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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE ENFRIAMIENTO Se sabe de observaciones experimentales que, con una exactitud satisfactoria, en muchas circunstancias, la temperatura superficial de un objeto cambia a una velocidad proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la de sus alrededores. Esto se conoce como la Ley de Enfriamiento de Newton.
LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON Si T(t) es la temperatura de un objeto en un instante de tiempo t, T a es la temperatura del ambiente constante y β la constante de proporcionalidad entonces la ecuación diferencial asociada a los problemas de enfriamiento (calentamiento) es:
dT ( t) = β [T(t) – Ta] dt Se necesita conocer la lectura de la temperatura del objeto en dos instantes diferentes, ya que hay dos constantes por determinar: la constante de proporcionalidad β y la constante de integración. Se tendrá entonces un problema de valor de frontera dT(t) dt = β [T(t) - Ta] T(0) = T0
T( t ) = T 1 1
La solución del problema de valor de frontera permite obtener la Ley de Variación de la temperatura en función del tiempo ( esto es, una ecuación para T(t))
1
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EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN, A PROBLEMAS DE ENFRIAMIENTO 1. La temperatura de una taza de café acabada de servir es de 200º F. Un minuto después se ha enfriado a 190º F en un cuarto que está a 70º F ¿Qué tan grande debe ser el período que debe transcurrir antes de que el café alcance una temperatura de 150º F? SOLUCIÓN: Lo primero que debe hacerse es establecer los datos que se conocen y los que se deben determinar. La temperatura del café acabado de servir, representa la temperatura inicial del café, es decir, para el tiempo to = 0 min, la temperatura es T0 = 200 º F. De acuerdo con el enunciado del problema, para el tiempo t 1 = 1 minuto, la temperatura es T1 = 190º F. También se dice en el enunciado, que la temperatura del cuarto, en el cual se está enfriando el café, es de 70º F. Esto representa la temperatura del ambiente: Ta = 70º F. Puesto que la ecuación diferencial asociada a los problemas de enfriamiento, de acuerdo con la Ley de enfriamiento de Newton, es dT = β ( T − 70 ) (1) dt lo que queda planteado es resolver el problema de valor de frontera dT dt = β (T − 70) T(0) = 200
T(1) = 190
Ya que, la diferencial de la temperatura es dT =
dT dT dt, al sustituir , dado por la dt dt
ecuación (1) dT = β ( T – 70) dt
(2)
La ecuación (2) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las 1 variables, se multiplica la ecuación (1) por el factor T − 70 1 dT = β dt T − 70 integrando 2
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∫
∫
1 dT = T − 70
β dt
(3)
Ambas integrales son inmediatas
∫
1 dT = ln l T – 70 l + C1 T − 70
∫
β dt = β t + C2
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (3) ln l T – 70 l = β t + C
(4)
Los valores de la constante de proporcionalidad β y de la constante de integración C, deben determinarse. Para ello, se utilizan las condiciones de frontera. El valor de la constante C de integración se obtiene utilizando la condición T(0) = 200, es decir, se sustituye en la ecuación (2) t = 0 y T = 200, obteniéndose C = ln 130. Este valor de C se sustituye en la ecuación (4) ln l T – 70 l = β t + ln 130 (5) El valor de la constante β de proporcionalidad se obtiene utilizando la condición T(1) = 190, es decir, se sustituye en la ecuación (5) t = 1 y T = 190, obteniéndose ln 120 = β + ln 130 ⇒ β = ln 120 – ln 130 12 por propiedades de logaritmo, β = ln . 13 Este valor de β se sustituye en la ecuación (5) 12 ln l T – 70 l = t ln + ln 130 13 aplicando propiedades de logaritmo t 12 ln l T – 70 l = ln 130 13
aplicando e
12 T – 70 = 130 13
t
despejando T t
12 T(t) = 130 + 70 13
(6)
La ecuación (6) representa la ley de variación de la temperatura del café en cualquier instante t. Para determinar el tiempo t 2 que debe transcurrir para que la temperatura del café llegue a 150º F, se sustituyen en la ecuación (6) t = t2 y T = 150 3
Prof. Melba Rodriguez t
12 2 150 = 130 + 70 13 efectuando 150 − 70 130
t
12 2 = 13
aplicando logaritmo a ambos lados t
8 12 2 ln = ln 13 13 aplicando propiedades de logaritmo
8 12 = t 2 ln 13 13
ln despejando t2
) − 0,49 = = 6,125 ( ) − 0,08
8 13 t2 = ln 12 13
ln
Deben transcurrir 6,125 minutos, lo que equivale a 6 min y 7 seg, para que la temperatura del café llegue a 150º F.
