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POLINÔMIOS, PRODUTOS NOTÁVEIS E
FRAÇÕES ALGÉBRICAS
Colégio Trilíngue Inovação
7ª série
1
POLINÔMIOS, PRODUTOS NOTÁVEIS E FRAÇÕES ALGÉBRICAS O Módulo é composto por uma coletânea de exercícios exercícios que tem como objetivo objetivo ajudá-lo a relembrar itens como: - “Colocar em evidência”; - “Produtos Notáveis”; - “Mínimo Múltiplo Comum”, onde os denominadores são variáveis e não números.
I.
POLINÔMIOS
1) DEFINIÇÃO:
Polinômios são qualquer adição algébrica de monômios.
MONÔMIOS: toda expressão algébrica inteira representada por um número ou apenas por uma variável, ou por uma multiplicação de números e variáveis. Exemplos: a) 5m b) p 2 c) 2xy d) my Geralmente o monômio é formado por uma parte numérica chamada de coeficiente numérico e por uma parte literal formada por uma variável ou por uma multiplicação multiplicação de variáveis. Exemplo: 2mx 2
=
2 mx 2
{
Parte Literal
Coeficiente Numérico
Os monômios que formam os polinômios são chamados de termos dos polinômios.
Obs. 1:
O monômio 4 ay é um polinômio de um termo só.
Obs. 2:
x + 4 y é um polinômio de 2 termos:
Obs. 3:
x e 4 y .
2 x − ab + 4 é um polinômio de 3 termos: 2 x ,
−
ab e 4 .
2) OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 2.1.
Adição Algébrica de Polinômios Para somarmos 2 ou mais polinômios, somamos apenas os termos semelhantes.
Exemplo:
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2
a) Obter o perímetro do triângulo abaixo: Como perímetro é a soma dos lados, l ados, teremos: (x + 1) + (x 2 ) + (3x − 4x 2 + 3) =
x 2
x + 1
3 x − 4 x 2 + 3
termos semelhantes
x + 1 + x 2 + 3x − 4x 2 + 3
=
termos semelhantes
x 2 − 4x 2
x + 3x
+
4x
3x 2
b) (x 2 − 4 xy − 4 )
−
(3x 2 + xy + 2)
−
+
1 4 24 3
1 2 3
+
+
(xy )
4
1+ 3
o resultado é um polinômio.
=
Primeiro eliminaremos os parênteses tomando cuidado quando houver sinal negativo fora dos parênteses.
x 2 − 4xy − 4 − 3x 2 − xy − 2 + xy x2
−
4 xy
x 2 − 3x 2 2
4
−
− 4 xy − xy +
1 4 24 3
− 2x
−
3x 2 xy
144 244 3
4 xy
−
−
−
xy
−
2
=
{
xy
+
=
− 42−32 = 1
6
EXERCÍCIOS 1) Reduza os termos semelhantes: a) 4a 2 −10a 2 − 6a 2 − 4a 2 = b) − a − a + a = 2
2) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)
3
5
Escreva os polinômios na forma fatorada: 4 x 4 − 5 x 3 + 6 x 2 = 8a 2 b 2 − 4ab + 12a 3 b 3 15a 3b 2 x + 3a 2b3 x 4 =
=
5b + 5c + ab + ac = am + bm + cm + an + bn + cn = x 2 + 2 xy + y 2
a
2
m
=
+ 6a + 9 =
2
4 x
− 12m + 36 =
2
− 16 y
2 2
m n
2
=
−1 = 2 2
(5 x y + x y ) + (− 3 xy2 − x2 y 2 + 2 x2 y) − (− 5 x2 y 2 + 6 x2 y )= 2
5 1 1 1 1 1 − b + a + c − c + a − b + − a + b − c = 4 2 8 6 6 3
m) 2,5 x2 − x − 3,2 + − 1,4 x + 0,7 x2 + 1,8 − 3,1 x2 − 1,5 x − 0,3 =
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3
2.2.
