PROBLEMAS RESUELTOS TEMA 3. PROPIEDADES TÉRMICAS DE LA MATERIA Ecuaciones de Estado 1.- Un tanque de 20.0L contiene 0.225 kg de helio a 18°C. La masa molar del helio es de 4.00 g/mol. a) ¿Cuantos moles de helio hay en el tanque? b) Calcule la presión en el tanque en Pa y atm. En hacer el cálculo numérico de los ejercicios y problemas para este capítulo, los valores del gas ideal constante se han utilizado con la precisión dada en la página 501 del texto, R = 8.3145 J mol ⋅ K = 0.08206 L ⋅ atm mol ⋅ K. El uso de los valores de estas constantes, ya sea con mayor o menor precisión puede introducir diferencias en el tercer cifras de algunas respuestas.
2.- Helio gaseoso con un volumen con un volumen de 2.60 L, a 1.30 atm de presión y una temperatura de 41.0°C, se calienta hasta duplicar la presión y el volumen. a) calcule la temperatura final. b) ¿cuantos gramos de helio hay? La masa molar del helio es de 4.00g/mol. a) La temperatura final es de cuatro veces la temperatura inicial en kelvin, o 4(314,15 K) -273,15 = 983°C al grado más cercano.
3.- Un tanque cilíndrico tiene un pistón ajustado que permite cambiar el volumen del tanque. El tanque contiene originalmente 0.110 m3 de aire a 3.40 atm de presión. Se tira lentamente el pistón hasta aumentar el volumen del aire 0.390 m3. Si la temperatura no cambia, ¿Qué valor final tiene la presión? Para temperatura constante, Eq. (18,6) se convierte en p2 = p1 (V1 V2 ) = (3.40 atm)(0.110 0.390) = 0.96 atm.
4.- Un tanque de 3.00L contiene aire de 3.00 atm y 20.0°C. El tanque se sella y enfría hasta que la presión es de 1.00 atm. a) ¿Qué temperatura tiene ahora el gas en grados Celsius? Suponga que el volumen del tanque es constante. b) si la temperatura se mantiene en el valor determinado en la parte (a) y el gas se comprime, ¿Qué volumen tendrá cuando la presión vuelva a ser 3.00 atm? a) Disminuir la presión por un factor de un tercio disminuye la temperatura Kelvin por un factor de un tercio, por lo que la nueva temperatura en Celsius es de 1 / 3 (293.15 K) - 273,15 = − 175°C redondea a la unidad de medida. b) El efecto neto de los dos cambios es mantener la presión de la misma, mientras que la disminución de la temperatura Kelvin por un factor de un tercio, lo que resulta en una disminución en el volumen por un factor de un tercero, a 1,00 L.
5.- a) Use la ley del gas ideal para estimar el número de moléculas de aire que hay en su laboratorio de física, suponiendo que todo el aire es N2. b) Calcule la densidad de partículas en el laboratorio(es decir, el número de moléculas por centímetro cúbico). Supongamos una sala de tamaño de 20 pies X 20 pies X 20 pies
V = 4000 ft 3 = 113 m3 . Suponiendo una temperatura de 20°C. pV = nRT so n =
pV (1.01 × 105 Pa )(113 m3 ) = 4685 mol = RT (8.315 J/mol ⋅ K )(293 K )
N = nN A = 2.8 × 1027 moleculas b)
N 2.8 × 1027 moleculas = = 2.5 × 1019 moleculas/cm3 6 3 V 113 × 10 cm
6.- Imagine que tiene varios globos idénticos y determina experimentalmente que uno de ellos se revienta si su volumen excede0.900 L. La presión del gas dentro del globo es igual a la atmosférica (1.00 atm). a) Si el aire dentro del globo está a una temperatura constante de 22.0°C y se comporta como gas ideal, ¿qué masa de aire podrá introducir en uno de esos globos sin que reviente? b) Repita la parte (a) si el gas es helio en vez de aire. La temperatura es T = 22.0°C = 295.15K. (a) El promedio de la masa molar del aire es M = 28.8 × 10−3 kg mol, so mtot = nM =
pV (1.00 atm)(0.900 L)(28.8 × 10−3 kg mol) M= = 1.07 × 10− 3 kg. RT (0.08206 L ⋅ atm mol ⋅ K)(295.15 K)
(b) En el caso del Helio M = 4.00 × 10−3 kg mol, so mtot = nM =
pV (1.00 atm)(0.900 L)(4.00 × 10−3 kg mol) M= = 1.49 × 10 − 4 kg. RT (0.08206 L ⋅ atm mol ⋅ K)(295.15 K)
