Se tienen dos depósitos de grandes dimensiones, separados por una altura de 25 m. La presión relativa relativa en el depósito depósito inferior inferior es de 200.000 Pa, mientras mientras que en el depósito depósito superior se tiene presión atmosférica. Se desea conectar ambos depósitos mediante mediante un conducto de PV de !00 m de longitud " con la a"uda de una bomba de 25 #$ de potencia se pretende trasvasar un caudal de 0,2 m%&s de agua del depósito inferior al superior.
'alle(
)* +l dimetro dimetro del del condu conducto cto que se -a de utilia utiliarr para cumplir cumplir con los requer requerimi imient entos os establecidos. 2* /ebido /ebido a la mala mala colocaci colocación ón de una brida brida situada situada cuatro cuatro metros metros antes antes de que el tubo llegue al depósito superior, aparece una fuga de agua en este punto. Si se conoce que la pérdida de energa que el agua e1perimenta al pasar a través de la brida es de ∆- )00 3b2, siendo 3b el caudal caudal de agua que se fuga a través de la brida, brida, -alle el nuevo caudal caudal que flu"e a-ora por la instalación. onsidere que la brida est a la misma altura que el nivel del lquido en el depósito superior. Se puede despreciar la energa cinética a la salida de la brida.
Depósito 1
1. Aplicando Aplicando la ecuación ecuación de Bernou Bernoulli lli entre las las superficies superficies libres libres de los dos depósito depósitos, s, se tiene:
8⋅ Q2 siendo ∆h = f ⋅ L ⋅ la expresión para la pérdida de cara en tuber!as, en función de la lonitud L, el 2 D" π ⋅
' & =ρ Q
di#$etro D, el caudal Q % el coeficiente de fricción f, % la altura de ele(ación de la bo$ba en )unción de la potencia *'+ % el caudal. o$ando un (alor inicial para f de -,-2 *(alor est#ndar para tuber!as+, se puede obtener el (alor del di#$etro ⋅
⋅
Aislando la D de la ecuación, se obtiene: D=-,18$. /l (alor del n0$ero de e%nolds para este di#$etro es:
A tra(és del r#fico de ood%, se halla un (alor del coeficiente de fricción correspondiente a este n0$ero de e%nolds de f 3 -,-12".
4on el nue(o (alor de f se deter$ina de nue(o la pérdida de cara en función del di#$etro: 2
L 8 ⋅ Q 2 5-- $ 8 -, 2 $ s2 " 2 ∆h = f ⋅ D ⋅ π = -, -12" D " $ " π 2 7,81 $ 6
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
2
1 " = -, -16" ⋅ D $
s
tili9ando la ecuación de Bernoulli, se halla nue(a$ente el (alor de D para la nue(a h:
Aislando D de la ecuación, se obtiene el nue(o (alor: D = -, 287 $ /l (alor del n0$ero de e%nolds ser#: e =
5 ⋅ Q π
⋅
=
D ν ⋅
5 -, 2 $ s ⋅
=
π -, 287 $ 1, -2 1-−6 $2 ⋅
⋅
86.8">, "
s
⋅
;, se0n ood%, f = -, -12 < considerando =ue el (alor del factor de fricción es pr#ctica$ente el $is$o =ue el obtenido con anterioridad, se conclu%e =ue el di#$etro ser#: D = -, 287 2. /l es=ue$a de la instalación para este seundo caso ser#:
Las ecuaciones =ue se tienen en este caso son: aplicando Bernoulli entre 2 % : 2 /2 = / + ∆h2 = / + 1-- ⋅ Q b
/ntre los puntos 2 % 5, se conclu%e:
/ = / + ∆h 2
5
25
=/
+
f ⋅
5
L D"
6
2$
2 8⋅ Q25
⋅
π
2
⋅
+
=/
-,-12 ⋅
5
2 5$ 8 Q s " " ⋅ 2 $ = / + 1,76> Q -,287 $ π 7,81 5 ⋅
2
25
⋅
⋅
2
25
s
; entre los puntos 1 % 2: 8 ⋅ Q
L / + & = / + ∆h 1
2
=/ 12
+ f ⋅ 2
D
"
⋅
π
2
2
⋅
8 ⋅ Q 2 $
76 $
=/
+ -, -12 2
⋅
"
-, 287 $
6
"
⋅
π
2
⋅
7,81
$
2
s
s
?e0n la ecuación de continuidad: Q = Q b + Q25
=/
+ 175, >65 ⋅ Q 2
2
2
?i se desprecia la ener!a cinética en la fua de la brida *punto de la fiura+: / = 9 = 2"$
/5 = 95 = 2"$ ; los (alores de /1 % &:
@ 1
/= 1
2--.---@a
=
ρ⋅
1.---
⋅
= 2-,8> $
7,81 $
2
$
s
2".--- ' & = 1.---
A
$
=12,>52$
7,81$ s2 -,2 $s
⋅
⋅
?e tiene un siste$a de cuatro ecuaciones con cuatro incónitas *Q, Q b, Q25, /2+.
