PRUEBAS DE HIPÓTESIS CON UNA MUESTRA

ESTADISTICA INFERENCIAL INFERENCI AL 1

UNIDAD 3: PRUEBAS DE HIPOTESIS CON UNA MUESTRA

PRUEBAS DE HIPOTESIS CON UNA MUESTRA 3.1 METODOLOGIA PARA LA PRUEBA DE HIPOTESIS Dentro del estudio de la inferencia estadística, se describe como se puede tomar una muestra aleatoria y a partir de esta muestra estimar el valor de un parámetro poblacional en la cual se puede emplear el método de muestreo y el teorema del valor central lo que permite explicar cómo a partir de una muestra se puede inferir algo acerca de una población, lo cual nos lleva a definir y elaborar una distribución de muestreo de medias muéstrales que nos permite explicar el teorema del límite central y utilizar este teorema para encontrar las probabilidades de obtener las distintas medias maestrales de una población. Pero es necesario tener conocimiento de ciertos datos de la población como la media, la desviación estándar o la forma de la población, pero a veces no se dispone de esta información. En este caso es necesario hacer una estimación puntual que es un valor que se usa para estimar un valor poblacional. Pero una estimación puntual es un solo valor y se requiere un intervalo de valores a esto se denomina intervalo de confianza y se espera que dentro de este intervalo se encuentre el parámetro poblacional buscado. También se utiliza una estimación mediante un intervalo, el cual es un rango de valores en el que se espera se encuentre el parámetro poblacional En nuestro caso se desarrolla un procedimiento para probar la validez de una aseveración acerca de un parámetro poblacional este método es denominado Prueba de hipótesis para una muestra. hipótesis y prueba de hipótesis Tenemos que empezar por definir que es una hipó tesis y que es prueba de hipótesis. Hipótesis es una aseveración de una población elaborado con el propósito de poner a prueba, para verificar si la afirmación es razonable se usan datos. En el análisis estadístico se hace una aseveración, es decir, se plantea una hipótesis, después se hacen las pruebas para verificar la aseveración o para determinar que no es verdadera. Por tanto, la prueba de hipótesis es un procedimiento basado en la evidencia muestral y la teoría de probabilidad; se emplea para determinar si la hipótesis es una afirmación razonable. Prueba de una hipótesis: se realiza mediante un procedimiento sistemático de cinco paso:

Siguiendo este procedimiento sistemático, al llegar al paso cinco se puede o no rechazar la hipótesis, pero debemos de tener cuidado con esta determinación ya que en la consideración de estadística no proporciona evidencia de que algo sea verdadero. Esta 1

ALUMNA: GÉNESIS GARCIA ACOSTA

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.









prueba aporta una clase de prueba más allá de una duda razonable. Analizaremos cada paso en detalle Objetivo de la prueba de hipótesis. El propósito de la prueba de hipótesis no es cuestionar el valor calculado del estadístico (maestral), sino hacer Un juicio con respecto a la diferencia entre estadístico de muestra y un valor planteado del parámetro. 3.- Procedimiento sistemático para una prueba de hipótesis de una muestra .Paso 1: Plantear la hipótesis nula Ho y la hipótesis alternativa H1. Cualquier investigación estadística implica la existencia de hipótesis o afirmaciones acerca de las poblaciones que se estudian. La hipótesis nula (Ho) se refiere siempre a un valor especificado del parámetro de población, no a una estadística de muestra. La letra H significa hipótesis y el subíndice cero no hay diferencia. Por lo general hay un "no" en la hipótesis nula que indica que "no hay cambio" Podemos rechazar o aceptar Ho. La hipótesis nula es una afirmación que no se rechaza a menos que los datos maestrales proporcionen evidencia convincente de que es falsa. El planteamiento de la hipótesis nula siempre contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parámetro. La hipótesis alternativa (H1) es cualquier hipótesis que difiera de la hipótesis nula. Es una afirmación que se acepta si los datos maestrales proporcionan evidencia suficiente de que la hipótesis nula es falsa. Se le conoce también como la hipótesis de investigación. El planteamiento de la hipótesis alternativa nunca contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parámetro.

