PROBLEMAS RAZONADOS DE ALGEBRA

ÁLGEBRA. Parte de las Matemáticas que se dedica en sus aspectos más elementales. a resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Los algoritmos de resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones han ocupado a muchos matemáticos a lo largo de la historia. Así, se conoce la existencia de problemas resueltos por procedimientos algebraicos, que datan del año 1900 a. C.. El lenguaje simbólico utilizado en estos procesos se atribuye a los árabes. EL ARTE DE PLANTEAR ECUACIONES El idioma del álgebra es la ecuación. Isaac Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal escribió: «Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico» También mostró con ejemplos como debía efectuarse dicha traducción. He aquí alguno de ellos: EL COMERCIANTE. Escribimos el enunciado directamente en la tabla: .

EN LA LENGUA VERNÁCULA

EN EL IDIOMA DEL ÁLGEBRA

Un comerciante tenía una determinada suma de dinero

x

El primer año se gastó 100 libras

x - 100

Aumentó el resto con un tercio de éste

(x-100) + (x-100)/3 = (4x-400)/3

Al año siguiente volvió a gastar 100 libras

(4x-400)/3 - 100 = (4x-700)/3

y aumentó la suma restante en un tercio de ella

(4x-700)/3 + (4x-700)/9 = (16x-2800)/9

El tercer año gastó de nuevo 100 libras

(16x-2800)/9 - 100 = (16x-3700)/9

Después de que hubo agregado su tercera parte

(16x-3700)/9 + (16x-3700)/27 = (64x14800)/27

El capital llegó al doble del inicial

(64x-14800)/27 = 2x

Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda más que resolver la última ecuación: 64x - 14800 = 54x, 10x = 14800, x=1480.

La solución de una ecuación es, con frecuencia, tarea fácil; en cambio, plantear la ecuación a base de los datos de un problema suele ser más difícil. Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir «la lengua vernácula a la algebraica». Pero el idioma del álgebra es lacónico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno son de fácil traducción. Las traducciones pueden ser muy distintas por el grado de su dificultad, como se verá. Los problemas que aparecerán a continuación serán más o menos originales, por su enunciado, por el procedimiento de resolución, por la solución, etc. etc. No siempre se darán las soluciones de forma algebraica. 1. LA VIDA DE DIOFANTO. La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de

él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. Reproducimos esta inscripción:



¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh milagro!, cuán larga fue su vida,

x

cuya sexta parte constituyó su infancia.

x/6

Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubriose su barbilla.

x/12

Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril.

x/7

Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito,

5

que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, que duró tan sólo la mitad de la de su padre a la tierra.

x/2

Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo.

x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4

2. EL CABALLO Y EL MULO. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: «¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si yo te doy un saco, tu carga se igualaría a la mía». ¿Cuántos sacos llevaba el caballo, y cuántos el mulo?



Si yo te tomara un saco

x-1

mi carga

y+1

sería el doble que la tuya.

y + 1 = 2 (x - 1)

Y si te doy un saco,

y-1

tu carga

x+1

se igualaría a la mía

y-1=x+1

3. LOS CUATRO HERMANOS. Cuatro hermanos tienen 45 duros. Si el dinero del primero se aumenta en 2 duros, el del segundo se reduce en 2 duros, el del tercero se duplica y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrán la misma cantidad de duros. ¿Cuánto dinero tenía cada uno?



Los cuatro hermanos tienen 45 duros.

x + y + z + t = 45

Si al dinero del primero se le agregan 2 duros

x+2

al del segundo se restan 2 duros

y-2

el del tercero se duplica

2z

y el del cuarto se divide por, dos,

t/2

a todos les quedará la misma cantidad de duros.

x+2 = y-2 = 2z = t/2

4. EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. Un granjero que tiene un rebaño de ovejas muy numeroso descubre una gran singularidad con respecto a su número. Si las cuenta de dos en dos, le sobra 1. Lo mismo ocurre cuando las cuenta de 3 en 3, de 4 en 4, etc.... hasta de 10 en 10. ¿Cuál es el rebaño más pequeño que se ajusta a estas condiciones? 5. COMERCIANTES DE VINOS. Dos comerciantes de vinos entraron en París llevando 64 y 20 barriles de vino respectivamente. Como no tenían dinero suficiente para pagar los derechos de aduana, el primero de ellos dio 5 barriles y 40 francos, mientras que el segundo dio 2 barriles, recibiendo 40 francos como cambio. ¿Cuál era el precio de cada barril y su impuesto aduanero? 6. EL PRECIO DE LOS HUEVOS. La señora Rogelia compró un cierto número de huevos, por los que pagó 60 ptas. Al volver a casa se le cayó la cesta rompiéndosele 2 huevos, con lo que el precio le resultó 12 ptas. más caro por docena, con respecto al que pagó inicialmente en el supermercado. ¿Cuántos huevos compró la señora Rogelia? 7. LOS DIEZ ANIMALES. Cincuenta y seis galletas han de servir de comida a diez animales; cada animal es un perro o un gato. Cada perro ha de obtener seis galletas y cada gato, cinco. ¿Cuántos perros y cuántos gatos hay? 8. LOROS Y PERIQUITOS. Cierta tienda de animales vende loros y periquitos; cada loro se vende a dos veces el precio de un periquito. Entró una señora y compró cinco loros y tres pequeños. Si en vez de eso hubiese comprado tres loros y cinco periquitos habría gastado 20 dólares menos. ¿Cuál es el precio de cada pájaro? 9. COCHES Y MOTOS. En un taller fueron reparados 40 vehículos, entre coches y motos. El número total de ruedas de los vehículos reparados fue de 100. ¿Cuántos coches y cuántas motos se repararon? 10. MONDANDO PATATAS. Dos personas mondaron 400 patatas; una de ellas mondaba tres patatas por minuto, la otra dos. La segunda trabajó 25 minutos más que la primera. ¿Cuánto tiempo trabajó cada una? 11. EL PRECIO DE LOS LIMONES. Tres docenas de limones cuestan tantos duros como limones dan por 16 duros. ¿Cuánto vale la docena de limones? 12. LA MÁQUINA DE PETACOS. Unos amigos, antes de echar una moneda en una máquina de petacos, han calculado que, para hacer partida, tienen que conseguir 392.750 puntos cada uno. Uno de ellos ha tenido que marcharse antes de comenzar a jugar con lo que, para obtener la deseada partida, los restantes amigos deben de conseguir 471.300 puntos cada uno. ¿Cuántos eran, inicialmente, los amigos? ¿Cuántos puntos necesitan para hacer partida?

13. TINTEROS Y CUADERNOS. Antonio ha comprado 5 tinteros y 4 cuadernos por 70 ptas. Luis ha pagado 46 ptas. por 3 tinteros y 4 cuadernos. ¿Cuánto vale un tintero y un cuaderno? 14. LA BALANZA Y LAS FRUTAS. Sabiendo que 3 manzanas y una pera pesan lo mismo que 10 melocotones, y 6 melocotones y una manzana pesan lo mismo que una pera. ¿Cuántos melocotones serán necesarios para equilibrar una pera? 15. VENTA DE HUEVOS. Una campesina llegó al mercado a vender huevos. La primera clienta le compró la mitad de todos los huevos más medio huevo. La segunda clienta adquirió la mitad de los huevos que le quedaban más medio huevo. La tercera clienta sólo compró un huevo. Con esto terminó la venta, porque la campesina no tenía más huevos. ¿Cuántos huevos llevó al mercado la campesina? 16. LAS MANZANAS DEL HORTELANO. Un hortelano lleva un canasto con manzanas. Encuentra a tres amigos y las da, al primero, la mitad de las manzanas más dos; al segundo, la mitad de las que le quedan más dos y, al tercero, la mitad de las sobrantes más dos. Aún sobró una manzana. ¿Cuántas llevaba al principio? 17. LAS TIERRAS DEL GRANJERO. Un granjero tenía algunas tierras. Un tercio lo destinaba al cultivo del trigo, un cuarto al cultivo de guisantes, un quinto al cultivo de judías, y en las veintiséis hectáreas restantes cultivaba maíz. ¿Cuántas hectáreas tenía en total? 18. PASTELES PARA LOS INVITADOS. Cierto día Ana estaba atendiendo a 30 invitados. Tenía 100 pasteles para repartir entre ellos. En lugar de cortar ningún .pastel a trozos, decidió dar 4 pasteles a cada uno de los invitados preferidos, y tres a cada uno de los demás invitados. ¿Cuántos eran sus invitados preferidos? 19. LOS PASTELES. Ana y Carlos están merendando pasteles. Ana tiene el triple que Carlos. Carlos no estaba muy conforme. A regañadientes, Ana, dio uno de sus pasteles a Carlos. Ahora todavía tenía el doble que Carlos. ¿Cuántos pasteles más tiene que darle Ana a Carlos para que cada uno tenga los mismos? ¿Cuántos pasteles había en total? 20. MÁS PASTELES. Ana tiene triple de pasteles que Carlos. Diego tiene la mitad que Carlos. Ana tiene 16 pasteles más que Carlos. ¿Cuántos pasteles tiene cada uno? 21. VENGA PASTELES. Carlos se comió 5/16 de los pasteles que había en la mesa. A continuación Diego se comió 7/11 de los pasteles restantes. Quedaron 8 pasteles para Ana. ¿Cuántos pasteles comió cada uno de los otros dos? 22. PASTELES GRANDES Y PEQUEÑOS. Un pastel grande cuesta lo mismo que tres pequeños. Siete grandes y cuatro pequeños cuestas 12 ptas. más que cuatro grandes y siete pequeños. ¿Cuánto cuesta un pastel grande? 23. SOLDADOS DEL REGIMIENTO. En un regimiento hay 4.000 soldados. Se licencian un cierto número de ellos. De los que quedan sabemos que el

63,636363...% tiene carnet de conducir y que el 92,2297297297...% no usa gafas. ¿Cuántos soldados se licenciaron? 24. ENCUESTA SOBRE EL VINO. Se hace una encuesta para saber si es rentable comercializar vino en polvo y vino en cubitos con los siguientes resultados: El 72,727272...% de las personas encuestadas no compraría vino en polvo y, el 74,594594...% de las personas encuestadas, no compraría vino en cubitos. ¿Cuál es el número mínimo de personas a las que se pasó la encuesta? 25. LA REVENTA. Manuel ha comprado dos entradas para ir al fútbol con un 10% de recargo. Si las vende ahora con un 15% de incremento sobre el precio de taquilla, se gana un 5% sobre el recargo que pagó. ¿De acuerdo? 26. ENCARECER UN 10% Y ABARATAR UN 10%. Una mercancía encareció un 10% y luego abarató en un 10%. ¿Cuándo era más barata, antes de encarecerla o después de abaratarla? 27. ABARATAR UN 10% Y ENCARECER UN 10%. Una mercancía se abarató un 10% y luego se encareció en un 10%. ¿Cuándo era más barata, antes de abaratarla o después de encarecerla? 28. GANANCIA Y PERDIDA EN LA VENTA DE LOS CUADROS. Un tratante de arte americano vendió un día dos cuadros por novecientos noventa dólares cada uno. Con uno sacó un beneficio del 10% y con el otro sufrió una pérdida del 10%. "Eso significa que hoy me he quedado igual que estaba", se dijo. ¿Estaba en lo cierto? 29. HÁMSTERES Y PERIQUITOS. El dueño de una pajarería compró cierto número de hámsteres y la mitad de ese número de parejas de periquitos. Pagó los hámsteres a 200 pesetas cada uno, y 100 por cada periquito. Para su venta al público, recargó el precio de compra en un 10 por ciento. Cuando tan sólo le quedaban siete animalitos por vender, descubrió que había recibido por los ya vendidos exactamente lo mismo que había pagado por todos ellos inicialmente. Su posible beneficio viene, pues, dado por el valor colectivo de los siete animales restante. ¿Cuál es el posible beneficio? 30. PASTELES SOBRE LA MESA. Sobre la mesa había una cierta cantidad de pasteles. Ana se comió la mitad y uno más. Blas se comió la mitad de los que quedaban y uno más. Carlos se comió la mitad de los que quedaban y uno más. Diego se comió la mitad de los que quedaban y uno más. Con esto se acabaron los pasteles. ¿Cuántos había sobre la mesa? 31. PASTELES COMO PAGO. Una empresa contrató a un empleado para trabajar durante 26 días. Estipularon que por cada día que trabajara, recibiría 3 pasteles, pero por cada día que holgazaneara no sólo no recibiría ninguno, sino que tendría que darle uno a la empresa. El empleado terminó ganando 62 pasteles. ¿Cuántos días trabajó? 32. OPOSICIONES AL AYUNTAMIENTO. A unas oposiciones al Ayuntamiento de Salamanca, se presentaron 37 candidatos. Todos los residentes en Salamanca

capital consiguieron plaza y su número representaba el 95% del total de aprobados. ¿Cuántos aprobaron y cuántos eran de Salamanca capital? 33. EL MANOJO DE ESPÁRRAGOS. Una verdulera de legumbres tenía la costumbre de atar sus espárragos con un bramante de 30 cm. de longitud y formaba así manojos que vendía a 80 ptas. cada uno. Cómo esos manojos le parecían demasiado pequeños, dio en utilizar bramantes de doble longitud y, en consecuencia, vendía sus manojos de espárragos a 160 ptas. cada uno. ¿Calculaba bien la verdulera? ¿Qué precio debería pedir por cada manojo de espárragos? 34. MIDIENDO UN CABLE. Al tratar de medir un cable que tenía en casa, observé lo siguiente: Si medía de 2 en 2 metros me sobraba 1 metro. Si medía de 3 en 3 metros me sobraban 2 metros. Si de 4 en 4 me sobraban 3 metros. Si de 5 en 5 me sobraban 4 metros. Si de 6 en 6 me sobraban 5 metros. Estaba seguro de que el cable medía menos de 100 metros. ¿Cuántos metros medía? 35. VESTIDOS A GOGÓ. Sonia tiene un número de vestidos igual a los que posee Alicia divididos por los que tiene Ana. Alicia posee 42, pero tendría 8 veces los que tiene Gema si tuviera 14 más. ¿Cuántos vestidos tiene Sonia? 36. LOS DOS BEBEDORES. Un inglés y un alemán beben de un barril de cerveza por espacio de dos horas, al cabo de las cuales el inglés se queda dormido y el alemán se bebe lo que resta en 2 horas y 48 minutos; pero si el alemán se hubiera dormido en vez del inglés y éste hubiese continuado bebiendo, habría tardado en vaciar el barril 4 horas y 40 minutos. ¿En cuánto tiempo se lo hubiera bebido cada uno? 37. JUEGO EN FAMILIA. Mis amigos Juan y Pablo, con nuestros hijos Julio, José y Luis, disparamos con dardos sobre una diana con número en cada casilla. Cada uno marcó en cada tiro tantos puntos como tiros hizo (es decir: si alguien tiró 10 tiros anotó diez puntos en cada tiro). Cada padre se anotó 45 puntos más que su hijo. Yo disparé 7 tiros más que Luis y Julio 15 más que Pablo. ¿Cómo se llama mi hijo? ¿Quién es el hijo de Juan? ¿Cuántos puntos se marcaron? ¿Cuántos tiros se tiraron? 38. EL VASO DE VINO. Paco llena un vaso de vino y bebe una cuarta parte; vuelve a llenarlo con agua y bebe una tercera parte de la mezcla. Lo llena por segunda vez de agua y entonces bebe la mitad del vaso. ¿Cuánto vino puro le queda por beber, considerando la capacidad del vaso? 39. LAS CHOVAS Y LAS ESTACAS. Llegaron las chovas y se posaron en estacas. Si en cada estaca se posa una chova, hay una chova que se queda sin estaca. Pero si en cada estaca se posan dos chovas en una de las estacas no habrá chova. ¿Cuántas eran las chovas y cuántas las estacas? 40. LIBROS DESHOJADOS. Un escritor ha compuesto dos libros que suman, entre los dos, 356 páginas. El formato del primero es de 20x15 cm., y el del segundo

de 17x12. Si extendiesen las hojas de los dos libros, cubrirían 4'2264 m². ¿Cuántas páginas tiene cada libro? 41. LA CUADRILLA DE SEGADORES. Una cuadrilla de segadores debía segar dos prados, uno tenía doble superficie que el otro. Durante medio día trabajó todo el personal de la cuadrilla en el prado grande; después de la comida, una mitad de la gente quedó en el prado grande; y la otra mitad trabajó en el pequeño. Durante esa tarde fueron terminadas las dos siegas, a excepción de un reducido sector del prado pequeño, cuya siega ocupó el día siguiente completo a un solo segador. ¿Cuántos segadores componían la cuadrilla? 42. EL TRUEQUE EN EL AMAZONAS. En una tribu del Amazonas, donde todavía subsiste el trueque, se tienen las siguientes equivalencias de cambio: a) Un collar y un escudo se cambian por una lanza. b) Una lanza se cambia por tres cuchillos. c) Dos escudos se cambian por tres cuchillos. ¿A cuántos collares equivale una lanza? 43. NEGOCIANDO POLLOS. Un granjero y su buena esposa están en el mercado para negociar sus aves de corral por ganado, sobre la base de que 85 pollos equivalen a un caballo y una vaca. Se supone que 5 caballos tienen el mismo valor que 12 vacas. Esposa: Llevemos otros tantos caballos como los que ya hemos elegido. Entonces tendremos tan sólo 17 caballos y vacas que alimentar durante el invierno. Granjero: Creo que deberíamos tener más vacas que esas. Más aún, creo que si duplicáramos el número de vacas que hemos elegido, tendríamos en total 19 vacas y caballos, y tendríamos la cantidad exacta de pollos para hacer el canje. ¿Cuántos pollos llevaron al mercado el granjero y su esposa? 44. PAGO EXACTO Y PUNTUAL. Un hombre tomó una posada por 30 días, por precio de un denario cada día. Este huésped no tenía otro dinero, sino 5 piezas de plata que todas ellas valían 30 denarios. Y con estas piezas cada día pagaba la posada, y no le quedaba debiendo nada a la patrona, ni ella a él. ¿Cuántos denarios valía cada pieza? ¿Cómo se pagaba con ella? 45. EL REPARTO DE LA HERENCIA. Un padre, al morir, dejó establecido que el hijo mayor recibiría 100.000 ptas. más la quinta parte del resto. El siguiente 200.000 ptas. más la quinta parte del nuevo resto. Y en la misma forma cada hijo iría recibiendo 100.000 más que el anterior y la quinta parte del resto. Al final todos recibieron igual cantidad. ¿Cuántos herederos había y qué cantidad recibió cada uno? 46. SE QUEDÓ SIN DISCOS. Antonio repartió entre sus amigos los discos que tenía. A uno le regaló un disco y 1/7 de los restantes, a otro dos discos y 1/7 de todos los restantes, a un tercero, tres discos y 1/7 de los restantes y así sucesivamente, hasta que repartió todos sus discos. Curiosamente todos los amigos recibieron la misma cantidad de discos. ¿Cuántos discos tenía y entre cuántos amigos los repartió?

47. TRANSPORTE DE UN TESORO. Cuatro muchachos se encontraron un enorme tesoro de monedas de oro. De primera intención los cuatro cargaron con pesos iguales, pero los tres mayores vieron que podían con más, y aumentaron su carga con la mitad de lo que habían tomado. Todavía los dos mayores se vieron capaces de aumentar su carga con un tercio de la que ya llevaban y así lo hicieron. Pero al cargarlo de nuevo, el mayor se atrevió aún a añadir una quinta parte más de lo que llevaba. En total se llevaron entre los cuatro 138 kg. de oro. ¿Cuánto cargó cada uno? 48. NEGOCIANTE METÓDICO. Un negociante separa al principio de cada año 100 dólares para los gastos del año y aumenta todos los años su capital en 1/3. Al cabo de 3 años se encuentra duplicado su capital. ¿Cuál era el capital al empezar el primero de estos años? 49. EL REPARTO DE LAS CASTAÑAS. Tras recoger 770 castañas, tres niñas las repartieron de modo que las cantidades recibidas guardaran la misma proporción que sus edades. Cada vez que María se quedaba con 4 castañas, Lola tomaba 3, y por cada 6 que recibía María, Susana tomaba 7. ¿Cuántas castañas recibió cada niña? 50. LAS MANZANAS DEL HORTELANO. Un hortelano lleva un canasto con manzanas. Encuentra a tres amigos y las da, al primero, la mitad de las manzanas más dos; al segundo, la mitad de las que le quedan más dos y, al tercero, la mitad de las sobrantes más dos. Aún sobró una manzana. ¿Cuántas llevaba al principio? 51. LOS LADRONES Y LOS CUADROS. El jefe de unos bandidos decía a sus hombres: "Hemos robado unas piezas de tela. Si cada uno de nosotros toma seis, quedarán cinco piezas. Pero si cada uno de nosotros quiere siete, nos faltarían ocho" ¿Cuántos eran los ladrones? (Resolverlo sin utilizar el álgebra) 52. LOS LADRONES Y LAS CÁMARAS DE FOTOS. En una banda de ladrones cada uno tenía un grado diferente. Una noche después de haber robado una partida de cámaras fotográficas, el jefe les dijo: "El de menor grado se quedará con una cámara, el del grado inmediatamente superior se quedará con dos, el de tercer grado con tres y así sucesivamnente". Los ladrones se rebelaron contra esta injusticia y el más audaz de ellos dijo: "Tomaremos cinco cámaras cada uno". Y así se hizo. ¿Cuántas cámaras fotográficas habían robado? 53. LOS LADRONES Y LAS TELAS. Unos ladrones robaron varios rollos de tela. Si repartían 6 para cada uno les sobraban 5. Si repartían 7 para cada uno les faltaban 8. ¿Cuántos ladrones y cuántos rollos de tela había? 54. MAESTROS Y ESCOLARES. En una comunidad existen 1.000 alumnos que son atendidos por 19 personas entre maestros y maestras. Cada maestro atiende 30 alumnos más que cada maestra. Últimamente se decidió aumentar en 8 alumnos más la clase de cada maestra, reduciéndose así las de los maestros. ¿A cuántos niños atiende ahora cada maestro?

55. EL GRANJERO Y LOS POLLOS. Un granjero le dice a su mujer: «No sé qué hacer. Si vendo 75 pollos, las reservas de pienso que tenemos nos durarán 20 días más de lo previsto, lo que nos permitirá terminar la campaña sin más abastecimientos, que ahora están difíciles. Pero como los pollos se pagan bien, tal vez convenga comprar 100 pollos, con lo que nuestras reservas de pienso nos durarán 15 días menos». Dejando al granjero que resuelva el dilema con su mujer, ¿cuántos pollos tiene el granjero? 56. ORIGINAL TESTAMENTO. Un mercader estando enfermo hizo testamento, dejando ciertos hijos, y cierta cantidad de hacienda, ordenando que al hijo primero le diesen la sexta parte de la hacienda, y 300 ducados más, y al segundo la sexta parte del restante, y 600 ducados más, y al tercero la sexta parte del restante y 900 ducados más, y con este orden en los demás, dando siempre a cada uno la sexta parte del restante, y 300 ducados más al uno que al otro. Muerto el padre, partieron la hacienda, y hallaron que tanto vino al uno como al otro. Pídese cuántos hijos dejó el padre, cuánta hacienda, y cuanto vino por cada uno. 57. LAS PERLAS DEL RAJÁ. Un rajá dejó en herencia a sus hijas cierto número de perlas. Tenían que repartírselas de una forma muy especial. Cada hija recibiría: La mayor, una perla más 1/7 de las restantes, la 2ª dos perlas más 1/7 de las restantes, la 3ª tres perlas más 1/7 de las restantes, y así sucesivamente todas las demás hijas. Las hijas menores se sintieron perjudicadas por este reparto. El juez, tras contar las perlas, les dijo que todas ellas se llevarían el mismo número de perlas. ¿Cuántas hijas y perlas había? 58. EL MERCADER DE DIAMANTES. Un mercader tiene 56 diamantes, de los cuales unos son gruesos y otros menudos. Este mercader repartió los diamantes entre dos vendedores, dándole 40 diamantes a uno y 16 al otro, repartiéndolos de tal forma que, al mismo precio, el que llevó 16 diamantes los vendió por 40 doblones, y el que llevó 40 diamantes los vendió por 16 doblones. ¿Cómo se ordenó esta venta? 59. VENTA DE GANSOS. Un campesino fue al mercado a vender gansos. Vendió al primer cliente la mitad de los gansos más medio ganso. Al segundo cliente la tercera parte del resto más un tercio de ganso. Al tercer cliente un cuarto de los que le quedaban más tres cuartos de ganso. Al cuarto cliente un quinto de los que le quedaban más un quinto de ganso. Volvió a casa con 19 gansos que le sobraron. ¿Cuántos gansos llevó al mercado el campesino? Hay que tener en cuenta que ningún ganso fue dividido. 60. LOS GUARDIANES DE LAS NARANJAS. Un vagabundo furtivo entró en un huerto ajeno para apropiarse algunas naranjas. Al salir tropezó con un guardián que, compadecido por su necesidad, le dejó pasar haciéndole entregar la mitad de las naranjas que llevaba y otra media naranja. Con el segundo guardián consiguió por lástima de sus ruegos, que también le dejase pasar, pero dándole también la mitad de las naranjas que tenía más media naranja. Y lo mismo exactamente le sucedió con un tercer guardián. Después de esto el ladronzuelo se vio en campo libre y en posesión de dos naranjas. ¿Cuántas naranjas había cogido al principio?

61. LOS 3 PANES Y LAS 3 MONEDAS. Un pastor tiene 2 panes y otro 1 pan. Se encuentran con un cazador que no lleva comida. Juntan los 3 panes y los tres comen partes iguales. Al despedirse, el cazador les deja 3 monedas. ¿Cómo deben repartirse las monedas los pastores? 62. LOS 8 PANES Y LAS 8 MONEDAS. Un pastor tiene 5 panes y otro 3 panes. Se encuentran con un cazador que no lleva comida. Juntan los 8 panes y los tres comen partes iguales. Al despedirse, el cazador les deja 8 monedas. ¿Cómo deben repartirse las monedas los pastores? 63. LOS 5 PANES Y LAS 5 MONEDAS. Un pastor tiene 3 panes y otro 2 panes. Se encuentran con un cazador que no lleva comida. Juntan los 5 panes y los tres comen partes iguales. Al despedirse, el cazador les deja 5 monedas. ¿Cómo deben repartirse las monedas los pastores? 64. NEGOCIO PARA LOS TRES. Antonio tiene 18 millones de pesetas, Benito 12 millones y Carlos 6 millones. Reúnen su dinero para invertirlo en un negocio. Con el negocio al final del año, ganan 12 millones de pesetas. ¿Cómo se los repartirán? 65. CURIOSO TESTAMENTO. Un hombre, cuya mujer está a punto de dar a luz, muere, disponiendo en su testamento lo siguiente: "Si la criatura que va a nacer es niño, éste se llevará 2/3 de la herencia y 1/3 la madre. Si es niña, ésta se llevará 1/3 y 2/3 la madre." Las posesiones del padre eran únicamente 14 hermosas vacas. Para complicar las cosas, sucedió que nacieron mellizos, niño y niña. ¿Cómo deben repartirse las 14 vacas entre los tres? 66. ARAÑAS Y ESCARABAJOS. Un chiquillo cazó varias arañas y escarabajos, en total ocho, y los guardó en una caja. Si se cuenta el número total de patas que corresponde a los 8 animales resultan 54 patas. ¿Cuántas arañas y cuántos escarabajos hay en la caja? 67. VACAS, CERDOS Y OVEJAS (1). Un granjero se gastó 100 dólares en comprar 100 animales de tres clases. Cada vaca le costó 10 dólares, cada cerdo, 3, y cada oveja, medio dólar. Suponiendo que haya comprado al menos una vaca, un cerdo, y una oveja, ¿cuántos animales de cada clase compró el granjero? 68. VACAS, CERDOS Y OVEJAS (2). Un granjero se gastó 100 dólares en comprar 100 animales de tres clases. Cada vaca le costó 5 dólares, cada cerdo, 2, y cada oveja, medio dólar. Suponiendo que haya comprado al menos una vaca, un cerdo, y una oveja, ¿cuántos animales de cada clase compró el granjero? 69. VACAS, CERDOS Y OVEJAS (3). Un granjero se gastó 100 dólares en comprar 100 animales de tres clases. Cada vaca le costó 4 dólares, cada cerdo, 2, y cada oveja, un tercio de dólar. Suponiendo que haya comprado al menos una vaca, un cerdo, y una oveja, ¿cuántos animales de cada clase compró el granjero? 70. NEGOCIO PARA TRES. Tres feriantes tienen cada uno un cierto número de reales. El primero compra vino a los otros dos, pagándoles tantos reales como ellos tienen. Después, el segundo compra garbanzos a los otros dos, pagando a cada uno tantos reales como ellos tienen. Por último, el tercero compra aceite a los otros dos,

pagándole a cada uno tantos reales como ellos tienen. Terminados estos negocios se vuelven a su casa con 48 reales cada uno. ¿Con cuántos reales habían llegado a la feria? 71. LOS ASPIRANTES AL PUESTO DE TRABAJO. Una gran empresa comercial proyectaba en una ocasión abrir una sucursal en cierta ciudad y puso anuncios solicitando tres empleados. El gerente de personal eligió entre todos los que se presentaron a tres jóvenes que parecían prometer, y les dijo: "Sus sueldos han de ser, al empezar, de 1.000 dólares anuales, pagaderos por semestres. Si su trabajo es satisfactorio y decidimos que sigan, se les aumentará el sueldo; pero, díganme que prefieren, ¿un aumento de 150 dólares anuales o uno de 50 dólares cada semestre?" Los dos primeros aceptaron sin ninguna duda la primera alternativa, pero el tercero, después de pensarlo un momento, eligió la segunda. Inmediatamente lo pusieron al frente de los otros dos. ¿Por qué? ¿Fue acaso que al gerente de personal le gustó su modestia y su aparente deseo de ahorrarle dinero a la compañía? 72. CURIOSA PARTIDA (1). Tres jugadores convienen en que el que pierda una partida doblará el dinero que en ese momento tengan los otros dos. Después de haber perdido todos ellos una partida, cada jugador se retira con 200 ptas. ¿Cuánto dinero tenían al principio del juego? 73. CURIOSA PARTIDA (2). Siete jugadores convienen en que el que pierda una partida doblará el dinero que en ese momento tengan los otros seis. Jugaron siete partidas y cada vez perdió un jugador distinto; es decir, perdieron todos ellos. Al acabar todos tenían el mismo dinero: 12 pesetas. y 80 céntimos. ¿Con cuánto dinero empezó cada uno el juego? 74. EN EL HIPÓDROMO. Una tarde en el hipódromo de la Zarzuela me ocurrió algo curioso. En la 1ª carrera apuesto por un caballo y la cantidad que tenía se ve doblada. Animado por ello, apuesto en la 2ª carrera 600 ptas. por un caballo y las pierdo. En la 3ª carrera vuelvo a doblar mi haber. El la 4ª vuelvo a perder 600 ptas. La 5ª me permite doblar la cantidad que me quedaba. En la 6ª pierdo las 600 ptas. que me quedaban. ¿Sabe Vd. con cuánto dinero comencé? 75. VACACIONES CON LLUVIA. Durante mis vacaciones llovió 9 días, y hubo 10 mañanas y 9 tardes soleadas. Cuando llovió por la mañana, la tarde fue soleada. ¿Cuántos días duraron mis vacaciones? 76. COMO ANILLO AL DEDO. Mi primo Margarito tiene una cantidad fija de anillos y muchas ganas de usarlos todos. Poniéndose tres anillos por dedo, quedarían cuatro dedos desnudos. Pero poniéndose un anillo por dedo le sobrarían ocho anillos. ¿Cuántos anillos y cuántos dedos tiene mi primo Margarito? 77. LOS HUEVOS DE GALLINA Y DE PATO. Un vendedor de huevos tiene delante suya seis cestas con 29, 23, 14, 12, 6 y 5 huevos respectivamente. «Si vendo esta cesta me quedará el doble de huevos de gallina que de pato». ¿A qué cesta se refiere el vendedor?

