Universidad de Concepción Departamento de Ingeniería Civil
Asociación Chilena de Sismología e Ingeniería Antisísmica
N°A04-02 ESTIMACIÓN DE LA LA INCERTIDUMBRE INCERTIDUMBRE ALEATORIA DEL PUNTO DE DESEMPEÑO DE UNA EDIFICACIÓN ESENCIAL ESENCIAL J.A. Prieto–S.1 E.E. Muñoz-G.2 D.M. Ruiz-V.3 A.M. Ramos-C.4 1.- Instituto Geofísico Universidad Javeriana. Bogotá-Colombia
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RESUMEN Para determinar la incertidumbre en el punto de desempeño de una edificación es necesario tener en cuenta, tanto la variabilidad de la demanda sísmica en términos de espectros de aceleración como la variabilidad en las curvas de capacidad de las edificaciones, por medio del análisis estático no lineal “push-over del modelo estructural del edificio. Para cuantificar esta incertidumbre, se realizó una modelación de Montecarlo, donde las variables del problema fueron la amenaza sísmica y la variabilidad en la resistencia del concreto. Del análisis estadístico de los puntos de desempeño arrojados del análisis de Montecarlo, es posible establecer diferentes niveles o estados de daño, semejantes a los que se muestran en la metodología FEMA/NIBS (1999). Para cada nivel de daño se obtuvo la función de densidad de probabilidad con sus respectivos parámetros. De los parámetros estadísticos de cada nivel de daño para Bogotá (Colombia) se obtiene que una estructura de esta tipología en Bogotá presentará daño extenso y completo a menores niveles de desplazamiento espectral, si se comparan con los presentados en la metodología FEMA/NIBS (1999).
Congreso Chileno de Sismología e Ingeniería Antisísmica IX Jornadas, 16-19 de Noviembre de 2005, Concepción - Chile
Palabras Clave: Incertidumbre aleatoria, Punto de desempeño, Estados de daño, Curvas de fragilidad, Bogotá
1.INTRODUCCIÓN El conocimiento de las incertidumbres involucradas en el proceso de estimación del punto de desempeño espectral de una estructura, es esencial tanto para el diseño como para la estimación de riesgo y pérdidas esperadas por futuros sismos. La estimación de estas incertidumbres no se realiza frecuentemente y menos para una edificación determinada. En este trabajo se cuantifica la incertidumbre aleatoria del punto de desempeño de una edificación esencial en Bogotá a partir del conocimiento de las incertidumbres tanto de la curva de capacidad, las cuales están asociadas con la variabilidad en la resistencia del hormigón, como la del espectro de demanda. La incertidumbre aleatoria en la curva de capacidad se estima por medio de un análisis estático no lineal de “pushover” del modelo estructural del edificio. Para estimar la variabilidad en el espectro de demanda, se utilizan los espectros de amenaza uniforme en los que se calcula la incertidumbre como una función de la variabilidad de la ecuación de atenuación.
2. AMENAZA SÍSMICA Para evaluar la amenaza sísmica, se utilizó el método de generación de espectros uniformes, basado en las ideas introducidas por Johnson (1973) y McGuire (1977). Para la simulación de Montecarlo se generaron cien (100) espectros uniformes de aceleración con un amortiguamiento respecto al crítico de 5%, correspondientes a un periodo de retorno mediano de 475, en el sitio de emplazamiento de la edificación esencial (Bogotá – Colombia). La edificación objeto de estudio, está localizada en el extremo oriental de Bogotá, donde aflora la Formación Arcillolitas rojas. La velocidad de ondas de corte Vs es de aproximadamente 750 m/s (IGUJ, 2002) por lo que no fue necesario tener en cuenta los efectos asociados debido a amplificación de la onda por el suelo.