Multiplicação Algébrica de Polinômios
A multiplicação de um polinômio por outro polinômio deve ser feita multiplicando-se cada termo de um deles pelos termos do outro (propriedade distributiva) e reduzindo-se os termos semelhantes. Exemplo: a) (x + 2 y) ⋅ (x 2 − x )
=
x ⋅ x2
=
x3
x⋅x
−
−
x2
+
b) (2a + b) ⋅ (3a − 2b) = 2a ⋅ 3a =
−
2y ⋅ x 2
+
2 yx2
−
2 yx
2a ⋅ 2 b
+
b ⋅ 3a
2⋅3⋅a ⋅a
2⋅2⋅a ⋅b
−
6a 2
=
2y ⋅ x
−
e fica assim.
b ⋅ 2b
3⋅ b ⋅a
+
4ab
−
−
+
3ab
−
−
2⋅b⋅b
2b2
144 244 3
termos
=
c) (2p − 1) ⋅ (p 2 − 3p + 2)
6a 2
ab
−
semelhante s
2b 2
−
=
Conserve a base e some os expoentes. 6 7 8
2p ⋅ p 2
−
2p 3
−
6p 2
2p 3
−
6p 2 − p 2
2p ⋅ 3p
4p
+
−
−
7p2
+
7p
1⋅ p 2
p2
+
3p
4p + 3p
+
1 4 24 3
2p 3
−
2p ⋅ 2
+
−
2
+
−
2
1 ⋅ 3p
−
1⋅ 2
=
=
=
123
−
2
d) (xy − 4x 2 y )⋅ (3x 2 y − y ) = Colégio Trilíngue Inovação
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4
xy ⋅ 3x 2 y
−
xy ⋅ y
−
4x 2 y ⋅ 3x 2 y
4x 2 y ⋅ y
+
=
3 ⋅ x ⋅ x 2 ⋅ y ⋅ y − xy 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ x 2 ⋅ x 2 ⋅ y ⋅ y + 4x 2 y 2 = 3x 3y 2 − xy2 − 12x 4 y2 + 4x 2 y 2 não há termos semelhantes
Obs.: No item fatoração de polinômios veremos outras formas de apresentar esta resposta.
2.3.
Divisão Algébrica de Polinômio
Divisão de um polinômio por um monômio A divisão de um polinômio por um monômio deve ser feita dividindo-se cada termo do polinômio pelo monômio. Exemplo: a) (10x 4 − 20x 3 + 15x 2 ) ÷ 5x 3 = 10x 4 − 20x 3 + 15x 2 10x 4 20x 3 15x 2 = = − + 5x 3 5x 3 5x 3 5x 3 10 4 −3 20 3−3 = ⋅x − ⋅x 5 5 = 2x1 − 4x 0 + 3x −1 =
2x
−
4 ⋅1
+
=
2x
−
4 ⋅1
+
=
2x
−
4
+
+
15 2− 3 ⋅x 5
3x −1 1 3⋅ 1 x
3 x ou
10x 4 − 20x 3 + 15x 2 5x 3
10x 4 20x 3 15x 2 = − + 5x 3 5 x 3 5x 3 2x 4 4x 3/ 3x 2 = − + x3 x 3/ x3 2 x 3/ ⋅ x 3 ⋅ x 2/ = − 4 ⋅1 + x 3/ x 2/ ⋅ x 3 = 2x − 4 + x
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5
b) (28x 4 y3 − 7 x 3y 4 ) ÷ 7 x 2 y 2
=
Como 7 x 2 y 2 é mínimo múltiplo da fração, podemos separar em duas frações. =
28x 4 y3 − 7 x 3 y 4 7x 2 y2
28x 4 y3 7x 3y 4 = − 7x 2 y2 7x 2 y2 4− 2 3− 2 3− 2 4−2 = 4⋅x ⋅y − 1⋅ x ⋅y =
4x 2 y
−
1 ⋅ x1 ⋅ y 2
=
4x 2 y
−
xy2 ou
28x 4 y3 − 7 x 3 y 4 7x 2 y2
=
=
28 x 4 y 3 7x3y4 − 7 x2 y2 7 x 2 y2 4x 2 ⋅ x/ 2/ ⋅ y/ 2/ ⋅ y1 1 ⋅ x/ 2/ ⋅ x ⋅ y/ 2/ ⋅ y 2 − x/ 2/ ⋅ y/ 2/ 1.x/ 2/ ⋅ y/ 2/
=
4x 2 y
−
1xy2
=
4x 2 y
−
xy2
=
Obs.: Na parte de fatoração de polinômios, veremos outras formas de apresentar esta resposta.
