Problemas resueltos de modulaciones analógicas y digitales - Leandro Juan Llácer

Problemas resueltos de Modulaciones Analógicas y Digitales

Leandro Juan Llácer

Leandro Juan Llácer


Todos los nombres propios de programas, sistemas operativos y equipos hardwaree que se referencian hardwar referencian en este libro libro son marcas registrada registradass de sus respectivas compañías u organizaciones.    La in info form rmac ació iónn co cont nten enid idaa en es este te lilibr broo ha si sido do ex exha haus usti tiva vame ment ntee re revi visa sada da.. Sin embargo, ni la editorial ni los autores garantizan la exactitud o corrección de la información publicada. Por lo tanto, no serán resspo re pons nsaabl bles es de cu cual alqu quie ierr er erro rorr, om omiisió iónn o da dañño oc ocas asio ionnad ados os po porr el uso de estaa inf est informa ormació ciónn .

© 2014 2014,, Leandro Leandro Juan Lláce Llácerr © 2014, Universidad Universidad Politécnica Politécnica de Cartagena

Servicio de Documentación Plaza del Hospital, 1 30202 Cartagena 968325908 [email protected]

Primera Edición diciembre de 2014 ,

ISBN:: 978- ISBN 978-    Depósi Dep ósito to leg legal: al: MU Queda rigurosamente prohibida, sin la autorización escrita de los titulares de la propiedad intelectual y de la Editorial, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento.

A María. A Leandro, Marta, María y Jorge.

Gracias a Ricardo Mármol González, por su inestimable inestimable colaboración. colaboración.

Leandro Juan Llácer es Ingeniero de Telecomunicación por la Universidad

Politécnica de Cataluña (UPC) en 1993 y Doctor Ingeniero de Telecomunicación por la Universidad Politécnica de Valencia (UPV) en 1998. En 1994, se incorpora al Departamento de Comunicaciones de la UPV, siendo Profesor Asociado desde 1995. En la actualidad, pertenece al Departamento de Tecnologías de la Información y las Comunicaciones (TIC) de la Universidad Politécnica de Cartagena (UPCT) y es Catedrático de Universidad en la Escuel Escuelaa Técnica Técnica Superior Superior de Ingenie Ingeniería ría de Telec Telecomunic omunicación ación.. Sus actividades de investigación se centran en la caracterización y el modelado del canal de radiocomunicaciones. Ha sido nombrado Senior Member del Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) desde 2003.

Índice

Prólogo ................ Prólogo........ ................. ................. ................ ................. ................. ................. ................. ................. ................. ................. ........... 12 Modulaciones Analógicas ........ ................. ................. ................. ................. ................. ................. ................. ................. ........ 14 1 ........ ................ ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ............ 16 2 ........ ................ ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ............ 21 3 ........ ................ ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ............ 24 4 ........ ................ ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ............ 29 5 ........ ................ ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ............ 34 6 ........ ................ ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ............ 40 7 ........ ................ ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ............ 43 8 ........ ................ ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ............ 45 9 ........ ................ ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ............ 51 10 ........ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................ ....... 58 Modulaciones Digitales....... Digitales............... ................. ................. ................. ................. ................. ................. ................. .............. ..... 64 1 ........ ................ ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ............ 66 2 ........ ................ ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ............ 73 3 ........ ................ ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ............ 77 4 ........ ................ ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ............ 82 5 ........ ................ ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ............ 85 6 ........ ................ ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ............ 91 7 ........ ................ ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ............ 95 8 ........ ................ ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ............ 99 9 ........ ................ ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ .........102 .102 10 ........ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ...............107 ......107

11

Prólogo Los problemas que se recopilan en este libro ilustran parte de la Teoría de la Señal que se imparte en las Escuelas de Ingeniería de Telecomunicación. Para que cada problema resuelto no se convierta en una sucesión de fórmulas o figuras, se explican detalladamente los desarrollos que han llevado a su resolución. Esta colección de problemas se ha estructurado en dos partes: Modulaciones Analógicas y Modulaciones Digitales. En la primera parte, se pueden encontrar problemas relacionados con modulaciones de amplitud (AM), de frecuencia (FM) o de fase (PM); modulaciones que se siguen utilizando actualmente en sistemas analógicos de radiodifusión, como la radio. La segunda parte se centra sobre todo en modulaciones digitales en banda base (PCM), aunque también se hace referencia a modulaciones digitales paso banda de amplitud (ASK) y de fase (PSK); modulaciones que se usan en los sistemas de comunicaciones digitales. El autor

13

Modulaciones Analógicas

15


1 La señal m (t )  2·c ·cos os((30 30··103 t ) modula en frecuencia a la portadora p (t )  A p cos(2·10 6 t ) . Calcular: a.- La potencia de m (t ) . b.- La sensibilidad del modulador FM para que el ancho de banda de

transmisión sea de 80 kHz . Si la señal modulada se transmite por un canal que presenta una atenuación de 40 40dB dB , la relación señal a ruido a la entrada del demodulador FM tiene que ser mayor o igual que 12 12dB dB y la densidad espectral de ruido a la entrada del receptor es



2

 2·109 w / Hz , calcular:

c.- La potencia de ruido a la entrada del demodulador FM. d.- La potencia transmitida mínima (expresada en dBw ). e.- La amplitud de la portadora A p . f.- La relación señal a ruido a la salida del demodulador FM.  a.- Al tratarse de un coseno, calculamos la potencia de la señal moduladora

directamente como el cuadrado de su amplitud dividido por dos. Pm 

2 1 ( ) m t dt T m T m

1 Pm  Tm

T m

2



T m

2 m

A 2

2 1 Am cos (2 t )dt  T m 2 2

22 Pm   2w 2

16


b.- Para conocer la sensibilidad del modulador FM, conocido el ancho de banda

de transmisión, calculamos el índice de modulación mod ulación D de la siguiente manera: BT  2(D  1)f m  D 

B T 1 2f m

30  10 3  donde f m   15  10 3 Hz es la frecuencia de la señal moduladora 2 m(t). Por tanto, 80·10 3  1  1.67 D  2·15·103 Como el índice de modulación está relacionado con la sensibilidad del modulador FM, tenemos: D 

f d má máx  m (t )  f m

1.67·15·10 3 D ·f m  f d   2 máx  m (t ) 

f d  12.53 kHz /v c.- El modelo del receptor puede ser el siguiente:

FILTRO PASO BANDA

r(t) w(t)

BT

DEMOD. FM  S     N i

FILTRO PASO BAJO W

m(t)

 S     N O

donde r(t) es la señal útil modulada recibida y w(t) representa el ruido blanco a la entrada del receptor. La misión del filtro paso banda es la de dejar pasar a la señal útil y filtrar el ruido; por ello, su frecuencia central debe ser la frecuencia de la señal portadora y su ancho de banda el ancho de banda de la señal modulada B T T (ancho de banda de transmisión). A continuación del filtro paso banda necesitamos un demodulador de FM y, por último, un filtro paso bajo de ancho de banda W , en general, el ancho de banda de la señal moduladora. En este caso, el filtro paso bajo debe tener un ancho de banda que se extienda en frecuencia hasta f m m.

17


Según el enunciado, la densidad espectral de potencia a la entrada del receptor S w constante con la frecuencia: frecuencia: (f) es constante w (f) Sw (f)

/2

f

Si asumimos el filtro de recepción rectangular con ancho de banda el ancho de banda de transmisión, tenemos que el cuadrado del módulo de su función de transferencia |H(f) |2 es: |H(f)|2

BT

1

BT

f

-f p

f p

Por tanto, a la salida de este filtro paso banda, la densidad espectral de potencia del ruido filtrado S n n(f) ( f) es la densidad espectral de potencia de ruido a la entrada del filtro S w ( f) multiplicada por el cuadrado del módulo de la función w(f) de transferencia del filtro | H(f) |2: Sn(f)

BT

/2

BT

f

-f p

f p

18


Finalmente, la potencia de ruido a la salida del filtro de recepción es la integral (el área) de la densidad espectral de potencia de ruido filtrado. N i   ·BT  2. 2.2 2·109·80 80··103  3. 3.2 2·104w N i (dBw )  10·log10 3.2·10 4  35 dBw d.- En general, la relación señal a ruido se define como el cociente entre la

potencia de señal y la potencia de ruido. Sabemos que la relación señal a ruido a la entrada del demodulador (ver figura del apartado c ) debe ser mayor que 12dB,  S   N  (dB )  S i (dBw )  N i (dBw )  PT (dBw )  A (dB )  N i (dBw )  12dB  i

Por tanto, PT (dBw )  12dB  A (dB )  N i (dBw ) ,  40

   

35

es decir, la potencia transmitida mínima tiene que ser: PT (mí mín n )  17dBw  50w

En este sentido, podríamos pensar un símil al que estamos acostumbrados. Imaginemos que una persona (transmisor) está hablando a otra (receptor) situada a cierta distancia, y que en las inmediaciones del receptor hay ruido. La potencia de voz de la persona que habla (señal transmitida) tendrá que ser mayor que un cierto nivel para que una vez que haya sido atenuada por el canal y llegue a la persona que escucha (señal recibida), su potencia (nivel) sea mayor que la potencia de ruido un cierto margen (llamado relación señal a ruido) de tal manera que el ruido no enmascare a la señal útil. Para un margen mínimo (una relación señal a ruido mínima) y un nivel de ruido constante, siempre que la persona que hable lo haga con un nivel (potencia transmitida) mayor que ese nivel mínimo necesario (potencia transmitida mínima), el que escucha lo hará correctamente.

19


e.- La potencia de la señal FM transmitida está relacionada con la amplitud de

la portadora con la siguiente expresión: 2

A p

 50w 2 A p  100  10volt PT 

f.- La relación señal a ruido a la salida del demodulador FM (ver figura del apartado c ) se puede expresar en función de la relación señal a ruido a la

entrada, mediante la siguiente expresión: S   S  2 BT  3 f P d N   3 m  f m  o  N i 3  S  3 2 80·10 1 2.53·10  2·101.2  N   3·12 3  o 15·103 

 S     353.89  N 0  S  0log g10 (3 (353.89)  25.49dB  N  (dB )  10lo  o

20


2 Las señales periódicas que se muestran en la figura modulan en Doble Banda 1 Lateral (DBL) la portadora p (t )  2 cos  2 t  . Para cada una de las señales: T 



a.- Representar la señal modulada en el tiempo. ¿Cuáles son las similitudes y

las diferencias entre ellas? b.- ¿Tienen las dos señales moduladas la misma potencia? Razonar la

respuesta. m1 (t ) 1 t (s ) 2T

4T

1

m 2 (t ) 1 t (s ) 2T

4T 

21


a.- La señal modulada en DBL es:  1  y (t )  m i (t )  p (t )  m i (t )  2 cos  2 t   T 

con i =1 o 2 según corresponda. Un periodo correspondiente a la señal modulada por m1 (t ) es:

t/T En la figura anterior, podemos observar que la señal modulada representada entre 4T y 8T , se puede obtener simplemente invirtiendo, según el eje de abscisas, la señal entre 0 y 4 T . Sin embargo, el mismo periodo correspondiente a la señal modulada por m2 (t ) es:

t/T 22


En este caso, la señal modulada representada entre 4 T y 8T , es la repetición de la señal dibujada entre 0 y 4T . Como puede observarse en las gráficas, en los cruces por cero cada 4 T hay un salto de fase en la señal modulada por m2 (t ) que no se produce en la señal modulada por m1 (t ) . b.-

En general la potencia de una señal modulada en Doble Banda Lateral

es: 2

A P  P P m 2

donde A p es la amplitud de la señal portadora y P m la potencia de la señal moduladora. En este caso, al tratarse de señales periódicas, la potencia se calcula con la expresión: Pm 

1

T m 2

 2 m (t )

2

T m T m

dt

donde T m m es el periodo de la señal moduladora. De la expresión anterior y teniendo en cuenta que las dos señales moduladoras tienen el mismo módulo en función del tiempo, se deduce que las potencias son las mismas y las de sus correspondientes señales moduladas también.

