pumpe

PREDAVANJA IZ MEHANIKE FLUIDA za studente RGNF-a Interna skripta, dio 6: Proraˇ cun jednostavnoga cjevovoda

ˇ Zeljko Andrei´ c

2008. Dozvoljeno je preuzimanje sa web-a i ispis za vlastite potrebe studenata. Sva ostala autorska prava zadrˇ zavaju autor i RGNF.

2

Glava 1 Proraˇ cun jednostavnoga cjevovoda Pod jednostavnim cjevovodom podrazumijeva se cjevovod bez grananja ili spajanja cijevi (cjevovod koji u cjelini ima samo jednu granu). Kod sloˇzenih cjevovoda (cjevovodi s viˇse grana) proraˇcun je sloˇzeniji i odvija se uz primjenu Kirchoffovog zakona i, zbog sloˇzenosti, sve viˇse koriˇstenjem odgovaraju´cih raˇcunalnih programa. Pri tome se svaka grana zasebno mora proraˇcunati kao jednostavni cjevovod, uz dodatno odredivanje brzina, odn. protoka u svim granama pomo´cu Kirchoffovog zakona. I proraˇcavanje jednostavnih cjevovoda znade biti sloˇzeno i sporo, a posebnu pozornost treba posvetiti toˇcnom raˇcunanju jer se greˇska uˇcinjena na jednom mjestu odraˇzava na cijeli raˇcun i na kraju obiˇcno dovodi do krivih rezultata. To se posebno odnosi na sluˇcaje kad se proraˇcun ili neki njegov dio mora raditi iterativno. Svaki proraˇcun jednostavnoga cjevovoda poˇcinje od njegove geometrije (nacrta) za koju se smatra da je poznata. Drugim rije´cima, poloˇzaj i duˇzine cijevi u prostoru, mjesta gdje se nalaze elementi cijevne armature i njihove karakteristike su poznate. Uz to se mora znati uvjete na ulazu u cjevovod, ˇsto se obiˇcno svodi na poznavanje ulaznoga tlaka (ili visine teku´cine u rezervoaru na koji je cjevovod prikljuˇcen). Isto tako mora se znati i uvjete na izlazu iz cjevovoda (istjecanje u okolni prostor, istjecanje ispod povrˇsine teku´cine ili neki drugi naˇcin istjecanja). Tek su nam ovi podaci poznati, pristupa se samom proraˇcunu, za koji su potrebne sljede´ce zakonitosti: jednadˇ zba kontinuiteta: Q = vA = v

πd2 = konst. 4

(1.1)

Bernoullijeva jednadˇ zba: v12 p1 v2 p2 + + z1 = 2 + + z2 + hg 2g ρg 2g ρg

(1.2)

jednadˇ zba gubitaka: hg =

X j

!

Ã

v2 lj X ζji j λj + dj 2g i

(1.3)

Colebrook-Whiteova formula (ili Moodyev dijagram): Ã

1 e 2, 51 √ = −2 log √ + λh Re λ 3, 715d 3

!

(1.4)

ˇ GLAVA 1: PRORACUN JEDNOSTAVNOGA CJEVOVODA

4

tablice lokalnih gubitaka. Ve´c iz ovoga nabrajanja jasno je da je potrebno pozvati mnoˇstvo podataka o cjevovodu. Pogleda li se nabrojene jednadˇzbe i dijagram malo detaljnije, moˇze se vidjeti da u raˇcun ulazi 10 razliˇcitih varijabli: Rei , Q, vi , di , li , hg , λi , ζi , e/di i ν Pritom su neke od ovih veliˇcina meduovisne, ˇsto svakako dodatno oteˇzava raˇcun. To se posebno odnosi na koeficijente otpora λi , koji ovise o Reynoldsovom broju i relativnoj hrapavosti cijevi e/di , pa se za njihov proraˇcun mora znati brzina toka. Ukupnu duˇzinu cjevovoda smatra se poznatom, jer je odredena uvjetima projekta, no duˇzine i poloˇzaji pojednih dijelova cijevi ne moraju biti unaprijed zadane. Nadalje, od varijabli Q, vi , di , i hg mora se znati barem dvije da bi se moglo izraˇcunati preostale. Ovisno o tome, koje su od njih poznate, proraˇcun se moˇze odvijati na ˇ sest razliˇcitih naˇcina, opisanih u poglavljima 11.1-11.6.

