Problemes d’ d’Electricitat i Magnetisme
Curs 2013/2014
Problemes d’ d’electrostàtica
1. a) Descriu qualitativament el sistema de línees de camp electrostàtic al pla d’un triangle equilàter de costat, als vèrtexs del qual s’han s’han col·locat càrregues (q) iguals i positives. b) Indicar In dicar quina de les següents respostes correspon al valor de la intensitat in tensitat de camp E al centre del triangle: i) | | = (1/3)·(kq/r 2 ) amb r= a/ 3, ja que s’ha de realitzar l a suma vectorial dels camps creats
per cada càrrega individual. ii) | | = 3·kq/r 2 amb r= a/ 3, ja que s’ha de realitzar la suma vectorial dels camps creats per cada càrrega individual. iii) | | = 0, ja que s’ha de realitzar la suma vectorial dels camps creats per cada càrrega individual. c) Indica quina de les les següents respostes es es correspon amb el valor de l’energia electrostàtica electrostàtica E de de la distribució de càrregues: i) E = (1/3)·(kq 2 /a), ja que s’ha de sumar la contribució mitja de cada càrrega. càrrega. 2 ii) E = 3·kq /a, ja que s’ha de sumar sumar la contribució de cada càrrega. iii) E = 0, ja que s’anul·la la contribució total de les càrregues.
2.
Una balança equilibrada té al plat de la dreta una pesa d e 100 g i i al plat de l‘esquerra hi l‘esquerra hi ha subjectada una petita esfera carregada elèctricament amb una càrrega -q. En situar sota aquesta càrrega una altra càrrega +2q a 10 cm de distància, s’han de canviar les peses del plat de la dreta augmentant fins a 130 g per per mantenir l’equilibri. l’equilibri. Trobar el valor de la càrrega de l’esfera l’esfera subjectada al plat esquerra de la balança.
3.
Les components del camp elèctric aplicat a la figura son E x=bx1/2, E y=E z=0. Calcular el flux que passa pel cub i la càrrega continguda continguda al seu interior.
a x
a a
a
z
4.
Dues masses de 10 g i i amb càrrega elèctrica q son subjectades per fils de longitud l=1 m, tal i com queda indicat a la figura. Si en equilibri la distància entre elles es igual a l , calcular: a) La càrrega q y la tensió T dels dels fils. b) El camp i el potencial al punt O. c) ¿Quina serà la nova distancia entre les càrregues càrregues al col·locar una nova càrrega +q al punt O? O l
+q
+q m
5.
m
Una corona circular limitada per dos cercles de centre en O y radis a y R, té una densitat superficial de càrrega . Calcular el camp elèctric creat per aquesta distribució en un punt M situat situat a una alçada z sobre l’eix de revolució. revolució. a) Què succeeix quan a 0 ? Dibuixar la corba E(z) en funció de z. b) Si a és diferent a cero, com és l’expressió l’expressió del del camp elèctric quan R ? Dibuixar la corba E(z) en funció de z. c) Donar l’expressió del camp E quan quan a 0 i R . Dibuixar E(z) en funció de z.
1
Problemes d’Electricitat i Magnetisme
Curs 2013/2014
6. Una petita esfera de massa 1.2 10-3 g i càrrega 2.3 10-8 C està subjectada a un fil de seda que fa un angle de 30o amb una làmina conductora carregada com s’ indica en el dibuix. Calcular la densitat de càrrega superficial de la làmina. + + o 30 + + + + + +
+ m,q
7.
Fer el mateix problema suposant que en comptes d’una làmina tenim un fil carregat amb una densitat lineal .
8.
El coure té aproximadament un electró lliure per cada àtom. Una moneda de coure té una massa de 3g . a) Quin percentatge de càrrega lliure haurí em d’extr eure de la moneda per a adquirir una càrrega de 15 C ? b) ¿Quina seria la força de repulsió entre dos monedes que continguessin aquesta càrrega si la seva separació fos de 25 cm ? (Suposar les monedes com càrregues puntuals).
9.
Un dipol elèctric està format en l’eix x per una càrrega positiva q situada a x=a i per una altra càrrega negativa -q a una distància x=-a. Determinar la magnitud i direcció del camp elèctric al punt y (de =-(kp/y3 )i , a on p es el mòdul l’eix y) i demostrar que per a y>>a, el camp és aproximadament E del moment dipolar.