EXERCÍCIOS 3) Calcule: 2 2 2 g) (10a bc + 25ab c − 50abc ) =
a) 5 x( x − 3)( x + 4) = b) 3ab(2a + b)(a − b) = c) (a − 1)(a 2 − 1)(a + 1) =
(5abc) 1 2 2 2 2 4 2 a b − a b + ab 5 7 h) 2 = 2ab
4 2 d) (35a −221a ) =
(7a )
3 3 e) ( x y − xy ) = (− xy ) 42 y 7 − 24 y5 − 72 y3 f) (− 6 y 2 )
4)
2a + 3 = 2 5a 2 + 1 j) a i)
=
Escreva os seguintes polinômios na forma mais reduzida:
a) ( x 2 + a )(a − x 2 ) − 2ax 2 = b) ( x − y + a )( x − 2 y ) − a( x + y ) =
c) (a + b − c )(a − b) − (a − b − c )(b − c ) = d) ( x + y )( x − y )(3 x − 2 y ) − ( x + y )(3 x 2 + 2 y 2 ) =
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e) (a + x ) (2a − x )( x + a ) − (2a2 + x 2 ) = f) − 3 x. 2 x 2 − 3 x − 1 = g) ( x 2 + 5 xy + y 2 ).3 xy =
II.
h) 2 x. 1 x − 1 = 5 4 2 3a 3 4a. + = 4 2
i)
PRODUTOS NOTÁVEIS
No cálculo algébrico alguns produtos são muito utilizados, e são de grande importância para simplificações realizadas em expressões algébricas. Devido a importância, estes produtos são chamados de produtos notáveis. Abaixo, enumeramos os mais utilizados:
=
x 2 − y2 x 2 ± 2xy + y 2
=
x 3 ± 3x 2 y + 3xy 2 ± y 3
1) (x + y ) ⋅ (x − y) 2) (x ± y )2 3) (x ± y)3
=
Todos estes produtos são desenvolvidos apoiados na propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração. Se lembrarmos deste detalhe não precisaremos mais decorá-los, observemos:
a) ( x − y ) ⋅ ( x + y ) 2
b) ( x + y )
2
c) ( x − y )
d) ( x + y )
=
x 3
3
+
=
x 2
+
2 x y / − y / − y x
x 2
=
−
y 2
=
(x + y ) ⋅ (x + y )
=
x 2
+
xy + xy + y 2
=
x 2
+ 2 xy +
y 2
=
(x − y ) ⋅ (x − y )
=
x 2
−
xy − xy + y 2
=
x 2
− 2 xy +
y 2
=
(x + y ) ⋅ (x + y )2
=
2x 2 y + xy 2 + yx 2 + 2 xy 2 + y 3
(x + y ) ⋅ (x 2 + 2 xy + y 2 ) =
x 3
2
+ 3 x
=
y + 3 xy 2
+
y 3
Como utilizaremos os produtos notáveis?
