INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA DEPARTAMENTO DEPARTAMENTO ACADEMICO ACADEMICO DE INGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y ELECTRONICA
ACADEMIA DE MATEMATICAS
PROBLEMARIO DE PROBABILIDAD
M. EN C. JESÚS COLÍN MIRANDA JUNIO DE 2009
LA MATE MATERI RIA A DE PROB PROBAB ABIL ILID IDAD AD QUE QUE SE IMPA IMPART RTE E EN EL DEPA DEPART RTAM AMEN ENTO TO DE INGE INGENI NIER ERÍA ÍA EN COMU COMUNIC NICAC ACIO IONE NES S Y ELECTRÓNICA (ICE) DE ESIME-ZACATENCO, ES UNA DE LAS MÁS MÁS IMPO IMPORT RTAN ANTE TES S Y POSI POSIBL BLEM EMEN ENTE TE UNA UNA DE LAS LAS MÁS MÁS DÍFIC FICILES DE COMPRENDER EN VIRTUD DE QUE LOS PROCEDIMIENTOS Y LA FORMA DE PENSAR PARA RESOLVER LOS PROBLEMAS SON DIFERENTES A LAS OTRAS MATERIAS DEL AREA DE MATEMÁTICAS. ES POR LO ANTE ANTERI RIOR OR QUE QUE CONSI ONSIDE DERÉ RÉ QUE QUE SERÍA RÍA DE BASTANTE BASTANTE IMPORTAN IMPORTANCIA CIA DISEAR DISEAR UN PROBLE PROBLEMARIO MARIO QUE QUE SE ADECUARA AL PROGRAMA QUE SE IMPARTE ACTUALMENTE EN ICE. EL PRESENTE PROBLE PROBLEMA MARIO RIO DE PROBA PROBABILID BILIDAD AD,, ES EL RESULTADO DE LA RECOPILACIÓN POR VARIOS AOS DE E!ÁMENES A TÍTULO DE SUFICIENCIA (ETS), APLICADOS POR LOS PROFESORES DE LA ACADEMIA QUE IMPARTIERON LA MATERIA RESPECTIVA. EL OB"ETIVO DEL PROBLEMARIO ES QUE SIRVA COMO UNA GUÍA GUÍA PARA PARA PROF PROFES ESOR ORES ES Y ALUM ALUMNO NOS S QUE QUE IMPA IMPART RTEN EN Y CURS CURSAN AN DIC# DIC#A A MATE MATERI RIA, A, RESP RESPEC ECTIV TIVAM AMEN ENTE TE.. TAMB TAMBIÉ IÉN, N, SERVIRÁ PARA LOS ALUMNOS QUE PRESENTEN E!AMEN A TÍTULO DE SUFICIENCIA. LA MAYO MAYORÍA RÍA DE LOS LOS PROB PROBLE LEMA MAS S TIEN TIENE E SU RESP RESPUE UEST STA A CORRESPONDIENTE, CUALQUIER ERROR SE AGRADECERÁ COMUN COMUNIC ICAR ARLO LO A LA ACAD ACADEMI EMIA A Y$O Y$O SUPE SUPERV RVIS ISIÓN IÓN DE LA MATERIA DE PROBABILIDAD. GRACIAS AL APOYO DE LOS PROFESORES QUE COLABORARON DE ALGUNA FORMA CON LA CULMINACIÓN DEL PRESENTE TRABA"O. ATENTAMENTE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% M. EN C. "ES&S COLÍN MIRANDA PROF. DE LA ACADEMIA DE MATEMÁTICAS JUNIO DE 2009
PROBLEMARIO PARA LA ASIGNATURA DE PROBABILIDAD 1. E' ' *+ /0120 3' 455 6/7*'*+0* 2 08* *69* * :/003;', *
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70 71
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72
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otro caso
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para
x