/2 = 2" + 1-- Q b 2ecuación 1 ⋅
2
,127 = /2 + 175,>65 ⋅ Q ecuación
/2 = 2" + 1,76> Q 25 2ecuación 2 ⋅
Q = Q b + Q25 ecuación 5
Aislando Q b % Q25 de las ecuaciones 1 % 2, % sustitu%endo las expresiones obtenidas en la ecuación 5, se tiene: / 2 − 2" / 2 − 2" + = -,81⋅ /2 − 2" 1, 76> 1--
Q=
2 Q = -, 661 ⋅ ( / 2 − 2")
; ade$#s, por la ecuación : ,127 − /
Q 2=
175, >65
2
ualando las dos expresiones anteriores de Q:
-, 661
⋅
( / 2 − 2" ) =
,127 − / 2 175, >65
/ 2 = 2", -6 $ ; el (alor de las otras tres incónitas es: Q 25 = -,1>7 $ s Q b = -, -2" $ s Q = -, 2-5
$
s
, =ue es el nue(o caudal total =ue se ped!a en el enunciado.
2
Si se conoce que la superficie mo4ada de una embarcación es de 0 m , su longitud es de )5 m " se desplaa a una velocidad de 20 6m&-, -alle( a) +l espesor de la capa lmite a una distancia de % m de la proa. +l valor del coeficiente de resistencia en la ona turbulenta de la placa. 7ul es la fuera de fricción que se opone al movimiento del barco8 :5
2
/atos( 9agua ),% )0 m &s; densidad ).)50 #g&m
%
b)
2
/atos( 9petróleo ),0> )0 m &s; densidad ?>0 #g&m
%
a) ?e asi$ilar# la superficie $oCada del barco a una placa plana de lonitud 1" $. ?e halla inicial$ente el (alor del n0$ero de e%nolds a una distancia de $ de la proa.
3 2- $ h 3 ", "6 $ s
3
e
E tr ⋅
ν
$
$
", "6 s F $ 31.282.-"1, 3 G" 1, F1- $2 s
4o$o e$ H "--.--- en este punto se tiene capa l!$ite turbulenta, las expresiones para el espesor de la capa l!$ite % el coeficiente de resistencia ser#n: G1
"
I 3 -, > ⋅ e x
donde δ es el espesor de la capa l!$ite a una distancia x del inicio de la placa.
x
3 -, ->2 e
4
G1 "
⋅
D
L
donde 4 es el coeficiente de resistencia para la 9ona turbulenta *% e D,
L
es el (alor
del n0$ero de e%nolds en el extre$o final de la placa+. 4
3 -, ->5 G 1.>5D
1
"
e L donde 4D es el coeficiente de resistencia para placa plana con 9ona turbulenta % 9ona la$inar *función de. eL+. eL
@rocediendo al c#lculo:
e L 3
⋅ x
3
", "6 $ s 1" $
3 6.51-.2"6, 5
G" 2
1, 1-
ν
$ s 1
I 3 -, > ⋅ 1.282.-"1,
−
"
$ 3 -, -66 $
⋅
G1
4 D
G
urbulento
3 -, ->2 ⋅ 6.51-.2"6, 5 " 3 ,1F1-
4D
3 urbulento J la$inar
-,->5 1
6.51-.2"6, 5"
G
1.>56.51-.2"6, 5
G
3 2,757 ⋅ 1-
La fuer9a de fricción total =ue se opone al $o(i$iento del barco es: 2
2
", "6 $2
∞ ) 3 4 D ? K
2
3 2, 757 1- G >- $ 2 1.1"- A $
s
2
2
3 .662, 76
b) /l (alor del n0$ero de e%nolds en el extre$o final del barco cuando na(ea en petróleo con una (elocidad es:
$
s 1"
G
$ 2
e L 3 1, ->6 1- $ s 31.75-, "2 *A+ 4onsiderando a priori =ue a lo laro de la lonitud del barco t endre$os 0nica$ente capa l!$ite la$inar:
4
1, 28
3 1, 28 3
D
La$inar
1.75-, "2F
e L
?e i$pone la condición de =ue la fuer9a de fricción =ue ha de (encer el barco es de ".--- : )3 4D F?FKF
2 2 1,28
".--- 3
>- $ 2 86-
1.75-,"2F obteniendo el (alor de la (elocidad:
2 2
$
A $
s2
2
3 , >7 $ s
?e deter$ina el n0$ero de e%nolds en el extre$o de la placa con el fin de corroborar la hipótesis de réi$en la$inar en todo el do$inio. e 3 L
,>7 ⋅ 1" G
1,->6 1-
3 "2.85,"
Se quiere determinar la fuera que un aeroplano opone al movimiento, debido a la fricción entre fluido " superficie. Para ello, " @nicamente como primera apro1imación, se va a considerar la superficie del aeroplano como una placa plana. /ic-a placa tendr )? metros de anc-o por 0 metros de largo Asupóngase que el fluido pasa por un lado de la placa*. Si la velocidad de crucero del avión es de 50 6m&-; determine( La fuera que se opone al movimiento cuando dic-o aeroplano est volando a 500 metros de altura, donde :5 2 % :5 µ ),%B)0 6g&m s " ρ ),)>% 6g&m , " cuando vuela a 20.000 metros donde( µ ),!2)>B)0 " ρ %
0,0??C) 6g&m . /etermine en ambos casos el punto de transición entre la capa lmite laminar " turbulenta, as como el espesor de la capa lmite en este punto.