7.- Un Jaguar XK8 convertible tiene un motor de ocho cilindros. Al principio de su carrera de compresión, uno de los cilindros contiene 499 cm3 de aire a presión atmosférica (1.01 X 105 Pa) y temperatura de 27°C. Al final de la carrera, el aire se ha comprimido a un volumen de 46.2 cm3 y la presión manométrica aumentó a 2.72 X 106 Pa. Calcule la temperatura final. 18.7: De la Eq. (18.6), ⎛ (2.821 × 10 6 Pa)(46.2 cm 3 ) ⎞ ⎛pV ⎞ ⎟⎟ = 776 K = 503°C. T2 = T1 ⎜⎜ 2 2 ⎟⎟ = (300.15 K)⎜⎜ 5 3 ⎝ p1V1 ⎠ ⎝ (1.01 × 10 Pa)(499 cm ) ⎠ 8.- Un soldador llena un tanque de 0.0750 m3 con oxígeno (masa molar = 32.0 g/mol) a una presión manométrica de 3.00 X 105 Pa y una temperatura de 37.0°C. El tanque tiene una fuga, y con el tiempo se escapa algo de oxígeno. Cierto día en que la temperatura es de 22.0°C, la presión manométrica del
oxígeno en el tanque es de 1.80 X105 Pa. Calcule: a) La masa inicial de oxígeno; b) la masa que se fugó. a) m tot =
(
)(
)(
)
32.0 × 10 −3 kg mol 4.013 × 10 5 Pa 0.0750 m 3 MpV = = 0.373 kg. (8.3145 J mol ⋅ K )(310.15 K ) RT
b) Uso de la Presion final 2.813 × 10 5 Pa y la temperatura de 295.15 K, m′ = 0.275 kg, por lo que la masa perdida es 0.098 kg donde más cifras se mantuvieron en el intermedio de cálculo mtot 9.- Un tanque cilíndrico grande contiene 0.750 m3 de nitrógeno gaseoso a 27°C y 1.50 X 105 Pa (presión absoluta). El tanque tiene un pistón ajustado que permite cambiar el volumen. Determine la presión si el volumen se reduce a 0.480 m3 y la temperatura se aumenta a 157°C. De la Ec. (18.6),
⎛T p 2 = p1 ⎜⎜ 2 ⎝ T1
⎞⎛ V1 ⎟⎟⎜⎜ ⎠⎝ V2
3 ⎞ ⎛ 430.15 K ⎞⎛ 0.750 m ⎞ ⎟⎟ = (1.50 × 10 5 Pa)⎜ ⎜ ⎟ = 3.36 × 10 5 Pa ⎟⎜ 3 ⎟ ⎝ 300.15 K ⎠⎝ 0.48 m ⎠ ⎠ .
10.- Un cuarto de 7.00 m X 8.00 m X 2.50 m se llena con oxígeno puro a 22°C y 1.00 atm. La masa molar del oxígeno es de 32.0g/mol. a) ¿Cuántos moles de oxígeno se necesitan? b) ¿Qué masa tiene este oxígeno en Kg? pV (1.00 atm)(140 × 10 3 L) n= = = 5.78 × 10 3 mol. RT (0.08206 L ⋅ atm mol ⋅ K) (295.15 K) a) −3 3 b) (32.0 × 10 kg mol)(5.78 × 10 mol) = 185 kg.
11.- El gas dentro de un globo siempre tiene una presión casi igual a la atmosférica, pues ésta es la presión aplicada al exterior del globo. Un globo se llena con helio (un gas casi ideal) hasta un volumen de 0.600 L a 19.0°C. ¿Qué volumen tendrá el globo si se le enfría hasta el punto de ebullición del nitrógeno líquido (77.3 K)? V2 = V1 (T2 T1 ) = (0.600 L)(77.3 292.15) = 0.159 L. 12.- Desviaciones respecto a la ecuación del gas ideal. Para el dióxido de carbono (CO2) gaseoso, las constantes de la ecuación de Van der Waals son: a = 0.364 J • nvVmol2 y b = 4.27 X 10~5 m3/mol. a) Si 1.00 mol de CO2 gaseoso a 350 K se confina a un volumen de 400 cm3, calcule la presión del gas usando la ecuación del gas ideal y la de Van der Waals. b) ¿Cuál ecuación da una presión menor? ¿Por qué? ¿Qué porcentaje de diferencia hay entre los dos resultados? c) El gas se mantiene a la misma temperatura mientras se expande hasta un volumen de 4000 cm3. Repita los cálculos de las partes (a) y (b). d) Explique por qué estos cálculos demuestran que la
ecuación de Van der Waals es equivalente a la del gas ideal si n/V es pequeño. 6 6 a) nRT V = 7.28 × 10 Pa while Eq. (18.7) gives 5.87 × 10 Pa. b) La ecuación de van der Waals, que representa la atracción entre las moléculas, da una presión que es 20% menor. 5 5 c) 7.28 × 10 Pa, 7.13 × 10 Pa, 2.1%. d) Como n V se disminuye, las fórmulas y los valores numéricos son los mismos. 13.- El volumen pulmonar total de una estudiante de física es de 6.00 L. Ella llena sus pulmones con aire a una presión absoluta de 1.00 atm y luego, aguantando la respiración, comprime su cavidad torácica reduciendo su volumen pulmonar a 5.70 L. ¿A qué presión está ahora el aire en sus pulmones? Suponga que la temperatura del aire no cambia. A temperatura constante, p 2 = p1 (V1 V2 ) = (1.0 atm)(6.0 5.7) = 1.1 atm. 14.- Un buzo observa una burbuja de aire que sube del fondo de un lago (donde la presión absoluta es de 3.50 atm) a la superficie (donde es de 1.00 atm). La temperatura en el fondo es de 4.0°C, y en la superficie, $e 23.0°C. a) Calcule la relación entre el volumen de la burbuja al llegar a la superficie y el que tenía en el fondo. b)¿Puede el buzo aguantar la respiración sin peligro mientras sube del fondo del lago a la superficie? ¿Por qué sí o por qué no? V2 K = pp12 TT12 = (3.50)( 296 ) = 3.74. V1 277K a) b) Los pulmones no pueden soportar tal cambio de volumen, la respiración seria una buena idea.
