P1: Problema 2 de la convocatoria de Febrero de 2004
La matriz de dispersión referida a Z 0=50Ω de un dispositivo es la que se presenta a continuación:
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ S ( Z0 ) = − j ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
0 1 2 1 2
1 2 0 0
1 ⎞
⎟
2⎟
⎟
0 ⎟
⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠
a) Justifique razonadamente de qué dispositivo se trata y describa muy brevemente su funcionamiento. b) En el caso de conectar en la puerta 1 impedancia interna Z G=50Ω y potencia disponible PDG W. y cargar las puertas puertas 2 y 3 con con Z L2=290Ω y ZL3=50Ω, respectivamente, respectivamente, calcule: b.1) Las potencias que se entregan a las cargas Z L2 y ZL3. b.2) La potencia que se disipa en el propio dispositivo. b.3) Considerando que la carga Z L2 está formada por un tramo de línea de transmisión de 10 cm de longitud, impedancia característica Z C=100Ω y -3 constante de atenuación α=5·10 (Np/cm), acabada con una resistencia de carga RL= 30Ω, obtenga la potencia disipada en R L. NOTA: El cálculo de la potencia disipada en R L debe hacerse a partir de la potencia entregada a ZL2. Solución: a) Se trata de un dispositivo de tres puertas y recíproco con las siguientes características: Si ZLi=Z0, i=1,2,3: La potencia entrante por puerta 1 se divide a partes iguales entre las puertas 2 y 3 y nada se refleja en la entrada. De la potencia que entra por 2 o 3, la mitad sale por puerta 1 y la otra mitad se disipa en el dispositivo. Los puertos 2 y 3 están desacoplados. Entrando por puerta 1: Si ZL2 es distinta de Z0, parte de la potencia reflejada en ZL2 sale por la puerta 1 y el resto se disipa en el dispositivo, pero no sale nada por la puerta 3. Si ZL3 es distinta de Z0, parte de la potencia reflejada en ZL3 sale por la puerta 1 y el resto se disipa en el dispositivo, pero no sale nada por la puerta 2. Se trata, por tanto, de un divisor Wilkinson de 3 dB.
b)
A partir de la matriz S del dispositivo se obtienen las siguientes ecuaciones:
b1 = −
1 2
1
ja2 −
1
b2 = −
ja1
2 1
b3 = −
ja3
2
Como ZG = Z0 ⇒| a1 |2 = PDG ja1
2
b.1) P Z L 3 =| b3 | 2 − | a3 | 2 ⎫
⎬⇒ P Z L 3 = Z0 ⇒ a3 = 0 ⎭
L 3
=| b3 Z| 2 =
⎫ ⎪ Z L 2 − Z 0 ⎬⇒ P = = 0.7059⎪ Z L 2 + Z 0 ⎭
P Z L 2 =| b2 | 2 − | a2 | 2
Γ L 2
L 2
1 2
| a1 | 2 =
(
1 2
=| bZ2 | 2 1 − Γ
P
DG
2 2
) = 12 | a | (1 − 0.7059 ) ≈ 14 P 2
L
2
1
b.2) En primer lugar calculamos la potencia que entrega el generador al dispositivo:
⎫ ⎪ | a1 |2 = P DG ⎪ ⎪ 1 1 b1 a = 0 = − j a2 = − j Γ L 2b2 ⎬ ⇒ P 2 2 ⎪ ⎪ 1 b2 = − j a1 ⎪ ⎪⎭ 2 P ENT =| a1 | 2 − | b1 | 2
3
P
=P DISIPADA
−P ENT
Z−P
L 2
≈
ENT
7 8
P
DG
1
P Z ≈
L3
8
DG
l
c) R
ZC
Γ L =
R − Z C R + Z C
= 0.5385
(
P L 2 = P0+Z 1− | Γ |2 e −4
l L
α
) ⇒ P0+ =
P Z L 2
(1− | Γ
L
P = RP0+e −2
l
α
(1− | Γ | ) = 0.2113P
2
| e
−4α l
)
= 0.3289P
2
L
DG
Como 2α l=0.1, podría utilizarse la siguiente aproximación:
DG
DG
P R ≈ PZ L 2 e −2
⎫ ⎪ 2 1 + Γ L ⎬ ⇒ P ≈ R0.2091P α ' = α 2 ⎪ 1 − Γ L ⎭ α
'l
DG
P2: Problema 1 de la convocatoria de Febrero de 2006
La matriz de parámetros S referida a Z0=50Ω de un dispositivo de tres puertas es la que se indica a continuación:
⎛ ⎜0 1 ⎜ j⎜ j S ( Z 0 ) = − 1 ⎜ 2⎜ 2 j ⎜ − 1 ⎜ 2 ⎝
⎞ 1 ⎟ ⎟ j⎟ − ⎟ 2⎟ j ⎟ ⎟ 2 ⎠
Si en la puerta 3 se conecta una carga Z L3=50(Ω), en la puerta 2 una carga Z L2=130( Ω) y en la puerta 1 un generador de impedancia interna Z G=50(Ω) y potencia disponible PDG (W), calcule: a) La potencia disipada en Z L2=130(Ω). b) La potencia neta entregada en la puerta 1 del dispositivo.