1.1

Poznato je v i d

Za ovaj sluˇcaj dovoljno je znati brzinu u jednoj toˇcci cjevovoda te promjer cjevovoda na tom mjestu. Protok je konstantan i odmah se moˇze odrediti: πd2 Q=v 4

(1.5)

Nakon toga se preko jednadˇzbe kontinuiteta raˇcunaju brzine u ostalim dijelovima cjevovoda, a iz brzina i Reynoldsovi brojevi: Re =

vd ν

(1.6)

Slijedi odredivanje relativne hrapavosti (obiˇcno iz tablica, uz poznavanje vrste cijevi), raˇcun koeficijenata linearnih gubitaka (ili njihovo oˇcitanje iz Moodyeva dijagrama) i na kraju raˇcunanje ukupne visine gubitaka hg . Kad su svi ovi podaci poznati, moˇze se joˇs na nacrtu cjevovoda grafiˇcki prikazati tok energetske i pijezometarske linije i time je postupak proraˇcuna u potpunosti zavrˇsen.

1.2

Poznato je Q i d

I ovaj sluˇcaj je relativno jednostavan. Prvo se iz protoka odredi brzina: v=

4Q πd2

a dalje se raˇcun provodi na isti naˇcin kao i u prethodnom sluˇcaju.

(1.7)

1.3: POZNATO JE Q I V

1.3

5

Poznato je Q i v

Brzina je u ovom sluˇcaju obiˇcno zadana kao minimalna, maksimalno dozvoljena ili najpovoljnija. U prvom koraku iz protoka odredi se promjer cijevi: s

4Q (1.8) πv Nakon toga se iz tehniˇckih tablica odabere prvi ve´ci standardni promjer cijevi, izraˇcuna brzinu za taj promjer i dalje se raˇcun provodi kao i u prvom sluˇcaju. d=

1.4

Poznato je d i hg

Ovaj je problem znatno sloˇzeniji od prethodnih i to zato ˇsto gubici ovise o brzini. To se najbolje vidi ako se brzina izrazi preko poznatih podataka: Ã

2, 51ν v = −2 log d

s

k l + le + d 2gdhe 3, 71

!s

2gdhg l + le

(1.9)

ovdje je le tzv. ekvivalentna duˇ zina lokalnih gubitaka: dX ζ (1.10) λ Ekvivalentna duˇzina lokalnih gubitaka je zamiˇsljena duˇzina cijevi u kojoj su linearni gubici jednaki zbroju svih lokalnih gubitaka. Ovdje se dodatno pretpostavlja da su sve cijevi cjevovoda istoga promjera. U suprotnom je izraz za brzinu sloˇzeniji, jer u njega ulaze brzine u pojedinim dijelovima cjevovoda, koje se preko jednadˇzbe kontinuiteta moraju medusobno povezati (obiˇcno se sve brzine izraˇzavaju preko ulazne ili izlazne brzine). Nadalje, he je ulazna energija za koju se uzima da je jednaka ukupnim gubicima hg u koje se mora uraˇcunati i izlazna energija. Kako se brzina ne zna, ne moˇze se odrediti niti gubitke, pa se gornja jednadˇzba za brzinu mora rjeˇsavati iterativno. U prvom koraku iteracije zanemare se lokalni gubici, pa se brzina odredi pomo´cu pribliˇznoga izraza: le =

µ

¶

s

e dhg v1 = 5, 04 − 8, 86 log (1.11) d l Uz pomo´c brzine v1 raˇcuna se ekvivalentna duˇzina lokalnih gubitaka, uvrˇstava je se u toˇcan izraz za brzinu i raˇcuna novu vrijednost brzine, v2 . S njom se ponovno raˇcuna ekvivalentna duˇzina lokalnih gubitaka te brzina v3 , itd. Nakon nekoliko koraka dobivene vrijednosti brzine ´ce biti sve bliˇze jedna drugoj, a raˇcun se prekida kada se postigne dovoljna toˇcnost, obiˇcno dvije toˇcne znamenke. Ovakav postupak raˇcunanja naziva se iteriranje, a osim ˇsto je dugotrajan, u sebi skriva i opasnost divergencije, tj. sve ve´cega rasipavanja dobivenih vrijednosti brzina. U tom sluˇcaju mora se iteriranje zapoˇceti nekom drugom poˇcetnom vrijednoˇsti brzine v1 . Danas se ovakvi postupci prepuˇstaju raˇcunalnim programima, ali korisnik mora dobro poznavati i naˇcin na koji koriˇsteni raˇcunalni program radi, a i problematiku teˇcenja kroz cjevovode, da bi mogao ocijeniti je li je dobiveni rezultat realan. U suprotnom se lako moˇze dogoditi da se prihvati potpuno besmisleni rezultat koji je raˇcunalo izbacilo, sa svim posljedicama koje iz toga mogu proiza´ci.