2. Resolver el mismo problema anterior, utilizando otro procedimiento SOLUCIÓN: Según se había establecido en el problema anterior, lo que se debe resolver es el problema de valor de frontera
dT dt = β (T − 70 ) T(0) = 200 T(1) = 190 Ya que, la diferencial de la temperatura es dT =
(1)
dT dT dado en la dt, al sustituir dt dt
ecuación (1) dT = β ( T – 70) dt
(2)
La ecuación (2) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las 1 variables, se multiplica la ecuación (2) por el factor T − 70 1 (3) dT = β dt T − 70
4
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La ecuación (3) se integra definidamente; el tiempo varía de 0 a 1 y la temperatura de 200 a 190 190
∫
1
1 T − 70
∫
dT =
200
β dt
(4)
0
Resolviendo las integrales definidas 190
∫
200
1 T − 70
dT =
200
−
∫
200
1
dT =
T − 70
/
− ln T − 70
= – ln 130 + ln 120 = ln
12 13
190
190 1
∫
1
β dt = β
0
1
∫ / dt
=t
= β
0
0
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (4) 12 ln = β 13 (observe que este es, exactamente, el mismo valor obtenido para β en el problema 1) este valor de β, se sustituye en la ecuación (3) 1 12 (5) dT = ln dt T − 70 13 Para determinar el tiempo que debe transcurrir para que la temperatura del café llegue a 150º F, se integra de forma definida la ecuación (5); el tiempo varía entre 0 y el tiempo t2 a determinar y la temperatura varía entre 200 y 150 t2
150
∫
1 T − 70
dT = ln
∫
12 13
200
dt
(6)
0
Resolviendo las integrales definidas 150
∫
200
200
1 T − 70
dT =
−
∫
200
1 T − 70
dT =
− ln T − 70
8 13
150
150 t2
ln
/
= – ln 130 + ln 80 = ln
12 13
∫ 0
dt = ln
12 t 13
t2
/
= t2 ln
12 13
0
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6) 5
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ln
8 12 = t2 ln 13 13
despejando t2
) − 0,49 = = 6,125 ( ) − 0,08
8 13 t2 = ln 12 13
ln
(observe que este es, exactamente, el mismo valor obtenido para t 2 en el problema 1) Deben transcurrir 6,125 minutos, lo que equivale a 6 min y 7 seg, para que la temperatura del café llegue a 150º F.
3. Agua a temperatura de 100º C se enfría en 10 minutos a 80º C, en un cuarto cuya temperatura es de 25º C. Encuentre la temperatura del agua después de 20 minutos. ¿Cuándo la temperatura será de 40º C y 26º C? SOLUCIÓN: De acuerdo con la Ley de Enfriamiento de Newton, la ecuación diferencial asociada a problemas de enfriamiento es dT = β ( T − Ta ) (1) dt Esta ecuación diferencial debe resolverse sujeta a dos condiciones: la primera condición es que para el tiempo t0 = 0 min, la temperatura del agua es T0 = 100º C; la segunda condición es que para el tiempo t1 = 10 min, la temperatura del agua es T1 = 80º C. Además, la temperatura del ambiente donde debe enfriarse el agua es Ta = 25º C. De aquí que debe resolverse el problema de valor de frontera dT dt = β ( T − 25 ) T(0) = 100
( 2)
T(10) = 80
Ya que la diferencial de la temperatura es dT =
dT dT dado por la dt , sustituyendo dt dt
ecuación (2) dT = β ( T – 25) dt
(3)