23


3 Se desea transmitir una señal de audio m (t ) , cuya densidad espectral de potencia se representa potencia representa en la Figura, Figura, por un canal de radiocomunicac radiocomunicaciones iones de ancho de banda 30 kHz y de frecuencia central 900 900 kHz kHz . Se emplea una modulación en doble banda lateral (DBL) con amplitud de la portadora unidad: Representa sentarr el diagra diagrama ma de bloques bloques del sistema sistema completo completo (transmisor, (transmisor, a.- Repre canal y receptor) b.- Dibujar el espectro de potencia de la señal modulada, indicando su amplitud

máxima y su ancho de banda. c.- Si la señal modulada se transmite con una potencia PT  5 kw por un canal  sin distorsión ruidoso   10 9 w Hz  con una atenuación 2 

A (dB )  27.56  20 lo log·f p (kHz )  20 lo log·d (Km )

¿Cuál es la relación señal ruido a la salida del receptor expresada en dB a una distancia de 40 km ? Si se desean transmitir por el mismo canal dos señales de audio m 1 y m 2 con densidad espectral de potencia, para cada una de ellas, la representada en la Figura: d.- ¿Qué modulación de amplitud se podría utilizar? Razone la respuesta.

Repetir, para este caso, el apartado a .

24


S m  S m1  S m 2 1 mw / Hz

15

15

f (kHz )

 a.- Para realizar el esquema del sistema (transmisor, canal y receptor)

debemos tener en cuenta, según el enunciado, que el ancho de banda del canal es de 30kHz y su frecuencia central es de 900 kHz . Para que la señal modulada en DBL no se distorsione al atravesar el canal, sería conveniente que su espectro ocupase 30kHz y que estuviese centrado a la frecuencia de 900 kHz . Para ello, utilizamos como transmisor un modulador en DBL, cuyo oscilador local genera una señal portadora a la frecuencia de 900 kHz que será modulada por m(t) de ancho de banda 15kHz . De esta forma, la señal modulada en DBL ocupa el doble de ancho de banda de la señal moduladora, es decir, 30 kHz , y además, su espectro está centrado a la frecuencia central de canal. Por otra parte, en el receptor utilizamos un filtro paso banda y un demodulador de DBL, teniendo presente que el objetivo del filtro es dejar pasar a la señal útil y filtrar el ruido a la entrada del receptor. Por este motivo su frecuencia central debe coincidir con el de la señal portadora y su ancho de banda con el ancho de banda de la señal modulada en DBL (que coincide a su vez con el ancho de banda del canal); el demodulador de DBL consta de un oscilador local que genera un coseno de frecuencia la frecuencia de la portadora (900 kHz ) y un filtro paso bajo de ancho de banda el ancho de banda de la señal moduladora (15kHz ). ).

25


TX m (t )

y (t )

BT  30 kHz f C  900 kHz

W  15kHz FILTRO PASO BANDA

CANAL

FILTRO PASO BAJO

m (t )

f C  900 kHz BW  30 kHz

 (t )

cos 2 900·10 10 t t 

3 cos 2 900·10 10 t t 

3

DEMODULADOR

b.- La densidad espectral de potencia de la señal modulada en DBL es la

traslación de la densidad espectral de potencia de la señal moduladora a la frecuencia portadora. S y (f ) 10 3 W / Hz 4

900 kHz

900kHz 900 kHz

30 kHz

30 kHz

f

trat arse de un demodulador de DBL, la relación señal a ruido a su salida c.- Al tratarse (expresada en unidades lineales) es el doble que la de la entrada. S N  S N 

  S  2    N  o  i   S   (dB )   N  (dB )  3 dB o  i

Vamos a calcular la relación señal a ruido a la entrada. Para ello, debemos evaluar la potencia de ruido a la entrada del demodulador de DBL (a la salida del filtro paso banda de recepción), según el procedimiento seguido en el apartado c del problema 1 : N i   BT  2·10 9·30 ·30··103  600 600··10 7w N i (dB )  10lo 0log g10 (6 (600·10 7 ) N i (dB )  42 dBw

la atenuación que introduce el canal,

26


A (dB )  27.56  20 lo log 90 900  20 lo log 40 40 A (dB )  63.56 dB

y la potencia transmitida, PT  5 kw 0log g(5·10 3 ) PT (dBw )  10lo PT  36.99 dBw

De esta forma:  S   N  (dB )  PT (dBw )  A(dB )  N i (dBw )  36.99  63.56  42.22  i  S   N  (dB )  15.65 dB  i

y la relación señal a ruido a la salida del demodulador de DBL es:  S   N  (dB )  15.65 dB  3 dB  o  S   N  (dB )  18.65 dB  o

d.- Se podría haber utilizado un modulador en Banda Lateral Única Superior

(BLUS) para m 1 1 y un modulador en Banda Lateral Única Inferior (BLUI) para m 2 2, como indica el siguiente esquema: Modulador BLUS FILTRO PASO BANDA

m1 (t )

cos 2  900·10 t 10 3 t 

m 2 (t )

Modulador BLUI

m1 (t )

Demodulador BLUI

m 2 (t )

FILTRO PASO BANDA

CANAL

 (t )

27

Demodulador BLUS


De esta forma, tenemos en cuenta la condición del enunciado de que el ancho de banda del canal debe ser de 30 kHz y conseguimos que el espectro de la señal modulada esté centrado a la frecuencia del canal.

28


4 La señal m (t )  cos(6800 t ) modula en doble banda lateral (DBL) a la portadora p (t )  10 cos(2·10 8  t ) : a.- Representar la densidad espectral de potencia de m (t ) y calcular su

potencia. b.- Dibujar la densidad espectral de potencia de la señal modulada. ¿Cuál es el

ancho de banda de esta señal? La señal modulada se transmite por un canal que presenta una atenuación de 40 40dB dB . Si la densidad espectral de ruido a la entrada del receptor es



2

 2·109w / Hz y el ancho de banda de transmisión se hace

coincidir con el ancho de banda de la señal modulada: c.- Dibujar el diagrama de bloques del sistema de telecomunicaciones

(transmisor, canal y receptor). d.- Calcular la potencia de ruido (en dBw ) a la entrada del demodulador. e.- Hallar la potencia de señal (en dBw ) a la entrada del demodulador. f.- Evaluar la relación señal a ruido (en dB ) a la salida del demodulador.

Se desea transmitir por un canal, la señal s (t ) de 13.6 kHz de ancho de banda y de amplitud máxima 1 voltio, formada por 4 señales como la señal moduladora m (t ) multiplexadas en frecuencia. Para ello, se utilizan 3 moduladores en banda lateral única superior y un modulador FM de sensibilidad f d  68 kHz /volt : g.- Dibujar el diagrama de bloques del sistema. h.- Dibujar la densidad espectral de potencia de la señal s (t ) .

29


i.- Estimar el ancho de banda de la señal modulada FM a transmitir por el

canal. j.- Calcular la potencia de ruido a la entrada del demodulador FM.



a.- Como m(t) es un coseno de frecuencia f m 

6800  3400Hz , la densidad 2

espectral de potencia está compuesta de dos rayas espectrales como indica la figura: S m (f ) 2

Am 1  4 4

3400

3400 2 A 1 Pm  2· m  w 4 2

f (Hz )

b.- El espectro de la señal modulada en DBL resulta de trasladar el espectro de

la

señal

moduladora

2  10 8   100  106 Hz f p  2

(ver

apartado

a )

hasta

la

frecuencia

de la señal portadora p(t) , aplicando las

correspondientes correcciones en las amplitudes. S y (f ) 2

2

A p Am 102  16 16

100·106 6800Hz 6800 Hz

100·106 0

6800Hz 6800 Hz

El ancho de banda de la señal modulada es B T = T=6800 6800Hz .

30

f (Hz )


c.- El esquema del sistema transmisor, canal y receptor es el siguiente: TX

W  3400 Hz y (t )

m (t )

FILTRO PASO BANDA

CANAL

 (t )

FILTRO PASO BAJO

m (t )

f C  100 MHz BT  6800 Hz

p (t )

p (t ) DEMODULADOR

donde se ha tenido en cuenta que el ancho de banda de la señal modulada en DBL es de 6800Hz (ver apartado b ) y la frecuencia portadora es de 100MHz . d.- Para calcular la potencia de ruido a la entrada del demodulador de DBL (a la

salida del filtro paso banda de recepción) consideramos el filtro ideal (ver ). De esta forma, apartado c del problema 1 ). N i    BT  4·109  68 6800 00  2. 2.72 72··105w N i (dBw )  10l 0lo og10 (2.72·10 5 ) N i  45.65 dBw e.- Al tratarse de una modulación en DBL, la potencia transmitida es: 2

A p 102 1   25w PT  Pm  2 2 2 log10 (25) PT (dBw )  10 lo PT  14 dBw

La potencia de señal útil a la entrada del demodulador (en unidades logarítmicas) es la potencia transmitida menos la atenuación introducida por el canal: S i (dBw )  PT (dB dBw )  A (dB )  14  40 S i (dBw )  26 f.- Para calcular la relación señal a ruido a la salida del demodulador,

evaluamos previamente la relación señal a ruido rui do a su entrada.

31


 S   N  (dB )  S i (dBw )  N i (dBw )  26  ( 45.65)  i  S   N  (dB )  19.65 dB  i

Por tanto, S   S   N  (dB )   N  (dB )  3 dB  19.65  3  o  i  S   N   22.65 dB  o g.- El diagrama de bloques del sistema es el siguiente: m1 (t )

m 2 (t )

MOD BLU

m 3 (t )

MOD BLU

m 4 (t )

MOD BLU

s (t )

MOD FM

CANAL

FILTRO PASO-BANDA

DEMOD FM

 s (t )

 (t ) W  3400 Hz

 s (t )

FILTRO PASO-BAJO

 m1 (t )

FILTRO PASO-BAJO

 m 2 (t )

cos(2 3400t ) FILTRO PASO-BAJO

 m 3 (t )

cos(2 6800t ) FILTRO PASO-BAJO

 m 4 (t )

cos(2 10200t )

h.- La densidad espectral de potencia de la señal antes del modulador de FM

es:

32


S s (f )

f (Hz ) 13600 10200 6800

3400

3400

6800 10200 10200

1360 13 600 0

estimar el el ancho de banda banda de la señal señal FM (ancho (ancho de banda banda de i.- Para estimar transmisión) tenemos en cuenta que el ancho de banda de la señal moduladora es de 13.6kHz (ver apartado h ). ).  f d max  s (t )    1 W BT  2(D  1)W  2    W  

 68·103  3 BT  2  1   13.6·10  163 kHz 3  13.6·10 

j.- Asumiendo ideal el filtro paso banda de recepción (ver figura en el apartado

), calculamos la potencia de ruido a su salida, siguiendo el procedimiento g ), descrito en el apartado c del problema 1 es: N i    BT  4·109  163 163··103  6. 6.25 25··104w 0log g10 (6.25·104 ) N i (dBw )  10lo N i  31.86 dBw

33


5 La señal m (t )  2 cos(8000 t ) modulada en AM (K  0.5) a la portadora p (t )  5 cos(2.4·10 6  t ) : a.- Representar la densidad espectral de potencia de m (t ) y calcular su

potencia. b.- Dibujar la densidad espectral de potencia de la señal modulada y calcular su

potencia. c.- ¿Cuál es el ancho ancho de banda de la señal modulada? modulada?

Si la señal modulada se transmite por un canal que presenta una atenuación de 30 30dB dB y la densidad espectral de ruido a la entrada del receptor es



2

 9·109w / Hz :

d.- Dibujar el diagrama de bloques del receptor si se utiliza demodulación por

detección de envolvente o demodulación coherente. e.- Calcular la potencia de ruido (en dBw ) y la potencia de señal (en dBw ) a la

entrada del demodulador. f.- Hallar el factor de mejora (en dB ) del demodulador coherente y la relación

señal a ruido (en dB ) a su salida. Si se utiliza modulación FM con f d d = 40kHz/vol . g.- Dibujar el diagrama de bloques del receptor si se usa demodulación por

detección de envolvente. Razonar la respuesta. h.- Calcular el ancho de banda de la señal modulada. i.- Evaluar la relación señal a ruido a la entrada del demodulador de FM.