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' =+/ /<0* 1* 08* 0 S6':0 10 /03;' *+* =+/* *: '0 *+/<3;' '/=01. 0) .? 08* <) 5.4 S6':0 10 /03;' ' J/0* ' +6 '*+/='+ 13+/;'3 +' 130 06/=00='+ '0 *+/<3;' '/=01 3' =0 ?5 J/0* K 0/0'20 J/0*. A) 31 * 10 6/<0<10 ' '*+/='+ *+ +6 / =* ? J/0* B) * * +=0' @ '*+/='+* *+ +6 31 * 10 6/<0<10 1* @ '*+/='+* +':0' '0 /03;' 0 1 =* ? J/0* A) 5.5@ B) 5.?54 L* =+/* '+//* '* 30610/* *+' *+/<* '/=01='+ 3' 131 01/ = 55 =3/0* K *03;' *+'0/ 5 =3/0*. S * +' ' 1+ 3' 555 30610/*, +/='0 1 'H=/ 30610/* 3' =+/* '+/ @ K 5 =3/0*. A6/. @ C/+0 =0/30 0+* A, '7/=0 1 /'='+ ** 0+* +' '0 *+/<3;' 06/=00='+ '/=01 3' ' 6/= .@ l1;=+/* 6/ 1+/ :0*1'0 K '0 *03;' *+'0/ .@ l=. 6/ 1+/. S *+0 +=6/00 * 6//' 5 555 0+*, 0) 3'+* 11* /'/' =* l=. 6/ 1+/ <) U'0 =0/30 D 0+* / 6/3/ ' 0+ *=10/ 6/ +':0 ' =0K/ /'='+ 1 4@ 1* 0+* 10 =0/30 A, 3'+* l=. 6/ 1+/ < /'/ 1 0+ 10 =0/30 D 0)45?? <) 4.?jM$1. L0* 0* ' :/6 5 6/*'0* *+' *+/<0* '/=01='+ 3' =0 133 4 08* K 10 6/<0<10 10 0 '0 6/*'0 *133'00 01 020/ * '3'+/ '+/ K 5 08* * 5.?. C01310 0) 10 0/0'20 10* 0* <) 10 6/<0<10 10 0 '0 6/*'0 *0 =0K/ 08* 3) 1 'H=/ 06/=0 6/*'0* ='/* 08*. 0) .? <) . 3) L0 0 ' 3=6''+ 13+/;'3 * '0 .0. 3' *+/<3;' '/=01 3' 134 =0 08* K *03;' *+'0/ 5. 08*. E1 70
K ( x + y ) f XY ( x, y ) = 0
0 ≤ x ≤ 1;
0 ≤ y
≤ x 2
otro caso
C01310/> 0) 10 3'*+0'+ j 60/0 f XY *0 7'3;' '*0 3''+0 <) 10* 7'3'* '*0 =0/:'01* ! K Y 3) *' ! K Y 0/0<1* 010+/0* '6''+* 0) 5$ 3) ' Y K Y +'' 10 7..6. 3''+0 *:'+> 139 S f Y 1 Y 2 ( y1 , y 2 ) =
?5
2 y1 0
si 0 ≤ y1
≤
1 ; 0 ≤ y 2
≤
1
en cualquier otro punto
E'3'+/ 1 01/ *6/0 Y R. $ L0 7'3;' '*0 3''+0 10* 0/0<1* 010+/0* ! K Y *>
f XY ( x, y ) =
6 x 0
0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y
≤ 1 − x
otro caso
0) M*+/ ! K Y ' *' *+0*+30='+ '6''+* <) C0131 P/(!h5. ^Y 5.@) ? (555) S6;':0* (!, Y) *+ *+/<0 '7/=='+ ' 1 +/':1 10 7:/0> O<+'/> 0) L0 7..6. 3''+0 <) L0 :/730 10 *+/<3;' 3) L0 30/0'20 $ ) L0* 7..6.=. ! K Y ) *' ! K E '6''+* ' S0 (!,Y) '0 .0. <='*'01 7'0 ' R 3' '0 7'3;' '*0 6/<0<10 00 6/>
f XY ( x, y ) =
k ( x + y) ( x, y) ∈ R otro caso 0
A) E'3'+/ 1 01/ K J03 *0 7'3;' '*0 6/<0<10, j 5$ B) E'3'+/ 10 7..6. =0/:'01 60/0 10 .0. Y S6;':0* 10 .0.3. ! '+0 10 1':+ '0 10* 143 ='*'* '0 620 =100 6/ 'K33;', K 10 .0.3. Y '+0 10 1':+ +/0 ='*;' 10 =*=0 620. S6;':0* 0=* 10 7..6. 3''+0 7 !Y (, K) * 3'*+0'+ * f XY ( x, y ) =
xy 0
0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y
≤
2
otros casos
0) G/0730 1 /3// R!Y \(,K) ^ Y i !] <) O<+9' P/ (Y i !) 3) O<+9' 10 76 =0/:'01 Y ) S' ! K E '6''+* <) $ ) * ?@ L0 76 3''+0 60/0 10 .0. (!,Y) *+0 00 6/.
