PROBLEMAS DE MÁQUINAS ASÍNCRONAS (las soluciones se encuentra despues de todos los enunciados)
PROBLEMA 1 Un motor asíncrono trifásico con rotor en jaula de ardilla de 220/380 V, 6 polos, 50 Hz, se conecta correctamente a una red trifásica de 220 V, 50 Hz y está protegido con un relé térmico calibrado a 110 A. La corriente de línea a plena carga es de 100 A y se observa que en el arranque la corriente absorbida es 6 veces la de plena carga, desarrollando un par que es 1.8 veces el nominal. La resistencia por fase del estator R 1 es igual a la reducida del rotor R’2. Se suponen despreciables las pérdidas mecánicas y la corriente de vacío (quiere decir que no hace falta considerar la rama paralelo del circuito equivalente del motor). Se pide: a) Conexión del estator del motor. b) Velocidad del rotor a plena carga y valores de los parámetros: R1, R’2 y Xcc del circuito equivalente del motor. c) Potencia, par y rendimiento del motor a plena carga. d) Estando el motor girando en condiciones nominales, se produce de repente una caída de tensión en la red de un 15%. ¿Cuál será la nueva velocidad que adquirirá el motor y la corriente absorbida de la red, si el par de carga es constante? ¿Disparará el relé térmico?
PROBLEMA 2 Un motor asíncrono monofásico de 1800 W, 220 V, 50 Hz, 4 polos tiene los siguientes parámetros del circuito equivalente: R1 = 3 Ω, X1 = 5 Ω, R’2 = 1.5 Ω, X’2 = 2 Ω, Xµ = 100 Ω Se desprecian las pérdidas en el hierro y las pérdidas mecánicas. Si el motor se conecta a una red de 220 V, 50 Hz y trabaja con un deslizamiento del 5%, calcular: a) b) c) d)
Corriente absorbida por el motor y su factor de potencia. Potencia mecánica desarrollada. Par en el eje. Rendimiento.
PROBLEMA 3 Un motor trifásico de jaula de ardilla tiene una impedancia del estator despreciable. La capacidad de sobrecarga Mmax /Mn vale 2.5 y el cociente par de arranque/par nominal es igual a 1.5. Calcular el deslizamiento a plena carga y el deslizamiento al que se obtiene el par máximo.
PROBLEMA 4 Se tiene un motor asíncrono trifásico con un rotor en jaula de ardilla que tiene los siguientes datos en su placa de características: 10 kW, 220/380 V, 50 Hz, 19 A, 1425 r.p.m., cos ϕ = 0.90 Se conecta a una red de 380 V, 50 Hz. Se suponen despreciables las pérdidas mecánicas y no es necesario considerar la rama paralelo del circuito equivalente. Calcular: a) Parámetros R1, R’2 y Xcc del motor.
1
b) Par de arranque y par de plena carga del motor. ¿Cómo debe ser el par resistente para que el motor pueda arrancar? c) Rendimiento del motor con par máximo. d) Velocidad que deberá darse al motor por medio de un motor primario externo para que la máquina asíncrona funcione como generador entregando su potencia nominal a la red (tomar la velocidad más pequeña de las dos posibles).
PROBLEMA 5 Un motor de inducción de 4 polos, rotor bobinado, estator conectado en estrella, funcionando en vacío y a la tensión nominal de 380 V entre fases, absorbe de la línea una corriente de 4 A y una potencia de 480 W. Este motor conectado a tensión nominal y con el rotor abierto absorbe 4 A y 320 W. Las resistencias por fase de estator y rotor son respectivamente 1.5 Ω y 1.3 Ω. Se conecta una carga y se alimenta a tensión nominal, absorbiendo 4330 W y 8 A; siendo la corriente del rotor en este caso de 7 A. Calculad en la situación de carga dada: a) b) c) d) e) f)
Potencia transferida al rotor. Potencia útil. Velocidad. Par interno. Factor de potencia del motor. Rendimiento.