3.2 HIPOTESIS NULA Y ALTERNATIVA Una hipótesis estadística es una proposición o supuesto sobre los parámetros de una o más poblaciones. Suponga que se tiene interés en la rapidez de combustión de un agente propulsor sólido utilizado en los sistemas de salida de emergencia para la tripulación de aeronaves. El interés se centra sobre la rapidez de combustión promedio. De manera específica, el interés recae en decir si la rapidez de combustión promedio es o no 50 cm/s. Esto puede expresarse de manera formal como Ho; H1;

= 50 cm/s 50 cm/s









cm/s, también se conoce como hipótesis alternativa bilateral. En algunas situaciones, lo que se desea es formular una hipótesis alternativa unilateral, como en Ho;

= 50 cm/s Ho;

= 50 cm/s

< 50 cm/s H1;

> 50 cm/s

ó H1;

Es importante recordar que las hipótesis siempre son proposiciones sobre la población o distribución bajo estudio, no proposiciones sobre la muestra. Por lo general, el valor del parámetro de la población especificado en la hipótesis nula se determina en una de tres maneras diferentes: 1. Puede ser resultado de la experiencia pasada o del conocimiento del proceso, entonces el objetivo de la prueba de hipótesis usualmente es determinar si ha cambiado el valor del parámetro. 2. Puede obtenerse a partir de alguna teoría o modelo que se relaciona con el proceso bajo estudio. En este caso, el objetivo de la prueba de hipótesis es verificar la teoría o modelo. 3. Cuando el valor del parámetro proviene de consideraciones consideraci ones externas, tales como las especificaciones de diseño o ingeniería, o de obligaciones contractuales. En esta situación, el objetivo usual de la prueba de hipótesis es probar el cumplimiento de las especificaciones. Un procedimiento que conduce a una decisión sobre una hipótesis en particular recibe el nombre de prueba de hipótesis. Los procedimientos de prueba de hipótesis dependen del empleo de la información contenida en la muestra aleatoria de la población de interés. Si esta información es consistente con la hipótesis, se concluye que ésta es verdadera; sin embargo si esta información es inconsistente con la hipótesis, se concluye que esta es falsa. Debe hacerse hincapié en que la verdad o falsedad de una hipótesis en particular nunca puede conocerse con certidumbre, a menos que pueda examinarse a toda la población. Usualmente esto es imposible en muchas situaciones prácticas. Por tanto, es necesario desarrollar un procedimiento de prueba de hipótesis teniendo en cuenta la probabilidad de llegar a una conclusión equivocada. La hipótesis nula, representada por H o, es la afirmación sobre una o más características de poblaciones que al inicio se supone cierta (es decir, la "creencia a priori"). La hipótesis alternativa, representada por H 1, es la afirmación contradictoria a H o, y ésta es la hipótesis del investigador. La hipótesis nula se rechaza en favor de la hipótesis alternativa, sólo si la evidencia muestral sugiere que H o es falsa. Si la muestra no contradice decididamente a H o, se









promedio de combustión es 50 cm/s, mientras que la hipótesis alternativa es que ésta no es igual a 50 cm/s. Esto es, se desea probar: Ho; H1;

= 50 cm/s 50 cm/s

Supóngase que se realiza una prueba sobre una muestra de 10 especímenes, y que se observa cual es la rapidez de combustión promedio muestral. La media muestral es un estimador de la media verdadera de la población. Un valor de la media muestral que este próximo al valor hipotético = 50 cm/s es una evidencia de que el verdadero valor de la media es realmente 50 cm/s; esto es, tal evidencia apoya la hipótesis nula H o. Por otra parte, una media muestral muy diferente de 50 cm/s constituye una evidencia que apoya la hipótesis alternativa H 1. Por tanto, en este caso, la media muestral es el estadístico de prueba. La media muestral puede tomar muchos valores diferentes. Supóngase que si 48.5 51.5, entonces no se rechaza la hipótesis nula H o; = 50 cm/s, y que si <48.5 ó >51.5, entonces se acepta la hipótesis alternativa H 1;

50 cm/s.

Los valores de que son menores que 48.5 o mayores que 51.5 constituyen la región crítica de crítica de la prueba, mientras que todos los valores que están en el intervalo 48.5 51.5 forman la región de aceptación . Las fronteras entre las regiones críticas y de aceptación reciben el nombre de valores críticos. La costumbre es establecer conclusiones con respecto a la hipótesis nula H o. Por tanto, se rechaza H o en favor de H 1 si el estadístico de prueba cae en la región crítica, de lo contrario, no se rechaza H o. Este procedimiento de decisión puede conducir a una de dos conclusiones erróneas. Por ejemplo, es posible que el valor verdadero de la rapidez promedio de combustión del agente propulsor sea igual a 50 cm/s. Sin embargo, para todos los especímenes bajo prueba, bien puede observarse un valor del estadístico de prueba que cae en la región crítica. En este caso, la hipótesis nula H o será rechazada en favor de la alternativa H1cuando, de hecho, H o en realidad es verdadera. Este tipo de conclusión equivocada se conoce como error tipo I. I.