78. 7 LLENAS, 7 MEDIO LLENAS Y 7 VACÍAS. Tres hermanos recibieron 21 botellas iguales de una partida de vino, de las cuales 7 estaban llenas, otras 7 medio llenas y las restantes 7 vacías. ¿Cómo repartirse las 21 botellas de modo que cada uno reciba el mismo número de botellas y la misma cantidad de vino sin destapar las botellas? 79. REPARTO EN LA BODEGA. En una bodega hay dos tipos de botellas, grandes y pequeñas. Las grandes contienen doble cantidad vino que las pequeñas. Disponemos de 12 botellas grandes, 7 llenas y 5 vacías, así como de 12 botellas pequeñas, 7 llenas y 5 vacías. Se desean repartir las 24 botellas entre 3 personas, de modo que cada una reciba el mismo número de botellas de cada tipo y la misma cantidad de vino. ¿Cómo se podrá hacer el reparto? 80. LOS BUEYES DEL GRANJERO. Una pradera de 10 Ha. puede alimentar a 12 bueyes durante 16 semanas, o a 18 bueyes durante 8 semanas. ¿Cuántos bueyes se podrán alimentar en una pradera de 40 Ha. durante 6 semanas, considerando que el pasto crece en forma regular todo el tiempo? 81. LA ESCALERA MECÁNICA (1). Al entrar en el metro, Antonio descendió por la escalera mecánica, andando al tiempo que la escalera se desplazaba, y alcanzó al andén tras 50 pasos. Se le ocurrió entonces, subir por la misma escalera; es decir, caminando en sentido contrario al desplazamiento de los peldaños, y alcanzó así la parte superior en 125 pasos. Suponiendo que Antonio hizo este segundo recorrido con una andadura cinco veces más rápido que la de descenso, esto es, que el número de pasos por unidad de tiempo en un caso y otro fue de cinco a uno, ¿cuántos escalones serán visibles si la escalera mecánica parase de funcionar? 82. LA ESCALERA MECÁNICA (2). Tengo la costumbre de subir andando por la escalera mecánica del Metro mientras funciona: subo 20 escalones con mi paso y tardo así 60 segundos exactamente; mientras que mi mujer sube solamente 16 escalones y tarda 72 segundos. Si mañana esa escalera no funciona, ¿cuántos escalones tendría que subir? 83. EL TERREMOTO LEJANO. Hacia el año 1915, una familia japonesa residente en Madrid, alarmada por los rumores sobre un terremoto ocurrido en Tokio, pone un radiograma a esta ciudad a las 8h 30m hora de Madrid, el cual llega a Tokio a las 19h 34m hora de Tokio; pero los parientes de este punto, previendo la intranquilidad, pusieron otro radiograma tranquilizador a las 17h 19m de Tokio, que llegó a Madrid 3/4 de hora después de haber puesto el primero. Se desea saber la diferencia de hora entre Madrid y Tokio y la duración de transmisión del radiograma. (Los datos numéricos son irreales). 84. LAS PERPLEJIDADES DE LA SEÑORA PACA. La señora Paca solía coger el autobús en una parada de la calle Mayor para ir al mercado. No se preocupaba por los horarios, porque le servía un autobús de la línea P que uno de la línea Q. Sabía que de cada uno pasaban seis autobuses por hora y nunca había tenido que esperar mucho. Sin embargo, le sorprendía que muy pocas veces cogía un Q. Decidió, pues, llevar la cuenta del tipo de autobús en que montaba y descubrió que viajaba en un autobús Q aproximadamente sólo una vez de cada diez.

La señora Paca estaba completamente perpleja. ¿Podría Vd. ayudarla a entender lo que pasaba? 85. EL PERRO Y EL GATO. Juntos perro y gato pesan 15 kilos. Si el peso del can es un número impar, y si el macho pesa el doble que la hembra, ¿cuánto pesa cada uno? 86. LOS MARINEROS, EL MONO Y LOS COCOS. Tres marineros y un mono arriban, tras un naufragio, a una isla desierta. Durante todo el día se dedican a recolectar cocos, con los que forman un montón común. Al llegar la noche, cansados por el trabajo realizado, se van a dormir dejando para el día siguiente el reparto de los cocos. Durante la noche, uno de los marineros, desconfiando de los otros, decide hacerse con su parte, procediendo a formar tres montones iguales y guardándose uno de ellos. Como al hacerlo le sobra un coco, se lo da al mono. El segundo marinero, teniendo la misma idea, procede en igual forma con los cocos que ha dejado el primero. Al hacer los tres montones le sobra un coco, que se lo da al mono. Lo mismo ocurre con el tercer marinero, y al sobrarle un coco se lo da al mono. A la mañana siguiente, aunque el montón de cocos se encuentra reducido, los tres marineros se sienten igualmente culpables y no dicen nada, procediendo al reparto de los cocos. Al hacerlo les sobra uno, que se lo dan al mono. ¿Cuántas cocos había? a) Suponiendo que había menos de 100. b) Suponiendo que había entre 200 y 300. 87. ACEITE Y VINAGRE. En un almacén hay 6 barriles que contienen respectivamente 8, 13, 15, 17, 19 y 31 litros de aceite o de vinagre. El litro de aceite cuesta el doble que el de vinagre. Un cliente compra 1.400 ptas. de aceite y 1.400 ptas. de vinagre, dejando un solo barril. ¿Qué barril quedó?

88. LOS HERMANOS Y LOS MELONES. Los hermanos Pablo y Agustín van al mercado con 30 melones cada uno. Pablo vende 3 melones por un dólar (10 lotes) y obtiene 10 dólares. Agustín vende 2 melones por un dólar (15 lotes) y obtiene 15 dólares. Entre los dos llevan a casa 25 dólares (10+15=25). Al día siguiente volvieron al mercado cada uno con otros 30 melones. Como no querían tener dos precios diferentes optaron por vender 5 melones por 2 dólares. Hecha la venta, 12 lotes (60/5=12), obtuvieron 24 dólares (12x2=24). ¿Dónde está el dólar que falta de 24 a 25?

89. BARRILES DE VINO Y CERVEZA. Un hombre adquirió cinco barriles de vino y un barril de cerveza. El contenido de los barriles era 15, 16, 18, 19, 20 y 31 litros. Vendió luego una cantidad de vino a un cliente y el doble de esta cantidad a otro, y ya sin que le quedara más vino, se guardó para sí el barril de cerveza. ¿Cuál es el barril de cerveza? Por supuesto, el hombre vendió los barriles tal como los había comprado, sin trasegar ni cambiar para nada sus contenidos. 90. LA DIVISIÓN EN LA TASCA. El dueño de una tasca quiere dividir en dos partes iguales el líquido que lleva un recipiente de 16 litros. Para hacerlo no tiene a su disposición más que el recipiente original y dos recipientes vacíos con capacidades de 11 y 6 litros. ¿Cuántas operaciones de trasvase son necesarias para efectuar la partición sin perder ni una gota de líquido? 91. FACUNDO EL LECHERO. Facundo vende la leche que tiene en un recipiente grande. Para vender tiene 2 medidas, una de 7 litros y otra de 4 litros, dice que con estas le basta para vender cualquier cantidad de litros de leche a sus clientes. Puede usar ambas medidas y, ocasionalmente volver a volcar leche en el recipiente original. ¿Como hace para vender 1l, 2l, 3l, 5l, y 6l? 92. LOS VAGABUNDOS Y LAS GALLETAS. Cuatro vagabundos encontraron una gran cantidad de galletas, que acordaron dividir equitativamente entre ellos en el desayuno de la mañana siguiente. Durante la noche, mientras los otros dormían, uno de los hombres fue hasta la caja, devoró exactamente 1/4 del total de las galletas, excepto una suelta que sobró, y que arrojó al perro a modo de soborno. Más tarde, un segundo hombre se despertó y se le ocurrió la misma idea, tomando 1/4 de lo que quedaba, y dando la sobrante al perro. El tercero y el cuarto, a su vez, exactamente lo mismo, tomando 1/4 de lo que encontraron, y arrojando la sobrante al perro. En el desayuno dividieron equitativamente lo que quedaba, y otra vez dieron la galleta sobrante al perro. Cada hombre notó la reducción en el contenido de la caja, pero creyéndose el único responsable, ninguno dijo nada. ¿Cuál es el menor número posible de galletas que podía haber habido en la caja en un principio? 93. LECHERO INGENIOSO. Un lechero dispone únicamente de dos jarras de 3 y 5 litros de capacidad para medir la leche que vende a sus clientes. ¿Cómo podrá medir un litro sin desperdiciar leche? 94. EL VENDEDOR DE VINO. Un vendedor de vino sólo tiene garrafas de 8 litros. Dos amigos quieren comprar una de estas garrafas a medias y repartírsela. El vendedor busca por la tienda y encuentra dos garrafas vacías: una de 3 litros y la otra de 5 litros. ¿Cómo se las podría arreglar para repartir la garrafa de 8 litros entre los dos amigos?

95. LA ALABARDA. Durante la guerra 1914-1918 fue descubierta la tumba de un soldado francés muerto el último día de un mes durante otra guerra, en Italia. La alabarda del soldado se encontraba a su lado. El producto del día del mes inscrito en la lápida por la longitud en pies de la alabarda, por la mitad de los años transcurridos entre la muerte del soldado y el descubrimiento de su tumba, y finalmente por la mitad de la edad del comandante francés de la expedición en que murió el soldado, es igual a 451.066. ¿Quién era el comandante francés? 96. MANZANAS ENTERAS. Un hombre entró a un comercio y compró 2 manzanas más la mitad de las que quedaban. Otro hombre entró luego y compró 3 manzanas más un tercio de las que quedaban, etc. ¿Por cuántos compradores como máximo puede seguir este sistema de compras, si ninguna manzana es cortada? 97. EXIGENCIA CUMPLIDA. Un propietario agricultor repartió a tres criados suyos 120 limones, dándole a uno 60, a otro 40 y a otro 20. Luego, los envió a tres mercados distintos, dándoles orden de que los vendiesen en los tres a un mismo precio. Pero asimismo les exigió que trajesen los tres el mismo dinero por la venta. Como esto les pareció imposible a los criados, le dio a cada uno un ejemplar de un mismo cartel anunciador de los precios, para que se cumpliese la primera condición, y este cartel era tal que también se cumplía la segunda. ¿Qué cree Vd. que ponía en el cartel? 98. UN PRECIO ABSURDO. Un propietario tiene 60 melones, da 50 de ellos a un mozo y 10 a otro. Ordenó que vendiese primero el que llevaba 50 melones, y luego al mismo,precio y modo vendiese el que llevaba 10 melones, y trajese doble dinero el segundo que el primero. ¿Cómo lo consiguieron? 99. EL PROBLEMA DE BENEDIKTOV. SOLUCIÓN INGENIOSA DE UN PROBLEMA COMPLICADO. Una madre repartió entre sus tres hijas 90 huevos, dándole a la mayor 10, a la mediana 30 y a la menor 50. Luego, las envió a tres mercados distintos, dándoles orden de que los vendiesen en los tres a un mismo precio. Pero asimismo les exigió que trajesen las tres el mismo dinero por la venta. Como esto les pareció imposible a las hijas, le dio a cada una un ejemplar de un mismo cartel anunciador de los precios, para que se cumpliese la primera condición, y este cartel era tal que también se cumplía la segunda. ¿Qué cree Vd. que ponía en el cartel? 100. MODESTA GANANCIA EN COMPRAVENTA. Un hombre compró un día 20 perdices por 8 dólares, a razón de dos dólares cada cinco perdices. Al día siguiente quiso vender estas mismas 20 perdices, al mismo precio que las compró y ganar algo por su trabajo. ¿Cómo cree Vd. que puede cumplir sus deseos? 101. EL IMPOSIBLE CUADRADO DE CUBOS. Al joven Balthazar le han regalado un juego de cubos. El chico prueba de yuxtaponer los cubos para formar un cuadrado pero le faltan siete. Intenta luego hacer un cuadrado más pequeño y entonces le sobran diez. ¿Cuántos cubos tiene Balthazar? 102 PREDECIR LA CUENTA. El último día del año un matemático se vio sorprendido por la extraña manera en que su hija pequeña contaba con los dedos

de la mano izquierda. Empezó por llamar 1 al pulgar, 2 al índice, 3 al anular, 4 al corazón y 5 al meñique; en ese momento invirtió la dirección, llamando 6 al corazón, 7 al anular, 8 al índice, 9 al pulgar, 10 de nuevo al índice, 11 al anular, y así sucesivamente. Continuó contando hacia adelante y hacia atrás hasta llegar a contar el 20 de su dedo corazón. Padre: ¿Qué demonios estás haciendo? Hija: Estoy contando hasta 1.962 para ver en qué dedo termino. Padre: (Cerrando los ojos) Terminarás en el ... Cuando la niña terminó de contar vio que su padre estaba en lo cierto. ¿Cómo llegó el padre a su predicción y qué dedo predijo? 103. SÓLO UN COCHE POR HERENCIA. En una herencia los únicos herederos Antonio y Benito reciben un coche. Ambos están interesados en quedarse con él. ¿Cómo podrían resolver el problema del reparto de la forma más correcta posible? (Muy interesante por la multitud de respuestas que suelen darse) 104. MATUSALÉN R.I.P.. Según la Biblia Matusalén tenía 187 años cuando tuvo a Lamech, vivió 969 años y murió. Lamech tenía 182 años cuando tuvo un hijo al que llamó Noé. Noé tenía 600 años cuando las aguas inundaron la Tierra. ¿Qué se deduce de todos estos datos? 105. LOS 24 SOBRES. Tengo 8 sobres que contienen 1 dólar cada uno, otros 8 sobres que contienen 3 dólares cada uno y 8 sobres de 5 dólares cada uno. ¿Cómo puedo distribuir estos 24 sobres entre 3 personas para que todas tengan igual cantidad de sobres e igual cantidad de dinero (sin abrir ningún sobre)?

Los (5) siguientes son originales de Pierre Berloquin. 106. ESPEJOS EN ÁNGULO RECTO (1). Si Vd. se coloca entre dos espejos que están en ángulo recto, ¿cuántas imágenes suyas puede ver? 107. LA LÍNEA DE BALDOSAS (2). Un piso rectangular embaldosado en la casa de Timoteo tiene 93 baldosas cuadradas en su lado corto y 231 en su lado largo. Timoteo pinta una línea diagonal desde una esquina hasta la esquina opuesta. ¿Cuántas baldosas atraviesa esa línea? 108. FRANCOS Y DÓLARES (3). El franco está subdividido en monedas de 50, 20, 10, 2 y 1 céntimo. Por lo tanto es posible tener en el bolsillo más de un franco sin llegar a formar un franco justo. Por ejemplo: una moneda de 50 céntimos y tres de 20. El dólar está subdividido en monedas de 50, 25, 10, 5 y 1 céntimo. También es posible tener en el bolsillo más de un dólar sin llegar a formar un dólar justo. Por ejemplo: tres monedas de 25 céntimos y tres monedas de 10. ¿En cuál de los dos sistemas de monedas es posible tener la suma más grande de céntimos sin llegar a formar una unidad justa? 109. LA ESCUADRILLA DE AVIONES (4). Una escuadrilla aérea tiene alrededor de 50 aviones. Su formación de vuelo es un triángulo equilátero, cuyas primeras líneas están formadas por 1, 2, 3 y 4 aviones. Algunos aviones caen en combate. Cuando la escuadrilla regresa, los aviones restantes forman cuatro

triángulos equiláteros. Los aviones perdidos hubieran podido formar otro triángulo equilátero. Si estos cinco triángulos son de lado diferente, ¿cuántos aviones tenía inicialmente la escuadrilla? 110. LOS CINCO NEGOCIOS DE TIMOTEO (5). Timoteo ha gastado todo lo que tenía encima en cinco negocios. En cada uno gastó un franco más que la mitad de lo que tenía al entrar. ¿Cuánto dinero tenía Timoteo al principio? 111. LOS TRES JUGADORES. En una partida entre Alberto, Bernardo y Carlos el perdedor dobla el dinero de cada uno de los otros dos. Después de tres juegos cada jugador ha perdido una vez y todos terminan con 24 ptas. Alberto perdió el primer juego, Bernardo el segundo y Carlos el tercero. ¿Con cuánto dinero empezó cada uno? 112. AVARICIOSO CASTIGADO. Un campesino se dirigía a la ciudad, pensando tristemente que el dinero que llevaba no iba a ser suficiente para comprar el lechoncillo que deseaba. A la entrada del puente se encontró a un raro tipo (era el diablo, ni más no menos) que le dijo: «Conozco tu preocupación y voy a proponerte un trato. Si lo aceptas, cuando hayas cruzado el puente tendrás en tu bolsa doble dinero que al empezar. No cuentes el dinero, que sería desconfianza y por tu parte, sólo debes contar 32 monedas que echarás al río; yo sabré encontrarlas y éstas serán mi paga». Aceptó el aldeano, y apenas cruzado el puente comprobó, lleno de alegría y sin necesidad de contar, que su bolsa pesaba bastante más que antes. Con gran contento echó las 32 monedas al agua. Le vino entonces la tentación de repetir la acción y no supo resistirla, así que de nuevo pasó el puente, duplicó el dinero de su bolsa y pagó con 32 monedas. Todavía una tercera vez hizo esto mismo y, entonces, desolado, comprobó que se había quedado absolutamente sin dinero. Desesperado, se tiró desde el puente al río, y el diablo cobró así su trabajo. ¿Cuánto dinero llevaba el campesino cuando le propusieron el malvado trato? 113. LA BATALLA. En una batalla han participado 4000 hombres. El 56,565656...% de los supervivientes no fuman; el 56,756756756...% no beben. ¿Cuántos han muerto? 114. EL BOXEADOR. Un boxeador decide retirarse cuando tenga el 90% de triunfos en su palmarés. Si ha boxeado 100 veces, obteniendo 85 triunfos, ¿cuál es el mínimo número de peleas adicionales necesarias para que el boxeador se pueda retirar? 115. EN LA FRUTERÍA. Una mandarina, una manzana y dos peras cuestan 51 ptas.. Dos peras y dos mandarinas cuestan 42 ptas. y una manzana. Una pera y dos mandarinas cuestan 44 ptas.. ¿Cuánto cuestan dos manzanas y dos mandarinas? 116. LAS VACAS DE NEWTON. Un ganadero comprueba que tres de sus vacas podrían alimentarse durante dos semanas con la hierba contenida en dos hectáreas, más la que creciese en dicha superficie durante las dos semanas. También comprueba que dos vacas podrían alimentarse durante cuatro semanas con la hierba de dos hectáreas, más la que creciese en ella durante dicho tiempo. ¿Cuántas vacas podrá alimentar el ganadero durante seis semanas con la

hierba contenida en seis hectáreas más la que creciese en ellas durante las seis semanas? 117. EL CABRERO. Observando un prado, un cabrero dedujo que podría apacentar en él tres cabras durante tres días, o dos cabras durante seis, antes de que se comieran toda la hierba. Todas sus cabras pastan a la misma velocidad. ¿Cuánto tiempo podría alimentar a una cabra con el pasto de aquel prado? 118. EL COLECCIONISTA DE MONEDAS. Un coleccionista quiere limpiar las 1.000 monedas de plata que tiene, para lo cual debe comprar en la droguería un líquido limpiador. El líquido necesario para limpiar 1.000 monedas le cuesta 250 monedas. Compra el líquido necesario para limpiar las restantes monedas sin que le sobre líquido limpiador. ¿Cuántas monedas pagó por el líquido limpiador? 119. LOS ANIMALES DE LA GRANJA. ¿Cuántos animales hay en la granja? Todos son toros menos 4, todos son vacas menos 4, hay tantos caballos como ganado vacuno, el resto son gallinas. 120. JUSTICIA DISTRIBUTIVA. En una comuna de 10 personas se decidió que el más rico debería duplicar el capital de los demás; esto es, dar a cada uno una cantidad igual a la que tuviese. Cuando echaron sus cuentas, tras el reparto, vieron que todo seguía exactamente igual que antes, salvo que el nombre de los ricos y los pobres había cambiado, naturalmente, pero la distribución de las fortunas era la misma. El total de la fortuna era de 1.023.000 ptas. ¿Cuál era el reparto entre las diez personas? 76. COMO ANILLO AL DEDO. Mi primo Margarito tiene una cantidad fija de anillos y muchas ganas de usarlos todos. Poniéndose tres anillos por dedo, quedarían cuatro dedos desnudos. Pero poniéndose un anillo por dedo le sobrarían ocho anillos. ¿Cuántos anillos y cuántos dedos tiene mi primo Margarito? 77. LOS HUEVOS DE GALLINA Y DE PATO. Un vendedor de huevos tiene delante suya seis cestas con 29, 23, 14, 12, 6 y 5 huevos respectivamente. «Si vendo esta cesta me quedará el doble de huevos de gallina que de pato». ¿A qué cesta se refiere el vendedor? 78. 7 LLENAS, 7 MEDIO LLENAS Y 7 VACÍAS. Tres hermanos recibieron 21 botellas iguales de una partida de vino, de las cuales 7 estaban llenas, otras 7 medio llenas y las restantes 7 vacías. ¿Cómo repartirse las 21 botellas de modo que cada uno reciba el mismo número de botellas y la misma cantidad de vino sin destapar las botellas? 79. REPARTO EN LA BODEGA. En una bodega hay dos tipos de botellas, grandes y pequeñas. Las grandes contienen doble cantidad vino que las pequeñas. Disponemos de 12 botellas grandes, 7 llenas y 5 vacías, así como de 12 botellas pequeñas, 7 llenas y 5 vacías. Se desean repartir las 24 botellas entre 3 personas, de modo que cada una reciba el mismo número de botellas de cada tipo y la misma cantidad de vino. ¿Cómo se podrá hacer el reparto?

80. LOS BUEYES DEL GRANJERO. Una pradera de 10 Ha. puede alimentar a 12 bueyes durante 16 semanas, o a 18 bueyes durante 8 semanas. ¿Cuántos bueyes se podrán alimentar en una pradera de 40 Ha. durante 6 semanas, considerando que el pasto crece en forma regular todo el tiempo? 81. LA ESCALERA MECÁNICA (1). Al entrar en el metro, Antonio descendió por la escalera mecánica, andando al tiempo que la escalera se desplazaba, y alcanzó al andén tras 50 pasos. Se le ocurrió entonces, subir por la misma escalera; es decir, caminando en sentido contrario al desplazamiento de los peldaños, y alcanzó así la parte superior en 125 pasos. Suponiendo que Antonio hizo este segundo recorrido con una andadura cinco veces más rápido que la de descenso, esto es, que el número de pasos por unidad de tiempo en un caso y otro fue de cinco a uno, ¿cuántos escalones serán visibles si la escalera mecánica parase de funcionar? 82. LA ESCALERA MECÁNICA (2). Tengo la costumbre de subir andando por la escalera mecánica del Metro mientras funciona: subo 20 escalones con mi paso y tardo así 60 segundos exactamente; mientras que mi mujer sube solamente 16 escalones y tarda 72 segundos. Si mañana esa escalera no funciona, ¿cuántos escalones tendría que subir? 83. EL TERREMOTO LEJANO. Hacia el año 1915, una familia japonesa residente en Madrid, alarmada por los rumores sobre un terremoto ocurrido en Tokio, pone un radiograma a esta ciudad a las 8h 30m hora de Madrid, el cual llega a Tokio a las 19h 34m hora de Tokio; pero los parientes de este punto, previendo la intranquilidad, pusieron otro radiograma tranquilizador a las 17h 19m de Tokio, que llegó a Madrid 3/4 de hora después de haber puesto el primero. Se desea saber la diferencia de hora entre Madrid y Tokio y la duración de transmisión del radiograma. (Los datos numéricos son irreales). 84. LAS PERPLEJIDADES DE LA SEÑORA PACA. La señora Paca solía coger el autobús en una parada de la calle Mayor para ir al mercado. No se preocupaba por los horarios, porque le servía un autobús de la línea P que uno de la línea Q. Sabía que de cada uno pasaban seis autobuses por hora y nunca había tenido que esperar mucho. Sin embargo, le sorprendía que muy pocas veces cogía un Q. Decidió, pues, llevar la cuenta del tipo de autobús en que montaba y descubrió que viajaba en un autobús Q aproximadamente sólo una vez de cada diez. La señora Paca estaba completamente perpleja. ¿Podría Vd. ayudarla a entender lo que pasaba? 85. EL PERRO Y EL GATO. Juntos perro y gato pesan 15 kilos. Si el peso del can es un número impar, y si el macho pesa el doble que la hembra, ¿cuánto pesa cada uno? 86. LOS MARINEROS, EL MONO Y LOS COCOS. Tres marineros y un mono arriban, tras un naufragio, a una isla desierta. Durante todo el día se dedican a recolectar cocos, con los que forman un montón común. Al llegar la noche, cansados por el trabajo realizado, se van a dormir dejando para el día siguiente el reparto de los cocos. Durante la noche, uno de los marineros, desconfiando de los otros, decide

hacerse con su parte, procediendo a formar tres montones iguales y guardándose uno de ellos. Como al hacerlo le sobra un coco, se lo da al mono. El segundo marinero, teniendo la misma idea, procede en igual forma con los cocos que ha dejado el primero. Al hacer los tres montones le sobra un coco, que se lo da al mono. Lo mismo ocurre con el tercer marinero, y al sobrarle un coco se lo da al mono. A la mañana siguiente, aunque el montón de cocos se encuentra reducido, los tres marineros se sienten igualmente culpables y no dicen nada, procediendo al reparto de los cocos. Al hacerlo les sobra uno, que se lo dan al mono. ¿Cuántas cocos había? a) Suponiendo que había menos de 100. b) Suponiendo que había entre 200 y 300. 87. ACEITE Y VINAGRE. En un almacén hay 6 barriles que contienen respectivamente 8, 13, 15, 17, 19 y 31 litros de aceite o de vinagre. El litro de aceite cuesta el doble que el de vinagre. Un cliente compra 1.400 ptas. de aceite y 1.400 ptas. de vinagre, dejando un solo barril. ¿Qué barril quedó?

88. LOS HERMANOS Y LOS MELONES. Los hermanos Pablo y Agustín van al mercado con 30 melones cada uno. Pablo vende 3 melones por un dólar (10 lotes) y obtiene 10 dólares. Agustín vende 2 melones por un dólar (15 lotes) y obtiene 15 dólares. Entre los dos llevan a casa 25 dólares (10+15=25). Al día siguiente volvieron al mercado cada uno con otros 30 melones. Como no querían tener dos precios diferentes optaron por vender 5 melones por 2 dólares. Hecha la venta, 12 lotes (60/5=12), obtuvieron 24 dólares (12x2=24). ¿Dónde está el dólar que falta de 24 a 25? 89. BARRILES DE VINO Y CERVEZA. Un hombre adquirió cinco barriles de vino y un barril de cerveza. El contenido de los barriles era 15, 16, 18, 19, 20 y 31 litros. Vendió luego una cantidad de vino a un cliente y el doble de esta cantidad a otro, y ya sin que le quedara más vino, se guardó para sí el barril de cerveza. ¿Cuál es el barril de cerveza? Por supuesto, el hombre vendió los barriles tal como los había comprado, sin trasegar ni cambiar para nada sus contenidos.