PROBLEMA 6 En la figura se muestra el circuito equivalente por fase de una máquina asíncrona trifásica, 173/100 V de 3 pares de polos funcionando con una tensión alterna de 50 Hz. Las pérdidas mecánicas son 300 W. La máquina se conecta a una red de 100 V de línea. En estas condiciones: a) b) c) d)
Determine la conexión del devanado del estator. Calcule la velocidad a la que se obtiene el rendimiento máximo funcionando como motor. Calcule el rendimiento máximo de la máquina funcionando como motor. Determine el par correspondiente al rendimiento máximo. 0.2 + 2j
100
Ω
100j
Ω
Ω 1 − 1 Ω s
0 . 2
2
PROBLEMA 7 Un motor de inducción de jaula de ardilla de 5 CV, 380/220 V, 50 Hz, 4 polos, tiene conectada una carga de par constante e igual a 15 N·m. Las pérdidas por rozamiento y ventilación se suponen despreciables. El circuito equivalente exacto por fase del motor es el siguiente:
I1
1.5 + 3j
Ω
1.4 + 3j
Ω
I '2
+
275
Ω
50j
Ω
V1
R'2
1 − 1 s
–
Para evitar problemas de sobreintensidad en el arranque del motor con la citada carga se intercala un autotransformador trifásico entre la red trifásica equilibrada (380 V, 50 Hz) y el estator del motor. De esta manera, se regula la tensión de alimentación del motor a la mínima necesaria para que el motor arranque. En estas condiciones, calculad: a) Intensidad de arranque de línea que circula por el motor. b) El valor de la tensión (de línea) en bornas del motor
PROBLEMA 8 Para el motor del ejemplo anterior, una vez superado el momento del arranque, se desconecta el autotransformador, por lo que la tensión de alimentación del motor es igual a la de la red (380 V). Calcule para el momento en el que se alcanza el régimen permanente: a) La velocidad una vez que se alcanza el régimen permanente. b) La intensidad absorbida por el motor. c) Rendimiento del motor.
PROBLEMA 9 La velocidad de un motor de inducción desciende 180 rpm y la frecuencia de la corriente del rotor aumenta 6 ciclos por segundo. Determine el número de polos de la máquina.
PROBLEMA 10 Se tiene un motor asíncrono trifásico conectado en triángulo, de 8 polos, 400 V, 50 Hz. al que se hacen las siguientes pruebas:
•
En vacío la potencia absorbida fue de 22 kW, pudiéndose despreciar las pérdidas de rozamiento.
3
•
Con rotor bloqueado consumió 15 kW con una corriente de línea de 120 A a 200 V, siendo la resistencia de cada fase del estator igual a 0.52 Ω.
Calcule: a) Par de arranque del motor. b) Potencias de entrada y salida del motor para par máximo, así como su rendimiento en esta situación.
4
PROBLEMAS DE MÁQUINAS ASÍNCRONAS PROBLEMA 1 a) Según la placa de características, el motor es de 220/380 V. Dado que la tensión de línea de la red es de 220V, el motor se debe conectar en triángulo. b) De acuerdo con el circuito equivalente aproximado del motor, los módulos de las corrientes de fase del motor a plena carga y en el arranque cumplen las siguientes ecuaciones: 100 220 = 2 3 R' 2 2 R1 + + Xcc s 600 220 = 2 3 (R1 + R'2 )2 + Xcc La expresión del par es: M=
m1·R' 2 ·I' 22 A·R'2 ·I'22 = n1 s s·2π 60
donde: A=
m1 = Cte. n1 2π 60
De este modo, la relación entre el par de arranque y el par nominal es: Ma 600 2·s = 1 .8 = ⇒ s = 0.05 Mn 100 2 Por otro lado, la velocidad de sincronismo es: n1 =
60·50 = 1000 rpm 3
Finalmente, la velocidad del motor a plena carga es: n = 1000·(1 − 0.05 ) ⇒ n = 950 rpm A partir de las ecuaciones de la intensidad a plena carga y de la intensidad en el arranque se obtiene: R1 = R' 2 = 0.18 Ω
Xcc = 0.523 Ω
1
c) La potencia desarrollada por el motor a plena carga es: 2
1 1 100 Pmi = Pn = 3·R' 2 · − 1·I' 22 = 3·0.18· − 1· ⇒ Pmi = 34200 W s 0.05 3 Igualmente, el par nominal, teniendo en cuenta que n = 950 rpm , es: M=
34200 ⇒ M = 343.8 N·m 950 2π 60
Las pérdidas en la máquina son únicamente las del cobre: 2
100 = 3600 W Pp = PCU1 + PCU2 = 3·2·0.18· 3 Por lo tanto, el rendimiento del motor es:
η=
34200 ·100 ⇒ η = 90.48 % 34200 + 3600
d) La nueva tensión de la red es: 220 − 0.15 · 200 = 187 V Por otro lado, la ecuación general del par, es: M = 343.8 =
3·0.18·187 2 2 1000 0.18 + 0.523 2 2π s· 0.18 + 60 s
La expresión del par da lugar a la siguiente ecuación de segundo grado: 0.306·s 2 − 0.46·s + 0.0324 = 0 cuyas soluciones son: s1 = 0.0735 s 2 = 1.43 La solución válida es la primera porque la otra corresponde a la zona de trabajo como freno. La velocidad con la que gira el motor es, pues: n = 1000·(1 − 0.0735 ) ⇒ n = 926.5 rpm
2
Con el deslizamiento s1 = 0.0735 se calcula el módulo de la corriente por fase que absorbe el motor teniendo en cuenta el circuito equivalente: 187
I1 = I' 2 =
2
= 69.76 A
0.18 + 0.18 + 0.523 2 0.0735 Finalmente, la corriente de línea es, por estar el motor en triángulo: I1L = 69.76· 3 ⇒ I1L = 120.83 A Por lo tanto, al ser superior a 110 A, hará disparar el relé térmico.