ˇ GLAVA 1: PRORACUN JEDNOSTAVNOGA CJEVOVODA

6

1.5

Poznato je d i hg

Ovdje se treba ograniˇciti na jednostavniji sluˇcaj kada su sve cijevi cjevovoda istoga promjera. Izraz za promjer cijevi je onda: Ã

!

dX l + le v 2 d= λ+ ζi l i hg 2g

(1.12)

Kao i u prethodnom sluˇcaju, ovaj se izraz mora iterirati. Iteraciju se zapoˇcinje zanemarivanjem lokalnih gubitaka i uz λ = 0, 02. Promjer izraˇcunat na ovaj naˇcin upotrijebi se za odredivanje Reynoldsovoga broja, relativne hrapavosti i svih gubitaka, s kojima se onda ponavlja raˇcunanje promjera i na taj naˇcin se iterira jednadˇzba ??. Kad se tako odredi promjer cijevi, izraˇcuna se protok: Q=v

πd2 4

(1.13)

ˇcime se zavrˇsava raˇcun.

1.6

Poznato je Q i hg

Opet se treba ograniˇciti na sluˇcaj kad su sve cijevi istoga promjera. Izraz za promjer cijevi je u ovom sluaˇcaju: v ´ u ³ u dP 2 8l λ + u 5 i Q l t d= 2

gπ hg

(1.14)

a iteriranje se zapoˇcinje s poˇcetnom vrijednoˇsti: v u 2 u lQ 5 d1 = 0, 278t

hg

(1.15)

Na kraju joˇs ostaje odrediti brzinu: v=

4Q πd2

(1.16)

i po potrebi pojedine gubitke.

1.7

Prikazivanje energetske i piezometarske linije

ˇ Cesto je potrebno u shemu ili nacrt cjevovoda ucrtati energetsku i piezometarsku liniju. Ako je proraˇcun cjevovoda napravljen, na raspolaganju su svi potrebni podatci, u protivnom ih se mora izraˇcunati. Crtanje zapoˇcinje ucrtavanjem referentne ravnine. Kod istjecanja u okolnu atmosferu referentna ravnina postavlja se kroz srediˇste izlaznoga otvora, a kod istjecanja ispod povrˇsine teku´cine na povrˇsinu teku´cine u koju se istjecanje odvija. U nastavku se sve crta s obzirom na os cjevovoda jer se u raˇcunu teˇcenje tretira kao jednodimenzionalno, kako je to ve´c ranije prodiskutirano.

1.7: PRIKAZIVANJE ENERGETSKE I PIEZOMETARSKE LINIJE

7

Slika 1.1: Poˇcetak crtanja energetske i piezometarske linije kad teku´cina ulazi u cjevovod iz rezervoara. Na ulazu cjevovoda nalazi se zaˇstitna koˇsara, u ˇcije gubitke je uraˇcunat i gubitak ulaznoga otvora. Apscisa grafikona odgovara udaljenosti od poˇcetka cjevovoda, a ordinata geodetskoj visini. Radi preglednosti mjerilo ordinate je ˇcesto puta drugaˇcije od mjerila apscise, o ˇcemu treba voditi raˇcuna. Ukoliko se ne raspolaˇze skicom cjevovoda, prvo ´ce se izraditi takva skica. Nakon toga se poˇcinje s ucrtavanjem energetske linije, poˇcevˇsi od ulaza u cjevovod i idu´ci prema njegovu kraju. Visina energetske linije jednaka je visini teku´cine u rezervoaru iz kojeg teku´cina ulazi u cjevovod (slika ??), a ako se radi o zatvorenoj posudi, mora se toj visini dodati nadtlak koji u njoj vlada. Na ulazu u cjevovod energetska linija skokovito pada za iznos ulaznih gubitaka, a nakon toga se pravocrtno spuˇsta uz cijev do idu´ceg lokalnoga gubitka. Na mjestu ispred toga gubitka energetska linija niˇza je za iznos lineranih gubitaka u cijevi. Slijedi skokovito smanjenje energetske linije za iznos lokalnoga gubitka, itd. sve do kraja cjevovoda. Na izlazu iz cjevovoda energetska linija je za iznos izlazne energije iznad osi izlaznoga otvora i na mjestu izlaznoga otvora skokovito pada na nju (slika ??). Treba zapaziti da energetska linija za realnu teku´cinu uvijek pada od ulaza prema izlazu cjevovoda. Kad je ucrtana energetska linija, nastavlja se s ucrtavanjem piezometarske linije. Ona je za iznos brzinske visine ispod energetske linije, pa se uz pomo´c podataka o brzinama u pojedinim dijelovima cjevovoda prvo (ako ve´c nije), odredi brzinske visine, a onda pristupa crtanju piezometarske linije. Kao i kod energetske linije, poˇcinje se od ulaza. Brzina u ulaznom rezervoaru toliko je mala da ju se moˇze zanemariti, pa je tu visina piezometarske linije jednaka visini energetske. Kod ulaznoga otvora dolazi do skokovita spuˇstanja piezometarske linije za brzinsku visinu (za koju se uzima brzinu u cijevi iza otvora, tj. zanemaruje se postupne promjene brzine oko samoga ulaznog otvora. Piezometarska visina za cijev je za iznos brzinske visine ispod energetske linije, pa je piezmetarska linija paralelna s energetskom, a nalazi se za iznos brzinske visine ispod nje.