90. LA DIVISIÓN EN LA TASCA. El dueño de una tasca quiere dividir en dos partes iguales el líquido que lleva un recipiente de 16 litros. Para hacerlo no tiene a su disposición más que el recipiente original y dos recipientes vacíos con capacidades de 11 y 6 litros. ¿Cuántas operaciones de trasvase son necesarias para efectuar la partición sin perder ni una gota de líquido? 91. FACUNDO EL LECHERO. Facundo vende la leche que tiene en un recipiente grande. Para vender tiene 2 medidas, una de 7 litros y otra de 4 litros, dice que con estas le basta para vender cualquier cantidad de litros de leche a sus clientes. Puede usar ambas medidas y, ocasionalmente volver a volcar leche en el recipiente original. ¿Como hace para vender 1l, 2l, 3l, 5l, y 6l? 92. LOS VAGABUNDOS Y LAS GALLETAS. Cuatro vagabundos encontraron una gran cantidad de galletas, que acordaron dividir equitativamente entre ellos en el desayuno de la mañana siguiente. Durante la noche, mientras los otros dormían, uno de los hombres fue hasta la caja, devoró exactamente 1/4 del total de las galletas, excepto una suelta que sobró, y que arrojó al perro a modo de soborno. Más tarde, un segundo hombre se despertó y se le ocurrió la misma idea, tomando 1/4 de lo que quedaba, y dando la sobrante al perro. El tercero y el cuarto, a su vez, exactamente lo mismo, tomando 1/4 de lo que encontraron, y arrojando la sobrante al perro. En el desayuno dividieron equitativamente lo que quedaba, y otra vez dieron la galleta sobrante al perro. Cada hombre notó la reducción en el contenido de la caja, pero creyéndose el único responsable, ninguno dijo nada. ¿Cuál es el menor número posible de galletas que podía haber habido en la caja en un principio? 93. LECHERO INGENIOSO. Un lechero dispone únicamente de dos jarras de 3 y 5 litros de capacidad para medir la leche que vende a sus clientes. ¿Cómo podrá medir un litro sin desperdiciar leche? 94. EL VENDEDOR DE VINO. Un vendedor de vino sólo tiene garrafas de 8 litros. Dos amigos quieren comprar una de estas garrafas a medias y repartírsela. El vendedor busca por la tienda y encuentra dos garrafas vacías: una de 3 litros y la otra de 5 litros. ¿Cómo se las podría arreglar para repartir la garrafa de 8 litros entre los dos amigos? 95. LA ALABARDA. Durante la guerra 1914-1918 fue descubierta la tumba de un soldado francés muerto el último día de un mes durante otra guerra, en Italia. La alabarda del soldado se encontraba a su lado. El producto del día del mes inscrito en la lápida por la longitud en pies de la alabarda, por la mitad de los años transcurridos entre la muerte del soldado y el descubrimiento de su tumba, y finalmente por la mitad de la edad del comandante francés de la expedición en que murió el soldado, es igual a 451.066. ¿Quién era el comandante francés? 96. MANZANAS ENTERAS. Un hombre entró a un comercio y compró 2 manzanas más la mitad de las que quedaban. Otro hombre entró luego y compró 3 manzanas más un tercio de las que quedaban, etc. ¿Por cuántos compradores como máximo puede seguir este sistema de compras, si ninguna manzana es cortada?

97. EXIGENCIA CUMPLIDA. Un propietario agricultor repartió a tres criados suyos 120 limones, dándole a uno 60, a otro 40 y a otro 20. Luego, los envió a tres mercados distintos, dándoles orden de que los vendiesen en los tres a un mismo precio. Pero asimismo les exigió que trajesen los tres el mismo dinero por la venta. Como esto les pareció imposible a los criados, le dio a cada uno un ejemplar de un mismo cartel anunciador de los precios, para que se cumpliese la primera condición, y este cartel era tal que también se cumplía la segunda. ¿Qué cree Vd. que ponía en el cartel? 98. UN PRECIO ABSURDO. Un propietario tiene 60 melones, da 50 de ellos a un mozo y 10 a otro. Ordenó que vendiese primero el que llevaba 50 melones, y luego al mismo,precio y modo vendiese el que llevaba 10 melones, y trajese doble dinero el segundo que el primero. ¿Cómo lo consiguieron? 99. EL PROBLEMA DE BENEDIKTOV. SOLUCIÓN INGENIOSA DE UN PROBLEMA COMPLICADO. Una madre repartió entre sus tres hijas 90 huevos, dándole a la mayor 10, a la mediana 30 y a la menor 50. Luego, las envió a tres mercados distintos, dándoles orden de que los vendiesen en los tres a un mismo precio. Pero asimismo les exigió que trajesen las tres el mismo dinero por la venta. Como esto les pareció imposible a las hijas, le dio a cada una un ejemplar de un mismo cartel anunciador de los precios, para que se cumpliese la primera condición, y este cartel era tal que también se cumplía la segunda. ¿Qué cree Vd. que ponía en el cartel? 100. MODESTA GANANCIA EN COMPRAVENTA. Un hombre compró un día 20 perdices por 8 dólares, a razón de dos dólares cada cinco perdices. Al día siguiente quiso vender estas mismas 20 perdices, al mismo precio que las compró y ganar algo por su trabajo. ¿Cómo cree Vd. que puede cumplir sus deseos? 101. EL IMPOSIBLE CUADRADO DE CUBOS. Al joven Balthazar le han regalado un juego de cubos. El chico prueba de yuxtaponer los cubos para formar un cuadrado pero le faltan siete. Intenta luego hacer un cuadrado más pequeño y entonces le sobran diez. ¿Cuántos cubos tiene Balthazar? 102 PREDECIR LA CUENTA. El último día del año un matemático se vio sorprendido por la extraña manera en que su hija pequeña contaba con los dedos de la mano izquierda. Empezó por llamar 1 al pulgar, 2 al índice, 3 al anular, 4 al corazón y 5 al meñique; en ese momento invirtió la dirección, llamando 6 al corazón, 7 al anular, 8 al índice, 9 al pulgar, 10 de nuevo al índice, 11 al anular, y así sucesivamente. Continuó contando hacia adelante y hacia atrás hasta llegar a contar el 20 de su dedo corazón. Padre: ¿Qué demonios estás haciendo? Hija: Estoy contando hasta 1.962 para ver en qué dedo termino. Padre: (Cerrando los ojos) Terminarás en el ... Cuando la niña terminó de contar vio que su padre estaba en lo cierto. ¿Cómo llegó el padre a su predicción y qué dedo predijo? 103. SÓLO UN COCHE POR HERENCIA. En una herencia los únicos herederos Antonio y Benito reciben un coche. Ambos están interesados en quedarse con él.

¿Cómo podrían resolver el problema del reparto de la forma más correcta posible? (Muy interesante por la multitud de respuestas que suelen darse) 104. MATUSALÉN R.I.P.. Según la Biblia Matusalén tenía 187 años cuando tuvo a Lamech, vivió 969 años y murió. Lamech tenía 182 años cuando tuvo un hijo al que llamó Noé. Noé tenía 600 años cuando las aguas inundaron la Tierra. ¿Qué se deduce de todos estos datos? 105. LOS 24 SOBRES. Tengo 8 sobres que contienen 1 dólar cada uno, otros 8 sobres que contienen 3 dólares cada uno y 8 sobres de 5 dólares cada uno. ¿Cómo puedo distribuir estos 24 sobres entre 3 personas para que todas tengan igual cantidad de sobres e igual cantidad de dinero (sin abrir ningún sobre)?

Los (5) siguientes son originales de Pierre Berloquin. 106. ESPEJOS EN ÁNGULO RECTO (1). Si Vd. se coloca entre dos espejos que están en ángulo recto, ¿cuántas imágenes suyas puede ver? 107. LA LÍNEA DE BALDOSAS (2). Un piso rectangular embaldosado en la casa de Timoteo tiene 93 baldosas cuadradas en su lado corto y 231 en su lado largo. Timoteo pinta una línea diagonal desde una esquina hasta la esquina opuesta. ¿Cuántas baldosas atraviesa esa línea? 108. FRANCOS Y DÓLARES (3). El franco está subdividido en monedas de 50, 20, 10, 2 y 1 céntimo. Por lo tanto es posible tener en el bolsillo más de un franco sin llegar a formar un franco justo. Por ejemplo: una moneda de 50 céntimos y tres de 20. El dólar está subdividido en monedas de 50, 25, 10, 5 y 1 céntimo. También es posible tener en el bolsillo más de un dólar sin llegar a formar un dólar justo. Por ejemplo: tres monedas de 25 céntimos y tres monedas de 10. ¿En cuál de los dos sistemas de monedas es posible tener la suma más grande de céntimos sin llegar a formar una unidad justa? 109. LA ESCUADRILLA DE AVIONES (4). Una escuadrilla aérea tiene alrededor de 50 aviones. Su formación de vuelo es un triángulo equilátero, cuyas primeras líneas están formadas por 1, 2, 3 y 4 aviones. Algunos aviones caen en combate. Cuando la escuadrilla regresa, los aviones restantes forman cuatro triángulos equiláteros. Los aviones perdidos hubieran podido formar otro triángulo equilátero. Si estos cinco triángulos son de lado diferente, ¿cuántos aviones tenía inicialmente la escuadrilla? 110. LOS CINCO NEGOCIOS DE TIMOTEO (5). Timoteo ha gastado todo lo que tenía encima en cinco negocios. En cada uno gastó un franco más que la mitad de lo que tenía al entrar. ¿Cuánto dinero tenía Timoteo al principio? 111. LOS TRES JUGADORES. En una partida entre Alberto, Bernardo y Carlos el perdedor dobla el dinero de cada uno de los otros dos. Después de tres juegos cada jugador ha perdido una vez y todos terminan con 24 ptas. Alberto perdió el primer juego, Bernardo el segundo y Carlos el tercero. ¿Con cuánto dinero empezó cada uno?

112. AVARICIOSO CASTIGADO. Un campesino se dirigía a la ciudad, pensando tristemente que el dinero que llevaba no iba a ser suficiente para comprar el lechoncillo que deseaba. A la entrada del puente se encontró a un raro tipo (era el diablo, ni más no menos) que le dijo: «Conozco tu preocupación y voy a proponerte un trato. Si lo aceptas, cuando hayas cruzado el puente tendrás en tu bolsa doble dinero que al empezar. No cuentes el dinero, que sería desconfianza y por tu parte, sólo debes contar 32 monedas que echarás al río; yo sabré encontrarlas y éstas serán mi paga». Aceptó el aldeano, y apenas cruzado el puente comprobó, lleno de alegría y sin necesidad de contar, que su bolsa pesaba bastante más que antes. Con gran contento echó las 32 monedas al agua. Le vino entonces la tentación de repetir la acción y no supo resistirla, así que de nuevo pasó el puente, duplicó el dinero de su bolsa y pagó con 32 monedas. Todavía una tercera vez hizo esto mismo y, entonces, desolado, comprobó que se había quedado absolutamente sin dinero. Desesperado, se tiró desde el puente al río, y el diablo cobró así su trabajo. ¿Cuánto dinero llevaba el campesino cuando le propusieron el malvado trato? 113. LA BATALLA. En una batalla han participado 4000 hombres. El 56,565656...% de los supervivientes no fuman; el 56,756756756...% no beben. ¿Cuántos han muerto? 114. EL BOXEADOR. Un boxeador decide retirarse cuando tenga el 90% de triunfos en su palmarés. Si ha boxeado 100 veces, obteniendo 85 triunfos, ¿cuál es el mínimo número de peleas adicionales necesarias para que el boxeador se pueda retirar? 115. EN LA FRUTERÍA. Una mandarina, una manzana y dos peras cuestan 51 ptas.. Dos peras y dos mandarinas cuestan 42 ptas. y una manzana. Una pera y dos mandarinas cuestan 44 ptas.. ¿Cuánto cuestan dos manzanas y dos mandarinas? 116. LAS VACAS DE NEWTON. Un ganadero comprueba que tres de sus vacas podrían alimentarse durante dos semanas con la hierba contenida en dos hectáreas, más la que creciese en dicha superficie durante las dos semanas. También comprueba que dos vacas podrían alimentarse durante cuatro semanas con la hierba de dos hectáreas, más la que creciese en ella durante dicho tiempo. ¿Cuántas vacas podrá alimentar el ganadero durante seis semanas con la hierba contenida en seis hectáreas más la que creciese en ellas durante las seis semanas? 117. EL CABRERO. Observando un prado, un cabrero dedujo que podría apacentar en él tres cabras durante tres días, o dos cabras durante seis, antes de que se comieran toda la hierba. Todas sus cabras pastan a la misma velocidad. ¿Cuánto tiempo podría alimentar a una cabra con el pasto de aquel prado? 118. EL COLECCIONISTA DE MONEDAS. Un coleccionista quiere limpiar las 1.000 monedas de plata que tiene, para lo cual debe comprar en la droguería un líquido limpiador. El líquido necesario para limpiar 1.000 monedas le cuesta 250 monedas. Compra el líquido necesario para limpiar las restantes monedas sin que le sobre líquido limpiador. ¿Cuántas monedas pagó por el líquido limpiador?

119. LOS ANIMALES DE LA GRANJA. ¿Cuántos animales hay en la granja? Todos son toros menos 4, todos son vacas menos 4, hay tantos caballos como ganado vacuno, el resto son gallinas. 120. JUSTICIA DISTRIBUTIVA. En una comuna de 10 personas se decidió que el más rico debería duplicar el capital de los demás; esto es, dar a cada uno una cantidad igual a la que tuviese. Cuando echaron sus cuentas, tras el reparto, vieron que todo seguía exactamente igual que antes, salvo que el nombre de los ricos y los pobres había cambiado, naturalmente, pero la distribución de las fortunas era la misma. El total de la fortuna era de 1.023.000 ptas. ¿Cuál era el reparto entre las diez personas?

SOLUCIONES DE ÁLGEBRA 1. LA VIDA DE DIOFANTO. Al resolver la ecuación y hallar el valor de la incógnita, 84, conocemos los siguientes datos biográficos de Diofanto: se casó a los 21 años, fue padre a los 38 años, perdió a su hijo a los 80 años y murió a los 84. 2. EL CABALLO Y EL MULO. Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: x=5, y=7. El caballo llevaba 5 sacos y el mulo 7 sacos. 3. LOS CUATRO HERMANOS. Sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: x=8, y=12, z=5, t=20. 4.

EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. mcm (2,3,4,5,6,7,8,9,10) + 1 = 2.521.

5. COMERCIANTES DE VINOS. x=Precio de cada barril. y=Impuesto aduanero. 5x+40=64y; 2x-40=20y. Resolviendo el sistema: x=120 francos, y=10 francos. 6. EL PRECIO DE LOS HUEVOS. Sea x el número de huevos y P y P' los precios inicial y resultante tras la rotura. Px=60 P=60/x P'(x-2)=60 P'=60/(x-2) Pero P'=P+12/12 60/(x-2) = 60/x + 1 = (60+x)/x 60x=60x-120+x2-2x x2-2x-120=0 x=12. 7. LOS DIEZ ANIMALES. Primero damos cinco galletas a cada uno de los diez animales; ahora quedan seis galletas. Bien, los gatos ya han recibido su parte. Por tanto, las seis galletas restantes son para los perros, y puesto que cada perro ha de recibir una galleta más, debe haber seis perros y cuatro gatos. (6 x 6 + 5 x 4 = 36 +20 = 56). 8. LOROS Y PERIQUITOS. Puesto que un loro vale lo que dos periquitos, cinco loros valen lo que diez periquitos. Por tanto, cinco loros más tres periquitos valen lo que trece periquitos. Por otro lado, tres loros, más cinco periquitos valen lo que once periquitos. Así que la diferencia entre comprar cinco loros y tres periquitos o comprar tres loros y cinco periquitos es igual que la diferencia entre comprar trece periquitos y comprar once periquitos, que es dos periquitos. Sabemos que la diferencia es de 20 dólares. Así que dos periquitos valen 20 dólares, lo que significa

que un periquito vale 10 dólares y un loro 20 dólares. (5 loros + 3 periquitos = 130 dólares; 3 loros + 5 periquitos = 110 dólares). 9. COCHES Y MOTOS. Si todos los vehículos hubieran sido motos, el número total de ruedas sería 80, es decir, 20 menos que en realidad. La sustitución de una moto por un coche hace que el número total de ruedas aumente en dos, es decir, la diferencia disminuye en dos. Es evidente que hay que hacer 10 sustituciones de este tipo para que la diferencia se reduzca a cero. Por lo tanto se repararon 10 coches y 30 motos. 10.4+30.2=40+60=100. 10. MONDANDO PATATAS. En los 25 minutos de más, la segunda persona mondó 2.25 = 50 patatas. Restando estas 50 patatas de las 400, hallamos que, trabajando el mismo tiempo las dos mondaron 350 patatas. Como cada minuto ambas mondan en común 2+3=5 patatas, dividiendo 350 entre 5, hallamos que cada una trabajó 70 minutos. Este es el tiempo real que trabajó la primera persona; la segunda trabajó 70+25=95 minutos. 3.70+2.95=400. 11. EL PRECIO DE LOS LIMONES. Llamemos "x" al precio de un limón expresado en duros. 36 limones cuestan 36.x duros. Por 16 duros dan 16/x limones. 36.x = 16/x, 36.x² = 16, x² = 16/36, x = 2/3 duros. Luego, 12 limones valen 8 duros. 12. LA MÁQUINA DE PETACOS. La diferencia 471.300 - 392.750 = 78.550 son los puntos que cada amigo tiene que hacer de más por faltar uno de los amigos. 392.750/78.550 = 5 veces los puntos en cuestión. Luego los amigos eran inicialmente eran 6. Para conseguir partida necesitan 392.750 por 6 = 471.300 por 5 = 2.356.500 puntos. 13. TINTEROS Y CUADERNOS. Dos tinteros cuestan 70-46=24 ptas. Luego un tintero cuesta 12 ptas. Antonio pagó 60 ptas. por los tinteros, luego 70-60=10 ptas. por los cuatro cuadernos, o sea que un cuaderno cuesta 10/4=2.50 ptas. 14. LA BALANZA Y LAS FRUTAS. Como 4 manzanas y 6 melocotones se equilibran con 10 melocotones, entonces una manzana pesa lo mismo que un melocotón. Por tanto una pera se equilibra con 7 melocotones. 15. VENTA DE HUEVOS. Después de que la segunda clienta adquirió la mitad de los huevos que quedaban más medio huevo, a la campesina sólo le quedó un huevo. Es decir, un huevo y medio constituyen la segunda mitad de lo que le quedó después de la primera venta. Está claro que el resto completo eran tres huevos. Añadiendo 1/2 huevo, obtenemos la mitad de los que tenía la campesina al principio. Así, pues, el número de huevos que trajo al mercado era siete. 16.

LAS MANZANAS DEL HORTELANO. 36.

17. LAS TIERRAS DEL GRANJERO. Reducimos todo a sesentavos, 1/3 +1/4 +1/5 = 20/60 +15/60 + 12/60 = 47/60. Esto deja 13/60 para el cultivo de maíz. Por consiguiente, 13/60 de la tierra es 26, y como 13 es la mitad de 26, 60 debe ser la

mitad del número total de Ha. Así que la tierra tiene 120 Ha. Prueba: un tercio de 120 es 40, que es para el trigo; un cuarto de 120 es 30, que es para los guisantes; y un quinto de 120 es 24, que es para las judías. 40+30+24=94, y quedan 26 hectáreas para el maíz. 18. PASTELES PARA LOS INVITADOS. Había 10 invitados preferidos. 10·4 + 20·3 = 40 + 60 = 100. 19. LOS PASTELES. Ana tiene que darle a Carlos 2 pasteles. En total había 12 pasteles. Al principio Ana tenía 9 y Carlos 3. 20.

MÁS PASTELES. Ana 24, Carlos 8 y Diego 4.

21.

VENGA PASTELES. Había 32 pasteles. Carlos comió 10 y Diego 14.

22.

PASTELES GRANDES Y PEQUEÑOS. Sabemos que 1G = 3P. 7G + 4P = 21P + 4P = 25P 4G + 7P = 12P + 7P = 16P 25P - 19P = 6P = 12 ptas. 1P = 2 ptas. 1G = 6 ptas.

23. SOLDADOS DEL REGIMIENTO. Como 63,63636363...=700/11, el 700/11 % de los que quedan tiene carnet de conducir. Si N es el número de los que quedan, tienen carnet de conducir 700/11 1/100 N = 7N/11. Por tanto N debe ser múltiplo de 11. Igualmente como, 92,2297297...=6.825/74 entonces: 6.825/74 1/100 N = 273 N/296 no llevan gafas. Por tanto N también debe ser múltiplo de 296. Así N es múltiplo de 296 11=3.256. Pero en el regimiento sólo había 4.000 soldados, por lo que N=3.256 soldados. Por lo tanto, se han licenciado 4.000-3.256=744. 24.

ENCUESTA SOBRE EL VINO.

25. LA REVENTA. El porcentaje sobre el recargo que se gana Manuel es del 50%. 26. ENCARECER UN 10% Y ABARATAR UN 10%. Si se utiliza un artículo que valga 100 ptas., el proceso es: 100 ptas - encarece 10% - 110 ptas. - abarata 10% - 99. Luego es más barata después de abaratarla. En general: x - encarece 10% - 110x/100 ptas. - abarata 10% - 99x/100. Siempre es más barata después de abaratarla. 27. ABARATAR UN 10% Y ENCARECER UN 10%. Si se utiliza un artículo que valga 100 ptas., el proceso es: 100 ptas - abarata 10% - 90 ptas. - encarece 10% - 99. Luego es más barata después de encarecerla. En general: x - abarata 10% - 90x/100 ptas. - encarece 10% - 99x/100. Siempre es más barata después de encarecerla. 28. GANANCIA Y PERDIDA EN LA VENTA DE LOS CUADROS. El tratante no calculó bien: No se quedó igual que estaba; perdió 20 dólares ese día. Veamos por qué:

Consideremos primero el cuadro que vendió con un beneficio del 10%. Por el cuadro le dieron 990 dólares; ¿cuánto pagó por él? El beneficio no es el 10% de 990, sino el 10% de lo que pagó. De modo que 990 dólares es el 110% de lo que pagó. Esto significa que pagó 900 dólares, hizo el 10% de 900 dólares, que es 90 dólares, y recibió 990 dólares. Por consiguiente sacó 90 dólares con el primer cuadro. Consideremos ahora el segundo cuadro: Perdió el 10% de lo que pagó por él, de modo que lo, vendió por el 90% de lo que pagó. Por tanto pagó 1100 dólares, y el 10% de 1100 es 110, así que lo vendió por 1100 menos 110, que es 990 dólares. Por consiguiente perdió 110 dólares con el segundo cuadro, y ganó sólo 90 con el primero. Su pérdida neta fue de 20 dólares. 29. HÁMSTERS Y PERIQUITOS. Se compraron inicialmente tantos hámsters como periquitos. Sea x dicho número. Llamaremos y al número de hámsters que quedan entre los animalitos aún no vendidos. El número de periquitos será entonces 7-y. El número de hámsters vendidos a 200 pesetas cada uno, tras aumentar en un 10% el precio de compra, es igual a x-y, y el número de periquitos vendidos (a 110 pesetas cada uno) es evidentemente x-7+y. El costo de compra de los hámsters es por tanto 200x pesetas, y el de los periquitos, 100x pesetas, lo que hace un total de 300x pesetas. Los hámsters vendidos han reportado 220(x-y) pesetas y los periquitos 110(x-7+y) pesetas, lo que hace un total de 330x - 110y - 770 pesetas. Se nos dice que estos dos totales son iguales, así que los igualamos y simplificamos, tras de lo cual se obtiene la siguiente ecuación diofántica con dos incógnitas enteras: 3x = 11y + 77. Como x e y han de ser enteros positivos, y además y no puede ser mayor que 7, es cosa sencilla tantear con los ocho valores posibles (incluido el 0) de y a fin de determinar las soluciones enteras de x. Solamente hay dos: 5 y 2. Ambas podrían ser soluciones del problema si olvidamos el hecho de que los periquitos se compraron por pares. Este dato permite desechar la solución y=2, que da para x el valor impar de 33. Por lo tanto concluimos que y es 5. Podemos ahora dar la solución completa. El pajarero compró 44 hámsters y 22 parejas de periquitos, pagando en total 13.200 pesetas por todos ellos. Vendió 39 hámsters y 21 parejas de periquitos, recaudando un total de 13.200 pesetas. Le quedaron 5 hámsters cuyo valor al venderlos será de 1.100 pesetas, y una pareja de periquitos, por los que recibirá 220, lo que le da un beneficio de 1.320 pesetas, que es la solución del problema. 30. PASTELES SOBRE LA MESA. 30 pasteles. Diego encontró 2 = 1+1. Carlos encontró 6 = (2+1)2. Blas encontró 14 = (6+1)2. Ana encontró 30 = (14+1)2. 31. PASTELES COMO PAGO. El máximo es 3x26=78. Ganó sólo 62. Por holgazanear perdió 16. Cada día que holgazanea pierde 4 (3 que no recibe y 1 que da), luego 16/4=4. Holgazaneó 4 días y trabajó 22 días. 32. OPOSICIONES AL AYUNTAMIENTO. El 95% del número de aprobados ha de ser un número natural (no existen, en vivo, fracciones de personas). En este caso, el procedimiento más fácil para hallar la cantidad correspondiente al 95% es buscar un número, entre 1 y 36, cuyo 5% (100-95) sea un número natural. Si el 5% es una cantidad exacta, también lo será el 95%. Un número cuyo 5% sea un número natural ha de ser 20 o múltiplo de 20. En este caso, solo es posible el 20. Número total de aprobados: 20. Número de aprobados de Salamanca capital (el 95%): 19.

33. EL MANOJO DE ESPÁRRAGOS. La cantidad de espárragos del manojo es aproximadamente proporcional a la superficie del círculo formado por el bramante. Cuando se dobla la longitud del bramante se dobla el radio del círculo, y la superficie de ese círculo está multiplicada por 4 (S= R²). De suerte que los nuevos manojos contienen cuatro veces más espárragos y su precio debería ser 80 x 4 = 320 ptas. 34.

MIDIENDO UN CABLE. 59 metros.

35.

VESTIDOS A GOGÓ. 6.

36. LOS DOS BEBEDORES. Se puede considerar a los personajes como desagües de un barril, con velocidad uniforme de salida cada uno. Sean x las horas que tarda el inglés en beber todo el barril, e las horas que tarda el alemán. Los dos juntos en dos horas habrán bebido 2 (1/x + 1/y) parte del barríl En 2 horas y 48 minutos el alemán bebe: (2+4/5) 1/y En 4 horas y 40 minutos el inglés bebe: (4+2/3) 1/y 2 (1/x + 1/y) + (2+4/5) 1/y = 1 2 (1/x + 1/y) + (4+2/3) 1/x = 1 Sistema que se resuelve fácilmente tomando como incógnitas 1/x=x' y 1/y=y', de donde x=10, y=6. Es decir, el alemán se bebería el barril en 6 horas y el inglés en 10 horas. 37. JUEGO EN FAMILIA. Supongamos que un padre dispara x tiros y que su hijo dispara y tiros. x²-y²=45, (x-y)(x+y)=45. Combinaciones de factores posibles: (x+y): 45, 15, 9 con (x-y):1, 3, 5. De donde, fácilmente: Yo: 9 tiros, mi hijo, José: 6 tiros. Juan: 23 tiros, su hijo, Julio: 22 tiros. Pablo: 7 tiros, su hijo, Luis: 2 tiros. Se tiraron 39 tiros y se marcaron 1183 puntos. 38.

EL VASO DE VINO. Una cuarta parte.

39.

LAS CHOVAS Y LAS ESTACAS. Cuatro chovas y tres estacas.

40.

LIBROS DESHOJADOS. 232 páginas el primero y 124 páginas el segundo.

41. LA CUADRILLA DE SEGADORES. Tomemos como unidad de medida el prado grande. Si el prado grande fue segado por todo el personal de la cuadrilla en medio día, y por la mitad de la gente en el resto de la jornada, se deduce que media cuadrilla en medio día segó 1/3 del prado. Por consiguiente, en el prado chico quedaba sin segar 1/2-1/3=1/6. Si un segador siega en un día 1/6 del prado y si fueron segados 6/6+2/6=8/6, esto quiere decir que había 8 segadores. (Conviene hacer un dibujo)

42. EL TRUEQUE EN EL AMAZONAS. De b) y c) se obtiene que una lanza se cambia por 2 escudos. Si esto se completa con a) resulta que un collar se cambia por un escudo. Por tanto, una lanza equivale a dos collares. 43. NEGOCIANDO POLLOS. Una vaca vale 25 pollos. Un caballo vale sesenta pollos. Ya deben haber elegido 5 caballos y 7 vacas, que valen 475 pollos, y como tienen lo suficiente como para conseguir 7 vacas más, le quedan 175 pollos, lo que haría un total de 650. 44. PAGO EXACTO Y PUNTUAL. Las piezas son de 1, 2, 4, 8 y 15 denarios de valor. Indicando con 1 la moneda que tiene la patrona, y con 0 la moneda que tiene el hombre, la situación diaria se puede expresar como sigue: Valor de la moneda 15 8 4 2 1 Día 1º 0 0 0 0 1 Día 2º 0 0 0 1 0 Día 3º 0 0 0 1 1 ... ... ... ... ... ... Día 16º 1 0 0 0 1 Día 17º 1 0 0 1 0 ... ... ... ... ... ... Día 29º 1 1 1 1 0 Día 30º 1 1 1 1 1 Este cuadro hace evidente que el estado contable en cualquier día puede deducirse de la expresión binaria (en base 2) del número correspondiente. 45.

