Problemario Problemario de álgebra para ingeniería
Ejercicios 1.2 Operaciones con números complejos en la forma polar.
Transformar Transformar a la forma polar los números complejos dados. 3)
−4 + 4 i −4 ¿ ¿ 4
¿ ¿ ¿2 ¿ r = √ ¿ θ= ¿
4
=−1 −4 tan ¿
θ=135 °
r (cos θ + isenθ ) 215 ° cos215 ° + i sin ¿
¿ 4 √ 2 ¿
Transformar los números complejos siguientes a for ma rectangular.
210 °
9)
+ isen ¿ 4¿
cos210 °
(
)
1 1 ¿ 4 − √ 2 + 4 ( − i ) 2
¿− 2 √ 3− 2 i
2
Efectuar las operaciones indicadas, expresando los resultados en forma rectangular.
80 ° cos80 ° + isen ¿
¿
13)
70 ° cos70 ° + isen ¿ 4¿ cos ( 80 ° + 70 ° )+ isen (80 ° + 70 ° )
¿( 4 )( 5 )¿ 150 °
+ isen ¿ ¿ 30 ¿
cos150 °
−1 2
√ 3 ¿+ 30 (
−1 2
i)
¿ 30 ¿ ¿−15 √ 3 + 15 i
45 ° cos 45 ° + i sin ¿ 5¿
17)
¿ ¿ ¿
n
= r [ cos ( n θ ) + isen ( n θ ) ] =
5
2
[ cos ( 2∗45 ° )+ isen ( 2∗45 ) ] 90 °
+ i sin ¿ ¿ 25 ¿
cos 90 °
)
90 ° 90 ° i sin ¿
¿ cos ¿+ 25 ¿ ¿ 25 ¿ ¿ ( 0 ) + ( 25 i ) ¿ 25 i Hallar todas las raíces indicadas 120 ° cos120 ° +i sin ¿
¿
1)
27 ¿ 3
√ ¿
¿ r 1/ n
[ ( cos
) (
θ + k ∗360 θ + k ∗360 + iSen n n
120 °
cos
3 120 ° 3
+ i sin ¿ 1
( k =0 )= 27 3 ¿ 480 °
cos
3 480 ° 3
+ i sin ¿ 1
( k =1)= 27 3 ¿ 840 ° 3 cos
840 ° 3
+ i sin ¿ 1
( k =2 )=27 ¿ 3
40 °
+ i sin ¿ ( k =0 )= 3 ¿
cos 40 °
)]
160 ° cos160 ° + i sin ¿ ( k =1 )=3 ¿ 280 °
+ i sin ¿ ( k =2 )=3 ¿
cos280 °
3
x + 8
!) r=8
θ= 0 °
[ (
r 1 /n cos
) ( )] ° ° iSen + [ ( ) ( )] ° ° iSen + [ ( ) ( )] ° ° iSen + [ ( ) ( )]
θ + k ∗360 θ + k ∗360 + iSen n n
(k =0 )=81 /3 (k =1)= 81 /3 (k =2)= 81 /3
cos
cos
cos
0
0
3
3
360
360
3
720
3
720
3
3
( k =0 )=2 [ cos0 +iSen 0 ] =2 [ 1+ 0 i ]= 2
[ ] ]= [ − − ]=− −
( k =1 )=2 [ cos120 +iSen 120 ] =2 −1 + 1 √ 3 i =−1 + √ 3 i 2
( k =2 )=2 [ cos240 +iSen 240
2
1
2
Problemario de álgebra para ingeniería
2
1 2
√ 3 i
1
√ 3 i
Ejercicios 1.1 Operaciones con números complejos en la forma rectangular.
Efectuar las operaciones indicadas " simplificar.