f XY ( x, y ) =
e − x 0
0 < y
< x;
0 ≤ x
otro lado
0) O<+':0 10 P/( ! i ) <) O<+':0 10 76 =0/:'01 60/0 10 .0. Y 0) 5.@444 ? S 10* 0/0<1* 010+/0* ! m Y +'' '0 7'3;' '*0 3''+0 10 7/=0> 7 !Y (,K) j * 5 i i , 5 i K i 5 ' +/ 30*, 301310 0) 1 01/ j 60/0 10 7'3;' *0 76 3''+0 <) P/ (! i Y) 0) $ <) 5. ? V/730 * 10* 0/0<1* 010+/0* ! K Y *' ' '6''+*, *>
f XY ( x, y ) =
k ( x + y) 0 < x < 1, 0 < y < 2 otro caso 0
? U'0 .0. <0/00 (!,Y) +' '0 7..6. 00 6/> f XY ( x, y ) =
Kx 0
si ( x, y ) ∈ R otro caso
D' R * 1 +/':1 1=+0 6/ 1* 6'+* (5,5), (5,) K (,), 0) <+':0 1 01/ j 10 J03 7..6. <) O<+':0 10 7..6. =0/:'01 60/0 10 .0. Y 0) j 149 O<+':0 10 7..6. 10 .0. Y ! n * 10 .0.3. ! +' 7..6. 00 6/>
x f X ( x ) = 12 0
1 < x < 5 otro caso
@5 S '0 0/0<1 010+/0 ! +' '0 '*0 6/<0<10
3 ( x 2 + f X ( x ) = 8 0
1)
para
− 1 ≤ x ≤
para
x
>
1
1
0) D+/='0/ 10 7..6. 10 .0. Y - ! g <) G/0730 10* 7..6. 10* .0. ! K Y K 10 7'3;' Y - ! g @ U'0 3//'+ 193+/30 I 713+H0, * 6 3'*/0/ '0 .0. *+/<0 '7/=='+ ' a,5b. S *+0 3//'+ 60*0 6/ '0 /**+'30 ? J=*, '3'+/0/ 10 76 60/0 10 6+'30 P ?I @ S0 ! .0. +6 6''301 3' Ea!b $ K *0 Y @ n !, +/='0 10 76 60/0 10 .0. Y @ S6':0 10 .0. ! +' '0 7'3;' '*0 6/<0<10 '7/= ' 1 '+/01 (, ). O<+':0 10 7'3;' '*0 : (K) 60/0 10 .0. Y ? n ! @? S0 ! '0 .0.3. /6/*'+0 10 +=6/0+/0 3/+0 /033;' =30, 3' 7..6.
00 6/> f X ( x) =
1 9 0
(4 − x 2 )
− 1 < x <
2
otro caso
S0 Y ! n '0 .0.3. /6/*'+0 '0 +/0'*7/=03;' !, '3'+/ 10 7..6. Y K * =' 3//*6''+. @@ S 10* 0/0<1* 010+/0* ! K Y *' '6''+* 6=* 07/=0/ * 3=61 1 *:'+> `````````````````. ( ) 0) 7(^K) :() <) 7(^K) J (K) 3) 7(^K) :( ) J(K) ) 7(^K) 7(,K) @ S0' ! K Y 0/0<1* 010+/0* 3' 7 !Y (,K) j * 5 i K i i , 301310 0) 1 01/ j <) 7 Y(K) 10 76 =0/:'01 Y 3) EaYb 0) $4 3) .@
EXAMENES TIPO DE ETS, APLICADOS EN AÑOS ANTERIORES . INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA INGENIERIA EN COMUNICACIONES Y ELECTRONICA ACADEMIA DE MATEMATICAS NOMBRE>%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%oBOL>%%%%%%%%%%%%% GRUPO>%%%%%%%%%FEC#A>%%%% $5@$5@%%%%%%%%%%%%%%%%%CALIFICACION>%%%%%%%%% EXAMEN A TITULO DE SUFICIENCIA DE MATEMATICAS V T I P O “B”
.- S *0< 10 0/0<1 010+/0 ! +' 3= 7'3;' :'/0/0 =='+* 0 m(t ) =
1 6
e t +
2 6
e 2t C01 * 1 01/ E [ X 2 ] > ````````(
)
0) <) $ 3) @$ ) X ,- S *0< 10 /'0 I 3'+' @ *7/0* ':/0* K <10'30*, ='+/0* 10 /'0 II 3'+' @ *7/0* <10'30* K ':/0*, * * /1' 10* /'0* K * +/0 '0 *7/0 '0 110* C1 * 10 6/<0<10 10 *7/0 1:0 *0 <10'30> ```````````````````````..........( ) 0) $ <) @$ 3) ) X .- L0 70=10 M/01* +' J0* 01*3'+* =K <110*, * 6/ *+ ' 10* +0/* * /3<' ' 6/= 4 110=00* 6/ J/0 C1 * 10 6/<0<10 '0 +0/ 10* 0 10* 4 J/0* * /3<0' 110=00* H'30='+.......( )