EL REPARTO DE LA HERENCIA. Siendo C el importe total de la herencia. El 1º recibió: 100.000 + (C-100.000)/5 El 2º recibió: 200.000 + 1/5[(C-100.000) - (C-100.000)/5 - 200.000] Igualando lo recibido por cada uno se obtiene: (C-100.000)/5 = 100.000 + C/5 - 60.000 - (C - 100.000)/25 ===> C = 1.600.000

ptas. Luego: 4 herederos a 400.000 ptas. cada uno. 46. SE QUEDÓ SIN DISCOS. Consideremos el lote del último amigo. Si éste, al tomar n discos más 1/7 del resto agotó el número de discos, significa que ese resto era cero, pues de otro modo hubieran sobrado discos. El amigo anterior había tomado n-1 discos más 1/7 del resto anterior. Tras esto, los 6/7 de este resto son los cobrados por el último amigo. Como ambos recibieron el mismo número de discos, este 1/7 del resto era un disco. El resto total eran 7 discos y el último amigo recibió 6, de lo que se deduce que: el número de amigos es 6 y cada uno obtiene seis discos, siendo el total de discos 36. 47.

TRANSPORTE DE UN TESORO. 1er intento: 20 - 20 - 20 - 20 2º intento: 20 - 30 - 30 - 30

3er intento: 20 - 30 - 40 - 40 Finalmente: 20 - 30 - 40 - 48 48.

NEGOCIANTE METÓDICO. Sea x el capital buscado. Fin del 1er año: 4/3 x - 4/3 100 Fin del 2º año: 16/9 x - 28/9 100 Fin del 3er año: 64/27 x - 148/27 100 = 2x de donde x=1.480 dólares.

49. EL REPARTO DE LAS CASTAÑAS. Las edades de las niñas están en la proporción 9:12:14. Las niñas recibieron: 198, 264 y 308 castañas. 50.

LAS MANZANAS DEL HORTELANO. 36.

CUADRADOS MÁGICOS Los cuadrados mágicos son ordenaciones de números en celdas formando un cuadrado, de tal modo que la suma de cada una de sus filas, de cada una de sus columnas y de cada una de sus diagonales dé el mismo resultado. Si la condición no se cumple para las diagonales, entonces se llaman cuadrados latinos. El origen de los cuadrados mágicos es muy antiguo. Los chinos y los indios los conocían antes del comienzo de la era cristiana. Los cuadrados mágicos se clasifican de acuerdo con el número de celdas que tiene cada fila o columna. Así, uno con 5 celdas se dice que es de quinto orden. No existen cuadrados mágicos de orden 2.

Aunque todos los matemáticos han reconocido siempre la falta de aplicaciones de los cuadrados mágicos, algunos se han ocupado de ellos con mucha atención: el mérito y gracia del juego está en su insospechada dificultad. Si a, b y c son tres números enteros cualesquiera, la siguiente disposición muestra la forma general de un cuadrado mágico de orden 3:

a+b

a-(b+c)

a+c

a-(b+c)

a

a+(b-c)

a-c

a+(b+c)

a-b

No hay métodos generales para construir cuadrados mágicos, sobre todo para los de orden par. Veamos un modo de construir fácilmente cuadrados mágicos de orden impar. 1. Tomemos una serie aritmética cualquiera, para mayor comodidad la serie de los números naturales, y coloquemos el número 1 en la celda central de la fila superior. 2. La cifra consecutiva a una cualquiera debe colocarse en la celda que le sigue diagonalmente hacia arriba y hacia la derecha. 3. Si al hacer esto se sale del cuadrado por el límite superior del contorno del mismo, saltaremos a la celda de la columna siguiente hacia la derecha y en su fila inferior, si se sale por la derecha, se sigue por la primera celda, a partir de la izquierda, de la fila superior. 4. Cuando la celda siguiente está ocupada, el número consecutivo de la serie se coloca en la celda inmediatamente inferior a la del número precedente, comenzando así un nuevo camino en la dirección de la diagonal. Como ejemplo, realicemos un cuadrado mágico de quinto orden:

17

24

1

8

15

23

5

7

14

16

4

6

13

20

22

10

12

19

21

3

11

18

25

2

9

Finalmente, puesto que las sumas siguen siendo iguales entre si cuando multiplicamos todos los números de las casillas por un mismo factor, o les añadimos un mismo sumando, es claro que podemos alterar fácilmente, en esta forma el llenado de las casillas.

1. SUMA 15. Construye un cuadrado mágico de 3x3. (Suma=15) 2. SUMA 24. Coloca nueve números consecutivos en un cuadrado de 3x3, de manera que la suma de las filas y la de las columnas sea 24. 3. SUMA 18. Construye el cuadrado mágico de 3x3 tal que la suma de los 3 numeros elegidos sea 18. 4. OTRA SUMA DE 18. Coloca tres números consecutivos en un cuadrado de 3x3, de manera que la suma de las filas y la suma de las columnas sea 18. 5. DEL 10 AL 18. Halla el número K, sabiendo que el cuadrado en el cual está inscrito es mágico y se compone de los números de 10 a 18.

K

6. A COMPLETAR. Completa el siguiente cuadrado para que sea mágico. 67

43

73 7. SUMA 34. Construye un cuadrado mágico de 4x4. (Suma=34) 8. COMPLETA 3x3. Completa los casilleros que faltan para que resulte mágicos el siguiente cuadrado: 7

5 8

11

9

9. COMPLETA 5x5. Completa los casilleros que faltan para que resulte mágicos el siguiente cuadrado: 11

7 12

17

3 8

13

9

18 23

14 19

15

10. CALCULA: A, B, C, D , E. Halla A, B, C, D, E en el siguiente cuadrado mágico: 15

A

35

50

B

C

25

D

E

11. CUADRADO DIABÓLICO. Construye un cuadrado mágico de 4x4 (Suma=34). Los elementos de cada una de las nueve matrices 2x2 que componen el cuadrado también deben sumar 34. 12.

ORIGINAL 4X4. ¿Por qué es muy original el siguiente cuadrado mágico? 96

11

89

68

88

69

91

16

61

86

18

99

19

98

66

81

13 RELLENA 5x5. Completa los casilleros que faltan para que resulte mágico el siguiente cuadrado: 1

20

23

24

2

17

25

15

4 22

10 14 7

11

21 19

14. CON LOS PARES. Construye un cuadrado mágico con los 9 primeros números pares de modo que las filas, columnas y diagonales sumen 30. 15. CON LOS IMPARES. Construye un cuadrado mágico con los 9 primeros números impares de modo que las filas, columnas y diagonales sumen 27. 16. PROBLEMA REVERSIBLE. a) Coloque en cada cuadrado libre un número menor que 10, de tal manera que en cada fila y en cada columna haya un número

que se repita exactamente dos veces, y que la suma (de cada fila y de cada columna), sea 17. b) Dé la vuelta al cuadrado y resuélvalo nuevamente.

8 6

6

SOLUCIONES DE LOS CUADRADOS MÁGICOS 1. SUMA 15. 6

1

8

7

5

3

2

9

4

12

8

4

5

10

9

7

6

11

6

7

5

5

6

7

7

5

6

6

7

5

6

6

6

6

5

7

2. SUMA 24.

3. SUMA 18.

4. OTRA SUMA DE 18.

5. DEL 10 AL 18. Sea N el número mágico del cuadrado. a

b

c

K d

e

f

a+b+c=N a+K+f=N b+K+e=N c+K+d=N d+e+f=N Sumando miembro a miembro las tres igualdades centrales: (a+b+c)+3K+(d+e+f)=3N ===> N+3K+N=3N ===> 3K=N ===> K=N/3 En este cuadrado mágico, N es la tercera parte de la suma de sus elementos 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 = 126 ===> N=42. Luego K=14. 6. A COMPLETAR. 67

b

43

K 73 67 + b + 43 = b + K + 73 = 3K. Por lo tanto: K=37, b=1. 67

1

43

13

37

61

31

73

7

Tiene la particularidad de estar compuesto sólo por números primos. 7. SUMA 34. 16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

8.

COMPLETAR 3x3.

9.

COMPLETAR 5x5.

10.

CALCULA: A, B, C, D , E.

11. CUADRADO DIABÓLICO. Es el cuadrado mágico de Alberto Durero. (Cuadrado diabólico) 16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

Este cuadrado cumple las condiciones pedidas. Además, los números de las esquinas también suman 34: 16+13+4+1=34. También: 3+2+15+14=34, 5+9+8+12=34. Este cuadrado mágico aparece en el conocidísimo grabado: «La Melancolía». Las dos cantidades del centro de la cuarta fila forman el año 1514 en el que fue grabado. 12. ORIGINAL 4X4. La singularidad del cuadrado es su simetría. Dándole la vuelta al papel sigue siendo un cuadrado mágico. 13

RELLENA 5x5.

14.

CON LOS PARES.

15.

CON LOS IMPARES.

16.

PROBLEMA REVERSIBLE. 2

5

2

8

2

6

7

2

8

5

2

2

5

1

6

5

2

9

3

3

5

4

3

5

2

2

9

4

8

2

5

5

CRIPTOGRAMAS

La criptografía es, como lo indica su etimología, el arte de las escrituras secretas. Su objeto es transformar un mensaje claro en un mensaje secreto que en principio sólo podrá ser leído por su destinatario legítimo (operación de cifrar); a esto sigue la operación inversa llevada a cabo por el destinatario (operación de descifrar). Restablecer el texto claro partiendo del texto cifrado sin que de antemano se conozca el procedimiento de cifras es el desciframiento. Si dejamos de lado los textos bíblicos en cifra, discutidos y discutibles, el procedimiento criptográfico más antiguo que se conoce es la escitala de los lacedemonios, de la que Plutarco nos dice que fue empleada en la época de Licurgo (siglo IX antes de nuestra era). La escitala era un palo en el cual se enrollaba en espiral una tira de cuero. Sobre esa tira se escribía el mensaje en columnas paralelas al eje del palo. La tira desenrollada mostraba un texto sin relación aparente con el texto inicial, pero que podía leerse volviendo a enrollar la tira sobre un palo del mismo diámetro que el primero. Los romanos emplearon un procedimiento muy ingenioso indicado por Eneas el Tácito (siglo IV antes de nuestra era) en una obra que constituye el primer tratado de criptografía conocido. El procedimiento consistía en enrollar un hilo en un disco que tenía muescas correspondientes a las letras del alfabeto. Para leer el mensaje bastaba con conocer su primera letra. Si el correo era capturado sólo tenía que quitar el hilo del disco y el mensaje desaparecía. Pero posteriormente este procedimiento se perdió. Por Suetonio conocemos la manera en que Julio César cifraba las órdenes que enviaba a sus generales; sus talentos de criptógrafo no igualaban a los del general. Julio César se limitaba a utilizar un alfabeto desplazado en tres puntos: A era reemplazada por D, B por E, etc. Hoy el arte de cifrar utiliza las técnicas de la electrónica y ya no tiene ninguna relación con los procedimientos que acabamos de describir. Todos los procedimientos de cifrar antiguos y modernos, a pesar de su diversidad y de su número ilimitado, entran en una de las dos categorías siguientes: transposición o sustitución. La transposición consiste en mezclar, de conformidad con cierta ley, las letras, las cifras, las palabras o las frases del texto claro. La sustitución consiste en reemplazar esos elementos por otras letras, otras cifras, otras palabras u otros signos.

LA CRIPTARITMÉTICA La criptografía es un arte que desempeñó un importante papel en el desenvolvimiento de la historia. La criptaritmética no es más que un juego. No sé en qué época se inventó, pero los aficionados a las variedades comenzaron a interesarse por ellas en el primer congreso internacional de recreaciones matemáticas que se reunió en Bruselas en 1935. La criptaritmética consiste en reemplazar las cifras por letras en la transcripción de una operación de aritmética clásica, de una ecuación. El problema consiste en hallar las cifras que están "bajo" las letras. Para complicar las cosas, en ciertos sitios se puede marcar simplemente el lugar de una cifra con un punto o un asterisco. En el caso extremo solo quedan asteriscos. Es fácil ver que la criptaritmética es un procedimiento de cifrar por sustitución y que la clave es una regla matemática. Los enunciados criptaritméticos son a veces seductores; sus soluciones no presentan dificultades matemáticas pero en cambio exigen numerosísimas hipótesis y, en consecuencia, cálculos largos y trabajosos que implican grandes riesgos de

confusión. Por eso se aconseja que se dediquen a este género de problemas sólo los lectores pacientes y minuciosos. 1.

PARA PRINCIPIANTES. Resolver: PAR + RAS = ASSA.

2.

SEÑAL DE SOCORRO. Resolver: IS + SO = SOS.

3.

ÚNICA SOLUCIÓN. Éste tiene solución única: ABCDE x 4 = EDCBA.

4.

FACILÓN. Reconstruir la suma: 3A2ABC + C8A4DD = E1DE19.

5.

MUY FACILÓN. Reconstruir el siguiente: R1G + 1G3 + 305 = GN5.

6.

OTRO MUY FACILÓN. Reconstruir el siguiente: PLAYA - NADAR = 31744.

7.

SUMA FÁCIL (1). Reconstruir la suma: 3AB32C + B2DECA = F51CD6.

8.

SUMA FÁCIL (2). Reconstruir la suma: ABC23D + C4EFGB = B769C7.

9.

SUMA FÁCIL (3). Reconstruir la suma: ABC52C + D31ECA = G45GH7.

10. SUMA FÁCIL (4). Reconstruir la suma: BCD + EEF = GFG. Se sabe que: DF=B. 11.

SUMA FÁCIL (5). Reconstruir la suma: ABC32D + D2AEBA = F69BC8.

12.

SUMA FÁCIL (6). Reconstruir la suma: ROSA + LILA = NARDO.

13.

DEL ZOOLÓGICO. Resolver: (ZOO)² = TOPAZ.

14.

CRIPTOGRAMA. Resolver el siguiente criptograma: CD B 0 6A+ D 6 E BAC =A9 5AE 7

15. AMOR POR AMOR SE ACRECE. Reconstruir el siguiente producto: AMOR x AMOR = ****AMOR. Ayuda: Números circulares son aquellos que multiplicados repetidamente por sí mismos reaparecen a la derecha de todos los productos. De una cifra son 1, 5 y 6, de dos cifras 25 y 76, etc. 16. PRODUCTO FORZADO. Reconstruir el siguiente producto: ABC x DEF = ... = 204561. Las diez cifras están representadas en él, contando las tres sumas intermedias y sin contar el resultado. Ayuda: 204561 = 3 x 3 x 7 x 17 x 191. 17. LA CAZA DEL TIGRE. Se busca el nombre de un animal. Cada letra de este nombre tiene como valor su número de orden en el alfabeto (A=1, B=2, C=3, etc.) El número de la primera letra es múltiplo de 2. El número de la segunda es un

cuadrado perfecto. El número de la tercera es múltiplo de 7. La cifra de las unidades del cuarto número es una potencia de 3. La suma de los números segundo y quinto es igual a 14. La suma de los números de dos de las letras es un número primo menor que 20. ¿Cuál es el animal buscado? (No considerar CH, LL, Ñ, W) 18. EL BUFÓN DEL DUQUE. La divisa del Duque de Chevailles, vasallo del rey de francia, se situaba en forma de tres palabras de tres letras que evocaban la ley férrea impuesta por uno de sus antepasados: L O I + F E R = D U C. Estas tres palabras presentan la particularidad de formar una suma en la que cada letra corresponde a una de las nueve primeras cifras (de 1 a 9). Se cuenta que un día, el bufón del Duque, encolerizado, escribió, conservando el valor de las letras: FO L+ D U C = I R E El bufón firmó su suma con el número 32.456.347. ¿Firmó con su nombre? 19. EL ABC DE LOS CRIPTOGRAMAS. Resolver: ABC = C4, BCA = D4. 20. CRIPTOSUMA: A letra distinta, numero distinto. Una palabra no puede comenzar con 0. Resolver el siguiente sabiendo que SEIS es divisible por 6. SEIS + DE + ENERO = REYES 21. CRIPTOGRAMA. Resolver el siguiente criptograma: PAGA + PATIN = MAGICO. 22. LOS PRODUCTOS DE SANTA BÁRBARA. En cada uno de los siguientes productos están las nueve cifras significativas. Reconstruirlos. ****x*=**** ***x**=**** 23. SUMA DE LETRAS. Resolver el siguiente criptograma sabiendo que ninguna de las cifras es cero. ASE + ACES + ASCE = SCIE 24. CRIPTOGRAMA SENCILLO. Cada ? representa un símbolo que hay que encontrar. MIL + MIL = ???????? 25. HOLA. Resolver éste: HOLA + CHAU = CUCHA. Ayuda: Hay dos soluciones muy parecidas. 26. DE CITA. Resolver éste: DIA + HORA = CITAS. 27. MUY ENTRETENIDO. Resolver éste: CINE + CENA + BAILE = PASEAR.

28. FACTURA EN CLAVE. Resolver: DIEZ + TRES = TRECE. Se sabe, además, que DIEZ es par y que TRES es impar. 29. JUGANDO A LAS CARTAS. Resolver éste: ASES + REYES = POKER. El cero no interviene. 30. MI MAMA ME MIMA. Resolver éste: MI + MAMA + ME + MIMA = EDIPO. El cero no interviene. 31. SUMA DISFRAZADA. Resolver la suma: SI+SI+SI+SI+SI+SI+SI = ASI. El cero y el uno no intervienen. 32. E.T. MATEMÁTICO. Resolver éste: (MI)2 = CASA. 33. ETETFONO. Resolver éste: (ABC)3 = ETETFONO. 34. ¿LA VERDADERA? Una de las dos multiplicaciones es falsa. Construir la verdadera. a) SIETE X DOS = CATORCE. b) SIETE X DOS = OCTORCE 35. DE VIAJE. Resolver éste: PARTO + PARA + PARIS = MARTES. No hay ceros. 36. CRIPTOANUNCIO. Resolver el siguiente: PARA + SNARK + A + MI + MARCIA + ARMA = PAGINA 37. CONVERSIÓN ROMANA. Las dos operaciones adjuntas, en números romanos, son correctas. LIX + LVI = CXV, X2 = C Lo seguirán siendo si se reemplazan por números arábigos. Encuentre la única solución. 38. DEL 1 AL 9. Resolver éste: 7AA + BB4 = BBA. Aparecen todas las cifras del 1 al 9. Las letras A son pares y las B impares. 39. CRIPTOGRAMA ABC. Resolver éste: ABC + ABC + ABC = BBB. 40.

LA DOCENA. Resolver éste: DIEZ + DOS = DOCE.

41.

LA SUMA ES OCHO. Resolver éste: DOS + DOS + DOS + DOS = OCHO.

42.

RECÁLCULO. Resolver éste: AB x C = DE + FG = HI.

SOLUCIONES DE CRIPTOGRAMAS

1. PARA PRINCIPIANTES. A=1. S+R=11, A+A+1=S, ===> S=3, R=8. 8+P=13 ===> P=5. La suma completa es 518 + 813 = 1331. 2. SEÑAL DE SOCORRO. S=1. De la primera columna O=0. De la segunda, I=9. 91 + 10 = 101. 3.

ÚNICA SOLUCIÓN. 21978 x 4 = 87912.

4.

FACILÓN. 332364 + 483455 = 815819.

5.

MUY FACILÓN. 317+173+305=795.

6.

OTRO MUY FACILÓN. 53161 - 21417 = 31744.

7.

SUMA FÁCIL (1). 325324 + 526142 = 851466.

8.

SUMA FÁCIL (2). 132234 + 244693 = 376927.

9.

SUMA FÁCIL (3). 314524 + 231043 = 545567.

10.

SUMA FÁCIL (4). 184 + 553 = 737. Es cierto que 4-3=1.

11.

SUMA FÁCIL (5). 346325 + 523143 = 869468.

12.

SUMA FÁCIL (6). 9874 + 5054 = 14928.

13. DEL ZOOLÓGICO. Puesto que el cuadrado de ZOO tiene 5 letras, la Z ha de ser 1, 2 ó 3. Pero no hay ningún cuadrado que acabe en 2 ni en 3; por lo tanto Z=1 y, en consecuencia, O=9, quedando así el resultado: (199)² = 39601. 14.

CRIPTOGRAMA. 234065 + 361452 = 595517.

15. AMOR POR AMOR SE ACRECE. 9376 x 9376 = 87909376. 16. PRODUCTO FORZADO. La única forma de asociar los factores primos del resultado para que den dos factores de tres cifras, es como sigue: 3x191=573, 3x7x17=357. El producto propuesto es, pues, uno de los dos siguientes: 573x375=204561, 375x573=204561. Si realizamos ambos productos completamente, en el segundo no aparece la cifra 6, salvo en el resultado. Luego, 573 x 375 = 204561 es el producto pedido. 17. LA CAZA DEL TIGRE. La letras segunda y quinta han de ser forzosamente I y E. Entre los posibles nombres (TINTE, LINDE, NIEVE, RIFLE, VIAJE, etc.) únicamente LINCE y TIGRE son nombres de animales. TIGRE no va bien, ya que ninguna suma de dos números que correspondan a las letras es un número primo menor que 20. El animal es pues el lince. ¿Y el tigre, entonces? Si el lince está en el zoo, el tigre no estará lejos.

18. EL BUFÓN DEL DUQUE. Las sumas son: 438+219=657 y 234+657=891. El bufón firmó con su nombre, CLODULFO, pero invertido. 19. EL ABC DE LOS CRIPTOGRAMAS. Los únicos números que elevados a la cuarta potencia dan un resultado con la misma cifra final, son los acabados en 0, 1, 5 y 6. De estas cifras solamente el 5 da un nº de 3 cifras. Por tanto: 625 = 54, 256=44. 20. CRIPTOSUMA: 4104 + 81 + 17129 = 21314 21. CRIPTOGRAMA. 69656 + 96078 = 165734. 22. LOS PRODUCTOS DE SANTA BÁRBARA. 1738 x 4 = 6952, 483 x 12 = 5796. La solución se facilita si se conoce la fecha de la fiesta de Santa Bárbara: 4 de diciembre ó 4 del 12. 23. SUMA DE LETRAS. Pongamos la suma en columna. Partiendo de la derecha se observa lo siguiente: 1ª columna: S + E = 10 2ª columna: I = C + 1 3ª columna: A + S = 9 4ª columna: C + 2A + 1 = S Este sistema diofántico (4 ecuaciones y 5 incógnitas) lleva por sustitución inmediata a la ecuación: 3A + C = 8, que da las dos soluciones posibles: A=2, C=2 y A=1, C=5. De la primera sale: S=7, E=3, I=3. De la segunda resulta: S=8, E=2, I=6. Por consiguiente: 2273 + 2237 + 2723 = 7233 y 5182 + 1528 + 1852 = 8562 son las dos sumas que solucionan la propuesta. 24. CRIPTOGRAMA SENCILLO. Los símbolos son: MMXCVIII. La suma está expresada en numeración romana: MIL + MIL = MMXCVIII. Es decir: 1049 + 1049 = 2098. 25. HOLA. 8326 + 1860 = 10186. 8362 + 1820 = 10182. 26. DE CITA. 507 + 9.867 = 10.374. 27. MUY ENTRETENIDO. 7.486 + 7.680 + 90.436 = 105.602. 28. FACTURA EN CLAVE. 9.672 + 1.075 = 10.747. 29. JUGANDO A LAS CARTAS. 5.696 + 29.196 = 34.892. 30. MI MAMA ME MIMA. 62 + 6.868 + 61 + 6.268 = 13.259. 31. SUMA DISFRAZADA. 75+75+75+75+75+75+75 = 375. 32. E.T. MATEMÁTICO. (92)2 = 8464. 33. ETETFONO. (461)3 = 97972181.

34. ¿LA VERDADERA? La a) es imposible. b) 31090 x 283 = 8798470. 35. DE VIAJE. 63287 + 6323 + 63249 = 132859. 36. CRIPTOANUNCIO. 5363 + 92360 + 3 + 41 + 436713 + 3643 = 538123 37. CONVERSIÓN ROMANA. C no puede se 4, pues entonces X y L serían ambas iguales a 2. Por lo tanto C=9 y X=3. La única solución es: 453 + 485 = 938, 32 = 9. 38. DEL 1 AL 9. 782 + 154 = 936. 39. CRIPTOGRAMA ABC. 148 + 148 + 148 = 444. 40.

LA DOCENA. 4158 + 467 = 4625.

LÓGICA LA LÓGICA. Es la forma correcta de llegar a la respuesta equivocada pero sintiéndote contento contigo mismo. 1. SILENCIO. Si Ángela habla más bajo que Rosa y Celia habla más alto que Rosa, ¿habla Ángela más alto o más bajo que Celia? 2. LA NOTA MEDIA. La nota media conseguida en una clase de 20 alumnos ha sido de 6. Ocho alumnos han suspendido con un 3 y el resto superó el 5. ¿Cuál es la nota media de los alumnos aprobados? 3. LOS CUATRO ATLETAS. De cuatro corredores de atletismo se sabe que C ha llegado inmediatamente detrás de B, y D ha llegado en medio de A y C. ¿Podría Vd. calcular el orden de llegada? 4. SEIS AMIGOS DE VACACIONES. Seis amigos desean pasar sus vacaciones juntos y deciden, cada dos, utilizar diferentes medios de transporte; sabemos que Alejandro no utiliza el coche ya que éste acompaña a Benito que no va en avión. Andrés viaja en avión. Si Carlos no va acompañado de Darío ni hace uso del avión, podría Vd. decirnos en qué medio de transporte llega a su destino Tomás. 5. LOS CUATRO PERROS. Tenemos cuatro perros: un galgo, un dogo, un alano y un podenco. Éste último come más que el galgo; el alano come más que el galgo y menos que el dogo, pero éste come más que el podenco. ¿Cuál de los cuatro será más barato de mantener?

6. TENIS DE CATEGORÍA. En un partido del prestigioso torneo de tenis de Roland Garros se enfrentaron Agasy y Becker. El triunfo correspondió al primero por 6-3 y 7-5. Comenzó sacando Agasy y no perdió nunca su saque. Becker perdió su servicio dos veces. Agasy rompió el servicio de su rival en el segundo juego del primer set y, ¿en qué juego del segundo set? 7. SERPIENTES MARINAS. Un capitán en el Caribe fue rodeado por un grupo de serpientes marinas, muchas de las cuales eran ciegas. Tres no veían con los ojos a estribor, 3 no veían nada a babor, 3 podían ver a estribor, 3 a babor, 3 podían ver tanto a estribor como a babor, en tanto que otras 3 tenían ambos ojos arruinados. ¿Cuál es el mínimo número de serpientes necesarias para que con ellas se den todas esas circunstancias? 8. EL PARO AUMENTA. Con motivo de realizar un estudio estadístico de los componentes de una población, un agente analizó determinadas muestra de familias. El resultado fue el siguiente: 1) Había más padres que hijos. 2) Cada chico tenía una hermana. 3) Había más chicos que chicas. 4) No había padres sin hijos. ¿Qué cree Vd. que le ocurrió al agente? 9. PARTIDO DE TENIS. Santana ganó a Orantes un set de tenis por 6-3. Cinco juegos los ganó el jugador que no servía. ¿Quién sirvió primero? 10. CABALLOS. El caballo de Mac es más oscuro que el de Smith, pero más rápido y más viejo que el de Jack, que es aún más lento que el de Willy, que es más joven que el de Mac, que es más viejo que el de Smith, que es más claro que el de Willy, aunque el de Jack es más lento y más oscuro que el de Smith. ¿Cuál es el más viejo, cuál el más lento y cuál el más claro? En ocasiones, ciertas personas se encuentran en una situación crítica, y sólo por su agudeza e inteligencia pueden salir de ella. 11. EL EXPLORADOR CONDENADO. Un explorador cayó en manos de una tribu de indígenas, se le propuso la elección entre morir en la hoguera o envenenado. Para ello, el condenado debía pronunciar una frase tal que, si era cierta, moriría envenenado, y si era falsa, moriría en la hoguera. ¿Cómo escapó el condenado a su funesta suerte? 12. EL PRISIONERO Y LOS DOS GUARDIANES. Un sultán encierra a un prisionero en una celda con dos guardianes, uno que dice siempre la verdad y otro que siempre miente. La celda tiene dos puertas: la de la libertad y la de la esclavitud. La puerta que elija el prisionero para salir de la celda decidirá su suerte. El prisionero tiene derecho de hacer una pregunta y sólo una a uno de los guardianes. Por supuesto, el prisionero no sabe cuál es el que dice la verdad y cuál es el que miente. ¿Puede el prisionero obtener la libertad de forma segura?