15.- Un tanque metálico con un volumen de 3.10 L revienta si la presión absoluta del gas que contiene excede 100 atm. a) Si 11.0 moles de gas ideal se ponen en el tanque a 23.0°C, ¿a qué temperatura podrá calentarse el gas antes de que se rompa el tanque? Desprecie la expansión térmica del tanque, b) Con base en su respuesta a la parte (a), ¿es razonable despreciar la expansión térmica del tanque? Explique. pV (100 atm)(3.10 L) a) T2 = 2 = = 343 K = 70.3°C. nR (11.0 mol)(0.08206 L ⋅ atm mol ⋅ K) b) Este es un muy pequeño aumento de la temperatura y la expansión térmica del tanque puede ser despreciada, en este caso, despreciar la expansión significa no incluir la expansión en la búsqueda de la temperatura segura más alta, y en particular la expansión tendería a relajar las normas de seguridad. 16.- Tres moles de gas ideal están en una caja cúbica rígida que mide 0.200 m por lado, a) ¿Qué fuerza ejerce el gas sobre cada una de las seis caras de la caja cuando su temperatura es de 20.0°C? b) ¿Qué fuerza ejerce si su temperatura se aumenta a 100.0°C? a) La fuerza de cualquier lado del cubo es F = pA = (nRT V ) A = (nRT ) L, ya que la proporción de la superficie a volumen A V = 1 L. For T = 20.0° C = 293.15 K.
F=
nRT (3 mol) (8.3145 J mol ⋅ K) (293.15 K) = = 3.66 × 104 N. L 0.200 m
b) Para T = 100.00°C = 373.15 K, nRT (3 mol)(8.3145 J mol ⋅ K)(373.15 K ) F= = = 4.65 × 104 N. L 0.200 m 17.- Con los supuestos del ejemplo 18.4 (sección 18.1), ¿a qué altura sobre el nivel del mar la presión del aire es el 90% de la presión en el nivel del mar? Ejemplo 18.4 asume una temperatura de 0° C en todas las Alturas y despreciando la variación de g con la elevación. Con estas aproximaciones p = p 0 e − Mgy / RT Necesitamos y Para p = 0.90 p0 so 0.90 = e − Mgy / RT RT y=− ln(0.90) = 850 m Mg (Usando M = 28.8 × 10−3 kg/mol por aire.)
and
18.- Con los supuestos del ejemplo 18.4 (sección 18.1), compare la disminución porcentual en la presión del aire al subir del nivel del mar a una elevación de 100 m con la que se observa al subir del nivel del mar a una elevación de 1000 m. Si su segunda respuesta no es 10 veces la primera, explique por qué. Del ejemplo 18.4, la presión en altitud y sobre el nivel del mar es p = p0 e − Mgy / RT . El promedio de la masa molar del aire es M = 28.8 × 10 −3 kg/mol, entonces a una Mgy1 (28.8 × 10−3 kg mol)(9.80 m s 2 )(100 m) = = 0.01243, (8.3145 J mol ⋅ K)(273.15 K) RT Y el porcentaje de disminución de la presión es 1 − p p0 = 1 − e −0.01243 = 0.0124 = 1.24%. en una altitud de 1000 m, Mgy2 RT = 0.1243, y
altitud de 100 m,
y el porcentaje de disminución de la presión 1 − e −0.1243 = 0.117 = 11.7%. Estas respuestas difieren por un factor de 11.7% 1.24% = 9.44, que es inferior al 10 porque la variación de la presión con la altura es exponencial y no lineal. 19.- Con los supuestos del ejemplo 18.4 (sección 18.1), compare la densidad del aire en el nivel del mar con la densidad a una elevación de 100 m. p = p0e − Myg RT Del ejemplo 18.4. Ec. (18.5) dice p = ( ρ M ) RT. Ejemplo 18.4 supone una constante T = 273 K, so p and ρ son directamente proporcionales y podemos escribir ρ = ρ0e − Mgy RT
y = 100 m, Para
Mgy = 0.0124, so ρ = ρ0e − 0.0124 = 0.988 ρ0 RT
La densidad al nivel del mar es de 1,2% mayor que la densidad en 100 m. 20.- Suponiendo (algo no muy realista) que el aire tiene una temperatura uniforme de 0°C, determine la presión atmosférica a una altura de 5000 m, la altura máxima a la que vuelan los aviones sin cabina presurizada. Repetir el Ejemplo 18.4 (y utilizando los mismos valores numéricos de R y la temperatura da) p = (0.537) patm = 5.44 × 104 Pa. 21.- A una altura de 11,000 m (altura de crucero típica de un jet comercial), la temperatura del aire es de — 56.5°C y su densidad es de 0.364 kg/m3. Determine la presión de la atmósfera a esa altura. (La temperatura a esta altura no es la misma que en la superficie, así que no puede usarse el cálculo del ejemplo 18.4 (sección 18.1).) p = ρRT M = (0.364 kg m3 )(8.3145 J mol ⋅ K )(273.15K − 56.5K ) (28.8 × 10 −3 kg/mol) = 2.28 × 10 4 Pa.
