Problemas Propuestos Capitulo 2

Capítulo 2 Sistemas de Fuerzas Estáticamente Indeterm inados

Problemas Propuestos Capitulo 2: Sistemas de Fuerzas Estáticamente indeterminados indeterminados 15.- Una barra cuadrada de 5 cm de lado esta sujeta rígidamente entre los muros y cargada con una fuerza axial de 20.000 kg, como se ve en la figura. Determinar las reacciones en los extremos de la barr barra a y el alarg alargami amient ento o de la parte parte derec derecha. ha. Toma Tomarr E= 2,1 x 10 10 kg/cm kg/cm .

F1 + F2 = 20000 kg

L1 =

L2

F 10 cm = F 15 cm AE

entonces:

F 10 cm = F 15 cm

AE

F1 = 15 F2 remplazando: 1,5 F2 + F2 = 20000 kg 10

F2 = 20000 kg = 8000 kg 2,5

F1 = 20000 kg – kg – 8000 kg F1 = 12000 kg

L=

8000 kg . 15 cm =

0,0022857 cm

(5 cm) . 2,1 2,1 x 10 kg/cm

Solucionario Resistencia de Materiales Schaum

13


16.- Un corto tubo de fundición, de sección cuadrada, esta lleno de hormigón. La dimensión exterior de la fundición es de 45 cm y el espesor de la pared de 4 cm. El conjunto esta comprimido por una fuerza axial P de 70.000 kg aplicada a placas de tapa infinitamente rígidas, como se muestra en la figura. Determinar la tensión en cada material y el acortamiento del elemento. Para el hormigón, tomar E = 1,75 x 10 kg/cm y para la fundición E = 1,05 x 10 kg/cm .

F + H = 70000 kg

LF =

F . 90 cm

LH

= H . 90 cm

656 . 1,05 x 10 kg/cm

1369 . 1,75 x 10 kg/cm

F = 2,875 H

F = 51912,15 kg

GF = 79,13 kg/cm

H = 18087,85 kg

GH = 13,2 kg/cm


14


L = 0,00678 cm

17.- Dos barras inicialmente rectas están unidas entre si y sujetas a apoyos, como se ve en la figura. La de la izquierda es de bronce para el cual

E = 9,8 x 10 kg/cm , α = 17,7

x 10 / °C, y la de la derecha es de aluminio para cual E = 7 x 10 kg/cm , α = 22,2 x 10 / °C. Las secciones de las barras de bronce y de aluminio miden, respectivamente, 6 cm

y 9 cm . Se

supone que el sistema esta inicialmente libre de tensiones y que, entonces, la temperatura desciende 22°C. a) si los apoyos no ceden, hallar la te nsión normal en cada barra. b) si el apoyo derecho cede 0,012 cm. Hallar la tensión normal en cada barra suponiendo su peso despreciable.

a) Fa = Fb

La =

Lb = FL - L α AE

La = L α

Lb

T = Fb . 60 cm

-

60 cm 17,7 x 10 / °C . 22°C

6 cm . 9,8 x 10 kg/cm

T - FL = 25 cm . 22,2 x 10 / °C . 22°C – Fa 25 cm AE

9 cm .7 x 10 kg/cm


15

Capítulo 2 Sistemas de Fuerzas Estáticamente Indeterm inados 1,02 Fb + 0,397 Fa = 3557,4 kg

Fa = Fb = 2510,51 kg

Ga = 278,95 kg/cm

b)

Gb = 418,42 kg/cm

T para 0,012 cm

= 60 cm . 17,7 x 10 / °C

T + 25 cm . 22,2 x 10 / °C

T

T = 7,42 °C

Idéntico análisis:

Lb = FL - L α AE

La = L α

T = Fb . 60 cm

-

60 cm 17,7 x 10 / °C . 14,58°C

6 cm . 9,8 x 10 kg/cm

T - FL = 25 cm . 22,2 x 10 / °C . 14,58°C – Fa 25 cm AE

9 cm .7 x 10 kg/cm

1,02 Fb + 0,397 Fa = 2357,5 kg

Fa = Fb = 1663,8 kg


16

Capítulo 2 Sistemas de Fuerzas Estáticamente Indeterm inados Ga = 184,9 kg/cm

Gb = 277,3 kg/cm

18.- Un tubo de acero de 5 cm y 4,4 cm de diámetro exterior e interior, respectivamente, rodea a un cilindro macizo de bronce de 3,75 cm de diámetro, unidos ambos a una placa de cubierta rígida, en cada extremo. El conjunto está exento de tensiones a la temperatura de 25 °C. Si la temperatura aumenta hasta 120°, determinar las tensiones en cada material. Para el bronce E = 9,8 x 10 kg/cm , α L ac =

= 17,7 x 10

L br

/ °C; para el acero, E = 2,1 x 10 kg/cm , α = 11 x 10 / °C.

