MUESTREO Se recurre al muestreo cuando es posible contar o medir los elementos de la población o el tiempo y el costo son factores importantes. POBLACIÒN n X 3 X 2 X 1 X
PA()*ET(OS += ,o-!$ion!"
medio
.= des#i$i/n est&ndr"
ESTADÌSTICAS ẋ= medio muestr!" s= des#i$i%n est&ndr" '=
tot!
de
Mate Matemá mátitica came ment nte e pode podemo moss desc descri ribi birr las las mues muestr tras as y las las pobl poblac acio ione ness al empl emplear ear mediciones como la media, moda, desviación estándar, ettc. Cuando estos métodos describen la característica de una muestra se denomina Estadísticos. Cuando se describe las características de la población se llama Parámetro.
TIPOS DE MUESTREO Las muestras ue forme debe tener la misma probabilidad. Cada elemento tiene la misma probabilidad de ser seleccionado en la muestra. E!isten dos tipos de muestreo" Muestreo no aleatorio o de #uicio Muestreo aleatorio En el muestreo muestreo aleatorio o probabilíst probabilístico ico todos los elementos elementos de la población tienen la probabilidad de ser ele$idos para la muestra.
En el mues muestr treo eo de #uic #uicio io se emple emplea a el conoc conocim imien iento to y la opin opinió ión n pers person onal al para para identificar a los elementos de la población ue debe incluirse en la muestra. *0EST(AS PAB= 14 PBC= 14
D C B A
PAC= 14 PBD= 14
1
1
1
1
6
6
6
2
1
1
1
1
6
6
6
2
P (C )= + + =
1
1
1
1
6
6
6
2
1
1
1
1
6
6
6
2
P ( A )= + + =
P ( B ) = + + =
P ( D D )= + + =
En el mues muestr treo eo alea aleato tori rio o cada cada posi posibl ble e mues muestr tra a tien tiene e i$ua i$uall prob probab abililid idad ad de ser ser seleccionado seleccionado y cada elemento elemento de la población población total tiene una oportunidad oportunidad i$ual de ser incluido en la muestra.
MUESTREO ALEATORIO Simple Sistemático Estratificado
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE 2 X 2 X n X 3 X 2 X 1 X
En el mues muestr treo eo de #uic #uicio io se emple emplea a el conoc conocim imien iento to y la opin opinió ión n pers person onal al para para identificar a los elementos de la población ue debe incluirse en la muestra. *0EST(AS PAB= 14 PBC= 14
D C B A
PAC= 14 PBD= 14
1
1
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6
6
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6
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P (C )= + + =
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6
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P ( A )= + + =
P ( B ) = + + =
P ( D D )= + + =
En el mues muestr treo eo alea aleato tori rio o cada cada posi posibl ble e mues muestr tra a tien tiene e i$ua i$uall prob probab abililid idad ad de ser ser seleccionado seleccionado y cada elemento elemento de la población población total tiene una oportunidad oportunidad i$ual de ser incluido en la muestra.
MUESTREO ALEATORIO Simple Sistemático Estratificado
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE 2 X 2 X n X 3 X 2 X 1 X
EJEMPLO: •
El administrador del supermercado %&' se dio cuenta ue desconocía totalmente los (ábitos de compra de los clientes de su )ona de influencia y deseaba planificar me#or el mar*etin$ y la cantidad de productos ue disponen dentro del mismo supermercado. Empe)aron a tomar datos de los residentes de la )ona, uienes acudían a comprar y uienes no+ con ue prioridad+ si poseía vivienda o no y cual cual era el monto monto o dinero dinero ue destina destinaban ban al rubro de aliment alimentaci ación ón de acuerdo a la si$uiente tabla. %" -mero de familia a investi$ar. investi$ar. " /asto semanal en productos propios del supermercado. C" 0iene vivienda. 123si+ 43no5
A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
B 26 2:.6 27 2: 94 29.6 94 2; 78 84 77.6 74 94 67.6 9< 97 6; <: 94 94 9< 26 9:.6 8:.6
C 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 4 2 4 2 2 4 2 2
A 78 7: 7; 7< 94 92 97 99 9= 96 98 9: 9; 9< =4 =2 =7 =9 == =6 =8 =: =; =<
B 69 77.6 99 224 7: 26 2< 77.6 : 9=.6 6: =7 7;.6 26 :.6 :.6 76.6 94 27 =6 2; =8.6 2; 28.6
C 4 2 2 2 4 2 4 4 2 4 4 2 2 2 4 4 2 2 2 4 4 4 4 2
9=
25
4
64
27
2
P>L%C?@" 364 Calcular la media de la población"
∑ B = 1557,5 = 31,15
μ=
N
50
Calcular la desviación estándar de la población" 2 σ =√ ∑ ( x − μ ) 3 74,<:6 Calcular la proporción de la población" P=
∑ C = 30 =0.6 N
50
El 60 dela pobl poblaci ación ón de estudiotiene estudiotiene viviend vivienda a y el 40 NO .
Calcular la desviación estándar de proporciones de la población" σ p p =
√
∑ (C − P ) =0.4898 2
N
MAES0B%"
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x´ =
MUESTRA =4 78 29 64 22 =7 9: 4; 7< =9
B :.6 69.4 94.4 27 77.6 76.6 =7 2; 224 94
C 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
5324 Calcular la media muestral"
∑ B = 350,5 =35,05 n
10
Calcular la desviación estándar de la muestra"
s=
√
∑ ( x − x´ )
2
3 7<.68
n −1
Calcular la proporción de la muestra" ´= P
∑ C = 8 =0.8 n
10
El 80 dela muestra deestudiotiene vivienda y el20 NO .