1. ?e calculan las fuer9as =ue se oponen al $o(i$iento a las alturas de "-- % 2-.--- $etros a) uelo a "-- $etros de altura
/l obCeti(o del eCercicio es calcular la fuer9a =ue se opone al $o(i$iento del a(ión. ?uponiendo el a(ión co$o una placa plana *tal co$o dice el enunciado+, el (alor de la fuer9a (iene dada por la expresión siuiente: (2 ∞
)D 3 4D MBMLMKM 2
donde: 4D : coeficiente de resistencia o de arrastre B : anchura de la placa L : lonitud de la placa ρ : densidad del fluido en contacto con la placa. ∞ : (elocidad de la placa Antes de calcular el coeficiente de resistencia, se deter$inar# =ue 9ona de la placa se encuentra en réi$en la$inar % en réi$en turbulento. @ara ello, se utili9a:
"--.--- =
∞ Etr ν
?ustitu%endo (alores, se obtiene: E tr 3 -,-65 $
?e obser(a =ue la $a%or parte de la placa est# suCeta a réi$en turbulento< de todas $aneras, % con el fin de trabaCar con la $a%or precisión, se (a a utili9ar la ecuación del coeficiente de resistencia, =ue considera tanto la 9ona la$inar co$o la turbulenta.
3 -, ->2 G1.>--
4 D
( eL )-,2
eL
de donde:
1h 1.---$ G1 >"- N$h G1M .6-- s M 1N$ 3 2-8, $s
KM( ML
1,16>M2-8, M>-
∞
3
e L
3 O
3 7"7.>"-.6>>, 28" 1,1>>>M1-G"
/l coeficiente de resistencia =uedar#:
-, ->2 3
4
( 7"7.>"-.6>>, 28")-,2
D
1.>--
3 1,158M1-G
G 7"7.>"-.6>>, 28"
?iendo la fuer9a: ( 2-8, )2
)*h 3 "-- $+ 3 1,158M1- G M18M>-M1,16>M
2
)*h 3 "-- $+ 3 6.666, 618
b) uelo a 2-.--- $etros de altura
De la $is$a $anera =ue en el apartado anterior, se calcular# el e L para poder deter$inar el coeficiente de resistencia, 4 D.
KM( ∞ ML e L 3
O
-, -8871M2-8, M>-
3
1, 5216M1-G"
3 71.2->.2>, >6>
La 9ona la$inar % turbulenta de la placa, =uedar#n definidas:
E ∞
"--.---
=
2-8, Etr
tr
=
1, 5216 1- −"
ν
-, -8871
Etr 3 -,8 $
/n este caso, es $#s necesario =ue antes utili9ar la ecuación enérica con el fin de deter$inar el coeficiente de arrastre< as!:
-, ->2
1.>--
-,2 4 D 3 ( 71.2->.2>, >6>) G 71.2->.2>, >6> 3 1,82"M1- G
la fuer9a ser#:
G
)*h 3 2-.--- $+ 3 1,82"M1- M18M>-M-, -8871M
( 2-8, )2
2
)*h 3 2-.---$+ 3 5.5, 2
éase la notable dis$inución de la fuer9a de arrastre con la altura.
2. 4#lculo del punto de transición entre réi$en la$inar % turbulento, as! co$o el espesor de la capa l!$ite en este punto.
a) uelo a "-- $etros de altura
/l punto de transición ha sido hallado anterior$ente, % su (alor era:
Etr "-- 3 -,-65 $ Etr 2-.--- 3 -,8 $
/l espesor de la capa l!$ite entre estos dos puntos (endr# dado por la expresión:
I
" 3
x
ex
donde:
I: espesor de la capa l!$ite x: punto n donde se =uiere calcular el espesor de la capa l!$ite ex : n0$ero adi$ensional de e%nolds e(aluado en el punto de estudio
As!:
I
" 3 "x 3 "M-, -656 e x "M1-
*h 3 "-- $+ 3 2,">8M1-G5 $
I
b) uelo a 2-.--- $etros
Pperando de la $is$a $anera =ue en el caso anterior:
I
3 "x 3 "M-,8>5 e x "M1I
"
*h 3 2-.--- $+ 3 2,>1M1- G $