13. EL PRISIONERO Y LOS TRES GUARDIANES. Imaginemos que hay tres puertas y tres guardias, dos en las condiciones anteriores y el tercero que dice verdad o mentira alternativamente. ¿Cuál es el menor número de preguntas que debe hacer para encontrar la libertad con toda seguridad? 14. LOS 3 PRESOS Y LAS BOINAS (1). El director de una prisión llama a tres de sus presos, les enseña tres boinas blancas y dos boinas negras, y les dice: «Voy a colocar a cada uno de ustedes una boina en la cabeza, el primero de ustedes que me indique el color de la suya será puesto en libertad». Si los presos están en fila, de manera que el primero no puede ver las boinas de los otros dos, el segundo ve la boina del primero y el tercero ve las boinas de los otros dos. ¿Por qué razonamiento uno de los presos obtiene la libertad? 15. LOS 3 PRESOS Y LAS BOINAS (2). El director de una prisión llama a tres de sus presos, les enseña tres boinas blancas y dos boinas negras, y les dice: «Voy a colocar a cada uno de ustedes una boina en la cabeza, el primero de ustedes que me indique el color de la suya será puesto en libertad». Si los presos pueden moverse, y por tanto ver las boinas de los otros dos. ¿Por qué razonamiento uno de los presos obtiene la libertad? 16. LOS MARIDOS ENGAÑADOS. Cuarenta cortesanos de la corte de un sultán eran engañados por sus mujeres, cosa que era claramente conocida por todos los demás personajes de la corte sin excepción. Únicamente cada marido ignoraba su propia situación. El sultán: «Por lo menos uno de vosotros tiene una mujer infiel. Quiero que el que sea la expulse una mañana de la ciudad, cuando esté seguro de la infidelidad». Al cabo de 40 días, por la mañana, los cuarenta cortesanos engañados expulsaron a sus mujeres de la ciudad. ¿Por qué? 17. 18. EL CONDENADO A MUERTE. En los tiempos de la antigüedad la gracia o el castigo se dejaban frecuentemente al azar. Así, éste es el caso de un reo al que un sultán decidió que se salvase o muriese sacando al azar una papeleta de entre dos posibles: una con la sentencia "muerte", la otra con la palabra "vida", indicando gracia. Lo malo es que el Gran Visir, que deseaba que el acusado muriese, hizo que en las dos papeletas se escribiese la palabra "muerte". ¿Cómo se las arregló el reo, enterado de la trama del Gran Visir, para estar seguro de salvarse? Al reo no le estaba permitido hablar y descubrir así el enredo del Visir. 19. LAS DEPORTISTAS. Ana, Beatriz y Carmen. Una es tenista, otra gimnasta y otra nadadora. La gimnasta, la más baja de las tres, es soltera. Ana, que es suegra de Beatriz, es más alta que la tenista. ¿Qué deporte practica cada una? 20. SILOGISMOS. Ejemplo que está en todos los manuales de lógica elemental. El silogismo: «Los hombres son mortales, Sócrates es hombre. Luego, Sócrates es mortal». es indudablemente conocido e inevitablemente válido. Qué ocurre con el

siguiente: «Los chinos son numerosos, Confucio es chino. Luego, Confucio es numeroso». 21. EL TORNEO DE AJEDREZ. En un torneo de ajedrez participaron 30 concursantes que fueron divididos, de acuerdo con su categoría, en dos grupos. En cada grupo los participantes jugaron una partida contra todos los demás. En total se jugaron 87 partidas más en el segundo grupo que en el primero. El ganador del primer grupo no perdió ninguna partida y totalizó 7'5 puntos. ¿En cuántas partidas hizo tablas el ganador? 22. LAS TRES CARTAS. Tres naipes, sacados de una baraja francesa, yacen boca arriba en una fila horizontal. A la derecha de un Rey hay una o dos Damas. A la izquierda de una Dama hay una o dos Damas. A la izquierda de un corazón hay una o dos picas. A la derecha de una pica hay una o dos picas. Dígase de qué tres cartas se trata. 23. TRES PAREJAS EN LA DISCOTECA. Tres parejas de jóvenes fueron a una discoteca. Una de las chicas vestía de rojo, otra de verde, y la tercera, de azul. Sus acompañantes vestían también de estos mismos colores. Ya estaban las parejas en la pista cuando el chico de rojo, pasando al bailar junto a la chica de verde, le habló así: Carlos: ¿Te has dado cuenta Ana? Ninguno de nosotros tiene pareja vestida de su mismo color. Con esta información, ¿se podrá deducir de qué color viste el compañero de baile de la chica de rojo? 24. BLANCO, RUBIO Y CASTAÑO. Tres personas, de apellidos Blanco, Rubio y Castaño, se conocen en una reunión. Poco después de hacerse las presentaciones, la dama hace notar: "Es muy curioso que nuestros apellidos sean Blanco Rubio y Castaño, y que nos hayamos reunido aquí tres personas con ese color de cabello" "Sí que lo es -dijo la persona que tenía el pelo rubio-, pero habrás observado que nadie tiene el color de pelo que corresponde a su apellido." "¡Es verdad!" -exclamó quien se apellidaba Blanco. Si la dama no tiene el pelo castaño, ¿de qué color es el cabello de Rubio? 25. LOS CIEN POLÍTICOS. Cierta convención reunía a cien políticos. Cada político era o bien deshonesto o bien honesto. Se dan los datos: a) Al menos uno de los políticos era honesto. b) Dado cualquier par de políticos, al menos uno de los dos era deshonesto. ¿Puede determinarse partiendo de estos dos datos cuántos políticos eran honestos y cuántos deshonestos? 26. COMIENDO EN EL RESTAURANTE. Armando, Basilio, Carlos y Dionisio fueron, con sus mujeres, a comer. En el restaurante, se sentaron en una mesa redonda, de forma que: - Ninguna mujer se sentaba al lado de su marido. - Enfrente de Basilio se sentaba Dionisio.

- A la derecha de la mujer de Basilio se sentaba Carlos. - No había dos mujeres juntas. ¿Quién se sentaba entre Basilio y Armando? 27. SELLOS DE COLORES. Tres sujetos A, B y C eran lógicos perfectos. Cada uno podía deducir instantáneamente todas las conclusiones de cualquier conjunto de premisas. Cada uno era consciente, además, de que cada uno de los otros era un lógico perfecto. A los tres se les mostraron siete sellos: dos rojos, dos amarillos y tres verdes. A continuación, se les taparon los ojos y a cada uno le fue pegado un sello en la frente; los cuatro sellos restantes se guardaron en un cajón. Cuando se les destaparon los ojos se le preguntó a A: -¿Sabe un color que con seguridad usted no tenga? A, respondió: -No. A la misma pregunta respondió B: -No. ¿Es posible, a partir de esta información, deducir el color del sello de A, o del de B, o del de C? 28. LA LÓGICA DE EINSTEIN. Problema propuesto por Einstein y traducido a varios idiomas conservando su lógica. Einstein aseguraba que el 98% de la población mundial sería incapaz de resolverlo. Yo creo que Vd. es del 2% restante. Inténtelo y verá como tengo razón. Condiciones iniciales: - Tenemos cinco casas, cada una de un color. - Cada casa tiene un dueño de nacionalidad diferente. - Los 5 dueños beben una bebida diferente, fuman marca diferente y tienen mascota diferente. - Ningún dueño tiene la misma mascota, fuma la misma marca o bebe el mismo tipo de bebida que otro. Datos: 1. El noruego vive en la primera casa, junto a la casa azul. 2. El que vive en la casa del centro toma leche. 3. El inglés vive en la casa roja. 4. La mascota del Sueco es un perro. 5. El Danés bebe té. 6. La casa verde es la inmediata de la izquierda de la casa blanca. 7. El de la casa verde toma café. 8. El que fuma PallMall cría pájaros. 9. El de la casa amarilla fuma Dunhill. 10. El que fuma Blend vive junto al que tiene gatos. 11. El que tiene caballos vive junto al que fuma Dunhill. 12. El que fuma BlueMaster bebe cerveza. 13. El alemán fuma Prince. 14. El que fuma Blend tiene un vecino que bebe agua. ¿Quién tiene peces por mascota? 29. COLOCANDO NÚMEROS (1). Colocar un número en cada cuadro, teniendo en cuenta que:

a) 3, 6, 8, están en la horizontal superior. b) 5, 7, 9, están en la horizontal inferior. c) 1, 2, 3, 6, 7, 9, no están en la vertical izquierda. d) 1, 3, 4, 5, 8, 9, no están en la vertical derecha. 30. COLOCANDO NÚMEROS (2). Colocar un número en cada cuadro, teniendo en cuenta que:

a) 3, 5, 9, están en la horizontal superior. b) 2, 6, 7, están en la horizontal inferior. c) 1, 2, 3, 4, 5, 6, no están en la vertical izquierda. d) 1, 2, 5, 7, 8, 9, no están en la vertical derecha. 31. LA BARAJA ESPAÑOLA. En una mesa hay cuatro cartas en fila: 1. El caballo esta a la derecha de los bastos. 2. Las copas están mas lejos de las espadas que las espadas de los bastos. 3. El rey esta mas cerca del as que el caballo del rey. 4. Las espadas, mas cerca de las copas que los oros de las espadas. 5. El as esta mas lejos del rey que el rey de la sota. ¿Cuáles son los cuatro naipes y en qué orden se encuentran? 32. COLOCANDO NÚMEROS (3). Colocar un número en cada cuadro, teniendo en cuenta que:

a) 4, 5, 6, están en la horizontal superior. b) 7, 8, están en la horizontal inferior. c) 2, 3, 4, 5, 8, 9, no están en la vertical izquierda. d) 1, 5, 6, 7, 8, 9, no están en la vertical derecha. 33. EN EL ASCENSOR. Cuatro jugadores de rugby entran en un ascensor que puede trasportar un máximo de 380 kilos. Para que no suene una alarma, que detendría al elevador por exceso de carga, tiene usted que calcular su peso total con gran rapidez. Pero, ¿cuanto pesa cada jugador? He aquí los datos: Pablo es quien pesa más: si cada uno de los otros pesara tanto como el, la alarma detendría el ascensor. Carlos es el mas ligero: ¡el ascensor podría subir a cinco como el¡ Renato pesa 14 kilos menos que Pablo, y solo seis menos que Jesús. Jesús pesa 17 kilos mas que Carlos. Los peces de Pablo y de Carlos son múltiplos de cinco.

34. COLOCANDO NÚMEROS (4). Colocar un número en cada cuadro, teniendo en cuenta que:

a) 2, 5, 6, están en la horizontal superior. b) 4, 7, 8, están en la horizontal inferior. c) 2, 3, 4, 6, 7, 9, no están en la vertical izquierda. d) 1, 2, 4, 5, 8, 9, no están en la vertical derecha. 35. LA ORUGA Y EL LAGARTO. La oruga piensa que tanto ella como el lagarto están locos. Si lo que cree el cuerdo es siempre cierto y lo que cree el loco es siempre falso, ¿el lagarto está cuerdo? (Original de Lewis Carroll) 36. LOS TRES DADOS. Tengo tres dados con letras diferentes. Al tirar los dados puedo formar palabras como: OSA, ESA, ATE, CAE, SOL, GOL, REY, SUR, MIA, PIO, FIN, VID, pero no puedo formar palabras tales como DIA, VOY, RIN. ¿Cuáles son las letras de cada dado? 37. ¿SON MENTIROSOS? Andrés: Cuando yo digo la verdad, tú también. Pablo: Cuando yo miento, tu también. ¿Es posible que en esta ocasión uno mienta y el otro no? 38. PASTELES PARA NIÑOS. Un niño y medio se comen un pastel y medio en un minuto y medio. ¿Cuántos niños hacen falta para comer 60 pasteles en media hora? 39. LA BODA. Cuando María preguntó a Mario si quería casarse con ella, este contestó: "No estaría mintiendo si te dijera que no puedo no decirte que es imposible negarte que si creo que es verdadero que no deja de ser falso que no vayamos a casarnos". María se mareó. ¿Puede ayudarla diciéndola si Mario quiere o no quiere casarse? 40. EL ENCUENTRO. Ángel, Boris, César y Diego se sentaron a beber. El que se sentó a la izquierda de Boris, bebió agua. Ángel estaba frente al que bebía vino. Quien se sentaba a la derecha de Diego bebía anís. El del café y el del anís estaban frente a frente. ¿Cuál era la bebida de cada hombre? 41. EL NÚMERO. Buscamos un número de seis cifras con las siguientes condiciones. - Ninguna cifra es impar. - La primera es un tercio de la quinta y la mitad de la tercera. - La segunda es la menor de todas. - La última es la diferencia entre la cuarta y la quinta. 42. LA HILERA DE CASAS. En una hilera de cuatro casas, los Brown viven al lado de los Smith pero no al lado de los Bruce. Si los Bruce no viven al lado de los Jones, ¿quiénes son los vecinos inmediatos de los Jones?

43. COMPLETANDO. Completar la oración siguiente colocando palabras en los espacios: Ningún pobre es emperador, y algunos avaros son pobres: luego: algunos (.........) no son (.........). 44. EXAMEN DE HISTORIA. De las siguientes afirmaciones. ¿cuáles son las dos que. tomadas conjuntamente, prueban en forma concluyente que una o más niñas aprobaron el examen de historia? a) Algunas niñas son casi tan competentes en historia como los niños. b) Las niñas que hicieron el examen de historia eran más que los niños. c) Más de la mitad de los niños aprobaron el examen. d) Menos de la mitad de todos los alumnos fueron suspendidos. 45. CONDUCTORES Y SU SEXO. Las estadísticas indican que los conductores del sexo masculino sufren más accidentes de automóvil que las conductoras. La conclusión es que: a) Como siempre, los hombres, típicos machistas, se equivocan en lo que respecta a la pericia de la mujer conductora. b) Los hombres conducen mejor, pero lo hacen con más frecuencia. c) Los hombres y mujeres conducen igualmente bien, pero los hombres hacen más kilometraje. d) La mayoría de los camioneros son hombres. e) No hay suficientes datos para justificar una conclusión. 46. GASOLINA. Si al llegar a la esquina Jim dobla a la derecha o a la izquierda puede quedarse sin gasolina antes de encontrar una estación de servicio. Ha dejado una atrás, pero sabe que, si vuelve, se le acabará la gasolina antes de llegar. En la dirección que lleva no ve ningún surtidor. Por tanto: a) Puede que se quede sin gasolina. b) Se quedará sin gasolina. c) No debió seguir. d) Se ha perdido. e) Debería girar a la derecha. f) Debería girar a la izquierda. 47. NEUMÁTICOS. Todos los neumáticos son de goma. Todo lo de goma es flexible. Alguna goma es negra. Según esto, ¿cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? a) Todos los neumáticos son flexibles y negros. b) Todos los neumáticos son negros. c) S¾lo algunos neumáticos son de goma. d) Todos los neumáticos son flexibles. e) Todos los neumáticos son flexibles y algunos negros. 48. OSTRAS. Todas las ostras son conchas y todos los conchas son azules; además algunas conchas son la morada de animalitos pequeños. Según los datos suministrados, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) Todas las ostras son azules. b) Todas las moradas de animalitos pequeños son ostras. c) a) y b) no son ciertas. d) a) y b) son ciertas las dos.

49. PUEBLOS. A lo largo de una carretera hay cuatro pueblos seguidos: los Rojos viven al lado de los Verdes pero no de los Grises; los Azules no viven al lado de los Grises. ¿Quiénes son pues los vecinos de los Grises? 50. EL TEST. Tomás, Pedro, Jaime, Susana y Julia realizaron un test. Julia obtuvo mayor puntuación que Tomás, Jaime puntuó más bajo que Pedro pero más alto que Susana, y Pedro logró menos puntos que Tomás. ¿Quién obtuvo la puntuación más alta?

SOLUCIONES DE LÓGICA 1. SILENCIO. Más bajo. 2. LA NOTA MEDIA. Ocho. 3. LOS CUATRO ATLETAS. B-C-D-A. 4. SEIS AMIGOS DE VACACIONES. En coche. 5. LOS CUATRO PERROS. El galgo. 6. TENIS DE CATEGORÍA. En el juego número once. 7. SERPIENTES MARINAS. Había 3 serpientes totalmente ciegas y 3 con ambos ojos sanos. 8. EL PARO AUMENTA. El agente pasó a engrosar la lista de parados, por incompetente, al haber llegado a la conclusión primera de que había más padres que hijos. 9. PARTIDO DE TENIS. Quienquiera que sirviese primero sirvió cinco juegos, y el otro jugador sirvió cuatro. Supóngase que quien sirvió primero ganó x de los juegos que sirvió, e y del resto de los juegos. El número total de juegos perdidos por el jugador que los sirvió es, entonces, 5-x+y. Esto es igual a 5 (se nos dijo que la que no sirvió ganó cinco juegos); por tanto, x=y, y el primer jugador ganó un total de 2x juegos. Porque sólo Santana ganó un número par de juegos, él debió ser el primero en servir. 10. CABALLOS. El más viejo el de Mac, el más lento el de Jack y el más claro el de Smith. 11. EL EXPLORADOR CONDENADO. El condenado dijo: «MORIRÉ EN LA HOGUERA». Si esta frase es cierta, el condenado debe morir envenenado. Pero en ese caso ya es falsa. Y si es falsa, debe morir en la hoguera, pero en este caso es verdadera. El condenado fue indultado. 12. EL PRISIONERO Y LOS DOS GUARDIANES. El prisionero pregunta a uno de los dos servidores: «SI LE DIJERA A TU COMPAÑERO QUE ME SEÑALE LA PUERTA DE LA LIBERTAD, ¿QUÉ ME CONTESTARÍA?» En los dos casos,

el guardián señala la puerta de la esclavitud. Por supuesto elegiría la otra puerta para salir de la celda. 13. EL PRISIONERO Y LOS TRES GUARDIANES. 14. LOS 3 PRESOS Y LAS BOINAS (1). El primer preso (el que no ve ninguna boina) averigua el color de su boina: Como el tercer preso, que ve las dos boinas, no dice nada, no puede ver dos boinas negras. Si el segundo viera una boina negra en el primero, sabría que él tiene una blanca ya que no oye al tercero decir que tiene una blanca. Entonces el primer preso tiene una boina blanca. 15. LOS 3 PRESOS Y LAS BOINAS (2). Si uno cualquiera de ellos tuviera una boina negra, los otros dos sabrían que tiene una boina blanca; si no, el tercero diría inmediatamente que tiene una boina blanca. Luego cada preso tiene una boina blanca. 16. LOS MARIDOS ENGAÑADOS. Si hubiera sólo un marido engañado, habría expulsado a su mujer la primera mañana, puesto que no conocería ninguna mujer infiel y sabría que hay por lo menos una. Si hubiera dos maridos engañados, cada uno sabría que el otro era engañado, y esperaría que éste último expulsase a su mujer la primera mañana. Como eso no tiene lugar, cada uno deduce que el otro espera lo mismo, y por tanto que hay dos mujeres infieles una de las cuales es la suya. Los dos maridos expulsan pues a sus mujeres la segunda mañana. De la misma manera, si hubiera tres maridos engañados, cada uno sabría que los otros dos lo son, y esperaría que expulsaran a sus mujeres la segunda mañana. Como eso no tiene lugar, cada uno deduce que una tercera mujer infiel, que no puede ser otra más que la suya. Los tres maridos expulsan pues a sus mujeres la tercera mañana. Y así sucesivamente; los cuarenta maridos expulsan a sus cuarenta mujeres a los cuarenta días, por la mañana. 17. EL REY Y EL MINISTRO. El ministro cogió uno de los papeles sin mirarlo, hizo con él una bola y se lo tragó. Como el papel que quedaba decía CESADO, el rey quedó obligado a reconocer que el papel elegido, y tragado, contenía la opción SEGUIR. 18. EL CONDENADO A MUERTE. Eligió una papeleta y, con gesto fatalista, como correspondía a un árabe, se la tragó. El sultán hubo de mirar la que quedaba, para saber lo que decía la elegida por el reo, con lo que su salvación quedó asegurada merced al Gran Visir y a su propio ingenio. 19. LAS DEPORTISTAS. Ana es más alta que la tenista, por lo tanto no es ni la tenista, ni la gimnasta; la más baja es la nadadora. La gimnasta no es Ana, ni Beatriz (mujer casada), es Carmen. Por eliminación, la tenista es Beatriz. 21. EL TORNEO DE AJEDREZ. Veamos primero el número de jugadores en cada grupo. Sea x el número de jugadores del primer grupo. (30-x)(29-x)/2 - x(x-1)/2 = 87 870 - 59x + x² - x² + x = 174 ===> 58x = 696 ===> x = 12. Luego hubo 12

jugadores en el primer grupo y 18 jugadores en el segundo grupo. Cada jugador del primer grupo jugó 11 partidas y como el ganador totalizó 7'5 puntos, sin perder ninguna partida, tenemos, llamando y al número de partidas en las que hizo tablas: y 0'5 + (11-y) 1 = 7'5 ===> 0'5y = 3'5 ===> y = 7 partidas. 22. LAS TRES CARTAS. Los dos primeros enunciados sólo pueden satisfacer mediante dos disposiciones de Reyes y Damas: RDD y DRD. Los dos últimos enunciados sólo se cumplen con dos combinaciones de corazones y picas: PPC y PCP. Los dos conjuntos pueden combinarse de cuatro maneras posibles: RP, DP, DC - RP, DC, DP - DP, RP, DC - DP, RC, DP El último conjunto queda excluido por contener dos Damas de picas. Como los otros tres conjuntos están compuestos del Rey de picas, la Dama de picas y la Dama de corazones, tenemos la seguridad de que éstas son las tres cartas que están sobre la mesa. No podemos saber la posición de cada naipe en concreto, pero sí podemos decir que el primero ha de ser de picas y el tercero una Dama. 23. TRES PAREJAS EN LA DISCOTECA. El chico de rojo tiene que estar con la muchacha de azul. La chica no puede ir de rojo, pues la pareja llevaría el mimo color, y tampoco puede ir de verde, porque el chico de rojo habló con la chica de verde cuando estaba bailando con otro amigo. El mismo razonamiento hace ver que la chica de verde no puede estar ni con el chico de rojo ni con el de verde. Luego debe bailar con el chico vestido de azul. Así pues, nos queda la chica de rojo con el muchacho de verde. 24. BLANCO, RUBIO Y CASTAÑO. Suponer que la dama se apellida Castaño conduce rápidamente a una contradicción. Su observación inicial fue replicada por la persona de pelo rubio, así que el pelo de Castaño no podrá ser de ese color. Tampoco puede ser castaño, ya que se correspondería con su apellido. Por lo tanto debe ser blanco. Esto implica que Rubio ha de tener el pelo castaño, y que Blanco debe tenerlo rubio. Pero la réplica de la persona rubia arrancó una exclamación de Blanco y, por consiguiente, éste habría de ser su propio interlocutor. Por lo que antecede, la hipótesis de que la dama sea Castaño debe ser descartada. Además, el ,pelo de Blanco no puede ser de este color, ya que coincidirían color y apellido, y tampoco rubio, pues Blanco replica a la persona que tiene ese cabello. Hay que concluir que el pelo de Blanco es castaño. Dado que la señora no tiene el pelo castaño, resulta que ésta no se apellida Blanco, y como tampoco puede llamarse Castaño, nos vemos forzados a admitir que su apellido es Rubio. Como su pelo no puede ser ni rubio ni castaño, se debe concluir que es blanco. Si la señora Rubio no es una anciana, parece justificado que estamos hablando de una rubia platino. 25. LOS CIEN POLÍTICOS. Una respuesta bastante corriente es "50 honestos y 50 deshonestos". Otra bastante frecuente es "51 honestos y 49 deshonestos". ¡las dos respuestas son equivocadas! La respuesta es que uno es honesto y 99 deshonestos. 26. COMIENDO EN EL RESTAURANTE. La mujer de Dionisio. Siguiendo el sentido de las agujas del reloj, la colocación es la siguiente: Armando, mujer de Dionisio, Basilio, mujer de Armando, Carlos, mujer de Basilio, Dionisio y mujer de Carlos.

27. SELLOS DE COLORES. El único cuyo color puede determinarse es C. Si el sello de C fuera rojo, B habría sabido que su sello no era rojo al pensar: "Si mi sello fuera también rojo. A, al ver dos sellos rojos, sabría que su sello no es rojo. Pero A no sabe que su sello no es rojo. Por consiguiente, mi sello no puede ser rojo." Esto demuestra que si el sello de C fuera rojo, B habría sabido que su sello no era rojo. Pero B no sabía que su sello no era rojo; así que el sello de C no puede ser rojo. El mismo razonamiento sustituyendo la palabra rojo por amarillo demuestra que el sello de C tampoco puede ser amarillo. Por tanto, el sello de C debe ser verde. 28. LA LÓGICA DE EINSTEIN. CASA 1

CASA 2

CASA 3

Noruego Amarillo Agua Dunhill Gatos

Danés Azul Té Blend Caballos

Inglés Rojo Leche PalMall Pájaros

CASA 4 Alemán Verde Café Prince PECES

CASA 5 Sueco Blanco Cerveza BlueMaster Perro

29. COLOCANDO NÚMEROS (1). 8 4 5

3 1 9

6 2 7

9 8 7

5 1 2

3 4 6

30. COLOCANDO NÚMEROS (2).

31. LA BARAJA ESPAÑOLA. Según lo declarado en los números 3 y 5, la distancia entre rey y sota es inferior a la que separa al rey del as, que a su vez es menor de la que media entre rey y caballo. Como solo hay cuatro naipes, el rey debe estar junto a la sota, y el rey y el caballo en ambos extremos. En forma similar, la distancia entre espadas y bastos es menor de la que hay entre espadas y copas, que a su vez es inferior a la distancia entre espadas y oros. Por tanto, las espadas están junto a los bastos, y espadas y oros se encuentran en los extremos. Puesto que el caballo esta a la derecha de los bastos, no puede estar en el extremo izquierdo. De modo que tenemos, de izquierda a derecha: el rey de oros, la sota de copas, el as de bastos y el caballo de espadas. 32. COLOCANDO NÚMEROS (3). 6

5

4

1 7

9 8

3 2

33. EN EL ASCENSOR. Pablo pesa 100 kilos; Carlos, 75; Renato, 86; y Jesús, 92. Se nos dice que Pablo pesa mas de 95 kilos, y Carlos no mas de 76 y, además, que los pesos de Pablo y de Carlos son múltiplos de 5. 34. COLOCANDO NÚMEROS (4). 5 1 8

2 9 4

6 3 7

35. LA ORUGA Y EL LAGARTO. El lagarto está cuerdo, la oruga loca. 36. LOS TRES DADOS. 1º) O-M-E-F-U-V. 2º) S-G-C-I-T-Y. 3º) A-D-L-P-N-R. 37. ¿SON MENTIROSOS? No es posible. La falsedad de la afirmación de Andrés implica la falsedad de la afirmación de Pablo y viceversa. 38. PASTELES PARA NIÑOS. En minuto y medio un niño se come un pastel. En tres minutos dos pasteles. En 30 minutos 20 pasteles. Para comerse 60 en media hora se necesitan 3 niños. 39. LA BODA. Mario se quiere casar. 40. EL ENCUENTRO. Ángel: agua. Boris: café. César: anís. Diego: vino. 41. EL NÚMERO. El número buscado es el 204.862. 42. LA HILERA DE CASAS. Los Brown. 43. COMPLETANDO. EMPERADORES. AVAROS. 44. EXAMEN DE HISTORIA. b) y d). 45. CONDUCTORES Y SU SEXO. e) No hay suficientes datos para justificar una conclusión. 46. GASOLINA. a) Puede que se quede sin gasolina. 47. NEUMÁTICOS. d) y e). 48. OSTRAS. a). 49. PUEBLOS. Los verdes. 50. EL TEST. Julia.

MENTALES Problemas para resolver mentalmente, sin lápiz ni papel y en un tiempo prefijado, generalmente unos pocos segundos. 1. PERROS, GATOS Y LOROS. ¿Cuántos animales tengo en casa, sabiendo que todos son perros menos dos, todos son gatos menos dos, y que todos son loros menos dos? 2. MENUDA RAZA DE GIGANTES. En el Libro del Delirium Tremens se habla de una raza de gigantes muy especial. Da la casualidad que la altura media de estos gigantes es diez metros más que la mitad de su altura. Sin pensarlo dos veces, ¿cuánto miden? 3. EL PESO DE UN LADRILLO. Si un ladrillo se equilibra con tres cuartos de ladrillo más una pesa de tres cuartos de kilo, ¿cuánto pesa un ladrillo? 4. LA CUADRILLA. Una cuadrilla de segadores está compuesta por sus tres cuartas partes más tres cuartos de hombre. ¿Cuántos hombres componen la cuadrilla? 5. ACABÓ LA GUERRA. De 138 soldados vueltos del frente, casi el 43% perdió un ojo y el 50% de los restantes perdió ambos ojos. ¿Cuántos ojos quedaron? 6. PROPINAS AL ACOMODADOR. En un cine hay 1.300 espectadores. El 13% de ellos le ha dado 5 ptas. de propina al acomodador. Del 87% restante, la mitad le ha dado 10 ptas. y la otra mitad, nada. ¿Cuánto dinero recibe el acomodador? 7. ¿CUANTOS NUEVES? En una calle hay 100 edificios. Se llama a un fabricante de números para que ponga números a todas las casas del uno al cien; éste tendrá que encargar los números para hacer el trabajo. ¿Cuántos nueves necesitará? 8. ¿CUANTO BENEFICIO? Un comerciante compró un artículo por 7 ptas., lo vendió por 8, lo volvió a comprar por 9 y lo vendió finalmente por 10. ¿Cuánto beneficio sacó? 9. EL PRECIO DE LAS AGUJAS. ¿Cuánto valen 10 agujas de coser a 1000 ptas. el millar? 10. PILOTO DE FORMULA 1. Un piloto de Fórmula 1 completó una vuelta del circuito del Jarama en un minuto veintitrés segundos. A este ritmo, ¿cuánto habrá de tardar en completar 60 vueltas? 11. LOS TANTOS POR CIENTO. ¿Qué es más, el 25% de 75 o el 75% de 25?