La ecuación (3) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las 1 variables, se multiplica la ecuación (3) por el factor T − 25 1 dT = β dt (4) T − 25 integrando de forma definida; el tiempo varía entre 0 min y 10 min; la temperatura varía entre 100ºC y 80º C 6
Prof. Melba Rodriguez 80
∫
10
1 T − 25
∫
β
dT =
100
dt
(5)
0
Resolviendo las integrales definidas 80
∫
100
1 T − 25
dT =
∫
−
100
100
1 T − 25
dT =
55 11 = ln 75 15
/
− ln T − 25
= – ln 75 + ln 55 = ln
80
80
10
∫
β
10
/
dt = β t
= 10 β
0
0
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (5) 11 ln = 10 β 15 de donde β =
1 10
11 . Este valor conseguido para β se sustituye en la ecuación (4) 15 1 1 11 dT = ln dt (6) T − 25 10 15
ln
Para determinar la temperatura al cabo de 20 minutos, bastará con integrar en forma definida la ecuación (6); el tiempo varía entre t0 = 0 min y t2 = 20 min; la temperatura varía entre T0 = 100º C y T2 < 100º C ( T2 es la temperatura a buscar) T2
∫
20
1 T − 25
dT =
1 10
11 15
ln
100
∫
dt
(7)
0
Resolviendo las integrales definidas T2
∫
100
1 T − 25
dT =
∫ ∫
−
100
100
1 T − 25
dT =
− ln T − 25
T2 20
11 ln 10 15 1
1 11 ln t dt = 10 15
0
/
=
− ln 75 + ln T2 − 25 = ln
T2 − 25 75
T2 20
/
11 11 11 = ln = 2 ln = ln 10 15 15 15 20
2
0
sustituyendo los resultados de las integrales es la ecuación (7)
7
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ln
T2 − 25
11 = ln 15
75
2
aplicando e T2 − 25
11 = 15
75
2
despejando T2 2
11 T2 = 75 + 25 = 65,33 15 Por lo tanto, la temperatura del agua luego de 20 minutos de iniciado el proceso de enfriamiento, es de 65,33º C. A fin de determinar cuanto tiempo debe transcurrir para el agua alcance una temperatura de 40ºC, se integra en forma definida la ecuación (6); el tiempo varía entre t 0 = 0 min y t = t3; la temperatura varía entre T0 = 100º C y T3 = 40º C t3
40
∫
1
dT =
T − 25
1 10
11 15
ln
100
∫
dt
(8)
0
Resolviendo las integrales definidas 40
∫
100
100
1 T − 25
dT =
−
∫
100
1 T − 25
dT =
− ln T − 25
/
t3
10
15 1 − ln 75 + ln 15 = ln = ln 75 5
40
40
1
=
11 15
ln
∫
dt =
1 11 10 ln 15 t
t3
/
t 11 = 3 ln 10 15
0
0
Sustituyendo los resultados de las integrales es la ecuación (8) t 1 11 ln = 3 ln 10 5 15 despejando t3 t3 =
10 ln 1 5
(15 )
ln 11
)
− 1,61 = 10 = 51,94 − 0 , 31
de aquí que, el agua demora 51,94 min, es decir 51 min y 56 seg, en enfriarse de 100º C a 40º C.
8
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Para determinar cuanto tiempo debe transcurrir para el agua alcance una temperatura de 26ºC, se integra en forma definida la ecuación (6); el tiempo varía entre t 0 = 0 min y t = t4; la temperatura varía entre T0 = 100º C y T4 = 26º C t4
26
∫
1 T − 25
dT =
1 10
11 15
ln
100
∫
dt
(9)
0
Resolviendo las integrales definidas 26
∫
100
1 T − 25
dT =
100
−
∫
100
1 T − 25
dT =
− ln T − 25
t4
10
11 15
ln
1 − ln 75 + ln 1 = ln 75
26
26
1
/
=
∫
dt =
1 11 10 ln 15 t
t4
/
t 11 = 4 ln 10 15
0
0
Sustituyendo los resultados de las integrales es la ecuación (9) t 1 11 ln = 4 ln 10 75 15 despejando t4 t4 =
10 ln 1
75 11 ln 15
( )
)
− 4,31 = 10 = 139 − 0 , 31
de aquí que, el agua demora 139 min, es decir 1 hora y 19 min, en enfriarse de 100º C a 26º C.
