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EJERCICIOS DE PROPIEDADES DE MATERIALES PROPIEDADES MECÁNICAS 1. Se desea construir una probeta normal española de 10 mm de diámetro. Cuáles serán las restantes dimensiones? Solución: 72,3 mm de longitud. 2. Calcular la tensión normal en una probeta de diámetro 4 13,8 mm cuando está sometida a un esfuerzo de 6.10 N. -2 Solución: 4.105 N·m . 3. De barra de duraluminio, de sección cuadrada, se suspende un peso de 10 Tn. Aplicando un coeficiente de seguridad de 2, calcula el lado mínimo que ha de tener la sección. Solución: 2,23 cm. 4. Una silla de madera de tensión de rotura a compresión 252 Kg/cm² tiene cuatro patas de sección 30x30mm. Calcular el peso máximo que se puede soportar si se considera un coeficiente de seguridad de 1,8. Solución: 5.040 Kg. 5. En la construcción de un edificio se usa un cable de acero de 16 mm de diámetro para la elevación de materiales. Si cuelgan verticalmente 90 m del cable para elevar una carga de 1,96 kN. Determine el 3 alargamiento total del cable. γ = 78 kN/m , E = 210 GPa. Solución: Δl = cm. 6. Una grúa dispone un sistema de izado como el de la figura adjunta y está soportando una carga en el gancho de 2.500 Kg. El cable tiene un diámetro de 7,5 mm. ¿A qué tipo de esfuerzo esta expuesto el cable? ¿Qué valor tiene la tensión de trabajo a la que está sometido cable?.Si sabemos que esta fabricado en acero cuya tensión de rotura es de 4.500 Kg/cm². ¿Resistirá la tensión a la que está sometido?. Si utilizamos un coeficiente de seguridad de η=2. ¿Estaremos dentro de los márgenes de seguridad?. ¿ Cuál sería el valor máximo de tensión dentro de los márgenes de seguridad?. 7. Un pilar de sección circular, construido en hormigón armado (σR a compresión de 500 Kg/cm²) de la estructura de un edificio, debe soportar una carga de 20 Tn (toneladas). ¿ Calcular el diámetro mínimo que debe tener el pilar para soportar dicha carga si se utiliza un coeficiente de seguridad de 1,5. 8. Un camión-grúa para arrastre de automóviles tiene una barra de enganche construida utilizando dos perfiles en U de 3 mm de espesor, solados por sus alas y que tiene las dimensiones de la figura. Si la tensión máxima a la que debemos someter al material es de 1560 Kg/cm², calcular el valor de la fuerza máxima que soportará dicho enganche. 9. Si quisiéramos sustituir el enganche del problema anterior por uno del mismo material y de perfil circular hueco de 3 mm de espesor, ¿qué diámetro mínimo debería de tener?. 10. Calcular la tensión normal en una probeta de diámetro 13,8 mm cuando está sometida a un esfuerzo de 4 8 -2 6.10 N. Solución: 4·10 N·m . 11. Con una probeta de acero de dimensiones normales (d = 13,8 mm, lo = 100 milímetros) sometida al ensayo de tracción se obtuvieron los siguientes valores: F (N) Δl (mm) F (N) Δl (mm)
5000 0,016 45000 0,150
10000 0,030 50000 0,170
15000 0,050 52000 0,180
20000 0,065 54000 0,200
25000 0,080 56000 0,250
30000 0,100 57000 0,290
35000 0,113 58000 0,370
40000 0,130 58400 0,420
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El alargamiento, después de suprimida la carga, 58400 N, fue de 0,21 mm. Carga de rotura, 107500 N. Distancia entre puntos después de la rotura, 128,3 mm y diámetro en la sección de rotura, 12,51 mm. De los datos anteriores obtener: a) Tensiones unitarias para cada una de las cargas. b) Alargamiento unitario. c) Diagrama esfuerzo-deformación. d) Limite de proporcionalidad. e) Limite de fluencia. f) Módulo de elasticidad. ¿Se tiene mucha exactitud con este método? ¿Por qué?. g) Carga de rotura. h) Alargamiento por ciento y estricción. -2 -5 Solución: Para orientación damos los valores σ (daN mm ) y ε.10 para las cinco primeras: 3,34, -2 6,68, 10, 13,35, 16,7; 16, 30, 50, 65, 80. Para las demás cuestiones resulta: σ P = 350 N·mm ; σ E = 390 -2 -2 N mm ; σ R = 717 N·mm ; A = 28,3%; Ψ = 18%. 12. Calcular el trabajo total de deformación elástica en una barra de acero de 1,5 m de longitud y 20 mm de diámetro con una carga de 6 toneladas. Solución: 39,38 J. 13. Calcúlese el alargamiento por ciento de un alambre de acero de 5 mm de diámetro y 1 m de longitud bajo una carga de 2000 N. Solución: 0,0485%. 2
14. Se dispone de un cable de acero de 12 m de longitud y 80 mm de sección. Al someterlo a una carga axial de 100 kN, llega a medir 12.078 m. Calcule: a) Alargamiento unitario. b) La deformación unitaria ε y el esfuerzo unitario σ en GPa. c) El módulo de elasticidad E del acero utilizado en GPa. d) La fuerza en kN que hay que aplicar a un cable idéntico, para conseguir un alargamiento de 35 mm. -5 Solución: ε = 6,5 · 10 ; σ = 1,25 GPa; E = 192,3 GPa; F = 46,15 kN. 15. Calcule el módulo de elasticidad (E) en MPa, la dureza Brinell, expresada según la norma y la resiliencia 2 (ρ) en J/mm , de un material, teniendo en cuenta que: 2 a) Una probeta de 100 mm de longitud y 150 mm de sección, se alarga 0,080 mm cuando se carga con 15 kN. b) Una bola de diámetro D = 2,5 mm, al aplicarle una fuerza de 188,5 kp durante 20 s, deja una huella de 0,24 mm de profundidad. Recuerde que el área de la huella que deja una bola de acero de diámetro D al penetrar la probeta una profundidad f es A = π D f. 2 c) c) La maza de 20 kg de un péndulo de Charpy, cae desde 1 m de altura sobre una probeta de 400 mm 2 de sección y asciende 45 cm después de romper la probeta (g = 9.81 m/s ). -4 2 2 Solución: ε = 8 · 10 ; σ = 100 MPa; E = 125 GPa; A = 1,885 mm ; 100 HB 2,5/188,5/20; ρ = 0,74 J/mm . 16. El diagrama de tracción del material de una barra de 400 mm de longitud y 2 25 mm de sección es el que se muestra en la figura adjunta. Calcule: a) El módulo de elasticidad del material en GPa. b) La longitud de la barra en mm, al aplicar en sus extremos una fuerza de 115 kN. c) La fuerza en kN, que produce la rotura del material. Solución: E = 200 GPa; σ = 4,6 GPa; ε = 0,023; L = 409,2 mm; FR = 6,5 kN. 17. La figura adjunta muestra dos cilindros concéntricos que soportan una carga axial de 100 kN. Si el cilindro de la izquierda es de acero (E = 200 GPa) y el de la derecha de hierro fundido (E = 80 GPa), calcule: a) El esfuerzo unitario de cada cilindro en MPa. b) La deformación unitaria de cada cilindro. c) El alargamiento de cada cilindro en mm. Solución: σ A = 200 MPa; σ H = 50 MPa; ε A = 0,001; -3 ε H = 0,625 · 10 ; δA = 0,05 mm; δH = 0,0125 mm.
