre p y  q . 5.2. 5.2.

Demos Demostra tració ción n por por inducc inducción ión

Para demostrar que algunos resultados son válidos para todo conjunto de números naturales  n , en una demostración por inducción se verifica primero el resultado para el valor más pequeño de  n . Posteriormente, a partir de un valor fijo  n , se demuestra su verdad para el valor superior inmediato. Esto se puede comparar con subir una escalera peldaño a peldaño. En primer lugar, uno se debe asegurar que se encuentra en el escalón más bajo, y luego comprobar que no importa qué peldaño hemos alcanzado, siempre se puede llegar al siguiente.

7 Otra

forma equivalente es:

√ 2 no es racional. 16

Ejemplo:

natural se cumple cumple que Proposición. Para cada n natural 1 + 3 + . . . + (2n + 1) =  n 2.

Demostración. Dado que 12 =  1, el resultado se cumple claramente por el valor más

pequeño pequeño de n, el cual es 1. Si aceptamos este resultado para  n  =  m , entonces, entonces, cuando

n  =  m  + 1, el lado izquierdo se convierte en 1 + 3 + . . . + (2m

− 1) + (2(m + 1) − 1) = m2 + (2m + 1) = (m + 1)2,

lo cual da el resultado deseado cuando  n  se remplaza por  m  + 1. 5.3. Demostra Demostración ción con ejemplos ejemplos y contr contra-eje a-ejemplo mploss

Por lo general, los matemáticos hacen conjeturas y tratan de demostrar si son ciertas o falsas. La comprobación de conjeturas puede ser por medio de casos concretos, por ejemplo, ejemplo, consideremos consideremos la siguiente siguiente fórmula

P(n) = n 2 + n + 41

(1 )

Si sustituimos valores enteros positivos en la fórmula, podemos observar que obtenemos números primos. Los números primos para  n =  0,  0, 1, 2, 3 . . . so son 41 41, 43, 47, 53 . . . Entonces, Entonces, podríamos podríamos conjeturar conjeturar que:

( 1) produce un número primo. Conjetura. Para todo número entero positivo, la fórmula (1 Sin embargo, la fórmula (1 (1) funciona solo para valores de n  desd  desdee 0, 1, 2, . . . hasta hasta 39. En el caso de  n  =  40 se produce un número cuadrado. Es decir

P(40) =  40 2 + 40 + 41  =  1681  =  41 2 De esta manera, con un ejemplo específico hemos demostrado que la fórmula (1 (1) no da un número primo para todo  n . Por lo tanto, nuestra conjetura es falsa. 17

De hecho, se sabe que no existe una función polinómica polinómica no constante constante f (n) que evalúe números primos para todos los enteros positivos n. Esto se puede establecer como un teorema: teorema:  ([ 9], p. 186).  No existe un polinomio f (n)  no constante, con coeficientes enteTeorema 5.1  ([9

ros, tal que tome valores primos para todos los enteros positivos n. Demostración. Supongamos que existe dicho polinomio. Sea

 f (n) =  a k nk + ak−1 nk−1 + . . . + a1 n + a0 un polinomio tal que ak =  0 para todo k =  0, 1, 2, 3, . . . el cual cual toma toma val valor ores es prim primos os para todos los enteros positivos  n .

 

Entonces f (0) =  a 0  es un número primo y f (ta 0 )  también lo es para todos los valores posibles posibles de t  =  1,  1, 2, 3, . . . Pe Pero

 f (ta 0 ) =  a k tk a0k  + ak−1 tk−1 a0k−1 + . . . + a1 ta 0 + a0 De aquí podemos deducir que a0   divide a f (ta 0 )  para toda t. Dado que f (ta 0 ) es primo, necesariamente

 f (ta 0 ) =  a 0 para toda t  =  1,  1, 2, 3, . . . De esta manera, el polinomio f (n)  toma el valor  a 0  infinitas veces y por lo tanto f (n) debe ser constante. Esto es un contradicción. Por lo tanto, no existe un polinomio

 f (n)  no constante, con coeficientes enteros, tal que tome valores primos para todos los enteros positivos  n .8 Consideremos Consideremos ahora la siguiente: siguiente: Conjetura.  Cada fracción n4 , donde n es un entero positivo mayor que 2, se puede escribir

como la suma de tres enteros recíprocos y distintos 1a + 1b + 1c , donde a y b y c son enteros  positivos diferentes entre sí. 8 Este

es otro ejemplo de demostración por contradicción.

