EJERCICIOS RESUELTOS DE MAGNETISMO
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
1. Considere el alambre ABCDA que muestra la figura, por el cual circula una corriente de I[A] en la dirección indicada suponga que BC Y DA son arcos de circunferencia .subtendido por el ángulo α[rad], tales que OA =OD =R [m] y OB =OC =2R [m]. calcule la inducción magnética B que produce en el centro o. Para las secciones de alambre DC y AB se logra apreciar que no existe inducción magnética con respecto al centro o debido a que este se encuentra en la misma dirección del eje del alambre Campo magnético para los arcos de circunferencia. µ˳𝐼
B=4𝜋 ∫
│𝑑𝑠𝑥µ𝑟│
µ˳𝐼
B=4𝜋 [∫ µ˳𝐼
𝑟2 │𝑑𝑠1│ 𝑅2
−∫
𝛼
1
│𝑑𝑠2│ 4𝑅 2 1
] 𝛼
B=4𝜋 [𝑅2 ∫0 𝑅𝑑ө − 4𝑅2 ∫0 2𝑅𝑑ө] µ˳𝐼
1
1
B=4𝜋 [𝛼(𝑅 − 2𝑅) ] µ˳𝐼𝛼 1
1
B= 4𝜋 [𝑅 (1 − 2) ] µ˳𝐼𝛼
B= 8𝜋
2. Por un largo conductor, cuya sección tiene la forma de un semianillo delgado de radio R[m], circula una corriente de intensidad I [A] entrando a la hoja. Por otro un largo conductor rectilíneo, ubicado sobre su eje, circular otra corriente de la misma intensidad, pero en sentido opuesto (ver en la figura). Calcule la magnitud y dirección de la fuerza por unidad de longitud entre ellos.
Se logra observar que en cada punto del semicírculo existe un componente en x de la fuerza que tiene una contraparte que lo anula, por tanto si calculamos la componente en “y” obtendremos la fuerza total por unidad de longitud sabiendo que el conductor
2
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
semicircular es siempre paralelo a el central dL ll B LA fuerza de una infinitesimal línea sobre el conductor semicírculo de longitud L es: df =I.ℓ.B.ds 𝑑𝑓 ℓ
∫ 𝑓
=I.B.ds
𝑑𝑓
=∫ ℓ µ˳𝐼 2
µ˳𝐼 2 𝑑𝑠 2𝜋𝑅 𝜋𝑅
= ∫ 𝑑𝑠 ℓ 2𝜋𝑅 0
𝑓 µ˳𝐼 2 = ℓ 2
3. La curva cerrada simétrica que muestra la figura, se construye a partir de 2 circunferencia concéntricas de radios R[m] y 2R[m],por ella se hace circular una corriente estacionaria de intensidad I [A], en el sentido que se señala. Encuentre la magnitud y dirección de la inducción magnética que produce en el centro o. Para solucionar este ejercicio bastará con interpretar correctamente la gráfica facilitada. Gracias a la misma, observamos que solo debemos hallar la contribución de los arcos de circunferencia de las circunferencias concéntricas ya que los segmentos de recta que los unen no tienen contribución en el centro o. µ˳𝐼
│B│=4𝜋 ∫
│𝑑𝑠𝑥µ𝑟│
│B│=
𝑟2
𝛼 2𝑅𝑑ө │B│=4𝜋 [4 ∫0 (2𝑅)2 µ˳𝐼
µ˳𝐼4 𝜋
𝜋 4
µ˳𝐼 𝛼
𝜋
𝜋 2
𝑅𝑑ө
+ 4 ∫𝛼 (𝑅)2 ]
│B│=4𝜋𝑅 [ 2 ∫0 𝑑ө + ∫ 𝑑ө]
µ˳𝐼 𝜋
𝛼
𝜋
𝜋𝑅 2
2
4
[ − ]como
µ˳𝐼𝜋 4
1
│B│= 𝜋𝑅 [8 − 8] 3µ˳𝐼
│B│= 8𝑅
│B│=𝜋𝑅 [ 2 + 2 − 𝛼]
3
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
4. El conductor de la figura, formado por 2 partes rectilíneas paralelas semi- infinitas y una semicircular de radio R[m], transporta una corriente de intensidad I [A] en la dirección indicada encuentre la magnitud y dirección del campo magnético que produce en el centro o. µ˳𝐼
│B│=4 ∏ ∫ µ˳𝐼
│B│=4𝜋 [∫
│𝑑𝑠𝑥µ𝑟│ 𝑟2
│𝑑𝑠3 𝑥µ𝑟│
│𝑑𝑠2 𝑥µ𝑟│
r12
r22
]-∫
│𝑑𝑠3 │
−∫
r32
Ahora como: 𝑅
r22 = 𝑥 2 + 𝑅 2
SI ө = arctan (𝑥 )
X=R cot ө
cuando x → 𝟎ө =
dx=−𝑅
𝜋 2 1
𝐶𝑆𝐶 2 ө𝑑ө cuando x → 𝟐𝑹ө = arctan (2)
Entonces r22 = 𝑅 2 (𝑐𝑜𝑡 2 ө + 1) = 𝑅 2 𝑐𝑠𝑐 2 ө𝑑ө Luego: µ˳𝐼
