UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DINÁMICA
PROYECTO FINAL CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS (MOVIMIENTO EN EL PLANO)
PROFESOR: LINO RUIZ
INTEGRANTES: YENIA LOMBARDO
3-742-2086
JOSELYN MARTíNEZ
8-945-2450
DENISSE OVALLE
8-932-383
GRUPO: 1AA122
AÑO: 2019
ÍNDICE 1. Introducción 2. Contenido a. Principios i. Segunda Ley de Newton 1. Movimiento Angular de un Cuerpo Rígido 2. Principio de D’alembert ii. Energía y Trabajo iii. Impulso y Conservación de Momento b. Problemas Resueltos i. Segunda Ley de Newton ii. Energía y Trabajo iii. Impulso y Conservación de Momento 3. Conclusión 4. Bibliografía
INTRODUCCIÓN
Un cuerpo rígido es aquel el que la distancia entre cualquier punto permanece constante esto quiere decir que es un cuerpo ideal y no cambia bajo ninguna circunstancia en este caso lo estudiaremos con un plano fijo de referencia donde los diferentes tipos de movimientos que se pueden presentar son: traslación, rotación alrededor de un eje fijo, movimiento plano general, movimiento alrededor de un punto fijo y movimiento general donde cada caso tendrán sus ecuaciones que describa su movimiento
SE GUNDA L E Y DE NE WTON
,, ,
Considere un cuerpo rígido sobre el que actúan varias fuerzas externas . . . Considerando primero el movimiento del centro de masa G del cuerpo con respecto al sistema de referencia newtoniano , se retoma la ecuación
∑ ∑ ̇
donde m es la masa del cuerpo y es la aceleración del centro de masa G. Volviendo ahora al movimiento del cuerpo relativo al sistema de referencia centroidal se retoma la ecuación
̇
donde representa la razón de cambio de , la cantidad de movimiento angular alrededor de G del sistema de partículas que forma el cuerpo rígido. En lo subsecuente, hará referencia simplemente a la cantidad de movimiento angular del cuerpo rígido en torno a su centro de masa G. MOVIMIENTO ANGULAR DE UN CUERPO RÍGIDO
La cantidad de movimiento angular de una placa alrededor de su centro de masa G puede calcularse considerando los momentos alrededor de G de las cantidades de movimiento de las partículas de la placa en su movimiento con respecto al sistema de referencia o , definiéndose como
′∆
= × ′∆
donde y denotan, respectivamente, el vector de posición y la cantidad de movimiento lineal de la partícula Pi relativa al sistema de referencia centroidal . Sin embargo, en vista de que la partícula pertenece a la placa, se tiene que , donde es la velocidad angular de la placa en el instante considerado. Se escribe
′ ×
= × × ∆ Se concluye que la cantidad de movimiento angular de la placa en torno a su centro de masa es ̅ PRINCIPIO DE Al sustituir ̇ en forma escalar, se tiene ∑ ∑ ∑ ̅ D’ALEMBERT
Las ecuaciones muestran que la aceleración del centro de masa G de la placa y su aceleración angular se obtienen fácilmente una vez que se ha determinado la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre una placa y su momento resultante alrededor de G.
E NERGÍ A Y TRABAJO
El principio del trabajo y la energía se utilizará para analizar el movimiento plano de cuerpos rígidos. Su ventaja principal radica en el hecho de que el trabajo de fuerzas y la energía cinética de partículas son cantidades escalares. Para aplicar el principio del trabajo y la energía en el análisis de movimiento de un cuerpo rígido, se supondrá otra vez que el cuerpo rígido está compuesto por un gran número n de partículas de masa Se escribe
∆.
Donde,
→
, →
= valores inicial y final de la energía cinética total de las partículas que forman al cuerpo rígido. = trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre las diversas partículas del cuerpo. La energía cinética total
1 2 ∆ =
Se obtiene al sumar las cantidades escalares positivas, y ella misma es una cantidad escalar positiva. Después se verá cómo puede determinarse T para diversos tipos de movimiento de un cuerpo rígido. A continuación, se verán problemas de ejemplo donde se verá lo que es la resolución de ciertos problemas y como estos se pueden solucionar dependiendo del enunciado utilizando los principios.