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Un ejemplo en particular de la conjetura anterior es 1 1 1 1  +  + = . 8 20 40 5 Este ejemplo valida la conjetura para el caso de n =  5. Es posible comprobar una cantidad muy grande de casos específicos, pero en este caso nadie ha encontrado un argumento general que aplique a todos los casos de n. Para demostrar que es falsa esta conjetura, solamente se debe encontrar un caso en particular de n  en el cual una representación que deseamos es imposible (¿Podrías encontrar un ejemplo para el cual no se cumpla la conjetura?). Como último ejemplo, observemos que los números 31, 331, 3331 son primos y podríamos conjeturar que cualquier número, que se forman por dígitos de 3 con excepción del último, son primos. Sin embargo, para demostrar que esto es falso podemos usar el ejemplo 333333331, el cual es un número compuesto pues 333333331  =  17

× 19607843.

6. Fundam Fundament entació ación n de la matem matemátic ática a a trav través de la la demost demostrac ración ión Claramente, la demostración es el proceso central en un sistema axiomático y es central en las diferentes teorías matemáticas, e incluso en la práctica. El enfoque axiomático fue adoptado por Euclides y se ha convertido en un paradigma fundamental de las matemáticas. Sin embargo, la demostración no sólo es un proceso para validar una nueva verdad matemática en general, incluso va más allá de los confines de un sistema axiomático. Debido a que es un procedimiento y no un resultado, una demostración puede ser válida en sí misma, incluso si se parte de premisas falsas o inválidas. Normalmente, por supuesto, una demostración comienza con proposiciones verdaderas conocidas verdaderas y culmina con una nueva proposición que, una vez demostrada, se convierte en un teorema y representa nuevos conocimientos matemáticos. 19

¿Es necesario demostrar formalmente cualquier hecho matemático?

La respuesta es «no». Es cierto que la demostración es esencial en matemáticas, pero incluso algunos matemáticos profesionales aceptan hechos matemáticos sin demostrar [3 [3]. Han existido diversos intentos por sistematizar las matemáticas y las leyes que las gobiernan. Uno de los primeros en realizar esta labor fue Euclides, el cual, como ya se mencionó antes, intentó derivar todas las reglas de la geometría a partir de axiomas básicos. Posteriormente, filósofos y matemáticos como René Descartes, Immanuel Kant, Frank Boole, Gottlob Frege y Giuseppe Peano intentaron hacer lo mismo con otras ramas de las matemáticas. Los matemáticos ingleses Bertrand Russell y Albert North Withehead trabajaron con juntamente para tratar de re-elaborar todas las matemáticas a partir de unos cuantos principios básicos, tal como había hecho Euclides dos mil años atrás, en lo que ellos denominaron denominaron “teoría de los tipos”. Como resultado resultado de este método publicaron, publicaron, entre 1903 y 1910, un tratado monumental, titulado Principia Mathematica  (Principios Matemáticos). Desafortunadamente, la obra era tan vasta y compleja que nadie quedó convencido de que a partir de sus postulados podrían derivarse todas las demostraciones posibles sin caer jamás en contradicciones (Figura 4 (Figura  4). ). Todo el esfuerzo intelectual de filósofos y matemáticos por establecer que era posi ble demostrar formalmente cualquier hecho matemático se vio mermado cuando, en 1931, apareció un personaje que acabaría con los sueños de aquellos que considera ban a las matemáticas como un cuerpo de conocimientos absoluto e infalible. El matemático austriaco Kurt Gödel demostró que no era posible demostrarlo todo en matemáticas. En contra de lo que pensaban la mayoría de los especialistas: Para ser más precisos precisos,, Gödel Gödel demostró demostró que en Las matemáticas son incompletas. Para los   Principia Mathematica   podía existir una proposición que al mismo tiempo fuese verdadera e indemostrable. Esto ocurriría con cualquier sistema axiomático, con cualquier tipo de matemáticas existente ahora o que pudiera existir en el futuro.

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Figura 4:   Principia Mathematica : Suma aritmética de cardinales, página 77.

Godël, en 1931, publicó un artículo titulado  Über formal unentscheidbare Sätze der Prin-

cipia Mathematica und verwandter Systeme. (Una traducción al español sería:  Acerca de la proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas relacionados) en la revista alemana  Monatshefte für Mathematik und Physik . El teorema principal de dicho artículo es el siguiente:

21

Teorema de Gödel [7 [ 7]:

 A cada clase k w-consistente y recursiva de formulae corresponden signos s ignos de clase r recursivos, recursivos, de modo que ni v  Gen  r ni Neg  (v  (v  Gen  r) pertenecen pertenecen a  Flg (k) (k) (donde (donde v es la variante libre de r). Cabe mencionar que Gödel publicó su teorema originalmente en alemán y quizá parece que sigue estando en ese idioma. Una versión más inteligible es la siguiente: Toda formulación axiomática de teoría de los números incluye proposiciones indecidibles.