Exemplos para simplificações: 3x + 3 y 3(x + y ) → a) 2 2 produto notável (x + y ) ⋅ ( x − y ) x −y b) (x + 4)2
=
x 2 + 2.x.4 + 42
=
=
3
(x − y)
x 2 + 8x + 16
Obs.: ( x + 4 )2 jamais será igual a x 2 + 16 , basta lembrarmos que: ( x + 4 )2 = ( x + 4 ) ⋅ ( x + 4 ) = x 2 + x .4 + 4 . x + 16
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=
x 2 + 8 x + 16
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26
c) (a − 2)3 jamais será a 3 − 8 , pois:
(a − 2)3
=
(a − 2) ⋅ (a − 2)2
a 3 − 4a 2 + 4a − 2a 2 + 8a − 8
=
{
{
(a − 2) ⋅ (a 2 − 4a + 4)
=
=
a 3 − 6a 2 + 12a − 8
EXERCÍCIOS 5) Desenvolva os produtos notáveis: a) b) c) d) e) f) g)
h) (2a + 3)(2a − 3) i) (4 x + 3 y )(4 x − 3 y )
(a + b )2
(2a + 3)2 (3 x + 4 y )2
1 y − 2
j)
(a − b )2
2
k) (d − 2h )2 l) 5+ 3 5− 3 m) ( 2 − 1)( 2 + 1)
(2a − 3)2 (3 x − 4 y )2 (a + b )(a − b)
6)
Sabendo que a – b = 5 e a + b = 20, determine quanto vale a2 – b2.
III.
ALGUNS CASOS DE FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
A fatoração de polinômios será muito usada para simplificação de expressões algébricas e para obter o mínimo múltiplo comum ( m.m.c.) de frações algébricas.
1.
Fatoração pela colocação de algum fator em evidência
Exemplos:
Observemos que b é o fator comum, portanto, deve ser colocado em evidência com o menor expoente.
a) ab − b 2
Então ab − b 2
=
b (a
−
ab ÷ b =
b)
ab b
b2 b ÷b= b 2
=
=
a
b
Ao efetuarmos o produto b ⋅ (b − a ) , voltaremos para a expressão inicial ab − b 2 . b) 2ay + 4by 2y é o fator comum; 2 é o mínimo (menor) divisor comum de 2 e 4; Portanto 2 deve ser colocado em evidência.
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7
Assim:
2ay + 4by
2 y (a
=
+
2b)
2ay ÷ 2 y =
2ay 2y
4by ÷ 2 y =
4by = 2b 2y
=
a
c) 4bx 3 − 16bx 2 − 8b 2 x
Fator comum 2bx (as variáveis b e x com seus menores expoentes) 2 é o mínimo (menor) divisor comum de 4, 16 e 8. Portanto, 2bx deve ser colocado em evidência.
4bx
3
2
− 16bx − 8b
2
x
2bx (2x
=
2
−
8x
−
4b )
4bx 3
÷ 2bx =
− 16bx
− 8b
d) 2m 2 y 2 − m3 y5
=
m2 y 2 (2
−
2
2
4bx 3 2bx
÷ 2bx =
x ÷ 2bx =
=
2x 2
− 16bx
2bx
− 8b
2
2bx
x
2 = −8x
= −4b
my3 ) 2m 2 y 2
÷
m2 y 2
m3 y5 ÷ m 2 y 2
=
=
2
m3y5 m2y2
=
my3
Obs.: As variáveis que aparecem aparecem em todos os termos do polinômio polinômio aparecerão no fator comum sempre com o menor expoente.
EXERCÍCIO 7) Simplifique as expressões: 2 a) (a + b )
e)
=
a +b
b) (a + b + c ) ⋅ x (a + b + c ) x c) (3a + 3b ) = 5a + 5b 5 d) ab + 5a = 15b + 15
f)
=
g)
a +b a + 2ab + b 2 a −1 2
=
a 2 +1 x 2 − 9 x 2
+ 6 x + 9
9a 2 − 3ab h) 6ab − 2b 2
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=
=
=
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IV.
FRAÇÕES ALGÉBRICAS As frações que apresentam variável no denominador são chamadas de frações algébricas. 2 , x
Exemplos:
4t , 2 y
2m t
As operações de adição, subtração, multiplicação e potenciação de frações algébricas são exatamente iguais às operações realizadas com frações não algébricas. A seguir trazemos alguns exemplos:
1.
Adição e Subtração Tanto na adição como na subtração de frações, fr ações, devemos obter o m.m.c. dos denominadores. denominadores.