3𝜋
│B│=4𝜋 [∫02 µ˳𝐼
𝑑ө 𝑅
1
𝑎𝑟𝑐𝑡( ) 𝑅𝑠𝑒𝑛ө𝑐𝑠𝑐 2 ө𝑑ө 2
− 4 ∫𝜋
𝑅 2 𝑐𝑠𝑐 2 ө
2 1 2
𝑎𝑟𝑐𝑡( )
3𝜋
│B│=4𝜋𝑅 [ 2 + 𝐶𝑂𝑆ө│𝜋
]
]
2
µ˳𝐼
3𝜋
│B│=4𝜋𝑅 [ 2 +
2√5 5
]
5. Una corriente de intensidad I [A] circula por el conductor de la figura, formado por una parte rectilínea de longitud 2 R[m], ¾ de la circunferencia de R[m] y por otra parte
4
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
rectilínea semi infinita. Calcule la magnitud y dirección de la inducción magnética que produce en el centro O. Inicialmente descartamos la inducción de campo magnetico para la sección semi infinita por encontrarse en la misma dirección del eje de referencia, asi como la componente y del campo para la recta de longitud 2R µ˳𝐼
│B│=4𝜋 ∫
│𝑑𝑠𝑥µ𝑟│ 𝑟2
La inducción magnética del segmento semi esférico es opuesto a ds│µ𝑟│ µ˳𝐼
│B│=4𝜋 [∫
│𝑑𝑠1 𝑥µ𝑟1│ 𝑅2
𝑐𝑜𝑚𝑜 |µ𝑟1│ = 𝑑𝑠 3𝜋
µ˳𝐼4
│B│=4𝜋𝑅 [∫04 µ˳𝐼
𝑅𝑑ө 𝑅2
+∫
^
│𝑑𝑠2 𝑥µ𝑟2│ 𝑟22
│𝑑𝑠│ = 𝑅𝑑ө
2𝑅 𝑠𝑒𝑛ө𝑑𝑥
+ ∫0
𝑟22
]
15𝜋+4√5
│B│=4𝜋𝑅 [
10
]
µ˳𝐼
│B│=40𝜋𝑅 [15𝜋 + 4√5] 6. El alambre que muestra la figura, por el cual circula una corriente de intensidad I [A], está formada por un segmento rectilíneo de longitud R[m], dos de longitud 2R[m] y dos cuartos de circunferencias de radio R[m] y 2R[m]. calcule la inducción magnética B que produce en el centro O. El campo magnético total esta dado por la sumatoria de cada una de las contribuciones de los alambres en el centro o. µ˳𝐼
│B│=4𝜋 ∫ µ˳𝐼
│𝑑𝑠𝑥µ𝑟│
│B│=4𝜋 [∫
𝑟2 │𝑑𝑠1 𝑥µ𝑟1│ 𝑟12
−∫
│𝑑𝑠2 𝑥µ𝑟2│ 𝑟22
+∫
│𝑑𝑠3 𝑥µ𝑟3│ 𝑟32
+∫
│𝑑𝑠4 𝑥µ𝑟4│ 𝑟42
]
Como 𝑑𝑠1 ⊥ µ𝑟1 y│𝑑𝑠1│ = 2 𝑅𝑑ө 5
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
𝑑𝑠2 ⊥ µ𝑟2 y│𝑑𝑠2│ = 𝑅𝑑ө 𝑟32 = 𝑥 2 + 𝑅 2 Además dx=−𝑅𝑐𝑠𝑐 2 𝛼𝑑𝛼
X=R cot 𝛼 Luego:
𝑟32 =𝑅𝑐𝑜𝑡𝛼 2 + 𝑅 2 = 𝑅 2 (𝑐𝑜𝑡𝛼 2 + 1) 𝑟32 = 𝑅𝑐𝑠𝑐 2 𝛼 También 𝑅
Si 𝛼 = arctan (𝑥 ) Si x → 𝟎𝛼 = (𝜋/2) Si x → 𝟐𝑹𝛼 → arctan(1/2) 𝑟32 = 𝑥 2 + (2𝑅)2 Además: X=2R cot (𝜋 − ө) X=-2R cot (ө)𝑑𝑥 =2R𝑐𝑠𝑐 2 ө𝑑ө Luego: 𝑟42 =2𝑅 2 𝑐𝑜𝑡 2 ө + (2𝑅)2=(2𝑅)2 (cotө + 1) 𝑟42 =4𝑅 2 𝑐𝑠𝑐 2 ө Tambien si: 2𝑅
tan (𝜋 − ө) = 𝑥
𝜋 − ө = arctan(
2𝑅 ) 𝑥
ө = 𝜋 − arctan(
2𝑅 ) 𝑥 6
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
six → 𝟎ө = 𝜋 − 𝜋/2 ө = 𝜋/2 si x→ 𝟐𝑹 ө = 𝜋 − 𝜋/2ө = ( µ˳𝐼
𝜋 2𝑅𝑑ө 2 0 2𝑅 2
│B│=4𝜋 [∫
3𝜋 ) 4 𝜋 𝑅𝑑ө ∫0 𝑅2
−
𝜋 2
µ˳𝐼 1
1
𝑎𝑟𝑐𝑡( ) 𝑅𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑠𝑐 2 𝛼𝑑𝑥 2
+ ∫𝜋
𝜋 2
𝑅 2 𝑐𝑠𝑐 2 𝛼
2
𝑎𝑟𝑐𝑡
│B│=4𝜋 [2 ∫0 𝑑ө − ∫0 𝑑ө + 𝑐𝑜𝑠𝛼│𝜋 2
µ˳𝐼 𝜋
𝜋
│B│=4𝜋 [ 4 − 2 + µ˳𝐼 2√5
│B│=4𝜋 [
5
√2
2√5 5
1 2
3𝜋 2 4 𝑅𝑠𝑒𝑛ө𝑐𝑠𝑐 ө𝑑𝑥 𝜋 2 2 𝑅 𝑐𝑠𝑐 ө 2
+∫
]
3𝜋 4 𝜋 2
-cosө│ ]
√2
+2]
𝜋
+ 2 − 4]
µ˳𝐼
│B│=4𝜋 [8√5 + 5√2 − 5𝜋]
7. Considere el conductor ABDEFA que muestra la figura, donde DE=FA=L[m]. Son dos lados del cuadrado ADEF; AB y CD son partes de sus diagonales tales que AB=CD=AO/2; BC y EF son arcos de circunferencias con centro en O. por el circula una corriente de intensidad I [A] en la forma indicada. A) calcule la inducción magnética que produce en el centro O. B) encuentre la magnitud y dirección de la fuerza que ejerce sobre un electrón que pasa por O con rapidez vs [m/s] en dirección OE. Los segmentos AB y CD no contribuyen en el campo magnético total. Este último esta dado por la sumatoria de las contribuciones de los campos de los segmentos AF, DE y los arcos de circunferencia BC, FE