Nota: Todos los cálculos debe realizarlos utilizando el significado físico de las ondas de potencia y la matriz de parámetros S del dispositivo. Solución: a) P Z L 2 = b2
2
(1 − Γ ) 2
L2
Z L 2 = 130 ( Ω ) ⇒ Γ L 2 =
Z L 2 − Z 0 Z L 2 + Z 0
=
130 − 50
=
130 + 50
80 180
=
4 9
b2 = s21a1 + s22a 2 + s 23a3 ⎫ Z L 3 = Z0 ⇒ a3 = 0 a2 = Γ L 2b2
s21a1 −9 j ⎪ a1 = ⎬ ⇒ b2 = s21 a1 + s22Γ L 2 b2 ⇒ b2 = s − Γ 1 7 2 22 L 2 ⎪ ⎭
2
Como ZG=Z0, |a1| =PDG: P L 2 Z= b2
2
s21
(1 − Γ ) = P
b) P ENTREGADA = a1
2
1 − s22 Γ L 2
2 L
2
DG
2
65 P (1 − Γ ) = 98 2
2 L
(1 − Γ ) = P (1 − Γ ) 2
IN
2
DG
IN
⎛ b = PDG ⎜1 − 1 ⎜ a1 ⎝
= 0, 663 P
DG
2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
DG
b1 = s11a1 + s12a2 + s13a 3 = s11a1 + s12Γ L 2b 2 = s11a1 + s 12Γ L 2
Γ
=INs11 + s12 Γ
P ENTREGADA = P
s21 2
1 − s22Γ L 2 L
=
−2 7
P (1 − Γ ) = 45 49 2
DG
IN
⇒Γ
2
= s11 + s12Γ
IN
= 0, 9184 P
DG
s21a1
1 − s22Γ L 2 s21
2
1 − s22 Γ L 2 L
2
=
4 49
=0,0816
DG
Al estar cargada la puerta 3 con una carga igual a la de referencia, el problema puede resolverse considerando el cuadripolo formado por las puertas 1 y 2 manteniendo la puerta 3 cargada siempre con Z0. La matriz de dicho cuadripolo se obtiene eliminando de la matriz del dispositivo de tres puertas la tercera fila y la tercera columna.
Se propone completar el ejercicio con los siguientes apartados: c)
Calcule la potencia disipada en el dispositivo. d) Repita los apartados a), b) y c) con ZG=75 .
P3: Problema 2 de la convocatoria de Febrero de 2006
Considere el circuito de la figura formado por la conexión en cascada de dos cuadripolos, A y B:
Cuadripolo A
Cuadripolo B
S (75Ω) A
S (30Ω) B
Las matrices S de los cuadripolos, Z (75Ω) y Z (30Ω) son las que se indican a continuación: 1 ⎛0 1⎞ S A ( 75Ω ) = S B ( 30Ω ) = ⎜ ⎟ 2 ⎝1 0⎠ A
B
Utilizando el significado físico de los parámetros S y las ondas de potencia, calcule, sin utilizar ninguna otra familia de parámetros, el parámetro s 11(50Ω) del cuadripolo formado por la conexión en cascada de los cuadripolos A y B.