Calcular la desviación estándar de proporciones de la muestra" s p=
√
∑ (C − P´ ) =0. 2
n−1
MUESTREO ALEATORIO SISTEMÁTICO Los elementos son seleccionados de la población dentro de un intervalo uniforme ue se mide respecto al tiempo, espacio, orden. La muestra se obtiene al seleccionar aleatoriamente un elemento de los primeros 1*5 elementos en el marco y después 1*ésimo5 elemento. Dentro de las venta#as ue tiene este tipo de muestreo se tiene" a5 Es más sencillo de sacar una muestra y minimi)a el mar$en de error. b5 El muestreo sistemático es ms preciso ue el simple por ue estratifica la población en 5 estratos ue consiste en las primeras *unidades.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
MUESTRA 47 4: 27 2: 77 7: 97 9: =7 =:
B :.6 94 74 6; 26 77.6 2< =7 76.6 =8.6
C 2 2 4 4 4 2 4 2 2 4
364
5324 N 50 k = = =5 10
Ƞ
Calcular la media muestral" x´ =
∑ B = 286 = 28.6 n
10
Calcular la desviación estándar de la muestra" s=
√
∑ ( x − x´ )
2
3 26.88
n −1
Calcular la proporción de la muestra" ´= P
∑ C = 5 =0.5 n
10
Calcular la desviación estándar de proporciones de la muestra" s p=
√
∑ (C − P´ ) =0. 2
n−1
67
MUESTREO ESTRATIFICADO Dividimos a la población en $rupos (omo$éneos relativos, después recurrimos a uno de los dos métodos o bien seleccionamos al a)ar en cada estrato un n-mero específico correspondiente a la proporción del estrato, o bien e!traemos un n-mero i$ual de elementos de cada estrato, damos un peso con las proporciones del estrato o la población total, es aclarado cuando la población ya está dividida en $rupos de diferente tamaFo.
POBLACIÒN n X 3 X 2 X 1 X
6(0POS 7O*O68NEOS
EGEMPL>" ! " 45
1=
10 50
=
1 5
2=
40 50
!! < 45
A
B
C
19
49
1
1:
;2<; 9
1
;>
9
1>
?
1
2:
4<; 1
A
B C
1
1; 1
2
; 1
3
12
4
= n =10 n 1=2 n 2=8 5
MUESTREO POR CONGLOMERADOS O RACIMO Dividida a la porción en $rupos o con$lomerados y lue$o seleccionamos una muestra aleatoria de ellos, por e#emplo" Si ueremos investi$ar el n-mero de televisores por familia, podemos utili)ar un mapa+ dividir por man)anas y lue$o seleccionamos un n-mero de man)anas para reali)ar. 0anto en el estratificado como en el a$lomerado, la población se divide en $rupos bien definidos, usamos el estratificado cuando cada $rupo presenta una peueFa variación en su interior+ pero e!iste una amplia variación entre ellos.
DISTRIBUCIN DE MUESTREO
Po-!$i%n 2 X 2 X n X 3 X
*uestr
2 X 1 X
La distribución de probabilidad de todas las medias posibles de las muestras. Es una distribución muestral de la media, también podríamos tener una distribución de muestreo de una proporción, a esto se le llama distribución muestral de las proporciones.
CONCEPTO DE ERROR ESTÁNDAR La desviación estándar de las medias muestrales, se le conoce como el error estándar de la media. De manera análo$a la desviación estándar de la distribución de las proporciones se llama error estándar de las proporciones. Estos errores determinan la diferencia ue e!iste entre cada muestra y la población es decir el error accidental ue se comete en la muestra. σ x´ = E##O# DE $A% &ED!A%&'E%(#A$E% σ )´ = E##O# DE $A% P#OPO#C!ONE% &'E%(#A$E%
BASE CONCEPTUAL Po-!$i%n ; X ; X
*uestr
n X 3 X 2 X 1 X : X : X
*uestreo : 3 2 1 9
Cte@or 1 s2
*0EST(A : 2 9
2 Serie 1 Serie :
Serie 2 Serie ;
Serie 3
s1
12
s12
s22
DISTIBUCIN DE LAS MEDIAS MUESTRALES ´ + * ´ + , + * ´ } { * ´ + * 1
2
3
n
ormal" La distrbución de las medias muestrales es una distribución normal. ´ = μ : $a media de las medias muestrales es i-ual a la media poblacional . * σ x´ : Error de lasmedias mestrales .
MUESTREO DE POBLACIONES NORMALES
!DISTRIBUCIN DE MEDIAS TOMADAS " = tama/odelamuestra #
=5
σ x =
σ √
> : $os valoresdisminuyen
< : $os valoresaumentan
EJEMPLO: •
An banco calcula ue sus cuentas individuales de a(orros tienen una distribución normal con una media de H7444 y una desviación estándar de H844. Si el banco toma una muestra aleatoria de 244 cuentas. ICuál es la probabilidad de ue la media se (alle ente H2<44 y H7464J
N ( 0 2000, 0 600 )
=100 μ =2000 σ = 600 σ x´ =
1 1= A
0 600
√ 100
= 0 60
1900 −2000 60
A 1=−0.4515 1 2=
2050 −2000 60
A =0.2967
CONCLUSIN:
=−1,66
=0.833
E!iste una probabilidad del :=,;7K de ue la media muestral este entre 2<447464.