A ac = π/4 ((5cm) A br = π/4 (3,75 cm)

- (4,4 cm)

) = 4,4296 cm

= 11,0446 cm

L br = Lα

t – F br L = L . 17,7 x 10 / °C . 95 AE

F br L

11,0446 cm

. 9,8 x 10 kg/cm

L ac = Lα

t – F ac L = L . 11 x 10 / °C . 95 + AE

4,4296 cm

F ac L . 2,1 x 10 kg/cm

Luego se remplaza la ecuación y e l resultado es:

0,0924 F br + 0,107 F ac = 636,5

F br = F ac = 3192,1 kg

G br = 289 kg/cm

G ac = 721 kg/cm


17


19.- Un pilar corto de hormigón armado esta sometido a una carga de compresión axial. Ambos extremos están cubiertos por placas infinitamente rígidas, de modo que las deformaciones totales del acero y hormigón son iguales. Si la tensión producida en el hormigón es de 65 kg/cm , hallar la correspondiente al acero. Tomar, para el acero, E= 2,1 x 10 kg/cm y considerar n = 12 (n = Ea / Eb).despreciar los efectos de expansión lateral del hormigón y el ac ero bajo esa carga. F ac + F h = P

L ac =

Lh

F h = G h = 65 kg/cm Ah

F ac . L

= Fh.L

A ac . Eac

Ah . Eh

F ac = G ac

entonces:

A ac

G ac = G h . Eac remplazamos: G ac = 65 kg/cm x 12 = 780 kg/cm Eh

20.- Una barra compuesta está constituida por una tira de cobre entre dos placas de acero laminado en frío. Los extremos del conjunto están cubiertos por placas infinitamente rígidas y se aplica a la barra una carga P, por medio de una fuerza que actúa en cada una de las placas rígidas, como se ve en la figura (a), la anchura de todas las barras es de 10 cm, las placas de acero tienen un espesor de 0,6 cm cada una y el de cobre es de 1,8 cm. determinar la carga máxima P que puede aplicarse, la carga de rotura del acero es 5.600 kg/cm

y la del cobre 2.100 kg/cm . Es

admisible un coeficiente de seguridad de 3, basado en la carga de rotura de cada material. Para el acero, E= 2,1 x 10 kg/cm

y para el cobre E = 9 x 10 kg/cm .


18


2 F ac + F cob = P

L ac =

L cob

A ac = 0,6 cm . 10 cm =6 cm

A cob= 1,8 cm . 10 cm = 18 cm

F ac . L 18 cm

=

F cob . L

entonces :

6 cm . 2,1 x 10 kg/cm

. 9 x 10 kg/cm

1,2857 F ac = F cob A) ¿Falla el acero?

F ac = G ac = 5600 kg/cm . 6 cm

= 11200 kg

3 F cob = 11200 kg . 1,2857 = 14399,84 kg = 14400 kg

G cob = 14400 kg = 800 kg/cm 18 cm G admisible cob = 2.100 kg/cm

= 700 kg/cm

conclusión no falla.

3

B) ¿Falla el cobre?

F cob = 2100 kg/cm

. 18 cm

= 12600 kg

3


19

Capítulo 2 Sistemas de Fuerzas Estáticamente Indeterm inados F ac = 12600 kg = 9800 kg

G ac = 9800 kg = 1633,3 kg/cm

1,2857

6 cm

G admisible ac = 5600 kg/cm

= 1866,7 kg/cm

por lo que si hay rotura.

3

21.-Un cilindro recto de aluminio rodea a otro de acero, como se ve en la figura b y se aplica la carga axial de compresión de 25.000kg a través de las placas de cubierta infinitamente rígidas, representadas. Si el cilindro de aluminio es 0,025 cm más largo que el de acero antes de aplicar ninguna carga, hallar la tensión normal en cada uno de ellos cuando la temperatura haya descendido 30°C y este actuando toda la carga. Tomar, para el acero, E= 2,1 x 10 kg/cm , α = 11 x 10 / °C, y para el aluminio E = 7 x 10 kg/cm

L al = 0,025 cm +

L ac

α = 22,2 x 10

/ °C.