PROBLEMA 2 a) Los valores de las resistencias totales del rotor (propia + carga) para cada campo del circuito equivalente del motor son: R' 2 1.5 = = 15 Ω 2s 2·0.05 R' 2 1 .5 = = 0.385 Ω 2(2 − s) 2(2 − 0.05) De este modo, las impedancias Z d y Z i son, respectivamente: Z d = j
X µ R' 2 X' 2 j50(15 + j1) || + j = = 14.14∠20.21º Ω 2 2s 2 15 + j51
Z i = j
Xµ R' 2 X' j50(0.385 + j1) || j 2 = + = 1.05∠69.37º Ω 2 2( 2 − s) 2 0.385 + j51
Si se toma la tensión de entrada como referencia, la corriente absorbida por el motor es: I1 =
V1 220∠0º = ⇒ I1 = 11.07∠ − 33.13 º A R1 + jX1 + Z d + Zi 3 + j5 + 14.14∠20.21º +1.05∠69.37º
El factor de potencia es: f .d.p. = cos(∠V1 − ∠I1 ) = cos(0 − (− 33.13 )) = cos(33.13 º ) ⇒ f .d.p. = 0.837 b) Aplicando divisor de corriente, se obtienen las intensidades I' 2d e I' 2i :
3
I' 2d =
j50 11.07∠ − 33.13 º = 10.41∠ − 16.73 º A 15 + j51
I' 2i =
j50 11.07∠ − 33.13 º = 10.85∠ − 32.7º A 0.385 + j51
Por consiguiente, se obtiene una potencia mecánica interna total: Pmi = Pmid + Pmii = 1544.24 − 43.01 ⇒ Pmi = 1501 .23 W c) La velocidad de sincronismo es: n1 =
60f1 60·50 = = 1500 rpm p 2
Asimismo, la velocidad del rotor es: n = n1(1 − s) = 1500 (1 − 0.05 ) = 1425 rpm Por lo tanto, el par en el eje es: M=
Pu 1501 .33 ⇒ M = 10.06 N·m = n 1425 2π 2π 60 60
d) La potencia eléctrica absorbida por el motor de la red es: P1 = V1I1 cos ϕ = 220·11.07·0.837 = 2038.3 W Finalmente, el rendimiento es:
η=
Pu 1501.23 100 = 100 ⇒ η = 73.65% P1 2038 .43
PROBLEMA 3 Z1 ≅ 0 Despreciar la impedancia del estator es lo mismo que usar un circuito equivalente aproximado, en el que R1 y X1 son 0. Por lo tanto, la expresión del par máximo es: MMAX =
3 V12
2πn1 2 2R1 + R12 + X cc 60
=
3 V12 2πn1 2 X cc 60
Igualmente, la expresión del par nominal es:
4
R' 2 2 R' V1 3 2 V12 s s MN = = 2 2πn R' 2 2 2πn1 R' 2 2 1 2 + X R1 + + Xcc cc 60 s 60 s 3
Finalmente, el par de arranque se puede expresar de la siguiente forma: 3R' 2 V12
3R'2 V12 MARR (s = 1) = = 2πn1 2 2 [(R1 + R'2 ) + Xcc ] 2πn1 [R'22 + Xcc2 ] 60 60 Se conoce la relación entre el par máximo y el par nominal: 2
MMAX MN
R'2 2 + Xcc = s = 2 .5 R' 2 2 X cc s
También se conoce la relación entre el par de arranque y el par nominal:
M ARR = MN
2 2 2πn1 R' 2 2 R'2 2 + Xcc s s + sX cc 60 s = = 1 .5 2 2 2πn1 2 2 R' 2 2 R ' X + 2 cc (R'2 + Xcc )3 V1 60 s
3R' 2 V12
O lo que es lo mismo: 2 1.5R' 22 +1.5 Xcc =
R' 22 + sX 2cc s
De la misma forma, el deslizamiento para par máximo es: sMAX =
R' 2 2 R12 + X cc
=
R' 2 ⇒ R' 2 = sMAX ·X cc X cc
Si se introduce la expresión de R’ 2 en la relación entre el par máximo y el par nominal: 2
2 sMAX ·Xcc sMAX 2 + Xcc +1 2 s s = 2 .5 ⇒ = 2.5 2sMAX 2 2sMAX X cc s s 2 sMAX + s2 2 = 2.5 ⇒ sMAX + s2 = 5sMAX s 2sMAXs
Igualmente, si se introduce la expresión de R’ 2 en la relación entre el par de arranque y el par nominal:
5
2 2 1.5sMAX X cc
2 + 1.5 Xcc
2 2 sMAX X 2cc sMAX 2 2 = + sX cc ⇒ 1.5sMAX + 1.5 = +s s s
O lo que es lo mismo: 2 2 1.5·s·sMAX + 1.5s = sMAX + s2
Finalmente, se puede obtener el deslizamiento de par máximo: 2 1.5sMAX − 5sMAX + 1.5 = 0 ⇒ sMAX =
5 ± 25 − 9 sMAX = 3 = ⇒ sMAX = 0.333 s 0 . 333 = 3 MAX
Del mismo modo, se puede obtener el deslizamiento de par nominal: 0.333 2 + s 2 = s·0.333·5 s 2 − 1.67s + 0.333 2 = 0 ⇒ s =
1.67 ± 2.78 − 0.444 s = 1.598 = ⇒ s = 0.071 2 s = 0.071
PROBLEMA 4
I1 = I’2
R1
R’2
Xcc
+
380 ∠0 3
1 R' 2 − 1 s
– a) n1 =
60f 60 f 60·50 ⇒ p= = =2 n 1500 p 1
I1 = 19∠ − 25.84º A s=
1500 − 1425 = 0.05 1500
6
1 1 P = 10000 = 3·19 2 ·R' 2 · − 1 ⇒ 10000 = 3·19 2 ·R'2 · − 1 ⇒ R' 2 = 0.486 Ω s 0.05 380 ∠0º R' 2 380 3 ∠0º = 19∠ − 25.84º· R1 + + jX cc ⇒ 3 s 19∠ − 25.84 º 10.39 + j5.033 = R1 +
0.486 = R1 + + jX cc 0.05
0.486 + jXcc 0.05
Por lo tanto: R1 = 0.673 Ω Xcc = 5.033 Ω También podían haberse calculado ambas impedancias de la siguiente manera:
R' 380 = 19 R1 + 2 ·cos( −25.84º ) + 19 Xcc ·cos( 64.16º ) 3 s R' 0 = 19 R1 + 2 ·sen( −25.84 º ) + 19 X cc ·sen( 64.16º ) s 380 = 17.1R1 + 166.212 + 8.28 Xcc 3 0 = −8.28R1 − 80.49 + 17.1X cc Por lo tanto: R1 = 0.673 Ω Xcc = 5.033 Ω b)
1 1 3R'2 − 1·I' 22 3R' 2 − 1 V12 s = s M= 2 2πn 2πn1 R ' 2 2 ( 1 s ) R X − + + 1 cc 60 60 s En el arranque, s = 1 :
7
2
MARR
380 3 · 0 . 486 · 2 3R'2 V1 3 = = = 16.76 N·m 2πn1 2π1500 2 2 2 2 [(R1 + R'2 ) + Xcc ] [(0.673 + 0.486 ) + 5.033 ] 60 60 2
380 3·0.486· 3 ⇒ MARR = 16.76 N·m MARR = 2π1500 2 2 [(0.673 + 0.486) + 5.033 ] 60 A plena carga, s = 0.05 : 0.486 380 3 0.05 3