2.1 Modelo Sismológico
Se tomó en cuenta un área de influencia con radio de 200 kilómetros centrada en el sitio de ubicación de la edificación analizada. El modelo sismológico utilizado fue el propuesto por INGEOMINAS Y UNIANDES (1997). Este modelo divide la sismicidad del área de influencia de Bogotá en 16 fuentes. Cada una de las fuente se caracteriza por la geometría (latitud, longitud), profundidad promedio, ángulo de buzamiento, νo (tasa de ocurrencia de magnitudes mayores o iguales a m o) - Mu (Magnitud última) - β (Parámetro de la ecuación de Richter).
Congreso Chileno de Sismología e Ingeniería Antisísmica IX Jornadas, 16-19 de Noviembre de 2005, Concepción - Chile 2.2. Evaluación de la amenaza sísmica
La metodología básica para la evaluación de la amenaza sísmica fue introducida por Cornell (1968). La teoría de probabilidad facilita los elementos requeridos para la estimación de la amenaza, envolviendo tantas variables como se desee. Es decir, modelos muy complejos pueden ser idealizados usando teoría de probabilidad simple. La tasa anual de excedencia de un valor de aceleración espectral dado ν ν , es decir, el inverso del periodo de retorno Tr, fue calculada por medio de la Ec.2.1. n
ν =
n
∑1 ν = ∑1 ν , ∫ i
i=
mo i
i=
m max
mo
∫
r max
ro
P( SA ≥ sa / r , m) f ( r / m) f (m) drdm
(2.1)
donde n es el número de fuentes, 16 en este caso, ν ν mo,i es la frecuencia anual de excedencia de la magnitud mo en la fuente i, mmax es la magnitud última, denominada también Mu para cada fuente. rmax es la distancia máxima entre el sitio y la fuente, P(SA ≥ sa/ r,m) es la probabilidad condicional de exceder SA dado una distancia r y una magnitud m, f(r/m) es la función de densidad condicional de exceder SA dada una magnitud f(m) es la función de densidad de probabilidad acotada de la magnitud
2.3. Ecuación de Atenuación
Para la generación del espectro uniforme de amenaza en roca se tuvo en cuenta la relación de atenuación para ordenadas espectrales propuesta por Ambraseys et al (1996), donde la forma general está dada por la Ec. 2.2. Log (y) = C1 + C2 M + C3 r + C4 log (r) + σ P
(2.2)
El valor de y es la variable a predecir, en este caso la aceleración pico horizontal a nivel del terreno, M, es la magnitud de ondas superficiales, r es la distancia en kilómetros, C 1, C2, C3 y C4 son coeficientes determinados en la regresión. σ es la desviación estándar del logaritmo decimal de los datos y P es el número de desviaciones estándar, donde P = 0 indica el promedio. Para la generación de los espectros uniformes se utilizaron como base los valores de aceleración espectral para T=0.3 seg y T=1.0 seg. Para las demás ordenadas espectrales se utilizó la metodología propuesta en ATC40 (1996). La desviación estándar del logaritmo decimal de la aceleración para periodo 0.3 y 1.0 segundos es de 0.30 y 0.32 respectivamente.
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Con el valor promedio de la aceleración para un periodo de retorno de 475 años, obtenido del análisis de la amenaza sísmica y con la desviación estándar de las ecuaciones de atenuación de las ordenadas espectrales, se procedió a generar espectros que siguieran una función de distribución lognormal. De esta forma se tuvo en cuenta la variabilidad en los espectros de capacidad que afectarían a la edificación en estudio. Lo anterior, para realizar el análisis de Montecarlo.