F ac + F al = 25000 kg

A al = π /4 ((15 cm) – (8,2cm) A ac = π /4 (7,5 cm)

) = 123,9 cm = 44,18 cm

F al . 50,025 cm + 50,025 cm . 22,2 x 10 / °C . 30 °C = 123,9 cm

. 7 x 10 kg/cm


20


0,025 cm + F ac . 50 cm 44,18 cm 2,1 x 10 kg/cm 0,5768 F al – 0,5389 F ac = 8183,35 kg

Remplazamos: F ac + F al = 25000 kg:

0,5768 F al - 0,5389 (25000 kg - F al) = 8183,35 kg 0,5768 F al – 13472,5 kg + 0,5389 F al = 8183,35 kg 1,1157 F al - 13472,5 kg = 8183,35 kg 1,1157 F al = 21655,85 kg F al = 19410,1 kg

F al = 19410 kg

y F ac = 5590 kg

Entonces: G al = 156,7 kg/cm

, G ac = 126,5 kg/cm

22.- La barra horizontal rígida AB esta soportada por tres cables verticales, como se ve en la fig. (a) siguiente, y soporta una carga de 12.000 kg. El peso de AB es despreciable y el sistema esta exento de tensiones antes de aplicar los 12.000 kg. Después de aplicados, la temperatura de los tres cables aumenta 14° C. Hallar la tensión en cada cable y la posición de la carga aplicada para que AB permanezca horizontal. Tomar para el cable de acero E= 2,1 x 10 kg/cm , α = 11 x 10 / °C; para el cable de bronce E = 9,8 x 10 kg/cm , α = 17,7 x 10 / °C y el de cobre E = 1,2 x 10 kg/cm ,

α

= 16 x 10 / °C. Se desprecia la posibilidad de pandeo lateral de cualquiera de los

cables. En la figura aparecen las longitudes y secciones de los cables.


21


 

Fy = Ac + Br + Co = 12000 kg M Ac = Br90 cm + Co150cm = 12000 kg (90cm – X)

L ac =

L ac =

L cob =

L cob

L br

entonces :

Ac . 25 cm + 25 cm . 11 x 10 / °C . 14°C = 1,2 cm

. 2,1 x 10 kg/cm

Cob . 20 cm + 20cm . 16 x 10 / °C .14°C 1,8 cm

. 1,2 x 10 kg/cm


22

Capítulo 2 Sistemas de Fuerzas Estáticamente Indeterm inados 9,92 Ac – 9,26 Cob = 630 kg

L ac =

L br

entonces :

Br . 15 cm + 15 cm . 17,7 x 10 / °C . 14°C = 3 cm

. 9,8 x 10 kg/cm

Ac . 25 cm + 25 cm . 11 x 10 / °C . 14°C 1,2 cm

. 2,1 x 10 kg/cm

9,92 Ac – 5,1 br = - 133 kg

Cob = 9,92 Ac – 630 kg 9,26 Br = 9,92 Ac + 133 kg 5,1

Remplazamos en la formula de

F y:

Ac + (1,9450 Ac + 26,078 kg) + (1,07127 Ac – 68,03 kg) = 12000 kg Ac = 2998,2 kg

Br = 5858 kg , Cob = 3144 kg


23

Capítulo 2 Sistemas de Fuerzas Estáticamente Indeterm inados Por lo que: GAc = 2498,3 kg/cm

, G br = 1952,7 kg/cm

, G cob = 1746,7 kg/cm

X = 6,765 cm

23.- La barra AC es totalmente rígida, está articulada en A y unida a las DB y CE como se ve en la fig (b). El peso de AC es de 5.000 kg y el de las otras dos barras es despreciable. Si la temperatura de las barras DB y CE aumenta 40 °C, hallar las tensiones producidas en esas barras. DB es de cobre, para el cual E = 1,05 x 10 kg/cm , α = 17,7 x 10 / °C y la sección 12 cm , mientras que la CE es de acero, para el cual E= 2,1 x 10 kg/cm ,

α

= 11 x 10 / °C, y la sección 6 cm . Despreciar la posibilidad de pandeo

lateral en las barras.