7
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
𝑅=
√2 √2 𝑙 = 𝑟= 𝑙 2 4
|𝐵| =
𝑀𝑜 𝐼 | 𝑑𝑠 𝑥 𝑢𝑟| ∫ 4𝜋 𝑟2 |𝐵| =
| 𝑑𝑠 𝑥 𝑢𝑟2 | | 𝑑𝑠 𝑥 𝑢2 | | 𝑑𝑠 𝑥 𝑢𝑟3 | | 𝑑𝑠 𝑥 𝑢𝑟4 | 𝑀𝑜 𝐼 [∫ + ∫ + ∫ + ∫ ] 2 2 2 4𝜋 𝑟2 𝑟2 𝑟3 𝑟4 2
𝑙
𝜋
√2𝑙
𝑙
2√2
𝜋/2 𝑙𝑑𝜃 4 2 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑑𝑥 𝑀𝑜 𝐼 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑑 4 2 |𝐵| = [∫ + ∫ + ∫ + ∫ 𝑙2 𝑙 √2𝑙 2 √2 4𝜋 − 𝑙 − 𝑙 𝑥 2 + 𝑙2 0 ( − 𝑥2 + 0 ) ( 2 𝑙)2 2 2 2 4 4 4
En la primera integral 𝑙
𝑙
X = 2 cot 𝜃 = 𝜃 = arctan(2𝑥) ; si x= 𝑙/2 => 𝜃 𝜋/4 y si x = -l/2 𝐿
dx = − 2 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃𝑑𝜃 En la tercera integral 𝑥=
𝑙 cot 𝛼 2
si x= 𝑙/2 => 𝜃 𝜋/4 y si x = -l/2
8
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
𝑙 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑠𝑐 2 𝛼 𝑑𝛼 2 𝑙
2
𝜋/4 𝑐𝑠𝑐 𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝑀𝑜 𝐼 4 𝜋/2 2 |𝐵| = [− ∫ + ∫ 𝑑𝜃 4𝜋 𝑙22 2 √2𝑙 0 0 4
𝜋/4
− 2∫ 0
𝑙 2
𝑐𝑠𝑐 𝜃
𝑐𝑠𝑐 2 𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑙22 4
𝜋/2
+ 2/√2𝑙 ∫
𝑐𝑠𝑐 2
𝑑𝜃
0
|𝐵| =
𝜋 𝑀𝑜 𝐼 𝜋 𝜋 4 [ 4 (−𝑐𝑜𝑠𝜃)]𝜋4 + 4√2 ( ) + 4[𝑐𝑜𝑠𝜃]| + 2√2 [ ]] 0 0 4𝜋𝐿 2 2
|𝐵| =
𝑀𝑜 𝐼 [2√2 𝜋 + √2 𝜋 + 4√2] 4𝜋𝐿
|𝐵| =
𝑀𝑜 𝐼 [3𝜋 + 4] 4𝜋𝐿
B) |F| = |q| |vxB| |F| = |q| |v| B => |F| =
√2𝑢0 |𝑞||𝑣|𝐼 4𝜋 𝐿
[3𝜋 + 2]
En dirección Fo por el signo negativo de la carga del electrón
8. A lo largo del circuito que muestra la figura circula una corriente de intensidad I [A] en el sentido indicado se sabe que AB=EA= 2L [m],BC=DE=2L [m],EA⊥ 𝐀𝐁,DE ⊥ 𝐀𝐄,BC⊥ 𝐀𝐁,OC⊥ 𝐎𝐃. calcule la induccion magnética que produce en el centro o del arco de circunferencia de radio L [m]. El campo magnetico total esta dado por la sumatoria de los segmentos de recta DE,EA,AB,BC, y por el arco de µ˳𝐼
circunferencia CD, la magnitud de estos se halla por la formula │B│=4𝜋 ∫
│𝑑𝑠𝑥µ𝑟│ 𝑟2
Hallando distancias
9
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
µ˳𝐼
│B│=4𝜋 ∫ │ ∫ ∫
𝑟22
+∫
𝑟2
µ˳𝐼
B
│𝑑𝑠2 𝑥µ𝑟2│
│𝑑𝑠𝑥µ𝑟│
│ 4∏ ∫ │𝑑𝑠3 𝑥µ𝑟3│ 𝑟32
+∫
│𝑑𝑠1 𝑥µ𝑟1│ 𝑟12 │𝑑𝑠4 𝑥µ𝑟4│ 𝑟42
− +
│𝑑𝑠5 𝑥µ𝑟2│ 𝑟52 µ˳𝐼
𝑙 𝑠𝑒𝑛ө𝑑𝑥
│B│=4𝜋 [∫0
𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥
+ 2 ∫0
𝑥 2 +𝑙2
𝑥 2 +𝑙2
𝑙 𝑠𝑒𝑛ß𝑑𝑥
+ 2 ∫0
𝑥 2 +𝑙2
𝑙 𝑠𝑒𝑛ø𝑑𝑥
+ ∫0
𝑥 2 +𝑙2
𝜋
+ ∫02
2𝑑ө 𝑙2
]
Debido a que ө, ß, 𝛼 𝑦 ø 𝑠𝑜𝑛 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑑𝑎𝑠, 𝑑𝑖𝑐ℎ𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑟 µ˳𝐼4
𝑙 𝑠𝑒𝑛ө𝑑𝑥
1
𝜋
𝑥 2 +𝑙 2
Si x= l cotө
dx=-1csc2өdө → ө =arctan (𝑥)
𝑙2
] 𝑙
Si x→ 𝟎 → ө = Si x→ 𝟏 → ө = µ˳𝐼
+ 𝑙 ∫02
2𝑑ө
│B│= 4𝜋 [6 ∫0
𝜋
│B│=4𝜋 [−6 ∫𝜋4
𝜋 2 𝜋 4
𝑠𝑒𝑛ө𝑙cs𝑐 2 өdө 𝑙 2 cs𝑐 2 ө
2
1 𝜋
+ 𝑙 ( 2 )]
𝜋
µ˳𝐼 𝜋
│B│=4𝜋𝑙 [ 2 + 6(𝑐𝑜𝑠ө)│𝜋2 ] 2
µ˳𝐼 𝜋
│B│=4𝜋𝑙 [ 2 +
6√2 2
]
µ˳𝐼
│B│=8𝜋𝑙 [𝜋+6√2] 9. A lo largo del circuito ABCDEA que muestra la figura circula una corriente de intensidad I [A] en sentido, indicado. Se sabe que AB=EA= 2L [m],BC= DE=L [m], EA 10
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
⊥ 𝐀𝐁, DE ⊥ 𝐀𝐄, BC⊥ 𝐀𝐁 Y OC⊥ 𝐎𝐃. Calcule la inducción magnética que produce en el centro O delarco de circunferencia de radio L [m]. La sumatoria de las contribuciones de los segmentos de recta EA,AB, y el arco DC conforman el campo magnético total. ED y CB no son tenidos en cuenta por razones anteriormente expuestas.