Básicamente, Gödel estableció que en cualquier sistema (en cualquier ciencia, en cualquier lengua, en cualquier mente) existen aseveraciones que son ciertas pero que no pueden ser comprobadas dentro de ese sistema. Incluso si un teorema es cierto, resultaría resultaría matemáticamente matemáticamente imposible demostrarlo. demostrarlo. La mente humana, la cual existe dentro de un universo limitado, no puede percibir una entidad inmensa que se extienda más allá de los confines de un sistema. El teorema de Gödel está relacionado de alguna manera con el teorema de George Cantor (1845-1918) acerca de la no existencia de un número cardinal mayor que cualquier otro. Esto es, Cantor demostró que dado cualquier conjunto (por muy grande que este sea, finito o infinito), existe un conjunto más grande: el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto dado. Dado cualquier sistema infinito, existe siempre un sistema infinito más grande, uno cuya carnalidad es mayor. Dentro de cualquier sistema limitado, existen entidades que no pueden ser percibidas o alcanzadas o demostradas, por lo cual necesitaríamos movernos a un sistema mayor para comprender esas entidades, pero cuando hacemos eso, nos encontramos con sistemas más grandes y entidades que se encuentran más allá de éstos. Podemos hacer una analogía con el sistema operativo de una computadora para ejemplificar como es que un sistema es incompleto con respecto a algunos teoremas. Supón que estás trabajando en un documento de algún programa en tu computadora (por ejemplo un procesador de texto), el cual puedes ver en tu pantalla. Puedes 22

hacer diferentes cosas en el documento: escribir, mover texto, insertar fotos, mover fotos, cortar y pegar información, entre muchas otras cosas. Sin embargo, no es posible borrar el documento en el cual estás trabajando dentro del documento mismo. Para hacer esto, necesitas salir del documento y realizar la operación dentro de otro sistema mayor. El teorema de Gödel es de gran importancia para los matemáticos, y también para los filósofos, pues nos enseña que algunos teoremas nunca se pueden demostrar. Esta es una idea perturbadora por muchas razones. El principal objetivo de las matemáticas es construir una estructura de verdades: teoremas, lemas y corolarios, todos construidos paso a paso a partir de un conjunto básico de principios llamados axiomas, usando las leyes de la lógica. La demostración de Gödel del teorema de incompletitud demostró que no importa que tan cuidadosos sean los matemáticos para diseñar un sistema lógico de principios iniciales sobre los cuales se construya la aritmética, el álgebra, el análisis y todo el resto de las matemáticas, tal sistema nunca podrá ser completo. En cual cualquier sistema, siempre habrá preguntas que no pueden ser contestadas. El sistema siempre contendrá cuestiones indecidibles (no demostrables), sin importar si estas son ciertas o no.

7. Come Coment ntari arios os fin finale aless La demostración en matemáticas es esencial para la construcción del conocimiento matemático. Básicamente, ha permitido establecer hechos generales que trascienden la experiencia y percepción humana. Las demostraciones matemáticas pueden considerarse como portadores de conocimiento [13 [13], ], las cuales permiten el desarrollo ulterior de ideas, conceptos e incluso teorías. En la actualidad, la tecnología computacional es una componente que no puede pasar inadvertida. Con el desarrollo de las computadoras, la demostración en matemáticas ha sufrido cambios drásticos. La ventaja con las computadoras es que son capaces de 23

realizar una cantidad extensa de operaciones en un tiempo considerablemente corto. Así que, para el caso de problemas matemáticos donde se pueden utilizar métodos discretos, es posible establecer demostraciones en este contexto. ¿Será posible que una computadora pueda realizar una demostración matemática como lo hace un matemático experto? Si eso es posible, ¿serán aceptables dichas demostraciones en el futuro? Sin duda, la naturaleza de la demostración seguirá evolucionando, pues existe una componente social que interviene sobremanera su desarrollo.

