UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS PROFESOR: DR. JOEL A. GARCÍA VARGAS ASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES SEMESTRE 2013-02 GRUPO: 02
PROYECTO FINAL “DATACIÓN POR RADIOCARBONO”
ALUMNO: ROMÀN GARCÍA DIEGO ALEJANDRO FECHA DE ENTREGA: 27 DE MAYO DE 2013
DATACIÓN POR RADIOCARBONO
Ecuaciones Diferenciales
Abstract The theory to determine the approximate ages of fossils with the isotope of the element carbon, C-14, is based on this isotope is produced in the atmosphere by the action of cosmic radiation on nitrogen. The ratio of the amount of C-14, carbon ordinary atmospheric, C-12 is apparently consistent and, as a consequence, the proportional amount of isotope present in all living organisms is the same as in the atmosphere. When an organism dies, stops the absorption of C-14, either by breathing or eating. So to compare the proportional amount of C-14 present, for example, in a fossil with the constant ratio found in the atmosphere, it is possible to obtain a reasonable estimate of the age of the fossil. The method is based on the knowledge that the half-life of the radioactive C-14 is around of 5600-6000 years. This project was analyzed through the application of differential equations and mathematical models of solution approach a proposal of general application for the resolution of problems of dating by radiocarbon.
Resumen La teoría para determinar las edades aproximadas de fósiles con el isótopo del elemento carbono, C-14, se basa en que este isótopo se produce en la atmósfera por la acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno. La relación de la cantidad de C-14, al carbono ordinario en la atmósfera, C-12 al parecer es constante y, como consecuencia, la cantidad proporcional de isótopo presente en todos los organismos vivos es la misma que en la atmósfera. Cuando muere un organismo, cesa la absorción de C-14, ya sea por respirar o por comer. Así al comparar la cantidad proporcional de C-14 presente, por ejemplo, en un fósil con la relación constante encontrada en la atmósfera, es posible obtener una estimación razonable de la edad del fósil. El método se basa en el conocimiento de que la vida media del C-14 radioactivo es del alrededor de 5600-6000 años. En este proyecto se analizó mediante la aplicación de las ecuaciones diferenciales y el planteamiento de modelos matemáticos de solución una propuesta de aplicación general para la resolución de problemas derivados de la datación por radiocarbono.
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DATACIÓN POR RADIOCARBONO
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INTRODUCCIÓN: La datación por r adiocarbono es un método de datación radiométrica que utiliza el isótopo carbo o-14 (14C) para determinar la edad de materiales que contienen carbono hasta unos 60.000 años. En 1946 el químico est dounidense Willard Libby dio a conocer los mecanismos de formación del isótop o 14C a través de reacciones nucleares en la atmósfera. Más tarde, en 1949, cua ndo ocupaba su cargo como profesor en la universidad de Chicago desarrolló el conocido Método de Datación Radioca bónica. En 1960, Libby fue galardonado c n el Premio Nobel de Química por su m étodo de datación mediante el carbono 14. En la naturaleza hay tr s isótopos naturales del carbono, dos de ell s, el carbono-12( 12C) y el carbono-13 ( 13C), son estables y un tercero, el carbono-14, (14C) es inestable o radiactivo.