8

ˇ GLAVA 1: PRORACUN JEDNOSTAVNOGA CJEVOVODA

Slika 1.2: Zavrˇsetak crtanja energetske i piezometarske linije u sluˇcaju istjecanja u okolnu atmosferu. Ako se dio cjevovoda izdiˇze iznad povrˇsine teku´cine u ulaznom rezervoaru, u tom dijelu cjevovoda dolazi do podtlaka. Da bi se izbjegla pojava negativnih vrijednosti u raˇcunu i na skici, proraˇcun ovakvih cjevovoda radi se s apsolutnim tlakovima. To znaˇci da se sve visine poveˇcavaju za visinu atmosferskoga tlaka, izraˇzenu u visini stupca teku´cine koja struji cjevovodom (slika ??): hat =

pat ρtek g

(1.17)

Za vodu i atmosferski tlak na povrˇsini mora je visina atmosferskog tlaka hat = 10, 32 m. Dogodi li se da apsolutni tlak u nekom dijelu cjevovoda padne ispod tlaka para teku´cine, dolazi do spontanoga isparavanja teku´cine i pojave mjehura pare (kavitacija). Kavitacija dovodi do prekida normalnoga teˇcenja kroz cijevi a uz to moˇze izazvati i velika oˇste´cenja cjevovoda, pa se takav pad tlaka mora izbje´ci pod svaku cijenu npr. pove´cavanjem presjeka cijevi na kritiˇcnom mjestu, ili spuˇstanjem izdignutoga dijela cijevovoda na niˇzu razinu). Tlak para vode na sobnoj temperaturi je oko 40 mBar (hp = 0, 4 m, no kod lako hlapljivih teku´cina treba biti znatno oprezniji kod proraˇcunavanja cjevovoda. Pokusi pokazuju da u stvarnosti do kavitacije dolazi i kada je apsolutni tlak ve´ci od tlaka para, pa se za donju dozvoljenu granicu za vodu uzima hmin = 2 − 3 m. Poseban problem predstavlja prikazivanje energetske i piezometarske linije za vertikalne dijelove cjevovoda. Kod takvih cijevi energetska i piezometarska linija padaju zajedno po osi cijevi pa se ne mogu prikazati. Zato se moˇze crtati graf s tzv. idealnom osi koja stoji pod kutem od 45o i sluˇzi kao referetna linija prema kojoj se konstruiraju energetska i pijezometarska linija (slika ??). I ovdje se u crtanju koriste apsolutni tlakovi. Alternativno se taj dio cjevovoda moˇze prikazati na posebnom grafikonu na kojem apscisa predstavlja duljinu cijevi po vertikalnoj osi, a ordinata visinu energetske odn. pijezometarske linije. Ako je vertikani dio cjevovoda predug, zbog stalnoga pove´canja brzine, isto tako dolazi do kavitacije i odvajanja toka od stijenke cijevi, pa se na takve cjevovode ne mogu primijeniti metode raˇcunanja za cijevi ispunjene teku´cinom.

1.7: PRIKAZIVANJE ENERGETSKE I PIEZOMETARSKE LINIJE

9

Slika 1.3: Zavrˇsetak crtanja energetske i piezometarske linije u sluˇcaju istjecanja ispod povrˇsine teku´cine.

Slika 1.4: Crtanje energetske i piezometarske linije kad se cjevovod izdiˇze iznad povrˇsine teku´cine u rezervoaru. Minimalni tlak pmin (uz isti presjek cijevi) javlja se na mjestu najve´cega izdignu´ca.