4. Agua a una temperatura de 10º C demora cinco minutos en calentarse a 20º C en un cuarto cuya temperatura es de 40º C. a) Encuentre la temperatura después de 20 minutos y después de 30 min b) ¿Cuándo la temperatura será de 25º C? SOLUCIÓN: a) De acuerdo con la Ley de Enfriamiento de Newton, la ecuación diferencial asociada a problemas de calentamiento es dT = β ( T − Ta ) (Ta > T) (1) dt La ecuación diferencial (1) debe resolverse sujeta a dos condiciones: la primera condición es que para el tiempo t 0 = 0 min, la temperatura del agua es T 0 = 10º C; la segunda condición es que para el tiempo t1 = 5 min, la temperatura del agua es T1 = 20º C. Además, la temperatura del ambiente donde se calienta el agua es T a = 40º C. 9
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De aquí que debe resolverse el problema de valor de frontera dT dt = β ( T − 40 ) T(0) = 10
( 2)
T(5) = 20
Ya que la diferencial de la temperatura es dT =
dT dT dada en la dt , sustituyendo dt dt
ecuación (2) dT = β ( T - 40) dt
(T < 40)
(3)
La ecuación (3) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las 1 variables, se multiplica la ecuación (3) por el factor T − 40 1 dT = β dt T − 40 integrando
∫
1 T − 40
dT
=β
∫
dt
(4)
Ambas integrales son inmediatas
∫
−1 dT = ln l T - 40 l + C1 40 − T β
∫
dt
= β t + C2
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (4) ln l 40 – T l = β t + C
(5)
Para determinar el valor de la constante de integración C, se utiliza la condición T (0) = 10, es decir, se sustituye en la ecuación (5) t = 0 y T = 10 , obteniendo C = ln 30; este valor de C se sustituye en la ecuación (5) ln l 40 – T l = β t + ln 30 (6) Para determinar el valor de la constante de proporcionalidad β, se utiliza la condición T(5) = 20, es decir, se sustituye en la ecuación (6) t = 5 y T = 20, obteniendo Ln 20 = 5 β + ln 30 despejando β 1 ( ln 20 − ln 30 ) β= 5 por propiedades de logaritmo
10
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β=
1
1 20 2 ln = 5 30 3
ln
5 este valor de β se sustituye en la ecuación (5) ln l 40 – T l =
2 + ln 30 5 3 t
ln
aplicando propiedades de logaritmo t 5 2 ln l 40 – T l = ln 30 3
aplicando e t
2 5 40 – T = 30 3 despejando T
t
2 5 T(t) = 40 – 30 3
(7)
La ecuación (7) representa la ley de variación de la temperatura del agua en cualquier instante t Para obtener la temperatura al cabo de 20 minutos, se sustituye t = 20 en la ecuación (7) 20 4 2 160 5 2 16 T(20) = 40 – 30 = 40 – 30 = 40 – 30 = 40 – 27 3 81 3 de aquí resulta que al cabo de 20 min la temperatura del agua es de 34º C
=
920 27
= 34
Para obtener la temperatura al cabo de 30 minutos, se sustituye t = 30 en la ecuación (7) T(20) = 40 – 30
30 2 5
3
2 = 40 – 30 3
6
= 40 – 30
640 9080 64 = = 37,4 = 40 – 243 243 729
de aquí resulta que al cabo de 30 min la temperatura del agua es de 37,4º C. b) Para determinar el tiempo que debe transcurrir para que la temperatura del agua se caliente hasta 25º C, se sustituye T = 25 en la ecuación (7) y se busca el valor de t t 2 5 25 = 40 – 30 3 esto es t 40 − 25 1 2 5 = = 30 2 3 11
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aplicando logaritmo
t
2 5 = ln ln 3
1 2
por propiedades de logaritmo
t 2 1 ln = ln 5 3 2 despejando t t= 5
ln ( 12 )
( )
ln 2 3
= 5
− 0,69 = 5 (1,68) = 8,4 − 0,41
Por lo tanto, deben transcurrir 8,4 min, esto es 8 min y 24 seg, para que el agua se caliente hasta 25º C.
