UNIVERSIDAD D E T ALCA ´ ISICA INSTITUTO DE MATEMATICA Y F´
PROBABILIDADES Y ESTAD´ISTICA. Prueba 1 / 1 semestre 2017 er
Profes Profesor: or: Ayudante: Ayud ante:
Ignaci Ignacio o Vida Vidall G. G. Dari´ Dari ´ an an Mart´ ınez ınez D.
Tiempo de duraci´on: 1 hora y media.
A
Nombre del alumno:
1. Se seleccion´ seleccion´ o una muestra de 20 botellas de vidrio de un tipo particular y se determin´o la resistencia a la presi´on on interna de cada botella. Considere la siguiente informaci´on on parcial sobre la muestra: mediana= 202, 202 ,2, Q 2, Q 1 = 196, 196,0 y Q3 = 216, 216,8. Adem´as, as, las tres observaciones m´as as peque˜ nas nas fueron 125, 125,8, 188, 188,1, 193, 193,7; y las tres observaciones m´as as grandes 221, 221,3, 230, 230,5 y 250, 250,2. Basado en la informaci´on on anterior responda: a ) ¿A partir de qu´e valor de resistencia se pudiera indicar el 25 % de mayor resistencia?
b ) ¿Hay valores at´ at´ıpicos en la muestra? Si los hubiera, ¿cu´ales ales son y por qu´e? e?
c ) Construya un gr´ afico afico de caja y bigotes.
1
2. Tres nucle´ otidos tipo A, tres tipo T , tres tipo C y tres tipo G deben combinarse para formar una mol´ ecula en cadena. Por ejemplo, una de estas mol´eculas en cadena es ATCGATCGAT CG, y otra es TCGGAAATGTCC , etc. a ) ¿Cu´ antas de estas mol´ eculas en cadena hay? ( Sugerencia: Si los tres nucle´otidos A pudieran distinguirse uno
de otro como, A1 , A2 y A3 , y tambi´en los T , los C y los G, ¿cu´antas mol´eculas en cadena habr´ıa? Luego, ¿c´omo se reduce este n´umero cuando los sub´ındices se eliminan de los nucle´ otidos A, los T , los C y los G?)
b ) Supongamos que se selecciona al azar una mol´ ecula en cadena del tipo descrito, ¿cu´al es la probabilidad de que
los tres nucle´ otidos de cada tipo terminen uno junto a otro (como por ejemplo en TTTAAAGGGCCC )?
c ) Supongamos que se selecciona al azar una mol´ ecula en cadena del tipo descrito, ¿cu´al es la probabilidad de que
la secuencia AT G aparezaca 4 veces?
d ) Supongamos que se selecciona al azar una mol´ ecula en cadena del tipo descrito, ¿cu´al es la probabilidad de que
la secuencia AT G aparezaca 3 veces?
2
3. Considere la siguiente informaci´ on sobre vacacionistas (basada en parte en una encuesta reciente de Travelocity): en sus vacaciones 40 % de los entrevistados revisan su correo electr´onico de trabajo, 30 % utilizan un tel´ofono celular para permanecer en contacto con su trabajo, 25 % trajeron una computadora port´atil consigo, 23 % revisan su correo electr´onico de trabajo y utilizan un tel´ofono celular para permanecer en contacto y 51 % ni revisan su correo electr´onico de trabajo ni utilizan un tel´ofono celular para permanecer en contacto ni trajeron consigo una computadora port´atil. Adem´ as, 88 de cada 100 de los que trajo una computadora port´atil, revisa su correo electr´onico de trabajo y 70 de cada 100 que utiliz´o un tel´ofono celular para permanecer en contacto, trae una computadora port´atil. a ) Si un vacacionista seleccionado al azar revis´ o su correo electr´onico, ¿Cu´ al es la probabilidad de que utilice un
tel´ofono celular para permanecer en contacto?
b ) ¿Cu´ al es la probabilidad de que alguien traiga una computadora port´atil y utilice un tel´ofono celular para
permanecer en contacto?
c ) Si el vacacionista seleccionado al azar revis´ o su correo electr´onico de trabajo y trajo una computadora port´atil,
¿cu´ al es la probabilidad de que utilice un tel´ofono celular para permanecer en contacto?