Solución: Para calcular el parámetro s11(50Ω) debemos conectar una carga Z L=50Ω en la puerta de salida del cuadripolo total y un generador en la puerta de entrada tal y como indica la figura:
ΓL,B
ΓIN,B 50Ω VG
Cuadripolo A
∼
Cuadripolo B
S (75Ω) A
ΓIN,A
S (30Ω) B
ΓL,A
50Ω
s12 s21Γ L B
Γ IN, B = s + B 11
B
1− s Γ B 22
Z IN, B = Z L, A = 30
Γ L, A =
Z L , A − 75 Z L , A + 75
Γ IN, A = s +
Z IN, A = 75
=
Γ LB 2
1 + Γ IN, B 1 − Γ IN, B
=
A
90 − 75 90 + 75 A
A Γ LA 1 − s22
1 + Γ IN, A 1 − Γ IN, A
s11 ( 50Ω ) =
B L
s12 s21Γ L A
A 11
B
=
= 75
Z IN, A − 50 Z L , A + 50
=
1 Z L − 30 2 Z L + 30
= 30
=
Γ LA 2
=
1 + 0, 5
165
1 50 − 30 2 50 + 30
= 30
1 − 0,5
15
=
1,5 0,5
=
1 20 2 80
=
1 2
= 0,5
= 90 ( Ω )
= 0,0909
= 0,04545
1 + 0, 04545 1 − 0, 04545 82,14 − 50 82,14 + 50
= 75
=
1, 04545 0,95455
21,14 132,14
= 82,14 ( Ω )
= 0,16
P4: Problema 4 de la convocatoria de septiembre de 2004. Se ha caracterizado un tramo de línea de transmisión de impedancia característica Zc = 2Z0 rellena de un dieléctrico de er=2,24 y con una longitud l /4, siendo l la longitud de onda en la línea a la frecuencia de trabajo, f 0=2 GHz. Sabiendo que a la frecuencia de trabajo f 0 los módulos de los parámetros S 11 y S21 referidos a Z0 tienen los valores siguientes: |S11| = 0,5649 |S21| = 0,7509 a) Calcule la ganacia de potencia, G P(dB), cuando en la puerta de entrada se conecta un generador de frecuencia f 0, impedancia interna Z0 y potencia disponible P dg, y se carga la puerta de salida con Z L = Z0. b) A partir de la definición de ganancia en potencia y utilizando los resultados del apartado anterior, obtenga la constante de atenuación de la línea. Aplique únicamente la aproximación de bajas pérdidas. c) Calcule utilizando la carta de Smith el valor de la impedancia de entrada de la línea cargada con Z 0. Con el valor de impedancia de entrada obtenido calcule el parámetro S11(Z0) a la frecuencia de trabajo. Comente los resultados.
Solución: en el documento exfeb04.pdf que se encuentra en examenes.zip
P5: Problema Considere el cuadripolo que se presenta a continuación y su matriz de parámetros S referida a Z0=50Ω a la frecuencia f 0:
ZG
⎛ s11
S ( Z 0 ) = ⎜
VG, PDG ∼
0 ⎞
ZL
⎟ ⎝ s21 s22 ⎠
Sabiendo que 0<|s11|<1, 0<|s22|<1 y s21≠0: a) Calcule de forma razonada, sin hacer uso de las ecuaciones proporcionadas en el formulario, las impedancias de generador y carga, ZG y ZL respectivamente, que maximizan la potencia entregada a la carga. b) De nuevo, sin hacer uso de las ecuaciones proporcionadas en el formulario, y en las condiciones de carga determinadas en el apartado a), determine la potencia disipada en la carga ZL.