MUESTREO DE PROBABILIDADES NO NORMALES
Se tiene la vida -til de las llantas de 6 dueFos de camiones. ICalcular las medias muestrales para tamaFo de muestra i$ual a 9J DUEÑ O VIDA DE LAS LLANT AS
A
B
C
D
E
3 mese s
3 mese s
mese s
? mese s
1: mese s
μ=
∑ x = 3 + 3 + 7 +9 +14 =7.2 N
5
σ =4.11
*0EST(AS DE 3 ABC
ACD
BDE
BCE
BCD ABD ACE
CDE
ABE
ADE
3+3 + 3+3 +! 3+3 +"# 3+ +! 3+ +"# 3+! +"# 3+ +! 3+ +"#
Media de la muestra
Probabili dad
:"33
1
;
1
4"44
1
4"33
2
>
2
>"44
2
4"33 >
TEOREMA DEL L$MITE CENTRAL La media de la distribución muestral de la media es i$ual a la media poblacional. Prescindiendo del tamaFo de la muestra, al ir creciendo el tamaFo de la muestra la distribución muestral de las medias se acerca a la normalidad+ esto recibe el nombre del teorema del límite central ue es el más importante de la inferencia estadística. /aranti)a ue la distribución normal de la media es una distribución normal. La importancia del teorema del límite central es ue nos permite usar el estadístico muestral para (acer inferencia sobre los parámetros de la población, sin conocer nada sobre la forma de distribución de frecuencia de la población, salvo la población ue lo$remos rescatar de la muestra.
ELECCION DEL TAMA%O ADECUADO DE UNA MUESTRA Ana preocupación frecuente al diseFar un estudio estadístico consiste en cuantos elementos debe (aber en una muestra. Si una muestra es demasiado $rande, se $asta muc(o dinero en recabar datos así mismo, si la muestra e muy peueFa, las conclusiones resultaran inciertitas. El tamaFo adecuado de una muestra depende de tres factores" a5 El nivel de confian)a b5 EL mar$en de error ue tolerara el investi$ador. c5 La variabilidad de la población ue se estudia. El primer factor es el nivel de confian)a. Los ue llevan a cabo el estudio eli$en el nivel de confian)a. Los niveles de confian)a de <6 y <
Mientras más alto sea el nivel de confian)a ele$ido, mayor será el tamaFo de la muestra correspondiente. El se$undo factor es el error admisible. El má!imo admisible, desi$nado E, es la ma$nitud ue se suma y se resta de la media muestras o 1proporción muestral5 para determinar los puntos e!tremos del intervalo de confian)a es la ma$nitud del error ue tolerarán uienes conducen el estudio, también es la mitad de la amplitud del correspondiente intervalo de confian)a. An error admisible más peueFo reuerirá una muestra mayor. An error admisible $rande permitirá una muestra menor. El tercer factor en la determinación del tamaFo de una muestra es la desviación estándar de la población. Si la población se encuentra muy dispersa, se reuiere una muestra $rande. Por otra parte, si la población se encuentra concentrada 1(omo$énea5, el tamaFo ue se reuiere será menor. o obstante, puede ser necesario utili)ar un estimador para la desviación estándar de la población. e auí al$una su$erencia para determinar dic(o estimador"
1& U'()(*+ ,- +.',/( *'(: %pliue este enfoue cuando se encuentre disponible un estimador de la dispersión de otro estudio. Supon$a ue reuiere calcular la cantidad de (oras semanales de ciertas dependencias estatales o federales ue normalmente estudian la fuer)a de traba#o puede ser -til para obtener un cálculo apro!imado de la desviación estándar. Si se considera confiable una desviación estándar de un estudio anterior, se puede utili)ar en el estudio actual como ayudar para obtener el tamaFo apro!imado de una muestra
2& E)++ ,- +-,+ ./ +- +) (-'+): Para aplicar este enfoue necesita contar o conocer un cálculo de valores má!imo y mínimo de la población. La re$la empírica, en el cual se podrá esperar ue casi todas las observaciones se encontrara más o menos 9 desviación estándares de la media, si la distribución se$uía la distribución normal. Por consi$uiente, la distancia entre los
valores má!imos y mínimo es de 8 desviaciones estándares. Puede calcular la desviación estándar como un se!to de ran$o"
EJEMPLO: •
La directora de operación del Aniversity an*N desea un cálculo apro!imado del n-mero de c(eues ue e!piden cada uno de los estudiantes universitarios. Ella cree ue la distribución del 1n-mero de c(eues5 si$ue la distribución normal. La cantidad mínima de c(eues e!pedidos cada mes de 7, = la má!ima es de 64. El ran$o de la cantidad de c(eues e!pedidos por mes es de =;, ue se determina al restar 647. El estimador de la desviación estándar es entonces de ; c(eues mensuales =;O8.
3& R+)(*+ ,- +.',/( ()': Este es el método más com-n. Supon$a ue desea el cálculo apro!imado de la cantidad de (oras ue traba#an a la semana los estudiantes matriculados es la facultad de administración de la Aniversity of 0e!asN. Para probar la valides del cuestionario, se aplica a una peueFa muestra de estadísticas, a partir de esta peueFa muestra se calcula la desviación estándar de la cantidad de (ora 1dadas5 traba#adas y se utili)a este valor para determinar el tamaFo adecuado de la muestra. La interacción entre los 9 factores" Tmo de 2! 2
[ ]
2 12 ,r E= 1 muestr n = ❑ √ nestimr E! medi ⇒
n =¿ Es el tamaFo de la muestra 1 =¿ Es el valor normal estándar correspondiente
1 =¿ %l nivel de confian)a deseado
E=¿ Desviación estándar de la población es el error má!imo admisible
Es el resultado de este cálculo no siempre es un numero entero. Cuando el resultado no es un entero, se acostumbra redondear cualuier resultado fraccionario.
