PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS A. CONMUTATIV CONMUTATIVA A DE LA ADICIÓN Y PRODUCTO DE NÚMEROS REALES Las leyes conmutativas establecen que el orden en el cual sume o multiplique dos números reales no afecta el resultado. Es decir: d ecir: ∀a, b ∈ R
a+b=b+a a ×b =b ×a ( Z )
( N )
Es por ello, que si alteramos el orden de los números Naturales (Q )
Racionales
, Enteros
,
( I )
e Irracionales
en una operacin de suma o multiplicacin, el resultado
obtenido tras la operacin no se altera.
E!emplos:
Conjunto ( N )
Naturales ( Z )
Suma
Multili!a!i"n
"+# = #+"
" ×# =# × "
$=$ ' + (−%) = −% + '
%& = %& ' ×( −%) = −% ×'
− = −
− = −
Enteros (Q )
Racionales ( I )
Irracionales
+ '" = "' + % = & &
%
%+ * = *+ %
%× *
%
' %
='
%
×"' ="' × % ' &
=
' &
= * ×% #=#
#. ASOCIATIV ASOCIATIVA A DE LA ADICIÓN Y PRODUCTO DE NÚMEROS REALES REALES Las leyes asociativas establecen que cuando suma o multiplica cualesquiera tres números reales, el +rupo (o asociacin) de los números no afecta el resultado. Es decir: d ecir:
∀a, b, c ∈ R
a + b + c = ( a + b) + c = a + ( b + c) a ×b × c =( a b×) c × a= ( b××c ) -ora bien, esto eplica por qu/ si alteramos el orden en que se a+rupan los ( Z )
( N )
números Naturales
, Enteros
(Q )
, Racionales
( I )
e Irracionales
en una operacin de
suma o multiplicacin, el resultado obtenido tras la operacin no se altera.
E!emplos:
Conjunto
Suma
Multili!a!i"n
" + (# + %) = (# + ") + %
" ×(# ×%) =(# ") × %
"+ =$+%
" ×* =%& × %
=
#& = #&
−' + (% − ") = (− ' + %) − "
( −') ×[ ( +%) ×( ") −] = − (× %) +] ( ×") [ ( ')
−' + ( −') = − − "
(−') ×( −&) =( − ) × ( "−)
− = −
+'& = +'&
Naturales ( N )
Enteros ( Z )
%
Racionale (Q ) s
Irracional ( I ) es
%+
(
+ ( "' + "% ) = ( % + "' ) + %" + &' = & + "% % * = *" " * +' %
) =(
% +" %
*+ %
= ' % +' % = %
%
)+'
%
%
×( '" ×"% ) =( % "'×) ' × =&' ×"% % % ' = '# #
(
%× * × ' %
) =(
*
" %
×% ) ' ×%
% ×% %
=# ×' % % = % %
C. ELEMENTO NEUTRO DE LA ADICIÓN Y PRODUCTO DE NÚMEROS REALES Las leyes neutrales est0n definidas por el valor uno () y cero (&) para la suma y la multiplicacin respectivamente, las cuales indican que cuando a cualquier número real (natural, entero, racional, irracional) se le suma la unidad el resultado es el mismo número,
mientras que para el caso del producto se establece que todo número multiplicado por uno, da el mismo número. Es se resume de la si+uiente manera:
∀a ∈ R a+&=&+a= a a × = ×a = a E!emplos:
Conjunto ( N )
( Z ) (Q) ( I )
Suma
Multili!a!i"n
"+ & = &+ " = "
" × = × " =" ( −%) × = × ( %) −
−% + & = & − % = −% + %
& = & + %
= %
% + & = &+ % =
( % ) × = ×( % ) %
% ×( )
= %− =%
=( ) × % = %
D. ELEMENTO SIMÉTRICO DE LA ADICIÓN Y PRODUCTO DE NÚMEROS REALES Las leyes de simetr1a en el caso de la suma de números est0n definidas por un valor que anula los mismos, es decir, se obtiene como resultado de la suma el cero (&). 2ero esta propiedad slo se cumple para los números enteros, racionales e irracionales, pero no para los naturales, ya que los valores naturales no abarcan el campo de los números ne+ativos, y por lo tanto, un número natural no posee elemento sim/trico u opuesto para la adicin. 3al propiedad se define de la si+uiente manera:
∀a ∈ Z , Q, I a + ( − a) = −a + a = &
-ora bien, en el caso de la multiplicacin las leyes de simetr1a est0n definidas por un valor que anula la misma, es decir, se obtiene como resultado de la multiplicacin el uno (). 2ero esta propiedad slo se cumple para los números racionales fraccionarios y radicales, pero no para los naturales y enteros, ya que estos con!untos contienen el elemento
cero (&) y la divisin por cero (&) no est0 definida en el campo de los números reales. 3al propiedad se define de la si+uiente manera:
∀a ∈ Q
a ×a − =a × = a E!emplos:
Conjunto ( N )
Suma
Multili!a!i"n
Suponiendo : " ∈ N
Suponiendo : & ∈ N
No posee simétrico,
No posee simétrico,
Naturales
ya que :
( Z )
− " ∉ N
' + ( −') = −' + ' = &
Enteros (Q )
Racionales ( I )
Irracionales
%
+ ( − % ) = − % +
(
%
=&
ya que : ∉ R & Suponiendo : & ∈ Z No posee simétrico, ya que : ∉ R & − × ÷ = ×% = % % %
)
%+ − % =− %+ %=&
%×
%
=
E. LEY DISTRI#UTIVA DE NÚMEROS REALES La ley distributiva de la suma y multiplicacin de los números reales establece que cuando se multiplica una suma por el mismo factor, el resultado que se obtiene es el mismo que si se multiplica cada sumando por el factor común y despu/s se suman, es decir:
∀a, b, c ∈ R
a ×( b +c) =a × b +a ×c
E!emplos:
Conjunto
Suma $ Multili!a!i"n
( N )
Naturales ( Z ) Enteros (Q ) Racionales ( I ) Irracionales
' ×( % +# ) =' ×% +' #× = % + * = −' ×( −% +# ) =( −' ) × ( %−) %
(
+ ( '−)
(×#)
×( ' +%" ) =% × + ' %
)
% × "
= (+ % −) =
+ "
% × " + ' = % × " + % ×'
=
% −
= '&
=&
+
=