M=
2
2 2π1500 0.486 0.673 + + 5.033 2 60 0.05
⇒ M = 67.02 N·m
Para que el motor se pueda arrancar, el par resistente debe ser menor que 16.76 N·m en el momento del arranque. c) sM =
R' 2 2 R12 + Xcc
=
0.486 0.673 2 + 5.033 2
380 3
I' 2 =
2
= 0.0958
= 28.73 A
0.673 + 0.486 + 5.033 2 0.0958 1 Pmi = 3·28.73 2 ·0.486· − 1 = 11358.68 W 0.0958 PCU = 3·28.732 ·(0.673 + 0.486) = 2869.76 W
η=
11358 .68 ·100 ⇒ η = 79.8 % 11358 .68 + 2869 .96
d) La potencia aparente consumida de la red es:
S = 3V1I1* La intensidad absorbida por el estator es:
8
380∠0 º 3 I1 = R' R1 + 2 + jX cc s Por lo tanto:
380∠0º 0.486 144400· 0.673 + + j5.033 380 144400 3 s S=3 ∠0º = = 2 R' 0.486 3 0.486 − j5.033 2 R1 + 2 − jX cc 0.673 + 0 . 673 5 . 033 + + s s s La potencia activa consumida es:
0.486 144400· 0.673 + s P= = −10000 2 0.673 + 0.486 + 5.033 2 s − 9.72 −
7.018 0.236 0.654 = 25.3 + 0.453 + 2 + s s s
− 0.037 35.473s2 + 7.672s + 0.236 = 0 ⇒ s = − 0.179 1555.5 rpm n = n1(1 − s) ⇒ n = 1768.5 rpm n = 1555 .5 rpm
PROBLEMA 5 R1 = 1.5 Ω R 2 = 1.3 Ω n1 =
60·50 = 1500 rpm 2
VACÍO: I = 4 A V =
380 V 3
P = 480 W
9
P = Pm + PFE + PCU1 ROTOR ABIERTO: I = 4 A V =
380 V 3
P = 320 W I
X1
1.5
+
380 3
RFE
Xµ
– P = 320 W = PFE + PCU1
PFE = 320 − 3·1.5·4 2 = 248 W Al ser igual la tensión de entrada en ambos casos, las pérdidas en el hierro son idénticas.
480 = Pm + 248 + 3·1.5·4 2 = 320 W ⇒ Pm = 160 W CARGA: a)
Pa = P1 − PCU1 − PFE = 4330 − 3·8 2 ·1.5 − 248 ⇒ Pa = 3794 W b) P1 = 4330 = Pm + PFE + PCU1 + PCU2 + Pu
4330 = 3·8 2·1.5 + 3·72 ·1.3 + 248 + 160 + Pu ⇒ Pu = 3442.9 W c)
10
Pmi = Pu + Pm Pmi = 3442.9 + 160 = 3602.9 W
1 1 Pmi = 3R 2I22 − 1 = 3·1.3·7 2 · − 1 ⇒ s = 0.0503 s s n = n1·(1 − s) ⇒ n = 1424 .45 rpm d) M=
Pu 3442.9 ⇒ M = 23.08 N·m = n 1424 .45 2π 2π 60 60
e) P1 = 3 V1I1 cos ϕ1 4330 = 3
380 8 cos ϕ1 ⇒ cos ϕ1 = 0.822 3
f)
η=
Pu 3442.9 ·100 = ·100 ⇒ η = 79.51 % P1 4330
11
PROBLEMAS DE MÁQUINAS ASÍNCRONAS PROBLEMA 6 a) Triángulo b) n = 918.35 rpm c) η = 84.31%
d) M = 67.053 N ⋅ m
PROBLEMA 7 a) Iarr = 25.24∠ − 0.91º A b) V1L = 282.41 V
PROBLEMA 8 a) n = 1458.6 rpm b) I1 = 6.22∠ − 44.17 º A c) η = 77.95%
PROBLEMA 9 4 polos
1
PROBLEMA 10 a) Marr = 382.83 N·m b) P1 = 109528.63 W Pu = 59565.38 W η = 54.38%
2