34


a.- La forma de onda de la señal moduladora es un coseno de frecuencia f m 

8000  4kHz . Por tanto, su densidad espectral de potencia son dos 2

rayas espectrales. S m (f ) 2

 2 4

4



1 2

4

f (kHz )

La potencia de la señal moduladora la podemos obtener como su amplitud al cuadrado dividido por 2. Pm 



2

2  1w 2

b.- La señal modulada en el tiempo y(t) es la suma de la señal portadora y la

señal moduladora multiplicada por la sensibilidad del modulador K y por la señal 2.4  106  portadora (un coseno de frecuencia f p   1.2  106  1200kHz ). 2 y (t )  AP 1  K ·m (t )  cos(2 f P t )  5 1  0.5· 2  cos 8· 8·103  t  cos  2.4·106  t  y (t )  5 cos 2.4·10 6  t   5·0.5· 2  co coss 8·10 3  t  cos  2.4·10 6  t 

Por tanto, la densidad espectral de potencia de la señal modulada es la suma de la densidad espectral de potencia correspondiente a la señal portadora (dos rayas espectrales centradas en – f p y f p ) y la densidad espectral de potencia de la señal moduladora desplazada a la frecuencia de la señal portadora (debido a que multiplicar en el dominio del tiempo una señal por un coseno significa, en

35


el dominio de la frecuencia, trasladar y centrar el espectro de dicha señal respecto a la frecuencia de dicho coseno). 2

2

AP AP K 2   S m f  f P   S m f  f P    f  f P    f  f P   S y (f )  4   4   S y (f )  52·0.52

  2

16

52  f  1.2·10 6    f  1. 2·10 6   4





2

 f

4·10 3    f  1.2·10 6  4· 4·10 3    1.2·10 6  4·

 f  1.2·10 6  4·10 3    f  1.2·10 6  4·10 3 

S y (f ) 2

A p 52   6.25 4 4

 

2

2 2 2 2 A p Am K 2 5 · 2 ·0.5   0.78 16 16

1204

 1200

1196

1 1 96

1200

8kHz

f (kHz )

12 04

8kHz

La potencia de la señal modulada se puede calcular integrando la densidad espectral de potencia. 

2

2

2

A p Ap K 2 A  Py   S y (f )df  ·Pm  p (1  K 2Pm ) 2 2 2 

52 Py  (1  0.52·1)  15. 15.625 625w 2 Py (dBw )  10l 0lo og(15.625)  12 dBw c.- El ancho de banda de la señal modulada en AM es el doble que el de la

señal moduladora (ver figura en el apartado anterior). BT  2·W  8 kHz d.- Si se utiliza un demodulador coherente, hay que tener en cuenta que el

filtro de recepción debe tener el ancho de banda de la señal modulada AM

36


puesto que su objetivo es no distorsionar la señal útil y filtrar el ruido a la entrada del receptor. Por otra parte, la frecuencia del oscilador local del demodulador debe coincidir con la frecuencia de la señal portadora.

FILTRO PASO BANDA

FILTRO PASO BAJO

 m (t )

W  4kHz

BT  8 kHz

cos 2.4·106  t 

 (t )

DEMODULADOR

Para el detector de envolvente es suficiente con colocar éste a continuación del filtro paso banda de recepción puesto que por sí solo ya es un demodulador de AM siempre y cuando no haya sobremodulación. DETECTOR DE ENVOLVENTE

FILTRO PASO BANDA

 m (t )

 (t )

e.- La potencia de ruido a la entrada del demodulador es la potencia de ruido a

la salida del filtro paso banda de recepción, que asumimos ideal (ver apartado c del problema 1 ). ). N i    BT  18 18··109  8·103  1. 1.44 44··104w N i (dBw )  10l 0lo og10 (1.44·10 4 ) N i  38.41 dBw

La potencia de señal útil a la entrada del demodulador es la potencia de señal útil a la salida del filtro paso banda de recepción, que es la misma que la potencia de señal útil a la entrada entrada del filtro puesto que el objetivo de éste es simplemente filtrar el ruido y dejar pasar a la señal útil. A su vez, esta potencia de señal útil (en unidades logarítmicas) es la potencia transmitida menos la atenuación del canal (en dB ). ).

37


S i (dBw )  PT (dB dBw )  A (dB )  12  30 S i  18 dBw

l a salida, calculamos primero el f.- Antes de evaluar la relación señal a ruido a la factor de mejora con la siguiente expresión: 0.52·1 K 2·P m FM  2 2  0.4 1  K 2P m 1  0.52·1 FM (dB )  10 log(0.4)  4 dB La relación señal a ruido a la salida del demodulador en dB es la relación señal a ruido a la entrada en dB más el factor de mejora en dB .     S       16.41 dB  S    N o ( ) ( ) ( ) 1 8 ( 3 8 . 4 1 ) 2 0 . 4 1        d B S d B w N d B w d B i i  N    i S   S   ( d B ) N   N  (dB )  FM (dB )  o  i

g.- Si se utiliza modulación FM, podemos utilizar un derivador y un detector de

envolvente para demodular la señal. FILTRO PASO BANDA

d dt

DETECTOR DE ENVOLVENTE

m (t )

 (t )

h.- El ancho de banda de transmisión lo estimamos con la Regla de Carlson

teniendo en cuenta que la señal moduladora se extiende en el espectro hasta 4kHz (ver apartado a ). ).  40   f d m (t )máx  40··10 3· 2  1  f m  2   1  4000 BT  2   4000  f m     BT  121.13 kHz i.- Antes de calcular la relación señal a ruido a la entrada del demodulador FM,

evaluamos la potencia de la señal FM transmitida,

38


2

52 PT    12.5w 2 2 PT (dBw )  10 log(12.5)  11 dBw A p

la potencia de la señal útil a la entrada del demodulador FM, S i (dBw )  PT (dB dBw )  A(dB )  11  30 S i (dBw )  19

y la potencia de ruido a la entrada del demodulador (a la salida del filtro paso banda de recepción), N i    BT  18 18··109  121 121.13 .13··103  2.1 2.18 8·10 3w N i (dBw )  10l 0lo og10 (2.18·103 ) N i  26.61 dBw

Finalmente,  S   N  (dB )  S i (dBw )  N i (dBw )  19  (26.61)  i  S   N   7.61 dB  i

39


6 Se desea transmitir una señal modulada en FM utilizando el esquema de la figura para el transmisor. La sensibilidad del modulador FM es f d  3kHz /v y la máxima desviación de frecuencia es f d máx  m (t )   1kHz , siendo m (t ) la señal moduladora. El espectro de la señal moduladora

m (t )

es el

representado en la figura. a.- Calcular la potencia de m (t ) . b.- Estimar el ancho de banda de transmisión.

Una vez modulada m (t ) en FM, se desea transmitir por un canal sin distorsión con una atenuación A  30 dB . c.- Calcular la potencia transmitida mínima (en dBw ) para que la relación señal

a ruido antes del demodulador sea superior a 32 32dB dB , sabiendo que la densidad espectral de potencia de ruido a la entrada del receptor es



2

 8·109w / Hz .

d.- Hallar la relación señal a ruido (en dB ) para m (t ) una vez demodulada. m (t )

y FM (t )

MOD. FM

S m 0.1 mw / Hz

f 15kHz kHz 15

15 kHz



40


a.- La potencia de la señal moduladora se puede obtener integrando la

densidad espectral de potencia correspondiente. Como la densidad espectral tiene forma de triángulo (ver figura en el enunciado), la integral (el área) se puede calcular fácilmente de la siguiente manera: m anera: 1 Pm  2· ·15 15··103·0.1 0.1··10 3  1.5w 2 b.- El ancho de banda de transmisión para una modulación FM se estima con la

expresión:  f d má  máx  m (t )   1 W BT  2(D  1)W  2    W  

donde W es el ancho de banda de la señal moduladora, que en este caso es de 15kHz (ver figura del enunciado).  1·103  3  BT  2  1 30kHz  15·10  30 3  15·10 

c.- La relación señal a ruido a la entrada del demodulador de FM, que debe ser

mayor o igual que 32dB , es:  S   N  (dB )  PT (dBW )  A (dB )  N i (dBW )  32dB  i

de donde: PT (dBW )  32dB  A (dB )  N i (dBW )

Del enunciado, la atenuación introducida por el canal es de 30 dB y calculamos la potencia de ruido N i i(dBw) ( dBw) a la salida del filtro paso banda de recepción, que asumimos rectangular de ancho de banda el ancho de banda de transmisión B T T, siguiendo el procedimiento descrito en el apartado c del problema 1 : N i   ·BT  2·8·109·30·103  4.8·104  10 10·l ·log og10 (4 (4..8·104 )  33. 3.19 19dBw

41


Por tanto, la potencia transmitida debe ser: PT (dBW )  32dB  30  33.19 PT (dBW )  28.81dBw

La potencia transmitida mínima es 28.81 28.81dBw dBw para que la relación señal a ruido antes del demodulador de FM sea mayor o igual que 32dB . d.- En general, la relación señal a ruido a la salida del filtro del demodulador

FM, expresada en unidades lineales, es la siguiente: BT S   S  2 P  N   3f d 3  . 3 m  N f 2  f 1  o  i

Para la señal m (t ) : 32

30·103  S  3 2 1.5·10 10  570.56  27.56 dB  N   3  3·10  3 3 3  o 15·10   0

donde P m se ha calculado en el apartado a .

42


7 La señal m (t )  cos(4 (40 0·103  t ) modula en frecuencia a la portadora p (t )  10 cos(2·10 6  t ) . Calcular: a.- La sensibilidad del modulado FM para que el ancho de banda de transmisión

sea de 100 kHz . b.- La potencia transmitida (expresada en dBw ).

Si la señal modulada se transmite por un canal que presenta cierta atenuación, la relación señal a ruido a la entrada del demodulador FM tiene que ser mayor o igual que 14 14dB dB y la densidad espectral de ruido a la entrada del receptor es



2

 10 9w / Hz , calcular:

c.- La potencia de ruido a la entrada del demodulador FM. d.- La atenuación máxima del canal (expresada en dB ).

relación ión señal señal a ruido a la salida del demodula demodulador dor FM. e.- La relac  a.- Calculamos primero el índice de modulación, para después conocer la

sensibilidad del modulador: BT  2(D  1)f m  D 

B T 1 2f m

40  103  La frecuencia de la señal moduladora es f m   20  103 Hz . Por tanto, 2

100·10 3  1  1.5 D  2.20·103

43


D 

f d má máx  m (t )  f m

D ·f m 1.5·20·103  f d   1 máx  m (t ) 

f d  30 kHz /v b.- Evaluamos fácilmente la potencia de la señal FM transmitida de la siguiente

forma: 2

102   50 w PT  2 2 PT (dBw )  10·log10 50  17dBw A p

c.- Asumimos ideal el filtro paso banda de recepción y de ancho de banda el

ancho de banda de transmisión, por lo que (ver apartado c del problema 1 ): ): N i   ·BT  2·10 9·100·103  2·10 4w N i (dBw )  10·log10 3.2·10 4  37 dBw d.- Para que la relación señal a ruido a la entrada del demodulador de FM sea

mayor que 14dB , se debe cumplir:  S   N  (dB )  PT (dBw )  A (dB )  N i (dBw )  14dB  i

Por tanto, la atenuación introducida por el canal debe ser: A (dB )  PT (dBw )  14  N i (dBw )    

17

   

37

A  40dB e.- Calculamos la relación señal a ruido a la salida de un demodulador de FM,

expresada en unidades lineales, con la siguiente expresión: 3 1 1.4 S   S  2 BT 3 2 100·10 10  3· 30·10  m   N   3f d  3 P 3 3 N 2 f  o  i m  20·10 

donde se ha considerado la relación señal a ruido a la entrada de 14dB .  S   N   423.88  26.27 dB  o

44


8 Se desea transmitir una señal modulada en FM estéreo utilizando el esquema de la figura para el transmisor. La sensibilidad del modulador FM es f d  3 kHz /v y la máxima desviación de frecuencia es f d máx  m (t )   1 kHz ,

siendo m (t ) la señal moduladora. Si los espectros de la señales mR (t ) y mL (t ) son los representados en la figura: a.- Representar el espectro de potencia de la señal moduladora m (t ) . b.- Calcular la potencia de mR (t ) , mL (t ) y m (t ) . c.- Estimar el ancho de banda de transmisión.