0) 5.5 <) 5.55?44 3) 5.55 ) 5.5?44? ?.- S ! * '0 0/0<1 010+/0 '/=01 3' =0 K 0/0'20 C1 * 1 01/ P (5 ≤ X ≤ 10) >````````````````````````.( ) 0) 5.??4 <) 5.4@ 3) 5.@ ) 5.? @.- S0' 1* '+* A K B '6''+* +01 =0'/0 P(A) K P(B) X '+'3* 1 01/ P(A$B) * :01 0>````````````````...`( ) 0) <) 3/ 3) $ ) X .- S ' 3''+ +' 1='+* C0'+* *<3''+* +' ................( ) 0) @ <) 3) ) @ ∩ .-S 6(A)$ , 6(B)$ K 6(A B)$? 301 * 1 01/ 6( A ∩ B )............( ) 0) $ <) @$ 3) ) @$ .- C= *:/0='+ K0 + J0* 0 3'+0, *+ 0=' 3'*+0 5 6/:'+0* 63;' =H1+61 300 '0 3' ? 6*<1* /*6*+0* 10* 301* '0 * 10 3//3+0 * '0 6/*'0 3'+*+0/0 0'0' 6/ ' *+,C1 * 10 6/<0<10 *0 **.................................................................( ) 0) 5.55 <) 5.555@ 3) 5.555@ ) 5.5? 4.- L0 0/0<1 010+/0 ! +' 3= 7'3;' '*0 0 f ( x ) =
1 2
x para 0 ≤ x
≤
2 K
3/ +/0 7/=0. E'3'+/ E [ X 2 ] >```...`...( ) 0) <) 3) ) $ 5.- S 10'20=* +/* ='0* ' 30/:00* 01 =*= +=6 C1 * 10 6/<0<10 '0 110* +':0 ' /*1+0 *+'+ 0 10* +/0* *>`.( ) 0) <) $ 3) $ ) X .- S0 ! 10 0/0<1 010+/0 3' 7'3;' '*0 6/<0<10 00 6/ f ( x) = cx 2 para 0 ≤ x ≤ 2 K 3/ +/0 7/=0. C1 +' */ 1 01/ 3 60/0 f ( x) *0 '0 7'3;' '*0 6/<0<10``````.....( ) 0) @$ <) X 3) $ ) .- S A ⊂ B '+'3*> ````````````````````````( ) 0) A ⊂ B <) A ∩ B = A 3) A ⊂ B ) A ∩ B = B ?.- S *0=* 1 +/=0 T3J..( ) 0) <) $4 3) @$ ) @$ 24 @.- S 3'*/0=* 10 60'*;' <'= (a − b) C1 */0 1 373'+ 1 *+ +/='................................................................................................( ) 0) -?@5? <) 5 3) -5 )5? .- S 10 7'3;' '*0 <0/00 60/0 10* 0/0<1* 010+/0* ! K Y * f ( x, y ) = 4 xy para 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1 K 3/ +/0 7/=0. C1 * 10 7'3;' '*0 =0/:'01 !>```````````````````````..( ) 0) 2 y para 0 ≤ y ≤ 1 <) 2 x para 0 ≤ x ≤ 1 3) 4 xy 2 para 0 ≤ x ≤ 1 ) 4 x 2 y para 0 ≤ y
≤
1
.- S 10'20=* 30+/ 0* ' 30/:0* 01 =*= +=6 C01 * 10 6/<0<10 1* 30+/ +':0' /*1+0* :01*>``````..( ) 0) $ <)$ 3)$4 ) @$ .- S +/0=* * 30/+0* ' =02 '/=01 @ C01 * 10 6/<0<10 10* * *0' 0**>```````..`````````````........( ) 0) $ <) $ 3)$ ) $ 4.- E1 6/ 7'3'0='+ ' +6 +/0'**+/ J0*+0 * 6/=/0 70110 (' 3'+* J/0*) * '0 0/0<1 010+/0 ! 3' 7'3;' *+/<3;' 03=100 00 6/ F ( x) = 1 − e − x para x ≥ 0 K 3/ 60/0 x < 0 301 * 10 6/<0<10 ' +/0'**+/ *+ +6 / =* @5 J/0* 0 110 7'3'0' =* 55 J/0* 3//3+0='+``````.`````...( ) 0) 5.55@? <) 5.554 3) 5. ) 5. 2
5.- S 10* 0/0<1* 010+/0* ! K Y *' '6''+* 6=* 07/=0/ * 3=61 1 *:'+>``````````````````````````( ) 0) f ( x / y ) = h( y ) <) f ( x / y ) = ( x )h( y ) 3) f ( x / y ) = f ( x, y ) ) f ( x / y ) = ( x)
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECANICA Y ELÉCTRICA INGENIERIA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA ACADEMIA DE MATEMÁTICAS NOMBRE>%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%oBOL>%%%%%%%%%%%%%%%%% GRUPO>%%%%%%%%%FEC#A>%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%CALIFICACION>%%%%%%%%%%%%
EXAMENATITULODESUFICIENCIADEPROBABILIDAD RESUELVA LOS 8 EJERCICIOS SIGUIENTES VALOR DE CADA EJERCICIO1.25