µ˳𝐼
│B│=4𝜋 ∫ │B│
µ˳𝐼 4∏ µ˳𝐼
│𝑑𝑠𝑥µ𝑟│ 𝑟2
[∫
│𝑑𝑠3 𝑥µ𝑟3│ 𝑟32
2𝑙 𝑠𝑒𝑛ө𝑑𝑥
│B│=4𝜋 [∫0
−∫ 𝜋
│𝑑𝑠1 𝑥µ𝑟1│ 𝑟12
𝑠𝑒𝑛ø𝑑𝑥
𝜋
−∫
│𝑑𝑠2 𝑥µ𝑟2│
]
𝑟22
𝑑ө
− ∫02 𝑥 2 +2𝑙2 + ∫02 𝑙2 ] 𝑥 2 +4𝑙2
Para la primera integral Si x=2l cotө
2𝑙
dx=-2l csc2өdө → ө =arctan ( 𝑥 )
Si x→ 𝟎 → ө =
𝜋 2
Si x→ 𝟐𝒍 → ө =
𝜋 4
11
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
Para la segunda integral. Si x=2l cot(𝜋 − ө) 2𝑙
Si x=-2l cotө)
dx=-2l csc2өdө → ө =π-arctan ( 𝑥 )
Si x→ 𝟎 → ө =
𝜋 2
Si x→ 𝟐𝒍 → ө = │B│=
µ˳𝐼 1
3𝜋 4 𝜋 2 4 𝑠𝑒𝑛ө2𝑙cs𝑐 өdө 𝜋 4𝑙2 cs𝑐 2 ө 2
𝜋 2
[ ∫ dө + ∫
4𝜋 𝑙 0
𝜋 4 𝜋 2
µ˳𝐼 𝜋
3𝜋 2 4 𝑠𝑒𝑛ө2𝑙cs𝑐 өdө 𝜋 4𝑙2 cs𝑐 2 ө 2
+∫
]
3𝜋 4 𝜋 2
│B│=4𝜋𝑙 [ 2 − (𝑐𝑜𝑠ө)│ − (𝑐𝑜𝑠ө)│ ] µ˳𝐼 𝜋 √2
│B│=4𝜋𝑙 [ 2 - 2 +
√2 ] 2
µ˳𝐼
│B│= 8𝑙
10) La figura de un largo conductor cilíndrico de radio R [m], por el cual circula axialmente una corriente de intensidad I [A]. Paralelamente a una distancia 2R de su eje, circula una corriente de la misma intensidad, pero en sentido contrario, por un largo conductor rectilíneo. Calcule la magnitud y dirección de la inducción magnética que esta distribución de corriente produce en los puntos P,S y T, ubicados donde se indica. Explique bien. 3𝑅/2
∮ 𝐵. 𝑑𝑠 = 𝑀0 [ 𝐼𝑜 − ∫𝑅
𝐼 𝑑𝑠
3𝑅/2
𝐼𝑜 = 2𝜋 ∫
𝑘 𝑣 2 𝑑𝑟
𝑅
12
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
𝑟 3 3/2𝑅 27𝑅 3 𝑅 3 𝐼𝑜 = 2𝜋 [ ] |𝑅 = 2𝜋 [ − ] 3 8 (3) 3 27 1 27 − 1 2𝜋𝑘𝑅 3 3 𝐼𝑜 = 2𝜋 𝑘𝑅 [ − ] = 2𝜋𝑘𝑅 [ ]= (19) 8 3 24 24 3
Luego 𝑘 =
12 𝐼𝑜 19 𝜋 𝑅 3 2𝑅 1250
Calculando 𝐼 = ∫ 𝐽. 𝑑𝑠 = 2𝜋 ∫𝑅 𝐼=
19𝜋𝑅 3
𝑉 2 𝑑𝑣 =
24 𝐼𝑜 19 𝑅 3
[
𝑟3 3
] |2𝑅 𝑅
24 𝐼𝑜 7 56 𝐼𝑜 [ ] = 𝐼𝑜 19 3 19
b) ∮ 𝐵. 𝑑𝑠 = 𝑈𝑜 [ 𝐼𝑜 −
𝐵 ∫ 𝑑𝑠 = 𝑈𝑜 𝐼𝑜 [
19 56 − ] 19 19
𝐵 (2𝜋𝑟) = 𝑈𝑜 𝐼𝑜 (− 𝐵=
36 𝐼𝑜 ] 19
37 ) 19
−37 𝑈𝑜 𝐼𝑜 𝑆𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝐻𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 38 𝜋 𝑟
11) Un largo conductor cilíndrico de radio R [m], tiene dos cavidades de diámetro R atreves de toda su longitud, como se ve en la figura. Una corriente de intensidad I [A]. dirigida hacia afuera de esta hoja esta uniformemente distribuida atreves de la sección transversal del conductor (parte ”achurada”). Determine la magnitud y dirección del campo magnético en el punto P, en términos de 𝑈𝑜, 𝐼𝑜 , 𝑟 𝑦 𝑅. ∮ 𝐵 𝑑𝑠 = 𝑈𝑜 [ 𝐼 − 𝐼𝑜 ]
13
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO 5
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐼𝑜 = 25
𝐼𝑜 =
4
𝐼𝑜 =
4
𝜋 [(3 𝑅)2 − (2𝑅)2 ] 𝜋 (9𝑅 2 − 4𝑅 2)
𝑅 2 − 4𝑅 2
9𝑅 2 − 4𝑅 2 9
5
𝐼´ =
𝐼´
𝐼´
9 𝐼´ 20
Como B = 0 𝑈𝑜 [ 𝐼 − 𝐼´ =
9 𝐼´] 20
20 𝐼 9
Luego el campo magnético es ∮ 𝐵 𝑑𝑠 = 𝑈𝑜 [ 𝐼 −
20 𝐼] 9
𝐵 ∮ 𝑑𝑠 = 𝑈𝑜 𝐼 [9 −
𝐵 (2𝜋𝑟) = −𝑈𝑜 𝐼
20 ] 9
11 11 𝐼𝑈𝑜 => 𝐵 = − → 𝑆𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑖ℎ𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 9 18 𝜋𝑟
−2𝑟 2𝜋 3 3 = 9𝑅 − 3 4𝑅 7𝑅 −7𝑅 2 𝑟 = 18𝑅 3 − 43
12. la figura muestra dos largos cilindros paralelos de iguales radios R [m], por cuyas secciones circulan corrientes axiales de iguales intensidades I [A]. en la misma dirección. Calcule la magnitud del campo magnético B que producen en un punto que esta a una distancia x del eje de uno de los cilindros, en los casos x ≤ R, R≤ x ≤ (0-R)≤x ≤D. 14