10. Un electró parteix de la posició indicada a la figura amb una velocitat inicial v0=5x106 m/s formant 3 un angle amb l’eix x. El camp elèctric a l’interior del condensador val 3.5x10 N/C. º a) Si l’angle és de 45 , trobeu sobre quina placa i en quin lloc xocarà l’electró. b) Trobeu el valor de l’angle mínim pel què l’electró xocarà amb la placa superior. 10 cm
----------------------v0
2 cm
+++++++++++++++++++
Problemes de Llei de Gauss
11. Calcular el camp elèctric creat en un punt qualsevol de l’espai per cadascuna de les distribucions de càrrega següents : a) Una esfera aïllant de radi R carregada uniformement amb una càrrega total Q. b) Una esfera conductora de radio R carregada amb una càrrega total Q. c) Una superfície plana infinita carregada de manera uniforme amb una densitat de càrrega per unitat de superfície . d) Un fil conductor rectilini de l ongitud infinita amb una densitat de carga per unitat de longitud. 12. Sigui un cilindre infinit no conductor de radi R1=15 cm carregat amb una densitat de càrrega per unitat de volum constant, (r)= 0, rodejada per una closca cilíndrica també infinita de radi R2=25 cm i densitat superficial de càrrega uniforme, 2. a) Utilitza la Llei de Gauss per determinar el camp en les di ferents regions de l’espai. b) ¿Quina hauria de ser la relació entre las dues densitats de càrrega per què el camp entre R1 i R2 sigui nul·la?
2
Problemes d’Electricitat i Magnetisme
Curs 2013/2014
13. El camp elèctric just per sobre de la superfície terrestre, mesurat experimentalment, és de 150 N/C en direcció a terra. ¿Quina càrrega total conté la Terra segons aquesta mesura? Si en una regió particular de l’atmosfera terrestre, a 400 m d’alçada es mesura un valor de 170 N/C. Calculeu la densitat de càrrega de l’atmosfera suposant que és uniforme entre 0 i 400 m.
Problemes de potencial
14. Calcula l’energia electrostàtica emmagatzemada a tot l’espai que envolta una esfera conductora de radi R a la qual s’hi ha dipositat una càrrega Q. Fer el càlcul numèric pel cas de R=10 cm i Q=10 nC . 15. Suposem que el nucli H de l’àtom d’hidrogen de càrrega +e no es mou quan és atret per l’electró de càrrega -e y massa me, amb una força electrostàtica: 2
2
F =-(e /4 0r )u
Sabem que l’electró descriu una òrbita circular de radi r al voltant de H amb una velocitat angular . a) Calcular 2 i deduir en funció de e, 0 i r l’energia cinètica de l’electró. b) ¿Quina és l’energia potencial d’interacció entre el nucli i l’electró? Determinar l’energia total del sistema. c) Demostrar que el moment angular de l’electró respecte del nucli és constant en el temps. ¿Quines conseqüències té aquest fet?
2
2
16. Donat el camp elèctric conservatiu E y xi x y j ( N / C ) , trobar la funció potencial associada i calcular l’energia potencial necessària per desplaçar una càrrega de 5 C des de l’origen de coordenades fins el punt (2,3).
17. Donada la distribució de càrregues puntuals de la figura, explicar com es calcula el camp elèctric i el potencial a l’origen de coordenades. ¿Cap a on va dirigit el camp elèctric?
y
+2q (2, 2)
-q (0, 1)
-q (1, 0)
x
18. Considerem una bola de radi R amb una càrrega Q i densitat de càrrega uniforme (es tracta del model d’un protó). El centre de la bola es troba en l’origen. Utilitza la component radial E r del camp elèctric calculada a partir de la Llei de Gauss per a calcular el p otencial V(r) suposant que V=0 a r= :
. a) Qualsevol punt a l’exterior de la bola r R b) Qualsevol punt interior a la bola r R (recordar que V ha de ser continu a tot l’espai i per tant també a r=R.). c) Quant valdrà el potencial a l’origen? d) Representa V en funció de r.