12. EL PRECIO DE LA BOTELLA. Una botella de vino cuesta 10 dólares. El vino cuesta nueve dólares más que la botella. ¿Cuánto cuesta la botella? 13. LA BOTELLA Y EL TAPÓN. Una botella cuesta 30 ptas. más que su tapón. Los dos juntos cuestan 50 ptas. ¿Cuánto cuesta cada uno? 14. OTRA BOTELLA Y OTRO TAPÓN. Una botella y su tapón pesan 1 Kg. y 10 gramos. La botella pesa 1 Kg. más que el tapón. ¿Cuánto pesa la botella? ¿Y el tapón? 15. EL MISMO DINERO. Arturo y Benito tienen la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto tiene que dar Arturo a Benito para que Benito tenga 10 ptas. más que Arturo? 16. ENTRE PASTORES. Un pastor le dijo a otro: «Si te regalo una de mis ovejas, tú tendrás el doble de las que yo tengo. Pero si tú me das una de las tuyas, tendríamos las mismas». ¿Cuántas ovejas tenía cada uno? 17. ANTONIO, PEDRO Y LOS LIMONES. Antonio y Pedro se encuentran teniendo cada uno de ellos una carga de limones. Antonio: Si me das tres limones, tendremos cada uno la misma carga. Pedro: Si tú me das seis limones, tendré el doble de los que te quedan. ¿Cuántos limones llevaba cada uno? 18. EL DESGASTE DE LAS RUEDAS. Un viajante recorrió en coche 5000 Km., permutando regularmente las ruedas (incluida la de repuesto) para que todas sufrieran igual desgaste. Al terminar el viaje, ¿durante cuántos kilómetros ha sido utilizada cada rueda? 19. ESCRIBIENDO A MAQUINA. Carmen pulsa 50 caracteres cada 10 segundos mientras Rosa no pulsa más que 40 en el mismo tiempo. ¿Cuánto tiempo emplearán entre las dos para pulsar 360 caracteres en total? 20. ¿CUANTA TIERRA? Cierto pequeño granjero no tenía dinero para pagar sus impuestos. Como consecuencia, el recaudador real de impuestos le quitó un décimo de sus tierras. Al granjero le quedaron 10 Ha. ¿Cuánta tierra tenía al principio? 21. DOMINÓ. Del juego del dominó se separan las fichas que tienen un 6. Quieres colocar sobre la mesa las 21 fichas que quedan siguiendo las reglas del juego, es decir el 2-3 puede ir empalmado con el 3-5, éste con el 5-4, etc,... ¿podrás hacerlo? 22. LA AMEBA. Una ameba se divide en dos (y así se reproduce) exactamente cada minuto. Dos amebas en un tubo de ensayo pueden llenarlo por completo en dos horas. ¿Cuánto tiempo le llevará a una sola ameba llenar otro tubo de ensayo de la misma capacidad? 23. MANOS Y DEDOS. En una mano hay 5 dedos, en 2 manos hay 10 dedos, ¿Cuántos dedos hay en 10 manos? 24. ¿QUÉ HORA SERÁ? ¿Qué hora será, si quedan del día la tercera parte de las horas que han pasado?

25. DOCENAS DE HUEVOS. Hallar la diferencia entre media docena de docenas de huevos y seis docenas de huevos. 26. EL PRECIO DEL OBJETO. Por un objeto se pagan 9 duros más la mitad de lo que vale. ¿Cuánto vale el objeto? 27. LA EPIDEMIA DE LAS OVEJAS. Si un pastor tiene 15 ovejas y se le mueren todas menos nueve, ¿cuántas le quedan? En muchos problemas es muy importante comprender exactamente lo que se pide hallar, antes de intentar calcularlo. Si una primera interpretación de un problema conduce a contradicciones, o bien la pregunta carece de solución, o bien el problema no se ha comprendido correctamente. 28. OTRO LADRILLO. Si un ladrillo pesa 2 kg. y medio ladrillo. ¿Cuánto pesa un ladrillo y medio? 29. LA ALTURA DEL ÁRBOL. ¿Qué altura tiene un árbol, que es 2 metros más corto que un poste de altura triple que la del árbol? 30. ENTRE PASTORES. Un pastor le dijo a otro: si te regalo una de mis ovejas, tú tendrás el doble de las que yo tengo. Pero si tú me das una de las tuyas, tendríamos las mismas. ¿Cuántas ovejas tenía cada uno? 31. DÍAS Y SEGUNDOS. ¿Cuántos días hay en 43.200 segundos? 32. ESCALA DE ESTATURAS. Pedro tiene la estatura que tendrá Juan cuando crezca lo que le falta a Antonio para tener la estatura de Pedro. ¿Qué relación hay entre las estaturas de Pedro, Juan y Antonio? 33. PINTANDO UN CUBO. ¿Cuál es el mínimo número de colores para pintar un cubo de forma que dos caras adyacentes no tengan el mismo color? 34. DINERO DE JUAN Y PEDRO. Juan: Si me das 3 ptas. tendré tantas como a ti te quedan. Pedro: Si tú me das 6 tendré el doble de las que a ti te quedan. ¿Cuánto dinero tienen Juan y Pedro? 35. EL CUBO PINTADO. Un cubo de madera de 30 cm. de lado se pinta completamente de rojo; luego se sierra en 27 cubitos de 10 cm. de lado cada uno. ¿Cuántos serán los cubitos serrados que presentarían sólo dos caras pintadas? 36. EL CEREZO. A un cerezo subí, que cerezas tenía, ni cerezas toqué, ni cerezas dejé. ¿Cuántas cerezas había? 37. OTRO CEREZO. A un cerezo trepé, que con cerezas hallé, yo cerezas no comí, mas cerezas no dejé. ¿Cuántas cerezas había? 38. JUGANDO AL AJEDREZ. Tres amigos jugaron al ajedrez. En total jugaron tres partidas. ¿Cuántas partidas jugó cada uno?

39. LO DE LA SARDINA. A real y medio la sardina y media, ¿cuánto costarán siete sardinas y media? 40. LO DE LA SARDINA PERO CON HUEVOS. Docena y media de huevos cuestan dieciséis duros y medio. ¿Cuánto costarán 18 huevos? 41. LO DE LOS ARENQUES. Si un arenque y medio cuesta tres medios peniques, ¿cuánto costarán doce arenques? 42. PAN, PAN Y PAN. Pan, pan y pan, pan y pan y medio, cuatro medios panes, y tres panes y medio, ¿cuántos panes son? 43. MEDIAS MEDIAS. Cuatro medios pares de medias medias, ¿cuántos pares de medias son? 44. LAS CERVEZAS. Si un hombre y medio beben una cerveza y media en un día y medio, ¿cuántas cervezas beberán seis hombres en seis días? 45. LOS TATUADORES. Dos tatuadores y medio pueden tatuar dos sirenas y media, en los brazos de dos marineros y medio en dos horas y media. ¿Cuántos tatuadores se necesitarán para tatuar 24 sirenas, en los brazos de 24 marineros en 24 horas? 46. NIÑOS Y MOSCAS. Si tres niños cazan tres moscas en tres minutos. ¿Cuánto tardarán treinta niños en cazar treinta moscas? 47. A MODO DE CHIMENEAS. Dos fumadores consumen 3 cajetillas diarias. ¿Cuántos fumadores de las mismas características serán necesarios para consumir 90 cajetillas en 30 días? 48. LA TORRE EIFFEL. La torre Eiffel tiene 320 metros de altura y pesa 7.000 toneladas. Si construyéramos un modelo perfectamente a escala, con el mismo material y que tuviera la mitad de su altura, ¿cuánto pesaría? 49. MILÍMETROS CUADRADOS. Supongamos un cuadrado de un metro de lado, dividido en cuadraditos de un milímetro. Calcule mentalmente qué longitud se obtendría si colocásemos todos los cuadraditos en línea, adosados unos a otros. 50. LAS 16 CERVEZAS. Cuatro amigos se reúnen en un bar y consumen entre todos 16 cervezas. Cuando piden la cuenta pretenden pagar cada uno lo suyo. ¿Cuántas cervezas debe pagar cada amigo sabiendo que cada uno de ellos tomó dos cervezas más y/o dos cervezas menos que otro? 51. TRIÁNGULO ISÓSCELES DE MAYOR ÁREA. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 4 cm. ¿Qué longitud deberá tener el tercer lado para conseguir que el triángulo tenga la máxima área posible? 52. LOS GATOS DE MARGARITA. Cuando se le pregunta a la vieja Margarita con cuántos gatos vive, responde melancólicamente: "Con los cuatro quintos de mis gatos más cuatro quintos de gato." ¿Con cuántos gatos vive Margarita?

53. LAS FOCAS DEL ZOO. Estuve el otro día en el zoológico. Vi focas pero no había muchas. Sólo siete octavos de las focas más siete octavos de foca. ¿Cuántas focas había? 54. CONEJOS Y PALOMAS. En una jaula con conejos y palomas, hay 35 cabezas y 94 patas. Con estos datos, ¿cuántas aves hay exactamente? 55. ¿CUÁNTO TIENE PEDRO? Entre Pedro, Luis y Antonio tienen 500 ptas. Sabiendo que Antonio tiene doble que Luis y éste tres veces más que Pedro, ¿cuánto tiene Pedro? 56. MULAS Y BURROS. Se han vendido 9 burros y 7 mulas y se ha cobrado por ellos 75.000 duros. Sabiendo que los burros los pagan al doble que las mulas, ¿a qué precio se vendieron cada uno de ellas? 57. EL TIRO AL BLANCO. Cada vez que un tirador da en el blanco gana 500 puntos, y cada vez que falla pierde 300. Sabiendo que después de 15 disparos obtuvo 2.700 puntos, ¿cuántas veces hizo diana exactamente? 58. ¡OJO QUE ES UN CIRCUITO! Un caracol tarda una hora y veinte minutos en recorrer un circuito en sentido horario, pero cuando hace ese mismo camino en sentido contrario sólo tarda 80 minutos. ¿A qué se debe esa diferencia? 59. CURIOSA PELÍCULA. Mi amigo Bonifacio, rabioso aficionado al cine descubrió que una película de Buñuel duraba una hora y veinte minutos, los días pares, y sólo ochenta minutos, los impares. ¿A qué será debido? 60. EL GRAN CHOQUE. Dos naves espaciales siguen trayectorias de colisión frontal. Una de ellas viaja a 8 km. por minuto y la otra a 12 km/minuto. Suponiendo que en este momento están exactamente a 5.000 km. de distancia, ¿cuánto distarán una de otra un minuto antes de estrellarse? 61. TRABALENGUAS. Con cada bote de detergente la casa fabricante incluye un cupón de regalo. Una vez reunidos 10 cupones, el cliente puede canjearlos por un nuevo bote de detergente. ¿Cuántos cupones vale un bote de detergente? 62. LA GALLINA PONEDORA. Una gallina pone dos huevos en tres días. ¿Cuántos días se necesitan para que cuatro gallinas pongan dos docenas de huevos? 63. ¿CUANTA AGUA SE DERRAMÓ? La tripulación de un barco hundido tenía agua sólo para trece días, un litro al día por persona. El quinto día se derramó algo de agua sin querer y murió uno de los hombres. El agua duró exactamente lo que se esperaba. ¿Cuánta agua se derramó? 64. LAS DIMENSIONES DEL RECTÁNGULO. En un rectángulo, el largo es el doble del ancho y el perímetro es de 360 m. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

65. LOS CHICOS DE LA FERIA. A la feria benéfica de la escuela cada chico debía concurrir con un adulto. Los adultos pagan 2 dólares y los chicos 1 dólar de entrada. Se recaudaron 180 dólares. ¿Cuántos chicos fueron a la feria? 66. MONEDAS DE 5 Y 1 PTA.. Tengo igual cantidad de monedas de 5 ptas. que de 1 pta. y entre las dos tengo 90 ptas. ¿Cuántas monedas de cada clase tengo? 67. MITOLOGÍA. ¿Cuántas extremidades tienen 3 centauros? 68. EN DOS DADOS. ¿Cuántos puntos hay en total en un par de dados? 69. ¿SABES DIVIDIR? Supón que divides once millares, once cientos y once entre tres. ¿qué resto te queda? 70. PARES CONSECUTIVOS. La suma de dos números pares consecutivos es 66. ¿Cuáles son esos números? 71. BOLI Y LÁPIZ. Si un bolígrafo cuesta 30 ptas. más que un lapicero y las dos cosas juntas cuestan 100 ptas., ¿cuánto cuesta cada una? 72. LOS OCHOS. En cierta localidad castellana existe una calle que tiene cien casas. Quieren numerarlas en la fachada con los números del uno al cien. ¿Cuántos ochos habrá que pintar? 73. EL ÁRBOL. El tronco de un árbol mide 20 metros más que la mitad de su altura. ¿cuánto mide en total? 74. FAMILIA COMIENDO. Una familia se reúne para comer. Si cada miembro de la familia come seis chorizos, sobrarán cinco, pero si cada uno come siete faltarán ocho. ¿Cuántos miembros componen la familia? 75. EL PALO Y LA VARA. ¿Qué altura tiene un palo que es cinco metros más corto que una vara de doble altura que el palo? 76. LAS CAJAS. Se tienen tres cajas, individuales y separadas de igual tamaño. Dentro de cada caja hay otras dos más pequeñas y en cada una de éstas otras cuatro aún menores. ¿Cuántas cajas hay en total? 77. AÑOS BISIESTOS. ¿Cuántos años bisiestos hay entre el año 1000 y el año 2000 ambos inclusive? 78. DECEPCIÓN TRIANGULAR. ¿Cuál es el área del triángulo de lados 94, 177 y 83? 79. PIENSE DESPACIO. ¿Qué número multiplicado por 3 es los 3/4 de 120? 80. DIVIDIENDO Y SUMANDO. Si Vd. divide 30 por un medio y le suma al resultado 10, ¿cuánto le da?

81. LAS OVEJAS DEL CORRAL. Un pastor tiene 17 ovejas; si todas menos 9 se le escapan del corral, ¿cuántas le quedan en el corral? 82. BUSCANDO, BUSCANDO. Buscar un número que multiplicado por el doble de 3 nos dé 5. 83. EL GANADERO Y EL PIENSO. Un ganadero tiene pienso para alimentar una vaca durante 27 días y si fuera una oveja para 54 días. ¿Para cuántos días tendría si tuviese que alimentar a la vaca y a la oveja? 84. MULTIPLICANDO. ¿Qué dos números naturales que hay que multiplicar entre sí para que su producto sea 47? 85. DOCENAS DE SELLOS. Si en una docena hay doce sellos de seis centavos, ¿cuántos sellos de dos centavos hay en una docena? 86. MÚLTIPLOS PRIMOS. De todos los múltiplos de un número primo, ¿cuántos son primos? 87. EN ROMANOS. Operando en números romanos, ¿cuánto vale C - LXXIX? 88. LA HORA. ¿Qué hora es cuando faltan 90 minutos para la una? 89. PROBABLE COLISIÓN. Dos lentos trenes van por la misma vía en sentido contrario, uno al encuentro del otro. Les separa una distancia de 87 km. Un tren va a 25 km/h y el otro a 35 km/h. ¿A qué distancia estarán un minuto antes de colisionar? 90. PRODUCTO TOTAL. Si AxB=24; CxD=32; BxD=48 y BxC=24, ¿Cuánto vale AxBxCxD? 91. LOS MÚLTIPLOS. ¿Cuántos múltiplos de 4 hay entre 1000 y 2000 ambos inclusive? 92. SUPERTRUCO DE MAGIA. Piensa un numero del 2 al 9. Multiplícalo por 9. Suma los dos dígitos del resultado. Réstale 5. ¿Qué resultado se obtendrá? 93. PAR O IMPAR. El cuadrado de un nº natural impar, ¿es par o impar? 94. MEDIO METRO. ¿Qué es mayor medio metro cuadrado o la mitad de un metro cuadrado? 95. CON CUATRO NUEVES. ¿Cómo se deberían colocar 4 nueves para que sumen 100? 96. CON CUATRO UNOS. ¿Cuál es el mayor número que puede escribirse con cuatro unos? 97. CON SEIS UNOS. Escribe 24 con seis unos y las operaciones elementales.

98. GASTANDO. Tenía 57 ptas. y me he gastado todas menos 12. ¿Cuántas me quedan? 99. CONTESTE MUY RÁPIDO. Imagínese participando en una carrera ciclista. Si en un momento determinado adelanta Vd. al segundo, ¿en qué lugar se colocaría? 100. CONTESTE EN 2 SEGUNDOS. Imagínese participando en una carrera ciclista. Si en un momento determinado adelanta Vd. al último, ¿en qué lugar se colocaría? 101. BEBIENDO. Seis hombre beben cerveza en un bar. En total bebieron 21 vasos. Si cada uno de ellos ha bebido distinto número de vasos. ¿Cuántos ha bebido cada uno? 102. HOYOS Y CANICAS. El otro día jugando a las canicas me sucedió lo siguiente: si ponía una canica en cada hoyo me sobraba una canica y si ponía dos canicas en cada hoyo me faltaban dos canicas. Ya no recuerdo cuántas canicas tenía ni cuántos hoyos había en el suelo, ¿me podría ayudar Vd.? 103. 120 CON 4 OCHOS. ¿Sabría Vd. escribir 120 con ocho ochos? 104. CUMPLEAÑOS. ¿Cuántos "cumpleaños" puede celebrar una persona que viva 50 años? 105. LAS 3 PASTILLAS. Un médico le receta a Vd. 3 pastillas y le dice que se tome una cada media hora, ¿cuántos minutos le duran a Vd. las pastillas? 106. BORRANDO CIFRAS. Borra 10 cifras del número 12345123451234512345 de manera que el número que quede sea lo más grande posible. 107. LOS TORNILLOS. En un saco hay 24 kg. de tornillos, ¿cómo podemos pesar 9 kg. usando una balanza? 108. ARRANCANDO HOJAS. A mi hijo de cuatro años le ha dado últimamente por arrancar tacos de hojas de los libros. El otro día, la primera página que arrancó estaba numerada con el 183 y la última con un número escrito con las mismas cifras en otro orden. ¿Cuántas páginas, no hojas, arrancó? 109. CUATRO LUNES, CUATRO VIERNES. En un mes de enero de cierto año hay exactamente cuatro VIERNES y cuatro LUNES, ¿En qué día de la semana cae el 20 de enero? 110. ¿CUÁNTOS GATOS? Una habitación tiene cuatro rincones. En cada rincón hay sentado un gato. Frente a cada gato hay sentados tres gatos. En cada rabo hay sentado un gato. ¿Cuántos gatos hay en total en la habitación? 111. SIN PAPEL NI BOLI. ¿Cuál es el valor de 19 x 13 + 13? 112. LAS FLORES. ¿Cuántas docenas salen con 180 flores?

113. EDAD DE LUIS. El cuadrado de la edad de Luis es la cuarta parte del cuadrado de la edad de Juan que es la mitad de 20. ¿Cuál es la edad de Luis? 114. EL CUADRADO. Un cuadrado tiene 144 m2. de área. ¿Cuál es su perímetro? 115. MINUTOS. ¿Cuántos minutos son 6 horas y media, 25 minutos y 120 segundos? 116. PRODUCTO DE DEDOS. Tome el número de sus dedos de las manos, multiplíquelo por el número de dedos de sus pies, divida el resultado por 1/2 y sume el número de meses del año. ¿Qué número obtiene? 117. LA FAMILIA. Una madre y un padre tienen 6 hijos y cada hijo tiene una hermana. ¿Cuántas personas componen la familia? 118. NARANJAS. Juan compró un kilo de plátanos el lunes y se comió la tercera parte de ellos. El martes se comió la mitad de los que le quedaban. El miércoles se comió los dos que le quedaban. ¿Cuántos plátanos compró el lunes? 119. BUÑUELOS. A Carlos le encantan los buñuelos. Puede comerse 32 en una hora. Su hermano se comería los 32 en 3 horas. ¿En cuánto tiempo se comerían 32 buñuelos entre los dos? 120. GRANDE, GRANDE. ¿Cuál es el mayor número que se puede escribir solamente con dos dígitos? 121. EL FRUTERO. El frutero vendió en el mercado, la mitad de los melones que llevaba más medio melón. Después se comió el melón que le quedó. ¿Cuántos melones llevó al mercado. 122. EL TONEL. Un tonel, lleno de vino tiene un peso de 35 kg. Cuando está lleno hasta la mitad, pesa 19 Kg. ¿Cuánto pesa el tonel vacío? 123. LAS NUECES. Alicia, Benito, Carlos, David y Enrique conjeturaban sobre el numero de nueces que había en un tarro. Alicia decía que 30, Benito pensaba que 28, Carlos conjeturaba que 29, David conjeturaba que 25, y Enrique decía que 26. Dos se equivocaron en una nuez, uno se equivoco en 4, y otro en 3. Pero uno acertó. ¿Cuántas nueces había en el tarro? 124. EL ESTABLO. En un establo hay gallos y caballos. Entre todos hay 22 cabezas y 72 patas. ¿Cuántos gallos y cuántos caballos hay en el establo? 125. EDADES. Las edades del padre y del hijo suman 66. La edad del padre es la edad del hijo invertida. ¿Qué edades tienen? (3 soluciones posibles) 126. ANIMALES DOMÉSTICOS. Todos los animales domésticos de mi vecina son perros menos uno, y todos son gatos menos uno. ¿Cuántos perros y gatos tiene mi vecina?

127. NÚMERO DE 4 CIFRAS. Halla el número de cuatro cifras tal que: La 2ª cifra menor que la 4ª. La 4ª 2/3 de la 1ª. La 1ª 2/3 de la 3ª. La 3ª triple que la 2ª. 128. LOS PASEOS DEL PERRO. Mi hermano saca a pasear a su perro tres veces al día. Cada paseo dura 13 minutos. ¿Cuántas veces saca a pasear al perro en un año? 129. LOS GATOS. En una habitación cuadrada hay 2 gatos en cada rincón. Enfrente de cada gato hay 2 gatos y al lado de cada gato hay un gato. ¿Cuántos gatos hay en la habitación? 130. OTRO NÚMERO DE 4 CIFRAS. Halla el número de cuatro cifras tal que: La 1ª cifra es 1/3 de la 2ª. La 3ª es la suma de la 1ª y la 2ª. La 4ª es tres veces la 2ª. 131. SUMA DE CONSECUTIVAS. ¿Qué tres números consecutivos suman 9.000? 132. PANES Y HORAS. ¿Qué es mayor, los panes que hay en 13 docenas o las horas de una semana? 133. LOS CERDOS. Juan y Benito tienen cerdos. Juan: Si me das 2 cerdos tuyos tendremos el mismo número de cerdos. Benito: Si me los das tú a mí, yo tendré el doble. ¿Cuántos cerdos tiene cada uno? 134. LOS TRESES. Si escribimos todos los números comprendidos entre 300 y 400, ¿cuántas veces aparece el dígito 3? 135. QUEBRADOS. ¿Qué número es 2/3 de la mitad de 1/4 de 240? 136. MÁS QUEBRADOS. ¿Qué número es 2/3 del doble del triple de 5? 137. LOS SALUDOS. Cuatro personas se saludan con un apretón de manos. ¿Cuántos apretones de manos hubo? 138. LOS PINTORES. Un pintor puede pintar una habitación en 4 horas, otro pintor puede pintarla en horas. ¿Cuánto tiempo tardarían si la pintasen trabajando juntos? 139. PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS. Para estimular a su hijo en el estudio de las matemáticas, un padre acuerda pagar a su hijo 8 céntimos de euro por cada problema solucionado correctamente. También le quitará 5 céntimos por cada incorrecto. Al final de los 26 problemas quedaron en paz. ¿Cuántos problemas solucionó el hijo correctamente? 140. LA TELA COLOREADA. Un trozo de tela se colorea como sigue: 3/4 partes de negro, los 80 cm restantes de rojo. ¿Cuanto mide el trozo de tela?

141. LARGO PRODUCTO. ¿Cuál es el producto de todos los números enteros no negativos menores que 10? 142.

OTRO NÚMERO. Halle el número que es la mitad de 1/4 de 1/10 de 400.

143. CUADRADOS PERFECTOS. ¿Cuántos números que sean cuadrados perfectos hay entre 1 y 1.000.000, ambos incluidos? Ejemplos: 16=4*4, 121=11*11 144. MENUDA ESCAVADORA. Si un hombre tarda una hora en cavar un agujero de dos metros de largo por dos metros de ancho por dos metros de profundo, ¿cuánto tiempo tardaría el mismo hombre en cavar un agujero de cuatro metros de largo por cuatro metros de ancho por cuatro metros de profundo? Se asume que cava a la misma velocidad. 145. LOS NEUMÁTICOS. Antonio recorrió con su bicicleta 300 km. Tres neumáticos fueron utilizados por igual para recorrer dicha distancia. ¿Cuántos kilómetros fue utilizado cada neumático? 146. HALTEROFILIA. Fernando puso un disco de 25 kg. en cada extremo de la barra, otro disco de 10 kg. en cada extremo, y tres discos de 2 kg. en cada extremo. Después, tras unos segundos de concentración levantó todo el conjunto sobre su cabeza. ¿Qué peso total levantó Fernando sobre su cabeza? 147. MADERERO CORTADOR. El maderero cobra 5 euros por cortar un tronco de madera en dos pedazos. ¿Cuánto cobrará por cortarlo en cuatro pedazos? 148. LA RUEDA DE LA BICI. Una rueda de mi bicicleta tiene 21 radios. ¿Cuántos espacios hay entre los radios? 149. CERDOS Y PALOMAS. En una jaula del zoo hay un total de 30 ojos y de 44 patas. ¿Cuántos cerdos y palomas hay en la jaula? 150. UN EURO. ¿Cómo se puede conseguir exactamente un euro con 50 monedas? 151. EL CUENTAKILÓMETROS. El cuentakilómetros de mi coche muestra 72927 km. que es un número palíndromo. ¿Cuántos km. debo recorrer, como mínimo para poder ver otro palíndromo en el cuentakilómetros? 152. BOLSAS DE CARAMELOS. Mi hermano tiene cinco bolsas de caramelos. Cuatro bolsas tienen un total de 84 caramelos. La 5ª bolsa contiene cuatro caramelos menos que el promedio de las cinco bolsas. ¿Cuántos caramelos hay en la 5ª bolsa? 153. EMPACHO DE MANZANAS. Yo comí 6 manzanas, mi hermano comió 4, mi primo comió 8 y tiramos 2 que estaban malas. Habíamos comprado 2 bolsas con 18 manzanas cada una, y dejamos las más grande para mi mamá. ¿Cuántas podemos comer todavía cada uno?

154. LAS MUÑECAS. Tres personas están haciendo muñecas de papel. Benito tarda 30 minutos en hacer cada una. Teresa 60 minutos y Andrés 90 minutos. Comienzan a la vez, y descansan cuando terminan al mismo tiempo de hacer cada uno su respectiva muñeca. ¿Cada cuánto tiempo descansan? 155.

DOBLE Y MITAD. ¿Cuál es el doble de la mitad del doble de 2?

156.

EN UN MILENIO. ¿Cuántos siglos hay en un milenio?

157. ESCRIBIENDO A MÁQUINA. Carmen pulsa 50 caracteres cada 10 segundos mientras Rosa no pulsa más que 40 en el mismo tiempo. ¿Cuánto tiempo emplearán entre las dos para pulsar 360 caracteres en total? 158. OTRA VEZ EL ORIGINAL. El precio de un artículo estaba rebajado un 20% para su venta. ¿Qué tanto por ciento debe aumentarse el precio del artículo para que de nuevo tenga el precio original?

SOLUCIONES DE MENTALES 1. PERROS, GATOS Y LOROS. Un perro, un gato y un loro. 2.

MENUDA RAZA DE GIGANTES. 20 metros.

3. EL PESO DE UN LADRILLO. Como ya tenemos en un platillo 3/4 de ladrillo, la pesa representará el cuarto que falta. Por tanto bastará multiplicar por 4 el valor de la pesa para tener el resultado. El ladrillo entero pesa 3 kilos. 4. LA CUADRILLA. Las tres cuartas partes de hombre es el cuarto que le falta a la cuadrilla. Entonces: 4 x 3/4 = 3 hombres. 5. ACABÓ LA GUERRA. 138 ojos. 6. PROPINAS AL ACOMODADOR. 1.300 duros. 7. ¿CUANTOS NUEVES? Veinte. 8. ¿CUANTO BENEFICIO? 2 ptas. 9. EL PRECIO DE LAS AGUJAS. 10 ptas. 10. PILOTO DE FORMULA 1. Una hora y 23 minutos. Al multiplicar por 60, los segundos pasan a ser minutos y los minutos, horas. 11. LOS TANTOS POR CIENTO. Igual. 12. EL PRECIO DE LA BOTELLA. La botella 50 centavos. El vino 9 dólares y 50 centavos. 13. LA BOTELLA Y EL TAPÓN. La botella 40 ptas. El tapón 10 ptas.

14. OTRA BOTELLA Y OTRO TAPÓN. La botella 1 Kg. y 5 gramos. El tapón 5 gramos. 15. EL MISMO DINERO. 5 ptas. 16. ENTRE PASTORES. El primero 5 y el segundo 7. 17. ANTONIO, PEDRO Y LOS LIMONES. Antonio 24 y Pedro 30 limones. 18. EL DESGASTE DE LAS RUEDAS. Cada cubierta se utiliza 4/5 partes del tiempo total. Por tanto, cada una ha sufrido un desgaste de 4/5 de 5000 Km., es decir, 4000 Km. 19. ESCRIBIENDO A MAQUINA. 40 segundos. 20. ¿CUANTA TIERRA? 100/9 Ha. En efecto: 100/9 - 10/9 = 90/9=10 Ha. 21. DOMINÓ. No. 22. LA AMEBA. Dos horas y un minuto. Transcurrido sólo un minuto, ya se ha dividido en dos, y sabemos que dos amebas llenan el tubo en dos horas. 23. MANOS Y DEDOS. 50. Es frecuente que se conteste 100. 24. ¿QUÉ HORA SERÁ? Las 6 de la tarde. 25. DOCENAS DE HUEVOS. 72 - 72 = 0. 26. EL PRECIO DEL OBJETO. 18 duros. 27. LA EPIDEMIA DE LAS OVEJAS. Nueve. 28. OTRO LADRILLO. 6 Kg. 29. LA ALTURA DEL ÁRBOL. x=altura del árbol. x=3x-2, x=1 metro. 30. ENTRE PASTORES. El primero 5 y el segundo 7. 31. DÍAS Y SEGUNDOS. Medio día. 32. ESCALA DE ESTATURAS. Pedro es el más alto. Juan y Antonio tienen igual estatura, pues le falta lo mismo para llegar a la de Pedro. 33. PINTANDO UN CUBO. Tres colores. Las caras opuestas se pintan del mismo color. 34. DINERO DE JUAN Y PEDRO. Juan 24 ptas y Pedro 30 ptas. 35. EL CUBO PINTADO. 12.