Propiedades Moleculares de la Materia 22.- Una molécula orgánica grande tiene una masa de 1.41 X 10~21 kg. Calcule la masa molar de este compuesto.
M = N A m = (6.02 × 1023 molecules mol)(1.41× 10−21 kg molecule) = 849 kg mol. 23.- ¿Qué volumen tienen 3.00 moles de cobre? Encuentre la masa m = nM = (3.00 mol)(63.546 × 10−3 kg mol) = 0.1906 kg m 0.1906 kg V= = = 2.14 × 10− 5 m3 = 21.4 cm3 3 3 ρ 8.9 × 10 kg m 24.- Las bombas de vacío modernas alcanzan fácilmente presiones del orden de 10~13 atm en el laboratorio. A una presión 9.00 X 10"14 atm y una temperatura ordinaria (digamos 7"= 300 K), ¿cuántas moléculas hay en un volumen de 1.00 cm3? pV N = nN A = NA RT (9.119 × 10−9 Pa)(1.00 × 10−6 m3 ) = (6.023 × 1023 molecules mol) (8.3145 J mol ⋅ K)(300 K)
= 2.20 × 10 6 molecules.
25.- La nebulosa Laguna (Fig. 18.25) es una nube de hidrógeno gaseoso que está a 3900 años luz de la Tierra; tiene unos 45 años luz de diámetro y brilla a causa de su elevada temperatura de 7500 K.(El gas alcanza esta temperatura gracias a las estrellas que están dentro de la nebulosa.) La nube es muy poco densa; apenas hay 80 moléculas por cm3. a) Calcule la presión del gas (en atm) en la nebulosa Laguna, y compárela con la presión de laboratorio mencionada en el ejercicio 18.24. b) Las películas de ciencia-ficción a veces muestran naves que son sacudidas por turbulencia al viajar por nubes de gas como la nebulosa de Laguna. ¿Le parece realista eso? ¿Por qué si o por que no? molecules ⎞ (0.08206 L ⋅ atm mol ⋅ K)(7500 K) nRT N RT ⎛ p= = = ⎜ 80 × 103 ⎟ 23 L V V Na ⎝ ⎠ (6.023 × 10 molecules mol)
= 8.2 × 10 −17 atm, −12
en 8.2 × 10 Pa. Esto es mucho menor, por un factor de mil, que considera las presiones en el Ejercicio 18.24. b) Las variaciones en la presión de este tamaño no son susceptibles de afectar el movimiento de una nave. 26.- En un gas en condiciones estándar, ¿cuánto mide una arista de un cubo que contiene tantas moléculas como personas hay en la Tierra (unas 6 X 109)?
Figura Ejercicio 26. Dado que este gas esta condiciones normales, el volumen es N = 2.23 × 10 −16 m 3 , y la longitud de un lado de un cubo de V = (22.4 × 10 −3 m 3 ) NA 1
este volumen es (2.23 × 10 −16 m 3 ) 3 = 6.1 × 10 −6 m. 27.- ¿Cuántos moles hay en un frasco con 1.00 kg de agua? ¿Cuántas moléculas? La masa molar del agua es de 18.0 g/mol. 1000 g = 55.6 mol, 18.0 g mol que es (55.6 mol)(6.023 × 10 23 moleculas mol) = 3.35 × 10 25 moleculas.
28.- Considere un gas que obedece la ecuación del gas ideal y está a 27°C y 1.00 atm. Imagine que las moléculas están equiespaciadas, cada una en el centro de un cubo pequeño, a) ¿Cuánto mide una arista de cada cubo pequeño si los cubos adyacentes se tocan pero no se traslapan? b) Compare esta distancia con el diámetro de una molécula. El volumen por molécula es: V nRT p RT = = N nN A N Ap =
(8.3145 J mol ⋅ K)(300.15 K) (6.023 × 1023 molecules mol)(1.013 × 105 Pa)
= 4.091 × 10− 26 m3 . Si este volumen es un cubo de lado L,
(
)
1
L = 4.091 × 10− 26 m3 3 = 3.45 × 10− 9 m, que es (b) un poco más de diez veces el tamaño de una molécula.