Exemplos: 3 1 + a) 2x 4y 3 1 + 2x 4y
m.m.c. dos denominadores =4
6y
=
+
4xy ÷ 4 y
x
4 xy
=
4xy 4y
x
=
x ⋅1 = x 4 xy ÷ 2x =
4xy 2x
=
xy.
4 é o m.m.c. de 2 e 4. xy → todas as variáveis que aparecem nos denominadores comporão o m.m.c. com seus maiore maioress ex oentes oentes..
2y
2y ⋅ 3 = 6 y
x2 b) y
+
2 3xy2
M.m.c. entre
−
y 8x 2
y, 3xy2 e 8x 2
24 é o m.m.c. entre 1, 3 e 8; =
24x 2 y 2
x 2 y 2
são as variáveis com seus maiores expoentes.
24x 2 y 2 24 x y ÷ y = y 2 2
24 x 2 y 2 • x 2 Colégio Trilíngue Inovação
2 2
9
24x y
÷ 3xy
8x • 2 = 16x
= 24 x
2
=
=
24x 2 y
4y2
24x 27ªy 2série = 8x 3xy 2
x2 y
2 + 3xy2
y − 8x 2
=
24x 4 y 2
16x 24x 2 y 2 +
−
3y 3
VOCÊ SABE A DIFERENÇA ENTRE MMC e MDC ?
Qual a diferença entre m.d.c. e m.m.c.? m.d.c. ⇒ ⇒ mínimo divisor comum. Usado quando determinamos fatores comuns (aquilo que aparece em todos os termos) para colocar em evidência. ⇒ Ex.: a) 2, 4, 6 ⇒ m.d.c. é 2, pois 2 é o menor número que divide 2, 4 e 6. b) 10, 15, 20⇒ ⇒ m.d.c. é 5, pois 5 é o menor número que divide 10, 15 e 20. m.m.c.
⇒ ⇒
mínimo múltiplo comum. Usado quando somarmos ou subtrairmos frações.
Qual é o mmc de 2,4 e 6 ? Observe: múltiplos de 2 : 2,4,6,8,10,12 ,14,16,18,.... (como se fosse a tabuada do 2) múltiplos de 4 : 4,8,12 ,16,20,24,28,32,.....( como se fosse a tabuada do 4) múltiplos de 6 : 6,12,18,24,30,36,,...........(como se fosse a tabuada do 6) O número 12 é o menor dos múltiplos de 2, 4 e 6 por isso é chamado de mínimo múltiplo comum.(mmc). No entanto não é necessário recorrer a este modo para determinar determinar o mmc de vários números. Pode-se usar a regra prática de a decomposição simultânea em fatores primos..
Ex.:
a) b)
2,4,6 2 1, 2,3 2 1, 1, 3 3 1, 1, 1 2.2.3 = 12
⇒ 2, 4, 6 ⇒ m.m.c. é 12.
10, 15, 20⇒ ⇒ m.m.c. é 60.
10,15, 20 2 5, 15,10 2 5, 15, 5 3 5, 5, 5 5 1, 1, 1 2.2.3.5 = 60
Nos exemplos “c” e “d” a seguir, para obter o mmc dos denominadores teremos que escrevê-los na forma fatorada. 3 x c) − 3x − x 2 9 − 3x Fatorando os denominadores: denominadores: Colégio Trilíngue Inovação
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3x − x 2 = x (3 − x ) 9 − 3x = 3(3 − x ) M.m.c. dos denominadores fatorados
3
x − Assim 3x − x 2 9 − 3x
=
x (3 − x ) e 3(3 − x ) será: 3x (3 − x )
3 x − x (3 − x ) 3(3 − x )
Mas ainda podemos melhorar o resultado: 9 − x2 (3 − x )(3 + x ) produto notável → 3x (3 − x ) 3x (3 − x ) a
a−y a − y a 2 − y2 +
+
=
m.m.c. produto de todos os termos que aparecem nos denominadores
Denominadores fatorados
d)
9 − x2 3x (3 − x )
=
3x (3 − x ) ÷ x (3 − x ) =
3x (3 − x ) =3 x (3 − x )
e temos que 3 • 3 = 9 3x (3 − x ) ÷ 3(3 − x ) = e temos que x • x
=
3x (3 − x ) = x 3(3 − x )
x2
3+ x 3x
1 a+y
Procuramos escrever os denominadores na forma fatorada: a 2 − y 2 = (a − y)(a + y ) → produto notável Assim teremos: a a−y 1 + + a − y (a − y)(a + y ) a + y a (a + y ) + a − y + a − y (a + y )(a − y )
2.