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18. a) En un ensayo de tracción: ¿qué son el esfuerzo y la deformación unitaria?. ¿en qué unidades se miden en el sistema internacional? ¿qué relación matemática existe entre ambas cuando se trabaja por debajo del límite elástico (en la zona de proporcionalidad)? b) Calcule el módulo de elasticidad del material en GPa, teniendo en cuenta los valores de los puntos A y B de la gráfica de tracción. c) Calcule el diámetro en mm, que debe tener una barra de este material, de 0,5 m de longitud, para soportar una fuerza de 7350 N sin alargarse más de 35 mm. 2 Solución: E = 210 GPa; ε = 0,07; σ = 14,7 MPa; A = 500 mm ; D = 25,23 mm. 19. La barra mostrada en figura esta compuesta de tres secciones, con materiales diferentes, tal como se indica. Determine su deformación total si los datos para cada sección son: 2 2 2 AI = 1 cm , AII = 2,2 cm , AIII = 4 cm . 2 Eacero = 2100000 kg/cm . 2 Ecobre = 910000 kg/cm . 2 Ealuminio = 700000 kg/cm . Solución: Δl = cm. 20. Una barra cilíndrica, como la mostrada en la figura esta sometida a una fuerza de tracción. 2 σFLUENCIA ACERO = 50 kg/mm . 2 σFLUENCIA COBRE = 25 kg/mm . 6 2 EACERO = 2,1 · 10 kg/cm . 5 2 ECOBRE = 9,1 · 10 kg/cm . Diámetro barra = 4 cm a) Calcule el coeficiente se seguridad de cada barra, ¿El sistema falla? explique. b) Calcule la fuerza máxima y el alargamiento total del sistema. Solución: Δl = cm. 21. Una barra de bronce tiene una sección uniforme y esta unida rígidamente a los muros, 2 tiene una longitud de 200 cm y una sección de 18 cm y esta a la temperatura de 20ºC, la barra no tiene tensiones. Determinar la tensión que existe en ella cuando aumenta la temperatura en 40ºC, suponiendo que los apoyos no ceden. -6 Datos: EBRONCE = 98 GPa, αBRONCE = 19 · 10 (1/ºC). Solución: σ = MPa. 2
22. Trazar la curva real de tracción de un acero y hallar su ecuación a partir de los valores σ (N/mm ) y δ. -2 288 313 344 383 422 457 489 524 556 615 711 795 σ (N·mm ) 2 1,2 1,6 2,4 3,6 4,8 6,8 9,2 13,2 18,0 26,8 52,8 75,2 δ·10 0,236 Solución: Ecuación de la curva a = 83,7· δ . 23. En una probeta de aluminio de 13,8 mm de diámetro y 100 mm de distancia entre puntos, se han obtenido los siguientes resultados: F (N) 5000 7500 10000 12500 15000 17500 20000 0,041 0,062 0,083 0,103 0,126 0,148 0,169 Δl (mm) -2 Calcular el valor medio del módulo de elasticidad. Solución: 80270 N·mm . 24. Una probeta normal española, de acero, de 13,8 mm de diámetro y 100 mm de distancia entre puntos, está sometida a una carga de 60000 N y tiene una carga de rotura de 95400 N. El diámetro en el lugar de la rotura es de 10,2 mm y la distancia entre puntos 115 mm. Calcular: a) Tensión unitaria en ambos casos b) Los alargamientos unitario total y de rotura. c) Estricción en %. 2 d) Tensión real de rotura E = 210000 N·mm- . e) Valor del trabajo elástico. -2 -2 -2 Solución: 401 N·mm , 635 N·mm ; 0,00191, 0,191 mm y 15%; 45,3%; 1165 N·mm ; 5,71 J.
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25. En una probeta de tracción de cierta aleación de cobre se han obtenido los siguientes resultados: σR = 6 -2 412·10 N·m , Ψ = 60%. Calcular: a) Tensión real en el momento de la rotura. b) Alargamiento unitario real en la sección de rotura. 7 -2 Solución: 103.10 N·m , 91,5%. -2
26. Un alambre de acero de E=210 GN·m . con 5 mm de diámetro y 1 m de longitud está sometido a una carga de 3 tracción de 10 N. Calcular: a) Esfuerzo unitario. b) Alargamiento unitario y total. c) Límite elástico si las deformaciones permanentes comienzan para un alargamiento total de 1,85 mm. d) Limite de trabajo si el coeficiente de utilización es 2/3 del límite elástico. 7 -2 -4 8 -2 8 -2 Solución: 5,09 N·m ; 0,242 mm, 2,42·10 ; 3,88·10 N·m y 2,58·10 N·m . 27. Convertir los datos carga-longitud de la tabla dada en los apuntes correspondientes al ensayo de tensión, a esfuerzo y deformación para una carga de 1000 N. 28. Obtener la fuerza requerida para producir un esfuerzo de 25.000 N/m² en una barra con diámetro de 1 mm y para otra barra con un diámetro de 2 mm. 29. Supóngase que se aplica una fuerza de 100N a una barra de 5 mm de diámetro que tiene 50 cm de longitud. La barra está hecha de aluminio. Determinar la longitud de la barra cuando se le aplica la fuerza. Datos para el 10 6 aluminio: Módulo de elasticidad: E=7·10 N/m². Esfuerzo de fluencia: σF=10·10 N/m². Esfuerzo de rotura: 7 σR=10·10 N/m². 30. Diseñar un cable que debe sostener a un elevador que pesa 10000 N. El cable está hecho de la aleación de aluminio anterior. Calcular el diámetro mínimo necesario para el cable si ha de soportar el peso del elevador sin sufrir deformación permanente. Repetir los cálculos para un cable de acero: Módulo de elasticidad: 11 8 8 E=2·10 N/m². Esfuerzo de fluencia: σF=3·10 N/m². Esfuerzo de rotura: σR=5·10 N/m². 31. Se desea doblar una barra de cobre que tiene una sección transversal de 0,5 mm x 6 mm, aplicando una fuerza de tensión. ¿Cuál es la fuerza mínima que el equipo de conformado debe desarrollar? Datos para el 11 7 cobre: Módulo de elasticidad: E=1,3·10 N/m². Esfuerzo de fluencia: σF=5·10 N/m². Esfuerzo de rotura: 7 σR=50·10 N/m². 32. Los resultados obtenidos del ensayo de tracción a un determinado material fueron: longitud inicial de la probeta, 20cm . Longitud final después de la ruptura de 21,95 cm. Diámetro inicial, 0,5 mm. Diámetro final, 0,398 mm en la superficie de fractura. Calcular la ductilidad de esta aleación, indicando la elongación y la reducción de área. 33. Se aplica una fuerza de 70.000 N a una barra de acero de 10 mm de diámetro, que tiene un punto de fluencia de 550 MN/m². ¿Se deformará plásticamente dicha barra?. 34. Un alambre de berilio de 3 mm de diámetro y con módulo de elasticidad de 250 G N/m², tiene una longitud de 2500 cm . Calcular la longitud del alambre cuando actúa sobre él una fuerza de 20.000 N. 35. Se desea deformar plásticamente una barra de magnesio de 1/2 mm x 3 mm que tiene un esfuerzo de fluencia 7 de 18·10 N/m². La prensa de conformado puede ejercer una fuerza de 25 toneladas. ¿Es suficiente la capacidad de la prensa para efectuar la deformación? 36. Se quiere reducir una placa de titanio a un espesor de 0,500 mm. El módulo de elasticidad del titanio es de 6 16·10 N/m², y su esfuerzo de fluencia de 90.000 N/m². Para compensar la deformación elástica, ¿a qué espesor debe deformarse inicialmente la placa? 37. Una barra de 1mm x 1mm, con una longitud de 2 mm, se lleva a la fractura. La longitud final es de 2,750 mm, y las dimensiones finales en la fractura son 0,82 x 0,82mm. Calcular su elongación y su reducción de área. 38. Se fabrica un eslabón de cadena utilizando una barra de 1/2 mm de espesor que tiene un esfuerzo de fluencia de 120.000 N/m². Suponiendo que cada mitad del eslabón soporta la mitad de la carga total, calcular la carga máxima que puede soportar la cadena sin sufrir deformación permanente.