Se desea transmitir la señal modulada FM con una potencia PT  10 kw por un canal sin distorsión con una atenuación A  35 dB . d.- Dibujar el diagrama de bloques del receptor para poder recuperar mR (t ) y mL (t ) , asumiendo ruido blanco a la entrada del receptor. e.- Si la densidad espectral de potencia de ruido a la entrada del receptor es 

2

 8·109 w / Hz , calcular la relación señal a ruido (en dB ) antes del

demodulador. f.- Calcular la relación señal a ruido (en dB ) para mR (t ) y mL (t ) una vez

demoduladas. ¿Por qué son diferentes sus valores? ¿Cómo se podría evitar esta discrepancia? Razonar las respuestas.

45


mL (t )

m (t )

MOD. FM

y FM (t )

mR (t )

2·co ·cos(2 s(2 ·20·10 3·t )

x2

S m R

S m L 0.1 mw / Hz

0.1 mw / Hz f (Hz )

f (Hz )

15 kHz

15 kHz 

a.- El esquema del transmisor del enunciado indica que el espectro de potencia

de la señal moduladora m (t ) , es la suma de tres espectros de potencia: el espectro de mL (t ) , el de la señal modulada en Doble Banda Lateral (DBL) de mR (t ) y el de un coseno de frecuencia 20 kHz.

Hay que tener en cuenta que el modulador de DBL utiliza, según el esquema, una portadora de amplitud 2 y frecuencia 40 kHz (doble que la frecuencia del oscilador debido al duplicador de frecuencias que aparece en el esquema del transmisor). De esta forma la densidad espectral de potencia de la señal m (t ) , dibujando sólo la parte positiva del espectro, es la siguiente:

46


S m (f )

22 1 4

22 ·0.1  0. 0.1 mw / Hz 4

0.1 mw / Hz

15 20 25

55

f (kHz )

55 kHz

De la figura podemos observar que el ancho de banda de la señal moduladora m (t ) es de 55kHz ; más adelante, veremos para qué puede servir el disponer de un coseno de frecuencia 20kHz en la señal transmitida. La potencia de cada una de las señales se puede obtener integrando la densidad espectral de potencia correspondiente. b.-

De las figuras del enunciado: 1 Pm R  2· ·15 15··103·0.1 0.1··103  1.5w 2

ya que la densidad espectral de mR (t ) tiene forma de triángulo y su integral (su área) la podemos calcular como la mitad de la base (ancho de banda) por la altura, que debemos multiplicar por dos por la simetría del espectro; Pm L  2·15 15··10 3·0.1 0.1··10 3  3w

por ser la forma de la densidad espectral de mL (t ) un rectángulo y su área la podemos calcular como la base (ancho de banda) por la altura multiplicado por dos por la misma razón de antes. Por otra parte, de la figura del apartado a ,

47


1   Pm  2  15·10 3·0.1·10 3  30·10 3·0.1·10 3  1   8 w 2   El ancho de banda de transmisión es la extensión en el espectro de la señal transmitida. Para una modulación FM se puede estimar con la regla de Carlson: c.-

 f d max  m (t )   BT  2(D  1)W  2   1 W   W  

Del apartado a , el ancho de banda de la señal moduladora m (t ) es W = 55kHz , por lo que:  1·103   1  55·103  11 BT  2  112 kHz 3 55·10  

El diagrama de bloques del receptor debe incluir un filtro paso banda, de ancho de banda el ancho de banda de transmisión B T T; un demodulador de FM, para obtener m (t ) a su salida; y los filtros y demoduladores coherentes d.-

necesarios para recuperar mL (t ) y mR (t ) a partir de m (t ) . Una vez demodulada la señal FM, se recupera m (t ) y ahora deberemos extraer mL (t ) y mR (t ) . Para ello, nos fijamos en el espectro de m (t ) representado en el apartado a . Directamente con un filtro paso bajo de ancho de banda 15kHz recuperamos mL (t ) , y con un filtro paso banda desde 25 kHz a 55kHz obtenemos una señal modulada en Doble Banda Lateral (DBL) que al ser demodulada se obtiene mR (t ) . Para demodular esta señal DBL, debemos construir un demodulador coherente de DBL. Para ello, necesitamos un coseno de frecuencia 40kHz , un multiplicador y un filtro paso bajo de ancho de banda 15kHz . Si nos fijamos en el espectro de m (t ) , podemos obtener un coseno de frecuencia 20kHz mediante un filtro muy estrecho (filtro (filtro piloto) centrado en 20kHz , y utilizando un duplicador de frecuencia ya tenemos el coseno de 40kHz .

48


Finalmente, el diagrama de bloques del receptor es el siguiente: PASO BANDA BT

r (t )

w (t )

DEM. FM

m (t )

PASO BAJO 0-15 kHZ

PASO BAJO 0-15 kHZ

PASOBANDA 25-55 kHz FILTRO PILOTO 20 kHz

e.-

m L (t )

mR (t )

x2

La relación señal a ruido a la entrada del demodulador FM es:  S  dBw )  N  (dB )  S i (dBw )  N i (dBw )  PT (dBw )  A(dB )  N I (dB  i

donde se ha considerado (al utilizar unidades logarítmicas) que la potencia recibida a la entrada del demodulador FM S i i (dBw ) es la potencia transmitida ). P T T (dBw ) menos la atenuación introducida por el canal A(dB ). La potencia transmitida del enunciado la expresamos en dBw de la siguiente manera: PT (dBw )  10 lo log10 (10·10 3 )  40 dBw ,

y la potencia de ruido a la salida del demodulador FM la calculamos a partir de la densidad espectral de potencia de ruido a la entrada y del ancho de banda de transmisión obtenido en el apartado c , N i   ·B T  2·8·10 9·112·103  1.8·10 3

log10 (1.8·10 3 )  27.45 dBW N i  10 lo Finalmente,  S   N  (dB )  S i (dBw )  N i (dBw )  i  S   N  (dB )  PT (dBw )  A(dB )  N i (dBw )   i  40  35  ( 27.45)

49


 S   N   32.45 dB  10  i

32.45 10

 1.76  10 3

En general, la relación señal a ruido a la salida del demodulador FM es la siguiente: f.-

BT S   S  2 P  N   3f d 3  3 m  f 2  f 1  o  N i

siendo P m la potencia de la moduladora. Para la señal m L : 112·10 3  S  3 2 3·1.76·10 3  4.73·10 3  36.74 dB  N   3· 3·10  3  O 15·103   03 Para m R hay que tener en cuenta que esta señal se obtiene una vez que se ha demodulado en Doble Banda Lateral. Como la relación relación señal a ruido a la salida de un demodulador en DBL en unidades lineales es el doble que la de la entrada, la relación señal a ruido queda: 112·10 3  S  3 2 1.5·1.76·10 3  105.92  20.25 dB  N   2·3· 3·10  3 3  O 55·103   25·103  Los valores de las relaciones señal a ruido son diferentes sólo debido a que el ruido en un demodulador FM no se comporta igual a todas las frecuencias (es más significativo a medida que aumenta la frecuencia); ya que al estar m R modulada en Doble Banda Lateral, la relación señal a ruido es el doble, lo que compensa el que la potencia de P m sea la mitad que la de P m . R

L

Esta discrepancia en las relaciones señal a ruido se podría evitar utilizando filtros de preénfasis y deénfasis en el transmisor y receptor respectivamente.

50


9 Se desea transmitir dos señales de audio m 1 y m 2 de amplitud máxima unidad máx  m1 (t )   máx  m 2 (t )   1 Volt ,

y densidad espectral de potencia

representada en la Figura 1, 1, por un canal de radiocomunicaciones radiocomunicaciones de ancho de banda 80 80kHz kHz y de frecuencia central 90 90MHz MHz . El receptor viene impuesto por consideraciones de diseño (ver Figura 2) y para el transmisor se plantean dos soluciones soluci ones (A y B) que utilizan utilizan el siguiente equipamiento: equipamiento: Solución A: Modula Solución Modulador dor en Banda Lateral Única Única Inferior, Inferior, sumador y Modulador FM. Solución B: Modulador en Banda Lateral Única Superior, sumador y modulador FM. Para ambas soluciones: a.- Representar el espectro de potencia de la señal moduladora m (t ) si se

desea que tenga un ancho de banda de W  30KHz . b.- Completar el esquema del receptor. c.- Dibujar el diagrama de bloques del transmisor, indicando: frecuencia del

oscilador local para los moduladores (BLU y FM) y ancho de banda de transmisión. Si la señal modulada se transmite con una potencia PT  10kw por un canal  sin distorsión ruidoso   10 12 w Hz  con una atenuación

2



A (dB )  32.44  20 log f p (MHz )  20 2 0 log d (km ) ,

calcular: d.- La distancia máxima del enlace para que se supere el umbral FM (relación

señal a ruido a la entrada del demodulador de FM mayor que 13 13dB dB ).

51


e.- La relación señal a ruido (en dB ) una vez demoduladas las señales m 1 y m 2 . S m1  S m 2 0,1 mW / Hz

15

15

f (kHz )

Figura 1 PASO BANDA

DEM FM

f central _1  BW 1 

r (t )

PASO BAJO

m1 (t )

BW 2

 (t )

PASO BANDA

PASO BAJO

f central _ 2  BW 3 

BW 4

m2 (t )

OSCILADOR LOCAL

f oscilador  Figura 2

 a.- Si utilizamos la solución A, podemos construir el espectro de la señal

moduladora como la suma de dos: uno de ellos el de m 1 y el otro, el de la señal portadora de frecuencia 30 kHz modulada en BLUI por m 2 .

S m (f ) 0.1 mW / Hz

f (kHz )

30

15

15

30

Si elegimos la solución B, el espectro de la señal moduladora es la suma del espectro de m 1 y el de la señal portadora de frecuencia 15 kHz modulada en BLUS por m 2 . 52


S m (f ) 0.1 mW / Hz

f (kHz )

30

15

15

30

De las dos formas anteriores conseguimos que el ancho de banda en ambos casos sea de 30kHz , condición indispensable según el enunciado. b.- La frecuencia central del filtro paso banda de recepción coincide con la

frecuencia central del canal y su ancho de banda con el ancho de banda del canal, puesto que el objetivo de este filtro es dejar pasar sin distorsión a la señal útil y filtrar el ruido a la entrada del receptor. f central _ 1  90 MHz BW1  80 kHz

El filtro paso bajo de ancho de banda BW 2 2 se utiliza para recuperar m 1 y, por tanto, su ancho de banda coincide con el ancho de banda de m 1 , es decir, 15kHz . BW 2  15 kHz

El filtro paso banda de frecuencia central f central_2 central_2 y ancho de banda BW 3 3 , sirve para obtener la señal modulada en BLU inferior o superior, según se adopte la la solución solución A o la solución solución B. B. Por tanto, tanto, en los dos casos, casos, 15  30  22.5 kHz 2 BW 3  15 kHz

f central _ 2 

Sin embargo, las frecuencias de los osciladores locales de los demoduladores coherentes de Banda Lateral, son diferentes si elegimos la solución A o la solución B, puesto que la frecuencia de la señal portadora que

53


se ha utilizado para modular en BLU inferior es diferente a la que se ha usado para BLU superior, 30 kHz y 15kHz respectivamente (ver apartado a ). ). f oscilador  30·10 3 Hz 

BLUI

f oscilador  15·103 Hz 

BLUS

El ancho de banda del filtro paso bajo del demodulador coherente sí es el mismoo en ambas mism ambas soluc solucion iones es A o B y, es el el del anch anchoo de banda banda de la seña señall m 2 . BW 4  15 kHz c.- Con lo comentado en los apartados a y b , el diagrama de bloques del

transmisor trans misor para la soluci solución ón A es el el siguient siguiente: e: B

m 1 m 2

m (t )

MOD FM

f C  90 MHz BT  80 kHz

P.BANDA

f central  22.5 kHz 2 cos cos(2 (2 30· 30·103t ) BW  15 kHz

y para la solución B:

m 1 m 2

m (t )

MOD FM

f C  90 MHz

P.BANDA

f C  22.5 kHz

BT  80 kHz

2 cos cos(2 (2 15 15·103t ) BW  15 kHz

d.- La condición que hay que cumplir es que la relación señal a ruido a la

entrada del demodulador de FM sea mayor o igual que 13dB .