0.6
EJEMPLO 18.3 La rueda mostrada en la figura 18-13a pesa 40 lb y su radio de giro es pie con respecto a su centro de masa G. Si se somete a un momento de par en el sentido de las manecillas del reloj de 15 lb pie y rueda desde el punto de reposo sin deslizarse, determine su velocidad angular después de que su centro G se mueve 0.5 pie. La rigidez del resorte es e inicialmente no está alargado cuando se aplica el momento de par. ·
10/
SOLUCIÓN
Energía Cinética (diagrama cinemático). Como en principio la rueda está en reposo.
0
El diagrama cinemático de la rueda cuando está en su posición final se muestra en la figura 18-13b. La energía cinética final se determina por
12 12 32.402 0.6 32.4020.8 0.6211 .. 0.625 0.625 1.61 . − 12 015 ∙0.625 12 10 1 0.6211 ∙ 2.65 Trabajo (diagrama de cuerpo libre). Como
se muestra en la figura 18-13c, sólo la fuerza del resorte y el momento de par realizan trabajo. La fuerza normal no se desplaza a lo largo de su línea de acción y la fuerza de fricción no realiza trabajo, puesto que la rueda no se desliza cuando rueda. El trabajo de se determina con . En este caso el trabajo es negativo puesto que actúa en la dirección opuesta al desplazamiento. Como la rueda no se desliza cuando el centro G se mueve 0.5 pie, entonces la rueda gira , figura 18-13b. Por tanto, el resorte se alarga Principio de trabajo y energía.
EJEMPLO 18.5 La barra de 10kg que se muestra en la figura 18-15a está restringida de modo que sus extremos se mueven a lo largo de las ranuras. La barra inicialmente está en reposo cuando Si en el bloque corredizo B actúa una fuerza horizontal , determine la velocidad angular de la barra cuando . Ignore la masa de los bloques A y B.
0 . °
45
°
50
SOLUCIÓN Energía cinética (diagramas cinemáticos). En la figura 18-15b se muestran dos
0
0.
diagramas cinemáticos de la barra, cuando está en la posición inicial 1y en la posición final 2. Cuando la barra está en la posición 1, puesto que En la
12 12 12 10 12 [121 10 0.8 ] 5 0.2667 (0.4tan45 ) 0.4 0.8 0.2667 1.0667 . ∆(0.40.4cos45 ). − 12 0{98.1 (0.40.4 cos45 )50 (0.8sin 45 )} 1.0667 6.11
posición 2, la velocidad angular es tanto, la energía cinética es
y la velocidad del centro de masa es
. Por
Las dos incógnitas y pueden relacionarse con una base en el centro instantáneo de velocidad cero de la barra, figura 18-15b. Se ve que a medida que A desciende a una velocidad , B se mueve horizontalmente a la izquierda a una velocidad . Al conocer estas direcciones, el CI se encuentra como se muestra en la figura. Por tanto, °
En consecuencia,
Desde luego, también podemos determinar este resultado con
Trabajo (diagrama de cuerpo libre). La figura 18-15c. Las fuerzas normales
y no realizan trabajo cuando la barra se desplaza. El peso de 98.1 N se desplaza una distancia vertical de Estas dos fuerzas realizan trabajo positivo. °
Principio de trabajo y energía.
°
Si resolvemos
obtenemos
°
I MPULSO Y CONSER VACI ÓN DE M OME NTO
PRINCIPIO DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA EL MOVIMIENTO PLANO DE UN CUERPO RÍGIDO El principio del impulso en la cantidad de movimiento se aplicará ahora al análisis del movimiento plano de cuerpos rígidos y de sistemas de cuerpos rígidos . El método del impulso y la cantidad de movimiento se adapta particularmente bien a la solución de problemas que incluyen el tiempo y las velocidades. Además, el principio del impulso y la cantidad de movimiento proporciona el único método práctico para la solución de problemas en los que intervienen el movimiento o impacto impulsivo. Considerando de nuevo un cuerpo rígido conformado por un gran número de partículas Pi, hay que recordar de la sección que el sistema formado por las cantidades de movimiento de las partículas en el tiempo t1 y el sistema de los impulsos de las fuerzas externas aplicadas desde t1 hasta t2 son en conjunto equipolentes al sistema formado por las cantidades de movimiento de las partículas en el tiempo t2. Puesto que los vectores asociados con un cuerpo rígido pueden considerarse como vectores deslizantes, se concluye que el sistema de vectores que se muestra en la figura (1) no sólo son equipolentes, sino verdaderamente equivalentes en el sentido de que los vectores en el lado izquierdo del signo de igualdad pueden transformarse en los vectores del lado derecho mediante el uso de las operaciones fundamentales.