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39. Una barra de acero de herramienta que tiene una longitud de 18 m. se carga repetidamente con una fuerza de 10.000 N en un ensayo de viga rotativa. Calcular el diámetro mínimo para que no se rompa nunca por fatiga. 40. Una aleación de aluminio se somete a la aplicación repetida de una carga de 3000 N a lo largo de su eje. Calcular el diámetro mínimo para que no se rompa nunca por fatiga. Tabla de constantes de ensayo Brinell: Acero, hierros K=30 Cu, bronces, latones K=10 Al (Alecaciones ligeras) K=5 Pb, Sn K=2,5 Materiales blandos K=1,25 K= F / D². HB = 2·F / (π·D·(D-√(D²-d²)) HV = 1,8544·F/l². 41. En un ensayo Brinell se ha utilizado una bola de diámetro 2,5 mm y una constante de ensayo de 30 obteniéndose una huella de 1 mm de diámetro. Calcúlese la dureza. Solución: 228,767: 229 HB 2,5/187,5/30. 42. En un ensayo Vickers utilizando una carga de 30Kp se ha obtenido una diagonal de huella de 0,350 mm. Determinar la dureza. Solución: 454,131: 454 HV 30. 43. Para determinar la dureza de un acero se ha empleado una bola de 10 mm de diámetro y una carga de 3000 Kp. ¿Cuál será su valor si el diámetro de la huella es 5,32 mm?. Solución: 125 HB 10/3000/30. 44. Se quiere determinar la dureza de un material empleado un ensayo Brinell. Se utiliza una carga de 3000 Kgf y una bola de 10 mm de diámetro. ¿Cuál será su valor si el diámetro de la huella ocasionada es de 5 mm?. Solución: 142 HB 10/3000/30. 45. En la determinación de la dureza Vickers con carga de 10 Kp el valore de la diagonal de la huella es de 0,150. ¿Cuál será el número de número de dureza Vickers?. Solución: 824 HV 10. 46. En la determinación de la dureza Vickers de un acero templado con carga de 10 Kp los valores de las diagonales de la huella son 0,142 y 0,140 mm. ¿Cuál será el número de número de dureza Vickers?. Solución: 932,7336; 933 HV 10. 47. En la determinación de la dureza Vickers con carga de 30 kp los valores de las diagonales de la huella son 0,320 y 0,324 mm. ¿Cuál será el número de número de dureza Vickers?. Solución: 536,5440; 537 HV 30. 48. Determinar la carga que se ha aplicado en un ensayo de dureza Brinell con una bola de diámetro 5 mm si utilizando una probeta de 100 HB se ha obtenido una huella de 1,7555 mm de diámetro.¿Qué constante de ensayo se ha utilizado?. Solución: 250 kp; 10 Cu, Latón, Bronces. 2
49. En un ensayo con el péndulo de Charpy, la maza de 20 kg cayó sobre una probeta de 80 mm de sección desde una altura de 1 m y se elevó 60 cm después de la rotura. Obtén el resultado del ensayo. 6 2 Solución: ρ = 0,98 · 10 J/m . 50. En un ensayo de resiliencia en el péndulo de Charpy, la maza del péndulo que pesa 20 kg, cae desde 1 m de altura y se sube hasta 70 cm de altura. Calcula la energía de rotura y la resiliencia del material. 6 2 Solución: ρ = 1,176 · 10 J/m . 51. A una probeta de sección cuadrada de 10 mm de lado y 2 mm de entalla en el centro de una de sus caras, se le somete a un ensayo de flexión por choque, con un martillo de 20 kgf, cayendo desde una altura de 90 cm y recuperando, tras la rotura, la altura de 70 cm. Haga un esquema del ensayo propuesto y determine: a) Energía absorbida por la probeta. b) Resiliencia del material. 2 Solución: W = 39,2 J; ρ = 49 J/cm . 52. En un ensayo Charpy, la maza de 25 kg ha caído desde una altura de 1 m y, después de romper la probeta 2 de 80 mm de sección, se ha elevado hasta una altura de 40 cm. Calcule: a) Energía empleada en la rotura. b) Resiliencia del material de la probeta.
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Solución: W = 147 J; ρ = 183,75 J/cm . 53. En un ensayo Charpy, la maza de 30 kg ha caído desde una altura de 1 m y, después de romper la probeta cuadrada de 10 mm de lado y de 2 mm de profundidad, se ha elevado hasta una altura de 50 cm. Calcule: a) Energía empleada en la rotura. b) Resiliencia del material de la probeta 2 Solución: W = 147 J; ρ = 183,75 J/cm . 54. Para medir la resiliencia de un material mediante el ensayo Charpy, se ha utilizado una probeta de sección cuadrada de 10 mm x 10 mm con una entalla en forma de V y 2mm de profundidad. La resiliencia obtenida 2 es de 28,5 J/cm , utilizando un martillo de 30 kg desde una altura de 140 cm. Se pide: a) Dibujar el esquema ilustrativo del ensayo. b) Calcular la altura a la que se elevará el martillo después de golpear y romper la probeta. c) Si el martillo hubiera sido de 20 kg y se hubiera lanzado desde 2 m de altura, determine la resiliencia que se hubiera obtenido y la energía sobrante tras el impacto. 2 Solución: h= 1,32 m; ρ = 166,6 J/cm ; energía sobrante Ep2 = 258,72 J. 55. Para el estudio de la resiliencia de un material mediante el ensayo Charpy, se ha utilizado una probeta de sección cuadrada de 10 mm x 10 mm con una entalla en forma de V de profundidad 1,5 mm. Sabiendo que 2 el valor de la resiliencia obtenida es de 30 J/cm , que le peso del martillo es de 30 kg, la longitud del brazo del péndulo 1 m, el ángulo y la altura de partida del ensayo 45º y 1,5 m. Se pide: a) Calcular la altura a la que se elevará el péndulo. b) El valor del ángulo con relación a la vertical que adquiere el mazo después del golpe y la consiguiente rotura de la probeta. Solución: h= 1,413 m; β = 37,44º.