ℜ = ( − ∞ , ∞ ) , A = { x / − 1 < x < 2} = ( − 1,2) , B = { x / 1 ≤ x ≤ 4} = C C C = { x / 3 ≤ x ≤ 5} = [ 3,5] Encuentre a) A C ∪ ( B − C ) b) ( A ∪ B ) ∩ ( C − A)
1.-Sean
! =
[1,4]
y
2.-Suponga que se tiene un dado cargado de tal manera que el número que sale es inversamente proporcional al mismo. Si lanzamos el dado ¿u!l ser ! la probabilidad de que"#)Salga un número par. $)Salga un número mayor que %. &.- En una urna se tienen ' canicas de las cuales 2 son blancas y % negras. Si las canicas blancas est!n numeradas con 1y 2, y las negras con & ,% ,( , y '. Encuentre la probabilidad de que al sacar todas las canicas de la urna y ponerlas en ilera. #)*as blancas queden +untas. $)las blancas queden en los etr emos. %.-os proveedores entregan la misma pieza a un abricante, el cual guarda todas las eistencias de esta pieza en el mismo lugar. *os antecedentes demuestran que /0 de las piezas entregadas por #son deectuosas, y que 0 de las piezas entr egadas por $ son buenas. #dem!s, #entrega % veces m!s que $ a)Si se saca al azar una pieza y se encuentr a que no esta deectuosa ¿ ual es la probabilidad de que la aya abricado #"b)Si se saca al azar una pieza y se encuentr a que es deectuosa ¿ ual es la probabilidad de que aya sido producida por $". (.-ado que F (t ) es la unci3n dedistribuci3n acumulada de la unci3n de densidad de probabilidad f (t ) 4 a)Encuentre la unci3n de densidad f (t ) .
1 ≤ 4
f (t ) para encontrar P
b)5se
3 . 4
t < 0
0
para
t
para
0 ≤ t ≤ 1
1
para
t > 1
F (t ) =
" ≤
'.-*a ruleta americana tiene & lugares, de los cuales 1 son negros, 1 son ro+os y 2 son verdes ¿ ual es la probabilidad de que"4 a)El primer número verde aparezca despu6s del tercer +uego. b)El primer número ro+o aparezca despu6s del segundo +uego pero antes del seto. /.-*a longitud X de un bacalao adulto es una variable aleatoria normal con media de &7 pulgadas y varianza 2
de % pulgadas . Si se pesca uno de estos animales ¿ ual es la probabilidad de que "4 a)8ida al menos &1 pulgadas b)Su longitud se encuentr e entre las 2' y 2 pulgadas.
(
)
.-Suponga que la unci3n de densidad de probabilidad con+unta para X , Y esta dada por4
6 5
( x + y ) 2
para 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y
f ( x, y ) = de otra forma
0
X ≤
Encuentre4 a) P
1 2
, Y ≤
1
4
b)*a unci3n de densidad marginal de X .
9#:E;<=S
7
1
2
&
%
(
'
/
#*:>:#:?@
7
1.2
2.(
&./(
(
'.2(
/.(
./(
17
≤1
INSTITUTOPOLITÉCNICONACIONAL ESIME ICE ACADEMIADEMATEMÁTICAS NOMBRE:___________________________________________________________#BOL:_________________ GRUPO:_________________FECA:_______________________________________CALIFICACION:_________ EXAMEN A TITULODESUFICIENCIA DEPROBABILIDAD RESUELVA LOS 8 EJERCICIOS SIGUIENTES !VALOR DE CADA EJERCICIO: 1.25"
1.-Sea
A = {( x, y ) / 0 ≤ x ≤ 4 , 2 ≤ y ≤ 4
A ∩ B
y
}
A
B = {( x, y ) / 2 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 4
} encuentre
B ∩ A .