Figura n°1
PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL PARA EL MOVIMIENTO PLANO DE CUERPO RIGIDO Establece que la suma de todos los impulsos creados por el sistema de fuerzas externas que actúa en el cuerpo durante el intervalo 1 2 es igual al cambio de la cantidad lineal del cuerpo durante este intervalo.
∑ ∑ ∑ ∫
La ecuación de traslación de un cuerpo rígido puede escribirse como: =
Como la masa del cuerpo es constante:
=
=
PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR
La suma del impulso angular que actúa en el cuerpo durante el intervalo 1 2 es igual al cambio de la cantidad de movimiento angular del cuerpo durante este intervalo” La ecuación de traslación de un cuerpo rígido puede escribirse como:
∑ ∑ ∑ ∫ =
Como el momento de inercia es constante:
= (
)
=
Del mismo modo para la rotación con respecto a un eje fijo que pasa por el punto O. La ecuación se escribe:
∑ ∫ =
Para un movimiento plano del cuerpo se usa las siguientes ecuaciones:
∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ +
=
+
=
+
=
CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Si la suma de todos los impulsos lineales que están en un sistema de cuerpos rígidos conectado es cero en una dirección específica, entonces la cantidad de movimiento lineal del sistema es constante, o se conserva en esta dirección, es decir:
∑ ∑ =
Esta ecuación se conoce como la cantidad de movimiento lineal.
Sin inducir errores apreciables en los cálculos, la ecuación puede ser apreciable en una dirección específica a lo largo de la cual los impulsos lineales son mínimos o no impulsadores. De manera específica, las fuerzas no impulsoras ocurren cuando fuerzas mínimas actúan durante lapsos muy cortos. Algunos ejemplos son la fuerza de un resorte levemente deformado, la fuerza de contacto inicial con suelo blando, en algunos casos el peso del cuerpo. CHOQUE EN SOLIDO RÍGIDO Choque Central y Choque Excéntrico Los sucesos de impacto se clasifican según la posición relativa de los centros de masa de los cuerpos, la velocidad relativa de los centros de masa u la línea de impacto: recta normal a las superficies en el punto de impacto. Cuando los centros de masa de ambos cuerpos se hallen sobra la línea de impacto, diremos que se trata de un choque central. Cuando el centro de masa de uno o ambos cuerpos no se halle sobra la línea de impacto diremos que se trata de un choque excéntrico, este tipo de impacto suele suceder cuando uno o dos cuerpos están limitados a girar con respecto a un eje fijo.
Evidentemente, entre dos puntos materiales solo existirá choque central, ya que el tamaño y forma de los puntos supone que no afectan al cálculo de su movimiento Choque Excéntrico El análisis de los problemas de choque de puntos materiales se ha realizado en IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO – PARTICULA, ilustraba el caso del choque central para el que la línea de impacto coincidía con la recta que une los centros de masa. Por lo tanto, las fuerzas de contacto en el choque pasaban por los centros de masa de los cuerpos (fig. 1). Estos problemas se resolvían echando mano de la conservación de la cantidad de movimiento junto con el coeficiente restitución (e), que comprar la velocidad relativa de separación de los puntos de contacto (después del choque) con su velocidad relativa de aproximación (antes del choque) El problema de choque en cuerpos rígidos es muy parecido al de choque de puntos materiales, pero se complica ligeramente por el hecho de que la línea de impacto no suele pasar por los centros de masa de los cuerpos (fig. 2) Surge una nueva complicación si definimos el coeficiente de restitución diciendo que es el cociente entre el impulso de restitución y el impulso de deformación como se hizo con partícula. Un análisis semejante al realizado en el choque de partículas nos daría de nuevo el coeficiente de restitución como razón de la velocidad relativa de separación de los puntos de contacto (después del choque), a la velocidad relativa de separación de los puntos de contacto (antes del choque). Ahora bien, la velocidad el cuerpo en el punto de impacto suele ser diferente a la velocidad de su centro de masa. Por lo tanto, cuando se trate de un choque excéntrico, las ecuaciones de velocidad relativa se deberán utilizar para relacionar las velocidades de los puntos de
contacto en la ecuación del coeficiente de restitución y las velocidades de los centros de masa en las ecuaciones de los teoremas de la cantidad e movimiento y momento cinético. Aplicando la conservación de la cantidad e movimiento para encontrar el impulso de deformación y restitución de tal manera que al dividirlos y remplazando la velocidad común de en el momento máximo obtenemos:
=
−−
Esta ecuación es similar a la obtenida cuando se tenía choques en partículas ( ) Con el par de ecuaciones mencionadas obtuvimos ( )2 ( )2 pero para encontrar la velocidad en el centro de masa utilizaremos las ecuaciones de velocidad relativa
⁄ ⁄
PROBLEMAS RESUELTOS A. Segunda Ley de Newton Problema #1
La carretilla y su carga tienen una masa total de 100 kg. Determine la aceleración de la carretilla y la reacción normal en el par de ruedas A y B. Ignore la masa de estás.