=
=
a
+
1
+
1
a−y a+y a+y
a 2 + ay + 2a − 2 y (a + y)(a − y)
=
m.m.c dos denominadores será
(a + y )(a − y )
Multiplicação e divisão de frações algébricas A multiplicação e divisão de frações algébricas é exatamente igual a de frações numéricas, ou seja não é necessário obter o mmc dos denominadores. Multiplica-se numerador por numerador e denominador por denominador.
Exemplos:
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2 2y 1 4y 4 ⋅ ⋅ = = x 3 y2 3xy 3xy2 4 4 3 12 12 = b) x2 = ⋅ 2 = 1+ 2 x x y x y x ⋅y x3y 3
a)
EXERCÍCIOS 8. Calcule: p) 2 x ⋅ 5 =
a) 3a + 2a − a = y
b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n)
y
x − 3
−
3 y
y
x − 2
+
x + 1
q)
=
x + y x + y x + y
1
+
a +b
u) v)
=
2a = ab + a b + 1 2 4 x − 12 x − 2 + + x + 2 x − 2 x 2 − 4 a
−
+
a −b a +b
2b2 a
−
−b
a+b
b x
2
2 +
+
a
2
a −
2
x − 2 x − 4 y − 1 y + 1 +
−
+
y + 1 y − 1 y
o) 3 − x +
x
y)
a+b 2
2
x + 2 4 y 2
−1
2( a − b) m − n m 2 − n2
6 x 2 + x
3
⋅
=
=
m−n ⋅
3
a2
=
a 2 − x 2
=
z)
=
xy a − x
=
x
2
3 + x
a −b
x
ab
x 2 − 12
⋅
a
b +b
m+n
=
3 x + 6 = x + 1 x 2 − 4 2 x) a − 1 ⋅ 2 x = x a +1
w)
a −b
b + 2a 2
=
y
r)
+
1
⋅
x
3a 2a ⋅ = a+3 a+2 a − 5 2a s) ⋅ = 3 a −5 3 x 2 2a 2 y 3 t) ⋅ ⋅ 8a y x
2a 3a − = b 3b 2b a 2a 3a + − = 3 x 2 x 4 x 2 3 − = x 2 4 x 3 a+2 + = a a−2 3 x + 1 x + 1 − = 2 x − 2 x − 1 a
a +b a −b
=
Colégio Trilíngue Inovação
7ª série
12
9.