3
Problemes d’Electricitat i Magnetisme
Curs 2013/2014
19. ¿Com varia de forma aproximada el potencial elèctric a la línea que uneix dues esferes carregades? Justifica-ho. a)
)
V
V
r R1 c)
O
r
R2 d)
V
R1
O
R2
R1
O
R2
V
r R1
O
r
R2
20. Tenim una distribució esfèrica de càrrega de 10 cm de radi, amb una densitat de càrrega en volum de =6 C/m3. Si envoltem aquesta distribució amb una placa conductora esfèrica descarregada de 25 cm de radi interior i 2 cm de gruix, trobeu: a) Les densitats superficials de càrrega amb que queden carregades les superfícies interna i externa de la placa conductora. b) El potencial al què es troba la placa conductora suposant que és 0 a l’infinit. c) Si imposem al conductor un potencial V’ trobeu la seva càrrega total Qt . Calculeu-ho per als casos en que V’ sigui 5000 V i 0 V . R 3 R 2
R 1
21. Tres closques esfèriques conductores concèntriques tenen radis de 10, 20 i 40 cm respectivament. Inicialment la closca interior està descarregada, la intermèdia té una càrrega Q=+5 C i l’exterior una càrrega negativa Q= -5 C. a) trobeu V(r) a les diferents regions de l ’espai. Dibuixeu V(r) en funció de r . b) Si les closques interior i exterior es connecten amb un cable aïllant quan travessa la closca intermèdia, quin és el potencial elèctric de cadascuna de les tres closques, i quina és la càrrega final de cada closca.
Problemes de condensadors
22. Tenim un condensador pla amb les armadures separades per una distància 0.4 mm. El submergim en un líquid amb permitivitat dielèctrica . A l’interior del líquid s’han de separar les plaques del condensador fins a una distància de 5.3 mm per tal d’obtenir la mateixa capacitat. ¿ Quin és el valor de ? 23. Determineu la capacitat d’ un cable coaxial de 100 m de longitud si el diàmetre del conductor central és de 1 mm i el blindatge exterior és de 5 mm de diàmetre. La constant dielèctrica de l’aïllant intermedi és igual a 5.
F que es carreguen aplicant una tensió de 1.5 y 3.2 kV , 24. Tenim dos condensadors de 3 y 5 respectivament. Després de carregar-se es connecten en paral·lel. Trobar les càrregues i les tensions finals de cadascun d’ells i les del sistema global.
4
Problemes d’Electricitat i Magnetisme
Curs 2013/2014
25. Calcular la capacitat equivalent del sistema de condensadors de la figura següent: 3 F 1 F
5 F
6 F
2 F 4 F
26. Tres condensadors de 2, 4 y 8 pF es connecten en sèrie. Si el voltatge de ruptura és de 1200 V per a cadascun d’ells, podem aplicar una diferència de potencial a la connexió de 3500 V , sense perill?
F es carrega a una diferència de potencial de 100 V i un altre de 20 F a 200 27. Un condensador de 10 V . Si es connecten els dos en paral·lel, quina serà la diferència de potencial entre les plaques dels condensadors? F està carregat i manté una diferència de potencial entre les seves plaques de 28. Un condensador de 20 1000 V . Les làmines del condensador carregat es connecten a les d’un altre amb una capacitat de 5 F que es troba descarregat. Troba la càrrega inicial del sistema i la càrrega final a les plaques de cada condensador. Calcular la diferència de potencial present al final entre les plaques de cada condensador. 29. Demostrar que les plaques d’un condensador pla s’atrauen amb una força igual a q2 /2 0 A.
Problemes de corrent elèctric
30. En un tub fluorescent de 3 cm de diàmetre passen per un punt determinat i cada segon 2x1018 18 electrons i 0.5x10 ions positius amb càrrega +e. Quina és la intensitat de corrent que circula pel tub ? 31. Per un fil de plata de 0.5 mm de diàmetre passa un corrent d’1 A . La densitat de la plata és de 10.5 g/cm3. Trobeu: a) Densitat de corrent. b) Velocitat de desplaçament dels electrons, sabent que la plata té 1 electró lliure per àtom. 32. Es projecta una resistència per a calefacció de 1 kW per a funcionar a 240 V . Quina és la seva resistència i quina intensitat de corrent circularà per ella? Quina seria la potència d’aquesta resistència si es connectés a 120 V ? Suposeu que R és constant. 33. Una bateria de cotxe de 12 V pot subministrar una càrrega total de 45 A.h. Amb el cotxe parat encenem els llums que consumeixen 120 W . Trobeu el temps que triga a esgotar-se la bateria. 34. Un generador de 500 V ha d’alimentar un motor que consumeix 60 A a una distància de 5000 m. La conducció es realitza a l’anada per un cable de Cu de 38.4 mm2 de secció i el retorn el fa aprofitant un rail de ferrocarril d’acer de 45 cm2 de secció. Quina és la tensió a la que funciona el motor ? (Dades : Resistivitat del Cu : 1.7 .cm, resistivitat de l’acer : 10.3 .cm). 35. Dins d’un accelerador de partícules els protons es mouen amb una velocitat propera a la de la llum. Suposem que tenim un feix de protons amb una intensitat de 5 mA, quants protons hi ha en cada -6 2 metre del feix ? Si la secció transversal del feix és de 10 m , feu un càlcul estimatiu de la separació mitjana dels protons? Quant val la d ensitat de corrent? 36. Una resistència desprèn 100 W de calor quan hi circulen 3 A. Quin és el valor de la resistència? 37. La intensitat donada per un generador a un circuit extern de 10 de resistència és de 10 A, i quan la resistència del circuit exterior es duplica el corrent es redueix a 8 A. Quina resistència externa caldria posar per a què la intensitat que circula pel circuit sigui de 9 A?