2.-*a bara+a americana contiene (2 cartas divididas en cuatro palos, tr 6bolesp B negros), picas q B negras), diamantes r B ro+os) ,y corazones s B ro+os) ,cada palo consta de 1& cartas,las cuales de menor a mayor valor son 2,3, 4,5,6,7,8,9,10, $ , #, K , A un $ se conoce como +oto, una # se conoce como reina, una K como rey,un A se conoce como as, el +uego cl!sico del CoDer se +uegaentre dos o mas personas repartiendo cinco cartas a cada uno de los +ugadores ¿ ual es la probabilidad de queal repartir ( cartas al azar a cada uno de los +ugadores"a)Salga 10, $ , #, K , A del mismo palo B lor imperial) , b)Salgan cuatro cartas de la misma denominaci3n B cualquier poDer) . &.-onsidere la variable aleatoria continua X , cuya unci3n de densidad esta dada por4
2 cos(2 x) para f ( x) = 0 de otra Encuentre la unci3n de distribuci3n acumulada F ( x ) = P ( X ≤ x) %.-Sea
0 ≤ x <
π
4
forma
X una variable aleatoria discreta con unci3n de probabilidad dada por4 x 5 3 2 4 p ( x) 0.2 0.4 0.3 0.1
Encuentre4 a) *a unci3n de distr ibuci3n acumulada F ( x )
= P ( X ≤
x)
b)*a desviaci3n est!ndar σ .
(.-Según las declaraciones del r egente de la ciudad de 86ico B12 de diciembre de 2777) . El /70 de los antros nocturnos carecen de salidas de emergencia.Si se inspeccionan 17antr os en la misma ciudad,deter mine la probabilidad de que a)uandomuco %carezcan de salidas deemergencia.b)& tengan salidas de emergencia. '.-Se observo durante un largo periodo de tiempo que la cantidad semanal gastada en el mantenimiento y en las reparaciones en cierta !brica tiene aproimadamente une distribuci3n normal con una media det%777 y una desviaci3n est!ndar de t2(7. a)Si el presupuesto de la pr3ima semana es det%(77¿u!l es la probabilidad de que los costos reales superen la cantidad presupuestada" b)¿ e cuanto tendra que ser el presupuesto para reparaciones semanales, para que la cantidad presupuestada solamente sea rebasada con una probabilidad de 7.1". /.-Sea la unci3n de probabilidad con+unta discr eta
Encuentre
Co%( X , Y )
.-Sea la unci3n de densidadcon+unta continua
( X , Y ) dadaen la tabla siguiente4
( x)
y
h( y ).
y
x
−1
−1
0.1
0 0.15
1 0,05
0
0.15
0
0.05
1 2
0 0.1
0.1 0 .2
0 0.1
( X , Y ) dadapor4
a( x + y ) para f ( x, y ) = 0 para las Encuentre a) El valor de
y
0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3
dem&s
( x, y )
a para que f ( x, y) sea una unci3n de densidad con+unta b)*as unciones de densidad marginales
LRMT JUNIODE 28