La
a undancia
natural
del carbono-12 y del car bono-13 es 98,89% y 1,11% respectivament , mientras que la del carbono-14 es de 1, . 10 -10%. El carbono14 tiene un periodo de s emidesintegración de 5730±40 años y podría aber desaparecido de
Ilustración 1 “Repre entación esquemática de lo isotopos C12, C13, C-14
la Tierra hace mucho ti empo si no fuera por los constantes impacto
de rayos cósmicos sobre el nitrógeno de su atmósfera,
donde se forman más isótopos (de hecho, el mismo proc so ocurre en la atmósfera rica en nitró eno del satélite de Saturno ,Titán). cósmicos entran en la de las cuales produce algunos átomos de las
uando los rayos
tmósfera, provocan varias reacciones n ucleares, algunas neutrones. Los neutrones resultante
reaccionan con
oléculas de nitrógeno (N 2) en la atmósf ra:
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La tasa más alta de pro ucción de carbono-14 tiene lugar en alti udes entre 9 y 15 km (30.000 y 50.000 pie s), y en altas latitudes geomagnéticas, p ero el carbono-14 se esparce uniformemente sobre la atmósfera y reacciona co n el oxígeno para formar dióxido de carbo o. Este dióxido de carbono también es absorbido por los océanos, disolviéndose n el agua. De forma aproximada se pue de considerar que el flujo de rayos cósmic s es constante durante largos períodos , y, por tanto, que el14C se produce a un r itmo constante. De esta forma, la prop rción de carbono radiactivo y no radi ctivo permanece constante
en
la
atmósfera.
Esta
proporción es de ap roximadamente 1 parte por billón (6·10 9 átomos por mol). En 1958, Hessel de V ries demostró que la concentración de
14
varía con el tiempo
C en la atmósfera de forma local.
Así, para las datacio es más precisas, estas variaciones son tenidas en cuenta mediante
curvas
Cuando se usan
de
calibración.
stas curvas de
calibración, su precisi n y forma son las que determinan la precisión de la datación realizada. El proceso de fotosí tesis incorpora el átomo radiactivo en las plantas de Ilustr ción 2 “Ciclo del C-14”
manera que la prop orción
14
C/ 12C en
éstas es similar a la atmosférica. Los animales incorporan, po r ingestión, el carbono de las plantas.
hora bien, tras la
muerte de un organismo vivo no se incorporan nuevos átomos d e 14C a los tejidos y la concentración del isótopo va decreciendo conforme va transformándose en 14N por decaimiento r adiactivo:
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Mediante las correspondientes curvas de calibración. Las medidas se hacen tradicionalmente contando la desintegración radiactiva de átomos individuales de carbono por recuento proporcional gaseoso o por recuento de centelleo líquido, pero estas dos técnicas son relativamente insensibles y están sujetas a relativamente grandes incertidumbres estadísticas cuando las muestras son pequeñas (menores de 1g de carbono). Si hay poco carbono al comenzar, una semivida que dura mucho significa que solo unos pocos átomos se desintegran mientras se intenta su detección (4 átomos/s) /mol tan solo después de
la
muerte, de este modo, p ej: 1 (atom/s)/mol después de 10.000 años). La sensibilidad ha sido incrementada usando técnicas basadas en espectrometría de masas (AMS), donde todos
los
contados
átomos
de
14
directamente,
C
pueden
no
ser
solamente
aquellos que se desintegran durante el intervalo de recuento asignado para cada análisis. La técnica de AMS permite datar muestras que contienen tan solo unos pocos miligramos de carbono. Las edades de radiocarbono brutas (es decir, aquellas no calibradas), lo que se conoce por edad radio carbónica o de
14
C, se expresan
Ilustración 3 “Eliminación del carbono 14 en los organismos vivos después de su muerte”
en años BP (Before Present- Hasta hoy día). Esta escala equivale a los años transcurridos desde la muerte del ejemplar hasta el año 1950 de nuestro calendario, siendo éste el número de años de radiocarbono antes de 1950, basadas en un nominal (y asumiendo como constante) el nivel de carbono-14 en la atmósfera igual al nivel de 1950. Se elige esta fecha por convenio y porque en la segunda mitad del siglo XX.