5
Problemes d’Electricitat i Magnetisme
Curs 2013/2014
, r b=1 són muntats en 38. Dos generadors a i b de la mateixa fem i amb resistències internes r a=6 sèrie. Calculeu quina resistència s’ha d’utilitzar per a tancar el circuit si volem que la diferència de potencial entre els borns de a sigui nul·la. 39. Sigui el circuit de la figura. Si el valor de la resistència R es redueix a R/4, el valor de la intensitat es duplica. ¿Quina serà la relació entre la potència dissipada en r ( P r ) i la dissipada en R ( P R) en el circuit? Escollir entre les opcions següents, justifiqueu la resposta escollida. a- P R = 2 P r. b- P R = 4 P r . c- P R 1 2 P r . d- P R
4
3
P r .
r
R
40. Demostreu que la potència subministrada a un circuit exterior per una bateria de fem i resistència interna r és màxima quan la intensitat és la meitat de la corresponent al curtcircuit. Compareu la potència subministrada amb la potència dissipada en aquest cas. 41. La bobina d’un mil·liamperímetre té una resistència interna de 50 i l’agulla es desvia fins a l’extrem de l’escala quan el corrent que hi circula es de 3 mA. Com podem convertir aquest aparell en un amperímetre que pugui mesurar una intensitat màxima de 6 A i en un voltímetre que pugui llegir una diferència de potencial màxima de 180 V ?
F està inicialment carregat i connectat a una diferència de potencial de 100 V . 42. Un condensador de 6 S’uneixen les seves plaques a través d’una resistència de 500 . Quina és la càrrega inicial del condensador? Quin és el valor de la intensitat de corrent que circula pel circuit just en l’instant en que es connecta la resistència? Quina és la constant de temps d’aquest circuit? Quina és la càrrega del condensador 6 ms després d’haver-lo connectat? F inicialment descarregat es connecta en sèrie amb una r esistència de 10 k 43. Un condensador de 1.6 i amb una bateria de 5 V sense resistència interna. Quina és la càrrega del condensador al cap d’un temps molt llarg? Quin temps necessita el condensador per assolir un 99% de la seva càrrega final? F i una bateria de 6 V 44. Es connecta una resistència de 2 M en sèrie amb un condensador de 1.5 sense resistència interna. El condensador està inicialment descarregat. Després d’un temps t= =RC , trobeu el valor de la càrrega en el condensador, la velocitat a la que augmenta la càrrega, la intensitat de corrent que hi circula, la potència subministrada per la bateria, la potència dissipada per la resistència i la velocitat a la que augmenta l’energia emmagatzemada en el condensador. F de capacitat emmagatzema inicialment una energia de 0.5 J i es descarrega a 45. Un condensador d’1 través d’una resistència de 106 . Quina és la càrrega inicial del condensador? Quant val la intensitat de corrent que circula per la resistència en l’instant en què comença la descàrrega? Trobeu la diferència de potencial en la resistència en funció del temps. Calculeu la potència dissipada per la resistència (efecte Joule) en funció del temps. 46. a) Calculeu la intensitat del corrent a cada part del circuit de la figura. b) Utilitzeu els resultats obtinguts a l’apartat a) per a assignar un potencial a cada punt suposant que el potencial a terra és zero.