P6: Amplificador balanceado Calcule la potencia entregada a la carga en el circuito que se presenta a continuación: 1 1
50ohm 50 Ω
2
1
GA
Híbrido
Híbrido
90º
90º
4
3
4
GB
50 Ω
2
3 2 O-CAF -1- 54
Sabiendo que las matrices S(Z 0) de los híbridos y los amplificadores son:
S
− j ⎛ 0 1 ⎜ 2 2 ⎜ ⎜ 1 0 0 2 ⎜ ( Z0 ) = ⎜ HIBRIDO − j 0 0 ⎜ 2 ⎜ − j ⎜ 0 1 ⎜ 2 2 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ − j ⎟ 2⎟ ⎟ 1 ⎟ 2⎟ 0 ⎟⎟ ⎠ 0
s
A ⎛ s11
s12 ⎞ AMPLIFICADOR A A ⎟ ⎝ s21 s22 ⎠
( Z0 ) = ⎜
A
Problema 2 de la convocatoria de Febrero de 2005 Se ha construido el siguiente circuito de dos puertas con dos circuladores ideales y un amplificador conectados como indica la figura:
2
1
A
S (Z0)
Z0
Z0
La matriz de distribución del amplificador viene dada por: S
A
F S11 A b Z 0 g = G A H S21
S12A I S
A 22
J K
A A A A s11 ≠ 0, s12 ≠ 0, s21 ≠ 0, s22 ≠ 0,
Calcule la matriz de distribución referida a Z0 del cuadripolo compuesto de los tres elementos. NOTA: Los accesos del circulador tienen impedancia característica Z 0 y todos sus
parámetros S son reales y mayores o iguales que cero.
Solución: Teniendo en cuenta la definición del circulador ideal y la nota del enunciado, se concluye que la matriz S de los circuladores es:
⎛0 0 1⎞ ⎜ ⎟ S C ( Z 0 ) = 1 0 0 ⎜ ⎟ ⎜0 1 0⎟ ⎝ ⎠ Cálculo de s11T y s21T: Se conecta un generador en puerta 1 con Z G= Z0 y una carga ZL=Z0 en la puerta 2 A
a1
s21 a1 2
1
A s21
a1 1
2
A
2 A
3 Z0
a1
s11 a1
S (Z0)
1 3
Z0
s11A·a1 es absorbida por la carga Z 0 que está conectada en la puerta 3 del primer circulador, por lo que b 1T = 0 y s11T = 0. A
A
b2T = s21 a1, por lo que s 21T= s21
Cálculo de s22T y s12T: Se conecta un generador en puerta 2 con Z G= Z0 y una carga ZL=Z0 en la puerta 1
a2 2
1
1
2
A
S (Z0)
2
1
a2
3
3 Z0
Z0
a2 pasa a la puerta 3 del segundo circulador sonde es absorbida por la carga Z 0, por lo que b2T = 0 y b1T = 0, concluyendo que s 12T=s22T=0
----------------------------------------------------------------------------También puede resolverse considerando la asociación de 3 cuadripolos:
1 1
2
2
A
S (Z0)
2
1 3
3 Z0
Z0
Los cuadripolos formados al conectar una carga Zo en la puerta 3 de los circuladores son aisladores, cuya matriz se calcula a partir de la de los circuladores teniendo en cuenta que la onda de potencia incidente en la puerta 3 de los circuladores, a 3C, es nula. S
Aislador
⎛ 0 0 ⎞ ⎟⎟ 1 0 ⎝ ⎠
( Z 0 ) = ⎜⎜
En asociaciones en cascada pueden emplearse las natrices T o X. En este caso las T no, porque el s12 de los aisladores es 0. Utilicemos las X: Aislador A Aislador X T = X X X
x11 = s12 − x 21 = −
X T = X
Aislador
A
s 21 =
x12 =
s 21
s 22
x 22 =
s 21
Aislador
X X
s11 =
s11 s 22
x12 x 22
(4)
s11 s 21
1 s 21
A A ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ x12 ⎛ 0 0 ⎞ ⎛ x11 ⎟·⎜ ⎟⎟·⎜⎜ A ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟ = ⎜⎜ A ⎟ A ⎟ ⎜ x 0 0 1 0 1 x x ⎝ ⎠ ⎝ 21 ⎠ ⎝ 22 ⎠ 22 ⎠ ⎝
s12 = x11 −
1
x12 x 21 x 22
s 22 = −
x 22
⎛ 0 S T = ⎜⎜ A ⎝ s 21
0 ⎞
⎟
0 ⎠⎟
x 21 x 22