EJERCICIO:
•
742,77 se redondea a 747
An estudiante de administración p-blica ue desea determinar la cantidad media ue $anan al mes los miembros de los conse#os ciudadanos de las $randes ciudades. El error al calcular la media deber ser inferior a H244, con un nivel de confian)a de <6K, el estudiante encontró informe del departamento del traba#o en el ue la desviación estándar es de H2444. ICuál es el tamaFo de la muestra ue reuiereJ
( ) [ 2
E= 0 100
n =384,16 2 =0 1000 n =385 ❑ redondeo 3
]
2
( 1,96 ) (1000 ) 12 = n= 1 =1,96 ❑ 95 100 E ⇒
( ) [
]
2
( 2,58 ) ( 1000 ) 12 n= 1 =2,58 ❑ 99 = 100 E 2
E= 0 100
⇒
n =665,64 2 =0 1000 n =666 ❑ redondeo 3
?ncremento de <6K al <
TAMA%O DE LA MUESTRA EN EL CASO DE UNA PROPORCIN 2. El nivel de confian)a deseado. 7. El mar$en de error en la proporción de la población. 9. Ana apro!imación de la proporción de la población.
[]
2
n = p ( 1− p )
1 ❑ E
Tmo de ! muestr ,r ,r ! ,ro,or$i%n de !
⇒
EJERCICIO: •
Se calcula la proporción de ciudades ue cuestan con recolectores de basura privados. El estudiante desea ue el mar$en de error se encuentre a 4,24 de la proporción de la población, el nivel de confian)a deseado es de <4K, = no se encuentra disponible nin$-n estimador para la proporción de la población. ICuál es el tamaFo de la muestra ue se reuiereJ
DETERMINACION DEL TAMA%O DE LA MUESTRA a5 M,+.'+ )+'( .()+: 1 =¿ Mar$en de confiabilidad 3 <6K
❑ 1 =1,96 ⇒
s =¿ Desviacion estándar 3 4,6 e =¿ Error de estimación 3 6K
N =¿ Población 3 64 familias n0=¿ Primera apro!imación 1muestra si fuera infinito5 n =¿ 0amaFo de la muestra
( 1,96 )2 ( 0,5 )2 no = ( 0,05 )2 no =384,16
n=
no 1+
no N
n=
384,16 1+
384,16 50
n =44 4amilias
2
1 s no = 2 e
2
# M,+.'+ *(-): Se usa este tipo de muestreo para calcular probabilidades de variables aleatorias distribuidas en el tiempo y en el espacio. Cuando se conoce la probabilidad de ocurrencia.
2
5 P6 n = 2 ❑ Probabilidades in4initas superiores o i-uales a 30000 unidades e ⇒
2
5 P6N n= 2 ❑ Probabilidades 4initasin4eriores a 30000 unidades 2 e ( N −1 ) + 5 P6 ⇒
5 =¿ Mar$en de confiabilidad
P=¿ Probabilidad de ue el evento ocurra 6 =¿ Probabilidad de ue el evento no ocurra
e =¿ Error de estimación N =¿ Población
N −1 =¿ actor de corrección por finito
C.: La compaFía de euipos de sonido QR, dispone de ;44 distribuidores a nivel nacional, por investi$adores anteriores se sabe ue el ;:,6K de las personas les $ustan los euipos de sonido compacto. La empresa desea conocer el $rado de aceptación de un nuevo euipo de sonido con un mar$en de confiabilidad del <9K y un erro de estimación del 6K, calcule el tamaFo de la muestra.
2
5 P6N P =0,875 2 2 e ( N −1 ) + 5 P6
5 =93 =1,815
n=
6 =0,125
n = 126 distribuidores
e =0,05 N =800
ESTIMACIN ESTADISTICA Se reali)an antes de tomar una decisión" a c i t a i t s e a i c n e r e f n I
Estimacion. Prueba de hipotesis
0odo mundo (ace estimaciones, los in$enieros (an de efectuar estimaciones es rápido y el resultado de ello puede afectar sus empresas, traba#os del mismo modo ue el resultado de decidir o no cru)ar la calle la inferencia estadística es la rama de la estadística ue se ocupa de los conceptos. Para afrontar la incertidumbre en la toma de decisiones.
T(. /+ E.'(*(Podemos (acer dos tipos de estimaciones respecto a la población" una estimación puntual y una estimación por intervalo.
E.'(*(- P,-',) Es un n-mero ue sirve para estimar para estimar el parámetro desconocido de una población.
E.'(*(- I-'+)
Es una $ama de los valores ue sirven para estimar el parámetro de la población, indica el error en dos formas" el $rado de su intervalo y por la probabilidad de ue el verdadero parámetro de la población se encuentra dentro de él.
14
1>
Ni#e! de $onn"
C-*+' /+ E.'(/ Es un estadístico muestral el cual se estima el parámetro de la población.
E.'(*(Es un valor específico observado de un estadístico.
E.'(*(- P,-',) La media de la muestra es el me#or estimador de la media poblacional es investi$ada, consistente, eficiente y cuando la muestra es suficientemente $rande su distribución puede ser apro!imado a la normal por medio de la estimación. EJEMPLO: •
Ana compaFía produce #erin$as desec(ables, cada #erin$a está envuelta por una envoltura y a su ve) se envasa en $randes ca#as. Debido al empaue las ca#as contienen distintas #erin$as, como las #erin$as se venden por pie)as. La compaFía necesita la estimación del n-mero de pie)as u (ay en cada ca#a, para proceso de facturación. 0omamos una muestra aleatoria de 96 ca#as y se anali)a el n-mero de #erin$as.