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
Calculando el campo (B), en todo el espacio. Para r
∮ ⃓𝐵1 ⃓ 𝑑𝑠 = µ˳𝐼 donde 𝐼˳=𝑅2 𝐼 µ˳𝑟 2 𝐼 𝐵1 ∫ 𝑑𝑠 = 2 𝑅 ⃓𝐵1 ⃓ =
µ˳𝑟 2 𝐼
2Ԥ𝑟𝑅 2
=
µ˳𝑟𝐼 2Ԥ𝑅 2
Para r>R ∮ 𝐵 𝑑𝑠=µ˳𝐼 B∮ 𝑑𝑠=µ˳𝐼 B=
µ˳𝐼
2Ԥ𝑟
Luego para el punto b donde 𝑟1 = 2𝑅𝑟2 = 2𝑅 𝑦 𝐵, 𝐵1 en dirección –j ⃓B⃓ =
µ˳𝐼
+
µ˳𝐼
+
4Ԥ𝑅 4Ԥ𝑅
µ˳𝐼 2Ԥ𝑅
Para el punto q donde 𝑟1 = 6𝑅 dirección j. ⃓B⃓ =
µ˳𝐼
Y 𝑟2 =2R y 𝐵1 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 − 𝑗 𝑦 𝐵2 en
µ˳𝐼
-
4Ԥ𝑅 12Ԥ𝑅 µ˳𝐼 1
1
Ԥ𝑅 4
12
⃓B⃓ = ⃓B⃓ =
⦋ −
µ˳𝐼
⦋
3
Ԥ𝑅 12
⃓B⃓ =
−
⦌
1 12
⦌
µ˳𝐼 1
⦋ ⦌
Ԥ𝑅 6
⃓B⃓ =
µ˳𝐼
6Ԥ𝑅
15
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
13. Suponga que el sistema que muestra la figura se encuentra en el plano vertical, donde g[m/𝑠 2 ]es la aceleración de gravedad constante. El largo alambre rectilíneo esta fijo, y por el circula una corriente de intensidad I[A] en la dirección indicada. La espira rectangular, de los lados a [m] y b[m], está ubicada paralelamente a una distancia d[m] del alambre, tiene una masa m[kg] y está libre para moverse. Encuentre la intensidad 𝐼2 de la corriente que debe hacerse circular por ella, justificando el sentido, para que permanezca en reposo en la posición señalada.
Realizando sumatoria de fuerzas en y’ y x’ ∑ 𝑓𝑦 = 0 ∑ 𝑓𝑥 = 0 f𝑏3 - f𝑏4 -m*g=0
f𝑏2 - f𝑏1 =0
usando los vectores B y dl │𝐵𝑥𝑑𝑙│=│𝐵𝑥 𝑑𝑙│ luego: I2 │ ∫ 𝑑𝑙1 𝑥𝐵1 │ − 𝐼2 │ ∫ 𝑑𝑙2 𝑥𝐵2 │ = 𝑚 ∗ 𝑔 I2[𝐵 ∫ 𝑑𝑙1 │ − 𝐼2 │𝐵 ∫ 𝑑𝑙2 │=m*g I2 [𝐵1 (𝑏) − 𝐵2 (b)⦌=m*g I2⦋
µ˳𝐼(𝑏) 2Ԥ𝑑
−
µ˳𝐼
I2µ˳𝐼(𝑏) 1 2Ԥ𝑑
I2⦋
1
⦋ − 𝑑
𝑑 𝑑(𝑑+𝑎)
⦌=m*g
2Ԥ(𝑑+𝑎)
𝑑+𝑎
⦌=m*g
2𝑚𝑔Ԥ
⦌=
µ˳𝐼𝑏
16
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
I2=
2𝑚𝑔Ԥ µ˳𝐼𝑏
Como f 𝑏3 > f 𝑏4 , f 𝑏0 debe ir al contrario de µ˳, 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜.
f 𝑏4 y
14. Calcule la fuerza que ejerce el alambre rectilíneo infinito sobre el conductor rectilíneo paralelo a el, si por ambos circulan corriente de igual densidad I[A] en las direcciones indicadas.
Nota: la fuerza en los lados son iguales y en sentido contrario por lo tanto se anulan la fuerza total está dada por: 𝑓𝑟𝑐 = 𝑓1 − 𝑓2 𝑓𝑟𝑐 = I│ ∫ 𝑑𝑙1 𝑥𝐵1 │ − 𝐼2 │ ∫ 𝑑𝑙2 𝑥𝐵2 │𝑑𝑙1 𝑦 𝑑𝑙2 𝑓𝑟𝑐 = I[𝐵 ∫ 𝑑𝑙1 │ − 𝐼2 │𝐵 ∫ 𝑑𝑙2 │ 𝑓𝑟𝑐 = I2⦋ 𝑓𝑟𝑐 =
µ˳𝐼(𝑎) 2Ԥ𝑐
−
µ˳𝐼𝑎 2Ԥ(𝑐+𝑏)
𝐼 2 µ˳𝐼𝑎𝑏 1 2Ԥ𝐶
⦋ − 𝑐
1 𝑐+𝑏
⦌
⦌
𝐼 2 µ˳𝐼𝑎𝑏 𝑓𝑟𝑐 = 2Ԥ𝑐(𝑐 + 𝑏)
17
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
15. Por el conductor que muestra la figura circula una corriente de intensidad I[A].calcule la magnitud y dirección de la fuerza que ejerce sobre el electrón, cuando este pasa por el centro o con rapidez v[m/s],en la dirección señalada.
f= q│(𝑣 ∗ 𝐵)│
luego
f= q│𝑣││𝐵│
f=µ˳𝐼│𝑞││𝐵│
│B│= │B│= │B│= │B│= │B│=
µ˳𝐼
∫ 4𝜋 µ˳𝐼
4𝜋𝑅 2 µ˳𝐼
│𝑑𝑠𝑥𝑉𝑟│ 𝑟2
ds⊥ µ𝑟1
∫ 𝑑𝑠 │ds│=Rdө
después como v(f) y B(x) luego
𝜋
∫ Rdөf’(←) por el signo negativo del 4𝜋𝑅 2 0 µ˳𝐼 4𝜋𝑅 µ˳𝐼 4𝑅
│𝜋│
elerctron.
entrando al papel.