3. VARIABILIDAD DE LA RESISTENCIA DEL CONCRETO EN COLOMBIA Uno de los factores que intervienen en la variabilidad del punto de desempeño de una edificación son las propiedades mecánicas del concreto, específicamente el f´c. La función de densidad de probabilidad de la resistencia a la compresión del concreto f´c es del tipo Log-Logistic, de acuerdo con los resultados obtenidos por Prieto et al, (2005). En el estudio desarrollado por Prieto et al, (2005), se tomaron los datos de los ensayos realizados por Amézquita (1995) para toda Colombia, y se analizaron en forma de probabilidad condicional. El condicionamiento de las funciones de densidad de probabilidad se basó en la resistencia de diseño, la ciudad origen de los agregados pétreos. El trabajo realizado por Amézquita (1995) es la dirección de una secuencia de 12 proyectos de grado realizados por estudiantes de Ingeniería Civil de la Pontificia Universidad Javeriana, donde el objetivo principal era generar una aproximación del módulo de elasticidad que represente mejor las características del concreto que se utiliza en diferentes ciudades de Colombia. En este trabajo se fallaron 1922 cilindros. La función de distribución de probabilidad (Ec.3.1) y la acumulada (Ec.3.2) del tipo Log – Logistic, para la ciudad de Bogotá y f´c = 210 kg/cm 2 se caracterizan por las siguientes ecuaciones,:
α ⋅ t α −1 f ( x ) = β ⋅ (1 + t α ) 2 F ( x ) =
1 α 1
1+
(3.1)
(3.2)
t
Donde
t ≡
x −
β
(3.3)
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El domino de la función es desde un valor determinado γ hasta infinito. La variable aleatoria en este caso es x. Se generaron cien (100) números aleatorios que siguieran la función de distribución de probabilidad LogLogistic para la resistencia del concreto f´c para utilizarlos en el método de Montecarlo. Se utilizó como parámetros de la función de densidad Log-Logistic: α =8.93, β =240.19, γ = 0 (Prieto et al., 2005).
4. ESPECTROS DE CAPACIDAD, DESEMPEÑO
ANÁLISIS NO LINEAL PUSH-OVER, PUNTOS DE
4.1. Descripción de la edificación
La edificación esencial está conformada por varias estructuras construidas en diferentes épocas; por lo tanto, las características de los materiales utilizados y los sistemas constructivos cambian de acuerdo a cada una de ellas. En la Tabla 4.1 se presenta un resumen de las principales características de las diferentes edificaciones que componen la edificación.
Tabla 4.1. Descripción de las estructuras de la edificación esencial Estructura
Sistema estructural
Tipo de entrepiso
Fecha de Construcción
Tramo A y B
Sistema aproximado de pórticos de concreto resistentes a momento. Sistema aproximado de pórticos de concreto resistentes a momento del primero al tercer piso. Pórticos de concreto del cuarto al sexto piso.
Reticular celulado (Capitel aligerado) Reticular celulado del primero al tercer piso(capitel macizo) y placas aligeradas armadas en una dirección. Reticular celulado.
1952 – 1955
Tramo C
Tramo D Tramo E Tramo F Ampliación de 1993 Tramo G Tramo H
Sistema aproximado de pórticos de concreto resistentes a momento. Sistema aproximado de pórticos de concreto Pórticos en concreto reforzado resistentes a momento. Pórticos en concreto reforzado resistentes a momento. Pórticos en concreto reforzado resistentes a momento.
Reticular celulado Losa armada en una dirección. Losa armada en una dirección. Losa armada en una dirección.
1952 – 1955 del primero al tercer piso. 1980 del cuarto al sexto piso. 1955 Antes de 1952 1992-1993 1979 1995
Teniendo en cuenta la clasificación de la edificación en términos de la metodología del FEMA/NIBS(1999), esta se define como C3H (“flat slab”), es decir una edificación en pórticos de concreto con mampostería no reforzada con número de pisos mayores a 8. El pórtico utilizado para la modelación, pertenece al Tramo B, que fue construido en 1955, dado lo anterior, sería una edificación construida antes de la normativa sismorresistente en Colombia.