Ejercicios sobre ensayos de tracción, dureza y resiliencia de materiales Ejercicio 13 Se dispone de un cable de acero de 12 m de longitud y 80 mm2 de sección. Al someterlo a una carga axial de 100 kN, llega a medir 12.078 m. Calcule: a) La deformación unitaria ε y el esfuerzo unitario σ en GPa (1 punto). b) El módulo de elasticidad E del acero utilizado en GPa (0.5 puntos). c) La fuerza en kN que hay que aplicar a un cable idéntico, para conseguir un alargamiento de 35 mm (1 punto). Solución L − Lo a) ε = Lo
→
ε=
0.078 = 6.5 × 10 −3 12
F 100 × 103 → σ= Pa = 1.25 GPa A 80 × 10−6 σ 1.25 → E= GPa ≅ 192.3 GPa b) E = ε 6.5 × 10−3 36 × 10 −3 c) ε = = 3 × 10 −3 12 σ = (3 × 10 −3 ) × 192.3 GPa = 576.9 MPa σ=
F = (576.9 × 106 ) × (80 × 10 −6 ) N ≅ 46.15 kN
Ejercicio 14 Calcule el módulo de elasticidad (E) en MPa, la dureza Brinell, expresada según la norma y la resiliencia (ρ) en J/mm2, de un material, teniendo en cuenta que: a) Una probeta de 100 mm de longitud y 150 mm2 de sección, se alarga 0.080 mm cuando se carga con 15 kN (1 punto). b) Una bola de diámetro D=2.5 mm, al aplicarle una fuerza de 188.5 kp durante 20 s, deja una huella de 0.24 mm de profundidad. Recuerde que el área de la huella que deja una bola de acero de diámetro D al penetrar la probeta una profundidad f es A=πDf (0.5 puntos). c) La maza de 20 kg de un péndulo de Charpy, cae desde 1 m de altura sobre una probeta de 400 mm2 de sección y asciende 45 cm después de romper la probeta (g=9.81 m/s2) (1 punto).
Solución L − Lo a) ε = Lo
→
ε=
0.080 = 8 × 10 −4 100
F 15 × 103 → σ= Pa = 100 MPa A 150 × 10 −6 σ 100 × 106 E= → E= Pa = 125 GPa ε 8 × 10 −4 b) A = π D f → A ≅ 3.1416 × 2.5 × 0.24 ≅ 1.885 mm2 σ=
kp 188.5 kp = 100 2 1.885 mm mm2 Dureza Brinell: 100 HB 2.5/188.5/20 mg(H − h) 40 × 9.81 × 0.55 J J c) ρ = → ρ= ≅ 0.54 2 A 400 mm mm2 HB =
Ejercicio 15 El diagrama de tracción del material de una barra de 400 mm de longitud y 25 mm2 de sección es el que se muestra en la figura adjunta. Calcule: a) El módulo de elasticidad del material en GPa (1 punto). b) La longitud de la barra en mm, al aplicar en sus extremos una fuerza de 115 kN (1 punto). c) La fuerza en kN, que produce la rotura del material (0.5 puntos).
σ (MPa)
F • •E •P
O
R• •U P(4.5×10-4, 90) E(6.3×10-4, 130) R(48.9×10-4, 260)
ε
Solución ∆σ 90 → E= MPa = 200 GPa a) E = ∆ε 4.5 × 10 −4 F 115 × 103 → σ= Pa = 4.6 GPa b) σ = A 25 × 10 −6 σ 4.6 ε= → ε= = 0.023 E 200 L − Lo ε= → L − Lo = 0.023 × 400 mm = 9.2 mm Lo c) σR =
FR A
→
→
L = 409.2 mm
FR = (260 × 106 ) × (25 × 10 −6 ) N = 6.5 kN
Ejercicio 16 La figura adjunta muestra dos cilindros concéntricos que soportan una carga axial de 100 kN. Si el cilindro de la izquierda es de acero (E=200 GPa) y el de la derecha de hierro fundido (E=80 GPa), calcule: a) El esfuerzo unitario de cada cilindro en MPa (1 punto). b) La deformación unitaria de cada cilindro (1 punto). c) El alargamiento de cada cilindro en mm (0.5 puntos).
s=500 mm
Hierro
2
S= 2000 mm
Acero
100 kN
100 kN 50 mm 20 mm
Solución 100 × 103 σ = Pa = 200 MPa A F 500 × 10 −6 a) σ = → 3 A σ = 100 × 10 Pa = 50 MPa H 2000 × 10 −6 200 ε A = 200 × 10 −3 = 0.001 σ b) ε = → 50 E ε = = 0.625 × 10 −3 H 80 × 10 −3 δ A = 0.001 × 50 mm = 0.05 mm L − Lo δ c) ε = = → −3 Lo Lo δH = (0.625 × 10 ) × 20 mm = 0.0125 mm
Ejercicio a) Dibuje en el diagrama genérico de tracción del acero, los puntos límites de fluencia y de rotura. Indique qué ocurre en ellos (0.5 puntos). b) Calcule la sección mínima en mm2, de un cable de acero (E=200 GPa) de 50 m de longitud, capaz de soportar una carga de 10 kN, si el esfuerzo normal no puede superar los 150 MPa, ni el alargamiento los 25 mm (1 punto). c) Calcule la resiliencia de este acero en J/mm2, si la maza de 40 kg de un péndulo de Charpy que cae desde 1m de altura, asciende 35 cm después de romper una probeta de 625 mm2 de sección (g=9.81 m/s2) (1 punto).
Solución a) El límite de fluencia F, es un punto situado por encima del límite elástico (E), a partir del cual se produce un alargamiento rápido del material sin que varíe la tensión que se le está aplicando. Este comportamiento es característico de algunos materiales, entre los que se encuentra el acero. El límite de rotura R, es el punto que define la máxima tensión que puede soportar un material antes de romperse. A partir de este punto el material se considera roto, aunque no se haya producido la fractura visual. Ambos puntos se encuentran en la zona plástica. b) Condiciones impuestas son: σ<150 MPa y δ<25 mm
σ R
E
F
S
P
ε
2
δ σ = Lo E
⇒
si σ = 150 MPa → δ = 37.5 mm NO VÁLIDO si δ = 25 mm → σ = 100 MPa VÁLIDO
F 10 m2 = 0.1 × 10 −3 m2 = 100 mm2 → A= A 100 × 103 mg(H − h) 40 × 9.81 × 0.65 J J → ρ= ≅ 0.41 c) ρ = 2 A 625 mm mm2 σ=
Ejercicio a) La figura adjunta muestra el diagrama de tracción de un material. Comente las características principales de los intervalos O-P, P-E, E-R y R-U (0.5 puntos). σ b) Calcule la dureza Vickers del material, expresada según la norma, R• sabiendo que una punta piramidal de diamante deja una huella de E •U • diagonal D=0.45 mm, al aplicarle una fuerza de 50 kp durante 20 s. • Recuerde que el área de la huella de diagonal D, que deja una P punta piramidal de diamante al penetrar la probeta es A=D2/1.8543 (1 punto). c) Calcule la altura en m, desde la que se dejó caer la maza de 40 kg de un péndulo de Charpy, si la resiliencia del material vale 0.46 ε O J/mm2 y aquella ascendió 38 cm después de romper una probeta de 200 mm2 de sección (1 punto).