6
Problemes d’Electricitat i Magnetisme
Curs 2013/2014
Problemes de camp magnètic
47. Sigui un electró amb una energia cinètica de 8.5 MeV , que es mou verticalment cap avall en una regió on hi ha un camp magnètic uniforme de 1.5 T dirigit de nord a sud. a) Calcular el mòdul, direcció i sentit de la força que actua sobrel’electró. b) ¿ Quant valdrà el radi de la trajectòria circular que seguirà l’electró? c) ¿ Quina serà la velocitat angular de rotació de l’electró? d) ¿ Quant temps trigarà l’electró en descriure una circumferència completa? e) ¿ Quantes voltes farà l’electró per segon? 48. Sobre un electró que es desplaça a 5000 km/h actua un camp magnètic de 8 T en direcció perpendicular a la seva velocitat. Calcular el valor de la força centrípeta que actua sobre l’electró, el radi de l’òrbita que descriu l’electró i el temps que triga en descriure la òrbita. Descriure com seria la trajectòria de l’electró en el cas de que el camp magnètic no fos perpendicular a la velocitat. 49. i) Calcular la força que actua sobre una partícula, amb càrrega q positiva i massa m, que penetra amb una velocitat v en una regió de l’espai on hi ha un camp magnètic uniforme B (perpendicular a la velocitat de la partícula). ii) Suposem que en aquesta regió, la partícula descriu la trajectòria MM´ de la figura. La línea AA´ és una superfície que separa dues zones diferents (amb el mateix mòdul del camp magnètic B i diferent sentit) i on la partícula perd energia al travessar-la i es desvia, descrivint d’aquesta manera dues curvatures diferents (de radi R1 a la zona 1 i R2 a la zona 2) a la seva trajectòria. a) Establiu les equacions que relacionen R1 y R2 amb q, m, B, v1 (velocitat de la partícula a la zona 1) i v2 (velocitat de la partícula a la zona 2). b) Calcular el quocient v1/v2. c) Determinar el sentit de moviment de la partícula. d) Determinar el valor de la velocitat v2. AN: v1=1.6107 m s-1, B=0.5 T , R1=33.5 cm y R2=22 cm. e) Calcular la raó càrrega-massa de la partícula i identificar-la, coneixent que la càrrega elemental ése = 1.6 10-19 C , que 1 uma = 1.6604 10-27 kg i utilitzant les dades de la taula següent:
Partícula Massa uma Càrrega
+
+
protó 1.00728
Deuteri 2.01355
4.00151
0.14490
0.11343
+e
+e
+ 2e
+e
+e
M B
1
A
A’ B
2
M’ 50. Una cinta de metall de 2 cm d’amplada i 0.1 cm de gruix transporta una intensitat de corrent de 20 A i es situa a l’interior d’un camp magnètic de 2 T , tal i com es veu a la figura 1 (pg.9). a) ¿Quin dels dos punts A o B es troba a un potencial més elevat? b) Si la diferència de potencial entre a y b és de 4.27 V, quina és la velocitat a la que es desplacen els electrons a la cinta? c) Trobeu la densitat numèrica de portadors de càrrega a la cinta. 51. Protons (càrrega +e), deuteris (càrrega +e) i partícules alfa (càrrega +2e) de la mateixa energia cinètica entren en una regió de camp magnètic uniforme i perpendicular a les seves velocitats. a) Suposar que r p, r d i r són els radis corresponents a les seves trajectòries i considerant que m = 2md = 4m p. Trobar els valors de r d /r p i de r / r p. b) Suposar ara que tenim protons i partícules alfa tals que sota l’acció de B descriuen òrbites d’igual radi, quina és la relació que hi ha entre les seves velocitats? I entre les seves energies cinètiques? I entre els seus moments angulars?
7
Problemes d’Electricitat i Magnetisme
Curs 2013/2014
52. Un conductor, pel qual hi circula una intensitat de corrent I , té forma d’espira semiconductora de radi R, situada al pla xy ( figura 2, pg. 9). A l’aplicar un camp magnètic perpendicular a l’espira B=Bk , calculeu el valor de la f orça que actua sobre l’espira. 53. Calculeu el valor del camp d’inducció magnètica al centre d’una espira quadrada de costat a per la que hi circula una intensitat I . 54. Tenim dues espires conductores de r adis iguals posades perpendicularment una respecte de l’altre, tal i com s’indica a la figura 3 (pg.9). Calculeu el mòdul i la direcció del camp magnètic al punt O.