24

Apéndice

Proofs rather than the statement-form of theorems are the bearers of mathematical knowledge. Yehuda Rav [13 [ 13]]

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A. Demo Demost stra raci ción ón Eu Eucl clid idian iana a Proposición 11, Libro I:  Trazar una línea recta que forme ángulos rectos con una recta

dada, desde un punto dado en ella. Antes de proceder con la demostración de Euclides, mencionaré algunos de los resultados previos que él utiliza: Definición 10:  Cuando una recta levantada sobre otra recta forma ángulos adyacen-

tes iguales entre sí, cada uno de los ángulos es recto y la recta levantada se llama perpendicular a aquella sobre la que está. Proposición 1, Libro I:  Construir un triángulo equilátero sobre una recta finita dada. Proposición 3, Libro I:  Dadas dos rectas desiguales, quitar de la mayor una recta igual a la

menor. iguales respectivam respectivamente ente Proposición 8, Libro I:  Si dos triángulos tienen dos lados del uno iguales a dos lados del otro y tienen también iguales sus bases respectivas, también tendrán iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales. Con base en lo anterior, podemos proceder con la demostración de Euclides. Demostración.

Sea AB  la recta dada y sea  C  un punto cualquiera en AB . Así pues, hay que trazar una línea recta que forme ángulos rectos con la recta AB  desde C.

Figura 5:

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Tómese un punto  D  al azar entre  A  AC C  y hagamos CE  C E igual a  CD  C D [Proposición 3, Libro I].

Figura 6:

Sobre D  DE E, construir un triángulo equilátero  D  DFE FE  [Proposición 1, Libro I] y finalmente tracemos  CF  C F.

Figura 7:

Euclides afirma que  CF  C F  es perpendicular a AB . Y lo demuestra de la siguiente manera: Consideremos los triángulos  D  DC C F y  EC  E C F. Por hipótesis,  D  DC C  es igual a  CE  C E  y además

C F  es un lado común. Por lo tanto, los ángulos  D  DC C F y EC  E C F  son iguales [Proposición 8, Libro I]; y además son adyacentes. Cuando la recta C F  se levanta sobre otra recta ( AB ) y hace los ángulos adyacentes iguales entre sí, entonces cada uno de los ángulos es recto [Definición 10]. Por lo tanto, cada uno de los ángulos  D  DC C F y  EC  E C F  es recto. Por consiguiente, ha sido trazada la línea  CF  C F  que forma ángulos rectos con la recta dada AB , desde el punto  C  en ella.

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Figura 8:

Comentarios

La demostración de Euclides es suficiente para sus propósitos. Es posible extender el resultado de tal manera que el punto  C esté en cualquier parte de la recta  A  AB B (aunque para ser más precisos, ésta recta es un segmento) y el punto D no necesariamente esté entre A  y  C . La idea principal es realizar una extensión del segmento AB  para que se considere una recta cualquiera que pase por los puntos A y  B . Sobre esta recta se puede construir un triángulo equilátero cualquiera, cuyos vértices están definidos sobre la recta definida por los puntos A  y  B  (Figura 9  (Figura  9). ).

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Figura 9:

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Referencias [1] Aczel, A. D. (2005).  El último teorema de Fermat.  México. Fondo de Cultura Económica. 14 [2] Bloch, E. D. (2011).  Proofs and fundamentals: a first course un abstract mathematics. Springer Science+Business Media. New York. [3] Brown, J. R. (2008).  Philosophy of Mathematics: A Contemporary Introduction to the

World of Proofs and Pictures.  2d. ed. Taylor & Francis Group. New York. 20 [4] Cavaillès, J. (1992).  Método axiomático y formalismo.  México. Servicios Editoriales de la Facultad de Ciencias, UNAM. 12 [5] Devlin, K. (1994).  Mathematics: The science of patterns.  New York: Scientific American Library. [6] Euclides. (1991). Los Elementos.  Libros I-IV. Madrid: Gredos. (Col. Biblioteca Clásica Gredos No. 155). Traducción del griego al español de Ma. Luisa Puertas Castaños. 10 [7] Gödel. K. (1992).  On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and

related systems.  Dover Publications. New York. 22 [8] Hanna, G. & Barbeau, E. (2008). Proofs as bearers of mathematical knowledge.

ZDM Mathematics Education, 40, 345-353. [9] Hardy, G. H. and Wright, E. M. (1979).  An Introduct Introduction ion to the Theory of Numbers Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press. 18 [10] Helfgot, H. A. (2013) Minor arcs for Goldbach’s Problem. Available as:   http: //arxiv.org/abs/1205.5252 13

[11] Helfgot, H. A. (2013a) Major arcs for Goldbach’s Problem. Available as:   http: //arxiv.org/abs/1305.2897 13 32

[12] Kline, M. (1972).  Mathematical Thought from Ancient to Modern Times.  New York. Oxford University Press [13] Rav, Y. (1999). Why do we prove theorems?  Philosophia Mathematica, 7(1), 5-41. 24,,  26 24 [14] Wiles, A. &, Taylor, R. (1995). Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem.

 Annals of Mathematics  3  (142). p. 443-551. 14

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