Solución a) Zona elástica OE se caracteriza porque al cesar las tensiones aplicadas, los materiales recuperan su longitud original. Esta zona se subdivide en: • zona proporcional OP, en la que los esfuerzos unitarios (σ) son proporcionales a las deformaciones unitarias (ε); esto es, se verifica la ley de Hooke, σ = E ε , siendo E es el módulo de elasticidad o módulo de Young. • zona no proporcional PE, en la que los desplazamientos dejan de ser proporcionales a los esfuerzos, esto es, σ ≠ E ε . Zona plástica EU se caracteriza porque al cesar las tensiones aplicadas, los materiales no recuperan su longitud original, esto es, adquieren deformaciones permanentes. Esta zona se subdivide en: • zona límite de rotura ER, en la que a incrementos positivos de σ corresponden incrementos positivos de ε • zona de rotura RU, en la que a incrementos negativos de σ corresponden incrementos positivos de ε Los puntos característicos son: • P, límite de proporcionalidad: hasta este punto es válida la ley de Hooke. • E, límite de elasticidad: a partir de este punto los materiales se comportan plásticamente. Es un punto difícil de determinar por lo que se acepta que es aquel cuya tensión corresponde a una deformación permanente del 0.2%. • R, límite de rotura; a partir de este punto el material se considera roto aunque no se haya producido la fractura visual. • U, punto en el que se produce la fractura visual del material. D2 1.8543 F HV = A
b) A =
⇒
HV =
1.8543 × F D2
Dureza Vickers: 457.85 HV 50/20 mg(H − h) ρA ⇒ H=h+ c) ρ = A mg
→
→ HV =
H = 0.38 +
kp 1.8543 × 50 kp ≅ 457.85 2 2 (0.45) mm mm2
0.46 × 200 ≅ 0.61 m 40 × 9.81
Ejercicio 17 a) En un ensayo de tracción: ¿qué son el esfuerzo y la deformación unitaria?. ¿en qué unidades se miden en el sistema internacional? ¿qué relación matemática existe entre ambas cuando se trabaja por debajo del límite elástico (en la zona de proporcionalidad)? (0.5 puntos). b) Calcule el módulo de elasticidad del material en GPa, teniendo en cuenta los valores de los puntos A y B de la gráfica de tracción (1 punto). c) Calcule el diámetro en mm, que debe tener una barra de este material, de 0.5 m de longitud, para soportar una fuerza de 7350 N sin alargarse más de 35 mm (1 punto).
σ R
(MPa)
→
σ=
F A
A=
π 2 D 4
⇒
σ = (210 × 103 ) × 0.07 MPa = 14.7 MPa 7350 m2 = 5 × 10−4 m2 = 500 mm2 6 14.7 × 10 4A 4 × 500 → D= ≅ 25.23 mm D= π π
A= ⇒
ε
O
• zona proporcional OP, en la que los esfuerzos unitarios (σ) son proporcionales a las deformaciones unitarias (ε), verificándose la ley de Hooke, σ = E ε . En esta ecuación E es el módulo de elasticidad o módulo de Young, que al igual que el esfuerzo unitario se mide en pascales (Pa); la deformación unitaria es una magnitud adimensional. • zona no proporcional PE, en la que los deformaciones dejan de ser proporcionales a los esfuerzos, esto es, σ ≠ E ε .
σ=Eε
• U
A (0.0005, 105) B (0.0015, 315)
•A
Solución a) Por debajo del límite elástico E, se distiguen dos zonas:
∆σ 210 b) E = → E= MPa = 210 GPa ∆ε 0.0010 L − Lo 35 c) ε = → ε= = 0.07 Lo 500
•
E • •P B•
σ E P•
O
•
Zona elástica
ε
1.- Sabiendo que la carga máxima aplicada en un ensayo de tracción sobre una probeta normalizada de 150 mm2 de sección es de 50 000 N, calcula la tensión de rotura. S = 150 mm2 y la F = 5·104 N ⇒ La tensión de rotura, tensión máxima que soporte la probeta será:
σ=
=
= 3’3·108 Pa
2.- Una pieza cilíndrica de 1,5 cm de diámetro está sometida a una carga de tracción de 2 500 Kp. Determina la tensión de la pieza expresada en MPa. ,
La S = π·r2= π· = 1,77 cm2 = 1,77·10-4 m2 y la F = 2 500 Kp ⇒ F = 24 500 N La tensión de la probeta será:
σ=
=
,
= 1’38·108 Pa
3.- Compara la fuerza necesaria para producir una tensión de 30 MPa en una pieza cilíndrica de 150 mm de diámetro y en otra con un diámetro de 200 mm. .
La S = π·r = π· 2
La fuerza será:
= 1,76·10-2 m2 y la σ = 30·106 Pa ⇒ F = σ·S
.
La S = π·r = π· 2
La fuerza será:
F = σ·S = 30·106 Pa · 1,76·10-2 m2 = 530 143,76 N
= 3,14·10-2 m2 y la σ = 30·106 Pa ⇒ F = σ·S
F = σ·S = 30·106 Pa · 3,14·10-2 m2 = 942 478 N
σ1 =
π
σ2 =
π
Como las tensiones son iguales podemos igualar ambas ecuaciones y nos queda:
π
=
π
⇒
π π
=
20
F
50
4.- La pieza de acero de la figura, de secciones cuadradas, tiene un límite elástico de 6 200 Kp/cm2. Se somete a una fuerza F estática y se desea un coeficiente de seguridad de 4. Calcula el valor máximo de la fuerza a aplicar y el alargamiento total. (Módulo de Young del acero 30 40 2,1·106 Kp/cm2) F
El coeficiente de seguridad nos da una tensión total de: σt =
=
/
= 1 550 Kp/cm2
Para calcular la fuerza máxima trabajamos con la sección mínima, que soportará mayor tensión.
F = σ·S = 1 550 Kp/cm2·22 = 6 200 KP El alargamiento es:
σ=
ε=
∆
∆L =
= E·
=
σ = E·ε
∆
!" , #$
+
%
, /
= 3,3·10-3 cm
El alargamiento de la probeta es de 0,033 mm 5.-Un radio en acero de E = 2,1·106 Kp/cm2 para bicicleta tiene un diámetro de 2,5 mm, una longitud de 600 mm y un paso de rosca de 0,2 mm. Tras apretar ligeramente la cabeza del radio con la llanta, damos una vuelta. ¿Qué esfuerzo está realizando el radio si fuera el único elemento deformable de la rueda? El paso de rosca nos indica que al dar una vuelta avanzamos 0.2 mm. En este caso el radio se acorta esta distancia y pasa a tener una longitud de 600 – 0,2 mm = 599,8 mm. L deformación unitaria que sufre el radio es: ε=
∆
=
&''.(
= 3,33·10-4
Si estamos en la zona proporcional tendremos que la tensión es: σ = E·ε = 2,1·106 Kp/cm2·3,33·10-4 = 7·1010 Kp/cm2 La tensión es la fuerza por unidad de superficie y por tanto: ,
La S = π·r = π· 2
cm2 = 4,9 cm2 y la σ = 7·1010 Kp/cm2
⇒ F = σ·S
F = σ·S = 7·1010 Kp/cm2· 4,9 cm2 = 34,3·1010 Kp
6.- Una barra cilíndrica de acero con un límite elástico de 310 MPa va a ser sometida a una carga de 10 000 N. Si la longitud inicial de la barra es de 500 mm, ¿cuál debe ser el diámetro, si no queremos que la barra se alargue más de 0,35 mm? (E = 20,7·104 MPa). El límite elástico σE es el valor de la tensión a partir del cual el material comienza a sufrir deformaciones permanentes. Hasta ese valor las deformaciones sufridas se recuperan cuando cesa la fuerza que las provoca. El alargamiento unitario, relación entre el alargamiento sufrido por el material y la longitud inicial es: ∆ ,% ε = = = 7·10-4 La tensión que soporta el material al aplicarle una carga de 10 000 N y producirse un alargamiento unitario de 7·10-4 es: σ = E·ε = 20,7·1010 Pa·7·10-4= 144,9·106 Pa La tensión que soporta el material está por debajo del límite elástico, por lo que las deformaciones producidas no van a ser permanentes. La tensión es la fuerza por unidad de superficie y por tanto: La S = π·r y la σ = 7·1010 Kp/cm2 2
S=
)
*
=
,' +,
⇒ F = σ·S
= 6,9·10-5 m2
⇒
r=-
,' . / 0
=4,69 mm
7.- Una pieza de latón deja de tener un comportamiento elástico para tensiones superiores a 345 MPa. El módulo de elasticidad del latón es 10,3·104 MPa. a) ¿Cuál es la fuerza máxima que puede aplicarse a una probeta de 150 mm2 de sección sin que se produzca deformación plástica? b)
¿Cuál es la longitud máxima a la que puede ser estirada sin que se produzca la
deformación plástica? Longitud de la pieza: 70 mm. Para que la deformación sea elástica la fuerza máxima que podemos aplicar es: F = σ·S = 345·106 N/m2·150·10-6 m2 = 51 750 N La longitud máxima que se puede alargar la probeta sin deformación plástica será: ∆L =
=
1 2
,% $
= 2,34·10-4 m
La longitud máxima es lF = 70 + 0.234 mm = 70,234 mm 8.- Una barra de aluminio de 200 mm de longitud y con una sección cuadrada de 10 mm de lado, se somete a una fuerza de tracción de 12 300 N, y experimenta un alargamiento de 0,34 mm. Suponiendo que el comportamiento de la barra es totalmente elástico, calcula el módulo de elasticidad del aluminio. DATOS L = 200 mm σ= 2 S = 100 mm ∆ F = 12 300 N ε = ∆l = 0,34 mm σ = E·ε EAl = ¿?
