Princip virtualnih pomaka

PRIMJENA PRIMJEN A KINEMATI KINEMATIČKIH METODA Princip virtualnih pomaka

Virtualni pomak  je bilo koji beskona čno mali pomak omogu ćen vezama u sustavu. A

B

δϕ

y

A’

δy A

B

B’

δϕ

δx x

Disk u ravnini može imati tri virtualna pomaka:

δx − δy − δϕ −

virtualni pomak u smjeru osi x virtualni pomak u smjeru osi y virtualni kut zaokreta

Rad sile na virtualnom pomaku: r

r

δW = P ⋅ δ t = P δ t

cos α

Elementarni virtualni rad komponentama sile i pomaka:

P

t izražen

u

δW = X δ x + Y δ y + Z δz

α δt

 Idealne veze – veze kod kojih je suma elementarnih radova reaktivnih sila na bilo kojem virtualnom pomaku jednaka nuli.

Vedrana Kozulić

Građ evinska evinska statika 1 – Princip virtualnih pomaka

98

Princip virtualnih pomaka glasi:

  Nužan i dovoljan uvjet ravnoteže krutog sustava s idealnim vezama je da suma radova aktivnih sila na bilo kojem virtualnom pomaku bude jednaka nuli. Dokaz: Pi – rezultanta aktivnih sila koje djeluju na čvor i; Pix, Piy, Piz R i – rezultanta reaktivnih sila koje djeluju na čvor i; R ix, R iy, R iz Uvjeti ravnoteže čvora:

→

Pix

Pix

+ R ix = 0

Piy

+ R iy = 0

Piz

+ R iz = 0

⋅ δx ⎫ ⎪⎪ ⋅ δy ⎬ + ⎪ ⋅ δ z ⎪⎭

δ x + Piy δ y + Piz δz + R ix δ x + R iy δ y + R iz δz = 0

Suma po svim čvorovima:

∑

Pix

δ x + Piy δ y + Piz δz + ∑

R ix

δ x + R iy δ y + R iz δ z = 0

144 4 4  4  244 4 4 4  3

=0

⇒ ∑

Pix

δ x + Piy δ y + Piz δ z = 0

 Ako je na sustavu s idealnim vezama suma radova aktivnih sila na virtualnim pomacima  jednaka nuli, onda je sustav u ravnoteži.

Primjena principa virtualnih pomaka u odre đivanju sila kod punostjenih i rešetkastih nosača -

Pretvaranje statički određenog sustava u mehanizam A

A

A A A Mt

t

A

Mt

t

MA

Tt

 Nt

S S

Vedrana Kozulić

Tt

Građ evinska statika 1 – Princip virtualnih pomaka

 Nt

99

Primjeri:

Određ ivanje reakcije u ležaju B za Gerberov nosa č 

l 1/2

0.3 l 2

P1

P2

P3

B

A

C

D l 1

A

a

D 1

’

I’

δD

δ1 I

C

l 2

B

’

δϕ1

B

II’

δB

δ2

1,2

δϕ2

2

δ3

II

C

B

A

δW = 0 →

B δB

− P1 δ1 − P2 δ 2 + P3 δ3 = 0

δϕ1 ⋅ l 1 = δϕ2 ⋅ (l 2 + a ) → δϕ 2 = δϕ1 δ B = δϕ 2 ⋅ l 2 = δϕ1 δ1 = δϕ1

l 1 2

=

⇒

Inicijalni jedinični pomak:

l 2

+a δ ; 2 ⋅ l 2 B +a 2 ⋅ l 2

l 2

l 1 l 2

+a

l 1 ⋅ l 2

l 2

B=

b

+a δ3 =  b δ B

δ 2 = 0.7 δ B ; P1 + 0.7 P2

−  b

l 2

l 2

P3

δB = 1

cos δϕ ≈ 1 ; sinδϕ = tgδϕ ≈ δϕ

Vedrana Kozulić

Građ evinska statika 1 – Princip virtualnih pomaka

100

Određ ivanje momenta savijanja u presjeku t-t na gredi s prepustima

P1

0.25 l 

P2

M

P3

0.3 l 

t

A

B

t

xt = 0.4 l 

A

B

l 

a

 b

d

l 

δMt

δMt I’

δϕ1

δ1

I

δ2

Mt

Mt

δ3

II’

Mt

Vedrana Kozulić

δ4

II

1,2

B

(δl M t + δdM t )+ P1 δ1 − P2 δ2 − P3 δ3 + P4 δ4 − M δϕ1 = 0

δl M t + δdM t = δ M t = 1 Mt

2

δϕ2

A

δW = 0 →

0.6 l 

δMt = 1

0.4 l  1

P4

→

= −0.6 a P1 + 0.15 l  P2 + 0.12 l  P3 − 0.4 b P4 + 0.6 M

Građ evinska statika 1 – Princip virtualnih pomaka

101

Određ ivanje horizontalne komponente reakcije u ležaju B za složeni nosa č 

Inicijalni jedinični pomak na mjestu i u smjeru H B

δW = 0 →

Vedrana Kozulić

HB

= P1 δ1 − P2 δ 2 + P3 δ3

Građ evinska statika 1 – Princip virtualnih pomaka

102

Određ ivanje sile u štapu rešetkastog nosa č a

Inicijalni jedinični pomak na mjestu i u smjeru sile S

δW = 0 →

Vedrana Kozulić

S = − P1

δ1 − P2 δ 2 − P3 δ3

Građ evinska statika 1 – Princip virtualnih pomaka

103

Koristeći plan mogućih pomaka i princip virtualnog rada, odrediti silu u označenom štapu nosivog sustava opterećenog prema crtežu.

a/ S=?

F

2

a

a

a

a

a

a

3

3"

III 1

1,3

δϕ3 = 0

SH

a/ 2

1"

S

SV

I

III"

S

I"

SV

a

δϕ1

SH

δS H

1,2 II

F

a II"

δϕ2

√2

SV = SH = S

a

2 2

δF

2"

I'

δS V II'

δϕ1

δϕ2 III' 3'

1', 2' a

a

δϕ3 = 0

a

δSH = δϕ1 ⋅ a

δSH = δϕ2 ⋅ 2a

δSV = δϕ2 ⋅ a = 1 δϕ1 ⋅ a 2

⇒

δϕ2 = 1 δϕ1 2

δF = δϕ1 ⋅ 2a

δW = 0 → − F ⋅ δF + SV ⋅ δSV + SH ⋅ δSH = 0 − F ⋅ δϕ1 ⋅ 2a + S

(34

2 ⋅S − 2F

) ⋅ δϕ

14 4  244  3

=0

Vedrana Kozulić

2 1 ⋅ δϕ1 ⋅ a + S 2 2 2 2 1 {

≠0

=0

⇒

⋅ δϕ1 ⋅ a = 0 S=

:a

4 2 ⋅F 3

Građ evinska statika 1 – Princip virtualnih pomaka

104

 Konstruiranje apsolutnih i relativnih polova na mehanizmu za odre đ ivanje uzdužne sile u odabranom popre č nom presjeku lu č nog nosa č a sa zategom

2,3

→

∞

2

1,2 II I

1

1,4

1,3

IV

3,4 III

3

4

Vedrana Kozulić

Građ evinska statika 1 – Princip virtualnih pomaka

105