10
0 10
0 11
1 10
0 98
0 97
0 93
0
1 10
3 2 24
2 4 <:
2 4 24
4 <9
4 <=
4 <:
4
5 97
4 4 24
4 22
: 4 24
2 22
4 24
4 <<
2
4
4
8
4
9
93 11
4 <;
4 24
4 24
4 22
4 24
4 24
4
4 <:
8 4 =4
4 2 24
7 2 <;
6 4 22
4 4 <<
4
4
7
7
n =35
x´ =
s=
∑ x = 101 +103 +102 +, + 98+ 112+99 =102 n
√
35
∑ ( x −´ x ) = 2
n −1
√
( 101−102 )2 +( 103−102 )2 +, +( 112−102 )2 + ( 99−102 )2 =6 35 −1
Población" se estima ue cada ca#a tiene 247 #erin$as con desviación de 8 unidades. x´ =u s = 2
Proporción" Proporción ca#as en buen estado. ´= p
29 33
=0.83
malas =0.17 “El mejor estimador de la proporción poblacional es la proporción muestral”.
El estimador más utili)ado para estimar la desviación estándar de la población es la desviación estándar de la muestra. Si conocemos la proporción de unidades de una muestra ue tiene la misma característica podemos utili)ar esta como estimador de la población. La proporción muestral es enses$ada consistente, eficiente y suficiente.
E.'(*(- I-'+)
Ana estimación de intervalo describe un ran$o de valores dentro del cual es posible ue este el parámetro de la población. Fórmulas:
2 x =error delas medias muestrales.
2 x =
2 √ n
2 x =
2 N −n ∗ √ n N −1
!nervalo de aceptacion $ . ! y $ . %
EJEMPLO: El director del mercado de una fábrica de refracciones automotrices necesita
•
(acer la estimación de la vida promedio de las baterías, ue produce su compaFía. Se selecciona una muestra aleatoria de 744 baterías. Be$istramos el nombre y la dirección de los propietarios de los automotores, se entrevista a las personas con respecto a la duración de las baterías. uestra muestra de 74usuarios tiene una media de la batería de 98 meses. Beali)ar una estimación por intervalo. La población tiene una desviación poblacional de 24 meses. Datos" x =2 a/os.2 x =
10 2 = =0.7071 √ n √ 200
x´ =36 meses.
Se estima ue la vida -til de las baterías es de 98 meses.
2 =10 meses.
Se estima ue la media de
de
95.5 .
36 7 2 2 x
con un nivel de confian)a
33.87 a 38.12
Se estima ue la media se encuentra
con un nivel
de confian)a del <<.:K.
C-*),.(-: Con la aplicación anterior podemos dar el informe al director ue nuestra me#or estimación de baterías es de encuentra en el intervalo de
35.3
y
36
y tenemos un
36.7
68
de confian)a y ue se
.
EJEMPLOS: 2. El /ireensboro Coliseun estudia la posibilidad de ampliar su capacidad de asientos y necesita conocer tanto el n-mero promedio de personas ue asisten a los eventos como la variabilidad de este n-mero. Los datos se refieren a la asistencia 1en miles de dólares5 a nuevo eventos deportivos seleccionados al a)ar. Encuentre las estimaciones puntuales de la media y la varian)a de la población de la ue se toma la muestra.
x´ =
s=
8&
14&
21&
7&
12&
20&
16&
14&
13&
8
0
3
9
5
6
3
1
0
∑ x = 8.8 +14.0 +21.3 + 7.9+ 12.5 +20.6 +16.3 +14.1 +13.0 =14.6
√
n
9
∑ ( x −´ x ) = 2
n −1
√
( 8.8−14.6 )2+ (14.0 −14.6 )2 +, + (14.1 −14.6 )2 + ( 13−14.6 )2 9 −1
% =6.12
Se estima ue asistieron 2=.8 asistentes con una varian)a de 9:.=6.
7. La autoridad para Distribución de pi))a 1%DP5 (a desarrollado un buen ne$ocio en Carbono entre$ando órdenes de Pi))a con prontitud. La %DP $aranti)a ue sus pi))as se entre$aran en 94 minutos o menos a partir del momento en el ue se toma el pedido y, si la entre$a se retrasa, la pi))a es $ratis. El tiempo de entre$a de cada pedido se re$istra en el libro oficial de tiempo de pi))aN1L>0P5+ el tiempo de entre$a con retraso se re$istra como 94 minutosN en L>0P. Se enumeran 27 re$istros aleatorios de L>0P.
15&
29&
30&
10&
30&
19&
3 10&
5 27.
0 2=.
1 94.
0 77.
6 2;.
8
7
;
4
2
9
a5 Encuentre la media de la muestra.
x´ =
∑ x = 15.3 +10.8+29.5 + , +22.1 +19.6 +18.3 =20.225 n
12
b5 IDe ué población se obtuvo esta muestraJ De los re$istros del libro oficial del tiempo de pi))aN. c5 IPuede usarse esta muestra para estimar el tiempo promedio ue toma %DP entre$ar una pi))aJ E!pliue Si se puede usar esta muestra ya ue es de manera aleatoria esco$ida de toda la población. 9. % Goel Gac*son. un meteorólo$o ue traba#a para la estación de televisión TDAL. Le $ustaría informar sobre la precipitación pluvial promedio para ese día en el noticiero de la tarde. Los datos si$uientes corresponden a las mediciones de precipitación pluvial 1cm5 para 28 aFos en la misma fec(a, tomados al a)ar. Determine la precipitación pluvial media de la muestra.
x´ =
0&4
0&2
0&1
0&5
0&0
0&0
0&7
0&0
7 0&0
7 2.4
3 4.9
4 4.7
0 4.2
8 4.=
5 4.6
6 4.;
0
6
=
8
:
7
4
8
∑ x = 0.47 + 0.00 +0.27+, + 0.50 +0.06 + 0.86 =0.36875 n
16
=. El ational an* of Lincoln uiere determinar el n-mero de ca#eros disponibles durante las (oras pico del almuer)o los viernes. El bono (a recolectado datos del n-mero de personas ue entraron al banco los viernes de los -ltimos 9 meses entre las 22"44 %M y la 2"44 PM. Atilice los si$uientes datos para encontrar las estimaciones puntuales de la media y la desviación estándar de la población de donde se tomó la muestra.