E·ε =
⇒ E·
∆
=
⇒E=
∆
=
% ,
,% 1
= 72,36·109 Pa
9.-En una pieza sometida a un ensayo de dureza Brinell se ha utilizado una bola de 10 mm de diámetro. Al aplicar una carga de 1 000 Kp se ha obtenido una huella de 2,50 mm. Calcula la dureza del material.
R
r a h
La superficie de un casquete esférico es: S = 2·π·R·h siendo h la profundidad de la huella dejada por la bola.
- 3 4 5
Como R=a+h ⇒ h=R-a entonces: a=
h=
3
3 5 - - 4
S = 2·π·
3
·h = 2·π·
3 36 ·
3
5
- 6- 4 7
La dureza de Brinell es: HB =
=
8 8 8 9 π 6 & 6- & 7
6 π 3:3 & 6√3 &5 <
HB =
=
8 π :36 & 6√3 &5 <
=
=
π 3 :36 & 6√3 &5 <
= &, 6 π : 6 & =
=
6 π 3:3 & 6√3 &5 <
200,48 Kp/mm2
200 HB 1 000 10 15
10.- En una pieza con dureza Brinell de 300 HB se ha aplicado una carga de 500 Kp. Si se ha utilizado como penetrador una bola de 10 mm, ¿cuál será el diámetro de la huella producida?
La dureza de Brinell es: HB =
=
8 8 9 8 π 6 & 6- & 7
=
300 =
8 π :36 & 6√3 &5 <
=
=
6 π 3:3 & 6√3 &5 <
π : 6 & 6√ &5 <
π 10 @@ :10 @@6 – 6=:10 @@B 4 C = 10 mm – =:10@@B 4 C =
π 3 :36 & 6√3 &5 <
%,%% // 0
% /
⇒ – =:10 @@B 4 C =
%,%% //
4=:10@@B 4 C = (-9,894 mm)2 100 mm2 – d2 = 97,89 mm2 d = √100 4 97,89 = 1,45 mm El diámetro es 1, 45 mm
= 3,33 mm2
0
- 10 mm
11.- Determina la dureza de Vickers de una pieza de acero que, sometida a una carga de 120 Kp, produce una huella de 0,5 mm de diagonal.
Entre las caras del prismas hay un ángulo de 136º, y por lo tanto la mitad del ángulo que se corresponde con cada una de las caras es 68º. Obtenemos por tanto un triángulo rectángulo cuya base es la mitad de la base del prisma. Para calcular la base:
b =a
√G G
b = a = d·cos 45º = d·
d
siendo d la diagonal del cuadrado de la base.
Q 2
A h
B
También vemos en el triángulo que:
68°
sen 68°=
HI G J
si despejamos h y sustituimos
a por su valor nos queda:
V h=
,
KL(°
=
5√ KL(°
La superficie de la huella en función del diámetro de la base de la pirámide es: M √G = S = 2·b·h = 2·b·h =2·d· G NOP(°
La dureza de Vickers responde a la expresión: HV = = 1,8544· 5 HV = 1,8544·
5
=
1,8544·
,
=
480 Kp/mm2
12.- En un ensayo de tracción, con una probeta cilíndrica de diámetro 10 mm y de longitud 100 mm, se ha obtenido como resultado el diagrama fuerza-alargamiento de la figura. ¿Sabrías construir a partir de él el diagrama tensión-deformación? ¿Cuál será el módulo de Young en la probeta? ¿Sabrías decir algo acerca del alargamiento a rotura? Para calcular el diagrama fuerza/alargamiento es necesario conocer el alargamiento producido en la probeta al aplicar diferentes fuerzas. En un ensayo de tracción diferenciamos una zona elástica, en la que la probeta recupera su longitud inicial cuando cesa la fuerza que la deformaba. Dentro de esta zona a su vez distinguimos la zona proporcional en la que existe una relación lineal entre la deformación y la tensión o la fuerza aplicada y una zona en la que esta relación deje de ser lineal. A continuación empieza la zona plástica, zona en la que las deformaciones comienzan a ser permanentes hasta que se produce la rotura. La superficie de la probeta de diámetro 10 mm = 0.01 m será:
La S = π·r = π·0,005 = 7,854·10-5 2
2
Fuerza (KN) Alargamiento (mm)
Tensión
=
,
=3,82·107N/m2
3
3,2
14
16
0,2
0,22
4,5
4
A partir de estos datos calculamos las tensiones y alargamiento unitario
(N/m2)
Alargamiento unitario ε =
∆L L
3,82·107N/m2
4,07·107
17,8·107
20,37·107
0.002
0.0022
0.045
0.04
A partir de estos datos ya podemos dibujar la gráfica tensión/alargamiento unitario.
El módulo de Young es la pendiente de la recta que OP, que delimita la zona de proporcionalidad elástica. σ = E·ε y por tanto E =
=
, /
El alargamiento a rotura es:
.
=1,91·1010 N/m2
εr =
∆L L
=
,
·100 = 4,5%
13.- ¿Cuánto vale el trabajo de deformación en el ensayo de tracción anterior? Supón que entre los puntos consecutivos la curva es una línea recta (interpolación lineal)
El trabajo, W = F·s, es el área encerrada bajo la curva, si suponemos que los puntos consecutivos de la curva son líneas rectas tenemos una serie de triángulos y rectángulos, de modo que si calculamos el área de todos ellos tendremos el trabajo de deformación del ensayo. Tramo OP.- proporcionalidad elástica. Tenemos un triángulo de base 0,2 y altura 3. Hay que ver que las unidades de ambas magnitudes estén indicadas en el mismo sistema de medida. W1 =
=
,
= 0,3 J
Tramo OE.- deformaciones elásticas no proporcionales. En este intervalo trabajamos con un triángulo de base (0,22 – 0,2) y altura (3,2 – 3) y un rectángulo de la misma base y altura 3. Por tanto: W2 =
+ b·h’=
, ,! , !