Calcule: x + 5
a)
2 x 2 x − 25 3 x
f) − 3a m
=
4 x 2 − 9
b)
a2
4 x 2 + 12 x + 9
h)
5 x 2 3 4 y
i)
2a 2 5b
=
a
=
a b x − y
2
x 2 − y 2
=
e)
=
−3
=
0 =
k)
2
l)
− a a − b
2
=
=
m) 2 x 3 x − 4
4 5a 7b
−1
3a 2b 4c
2
d)
=
c
ab 2 (a − 2 )2
=
2
j) 2ab
a−2
c)
g)
2a 3 b2
−3
n) a − b a + b
2 =
Colégio Trilíngue Inovação
−2
=
2 =
7ª série
13
RESPOSTAS
DOS
EXERCÍCIOS
1ª Questão: a) 16 a 2
b)
−
19a 30
2ª Questão: a) x 2 (4x 2 - 5x + 6 ) b) 4ab 2ab - 1 + 3a 2b2 c) 3a 2 b 2 x 5a + bx 3
d) e) f)
(5 + a)(b + c) (m + n)(a + b + c) (x + y) 2
g) h) i)
(a + 3) 2 (m - 6) 2 (2x - 4y).(2x + 4y)
j) k) l) m)
3ª Questão: a) 5x3 + 5x 2 - 60x
d)
5a 2 - 3
b)
6a 3 b - 3a 2 b 2 - 3ab 3
e)
- x 2
c)
a 4 - 2a 2
f)
- 7y 5
c) d)
a2
+1
4ª Questão: a) a 2 - x 4 - 2ax 2 b) x 2 - 3xy + 2y 2 - 3ay
+ y
2
+ 4y
3
+ 12y
+ bc - ab - c
2
- 5xy 2 - 5x 2 y
g)
2a + 5b - 10c
h)
(35ab - 28a + 40b ) 140 3 a+ 2
i)
e) f)
- ax 2
+a
2
- 6x 3
+ 9x
x - 2x 3 2
+ 3x
j)
g) h) i)
5ª Questão: a) a 2 + 2ab + b 2 b) 4a 2 + 12a + 9 c) 9x 2 + 24xy + 16y 2
d) e) f)
4a 2 - 12a + 9 9x 2 - 24xy + 16y 2
g) h) i)
c)
3
e)
a 2 - 2ab + b 2
a2 -b2 4a 2 - 9 16x 2 - 9y 2
(mn - 1).(mn + 1) x 2 y + 5x 2 y 2 - 3xy 2
(3a - 8b + 12c ) 24 0,1x 2 - 0,9x - 1,1
1 a
5a +
3x 3 y + 15x 2 y 2
+ 3xy
x 2 x 10 5 3a 2
+ 6a
j) y 2 - y + 1 4 k) d 2 - 4hd + 4h 2 l) 2 m) 1
6ª Questão: 100
7ª Questão: a) a + b d
d)
a
g)
(a + b )
5
b)
1
f)
1
(a + 1)
3
Colégio Trilíngue Inovação
x - 3 x + 3
h)
3a 2b
7ª série
15
3
8ª Questão: a) 4a
h)
(a 2 - b 2 )
y
b)
x
i) j)
a
k)
7a 12x
e)
(8 - 3x )
l)
4x 2
f)
a
2
+ 5a − 6
g)
1
r)
2a
s)
n)
b)
2 x − 3 a(2 x + 3)
e)
a
f)
t) u)
g)
2
y)
6a 2 a2 2a
+
5a + 6
2a-2 x 3a
z)
(a + x )
m3
27 a 3
3xy
y 2
2 m+n
k)
4a 6 b4
h)
25a 2 49b 2 −
x)
a 2 - b2
2(m - n )
x + y
b(a − 2)
( x - 2)
3
( x - 2) (2y - 2) ( y + 1)
d)
3x
xy
(a + b ) (a - b)
4
9ª Questão: a) 3 2 x − 10
c)
q)
+ 2x - 4
m)
2
w)
3y
b
a (a − 2 )
m+n 2
10x
x 2 - 4
6b
d)
p)
b
x 2
v)
9
(3 + x )
a(b + 1)
( x + y ) c)
o)
2a
i)
l)
4 y 3 5 x 2 125b6 /8 a3
9a 4 b 2 16c 2 a2 a2
m)
2
− 2ab + b 9 x 2 − 24 x + 16 2
4 x
j)
1
a 2 −n) 2ab + b 2 a2
Colégio Trilíngue Inovação
+ 2ab + b
2
7ª série
16
Bibliografia ANDRINI, Álvaro. Matemática. São Paulo: Brasil, 1984. CASTRO, Alfredo e MULLER, Armando. Matemática Vol.1. Porto Alegre: Editora Movimento, 1981. CILLI, Ariodante M. e outros. Matemática Funcional. São Paulo: Brasil,1983. DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005. MALVEIRA, Linaldo. Matemática Fácil. São Paulo: Ática, 1987. SCHEIDMANDEL, Nilo Alberto. Organizador. Chapecó, 2008.
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7ª série
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