24
289 342 29
245
305
2 27
4 948 9;6 7:
78<
97;
5
x´ =
s=
<
∑ x = 242 +275 +289 + ,+ 269 + 305 + 328 =237.27
√
n
12
∑ ( x −´ x ) = 2
n −1
√
( 242−237.27 )2 +( 275 −237.27 )2 +, +( 328 −237.27 )2 =127.99 12−1
6. La empresa Electric Pi))a esta considerando la distribución a nivel nacional de su producto ue (a tenido a nivel local y para ello recabo datos de venta proforma. Las ventas mensuales promedio 1en miles de H5 de sus 94 distribuidores actuales se listan a continuación. 0ratando estos datos como" a5 una muestra y b5 distribución una población, calcule la distribución estándar.
7&3 2&8 6&7 6&9 2&1
5&8 9.; :.: 9.: 6.4
4&5 8.6 6.; 8.8 :.6
8&5 9.= 8.; :.6 6.;
5&2 <.; ;.4 ;.: 8.=
4&1 8.6 9.< 8.< 6.7
a5 x´ =
s=
∑ x = 7.3 +2.8 +6.7 +,+3.9 +6.9 +5.2 =5.98
√
n
30
∑ ( x −´ x ) = 2
n −1
√
( 7.3−5.98 )2 +( 2.8 −5.98 )2 +, +( 6.9 −5.98 )2+ ( 5.2−5.98 )2 =1.85 30 −1
b5 se estima"
u= x´ 3u = 5.98 2 =s 32 =1.85
8. En una muestra de =44 traba#adores te!tiles, 2;= de ellos $ran insatisfacción con el plan de propuesto para modificar las condiciones de traba#o. Como el descontento de este $rupo fue lo suficientemente fuerte para (acer ue la administración de la fábrica considerando la reacción al plan como altamente ne$ativo, tienen curiosidad de conocer la proporción del total de traba#adores en contra. De una estimación puntual de esta proporción. Datos: n =400 traba8adores insatis4ec9os= 184 Estimación puntual de la proporción.
p ´=
184 400
= 0.46 insatis4ec9os .
0.54 satis4ec9os
Conclusión" e!iste un =8K de personas ue están insatisfec(as con este plan y un 6=K de personas ue se encuentran satisfec(as. :. La red de ami$os de los Uidentes cobra H9 por minuto para conocer los secretos ue pueden cambiar su vida. La red solo cobra por minutos completos y redondea (acia arriba para beneficiar a la compaFía. %sí, una llamada de 7 minutos 24se$undos cuesta H<. Se da una lista de 26 cobros seleccionados al a)ar.
3 30 21
9 8 7=
15 < 97
21 8 <
42 26 27
a5 Encuentre la media muestral. x´ =
∑ x = 3 +30 + 21 + , +42 +15 + 12 =16.93 n
15
b5 Encuentre una estimación puntual de la varian)a poblacional.
√
( 3−16.93 )2 + ,+ ( 15−16.93 )2 + ( 12−16.93 )2 2 = s= =10.84 15 −1 c5 IPuede esta muestra usarse para estimar la duración promedio de la llamadaJ Si es así ICuál es la estimaciónJ, si no IVué se puede estimar con esta muestraJ Si se pude estimar la duración promedio ya ue tenemos el cobro para los minutos (ablados, se dividiría para 9 y encontrar los minutos promedios. x´ =
16.93 3
=5.6 elteiempo promedio seria 5 minutos y 6 se-undos .
;. De una población ue se sabe tiene una desviación poblacional de 2.= se toma una muestra de 84 individuos. Se encuentra ue la media de esta muestra es de 8.7. a5 Encuentre el error estándar de la media. Datos" 2 1.4 n =60 2 x = = =0.18 √ n
√ 60
x´ =6.2
2 =1.4
b5 Calcule un intervalo estimado ue incluya la media de la muestra utili)ando un error estándar de la media. x −u 9−6.2 1 = = =2 A ( 1 =2 )= 0.4772 2
Se
estima
1.4
ue
la
media es
6.2 7 2 2 x
con una confian)a de <6.==K.
<. De una población con desviación estándar conocida de 2.86, una muestra de 97 elementos dio como resultado 9=,; como estimación de la media. a5 Encuentre el error estándar de la media. Datos" n =32 2 x =
2 1.65 = =0.29 √ n √ 32
x´ =34.8 2 =1.65
b5 Construya el intervalo estimado ue incluya la media de la población el <<.:K del tiempo.
24.La universidad de Carolina del norte está llevando a cabo un estudio sobre el pero promedio de los adouines ue conforman los andadores del campus. Se envía a al$unos traba#adores a desenterrar y pesar una muestra de =72 adouines, y el peso promedio de la muestra resulta ser de 2=.7 lb. 0odo el mundo sabe ue la desviación estándar del peso de un adouín es 4.;lb. a5 Encuentre el error estándar de la media. 2 0.8 n =421 2 x = = = 0.038 √ n
√ 421
x´ =14.2
2 =0.8
b5 ICuál es el intervalo alrededor de la media de la muestra ue incluirá la población de la media el <6K de las vecesJ
22. Debido a ue el dueFo del restaurante recientemente abierto. El refu$io del bardo (a tenido dificultades al estimar la cantidad de la comida ue debe preparar cada tarde, (a decidido determinar el n-mero medio de clientes a los ue atiende cada noc(e.