+ (0,22 – 0,2)·3= 0,062 J
Tramo PR Zona de deformación plástica. En este intervalo trabajamos con un triángulo de base (4 – 0,22) y altura (16 – 3,2) y un rectángulo de la misma base y altura 3,2. Por tanto: W3 =
+ b·h’=
,! " ,!
+ (4 – 0,22)·3,2= 36,288 J
Tramo PR Zona de deformación plástica. En este intervalo trabajamos con un triángulo de base (4,5 – 4) y altura (16 – 14) y un rectángulo de la misma base y altura 14. Por tanto: W4 =
+ b·h’=
, ! " !
+ (4,5 – 4)·14= 7,5 J
El trabajo total realizado durante el ensayo es: WT = ∑ $% = 0,3 J + 0,062 J + 36,288 J + 7,5 J = 44,15 J 14.- ¿Cuál será el alargamiento soportado por una barra cuadrada de 1 cm de lado y 10 cm de longitud, si está sometida a una fuerza de tracción de 8 KN, siendo su módulo de Young 2 MN/cm2 y su límite de proporcionalidad 100 Mpa? Si la carga fuera de 80 KN, ¿qué podrías decir del alargamiento? Para poder calcular el alargamiento unitario debemos estar dentro de la zona de proporcionalidad. Antes de calcular el alargamiento pedido, es necesario comprobar que nos encontramos en la zona elástica. El módulo de Young en N/m2 es: & ' ()! · = 2·1010 N/m2 = 2·1010 N/m2 = 20 GPa
) () La probeta es de sección cuadrada y lado 1 cm. El área o sección de la misma es de 1 cm2 = 10-4 m2. La tensión a la que está sometida la probeta es la fuerza aplicada en su superficie:
=
'
*
=
8·107N/m2
Esta tensión es menor que el límite de proporcionalidad estamos en el tramo OP en el que existe una relación lineal entre la tensión y el alargamiento de la probeta, según la ecuación:
⇒ +
σ = E·ε
,
=
- /
./ /
= 4·10-3
El alargamiento de la barra lo obtenemos a partir del alargamiento unitario:
ε=
∆0
⇒ 4·10-3 =
0
Si la fuerza aplicada fuese de 80 KN
∆0
⇒ ∆L = 4·10-3·10 cm = 0.04 cm
()
=
'
*
=
8·108N/m2
La tensión estaría en la zona no proporcional y no podríamos calcular el alargamiento unitario, sería superior al que obtendríamos al aplicar la ecuación σ = E·ε 15.- Una barra cilíndrica de acero, con un límite elástico de 5 000 Kp/cm2, es sometida a una fuerza de tracción de 8 500 Kp. Sabiendo que la longitud de la barra es de 400 mm, y su módulo de elasticidad de 2,1·106 Kp/cm2, calcula el diámetro de la barra para que su alargamiento total no supere las 50 centésimas de milímetro. El alargamiento total de la barra no debe superar las 50 centésimas de milímetro, 0,50 mm. El alargamiento unitario que sufre es: ∆0 , = = 1,25·10-3 ε= 0 La tensión que sufre es: σ = E·ε = 2,1·106 Kp/cm2·1,25·10-3 = 2,625·103 Kp/cm2 La tensión es la fuerza aplicada en la superficie, en nuestro caso se aplicó una fuerza de 8500 Kp y por lo tanto:
⇒ 1
=
23
," 45/6 A partir de área podemos calcular el radio de la superficie:
La S = π·r
2
y por tanto r = 7
, 6
π
=
= 3,238 cm2
2,03 cm
16.- ¿Cuál será la sección mínima de un elemento cilíndrico destinado a soportar una carga de 100 KN de tracción, si su límite elástico es de 500 MN/m2, el coeficiente de mayoración de cargas es 1,2 y el de minoración de resistencia del material 1,1? Si el módulo de Young del material es 2 MN/cm2, ¿cuál será su deformación unitaria? La fuerza de tracción mayorada es: F = 1,2·100 KN = 1,2·105 N El límite elástico minorado es:
,
& '/)
= 4,55·108 N/m2
,
, Para poder calcular la sección mínima que debe tener el elemento cilíndrico para soportar esta carga es:
' ⇒ 1 = = 2,64·10-4 m2 = 2,64 cm2 ,
/ El módulo de Young en N/m2 es:
=
& ' ()! · = 2·1010 N/m2 = 2·1010 N/m2 = 20 GPa ()
) La deformación unitaria producida es:
⇒ +
σ = E·ε
,
=
8 9
,
=
.// ///: ,&* ./* ; /
= 0,019
ε = 0,19% 17.- Realizamos un ensayo de tracción con una probeta de 15 mm de diámetro y longitud de referencia de medida de 150 mm. Los datos obtenidos se recogen en la tabla adjunta: Esfuerzo
Longitud de medida (mm)
0 500 1000 2000 3000 4000 4500 5000 4000 3750 (rotura)
Sabiendo que en el momento de la ruptura el diámetro es de 14,3 mm, calcula: a) El diagrama esfuerzo-deformación b) El módulo de elasticidad c) El alargamiento de rotura
150 150.01 150.02 150.03 150.04 150.05 150.06 151.28 151.87 153.28
El gráfico tensión deformación es el siguiente: 6000 5000 4000 3000
deformación
2000 1000 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
El valor del módulo de Young se calcula a partir de los valores de tensión y deformación obtenidos en la zona elástica proporcional. Es el valor de la pendiente de la curva en la zona elástica proporcional: σ = E·ε El alargamiento de rotura es:
⇒ <
+=
∆0 0
+=
=
=
,
23/() ,"
= 0,0219
= 2,19%
18.- Un elemento que tiene una dureza entre 5 y 6 en la escala de Mohs, ¿rayará el yeso? La dureza del yeso en la escala de Mohs es 2. Este elemento rayará al yeso porque es más duro.
19.- Se quiere determinar el límite elástico de un material. ¿Qué ensayo habría que emplear? a) Ensayo de Rocwell b) Ensayo de resiliencia c) Ensayo de flexión d) Ensayo de tracción Señala razonadamente la respuesta correcta 20.- Para determinar la dureza de Brinell de un material sse ha utilizado una bola de 5 mm de diámetro y se ha elegido una constante K = 30, obteniéndose una huella de 2,3 mm de diámetro. Calcula: a) Dureza Brinell del material b) Profundidad de la huella.
R
La superficie de un casquete esférico es: S = 2·π·R·h siendo h la profundidad de la huella dejada por la bola.
r a h
7>?@ A >B@
Como R=a+h ⇒ h=R-a entonces: a=
h=
S = 2·π·
?
·h = 2·π·
? ?C ·>
?
?