18
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
16. considere una corriente de intensidad I[A].a lo largo del circuito que muestra la figura compuesta por 2 porciones semicirculares, de radios 𝑅1 [m] y 𝑅2 [m] y dos rectilíneas. Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza que ejerce una carga puntual q<0 [c]cuando esta pasa paso por el centro O con una velocidad v[m/s]perpendicular a los segmentos rectilíneos. Calculando el campo magnético │B│= |𝐵| =
|𝐵| = |𝐵| =
µ˳𝐼 4∏
∫
µ𝑜 𝐼 4𝜋
µ𝑜 𝐼 4𝜋
│𝑑𝑠𝑥µ𝑟│ 𝑅2 |𝑑𝑠|
|𝑑𝑠𝑥𝑢2 |
1
𝑅2 2
[∫ 𝑅 2 + ∫ 𝜋
[∫
Rdө
0
µ𝑜 𝐼𝜋 1 4𝜋
d𝑠1
𝑅1
2
𝜋
−∫ 0
]|𝑑𝑙|=Rdө
𝑟2 dө 𝑅2 2
⦌
1
⦋𝑅2 − 𝑅 2⦌ entrando al papel. 2
Luego:
f= q│(𝑣 ∗ 𝐵)│v⊥ 𝐵 f= q│𝑣││𝐵│ µ˳𝐼q│𝑣││𝐵│ 1 1 ⦋𝑅 − 𝑅 ⦌a 4 1 2
𝑓=
la izquierda porque q< 0.
17. Encuentre la magnitud y la dirección de la inducción magnética en el centro O, debido a la reducción de la corriente de intensidad I [A] que circula por el conductor ABCDA de la figura. BC y DA son arcos de circunferencia de radio OB=OC=R[m], y DA=OD=2R[m], mientras ˂AOD=˂BOC=π/2[Rad].
19
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
Para solucionar este ejercicio se deben hallar las contribuciones de los dos arcos de 3
1
circunferencia de 4 𝑦 µ˳𝐼
│B│=4𝜋 ∫ µ˳𝐼
4
en el centro o, para esto se emplea la formula
│𝑑𝑠1 𝑥𝑑𝑙│ 𝑟2
│B│=4𝜋 [∫
│𝑑𝑠 │ 𝑅2 𝜋
µ˳𝐼
│B│=4𝜋𝑅 [∫02
𝑅 2 dө 𝑅2
𝜋
µ˳𝐼
+∫
│𝑑𝑠 │ 4𝑅 2
]
donde ds= fdө
2𝜋 2𝑅 2 dө
+ ∫𝜋 2
1
4𝑅 2
]
2𝜋
│B│=4𝜋𝑅 [∫02 dө + 2 ∫𝜋 dө] 2
µ˳𝐼
𝜋
𝜋
𝑟
│B│=4𝜋𝑅 [ 2 + 2 [2 − 2]] µ˳𝐼𝜋
1
│B│=8𝜋𝑅 [1 + 2 + 2] 5µ˳𝐼
│B│=16𝑅
18. Encuentre la intensidad y el sentido de la corriente que debe circular por la espira de R[m] y masa M[kg] que muestra la figura, para que se mantenga en reposo en el plano vertical, en la posición que indica. La inducción magnética es uniforme, tiene magnitud B[T] y dirección entrando al plano vertical en que esta la espira, en el semiplano, siendo nula en el inferior. Por definición Fb= m.g ^ dl⊥ 𝐁 Asi mismo F=I│ ∫ 𝑑𝑎𝑥𝐵 │ Entonces I│ ∫ 𝑑𝑎𝑥𝐵 │ = 𝑚. 𝑔 Usando un diferencial de línea en coordenadas polares. 𝐁=𝟎 Análisis: las fuerzas en x se anulan porque cada uno tiene una contraparte con misma magnitud y sentido contrario. Luego como dl⊥ 𝐁 20
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO 𝑅
0
IB=∫ 𝑑𝑙 = 𝑚. 𝑔 →IB[∫0 dy − ∫𝑅 dy] = 𝑚. 𝑔 𝑚.𝑔
IB[𝑅 + 𝑅] = 𝑚. 𝑔 → I=2𝐵𝑅 19. Por un alambre rectilíneo muy largo, doblado en la forma que muestra la figura, circula una corriente de intensidad I [A] en dirección indicada. Parte de el se encuentra en el interior de la región cilíndrica de radio R[m], donde existe un campo magnético axial y uniforme de inducción B[T]. en el exterior de ella el campo es nulo. Calcule la magnitud y dirección de la fuerza que ejerce sobre el alambre. Sacando las componentes en x: Fx=I[│ ∫ 𝑑𝑙1 𝑥𝐵 │ − │ ∫ 𝑑𝑙2 𝑥𝐵 │] Fx=I[𝐵 ∫ 𝑑𝑙1 − 𝐵 ∫ 𝑑𝑙2 ] Fx=I[𝐵𝑅 − 𝐵𝑅𝑐𝑜𝑠𝛼] Fx=IBR[1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼] Sacando las componentes en y Fy=I[│ ∫ 𝑑𝑙2 𝑥𝐵 │] Fy= I∫ │𝑑𝑙2 𝑥𝐵 │ 𝑅𝑠𝑒𝑛𝛼
Fy= I𝐵 ∫ 𝐵 ∫0
dy
Fy= IB 𝑅𝑠𝑒𝑛𝛼 Luego el modulo de la fuerza. √𝐼 2 𝐵 2 𝑅 2 [(1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼)2 + 𝑠𝑒𝑛2 𝛼] Ft=𝐼𝐵𝑅 √[1 − 2𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛2 𝛼] Ft=𝐼𝐵𝑅 √2(1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼)
luego como
21
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
𝑠𝑒𝑛2
𝛼 1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 2 2 𝛼
Ft=𝐼𝐵𝑅 √4𝑠𝑒𝑛2 2 𝛼
Ft=2𝐼𝐵𝑅 𝑠𝑒𝑛 2
La dirección es : 𝑠𝑒𝑛𝛼
Ө=arctan(1−𝑐𝑜𝑠𝛼) Si vamos a la definición de estas funciones trigonométricas encontramos que
Luego en la grafica Tanß=
𝑠𝑒𝑛𝛼
1−𝑐𝑜𝑠𝛼
Donde ß=π-α 𝑠𝑒𝑛𝛼
Luego tan(π-α)=1−𝑐𝑜𝑠𝛼 Ahora Ө=arctan(tan(π-α)) Ө=(π-α) es la dirección de la fuerza ejercida sobre el alambre.