1#)
3 √ 2 + 2 √ 3 i
3 √ 2−2 √ 3 i
+ i + i ¿ 3 √ 2 2 √ 3 ∙ 3 √ 2 2 √ 3 3 √ 2−2 √ 3 i 3 √ 2 + 2 √ 3 i
( 3 √ 2 )2 +( 2 √ 3 i )2 +2 (3 √ 2)(2 √ 3 i ) ¿ ( 3 √ 2 )2−( 2 √ 3 i )2 ¿
+
18 12 i
+ 12 √ 6 i
−12 i
18
¿ 18 ¿
2
6
2
−12 + 12 √ 6 i 30
+ 12 √ 6 i 30
1
2
5
5
¿ + √ 6 i 2
17)
=
4
i − 1−i + 1 1 +i 0
=
3
i +i + i +i 1 +i
1
+i
=0
Problemario de álgebra para ingeniería
Ejercicios 2.2
En la funci$n polinomial dada, determine el grado, los ceros " la multiplicidad. )
f ( x )=( 3 x −15 )3 ( 4 x + 13 ) 4 %eros
( 4 x + 13 ) =0
3 x −15=0 3 x =15
x =
4 x =−13
15
x =
3
−13 4
x =5
&ultiplicidad 3
4
'ados algunos ceros de las funci$n polinomial, calcule los ceros restantes. f ( x )= x − 3 x + 6 x −12 x + 8 ;dosceros son 1 y 2. 4
3 )
3
División sintética: 1−2 + 4 −8 ∟ 2 2 +0 +8 1 +0 + 4 +0
x 2+ 4
b ± √ b2− 4 ac − x = 2a
−0 ± √ 0 − 4 ( 1 ) (4 ) x = 2 ( 1) 2
x =± 2 i
Solución:
1,2,±2 i
2
'etermine una ecuaci$n polinomial del menor grado posi(le con coeficientes racionales ue tengan las raíces indicadas. 7)
2,3− √ 2
x =2
x 2=3− √ 2
( x −2 ) ( x −3 +√ 2 )( x −3− √ 2 )= 0
( x −2 ) ( x −6 x + 7 )= 0 2
x 3−8 x 2+ 19 x −14 =0
9)
2,−3 , ± √ 2 . Y
conf ( 1 )=12
[ ( x +3 ) ( x −2 ) ] [ ( x −√ 2 ) ( x + √ 2 ) ] 2 2 = [ ( x + x −6 ) ( x −2 ) ]
¿ x 4 + x 3−6 x 2−2 x + 12 f ( 1 )= mcm [ 1 + 1− 8− 2 + 12 ]
mcm = 3 ( x
4
12 4
=3
+ x 3−6 x 2−2 x + 12 )
¿ 3 x 4+ 3 x 3 −24 x 2−6 x + 36
Problemario de álgebra para ingeniería
Ejercicios 2.1
f ( x )=3 x −2 x + 3 x −5 ;f ( 1 ) , f (−2) 4
10)
4
3
3
f ( 1 )=3 ( 1) −2 ( 1 ) + 3 (1)− 5
f ( 1 )=3 −2 + 3 −5 f ( 1 )=−1 4
3
f ( −2 )=3 (−2 ) − 2 (−2 ) + 3 (−2)− 5 f ( −2 )=3 ( 16 )−2 (−8 )+3 (−2)−5
f ( −2 )= 48 + 16−1 1 f ( −2 )=53
3
2
2
f ( x )=2 x −7 x + 5 x + 3 ; x +
4)
-7
5
-1
2
-8
3
4
9
¿ 2 x 2− 8 x + 9 , −
3 2
∟−
−9 2
−3 2
1 2
1 2
5
4
3
2
x −2 x −10 x + 20 x + 9 x −18 ; x + 2
5)
x 4− 4 x 3−2 x2 + 24 x −39 x + 2
x 5−2 x 4−10 x 3+ 20 x 2 + 9 x −18 5
− x − 2 x
4
4
−4 x −10 x 4 x
4
3
3
+ 8 x
−2 x 3+ 20 x 2 2 x
3
+ 4 x 2 24 x
2
+ 9 x
−24 x2 −48 x −39 x −18 39 x + 78 60
No esfactor
Solución:
c =3 ; ( x −3 ) ( x + 5 ) ( x − 1 )=0
7) c =3
( 3− 3 ) ( 3 + 5 ) ( 3 − 1 ) = 0 ¿0 Sí es una raiz
Solución:
Problemario de álgebra para ingeniería
1)
3 x
Ejercicios 2.3
3
20 x 2 + 29 x + 12 =0 .