29.- Considere 5.00 mol de agua líquida, a) ¿Qué volumen ocupa? La masa molar del agua es de 18.0 g/mol. b) Imagine que las moléculas están equiespaciadas, cada una en el centro de un cubo pequeño. ¿Cuánto mide la arista de cada cubo si los cubos adyacentes se tocan pero no se traslapan? c) Compare esta distancia con el diámetro de una molécula. a ) V = m ρ = n M ρ = (5.00 mol)(18.0g/mol) / 1.00 g/cm3 = 90.0 cm3 = 9.00 × 10−5 m 3 . b) ver el ejercisio 18.28;
(
)
1/ 3
⎛ V ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ nN A ⎠
⎛ 9.00 × 10− 5 m3 = ⎜⎜ 23 ⎝ (5.00 mol) 6.023 × 10 molecules/mol = 3.10 × 10−10 m. c)Este es comparable con el tamaño de una molécula de agua. 1/ 3
⎛V ⎞ ⎜ ⎟ ⎝N⎠
(
1/ 3
)
⎞ ⎟⎟ ⎠
Sección Modelo cinético-molecular del gas ideal 30.- Un matraz contiene una mezcla de los gases: neón (Ne), kriptón (Kr) y radón (Rn). Compare: a) las energías cinéticas medias de los tres tipos de átomos; b) la velocidad eficaz de sus moléculas. (Sugerencia: La tabla periódica del apéndice D da la masa molar (en g/mol) de todos los elementos, bajo el símbolo químico correspondiente). a) De Eq. 18.16, la energía cinética media sólo depende de la temperatura, no en a masa de moléculas individuales, de modo que la energía cinética media es la misma para las moléculas de cada elemento. b) Ecuación 18.19 también muestra
que la velocidad RMS es proporcional a la raíz cuadrada inversa de la masa. v 20.18 v 20.18 Entonces. rms Kr = = 0.491, rms Rn = = 0.301 and vrms Ne 83.80 vrms Ne 222.00
vrms Rn 83.80 = = 0.614. vrms Kr 222.00 31.- Difusión gaseosa del uranio, a) A veces se usa un proceso llamado difusión gaseosa para separar isótopos de uranio, es decir, átomos del elemento que tienen diferentes masas, como 235U y 238U. El único compuesto de uranio que es gaseoso a temperaturas ordinarias es el hexafluoruro de uranio, UF6. Especule cómo podrían separarse por difusión molecular de 235UF6 y 238UF6. b) Las masas molares de 235UF6 y 238UF6 son 0.349 kg/mol y 0.352 kg/mol, respectivamente. Si el hexafluoruro de uranio actúa como gas ideal, determine la relación entre las rapideces eficaces de las moléculas de 235UF6 y 238UF6 suponiendo que la temperatura es uniforme18.32Las ideas de valor medio y eficaz se pueden aplicar a cualquier distribución. Un grupo de 150 estudiantes tuvo los siguientes puntajes en un examen de 100 puntos:
Puntaje
Numero de estudiantes 10 11 20 12 30 24 40 15 50 19 60 10 70 12 80 20 90 17 100 10 a) Calcule el puntaje medio del grupo, b) Calcule el puntaje eficaz del grupo. a) At the same temperature, the average speeds will be different for the different isotopes; a stream of such isotopes would tend to separate into two groups. b) 00..352 = 1.004. 349 33.- Tenemos dos cajas del mismo tamaño, A y B. Cada caja contiene gas que se comporta como gas ideal. Insertamos un termómetro en cada caja y vemos que el gas de la caja A está a 50°C, mientras que el de la caja B está a 10°C. Esto es todo lo que sabemos acerca del gas contenido en las cajas. ¿Cuáles de las afirmaciones siguientes deben ser verdad? ¿Cuáles podrían ser verdad? a) La presión en A es mayor que en B. b) Hay más moléculas en A que en B. c) A y B no pueden contener el mismo tipo de gas. d) Las moléculas en A tienen en promedio más energía cinética por molécula que
las de B. e) Las moléculas en A se mueven con mayor rapidez que las de B. Explique en qué basó sus respuestas. Sabemos que V A = VB and that TA > TB .
a) p = nRT / V ; No conocemos n para cada caja, por lo cual su presión podría ser mayor. ⎛ N ⎞ pVN A ⎟⎟ RT so N = b) pV = ⎜⎜ , where N A RT ⎝ NA ⎠ Es el numero de Avogadro.No sabemos como comparar las presiones, por lo que N pudiera ser mayor. c) pV = (m M )RT . no sabemos la masa de gas que contiene la caja, asi que
podría contener el mismo o diferentes gases. d) 12 m v 2 av = 32 kT TA > TB y el promedio de la energía cinética depende solo de T, entonces nuestra suposición debe ser verdad. e) vrms = 3kT m No sabemos nada de las masas de los atomos de gas en cada caja, así que el conjunto de moléculas puede ser mayor vrms .