20. Una corriente rectilínea infinita de intensidad I [A] circula en dirección positiva del eje x. otra corriente de igual intensidad lo hace por un circuito formado por dos corrientes semicirculares de radio R [m]. y dos rectilíneas paralela de longitud 2R. Calcule la magnitud
22
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
y dirección de la fuerza que ejerce la primera sobre la segunda. Ft=I[│ ∫ 𝑑𝑙1 𝑥𝐵 │ Ft=I[∫ │𝑑𝑙1 𝑥𝐵1 │ + ∫ │𝑑𝑙2 𝑥𝐵2 │ + ∫ │𝑑𝑙3 𝑥𝐵3 │ + ∫ │𝑑𝑙4 𝑥𝐵4 │] Puesto de 𝑑𝑙1 ⊥𝐵1
y 𝑑𝑙3 ⊥ 𝐵3
Ft=I [∫ │𝑑𝑙2 𝑥𝐵2 │ + ∫ │𝑑𝑙4 𝑥𝐵4 │] Ft=I [∫ │𝑑𝑙𝑥𝐵2 │ + ∫ │𝑑𝑙𝑥𝐵4 │] µ˳𝐼𝑅
2µ˳𝐼
Ft= I[2𝜋𝑅 𝑗𝑑𝑙 + 2𝜋𝑅 ∫ 𝑑𝑙] µ˳𝐼 2 𝑅
Ft= I[
𝜋𝑅
=
2µ˳𝐼 2 𝜋
𝑁
(𝑚∗𝑗)
21. una corriente rectilínea infinita de intensidad I [A] circula en dirección positiva del eje x. otra corriente de igual intensidad lo hace por un circuito formado por dos corrientes semicirculares de radio R [m]. y dos rectilíneas paralela de longitud 2R en sentido que se indica. Calcule la magnitud y dirección de la fuerza que ejerce la primera sobre la segunda. Ft=I[│ ∫ 𝑑𝑙1 𝑥𝐵 │ Ft=I[∫ │𝑑𝑙1 𝑥𝐵1 │ + ∫ │𝑑𝑙2 𝑥𝐵2 │ + ∫ │𝑑𝑙3 𝑥𝐵3 │ + ∫ │𝑑𝑙4 𝑥𝐵4 │] Puesto de 𝑑𝑙2 ⊥𝐵2
y 𝑑𝑙4 ⊥ 𝐵4
Ft= I [∫ │𝑑𝑙2 𝑥𝐵2 │ + ∫ │𝑑𝑙4 𝑥𝐵4 │] Ft= I [𝐵2 ∫ 𝑑𝑙 + 𝐵4 ∫ 𝑑𝑙] µ˳𝐼2𝑅
Ft=2I [ 2𝜋𝑅 ] Ft=
2µ˳𝐼 2 𝑅 𝜋
con dirección j
23
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
22. En el plano del circuito rectangular PQRS que muestra la figura, por el cual circula una corriente de intensidad I [A], se ubica una corriente rectilínea infinita de igual intensidad. (a) Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza que ésta ejerce sobre los lados QR y SP del rectángulo. (b) ¿Qué fuerza (magnitud y dirección) debe ejercer un agente externo para mover el rectángulo con velocidad constante? Explique. (c) ¿Para qué valor de x la fuerza sobre el lado PQ tiene una magnitud que triplica a la que se ejerce sobre el lado RS?
a) La fuerza magnética está definida por la formula 𝐹 = 𝐼 ∫→→ ∴→ ⊥→ 𝐵 𝑑𝑙
𝑑𝑙
𝐵
𝑋+𝑎
𝜇𝐼 𝑑𝑙 ∫ 2𝜋 𝑥 𝑙 𝜇𝐼 𝑥+𝑎 𝐹= ln 𝑙 { 𝑥 2𝜋 𝜇𝐼 [ln(𝑥 + 𝑎) − ln(𝑥)] 𝐹= 2𝜋 𝐹 = 𝐼 ∫ 𝐵𝑑𝑙 =
𝜇𝐼
b) 𝐹 = 2𝜋 (𝑙𝑛
𝑥+𝑎 𝑥
) 𝑙a fuerza dbe ser equivalente
en magnitud a la suma de las fuerzas que se ejercen en el tramo PQ Y RS 𝐹𝑒𝑥 = 𝐹𝑝𝑞 = 𝐹𝑅𝑆 Fex =
𝜇𝐼 2 𝑏 2𝜋𝑥
𝜇𝐼 2 𝑏
− 2𝜋(𝑥+𝑎)
𝜇𝐼 2 𝑏 1 1 Fex = [ − ] 2𝜋 𝑥 𝑥 + 𝑎 𝜇𝐼 2 𝑏𝑎
Fex = 2𝜋(𝑥+𝑎)
F2
Debe ser a la derecha para contrarrestar la fuerza F1 que es mayor a la F2 y asi equilibrarse 24
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
𝐹𝑝𝑞 = 3𝐹𝑅𝑆 𝜇𝐼 2 𝑏 3𝜇𝐼 2 𝑏 = 2𝜋𝑥 2𝜋(𝑥 + 𝑎) Simplificando 1 3 = 𝑥 (𝑥 + 𝑎) Evaluando 𝑥 + 𝑎 = 3𝑥 2𝑥 = 𝑎 𝑎 𝑥= 2 23. Una corriente de intensidad I [A] circula por un conductor rectilíneo infinito. Otra de igual intensidad lo hace por una espira en forma de triángulo rectángulo isósceles de cateto L [m], como se observa en la figura, con el lado PQ paralelo al conductor rectilíneo. Ud. debe calcular la fuerza que ejerce el conductor rectilíneo sobre cada lado de la espira triangular. 1) Lado vertical 𝐹2 = 𝐹 = 𝐼 ∫→→ ∴→ ⊥→ 𝐵 𝑑𝑙
𝑑𝑙
𝐵
2𝑙
𝐹2 = 𝐼 ∫ 𝐵𝑑𝑙 =
𝜇𝐼 𝜇𝐼 ∫ 𝑑𝑙 2𝜋 𝑙 2𝜋𝑙
𝜇𝐼 2 2𝑙 ln 𝑙 { 𝑙 2𝜋 𝜇𝐼 [ln(𝑙) − 2ln(2𝑙)] 𝐹2 = 2𝜋 𝐹2 =
𝐹2 = 𝑥=
√2 𝑙 2
𝑦=
√2 𝑙 2
l
ln(2)𝜇𝐼 2 2𝜋
𝑖̂
y
45° L
Módulo de diferencia de line es 25
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO 2
𝑑𝑙 = √(𝑥 ′ (𝑙)) + (𝑦 ′ (𝑙))
𝑑𝑙 = √
2
√2 √2 + 𝑑𝑙 2 2
𝑑𝑙 = 𝑑𝑙 𝐹3 = 𝐼 ∫→→ 𝐵 𝑑𝑙
𝜇𝐼 2𝑙 𝑑𝑙 𝐹3 = 𝐼 ∫ 𝐵𝑑𝑙 = ∫ 2𝜋 𝑙 √2 𝑙 2
4𝑙 𝐹3 =
𝜇𝐼
2
ln 𝑙 √2 2𝑙 √2𝜋 {√2
𝐹3 =
𝐹3 =
𝜇𝐼 2
4𝑙
ln[ √2 ] √2𝜋 √2 𝑙 2 2 𝜇𝐼
√2𝜋
ln(2)
24. Una corriente de intensidad I [A] circula por el conductor de la figura, donde la parte curva es un arco de circunferencia con centro en O. Halle la magnitud y dirección del campo magnético que produce en O.