S N 

i

 13 dB

54


La relación señal a ruido a la entrada (en dB ) es la potencia de señal útil (expresada en unidades logarítmicas) menos la potencia de ruido a la entrada del demodulador de FM. S i (dBw )  N i (dBw )  13 dB

De esta forma la condición que hay que cumplir es que S i (dBw )  13 dB  N i (dBw )

Si calculamos la potencia de ruido a la entrada del demodulador de FM, asumiendo el filtro paso banda de recepción ideal (ver apartado c del problema ), tenemos que: 1 ), N i   BT  2·1012  80 80··103  1. 1.6 6·107w N i (dBw )  10l 0lo og10 (1.6·10 7 ) N i (dBw )  68

por lo que S i (dB )  13 dB  68 dBw S i  55 dBw

Por otra parte, la potencia de señal a la entrada del receptor (expresada en unidades logarímicas) es la potencia transmitida menos la atenuación del canal en dB . S i (dBw )  P T (dBw )  A (dB )  55dBw A (dB )  P T (dBw )  55dBw

Del enunciado, sabemos que: PT  10 kw PT (dBw )  10l 0lo og10 (10·10 3 ) PT (dBw )  4 0

por lo que la atenuación del canal (en dB ) tiene que ser menor que 40+55=95dB para que el sistema funcione, es decir, para que la relación señal a ruido a la entrada entrada del demodulador demodulador de FM sea mayor o igual igual que 13dB .

55


En el enunciado tenemos la expresión que relaciona la atenuación con la distancia. Podemos despejar la distancia máxima de la siguiente manera: A (dB )  32.44  20 log·f p (MHz )  20 log·d (km )  95 39

   

90

   

log·d (km ) 

95  32.44  20 log·f p (MHz ) 23.48  20 20 10 d (km )  10

23.48 20

 15

d max  15 km

Por tanto, siempre que la distancia entre trasmisor y receptor sea menor o igual que 15km , el sistema funcionará correctamente. Si recordamos el símil planteado en el apartado d del problema 1 . En este caso, para un nivel de ruido constante, un margen establecido (una relación señal a ruido mínima) que hace que funcione correctamente el receptor, y siendo ahora la potencia transmitida también constante, es decir, la persona que habla (transmisor) lo hace siempre al mismo nivel, sólo se podrá alejar el que habla del que escucha (receptor) hasta una cierta distancia (distancia máxima) para que la señal que llegue a éste (señal recibida) lo haga siempre con un nivel suficientemente alto para que la relación señal a ruido sea mayor o igual que la relación señal a ruido mínima, y de esta manera el receptor escuche correctamente. e.- Antes de calcular la relación señal a ruido a la salida del receptor,

encontramos la sensibilidad del modulador FM f d d de la siguiente forma:  f d max  m (t )    1 W  2 f d max  m (t )  W BT  2(D  1)  2    W   80



30

B T  W f d  2 f d  10 kHz /v

56




Por otra parte, la potencia de m 1 y m 2 es la misma, y las obtenemos integrando la sus respectivas densidades de potencia representadas en la Figura 1 del enunciado: 1 P m  ·30·103·0.1·10 3 2 Pm  1.5w

Finalmente, para m 1 : BT S   S  2 P  N   3f d 3  3 m 1  f 2  f 1  o  N i 3  S  3 2 80·10 10·10  1.5·101.3  212.82  N   3 10 3  o 15·103 

 S   N  (dB )  23.3 dB  o

y para m 2 : BT S   S  2 P m  N   3f d 3  3 2  f 2  f 1  o  N i

80·10 3  S  3 2 1.5·101.3  30.40  N   3 10·10  3 3  o  30·103   15·103   S   N  (dB )  14.83 dB  o

57


10 La señal m 1 1(t) ( t) (ver Figura) modula a la portadora p (t )  A p cos( 2 f p t ) con f p 

3 4T

 d  a 

, mediante un modulador PM de sensibilidad



2

y representar la fase de la señal modulada PM. PM .

Calcular y representar la señal modulada PM.

c.-- Hallar c. d.-

(rad/vol.) tal que

:

a.- Calcular b.-

 d d

y representar la frecuencia instantánea de la señal modulada PM.

Si la señal modulada PM se demodula mediante un demodulador FM,

calcular y representar la señal m 2 2(t) ( t) a la salida del demodulador FM. ¿Qué relación matemática cumplen m 1 1(t) ( t) y m 2 ( t) ? 2(t) e.-

Si la señal m 2 2 (t) (t) modula a la portadora p (t )  A p cos( 2 f p t ) mediante un

modulador FM de sensibilidad f d 

 d

Hz/vol. y la señal modulada FM

2

resultante se demodula mediante un demodulador PM de sensibilidad

 d d

(rad/vol.) ¿qué señal modulada se obtendría a la salida del modulador FM y qué señal demodulada a la salida del demodulador PM? m1(t)

a t

-T

T



58


a.- La fase de la señal modulada PM es proporcional a la señal moduladora:

( )  (t )   d  m 1 t   t   d  a  1  T     (t )   t   d  a   1     T 

t  0 t  0

De forma más compacta:   

 (t )   d  a  1 

t   T 

 (t )  d  a

t

-T

T

b.- La señal modulada PM es: y PM (t )  A p cos 2 f p t   (t )    t    A cos 2 f t a   1     p d  p  T    y PM (t )      t   A p cos 2 f p t   d  a 1     T  

t  0

t  0

que podemos escribir como:      d  a  t   d  a   A p cos 2  f p  2 T      y PM (t )         a   A p cos 2  f p  d t   d  a  2 T     

es decir,

59

t  0

t  0


 A p cos2 f 1t   d  a  t  0  y PM (t )    A cos2 f t    a  t  0 2 d  p

con 

 d  a

3 1   2  f 1  f p  2 T 4T 2 T T

y 

 d  a

3 1 . f 2  f p    2  2 T 4T 2 T 2T

Por lo que, finalmente:     1  1  cos 2     A t A sen  2 t  t  0 p  p  T  2    T   y PM (t )      1 1    t     A p sen  2 t  t  0  A p cos 2 2 2 2 T T     

c.- La frecuencia instantánea está relacionada con la fase mediante la

expresión: f (t ) 

1 d  (t ) . 2 dt

Del apartado anterior:

60


2 f 1t   d a t  0   (t )   2 f t   a t  0 d  1

Por tanto,  d  a 1    f f  1 p 2 T  T t  0  f (t )     d  a 1 f 2  f p  2 T  2T t  0 

f(t) 1 T

1 2T t

-T

T

d.- La frecuencia instantánea del apartado anterior la podemos escribir de otra

forma:  d  a a  f f f f      f p  f d  m 2 (t ) 1 p p d  T T  2  f (t )     d  a a   f f  2 p 2 T  f p  f d T  f p  f d  m 2 (t ) 

donde:  a  T t  0  . m 2 (t )    a  T t  0 

61

t  0 t  0


Si utilizamos un demodulador ideal de FM de sensibilidad f d d, lo que obtendremos a la salida es precisamente m 2 t ( ). m 2 ( t) 2(t) a T

T

-T 

t

a T

La relación matemática que cumplen m 1 1 (t) (t) y m 2 ( t) es que 2(t) m 2 (t ) 

dm 1 (t ) . dt

e.- Acabamos de ver que m 2 ( t) es igual a la derivada de m 1 (t) . Por otra parte, 2(t) 1 (t)

la frecuencia instantánea de una señal es directamente proporcional a la derivada de su fase. Por tanto, una señal modulada en frecuencia (FM) cuya señal moduladora sea m 2 2(t) ( t) va a ser igual a una señal modulada en fase (PM) cuya señal moduladora sea m 1 1 (t) (t) . A la salida del demodulador de PM se obtendría m 1 1(t) ( t) .

62


63

Modulaciones Digitales

65


1 En un sistema de comunicaciones digitales, la señal transmitida es la representada en la figura: A t ms 0

4

8

12

16

20

24

28

-A Si el canal por el que se ha transmitido la señal es de banda ilimitada y no hay ruido a la entrada del receptor: ¿Cuáles son los posibles valores de amplitud transmitidos a(n) ? ¿Cuál es la secuencia de bits transmitidos? a.-

b.-

Calcular la velocidad de modulación y el régimen binario.

c.-c.

¿Qué tipo de código de línea se ha utilizado? ¿Es con retorno a cero o sin

retorno a cero? d.-

Dibujar la respuesta impulsional del filtro de d e transmisión h T ( t) . T(t)

e.- Representar

el diagrama de ojos.

Si se transmite la misma secuencia anterior, manteniendo m anteniendo el régimen binario y utilizando un código cuaternario polar sin retorno a cero: f .- Representar

la señal recibida en el tiempo.

g.-

Calcular la velocidad de modulación.

h.-

Dibujar el diagrama de ojos.

i .- Si

hay ruido blanco a la entrada del receptor, ¿cuál sería el filtro de recepción

óptimo que minimiza el efecto del ruido? Dibujar la respuesta impulsional h R ( t) R(t) de este filtro y la señal a su salida. ¿Hay interferencia entre símbolos (IES)? 

66


a.- Si consideramos el diagrama de bloques del sistema completo (transmisor,

canal y receptor) el siguiente: T 

a (n ) Mensaje Digital

Codificador Línea

Conversor Tren Impulsos

hT (t )

l a n a C

1 R M

Decisión

Decodificador Línea

Mensaje Digital

s (t ) r (t )  s (t )

la señal transmitida puede escribirse: 7

s (t )   a (n )hT (t  nT ) . n 0

De la representación de la señal transmitida del enunciado, podemos afirmar que los posibles valores de amplitud transmitidos son - A A y A, luego: a (n )   A , A .

Asignando el valor de amplitud – A al bit 0 y A al bit 1, el mensaje digital transmitido es 10110001. b.- Los bits se transmiten cada 4 milisegundos: 1 1 RM    250baudios . T 4·103

Al ser un código de dos do s niveles, la velocidad de modulación coincide con el régimen binario: RM 

R B  RB  R M log2 M  R M log2 2  R B  R M log2 M

c.Códig igo o de Línea  M  2  Binario Valores Posibles  Positivos y negativos  Polar 1   4 ms  R M retorno no a cero (NRZ )   no retor Duración del pulso  2  (2)  4 ms 

67


d.- Los pulsos transmitidos son rectangulares y de duración 4ms . hT (t ) 1

2

2 4 ms

e.- El diagrama de ojos lo construimos desplazando ventanas de duración 2 T

(8ms ), ), centradas cada T (4ms ) sobre la figura del enunciado y representándolas en una única ventana, siendo R M M.