3.3 ERROR TIPO I Y ERROR TIPO II El error tipo I se define como el rechazo de la hipótesis nula H o cuando ésta es verdadera. También es conocido como ó nivel de significancia. significanc ia. Si tuviéramos un nivel de confianza del 95% entonces el nivel de significancia sería del 5%. Análogamente si se tiene un nivel de confianza del 90% entonces el nivel de









se acepta H o cuando ésta es falsa. Este tipo de conclusión recibe el nombre de error tipo II. El error tipo II ó error falsa.

se define como la aceptación de la hipótesis nula cuando ésta es

Por tanto, al probar cualquier hipótesis estadística, existen cuatro situaciones diferentes que determinan si la decisión final es correcta o errónea. Decisión

Ho es verdadera

Ho es falsa

Aceptar Ho

No hay error

Error tipo II ó

Rechazar Ho

Error tipo I ó

No hay error

1. Los errores tipo I y tipo II están relacionados. Una disminución en la probabilidad de uno por lo general tiene como resultado un aumento en la probabilidad del otro. 2. El tamaño de la región crítica, y por tanto la probabilidad de cometer un error tipo I, siempre se puede reducir al ajustar el o los valores críticos. 3. Un aumento en el tamaño muestral n reducirá n reducirá

y

de forma simultánea.

4. Si la hipótesis nula es falsa, es un máximo cuando el valor real del parámetro se aproxima al hipotético. Entre más grande sea la distancia entre el valor real y el valor hipotético, será menor

3.4 PRUEBAS DE HIPÓTESIS Z PARA LA MEDIA (DESVIACIÓN ESTÁNDAR POBLACIONAL CONOCIDA) Cuando se van a realizar pruebas de hipótesis relativas a la media poblacional m se debe saber si la varianza poblacional s es conocida o desconocida, ya que la distribución subyacente al estadístico de prueba será la normal estándar si la varianza es conocida, y la distribución t en caso contrario. Las diferentes hipótesis que se pueden presentar son las siguientes: 1) Ho: m = m0 H1: m > m0 2) Ho: m = m0 H1: m < m0 3) Ho: m = m0 H1: m ¹ m0 Las pruebas de hipótesis para la media se basan en el estadístico dado por la media









Cuando la varianza s Es conocida, las pruebas de hipótesis se basan en el hecho de que la variable aleatoria Z definida como, se distribuye normalmente con media cero y varianza unitaria. Para el caso de las hipótesis Ho: m = m0 contra H1: m > m0 vimos, al analizar las mejores pruebas, que la mejor región crítica de tamaño a consistía en rechazar H0 si la media muestral era mayor o igual que una constante c dada por. Por lo tanto, una vez tomada la muestra y obtenidos los valores x1, x2,…, xn, se calcula la media muestral dad a por: y los criterios de decisión serían los siguientes: a) Rechace Ho: m = m0 si ³ c, donde. b) Calcule el “estadístico de prueba” y rechace Ho: m = m0 si Z ³ Za. c) Calcule el “estadístico de prueba” y estime P como el área en la distribución normal estándar a la derecha del valor Z calculado, y rechace Ho: m = m0 si P < a. Para el caso de las hipótesis Ho: m = m0 contra H1: m < m0 la mejor región crítica de tamaño a consiste en rechazar H0 si la media muestral es menor o igual que una constante c dada por. Por lo tanto, una vez tomada la muestra y obtenidos los valores x1, x2,…, xn, se calcula la media muestral, y los criterios de decisión sería los siguientes: a) Rechace Ho: m = m0 si £ c, donde. b) Calcule el “estadístico de prueba” y rechace Ho: m = m0 si Z £ Z1-a. Como Za = -Z1-a se rechaza Ho si Z £ -Za o equivalentemente, si êZ ê³ Z a. c) Calcule el “estadístico de prueba” y estime P como el área en la distribución normal estándar a la izquierda del valor Z calculado, y rechace Ho: m = m0 si P < a. Por último, si las hipótesis fueran Ho:m = m0 contra H1:m ¹ m0 la mejor región crítica de tamaño a (aunque no es uniformemente más potente como en el caso de las dos anteriores) consiste en rechazar H0 si la media muestral es menor o igual que una constante c1 ó mayor igual que otra constante c2. Por lo tanto, una vez tomada la muestra y obtenidos los valores x1, x2,…, xn, se calcula la media muestral, y los criterios de decisión serían los siguientes: a) Rechace Ho: m = m0 si £ c1 ó ³ c2, donde y. b) Calcule el “estadístico de prueba” y rechace Ho: m = m0 si Z £ -Za/2 ó Z ³ Za/2, ó simplemente, si êZ ê³ Z a/2. c) Calcule el “estadístico de prueba” y estime P como el área en la distribución normal estándar a la izquierda del valor Z calculado si Z es negativo, o a la derecha del valor de Z si Z es positivo, y rechace Ho: m = m0 si P < a. También P se puede calcular como el área a derecha del valor absoluto de Z. En resumen, el estadístico de prueba se basa en: Ejemplo. Un inspector de pesos y medidas visita una planta de empacado para verificar que el peso neto de las cajas sea el indicado en la etiqueta. El gerente de la planta asegura al inspector que el peso promedio de cada caja es de 750 gramos con una desviación estándar de 5 gr. El inspector selecciona, al azar, 100 cajas y encuentra que el