( )
34.- Tenemos dos cajas del mismo tamaño, A y B. Cada caja contiene gas que se comporta como gas ideal. Colocamos un manómetro en cada caja y vemos que el de la caja A marca 0.200 atm, mientras que el de la caja B sólo marca 0.040 atm. Esto es todo lo que sabemos acerca del gas contenido en las cajas. ¿Cuáles de las afirmaciones siguientes deben ser verdad? ¿Cuáles podrían ser verdad? a) Hay más moléculas en A que en B. b) Las moléculas en A se mueven con mayor rapidez que las de B. c) La temperatura en A es mayor que en B. d) Las moléculas en A son más pesadas que las de B. e) Las moléculas en A tienen en promedio más energía cinética por molécula que las de B. Explique en qué basó sus respuestas. La caja A tiene mayor presión que B. Esto podría ser debido al aumento de la temperatura y / o mayor densidad de partículas en A. Dado que no sabemos nada más acerca de estos gases, ninguna de las opciones es necesariamente cierto, aunque cada uno de ellos podría ser cierto.
35.- a) Un deuterón, 2H, es el núcleo de un isótopo de hidrógeno y consiste en un protón y un neutrón. El plasma de deuterones en un reactor de fusión nuclear debe calentarse a cerca de 300 millones de kelvins. Calcule la rapidez eficaz de los deuterones. ¿Es una fracción apreciable de la rapidez de la luz (c = 3.0 X I O8)? b) ¿Qué temperatura tendría el plasma si la rapidez eficaz de los deuterones fuera igual a 0.1 c? a ) m = mP + mn = 3.348 × 10−27 kg; T = 300 × 106 K vrms = 3kT m = 1.9 × 106 m s; vrms c = 0.64%
2 b) T = mvrms 3k
For vmms = 3.0 × 107 m s, T = 7.3 × 1010 K
36.- Inicialmente, la rapidez eficaz traslacional de un átomo de un gas monoatómico que se comporta como gas ideal es de 250 m/s. La presión y el volumen del gas se aumentan al doble mientras se mantiene constante el número de moles del gas. Calcule la rapidez eficaz traslacional final de los átomos. De pV = nRT , la temperatura aumenta por un factor de 4 si la presión y el volumen se duplica. Entonces, la velocidad RMS vrms = 3RT M se incrementa por un factor de 4 = 2, por lo que la temperatura final es 2(250 m s) = 500 m s. 37.- a) El oxígeno (O2) tiene una masa molar de 32.0 g/mol. Calcule la energía cinética traslacional media de una molécula de oxígeno a 300 K. b) Calcule el valor medio del cuadrado de su rapidez, c) Calcule su rapidez eficaz, d) Calcule la cantidad de movimiento de una molécula de oxígeno que viaja con esta rapidez, e) Suponga que una molécula de oxígeno que viaja con esta rapidez rebota entre los costados opuestos de un recipiente cúbico de 0.10 m por lado. ¿Qué fuerza media ejerce sobre cada una de las paredes del recipiente? (Suponga que la velocidad de la molécula es perpendicular a los dos costados que golpea.) f) Calcule la fuerza media por unidad de área. g) ¿Cuántas moléculas de oxigeno con esta rapidez se necesitan para producir una presión media de 1 atm? h) Calcule el numero de moléculas de oxigeno contenidas realmente en un recipiente de este tamaño a 300 K y presión atmosférica. i) Su respuesta a la parte (h) deberá ser 3 veces mayor que su respuesta en (g). ¿Qué origen tiene esa discrepancia? a) 32 kT = (3 2)(1.381 × 10−23 J K)(300 K) = 6.21 × 10−21 J.
b)
2 K ave 2(6.21 × 10−21 J) = 2.34 × 105 m 2 s 2 . = −3 23 m (32.0 × 10 kg mol) (6.023 × 10 molecules mol)
3RT 3(8.3145 J mol ⋅ K)(300 K) = 4.84 × 10 2 m s, = −3 M (32.0 × 10 kg mol) Que es, por supuesto, la raíz cuadrada del resultado de la parte (b). ⎛M ⎞ (32.0 × 10−3 kg mol) ⎟⎟v s = d) mv s = ⎜⎜ (4.84 × 102 m s) 23 (6.023 × 10 molecules mol) ⎝ NA ⎠ c)
vs =
= 2.57 × 10−23 kg ⋅ m También se obtiene por 2(6.21 × 10 −21 J)(32.0 × 10 −3 kg mol) (6.023 × 10 23 molecules mol) e) La fuerza media es el cambio en momento del átomo, dividido por el tiempo entre colisiones. La magnitud del momento de cambio es el doble del resultado de la segunda 2mK ave =
parte (d) (suponiendo que un colisión elástica), y el tiempo entre colisiones es el doble de la longitud de un lado del cubo, dividido por la velocidad. Numéricamente, 2mv s mv s 2 2 K s 2(6.21 × 10 −21 J) Fave = = = = = 1.24 × 10 −19 N. 2L v s L L (0.100 m) f)
pave = Fave L2 = 1.24 × 10 −17 Pa.