68

1 la velocidad de modulación T


A t ms 0

4

8

12

16

-A

20

24

28

A t ms 0

4

8

12

16

-A A

20

24

28

t ms 0

4

8

12

16

-A A

20

24

28

t ms 0

4

8

12

16

-A A

20

24

28

t ms 0

4

8

12

16

-A A

20

24

28

t ms 0

4

8

12

16

-A A

20

24

28

t ms 0

4

8

12

16

-A A

20

24

28

t ms 0

4

8

12

16

-A

20

A

 A

0

T 69

2T

24

28


f.- En un código cuaternario polar sin retorno a cero, los valores posibles de

amplitud son cuatro y deben ser positivos y negativos simétricos. Un posible conjunto de valores puede ser: a (n )  2A , A , A, 2 A

Ahora, debemos asignar a cada uno de los valores posibles de amplitud, una pareja de bits. Por ejemplo, 2 A  00  A  01 A  10 2 A  11

Por otra parte, si se desea mantener el régimen binario, y un símbolo está formado por dos bits, debemos enviar símbolos cada T =8 =8ms . La señal recibida en el tiempo manteniendo el esquema del sistema del apartado a : 3

r (t )  s (t )   a (n )hT (t  nT ) n 0

con a(n) el conjunto de valores propuestos en el apartado anterior. En el mensaje digital 10110001, agrupamos los bits de 2 en 2 para representar la señal recibida:

2 A

10

00 11 00

01

A T

0

T

2T

 A 2 A

70

3T

4T

5T

t


g.RM 

R B 250  RM   R M  125 Baudios log2 M log2 4

h.- Para representar el diagrama de ojos, necesitamos ventanas, en este caso,

de duración 16ms , centradas cada 8ms . 2 A A

 A 2 A

0

T

2T

i.- Si hay ruido a la entrada del receptor, colocamos en el esquema del sistema

completo un filtro a la entrada del receptor h R ( t) para minimizar el efecto de R(t) dicho ruido. a (n ) Mensaje Digital

Conversión secuencial Tren Impulsos

Codificador de Línea

T 

s (t ) hT (t )

l a n a C

1 R M

hR (t )  (t )

r (t )

h (t )

aˆ(n ) Decisión

Decod. de Linea

Mensaje Digital

El filtro de recepción óptimo que minimiza el efecto del ruido es el filtro adaptado: hR (t )  hT (t ) hR (t )

1

4

4 8 ms

71


Ahora, la señal recibida en el tiempo a la salida del filtro de recepción, es la suma de todos los símbolos (pulsos) transmitidos y el ruido ruido filtrado. 3

r (t )   a (n )h (t  nT )  n (t ) n  0

donde h (t )  hT (t ) * hR (t )    h (t )  hT (t ) * hT ( t ) hR (t )  hT ( t )  hT (t )

hR (t )

1

1

4

4

4

h (t ) 8  10 3 8

4

8

16 ms 16 ms

8ms

8ms

A continuación, representamos sólo la señal útil

3

 a (n )h (t  nT )

a la salida

n  0

del filtro de recepción:

T 2 A

10

00 1 1 00

01

T

3T

A T

0



2T

8

 A  2 A

72

4T

5T

t


2 En un sistema de comunicación digital se desea transmitir una señal analógica. Para ello, antes del modulador digital, la señal se muestrea, se cuantifica uniformemente y se codifica. La señal a transmitir tiene un ancho de banda de 10 kHz , el cuantificador es de 7 niveles y tiene un margen dinámico de 3,3 3 v 3,  . Calcular: a.- La frecuencia de muestreo mínima para que en recepción se pueda

recuperar la señal analógica. b.- Los valores cuantificados. c.- El régimen binario si se utiliza el mínimo número de bits por muestra

posible. Una vez muestreada, cuantificada y codificada, el mensaje digital resultante se modula y se transmite por un canal ruidoso sin distorsión H C (f )  1 . El modulador digital utiliza un código binario unipolar, siendo los pulsos a transmitir hT (t ) rectangulares de amplitud unidad en el intervalo 1  T T  , siendo la velocidad de modulación.   2 2 T  

d.- Obtener la respuesta hR (t ) del filtro adaptado en recepción para minimizar

el efecto del ruido. e.- Calcular la respuesta global H (f ) .

Si se envía la secuencia 1010011: f.- Representar la señal a la salida del filtro de transmisión y a la salida del filtro

adaptado en recepción en función del tiempo. ¿Existe Interferencia entre Símbolos (IES)? 

73


a.- La frecuencia de muestreo, siguiendo el criterio de Nyquist debe ser f m  2x 10kHz , es decir, 20000 muestras por segundo. b.- Para calcular los valores cuantificados hay que evaluar previamente el paso

de cuantificación: 

3  (3)  0.8571 7

Los valores cuantificados son: ˆ1  3  2.5714 X

ˆ2  2  1.7143 X ˆ3  1  0.8571 X ˆ4  0 X ˆ5    0.8571 X ˆ6  2  1.7143 X

ˆ7  3  2.5714 X c.- El número mínimo de bits por muestra es de 3 ya que 23  8 , mayor que el

número de niveles del cuantificador (7). El régimen binario es RB  20000

muestras bits ·3  60 kbps . s muestra

d.- Seguimos el esquema del sistema representado en el apartado i del problema 1 , entonces la respuesta del filtro de recepción es: hR (t )  hT (t )

74


hR (t )

1



T 2

T 2 2

*

2

e.- H (f )  HT (f )·H C (f )·H R (f )  H T (f )·H T (f )  H T (f )  T sinc(Tf )  , donde

se ha considerado el canal sin distorsión H C (f )  1 , como indica el enunciado. La Transformada de Fourier de h T (t) es H T (f )  T sinc(Tf ) , T (t) hT (t )

HT (f )

1

T

TF f

t

T

T  2

T 2



1 T

1 T

por lo que: 2

H (f )  T sinc(Tf )  . f.- A la salida del filtro de transmisión tenemos: 6

s (t )   a (n )hT (t  nT ) n 0

A 0 0

T

2T

3T

4T

5T

A la salida del filtro de recepción: 6

r (t )   a (n )h (t  nT )  n (t ) n  0

75

6T


donde h(t) es la transformada inversa de Fourier de H(f) calculada en el apartado e , en este caso una señal triangular de amplitud T y duración 2T . Representando sólo la señal útil

6

 a (n )h (t  nT ) :

n 0

AT

0 -T

0

T

2T

3T

4T

5T

6T

7T

No hay interferencias entre símbolos puesto que en los instantes múltiplos de T , h (t ) se anula.

76


3 En un sistema de comunicación digital se desea transmitir una señal analógica. Para ello, ello, antes del modulador modulador digital, digital, la señal señal se muestrea, muestrea, se cuantifica cuantifica uniformemente y se codifica. La señal a transmitir tiene un ancho de banda de 15 kHz , el cuantificador es de 7 niveles y tiene un margen dinámico de 2,2 2 v 2,  . Calcular: a.- La frecuencia de muestreo mínima para que en recepción se pueda

recuperar la señal analógica. b.- Los valores cuantificados. ¿Cuál es el mínimo número de bits por muestra

para el codificador? c.- El régimen binario.

Una vez muestreada, cuantificada y codificada, el mensaje digital resultante se modula y se transmite por un canal de ancho de banda infinito y no ruidoso. El modulador digital utiliza un código binario unipolar, siendo lo pulsos a transmitir t  1 de la forma hT (t )  e T donde es la velocidad de modulación. Si se envía T

la secuencia 1011: d.- Representar la señal recibida en el tiempo, evaluando los valores de

amplitud en los instantes múltiplos de T (instantes ideales de muestreo). e.- Representar lo diagramas de ojo para   1 y   10 . ¿Existe Interferencia

entre Símbolos (IES)? ¿Qué valor de



es más adecuado en cuanto a error en

la decisión si se muestrea en instantes múltiplos de T ? 

77


La frecuencia de muestreo, siguiendo el criterio de Nyquist debe ser mayor que el doble del ancho de banda de la señal, es decir, f m  30 kHz a.-

(30000 muestras por segundo). Para calcular calcular los valores valores cuantificados cuantificados hay que evalua evaluarr previamente previamente el b.paso de cuantificación que es el margen dinámico dividido por el número de niveles de cuantificación:  

2  (2)  0.5714 . Los niveles cuantificados son: 7

ˆ1  3  1.7142 x ˆ2  2  1.1428 x ˆ3    0.5714 x ˆ4  0 x ˆ5    0.5714 x ˆ6  2  1.1428 x ˆ7  3  1.7142 x El número número mínimo mínimo de bits por muestr muestraa es de 3 ya que 23  8 mayor que el número de niveles del cuantificador (7). c.-

El régimen binario es: RB  30000

muestras bits ·3  90 kbps . s muestra

d.- El canal es de banda ilimitada y no introduce ruido, luego la señal recibida

es idéntica a la señal transmitida (ver figura del apartado a del problema 1 ). ). 3

r (t )  s (t )   a (n )hT (t  nT ) n 0

donde a (n ) asumimos que sólo puede tomar dos valores 0 o A, puesto que se utiliza un código binario unipolar.

78


Si

  1 ,

 A

t/T Si

  10

:

 A

t/T Los valores de la señal recibida en los instantes múltiplos de T son los siguientes:

t  0 : Ar  A  Ae t  T : Ar  Ae



T T



2T T

 Ae

 Ae



T T



3T T

 Ae

79

 A  Ae 2  Ae 3 . 

2T T

 2Ae   Ae 2 .


t  2T : Ar  A  Ae



2T T

t  3T : Ar  A  Ae



T T

 Ae  Ae

T  T



3T T

 A  Ae 2  Ae  .  A  Ae   Ae 3 .

e.- El diagrama de ojos lo construimos siguiendo el procedimiento descrito en

el apartado e del problema 1 . Si

  1 ,

el diagrama diagrama de ojos es el siguient siguiente: e:

 A

t/T Si

  10 ,

el diagrama de ojos es el siguiente:  A

t/T

80


Existe interferencia entre símbolos en ambos casos debido a las colas de los símbolos vecinos. Si se muestrea en instantes múltiplos de T es más adecuado utilizar   10 puesto que las colas decrecen más rápidamente y los términos que se suman debido a la IES tendrán un valor mas pequeño que si   1 .

81


4 Se desea realizar una transmisión digital con un régimen binario RB  8 kbps , utilizando un código de línea de 4 niveles, por un canal ideal de ancho de banda BW c c (ver Figura). Si la función de transferencia H TR  H T (f )  H R (f ) es de tipo coseno alzado con un factor de roll  off   0.2 , hallar: a.- La velocidad de modulación R M . b.- El ancho de banda mínimo del canal para poder realizar la transmisión sin

interferencia entre símbolos (IES). Si se mantiene el ancho de banda del apartado anterior, el factor de roll  off y el régimen binario: c.- ¿Se podría transmitir a otras velocidades de modulación sin Interferencia

entre símbolos (IES)? Razone la respuesta y ponga algún ejemplo. H c c (f)

1 f -BW c

BW c

 a.- Obtenemos la velocidad de modulación a partir del régimen binario y del

número de niveles del código (4 en este caso). R B 8·103 RM   RM   R M  4000 baudios log2 M log2 4

82


b.- Si conseguimos que la función de transferencia global H(f) sea de tipo

coseno alzado, no hay IES. La función de transferencia global del sistema completo (transmisor, canal y receptor) es: H (f )  H T (f )  H c (f )  H R (f ) H (f )  H TR (f )  H c (f )

La función de transferencia H TR (f ) es de tipo coseno alzado y el canal es ideal (ver figura del enunciado). La función de transferencia global H(f) será del tipo coseno alzado siempre que el ancho de banda de H c c(f) ( f) sea mayor o igual que el ancho de banda de H TR (f ) , porque porque de esta manera manera:: H (f )  H TR (f )

El ancho de banda de H TR (f ) es R M (1   ) . Por tanto, debe cumplirse 2 que: BW c  BWc min 

R M

2

(1   )

4000 (1  0.2)  2400 Hz 2 BWc min  2.4 kHz

apartado do anterior, anterior, se puede puede transmit transmitirir a otras velocid velocidades ades de c.- Del aparta modulación, siempre que: R M (1   ) 2 2BW c R M  (1   )

BW c 

R B 2BW c  log2 M 1   log2 M 

R B (1   ) 8000  1.2  2 2BW c 2  2400 M  22  4

83


Por tanto, para M=4, 8, 16, 32, 64, … no se produce IES. Por ejemplo, para M=8, el ancho de banda de H TR (f ) es: R M R B 1   8000 1  0.2   1600Hz (1   )  2 log2 M 2 log2 8 2

que, efectivamente, es menor que el ancho de banda del canal (BW c c = 2400Hz). En este sentido, para un régimen binario constante, a medida que aumenta el número de niveles M , el ancho de banda

R B 1   necesario es log2 M 2

menor. Este hecho, es de gran interés en los sistemas de comunicaciones digitales. Por ejemplo, un canal de ancho de banda dado podría ser utilizado sólo por el usuario A, transmitiendo con un régimen binario R B B; o podría ser compartido por más usuarios, transmitiendo todos ellos con el mismo régimen binario que lo hacía el usuario A, pero utilizando cada uno de ellos modulaciones con M superior a la modulación que usase el usuario A.