Congreso Chileno de Sismología e Ingeniería Antisísmica IX Jornadas, 16-19 de Noviembre de 2005, Concepción - Chile 4.2. Análisis de Pushover
Para llevar a cabo los análisis de Pushover de la edificación en estudio se seleccionó un pórtico plano en el sentido corto de la estructura. Para cada elemento estructural se incluyeron las principales propiedades mecánicas lineales y no lineales para cada uno de los 100 valores de f´c expuestos en el apartado 3. Para ello se definieron diferentes rotulas plásticas a flexión y a cortante teniendo en cuenta las deficiencias detectadas en los elementos estructurales y considerando que el sistema estructural del edificio es reticular celulado con capiteles aligerados susceptibles de presentar fallas a cortante y/o punzonamiento. Teniendo en cuenta lo anterior y con base en ATC 40 (1996), se realizaron cien (100) análisis no lineales estáticos de pushover, para cada f´c. En la figura 4.1 se presenta un esquema del pórtico analizado y la sección transversal de las columnas del primer piso.
Figura 4.1 a) Esquema del pórtico plano analizado b) Sección transversal de las columnas del primer piso del pórtico La carga incremental del análisis de pushover se aplicó de manera proporcional a la masa de cada uno de los grados de libertad de los nudos del pórtico plano. Se anota que el análisis no lineal estático se controló por los desplazamientos horizontales de los nudos del último piso. Con base en este modelo se obtuvo las curvas de capacidad del pórtico plano en formato ADRS (Desplazamiento espectral vs. aceleración espectral) que se muestra en la Figura 4.2. 0.12 , l a r t c e p s ) e g n % ( ó i a c S a r e l e c A
0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0
100
200
300
400
Desplazamiento espectral, Sd(mm) fc=14.383 MPa(Mínimo)
fc=43.762 MPa(Máximo)
fc=24.16 MPa(Valor medio)
Figura 4.2 Curva de “Pushover” para uno de los pórticos planos del módulo B de la edificación esencial en formato ADRS
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Por otro lado se transformaron los espectros analizados al formato ADRS con el fin de establecer los puntos y niveles de desempeño de la estructura con cada uno de ellos. Los espectros utilizados se refieren a aquellos generados para el análisis de Montecarlo según el procedimiento descrito en el numeral 2. El punto de desempeño se obtiene del punto de intersección del espectro de demanda sísmica con la curva de capacidad de la estructura (ATC40, 1996).
5. RESULTADOS Los puntos de desempeño se obtienen de la intersección de la curva de demanda con las curvas de capacidad del análisis estático no lineal “pushover”. Estas últimas realizadas con la utilización del programa SAP 2002 (CSI,2002). Las curvas de demanda utilizadas fueron las obtenidos a través de los espectros hallados con el procedimiento del numeral 2.0. Los resultados obtenidos de la simulación de Montecarlo de los desplazamientos espectrales en el punto de desempeño para la edificación esencial se muestran en el diagrama de frecuencias y la función de distribución acumulada de la Figura 5.1
Figura 5.1 A. Diagrama de frecuencias del punto de desempeño de la edificación en estudio. B. Función de distribución acumulada de los desplazamientos espectrales.
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6. DISCUSIÓN Al detenerse en la Figura 5.1A se puede advertir agrupamientos de los datos en torno a valores medios relativamente bien definidos. En la Figura 5.1B, dichos agrupamientos se observan como rampas en la Función de distribución acumulada. Por tanto, claramente pueden definirse diferentes niveles de daño para la edificación en estudio. La denominación de los diferentes estados de daño se proponen semejantes a los determinados en FEMA/NIBS(1999), (Leve, Moderado, Extenso y Completo). Adicionalmente se menciona el estado de NO DAÑO, en donde el amortiguamiento efectivo de la edificación βeff es del 5%. La definición de los niveles de daño se muestra en la Figura 6.1.