MA = -120F1 kg cm + 240F2 kg cm = 5000kg . 120cm -F1 + 2F2 = 5000 kg

L1 = 120

L2

r esulta 2

L1 =

L2

240


24


L1 = 90 cm . 17,7 x 10 / °C . 40°C - F1 . 90 cm 12 cm , 1,05 x 10 kg/cm ,

L2 = 90 cm . 11 x 10 / °C . 40°C + F2 . 90 cm 6 cm . 2,1 x 10 kg/cm 0,087840 kg = 0,000014286 F1 + 7,143 x 10 Luego se remplaza en

MA

F1 = 3918,9 kg , F2 = 4459,5 kg G1 = 326,6 kg/cm

F2

entonces:

, G2= 743,2 kg/cm

24.- Considerar la barra rígida BD que esta soportada por los dos cables que aparecen en la fig.(c). Los cables están inicialmente exentos de tensión y los pesos de todos los elementos son despreciables. Hallar la tracción en cada cable cuando se ha aplicado la carga P al extremo de la barra. Los dos cables tienen el mismo módulo de e lasticidad.


25

Capítulo 2 Sistemas de Fuerzas Estáticamente Indeterm inados E1 = E2 = E

MB =

sen b =

T1 sen b . L + T2 sen α

H

sen α =

T1 H

+

2T2 H

. 2L = P 2L

H

= 2p

D1/L = D2/2L

L1

L2 por lo que : 2 sen α

=

L1

=

L2 sen b

2L sen α

L sen b

Entonces: 2 H . T1 . L1 = H . T2 L2 L2 A1 E

= 2L1

T1

= T2 L2

A1

T1 = A1L2

A2

L1 A2 E

= T2 = 2A2L1 T1 A1 L2

T2


26

Capítulo 2 Sistemas de Fuerzas Estáticamente Indeterm inados 2A2L1 Además: H T1 + 2H T2 = 2P L1

L2

H T1 + 2H 2A2L1 T1 = 2P L1

L2 A1 L2

T1 H + 4HA2L1 L1

= 2P

A1L2

T1 = ____ 2P______

T2 = ______2P____ HA1L2 2 A2L1

+ 2H L2

25.- Considerar tres barras idénticas conectadas con pasador, dispuestas como se indica en la fig. (d), y que soportan la carga P. Las barras forman entre si ángulos de 120°. Hallar la fuerza axial en cada una y el desplazamiento vertical del punto de aplicación de la carga. Despreciar la posibilidad de pandeo lateral en las barras.


27


F1 = F2 Fv = F1 sen 30 + F2 sen 30 + F3 = P

L3 . sen 30 =

F3 . L = F1 . L AE2

L1 =

L2

F3/2 = F1

AE

Entonces F1 . ½ + 2 F1 = P

F1 = P/3 = F2

F3 = 2P/3 . -1 F3 = - 2P/3

L3 = 2PL 3AE


28


26.- Las tres barras representadas en la fig. (e) soportan la carga vertical de 2.500 kg. Las barras están libres de tensión y unidas por un pasador en A antes de aplicar la carga. Si se coloca ésta gradualmente, y simultáneamente decrece la temperatura de las tres barras 8 °C, calcular la tensión en cada una de ellas. Las dos extremas son de bronce y sección de 2,4 cm , y la central de acero y sección 1,8 cm . Para el bronce, E = 9 x 10 kg/cm , α = 17,7 x 10 / °C, y para el acero, E= 2,1 x 10 kg/cm , α = 11 x 10 / °C

Fh = Fb1 = Fb2

=

Fv = Fb1 sen 45 + Fb2 sen 45 + Fa = 2500 kg

Fb + Fa = 2500 kg La sen 45 =

(Fa 180

Lb 180 . 11 x 10 / °C . 8 °C ) sen 45 =

1,8 cm . 2,1 x 10 kg/cm

Fb 180/sen 45

180 . 17,7 x 10 / °C . 8 °C

2,4 cm , 9 x 10 kg/cm

-

sen 45

23,8 Fa + 83,33 Fb = 17568 kg

Fb = 658,8 kg

Gb = 274,5 kg/cm

Fa = 1568,4 kg

Ga = 871,2 kg/cm


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Problemas Propuestos Capitulo 2

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