36. EL CEREZO. 2 cerezas. 37. OTRO CEREZO. 2 cerezas. 38. JUGANDO AL AJEDREZ. Cada uno jugó dos partidas: A-B, A-C y B-C. 39. LO DE LA SARDINA. Siete reales y medio. Precisa ser propuesto de palabra y dicho con rapidez, para encubrir su evidencia. Sin embargo, siempre había el caso de quien, al descubrirle la solución, tras haber sido incapaz de hallarla, se excusaba diciendo: "¡Ah, sardinas! Yo te había entendido salmonetes". 40. LO DE LA SARDINA PERO CON HUEVOS. Dieciséis duros y medio. 41. LO DE LOS ARENQUES. 12 peniques (1 chelín). 42. PAN, PAN Y PAN. 11 pares. 43. MEDIAS MEDIAS. Depende de cómo hayan sido los cortes. Si hechos al azar pueden darse tres casos: a) Puede que sean cuatro medias medias sueltas, que no encajan para formar ni siquiera una media porque las medias medias sean todas punteras, o talones, o mitades superiores (musleras), o inferiores (calcetas), o cualesquiera mezclas heterogéneas pero incoherentes de estas dichas. b) Pueden ser una media y dos medias medias, si tiene Vd. la suerte de que dos de ellas encajen para venir a darle una media, pero las otras dos medias medias no, cómo en el caso a), más desgraciado. c) Si está Vd. de mucha suerte, y encajan las cuatro medias medias dos a dos, puede llegar a ser dueño (o dueña) de un par de medias. En este caso, si quiere ponerse el par, tendrá que coser. 44. LAS CERVEZAS. 24 cervezas. Si un hombre y medio beben una cerveza y media en un día y medio, seis hombres beberán seis cervezas en el mismo tiempo, es decir, en un día y medio, y en seis días beberán cuatro veces más, que son las veces que un día y medio está contenido en seis días. 45. LOS TATUADORES. Dos tatuadores y medio. 46. NIÑOS Y MOSCAS. Tres minutos. 47. A MODO DE CHIMENEAS. Dos fumadores. 48. LA TORRE EIFFEL. 875 toneladas. No sólo se reduce la altura de la torre, sino también su ancho y su profundidad, por lo que su peso disminuye a un octavo del peso original. 49. MILÍMETROS CUADRADOS. En un metro cuadrado hay un millón de milímetros cuadrados. Cada mil mm², dispuestos uno junto al otro, constituyen un metro; mil millares formarán mil metros. Por lo tanto, la línea formada tendrá un kilómetro de longitud. 50. LAS 16 CERVEZAS. 1, 3, 5 y 7 cervezas.

51. TRIÁNGULO ISÓSCELES DE MAYOR ÁREA. Como el área de un triángulo es máxima cuando sea máxima la altura, considerando como base uno de los lados iguales, la altura máxima se conseguirá cuando el otro lado esté perpendicular al anterior; es decir la altura mide 4 cm. El tercer lado entonces será la hipotenusa, es decir, 32=5'65 cm. 52. LOS GATOS DE MARGARITA. Sea n el número de gatos. Tenemos: n=4/5·n+4/5 ===> n=4. Margarita vive con 4 gatos. 53. LAS FOCAS DEL ZOO. Sea n el número de focas. Tenemos: n=7/8·n+7/8 ===> n=7. Había 7 focas en el zoológico. 54. CONEJOS Y PALOMAS. 23 palomas. 55. ¿CUÁNTO TIENE PEDRO? 50 ptas. 56. MULAS Y BURROS. A 15.000 ptas. 57. EL TIRO AL BLANCO. Nueve veces. 58. ¡OJO QUE ES UN CIRCUITO! Una hora y veinte minutos es lo mismo que 80 minutos. 59. CURIOSA PELÍCULA. Una hora y veinte minutos es lo mismo que 80 minutos. 60. EL GRAN CHOQUE. El dato de 5.000 km. es irrelevante, pues se pide la distancia a la que se encuentran antes de chocar, pero un minuto antes de chocar. La distancia será: 8 + 12 = 20 km. 61. TRABALENGUAS. Nueve cupones. Siendo B=coste en cupones de un bote de detergente. Por 10 cupones, el cliente recibe un bote de detergente con el cupón correspondiente, no lo olvidemos. Así: 10=B+1, B=9. 62. LA GALLINA PONEDORA. Cada gallina tiene que poner 6 huevos, lo que se consigue al cabo de 9 días. 63. ¿CUANTA AGUA SE DERRAMÓ? El quinto día, antes de que se derramara el agua, quedaba agua para ocho días. El agua derramada le habría durado ocho días al hombre que murió, así que se derramaron ocho litros. 64. LAS DIMENSIONES DEL RECTÁNGULO. Largo 120 m., ancho 60 m. 65. LOS CHICOS DE LA FERIA. 60 chicos. 66. MONEDAS DE 5 Y 1 PTA.. 15 de cada clase. 67. MITOLOGÍA. Tres centauros tienen 3x6 = 18 extremidades. 68. EN DOS DADOS. 42.

69. ¿SABES DIVIDIR? El resto es cero. No hay que cometer el error de escribir 11.111, lo cual es once millares, ciento once. En este caso el resto es dos. La cifra dada se debía haber escrito: 11.000 + 1.100 + 11 = 12.111 que es exactamente divisible por tres. 70. PARES CONSECUTIVOS. 32 y 34. 71. BOLI Y LÁPIZ. El boli 65 y el lápiz 35. 72. LOS OCHOS. Veinte. 73. EL ÁRBOL. 40 metros. 74. FAMILIA COMIENDO. Trece. 75. EL PALO Y LA VARA. Cinco. 76. LAS CAJAS. Hay 33 cajas: 3 grandes, 6 medianas y 24 pequeñas. 77. AÑOS BISIESTOS. 250 años. 78. DECEPCIÓN TRIANGULAR. Cero. 79. PIENSE DESPACIO. 30. 80. DIVIDIENDO Y SUMANDO. 70. 81. LAS OVEJAS DEL CORRAL. Nueve. 82. BUSCANDO, BUSCANDO. El 5/6. 83. EL GANADERO Y EL PIENSO. Para 18 días. 84. MULTIPLICANDO. El 1 y el 47. 85. DOCENAS DE SELLOS. 12. 86. MÚLTIPLOS PRIMOS. Ninguno. 87. EN ROMANOS. XXI. 88. LA HORA. Las once y media. 89. PROBABLE COLISIÓN. Si se acercan a 25 y 35 km/h respectivamente. La velocidad relativa de acercamiento es de 60 km/h, o sea, 1 km/min. Por tanto, un minuto antes de colisionar estarán a 1 km de distancia. 90. PRODUCTO TOTAL. 768. 91. LOS MÚLTIPLOS. 251.

92. SUPERTRUCO DE MAGIA. Un 4. 93. PAR O IMPAR. Impar. 94. MEDIO METRO. Es mayor la mitad de un metro cuadrado. 95. CON CUATRO NUEVES. 99 + 9/9 = 100 96. CON CUATRO UNOS. El mayor número es 11 elevado a 11. 97. CON SEIS UNOS. 24 = 11+11+1+1. 98. GASTANDO. 12. 99. CONTESTE MUY RÁPIDO. En el 2º lugar. 100. CONTESTE EN 2 SEGUNDOS. Al último nunca se le puede adelantar. Es él el que puede adelantar. 101. BEBIENDO. 1+2+3+4+5+6=21. 102. HOYOS Y CANICAS. Cuatro canicas y tres hoyos. 103. 120 CON 4 OCHOS. (8+8)x8-8=120. 104. CUMPLEAÑOS. 50. 105. LAS 3 PASTILLAS. Algo más de 60 minutos. 106. BORRANDO CIFRAS. 12345123451234512345. 107. LOS TORNILLOS. Separando 12 y 12. Separando 6 y 6. Separando 3 y 3. 108. ARRANCANDO HOJAS. 138 y 318 inclusive, abarcan 136 páginas. Solución única. 109. CUATRO LUNES, CUATRO VIERNES. Domingo o lunes. 110. ¿CUÁNTOS GATOS? 4 gatos. Uno en cada rincón sentado sobre su propio rabo. Delante de cada gato hay otros tres, uno en cada rincón, sentado sobre su propio rabo. 111. SIN PAPEL NI BOLI. 19 x 13 + 13 = 19+1 x 13 = 20 x 13 = 260. 112. LAS FLORES. 15 docenas. 113. EDAD DE LUIS. 5 años. 52 = 25 = 100/4. 114. EL CUADRADO. 48 m.

115. MINUTOS. 417 minutos. 116. PRODUCTO DE DEDOS. 212. 10 x 10 : 1/2 = 200 + 12 = 212. 117. LA FAMILIA. Nueve. 118. NARANJAS. Seis. Cada día se comió dos. 119. BUÑUELOS. Carlos come 3 veces más rápido que su hermano. Comerían 24 y 8. Es decir, tardarían 45 minutos. 120. GRANDE, GRANDE. 99 = 9x9x9x9x9x9x9x9x9 = 387.420.489. 121. EL FRUTERO. 3. 122. EL TONEL. 35-19=16 (es la cantidad de vino sacado). Luego 35-(16x2) = 3 kg. 123. LAS NUECES. Había 29 nueces en el tarro. 124. EL ESTABLO. 14 caballos y 8 gallos. 125. EDADES. 51 y 15; 42 y 24; 60 y 06. 126. ANIMALES DOMÉSTICOS. Un gato y un perro. 127. NÚMERO DE 4 CIFRAS. El 6394. 128. LOS PASEOS DEL PERRO. 3x365 = 1095. Los 13 minutos no importan. 129. LOS GATOS. 8 gatos. 130. OTRO NÚMERO DE 4 CIFRAS. 1349. 131. SUMA DE CONSECUTIVAS. 2999, 3000 y 3001. 132. PANES Y HORAS. Horas 168. Panes 156. 133. LOS CERDOS. Juan 10. Benito 14. 134. LOS TRESES. 120 veces. 135. QUEBRADOS. 20. 136. MÁS QUEBRADOS. 20. 137. LOS SALUDOS. 6. 138. LOS PINTORES. 80 minutos.

139. PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS. 10. 140. LA TELA COLOREADA. 3 m. 20 cm. 141. LARGO PRODUCTO. Cero. Está el cero entre ellos. 142. OTRO NÚMERO. Cinco. 143. CUADRADOS PERFECTOS. Hay 1.000. 12=1, 22=4, ..., 9992=998,001, 10002=1,000,000 144. MENUDA ESCAVADORA. Ocho horas. En el primer agujero: 2m x 2m x 2m = 8 metros cúbicos. En el segundo agujero, 4m x 4m x 4m = 64 metros cúbicos. 145. LOS NEUMÁTICOS. 200 km. Entre los tres neumáticos recorrieron 600 km. 146. HALTEROFILIA. Levantó 82 kg. más el peso de la barra. 147. MADERERO CORTADOR. 15 euros (3 cortes). También valdría 10 euros (2 cortes). 148. LA RUEDA DE LA BICI. 21. La mayoría de la gente contesta que 20. 149. CERDOS Y PALOMAS. 7 cerdos y 8 palomas. 150. UN EURO. 40 de 1 céntimo, 2 de 10 céntimos, y 8 de 5 céntimos. 151. EL CUENTAKILÓMETROS. 110 km. para ver el 73037. 152. BOLSAS DE CARAMELOS. 16. 153. EMPACHO DE MANZANAS. 18x2 - (6+4+8+2+1) entre 3 = 5. 154. LAS MUÑECAS. Cada 180 minutos. Benito 6 muñecas en los 180 minutos. Teresa 3 muñecas en los 180 minutos. Andrés 2 muñecas en los 180 minutos. 155. DOBLE Y MITAD. 4. 156. EN UN MILENIO. 10. 157. ESCRIBIENDO A MÁQUINA. 40 segundos. 158. OTRA VEZ EL ORIGINAL. Un 25%.

NÚMEROS El indicador significa que existe un archivo alternativo, .xls, .ppt, .swf... que contiene el problema correspondiente, su solución...

Problemas sobre números, curiosidades numéricas, etc. 1. NINGÚN Nº PRIMO. En la decena: 531, 532, ..., 540, no hay ningún número primo. ¿Podría Vd. encontrar una decena menor en la que tampoco haya ningún número primo? 2. FRACCIONES EXTRAÑAS. ¿Qué tienen de extraño las siguientes fracciones: 19/95, 26/65, 16/64? 3. TODOS LOS PRIMOS. Los números primos detectados hasta ahora son muchísimos, pero hay una cantidad finita de ellos. Multipliquémoslos todos entre sí. No, no se ponga a multiplicar; imagine que alguien ya hizo esa multiplicación por Vd. Llamemos al resultado P. a) ¿Con qué cifra del 0 al 9 termina P? b) La segunda cifra (la de las decenas), ¿es par o impar? 4. ¿QUE NÚMERO SOY? Soy capicúa, del 2 al 10 sólo hay un divisor mío, tengo cuatro cifras, pero algunos me ven como si fuera un 9. ¿Qué número soy? 5. DIVISIONES EXACTAS. Escoge un número de tres cifras y forma otro repitiendo el primero. Por ejemplo: 234234. Divide este número entre 7; después el cociente entre 11 y, por último, el nuevo cociente entre 13. Obtienes divisiones parciales exactas y al final tu número inicial, ¿verdad? ¿Por qué? 6. LA BASE DESCONOCIDA. Mi hijo ha aprendido a contar según una base no decimal, de manera que en lugar de escribir 136 escribe 253. ¿Cuál es esta base? 7. MENOR NÚMERO. ¿Cuál es el menor número que, dividido por 2, 3, 4, 5 y 6 da respectivamente los restos 1, 2, 3, 4 y 5? 8. PACIENCIA Y PROGRESIÓN. Las nueve cifras de los tres números abc def ghi son distintas. El segundo es el doble del primero, y el tercero es triple del primero. Encontrar los tres números. 9. PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. El producto de cuatro números enteros consecutivos es 3.024. ¿Cuáles son estos números? 10. EL MENOR CON X DIVISORES. ¿Cuál es el menor número con 7 divisores y no más? ¿Y, con 8 divisores? 11.

LA CIFRA BORROSA. Al hacer el siguiente producto: 15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2

y tomar nota del resultado: 1 3 0 7 X 7 4 3 6 8 0 0 0 una de las cifras (la 5ª) quedó borrosa y no sabemos exactamente cuál es. ¿Podría Vd. averiguarla, sin necesidad de repetir la operación? 12. ACERCA DE LOS PRIMOS. Encontrar 10 números consecutivos que no sean primos. 13. EL GRAN DESFILE. Treinta soldados pueden desfilar de 1 en 1, de 2 en 2, de 3 en 3, de 5 en 5, de 6 en 6, de 10 en 10, de 15 en 15 y los 30 enfilados; es decir; de 8 formas diferentes sin que existan números desiguales de soldados en las líneas. ¿Cuál es el menor número de soldados que debe tener una compañía para poder desfilar de 64 formas diferentes? 14. CON 4 TRESES. Empleando cuatro treses (ni más ni menos) y las operaciones habituales: (+, -, x, /, , !, potencias, etc.) expresar todos los números del 1 al 10. Se puede usar la notación anglosajona 0'3=.3=3/10. También se admite: 0,3 período=0,3333...=3/9. 15. CON 4 CINCOS. Empleando cuatro cincos (ni más ni menos) y las operaciones habituales: (+, -, x, /, , !, potencias, etc.) expresar todos los números del 1 al 10. Se puede usar la notación anglosajona 0'5=.5=5/10. También se admite: 0,5 período=0,5555...=5/9. 16. ESCRITURA DEL CIEN (1). Escribe el número 100 con nueve cifras idénticas. Éstas sólo podrán estar separadas por los signos matemáticos +, -, x, : y ( ). 17. EL MAYOR PRODUCTO. Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 escribe dos números de tres cifras cada uno cuyo producto sea lo mayor posible. Hay que usarlas todas. 18. SUMA POR PRODUCTO. Encontrar dos números tales que el producto de la suma por el producto sea igual a 29.400. 19. BUSCANDO UN DIVISOR. Buscar un divisor distinto de él mismo y de la unidad del número 11.111.111.111.111.111 (hay 17 unos). 20. MAYOR Y MENOR MÚLTIPLOS DE 11. ¿Cuál es el mayor múltiplo de 11 formado por las nueve cifras significativas sin que se repita ninguna? ¿Y el menor? 21. EL NUMERO 1.089. Tomamos un número de tres cifras, de modo que no sean las tres iguales; por ejemplo 637. A continuación formamos otro número, ordenando las cifras de mayor a menor. Resulta 763. Formamos otro, ordenándolas de menor a mayor. Resulta 367. Restamos 763 - 367 = 396. A este último número le damos la vuelta, 693, y sumamos los dos últimos: 693 + 396 = 1.089. Repetimos con 475 ----> 754 - 457 = 297, 297 + 792 = 1.089. ¿Qué misterio es éste? ¿Será verdad que partiendo de cualquier número resulta siempre 1.089? ¿Por qué?

22. EL NÚMERO MÁGICO 495. Escoge un número cualquiera de tres cifras, no todas iguales; por ejemplo, 373. Construye otro ordenando sus cifras de mayor a menor: 733. Ahora las ordenas de menor a mayor: 337. Resta: 733-337=396. Repite la operación unas cuantas veces con este resultado y los sucesivos. ¿Qué observas? ¿Qué pasa con un número de dos o cuatro cifras al hacer un proceso semejante? ¿Cuál es la razón? 23. EL MÁGICO NUMERO 68. Consiga una hoja de papel, recorte de ella un cuadrado de aproximadamente 20 centímetros de lado. Doble el papel al medio cuatro veces, de modo que al desdoblarlo los pliegues formen una cuadrícula de 16 cuadrados pequeños. Ahora marque bien cada pliegue hacia adelante y hacia atrás, para que el papel se doble fácilmente en cualquier dirección. Numere los cuadrados de 1 a 16 como se muestra en la ilustración:

1 5 9 13

2 6 10 14

3 7 11 15

4 8 12 16

Doble el papel a lo largo de los pliegues hasta que quede del tamaño de uno de los cuadrados pequeños. Su modo de doblarlo puede ser tan complicado como quiera; puede incluso meter pliegues dentro de pliegues. Teme unas tijeras y corte los cuatro bordes del paquete final para que le queden 16 cuadrados separados. Algunos de los cuadrados tendrán un número arriba, otros un número abajo. Sin dar la vuelta a ninguno de los cuadrados, desparrámelos sobre la mesa. Sume todos los números que hayan quedado boca arriba y escriba el resultado. El número que Vd. ha escrito, ¿será el 68? ¡Qué extraña coincidencia! ¿Verdad? 24. SIMPLIFICACIONES ESCANDALOSAS. Ocurrió el 18 de noviembre de 1994 en una clase de Matemáticas de 1º de BUP de un instituto de Salamanca. Profesor de matemáticas: Simplifica la fracción 26666/66665. Alumno: Quito un 6 del numerador y otro del denominador y queda 2666/6665. Profesor: Está bien. Pero puedes hacer algo mejor. Alumno: Es cierto; todavía puedo simplificar tres veces el 6 y quedará: 26666/66665 = 2666/6665 = 266/665 = 26/65 = 2/5. Profesor: ¡Bravo! ¡Te pongo un diez! ¡Puedes sentarte! Profesor: (Dirigiéndose a toda la clase) El método de simplificación empleado por vuestro compañero es poco ortodoxo y sin embargo los resultados son exactos. Encontrar una fracción de la misma forma que pueda simplificarse de la misma manera y que sea equivalente a 1/2. Otra equivalente a 1/4. Otra equivalente a 1/5. ¿Qué relación cumplen a, b y c en las fracciones que pueden simplificarse de la forma indicada? 25. CURIOSA PROPIEDAD (1). 173=4.913. Si ahora sumamos las cifras del resultado 4+9+1+3, volvemos a tener el 17. Lo mismo ocurre con el 18. 183=5.832.

5+8+3+2=18. No muy lejos de ellos hay otros dos números, consecutivos, cada uno de los cuales goza de la misma propiedad. ¿Cuáles son? 26. CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9. Los números del 2 al 9 pueden ser expresados como fracciones en las cuales cada dígito, excepto el 0, aparece una y sólo una vez. Por ejemplo: 2=13458/6729, 4=15768/3942. Encuentre fracciones similares que den por resultado 3, 5, 6, 7, 8 y 9. 27. CURIOSA PROPIEDAD (2). 12²=144, 21²=441. 13²=169, 31²=961. Encontrar otro número de dos cifras que cumpla la misma propiedad. 28. DELANTE Y DETRÁS. En el resultado del producto 41096 x 83 = 3410968 se ha colocado el 3 delante y el 8 detrás y el producto es correcto. Encontrar otros productos que produzcan el mismo efecto, con el multiplicador de dos dígitos y el multiplicando con las cifras que se quiera. 29.

CURIOSA PERSISTENCIA DEL 5. 8-3=5 78 - 23 = 55 778 - 223 = 555 7778 - 2223 = 5555 ................... 82 - 32 = 55 782 - 232 = 55 555 7782 - 2232 = 555 555 77782 - 22232 = 55 555 555 ..........................

30.

NOTABLE SUCESIÓN DE CUADRADOS. 12 = 1 112 = 121 1112 = 12321 11112 = 1234321 111112 = 123454321 1111112 = 12345654321 11111112 = 1234567654321 111111112 = 123456787654321 1111111112 = 12345678987654321 92 = 81 992 = 9801 9992 = 998001 99992 = 99980001 999992 = 9999800001 9999992 = 999998000001 99999992 = 99999980000001 999999992 = 9999999800000001 9999999992 = 999999998000000001

31. ESCRITURA DEL CIEN (2). Escribe el número 100 empleando cinco cifras iguales. Éstas sólo podrán estar separadas por los signos matemáticos +, -, x, : y ( ).

32.

EL NÚMERO 25. 1. El producto de cualquier número entero por 100 da como resultado el citado número con dos ceros más a su derecha. 2. El cociente de 100 entre 4 da como resultado el número 25. 3. El producto de cualquier número por 25 se puede obtener dividiendo entre 4 el citado número con dos ceros más a su derecha. Ejemplo: 357419 x 25 = 8935475. Lo hemos obtenido así: 35741900 : 4 = 8935475. 33.

EL NÚMERO 142.857.143. 1. El producto de cualquier número de 9 cifras por 1.000.000.001 da como resultado el citado número de 9 cifras duplicado. 2. El cociente de 1.000.000.001 entre 7 da como resultado el número 142.857.143. 3. El producto de cualquier número de 9 cifras por el 142.857.143 se puede obtener dividiendo el citado número de 9 cifras duplicado entre 7. Ejemplo. 987.542.937 x 142.857.143 -----------------------------............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ------------------------------------------141077562569648991 Lo hemos obtenido así: 987.542.937.987.542.937 : 7 = 141.077.562.569.648.991 34. MÉTODO ÁRABE DE MULTIPLICACIÓN. Todavía lo practican algunos árabes de ciertas regiones. En el ejemplo se muestra el producto de 346 x 2674 = 925204.

Realiza por este método los siguientes productos: a) 789 x 1358. b) 5432 x 9876. c) 1234 x 56789. 35. ERROR MECANOGRÁFICO. Una mecanógrafa inexperta estaba copiando un libro de matemáticas, donde debía escribir 5423, escribió 5423, que es muy distinto. ¿Podría Vd. encontrar otras cuatro cifras, para que ambos modos de escribir signifiquen el mismo número? (En este caso el error mecanográfico no hubiese tenido importancia en el resultado). 36. AÑO DE NACIMIENTO. Restad a vuestro año de nacimiento la suma de las cuatro cifras que lo componen. Obtendréis así un resultado divisible por 9. ¿Por qué? 37. MÚLTIPLO DE 9. ¿Qué condición ha de cumplir un número para que al restarle la suma de sus cifras el resultado sea múltiplo de 9? 38. FECHAS INDETERMINADAS. En España, fechas como 6 de diciembre de 1977 suelen abreviarse 6-12-77; pero en otros países, como EE.UU., se da primero el mes y luego el día, escribiéndose 12-6-77. Si desconociésemos cuál de ambos sistemas se ha utilizado, ¿cuántas fechas quedarían indeterminadas en la notación abreviada? 39. OBREROS DE SIEMPRE. Dos albañiles se reparten en dos partes, no exactamente iguales, pero semejantes, a ojo de buen cubero, un montón de 100 ladrillos. El primero los va disponiendo en hileras de 5 ladrillos, y el segundo los coloca en columnas de 7 ladrillos. Cuando terminan su montón al primero le quedan dos ladrillos sin colocar, y al segundo le han sobrado 4. ¿Cuántos ladrillos había tomado cada uno? 40. VENTA DE PELOTAS. Por la venta de una partida de pelotas un señor obtiene 60.377 ptas. El precio de cada pelota fue inferior a 200 ptas. ¿Cuántas pelotas vendió?

41. EL NÚMERO MÁGICO 481. Escoge un número cualquiera de dos cifras, por ejemplo, 26. Construye el número siguiente: 26 + 26x20 = 546. Ahora, el número 546 le multiplicamos por el dicho 481: 546x481 = ... ¿Qué se obtiene? Otro ejemplo: 47 + 47x20 = 987. Ahora: 987x481 = ... ¿Qué se obtiene? 42. CUADRADO PERFECTO. Hallar una base de numeración distinta de 10 en la que 121 sea cuadrado perfecto. 43. EL MENOR TRIPLETE. Hallar el menor triplete de números enteros tales que el mayor sea múltiplo del menor y que sus tres cuadrados estén en progresión aritmética. 44. QUINTA POTENCIA DE UN Nº. Halla el número n sabiendo que n5 es un número de 7 cifras acabado en 7. 45. A BUEN FIN, MEJOR PRINCIPIO. ¿En qué cifra termina 783578? 46. TRES AGUJAS EN UN PAJAR. El número primo 37 es un divisor de 999. ¿Puede Vd. encontrar tres números más que tengan todas sus cifras iguales y sean múltiplos de 37? 47. CABRAS Y OVEJAS. Un campesino tenía un rebaño de animales formado por cabras y ovejas. El número de ovejas multiplicado por el número de cabras da un producto que reflejado en el espejo, muestra el número de animales del rebaño. ¿Cuántos animales de cada clase hay en el rebaño? 48. A²+2=B3. Hallar un cuadrado que se convierta en un cubo al sumarle 2. 49. EL CORRAL DE PALOMO. El carpintero que construyó el corral para las ovejas de Palomo descubrió que podía ahorrarse dos postes si el campo a cercar fuera cuadrado en lugar de rectangular. De cualquiera de las dos maneras servirá para el mismo número de ovejas, pero si es cuadrado habrá un poste donde atar a cada oveja. ¿Cuántas ovejas había en el famoso rebaño? Se supone que en ambas forman los postes estaban separados por iguales distancias, que las áreas del corral cuadrado y del rectangular eran iguales, y que el rebaño estaba formado por menos de tres docenas de ovejas. 50. EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. Un granjero que tiene un rebaño de ovejas muy numeroso descubre una gran singularidad con respecto a su número. Si las cuenta de dos en dos, le sobra 1. Lo mismo ocurre cuando las cuenta de 3 en 3, de 4 en 4, etc.... hasta de 10 en 10. ¿Cuál es el rebaño más pequeño que se ajusta a estas condiciones? 51. EL NÚMERO MÁGICO 153. En el evangelio, según San Juan, (cap. 21, versículo 11), se lee que: «Los discípulos no habiendo pescado nada durante la noche se disponían a abandonar la tarea, cuando siguiendo el consejo de Jesús, echaron de nuevo la red, la cual cuando Simón Pedro, la levantó y la trajo a tierra estaba llena de grandes peces en número 153 y siendo tantos la red no se rompió». Por esto el número 153 se consideró en la antigüedad como número mágico,

buscándose distintas propiedades del mismo. Por ejemplo: Es un número triangular: 1 + 2 + 3 + ... + 17 = 153. 1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 153. 13+ 33 + 53 = 153. Si se parte de un número natural cualquiera que sea múltiplo de 3 y se suman los cubos de sus cifras. Al resultado, que será también un múltiplo de 3, se aplica la misma operación. Continuando de esta manera se llegará al número 153. Ejemplos: 252 - 141 - 66 - 432 - 99 - 1458 - 702 - 351 - 153. 1998 - 1971 - 1074 - 408 - 576 - 684 - 792 - 108 - 513 - 153. Por eso se dice que el número 153 es un agujero negro (respecto de la suma de los cubos de sus cifras) en el sentido de que al llegar a él ya no se puede salir más. 52. MAYOR CUADRADO. ¿Cuál es el mayor cuadrado que se puede escribir con las diez cifras tomadas una vez cada una? 53. ¿SERÁ CUADRADO? ¿Puede ser cuadrado un número formado con las nueve cifras significativas en un orden cualquiera? 54. LA CIFRA PERDIDA. El producto de 53.928.719.937 por 376.648 es 20312144*06831176. ¿Puede hallar Vd. la cifra que falta sin efectuar la multiplicación? 55. LOS REPOLLOS DE LA SEÑORA GARCÍA. La señora García tiene ahora una plantación cuadrada de repollos más grande que la que tenía el año pasado, y que por lo tanto tendrá 211 repollos más. ¿Cuántos matemáticos y agricultores lograrán determinar el número de repollos que tendrá este año la señora García? 56. REGALO MILLONARIO. Imaginemos que un millonario se ofrece a regalarle a Vd. las monedas de una peseta que sea capaz de llevarse, a condición de contarlas una por una y sin detenerse. Podrá Vd. llevarse todas las que haya contado hasta que se pare. Supongamos que cuenta una moneda por segundo. ¿Cuántas cree Vd. que podrá llevarse en realidad? 57. MONETARIO. En la República de Bizarria existe un curioso sistema monetario. Tienen allí solamente dos valores de monedas, de 7 centavos y de 10 centavos. La pregunta que hacemos también es extraña pero admite una solución simple. ¿Cuál es la mayor suma de centavos que no se puede abonar exactamente con tales monedas? 58. SE LLEGA SIEMPRE AL 1. Toma un número natural cualquiera. Si es impar multiplícalo por 3 y añádele 1. Si es par, toma la mitad. Repitiendo la operación sucesivamente se llega siempre al número 1. Así: 12 - 6 - 3 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1. 100 - 50 - 25 - 76 - 38 - 19 - 58 - 29 - 88 - 44 - 22 - 11 - 34 - 17 - 52 - 26 - 13 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1. Esto ha sido comprobado con calculadoras hasta números muy grandes, pero no se tiene una demostración de que el hecho sea general.