Figura 6.1 Propuesta de diferentes niveles de estado de daño En la Figura 6.2 se observa claramente la forma como cada estado de daño se agrupa en torno a un valor mediano, siguiendo una función de probabilidad. En este caso se muestra que la desviación estándar para las funciones de distribución de probabilidad están dadas en función de la variabilidad del valor mediano de cada estado de daño. Sin embargo, según Kircher et al (1997), la desviación estándar de cada estado de daño, es función de la variabilidad del nivel umbral de cada estado de daño, de la variabilidad de la curva de capacidad y de la variabilidad del espectro de demanda.
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Figura 6.2. Agrupamiento de los puntos de desempeño de la edificación esencial en estados de En la Tabla 6.1, se muestra para cada estado de daño las medianas del nivel umbral obtenidos de las diferencias marcadas en la Figura 6.1, los valores medianos y la estimación de las desviaciones estándar de la mediana, tomando en cuenta las sugerencias realizadas por Kircher et al (1997). TABLA 6.1. COMPARACIÓN ESTADO DE DAÑO Desviación estándar del *Mediana del *Desviación Mediana del logaritmo Desplazamiento estándar del Desplazamiento natural del Espectral logaritmo Mediana del natural del Espectral (mm) desplazamiento donde se inicia donde se inicia el Desplazamiento el estado de desplazamiento espectral estado de daño Espectral (mm) ESTE daño (mm) espectral Estado de Daño ESTE ESTUDIO ESTE ESTUDIO FEMA/NIBS FEMA/NIBS ESTUDIO No daño ---20 ------------Daño Leve 22 29 0.72 26 0.73 Daño Moderado 40 55 0.73 53 0.75 Daño Extenso 80 90 1.03 131 0.90 Daño Completo 100 115 1.07 307 0.95
* Datos para edificación clasificada como C3H-PreCode (FEMA/NIBS)
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Al comparar los desplazamientos espectrales umbrales para cada estado de daño en términos del punto de desempeño con los presentados en la metodología FEMA/NIBS(1999), se observa que esta edificación alcanzará los niveles de daño Completo y Extenso a niveles menores que los propuestos en FEMA/NIBS. Los resultados obtenidos caracterizan las curvas de fragilidad de edificaciones, que son aquellas que describen la probabilidad de alcanzar o exceder estados de daño estructural o no estructural. En este caso se obtuvo las curvas de fragilidad únicamente para daño estructural. Estas curvas tiene en cuenta la variabilidad y la incertidumbre asociada con las propiedades de la curva de capacidad, estados de daño y el movimiento del terreno (Kircher et al., 1997).
7. CONCLUSIONES Se obtuvo una estimación de las medianas de los puntos de desempeño de los niveles umbrales de cada estado de daño para una edificación representativa de 9 niveles construida antes de la promulgación de normatividad sismoresistente en Colombia. Adicionalmente se presenta una estimación de las medianas del desplazamiento espectral umbral para cada estado de daño. Los niveles umbrales para cada estado de daño en términos del punto de desempeño se comparan con los datos presentados en la Metodología FEMA/NIBS(1999), encontrando que esta edificación, alcanzará los niveles de daño Completo y Extenso a niveles de desplazamientos espectrales menores que los propuestos en FEMA/NIBS. Se presentan los parámetros para obtener las curvas de fragilidad para una edificación en Bogotá construida antes de la promulgación de normatividad sismorresistente en Colombia. Se resalta una vez más, que las curvas de fragilidad deben ser desarrolladas de forma particular y local para cada país, ya que en estas intervienen variables propias de cada región (materiales, procesos constructivos, amenaza sísmica etc.), tal como lo muestra las diferencias encontradas con las curvas de FEMA/NIBS(1999) para California.
8. AGRADECIMIENTOS Los autores del presente artículo agradecen al Ingeniero Federico Núñez, por su colaboración con la ejecución de los análisis de Push-Over.
REFERENCIAS Ambraseys, N., Simpson, K. y Bommer J. (1996). Prediction of Horizontal Response Spectra in Europe. Earthquake Engineering and Structural Dynamics 25, 371-400
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