55. Trobar el valor del camp d’inducció magnètica creat per un conductor rectilini infinit pel qual hi circula una intensitat de corrent I en un punt situat a una distancia r del conductor. Fer el càlcul numèric si pel conductor hi circulen 5 A i si ens trobem a 10 cm de l’eix. Si situem un altre conductor paral·lel al primer a 10 cm de distància i per on circulen 3 A en el mateix sentit que en el primer conductor, quina seria la força deguda a la interacció magnètica que hi apareix entre els conductors? I si la intensitat del segon circula en sentit oposat que en el primer? 56. Dos conductors rectilinis paral·lels, fixes i que podem considerar infinits, estan situats a 10 cm de distància. Per un d’ells circula un corrent continu de 30 A i per l’altre un de 40 A en sentit oposat. Calculeu: a- El valor del camp d’inducció magnètica resultant en una línea paral·lela als dos conductors continguda en el mateix pla i situada a igual distancia del dos. b- El valor del camp d’inducció magnètica resultant en una línea paral·lela als dos conductors continguda en el mateix pla i situada a 5 cm del primer i 15 cm del segon. c- La força per unitat de longitud que actua sobre un conductor paral·lel als dos conductors, al pla definit per ells i per la qual hi circula un corrent de 5 A en el mateix sentit del primer conductor. 57. Tres fils conductors molt llargs i disposats en paral·lel es fan passar pels vèr tex d’un quadrat, segons mostra la figura. Calculeu el camp magnètic B en el vèrtex no ocupat quan (a) el sentit de totes les intensitats és cap a dins del paper, (b) I 1 i I 3 circulen cap a dins i I 2 cap a fora, (c) I 1 i I 2 cap a dins i I 3 cap a fora. I1
L I2
I3
58. Tenim una espira quadrada de costat d/5 situada entre dos fils conductors rectilinis indefinits amb intensitats I 1 i I 2 i separats per una distància d . a) Quina relació ha d’existir entre I 1 i I 2 per tal de que el flux magnètic que travessa l’espira sigui nul? b) Suposeu que traiem el fil de la dreta i que l’espira es mou cap a la dreta amb una velocitat constant v. Quin serà el valor de la força electromotriu induïda a l’espira quan la distància entre el fil 1 i aquesta sigui d ?
b)
a) I1
I2 d/5
d/5
I1
d/5
d/5
3d/5
v=cte
8
Problemes d’Electricitat i Magnetisme
Curs 2013/2014
59. Un fil recte molt llarg transporta un corrent de 30 A com es veu a la figura. Una espira rectangular amb dos dels seus costats paral·lels al fil té costats de 5 i 10 cm, amb el costat més proper situat a 2 cm del fil. Per l’espira hi circula un corrent de 6 A. a) Trobeu la força sobre cada element de l’espira. b) Trobeu la força neta.
60. Sigui una bobina rectangular situada en el pla de dimensions a i b. Un filferro llarg que transporta un corrent de 5 A es col·loca directament sobre la bobina: a) Deduir una expressió pel flux magnètic a través de la bobina en funció de la posició x del filferro. b) Per a quin valor de x el flux que travessa la bobina serà màxim? I mínim?
a
x
b
I
61. Calculeu el valor del camp d’inducció magnètica en l’eix d’un solenoide de secció quadrada (cada espira és un quadrat de costat a) que té N voltes per unitat de longitud i per on circula una intensitat I . 62. La figura 4 (pg.9) mostra un toroide de radi interior R1 i radi exterior R2 en el qual s’han enrotllat uniformement N espires de fil conductor. Si per aquest fil hi circula una intensitat I , calculeu el valor del camp d’inducció magnètica en un punt de l’interior del toroide situat a una distància r ( R1 < r < R2) del seu centre. Trobeu la relació R2 /R1 que fa que aquest camp magnètic no variï més d’un 25 % a l’interior de l’anella.