Selecciono una muestra de 94 noc(es ue le arro#aron una media de :2 clientes. Se lle$ó a la conclusión de ue la desviación estándar de la población es de 9.:8. a5 De una estimación de intervalo ue ten$a es 8;.9K de probabilidad de incluir a la media de la población. 2 3.6 n =30 2 x = = =0.65 √ n
√ 30
x´ =71
2 =3.6
Se estima ue la media media de
71 7 1 2 x
poblacional está en la clientes
con
una
confian)a de 8;.9K ue se encuentra en el intervalo de :4.96 y :2.86. b5 De una estimación de intervalo ue ten$a el <<.:K de probabilidad de incluir a la media de la población.
Se estima ue la media media de
71 7 2.96 2 x
poblacional está en la clientes con un nivel de
confian)a del <<.:K ue se encuentra en los intervalos 8;.<6 y :9.4=.
27.La administradora del puente euse Biver está preocupado acerca de la cantidad de automóviles ue pasan sin pa$ar por las casetas de cobro automáticas del puente. R
está considerando cambiar la manera de cobrar. Si el cambio permite solucionar el problema. Muestreo al a)ar :6 (oras para determinar la ta)a de violación. El n-mero promedio de violaciones por (ora fue :. Si se sabe ue la desviación estándar de la población es de 4.< estime un intervalo ue ten$a el <6.6K de probabilidad de contener a la media verdadera. 2 0.9 n =75 2 x = = =0.10 √ n
√ 75
x´ =7
2 =0.9
Se
estima
en
la
ue
media
la
media poblacional está 7 7 2 2 x
de
con un nivel
de confian)a del <6.6K ue se encuentra en los intervalos 8.; y :.7.
29./Wen 0aylor, administradora de los departamentos TiloW Tood, desea informar a los residentes potenciales cuanta ener$ía eléctrica puede esperar usar durante el mes de a$osto. Selecciona 82 residentes afectados y descubre ue su consumo promedio en a$osto es ;9= *iloWatts (oras. /Wen piensa ue la varian)a del consumo alrededor de 292 1&W(5 7 a5 Estable)ca una estimación de intervalo para el consumo promedio de ener$ía eléctrica en el mes de a$osto para /Wen pueda tener una se$uridad del 8;.9K de ue la media verdadera de la población está dentro de este intervalo. 2 11.4 =1.45 n =61 2 x = = √ n
x´ =894 2
2 =131
√ 61
2 =11.4
Se
estima
ue
la
en la media de ;<=
media poblacional está 7 1 2 x
con un nivel
de confian)a del 8;.9K ue se encuentra en los intervalos ;<7.6 y ;<6.=. b5 Bepita la parte a para una certe)a del <<.:K
Se estima ue la media poblacional está en la media de
894 7 2.96 2 x
con un nivel de
confian)a del <<.:K ue se encuentra en los intervalos ;;<.8: y ;<;.97.
ESTIMACIN POR INTERALOS E INTERALOS DE CONFIAN;A órmulas" Límites" u 7 1 2 x 68 decon4ian1a u 7 2 2 x 95 de con4ian1a u 7 3 2 x 99 de con4ian1a
?ntervalos de confian)a"
$. ! =u − 12 x $. % =u + 1 2 x
D+(-(*(- /+ N(+) /+ C-(-< En estadística la probabilidad ue ocasiona una estimación de confian)a se llama nivel de confian)a. En una estimación los niveles de confian)a ue más se utili)ó son" <4K, <7K, <6K y <
D+(-(*(- /+ I-'+). /+ L=('+. /+ C-(-< El intervalo de confian)a es la estimación ue estamos (aciendo, se forma por un límite superior y otra inferior.
EJEMPLO: Ana $ran distribución de refracciones automotrices necesita una estimación de
•
la vida media ue cabe esperar de los limpia parabrisas en condiciones de mane#o normales. La $erencia ya (a determinado ue la desviación estándar de la población es de 8 meses. Se selecciona una muestra aleatoria de 244 limpia parabrisas dándonos una media muestral de 72 meses. Encuentre una estimación por intervalo. Datos" n =100 > 30 nomal Estimar u=´ x 3u =21 x´ =21 meses.2 x =
2 6 = =0.6 n 1 00 √ √
2 =6 meses. Asumirel 95 decon4ian1a. 0.95 2
=0.475 3 1 ( A =0.475 ) =1.96
$. ! =u − 1 2 x =21 −( 1.96∗0.6 )=19.82
$. % =u + 1 2 x = 21+ (1.96∗0.6 )=22.17
Se estima ue la media se encuentra entre 2<.;7 a 77.2: meses con un nivel de confian)a del <6K. Ana oficina $ubernamental uiere calcular el in$reso anual media de :44 familias ue viven en una sección de = man)anas en la ciudad. Se toma una muestra de 64 familias, se calcula ue la media muestral es =;44 y la desviación estándar muestral es <64. Se pide calcular la estimación por intervalo del in$reso anual medio de las :44 familias. Datos" N =700 poblacion4inita Estimar u =´ x 3 u= 4800 n =50 > 30 nomal
x´ =4800 s = 950 Estimar 2 = s 3 2 =950
2 x =
√
√
2 N −n 950 700 −50 = =129.55 √ n N −1 √ 50 700 −1
Asumir el 90 decon4ian1a. 0.90 2
=0.45 3 1 ( A =0.45 )=1.65
$. ! =u − 1 2 x = 4800− (1.65∗129.55 )= 4586.24
$. % =u + 1 2 x = 4800 + ( 1.65∗129.55 )=5013.75
Se estima ue el in$reso medio se encuentra entre =6;8.7= a 6429.:6 con una confian)a del <4K. Proporciones
órmulas" u= n∗ p 2 =√ n∗ p∗: u p= p 3 muestreo
2 p=
√
p∗: n
EJEMPLO: •
Beali)ar una estimación de la proporción de empleados ue prefieren elaborar por sí mismo un proyecto de prestaciones para la #ubilación en ve) de un plan patrocinado por la compaFía. Primero conse$uimos una muestra aleatoria simple de :6 traba#adores calculamos la proporción de la muestra ue prefieren crear por sí mismo un plan i$ual a 4.=.