84


5 En un sistema de comunicaciones digitales, se ha observado en el osciloscopio que el diagrama de ojos correspondiente a la señal recibida, es el representado en la Figura 1. Si el canal por el que se ha transmitido la señal es ideal (H c (f )  1) y no hay ruido a la entrada del receptor. a.- ¿Cuáles son los posibles valores de amplitud transmitidos a (n ) . b.- Calcular la velocidad de modulación y el régimen binario. c.- ¿Qué tipo de código de línea se ha utilizado? ¿Es con retorno a cero o sin

retorno a cero? d.- Representar la forma de onda de todos los posibles pulsos transmitidos,

indicando claramente su duración y amplitud. e.- Representar la señal recibida en el tiempo si se transmite la secuencia

1011010011. Si se transmite la misma secuencia anterior, manteniendo la velocidad de modulación y el mismo número de valores posibles de amplitud, pero se utilizan pulsos cuadrados con retorno a cero (ver Figura 2): f.- Representar la señal recibida en el tiempo. g.- Dibujar el diagrama de ojos. h.- Si hubiese ruido blanco a la entrada del receptor, ¿cuál sería el filtro de

recepción óptimo que minimiza el efecto del ruido? Dibujar la respuesta impulsional hR (t ) de este filtro y la señal recibida a su salida. ¿Hay IES?

85


VR (vo volt lts s .) hT (vo volt lts s .)

3 2 1

t (ms )

0 0

2

4 Figura 1

6

8

t (ms ) -2

-1

1

2

Figura 2

 a.- Del diagrama de ojos del enunciado, los posibles valores de amplitud

transmitidos son: ,2,3 ,3 a (n ) 0,1,2 b.- El punto central del eje de tiempos (abscisas) del diagrama de ojos del

enunciado debe coincidir con la inversa de la velocidad de modulación. Por tanto, T 

1 

1  R M   R M   RM  250Baudios 3 4·10 T  4ms  Al tratarse de un código de 4 niveles, niv eles, y teniendo en cuenta la relación relaci ón entre el régimen binario y la velocidad de modulación, tenemos: R B  log2 M   RB  R M log2 M  R B  250·log2 4  R B  500 bps  M  4  R M 

c.- Del diagrama de ojos, descubrimos que el tipo de código de línea es

cuaternario (4 niveles), unipolar (todos los valores de amplitud son positivos o cero) y sin retorno a cero ya que la inversa de la velocidad de modulación coincide con la duración del pulso.

86


Código de Línea  M  4  Cuaternario Valores Posibles  Todos son positivos o cero  Unipolar

1

  R M   NRZ Duración del pu p ulso  6  2  4 ms   4 ms

d.- Al ser un código cuaternario, se pueden dar cuatro formas de ondas

diferentes. Cada una de ellas se asigna a una pareja de bits diferente: 00, 01, 10, 11. 01

00

1 t T

T

10

11 3

2

T

T

e.- La señal recibida en el tiempo es idéntica a la que se transmite por ser el

canal ideal (ver esquema del sistema completo en el apartado a del problema ). 1 ). 4

r (t )  s (t )   a (n )hT (t  nT ) n 0

En el mensaje digital a transmitir (1011010011) agrupamos los bits de 2 en 2 por tratarse tratarse de un código cuatern cuaternario. ario. Con el criteri criterioo de asignación asignación de pareja de bits a forma de onda digital del apartado anterior, la señal recibida en el tiempo es:

87


3 2 1 0 T

0

T

2T

3T

4T

t

f.- Si mantenemos el mismo criterio de asignación de pareja de bits del aparado d pero con la nueva forma de onda de los pulsos transmitidos (ver

Figura 2 del enunciado), la señal transmitida es: 3 2 1 0

T

0

T

2T

3T

4T

t

g.- Para representar el diagrama de ojos tomamos ventanas de duración 2 T ,

centradas cada nT para n =0, =0, 1, 2, 3, 4 y las vamos superponiendo en una única ventana (ver apartado e del problema 1 ). ). De esta forma: VR (vo volt lts s .)

3 2 1 0 0

T

2T

h.- Si hay ruido blanco a la entrada del receptor, el esquema del sistema queda

como el del apartado i del problema 1 . La señal a la salida del filtro de recepción es ahora:

88


4

r (t )   a (n )h (t  nT )  n (t ) n  0

con h (t )  hT (t ) * hR (t ) y n(t) el ruido filtrado. El filtro de recepción óptimo que minimiza el efecto del ruido es el Filtro Adaptado. Filtro Adaptado  hR (t )  hT ( t )

La representación de la respuesta impulsional del filtro adaptado coincide con la forma de onda del filtro de transmisión al ser ésta una función par (simétrica respecto del eje de ordenadas). hR (t )

t (ms ) -2

-1

1

2

Para representar la forma de onda que se obtiene a la salida del filtro de recepción debemos representar previamente h(t) que es una forma de onda triangular por ser la convolución de d e dos señales rectangulares. hT (t )

hR (t )

h (t )

T

-2

-1

1

T

2

2

-2

-1

1

T

2

2

-2

-1

1

2

2

T

Asignando a cada pareja de bits, la forma de onda triangular obtenida con la amplitud que corresponda en cada caso, la señal recibida (sin representar el ruido) es:

89


T x 3 2

2 1 0

10

01 11 01

00

11

t

T

0

T

2T

3T

4T

5T

Como puede observarse en la figura, no hay interferencia entre símbolos en los instantes de muestreo (0, T , 2T , 3T , 4T ), ), puesto que se anulan los pulsos vecinos.

90


6 En un sistema de comunicaciones digitales, el canal por el que se ha transmitido la señal es ideal H C (f )  1 y no hay ruido a la entrada del receptor. Los posibles valores de amplitud recibidos son: -10, -5, 5, 10 voltios, se transmite un símbolo cada 4 milisegundos y la respuesta del filtro de transmisión es la representada en la Figura. a.- ¿Qué tipo de código de línea se ha utilizado? ¿Es con retorno a cero o sin

retorno a cero? b.- Calcular la velocidad de modulación y el régimen binario. c.- Representar la forma de onda de todos los posibles pulsos trasmitidos,

indicando claramente su duración y amplitud. d.- Representar la señal recibida en el tiempo si se transmite la secuencia

1011010011. e.- Dibujar el diagrama de ojos. f.- Si hubiese ruido blanco a la entrada del receptor, ¿cuál sería el filtro de

recepción óptimo que minimiza el efecto del ruido? Dibujar la respuesta impulsional hR (t ) de este filtro y la señal a su salida. hT (vo volt lts s .)

1

2

1

1



91

2

t (ms )


a.Código de Línea  M  4  Cuaternario Valores Posibles  Positivos y Negativos  Polar

    con retorno a cero (RZ ) Dur ura aci ció ón del pulso  2 ms  1  4 ms R M

b.1  250 baudios 4·103 RB  RM log2 M  250·2  500 bps RM 

c.- Al tratarse de un código cuaternario, las formas de onda posibles son

cuatro, y se asignan cada una de ellas a las cuatro parejas de bits: 00, 01, 10 y 11. 10

11 10 5 t (ms )

-2 -2

-1 -1

1 01

1

-2

2

-2

2

-1 -1

00

t (ms )

1

2 t (ms )

1

2 t (ms )

5 10

d.- El canal es ideal y no hay ruido a la entrada del receptor, por tanto, la señal

recibida es idéntica a la señal transmitida (ver esquema del sistema completo en el apartado a del problema 1 ). ). Si se transmite la secuencia 1011010011,

92


4

r (t )  s (t )   a (n )hT (t  nT ) n 0

10 5 t

5

0

T

3T

2T

4T

5T

10

e.- Para obtener el diagrama de ojos, tomamos ventanas de duración 2 T

centradas en 0, T , 2T , 3T y 4T . Las señales que vamos obteniendo las representamos superpuestas en una única ventana de duración 2 T (ver apartado e del problema 1 ). ). 10 5 5 10

T

0

2T

f.- El esquema del sistema completo debe incluir ahora un filtro en recepción

que minimiza el efecto de ruido a la entrada del receptor (ver su representación en el apartado i del problema 1 ). ). La señal recibida antes de ser muestreada m uestreada es: 4

r (t )   a (n )h (t  nT )  n (t ) n  0

donde h (t )  hT (t ) * hR (t ) y n(t) es el ruido filtrado.

93


El filtro de recepción recepción óptimo que minimiza minimiza el efecto efecto del ruido es el Filtro Adaptado. hR (t )  hT ( t )

Al ser h T ( t) una función par, h T ( t) = h T (-t) y la forma de onda del filtro T(t) T(t) T (-t) de recepción coincide con la del filtro de transmisión.

hR (t )

t (ms ) -2

-1

1

2

Por otra parte, la respuesta impulsional total h(t) es el resultado de convolucionar h T (t) y h R ( t) . T (t) R(t) hT (t )

hR (t )

h (t )

T

-2

-1

1

T

2

-2

-1

1

T

2

2

-2

-1

1

2

2

T

2

Por último, la señal recibida a la salida del filtro de recepción (sin representar el ruido) al enviar la secuencia 1011010011 es: 

10

T 2

5 t

5

0

T

3T

2T

 10

94

4T

5T


7 En un sistema de comunicación digital, el modulador utiliza un código cuaternario unipolar, siendo los pulsos a trasmitir de la forma hT (t )  si sinc nc((10 1000 00t ) por un canal ideal sin distorsión no ruidoso. a.- Representar la función de transferencia global H (f ) . b.- ¿Para qué velocidades de modulación no hay interferencia entre símbolos

(IES)?. ¿Cuál sería la velocidad de modulación m odulación máxima para evitar IES? Si se pretende utilizar el mismo modulador en un canal ideal sin distorsión pero ruidoso: c.- Calcular la respuesta hR (t ) del filtro en recepción que minimiza el efecto del

ruido. d.- Hallar la función de transferencia global H (f ) . e.- Obtener la respuesta global h (t ) . f.- ¿Cual es la velocidad máxima de transmisión en este caso para que no haya

IES? g.- Representar la señal a la salida del filtro de recepción si se transmite la

secuencia 101100000110 101100000110 a la velocidad de 250 Baudios, indicando los valores de la señal en los instantes de muestreo. ¿Existe IES? Razone la respuesta.  a.- El canal sin distorsión y no ruidoso implica que la función de transferencia

global es directamente la función de transferencia del filtro de transmisión. H (f )  HT (f )·H C (f )·H R (f )   H C (f )  1 f   H (f )  H T (f )  H R (f )  1 f 

95


HT (f )  F hT (t ) 

hT (t )