9
Problemes d’Electricitat i Magnetisme
Curs 2013/2014
Problemes d’inducció magnètica 2
63. El flux de camp magnètic que travessa una espira varia segons: B 6t 7t 1 mWb . Trobeu el valor de la força electromotriu induïda a l’espira ¿En quin sentit hi circula el corrent? 64. Una barra de coure de mig metre de longitud gira horitzontalment amb una velocitat de600 voltes/min al voltant d’un eix vertical que passa per un dels seus extrems. Si aquesta barra es troba dins d’un camp magnètic uniforme, dirigit en la direcció del seu eix de rotació, en resulta una força electromotriu entre els extrems de la barra de 6.28 V . Calculeu el valor d’aquest camp magnètic. 65. A la figura s’ha representat un fil conductor rígid de longitud i massa m que llisca, sense fregament, sobre de dues guies metàl·liques (conductores) connectades a una resistència R. En el pla del rectangle, format pel fil, les guies i la resistència, existeix un camp magnètic B d’intensitat constant, perpendicular al pla i dirigit cap a fora. Suposem que a l’instant inicial es deixa lliure el fil conductor que sota l’acció de la gravetat inicia el seu descens sobre les guies. a) Quin serà el seu moviment de caiguda? i) Uniformement accelerat, ja que l’única força que hi actua és la de la gravetat. ii) Inicialment accelerat, després desaccelerat i finalment la velocitat serà nul·la, ja que segons la Llei de Lenz d’inducció, la força s’oposa al moviment. iii) Amb acceleració decreixent fins arribar a una velocitat de caiguda constant. R
l
B
66. L’AVE circula a 300 km/h per rails metàl·lics separats per 1435 mm. Els eixos de les seves rodes són metàl·lics i, per tant, fan contacte elèctric entre els dos rails. Si la component vertical del camp -5 magnètic terrestre és 2.0 10 T , calculeu el voltatge induït entre els dos rails per un eix de l’AVE. 67. Un fil de secció quadrada d’alumini, amb una secció de 16 cm2, reposa sobre dues vies separades entre elles per 1 m que formen un angle de 30o amb l’horitzontal. Tot el conjunt esta situat a l’interior d’un camp magnètic de 2 Wb/m2, vertical i dirigit cap a dalt. Calculeu la f.e.m. mínima d’una bateria que alimenti el circuit per que la barra pugi pel pla amb una velocitat constant de 36 km/h. El 3 coeficient de fregament entre la barra i la via val 0.05. ( Al =2.7 g/cm , Resistivitat: 2.62 cm). 68. Suposem una barra conductora de massa m=1 kg que es desplaça sense fregament per dos rails separats per una distància de L=15 cm i connectats per una resistència R. Els rails es troben inclinats formant un angle de θ=65º respecte la horitzontal. Existeix un camp magnètic de magnitud 1,5 T dirigit cap a dalt com mostra la figura. i) Determineu la fem induïda a la barra en funció de la seva velocitat. ii) Calculeu la velocitat terminal de la barra (velocitat final aconseguida quan a=0 m/s2).
10
Problemes d’Electricitat i Magnetisme
Curs 2013/2014
69. Es retira una espira rectangular de dins d’un camp magnètic uniforme amb velocitat constat v, tal i com es mostra a la figura. a- Calculeu la força electromotriu induïda a l’espira. b- Quina potència s’hauria de fer per retirar l’espira de la regió on hi ha camp magnètic? c- Quin serà el calor produït a l’espira per Efecte Joule si aquesta té una resistència R?
70. Una espira semicircular de radi a es troba situada en un camp magnètic uniforme B, perpendicular al pla definit per l’espira (veure figura). Calculeu quina és la força electromotriu que hi apareix a l’espira quan aquesta es fa girar a velocitat angular constant al voltant d’un eix perpendicular al camp magnètic i que passa pel centre de l’espira. O’
I
B cap
a
a fora
a
O
O
71. Una bobina rectangular de N voltes, longitud b i amplada a gira en un camp d’inducció uniforme B , al voltant de l’eix OO’ com es veu a la figura. Demostreu que a l’espira s’indueix una força
electromotriu donada per o sin t , on o NabB . Si a=1 cm, b=2 cm, N= 1000 i B=2 T , quina és la freqüència angular amb la que ha de girar la bobina per tal d’obtenir una f.e.m. màxima de 220 V ?
x
O
B
O’
72. Una espira similar a la del problema anterior i sense corrent, gira amb una velocitat angular = 20 rad/s en un camp magnètic uniforme B= 5 T , al voltant de l’eix OO’. a- Calculeu el flux magnètic de l’espira a cada instant. b- Quina es la f.e.m. induïda a l’espira? -2 c- Si l’espira té una resistència R = 2 10 ., trobeu el corrent I ind que travessa l’espira. 73. Per una bobina d’autoinducció 8 H circula un corrent de 3 A que varia a raó de 200 A/s. Trobeu el flux magnètic que travessa la bobina i la f.e.m. induïda en ella. 74. Un solenoide té una longitud de 25 cm, un radi d’1 cm i està format per 400 voltes de fil conductor pel que hi circulen 3 A, trobeu: a- El valor del camp d’ inducció magnètica al punt central del seu eix. b- El flux que travessa el solenoide, si B és uniforme c- El coeficient d’autoinducció del solenoide. d- La força electromotriu induïda al solenoide quan el corrent varia a raó de 150 A/S .
