Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos:
razonar
Carlos Julio Luque Arias J Juu a n C a r l o s Á v i l a M a h e c h a María Nubia Soler Álvarez
Activid ades matemá Activida matemátic ticas as para el desarrollo des arrollo de procesos lógicos:
razonar
Universidad Pedagógica Nacional Juan Carlos Carlos Orozco Orozco Cruz Cruz Rector Edgar Alberto Mendoza Parada Vicerrector Académico Víctor Manuel Rodríguez Sarmiento Vicerrector de Gestión Universitaria Nohora Patricia Moreno García Directora Centro de Investigac Investigaciones, iones, CIUP
Preparación Editorial Universidad Pedagógica Nacional Fondo Editorial Víctor Eligio Espinosa Galán Coordinador Fondo Editorial Alba Lucía Bernal Cerquera Editora
Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar © Universidad Pedagógica Nacional ISBN: 978-958-8650-4 978-958-8650-42-5 2-5 Primera edición, 2013
Autores: Carlos Julio Luque Arias Juan Carlos Carlos Ávila Ávila Mahecha Mahecha María Nubia Soler Álvarez Prohibida la reproducción total o parcial sin permiso escrito
Fernando Carretero Padilla Corrección de estilo Juan Manuel Manuel Martíne Martínezz Restrepo Restrepo www.juanmare.com Fotografía de carátula Haydee Jiménez Diagramación en LATEX Mauricio Esteban Suárez Barrera Diseño de carátula y diagramación Impresión Javegraf Bogotá, Colombia, 2013
Activid ades matemáticas Actividades para el desarrollo des arrollo de procesos proce sos lógicos: lógicos:
razonar Carlos Julio Luque Luqu e Arias Ju J uan Carlos Ávila Mahecha María Nubia Soler Álvarez
Catalogación en la fuente Biblioteca Central de la Universidad Pedagógica Nacional.
Luque Arias, Carlos Julio Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos : razonar / Carlos Julio Luque Arias, Juan Carlos Ávila Mahecha, María Nubia Soler Álvarez. - -- 1ª. ed. - - Bogotá : Universidad Pedagógica Nacional, CIUP, 2013 410 p. : figuras Referencias bibliográficas: p.395 – 401 ISBN : 978-958-8650-42-5 Lógica – Aprendizaje. 2. Razonamiento (Matemáticas). 3. 3. Argumentación (Matemáticas). 4. Matemáticas – Enseñanza. I. Ávila Mahecha, Juan Carlos. II. Soler Álvarez, María Nubia. III. Tít. 510.1 cd. 21 ed.
Los Autores Carlos Julio Luque Arias Licenciado en Matemáticas y Física, y magíster en Educación con especialidad en Física de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia. Magíster Scientiae en Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Estudios de promoción en Física de Altas Energías en la Universidad de Dortmund (Alemania). Profesor titular del Departamento de Matemáticas y coordinador del grupo de investigación de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional. Ha publicado seis libros sobre actividad matemática para el desarrollo de sarrollo de procesos lógicos.
Juaa n C a rl Ju rlos os Á v i l a M ah ahec echa ha Licenciado en Matemáticas y magíster en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia. En 2006 le fue otorgada la distinción meritoria por su tesis de pregrado titulada Generación de funciones reales a partir de series. Desde 2004 forma parte del grupo de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia, en la que ha colaborado en el desarrollo de algunos proyectos de investigación tanto como monitor y coi coinve nvesti stigad gador. or. Ha par parti ticip cipado ado como como asi asiste stente nte y con confer ferenc encis ista ta en div divers ersos os eventos eventos académicos nacionales e internacionales. Actualmente adelanta estudios de Maestría en Matemáticas en la Universidad de Cádiz, en España.
María Nubia Soler Álvarez Licenciada en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional, magíster en CienciasMatemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Actualmente trabaja en la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia. Investigación en Educación Matemática en el área de argumentación y la prueba en la clase de matemáticas. Coeditora de Tecné, Episteme y Didaxis (TED), revista dedicada a la Educación en Ciencias Experimentales, Matemáticas y Tecnologías.