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Los laboratorios de datación normalmente proporcionan la desviación estándar. Normalmente, para el cálculo de esta desviación estándar solo se tienen en cuenta los errores estadísticos de conteo. Sin embargo, algunos laboratorios proporcionan un multiplicador del error para tener en cuenta otras fuentes de error. Más recientemente, se intenta determinar el error global de la medida, usando muestras de control de edad conocida y verificadas por comités internacionales. A fecha de 2008, es posible datar una muestra de menos de 10.000 años con una precisión mejor que ±40 años de radiocarbono. Este error, sin embargo es sólo una parte del error de la datación cronológica. La edad radiológica no puede ser usada directamente como edad cronológica, ya que, como se ha dicho anteriormente, la concentración de
14
C en la atmósfera no
es estrictamente constante. Esta concentración varía en función de los cambios producidos en la intensidad de la radiación cósmica, que, a su vez, se ve afectada por variaciones en la magnetosfera terrestre y en la actividad solar. Además, existen importantes reservas de carbono en forma de materia orgánica, disuelta en los
océanos,
en
sedimentos
oceánicos
(hidratos
de
metano)
y
rocas
sedimentarias. Cambios en el clima terrestre afectan a los flujos de carbono entre estas reservas y la atmósfera, alterando la concentración de
14
C en ésta.
Además de estos procesos naturales, la actividad humana también es responsable de parte de estos cambios. Desde el principio de la revolución industrial en el siglo XVIII hasta los años 50 del siglo XX, la concentración de
14
C disminuyó como
consecuencia de la emisión de grandes cantidades de CO 2 como consecuencia de la actividad industrial y la quema de grandes cantidades de carbón y petróleo. Esta disminución es conocida como efecto Suess, y afecta también a la concentración de13C. Sin embargo, entre los años 50 y 60, la concentración de
14
C se duplicó
como consecuencia de las pruebas nucleares atmosféricas realizadas en esos años. A mediados de los años 90, el nivel de
14
C en la atmósfera era un 20%
superior al de 1950. Es por esto que se toman como patrón de referencia las reservas de ácido oxálico almacenadas en el National Institute of Standards cuyo contenido de radiocarbono se considera igual al de una muestra de madera de 1950. 6
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DESARROLLO DEL MODELO MATEMÁTICO: El 14C decae de forma exponencial, es decir, la tasa de decaimiento disminuye de forma proporcional al número de átomos restante. La ecuación diferencial tiene la forma:
Cuya solución es:
N=N0
= − ;
Donde: •
= constante de desintegración radiactiva, la probabilidad de desintegración
por unidad de tiempo. •
N0= número de átomos de
14
C en el momento t=0, o sea el momento inicial en
el que se empieza a contar el número de desintegraciones, •
N= número de átomos restante después de que haya transcurrido un tiempo t
La constante de desintegración radiactiva se relaciona con la vida media y el periodo de semi desintegración de forma:
t½ = tprom*ln(2) = semivida.
tprom = = vida media.
Para el 14C: t½ = 5568 años. Para el 14C: tprom = 8033 años.
Los resultados obtenidos por este método se suelen dar en años antes del presente (years BP, en inglés), lo que significa que t*(BP)=-t. Teniendo esto en cuenta, la edad de una muestra vendrá dada por:
= −
O, equivalentemente:
t(BP)= -tprom * ln Una vez obtenida la edad radiológica (medida en años de radiocarbono) de la muestra, se procede a obtener la edad cronológica.
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SOLUCIÓN DEL MODELO En una expedición en la península de Yucatán, México. Se encontró el hueso fosilizado de un mamífero que a decir de los científicos involucrados en el proyecto pertenece a un mamífero de más de 100,000 años de antigüedad, mismo que contiene una milésima de la concentración de C-14 que se encuentra en la materia viva. Estime la edad del fósil y precise si es o no correcto el cálculo aproximado según reportes.