11
Problemes d’Electricitat i Magnetisme
Curs 2013/2014
Corrents variables en el temps (circuits RLC i corrent altern)
75. Calculeu l'equació dimensional de1
LC i de RC . Quines són les unitats d'aquestes magnituds en
el sistema internacional? 76. Quin és el període d'oscil·lació d'un circuit LC compost per una bobina de 2 mH i un condensador de 20 μF sense generador? Quina inductància és necessària, juntament amb un condensador de 80 μF , per a construir un circuit que oscil·li a 60 Hz? Quin seria, en aquest cas, el valor de l’autoinducció necessària? 77. Un circuit RLC amb L=10 mH , C= 2 μF i R= 5 Ω es connecta a un generador de 100 V de f.e.m. màxima i de freqüència angular ω variable. Calculeu la freqüència de ressonància ωo del circuit i el valor de la intensitat eficaç que hi circula en ressonància. Quan ω=800 rad/s, calculeu χ C , χ L, la impedància del circuit, la intensitat eficaç que hi circula i l’angle de desfasament. 78. Una bobina té una resistència de 80 Ω quan hi circula corrent continu, i una impedància de 200 Ω quan hi passa corrent altern a una freqüència d’1 kHz. Quant val el coeficient d’autoinducció de la bobina? (La capacitat de la bobina és negligible). 79. Es connecten una bobina de 0.25 H i un condensador de capacitat C en sèrie amb un generador de corrent altern a 60 Hz. La tensió eficaç que es mesura a la bobina és de 50 V , mentre que en el condensador és de 75 V . Calculeu la capacitat del condensador i el valor de la intensitat eficaç de corrent en el circuit. Quant valdrà la tensió eficaç mesurada en el conjunt condensador-bobina? 80. En el circuit de la figura següent, el generador de corrent altern produeix una tensió eficaç de quan funciona a 60 Hz. Quina és la tensió entre els punts AB, BC, CD, AC i BD?
115 V
Problema 81
Problema 80
81. El circuit representat a la figura rep el nom de filtre passa-alts, a causa que les freqüències d’entrada altes es transmeten amb amplitud més gran que les baixes. Si la tensió d’entrada és V e=V oe cosωt ,
/ 1 (1/ RC ) 2 . A quina freqüència l’amplitud de la tensió de sortida és la meitat de la d’entrada? Feu una gràfica de V os / V oe en funció de ω. demostreu que l’amplitud de la tensió de sortida val
Vos
Voe
82. Un circuit LRC en sèrie es connecta a un generador de 500 Hz. L’angle de fase entre la tensió aplicada i la intensitat de corrent es mesura i resulta ser φ=75º . Si sabem que la resistència total és de 35 Ω i la inducció de 0.15 H , quant val la capacitat del circuit?
Problemes d’ones electromagnètiques 83. Escriu les equacions dels camps elèctric i magnètic d’una ona plana sinusoïdal i linealment polaritzada, que es propaga en el buit amb una longitud d’ona de 5000 Àngstroms. Considera que el
12
Problemes d’Electricitat i Magnetisme
Curs 2013/2014
flux mig d’energia és de 0,1W/m2, que la direcció de propagació està en el pla XY a 45º amb l’eix X i que el pla de vibració és paral·lel a l’eix Z. 84. Un làser de He-Ne emet 1 mW de radiació monocromàtica concentrada en un feix de 2 mm de diàmetre. Suposant que la radiació està distribuïda uniformement a través del feix i que aquest no divergeix, calcula la intensitat, l’amplitud del camp elèctric dins del feix i la densitat d’energia. 85. Quina velocitat pot aconseguir un astronauta a l’espai lliure, amb un equip de 200 kg de massa, si disposa d’un làser de 100 W amb longitud d’ona de 500 nm que té una autonomia de 5 hores i que emet un feix de 2 mm de diàmetre?
=(80i +32 j -64k ) 86. A una regió de l’espai lliure, el camp elèctric a un determinat instant de temps és E N/C i el camp magnètic B =(0,2i +0,08 j +0,290k ) µT . Demostra que els dos camps són perpendiculars i determina el vector de Poynting. 87. Un pols radar retorna al receptor després d’un temps total de viatge de 4·10-4 s . A quina distància és l’objecte que ha reflectit l’ona?
88. Classifica les ones amb longituds d’ona de 2 Km, 2 m, 2 mm, 2 µm, 2 pm, 2 fm i 2 am. 89. Demostra que la pressió que exerceix un feix de llum propagant-se pel buit en incidir sobre una superfície completament reflectant és 2I/c.
13