+ 2 0
1 1
i 0 2
! ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12 1 2 4 = =± 1, ± , ± 2, ± , ± 3, ± 4, ± , ± 6, ± 12 " ± 1, ± 3 3 3 3 3−20 + 29 + 12 ∟−
1 3
−1 +7 + 12 3−21 + 36 + 0
3 x
2
−21 x + 36
21 ± √ (−21)
2
− 4 ( 3)( 36 ) 2 (3 )
x =
21 ± 3 6
x 1= x 2=
21 + 3 6
=
21 −3 6
24
=
6
=4
18 6
=3
#aíces : −1 / 3,4,3
8)
5
4
3
2
x + 8 x + 24 x + 14 x − 20 x − 24= 0
+ 1 1 1
4 2 0
! =± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 8, ± 12, ± 24 " 1 + 8 + 21 + 14 −20 −24 ∟ 1
+1 +9 +30 + 44 +24 1 + 9 + 30 + 44 + 24 +0
1 +9 +30 + 44 +24 ∟− 2
−2 −14 −32−24 1 +7 +16 +12 +0
+ + +
1 7 16 12 ∟
−2
i 0 2 2
−2 −10−12 1 + 5 +6 + 0 1 +5 +6 ∟−2
−2 −6 1 + 3 +0
x + 3=3 x =−3
#aíces : 1,− 2,−2,−2, −3
1)
5
4
3
2
x −2 x + 8 x −16 + 16 x −32=0
+ 5 3 1
0 0 0
i 0 2 4
! =± 1, ± 2, ± 4, ± 8, ± 16, ± 32 " 1−2 +8 −16 +16 −32 ∟ 2
+ 2 + 0 + 16 + 0 + 32 1 +0 +8 + 0 +16 +0
#aíces : 2
13)
Un campo magnético st! "#imita"o po$ %na $gión n &o$ma " %na ca'a $ctang%#a$ con "imnsions " 3( 5 7 m $spctivamnt* +i ca"a %na " stas "imnsions s a%mnta n #a misma canti"a"( # vo#%mn " #a $gión ,% "#imita # campo magnético s t$ip#ica( ca#c%#a$ sta canti"a"*
¿ ( 3 + x ) ( 5 + x ) ( 7 + x )=315 ¿ x3 + 15 x 2 + 71 x + 105= 315 ¿ x3 + 15 x 2 + 71 x −210 =0
! 210 = =± 2, ± 3, ± 5, ± 6, ± 7, ± 10, ± 14, ± 15, ± 21, ± 30, ± 35, ± 42, ± 70, ± 105, ± 210 " 1 $antidad "ueaumenta x=2
Solución:
Problemario de álgebra para Ejercicios 3.1 ingeniería 'etermine la matri* indicada utili*ando las siguientes matrices para efectuar su c+lculo " si esta matri* no est+ definida indíuelo.
[ ]
%=
[ ] 0
−1 −4
3
4
2
'= 2& 2
3& 2
[ ] −4
2
0
8
−6 − 8
3& 2
)
3 '− (
7)
[ ] [ ] [ −3 −12
6
¿
3 5
−2 '
4)
¿
1 0
0 9
12
[
11)
[
8 2
−
3& 2
3 −4
3
5
4 6
−2 3
] [
= −4
3& 2
3
& −1 1 −2
2 &2
−8 −10
3
6
4
7
9
]
(−8 +18 ) ( 8 + 12 ) ( 16 + 21 ) (−2− 24 ) (2 −16 ) (− 4− 28 ) ¿
[
10 −26
20 −14
5 −32
]
2 &3
2& 3
]
]
3& 2
[
( =
3 5
4 −2
6 3
]
2 &3
13)
Un &a$icant " ./3 tin 2 p#antas " nsam# n #os c%a#s s p$o"%cn ./3 " 2 it( 4 it 8 it " U+ o a"apta"o$* a p$o"%cción an%a# n #a p$im$a p#anta( con in"icación " #os it-tipo U+ o a"apta"o$)( s #a sig%int: 2200(150 4-350(280 8-400(300* n #a sg%n"a p#anta( #a p$o"%cción s: 2-230(180 4380(310 8-450(350* 6onst$%i$ mat$ics a"c%a"as pa$a sta in&o$mación( po$ s%ma " mat$ics a##a$ #a mat$i pa$a #a p$o"%cción tota# po$ it tipo*
[
2
200
150
4 8
350 400
280 300
][ +
2
230
180
4 8
380 450
310 350
][ =
4
430
330
8 16
730 850
590 650
Problemario de álgebra para ingeniería
|
21)
|
3
1
4
6
2
−3
2
3
2
| | | || |
¿+ 3 2 −3 −6 3
2
1 3
4 2
+2 1
4 −3
2
¿ 39 +60−22=77
[
24)
[
2 4
−5 −4
−1 0 4 5
1 1
−3 0
2 0 1 0
−1 0 0 0
]
−1 2
1 −1
1 3
0 2
−1 2
−3 −2
]
]
3 &3
Ejercicios 3.2
[
4
0
1
−5 −4
4
−3
5
0
4
[
4 5
]
] [ ] [
−3 −(−5 ) 0
0 5
1 0
+ ( −4 )
0 4
1 −3
¿ 4 0 −(−15 ) + 5 0−(−5) − 4 [ 0 −4 ]
¿ 4 [ 15 ] + 5 [ −5 ] − 4 [−4 ]
¿ 60 + (−25 ) + 16 = 51
]