A mi dama y alfil en un mundo con dos reinas, Ella y la µαθηµα la µαθηµα como como forma de ser. Carlos Julio Luque Arias
A mis padres Juan y Stella, y a ti, ek het jou lief. ´ Juan Carlos Avila Mahecha
Tabla de contenido
Introducción Capítulo I La noción de verdad 1.1. Los sostas: no hay verdades absolutas 1.2. Los lósofos: la verdad absoluta existe 1.3. La ciencia: la verdad es cientíca
1.4. La matemática: la verdad no nos importa 1.4.1. La verdad de proposiciones compuestas y los conectivos lógicos 1.4.2. Los problemas del lenguaje común
Capítulo 2 Argumentación y razonamiento 2.1. Argumentos válidos 2.1.1. Razonamientos válidos y proposiciones verdaderas 2.1.2. Deducciones 2.1.3. La posición de Diodoro 2.1.4. La posición de Filón 2.1.5. Principios lógicos
2.2. Falacias 2.2.1. Sobre la verdad de las premisas 2.2.2. Sobre la relación entre antecedente y consecuente
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Capítulo 3. Razonamientos no demostrativos 3.1. El razonamiento inductivo 3.1.1. El método de inducción clásico: Sócrates y Aristóteles 3.1.2. Inducción completa 3.1.3. Inducción incompleta 3.1.4. Falacias del razonamiento inductivo
3.2. El razonamiento abductivo 3.3. Argumentación por analogía
Capítulo 4. Matemáticas de los objetos lógicos 4.1. ¿Qué signica un punto de vista matemático?
4.2. El conjunto base: los valores de verdad 4.3. Los conectivos lógicos binarios 4.3.1. Estructuras algebraicas de los conectivos lógicos
4.4. Relaciones entre los conectivos lógicos 4.4.1. Sistemas de conectivos fundamentales 4.4.2. Propiedades de absorción 4.4.3. Propiedad distributiva 4.4.4. Otras estructuras con dos operaciones: retículos
4.5. Conectivos como matrices 4.5.1. Como acción de grupoide
4.6. El espacio de las funciones X X
Capítulo 5. Matemáticas de los procesos lógicos I 5.1. Validez de las reglas de inferencia 5.1.1. Tautologías y tablas de verdad 5.1.2. Otras leyes de inferencia
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147 148 150 153 155 188 188 195 200 207 216 223 224
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5.2. Uso de tablas de verdad para efectuar razonamientos 5.3. Tautologías y reemplazamiento
Capítulo 6. Matemáticas de los procesos lógicos II: axiomáticas para la lógica 6.1. Sistemas axiomáticos 6.2. Sistemas axiomáticos para la lógica proposicional 6.2.1. Axiomática T 6.2.2. Axiomática C 6.2.3. Axiomática B 6.2.4. Pruebas con premisas (prueba condicional) 6.2.5. Axiomática K 6.2.6. Axiomática L
6.3. Otras axiomatizaciones para la lógica proposicional 6.3.1. El sistema G (deducción natural)
Capítulo 7. Lógica de predicados 7.1. De las proposiciones a los predicados 7.2. De los predicados a las proposiciones: cuanticadores 7.2.1. Alcance de un cuanticador 7.2.2. Combinación de cuanticadores 7.2.3. Cuanticadores y conectivos lógicos
Capítulo 8. Matemática de la lógica de predicados 8.1. Silogismos aristotélicos 8.2. Álgebras de Boole 8.2.1. Lógica en álgebras de Boole
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8.2.2. Relaciones de congruencia en álgebras de Boole
8.3. Álgebras de Boole y los silogismos aristotélicos 8.4. Anillos de Boole
Capítulo 9. El razonamiento matemático 9.1. Teorías matemáticas 9.1.1. Cómo nace una teoría 9.1.2. Demostración en teorías matemáticas 9.1.3. Prueba condicional 9.1.4. Estrategias de demostración
9.2. Dos teorías básicas para las teorías matemáticas 9.2.1. La lógica de predicados 9.2.2. La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel-Skolem
9.3. Teorías de números 9.3.1. Teoría de los números naturales: Peano 9.3.2. Teorías de los números reales
9.4. Teorías algebraicas 9.4.1. Teoría de grupos
9.5. Teorías geométricas 9.5.1. Geometría de Hilbert 9.5.2. Axiomática de Weyl
9.6. Topología 9.7. El método de demostración por inducción matemática 9.7.1. El método
9.8. Argumentación o demostración en clase de matemáticas
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Bibliogra�a
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Índice alfabético
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Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar La noción de verdad
Incluso cuando usamos el lenguaje com´un para referirnos a entes matem´aticos, podemos incurrir en imprecisiones: 1. Punto es lo que no tiene partes . Esta es la primera definici´on del libro I de los Elementos de Euclides (1991). Como puede apreciarse, la frase no es precisa, no se sabe a qu´e hace referencia la palabra partes en esta definici´ on. 2. L´ınea recta es la que yace por igual sobre sus puntos . Al igual que la frase anterior, no es claro el significado de la palabra yace , adem´as de la caracterizaci´on de yacer por igual sobre sus puntos. 3. “Una funci´ on es una regla que asigna a cada uno de ciertos n´umeros reales un n´ umero real” (Spivak, 1978, p. 47). En esta frase, las palabras regla y asignar no tienen un significado claro. 4. “Resulta u ´ til concebir una funci´o n como una m´aquina. Si x est´a en el dominio de la funci´on f , entonces x entra en la m´aquina, se acepta como una entrada y la m´aquina produce una salida f (x) de acuerdo con la regla de la funci´on. De este modo podemos concebir el dominio como el conjunto de todas las entradas posibles y el rango como el conjunto de todas las salidas posibles” (Stewart, 1998, p. 13). Una vez m´as, la definici´ on no es precisa. 5. Tartaglia, para recordar c´omo solucionar los diferentes tipos de ecuaciones c´ ubicas8 , invent´o algunos versos (Casalderrey, 2000, p. 117), uno de ellos es el siguiente: Cuando est´ a el cubo con las cosas preso y se iguala a alg´ un n´ umero discreto busca otros dos que difieran en eso. Despu´ es t´ u har´ as esto que te espeto que su producto siempre sea igual al tercio cubo de la cosa neto. 8
En la ´ epoca de Tartaglia, los n´ umero negativos a´ un no se aceptaban como n´ umeros, por tanto, era necesario distinguir tipos de ecuaciones c´ubicas donde no aparecieran cantidades negativas. De manera similar ocurr´ıa con las ecuaciones cuadr´ aticas y de grado cuatro.
