EJEMPLO1: DISEÑO DE TERAPIA DE RADIACIÓN Acaban de diagnosticar que Mary padece cáncer en una etapa bastante avanzada. Específicamente, tiene un tumor grande en el área de la vejiga una “lesión completa en la vejiga”. Mary recibirá los cuidados médicos más avanzados disponibles, para proporcionarle la mejor posibilidad de supervivencia. Estos cuidados incluyen una terapia de radiación extensa.
Fig. 1 Corte transversal del tumor
Debido a la necesidad de balancear con cuidado todos estos factores, el diseño de la terapia de radiación es un proceso muy delicado. La meta principal de este diseño es elegir la combinación de rayos que se utilizará y la intensidad de cada uno para generar la mejor distribución posible de la dosis —la fuerza de la dosis en cualquier punto del cuerpo se mide en unidades llamadas kilorads. Después de un análisis exhaustivo, el equipo médico estimó con detalle los datos necesarios para el diseño del tratamiento de Mary, cuyo resumen se presenta en la tabla 1.
Tabla 1. Datos para el diseño del tratamiento de radiación
La primera columna presenta una lista de las áreas del cuerpo que deben considerarse y las dos siguientes proporcionan la fracción de la dosis de radiación de cada rayo en el punto de entrada que se absorbe en promedio en las áreas respectivas. Por ejemplo, si el nivel de la dosis en el punto de entrada del rayo 1 es 1 kilorad, entonces se absorberán 0.4 kilorad en toda la anatomía sana en el plano de dos dimensiones, un promedio de 0.3 kilorad en los tejidos críticos cercanos, un promedio de 0.5 kilorad en las distintas partes del tumor y 0.6 kilorad en el centro del tumor. La última columna presenta las restricciones sobre la dosis total de ambos rayos que se absorbe en promedio en las diferentes partes del cuerpo. En particular, la absorción promedio de la dosis por la anatomía sana debe ser tan pequeña como sea posible, los tejidos críticos no deben exceder 2.7 kilorads, el promedio sobre todo el tumor debe ser igual a 6 kilorads y en el centro del tumor debe ser por lo menos de 6 kilorads.
FORMULACION COMO UN PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL Las dos variables de decisión y representan la dosis (en kilorads) en el punto de entrada de los rayos 1 y 2, respectivamente. Como debe minimizarse la dosis total que llega a la anatomía sana, se definirá como Z a esta cantidad. En este punto se pueden usar los datos de la tabla 1 para formular el siguiente modelo de programación lineal. Minimizar Sujeta
Y .
Este problema se puede resolver por el método gráfico. La figura 2 muestra la solución gráfica. La región factible consiste nada más en el segmento entre los puntos (6, 6) y (7.5, 4.5), ya que los puntos en este segmento son los únicos que satisfacen todas las restricciones al mismo tiempo. (Obsérvese que la restricción de igualdad limita la región factible a la recta que contiene este segmento y las otras restricciones funcionales determinan los puntos extremos del segmento.) La línea punteada representa la función objetivo que pasa por la solución óptima ) = (7.5, 4.5) con Z = 5.25. Esta solución es óptima y no (6, 6) porque disminuir Z (para valores positivos de Z) empuja la función objetivo hacia el origen (donde Z = 0). Y Z = 5.25 para (7.5, 4.5) es menor que Z = 5.4 para (6, 6). En consecuencia, el diseño óptimo implica utilizar una dosis total en el punto de entrada de 7.5 kilorads para el rayo 1 y 4.5 kilorads para el rayo 2.
Fig. 2 Solución gráfica del diseño de la terapia de radiación
!DISEÑO DE TERAPIA DE RADIACION; !FUNCION OBJETIVO; [MINIMIZAR_ANATOMIA_SANA] min=0.4*x1+0.5*x2; !RESTRICCIONES; !RESTRICCION DEL TEJIDO CRITICO; [TEJIDO_CRITICO] 0.3*x1+0.1*x2<=2.7; !RESTRICCION DE LA REGION DEL TUMOR; [REGION_TUMOR] 0.5*x1+0.5*x2=6; !RESTRICCION DE LA CENTRO DEL TUMOR; [CENTRO_TUMOR]
0.6*x1+0.4*x2>=6;
REPORTE DE SOLUCION Global optimal solution found. Objective value: Infeasibilities: Total solver iterations: Elapsed runtime seconds:
5.250000 0.000000 0 0.12
Model Class:
LP
Total variables: Nonlinear variables: Integer variables:
2 0 0
Total constraints: Nonlinear constraints:
4 0
Total nonzeros: Nonlinear nonzeros:
8 0
Variable X1 X2 Row MINIMIZAR_ANATOMIA_SANA TEJIDO_CRITICO REGION_TUMOR CENTRO_TUMOR
Value 7.500000 4.500000 Slack or Surplus 5.250000 0.000000 0.000000 0.3000000
Reduced Cost 0.000000 0.000000 Dual Price -1.000000 0.5000000 -1.100000 0.000000
EJEMPLO 2: Una fábrica de vasos utiliza en el proceso de producción una maquina con 60 horas de disponibilidad por semana. Los vasos producidos durante una semana se van almacenando hasta el final de la misma, momento en que son enviados a las casas de distribución. La empresa ofrece dos tipos de vasos: para zumo (Z) y vasos vino (V). La maquina necesita 6 horas para producir 100 cajas de Z, y 5 horas para producir 100 cajas de V. cada caja de Z requiere de 100 cc. Los almacenes tienen una capacidad máxima de 150,000 cc. El beneficio por cada caja Z producida es de 5$ y 4.5$ el de cada caja de V. el departamento de marketing estima que es posible vender tantos V como sean producidos, pero solo un máximo de 800 cajas de Z por semana. Determinar la producción semanal que maximiza los beneficios de la empresa Llamando X=n° cajas de Z producidas e Y=n° cajas de V producidas Maximizar: Sujeto a:
[PRODUCCION] max=5*x+4.5*y; 0.06*x+0.05*y<=60; 100*x+200*y<=150000; x<=800;
Objective value:
5142.857
Variable X Y Row PRODUCCION 2 3 4
Value 642.8571 428.5714 Slack or Surplus 5142.857 0.000000 0.000000 157.1429
Reduced Cost 0.000000 0.000000 Dual Price 1.000000 78.57143 0.2857143E-02 0.000000
EJEMPLO 3: Una empresa elabora tres tipos de piensos usando cuatro tipos de cereales. Cada saco de pienso contiene 50 kg y se vende al precio (en euros) indicado en la tabla siguiente, que contiene también la composición de cada saco y las existencias de cereales en la fábrica: Pienso
Avena 1 2 3
Existencias
Maíz 25 0 20 50000
Cebada 25 20 0 80000
0 20 30 40000
Mijo
Precio 0 10 0 10000
9 12 6.2
Determina el número de sacos que debería producir la empresa de cada tipo de pienso para maximizar el ingreso (supuesto que vende toda su producción). El modelo matemático correspondiente a este problema es: Maximizar Sujeto a
[PRODUCCION] max=9*x+12*y+6.2*z; 25*x+20*z<=50000; 25*x+20*y<=80000; 20*y+30*z<=40000; 10*y<=1000; Objective value:
19200.00
Variable X Y Z Row PRODUCCION 2 3 4 5
Value 2000.000 100.0000 0.000000 Slack or Surplus 19200.00 0.000000 28000.00 38000.00 0.000000
Reduced Cost 0.000000 0.000000 1.000000 Dual Price 1.000000 0.3600000 0.000000 0.000000 1.200000