3
Soluci´ on: 1. Se seleccion´ o una muestra de 20 botellas de vidrio de un tipo particular y se determin´o la resistencia a la presi´on interna de cada botella. Considere la siguiente informaci´on parcial sobre la muestra: Q1 = 196,0, Q2 = 202,2 y Q3 = 216,8. Adem´as, las tres observaciones m´as peque˜ nas fueron 125,8, 188,1, 193,7; y las tres observaciones m´as grandes 221,3, 230,5 y 250,2. Basado en la informaci´on anterior responda: a ) El valor de resistencia a partir del cual se pudiera indicar el 25 % de mayor resistencia es Q 3 = 216,8. b ) S´ı los hay ya que I QR = Q3 − Q1 = 216,8 − 196,0 = 20,8,
3 3 Q1 − IQR = 196 − 20,8 = 164,8 > 125,8 5 2 y
3 3 Q3 + IQR = 216,8 + 20,8 = 248,0 < 250,2 5 2 Luego, 125,8 es un punto at´ıpico inferior y 250,2 es un punto at´ıpico superior. c ) El correspondiente gr´ afico de caja y bigotes est´a en la figura 1. Gráfico de caja y bigotes de la resistencia de la presión interna en una muestra de 20 botellas
240
a 220 n r e t n i n 200 ó i s e r p a 180 i c n e t s i s 160 e R
140
120 Muestra de 20 botellas
Figura 1: Gr´afico de caja y bigotes de la pregunta 1. 2. Ejemplos de estas mol´eculas en cadena son ATCGATCGAT CG o TCGGAAATGTCC , etc. a ) Siguiendo la sugerencia: si los nucle´ otidos del mismo tipo pudieran distinguirse entre ellos entonces tendr´ıamos
una cadena de 12 nucle´otidos de largo, por lo que habr´ıan 12! cadenas distintas. Pero en realidad los nucle´ otidos A1 , A2 y A3 no son distinguibles entre ellos por lo que habr´ıa que dividir por 3!. Lo mismo ocurre con los nucle´otidos de tipo T , C y G. De esta manera tenemos que la cantidad de mol´eculas en cadena que hay es 12! = 369600. (3!)4
4
b ) Como los nucle´ otidos del mismo tipo deben ir juntos entonces tendremos cadenas del tipo TTTAAAGGGCCC ,
donde s´olo cambia el orden de aparici´on de los nucle´otidos. As´ı tendremos 4! mol´eculas en cadena de este tipo. Por tanto, la probabilidad de que los tres nucle´otidos de cada tipo terminen uno junto a otro es 4! 1 = . 369600 15400 c ) La cadena ATGATGATGATG no puede ocurrir porque hay s´olo tres nucle´ otidos de cada tipo, por lo que la
probabilidad de encontrarla es 0/369600 = 0. d ) Hay s´ olo una cadena del tipo ATGATGATGCCC , pero la secuencia CC C puede aparecer en 4 posiciones
distintas. Adem´ as, la secuencia C CC puede estar separada en las dos secuencias C y C C . Para mantener tres secuencias AT G en la cadena, las dos secuencias C y C C pueden ubicarse en 4 posiciones distintas, pero esto se puede hacer de 4!/2! = 12 formas distintas ya que importa el orden en que est´en las secuencias C y C C . Finalmente, la probabilidad de que la secuencia AT G aparezaca 3 veces es 4 + 12 1 = . 369600 23100 3. Si E = { revisa correo electr´onico del trabajo}, C = { revisa tel´ efono para mantener contacto con el trabajo } y L = {trae laptop}, entonces del enunciado del ejercicio obtenemos que: P (E ) = 0,4, P (C ) = 0,3, P (L) = 0,25, P (E ∩ C ) = 0,23, P (E ∩ C ∩ L ) = 0,51, P (E |L ) = 0,88 y P (L |C ) = 0,7. c
c
c
a ) Debemos calcular P (C |E ) =
P (E ∩
C ) 0,23 = = 0,575. P (E ) 0,4
b ) Debemos calcular P (L
∩ C ) = P (L |C ) P (C ) = 0,7 × 0,3 = 0,21.
c ) Debemos calcular P (C |E ∩
L) =
P (C ∩
E ∩ L) , P (E ∩ L)
pero como P (E ∩ P (E ∪
L) = P (E |L ) P (L) = 0,88 × 0,25 = 0,22, c
C ∪ L) = 1 − P [(E ∪ C ∪ L) ] = 1 − P (E ∩ C ∩ L ) = 1 − 0,51 = 0,49 c
c
c
y P (E ∪
C ∪ L) = P (E ) + P (C ) + P (L) − P (E ∩ C ) − P (E ∩ L) − P (C ∩ L) + P (C ∩ E ∩ L) 0,49 = 0,4 + 0,3 + 0,25 − 0,23 − 0,22 − 0,21 + P (C ∩ E ∩ L)
entonces P (C ∩
E ∩ L) = 0,49 − (0,4 + 0,3 + 0,25 − 0,23 − 0,22 − 0,21) = 0,2
y, por tanto, P (C |E ∩
L) =
5
0,2 = 0,90909. 0,22