5. La temperatura máxima que puede leerse en cierto termómetro es de 110º F. Cuando el termómetro marca 36º F se coloca en un horno. Después de 1 y 2 minutos, la temperatura que marca el termómetro es de 60º F y 82º F respectivamente. ¿Cuál es la temperatura del horno? SOLUCIÓN: El problema planteado es un problema de calentamiento. La ecuación diferencial asociada, de acuerdo con la Ley de Enfriamiento de Newton es dT = β ( T − Ta ) (1) dt El ambiente en donde el termómetro se va a calentar es el horno, y su temperatura se desconoce. Por lo tanto, Ta debe determinarse La ecuación diferencial (1) debe resolverse sujeta a tres condiciones; la primera condición es que la temperatura del termómetro, justo antes de llevarlo al horno es 36 º F, es decir, que para el tiempo t0 = 0 min, la temperatura es T 0 = 36º F; la segunda condición es que al cabo de 1 min de llevar el termómetro en el horno, este marca 60º F, es decir, para el tiempo t1 = 1 min la temperatura es T1 = 60º F; y la tercera condición es que transcurridos 2 min de haber llevado el termómetro al horno este marca 82º F, es decir, para el tiempo t2 = 2 min, la temperatura es T2 = 82º F. Por lo tanto, lo que se va a resolver es el problema de valor de frontera dT dt = β ( T − Ta ) T(0) = 36
T(1) = 60 T(2) = 82
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Ya que la diferencial de la temperatura es dT =
dT dT , dado en la dt , sustituyendo dt dt
ecuación (1) dT = β ( T – Ta ) dt
(2)
La ecuación (2) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las 1 variables, se multiplica la ecuación (2) por el factor T − Ta
1 T − Ta
dT = β dt
integrando
∫
1 T − Ta
dT
∫
= β dt
(3)
Ambas integrales son inmediatas. Ya que es un problema de calentamiento Ta > T, entonces
∫
1 T − Ta
dT
=
∫ ∫
−1 dT = ln Ta − T + C1 Ta − T
β dt = β t + C2 sustituyendo las resultados de las integrales en la ecuación (3) ln l T a – T l = β t + C Para poder obtener Ta condiciones de frontera.
(4)
se debe evaluar la ecuación (4) en cada una de las
Para T(0) = 36, se sustituye en la ecuación (4) t = o min y T = 36º F ln l T a – 36 l = C
(5)
Para T(1) = 60, se sustituye en la ecuación (4) t = 1 min y T = 60º F ln l T a – 60 l = β + C
(6)
Para T(2) = 82, se sustituye en la ecuación (4) t = 2 min y T = 82º F ln l T a – 82 l = 2β + C
(7)
Con las ecuaciones (5), (6) y (7) se plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: la constante de integración C, la constante de proporcionalidad β y la temperatura del horno Ta Sustituyendo la ecuación (5) en las ecuaciones (6) y (7) ln l T a – 60 l = β + ln l T a – 36 l ln l T a – 82 l = 2β + ln l T a – 36 l
(8) (9) 13
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Multiplicando la ecuación (8) por 2 y restando con la ecuación (9) 2 ln l T a – 60 l - ln l T a – 82 l = 2 ln l T a – 36 l - ln l T a – 36 l esto es 2 ln l T a – 60 l = ln l T a – 36 l + ln l T a – 82 l aplicando propiedades de logaritmo ln l T a – 60 l 2 = ln ( Ta - 36 ) ( Ta - 82 ) aplicando e ( Ta – 60 )2 = ( Ta - 36 ) ( Ta - 82 ) desarrollando
Ta2 - 120 Ta + 3600 = Ta2 – 118 Ta + 2952
simplificando 2 Ta = 648 despejando Ta Ta = 324º F De aquí que, la temperatura del horno, ambiente donde se calienta el termómetro, es de 324º F.
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EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE ENFRIAMIENTO 1, Justo a las 2 pm, un termómetro ubicado en una habitación marca 70º F. Se saca al exterior de la habitación en donde la temperatura es de 10º F. Transcurridos cinco min el termómetro marca 50º F. Determine: a) ¿Cuánto marcará el termómetro luego de 10 min? b) ¿A qué hora el termómetro marcará 20º F? c) ¿Cuál es la ley de variación de la temperatura en función del tiempo?
2 c) T(t) = 60 3
R: a) 36,66º F b) 2::22 pm
t
5
+ 10
2. Un objeto se calienta hasta una temperatura de 100º C. Exactamente a la 3:25 pm se retira del fuego y se pone a enfriar en un recinto cuya temperatura es de 20ºC. Transcurridos 30 min el cuerpo se enfría hasta 70º C. Determine: a) ¿Cuál será la temperatura del objeto luego de 20 min? b) ¿A qué hora se enfriará hasta 30º F? c) ¿Cuál es la ley de variación de la temperatura en función del tiempo?