(
)(
)
P Pave = 1.013 × 105 Pa 1.24 × 10−17 Pa = 8.15 × 1021 molecules. pV h) N = n NA = NA RT ⎛ ⎞⎛ (1.00 atm )(1.00 L ) ⎟⎟⎜ 6.023 × 1023 molecules mol ⎞⎟ = ⎜⎜ ⎠ ⎝ (0.08206 L ⋅ atm /mol ⋅ K )(300 K ) ⎠⎝
g)
= 2.45 × 1022. El resultado de la segunda parte (g) se obtuvo por el supuesto de que todas las moléculas se mueven en la misma dirección, y que era una fuerza de sólo dos de los lados del cubo.
38.- Calcule la trayectoria libre media de las moléculas de aire a una presión de 3.50 X 10-13 atm y una temperatura de 300 K. (Esta presión se puede obtener fácilmente en el laboratorio; véase el ejercicio 18.24) Al igual que en el ejemplo 18.9, modele las moléculas de aire como esferas con radio de 2.0 X 10-10 m. Este es el mismo cálculo hecho en el Ejemplo 16-9, pero con p = 3.50 × 10 −13 atm, donde λ = 1.6 × 10 5 m. 39.- ¿A que temperatura es la rapidez eficaz de las moléculas de nitrógeno igual a las moléculas de hidrogeno a 20.0ºC? (Sugerencia: La tabla periódica del apéndice D da la masa molar (en g/mol) de todos los elementos, bajo el símbolo químico correspondiente. La masa molar del H2 es dos veces la de un átomo de hidrogeno; algo análogo sucede con el N2. La velocidad rms será el mismo si la temperatura Kelvin es proporcional a la masa molecular; TN 2 = TH 2 ( M N 2 M H 2 ) = (293.15 K )(28.0 2.02)
= 4.06 × 103 K = 3.79 × 103 °C. 40.- Las partículas de humo en el aire suelen tener masas del orden de 10-16 Kg. El movimiento browniano (rápido e irregular) de estas partículas, resultado de choques con las moléculas de aire, se puede observar el microscopio. a) Calcule la rapidez eficaz en movimiento browniano de una partícula con una masa de 3.00 X 10-16 Kg. en aire a 300 K. b) ¿Seria diferente esa rapidez si la partícula estuviera en hidrogeno gaseoso a la misma temperatura? Explique.
3kT 3(1.381 × 10−23 J K )(300 K ) = = 6.44 × 10− 3 m s . −16 m 3.00 × 10 kg b) Si la partícula está en equilibrio térmico con su entorno, la propuesta dependerá sólo de la temperatura ambiente, no la masa de las partículas individuales. a)
(
)
Capacidades Caloríficas 41.- a) Calcule la capacidad calorífica especifica a volumen constante del vapor de agua (M = 18.0 g/mol), suponiendo que la molécula triatómica no lineal tiene tres grados de libertad trasnacionales y dos rotacionales y que el movimiento vibracional no contribuye. b) la capacidad calorífica real del vapor de agua a baja presión es de cerca de 2000 J/Kg. K. Compare esto con su cálculo y comente el papel real del movimiento vibracional. a) Los seis grados de libertad significaría una capacidad de calor a volumen J mol⋅ K ) = 1.39 × 103 J/kg ⋅ K constante de 6( 12 )R = 3R = 24.9 J/mol ⋅ K. 3MR = (318(8.0.3145 ×10 −3 kg mol ) b) las vibraciones contribuyen a la capacidad de calor.
42.- a) El calor especifico del hielo a volumen constante es de 833 J/Kg. K a 180ºC, 1640 J/Kg. K a -60ºC, y de 2060 J/Kg. K a -5.0ºC. Calcule CV, la capacidad calorífica molar a volumen constante, del hielo a cada una de esas temperaturas. La masa molar del H2O es de 18.0 g/mol b) ¿Por qué cree que el valor de CV aumenta al aumentar la temperatura? c) ¿Los valores que calculo se acercan al valor de 3R (dado en la regla de Dulong y Petit) al aumentar al temperatura? Especule acerca de por que lo hacen o no lo hacen. ( )( ) ( )( ) a) Cv = C molar mass , so 833 J/kg ⋅ °C 0.018 kg/mol = 15.0 J mol ⋅ °C at − 180°C, (1640 J/kg ⋅ °C )(0.018 kg/mol ) = 29.5 J/kg ⋅ °C at − 60°C, (2060 J/kg ⋅ °C ) × (0.018 kg/mol) = 37.1 J/mol ⋅ °C at − 5.0°C. b) Los grados de libertad Vibracional son cada vez más importante. c) CV exede 3R porque H 2 O también tiene grados de libertad rotacional.