10

ˇ GLAVA 1: PRORACUN JEDNOSTAVNOGA CJEVOVODA

Slika 1.5: U sluˇcaju vertikalne cijevi (ispustni ˇsahtovi, kanalizacijske cijevi u zgradama i sl.) energetska i piezometarska linija padaju zajedno po osi cijevi pa se ne mogu prikazati. Zato se moˇze crtati graf s tzv. idealnom osi koja stoji pod kutem od 45o i sluˇzi kao referetna linija prema kojoj se crtaju EL i PL. I ovdje se u crtanju koriste apsolutni tlakovi.

1.8: PUMPE

1.8

11

Pumpe

Slika 1.6: Idealna pumpa. Kada je potrebno pove´cati energiju teku´cine koriste se pumpe. Pumpa dodaje energiju teku´cini, ali ne mijenja njen protok (jednadˇzba kontinuiteta). Za potrebe proraˇcuna koristi se tzv. idealna pumpa. Za nju se uzima da na mjestu gdje se nalazi podiˇze energetsku visinu za vrijednost koja se naziva energetska visina pumpe (slika ??). U stvarnosti uz energetsku visinu pumpe, mora se paziti i na naˇcin na koji je pumpa ugradena u cjevovod (slika ??). Kod svake stvarne pumpe razlikuje se usisna strana i tlaˇ cna strana. Pumpa uvlaˇci teku´cinu s usisne strane, podiˇze energiju teku´cine za visinu hu , i istiskuje teku´cinu istom brzinom na tlaˇcnoj strani dalje u cjevovod. Teku´cina izlazi iz pumpe sa energetskom visinom pove´canom za energetsku visinu pumpe hp . Ukupno pove´canje energetske visine je prema tome hu + hp . Ovisno o konstrukciji pumpe, visina za koju pumpa moˇze podi´ci teku´cinu na usisnoj strani moˇze biti razli´cita. Neke konstrukcije pumpi zahtijevaju nadtlak na usisnoj strani (tada se visina usisavanja hu navodi kao negativna). U svakom slu´caju, na usisnoj strani ne smije se dogoditi da apsolutni tlak padne ispod tlaka para teku´cine jer ´ce do´ci do prekida toka i pumpa ne´ce mo´ci pumpati. Na to posebno treba paziti kada se na usisnoj strani voda uzima iz rezervoara (slika ??). Visina podizanja koju pumpa savladava na usisnoj strani (hs ), jednaka je zbroju visine pumpe (obiˇcno njene osovine) iznad povrˇsine teku´cine, visini gubitaka koji nastaju u usisnoj cijevi i brzinske visine na usisnoj strani, odnosno: hs = hm + he + hv

(1.18)

Ovisno o konstrukciji pumpe,postoji maksimalna mogu´ca visina usisavanja, koja je dana slijede´cim izrazom: hsmax =

pat − pp v2 − hul + ul ρtek g 2g

(1.19)

12

ˇ GLAVA 1: PRORACUN JEDNOSTAVNOGA CJEVOVODA

Slika 1.7: Realna pumpa. gdje je pat okolni tlak (obiˇcno atmosferski), pp je tlak para teku´cine (na njega treba obratiti posebnu pozornost kod lakohlapivih teku´cina), hul je minimalni ulazni tlak potreban da bi pumpa mogla raditi. On ovisi o konstrukciji pumpe a kod nekih vrsta pumpi moˇze biti i ve´ci od atmosferskog tlaka (potreban je nadtlak na ulazu pumpe). Brzinska visina dodaje se u ovaj proraˇcun zato jer ju proizvodaˇci uraˇcunavaju u minimalni ulazni tlak pumpe. U sluˇcaju da pumpa povla´ci vodu iz rezervoara, maksimalna visina pumpe iznad vode nalazi se kombiniranjem jednadˇzbi (??) i (??) kao: hm,max =

pat − pp − hul − he ρtek g

(1.20)

Na kraju, bez ulaˇzenja u detalje, minimalna snaga motora koji pokre´ce pumpu dana je sljede´cim izrazom: Pmin =

ρtek gQhp ηm ηp

(1.21)

gdje je hp ukupna energetska visina pumpe, Q je protok teku´cine, ηm je efikasnost motora a ηp efikasnost pumpe.

1.8: PUMPE

Slika 1.8: Pumpa u situaciji kad podiˇze (usisava) vodu iz rezervoara.

13