Solución: Considerando para este ejercicio vida media del carbono= 5600 años x Masa de C-14 t Tiempo k Constante de proporcionalidad (o decaimiento) A(t) Tiempo antes del presente A (t) = A0 Para determinar el valor de la constante de decaimiento Sabemos que
= A(5600) o ½ *A0 = A0∗
De 5600 k = ln½ = - ln2 se obtiene = - (ln 2) ⁄ 5600 = - 0.00012378
Por consiguiente:
A (t) = A0∗ . Como: A (t) = 1 ⁄ 1000*A0 Se tiene: 1 ⁄1000*A0 = A0∗ . De forma que se tiene que: - 0.00012378 = ln1 ⁄1000 = ln(1000) Por consecuencia, la edad del fósil es cercana a:
t =(ln(1000)) ⁄ 0.00012378)
55806.71578 años
.: El reporte es incorrecto, el organismo tiene una edad de aprox. 55806.71578 años un poco más de la mitad de lo supuesto inicialmente. 8
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ANÁLISIS DE RESULTADOS. En la práctica de sabe que la datación por radiocarbono es uno de los métodos de datación absoluta más importantes, certeros y representativos usados hasta el día de hoy en muchas ramas de las ciencias. En la solución del problema mediante el planteamiento de modelos para la resolución de la datación por radiocarbono de manera general examinado en este proyecto, se notó que existe una leve incertidumbre con respecto al resultado en el número exacto de años transcurridos calculados. Esto se deriva de una calibración posterior adecuada, y una adquisición de muestra representativa pues como se explicó en este documento, la cantidad del isotopo carbono 14 no es siempre constante en todos los casos, pues emisiones, procesos geológicos y algunos otros, afectan la concentración y será necesario ajustar mediante la probabilidad y estadística parámetros y generar criterios posteriores a la toma de muestras. Por lo cual el número de años calculados debería de ser indicado con un porcentaje de tolerancia mínimo + ó – aproximado al real, en aras evidentemente de obtener un resultado contundente y certero.
CONCLUSIONES El carbono 14 sólo está en los tejidos vivos o que han estado vivos por mantener un intercambio con la atmósfera por la alimentación y respiración. Sólo es válido, por tanto, para la madera, los tejidos, el grano, el cuero, fibras, los huesos, las conchas y las muestras de tierra y roca que contengan restos orgánicos, como la turba o el sapropel. Esta forma de datación no se puede aplicar a materiales minerales que no hayan tenido un intercambio con la atmósfera . En este sentido se puede concluir que aunque la ecuación solución es muy exacta en la aproximación de la edad y fechamiento del tejido u organismo se presentan ventajas y desventajas comentadas a continuación: •
La prueba del carbono 14 sirve para datar la materia orgánica, es decir, la materia compuesta fundamentalmente de carbono. Los seres vivos están compuestos por moléculas basadas en el carbono. En el carbono, el más 9
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abundante es el C12, pero también están el C13 y el C14, que es radiactivo El C12 y el C14 aparecen en cierta proporción en los seres vivos. El C14, al ser radiactivo, va desapareciendo, pero se repone al mismo tiempo, cuando el organismo está vivo. Pero cuando muere, la proporción de C14 disminuye, dado que no se repone. Y cuanto más tiempo pasa, dismunuye esa concentración. Como se sabe la relación entre tiempo transcurrido y cantidad de carbono 14 que queda, se puede saber la fecha aproximada en que ese ser vivo murió. •
El planeta entero está constantemente bombardeado por rayos cósmicos, que generan Carbono-14 que se incorpora a los organismos vivos (incluidos los humanos) y procesos de emisión, cambios radicales de sedimentación, bombardeos cósmicos, acciones del hombre entre otros factores afectan la pseudoconstante concentración de carbono 14 afectando de leve a severa, la precisión de mediación y cálculo.
Referencias: •
IPN, Polilibro, “Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales”, Ecuaciones diferenciales, ESIME, México D.F.
•
Víctor Jiménez López, “Ecuaciones diferenciales, cómo aprenderlas, cómo enseñarlas, Servicio de las publicaciones Universidad de Murcia, España.
•
Renfrew, Colin y Bahn, Paul (1998). “Arqueología, Teorías, Métodos y Práctica”, 2ªEd. Ediciones Akal, S.A. Sector Foresta, 1. 28760 Tres Cantos.
•
Dennis G. Zill, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, Edit. Thomson, 8ª edición.
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