43 a) ¿Cuánto calor se necesita para aumentar en 30.0K, cerca de la temperatura ambiente, la temperatura de 2.50 mol de gas biatómico que se comporta como un gas ideal, si se mantiene constante su volumen? b) Repita suponiendo que el gas es monoatómico. a) Usando Ec. (18.26), Q = (2.50 mol)(20.79 J mol ⋅ K )(30.0 K ) = 1.56 kJ. b) De la Ec. (18.25), 53 de el resultado de la parte (a), 936 J.
44.- a) Calcule la capacidad calorífica especifica a volumen constante de nitrógeno gaseoso (N2) y compárela con la del agua liquida. La masa molar
del N2 es de 28.0 g/mol. b) Se calienta 1.00 Kg. de agua, con volumen constate de 1.00 L, de 20.0ºC a 30.0ºC en una tetera. Con la misma cantidad de calor, ¿Cuántos kilogramos de aire a 20.0 ºC se podrían calentar a 30.0 ºC? ¿Qué volumen (en litros) ocuparía ese aire a 20.0ºC y 1.00 atm de presión? Suponga, para simplificar, que el aire es 100% N2. C 20.76 J/mol ⋅ K a) c= V = = 741 J/kg ⋅ K, M 28.0 × 10-3 kg/mol Que es b)
741 = 0.177 4190
veces la capacidad calorífica del agua.
mNCN ΔTN = mw Cw ΔTw , or mN =
mw Cw . Poniendo la información del resulta CN
de la parte (a) nos da
m N = 5 .65 kg. para encontra el volumen, usar pV = nRT , or V =
[(5 .65 kg ) / (0 .028 kg/mol )](0 .08206
L ⋅ atm/mol ⋅ K )(293 K )
1 atm
nRT = p
= 4855 L.
*Sección Rapideces moleculares 45.- Para nitrógeno gaseoso (M = 28.0 g/mol), ¿Cuál debe ser la temperatura si la rapidez del 94.7% de las moléculas es menor que: a) 1500 m/s; b) 1000 m/s; c) 500 m/s? Use la tabla 18.2. De la tabla (18.2), la velocidad es (1.60) v /s, entonces: v s2 =
3kT 3RT v2 = = m M (1.60) 2
(vea ejercisio 18.48), por lo que la temperatura es: Mv 2 (28.0 × 10−3 kg mol) T= = v 2 = (4.385 × 10− 4 K ⋅ s 2 m 2 )v 2 . 3(1.60) 2 R 3(1.60) 2 (8.3145 J mol ⋅ K) a) (4.385 × 10−4 K ⋅ s 2 m 2 )(1500 m s) 2 = 987 K b) (4.385 × 10−4 K ⋅ s 2 m 2 )(1000 m s) 2 = 438 K c) (4.385 × 10−4 K ⋅ s 2 m 2 )(500 m s) 2 = 110 K.
46.- Deduzca la ecuación (18.33) de la ecuación (18.32). 1 ε = mv 2 , 2 Al hacer la sustitución dada ⎛ m ⎞ f (v) = 4π ⎜ ⎟ ⎝ 2πkT ⎠
32
32
2ε − ε kT 8π ⎛ m ⎞ − ε kT e . = ⎜ ⎟ εe m m ⎝ 2πkT ⎠
47.- Demuestre que f(v), dada por la ecuación (18.33), es máxima con E = kT. Use este resultado para obtener la ecuación (18.34). − ε kT , donde A es constante. entonces, Expresando Ec. (18.33) como f = Aε e df ε − ε kT ⎤ ε ⎤ ⎡ ⎡ e = A⎢e − ε kT − = Ae − ε kT ⎢1 − . ⎥ de kT ⎣ ⎦ ⎣ kT ⎥⎦ Así que, f será la maxima cuando el término entre corchetes es cero, o 1 ε = mv 2 = kT , 2 Que es Ec. (18.34).
48.- Para dióxido de carbono diatópico gaseoso (CO2, masa molar = 44.0 g/mol) a T = 300 K, calcule: a) La rapidez más probable vmp; b) La rapidez media vmed; c) la rapidez eficaz vrms. k R NA R = = Note que . m M NA M a) 2(8.3145 J mol ⋅ K)(300 K) (44.0 × 10−3 kg mol) = 3.37 × 102 m s.
b)
8(8.3145 J mol ⋅ K)(300 K) (π (44.0 × 10−3 kg mol)) = 3.80 × 102 m s.
c) 3(8.3145 J mol ⋅ K)(300 K) (44.0 × 10−3 kg mol) = 4.12 × 102 m s.