5 c) T(t) = 20 + 80 8
R: a) 75,8º C b) 5:37:44 pm
t
30
3. Siendo la 10:15 am se extrae un pastel del horno y su temperatura en ese instante es de 195º C. Se coloca el en tope de una cocina para que se enfríe; luego de media hora la temperatura del pastel es 180º C y quince minutos más tarde es de 170º C. Determine: a) ¿Cuál es la temperatura del ambiente a donde se está enfriando el pastel? b) ¿A qué hora el pastel alcanza los 150º C? c) ¿Cuál es la ley de variación de la temperatura en función del tiempo?
R: a) 124,5º C
b) 7:8:29 pm
c) T(t) =
249 2
+
141 2
t 111 30
121
4. En el momento en que una torta es sacada del horno, su temperatura es 324º F. Se coloca a enfriar en la mesa del comedor y al cabo de 10 min la temperatura es 300º F y veinte minutos más tarde marca 290º F. Determine: a) ¿Cuál es la temperatura del comedor? b) ¿Cuál es la ley de variación de la temperatura en función del tiempo?
R: a) 288,5º F
b) T(t) =
577 2
+
t 71 23 10 2
17
5. Un envase con agua se calienta hasta que hace ebullición y en ese instante se retira de la cocina y se coloca en un tope para que se enfríe. Al cabo de 15 min la temperatura es de 70º C y 30 min más tarde es de 40ºC a) ¿Cuál es la temperatura del ambiente donde se está enfriando el agua? b) ¿Cuál es la ley de variación de la temperatura del agua en función del tiempo?
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R: a) Ta = 21,46º C
b) T(t) =
1073
+
50
3927 50
809 1309
t 15
6. A las 8:15 am se saca un pastel de pollo del horno y su temperatura es de 310º F. Transcurridos 10 min la temperatura es 240º F. Sabiendo que la temperatura del ambiente es de 70º F a) ¿Cuál será la temperatura al cabo de 20 min? b) ¿A qué hora el pastel se habrá enfriado a 75ºF? c) ¿Cuál es la ley de variación de la temperatura en función del tiempo?
R: a) 205,46º F
b) 10:7:16 am
17 c) T(t) = 240 24
t
10
+ 70
7. Un pernil de 125 libras, inicialmente a 50º F, se pone en el horno a 375ª F a la 5:00 pm. Luego de 25 min la temperatura del pernil es de 125º F. a) ¿A qué hora estará el pernil a 180º F? b) ¿Cuál es la ley de variación de la temperatura del pernil en función del tiempo?
R: a) 5:48:40 pm
b) T(t) = 375 – 325
13 10
−t 25
8. Un estudiante de química analítica lleva a una práctica un matraz con aceite a 30º C. Como le interesa conocer la temperatura promedio en el laboratorio, el estudiante realiza dos mediciones de la temperatura del aceite, a los 10 min y a los 15 min, registrando 27º C y 25º C respectivamente. Con esta información el estudiante determinó la temperatura del laboratorio a) ¿Cuál fue la temperatura del laboratorio, obtenida por el estudiante? b) ¿Cuál es la ley de variación de la temperatura del aceite en función del tiempo? c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la temperatura del aceite sea de 23º C?
R: a) 43,89º C
2 b) T(t) = 21 + 9 3
t
10
c) 37 min 5 seg
9. Un postre se saca del horno a las 5 horas 10 min 15 seg de la tarde del sábado. Se coloca a enfriar sobre el tope de una cocina donde la temperatura es estable. Si se sabe que la temperatura del postre al sacarse del horno era de 89º C, a los tres cuartos de hora era de 65º C y a la hora y media era de 50º C, determine: a) Temperatura del ambiente a donde se enfrió el postre b) ¿A qué hora la temperatura del postre llego a 40º C? R: a) Ta = 25º C b) 7:11:9 pm 10. Se retira del horno un pollo que se está asando y la temperatura es de 200º F. Se deja enfriar a temperatura ambiente. Al cabo de 30 min la temperatura del pollo es de 140º F y transcurrida 1 hora más, la temperatura es de 100º F a) ¿Cuál es la temperatura del ambiente donde se está enfriando el pollo? b) ¿Cuál es la temperatura al cabo de 1 hora? c) ¿Cuánto tiempo demora el pollo horneado en alcanzar una temperatura de 50º F? R: a) Ta = 27 º F b) 124,32º F c) 2 h 28 min 18 seg
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