? B - 7> @ A > @
B
- C7> @ A > @ D
Para poder comparar la dureza de Brinell al utilizar bolas de distinto diámetro aplicamos la siguiente relación: F = K·D2 La dureza de Brinell es: HB = = = E . E E E F π ?C C√? B H π > C C7> @ > @ D
=
. π ? ?C
C√? B H
=
π ? ? C C√? B H
La fuerza aplicada la obtenemos a partir de la relación entre fuerza y diámetro: F = K·D2 = 30·52 = 750 Kp
HB =
=
π ? ?C
2I 2 C√? B H=J > K , @)) = 170,4 KP/mm
21.- Se ha fabricado un engranaje de acero que posteriormente ha sido verificado en el laboratorio. En uno de los ensayos efectuados se midió la dureza en la superficie y en el núcleo de la pieza, siendo sus resultados de 50 HB y de 200 HB, respectivamente. a) Indica en qué unidades vienen expresados dichos valores y en que consiste (brevemente) el método del ensayo utilizado b) Explica, en función de su aplicación posterior, qué se persigue con la obtención de diferentes fuerzas en las piezas fabricadas. La dureza de Brinell se expresa en Kp/mm2. El método consiste en Consiste en medir la superficie S dejada por una bola de acero sobre la superficie del material que se quiere ensayar cuando sobre esta actúa una carga P. El número de dureza viene dado por:
La superficie S corresponde al casquete esférico dejado por bola en el material. HB =
En los engranajes de acero la dureza exterior debe ser alta para reducir al máximo el desgaste de la rueda dentada o piñón. En el interior para evitar la rotura del engranaje y conseguir una mejor amortiguación de los choques producidos al engranara la rueda, la dureza debe ser menor. Al aumentar la dureza del acero disminuye su tenacidad, de modo que se vuelve más frágil y resiste peor los golpes y choques.
22.- En un ensayo de dureza de Brinell se aplica una carga de 3000 Kp al penetrador, cuyo diámetro es 10 mm. Si el diámetro de la huella es de 5 m, ¿cuál es la dureza del material? ¿Se obtendría el mismo valor de dureza si el diámetro del penetrador fuese de 5 mm y la carga de 750 Kp? ¿Cuál sería el diámetro de la huella en ese caso?. La dureza de Brinell es: HB =
S = 2·π·
HB =
=
π ? ?C
?
·h = 2·π·
? ?C ·>
?
B
- C7> @ A > @ D
23 2 C√? B H=J L √ H)) = 142,55 Kp/mm
Para poder comparar la dureza de Brinell al utilizar bolas de distinto diámetro aplicamos la siguiente relación: F = K·D2 Calculamos el valor de K para este material y tenemos: 23 K= = = 30 Kp/mm2 ?
)) Al cambiar la carga y el diámetro el valor de K es: 23 = 30 Kp/mm2 K= =
)) ?
Se obtendrá el mismo valor de la dureza. El diámetro de la huella es:
HB =
π ? ?C
C√? B H
23 π )) ))C – CK ))! B @
142,55 Kp/mm2 = Despejamos y nos queda:
23
π 5 OO 5 OOC – CK 5 OO! A P @ = 5 mm – K 5 OO! A P =
, " J ))
⇒
,
23/))
– K 5 OO! A P =
= 10,5226 mm2
, " J ))
- 5 mm
>AK 5 OO! A P @ = (-4.33 mm)2 25 mm2 – d2 = 18,7489 mm2 d = K25 A 18,7489 = 2.5 mm El diámetro es 2,5 mm 23.- En un ensayo de Brinell de una chapa de acero aleado de 8 mm, se obtuvo una huella de 4 mm de diámetro. Utilizando la tabla adjunta halla: Carga P en Kp (15s/15s) Espesor (mm)
Diámetro D (mm)
Aceros al C (30 D2)
Aceros aleados(10 D2)
Bronce (5 D2)
>6
10
3 000
1 000
500
3–6
5
750
250
125
<3
2,5
187,5
62,5
31,2
0,36
0,34
0,23
Coeficiente σR
a) Dureza del acero, constante del ensayo y diámetro de la bola. b) Resistencia aproximada a la rotura por tracción, en N/m2 Para resolver el ejercicio tenemos que utilizar los datos proporcionados en la tabla. La chapa que vamos a ensayar es de acero aleado y 8 mm de espesor, por lo que el diámetro de la bola empleada en el ensayo es de 10 mm, la constante 10 Kp/mm2 y la carga empleada de 1 000 Kp. Ahora ya tenemos los datos necesarios para poder calcular la dureza de Brinell: HB =
π ? ?C
C√? B H
=
23 = 76.2557 Kp/mm2 π )) ))C C√ ))H
En la tabla vemos que el coeficiente de rotura en aceros aleados es de 0,34, la rotura por tracción esperada es:
σR = 0,34·76.2557 Kp/mm2 = 25,9269 Kp/mm2 En N/m2 es: 25,9269 Kp/mm2·
))!
)
W, '
23
= 254,1·106 N/m2
24.- En un ensayo de dureza de Rockwell B, la profundidad h1 cuando se aplica la precarga es 0,01 mm yla profundidad h3 cuando se mantiene la precarga después de haber aplicado la totalidad de la carga es 0,144 mm. Cuál será la dureza del material? Inicialmente se realiza una precarga de 10 Kp originando el penetrador una huella de profundidad h. A continuación se aplica al penetrador el resto de la carga (90 Kp en el caso de la escala HRB y 140 Kp en la escala HRC), produciéndose una huella de profundidad h2. Transcurridos unos segundos, se reduce la carga hasta alcanzar el valor de la precarga. El valor de la huella h3, será mayor que h1, ya que en el paso intermedio se produce en el material deformaciones plásticas que no se recuperan. La máquina del ensayo de Rockwell mide la diferencia e = h3 – h1. Para expresar la dureza de Rockwell se realiza la siguiente operación: HRC = 100 – e
HRB = 130 – e
Las máquinas de ensayo de dureza ofrecen la medida de e en múltiplos de 0,002 mm. El máximo valor de e es el correspondiente a una profundidad de penetración de 0,2 mm. e = h3 – h1 = 0,144 – 0,01 = 0,134 mm 0,134 mm·
XY%BZB [ , ))
= 67
HRB = 130 – 67 = 63 25.- En un ensayo de dureza de Rockwell B, ¿crees que la profundidad de la huella después de retirar el penetrador será igual que la profundidad h3? Razona la respuesta. Al finalizar el ensayo la profundidad de la huella es h3, parte de esta deformación corresponde a la deformación elástica recuperable. 26.- En La figura se observa el croquis de dos probetas para ensayos de propiedades de materiales. Identifica y explica tales ensayos, así como las propiedades que permiten determinar.
La probeta superior pertenece al ensayo de Charpy, y la inferior al ensayo de tracción
27.- En un ensayo con el péndulo Charpy, la maza de 20 Kg cayó sobre una probeta de 80 mm2 de sección desde una altura de 1 m y se elevó 0,60 cm después de la rotura. Obtén el resultado del ensayo. La energía consumida en el choque será:
W= ∆<3 = m·g·∆h = 20 Kg·9,8 m/s2·(1 – 0,6) m = 78,4 J \ , ] KCV = = = 0,98·106 J/m2 & )
28.- Razona si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas: a) La mayor deformación elástica en un ensayo de tracción se produce cuando la tensión alcanza el límite elástico del material. b) En los materiales tenaces la altura de la bola, una vez rota la probeta en el ensayo Charpy, es mayor que en los materiales frágiles. c) Las velocidades altas de aplicación de las cargas disminuyen la resiliencia de los materiales. d) Todas las propiedades de un material se mantienen constantes con la temperatura. e) Se evitará en todo momento la rotura de un material, si en él la tensión, aunque sea cíclica, no sobrepasa su resistencia a la tracción. a) Verdadero. b) Falso. c) Verdadera, al aumentar la velocidad de aplicación de las cargas disminuye la resiliencia. d) Falso e) Falso. Si la temperatura es muy baja, un material puede romper por fatiga o fractura frágil.