SOLUCI ÓN m = 100 kg w = 981 N
100 80 3 100 5 60 ∑ 0.8 /
∑ 0 0 98160 1041 1041
∑ 0 0.4 0.7 0.7 0.6 0 0.4 4256 0.6 0 0.4 0.6 14 0.40.6104114 14624.6 610.6 Reemplazamos
1041 1041 610.6 430.4
Problema #2
Si se permite que el gabinete de 80 kg ruede hacia abajo del plano inclinado, determine su aceleración y las reacciones normales en el par de rodillos A y B cuya masa se pasa por alto.
SOLUCI ÓN
80 9.81
∑ cos75° 80 203.8012 2.53 /
∑ 0 0° sin75 758.05 ∑ 0 0.5 0.5 0 0.5 0.5
Reemplazamos
758.758.0505 2 329.02
Problema #3
5 /
En el instante que se muestra, las dos barras cuya masa oscilan con una velocidad angular en sentido contrario al de las manecillas del reloj de , mientras que en la barra de 50 kg se somete a la fuerza horizontal de 100 N. Determine la tensión desarrollada en las barras y su aceleración angular en este instante.
SOLUCI ÓN
5 50
∙5∙1.5 7. 5 ∑ 10050 10050 2 /
∑ 507.1.55 5037.5 509.81 2365.5 ∑ 0 1 1 0 Reemplazamos
2365. 2365.5 5 2 1182.75 ∙ ⇒ 1. 3 3
B. Energía y Trabajo Problema #1
400
La rueda de 80 kg tiene un radio de giro con respecto al centro de masa O de . Determine su velocidad angular después de que ha realizado 20 revoluciones a partir del punto de reposo.
SOLUCI ÓN
80 400
Momento de Inercia
800.4 12.8 ∙ 12 12 12.8 6.4 2020.6 24
Principio
∑⇒ 506.4 50246.4 √ 1200 64 24.27
Problema #2
Si la barra delgada uniforme de 30 kg comienza a rodar del reposo en la posición mostrada, determine su velocidad angular después de que ha realizado 4 revoluciones. Las fuerzas permanecen perpendiculares a la barra.
30 0 ? ⇒ 4 218 300.58 120 201.58 240 208160 12 12 121 121 300.50.51.50.5 22.5
Reemplazamos
12 300.5 12 22.5 3.75 11.25 15 Principio
∑⇒ 12024016015 √ 52015 10.43
Problema #3
100 ∙90°
La barra delgada uniforme de 50 lb se somete a un momento de par barra está en reposo cuando , determine su velocidad angular cuando
0°
1.55 50 100 ∙ 0
1002 50 502.5 125 12 12 121 121 1.55275 3.23 Reemplazamos
12 1.55272.5 12 19.40
. Si la .