(444) E'3'+/ 10 7..6. 10 .0.3. Z ! g Y * 10* .0.3. ! K Y *' '7/=* ' 1* '+/01* (5, ) /*63+0='+. (555) L0 30'+0 3/+0 =0+/0 6/=0 * +120 0/0='+ ' '0 =6/*0 * '0 .0. Y 3' '0 *+/<3;' 6''301 3' =0 :01 0 ? +'100*. E1 3*+ 3J0 =0+/0 6/=0 * 6/6/3'01 0 U Y g 0) O<+':0 10 7'3;' '*0 6/<0<10 60/0 U, <) U+120/ 10 /*6*+0 ' 0) 60/0 '3'+/0/ EaUb
uu(555) S6':0 * +'' * 1+0* 010+/* '6''+* V K V 300 ' 3' *+/<3;' 6/<0<10 '7/= ' a5, @b. S V V g V <+':0 JV () 10 76 60/0 V (10 *=0 1* 1+0*) uu(555) A1 =/ ! 10 /03;' ' 0/+31, * 6 3=+/ ' /// * 6 *6'/ '7/=='+ *+/< ' (-5., 5.). L: 1 +=6 0'+0 ' J/0*, * 6 /6/*'+0/ 6/ T g !, ' ' T +' '0 *+/<3;' 6''301 3' 60/=+/ 5. S T K ! *' '6''+*, '3'+/0/ 10 76 T g! (55) V/730 * 10* .0. ! K Y *' '6''+*, * * 76 3''+0 *>
f XY ( x, y ) =
3 e − 9 y
0 ≤ x ≤ 3 ;
0
0 ≤ y
otros casos
(55) S0' ! K Y 0/0<1* 010+/0* 3' f XY ( x, y ) =
0 ≤ x ≤ 2 ;
K xy 0
0 ≤ y ≤ 3
otro caso
0) C01310 1 01/ j 60/0 f !Y *0 76 <) C01310 P/( Y i !) (55) S0' ! K Y 0/0<1* 010+/0* 3' 7 !Y (,K) j * 5 i K i i , 301310 0) 1 01/ j <) 7 Y(K) 10 76 =0/:'01 Y 3) EaYb (55) S0 ! 0/0<1 010+/0 *+/<0 6''301='+ 3' 01/ *6/0 5. S Y n !, +/='0 10 76 7 Y (K) Y (55) S0 ! .0. 3' 76 7 !() 6ab 6 a- !b * h 5 * i . S0 Y ? n @!, +/='0 10 76 60/0 10 '0 0/0<1 Y. (55) S ! * '0 *801 010+/0 3K0 7'3;' '*0 6/<0<10 *+0 00 6/> f X ( x ) =
0 < x
2 x 0
<
1
K 10 *801 ! * =+ 0 ' +/0'*7/=0/
otro caso
*801* 0 6/ 10 7'3;' Y :(!) n ? !, '3'+/ 10 76 10 *801 +/0'*7/=00 Y. E*<3 ** :/730*. (55) E' ' 6/3* =3 * 6/3' * +6* =6/20* 3K0* 6/6/3'* *' ! K Y /*63+0='+. S 10 76 3''+0 =6/20* *+0 00 6/> f XY ( x, y ) =
2(1 − 0
x )
0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y
≤
1
otro caso
0) E'3'+/ 10* 7'3'* '*0 =0/:'01* ! K Y, *<3 ** :/730* <) S' '6''+* *+0* 6/6/3'* =6/20* uu(55) U'0 *801 ! +' '0 *+/<3;' 6''301 3' 60/=+/ K '0 *801 Y +' +0=<9' '0 76 6''301 3' 60/=+/ ?. S 10* *801* *' '6''+* K * *=0', 31 */ 10 *801 ! g Y /*1+0'+ E*<3 10* :/730* 10* +/* *801* ='3'00*. (55) S 10* 0/0<1* 010+/0* 3'+'0* ! K Y +'' '0 76 3''+0 00 6/ >
1 f XY ( x, y ) = π 0
x
2
+ y 2 ≤ 1 otro caso
) E'3'+/ 10* 76 =0/:'01* ! K Y, *<3 ** :/730*. ) *' 10* 0/0<1* 010+/0* ! K Y '6''+* E61. ) E'3'+/ P/ (5 i ! i ) (55) S0 ! '0 0/0<1 010+/0 3'+'0 3' 7'3;' '*0 00 6/> f X ( x )
2 x = 0
0 < x
<
1
otro caso
S0 Y ? ! '0 .0. +/0'*7/=0 0 10 .0. !, 0)
E'3'+/ 10 76 10 .0. Y, <) G/07 Y, f !() K f Y (K), 3) E'3'+/ P/(Y h ) uu(55) S0' ! K Y * .0.3. '6''+* 3' 76 00* /*63+0='+ 6/> f X ( x ) =
2 x 0
0 < x < 1
otro caso
f Y ( y ) =
− 2 y 0
− 1<
y
<
0
otro caso
E'3'+/ 10 76 10 .0. Z ! g Y (10 3'13;' ! K Y). E*<3 10* :/730* 7 ! (), 7 Y (K) K 7 Z (2) (55) S0 (!,Y) '0 .0. 0/00 7'0 ' 10 /:;' R , 3' 76 00 6/> Y
k ( x + y ) 0
f XY ( x, y ) =
( x, y ) ∈ R
otro caso
R