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Carlos Julio Luque Arias - Juan Carlos Ávila Mahecha - María Nubia Soler Álvarez
La actividad que desarrollamos en el aula de clase est´ a fundamentada en preguntas, respuestas, contrapreguntas y reformulaci´on de respuestas en una construcci´ on colectiva donde el profesor y los estudiantes cuestionan, argumentan, ejemplifican, establecen acuerdos, generalizan y abstraen; en general, en cada actividad se simula un ambiente cient´ıfico. Sin embargo, la presentaci´ on que hacemos de cada actividad, en este libro, est´ a organizada de una forma secuencial que no necesariamente corresponde a la misma seguida en clase, aunque el esp´ıritu y los resultados son productos de esta interacci´ on. Este no es un libro de l´ogica, pretende ser un libro sobre el aprendizaje de la l´ ogica donde se proponen tareas, algunas de las cuales se dejan inconclusas con la esperanza de que alg´ un lector profundice; se muestran alternativas y se sugieren caminos. Hacemos ´ enfasis en la actividad matem´ atica relacionada con el proceso matem´ atico de razonar; inductiva, abductiva y deductivamente, que es un proceso vinculado con otros m´as simples como simbolizar, visualizar, comparar, relacionar, secuenciar. Las actividades se dise˜ naron, unas con el prop´ osito de mostrar ambientes acad´ emicos de trabajo matem´atico en los cuales el estudiante est´ e en condiciones de crear conocimiento matem´ atico nuevo para s´ı mismo, en particular las descritas en los cinco primeros cap´ıtulos; otras con los objetivos de estudiar y comparar propuestas matem´ aticas establecidas como las presentadas en los cap´ıtulos restantes. En el primer cap´ıtulo discutimos sobre el concepto de verdad iniciando con la verdad relativa de los sofistas presocr´ aticos, adem´ as del nacimiento y desarrollo de la ret´ orica como herramienta de persuasi´ on, para convencer a otras personas de las verdades propias. Mencionamos el nacimiento de la verdad de los fil´ osofos y el m´ etodo de inducci´ o n de S´ ocrates como recurso para conseguir la verdad. Pasamos por la convicci´ on de que la ciencia s´ı tiene la verdad, hasta llegar a la concepci´ on matem´ atica de que la verdad de sus proposiciones no es lo que interesa. Seguidamente usamos la descomposici´ on de una proposici´ on como recurso para determinar su verdad en t´ erminos de la verdad de sus proposiciones at´omicas componentes, entendida esta ´ ultima como un convenio inicial, que se puede cambiar a voluntad. on entendida como una El cap´ıtulo dos lo dedicamos a la argumentaci´ forma de manifestar las razones y pruebas para defender opiniones, concepciones o comportamientos, proponer o defender tesis; iniciamos con el estudio de los razonamientos deductivos v´alidos y el proceso de inferencia deductiva, lo que nos sirve para introducir dos formas de implicaci´on: la formal de Diodoro y la material de Fil´ on; asumiendo la primera como un intento por
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Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Introducción
lograr una construcci´on intuitiva de las reglas de inferencia pero dirigida por el profesor a la manera de la deducci´on natural de Gentzen. En la propuesta de Fil´on aparecen las llamadas paradojas de la implicaci´on material, que aunque son l´ogicamente verdaderas, realmente no son ni verdaderas ni falsas, pues no tienen sentido real, no son verificables por la experiencia, pero que es la posici´on asumida en casi todas las teor´ıas matem´aticas. Discutidas algunas formas b´asicas de razonamiento deductivo v´alido, abordamos enseguida las formas m´as comunes de errores de razonamiento, o falacias en dos grupos: las que atentan contra la verdad de las premisas y las que pervierten la relaci´on entre las premisas y la conclusi´on. En el tercer cap´ıtulo nos centramos en las formas de razonamientos no demostrativos; es decir, aquellas que conducen a conclusiones no necesariamente ciertas partiendo de premisas ciertas, pero que son las que permiten obtener informaciones nuevas, que no est´ an contenidas en las premisas; estas son las inferencias