r
√2 𝑙 2
√2 𝑙 2
𝐵=
𝜇𝐼 𝜇𝑟 𝑥 𝑑𝑠 ∫ 4𝜋 𝑟2
26
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
𝐵=
𝜇𝐼 𝜇𝑟2 𝑥 𝑑𝑠2 𝜇𝑟1 𝑥1 ∫ − 4𝜋 4𝑟 2 4𝑟 2 𝜋
√2
𝑙 2 𝜇𝐼 2 2𝑙 𝐵= [∫ 2 𝑑𝜃 − ∫ √2 4𝜋 0 4𝑙 𝑙 2
Si 𝑥 =
√2 𝑙 cot 𝜃 2
𝑥=−
√2 𝑙 csc 𝜃 2 𝑑𝜃 2
∧
𝜋
sin 𝜃 𝑥7
𝑟1 =
+
2 𝑑𝑥 √2 ( 2 𝑙)
√2 𝑙 csc 𝜃 2
𝜋
√2
2 4 sin 𝜃 ∗ (𝐵 = 2 𝑙 ∗ csc 𝜃 ) 𝑑𝜃 𝜇𝐼 1 2 𝐵= [ ∫ 𝑑𝜃 + 2 ∫ ] 2 𝜋 4𝜋 2𝑙 0 √2 2 2 ( 2 𝑙) csc 𝜃
𝜋 𝜇𝐼 𝜋 4 4 𝐵= [ − (cos 𝜃) {𝜋 4𝜋𝑙 4 √2 2 𝐵=
𝜇𝐼 𝜋 4 √2 [ − [ ]] 4𝜋𝑙 4 √2 2
𝐵=
𝜇𝐼 𝜋 − 8 [ ] 4𝜋𝑙 4 𝜇𝐼
𝐵 = 16𝜋𝑙 [𝜋 − 8] Saliendo del papel
25. Considere un cable coaxial muy largo de radio a[m], b[m] y c[m], el cual conduce una corriente de intensidad I [A] uniformemente distribuida como se ve en la figura (“entra” por el exterior y “sale” por el interior) obtenga la induccion magnetica B en todo el espacio.
∮ 𝐵𝑑𝑠 = 𝜇𝐼
∮ 𝐵𝑑𝑠 =
𝜇𝐼𝑟 2 𝑎2 27
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
𝐼0 𝜋𝑟 2 = 2 𝑙 𝜋𝑎 𝑟2 𝐼0 = 2 𝐼 𝑎 𝜇𝐼𝑟 2 𝐵 ∫ 𝑑𝑠 = 2 𝑎 𝜇𝐼𝑟 2 𝜇𝐼𝑟 𝐵= = 2𝜋𝑟𝑎2 2𝜋𝑎2 Cuando 𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏 𝐵 ∮ 𝑑𝑠 = 𝜇𝐼 𝐵(2𝜋𝑟) = 𝜇𝐼 𝐵=
𝜇𝐼 2𝜋𝑟
Luego 𝐵 ∫ 𝑑𝑠 =
𝜇(𝐼 2 − 𝑎2 ) 𝐼 𝑏 2 − 𝑎2
𝜇(𝐼 2 − 𝑎2 ) 𝐵(2𝜋𝑟) = 2 𝐼 𝑏 − 𝑎2
26. La figura muestra la seccion de dos largos cilindros coaxiales de radios R[m] y 2R[m]. A través de la seccion del primero circula axialmente una corriente de intensidad I[m] uniformemente distrbuida. A través de la región comprendida entre ambos circula una corriente de intensidad 2I, en sentido contrario, con una intensidad que es diferente proporcional a la distancia al eje. Encuentre todos los puntos donde el campo
28
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
magnéticos: a) es nulo b) Tiene una magnitud igual a la mtad de su valor maximo. a) Cuando 𝑑𝑠 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝐼 = ∫ 𝐽 𝑑𝑠 2𝜋
𝐼=∫
𝑅
∫ 𝑘(𝑅 − 𝑟) 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃
0
0
2𝜋
𝑅
∫ 𝑘(𝑅𝑟 − 𝑟 2 ) 𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝐹0= ∫ 0
0 2𝜋
𝑅
𝐹0=𝑘 ∫ 𝑑𝜃 ∫ (𝑅𝑟 − 𝑟 2 )𝑑𝑟 0
0 2𝜋
𝑅𝑟 2 𝑟 3 𝑅 𝐼 = 𝑘 ∫ 𝑑𝜃 [ − ]{ 2 3 0 0 𝑅3 𝑅3 𝐼 = 𝑘(2𝜋) [ − ] − (0) 2 3 3𝑅 3 2𝑅 3 𝐼 = 𝑘(2𝜋) [ − ] 6 6 𝑅3 𝑘𝜋𝑅 3 𝐼 = 𝑘(2𝜋) [ ] = 0 3 𝑘=
3𝐼 𝜋𝑅 3
b) Para r
𝑟
𝐵𝑑𝑠 = 𝜇 ∫
∫
0
0
3𝐼 (𝑅 − 𝑟)𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝜋𝑅 3
𝑟 3𝜇𝐼 (2𝜋) ∫ (𝑅𝑟 − 𝑟 2 )𝑑𝑟 𝐵 = (2𝜋𝑟) = 𝜋𝑅 3 0
29
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
𝐵=
3𝜇𝐼 𝑅𝑟 2 𝑟 3 𝑟 [ − ]{ 𝜋𝑟𝑅 3 2 8 0
3𝜇𝐼 3𝑅𝑟 2 − 2𝑟 3 𝐵= [ ] 𝜋𝑟𝑅 3 6 𝐵=
3𝜇𝐼(3𝑅 − 2𝑟)𝑟 2 6𝜋𝑟𝑅 3
=
𝜇𝐼(3𝑅 − 2𝑟)𝑟 6𝜋𝑅 3
c) Parar>R ∫ 𝐵𝑑𝑠 = 𝜇𝐼 ∫ 𝐵𝑑𝑠 = 𝜇𝐼 𝐵=
𝜇𝐼 2𝜋𝑟
30