4.8521 1.61 6.47 Principio
∑⇒ 501256.47 √ 36.2.4077 2. 2 2
C. Impulso y Conservación de Momento Problema #1:
El disco de 12 kg tiene velocidad angular igual a 20 rad/seg. Si el freno ABC es aplicado de manera que la magnitud de la fuerza P varía con el tiempo como se muestra. Determine el tiempo necesario para detener el disco. El coeficiente de fricción cinética en el punto B es 0.4 Solución: Análisis del problema: el sistema mostrado está realizando un movimiento angular, por lo que para su desarrollo solo usaremos el principio de impulso y momentum angular. Para hallar el valor del tiempo, haremos uso de la gráfica que se muestra en la figura, pues ahí se representa la cantidad de fuerza que se debe usar para detener el disco. DCL del Sistema:
∑ 0. 4 1 0.40.40.4 1 =
(0.5) (0.5) 0.5
)(
= 0 = 0 =
= 2.941 = 1.176
Aplicamos el principio de Impulso y momentum angular en el disco
0. 2 ∫ 120.2201.1760. 2 ∫ 0.240201.1760.2 ∫ =0
=0
=0
Donde ∫ es el área debajo de la relación P – t, como se muestra en la gráfica, entonces asumiendo un tiempo menor a 2 segundos tenemos:
∫ 2 5 5 0.24020 1.1760.25 = (5)(2) + 5(
Reemplazamos la ecuación [2] en la ecuación [1]: 5)] = 0
= 5.08
Problema #2
El carro mostrado en la figura tiene masa M sin considerar sus cuatro ruedas, cada una de las cuales es un disco con masa m/2. Las ruedas delanteras y su eje están conectadas rígidamente, y lo mismo sucede con las ruedas traseras. Si los ejes son lisos, calcular la velocidad de G (centro de masa del carro) en función del tiempo. El sistema parte del reposo. Suponga que hay suficiente fricción para impedir que las ruedas resbalen. Solución: Análisis en las ruedas: las ruedas serán analizadas de par en par, o sea tomaremos el par de ruedas traseras como una sola masa, así como las delanteras como otra sola masa, por lo que la masa para el análisis de las ruedas será “m”. El movimiento de las ruedas es un movimiento plano general, pues a la vez que giran, también se desplazan. El radio de las ruedas será R.
0 12 ( )(
∑ ∫ ∫ ∅ m ∅ m +
0+
[
Análisis solo del carro:
)( ) =
+
=
]( ) =
no se tomará en cuenta la masa de las ruedas, pero si las reacciones horizontales de los ejes. Debemos tomar en cuenta que la velocidad de las ruedas es la misma velocidad del carro, por estar en un mismo sistema.
∑∫ 2 ∫ ∅ ∅ 2 =
0+
=
[
∅ ]( ) =
Igualamos las ecuaciones (2) y (3), y despejamos la F, sabiendo que Vc es igua a VG:
∅ ∅ 2 ∅ ∅ ∅ + − + ∅ + − + ∅ + ∅ + + ∫ ∅ + +
−
=
+
=
Igualamos las ecuaciones (3) y (4), y hallamos la VG
=
+
( + 2 ) =
+ 2 )
Problema #3
El cilindro en la figura tiene una masa m = 3 slug y radio de giro K = 5ft. Hay suficiente fricción para impedir resbalamiento sobre el plano. Una cuerda esta enrollada alrededor del radio interior y una tensión T = 90 lb se aplica paralelamente al plano, como se muestra en la figura. Use los principios del impulso y la cantidad de movimiento para encontrar la velocidad de C después de 3 seg, si el movimiento comienza desde el reposo. Solución: Antes de ejercer la tensión T, el cilindro se encuentra estático debido a la fuerza de fricción. Pero al momento de aplicar la Tensión este empieza a moverse, desarrollando así un movimiento General, pues mientras que gira alrededor de su propio eje, se va trasladando.
0 2 12 3 −. ……1 0 37 9 0 3 32. 2 37 3 3 32.04 ……… 2 32.04 54012.9 5 …
Igualamos (1) y (2):
=
.
/
CONCLUSIÓN En la resolución de los problemas de cinética plana de un cuerpo rígido hemos utilizado todos los conocimientos básicos adquiridos durante el semestre anexando el hecho que ahora se trabaja con un sistema de partículas donde sus posiciones relativas no varían y sus movimientos se dan por traslación y rotación empleando así nuevos conceptos como eje de giro, momento de inercia y centro G.