o razonamientos inductivos y las inferencias o razonamientos abductivos . Mostramos varios ejemplos en distintas ramas de las matem´aticas donde se hacen inducciones y conjeturas a partir de observaciones particulares, pero enfatizamos en el peligro de expresar conclusiones falsas o confundir conjeturas con conclusiones, presentando ejemplos de falacias frecuentes en estos tipos de razonamientos. El cap´ıtulo cuatro est´ a dedicado a la actividad matem´atica, focalizada en encontrar estructuras matem´aticas de los objetos l´ogicos encontrados en los cap´ıtulos anteriores; primero mirando los conjuntos de valores de verdad, luego definiendo operaciones entre sus elementos y estudiando sus propiedades algebraicas, con la ayuda de un software : “Algebra finita ´ 1.0”(adjunto a este libro), dise˜nado por el grupo de Algebra de la Universi´ dad Pedag´ogica Nacional y programado por Jos´e Leonardo Angel (integrante del grupo), para facilitar c´alculos tediosos, y procurando en cada caso encontrar unas de las propiedades de las operaciones que sirvan como argumentos para demostrar las dem´as, en una aproximaci´on a la actividad matem´atica de axiomatizar. Seguidamente, en un paso m´as de abstracci´on, aplicamos el mismo proceso a las operaciones tratando de expresar unas en t´erminos de las otras, encontrando relaciones entre ellas que nos servir´an para explicar m´as adelante las verdades l´ogicas conocidas como tautolog´ıas y estructuras algebraicas como los ret´ıculos. Finalmente, cambiamos de o´ptica y miramos cada tabla de los conectores l´ogicos como matrices para estudiar posibles conexiones entre la l´ogica y el ´algebra lineal.
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Carlos Julio Luque Arias - Juan Carlos Ávila Mahecha - María Nubia Soler Álvarez
El cap´ıtulo 5 demuestra a la manera de Peirce-Post y Wittengstein, usando tablas de verdad, la validez de las reglas de inferencia encontradas en el cap´ıtulo 2, adem´as se ejemplifica el uso de esas tablas para validar algunos razonamientos. Finaliza con la introducci´ on de la regla de sustituci´ on como un mecanismo para simplificar demostraciones que nos servir´ a en los cap´ıtulos siguientes para mostrar otras formalizaciones de los procesos de inferencia deductiva. En el cap´ıtulo 6 presentamos varias formas de axiomatizar la l´ ogica proposicional, tiene el objetivo de excluir las unicidades y las creencias de que en matem´ aticas hay verdades y procedimientos verdaderos y abogar por los m´ ultiples acercamientos a los mismos objetos y teor´ıas matem´ aticas, esto permite las comparaciones, mejora la comprensi´ on y sugiere analog´ıas que conducen a nuevas conjeturas. Finaliza con una presentaci´on de los elementos b´ asicos de la deducci´ on natural de Gentzen. El cap´ıtulo 7 lo dedicamos a precisar algunos elementos b´asicos del lengua je de la l´ ogica de predicados, y en particular a estudiar el comportamiento de los cuantificadores universal y existencial, sus relaciones con los conectivos l´ ogicos y las reglas de inferencia que regulan su aplicaci´on en razonamientos v´ alidos. En el cap´ıtulo 8 mostramos otra forma de matematizar el razonamiento con predicados, m´ as exactamente usando el ´ a lgebra a la manera de Boole. Estudiamos las ´ algebras de Boole inicialmente con unos axiomas que luego se reducen en n´ umero y permiten explicar los silogismos aristot´ elicos con ecuaciones. El u ´ltimo cap´ıtulo est´a dedicado a algunas consideraciones sobre el razonamiento matem´ atico, las nociones de demostraci´on, prueba condicional, pruebas indirectas en diferentes ramas de la matem´ atica, desde la teor´ıa de conjuntos hasta la topolog´ıa, pasando por formas de argumentaci´ o n en algebra, en teor´ıa de n´ ´ umeros, en geometr´ıa, para concluir que los m´ etodos de demostraci´ on en ellas son sustancialmente los mismos, que lo que var´ıa, generalmente en abstracci´ on, son los objetos y sus relaciones. Finaliza con una muestra del m´ etodo de inducci´ on matem´ atica que tambi´ en est´ a presente en casi todas las ramas de la matem´atica.
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