Datos" n =75 Estimar p = p´ 3 p =0.4 p ´ =0.4
:´ =0.6 2 p=
√
√
p ∗: 0.4∗0.6 = =0.056 n 75
Asumir el 85 de con4ian1a. 0.85 2
=0.425 3 1 ( A =0.425 ) =1.44
$. ! =0.4 −( 1.44∗0.056 )=0.31
$. % =0.4 + ( 1.44∗0.056 )=0.48
Se estima ue la proporción de empleados ue están de acuerdo en su propio plan de #ubilación se encuentra entre 4.92 a 4.=; con una confian)a de ;6K.
DEBER
2. Se toma una muestra de 84 individuos a partir de una población de 6=4. De esta muestra se encuentra ue la media es 8.7 y la desviación estándar es 2.98;. a5 Encuentre la estimación estándar de la media. Datos"
n =60 x´ =6.2 Estimar u=6.2
s =1.368 Estimar 2 =1.368
N =540 2 x =
√
√
2 N −n 1.368 = √ n N −1 √ 60
540−60 540−1
= 0.16
b5 Construya un intervalo del <8K de confian)a para la media. Asumir el 96 decon4ian1a. 0.96 2
=0.48 3 1 ( A =0.48 )=2.06
$. ! =6.2− ( 2.06∗0.16 )=5.87
$. % =6.2+ ( 2.06∗0.16 )=6.53
Se estima ue la media se encuentra entre 6.;: a 8.69 con una confian)a del <8K.
7. En una prueba de se$uridad automovilística reali)ada por el centro de investi$ación de Carretera de Carolina del orte, la presión promedio de la llantas para una muestra de 87 llantas fue 7= libras por pul$ada cuadrada y la desviación estándar fue 7.2 libras por pul$ada cuadrada.
a5 ICuál es la desviación estándar para esta poblaciónJ 1e!isten cerca de un millón de automóviles re$istrados en Carolina del orte5. Datos" n =62 x´ =24 Estimar u =24
s =2.1 Estimar2 =2.1 N =1000000
b5 Calcule el error estándar de la media. 2 x =
√
√
2 N −n 2.1 1 millon −62 = = 0.26 √ n N −1 √ 62 1 millon−1
c5 Construya un intervalo de confian)a del <6K para la media de la población. Asumir el 95 decon4ian1a. 0.95 2
=0.475 3 1 ( A =0.475 ) =1.96
$. ! =62− (1.96∗0.26 )=61.49 $. % =62+ ( 1.96∗0.26 )=62.51
Se estima ue la media
se
encuentra
entre
82.=< a 87.62 con una confian)a del <6K.
9. El $erente de la división de bombillas de la Cardinal Electric debe estimar el numero promedio de (oras ue duraran los focos fabricados por cada una de las mauinas. ue ele$ida una muestra de =4 focos de la mauina % y el tiempo promedio de funcionamiento fue 2.=28 (oras. Se sabe ue la desviación estándar de la duración es 94 (oras. a5 Calcule el error estándar de la media. Datos" n =40 x´ =1.416 Estimar u=1.416
s =30 Estimar2 =30
2 x =
30 2 = =4.74 √ n √ 40
b5 Construya un intervalo de confian)a del <4K para la media de la población. Asumir el 90 decon4ian1a. 0.90 2
=0.45 3 1 ( A =0.45 )=1.65
$. ! =1.416 −( 1.65∗ 4.74 ) =−6.405
$. % =1.416 + ( 1.65∗7.74 )=9.24
Se estima ue la media de la población se encuentra entre 8.=2 a <.7= con una confian)a del <4K.
=. Después de recolectar una muestra de 764 elementos de una población con una desviación estándar conocida de 29.:, se encuentra ue la media es 227.=. a5 Encuentre un intervalo de confian)a del <6K para la media. Datos" n =250
x´ =112.4 Estimar u =112.4 s =13.7 Estimar 2 =13.7
2 x =
2 13.7 = = 0.86 √ n √ 250
Asumir el 95 decon4ian1a. 0.95 2
=0.475 3 1 ( A =0.475 ) =1.96
$. ! =112.4 −( 1.96∗0.86 )=110.71
$. % =112.4 + (1.96∗0.86 )=114.09
Se estima ue la media se encuentra entre 224.:2 a 22=.4< con una confian)a del <6K. b5 Encuentre un intervalo de confian)a del <
=0.495 3 1 ( A =0.495 ) =2.58
$. ! =112.4 −( 2.58∗0.86 )=110.18 $. % =112.4 + (2.58∗0.86 )=114.62
Se estima ue la media se encuentra entre 224.2; a 22=. 87 con una confian)a del <