! 0) O<+':0 1 01/ k 10 J03 7'3;' '*0 6/<0<10. <) O<+':0 10 7'3;' '*0 =0/:'01 60/0 10 .0. Y 3) O<+':0 1 01/ *6/0 10 .0. Y (55) D* 3=6''+* ' =3/3=6+0/ +'' 10 *:'+ 7'3;' '*0 3''+0 60/0 ** /03'* ! K Y>
x e ( − x − y ) si x < 0, 0 < y f XY ( x, y ) = otro caso 0 0) 31 * 10 6/<0<10 10 /03;' ! 1 6/=/ 3=6''+ *0 =0K/ 0 , <) <+':0 10 7'3;' '*0 =0/:'01 60/0 10 .0. Y uu (55?) S ! * '0 0/0<1 010+/0 3' 7'3;' '*0 '7/= ' 1 '+/01 (, ), Y * '0 .0. 6''301 3' =0 , * ! K Y *' '6''+* K * Z ! g Y <+':0 10 7'3;' '*0 :(2) 60/0 10 .0. Z. (55?) S (!, Y) * '0 .0. 3'+'0 3' 7'3;' '*0 3''+0 00 6/>
f XY ( x, y ) =
k xy 0
si ( x, y ) ∈ R
otro caso
0) O<+':0 10 7'3;' '*0 =0/:'01 60/0 10 .0. ! <) O<+':0 10 7'3;' '*0 =0/:'01 60/0 10 .0. Y 3) D+/=' * ! K Y *' .0. '6''+*. (55?) S * '0 .0. 3' 7'3;' '*0 00 6/> f X ( x ) =
k ( 2 − x) 0
0 < x < 2
otro caso
a) O<+':0 1 01/ k 10 J03 7'3;' '*0
<) S Y n !, <+':0 :(K) 10 7'3;' '*0 60/0 10 .0. Y 3) G/07 :(K) K 3=6/< * 7'3;' '*0. (55?) U'0 10+0 3'+' '3* K 01='/0*, * ! * '0 .0. /6/*'+0 1 6* 01='/0* 3'+' ' 10 10+0 K Y * +/0 .0. /6/*'+0 1 6* '3* 3'+' ' 10 10+0 K 10 7'3;' '*0 60/0 10 .0. 3''+0 (!,Y) *+ 00 6/. f XY ( x, y ) =
si 0 < x
k xy 0
< 1, 0 <
y
<
0 < x
1,
+
y
<1
otro caso
a) <+':0 1 01/ k 10 J03 7'3;' '*0 6/<0<10
<) <+':0 10 7'3;' '*0 =0/:'01 60/0 1 6* 01='/0* !. (55@) S0 '0 .0. 3' 7'3;' '*0 '7/= ' (-, ). S Y ? n ! J0110/ 10 7'3;' '*0 60/0 10 .0. Y K * ='. (55@) S f !Y (,K) *+ 00 6/ 10 *:'+ 7'3;'> f XY ( x, y ) =
k ( x + 0
1)
si ( x, y ) ∈ R
Y
otro caso
R
0) O<+':0 1 01/ k 10 J03 7..6. <0/00. <) O<+':0 P/(Yi ^! ) ! (55@) S 10 7'3;' '*0 <0/00 60/0 10* 0/0<1* 010+/0* ! K Y *> f (,K) ? K 60/0 5 i i , 5 i K i K 3/ +/0 7/=0. C1 * 10 7'3;' '*0 =0/:'01 ! ````````````` ( ) 0) K 60/0 5 i K i <) ?K 60/0 5 i i 3) 60/0 5 i i ) ?K 60/0 5 i K i (55@) L0 *:'+ 7..6. 3''+0 *+ 00 6/>
K e − x − y f XY ( x, y ) = 0
si
0 < x, 0 < y, x
+
y
<
2
otro caso
0) E'3'+/ 10 7..6. =0/:'01 ! K * =' 3//*6''+, <) C0131 P/(- i ! i ) (3'*/ j .@, *<*++K9'10 01 7'01) (55@) uuu S0' ! K Y * .0.3. '6''+* 3' 7..6. 6''301*, 3' 60/=+/* K /*63+0='+. S0 Z! g Y, '3'+/ 10 7..6. 10 .0.3. Z (55@) S0 ! '0 .0.3. +6 6''301 3' 01/ *6/0 :01 0 5. S0 Y 5 g ? ! E'3'+/0/> 0) 10 7..6. 10 .0.3. Y <) C01310/ P/ ( i Y i ) (55) D* 3=6''+* '0 =3/3=6+0/0 +'' 10 *:'+ 7..6. 3''+0 60/0 ** /03'* ! K Y>
x e − x (1 + y ) si 0 < x, f XY ( x, y ) = otro caso 0
0 < y
0) S' ! K Y 0/0<1* '6''+* 61, <) C0131 P/ (Y h ) (55) E1 6/ J*6+01203;' ' 0*, 603'+* J0' *:/ ' +/0+0='+ 60/0 '7/=0* /'01*, * '0 .0.3. 00 6/ Y ? ! g , ' ! +' '0 7..6. 00 6/>
f X ( x) =
32 ( x 0
+
4) 3
si
0 < x
otro caso
0) '3'+/ 10 7..6. Y