HT (f ) T 

1

1 1000

TF t

T 

1 1000

f

1  2T

1000

1 2T

t b.- En h T (t )  sinc( ) , los cruces por cero se producen en instantes múltiplos T

de T , siendo el primero de ellos en el instante t =T . Si transmitimos símbolos cada mT con m =1, =1, 2, 3, 4, … no hay Interferencia entre símbolos (IES) puesto que los cruces por cero de los símbolos transmitidos se dan siempre en instantes múltiplos de T . Sin embrago, si transmitiésemos símbolos con una cadencia menor que T , habría IES porque los cruces por cero de los símbolos transmitidos no se producirían en instantes múltiplos de T . Por tanto, las velocidades de modulación para que no haya IES son: R M 

1 con m =1, =1, 2, 3, 4,... mT

La velocidad de modulación máxima se obtiene para m =1: =1: 1 R M máx   1000baudios . T

Nótese que en el dominio de la frecuencia (ver figura en el apartado anterior), el ancho de banda de d e la función de transferencia es: 1 R M max .  2T 2 c.- El filtro adaptado: hR (t )  hT (t )  sinc(1000t )  sinc(1000t )

96


d.- En este caso, H (f )  HT (f )·H C (f )·H R (f )   2 * H C (f )  1 f   H (f )  H T (f )·H T (f )  H T (f )  * H R (t )  HT (f ) 

Si recordamos la representación de H T ( f) del apartado a , T(f) H (f )

2

 1  6  1000   10  

500

500

f

e.h (t )  TF

1

H (f )

h (t ) 10 3

t T 

1 1000

f.- R M máx es la misma que la del apartado b porque el ancho de banda de la

nueva función de transferencia (ver apartado d ) no ha variado. R M max 2

 500  RM máx  1000 Baudios

97


g.- Si se transmite a la velocidad de 250 Baudios , se cumple la condición del

=4) que la velocidad de apartado b . Esta velocidad es cuatro veces menor (m =4) modulación modula ción máxima, por lo que no hay interf interferenci erenciaa entre símbolos. símbolos. La señal recibida a la salida del filtro de recepción es: 5

r (t )   a (n )h (t  nT M )  n (t ) n 0

donde h(t) es la respuesta impulsional global (calculada en el apartado anterior) y T M M (cada cuanto tiempo transmitimos un nuevo pulso) es la inversa de la velocidad de modulación. Para representar la señal recibida, vamos a buscar la relación entre T M M y T . RM  250 Baudios  1  1   T M  R M  250  T M 

     T M  4T m  1  T  1000  

 A

t/T Si la velocidad de modulación hubiese sido 500 baudios, T M M = 2T (se transmiten pulsos cada 2T ) tampoco hubiera habido interferencia entre símbolos. En general, siempre que T M M sea un número entero de veces T (m = 1, 2, 3, 4, … ) no se producirá interferencia entre símbolos (recordar apartado b ). ).

98


8 En un sistema de comunicaciones digitales, el canal por el que se ha transmitido la señal es ideal (H C (f )  1) y no hay ruido a la entrada del receptor. Los posibles valores de amplitud transmitidos son: 0, 5, 10 y 15 voltios. Se transmite un símbolo cada 8 milisegundos y la respuesta del filtro de transmisión es la representada en la figura: hT (t ) 1

t (ms ) 4

4

a.- Representar el diagrama de bloques del sistema, indicando claramente los

elementos que pertenecen al transmisor y al receptor. b.- ¿Qué tipo de código de línea se ha utilizado? ¿Es con retorno a cero o sin

retorno cero? c.- Calcular la velocidad de modulación y el régimen binario. d.- Representar la forma de onda de todos los posibles pulsos transmitidos,

indicando claramente su duración y amplitud. Si se transmite la secuencia 1110010011: e.- Representar la señal recibida en el tiempo antes de ser muestreada. f.- Dibujar el diagrama de ojos.



99


a.- El canal es ideal y no hay ruido a la entrada del receptor (no necesitamos

un filtro de recepción que minimice el efecto del ruido). T 

a (n ) Codificador Línea

Mensaje Digital


hT (t ) s (t )

l a n a C

1 R M

Decisión


Mensaje Digital

r (t )

TRANSMISOR

RECEPTOR

b.- Hay cuatro valores posibles, por lo tanto, el código es cuaternario. Código de Línea  M  4  Cuaternario

Todos los valores posibles son positivos o cero, el código es unipolar. Es sin retorno a cero puesto que la inversa de la velocidad de modulación coincide con la duración del pulso transmitido.     sin retorno a cero (NRZ ) Duración del pulso  4  ( 4)  8 ms  1  8 ms R M

c.- Se envían pulsos cada 8 ms , su inversa es la velocidad de modulación. T 

1 

1  R M   RM   R M  125Baudios 3 8·10 T  8ms  Conociendo la relación entre la velocidad de modulación y el régimen binario: R B  log2 M   RB  R M log2 M  R B  125·log2 4  R B  25 0 bps  M  4  R M 

d.- El código es cuaternario y, por tanto, cuatro son las formas de onda

posibles (una por cada pareja de bits: 00, 01, 10 y 11).

100


01

00 5

t

t

T 10

T 11 15

10

t

t

T

T

e.- La señal recibida en el tiempo coincide con la señal transmitida. La

secuencia 1110010011, la descomponemos en agrupaciones de dos bits (11 10 01 00 11) y a cada pareja de bits le asignamos la forma de onda que corresponda según el apartado anterior. 15 10 5 0

T

11

10

01

00

11

0

T

2T

3T

4T

5T

t

f.- El diagrama de ojos se obtiene tomando ventanas temporales de duración

2T que vamos desplazando cada T . Las señales que se vamos obteniendo las representamos superpuestas en una única ventana (ver apartado e del problema 1 ). ). 15

10 5 0

0

T

101

2T


9 Se desea trasmitir el mensaje digital 10001101 10001101 por un canal de banda ilimitada y no ruidoso. Para ello, se desea diseñar un sistema digital de comunicaciones con las siguientes características: 

Código de línea: 4 niveles unipolar sin retorno a cero.



Forma de onda de los pulsos transmitidos: rectangular.

 Velocidad de modulación VM  500 kbaudios . a.- Dibujar el diagrama de bloques del sistema (transmisor, canal y receptor). b.- ¿Cuál es el régimen binario? c.- Calcular y representar la señal en banda base s bb (t ) . d.- Representar el diagrama de ojos para la señal recibida en banda base rbb (t ) antes del muestreo. e.- ¿Cuáles serían los instantes óptimos de muestreo y las tensiones umbrales

óptimas en el receptor? Si la transmisión del mismo mensaje digital anterior se hiciese a través de un canal paso banda sin distorsión cuya frecuencia central es 1000 kHz , utilizando una modulación PSK multinivel: f.- Representar la señal paso banda s (t ) transmitida. g.- Representar la constelación, indicando claramente la amplitud y fase de los

símbolos transmitidos. h.- Dibujar la constelación, si se produjese un giro de +90 grados en ésta en

recepción. ¿Cuál sería el mensaje digital recibido en este caso? 

102


a.T 

a (n ) Mensaje Digital

Codificador Línea


hT (t )

l a n a C

s bb (t )

1 R M

Decisión


Mensaje Digital

rbb (t )

TRANSMISOR

RECEPTOR

b.R B  log2 M   RB  RM log2 M  R B  500·log2 4  R B  100 0 kbps  M  4  R M 

c.- El código utilizado es cuaternario (cuatro posibles valores de amplitud

transmitidos) y unipolar (todos los valores positivos o cero). Una posible asignación podría ser: 3 A  11 2 A  10 A  01 0  00

Por otra parte, R M  500·103 

1 T

T  2  s

La representación de la señal transmitida en banda base en función del tiempo, si se transmite la secuencia 10001101, es la siguiente:

103


3 A

10

00

11

01

0

T

2T

3T

2 A A 0

T

4T

ya que: 3

s bb (t )   a [n ]hT t  nT n T  . n 0

d.- Por ser el canal ideal y no ruidoso, la señal recibida es la misma que la

transmitida: 3

rbb (t )  s bb (t )   a [n ]hT t  nT nT  n 0

El diagrama de ojos, de la señal representada en el apartado anterior con el procedimiento descrito en el apartado e del problema 1 , es el siguiente: 3 A 2 A A 0 0

T

2T

e.Inst In stant antes es óp ópti timo moss de mu mues estr treo eo:: 0,T , 2T , 3T Tens Te nsio ione ness um umb bra rale less óp ópti tima mass en el re rece cep pto tor: r:

A 3A 5A , , 2 2 2

f.- Buscamos primero una relación entre el periodo de la señal portadora y la

duración de los pulsos transmitidos.

104


p (t )  cos  2 ·100 ·1000 0·103t  f p  1000·103 

T p 

1  1  s f p

T  2T p

Por cada pulso transmitido debemos representar dos periodos de la señal portadora. La modulación PSK que vamos a utilizar es de 4 niveles, es decir, 4 fases diferentes. A cada fase le asignamos una pareja de bits diferente:  1  0  00  2 



2

 01

3    10  4 

3  11 2

De esta manera: cos  p t   00    cos   p t     sen  p t   01 2  cos  pt      cos( p t )  10

3   cos   pt    sen( p t )  11 2  

Por tanto, de todo lo anterior, si se transmite 00 debemos representar dos periodos de un coseno; si se transmite 01, dos periodos de un coseno desplazado en fase +  , y así sucesivamente. 2

105


t/T g.- La constelación, con el criterio de asignación seguido en el apartado anterior, es: 

2

A

01

10

00 0



A

 A  A

11

3 2

h.- La constelación girada +90 grados es: 

2

A

00

01 

11 0

 A

A 10

 A 3 2

y la secuencia de bits detectada: 01111000.

106


10 Se desea transmitir la secuencia digital 1001101 utilizando un código binario unipolar NRZ con a(n) = A o 2 A y pulsos rectangulares de duración T = 4 ms . Si el canal es de banda ilimitada y no ruidoso: a.- Dibujar b.-

la respuesta impulsional del filtro de transmisión t ransmisión h T (t) . T (t)

¿Cuál es la velocidad de modulación y el régimen binario?

c.-- Representar c. d.-

la señal transmitida en función del tiempo.

Representar el diagrama de ojos.

Si la señal a la salida del transmisor se multiplica por la señal p (t )  sen(2 500 t ) y se transmite por el canal: e.- Representar f .- Dibujar

la señal transmitida en función del tiempo.

la constelación. ¿De qué modulación digital paso banda se trata?

Dibujar el diagrama de bloques del receptor que incluya demodulación coherente. g.-

h.-

¿Cuál sería la secuencia recibida si el oscilador local del receptor genera la

señal cos(2 500 t ) ?  a.-

hT (t ) 1 t

2

2 4 ms

107


b.1 1   250baudios T 4  10 3 RB  RM  250bps RM 

c.-

2 A A t 0

2T

T

3T

4T

5T

6T

d.- El diagrama de ojos lo realizamos siguiendo el procedimiento descrito en el apartado e del problema 1 .

2 A

A

0

2T

e.- Antes de representar la señal en función del tiempo, buscamos una relación

entre T y el periodo de la señal portadora T p . f p  500Hz T p 

1 1 T   2ms  f p 500 2

Por tanto, por cada pulso transmitido de duración T debemos representar dos periodos de la señal portadora. 108


 A

t/T f.- La constelación es:

2 A A

El tipo de modulación es de amplitud ASK ( Amplitud ). Amplitud Shift Keying ). g.-

y(t)

FILTRO PASO BAJO

T

DECISIÓN

DECOD. DE LÍNEA

Mensaje digital

sen(2 500t )

h.- El mensaje sería una secuencia de ceros puesto que la señal a la salida del

demodulador coherente (a la salida del filtro paso bajo) sería nula.

109

Problemas resueltos de modulaciones analógicas y digitales - Leandro Juan Llácer

Recommend Documents