1) Ho: m = m0 = 750 H1: m < m0 (hay preocupación si el peso medio es inferior al especificado) Con n = 100, a = 0.05, s = 5 gramos. Se tiene que Z0.05 = 1.645. Por lo tanto, la región crítica está dada por = 750 - 1.645 x 5/10 =749.18. Por lo tanto como la media muestral es 748 gramos, se rechaza la hipótesis de que el promedio de cada caja sea 750 gramos. Por lo tanto, deben tomarse las medias necesarias para corregir esta situación, que va en contra de los intereses del consumidor. Usando los otros criterios de aceptación tenemos que Z = - 4.0 y el valor P es aproximadamente cero (P = 0.0).

3.5 PRUEBAS DE PROPORCIONES Proporción: La fracción, porción relativa o porcentaje que expresa la parte de la población o muestra que tiene u atributo particular de interés. Concepto de proporción. n = tamaño de la muestra x = número de éxitos en la muestra Las pruebas de hipótesis a partir de proporciones se realizan casi en la misma forma utilizada cuando nos referimos a las medias, cuando se cumplen las suposiciones necesarias para cada caso. Pueden utilizarse pruebas unilaterales o bilaterales dependiendo de la situación particular. La proporción de una población Las hipótesis se enuncian de manera similar al caso de la media. Ho: p = p0 H1: p ¹ p0 En caso de que la muestra sea grande n>30, el estadígrafo de prueba es:









Ho: p1 = p2 Þ p1 - p2 = 0 H1: p1 ¹ p2 Puede la hipótesis alternativa enunciarse unilateralmente. El estadígrafo de prueba para el caso de muestras independientes: Siendo a1 y a2, el número de sujetos con la característica objeto de estudio en las muestras 1 y 2 respectivamente, es decir, en vez de calcular la varianza para cada muestra, se calcula una p conjunta para ambas muestras bajo el supuesto que no hay diferencias entre ambas proporciones y así se obtiene la varianza conjunta. Recuerda que q = 1-p. Está de más que te diga que este estadígrafo se distribuye normal estándar. La regla de decisión se determina de manera similar a los casos ya vistos anteriormente. El objetivo de la prueba es comparar estas dos proporciones, como estimadores H1: p1 ¹ p2 Recuerda que la H1 también puede plantearse de forma unilateral. Si la Ho es cierta entonces b - c =0 y el estadígrafo de prueba es: Observaciones: Las pruebas de hipótesis se realizan sobre los parámetros poblacionales desconocidos, es decir, sólo tiene sentido realizarlas cuando se estudia una muestra de la población objeto y deseamos hacer inferencias hacia el total poblacional. Si estudiaste al total de los elementos de tú población objeto (definida de acuerdo a los objetivos de tú investigación), no tiene sentido realizar PH ni otro tipo de inferencia. Antes de realizar una prueba de hipótesis, debes revisar cuidadosamente las características de los datos (naturaleza de las variables), la forma de selección de la









Parámetro. Son las medidas o datos que se obtienen sobre la población. Estadístico. Los datos o medidas que se obtienen sobre una muestra y por lo tanto una estimación de los parámetros. Error Muestral, de estimación o estándar. Es la diferencia entre un estadístico y su parámetro correspondiente. Es una medida de la variabilidad de las estimaciones de muestras repetidas en torno al valor de la población, nos da una noción clara de hasta dónde y con qué probabilidad una estimación basada en una muestra se aleja del valor que se hubiera obtenido por medio de un censo completo. Siempre se comete un error, pero la naturaleza de la investigación nos indicará hasta qué medida podemos cometerlo (los resultados se someten a error muestral e intervalos de confianza que varían muestra a muestra). Varía según se calcule al principio o al final. Un estadístico será más preciso en cuanto y tanto su error es más pequeño. Podríamos decir que es la desviación de la distribución muestral de un estadístico y su fiabilidad. Nivel de Confianza. Probabilidad de que la estimación efectuada se ajuste a la realidad. Cualquier información que queremos recoger está distribuida según una ley de probabilidad (Gauss o Student), así llamamos nivel de confianza a la probabilidad de que el intervalo construido en torno a un estadístico capte el verdadero valor del parámetro. Varianza Poblacional. Cuando una población es más homogénea la varianza es menor y el número de entrevistas necesarias para construir un modelo reducido del universo, o de la población, será más pequeño. Generalmente es un valor desconocido y hay que estimarlo a partir de datos de estudios previos.