59. SOBRE NÚMEROS DE DOS CIFRAS. ¿Qué número de dos cifras es el cuadrado de la cifra de sus unidades? 60. SIEMPRE EXACTO: Encontrar los menores 9 números consecutivos (mayores que 10), el primero terminado en 1 y el mayor terminado en 9, de manera que al dividirse por su última cifra el resultado de siempre exacto. Ejemplo: 31/1 sí, 32/2 sí, 33/3 sí, 34/4 no, 35/5 sí, 36/6 sí, 37/7 no, 38/8 no, y 39/9 no. 61. FECHAS CAPICÚAS. El día 18 de septiembre de 1981, en una emisora de radio, el presentador cayó en la cuenta de que tal fecha (18-9-81) era capicúa. Esto le dio lugar a lanzar en antena la siguiente pregunta: ¿Cuáles son las dos fechas capicúas más cercanas entre sí del siglo XX? ¿Podrá Vd. adivinarlas? 62. TRES ENTEROS CONSECUTIVOS. ¿Qué tres números enteros consecutivos y positivos, multiplicados entre sí, dan un total igual a quince veces el segundo de ellos? 63. VAYA BOLETO. El otro día compré un boleto de lotería capicúa. Si sumaba sus cinco cifras daba el mismo resultado que si las multiplicaba. La primera cifra de la izquierda era la edad de mi hermana pequeña, las dos siguientes la edad de la mediana, y las dos últimas la edad de la mayor, que le lleva más de un año a la mediana. ¿Cuál era la numeración del boleto? 64. MCD y mcm. Hallar dos números enteros positivos, x e y, tales que el producto de su MCD y su mcm sea el producto xy. 65. EL TELÉFONO DE MI COLEGA. Le pedí a mi colega Sátur su número de teléfono. Como es profesor de matemáticas me contestó diciendo: «El número que forman las cifras de las posiciones 4 y 5 es un cuadrado perfecto, al igual que el de las posiciones 5 y 6 y el de las posiciones 6 y 7. La tres primeras cifras forman un cubo perfecto, igual al producto de los otros cuatro dígitos». ¿Podría Vd. llamar por teléfono a mi colega Sátur? 66. FACILEMA. ¿Cuál es el número de dos cifras que es igual al doble del producto de sus cifras? 67. PAR = DIEZ. Si el par es diez, ¿cuál es la decena? 68. CURIOSA RAÍZ CUADRADA. Calcula la raíz cuadrada del número 123.456.789. Observa el resultado y el resto. 69. NUMEROS PRIMOS. Demostrar que hay infinitos números primos. 70. PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA (1). Una propiedad muy conocida del número 12.345.679 es que al multiplicarlo por 9 da un producto que se escribe con sólo la cifra 1, esto es el número 111.111.111. Por lo tanto al multiplicarlo por 18 (que es 9x2), por 27 (que es 9x3), por 36, etc., se obtienen también productos notables, a saber: 12.345.679 x 9 = 111.111.111 12.345.679 x 18 = 222.222.222

12.345.679 x 27 = 333.333.333 12.345.679 x 36 = 444.444.444 12.345.679 x 45 = 555.555.555 12.345.679 x 54 = 666.666.666 12.345.679 x 63 = 777.777.777 12.345.679 x 72 = 888.888.888 12.345.679 x 81 = 999.999.999 71. PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA (2). De no conocer el multiplicando, podríamos haber intentado hallarlo sin más que dividir por 9 el número 11111..., bajando después de cada resto un uno, en vez de un cero, hasta que la división fuese exacta. Investiguemos, de este modo, cuál es el número que multiplicado por 7, da un producto escrito sólo con las cifras 1: 111.111 : 7 = 15873. Por consiguiente, resultará: 15.873 x 7 = 111.111 15.873 x 14 = 222.222 15.873 x 21 = 333.333 15.873 x 28 = 444.444 15.873 x 35 = 555.555 15.873 x 42 = 666.666 15.873 x 49 = 777.777 15.873 x 56 = 888.888 15.873 x 63 = 999.999 72. PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA (3). ¿Cuál es el número que, multiplicado por 49 da un producto que se escribe con sólo las cifras 1? 73. LOS 4 SON PRIMOS. ADDD, AACA, BCDB y BDAC son cuatro números primos. ¿Cuáles son? 74. TRES CIFRAS Y EL 30. Es fácil escribir el 30 con tres seises: (30=6x6-6) ¿Se podrá hacer lo mismo con otras tres cifras iguales? Busca todas las soluciones. 75. LA CONJETURA CAPICÚA. Para obtener un número capicúa a partir de otro número se invierte el orden de sus cifras y se suman el número dado y el invertido. Este proceso se continúa las veces que sean necesarias hasta obtener un capicúa. Por ejemplo: Partiendo del 78. 78 + 87 = 165. 165 + 561 = 726. 726 + 627 = 1353. 1353 + 3531 = 4884 CAPICÚA. La conjetura capicúa dice que, aplicando el proceso anterior a un número natural cualquiera, se obtiene un número capicúa en un número finito de pasos. Partiendo del número 89 es necesario dar 24 pasos para conseguir el número 8.813.200.023.188. ¿Existirá algún número que sea excepción de la conjetura? El matemático ruso Boris A. Kordemsky ensayó en computadoras con el número 196, sometiéndolo a miles y miles de pasos, y no ha conseguido todavía ningún número

capicúa. Siguiendo los pasos anteriores halla los capicúas correspondientes a 84, 75 y 86. 76. TIRO CON ARCO (1). ¿Cuántas flechas hacen falta para hacer justo cien puntos en el siguiente blanco? [40-39-24-23-17-16] 77. TIRO CON ARCO (2). ¿Cuántas flechas hacen falta para hacer justo cien puntos en el siguiente blanco? [11-13-31-33-42-44-46] 78. TRES CIFRAS Y EL 24. Es fácil escribir el 24 con tres ochos: (24=8+8+8). ¿Se podrá hacer lo mismo con otras tres cifras iguales? Busca todas las soluciones. 79. SOLDADOS COMBATIVOS (1). Cierto número de soldados se dirigían a combatir formando un cuadrado. En el camino se les unió un extraño, y entonces formaron exactamente 13 cuadrados menores iguales. ¿Cuántos soldados fueron a la batalla? 80. SOLDADOS COMBATIVOS (2). Cierto número de soldados se dirigían a combatir formando un cuadrado. En el camino se les unió un extraño, y entonces formaron exactamente 113 cuadrados menores iguales. ¿Cuántos soldados fueron a la batalla? 81. EL NÚMERO 987.654.321. Con el número 987.654.321 se obtienen productos con todas sus cifras, más el 0, permutadas: 987.654.321 x 2 = 1.975.308.642 987.654.321 x 3 = 2...................3 987.654.321 x 4 = 3...................4 987.654.321 x 5 = 4...................5 987.654.321 x 6 = 5...................6 987.654.321 x 7 = 6...................7 987.654.321 x 8 = 7...................8 82. DEL TEOREMA DE FERMAT. La revista Time del 7 de marzo de 1938 daba cuenta de que un tal Samuel Isaac Krieger afirmaba haber descubierto un contraejemplo para el teorema magno de Fermat, que sigue en nuestros días pendiente de confirmación. Krieger hizo saber que su ejemplo era de la forma 1324n + 791n = 1961n, siendo n un cierto entero positivo mayor que 2, que Krieger se negaba a revelar. Un periodista del New York Times, decía Time, pudo demostrar fácilmente que Krieger estaba equivocado. ¿De qué manera?. 83. A LA CAZA DEL 53. Con 5 cincos, 3 treses y los signos matemáticos +, -, x, : y () formar expresiones matemáticas que sean igual a 53. 84. DIANA (1). En una diana están los números 1, 2, 3, 5, 10, 20, 25 y 50. ¿Cómo se pueden conseguir 96 puntos con tres dobles? 85. DIANA (2). En una diana están los números 3, 5, 11, 13 y 19. ¿Cómo se pueden conseguir 50 puntos con el menor número de impactos?

86. DIANA (3). En una diana están los números 8, 9, 16, 17 y 19. ¿Cómo se pueden conseguir 100 puntos con el menor número de impactos? 87. DIANA (4). En una diana están los números 7, 9, 11, 17 y 19. ¿Cómo se pueden conseguir 100 puntos con seis impactos? 88. AABB=(CD)². Hallar un cuadrado de la forma N = aabb. 89. ABCD = (CD)². Hallar un número de cuatro cifras que sea el cuadrado del número formado por sus dos últimas cifras. 90. A²+B²+C²=D². Hallar tres cuadrados cuya suma sea otro cuadrado. 91. A3+B3+C3=D3. Hallar tres cubos cuya suma sea un cubo. 92. A²+(A+1)²=B4. Hallar dos números consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea una potencia de 4. 93. PRODUCTOS SIN REPETIR CIFRA. Los siguientes productos tienen la particularidad de que en cada uno de ellos entran cada una de las nueve primeras cifras significativas sólo una vez. [Pueden ser útiles para comprobar si lucen bien todas las cifras de una calculadora] 483 x 12 = 5796 138 x 42 = 5796 297 x 18 = 5346 198 x 27 = 5346 ¿Podría encontrar Vd. alguno más? 94. CUADRADOS SIN REPETIR CIFRA. Los siguientes cuadrados tienen todas sus cifras diferentes: 132 = 169 362 = 1296 2862 = 81796 3222 = 103684 10272 = 1054729 69012 = 47623801 101242 = 102495376 320432 = 1026753849 ¿Podría encontrar Vd. alguno más? 95. PRODUCTOS POR EL NÚMERO 8. 1x8+1=9 12 x 8 + 2 = 98 123 x 8 + 3 = 987 1234 x 8 + 4 = 9876 12345 x 8 + 5 = 98765 123456 x 8 + 6 = 987654 1234567 x 8 + 7 = 9876543 12345678 x 8 + 8 = 98765432 123456789 x 8 + 9 = 987654321

96. PRODUCTOS POR EL NÚMERO 9. 1x9+ 2=1 12 x 9 + 3 = 11 123 x 9 + 4 = 111 1234 x 9 + 5 = 1111 12345 x 9 + 6 = 11111 123456 x 9 + 7 = 111111 1234567 x 9 + 8 = 1111111 12345678 x 9 + 9 = 11111111 123456789 x 9 + 10 = 111111111 97. OTROS PRODUCTOS POR EL NÚMERO 9. 0x9+ 8=8 9 x 9 + 7 = 88 98 x 9 + 6 = 888 987 x 9 + 5 = 8888 9876 x 9 + 4 = 88888 98765 x 9 + 3 = 888888 987654 x 9 + 2 = 8888888 9876543 x 9 + 1 = 88888888 98765432 x 9 + 0 = 888888888 987654321 x 9 - 1 = 8888888888 98. CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (1). Encontrar un número de diez cifras diferentes que, multiplicado por 2, dé otro número de diez cifras diferentes. 99. CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (2). 3485x2 = 6970x1 = 6970, es el resultado menor que se puede obtener separando los diez dígitos en dos grupos para hacer dos productos que den el mismo resultado. Dividir los diez dígitos en dos grupos de cinco, y disponerlos para formar dos multiplicaciones que den el mismo producto y el más alto posible. Nota. Los segundos factores pueden tener dos cifras. 100. CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (3). 78 x 345 = 26.910. Hay muchos conjuntos de números de dos, tres y cinco cifras respectivamente que tienen la particularidad mostrada en el ejemplo utilizando las diez cifras. Pero hay un conjunto, y sólo uno, en la que los números cuentan con la particularidad adicional de que el segundo es múltiplo del primero. ¿Cuáles son los tres números que buscamos? 101. CURIOSOS CUADRADOS INVERTIDOS. Los siguientes pares de cuadrados perfectos y sus raíces están formados por las mismas cifras escritas en orden inverso: 122 = 144, 212 = 441 132 = 169, 312 = 961 1222 = 14884, 2212 = 48841 ¿Podría encontrar Vd. algunos más?

102. DOBLE SUMA. En la figura adjunta aparecen los números del 1 al 9, distribuidos de un modo curioso: así como están forman una suma perfecta (583+146=729) y si Vd. gira la hoja noventa grados en sentido horario, forman otra suma perfecta (715+248=963). Encuentre otra disposición de los números que cumpla la misma condición.

103. CINCO CONSECUTIVOS. Encuentre Vd. cinco números naturales consecutivos tales que la suma de los cuadrados de los dos mayores sea igual a la suma de los cuadrados de los otros tres. 104. ORDENANDO NÚMEROS. Ordenar los números del 1 al 9 de modo que el nombre de cada número tenga una y solamente una letra en común con el nombre del anterior. 105. LA PROPORCIÓN MALIGNA. En el ejemplo se muestra una solución a la proporción a/b=c/d con las siguientes restricciones: - El número a ha de ser de una cifra, el b de dos cifras, el c de tres y el d de cuatro. - Entre los cuatro números no se puede repetir ninguna cifra. Es decir, aparecerán las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9 una vez y sólo una vez. Ejemplo: 1/26=345/8.970. ¿Habrá muchas más? 106. BILLETES CAPICÚAS. En la taquilla del tren hay un rollo de 100.000 billetes numerados del 00000 al 99999. a) ¿Cuántos capicúas tendrá el rollo? b) ¿Cuáles serán los que están más cerca entre sí? c) ¿Cuáles serán los que están más separados entre sí? d) ¿Cuál será la cantidad mínima de billetes ordenados que pueden albergar tres capicúas? e) ¿Cuál es la cantidad mínima de billetes que tenemos que comprar para estar seguros de que compramos tres capicúas? 107. CINCO CIFRAS SEGUIDAS. Poner en lugar de los * cinco cifras consecutivas (aunque no hace falta ponerlas en orden) para que se verifique la igualdad: *

*x*=**

108. SENCILLO, DOBLE Y TRIPLE. Se han acomodado los números del 1 al 9 en un cuadrado 3x3 con las siguientes condiciones: 1

9

2

3

8

4

5 7 6 - El número de tres cifras de la segunda fila (384) es el doble que el de la primera (192).

- El de la tercera fila (576) es el triple que el de la primera (192). ¿Será Vd. capaz de encontrar otras disposiciones con esas mismas condiciones? Para animarle le doy otra: 219-438-657. 109. EL TELÉFONO DE MI AMIGO EL VALENCIANO. Según mi amigo, es el único que no repite ninguna cifra, no contiene el cero, es par y además las dos primeras cifras constituyen un múltiplo de 2, las tres primeras un múltiplo de 3, y así sucesivamente hasta el total que es múltiplo de 7. ¿Cuál es el número de teléfono de mi amigo? Observación: En Valencia los teléfonos tienen 7 cifras y comienzan por 3. 110. EL TELÉFONO DE MI AMIGO AMERICANO. Es de 10 cifras, la primera es múltiplo de 1, las dos primeras cifras forman un múltiplo de 2, las tres primeras un múltiplo de 3, las cuatro primeras un múltiplo de 4, etc. ¿Cuál es el número de teléfono de mi amigo americano? 111. SUMAS EN TRIÁNGULO. Disponer los números naturales del 1 al 9 formando un triángulo y sumarlos. El número resultante de la suma ha de ser capicúa. Una posible solución sería: 8 964 17532 ----------------27972 ¿Podrá Vd. encontrar más? 112. PRODUCTOS CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9 (1). 159 x 48 = 7632. Encontrar otras parejas de números que, al multiplicarlos, aparecen en el resultado todos los dígitos una y sólo una vez. 113. PRODUCTOS CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9 (2). 16 583 742 x 9 = 149 253 678. Encontrar otros productos en los que todos los dígitos aparezcan una y sólo una vez a cada lado del signo igual. 114. PRODUCTOS CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9 (3). Con los nueve dígitos, sin repetirlos, formar tres números de tres dígitos, de manera que el producto de los tres dé un resultado formado también por los nueve dígitos, sin repetirse. Hay varias soluciones posibles, pero pedimos que encuentre dos: la que da el resultado máximo y la que da el resultado mínimo. 115. LOS UNOS Y LOS DOSES. Restando de 11 el 2 se obtiene 9 que es un cuadrado. Restando de 1111 el 22 se obtiene 1089 que también es un cuadrado perfecto. Lo curioso es que siempre que formemos un número con una cantidad par de unos y otro con la mitad de doses, al restar del primero el segundo obtenemos un cuadrado perfecto. ¿Cree Vd. que esta afirmación es cierta?

116. EL MENOR NÚMERO (2). ¿Cuál es el menor número que, dividido por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 da respectivamente los restos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y 8? 117. COLOCANDO SIGNOS. Coloque entre cada dos cifras el signo de la operación aritmética que sea necesario. Está permitido utilizar paréntesis. (1 + 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4

2) : 3 = 1 3 4 = 1 3 4 5 = 1 4 5 6 = 1 4 5 6 7 = 1 5 6 7 8 = 1 5 6 7 8 9 = 1

SOLUCIONES DE NÚMEROS 1. NINGÚN Nº PRIMO. 201, 202, ..., 210. Otras: 321, 322, ..., 330 y 511, 512, ..., 520. 2. FRACCIONES EXTRAÑAS. Quitando en cada caso, el número repetido, el resultado es el mismo: 19/95=1/5; 26/65=2/5; 16/64=1/4. 3. TODOS LOS PRIMOS. a) Termina en 0, porque P tiene los factores 2 y 5. b) La cifra de las decenas es impar; porque si fuera par, P sería múltiplo de 4, lo que es imposible. 4. ¿QUE NÚMERO SOY? El 1001 que en numeración binaria corresponde al 9. 5. DIVISIONES EXACTAS. 7 x 11 x 13 = 1001 > 234 x 1001 = 234234 > 234234 : 1001 = 234. Es decir, las dos únicas operaciones que hacemos son: 1ª) Multiplicar por 1001 el número de partida. 2ª) Dividir por 1001 de forma disfrazada. Obviamente debe dar el número de partida. abcabc = abc x 1001; abcabc/7x11x13 = abcabc/1001 = abc. 6. LA BASE DESCONOCIDA. Sea b la base desconocida. 2b²+5b+3=136. Resolviendo b=7. 7. MENOR NÚMERO. Sea n el número desconocido. Ya que n dividido por 2 da resto 1, n+1 es divisible por 2, ya que al dividir n por 3 da resto 2, n+1 es divisible por 3, etc. De la misma manera, n+1 es divisible por 4, 5 y 6. Ahora bien, el mínimo común múltiplo de 2, 3, 4, 5 y 6 es 60. Así: n+1=60. Luego n=59. 8. PACIENCIA Y PROGRESIÓN. 219, 438, 657. 9. PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. 3.024 no acaba ni en 0 ni en 5; luego ninguno de los cuatro números es divisible por 5 ni por 10. Si los números fueran mayores que 10, el producto sería mayor que 10.000. Luego solamente tenemos como posibles soluciones 1-2-3-4 y 6-7-8-9. Evidentemente los buscados son 6-7-8-9.

10. EL MENOR CON X DIVISORES. Con 7 divisores 64. Con 8 divisores 24. 11. LA CIFRA BORROSA. El resultado es múltiplo de cada uno de los factores. En particular de 11. Si aplicamos el criterio de divisibilidad por 11: Suma de las cifras pares: 3+7+7+3+8+0 = 28 Suma de las cifras impares: 1+0+X+4+6+0+0+ = 11+X La diferencia de estas cantidades ha de ser 0, 11 o múltiplo de 11, la única posibilidad es que X=6. Podríamos haber utilizado los criterios de divisibilidad por 3 o por 9; pero con ellos no siempre la solución es única. 12. ACERCA DE LOS PRIMOS. Formando el factorial de 11, tenemos que: 11!+2 es divisible por 2, 11!+3 es divisible por 3, ..., 11!+10 es divisible por 10, 11!+11 es divisible por 11, ya que el factorial de 11 es divisible por 2,3,...,11, al ser factores suyos. Por lo tanto una solución (hay infinitas), es: 39916802, 39916803, ..., 39916811. 13. EL GRAN DESFILE. Hay que hallar el menor número que tiene exactamente 64 divisores. El menor número es 7560 soldados. 7560 = 23 33 5 7. El número de divisores es: (3+1)(3+1)(1+1)(1+1) = 4 4 2 2 = 64. 14.

CON 4 TRESES. 1 = 33/33 = 3-3+3/3, 2 = 3/3+3/3, 3 = (3+3+3)/3, 4 = (3x3+3)/3, 5 = 3+(3+3)/3, 6 = 3+3+3-3=(3+3)x3/3, 7 = 3+3+3/3, 8 = 33/3-3, 9 = 3x3x3/3, 10 = 3x3+3/3.

15.

CON 4 CINCOS. 1 = 55/55 = 5-5+5/5, 2 = 5/5+5/5, 3 = (5+5+5)/5, 4 = (5x5-5)/5, 5 = 5+(5-5)/5, 6 = (5x5+5)/5, 7 = 5+(5+5)/5, 8 = 5!/(5+5+5), 9 = 5+5-5/5, 10 = (55-5)/5.

16.

ESCRITURA DEL CIEN (1). 100 = 111-11+1-1+1-1 100 = 22x2x2+2+(2x2x2)+2 100 = 333:3-(3x3)-3+(3:3) 100 = 444:4-4-4-4+(4:4)

100 = 5x5x5-(5x5)+5-5+5-5 100 = 66+(6x6)-[(6+6):6x(6:6)] 100 = 7x7x (7+7):7+(7:7)+(7:7) 100 = 88+8+[8x8x8:8:(8+8)] 100 = (99+99):(9+9)x9+(9:9) 17.

EL MAYOR PRODUCTO. Por ensayo y error se llega a 631 x 542.

18. 25.

SUMA POR PRODUCTO. 29.400 = 24 25 49. Los números buscados son 24 y

19. BUSCANDO UN DIVISOR. Las condiciones son sencillas, pero la tarea es terriblemente complicada. Solamente tiene dos divisores: 2.071.723 y 5.363.222.357, y su descubrimiento es una tarea sumamente ardua. 20. MAYOR Y MENOR MÚLTIPLOS DE 11. Hay que recordar el criterio de divisibilidad por 11. Un número que cumpla el enunciado es, por ejemplo: 415.276.839. Para encontrar el número mayor hay que tratar que la diferencia entre las cifras del lugar impar sea 0, (que no se puede) u 11. Así sale: 987.652.413. De forma similar el más pequeño es: 123.475.869. 21. EL NUMERO 1.089. Si las cifras del número inicial son a, b y c, con a mayor que c. Dicho número es: 110a+10b+c. Al invertir las cifras se obtiene: 100c+10b+a. Restándolos se obtiene: 100a-100c+c-a = 100a-100c-100+90+10+c-a = 100(a-c-1)+90+(10+c-a) Invirtiendo sus cifras se obtiene: 100(10+c-a)+90+(a-c-1) Sumando los dos últimos sale: 900+180+9 = 1.089. 22. EL NÚMERO MÁGICO 495. Se obtiene el número 495. Con dos cifras se obtiene el 9. Con cuatro cifras se obtiene el 6.174. La razón .......... 23. EL MÁGICO NUMERO 68. ...... 24. SIMPLIFICACIONES ESCANDALOSAS. 49999/99998 = 4999/9998 = 499/998 = 49/98 = 4/8 = 1/2. 16666/66664 = 1666/6664 = 166/664 = 16/64 = 1/4. 9999/99995 = 1999/9995 = 199/995 = 19/95 = 1/5. Sea n el número de las cifras b de la fracción. El numerador de la primera fracción es: a 10n + b (10n-1 + 10n-2 + ... + 1) = a 10n + b (10n-1)/9 El denominador de la primera fracción es: b (10n + 10n-1 + ... + 10) + c = b 10 (10n-1)/9 + c Transportemos a la fracción e igualemos los productos de los extremos y de los medios: a 10n c + b (10n-1)/9 c = b 10 (10n-1)/9 a + c a 9ac = 10ab - bc ===> b = 9ac/(10a-c) es la relación buscada. Curiosidad que viene a cuento: Simplificando la fracción (a2-b2)/(a-b) de la forma que suelen hacer algunos alumnos: «a2 entre a es a, menos entre menos es + y b2 entre b es b» se obtiene el resultado correcto (a+b).

25. CURIOSA PROPIEDAD (1). El 26 y el 27. 263=17.576. 273=19.683. 26. CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9. 3=17469/5823, 5=13485/2697, 6=17658/2943, 7=16758/2394, 8=25496/3187, 9=57429/6381. 27. CURIOSA PROPIEDAD (2). El 11 y el 22. 28. DELANTE Y DETRÁS. 8 x 86 = 688. 1639344262295081967213114754098360655737704918032787 x 71 = 116393442622950819672131147540983606557377049180327877. Los números 83, 86 y 71 son los únicos multiplicadores de dos dígitos que cumplen la condición, aunque el multiplicando puede aumentarse. Así, si prefijamos a 41096 el número 41095890, repetido cualquier número de veces, el resultado puede siempre multiplicarse por 83 de la forma dicha. 31.

ESCRITURA DEL CIEN (2). 111 - 11 = 100 33 x 3 + (3:3) = 100 5x5x5 - 5x5 = (5+5+5+5) x 5 = 100

34.

MÉTODO ÁRABE DE MULTIPLICACIÓN. ...

ERROR MECANOGRÁFICO. 2592 = 2592. Sea N=acba. a=1 se puede rechazar. a=2 daría: 2bc2=2bc2. Hágase la tabla de las primeras nueve potencias de 2 y los cuadrados de los primeros nueve números. El producto de los distintos elementos de las dos tablas ha de dar cuatro cifras y debe terminar en 2. Sólo se halla la solución: 2592 = 2592. Para a=3 se comprueba rápidamente que no tiene solución. 35.

36. AÑO DE NACIMIENTO. Sea mcdu es el año de nacimiento. 1000m + 100c + 10d + u - (m+c+d+u) = 999m + 99c + 9d que es múltiplo de 9. 37. MÚLTIPLO DE 9. Ninguna. Es una propiedad general de los números naturales. Veamos para uno de tres cifras abc: 100a+10b+c-a-b-c=99a+9b=9(11a+b). 38. FECHAS INDETERMINADAS. Cada mes tiene 11 fechas ambiguas (pues la fecha 8-8-77 no es ambigua, por lo que en total hay 11x12=132. [La fecha 8-8-77, también podría considerarse «ambigua», porque no se sabe si el primer 8 significa mes o día. En este caso la solución sería 12x12=144] 39. OBREROS DE SIEMPRE. Por lo que hace a los restos, serían posibles estas soluciones: 82-18, 47-53, 12-88. La desigual distribución impide las soluciones extremas. Así: 47-53 es la buscada. 40. VENTA DE PELOTAS. El número 60.377 ha de ser el producto del número de pelotas vendidas, por el precio de cada una, que será inferior a 200. Por consiguiente, hay que buscar un divisor de 60.377 menor que 200. Ahora bien, la

última cifra del importe total siendo un 7 ha de provenir del producto de 1x7 ó de 3x9. No tenemos más que buscar algún número primo que termine en cualquiera de estas cifras, divida a 60.377 y sea menor que 200. El único es 173, y, por tanto, el número de pelotas vendidas 349. El problema hubiera sido indeterminado, si los factores primos del número dado hubiesen sido más numerosos y tales que dos al menos fuesen inferiores a 200. 41. EL NÚMERO MÁGICO 481. Se obtiene el número ababab. Siendo ab el número de dos cifras de partida. 42. CUADRADO PERFECTO. En todo sistema de numeración de base mayor que 2, el número 121 es cuadrado perfecto. En cualquiera de estas bases 11x11=121. 43. EL MENOR TRIPLETE. 1, 5, 7. 44. QUINTA POTENCIA DE UN Nº. Para que la cifra final sea un 7 ha de serlo la del número buscado. El único número acabado en 7 que elevado a 5 da un resultado de 7 cifras es 17. [Hay que hacer notar que todo número elevado a la 5ª potencia da un resultado cuya última cifra es la misma que la de su base] 45. A BUEN FIN, MEJOR PRINCIPIO. En 9, ya que las potencias de 7 acaban en 7, 9, 3 ó 1, repitiéndose las terminaciones cada 4 factores. Dividiendo 87578 entre 4, como el resto es 2, quiere decirse que la potencia buscada acaba en 9. 46. TRES AGUJAS EN UN PAJAR. No tres, sino un número infinito que cumplan tal condición: 999.999, 999.999.999, 999.999.999.999, etc. 47. CABRAS Y OVEJAS. 9 cabras y 9 ovejas. Su producto 81, se transforma en el espejo en 18, que es el número de animales del rebaño. 48. A²+2=B3. 5² + 2 = 33. Fermat demostró que es la única solución. 49. EL CORRAL DE PALOMO. El señor Palomo debe haber tenido 8 ovejas en su rebaño. Ocho postes dispuestos en un cuadrado tendrán la misma superficie que diez postes dispuestos en un rectángulo con cinco postes en el lado más largo y dos en el lado más corto. 50. EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. mcm (2,3,4,5,6,7,8,9,10) + 1 = 2.521.

PROBLEMAS RAZONADOS DE ALGEBRA

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