3.1.- SELECCIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA PARA ESTIMAR LA MEDIA DE LA POBLACIÓN Veamos los pasos necesarios para determinar el tamaño de una muestra empleando el muestreo aleatorio simple. Para ello es necesario partir de dos supuestos: en primer lugar el nivel de confianza al que queremos trabajar; en segundo lugar, cual es el error máximo que estamos dispuestos a admitir en nuestra estimación. Así pues los pasos a seguir son: 1.- Obtener el el tamaño muestral imaginando que

:









si esta condición se cumple el proceso termina aquí, y ese es el tamaño adecuado que debemos muestrear. Si 3.-

no Obtener

se el

cumple, tamaño de

pasamos la muestra

a una según la

tercera siguiente

fase: fórmula:

Ejemplo: La Consejería de Trabajo planea un estudio con el interés de conocer el promedio de horas semanales trabajadas por las mujeres del servicio doméstico. La muestra será extraída de una población de 10000 mujeres que figuran en los registros de la Seguridad Social y de las cuales se conoce a través de un estudio piloto que su varianza es de 9.648. Trabajando con un nivel de confianza de 0.95 y estando dispuestos a admitir un error máximo de 0,1, ¿cuál debe ser el tamaño muestral que empleemos?. Buscamos en las tablas de la curva normal el valor de que corresponde con el nivel de confianza elegido: = ±1.96 y seguimos los pasos propuestos arriba. 1.

2.- Comprobamos que no se cumple 10000 < 3706 (3706 - 1); 10000 < 13730730 3.-

, pues en este caso









Ejemplo: Si deseamos conocer la media de la glucemia basal de una población, con una seguridad del 95 % y una precisión de ± 3 mg/dl y tenemos información por un estudio piloto o revisión bibliográfica que la varianza es de 250 mg/dl

Si la población es finita, como previamente se señaló, es decir conocemos el total de la población y desearíamos saber cuántos del total tendríamos que estudiar, la respuesta sería:

Ejemplo: De una población de 1 176 adolescentes de una ciudad X se desea conocer la aceptación por los programas humorísticos televisivos y para ello se desea tomar una muestra por lo que se necesita saber la cantidad de adolescentes que deben entrevistar para tener una información adecuada con error estándar menor de 0.015 al 90 % de confiabilidad. Solución: = 1 176 = 0,015











Es decir para realizar la investigación se necesita una muestra de al menos 298 adolescentes.

3.7 SELECCIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA PARA ESTIMAR LA PROPORCION POBLACIONAL Para calcular el tamaño de muestra para la estimación de proporciones poblacionales hemos de tener en cuenta los mismos factores que en el caso de la media. La fórmula que nos permitirá determinar el tamaño muestral es la siguiente: Donde : z correspondiente al nivel de confianza elegido P: proporción de una categoría de la variable e: error máximo N: tamaño de la población Siguiendo con el estudio planteado en el punto anterior, supongamos que tratamos de estimar la proporción de mujeres que trabajan diariamente 10 horas o más. De un estudio piloto se dedujo que P=0.30, fijamos el nivel de confianza en 0.95 y el error máximo 0.02. Ejemplo: ¿A cuántas personas tendríamos que estudiar para conocer la prevalencia de diabetes?









dónde: N = Total de la población Za2 = 1.962 (si la seguridad es del 95%) p = proporción esperada (en este caso 5% = 0.05) q = 1 – p (en este caso 1-0.05 = 0.95) d = precisión (en este caso deseamos un 3%). ¿A cuántas personas tendría que estudiar de una población de 15.000 habitantes para conocer la prevalencia de diabetes? Seguridad = 95%; Precisión = 3%; proporción esperada = asumamos que puede ser próxima al 5% ; si no tuviese ninguna idea de dicha proporción utilizaríamos el valor p = 0.5 (50%) que maximiza el tamaño muestral.

Según diferentes seguridades el coeficiente de Z a varía, así: Si la seguridad Z fuese del 90% el coeficiente sería 1.645

PRUEBAS DE HIPÓTESIS CON UNA MUESTRA

Recommend Documents